Analisis Sismico Por Desempeno - Roberto Aguiar Falconí

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Análisis Sísmico por Desempeño BOOK · AUGUST 2003

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1 AUTHOR: Roberto Aguiar Universidad de Fuerzas Armadas ESPE 58 PUBLICATIONS 48 CITATIONS SEE PROFILE

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PROLOGO

En los últimos ocho años América Latina se ha visto afectada por los sismos de: Pujilí en Ecuador el 28 de marzo de 1996, M w = 5.9 ; Nazca en Perú el 12 de noviembre de 1996,

M d = 6.4 ; Cariaco en Venezuela el 9 de julio de 1997, M s = 6.8 ; Punitaqui en Chile el 14 de octubre de 1997, M w = 7.1 ; Aiquile en Bolivia el 22 de mayo de 1998, M w = 6.8 ; Bahía de Caráquez en Ecuador el 4 de agosto de 1998, M s = 7.1 ; Armenia en Colombia el 25 de enero de 1999, M L = 6.2 ; y , Arequipa en Perú el 23 de junio de 2001, M b = 6.9 . Se aprecia que son eventos de magnitud intermedia pero que dejaron gran daño en las construcciones y alrededor de 2000 muertos, lo cual no es aceptable y nos obliga a preguntarnos que se está haciendo para reforzar las construcciones que fueron edificadas hace algunas décadas. Si bien es cierto en los sismos de Pujilí, Nazca, Punitaqui, Aiquile y Arequipa la mayor parte de las construcciones dañadas fueron de adobe, no es menos cierto que en los sismos de Cariaco, Bahía de Caráquez y Armenia colapsaron edificios de hormigón armado y en el caso de Bahía de Caráquez varios edificios diseñados y construidos en la última década tuvieron un comportamiento sísmico inadecuado. Se sabe que las construcciones de adobe tienen muy poca resistencia sísmica pero es factible a un bajo costo incrementar su resistencia sísmica. Se sabe que las edificaciones de hormigón armado construidas hace más de dos o tres décadas son vulnerables a la acción de los sismos porque responden al nivel de conocimientos existentes en esa época y a la calidad de materiales disponibles pero esas construcciones son la mayoría de las que existen en las grandes ciudades y por lo tanto es urgente hacer estudios para verificar el desempeño ante diferentes eventos sísmicos. A las pérdidas anotadas se debe añadir las pérdidas debidas a la interrupción de la actividad económica y de los servicios que en ellas se ofrecen, de tal forma que el malestar que generan en la comunidad es muy grande. El objetivo de este libro es ayudar a minimizar esas pérdidas mediante la aportación de conocimientos y experiencias para que sean acogidos por los profesionales de la Ingeniería Civil y las pongan en práctica en las construcciones existentes que necesitan ser reforzadas y en las nuevas construcciones que están diseñando. No olvidemos que el diseño de una estructura de hormigón armado no termina cuando se han obtenido las secciones y la armadura horizontal y vertical de sus elementos. Al contrario ahí se inicia la verificación del desempeño en términos estructurales y económicos que va a tener esa estructura ante diferentes sismos. Es muy probable que al verificar el desempeño se encuentren deficiencias en la estructura y se está a tiempo de corregirlas y optimizar el funcionamiento de la edificación. No hacerlo a pesar de contar con un gran desarrollo informático, de contar con los resultados de una

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gran cantidad de ensayos de laboratorio, de contar con una gran cantidad de contribuciones científicas, no hacerlo sería inaceptable e imperdonable. Algo similar a lo que se va a exponer a continuación para el Ecuador se puede decir de Países como Venezuela, Colombia, Perú, Chile, Argentina y en menor grado con Bolivia, referente a la gran sismicidad que ellos tienen, como se aprecia en la figura 1 en que se han ploteado los epicentros únicamente de los sismos registrados desde 1977 hasta el 2002, en 25 años.

Figura 1 Epicentros con magnitud mayor a 3.5 registrados en el período 1977 – 2002.

Al analizar la ubicación de los epicentros e hipocentros de los sismos indicados en la figura 1, se observa que existen zonas en las cuales la actividad sísmica es muy baja, como la región oriental y otras regiones donde existe una alta concentración denominada nidos sísmicos. En el Ecuador, existen dos nidos sísmicos localizados el uno en el sector del Puyo y el otro en Galápagos. El Nido del Puyo, ubicado alrededor de las coordenadas 1.7 Latitud Sur y 77.8 Longitud Oeste, se caracteriza principalmente por un predominio de sismos de magnitud entre 4.0 y 4.9 con profundidades focales mayores a 100 kilómetros. El Nido de Galápagos, ubicado por las coordenadas 0.30' de Latitud Sur y 91 Longitud Oeste tuvo una gran actividad sísmica entre en 11 y 23 de Junio de 1968. En la figura 1 se observa que solamente en la región nororiental no se ha tenido una actividad sísmica. En la costa también existe una importante actividad sísmica y son superficiales pero

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ventajosamente han sido de pequeña magnitud. Se han ploteado 864 sismos con magnitud mayor a 3.5 cantidad que es muy importante con la cual se obtiene un promedio de 35 sismos al año. Por lo general los sismos superficiales son los que causan mayor daño. Por este motivo, se puede indicar que la Costa Ecuatoriana es la de mayor peligrosidad sísmica, seguida por la Sierra y finalmente el Oriente. Por lo tanto, desde el punto de vista sísmico no es lo mismo construir en la ciudad de Esmeraldas, donde la peligrosidad sísmica es muy grande que en el Tena que tiene una menor amenaza sísmica.

Figura 2 Sismos superficiales con magnitud mayor a 6.0 registrados entre 1977 y 2002.

En la figura 2 se aprecian los sismos superficiales con magnitud mayor a 6.0 que se han registrado en el Ecuador entre 1977 y el 2002, se aprecia que en las provincias de la sierra ecuatoriana prácticamente no se han registrado sismos fuertes. Esto es una alerta que debe llevar a la reflexión de que a lo mejor se está acumulando energía y que probablemente en un futuro cercano se tenga un sismo muy fuerte ya que históricamente la sierra se ha visto afectada por sismos severos como el de 1797 que causó gran daño en la antigua ciudad de Riobamba, el de 1868 que destruyó la ciudad de Ibarra y las ciudades vecinas. Los sismos históricos a los que se hacen referencia y otros terremotos catastróficos se indican en la figura 3. El último terremoto registrado en el callejón interandino fue el del 5 de agosto de 1949 que causó gran daño en Ambato, Pelileo y poblaciones aledañas. A partir de esa fecha no se han registrado sismos severos en las provincias de la serranía ecuatoriana. El sismo de 1949 tuvo una magnitud de 6.8. Las tres figuras indicadas deben estar grabadas en el subconsciente de los Proyectistas Estructurales ya que algo similar sucede en otras regiones que tienen alta peligrosidad sísmica. Desgraciadamente o ventajosamente el ser humano olvida muy pronto las lecciones nefastas que han dejado los sismos y en muy pocos años piensan que es una utopía la ocurrencia de un terremoto

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como los registrados en Argentina en enero de 1985, en Chile en marzo de 1985, en Venezuela en Julio de 1967, en Perú en octubre de 1966, en Colombia en Junio de 1994. Por añadir únicamente algunos eventos a la lista con que se inició el Prologo de este libro. A continuación se describe el contenido de este texto en forma condensada.

Figura 1.8 Principales terremotos registrados en el Ecuador entre 1540 y 2002 con magnitud mayor a 6.

En el capítulo 1, se presentan las relaciones Momento Curvatura, que es la base para el Análisis Sísmico No Lineal, pero al margen de ello el Proyectista Estructural puede complementar en forma exitosa su trabajo si analiza las relaciones momento curvatura en los elementos principales de una estructura que ha diseñado ya que le permitirá conocer la capacidad de ductilidad por curvatura, la reserva de ductilidad por curvatura una vez que conoce la demanda de ductilidad. Por este motivo se indica el marco teórico orientado a la elaboración de un programa de computación y también se indican fórmulas que tienen un fundamento analítico y experimental para calcular en forma aproximada los puntos notables de la relación momento curvatura. La Técnica del Pushover es muy utilizada para evaluar la capacidad sísmica resistente de las estructuras, muchos investigadores en sus artículos comentan sobre los resultados obtenidos al aplicar esta técnica pero una gran cantidad de Ingenieros Estructurales desean conocer más a fondo sobre el Pushover, que se sustenta en el Análisis No Lineal Estático, pensando en ellos escribí el capítulo 2 y desarrollé dos ejemplos el primero es en una estructura en la cual se han colocado ciertas condiciones para que la misma tenga un solo grado de libertad y así poder explicar con detalle la Técnica del Pushover utilizando para el efecto un modelo de plasticidad muy sencillo como es el de Giberson. El otro ejemplo que se desarrolla ya es más real y consiste en un pórtico de un vano y un

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piso que se analiza con cinco grados de libertad. Lógicamente en este caso se tiene más números razón por la cual se muestran los resultados principales. En el Capítulo 3, se propone un nuevo modelo de plasticidad extendida, la bondad de este modelo se compara con la obtenida al utilizar otros modelos de plasticidad de los programas IDARC (Inelastic Dynamic Analysis of Reinforced Concrete) y SARCF (Seismic Analysis of Reinforced Concrete Frames) en estructuras de tres, cinco y diez pisos. Se compara al obtener las curvas de capacidacidad sísmica resistente sin considerar el efecto P − ∆ y considerando dicho efecto. Por cierto se indica la teoría para el cálculo del efecto P − ∆ . En el modelo que se propone se consideran cuatro escalones en las zonas que ingresan al rango no lineal, cada uno de ellos tiene una rigidez a flexión diferente. Las estructuras de hormigón armado antiguas construidas por los años cincuenta o sesenta del siglo pasado tienen una gran cantidad de armadura longitudinal y poca armadura transversal de tal manera que la falla que se va a producir en estos elementos es por corte antes que por flexión. Es más en algunos casos en que los estribos están espaciados a 30 cm., y con gran cantidad de armadura longitudinal se va a presentar la falla por corte y la armadura longitudinal no habrá ingresado al rango no lineal. Para analizar este tipo de estructuras se deben utilizar programas en los cuales se haya incorporado el efecto de corte en la relación momento curvatura que es el tema del Capítulo 4. En el capítulo 6 se continúa con esta investigación pero analizando el comportamiento en una estructura. En el Capítulo 5 se desarrolla un modelo extremadamente sencillo para encontrar la curva de capacidad sísmica resistente en estructuras espaciales considerando un modelo de tres grados de libertad, que corresponde a dos componentes de desplazamiento horizontal y una rotación de piso o torsión. La curva de capacidad sísmica, que ya se va mencionando algunas veces, relaciona el cortante basal con el desplazamiento lateral máximo en la cubierta. En este modelo se considera que cada pórtico es un elemento de una estructura que está unida por una losa rígida, para cada pórtico se encuentra la curva de capacidad sísmica aplicando la Técnica del Pushover y posteriormente se encuentra un modelo bilineal de tal manera que se definen una rigidez para el rango elástico y otra rigidez para el rango plástico, en base a los cuales se realiza el análisis espacial. Se indican además varios criterios para encontrar el modelo bilineal. Como se indicó anteriormente el capítulo 6 está dedicado al estudio de las curvas de capacidad sísmica en estructuras antiguas de hormigón armado. Si el programa con el cual se obtiene la relación momento curvatura no incorpora el efecto de corte y/o si el modelo de plasticidad que se utiliza para determinar la matriz de rigidez de un elemento no considera el efecto de corte, en el análisis de una estructura que tiene gran cantidad de armadura longitudinal y poca armadura transversal, la curva de capacidad sísmica que se obtenga estará sobredimensionada y le hará pensar al proyectista estructural que su edificación tiene una gran capacidad sísmica cuando en realidad no lo tiene. Para explicar lo anotado se comparan las curvas de capacidad que se obtienen al utilizar el modelo de Giberson que solo considera la rigidez a flexión con el modelo e Thom et al que considera la rigidez a flexión y la rigidez al corte. En el capítulo 7 se desarrolla la teoría que conduce a la obtención del Espectro de Capacidad, normalmente este espectro está asociado al primer modo de vibración pero se destaca que se puede encontrar este espectro asociado a cualquier modo esto es fundamental cuando se conoce que una estructura va a tener sus mayores respuestas en un determinado modo. Se indica además el modelo que propone el programa HAZUS para cubrir las incertidumbres que se tiene en el análisis sísmico. Otro aspecto importante que se trata en este capítulo es la obtención de espectros de capacidad con límites de daño de acuerdo a lo recomendado por el Comité VISION 2000. Los modos de vibración es un tema fundamental en el análisis dinámico de estructuras razón por la cual la parte final de este capítulo está dedicado a su estudio. El Comité VISION 2000 que fue creado en los Estados Unidos de Norte América para que propongan la nueva filosofía de diseño sísmico a la luz del nuevo siglo XXI, propone que las estructuras deban ser analizadas para cuatro eventos sísmicos denominados: frecuente, ocasional, raro y muy raro. Indican los parámetros generales con los cuales se obtendrán estos eventos

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sísmicos y nada más. Por otra parte las Normativas Sísmicas vigentes al 2003 en Venezuela, Colombia, Ecuador, Perú, Chile y Argentina únicamente prescriben la forma espectral para el sismo denominado raro. En el capítulo 8 en base a la forma espectral del sismo raro se propone la obtención de los espectros para los sismos frecuente, ocasional y muy raro para los Países indicados, en base a estudios de peligrosidad sísmica realizados dichos Países. En el capítulo 9 se presenta el Método del Espectro de Capacidad para encontrar la respuesta no lineal de un sistema con múltiples grados de libertad. Este método permite visualizar en forma gráfica el probable desempeño de una estructura ante un sismo determinado mediante el dibujo en un solo gráfico del espectro de capacidad de la estructura y del espectro de demanda, todo esto en el formato desplazamiento espectral en las abscisas y aceleración espectral en las ordenadas. Para encontrar el espectro inelástico se presenta un estudio muy detallado sobre el factor de reducción de las fuerzas sísmicas Rµ ,ξ en que se hace un acopio de varias investigaciones realizadas en el mundo. Finalmente se dedican los últimos apartados del capítulo a presentar un resumen histórico sobre varias investigaciones que se han realizado a nivel mundial sobre la teoría de espectros elásticos. Dentro del Análisis Estático No Lineal, se tienen tres Métodos para analizar una estructura con múltiples grados de libertad en el rango inelástico. Estos son: el Método del Espectro de Capacidad que se estudia en el capítulo 9, el Método del Sistema Equivalente que está descrito en el capítulo 10 y se describe brevemente en este párrafo y el Método del Sistema Lineal de Corte que se indica en el capítulo 11. En el Método del Sistema Equivalente a partir de la estructura de múltiples grados de libertad se encuentra un Sistema Equivalente de un solo grado de libertad en el cual se realiza el análisis lineal o no lineal, la respuesta que se obtiene en términos de desplazamientos se traslada al sistema de múltiples grados de libertad por medio del factor de participación modal. Se presentan los modelos desarrollados por Rodríguez (1994), Fajfar y Gaspersic (1996), Esteva (1999), Aguiar (2001) y Ayala (2001). Por último en este capítulo se presenta la teoría para el Análisis Lineal y No Lineal de sistemas con múltiples grados de libertad empleando el Método β de Newmark, si bien es cierto en este capítulo se necesita la teoría para encontrar la respuesta en el tiempo de sistemas de un solo grado de libertad no es menos cierto que este es un caso particular. Por lo tanto al tener el marco teórico para sistemas de múltiples grados de libertad la aplicación a un solo grado de libertad es inmediata. En el capítulo 11 se presenta el Método del Sistema Lineal de Corte para encontrar la respuesta sísmica, la diferencia con los métodos anteriores radica en que aquí ya no se encuentra un sistema de un grado de libertad, sino que se trabaja con el eje de corte de la estructura que tiene un grado de libertad por piso. Este es un nuevo método presentado en el por Chopra y Goel en (2000) pero en forma muy compleja y simplificado por Fernández et al (2002) de la U.N.A.M, pero los últimos los espectros inelásticos los obtienen en función del factor de amortiguamiento viscoso efectivo, lo cual no es conveniente. Por lo que se propone el Método pero encontrando los espectros inelásticos en función del factor de reducción de las fuerzas sísmicas Rµ ,ξ . En la solución se necesita encontrar los valores y vectores propios, razón por la cual se indica este cálculo aplicando el Método clásico de Jacobi. En el capítulo 7 ya se indicó la teoría del cálculo de valores y vectores propios ahora se presenta un método númerico orientado al uso del computador para su evaluación. En el capítulo 12 se indica la teoría del Método de Superposición Modal para el Análisis Sísmico Plano y para el Análisis Sísmico Espacial considerando tres grados de libertad por planta. Toda vez que este es un método muy utilizado por los Proyectistas Estructurales a pesar de la serie de críticas que tiene. Entonces si lo van a seguir utilizando vale la pena conocer muy bien todos los controles y cálculos que se deben hacer, como son: control del cortante basal mínimo, control del efecto P − ∆ , control de la deriva o distorsión de piso, cálculo de la torsión accidental, simultaneidad de las acciones sísmicas. Un aspecto importante que se presenta es la cuantificación del factor de reducción de las fuerzas sísmicas Rµ ,ξ en función de la sobreresistencia y de la ductilidad de la estructura.

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En el capítulo 13 se presenta el modelo de pérdidas del programa HAZUS 99, es importante conocerlo pero además se propone un modelo de pérdidas en función del índice de distorsión global de la estructura. Estos son modelos de pérdidas por reposición de daños en la estructura. Como ejemplos de aplicación se diseñó una estructura de 6 pisos para tres valores de reducción de las fuerzas sísmicas Rw de acuerdo a lo estipulado por el Código Ecuatoriano de la Construcción CEC-2000, la estructura con mayor valor de Rw va a resistir el sismo raro de acuerdo a la filosofía de diseño pero va a tener gran daño ante el sismo frecuente y el costo de reparación de daños es alto; por el contrario la estructura diseñada para el menor valor de Rw va a costar un poco más inicialmente pero va a tener menos daño ante el sismo frecuente. Por otra parte en el capítulo 13 se analiza el comportamiento sísmico en términos estructurales y económicos de tres estructuras de una vivienda, la primera en base a vigas banda, la segunda en base a vigas descolgadas en los pórticos perimetrales y banda en los pórticos interiores y la tercera con todas las vigas descolgadas, se comparan las curvas de capacidad sísmica resistente de estas tres edificaciones y se compara el desempeño que van a tener ante cuatro acciones sísmicas. Al propietario de un Proyecto se le deben presentar varias alternativas estructurales y hacerle conocer el desempeño que va a tener cada una de ellas ante diferentes sismos, que sepa el Índice de Desempeño que se obtiene, el Índice de Daño y el Costo de Reparación de daños. Mientras más conozca sobre el desempeño que se espera de cada una de las alternativas tomará la mejor decisión. Inicialmente varios capítulos de este libro fueron publicados en Revistas y Congresos Nacionales e Internacionales, como se aprecia al pie de página de algunos capítulos. Posteriormente estos fueron complementados con aspectos fundamentales de la Teoría de Estructuras como es el cálculo de la matriz de rigidez por ensamblaje directo o la condensación estática de la matriz de rigidez mediante la Triangularización de Gauss que está descrito en el capítulo 2. Otros capítulos fueron complementados con aspectos de Dinámica de Estructuras, que ya se ha indicado y en otros se han presentado aspectos que se consideran fundamentales como la Teoría Básica de Peligrosidad Sísmica que se muestra en el capítulo 8. Todo esto con la idea de tener un libro que tenga un enfoque didáctico que pueda ser utilizado en cualquier curso de Ingeniería Sismo Resistente, además de tener un libro que presente aspectos de investigación a la luz de lo que se está trabajando en los principales Centros de Investigación del Mundo al 2003 y además se quería presentar un libro que sea acogido por los Proyectista Estructurales. Espero haber cumplido estos tres objetivos de tener un libro: didáctico, investigativo y práctico. Finalmente, pero como en todos mis libros deseo dar gracias en primer lugar a Dios por que sin su ayuda no podría escribir nada, no podría hacer nada; con su ayuda todo es más fácil. Hacer investigación Científica en Países en vías de desarrollo es muy complicado porque tenemos una serie de limitaciones que no vale la pena siquiera mencionarlas pero con la ayuda de Dios todas esas limitaciones se van superando y las largas horas que demanda la investigación se las lleva con alegría y optimismo. Deseo agradecer a mi querida esposa Alice Noury y a mis hijos: Roberto, Alice Paola, María José, Gabriel, Nicolás y Felipe, por la inmensa felicidad que me dan día tras día en nuestro hogar. Ellos son mi fuente de inspiración y de superación. A los Coroneles de Estado Mayor Conjunto Ing. Edwin Ortiz e Ing. Héctor Benavides, dignísimos Rector y Vicerrector de Investigaciones de la Escuela Politécnica del Ejército, ESPE, dejo constancia de mi profundo agradecimiento, por su amistad, respaldo y apoyo en todas las actividades que realizó en mi labor científica.

Roberto Aguiar Falconí Ph.D. Agosto de 2003

CAPÍTULO 1

RELACIÓN MOMENTO CURVATURA Y VISION 2000

RESUMEN Se presenta el cálculo de la relación momento curvatura para elementos de hormigón armado, sin considerar el acoplamiento del efecto del corte. Con el objeto de ilustrar el cálculo de un punto del diagrama se trabaja con modelos de hormigón no confinado muy sencillos de manejar como son: el modelo de Jensen y el modelo de Whitney. Por otra parte para el acero se utiliza el modelo elasto plasto. Los ejemplos que se resuelven son: una viga, un muro de corte y una columna. Posteriormente se presenta en forma resumida el Método de las Dovelas que se utiliza para encontrar todo el diagrama momento curvatura pero está orientado a la elaboración de un programa de ordenador. Existen formulas aproximadas para encontrar los puntos notables del diagrama momento curvatura, en este capítulo se presentan estas fórmulas para vigas simplemente armadas y vigas doblemente armadas. En este contexto se presenta el formulario propuesto por Y. Park que tiene un carácter experimental y analítico para encontrar las relaciones momento curvatura en vigas y columnas, se resuelven dos ejemplos y los valores obtenidos se comparan con los que reporta el programa CEINCI1. Por otra parte se presentan aplicaciones de los diagramas momento curvatura en el diseño sísmico de estructuras, como son: la capacidad de ductilidad por curvatura, la demanda de ductilidad, la reserva de ductilidad, la redistribución de momentos, la determinación de inercias agrietadas, índices de daño a nivel de elementos. Finalmente se presenta la nueva filosofía de diseño sísmico de estructuras propuesto por VISION 2000, se indican los cuatro sismos de análisis denominados: frecuente, ocasional, raro y muy raro que tienen períodos de retorno de 43, 72, 475 y 970 años respectivamente. Luego se indica en términos generales el desempeño que deben tener las estructuras en función del uso de las mismas para estructuras básicas, esenciales y de seguridad crítica.

2

1.1

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE INTRODUCCIÓN

Cuando se termina un diseño estructural, es muy importante conocer la relación momento curvatura M − φ , de las secciones de sus elementos, con el objeto de conocer cual es la capacidad de ductilidad por curvatura µ φ , la máxima capacidad a flexión del elemento M u y comparar estas cantidades con las demandas que se tienen en el diseño. Si un elemento tiene muy poca capacidad de ductilidad por curvatura va a presentar una falla frágil cuando la estructura ingrese al rango no lineal, lo cual no es deseable. Lo ideal es que tenga un valor alto de µ φ para que la edificación disipe la mayor cantidad de energía, para que sea posible la redistribución de momentos y de esa manera trabajen todos los elementos en una forma adecuada. En el análisis no lineal, es fundamental conocer la relación M − φ para encontrar la rigidez de cada una de las ramas del diagrama histerético que se utiliza para definir la no linealidad del material. La relación M − φ es la base del análisis no lineal dinámico y del análisis no lineal estático, como se vera en los capítulos posteriores de este libro. El diagrama M − φ es función de los modelos constitutivos que se utilizan para determinar la relación esfuerzo-deformación del hormigón y del acero. En efecto si emplea el bloque rectangular de Whitney (1942) y el modelo elasto plástico para el hormigón y acero, respectivamente, los valores de µ φ que se obtengan serán bajos. En cambio si se utiliza un modelo de hormigón confinado como el propuesto por Park et al (1982) y un modelo de acero que contemple endurecimiento post fluencia se encontraran valores más altos de µ φ y son más cercanos a la realidad. En la figura 1.1 se presentan tres modelos para el hormigón no confinado, el de la izquierda es el modelo de Jensen o bloque trapezoidal, el de la mitad es el modelo de Hognestad (1955) y el de la derecha el bloque rectangular del ACI o de Whitney (1942). Este último se utiliza para el diseño por ser un modelo conservador y sencillo para encontrar la resultante de la fuerza a compresión; el valor de β1 = 0.85 para hormigones con una resistencia a la compresión menor a 35 MPa en el modelo de Whitney.

Figura 1.1 Modelos del hormigón no confinado.

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En la figura 1.2 se indican tres modelos para definir el comportamiento del acero, el de la izquierda es el Elasto-Plasto muy utilizado en el diseño por su sencillez, el de la mitad es el modelo trilineal que contempla incremento de esfuerzos en la zona postfluencia mediante una variación lineal y el de la derecha es la curva completa que considera una ecuación de segundo grado para la zona de endurecimiento.

Figura 1.2 Modelos del acero. En este capítulo, únicamente por ilustrar la forma de cálculo de un punto del diagrama

M − φ se utiliza el bloque rectangular de Jensen o el bloque rectangular del ACI, para el hormigón y el modelo elasto plástico para el acero, por la sencillez de las operaciones pero para fines de programación es conveniente utilizar modelos como el de Park et al (1982) para el hormigón y el trilineal para el acero.

1.2

ESQUEMA DE CÁLCULO

Básicamente hay algunas formas de cálculo del diagrama momento curvatura pero todas ellas están basadas en los mismos principios que son: compatibilidad de deformaciones, equilibrio de fuerzas y equilibrio de momentos. El procedimiento de cálculo orientado a la elaboración de un programa de computación se indica a continuación: i)

Seleccionar un valor de deformación máxima del hormigón, ∈c, para obtener un punto del diagrama momento curvatura.

ii)

Imponerse una ubicación del eje neutro c, y en base a esta ubicación trazar el perfil de deformación a lo largo de la profundidad de la sección. Se supone que la deformación varía linealmente. Por medio de la compatibilidad de deformaciones se determina las deformaciones en cada fila de acero, ∈s, y en cualquier punto del hormigón.

iii)

Con las deformaciones obtenidas, se obtienen los correspondientes esfuerzos del acero y el hormigón en base a las curvas constitutivas de los respectivos materiales.

iv)

En función de los esfuerzos, se calculan las fuerzas que actúan sobre la sección de acero y hormigón, multiplicando cada esfuerzo por su área respectiva.

v)

La suma vectorial de las fuerzas representa la carga axial neta que gravita sobre la sección. Se ve que exista equilibrio de fuerzas, considerando la carga axial dada. Si no hay equilibrio se repite desde el paso ii) aumentando o disminuyendo la profundidad del eje neutro, según cual sea el caso. El cálculo es interactivo hasta tener equilibrio.

