Analisis Tridimensional

ANALISIS SISMICO TRIDIMENSIONAL • El análisis debe tener en cuenta todos los GDL necesarios para representar completamente todos los modos posibles de deformación y las fuerzas de inercia significativas. • Las ecuaciones de movimiento tienen la misma forma matricial que en los casos básicos anteriores. • Las matrices de masas y de rigideces tienen usualmente más elementos y pueden no ser necesariamente diagonales. • No parece ser necesario refinar demasiado un modelo elástico que representa a una estructura que se espera incursione en comportamiento no lineal para la intensidad del sismo de diseño. • Por ello, conviene usar tantos GDL como sean necesarios para representar las deformaciones y fuerzas relevantes, salvo estructuras especiales o de comportamiento complejo. • En edificios, generalmente se supone que los pisos son diafragmas rígidos. Existen de este modo 3 GDL por piso.

• Los detalles para determinar la matriz de rigidez fueron desarrollados en un tema precedente.

Principios Computacionales en Ingeniería 1/7

Ing. Rafael Salinas Basualdo

Matriz de Masas • En las ecuaciones de movimiento, las fuerzas de inercia deben incluir los productos de los momentos de inercia de las masas respecto a un eje vertical con las aceleraciones rotacionales correspondientes. • La matriz de masas adopta la forma:

m1    M=    

m2 ... mj 0

Matriz de masas piso “j”

  0      ...  mN 

m  j mj =  0 0 

0 mj 0

0   0  J mj 

Jmj : momento de inercia polar centroidal

En áreas rectangulares:

J mj

 a2 + b2  = mj   12  

(Suponiendo masa uniformemente distribuida)

b a • Las ecuaciones de equilibrio dinámico tienen la forma matricial::

M y&& + C y& + K y = −M 1 u&&G

Principios Computacionales en Ingeniería 2/7

Ing. Rafael Salinas Basualdo

Dirección del sismo • En las ecuaciones de movimiento, mientras las aceleraciones de los pisos ocurren en las dos direcciones horizontales y tienen un componente rotacional, las aceleraciones del terreno ocurren solamente en la dirección de análisis. • Por ello, en el segundo miembro de la ecuación, el vector 1 contiene unos (1) en los lugares correspondientes a los GDL orientados en la dirección de análisis y ceros (0) en los demás lugares. • De este modo, el movimiento del suelo aparece en las ecuaciones correspondientes a la dirección del movimiento de la base. • En un análisis dinámico modal, el factor de participación estática representará la dirección del sismo. T

X M1 Γ i = Ti Xi M Xi En el edificio de dos pisos:

u o1  1  0  v  0  1   o1      0  0  θ  y =  o1  1 X =   1Y =   1 0 u      o2  0  1  v o 2        0  0  θ o 2 

Principios Computacionales en Ingeniería 3/7

Y X

Ing. Rafael Salinas Basualdo

Ejemplo. Análisis sísmico pseudo-tridimensional. Sea el pórtico de un piso desarrollado anteriormente. Peso= 0,8 ton/m2 W = 86,4 ton m = 8,81 ton-s2/m = 0,0881 ton-s2/cm

Se conoce:

0 − 2038 ,5   27 ,5   K = 0 27 ,5 2038 ,5  , ton/cm  − 2038 ,5 2038 ,5 12 350 250    Calculando: 0 0   0 ,0881   M = 0 0 ,0881 0   0 19382   0

ro2 =22 m2 = 220 000 cm2

a)

K −ω2M = 0

Resolviendo el PVC:

(27 ,5 − 0 ,0881 ω ) 2

0 − 2038 ,5

− 2038 ,5

0

(27 ,5 − 0 ,0881 ω )

2038 ,5 =0 (12 350 250 − 19382 ω 2 )

2

2038 ,5

ω1 = 17,26 rad/s, ω2 = 17,67 rad/s, ω3 = 25,53 rad/s,

Formas de modo: Principios Computacionales en Ingeniería 4/7

T1 = 0,364 s T2 = 0,355 s T3 = 0,246 s

(K − ω M ) X 2

i

i

=0 Ing. Rafael Salinas Basualdo

1   Con ω1 = 17,26 rad/s,   X1 =  −1  6,20 x 10−4   

Con ω3 = 25,53 rad/s

b)

