Análisis Vectorial (Hwei P. Hsu)

ANALISIS VECTORIAL H W E I P. H S U

580 P R O B LE M A S RESUELTOS Y E JE R C IC IO S S U P LE M E N T A R IO S EN C A D A C A P IT U LO

Vf ¡

Teoría moderna con aplicaciones a: | • GEOMETRIA já [ • MECANICA • TEORIA ELECTROMAGNETICA . • MECANICA DE FLUIDOS

ADDISON-WESLEY IBEROAMERICANA

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ANALISIS VECTORIAL

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Versión en español de

Hernando Alfonso Castillo Profesor de la Universidad Pedagógica Nacional Bogotá, Colombia

Con la colaboración de

Alejandro Montes Gómez Daza Profesor, Facultad de Ciencias Universidad Nacional Autónoma de México

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ANALISIS VECTORIAL Hwei P. Hsu

Associate Professor Department of Electrical Engineering Wayne State University, Michigan Raj Mehra, Editor

^

A D D ISO N -W E SL E Y IB E R O A M E R IC A N A A rg e n tin a • B ra s il • C h ile • C o lo m b ia • E c u a d o r • E sp a ñ a E s ta d o s C Inidos • M é x ic o • P erú • P u e rto R ic o • V e n e z u e la

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Versión en español de la obra titulada Vector Analysis por Hwei P. Hsu, publicada origi­ nalmente en inglés por Simón & Schuster, Inc., Nueva York, N.Y., E.U .A ., © 1969 Esta edición en español es la única autorizada.

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R E C E P C IO N

© 1973 por Fondo Educativo Interamericano © 1987 por ADDISON-WESLEY IBEROAMERICANA, S.A. Wilmington, Delaware, E.U.A.

Impreso en Estados Unidos. Printed in U.S.A. ISBN 0-201-02943-X 9 10-CRS-99 98 97 96

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PROLOGO

E n los últimos años, el conocim iento del análisis vectorial se ha convertido en un requisito esencial e integral p ara ingenieros, m atem áticos, físicos y otros científicos. N o sólo proporciona un m étodo conciso y preciso p a ra analizar m atem áticam ente los fenóm enos físicos y geom étricos, sino que tam bién ayuda al desa­ rrollo de la com prensión intuitiva de las ideas físicas y geom étricas. E ste libro puede usarse com o texto p a ra un curso form al en análisis vectorial y com o Suplemento para todos los textos usuales debido a la com binación especial de rigor e inform alidad en el tratam iento de la m a­ teria. Las m últiples aplicaciones a la geom etría elem ental, a la m ecánica, a la teoría electrom agnética y a la m ecánica de los flúidos hace invaluable este texto com o auxiliar p ara cursos en num erosos cam pos que em ­ plean m étodos vectoriales. . .... \ Se h an som breado en gris los conceptos nuevos, definiciones y teorem as (o resultados) fundam entales e im portantes. Los grupos de problem as graduados, resueltos totalm ente, constituyen parte integral del texto e ilustran y am plían los conceptos fundam entales a la vez que desarrollan las técnicas del análisis vectorial. Los problem as suplem entarios están diseñados no sólo p ara servir de ejercicios sino tam bién para fortalecer la h a ­ bilidad y profundización necesarias p a ra el uso práctico de las técnicas vectoriales. E ste libro ha sido diseñado p a ra el estudiante que tiene el conocim iento equivalente a un curso semestral con intensidad sem anal de ocho horas en cálculo elemental. Sin em bargo, la segunda m itad del libro supone una fam iliaridad básica con el cálculo avanzado y la m atem ática aplicada. L a prim era m itad del texto desarrolla el algebra y el cálculo de vectores. E n el capítulo uno, se definen los vectores y se tra ta el algebra de vectores sin la introducción de un sistem a de coordenadas. E n el capítulo dos se enfoca analíticam ente el algebra vectorial. E n los capítulos tres y cuatro se discute el cálculo diferencial e integral de vectores. E l capítulo cinco introduce coordenadas curvilíneas. Los cuatro capítulos siguientes discuten las aplicaciones prácticas de los vectores a la geom etría elem en­ tal, a la m ecánica, a la m ecánica de flúidos y a la teoría electrom agnética. E l capítulo final tra ta de form as diferenciales e introduce la definición de form as diferenciales externas y el concepto de cálculo externo. P roporciona un vínculo entre el análisis vectorial y el cálculo externo. E l autor cree que las form as diferenciales y los conceptos relacionados con ellas, que em ergieron de la m atem ática m o­ derna, son instrum entos analíticos nuevos y poderosos para el científico y el ingeniero. Finalm ente, el autor quiere agradecer al Profesor F orest E. B ram m er por su estím ulo, al Profesor R obert Barnard por su consejo atinado y valioso; a la señorita K athie Aggas por su cuidadosa e im pecable m ecano­ grafía de todo el m anuscrito y al personal de Simón and Schuster Tech O utlines, especialm ente al señor R aj M ehra y a la señora R h ea Nichols, p o r su cuidadosa revisión del m anuscrito y sus constructivas sugerencias. H w eiP . Hsu

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CONTENIDO

■ capitulo

ALGEBRA DE V E C T O R E S 11 e s c a l a r e s Y V E C T O R E S ...................................................................................................... 1.2 M ULTIPLICACION DE UN V ECTOR PO R UN ESCALAR .............................................. 1.3 ADICION Y SU ST R A C C IO N DE V E C T O R E S ..................................................................... 1.4 PR O D U C TO ESCALAR O PR O D U C TO P U N T O ................................................................. 1.5 PR O D U C TO VECTORIAL O PRO D U CTO C R U Z .............................................................. 1.6 TRIPLE PR O D U C TO E S C A L A R .............................................................. ................................. 1.7 TRIPLE PR O D U C TO VECTORIAL ........................................................................................ 1.8 C O N JU N T O S R E C IP R O C O S DE V ECTO RES ................................................................... 1.9 PRO BLEM A S SU PLEM EN TA RIO S ........................................................................................

1 1 2 4 8 10 12 15 17

2 capitulo

V EC TO R ES EN EL SISTEM A COORD EN A D O RECTANGULAR 2.1 ALGEBRA V E C T O R IA L ................................................................................................................ 2.2 V EC TO R ES B A S E ......................................................................................................................... 2.3 E X PR ESIO N ES ANALITICAS PARA MULTIPLICACION DE V E C T O R E S ................. 2.4 B A SE S R E C IP R O C A S .................................................................................................................. 2.5 B A SE S O R TO N O R M A LES ......................................................................................................... 2.6 PRO BLEM A S S U P L E M E N T A R IO S ........................................................................................

19 21 22 30 32 38

3 capítulo

4 capitulo

CALCULO DIFERENCIAL VECTORIAL 31 LIMITES Y CONTINUIDAD DE V E C T O R E S ........................................................................ 3.2 DIFERENCIACION DE V E C T O R E S ........................................................................................ 3.3 DERIVADAS PARCIALES DE FU N CIO N ES VECTORIALES DE MAS DE UNA V A R IA B L E ......................................................................................................................... 3.4 CURVAS EN EL E SPA C IO ......................................................................................................... 3.5 S U PE R FIC IE S ................................................................................................................................ 3.6 DERIVADA DIRECCIONAL Y G R A D IE N T E .......................................................................... 3.7 EL O PER A D O R V ............................................................................................................................ 3.8 DIVERGENCIA DE UNA FUNCION V E C T O R IA L .............................................................. 3.9 ROTACIONAL DE UNA FUNCION V E C T O R IA L .............................................................. 3.10 O PE R A C IO N E S CON V Y ALGUNAS IDENTIDADES V E C T O R IA L E S .................... 3.11 PRO BLEM A S S U P L E M E N T A R IO S ........................................................................................