4

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE vi)

Por último, se obtiene el momento flector interno que corresponde a la última posición del eje neutro, multiplicando cada fuerza por su brazo respectivo, medido desde el eje de referencia al centroide plástico de la sección. La curvatura se calcula como la razón de la deformación del hormigón ∈c, sobre la distancia al eje neutro.

De esta forma se obtiene un punto del diagrama envolvente momento curvatura. Para encontrar otro punto se impone un nuevo valor de ∈c y se repite del paso ii) al paso vi).

1.2.1

Ejemplo de aplicación N. 1

Encontrar el Momento M y la curvatura φ, para la viga rectangular simplemente armada indicada en la figura 1.3, para una deformación del hormigón ∈c = 0.001. Se considera el bloque de Jensen para el comportamiento del hormigón y el modelo trilineal para el comportamiento del acero. Los datos de la sección transversal de la viga, son:

h = 40 cm.

b = 30 cm.

As = 12.56 cm 2

d = 35 cm.

E s = 2100000 kg / cm 2

f y = 4200 kg / cm 2 f c' = 210 kg / cm 2

Figura 1.3 Sección transversal de una viga simplemente reforzada, diagramas de deformaciones y esfuerzos

En el bloque de Jensen, se tiene para una deformación ∈c = 0.002 la resistencia en el hormigón es 0.85 f'c. En consecuencia, para ∈c = 0.001, la resistencia será 0.425 f'c. Las ecuaciones de cálculo, para del ejemplo se indican a continuación.

∈c ∈ = s c d −c fs = E s ∈s

⇒

Ts = As f s

⇒

Cc = donde

⇒

1 cb(0.425 f ' c) ⇒ 2

d −c ∈c c fs = 2100000× ∈s

∈s =

Ts = 12.56 × fs Cc =

1 × c × 30 × 0.425 × 210 2

c es la profundidad del eje neutro, ε c es la deformación del hormigón a compresión,

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ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO

εs

d es la altura efectiva de la sección, f s es el esfuerzo del acero para el rango elástico, Ts la fuerza a tracción en el acero, C c es la resultante de la fuerza a compresión del hormigón, b, h son las dimensiones de la sección transversal de la viga y E s es el módulo de elasticidad del acero. es la deformación del acero a tracción,

Para el ejemplo, la deformación del acero es menor al de fluencia razón f s = E s

εy =

fy Es

. Por esta

ε s . En la tabla 1.1, se indican los ciclos de cálculo habiendo empezado con una

profundidad del eje neutro c = 20 cm. Tabla 1.1 Ciclos de Cálculo, hasta obtener equilibrio de fuerzas CICLO

c cm

∈s

fs kg/cm2

Ts T

Cc T

1 2 3

20.0 18.0 18.2

0.00075 0.00094 0.00092

1575.0 1983.3 1938.4

19.78 24.91 24.35

26.78 24.09 24.36

En el tercer ciclo, se considera que existe equilibrio de fuerzas, en consecuencia el Momento M y la curvatura φ , para la deformación del hormigón igual ε c = 0.001 resulta:

0.182 ⎞ c⎞ ⎛ ⎛ M = Ts ⎜ d − ⎟ = 24.35 ⎜ 0.35 − ⎟ = 7.047 Tm. 3⎠ 3 ⎠ ⎝ ⎝ ε 0.001 1 φ= c = = 0.0055 c 0.182 m Nótese que la ubicación de la resultante de la fuerza a compresión

C c está ubicado a

c / 3 debido a que la distribución de esfuerzos es triangular. 1.2.2

Ejemplo de aplicación N. 2

En la misma viga simplemente armada del ejemplo 1, encontrar el momento y la curvatura para una deformación del hormigón ε c = 0.003 trabajar con el modelo de Jensen para el comportamiento del hormigón y con el modelo elastoplasto para el acero. En la figura 1.1 se indica el modelo de Jensen y se aprecia que la variación lineal de esfuerzos finaliza en el valor de ε o = 0.002 para el valor de ε c del ejemplo que es de 0.003 el diagrama de esfuerzos está compuesto por una variación lineal y una variación constante como se indica a la derecha de la figura 1.4. Se ha denominado con la letra f a la profundidad del diagrama entre las deformaciones

εo

y

εc .

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Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE

Para iniciar el cálculo se considera una profundidad del eje neutro c = 15 cm . como valor inicial.

ε ε

ε

Figura 1.4 Diagrama de deformaciones y esfuerzos para ejemplo 2. Por compatibilidad de deformaciones se tiene:

εc c

=

εo

⇒

c− f

0.003 0.002 = 15 15 − f

La resultante de la fuerza de compresión del hormigón

⇒ f = 5 cm

C c es igual a la contribución del

bloque rectangular ( 1 ) más la contribución del bloque triangular ( 2 ).

C c = (0.85 b f ' c ) ∗ f +

1 (0.85 b f ' c ) ∗ (c − f ) 2 1 C c = (0.85 ∗ 30 ∗ 210 ) ∗ 5 + (0.85 ∗ 30 ∗ 210 ) ∗ (15 − 5) = 53500 Kg . 2 Para encontrar la contribución del acero primero se debe calcular la deformación del acero para ver si está en el rango elástico o en el plástico y determinar su correspondiente esfuerzo f s .

εc c

=

εs

εs 0.003 = 15 35 − 15

d −c

El valor de

εs

es mayor que

εy

⇒ ε s = 0.00399

luego por el modelo elastoplasto del acero f s = f y

Ts = As ∗ f y = 12.56 ∗ 4200 = 52752 Kg .

C c es aproximadamente igual al valor de Ts por lo que se asume que la profundidad del eje neutro es c = 15 cm. si se desea mayor exactitud se puede realizar un nuevo ciclo de cálculo con un valor de c ligeramente menor. Para el cálculo del momento se debe encontrar la ubicación de la resultante de la fuerza C c para ello se tiene: El valor de

Tabla 1.2 Cálculo del Centro de Gravedad del diagrama del hormigón.

7

ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO

X cg

Figura

X cg

Area

X cg Area

1 2

2.5 8.33

892.5 892.5 1785

2231.25 7437.203 9668.45

(1)

=

∑=

5 = 2 .5 2

X cg

( 2)

=

Area (1) = 0.85 f ' c ∗ f = 892.5

X =

c− f 15 − 5 + f = + 5 = 8.33 3 3 0.85 f ' c(c − f ) Area ( 2 ) = = 892.5 2

9668.45 = 5.417 1785

M = Ts (d − X ) = 52725(35 − 5.417 ) = 1559763.675 kg cm = 15.60 Tm.

φ=

1.2.3

εc c

=

0.003 1 = 0.00025 15 cm

Ejemplo de aplicación N. 2, para un muro de corte sin cabezales

Encontrar la curvatura φ, para el muro de corte indicado en la figura 1.4, para una deformación del hormigón ∈c = 0.004. Se considera el bloque rectangular del A.C.I. para el comportamiento del hormigón y el modelo elastoplasto para el comportamiento del acero. Por otra parte, la carga axial actuante se considera igual a 40 T.

tw = 20 cm.

fy = 4200 kg/cm2

Lw = 400 cm.

f'c = 210 kg/cm2

As = 20.28 cm2

β1 = 0.85

La forma de solución es la misma que la del ejemplo anterior. Únicamente, con el objeto de presentar la teoría de Cárdenas y Magura (1973) para muros de corte, se resuelve como ellos lo plantearon para el caso en que la armadura se encuentra uniformemente distribuida.

•

Equilibrio de Fuerzas Po = C c + C s − Ts C c = 0.85´ f ' cβ 1c t w C s = ρ s t w (c − β c ) fy

Ts = ρ s t w [Lw − (c + β c )] fy

ρs =

As t w Lw

8

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE

Figura 1.2

Geometría de muro de corte y diagramas de deformaciones y esfuerzos en hormigón y acero.

Al sustituir Cc , Cs y Ts en Po, se obtiene la profundidad del eje neutro, luego de simplificar términos:

Po ⎤ fy ⎡ ⎢ ρs f 'c + A f 'c ⎥ w ⎥ Lw c=⎢ ⎢ 0.85 β + 2 ρ fy ⎥ s 1 ⎢ f ' c ⎥⎦ ⎣ siendo Aw = Lw tw = 400*20 = 8000 cm2.

4200 40000 ⎡ ⎤ ⎢ 0.002535 210 + 8000 × 210 ⎥ c=⎢ ⎥ 400 ⎢ 0.85 × 0.85 + 2 × 0.002535 × 4200 ⎥ 210 ⎦⎥ ⎣⎢ c = 36.174cm

φ=

1.2.4

∈c 1 0.004 = = 0.0001106 c 36.174 cm

Ejemplo de aplicación N. 3, para una columna cuadrada

9

ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO

Se desea encontrar el momento y la curvatura para la columna cuadrada indicada en la figura 1.5 para una deformación del hormigón ε c igual a 0.002. Se considera el modelo elastoplasto para el acero y el bloque rectangular de Whitney para el hormigón. No se considera la contribución de los estribos en el confinamiento del hormigón.

As = 16.08 cm 2

f c' = 210 kg / cm 2

f y = 4200 kg / cm 2

E s = 2100000 kg / cm 2

P0 = 665.4 kg .

b = h = 30 cm.

Figura 1.5 Sección transversal de una columna rectangular, diagrama de deformaciones y esfuerzos.

•

Deformaciones en las diferentes capas de acero, que se obtienen por compatibilidad de deformaciones (triángulos semejantes en figura central de 1.5), en función del recubrimiento r , de la profundidad del eje neutro c , de la altura de la sección de la columna h , de la altura efectiva d , y de la deformación del hormigón ε c .

⎛ ⎝

r⎞ c⎠

ε s1 = ⎜1 − ⎟ ε c •

⎞

⎛d ⎞ − 1⎟ε c ⎝c ⎠

ε s3 = ⎜

ε si , considerando un modelo ε y como la deformación de fluencia del acero, ε y = f y / E s .

Fuerzas en la fila de acero i en función de la deformación elasto plasto. Se define

•

⎛ h

ε s 2 = ⎜⎜ − 1⎟⎟ε c ⎝ 2c ⎠

f si = E s ε si

ε si ≤ ε y

f si = f y

ε si > ε y

La determinación del eje neutro

c , se realiza en forma interactiva hasta que se tenga FC y las fuerzas a tracción FT .

equilibrio entre las fuerzas a compresión

10

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE

•

FC = CC + Ts1 + Po

CC = 0.85 f c' β1 c b

FT = Ts 2 + Ts 3

Ts 2 = As 2 f s 2

Ts 3 = As 3 f s 3

c , se calcula el momento M y la curvatura

Una vez que se tiene definido el eje neutro φ.

h a M = (Po − Ts 2 ) + r Ts1 + C c − d Ts 3 2 2 •

c

φ=

εc c

En la tabla 1.2 se muestran las iteraciones realizadas hasta obtener el equilibrio.

Tabla 1.2 Resumen de cálculo de la profundidad del eje neutro

ε s1

ε s2

ε s3

(cm) 7.0 6.6 6.905

Ts1 = As1 f s1

0.00086 0.00079 0.00080

0.00229 0.00255 0.00223

0.00543 0.00588 0.00525

f s1

f s2

f s3

Ts1

Ts 2

Ts 3

CC

kg / cm 2

kg / cm 2

kg / cm 2

(Kg)

(Kg)

(Kg)

(Kg)

1800.000 1654.545 1678.799

4200 4200 4200

4200 4200 4200

10854 9976.9 10123.2

16884 16884 16884

25326 25326 25326

31862.3 30041.6 31432.1

FT = Ts 2 + Ts 3 = 16884 + 25326 = 42210 kg FC = C C + Ts1 + Po = 31432.1 + 10123.2 + 665.4 = 42220.7 Kg M = (665.4 − 16884) 15 + 4 ∗ 10123.2 +

0.85 * 6.905 31432.1 − 26 ∗ 25326 2

M = −769020.78 Kg cm = −7.69 T m.

φ=

1.3

1 0.002 = 0.0002896 6.905 cm

MÉTODO DE DOVELAS

En el apartado anterior un punto del diagrama momento curvatura se obtenía para un valor de deformación del hormigón a compresión ε c , y luego se van encontrando otros puntos para otros valores de

εc .

En el método de las dovelas o método de las fibras, Kunnath et al

(1992), Park et al (1987), un punto del diagrama corresponde a una curvatura dada y lo que se va incrementando es la curvatura para hallar otros puntos. Las ideas generales del método fueron propuestas por Mander (1984) y consiste en dividir la sección de hormigón en un número finito de elementos y las filas de refuerzo de acero estén completamente definidas. La deformación en una sección cualquiera, viene dada por:

11

ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO

∈ ( z ) = d ∈o + zdφ

(1.1)

donde d∈o es la deformación en el centroide de la sección, z es la distancia medida desde el eje de referencia, si va al centro de una dovela se notará Z i y si va hasta una fila de acero será Z j y dφ es la curvatura de la sección para la que se está evaluando. La resultante de la carga axial N y momento M viene dada por las siguientes ecuaciones:

N = ∫ Ed ∈ dA

M = ∫ Ed ∈ zdA

(1.2) (1.3)

donde E es el respectivo módulo de elasticidad, del hormigón o del acero, según cual sea la fibra, d∈ es la deformación de la fibra y dA es el área de la dovela de hormigón o el área de la fila de aceros. Reemplazando (1.2) en (1.3) y sustituyendo la integral por la sumatoria, se tiene: NSS ⎛ NCC ⎞ ⎜ ∆N = ⎜ ∑ f ci Aci + ∑ f sj Asj ⎟⎟d ∈o j =1 ⎝ i=1 ⎠

NSS ⎛ NCC ⎞ ⎜ +⎜ ∑ f ci Aci zi + ∑ f sj Asj z j ⎟⎟dφ j =1 ⎝ i=1 ⎠

(1.4)

donde NCC es el número de dovelas en que se ha dividido la sección transversal del hormigón y NSS es el número de filas de acero que se consideran en la sección. Por otra parte, fci, fsi son los esfuerzos en el hormigón y en el acero respectivamente. El procedimiento de cálculo a seguir es el siguiente:

i)

Para un nuevo incremento de curvatura, se tiene:

dφ i +1 = dφ i + ∆φ ii)

El cambio en el centroide de deformación para equilibrio de fuerzas es determinado mediante la ecuación (1.4). En el primer paso se considera ∆N*=Po ; ∆N* es igual a la carga axial que actúa en la sección y en los pasos subsiguientes ∆N*=Po - ∆N. El cálculo se realiza de la siguiente forma:

∆ ∈o =

Ea =

Ex = iii)

(1.5)

NCC

∑ i =1

NCC

∑ i =1

(∆N * − E x ∆φ ) Ea

(1.6)

NSS

f ci Aci + ∑ f sj Asj

(1.7)

j =1

NSS

f ci Aci z i + ∑ f sj Asj z j

(1.8)

j =1

El incremento en la deformación centroidal calculado es sumado a la deformación d∈o, y se obtiene las deformaciones en cada dovela y fila de acero con la ecuación (1.1).

12

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE

d ∈o = d ∈o + ∆ ∈o ∈ ( z ) = d ∈o + zdφ iv)

(1.9)

Se obtiene la nueva carga axial y momento utilizando las ecuaciones (1.2) y (1.3) pero trabajando en forma discreta, primero con el hormigón y luego se suma la contribución del acero. Si la carga axial calculada N es aproximadamente igual (con un margen de tolerancia) a la carga Po se procede con el cálculo, caso contrario se repite el proceso de cálculo desde el paso ii) considerando ∆φ = 0. El procedimiento interactivo con el método de las dovelas converge rápidamente.

1.4

FORMA GENERAL DE UN DIAGRAMA MOMENTO CURVATURA

En el capítulo 4 se obtiene el diagrama momento curvatura de una viga, empleando el modelo de Park et al (1982) para el hormigón y el modelo trilineal para el acero. Este diagrama se presenta en la figura 1.6 en el cual se han definido cuatro puntos notables, los mismos que se explican a continuación. •

El punto A, se alcanza cuando el hormigón llega a su máximo esfuerzo a la tracción. En la figura 1.6 se aprecia que la capacidad a flexión del punto A es muy baja por este motivo muchas veces se lo ignora, pero estrictamente es el comienzo del rango elástico.

•

El punto Y, se determina cuando el acero a tracción alcanza el punto de fluencia, definido por un esfuerzo f y , y una deformación ε y . En varios estudios se considera el rango elástico a la recta que une el origen de coordenadas con el punto Y.

•

El punto S, se obtiene cuando el acero a tracción se encuentra al inicio de la zona de endurecimiento, es decir al final de la plataforma de fluencia, en el modelo trilineal del acero indicado en la figura 1.2, se tendría este punto en la deformación ε sh .

•

El punto U, se halla cuando el hormigón llega a su máxima deformación útil a compresión ε u . No es la falla de la sección del elemento. Existe un punto adicional que tiene una menor capacidad a flexión y mayor deformación que corresponde al colapso, este punto de fallo F más interesa para evaluar daño, Aguiar y Barbat (1997). Pero para fines prácticos los cuatro puntos indicados son los más importantes.

ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO

13

Figura 1.6 Diagrama momento curvatura de una viga doblemente armada resuelta en capítulo 4.

1.5

RÓTULA PLÁSTICA

Es muy común trabajar el diagrama momento curvatura en base a tres puntos notables: A, Y, U. En consecuencia el punto S, se suele ignorarlo. Ahora bien una definición bastante utilizada en el campo de la Ingeniería Sísmica es el de Rótula Plástica, se define este punto como aquel en que la sección no es capaz de absorber mayor momento a flexión y empieza únicamente a rotar.

Figura 1.7 Determinación de un modelo bilineal en función de la definición de rótula plástica.

14

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE El punto Y, descrito en el apartado anterior no es el inicio de la rótula plástica. En la

figura 1.7 se presenta con las coordenadas

φY' , M n , se obtiene este punto por el criterio de

iguales áreas. El área del diagrama momento curvatura inicial debe ser igual al área del modelo bilineal indicado en la figura 1.7 en función del punto de inicio de la rótula plástica. En la realidad no existe la rótula plástica pero es una definición que se la utiliza en el campo de la Ingeniería Sísmica para encontrar fórmulas que simplifican algún problema. En el presente libro no se trabaja con la definición de rótula plástica sino en base a los puntos notables indicados.

1.6

FÓRMULAS APROXIMADAS

Para encontrar los puntos notables A, Y, U, del diagrama momento curvatura, existen fórmulas aproximadas que se pueden utilizarlas cuando no se dispone de un programa de ordenador. Estás fórmulas se presentan a continuación.

1.6.1 •

Vigas simplemente armadas

Punto A

MA =

I f ct Ct

M φA = A Ec I

f ct = 0.10 f c'

Ct =

h 2 ( 1.10)

b h3 I= 12

C t es la distancia del centro de gravedad de la sección a la fibra más traccionada; f ct es el esfuerzo máximo a tracción del hormigón, I es el momento de inercia de la sección. Las

donde

restantes variables han sido ya indicadas.

•

Punto Y

M Y = As f y jd n=

Es Ec

⎛ k⎞ jd = ⎜1 − ⎟d ⎝ 3⎠ A ρ= s bd

k=

φY =

(nρ )2 + 2nρ εy

− nρ ( 1.11)

(1 − k )d

kd la profundidad del eje neutro, jd es el brazo de palanca o distancia desde el centroide de la fuerza a compresión del hormigón al centroide de la fuerza de tensión, d es la altura efectiva, As es la armadura a tracción de la viga. Se ha utilizado la nomenclatura siendo

presentada por Marín (1979).

15

ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO •

Punto U

As f y d ⎞ ⎛ ⎟ M U = As f y ⎜⎜ d − ' ⎟ b f 1 . 7 c ⎠ ⎝

donde

εU

φÚ =

εU

c=

c

As f y 0.7225 b f c'

es la deformación máxima útil del hormigón, para análisis se considera

ε U = 0.004 .

Este valor es para cuando no se considera la contribución de la armadura

εU β1 = 0.85

transversal, al considerar el confinamiento del hormigón el valor de En la ecuación que define el eje neutro

1.6.2

( 1.12)

c se ha considerado

es mayor al anotado.

Vigas doblemente armadas

Para el cálculo del punto A se procede de igual manera que en el caso de vigas simplemente armadas.

•

Punto Y

⎛ k⎞ jd = ⎜1 − ⎟d ⎝ 3⎠

M Y = As f y jd

ρ=

As bd

ρ' =

As' bd

(ρ − ρ )

' 2

k= n=

' ⎛ ' d ⎞ ⎟⎟n − (ρ + ρ ' )n ⎜ n + 2⎜ ρ + ρ d ⎠ ⎝ 2

Es Ec

φY =

εY

(1 − k )d

( 1.13)

'

donde As es la armadura a compresión. Las restantes variables han sido ya definidas.

•

Punto U

M U = 0.85 a b f

φU =

εc c

=

La deformación

ε c β1

' c

(d − 0.5 a ) + A

' s

f y (d − d

'

)

(A a=

s

− As' ) f y

0.85 b f c'

( 1.14)

a

εc

no se la conoce razón por la cual no es posible utilizar la ecuación

(1.14). En este contexto lo más adecuado es utilizar el formulario propuesto por Young Park que tiene un carácter experimental y teórico que se indica a continuación y es aplicable para vigas y columnas.

16

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE

1.6.3 •

Formulario general para Vigas y Columnas

Punto A

MA =

donde

•

P ⎞ I ⎛ ⎜ f ct + o ⎟ Ct ⎝ A⎠

φA =

A=bh

( 1.15)

Po es la fuerza axial de compresión. Las otras variables han sido ya definidas. Punto Y

[

M Y = 0.5 f c' b d 2 (1 + β c − η )η o + (2 − η ) pt + (η − 2 β c )α c p t'

βc =

d' d

pt =

As f y

η=

(p

t

0.75 1+ α y pt' =

b d f c'

α c = (1 − β c ) k=

MA Ec I

⎛ εc ⎜⎜ ⎝εo

⎞ ⎟⎟ ⎠

)

2

1 4α

2 y

αy =

As' f y

ηo =

] Po b d f c'

ε c = φy d − εY ≤ εU

b d f c'

( 1.16 )

η ⎤ εy ⎡ φ y = ⎢1.05 + (C 2 − 1.05) o ⎥ 0.03 (1 − k )d

εc − βc ≤ 1 εy

+ pt'

εy εo

0.7

⎣

(

+ pt + β c pt'

⎦

)α1 − ( p y

t

+ pt'

) 2α1

C2 = 1 + y

0.45 (0.84 + pt )

Las formulas indicadas en (1.16) fueron propuestas por Y. Park (1985) tienen un respaldo teórico y experimental basado en el ensayo de 400 elementos. Las variables todavía ' no definidas, son: d es el recubrimiento de la armadura a compresión, ε o es la deformación del hormigón asociado a la máxima resistencia. Se ha mantenido en lo posible la nomenclatura utilizada por Y. Park.

•

Punto U

M U = (1.24 − 0.15 p t − 0.5 η o )M y

φu = µφ φ y ⎛ε ⎞ µφ = ⎜⎜ p ⎟⎟ ⎝ εo ⎠

( 1.17) 0.218 pw − 2.15

exp(0.654 pw + 0.38)

donde pw es la cuantía de confinamiento del refuerzo transversal en porcentaje. Si pw > 2% se considera pw = 2 . Por otra parte la ductilidad por curvatura

µφ

será igual a 1 si el valor

que resulta al aplicar la respectiva ecuación es menor a la 1. Las variables todavía no definidas son:

17

ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO

ε p = 0.5 ε b + 0.5 ε b2 + θ s2 η ⎤ ⎡ ε b = ⎢C1 + (C 2 − C1 ) o ⎥ φ y 0.3 ⎣ C1 = 1.05

⎦ Para pt' ≠ 0

C1 = 1 + 1.9 pt2.4

Para

C2 = 1 +

0.45 (0.84 + 2 pt' − pt )

0.002 L − 0.5 d 0.002 θs = [1 + 0.27(u − 5)] L − 0.5 d 0.002 ⎡ 0.185(u − 5) ⎤ θs = ⎢1 + ⎥ L pw − 0 . 4 ⎢ ⎣ ⎦⎥ − 0.5 d

θs =

u=

donde

θs

pt' = 0

u4 d

u>5

y

2.5 <

u>5

y

L ε sh

fy

( 4.15 ) ( 4.16 )

εy f su − f y

( 4.17 )

ε su − ε sh

EJEMPLO NUMÉRICO DE FLEXIÓN

Se desea encontrar la relación MC, para una viga de 25 cm., de base por 35 cm., de altura y 4 cm., de recubrimiento. La resistencia del hormigón a la compresión es de 210 kg/cm2., y a la tracción es de 21 kg/cm2. El módulo de elasticidad del hormigón que se considera en el ejemplo es de 210000 kg/cm2. Por otra parte el acero tiene un límite de fluencia de 4200 kg/cm2., un esfuerzo máximo de 6430 kg/cm2., un módulo de elasticidad en el rango elástico de 2000000 kg/cm2., al inicio de la zona de endurecimiento el valor de E sh es de 44463 kg/cm2., finalmente se considera

ε sh = 0.015 .

Se desea encontrar varios diagramas MC para distintas condiciones de armado y en todos los casos el refuerzo transversal es el mismo y está compuesto por un estribo de 10 mm. de diámetro espaciados cada 10 cm., el límite de fluencia de los estribos es igual al de la armadura longitudinal. La cuantía longitudinal se la obtiene en base a las cuantías mecánicas

q , y q' .

q=

As f y

q = '

b d f c'

As' f y b d f c'

En la tabla 4.1, se indican los casos considerados y la identificación de cada uno de ellos. Con estos datos se encuentran los diagramas MC utilizando los modelos del hormigón 1 y 2. Los resultados obtenidos se indican en las figuras 4.5 y 4.6.

Tabla 4.1 Armadura longitudinal considerada en el ejemplo q CASO q' 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

0.60 0.60 0.60 0.45 0.45 0.45 0.30 0.30 0.30 0.15 0.15

0.60 0.45 0.30 0.45 0.30 0.15 0.30 0.15 0.10 0.15 0.10

96

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE

Figura 4.5 Relación Momento Curvatura de una viga con diferente armadura utilizando modelo del hormigón de Kent y Park (1971)

En las figuras 4.5 y 4.6 se aprecia el comportamiento que era de esperarse, en la medida que se incrementa la cuantía mecánica q , las vigas tienen mayor resistencia pero menor ductilidad. En efecto las curvas superiores son para q = 0.6 y las inferiores para

q = 0.15 . Para cada grupo de variación de la cuantía mecánica q se aprecia que conforme se incrementa la armadura a compresión las vigas tienen mayor ductilidad y resistencia.