Con ω2 = 17,67 rad/s

1   X 2 = 1 0  

1     X3 =  −1  −2 −1,414x 10   

Factores de participación estática: T

X M1 , Γi = Ti Xi M Xi

con:

1   1X = 0 0  

0   1Y = 1 0  

* Sismo en X: T

X 1 M 1 X 0 ,0881 Γ1 = T = = 0 ,4796 X 1 M X 1 0 ,1837 T

X M 1X 0 ,0881 Γ 2 = T2 = = 0 ,500 X 2 M X 2 0 ,1762

Γ3 =

T

X 3 M 1X 0 ,0881 = = 0 ,0217 T X 3 M X 3 4.0514

* Sismo en Y: T

X 1 M 1Y − 0 ,0881 Γ1 = T = = −0 ,4796 0 ,1837 X1 M X1

Γ2 =

T

X 2 M 1Y 0 ,0881 = = 0 ,500 T X 2 M X 2 0 ,1762 T

X 3 M 1 X − 0 ,0881 Γ3 = T = = −0 ,0217 4.0514 X3M X3

Principios Computacionales en Ingeniería 5/7

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c) Fuerzas sísmicas. Sismo del espectro de diseño (NTE-030), dirección X. Z = 0,4

S = 1 (Tp = 0,4 s)

U=1

R=6

Para todos los modos Ti < Tp, luego Ci = 2,5

Sai = 0,167 g

F i MAX = Sai Γi M X i

F 1 MAX

0 0  1   6 ,91 t   0 ,0881      0 ,0881 0  −1 = (0 ,167 g )(0 ,4796 )  0  =  − 6 ,91 t   0 0 19382  6 ,20 10 − 4  942 ,3 t − cm 

F 2 MAX

0 0  1  7 ,20 t   0 ,0881      = (0 ,167 g )(0 ,50 )  0 0 ,0881 0  1  = 7 ,20 t   0 19382  0   0   0

F 3 MAX

0 0  1 0,31 t     0 ,0881      0 ,0881 0  −1 = (0,167 g )(0 ,0217 )  0  =  − 0,31 t  − 2  0  0 19382  − 1,414 10  − 972,4 t − cm 

d)

Cortante en la base. Combinación modal:

YMAX = 0 ,25 ∑ Yi MAX + 0 ,75 i

2

∑ Yi MAX i

d.1) Componente en X:. V1 = 6,91 ton,

V2 = 7,20 ton,

V3 = 0,31 ton

Calculando: Vx = 11,09 ton Vy = Vx = 11,09 ton d.2) Momento torsor: Mt1 = 9,43 ton-m,

Mt2 = 0,

Mt3 = -9,72 ton-m

Calculando: Mt = 14,95 ton-m Principios Computacionales en Ingeniería 6/7

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Masa efectiva o participante en el modo “i” • Varios códigos de diseño sismorresistente, incluida la NTE-030, establecen que en el cálculo de las solicitaciones sísmicas se consideren los modos de vibración cuya suma de masas efectivas sea por lo menos el 90% de la masa total de la estructura. • Sin embargo, deberá tomarse como mínimo los tres primeros modos predominantes en la dirección de análisis. (Art. 18.2) • La masa efectiva de un modo “i” representa aquella parte de la masa total que genera el cortante de la base en dicho modo. j

j

Fuerza sísmica, modo i, piso j:

Fi = Sai Γi M j X i

Cortante en la base, modo i:

Vi = ∑ Fi = Sai Γi

n

j =1

n

Pero:

Γi =

∑M

T i

X M1 = T Xi M Xi

j

j =1 n

j

n

∑M j =1

j

Xi

j

X ij

∑ M (X ) j =1

j 2

j

i

2  n   j j   ∑ M X i    j =1   =S M Vi = Sai   n ai i  Entonces: j j 2  ∑ M Xi   j =1   

( )

Donde:

Mi = masa efectiva o participante en el modo “i”

∑M

i

= Masa total

Con las formas de modo normalizadas: 2

 n  2 M i =  ∑ M j φi j  = Γi  j =1  Principios Computacionales en Ingeniería 7/7

( Γi calculado con φi )

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