Analisis Sismico de Edificios-roberto Aguiar Falconi

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1a EDICIÓN

Dr. Ing. Roberto Aguiar Falconí Director del Centro de Investigaciones Científicas

Escuela Politécnica del Ejército Quito - Ecuador

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ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS, PRIMERA EDICIÓN Copyright ® 2008 El autor Edita: Centro de Investigaciones Científicas. Escuela Politécnica del Ejército. Av. Gral Rumiñahui s/n Valle de los Chillos, Ecuador Registro de Autor: 018400 ISBN-13: ISBN-978-9978-30-104-3

Abril de 2008

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A la memoria de mi querido hermano Humberto Aguiar Falconí

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PRESENTACIÓN

El 4 de agosto de 1998 un sismo de magnitud M S = 7.1 , registrado frente a las costas de Bahía de Caráquez y con una profundidad focal de 37 km., causó el colapso del edificio Calipso de 6 pisos y dejó tres edificios más muy cerca del fallo, que posterior al sismo fueron derrocados por sus propietarios, estos son: edificio Karina de 4 pisos; edificio los Corales de 5 pisos y el edificio del Cuerpo de Bomberos. Los tres primeros edificios fueron construidos, máximo 10 años antes del sismo, de tal manera que se trataba de estructuras modernas y que fueron diseñadas de acuerdo a las normativas sísmicas vigentes en los años noventa del siglo pasado. Otros edificios, como el Hospital Miguel H. Alcívar, el Hotel Italia, el edificio Mendoza, donde funcionaba una extensión de la Universidad Eloy Alfaro de Manta, tuvieron gran daño. Diez años después se aprecia que los dos primeros edificios han sido reforzados no así el tercero que está en venta. Lo cierto es que el sismo del 4 de agosto de 1998, puso en evidencia la necesidad de seguir estudiando e investigando sobre como tener estructuras más seguras en el Ecuador, ante la acción de los terremotos, ya que los edificios modernos de hormigón armado de Bahía de Caráquez, en forma general no tuvieron un desempeño satisfactorio. El sismo de diseño, prescrito en el Código Ecuatoriano de la Construcción es más fuerte que el sismo del 4 de agosto de 1998 y ante el sismo de diseño del Código no puede colapsar ninguna estructura, se admite daño estructural pero no colapso. Esta introducción es necesario realizarla ya que este libro se publica a los 10 años del sismo y quien escribe este texto todavía tiene presente las pérdidas dejadas en la hermosa ciudad de Bahía de Caráquez y desea que esto no vuelva a suceder. Para ello se ha escrito esta obra que trata sobre el análisis sísmico de estructuras y para facilitar su aprendizaje, en cada capítulo se incorporan dos o tres programas de computación en MATLAB con dos objetivos que son: el primero, que el lector pueda seguir con detalle el proceso de cálculo y el segundo, que tenga una herramienta que le facilite el trabajo profesional. En el 2005, los primeros capítulos de este libro, con sus respectivos programas fueron entregados por el autor a sus estudiantes y paralelamente se estaba realizando el proyecto de investigación denominado: “Factor de reducción de las fuerzas sísmicas en edificios de hormigón armado”, los resultados que se obtenían en el proyecto se fueron incorporando al libro y a los programas, es así como en las primeras versiones de los programas se utilizaba la propuesta realizada por Aguiar y González para el cálculo del factor de reducción de las fuerzas sísmicas por ductilidad, conforme la investigación avanzaba y se obtenían mejores resultados se fueron presentando nuevas versiones de los programas. Por este motivo es que varios programas terminan con la palabra new.

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Al igual que todos mis libros, existe un componente de investigación, el mismo que ha sido desarrollado por los estudiantes a quienes he dirigido su tesis de grado ya sea a nivel de pregrado o de post grado. Para el proyecto: “Factor de reducción de las fuerzas sísmicas en edificios de hormigón armado”, se realizaron 8 tesis de grado, las mismas que están indicadas en el respectivo libro publicado en el 2007. A más de esos trabajos, para el presente libro fue muy importante el aporte que se obtuvo con el desarrollo de las siguientes tesis. •

Campos P., (2006), Análisis del Método de Superposición Modal, Tesis para obtener el título de Ingeniero Civil. Escuela Politécnica del Ejército.

•

Jiménez M., (2007), Análisis experimental de un disipador de energía visco elástico. Tesis para obtener el título de Ingeniero Civil. Escuela Politécnica del Ejército.

•

Zevallos M., (2008), Software para el análisis sísmico de estructuras con disipadores visco elásticos, utilizando espectro o acelerograma, Tesis para obtener el título de Master en Ciencias. Universidad Técnica de Manabí.

•

Hinostroza M., (2008), Análisis sísmico de estructuras con disipadores visco elásticos. Tesis para obtener el título de Master en Ciencias. Universidad Técnica de Manabí.

•

Cevallos J., (2008), Análisis sísmico de estructuras con aisladores de base elastoméricos. Tesis para obtener el título de Master en Ciencias. Universidad Técnica de Manabí.

•

Cevallos L., (2008), Comparación entre el análisis estático y dinámico de estructuras con disipadores de energía visco elásticos. Tesis para obtener el título de Master en Ciencias. Universidad Técnica de Manabí.

•

Carrillo C., (2008), Comparación de la respuesta sísmica incorporando y desacoplando la mampostería y técnicas de reforzamiento, Tesis para obtener el título de Ingeniero Civil. Escuela Politécnica del Ejército.

A los diez años del sismo de Bahía de Caráquez de 1998, se está construyendo el puente sobre el estuario del río Chone que une las ciudades de Bahía de Caráquez con San Vicente, puente de 1980 m., de longitud, con aisladores de base. De tal manera que ya se inicia en el Ecuador la construcción de estructuras con sistemas de control, por este motivo es que los dos últimos capítulos del libro están dedicados al análisis sísmico de estructuras con aisladores de base elastoméricos y con disipadores de energía visco elásticos, respectivamente. En el tema de aisladores de base elastoméricos, el autor del libro, viene trabajando desde el 2006 en esta temática con el Profesor Peter Dechent de la Universidad de Concepción de Chile y con el Profesor José Luis Almazán de la Pontificia Universidad Católica de Santiago de Chile desde el 2007, de tal manera que lo que se expone en dicho capítulo tiene como referencias a contribuciones científicas realizadas en Chile. De igual forma, en disipadores de energía visco elásticos, el autor ha trabajado con la Profesora María Ofelia Moroni, de la Universidad Nacional de Chile. No podría terminar la presentación del libro, sin mencionar la valiosa información sobre la determinación de los centros de rigidez, de cortante y de torsión, suministrada por el Profesor Francisco Crisafulli, de la Universidad Nacional del Cuyo, Argentina, al igual que la que consta en su tesis doctoral sobre mampostería, que ha sido muy útil para la redacción del capítulo en que se incorpora la mampostería al análisis sísmico. La información científica que aparece día a día es tan grande, que hace difícil saber cuando se termina de escribir un libro pero uno tiene que saber decir, hasta aquí va el libro a sabiendas que se quedan importantes temas sin ser tratados. Esto lo he vivido algunas veces y

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me queda el compromiso de que en un futuro libro, tratar con detenimiento los temas de: simultaneidad de las acciones sísmicas, de la determinación del centro de resistencia, del análisis sísmico de estructuras con piso flexible, entre otros. Por último pero en primer lugar, mi agradecimiento a Dios por que constantemente siento su presencia y su misericordia, sin su ayuda se que no podría pasar de la primera línea pero con su ayuda todo se puede. De igual manera a las autoridades de la ESPE y en especial al Crnl. de E.M.C. Carlos Rodríguez Arrieta, Vicerrector Académico, por el estímulo y apoyo permanente que recibo. Finalmente, a mi querida y adorada familia por permitirme aportar al desarrollo de la Ingeniería Estructural, con este nuevo libro.

Dr. Ing. Roberto Aguiar Falconí Director del Centro de Investigaciones Científicas Escuela Politécnica del Ejército

1 de Abril de 2008

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i

ÍNDICE GENERAL

1

PELIGROSIDAD SÍSMICA

RESUMEN ……………………………………………………………………………....…...... 1 1.1 ORIGEN DE LOS SISMOS …………………………………….....………………….... 1 1.1.1

Deriva Continental………………………………………………………….. 2

1.1.2

Composición de la Tierra …………………………………………………. 3

1.1.3

Placas Tectónicas …………………………………………………………. 4

1.1.4

Cinturón Circunpacífico ……………………………………………………. 5

1.2 SISMICIDAD DEL ECUADOR ……………………………………………………….… 6 1.3 PELIGROSIDAD SÍSMICA ……………………………………………………………. 7 1.3.1

Etapas de cálculo …………………………………………………………. 9

1.3.2

Relación de recurrencia ………………………………………………….. 10

1.3.3

Magnitud Máxima …………………………………………………………. 12

1.3.4

Leyes de atenuación ……………………………………………………

1.3.5

Metodología de evaluación ……………………………………………... 15

14

1.4 ZONIFICACIÓN SÍSMICA DEL CEC-2000 …………………………………………. 17 1.5 FILOSOFÍA DE DISEÑO TRADICIONAL …………………………………...…….… 19 1.6 SISMOS DE ANÁLISIS DE ACUERDO A VISION 2000………..………………….. 20 1.7 ACTIVIDAD DEL VOLCÁN TUNGURAHUA …………..………………………….…. 22 REFERENCIAS ……………………………………………………………………………….22

2

ESPECTROS DE DISEÑO Y FACTOR DE REDUCCIÓN DE LAS FUERZAS SÍSMICAS

RESUMEN …………………………………………………………………………......…..... 25

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ii 2.1 INTRODUCCIÓN …………………………………...………………………………….. 26 2.1.1

Espectros de respuesta ………………………………………………… 26

2.1.2

Espectros de diseño …………………………………………………….. 28

2.2 ESPECTRO ELÁSTICO DEL CEC-2000 ……………….............………………….. 29 2.3 ESPECTROS POR DESEMPEÑO …………………………………………………... 31 2.4 ESPECTRO INELÁSTICO ……..………………………………………………….….. 33 2.5 IRREGULARIDADES EN PLANTA ………………………………..…………………. 34 2.6 IRREGULARIDADES EN ELEVACIÓN ……………………………..………………. 37 2.7 FACTOR R EN VARIOS PAÍSES LATINOAMERICANOS……………………..… 40 2.7.1 Factor R del Código Ecuatoriano de la Construcción CEC-2000 …… 41 2.7.2 Factor R de la Norma de Colombia NSR-98 ………………………….. 42 2.7.3 Factor R de la Norma Venezolana COVENIN 1756-98 ……………… 43 2.7.4 Factor R de la Norma de Chile Ch 433-96 …………………………….

43

2.7.5 Factor R de la Normad de Perú E.030 …………………………………

43

2.7.6 Comparación de los factores R …………………………………………

44

2.7.7 Necesidad de Investigación Local ……………………………………….

44

2.8 CUANTIFICACIÓN DEL FACTOR R ………………………………………………. 45 2.9 FACTOR DE REDUCCIÓN POR DUCTILIDAD R µ …………………………….. 46 2.9.1 Aguiar y Guerrero (2006) …………………………………………………. 47 2.9.2 Aguiar y González (2006) ………………………………………………… 48 2.9.3 Aguiar, Romo y Aragón (2007) …………………………………………… 49 2.10 FACTOR DE SOBRE RESISTENCIA RΩ …………………………………………. 52 2.10.1 Aguiar, Guadalupe y Mora (2007) ………………………………………. 53 2.10.2 Aguiar y Guaiña (2008) ………………………………………………….. 55 2.11 FACTOR DE REDUNDANCIA R R …………………………………………………. 56 2.11.1 Recomendación del ATC-19 (1995) ……………………………………. 57 2.11.2 Metodología de Tsopelas y Husain (2004) ……………………………. 57 2.11.3 Aguiar, Guaiña y Bernal (2008) ………………………………………… 59 2.12 PROPUESTA DEL FACTOR R …………………………………………………… 60

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iii REFERENCIAS ……………………………………………………………………………. 62

3

MATRIZ DE RIGIDEZ: LATERAL Y EN COORDENADAS DE PISO

RESUMEN …………………………………………………………………………......…..... 65 3.1 INTRODUCCIÓN ….………………………………...……………………………….... 66 3.2 RELACIÓN ENTRE COORDENADAS DE PISO Y DE PÓRTICO ……………..… 67 3.3 MATRIZ DE RIGIDEZ EN COORDENADAS DE PISO ……………………………. 70 3.4 MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL PARA PÓRTICOS SIN MUROS…………...…… 72 3.4.1 Matrices de rigidez de los elementos ………………………………..…

73

3.4.2 Ensamblaje de la matriz de rigidez ……………………………………..

74

3.4.3 Condensación Estática ……………………………………………………

76

3.5 PROGRAMA RLAXINFI …………………………………………………………..…… 77 3.6 MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL PARA PÓRTICOS CON MUROS .…………… 80 3.7 PROGRAMA RLAXINFIMURO……………………………………………………...... 83 3.8 INCORPORACIÓN DE LA MAMPOSTERÍA …………………………………...…… 88 3.8.1 Modelo de Holmes (1961) ……………………………………………….... 89 3.8.2 Modelo de Mainstone (1971) …………………………………………….. 90 3.8.3 Modelo de Bazán y Meli (1980) ………………………………………….. 90 3.8.4 Modelo de Hendry (1981) …………………………………………………. 91 3.8.5 Modelo de Liauw y Kwan (1984) …………………………………………. 91 3.8.6 Modelo de Decanini y Fantin (1986) ……………………………………… 91 3.8.7 Modelo de Paulay y Priestley (1992) …………………………………….. 92 3.8.8 Modelo de FEMA (1997) …………………………………………………… 93 3.8.9 Modelo de Crisafulli (1997) ………………………………………………….94 3.9 MATRIZ DE RIGIDEZ DE ELEMENTO MAMPOSTERÍA ..................................... 95 3.10 PROGRAMA RLAXINFIMAMPOSTERIA ............................................................ 99 3.11 LECCIONES DEJADAS POR SIMO DE PERÚ DE 2007 ……………………….. 102 REFERENCIAS ………………………………………………………………………..…. 104

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iv 4

MÉTODO ESTÁTICO Y TORSIÓN ESTÁTICA

RESUMEN …………………………………………………………………………......…....105 4.1 PERÍODO DE VIBRACIÓN EN ESTRUCTURAS SIN MUROS…………..............106 4.1.1

Trabajo de Goel y Chopra (1997) ………………………………………107

4.1.2

Trabajo de Aguiar et al (2006) …………………………………………..108

4.2 CORTANTE BASAL MÍNIMO………………………………………………………….110 4.3 MÉTODO ESTÁTICO …………………………………………………………………..112 4.4 PROGRAMA ANALISISESTATICONEW ……………………………………………112 4.4.1 Listado del programa ANALISISESTATICONEW ………………………116 4.4.2 Uso del programa ANALISISESTATICONEW…………………………...118 4.5 EXCENTRICIDAD ESTÁTICA ……………………………………………………….119 4.6 EXCENTRICIDAD DE DISEÑO ……………………………………………………….120 4.7 EXCENTRICIDAD ESTÁTICA EN ALGUNAS NORMATIVAS …………………….120 4.7.1 Normativas de Venezuela …………………………………………………121 4.7.2 Normativas Americanas ……………………………………………………123 4.7.3 Código Ecuatoriano de la Construcción ………………………………….124 4.8 ANÁLISIS CON DOS GDL POR PLANTA …………………………………………..124 4.9 PROGRAMA ANALISESTATICO2GDL………………………………………………130 4.9.1 Programa ANALISISESTATICO2GDL……………………………………131 4.10 SISMO DE CARIACO ………………………………………………………………..134 REFERENCIAS …………………………………………………………………………..….136

5

ANÁLISIS MODAL PLANO

RESUMEN …………………………………………………………………………......…....137 5.1 MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN MODAL …………………………………….........138 5.1.1 Desplazamientos máximos modales ……………………………………..139 5.1.2 Fuerzas máximas modales ………………………………………………..140 5.2 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO …………………………………………………... 141

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v 5.3 CRITERIOS DE COMBINACIÓN MODAL………………….……………………….. 143 5.4 CONTROL DEL CORTANTE BASAL MÍNIMO…………………………………….. 152 5.5 CONTROL DE LA DERIVA DE LOS PÓRTICOS…..……………………………….153 5.6 CONTROL DEL EFECTO P − ∆ ……………………………………………………..155 5.7 PROGRAMA MODALPLANONEW …………………………………………………..156 REFERENCIAS …………………………………………………………………………..….163

6 ANÁLISIS SÍSMICO ESPACIAL POR EL MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN MODAL

RESUMEN …………………………………………………………………………......…....165 6.1 INTRODUCCIÓN ...………………………………...………………………………......165 6.2 MATRIZ DE RIGIDEZ EN COORDENADAS DE PISO …………………………….166 6.3 MATRIZ DE MASAS …………………….……...…………………………………….. 167 6.4 PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS……………………………………………………..168 6.5 PROGRAMA MODALESPACIAL3GDLNEW………………………………………...179 6.6 EFECTO

p − ∆ ………………………………………………………………………….189 6.7 TORSIÓN ACCIDENTAL ………………………………………………………………192 REFERENCIAS …………………………………………………………………………..… 193

7

TORSIÓN EN EDIFICIOS

RESUMEN …………………………………………………………………………......…... 195 7.1 EDIFICIOS ABIERTOS …….………...………………………………........................195 7.2 CENTRO DE RIGIDEZ EN UNA ESTRUCTURA DE UN PISO…………………...197 7.3 MATRIZ DE RIGIDEZ EN COORDENADAS DE PISO …………………………… 199 7.4 ANÁLISIS SÍSMICO DE UNA ESTRUCTURA DE UN PISO …………………….. 204 7.5 ANÁLISIS SÍSMICO DE UNA ESTRUCTURA MONOSIMÉTRICA……………….208

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vi 7.6 PROGRAMA BALANCETORSIONALSINAISLAMIENTO …………………………209 7.7 COMENTARIOS ………………………………………………………………………..213 REFERENCIAS …………………………………………………………………………….. 213

8 RESPUESTA EN EL TIEMPO Y CENTROS DE: RIGIDEZ, CORTE Y DE GIRO

RESUMEN ……………………………………………………………………………………215 8.1 INTRODUCCIÓN ……………………………………………………………………….215 8.2 MATRICES DE RIGIDEZ, MASA Y AMORTIGUAMIENTO ……………………….217 8.3 RESPUESTA EN EL TIEMPO ………………………………………………………..220 8.4 PROGRAMABASERIGIDANEW………………………………………………………221 8.5 CENTRO DE RIGIDEZ EN RANGO ELÁSTICO ……………………………………235 8.5.1

Propuesta de Lin (1951) …………………………………………………235

8.5.2

Propuesta de Vásquez y Ridell (1984) …………………………………235

8.5.3

Propuesta de Cheung y Tso (1986) …………………………………….238

8.6 CENTRO DE GIRO …………………………………………………………………….239 8.7 CENTRO DE CORTE ………………………………………………………………….241 8.7.1

Rigidez “t” ………………………………………………………………….241

8.7.2

Rigidez de piso ……………………………………………………………242

8.7.3

Fórmulas de Wilbur ………………………………………………………242

8.7.4

Fórmulas de Rosenblueth y Esteva …………………………………… 244

REFERENCIAS ……………………………………………………………………………………….245

9 AISLADORES DE BASE ELASTO MÉRICOS

RESUMEN …………………………………………………………………………………...247 9.1 INTRODUCCIÓN ……………………………………………………………………….247 9.2 FUNDAMENTO GENERAL ……………………………………………………………251

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vii 9.3 MARCO TEÓRICO ……………………………………………………………………..252 9.4 MÉTODO CUASI-ESTÁTICO …………………………………………………………254 9.4.1 Procedimiento de análisis ………………………………………………….254 9.4.2 Programa CUASIESTATICOAISLAMIENTO…………………………….260 9.5 MÉTODO MASAS CORREGIDAS ……………………………………………………266 9.5.1 Programa MASACORREGIDAAISLAMIENTO ………………………….267 9.6 MÉTODO DINÁMICO EXÁCTO ………………………………………………………272 REFERENCIAS ……………………………………………………………………………...278

10 DISIPADORES DE ENERGÍA VISCO ELÁSTICOS

RESUMEN …………………………………………………………………………………...279 10.1

INTRODUCCIÓN .………………………………………………………………….279

10.2

DISIPADOR VISCO ELÁSTICO ………………………………………………….280

10.3

VENTAJAS DE LOS DISIPADORES ……………………………………………281

10.4

ENSAYOS PRELIMINARES ……………………………………………………...282

10.5

RIGIDEZ EQUIVALENTE DEL DISIPADOR ……………………………………283

10.6

MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL …………………………………………………286 10.6.1 Programa RLVISCOELASTICONEW …………………………………..287

10.7

MÉTODO DE LA ENERGÍA MODAL DE DEFORMACIÓN …………………...293

10.8

ANÁLISIS MODAL ESPECTRAL ………………………………………………...296

10.9

PROGRAMA VISCOELASTICOESPECTRO……………………………………300

10.10

MÉTODO ESTÁTICO ……………………………………………………………..315 10.10.1 Período Fundamental …………………………………………………….315 10.10.2 Descripción del método estático propuesto ……………………………316 10.10.3 Programa VISCOELASTICOESTATICO ………………………………318

REFERENCIAS ……………………………………………………………………………...321

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CAPÍTULO 1

PELIGROSIDAD SÍSMICA

RESUMEN El Ecuador se halla ubicado en una de las zonas de mayor peligrosidad sísmica del mundo, de tal forma que los proyectistas estructurales tienen que diseñar sus edificios considerando que lo más importante es la acción sísmica. Es importante crear conciencia de que los sismos no matan, lo que matan son las estructuras si es que no han sido diseñadas en forma adecuada. Para tener una verdadera visión del problema se inicia el capítulo estudiando el origen de los sismos, luego de ello se pasa a ver la sismicidad en el Ecuador, luego se indica como se realizan los estudios de peligrosidad sísmica y se presenta el mapa de zonificación del Código Ecuatoriano de la Construcción CEC-2000. Posteriormente se presenta en forma rápida la filosofía de diseño en la forma clásica y en la nueva forma recomendada por el Comité VISION 2000, en la cual se necesita conocer los sismos de diseño para cuatro eventos denominados: frecuente, ocasional, raro y muy raro. Actualmente la mayor parte de las normativas sísmicas establecen un solo sismo de diseño y es el correspondiente al sismo raro, de tal forma que si se desea realizar un análisis y diseño sísmico por desempeño, de acuerdo a la nueva visión se debe empezar por definir la forma que tienen estos cuatro sismos. La forma de los sismos de análisis y de diseño se lo representa mediante espectros, tema que es tratado en el próximo capítulo, donde se presenta una forma de hallar los espectros para los sismos: frecuente, ocasional, raro y muy raro, a partir de los espectros estipulados en las normativas sísmicas.

1.1 ORIGEN DE LOS SISMOS Para entender el origen de los sismos, es necesario hablar sobre: deriva continental, la composición de la tierra y placas tectónicas y las micro placas, temas que son abordados en el

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presente apartado. Por otra parte, se indica los países cuya sismicidad está asociada al Cinturón Circunpacífico o Cinturón de Fuego del Pacífico.

1.1.1

Deriva Continental

Hace muchos millones de años todos los continentes estaban unidos en una sola masa, a la que se denominó Pangea, también llamada Pangaea. El único océano que le rodeaba era el Panthalassa, como se aprecia en la figura 1.1.

Figura 1.1

Pangaea o Pangea y el océano de Panthalassa. Dietz y Holden (1970).

Esta masa empezó a moverse en forma lenta y se fue rompiendo. La primera rotura se dio en el área de Groenlandia cuando se separa de Europa. Esta rotura originó dos continentes denominados Laurasia y Gondwana (Canet y Barbat, 1988) como se ilustra en la figura 1.2.

Figura 1.2

Rotura de Pangaea y formación de Laurasia y Gondwana. Dietz y Holden (1970).

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La rotura se da en los perfiles que tienen los continentes actualmente, los mismos que se han desplazado y rotado, pero este movimiento continúa. Esta teoría fue formulada por Alfred Wegener (1912), con el nombre de Teoría de la deriva de los continentes. Numerosos son los estudios que se han realizado para confirmar la teoría de Wegener, en las últimas décadas. Si se examina con detenimiento, el perfil del continente Americano con el de África y Europa, y si imaginariamente lo unimos, como un rompecabezas, se observa que existe una extraordinaria coincidencia, lo cual hace pensar que en un tiempo estuvieron unidos y luego se separaron quedando a la deriva cada uno de ellos. Por otra parte, en las costas del Océano Atlántico de América y África, se ha visto que sus minerales son de la misma naturaleza, no existen regiones montañosas en estas regiones y lo más sorprendente es que su flora y fauna es muy parecida. Por ejemplo, las lombrices, caracoles y peces de aguas superficiales, viven en las costas de los dos continentes.

1.1.2 Composición de la Tierra Es importante destacar que los continentes se han movido en forma muy lenta desde tiempos muy remotos y que actualmente continúan moviéndose. Para entender esto, es necesario analizar la composición de la tierra, la misma que tiene un radio que está alrededor de los 6400 Km.

Figura 1.3

Modelo de las corrientes de convención. Rikitake (1976).

En el centro se tiene un núcleo interno que es sólido pero el material que lo recubre es líquido y finalmente se tiene la corteza terrestre que es sólida, la misma que tiene un espesor variable. Es importante destacar que la corteza terrestre se encuentra sobre un manto líquido y que es más pequeña bajo el mar y más ancha bajo las montañas, todo ello con relación al grosor de la corteza en el resto del mundo.

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Por otra parte, cuando se realizan excavaciones, estas no han llegado más allá de un kilómetro y lo que se ha observado es que la temperatura y la presión aumentan a medida que la profundidad crece. El centro de la tierra está compuesto por materiales y minerales a muy altas temperaturas, es una gran fuente de calor sobre la que se halla el manto líquido, cuyo material está en continuo movimiento, el material de abajo, sube y el material de arriba baja, como lo ilustra la figura 1.3 A esta hipótesis se denomina corriente de convección y es la causa para que los continentes continúen moviéndose en diferentes direcciones. Podríamos pensar como será el mundo después de cincuenta millones de años. Es muy probable que algunos continentes se subdividan, que su posición no sea la que tienen actualmente.

Figura 1.4

Principales placas tectónicas, en el mundo.

1.1.3 Placas Tectónicas Debido a las corrientes de convección, los continentes continúan en movimiento. En el siglo XIX ya se pensó que Groenlandia se movía, hipótesis que ha sido confirmada en el siglo XX con estudios que demuestran que se separa de Europa. Las corrientes de convección se producen en la parte superior del manto líquido, en una capa denominada Astenósfera. En forma figurativa se puede decir que la corteza terrestre flota sobre la Astenósfera. El movimiento de la corteza no se da en forma uniforme, en el sentido de que todo se mueve en la misma dirección y con la misma magnitud, no se presenta así. Existen regiones en las cuales el movimiento es muy lento del orden de una centésima de milímetro al año y otras

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en las cuales este movimiento es muy rápido con movimientos de más de 10 cm. al año. De igual forma, existen zonas en las que segmentos de la corteza chocan entre si y otras en que no existe este choque. Las principales placas tectónicas, se indican en la figura 1.4 y son las placas de: Nazca, Sudamérica, Cocos, Norteamericana, Caribe, Africana, Euroasiática, Antártica, Pacífico, Filipinas, Arábica, Australiana y de la India. Estas placas a su vez contienen micro placas. Estos movimientos llamados tectónicos son los responsables de la aparición de las montañas, de los volcanes, de los sismos, de la formación de plegamientos y fallas geológicas en la tierra. Investigaciones desarrolladas entre los años 1950 y 1960, encontraron que en el lecho de los mares, existen largas y espectaculares cadenas montañosas con una forma muy similar a la columna dorsal de los reptiles, de ahí su nombre de dorsal marino. Por lo tanto, en la tierra existen dos tipos de montañas, las que se hallan en los continentes y las que se encuentran en los mares con características diferentes. Al chocar dos placas, una de las dos cede y se va para abajo con dirección al manto; la región de la zona de choque se denomina zonas de subducción. Por otra parte, en la zona donde no existe el choque, que es en los dorsales marinos aparece, una nueva superficie terrestre. De esta forma se mantiene el equilibrio en el mundo, por las zonas de subducción desaparece la superficie creada y por los dorsales marinos aparece nuevas superficies.

1.1.4 Cinturón Circunpacífico En América del Sur, se tiene fundamentalmente el enfrentamiento de la Placa de Nazca o Placa Oceánica con la Placa de Sudamérica o Placa Continental. Este enfrentamiento produce el fenómeno de subducción, por el cual la placa de Nazca por ser más rígida y fuerte se introduce por debajo de la Placa Sudamericana y continua moviéndose hacia el manto. Como se indicó este choque genera los sismos que es lo que interesa en el presente capítulo. Sin embargo se debe manifestar que como consecuencia del movimiento continuo de las placas tectónicas se tienen las erupciones volcánicas y los sismos. El fenómeno de subducción ha generado una fosa frente a las costas, la misma que alcanza grandes profundidades. Se puede apreciar en la figura 1.4 que esta fosa continúa por Centro América, México, Estados Unidos (California), Canadá, Alaska (Aleutian Trench), Península de Kamtchatka, Japón, Filipinas y Nueva Zelanda. Esta fosa bordea el Océano Pacífico a manera de un cinturón de ahí su nombre de Cinturón Circunpacífico y es una zona de alta sismicidad. Por otra parte, en esta zona existe una intensa actividad volcánica de ahí que también es conocida como Cinturón de Fuego del Pacífico. En la figura 1.5 se indica con más detalle la fosa de subducción, en la zona de Colombia, Ecuador y parte de Perú. Nótese que en el fondo del Océano Pacífico existe una cordillera llamada Dorsal de Carnegie que sigue creciendo e introduciendose bajo el continente, esto es debido al movimiento de las placas. De igual manera se aprecia con una pequeña flecha negra la dirección en que se mueve la placa de Nazca frente a Ecuador, se estima que al año esta placa se mueve con respecto a la placa del continente de 5 a 7 cm. Se aprecia también la Cordillera de los Andes que atraviesa el Ecuador en el sentido Norte Sur y con triángulos se indican los nevados activos y pasivos que en ella existen.

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Figura 1.5 Dorsal de Carnegie y Cordillera de los Andes

1.2 SISMICIDAD DEL ECUADOR En el cinturón circunpacífico y concretamente en el Ecuador, el proceso de subducción de la placa de Nazca, genera una alta sismicidad en su recorrido, buzamiento, hacia el Este. Por este proceso en la costa ecuatoriana, tienen un hipocentro superficial y en la región oriental los eventos sísmicos asociados con la subducción pueden tener profundidades focales mayores a 200 Km. A más de la actividad sísmica asociada a la zona de subducción, existen sismos que se generan por la activación de fallas geológicas locales. El sismo que afectó a Bahía de Caráquez el 4 de agosto de 1998, tiene su origen en la zona de subducción, en cambio el sismo del 2 de octubre de 1995, que causó el colapso del puente sobre el río Upano tiene su origen en una zona de fallamiento local. Por otra parte, es importante destacar que el buzamiento de la zona de subducción del sur del Perú, es diferente del buzamiento que se tiene en el centro y sur del Ecuador y a su vez es diferente del que se tiene en Colombia. Por lo general los sismos superficiales son los que causan mayor daño. Por este motivo, se puede indicar que la Costa Ecuatoriana es la de mayor peligrosidad sísmica, seguida por la Sierra y finalmente el Oriente. Por lo tanto, desde el punto de vista sísmico no es lo mismo construir en la ciudad de Esmeraldas, donde la peligrosidad sísmica es muy grande que en el Tena que tiene una menor amenaza sísmica.

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Al analizar la ubicación de los epicentros e hipocentros de los sismos registrados, se observa que existen zonas en las cuales la actividad sísmica es muy baja, como la región oriental y otras regiones donde existe una alta concentración denominada nidos sísmicos. En el Ecuador, existen dos nidos sísmicos localizados el uno en el sector del Puyo y el otro en Galápagos. El Nido del Puyo, ubicado alrededor de las coordenadas 1.7 Latitud Sur y 77.8 Longitud Oeste, se caracteriza principalmente por un predominio de sismos de magnitud entre 4.0 y 4.9 con profundidades focales mayores a 100 kilómetros. El Nido de Galápagos, ubicado por las coordenadas 0.30' de Latitud Sur y 91 Longitud Oeste tuvo una gran actividad sísmica entre en 11 y 23 de Junio de 1968.

Figura 1.6 Epicentros con magnitud mayor a 4 registrados en 1995 y 1998. (I.G. EPN)

En la figura 1.6 se observa a la izquierda la actividad sísmica en el Ecuador en 1995 y a la derecha en 1998. En 1995, se aprecia una gran actividad en la región sur oriental, donde se dio el sismo de Macas. Aguiar (2000). En cambio en 1998 se tiene una gran actividad frente a la costa de Bahía de Caráquez. En la figura 1.7 se aprecian los sismos superficiales con magnitud mayor a 6.0 que se han registrado en el Ecuador entre 1977 y el 2007, se aprecia que en las provincias de la sierra ecuatoriana prácticamente no se han registrado sismos fuertes, en estos 30 años. Esto es una alerta que debe llevar a la reflexión de que a lo mejor se está acumulando energía y que probablemente en un futuro cercano se tenga un sismo muy fuerte ya que históricamente la sierra se ha visto afectada por sismos severos como el de 1797 que causó gran daño en la antigua ciudad de Riobamba, el de 1868 que destruyó la ciudad de Ibarra y las ciudades vecinas. Los sismos históricos a los que se hacen referencia y otros terremotos catastróficos se indican en la figura 1.8, donde se presentan los epicentros de los sismos con Intensidades, en la escala de Mercali, mayores a VI, registrados entre 1641 y 1880.

1.3 PELIGROSIDAD SÍSMICA Se define como Peligrosidad Sísmica, la probabilidad de ocurrencia, dentro de un período específico de tiempo y dentro de una región determinada, movimientos del suelo cuyos parámetros: aceleración, velocidad, desplazamiento, magnitud o intensidad son cuantificados.

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Para la evaluación se deben analizar los fenómenos que se producen desde el hipocentro hasta el sitio de interés.

Figura 1.7 Sismos superficiales con magnitud mayor a 6.0 registrados entre 1977 y 2007.

Figura 1.8 Principales terremotos registrados entre 1641 y 1880 con Intensidad mayor a 6.

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Para el diseño sísmico de estructuras, fundamentalmente se necesita conocer cual es la aceleración máxima del suelo que se espera en la zona que se va a implantar el proyecto durante la vida útil de la estructura. Si adicionalmente, se pueden establecer los otros parámetros indicados en el párrafo anterior u otros adicionales como el tiempo y contenido de frecuencias, que de alguna forma se están incorporando en los estudios de peligrosidad sísmica, es mejor.

1.3.1 Etapas de cálculo En la figura 1.9, se presentan las etapas que se siguen para la evaluación de la Peligrosidad sísmica a nivel regional, tendientes a la obtención de parámetros para el diseño sismo resistente, expresados en términos probabilísticas. Algermissen y Perkins (1972, 1976); Grases (1975).

Figura 1.9 Etapas de la evaluación de la Peligrosidad Sísmica. La información sísmica histórica, de eventos que se registraron en el período 1500 1900 es muy importante, por que son cuatro siglos de datos, razón por la cual es fundamental su estudio. Lamentablemente, los sismos históricos no han sido estudiados con el detenimiento del caso, primero porque es una tarea que demanda mucho tiempo y segundo por lo difícil que resulta el conseguir la información. Las crónicas de los sismos históricos en algunos casos son muy exageradas y tienden a sobredimensionar el daño ocasionado. Por otra parte, en la mayor parte de países, el catálogo sísmico instrumental tiene amplia información a partir de los años 1960 y 1970, por la implementación de un mayor número de estaciones sismográficas. En el período 1900-1960 la información es escasa, no porque no hayan ocurrido sismos sino porque no existía suficiente instrumentación sísmica. Egred et al (1981). En consecuencia, antes de empezar un trabajo de peligrosidad sísmica lo primero que se debe hacer es un estudio de completitud de la información sísmica, se puede utilizar para el efecto, el procedimiento propuesto por Steep (1972), quien describe un procedimiento basado en la varianza como parámetro estadístico en los cuales la tasa de ocurrencia de los sismos es estable para distintos niveles de magnitud. La información tectónica, geológica, geofísica y geotécnica son un complemento a la información sísmica instrumental para poder definir un mapa sismotectónico de la región en estudio.

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1.3.2 Relación de recurrencia Para la evaluación de la peligrosidad sísmica en cada una de las áreas fuentes es necesario calcular la relación de recurrencia de la actividad sísmica, propuesta independientemente por Ishimoto-Ida en 1939 y Richter-Gutenberg en 1944. (Gutemberg y Richter, 1954, 1956). La misma que tiene la siguiente forma:

log N ( M ) = a − bM

(1.1)

Siendo N(M) el número de sismos anuales de magnitud mayor o igual que M. Las constantes a y b definen la sismicidad del área. Dowrick (1977).

•

EJEMPLO 1

Encontrar la relación de recurrencia para los sismos registrados en el Ecuador en el período comprendido entre 1990 y 2005. Del catálogo sísmico, se han obtenido los siguientes datos: Tabla 1.1 Sismicidad en el Ecuador en el período 1990-2005.

•

MAGNITUD Mb

NÚMERO DE SISMOS

4.0 - 4.5 4.5 - 5.0 5.0 - 5.5 5.5 - 6.0 6.0 - 6.5 6.5 - 7.0 7.0 – 7.5 7.5 – 8.0 8.0 – 8.5

3566 1317 155 40 23 3 3 2 1

SOLUCIÓN

En la figura 1.10 se indica la distribución de frecuencia de los sismos en el período 1990-2005. Nótese que en 1998 y en el 2005 se tiene una gran cantidad de sismos, ventajosamente la mayor parte de ellos son de magnitudes comprendidas entre 4.0 y 4.5. Las ecuaciones que conducen al cálculo de las constantes a y b son:

∑ log Y = N a + b ∑ X ∑ X log Y = a ∑ X + b ∑ X

2

En la tabla 1.2, se indican los valores de las sumatorias con las cuales se plantean las dos ecuaciones que se requieren para determinar a y b.

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500 400 300 200 100

20 04

20 02

20 00

19 98

19 96

19 94

19 92

0 19 90

NUMERO DE SISMOS

SISMICIDAD EN EL ECUADOR DESDE 1990 - AGOSTO DEL 2005

AÑOS

4,0 - 4,5 4,5 - 5,0 5,0 - 5,5 5,5 - 6,0 6,0 - 6,5 6,5 - 7,0 7,0 - 7,5 7,5 - 8,0 8,0 - 8,5

Figura 1.10 Sismicidad anual por rango de magnitud.

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Tabla 1.2 Valores de cálculo de la recta de mínimos cuadrados. Mb Número de Log Y X X * log Y (X) sismos (Y) 4.0-4.5 3566 3.5522 4.25 15.0968 4.5-5.0 1317 3.1196 4.75 14.8180 5.0-5.5 155 2.1903 5.25 11.4992 5.5-6.0 40 1.6021 5.75 9.2118 6.0-6.5 23 1.3617 6.25 8.5108 6.5-7.0 3 0.4771 6.75 3.2206 7.0-7.5 3 0.4771 7.25 3.4591 7.5-8.0 2 0.3010 7.75 2.3330 8.0-8.5 1 0.0000 8.25 0.0000 Total 5109 13.0812 56.25 68.1494

X2 18.0625 22.5625 27.5625 33.0625 39.0625 45.5625 52.5625 60.0625 68.0625 366.5625

Al reemplazar valores se halla:

13.0812 = 9 a + 56.25 b 68.1494 = 56.25 a + 366.5625 b La solución del sistema de ecuaciones reporta:

a = 7.12341 b = −0.90719 Log N = 7.12341 − 0.90719 M b •

EJEMPLO 2

En base a la ecuación de recurrencia encontrada en el ejemplo anterior hallar cuantos sismos de magnitud 8 se registrarán en el Ecuador en los próximos 16 años, 25 años y 50 años.

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12 •

SOLUCIÓN

Tabla 1.3 Cálculo del número de sismos en 16, 25 y 50 años.

16 años log N = 7.12341 − 0.90719 * 8 log N = −0.1342

0.7342 X

N = 0.7342

X=

25 años 16

25

25 * 0.7342 = 1.1473 16

0.7342 X X=

50 años 16

50

50 * 0.7342 = 2.2945 16

En los próximos 16 y 25 años se espera 1 sismo de magnitud 8 y en los próximos 50 años se esperan 2 sismos de magnitud 8. A la ecuación (1.1) se le conoce como ley de Richter, la misma que puede escribirse también de la siguiente forma:

γ = α e−β M

( 1.2 )

Donde γ es la tasa de ocurrencia anual de eventos de magnitud mayor o igual que M. La relación que existe entre las variables a, b y α, β son las siguientes:

a = log α

β=

1.3.3

b = b ln 10 log e

( 1.3 )

( 1.4 )

Magnitud máxima

En cada zona fuente, se debe determinar la máxima magnitud Mmax que se espera, para ello existen diferentes fórmulas empíricas que relacionan la longitud de rotura de la falla L, con Mmax. Una de las primeras relaciones fue suministrada por Idda en 1959 para fallas inversas

M max = 5.47 + 1.0 log L M max = 6.04 + 0.79 log L

( 1.5 ) ( 1.6 )

La ecuación ( 1.5 ) es para sismos profundos y la ecuación ( 1.6 ) para sismos superficiales e intermedios. En la evaluación de la peligrosidad sísmica de Colombia, utilizaron las ecuaciones propuestas por Ambrasseys para determinar la magnitud máxima, estas son:

L = e (1.150 M mx −3.35) Limite Inferior L = e (1.596 M mx −7.56 ) Mejor Ajuste L = e (1.615 M mx −8.58) Limite Superior

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( 1.7 ) ( 1.8 ) ( 1.9 )

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Se aprecia que la relación entre la Magnitud Máxima Mmax y el logaritmo de la longitud de rotura es de tipo lineal, de la forma:

M max = A log L + B

( 1.10 )

Donde A y B son constantes que se obtienen por regresión lineal. Es conveniente que los valores de A y B se obtengan con sismos de una determinada zona geográfica como lo propone Acharya (1979). Por otra parte, Slemmons (1977) propone calcular la magnitud máxima en base al tipo de falla. Para América del Sur, Acharya propone la ecuación (1.11) para encontrar la magnitud máxima, la misma que fue obtenida a partir de 31 eventos con magnitud superior a 7. Por lo tanto, para magnitudes inferiores su aplicación es incierta.

M max = 2.30 + 2.83 log L •

( 1.11 )

EJEMPLO 3

Determinar una relación entre Mmax y la longitud de rotura L, en base a los datos de la tabla 1.4.

Tabla 1.4 Relación entre Magnitud M y Longitud de rotura L.

•

SISMO

LONGITUD FALLA (L)

MAGNITUD (M)

Alaska, 1964 San Francisco, 1906 Mongolia, 1957 Kern Co, 1952 Niigata, 1964 Turkey, 1953 Imperial Valley, 1940 Fairview Peak, 1954 Montana, 1959 San Miguel, 1956 Parkfield, 1966

600 450 280 50 100 50 60 36 30 19 38

8.5 8.3 8.3 7.8 7.5 7.2 7.1 7.1 7.1 6.8 5.5

SOLUCIÓN La ecuación que se obtiene luego del ajuste por mínimos cuadrados, es:

M max = 4.86 + 1.33 log L

( 1.12 )

El coeficiente de correlación de la ecuación (1.12) es 0.782, que es un valor bajo. En los estudios de peligrosidad sísmica se puede aplicar una ecuación como las indicadas para

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encontrar la máxima magnitud esperada en la fuente pero es conveniente comparar el valor obtenido con el registrado instrumentalmente. De igual forma en las ecuaciones que definen la magnitud máxima se deben indicar parámetros estadísticos como el coeficiente de correlación y la desviación Standard para incluirlos en la evaluación de la peligrosidad sísmica. Finalmente, se debe indicar que hay ecuaciones en las cuales se incluye el desplazamiento permanente D en la determinación de la magnitud máxima. Una de ellas es la presentada en la ecuación (1.13), en la cual L y D, se expresan en centímetros, Grases (1997).

M max = 1.1 + 0.4 log( L1.58 D 2 )

( 1.13 )

1.3.4 Leyes de atenuación La fuente de mayor incertidumbre en los estudios de peligrosidad sísmica es la determinación de la ecuación de atenuación que se va a utilizar. La ecuación o ley de atenuación es una expresión semiempírica que relaciona Magnitud-Distancia-Intensidad Sísmica; entendiéndose por estas últimas palabras a la aceleración, velocidad, desplazamiento e intensidad propiamente dicha de eventos sísmicos; estas relaciones se obtienen de los datos que existen sobre los parámetros mencionados. En general, los procedimientos utilizados para obtener las leyes de atenuación, consiste en ajustar curvas a los datos de movimientos sísmicos ocurridos en diferentes regiones, por lo que las expresiones así obtenidas reflejan las características geotectónicas de la región para la cual fueron obtenidas. Mal se haría con importar leyes de atenuación derivadas de otras regiones para realizar estudios de peligrosidad sísmica. La filosofía de las leyes de atenuación se puede sintetizar en dos aspectos, que son: •

A una misma distancia, R se espera tener la misma intensidad sísmica (aceleración, velocidad, desplazamiento e intensidad propiamente dicha).

•

La intensidad sísmica disminuye conforme la distancia aumenta y viceversa.

Ahora, comparemos que ha sucedido en la realidad; al respecto veamos que pasó con el sismo de San Fernando del 09-02-71, uno de los eventos mejor documentados, a una distancia promedio aproximada de 42 Km. del epicentro se registraron aceleraciones horizontales máximas del suelo que variaron entre 58 y 245 gals. Es decir no se tuvo la misma intensidad sísmica a igual distancia; existen varios casos similares al descrito. Lo expuesto tiene como finalidad mostrar la incertidumbre que conlleva el uso de una ley de atenuación a pesar de que ésta fuera obtenida de registros instrumentales. Para contrarrestar esto se acostumbra incluir en las fórmulas un término que corresponde a la desviación estándar σ, el mismo que se calcula suponiendo que los logaritmos naturales de los cocientes de las intensidades sísmicas predichas a las registradas instrumentalmente tienen una distribución log normal. En la tabla 1.5 se indican algunas de las leyes de atenuación que han sido utilizadas en estudios de peligrosidad sísmica en diferentes regiones del mundo.

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Leyes de atenuación de la aceleración máxima de suelo.

REGIÓN

LEY DE ATENUACÍON

AUTOR

Chile-Argentina Perú Perú Ecuador Venezuela-Transcurrentes USA-Transcurrentes USA-Japón-Europa

ln Amax = 8.54 + 0.57M - 1.73 ln (R+60) ln Amax = 8.18 + 0.68M - 1.63 ln (R+60) ln Amax = 4.23 + 0.8M - ln (R+25) ln Amax = 6.35 + 0.99M - 1.76 ln (R+40) ± 0.6 ln Amax = 3.75 + 0.47M - 0.57 ln (R+10) ± 0.67 ln Amax = 6.98 + 0.5M - 1.25 ln (R+25) ln Amax = 0.14 IMM + 0.24M - 0.68 log R + β β=0.60 Costa Occidental USA β=0.69 Japón β=0.88 Europa

Saragoni et al (1982) Saragoni et al (1982)

Casaverde (1980) Aguiar (1989) Grases (1997) Donovan (1973) Goula (1993)

1.3.5 Metodología de Evaluación La evaluación de la peligrosidad sísmica se ejecuta utilizando los algoritmos propuestos por Algermissen (1972, 1976), cuya metodología de cálculo se resume a continuación. i)

Dividir al País en una cuadrícula de 30 minutos por 30 minutos.

ii)

Determinar en cada área fuente, los coeficientes a y b de la ecuación de recurrencia, con los datos correspondientes a sismos de magnitud mayor o igual a Mmin. Siendo Mmin la magnitud mínima seleccionada en el estudio. En la evaluación de la peligrosidad sísmica de Venezuela se consideró Mmin = 4.0 y en la evaluación de la peligrosidad sísmica de Colombia Mmin = 3.0.

iii)

Determinar la longitud de rotura de la falla y la máxima magnitud esperada.

iv)

Calcular la frecuencia anual de ocurrencia de aceleraciones en cada vértice de la cuadrícula. Se puede utilizar el programa de ordenador de Mc Guire (1976) o el programa Crisis de Ordaz (2000). Previamente se habrá seleccionado una ley de atenuación de movimiento del suelo.

v)

Obtener la aceleración o velocidad máxima esperada en cada vértice de la retícula, utilizando el programa: "Line Source Model" de A. Der Kiureghian (1977) o utilizando una distribución de valores extremos tipo II que fue lo seleccionado para el caso de Ecuador, por Aguiar en 1982.

La distribución de valores extremos tipo II, aplicada al caso de aceleraciones es de la siguiente forma:

ln[− ln F ( A)] = − β ln K − β ln Amax

( 1.14 )

Que puede escribirse de la siguiente manera:

F ( A ) = e − ( kA max )

−β

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( 1.15 )

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Siendo F(A) la probabilidad de no excedencia de la aceleración máxima Amax. Los parámetros β y k se obtienen del ajuste por mínimos cuadrados. vi)

Se dibuja el mapa de isoaceleraciones, si se ha estado trabajando con aceleraciones o puede ser el mapa de isovelocidades o el parámetro seleccionado para el estudio de la peligrosidad sísmica.

•

EJEMPLO 4

En la tabla 1.6, se indica las tasas de ocurrencia esperadas en Quito, halladas por Aguiar (1982), para diferentes aceleraciones del suelo. Esto se obtiene de un estudio de peligrosidad sísmica y se desea determinar la aceleración máxima del suelo en roca para una vida útil de la estructura de 50 años y con una probabilidad de excedencia del 10%

Tabla 1.6

Aceleración máxima y tasa media de ocurrencia para Quito.

LUGAR

ACELERACÍON MÁXIMA (cm/s2)

TASA DE OCURRENCIA (veces/año)

Quito

50 100 150 200 250 300 400 500

0.382 0.0389 0.0105 0.00392 0.00177 0.000891 0.000269 0.0000996

Con los datos de la Tabla 1.6, se obtuvo que la relación entre el ln A y el ln[-ln F(A)] es lineal de la forma planteada en la ecuación (1.14), con lo cual se determina: β=3.543

k=0.025

La ecuación (1.15) es válida para un año. Para el caso de 50 años, tiempo de la vida útil de las estructuras, lo que cambia es el valor de k, ahora será

k

1 1

. En consecuencia la

50 β ecuación (1.15), queda:

F ( A) = e

⎛ ⎞ ⎜ k ⎟ −⎜ 1 Amax ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 50 β ⎠

−β

( 1.16 )

Para el sismo raro o severo, la probabilidad de no excedencia en 50 años se consideró del 90%. Luego al reemplazar en la ecuación (1.16), se tiene:

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0.9 = e

⎛ ⎞ ⎜ k ⎟ −⎜ 1 Amax ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 50 β ⎠

17

−β

De donde: 1

1 ⎛ ⎞ β 50 Amax = ⎜ ⎟ k ⎝ 0.10536 ⎠

1

β

( 1.17 )

Reemplazando los valores de k y β, encontrados para Quito, en la ecuación ( 1.17 ) se obtiene: Amax = 227.37 cm/s2 = 0.232 g

1.4

ZONIFICACIÓN SÍSMICA DEL CEC-2000

En la figura 1.11 se presenta el mapa de zonificación sísmica estipulado en el Código Ecuatoriano de la Construcción CEC-2000 y que fue obtenido de un estudio de peligrosidad sísmica para estructuras que tienen una vida útil de 50 años y con una probabilidad de excedencia del 10%.

Figura 1.11 Zonificación sísmica del Ecuador del CEC-2000.

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En base a estos dos últimos valores se halla el período de retorno que es el tiempo promedio transcurrido entre dos movimientos sísmicos que tienen la misma aceleración del suelo. La ecuación que se utiliza para hallar el período de retorno T es la siguiente:

T≈

1 1 − (1 − p )

1 t

( 1.18 )

Donde p es la probabilidad de no excedencia y t es el tiempo de vida útil de la estructura. Al reemplazar p = 0.10 y t = 50 en ( 1.18 ) se encuentra que el período de retorno es de 475 años. La zona de mayor peligrosidad sísmica del Ecuador está definida por una aceleración máxima del suelo en roca igual a 0.4 g., siendo g., la aceleración de la gravedad y la menor peligrosidad está caracterizada por 0.15 g. La costa y la sierra están inmersas en la zona de mayor peligrosidad sísmica. En la tabla 1.7 se indica las zonas sísmicas en la forma que presenta el CEC-2000, en la cual se indica únicamente el coeficiente de la aceleración de la gravedad, que se denomina factor Z .

Zona Sísmica Factor Z

Tabla 1.7 Zonificación sísmica del Ecuador del CEC-2000 1 2 3 0.15 0.25 0.30

4 0.40

Considerar una aceleración máxima del suelo en roca del 40% de la aceleración de la gravedad para la sierra ecuatoriana, a criterio del autor de este libro es demasiado alto. Este valor se debe a que los sismos históricos están sobredimensionados en cuanto a los daños que ocasionaron. De tal manera que si se elimina la zona 4 de la sierra y se deja todo como zona 3 sería lo más apropiado. El comentario realizado en el párrafo anterior, tiene un sustento en el estudio de peligrosidad sísmica realizado por Aguiar (1982) y que se presenta en la figura 1.12. En este estudio se determinó la aceleración máxima esperada asociada a un período de retorno de 475 años y la aceleración más probable. Existe bastante similitud entre la zonificación del CEC-2000, figura 1.11 y la zonificación de Aguiar (1982) en el primero y por razones de seguridad está ligeramente mayorado la aceleración máxima del suelo. Se concuerda que la costa ecuatoriana es la de mayor peligrosidad sísmica y que la región oriental es la de menor peligrosidad. Para que la aproximación sea adecuada se debe dejar, en la normativa del CEC-2000, a la sierra en la zona 3 con una aceleración máxima del suelo en roca del 30% de la aceleración de la gravedad. En Quito, desde la época de la colonia no se ha tenido un sismo cuyo daño haga presumir que se tuvo una aceleración máxima del suelo en roca de 0.4 g. Diseñar un edificio para 0.4 g., considerando un valor apropiado para el factor de reducción de las fuerzas sísmicas debida a comportamiento no lineal, tema que se verá en el próximo capítulo, implica tener elementos estructurales de apreciables dimensiones. Lo que están haciendo algunos proyectistas estructurales es considerar 0.4 g., y el valor más alto estipulado por el CEC-2000 para el factor de reducción de las fuerzas sísmicas sin verificar el factor de reducción asignado lo que significa que en la realidad están

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considerando valores más bajos al 0.4 g., ya que el factor de reducción de las fuerzas sísmicas obtenido en dichas estructuras es menor al que se impusieron, Aguiar (2006).

Figura 1.12 Zonificación sísmica del Ecuador encontrada por Aguiar (1982).

1.5

FILOSOFÍA DE DISEÑO TRADICIONAL

La filosofía de diseño tradicional establece tres niveles de desempeño estructural que son: i) Servicio, ii) Daño, y iii) Colapso. Ante tres sismos de análisis definidos como: i) Menor, ii) Moderado, y iii) Severo, como se indica a continuación. •

En el Estado de Servicio, se espera que ante Sismos Menores, que pueden ocurrir frecuentemente durante la vida útil de la edificación, no ocurra ningún daño tanto en los elementos estructurales como en los no estructurales.

•

Para el Estado de Daño, se espera que la estructura trabaje en el límite de su capacidad resistente elástica, es decir la estructura como tal no sufre daño pero sí hay daño en los elementos no estructurales. Este comportamiento es esperado ante Sismos Moderados, que pueden presentarse durante la vida útil de la edificación.

•

Para el Estado de Colapso, la estructura, ante un Sismo Severo que puede ocurrir rara vez en el tiempo de vida útil, incursiona en el rango no lineal, experimentando daño pero en ningún momento la edificación llega al colapso. Se espera cierto grado de daño en los elementos estructurales y un daño considerable en los elementos no estructurales.

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Los códigos, normalmente presentan los estudios de peligrosidad sísmica para el Sismo Severo. Esto ha sucedido en el Código Ecuatoriano de la Construcción CEC-2000, en las Especificaciones Sismorresistentes de Venezuela COVENIN 1756-98 y en la Norma Técnica de Perú de 2003, entre otros. En que se indica las zonificaciones sísmicas para una vida útil de 50 años y con una probabilidad de excedencia del 10%. Para poder verificar el comportamiento que tendrá una estructura ante los sismos denominados menor y moderado, es necesario definir la aceleración de estos eventos, de una manera similar a la efectuada para el sismo severo. Caso contrario la filosofía clásica de diseño quedará como un simple enunciado estructural. No basta indicar que el sismo menor o sismo pequeño se va a presentar durante la vida útil de la estructura o que es probable que el sismo moderado se registre alguna vez en el tiempo de vida medio de la edificación. Tampoco se deben establecer valores generales, como indicar que la aceleración máxima del suelo en roca, para el sismo pequeño es menor a 0.06 g (6% de la aceleración de la gravedad) y que la aceleración para el sismo moderado es menor que 0.12 g. Estos valores pueden ser adecuados para un determinado lugar pero en términos generales no lo son, puesto que en el mundo existen zonas con diferente peligrosidad sísmica.

1.6

SISMOS DE ANÁLISIS DE ACUERDO A VISION 2000

Tanto el SEAOC ,Structural Engineers Association of California, 1995 como el ATC-33 (1995), en sus documentos VISION 2000 y guía NEHRP, establecen claramente la manera de cuantificar las características de los sismos que deben considerarse en el análisis sísmico de estructuras. En primer lugar, se debe indicar que no son tres los sismos de análisis, como se tenía anteriormente, ahora son cuatro los mismos que están definidos de la siguiente manera: •

Sismo Frecuente, que debe obtenerse para una vida útil de la estructura de 30 años con una probabilidad de excedencia del 50%. El período de retorno de este evento es de 43 años. Por lo tanto, este sismo se va a dar por lo menos una vez durante la vida útil de la estructura.

•

Sismo Ocasional, que se calcula para una vida útil de la estructura de 50 años y con una probabilidad de excedencia del 50%. El período de retorno es de 72 años. Por lo tanto, durante la vida útil de la estructura (50 años) es probable que este sismo se registre alguna vez. El sismo ocasional es equivalente al sismo moderado y el sismo frecuente es equivalente al sismo menor.

•

Sismo Raro, también conocido como Sismo Excepcional o como Sismo de Diseño. En fin existen una serie de nombres que se le dan a este sismo, el mismo que se obtiene para una vida útil de la estructura de 50 años y con una probabilidad de excedencia del 10%. En consecuencia, es equivalente al Sismo Severo. El período de retorno de este evento es de 475 años.