Figura 4.6 Relación Momento Curvatura de una viga con diferente armadura utilizando modelo del hormigón de Park et al (1982).

97

ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO

Nótese que se puede mejorar el modelo trilineal del diagrama MC indicado en la figura 4.1, considerando un cuarto punto entre el punto Y, y el punto U. Este sería el punto S que se alcanza cuando el acero llega al inicio de la zona de endurecimiento. De igual manera se podría pensar en eliminar el punto A del modelo indicado en la figura 4.1. En las figuras 4.5 y 4.6 se tiene una línea recta hasta el punto de fluencia Y, luego se tiene una línea que es casi horizontal al final de esta línea se tendría el punto S y finalmente se tiene una línea inclinada hasta llegar al punto U. En base a este comportamiento se determina la ductilidad por curvatura µ φ como la relación entre la curvatura última con relación a la de fluencia.

µφ =

φu φy

( 4.18 )

La ecuación ( 4.18 ) es valida siempre y cuando se produzca la falla por flexión primero, pero si se tiene una viga con pocos estribos la falla va a ser por corte y nunca llegará a tener la ductilidad µ φ . De ahí la importancia de incluir en el diagrama MC el comportamiento de corte. En las figuras 4.5 y 4.6 no se aprecia con que modelo del hormigón se obtuvo mayor resistencia y ductilidad, para ver este efecto se presenta en la figura 4.7, los diagramas MC para los tres primeros casos indicados en la tabla 4.1 y en la figura 4.8 para los casos 4 a 6. Se aprecia que con el modelo 2 que es el de Park et al (1982) se obtienen mayores resistencias y ductilidades en relación al modelo 1, pero no es muy notable este incremento. Algo similar se obtuvo con los otros casos.

Figura 4.7 Comparación de diagramas MC con modelo1 de hormigón de Kent y Park (1971) y con Modelo 2 de Park et al (1982) para una cuantía mecánica de 0.6

98

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE

Figura 4.8 Comparación de diagramas MC con modelo1 de hormigón de Kent y Park (1971) y con Modelo 2 de Park et al (1982) para una cuantía mecánica de 0.45

4.5 RELACIÓN CORTE DUCTILIDAD POR ROTACIÓN Varios son los trabajos que existen en el que se incorpora el efecto de corte al de flexión, entre ellos se tienen los desarrollados por Park y Paulay en 1975, Vecchio y Collins en 1986 y 1988, Collins y Mitchell en 1997, Ichinose en 1992, Priestley y Calvi en 1991, Priestley y Seible en 1994, Hakuto et al en 1995, Priestley et al en 1994, Satyarno en 2000. Como se aprecia la mayor parte de estos trabajos son recientes por esta razón, en el diseño actual no se considera el acoplamiento entre la flexión y el corte, lo hacemos en forma independiente. Ventajosamente en el diseño actual la armadura transversal de una estructura compuesta por vigas y columnas se la obtiene por capacidad para que primero ocurra la falla por flexión y posteriormente la falla de corte, adicionalmente en columnas la armadura transversal debe ser mayor a la que se necesita por confinamiento con la que se incrementa la ductilidad y resistencia. De tal forma que en los diseños actuales se puede pasar por alto la no consideración del acoplamiento entre la flexión y el corte, pero en los edificios antiguos que fueron construidos hace más de dos décadas que tienen una gran cantidad de armadura longitudinal y poca armadura transversal es importante el acoplamiento de la flexión y el corte ya que puede presentarse una falla por corte que es frágil o empezar una falla de flexión y acto seguido una falla de corte. En la figura 4.9 se presenta el modelo numérico que ha sido adoptado por la Normativa Sísmica de Nueva Zelanda, NZS (1996) para ver la degradación de la capacidad al corte en el rango inelástico.

99

ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO

Figura 4.9 Degradación del cortante con el incremento de la ductilidad por rotación. Una sección transversal de un elemento de hormigón armado tiene una capacidad máxima de cortante Vmax , la misma que es función de la capacidad al corte del hormigón, de la capacidad al corte del refuerzo transversal y de la carga axial. Esta capacidad al corte va a permanecer constante hasta el punto 1, que está asociado a una ductilidad por rotación µθv1 , luego de lo cual va a existir una pérdida en la trabazón de los agregados y por ende una degradación de la resistencia al corte hasta el punto 2 en que se produce la falla de corte. El punto 2 está asociado a una ductilidad por rotación µθv 2 , con un cortante denominado Vmin .

Vmin = Rθv 2 Vmax 4.5.1

( 4.19 )

Relación corte ductilidad para vigas rectangulares

Para el caso de vigas la degradación de la capacidad al corte en función de la ductilidad de rotación se indica en la figura 4.10, y las ecuaciones de cálculo son las siguientes:

⎛ Vmax = φ r ⎜⎜ 0.2 ⎝ Rθv 2 =

Av f vy d ⎞ ⎟⎟ s ⎠ Av f vy d

f c' b d +

0.05 f c' b d + 0.2 f c' b d +

s Av f vy d s

( 4.20 )

( 4.21 )

100

donde

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE f c' es la resistencia a la compresión del hormigón expresada en MPa, en las '

restantes ecuaciones que se indican para columnas también f c deberá expresarse en MPa,

φr

es el factor de reducción de esfuerzos por corte que es igual a 0.85.

Figura 4.10 Degradación de la capacidad al corte en vigas de hormigón armado.

4.5.2

Relación corte ductilidad para columnas rectangulares

Para el caso de columnas con estribos rectangulares, las ecuaciones son las siguientes:

⎧⎪ ⎞⎫⎪ ⎛ Av f vy d '' Vmax = φ r ⎨0.85⎜ 0.29 f c' 0.8 Ag + cot 30 o − N tan α ⎟⎬ ⎟⎪ ⎜ s ⎪⎩ ⎠⎭ ⎝

Rθv 2

Av f vy d ''

cot 30 − N tan α s = Av f vy d '' ' 0.29 f c 0.8 Ag + cot 30 − N tan α s 0.1 f c' 0.8 Ag +

( 4.22 )

( 4.23 )

''

siendo Ag el área gruesa de la columna, d es la longitud del núcleo del hormigón confinado medido desde los extremos del refuerzo transversal, N es la carga axial que gravita en la columna será positiva si es de tensión y negativa si es de compresión, α es el ángulo entre el eje longitudinal de la columna y la recta que une los puntos del centro donde actúa la fuerza a compresión en el hormigón en el nudo inicial y final. Entonces para determinar α se debe

101

ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO

determinar primero la posición de la resultante de la fuerza a compresión del nudo inicial y final de la columna. En la figura 4.11 se indica el modelo de degradación del cortante en una columna.

1

3

5

7

µθV

Figura 4.11 Degradación de la capacidad al corte en columnas. En la figura 4.11 se aprecian dos curvas, la superior es para el caso de fuerzas sísmicas actuando en un solo sentido es decir la columna está sujeta a flexo compresión uniaxial y la inferior es para el caso de que las fuerzas sísmicas actúan en dos sentidos la columna trabaja a flexo compresión biaxial. Lógicamente para el caso biaxial la degradación de resistencia en el rango inelástico se produce más rápido.

4.5.3

Relación corte ductilidad para columnas circulares

Las ecuaciones de cálculo son muy similares a las indicadas para una columna, Satyarno (2000). El cambio radica en el área del refuerzo transversal de la columna denominado Asp . Estas ecuaciones son las siguientes:

Vmax

⎧⎪ ⎞⎫⎪ ⎛ π Asp f vy d '' ' = φ r ⎨0.85⎜ 0.29 f c 0.8 Ag + cot 30 o − N tan α ⎟⎬ ⎟⎪ ⎜ 2s ⎪⎩ ⎠⎭ ⎝

Rθv 2

π Asp f vy d ''

cot 30 − N tan α 2s = π Asp f vy d '' ' 0.29 f c 0.8 Ag + cot 30 − N tan α 2s 0.1 f 0.8 Ag + ' c

( 4.24 )

( 4.25 )

102

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE

4.6 ACOPLAMIENTO ENTRE EL EFECTO DE CORTE Y DE FLEXION Los extremos de los elementos son los más afectados durante un sismo, ahí se va a producir daño. Sea l p la longitud de la zona dañada en un elemento. Evidentemente que en esta zona de daño la distribución de curvatura no va a ser igual pero se acostumbra considerar que si lo es, en consecuencia se considera curvatura es constante en la longitud l p . Se puede considerar que en la zona de daño la ductilidad por rotación es aproximadamente igual a la ductilidad por curvatura, Satyarno (2000) . Con esta hipótesis la ductilidad por rotación expresada en las figuras 4.9 a 4.11 se considera como demandas de curvatura para poder expresar en un solo gráfico el comportamiento a flexión y el comportamiento a corte. La relación entre el momento a flexión M y el cortante

V viene dado por la luz libre

∗

de corte L , que es la distancia en la cual el diagrama de corte es constante. Para el caso sísmico la luz libre de corte es la distancia desde el extremo de un elemento hasta el punto de inflexión. En el análisis sísmico de una estructura el punto de inflexión va cambiando de posición pero no en una forma drástica, es factible determinar la ubicación exacta del punto de inflexión en un análisis paso a paso. Como aproximación se puede considerar que el punto de inflexión se encuentra en la mitad del elemento. En base a la luz libre de corte

M = V L*

L∗ se tiene que: ( 4.26 )

En consecuencia, en el MC tradicional en el cual se indica la capacidad a flexión de un elemento se incluirá el efecto de corte, utilizando la ecuación ( 4.26 ) para el efecto se debe multiplicar el Vmax o Vmin , indicado en el apartado anterior por la luz libre de corte, que se considera igual a L / 2 , siendo L, la longitud del elemento. Es importante analizar el significado físico que involucra la ecuación ( 4.26 ) y sobre todo la incorporación de los dos diagramas en la relación MC . •

Si la curva de momento proveniente del corte se encuentra sobre la curva de flexión tradicional, la falla que se va a producir primero es de flexión.

•

Si la curva de momento proveniente del corte se encuentra bajo la curva de flexión tradicional, la falla que se va a producir primero es la de corte. En este caso la sección analizada no va a ser capaz de desarrollar su capacidad a flexión.

•

El caso intermedio entre los dos es el más complejo y ocurre cuando el momento debido al corte cruza la curva de flexión. En este caso la resistencia al corte disminuye a medida que se pierde la trabazón del agregado esto se debe al aumento de la curvatura en la sección crítica. El punto de cruce de las dos curvas indica que la sección comenzó a fluir por flexión y luego cambia y se desarrolla una falla por corte. Esto demuestra el acoplamiento entre el corte y la flexión.

4.7

EJEMPLO NUMÉRICO DE FLEXIÓN Y CORTE

Con relación a la viga de 25 cm. por 35 cm., que se analizó en el apartado 4, se desea encontrar ahora la capacidad a flexión y al corte, únicamente para el caso en que la cuantía mecánica q = 0.6 , y

q ' = 0.6 , si la viga tiene una longitud de 5.0 m.; por otra parte se

ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO

103

consideran tres casos de armadura transversal, el primero si el refuerzo está conformado por 1 φ de 10 mm. a 10 cm., cada uno; el segundo caso si los estribos tienen un diámetro de 8 mm., y se encuentran espaciados cada 10 cm., finalmente si los estribos son de 8mm., a 20 cm. La armadura longitudinal permanece constante para los tres casos. Se trabaja con el modelo 2 del hormigón.

Figura 4.12 Comportamiento a flexión y corte de una viga de 25 cm., de base por 35 cm., de altura, con estribos de 10 mm. de diámetro espaciados cada 10 cm. Caso 1.

Figura 4.13 Comportamiento a flexión y corte de una viga de 25 cm., de base por 35 cm., de altura, con estribos de 8 mm. de diámetro espaciados cada 10 cm. Caso 2.

104

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE

En la figura 4.12 se aprecia cual va a ser el comportamiento de la viga para el primer caso, se aprecia que la viga va a desarrollar toda su capacidad a flexión. En este caso la falla que se va a producir es de flexión.

Figura 4.14 Comportamiento a flexión y corte de una viga de 25 cm., de base por 35 cm., de altura, con estribos de 8 mm. de diámetro espaciados cada 20 cm. Caso 3.

Por otra parte en la figura 4.13 se indica el comportamiento de la viga para el caso 2, en que los estribos son de 8 mm., de diámetro. Se aprecia que la viga no desarrolla toda su capacidad a flexión, empezó la viga a incursionar en el rango no lineal y cuando la curvatura era mayor a 0.12 (1 / m.) se produce la falla por corte. El comportamiento de la viga para el caso 3, en que los estribos son de 8 mm., de diámetro espaciados cada 20 cm., es más crítico ya que la viga cuando ha incursionado muy poco en el rango no lineal se produce la falla por corte. En la tabla 4.2, se indica la curvatura de fluencia

φ y , momento de fluencia M y ,

curvatura y momento asociados a la deformación máxima del hormigón, por curvatura

φu , M u ,

ductilidad

µφ , y la rigidez (EI ) 2 indicada en ecuación ( 4.3 ), para los tres casos

analizados en el presente apartado, si no se consideraba la interacción con el corte, es decir solo el efecto de flexión. Tabla 4.2 Ductilidad por curvatura y rigidez que se obtiene sin considerar la interacción con el corte. Caso φ M µ φ M (EI ) y

1 2 3

(1/m.) 0.0185 0.0185 0.0164

y

(T m.) 26.812 26.783 26.665

u

(1/m.) 0.179 0.173 0.145

u

(T m.) 35.858 34.848 32.466

φ

9.68 9.35 8.84

2

( T m2.) 56.361 52.201 45.109

ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO

4.7.1

105

Reducción de la capacidad a flexión por efecto del corte

Las vigas de los casos 2 y 3 del ejemplo desarrollado no van a desarrollar toda su capacidad a corte, ya que como se indicó van a fallar primero por corte. En las figuras 4.15 y 4.16 se presentan la reducción de la capacidad a flexión por el efecto de corte.

Figura 4.15 Reducción de la capacidad a flexión de la viga de 25/35 con estribos de 8 mm. de diámetro espaciadas cada 10 cm.

Figura 4.16 Reducción de la capacidad a flexión de la viga de 25/35 con estribos de 8 mm. de diámetro espaciadas cada 20 cm.

106

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE

En la tabla 4.3 se obtiene la ductilidad por curvatura y la rigidez a flexión para el tramo del modelo trilineal del diagrama MC entre los puntos Y-U, considerando la interacción entre la flexión y el corte. Tabla 4.3 Curvatura, ductilidad y rigidez que se obtiene considerando la interacción con el corte. Caso φ M µ φ M (EI ) y

1 2 3

(1/m.) 0.0185 0.0185 0.0164

y

(T m.) 26.812 26.783 26.665

u

(1/m.) 0.179 0.127 0.0677

u

(T m.) 35.858 32.136 27.579

φ

9.68 6.86 4.13

2

( T m2.) 56.361 49.336 17.817

Al comparar las tablas 4.2 y 4.3 se observa que la ductilidad por curvatura y la rigidez a flexión en el tramo Y-U, disminuyen para los casos 2 y 3, en los que se produce la falla por corte.

4.8

INCORPORACIÓN DEL PUNTO S EN EL DIAGRAMA MC

Luego del análisis de las figuras en las cuales se presentan las relaciones MC, se observa que es necesario modificar el modelo de cálculo indicado en la figura 4.1 e incluir un nuevo punto entre Y-U. Este nuevo punto es el S, que está asociado a la iniciación del trabajo en frío del acero o inicio de la zona de endurecimiento del acero o punto de finalización de la plataforma de fluencia del acero. Con la incorporación de este punto se deben calcular cuatro valores de la rigidez a flexión en lugar de los tres que se tenían en las ecuaciones (4.1) a ( 4.3). En la figura 4.17 se indica el nuevo modelo de cuatro rectas para la relación MC, para el caso 1, de la viga de 25/35 que se ha estudiado en el apartado anterior. Vale la pena comparar esta figura, con la figura 4.14.

Figura 4.17 Modelo de cuatro rectas para la relación momento curvatura de la viga del caso 1.

107

ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO

En la figura 4.18, a la izquierda se presenta el nuevo modelo MC, para el caso 2, y a la derecha para el caso 3. Nuevamente al comparar esta figura con las figuras 4.15 y 4.16 se aprecia que se modela de mejor manera con 4 rectas el diagrama MC.

Figura 4.18 Modelo de cuatro rectas para la relación MC de la viga de los casos 2 y 3.

Tabla 4.4 Deformaciones en el hormigón asociadas a los puntos notables Y-S-U, para los tres casos analizados de la viga de 25/45, con igual armadura longitudinal pero diferente armadura transversal.

Caso

Punto Y

Punto S

Punto U

1 2 3

0.0017 0.0017 0.0017

0.0034 0.0034 0.0034

0.00934 0.0066 0.0042

εc

εc

εc

En la tabla 4.4 se indica la deformación en el hormigón para los puntos notables Y-S-U, considerando la interacción corte-flexión, para los tres casos desarrollados. Evidentemente que para el caso 3, el hormigón no trabaja casi nada en el rango no lineal, por la falla de corte.

4.9 EJEMPLO CON UN COLUMNA En la figura 4.19 se indican los diagramas momento curvatura para el caso de cuatro columnas que tienen la misma sección transversal (40/40) pero las cuantías de acero ρ varían desde el 1% hasta el 4%. Para los cuatro casos, el refuerzo transversal está compuesto por un simple estribo de 8 mm. de diámetro espaciado a 30 cm. La carga axial que gravita en la columna es de 60 T. El hormigón utilizado tiene una resistencia a la compresión de 21 MPa y el acero tiene un límite de fluencia de 420 MPa, es decir los materiales empleados son los mismos del ejemplo anterior. La columna tiene una longitud de 3.0 m. En la figura 4.19 se aprecia que cuando el refuerzo longitudinal de las columnas es del 1%, 2% y 3%, la falla se produce por flexión, pero para el caso en que la armadura longitudinal es del 4% la falla que se produce es de corte y la columna no es capaz ni siquiera de alcanzar el momento de fluencia. En la tabla 4.5 se indica los valores de momento y curvatura para los puntos A, Y, S y U, para la columna con una cuantía ρ = 4% , sin considerar la interacción con el corte y considerando la interacción. En construcciones antiguas no es raro encontrar columnas con la armadura longitudinal y transversal descrita en este caso, en las cuales la falla se va a dar por

108

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE

corte. Evidentemente que en este tipo de construcciones, el reforzamiento estructural estará orientado a darle una mayor resistencia al corte.

Figura 4.19 Falla por corte en una columna que tiene una cuantía de acero del 4%.

Tabla 4.5 Valores de Momento y Curvatura para una columna sin considerar el efecto de corte y considerando dicho efecto.

φA

SIN CONSIDERAR LA INTERACCION CON EL EFECTO DE CORTE Punto A Punto Y Punto S Punto U

MA

(1/m.) 0.000019

φA

Punto A

(1/m.) 0.000019

4.10

(Tm.) 11.88

φY

MY

φS

MS

(1/m.) (Tm.) (1/m.) (Tm.) 0.000163 51.30 0.000164 51.81 CONSIDERANDO EL EFECTO DE CORTE Punto Y Punto S

MA

φY

MY

φS

MS

(Tm.) 11.88

(1/m.) 0.000145

(Tm.) 45.57

(1/m.) 0.000145

(Tm.) 45.57

φU (1/m.) 0.000465

MU (Tm.) 52.89

Punto U

φU (1/m.) 0.000145

MU (Tm.) 45.57

CONCLUSIONES

Se ha presentado la variación del diagrama MC en función de la variación de la cuantía mecánica a tracción y de la cuantía mecánica a compresión encontrándose que la resistencia se incrementa conforme la cuantía mecánica a tracción se incrementa pero la ductilidad por curvatura disminuye. Por otra parte se ha visto que conforme la cuantía mecánica a

ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO

109

compresión se incrementa la resistencia y ductilidad también se incrementan, para el caso de vigas. Por otro lado, se ha visto que con el modelo de hormigón confinado de Park et al de 1982, los diagramas MC, reportan mayores resistencias y ductilidades con relación al que se obtiene con el modelo de hormigón confinado de Kent y Park de 1971, pero el incremento no es notable. Finalmente pero a su vez lo más importante de este estudio es la incorporación del efecto de corte en el efecto de flexión, del estudio realizado se desprenden las siguientes conclusiones: •

En elementos con una baja capacidad al corte, la falla se va a producir por corte y se reduce la capacidad a flexión del mismo, lo que implica disminución de la ductilidad por curvatura, disminución de la rigidez a flexión en el rango del modelo trilineal comprendido entre los puntos Y-U, disminución del momento M u y curvatura φu .

•

Las estructuras construidas hace más de dos décadas tienen poca armadura transversal y bastante armadura longitudinal. En consecuencias en esas estructuras es fundamental la incorporación del efecto de corte al de flexión, en los modelos numéricos de cálculo.

•

Si se está pensando en mejorar los programas de análisis no lineal con la incorporación del efecto de corte en la relación MC, vale la pena también pensar en mejorar el modelo trilineal A-Y-U, con la incorporación del punto S.

AGRADECIMIENTO El autor desea dejar constancia de su agradecimiento al Dr. José Ignacio Restrepo, Profesor Asociado de la Universidad de California, San Diego, por la documentación facilitada sobre la incorporación del efecto de corte en los diagramas MC, tema que el lo trabajó extensamente en la Universidad de Canterbury en Nueva Zelanda en el 2000, conjuntamente con el Dr. A. J. Carr y el Dr. I. Satyarno. Además de ello por todas las consultas realizadas vía Interned, poderoso medio de comunicación del siglo XXI que permite hacer investigación científica a la distancia.

REFERENCIAS 1. Aguiar R. (2002), “Sistema de Computación CEINCI3 para evaluar daño sísmico en los Países Bolivarianos”, Centro de Investigaciones Científicas. Escuela Politécnica del Ejército, 302 p, Valle de los Chillos. 2. Collins M. and Mitchell D. (1997), “Prestressed concrete structures”, Response Publication , 766 p, Canada. 3. Hakuto S., Park R. and Tanaka H. (1995), “Retroftiting of reinforced concrete moment resisting frames”, Research Report 95-4, Dept. of Civil Engineering, University of Canterbury, 390 p, New Zealand. 4. Ichinose T.(1992), “A shear design equation for ductile R/C members”, Earthquake Engineering and Structural Dynamics, Vol 21, 197-214. 5. Kent D. and Park R. (1971), “Flexural members with confined concrete'', Journal of Structural Engineering ASCE, 97 ST7, 1969-1990.

110

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE

6. Kunnath S., Reinhorn A. and Lobo R. (1992), “IDARC Version 3.0: A Program for the Inelastic Damage Analysis of Reinforced Concrete Structures'', National Center for Earthquake Engineering Research, State University of New York, Technical Report NCEER-92-0022. 7. NZS 4203:1996, (1996) “Code of Practice for General Structural Design and Design Loadings for Buildings”, Standards Association of New Zeland. 8. Park Y., Reinhorn A. and Kunnath S. (1987), “IDARC: Inelastic damage analysis of reinforced concrete frame shear-wall structures'', National Center for Earthquake Engineering Research, State University of New York, Technical Report NCEER-870008. 9. Park R., Priestley M., Gill W. D., (1982), “Ductility of Square Confined Concrete Columns”, Journal of Structural Division, ASCE, 108 (4), 929-950. 10. Priestley M. and Calvi M. (1991), “Toward a capacity design assessment procedure for reinforced concrete frames”, Earthquake Spectra, 77 (3), 413-437. 11. Priestley M. and Seible F. (1994), “Seismic assessment of existing bridges”, Proc. of the Second International Workshop held in Queenstown, 447-471, New Zealand. 12. Satyarno I. (2000), “Adaptive pushover analysis for the seismic assessment of older reinforced concrete buildings”, Ph.D Tesis, Department of Civil Engineering, University of Canterbury, 260 p, 2000. 13. Vecchio F. and Collins M. (1986), “The modified compression field theory for reinforced concrete elements subjected to shear”, ACI. Journal, 83 (2), 219-231. 14. Vecchio F. and Collins M. (1988), “Predicting of reinforced concrete beams subjected to shear using modified compression field theory”, ACI Journal, 85 (3), 258-268.

CAPÍTULO 5

CAPACIDAD SISMICA ESPACIAL DE LAS ESTRUCTURAS

RESUMEN

Se presentan dos modelos para encontrar la curva de capacidad sísmica resistente en estructuras espaciales. El primer modelo considera que la estructura en tres dimensiones tiene en total tres grados de libertad y el segundo modelo en cambio considera tres grados de libertad pero por cada una de las plantas del edificio. Para los dos modelos es necesario encontrar la curva de capacidad resistente de cada uno de los pórticos planos empleando cualquier programa en dos dimensiones y aplicando la Técnica del Pushover con cualquier modelo de plasticidad extendida y de ella, se obtiene un modelo bilineal en el que se define el punto de fluencia del pórtico, la rigidez elástica del mismo y la rigidez post fluencia. Se presenta el marco teórico y ejemplos desarrollados manualmente para cada uno de los dos modelos y para facilitar el cálculo se ha desarrollado los programas ESPACIAL que sirve para el modelo 1 y el programa ESPACIA3 para el modelo 2. En los dos modelos se considera que cada uno de los pórticos es un elemento de una estructura que tiene una losa rígida que une a estos elementos. Para verificar la bondad de los modelos se encuentra la curva de capacidad sísmica resistente en tres estructuras de 6 pisos con los dos modelos y con el que reporta el programa Ruaumoko. Por otra parte, se ha obtenido la curva de capacidad resistente de estructuras, cuyo centro de resistencia no coincide con el centro de masa; y se analizan los resultados en el rango no lineal, en términos del desplazamiento lateral de cada uno de los pórticos. Finalmente se presentan varios criterios con los cuales se encuentra el modelo bilineal de la curva de capacidad resistente de una estructura.

112

5.1

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE INTRODUCCIÓN

La tendencia futura del análisis sísmico de edificios, a nivel mundial, será la realización de un análisis no lineal dinámico. Se podría decir que, actualmente, nos encontramos en la época de transición entre el análisis lineal, con algunas variantes para predecir comportamiento no lineal, y el análisis no lineal dinámico. Época de transición en que se están desarrollando varios métodos de cálculo sísmico basados en el análisis no lineal estático, Fajfar (2000), Reinhorn (1997), ATC-40 (1996), Chopra y Goel (1999, 2000), Li et al (1999), Aguiar (2002, a). Métodos como el Espectro de Capacidad, Sistema Equivalente, Eje de Corte, entre otros, que se fundamentan en la curva de capacidad resistente de la estructura que relaciona el Cortante Basal V con el Desplazamiento Lateral Máximo Dt , la misma que se obtiene aplicando la técnica conocida en lengua inglesa como “pushover” y en la lengua de Cervantes como técnica del “colapso incremental”. Normalmente se ha venido trabajando el caso del pushover plano, Aguiar (2002, b), ahora en este capítulo se presenta el caso del pushover espacial. Para el caso plano, las fuerzas laterales se aplican en un nudo a nivel de cada piso. Para el caso espacial, estas fuerzas laterales se aplicarán en el Centro de Masas, CM, de cada piso para el modelo 2 y en el CM del último piso para el modelo 1.

