Analisis Sismico de Edificios

2

VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD

CAP. 8: VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD

En las secciones iniciales del presente capítulo se fundamentará, basados en los conceptos básicos del análisis dinámico de edificios, las simplificaciones hechas a ciertos sistemas. Dichas simplificaciones son aceptadas por muchos reglamentos modernos de construcción cuando hacen uso de métodos dinámicos de diseño. En la Secc. 8.2 se verá la diferencia entre un modelo de acoplamiento cercano y lejano, usando para esto un pórtico de 3 niveles. Después en la Secc. 8.3 y 8.4 con la finalidad de que los conceptos fundamentales y procedimientos numéricos sean asimilados con facilidad haremos uso de una estructura sencilla ( pórtico de 2 niveles mostrado en la Fig. 8.3 ). Ello significa que para sistemas más complejos los conceptos también son válidos, tal como se verá en la Secc 8.4., con la única diferencia de que en la mayoría de los casos se tendrá que recurrir a programas de computo avanzados para realizar el análisis, sin embargo, la última palabra la tiene el Ingeniero a cargo del análisis y no la computadora que no es mas que una herramienta [ Ref. 11 ]. Finalmente, en la Secc. 8.5 se tocará el tema acerca de los sistemas continuos que son los que en realidad nos permiten representar a los sistemas estructurales con su masa y rigidez a lo largo de los elementos que los componen.

8.1 INTRODUCCIÓN

8.2 MODELOS

Cuando se trata con sistemas estructurales reales es necesario, en general, considerar varios grados de libertad, cada uno correspondiente a una coordenada independiente. En general podría pensarse que una estructura real tiene infinitos grados de libertad, sin embargo es posible reducir su número a uno finito considerando el hecho que los desplazamientos intermedios de los elementos pueden ser expresados en función de los desplazamientos de los nudos extremos. El número de grados de libertad debería ser igual al número de componentes de desplazamiento necesario para definir adecuadamente la deformada del sistema bajo el tipo de excitación de interés, y como consecuencia poder determinar las fuerzas internas de manera suficientemente aproximada.

El modelo más simple de un sistema de varios grados de libertad corresponde a una serie de masas interconectadas por resortes sin peso, como se muestra en la Fig. 8.1. Este modelo se denomina un sistema de acoplamiento cercano. Estrictamente sólo es aplicable a las vibraciones laterales de un pórtico con vigas infinitamente rígidas y despreciando la deformación axial de las columnas, o también a algún sistema vibratorio cuyas deformaciones sean principalmente desplazamientos laterales. Por esa razón también se lo denomina modelo tipo cortante.

En el caso de los edificios sometidos a cargas sísmicas, la excitación principal son aceleraciones horizontales (y una vertical que es poco importante en general o que en caso de serlo puede ser tratada independientemente). Esto se traduce en fuerzas de inercia horizontales que imprimen a la estructura una deformación lateral y cuyos grados de libertad independientes importantes son los desplazamientos horizontales de los nudos. Existen otras consideraciones aplicables a este caso, como el hecho que la masa está principalmente concentrada en el nivel de cada entrepiso y por consiguiente las fuerzas de inercia son fuerzas horizontales aplicadas al nivel de cada entrepiso. Esto sugiere que los grados de libertad dinámicos independientes son aquellos asociados con la dirección de las fuerzas. Lo cierto es que un edificio sometido a la acción de un sismo es un sistema de varios grados de libertad por lo que es importante analizar teóricamente el tratamiento de dichos sistemas.

P3

m3 k3 (u3 − u2 )

k3 P2

m2

m2u&&2 k2

P1

m2

P2

k2 (u2 − u1 )

m1 k1

Fig. 8.1 Modelo de acoplamiento cercano

En una estructura real, sin embargo, las masas están conectadas por elementos flexibles y el modelo anterior no es aplicable. El modelo real sería uno en que las

3

SECC. 8.3: GRADOS DE LIBERTAD DINÁMICOS

4

CAP. 8: VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD

masas se encuentran todas interconectadas dando origen a lo que se denomina modelo de acoplamiento lejano. Este modelo se representa en la Fig. 8.2. P3 P2 P1 y

z x ( a ) Modelo de una edificación de 2 niveles.

[Figura obtenida del programa SAP 2000 versión educacional]

m3

L1

L1

L1 z

L2

m2

y

L2

y m1 x

L2 ( b ) Planta de la edificación.

L2

( c ) Pórtico secundario típico. Elevación “ y ”.

Fig. 8.2 Modelo de acoplamiento lejano

8.3 GRADOS DE LIBERTAD DINÁMICOS Los grados de libertad dinámicos son aquellos en los cuales se generan las fuerzas inerciales ( masa por aceleración o momento de inercia por aceleración angular). Por ende, dichos grados son los que interesarán para realizar el análisis. En la Fig. 8.3.a se muestra se muestra el modelo de una edificación de 2 niveles, conformada por vigas y columnas. Su planta esta esquematizado en la Fig. 8.3.b, en ella se resalta las columnas cuyos ejes fuertes son paralelos al eje “ y ”. En la Fig. 8.3.c se muestra un pórtico secundario típico. Finalmente en la Fig. 8.3.d se puede apreciar un pórtico principal típico, el cual será usado, de aquí en adelante, para poder explicar los conceptos.

z x

L1

L1

L1

( d ) Pórtico Principal Típico. Elevación “ x ”.

Fig. 8.3 Edificación de 2 niveles: ( a ) Modelo. ( b ) Planta. ( c ) Pórtico Secundario. ( d ) Pórtico Principal.

Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO

5

SECC. 8.3: GRADOS DE LIBERTAD DINÁMICOS

Si se quisiera analizar el pórtico plano principal ( ver la Fig. 8.3.d ) considerando todos sus grados de libertad (GDL) , vemos que este tendría 24 GDL estáticos tal como se muestra en la Fig. 8.4. 13

14

16

17

15 1

2 3

19

18 4

5

23

22

21 7

6

20

8

24 11

10

9

12

Fig. 8.4 Pórtico plano principal con sus 24 GDL estáticos.

Sin embargo, al ocurrir movimiento lateral, solo serían importantes las fuerzas de inercias generadas por el peso de cada piso (ver Fig. 8.5 ) en los que además las deformaciones en su plano son despreciables. Lo cual indicaría que ahora tenemos un sistema de 2 GDL dinámicos, que son precisamente los desplazamientos laterales 1 y 2.

m2

2

6

CAP. 8: VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD

Es común que cuando se analicen edificaciones se suponga que los pisos son diafragmas rígidos en su plano ( Fig. 8.5 ), lo que permitiría expresar el movimiento de cualquier punto del piso en términos de tres grados de libertad: un giro alrededor de un eje vertical y dos desplazamientos horizontales. Cuando un pórtico, en este caso el de la Fig. 8.5, esta ligado a un piso rígido, los valores que tomen los tres GDL mencionados son los que definirán el desplazamiento lateral en cada nivel. Por otro lado, debido a que mayor parte de las masas están directamente soportada por los pisos, es aceptable suponer que las masas están concentradas en los mismos, de manera que las fuerzas de inercia generadas por desplazamientos laterales se pueda expresar como productos de la masa en cada piso por sus aceleraciones lineales ( en dos direcciones horizontales perpendiculares, para nuestro caso ejes “ x e y ” ) y del momento de inercia de dicha masa por la aceleración angular alrededor del eje vertical que pasa por el centro de masas. Según lo anterior, realizar el análisis dinámico de un edificio con modelos que tiene tres grados de libertad por piso(un giro en planta y un desplazamiento en x e y) es aceptable. Pero se debe tener presente que la hipótesis de que los pisos se comportan como diafragmas rígidos implica que las vigas no tienen deformaciones axiales. Cuando por simetría los pisos no rotan alrededor de ejes verticales, el edificio o sus componentes se puede modelar como un sistema de 1 GDL (desplazamiento lateral ) por piso ( u1 y u2 ) como se puede ver en la Fig. 8.6, que es una simplificación del pórtico plano principal con 2 GDL dinámicos mostrado en la Fig. 8.3. En la Fig. 8.4 se puede observar además que “ k1 y k2 ” son las rigideces laterales de cada piso (el cálculo aproximado de dichas rigideces fue enseñado en el Cap. 7). m2

m1

1

u2

k2 m1

u1

k1 Fig. 8.5 Pórtico plano principal con 2 GDL dinámicos. Fig. 8.6 Simplificación del pórtico plano principal con 2 GDL dinámicos

Lo dicho en el párrafo anterior no implica que los restantes giros y desplazamientos se anulen, sino que, aunque asuman valores distintos a cero, las fuerzas de inercia son tan pequeñas que pueden despreciarse.

Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO

Se ha podido apreciar como se redujo un sistema de 24 GDL, lo cual implicaba una matriz de rigidez de 24x24, a uno de 2 GDL que implica el trabajar con una matriz de rigidez de 2x2. En resumen lo hecho fue una “ condensación estática ”, quedando así matrices de rigideces y de masas que corresponden a los mismos grados de libertad.

SECC. 8.4: VIBRACIÓN FORZADA Y LIBRE DE SISTEMAS DE VARIOS GDL. AMORTIGUAMIENTO

7

8

CAP. 8: VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD

8.4 VIBRACIÓN FORZADA Y LIBRE DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD (GDL). AMORTIGUAMIENTO En esta sección nuestro estudio estará basado en el sistema simplificado de 2 GDL Dinámicos visto en la Fig. 8.6, en el que además de las fuerzas inerciales también se considerarán fuerzas actuantes en cada GDL tal como se puede observar en la Fig..8.7. Primeramente obtendremos una expresión general para la vibración forzada del sistema no amortiguado. Luego haremos algunas simplificaciones para poder obtener la vibración libre (en la Secc. 8.4.2 presentaremos la expresión general que considera el amortiguamiento). Para poder estudiar las propiedades básicas de un sistema como el que se muestra en la Fig. 8.7 se hará uso del modelo tipo cortante (ver Secc. 8.2). m2

u2

u1

∆1

∆2

m 2 u&&2

m2

k2 ∆2 = k2 (u2 − u1 ) k2 m1u&&1

k2 ∆2 = k2 (u2 − u1 ) P1 f (t )

m1

k1∆1 = k1u1

P2 f (t )

P2 f (t )

k1

k2

P1 f (t )

m1

Fig.8.9 Diagrama de cuerpo libre ( DCL ) del Sistema Simplificado.

De la Fig.8.9 aplicando equilibrio dinámico para el primer y segundo nivel, resulta:

k1

Fig.8.7 Sistema no amortiguado simplificado mas fuerzas actuantes.

El desplazamiento relativo es esquematizado en la Fig. 8.8 debido a su importancia mencionada en el Cap..5. Puesto que para poder obtener las fuerzas del resorte, en el diagrama de cuerpo libre del sistema que se muestra en la Fig. 8.9 se emplea el desplazamiento relativo.

m1u&&1 + k1u1 − k 2 (u 2 − u1 ) = P1 f (t )

→

m2 u&&2 + k 2 (u 2 − u1 ) = P2 f (t )

m2 u&&2 − k 2 u1 + k 2 u 2 = P2 f (t )

→

m1u&&1 + (k1 + k 2 )u1 − k 2 u 2 = P1 f (t )

(8.1) (8.2)

Ordenando matricialmente las Ecs. (8.1) y (8.2) se tiene: ⎡m1 ⎢0 ⎣

0 ⎤ ⎧u&&1 ⎫ ⎡k1 + k 2 ⎨ ⎬+ m2 ⎥⎦ ⎩u&&2 ⎭ ⎢⎣ − k 2

− k 2 ⎤ ⎧ u1 ⎫ ⎧ P1 ⎫ ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ f (t ) k 2 ⎥⎦ ⎩u 2 ⎭ ⎩ P2 ⎭

O lo que es lo mismo escribir:

∆

MU&& + KU = F f (t )

V

(8.3)

donde: k

V = k∆

⎧ u&& ⎫ U&& = ⎨ 1 ⎬ ⎩u&&2 ⎭

,

⎧u ⎫ U = ⎨ 1⎬ ⎩u 2 ⎭

y

⎧P ⎫ F = ⎨ 1⎬ ⎩ P2 ⎭

son el vector aceleración, desplazamiento y fuerza (P1 y P2 son constantes) en ese orden; y Fig.8.8 Desplazamiento relativo generado en un sistema de 1 GDL Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO

SECC. 8.4: VIBRACIÓN FORZADA Y LIBRE DE SISTEMAS DE VARIOS GDL. AMORTIGUAMIENTO

⎡m M =⎢ 1 ⎣0

0⎤ m2 ⎥⎦

y

⎡k + k K =⎢ 1 2 ⎣ − k2

9

− k2 ⎤ k 2 ⎥⎦

Antes de proseguir con la simplificación de la Ec. (8.3) es necesario enfatizar que de manera análoga, a lo que hemos hecho con 2 GDL, se procede cuando se tiene un sistema de n GDL (ver Fig. 8.10), el cual tendrá por consiguiente n frecuencias naturales y n formas modales o modos asociados. mn k3 (u3 − u2 )

k3 P2 f (t )

m2

m2u&&2 k2

P1 f (t )

m2

Fig. 8.10 Modelo de acoplamiento cercano para un sistema forzado de “ n ” GDL sin amortiguamiento

Haciendo el diagrama de cuerpo libre de cada masa (solo se muestra para m2), la correspondiente ecuación de equilibrio dinámico puede escribirse como: mi u&&i + k i (u i − u i −1 ) − k i +1 ( u i +1 − u i ) = P i f (t )

Para i = 2 Para i = n

para 1 < i < n

m1 u&&1 + ( k 1 + k 2 ) u1 - k 2 u 2 = P1 f (t )

: :

(8.4)

m 2 u&&2 - k 2 u 1 + ( k 2 + k 3 ) u 2 - k 3 u 3 = P 2 f (t ) m n u&&n - k n u n -1 + k n u n = P n f (t )

Hay tantas ecuaciones de movimiento como grados de libertad. Luego, expresando las ecuaciones anteriores en forma matricial se tiene:

Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO

que es la misma Ec. (8.3) pero aplicado a sistemas de n GDL. Para el modelo simple considerado, o en general cuando se trata con masas concentradas y usando sus desplazamientos como grados de libertad, la matriz de masas M es una matriz diagonal con la masa i ésima , mi , como el elemento diagonal i ésimo . ⎛ m1 ⎜ ⎜0 ⎜0 M =⎜ ⎜ : ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎝

0 m2 0 : 0 0

0 0 m3 : 0 0

... 0 ... 0 .. 0 : : ... mn −1 ... 0

0 ⎞ ⎟ 0 ⎟ 0 ⎟ ⎟ : ⎟ ⎟ 0 ⎟ mn ⎟⎠

(8.6)

K es la matriz de rigidez del sistema que relaciona los grados de libertad dinámicos escogidos a las fuerzas correspondientes. Para el sistema de acoplamiento cercano en estudio tiene la siguiente forma:

k2 (u2 − u1 )

k1

Para i = 1

(8.5)

P2 f (t )

m1

ordenando: mi u&&i - k i u i −1 + ( k i + k i +1 ) u i - k i +1 u i +1 = P i f ( t )

CAP. 8: VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD

MU&& + KU = F f (t )

son la matriz masa y de rigidez respectivamente.