•

Sismo Muy Raro, también denominado Sismo Extremo que se calcula para una vida útil de la estructura de 100 años con una probabilidad de excedencia del 10%. Este evento tiene un período de retorno de 970 años.

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Para cada uno de estos eventos el Comité VISION 2000 define un nivel de desempeño de la estructura o un nivel de comportamiento global de la edificación, tema que será analizado posteriormente. En 1992 la Sociedad de Ingenieros Estructurales de California se reunieron para analizar las grandes pérdidas que se han producido en sismos recientes, que estuvieron diseñados para un solo sismo, con la filosofía de que no colapsen ante un sismo severo pero se han venido registrando sismos de menor magnitud que no han llevado al colapso de la estructura pero han producido grandes pérdidas en elementos no estructurales, las mismas que se agravan cuando se tiene que suspender las labores para reparar estos daños. Estas pérdidas que representaban varios miles de millones de dólares fue lo que motivo la creación del Comité VISION 2000 quienes en 1995 presentaron los primeros resultados, que fueron como una nueva luz para el diseño sísmico de las estructuras en el siglo XXI. En lo que atañe a lo estudiado en el presente capítulo se ha indicado que para el análisis y diseño de las estructuras se necesita definir cuatro eventos sísmicos denominados: frecuente, ocasional, raro y muy raro tema que será tratado en el próximo capítulo después de que se indique lo que son los espectros de diseño.

Figura 1.13 Fotografías del Volcán Tungurahua. (Instituto Geofísico de la E.P.N.)

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1.7

ACTIVIDAD DEL VOLCÁN TUNGURAHUA

Desde 1998 hasta marzo de 2008, en que se termina de escribir este libro, el volcán Tungurahua se ha encontrado en permanente actividad. Lo cierto es que ya se llevan 10 años seguidos, en que hay fumarolas, caídas de ceniza y erupciones del volcán como las que se aprecian a la izquierda de la figura 1.13, la fotografía superior corresponde a la erupción del 8 de febrero de 2008 y la inferior a la del 5 de marzo de 2007. Estas dos fotografías fueron tomadas por Patricio Ramón y se encuentran en el portal del Instituto Geofísico de la Politécnica Nacional, al igual que las fotografías de la derecha en que aparece el cráter del volcán tomada desde su borde N.E por José Espín y la inferior derecha, en que se observa la actividad fumarólica del volcán tomada por Jorge Bustillos. En la primera declaratoria de emergencia del volcán, toda la población de Baños y de los lugares aledaños fueron evacuados por más de un mes; en los siguientes años nuevamente se ha declarado en emergencia y la población ha sido evacuada por días. Pero ha habido una buena parte de la población de Baños que no ha abandonado sus casas a pesar de que el volcán está erupcionando como sucedió el 6, 7 y 8 de febrero de 2008. Esto demuestra que la gente ya se acostumbró a la permanente actividad del volcán y no mide el gran peligro que tienen. La intensa actividad de este y otros volcanes, como la gran actividad sísmica del Ecuador, deben servir como alertas para los proyectistas estructurales para construir edificaciones sismo resistentes, que no colapsen durante un evento telúrico, que no colapsen con la acumulación de ceniza volcánica en sus techos. Deben ser señales de alerta para buscar nuevas formas constructivas que sean más seguras ante los embates de la naturaleza.

REFERENCIAS 1. Aguiar R., (2000), Sismo de Macas de 1995 y la reconstrucción, Centro de Investigaciones Científicas. Escuela Politécnica del Ejército, 74 p., Quito. 2. Aguiar R., (1989), “Leyes de atenuación; una contribución a la zonificación sísmica del Ecuador”, IV Encuentro Nacional de Ingeniería Estructural. Escuela Politécnica del Ejército, 3, 364-397, Quito. 3. Aguiar R., (1982), Cuantificación de la amenaza sísmica del Ecuador en términos probabilísticos y mapa de zonificación. Tesis de Grado para obtener título de Master en Ciencias. Universidad Central de Venezuela, 187 p., Caracas. 4. Acharya H., (1979), “Regional variations in the rupture-length magnitude relationships and their dynamical significance”, Bulletin of the Seismological Society of America, 69 (6), 2063-3084.

5. Algermissen S.T., Perkins D., (1972), “A technique for seismic zoning: general considerations and parameters microzonation”, Conference Seattle. 6. Algermissen S.T., Perkins D., (1976), A probabilistic estimate of maximum acceleration in rock in the contiguous United Stated”, U. S. Geologycal Survey Open-File Report 760416, 45 p.

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7. Canet J., Barbat A., (1988), Estructuras sometidas a acciones sísmicas. Cálculo por ordenador, Centro Internacional de Métodos Numéricos en Ingeniería. Universidad Politécnica de Cataluña, 569 p, Primera Edición, Barcelona.

8. Casaverde L., y Vargas J., (1980), “Zonificación sísmica del Latinoamericano de Ingeniería Sismorresistente, Lima.

Perú”, II Seminario

9. CEC-2000, “Código Ecuatoriano de la Construcción”, XIII Jornadas Nacionales de Ingeniería Estructural. Pontificia Universidad Católica del Ecuador, 325-350, Quito. 10. Dietz R., Holden J., (1970), “Reconstruction of Pangea: breakup and dispersión of continents, permian to present”, Journal of Geophysics Research, 75, 4939-4956. 11. Donovan N., (1973), “A statistical evaluation of strong motion data, including the February 9, 1971 San Fernando earthquake”, Proceedings of the Fifth World Conference on Earthquake Engineering, 1, 1252- 1261, Roma. 12. Dowrick D., (1977), Earthquake Resistant Design, John Wiley & Sons, Inc. New York. 13. Egred J., Cáceres V., Espín L., (1981), Catálogo de sismos, Ecuador 1900-1980, Facultad de Geología. Observatorio Astronómico de Quito, Escuela Politécnica Nacional. 14. Grases J., (1975), Sismicidad de la región asociada a la cadena volcánica centroamericana del cuaternario, Caracas. 15. Grases J., (1997), “Peligrosidad sísmica”, Seminario dictado en la Dirección Nacional de Defensa Civil, Quito. 16. Goula X., (1993), “Evaluación del riesgo sísmico: III Propagación de la energía sísmica”, Curso de Master en Ingeniería Sísmica y Dinámica Estructural, Universidad Politécnica de Cataluña, Barcelona. 17. Gutenberg B., Richter C., (1954), Seismicity of the Earth, Princeton University Press, Princeton. 18. Gutenberg B., Richter C., (1956), “Earthquake magnitude, intensity, energy and acceleration”, Bulletin of the Seismological Society of America, 46, 105-145. 19. McGuire R.(1976), Fortran computer program for seismic risk analysis, United States Department of the Interior Geological Survey, Open-File Report 76-67, 90 p. 20. Norma COVENIN 1756-98 (Rev. 2001), “Edificaciones Sismorresistentes”, FUNVISIS. Ministerio de Desarrollo Urbano, 69 p., Caracas. 21. Norma E.030, (2003), Reglamento Nacional de Construcciones. Norma Técnica de Edificaciones. Diseño Sismo resistente, Servicio Nacional de Normalización, Capacitación e Investigación para la Industria de la Construcción. SENCICO, 36 p., Quito. 22. Rikitake T., (1976), Earthquake Prediction, Elsevier Scientific Publishing Company, Amsterdam. 23. Saragoni R., Crempien J., y Ayala R., (1982), “Características experimentales de los movimientos sísmicos sudamericanos”, Revista del IDIEM, 21 (2), 67-86, México.

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24. SEAOC (1995), “Vision 2000 Report on performance based seismic engineering of buildings”, Structural Engineers Association of California, Volume I , Sacramento. 25. Slemmons D. B., (1977), “State-of-the-adt for assessing earthquake hazards in the United States”, Report 6. Faults and earthquake magnitude:U.S., Army Corps of Engineers, Waterways Experimental Station, Soil and Pavements Laboratory, Vicksburg, Mississippi, Miscellaneous Paper S-73-1, 129 p, 1977. 26. Stepp J., (1972), “Analysis of completeness of the earthquake sample in the puget sound area and its effect on statiscal estimates of earthquake hazard”, Proceedings of the International Conference on Microzonation for Safer Construction. Research and Application, 2, 897-909.

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CAPÍTULO 2

ESPECTROS DE DISEÑO Y FACTOR DE REDUCCIÓN DE LAS FUERZAS SÍSMICAS

RESUMEN La definición de espectros de respuesta y de diseño, es fundamental en el análisis sísmico de edificios, razón por la cual se inicia el capítulo con ésta temática. De igual manera es importante el estudio de los espectros elásticos e inelásticos, saber que con los espectros elásticos no se espera daño en las estructuras y con los espectros inelásticos si se espera daño. Es fundamental conocer como las normativas sísmicas obtienen los espectros inelásticos dividiendo los espectros elásticos para el producto R φ p φ e . Donde R es el factor de reducción de las fuerzas sísmicas debido a comportamiento inelástico de la estructura; φ p , φ e factores con los cuales se penaliza las irregularidades en planta y elevación. Estos tres factores son objeto de estudio, con mucho detenimiento en el presente capítulo, ya que una selección inapropiada de estas cantidades puede conducir a un diseño con fuerzas sísmicas muy bajas, siendo la estructura vulnerable ante la acción de los sismos o puede conducir a sobredimensionar la acción sísmica con lo que se obtiene un diseño muy costoso. Se analiza, con cierto detenimiento los factores de reducción de las fuerzas sísmicas para edificios de hormigón armado, compuestos por vigas y columnas, sin muros de corte, de las normativas sísmicas de: Venezuela, Colombia, Ecuador, Perú y Chile. Para poder comparar el factor R de estas normativas se debe diferenciar si los espectros formulados son a nivel de servicio o últimos, se debe tener en cuenta la deriva máxima de piso permitida, si esta deriva es elástica o inelástica, se debe conocer como se obtienen los desplazamientos inelásticos a partir de los desplazamientos elásticos. Todas estas variables influyen en el cálculo del factor R .

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Posteriormente, se presenta los resultados de un proyecto de investigación, desarrollado en el Centro de Investigaciones Científicas de la Politécnica del Ejército, que se inició en el 2005 y finalizó en el 2007, sobre el cálculo del factor R en las estructuras mencionadas en el párrafo anterior. Se obtuvo el factor R multiplicando el factor de resistencia por ductilidad R µ también conocido como factor de reducción por ductilidad; multiplicando por el factor de sobre resistencia R Ω y por el factor de redundancia R R . Para el factor R µ se realizaron cuatro trabajos: Aguiar y Guerrero (2006); Aguiar y González (2006); y dos trabajos por parte de Aguiar, Romo y Aragón (2007,1,2). Este último se considera el más completo ya que se trabajó con 80 acelerogramas de sismos reales de baja magnitud y 112 acelerogramas artificiales compatibles con los espectros del Código Ecuatoriano de la Construcción. Para hallar los factores R Ω y R R se analizaron 432 estructuras de uno a seis pisos que responden a la forma como se construye en Ecuador. De tal manera que los resultados obtenidos son validos para estructuras de menos de 6 pisos. Se entiende que estructuras de más de 7 pisos se diseñan con muros de corte. Para el factor R Ω se presentan los resultados encontrados por Aguiar, Mora y Guadalupe (2007) que es función de la deriva de piso máxima permitida y para el factor R R el trabajo desarrollado por Aguiar, Guaiña y Bernal (2008). Finalmente, en base a los trabajos realizados se propone el factor de reducción de las fuerzas sísmicas, para edificios conformados por vigas y columnas sin muros de corte, para los cuatro tipos de suelo que contempla el CEC-2000, los mismos que son validos para una deriva de piso máxima inelástica de 1.5 %.

2.1 INTRODUCCIÓN Se recomienda la lectura del libro “Dinámica de Estructuras con MATLAB”, Aguiar (2007) en el que se trata sobre la forma como se obtiene la respuesta en el tiempo de un sistema de un grado de libertad ante una acción sísmica definida por su acelerograma, luego se presenta como se halla los espectros de respuesta y finalmente se indica como a partir de estos espectros de respuesta se halla el espectro de diseño. Se presenta a continuación un breve repaso de lo tratado en forma extensa en el texto mencionado.

2.1.1 Espectros de respuesta Se define el espectro de respuesta como la respuesta máxima de un conjunto de osciladores de 1 gdl que tienen el mismo amortiguamiento, sometidas a una historia de aceleraciones dadas.

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En la figura 2.1 se muestra el esquema de cálculo de los espectros de respuesta. A la izquierda aparecen un conjunto de osciladores de 1 gdl, todos ellos tienen un coeficiente de amortiguamiento ξ = 0.05 . Cada uno de estos osciladores, que representan a estructuras de un piso, va a ser sometido al sismo cuyo acelerograma se indica en la parte inferior izquierda.

Figura 2.1 Esquema de cálculo de los Espectros de Respuesta. En la parte central de la figura 2.1, se tiene la respuesta en el tiempo de desplazamiento, se ha colocado únicamente de dos osciladores, el uno tiene un período de 1 s. y el otro un período de 2 s. Se ha identificado las respuestas máximas en cada uno de ellos, como Sd1 para el sistema con T=1 s., y Sd2 para el sistema con T=2 s. Nótese que Sd1 es negativo ya que se halla en la parte inferior y Sd2 es positivo por estar en la parte superior pero para encontrar el espectro se considera en valor absoluto En la parte derecha, de la figura 2.1 se han colocado los valores de Sd1 y Sd2 asociados a períodos de 1 y 2 s., se han colocado además los desplazamientos máximos correspondientes a los restantes períodos del conjunto de osciladores de un grado de libertad, la gráfica que resulta de unir las respuestas máximas es el Espectro de Respuesta Elástica de Desplazamientos, ante el sismo del 9 de Noviembre de 1974. En la parte central de la figura 2.1 se pudo haber colocado las respuestas máximas de velocidades o de aceleraciones, con lo que se habría hallado los espectros de respuesta elásticos de velocidad y aceleración, respectivamente. Por lo tanto, se pueden obtener espectros de respuesta elásticos de desplazamientos, velocidades y aceleraciones, encontrando las máximas respuestas en valor absoluto de q(t ), q (t )

(t ) . A estas respuestas máximas se las denomina con las letras S d , S v y S a . y q S d = q (t ) max

S v = q (t ) max

S a = q(t ) max

( 2.1 )

De estos tres tipos de espectros los que más se utilizan, al menos en Latino América son los espectros de aceleraciones y son los que vienen definidos en las normativas sísmicas. Estos espectros han tenido una serie de críticas en el sentido de que no toman en cuenta el tiempo de duración del sismo, la frecuencia de vibración del sismo, y sobre todo que no describen el daño esperado en la estructura. Temas que son importantes y que de alguna forma se los incorpora en

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los espectros de energía, pero todavía no existen formulaciones sencillas para el análisis sísmico de estructuras con espectros de energía. De igual manera en lugar de trabajar con espectros de aceleraciones se está proponiendo, desde hace algunos años, el trabajar con espectros de desplazamiento debido a que estos están más asociados con el daño de las estructuras, existen filosofías de diseño al respecto pero nuevamente se continúa trabajando con espectros de aceleraciones.

2.1.2

Espectros de diseño

En la figura 2.2 se ilustra la forma como se obtiene un espectro de diseño, para el efecto se seleccionan registros sísmicos de una determinada región, que se encuentren registrados sobre el mismo tipo de suelo ya que se ha visto que un mismo sismo puede tener diferentes registros en suelo duro y en suelo blando a pesar de que los dos sitios están muy cercano. Es preferible que los registros con los cuales se obtengan los espectros sean de eventos con magnitudes mayores a cuatro o en su defecto que tengan aceleraciones máximas superiores al 10% de la aceleración de la gravedad. Lamentablemente en América Latina no se dispone de una suficiente cantidad de registros sísmicos, clasificados de acuerdo al tipo de suelo, ni tampoco de registros de sismos fuertes por lo que toca trabajar con los archivos que se disponen o en su defecto se pueden generar registros sísmicos artificiales que sean compatibles con la sismicidad local de una región. Orosco et al (2005).

ESPECTROS RESPUESTA

01b 02a 02b

2000

03a

1800

03b 04a

1600

04b 05a 05b

Aceleración

1400 1200

06a 06b 07a 07b

1000 800 600 400

08a 08b

200

09a

0 0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

Periodo

Figura 2.2 Esquema de obtención de un espectro de diseño

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3,5

09b Media

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Una vez definidos los registros con los cuales se va a obtener un espectro de diseño se encuentran los espectros de respuesta de cada uno de ellos, para esto previamente se normalizan a un determinado valor todos los acelerogramas, en el ejemplo indicado en la figura 2.2 se han normalizado de tal manera que la aceleración máxima del registro sea el 40% de la aceleración de la gravedad. Mediante estadísticas se encuentra el espectro medio, como se ilustra en la figura 2.2 con una línea un poco más gruesa. El espectro medio tiene una probabilidad del 50% de que sus ordenadas sean excedidas lo cual sería inseguro ya que significa que para un determinado período habrán sismos cuya aceleración espectral es mayor que la del espectro medio. Con el propósito de minimizar la aceleración de excedencia de ciertos sismos, se sube la curva media encontrando la desviación estándar y se puede presentar la curva de valores medios más una desviación estándar. Lo cierto es que se trabaja en forma probabilística y los espectros están asociados a una determinada probabilidad de excedencia.

2.2 ESPECTRO ELÁSTICO DEL CEC-2000 En la figura 2.3 se presenta la forma del espectro de diseño elástico del CEC-2000 que está definido por las siguientes ecuaciones:

Ad = α β Ao

T 50.

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2

Perfil de suelo S2 son suelos con características intermedias entre los suelos S1 y S3.

3

Perfil de suelo S3 son aquellos cuyo período fundamental es mayor a 0.6 s., En la tabla 2.2 se indican las características de los suelos blandos o estratos de gran espesor que son considerados S3.

Suelos Cohesivos

Tabla 2.2 Características de los suelos tipo S3. Resistencia al corte Vs no drenada (m/s)

Espesor del Estrato

Su

Blandos Semiblandos Duros Muy duros Suelos Granulares Sueltos Semidensos Densos

< 200 200 – 400 400 – 750 > 750

< 25 KPa 25 KPa – 50 KPa 50 KPa – 100 KPa 100 KPa – 200 KPa

> 20 m. > 25 m. > 40 m. > 60 m.

Vs

Valores N del SPT

(m/s) < 200 200 – 750 > 750

Espesor del Estrato

4 – 10 10 – 30 > 30

> 40 m. > 45 m. > 100 m.

Si el sitio donde las propiedades del suelo son poco conocidas, se podrá considerar que el perfil de suelo es S3.

4

Perfil de suelo S4 son suelos con condiciones especiales. En este grupo se incluyen los siguientes: 1 2 3 4 5

Suelos con alto potencial de licuación, susceptibles de colapso y sensitivos. Turbas, lodos y suelos orgánicos. Rellenos colocados sin control técnico. Arcillas y limos de alta plasticidad ( IP > 75 ). Arcillas suaves y medio duras con espesor mayor a 30 m.

Los perfiles de este grupo incluyen a suelos particulares altamente compresibles, donde las condiciones geológicas y/o topográficas sean especialmente desfavorables y que requieran estudios geotécnicos no rutinarios para determinar sus características mecánicas.

2.3 ESPECTROS POR DESEMPEÑO En el capítulo anterior se habló que el Comité VISION 2000 establece cuatro sismos denominados: frecuente, ocasional, raro y muy raro para el análisis y diseño sísmico por desempeño, los mismos que están indicados en la tabla 2.3. Ahora lo que interesa ilustrar en este apartado es como se determinan las formas espectrales para los sismos: frecuente,

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ocasional y muy raro habida cuenta que el espectro del sismo raro es el del CEC-2000. En el capítulo 8 del libro Análisis Sísmico por Desempeño, Aguiar (2003) se indican todos los estudios que se han realizado para proponer la siguiente metodología para encontrar los espectros de los sismos: frecuente, ocasional y muy raro, a partir del espectro del sismo raro.

Sismo

Tabla 2.3 Sismos recomendados por el Comité VISION 2000. Período medio Tasa Anual de Vida Útil Probabilidad T de Excedencia t p de retorno, r excedencia, 1 ∗

P

Frecuente Ocasional Raro Muy raro

•

30 años 50 años 50 años 100 años

50% 50% 10% 10%

43 años 72 años 475 años 970 años

0.02310 0.01386 0.00211 0.00105

Para el Sismo Frecuente se dividen las ordenadas espectrales del Sismo Raro para 3 y posteriormente se ajusta la forma espectral para un amortiguamiento ξ del 2%. Multiplicando la forma espectral por f a indicado en la ecuación ( 2.5 )

⎛ 1+ ξ f a = 2 ⎜⎜ 0.865 ⎝ 1 + 14.68 ξ

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

( 2.5 )

La ecuación ( 2.5 ) sirve para obtener espectros para cualquier factor amortiguamiento ξ , a partir del espectro para ξ = 0.05 . Esta ecuación es propuesta por la Normativa Sísmica de Chile de (1996) para estructuras con aislamiento de base y se ha verificado que reporta resultados satisfactorios con sismos registrados en el Ecuador. Aguiar y Álvarez (2007). Existe otra ecuación más sencilla, que también se puede hallar para pasar del espectro que está calculado para un ξ = 0.05 a un ξ = 0.02 Esta es:

⎛ 0.05 ⎞ ⎟⎟ f a = ⎜⎜ ⎝ ξ ⎠

0.4

•

Para el Sismo Ocasional se multiplica el sismo frecuente por 1.4

•

Para el Sismo muy raro se multiplica el sismo raro por 1.3

•

EJEMPLO 1

( 2.6 )

Encontrar los espectros para los sismos: frecuente, ocasional, raro y muy raro; para la zona de mayor peligrosidad sísmica de Ecuador y en un perfil de suelo S4.

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•

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SOLUCIÓN

En la figura 2.4 se presentan los espectros requeridos, los mismos que se hallan utilizando el programa VISION descrito en el capítulo tres del libro: Dinámica de Estructuras con MATLAB. Aguiar (2007).

2.4 ESPECTRO INELÁSTICO Al realizar el análisis sísmico con el espectro elástico del CEC-2000 se espera que la estructura no sufra daño. Por lo tanto, todo el tiempo trabajará en el rango elástico pero esto no es adecuado ya que el espectro del CEC-2000 tiene un período de retorno de 475 años es decir la probabilidad de que se registre durante la vida útil de la estructura es muy baja. Sería muy costoso diseñar una estructura con el espectro elástico, además de ello los elementos estructurales que resultan serían de grandes dimensiones.

Figura 2.4 Espectros: frecuente, ocasional, raro y muy raro para un perfil S4. Por consiguiente se diseña las estructuras considerando un espectro inelástico el mismo que se obtiene dividiendo las ordenadas del espectro elástico para R φ p φ e como lo ilustra la figura 2.5. Donde R es el factor de reducción de las fuerzas sísmicas debido a comportamiento inelástico

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de la estructura; este factor se define en forma muy general en las diferentes normativas sísmicas y más responde a criterios cualitativos emitidos por expertos, que a criterios cuantitativos, razón por la cual se dedicará todo un apartado para su estudio en este capítulo. φ p y φ e son factores con los que se pretende penalizar las irregularidades tanto en planta como en elevación, que tiene una edificación y son abordados en el siguiente apartado.

2.5 IRREGULARIDADES EN PLANTA El CEC-2000 considera cinco tipos de irregularidades en planta que a continuación se las comentan:

1. Irregularidad Torsional.- Existe irregularidad por torsión cuando la máxima deriva de piso de un extremo de la estructura, calculada incluyendo la torsión accidental y medida perpendicularmente a un eje determinado, es mayor que 1.2 veces la deriva promedio de los dos extremos con respecto al mismo eje de referencia. Esto se lo ilustra en la figura 2.6

Figura 2.5 Espectros: Elástico e Inelástico del CEC-2000

La nomenclatura de la figura 2.6 es la siguiente: d 1 , d 2 son los desplazamientos horizontales de los pisos 1 y 2, ∆ piso 1 , ∆ piso 2 , son las derivas de los pisos 1 y 2.

∆ piso 1 =

d1 H1

∆ piso 2 =

d 2 − d1 H2

Donde ∆ 1 es el mayor valor entre ∆ piso 1 y ∆ piso 2 en el pórtico 1, que es el extremo. ∆ 2 es similar a ∆ 1 pero en el otro pórtico extremo en este caso el pórtico 4. ∆ i es el mayor

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valor entre ∆ 1 y ∆ 2 . Se debe verificar, si:

⎛ ∆ + ∆2 ⎞ ∆ i > 1.2 ⎜ 1 ⎟ 2 ⎝ ⎠

⇒ φ p = 0.9

Figura 2.6 Irregularidad torsional φ p = 0.9 2. Retrocesos excesivos en las esquinas.- La configuración de una estructura se considera irregular cuando presenta retrocesos excesivos en sus esquinas. Un retroceso en una esquina se considera excesivo cuando las proyecciones de la estructura, a ambos lados del retroceso, son mayores que el 15% de la dimensión de la planta de la estructura en la dirección del retroceso. En este caso φ p = 0.9 , en la figura 2.7 se muestran los retrocesos.

Figura 2.7 Retrocesos en las esquinas.

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3. Discontinuidades en el sistema de piso.- La configuración de la estructura se considera irregular cuando el sistema de piso tiene discontinuidades apreciables o variaciones significativas en su rigidez, incluyendo las causadas por aberturas, entradas, retrocesos o huecos, con áreas mayores al 50% del área total de piso o con cambios en la rigidez efectiva del piso de más del 50% entre niveles consecutivos. Estas discontinuidades se penalizan con φ p = 0.9 . En la figura 2.8 se ilustran algunos casos en que el área de las aberturas es mayor del 50%.

Figura 2.8 Discontinuidades en el sistema de piso. 4. Desplazamiento del plano de acción de elementos verticales.- Una estructura se considera irregular cuando existen discontinuidad en los elementos verticales, tales como desplazamientos del plano de acción de elementos verticales del sistema resistente. Los desplazamientos del plano de acción se penalizan con φ p = 0.8 . En La figura 2.9 a la izquierda se observa que existe continuidad en la columna central, lo cual está correcto; en cambio, en la figura de la derecha se aprecia que no existe continuidad en la columna central ya que llega solo al primer piso, lo que es incorrecto y se penaliza con φ p = 0.8 .

Figura 2.9 Desplazamientos del plano de acción de los elementos verticales.

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5. Ejes estructurales no paralelos.- La estructura se considera irregular cuando los ejes estructurales no son paralelos o simétricos con respecto a los ejes ortogonales principales de la estructura. La penalización de estas estructuras es φ p = 0.9 . En la figura 2.10 a la izquierda se ve una estructura con los ejes de columnas ortogonales lo que no sucede con la configuración en planta de la estructura de la izquierda.

Figura 2.10 Desplazamientos del plano de acción de elementos verticales. En todas las plantas de la estructura, se deberá verificar la existencia de irregularidades en planta. Finalmente la irregularidad en planta, se calculará con la siguiente ecuación:

φ p = φ pa φ pb

( 2.7 )

Donde φ pa es el mínimo valor de φ pi de cada piso i de la estructura para cuando se encuentren las irregularidades en planta tipo 1, 2 y/o 3. φ pb es el mínimo valor de φ pi de las estructuras para cuando se encuentren las irregularidades tipo 4 y/o 5.

2.6 IRREGULARIDADES EN ELEVACIÓN Los cinco tipos de irregularidades en elevación que considera el CEC-2000, son:

1. Piso flexible (irregularidades en rigidez).- La estructura se considera irregular cuando la rigidez lateral de un piso es menor que el 70% de la rigidez lateral del piso superior o menor que el 80% del promedio de la rigidez lateral de los tres pisos superiores. En este caso φ e = 0.9 . En la figura 2.11 se explica lo expuesto en un edificio de 6 pisos.

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Figura 2.11 Piso flexible (irregularidad de rigidez). 2. Irregularidad de la distribución de las masas.- La estructura se considera irregular cuando la masa de cualquier piso es mayor a 1.5 veces la masa de uno de los pisos adyacentes, exceptuando el caso de cubiertas que sean más livianas que el piso inferior. La irregularidad en la distribución de las masas se penaliza con φ e = 0.9 . En la figura 2.12 se ha colocado como ejemplo si la masa del piso D es mayor a 1.5 veces la masa del piso E o 1.5 veces la masa del piso C, se considera φ e = 0.9 .

Figura 2.12 Irregularidad en la distribución de las masas. 3. Irregularidad Geométrica.- La estructura se considera irregular cuando la dimensión en planta del sistema resistente en cualquier piso es mayor que 1.3 veces la misma dimensión en un piso adyacente, exceptuando el cado de los altillos de un solo piso. Cuando la estructura tiene esta irregularidad geométrica φ e = 0.9 . En la estructura de la figura 2.13 se aprecia que los dos últimos pisos tienen una dimensión menor a la de los pisos inferiores, menor en más de un 30%. Por lo tanto para esta estructura φ e = 0.9 .

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Figura 2.13 Irregularidad geométrica.

4. Desalineamientos de ejes verticales.- La estructura se considera irregular cuando existen desplazamientos en el alineamiento de elementos verticales del sistema resistente, dentro del mismo plano en el que se encuentran y estos desplazamientos son mayores que la dimensión horizontal del elemento. Se exceptúa la aplicabilidad de este requisito cuando los elementos desplazados solo sostienen la cubierta de la estructura sin otras cargas adicionales de tanques o equipos. El desalineamiento de ejes verticales se penaliza con φ e = 0.8 . En la figura 2.14 se ilustra el problema.

Figura 2.14 Desalineamiento de ejes verticales.

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5. Piso débil – Discontinuidad en la resistencia.- La estructura se considera irregular cuando la resistencia del piso es menor del 70% de la del piso inmediatamente superior, entendiéndose la resistencia del piso como la suma de las resistencias de todos los elementos que comparten el cortante del piso para la dirección considerada. Para esta irregularidad se tiene φ e = 0.9 . En la figura 2.15 se observa que la resistencia del piso B es menor a 0.7 veces la resistencia del piso C. Al igual que la irregularidad en planta, se debe analizar las irregularidades en elevación en todos los pisos de la estructura φ ei . La irregularidad en elevación de una estructura se calcula con la siguiente ecuación: φ e = φ ea φ eb φ ec ( 2.8 ) Donde: φ ea es el mínimo valor de φ ei para cuando existan irregularidades tipo 1 y/o 5.

φ eb es el mínimo valor de φ ei para cuando existan irregularidades tipo 2 y/o 3. φ ec es el mínimo valor de φ ei para cuando exista la irregularidad tipo 4.

Figura 2.15 Piso débil – discontinuidad en la resistencia.

2.7 FACTOR R EN VARIOS PAÍSES LATINOAMERICANOS Una de las debilidades de la mayor parte de normativas sísmicas es que no indican como se debe evaluar el factor de reducción de las fuerzas sísmicas R , en parte se debe a que este es un tema que está actualmente en investigación, a pesar de que se ha venido trabajando desde hace unos 30 años, pero esto es una razón más para ser cautelosos en la selección del valor

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de reducción de las fuerzas sísmicas. Algunas normativas presentan este valor para diferentes tipologías estructurales y responden más al criterio de expertos basados en un comportamiento cualitativo de las estructuras, pero no indican como se debe evaluar este factor. Dos debilidades presentan la mayor parte de normativas en cuanto al factor R y son las siguientes: •

El factor R depende del período de vibración de la estructura pero muy pocas normas consideran esta variable y dan un solo valor de R al margen del período.

•

Por otra parte, el factor R depende del tipo de suelo. Chopra (2005), Ordaz y Pérez (1999), entre otros. De tal forma que se debería especificar el factor R y el tipo de suelo.

2.7.1 Factor R del Código Ecuatoriano de la Construcción CEC-2000 Los valores estipulados por el CEC-2000 para el factor de reducción de las fuerzas sísmicas R son demasiado altos por lo que se recomienda tomar las precauciones del caso. En la tabla 2.4 se indican estos valores y están asociados a una gran capacidad de ductilidad de las estructuras. Tabla 2.4 Valores del coeficiente de reducción de respuesta estructural propuestos por el CEC-2000 Sistema Estructural R Estructuras con pórticos espaciales sismo resistentes de 10 hormigón armado o de estructuras de acero laminado en caliente. Sistemas de pórticos espaciales sismorresistentes de hormigón o de acero laminado en caliente, con muros estructurales de hormigón armado (sistemas duales). Estructuras con pórticos espaciales sismo resistentes y 8 diagonales rigidizadoras. Estructuras con vigas perdidas en las losas (losa plana) y con muros estructurales. Estructuras con vigas perdidas en las losas (losas planas) y sin 7 muros estructurales. Estructuras con pórticos espaciales sismo-resistentes en conjunto con mampostería confinada. Estructuras de acero laminado en frío. Estructuras de madera Estructuras de mampostería reforzada 4.5 Estructuras de tierra 1.5

El uso de los factores R del CEC-2000 está condicionado a que se trabaje con las combinaciones de carga del A.C.I. de 1999, en las que se mayora la acción sísmica. Estas son:

U = 1 .4 D + 1 .7 L

U = (1.4 D + 1.7 L ± 1.87 S ) 0.75 U = 0.9 D ± 1.43 S

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Donde U son las combinaciones de carga mayoradas; D la carga muerta, también conocida como carga permanente; L es la carga viva y S es la carga sísmica. Consecuentemente la acción sísmica se está mayorando por un factor que está alrededor de 1.4. Con esta consideración, por ejemplo para una estructura con vigas y columnas el factor de R es aproximadamente igual a 10/1.4 = 7.1 No se puede trabajar con los factores R del CEC-2000 y con las combinaciones de carga del A.C.I. 2002, que son las siguientes:

U = 1.2 D + 1.6 L U = 1.2 D + 1.0 L ± 1.0 S U = 0 .9 D ± 1 .0 S Si se trabaja con los valores R del CEC-2000 y las combinaciones de carga del A.C.I. 2002 se está subvalorando la acción sísmica en un 30%, aproximadamente. Se está diseñando para fuerzas sísmicas muy bajas. Por otra parte usar los valores R estipulados por el CEC-2000 significa que la estructura va a tener una capacidad de ductilidad global µ , mayor o igual a 4. Esto implica que la ductilidad por curvatura de las vigas µ φ sean mayores o iguales a 15. Si la ductilidad por curvatura es menor a la cantidad indicada el valor R es menor. De tal manera que utilizar los valores R del CEC2000 tiene implícito realizar un nivel de diseño muy riguroso, cumplir con todas las especificaciones del A.C.I.

2.7.2 Factor R de la Norma de Colombia NSR-98 Para estructuras con pórticos espaciales sismo resistentes de hormigón armado la Normativa de Colombia NSR-98 establece un valor máximo de R = 7.0 para estructuras muy bien diseñadas ( µ ≥ 4 ) en las que se espera la máxima disipación de energía cuando incursionen en el rango no lineal. Por otra parte, en el apartado B.2.4.2, establecen las siguientes combinaciones de carga.

U = 1 .4 D + 1 .7 L U = 1.05 D + 1.28 L ± 1.0 S U = 0 .9 D ± 1 .0 S Consecuentemente, el espectro de la Norma Colombiana está a nivel de cargas últimas. Son comparables los dos valores R del CEC-2000 siempre y cuando se mayores la acción sísmica con los valores R de la norma NSR-98. En estructuras conformadas por vigas y columnas, sin muros de corte. En otras palabras el factor R de la norma NSR-98 es el mismo que el del CEC-2000 pero hay una gran diferencia entre estas dos normativas y radica en el hecho de que la norma NSR-98 estipula una deriva máxima de piso del 1% y el CEC-2000 una del 2%. Ambas son calculadas inelásticamente. Como se verá posteriormente el factor R depende de la deriva máxima de piso esperada.

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2.7.3 Factor R de la Norma Venezolana COVENIN 1756-98 Para estas mismas estructuras, pórticos conformados por vigas y columnas sin muros de corte, la Norma Venezolana COVENIN 1756-98 (2001) establece un valor máximo de R = 6 para el nivel de diseño sísmico más exigente. De tal manera que el valor de R en estructuras con un diseño sísmico muy exigente está entre 6 y 7. En este caso no se mayora la acción sísmica. En efecto las combinaciones de carga son:

U = 1.1 D + 1.0 L ± 1.0 S U = 0.9 D ± 1.0 S

2.7.4 Factor R de la Norma de Chile Ch 433-96 La Norma de Chile Ch 433-96 estipula un valor de R0 igual a 11 para estructuras con vigas y columnas, pero el factor de reducción de las fuerzas sísmicas se halla con la siguiente ecuación.

R =1+

T∗ 0.1 T0 +

T* R0

Donde T ∗ es el período con mayor masa traslacional en la dirección de análisis; T0 período que depende del tipo de suelo; R0 es factor de modificación de la respuesta estructural, depende del sistema estructural y del material empleado y R es el factor de reducción de las fuerzas sísmicas. Las combinaciones de carga de la norma Ch 433-96, son:

U = 1.4 (D + L ± E ) U = 0.9 D ± 1.4 E Por otra parte, la deriva de piso máxima permitida es 0.1%. Es deriva elástica, sin embargo es un valor bastante bajo. De tal manera que mientras más bajo es la deriva de piso máxima permitida mayor es el factor R

2.7.5

Factor R de la Norma de Perú E.030

Para las estructuras con vigas y columnas, la Norma de Perú indica que el valor de R = 8 pero se debe mayorar la acción sísmica en las combinaciones de carga, como se indica a continuación:

U = 1.25 (D + L ± E ) U = 0.9 D ± 1.25 E

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Por lo tanto, la norma de Perú tiene un espectro a nivel de cargas de servicio. Si se divide el factor R para 1.25, para no mayorar la acción sísmica en las combinaciones de carga, se halla que R = 6.4 . Por otro lado la deriva de piso máxima inelástica permitida es 0.7% que es bastante baja, ya que es inelástica.

2.7.6

Comparación de los factores R

Como se habrá observado hay una serie de factores que influyen en el factor R . Una nueva variable es la forma como se hallan los desplazamientos inelásticos ∆ i a partir de los desplazamientos elásticos ∆ e . De tal manera que existen algunas variables que están relacionadas con el factor R y en algunas normativas hay cierta inconsistencia entre estas variables. En la tabla 2.5, se comparan los factores R , para estructuras conformadas por vigas y columnas sin muros de corte, de los países que se han presentado, se indica este factor; el tipo de espectro formulado, si es Último no se mayora la acción sísmica en las combinaciones de carga; la deriva máxima permitida; que tipo de deriva es la permitida y para el caso de que son derivas inelásticas se indica la forma como se hallan los desplazamientos inelásticos.

Venezuela

Tabla 2.5 Comparación de variables que intervienen en el factor R Tipo de Deriva de Tipo de Norma Factor R Espectro Piso Deriva COVENIN 6 Último 0.018 Inelástica

Colombia

NSR-98

7

Último

0.01

Inelástica

∆i = R ∆e

Ecuador

CEC-2000

10

Servicio

0.02

Inelástica

Perú

E.030

8

Servicio

0.007

Inelástica

∆i = R ∆e ∆ i = 0.75 R ∆ e

Chile

NCh 433-96

11 ( R0 )

Servicio

0.001

Elástica

País

2.7.7

156-98

Desplazamiento

Inelástico

∆ i = 0.8 R ∆ e

Necesidad de investigación local

En cada País, la arquitectura de los edificios y los materiales empleados en ellos, es diferente, razón por la cual es necesario estudiar el factor de reducción de las fuerzas sísmicas R , en cada sitio. En la figura 2.16 se presentan 4 fotografías del centro norte de Quito, tomadas desde el piso 20 del Hotel Colón. La superior izquierda tiene vista hacia la Iglesia de Santa Teresita; la superior derecha hacia las calles Juan León Mera y 6 de Diciembre pero con dirección al norte; la inferior izquierda con vista a la González Suárez y la inferior derecha con vista hacia el sector de la Carolina, fotografías encontradas en (www.skyscrapercity.com)

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Figura 2.16 Fotografías del Centro Norte de Quito. (www.skyscrapercity.com) En el Ecuador en edificios de 1 a 6 pisos se acostumbra utilizar vigas no muy peraltadas, vigas que sobresalen ligeramente de la losa, con columnas de sección transversal pequeña y se emplean estribos de 8 mm., de diámetro eso si espaciadas a 10 cm., en los extremos y 20 cm., en el centro de luz, además en las columnas es frecuente el uso de estribo doble o estribo más una vincha. Es este tipo de estructuras en que se ha determinado el factor R y en el siguiente apartado se presentan los resultados encontrados. Aguiar (2007). Se analizaron 216 edificios cuadrados, con tres ejes de columnas en cada dirección y 216 edificios cuadrados, con cuatro ejes de columnas. Los edificios son de 1 a 6 pisos con un hormigón de 210 Kg./cm2 y con un acero de 4200 Kg./cm2; estos son los materiales que normalmente se utilizan en las construcciones de hormigón armado.

2.8 CUANTIFICACIÓN DEL FACTOR R A mediados de 1980, se realizaron estudios experimentales, en la Universidad de Berkeley, California, tendientes a encontrar el factor de reducción de las fuerzas sísmicas R y es así como Uang y Bertero (1986) y Whittaker et al (1987) proponen la siguiente relación.

R = R µ RΩ Rξ

( 2.9 )

Donde Rµ es el factor de ductilidad, R Ω es el factor de sobre resistencia y Rξ es el factor de amortiguamiento. En los estudios experimentales que realizaron en estructuras de acero encontraron que el factor R varía entre 4.5 y 6.0 Posteriormente, Freeman (1990), Uang (1991) han hecho modificaciones a la ecuación

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(2.9 ) hasta llegar a la propuesta del ATC (1995) en que se cambia el factor de amortiguamiento Rξ por el factor de redundancia R R que toma en cuenta los ejes de columnas, a mayor número de ejes de columnas se tendrá un mayor valor de R R , de tal manera que la ecuación ( 2.9 ) queda:

R = R µ RΩ R R

( 2.10 )

Se puede pensar en calcular el factor R en función de los siguientes cuatro factores:

R = R µ Rξ RΩ R R

( 2.11 )

Hay trabajos como el de Riddell y Newmark (1979) que incorporan el amortiguamiento en el factor de reducción por ductilidad, de tal manera que Rµ Rξ están incorporados en un solo factor que puede denominarse Rµ ,ξ . Este trabajo de Riddell y Newmark (1979) ha sido incorporado en el Código Sísmico de Costa Rica de 2002.

2.9 FACTOR DE REDUCCIÓN POR DUCTILIDAD Rµ Nuevamente se recomienda la lectura del capítulo 3 del libro Dinámica de Estructuras con MATLAB de Aguiar (2007) donde se demuestra entre otras cosas la regla de igual desplazamiento y la regla de igual energía que son fundamentales para entender las propuestas que se han realizado sobre el factor de reducción por ductilidad Rµ . En dicho capítulo se presenta también las propuestas realizadas a nivel mundial por Newmark y Veletsos (1960), Newmark y Hall (1973), Riddell y Newmark (1979), Newmark y Hall (1982) que todavía tienen vigencia. En el artículo, “Factor de reducción de las fuerzas sísmicas por ductilidad” Aguiar (2007) se presentan 14 trabajos realizados a nivel mundial sobre este factor, siendo el último de ellos el efectuado por Lobo et al (2002) y también se presentan cuatro trabajos realizados en el Ecuador y son los realizados por Aguiar y Guerrero (2005); Aguiar y González (2006) y dos trabajos realizados por Aguiar, Romo y Aragón (2007,1,2). Se define como Rµ a la relación entre la máxima fuerza elástica Fe con respecto a la máxima fuerza inelástica F y .

Rµ =

Fe Fy

( 2.12 )

Pero por otra, también se tiene que el desplazamiento máximo inelástico en un sistema de un grado de libertad ∆ i es igual a:

∆i =

µ Rµ

∆e

( 2.13 )

Donde: µ es la demanda de ductilidad, ∆ e es el desplazamiento máximo elástico en un

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sistema de 1 gdl. Rµ es el factor de reducción por ductilidad. De ecuación (2.13 ) se halla:

Rµ =

µ Cµ

Cµ =

∆i ∆e

De tal manera que hay dos formas de hallar Rµ , en base a fuerzas, con la ecuación (2.12) o en base a desplazamientos con la ecuación (2.13). 2.9.1

Aguiar y Guerrero (2006)

En base al análisis de 63 acelerogramas con aceleraciones de suelo mayor al 10% de la aceleración de la gravedad, de sismos registrados en Colombia, Perú, Chile y Argentina, Aguiar y Guerrero (2006) encontraron una relación para el factor Rµ que es función de la relación entre la rigidez post fluencia con respecto a la rigidez elástica, que se denomina α . Si α = 0 se tiene el modelo elasto perfectamente plástico. Las ecuaciones obtenidas en el estudio son las siguientes:

R µ = [c (µ − 1) + 1]

1/ c

0.381 T 2.07 + 2.07 T 1+ T 1.247 0.248 T + c= 1.247 T 1+ T c=

•

para α = 0.0

( 2.14 )

para α = 0.05

EJEMPLO 2 Determinar las curvas del factor de reducción por ductilidad Rµ para un valor α = 0 ,

empleando la propuesta de Aguiar y Guerrero (2006). Para demandas de ductilidad de 1.5, 2.0, 3.0 y 4.0. Comentar los resultados.

•

SOLUCIÓN En la figura 2.17 se presentan los factores de Rµ encontrados para un modelo elasto

perfectamente plástico, α = 0 . Del análisis de esta figura se realizan los siguientes comentarios: •

Para períodos entre 0.5 y 1.5 los valores que se obtienen son superiores a la ductilidad.

•

Para períodos mayores a 1.5 prácticamente se cumple la regla de igual desplazamientos, aunque se aprecia que ligeramente son menores a la ductilidad para períodos altos.

•

El modelo propuesto por Aguiar y Guerrero (2006) no depende del tipo de suelo.

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Figura 2.17 Factores Rµ empleando propuesta de Aguiar y Guerrero (2006).

2.9.2 Aguiar y González (2006)

Lamentablemente no se dispone, en el Ecuador, de acelerogramas de eventos sísmicos fuertes, clasificados de acuerdo al tipo de suelo. Razón por la cual, se procedió a obtener registros artificiales con las siguientes características: i) La duración de los eventos sísmicos varía entre 20 y 50 s., ii) la fase intensa del sismo es de 10 s., iii) Los acelerogramas que se obtuvieron generan en forma aproximada los espectros elásticos del CEC-2000 para los cuatro perfiles de suelo y iv) Los acelerogramas encontrados generan espectros asociados a un valor A0 = 0.4 g. Para cada perfil de suelo se obtuvo siete acelerogramas sintéticos con los cuales se halló la siguiente ecuación:

Rµ =

µ ⎡⎛ a ⎞⎛ T ⎞ 1 + ⎢⎜⎜ b + c ⎟⎟ ⎜ ∗ ⎟ ⎠ ⎝T ⎠ ⎢⎣⎝ µ

d

⎤ ⎥ ⎥⎦

−1

( 2.15 )

Las constantes a, b, c, d fueron obtenidas en el estudio y se indican en la tabla 2.5. El valor de T ∗ es el indicado en la tabla 2.6. Tabla 2.6 Valores de a, b, c, d encontrados en el estudio. Aguiar y González (2006)

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ROBERTO AGUIAR FALCONI CEINCI-ESPE Perfil de Suelo S1 S2 S3 S4

•

a

b

c

d

30.00 71.80 81.04 86.00

1.34 2.00 2.00 2.10

-1.49 -1.50 -2.55 -2.60

0.60 0.50 0.50 0.48

49

EJEMPLO 3 Determinar las curvas del factor de reducción por ductilidad Rµ para un perfil de suelo S1,

empleando la propuesta de Aguiar y González (2006). Para demandas de ductilidad de 1.5, 2.0, 3.0 y 4.0. Comente los resultados. •

SOLUCIÓN

En la figura 2.18 se presentan los factores de reducción por ductilidad empleando la recomendación de Aguiar y González para un perfil de suelo S1. Los comentarios que se realizan a esta figura y en general a esta propuesta son los siguientes: •

Para períodos altos el valor Rµ es menor que la ductilidad µ . En consecuencia no se cumple la regla de iguales desplazamientos. El tener valores bajos de Rµ implica tener fuerzas sísmicas más altas.

•

Se nota que Rµ cambia con el período aunque sea en forma muy pequeña para valores de períodos altos pero existe ese cambio.

2.9.3 Aguiar, Romo y Aragón (2007)

En base a 112 sismos artificiales compatibles con los espectros del CEC-2000 para los cuatro perfiles de suelo y con 80 registros de sismos muy pequeños, se obtuvo Rµ siguiendo los lineamientos propuestos por Chopra (2005). Los resultados obtenidos, son:

⎧ ⎡ ⎛ a ⎪ C µ = ⎨1 + ⎢λ ⎜⎜ b ⎪⎩ ⎢⎣ ⎝ µ Rµ =

c −1 ⎞ ⎛ T ⎞ ⎤ ⎫⎪ ⎟ ∗ ⎜ψ ∗ ⎟ ⎥ ⎬ ⎟ ⎝ T ⎠ ⎥⎦ ⎪ ⎠ ⎭

µ Cµ

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0.30103

( 2.16 )

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Figura 2.18 Factores Rµ para un perfil S1, empleando propuesta de Aguiar y González (2006).

Tabla 2.7 Valores obtenidos en el estudio para diferentes tipos de suelo y ductilidades. Ductilidad 2 ψ a c Perfil de Suelo λ b 0.35 -3.50 1.40 0.17 0.87 S1 0.60 -2.90 1.31 0.17 0.82 S2 3.40 -1.00 1.50 0.21 1.00 S3 2.10 -1.40 1.00 0.12 1.70 S4 Ductilidad 3 1.00 -2.70 1.40 0.04 0.15 S1 1.00 -1.20 1.40 0.05 0.49 S2 3.00 -1.00 1.80 0.07 0.73 S3 15.00 -0.08 1.40 0.07 0.30 S4 Ductilidad 4 1.30 -1.50 1.76 0.03 0.25 S1 7.80 1.00 1.40 0.02 0.50 S2 1.30 -0.20 1.41 0.01 0.93 S3 0.23 -0.60 1.80 0.04 2.91 S4 En la tabla 2.7 se indican el valor de las variables a, b, c, λ , ψ encontrados en el estudio para ductilidades de 2, 3 y 4 y para los cuatro perfiles de suelo del CEC-2000. Una forma más compacta del ajuste de los datos, es la ecuación ( 2.17 ) . En este caso se

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tiene una sola variable que es a . Los valores de esta variable se indican en la tabla 2.8.

⎡ a T (1 − 0.165 µ ) ⎤ Rµ = 1 + (µ − 1) ⎢ ⎥ ⎣ a T (1 − 0.165 µ ) + 4900 ⎦

Variable

a

Tabla 2.8 Valores de la variable a Suelo S1 Suelo S2 Suelo S3 100500 91000 73600

( 2.17 )

Suelo S4 38900

Por lo tanto, se tienen dos fórmulas que se pueden usar, la ( 2.16 ) y la ( 2.17 ) . La ventaja de usar ésta última ecuación radica en que se obtiene directamente valores de Rµ para ductilidades con decimales, ejemplo µ = 2.3 . Si se utiliza la ecuación ( 2.16 ) para encontrar Rµ para µ = 2.3 se debe calcular primero el valor de Rµ para µ = 2 , luego calcular Rµ para µ = 3 , finalmente hay que interpolar para hallar Rµ para µ = 2.3 . En cambio con la ecuación ( 2.17 ) el cálculo es directo.

En la figura 2.19 se comparan los valores de Rµ que se hallan con las ecuaciones ( 2.14 ) para α = 0 , ( 2.15 ), ( 2.16 ) y ( 2.17 ). Están identificadas en la figura 2.19 como ecuaciones que van de la ( 1 ) a la ( 4 ). Para los cuatro perfiles de suelo que contempla el CEC-2000.

Como la ecuación ( 2.14 ) no depende del tipo de suelo, su valor no difiere en los cuatro gráficos. La ecuación ( 2.15 ) proporciona valores bajos de Rµ . Por lo tanto, es una fórmula bastante conservadora. Las curvas que se hallan con las ecuaciones ( 2.16 ) y ( 2.17 ) prácticamente son las mismas, por lo que se recomienda trabajar con la ( 2.17 ).

Los valores que se hallan con ( 2.16 ) y ( 2.17 ) están entre las que reportan ( 2.14 ) y (2.15). Dos aspectos positivos de las ecuaciones ( 2.16 ) y ( 2.17 ) son que para un período igual a cero inician en la unidad y para el rango de períodos largos el valor de R µ ≈ µ , es decir se cumple con la regla de igual desplazamiento y esto se observó en la mayoría de resultados que el desplazamiento máximo inelástico es aproximadamente igual al desplazamiento máximo elástico que es el fundamento de la regla de igual desplazamiento.

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Figura 2.19 Factores Rµ encontrados para el Ecuador, para ductilidad 4.

2.10 FACTOR DE SOBRE RESISTENCIA RΩ Se define el factor de sobre resistencia R Ω como la relación entre el cortante basal último que es capaz de soportar la estructura VU con relación al cortante basal de diseño V D .

RΩ =

VU VD

( 2.18 )

En estructuras bien diseñadas este factor debe ser mayor que la unidad ya que normalmente en el diseño se coloca una mayor cantidad de armadura, existen factores de seguridad en los modelos constitutivos de los materiales y para facilitar la construcción se uniformizan las secciones con lo que se coloca una mayor sección. No siempre colocar más armadura en los elementos estructurales es beneficioso para la estructura y por ende implica un mayor R Ω . Por ejemplo, si se coloca una mayor cantidad de armadura longitudinal en vigas, ocasiona que estas secciones tienen una mayor capacidad a flexión y esto induce a un mayor cortante y si no se tiene una adecuada cantidad de refuerzo

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transversal se va a producir la falla por corte y por ende tendrá menos R Ω . En el análisis sísmico los elementos no estructurales, normalmente no se consideran pero la presencia de los mismos incrementa su capacidad y por ende R Ω . Pero nuevamente no se puede generalizar, ya que por ejemplo, en algunas ocasiones la mampostería genera elementos cortos en las columnas las mismas que son muy vulnerables con lo que R Ω , disminuye. Existen varias formas de encontrar R Ω , una de ellas mediante un análisis dinámico no lineal y otra mediante un análisis no lineal estático. En este capítulo se determina R Ω a partir de la curva de capacidad sísmica resistente, que relaciona el cortante basal V con el desplazamiento lateral máximo en el tope de un edificio Dt , la misma que se halla aplicando la técnica del pushover. Aguiar (2002, 2003).

2.10.1 Aguiar, Guadalupe y Mora (2007)

Aguiar, Guadalupe y Mora (2007) en base al análisis de 432 edificios de hormigón armado de 1 a 6 pisos, conformados por vigas y columnas, sin muros de corte, determinan R Ω en base a la deriva máxima de piso γ , de acuerdo a la siguiente metodología. i.

Se halla la curva de capacidad sísmica resistente V − Dt como se indica a la izquierda de la figura 2.19.

ii.

A partir de la curva V − Dt se halla la curva cortante basal V con deriva global de la estructura γ g . Para el efecto el desplazamiento lateral Dt se divide para la altura total del edificio H . Esta curva V − γ g se indica a la derecha de la figura 2.19.

γg =

Dt H

Figura 2.19 Relaciones V − Dt y V − γ g .

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( 2.19 )

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iii.

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Se halla la relación cortante basal V con deriva máxima de piso γ . Para el efecto se debe encontrar una relación entre la deriva de piso γ y la deriva global γ g . Se define el parámetro β 2 a la relación entre γ / γ g . Este parámetro fue obtenido para estructuras conformadas por vigas y columnas de hormigón armado, del análisis no lineal de 120 edificios de 1 a 10 pisos, ante la acción de 32 acelerogramas. Aguiar et al (2006). Llegando a obtener:

β 2 = −0.0231 N 2 + 0.3018 N + 0.6759

( 2.20 )

γ = β2 γ g

( 2.21 )

Siendo N el número de pisos. El valor de β 2 siempre será mayor a la unidad. De tal manera que a partir de la curva V − γ g se obtiene la curva V − γ , la misma que se indica a la izquierda de la figura 2.20. iv.

Para una determinada deriva máxima de piso γ , se halla un cortante basal V . Si se divide el cortante basal VU , que es el cortante máximo de la curva de capacidad sísmica resistente para V se halla R Ω . De tal forma que de la curva V − γ se halla R Ω − γ .

Figura 2.20 Relaciones V − γ y RΩ − γ . A mayor deriva de piso γ que se espera en una estructura menor será R Ω . En la figura 2.21 se presentan los valores medios encontrados en los edificios de 1 a 6 pisos de 2 y 3 vanos. De esta gráfica se desprende que no se puede indicar que a mayor número de vanos mayor será el valor de R Ω o al revés.

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Figura 2.21 Valores promedios de R Ω para diferentes valores de γ

2.10.2 Aguiar y Guaiña (2008)

En la figura 2.22 se presentan los valores del factor de sobre resistencia R Ω encontrados en el estudio en función del período de vibración T de las estructuras, también se ha encontrado la curva que mejor se ajusta a los resultados obtenidos y estas son las indicadas en la tabla 2.9, la validez de estas ecuaciones es para estructuras con períodos mayores a 0.35 s., y menores a 1.05 s. Aguiar y Guaiña (2008).

γ 0.5 % 1.0 %

Tabla 2.9 Ecuaciones de ajuste de la sobre resistencia Ecuación

RΩ = 1.69 +

0.82 T

1.5

−

0.50

Error 10 %

T2

RΩ = 1.43 + 0.0229 T 2 + 0.029 log

T T

10.4 %

2

1.5 %

RΩ = −2.83 T + 6.27 T − 4.27 T + 2.07

8.0 %

2.0 %

RΩ = −2.34 T 3 + 4.93 T 2 − 3.14 T + 1.70

8.0 %

3

2

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Figura 2.22 Variación de la sobre resistencia en función del período de vibración.

2.11 FACTOR DE REDUNDANCIA R R El factor de redundancia R R mide la capacidad de incursionar la estructura en el rango no lineal. La capacidad de una estructura en redistribuir las cargas de los elementos con mayor solicitación a los elementos con menor solicitación. Se evalúa como la relación entre el cortante basal máximo VU con respecto al cortante basal cuando se forma la primera articulación plástica V1 .

RR =

VU V1

( 2.22 )

Con esta definición el factor de redundancia será siempre mayor que la unidad, ya que una estructura que no tenga redundancia y en la cual se forme la primera rótula plástica, y colapse se tendrá que VU = V1 . Si en una estructura se pueden formar una gran cantidad de rótulas plásticas antes de que colapse tendrá un factor de redundancia alto, para esto en forma intuitiva se ve que es función del número de ejes de columnas, ya que mientras mayor sea el número de ejes de columnas se tendrá un mayor número de secciones que pueden rotularse. En lugar de hablar de rótulas plásticas, parece que es más apropiado hablar de secciones

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que ingresan al rango no lineal; cuyo momento es mayor que el momento de fluencia. La definición de rótula plástica indica que la sección es incapaz de absorber más momento por lo que empieza únicamente a rotar, esto responde a un modelo elasto plasto.