2 3

8 1

4

12 7 11

3 6 2

10 5 9

1

Figura 5.1 Modelos considerados para encontrar la curva de capacidad sísmica en 3D.

En la figura 5.1 se presenta una estructura de cuatro pisos compuesta por cuatro pórticos dos en sentido X y dos en sentido Y. Los modelos que se desarrollan en este capítulo pueden ser aplicados a estructuras con cualquier número de pórticos. A la izquierda de la figura 5.1 se indican los grados de libertad que se consideran para en el modelo 1 y a la derecha los grados de libertad para el modelo dos. En el modelo 1 los tres grados de libertad son una componente de desplazamiento horizontal en sentido X que se ha notado con el número 1, una componente de desplazamiento horizontal en sentido Y que se ha identificado con el número 2 y una rotación de piso alrededor de un eje vertical que se ha denotado con el número 3. Para el modelo 2 se consideran los mismos grados de libertad pero en cada uno de los pisos. Nótese que en el modelo 2, los grados de libertad se numeran primero los desplazamientos horizontales en X, luego los en Y, finalmente las rotaciones de piso, para los tres casos se ha empezado la numeración desde el primer piso hasta el último piso.

113

ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO

A los sistemas de coordenadas indicados en la figura 5.1 tanto para el modelo 1, izquierda, como para el modelo 2, derecha. Se les va a denominar sistema Q-q, donde la Q representa el vector de cargas generalizadas y la q representa el vector de coordenadas generalizadas, Aguiar (1995). El vector de cargas está conformado por las fuerzas y momentos en cambio el vector de coordenadas está constituido por los desplazamientos y giros. Todo esto en coordenadas de piso. El sentido positivo del sistema Q-q es el indicado en la figura 5.1

5.2

ANÁLISIS PLANO

Para encontrar la curva de capacidad resistente espacial es necesario analizar cada uno de los pórticos en forma aislada y encontrar la respectiva curva de capacidad sísmica resistente, pero para el caso plano; para ello se procederá como se indica en la figura 5.2. Una vez que se tiene la curva de capacidad, se encuentra un modelo bilineal equivalente aplicando alguno de los criterios existentes. Se recomienda utilizar el criterio de iguales áreas para encontrar el modelo bilineal y específicamente el punto que define el límite elástico del pórtico que tiene un desplazamiento de fluencia d ty y un cortante de fluencia v y . Las pendientes del modelo bilineal representan la rigidez elástica k e y de post fluencia

k p , respectivamente. Para fines de explicación se denomina k a la rigidez de un pórtico plano y se tendrá que contrario

k = k e , si el desplazamiento lateral máximo del pórtico es menor a d ty caso

k = k p . Esto para el modelo 1. k = ke

Si

dt ≤ d ty

k = kp

Si

d t > d ty

( 5.1 )

v

140

v (Ton) C o rta n te B a s a l (T o n )

120 100 80

vy 60 40 20 0 0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

dty

dt (m)

dt

Figura 5.2 Esquema de cálculo de un pushover plano y el modelo bilineal equivalente.

k i de cada una de las plantas del pórtico plano tanto para el rango elástico como para el rango plástico. La rigidez de piso k i Para el modelo 2 se necesita encontrar la rigidez de piso

se obtiene como la relación entre el cortante de piso dividido para el desplazamiento relativo de piso. Esto se lo obtiene del análisis con la técnica del pushover para un punto cercano al de fluencia. El programa ESPMBCAP reporta la rigidez en cada uno de los pisos para cualquier desplazamiento lateral máximo de la estructura. Previamente se debe haber corrido el

114

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE

programa CAPACIDA que obtiene la curva de capacidad resistente sísmica en el plano. Para el rango plástico la rigidez de piso se puede hallar en forma proporcional al modelo bilineal. Es decir del modelo bilineal indicado a la derecha de la figura 5.2 se encuentra el valor de η que es la relación entre la rigidez plástica

k p con respecto a la rigidez elástica k e . El valor de η se

multiplicara por la rigidez de piso para tener la rigidez de piso para el rango inelástico. Resumiendo está última parte, se tiene:

ki =

Vi d i − d i −1

α=

kp ke

ki = η

5.3

( 5.2 )

Vi d i − d i −1

Si

d t > d ty

ECUACIONES GENERALES PARA LOS DOS MODELOS

Para el modelo 1, el vector de cargas horizontal en sentido X, que se denomina

Q tiene tres elementos: el primero es la fuerza

Fx , el segundo la fuerza horizontal en sentido Y, Y,

Fy ; y el Momento Torsor. Cuando se desee obtener la curva de capacidad resistente con relación al eje X, únicamente tendrá valor

Fx y los restantes valores de Q son nulos. Para el

caso en que se desee encontrar la curva de capacidad con relación al eje Y, la cantidad diferente de cero será Fy . Para el modelo 2, el orden del vector de cargas Q es igual a 3 multiplicado por el Número de Pisos, NP. Las primeras NP filas corresponden a las fuerzas horizontales a aplicarse en cada uno de los pisos en sentido X, de tal manera que estas tendrán valores diferentes de cero si el objetivo es hallar la curva de capacidad sísmica resistente en sentido X, las restantes filas de Q serán cero. Las siguientes NP filas corresponden a las fuerzas horizontales en sentido Y que tendrán valores cuando se desea encontrar la curva de capacidad sísmica en sentido Y, y las finales NP filas serán para los momentos de torsión que para el caso que nos interesa que consiste en aplicar la Técnica del Pushover serán nulas. Sea KE la matriz de rigidez en coordenadas de piso, para el modelo 1, la matriz KE será de 3X3. En cambio para el modelo 2. Está matriz KE será de 3 NPX 3 NP. Por ejemplo para una estructura de 4 pisos como la mostrada en la figura 5.1 para el modelo 1, la matriz KE es de 3X3 y para el modelo 2 es de 12X12. La matriz KE , relaciona el vector de cargas Q , con el vector de coordenadas q , de la siguiente manera, Aguiar (1995).

Q = KE q

( 5.3 )

En el Análisis Estático No Lineal, la matriz de rigidez KE es la que va cambiando de acuerdo a como los elementos se van dañando. Mientras la estructura permanezca en el rango elástico la matriz KE no cambia pero cuando ingresa algún elemento al rango inelástico ya cambia. En la ecuación (5.3) se conoce el vector de cargas Q y la matriz de rigidez KE , el

115

ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO

vector de coordenadas de ecuaciones lineales.

q no se lo conoce y se lo obtiene mediante la solución de un sistema

Para el caso plano se había notado con la letra d los desplazamientos laterales de cada piso, Aguiar (2002 b), esta notación se mantuvo hasta el apartado anterior. Ahora a las coordenadas laterales de piso se van a denominar con la letra p . La relación que existe entre el vector de coordenadas de piso q y el desplazamiento lateral de un pórtico p viene dado por el vector de compatibilidad de deformación A de la siguiente manera:

p= A q

( 5.4 )

En forma general el procedimiento de aplicación de la Técnica del Pushover con los dos modelos que se han planteado en este capítulo es el siguiente. 1. Se determina el vector de cargas generalizadas Q . (i )

2. Se obtiene la matriz de rigidez de cada pórtico, k para el modelo 1, tiene un solo elemento en cambio para el modelo 2 es de orden NPxNP y es la matriz de rigidez lateral. (i )

3. Se halla la matriz de compatibilidad de cada pórtico A . 4. Se encuentra la matriz de rigidez en coordenadas de piso KE . n

KE = ∑ A ( i ) t

k (i )

A(i )

( 5.5 )

i =1

5. Se resuelve el sistema de ecuaciones indicado en (5.3) y se determina los desplazamientos y giros en coordenadas de piso q . 6. Se determina los desplazamientos laterales en cada pórtico p multiplicando la matriz de compatibilidad del pórtico por el vector de coordenadas de piso, ecuación ( 5.4 ). Para el modelo 1 el vector p tiene un solo elemento en cambio para el modelo 2 este vector tiene NP elementos. 7. Se encuentra el desplazamiento máximo del vector p para compararlo con el desplazamiento de fluencia del pórtico

d ty . Si es menor que d ty se mantiene la matriz

de rigidez del elemento y si es mayor se cambia esta matriz. 8. Se continúa con el proceso de cálculo, incrementando la carga lateral a aplicarse en las coordenadas de piso y se repite el proceso de cálculo hasta que un pórtico llegue al colapso.

5.4

DESCRIPCIÓN DEL MODELO 1

En la figura 5.3, se tiene una estructura espacial compuesta por cuatro pórticos. Se denomina α el ángulo que forma la orientación positiva del pórtico con relación al eje X. Por otra parte se llama r la distancia que existe del CM al pórtico, será positivo si la orientación positiva del pórtico rota con relación al CM en forma antihoraria. La orientación positiva de los pórticos es aquella que es paralela a los ejes X, Y. La forma del vector de compatibilidad de deformaciones A para el pórtico i, es la siguiente, Aguiar (1989).

A (i ) = [Cosα

Senα

r]

( 5.6 )

116

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE

Figura 5.3 Notación de los ejes de coordenadas de piso y la orientación positiva de los pórticos.

La matriz de rigidez KE , se obtendrá del siguiente triple producto matricial. n

KE = ∑ A ( i ) t

k (i )

A(i )

i =1

donde n es el número de pórticos de la estructura. La matriz KE va cambiando de acuerdo al desplazamiento lateral de cada pórtico, inicialmente todos los pórticos trabajan con la rigidez elástica k e pero después, de acuerdo a como van ingresando al rango no lineal, cambian su rigidez a k p . El cálculo se va realizando en forma incremental, aplicando cargas horizontales en el CM, hasta llevar al colapso a la estructura.

5.4.1 Ejemplo número 1 Se desea encontrar la curva de capacidad resistente en sentido X, de la estructura de cinco pisos, cuya configuración en planta se indica en la figura 5.4. Por facilidad, cada uno de los pórticos se considera que tienen igual resistencia, tanto en sentido X como en sentido Y. Los valores que definen al modelo bilineal de uno de los pórticos se indican en la tabla 5.1. Tabla 5.1 Datos del modelo bilineal de un pórtico tipo de la estructura de la figura 5.4. Punto de Fluencia Rigidez Elástica Rigidez Post Fluencia

d ty

vy

ke

kp

0.1017 m.

58.05 T.

571.08 T/m.

22.89 T/m.

En la figura 5.4 se indica el CM, que dicho sea de paso coincide con el centro de gravedad de la planta para el ejemplo. Se indican además los tres grados de libertad considerados. Con respecto al CM, en la Tabla 5.2, se indican la distancia a cada uno de los pórticos y el ángulo α que sirve en primer lugar para determinar el vector A de cada pórtico y luego la matriz de rigidez KE .

117

ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO

Figura 5.4 Distribución en planta de estructura de cinco pisos conformada por vigas y columnas. Tabla 5.2 Valores de Pórtico 1 2 3 4 A B C D

α

en grados y distancia

α

r

a cada uno de los pórticos desde el CM

r

0 0 0 0 90 90 90 90

-6.0 m. -2.0 m. 2.0 m. 6.0 m. -6.0 m. -2.0 m. 2.0 m. 6.0 m.

Con los datos indicados en las tablas 5.1 y 5.2 se obtiene la siguiente matriz de rigidez:

⎡2284.32 KE = ⎢⎢ 0.00 ⎢⎣ 0.00

0.00 2284.32 0.00

0.00 ⎤ 0.00 ⎥⎥ 91372.80⎥⎦

Al aplicar una fuerza horizontal en sentido X de 1 T., la estructura se desplaza 0.000437 m. en sentido X, no se desplaza en sentido Y ni rota. La solución del sistema de ecuaciones a resolver, para encontrar los desplazamientos, es la siguiente:

⎡1.0 ⎤ ⎡2284.32 ⎢0.0⎥ = ⎢ 0.00 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢⎣0.0⎥⎦ ⎢⎣ 0.00

0.00 2284.32 0.00

0.00 ⎤ 0.00 ⎥⎥ 91372.80⎥⎦

⎡q1 ⎤ ⎢q ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢⎣q3 ⎥⎦

⎡q1 = 0.000437 ⎤ ⇒ ⎢⎢q 2 = 0.000 ⎥⎥ ⎢⎣q3 = 0.000 ⎥⎦

Los pórticos 1, 2, 3 y 4 se mueven exactamente lo mismo 0.000437 m. Por los datos del ejercicio la rigidez elástica se mantiene constante hasta tener un desplazamiento lateral de

118

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE

0.1017 m. Como se está trabajando en el rango elástico, se obtiene directamente mediante una regla de tres, la fuerza horizontal con la cual se llega al desplazamiento de fluencia. Esta fuerza es de 232.20 T. Al aplicar dicha fuerza se encuentran los siguientes desplazamientos y giro.

⎡232.20⎤ ⎡2284.32 ⎢ 0 .0 ⎥ = ⎢ 0.00 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢⎣0.0 ⎥⎦ ⎢⎣ 0.00

0.00 2284.32 0.00

0.00 ⎤ 0.00 ⎥⎥ 91372.80⎥⎦

⎡q1 = 0.1017 ⎤ ⇒ ⎢⎢q 2 = 0.000 ⎥⎥ ⎢⎣q3 = 0.000 ⎥⎦

⎡q1 ⎤ ⎢q ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢⎣q 3 ⎥⎦

Este cálculo en un programa de ordenador se lo realiza en forma incremental; es decir, la fuerza horizontal de 1 T., se continuaría aplicando en cada ciclo de carga y los desplazamientos laterales que se van obteniendo se van acumulando. En este ejercicio todos los pórticos en sentido X alcanzan simultáneamente el punto de fluencia, debido a que tienen la misma resistencia. Cuando esto sucede empiezan a trabajar con la rigidez post fluencia k p . Se destaca que los pórticos en sentido Y se mantienen en el rango elástico. A partir del Cortante Basal de 232.20 T, la matriz de rigidez en coordenadas de piso pasa a valer:

⎡91.56 KE = ⎢⎢ 0.00 ⎢⎣ 0.00

0.00 2284.32 0.00

0.00 ⎤ 0.00⎥⎥ 47517.60 ⎥⎦

Con esta matriz de rigidez KE se mantendrá hasta alcanzar el colapso, la misma que se considera cuando el desplazamiento lateral en el tope es 5% de la altura del edificio. La altura total del edificio que se está analizando es de 15 m. En consecuencia, el desplazamiento de fallo es 0.75 m. Por lo tanto, el desplazamiento inelástico es de 0.75-0.1017=0.6483. Al aplicar una carga de 1 T., en el rango inelástico, se tiene ahora que el desplazamiento horizontal en sentido X es de 0.01092 m. Procediendo de igual manera que el caso elástico, la fuerza con la que se llega al colapso es de 59.37 T.

⎡59.37 ⎤ ⎡91.56 ⎢0.0 ⎥ = ⎢ 0.00 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢⎣0.0 ⎥⎦ ⎢⎣ 0.00

0.00 2284.32 0.00

0.00⎤ 0.00 ⎥⎥ 47517.60 ⎥⎦

⎡q1 ⎤ ⎢q ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢⎣q3 ⎥⎦

⎡q1 = 0.648 ⎤ ⇒ ⎢⎢q 2 = 0.000⎥⎥ ⎢⎣q3 = 0.000 ⎥⎦

Existen varios criterios para determinar el punto de fallo o de colapso de una estructura; aquí, se ha considerado 5% de la altura total. Lo mejor es ver el daño en la estructura que se va produciendo al realizar el pushover en cada uno de los pórticos y determinar el fallo. Es muy probable que se produzca un mecanismo antes o después del 5% de la altura pero, para no distraer la atención, se consideró la cantidad indicada como para definir el fallo de la estructura. En la figura 5.5 se indica la curva de capacidad resistente de la estructura de cinco pisos que se ha analizado. Se destaca que como se trabajó con modelos bilineales para la capacidad resistente de los pórticos, también se ha obtenido un modelo bilineal. En realidad es una curva que se aproxima bastante al modelo indicado en la figura 5.5.

119

ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO

Figura 5.5 Curva de Capacidad Resistente de la estructura de 5 pisos indicada en la figura 5.4 y que corresponde al ejemplo N. 1

5.4.2 Ejemplo número 2 Encontrar la curva de capacidad sísmica resistente en sentido Y de la estructura indicada en la figura 5.6 que corresponde a una edificación de 2 pisos si la rigidez elástica e inelástica al igual que los desplazamientos de fluencia y de colapso de cada pórtico son los indicados en la tabla 5.3. (Examen tomado a los alumnos de VIII Nivel de Ingeniería Civil el 16 de Enero de 2004).

A

B 1

CM 2

5m Figura 5.6 Descripción de la estructura de 2 pisos e identificación de los pórticos.

120

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE

Tabla 5.3 Parámetros que definen el modelo bilineal de la curva de capacidad sísmica resistente Pórtico kp d ty ke d tu (T/m) 500 500 600 600

1 2 A B

(T/m) 25 25 30 30

En la tabla 5.4 se indica el ángulo y la matriz de compatibilidad respectiva.

(m) 0.06 0.06 0.07 0.07

(m) 0.12 0.12 0.12 0.12

α , la distancia r , del CM a cada uno de los pórticos

Tabla 5.4 Matriz de compatibilidad de los pórticos

Pórtico

α

r

1

0

-2.0

2

0

2.0

A

90

-2.5

B

90

2.5

A

(1)

A

A(i ) = [1 0

( 2)

= [1

A ( A) = [0 A

(B)

= [0

0 1 1

− 2] 2]

− 2.5] 2.5]

Para el rango elástico la matriz de rigidez resulta:

⎡1000.0 KE = ⎢⎢ 0.0 ⎢⎣ 0.0

0 .0 1200.0 0 .0

0 .0 ⎤ 0.0 ⎥⎥ 11500.0 ⎥⎦

Nótese que el término KE (1,1) es igual a la suma de la rigidez de los pórticos en sentido X, el término KE ( 2,2) es igual a la suma de la rigidez de los pórticos en sentido Y. 2

Finalmente el término KE (3,3) es igual a la suma del producto r por la respectiva rigidez. Al aplicar una carga de 1 T en sentido Y, los desplazamientos que se obtienen son:

⎡0 ⎤ Q = ⎢⎢1 ⎥⎥ ⎢⎣0⎥⎦

⎡0⎤ ⎡1000.0 ⇒ ⎢⎢1 ⎥⎥ = ⎢⎢ 0.0 ⎢⎣0⎥⎦ ⎢⎣ 0.0

0.0⎤ ⎡q1 ⎤ 1200.0 0.0 ⎥⎥ ⎢⎢q 2 ⎥⎥ 0.0 11500.0 ⎥⎦ ⎢⎣q 3 ⎥⎦ 0.0

⎡q1 = 0.00000 ⎤ ⇒ ⎢⎢q 2 = 0.00083⎥⎥ ⎢⎣q 3 = 0.00000⎥⎦

El desplazamiento de fluencia de los pórticos en sentido Y es 0.07. En consecuencia para alcanzar este valor se debe aplicar una fuerza lateral de 84.03 T. La misma que se obtiene dividiendo 0.07 para 0.00083. Al aplicar esta fuerza se tiene:

⎡0.00 ⎤ Q = ⎢⎢84.03⎥⎥ ⎢⎣0.00 ⎥⎦

⎡0.00 ⎤ ⎡1000.0 ⇒ ⎢⎢84.03⎥⎥ = ⎢⎢ 0.0 ⎢⎣0.00 ⎥⎦ ⎢⎣ 0.0

0.0⎤ ⎡q1 ⎤ 1200.0 0.0 ⎥⎥ ⎢⎢q 2 ⎥⎥ 0.0 11500.0 ⎥⎦ ⎢⎣q 3 ⎥⎦ 0 .0

⎡q1 = 0.00 ⎤ ⇒ ⎢⎢q 2 = 0.07 ⎥⎥ ⎢⎣q 3 = 0.00 ⎥⎦

121

ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO

Luego asociado al cortante basal de 84.03 T., el desplazamiento lateral máximo es 0.07m. El desplazamiento de colapso de la estructura es 0.12 m. Por lo tanto puede incursionar en el rango inelástico 0.05 m. Para el rango inelástico la rigidez de los pórticos en sentido X se mantiene lo que cambia es la rigidez en sentido Y. La nueva matriz de rigidez será:

⎡1000.0 KE = ⎢⎢ 0.0 ⎢⎣ 0.0

0 .0 60.0 0 .0

0.0 ⎤ 0.0 ⎥⎥ 4375.0⎥⎦

Ahora al aplicar la fuerza de 1 T. en sentido Y, el desplazamiento lateral que se obtiene es 0.01667 y para llegar al colapso la fuerza que se debe aplicar es 3.0 T. ( 0.05/0.01667).

⎡0.00⎤ Q = ⎢⎢3.00 ⎥⎥ ⎢⎣0.00⎥⎦

⎡0.00⎤ ⎡1000.0 ⇒ ⎢⎢3.00 ⎥⎥ = ⎢⎢ 0.0 ⎢⎣0.00⎥⎦ ⎢⎣ 0.0

0 .0 60.0 0 .0

0.0 ⎤ ⎡q1 ⎤ 0.0 ⎥⎥ ⎢⎢q 2 ⎥⎥ 4375.0⎥⎦ ⎢⎣q 3 ⎥⎦

⎡q1 = 0.00 ⎤ ⇒ ⎢⎢q 2 = 0.05⎥⎥ ⎢⎣q 3 = 0.00 ⎥⎦

El cortante basal acumulado es 87.03 T., y el desplazamiento lateral asociado es 0.12m. En la figura 5.7 se indica la respectiva curva de capacidad en sentido Y.

Figura 5.7 Curva de Capacidad Sísmica Resistente en Sentido Y de Ejemplo N. 2

5.4.3 Programa ESPACIAL Para encontrar la curva de capacidad resistente en forma espacial, para el Modelo 1, a partir de las curvas de capacidad de los modelos bilineales de los pórticos. Se ha desarrollado un programa de computación denominado ESPACIAL. Para usar este programa se debe preparar el archivo de datos con el siguiente formato. •

Título del problema Se dispone de 80 caracteres alfanuméricos para identificar el problema.

122 •

Datos Generales del edificio, formato libre libre libre libre

•

NP = Número de pórticos de la estructura. H = Altura total del edificio en metros. NPX = Número de pórticos en sentido X.

Datos de los pórticos, formato libre. Primero indicar los datos de los pórticos en X. libre libre

•

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE

α r

libre

= Ángulo que forma la orientación positiva del pórtico con el eje X = Distancia del Centro de Masa al pórtico. Positivo si la orientación positiva rota con respecto al Centro de Masa en forma antihorario. k e = Rigidez elástica del pórtico.

libre

k p = Rigidez post fluencia del pórtico.

libre

d ty = Desplazamiento de fluencia del pórtico.

libre

d tu = Desplazamiento asociado al colapso del pórtico.

Fuerza estática a aplicar en cada ciclo de carga, formato libre

libre libre

FX = Fuerza Horizontal en Sentido X. FY = Fuerza Horizontal en Sentido Y.

Si se desea encontrar la curva de capacidad resistente sísmica con relación al eje X, se colocará un valor para FX y cero para FY. Por el contrario, si se desea encontrar la curva de capacidad resistente con respecto al eje Y, el valor de FX será nulo y únicamente habrá valor en FY. No se pueden tener valores en las dos variables. FX o FY, son las fuerzas horizontales que se van a aplicar a la estructura en cada incremento de carga lateral hasta llegar al colapso. El archivo de datos para la estructura del Ejemplo N. 1, es la siguiente: •

Archivo de datos para ejemplo 1

PUSHOVER ESPACIAL DE UN EDIFICIO DE 5 PISOS. EJEMPLO 1 8 15.00 4 0 6.0 571.08 22.89 0.1017 0.75 0 2.0 571.08 22.89 0.1017 0.75 0 -2.0 571.08 22.89 0.1017 0.75 0 -6.0 571.08 22.89 0.1017 0.75 90 6.0 571.08 22.89 0.1017 0.75 90 2.0 571.08 22.89 0.1017 0.75 90 -2.0 571.08 22.89 0.1017 0.75 90 -6.0 571.08 22.89 0.1017 0.75 1 0.0 Se recomiendan utilizar el programa CAPACIDA para encontrar la curva de capacidad resistente de un pórtico plano y el programa MBCAP para definir el modelo bilineal. Estos programas se encuentran detallados en Aguiar (2002, b). El programa ESPACIAL forma parte del sistema de computación CEINCI4 que analiza el desempeño sísmico de estructuras, en tres dimensiones.

123

ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO

5.5

DESCRIPCIÓN DEL MODELO 2

En la figura 5.8 se indica a la izquierda las coordenadas de piso que se ha denominado sistema Q − q y a la derecha las coordenadas de un elemento que se ha llamado sistema

P − p . En este caso la rigidez de un elemento es la matriz de rigidez lateral KL que es aquella matriz asociada a las coordinas laterales de piso, con esta matriz se obtiene la matriz de rigidez en coordenadas de piso KE 4 8 4

12

3 7 11

3 2 6 2

10

1

5 9

1

Q-q

P-p

Figura 5.8 Coordenadas de la Estructura y Coordenadas de un Elemento n

KE = ∑ A ( i ) t KL( i ) A ( i ) i =1

(i )

donde n es el número de pórticos de la estructura (elementos), A es la matriz de compatibilidad del pórtico i, que relaciona las coordenadas laterales de un pórtico con las coordenadas de piso de la estructura. La forma de la matriz

A (i )

A (i ) es la siguiente:

Senα ⎡Cosα ⎢ Cosα Senα =⎢ ⎢ ...... ..... ⎢ Cosα Senα ⎣

siendo

α

r1 r2

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ .... ⎥ rn ⎦

( 5.7 )

es el ángulo que forma la orientación positiva del pórtico con el eje de las X. Para

pórticos paralelos al eje X este ángulo vale

0 0 y para pórticos perpendiculares al eje X vale

90 0 . Por otra parte r j es la distancia desde el Centro de Masa al pórtico en el piso j, será positiva si la orientación del pórtico rota con respecto al centro de masa en sentido horario.

124

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE La matriz de rigidez lateral KL en función de la rigidez de piso k j , puede obtenerse

en forma aproximada con la ecuación (5.8). Donde k1 , k 2 , k 3 ,...k n son la rigidez del piso uno, dos, tres,…. y del último piso.

⎡k1 + k 2 ⎢− k ⎢ 2 KL( i ) = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

− k2 k2 + k3 − k3

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ......⎥ k n ⎥⎦

− k3 k3 + k4

− k4

.....