Pn f (t )

10

⎛ k1 + k 2 ⎜ ⎜ − k2 ⎜ 0 K =⎜ ⎜ : ⎜ ⎜ 0 ⎜ 0 ⎝

− k2 k 2 + k3 − k3 : 0 0

0 − k3 k3 + k4 : 0 0

... 0 ... 0 .. 0 : : ... k n −1 + k n ... − kn

0 ⎞ ⎟ 0 ⎟ 0 ⎟ ⎟ : ⎟ ⎟ − kn ⎟ k n ⎟⎠

(8.7)

Nótese que en este tipo de modelo el acoplamiento de las n ecuaciones diferenciales es proporcionado solamente por la matriz de rigidez. 8.4.1 Vibración Libre de Sistemas de Varios Grados de Libertad Como en el caso de los sistemas de 1 GDL, es útil estudiar el comportamiento de un sistema sin amortiguamiento cuando está sometido a una perturbación inicial. Se sabe además que la vibración libre se da cuando no hay fuerzas actuando sobre los GDL dinámicos del sistema. Prosiguiendo con el estudio de nuestro modelo de 2 GDL y haciendo el vector fuerza de la Ec. (8.3) igual a un vector nulo se tiene: ⎧ P ⎫ ⎧0⎫ F = ⎨ 1⎬ = ⎨ ⎬ ⎩ P2 ⎭ ⎩0⎭

SECC. 8.4: VIBRACIÓN FORZADA Y LIBRE DE SISTEMAS DE VARIOS GDL. AMORTIGUAMIENTO 11

⇒ MU&& + KU = F f (t ) = 0 ∴ MU&& + KU = 0

(8.8)

11

SECC. 8.4.1.1: ECUACIÓN CARACTERÍSTICA

donde 0 representa un vector con n componentes, todas ellas cero. Las condiciones iniciales son: U (0) = U y U& (0) = U& 0

0

Recordemos que en el Cap. 5 se observó que un sistema de 1 GDL sometido a una perturbación inicial desde su posición de equilibrio estaría forzado a vibrar con un movimiento periódico de período T o frecuencia circular ω = 2π/T , que es una característica del sistema ( ω2 = k/M) . Por analogía es interesante averiguar si un sistema de varios grados de libertad, al que se le imponen un juego inicial de desplazamientos (o velocidades) vibrará armónicamente, manteniendo la forma relativa de estos desplazamientos y variando solamente sus amplitudes por un factor de proporcionalidad. Basado en esto, para nuestro sistema de 2 GDL el vector de desplazamientos vendría a ser: ⎧ u ⎫ ⎧ x Sen( ω t + φ ) ⎫ ⎧ x1 ⎫ U = ⎨ 1⎬= ⎨ 1 ⎬ = ⎨ ⎬Sen( ω t + φ ) ⎩u 2 ⎭ ⎩ x 2 Sen( ω t + φ )⎭ ⎩ x 2 ⎭

→ U = X Sen( ω t + φ )

(8.9)

donde “ x1 y x2 ” son los máximos desplazamientos de los pisos 1 y 2 respectivamente (los cuales obviamente no son función del tiempo). Derivando la Ec. (8.9) dos veces, obtenemos: U&& = − X ω 2 Sen( ω t + φ )

(8.10)

Reemplazando las Ecs. (8.9) y (8.10) en la Ec. (8.8) se tiene:

(

)

M − X ω 2 Sen( ω t + φ ) + K ( X Sen( ω t + φ )) = 0

Al simplificar la última expresión se obtiene: K X −ω 2M X = 0

(8.11)

8.4.1.1 Ecuación Característica El problema, en la Ec. (8.11), es determinar si es que hay valores de ω y vectores correspondientes X que satisfacen esta ecuación matricial, además de la solución trivial ω = 0 , X = 0 . Este es un problema matemático llamado de 2

valores característicos o de valores propios [ Ref. 9 ]. Al factorizar el vector de máximos desplazamientos en la Ec. (8.11), el problema a considerar resulta de la forma: (K − ω 2 M ) X = 0 Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO

Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO

(8.12)

12

CAP. 8: VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD

La Ec. (8.12) también es válida para sistemas de n GDL. Observándose que dicha ecuación representa un sistema de n ecuaciones algebraicas lineales con n incógnitas (las componentes del vector X ). Como el segundo miembro es igual a cero, éste es un sistema homogéneo. No tendrá una solución única (la solución trivial X = 0 ) si el determinante de la matriz de coeficientes K − ω 2 M se hace cero (matriz singular). La expansión del determinante:

(

⇒

)

K −ω M = 0 2

Si ω es la raíz iésima de la ecuación característica, y es una raíz simple, el rango de 2 la matriz ( K − ωi M ) será n - 1 , indicando que el sistema de ecuaciones: 2 i

( K − ωi M ) X = 0 2

(8.14)

tiene una ecuación que es una combinación lineal de las otras. Esto implica que uno puede eliminar esta ecuación, dar un valor arbitrario a una de las componentes del vector X y resolver un sistema de n - 1 ecuaciones con n - 1 ingógnitas (las componentes restantes de X ) cuyo segundo miembro ya no es cero. Este se obtiene pasando al segundo miembro los términos que contienen las componentes seleccionadas de X . Así es posible encontrar las otras n - 1 componentes y definir un vector Xi tal que: K X i = ωi M X i 2

(8.15)

Es importante resaltar que si a la componente de X escogida arbitrariamente (el desplazamiento de la última o la primera masa, por ejemplo) se le hubiera dado un valor doble que el supuesto, todas las otras componentes del vector hubieran sido multiplicadas por dos. Por consiguiente el vector X i se define en función de un factor multiplicador constante y todas sus componentes pueden ser escaladas arbitrariamente para arriba o para abajo (Es claro que para cualquier vector Y i = a X i , K Yi = a K X i = a ω i M X i = ω i M Yi , y entonces Yi también es una solución). 2

2

Para nuestro sistema de 2 GDL, al hallar la solución de la Ecuación Característica , Ec. (8.13), obtendríamos los siguientes valores característicos:

λ1 =. ω12

y

manera dichas frecuencias un significado físico. En general para un sistema de “ n ” GDL se tiene:

λi = ω i 2

λ2 = ω 2 2

los cuales son valores positivos (por ser términos cuadráticos) cuyos subíndices se designan luego de haberlos ordenado de menor a mayor, adquiriendo de esta

donde i = 1,..., n donde

además:

ω 1 < ω 2 < ... < ω n −1 < ω n

y

(8.16)

T1 > T2 > ... > Tn −1 > Tn

(8.13)

resultará en una ecuación algebraica de grado n en ω 2 , llamada la ecuación característica. Las raíces de esta ecuación serán los valores deseados de ω 2 que hacen cero el determinante.

13

SECC. 8.4.1.2: FRECUENCIAS Y PERIODOS NATURALES

Siendo llamado T1 “ Periodo Fundamental ” por ser el mayor periodo correspondiente a la menor frecuencia angular. 8.4.1.2 Frecuencias y Periodos Naturales Para ilustrar estos conceptos nos basaremos en nuestro sistema de 2 GDL.

Reemplazando las matrices en la Ec. (8.13) se tiene: ⎡k1 + k 2 ⎢ −k 2 ⎣

− k2 ⎤ ⎡m −ω 2 ⎢ 1 k 2 ⎥⎦ ⎣0

0⎤ =0 m2 ⎥⎦

→

k1 + k 2 − ω 2 m1

− k2

− k2

k 2 − ω 2 m2

Al resolver y ordenar el determinante se tiene:

(k

1

→

)(

)

+ k 2 − ω 2 m1 . k 2 − ω 2 m 2 − (− k 2 )( . − k2 ) = 0

ω m1 m 2 − ω (m1 k 2 + m 2 (k1 + k 2 ) ) + k1 k 2 = 0 4

2

Cuyas soluciones de la ecuación cuadrática generada son: ⎛ k ⎛ m ⎞⎞ 1 ⎜⎛ k λ1 = ω1 = ⎜ ⎜⎜ 1 + 2 ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟ ⎟⎟ − 2 ⎜ ⎝ m1 m2 ⎝ m1 ⎠ ⎠ ⎝ ⎛ 1 ⎜ ⎛⎜ k1 k 2 ⎛ m2 ⎞ ⎞⎟ 2 ⎟ + ⎜1 + λ2 = ω 2 = ⎜ ⎜ + 2 ⎜ ⎝ m1 m2 ⎜⎝ m1 ⎟⎠ ⎟⎠ ⎝ 2

2 ⎞ ⎞⎞ k k ⎟ ⎟⎟ ⎟ − 4 1 2 ⎟ ⎟ m1 m2 ⎟ ⎠⎠ ⎠ 2 ⎞ ⎛ k1 k 2 ⎛ m2 ⎞ ⎞ k1 k 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ 1+ + −4 ⎟ ⎜ m m ⎜ m ⎟⎟ m1 m2 ⎟ 2 ⎝ 1 ⎠⎠ ⎝ 1 ⎠

⎛ k1 k 2 ⎛ m2 ⎜ ⎜1 + + ⎜m m ⎜ m 2 ⎝ 1 ⎝ 1

8.4.1.3 Formas de Modo Haciendo uso de la Ec. (8.12) factorizada tenemos para ( i = 1 , 2 ): ⎛ k1 + k 2 − ω i 2 m1 ⎜ ⎜ − k2 ⎝ Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO

⎞⎧ x1i ⎫ ⎧0⎫ − k2 ⎟⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ 2 k 2 − ω i m 2 ⎟⎠⎩ x 2i ⎭ ⎩0⎭

=0

14

CAP. 8: VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD

Debido a que el sistema presenta un grado de dependencia sólo se puede usar una ecuación. En general para un sistema de “ n ” GDL se despejan (n-1) valores de “ x ” en función del restante. Para nuestro caso en particular, usando la primera fila tenemos:

(k + k 1

)

− ωi m1 x1i − (k2 ) x2i = 0 2

2

(8.17)

Despejando la Ec. (8.17) para: i =1

→ x11 / x21 = cte x21

(k + k = 1

)

2

⎧x ⎫ X 1 = ⎨ 11 ⎬ ⎩ x21 ⎭ i=2

→ x12 / x22 = cte x22 =

(k + k 1

)

− ω 2 m1 x12 k2 2

2

15

“ Se debe resaltar que los modos se dan únicamente en el rango elástico, ya que desaparecerán cuando se entre al rango inelástico ( para sismos severos )”. 8.4.1.4 Normalización de las Formas de Modo

Debido a que las formas modales están siempre definidas en términos de un factor constante, es posible escalarlas arbitrariamente. Se pueden usar diferentes criterios para lograr ello. 1.-) A veces los vectores se escalan de manera que la máxima componente en términos absolutos se iguala a la unidad. 2.-) En otros casos una componente dada (por ejemplo el desplazamiento de la masa del último piso) es seleccionada arbitrariamente e igualada a la unidad en todos los modos. En general, esto se logra haciendo las componentes xri = 1 de los respectivos modos X i , siendo dicha componente “ r ” arbitraria. Luego los componentes restantes de cada modo “ i ” serán calculados en función de dicha componente “ r ”.

− ω1 m1 x11 k2

2

SECC. 8.4.1.4: NORMALIZACIÓN DE LAS FORMAS DE MODO

3.-) Desde el punto de vista del cálculo sin embargo, se prefiere escalar o normalizar los vectores con respecto a la matriz de masas “ M ” de manera que

⎧x ⎫ X 2 = ⎨ 12 ⎬ ⎩ x22 ⎭

Φ iT M Φ i = 1

(8.18)

se ve además de la Ec. (8.17) que x1i / x 2i = constante para cualquier valor de la frecuencia.

para todos los i , en vista de que este producto se repite constantemente en el denominador de muchas expresiones. Donde Φ i se obtiene al dividir las componentes de X i obtenidas de la solución del problema de valores característicos entre la raíz

Finalmente, basados en la la Ec. (8.9), los modos ( ver Fig. 8.11 ) vendrían a ser:

cuadrada de X i M X i . Cuando las formas modales se escalan de esta última forma se dice que están normalizadas. Entonces:

x21

T

x22

Φi = x11

x12

⎧x ⎫ X 1 = ⎨ 11 ⎬ ⎩ x 21 ⎭

⎧x ⎫ X 2 = ⎨ 12 ⎬ ⎩ x22 ⎭

U1 = X 1 Sen(ω1 t + φ ) ( a ) Modo 1

ó

X i M Xi Xi

(8.19)

∑ (m jj ( x ji ) 2 ) n

j =1

Por ejemplo la Ec. (8.15) al premultiplicarla por X Ti ésta queda reducida a:

U 2 = X 2 Sen(ω2 t + φ ) ( b ) Modo 2

Φi =

Xi T

T

X i K X i = ω i2

Asimismo, cabe mencionar que las formas modales normalizadas pueden ensamblarse como las columnas de una matriz Q que es llamada la matriz modal.

Fig. 8.11 Modos de vibración de la sistema. Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO

16

CAP. 8: VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD

⎡ . ⎢ . ⎢ ⎢ . Q= ⎢ ⎢X1 ⎢ . ⎢ ⎣⎢ .

. ⎤ . ⎥⎥ . ⎥ ⎥ Xn⎥ . ⎥ ⎥ . ⎦⎥

. . . X2 . .

X i M X j = ∑ xki mk xkj = 0 T

para i ≠ j

(8.20)

Se dice que los vectores X i y X j son ortogonales con respecto a la matriz de masas M (La sumatoria sólo es válida cuando la matriz de masas es diagonal). Debe notarse que las formas modales también son ortogonales con respecto a la matriz de rigidez K , de manera que: X i K X j = ∑ ∑ k ln x li x nj = 0 T

ω i2 .

l

Propiedades Matemáticas de Condición de Ortogonalidad

los

Modos

de

Vibración.

T

Xi M X j =0

2

2.-) Para cada valor propio o característico (frecuencia natural) ω i de multiplicidad 1 hay una forma modal X i definida en función de un factor. Lo que implica que imponiendo al sistema un juego de desplazamientos con la forma del vector X i , éste vibrará con la frecuencia ω i . Para recordar con facilidad la relación entre las frecuencias y los modos, se hace la siguiente analogía: Dada(o) un(a): frecuencia Baile

↔

Se define su correspondiente : Modo Forma del Baile

(8.22)

para i ≠ j

T

para i ≠ j

T

para i ≠ j

Xi CX j =0 Xi K X j =0

1.-) Si el sistema tiene n grados de libertad, la ecuación característica tendrá n raíces reales ω 1 a ω n . (Nótese que una raíz puede tener un orden de multiplicidad -es decir repetirse- mayor que uno. Si el orden de multiplicidad es r, deberían contarse como r raíces. Este es el caso de un edificio simétrico con la misma rigidez en ambas direcciones principales). De los “ n ” periodos el mayor es el fundamental.

para i ≠ j

n

en resumen la condición de ortogonalidad establece:

Cuando las matrices K y M son simétricas, como en este caso, y una de ellas es positivamente definida (K lo es cuando la estructura es estable) varias propiedades del problemas de valores característicos pueden ser automáticamente garantizadas: 2

(8.21)

k

Usando la propiedad de la ortogonalidad de los modos, el producto Q M Q es una matriz identidad (matriz diagonal con todos los términos de la diagonal iguales a la unidad) y el producto QT K Q es una matriz diagonal cuyo término diagonal iésimo es

8.4.1.5

17 3.-) Condición de Ortogonalidad; esta propiedad nos indica que las formas , , modales X i X j correspondientes a dos frecuencias naturales ω i ω j , son tales que:

T

igual a

SECC. 8.4.1.5: PROPIEDADES MATEMÁTICAS DE LOS MODOS. CONDICIÓN DE ORTOGONALIDAD

(8.23)

siendo C la matriz de constantes de amortiguamiento. La construcción de dicha matriz es análoga a la de K como se verá en la Secc. 8.4.2, claro esta, en su forma mas simple. Nota: Se dice que dos vectores son perpendiculares y no ortogonales para un sistema de 1, 2 ó 3 GDL. 4.-) Una raíz de la ecuación característica de multiplicidad r tiene asociada con ella r formas modales independientes que siempre pueden ser escogidas de modo que satisfagan la condición de ortogonalidad entre ellas. También satisfarán esta condición con respecto a las formas modales correspondientes a otras frecuencias. 5.-) El conjunto de n formas modales de X 1 a X n constituye un juego completo de vectores que definen un espacio vectorial de orden n . Esto implica que cualquier vector V con n componentes puede ser expresado como una combinación lineal de las formas modales:

Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO

18

CAP. 8: VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD

V = ∑ a1 X i i=1

(8.24)

Los coeficientes ai se obtienen usando las condiciones de ortogonalidad. Siendo “ai(t)” una variable dependiente del tiempo que expresa la contribución ó participación dinámica (ello se verá en el Cap. 9). Pre-multiplicando ambos lados de la ecuación por la matriz M y el vector X Tj : n

T T X j M V = ∑ ai X j M X i

(8.25)

i =1

T MV ai = XTi X i M Xi

(8.26)

Esta propiedad es extremadamente importante porque permite expresar la solución de cualquier problema dinámico como una sumatoria donde cada término representa la contribución de un modo. Permite reducir la solución de un sistema de n grados de libertad a la solución de n sistemas independientes de 1 GDL, desacoplando así las ecuaciones de movimiento. 8.4.1.6 Aplicación y Verificación de las Propiedades de las Formas de Modo de Vibración Libre