2.11.1 Recomendación del ATC-19 (1995)

El ATC-19 (1995) recomienda los valores de R R indicados en la tabla 2.10 los mismos que están en función del número de ejes de columnas. Para estructuras que tengan 5 o más ejes de columnas el factor de R R es mayor a la unidad pero no indica que tan mayor.

Tabla 2.10 Valores de R R propuestos por el ATC-19 (1995). Número de ejes de columnas

RR

2 3 4

0.71 0.86 1.00

El valor de R R se evaluará en cada dirección ya que habrá estructuras que tengan por ejemplo 4 ejes de columnas en una dirección y 3 ejes de columnas en la dirección perpendicular. Si una estructura tiene 3 ejes de columnas en cada dirección, en total 9 columnas, el valor de R R a utilizar, de acuerdo a la tabla 2.10, es 0.86 con lo que se disminuye el factor de reducción de las fuerzas sísmicas R . 2.11.2 Metodología de Tsopelas y Husain (2004)

Tsopelas y Husain (2004) proponen el cálculo del factor de redundancia R R en base a dos índices, el uno de naturaleza determinística rS conocido como índice de resistencia y el otro de carácter probabilística rV que es el índice de variación de redundancia. El índice de resistencia se evalúa con la ecuación ( 2.22 ). Para el cálculo del índice de variación de redundancia rV , en dos dimensiones Husain y Tsopelas (2004) deducen la siguiente ecuación:

rV =

1 + ( n − 1) ρ n

( 2.23 )

Donde n es el número de rótulas plásticas para el mecanismo de colapso considerado;

ρ es el coeficiente de correlación promedio de las deformaciones.

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ρ=

n 1 ρ ij n (n − 1) i , j =1

∑

( 2.24 )

i≠ j

Donde ρ ij es el coeficiente de correlación entre los momentos M i , M j . Siendo M i el momento de fluencia del elemento estructural donde se formó la rótula plástica i . El valor de rV varía desde 0 que corresponde a un sistema que tiene mucha redundancia estructural hasta 1 que es un sistema que no tiene redundancia. En efecto si n = 1 , la ecuación (2.23) vale la unidad, luego no tiene redundancia. En la figura 2.23 se indican valores de rV para valores del coeficiente de correlación

promedio de 0; 0.20; 0.40 Se aprecia que a medida que ρ aumenta el valor de rV aumenta es

decir el sistema es menos redundante. Valores altos de ρ implican que hay una gran correlación entre los momentos M i , M

j

y valores bajos de ρ significa que hay poca correlación entre los

momentos y se incrementa su redundancia debido a su efecto probabilístico.

Figura 2.23 Valores de rV en función del número de rótulas plásticas.

En base a estos dos índices, Tsopelas y Husain (2004) determinan el factor de redundancia R R con la siguiente ecuación:

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⎛ 1 − k ν e rV R R = rS ⎜⎜ ⎝ 1− kνe

⎞ ⎟⎟ ⎠

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( 2.25 )

Donde ν e es el coeficiente de variación de las fuerzas y varía entre 0.08 y 0.14; k es un factor de forma de la resistencia que varía entre 1.5 y 2.5. De tal manera que k ν e varía entre 0.12 y 0.35. Tsopelas y Husain (2004).

2.11.3 Aguiar, Guaiña y Bernal (2008)

Aguiar, Guaiña y Bernal (2008) determinan el factor de redundancia R R aplicando la ecuación (2.22) pero considerando que V1 = VY . Donde VY es el cortante basal de fluencia de la estructura. Para hallar VU y VY se aplica la técnica del pushover y se encuentra la curva de capacidad sísmica resistente que relaciona el cortante basal V con el desplazamiento lateral máximo Dt . Para encontrar el punto de fluencia se aplica el criterio de iguales áreas. Aguiar (2002). Por lo tanto, el factor de redundancia se encuentra con la siguiente ecuación.

RR =

VU VY

( 2.26 )

Donde VU es la capacidad máxima al cortante basal que tiene la estructura y VY es el cortante a nivel de fluencia. Por otra parte, se considera que una estructura tiene un muy buen comportamiento si se forma el mecanismo de fallo mostrado en la figura 2.24, en donde se han rotulado todas las vigas en sus extremos y los pies de las columnas.

Figura 2.24 Mecanismo de colapso, adoptado en el estudio.

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Si al aplicar la técnica el pushover en una estructura se forman menos rótulas plásticas para llegar al fallo, que las del mecanismo de colapso adoptado, el valor de R R obtenido con la ecuación (2.26) se disminuye en forma proporcional al número de rótulas con las que se llegó al fallo. Con la metodología descrita se halló el factor R R en las 432 estructuras que sirvieron también para hallar R Ω . Los resultados encontrados en función del período de vibración se indican en la figura 2.25. La ecuación que mejor se ajusta a estos resultados es la siguiente.

R R = −2.99 T 3 + 6.54 T 2 − 3.26 T + 1.30

( 2.27 )

Figura 2.25 Variación del factor de reducción por redundancia con el período.

2.12 PROPUESTA DEL FACTOR R Al reemplazar el factor de reducción por ductilidad R µ de la ecuación (2.17); el factor de sobre resistencia R Ω de la tabla 2.9 y el factor de redundancia R R de la ecuación (2.27) en la expresión ( 2.10 ) se halla el factor de reducción de las fuerzas sísmicas R para estructuras conformadas por vigas y columnas, sin muros de corte. Los resultados expresados en forma gráfica para una capacidad de ductilidad global de la estructura de 4 se indican en la figura 2.26. En esta figura con una línea horizontal se ha dibujado la recta R = 7 . En la figura 2.26, se aprecia que el factor R puede ser mayor a 7 si las derivas máximas permitidas son γ = 0.5 % o γ = 1.0 % pero dependen del período y del tipo de suelo. En efecto en

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un perfil de suelo S3 se tienen valores mayores de 7 sólo para derivas de piso igual a 0.5%.. Lo importante es notar que si puede ser mayor a 7 el factor R cuando se trabaja con un espectro de cargas últimas siempre y cuando la deriva máxima permitida sea menor o igual al 1%, en suelos S1 a S3.

Figura 2.26 Valores del factor de reducción de las fuerzas sísmicas para ductilidad igual a 4.

Para derivas de piso máximas de 1.5 % o 2 % el factor R es menor a 7, para el rango de períodos considerado. En base al estudio realizado se propone que para estructuras conformadas por vigas y columnas sin muros de corte, el factor de reducción de las fuerzas sísmicas R sea igual a 6 para los perfiles de suelo S1, S2 y S3. Para el perfil de suelo S4 el factor R debe ser igual a 5. Esta propuesta está condicionada a que la deriva máxima calculada en forma inelástica sea menor a 1.5%. En el libro: “Factor de reducción de las fuerzas sísmicas en edificios de hormigón armado”, Aguiar (2007) se presenta un estudio detallado de la investigación realizada en el Centro de Investigaciones Científicas de la ESPE, sobre el factor de reducción de las fuerzas sísmicas, trabajo desarrollado entre 2005 y 2007.

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CAPÍTULO 3

MATRIZ DE RIGIDEZ: LATERAL Y EN COORDENADAS DE PISO

RESUMEN Uno de los modelos más utilizados para el análisis sísmico espacial de edificios es el considerar tres grados de libertad por planta, que implica suponer que la losa es completamente rígida en su plano. Realmente se trata de un pseudo análisis espacial ya que se trabaja con pórticos planos unidos por una losa rígida pero es muy utilizado en el mundo. Para este modelo de análisis se determina la matriz de rigidez en coordenadas de piso, en el presente capítulo. Para hallar la matriz de rigidez en coordenadas de piso, se necesita conocer la matriz de rigidez lateral de cada uno de los pórticos, razón por la cual se presenta en forma práctica el cálculo de la matriz de rigidez lateral para los siguientes casos: sin considerar nudos rígidos, considerando nudos rígidos y sin nudos rígidos pero considerando el aporte de la mampostería. Para facilitar el cálculo se presentan los programas: RLAXINFI, que sirve para pórticos formados por vigas y columnas sin muros de corte; RLAXINFIMURO que halla la matriz de rigidez lateral en pórticos con muros de corte y RLAXINFIMAMPOSTERIA que encuentra la matriz de rigidez lateral en pórticos planos, sin muros de corte pero con el aporte de la mampostería, la misma que es modelada de acuerdo a la normativa de Perú. Se presentan nueve modelos para obtener el ancho equivalente de la mampostería para la diagonal equivalente y de estos se seleccionó el de Paulay y Priestley (1992) que fue acogido por la Norma de Perú. Por considerarlo de interés se presentan las lecciones dejadas en el sismo del Perú de 2007 en el Bloque de Enfermería de la Universidad San Luis Gonzaga de la ciudad de Ica, donde se desacopló la mampostería mediante la construcción de subpórticos conformados por columnetas y viguetas los mismos que confinan a la mampostería. Pero la falta de anclaje del hierro longitudinal de las columnetas en la viga principal llevó a que falle las bases del subpórtico.

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3.1

INTRODUCCIÓN

Para ilustrar el modelo de análisis, en la figura izquierda de 3.1 se tiene una estructura de un piso sin deformarse. A la derecha de la figura 3.1 se presenta una deformada de la losa por efecto de la componente horizontal de un sismo, con líneas entrecortadas se ha representado la posición inicial de la losa y con líneas continuas la posición final. Nótese que las dimensiones de la losa deformada son las mismas de la losa sin deformación. Un punto cualquiera de la losa se ha desplazado horizontalmente en la dirección X, horizontalmente en la dirección Y, además ha rotado con respecto a un eje perpendicular al plano de la losa. De tal manera que se tienen tres grados de libertad. En teoría estos grados de libertad pueden ubicarse en cualquier punto de la losa pero para facilitar el cálculo de la matriz de masas se acostumbra ubicarlo en el Centro de Masa, C.M. En la figura 3.2 se presenta una estructura de un piso que tiene cuatro pórticos, dos en sentido X, y dos en sentido Y. Se indican los grados de libertad, ubicados en el C.M., los mismos que se han identificado con la letra q y el vector que contiene a todos estos grados de libertad se denomina vector de coordenadas generalizadas q .

Figura 3.1 Hipótesis planteada para los movimientos horizontales del suelo.

Figura 3.2 Sistema de coordenadas de piso Q-q

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Todos los puntos de la losa tendrán el mismo desplazamiento horizontal q1 ; lo propio con el desplazamiento q 2 y con la rotación de piso q 3 .

3.2

RELACIÓN ENTRE COORDENADAS DE PISO Y DE PÓRTICO

Para ilustrar la relación que existe entre las coordenadas de piso y las coordenadas de pórtico, se observa la estructura de un piso de la figura 3.2, se ha identificado por 1 y 2, los pórticos que se encuentran en sentido X, y por A, B, los que se hallan en sentido Y. Un pórtico cualquiera tendrá, como coordenada principal, un solo grado de libertad que es el desplazamiento lateral del pórtico, a manera de ejemplo en la figura 3.3 se indican la coordenada del pórtico 1, algo similar se tienen para los otros pórticos. En este caso la coordenada lateral se ha colocado al lado derecho pero se pudo haber colocado al lado izquierdo y con sentido contrario. Se define la orientación positiva del pórtico 1 a la dirección en que se colocó la coordenada 1.

Figura 3.3 Coordenada lateral del pórtico 1. Sistema P-p.

Ahora tiene importancia la orientación positiva de los pórticos que se ha indicado en la figura 3.4. Esta orientación es paralela a los ejes de coordenadas X, Y. La orientación de los pórticos es positiva si están en la dirección de los ejes. El C.M. de ésta estructura se considera que está ubicada en el centro de gravedad de la misma y tiene coordenadas X CM = 3.0 m.,

YCM = 2.5 m. A las coordenadas laterales de los pórticos se las agrupa en el vector p y a los elementos se los identifica con p . La una es negreada y la otra no. Para el pórtico 1, que es de un piso, se tiene una coordenada p1 que corresponde al desplazamiento horizontal del piso uno, medida positiva si el desplazamiento es hacia la derecha. Con la letra P1 se identifica la fuerza horizontal en el piso 1. Si son varios pisos las fuerzas horizontales se agrupan en el vector P . La relación entre las coordenadas de piso q y las coordenadas de pórtico p viene dada por la matriz de compatibilidad de deformaciones A , definida de la siguiente manera:

p= Aq

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( 3.1 )

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Figura 3.4 Geometría de la estructura de un piso. Para encontrar la columnas de la matriz A se dibujaran elementales q i y se miden las deformaciones p . Estas son positivas si el pórtico se desplaza en sentido de la orientación positiva.

•

EJEMPLO 1

Determinar la matriz de compatibilidad A de la estructura de un piso indicada en la figura 3.2.

•

SOLUCIÓN ¾

Primera columna de la matriz A

q1 = 1

y

qi = 0

i ≠1

Figura 3.5 Deformada elemental q1

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Es el centro de masa el que se desplaza horizontalmente, en sentido X, la unidad pero como la losa es totalmente rígida en el plano, toda la losa se mueve la unidad como se aprecia en la figura 3.5. Ahora se debe medir las deformaciones en cada uno de los pórticos.

p1(1) = 1

p1( 2) = 1

p1( A) = 0

p1( B ) = 0

Entre paréntesis se ha identificado al pórtico. Para los pórticos en sentido X, los desplazamientos son positivos y valen la unidad; en cambio, para los pórticos en sentido Y, son nulos ya que la estructura se mueve como cuerpo rígido en sentido X. ¾

Segunda columna de la matriz A

La deformada elemental se presenta en la figura 3.6; en este caso la losa se mueve como cuerpo rígido, en sentido Y, la unidad.

q2 = 1

y

qi = 0

i≠2

Figura 3.6 Deformada elemental q 2 . Luego los desplazamientos laterales de cada uno de los pórticos son:

p1(1) = 0

p1( 2) = 0

p1( A) = 1

p1( B ) = 1

Se deja al lector la obtención de los elementos de la tercera columna de A, los valores que se obtienen, son:

p1(1) = −2.5

p1( 2 ) = 2.5

p1( A) = −3

Luego la matriz A, resulta:

⎡1 ⎢1 A=⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0

0 0 1 1

− 2.5⎤ 2.5 ⎥⎥ − 3 .0 ⎥ ⎥ 3.0 ⎦

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p1( B ) = 3

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La matriz A es particionada, para el ejemplo se tiene:

⎡ A (1) ⎤ ⎢ ( 2) ⎥ ⎢A ⎥ A = ⎢ ( A) ⎥ ⎢A ⎥ ⎢ A(B) ⎥ ⎣ ⎦ La matriz A del pórtico 1, es:

A (1) = [1

− 2.5]

0

La matriz A de cada pórtico tiene una fila debido a que la estructura es de 1 piso y tiene 3 columnas. Para el caso general la matriz de compatibilidad A tendrá NP filas y 3 por NP columnas, siendo NP el número de pisos y la forma de esta matriz es:

A

Donde X,

α

(i )

Senα r1 ⎡Cosα ⎢ ...... ....... =⎢ ⎢⎣ Cosα Senα

⎤ ...... ⎥⎥ rn ⎥⎦

( 3.2 )

es el ángulo que forma la orientación positiva del pórtico con respecto al eje

r1 es la distancia desde el origen de coordenadas CM hasta el pórtico ( i ) en el piso uno, rn

es la distancia medida en el último piso desde el origen de coordenadas hasta el pórtico. Los valores de r , tienen signo, serán positivas si la orientación positiva del pórtico rota con respecto al CM en forma antihorario.

3.3

MATRIZ DE RIGIDEZ EN COORDENADAS DE PISO

Para encontrar la matriz de rigidez en coordenadas de piso K E , se considera como artificio que cada uno de los pórticos, son elementos de una estructura que están unidos entre si por medio de una losa rígida. Con esta hipótesis, la matriz de rigidez se obtiene empleando la teoría de Análisis Matricial de Estructural. Aguiar (2004) que establece lo siguiente:

KE =

NP

∑A

(i ) t

K L( i )

A(i )

( 3.3 )

i =1

El procedimiento de cálculo para hallar la matriz de rigidez en coordenadas de piso, es el siguiente: i.

Se determina la matriz de rigidez lateral K L de cada uno de los pórticos planos.

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ii.

Se encuentra la matriz de compatibilidad de deformaciones A de cada pórtico, empleando la ecuación ( 3.2 ).

iii.

Se halla la matriz de rigidez en coordenadas de piso, empleando la ecuación (3.3).

Se desea ver la contribución de un pórtico cualquiera a la matriz de rigidez en (i )

coordenadas de piso K E . Sea K L la matriz de rigidez lateral del pórtico y A (i ) la matriz de compatibilidad.

[

A ( i ) = Cos α I

Sen α I

r

]

Al efectuar el triple producto matricial indicado en ( 3.3 ) se obtiene:

⎡Cosα2 K L( i ) ⎢ ∆K E = ⎢ Senα Cosα K L( i ) ⎢ (i ) (i ) ⎢⎣Cosα K L r

Cosα K L( i ) r ( i ) ⎤ ⎥ Senα K L( i ) r ( i ) ⎥ 2 ⎥ K L( i ) r ( i ) ⎥⎦

Senα Cosα K L( i ) Senα2 K L( i )

( 3.4 )

( )

Senα K L( i ) r ( i )

En ( 3.4 ) se ha denominado ∆K E a la contribución de un pórtico a la matriz de rigidez de la estructura. Para hallar la matriz de rigidez K E total se debe sumar la contribución de los demás pórticos con lo que se obtiene:

⎡ ⎢ KE = ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

∑ Cosα K ∑ Senα Cosα K ∑ Cosα K r 2

(i ) L

(i ) L

(i )

(i ) L

∑ Senα Cosα K ∑ Senα K ∑ Senα K r 2

∑ Cosα K r ∑ Senα K r ∑ K (r )

(i ) L

(i ) L

(i ) L

(i ) L

(i ) L

(i ) L

(i )

(i )

⎤ ⎥ (i ) ⎥ ( 3.5 ) ⎥ 2 ⎥ ⎦ (i )

La sumatoria se extiende a todos los pórticos de la estructura. La matriz de rigidez K E es de orden 3NP por 3NPy es simétrica con respecto a la diagonal principal. De igual manera la matriz K E se puede escribir de la siguiente manera:

KE

⎡ K XX ⎢ =⎢ ⎢⎣

K XY K YY

K Xθ ⎤ ⎥ K Yθ ⎥ K θθ ⎥⎦

( 3.6 )

Siendo K XX , K YY las matrices de rigidez lateral por traslación; K θθ matriz de rigidez torsional; K Xθ , K Yθ matrices de rigidez de acoplamiento lateral con torsión; K XY es la matriz trasnacional de acoplamiento en las direcciones X,Y.

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K XX =

∑ Cosα

2

K Xθ =

K YY =

K L( i )

∑ Cosα K

(i ) L

r (i )

K XY =

∑ Senα

2

K θθ =

K L( i )

K Yθ =

∑ Senα K

∑ Cosα Senα K

(i ) L

∑ K (r )

r (i )

(i ) L

(i ) 2

( 3.7 )

(i ) L

Con respecto a las submatrices de la matriz de rigidez K E es necesario realizar los siguientes comentarios: •

Si se desea que la estructura tenga un muy buen comportamiento sísmico. Las submatrices K XY , K Xθ , K Yθ deben ser nulas. En la medida que no lo sean se deberá tomar precauciones en el diseño para no tener problemas de torsión.

•

Lo más crítico en las estructuras es la torsión y para evitar este problema es conveniente que la submatriz K θθ sea lo más grande posible. Si se examina la ecuación con la cual se evalúa K θθ se aprecia que es función del vector r elevado al cuadrado. De tal manera, para tener K θθ lo más alto es necesario de que los pórticos exteriores tengan mayor rigidez lateral. Si se piensa, desde el punto de vista de cargas verticales, los pórticos centrales serán los de mayores dimensiones y los exteriores de menores dimensiones pero ahora desde el punto de vista sísmico y para tener mayor rigidez torsional se recomienda que los pórticos exteriores tengan mayor rigidez.

3.4

MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL PARA PÓRTICOS SIN MUROS

En el capítulo 4 del libro Dinámica de Estructuras con MATLAB, Aguiar (2007) se detalla el cálculo de la matriz de rigidez lateral en pórticos planos, considerando varios modelos de análisis, por lo que se recomienda su lectura. En éste apartado se presenta el cálculo de la matriz de rigidez lateral de un pórtico plano sin muros de corte, para un modelo numérico de cálculo en que todos los elementos del pórtico son axialmente rígidos, de tal manera que los grados de libertad son los desplazamientos horizontales, uno por cada piso y las rotaciones en cada una de las juntas. En la figura 3.7 se presenta un pórtico de dos pisos y dos vanos en el que se ha considerado que tanto las vigas como las columnas son axialmente rígidas. Las coordenadas principales, son los desplazamientos horizontales de piso y se han numerado en primer lugar, posteriormente se han numerado los giros de cada uno de los nudos, que son las coordenadas secundarias, todo esto se aprecia en la figura izquierda, a la derecha se presenta el pórtico únicamente con las coordenadas laterales. Se define la matriz de rigidez lateral K L a la matriz de rigidez asociada a las coordenadas laterales de piso.

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Figura 3.7 Grados de libertad, considerando que todos los elementos son axialmente rígidos y coordenadas laterales.

3.4.1

Matrices de rigidez de los elementos

Para el modelo de análisis indicado, las matrices de rigidez de los elementos se indican a continuación. En las figuras 3.8 y 3.9 se indican los sistemas de coordenadas para los elementos viga y columna. •

Elemento viga

Figura 3.8 Coordenadas globales para un elemento viga, axialmente rígido.

⎡ 4 EI ⎢ k= ⎢ L ⎢ ⎢⎣

2 EI ⎤ L ⎥ ⎥ 4 EI ⎥ L ⎥⎦

( 3.8 )

Donde E es el módulo de elasticidad del material, I es el momento de inercia, L es la longitud del elemento. Nótese que en la ecuación ( 3.8 ) no se considera el efecto de corte φ que se hablará en el próximo apartado.

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•

Elemento columna

⎡12 EI ⎢ L3 ⎢ ⎢ ⎢ k= ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣

−

6 EI L2 4 EI L

−

12 EI L3 6 EI L2 12 EI L3

−

6 EI ⎤ L2 ⎥⎥ 2 EI ⎥ L ⎥ ⎥ 6 EI ⎥ L2 ⎥ ⎥ 4 EI ⎥ L ⎥⎦

( 3.9 )

Figura 3.9 Coordenadas globales para un elemento columna, axialmente rígido.

En las dos ecuaciones no se ha considerado el efecto de corte φ y nudos rígidos, de tal forma que el modelo sirve para pórticos sin muros de corte, conformados por vigas y columnas.

3.4.2

Ensamblaje de la matriz de rigidez

La matriz de rigidez de la estructura asociada a todos los grados de libertad, se obtiene por ensamblaje directo, descrito con detalle en el libro Análisis Matricial de Estructuras, tercera edición. Aguiar (2004) y se indica en forma resumida en el presente apartado, en base a la estructura de la figura 3.7. En la figura 3.10 se indica la numeración de los elementos dentro de un círculo y de los nudos. De esta manera se deben numerar los nudos y elementos para utilizar el programa RLAXINFI que se presenta en un apartado posterior y que sirve para hallar la matriz de rigidez lateral de un pórtico plano, sin muros de corte.

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Para encontrar la matriz de rigidez de la estructura, por ensamblaje directo, se encuentra la matriz de rigidez de cada uno de los elementos, si es columna esta es de 4x4 y si es viga de 2x2. El Vector de Colocación VC de un elemento está conformado por los grados de libertad del nudo inicial y del nudo final del elemento. El número de elementos del vector de colocación es igual al número de coordenadas de miembro, con el que se halla la matriz de rigidez de miembro. •

Vectores de colocación VC, de las columnas.

Se considera que el nudo inicial de las columnas se encuentra en la parte inferior y el nudo final en la parte superior. Con esta indicación y al observar la figura izquierda de 3.7, se obtienen los siguientes vectores de colocación para cada una de las columnas.

VC (1) = [0 0 1 3]

VC ( 4) = [1 3 2 6]

VC ( 2) = [0 0 1 4]

VC (5) = [1 4 2 7]

VC (3) = [0 0 1 5]

VC ( 6 ) = [1 5 2 8]

Figura 3.10 Numeración de nudos y elementos. •

Vectores de colocación VC, de las vigas.

El nudo inicial se encuentra a la izquierda y el nudo final a la derecha. Con esta acotación de la figura izquierda de 4.1 se obtiene:

VC ( 7 ) = [3 4]

VC (8) = [4 5]

VC (9 ) = [6 7]

VC (10) = [7 8]

Para hallar la matriz de rigidez por ensamblaje directo, se obtiene la matriz de rigidez de cada uno de los elementos y con el respectivo vector de colocación se efectúa el ensamblaje. Para facilitar el cálculo se coloca el VC encima y a la derecha de la matriz de rigidez del elemento; cuando una de las componentes de VC es cero se tacha la fila o columna a la cual está asociada esa coordenada y cuando es diferente de cero se realiza el ensamblaje.

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3.4.3

Condensación Estática

En la figura 3.7 se ha numerado en primer lugar las coordenadas laterales, que son las coordenadas principales, debido a que ante la componente horizontal de un sismo los desplazamientos laterales son de mayor magnitud que las rotaciones y cuando la estructura ingresa al rango no lineal por medio de los desplazamientos laterales se disipa una mayor cantidad de energía. Cuando se numera en primer lugar las coordenadas laterales la matriz de rigidez condensada, que es la matriz de rigidez lateral K L , se halla con la siguiente ecuación. −1 K L = K AA − K AB K BB K BA

( 3.10 )

Donde K AA , K AB , K BA , K BB son submatrices de la matriz de rigidez K como se aprecia en la figura 3.11. Siendo na el número de coordenadas principales y nb el número de coordenadas secundarias. La suma de na y nb es el número de grados de libertad de la estructura. Para el ejemplo de la figura 3.7 se tiene que na es igual a 2 y nb = 6.

Figura 3.11 Partición de la matriz de rigidez de la estructura.

No es obligatorio numerar primero las coordenadas principales, se pueden numerar primero las coordinas secundarias y al final las principales. En este caso la matriz de rigidez lateral vale: −1 K L = K BB − K BA K AA K AB

( 3.11 )

De tal forma que existen dos opciones para numerar los grados de libertad de la estructura que son numerar primero todos las coordenadas principales o numerar al final estas coordenadas. Lo que no se puede hacer es mezclar la numeración de las coordenadas principales y secundarias. Tanto en la ecuación ( 3.10 ) como en la ecuación ( 3.11 ) se debe obtener la matriz inversa de una matriz. En los problemas de ingeniería se trata de evitar el cálculo de una matriz inversa ya que demanda mucho tiempo y en lugar de ello se resuelven sistemas de ecuaciones.

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Para cuando se numera primero las coordenadas laterales y se desea resolver un conjunto de ecuaciones lineales en lugar de calcular la inversa K BB , la ecuación ( 3.10 ) se escribe de la siguiente manera:

K L = K AA + K AB T

( 3.12 )

Para hallar la matriz T se debe resolver un conjunto de ecuaciones lineales de la forma:

K BB T = − K BA

( 3.13 )

La matriz T tendrá nb filas y na columnas. Para encontrar la primera columna de la matriz T se resolverá el sistema de ecuaciones lineales cuyo término independiente es la primera columna de K BA cambiado de signo, para la segunda columna de T se resuelve el sistema de ecuaciones cambiando el término independiente a la segunda columna de K BA cambiado de signo y así sucesivamente. En todos los casos la matriz de coeficientes K BB es la misma. Una forma más eficiente de encontrar la matriz de rigidez lateral sin necesidad de invertir la matriz ni de resolver un sistema de ecuaciones lineales, es aplicando la triangularización de Gauss pero en este caso es obligatorio que las coordenadas principales se numeren al final. En el libro Dinámica de Estructuras con MATLAB. Aguiar (2006) está detallado el procedimiento de cálculo.

3.5

PROGRAMA RLAXINFI

El programa reporta la matriz de rigidez lateral y la graba en consola con el nombre de KL para que se pueda utilizar en otros cálculos. La forma de uso del programa es: [KL] = rlaxinfi (Nombre) •

Nombre. Es el nombre del archivo que contiene la base y la altura de la sección transversal y la longitud de los elementos.

function[KL]=rlaxinfi(nombre) % % Programa para encontrar la matriz de rigidez lateral de un portico plano % considerando que todos los elementos son axialmente rigidos. % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE %------------------------------------------------------------% [KL]=rlaxinfi(nombre) %------------------------------------------------------------% CG Matriz de coordenadas generalizadas % VC Vector de colocacion %E Modulo de elasticidad del material % SS Matriz de rigidez de la estructura % b: base de la seccion transversal. % h: altura de la seccion transversal.

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% long: longitud del elemento. % nombre Archivo de datos que contiene la base, la altura y la longitud % de cada uno de los elementos. % nod=input('\n Numero de nudos:'); np=input(' Numero de pisos:'); nr=input(' Numero de nudos restringuidos:'); E=input(' Modulo de elasticidad:'); % Coordenadas Generalizadas CG=zeros(nod,2);ngl=0;k=nr; for i=1:np ngl=ngl+1; for j=1:nr k=k+1; CG(k,1)=ngl; end end for i=1:nod-nr ngl=ngl+1; k=nr+i; CG(k,2)=ngl; end ncol=np*nr; mbr=ncol+(nr-1)*np;nvig=mbr-ncol; ici=0;icf=nr; for i=1:ncol ici=ici+1; icf=icf+1;ini(i)=ici;fin(i)=icf; end ii=ncol; for j=1:np ici=j*nr; for i=1:nr-1 ii=ii+1;ici=ici+1;ini(ii)=ici;fin(ii)=ici+1; end end % Arreglo VC. Vectores de colocacion for i=1:mbr for k=1:2 VC(i,k)= CG(ini(i),k); VC(i,k+2) = CG(fin(i),k); end end % Matriz de rigidez de miembro y de la estructura for i=1:mbr B(i)=nombre(i,1);H(i)=nombre(i,2);L(i)=nombre(i,3); end % Calculo de la matriz de rigidez de la estructura fprintf ('\n Calcula con: Inercias gruesas, codigo=0. Con inercias agrietadas, codigo=1'); icod=input('\n Ingrese codigo de inercias :'); SS=zeros(ngl,ngl); for i=1:mbr b=B(i);h=H(i);long=L(i);iner=b*h^3/12;ei=E*iner; if i 7.85

⎛ 0.707 ⎞ + 0.010 ⎟⎟ L a = ⎜⎜ ⎝ λh ⎠

si

λ h ≤ 7.85

⎛ 0.470 ⎞ + 0.040 ⎟⎟ L a = ⎜⎜ ⎝ λh ⎠

si

λ h ≤ 7.85 ( 3.31 )

Mampostería agrietada

3.8.7

( 3.32 )

λ h > 7.85

Modelo de Paulay y Priestley (1992)

El ancho equivalente a propuesto por Paulay y Priestley (1992) ha sido acogido por la Normativa de Perú de Albañilería E070 y es la siguiente:

a=

L 4

( 3.33 )

Esta ecuación es recomendada para un nivel de fuerzas laterales menor o igual al 50%

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de la capacidad última. En otras palabras para el rango elástico.

3.8.8

Modelo de FEMA (1997)

La Agencia Federal para el Manejo de Emergencias de los Estados Unidos de Norte América, propone las siguientes ecuaciones: 1

⎡ E t.sen 2θ ⎤ 4 λh = H ⎢ m ⎥ ⎣ 4 E c I col h ⎦

( 3.34 )

a = 0.175 (λ h )−0.4 L

Figura 3.20 Variación de a / L empleando algunos modelos de cálculo.

•

EJEMPLO 6 Presentar en un gráfico la relación entre λ y a / L . Empleando los modelos de Holmes

(1961), Mainstone (1971), Liauw y Kwan (1984) para θ = 30.9 y θ = 36.8 , Decanini y Fantin (1986) con mampostería no agrietada, Paulay y Priestley (1992) y FEMA (1997). o

•

o

SOLUCIÓN

En la figura 3.20 se aprecia que los resultados obtenidos con las propuestas de: Mainstone (1971) y FEMA (1997) son muy conservadores, ya que el ancho equivalente es muy

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bajo. Por el otro lado, el modelo de Holmes (1961) reporta los mayores valores para valores de λ > 3 . Los valores encontrados con los restantes modelos reportan valores intermedios.

•

EJEMPLO 7

Utilizando el modelo de Decanini y Fantin (1986) presentar en un gráfico la relación entre el ancho equivalente a de la mampostería agrietada con relación a la no agrietada.

•

SOLUCIÓN

En la figura 3.21 se muestra la relación entre el ancho equivalente a agrietado con relación al no agrietado. Se observa que esta relación disminuye conforme el valor de λ aumenta. Es importante notar que para λ = 1 el ancho equivalente agrietado es 0.85 del ancho no agrietado y que para λ = 10 el ancho equivalente agrietado es 0.52 del ancho no agrietado, la pérdida es notable. El valor de λ se incrementa si la rigidez de la mampostería es mayor que el hormigón confinante.

Figura 3.21 Relación entre el ancho equivalente agrietado con relación al no agrietado

3.8.9

Modelo de Crisafulli (1997)

La propuesta de Crisafulli (1997) para encontrar el ancho equivalente, es la siguiente:

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1

⎡ E t.sen 2θ ⎤ 4 λ=⎢ m ⎥ ⎣ 4 E c I col h ⎦ z=

2π

hz =

λ

z 2

( 3.35 )

a = 2 hz sin θ

3.9

MATRIZ DE RIGIDEZ DE ELEMENTO MAMPOSTERÍA

En la primera figura de 3.22, se presenta un pórtico con mampostería acoplada; en la segunda se aprecia el ancho equivalente a que se obtiene con cualquiera de los modelos descritos en el apartado anterior; en la tercera se aprecia el modelo del puntal equivalente que tiene una rigidez axial EA . Finalmente se presenta el sistema de coordenadas globales para la diagonal equivalente.

Figura 3.22 Modelo de la diagonal equivalente.

En lugar de considerar la diagonal equivalente de la figura 3.22 se pudo considerar la otra diagonal como en el caso de la figura 3.18. Cualquiera de los dos casos es valido por que el sismo actúa en los dos sentidos. La matriz de rigidez de la diagonal equivalente en coordenadas globales, es la siguiente.

⎡cos 2 θ ⎢ E m . A ⎢cos θ sin θ K= ⎢ L ⎢− cos 2 θ ⎢ ⎣− cos θ sin θ

cos θ sin θ

− cos 2 θ

sin 2 θ

− cos θ sin θ

− cos θ sin θ − sin 2 θ

cos 2 θ cos θ sin θ

A = a.t

− cos θ sin θ ⎤ ⎥ − sin 2 θ ⎥ ⎥ cos θ sin θ ⎥ ⎥ sin 2 θ ⎦ ( 3.33 )

Una vez definido la matriz de rigidez de la mampostería, por medio del modelo de la diagonal equivalente se encuentra la matriz de rigidez de la estructura por ensamblaje directo y luego se aplica la condensación estática para hallar la matriz de rigidez lateral del pórtico, considerando la mampostería.

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Para hallar la contribución de la diagonal equivalente, en la matriz de rigidez de la estructura, se debe tener en cuenta que el vector de colocación tiene cuatro elementos y corresponden a los grados de libertad horizontal y vertical del nudo inicial y final, como se aprecia en la última gráfica de la figura 3.22

•

EJEMPLO 8

Determinar la matriz de rigidez lateral, del pórtico indicado en la figura 3.23, incorporando la mampostería en el cálculo. La resistencia a la compresión del hormigón utilizado es f c' = 210 kg / cm 2 y de la mampostería f m' = 35 kg / cm 2 . Calcular el módulo de elasticidad del hormigón con la siguiente expresión: E = 12000

f c' y el módulo de elasticidad

de la mampostería E m = 500 f m' . El espesor de la pared es t = 0.15 m. Considerar en el modelo numérico que las columnas y las vigas son axialmente rígidas. Se pide: 1.- Detallar el cálculo para el Modelo de la Norma del Perú E 070. 2.- Comparar los resultados obtenidos con los diferentes modelos.

Figura 3.23 Descripción de la estructura de ejemplo 6.

•

SOLUCIÓN

En la figura 3.24, a la izquierda se han numerado los elementos, en la forma como hay que hacerlo para utilizar el programa RLAXINFIMAMPOSTERIA, primero se han numerado las columnas, luego la viga y finalmente la diagonal equivalente de la mampostería. En el centro de la figura 3.24 se tienen los grados de libertad considerados cuando las vigas y columnas son axialmente rígidas y a la derecha se aprecia el pórtico con la coordenada lateral, cuya matriz se va a calcular.

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Figura 3.24 Modelo numérico de cálculo. Las matrices de rigidez de los elementos, columna, viga y mampostería, son: •

Elemento Columna (igual para elementos 1 y 2) Obtenido con inercias gruesas y con L=2.80 m.

⎡ 185.6642 ⎢− 259.9298 K =⎢ ⎢− 185.6642 ⎢ ⎣− 259.9298 •

485.2023 259.9298 242.6012

Elemento Viga Obtenido con L=3.50 m.

⎡198.7389 K =⎢ ⎣99.3694 •

185.6642 259.9298

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 485.2023⎦

⎤ 198.7389⎥⎦

Elemento Diagonal Equivalente

L=

(3.25)2 + (2.70)2

= 4.2252

L 4.2252 = = 1.0563 m. 4 4 A = a t = 1.0563 ∗ 0.15 = 0.1584 m 2

a=

E m A 175000 ∗ 0.1584 = = 6562.50 L 4.2252 3.25 2.70 Cosθ = = 0.7692 Senθ = = 0.6390 4.2252 4.2252 ⎡ 3882.8 ⎢ 3225.5 2679.6 K =⎢ ⎢− 3882.8 − 3225.5 ⎢ ⎣− 3225.5 − 2679.6

3882.8 3225.5

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⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 2679.6⎦

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98 •

Vectores de colocación

VC (1) = [0

0

1

2]

= [0

0

1

3]

VC (3) = [2

3]

VC ( 4) = [0

0

1

0]

VC

•

( 2)

Matriz de rigidez completa

⎡4254.1 K = ⎢⎢259.9 ⎢⎣259.9 •

259.9 683.9 99.4

259.9 ⎤ 99.4 ⎥⎥ 683.9⎥⎦

Submatrices

K AA = [4254.1] •

K AB = [259.9

259.9]

t K BA = K AB

⎡683.9 K BB = ⎢ ⎣99.4

99.4⎤ 683.9⎥⎦

Matriz de rigidez lateral

K L = [4081 .6]

6000

Rigidez Lateral del Pórtico [Tn/m]

1. Holmes (1961) 2. Mainstone (1971)

5000

3. Bazan (1980)

4000

4. Hendry (1981) 5. Liauw y Kw an (1984)

3000

6. Decanini y Fantin (1986) 7. Paulay y Priestley (1992)

2000

8. FEMA (1997) 9. Crisafulli (1997)

1000

Valor Medio 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Modelo Matemático Figura 3.25 Matriz de rigidez lateral encontrada con nueve modelos. Carrillo (2008)

En la figura 3.25 se presentan los valores de la matriz de rigidez lateral, hallada con cada uno de los modelos indicados en el apartado anterior, para encontrar el ancho de la diagonal equivalente.

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3.10

99

PROGRAMA RLAXINFIMAMPOSTERIA

La forma de uso del programa es muy similar al del programa RLAXINFI. Debido a que se debe crear un archivo de datos con la siguiente información: • •

Base, altura y longitud de todas las columnas y de todas las vigas. En este orden. Se debe indicar el nudo inicial, el nudo final y la longitud de la diagonal equivalente.

Por pantalla, se suministra información complementaria como el número de nudos, número de pisos, módulos de elasticidad del hormigón y de la mampostería, etc. El ancho de la diagonal equivalente se halla con el modelo de Paulay y Priestley (1992) que ha sido acogido por la norma de Albañilería del Perú E 070.

function[KL]=rlaxinfimamposteria(nombre) % % Programa para encontrar la matriz de rigidez lateral de un portico plano % considerando que todos los elementos son axialmente rigidos. % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE % Incorporacion de Mamposteria en Noviembre de 2007 % %------------------------------------------------------------% [KL]=rlaxinfimamposteria(nombre) %------------------------------------------------------------% CG Matriz de coordenadas generalizadas % VC Vector de colocacion %E Modulo de elasticidad del material % SS Matriz de rigidez de la estructura % b: base de la seccion transversal. % h: altura de la seccion transversal. % long: longitud del elemento. % t: espesor de la mamposteria % nombre Archivo de datos que contiene la base, la altura y la longitud % de cada uno de los elementos. El nombre debe tener extension .txt. % Esto para columnas y vigas. Despues para la mamposteria se debe % indicar el nudo inicial, el final y la longitud de la diagonal. % % Se considera el modelo de la Norma de Peru para el ancho % equivalente de la mamposteria. % nod=input('\n Numero de nudos:'); np=input(' Numero de pisos:'); nr=input(' Numero de nudos restringuidos:'); nd=input(' Numero de diagonales de mamposteria:'); E=input(' Modulo de elasticidad de Hormigon (T/m2):'); Em=input(' Modulo de elasticidad de Mamposteria (T/m2):'); t=input(' Espesor de la Mamposteria (m):'); % Coordenadas Generalizadas CG=zeros(nod,2);ngl=0;k=nr; for i=1:np ngl=ngl+1; for j=1:nr

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k=k+1; CG(k,1)=ngl; end end for i=1:nod-nr ngl=ngl+1; k=nr+i; CG(k,2)=ngl; end ncol=np*nr; mbr=ncol+(nr-1)*np;nvig=mbr-ncol; ici=0;icf=nr; for i=1:ncol ici=ici+1; icf=icf+1;ini(i)=ici;fin(i)=icf; end ii=ncol; for j=1:np ici=j*nr; for i=1:nr-1 ii=ii+1;ici=ici+1;ini(ii)=ici;fin(ii)=ici+1; end end % Lectura de datos % for i=1:mbr B(i)=nombre(i,1);H(i)=nombre(i,2);L(i)=nombre(i,3); end for i=mbr+1:mbr+nd; ini(i)=nombre(i,1);fin(i)=nombre(i,2);L(i)=nombre(i,3); end % % Arreglo VC. Vectores de colocacion for i=1:mbr for k=1:2 VC(i,k)= CG(ini(i),k); VC(i,k+2) = CG(fin(i),k); end end for i=mbr+1:mbr+nd; VC(i,1)=CG(ini(i),1); VC(i,2)=0; VC(i,4)=0; VC(i,3)=CG(fin(i),1); end % Matriz de rigidez de miembro y de la estructura fprintf ('\n Calcula con: Inercias gruesas, codigo=0. Con inercias agrietadas, codigo=1'); icod=input('\n Ingrese codigo de inercias :'); SS=zeros(ngl,ngl); for i=1:mbr+nd if i=drift(i); continue else gama=drift(i); end end gama=gama*100; end fprintf ('\n Valor de reduccion de las fuerzas sismicas R'); R fprintf ('\n Fuerzas laterales en cada piso sin torsion accidental'); F fprintf ('\n Cortante Basal '); V fprintf ('\n Desplazamiento Inelastico'); qine fprintf ('\n Deriva de piso'); drift fprintf ('\n Deriva maxima de piso en porcentaje'); gama if gama >= 1.5 fprintf ('\n Deriva de piso mayor a 1.5% repita el analisis sismico') end % Mayoracion de las fuerzas laterales por torsion accidental F=1.1*F; fprintf('\n Fuerzas laterales en cada piso con torsion accidental'); F %---fin

4.4.2

Uso del programa ANALISISESTATICONEW

La forma general de las variables del programa es: ™ ƒ ƒ

[V]=analisisestaticonew(ejes,altura,peso,KL)

ejes altura

Es el número de ejes en la dirección del análisis sísmico. Vector que contiene la altura desde la base a cada piso.

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peso KL

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Vector que contiene los pesos, reactivos, de cada uno de los pisos. Matriz con las matrices de rigidez lateral de cada pórtico en la dirección de análisis sísmico.

4.5 EXCENTRICIDAD ESTÁTICA La excentricidad estática e S es la distancia que existe entre el Centro de Rigidez C.R., y el Centro de Masa C.M., esta es la forma como trabajan una buena cantidad de proyectistas estructurales. Pero también hay gente que en lugar de trabajar con el C.M., en edificios de varios pisos, trabajan con el Centro de Cortante C.C., de tal manera que para ellos la excentricidad estática es la distancia entre el C.R. y el C.C. Existen otras propuestas para encontrar e S . En el presente capítulo se trabaja con la primera forma, dejando constancia de que en el capítulo 8 se presenta la forma de cálculo del C.R., del C.C. y del Centro de Giro C.G. Se define el Centro de Masas C.M., como el lugar geométrico en el cual se supone que está concentrada la masa en cada uno de los pisos. Por otra parte de define el Centro de Rigidez C.R., de un nivel como el punto donde al aplicar una fuerza cortante horizontal, el nivel se traslada sin rotar con respecto al piso inferior. COVENIN 1756-98 (2001). Para ilustrar lo expuesto en la figura 4.7, se indica el C.M. y el C.R., en un determinado piso de una estructura. La excentricidad estática se ha definido por e x , e y . En la figura 4.7 se ha indicado además las fuerzas estáticas Fx que actúa en la dirección X, y la fuerza Fy que actúa en la dirección Y, debido a la acción sísmica. Son estas fuerzas que actúan en el C.M. las que provocan la torsión, ya que si actuarían en el C.R. solamente provocarían traslación en el edificio.

Figura 4.7 Ubicación del Centro de Masa y Centro de Rigidez en un piso de una estructura. En el análisis sísmico en sentido X, se tienen dos tipos de pórticos en los extremos, que se los ha denominado: Pórtico Débil, que es el pórtico 1 ya que solo tiene dos ejes de

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columnas y Pórtico Fuerte, que es el pórtico 4 que tiene 4 ejes de columnas. En el sentido Y, se tendría que el pórtico A es el fuerte y el pórtico D es el débil. Los pórticos débiles son los que más se van a mover durante un sismo y los pórticos fuertes se moverán menos pero al estar todos unidos los pórticos débiles son los que tendrán un mal comportamiento sísmico. En el Método de la Torsión Estática, como se verá posteriormente es que los pórticos débiles se diseñen para fuerzas un poco más altas y que los pórticos fuertes para fuerzas un poco más bajas, para tener un cierto balance torsional. Lo ideal es que una estructura no tenga pórticos débiles ni pórticos fuertes si no que todos tengan pórticos con rigidez y resistencia parecidas. Para una estructura de un piso es bastante sencillo, calcular el C.R. en base a la rigidez lateral de sus elementos, pero para edificios de varios pisos es más complicado y no siempre existe el C.R. En efecto, el C.R. solo existe en estructuras compensadas. Vásquez y Riddell (1984).

4.6 EXCENTRICIDAD DE DISEÑO La excentricidad de diseño e d es igual a la excentricidad estática e s , mayorada por un factor de amplificación dinámica más la excentricidad accidental que es función de un porcentaje de la distancia de la planta en la dirección perpendicular a la del análisis sísmico.

ed = α e s + β L ed = δ e s − β L

( 4.17 )

Donde α es el factor de amplificación dinámica torsional para la zona débil de la planta del edificio; δ factor de control de diseño de la zona más rígida de la planta para la dirección considerada. Los valores de α , δ serán analizados en el siguiente apartado; β es el porcentaje que varía entre el 5% y 15%, para la excentricidad accidental, L es la distancia perpendicular a la dirección del análisis sísmico. Al multiplicar la excentricidad de diseño por el cortante de cada piso, se tiene los momentos de torsión M ti que son aquellos que van a generar fuerzas de torsión adicionales en cada pórtico. En el programa ANALISISESTATICONEW estas fuerzas se consideraron en forma aproximada igual al 10% de las fuerzas estáticas. Los momentos de torsión M ti se evalúan con las siguientes ecuaciones:

M ti = Vi (α e s i + β Li )

M ti = Vi (δ e si − β Li )

( 4.18 )

Donde Vi es el cortante del piso i; e si es la excentricidad estática del piso i; Li es la distancia perpendicular a la dirección del análisis sísmico en el piso i.

4.7 EXCENTRICIDAD ESTÁTICA EN ALGUNAS NORMATIVAS Uno de los primeros trabajos para cuantificar el factor de amplificación dinámica α es el propuesto por Rosenblueth y Elorduy (1969), quienes estudiaron la respuesta elástica en estructuras de un piso, con una sola excentricidad, ante la acción de un sismo que actúa en

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forma perpendicular a la planta. Pero ellos obtuvieron este factor como la relación entre el momento de torsión calculado en forma dinámica M Tdin con relación al momento de torsión hallado en forma estática M Test . El resultado por ellos obtenido se indica en la figura 4.8.

α=

M Tdin M Test.

( 4.19 )

La crítica que se realiza a la ecuación (4.19) radica en el hecho de que los cortantes máximos y los momentos torsores máximos en una planta no coinciden en el mismo instante de tiempo. Luego trabajar solo con momentos de torsión puede llevar a subestimar el problema.

Figura 4.8 Factor de amplificación dinámica. Rosenblueth y Elorduy (1969). (Figura cortesía de Crisafulli en 2002). Desde la última década del siglo pasado y la primera década de este siglo se continúa trabajando en ésta temática pero con otro enfoque. El actual es cuantificar los efectos de torsión mediante la respuesta normalizada en desplazamientos de los pórticos extremos, que corresponden al pórtico débil en el un extremo y al pórtico fuerte en el otro extremo del edificio. Existen algunas formas de normalizar, una de ellas es dividir la respuesta en desplazamientos de un pórtico extremo, de la estructura con problemas de torsión, para el desplazamiento máximo de ese pórtico, ante la misma acción sísmica pero considerando que la estructura no tiene excentricidad estática, es decir se trata de una estructura completamente simétrica cuyos modos de vibración son desacoplados. Hernández y López (2007).

4.7.1 Normativas de Venezuela Con relación a la ecuación (4.17) vale la pena indicar los valores de α y δ que recomendaba la normativa sísmica de Venezuela de 1982. Para el valor α se tenían tres valores a saber:

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122 ƒ ƒ ƒ

α = 1.5 Si los pórticos con mayor rigidez lateral están ubicados en el perímetro de la planta. α = 5 Si los pórticos con mayor rigidez lateral se encuentran en el centro del edificio. α = 3 Para los restantes casos.

El primer caso α = 1.5 corresponde a aquel en que la rigidez torsional K θθ es bien alto el segundo es el caso contrario y el tercero para casos intermedios. Luego α variaba entre 1.5 y 5. El valor de δ = 1 para los tres casos. Grases et al (1987). En la versión 2001 de la Norma Venezolana se estipulan los valores de α indicados en la tabla 4.7, con el siguiente significado de las variables:

ε=

e r

Ω=

rt wθ = r w

( 4.20 )

Donde e es la excentricidad medida entre el C.R. y el C.C.; r es el valor representativo del radio de giro inercial de las plantas de la edificación; rt valor representativo del radio de giro torsional del conjunto de las plantas de la edificación; wθ es la frecuencia torsional desacoplada; w es la frecuencia que puede ser en sentido X o en sentido Y. En la figura 4.9 se presenta la variación de α y δ .

CASO

0 .5 ≤ Ω ≤ 1

Tabla 4.7 Valores de α y δ de Norma de Venezuela (2001) VALOR DE

1≤ Ω ≤ 2 Ω≥2

Acotando − 1 ≤ δ ≤ 1

α = 1 + [4 − 16 ε ] Ω

α = 1 + [4 − 16 ε (2 − Ω )] (2 − Ω )4 α =1 δ = 6 (Ω − 1) − 0.6

Figura 4.9 Variación de α y δ de la Norma de Venezuela (2001).

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Las ecuaciones de la tabla 4.7 fueron obtenidas ajustando los desplazamientos de los pórticos extremos: rígido y flexible y toma en cuenta la excentricidad y la rigidez torsional en el incremento de los desplazamientos dinámicos con respecto a los desplazamientos estáticos de una planta simétrica. Hernández y López (2003). Al analizar la figura 4.9 se puede indicar que para valores de Ω mayores a 1.5 los valores de α y δ están alrededor de la unidad. Estructuras con Ω alto son torsionalmente rígidas y son aquellas en las cuales se han colocado los pórticos de mayor rigidez en el perímetro. Por el contrario, las estructuras torsionalmente flexibles con valores de Ω bajos corresponden a aquellas en las cuales los pórticos con mayor rigidez se han colocado en la parte central del edificio. En este caso los valores de α y δ son diferentes a la unidad, dependiendo del valor de ε . Con relación a las ecuaciones indicadas en la tabla 4.7, correspondiente a la Norma de Venezuela (2001) se deben hacer las siguientes acotaciones: ƒ

El mayor valor de ε = e / r es 0.2, de tal manera que se evita tener excentricidades altas.

ƒ

Por otro lado el valor de Ω ≥ 0.5 con lo cual se evita tener edificios con valores de K θθ muy pequeños.

ƒ

Se limita la relación e / rt ≤ 0.3 para no tener estructuras con una excentricidad considerable y una rigidez torsional baja.

Si se excede una de estas acotaciones, la Norma de Venezuela (2001) no permite la aplicación del Método de la Torsión Estática y penaliza el factor de reducción de las fuerzas sísmicas R ya que se trata de estructuras con un elevado riesgo torsional. Hernández y López (2003).

4.7.2 Normativas Americanas Las normativas UBC como el SEAOC de los años ochenta, consideraban que α = 1 , δ = 0 y que β = 0.05 . De tal manera que no se amplifica la excentricidad estática para la zona de los pórticos débiles pero tampoco realizan ninguna reducción de la excentricidad en la zona de los pórticos fuertes, en la zona rígida. El UBC (1997), el IBC (2000) y el ICC (2003) determinan el factor de amplificación Ax mediante la siguiente expresión.

⎛ δ 1.0 ≤ Ax = ⎜ max ⎜ 1.2 δ avg ⎝

2

⎞ ⎟ ≤ 3 .0 ⎟ ⎠

( 4.21 )

Donde δ max es el desplazamiento lateral máximo del piso considerado y δ avg es el desplazamiento promedio en los puntos extremos (pórticos extremos) de la estructura, para el piso considerado. El valor de Ax tiene que ser mayor a la unidad y menor que 3.

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Para calcular Ax , de acuerdo a las normativas americanas se debe encontrar los desplazamientos en cada piso y en cada pórtico, con los cortantes de piso debido al método estático más los momentos de torsión que se encuentran con la ecuación que se indica a continuación con α = 1 y β = 0.05 . Con este estado de carga se halla δ max y δ avg , para luego hallar Ax

M ti = Vi (α e s i + β Li )

Luego se realiza el análisis sísmico aplicando el Método Estático y los momentos torsores que se hallan con la ecuación (4.18) considerando α = Ax , δ = 1 y β = 0.05 ∗ Ax .

4.7.3 Código Ecuatoriano de la Construcción El análisis estático se simplifica notablemente cuando el factor de amplificación dinámica α y el factor de control δ son iguales a la unidad α = δ = 1 . En este caso no es necesario calcular el centro de rigidez y la excentricidad estática, basta con considerar que las fuerzas halladas con la ecuación (4.11) actúan en el centro de masa, más un momento torsor adicional debido a la torsión accidental. El CEC-2000 considera que α = δ = 1 y β = 0.05 ∗ Ax La excentricidad accidental se debe a una serie de hipótesis que se consideran en el cálculo para simplificar el análisis sísmico y que puede llevar a que el C.M., por ejemplo, no esté en el lugar que se ha calculado si no que esté desfasado. Que la longitud de la onda sísmica varíe a lo largo del edificio, que la componente rotacional del sismo sea importante y no se tomó en cuenta. Todas estas omisiones y otras variables aleatorias de masa, rigidez y resistencia, conducen a que se mayoran las fuerzas sísmicas halladas con la ecuación ( 4.11 ) por lo que se ha denominado torsión accidental. Lo importante es tener presente, que las fuerzas laterales que se generan en los pórticos debido a la torsión accidental se deben incrementar a las fuerzas estáticas equivalentes por traslación. Para encontrar los desplazamientos laterales y poder calcular δ max y δ avg se necesita conocer las fuerzas laterales pero estas se conocen únicamente del efecto de traslación, método estático. Por lo tanto Ax se debe calcular en forma sucesiva empezando con un valor Ax = 1 , para este valor se hallan las fuerzas laterales debidas a torsión accidental y las fuerzas laterales que estás generan. Con las fuerzas laterales de traslación y de torsión se halla un nuevo Ax y se repite el cálculo hasta lograr una convergencia entre dos valores consecutivos de Ax . Esto es una propuesta del autor del libro.

4.8 ANÁLISIS CON DOS GDL POR PLANTA Para poder incluir la torsión accidental es necesario considerar un modelo con dos grados de libertad por planta, la componente de desplazamiento horizontal y la rotación, con respecto a un eje perpendicular a la losa. En la figura 4.10 se muestra el modelo numérico de cálculo, para una estructura de tres pisos. Nótese que en primer lugar se ha numerado todos los desplazamientos en sentido X, empezando desde el primer piso hasta el último, posteriormente se ha numerado las rotaciones de piso desde el primer piso.

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Figura 4.10 Modelo de dos grados de libertad por planta

Como se vio en el capítulo anterior, los grados de libertad se agrupan en el vector de coordenadas generalizadas q . Para el ejemplo de la figura 4.10, es:

⎡q1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢q 2 ⎥ ⎢q3 ⎥ q= ⎢ ⎥= ⎢q 4 ⎥ ⎢q ⎥ ⎢ 5⎥ ⎣⎢q 6 ⎦⎥

⎡q X ⎤ ⎢ ⎥ ⎢" ⎥ ⎢⎣qθ ⎥⎦

Los desplazamientos horizontales de piso se han agrupado en el vector q X , por que en la figura 4.10 se está realizando el análisis sísmico con respecto a la dirección X. Para esta dirección la matriz de rigidez, triangular superior, en coordenadas de piso, resulta:

⎡ K XX KE = ⎢ ⎣ K XX =

∑ Cosα

2

K L( i )

K θθ =

K Xθ ⎤ ⎥ K θθ ⎦

∑ K (r ) (i ) L

(i ) 2

( 4.22 )

K Xθ =

∑ K (r ) (i ) L

(i )

La sumatoria de las sub matrices se extiende a todos los pórticos en sentido X. Cuando la estructura es simétrica en planta, la sub matriz K Xθ es nula. Para encontrar las fuerzas que se generan en los pórticos debido a la torsión accidental se aplica en cada uno de los pisos un momento de torsión como se ilustra en la figura 4.11.

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Este momento de torsión en cada piso se halla considerando β = 0.05 ∗ Ax de acuerdo al CEC-2000.

Figura 4.11 Problema estático de torsión accidental

Los momentos de torsión accidental de la figura 4.11 se han considerado positivos, en realidad actúan con cualquier signo. Se toma positivo pero los desplazamientos laterales que se generan en los pórticos por efecto de estos momentos se obtienen en valor absoluto. Lo importante es que se mayoran las fuerzas estáticas debidas al desplazamiento lateral. El vector de cargas generalizadas, Q para el problema de la torsión accidental, considerando el modelo numérico indicado en la figura 4.10, es:

⎡0 ⎤ Q = ⎢⎢" ⎥⎥ ⎢⎣ M T ⎥⎦

( 4.23 )

Donde M T es el vector que contiene los momentos de torsión en cada piso. El procedimiento de cálculo de las fuerzas generadas por la excentricidad accidental, es el siguiente:

i.