....... − kn

( 5.8 )

5.5.1 Ejemplo Número 3

Se desea encontrar la curva de capacidad resistente en sentido X, de la estructura de cinco pisos resuelta en el Ejemplo Número 1, cuya configuración en planta se indica en la figura 5.9 donde se muestra también la orientación positiva de los pórticos. Los valores que definen al modelo bilineal de uno de los pórticos son los de la tabla 5.1. Por otro lado en la tabla 5.5 se presentan las rigidez de cada uno de los pisos para el rango elástico y para el rango plástico con los que se resuelve el ejercicio. El desplazamiento de colapso se establece en 0.75 m., que equivale al 5% de la altura total del edificio.

Tabla 5.5 Rigidez de Piso para el rango elástico e inelástico de ejemplo número 3 Elástica Inelástica

k1

k2

4435.05 177.40

2428.38 97.14

k3 2202.36 88.09

k4

k5

2326.37 93.05

2359.46 94.38

En la figura 5.9, se muestra la orientación positiva de los pórticos en base a la cual se obtienen la matriz de compatibilidad de cada uno de ellos. A manera de ejemplo se indica esta matriz para el pórtico 1 y para el pórtico A.

A (1)

⎡1 ⎢0 ⎢ = ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢⎣0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 −6 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 −6

0 0

0 0

0 1 0 0 0 0 0 0 0

0

0

−6

0

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

0 0

0 0

0 0

−6 0

0⎤ 0⎥⎥ 0⎥ ⎥ 0⎥ − 6⎥⎦

Para los pórticos 2, 3 y 4 lo único que cambia es el valor de r de -6 que se tiene para el pórtico 1 a -2, 2 y 6, respectivamente.

125

ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO

Orientación Positiva

y x

C.M.

Figura 5.9 Descripción en planta de la estructura de 5 pisos del ejemplo.

A ( A)

⎡0 ⎢0 ⎢ = ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢⎣0

0 0 0 0 1 0 0 0 0 −6 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 −6

0 0

0 0

0 0 0 0 0 0 1 0 0

0

0

−6

0

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

0 0

0 0

0 0

−6 0

0⎤ 0 ⎥⎥ 0⎥ ⎥ 0⎥ − 6 ⎥⎦

De igual manera para los pórticos B, C, y D la matriz A se mantiene igual a la del pórtico A con la acotación de que cambian los valores de r por –2, 2 y 6 respectivamente. La matriz KL es la misma para todos los pórticos y es la que se muestra a continuación para el rango elástico.

K L( i )

⎡6863.43 ⎢− 2428.38 ⎢ =⎢ 0 ⎢ 0 ⎢ ⎢⎣ 0

− 2428.38 0 4630.74 − 2202.36

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ − 2202.36 4528.73 − 2326.37 0 ⎥ 0 − 2326.37 4685.83 − 2359.46⎥ 0 0 − 2359.46 2359.46⎥⎦ 0 0

0 0

126

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE

Al realizar el triple producto matricial y la sumatoria respectiva se obtiene la matriz de rigidez KE que resulta de 15X15. Por falta de espacio se escribe a continuación algunos elementos de esta matriz de rigidez.

0 0 0 ⎡27453.72 − 9713.52 ⎢− 913.52 18522.96 − 8809.44 0 0 ⎢ ⎢ 0 − 8809.44 18114.92 − 9305.48 0 ⎢ − 9305.48 18743.32 − 9437.84 0 0 KE = ⎢ ⎢ − 9437.84 0 0 9437.84 ⎢ M M M M ⎢ ⎢ 0 0 0 0 0 ⎢ 0 0 0 0 ⎣⎢ 0

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦⎥

L 0 L 0 L 0 L 0 0 L M L − 377513.60 L

377513.60

Se aplica una distribución de cargas lineal en la estructura, con un valor de 0.5 T, en el primer piso, 1.0 T, en el segundo, 1.5 T en el tercero, 2.0 T en el cuarto y 2.5 T en el último piso, de tal manera que el cortante basal es 7.5 T., este es un valor muy alto pero para resolverlo manualmente es adecuado. El vector de cargas transpuesto resulta:

Q t = [0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]

Q con el vector de coordenadas q mediante la matriz de rigidez KE se obtiene el vector q , que Al resolver el sistema de ecuaciones lineales que relaciona el vector de cargas

resulta:

q t = [0.423 1.14 1.83 2.31 2.57 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0] ∗ 10 −3 Con la ecuación (5.4) se obtienen los desplazamientos laterales en cada pórtico, para lo cual se debe multiplicar la matriz de compatibilidad por el vector de coordenadas. Para los pórticos en sentido Y estos desplazamientos son nulos en cambio para los pórticos en sentido X se tiene:

p (1) = p ( 2) = p ( 3) = p ( 4 )

El

desplazamiento

lateral

máximo

en

⎡0.423⎤ ⎢1.14 ⎥ ⎥ ⎢ = ⎢1.83 ⎥ ∗ 10 −3 ⎥ ⎢ ⎢2.31 ⎥ ⎢⎣2.57 ⎥⎦ un

pórtico

tipo

en

sentido

X

es

−3

2.57 ∗ 10 m. = 0.257 cm. En los programas de computación el cálculo se realiza en forma incremental de tal manera que se volvería a aplicar las mismas fuerzas laterales en coordenadas de piso y se encontraría los mismos desplazamientos laterales los mismos que se van sumando. Este procedimiento puede simplificarse con el siguiente razonamiento. Al aplicar fuerzas laterales que dan un cortante basal de 7.5 T todos los pórticos tienen un corrimiento en el tope de 0.00257 m, por los datos del ejercicio la rigidez elástica se

ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO

127

mantiene constante hasta tener un desplazamiento lateral de 0.1017 m. Como se está trabajando en el rango elástico por medio de una simple regla de 3 se puede determinar cual es la fuerza horizontal con la que se llega al desplazamiento de fluencia:

7.5 T Vy De donde V y

→ →

0.00257 0.1017

= 296.79 T . En base a este cortante se halla las fuerzas laterales que

se deben aplicar en cada piso para que la estructura ingrese al rango no lineal. Para el efecto las fuerzas laterales iniciales se deben multiplicar por f = V y / V = 296.79 / 7.5 = 39.572 . En la figura 5.10 se ilustran las cargas laterales que se aplican con las cuales se obtiene un desplazamiento lateral de 0.1017 m.

98.93 79.14

59.36

39.57

19.79

269.79

Figura 5.10 Distribución de fuerzas laterales en la estructura para llegar al punto de fluencia. Una vez que se alcanza el punto de fluencia en los pórticos se cambia la matriz de rigidez lateral que para el presente caso se encuentra multiplicando la matriz de rigidez anotada por η = 0.04 . Este cambio de la rigidez lateral KL conduce a un cambio de la matriz de rigidez en coordenadas de piso KE , con lo cual se procede con el cálculo. Es decir se vuelve a aplicar fuerzas laterales de 0.5 T en el primer piso, 1 T en el segundo piso, hasta un valor de 2.5 T en el último piso. El vector q que se obtiene para el rango inelástico es:

q t = [10.575 28.5 45.75 57.75 64.25 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0] ∗ 10 −3

128

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE

Los desplazamientos indicados son en coordenadas de piso, las mismas que se deben pasar a coordenadas laterales de cada pórtico por medio de la matriz A . El desplazamiento lateral máximo en un pórtico es 6.425 cm. De acuerdo a los datos del ejemplo, el desplazamiento de colapso es 0.75 m y el de fluencia es 0.1017 m. En consecuencia la estructura puede incursionar en el rango no lineal la diferencia de estos dos valores que resulta 0.6483 m. Nuevamente se debe realizar una regla de tres para encontrar las fuerzas que deben aplicarse en el rango inelástico para llevar la estructura al colapso. Para esto se debe razonar de la siguiente manera. Con un cortante basal de 7.5 T se tiene un desplazamiento lateral máximo de 6.425 cm, que cortante debe aplicarse para tener un desplazamiento lateral máximo de 64.83 cm. Este cortante resulta 75.67 T. La distribución de fuerzas asociado a este cortante se indica en la figura 5.11

25.22 20.17

15.14

10.09

5.05

75.67

Figura 5.11 Distribución de fuerzas laterales en la estructura para llegar al colapso.

Los desplazamientos laterales que se encuentran en el rango inelástico para la distribución de fuerzas indicadas en la figura 5.11, son:

q t = [0.107 0.288 0.462 0.583 0.6483 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0] m. En la figura 5.12 se indica la curva de capacidad sísmica resistente que se ha encontrado en el presente ejemplo la misma que se compara con la obtenida en el ejemplo 1 cuando se considera un modelo de 3 grados de libertad en total.

ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO

129

Figura 5.12 Comparación de curvas de capacidad sísmica en estructura de 5 pisos con dos modelos.

5.5.2 Manual del Programa ESPACIA3 El programa ESPACIA3 sirve para encontrar la curva de capacidad sísmica resistente en tres dimensiones con el modelo 2 que considera tres grados de libertad por planta. El usuario deberá proporcionar al programa la rigidez de piso de cada uno de los pórticos planos para el rango elástico. La información en detalle que se requiere es la siguiente. •

Título del problema Se dispone de 80 caracteres alfanuméricos para identificar el problema.

•

Datos Generales del edificio, formato libre libre libre libre

•

NP = Número de pórticos de la estructura. NPISO = Número de pisos. H = Altura total del edificio en metros

Datos de los pórticos, formato libre. Habrá tantos grupos de datos como pórticos se tenga. libre libre

k1 k2

= Rigidez del piso 1. = Rigidez de piso 2, etc. Así hasta el último piso n en que deberá indicar además la siguiente información.

libre

libre libre libre

k n , d ty , k p , k e

=

α

rigidez plástica y rigidez elástica. Estos tres últimos datos se obtendrán del modelo bilineal del pórtico. = Angulo que forma la orientación positiva del pórtico con el eje X. = Distancia del CM. al pórtico en el piso 1.

r1 r2

Rigidez del ultimo piso, desplazamiento de fluencia ,

= Distancia del CM. al pórtico en el piso 2, etc. Hasta el piso n.

130

•

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE Código y Fuerzas estáticas a aplicar en cada ciclo de carga, formato libre

libre

ICOD

= 1 Si se desea la curva de capacidad con respecto al eje X, caso contrario ICOD =2 para con respecto al eje Y. = Fuerza horizontal en el primer piso aplicada en el CM.

libre libre

F1 F2

libre

…

……..

libre

Fn

= Fuerza horizontal en el último piso.

= Fuerza horizontal en el primer piso aplicada en el CM. ……..

El archivo de datos para la estructura del Ejemplo N. 3, es la siguiente: •

Archivo de datos para ejemplo 3

Edificio de 5 pisos del ejemplo 3. Curva de capacidad sísmica resistente en sentido X 8 5 15 4435.05 2428.38 2202.36 2326.37 2359.46 0.1017 22.89 571.08 0 -6 -6 -6 -6 -6 4435.05 2428.38 2202.36 2326.37 2359.46 0.1017 22.89 571.08 0 -2 -2 -2 -2 -2 4435.05 2428.38 2202.36 2326.37 2359.46 0.1017 22.89 571.08 0 2 2 2 2 2 4435.05 2428.38 2202.36 2326.37 2359.46 0.1017 22.89 571.08

ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO

0 6 6 6 6 6 4435.05 2428.38 2202.36 2326.37 2359.46 90 -6 -6 -6 -6 -6 4435.05 2428.38 2202.36 2326.37 2359.46 90 -2 -2 -2 -2 -2 4435.05 2428.38 2202.36 2326.37 2359.46 90 2 2 2 2 2 4435.05 2428.38 2202.36 2326.37 2359.46 90 6 6 6 6 6 1 0.1 0.15 0.20 0.25 0.30

0.1017

22.89

571.08

0.1017

22.89

571.08

0.1017

22.89

571.08

0.1017

22.89

571.08

131

132

5.6

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE COMPARACIÓN CON PROGRAMA RUAUMOKO

Con el propósito de comparar las curvas de capacidad resistente sísmica que se obtienen con los modelos 1 y 2, presentados en éste capítulo, con las que reporta el programa Ruaumoko desarrollado por Carr (2000) en la Universidad de Canterbury en Nueva Zelanda se han analizado 3 edificios de 6 pisos, cuya planta de indican en la figura 5.13. Estos edificios tienen diferentes secciones de columnas y están descritos en Aguiar et al (2004).

Figura 5.13 Distribución en planta para los edificios 1, 2 y 3.

En la figura 5.14 se comparan las curvas de capacidad sísmica resistente, a la izquierda se presentan para la dirección X, y a la derecha para la dirección Y. Se aprecia que en los tres edificios el modelo 1 que considera tres grados de libertad reporta curvas de capacidad resistente mayores a las que se obtienen con el modelo 2. Por otra parte, se observa que las curvas de capacidad resistente que se obtienen con el programa Ruaumoko son semejantes a las que se obtienen con los modelos 1 y 2. Con el modelo 1 es mejor la aproximación.

5.7

CENTRO DE RESISTENCIA

Normalmente cuando se realiza un análisis sísmico de una estructura se determina el Centro de Rigidez para cuantificar los efectos de torsión pero, este centro es válido únicamente cuando la estructura trabaja en el rango elástico. En efecto, para el rango inelástico cambia la rigidez del elemento que ingresa al rango no lineal y con ello el Centro de Rigidez, de tal forma que este parámetro deja de ser representativo para definir el comportamiento sísmico de una estructura a la luz de que la estructuras deben tener un comportamiento dúctil ante sismos severos, Crisafulli (2002). Por este motivo en lugar de trabajar con el Centro de Rigidez, es conveniente trabajar con el Centro de Resistencia CR especialmente para evaluar los efectos de torsión. Para ello, se acostumbra trabajar con un modelo elásto perfectamente plástico para definir la curva de capacidad resistente de los pórticos. Es decir, con un modelo en el cual la rigidez post fluencia

ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO

133

k p sea nula. En la práctica esta rigidez k p es bastante baja, en el ejemplo 1 es del orden del 4% de la rigidez elástica k e . En consecuencia, la resistencia de un pórtico puede definirse por el cortante de fluencia v y del modelo bilineal.

Edificio 1

Edificio 2

Edificio 3 Figura 5.14 Comparación de Curvas de Capacidad Sísmica Resistente

El CR es el punto en el cual se considera concentrada toda la resistencia del edificio. Para los ejemplos 1 y 3, el CR coincide con el CM., porque todos los pórticos tienen la misma resistencia. Ahora, a manera de ejemplo, se desea calcular el Centro de Resistencia para la estructura de 5 pisos de la figura 5.15., en la que se ha reducido la resistencia de los pórticos A y 1 a la mitad.

134

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE

El CR se determina haciendo equilibrio de fuerzas y momentos en cada una de las direcciones. Para el sentido X se tiene:

V = 58.05 * 3 + 29.025 = 203.175 T . 58.05 ∗ 12 + 58.05 ∗ 8 + 58.05 ∗ 4 = 203.175 ∗ Y

⇒ Y = 6.857 m.

Se ha tomado momentos con respecto al pórtico 1, que tiene una resistencia igual a la mitad de las otras resistencias. Se pudo realizar el equilibrio de momentos con relación a cualquier eje. Se define la excentricidad por resistencia a la distancia que existe entre el CR y el CM. Esta excentricidad puede influir significativamente sobre la respuesta torsional, especialmente en el rango no lineal. Para analizar este efecto en el próximo apartado se analizan varias estructuras.

Figura 5.15 Resistencia de pórticos y estructura de ejemplo 4. Se destaca además ubicación de Centro de Masas CM y Centro de Resistencia CR.

5.8

ESTRUCTURAS CON EXCENTRICIDAD DE RESISTENCIA

En la figura 5.16 se presentan dos curvas de capacidad resistente, de los ejemplos 1 y 4, la una corresponde a la estructura cuyos pórticos tienen igual resistencia, ejemplo 1, y la de más abajo a la estructura en la cual el pórtico 1 y el pórtico A tienen la mitad de la resistencia de los otros pórticos. Se aprecia que la reducción de resistencia no es en la misma proporción en relación a la del pórtico. La reducción que se observa en la figura 5.16 es mayor a la reducción de resistencia del pórtico, esto se debe a la torsión. En la figura 5.15 se aprecia que el pórtico más débil en sentido X es el 1 y en sentido Y es el A. Son los pórticos débiles los que más van a incursionar en el rango no lineal y

ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO

135

consiguientemente van a experimentar más daño. En la figura 5.17 se presenta los desplazamientos laterales en cada pórtico vs. el cortante basal de toda la estructura. Ahí se aprecia que el pórtico 1 es el que más se desplaza y el que menos se desplaza lateralmente es el 4, las dos curvas intermedias corresponden a los pórticos 2 y 3. Esto es muy importante tenerlo presente, ya que la demanda de ductilidad del pórtico 1 será mayor que la demanda de ductilidad del pórtico 4.

Figura 5.16 Curvas de capacidad resistente de las estructuras de los ejemplos uno en que todos los pórticos tienen la misma resistencia y dos en que un pórtico tiene la mitad de resistencia.

En la estructura del ejemplo 1, en que la resistencia era igual en todos los pórticos, los desplazamientos laterales de los pórticos eran iguales; lo que no sucede cuando existe excentricidad por resistencia.

Figura 5.17 Desplazamientos laterales en cada uno de los pórticos en sentido X. vs. el cortante basal.

136

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE

En la figura 5.18 se presenta una nueva estructura en la que se ha modificado la resistencia de los pórticos 1 y 2 a la mitad de la resistencia de los pórticos 3 y 4. En el sentido perpendicular también se ha modificado la resistencia de los pórticos A y B a la mitad de la de los pórticos C y D. En la figura 5.18 se indican las resistencias de cada uno de los pórticos y también se aprecia que el centro de resistencia, en este caso, tiene una excentricidad e x = 1.33 m. y una excentricidad e y = 1.33 m. Se define β x a la relación entre la excentricidad en sentido X con relación a la dimensión total, algo similar se tiene con el ejemplo 5 se tiene que

β y . Para

β x = β y = 0.11 βx =

ex Bx

βy =

ey By

Figura 5.18 Resistencia de pórticos de estructura de ejemplo 3 y nomenclatura utilizada para excentricidades del Centro de Rigidez.

En la figura 5.19 se indican las curvas de capacidad resistente de las estructuras que se han analizado en los ejemplos 1, 4 y 5. La estructura del ejemplo 1 tiene todos sus pórticos iguales; la del ejemplo 4 la resistencia del pórtico 1 y pórtico A es la mitad de los otros; y en la estructura del ejemplo 5, la resistencia de los pórticos 1, 2, A y B es la mitad que la de los otros pórticos. Se aprecia que la reducción no es proporcional a la disminución de resistencia en los pórticos. Esto se debe, como se indicó anteriormente, a la torsión. Por otra parte, en la figura 5.20, se muestran los desplazamientos laterales en los pórticos 1 a 4, vs. el cortante basal para la estructura del ejemplo 5. En la estructura del ejemplo 5, el valor de β x = β y = 0.11 y en la estructura del ejemplo 4 , β x = β y = 0.07 . El valor de β es mayor y consecuentemente el efecto torsionante es más importante de ahí que la diferencia de desplazamientos laterales en los pórticos es mayor en la estructura del ejemplo 5 que en la estructura del ejemplo 4.

137

ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO

Figura 5.19 Curvas de Capacidad Resistente de las estructuras de los ejemplos 1, 4 y 5.

Figura 5.20 Desplazamientos laterales en los pórticos para estructura con

5.9

β = 0.11

CRITERIOS PARA OBTENER EL MODELO BILINEAL

Existen varios criterios para encontrar el modelo bilineal de la curva de capacidad resistente con el que se determina el punto en el cual la estructura deja de trabajar en el rango elástico e inicia su trabajo en el rango no lineal. A este punto se denomina punto de fluencia de la estructura. En forma muy conservadora se puede indicar que el punto de fluencia de la estructura se alcanza cuando alguna sección de la misma ingresa al rango no lineal, para el efecto basta que en el análisis con el pushover se determine cuando alguna sección alcanzó el punto de fluencia. En realidad esto sería una cota inferior de V y . Se destaca que el punto de fluencia al

138

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE

aplicar cualquiera de los criterios que se explican a continuación no debe estar distante de este punto que se ha denominado cota inferior. Los cuatro criterios que se describen en el presente apartado, para la determinación del punto de fluencia en una estructura, son los siguientes: • Criterio de la Rigidez Tangente Horizontal. • Criterio de las Rigideces Tangentes. • Criterio de las Áreas Iguales. • Ajuste por Mínimos Cuadrados.

5.8.1 Criterio de la Rigidez Tangente Horizontal En este criterio se traza la tangente a la curva de capacidad resistente, en el rango elástico, luego se traza una horizontal en el punto de Cortante Basal Vu , como lo indica la figura 5.21; la intersección de estas dos rectas definen el punto Dty .

Figura 5.21 Criterio 1.- Rigidez Tangente Horizontal, para determinar el punto de fluencia de una estructura.

Finalmente al ingresar con el valor de Dty a la curva de capacidad resistente se determina el punto V y . A este criterio se denominará Criterio 1. Existen estructuras cuya curva de capacidad resistente es irregular, en las cuales se tienen dos valores de Vu . Aquí es recomendable obtener un promedio de los dos valores de

Vu y trabajar con el promedio.

ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO

139

5.8.2 Criterio de la Rigideces Tangentes El Criterio 2, corresponde al caso en que se trazan dos tangentes a la curva de capacidad resistente, una en el rango elástico y otra en el punto de cortante Vu , como lo ilustra la figura 5.22, el punto de intersección de las dos tangentes determina el punto de fluencia de la estructura.

Figura 5.22 Criterio 2.- Rigideces Tangentes, para determinar el punto de fluencia de una estructura.

En estructuras cuya curva de capacidad resistente es irregular se deben trazar dos o más pendientes en el rango inelástico y trabajar con la pendiente más dominante que más se ajusta a la curva de capacidad resistente o trabajar con una pendiente promedio.

5.8.3 Criterio de las Áreas Iguales El tercer criterio, corresponde al que se obtiene al igualar las áreas externa e interna de la curva de capacidad resistente, como se indica en la figura 5.23. Este criterio es más elaborado, con relación a los anteriores en el sentido de que se debe realizar más operaciones. El punto de fluencia se determina en forma iterativa hasta que el área exterior se considere aproximadamente igual al área interior. Existe otra alternativa de encontrar el modelo bilineal, con este criterio y consiste en igualar el área bajo la curva de capacidad con el área de la curva del modelo bilineal, como se ilustra en la figura 5.24. Se destaca que la recta que corresponde al rango elástico pasa por la curva de capacidad resistente que está asociada a un cortante igual a 0.6 V y , en consecuencia se trabaja con una rigidez secante. Para la evaluación del área bajo la curva de capacidad resistente, es conveniente dividir la figura en trapecios elementales y para encontrar el área del modelo bilineal se debe calcular el área de un triangulo y de un trapecio. El cálculo del punto de fluencia, se determina en forma iterativa hasta conseguir igualar las áreas o que la diferencia en valor absoluto de las dos sea menor que una tolerancia dada.

140

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE

Figura 5.23 Criterio 3.- Iguales Áreas, para determinar el punto de fluencia de una estructura.

Figura 5.24 Alternativa para determinar el modelo bilineal empleando el Criterio 3.

5.8.4 Ajuste por Mínimos Cuadrados La ecuación de la recta que une el origen de coordenadas con el punto de fluencia viene definido por la ecuación ( 5.9 ) y la ecuación de la recta para el rango no lineal es la indicada en la ecuación ( 5.10 ).

V = b1 Dt

( 5.9 )

V = a 2 + b2 Dt

( 5.10 )

a2 b1 − b2

( 5.11 )

Dty =

Los valores b1 , b2 , a 2 , se obtienen del ajuste por el método de los mínimos cuadrados. El punto de fluencia Dty satisface las ecuaciones ( 5.9 ) y ( 5.10 ) ya que es punto común de las dos rectas. Por lo tanto al igualar estas ecuaciones se determina Dty , con la ecuación (5.11).

ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO

141

El cálculo se realiza en forma iterativa, hay que imponerse el punto Dty , de tal manera que los puntos de la curva de capacidad resistente se dividen en dos partes, los que se encuentran bajo Dty y los que están sobre este valor. Con los datos del primer grupo se determina la pendiente b1 y con los datos del segundo grupo se obtienen a 2 , b2 . Posteriormente, con la ecuación ( 5.11 ) se recalcula el valor Dty y se continúa con el cálculo hasta que el valor impuesto del desplazamiento de fluencia sea aproximadamente igual al valor calculado.

Figura 5.25 Criterio 4.- Ajuste con mínimos cuadrados, para determinar el punto de fluencia de una estructura.

El programa ESPMBCAP determina también el punto de fluencia pero con una característica adicional que permite obtener la rigidez de cada uno de los pisos asociado al punto de fluencia o a cualquier desplazamiento lateral de la estructura. La rigidez de piso se necesita conocer para encontrar la curva de capacidad sísmica resistente con el modelo de tres grados de libertad por planta descrito en el presente capítulo. Además la rigidez de piso es necesario conocer para encontrar la respuesta sísmica empleando el Método del Sistema Lineal de Corte descrito en el capítulo 11. Antes de utilizar el programa ESPMBCAP se debe haber utilizado el programa CAPACIDA que determina la capacidad sísmica resistente de pórticos planos en dos dimensiones.

5.10 CONCLUSIONES Se ha presentado dos modelos para encontrar la curva de capacidad resistente de una estructura en tres dimensiones, a partir de los resultados que se obtienen del análisis de un pushover plano. Para facilitar el cálculo se han desarrollado los programas denominados ESPACIAL para el modelo 1 de 3 grados de libertad y ESPACIA3 para el modelo 2 que considera tres grados de libertad por planta. Del estudio realizado se desprenden las siguientes conclusiones: •

El considerar que cada pórtico es un elemento de una estructura que está unida por una losa rígida, es una buena aproximación para estructuras con piso rígido.

•

La entrada de datos del programa ESPACIAL es muy sencilla pero se requiere que el usuario obtenga la curva de capacidad resistente de cada pórtico plano y el modelo bilineal respectivo.

•

El considerar tres grados de libertad por planta es una mejor aproximación al problema, pero la entrada de datos para el programa ESPACIA3 es más elaborada ya que se necesita conocer la rigidez de piso de cada pórtico.

142

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE

•

En base a las estructuras analizadas se puede indicar que la curva de capacidad sísmica resistente que se obtiene con los modelos 1 y 2 es muy similar a la que se obtiene con el programa Ruaumoko.

•

El Centro de Resistencia es más adecuado utilizarlo que el Centro de Rigidez, en los problemas de Torsión especialmente para el rango no lineal.