Para el sistema mostrado calcule: b ) Las frecuencias y los periodos. d ) Normalizar las formas de modo. e ) Verificar las propiedades. m2 k2

Datos: t − s2 m

k 2 = 3 279,88

ó ⎡k1 + k 2 ⎢ −k 2 ⎣

− k2 ⎤ ⎡m −ω 2 ⎢ 1 k 2 ⎥⎦ ⎣0

0⎤ =0 m2 ⎥⎦

→

k1 + k 2 − ω 2 m1

− k2

− k2

k 2 − ω 2 m2

=0

⎡m M =⎢ 1 ⎣0

0⎤ m 2 ⎥⎦

⎡k + k 2 K =⎢ 1 ⎣ − k2

→

− k2 ⎤ k 2 ⎥⎦

0 ⎤ ⎡11,437 M =⎢ 0 11 , 437 ⎥⎦ ⎣ →

⎡ 6 969,75 − 3 279,9⎤ K =⎢ ⎥ ⎣− 3 279,9 3 279,9 ⎦

Luego el determinante de la ecuación característica vendría dado por: 6 969,75 − 11,437ω 2

− 3 279,9

− 3 279,9

3 279,9 − 11,437ω 2

=0

(6 969,75 − 11,437ω 2 ).(3 279,9 − 11,437ω 2 ) − (−3 279,9) 2 = 0

c ) Formas de modo.

y

K −ω 2M = 0

b) Es la solución del determinante la que nos permitirá la obtención de las frecuencias y los periodos. Luego, operando el determinante:

a ) La ecuación característica.

t m

a) Sabemos que para este tipo de sistema la ecuación característica, por ser de vibración libre (ver Secc 8.4.1.1, Ec.(8.13)), viene dada por:

Siendo las matrices K (de rigidez) y M (de masas) al reemplazar los datos:

pero como X Ti M X j = 0 para i diferente de j :

k1 = 3 689,87

19

Solución:

n

m1 = m 2 = peso / g = 11,437

SECC. 8.4.1.6: APLICACIÓN Y VERIFICACIÓN DE LAS PROPIEDADES DE LAS FORMAS DE MODO

m1 t m

u2 u1

Resolviendo esta última ecuación, sabiendo que es el valor λ =ω2 característico, se tiene: Cuyas raíces vienen dadas por : λ 2 − 896,133λ + 92 516,988 = 0 y λ1 = 119,059 λ 2 = 777,077 Esta última ecuación es llamada el polinomio característico. Polinomio cuyas raíces nos proporcionarán las frecuencias y periodos, para ello es necesario que las frecuencias angulares se ordenen de menor a mayor:

k1

IERÍA

SISMORRESISTENTE

Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO

20

CAP. 8: VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD

Frecuencias angulares: ω i = + λi y ω 2 = 27,876 rad / s ω1 = 10,91 rad / s Observe que : ω1 < ω 2 (ordenamiento que se ha hecho para obtener T1>T2 )

Como el periodo natural se define como: Ti = T1 = 0,576 s

y

SECC. 8.4.1.6: APLICACIÓN Y VERIFICACIÓN DE LAS PROPIEDADES DE LAS FORMAS DE MODO

21

x1i . En este Recordar que en la Secc 8.4.1.3 se despejóxen 2 i función de problema optaremos por despejar en función de , que es equivalente a lo hecho en la sección antes mencionada puesto de X ique la única finalidad esωobtener i manera cualitativa las formas de modo correspondientes a . Luego para:

2π

ωi

i =1

T2 = 0,225 s

x11 =

Observe que según la Ec. (8.16): T1 ( PeriodoFundamental ) > T2 1 Frecuencias naturales: f i = Ti f1 = 1,74 Hz

y

x11 = →

f 2 = 4,44 Hz

Observe que : f1 < f 2

(k

k2 1

+ k 2 − m1ω 1

2

)x

y

x 21 = 1

x 21 = 1

21

x11 = 0,5848

3 279,9

(6 969,75 − 11,437 x 10,91 ) 2

x11 = 0,5848

⎧x ⎫ X 1 = ⎨ 11 ⎬ ⎩ x 21 ⎭ ⎧0,5848⎫ ⇒ X1 = ⎨ ⎬ ⎩ 1 ⎭ ∴ U 1 = X 1 Sen(ω 1t + φ 1 ) luego

c) Las Formas de modo se obtendrán a partir de las frecuencias angulares ya calculadas. De la siguiente igualdad (ver Secc 8.4.1.3) : ⎞⎧ x1i ⎫ ⎧0⎫ − k2 ⎟⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ 2 k 2 − ω i m 2 ⎟⎠⎩ x 2i ⎭ ⎩0⎭

⎛ k 1 + k 2 − ω i 2 m1 ⎜ ⎜ − k2 ⎝

Al usar la primera fila, puesto que la segunda fila es dependiente de la primera o viceversa, tenemos:

(k + k 1

Reemplazando:

ω i = ω 1 = 10,91 rad / s

:

)

− ωi m1 x1i − (k2 ) x2i = 0 2

2

(6 969,75 − 11,437ω ) x 2

i

1i

(3 279,9) x2i

(6 969,75 − 11,437ω ) 2

y

x2i

i

Se suele hacer x 2i = 1 , es decir la componente segunda en cada modo tomará el valor de uno. En general para sistemas de “ n ” GDL se hace x = 1 siendo n dicho valor a elegir arbitrario.

:

y

x22 = 1

x22 = 1

k2 2 x22 k1 + k 2 − m1ω 2

(

)

x12 = −1,7104

3 279,9 (6 969,75 − 11,437 x 27,876 2 ) x12 = −1,7104

x12 = →

→ Modo 1

⎧0,5848⎫ U1 = ⎨ ⎬Sen(10,91t + φ1 ) ⎩ 1 ⎭

⎯ ⎯→

ωi = ω 2 = 27,876 rad / s

x12 =

− (3 279,9) x2i = 0

Notar que cada ω i producirá una forma de modo distinta X i , cuyas componentes, al despejar la última ecuación, serían: x1i =

i=2

[i = 1]

⎧x ⎫ X 2 = ⎨ 12 ⎬ ⎩ x22 ⎭ ⎧− 1,7104 ⎫ ⇒ X2 = ⎨ ⎬ ⎩ 1 ⎭ ∴ U 2 = X 2 Sen (ω 2t + φ2 ) luego

Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO

[i = 2] ⎯ ⎯→

→ Modo 2

⎧− 1,7104⎫ U2 = ⎨ ⎬Sen(27,876t + φ2 ) ⎩ 1 ⎭

22

CAP. 8: VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD

d) La Normalización de las formas de modo será hecha basada en la Secc 8.4.1.4 :

d.1 ) Se deja como ejercicio para el lector. d.2 ) Haciendo las componentes xri = 1 de los correspondientes modos X i , siendo dicha componente “ r ” arbitraria. Luego los componentes restantes de cada modo “ i ” serán calculados en función de dicha componente “ r ”. En la parte ( c ) se ha visto cuando x 2i = 1. A continuación veremos el caso cuando x1i = 1 , para lo cual es necesario dividir su valor actual (positivo o negativo) al modo correspondiente, obteniendo modos equivalentes “ e ”. Esto se verá a continuación:

[i = 1]

[i = 2]

X1

(e)

equivalente ( e )

=

X 1 ⎧ x11 x11 ⎫ ⎧ 1 ⎫ =⎨ ⎬=⎨ ⎬ x11 ⎩ x21 x11 ⎭ ⎩1 0,5848⎭

⎧ x11( e ) ⎫ ⎧ 1 ⎫ = ⎨ (e) ⎬ = ⎨ ⎬ ⎩ x21 ⎭ ⎩1,7097⎭

→ Modo 2 X2

⇒

23

Observar que Φ i son los modos normalizados con respecto a la matriz de masas. Trabajando con los vectores normalizados de la parte ( c ) del problema tenemos para:

→ Modo 1 X1

⇒

SECC. 8.4.1.6: APLICACIÓN Y VERIFICACIÓN DE LAS PROPIEDADES DE LAS FORMAS DE MODO

X2

(e)

equivalente ( e )

=

1 ⎫ X 2 ⎧ x12 x12 ⎫ ⎧ =⎨ ⎬=⎨ ⎬ x12 ⎩ x22 x12 ⎭ ⎩1 (−1,7104)⎭

⎧ x12 ( e ) ⎫ ⎧ 1 ⎫ = ⎨ (e) ⎬ = ⎨ ⎬ ⎩ x22 ⎭ ⎩− 0,5848⎭

d.3 ) Normalizando con respecto a la matriz de masas “ M ” :