Se halla la matriz de rigidez en coordenadas de piso, para el modelo de dos grados de libertad por planta.

ii.

Se inicia el cálculo, considerando Ax = 1

iii.

Se hallan los momentos de torsión accidental, considerando β = 0.05 ∗ Ax

iv.

Se encuentra el vector de coordenadas generalizadas q resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones lineales. ( 4.24 )

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127

KE q =Q v.

Se determinan los desplazamientos laterales en cada pórtico, con la siguiente ecuación.

p (i ) = A(i ) q

A

(i )

⎡Cosα = ⎢⎢ ...... ⎢⎣ Cosα

( 4.25 )

r1

⎤ ...... ⎥⎥ rn ⎥⎦

Donde A es la matriz de compatibilidad que relaciona las coordenadas de piso con las coordenadas laterales de los pórticos. El índice i escrito entre paréntesis corresponde al pórtico i, en la dirección del análisis sísmico. En el capítulo anterior se estudió con detenimiento la matriz A por lo que se omite las explicaciones. Únicamente se destaca que como el modelo es de dos grados de libertad por planta la forma de la matriz A , para el análisis sísmico en sentido X, es la indicada. vi.

Con los desplazamientos laterales en cada pórtico, se determina en cada piso el valor máximo en absoluto δ max con los desplazamientos laterales de todos los pórticos, se obtiene también en cada piso δ avg con los desplazamientos laterales, en valor absoluto, de los pórticos extremos y se halla el valor de Ax en cada piso. Luego el valor de Ax de la estructura es el máximo valor de los encontrados en cada piso.

vii.

Se compara el valor de Ax impuesto en el paso ii., con el valor encontrado, si no son parecidos se repite el cálculo.

viii.

Una vez encontrado el valor de Ax , se hallan las fuerzas laterales P en cada pórtico, multiplicando la matriz de rigidez lateral K L por el vector de desplazamientos p .

P ( i ) = K L( i ) p ( i )

( 4.26 )

Al sumar las fuerzas laterales de cada piso, se hallan las fuerzas laterales en el centro de masa, las mismas que se deben sumar a las fuerzas que se encuentran con la ecuación (4.11) Para hallar el momento de torsión accidental se puede trabajar con los cortantes de piso o con las fuerzas laterales de piso. En la forma descrita se ha trabajado con esta última opción.

•

EJEMPLO 2

Realizar el análisis sísmico de la estructura del ejemplo 1, si las dimensiones de vigas y columnas son ahora las indicadas en la tabla 4.8. El peso total reactivo se ha incrementado en 5% debido al aumento de las secciones de los elementos estructurales. Efectuar el análisis

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sísmico con el modelo de dos grados de libertad por planta y empleando el programa ANALISISESTATICO2GDL. Explicar la forma de uso del programa.

Tabla 4.8 Dimensiones de columnas, vigas y peso total reactivo de piso, de ejemplo 2. Piso Columnas Vigas Peso total (cm.) (cm.) reactivo (T.) Pórtico 1 y 4 Pórtico 2 y 3 60/60 70/70 50/55 177.19 1 60/60 70/70 50/55 167.74 2 60/60 70/70 50/55 158.29 3 55/55 65/65 45/50 148.84 4 55/55 65/65 45/50 139.39 5 50/50 60/60 40/50 129.94 6

•

SOLUCIÓN

La determinación de las fuerzas estáticas en el C.M. del Método Estático, fue explicada con detenimiento en el Ejemplo 1, por lo que se explica ahora como se obtienen las fuerzas debido a la torsión accidental. El vector transpuesto de fuerzas F t del método estático, es:

F t = [6.2769 11.8843 16.8221 21.0904

24.6892 34.3077 ]

Como se indicó, la torsión accidental se la puede calcular con los cortantes de piso o con las fuerzas de piso. En este ejercicio se obtiene el momento de torsión M t con las fuerzas de piso. Así para el primer piso se tiene:

M t1 = F1 ∗ 0.05 ∗ Li ∗ Ax = 6.2769 ∗ 0.05 ∗ 15.0 ∗ 1 = 4.7077 Tm Se inicia el cálculo con Ax = 1 . Al proceder en forma similar en los restantes pisos, se obtiene el vector M T indicado en (4.23).

M T = [ 4.7077 8.9132 12.6166 15.8178 18.5169

25.7308]

⎡0 ⎤ Q=⎢ ⎥ ⎣MT ⎦ En este caso el vector 0 está compuesto por seis ceros. Por otra parte, la matriz de rigidez K E , obtenida con inercias gruesas, vale:

⎡ K XX KE = ⎢ ⎣ K Xθ

K Xθ ⎤ ⎥ K θθ ⎦

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K Xθ = 0

Al aplicar la ecuación (4.24) se hallan los desplazamientos y giros en el C.M. por torsión accidental. Estas son:

q = [0 0 0 0 0 0 0.0472 0.1248 0.2017 0.2801 0.3465 0.3931] ∗ 10 −3 Por medio de la matriz A se hallan los desplazamientos laterales p en cada uno de los pórticos, empleando la ecuación (4.25). Estos desplazamientos, son: •

Pórtico 1 = Pórtico 4

p (1)

⎤ ⎡0 ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 ⎥ ⎥ ⎢ − 7.5 ⎡1 ⎤ ⎢0 ⎡− 0.0004⎤ ⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢− 0.0009⎥ ⎢ ⎥ − 7 .5 ⎢ ⎥ ⎢0 ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 ⎢− 0.0015⎥ 1 − 7 .5 ⎥ −3 =⎢ ⎥⎢ ⎥ * 10 = ⎢− 0.0021⎥ 1 − 7 .5 ⎢ ⎥ ⎢0.0472 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 1 − 7 .5 − 0.0026⎥ ⎢0.1248 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎢ ⎥ ⎥ 1 − 7.5⎦⎥ ⎢0.2017 ⎥ ⎣⎢ ⎣⎢− 0.0029⎦⎥ ⎢0.2801 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0.3465 ⎥ ⎢0.3931 ⎥ ⎣ ⎦

Pero los desplazamientos laterales se consideran en valor absoluto, ya que los momentos de torsión que actúan en cada piso pueden actuar en sentido horario o antihorario. Por este motivo es que los desplazamientos laterales del pórtico 1 son iguales a los del pórtico 4, ya que para ambos pórticos el valor de r es 7.5, para el pórtico 1 es negativo y para el pórtico 4 es positivo. Al multiplicar los desplazamientos laterales por la matriz de rigidez lateral del pórtico se hallan las fuerzas laterales en cada piso P . El vector transpuesto de P resulta.

P (1) t = [0.1203 0.4790 0.8049 0.9018 1.0906 1.5280 ]

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•

p ( 2)

Pórtico 2 = Pórtico 3

⎡0 ⎤ ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥ − 2.5 ⎡1 ⎤ ⎢0 ⎡− 0.1180 ⎤ ⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢− 0.3119 ⎥ ⎢ ⎥ − 2.5 ⎢ ⎥ ⎢0 ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 ⎢ ⎥ − 2.5 1 − 0 . 5043 ⎥ −3 =⎢ * 10 −3 = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ∗ 10 ⎥ 1 − 2 . 5 0 . 0472 − 0 . 7002 ⎢ ⎥⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0.1248 ⎥ ⎢− 0.8664 ⎥ 1 − 2.5 ⎢ ⎥⎢ ⎢ ⎥ ⎥ − 2.5⎥⎦ ⎢0.2017 ⎥ 1 ⎢⎣ ⎢⎣− 0.9827 ⎥⎦ ⎢0.2801 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0.3465 ⎥ ⎢0.3931 ⎥ ⎣ ⎦ P ( 2 ) t = [0.5807

0.3456 0.1086 0.4583 0.4316 0.5621]

La suma de las fuerzas laterales de los cuatro pórticos, reporta las fuerzas laterales en el C.M. debido a torsión accidental. Estas son las siguientes:

t FTOR = [1.4019 1.6493 1.8270 2.7201 3.0444 4.1802]

Finalmente las fuerzas finales en el C.M. se hallan sumando las fuerzas laterales debido al Método Estático más las fuerzas laterales debido a la Torsión Estática. Estas resultan.

FTOTALES = [7.6788 13.5335 18.6491 23.8105 27.7337 38.4880 ] Se deja al lector la verificación e que el valor de Ax es menor que la unidad para todos los pisos, razón por la que Ax = 1 , que es el valor impuesto.

4.9 PROGRAMA ANALISISESTATICO2GDL La forma de uso del programa es: ™ ƒ ƒ ƒ

[V]=analisisestatico2gdl(ejes,altura,peso,KL,r) ejes altura peso

Es el número de ejes en la dirección del análisis sísmico. Vector que contiene la altura desde la base a cada piso. Vector que contiene los pesos de cada uno de los pisos.

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KL

ƒ

r

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Matriz con las matrices de rigidez lateral de cada pórtico en la dirección de análisis sísmico. Calculada con inercias gruesas. Vector con las distancias del centro de masa a cada pórtico. El programa considera que los C.M., son colineales.

La única diferencia en la entrada de datos con el programa ANALISISESTATICONEW se da en el vector r, que se debe ingresar. Para el ejemplo 2, el vector transpuesto de r es:

r t = [−7.5

− 2 .5

2 .5

7.5]

Las matrices de rigidez lateral también cambian ya que se incrementó la sección de las columnas. Al igual que el vector que contiene a los pesos de cada piso. Se deja al lector la determinación de estos datos. Los resultados se indican en la tabla 4.9

Pisos 1 2 3 4 5 6

Tabla 4.9 Resultados de ejemplo 2. Fuerza sin Desplazamientos Deriva de piso Torsión ( T. ) Inelásticos ( m. ) 6.2769 0.0103 0.0034 11.8843 0.0281 0.0059 16.8221 0.0462 0.0060 21.0904 0.0645 0.0061 24.6892 0.0801 0.0052 34.3077 0.0912 0.0037

R = 6 A x = 1 γ = 0.61%

Fuerzas Finales ( T. ) 7.6788 13.5335 18.6491 23.8105 27.7337 38.4880

La deriva de piso máxima es menor al 1.5%. Se puede pensar en disminuir las secciones de los elementos estructurales ya que γ = 0.61% .

4.9.1

Programa ANALISISESTATICO2GDL

A continuación se lista el programa ANALISISESTATICO2GDL, cuyas características principales, son las siguientes: •

• • • •

Se considera el factor de reducción de las fuerzas sísmicas R = 6 para los perfiles de suelo S1, S2 y S3. Para el perfil de suelo S4 el valor de R = 5 . Los resultados que se hallan del estado de cargas S no deben ser mayorados en las combinaciones de carga. Determina el factor de amplificación por torsión Ax en forma interactiva. Se considera que α = δ = 1 por lo que se omite el cálculo de la excentricidad estática. Determina las fuerzas debidas a torsión accidental, resolviendo un problema estático. Se trabaja con las formas espectrales del CEC-2000.

function [V]=analisisestatico2gdl(iejes,alt,peso,KL,r) % % Analisis Estatico de acuerdo al CEC-2000 de edificios aporticados regulares % % Factor de reduccion de las fuerzas sismicas esta en funcion del nivel de % diseño (de la capacidad de ductilidad de la estructura). Son los

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% resultados finales del proyecto de investigacion desarrollado en el % CEINCI-ESPE en 2007 sobre el factor de reduccion de las fuerzas sismicas. % Esta programado para nivel de diseño sismico elevado (ductilidad=4). % % Se obtienen las fuerzas laterales debidas a torsion accidental de acuerdo % al CEC-2000. Se incluye el factor Ax. % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE % Version de diciembre de 2007 %----------------------------------------------------------------------% [V]=analisisestatico2gdl(iejes,alt,peso,KL) %----------------------------------------------------------------------% Ru Factor de reduccion por ductilidad Rs Factor de resistencia % Rr Factor de redundancia R Factor de reduccion % H Altura total de edificio Z Factor de Zona % iejes # de ejes de columnas % alt Vector que contine las alturas a cada piso medido desde el suelo. % peso Vector que contiene los pesos reactivos de cada piso. % PESO Peso total Reactivo. V Cortante Basal % gama Deriva maxima de piso que el programa calcula. % KL Matriz que contiene la matriz de rigidez lateral de cada portico % r Vector que contiene la distancia del portico al centro de masa, de % cada uno de los porticos, con signo, positivo antihorario. % % NP=length(alt); PESO=0;for i=1:NP; PESO=PESO+peso(i);end; H=alt(NP); fprintf ('\n Codigos para zonas sismicas: 0.15g=1 0.25g=2 0.30g=3 04g=4'); ic=input ('\n Ingrese el codigo de la zona sismica :'); if ic==1; Z=0.15;elseif ic==2; Z=0.25;elseif ic==3;Z=0.30;else;Z=0.40;end fprintf ('\n Codigos para perfiles de suelo: S1=1 S2=2 S3=3 S4=4'); is=input('\n Indique el codigo del tipo de suelo :'); if is==1 T1=0.50;T2=2.50;beta=2.5;S=1;R=6; elseif is==2 T1=0.52;T2=3.11;beta=3.0;S=1.2;R=6; elseif is==3 T1=0.82;T2=4.59;beta=2.8;S=1.5;R=6; else T1=2.0;T2=10;beta=2.5;S=2;R=5; end I=input('\n Indique el factor de importancia :'); % Periodo fundamental, el mismo que se amplifica por inercia agrietada T=0.0731*H^(0.75);T=1.3*T; rp=input('Estructura es regular en planta; si(s) o no(n):','s'); if rp=='s';fip=1;else;fip=0.8;end re=input('Estructura es regular en elevacion; si(s) o no(n):','s'); if rp=='s';fie=1;else;fie=0.8;end %Coeficiente C C=(1.25*S^S)/T; if C >=beta;C=beta;end if C =abs(p(j)); continue else qmax(j)=abs(p(j)); end end end for j=1:NP qavg(j)=(q1(j)+q2(j))/2; Ax(j)=qmax(j)/(1.2*qavg(j)); if Ax(j)3; Ax(j)=3; end; end Axmax=max(Ax); Momtor=Momtor';cero=cero';FTx=FTx'; end FTx=FTx';FTOTAL=F+FTx; fprintf('\n Fuerzas laterales en cada piso con torsion accidental'); FTOTAL fprintf('\n Valor de Ax'); Axmax %---fin

4.10 SISMO DE CARIACO El 9 de julio de 1997, un sismo de magnitud M s = 6.8 se registró en Venezuela y afectó a las poblaciones de Cariaco y Casanay, en el Estado Sucre. Bonilla et al (2000). Hubo bastante daño en la zona pero únicamente se va a comentar el colapso del edificio Miramar, ubicado en la ciudad de Cumaná. En la figura 4.12 se aprecia en la parte superior como era el edificio antes del sismo, estaba compuesto por un sótano destinado a parqueadero, nivel de planta baja con mezzanine y seis plantas tipo, con 4 apartamentos por nivel. A la derecha se aprecia que el edificio tenía cinco ejes de columnas en una dirección y tres ejes de columnas en la otra dirección con luces considerables. El edificio Miramar tenía como núcleo de escaleras tres muros de 15 cm., de espesor ubicados en una de las esquinas del edificio como se aprecia en la fotografía tomada antes del sismo y en la distribución en planta. Además de ello muy cerca se hallaba el núcleo de ascensores compuesto por muros de 15 cm., de espesor. De tal manera que el Centro de

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Rigidez se hallaba por esta zona, muy distante del Centro de Masa y por lo tanto con excentricidades muy grandes que fueron la causa principal del colapso del edificio.

Figura 4.12 Edificio Miramar antes, del sismo; distribución en planta y edificio después del sismo.

Evidentemente, los pórticos débiles eran el 5 en un sentido y el A en el otro sentido. Los pórticos fuertes son el 1 y el C. En la parte inferior de la figura 4.12 se observa que parte de estos pórticos fuertes fueron los que quedaron en “pie”, ya que la estructura en planta tuvo grandes rotaciones con respecto a esta zona rígida. Si se habría desacoplado el núcleo de escaleras de la estructura principal, mediante una junta de construcción y si en lugar de muros alrededor del núcleo de ascensor se habría colocado paredes con bloques, no se habría tenido el colapso. Lo importante es que el lector conozca el problema y procure que el Centro de Masa se encuentre muy cercano al Centro de Rigidez, esto es factible lograrlo dándole mayor rigidez a los pórticos débiles, es factible lograrlo con disipadores de energía o con aisladores de base, que se estudian en los dos últimos capítulos de este libro.

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REFERENCIAS 1. Aguiar R., Briones M., González A., Zambrano J., Marcillo L., Sabando G., Zambrano E., Sumba M., (2006), “Propuesta para encontrar los períodos de vibración con inercias agrietadas”, Segundo Congreso Nacional de Investigación Tecnológica e Innovación. Escuela Politécnica del Litoral, 18 p., Guayaquil. 2. Bonilla R., López O., Castilla E., Torres R., Marinilli A., Annicchiarico W., Garcés F., y Maldonado Z., (2000), “El terremoto de Cariaco del 9 de julio de 1997”, Instituto de Materiales y Modelos Estructurales. Universidad Central de Venezuela, 38 (2), 1-50, Caracas Venezuela. 3. CEC-2000, “Código Ecuatoriano de la Construcción”, XIII Jornadas Nacionales de Ingeniería Estructural. Pontificia Universidad Católica del Ecuador, 325-350, Quito. 4. Crisafulli F., (2002), Efectos torsionales en estructuras dúctiles sometidas a terremotos, XVI Curso Internacional de Estructuras. Escuela Politécnica del Ejército, Quito. 5. Goel R., and Chopra A., (1997), “Period formulas for moment-resisting frame buildings”, Journal of Structural Engineering, 123 (11), 1454-1461. 6. Grases J., López O., Hernández J., (1987), Edificaciones Sismorresistentes. Manual de aplicación de las Normas. Colegio de Ingenieros de Venezuela. Fundación Juan José Aguerrevere., Segunda Edición, 269 p. Caracas. 7. Hernández J., y López O., (2003), “Confiabilidad del método de la torsión estática de la Norma Sismorresistente Venezolana”, Instituto de Materiales y Modelos Estructurales. Universidad Central de Venezuela, 41 (2-3), 1-27, Caracas Venezuela. 8. Hernández J., y López O., (2007), “Investigación de respuestas sísmicas críticas incorporando la torsión accidental”, Instituto de Materiales y Modelos Estructurales. Universidad Central de Venezuela, 45 (3), 22-51, Caracas Venezuela. 9. ICC, (2003), International Building Code, International Code Council Inc., Birmingham Al USA. 10. IBC (2000), International Building Code, International Code Council Inc., Birmingham Al USA. 11. Norma COVENIN 1756-98 (Rev. 2001), “Edificaciones Sismorresistentes”, FUNVISIS. Ministerio de Desarrollo Urbano, 69 p., Caracas. 12. Rosenblueth E., and Elorduy J., (1969), “Response of linear systems to certain transient disturbances”, Proceedings of the Fourth World Conference on Earthquake Engineering, Vol 1, A1-185 to A1-196, Santiago de Chile. 13. Uniform Building Code UBC, (1997), International Conference of Building Officials ICBO, Volume 2, 492p., Whittier, California. 14. Vásquez J., and Riddell R., (1984), “Existence of centers of resistance and torsional th uncoupling of earthquake response of buildings”, Proc., of the 8 World. Conf. in Earthquake Engrg., Prentice Hall, Inc, IV, 187-194, Englewood Cliffs.

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CAPÍTULO 4

MÉTODO ESTÁTICO Y TORSIÓN ESTÁTICA

RESUMEN Se presenta la teoría y dos programas de computación para realizar el análisis sísmico de estructuras que tienen menos de 10 pisos y que son regulares en planta y elevación. En el primer programa denominado ANALISISESTATICONEW se considera un modelo con un grado de libertad por planta y en el segundo programa ANALISISESTATICO2GDL se considera un modelo de dos grados de libertad por planta. En los dos programas el usuario debe ingresar como dato la matriz de rigidez lateral obtenido con inercias gruesas, de los pórticos en el sentido de análisis sísmico. En el programa ANALISISESTATICONEW las fuerzas debido a torsión accidental se obtienen mayorando un 10% las fuerzas estáticas. Mientras que en el programa ANALISISESTÁTICO2GDL se calcula las fuerzas en cada uno de los pórticos por efecto de los momentos de torsión accidental. En los dos programas la acción sísmica está definida por un espectro de diseño inelástico, el mismo que se obtiene dividiendo las ordenadas del espectro elástico para el factor de reducción de las fuerzas sísmicas R indicado en el capítulo 2. Los programas están realizados para el nivel de diseño de disipación de energía elevada. Posteriormente, cuando se realicen las combinaciones de carga, el estado de fuerzas S que se obtiene del análisis sísmico, no se debe ser mayorar y se deberá cumplir que la deriva máxima de piso, inelástica sea menor al 1.5%. Se presenta, en primer lugar, un estudio desarrollado en la Universidad Técnica de Manabí, Aguiar et al (2006) en el que se obtuvo el período de vibración de 36 estructuras de 1 a 6 pisos, empleando una de las fórmulas que recomienda el CEC-2000 para calcular el período en función de la altura total del edificio, el mismo que es comparado con los que se encuentran de la solución del problema de vibraciones libres en sistemas de múltiples grados de libertad sin considerar amortiguamiento, para dos condiciones a saber: con inercias gruesas y considerando inercias agrietadas y con la recomendada por Goel y Chopra (1997).

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Del estudio realizado se recomienda que el período que se halla con la ecuación

T = 0.0731 H 3 / 4 sea multiplicado por 1.3 que es el factor con el cual se corrige la forma de cálculo. Con el período resultante se procede al cálculo del cortante basal mínimo. También se ha hallado una ecuación que permite calcular el período considerando inercias agrietadas. En este capítulo se estudia con detenimiento la excentricidad estática, en el capítulo seis, se hace lo propio con la excentricidad accidental y en el capítulo 8, con la forma de obtener los centros de: rigidez, de corte y de giro. De tal manera que estos tres capítulos son complementarios entre sí para entender el problema de la Torsión Estática que es fácil en su formulación, como se verá más adelante pero es bastante complejo, motivo por el cual varias normativas sísmicas lo abordan de diferente manera.

4.1 PERÍODO DE VIBRACIÓN EN ESTRUCTURAS SIN MUROS Para pórticos espaciales de hormigón armado, que son las estructuras formadas por vigas y columnas, sin muros de corte el CEC-2000 recomienda las siguientes ecuaciones para el cálculo del período fundamental.

T = 0.0731 H 3 / 4

( 4.1 )

Siendo H la altura total del edificio. También puede calcularse el período en función de los desplazamientos laterales δ i y de las fuerzas aplicadas f i , para el efecto se debe imponer una distribución aproximada de las fuerzas laterales. La ecuación de cálculo es:

⎞ ⎛ n ⎞ ⎛ n T = 2π ⎜⎜ wi δ i2 ⎟⎟ ÷ ⎜⎜ g f i δ i ⎟⎟ ⎠ ⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1

∑

∑

( 4.2 )

Donde wi , f i , δ i son el peso reactivo del piso i, la fuerza horizontal aplicada en el piso i, el desplazamiento lateral del piso i. g es la aceleración de la gravedad. El período calculado con la ecuación ( 4.2 ) no debe ser mayor en un 30% al período calculado con la ecuación ( 4.1 ). La ecuación ( 4.1 ) tiene un respaldo experimental en cambio la ecuación ( 4.2 ) tiene un respaldo analítico pero en los dos casos se trabaja con inercias gruesas, en las secciones. Es importante destacar esto ya que ante el sismo estipulado por el CEC-2000 se espera daño en la estructura razón por la cual el código especifica las siguientes inercias agrietadas con las cuales se debe realizar el análisis sísmico.

I V = 0.5 I g I C = 0.8 I g

( 4.3 )

Donde I g es el momento de inercia grueso, calculado con la sección total; I V , I C son los momentos de inercia agrietados de las vigas y columnas respectivamente. Por lo tanto, para el análisis sísmico por el método estático, empleando el espectro del CEC-2000 se debe trabajar con un período, obtenido en una estructura con inercias agrietadas. Se

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sabe que cuando la estructura ingresa al rango no lineal el período de vibración se incrementa, de tal manera que el período es mayor al que se obtiene con la ecuación ( 4.1 ) o con ( 4.2 ).

4.1.1

Trabajo de Goel y Chopra (1997)

Goel y Chopra (1997) obtienen ecuaciones para encontrar en forma aproximada el período de vibración, en estructuras sin y con muros de corte. En este apartado se presenta el primer caso en que la estructura está compuesta únicamente por vigas y columnas, sin muros de corte. Ellos obtienen períodos que han sido registrados en algunos edificios luego de eventos sísmicos. En la tabla 4.1 se presentan parte de los edificios, en los cuales se tienen valores de períodos registrados, después de los sismos que están indicados en la mencionada tabla. Se aprecia el número de pisos, la altura total de los edificios y los períodos registrados en las dos direcciones perpendiculares.

Tabla 4.1 Períodos obtenidos en edificios de H.A. conformados por vigas y columnas Localización Número Altura Terremoto Período T de pisos (ft) (s) Longitudinal Transversal Los Angeles 14 148.0 Northridge -2.28 Los Angeles 5 119.0 Northridge 1.46 1.61 Los Angeles 5 119.0 Whittier 1.40 1.30 Los Angeles 15 274.0 Northridge 3.11 3.19 Los Angeles 9 141.0 Northridge 1.39 1.28 Los Angeles 20 196.8 San Fernando 2.27 2.09 Los Angeles 20 196.8 San Fernando 2.27 2.13 Los Angeles 20 196.8 San Fernando 2.24 1.98 Los Angeles 22 204.3 San Fernando 1.94 2.14 Los Angeles 22 204.3 San Fernando 1.84 2.17 North Hollywood 20 169.0 Northridge 2.60 2.62 Sherman Oaks 13 124.0 San Fernando 1.20 1.40 Sherman Oaks 13 184.5 Whittier 1.90 2.30 Sherman Oaks 13 184.5 Whittier -2.44 Van Nuys 7 65.7 Whittier 1.40 1.20

Los datos de la tabla 4.1 corresponden a edificios en los cuales se registraron aceleraciones máximas del suelo mayores a 0.15 g., es decir que provocaron cierto daño en la estructura. Goel y Chopra (1997) en total trabajaron con 68 valores de períodos que incluye a registros con aceleraciones menores a 0.15 g. Del análisis de regresión realizado encontraron la siguiente ecuación para hallar el período.

T = 0.016 H 0.90

( 4.4 )

Donde la altura H se expresa en pies. La relación encontrada por Goel y Chopra reporta valores superiores de período en relación a la recomendada por el UBC-97 y que ha sido acogida por varios códigos, entre ellos el CEC-2000. La ecuación del UBC-97 para edificios de H.A. conformada por vigas y columnas es:

T = 0.030 H 3 / 4

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( 4.5 )

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En la figura 4.1 se ha ploteado los períodos encontrados en edificios cuya aceleración máxima del suelo, debido al sismo, fue superior a 0.15 g., y que constan en la tabla 4.1, con una línea continua se han unido los períodos longitudinal y transversal registrados en un edificio. Se ha dibujado además la curva que se obtiene con la ecuación ( 4.4 ) y la que se halla con la ecuación ( 4.5 ). Esta última se identifica con el título de “códigos”. Se aprecia que mejor se ajusta la ecuación propuesta por Goel y Chopra; la misma tendencia se tiene con los 68 valores de períodos con los cuales obtuvieron la relación entre la altura del edificio H , y el período fundamental T.

3,5

Periodo T (s)

3

Goel y Chopra

2,5 2

Códigos

1,5 1 0,5 0 0

100

200

300

400

Altura H (ft) Figura 4.1 Períodos encontrados en edificios cuya aceleración del suelo es mayor a 0.15 g.

En las ecuaciones ( 4.4 ) y ( 4.5 ) la altura H debe expresarse en pies, si se desea colocar en metros estas ecuaciones cambian a:

T = 0.0466 H 0.90

( 4.6 )

T = 0.0731 H 3 / 4 Se destaca que para edificios con alturas mayores a 100 ft. La ecuación propuesta por Goel y Chopra (1997) reporta mayores valores que la que se obtiene con la ecuación que estipula en CEC-2000. Para edificios cuya altura es menor a 100 ft. Las dos ecuaciones reportan valores similares. En la ecuación ( 4.6 ) el período se obtuvo en base a los elementos estructurales y no estructurales que son los que conforman los edificios. La incorporación de los elementos no estructurales hace que la estructura sea más rígida y por ende se disminuye el período de vibración.

4.1.2

Trabajo de Aguiar et al (2006)

Aguiar et al (2006) obtuvieron el período de vibración de 36 edificios de hormigón armado, conformados por vigas y columnas, sin muros de corte, de 1 a 6 pisos. Se hallaron los períodos de 246 pórticos, calculado de la siguiente manera:

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Con inercias gruesas se obtuvo la matriz de rigidez lateral y luego se obtuvo la matriz de masas. El período se halla de la solución del problema de valores y vectores propios. A esta forma de cálculo se denomina Igruesa. En la figura 4.2 se indica los resultados obtenidos, con línea continua se muestra la curva de valores medios y la ecuación de ajuste es la siguiente:

T = 0.0845 H 0.7751

( 4.7 )

Figura 4.2 Períodos encontrados en el estudio con inercias gruesas y curva de ajuste. •

En forma similar a la anterior pero considerando inercias agrietadas de acuerdo a lo recomendado por el CEC-2000. Los resultados obtenidos se presentan en la figura 4.3. A este caso se denomina Iagrietada, la ecuación hallada del ajuste es:

T = 0.0901 H 0.8212

( 4.8 )

Figura 4.3 Períodos encontrados en el estudio con inercias agrietadas y curva de ajuste.

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En la figura 4.4 se presentan las curvas que determinan el período en función de la altura total del edificio, que se hallan con las ecuaciones de Goel y Chopra ( 4.6) que se ha denominado Chopra, la halladas por Aguiar et al (2006) mediante las ecuaciones ( 4.7 ) para la Igruesa y la ( 4.8 ) para la Iagrietada. También se presenta la que se halla con la ecuación del CEC2000 que es la ecuación ( 4.1 ) pero multiplicado por 1.3, a esta se denomina UBC-97. Se aprecia en la figura 4.4 una gran aproximación entre las curvas Igruesa con UBC-97. Por lo tanto se recomienda calcular el período de vibración con la ecuación ( 4.1 ) y multiplicar éste valor por 1.3; para el caso en que se trabaje con inercias gruesas. Esta recomendación ha sido acogida en los programas que se presentan en este capítulo para hallar el período fundamental de vibración.

Figura 4.4 Períodos medios hallados en el estudio El incremento del período de vibración conduce a tener valores de C , más bajos, como se ilustra en la figura 4.5 y por ende a valores de V0 más bajos. La fórmula propuesta por Goel y Chopra (1997) reporta períodos bajos para edificios con alturas menores a 20 m. Si se desea trabajar con inercias agrietadas se debe utilizar la ecuación ( 4.8 ). Por cierto en todos los edificios analizados se consideró que la altura del primer piso es de 4 m., y la altura de los restantes pisos es de 3.0 m. Por ejemplo los edificios de 4 pisos tienen una altura total de 13.0 m.

4.2 CORTANTE BASAL MÍNIMO El cortante basal mínimo V0 de acuerdo al CEC-2000 se determina con la siguiente ecuación.

V0 =

ZIC W R φ p φe

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( 4.9 )

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Donde Z es el factor de zonificación sísmica, definido en la tabla 4.2; es el coeficiciente de la aceleración de la gravedad, indicado en el mapa de zonificación sísmica presentado en el capítulo 1. I es el coeficiente de importancia, C es un coeficiente mostrado en la figura 4.5, R es el factor de reducción de las fuerzas sísmicas debido a comportamiento inelástico de la estructura, analizado con detenimiento en el capítulo 2, φ p , φ e factores que toman en cuenta las irregularidades en planta y elevación. W es el peso total reactivo que se calcula únicamente con la carga muerta.

Zona Sísmica Factor Z

Tabla 4.2 Factor Z en función de la zona sísmica. 1 2 3 0.15 0.25 0.30

4 0.40

Figura 4. Coeficiente C En la figura 4.5 se aprecia que el coeficiente C se calcula con la siguiente ecuación:

C=

1.25 S S ≤β T

( 4.10 )

El valor de C no es el coeficiente sísmico que relaciona el cortante basal con el peso total de la estructura. En la tabla 4.3 se señalan los valores de S y β de acuerdo al perfil de suelo.

Perfil de Suelo S

β

Tabla 4.3 Perfiles de suelo y valores de S y β . S1 S2 S3 1.0 1.2 1.5 2.5 3.0 2.8

S4 2.0 2.5

Se destaca que V0 definido en la ecuación ( 4.9 ) representa el cortante basal mínimo con el cual se deberá controlar el cortante basal que se halla con otros métodos, como se verá en capítulos posteriores.

4.3 MÉTODO ESTÁTICO

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Una vez que se determina el cortante basal con la ecuación ( 4.9 ) se procede a encontrar las fuerzas laterales Fi en cada uno de los pisos mediante las siguientes ecuaciones:

Fi =

(V0 − Ft ) wi hi n

∑w

i

( 4.11 )

hi

i =1

Ft = 0.07 V0 T

( 4.12 )

Donde Ft es la fuerza en el último piso de la estructura con la cual se pretende corregir la influencia de los modos superiores, ya que la ecuación ( 4.11 ) considera solo el primer modo de vibración y de forma lineal., wi es el peso reactivo del piso i, hi es la altura desde la base hasta el piso i. Finalmente T es el período fundamental de la estructura. El CEC-2000 estipula que cuando el período de vibración es menor o igual a 0.7 s., puede considerarse nulo el valor de Ft . De igual manera se deberá controlar que el valor de la fuerza en el tope Ft no exceda 0.25 V0 .

4.4 PROGRAMA ANALISISESTATICONEW En este programa se considera que el factor de reducción de las fuerzas sísmicas es igual a 6 para los perfiles de suelo S1, S2 y S3. Para el perfil de suelo S4 este factor vale 5. Por lo tanto el factor R programado corresponde al caso de disipación de energía elevada, descrito en el capítulo 2. Se recuerda que asociado a estos valores la deriva máxima de piso, inelástica, γ = 1.5% . Una vez que se hallan las fuerzas laterales se obtienen los desplazamientos laterales elásticos q en cada piso empleando la ecuación básica de estructuras:

Q=Kq

( 4.13 )

Al considerar un modelo de un grado de libertad por planta, el vector de cargas Q está compuesto por las fuerzas laterales de cada uno de los pisos y la matriz de rigidez K es igual a la suma de las matrices de rigidez lateral de cada uno de los pórticos, en la dirección del análisis sísmico, obtenido con inercias gruesas ya que con estos valores se halla la deriva de piso. Los desplazamientos inelásticos q INE , de acuerdo al CEC-2000 se obtienen multiplicando los desplazamientos elásticos q por el factor de reducción de las fuerzas sísmicas R .

q INE = R q

( 4.14 )

Las derivas de piso γ se hallan dividiendo el desplazamiento relativo de piso para la altura de entrepiso h .

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γi =

q INEi − q INEi −1 hi

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( 4.15 )

El subíndice i representa el piso i . La deriva máxima de piso γ de todo el edificio, es el mayor de las derivas de piso. Finalmente, se destaca que el programa ANALISISESTATICONEW no calcula los momentos debidos a torsión accidental y por ende las fuerzas laterales debidas a torsión accidental por lo que las fuerzas estáticas obtenidas debido a traslación se incrementan en un 10% por la torsión accidental, que se analizará posteriormente.

•

EJEMPLO 1

Realizar un análisis sísmico estático para la estructura de 6 pisos, cuya configuración en planta es la indicada en la figura 4.6. Si esta se halla sobre un perfil de suelo S2, en la zona de mayor peligrosidad sísmica del Ecuador. Las dimensiones de las vigas y columnas se indican en la tabla 4.4 al igual que el peso total reactivo de cada uno de los pisos. La altura de cada entrepiso es de 3.0 m., El módulo de elasticidad E = 1738965 .21 T / m 2 .

Figura 4.6 Distribución en planta de edificio de 6 pisos.

Se desea realizar el análisis utilizando el programa ANALISISESTATICONEW. Indicar las fuerzas laterales en centro de masa, sin torsión accidental, los desplazamientos inelásticos, las derivas de piso y las fuerzas laterales finales considerando en forma aproximada la torsión accidental.

•

SOLUCIÓN

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Se determina la matriz de rigidez lateral de cada uno de los pórticos, para el presente ejercicio se ha trabajado con el programa RLAXINFI. Se obtiene con inercias gruesas ya que sirve para encontrar la deriva de piso, siguiendo el procedimiento del CEC-2000.

Piso

1 2 3 4 5 6

Tabla 4.4 Dimensiones de columnas, vigas y peso total reactivo de piso. Columnas Vigas Peso total (cm.) (cm.) reactivo (T.) Pórtico 1 y 4 Pórtico 2 y 3 55/55 60/60 30/35 168.75 55/55 60/60 25/35 159.75 55/55 60/60 25/35 150.75 50/50 55/55 25/35 141.75 50/50 55/55 25/30 132.75 45/45 50/50 25/30 123.75

Con los datos de la tabla 4.4, se obtienen dos matrices de rigidez lateral, una para los pórticos exteriores y otra para los pórticos interiores. Estas son: ¾

Pórtico 1 y 4

¾

Pórtico 2 y 3

La matriz de rigidez K en coordenadas de piso, para el modelo de un grado de libertad por planta, resulta:

K =

n

∑K

(i ) L

( 4.16 )

i =1

Donde n es el número de pórticos en la dirección del análisis sísmico. La ecuación (4.16) se habría podido escribir K = K XX . Para el ejemplo se tiene:

K = K L(1) + K L( 2 ) + K L(3) + K L( 4)

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A continuación se presenta en forma resumida los cálculos realizados. •

Período

(

)

(

)

C=

1.25 S S ≤β T

C=

1.25 ∗ 1.21.2 = 1.8733 0.8305

T = 0.0731 H 3 / 4 ∗ 1.3 = 0.0731 ∗ 18 0.75 ∗ 1.3 = 0.8305 s. •

•

Coeficiente C

Cortante Basal mínimo

V0 =

ZIC 0.4 ∗ 1 ∗ 1.8733 W= ∗ 877.5 = 109.5893 R φ p φe 6 ∗1∗1

Se está colocando los valores que reporta el programa, redondeado a cuatro decimales y estrictamente no coincide en el tercer o cuarto decimal, debido a que el valor de C está redondeado. •

Fuerza en el tope

Ft = 0.07 V0 T = 0.07 ∗ 109.5893 ∗ 0.8305 = 6.3709 V0 − Ft = 103.2184 El cálculo de las fuerzas en cada piso, que se halla con la ecuación (4.11) se resume en la tabla 4.5

Tabla 4.5 Cálculo de las fuerzas en C.M. sin torsión accidental Piso

wi

hi

wi hi

Fi

1 2 3 4 5 6

(T.) 123.75 132.75 141.75 150.75 159.75 168.75

(m.) 3.0 6.0 9.0 12.0 15.0 18.0

(Tm.) 371.25 796.50 1275.75 1809.00 2396.25 3037.50

∑=

9686.25

(T.) 3.9564 8.4877 13.5947 19.2771 25.5349 32.3680+6.3709 =38.7389 109.5894

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Para hallar los desplazamientos elásticos en la estructura, el vector de cargas Q está compuesto por las fuerzas indicadas en la última columna de la tabla 4.5. Luego su vector transpuesto vale: Q t = [3.9564

8.4877 13.5947 19.2771 25.5349 38.7389] . Al resolver

el sistema de ecuaciones planteado en ( 4.13 ) con la matriz de rigidez K =

∑KL

que ya fue

indicada se hallan los desplazamientos elásticos q . Estos son:

⎡0.0061⎤ ⎢0.0193⎥ ⎢ ⎥ ⎢0.0353⎥ q=⎢ ⎥ ⎢0.0516⎥ ⎢0.0668⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣0.0799⎥⎦ Son desplazamientos elásticos, debido a que la ecuación (4.13) es la ecuación matricial de estructuras en el rango elástico. Para hallar los desplazamientos inelásticos, de acuerdo al CEC-2000 los desplazamientos q se multiplican por el factor de reducción de las fuerzas sísmicas R = 6 . Las fuerzas estáticas finales se hallan multiplicando la última columna de la tabla 4.5 por 1.1. A continuación se presentan los resultados que se obtienen con el programa ANALISISESTATICONEW.

Pisos 1 2 3 4 5 6

Tabla 4.6 Resultados de ejemplo 1. Fuerza sin Desplazamientos Deriva de piso Torsión ( T. ) Inelásticos ( m. ) 3.9561 0.0364 0.0121 8.4877 0.1160 0.0265 13.5947 0.2116 0.0319 19.2771 0.3096 0.0326 25.5349 0.4011 0.0305 38.7389 0.4794 0.0261

R=6

γ = 3.26%

Fuerzas Finales ( T. ) 4.3517 9.3364 14.9541 21.2048 28.0884 42.6127

V0 = 109.5893 T .

La deriva de piso máxima es mayor del 1.5%. Por lo que se debe incrementar las dimensiones de vigas y columnas. Esto se lo realiza en el ejemplo 2.

4.4.1

Listado del programa ANALISISESTATICONEW

function [V]=analisisestaticonew(iejes,alt,peso,KL) % % Analisis Estatico de acuerdo al CEC-2000 de edificios aporticados regulares % % Factor de reduccion de las fuerzas sismicas esta en funcion del nivel de % diseño (de la capacidad de ductilidad de la estructura). Son los % resultados finales del proyecto de investigacion desarrollado en el % CEINCI-ESPE en 2007 sobre el factor de reduccion de las fuerzas sismicas. % Esta programado para nivel de diseño sismico elevado (ductilidad=4).

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ROBERTO AGUIAR FALCONI CEINCI-ESPE % % Se mayoran las fuerzas sismicas por torsion accidental en 10%. % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE % Version de diciembre de 2007 %----------------------------------------------------------------------% [V]=analisisestaticonew(iejes,alt,peso,KL) %----------------------------------------------------------------------% Ru Factor de reduccion por ductilidad Rs Factor de resistencia % Rr Factor de redundancia R Factor de reduccion % H Altura total de edificio Z Factor de Zona % iejes # de ejes de columnas % alt Vector que contine las alturas a cada piso medido desde el suelo. % peso Vector que contiene los pesos reactivos de cada piso. % PESO Peso total Reactivo. V Cortante Basal % gama Deriva maxima de piso que el programa calcula. % KL Matriz que contiene la matriz de rigidez lateral de cada portico % en la direccion del analisis sismico con inercias gruesas % NP=length(alt); PESO=0;for i=1:NP; PESO=PESO+peso(i);end; H=alt(NP); fprintf ('\n Codigos para zonas sismicas: 0.15g=1 0.25g=2 0.30g=3 04g=4'); ic=input ('\n Ingrese el codigo de la zona sismica :'); if ic==1; Z=0.15;elseif ic==2; Z=0.25;elseif ic==3;Z=0.30;else;Z=0.40;end fprintf ('\n Codigos para perfiles de suelo: S1=1 S2=2 S3=3 S4=4'); is=input('\n Indique el codigo del tipo de suelo :'); if is==1 T1=0.50;T2=2.50;beta=2.5;S=1;R=6.0; elseif is==2 T1=0.52;T2=3.11;beta=3.0;S=1.2;R=6.0; elseif is==3 T1=0.82;T2=4.59;beta=2.8;S=1.5;R=6.0; else T1=2.0;T2=10;beta=2.5;S=2;R=5.0; end I=input('\n Indique el factor de importancia :'); % Periodo fundamental, el mismo que se amplifica por inercia agrietada T=0.0731*H^(0.75);T=1.3*T; rp=input('Estructura es regular en planta; si(s) o no(n):','s'); if rp=='s';fip=1;else;fip=0.8;end re=input('Estructura es regular en elevacion; si(s) o no(n):','s'); if rp=='s';fie=1;else;fie=0.8;end %Coeficiente C C=(1.25*S^S)/T; if C >=beta;C=beta;end if C =drift(i); continue else gama=drift(i); end end gama=gama*100; fprintf ('\n Valor de R'); R fprintf('\n Fuerzas laterales en cada piso sin torsion accidental'); F fprintf ('\n Cortante Basal '); V fprintf ('\n Desplazamiento Inelastico'); qine fprintf ('\n Deriva de piso'); drift fprintf ('\n Deriva maxima de piso en porcentaje'); gama % Calculo de Torsion accidental % Matriz de rigidez en modelo de 2 gdl por planta Kxx=zeros(NP,NP);Kteta=zeros(NP,NP);Kxt=zeros(NP,NP); for k=1:NP;identidad(k,k)=1;end; for i=1:iejes for k=1:NP rtet(k,k)=r(i); end rteta=rtet*rtet; ji=NP*(i-1)+1;jf=NP*(i-1)+NP; Kxx=Kxx+KL(ji:jf,1:NP);Kxt=Kxt+KL(ji:jf,1:NP)*rtet; Kteta=Kteta+KL(ji:jf,1:NP)*rteta; A(ji:ji+NP-1,:)=[identidad rtet]; end KE=[Kxx Kxt;Kxt Kteta]; dist=abs(r(1))+abs(r(iejes));Axmax=1.0; % Se inicia con Ax=1 % Momentos de torsion accidental for jj=1:10; for i=1:NP; Momtor(i)=0.05*dist*Axmax*F(i);cero(i)=0;end;Momtor=Momtor'; cero=cero';QE=[cero; Momtor];qe=KE\QE;

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for i=1:NP; FTx(i)=0; qmax(i)=0;end; FTx=FTx'; for i=1:iejes ji=NP*(i-1)+1;jf=NP*(i-1)+NP;a=A(ji:jf,1:2*NP);p=a*qe; Klateral=KL(ji:jf,1:NP);FT=abs(Klateral*p);FTx=FTx+FT; if i==1 for j=1:NP q1(j)=abs(p(j)); end elseif i==iejes for j=1:NP q2(j)=abs(p(j)); end end for j=1:NP if qmax(j)>=abs(p(j)); continue else qmax(j)=abs(p(j)); end end end for j=1:NP qavg(j)=(q1(j)+q2(j))/2; Ax(j)=qmax(j)/(1.2*qavg(j)); if Ax(j)3; Ax(j)=3; end; end Axmax=max(Ax); Momtor=Momtor';cero=cero';FTx=FTx'; end FTx=FTx';FTOTAL=F+FTx; fprintf('\n Fuerzas laterales en cada piso con torsion accidental'); FTOTAL fprintf('\n Valor de Ax'); Axmax %---fin

REFERENCIAS 1. Goel R., and Chopra A., (1997), “Period formulas for moment-resisting frame buildings”, Journal of Structural Engineering, 123 (11), 1454-1461. 2. Grases J., López O., Henández J., (1987), Edificaciones Sismorresistentes. Manual de aplicación de las Normas. Colegio de Ingenieros de Venezuela. Fundación Juan José Aguerrevere., Segunda Edición, 269 p. Caracas. 3. Hernández J., y López O., (2003), “Confiabilidad del método de la torsión estática de la Norma Sismorresistente Venezolana”, Instituto de Materiales y Modelos Estructurales. Universidad Central de Venezuela, 41 (2-3), 1-27, Caracas Venezuela. 4. Hernández J., y López O., (2007), “Investigación de respuestas sísmicas críticas incorporando la torsión accidental”, Instituto de Materiales y Modelos Estructurales. Universidad Central de Venezuela, 45 (3), 22-51, Caracas Venezuela. 5. ICC, (2003), International Building Code, International Code Council Inc., Birmingham Al USA.

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6. IBC (2000), International Building Code, International Code Council Inc., Birmingham Al USA. 7. Rosenblueth E., and Elorduy J., (1969), “Response of linear systems to certain transient disturbances”, Proceedings of the Fourth World Conference on Earthquake Engineering, Vol 1, A1-185 to A1-196, Santiago de Chile. 8. Uniform Building Code UBC, (1997), International Conference of Building Officials ICBO, Volume 2, 492p., Whittier, California. 9. Vásquez J., and Riddell R., (1984), “Existence of centers of resistance and torsional th uncoupling of earthquake response of buildings”, Proc., of the 8 World. Conf. in Earthquake Engrg., Prentice Hall, Inc, IV, 187-194, Englewood Cliffs.

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CAPÍTULO 5

ANÁLISIS MODAL PLANO

RESUMEN Se presenta el Método de Superposición Modal utilizando el espectro de diseño inelástico, del Código Ecuatoriana de la Construcción CEC-2000, para el análisis sísmico de pórticos planos. El análisis modal plano sirve más para ilustrar el Método de Superposición Modal ya que con el gran avance informático que se tiene, es conveniente realizar un análisis sísmico espacial. Se inicia el capítulo presentando el marco teórico del Método de Superposición Modal, el mismo que es aplicable a un análisis sísmico plano o espacial. Luego se detallan algunos criterios de combinación modal y se muestran los resultados de un estudio realizado en estructuras de uno a seis pisos, en el Centro de Investigaciones Científicas de la ESPE, en base a este estudio se recomienda un criterio de combinación modal, que combina el criterio de superposición directa y el del valor máximo probable. Una vez terminado el Método de Superposición Modal, se realizan tres controles, que son: el primero, verificar que el cortante basal obtenido sea mayor o igual al cortante basal mínimo; el segundo, tiene que ver con el control de la deriva de piso y el tercero, con el control del efecto P − ∆ . Como es un análisis sísmico plano no se resuelve el problema de la torsión accidental. El marco teórico se lo ilustra con el análisis sísmico de una estructura de dos pisos en el cual se detallan los cálculos. Se complementa el estudio con la entrega del programa denominado MODALPLANONEW . El uso del programa se lo ilustra con el análisis sísmico de un pórtico de una estructura de seis pisos. El análisis modal se realiza utilizando inercias agrietadas, de acuerdo a lo estipulado por el CEC-2000 y el control de la deriva máxima de piso se lo hace con inercias gruesas.

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5.1 MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN MODAL El sistema de ecuaciones diferenciales que gobiernan los problemas de dinámica de estructuras es el siguiente:

M q + C q + K q = Q

( 5.1 )

 son los Donde M , C , K son las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez; q, q , q vectores de desplazamiento, velocidad y aceleración. Q es el vector de cargas generalizadas. La ecuación ( 5.1 ) corresponde a un sistema de ecuaciones diferenciales acoplado, para desacoplarlo se debe realizar el siguiente cambio de variable:

q=Φ X

( 5.2 )

Siendo X el vector de desplazamientos en el nuevo sistema de coordenadas, Φ la matriz modal, conformada por cada uno de los modos de vibración de la estructura que se hallan del problema de vibración libre sin amortiguamiento.

[

Φ = φ (1) φ ( 2 ) φ (3) ... ... φ ( n )

]

( 5.3 )

Donde φ (1) es el primer modo de vibración, φ ( 2 ) el segundo modo de vibración, etc. En las coordenadas X el sistema de ecuaciones diferenciales está desacoplado, por esta razón se suele denominar a este sistema como coordenadas principales. En este nuevo sistema de coordenadas se tiene:

 + C ∗ X + K ∗ X = Q ∗ M∗ X

( 5.4 )

De la Dinámica de Estructuras, se conoce que:

M ∗ = Φt M Φ

C ∗ = Φt C Φ

K ∗ = Φt K Φ

Q∗ = Φt Q

( 5.5 )

En el capítulo 7 del libro: Dinámica de Estructuras con MATLAB, Aguiar (2007) se ∗ ∗ ∗ demuestra que las matrices M , C , K solo tienen valores en la diagonal y valen:

⎡η ⎢ M∗ = ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

η ...

⎡Wn1 ⎢ C∗ = 2ξ η⎢ ⎢ ⎢ ⎣⎢

⎤ ⎡1 ⎥ ⎢ ⎥ =η⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ η⎦ ⎣

1 ...

Wn 2 ...

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⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ Wnn ⎦⎥

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 1⎦

( 5.6 )

( 5.7 )

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⎡Wn21 ⎢ ⎢ ∗ K =η ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

Wn22 ...

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ Wnn2 ⎥⎦

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( 5.8 )

φ (i ) t M φ (i ) = η

( 5.9 )

Donde W n1 , W n 2 , etc., son las frecuencias naturales de vibración de los modos 1, 2,

etc. ξ es el factor de amortiguamiento de la estructura, que se considera igual en todos los modos. Para estructuras de hormigón armado se considera ξ = 0.05 . El valor de η está definido en la ecuación ( 5.9 ) depende de la forma como se normalizan los modos.

El vector de cargas generalizadas Q para el análisis sísmico, vale: ..

Q = −M b U g Donde b para el análisis sísmico plano, es un vector unitario. En general b asocia los ..

grados de libertad de la estructura con el movimiento del suelo; U g es la aceleración del suelo, definida en el acelerograma. El vector Q ∗ es:

⎡φ (1) t ⎤ ⎢ ( 2) t ⎥ ⎢φ ⎥ ∗ Q = −⎢ M b U g ... ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣φ ( n ) t ⎥⎦

( 5.10 )

De tal manera que el sistema de ecuaciones diferenciales, en coordenadas principales resulta:

⎡η ⎢ η ⎢ ⎢ ... ⎢ ⎣

5.1.1

⎡ .. ⎤ x ⎤⎢ 1⎥ ⎥ ⎢ x.. ⎥ ⎥ ⎢ 2⎥ + 2ξ η ⎥ ⎢... ⎥ ⎥⎢ ⎥ η ⎦ ⎢ .. ⎥ ⎢ xn ⎥ ⎣ ⎦

⎡Wn1 ⎢ Wn 2 ⎢ ⎢ ... ⎢ ⎢⎣

⎡ . ⎤ x ⎡Wn21 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎤⎢ 1⎥ . ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎥ 2 Wn 2 ⎥ ⎢ x2 ⎥ ⎥ ⎢ x2 ⎥ + η ⎢ = − Q∗ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ... ⎢ ⎥ ... ... ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎥⎢ . ⎥ 2 ⎢ Wnn ⎥⎦ ⎢ ⎥ Wnn ⎥⎦ ⎣ x n ⎦ ⎣ ⎢ xn ⎥ ⎣ ⎦

Desplazamientos máximos modales La ecuación diferencial de la fila i, del sistema de ecuaciones diferenciales desacoplado

es:

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η xi + 2 ξ η W ni x i + η W ni2 x i = −φ ( i ) t M b U g Al dividir todo para η se tiene:

xi + 2 ξ W ni x i + W ni2 x i = −

φ ( i ) t M b  Ug η

Al reemplazar ( 5.9 ) en ésta última ecuación, se tiene: .

xi + 2 ξ Wni x i + Wni2 xi = −γ i U g

( 5.11 )

Donde γ i es el factor de participación del modo i.

γi =

φ (i )t M b φ (i ) M φ (i )

( 5.12 )

La expresión ( 5.11 ) corresponde a la ecuación diferencial de un sistema de un grado de libertad. Ahora bien si U g viene expresado por un espectro de diseño para un valor de amortiguamiento ξ . La máxima respuesta es:

⎛ T xi = γ i ⎜⎜ i ⎝ 2π

2

⎞ ⎟⎟ Adi ⎠

( 5.13 )

Donde Ti es el período de vibración del modo i; Adi es la aceleración espectral asociada al período Ti . De la ecuación ( 5.13 ) es importante destacar lo siguiente: ƒ

La definición de espectro está relacionada a un sistema de un grado de libertad. Por lo tanto el factor γ i permite pasar la respuesta en desplazamientos, de un sistema de un grado de libertad a un sistema de múltiples grados de libertad.

ƒ

Se ha utilizado la definición de seudo espectro para encontrar el desplazamiento espectral S di . 2

⎛T ⎞ S di ≈ = ⎜ i ⎟ Adi 2 Wni ⎝ 2π ⎠ Adi

Para tener la respuesta en las coordenadas q se utiliza la ecuación ( 5.2 ) con lo que se halla: 2

⎛T ⎞ q (i ) = γ i ⎜ i ⎟ Adi φ (i ) ⎝ 2π ⎠ 5.1.2

Fuerzas máximas modales Para encontrar las fuerzas en cada modo de vibración Q (i ) se tiene que:

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( 5.14 )

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Q (i ) = K q (i ) 2

⎛T ⎞ ⎛T ⎞ Q ( i ) = K γ i ⎜ i ⎟ Adi φ (i ) = γ i Adi ⎜ i ⎟ ⎝ 2π ⎠ ⎝ 2π ⎠

2

K φ (i )

Del problema de vibración libre sin amortiguamiento, se tiene:

(K − λ M )φ = 0 Pero λ

= Wn2

⎛ 2π = ⎜⎜ ⎝ Ti

⇒ K φ = λ Mφ

2

⎞ ⎟⎟ . ⎠

Luego:

Q ( i ) = γ i Adi M φ (i )

( 5.15 )

Si se realiza un análisis sísmico en coordenadas de piso, el vector Q es el vector que contiene las fuerzas y momentos en coordenadas de piso. En cambio si se realiza un análisis sísmico plano, el vector Q contiene las fuerzas laterales en cada uno de los pisos, que se nota también con la letra P . Es solo nomenclatura. Aguiar (2004)

5.2 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO La secuencia de cálculo para realizar un Análisis Sísmico Plano orientado al uso del espectro de diseño inelástico del CEC-2000, es como sigue: i.

Se determina la matriz de rigidez lateral del pórtico, trabajando con inercias agrietadas. El CEC-2000 considera que la inercia de la viga I V = 0.5 I g y que la inercia de la columna I C = 0.8 I g . Consecuentemente se espera daño en la estructura ante la acción del sismo estipulado en el CEC-2000 que viene expresado mediante un espectro de diseño inelástico. Se espera daño ya que este sismo tiene un período de retorno de 475 años y consecuentemente la probabilidad de ocurrencia es baja.

ii.

Se encuentra la matriz de masas. Para el caso plano la matriz es diagonal y vale:

⎡m1 ⎢ ⎢ ⎢ M=⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣⎢

m2 .... mi ...

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ m n ⎦⎥

( 5.16 )

Donde m i es la masa del piso i. Para encontrar la matriz de masas se trabaja con toda la carga muerta y un porcentaje de la carga viva. El porcentaje de la carga viva

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toma en cuenta la probabilidad de que se registre un sismo y en que porcentaje estará presente la carga viva. Para una vivienda u oficina se considera que ese porcentaje es del 25%. Para una biblioteca el porcentaje será mayor, lo propio para una bodega.

iii.

Con la matriz de rigidez y la matriz de masas, se determinan los valores propios λ i y los vectores propios, que son los modos de vibración φ (i ) . Donde i representa el modo. Se recuerda que el problema de valores y vectores propios está definido por:

(K − λ M )φ = 0 Para el caso plano, K es la matriz de rigidez lateral y como se indicó M es la matriz de masas. En Matlab se obtienen los valores y vectores propios con la instrucción eig. El formato de uso es el siguiente: >> [V,D] = eig (K, M) En V vienen los vectores propios y en la matriz diagonal de D, los valores propios. iv.