REFERENCIAS 1. Aguiar R. (1989), Análisis Dinámico Espacial, Escuela Politécnica del Ejército, 270 p, Quito, Ecuador. 2. Aguiar R. (1995), Análisis Matricial de Estructuras, Editorial ESPE. Escuela Politécnica del Ejército, Segunda Edición , 614 p, Valle de los Chillos, Ecuador. 3. Aguiar R. (2002 a), “Estado del arte de los métodos de análisis sísmico y desempeño estructural”, XV Jornadas Nacionales y Primeras Binacionales de Ingeniería Estructural, 69-101, Loja, Ecuador. 4. Aguiar R. (2002 b), Sistema de Computación CEINCI3 para evaluar daño sísmico en los Países Bolivarianos, Centro de Investigaciones Científicas. Escuela Politécnica del Ejército, 302 p, Valle de los Chillos, Ecuador. 5. Aguiar R., Soria L., Torrisi G. y Crisafulli F., (2004), “Modelos para curva de capacidad sísmica resistente de edificios en tres dimensiones de H.A.”, XXXI Jornadas SurAmericanas de Ingeniería Estructural, Mendoza, Argentina. 6. ATC-40 (1996), "Seismic evaluation and retrofit of concrete buildings", Applied Technology Council, Redwood City, California. 7. Carr A., (2000), Ruaumoko. The Maori Godo f Volcanoes and Earthquakes, Department of Civil Engineering. University of Canterbury, 233 p, New Zealand. 8. Crisafulli F. (2002), “Torsión de Estructuras”, XV Curso Internacional de Estructuras. Escuela Politécnica del Ejército, Memorias del Curso, Valle de los Chillos, Ecuador. 9. Chopra A. and Goel R. (1999), "Capacity-demand-diagram methods for estimating deformation of inelastic structures: SDF systems", Pacific Earthquake Engineering. Research Center, Rep. No PEER-1999/02,University of California, Berkeley, California. 10. Chopra A. and Goel R. (2000), "Evaluation of NSP to Estimate Seismic Deformation: SDF systems", Journal of Structural Engineering ASCE, 126 (4), 482-490. 11. Fajfar P. (2000), “A Non linear analysis method for performance-based seismic design”, Earthquake Spectra, 16, 573-591. 12. Li Hyung Lee, Sang Whan Han and Young Hun Oh (1999), “Determination of ductility factor considering different hysteretic model”, Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 28, 957-977. 13. Reinhorn A. (1997), “Inelastic analysis techniques in seismic evaluations”, in P. Fajfar and H. Krawinkler (Eds), “Seismic Design Methodologies for the Next Generation of codes” , 277-287, Balkema Rotterdam.

CAPÍTULO 6

CAPACIDAD RESISTENTE SÍSMICA EN ESTRUCTURAS ANTIGUAS RESUMEN Un gran porcentaje de las construcciones del mundo, que se encuentran en zonas sísmicas fueron construidas hace más de 25 años con el nivel de conocimientos sismo resistente existente en la época. Estas construcciones se caracterizan por tener una gran cantidad de armadura longitudinal y poca armadura transversal. En este tipo de construcciones es necesario incorporar el efecto de corte al efecto de flexión, en las relaciones momento curvatura y en los modelos de plasticidad que se utilizan para encontrar la curva de capacidad resistente en estructuras de hormigón armado, empleando análisis no lineal estático. En este artículo se presenta las recomendaciones formuladas en el Código de Nueva Zelanda de 1996 para determinar la capacidad al corte de una sección y para encontrar la rigidez equivalente al corte. Posteriormente se presentan dos modelos de plasticidad extendida: el de Giberson (1969) que concentra la inelasticidad en dos resortes rotacionales ubicados en los extremos de los elementos y que no toma en cuenta el efecto de corte, y el de Thom et al (1983) que concentra la inelasticidad en cuatro resortes, un vertical y un rotacional en cada extremo del elemento, el resorte vertical incorpora el efecto de corte. Finalmente y como una aplicación práctica se presentan las curvas de capacidad sísmica resistente que relacionan el cortante basal con el desplazamiento lateral máximo en el tope del edificio, en una edificación espacial de 4 pisos para tres casos de armadura transversal en dos de ellos la falla se produce por corte y en el tercero no.

6.1 INTRODUCCIÓN Las construcciones de hormigón armado de los años setenta, sesenta o más antiguas, por lo general, tienen una gran cantidad de refuerzo longitudinal y muy poco refuerzo Capítulo aceptado para su publicación en el XIV Congreso Nacional de Ingeniería Sísmica que se realizara en Guanajuato-México en Nov. de 2003. Publicado en la Revista Sigma del Colegio de Ingenieros Civiles de Pichincha, 19 edición 5-14, Quito 2003.

130

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE

transversal de tal manera que ante un sismo severo la falla que se produce es de corte y el refuerzo longitudinal prácticamente permanece en el rango elástico. A manera de ejemplo en la figura 6.1 se indica el estado en que quedó una de las columnas perimetrales de uno de los bloques estructurales de dos pisos del Hospital Miguel H. Alcívar de Bahía de Caráquez, en Ecuador, luego del sismo del 4 de agosto de 1998 que tuvo una magnitud M s = 7.1 , la columna tiene una sección transversal cuadrada de 40 cm. de lado, con una armadura longitudinal 4 φ 1 + 12 φ 7 / 8 es decir tiene una cuantía del 4.18% valor sumamente alto pero que está dentro de lo permitido por las normas; la armadura '' transversal estaba compuesta por estribos simples de 3 / 8 espaciados uniformemente cada 30 cm. (Aguiar et al, 1998). Se habla en pasado del refuerzo transversal ya que en el reforzamiento ejecutado se confirió una mayor capacidad al corte. ''

''

Figura 6.1 Falla por corte en una de las columnas del Hospital Miguel H. Alcívar de Bahía de Caráquez luego del sismo de Agosto de 1998.

En la figura 6.1 se aprecia que la columna estuvo muy cerca del colapso y el hierro longitudinal trabajó en el rango elástico. Este comportamiento es factible reproducir analíticamente al analizar la capacidad a flexión y corte de una sección transversal de la columna, este comportamiento se indica en la figura 6.2, a la izquierda se presenta el caso

ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO

131

cuando la carga axial es de 40 T. y a la derecha cuando esta carga es de 50 T. En estos rangos de carga axial trabajó la mencionada columna.

Figura 6.2 Comportamiento a flexión y corte de una columna del Hospital de Bahía de Caráquez, Ecuador

La línea horizontal de la figura 6.2 corresponde a la máxima capacidad al corte

Vmax que resiste la sección, la misma que es función de la capacidad al corte del concreto, del acero y de la carga axial que actúa sobre la columna. Se aprecia que la falla se produce por corte, en los dos casos, y que la sección no alcanzó el momento de fluencia de tal forma que el hierro longitudinal trabajó en el rango elástico. Con relación a la figura 6.2 se debe manifestar que en este artículo se indica en forma rápida, el modelo numérico con el cual se obtiene la capacidad a corte de una sección transversal pero no se explica la forma de encontrar la capacidad a flexocompreción ya que es un tema muy conocido. Lo importante del trabajo es analizar la capacidad sísmica resistente de la estructura considerando el efecto de corte y sin considerar dicho efecto para ello se indicará en primer los modelos de plasticidad extendida que se van a utilizar.

6.2 CAPACIDAD A CORTE

Varios son los trabajos que existen en el que se incorpora el efecto de corte al de flexión, entre ellos se tienen los desarrollados por Park y Paulay (1975), Vecchio y Collins (1986) y (1988), Collins et al (1996), Ichinose (1992), Priestley y Calvi (1991), Priestley y Seible (1994), Hakuto et al (1995), Priestley et al (1994), Satyarno (2000). En este artículo se trabaja con lo recomendado en la Sociedad de Ingeniería Sísmica de Nueva Zelanda NZNSEE (1996).

132

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Figura 6.3 Degradación del cortante con el incremento de la ductilidad por rotación.

En la figura 6.3 se aprecia que la capacidad de corte máximo llega hasta el punto 1 que está asociado a una ductilidad por rotación µθv1 a partir del cual decrece esta capacidad hasta el punto 2 en que la capacidad al corte es

Vmin .

Vmin = Rθv 2 Vmax

( 6.1 )

El valor de Rθv 2 depende del elemento estructural que se analiza, a continuación se indican estos valores y las fórmulas con las que se encuentran las variables indicadas en la figura 6.3, para el caso de vigas y columnas, cuyos modelos numéricos de cálculo se muestran en la figura 6.4, a la izquierda para el caso de vigas y a la derecha para columnas rectangulares.

Figura 6.4 Modelo utilizado para la degradación de la capacidad al corte en vigas (izquierda) y en columnas (derecha).

133

ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO

6.2.1 Relación corte ductilidad para vigas rectangulares

Las ecuaciones que definen la capacidad al corte de una viga, son las siguientes:

⎛ Vmax = φ r ⎜⎜ 0.2 ⎝ Rθv 2 =

Av f vy d ⎞ ⎟⎟ s ⎠ Av f vy d

f c' b d +

0.05 f c' b d + 0.2 f b d + ' c

s Av f vy d

( 6.2 )

( 6.3 )

s

f c' es la resistencia a la compresión del hormigón expresada en MPa, φr es el factor de reducción de esfuerzos por corte que es igual a 0.85, b, d son la base y la altura efectiva de la sección transversal, Av , s , f vy son el área, espaciamiento y límite de fluencia del refuerzo

donde

transversal.

6.2.2 Relación corte ductilidad para columnas rectangulares

Para el caso de columnas con estribos rectangulares, las ecuaciones son:

Vmax

⎧⎪ ⎞⎫⎪ ⎛ Av f vy d '' ' ⎜ = φ r ⎨0.85 0.29 f c 0.8 Ag + cot 30 o − N tan α ⎟⎬ ⎟⎪ ⎜ s ⎪⎩ ⎠⎭ ⎝

Rθv 2 =

Av f vy d ''

cot 30 − N tan α s Av f vy d '' ' 0.29 f c 0.8 Ag + cot 30 − N tan α s 0.1 f 0.8 Ag + ' c

( 6.4 )

( 6.5 )

''

siendo Ag el área gruesa de la columna, d es la longitud del núcleo del hormigón confinado medido desde los extremos del refuerzo transversal, N es la carga axial que gravita en la columna será positiva si es de tensión y negativa si es de compresión, α es el ángulo entre el eje longitudinal de la columna y la recta que une los puntos del centro donde actúa la fuerza a compresión en el hormigón en el nudo inicial y final. La obtención del momento a partir del corte se lo realiza en función de la luz libre de corte. Se destaca que el valor del corte máximo

Vmax indicado en las ecuaciones (6.2) y (6.4)

contempla la degradación de resistencia por incremento de la ductilidad de rotación del elemento.

134

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6.3 MODELOS DE PLASTICIDAD

Los modelos de plasticidad extendida que se van a utilizar en el presente trabajo son el de Giberson (1969) y el de Thom et al. (1983). El primero concentra la plasticidad en un resorte rotacional y el segundo considera a más del resorte rotacional un resorte vertical, en cada uno de los extremos del elemento. En la parte superior de la figura 6.5 se indica el primer modelo y en la parte inferior el segundo modelo. Se ha denominado ( EI ) a , ( EI ) o , ( EI ) b a la rigidez a flexión en el nudo inicial, centro de luz y nudo final. Por otra parte ( K s ) a ,

( K s ) b son

la rigidez a corte en el nudo inicial y final.

Figura 6.5 Modelos de plasticidad extendida de Giberson (1969) y de Thom et al (1983).

La matriz de flexibilidad f asociada a las rotaciones del elemento, indicado en la figura 6.6. Para el modelo de Giberson esta matriz resulta:

⎡⎛ ( EI ) o ⎢⎜⎜1 + ' L ⎢⎝ ( EI ) a f = 6( EI ) o ⎢ ⎢− 1 ⎢⎣

⎞ ⎟⎟ ⎠

⎤ − 1⎥ ⎥ ⎛ ( EI ) o ⎞ ⎥ ⎜⎜1 + ⎟⎟ ⎥ ⎝ ( EI ) b ⎠ ⎥⎦

Figura 6.6 Rotaciones en los extremos de un elemento.

( 6.6 )

135

ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO

donde

L' es la luz libre del elemento. Los términos ( EI ) a , ( EI ) o , ( EI ) b se obtienen del

diagrama momento curvatura. Se destaca que al invertir la matriz de flexibilidad se encuentra la matriz de rigidez y a partir de esta matriz utilizando la matriz de transformación de coordenadas se determina la matriz de rigidez en coordenadas locales y globales del elemento considerando tres grados de libertad por nudo (Aguiar 1995) . Para el modelo de Thom et al. (1983) la matriz de flexibilidad es la siguiente:

⎡ L' ⎛ ( EI ) o ⎞ 1 ⎜⎜1 + ⎟⎟ + ⎢ 6( EI ) o ⎝ ( EI ) a ⎠ K s ( L' ) 2 ⎢ f =⎢ ' 1 ⎢− L + ⎢⎣ 6( EI ) o K s ( L' ) 2

siendo

⎤ ⎥ ⎥ ( 6.7 ) ⎥ ' L ⎛ ( EI ) o ⎞ 1 ⎥ ⎜⎜1 + ⎟⎟ + 6( EI ) o ⎝ ( EI ) b ⎠ K s ( L' ) 2 ⎥⎦ −

L' 1 + 6( EI ) o K s ( L' ) 2

K s la rigidez al corte de una sección del elemento. Existen varios modelos para

determinar la rigidez al corte que están sintetizados en Satyarno (2002), uno de ellos es el indicado en la figura 6.7 que relaciona la fuerza de corte con la deformación.

6.4 RIGIDEZ DE CORTE

Park y Paulay (1975) presentan en forma muy extensa la deducción de las ecuaciones para determinar la rigidez en el rango elástico K se y en el rango plástico K sp , por unidad de distorsión al corte, estas son las siguientes:

K se =

0 .4 E c b d

( 6.8 )

β

ρ v Sin 4θ sp Sin 4 γ (Cotθ sp + Cotγ )2 K sp = Es b d Sin 4θ sp + n ρ v Sin 4 γ

ρv =

Av s b Sinγ

Las variables todavía no definidas son:

n=

( 6.9 )

Es Ec

E c , E s módulos de elasticidad del hormigón y

β factor de forma que toma en cuenta la distribución no uniforme de los esfuerzos de corte, para secciones rectangulares β = 1.2 , θ sp es el ángulo de inclinación de la falla por corte, γ es el ángulo del estribo con respecto al eje del elemento. Se puede considerar que θ sp = 45 0 para vigas y θ sp = 30 0 para columnas. del acero,

136

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE

Figura 6.7 Modelo numérico de cálculo adoptado para definir la rigidez al corte

Park y Paulay (1975) desarrollan un caso particular de K sp , para

γ = 90 0

θ SP = 45 0 , y

encontrando:

K sp =

ρv 1 + 4 n ρv

( 6.10 )

Es b d

El valor de K sp está en el orden del 10 al 30% del valor de

K se de ahí la gran

importancia de considerar la degradación de la rigidez al corte en el análisis.

6.4.1 Valor de Vcr para vigas

Vc en el límite del rango elástico, para el caso de vigas es únicamente función de la capacidad al corte del hormigón Vc . El valor del cortante

Vcr = Vc = k

f c' b d

( 6.11 )

k es un factor de resistencia al corte y está en función de la ductilidad por rotación; el ' valor de f c se expresa en MPa. En la figura 6.8 a la izquierda se indica valor de k para vigas donde

y a la derecha para columnas, en función de la demanda de ductilidad por rotación.

137

ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO

Figura 6.8 Valores del factor de resistencia al corte

k

para vigas (izquierda) y columnas (derecha).

6.4.2 Valores de Vcr para columnas

El valor de

Vcr para columnas es función de la capacidad al corte del hormigón y de la

carga axial que gravita sobre la misma.

Vcr = Vc + Vn = k

k

f c' 0.8 Ag + N tan α

( 6.12 )

Todas las variables indicadas en la ecuación ( 6.12 ) ya han sido indicadas y el valor de se indica a la derecha de la figura 6.8 para el caso de flexocompresión uniaxial y biaxial.

6.4.3 Rigidez equivalente K s

En la figura 6.7 se aprecia que se puede encontrar una rigidez al corte equivalente como la relación entre el cortante máximo

Ks =

Ks

Vmax y la deformación máxima de corte d s max .

Vmax d s max

⎛V V ⎞ d s max = ⎜ cr + s ⎟ l ps ⎜K ⎟ ⎝ se K sp ⎠ l ps = h cot θ sp

( 6.13 )

( 6.14 ) ( 6.15 )

138

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Vs es la capacidad al corte del refuerzo transversal y es el segundo término de las ecuaciones ( 2 ) y ( 4 ) para vigas y columnas, respectivamente; l ps es la longitud de la rótula donde

plástica; K sp fue definida en la ecuación (9); y

h es la altura de la sección transversal del

elemento.

6.5 ESTRUCTURA DE ANÁLISIS En la figura 6.9 se indica la distribución en planta de una estructura de 4 pisos, cada uno de ellos tiene una altura de 3.0 m., la misma está constituida por columnas cuadradas de 40 cm. de lado, iguales en todos los pisos y por vigas que en los dos pisos inferiores son de 30/40 cm., y 25/35 cm., en los dos últimos pisos, la primera cantidad representa la base y la segunda la altura de la sección transversal.

Figura 6.9: Distribución en planta del edificio tipo de 4 pisos considerado en el estudio.

La cuantía del refuerzo longitudinal de las columnas se ha considerado constante e igual al 2% de la sección transversal. Por otra parte, el refuerzo transversal es de 8 mm. de diámetro, espaciado cada 30 cm. en toda su longitud. La armadura longitudinal de las vigas tienen una cuantía mecánica q = 0.60 en la parte superior e inferior de las vigas y en toda su lontigud. Para el refuerzo transversal se han considerado 3 casos, a saber: 1) los estribos son de 8 mm. de diámetro espaciados a 30 cm., en toda su longitud; 2) estribos de 8 mm. a 20 cm., en toda su longitud; y 3) estribos de 10 mm. de diámetro a 10 cm. en los extremos y 20 cm. en el centro de luz.

q=

As f y b d f c'

ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO

139

Se destaca que el hormigón utilizado tiene una resistencia a la compresión de 21 MPa y el acero un límite de fluencia de 420 MPa. Se ha utilizado el modelo de hormigón confinado de Park et al (1982), y para el acero se ha trabajado con un modelo trilineal que contempla incremento de esfuerzo en la zona de endurecimiento, los mismos que se indican en la figura 6.10. En el modelo del hormigón confinado la variable k está definida por la siguiente ecuación:

k =1+

donde,

ρv

ρ v f yv f c'

( 6.16 )

es la relación volumétrica entre el refuerzo transversal y el hormigón confinado; y,

f yv es la fluencia del refuerzo transversal. Las ecuaciones de cada una de las ramas de los modelos constitutivos del acero y del hormigón están definidas en Aguiar (2003) o Satyarno (2000).

Figura 6.10 Modelo de hormigón confinado de Park et al (1982) y trilineal del acero.

6.6

CURVAS DE CAPACIDAD SÍSMICA

La curva de capacidad sísmica resistente relaciona el cortante basal con el desplazamiento lateral máximo en el tope de un edificio y se la obtiene aplicando cargas estáticas monotónicas incrementales hasta llevar la edificación al colapso, todo esto empleando análisis estático no lineal. Existen varios criterios de colapso como el propuesto por Roufaiel y Mayer (1987) o el de Stephens y Yao (1987). En este estudio se ha considerado que el colapso se presenta cuando el desplazamiento lateral máximo está alrededor del 4% de la altura del edificio; esto en el caso de que no se produzca la falla por corte antes.

140

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE

En la figura 6.11 se muestra la curva de capacidad sísmica que se obtiene para el caso 1 en que el refuerzo transversal está constituido por 1 φ de 8 mm. cada 30 cm. En la parte superior se presenta el caso en que no se toma en cuenta la interacción entre el efecto de corte y el de flexión y se considera que los elementos van a desarrollar toda su capacidad a flexión; esta curva de capacidad ha sido obtenida con el modelo de plasticidad de Giberson (1969). En la parte inferior de la figura 6.11, se muestra la curva de capacidad que se obtiene con el modelo de plasticidad de Thom et al (1983) al considerar la interacción del efecto de corte y flexión, se aprecia que existe una reducción sustancial en la capacidad resistente ya que se produjo una falla de corte en las vigas del primer piso las que llevaron al colapso de la estructura en forma prematura.

Figura 6.11 Capacidad resistente en estructura con estribos de 8 mm. a 30 cm. en todos sus elementos.

ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO

141

Nótese que si no se consideraba la interacción del corte en la flexión, simplemente se estaba sobredimensionando la capacidad sísmica resistente de la estructura. Para el caso 2, en que se mantiene el diámetro del refuerzo transversal en 8 mm. pero se reduce el espaciamiento a 20 cm. En la figura 6.12 se presentan las curvas de capacidad sísmica resistente, en la parte superior se tiene el caso en que no se toma en cuenta la interacción del corte con la flexión y en la parte inferior cuando se considera esta interacción. Nuevamente la falla por corte se presentan en las vigas del primer piso. Debido a que el espaciamiento del refuerzo transversal es menor en el caso 2, con relación al caso 1, la capacidad resistente sísmica del pórtico se incrementa, esto se observa al comparar los dos gráficos inferiores de la figuras 6.11 y 6.12, este incremento es del orden del 20%. En la figura 6.13 se indican las curvas de capacidad resistente que se obtienen en la estructura analizada cuando el refuerzo transversal está conformado por estribos de 10 mm. de diámetro espaciados cada 10 cm. en los extremos y cada 20 cm. en el centro de luz. En este caso no se produce la falla de corte. Se aprecia en la figura 6.13 que las curvas de capacidad que se obtienen con el modelo de Giberson (1969) son muy similares a las que se encuentran con el modelo de Thom et al. (1983).

Figura 6.12 Capacidad resistente en estructura con estribos de 8 mm. a 20 cm. en todos sus elementos.

142

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE

Figura 6.13 Capacidad Resistente en estructura con estribos de 10 mm. espaciados a 10 cm. en los extremos y a 20 cm. en el centro de luz.

6.7 CONCLUSIONES

Se ha incorporado el efecto de corte al efecto de flexión en las relaciones momento curvatura de una sección de hormigón armado y después se ha determinado la rigidez equivalente al corte, todo esto siguiendo las recomendaciones formuladas por NZNSEE (1996). Por otra parte, se ha encontrado la curva de capacidad sísmica resistente en una estructura espacial de cuatro pisos, empleando dos modelos de plasticidad extendida el de Giberson (1969) que no considera el efecto de corte y el de Thom et al (1983) que considera dicho efecto, del estudio realizado se desprenden las siguientes conclusiones: •

En estructuras con refuerzo transversal de corte insuficiente, como son las edificaciones antiguas es fundamental incorporar el efecto de corte al efecto de flexión para encontrar la curva de capacidad sísmica resistente, empleando análisis estático no lineal. De no hacerlo se estará sobredimensionando la capacidad sísmica, ya que va a colapsar la estructura por corte y no va a poder desarrollar toda su capacidad a flexión.

•

Cuando se tiene una estructura con suficiente refuerzo transversal, el modelo de plasticidad de Giberson (1969) proporciona resultados satisfactorios en la determinación de la curva de capacidad sísmica resistente.

ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO

143

REFERENCIAS 1. Aguiar R. (1995), “Análisis Matricial de Estructuras”, Escuela Politécnica del Ejército, Segunda Edición, 612 p, Valle de los Chillos, Ecuador. 2. Aguiar R., Torres M., Romo M. y Caiza P. (1998), “El Sismo de Bahía”, Centro de Investigaciones Científicas. Escuela Politécnica del Ejército, 125 p, Valle de los Chillos, Ecuador. 3. Aguiar R. (2003), “Sistema de computación CEINCI4: Incorporación del efecto de corte en los diagramas momento curvatura”, Revista CIENCIA. Centro de Investigaciones Científicas. Escuela Politécnica del Ejército, 6 (1), 101-120, Valle de los Chillos, Ecuador. 4. Collins M. P., Mitchell D, Adobar P. and Vecchio F. J., (1996), “A general shear design method”, ACI Structural Journal, 93 (1), 36-45. 5. Giberson M.F. (1969), “Two Nonlinear Beams with Definitions of Ductility”, Journal of the Structural Division, ASCE, Vol. 95, No ST2, 137-157. 6. Hakuto S., Park R. and Tanaka H., (1995), “Retroftiting of Reinforced Concrete Moment Resisting Design of Reinforced Concrete Frames”, Research Report 95-4, Dept. of Civil Engineering, University of Canterbury, 390 pp, New Zeland. 7. Ichinose T., (1992), “A shear design equation for ductile R/C members”, Earthquake Engineering and Structural Dynamics, Vol 21, 197-214. 8. NZNSEE (1996), “The Assessment and Improvement of the Structural Performance of Earthquake Risk Buildings”, New Zealand National Society for Earthquake Engineering, Draf for General Release for Building Industry Authority, 122 p. 9. Park R. and Paulay T., (1975), “Reinforced Concrete Structures”, John Wiley & Sons, Inc., 769 p, New York. 10. Park R., Priestley M., Gill W. D., (1982), “Ductility of Square Confined Concrete Columns”, Journal of Structural Division, ASCE, 108 (4), 929-950. 11. Priestley M. J. N. and Calvi G. M., (1991), “Toward a capacity design assessment procedure for reinforced concrete frames”, Earthquake Spectra, 77 (3), 413-437. 12. Priestley M. J. N. and Seible F., (1994), “Seismic Assessment of Existing Bridges”, Proc. of the Second International Workshop held in Queenstown, New Zealand, 9-12 Aug 1994, 447-471. 13. Roufaiel M. and Meyer C. (1987), “Analytical modeling of hysteretic behaviour or R/C frames”, Journal of Structural Division. ASCE, 113 (3), 429-444. 14. Stephens J. E. and Yao T. P. (1987), “Damage assessment using response measurements”, Journal of Structural Division, ASCE, 113 ( 4 ), 787-801. 15. Thom C. W., Buckle I.G. and Fenwick R. C., (1983), “The Effect of Inelastic Shear of the Seismic Response of Structures”, Dept. of Civil Engineering University of Auckland, Report No 347, 164 p, New Zealand. 16. Vecchio F. J. and Collins, M.P., (1986), “The modified compression field theory for reinforced concrete elements subjected to shear”, ACI Journal, 83 (2), 219-231.

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Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE

17. Vecchio J. and Collins M. P., (1988), “Predicting the response of reinforced concrete beams subjected to shear using modified compression field theory”, ACI Structural Journal, 85 (3), 258-268 18. Satyarno I., (2000), “Adaptive pushover analysis for the seismic assessment of older reinforced concrete buildings”, Ph.D. Tesis, Department of Civil Engineering. University of Canterbury, 260 p, New Zealand.