CALCULO INTEGRAL VECTORIAL 41 INTEGRALES DE L IN E A .............................................................................................................. 4.2 4.3 4.4

INTEGRALES DE S U P E R F IC IE ................................................................................................ INTEGRALES DE V O L U M E N .................................................................................................... D EFIN ICIO N ES ALTERNAS DE GRADIENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL .................................................................................................................................. 4.5 TEOREM A DE DIVERGENCIA O DE G A U S S ..................................................................... 4.6 TEO REM A S DE G R E E N ............................................................................................................. 4.7 TRA N SFO RM A CIO N ES DE INTEGRALES DE VOLUMEN A INTEGRALES DE S U P E R F IC IE ................................................................................................. 4.8 TEOREM A DE S T O K E S ................................................................................................................ 4.9 TRA N SFO RM A CIO N ES DE INTEGRALES DE SU PE R FIC IE A INTEGRALES DE L IN E A ............................................................................................................... 4.10 CA M PO S IRROTACIONALES Y S O L E N O ID A L E S .......................................................... 4.11 PRO BLEM A S S U P L E M E N T A R IO S ........................................................................................

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41 43 47 48 53 58 63 63 65 68 75

78 84 94 95 100 106 109 112 118 122 129

W CO O RD EN A D A S CURVILINEAS O R TO G O N A LE S CAPITUL0 5.1 CO O R D EN A D A S C U R V IL IN E A S .............................................................................................. 5.2 CO O R D EN A D A S CURVILINEAS O R T O G O N A L E S .......................................................... 5.3 GRADIENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL EN COORDENADAS CURVILINEAS O RTO G O N A LES .............................................................................................. 5.4 SISTEM A S C O O R D EN A D O S E S P E C IA L E S ........................................................................ 5 .4 a COORD EN A D A S CARTESIANAS RECTANGULARES (X, Y, Z ) ........................ 5.4b COORD EN A D A S CILINDRICAS CIRCULARES (p, , Z ) ...................................... 5.4c COORD EN A D A S ESFER IC A S (R, d, /■ libre o nn Imaitzadi*. [ n eMe te\.lc> se supone que todos los vectores son libres a menos que se advierta lo conti ario. se denota con 0. Tiene magnitud cero y dirección arbitraria. Dos vectores libres A y B son iguales. A

B.

( 1 . 1)

cuando tienen la misma magnitud y dirección, com o se muestra en la figura 1.2. Esto no implica que dos vectores iguales coincidan en el espacio, ni que la igualdad de vectores (1.1) se aplique a vectores fijos pues solamente un vector tiene magnitud dada, dirección > punto inicial. Como consecuencia directa de (1.1), A

B implica B ~ A,

A

t> y tí 1.2

F ig ura 1.2

V ectores iguales.

( 1.2)

C

( ’.

( 1.3)

Multiplicación de un vector por un escalar

Sean A un vector y m un escalar. Entonces el vector m A, como se muestra en la figura l .3, se define com o sigue: (1) (2) (3) (4)

La magnitud de m A es Im I I K I : ImA I = Im I IAI. Si m > 0 y A =# 0 , entonces la dirección de m A es la de A. Si m < 0 y A ^ 0 , entonces la dirección de m A es la opuesta de la de A. Si m = 0 o A = 0 ,m A es 0: 0A = m 0 = 0.

Así q u e d o s vectores no cero A y B son paralelos (denotado A 11 B), si y solamente 1

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Figura 1.3

M u ltip lic a c ió n de un vecto r p o r escalares.

2

Análisis vectorial

si existe un escalar m tal que B - mA.

(1.4)

Como 0 tiene una dirección arbitraria, se define como paralelo a cualquier vector A y A como paralelo a 0. Con esta convención la condición de paralelismo ampliada es A I I B si y solo si B ~ m A o A = «B para algunos escalares m, n. obtenemos el negativo del vector A, denotado por -A = ( - 1 ) A, i.e., un vector cuya magnitud es la de A, pero cuya dirección es opuesta a la de A.

-JL_ = JL ( entonces obtenemos un vector unitario Figura 1.4

A d ic ió n de vectores.

A.

(1.5)

cuya magnitud es I eA I - 1 y cuya dirección es la misma de A. El vector A se representa por el producto de su longitud con el vector unitario e„ : ( 1 .6)

A = A e A.

1.3 Adición y sustracción de vectores Dados dos vectores A y B, la suma o resultante C =A +B S ustracción de vectores.

(1.7)

es un único vector determinado como sigue: Si el punto inicial de B se coloca en el punto terminal de A, entonces el resultante C es el vector cuyo punto inicial está en el punto inicial de A y cuyo punto final está en el punto final de B (Véase figura 1.4.) Como se muestra en la figura 1.5, la diferencia (A - B) de dos vectores A y B es la suma entre A y (~B); i.e. :C = A - B = A + ( - B ) .

( 1.8)

Si los vectores A y B tienen un punto inicial común, entonces A - B es el vector que va del punto final de B al punto final de A. Esto se ilustra en la figura 1.6. La adición entre vectores tiene las propiedades siguientes: Figura 1.6

A+B - B +A

S ustra cción de vectores.

[Ley conmutativa] l Ley asociativa)

(1.10)

m(A + B) - mA + raB

[Ley distributivaj

(1.11)

(m +• n) A * mA + nA

[Ley distributiva escalar]

(1.12)

[Identidad]

(1.13)

[Inverso]

(1.14)

A + (B - C) = (A + B) + C

A+0 =A A + ( - A) = 0 PROBLEMA 1.1 S o lu c ió n : Figura 1.7

or

A- A=0

Verificar (1.9).

Sean A y B dos vectores como se muestra en la figura 1.7. Entonces A + B = PQ + QR = PR,

Ley c o n m u ta tiv a de la ad ic ió n v e c to ria l.

B -+ A = PS + SR = PR. Por consiguiente,

(1.9)

A + B = B + A.

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3

Algebra de vectores

PROBLEMA 1.2

Verificar (1.10).

S olución: Se construye un polígono PQRS, como en la figura 1.8, que tenga los vectores A, B y C como lados consecutivos. Entonces, A + (B + C) = A + QS = PQ + QS = PS, (A + B) + C = PR + C = P R + RS = PS. Por consiguiente, A + (B + C) = (A + B) + C. PROBLEMA 1.3 Sean O, Q y P tres puntos distintos en el espacio y i? el punto medio de PQ. Si OP = A, OQ = B y OR = C, demostrar que Fig ura 1.8

C = - (A + B). 2 S olución:

Ley asociativa de la a d ició n v e c to ria l.

(1.15)

En la figura 1.9, por la ley de adición vectorial, C = B + QR.

Ahora, como en la figura 1.6 , QP = A - B. Como QR = - QP = - ( A - B), 2

2

C = B + QR = B + | (A - B) = ^ (A + B).

PROBLEMA 1.4 Si A y B son dos vectores diferentes de cero y no paralelos y C es cualquier vector en el plano de A y B, entonces dem ostrar que C se puede expresar como combinación lineal de A y B, i.e., C = mA + nB,

Fig ura 1.9

Uso de la ley de a d ició n v e c to ria l.

(1-16)

donde m y n son dos escalares determinados unívocamente. S o lu ció n : Como A y B no son paralelos, existe un paralelogramo que tiene a C como diagonal y cuyos otros lados son paralelos a A y a B. (Véase figura 1.10.) Entonces, C = PQ + QR. Ahora PQ I IA y QR I I B lo que implica que existen escalare? m y n tales que _> _> 'iJ-- ... PQ = mA, QR = nB , G

Por consiguiente,

r C = mA + nB.

tales que C = m'A + n B. Entonces por sustracción, (m - m') A + (n - n ) B = 0, o sea (m - m') A = ( n ' - n) B.

(1.19)

Pero A y B no son paralelos y tampoco son cero. Por (1.4) se requiere claramente que m - m 1 = 0 y n - n = 0. Si no, se podría dividir por m — m o n — n

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Fig ura 1.1 0

S o lu c ió n al problem a 1.4.