Con los valores propios se encuentran las frecuencias naturales de vibración W ni y los períodos de vibración Ti

Wni = λi v.

Ti =

2π Wni

( 5.17 )

Se encuentran los factores de participación modal γ i

γi =

φ (i ) t M b φ (i ) t M φ (i )

Para el análisis sísmico plano en que se considera un grado de libertad por piso, el vector b es unitario. vi.

Con cada período se ingresa al espectro de diseño inelástico y se obtiene la aceleración espectral Adi .

vii.

Se hallan las fuerzas laterales en cada modo de vibración.

P ( i ) = γ i Ad i M φ ( i ) viii.

( 5.18 )

Se encuentran los cortantes en cada piso V i y en cada modo de vibración, a partir de las fuerzas P ( i ) .

ix.

Se aplica un criterio de combinación modal en los cortantes y se halla la resultante de los cortantes. En el siguiente apartado se estudiará con cierto detenimiento estos criterios de combinación modal.

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x.

Una vez que se tienen los cortantes resultantes en cada piso se hallan las fuerzas estáticas máximas equivalentes debido al sismo, definido por el espectro de diseño inelástico. Estas fuerzas se denominan P

xi.

Se realizan los controles, que se indicarán posteriormente con detalle pero aquí se los indica cuales son: ƒ ƒ ƒ

Cortante Basal Mínimo. Efecto P − ∆ . Control de la deriva máxima.

5.3 CRITERIOS DE COMBINACIÓN MODAL En el Método de Superposición Modal, se hallan las respuestas en cada modo de vibración y para encontrar la respuesta resultante, se debe aplicar un criterio de combinación modal. En la literatura existen una gran cantidad de criterios entre los que se destacan los siguientes: •

Criterio del Máximo Valor Probable (SRSS)

Sea r un cierto valor de respuesta que se desea obtener, puede ser un desplazamiento, un momento, un corte, etc. El criterio del valor máximo probable, es: N

∑ (r )

r=

2

( 5.19 )

i

i =1

Donde N es el número de modos que se consideran en la respuesta, i es el modo de vibración. Por su sencillez es uno de los más utilizados. Es apropiado su uso cuando las frecuencias naturales de vibración se encuentran bastante separadas, más del 10%. Utilizar este criterio cuando no cumple esta condición puede llevar a subestimar la respuesta. Este criterio también es conocido por las siglas SRRS (Square Root Sum of Squares) •

Criterio de la doble suma

Este criterio se usa cuando las frecuencias naturales están bastante cercanas entre si.

r = 2

N

N

N

ri r j

∑ (r ) + ∑∑ 1 + ε 2

i

i =1

ε ij =

i =1 j =1

2 ij

( 5.20 )

1 − ξ Wni − Wnj ξ Wni + Wnj

Donde Wni , Wnj son las frecuencias de vibración de los modos i, j. ξ es el porcentaje de amortiguamiento para cada modo de vibración. Tal vez la parte más complicada del método

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144

es determinar los valores de ξ para cada modo. Una forma más refinada del criterio de la doble suma se tiene en función del tiempo de duración del sismo que se ha denominado s . En este caso, se tiene:

ε ij =

Wai − Waj

ξ Wai + ξ 'jWaj ' i

Wai = Wni 1 − ξ i2

( 5.21 )

2 ξ i' = ξ i + s Wni Este criterio considera la proximidad entre los valores de las frecuencias de los modos que contribuyen a la respuesta, la fracción del amortiguamiento y la duración del sismo. •

Criterio de la combinación cuadrática completa (CQC)

El criterio CQC (Complete Quadratic Combination), Chopra (2001), considera la posibilidad de acoplamiento entre los modos de vibración.

r2 =

N

N

∑∑ ρ

ij

ri r j

i =1 j =1

ρ ij = a=

8 ξ 2 (1 + a ) a 1.5

(1 − a )

2 2

+ 4ξ 2 a(1 + a )

2

( 5.22 )

Wnj Wni

ρ ij =

(1 − a )

2 2

(

)

8 ξ i ξ j ξ i + aξ j a 1.5

(

) (

)

+ 4ξ i ξ j a 1 + a 2 + 4 ξ i2 + ξ 2j a 2

Cuando las frecuencias están bastante separadas, el criterio de la combinación cuadrática completa, proporciona valores similares al criterio del máximo valor probable. •

Superposición directa

La superposición directa de los máximos modales proporciona un límite superior al valor máximo de la respuesta total. Por lo tanto aplicar este criterio es muy conservador.

r=

N

∑r

i

( 5.23 )

i =1

•

Propuesta de Alejandro Gómez

El criterio propuesto por Alejandro Gómez (2002) integra de alguna manera el criterio directo con el criterio del valor máximo probable, al margen de la cercanía o no de las frecuencias naturales. El criterio es el siguiente:

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r=

•

r12

⎛ N ⎞ + ⎜⎜ ri ⎟⎟ ⎝ i=2 ⎠

∑

145

2

( 5.24 )

Norma Técnica de Perú 2003

En la Norma Técnica de Perú de 2003 se combinan los resultados obtenidos, en cada uno de los modos de vibración, con la siguiente ecuación:

r = 0.25

N

∑

ri + 0.75

i =1

N

∑r

2

i

( 5.25 )

i =1

En la Normativa de Perú se reconoce que el criterio del valor máximo probable reporta valores bajos y que el criterio de superposición directa da valores muy altos por lo que lo más conveniente es combinar estos dos criterios en forma lineal con los coeficientes indicados en la ecuación ( 5.25 ). •

Norma Técnica de Guatemala (1996)

Es similar al de la Norma Técnica del Perú (2003) pero ahora la combinación es 50% del criterio de la suma directa y 50% del criterio del valor máximo probable. Santana (2008).

r = 0.50

N

∑

ri + 0.50

i =1

•

N

∑ ri2

( 5.26 )

i =1

Laboratorio de Investigación Naval (NRL)

El criterio NRL (Naval Research Laboratory) considera el valor absoluto del modo que más aporta a la repuesta y lo añade al criterio SRSS. (Iberisa, 2008) Normalmente el modo que más aporta es el primero de tal manera que puede escribirse de la siguiente manera:

r = r1 +

N

∑ (ri )2 − r 12

( 5.27 )

i =1

Se han presentado ocho criterios, seis de ellos son relativamente fáciles de evaluar y dos un poco más complejos, por que se debe indicar el valor de ξ . Ahora se debe recomendar que criterio utilizar, para el efecto se encontró la respuesta sísmica de estructuras de 1 a 6 pisos de hormigón armado, conformadas únicamente por vigas y columnas. Respuesta sísmica en términos del cortante basal, en las siguientes condiciones:

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¾

Cortante Basal mínimo en base a lo estipulado por el CEC-2000 para la zona sísmica de mayor peligrosidad ( 0.4 g ) y sobre un perfil de suelo S1. Se halló la respuesta para los cuatro perfiles de suelo del código pero en este capítulo solo se indican los resultados obtenidos para el perfil de suelo S1. En Campos (2006) están los restantes resultados.

¾

Análisis Lineal en el tiempo, para el efecto se generaron siete acelerogramas con diferentes duraciones que van desde los 20 segundos hasta los 50 segundos. Para cada caso se hallo la respuesta en el tiempo se encontró el cortante basal máximo y se dividió para el factor de reducción de las fuerzas sísmicas R que se utilizó en los otros métodos. Esta forma de cálculo del cortante basal es la exacta.

¾

Análisis modal espectral utilizando el espectro de diseño inelástico del CEC-2000, con inercias agrietadas y aplicando los siguientes criterios de combinación modal: o o o o

Valor máximo probable. Superposición Directa. Criterio de Gómez Norma Técnica de Perú 2003

Figura 5.1 Valores medios de las respuestas obtenidas del cortante basal en suelo S1.

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En la figura 5.1 se indican los valores medios de las respuestas obtenidas, de los cortantes básales, aplicando las diferentes maneras de cálculo. Del análisis de esta figura se concluye lo siguiente: ™ El criterio empleado por la Norma Técnica de Perú es la que más se aproxima a la respuesta elástica paso a paso dividida para el factor de reducción de las fuerzas sísmicas. Por lo tanto se recomienda el Criterio de la Norma Técnica de Perú de 2003 a ser utilizado para la combinación modal. ™ Los valores de cortante basal que se hallan aplicando la fórmula del CEC-2000 son los mayores valores obtenidos, en relación a los otros métodos. ™ El criterio del máximo valor probable reporta valores muy bajos al igual que el Criterio de Gómez (2002). ™ El criterio de superposición directa da valores altos pero menores a los que se hallan con el cortante basal mínimo. En todos los casos se realizó un análisis sísmico plano. Por otro lado, Aguiar et al (2006) realizaron algo similar pero con un modelo de tres grados de libertad por planta y se llegó a resultados parecidos.

•

EJEMPLO 1

Realizar un análisis modal plano, para el pórtico en sentido X, que tiene dos vanos, de la estructura de dos pisos, cuya distribución en planta es la indicada en la figura 5.2. La altura de cada entrepiso es de 3.0 m. Las cargas verticales que gravitan son de 500 kg/m2 para la carga muerta y 200 kg/m2 para la carga viva, es una construcción destinada a vivienda.

Figura 5.2 Distribución en planta de estructura de dos pisos.

La estructura se halla ubicada en la ciudad de Portoviejo sobre un perfil de suelo S2, de acuerdo al CEC-2000. El factor de reducción de las fuerzas sísmicas es igual a 6. La matriz de rigidez lateral considerando inercias agrietadas, que se obtiene con el programa RLAXINFI, es la siguiente.

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⎡1243.5 KL = ⎢ ⎣− 492.6

− 492.6⎤ 317.9 ⎥⎦

Para encontrar la matriz de rigidez lateral se trabajó con un módulo de elasticidad igual a E = 1738965.21 T / m 2 que se halla reemplazando f c' = 210 Kg / cm 2 en E = 12000 f c' (kg/cm2).

•

SOLUCIÓN De la figura 5.3 se obtiene que el área cooperante para la carga vertical, vale:

A = 9 ∗ 2 = 18 m 2 Como es vivienda el aporte de la carga viva a la matriz de masas es del 25%. Con esta acotación en la tabla 5.1 se indican el valor de las cargas totales en el pórtico debido a la carga muerta y a la carga viva, orientadas al uso del programa MODALPLANONEW, que se indicará posteriormente.

Figura 5.3 Repartición de cargas verticales al pórtico en sentido X.

Piso 1 2

Tabla 5.1 Valores de la carga muerta, viva y altura desde la base al piso Carga Muerta Total Carga Viva Total Altura 3.00 W D = 0.5 * 18 = 9 T . W L = 0.25 * 0.2 * 18 = 0.9 T .

W D = 0.5 * 18 = 9 T .

W L = 0.25 * 0.2 * 18 = 0.9 T .

La masa del piso 1 es igual a la masa del piso 2 y tiene un valor de:

m1 = m 2 =

⎡m M =⎢ 1 ⎣0

T s2 9 + 0. 9 = 1.0102 9 .8 m

0 ⎤ ⎡1.0102 ⎥= m 2 ⎦ ⎢⎣ 0.0

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⎤ 1.0102⎥⎦ 0.0

6.00

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Con la matriz de rigidez y con la matriz de masas, se hallan los valores propios y los modos de vibración. Estos son:

λ1 = 103.8

λ 2 = 1441 .9

⎡ − 0.3950 ⎤ ⎥ ⎣ − 0.9132 ⎦

φ ( 2) = ⎢

⎡ − 0.9132⎤ ⎥ ⎣0.3950 ⎦

φ (1) = ⎢

Algunos programas de cálculo de valores y vectores propios, reportan los valores propios sin ordenarlos de menor a mayor. Para el análisis sísmico es fundamental que los valores propios se encuentren ordenados de menor a mayor.

λ1 ≤ λ 2 ≤ λ 3 ......... ≤ λ n Con los valores propios se hallan las propiedades dinámicas de la estructura, que son las frecuencias naturales Wn y los períodos de vibración T .

Wni = λi Wn1 = 103.8 = 10.188

1 s

Ti =

2π Wni

T1 =

2π = 0.6168 s. 10.188

Wn 2 = 1441.9 = 37.9723

T2 =

1 s

2π = 0.1655 s. 37.9723

Al período T1 se le conoce con el nombre de período fundamental, debido a que el primer modo tiene una gran influencia en la respuesta sísmica. Son los primeros modos de vibración los que más aportan a la respuesta de ahí que las normativas sísmicas establecen un número mínimo de modos a considerar en la respuesta pero es conveniente calcularlos con todos especialmente cuando se realiza un análisis sísmico plano y no se tienen muchos grados de libertad. Los períodos de vibración obtenidos son bastante altos debido a que la matriz de rigidez se obtuvo con inercias agrietadas. Una vez hallados los modos de vibración se procede al cálculo de los factores de participación modal γ

γi =

φ (i )t M b φ (i )t M φ (i )

Para el ejemplo el vector b tiene dos unos.

γ1 =

φ

0 ⎤ ⎡1⎤ ⎡1.0102 − 0.9132] ⎢ 1.0102⎥⎦ ⎢⎣1⎥⎦ M b − 1.3215 ⎣0 = = −1.3215 = (1) 0 ⎤ ⎡− 0.395 ⎤ 1 ⎡1.0102 M φ [− 0.395 − 0.9132] ⎢ 1.0102⎥⎦ ⎢⎣− 0.9132⎥⎦ ⎣0

(1) t

φ (1) t

[− 0.395

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γ2 =

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φ ( 2) t M φ

( 2) t

M

b

φ

( 2)

[− 0.9132 =

[− 0.9132

0 ⎤ ⎡1⎤ ⎡1.0102 0.3950] ⎢ 1.0102⎥⎦ ⎢⎣1⎥⎦ ⎣0

0 ⎤ ⎡− 0.9132⎤ ⎡1.0102 0.3950] ⎢ 1.0102⎥⎦ ⎢⎣0.3950 ⎥⎦ ⎣0

=

− 0.5235 = −0.5235 1

Pero el factor de participación modal se considera en valor absoluto. Luego

γ 1 = 1.3215

γ 2 = 0.5235

Los factores de participación son adimensionales y lo que indican es que tanto participa el modo en la respuesta. De igual manera, los factores de participación no son únicos, dependen del valor de los modos de vibración, lo que si es único son las fuerzas laterales que se tienen en cada modo de vibración. Con cada período de vibración se ingresa al espectro inelástico del CEC-2000 y se determina la aceleración espectral Adi . En el ejemplo el primer período cae en la curva descendente y el segundo en la plataforma horizontal del espectro. Luego se tiene:

Ad 1 =

1.25 α A0 S S 1.25 ∗ 1 ∗ 0.4 ∗ 9.8 ∗ 1.21.2 m = = 1.6478 2 0.6168 ∗ 6 T ∗ R φ p φe s Ad 2 =

α β A0 1 * 3 * 0.4 * 9.8 m = = 1.96 2 R φ p φe 6 s

En el capítulo 2 se presentó los resultados del proyecto de investigación realizado en el CEINCI-ESPE sobre el factor de reducción de las fuerzas sísmicas y se estableció que para un perfil de suelo S2, el valor de R = 6 y que la deriva de piso máxima inelástica es γ = 1.5% . La estructura es regular en planta y elevación luego φ p = φ e = 1 . Si no fueran regulares en planta o elevación no se podría realizar un análisis modal plano. El valor de A0 para la ciudad de Portoviejo es 0.4 g = 0.4 ∗ 9.8 . Por otra parte, el coeficiente de importancia es α = 1 y el valor de β para suelo tipo S2 vale 3 y el coeficiente S vale 1.2 Ahora se calculan las fuerzas laterales, en cada modo de vibración.

P (i ) = γ i Adi M φ (i ) 0 ⎤ ⎡− 0.3950⎤ ⎡− 0.8689⎤ ⎡1.0102 ∗ = P (1) = 1.3215 * 1.6478 * ⎢ 1.0102⎥⎦ ⎢⎣− 0.9132⎥⎦ ⎢⎣− 2.0088⎥⎦ ⎣ 0 0 ⎤ ⎡− 0.9132⎤ ⎡− 0.9465⎤ ⎡1.0102 ∗ = P ( 2) = 0.5235 * 1.9600 * ⎢ 1.0102⎥⎦ ⎢⎣0.3950 ⎥⎦ ⎢⎣0.4094 ⎥⎦ ⎣ 0

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En la figura 5.4 se presentan las fuerzas laterales, en cada piso y los cortantes asociados. Para cada modo de vibración, a la izquierda se tiene para el primer modo y a la derecha para el segundo modo de vibración.

Figura 5.4 Fuerzas laterales y cortantes en cada modo de vibración. Se aplica el criterio de combinación modal de la Norma de Perú de 2003.

V = 0.25

N

∑V i =1

i

+ 0.75

N

∑V

2

i

i =1

V1 = 0.25[2.8778 + 0.5370] + 0.75 2.8778 2 + 0.5370 2 = 3.0493 T . V2 = 0.25[2.0088 + 0.4094] + 0.75 2.0088 2 + 0.4094 2 = 2.1422 T . A partir de los cortantes obtenidos, luego de aplicar el criterio de combinación modal, se determinan las fuerzas estáticas por un procedimiento inverso. En la figura 5.5 se indican los resultados encontrados.

Figura 5.5 Fuerzas estáticas equivalentes obtenidas del análisis modal plano. El cortante basal hallado del método modal plano es:

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V0 = 3.0493 T . Ahora se debe realizar los siguientes controles, los mismos que se explican en el siguiente apartado. • • •

Cortante Basal Mínimo. Control de la Deriva de los Pórticos. Control del efecto P − ∆ .

5.4 CONTROL DEL CORTANTE BASAL MÍNIMO El primer control que se realiza es el del cortante basal mínimo pero calculando con el período fundamental que se ha encontrado de la solución del problema de valores y vectores propios.

Vmin =

ZIC 0.4 ∗ 1 ∗ 2.5222 W= ∗ 18 = 3.0266 T . R φ p φe 6 ∗1∗1

C=

1.25 S S 1.25 ∗ 1.21.2 = = 2.5222 T 0.6168

El cortante basal mínimo es menor que el cortante basal obtenido del análisis modal. Luego no se debe encontrar ningún factor para mayorar las fuerzas laterales y se prosigue con el análisis En la figura 5.6 se muestran las fuerzas estáticas, que son las indicadas en la figura 5.5 pero ahora se coloca también la geometría de la estructura.

Figura 5.6 Fuerzas estáticas corregidas por cortante basal mínimo.

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5.5 CONTROL DE LA DERIVA DE LOS PÓRTICOS El método de superposición modal proporciona resultados satisfactorios en el rango elástico pero para el rango inelástico en el que va a trabajar la estructura, ante el sismo raro que tiene un período de retorno de 475 años, los resultados son aproximados. Los desplazamientos inelásticos de acuerdo al CEC-2000 se hallan con la siguiente ecuación:

(

)

q ine = R φ p φ e q

( 5.26 )

Las variables no indicadas, son: q ine vector que contiene los desplazamientos inelásticos de la estructura y q es el vector que contiene los desplazamientos elásticos, los mismos que se obtienen de la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales.

K q=Q

( 5.27 )

Donde K es la matriz de rigidez lateral calculada con inercias gruesas y Q es el vector de cargas generalizado, constituido por las fuerzas laterales que actúan en el pórtico. En la tabla 5.2 se indica la forma como se obtienen los desplazamientos inelásticos a partir de los desplazamientos elásticos en las normativas sísmicas de: Venezuela, Colombia, Ecuador y Perú. Todas estas fórmulas son aproximadas y esto es una debilidad del Método de Superposición Modal, para el rango inelástico se debe encontrar la respuesta mediante un Análisis no Lineal pero esto es complicado, razón por la cual se está trabajando en métodos que no sean tan sencillos como el Método de Superposición Modal ni tan complicados como el Análisis no Lineal uno de éstos Métodos es el del Espectro de Capacidad.

Tabla 5.2 Cálculo de los desplazamientos inelásticos en otras normativas sísmicas. PAIS NORMA DESPLAZAMIENTO INELÁSTICO Venezuela COVENIN 1756-98 qine = 0.8 R φ p φ e q

(

)

(

)

(

)

Colombia

NSR-98

q ine = R φ p φ e q

Ecuador

CEC-2000

q ine = R φ p φ e q

E.030

qine = 0.75 R φ p φ e q

Perú

(

)

Una vez que se tienen los desplazamientos elásticos, se hallan los inelásticos empleando la ecuación ( 5.26 ) y finalmente las distorsiones de piso γ i . Antes de proseguir se debe destacar que en páginas anteriores con la letra γ se definió al factor de participación modal y ahora la misma letra se utiliza para identificar a la distorsión de piso. La distorsión de piso se halla dividiendo el desplazamiento relativo de piso, inelástico para la altura de piso hi .

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γi =

q ine (i ) − q ine (i −1) hi

( 5.28 )

En cada piso se debe verificar que la deriva de piso sea menor o igual a 1.5%. Por el valor de R = 6 que se consideró en el análisis sísmico. Para la estructura de dos pisos que se ha venido resolviendo la matriz de rigidez, obtenida con inercias gruesas es la siguiente:

⎡1651.0 K =⎢ ⎣− 684.8

− 684.8⎤ 480.6 ⎥⎦

De la figura 5.6 se aprecia que el vector de cargas generalizadas, vale:

⎡0.9071 ⎤ Q=⎢ ⎥ ⎣2.1422 ⎦ Luego el sistema de ecuaciones lineales a resolver, es:

− 684.8⎤ 480.6 ⎥⎦

⎡1651.0 ⎢− 684.8 ⎣

⎡q1 ⎤ ⎡0.9071⎤ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎣q 2 ⎦ ⎣2.1422⎦

La solución del sistema de ecuaciones, reporta los desplazamientos elásticos.

⎡0.0059 m.⎤ q=⎢ ⎥ ⎣0.0128 m.⎦ Los desplazamientos inelásticos se hallan multiplicando los desplazamientos elásticos por el factor R φ p φ e = 6 , de acuerdo al CEC-2000.

⎡0.0352 ⎤ q ine = ⎢ ⎥ ⎣0.0769 ⎦ Finalmente las derivas de piso, resultan:

0.0769 − 0.0352 = 0.0139 3.00 0.0352 γ1 = = 0.0117 3.00

γ2 =

La deriva de piso máxima es γ = 1.39% . Se aprecia que los valores son menores a 1.5%.

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5.6 CONTROL DEL EFECTO P − ∆ Cuando se tienen desplazamientos laterales significativos, el peso propio tiende a voltearla, de tal manera que en la estructura deformada, por la acción sísmica, actúan cargas adicionales los mismos que son tomados en cuenta cuando se analiza con teoría de segundo orden, en el próximo capítulo se estudiará con detenimiento este efecto P − ∆ . Por ahora nos limitamos a ver como se efectúa este control por medio del índice de estabilidad de piso θ i .

Pi δ ei Vi hi

θi =

( 5.29 )

Donde Pi es la carga vertical que gravita desde el piso i hasta el tope, se calcula en función de la carga muerta D más el porcentaje de la carga viva L; Vi es el cortante de piso;

δ ei es la deriva de piso calculada con los desplazamientos elásticos q , y hi es la altura de entrepiso. Se destaca que δ ei / hi es la deriva de piso elástica. El CEC-2000 al igual que la norma NSR-98 de Colombia, establecen que si θ i ≤ 0.10

la estructura no tiene problemas de efecto P − ∆ y se prosigue con el cálculo pero si θ i ≥ 0.30 la estructura debe ser reforzada a menos que se demuestre mediante un análisis de segundo orden que la estructura sigue siendo estable. Finalmente si 0.10 < θ i < 0.30 tanto las derivas de piso como las fuerzas estáticas se multiplicarán por.

f P−∆ =

1 1 − θi

( 5.30 )

El control del CEC-2000 fue considerado en el programa MODALPLANONEW. La normativa sísmica de Venezuela, COVENIN 1756-98 (Rev. 2001) es más exigente en el control del efecto P − ∆ . Establece que si θ i < 0.08 la estructura no tiene problemas de efecto P − ∆ pero si θ i > θ max la estructura debe ser reforzada ya que tendrá problemas por el efecto de segundo orden.

θ max =

0.5 ≤ 0.25 R

( 5.31 )

Con relación a la estructura de dos pisos que se está analizando en la tabla 5.3 se presenta el control del efecto P − ∆ . La deriva de piso elástica se encuentra dividiendo la deriva de piso inelástica para el factor R de acuerdo al CEC-2000.

Piso

1 2

Tabla 5.3 Fuerza Horizontal ( T. ) 0.9071 2.1422

Cálculo del índice de estabilidad de piso.

Cortante ( T. ) 3.0493 2.1422

Peso desde piso al tope ( T. ) 19.80 9.9

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Deriva de piso elástica

θi

0.00195 0.00231

0.01265 0.0107

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5.7 PROGRAMA MODALPLANONEW El programa MODALPLANONEW realiza el análisis sísmico de un pórtico plano por el Método de Superposición Modal considerando el espectro inelástico del CEC-2000 pero con los factores de reducción de las fuerzas sísmicas indicados en el capítulo 2, para los cuatro tipos de suelo. Antes de utilizar el programa MODALPLANONEW se debe encontrar la matriz de rigidez lateral del pórtico de dos formas: la primera considerando inercias agrietadas y la segunda con inercias gruesas. Cuando se ejecuta el programa RLAXINFI se crea en consola una matriz que tiene por nombre KL, el usuario debe cambiar este nombre para especificar si es con inercia agrietada o con inercia gruesa. Algunos detalles del programa se indican a continuación: 9

El factor de reducción de las fuerzas sísmicas es igual a 6 para perfiles de suelo S1, S2 y S3. Para un perfil de suelo S4 el factor R = 5 .

9

Asociados con los factores R indicados la deriva máxima de piso debe ser igual a 1.5%.

9

El estado de cargas S., que se obtiene no se debe mayorar en las combinaciones de carga.

9

Si la estructura es irregular en planta o elevación no se debe realizar un análisis sísmico plano, si no un análisis sísmico espacial aunque sea con un modelo de dos grado de libertad por planta, en el que se incluya la torsión accidental pero si se utiliza el programa MODALPLANONEW se penaliza las irregularidades en planta o elevación con factores φ p = 0.8 o φ e = 0.8 .

9

El análisis sísmico se realiza con inercias agrietadas de acuerdo al CEC-2000 que considera para las vigas I V = 0.5 ∗ I g ; para las columnas I C = 0.8 ∗ I g .

9

El período con el cual se halla el cortante basal mínimo es el período asociado al primer modo de vibración que se encuentra de la solución del problema de valores y vectores propios.

9

Se utiliza el criterio de combinación modal de la Norma Técnica de Perú de 2003 que se indica nuevamente a continuación:

V = 0.25

N

∑ i =1

Vi + 0.75

N

∑V

2 i

i =1

9

Con inercias agrietadas se hallan las fuerzas estáticas máximas en cada uno de los pisos. Posteriormente para el control de la deriva de los pórticos se calcula en base a inercias gruesas.

9

El control del efecto P − ∆ se realiza de acuerdo al CEC-2000. Se destaca que se obtiene con desplazamientos laterales elásticos.

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ROBERTO AGUIAR FALCONI CEINCI-ESPE function [V]=modalplanonew(alt,pesoD,pesoL,KL,KLG) % % Analisis Modal plano empleando el Espectro Inelastico del CEC-2000 % El factor de reduccion de las fuerzas sismicas corresponde al encontrado % en la investigacion realizada en el CEINCI-ESPE en 2007. % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE % Diciembre de 2007 %----------------------------------------------------------------------% [V]=modalplanonew(alt,pesoD,pesoL,KL,KLG) %----------------------------------------------------------------------% Ru Factor de reduccion por ductilidad Rs Factor de resistencia % Rr Factor de redundancia R Factor de reduccion % H Altura total de edificio Z Factor de Zona % alt Vector que contine las alturas a cada piso medido desde la base. % pesoD Vector que contiene la carga muerta D de cada piso. % pesoL Vector que contiene el porcentaje de carga viva L de cada piso. % KL Matriz de rigidez lateral del portico con inercias agrietadas. % KLG Matriz de rigidez lateral del portico con inercias gruesas. % PESO Peso total Reactivo. V Cortante Basal % NP=length(alt);H=alt(NP); for i=1:NP-1; j=NP-i+1; alt(j)=alt(j)-alt(j-1);end %Matriz de masas for i=1:NP; masaD(i)=pesoD(i)/9.8; masaL(i)=pesoL(i)/9.8; mas(i)=masaD(i)+masaL(i);end masa=zeros(NP,NP);for i=1:NP; masa(i,i)=mas(i);end PESO=0;for i=1:NP; PESO=PESO+pesoD(i);end; fprintf ('\n Codigos para zonas sismicas: 0.15g=1 0.25g=2 0.30g=3 04g=4'); ic=input ('\n Ingrese el codigo de la zona sismica :'); if ic==1; Ao=0.15*9.8;Z=0.15;elseif ic==2;Ao=0.25*9.8;Z=0.25; elseif ic==3;Ao=0.30*9.8;Z=0.30;else;Ao=0.40*9.8;Z=0.4;end fprintf ('\n Codigos para perfiles de suelo: S1=1 S2=2 S3=3 S4=4'); is=input('\n Indique el codigo del tipo de suelo :'); if is==1 T1=0.50;T2=2.50;beta=2.5;S=1;R=6; elseif is==2 T1=0.52;T2=3.11;beta=3.0;S=1.2;R=6; elseif is==3 T1=0.82;T2=4.59;beta=2.8;S=1.5;R=6; else T1=2.0;T2=10;beta=2.5;S=2;R=5; end I=input('\n Indique el factor de importancia :'); % Periodos de vibracion y periodo fundamental [V,D]=eig(KL,masa);W=sqrt(diag(D)); % Se ordenan las frecuencias y los modos de vibracion de menor a mayor [Wn,II]=sort(W); for i=1:NP; fi(:,i)=V(:,II(i)); T(i)=2*pi/Wn(i);end;Tf=T(1); rp=input('Estructura es regular en planta; si(s) o no(n):','s'); if rp=='s';fip=1;else;fip=0.8;end % Se penaliza por hacer una analisis plano re=input('Estructura es regular en elevacion; si(s) o no(n):','s'); if rp=='s';fie=1;else;fie=0.8;end % Se penaliza por hacer una analisis plano %Coeficiente C C=(1.25*S^S)/Tf; if C >=beta; C=beta; end;if C V; factor1=Vmin/V; F1=factor1*F; else F1=F; end; %Control de la deriva de los porticos q=KLG\F1; qine=R*q; F=F'; for i=1:NP j=NP+1-i; if j==1 drift(j)=qine(j)/alt(j); else drift(j)=(qine(j)-qine(j-1))/alt(j); end end gamamax=max(drift)*100;

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fprintf ('\n Modos de vibracion');fi fprintf ('\n Periodos de vibracion');T fprintf ('\n Factores de participacion');gama fprintf ('\n Aceleraciones espectrales');Ad fprintf ('\n Valor de reduccion de las fuerzas sismicas R'); R fprintf ('\n Cortante Basal Minimo ');Vmin fprintf ('\n Fuerzas laterales en los porticos sin controles');F' fprintf ('\n Desplazamientos laterales inelasticos');qine fprintf ('\n Derivas de piso'); drift' fprintf ('\n Deriva maxima de piso en porcentaje, sin control de P-Delta');gamamax %Control de efecto P-Delta for i=1:NP j=NP-i+1; if j==NP Peso(j)=masa(j,j)*9.8;Corte(j)=F1(j); else Peso(j)=masa(j,j)*9.8+Peso(j+1);Corte(j)=F1(j)+F1(j+1); end theta(j)=(Peso(j)/Corte(j))*(drift(j)/R); if theta(j)>=0.30 fprintf ('\n Estructura debe ser reforzada'); elseif theta(j)>=0.10 & theta(j)=0.30 fprintf ('\n Estructura debe ser reforzada'); elseif theta(j)>=0.10 & theta(j)> T . El proyectista estructural determina las dimensiones de los aisladores para que la estructura tenga el período Ta , llamado también período objetivo. En la figura 9.6 se presentan los espectros de respuesta elásticos de los sismos de: México 1985, Chile 1985 y El Centro 1940. También se ha colocado los períodos fundamentales de tres estructuras de tres, seis y nueve pisos, sin aisladores de base, construidos con base empotrada. Ahora bien, si se considera como período objetivo Ta = 2 s. , y para este período se diseñan los aisladores, las tres estructuras ante los sismos de El Centro y de Chile tendrán menores respuestas sísmicas ya que las ordenadas espectrales son más bajas. En cambio para el sismo de México es preferible no colocar aisladores en la base ya que se van a incrementar la respuesta sísmica. Esto debe llamar la atención ya que no siempre son beneficiosas las estructuras con aislación sísmica. Es fundamental conocer las formas de los espectros para tomar decisiones.

Figura 9.6 Espectros de respuesta elásticos de los sismos de México 1985, Chile 1985 y Centro 1940.

2) Con los aisladores de base se proporciona mayor amortiguamiento a la estructura. Consecuentemente las ordenadas espectrales van a ser menores y por ende la respuesta de la estructura es menor.

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252

9.3 MARCO TEÓRICO En la figura 9.7, se indica el modelo numérico de cálculo, que considera tres grados de libertad por planta, medidos en el Centro de Masa C.M., de cada planta, estos son dos desplazamientos horizontales y una rotación de piso con respecto a un eje perpendicular a la losa. Es importante notar que los grados de libertad se agrupan en dos vectores que son: q , para los grados de libertad del sistema de aislamiento y u para los grados de libertad de la superestructura.

Figura 9.7 Modelo de tres grados de libertad por planta

⎡q ( x ) ⎤ ⎢ ⎥ q = ⎢q ( y ) ⎥ ⎢q (θ ) ⎥ ⎣ ⎦ Donde q en sentido X; q

⎡u ( x ) ⎤ ⎢ ⎥ u = ⎢u ( y ) ⎥ ⎢u (θ ) ⎥ ⎣ ⎦ ( x)

( y)

u ( x)

⎡u1( x ) ⎤ ⎢ ( x) ⎥ u = ⎢⎢ 2 ⎥⎥ " ⎢ ⎥ ⎢⎣u n( x ) ⎥⎦

u ( y)

⎡u1( y ) ⎤ ⎢ ( y) ⎥ u = ⎢⎢ 2 ⎥⎥ " ⎢ ⎥ ⎢⎣u n( y ) ⎥⎦

u (θ )

⎡u1(θ ) ⎤ ⎢ (θ ) ⎥ u = ⎢⎢ 2 ⎥⎥ " ⎢ ⎥ ⎢⎣u n(θ ) ⎥⎦

es la componente de desplazamiento horizontal del sistema de aislamiento

es similar a q

( x)

pero en sentido Y; q ( x)

( y)

(θ )

(θ )

es la rotación de piso con respecto

a un plano perpendicular a la losa. u , u , u , son vectores que contienen a los desplazamientos horizontales en sentido X de cada uno de los pisos de la superestructura;

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253

desplazamientos horizontales en sentido Y; rotaciones con respecto a un eje perpendicular a la losa, respectivamente. El sistema de ecuaciones diferenciales, está definido por las siguientes ecuaciones, para el sistema de aislamiento y la superestructura, respectivamente. t

g − r ( s ) M ( s ) u  M ( t ) q + C ( b ) q + K ( b ) q = − M ( t ) r ( b ) u

[

 + C ( s ) u + K ( s ) u = − M ( s ) r ( s ) q + r ( b ) u g M (s) u Donde M

C

(b )

(t )

( 9.1 )

]

( 9.2 )

es la matriz de masa total de la estructura completa como cuerpo rígido;

es la matriz de amortiguamiento del sistema de aislamiento; K

del sistema de aislamiento; r

(b )

(b )

es la matriz de rigidez

g en los grados de libertad de es un vector de colocación de u

g es la aceleración del suelo, definida por su acelerograma; M la base; u

( s)

, C

(s)

K ( s) ,

y

(s)

son las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez de la superestructura; r es la matriz de   g en los grados de libertad de la estructura; u es la aceleración en la colocación de u superestructura. Al despejar de la ecuación (9.1), el vector de aceleraciones del sistema de aislamiento

q , se tiene:

g − M ( t ) q = −r ( b ) u

−1

[C

(b)

]

t

 q + K ( b ) q + r ( s ) M ( s ) u

 en ecuación (9.2) se encuentra, luego de simplificar Al sustituir q

g , el siguiente r (b) u

sistema de ecuaciones diferenciales.

 + C ( s ) u + K ( s ) u = M ( s ) r ( s ) M ( t ) M ( s) u

−1

(C

(b)

)

t

 ( 9.3 ) q + K ( b ) q + r ( s ) M ( s ) u

Kulkarni y Jangrid (2002) analizan e interpretan la interacción entre el sistema de aislamiento y la superestructura y concluyen que la flexibilidad de la estructura no influye mayormente en la respuesta del sistema de aislamiento especialmente cuando el período de vibración de la superestructura con base empotrada es menor a 1.0 s.; en este caso, se puede ignorar el término r se considera

( s) t

 de la ecuación ( 9.1). Nótese que únicamente en ésta ecuación M (s) u

 = 0 . En efecto al desarrollar la ecuación (9.3) se tiene: u

 + C ( s ) u + K ( s ) u = M ( s ) r ( s ) M ( t ) M (s) u −1

−1

(C

(b)

)

−1

t

 − M ( s ) r ( s ) M ( t ) r ( s ) M ( s ) u  + C ( s ) u + K ( s ) u = M ( s ) r ( s ) M ( t ) M (s) u ⎛⎜ M ( s ) − M ( s ) r ( s ) M ⎝

( t ) −1 ( s ) t

r

t

 q + K ( b ) q + M ( s ) r ( s ) M ( t ) r ( s ) M ( s ) u

 + C ( s ) u + K ( s ) u = M ( s ) r ( s ) M M ( s ) ⎞⎟ u ⎠

~ ( s)

Se denomina Matriz de Masa corregida M

−1

( t ) −1

(C (C

) q)

(b)

q + K ( b ) q

(b)

q + K ( b )

, a:

t −1 ~ M ( s) = M (s) − M ( s) r ( s) M (t ) r ( s) M ( s)

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( 9.4 )

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254

Luego, el sistema de ecuaciones diferenciales para la superestructura, queda:

~  + C ( s ) u + K ( s ) u = M ( s ) r ( s ) a~ (q, q ) M (s) u −1 a~ (q, q ) = M ( t ) C ( b ) q + K ( b ) q

(

)

( 9.5 )

( 9.6 )

~ (q, q ) es el vector de aceleración de la superestructura. Donde a

9.4 MÉTODO CUASI-ESTÁTICO En el Método Cuasi-Estático, De la Llera et al (2005), la respuesta de sistema de aislamiento se obtiene en forma dinámica con la ecuación (9.7) en que no se toma en cuenta  . Se recomienda utilizar el Procedimiento de Espacio la aceleración de la superestructura u de Estado, PEE, para encontrar la respuesta q y q .

g M ( t ) q + C ( b ) q + K ( b ) q = − M ( t ) r ( b ) u

( 9.7 )

Por otra parte, la respuesta de la superestructura se halla en forma estática mediante las ecuaciones (9.8) y (9.9)

K ( s ) u = F ( s ) (q, q )

( 9.8 )

F ( s ) (q, q ) = M ( s ) r ( s ) a~ (q, q )

( 9.9 )

La ecuación (9.8) es la ecuación básica de equilibrio de estructuras estáticas pero aquí se debe calcular en cada incremento de tiempo, F (q, q ) que son las fuerzas que actúan en la superestructura en cada piso y en cada instante de tiempo de duración del sismo. (s)

En estos métodos se considera que la masa de la superestructura está rígidamente vinculada al aislamiento, por este motivo se calcula M superestructura más la masa del aislamiento.

(b )

como la suma de la masa de la

9.4.1 Procedimiento de análisis El procedimiento de análisis sísmico empleando el Método Cuasi-Estático, se resume en los siguientes pasos: 1. Se encuentra la respuesta en el tiempo del sistema de aisladores q , resolviendo el sistema de ecuaciones diferenciales descrito en ( 9.1 ), que se repite a continuación.

g M ( t ) q + C ( b ) q + K ( b ) q = − M ( t ) r ( b ) u 2. Se halla el vector de aceleración total de la estructura completa como cuerpo rígido

a~(q, q )

(

−1 a~ (q, q ) = M ( t ) C ( b ) q + K ( b ) q

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)

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ROBERTO AGUIAR FALCONI CEINCI-ESPE 3. Se encuentran las fuerzas laterales en cada piso F

255

(s)

F ( s ) = M ( s ) r ( s ) a~ (q, q ) ( s)

Donde M es la matriz de masa de la superestructura; r g en los grados de libertad de la estructura. colocación de u

(s)

es la matriz de

4. Se obtienen los desplazamientos laterales y giros en el centro de masas de cada piso, resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones lineales.

K (s) u = F (s) Siendo K

( s)

la matriz de rigidez de la superestructura.

5. Se hallan los desplazamientos laterales en cada pórtico p

( j)

.

p ( j) = A( j) u Donde A

( j)

laterales p

( j)

es la matriz de compatibilidad de deformaciones entre las coordenadas y las coordenadas del centro de masa

Las matrices A

A

α

( j)

( 9.10 )

( j)

, K

( s)

, M

( s)

u . La j representa el pórtico j.

, para la superestructura son las siguientes.

Senα r1 ⎡Cosα ⎢ ...... ....... =⎢ ⎢⎣ Cosα Senα

⎤ ...... ⎥⎥ rn ⎥⎦

( 9.11 )

j con el eje de las X. r1 es la distancia del centro de masas al pórtico j en el primer piso, rn es similar a r1 pero en Donde

es el ángulo que forma la dirección positiva del pórtico ( j)

el último piso. La matriz A tiene NP filas y 3 por pórticos de la estructura. Para el ejemplo se tiene:

NP

K (s) = ∑ A( j) j =1

t

NP columnas. Siendo NP el número de

K L( j )

A( j)

( j)

Siendo K L la matriz de rigidez lateral del pórtico de la siguiente manera.

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( 9.12 )

j . También se puede obtener K ( s )

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K (s)

⎡ NP 2 ( j) ⎢∑ Cosα K L ⎢ j =1 ⎢ NP = ⎢∑ Senα Cosα K L( j ) ⎢ j =1 ⎢ NP ⎢∑ Cosα K L( j ) r ( j ) ⎢⎣ i =1

r

( j)

( j)

⎤ r ( j) ⎥ j =1 ⎥ NP ⎥ ( j) ( j) Sen α K r ⎥ ∑ L j =1 ⎥ NP ⎥ ( j) ( j) 2 ⎥ K r ∑ L ⎥⎦ i =1

NP

∑ Senα Cosα K j =1

NP

∑ Cosα K

( j) L

NP

∑ Senα

2

j =1

K L( j )

( )

NP

∑ Senα K i =1

⎡r1 ⎢ ⎢ =⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣

( j) L

r ( j)

" ri "

( j) L

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ rn ⎥⎦

( 9.13)

NP por NP conformada por las distancias ( s) desde el centro de masa al pórtico, con su respectivo signo. La matriz de masa M es: Siendo r

una matriz diagonal de orden

M ( s)

m (s)

J (s)

⎡m ( s ) ⎢ =⎢ ⎢ ⎣

⎡m1 ⎢ ⎢ ⎢ =⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣⎢ ⎡ J1 ⎢ ⎢ ⎢ =⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣⎢

⎤ ⎥ ⎥ (s) ⎥ J ⎦

m ( s)

m2 " mi "

J2

Ji =

" Ji "

(

mi 2 ai + bi2 12

( 9.14 )

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ m n ⎦⎥

( 9.15 )

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ J n ⎦⎥

( 9.16 )

)

( 9.17 )

Donde m i es la masa del piso i; J i es el momento de inercia de la masa con respecto al C.M.; a i , bi son las dimensiones en planta de la losa del piso i.

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•

257

EJEMPLO 1

Realizar el análisis sísmico de la estructura de un piso indicada en la figura 9.8, ante el sismo de El Centro de 1940, cuyo acelerograma se muestra en la figura 9.9. Todas las columnas son iguales y son de 30/30 cm., las vigas también son iguales y son de 20/30 cm. Las luces de la estructura son de 5.0 m., y la altura del entrepiso es de 3.0 m. La carga muerta es D = 500 Kg / m . La carga viva L = 200 Kg / m . El centro de masas C.M. es colineal entre la losa superior al aislamiento de base y la losa del primer piso. 2

2

Figura 9.8 Estructura de análisis de ejemplo 1.

La rigidez de cada aislador es de

k b = 20 T / m. La masa del aislador más la

cimentación más la masa de la losa bajo la cual están los aisladores, es mb = 0.10 T s / m . 2

El amortiguamiento del aislador

ξ b = 0.10 . Presentar en un gráfico la respuesta en el tiempo

para el movimiento horizontal de la base q ( x ) y para el desplazamiento horizontal del primer ( x) piso u1 .

•

SOLUCIÓN Al utilizar el programa RLAXINFI, con un módulo de elasticidad del hormigón

E = 1738965.21 T / m 2 . Se halla que la matriz de rigidez lateral de los pórticos con inercias gruesas. Esta vale: K L = 554.5 T / m . Al ser todos los pórticos iguales, considerado es

esta es la matriz de rigidez lateral de cada uno de ellos.

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Figura 9.9 Acelerograma del sismo de El Centro de 1940. El peso D del primer piso vale D = 0.5 * 25 = 12.5 T . La estructura en estudio es una vivienda, se tomará el 25% de la carga viva para el análisis sísmico. Luego

L = 0.25 * 0.2 * 25 = 1.25 T .

La masa que llega a cada aislador proveniente de la superestructura es el peso total debido a carga muerta más porcentaje de carga viva dividida para la aceleración de la 2 gravedad y dividida para 4 aisladores. mi = (12.5 + 1.25 ) / 9.8 / 4 = 0.35 T s / m . A esta masa se debe añadir la masa de los aisladores más la cimentación que se considera igual a

0.10 T s 2 / m .

Figura 9.10 Identificación de los pórticos.

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La distancia del centro de masas C.M. a cada uno de los pórticos es de 2.5 m., pero ( s)

(b)

y K . Para explicar los signos en la tienen signo, para hallar las matrices de rigidez K figura 9.10 se han identificado los pórticos y se ha definido la orientación positiva ya que la distancia será positiva si la orientación positiva del pórtico rota con relación al C.M. en forma antihorario. En la tabla 9.1 se indican los valores del vector r de cada uno de los pórticos y los valores del ángulo α , que se mide a partir del eje X hasta la orientación positiva del pórtico. Con estos valores se forma la matriz de compatibilidad A , ecuación ( 9.11 ). Estas son: Tabla 9.1 Valores r y α de los pórticos para hallar la matriz de compatibilidad A. Pórtico Distancia del C.M. al pórtico. r Ángulo α -2.5 m. 0 1 2.5 m. 0 2 -2.5 m. 90 A 2.5 m. 90 B

A (1) = [1

− 2.5]

0

A ( 2 ) = [1

2.5]

0

A ( A) = [0

− 2.5]

1

A ( B ) = [0

2.5]

1

La matriz de rigidez de la superestructura (9.12) o con la ecuación (9.13) es:

K

(s )

⎡1109 = ⎢⎢ 0 ⎢⎣ 0

K ( s ) que se encuentra con la ecuación

0 1109 0

⎤ ⎥ ⎥ 13863 ⎥⎦ 0 0

K ( s ) al ( s) igual que todas las matrices que intervienen en el análisis sísmico. La matriz de masa M El programa CUASIESTATICOAISLAMIENTO calcula esta matriz de rigidez

para el ejemplo., es:

M

( s)

⎡1.4031 = ⎢⎢ 0 ⎢⎣ 0

0 1.4031 0

0 0 5.8461

⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦

Las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez del sistema de aislamiento de base, para este ejemplo, son diagonales y valen.

M

(t )

⎡1.80 ⎤ ⎡2.4 ⎢ ⎥ ⎢ (b ) =⎢ 1.80 ⎥ C =⎢ ⎢⎣ ⎢⎣ 22.5⎥⎦ 22.5 = 0.45 ∗ (2.5 2 + 2.5 2 ) ∗ 4

[

]

⎤ ⎡80 ⎥ ⎢ (b) 2.4 80 ⎥ K =⎢ ⎢⎣ 30.0⎥⎦ 1000 = 20 ∗ (2.5 2 + 2.5 2 ) ∗ 4

[

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]

⎤ ⎥ ⎥ 1000⎥⎦

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Al utilizar el programa CUASIESTÁTICOAISLAMIENTO se halla la respuesta en el tiempo solicitada. Esta se presenta en la figura 9.11. Es importante notar como el sistema de aislamiento experimenta grandes desplazamientos laterales, alcanzando los 8 cm., para los primeros instantes de tiempo. En cambio la estructura prácticamente no se desplaza lateralmente. Esta es la ventaja de construir estructuras con aisladores de base.

Figura 9.11 Desplazamientos del sistema de aislamiento y del primer piso, en el C.M.

9.4.2 Programa CUASIESTÁTICOAISLAMIENTO El programa CUASIESTATICOAISLAMIENTO tiene una subrutina que se denomina PSE3. Por lo tanto, antes de usar el programa se debe verificar que en la carpeta Work de MATLAB se tenga grabado esta subrutina que fue listada en el capítulo anterior. Los datos de entrada del programa CUASIESTATICOAISLAMIENTO son:

>> [NP]=cuasiesticoaislamiento(NP,Sedabase,Iejes,PesoD,PesoL,KLG,r,Sismo,dt) • • • •

NP Sedabase Iejes PesoD

•

PesoL

•

KLG

Número de pisos del edificio. Factor de amortiguamiento de los aisladores de base. Número de pórticos de la estructura en el sentido de análisis sísmico. Vector en el que se indica el peso total de cada uno de los pisos, desde el primer piso al último, debido a carga muerta D. Vector en el que se indica el peso de cada planta debido al porcentaje de carga viva L, que se considera en el análisis de acuerdo al uso de la estructura. Matriz que contiene las matrices de rigidez lateral de cada uno de los pórticos de la estructura.

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ROBERTO AGUIAR FALCONI CEINCI-ESPE •

r

•

Sismo

•

dt

261

Vector que contiene la distancia desde el Centro de Masas a cada pórtico, con signo. Se da un solo dato por pórtico debido a que el programa CUASIESTATICOAISLAMIENTO contempla que el centro de masas es colineal. Archivo que contiene el acelerograma del sismo que se analiza. Este archivo tiene una sola columna y el número de filas es igual al número de puntos del sismo. Se recomienda que esté en m/s2. Incremento de tiempo del acelerograma. La respuesta en el tiempo de la estructura se la obtiene para este incremento de tiempo.

En el listado del programa que se indica a continuación, el programa dibuja la respuesta en el tiempo del último piso de la estructura y del sistema de aislamiento de base, medido en el Centro de Masa. El programa puede también hallar la respuesta en el tiempo de los pórticos externos en el sentido de análisis sísmico, halla la respuesta para el último piso y para el primer piso. Si se desea esta opción se deberá quitar los % en la parte correspondiente, que está cerca del final y colocar % en las últimas líneas.

function [NP]=cuasiestaticoaislamiento(NP,sedabase,iejes,pesoD,pesoL,KLG,r,sismo,dt) % % Analisis sismico en el tiempo, espacial de estructuras con aislamiento de base % por el Metodo cuasiestatico, considerando 3 gdl por planta. % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE % Marzo-2007 % Version corregida Julio-2007 %---------------------------------------------------------------------------------% [NP]=cuasiestaticoaislamiento(NP,sedabase,iejes,pesoD,pesoL,KLG,r,sismo,dt) %---------------------------------------------------------------------------------% % sedabase Factor de amortiguamiento de los aisladores. % iejes # de ejes de columnas en el sentido de analisis sismico. % alt Vector que contine las alturas a cada piso medido desde la base. % pesoD Vector que contiene la carga muerta D de cada piso. % pesoL Vector que contiene la carga viva L de cada piso. % KLG Matriz que contiene las matrices de rigidez lateral de todos los % porticos con inercias gruesas. Primero los de sentido X. % r Vector que contiene la distancia del portico al centro de masa, de % cada uno de los porticos, con signo, positivo antihorario. Primero % se ingresan las distancias a los porticos en sentido X. luego a los % porticos en sentido Y. % % rs Matriz de colocacion de la aceleracion del suelo en gdl superestructura % rb Vector de colocacion de la aceleracion del suelo en gdl de la base % sismo Archivo que contiene el acelerograma % dt Incremento de tiempo del acelerograma % ace aceleracion total en la superestructura % F Fuerza estatica que actua en cada piso de la superestructura % u Vector de desplazamientos laterales de cada piso de la superestructura % umax Vector que contiene los maximos desplazamientos del ultimo piso % utot Matriz que contiene los desplazamientos de superestructura en cada % incremento de tiempo. En las filas estan los incrementos de tiempo. % p Matriz que contiene la respuesta en el tiempo de cada portico. % La fila 1 es para el portico 1, la 2 para el 2, etc.

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% A Matriz de paso de coordenadas de piso a coordenadas de portico. Las % primeras filas son para el portico 1 las siguientes para el 2, etc. % NP Numero de pisos % % KS Matriz de rigidez de superestructura en coordenadas de piso. % MS Matriz de masa de superestructura en coordenadas de piso. % KB Matriz de rigidez del sistema de aislamiento. % MB Matriz de masas del sistema de aislamiento. % CB Matriz de amortiguamiento del sistema de aislamiento. % qt Matriz que contiene desplazamientos de la base para todos los gdl. % vt Matriz que contiene velocidades de la base para todos los gdl. % q Vector que contiene solo historia de desplazamientos de la base. % ntot=input ('\n Numero total de porticos de la estructura :'); fprintf ('\n Codigos para analisis sismico: Sentido X=1 Sentido Y=2'); isismo=input ('\n Ingrese codigo de sentido de analisis sismico :'); rs=zeros(3*NP,3);rb=[0;0;0]; if isismo==1;nx=iejes; ny=ntot-nx;rb(1)=1; var=2;for j=1:NP; rs(j,1)=1; end; else;ny=iejes; nx=ntot-ny;rb(2)=1;var=1;for j=1:NP; rs(j+NP,2)=1; end; end; %Submatrices de rigidez: KEE, con inercias gruesas Kxx=zeros(NP,NP);Kyy=zeros(NP,NP);Kteta=zeros(NP,NP);cero=zeros(NP,NP); Kxt=zeros(NP,NP);Kyt=zeros(NP,NP);for k=1:NP;identidad(k,k)=1;end; for i=1:ntot for k=1:NP rtet(k,k)=r(i); end rteta=rtet*rtet; ji=NP*(i-1)+1;jf=NP*(i-1)+NP; if i> load c:\casad >> [KL]=rlviscoelasticonew (casad) Numero de nudos: 9 Numero de pisos: 2 Numero de nudos restringuidos: 3 Numero de diagonales: 2 Modulo de elasticidad del hormigón (T/m2): 1738965.21 Diagonal numero, 11 Nudo inicial de diagonal con disipador: 4 Nudo final de diagonal con disipador: 8 Diagonal numero, 12 Nudo inicial de diagonal con disipador: 6 Nudo final de diagonal con disipador: 8 Calcula con: Inercias gruesas, codigo=0. Con inercias agrietadas, codigo=1 Ingrese codigo de inercias :1 El programa reporta:

•

MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL CON INERCIAS GRUESAS, CON DISIPADORES

⎡ 4675.9 KL = ⎢ ⎣− 3709.7 •

− 3709.7 ⎤ 3505.5 ⎥⎦

MATRIZ DE RIGIDEZ LATERL CON DISIPADORES E INERCIAS AGRIETADAS

⎡4629.8 KL = ⎢ ⎣− 3676.4

− 3676.4⎤ 3464.6 ⎥⎦

Para encontrar las dos matrices de rigidez lateral, se debe ejecutar dos veces el programa. A continuación se presenta el programa RLVISCOELASTICO

function[KL]=rlviscoelasticonew(nombre) % % Programa para encontrar la matriz de rigidez lateral de un portico plano % considerando que todos los elementos son axialmente rigidos. % Con disipadores de energia viscoelasticos % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE %------------------------------------------------------------% [KL]=rlviscoelasticonew(nombre)

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ROBERTO AGUIAR FALCONI CEINCI-ESPE %------------------------------------------------------------% CG Matriz de coordenadas generalizadas % VC Vector de colocacion %E Modulo de elasticidad del material del portico. % SS Matriz de rigidez de la estructura % b: base de la seccion transversal. % h: altura de la seccion transversal. % long: longitud del elemento. % ke Rigidez equivalente de la diagonal con disipador de energia. % nombre Archivo de datos que contiene la base, la altura y la longitud % de cada uno de los elementos. El nombre debe tener extension .txt % Para los disipadores de energia se indica la rigidez equivalente % del conjunto acero-goma; el angulo de la diagonal en grados y un % cero. % nod=input('\n Numero de nudos:'); np=input(' Numero de pisos:'); nr=input(' Numero de nudos restringuidos:'); ndiag=input(' Numero de diagonales:'); E=input(' Modulo de elasticidad:'); % Coordenadas Generalizadas CG=zeros(nod,2);ngl=0;k=nr; for i=1:np ngl=ngl+1; for j=1:nr k=k+1; CG(k,1)=ngl; end end for i=1:nod-nr ngl=ngl+1; k=nr+i; CG(k,2)=ngl; end ncol=np*nr; mbr=ncol+(nr-1)*np;nvig=mbr-ncol;mbr1=mbr+ndiag; ici=0;icf=nr; for i=1:ncol ici=ici+1; icf=icf+1;ini(i)=ici;fin(i)=icf; end ii=ncol; for j=1:np ici=j*nr; for i=1:nr-1 ii=ii+1;ici=ici+1;ini(ii)=ici;fin(ii)=ici+1; end end % Arreglo VC. Vectores de colocacion for i=1:mbr for k=1:2 VC(i,k)= CG(ini(i),k); VC(i,k+2) = CG(fin(i),k); end end % Arreglo VC de diagonales for i=1:ndiag fprintf ('\n Diagonal numero, %d ',mbr+i); nidiag=input ('\n Nudo inicial de diagonal con disipador:'); nfdiag=input ('Nudo final de diagonal con disipador:'); for k=1:2

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VC(mbr+i,k)=CG(nidiag,k); VC(mbr+i,k+2)=CG(nfdiag,k); end end % Matriz de rigidez de miembro y de la estructura for i=1:mbr B(i)=nombre(i,1);H(i)=nombre(i,2);L(i)=nombre(i,3); end for i=1:ndiag kd(i)=nombre(i+mbr,1); alfa(i)=nombre(i+mbr,2); end % Calculo de la matriz de rigidez de la estructura fprintf ('\n Calcula con: Inercias gruesas, codigo=0. Con inercias agrietadas, codigo=1'); icod=input('\n Ingrese codigo de inercias :'); SS=zeros(ngl,ngl); for i=1:mbr b=B(i);h=H(i);long=L(i);iner=b*h^3/12;ei=E*iner; if i> KLS = [ K LA 2 ; K LA 2 ; K LA 2 ; K LA 2 ; K LA 2 ; K LA 2 ; K LA 2 ; K LA 2 ; K LA 2 ; K LA 2 ] ¾

Estructura con disipadores con inercias agrietadas (Para el pórtico de la izquierda de la figura 10.3. A esta matriz se denomina K LDA1 y para el pórtico derecha de la figura 10.3, que ya fue calculada)

⎡ 8505.6 K L = ⎢⎢− 3657.5 ⎢⎣ 311.6

6183.8 − 3046.0

⎤ ⎥=K LDA1 ⎥ ⎥ 2774.9⎦

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Se denomina KL a la matriz de rigidez que contiene a todas las matrices de rigidez lateral, con inercias agrietadas, de todos los pórticos en la estructura con disipadores de energía. >> KL = [ K LDA1 ; K LA2 ; K LA2 ; K LA2 ; K LDA1; K LDA1 ; K LA 2 ; K LA 2 ; K LA 2 ; K LDA1 ] ¾

Estructura con disipadores con inercias gruesas (Para los dos pórticos de la figura 10.3. Sea K LD1 la matriz de rigidez lateral del pórtico con disipadores y K L 2 la matriz de rigidez lateral del pórtico sin disipadores).