CAPÍTULO 7

ESPECTRO DE CAPACIDAD PARA MODELO ESPACIAL

RESUMEN Se presentan aspectos teóricos fundamentales del Espectro de Capacidad de una estructura espacial modelada como un sistema de tres grados de libertad, los mismos que están complementados con el desarrollo de un ejemplo y con un programa de computación denominado ESPACAP. Se destaca que los períodos de vibración que se obtienen al resolver el problema de valores y vectores propios con las matrices de rigidez y de masa, son los mismos períodos que se hallan al obtener la pendiente de la curva del espectro de capacidad. La incertidumbre que tiene el modelo se la considera mediante una función de distribución Log normal de la aceleración espectral; se presentan tres espectros de capacidad para una misma estructura, el uno corresponde a valores medios, el otro a valor medio más una desviación y el otro a valor medio menos una desviación, de tal forma que para un desplazamiento espectral se tendrá un rango de variación de la aceleración espectral. Posteriormente, se presentan los espectros de capacidad y los niveles de daño de acuerdo a lo estipulado por el Comité VISION 2000, y se indica la forma de construir estos gráficos que permiten visualizar en forma global el comportamiento de la edificación. Hasta el apartado 7.9 fue publicado en la Revista Matemática sin el Ejemplo N. 1, que se ha añadido para ilustrar el procedimiento de cálculo de un punto del espectro de capacidad. De igual forma se han incrementado dos apartados, el uno que es muy conceptual sobre la forma de cálculo de los valores y vectores propios de una estructura a partir de la solución del problema de vibración libre sin amortiguamiento y el otro en que se presenta un algoritmo que se utiliza antes de aplicar alguno de los métodos clásicos de cálculo de valores y vectores propios.

Capítulo publicado en Revista Matemáticas Vol. 2 N.- 1 de 2003 de la Politécnica del Litoral, 9-16.

146

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE

7.1 INTRODUCCIÓN Uno de los métodos que día a día va ganando espacio en el análisis sísmico de estructuras es, sin lugar a dudas, el Método del Espectro de Capacidad, que permite visualizar en un gráfico el probable comportamiento de la estructura, Aguiar (2002 a y b), Chopra y Goel (1999, 2000), Fajfar (1999, 2000). Para aplicar este método es necesario encontrar el espectro de capacidad de la estructura en el formato, desplazamiento aceleración y el espectro de demanda del sismo en el mismo formato. La pendiente de la curva del espectro de capacidad reporta la frecuencia de vibración 2 elevado al cuadrado ω n y con este valor se halla el período de la estructura T . En el rango elástico, el período de vibración es constante pero en el rango inelástico este período va cambiando de acuerdo a la degradación que sufre la estructura. Sean K y M , las matrices de rigidez y de masa de un sistema estructural, Aguiar (1989). De la solución del problema de valores y vectores propios indicados en la ecuación (7.1) se hallan los valores propios λ y los vectores propios φ .

(K − λ M ) φ = 0

( 7.1 )

En análisis no lineal se considera que la matriz de rigidez va a cambiar y la matriz de masas permanece constante, esto origina que los períodos de vibración cambien. Esto se lo visualiza al analizar las pendientes del espectro de capacidad. En la figura 7.1 se presentan los espectros de capacidad de tres estructuras de altura intermedia del mismo número de pisos, con igual sección transversal de sus elementos, pero con diferentes niveles de diseño. La estructura con bajo nivel de diseño, que en la figura 7.1 se la ha identificado como (3), tiene poca ductilidad y baja resistencia; por el contrario la de alto nivel de diseño sísmico, identificada por (1), tiene alta ductilidad y resistencia; la de nivel de diseño moderado es la (2) y se encuentra entre las dos curvas.

Figura 7.1 Espectros de capacidad de tres estructuras con diferentes niveles de diseño, obtenidas con la base de datos de HAZUS 99, implementado al sistema de computación CEINCI3.

147

ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO

Los espectros de capacidad de la figura 7.1 fueron obtenidos utilizando la base de datos de HAZUS 99, que tienen un carácter estadístico, implementados en el subprograma CURVAEC del Sistema de Computación CEINCI3, Aguiar (2002, a). HAZUS 99 define altura intermedia a edificios que pueden ser de 4, 5 o 6 pisos; en consecuencia, no se trata de una estructura específica si no que es general. Los espectros de capacidad de la figura 7.1 corresponden a estructuras de hormigón armado compuestas por vigas y columnas.

7.2

ECUACIONES DE CÁLCULO

Para la deducción de las ecuaciones de cálculo, es importante repasar algunos aspectos de la dinámica estructural, como la ecuación básica para un sistema de múltiples grados de libertad, la misma que se indica a continuación: ..

.

M q +C q + K q=Q .

..

siendo M, C y K, las matrices de masa, amortiguamiento y de rigidez; q, q y q , los vectores de desplazamiento, velocidad y aceleración; Q , es el vector de cargas generalizadas. Para la solución del problema, se acostumbra realizar el siguiente cambio de variable.

q = Φη donde Φ , es la matriz modal, cuyas columnas son los modos de vibración y se resuelve el sistema de ecuaciones diferenciales en las coordenadas η . Por otra parte, el método de superposición modal se describe en el capítulo 12, ahí se halla la respuesta máxima para el modo i, con la ecuación siguiente:

q i = γ i Sd iφ i donde el subíndice representa el modo i. Por otra parte dinámica del modo

γi ,

es el factor de participación

φ i , por último Sd i , es el desplazamiento espectral del modo i.

γi =

φ it M J mi

mi = φ it M φ i para el análisis sísmico plano en que las masas se concentran a nivel de piso el vector J , es unitario. La matriz de masas M es diagonal y está compuesta por las masas de cada piso. En el …Método del Espectro de Capacidad…, se considera, normalmente, que la estructura va a responder en el primer modo. En consecuencia se trabaja únicamente con este modo. Sea Dt , el desplazamiento máximo del primer modo, que ocurre en el tope del edificio y

S d , el desplazamiento espectral asociado al primer modo, al despejar esta variable de la ecuación se tiene:

148

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE

Dt

Sd = donde

γ 1 φ t1

φ t1 , es la amplitud en el tope del vector φ1 .

Por otra parte, las fuerzas estáticas equivalentes, F se obtienen multiplicando la matriz de rigidez K por el vector de desplazamientos q . En forma general, para el modo i, se tiene

Fi = K φ i γ i Sd i Por otro lado, del problema de valores y vectores propios, se conoce que:

K φ i = ω i2 M φ i Al reemplazar está última ecuación en la anterior pero teniendo en cuenta la definición de seudo espectros, que es valida para el rango elástico

ω i2 Sd i = Sa i , se tiene que

las fuerzas laterales en el modo i, valen:

Fi = M φ i γ i Sai Por otra parte, la sumatoria de las fuerzas laterales reporta el cortante basal

Vi . Sea

k un subíndice para identificar el número de piso y n el número total de pisos. En función de este subíndice se tiene que el cortante basal en el modo i, vale: n

n

k =1

k =1

Vi = ∑ Fki = γ i Sa i ∑ mk φ ki

El factor de participación modal en función de la masa de piso de piso

φ ki

m k y del vector modal

se puede escribir de la forma siguiente: n

γi =

∑m φ

ki

∑m φ

2 ki

k =1 n

k =1

k

k

Al sustituir la ecuación del factor de participación modal en la ecuación del cortante basal se tiene 2

⎛ n ⎞ ⎜ ∑ mk φ ki ⎟ ⎠ Sa Vi = ⎝ k =n1 i 2 m φ ∑ k ki k =1

149

ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO

Se define

αi

como el factor de participación del modo i en el cortante basal y en

función de esta variable el cortante basal en el modo i, se escribe de la siguiente manera:

Vi = α i M T Sai donde M T es la masa total de la estructura. Al comparar estas dos últimas ecuaciones, se encuentra:

2

⎛ n ⎞ ⎜ ∑ mk φ ki ⎟ α i = n⎝ k =1 n ⎠ ∑ mk ∑ mk φ ki2 k =1

k =1

Sean V , el cortante basal , Sa , la aceleración espectral, α 1 , el factor de participación en el cortante basal, del primer modo. En base a esto, se obtiene:

Sa =

V α1 M T

S d y Sa deben aplicarse a cada uno de los puntos de los puntos de la curva de capacidad resistente que relaciona el cortante basal V , con el desplazamiento lateral máximo en el tope del edificio Dt . Por este motivo se acostumbra Las ecuaciones que definen

escribir estas ecuaciones con un subíndice j, donde j es cada punto de la curva de capacidad resistente.

S dj =

Sa j =

Dtj

γ 1 φ t1 Vj

α1 M T

En efecto, para cada punto se tiene un vector de configuración dominante φ que está normalizado a la unidad. Con el objeto de organizar el cálculo del espectro de capacidad a continuación se resumen las ecuaciones que se deben utilizar y el orden de aplicación. Se escriben las ecuaciones para el caso de que φt1 = 1 , que es un caso muy común.

150

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE

m1 = φ t M φ

( 7.2 )

φ M J

( 7.3 )

γ1 = α1

t

(φ =

Sd j = Sa j =

m1 t

M J M T m1

)

Dtj

2

( 7.4 )

( 7.5 )

γ1 Vj

α1 M T

( 7.6 )

Se destaca que J es un vector en función del cual se escribe el vector de cargas generalizadas Q , para el análisis sísmico plano J es un vector unitario pero para el análisis sísmico espacial depende del modelo numérico de cálculo que se utilice, Aguiar (1989). Las ecuaciones ( 7.2 ) a ( 7.7 ) sirven para obtener el espectro de capacidad de la estructura asociada al primer modo de vibración. En consecuencia, los períodos de vibración que se obtienen del espectro de capacidad están asociados a dicho modo. Normalmente la mayor parte de edificios responden en el primer modo de vibración. Para problemas especiales en que se conoce que la estructura no va a responder en el primer modo, se deberá encontrar el espectro de capacidad para el modo que se desee, Bonett et al (2003). En este caso las ecuaciones ( 7.5 ) y ( 7.6 ) se cambian por las siguientes:

Sa j = Sd j = donde mi es la masa modal i,

γi

Vj mi ∗ g Dtj

( 7.7 ) ( 7.8 )

γi

es el factor de participación del modo i pero adicionalmente

debe cumplir con la condición de que el período de vibración del espectro de capacidad para el rango elástico es igual al período de vibración del modo i que se obtiene de la solución del problema de valores y vectores propios. A pesar de que es posible obtener espectros de capacidad para cualquier modo de vibración, lo común es trabajar con el primer modo.

7.3

EJEMPLO NUMÉRICO N. 1

En un pórtico plano de tres pisos, un punto j, de la curva de capacidad resistente está definido por un cortante basal V = 11 T y un desplazamiento lateral en el tope

Dt = 0.060034 m . Se desea encontrar el desplazamiento espectral Sd y la capacidad de aceleración espectral Sa . Se indica a continuación la matriz de masas en T s2/m., y el vector

151

ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO

de desplazamientos q en m., a partir del cual se obtiene el vector

φ , normalizado en el tope a

la unidad, dividiendo todos los valores para Dt .

⎡1.306 M = ⎢⎢0.000 ⎢⎣0.000

0.000 1.306 0.000

⎡0.017420 m⎤ q = ⎢⎢0.040396 m⎥⎥ ⎢⎣0.060034 m⎥⎦ •

Cálculo de m1 = φ

t

Cálculo de

Mφ

γ1 =

Cálculo de

0.000⎤ 0.000⎥⎥ 1.306⎥⎦

⎡0.29017⎤ ⎢0.67289⎥ = 2.0073 ⎢ ⎥ ⎢⎣1.00000 ⎥⎦

0.000 1.306 0.000

0.000⎤ 0.000⎥⎥ 1.306⎥⎦

φt M J m1 2.56376 = 1.27722 2.0073

γ1 = •

0.000

⎡1.306 ⎢0.000 ⎢ ⎢⎣0.000

φ M J = [0.29017 0.67289 1]

Cálculo de

0.000 1.306

φt M J

t

•

⎡0.29017⎤ φ = ⎢⎢0.67289⎥⎥ ⎢⎣1.00000 ⎥⎦

⇒

⎡1.306 m1 = [0.29017 0.67289 1] ⎢⎢0.000 ⎢⎣0.000 •

0.000⎤ 0.000⎥⎥ 1.306⎥⎦

M T = ∑ mi

M T = 3 × 1.306 = 3.918

•

Cálculo de

α1

(φ =

t

)

2

MJ M T m1

α1

(φ =

t

M J M T m1

)

2

=

2.56376 2 = 0.83575 3.918 × 2.0073

⎡1.0⎤ ⎢1.0⎥ = 2.56376 ⎢ ⎥ ⎢⎣1.0⎥⎦

152

•

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE

Cálculo de

Sd =

Dt

γ1 Sd =

•

Cálculo de Sa =

Dt

γ1

0.060034 = 0.0470036m 1.27722

V M T α1 Sa =

7.4

=

11 = 3.3593 m 3.918 × 0.83575

MODELO DE ANÁLISIS ESPACIAL

En el capítulo 5 se presenta en detalle el modelo numérico de cálculo con el cual se ha encontrado la curva de capacidad resistente de una estructura espacial. El modelo considera que cada pórtico plano es un elemento de una estructura espacial que tiene tres grados de libertad, dos traslaciones y una rotación de piso, como se muestra a la izquierda de la figura 7.2. La estructura puede tener cualquier cantidad de pórticos, se han colocado solo cuatro en la figura 7.2 por facilidad de explicación. Se ha notado CM, al Centro de Masas de la estructura.

Figura 7.2 Grados de libertad que se consideran en el modelo de análisis espacial.

La forma de la matriz de rigidez K y de masas M asociada a las coordenadas de piso indicada en la figura 7.2 es la siguiente:

⎡k xx ⎢ K = ⎢k yx ⎢k ⎣ θx

k xy k yy kθy

k xθ ⎤ ⎥ k yθ ⎥ kθθ ⎥⎦

( 7.9 )

153

ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO

⎡M T M = ⎢⎢0 ⎢⎣0

0⎤ 0 ⎥⎥ J T ⎥⎦

0 MT

0

( 7.10 )

La forma de cálculo de la matriz K está detallada en el capítulo 5. La variable se indicó anteriormente y corresponde a la masa total del sistema y inercia de la masa

J T es el momento de

MT . JT =

donde

M T ya

(

MT 2 a + b2 12

)

( 7.11 )

a y b son las dimensiones totales de la losa en sentido X e Y.

Cuando se desea encontrar el Espectro de Capacidad con relación al eje X, el vector J que se mencionó en el apartado anterior, es:

⎡1 ⎤ J = ⎢⎢0⎥⎥ ⎢⎣0⎥⎦

( 7.12 )

Para obtener el Espectro de Capacidad con relación al eje Y, el 1 del vector J se encuentra en la mitad.

7.5

EJEMPLO NUMÉRICO N. 2

Se desea encontrar el Espectro de Capacidad, en sentido X, de la estructura de cinco pisos, indicada en la figura 7.3, cuya curva de capacidad resistente se obtuvo en capítulo 5 y se indica en la figura 7.4. Se considera una carga muerta D = 500 kg / m 2 y una carga viva

L = 200 kg / m 2 . Para el análisis sísmico se considera en este ejemplo el 25 % de la carga viva. Para el rango elástico la matriz de rigidez asociada al CM es la siguiente:

⎡2284.32 K = ⎢⎢ 0.00 ⎢⎣ 0.00 Por otra parte, la masa total

0.00 2284.32 0.00

0.00 ⎤ 0.00 ⎥⎥ 91372.80⎥⎦

M T , el momento de inercia de la masa J T y la matriz de

masas M para el edificio de 5 pisos resultan ser:

MT =

(500 + 0.25 ∗ 200 ) ∗ 12 ∗ 12 * 5 = 40408.16 kg s 2 / m = 40.41 T s 2 / m. 9.8

JT =

(

)

40.41 2 12 + 12 2 = 969.84 T m s 2 12

154

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE

⎡40.41 M = ⎢⎢ 0.00 ⎢⎣ 0.00

0.00 40.41 0.00

0.00 ⎤ 0.00 ⎥⎥ 969.84⎥⎦

Figura 7.3 Distribución en planta de estructura de cinco pisos conformada por vigas y columnas. Los valores propios que se obtienen de la solución de la ecuación ( 7.1 ) con las matrices de rigidez y de masas indicadas, son las siguientes:

λ1 = λ2 = 56.528

λ3 = 94.312

De la dinámica de estructuras se conoce que la frecuencia natural período

ωn = λ

y que el

T = 2π / ω n . En consecuencia, asociado a cada valor propio se tiene un período de

vibración. Para el espectro de capacidad lo que interesa es exclusivamente el período asociado al primer modo que resulta igual a 0.836 s. Este período se deberá encontrar en el espectro de capacidad. Se ilustra el procedimiento de cálculo de un punto del Espectro de Capacidad. Para el punto cuyo cortante basal V = 10 T el desplazamiento lateral Dt = 0.004377 m. y el vector

φ t = [1

0

0] . Al remplazar los datos indicados en las ecuaciones ( 7.2 ) a ( 7.6 ), se

obtiene:

m1 = 40.41

γ1 = 1

α1 = 1

Sd1 = 0.004377 m.

Sa1 = 0.24746 m / s 2

155

ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO

Al proceder de igual forma con los restantes puntos de la curva de capacidad resistente de la figura 7.4, se halla el espectro de capacidad indicado en la figura 7.5. Se destaca que en el ejercicio todos los pórticos tienen la misma resistencia, por ese motivo se aprecia en las figuras 7.4 y 7.5 un comportamiento bilineal. Para el rango no lineal, la matriz de rigidez es la siguiente:

⎡91.56 K = ⎢⎢ 0.00 ⎢⎣ 0.00

0.00 91.56 0.00

0.00 ⎤ 0.00⎥⎥ 3662.40⎥⎦

Figura 7.4 Curva de capacidad resistente de estructura de 5 pisos, cuya configuración en planta es la indicada en la figura 7.3. Todos los pórticos tienen la misma resistencia.

Nuevamente de la solución del problema de valores y vectores propios se obtiene que el período de vibración asociado al primer modo sea T = 4.1741 s. Pero para el rango inelástico. Nótese como se incrementa notablemente el período en el rango inelástico. Tanto el período para el rango elástico como el para el rango inelástico se obtienen a partir de las pendientes del espectro de capacidad resistente indicado en la figura 7.5.

7.6

PROGRAMA ESPACAP

Antes de usar este programa, lógicamente, se necesita haber utilizado el programa ESPACIAL, descrito en el capítulo 5, que genera varios archivos entre ellos uno en el cual se encuentran los datos con los que se obtienen la curva de capacidad resistente y otro en que están los modos de vibración para cada punto de la curva indicada. La entrada de datos para el programa ESPACAP, es la siguiente:

156 •

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE

Número de pisos, formato libre libre

•

NPISOS = Número de pisos.

Masa total de cada piso, formato libre. libre libre libre

•

MASA1 = Masa total del Piso 1. MASA2 = Masa total del Piso 2. MASA3 = Masa total del Piso 3, hasta el último piso. Una línea de datos para cada masa.

Datos de la dimensiones totales en planta, formato libre libre libre

•

a = Dimensión total de la planta representativa en sentido X. b = Dimensión total de la planta representativa en sentido Y.

Archivo de datos para ejemplo 2

5 8.082 8.082 8.082 8.082 8.082 12.0 •

12.0

Archivo de Resultados con espectro de capacidad: SPECAP.OUT Contiene espectro de capacidad normal SPECAMIN.OUT Contiene espectro de capacidad menos una desviación. SPECAMAX.OUT Contiene espectro de capacidad más una desviación.

7.7

INCERTIDUMBRE DEL MODELO

La mayor parte de los modelos numéricos de cálculo conllevan una incertidumbre, razón por la cual es conveniente resolver los problemas en forma probabilística en lugar de hacerlo en forma determinística. A más del modelo numérico como tal, en las estructuras, se tiene incertidumbre en los materiales utilizados, en los modelos constitutivos empleados para definir las relaciones esfuerzo deformación para el rango no lineal, todo esto ha dado origen a lo que se denomina, Confiabilidad Estructural, Montiel et al (2002 a y b). En los espectros de capacidad, se considera que la función de distribución de la aceleración espectral de las estructuras es Log normal, Hazus (1999). En consecuencia, el espectro de capacidad indicado en la figura 7.4 tendría una probabilidad del 50%. Si se quiere incrementar esa probabilidad se tendría que establecer un rango de variación de la aceleración espectral para cada desplazamiento espectral.

157

ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO

El valor de la desviación

β (S a )

depende del nivel de diseño de las estructuras y, por

que no decirlo, de la tipología estructural. Es un valor que amerita ser investigado para los sistemas constructivos del Ecuador. En el programa ESPACAP, se ha considerado β ( S a ) = 0.25 y las ordenadas espectrales se han multiplicado por e β (S a ) para tener la curva media más una desviación; y se han multiplicado por e menos una desviación.

− β (Sa )

para encontrar la curva media

De tal manera que lo mejor es determinar tres espectros de capacidad para una estructura, conforme se lo ha indicado en el párrafo anterior. Al trabajar de esta manera, la probabilidad de que la aceleración indicada sea la correcta, es del 68%. En la figura 7.5 se indican los tres espectros de capacidad, para la estructura de 5 pisos que se está analizando.

Figura 7.5 Espectros de capacidad de una estructura, considerando las incertidumbres del modelo y de los materiales empleados.

7.8

DISTORSIÓN GLOBAL Y DE PISO

Uno de los parámetros que se utilizan para evaluar el desempeño de una estructura ante acciones sísmicas es la distorsión de piso ψ oi , el mismo que se define como el desplazamiento relativo del piso i con respecto a la altura del entrepiso. Por otra parte, se define la distorsión global desplazamiento lateral máximo de la estructura

ψo

como la relación entre el

Dt para la altura total del edificio H t . Es

158

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE

importante diferenciar que a nivel de estructura se tiene un desplazamiento

Dt y a nivel de

espectro de capacidad, que está asociado a un sistema de un grado de libertad, el desplazamiento lateral máximo se denomina S d ; la relación entre estos dos desplazamientos viene dado por el factor de participación modal

γ . De tal forma que:

Dt = γ S d

( 7.13 )

En consecuencia, la distorsión global ψ o vale:

ψo = La relación entre la distorsión de piso medio del factor

γ Sd

( 7.14 )

Ht

ψ oi

y la distorsión global

ψo

viene dada por

α i , donde el subíndice i corresponde al piso i. ψ oi = α i ψ o

En Aguiar (2002, a) se ilustra la forma de cálculo de

( 7.15 )

αi ,

para cualquier condición.

Ahora, en el presente modelo de cálculo, se consideran las siguientes hipótesis en el cálculo de αi :

φ tiene una forma triangular con un valor máximo

•

La configuración del modo dominante unitario en el último piso.

•

La altura de los entrepisos son iguales.

En base a estas hipótesis, el programa ESPACAP determina la deriva o distorsión de piso y genera un archivo de resultados denominado DERIVA.OUT en el que aparece la distorsión de piso en función del desplazamiento espectral. Como se indicó en el capítulo 1, el comité VISION 2000, SEAOC (1995), ATC 33-03 (1995), establece varios niveles de desempeño para las estructuras en función del uso de las mismas, niveles de desempeño denominados: Operacional, Inmediatamente Ocupacional, Seguridad de Vida, Prevención de Colapso y Colapso.

Operacional significa que después del sismo la edificación debe funcionar sin realizar ninguna reparación. En el desempeño denominado Inmediatamente Ocupacional se esperan ligeros daños estructurales y habrá que reparar la edificación en un tiempo no mayor a los dos meses. En Seguridad de Vida, el daño registrado en la estructura obliga a desocupar la edificación y proceder a reparar o reforzar la estructura en un tiempo considerable. Finalmente en Prevención de Colapso, el daño en la edificación es de tal magnitud que es más económico derrocar el edificio y construir uno nuevo. En ninguno de los casos la estructura colapsa. En función de la distorsión de piso, VISION 2000 establece en forma aproximada el límite de cada uno de estos desempeños, como se especifica en la tabla 7.1.

159

ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO

Tabla 7.1 Distorsiones de Piso máximas, recomendadas por el Comité VISION 2000 Operacional Inmediatamente Seguridad de Prevención del Colapso Ocupacional Vida Colapso < 0.2% +/-

< 0.5% +/-

< 1.5% +/-

< 2.5% +/-

> 2.5% +/-

En la figura 7.6 se indica la distorsión de piso en porcentaje en función del desplazamiento espectral S d , de la estructura de cinco pisos que ha servido de ejemplo, se muestran además los desplazamientos asociados a cada límite de daño, el ( 1 ) corresponde al límite para el desempeño denominado Operacional, el ( 2 ) para el Inmediatamente Ocupacional, el ( 3 ) para Seguridad de Vida y el ( 4 ) para Prevención del Colapso.

Figura 7.6 Límites de los estados de desempeño de acuerdo a VISION 2000.

7.9

ESPECTRO DE CAPACIDAD CON LÍMITES DE DAÑO Con los desplazamientos espectrales

S d , encontrados para cada nivel de desempeño,

se grafican en el espectro de capacidad los rangos en los cuales se espera un determinado desempeño que en lengua inglesa se denomina performance. Al nivel de desempeño denominado Operacional se le puede llamar Sin Daño; por otra parte, al desempeño Inmediatamente Ocupacional se le denomina Leve. Parece más explicativo denominarles de esta forma a los dos primeros niveles de desempeño.

160

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE

En la figura 7.7 se indican los tres espectros de capacidad de la estructura de 5 pisos que ha servido de ejemplo y en ella se muestran los límites de daño. Espectros de capacidad con límites de daño deben ser construidos por los proyectistas ya que permiten visualizar el probable comportamiento que va a tener la estructura y, sobre todo, el desempeño esperado de la misma. Es importante destacar que una distorsión de piso límite para el desempeño operacional o sin daño de 0.2% es un valor muy severo, pero algunos códigos lo contemplan, como el del Distrito Federal de Ciudad de México. Para sismos de baja intensidad, las estructuras no van a tener daño estructural y no estructural, esto se cumple si la distorsión máxima de piso es menor a 0.2% para esos sismos. Los elementos estructurales deberán tener suficiente resistencia para asegurar respuesta elástica ante sismos menores. El Código Ecuatoriano de la Construcción CEC-2000, únicamente establece un límite para la distorsión de piso asociada al nivel de diseño denominada Seguridad de Vida, éste límite es del 2%, cantidad superior al 1.5% estipulado por VISION 2000. Todo esto es para estructuras de hormigón armado.

Figura 7.7 Espectros de capacidad y estados límites de daño de acuerdo a VISION 2000.

7.10 VIBRACIONES LIBRES SIN AMORTIGUAMIENTO Un tema muy común en el análisis dinámico es el relacionado con el cálculo de los valores y vectores propios de estructuras, razón por la cual el presente apartado se dedica a dicho estudio, empezando desde la solución del sistema de ecuaciones diferenciales que gobiernan los problemas de vibraciones libres sin amortiguamiento, cuya ecuación es la siguiente:

161

ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO −

..