Análisis vectorial

para obtener B = x A o A = y B, lo que implicaría que A y B son paralelos. Por consiguiente, m = m ' y n = n . PROBLEMA 1.5 Si A, B y C son tres vectores diferentes de cero, no paralelos ni coplanares y D es otro vector cualquiera en el espacio, entonces demostrar que D se puede expresar como una combinación lineal de A, B y C; i.e., D = mA + r¡B + IC,

(1.20)

donde m, n y / son tres escalares determinados unívocamente. S o lu c ió n : Como A, B y C son diferentes de cero y no paralelos ni coplanares, existe un paralelepípedo que tiene a D por diagonal y las otras aristas paralelas a A, B y C. (Véase figura 1.11) Por lo tanto, existen escalares m, n y / tales que D = m A + n B + /C . Para demostrar que m, n y l son únicos supóngase que D puede expresarse como D = m'A + n'B + l'C .

(1.21)

Entonces por sustracción, (m - m ')A + (n - n ') B + (/ - l')C = 0,

(1.22)

(m - m ')A = (n - n ) B + ( / ' - /)C .

(1.23)

o sea

Figura 1.11

El pa ralele pípe do de la s o lu c ió n del p ro blem a 1.5.

El lado izquierdo de (1.23) es un vector paralelo a A y el lado derecho es un vector paralelo al plano de B y C. Puesto que A, B y C no son cero ni paralelos ni coplanares, (m - m ') A = 0 y por tanto m = rri. De modo similar, n = n y /=

En general, n vectores dados A ,, A2, . . . , A„ son linealmente dependientes si por lo menos uno de ellos puede expresarse como combinación lineal de los otros (n - I ) vectores. Si ninguno de los vectores se puede representar así, son linealmente independientes. Por lo tanto n vectores A | , A2 , . . . , A„ son linealmente dependientes, si y sólo si existen escalares m, (i = ! , . . . , n), no todos cero, tales que m,A, + m2A2 + * • • * m„A„ = 0.

1.4

(1.24)

Producto escalar o producto punto

El producto p u nto o escalar (llamado a veces producto interno) de dos vectores A y B es un escalar A * B (que se lee A punto B) dado por A • B = | A | | B | eos 6 - A B eos d,

(1.25)

donde $ es el ángulo entre A y B y O < 0 < r r . (Véase figura 1.12.) Por (1.25) el ángulo 6 entre A y B se puede expresar como COS0 = A J L , AB Fig ura 1.12

(|.2 6 )

El án gulo e n tre A y B.

(1.27) Con tal que A # 0 y B #= 0. La proyección de un vector A sobre B, denotada por proy gA, es un vector

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Algebra de vectores

5

(1.28)

proy B A = (A e o s 0 )e B ,

donde 9 es el ángulo entre A y B y e s = — B e su n vector unitario que va a lo largo de B. (Véase figura 1.13.)

La com ponente de un vector A a lo largo de un vector B diferente de cero , sel denota por comp gA y es un escalar com pgA = 0 . A

(1.48)

Como A 2 = I A I 2 > 0, (A • B)2 < A 2B 2 = | A |2 1B I2, o sea A • B I < IA I IB I

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(1.49)

V (Vr

o

Análisis vectorial

8

Si I AI —A = O, entonces A = 0; por lo tanto A • B = 0. Así que (1.45) es verdadero también y la igualdad se cumple en este caso. i

S o lu c ió n a lte rn a :

Por(1.25), ] A • B | = | A B eo s 6 1 = AB | eos 9 |.

(1-50)

Puesto que Ieos 9 I < 1 , | A • B | = AB | eo s 6 \ < A B = | A | | B |. El signo igual vale para el caso de eos 6 = ± 1 i.e., 6 = 0 o 180°, o A | | B.

La desigualdad del triángiüo establece que si A y B son dos vectores arbitrarios, entonces ¡A - B | < | A | + | B | . PROBLEMA 1.14 S o lu c ió n :

(1.51)

Verificar (1.51).

Por el lado izquierdo de (1.51), | A + B |2 = (A + B) • (A + B) = (A • A) + 2(A • B) + (B • B) = | A |2 + 2(A • B) + | B | 2.

(1.52)

Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz (1.45), (A • B) < | A | | B |. Por consiguiente, | a + b | 2 < | a ¡2 + 2 | a | | b | + | b |2 = ( | a | + | b |)2

(1.53)

o sea I A + B | < I Al + | B | . Figura 1.17

V e rific a c ió n de la desigualdad del triá n g u lo .

La desigualdad del triángulo ( 1 . 5 1 ) demuestra que la suma de las longitudes de dos lados de un triángulo es mayor que la longitud del tercer lado. (Véase figura 1 .1 7 ) .

1.5

Producto vectorial o producto cruz

El producto cruz o vectorial (llamado aveces producto externo) de dos vectores A y B es un vector A X B (léase A cruz §) dado por Ax B

¡ A JJ B | sen 0 u = (AB sen fl)u,

(1.54)

donde 6 es el ángulo entre A y B, 0 < 0 < jr, y u es un vector unitario tal que u 1 A, u i 8 . La dirección de u es la de avance de un tornillo de rosca derecha cuando A rota hacia B un ángulo 0 (Véase figura 1.18). El producto vectorial tiene las siguientes propiedades: A x B = —B x A Ax Fig ura 1.18

El v e c to r p ro d u c to de dos vecto res.

(B *- C)

(mA)

x

[Ley anticonmutativa o seudo-simétrica] A xB + A xC

B

=

A

x

(mB)

m,\

X

B

(J.56) (1.57) ,.

A b j,b 3,

Mostrar que para dos conjuntos recíprocos de vectores a [ , a2, a3 y

k

a 2 a 3] =

( 1 .1 2 2 )

■ * ■--■■. Lb, b2 b3J

Solución: S i a j , a 2, a 3 y b j , b 2, b 3 son conjuntos recíprocos de vectores, entonces, por (1.107) y (1.115), [b, b2 b3]3 1 b2 b3]3 ib. 1 [b, b2 b 3

1.9 Problemas suplementarios / f ^PROBLEMA 1.38 Mostrar que si existen escalares m y n, no ambos cero, tales que m A + nB = 0, entonces A y B son paralelos. PROBLEMA 1.39 Si A y B son vectores no paralelos tales que C = (m + n - 1)A + (m + n)B, D = (m - n)A + (2m —n + 1)B, hallar m y n tales que C = 3D. Respuesta:

m = -2 /3 , n = -1 /1 2 .

PROBLEMA 1.40

Demostrar que (A + B)*(C + D) = A , C + A 'D + B , C + B ’ D.

PROBLEMA 1.41 Dados dos vectores A y B, demostrar que IA + B I2 = I AI 2 + IB I2 si y solamente si A y B son ortogonales, o sea el teorema de Pitágoras. PROBLEMA 1.42

Demostrar que A , B = ^-(IA + B l2 - I A - B I2).

PROBLEMA 1.43 geométrica.

Demostrar que (A + B) *(A —B) = A 2 - B2 y dar una interpretación

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Análisis vectorial

18

PROBLEMA 1.44 que

Si a y b son vectores unitarios y 6 es el ángulo entre ellos, demostrar 1 0a . sen — 2

Sugerencia: PROBLEMA 1.45

| a - b |2 = (a - b) • (a - b).] Demostrar que (A - B) X (A + B) = 2A X B, y dar una interpretación

geométrica. PROBLEMA 1.46

Sea A B C un triángulo, O, cualquier punto, a = OA , b = OB , c = OC.

Mostrar que el área de A B C es igual a ^ | a X b + b X c + c X a |. PROBLEMA 1.47

Demostrar que

(a - d) x (b - c) + (b - d) x (c - a) + (c - d) x (a - b) = 2 (a x b + b x c + c x a), y dar una interpretación geométrica. PROBLEMA 1.48 Demostrar que si A, B y C son vectores no paralelos y AX B = B X C = C X A, entonces A + B + C = 0. Dar una interpretación geométrica. PROBLEMA 1.49

Si AXB = A X C

PROBLEMA 1.50

Mostrar que (A + B) • (B + C) X (C + A )= 2[ABC],

PROBLEMA 1.51

Mostrar que (A X B)*(C X D) + (B X C )-(A X D) + (CX A )-(B

=

¿puede concluirse que B = C?