Φ iT M Φ i = 1 de donde: - Φi =

Xi T

X i M Xi

ó Φi =

Xi

∑ (m ( x ) ) n

2

j

ji

j =1

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24

CAP. 8: VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD

[i = 1]

⎧ x ⎫ ⎧0,5848⎫ X 1 = ⎨ 11 ⎬ = ⎨ → Modo 1: con ⎬ ⎩ x21 ⎭ ⎩ 1 ⎭ 0 ⎞ ⎧0,5848⎫ ⎛11,437 T ⎟⎨ X 1 MX 1 = [0,5848 1]⎜⎜ ⎬ 11,437 ⎟⎠ ⎩ 1 ⎭ ⎝ 0 T

X 1 MX 1 = 11,437 x (0,5848) 2 + 11,437 x (1) 2 T

X 1 MX 1 = 15,3484 X1

Φ1 =

luego

=

T 1

X MX 1

⎧0,5848⎫ 1 ⎬ ⎨ 15,3484 ⎩ 1 ⎭

25

e) La Verificación de las propiedades de las formas de modo será hecha basada en la Secc 8.4.1.5. Luego, siendo las matrices de masas ( M ) y rigidez ( K ) simétricas y K corresponde a una estructura estable, podemos garantizar que:

e.1 ) Existen tantas frecuencias angulares como grados de libertad se han considerado. Es decir, si existen “ n = 2 ” GDL, entonces, existirán “ 2 ” frecuencias naturales y por ende “ 2 ” periodos siendo el mayor el fundamental. e.2 ) Para cada frecuencia existe una única forma de modo. Esto se ha podido observar durante la solución del problema. e.3 ) Condición de Ortogonalidad; las formas de modo que corresponden a dos frecuencias naturales son ortogonales (perpendiculares para un sistema uno, dos ó e tres grados de libertad ).

⎧ϕ ⎫ ⎧ 0,1493 ⎫ Φ1 = ⎨ 11 ⎬ = ⎨ ⎬ ⎩ϕ 21 ⎭ ⎩0,2553⎭

⇒

SECC. 8.4.1.6: APLICACIÓN Y VERIFICACIÓN DE LAS PROPIEDADES DE LAS FORMAS DE MODO

T

Φ1 MΦ1 = 1

verificando

Cumpliéndose:

2

Φ1 MΦ1 = ∑ m jj (ϕ j1 ) 2 =11,437 x (0,1493) 2 + 11,437 x (0,2553) 2 T

como

T

Xi M X j =0

j =1

Φ MΦ1 ≅ 1 (Ok!)

T

X 2 MX 2 = 11,437 x (−1,7104) 2 + 11,437 x (1) 2 T

X 2 MX 2 = 44,8956 luego ⇒

Φ2 =

T

X 2 MX 2

=

⎧− 1,7104⎫ 1 ⎬ ⎨ 44,8956 ⎩ 1 ⎭

⎧ϕ ⎫ ⎧− 0,2553⎫ Φ 2 = ⎨ 12 ⎬ = ⎨ ⎬ ⎩ϕ 22 ⎭ ⎩ 0,1493 ⎭

verificando como

X2

T

Φ 2 MΦ 2 = 1 j =1

j≠i

T

para

j≠i

Siendo C la matriz de constantes de amortiguamiento. La construcción de dicha matriz es análoga a la de K como se verá en la siguiente sección. Verificando la condición de ortogonalidad por ejemplo para:

0 ⎞ ⎧− 1,7104⎫ ⎛11,437 T ⎟⎨ X 1 MX 2 = [0,5848 1]⎜⎜ ⎬ 11,437 ⎟⎠ ⎩ 1 ⎭ ⎝ 0 T

X 1 MX 2 = 11,437 x (0,5848) x(−1,7104) + 11,437 x (1x1) T

→ X 1 MX 2 = 0 Los demás productos con M, C, K y combinaciones de formas modales, de 2 en 2, son análogos. e.4 ) Para nuestro caso, no se tienen multiplicidad en la raíces por tratarse de un sistema sencillo de 2 GDL.

2

INGENIERÍA SISMORRESISTENTE Φ 2 MΦ 2 = ∑ m jj (ϕ j 2 ) 2 =11,437 x (−0,2553 ) 2 + 11,437 x (0,1493) 2 T

para

Xi K X j =0

⎧ x ⎫ ⎧− 1,7104⎫ [i = 2] → Modo 2 : con X 2 = ⎨ 12 ⎬ = ⎨ ⎬ ⎩ x22 ⎭ ⎩ 1 ⎭ 0 ⎞ ⎧− 1,7104⎫ ⎛11,437 T ⎟⎨ X 2 MX 2 = [− 1,7104 1]⎜⎜ ⎬ 11,437 ⎟⎠ ⎩ 1 ⎭ ⎝ 0

j≠i

T

Xi CX j =0

T 1

para

Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO

SECC. 8.4.2: VIBRACIÓN FORZADA DE SISTEMAS DE VARIOS GDL CON AMORTIGUAMIENTO

25

e.5 ) El conjunto de formas modales constituye un sistema de referencia (espacio vectorial) con respecto al cual puede expresarse cualquier vector “ V ”. Siendo “ a i (t) ” una variable dependiente del tiempo que expresa la contribución ó participación dinámica (ello se verá en el siguiente capítulo). Es decir:

26

CAP. 8: VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD

donde M es la matriz de masas, Q la matriz modal (conteniendo todas las formas modales como columnas, ver Secc. 8.4.1.4) y B es una matriz diagonal cuyo término c c iésimo es igual a 2 β i ω i (recordar que para 1 GDL se tiene β = ). = c crítico 2mω Otra forma de determinar C es considerar:

n

V = ∑ ai (t ) X i i =1

C = a0 M + a1 K

(8.30)

Permitiéndonos ésta última propiedad expresar la solución de cualquier problema dinámico como una sumatoria ( o combinación lineal ) donde cada término representa la contribución de cada modo.

donde los parámetros ao y a1 se seleccionan de manera que la variación de β sobre el rango de frecuencias de interés sea pequeño (según la Norma Peruana de de Diseño Sismorresistenteβ = 5% ).

8.4.2

Considerando amortiguamiento para nuestro sistema simplificado de 2 GDL Dinámicos visto en la Secc. 8.3, en el que además de las fuerzas inerciales también posee fuerzas actuando en cada GDL (Fig. 8.12).

Vibración Forzada de Sistemas de Varios GDL Considerando Amortiguamiento

En toda la presentación anterior se supuso por simplicidad que el sistema no estaba amortiguado. Sin embargo, las edificaciones en realidad tienen diferentes mecanismos de disipación de energía mientras vibran bajo la acción de un sismo. Las pérdidas de energía (y por consiguiente el amortiguamiento) ocurrirá debido a la fricción interna en las uniones, o entre los muros y los pórticos y si las deformaciones son grandes debido a deformaciones plásticas.