⎡ 8588.9 K L = ⎢⎢− 3631.5 ⎢⎣ 270.0 ⎡ 6947.2 K L = ⎢⎢− 2810.7 ⎢⎣ 270.0

6283.1 − 3106.7

⎤ ⎥=K LD1 ⎥ ⎥ 2868.0⎦

4641.4 − 2285.8

⎤ ⎥=K L2 ⎥ 2047.1⎥⎦

Sea KLG la matriz que contiene a las matrices de rigidez lateral con inercias gruesas, de todos los pórticos de la estructura con disipadores de energía. >> KLG = [ K LD1 ; K L 2 ; K L 2 ; K L 2 ; K LD1 ; K LD1 ; K L 2 ; K L 2 ; K L 2 ; K LD1 ] ™ Ahora se debe encontrar el vector que contiene a los pesos de la estructura debido a carga muerta y al 25% de la carga viva. Se denominan a estos vectores PesoD y PesoL, respectivamente.

D = 0.6 * 12 * 12 = 86.4 T L = 0.25 * 0.2 * 12 * 12 = 7.2 T

PesoD = [86.4; 86.4; 86.4] PesoL = [7.2;7.2;7.2]

™ Se debe hallar la matriz r con la distancia del Centro de Masas C.M. al pórtico. Para cada pórtico se da una fila de datos que corresponde al valor de distancia del C.M. al pórtico en cada piso. En el ejemplo el C.M. se halla en el centro de gravedad de la planta. >>

r = [−6 − 6 − 6; − 4 − 4 − 4; 0 0 0; 4 4 4; 6 6 6; − 6 − 6 − 6; − 4 − 4 − 4; 0 0 0; 4 4 4; 6 6 6] ™ Se determina el vector que contiene la altura desde la base a cada piso. Para el ejemplo la altura de piso es de 3.0 m. Se denomina altura a este vector.

>> altura =[3; 6; 9]

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Resultados

En la tabla 10.3 se presenta las respuestas máximas probables que reporta el programa en el Centro de Masas. Se indican las fuerzas laterales sin el efecto de la torsión accidental; las fuerzas laterales con la torsión accidental, los desplazamientos inelásticos hallados de acuerdo al CEC-2000, la deriva máxima de piso γ i , el índice de estabilidad de piso

θ i y las fuerzas finales. Piso

1 2 3

Fuerzas sin Torsión (T.) 9.1788 16.6329 28.0822

Tabla 10.3 Respuestas máximas en el Centro de Masas Desplazamientos Fuerzas γi θi Inelásticos con Torsión (m.) (T.) 9.7379 0.0154 0.0051 0.0106 17.5579 0.0388 0.0078 0.0062 29.6448 0.0534 0.0049 0.0031

Fuerzas Finales (T.) 9.7379 17.5579 29.6448

El programa VISCOELASTICOESPECTRO también reporta los desplazamientos laterales en cada uno de los pórticos.

10.9 PROGRAMA VISCOELASTICOESPECTRO Como se ha indicado el programa VISCOELASTICOESPECTRO sirve para el análisis sísmico de estructuras espaciales con disipadores de energía visco elásticos de goma, ante el espectro de diseño inelástico del CEC-2000. En el programa se ha considerado lo siguiente: •

El factor de reducción de las fuerzas sísmicas R es 6 para los perfiles de suelo S1, S2 y S3. Para el perfil de suelo S4 es 5.

•

En estructuras con disipadores de energía, la inercia agrietada de vigas y columnas es igual a I V = 0.8 I g ; I C = I g . Donde I g es la inercia gruesa. De tal manera que se admite un ligero daño en las vigas. Los disipadores de energía deben trabajar en rango elástico.

•

Para encontrar el amortiguamiento equivalente de la estructura con disipadores de energía se ha utilizado el Método de la Energía Modal de Deformación. Para el efecto se debe calcular la matriz de rigidez de la estructura en coordenadas de piso de dos formas, sin disipadores de energía y con disipadores de energía. Para los dos casos se ha trabajado con inercias agrietadas en las vigas.

•

Con los amortiguamientos equivalentes de la estructura en cada modo de vibración se encontró el amortiguamiento promedio ξ y para este amortiguamiento se halló el espectro con el que se realiza el análisis sísmico. La ecuación utilizada para el efecto es:

⎛ 1+ ξ f a = 2 ⎜⎜ 0.865 ⎝ 1 + 14.68 ξ

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

( 10.9 )

Donde f a es el factor por el cual se debe multiplicar las ordenadas del espectro elástico del CEC-2000. El espectro del CEC-2000 está obtenido para un ξ = 0.05 . La

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ecuación ( 10.9 ) fue presentada en el capítulo 2 y sirve para encontrar formas espectrales para cualquier factor de amortiguamiento ξ a partir de un espectro cuyo ξ = 0.05 . •

Una vez que se tiene el espectro para el ξ promedio se dividen las ordenadas espectrales para el factor R .

•

El programa permite analizar estructuras con Centros de Masa que no sean colineales. Pero lo que se deben tener pórticos ortogonales.

•

El programa sirve para el análisis sísmico de estructuras sin orificios ya que el momento de inercia de la masa J i , de cada planta se halló con la siguiente ecuación.

Ji =

[

mi 2 ai + bi2 12

]

( 10.10 )

Donde a i , bi son las dimensiones en planta de la losa y mi es la masa total del piso. Si se tienen orificios en la losa es conveniente que el usuario calcule manualmente J i e ingrese esta cantidad como dato para lo que debe modificar el programa pero es muy sencillo. •

El usuario tiene la posibilidad de escoger entre nueve criterios de combinación modal, el que más le convenga. Los criterios fueron indicados en el capítulo 65 Se recomienda trabajar con el criterio de la normativa de Perú de 2003, que es una combinación lineal de los criterios del valor máximo probable y de la superposición directa.

•

El detalle del método de superposición modal que realiza el programa se describió en los capítulos 5 y 6 de este libro.

La forma de uso del programa es la siguiente:

>> [seda]=viscoelasticoespectro(ejes,altura,PesoD,PesoL,KLS,KL,KLG,r)

ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

ejes es el número de ejes de la estructura en la dirección analizada. altura vector que contiene la altura desde el piso a cada uno de los pisos de la estructura. PesoD vector con los pesos totales de cada uno de los pisos, debido a carga muerta. PesoL vector con los pesos totales de cada uno de los pisos, debidos al 25% de la carga viva. KLS matriz que contiene las matrices de rigidez lateral K L de la estructura sin disipadores de energía, hallada con inercias agrietadas. KL similar a KLS pero en la estructura con disipadores de energía y con inercias agrietadas. KLG similar a KLS pero en la estructura con disipadores de energía y con inercias gruesas. r matriz que contiene la distancia del centro de masas a cada uno de los pórticos. Cada fila es para un pórtico. Y en cada fila se debe indicar esta distancia para cada piso, con su signo.

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function [seda]=viscoelasticoespectro(iejes,alt,pesoD,pesoL,KLs,KL,KLG,r) % % Programa para el analisis sismico de estructuras con disipadores % viscoelasticos, se realiza analisis modal espacial considerando tres % grado de libertad por planta empleando el Espectro Inelastico del CEC-2000 % y el factor de reduccion de las fuerzas sismicas hallados en el proyecto % de investigacion desarrollado en CEINCI-ESPE en 2005-2007 % % Por: Roberto Aguiar Falconi y Marcos Zevallos Loor % CEINCI-ESPE % Febrero de 2008 %----------------------------------------------------------------------% [seda]=viscoelasticoespectro(iejes,alt,pesoD,pesoL,KLs,KL,KLG,r) %----------------------------------------------------------------------% %H Altura total de edificio Z Factor de Zona % iejes # de ejes de columnas en el sentido de analisis sismico % alt Vector que contine las alturas a cada piso medido desde la base. % pesoD Vector que contiene la carga muerta D de cada piso. % pesoL Vector que contiene el porcentaje de carga viva L de cada piso. % KLS Matriz de rigidez de estructura sin disipadores de energia con % inercias agrietadas. Iv = 0.8 Ig; Ic = 1.0 Ig. De todos porticos. % KL Matriz que contiene las matrices de rigidez lateral de los porticos % con disipadores de energia, con inercias agrietadas.Iv = 0.8 Ig; Ic = 1.0 Ig. % KLG Matriz que contiene las matrices de rigidez lateral de los porticos % en un solo sentido, con inercias gruesas. %r Matriz que contiene la distancia del portico al centro de masa, de % cada uno de los porticos, con signo, positivo antihorario. % Para cada piso se indica el valor de r. La primera fila % corresponde al portico 1, se dan los r de cada piso. % PESO Peso total Reactivo. V Cortante Basal eta = input ('\n Factor de perdida de la goma (igual para todos los modos) :'); bbeta = input ('\n El amortiguamiento de la estructura sin disipadores :'); ntot = input ('\n Número total de pórticos de la estructura:'); % NP=length(alt); for i=1:NP-1; j=NP-i+1; alt(j)=alt(j)-alt(j-1);end fprintf ('\n Si el analisis es en sentido X, el codigo es 1; para sentido Y es 2'); isismo= input ('\ Indique el codigo del sentido de analisis sismico'); if isismo==1; nx=iejes; ny=ntot-nx; else ny=iejes; nx=ntot-ny; end %Submatrices de rigidez: KEE, con inercias agrietadas sin disipadores Kxxs=zeros(NP,NP);Kyys=zeros(NP,NP);Ktetas=zeros(NP,NP); ceros=zeros(NP,NP);Kxts=zeros(NP,NP);Kyts=zeros(NP,NP); for k=1:NP; identidad(k,k)=1; end; for i=1:ntot for k=1:NP rtet(k,k)=r(i,k); end rteta=rtet*rtet;

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ROBERTO AGUIAR FALCONI CEINCI-ESPE ji=NP*(i-1)+1;jf=NP*(i-1)+NP; if i> [V]=viscoelasticoestatico(ejes,altura,Peso,KL) • •

ejes altura

• •

Peso KL

es el número de ejes de la estructura en la dirección del análisis sísmico. es el nombre de un vector que contiene la altura de cada piso, medida desde la base hasta el piso. vector que contiene los pesos totales de cada piso, debidos a carga muerta. Matriz que contiene a las matrices de rigidez lateral de los pórticos con inercias gruesas. Pero solo en el sentido de análisis.

function [V]=viscoelasticoestatico(iejes,alt,peso,KL) % % Analisis Estatico de acuerdo al CEC-2000 de edificios aporticados regulares % % Factor de reduccion de las fuerzas sismicas de acuerdo a Proyecto de % Investigacion desarrollado en CEINCI-ESPE 2005-2007. % Periodo de vibracion de estructuras con disipadores de energia el % obtenido por Aguiar y Garcia (2008) % % Se mayoran las fuerzas sismicas por torsion accidental en 10%. % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE % Marzo de 2008 %----------------------------------------------------------------------% [V]=analisisestaticonew(iejes,alt,peso,KL) %----------------------------------------------------------------------% R Factor de reduccion de las fuerzas sismicas % H Altura total de edificio Z Factor de Zona % iejes # de ejes de columnas en direccion de analisis sismico % alt Vector que contine las alturas a cada piso medido desde el suelo. % peso Vector que contiene los pesos reactivos de cada piso. % PESO Peso total Reactivo. V Cortante Basal % gama Deriva maxima de piso que el programa calcula. % KL Matriz que contiene la matriz de rigidez lateral de cada portico % en la direccion del analisis sismico con inercias gruesas es para % deriva de piso. % NP=length(alt); PESO=0;for i=1:NP; PESO=PESO+peso(i);end; H=alt(NP);

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ROBERTO AGUIAR FALCONI CEINCI-ESPE fprintf ('\n Codigos para zonas sismicas: 0.15g=1 0.25g=2 0.30g=3 04g=4'); ic=input ('\n Ingrese el codigo de la zona sismica :'); if ic==1; Z=0.15;elseif ic==2; Z=0.25;elseif ic==3;Z=0.30;else;Z=0.40;end fprintf ('\n Codigos para perfiles de suelo: S1=1 S2=2 S3=3 S4=4'); is=input('\n Indique el codigo del tipo de suelo :'); if is==1 T1=0.50;T2=2.50;beta=2.5;S=1;R=6.0; elseif is==2 T1=0.52;T2=3.11;beta=3.0;S=1.2;R=6.0; elseif is==3 T1=0.82;T2=4.59;beta=2.8;S=1.5;R=6.0; else T1=2.0;T2=10;beta=2.5;S=2;R=5.0; end I=input('\n Indique el factor de importancia :'); % Periodo fundamental, T=0.0865*H^(0.6993); rp=input('Estructura es regular en planta; si(s) o no(n):','s'); if rp=='s';fip=1;else;fip=0.8;end re=input('Estructura es regular en elevacion; si(s) o no(n):','s'); if rp=='s';fie=1;else;fie=0.8;end rw=0.91024*H^(-0.0507) eta=input ('Factor de perdida de la goma :'); bbeta=input ('Amortiguamiento de la estructura sin disipadores :'); % amortiguamiento equivalente de la estructura con disipadores seda=bbeta*rw+(eta/2)*(1-rw*rw); % factor fa para reducir el espectro por el amortiguamiento BO=2*((1+seda)/(1+(14.68*seda^0.865))); %Coeficiente C C=(1.25*S^S)/T; if C >=beta;C=beta;end if C 750

< 25 KPa 25 KPa – 50 KPa 50 KPa – 100 KPa 100 KPa – 200 KPa

> 20 m. > 25 m. > 40 m. > 60 m.

Vs

Valores N del SPT

(m/s) < 200 200 – 750 > 750

Espesor del Estrato

4 – 10 10 – 30 > 30

> 40 m. > 45 m. > 100 m.

Si el sitio donde las propiedades del suelo son poco conocidas, se podrá considerar que el perfil de suelo es S3.

4

Perfil de suelo S4 son suelos con condiciones especiales. En este grupo se incluyen los siguientes: 1 2 3 4 5

Suelos con alto potencial de licuación, susceptibles de colapso y sensitivos. Turbas, lodos y suelos orgánicos. Rellenos colocados sin control técnico. Arcillas y limos de alta plasticidad ( IP > 75 ). Arcillas suaves y medio duras con espesor mayor a 30 m.

Los perfiles de este grupo incluyen a suelos particulares altamente compresibles, donde las condiciones geológicas y/o topográficas sean especialmente desfavorables y que requieran estudios geotécnicos no rutinarios para determinar sus características mecánicas.

2.3 ESPECTROS POR DESEMPEÑO En el capítulo anterior se habló que el Comité VISION 2000 establece cuatro sismos denominados: frecuente, ocasional, raro y muy raro para el análisis y diseño sísmico por desempeño, los mismos que están indicados en la tabla 2.3. Ahora lo que interesa ilustrar en este apartado es como se determinan las formas espectrales para los sismos: frecuente,

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ocasional y muy raro habida cuenta que el espectro del sismo raro es el del CEC-2000. En el capítulo 8 del libro Análisis Sísmico por Desempeño, Aguiar (2003) se indican todos los estudios que se han realizado para proponer la siguiente metodología para encontrar los espectros de los sismos: frecuente, ocasional y muy raro, a partir del espectro del sismo raro.

Sismo

Tabla 2.3 Sismos recomendados por el Comité VISION 2000. Período medio Tasa Anual de Vida Útil Probabilidad T de Excedencia t p de retorno, r excedencia, 1 ∗

P

Frecuente Ocasional Raro Muy raro

•

30 años 50 años 50 años 100 años

50% 50% 10% 10%

43 años 72 años 475 años 970 años

0.02310 0.01386 0.00211 0.00105

Para el Sismo Frecuente se dividen las ordenadas espectrales del Sismo Raro para 3 y posteriormente se ajusta la forma espectral para un amortiguamiento ξ del 2%. Multiplicando la forma espectral por f a indicado en la ecuación ( 2.5 )

⎛ 1+ ξ f a = 2 ⎜⎜ 0.865 ⎝ 1 + 14.68 ξ

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

( 2.5 )

La ecuación ( 2.5 ) sirve para obtener espectros para cualquier factor amortiguamiento ξ , a partir del espectro para ξ = 0.05 . Esta ecuación es propuesta por la Normativa Sísmica de Chile de (1996) para estructuras con aislamiento de base y se ha verificado que reporta resultados satisfactorios con sismos registrados en el Ecuador. Aguiar y Álvarez (2007). Existe otra ecuación más sencilla, que también se puede hallar para pasar del espectro que está calculado para un ξ = 0.05 a un ξ = 0.02 Esta es:

⎛ 0.05 ⎞ ⎟⎟ f a = ⎜⎜ ⎝ ξ ⎠

0.4

•

Para el Sismo Ocasional se multiplica el sismo frecuente por 1.4

•

Para el Sismo muy raro se multiplica el sismo raro por 1.3

•

EJEMPLO 1

( 2.6 )

Encontrar los espectros para los sismos: frecuente, ocasional, raro y muy raro; para la zona de mayor peligrosidad sísmica de Ecuador y en un perfil de suelo S4.

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•

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SOLUCIÓN

En la figura 2.4 se presentan los espectros requeridos, los mismos que se hallan utilizando el programa VISION descrito en el capítulo tres del libro: Dinámica de Estructuras con MATLAB. Aguiar (2007).

2.4 ESPECTRO INELÁSTICO Al realizar el análisis sísmico con el espectro elástico del CEC-2000 se espera que la estructura no sufra daño. Por lo tanto, todo el tiempo trabajará en el rango elástico pero esto no es adecuado ya que el espectro del CEC-2000 tiene un período de retorno de 475 años es decir la probabilidad de que se registre durante la vida útil de la estructura es muy baja. Sería muy costoso diseñar una estructura con el espectro elástico, además de ello los elementos estructurales que resultan serían de grandes dimensiones.

Figura 2.4 Espectros: frecuente, ocasional, raro y muy raro para un perfil S4. Por consiguiente se diseña las estructuras considerando un espectro inelástico el mismo que se obtiene dividiendo las ordenadas del espectro elástico para R φ p φ e como lo ilustra la figura 2.5. Donde R es el factor de reducción de las fuerzas sísmicas debido a comportamiento inelástico

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de la estructura; este factor se define en forma muy general en las diferentes normativas sísmicas y más responde a criterios cualitativos emitidos por expertos, que a criterios cuantitativos, razón por la cual se dedicará todo un apartado para su estudio en este capítulo. φ p y φ e son factores con los que se pretende penalizar las irregularidades tanto en planta como en elevación, que tiene una edificación y son abordados en el siguiente apartado.

2.5 IRREGULARIDADES EN PLANTA El CEC-2000 considera cinco tipos de irregularidades en planta que a continuación se las comentan:

1. Irregularidad Torsional.- Existe irregularidad por torsión cuando la máxima deriva de piso de un extremo de la estructura, calculada incluyendo la torsión accidental y medida perpendicularmente a un eje determinado, es mayor que 1.2 veces la deriva promedio de los dos extremos con respecto al mismo eje de referencia. Esto se lo ilustra en la figura 2.6

Figura 2.5 Espectros: Elástico e Inelástico del CEC-2000

La nomenclatura de la figura 2.6 es la siguiente: d 1 , d 2 son los desplazamientos horizontales de los pisos 1 y 2, ∆ piso 1 , ∆ piso 2 , son las derivas de los pisos 1 y 2.

∆ piso 1 =

d1 H1

∆ piso 2 =

d 2 − d1 H2

Donde ∆ 1 es el mayor valor entre ∆ piso 1 y ∆ piso 2 en el pórtico 1, que es el extremo. ∆ 2 es similar a ∆ 1 pero en el otro pórtico extremo en este caso el pórtico 4. ∆ i es el mayor

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valor entre ∆ 1 y ∆ 2 . Se debe verificar, si:

⎛ ∆ + ∆2 ⎞ ∆ i > 1.2 ⎜ 1 ⎟ 2 ⎝ ⎠

⇒ φ p = 0.9

Figura 2.6 Irregularidad torsional φ p = 0.9 2. Retrocesos excesivos en las esquinas.- La configuración de una estructura se considera irregular cuando presenta retrocesos excesivos en sus esquinas. Un retroceso en una esquina se considera excesivo cuando las proyecciones de la estructura, a ambos lados del retroceso, son mayores que el 15% de la dimensión de la planta de la estructura en la dirección del retroceso. En este caso φ p = 0.9 , en la figura 2.7 se muestran los retrocesos.

Figura 2.7 Retrocesos en las esquinas.

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3. Discontinuidades en el sistema de piso.- La configuración de la estructura se considera irregular cuando el sistema de piso tiene discontinuidades apreciables o variaciones significativas en su rigidez, incluyendo las causadas por aberturas, entradas, retrocesos o huecos, con áreas mayores al 50% del área total de piso o con cambios en la rigidez efectiva del piso de más del 50% entre niveles consecutivos. Estas discontinuidades se penalizan con φ p = 0.9 . En la figura 2.8 se ilustran algunos casos en que el área de las aberturas es mayor del 50%.

Figura 2.8 Discontinuidades en el sistema de piso. 4. Desplazamiento del plano de acción de elementos verticales.- Una estructura se considera irregular cuando existen discontinuidad en los elementos verticales, tales como desplazamientos del plano de acción de elementos verticales del sistema resistente. Los desplazamientos del plano de acción se penalizan con φ p = 0.8 . En La figura 2.9 a la izquierda se observa que existe continuidad en la columna central, lo cual está correcto; en cambio, en la figura de la derecha se aprecia que no existe continuidad en la columna central ya que llega solo al primer piso, lo que es incorrecto y se penaliza con φ p = 0.8 .

Figura 2.9 Desplazamientos del plano de acción de los elementos verticales.

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5. Ejes estructurales no paralelos.- La estructura se considera irregular cuando los ejes estructurales no son paralelos o simétricos con respecto a los ejes ortogonales principales de la estructura. La penalización de estas estructuras es φ p = 0.9 . En la figura 2.10 a la izquierda se ve una estructura con los ejes de columnas ortogonales lo que no sucede con la configuración en planta de la estructura de la izquierda.

Figura 2.10 Desplazamientos del plano de acción de elementos verticales. En todas las plantas de la estructura, se deberá verificar la existencia de irregularidades en planta. Finalmente la irregularidad en planta, se calculará con la siguiente ecuación:

φ p = φ pa φ pb

( 2.7 )

Donde φ pa es el mínimo valor de φ pi de cada piso i de la estructura para cuando se encuentren las irregularidades en planta tipo 1, 2 y/o 3. φ pb es el mínimo valor de φ pi de las estructuras para cuando se encuentren las irregularidades tipo 4 y/o 5.

2.6 IRREGULARIDADES EN ELEVACIÓN Los cinco tipos de irregularidades en elevación que considera el CEC-2000, son:

1. Piso flexible (irregularidades en rigidez).- La estructura se considera irregular cuando la rigidez lateral de un piso es menor que el 70% de la rigidez lateral del piso superior o menor que el 80% del promedio de la rigidez lateral de los tres pisos superiores. En este caso φ e = 0.9 . En la figura 2.11 se explica lo expuesto en un edificio de 6 pisos.

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Figura 2.11 Piso flexible (irregularidad de rigidez). 2. Irregularidad de la distribución de las masas.- La estructura se considera irregular cuando la masa de cualquier piso es mayor a 1.5 veces la masa de uno de los pisos adyacentes, exceptuando el caso de cubiertas que sean más livianas que el piso inferior. La irregularidad en la distribución de las masas se penaliza con φ e = 0.9 . En la figura 2.12 se ha colocado como ejemplo si la masa del piso D es mayor a 1.5 veces la masa del piso E o 1.5 veces la masa del piso C, se considera φ e = 0.9 .

Figura 2.12 Irregularidad en la distribución de las masas. 3. Irregularidad Geométrica.- La estructura se considera irregular cuando la dimensión en planta del sistema resistente en cualquier piso es mayor que 1.3 veces la misma dimensión en un piso adyacente, exceptuando el cado de los altillos de un solo piso. Cuando la estructura tiene esta irregularidad geométrica φ e = 0.9 . En la estructura de la figura 2.13 se aprecia que los dos últimos pisos tienen una dimensión menor a la de los pisos inferiores, menor en más de un 30%. Por lo tanto para esta estructura φ e = 0.9 .

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Figura 2.13 Irregularidad geométrica.

4. Desalineamientos de ejes verticales.- La estructura se considera irregular cuando existen desplazamientos en el alineamiento de elementos verticales del sistema resistente, dentro del mismo plano en el que se encuentran y estos desplazamientos son mayores que la dimensión horizontal del elemento. Se exceptúa la aplicabilidad de este requisito cuando los elementos desplazados solo sostienen la cubierta de la estructura sin otras cargas adicionales de tanques o equipos. El desalineamiento de ejes verticales se penaliza con φ e = 0.8 . En la figura 2.14 se ilustra el problema.

Figura 2.14 Desalineamiento de ejes verticales.

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5. Piso débil – Discontinuidad en la resistencia.- La estructura se considera irregular cuando la resistencia del piso es menor del 70% de la del piso inmediatamente superior, entendiéndose la resistencia del piso como la suma de las resistencias de todos los elementos que comparten el cortante del piso para la dirección considerada. Para esta irregularidad se tiene φ e = 0.9 . En la figura 2.15 se observa que la resistencia del piso B es menor a 0.7 veces la resistencia del piso C. Al igual que la irregularidad en planta, se debe analizar las irregularidades en elevación en todos los pisos de la estructura φ ei . La irregularidad en elevación de una estructura se calcula con la siguiente ecuación: φ e = φ ea φ eb φ ec ( 2.8 ) Donde: φ ea es el mínimo valor de φ ei para cuando existan irregularidades tipo 1 y/o 5.

φ eb es el mínimo valor de φ ei para cuando existan irregularidades tipo 2 y/o 3. φ ec es el mínimo valor de φ ei para cuando exista la irregularidad tipo 4.

Figura 2.15 Piso débil – discontinuidad en la resistencia.

2.7 FACTOR R EN VARIOS PAÍSES LATINOAMERICANOS Una de las debilidades de la mayor parte de normativas sísmicas es que no indican como se debe evaluar el factor de reducción de las fuerzas sísmicas R , en parte se debe a que este es un tema que está actualmente en investigación, a pesar de que se ha venido trabajando desde hace unos 30 años, pero esto es una razón más para ser cautelosos en la selección del valor

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de reducción de las fuerzas sísmicas. Algunas normativas presentan este valor para diferentes tipologías estructurales y responden más al criterio de expertos basados en un comportamiento cualitativo de las estructuras, pero no indican como se debe evaluar este factor. Dos debilidades presentan la mayor parte de normativas en cuanto al factor R y son las siguientes: •

El factor R depende del período de vibración de la estructura pero muy pocas normas consideran esta variable y dan un solo valor de R al margen del período.

•

Por otra parte, el factor R depende del tipo de suelo. Chopra (2005), Ordaz y Pérez (1999), entre otros. De tal forma que se debería especificar el factor R y el tipo de suelo.

2.7.1 Factor R del Código Ecuatoriano de la Construcción CEC-2000 Los valores estipulados por el CEC-2000 para el factor de reducción de las fuerzas sísmicas R son demasiado altos por lo que se recomienda tomar las precauciones del caso. En la tabla 2.4 se indican estos valores y están asociados a una gran capacidad de ductilidad de las estructuras. Tabla 2.4 Valores del coeficiente de reducción de respuesta estructural propuestos por el CEC-2000 Sistema Estructural R Estructuras con pórticos espaciales sismo resistentes de 10 hormigón armado o de estructuras de acero laminado en caliente. Sistemas de pórticos espaciales sismorresistentes de hormigón o de acero laminado en caliente, con muros estructurales de hormigón armado (sistemas duales). Estructuras con pórticos espaciales sismo resistentes y 8 diagonales rigidizadoras. Estructuras con vigas perdidas en las losas (losa plana) y con muros estructurales. Estructuras con vigas perdidas en las losas (losas planas) y sin 7 muros estructurales. Estructuras con pórticos espaciales sismo-resistentes en conjunto con mampostería confinada. Estructuras de acero laminado en frío. Estructuras de madera Estructuras de mampostería reforzada 4.5 Estructuras de tierra 1.5

El uso de los factores R del CEC-2000 está condicionado a que se trabaje con las combinaciones de carga del A.C.I. de 1999, en las que se mayora la acción sísmica. Estas son:

U = 1 .4 D + 1 .7 L

U = (1.4 D + 1.7 L ± 1.87 S ) 0.75 U = 0.9 D ± 1.43 S

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Donde U son las combinaciones de carga mayoradas; D la carga muerta, también conocida como carga permanente; L es la carga viva y S es la carga sísmica. Consecuentemente la acción sísmica se está mayorando por un factor que está alrededor de 1.4. Con esta consideración, por ejemplo para una estructura con vigas y columnas el factor de R es aproximadamente igual a 10/1.4 = 7.1 No se puede trabajar con los factores R del CEC-2000 y con las combinaciones de carga del A.C.I. 2002, que son las siguientes:

U = 1.2 D + 1.6 L U = 1.2 D + 1.0 L ± 1.0 S U = 0 .9 D ± 1 .0 S Si se trabaja con los valores R del CEC-2000 y las combinaciones de carga del A.C.I. 2002 se está subvalorando la acción sísmica en un 30%, aproximadamente. Se está diseñando para fuerzas sísmicas muy bajas. Por otra parte usar los valores R estipulados por el CEC-2000 significa que la estructura va a tener una capacidad de ductilidad global µ , mayor o igual a 4. Esto implica que la ductilidad por curvatura de las vigas µ φ sean mayores o iguales a 15. Si la ductilidad por curvatura es menor a la cantidad indicada el valor R es menor. De tal manera que utilizar los valores R del CEC2000 tiene implícito realizar un nivel de diseño muy riguroso, cumplir con todas las especificaciones del A.C.I.

2.7.2 Factor R de la Norma de Colombia NSR-98 Para estructuras con pórticos espaciales sismo resistentes de hormigón armado la Normativa de Colombia NSR-98 establece un valor máximo de R = 7.0 para estructuras muy bien diseñadas ( µ ≥ 4 ) en las que se espera la máxima disipación de energía cuando incursionen en el rango no lineal. Por otra parte, en el apartado B.2.4.2, establecen las siguientes combinaciones de carga.

U = 1 .4 D + 1 .7 L U = 1.05 D + 1.28 L ± 1.0 S U = 0 .9 D ± 1 .0 S Consecuentemente, el espectro de la Norma Colombiana está a nivel de cargas últimas. Son comparables los dos valores R del CEC-2000 siempre y cuando se mayores la acción sísmica con los valores R de la norma NSR-98. En estructuras conformadas por vigas y columnas, sin muros de corte. En otras palabras el factor R de la norma NSR-98 es el mismo que el del CEC-2000 pero hay una gran diferencia entre estas dos normativas y radica en el hecho de que la norma NSR-98 estipula una deriva máxima de piso del 1% y el CEC-2000 una del 2%. Ambas son calculadas inelásticamente. Como se verá posteriormente el factor R depende de la deriva máxima de piso esperada.

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2.7.3 Factor R de la Norma Venezolana COVENIN 1756-98 Para estas mismas estructuras, pórticos conformados por vigas y columnas sin muros de corte, la Norma Venezolana COVENIN 1756-98 (2001) establece un valor máximo de R = 6 para el nivel de diseño sísmico más exigente. De tal manera que el valor de R en estructuras con un diseño sísmico muy exigente está entre 6 y 7. En este caso no se mayora la acción sísmica. En efecto las combinaciones de carga son:

U = 1.1 D + 1.0 L ± 1.0 S U = 0.9 D ± 1.0 S

2.7.4 Factor R de la Norma de Chile Ch 433-96 La Norma de Chile Ch 433-96 estipula un valor de R0 igual a 11 para estructuras con vigas y columnas, pero el factor de reducción de las fuerzas sísmicas se halla con la siguiente ecuación.

R =1+

T∗ 0.1 T0 +

T* R0

Donde T ∗ es el período con mayor masa traslacional en la dirección de análisis; T0 período que depende del tipo de suelo; R0 es factor de modificación de la respuesta estructural, depende del sistema estructural y del material empleado y R es el factor de reducción de las fuerzas sísmicas. Las combinaciones de carga de la norma Ch 433-96, son:

U = 1.4 (D + L ± E ) U = 0.9 D ± 1.4 E Por otra parte, la deriva de piso máxima permitida es 0.1%. Es deriva elástica, sin embargo es un valor bastante bajo. De tal manera que mientras más bajo es la deriva de piso máxima permitida mayor es el factor R

2.7.5

Factor R de la Norma de Perú E.030

Para las estructuras con vigas y columnas, la Norma de Perú indica que el valor de R = 8 pero se debe mayorar la acción sísmica en las combinaciones de carga, como se indica a continuación:

U = 1.25 (D + L ± E ) U = 0.9 D ± 1.25 E

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Por lo tanto, la norma de Perú tiene un espectro a nivel de cargas de servicio. Si se divide el factor R para 1.25, para no mayorar la acción sísmica en las combinaciones de carga, se halla que R = 6.4 . Por otro lado la deriva de piso máxima inelástica permitida es 0.7% que es bastante baja, ya que es inelástica.

2.7.6

Comparación de los factores R

Como se habrá observado hay una serie de factores que influyen en el factor R . Una nueva variable es la forma como se hallan los desplazamientos inelásticos ∆ i a partir de los desplazamientos elásticos ∆ e . De tal manera que existen algunas variables que están relacionadas con el factor R y en algunas normativas hay cierta inconsistencia entre estas variables. En la tabla 2.5, se comparan los factores R , para estructuras conformadas por vigas y columnas sin muros de corte, de los países que se han presentado, se indica este factor; el tipo de espectro formulado, si es Último no se mayora la acción sísmica en las combinaciones de carga; la deriva máxima permitida; que tipo de deriva es la permitida y para el caso de que son derivas inelásticas se indica la forma como se hallan los desplazamientos inelásticos.

Venezuela

Tabla 2.5 Comparación de variables que intervienen en el factor R Tipo de Deriva de Tipo de Norma Factor R Espectro Piso Deriva COVENIN 6 Último 0.018 Inelástica

Colombia

NSR-98

7

Último

0.01

Inelástica

∆i = R ∆e

Ecuador

CEC-2000

10

Servicio

0.02

Inelástica

Perú

E.030

8

Servicio

0.007

Inelástica

∆i = R ∆e ∆ i = 0.75 R ∆ e

Chile

NCh 433-96

11 ( R0 )

Servicio

0.001

Elástica

País

2.7.7

156-98

Desplazamiento

Inelástico

∆ i = 0.8 R ∆ e

Necesidad de investigación local

En cada País, la arquitectura de los edificios y los materiales empleados en ellos, es diferente, razón por la cual es necesario estudiar el factor de reducción de las fuerzas sísmicas R , en cada sitio. En la figura 2.16 se presentan 4 fotografías del centro norte de Quito, tomadas desde el piso 20 del Hotel Colón. La superior izquierda tiene vista hacia la Iglesia de Santa Teresita; la superior derecha hacia las calles Juan León Mera y 6 de Diciembre pero con dirección al norte; la inferior izquierda con vista a la González Suárez y la inferior derecha con vista hacia el sector de la Carolina, fotografías encontradas en (www.skyscrapercity.com)

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Figura 2.16 Fotografías del Centro Norte de Quito. (www.skyscrapercity.com) En el Ecuador en edificios de 1 a 6 pisos se acostumbra utilizar vigas no muy peraltadas, vigas que sobresalen ligeramente de la losa, con columnas de sección transversal pequeña y se emplean estribos de 8 mm., de diámetro eso si espaciadas a 10 cm., en los extremos y 20 cm., en el centro de luz, además en las columnas es frecuente el uso de estribo doble o estribo más una vincha. Es este tipo de estructuras en que se ha determinado el factor R y en el siguiente apartado se presentan los resultados encontrados. Aguiar (2007). Se analizaron 216 edificios cuadrados, con tres ejes de columnas en cada dirección y 216 edificios cuadrados, con cuatro ejes de columnas. Los edificios son de 1 a 6 pisos con un hormigón de 210 Kg./cm2 y con un acero de 4200 Kg./cm2; estos son los materiales que normalmente se utilizan en las construcciones de hormigón armado.

2.8 CUANTIFICACIÓN DEL FACTOR R A mediados de 1980, se realizaron estudios experimentales, en la Universidad de Berkeley, California, tendientes a encontrar el factor de reducción de las fuerzas sísmicas R y es así como Uang y Bertero (1986) y Whittaker et al (1987) proponen la siguiente relación.

R = R µ RΩ Rξ

( 2.9 )

Donde Rµ es el factor de ductilidad, R Ω es el factor de sobre resistencia y Rξ es el factor de amortiguamiento. En los estudios experimentales que realizaron en estructuras de acero encontraron que el factor R varía entre 4.5 y 6.0 Posteriormente, Freeman (1990), Uang (1991) han hecho modificaciones a la ecuación

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(2.9 ) hasta llegar a la propuesta del ATC (1995) en que se cambia el factor de amortiguamiento Rξ por el factor de redundancia R R que toma en cuenta los ejes de columnas, a mayor número de ejes de columnas se tendrá un mayor valor de R R , de tal manera que la ecuación ( 2.9 ) queda:

R = R µ RΩ R R

( 2.10 )

Se puede pensar en calcular el factor R en función de los siguientes cuatro factores:

R = R µ Rξ RΩ R R

( 2.11 )

Hay trabajos como el de Riddell y Newmark (1979) que incorporan el amortiguamiento en el factor de reducción por ductilidad, de tal manera que Rµ Rξ están incorporados en un solo factor que puede denominarse Rµ ,ξ . Este trabajo de Riddell y Newmark (1979) ha sido incorporado en el Código Sísmico de Costa Rica de 2002.

2.9 FACTOR DE REDUCCIÓN POR DUCTILIDAD Rµ Nuevamente se recomienda la lectura del capítulo 3 del libro Dinámica de Estructuras con MATLAB de Aguiar (2007) donde se demuestra entre otras cosas la regla de igual desplazamiento y la regla de igual energía que son fundamentales para entender las propuestas que se han realizado sobre el factor de reducción por ductilidad Rµ . En dicho capítulo se presenta también las propuestas realizadas a nivel mundial por Newmark y Veletsos (1960), Newmark y Hall (1973), Riddell y Newmark (1979), Newmark y Hall (1982) que todavía tienen vigencia. En el artículo, “Factor de reducción de las fuerzas sísmicas por ductilidad” Aguiar (2007) se presentan 14 trabajos realizados a nivel mundial sobre este factor, siendo el último de ellos el efectuado por Lobo et al (2002) y también se presentan cuatro trabajos realizados en el Ecuador y son los realizados por Aguiar y Guerrero (2005); Aguiar y González (2006) y dos trabajos realizados por Aguiar, Romo y Aragón (2007,1,2). Se define como Rµ a la relación entre la máxima fuerza elástica Fe con respecto a la máxima fuerza inelástica F y .

Rµ =

Fe Fy

( 2.12 )

Pero por otra, también se tiene que el desplazamiento máximo inelástico en un sistema de un grado de libertad ∆ i es igual a:

∆i =

µ Rµ

∆e

( 2.13 )

Donde: µ es la demanda de ductilidad, ∆ e es el desplazamiento máximo elástico en un

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sistema de 1 gdl. Rµ es el factor de reducción por ductilidad. De ecuación (2.13 ) se halla:

Rµ =

µ Cµ

Cµ =

∆i ∆e

De tal manera que hay dos formas de hallar Rµ , en base a fuerzas, con la ecuación (2.12) o en base a desplazamientos con la ecuación (2.13). 2.9.1

Aguiar y Guerrero (2006)

En base al análisis de 63 acelerogramas con aceleraciones de suelo mayor al 10% de la aceleración de la gravedad, de sismos registrados en Colombia, Perú, Chile y Argentina, Aguiar y Guerrero (2006) encontraron una relación para el factor Rµ que es función de la relación entre la rigidez post fluencia con respecto a la rigidez elástica, que se denomina α . Si α = 0 se tiene el modelo elasto perfectamente plástico. Las ecuaciones obtenidas en el estudio son las siguientes:

R µ = [c (µ − 1) + 1]

1/ c

0.381 T 2.07 + 2.07 T 1+ T 1.247 0.248 T + c= 1.247 T 1+ T c=

•

para α = 0.0

( 2.14 )

para α = 0.05

EJEMPLO 2 Determinar las curvas del factor de reducción por ductilidad Rµ para un valor α = 0 ,

empleando la propuesta de Aguiar y Guerrero (2006). Para demandas de ductilidad de 1.5, 2.0, 3.0 y 4.0. Comentar los resultados.

•

SOLUCIÓN En la figura 2.17 se presentan los factores de Rµ encontrados para un modelo elasto

perfectamente plástico, α = 0 . Del análisis de esta figura se realizan los siguientes comentarios: •

Para períodos entre 0.5 y 1.5 los valores que se obtienen son superiores a la ductilidad.

•

Para períodos mayores a 1.5 prácticamente se cumple la regla de igual desplazamientos, aunque se aprecia que ligeramente son menores a la ductilidad para períodos altos.

•

El modelo propuesto por Aguiar y Guerrero (2006) no depende del tipo de suelo.

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Figura 2.17 Factores Rµ empleando propuesta de Aguiar y Guerrero (2006).

2.9.2 Aguiar y González (2006)

Lamentablemente no se dispone, en el Ecuador, de acelerogramas de eventos sísmicos fuertes, clasificados de acuerdo al tipo de suelo. Razón por la cual, se procedió a obtener registros artificiales con las siguientes características: i) La duración de los eventos sísmicos varía entre 20 y 50 s., ii) la fase intensa del sismo es de 10 s., iii) Los acelerogramas que se obtuvieron generan en forma aproximada los espectros elásticos del CEC-2000 para los cuatro perfiles de suelo y iv) Los acelerogramas encontrados generan espectros asociados a un valor A0 = 0.4 g. Para cada perfil de suelo se obtuvo siete acelerogramas sintéticos con los cuales se halló la siguiente ecuación:

Rµ =

µ ⎡⎛ a ⎞⎛ T ⎞ 1 + ⎢⎜⎜ b + c ⎟⎟ ⎜ ∗ ⎟ ⎠ ⎝T ⎠ ⎢⎣⎝ µ

d

⎤ ⎥ ⎥⎦

−1

( 2.15 )

Las constantes a, b, c, d fueron obtenidas en el estudio y se indican en la tabla 2.5. El valor de T ∗ es el indicado en la tabla 2.6. Tabla 2.6 Valores de a, b, c, d encontrados en el estudio. Aguiar y González (2006)

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ROBERTO AGUIAR FALCONI CEINCI-ESPE Perfil de Suelo S1 S2 S3 S4

•

a

b

c

d

30.00 71.80 81.04 86.00

1.34 2.00 2.00 2.10

-1.49 -1.50 -2.55 -2.60

0.60 0.50 0.50 0.48

49

EJEMPLO 3 Determinar las curvas del factor de reducción por ductilidad Rµ para un perfil de suelo S1,

empleando la propuesta de Aguiar y González (2006). Para demandas de ductilidad de 1.5, 2.0, 3.0 y 4.0. Comente los resultados. •

SOLUCIÓN

En la figura 2.18 se presentan los factores de reducción por ductilidad empleando la recomendación de Aguiar y González para un perfil de suelo S1. Los comentarios que se realizan a esta figura y en general a esta propuesta son los siguientes: •

Para períodos altos el valor Rµ es menor que la ductilidad µ . En consecuencia no se cumple la regla de iguales desplazamientos. El tener valores bajos de Rµ implica tener fuerzas sísmicas más altas.

•

Se nota que Rµ cambia con el período aunque sea en forma muy pequeña para valores de períodos altos pero existe ese cambio.

2.9.3 Aguiar, Romo y Aragón (2007)

En base a 112 sismos artificiales compatibles con los espectros del CEC-2000 para los cuatro perfiles de suelo y con 80 registros de sismos muy pequeños, se obtuvo Rµ siguiendo los lineamientos propuestos por Chopra (2005). Los resultados obtenidos, son:

⎧ ⎡ ⎛ a ⎪ C µ = ⎨1 + ⎢λ ⎜⎜ b ⎪⎩ ⎢⎣ ⎝ µ Rµ =

c −1 ⎞ ⎛ T ⎞ ⎤ ⎫⎪ ⎟ ∗ ⎜ψ ∗ ⎟ ⎥ ⎬ ⎟ ⎝ T ⎠ ⎥⎦ ⎪ ⎠ ⎭

µ Cµ

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0.30103

( 2.16 )

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Figura 2.18 Factores Rµ para un perfil S1, empleando propuesta de Aguiar y González (2006).

Tabla 2.7 Valores obtenidos en el estudio para diferentes tipos de suelo y ductilidades. Ductilidad 2 ψ a c Perfil de Suelo λ b 0.35 -3.50 1.40 0.17 0.87 S1 0.60 -2.90 1.31 0.17 0.82 S2 3.40 -1.00 1.50 0.21 1.00 S3 2.10 -1.40 1.00 0.12 1.70 S4 Ductilidad 3 1.00 -2.70 1.40 0.04 0.15 S1 1.00 -1.20 1.40 0.05 0.49 S2 3.00 -1.00 1.80 0.07 0.73 S3 15.00 -0.08 1.40 0.07 0.30 S4 Ductilidad 4 1.30 -1.50 1.76 0.03 0.25 S1 7.80 1.00 1.40 0.02 0.50 S2 1.30 -0.20 1.41 0.01 0.93 S3 0.23 -0.60 1.80 0.04 2.91 S4 En la tabla 2.7 se indican el valor de las variables a, b, c, λ , ψ encontrados en el estudio para ductilidades de 2, 3 y 4 y para los cuatro perfiles de suelo del CEC-2000. Una forma más compacta del ajuste de los datos, es la ecuación ( 2.17 ) . En este caso se

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tiene una sola variable que es a . Los valores de esta variable se indican en la tabla 2.8.

⎡ a T (1 − 0.165 µ ) ⎤ Rµ = 1 + (µ − 1) ⎢ ⎥ ⎣ a T (1 − 0.165 µ ) + 4900 ⎦

Variable

a

Tabla 2.8 Valores de la variable a Suelo S1 Suelo S2 Suelo S3 100500 91000 73600

( 2.17 )

Suelo S4 38900

Por lo tanto, se tienen dos fórmulas que se pueden usar, la ( 2.16 ) y la ( 2.17 ) . La ventaja de usar ésta última ecuación radica en que se obtiene directamente valores de Rµ para ductilidades con decimales, ejemplo µ = 2.3 . Si se utiliza la ecuación ( 2.16 ) para encontrar Rµ para µ = 2.3 se debe calcular primero el valor de Rµ para µ = 2 , luego calcular Rµ para µ = 3 , finalmente hay que interpolar para hallar Rµ para µ = 2.3 . En cambio con la ecuación ( 2.17 ) el cálculo es directo.

En la figura 2.19 se comparan los valores de Rµ que se hallan con las ecuaciones ( 2.14 ) para α = 0 , ( 2.15 ), ( 2.16 ) y ( 2.17 ). Están identificadas en la figura 2.19 como ecuaciones que van de la ( 1 ) a la ( 4 ). Para los cuatro perfiles de suelo que contempla el CEC-2000.

Como la ecuación ( 2.14 ) no depende del tipo de suelo, su valor no difiere en los cuatro gráficos. La ecuación ( 2.15 ) proporciona valores bajos de Rµ . Por lo tanto, es una fórmula bastante conservadora. Las curvas que se hallan con las ecuaciones ( 2.16 ) y ( 2.17 ) prácticamente son las mismas, por lo que se recomienda trabajar con la ( 2.17 ).

Los valores que se hallan con ( 2.16 ) y ( 2.17 ) están entre las que reportan ( 2.14 ) y (2.15). Dos aspectos positivos de las ecuaciones ( 2.16 ) y ( 2.17 ) son que para un período igual a cero inician en la unidad y para el rango de períodos largos el valor de R µ ≈ µ , es decir se cumple con la regla de igual desplazamiento y esto se observó en la mayoría de resultados que el desplazamiento máximo inelástico es aproximadamente igual al desplazamiento máximo elástico que es el fundamento de la regla de igual desplazamiento.

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Figura 2.19 Factores Rµ encontrados para el Ecuador, para ductilidad 4.

2.10 FACTOR DE SOBRE RESISTENCIA RΩ Se define el factor de sobre resistencia R Ω como la relación entre el cortante basal último que es capaz de soportar la estructura VU con relación al cortante basal de diseño V D .

RΩ =

VU VD

( 2.18 )

En estructuras bien diseñadas este factor debe ser mayor que la unidad ya que normalmente en el diseño se coloca una mayor cantidad de armadura, existen factores de seguridad en los modelos constitutivos de los materiales y para facilitar la construcción se uniformizan las secciones con lo que se coloca una mayor sección. No siempre colocar más armadura en los elementos estructurales es beneficioso para la estructura y por ende implica un mayor R Ω . Por ejemplo, si se coloca una mayor cantidad de armadura longitudinal en vigas, ocasiona que estas secciones tienen una mayor capacidad a flexión y esto induce a un mayor cortante y si no se tiene una adecuada cantidad de refuerzo

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transversal se va a producir la falla por corte y por ende tendrá menos R Ω . En el análisis sísmico los elementos no estructurales, normalmente no se consideran pero la presencia de los mismos incrementa su capacidad y por ende R Ω . Pero nuevamente no se puede generalizar, ya que por ejemplo, en algunas ocasiones la mampostería genera elementos cortos en las columnas las mismas que son muy vulnerables con lo que R Ω , disminuye. Existen varias formas de encontrar R Ω , una de ellas mediante un análisis dinámico no lineal y otra mediante un análisis no lineal estático. En este capítulo se determina R Ω a partir de la curva de capacidad sísmica resistente, que relaciona el cortante basal V con el desplazamiento lateral máximo en el tope de un edificio Dt , la misma que se halla aplicando la técnica del pushover. Aguiar (2002, 2003).

2.10.1 Aguiar, Guadalupe y Mora (2007)

Aguiar, Guadalupe y Mora (2007) en base al análisis de 432 edificios de hormigón armado de 1 a 6 pisos, conformados por vigas y columnas, sin muros de corte, determinan R Ω en base a la deriva máxima de piso γ , de acuerdo a la siguiente metodología. i.

Se halla la curva de capacidad sísmica resistente V − Dt como se indica a la izquierda de la figura 2.19.

ii.

A partir de la curva V − Dt se halla la curva cortante basal V con deriva global de la estructura γ g . Para el efecto el desplazamiento lateral Dt se divide para la altura total del edificio H . Esta curva V − γ g se indica a la derecha de la figura 2.19.

γg =

Dt H

Figura 2.19 Relaciones V − Dt y V − γ g .

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( 2.19 )

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iii.

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Se halla la relación cortante basal V con deriva máxima de piso γ . Para el efecto se debe encontrar una relación entre la deriva de piso γ y la deriva global γ g . Se define el parámetro β 2 a la relación entre γ / γ g . Este parámetro fue obtenido para estructuras conformadas por vigas y columnas de hormigón armado, del análisis no lineal de 120 edificios de 1 a 10 pisos, ante la acción de 32 acelerogramas. Aguiar et al (2006). Llegando a obtener:

β 2 = −0.0231 N 2 + 0.3018 N + 0.6759

( 2.20 )

γ = β2 γ g

( 2.21 )

Siendo N el número de pisos. El valor de β 2 siempre será mayor a la unidad. De tal manera que a partir de la curva V − γ g se obtiene la curva V − γ , la misma que se indica a la izquierda de la figura 2.20. iv.

Para una determinada deriva máxima de piso γ , se halla un cortante basal V . Si se divide el cortante basal VU , que es el cortante máximo de la curva de capacidad sísmica resistente para V se halla R Ω . De tal forma que de la curva V − γ se halla R Ω − γ .

Figura 2.20 Relaciones V − γ y RΩ − γ . A mayor deriva de piso γ que se espera en una estructura menor será R Ω . En la figura 2.21 se presentan los valores medios encontrados en los edificios de 1 a 6 pisos de 2 y 3 vanos. De esta gráfica se desprende que no se puede indicar que a mayor número de vanos mayor será el valor de R Ω o al revés.

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Figura 2.21 Valores promedios de R Ω para diferentes valores de γ

2.10.2 Aguiar y Guaiña (2008)

En la figura 2.22 se presentan los valores del factor de sobre resistencia R Ω encontrados en el estudio en función del período de vibración T de las estructuras, también se ha encontrado la curva que mejor se ajusta a los resultados obtenidos y estas son las indicadas en la tabla 2.9, la validez de estas ecuaciones es para estructuras con períodos mayores a 0.35 s., y menores a 1.05 s. Aguiar y Guaiña (2008).

γ 0.5 % 1.0 %

Tabla 2.9 Ecuaciones de ajuste de la sobre resistencia Ecuación

RΩ = 1.69 +

0.82 T

1.5

−

0.50

Error 10 %

T2

RΩ = 1.43 + 0.0229 T 2 + 0.029 log

T T

10.4 %

2

1.5 %

RΩ = −2.83 T + 6.27 T − 4.27 T + 2.07

8.0 %

2.0 %

RΩ = −2.34 T 3 + 4.93 T 2 − 3.14 T + 1.70

8.0 %

3

2

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Figura 2.22 Variación de la sobre resistencia en función del período de vibración.

2.11 FACTOR DE REDUNDANCIA R R El factor de redundancia R R mide la capacidad de incursionar la estructura en el rango no lineal. La capacidad de una estructura en redistribuir las cargas de los elementos con mayor solicitación a los elementos con menor solicitación. Se evalúa como la relación entre el cortante basal máximo VU con respecto al cortante basal cuando se forma la primera articulación plástica V1 .

RR =

VU V1

( 2.22 )

Con esta definición el factor de redundancia será siempre mayor que la unidad, ya que una estructura que no tenga redundancia y en la cual se forme la primera rótula plástica, y colapse se tendrá que VU = V1 . Si en una estructura se pueden formar una gran cantidad de rótulas plásticas antes de que colapse tendrá un factor de redundancia alto, para esto en forma intuitiva se ve que es función del número de ejes de columnas, ya que mientras mayor sea el número de ejes de columnas se tendrá un mayor número de secciones que pueden rotularse. En lugar de hablar de rótulas plásticas, parece que es más apropiado hablar de secciones

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que ingresan al rango no lineal; cuyo momento es mayor que el momento de fluencia. La definición de rótula plástica indica que la sección es incapaz de absorber más momento por lo que empieza únicamente a rotar, esto responde a un modelo elasto plasto.

2.11.1 Recomendación del ATC-19 (1995)

El ATC-19 (1995) recomienda los valores de R R indicados en la tabla 2.10 los mismos que están en función del número de ejes de columnas. Para estructuras que tengan 5 o más ejes de columnas el factor de R R es mayor a la unidad pero no indica que tan mayor.

Tabla 2.10 Valores de R R propuestos por el ATC-19 (1995). Número de ejes de columnas

RR

2 3 4

0.71 0.86 1.00

El valor de R R se evaluará en cada dirección ya que habrá estructuras que tengan por ejemplo 4 ejes de columnas en una dirección y 3 ejes de columnas en la dirección perpendicular. Si una estructura tiene 3 ejes de columnas en cada dirección, en total 9 columnas, el valor de R R a utilizar, de acuerdo a la tabla 2.10, es 0.86 con lo que se disminuye el factor de reducción de las fuerzas sísmicas R . 2.11.2 Metodología de Tsopelas y Husain (2004)

Tsopelas y Husain (2004) proponen el cálculo del factor de redundancia R R en base a dos índices, el uno de naturaleza determinística rS conocido como índice de resistencia y el otro de carácter probabilística rV que es el índice de variación de redundancia. El índice de resistencia se evalúa con la ecuación ( 2.22 ). Para el cálculo del índice de variación de redundancia rV , en dos dimensiones Husain y Tsopelas (2004) deducen la siguiente ecuación:

rV =

1 + ( n − 1) ρ n

( 2.23 )

Donde n es el número de rótulas plásticas para el mecanismo de colapso considerado;

ρ es el coeficiente de correlación promedio de las deformaciones.

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ρ=

n 1 ρ ij n (n − 1) i , j =1

∑

( 2.24 )

i≠ j

Donde ρ ij es el coeficiente de correlación entre los momentos M i , M j . Siendo M i el momento de fluencia del elemento estructural donde se formó la rótula plástica i . El valor de rV varía desde 0 que corresponde a un sistema que tiene mucha redundancia estructural hasta 1 que es un sistema que no tiene redundancia. En efecto si n = 1 , la ecuación (2.23) vale la unidad, luego no tiene redundancia. En la figura 2.23 se indican valores de rV para valores del coeficiente de correlación

promedio de 0; 0.20; 0.40 Se aprecia que a medida que ρ aumenta el valor de rV aumenta es

decir el sistema es menos redundante. Valores altos de ρ implican que hay una gran correlación entre los momentos M i , M

j

y valores bajos de ρ significa que hay poca correlación entre los

momentos y se incrementa su redundancia debido a su efecto probabilístico.

Figura 2.23 Valores de rV en función del número de rótulas plásticas.

En base a estos dos índices, Tsopelas y Husain (2004) determinan el factor de redundancia R R con la siguiente ecuación:

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⎛ 1 − k ν e rV R R = rS ⎜⎜ ⎝ 1− kνe

⎞ ⎟⎟ ⎠

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( 2.25 )

Donde ν e es el coeficiente de variación de las fuerzas y varía entre 0.08 y 0.14; k es un factor de forma de la resistencia que varía entre 1.5 y 2.5. De tal manera que k ν e varía entre 0.12 y 0.35. Tsopelas y Husain (2004).

2.11.3 Aguiar, Guaiña y Bernal (2008)

Aguiar, Guaiña y Bernal (2008) determinan el factor de redundancia R R aplicando la ecuación (2.22) pero considerando que V1 = VY . Donde VY es el cortante basal de fluencia de la estructura. Para hallar VU y VY se aplica la técnica del pushover y se encuentra la curva de capacidad sísmica resistente que relaciona el cortante basal V con el desplazamiento lateral máximo Dt . Para encontrar el punto de fluencia se aplica el criterio de iguales áreas. Aguiar (2002). Por lo tanto, el factor de redundancia se encuentra con la siguiente ecuación.