X D)

0

PROBLEMA 1.52

Si A, B, C, D son coplanares, mostrar que (A X B) X (C X D) = 0. ¿Es

cierto el recíproco? PROBLEMA 1.53 Demostrar que una condición necesaria y suficiente para que A X (B X C) = (A X B) X C es (A X C) X B = 0. PROBLEMA 1.54 Demostrar que si A, B, C no son coplanares y A X (B X C) = (A X B) X C = 0, entonces A, B y C son m utuamente perpendiculares. PROBLEMA 1.55 demostrar que

Si A = A, i + A 2j + A3k, B = B ,i + B2j + B3k ,y C = C ,i + C2j + C3k ,

A, [A B C] = c,

a

2 A3

b

2 B 3 [i j k].

C2 c 3

PROBLEMA 1.56 Demostrar que A, B y C son linealmente dependientes si y solamente si [ABC] = 0. Interpretar geométricamente la dependencia y la independencia lineal. PROBLEMA 1.57 Demostrar usando vectores que las mediatrices de un triángulo son concurrentes. (Véanse más aplicaciones en el capítulo 6.) PROBLEMA 1.58 Si a ! , a2, a 3 y b t , b 2, b 3 son conjuntos recíprocos de vectores, mostrar que a2 X a 3 , a 3 X X a2 y b 2 X b 3 , b 3 X b , , b ( X b 2 son también conjuntos recíprocos. PROBLEMA 1.59 S i a ! , a 2 , a 3 y b ! , b 2, b 3 son conjuntos recíprocos de vectores, mostrar que a, X b , + a2 X b 2 + a3 X b 3 = 0.

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VECTORES EN EL SISTEMA COORDENADO RECTANGULAR

✓ CAPITULO

En este capítulo, trataremos de una teoría algebraica de los vectores. Este enfoque analítico facilitará el desarrollo de las propiedades algebraicas de los vectores y demostrará una vez más muchos de los resultados anteriores. En el capítulo 1, un vector se representó con un segmento dirigido. Si ahora colocamos el punto inicial del vector A en el origen de un sistema coordenado rectangular, entonces el vector A se puede especificar por las coordenadas rectangulares ( x t , >•,, z , ) del punto final, como se muestra en la figura 2.1. Así que hay una correspondencia bium'voca entre el conjunto de ternas de números (coordenadas de puntos en el espacio) y el conjunto de vectores cuyos puntos iniciales están en el origen. En consecuencia, un vector en tres dimensiones se define com o una tem a ordenada de números reales; i.e., A = [A l , A 2, A i ],

(2.1)

donde A , , A 2 y A 3 se llaman las com ponentes de A, con respecto al sistema coordenado dado y son números reales. Debemos observar que hay infinidad de sistemas coordenados posibles, de modo que el mismo vector tendrá diferentes componentes en diferentes sistemas. Sin embargo, a continuación consideraremos solamente el sistema coordenado rectangular.

Z

Figura 2.1

V e c to r A en un sistema coo rd e n a d o re ctang ular.

El vector cero O es un vector cuyas com ponentes son todas cero; i.e., 0 - [0 , 0 , 0].

2.1

( 2.2 )

Algebra vectorial

Dos vectores son iguales si y solamente si sus componentes correspondientes son iguales. Analíticamente, si A = \ A ,, A 2, A 3 j y B = [ # t , B 2, B 3 ¡ , ^ B lt

A = B «=» A,

A2 -

B ,, A j ~ f í 3.

(2.3)

El producto de un vector A y un escalar m se obtiene por multiplicación de las componentes de A por m ; i.e., m A ..

Haciendo m -

I . el negath o de A es - A = ( - 1 ) A - [~MI f - A ,, - A j ,

(2.5)

y haciendo m - 0, el vector cero es

0 0A L a sw w a o n wltanti

[0 ,0 ,0 ] .

vectores A y B i

(2.0) tor C que se o b tien e sum ando

las componentes correspondientes de A y B; i.e., C

A

B,

19

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J

20

A nálisis vectorial

f lo n d e 12.7)

C - A - B = A + (-l)B , lililí (2,8)

componente-. ncncn l.is mi

es. (2.9)

A ’+ (B + C). = ;

C

[Ley asociativa]

(2. 10) ( 2. 1 1 )

1 1 V (m + n) A = mA + nA

m(A + B) - n

{Ley distributivaj (2.12) (2.13) (2.14)

PROBLEMA 2.1 S o lu c ió n :

Verificar las propiedades (2.9), (2.1 2) y (2.14).

P o r(2 .7 ), A+ B =

+ B ,, A2 ‘ B2, ^3

# 3-^

= [fí, + A¡, B2 + A 2, B3 + ¿43] = B + A,

[2.9]

(m + n)A = [(m + n ) ¿ w (m + n)A 2, (m + n )A 3] = [mAl + n A u mA2 + nA 2, m A 3 + n /t3] ]2.12]

= mA + nA, •x 1 'S

i

-c"

1

II < 1 <

= 0 = [0 , 0, 0].

[2.14]

1A 1o A , y j A j - A ~ ( A ¡ + A¡ + A ¡ ? . Entonces el vea

A es

: H. :

PROBLEMA 2.2

4

Mostrar que para un vector A y un escalar m, | mA | = | m | | A |.

S o lu c ió n :

(2 .1 5 )

Como m A = [mA ,, m A 2, m A 3 \ , entonces por (2.1 5),

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(2.17)

Vectores en el sistema coordenado rectangular

21

| m A | = [ ( m A ,)2 + ( m / l 2)2 + ( m A J 2]2

= | m | (A \ + A] + A \)2 = |m\|A|. PROBLEMA 2.3 Si A ¥= 0 y B 0, determinar la condición bajo la cual el vector A= [A¡, A 2, A 3 ] será paralelo al vector B = [B¡, B 2, B 3 | . Solución:

Si los vectores A y B son paralelos, entonces para algún escalar m , B = mA,

y

B ^ = m A ít

B2 = m A 2,

B z = m A3.

(2.18) Por consiguiente,

B± A , ~ A2 ~ A ,’ o sea A . - . A. - .A , = B ¡ : B 2 : B }. Recíprocamente, este sistema de ecuaciones implica (2.18); por consiguiente los vectores son paralelos.

2.2

Vectores base z

Los tres vectores unitarios » = t i, 0, 0],

j . [0, 1, 0},

k = [0, 0, 1 ]

(2.19)

son los vectores base del sistema coordenado rectangular. Geométricamente, son vectores unitarios en la dirección positiva sobre los ejes x , y , z respectivamente, como se muestra en la figura 2.2. PROBLEMA 2.4 Mostrar que cualquier vector en tres como una combinación lineal de los vectores base i, j y k. Solución:

(0 , 0 ,

dimensiones se puede expresar

"O ' ( 1 , 0, 0)

1)

" (0, 1 , 0)

A = [A,, A 2, 4 3],

Dado el vector

Figura 2 .2

A 2, A 3] = \_Al + 0 + 0, 0 + A 2 + 0, 0 + 0 + j43]

coo rd e n a d o rectang ular.

= U j , 0, 0] + [0, A 2, 0] + [0, o, a 3] = A ,[ l, 0, 0] + *0- 0 •1 ]

=

[0

/ m n i m i a n a lo l a i r n tiíí/'rv n tv iii+ n + ii/o I / / O \ I o or a l n / ' i A n a p La ecuacióni f(2.34c) se sigue de la ley anticonmutativa (2.29). Las relaciones (2.33) se pueden expresar como

= ^mn t

(2.35)

donde e, = i, e2 = j , e 3 = k y 5 mn s la delta de Kronecker definida por =

Tabla 2.1 P roducto p u n to de los vectores base en coordenadas rectangulares.

1,

if m = n

0,

if m 4 n .