P2 f (t ) m2 c2

Las ecuaciones de movimiento del sistema considerando el amortiguamiento bajo una matriz C serán: MU&& + CU& + KU = F f ( t )

(8.27)

2 a&&i ( t ) + 2 β ω i a& i ( t ) + ω i ai ( t ) = X iT F f ( t )

(8.28)

Si se va a usar análisis modal no es necesario contar con una matriz de amortiguamiento. Todo lo que se requiere es introducir la fracción de amortiguamiento crítico o porcentaje de amortiguamiento β en la iésima ecuación modal.La determinación de la matriz C sólo es necesaria si no se va a usar análisis modal y se va a integrar numéricamente todo el conjunto completo de ecuaciones. Este es el caso si se va a realizar un análisis dinámico nolineal (inelástico) y se desea agregar a la estructura una cantidad adicional de amortiguamiento además del que resultará del comportamiento inelástico (lazos histeréticos). Hay varias técnicas para determinar esta matriz C . Si se conocen todas las formas de modo y frecuencias naturales la forma más simple es definir: C = M Q B QT M

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(8.29)

k2

P1 f (t )

m1

c1

k1

Fig.8.12 Sistema forzado con amortiguamiento.

la ecuación para este sistema amortiguado forzado vendría a estar dado por la Ec..(8.27). Si en este sistema el amortiguamiento a considerar es en su forma más simple entonces la construcción de la matriz de amortiguamiento será análoga a la construcción de la matriz de rigidez, o sea:

SECC. 8.5: SISTEMAS CONTINUOS O DE MASA DISTRIBUIDA: VIGA DE CORTE, VIGA DE FLEXIÓN

27 Si

⎛k + k2 K = ⎜⎜ 1 ⎝ − k2

− k2 ⎞ ⎟ k 2 ⎟⎠

⇒

⎛ c + c2 C = ⎜⎜ 1 ⎝ − c2

− c2 ⎞ ⎟ c 2 ⎟⎠

28

CAP. 8: VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD

8.5 SISTEMAS CONTINUOS O DE MASA DISTRIBUIDA: VIGA DE CORTE Y VIGA DE FLEXIÓN

Los sistemas estructurales reales son en realidad sistemas continuos con su masa y rigidez distribuida a lo largo de los elementos. Algunas estructuras, como los pórticos, poseen características de comportamiento ante las cargas sísmicas que justifican la reducción del número de grados de libertad. Hay otras que por estar constituidas por un número pequeño de elementos, como un emparrillado o una chimenea, pueden representarse adecuadamente por un sistema lineal de masa distribuida como los que se presentan a continuación. Por último es posible usar los resultados calculados usando estos modelos para predecir aproximadamente el comportamiento de estructuras más complejas. La viga de corte es un elemento ideal que se utiliza para representar sistemas físicos que se caracterizan por comportarse presentando una deformación lateral similar a la deformación por corte, o sea únicamente una distorsión lateral. Por ejemplo, los edificios de altura mediana aporticados a base de elementos de rigidez similar, cuando son sometidos a cargas laterales experimentan desplazamientos laterales al nivel de sus entrepisos, manteniéndose éstos prácticamente horizontales. Esta deformación de todo el pórtico es similar a la de una viga de corte. Los estratos de suelos sometidos a sismos que experimentan solamente deformaciones laterales son a veces representados por vigas de corte. De hecho la teoría simplificada de amplificación de ondas hace uso de estas hipótesis. 8.5.1 Viga de Corte. Ecuación Diferencial

Cuando en un elemento prismático la deformación por corte transversal al eje del elemento es la única que se supone actuando se tiene una viga de corte.

Fig. 8.13 Viga de Corte

En la Fig. 8.13 se observa una viga que presenta una distribución uniforme del esfuerzo cortante en su sección transversal. El desplazamiento lateral (en este caso horizontal) está representado por la letra v . De la Resistencia de Materiales se conocen las siguientes relaciones que nos permiten establecer la ecuación diferencial que gobierna el comportamiento de la viga de corte: GA

2 d v =-q d x2

(8.31)

Si se considera la fuerza distribuida, q , aplicada a la viga como compuesta por una fuerza de inercia más una porción "excitadora": q(x,t) - ρA

δ 2v δ t2

(8.32)

obtenemos la ecuación diferencial de movimiento para la viga de corte. GA δ

2

v

δx

2

- ρA δ

2

v

δ t2

= - q(x,t)

(8.33)

8.5.1.1 Vibración Libre: Viga en Voladizo

Cuando no existe fuerza pulsante o excitadora, el sistema vibrará libremente. La ecuación de movimiento se transforma en la siguiente (ecuación homogénea cuyo segundo miembro igual a cero) GA δ

2

v

δx

2

- ρA δ

2

v

δ t2

=0

(8.34)

Para determinar las condiciones bajo las cuales esta ecuación tiene solución, se supondrá la existencia de una vibración que sigue una amplitud o curva determinada Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO

INGENIERÍA SISMORRESISTENTE

SECC. 8.5: SISTEMAS CONTINUOS O DE MASA DISTRIBUIDA: VIGA DE CORTE, VIGA DE FLEXIÓN

29

con una frecuencia Ω .Resolviendo el problema resultante para esas incógnitas obtendremos que la solución corresponderá a las características de la vibración libre.

SECC. 8.5.1.1: VIGA LIBRE: VIGA EN VOLADIZO

29

- desplazamiento en la base cero v(0) = 0 - giro en la parte superior cero, porque el cortante en el extremo es cero y por consiguiente en este caso eso requiere que la primera derivada del desplazamiento en ese punto sea cero, o sea v ′(H) = 0 . Se obtiene como solución no trivial: p = (2n - 1)π/(2H)

(8.39)

o expresado en términos de la frecuencia Ω :

Ω n = [(2n - 1)π/(2H)] G/ρ

(8.40)

Las frecuencias naturales corresponderán a valores sucesivos de n : 1; 2; 3 El término

G/ρ corresponde a la velocidad de propagación de las ondas de

corte, V s , en un estrato de suelo que se modela elásticamente como si fuera una viga de este tipo para las ondas transversales que causan esa deformación.

Fig. 8.14 Viga de Corte en Voladizo

Supóngase que la viga vibrará siguiendo una función v(x,t) dependiente de la altura de la viga y del tiempo, que es a su vez función de una "forma" v0 (x) independiente del tiempo y de una función armónica de frecuencia Ω , sen( Ω t +Ψ ) . v( x , t ) = v o ( x ).sen( Ω t +Ψ )

(8.35)

Los períodos se expresan como: T n = 2π/Ω

(8.41)

T n = 4H/(2n - 1)V s

(8.42)

El período fundamental, cuando n = 1 viene dado por la expresión:

Sustituyendo esta función y sus derivadas en la ecuación diferencial anterior se tiene:

T 1 = 4H/ V s

(8.43)

Las formas modales vienen expresadas por (Fig. 8.15) 2 d v + 2 =0 p v0 d x2

von (x) = Bsennπx/2L

(8.36)

donde: 2 p =

ρ Ω2 G

(8.37)

Obsérvese que la solución de esta ecuación diferencial proveerá la forma de la función v0 (x) que será la que adoptará la viga al vibrar libremente con la frecuencia Ω incluida en el parámetro p . En buena cuenta representa la forma modal y Ω la frecuencia modal asociada. La solución general de la ecuación diferencial Ec. (8.36) es: v0 = A cos px + Bsenpx

(8.38)

Para el caso de la viga en voladizo las condiciones de borde son (Fig. 8.14): Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO

Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO

(8.44)

30

CAP. 8: VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD

Fig. 8.15 Viga de Corte en Voladizo: Modos

viga de corte es sorprendentemente buena. En el Cuadro 8.1 se muestra la comparación para un pórtico de 12 pisos, sin muros o placas.

8.5.2 Viga de Flexión. Ecuación Diferencial

El elemento básico en flexión es una viga prismática de sección constante sometida a deformaciones flexionantes. Las relaciones constitutivas son ampliamente conocidas. Aquí nos limitaremos s listar las ecuaciones aplicables para el comportamiento dinámico de una viga simple. La ecuación diferencial de movimiento para la viga de flexión es:

δ 2 (EI δ 2 v ) + m δ 2 v = p δ x2 δ x2 δ t2

(8.45)

8.5.2.1 Vibración libre: Viga en voladizo

Frecuencias: (0.597 π )2 L 2

ωn =

2

(2n - 1 ) π 2 4 L2

EI m

EI m n>1

Formas de modo: von ( x ) = B(cos p n x − senpn x − cos h p n x + sen h p n x ) p4 =

donde:

(8.46)

(8.47) (8.48)

mΩ 2 EI

Ti

Pórtico de 12 pisos sin placas Períodos (s)

Viga de corte en voladizo (V.C.) Períodos (s)

T1 T2 T3 T4 T5 T6

0,993 0,346 0,197 0,132 0,099 0,076

0,993 0,331 0,199 0,142 0,110 0,090

Cuadro 8.1 Comparación entre períodos de una viga de corte con los de un pórtico de 12 pisos sin placas o muros de corte [ Ref. 9 ]

Para el caso de la viga en voladizo se obtienen las siguientes expresiones para las frecuencias y las formas de modo:

ω1 =

31

SECC. 8.5.3: ESTIMACIÓN DE PERIODOS PARA EDIFICIOS

Cuando el pórtico tiene muros de corte o placas la correlación con la viga de corte ya no se mantiene. En este caso es necesario usar como referencia también la viga de flexión o de Timoshenko. Que no es otra cosa que una viga en voladizo cuya deformación proviene primariamente de la flexión. En este caso de edificios con placas, la deformación lateral tiene una forma más cercana a la de una viga en volado a flexión. Estos períodos varían inversamente proporcional a (2n-1) al cuadrado del número del modo, o sea como 9; 25; 49; etc. considerando que el primero es como 1.426. Luego los períodos de los modos 2 al 6 varían inversamente proporcional a 6,31; 17,36; 34,37; 56,82; 84,87. También en la [ Ref. 9 ] se comprobó que los períodos calculados para un edificio con muros o placas y aquellos que se obtenían promediando los obtenidos usando la viga de corte y la de flexión eran suficientemente cercanos como para ser considerados como una buena referencia. En el Cuadro 8.2 se muestra la comparación mencionada para un edificio de 12 pisos, pero esta vez con placas o muros de corte.