RR =

VU VY

( 2.26 )

Donde VU es la capacidad máxima al cortante basal que tiene la estructura y VY es el cortante a nivel de fluencia. Por otra parte, se considera que una estructura tiene un muy buen comportamiento si se forma el mecanismo de fallo mostrado en la figura 2.24, en donde se han rotulado todas las vigas en sus extremos y los pies de las columnas.

Figura 2.24 Mecanismo de colapso, adoptado en el estudio.

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Si al aplicar la técnica el pushover en una estructura se forman menos rótulas plásticas para llegar al fallo, que las del mecanismo de colapso adoptado, el valor de R R obtenido con la ecuación (2.26) se disminuye en forma proporcional al número de rótulas con las que se llegó al fallo. Con la metodología descrita se halló el factor R R en las 432 estructuras que sirvieron también para hallar R Ω . Los resultados encontrados en función del período de vibración se indican en la figura 2.25. La ecuación que mejor se ajusta a estos resultados es la siguiente.

R R = −2.99 T 3 + 6.54 T 2 − 3.26 T + 1.30

( 2.27 )

Figura 2.25 Variación del factor de reducción por redundancia con el período.

2.12 PROPUESTA DEL FACTOR R Al reemplazar el factor de reducción por ductilidad R µ de la ecuación (2.17); el factor de sobre resistencia R Ω de la tabla 2.9 y el factor de redundancia R R de la ecuación (2.27) en la expresión ( 2.10 ) se halla el factor de reducción de las fuerzas sísmicas R para estructuras conformadas por vigas y columnas, sin muros de corte. Los resultados expresados en forma gráfica para una capacidad de ductilidad global de la estructura de 4 se indican en la figura 2.26. En esta figura con una línea horizontal se ha dibujado la recta R = 7 . En la figura 2.26, se aprecia que el factor R puede ser mayor a 7 si las derivas máximas permitidas son γ = 0.5 % o γ = 1.0 % pero dependen del período y del tipo de suelo. En efecto en

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un perfil de suelo S3 se tienen valores mayores de 7 sólo para derivas de piso igual a 0.5%.. Lo importante es notar que si puede ser mayor a 7 el factor R cuando se trabaja con un espectro de cargas últimas siempre y cuando la deriva máxima permitida sea menor o igual al 1%, en suelos S1 a S3.

Figura 2.26 Valores del factor de reducción de las fuerzas sísmicas para ductilidad igual a 4.

Para derivas de piso máximas de 1.5 % o 2 % el factor R es menor a 7, para el rango de períodos considerado. En base al estudio realizado se propone que para estructuras conformadas por vigas y columnas sin muros de corte, el factor de reducción de las fuerzas sísmicas R sea igual a 6 para los perfiles de suelo S1, S2 y S3. Para el perfil de suelo S4 el factor R debe ser igual a 5. Esta propuesta está condicionada a que la deriva máxima calculada en forma inelástica sea menor a 1.5%. En el libro: “Factor de reducción de las fuerzas sísmicas en edificios de hormigón armado”, Aguiar (2007) se presenta un estudio detallado de la investigación realizada en el Centro de Investigaciones Científicas de la ESPE, sobre el factor de reducción de las fuerzas sísmicas, trabajo desarrollado entre 2005 y 2007.

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26. Ordaz M., y Pérez L., (1999), Estimación de espectros de respuesta elastoplástica, Centro Nacional de Prevención de Desastres. Cuaderno de Investigación 48, 29 p, México. 27. Orosco L., Haarala M., y Barbat A., (2006), “Generación de acelerogramas artificiales compatibles con la sismicidad local”, Revista Internacional de Ingeniería de Estructuras, 10 (1), 21-48. 28. Riddell R., and Newmark N., (1979), Statistical Analysis of the response of nonlinear systems subjected to earthquakes, Civil Engineering Studies, Structural Research Series, Department of Civil Engineering, University of Illinois, 468, Urbana, Illinois. 29. SEAOC (1995), “Visión 2000 Report on performance based seismic engineering of buildings”, Structural Engineers Association of California, Volume I , Sacramento. 30. Tsopelas P., and Husain M., (2004), “Measures of Structural Redundancy in Reinforced Concrete Buildings II: Redundancy Response Modification Factor R R , Journal of Structural Engineering, 130 (11), 1659-1666.

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CAPÍTULO 3

MATRIZ DE RIGIDEZ: LATERAL Y EN COORDENADAS DE PISO

RESUMEN Uno de los modelos más utilizados para el análisis sísmico espacial de edificios es el considerar tres grados de libertad por planta, que implica suponer que la losa es completamente rígida en su plano. Realmente se trata de un pseudo análisis espacial ya que se trabaja con pórticos planos unidos por una losa rígida pero es muy utilizado en el mundo. Para este modelo de análisis se determina la matriz de rigidez en coordenadas de piso, en el presente capítulo. Para hallar la matriz de rigidez en coordenadas de piso, se necesita conocer la matriz de rigidez lateral de cada uno de los pórticos, razón por la cual se presenta en forma práctica el cálculo de la matriz de rigidez lateral para los siguientes casos: sin considerar nudos rígidos, considerando nudos rígidos y sin nudos rígidos pero considerando el aporte de la mampostería. Para facilitar el cálculo se presentan los programas: RLAXINFI, que sirve para pórticos formados por vigas y columnas sin muros de corte; RLAXINFIMURO que halla la matriz de rigidez lateral en pórticos con muros de corte y RLAXINFIMAMPOSTERIA que encuentra la matriz de rigidez lateral en pórticos planos, sin muros de corte pero con el aporte de la mampostería, la misma que es modelada de acuerdo a la normativa de Perú. Se presentan nueve modelos para obtener el ancho equivalente de la mampostería para la diagonal equivalente y de estos se seleccionó el de Paulay y Priestley (1992) que fue acogido por la Norma de Perú. Por considerarlo de interés se presentan las lecciones dejadas en el sismo del Perú de 2007 en el Bloque de Enfermería de la Universidad San Luis Gonzaga de la ciudad de Ica, donde se desacopló la mampostería mediante la construcción de subpórticos conformados por columnetas y viguetas los mismos que confinan a la mampostería. Pero la falta de anclaje del hierro longitudinal de las columnetas en la viga principal llevó a que falle las bases del subpórtico.

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3.1

INTRODUCCIÓN

Para ilustrar el modelo de análisis, en la figura izquierda de 3.1 se tiene una estructura de un piso sin deformarse. A la derecha de la figura 3.1 se presenta una deformada de la losa por efecto de la componente horizontal de un sismo, con líneas entrecortadas se ha representado la posición inicial de la losa y con líneas continuas la posición final. Nótese que las dimensiones de la losa deformada son las mismas de la losa sin deformación. Un punto cualquiera de la losa se ha desplazado horizontalmente en la dirección X, horizontalmente en la dirección Y, además ha rotado con respecto a un eje perpendicular al plano de la losa. De tal manera que se tienen tres grados de libertad. En teoría estos grados de libertad pueden ubicarse en cualquier punto de la losa pero para facilitar el cálculo de la matriz de masas se acostumbra ubicarlo en el Centro de Masa, C.M. En la figura 3.2 se presenta una estructura de un piso que tiene cuatro pórticos, dos en sentido X, y dos en sentido Y. Se indican los grados de libertad, ubicados en el C.M., los mismos que se han identificado con la letra q y el vector que contiene a todos estos grados de libertad se denomina vector de coordenadas generalizadas q .

Figura 3.1 Hipótesis planteada para los movimientos horizontales del suelo.

Figura 3.2 Sistema de coordenadas de piso Q-q

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Todos los puntos de la losa tendrán el mismo desplazamiento horizontal q1 ; lo propio con el desplazamiento q 2 y con la rotación de piso q 3 .

3.2

RELACIÓN ENTRE COORDENADAS DE PISO Y DE PÓRTICO

Para ilustrar la relación que existe entre las coordenadas de piso y las coordenadas de pórtico, se observa la estructura de un piso de la figura 3.2, se ha identificado por 1 y 2, los pórticos que se encuentran en sentido X, y por A, B, los que se hallan en sentido Y. Un pórtico cualquiera tendrá, como coordenada principal, un solo grado de libertad que es el desplazamiento lateral del pórtico, a manera de ejemplo en la figura 3.3 se indican la coordenada del pórtico 1, algo similar se tienen para los otros pórticos. En este caso la coordenada lateral se ha colocado al lado derecho pero se pudo haber colocado al lado izquierdo y con sentido contrario. Se define la orientación positiva del pórtico 1 a la dirección en que se colocó la coordenada 1.

Figura 3.3 Coordenada lateral del pórtico 1. Sistema P-p.

Ahora tiene importancia la orientación positiva de los pórticos que se ha indicado en la figura 3.4. Esta orientación es paralela a los ejes de coordenadas X, Y. La orientación de los pórticos es positiva si están en la dirección de los ejes. El C.M. de ésta estructura se considera que está ubicada en el centro de gravedad de la misma y tiene coordenadas X CM = 3.0 m.,

YCM = 2.5 m. A las coordenadas laterales de los pórticos se las agrupa en el vector p y a los elementos se los identifica con p . La una es negreada y la otra no. Para el pórtico 1, que es de un piso, se tiene una coordenada p1 que corresponde al desplazamiento horizontal del piso uno, medida positiva si el desplazamiento es hacia la derecha. Con la letra P1 se identifica la fuerza horizontal en el piso 1. Si son varios pisos las fuerzas horizontales se agrupan en el vector P . La relación entre las coordenadas de piso q y las coordenadas de pórtico p viene dada por la matriz de compatibilidad de deformaciones A , definida de la siguiente manera:

p= Aq

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( 3.1 )

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Figura 3.4 Geometría de la estructura de un piso. Para encontrar la columnas de la matriz A se dibujaran elementales q i y se miden las deformaciones p . Estas son positivas si el pórtico se desplaza en sentido de la orientación positiva.

•

EJEMPLO 1

Determinar la matriz de compatibilidad A de la estructura de un piso indicada en la figura 3.2.

•

SOLUCIÓN ¾

Primera columna de la matriz A

q1 = 1

y

qi = 0

i ≠1

Figura 3.5 Deformada elemental q1

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Es el centro de masa el que se desplaza horizontalmente, en sentido X, la unidad pero como la losa es totalmente rígida en el plano, toda la losa se mueve la unidad como se aprecia en la figura 3.5. Ahora se debe medir las deformaciones en cada uno de los pórticos.

p1(1) = 1

p1( 2) = 1

p1( A) = 0

p1( B ) = 0

Entre paréntesis se ha identificado al pórtico. Para los pórticos en sentido X, los desplazamientos son positivos y valen la unidad; en cambio, para los pórticos en sentido Y, son nulos ya que la estructura se mueve como cuerpo rígido en sentido X. ¾

Segunda columna de la matriz A

La deformada elemental se presenta en la figura 3.6; en este caso la losa se mueve como cuerpo rígido, en sentido Y, la unidad.

q2 = 1

y

qi = 0

i≠2

Figura 3.6 Deformada elemental q 2 . Luego los desplazamientos laterales de cada uno de los pórticos son:

p1(1) = 0

p1( 2) = 0

p1( A) = 1

p1( B ) = 1

Se deja al lector la obtención de los elementos de la tercera columna de A, los valores que se obtienen, son:

p1(1) = −2.5

p1( 2 ) = 2.5

p1( A) = −3

Luego la matriz A, resulta:

⎡1 ⎢1 A=⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0

0 0 1 1

− 2.5⎤ 2.5 ⎥⎥ − 3 .0 ⎥ ⎥ 3.0 ⎦

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p1( B ) = 3

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La matriz A es particionada, para el ejemplo se tiene:

⎡ A (1) ⎤ ⎢ ( 2) ⎥ ⎢A ⎥ A = ⎢ ( A) ⎥ ⎢A ⎥ ⎢ A(B) ⎥ ⎣ ⎦ La matriz A del pórtico 1, es:

A (1) = [1

− 2.5]

0

La matriz A de cada pórtico tiene una fila debido a que la estructura es de 1 piso y tiene 3 columnas. Para el caso general la matriz de compatibilidad A tendrá NP filas y 3 por NP columnas, siendo NP el número de pisos y la forma de esta matriz es:

A

Donde X,

α

(i )

Senα r1 ⎡Cosα ⎢ ...... ....... =⎢ ⎢⎣ Cosα Senα

⎤ ...... ⎥⎥ rn ⎥⎦

( 3.2 )

es el ángulo que forma la orientación positiva del pórtico con respecto al eje

r1 es la distancia desde el origen de coordenadas CM hasta el pórtico ( i ) en el piso uno, rn

es la distancia medida en el último piso desde el origen de coordenadas hasta el pórtico. Los valores de r , tienen signo, serán positivas si la orientación positiva del pórtico rota con respecto al CM en forma antihorario.

3.3

MATRIZ DE RIGIDEZ EN COORDENADAS DE PISO

Para encontrar la matriz de rigidez en coordenadas de piso K E , se considera como artificio que cada uno de los pórticos, son elementos de una estructura que están unidos entre si por medio de una losa rígida. Con esta hipótesis, la matriz de rigidez se obtiene empleando la teoría de Análisis Matricial de Estructural. Aguiar (2004) que establece lo siguiente:

KE =

NP

∑A

(i ) t

K L( i )

A(i )

( 3.3 )

i =1

El procedimiento de cálculo para hallar la matriz de rigidez en coordenadas de piso, es el siguiente: i.

Se determina la matriz de rigidez lateral K L de cada uno de los pórticos planos.

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ii.

Se encuentra la matriz de compatibilidad de deformaciones A de cada pórtico, empleando la ecuación ( 3.2 ).

iii.

Se halla la matriz de rigidez en coordenadas de piso, empleando la ecuación (3.3).

Se desea ver la contribución de un pórtico cualquiera a la matriz de rigidez en (i )

coordenadas de piso K E . Sea K L la matriz de rigidez lateral del pórtico y A (i ) la matriz de compatibilidad.

[

A ( i ) = Cos α I

Sen α I

r

]

Al efectuar el triple producto matricial indicado en ( 3.3 ) se obtiene:

⎡Cosα2 K L( i ) ⎢ ∆K E = ⎢ Senα Cosα K L( i ) ⎢ (i ) (i ) ⎢⎣Cosα K L r

Cosα K L( i ) r ( i ) ⎤ ⎥ Senα K L( i ) r ( i ) ⎥ 2 ⎥ K L( i ) r ( i ) ⎥⎦

Senα Cosα K L( i ) Senα2 K L( i )

( 3.4 )

( )

Senα K L( i ) r ( i )

En ( 3.4 ) se ha denominado ∆K E a la contribución de un pórtico a la matriz de rigidez de la estructura. Para hallar la matriz de rigidez K E total se debe sumar la contribución de los demás pórticos con lo que se obtiene:

⎡ ⎢ KE = ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

∑ Cosα K ∑ Senα Cosα K ∑ Cosα K r 2

(i ) L

(i ) L

(i )

(i ) L

∑ Senα Cosα K ∑ Senα K ∑ Senα K r 2

∑ Cosα K r ∑ Senα K r ∑ K (r )

(i ) L

(i ) L

(i ) L

(i ) L

(i ) L

(i ) L

(i )

(i )

⎤ ⎥ (i ) ⎥ ( 3.5 ) ⎥ 2 ⎥ ⎦ (i )

La sumatoria se extiende a todos los pórticos de la estructura. La matriz de rigidez K E es de orden 3NP por 3NPy es simétrica con respecto a la diagonal principal. De igual manera la matriz K E se puede escribir de la siguiente manera:

KE

⎡ K XX ⎢ =⎢ ⎢⎣

K XY K YY

K Xθ ⎤ ⎥ K Yθ ⎥ K θθ ⎥⎦

( 3.6 )

Siendo K XX , K YY las matrices de rigidez lateral por traslación; K θθ matriz de rigidez torsional; K Xθ , K Yθ matrices de rigidez de acoplamiento lateral con torsión; K XY es la matriz trasnacional de acoplamiento en las direcciones X,Y.

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K XX =

∑ Cosα

2

K Xθ =

K YY =

K L( i )

∑ Cosα K

(i ) L

r (i )

K XY =

∑ Senα

2

K θθ =

K L( i )

K Yθ =

∑ Senα K

∑ Cosα Senα K

(i ) L

∑ K (r )

r (i )

(i ) L

(i ) 2

( 3.7 )

(i ) L

Con respecto a las submatrices de la matriz de rigidez K E es necesario realizar los siguientes comentarios: •

Si se desea que la estructura tenga un muy buen comportamiento sísmico. Las submatrices K XY , K Xθ , K Yθ deben ser nulas. En la medida que no lo sean se deberá tomar precauciones en el diseño para no tener problemas de torsión.

•

Lo más crítico en las estructuras es la torsión y para evitar este problema es conveniente que la submatriz K θθ sea lo más grande posible. Si se examina la ecuación con la cual se evalúa K θθ se aprecia que es función del vector r elevado al cuadrado. De tal manera, para tener K θθ lo más alto es necesario de que los pórticos exteriores tengan mayor rigidez lateral. Si se piensa, desde el punto de vista de cargas verticales, los pórticos centrales serán los de mayores dimensiones y los exteriores de menores dimensiones pero ahora desde el punto de vista sísmico y para tener mayor rigidez torsional se recomienda que los pórticos exteriores tengan mayor rigidez.

3.4

MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL PARA PÓRTICOS SIN MUROS

En el capítulo 4 del libro Dinámica de Estructuras con MATLAB, Aguiar (2007) se detalla el cálculo de la matriz de rigidez lateral en pórticos planos, considerando varios modelos de análisis, por lo que se recomienda su lectura. En éste apartado se presenta el cálculo de la matriz de rigidez lateral de un pórtico plano sin muros de corte, para un modelo numérico de cálculo en que todos los elementos del pórtico son axialmente rígidos, de tal manera que los grados de libertad son los desplazamientos horizontales, uno por cada piso y las rotaciones en cada una de las juntas. En la figura 3.7 se presenta un pórtico de dos pisos y dos vanos en el que se ha considerado que tanto las vigas como las columnas son axialmente rígidas. Las coordenadas principales, son los desplazamientos horizontales de piso y se han numerado en primer lugar, posteriormente se han numerado los giros de cada uno de los nudos, que son las coordenadas secundarias, todo esto se aprecia en la figura izquierda, a la derecha se presenta el pórtico únicamente con las coordenadas laterales. Se define la matriz de rigidez lateral K L a la matriz de rigidez asociada a las coordenadas laterales de piso.

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Figura 3.7 Grados de libertad, considerando que todos los elementos son axialmente rígidos y coordenadas laterales.

3.4.1

Matrices de rigidez de los elementos

Para el modelo de análisis indicado, las matrices de rigidez de los elementos se indican a continuación. En las figuras 3.8 y 3.9 se indican los sistemas de coordenadas para los elementos viga y columna. •

Elemento viga

Figura 3.8 Coordenadas globales para un elemento viga, axialmente rígido.

⎡ 4 EI ⎢ k= ⎢ L ⎢ ⎢⎣

2 EI ⎤ L ⎥ ⎥ 4 EI ⎥ L ⎥⎦

( 3.8 )

Donde E es el módulo de elasticidad del material, I es el momento de inercia, L es la longitud del elemento. Nótese que en la ecuación ( 3.8 ) no se considera el efecto de corte φ que se hablará en el próximo apartado.

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•

Elemento columna

⎡12 EI ⎢ L3 ⎢ ⎢ ⎢ k= ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣

−

6 EI L2 4 EI L

−

12 EI L3 6 EI L2 12 EI L3

−

6 EI ⎤ L2 ⎥⎥ 2 EI ⎥ L ⎥ ⎥ 6 EI ⎥ L2 ⎥ ⎥ 4 EI ⎥ L ⎥⎦

( 3.9 )

Figura 3.9 Coordenadas globales para un elemento columna, axialmente rígido.

En las dos ecuaciones no se ha considerado el efecto de corte φ y nudos rígidos, de tal forma que el modelo sirve para pórticos sin muros de corte, conformados por vigas y columnas.

3.4.2

Ensamblaje de la matriz de rigidez

La matriz de rigidez de la estructura asociada a todos los grados de libertad, se obtiene por ensamblaje directo, descrito con detalle en el libro Análisis Matricial de Estructuras, tercera edición. Aguiar (2004) y se indica en forma resumida en el presente apartado, en base a la estructura de la figura 3.7. En la figura 3.10 se indica la numeración de los elementos dentro de un círculo y de los nudos. De esta manera se deben numerar los nudos y elementos para utilizar el programa RLAXINFI que se presenta en un apartado posterior y que sirve para hallar la matriz de rigidez lateral de un pórtico plano, sin muros de corte.

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Para encontrar la matriz de rigidez de la estructura, por ensamblaje directo, se encuentra la matriz de rigidez de cada uno de los elementos, si es columna esta es de 4x4 y si es viga de 2x2. El Vector de Colocación VC de un elemento está conformado por los grados de libertad del nudo inicial y del nudo final del elemento. El número de elementos del vector de colocación es igual al número de coordenadas de miembro, con el que se halla la matriz de rigidez de miembro. •

Vectores de colocación VC, de las columnas.

Se considera que el nudo inicial de las columnas se encuentra en la parte inferior y el nudo final en la parte superior. Con esta indicación y al observar la figura izquierda de 3.7, se obtienen los siguientes vectores de colocación para cada una de las columnas.

VC (1) = [0 0 1 3]

VC ( 4) = [1 3 2 6]

VC ( 2) = [0 0 1 4]

VC (5) = [1 4 2 7]

VC (3) = [0 0 1 5]

VC ( 6 ) = [1 5 2 8]

Figura 3.10 Numeración de nudos y elementos. •

Vectores de colocación VC, de las vigas.

El nudo inicial se encuentra a la izquierda y el nudo final a la derecha. Con esta acotación de la figura izquierda de 4.1 se obtiene:

VC ( 7 ) = [3 4]

VC (8) = [4 5]

VC (9 ) = [6 7]

VC (10) = [7 8]

Para hallar la matriz de rigidez por ensamblaje directo, se obtiene la matriz de rigidez de cada uno de los elementos y con el respectivo vector de colocación se efectúa el ensamblaje. Para facilitar el cálculo se coloca el VC encima y a la derecha de la matriz de rigidez del elemento; cuando una de las componentes de VC es cero se tacha la fila o columna a la cual está asociada esa coordenada y cuando es diferente de cero se realiza el ensamblaje.

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3.4.3

Condensación Estática

En la figura 3.7 se ha numerado en primer lugar las coordenadas laterales, que son las coordenadas principales, debido a que ante la componente horizontal de un sismo los desplazamientos laterales son de mayor magnitud que las rotaciones y cuando la estructura ingresa al rango no lineal por medio de los desplazamientos laterales se disipa una mayor cantidad de energía. Cuando se numera en primer lugar las coordenadas laterales la matriz de rigidez condensada, que es la matriz de rigidez lateral K L , se halla con la siguiente ecuación. −1 K L = K AA − K AB K BB K BA

( 3.10 )

Donde K AA , K AB , K BA , K BB son submatrices de la matriz de rigidez K como se aprecia en la figura 3.11. Siendo na el número de coordenadas principales y nb el número de coordenadas secundarias. La suma de na y nb es el número de grados de libertad de la estructura. Para el ejemplo de la figura 3.7 se tiene que na es igual a 2 y nb = 6.

Figura 3.11 Partición de la matriz de rigidez de la estructura.

No es obligatorio numerar primero las coordenadas principales, se pueden numerar primero las coordinas secundarias y al final las principales. En este caso la matriz de rigidez lateral vale: −1 K L = K BB − K BA K AA K AB

( 3.11 )

De tal forma que existen dos opciones para numerar los grados de libertad de la estructura que son numerar primero todos las coordenadas principales o numerar al final estas coordenadas. Lo que no se puede hacer es mezclar la numeración de las coordenadas principales y secundarias. Tanto en la ecuación ( 3.10 ) como en la ecuación ( 3.11 ) se debe obtener la matriz inversa de una matriz. En los problemas de ingeniería se trata de evitar el cálculo de una matriz inversa ya que demanda mucho tiempo y en lugar de ello se resuelven sistemas de ecuaciones.

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Para cuando se numera primero las coordenadas laterales y se desea resolver un conjunto de ecuaciones lineales en lugar de calcular la inversa K BB , la ecuación ( 3.10 ) se escribe de la siguiente manera:

K L = K AA + K AB T

( 3.12 )

Para hallar la matriz T se debe resolver un conjunto de ecuaciones lineales de la forma:

K BB T = − K BA

( 3.13 )

La matriz T tendrá nb filas y na columnas. Para encontrar la primera columna de la matriz T se resolverá el sistema de ecuaciones lineales cuyo término independiente es la primera columna de K BA cambiado de signo, para la segunda columna de T se resuelve el sistema de ecuaciones cambiando el término independiente a la segunda columna de K BA cambiado de signo y así sucesivamente. En todos los casos la matriz de coeficientes K BB es la misma. Una forma más eficiente de encontrar la matriz de rigidez lateral sin necesidad de invertir la matriz ni de resolver un sistema de ecuaciones lineales, es aplicando la triangularización de Gauss pero en este caso es obligatorio que las coordenadas principales se numeren al final. En el libro Dinámica de Estructuras con MATLAB. Aguiar (2006) está detallado el procedimiento de cálculo.

3.5

PROGRAMA RLAXINFI

El programa reporta la matriz de rigidez lateral y la graba en consola con el nombre de KL para que se pueda utilizar en otros cálculos. La forma de uso del programa es: [KL] = rlaxinfi (Nombre) •

Nombre. Es el nombre del archivo que contiene la base y la altura de la sección transversal y la longitud de los elementos.

function[KL]=rlaxinfi(nombre) % % Programa para encontrar la matriz de rigidez lateral de un portico plano % considerando que todos los elementos son axialmente rigidos. % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE %------------------------------------------------------------% [KL]=rlaxinfi(nombre) %------------------------------------------------------------% CG Matriz de coordenadas generalizadas % VC Vector de colocacion %E Modulo de elasticidad del material % SS Matriz de rigidez de la estructura % b: base de la seccion transversal. % h: altura de la seccion transversal.

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% long: longitud del elemento. % nombre Archivo de datos que contiene la base, la altura y la longitud % de cada uno de los elementos. % nod=input('\n Numero de nudos:'); np=input(' Numero de pisos:'); nr=input(' Numero de nudos restringuidos:'); E=input(' Modulo de elasticidad:'); % Coordenadas Generalizadas CG=zeros(nod,2);ngl=0;k=nr; for i=1:np ngl=ngl+1; for j=1:nr k=k+1; CG(k,1)=ngl; end end for i=1:nod-nr ngl=ngl+1; k=nr+i; CG(k,2)=ngl; end ncol=np*nr; mbr=ncol+(nr-1)*np;nvig=mbr-ncol; ici=0;icf=nr; for i=1:ncol ici=ici+1; icf=icf+1;ini(i)=ici;fin(i)=icf; end ii=ncol; for j=1:np ici=j*nr; for i=1:nr-1 ii=ii+1;ici=ici+1;ini(ii)=ici;fin(ii)=ici+1; end end % Arreglo VC. Vectores de colocacion for i=1:mbr for k=1:2 VC(i,k)= CG(ini(i),k); VC(i,k+2) = CG(fin(i),k); end end % Matriz de rigidez de miembro y de la estructura for i=1:mbr B(i)=nombre(i,1);H(i)=nombre(i,2);L(i)=nombre(i,3); end % Calculo de la matriz de rigidez de la estructura fprintf ('\n Calcula con: Inercias gruesas, codigo=0. Con inercias agrietadas, codigo=1'); icod=input('\n Ingrese codigo de inercias :'); SS=zeros(ngl,ngl); for i=1:mbr b=B(i);h=H(i);long=L(i);iner=b*h^3/12;ei=E*iner; if i 7.85

⎛ 0.707 ⎞ + 0.010 ⎟⎟ L a = ⎜⎜ ⎝ λh ⎠

si

λ h ≤ 7.85

⎛ 0.470 ⎞ + 0.040 ⎟⎟ L a = ⎜⎜ ⎝ λh ⎠

si

λ h ≤ 7.85 ( 3.31 )

Mampostería agrietada

3.8.7

( 3.32 )

λ h > 7.85

Modelo de Paulay y Priestley (1992)

El ancho equivalente a propuesto por Paulay y Priestley (1992) ha sido acogido por la Normativa de Perú de Albañilería E070 y es la siguiente:

a=

L 4

( 3.33 )

Esta ecuación es recomendada para un nivel de fuerzas laterales menor o igual al 50%

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de la capacidad última. En otras palabras para el rango elástico.

3.8.8

Modelo de FEMA (1997)

La Agencia Federal para el Manejo de Emergencias de los Estados Unidos de Norte América, propone las siguientes ecuaciones: 1

⎡ E t.sen 2θ ⎤ 4 λh = H ⎢ m ⎥ ⎣ 4 E c I col h ⎦

( 3.34 )

a = 0.175 (λ h )−0.4 L

Figura 3.20 Variación de a / L empleando algunos modelos de cálculo.

•

EJEMPLO 6 Presentar en un gráfico la relación entre λ y a / L . Empleando los modelos de Holmes

(1961), Mainstone (1971), Liauw y Kwan (1984) para θ = 30.9 y θ = 36.8 , Decanini y Fantin (1986) con mampostería no agrietada, Paulay y Priestley (1992) y FEMA (1997). o

•

o

SOLUCIÓN

En la figura 3.20 se aprecia que los resultados obtenidos con las propuestas de: Mainstone (1971) y FEMA (1997) son muy conservadores, ya que el ancho equivalente es muy

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bajo. Por el otro lado, el modelo de Holmes (1961) reporta los mayores valores para valores de λ > 3 . Los valores encontrados con los restantes modelos reportan valores intermedios.

•

EJEMPLO 7

Utilizando el modelo de Decanini y Fantin (1986) presentar en un gráfico la relación entre el ancho equivalente a de la mampostería agrietada con relación a la no agrietada.

•

SOLUCIÓN

En la figura 3.21 se muestra la relación entre el ancho equivalente a agrietado con relación al no agrietado. Se observa que esta relación disminuye conforme el valor de λ aumenta. Es importante notar que para λ = 1 el ancho equivalente agrietado es 0.85 del ancho no agrietado y que para λ = 10 el ancho equivalente agrietado es 0.52 del ancho no agrietado, la pérdida es notable. El valor de λ se incrementa si la rigidez de la mampostería es mayor que el hormigón confinante.

Figura 3.21 Relación entre el ancho equivalente agrietado con relación al no agrietado

3.8.9

Modelo de Crisafulli (1997)

La propuesta de Crisafulli (1997) para encontrar el ancho equivalente, es la siguiente:

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1

⎡ E t.sen 2θ ⎤ 4 λ=⎢ m ⎥ ⎣ 4 E c I col h ⎦ z=

2π

hz =

λ

z 2

( 3.35 )

a = 2 hz sin θ

3.9

MATRIZ DE RIGIDEZ DE ELEMENTO MAMPOSTERÍA

En la primera figura de 3.22, se presenta un pórtico con mampostería acoplada; en la segunda se aprecia el ancho equivalente a que se obtiene con cualquiera de los modelos descritos en el apartado anterior; en la tercera se aprecia el modelo del puntal equivalente que tiene una rigidez axial EA . Finalmente se presenta el sistema de coordenadas globales para la diagonal equivalente.

Figura 3.22 Modelo de la diagonal equivalente.

En lugar de considerar la diagonal equivalente de la figura 3.22 se pudo considerar la otra diagonal como en el caso de la figura 3.18. Cualquiera de los dos casos es valido por que el sismo actúa en los dos sentidos. La matriz de rigidez de la diagonal equivalente en coordenadas globales, es la siguiente.

⎡cos 2 θ ⎢ E m . A ⎢cos θ sin θ K= ⎢ L ⎢− cos 2 θ ⎢ ⎣− cos θ sin θ

cos θ sin θ

− cos 2 θ

sin 2 θ

− cos θ sin θ

− cos θ sin θ − sin 2 θ

cos 2 θ cos θ sin θ

A = a.t

− cos θ sin θ ⎤ ⎥ − sin 2 θ ⎥ ⎥ cos θ sin θ ⎥ ⎥ sin 2 θ ⎦ ( 3.33 )

Una vez definido la matriz de rigidez de la mampostería, por medio del modelo de la diagonal equivalente se encuentra la matriz de rigidez de la estructura por ensamblaje directo y luego se aplica la condensación estática para hallar la matriz de rigidez lateral del pórtico, considerando la mampostería.

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Para hallar la contribución de la diagonal equivalente, en la matriz de rigidez de la estructura, se debe tener en cuenta que el vector de colocación tiene cuatro elementos y corresponden a los grados de libertad horizontal y vertical del nudo inicial y final, como se aprecia en la última gráfica de la figura 3.22

•

EJEMPLO 8

Determinar la matriz de rigidez lateral, del pórtico indicado en la figura 3.23, incorporando la mampostería en el cálculo. La resistencia a la compresión del hormigón utilizado es f c' = 210 kg / cm 2 y de la mampostería f m' = 35 kg / cm 2 . Calcular el módulo de elasticidad del hormigón con la siguiente expresión: E = 12000

f c' y el módulo de elasticidad

de la mampostería E m = 500 f m' . El espesor de la pared es t = 0.15 m. Considerar en el modelo numérico que las columnas y las vigas son axialmente rígidas. Se pide: 1.- Detallar el cálculo para el Modelo de la Norma del Perú E 070. 2.- Comparar los resultados obtenidos con los diferentes modelos.

Figura 3.23 Descripción de la estructura de ejemplo 6.

•

SOLUCIÓN

En la figura 3.24, a la izquierda se han numerado los elementos, en la forma como hay que hacerlo para utilizar el programa RLAXINFIMAMPOSTERIA, primero se han numerado las columnas, luego la viga y finalmente la diagonal equivalente de la mampostería. En el centro de la figura 3.24 se tienen los grados de libertad considerados cuando las vigas y columnas son axialmente rígidas y a la derecha se aprecia el pórtico con la coordenada lateral, cuya matriz se va a calcular.

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97

Figura 3.24 Modelo numérico de cálculo. Las matrices de rigidez de los elementos, columna, viga y mampostería, son: •

Elemento Columna (igual para elementos 1 y 2) Obtenido con inercias gruesas y con L=2.80 m.

⎡ 185.6642 ⎢− 259.9298 K =⎢ ⎢− 185.6642 ⎢ ⎣− 259.9298 •

485.2023 259.9298 242.6012

Elemento Viga Obtenido con L=3.50 m.

⎡198.7389 K =⎢ ⎣99.3694 •

185.6642 259.9298

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 485.2023⎦

⎤ 198.7389⎥⎦

Elemento Diagonal Equivalente

L=

(3.25)2 + (2.70)2

= 4.2252

L 4.2252 = = 1.0563 m. 4 4 A = a t = 1.0563 ∗ 0.15 = 0.1584 m 2

a=

E m A 175000 ∗ 0.1584 = = 6562.50 L 4.2252 3.25 2.70 Cosθ = = 0.7692 Senθ = = 0.6390 4.2252 4.2252 ⎡ 3882.8 ⎢ 3225.5 2679.6 K =⎢ ⎢− 3882.8 − 3225.5 ⎢ ⎣− 3225.5 − 2679.6

3882.8 3225.5

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⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 2679.6⎦

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98 •

Vectores de colocación

VC (1) = [0

0

1

2]

= [0

0

1

3]

VC (3) = [2

3]

VC ( 4) = [0

0

1

0]

VC

•

( 2)

Matriz de rigidez completa

⎡4254.1 K = ⎢⎢259.9 ⎢⎣259.9 •

259.9 683.9 99.4

259.9 ⎤ 99.4 ⎥⎥ 683.9⎥⎦

Submatrices

K AA = [4254.1] •

K AB = [259.9

259.9]

t K BA = K AB

⎡683.9 K BB = ⎢ ⎣99.4

99.4⎤ 683.9⎥⎦

Matriz de rigidez lateral

K L = [4081 .6]

6000

Rigidez Lateral del Pórtico [Tn/m]

1. Holmes (1961) 2. Mainstone (1971)

5000

3. Bazan (1980)

4000

4. Hendry (1981) 5. Liauw y Kw an (1984)

3000

6. Decanini y Fantin (1986) 7. Paulay y Priestley (1992)

2000

8. FEMA (1997) 9. Crisafulli (1997)

1000

Valor Medio 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Modelo Matemático Figura 3.25 Matriz de rigidez lateral encontrada con nueve modelos. Carrillo (2008)

En la figura 3.25 se presentan los valores de la matriz de rigidez lateral, hallada con cada uno de los modelos indicados en el apartado anterior, para encontrar el ancho de la diagonal equivalente.

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3.10

99

PROGRAMA RLAXINFIMAMPOSTERIA

La forma de uso del programa es muy similar al del programa RLAXINFI. Debido a que se debe crear un archivo de datos con la siguiente información: • •

Base, altura y longitud de todas las columnas y de todas las vigas. En este orden. Se debe indicar el nudo inicial, el nudo final y la longitud de la diagonal equivalente.

Por pantalla, se suministra información complementaria como el número de nudos, número de pisos, módulos de elasticidad del hormigón y de la mampostería, etc. El ancho de la diagonal equivalente se halla con el modelo de Paulay y Priestley (1992) que ha sido acogido por la norma de Albañilería del Perú E 070.

function[KL]=rlaxinfimamposteria(nombre) % % Programa para encontrar la matriz de rigidez lateral de un portico plano % considerando que todos los elementos son axialmente rigidos. % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE % Incorporacion de Mamposteria en Noviembre de 2007 % %------------------------------------------------------------% [KL]=rlaxinfimamposteria(nombre) %------------------------------------------------------------% CG Matriz de coordenadas generalizadas % VC Vector de colocacion %E Modulo de elasticidad del material % SS Matriz de rigidez de la estructura % b: base de la seccion transversal. % h: altura de la seccion transversal. % long: longitud del elemento. % t: espesor de la mamposteria % nombre Archivo de datos que contiene la base, la altura y la longitud % de cada uno de los elementos. El nombre debe tener extension .txt. % Esto para columnas y vigas. Despues para la mamposteria se debe % indicar el nudo inicial, el final y la longitud de la diagonal. % % Se considera el modelo de la Norma de Peru para el ancho % equivalente de la mamposteria. % nod=input('\n Numero de nudos:'); np=input(' Numero de pisos:'); nr=input(' Numero de nudos restringuidos:'); nd=input(' Numero de diagonales de mamposteria:'); E=input(' Modulo de elasticidad de Hormigon (T/m2):'); Em=input(' Modulo de elasticidad de Mamposteria (T/m2):'); t=input(' Espesor de la Mamposteria (m):'); % Coordenadas Generalizadas CG=zeros(nod,2);ngl=0;k=nr; for i=1:np ngl=ngl+1; for j=1:nr

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k=k+1; CG(k,1)=ngl; end end for i=1:nod-nr ngl=ngl+1; k=nr+i; CG(k,2)=ngl; end ncol=np*nr; mbr=ncol+(nr-1)*np;nvig=mbr-ncol; ici=0;icf=nr; for i=1:ncol ici=ici+1; icf=icf+1;ini(i)=ici;fin(i)=icf; end ii=ncol; for j=1:np ici=j*nr; for i=1:nr-1 ii=ii+1;ici=ici+1;ini(ii)=ici;fin(ii)=ici+1; end end % Lectura de datos % for i=1:mbr B(i)=nombre(i,1);H(i)=nombre(i,2);L(i)=nombre(i,3); end for i=mbr+1:mbr+nd; ini(i)=nombre(i,1);fin(i)=nombre(i,2);L(i)=nombre(i,3); end % % Arreglo VC. Vectores de colocacion for i=1:mbr for k=1:2 VC(i,k)= CG(ini(i),k); VC(i,k+2) = CG(fin(i),k); end end for i=mbr+1:mbr+nd; VC(i,1)=CG(ini(i),1); VC(i,2)=0; VC(i,4)=0; VC(i,3)=CG(fin(i),1); end % Matriz de rigidez de miembro y de la estructura fprintf ('\n Calcula con: Inercias gruesas, codigo=0. Con inercias agrietadas, codigo=1'); icod=input('\n Ingrese codigo de inercias :'); SS=zeros(ngl,ngl); for i=1:mbr+nd if i=drift(i); continue else gama=drift(i); end end gama=gama*100; end fprintf ('\n Valor de reduccion de las fuerzas sismicas R'); R fprintf ('\n Fuerzas laterales en cada piso sin torsion accidental'); F fprintf ('\n Cortante Basal '); V fprintf ('\n Desplazamiento Inelastico'); qine fprintf ('\n Deriva de piso'); drift fprintf ('\n Deriva maxima de piso en porcentaje'); gama if gama >= 1.5 fprintf ('\n Deriva de piso mayor a 1.5% repita el analisis sismico') end % Mayoracion de las fuerzas laterales por torsion accidental F=1.1*F; fprintf('\n Fuerzas laterales en cada piso con torsion accidental'); F %---fin

4.4.2

Uso del programa ANALISISESTATICONEW

La forma general de las variables del programa es: ™ ƒ ƒ

[V]=analisisestaticonew(ejes,altura,peso,KL)

ejes altura

Es el número de ejes en la dirección del análisis sísmico. Vector que contiene la altura desde la base a cada piso.

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peso KL

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Vector que contiene los pesos, reactivos, de cada uno de los pisos. Matriz con las matrices de rigidez lateral de cada pórtico en la dirección de análisis sísmico.

4.5 EXCENTRICIDAD ESTÁTICA La excentricidad estática e S es la distancia que existe entre el Centro de Rigidez C.R., y el Centro de Masa C.M., esta es la forma como trabajan una buena cantidad de proyectistas estructurales. Pero también hay gente que en lugar de trabajar con el C.M., en edificios de varios pisos, trabajan con el Centro de Cortante C.C., de tal manera que para ellos la excentricidad estática es la distancia entre el C.R. y el C.C. Existen otras propuestas para encontrar e S . En el presente capítulo se trabaja con la primera forma, dejando constancia de que en el capítulo 8 se presenta la forma de cálculo del C.R., del C.C. y del Centro de Giro C.G. Se define el Centro de Masas C.M., como el lugar geométrico en el cual se supone que está concentrada la masa en cada uno de los pisos. Por otra parte de define el Centro de Rigidez C.R., de un nivel como el punto donde al aplicar una fuerza cortante horizontal, el nivel se traslada sin rotar con respecto al piso inferior. COVENIN 1756-98 (2001). Para ilustrar lo expuesto en la figura 4.7, se indica el C.M. y el C.R., en un determinado piso de una estructura. La excentricidad estática se ha definido por e x , e y . En la figura 4.7 se ha indicado además las fuerzas estáticas Fx que actúa en la dirección X, y la fuerza Fy que actúa en la dirección Y, debido a la acción sísmica. Son estas fuerzas que actúan en el C.M. las que provocan la torsión, ya que si actuarían en el C.R. solamente provocarían traslación en el edificio.

Figura 4.7 Ubicación del Centro de Masa y Centro de Rigidez en un piso de una estructura. Para una estructura de un piso es bastante sencillo, calcular el C.R. en base a la rigidez lateral de sus elementos, pero para edificios de varios pisos es más complicado y no

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siempre existe el C.R. En efecto, el C.R. solo existe en estructuras compensadas. Vásquez y Riddell (1984).

4.6 EXCENTRICIDAD DE DISEÑO La excentricidad de diseño e d es igual a la excentricidad estática e s , mayorada por un factor de amplificación dinámica más la excentricidad accidental que es función de un porcentaje de la distancia de la planta en la dirección perpendicular a la del análisis sísmico.

ed = α e s + β L ed = δ e s − β L

( 4.17 )

Donde α es el factor de amplificación dinámica torsional para la zona débil de la planta del edificio; δ factor de control de diseño de la zona más rígida de la planta para la dirección considerada. Los valores de α , δ serán analizados en el siguiente apartado; β es el porcentaje que varía entre el 5% y 15%, para la excentricidad accidental, L es la distancia perpendicular a la dirección del análisis sísmico. Al multiplicar la excentricidad de diseño por el cortante de cada piso, se tiene los momentos de torsión M ti que son aquellos que van a generar fuerzas de torsión adicionales en cada pórtico. En el programa ANALISISESTATICONEW estas fuerzas se consideraron en forma aproximada igual al 10% de las fuerzas estáticas. Los momentos de torsión M ti se evalúan con las siguientes ecuaciones:

M ti = Vi (α e s i + β Li )

M ti = Vi (δ e si − β Li )

( 4.18 )

Donde Vi es el cortante del piso i; e si es la excentricidad estática del piso i; Li es la distancia perpendicular a la dirección del análisis sísmico en el piso i.

4.7 EXCENTRICIDAD ESTÁTICA Uno de los primeros trabajos para cuantificar el factor de amplificación dinámica α es el propuesto por Rosenbluethh y Elorduy (1969), quienes estudiaron la respuesta elástica en estructuras de un piso, con una sola excentricidad, ante la acción de un sismo que actúa en forma perpendicular a la planta. Pero ellos obtuvieron este factor como la relación entre el momento de torsión calculado en forma dinámica M Tdin con relación al momento de torsión hallado en forma estática M Test . El resultado por ellos obtenido se indica en la figura 4.8.

α=

M Tdin M Test.

( 4.19 )

La crítica que se realiza a la ecuación (4.19) radica en el hecho de que los cortantes máximos y los momentos torsores máximos en una planta no coinciden en el mismo instante de tiempo. Luego trabajar solo con momentos torsores puede llevar a subestimar el problema de la torsión.

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Figura 4.8 Factor de amplificación dinámica. Rosenbluethh y Elorduy (1969). (Figura cortesía de Crisafulli en 2002). Desde la última década del siglo pasado y la primera década de este siglo se continúa trabajando en ésta temática pero con otro enfoque. El actual es cuantificar los efectos de torsión mediante la respuesta normalizada en desplazamientos de los pórticos extremos, que corresponden al pórtico débil en el un extremo y al pórtico fuerte en el otro extremo del edificio. Existen algunas formas de normalizar, una de ellas es dividir la respuesta en desplazamientos de un pórtico extremo, de la estructura con problemas de torsión, para el desplazamiento máximo de ese pórtico, ante la misma acción sísmica pero considerando que la estructura no tiene excentricidad estática, es decir se trata de una estructura completamente simétrica cuyos modos de vibración son desacoplados. Hernández y López (2007).

4.7.1 Normativas de Venezuela Con relación a la ecuación (4.17) vale la pena indicar los valores de α y δ que recomendaba la normativa sísmica de Venezuela de 1982. Para el valor α se tenían tres valores a saber: ƒ ƒ ƒ

α = 1.5 Si los pórticos con mayor rigidez lateral están ubicados en el perímetro de la planta. α = 5 Si los pórticos con mayor rigidez lateral se encuentran en el centro del edificio. α = 3 Para los restantes casos.

El primer caso α = 1.5 corresponde a aquel en que la rigidez torsional K θθ es bien alto el segundo es el caso contrario y el tercero para casos intermedios. Luego α variaba entre 1.5 y 5. El valor de δ = 1 para los tres casos. Grases et al (1987). En la versión 2001 de la Norma Venezolana se estipulan los valores de α indicados en la tabla 4.7, con el siguiente significado de las variables:

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ε=

e r

Ω=

rt wθ = r w

( 4.20 )

Donde e es la excentricidad medida entre el C.R. y el C.C.; r es el valor representativo del radio de giro inercial de las plantas de la edificación; rt valor representativo del radio de giro torsional del conjunto de las plantas de la edificación; wθ es la frecuencia torsional desacoplada; w es la frecuencia que puede ser en sentido X o en sentido Y. En la figura 4.9 se presenta la variación de α y δ .

CASO

0 .5 ≤ Ω ≤ 1

Tabla 4.7 Valores de α y δ de Norma de Venezuela (2001) VALOR DE

1≤ Ω ≤ 2 Ω≥2

Acotando − 1 ≤ δ ≤ 1

α = 1 + [4 − 16 ε ] Ω

α = 1 + [4 − 16 ε (2 − Ω )] (2 − Ω )4 α =1 δ = 6 (Ω − 1) − 0.6

Las ecuaciones de la tabla 4.7 fueron obtenidas ajustando los desplazamientos de los pórticos extremos: rígido y flexible y toma en cuenta la excentricidad y la rigidez torsional en el incremento de los desplazamientos dinámicos con respecto a los desplazamientos estáticos de una planta simétrica. Hernández y López (2003).

Figura 4.9 Variación de α y δ de la Norma de Venezuela (2001). Al analizar la figura 4.9 se puede indicar que para valores de Ω mayores a 1.5 los valores de α y δ están alrededor de la unidad. Estructuras con Ω alto son torsionalmente rígidas y son aquellas en las cuales se han colocado los pórticos de mayor rigidez en el perímetro.

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Por el contrario, las estructuras torsionalmente flexibles con valores de Ω bajos corresponden a aquellas en las cuales los pórticos con mayor rigidez se han colocado en la parte central del edificio. En este caso los valores de α y δ son diferentes a la unidad, dependiendo del valor de ε . Con relación a las ecuaciones indicadas en la tabla 4.7, correspondiente a la Norma de Venezuela (2001) se deben hacer las siguientes acotaciones: ƒ

El mayor valor de ε = e / r es 0.2, de tal manera que se evita tener excentricidades altas.

ƒ

Por otro lado el valor de Ω ≥ 0.5 con lo cual se evita tener edificios con valores de K θθ muy pequeños.

ƒ

Se limita la relación e / rt ≤ 0.3 para no tener estructuras con una excentricidad considerable y una rigidez torsional baja.

Si se excede una de estas acotaciones, la Norma de Venezuela (2001) no permite la aplicación del Método de la Torsión Estática y penaliza el factor de reducción de las fuerzas sísmicas R ya que se trata de estructuras con un elevado riesgo torsional. Hernández y López (2003).

4.7.2 Normativas Américanas Las normativas UBC como el SEAOC de los años ochenta, consideraban que α = 1 , δ = 0 y que β = 0.05 . De tal manera que no se amplifica la excentricidad estática para la zona de los pórticos débiles pero tampoco realizan ninguna reducción de la excentricidad en la zona de los pórticos fuertes, en la zona rígida. El UBC (1997), el IBC (2000) y el ICC (2003) determinan el factor de amplificación Ax mediante la siguiente expresión.

⎛ δ 1.0 ≤ Ax = ⎜ max ⎜ 1.2 δ avg ⎝

2

⎞ ⎟ ≤ 3 .0 ⎟ ⎠

( 4.21 )

Donde δ max es el desplazamiento lateral máximo del piso considerado y δ avg es el desplazamiento promedio en los puntos extremos (pórticos extremos) de la estructura, para el piso considerado. El valor de Ax tiene que ser mayor a la unidad y menor que 3. Para calcular Ax , de acuerdo a las normativas americanas se debe encontrar los desplazamientos en cada piso y en cada pórtico, con los cortantes de piso debido al método estático más los momentos de torsión que se encuentran con la ecuación que se indica a continuación con α = 1 y β = 0.05 . Con este estado de carga se halla δ max y δ avg , para luego hallar Ax

M ti = Vi (α e s i + β Li )

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124

Luego se realiza el análisis sísmico aplicando el Método Estático y los momentos torsores que se hallan con la ecuación (4.18) considerando α = Ax , δ = 1 y β = 0.05 ∗ Ax .

4.7.3 Código Ecuatoriano de la Construcción El análisis estático se simplifica notablemente cuando el factor de amplificación dinámica α y el factor de control δ son iguales a la unidad α = δ = 1 . En este caso no es necesario calcular el centro de rigidez y la excentricidad estática, basta con considerar que las fuerzas halladas con la ecuación (4.11) actúan en el centro de masa, más un momento torsor adicional debido a la torsión accidental. El CEC-2000 considera que α = δ = 1 y β = 0.05 ∗ Ax La excentricidad accidental se debe a una serie de hipótesis que se consideran en el cálculo para simplificar el análisis sísmico y que puede llevar a que el C.M., por ejemplo, no esté en el lugar que se ha calculado si no que esté desfasado. Que la longitud de la onda sísmica varíe a lo largo del edificio, que la componente rotacional del sismo sea importante y no se tomó en cuenta. Todas estas omisiones y otras variables aleatorias de masa, rigidez y resistencia, conducen a que se mayoran las fuerzas sísmicas halladas con la ecuación ( 4.11 ) por lo que se ha denominado torsión accidental. Lo importante es tener presente, que las fuerzas laterales que se generan en los pórticos debido a la torsión accidental se deben incrementar a las fuerzas estáticas equivalentes por traslación. Para encontrar los desplazamientos laterales y poder calcular δ max y δ avg se necesita conocer las fuerzas laterales pero estas se conocen únicamente del efecto de traslación, método estático. Por lo tanto Ax se debe calcular en forma sucesiva empezando con un valor Ax = 1 , para este valor se hallan las fuerzas laterales debidas a torsión accidental y las fuerzas laterales que estás generan. Con las fuerzas laterales de traslación y de torsión se halla un nuevo Ax y se repite el cálculo hasta lograr una convergencia entre dos valores consecutivos de Ax . Esto es una propuesta del autor del libro.

4.8 ANÁLISIS CON DOS GDL POR PLANTA Para poder incluir la torsión accidental es necesario considerar un modelo con dos grados de libertad por planta, la componente de desplazamiento horizontal y la rotación, con respecto a un eje perpendicular a la losa. En la figura 4.10 se muestra el modelo numérico de cálculo, para una estructura de tres pisos. Nótese que en primer lugar se ha numerado todos los desplazamientos en sentido X, empezando desde el primer piso hasta el último, posteriormente se ha numerado las rotaciones de piso desde el primer piso. Como se vio en el capítulo anterior, los grados de libertad se agrupan en el vector de coordenadas generalizadas q . Para el ejemplo de la figura 4.10, es:

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⎡q1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢q 2 ⎥ ⎢q3 ⎥ q= ⎢ ⎥= ⎢q 4 ⎥ ⎢q ⎥ ⎢ 5⎥ ⎢⎣q 6 ⎥⎦

125

⎡q X ⎤ ⎢ ⎥ ⎢" ⎥ ⎢⎣qθ ⎥⎦

Figura 4.10 Modelo de dos grados de libertad por planta

Los desplazamientos horizontales de piso se han agrupado en el vector q X , por que en la figura 4.10 se está realizando el análisis sísmico con respecto a la dirección X. Para esta dirección la matriz de rigidez, triangular superior, en coordenadas de piso, resulta:

⎡ K XX KE = ⎢ ⎣ K XX =

∑ Cosα

2

K L( i )

K θθ =

K Xθ ⎤ ⎥ K θθ ⎦

∑ K (r ) (i ) L

(i ) 2

( 4.22 )

K Xθ =

∑ K (r ) (i ) L

(i )

La sumatoria de las sub matrices se extiende a todos los pórticos en sentido X. Cuando la estructura es simétrica en planta, la sub matriz K Xθ es nula. Para encontrar las fuerzas que se generan en los pórticos debido a la torsión accidental se aplica en cada uno de los pisos un momento de torsión como se ilustra en la figura 4.11. Este momento de torsión en cada piso se halla considerando β = 0.05 ∗ Ax de acuerdo al CEC-2000.

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Figura 4.11 Problema estático de torsión accidental

Los momentos de torsión accidental de la figura 4.11 se han considerado positivos, en realidad actúan con cualquier signo. Se toma positivo pero los desplazamientos laterales que se generan en los pórticos por efecto de estos momentos se obtienen en valor absoluto. Lo importante es que se mayoran las fuerzas estáticas debidas al desplazamiento lateral. El vector de cargas generalizadas, Q para el problema de la torsión accidental, considerando el modelo numérico indicado en la figura 4.10, es:

⎡0 ⎤ Q = ⎢⎢" ⎥⎥ ⎢⎣ M T ⎥⎦

( 4.23 )

Donde M T es el vector que contiene los momentos de torsión en cada piso. El procedimiento de cálculo de las fuerzas generadas por la excentricidad accidental, es el siguiente:

i.

Se halla la matriz de rigidez en coordenadas de piso, para el modelo de dos grados de libertad por planta.

ii.

Se inicia el cálculo, considerando Ax = 1

iii.

Se hallan los momentos de torsión accidental, considerando β = 0.05 ∗ Ax

iv.

Se encuentra el vector de coordenadas generalizadas q resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones lineales.

KE q =Q v.

( 4.24 )

Se determinan los desplazamientos laterales en cada pórtico, con la siguiente ecuación.

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p (i ) = A(i ) q

A

(i )

⎡Cosα = ⎢⎢ ...... ⎢⎣ Cosα

127

( 4.25 )

r1

⎤ ...... ⎥⎥ rn ⎥⎦

Donde A es la matriz de compatibilidad que relaciona las coordenadas de piso con las coordenadas laterales de los pórticos. El índice i escrito entre paréntesis corresponde al pórtico i, en la dirección del análisis sísmico. En el capítulo anterior se estudió con detenimiento la matriz A por lo que se omite las explicaciones. Únicamente se destaca que como el modelo es de dos grados de libertad por planta la forma de la matriz A , para el análisis sísmico en sentido X, es la indicada. vi.

Con los desplazamientos laterales en cada pórtico, se determina en cada piso el valor máximo en absoluto δ max con los desplazamientos laterales de todos los pórticos, se obtiene también en cada piso δ avg con los desplazamientos laterales, en valor absoluto, de los pórticos extremos y se halla el valor de Ax en cada piso. Luego el valor de Ax de la estructura es el máximo valor de los encontrados en cada piso.

vii.

Se compara el valor de Ax impuesto en el paso ii., con el valor encontrado, si no son parecidos se repite el cálculo.

viii.

Una vez encontrado el valor de Ax , se hallan las fuerzas laterales P en cada pórtico, multiplicando la matriz de rigidez lateral K L por el vector de desplazamientos p .

P ( i ) = K L( i ) p ( i )

( 4.26 )

Al sumar las fuerzas laterales de cada piso, se hallan las fuerzas laterales en el centro de masa, las mismas que se deben sumar a las fuerzas que se encuentran con la ecuación (4.11) Para hallar el momento de torsión accidental se puede trabajar con los cortantes de piso o con las fuerzas laterales de piso. En la forma descrita se ha trabajado con esta última opción.

•

EJEMPLO 2

Realizar el análisis sísmico de la estructura del ejemplo 1, si las dimensiones de vigas y columnas son ahora las indicadas en la tabla 4.8. El peso total reactivo se ha incrementado en 5% debido al aumento de las secciones de los elementos estructurales. Efectuar el análisis sísmico con el modelo de dos grados de libertad por planta y empleando el programa ANALISISESTATICO2GDL. Explicar la forma de uso del programa.