[ 1. 110]

Los resultados de (2 .3 3 -4 ) apareceni ien las tablas 2 .1 —2 para facilitar la referencia. PROBLEMA 2.10 Usando las relaciones (2.33) y (2.34), verificar las definiciones de los productos punto y vectorial, (2.24) y (2.25). x

i

j

k

i

0

k

- j

j

-k

0

k

j

- i

S o lu c ió n :

Sea A = A 1i + A 2j + A 3k y B = 6 1i + B 2j + J?3k. Entonces, A • B = (¿4,i + A 2j + A3k) • (B 1i + B 2j + B 3k) = A íB l i - i + A lB 2i - j + A tB 3ií- k + A 2B l j • i + A 2B 2i • j + A 2B J • k

i

+ A ^ k • i + i43fí2k • j + A3JS3k • k

0

Tabla 2.2 Producto cruz de los vectores base en coordenadas rectangulares.

= A 1B l + A 2B2 + A 3B 3. Para el producto vectorial, A x B = (A ,í + /42j + A3k) x (B ji + B 2j + ¿?3k) i + A xB 2i x j + AtB3i x k

=

+ A 2B j x i + A 2B 2j x j + A 2B 3j x k + A 3B lk x i + A 3B 2k x j + A 3B3k x k = A^B2k - A lB 3j - A2B,k + A 2B 3i + A 1B lj - A3B2i = (A 2B 3 - A 3B 2)i + (A 3B¡ - A ,fí3)j + (A,B2 - A jB Jk = [(A2B3 - A 3B 2), (A 3B1 - A ,B 3), (A ,B 2 - AjBj)].

PROBL EMA 2.11

Dados los dos vectores

A = [2, 4, 6] = 2i + 4j + 6k,

B = [1, - 3 , 2] = i - 3j + 2k,

calcular los productos escalar y vectorial A • B y A X B. S o lu c ió n : El producto escalar es A • B = (2) (1) + (4) (-3 ) + (6) (2) = 2. Entonces por la definición del producto vectorial (2.27),

Ax B

j

k

4

6

-3

2

= [(4)(2) - (6) (—3)]i - [(2)(2) - (6) ( l ) ] j + [(2) ( - 3 ) - (4 )(l)]k = 26i + 2j - lOk - [26, 2 , - 10 ].

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25

Vectores en el sistema coordenado rectangular

Denotando con 6 el ángulo entre dos vectores no nulos A = [A ,, A 2, A 3] y B = ( £ ,, B 2, S 3 ], entonces dicho ángulo está dado por A tB, i- A 2B 2 + A ,B3 i i [A¡ * A¡ + A]}2 [B* + B¡ + B2} PROBLEMA 2.12

Verificar (2.36).

S olu ció n : Sean eA y efi los dos vectores unitarios que van a lo largo de A y B respectivamente. Entonces por la definición de vector unitario (2.16), a2 A di A ’ A ’ A. eR =

J.

[fli.

ü i" = B ’ B ’ B

(2.38)

b2, b3],

donde 1 A | = (Af + A2 + A3) ,

B = | B | = (B f + B 2 + B2)2 .

(2.39)

Representemos ahora eA y e¿ por los segmentos OP y OQ, como se muestra en la figura 2.4a. Entonces la magnitud de PQ está dada por la raíz cuadrada positiva de

PQ I2 = (ai ~ 6iY +(a2 - KY +(a3 - bi)2 = a\ + a2 + a 2 + h\ + b \ + h\ - 2(a161 + a262 + a 363)

(2.40)

= 2 - 2 (a 1i>1 + a2b2 + a 363)

pues e^ y e5 son vectores unitarios; i.e., a2 + a 2 + a 2 = 6 2 + b\ + h\ = 1. Consideremos luego un triángulo O RS en el plano x y con vértices en (0, 0, 0), (1 ,0 , 0) y (eos 6 , sen 6 , 0) como se muestra en la figura 2.4(b). Entonces los triángulos ORS y OPQ son congruentes. Así que

(b)

| PQ I2 = I R S \ 2 = (1 - e o s e y + (0 - sen d)2 + (0 - 0 )2 Figura 2 .4

= 1 - 2 eo s 6 + e o s 2

+ sen

= 2 - 2 eos 0 pues eos2 6 + sen2

(2.41)

1. Igualando (2.40) y (2.41), eos 6 = a1bí + a2b2 + a363

(2.42)

" eA ' eB

(2.43)

AB AB

(2.44)

AtBj + A 2B 2 + A3B3 1 1_ I 2\2 (S í + B l + B¡y 2 \2 (AJ + A l + A¡) Obsérvese que (2.44) se puede obtener simplemente de la definición de producto escalar (1.25). PROBLEMA 2.13

Demostrar que

(A .B, + A 2B 2 + A3B3)2 < (A i + A¡ + A 2) S olu ció n :

+ B 2 + B2).

(2.45)

Sean A = [A ,, A 2, A 3 ] y B = [Z?,, B 2, B 3 ]. Entonces por (2.36), (A • B)2 = A 2B 2 e o s 2 6 < A 2B 2 = | A |2 1B | 2,

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(2.46)

S o lu c ió n al p ro blem a 2.12.

Análisis vectorial

26

pues eos 20 < 1. Entonces, por la definición de producto punto (2.24), (AjBj + A 2B2 + A 3B 3) 2 (1 + 9 + 4)=

V W V 14

14

Por consiguiente, 6 = eos 1 (1 /1 4 )= 85 5 4 . PROBLEMA 2.15 perpendiculares.

Mostrar que los vectores A = [2, 3 ,- 1 ] y B = [1 ,0 , 2] son

S o lu c ió n : De (2.44) concluimos que A y B son perpendiculares si A • B = 0 . Ahora A • B = (2) (1) + (3) (0) + (-1 ) (2) = 2 + 0 - 2 = 0; por consiguiente son perpendiculares.

PROBLEMA 2.16 S o lu c ió n :

Mostrar que el vector A X B es perpendicular a A y a B.

Por la definición de producto vectorial (2.25), A x B = L42B3 - A ,B 2> A3Bl - A B j, A,B2 - A2B,].

Los productos punto de A y B con A y B son A • (A x B) = A l(A 2B 3 - A 3B 2) + A2(A3B 1 - A l S 3) + A i(A íB 2 - A 2B = A xA 2B 3 - A 1A iB 2 + A 2A 3B l - A 2A lB 3 + A lA lB2 - A3A2Bt = 0,

(2.47)

B • (A x B) = B,(/42B3 - A zB 2) + B2(A iB 1 - A XB 3) + B 3(A lB1 - A 2B¡) = B VA 2B 3 - B lA 3B2 + B2A 3B ¡ - B2A lB3 + B 3A lB2 - B 3A 2B X = 0.

(2.48)

Por consiguiente, A X B es perpendicular a A y a B. PROBLEMA 2.17 Hallar un vector unitario u que sea perpendicular a A = [2, 1, 1] y a B = [ 1, - 1 , 2] simultáneamente. S o lu c ió n : Por el resultado del problema 2.16, A X B es perpendicular a A y a B. Por consiguiente el vector perpendicular a A y a B es i

J

A x B = 2

1

1

-1

k 1 2

= 3i - 3j - 3k = [3, - 3 , - 3 ] , y la magnitud de A X B es i_

| A x B | = [32 + ( - 3 )2 + ( - 3 )2]2 = V27 = 3y/3. Así que un vector unitario u que es perpendicular tanto a A como a B es

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Vectores en el sistema coordenado rectangular

27

Obsérvese q u e -u = [ - l/y /3 , l /\/3 , l/\/3 ] es también un vector unitario que es perpendicular a A y a B. A

Los cosenos directores de un vector A se definen como los tres números eos a, eos J3 y eos 7 , donde a, 0, y son los ángulos entre A y los ejes positivos x, y, z respectivamente, del sistema coordenado rectangúlar. (Véase figura 2.5.)

ba \

PROBLEMA 2.18 (a) Hallar los cosenos directores de A en términos de sus componentes y magnitud, (b) Mostrar que e o s2 a + e o s2 ¡3 + e o s 2 y = 1. Solución:

r

) « ► ----

(2.49

(a) Por (2.43) y la definición de cosenos directores, eo s a = i • eA ,

eo s ¡3 = j • e A,

eos y = k - eA ,

(2.50

Figura 2.5

Los cosenos dire ctore s de un ve cto r.

donde i, j , k son los vectores base definidos en (2.19), y es el vector unitario a lo largo de A.Entonces, por (2.16), (2.19) y la definición de producto escalar (2.24), Al eos (X = — , A

A2 eos ¡3 = — , A

(2.51)

eo s y =

(b) Por (2.51), A\

eo s2 01 + e o s 2 ¡3 + e o s 2 y

A2

A A¡ A \ + --- + A2 A

A l + A l + A3

A2

A ‘" L

El triple producto escalar de tres vectores A, B y C es el escalar A • B X C, que se denota por [AB C ] . En forma de determinante, se expresa como

PROBLEMA 2.19 Solución:

y

Ai

A¡

A3

Bv

S2

B3

c,

c.

c . |.