M q + K q=0

( 7.16 )

Todas las variables de ( 7.16 ) han sido ya definidas. Sea la solución de q (t ) , de la forma:

q (t ) = φ f (t )

( 7.17 )

donde φ es un vector que no depende del tiempo y que contiene los vectores propios y f (t ) es una función del tiempo. Al reemplazar la ecuación (7.17) en (7.16) y luego de realizar algunas simplificaciones se obtiene que el sistema (7.16) se transforma en dos problemas que están expresados en las siguientes ecuaciones:

[K − λ M ] φ = 0 _

(7.18 )

..

f (t ) + λ f (t ) = 0

( 7.19 )

7.10.1 Valores Propios

La ecuación (7.18), representa el problema de valores y vectores propios, donde λ es el valor propio y φ es el vector propio. Una vez calculado λ se obtiene con la ecuación (7.19) el valor de f (t ) . La ecuación (7.18) tiene soluciones φ distintas de cero, solamente si el determinante de la matriz de coeficientes es nulo.

det

K −λ M =0

( 7.20 )

Al resolver la ecuación (7.20) se obtiene un polinomio característico, si se tiene una matriz K de n × n este polinomio será de orden n. De solución de este polinomio obtengo las n raíces λ . Si las matrices K y M son reales, simétricas y definidas positivas, estos valores de λ serán reales y positivos.

♣

Encontrar los valores propios de una estructura, cuyas matrices de rigidez y de masas son las siguientes:

⎡12352.0 K=⎢ ⎣− 3983.0

− 3983.0⎤ 2100.8 ⎥⎦

⎡2.02 M =⎢ ⎣0.00

0.00⎤ 0.97⎥⎦

162

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE •

Solución

K − λM = 0

⎡ 12352 .0 − 3983 .0⎤ ⎡ 2.02 0.0 ⎤ −λ ⋅⎢ K − λM = ⎢ ⎥ ⎥ ⎣− 3983 .0 2100 .8 ⎦ ⎣ 0.0 0.97 ⎦ − 3983 .0 ⎡12352 .0 − 2.02 ⋅ λ ⎤ K − λM = ⎢ − 3983 .0 2100 .8 − 0.97 ⋅ λ ⎥⎦ ⎣

[

]

K − λM = [(12352 .0 − 2.02 ⋅ λ ) ⋅ (2100 .8 − 0.97 ⋅ λ )] − (− 3983 .0 ) = 0 2

∴ P (λ ) = 1.9594 ⋅ λ 2 − 16225 .056 ⋅ λ + 10084792 .6 = 0 λ1 = 676.888 λ 2 = 7603 .737 Cuando se resuelva el polinomio característico P (λ ) siempre se notarán las raíces de menor a mayor.

λ1 < λ2 < λ3 < L < λn

7.10.2

Propiedades dinámicas

Una ves que se ha resuelto el problema de valores propios, y se ha obtenido las raíces del polinomio característico, se pasa a calcular las frecuencias de vibración Wni usando la ecuación 7.21. El subíndice i representa el modo i.

Wni = λi Ti =

Ti

2π Wni

( 7.21 )

( 7.22 )

Con cada una de las frecuencias de vibración, se obtienen los períodos de vibración, según la ecuación (7.22). Para el ejercicio se tiene:

Wn 1 = λ1 = 676.888 = 26.017 Wn 2 = λ2 = 7603.737 = 87.1994 T1 =

2π 2π = = 0.242 s. Wn1 26.017

T2 =

2π 2π = = 0.072 s. Wn 2 87.1994

163

ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO

7.10.3

Modos de vibración

Cada uno de los valores propios, está asociado a un modo de vibración. Estos modos de vibración nos indican la forma como va a responder la estructura y son adimensionales. Obtenemos los modos de vibración, reemplazando los valores propios obtenidos en la ecuación (7.18). Este procedimiento se apreciara mejor a medida que sigamos resolviendo el ejercicio. Cálculo del primer modo de vibración

o

φ (1) .

[K − λ1 ⋅ M ]⋅ φ (1) = 0 Sea

φ (1)

de la forma:

⎡a ⎤

φ (1) = ⎢ ⎥ b ⎣ ⎦

⎡ 12352 .0 − 3983.0⎤ ⎡2.02 0.0 ⎤ K − λ1 ⋅ M = ⎢ − (676.888 ) ⋅ ⎢ ⎥ ⎥ ⎣− 3983.0 2100.8 ⎦ ⎣ 0.0 0.97 ⎦ 0.0 ⎤ ⎡ 12352 .0 − 3983.0⎤ ⎡1367.314 −⎢ =⎢ ⎥ 656.581⎥⎦ ⎣ − 3983.0 2100.8 ⎦ ⎣ 0.0 ⎡10984 .686 − 3983.0 ⎤ =⎢ ⎥ ⎣ − 3983.0 1444.219 ⎦ Al reemplazar valores se tiene:

[K − λ1 ⋅ M ] ⋅ φ (1) = 0 ⎡10984 .686 − 3983.0 ⎤ ⎡a ⎤ ⎡0⎤ ⎢ − 3983.0 1444.219 ⎥ ⋅ ⎢b ⎥ = ⎢0⎥ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ De donde

10984 .686 ⋅ a − 3983 .0 ⋅ b = 0 − 3983 .0 ⋅ a + 1444 .219 ⋅ b = 0 Aparentemente se tienen dos ecuaciones con dos incógnitas. Pero eso no es cierto, ya que si a la segunda ecuación se le multiplica por –2.7579, se obtiene la primera ecuación y es una de las características de los vectores propios, es que siempre hay una ecuación menos. De tal manera que el sistema de ecuaciones es linealmente dependiente, eso significa que hay una gran cantidad de vectores propios.

164

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE

Por ejemplo, si a = 1 y se reemplaza en la primera ecuación de las anteriores, se obtiene que b = 2.758, pero si de igual forma si b = 1 se obtiene que a = 0.363, es decir que tendríamos:

⎡ 1 ⎤

φ (1) = ⎢ ⎥ ⎣2.758⎦

∧

⎡0.363⎤

φ (1) = ⎢ ⎥ ⎣ 1 ⎦

∧

L

Al existir un infinito número de vectores propios, se habla de vectores propios normalizados. La forma más común de normalizar los modos es:

φ (i ) t

M

φ (i ) = C

( 7.23 )

donde C es una constante de normalización que puede tener cualquier valor. Algunos consideran el valor del promedio de las masas, otros lo normalizan de tal forma de C sea unitaria. Por didáctica se va a llamar X el vector propio sin normalizar, como los que se han obtenido en los ejemplos realizados y φ al vector propio normalizado. Para el modo de vibración i, se tendrá:

φ (i ) = α (i ) X (i ) Al sustituir (7.24) en (7.23) y luego de despejar

α

♣

(i )

=

X (i ) t

C M

( 7.24 )

α (i ) se tiene: ( 7.25 )

X (i )

Se desea normalizar los modos de vibración del ejercicio que se ha venido resolviendo en el presente apartado si la constante de normalización es la unidad, C = 1 .

•

Solución

Al reemplazar valores en ( 7.25 ) se obtiene propio normalizado vale:

α (1) = 0.326 . Por lo tanto el primer vector

⎡1.000 ⎤ ⎡0.326⎤ ⎥=⎢ ⎥ ⎣2.758⎦ ⎣0.899⎦

φ (1) = α (1) X (1) = 0.326 ⎢

165

ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO

o

Cálculo del segundo modo de vibración X

( 2)

−

[K − λ2 M ] X ( 2) = 0 ⎡ 12352 .0 − 3983.0⎤ ⎡2.02 0.0 ⎤ K − λ2 ⋅ M = ⎢ − (7603.737 ) ⋅ ⎢ ⎥ ⎥ ⎣− 3983.0 2100.8 ⎦ ⎣ 0.0 0.97 ⎦ 0 .0 ⎤ ⎡ 12352 .0 − 3983.0⎤ ⎡15359 .549 − =⎢ ⎥ ⎢ 7375.625⎥⎦ ⎣ − 3983.0 2100.8 ⎦ ⎣ 0.0 ⎡ − 3007.549 − 3983.0 ⎤ =⎢ ⎥ ⎣ − 3983.0 − 5274.825⎦

Sea X

( 2)

− ⎡a ⎤ = ⎢ ⎥ al reemplazar en [K − λ 2 M ] X ( 2) = 0 se tiene: ⎣b ⎦

⎡− 3007.549 − 3983.0 ⎤ ⎡a ⎤ ⎡0⎤ ⎢ − 3983.0 − 5274.825⎥ ⋅ ⎢b ⎥ = ⎢0⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ de donde el sistema de ecuaciones resulta:

− 3007.549 a − 3983.0 b = 0 − 3983.0 a − 5274.825 b = 0 Al igual que antes solo se tiene una ecuación con dos incógnitas, así que se impone un valor para cualquiera de las variables. Si a = 1, se tiene que:

⎡1.000 ⎤ X ( 2) = ⎢ ⎥ ⎣− 0.755⎦ ( 2)

A partir de X se encuentra por un procedimiento similar al anterior el vector propio normalizado a la unidad.

⎡− 0.623⎤

φ ( 2) = ⎢ ⎥ ⎣ 0.471 ⎦ Estos dos modos de vibración encontrados, indican como se comportará la estructura bajo la acción de un sismo o de una excitación dinámica. En la figura 7.8 se grafican estos modos para el caso de un pórtico plano de dos pisos en el que se han concentrado las masas a nivel de piso.

166

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE

Figura 7.8 Modos de vibración de una estructura de dos pisos.

7.11 ALGORITMO DE M

1 2

En el apartado anterior se presentó el cálculo de las propiedades dinámicas y de los modos de vibración de una estructura desde un punto de vista conceptual. Ahora bien en la práctica se calculan los valores y vectores propios de una matriz utilizando algún método, uno de los más utilizados es el de Jacobi que encuentra todos los valores y vectores propios de una matriz simétrica. Se tiene que definir por lo tanto esa matriz a partir de las matrices de rigidez K y de masas M . Para el efecto una alternativa es utilizar el algoritmo que en este apartado se indica. La ecuación (7.18) puede escribirse de la siguiente manera: ( 7.26 )

Kφ =λ M φ Sea

φ=M

−

1 2

φo

( 7.27 )

Al reemplazar ( 7.27 ) en ( 7.26 ) se tiene:

KM Por otro lado se tiene que:

−

1 2

φo = λ M M

−

1 2

φo

167

ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO

M =M

1 2

M

1 2

Al reemplazar en la última ecuación se encuentra:

KM

−

1 2

1

φo = λ M 2φo −

Premultiplicando por la izquierda por M

M

−

1 2

KM

−

1 2

1 2

se obtiene:

φo = λ φo

( 7.28 )

Se denomina

Ko = M

−

1 2

−

KM

1 2

( 7.29 )

De donde la ecuación ( 7.28 ) se transforma en:

( 7.30 )

K o φo = λ φo

De tal forma que el procedimiento de cálculo para encontrar los valores y vectores propios de una estructura aplicando el algoritmo de M

1 2

es el siguiente:

1 2

1. Se encuentra la matriz M . Normalmente la matriz de masas es diagonal de tal manera que M de la diagonal. −

1 2

se encuentra sacando la raíz cuadrada de los elementos

1

2. Se determina M 2 . Para el caso de matrices diagonales no es más que la inversa de los elementos de la diagonal. 3. Se determina K o . 4. Se aplica cualquier Método de cálculo de valores y vectores propios en K o .

5. Finalmente se hallan los vectores propios

7.12 CONCLUSIONES

φ=M

−

1 2

φo

168

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE

Se ha presentado la teoría que permite calcular el Espectro de Capacidad para cualquier estructura. En el presente artículo se lo ha aplicado al análisis sísmico espacial, considerando un modelo de tres grados de libertad. Por otra parte, se ha desarrollado un programa de computación que permite encontrar el espectro de capacidad de estructuras espaciales. Las incertidumbres del modelo y de los materiales han sido cubiertas con la presentación de tres espectros de capacidad para una misma estructura, de tal forma que para un determinado desplazamiento espectral se tiene un rango de variación de la aceleración espectral. Finalmente, en base al modelo espacial de tres grados de libertad se ha presentado una forma de cálculo de la distorsión de piso y se han incorporado los límites de daño al espectro de capacidad. Del estudio realizado se desprenden las siguientes conclusiones: •

Normalmente se obtiene el espectro de capacidad para el primer modo de vibración, pero se puede encontrar dicho espectro para cualquier modo.

•

La pendiente del espectro de capacidad representa el período de vibración de la estructura para el modo para el cual se ha obtenido el espectro.

•

Por la incertidumbre que se tiene en los modelos de análisis no se puede definir un solo espectro de capacidad sino que se deben definir tres espectros, uno de valor medio y dos de valor medio ± una desviación.

•

La forma de cálculo de la distorsión de piso que incorpora el programa ESPACAP es valida para una estructura con altura de entrepiso igual en todos los pisos y que el modo de vibración tenga una variación lineal.

•

Es muy útil la incorporación en el espectro de capacidad de los límites de niveles de daño.

REFERENCIAS 1. Aguiar R. (1989), “Análisis Dinámico Espacial”, Escuela Politécnica del Ejército, 270 p, Quito, Ecuador. 2. Aguiar R. (2002, a), “Sistema de Computación CEINCI3 para evaluar daño sísmico en los Países Bolivarianos”, Centro de Investigaciones Científicas. Escuela Politécnica del Ejército, 302 p, Valle de los Chillos, Ecuador. 3. Aguiar R. (2002, b), “Estado del arte de los métodos de análisis sísmico y desempeño estructural”, XV Jornadas Nacionales y Primeras Binacionales de Ingeniería Estructural, 69-101, Loja, Ecuador. 4. ATC 33-03 (1995), “Guidelines for Seismic Rehabilitaction of Buildings”, 75% Submittal, Third Draft, 3 Vol, Redwood City. 5. ATC-40, (1996), "Seismic evaluation and retrofit of concrete buildings", Applied Technology Council, Redwood City, California. 6. Bonett R., Penna A., Lagomarsino S., Barbat A., Pujades L. y Moreno R. (2003), “Evaluación de la vulnerabilidad sísmica de un edificio típico del Eixample de Barcelona, España”, Revista Internacional de Ingeniería de Estructuras, 8 (2), 85-115.

ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO

169

7. Chopra A. and Goel R. (1999) , "Capacity-demand-diagram methods for estimating deformation of inelastic structures: SDF systems", Pacific Earthquake Engineering. Research Center, Rep. No PEER-1999/02,University of California, Berkeley, California. 8. Chopra A. and Goel R. (2000), “Evaluation of NSP Estimate Seismic Deformation SDF Systems”,Journal of Structural Engineering, 126 (4), 482-490. 9. Fajfar P. (1999), “Capacity Spectrum Method based on Inelastic Demand Spectra”, Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 28, 979-993. 10. Fajfar P. (2000), “A Non linear analysis method for performance-based seismic design”, Earthquake Spectra, 16, 573-591. 11. HAZUS 99 (1999), "Earthquake Loss Estimation Methodology", Federal Emergency Management Agency FEMA and National Institute of Building Sciences NIBS, Vol 5, Chapter 5, Washington DC. 12. Montiel M., Palacios J., Aparicio J., Ruiz S. y Granados R. (2002, a), “Evaluación de la Confiabilidad Sísmica de Marcos”, XIII Congreso Nacional de Ingeniería Estructural. Sociedad Mexicana de Ingeniería Sísmica, 190, 671-682, Puebla, México. 13. Montiel M., Ruiz S. y Chan S. (2002, b), “Evaluación de la Confiabilidad Sísmica de Construcciones usando un método simplificado”, Octavas Jornadas Chilenas de Sismología e Ingeniería Antisísmica, 10 p, Valparaíso, Chile. 14. Reinhorn A. (1997), “Inelastic analysis techniques in seismic evaluations”, in P. Fajfar and H. Krawinkler (Eds), “Seismic Design Methodologies for the Next Generation of codes” , 277-287, Balkema Rotterdam. 15. SEAOC (1995), “Visión 2000 Report on performance based seismic engineering of buildings”, Structural Engineers Association of California, Volume I , Sacramento.

CAPÍTULO 8

ESPECTROS SÍSMICOS DE RIESGO UNIFORME PARA VERIFICAR DESEMPEÑO ESTRUCTURAL EN PAISES LATINOAMERICANOS

RESUMEN

Se presenta una propuesta para encontrar formas espectrales para los sismos denominados por el Comité VISION 2000, como frecuente, ocasional, raro y muy raro, para Venezuela, Colombia, Ecuador, Perú, Chile y Argentina. A excepción de Colombia, las normativas sísmicas vigentes al 2003 en los países mencionados establecen el espectro de diseño para el sismo raro que tiene 10% de probabilidad de excedencia en 50 años. En la Norma de Colombia también se ha definido el espectro para el umbral de daño que tiene una probabilidad del 80% de ser excedido en 15 años. En base al espectro para el sismo raro se propone obtener formas espectrales para los tres restantes niveles de diseño sísmico: frecuente, 50% de probabilidad de excedencia en 30 años; ocasional, 50% de probabilidad de excedencia en 50 años; y muy raro, 10% de probabilidad de excedencia en 100 años. De esta manera se aporta al desarrollo del diseño sísmico por desempeño en América Latina.

8.1

INTRODUCCIÓN

Uno de los países con mayor conocimiento dentro del campo de la Ingeniería Sísmica es los Estados Unidos de Norte América; sin embargo de ello, dos sismos recientes de magnitud moderada, como el de Loma Prieta de 1989, con una magnitud de 7.1, y el de Northridge de 1994, con una magnitud de 6.7, dejaron ocho mil millones y cuarenta mil millones de dólares en pérdida, respectivamente. El número de muertos en el sismo de Loma Prieta fue de 63 y 51 en el sismo de Northridge. Cifras demasiadas altas que motivaron la revisión de la filosofía de diseño, por parte del Comité VISION 2000. Capítulo publicado en el XI Seminario de Ingeniería Sísmica que se realizó en Mendoza, Argentina, en Agosto de 2003 . Publicado además en la Revista Cimientos N. 3 del Colegio de Ingenieros Civiles de Esmeraldas, en Agosto de 2003.

172

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE

En la nueva filosofía se da mayor importancia al diseño por desempeño que al diseño por resistencia, ya que este último por si solo no garantiza un adecuado comportamiento de la edificación ante sismos menores. Países como Japón, Nueva Zelanda y algunos europeos han acogido la iniciativa del diseño y análisis sísmico por desempeño y es muy probable que, a corto tiempo, presenten nuevas normativas sísmicas que incluyan esta nueva filosofía, en contraste con otros países que están agobiados por problemas políticos y económicos, que tienen a sus pueblos sumidos en una pobreza que se agrava cuando se registra un sismo de moderada magnitud, como el que afectó al eje cafetero de Colombia en 1999 y que dejó un mil ochocientos millones de dólares en pérdidas. En la forma de diseño tradicional se garantiza que el edificio no va a colapsar ante un sismo mayor y se entiende que ante sismos menores la estructura va a responder en el rango elástico o con ligero daño ante sismos moderados. Todos los controles que se realizan en el diseño están orientados exclusivamente al sismo mayor. Pero es importante cuantificar el desempeño que va a tener la edificación ante los sismos menores y moderados para saber si no se va a producir graves pérdidas de capital e interrupción del servicio (Flores 2002). En el diseño sísmico por desempeño lo que se desea es conocer los desplazamientos, distorsiones de piso y el comportamiento de cada uno de los elementos, ante sismos de pequeña magnitud que se van a repetir varias veces durante la vida de la estructura, o sismos de mayor magnitud que probablemente se registren una sola vez en el tiempo de vida de la edificación, o sismos más fuertes en los cuales la probabilidad de ocurrencia es menor. Lo cierto es que lo que se persigue es ante diferentes eventos sísmicos de diferente intensidad conocer su desempeño en términos de índices de daño a nivel local y global de la edificación, conocer las pérdidas económicas que se van a generar ante estos eventos y ver si son tolerables. En definitiva con el diseño sísmico por desempeño lo que se persigue es conocer más sobre el comportamiento de la estructura ante diferentes acciones sísmicas, lo que todavía no está suficientemente claro es la variable que mejor define el nivel de desempeño, entre estas tenemos el desplazamiento lateral máximo en el tope del edificio, la ductilidad, la deriva de piso, la energía disipada, los índices de daño, etc. VISION 2000 recomienda que se verifique el desempeño de las estructuras ante los cuatro eventos sísmicos que están indicados en la tabla 8.1. En consecuencia, en las normativas sísmicas se deben establecer los espectros de diseño para cada uno de estos eventos, tema bastante difícil si se considera la poca información sísmica instrumental que se dispone en varios países en vías de desarrollo; pero no por ello, debemos quedarnos con los brazos cruzados a la espera de que un nuevo sismo cause nuevas pérdidas humanas y económicas. En Latinoamérica las redes sísmicas que existen tienen dos o tres décadas de vida y la mayor parte de sus registros corresponden, gracias a Dios, a sismos de pequeña magnitud, en base a esta información, en Ecuador por ejemplo, se han generado sismos de mayor magnitud y formas espectrales; las mismas que constan en el Código Ecuatoriano de la Construcción, CEC-2000. Se sabe que conforme se tenga una mayor información sísmica se actualizarán los mapas de peligro sísmico y la forma de los espectros pero esto demanda su tiempo.

Sismo Frecuente Ocasional Raro Muy raro

Tabla 8.1 Sismos recomendados por el Comité VISION 2000. Vida Útil Probabilidad de Período medio Tasa Anual de ∗ T t p1 de retorno, excedencia, Excedencia P r 30 años 50% 43 años 0.02310 50 años 50% 72 años 0.01386 50 años 10% 475 años 0.00211 100 años 10% 970 años 0.00105

173

ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO

En la tabla 8.1, la tasa anual de excedencia

p1 se obtiene en función de la

*

probabilidad de excedencia P , durante la vida útil t , mediante la siguiente ecuación:

(

p1 = 1 − 1 − P ∗

)

1/ t

( 8.1 )

El período medio de retorno t r , se determina mediante la inversa de p1 . Para cada sismo de análisis se espera un desempeño de la edificación, de acuerdo al destino de la misma; pero en términos generales, ante el sismo frecuente, la estructura debe comportarse elásticamente, en consecuencia el coeficiente de amortiguamiento referido al crítico para estructuras de hormigón armado será del 2%. Este coeficiente para el sismo ocasional, en que se espera daño en los elementos no estructurales estará alrededor del 3%. Para el sismo raro, todas las normativas sísmicas presentan el espectro elástico asociado a un 5%; finalmente para el sismo muy raro el coeficiente de amortiguamiento es mayor. En el apartado 8.11 se presenta la teoría general con la cual se realizan los estudios de peligrosidad sísmica, su lectura será de gran ayuda para entender la temática que aquí se indica.

8.2

ZONIFICACIÓN SÍSMICA Y ESPECTRO ELÁSTICO

En la figura 8.1 se indica el mapa de zonificación sísmica de Venezuela, Colombia, Ecuador, Perú, Chile y Argentina, que ha sido obtenido para el sismo raro y que consta en: la Norma COVENIN 1756-98 (Rev. 2001) para el caso de Venezuela, en la Norma Sismo Resistente NSR-98 de Colombia, en el Código Ecuatoriano de la Construcción CEC-2000, en la Norma Técnica de Perú E030 de 1997, en la Norma de Chile NCh 433.Of 96 de 1996 y en el Reglamento Argentino para Construcciones Sismorresistentes IMPRES-CIRSOC de 1982. Nótese que a nivel de fronteras la aceleración varía de un país a otro. Por ejemplo, en la frontera entre Perú y Chile se tiene en el primer país 0.4 g., y en el segundo la aceleración varía de 0.2 a 0.4 g., algo similar se tiene en las otras fronteras. Esto amerita que a futuro se piense en tener un solo mapa de zonificación sísmica de América Latina y por qué no decirlo, una sola normativa sísmica. Se define el espectro de amenaza uniforme como la curva que une las aceleraciones espectrales asociadas independientemente a cada período estructural con una probabilidad de excedencia dada en un tiempo determinado y para un cierto factor de amortiguamiento con respecto al crítico. Es decir que es la curva que une las aceleraciones espectrales asociadas al mismo período medio de retorno, trabajando cada período estructural independientemente (Jaramillo 2002). No es el objetivo del presente capítulo comparar las formas espectrales de las normativas sísmicas vigentes al 2003 en Latinoamérica peor aún comentar sobre ellas, se entiende que estas responden a la mejor información sísmica disponible en cada país. Lo que se pretende es que a partir de las formas espectrales vigentes se determinen los espectros para los sismos recomendados por VISION 2000. Se considera que los períodos de retorno de cada uno de estos eventos que han sido determinados para el área de California se mantienen en Latinoamérica.

174

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE

ZONA

Amáx

1

0.10 g

2

0.15 g

3

0.20 g

4

0.25 g

5

0.30 g

6

0.35 g

7

0.40 g

Figura 8.1 Zonificación sísmica en Venezuela, Colombia, Ecuador, Perú, Chile y Argentina al 2003.

175

ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO

8.2.1

Normativa de Venezuela

En Venezuela se han determinado ocho zonas sísmicas que van desde la zona 0, en la cual no se esperan sismos, hasta la zona 7, que está caracterizada por una aceleración máxima del terreno Ao , igual a 0.4 g.; siendo g, la aceleración de la gravedad. Las ecuaciones que definen las tres ramas del espectro elástico, mostrado en la figura 8.2, son las siguientes:

T < To To < T < T ∗ T >T*

⎡ T ⎤ Ad = α β ϕ Ao ⎢1 + (β − 1)⎥ ⎣ To ⎦ Ad = α β ϕ Ao ⎛T∗ ⎞ Ad = α β ϕ Ao ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝T ⎠

( 8.2 ) ( 8.3 )

p

( 8.4 )

donde α es el coeficiente de importancia de la estructura; ϕ es el factor de corrección del coeficiente de la aceleración horizontal del suelo, por efecto de las condiciones locales de suelo; β es el factor de magnificación promedio, indicado en la tabla 8.2; Ao es la aceleración máxima del suelo, indicado en el mapa de zonificación de la figura 8.1. Los períodos To , T

∗

se

indican en la tabla 8.2, para diferentes perfiles de suelo. Finalmente, T y Ad son el período y la aceleración, que posteriormente se va a denominar S a .

Figura 8.2 Espectro Elástico de la norma venezolana de 2001.

8.2.2 Normativa de Colombia La norma NSR-98 de Colombia contempla nueve zonas sísmicas; la de mayor peligrosidad es la nueve, con un valor Ao = 0.4 g ., y la de menor peligrosidad, la uno con un

Ao = 0.05 g. Las ecuaciones del espectro elástico que se indican en la figura 8.3, son:

176

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE T < To To < T < T

*

Ad = α Ao (1.0 + 5.0 T )

( 8.5 )

Ad = 2.5 α Ao

( 8.6 )

T∗