8.5.3 Estimación de Períodos para Edificios

Una aplicación muy útil de estos sistemas continuos es la estimación aproximada de los períodos de los modos altos. La Ec. (8.42) indica que los períodos en la viga de corte varían inversamente a los números impares. Es decir que siguen una serie inversa a 1; 3; 5; 7.... De esta manera si se considera el período fundamental de un edificio aquel calculado por métodos rigurosos (véase Ref. 12, Cap. 5), entonces los períodos de los modos superiores pueden estimarse directamente dividiendo éste del modo fundamental por los factores mencionados. En el estudio de la Ref. 9, se demuestra que para pórticos sin muros de concreto o placas, la correlación entre los períodos exactos y los que predice la

Ti

T1 T2 T3 T4 T5

Pórtico de 12 pisos con placas Período (s) 0,733 0,212 0,103 0,064 0,045

Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO

Viga de flexión en voladizo (V.F.) Período (s) 0,733 0,117 0,042 0,021 0,013

Viga de corte en voladizo (V.C.) Período (s) 0,733 0,244 0,147 0,105 0,081

Promedio de V.F. y V.C. Período (s) 0,733 0,181 0,095 0,063 0,047

32

CAP. 8: VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD

Cuadro 8.2 Comparación de períodos promedio entre una viga de corte y una de flexión con los de un pórtico de 12 pisos con placas o muros de corte [ Ref. 9 ]

REFERENCIAS

33

REFERENCIAS

1.

2.

Biggs, J.M., "Dynamic Analysis of One-Degree Systems", en Notas del curso Fundamentals of Earthquake Engineering for Buildings . Massachusetts Institute of Technology. Cambridge, Massachusetts. 1972 Röesset, J.M. "Structural Dynamics". Notas de clase. Massachusetts Institute of Technology. Cambridge, Mass. 1974.

3.

Biggs, J.M., Introduction to Structural Dynamics. McGraw-Hill. New York. 1964

4.

Craig Jr., R.R., Structural Dynamics. John Wiley & Sons. New York. 1981

5.

Clough, R.W. & Penzien, J. Dynamics of Structures. McGraw-Hill. New York. 1975

6.

Okamoto, S. Introduction to Earthquake Engineering. Halsted Press. John Wiley & Sons. New York. 1973

7.

Hurty, W.C. & Rubinstein, M.F. Dynamics of Structures. Prentice Hall. New Jersey 1964.

8.

Bathe, K.J., Wilson, E.L. Numerical Methods in Finite Element Analysis, Prentice-Hall. Englewood Cliffs, New Jersey. 1976

9.

Wilkinson, J.H., The Algebraic Eigenvalue Problem, Clarendon Press. Oxford. . 1965 Piqué, J., Echarry, A. "A Modal Combination for Dynamic Analysis of Reinforced Concrete Frames". 9a. Conferencia Mundial de Ingeniería Antisísmica. Tokyo-Kyoto. Japón. 1988 Bazán, E., Meli, R. Diseño Sísmico de Edificios, Editorial Limusa. Balderas, México. 2002

10.

11. 12.

Piqué, J., Scaletti, H., Análisis Sísmico de Edificios, Ediciones Capítulo de Ingeniería Civil. Lima, Perú. 1991

Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO

34

CAP. 8: VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD

35

ANEXO - CAP. 8: COCIENTE DE RAYLEIGH

ANEXO COCIENTE DE RAYLEIGH

Factorizando el vector de máximos desplazamientos en la ecuación característica, Ec. (8.11), el problema a considerar resulta de la forma: (K − ω 2 M ) X = 0

(8.49)

reordenando esta última ecuación se tiene: K X = ω 2M X

(8.50)

Suponiendo que se conoce la solución Xi de la Ec. (8.50), entonces se cumple que: K X i = ωi M X i 2

(8.51)

y haciendo ω i = λi la Ec. (8.51) queda: 2

K X i = λi M X i

(8.52)

multiplicando la Ec. (8.52) por X iT : X iT K X i = λ i X iT M X i

(8.53)

despejando la Ec. (8.53) :

λi = ω i 2 =

X iT K X i X iT M X i

(8.54)

El cociente de Rayleigh nos permite calcular el valor de λi conocido su correspondiente vector característico X i . Esto se puede apreciar en la Ec. (8.54). Debido a que la Ec. (8.54) puede ser usada con aproximaciones a los vectores propios [ Ref. 12 ], entonces, suponiendo que se conoce una forma de modo de manera aproximada: X i ←V

Reemplazando la Ec. (8.55) en la Ec. (8.54) se tiene: Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO

(8.55)

36

CAP. 8: VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD

λi = ω i 2 =

VTKV V MV

∑ M j (v j ) n

(8.56)

T

37

ANEXO - CAP. 8: COCIENTE DE RAYLEIGH

Ti = 2π .

Las fuerzas aplicadas serían:

j =1

= 2π .

n

∑ Fjv j j =1

KV = F

∑ Pj (v j ) n

2

2

j =1

n

g .∑ Fjv j

(8.62)

j =1

(8.57) EJEMPLO:

Al reemplazadas deichas fuerzas en la Ec. (8.56) tenemos:

Para el siguiente sistema que se muestra calcule de manera aproximada el periodo:

VTF VTMV

λi =

(8.58)

m3 = 8

t − s2 m

m2 = 9

t−s m

La Ec. (8.58) escritas en forma de sumatorias es: n

λi =

∑ Fjv j j =1

(8.59)

∑ M j (v j ) n

m1 = 10

2

j =1

m3

2

t−s m

k3 = 8 000

t m

k2 = 8 000

t m

m2 2

m1

k1 = 10 000

donde F j y v j son elementos de los vectores columnas F y V , y M j es un

t m

elemento que pertenece a la diagonal principal de la matriz de masas M.

Solución:

Como λ i = ω i , entonces la Ec. (8.59) quedaría: 2

n

λi = ω i =

∑ Fjv j j =1

2

→

∑ M j (v j ) n

Suponiendo de manera aproximada las fuerzas aplicadas, se tiene:

n

ωi =

2

j =1

∑ Fjv j j =1

∑ M j (v j ) n

(8.60)

F3 = 30 000 t

2

m3

j =1

F2 = 20 000 t

Si en la Ec. (8.60) se trabaja con pesos en vez de masas, entonces:

m2

n

ωi =

g . ∑ F jV j j =1

∑ Pj (V j ) n

F1 = 10 000 t

(8.61)

2

j =1

2π , entonces el periodo correspondiente a la forma ωi de modo Xi según la Ec. (8.61) sería:

Y como se conoce que Ti =

Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO

m1

38

CAP. 8: VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD

v3

∆3 v2

∆2

v1

∆1

Resumiendo todos los cálculos en tablas se tiene: Nivel j

kj

Fj

supuestas

(t/m)

V’j = Fj

acumuladas

(t)

(t)

∆j =

V'j kj

v j= ∆

3

8 000

30 000

30 000

3,75

16,00

2

8 000

20 000

50 000

6,25

12,25

1

10 000

10 000

60 000

6,00

6,00

Nivel

Mj 2

(t-s /m)

Mj .vj2

Fj .vj

3

8

2 048,00

480 000

2

9

1 350,56

245 000

1

10

360,00

60 000

∑ = 3 758,56 ∑ = 785 000 Usando la Ec. (8.60): T = 2π

3 758,56 785 000

→

T = 0,435 s

j

acumuladas