(2.52)

Verificar (2.52)

Por la definición de producto vectorial (2.27),

B x C -

i

í

k

Bt

B2

B3

c, c 2- c 3 = (S 2C 3 - B 3C2)i + (S 3C 1 - B¡C3)j + ( 5 ,0 , - B2C,)k = [S 2C3 - S ,C 2, S 3C, - B .C ,, b , c 2 - B2C J . Entonces, por la definición de producto escalar (2.24), - B ,C 3) + A3(B ,C 2 - B ^ J

[ABC] = A B x C = A 1(B 2C 3 - B 3C2) + = A,

b2

B3

c 2 C3

~At

Al

A2 A 3

Bi

B2 B3

C1

C2 C3

Bi

c, c 3

+ A3

S, B2 C, C2

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28

Análisis vectorial

PROBLEMA 2.20

Mostrar que

[ABC] = [BCA] = [CAB] = - [ACB] = -[B A C ] = -[C B A ].

(2.53)

S o lu c ió n : Puesto que el intercambio de dos filas de un determinante cambia su signo, se sigue de (2.52) que

2

S,

b

c,

C2

A,

¿i

A 2 A,

s,

c,

C2

c 3

B.

B2

c,

C2

c 3

C3 =

¿i

A2

A3

B3

B,

b

2

B3

C,

c2

C3

5,

b

B>

B2

B3 =

c»

A,

a

A3

A,

2

3

Bi

B2

B3

C2

C3

Ai

a

2

-43

A2

A3

Ci

C2

c3

2

b

En otras palabras, [ABC] = - [ACB] = [CAB] = - [CBA] = [B CA] = - [BAC]. (Véase el problema 1.25). PROBLEMA 2.21 Mostrar que si dos cualesquiera de los vectores que intervienen en un triple producto escalar son iguales, entonces ese producto es cero. (Véase problema 1.23.) S o lu c ió n : Esto se sigue del resultado del problema 2.19 y una propiedad de los determinantes según la cual si dos filas de un determinante son iguales, entonces el determinante vale cero. PROBLEMA 2.22

Mostrar que A B x C = A x B C .

S o lu c ió n :

(2.54)

Por el resultado del problema 2.20, tenemos [ABC] = [CAB], o sea A B x C =CAxB.

(2.55)

Ahora, por la ley conmutativa del producto escalar (2.28), C A x B = AxBC.

(2.56)

Por consiguiente. A - B X C = A X B * C . PROBLEMA 2.23 Mostrar que [i j k] = [j k i] = [k i j] =

1,

(2.57)

[i k j] = [k j i] = [j i k] =

- 1.

(2.58)

S o lu c ió n : Por la definición de triple producto

[i j k]

escalar (2.52),

1

0

0

'0

1

0

0

0

1

= 1.

Lo demás se sigue de la relación (2.53). PROBLEMA 2.24 Mostrar que los tres vectores A = [2, 0, 1], B - [0, 3 ,4 ] y C - [8, -3 , 0] son coplanares, y expresar a C como combinación lineal de A y B. S o lu c ió n : En el problema 1.21 se mostró que el valor absoluto de [ABC] es el volumen del paralelepípedo definido por A, B y C. Por consiguiente, si A, B, C son coplanares, el volumen es cero y [ABC] = 0. Recíprocamente, si [ABC] = 0, los vectores son coplanares.

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Vectores en el sistema coordenado rectangular

29

Ahora, por (2.52), 2

0

[ABC] = 03

1 4 = 0.

8 -3

0

Por consiguiente, A, B,C son coplanares. Expresemos luego aC como C = Entonces usando las operaciones de escalares y vectores (2.4) y (2.7),

A + A2 B.

[8, - 3 , 0] = A,[2, 0, 1] + A2[0, 3, 4] = [2A„ 0, A j + [0, 3A,, 4A2] = [2Aj, 3A2, Aj + 4A2]. Así que de acuerdo con la definición de igualdad de vectores (2.3), 8 = 2Aj,

—3 = 3Aj,

0 = A, + 4A2.

Por lo tanto Xt = 4, X2 = -1 y C = 4A - B. PROBLEMA 2.25

¿> a - b iv é ' Usando componentes, mostrar que A x (B x C) = (A • C)B - (A • B )C.

Solución:

(2.59)

Usando la definición de producto vectorial, i B x C = Sj

j B2

k

B3

c2 c 3 = (B 2C 3 - B 3C2)i + (B 3C l - B f i M + (B ,C 2 - B2C J k. Entonces, 3

k

A2

A3

(B .C .-^ C ,)

(B A -^ C J

i A x (B x C) =

Ai

(B2C3 - B3C2)

= [A2(BiC2 - B2Ci) - A 3(B3Ci - BiC3)]i + [A 3(B2C3 - B3C2) - A ¿ B í C2 - ¿?2C ,)]j +

- B iC 3)

~ A 2{B2C3 - fí3C2)]k = (A2fi,C 3 —A 2B 2C í — A 3B 3Ci + A 3B¡C3)i + (A 3B2C3 — A 3B 3C2 —A 1B lC2 + A lB 2C 1)j + (A lB 3C l - A í B í C3 - A 2B 2C3 + A 2B 3C2)k.

(2.60)

Como (A • C)B = (A .C i + A 2C2 + A 3C3) (f lji + B2j + B 3k) = (A1fi1C1 + A 2B 1C2 + A 3B tC 3)i + (A i B2C í + A 2B2C2 + A 3B2C3) j + Í.AíB 3C i + A 2B 3C2 + i43fi3C3)k, (A • B)C = (A .B i + A2B2 + A 3B 3) (C ,i + C2j + C3k) = (A jfíjCj + A 2B2C í + A 3B 3C í ) i + (A iB iC2 + A 2B 2C2 + A 3B 3C2) j + (A¡B¡C3 + A 2B 2C 3 + A3B3C3)k, tenemos (A • C)B - (A • B)C = (A 2B lC2 + A 3B í C 3 - A 2B 2C í - A 3B 3C¿)\ + ( -

+

A 3B2C 3

A xB iC 2 - A 3B 3C2)j + (A iB 3Ci + A 2B 3C2 - A .B .C , - A2B2C3)k.

Comparando (2.60) y (2.61),

A x (B x C) = (A • C)B - (A • B)C.

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(2.61)

Análisis vectorial

30

PROBLEMA 2.26 Sean A = [1, 2 , - 3 ] , B = [ 2 ,- 1 , 1] y C = [—1, 1 ,- 1 ] . (a) CalcularA X (B X C) y verificar (2.59). (b) Calcular (A X B) X C y verificar que (A x B) x C = (A -C )B - (B -C )A . S o lu c ió n :

(2.62)

(a) Para calcular A X (B X C) i

i

k

2

-1

1

1

-1

i

j

k

A x (B x C) = 1

2

-3

0

1

1

B xC =

-1

Oi + l j + lk = [0, 1, 1]

y por consiguiente,

= 5 i - l j + lk = [5, - 1 , 1].

Como (A • C)B = [(1 )(-1 ) + (2)(1) + ( - 3 ) ( - l ) ] [2, - 1 , 1 ] = 4[2, - 1 , 1 ] = [8 , - 4 , 4], (A • B)C = [(1)(2) + ( 2 ) ( - 1) + (—3)(1)] [ - 1 , 1, - 1 ] = - 3 [ - 1 , 1 , - 1 ] = [ 3 , - 3 , 3], concluimos que (A -C )B - (A -B )C = [8 , - 4 , 4] - [3, - 3 , 3] = [5, - 1 , 1] = A x (B x C). (b) Para calcular

(A x B)x C, i

i Ax B= 1

k = - l i - 7j - 5k = [ - 1 , - 7 , - 5 ]

2- 3

2 -1

1

y por consiguiente, i

j

k

(A x B) x C = - 1

-7

-5

-1

1

-1

= 12i + 4 j - 8k = [12, 4, - 8l.

Por la parte (a), tenemos que (A • C)B = [8, -4 , 4 ]. Entonces (B • C) A = [(2) ( - 1 ) + ( - 1 ) (1) + (1) (-1 )] [1, 2, - 3] = - 4 [ l , 2, - 3 ] = [ - 4 , - 8, 12]. En consecuencia, (A -C )B - (B -C )A = [8 , - 4 , 4] - [ - 4 , - 8, 12] = [12, 4, - 8] = (A x B) x C. Obsérvese también que ( A x B ) x C / A x ( B x C ) .

2.4 Bases recíprocas Un conjunto de tres vectores no nulos ni coplanares a», y a3 se llama una base pues cualquier otro vector en tres dimensiones puede expresarse como combinación lineal de ellos. Se dice que la base es derecha o

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Vectores en el sistema coordenado rectangular

31

la de acuerdo con que el triple producto escalar [a , , a2, a 3 ] sea positivo o :>. En el problema 1.36 hemos mostrado que cualquier vector puede expresarse linealmente en términos de vectores no coplanares a i , a 2 y a3 por( 1 . 1 2 1 ) con el uso de una base recíproca. Una segunda base b , , b 2 , b 3 se llama reciproca con respecto a a , , a 2 , a 3 si &m - b „ ~ a3. Solución: (a) Como W - 1 1 1 [a t a 2 a 3] =

1

-1

1

1

1=4^0, -1

los vectores a i , a2 , a3 no son coplanares y, por tanto, pueden constituir una base. (b) Por (1.114), la base recíproca b ] , b2 , b 3 es

b

i

1

a , x a, [a, a 2 a 3

k

J

1

-1

1

1

1

-1

= — (Oi + 2 j + 2k) 4 = - [0, 2 , 2] 4 i 0, i 2' 2j a, x a, [a, a 2 a 3]

.

1 4

i

j

1

1 -1

-1

k

1

1

— (2i + Oj + 2k) 4 = 7 [2 , 0, 2 ] 4 2

[a! a 2 a 3

0, 2 i

J

k

-1

1

1

1

-1

1

— (2i + 2 j + Ok) 4

7 [2, 2, 0] 4

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32

Análisis vectorial

PROBLEMA 2.28 Expresar A = [ 1 ,2 ,3 ] como combinación lineal del conjunto de los vectores a ! , a2 , a3 dados en el problema 2.27. S o lu c ió n :

Por el problema 1.36, A = (A • b 1) a 1 + (A • bJíL, + (A • b3)a 3,

(2.63)

donde b [, b2 , b 3 , forman la base recíproca con respecto a a , , a2 , a3. Entonces, usando el resultado del problema 2.27 (b), A - b, - (1)(0) + C2)(|-) + A .b 2 = ( l ) W

(I) “| »

+ (2)(0) + ( 3 ) W = 2,

A .b 3 = ( l ) ( l ) + ( 2 ) ( I ) + ( 3 ) ( 0 ) = | . Así que A = -| a 1 + 2 a 2 + | a 3. Para verificar la solución: | a, + 2 a 2 + | a , = | [ - 1 , 1 , 1 ] + 2 [ 1 , - 1 , 1 ] + | 5

5

5

[1 , 1 , - 1 ]

+ [2, - 2 , 2}

2’ 2' 2

5 - 3 5 3 5 3' — + 2 + - , ---- 2 + - , - + 2 — 2

2

2

2

2

2

= [1, 2, 3] = A. PROBLEMA 2.29 S o lu c ió n :

y por ( 2.34b),

Mostrar que i, j, k forman una base autorrecíproca.

Por la definición del triple producto escalar,

i x j = k,

1

0

0

[i j k] = 0

1

0

0

0

1

j x k = i,

= 1,

k x i = j.

Si i', j ', k ' forman la base recíproca con respecto a i, j, k, entonces usando (1.114), j x k m ii [i j k] ’

r = _ k x j_ = . [i j k] J’

fc,

i X j

[i j k]

k.

(2.64)

Por consiguiente, vemos que i, j y k forman una base autorrecíproca.

A parí ir de este resultado y (2.63) podemos expresar cualquier vector A como A - (A . I)i + (A • j) j 4 (A -k )k .

2.5

smm

(2.65)

Bases ortonormales

Un conjunto de tres vectores no nulos U t, u2 ,ii3 constituyen base ortogonal si y sólo si son mutuamente ortogonales; i.e., u m • u„ * 0 para todos los Es una base ortonormal si y sólo si

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33

Vectores en el sistema coordenado rectangular

~

' Si” - " O si m 4 n.

(2.67)

En otras palabras, una base ortonormal es una base ortogonal en la cual, además, cada vector u ,, u2 , u3 es unitario. Por lo tanto u , , u 2 , u 3 se llaman a veces vectores ortonormales. Observamos también que los vectores base i = [ 1 ,0 , 0 | , j = [0, 1 ,0 ), k = [0, 0, 1j forman una base ortonormal. fv w&é', T' ■ llamado el valor de f en t. En un sistema coordenado rectangular que sea independiente de una variable escalar t, f ( f ) » [ / , ( 0 , f,(t), / , « ) I * f,(O t ♦ /,( 0 J + fj(0 k ,

(3.1)

donde /,(?), f 2(t) y f 3(t) son funciones escalares de / y se llaman las componentes de f(í).

3.1

Lím ites y continuidad de vectores

Sea f(/) una función vectorial definida para todos los valores de t en alguna vecindad de un punto t0, excepto posiblemente para el valor t0 . Entonces a es el vector limite de f(í) cuando t se acerca a t,} y se expresa como íim f « ) = a

(3 .2 )

‘-'o si y sólo si, para cada número real e > 0, existe un número 5 > 0 tal que j f (f) - a j < e siempre que 0 < 1 1 - t0 1 < 8.

Esta definición se vuelve la de límite de una función escalar si se reemplaza f(í) por un3 función escalar, y a por un escalar. Una función vectorial f(í) se llama continua en t = t0 si está definida en alguna vecindad de í„ y Iim f ( f ) . f ( í 0).

(3.3)

Así que usando (3.2), f(í) es continua en t = t0 si y sólo si, para e > 0, existe un 5 > 0 ta l que I f(í) - f(f0) j < e siempre que 1 1 - ta | < 8. PROBLEMA 3.1

Si f = f i ( t ) i + f 2( f ) ' ¡ + f 3( t ) k y a = a xi + a2j + « 3^, entonces demostrar

que lim f ( í) = a

(3.4)

si y sólo si

41

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Análisis vectorial

42

lim f¡{t) = a¡,

i = 1, 2, 3.

(3.5)

S o lu c ió n :

Si lim f(í) = a, entonces, para cada número real e > 0, existe 5 > 0 tal que t -* fo I f(í) - a I< e siempre que 0 < 11 - 10 I< 5. Así que, f(í) - a = [/,( 0, entonces existe 6 > 0 tal que t -* t Q

I f¡(t) - a i \< e/3 siempre que 0 < 11 - 10 I < 6. Entonces usando la desigualdad del triángulo para valores absolutos, | f (í) — a | = | [/,(í) - a ,] i + [f2(í) - a 2] j + [f3(í) - a 3]k | - I fi( 0 - a i I + I {i(t) - a 2 I + I / 3(í) - a 3 I < e. Por consiguiente, lim f(t) = a . t ->t0 PROBLEMA 3.2 Demostrar que el límite de la suma de dos funciones vectoriales es la suma de sus límites; esto es, si lim i(t) = a y lim g(í) = b, entonces t ->t o t ->t0 lim [f(í) + g(f)] = a + b. S o lu c ió n :

(3.6)

Si lim f(í) = a y lim g(í) = b , entonces para cada e > 0, existe 5 > 0 tal que t -* ÍQ

para 0 < 1 1 - 10 I< 5,

t

tO

| f(í) - a | < j e

y

| g(0 - b | < j e.

Entonces, usando la desigualdad del triangulo para valores absolutos, ¡ [ f ( 0 + g(f)l - (a + b) I = |[f (f) - a l + [g (f) - b]| < |f ( í ) —a| + |g ( f ) - b| < e. Por consiguiente, lim \i(t) + g(í)] = a + b. Í-ÍO PROBLEMA 3.3

Si lim f(/) = a, y lim (p (í) = c, entonces demostrar que t ■+t o f -*í„ lim ^S({t) = c, entonces para 0 < e < 1 (e' se hallará después), t +t o í-*f„

existe 5 > 0 tal que para 11 - 10 I < 6, If(í) - a I < e y 10(f) —c I < e \ Entonces, | (i) | = | c + [0( 0 - c ] < | c | + e' < | c | + 1 . Escribiendo

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43

Cálculo diferencial vectorial

(i) a - c a = c¡) (í) [f (i) - a] + [t0

t->t0

Entonces por la definición de igualdad de vectores, lim f¡(t) = f ¡ ( t 0),

3.2

donde i= 1,2, 3

Diferenciación de vectores

La derivada f'(t) de «na función vectorial f(t) se define por

(3.9)

El vector f(t) se dice también diferenciabk y la derivada f '( 0 es también una función vectoria|. Asi, si ffO^/iCO* + / j ( 0 Í +

estonces f '( 0 existe si y sólo si las derivadas

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44

Análisis vectorial

(, {t t A t ) - /,( 0 / / ( / ) =- l i m --------------------

a t-o

(3.10)

Af

de/j-(r) (/ = 1, 2, 3) existen y f '(O “ /,'(() 1 +

+ f.'ÍO k.

(3.11)

Lasderivadas de orden superior de una función vectorial sedefinen de manera similar a la de unafunción escalar deuna sola variable. Así, f " ( í ) = - 2-í( f ) = dt2 dt

clf(t)

(3.12)

dt

y así sucesivamente. Del cálculo elemental, sabemos que una función diferenciable es necesariamente continua pero el reciproco es falso. Lo mismo puede decirse con respecto a una función V; . vectorial debido a (3.11). A menos que se advierta lo contrario, en este libro consideraremos solamente aquellas funciones que sean difereneiables hasta cualquier orden que se requiera en una discusión particular. Las reglas para diferenciación de funciones vectoriales son similares a las correspondientes para funciones escalares con una excepción. Para diferenciar el producto vectorial de funciones vectoriales, debe conservarse el orden de los factores, porque el producto vectorial no es una operación conmutativa. Si A(t), B(t) y C(t) son funciones vectoriales difereneiables y (t) es una función escalar diferenciable, entonces (1)

d [A(f) + B (í)l

= A '(0 - B '(0 ,

(3.13)

0 (f) A'(,) , 0'(O A (í),

0

45

f(í + Ai) - f(í) Aí A (í + Aí) - A (i)

= lim (f>(t + Af)

Aí

AÍ-*0

+ lim

0 ( í + Aí) - 0 ( t )

A (O

Aí

A f->0

= 0 (O A '(O + 0 '(O A (O -

Casos espaciales: Si ^2(0 >B3(0]Entonces, por la definición del producto punto (2.24),

4 [A(0 •B(0] = 4- [¿i(0 *i(0 + 4 (0 B 2(0 + A 3(t) b ,(0] at

dt

= ¿,(0 B,'(0 + A ;(t)B ¿ t) + A ¿t ) B/(0 + A'(t) B ¿ t ) + ¿ , ( 0 S ,'(0 + ¿ , '( 0 * t (0 = [A X O fi^ O + A2( 0 B / ( 0 + A 3(O B 3'(Ol + M .'ÍOB.ÍO + A2' ( 0 b 2(0 + a / ( 0 b 3(0] = A ( í )-B '( í ) + A '(0 • B (O-

PROBLEMA 3.7 Mostrar que la derivada de un vector de magnitud constante es ortogonal a él. (Esto incluye la posibilidad de que la derivada sea el vector cero.) Solución:

Si B(í) = A(t) en (3.15), entonces A, B — [A ( 0 • A (í)] = 2 A (0 • A'(0dt

(3.22)

A (O • A (0 = | A (0 | 2 = constante

(3.23)

Pero,

Así que la derivada es

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Análisis vectorial

46

^

[A (í ) • A (()] = 0.

(3.24)

2A (í) • A '(í) = 0.

(3.25)

Entonces, por (3.22),

(3.26)

PROBLEMA 3.8 S o lu c ió n :

Demostrar (3.16).

Si f(í) = A(í) X B(í), entonces f(í + Aí) - f(í) = A (í + Aí) x B (í + Aí) - A (í) x B (í).

Sumando y restando A( t + Aí) X B(í) y simplificando se obtiene f ( í + Aí) - f(í) = A (í + Aí) x [B (í + Aí) - B (í)] + [A (í + Aí) - A (í)] x B (í). Dividiendo a ambos lados por A t y tomando el límite cuando A t -*■ 0, f'( í) = — [A (í) x B (í)] = A (í) x B '(í) + A '(í) x B (í). dt

Se recalca de nuevo que debe conservarse el orden de los factores.

PROBLEMA 3.9

Mostrar que — [ A ( í) x A '(í)] = A (í) x A "(í).

(3.

dt

S o lu c ió n :

Si B(í) = A'(t) en (3.16), entonces — [A ( í ) x A '(í)] = A (í) x A "(í) + A '(í) x A'(í). dt

Por (2.30), A '(í) x A '(í) = 0, y se sigue (3.27).

PROBLEMA 3.10

Si f(/) = e2ía 4- e3íb, donde a y b son vectores constantes, mostrar que f " ( í ) - 5 f ' ( 0 + 6f(í) = 0.

S o lu c ió n :

Como f(í) = e2fa + e 3íb, entonces por (3.13) y (3.21), f '( í) = 2 e 2í a + 3 e 3 ‘ b, f'- ( í) = 4 e 2f a + 9 e 3! b.

Por consiguiente, f " ( í) - Sf'Cí) + 6f(í) = 4e 2' a + 9 e3( b - 10e2í a - 15e3' b + 6e 2t a + 6e 3í b = (4 - 10 + 6) e 2í a + (9 - 15 + 6) e 3' b

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Cálculo diferencial vectorial

3.3

47

Derivadas parciales de funciones vectoriales de más de una variable

Una función vectorial fd e dos variables» y v asigna a cada punto (u, v) de alguna región un vector único f(u, v) llamado el valor de f en (m, v ). De modo similar, f(u, v, w) es una función vectorial de las tres variables u, i>, w. En un sistema coordenado rectangular que sea independiente de tres variables escalares u , v y w. f(u , v, w) - [/,(u, v, w), (¿ u , v, w), (s(u, v, w)] - f,(tí, v, w )i + f2(u, v, w) j + fs(u, v, «')k,

(3.28)

donde / , , f 2, f 3 son las funciones escalares de u, v y h> y se llaman las com ponentes de f(u, v, w). La derivada parcial fu de f con respecto a u se define por f