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Tabla 4.8 Dimensiones de columnas, vigas y peso total reactivo de piso, de ejemplo 2. Piso Columnas Vigas Peso total (cm.) (cm.) reactivo (T.) Pórtico 1 y 4 Pórtico 2 y 3 60/60 70/70 50/55 177.19 1 60/60 70/70 50/55 167.74 2 60/60 70/70 50/55 158.29 3 55/55 65/65 45/50 148.84 4 55/55 65/65 45/50 139.39 5 50/50 60/60 40/50 129.94 6

•

SOLUCIÓN

La determinación de las fuerzas estáticas en el C.M. del Método Estático, fue explicado con detenimiento en el Ejemplo 1, por lo que se explica ahora como se obtienen las fuerzas debido a la torsión accidental. El vector transpuesto de fuerzas F t del método estático, es:

F t = [6.2769 11.8843 16.8221 21.0904

24.6892 34.3077 ]

Como se indicó, la torsión accidental se la puede calcular con los cortantes de piso o con las fuerzas de piso. En este ejercicio se obtiene el momento de torsión M t con las fuerzas de piso. Así para el primer piso se tiene:

M t1 = F1 ∗ 0.05 ∗ Li ∗ Ax = 6.2769 ∗ 0.05 ∗ 15.0 ∗ 1 = 4.7077 Tm Se inicia el cálculo con Ax = 1 . Al proceder en forma similar en los restantes pisos, se obtiene el vector M T indicado en (4.23).

M T = [ 4.7077 8.9132 12.6166 15.8178 18.5169

25.7308]

⎡0 ⎤ Q=⎢ ⎥ ⎣MT ⎦ En este caso el vector 0 está compuesto por seis ceros. Por otra parte, la matriz de rigidez K E , obtenida con inercias gruesas, vale:

⎡ K XX KE = ⎢ ⎣ K Xθ

K Xθ ⎤ ⎥ K θθ ⎦

K Xθ = 0

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Al aplicar la ecuación (4.24) se hallan los desplazamientos y giros en el C.M. por torsión accidental. Estas son:

q = [0 0 0 0 0 0 0.0472 0.1248 0.2017 0.2801 0.3465 0.3931] ∗ 10 −3 Por medio de la matriz A se hallan los desplazamientos laterales p en cada uno de los pórticos, empleando la ecuación (4.25). Estos desplazamientos, son:

•

Pórtico 1 = Pórtico 4

p (1)

⎡0 ⎤ ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢0 ⎥ ⎢ − 7.5 ⎡1 ⎤ ⎢0 ⎡− 0.0004⎤ ⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢− 0.0009⎥ ⎥ ⎢ − 7 .5 ⎢ ⎥ ⎢0 ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 ⎢ ⎥ 1 − 7 .5 − 0 . 0015 ⎥ =⎢ * 10 −3 = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎥ 1 − 7 .5 ⎢ ⎥ ⎢0.0472 ⎥ ⎢− 0.0021⎥ ⎢ ⎥ ⎢0.1248 ⎥ ⎢− 0.0026⎥ 1 − 7 .5 ⎢ ⎥⎢ ⎢ ⎥ ⎥ 1 − 7.5⎦⎥ ⎢0.2017 ⎥ ⎣⎢ ⎣⎢− 0.0029⎦⎥ ⎢0.2801 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0.3465 ⎥ ⎢0.3931 ⎥ ⎣ ⎦

Pero los desplazamientos laterales se consideran en valor absoluto, ya que los momentos de torsión que actúan en cada piso pueden actuar en sentido horario o antihorario. Por este motivo es que los desplazamientos laterales del pórtico 1 son iguales a los del pórtico 4, ya que para ambos pórticos el valor de r es 7.5, para el pórtico 1 es negativo y para el pórtico 4 es positivo. Al multiplicar los desplazamientos laterales por la matriz de rigidez lateral del pórtico se hallan las fuerzas laterales en cada piso P . El vector transpuesto de P resulta.

P (1) t = [0.1203 0.4790 0.8049 0.9018 1.0906 1.5280 ]

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130 •

p ( 2)

Pórtico 2 = Pórtico 3

⎤ ⎡0 ⎥ ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 ⎥ ⎢ − 2.5 ⎡− 0.1180 ⎤ ⎤ ⎢0 ⎡1 ⎥ ⎢− 0.3119 ⎥ ⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢ − 2.5 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 ⎢ ⎥ ⎢− 0.5043 ⎥ ⎥ ⎢0 ⎢ 1 − 2.5 ⎥ −3 −3 * 10 = ⎢ =⎢ ⎥ ∗ 10 ⎥⎢ ⎥ 1 − 2.5 ⎢− 0.7002 ⎥ ⎥ ⎢0.0472 ⎥ ⎢ ⎢− 0.8664 ⎥ ⎥ ⎢ 1 − 2.5 ⎢0.1248 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎢ ⎥ 1 − 2.5⎥⎦ ⎢0.2017 ⎥ ⎢⎣− 0.9827 ⎥⎦ ⎢⎣ ⎢0.2801 ⎥ ⎥ ⎢ ⎢0.3465 ⎥ ⎢0.3931 ⎥ ⎦ ⎣ P ( 2 ) t = [0.5807

0.3456 0.1086 0.4583 0.4316 0.5621]

La suma de las fuerzas laterales de los cuatro pórticos, reporta las fuerzas laterales en el C.M. debido a torsión accidental. Estas son las siguientes:

t FTOR = [1.4019 1.6493 1.8270 2.7201 3.0444 4.1802]

Finalmente las fuerzas finales en el C.M. se hallan sumando las fuerzas laterales debido al Método Estático más las fuerzas laterales debido a la Torsión Estática. Estas resultan.

FTOTALES = [7.6788 13.5335 18.6491 23.8105 27.7337 38.4880 ] Se deja al lector la verificación e que el valor de Ax es menor que la unidad para todos los pisos, razón por la que Ax = 1 , que es el valor impuesto.

4.9 PROGRAMA ANALISISESTATICO2GDL La forma de uso del programa es: ™

[V]=analisisestatico2gdl(ejes,altura,peso,KL,r)

ƒ ƒ ƒ ƒ

ejes altura peso KL

ƒ

r

Es el número de ejes en la dirección del análisis sísmico. Vector que contiene la altura desde la base a cada piso. Vector que contiene los pesos de cada uno de los pisos. Matriz con las matrices de rigidez lateral de cada pórtico en la dirección de análisis sísmico. Calculada con inercias gruesas. Vector con las distancias del centro de masa a cada pórtico. El programa considera que los C.M., son colineales.

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La única diferencia en la entrada de datos con el programa ANALISISESTATICONEW se da en el vector r, que se debe ingresar. Para el ejemplo 2, el vector transpuesto de r es:

r t = [−7.5

− 2 .5

2 .5

7.5]

Las matrices de rigidez lateral también cambian ya que se incrementó la sección de las columnas. Al igual que el vector que contiene a los pesos de cada piso. Se deja al lector la determinación de estos datos. Los resultados se indican en la tabla 4.9

Pisos 1 2 3 4 5 6

Tabla 4.9 Resultados de ejemplo 2. Fuerza sin Desplazamientos Deriva de piso Torsión ( T. ) Inelásticos ( m. ) 6.2769 0.0103 0.0034 11.8843 0.0281 0.0059 16.8221 0.0462 0.0060 21.0904 0.0645 0.0061 24.6892 0.0801 0.0052 34.3077 0.0912 0.0037

R = 6 A x = 1 γ = 0.61%

Fuerzas Finales ( T. ) 7.6788 13.5335 18.6491 23.8105 27.7337 38.4880

La deriva de piso máxima es menor al 1.5%. Se puede pensar en disminuir las secciones de los elementos estructurales ya que γ = 0.61% .

4.9.1

Programa ANALISISESTATICO2GDL

A continuación se lista el programa ANALISISESTATICO2GDL, cuyas características principales, son las siguientes: •

• • • •

Se considera el factor de reducción de las fuerzas sísmicas R = 6 para los perfiles de suelo S1, S2 y S3. Para el perfil de suelo S4 el valor de R = 5 . Los resultados que se hallan del estado de cargas S no deben ser mayorados en las combinaciones de carga. Determina el factor de amplificación por torsión Ax en forma interactiva. Se considera que α = δ = 1 por lo que se omite el cálculo de la excentricidad estática. Determina las fuerzas debidas a torsión accidental, resolviendo un problema estático. Se trabaja con las formas espectrales del CEC-2000.

function [V]=analisisestatico2gdl(iejes,alt,peso,KL,r) % % Analisis Estatico de acuerdo al CEC-2000 de edificios aporticados regulares % % Factor de reduccion de las fuerzas sismicas esta en funcion del nivel de % diseño (de la capacidad de ductilidad de la estructura). Son los % resultados finales del proyecto de investigacion desarrollado en el % CEINCI-ESPE en 2007 sobre el factor de reduccion de las fuerzas sismicas. % Esta programado para nivel de diseño sismico elevado (ductilidad=4). %

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% Se obtienen las fuerzas laterales debidas a torsion accidental de acuerdo % al CEC-2000. Se incluye el factor Ax. % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE % Version de diciembre de 2007 %----------------------------------------------------------------------% [V]=analisisestatico2gdl(iejes,alt,peso,KL) %----------------------------------------------------------------------% Ru Factor de reduccion por ductilidad Rs Factor de resistencia % Rr Factor de redundancia R Factor de reduccion % H Altura total de edificio Z Factor de Zona % iejes # de ejes de columnas % alt Vector que contine las alturas a cada piso medido desde el suelo. % peso Vector que contiene los pesos reactivos de cada piso. % PESO Peso total Reactivo. V Cortante Basal % gama Deriva maxima de piso que el programa calcula. % KL Matriz que contiene la matriz de rigidez lateral de cada portico % r Vector que contiene la distancia del portico al centro de masa, de % cada uno de los porticos, con signo, positivo antihorario. % % NP=length(alt); PESO=0;for i=1:NP; PESO=PESO+peso(i);end; H=alt(NP); fprintf ('\n Codigos para zonas sismicas: 0.15g=1 0.25g=2 0.30g=3 04g=4'); ic=input ('\n Ingrese el codigo de la zona sismica :'); if ic==1; Z=0.15;elseif ic==2; Z=0.25;elseif ic==3;Z=0.30;else;Z=0.40;end fprintf ('\n Codigos para perfiles de suelo: S1=1 S2=2 S3=3 S4=4'); is=input('\n Indique el codigo del tipo de suelo :'); if is==1 T1=0.50;T2=2.50;beta=2.5;S=1;R=6; elseif is==2 T1=0.52;T2=3.11;beta=3.0;S=1.2;R=6; elseif is==3 T1=0.82;T2=4.59;beta=2.8;S=1.5;R=6; else T1=2.0;T2=10;beta=2.5;S=2;R=5; end I=input('\n Indique el factor de importancia :'); % Periodo fundamental, el mismo que se amplifica por inercia agrietada T=0.0731*H^(0.75);T=1.3*T; rp=input('Estructura es regular en planta; si(s) o no(n):','s'); if rp=='s';fip=1;else;fip=0.8;end re=input('Estructura es regular en elevacion; si(s) o no(n):','s'); if rp=='s';fie=1;else;fie=0.8;end %Coeficiente C C=(1.25*S^S)/T; if C >=beta;C=beta;end if C =abs(p(j)); continue else qmax(j)=abs(p(j)); end end end for j=1:NP qavg(j)=(q1(j)+q2(j))/2; Ax(j)=qmax(j)/(1.2*qavg(j)); if Ax(j)3; Ax(j)=3; end; end Axmax=max(Ax); Momtor=Momtor';cero=cero';FTx=FTx'; end FTx=FTx';FTOTAL=F+FTx; fprintf('\n Fuerzas laterales en cada piso con torsion accidental'); FTOTAL fprintf('\n Valor de Ax'); Axmax %---fin

REFERENCIAS 1. Goel R., and Chopra A., (1997), “Period formulas for moment-resisting frame buildings”, Journal of Structural Engineering, 123 (11), 1454-1461. 2. Grases J., López O., Henández J., (1987), Edificaciones Sismorresistentes. Manual de aplicación de las Normas. Colegio de Ingenieros de Venezuela. Fundación Juan José Aguerrevere., Segunda Edición, 269 p. Caracas. 3. Hernández J., y López O., (2003), “Confiabilidad del método de la torsión estática de la Norma Sismorresistente Venezolana”, Instituto de Materiales y Modelos Estructurales. Universidad Central de Venezuela, 41 (2-3), 1-27, Caracas Venezuela. 4. Hernández J., y López O., (2007), “Investigación de respuestas sísmicas críticas incorporando la torsión accidental”, Instituto de Materiales y Modelos Estructurales. Universidad Central de Venezuela, 45 (3), 22-51, Caracas Venezuela. 5. ICC, (2003), International Building Code, International Code Council Inc., Birmingham Al USA.

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6. IBC (2000), International Building Code, International Code Council Inc., Birmingham Al USA. 7. Rosenblueth E., and Elorduy J., (1969), “Response of linear systems to certain transient disturbances”, Proceedings of the Fourth World Conference on Earthquake Engineering, Vol 1, A1-185 to A1-196, Santiago de Chile. 8. Uniform Building Code UBC, (1997), International Conference of Building Officials ICBO, Volume 2, 492p., Whittier, California. 9. Vásquez J., and Riddell R., (1984), “Existence of centers of resistance and torsional th uncoupling of earthquake response of buildings”, Proc., of the 8 World. Conf. in Earthquake Engrg., Prentice Hall, Inc, IV, 187-194, Englewood Cliffs.

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CAPÍTULO 5

ANÁLISIS MODAL PLANO

RESUMEN Se presenta el Método de Superposición Modal utilizando el espectro de diseño inelástico, del Código Ecuatoriana de la Construcción CEC-2000, para el análisis sísmico de pórticos planos. El análisis modal plano sirve más para ilustrar el Método de Superposición Modal ya que con el gran avance informático que se tiene, es conveniente realizar un análisis sísmico espacial. Se inicia el capítulo presentando el marco teórico del Método de Superposición Modal, el mismo que es aplicable a un análisis sísmico plano o espacial. Luego se detallan algunos criterios de combinación modal y se muestran los resultados de un estudio realizado en estructuras de uno a seis pisos, en el Centro de Investigaciones Científicas de la ESPE, en base a este estudio se recomienda un criterio de combinación modal, que combina el criterio de superposición directa y el del valor máximo probable. Una vez terminado el Método de Superposición Modal, se realizan tres controles, que son: el primero, verificar que el cortante basal obtenido sea mayor o igual al cortante basal mínimo; el segundo, tiene que ver con el control de la deriva de piso y el tercero, con el control del efecto P − ∆ . Como es un análisis sísmico plano no se resuelve el problema de la torsión accidental. El marco teórico se lo ilustra con el análisis sísmico de una estructura de dos pisos en el cual se detallan los cálculos. Se complementa el estudio con la entrega del programa denominado MODALPLANONEW . El uso del programa se lo ilustra con el análisis sísmico de un pórtico de una estructura de seis pisos. El análisis modal se realiza utilizando inercias agrietadas, de acuerdo a lo estipulado por el CEC-2000 y el control de la deriva máxima de piso se lo hace con inercias gruesas.

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5.1 MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN MODAL El sistema de ecuaciones diferenciales que gobiernan los problemas de dinámica de estructuras es el siguiente:

M q + C q + K q = Q

( 5.1 )

 son los Donde M , C , K son las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez; q, q , q vectores de desplazamiento, velocidad y aceleración. Q es el vector de cargas generalizadas. La ecuación ( 5.1 ) corresponde a un sistema de ecuaciones diferenciales acoplado, para desacoplarlo se debe realizar el siguiente cambio de variable:

q=Φ X

( 5.2 )

Siendo X el vector de desplazamientos en el nuevo sistema de coordenadas, Φ la matriz modal, conformada por cada uno de los modos de vibración de la estructura que se hallan del problema de vibración libre sin amortiguamiento.

[

Φ = φ (1) φ ( 2 ) φ (3) ... ... φ ( n )

]

( 5.3 )

Donde φ (1) es el primer modo de vibración, φ ( 2 ) el segundo modo de vibración, etc. En las coordenadas X el sistema de ecuaciones diferenciales está desacoplado, por esta razón se suele denominar a este sistema como coordenadas principales. En este nuevo sistema de coordenadas se tiene:

 + C ∗ X + K ∗ X = Q ∗ M∗ X

( 5.4 )

De la Dinámica de Estructuras, se conoce que:

M ∗ = Φt M Φ

C ∗ = Φt C Φ

K ∗ = Φt K Φ

Q∗ = Φt Q

( 5.5 )

En el capítulo 7 del libro: Dinámica de Estructuras con MATLAB, Aguiar (2007) se ∗ ∗ ∗ demuestra que las matrices M , C , K solo tienen valores en la diagonal y valen:

⎡η ⎢ M∗ = ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

η ...

⎡Wn1 ⎢ C∗ = 2ξ η⎢ ⎢ ⎢ ⎣⎢

⎤ ⎡1 ⎥ ⎢ ⎥ =η⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ η⎦ ⎣

1 ...

Wn 2 ...

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⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ Wnn ⎦⎥

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 1⎦

( 5.6 )

( 5.7 )

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⎡Wn21 ⎢ ⎢ ∗ K =η ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

Wn22 ...

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ Wnn2 ⎥⎦

139

( 5.8 )

φ (i ) t M φ (i ) = η

( 5.9 )

Donde W n1 , W n 2 , etc., son las frecuencias naturales de vibración de los modos 1, 2,

etc. ξ es el factor de amortiguamiento de la estructura, que se considera igual en todos los modos. Para estructuras de hormigón armado se considera ξ = 0.05 . El valor de η está definido en la ecuación ( 5.9 ) depende de la forma como se normalizan los modos.

El vector de cargas generalizadas Q para el análisis sísmico, vale: ..

Q = −M b U g Donde b para el análisis sísmico plano, es un vector unitario. En general b asocia los ..

grados de libertad de la estructura con el movimiento del suelo; U g es la aceleración del suelo, definida en el acelerograma. El vector Q ∗ es:

⎡φ (1) t ⎤ ⎢ ( 2) t ⎥ ⎢φ ⎥ ∗ Q = −⎢ M b U g ... ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣φ ( n ) t ⎥⎦

( 5.10 )

De tal manera que el sistema de ecuaciones diferenciales, en coordenadas principales resulta:

⎡η ⎢ η ⎢ ⎢ ... ⎢ ⎣

5.1.1

⎡ .. ⎤ x ⎤⎢ 1⎥ ⎥ ⎢ x.. ⎥ ⎥ ⎢ 2⎥ + 2ξ η ⎥ ⎢... ⎥ ⎥⎢ ⎥ η ⎦ ⎢ .. ⎥ ⎢ xn ⎥ ⎣ ⎦

⎡Wn1 ⎢ Wn 2 ⎢ ⎢ ... ⎢ ⎢⎣

⎡ . ⎤ x ⎡Wn21 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎤⎢ 1⎥ . ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎥ 2 Wn 2 ⎥ ⎢ x2 ⎥ ⎥ ⎢ x2 ⎥ + η ⎢ = − Q∗ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ... ⎢ ⎥ ... ... ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎥⎢ . ⎥ 2 ⎢ Wnn ⎥⎦ ⎢ ⎥ Wnn ⎥⎦ ⎣ x n ⎦ ⎣ ⎢ xn ⎥ ⎣ ⎦

Desplazamientos máximos modales La ecuación diferencial de la fila i, del sistema de ecuaciones diferenciales desacoplado

es:

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η xi + 2 ξ η W ni x i + η W ni2 x i = −φ ( i ) t M b U g Al dividir todo para η se tiene:

xi + 2 ξ W ni x i + W ni2 x i = −

φ ( i ) t M b  Ug η

Al reemplazar ( 5.9 ) en ésta última ecuación, se tiene: .

xi + 2 ξ Wni x i + Wni2 xi = −γ i U g

( 5.11 )

Donde γ i es el factor de participación del modo i.

γi =

φ (i )t M b φ (i ) M φ (i )

( 5.12 )

La expresión ( 5.11 ) corresponde a la ecuación diferencial de un sistema de un grado de libertad. Ahora bien si U g viene expresado por un espectro de diseño para un valor de amortiguamiento ξ . La máxima respuesta es:

⎛ T xi = γ i ⎜⎜ i ⎝ 2π

2

⎞ ⎟⎟ Adi ⎠

( 5.13 )

Donde Ti es el período de vibración del modo i; Adi es la aceleración espectral asociada al período Ti . De la ecuación ( 5.13 ) es importante destacar lo siguiente: ƒ

La definición de espectro está relacionada a un sistema de un grado de libertad. Por lo tanto el factor γ i permite pasar la respuesta en desplazamientos, de un sistema de un grado de libertad a un sistema de múltiples grados de libertad.

ƒ

Se ha utilizado la definición de seudo espectro para encontrar el desplazamiento espectral S di . 2

⎛T ⎞ S di ≈ = ⎜ i ⎟ Adi 2 Wni ⎝ 2π ⎠ Adi

Para tener la respuesta en las coordenadas q se utiliza la ecuación ( 5.2 ) con lo que se halla: 2

⎛T ⎞ q (i ) = γ i ⎜ i ⎟ Adi φ (i ) ⎝ 2π ⎠ 5.1.2

Fuerzas máximas modales Para encontrar las fuerzas en cada modo de vibración Q (i ) se tiene que:

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( 5.14 )

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Q (i ) = K q (i ) 2

⎛T ⎞ ⎛T ⎞ Q ( i ) = K γ i ⎜ i ⎟ Adi φ (i ) = γ i Adi ⎜ i ⎟ ⎝ 2π ⎠ ⎝ 2π ⎠

2

K φ (i )

Del problema de vibración libre sin amortiguamiento, se tiene:

(K − λ M )φ = 0 Pero λ

= Wn2

⎛ 2π = ⎜⎜ ⎝ Ti

⇒ K φ = λ Mφ

2

⎞ ⎟⎟ . ⎠

Luego:

Q ( i ) = γ i Adi M φ (i )

( 5.15 )

Si se realiza un análisis sísmico en coordenadas de piso, el vector Q es el vector que contiene las fuerzas y momentos en coordenadas de piso. En cambio si se realiza un análisis sísmico plano, el vector Q contiene las fuerzas laterales en cada uno de los pisos, que se nota también con la letra P . Es solo nomenclatura. Aguiar (2004)

5.2 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO La secuencia de cálculo para realizar un Análisis Sísmico Plano orientado al uso del espectro de diseño inelástico del CEC-2000, es como sigue: i.

Se determina la matriz de rigidez lateral del pórtico, trabajando con inercias agrietadas. El CEC-2000 considera que la inercia de la viga I V = 0.5 I g y que la inercia de la columna I C = 0.8 I g . Consecuentemente se espera daño en la estructura ante la acción del sismo estipulado en el CEC-2000 que viene expresado mediante un espectro de diseño inelástico. Se espera daño ya que este sismo tiene un período de retorno de 475 años y consecuentemente la probabilidad de ocurrencia es baja.

ii.

Se encuentra la matriz de masas. Para el caso plano la matriz es diagonal y vale:

⎡m1 ⎢ ⎢ ⎢ M=⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣⎢

m2 .... mi ...

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ m n ⎦⎥

( 5.16 )

Donde m i es la masa del piso i. Para encontrar la matriz de masas se trabaja con toda la carga muerta y un porcentaje de la carga viva. El porcentaje de la carga viva

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toma en cuenta la probabilidad de que se registre un sismo y en que porcentaje estará presente la carga viva. Para una vivienda u oficina se considera que ese porcentaje es del 25%. Para una biblioteca el porcentaje será mayor, lo propio para una bodega.

iii.

Con la matriz de rigidez y la matriz de masas, se determinan los valores propios λ i y los vectores propios, que son los modos de vibración φ (i ) . Donde i representa el modo. Se recuerda que el problema de valores y vectores propios está definido por:

(K − λ M )φ = 0 Para el caso plano, K es la matriz de rigidez lateral y como se indicó M es la matriz de masas. En Matlab se obtienen los valores y vectores propios con la instrucción eig. El formato de uso es el siguiente: >> [V,D] = eig (K, M) En V vienen los vectores propios y en la matriz diagonal de D, los valores propios. iv.

Con los valores propios se encuentran las frecuencias naturales de vibración W ni y los períodos de vibración Ti

Wni = λi v.

Ti =

2π Wni

( 5.17 )

Se encuentran los factores de participación modal γ i

γi =

φ (i ) t M b φ (i ) t M φ (i )

Para el análisis sísmico plano en que se considera un grado de libertad por piso, el vector b es unitario. vi.

Con cada período se ingresa al espectro de diseño inelástico y se obtiene la aceleración espectral Adi .

vii.

Se hallan las fuerzas laterales en cada modo de vibración.

P ( i ) = γ i Ad i M φ ( i ) viii.

( 5.18 )

Se encuentran los cortantes en cada piso V i y en cada modo de vibración, a partir de las fuerzas P ( i ) .

ix.

Se aplica un criterio de combinación modal en los cortantes y se halla la resultante de los cortantes. En el siguiente apartado se estudiará con cierto detenimiento estos criterios de combinación modal.

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x.

Una vez que se tienen los cortantes resultantes en cada piso se hallan las fuerzas estáticas máximas equivalentes debido al sismo, definido por el espectro de diseño inelástico. Estas fuerzas se denominan P

xi.

Se realizan los controles, que se indicarán posteriormente con detalle pero aquí se los indica cuales son: ƒ ƒ ƒ

Cortante Basal Mínimo. Efecto P − ∆ . Control de la deriva máxima.

5.3 CRITERIOS DE COMBINACIÓN MODAL En el Método de Superposición Modal, se hallan las respuestas en cada modo de vibración y para encontrar la respuesta resultante, se debe aplicar un criterio de combinación modal. En la literatura existen una gran cantidad de criterios entre los que se destacan los siguientes: •

Criterio del Máximo Valor Probable (SRSS)

Sea r un cierto valor de respuesta que se desea obtener, puede ser un desplazamiento, un momento, un corte, etc. El criterio del valor máximo probable, es: N

∑ (r )

r=

2

( 5.19 )

i

i =1

Donde N es el número de modos que se consideran en la respuesta, i es el modo de vibración. Por su sencillez es uno de los más utilizados. Es apropiado su uso cuando las frecuencias naturales de vibración se encuentran bastante separadas, más del 10%. Utilizar este criterio cuando no cumple esta condición puede llevar a subestimar la respuesta. Este criterio también es conocido por las siglas SRRS (Square Root Sum of Squares) •

Criterio de la doble suma

Este criterio se usa cuando las frecuencias naturales están bastante cercanas entre si.

r = 2

N

N

N

ri r j

∑ (r ) + ∑∑ 1 + ε 2

i

i =1

ε ij =

i =1 j =1

2 ij

( 5.20 )

1 − ξ Wni − Wnj ξ Wni + Wnj

Donde Wni , Wnj son las frecuencias de vibración de los modos i, j. ξ es el porcentaje de amortiguamiento para cada modo de vibración. Tal vez la parte más complicada del método

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144

es determinar los valores de ξ para cada modo. Una forma más refinada del criterio de la doble suma se tiene en función del tiempo de duración del sismo que se ha denominado s . En este caso, se tiene:

ε ij =

Wai − Waj

ξ Wai + ξ 'jWaj ' i

Wai = Wni 1 − ξ i2

( 5.21 )

2 ξ i' = ξ i + s Wni Este criterio considera la proximidad entre los valores de las frecuencias de los modos que contribuyen a la respuesta, la fracción del amortiguamiento y la duración del sismo. •

Criterio de la combinación cuadrática completa (CQC)

El criterio CQC (Complete Quadratic Combination), Chopra (2001), considera la posibilidad de acoplamiento entre los modos de vibración.

r2 =

N

N

∑∑ ρ

ij

ri r j

i =1 j =1

ρ ij = a=

8 ξ 2 (1 + a ) a 1.5

(1 − a )

2 2

+ 4ξ 2 a(1 + a )

2

( 5.22 )

Wnj Wni

ρ ij =

(1 − a )

2 2

(

)

8 ξ i ξ j ξ i + aξ j a 1.5

(

) (

)

+ 4ξ i ξ j a 1 + a 2 + 4 ξ i2 + ξ 2j a 2

Cuando las frecuencias están bastante separadas, el criterio de la combinación cuadrática completa, proporciona valores similares al criterio del máximo valor probable. •

Superposición directa

La superposición directa de los máximos modales proporciona un límite superior al valor máximo de la respuesta total. Por lo tanto aplicar este criterio es muy conservador.

r=

N

∑r

i

( 5.23 )

i =1

•

Propuesta de Alejandro Gómez

El criterio propuesto por Alejandro Gómez (2002) integra de alguna manera el criterio directo con el criterio del valor máximo probable, al margen de la cercanía o no de las frecuencias naturales. El criterio es el siguiente:

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r=

•

r12

⎛ N ⎞ + ⎜⎜ ri ⎟⎟ ⎝ i=2 ⎠

∑

145

2

( 5.24 )

Norma Técnica de Perú 2003

En la Norma Técnica de Perú de 2003 se combinan los resultados obtenidos, en cada uno de los modos de vibración, con la siguiente ecuación:

r = 0.25

N

∑

ri + 0.75

i =1

N

∑r

2

i

( 5.25 )

i =1

En la Normativa de Perú se reconoce que el criterio del valor máximo probable reporta valores bajos y que el criterio de superposición directa da valores muy altos por lo que lo más conveniente es combinar estos dos criterios en forma lineal con los coeficientes indicados en la ecuación ( 5.25 ). •

Norma Técnica de Guatemala (1996)

Es similar al de la Norma Técnica del Perú (2003) pero ahora la combinación es 50% del criterio de la suma directa y 50% del criterio del valor máximo probable. Santana (2008).

r = 0.50

N

∑

ri + 0.50

i =1

•

N

∑ ri2

( 5.26 )

i =1

Laboratorio de Investigación Naval (NRL)

El criterio NRL (Naval Research Laboratory) considera el valor absoluto del modo que más aporta a la repuesta y lo añade al criterio SRSS. (Iberisa, 2008) Normalmente el modo que más aporta es el primero de tal manera que puede escribirse de la siguiente manera:

r = r1 +

N

∑ (ri )2 − r 12

( 5.27 )

i =1

Se han presentado ocho criterios, seis de ellos son relativamente fáciles de evaluar y dos un poco más complejos, por que se debe indicar el valor de ξ . Ahora se debe recomendar que criterio utilizar, para el efecto se encontró la respuesta sísmica de estructuras de 1 a 6 pisos de hormigón armado, conformadas únicamente por vigas y columnas. Respuesta sísmica en términos del cortante basal, en las siguientes condiciones:

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¾

Cortante Basal mínimo en base a lo estipulado por el CEC-2000 para la zona sísmica de mayor peligrosidad ( 0.4 g ) y sobre un perfil de suelo S1. Se halló la respuesta para los cuatro perfiles de suelo del código pero en este capítulo solo se indican los resultados obtenidos para el perfil de suelo S1. En Campos (2006) están los restantes resultados.

¾

Análisis Lineal en el tiempo, para el efecto se generaron siete acelerogramas con diferentes duraciones que van desde los 20 segundos hasta los 50 segundos. Para cada caso se hallo la respuesta en el tiempo se encontró el cortante basal máximo y se dividió para el factor de reducción de las fuerzas sísmicas R que se utilizó en los otros métodos. Esta forma de cálculo del cortante basal es la exacta.

¾

Análisis modal espectral utilizando el espectro de diseño inelástico del CEC-2000, con inercias agrietadas y aplicando los siguientes criterios de combinación modal: o o o o

Valor máximo probable. Superposición Directa. Criterio de Gómez Norma Técnica de Perú 2003

Figura 5.1 Valores medios de las respuestas obtenidas del cortante basal en suelo S1.

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En la figura 5.1 se indican los valores medios de las respuestas obtenidas, de los cortantes básales, aplicando las diferentes maneras de cálculo. Del análisis de esta figura se concluye lo siguiente: ™ El criterio empleado por la Norma Técnica de Perú es la que más se aproxima a la respuesta elástica paso a paso dividida para el factor de reducción de las fuerzas sísmicas. Por lo tanto se recomienda el Criterio de la Norma Técnica de Perú de 2003 a ser utilizado para la combinación modal. ™ Los valores de cortante basal que se hallan aplicando la fórmula del CEC-2000 son los mayores valores obtenidos, en relación a los otros métodos. ™ El criterio del máximo valor probable reporta valores muy bajos al igual que el Criterio de Gómez (2002). ™ El criterio de superposición directa da valores altos pero menores a los que se hallan con el cortante basal mínimo. En todos los casos se realizó un análisis sísmico plano. Por otro lado, Aguiar et al (2006) realizaron algo similar pero con un modelo de tres grados de libertad por planta y se llegó a resultados parecidos.

•

EJEMPLO 1

Realizar un análisis modal plano, para el pórtico en sentido X, que tiene dos vanos, de la estructura de dos pisos, cuya distribución en planta es la indicada en la figura 5.2. La altura de cada entrepiso es de 3.0 m. Las cargas verticales que gravitan son de 500 kg/m2 para la carga muerta y 200 kg/m2 para la carga viva, es una construcción destinada a vivienda.

Figura 5.2 Distribución en planta de estructura de dos pisos.

La estructura se halla ubicada en la ciudad de Portoviejo sobre un perfil de suelo S2, de acuerdo al CEC-2000. El factor de reducción de las fuerzas sísmicas es igual a 6. La matriz de rigidez lateral considerando inercias agrietadas, que se obtiene con el programa RLAXINFI, es la siguiente.

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⎡1243.5 KL = ⎢ ⎣− 492.6

− 492.6⎤ 317.9 ⎥⎦

Para encontrar la matriz de rigidez lateral se trabajó con un módulo de elasticidad igual a E = 1738965.21 T / m 2 que se halla reemplazando f c' = 210 Kg / cm 2 en E = 12000 f c' (kg/cm2).

•

SOLUCIÓN De la figura 5.3 se obtiene que el área cooperante para la carga vertical, vale:

A = 9 ∗ 2 = 18 m 2 Como es vivienda el aporte de la carga viva a la matriz de masas es del 25%. Con esta acotación en la tabla 5.1 se indican el valor de las cargas totales en el pórtico debido a la carga muerta y a la carga viva, orientadas al uso del programa MODALPLANONEW, que se indicará posteriormente.

Figura 5.3 Repartición de cargas verticales al pórtico en sentido X.

Piso 1 2

Tabla 5.1 Valores de la carga muerta, viva y altura desde la base al piso Carga Muerta Total Carga Viva Total Altura 3.00 W D = 0.5 * 18 = 9 T . W L = 0.25 * 0.2 * 18 = 0.9 T .

W D = 0.5 * 18 = 9 T .

W L = 0.25 * 0.2 * 18 = 0.9 T .

La masa del piso 1 es igual a la masa del piso 2 y tiene un valor de:

m1 = m 2 =

⎡m M =⎢ 1 ⎣0

T s2 9 + 0. 9 = 1.0102 9 .8 m

0 ⎤ ⎡1.0102 ⎥= m 2 ⎦ ⎢⎣ 0.0

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⎤ 1.0102⎥⎦ 0.0

6.00

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Con la matriz de rigidez y con la matriz de masas, se hallan los valores propios y los modos de vibración. Estos son:

λ1 = 103.8

λ 2 = 1441 .9

⎡ − 0.3950 ⎤ ⎥ ⎣ − 0.9132 ⎦

φ ( 2) = ⎢

⎡ − 0.9132⎤ ⎥ ⎣0.3950 ⎦

φ (1) = ⎢

Algunos programas de cálculo de valores y vectores propios, reportan los valores propios sin ordenarlos de menor a mayor. Para el análisis sísmico es fundamental que los valores propios se encuentren ordenados de menor a mayor.

λ1 ≤ λ 2 ≤ λ 3 ......... ≤ λ n Con los valores propios se hallan las propiedades dinámicas de la estructura, que son las frecuencias naturales Wn y los períodos de vibración T .

Wni = λi Wn1 = 103.8 = 10.188

1 s

Ti =

2π Wni

T1 =

2π = 0.6168 s. 10.188

Wn 2 = 1441.9 = 37.9723

T2 =

1 s

2π = 0.1655 s. 37.9723

Al período T1 se le conoce con el nombre de período fundamental, debido a que el primer modo tiene una gran influencia en la respuesta sísmica. Son los primeros modos de vibración los que más aportan a la respuesta de ahí que las normativas sísmicas establecen un número mínimo de modos a considerar en la respuesta pero es conveniente calcularlos con todos especialmente cuando se realiza un análisis sísmico plano y no se tienen muchos grados de libertad. Los períodos de vibración obtenidos son bastante altos debido a que la matriz de rigidez se obtuvo con inercias agrietadas. Una vez hallados los modos de vibración se procede al cálculo de los factores de participación modal γ

γi =

φ (i )t M b φ (i )t M φ (i )

Para el ejemplo el vector b tiene dos unos.

γ1 =

φ

0 ⎤ ⎡1⎤ ⎡1.0102 − 0.9132] ⎢ 1.0102⎥⎦ ⎢⎣1⎥⎦ M b − 1.3215 ⎣0 = = −1.3215 = (1) 0 ⎤ ⎡− 0.395 ⎤ 1 ⎡1.0102 M φ [− 0.395 − 0.9132] ⎢ 1.0102⎥⎦ ⎢⎣− 0.9132⎥⎦ ⎣0

(1) t

φ (1) t

[− 0.395

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150

γ2 =

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φ ( 2) t M φ

( 2) t

M

b

φ

( 2)

[− 0.9132 =

[− 0.9132

0 ⎤ ⎡1⎤ ⎡1.0102 0.3950] ⎢ 1.0102⎥⎦ ⎢⎣1⎥⎦ ⎣0

0 ⎤ ⎡− 0.9132⎤ ⎡1.0102 0.3950] ⎢ 1.0102⎥⎦ ⎢⎣0.3950 ⎥⎦ ⎣0

=

− 0.5235 = −0.5235 1

Pero el factor de participación modal se considera en valor absoluto. Luego

γ 1 = 1.3215

γ 2 = 0.5235

Los factores de participación son adimensionales y lo que indican es que tanto participa el modo en la respuesta. De igual manera, los factores de participación no son únicos, dependen del valor de los modos de vibración, lo que si es único son las fuerzas laterales que se tienen en cada modo de vibración. Con cada período de vibración se ingresa al espectro inelástico del CEC-2000 y se determina la aceleración espectral Adi . En el ejemplo el primer período cae en la curva descendente y el segundo en la plataforma horizontal del espectro. Luego se tiene:

Ad 1 =

1.25 α A0 S S 1.25 ∗ 1 ∗ 0.4 ∗ 9.8 ∗ 1.21.2 m = = 1.6478 2 0.6168 ∗ 6 T ∗ R φ p φe s Ad 2 =

α β A0 1 * 3 * 0.4 * 9.8 m = = 1.96 2 R φ p φe 6 s

En el capítulo 2 se presentó los resultados del proyecto de investigación realizado en el CEINCI-ESPE sobre el factor de reducción de las fuerzas sísmicas y se estableció que para un perfil de suelo S2, el valor de R = 6 y que la deriva de piso máxima inelástica es γ = 1.5% . La estructura es regular en planta y elevación luego φ p = φ e = 1 . Si no fueran regulares en planta o elevación no se podría realizar un análisis modal plano. El valor de A0 para la ciudad de Portoviejo es 0.4 g = 0.4 ∗ 9.8 . Por otra parte, el coeficiente de importancia es α = 1 y el valor de β para suelo tipo S2 vale 3 y el coeficiente S vale 1.2 Ahora se calculan las fuerzas laterales, en cada modo de vibración.

P (i ) = γ i Adi M φ (i ) 0 ⎤ ⎡− 0.3950⎤ ⎡− 0.8689⎤ ⎡1.0102 ∗ = P (1) = 1.3215 * 1.6478 * ⎢ 1.0102⎥⎦ ⎢⎣− 0.9132⎥⎦ ⎢⎣− 2.0088⎥⎦ ⎣ 0 0 ⎤ ⎡− 0.9132⎤ ⎡− 0.9465⎤ ⎡1.0102 ∗ = P ( 2) = 0.5235 * 1.9600 * ⎢ 1.0102⎥⎦ ⎢⎣0.3950 ⎥⎦ ⎢⎣0.4094 ⎥⎦ ⎣ 0

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En la figura 5.4 se presentan las fuerzas laterales, en cada piso y los cortantes asociados. Para cada modo de vibración, a la izquierda se tiene para el primer modo y a la derecha para el segundo modo de vibración.

Figura 5.4 Fuerzas laterales y cortantes en cada modo de vibración. Se aplica el criterio de combinación modal de la Norma de Perú de 2003.

V = 0.25

N

∑V i =1

i

+ 0.75

N

∑V

2

i

i =1

V1 = 0.25[2.8778 + 0.5370] + 0.75 2.8778 2 + 0.5370 2 = 3.0493 T . V2 = 0.25[2.0088 + 0.4094] + 0.75 2.0088 2 + 0.4094 2 = 2.1422 T . A partir de los cortantes obtenidos, luego de aplicar el criterio de combinación modal, se determinan las fuerzas estáticas por un procedimiento inverso. En la figura 5.5 se indican los resultados encontrados.

Figura 5.5 Fuerzas estáticas equivalentes obtenidas del análisis modal plano. El cortante basal hallado del método modal plano es:

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152

V0 = 3.0493 T . Ahora se debe realizar los siguientes controles, los mismos que se explican en el siguiente apartado. • • •

Cortante Basal Mínimo. Control de la Deriva de los Pórticos. Control del efecto P − ∆ .

5.4 CONTROL DEL CORTANTE BASAL MÍNIMO El primer control que se realiza es el del cortante basal mínimo pero calculando con el período fundamental que se ha encontrado de la solución del problema de valores y vectores propios.

Vmin =

ZIC 0.4 ∗ 1 ∗ 2.5222 W= ∗ 18 = 3.0266 T . R φ p φe 6 ∗1∗1

C=

1.25 S S 1.25 ∗ 1.21.2 = = 2.5222 T 0.6168

El cortante basal mínimo es menor que el cortante basal obtenido del análisis modal. Luego no se debe encontrar ningún factor para mayorar las fuerzas laterales y se prosigue con el análisis En la figura 5.6 se muestran las fuerzas estáticas, que son las indicadas en la figura 5.5 pero ahora se coloca también la geometría de la estructura.

Figura 5.6 Fuerzas estáticas corregidas por cortante basal mínimo.

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5.5 CONTROL DE LA DERIVA DE LOS PÓRTICOS El método de superposición modal proporciona resultados satisfactorios en el rango elástico pero para el rango inelástico en el que va a trabajar la estructura, ante el sismo raro que tiene un período de retorno de 475 años, los resultados son aproximados. Los desplazamientos inelásticos de acuerdo al CEC-2000 se hallan con la siguiente ecuación:

(

)

q ine = R φ p φ e q

( 5.26 )

Las variables no indicadas, son: q ine vector que contiene los desplazamientos inelásticos de la estructura y q es el vector que contiene los desplazamientos elásticos, los mismos que se obtienen de la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales.

K q=Q

( 5.27 )

Donde K es la matriz de rigidez lateral calculada con inercias gruesas y Q es el vector de cargas generalizado, constituido por las fuerzas laterales que actúan en el pórtico. En la tabla 5.2 se indica la forma como se obtienen los desplazamientos inelásticos a partir de los desplazamientos elásticos en las normativas sísmicas de: Venezuela, Colombia, Ecuador y Perú. Todas estas fórmulas son aproximadas y esto es una debilidad del Método de Superposición Modal, para el rango inelástico se debe encontrar la respuesta mediante un Análisis no Lineal pero esto es complicado, razón por la cual se está trabajando en métodos que no sean tan sencillos como el Método de Superposición Modal ni tan complicados como el Análisis no Lineal uno de éstos Métodos es el del Espectro de Capacidad.

Tabla 5.2 Cálculo de los desplazamientos inelásticos en otras normativas sísmicas. PAIS NORMA DESPLAZAMIENTO INELÁSTICO Venezuela COVENIN 1756-98 qine = 0.8 R φ p φ e q

(

)

(

)

(

)

Colombia

NSR-98

q ine = R φ p φ e q

Ecuador

CEC-2000

q ine = R φ p φ e q

E.030

qine = 0.75 R φ p φ e q

Perú

(

)

Una vez que se tienen los desplazamientos elásticos, se hallan los inelásticos empleando la ecuación ( 5.26 ) y finalmente las distorsiones de piso γ i . Antes de proseguir se debe destacar que en páginas anteriores con la letra γ se definió al factor de participación modal y ahora la misma letra se utiliza para identificar a la distorsión de piso. La distorsión de piso se halla dividiendo el desplazamiento relativo de piso, inelástico para la altura de piso hi .

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γi =

q ine (i ) − q ine (i −1) hi

( 5.28 )

En cada piso se debe verificar que la deriva de piso sea menor o igual a 1.5%. Por el valor de R = 6 que se consideró en el análisis sísmico. Para la estructura de dos pisos que se ha venido resolviendo la matriz de rigidez, obtenida con inercias gruesas es la siguiente:

⎡1651.0 K =⎢ ⎣− 684.8

− 684.8⎤ 480.6 ⎥⎦

De la figura 5.6 se aprecia que el vector de cargas generalizadas, vale:

⎡0.9071 ⎤ Q=⎢ ⎥ ⎣2.1422 ⎦ Luego el sistema de ecuaciones lineales a resolver, es:

− 684.8⎤ 480.6 ⎥⎦

⎡1651.0 ⎢− 684.8 ⎣

⎡q1 ⎤ ⎡0.9071⎤ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎣q 2 ⎦ ⎣2.1422⎦

La solución del sistema de ecuaciones, reporta los desplazamientos elásticos.

⎡0.0059 m.⎤ q=⎢ ⎥ ⎣0.0128 m.⎦ Los desplazamientos inelásticos se hallan multiplicando los desplazamientos elásticos por el factor R φ p φ e = 6 , de acuerdo al CEC-2000.

⎡0.0352 ⎤ q ine = ⎢ ⎥ ⎣0.0769 ⎦ Finalmente las derivas de piso, resultan:

0.0769 − 0.0352 = 0.0139 3.00 0.0352 γ1 = = 0.0117 3.00

γ2 =

La deriva de piso máxima es γ = 1.39% . Se aprecia que los valores son menores a 1.5%.

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5.6 CONTROL DEL EFECTO P − ∆ Cuando se tienen desplazamientos laterales significativos, el peso propio tiende a voltearla, de tal manera que en la estructura deformada, por la acción sísmica, actúan cargas adicionales los mismos que son tomados en cuenta cuando se analiza con teoría de segundo orden, en el próximo capítulo se estudiará con detenimiento este efecto P − ∆ . Por ahora nos limitamos a ver como se efectúa este control por medio del índice de estabilidad de piso θ i .

Pi δ ei Vi hi

θi =

( 5.29 )

Donde Pi es la carga vertical que gravita desde el piso i hasta el tope, se calcula en función de la carga muerta D más el porcentaje de la carga viva L; Vi es el cortante de piso;

δ ei es la deriva de piso calculada con los desplazamientos elásticos q , y hi es la altura de entrepiso. Se destaca que δ ei / hi es la deriva de piso elástica. El CEC-2000 al igual que la norma NSR-98 de Colombia, establecen que si θ i ≤ 0.10

la estructura no tiene problemas de efecto P − ∆ y se prosigue con el cálculo pero si θ i ≥ 0.30 la estructura debe ser reforzada a menos que se demuestre mediante un análisis de segundo orden que la estructura sigue siendo estable. Finalmente si 0.10 < θ i < 0.30 tanto las derivas de piso como las fuerzas estáticas se multiplicarán por.

f P−∆ =

1 1 − θi

( 5.30 )

El control del CEC-2000 fue considerado en el programa MODALPLANONEW. La normativa sísmica de Venezuela, COVENIN 1756-98 (Rev. 2001) es más exigente en el control del efecto P − ∆ . Establece que si θ i < 0.08 la estructura no tiene problemas de efecto P − ∆ pero si θ i > θ max la estructura debe ser reforzada ya que tendrá problemas por el efecto de segundo orden.

θ max =

0.5 ≤ 0.25 R

( 5.31 )

Con relación a la estructura de dos pisos que se está analizando en la tabla 5.3 se presenta el control del efecto P − ∆ . La deriva de piso elástica se encuentra dividiendo la deriva de piso inelástica para el factor R de acuerdo al CEC-2000.

Piso

1 2

Tabla 5.3 Fuerza Horizontal ( T. ) 0.9071 2.1422

Cálculo del índice de estabilidad de piso.

Cortante ( T. ) 3.0493 2.1422

Peso desde piso al tope ( T. ) 19.80 9.9

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Deriva de piso elástica

θi

0.00195 0.00231

0.01265 0.0107

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5.7 PROGRAMA MODALPLANONEW El programa MODALPLANONEW realiza el análisis sísmico de un pórtico plano por el Método de Superposición Modal considerando el espectro inelástico del CEC-2000 pero con los factores de reducción de las fuerzas sísmicas indicados en el capítulo 2, para los cuatro tipos de suelo. Antes de utilizar el programa MODALPLANONEW se debe encontrar la matriz de rigidez lateral del pórtico de dos formas: la primera considerando inercias agrietadas y la segunda con inercias gruesas. Cuando se ejecuta el programa RLAXINFI se crea en consola una matriz que tiene por nombre KL, el usuario debe cambiar este nombre para especificar si es con inercia agrietada o con inercia gruesa. Algunos detalles del programa se indican a continuación: 9

El factor de reducción de las fuerzas sísmicas es igual a 6 para perfiles de suelo S1, S2 y S3. Para un perfil de suelo S4 el factor R = 5 .

9

Asociados con los factores R indicados la deriva máxima de piso debe ser igual a 1.5%.

9

El estado de cargas S., que se obtiene no se debe mayorar en las combinaciones de carga.

9

Si la estructura es irregular en planta o elevación no se debe realizar un análisis sísmico plano, si no un análisis sísmico espacial aunque sea con un modelo de dos grado de libertad por planta, en el que se incluya la torsión accidental pero si se utiliza el programa MODALPLANONEW se penaliza las irregularidades en planta o elevación con factores φ p = 0.8 o φ e = 0.8 .

9

El análisis sísmico se realiza con inercias agrietadas de acuerdo al CEC-2000 que considera para las vigas I V = 0.5 ∗ I g ; para las columnas I C = 0.8 ∗ I g .

9

El período con el cual se halla el cortante basal mínimo es el período asociado al primer modo de vibración que se encuentra de la solución del problema de valores y vectores propios.

9

Se utiliza el criterio de combinación modal de la Norma Técnica de Perú de 2003 que se indica nuevamente a continuación:

V = 0.25

N

∑ i =1

Vi + 0.75

N

∑V

2 i

i =1

9

Con inercias agrietadas se hallan las fuerzas estáticas máximas en cada uno de los pisos. Posteriormente para el control de la deriva de los pórticos se calcula en base a inercias gruesas.

9

El control del efecto P − ∆ se realiza de acuerdo al CEC-2000. Se destaca que se obtiene con desplazamientos laterales elásticos.

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ROBERTO AGUIAR FALCONI CEINCI-ESPE function [V]=modalplanonew(alt,pesoD,pesoL,KL,KLG) % % Analisis Modal plano empleando el Espectro Inelastico del CEC-2000 % El factor de reduccion de las fuerzas sismicas corresponde al encontrado % en la investigacion realizada en el CEINCI-ESPE en 2007. % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE % Diciembre de 2007 %----------------------------------------------------------------------% [V]=modalplanonew(alt,pesoD,pesoL,KL,KLG) %----------------------------------------------------------------------% Ru Factor de reduccion por ductilidad Rs Factor de resistencia % Rr Factor de redundancia R Factor de reduccion % H Altura total de edificio Z Factor de Zona % alt Vector que contine las alturas a cada piso medido desde la base. % pesoD Vector que contiene la carga muerta D de cada piso. % pesoL Vector que contiene el porcentaje de carga viva L de cada piso. % KL Matriz de rigidez lateral del portico con inercias agrietadas. % KLG Matriz de rigidez lateral del portico con inercias gruesas. % PESO Peso total Reactivo. V Cortante Basal % NP=length(alt);H=alt(NP); for i=1:NP-1; j=NP-i+1; alt(j)=alt(j)-alt(j-1);end %Matriz de masas for i=1:NP; masaD(i)=pesoD(i)/9.8; masaL(i)=pesoL(i)/9.8; mas(i)=masaD(i)+masaL(i);end masa=zeros(NP,NP);for i=1:NP; masa(i,i)=mas(i);end PESO=0;for i=1:NP; PESO=PESO+pesoD(i);end; fprintf ('\n Codigos para zonas sismicas: 0.15g=1 0.25g=2 0.30g=3 04g=4'); ic=input ('\n Ingrese el codigo de la zona sismica :'); if ic==1; Ao=0.15*9.8;Z=0.15;elseif ic==2;Ao=0.25*9.8;Z=0.25; elseif ic==3;Ao=0.30*9.8;Z=0.30;else;Ao=0.40*9.8;Z=0.4;end fprintf ('\n Codigos para perfiles de suelo: S1=1 S2=2 S3=3 S4=4'); is=input('\n Indique el codigo del tipo de suelo :'); if is==1 T1=0.50;T2=2.50;beta=2.5;S=1;R=6; elseif is==2 T1=0.52;T2=3.11;beta=3.0;S=1.2;R=6; elseif is==3 T1=0.82;T2=4.59;beta=2.8;S=1.5;R=6; else T1=2.0;T2=10;beta=2.5;S=2;R=5; end I=input('\n Indique el factor de importancia :'); % Periodos de vibracion y periodo fundamental [V,D]=eig(KL,masa);W=sqrt(diag(D)); % Se ordenan las frecuencias y los modos de vibracion de menor a mayor [Wn,II]=sort(W); for i=1:NP; fi(:,i)=V(:,II(i)); T(i)=2*pi/Wn(i);end;Tf=T(1); rp=input('Estructura es regular en planta; si(s) o no(n):','s'); if rp=='s';fip=1;else;fip=0.8;end % Se penaliza por hacer una analisis plano re=input('Estructura es regular en elevacion; si(s) o no(n):','s'); if rp=='s';fie=1;else;fie=0.8;end % Se penaliza por hacer una analisis plano %Coeficiente C C=(1.25*S^S)/Tf; if C >=beta; C=beta; end;if C V; factor1=Vmin/V; F1=factor1*F; else F1=F; end; %Control de la deriva de los porticos q=KLG\F1; qine=R*q; F=F'; for i=1:NP j=NP+1-i; if j==1 drift(j)=qine(j)/alt(j); else drift(j)=(qine(j)-qine(j-1))/alt(j); end end gamamax=max(drift)*100;

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fprintf ('\n Modos de vibracion');fi fprintf ('\n Periodos de vibracion');T fprintf ('\n Factores de participacion');gama fprintf ('\n Aceleraciones espectrales');Ad fprintf ('\n Valor de reduccion de las fuerzas sismicas R'); R fprintf ('\n Cortante Basal Minimo ');Vmin fprintf ('\n Fuerzas laterales en los porticos sin controles');F' fprintf ('\n Desplazamientos laterales inelasticos');qine fprintf ('\n Derivas de piso'); drift' fprintf ('\n Deriva maxima de piso en porcentaje, sin control de P-Delta');gamamax %Control de efecto P-Delta for i=1:NP j=NP-i+1; if j==NP Peso(j)=masa(j,j)*9.8;Corte(j)=F1(j); else Peso(j)=masa(j,j)*9.8+Peso(j+1);Corte(j)=F1(j)+F1(j+1); end theta(j)=(Peso(j)/Corte(j))*(drift(j)/R); if theta(j)>=0.30 fprintf ('\n Estructura debe ser reforzada'); elseif theta(j)>=0.10 & theta(j)=0.30 fprintf ('\n Estructura debe ser reforzada'); elseif theta(j)>=0.10 & theta(j)> T . El proyectista estructural determina las dimensiones de los aisladores para que la estructura tenga el período Ta , llamado también período objetivo. En la figura 9.6 se presentan los espectros de respuesta elásticos de los sismos de: México 1985, Chile 1985 y El Centro 1940. También se ha colocado los períodos fundamentales de tres estructuras de tres, seis y nueve pisos, sin aisladores de base, construidos con base empotrada. Ahora bien, si se considera como período objetivo Ta = 2 s. , y para este período se diseñan los aisladores, las tres estructuras ante los sismos de El Centro y de Chile tendrán menores respuestas sísmicas ya que las ordenadas espectrales son más bajas. En cambio para el sismo de México es preferible no colocar aisladores en la base ya que se van a incrementar la respuesta sísmica. Esto debe llamar la atención ya que no siempre son beneficiosas las estructuras con aislación sísmica. Es fundamental conocer las formas de los espectros para tomar decisiones.

Figura 9.6 Espectros de respuesta elásticos de los sismos de México 1985, Chile 1985 y Centro 1940.

2) Con los aisladores de base se proporciona mayor amortiguamiento a la estructura. Consecuentemente las ordenadas espectrales van a ser menores y por ende la respuesta de la estructura es menor.

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9.3 MARCO TEÓRICO En la figura 9.7, se indica el modelo numérico de cálculo, que considera tres grados de libertad por planta, medidos en el Centro de Masa C.M., de cada planta, estos son dos desplazamientos horizontales y una rotación de piso con respecto a un eje perpendicular a la losa. Es importante notar que los grados de libertad se agrupan en dos vectores que son: q , para los grados de libertad del sistema de aislamiento y u para los grados de libertad de la superestructura.

Figura 9.7 Modelo de tres grados de libertad por planta

⎡q ( x ) ⎤ ⎢ ⎥ q = ⎢q ( y ) ⎥ ⎢q (θ ) ⎥ ⎣ ⎦ Donde q en sentido X; q

⎡u ( x ) ⎤ ⎢ ⎥ u = ⎢u ( y ) ⎥ ⎢u (θ ) ⎥ ⎣ ⎦ ( x)

( y)

u ( x)

⎡u1( x ) ⎤ ⎢ ( x) ⎥ u = ⎢⎢ 2 ⎥⎥ " ⎢ ⎥ ⎢⎣u n( x ) ⎥⎦

u ( y)

⎡u1( y ) ⎤ ⎢ ( y) ⎥ u = ⎢⎢ 2 ⎥⎥ " ⎢ ⎥ ⎢⎣u n( y ) ⎥⎦

u (θ )

⎡u1(θ ) ⎤ ⎢ (θ ) ⎥ u = ⎢⎢ 2 ⎥⎥ " ⎢ ⎥ ⎢⎣u n(θ ) ⎥⎦

es la componente de desplazamiento horizontal del sistema de aislamiento

es similar a q

( x)

pero en sentido Y; q ( x)

( y)

(θ )

(θ )

es la rotación de piso con respecto

a un plano perpendicular a la losa. u , u , u , son vectores que contienen a los desplazamientos horizontales en sentido X de cada uno de los pisos de la superestructura;

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desplazamientos horizontales en sentido Y; rotaciones con respecto a un eje perpendicular a la losa, respectivamente. El sistema de ecuaciones diferenciales, está definido por las siguientes ecuaciones, para el sistema de aislamiento y la superestructura, respectivamente. t

g − r ( s ) M ( s ) u  M ( t ) q + C ( b ) q + K ( b ) q = − M ( t ) r ( b ) u

[

 + C ( s ) u + K ( s ) u = − M ( s ) r ( s ) q + r ( b ) u g M (s) u Donde M

C

(b )

(t )

( 9.1 )

]

( 9.2 )

es la matriz de masa total de la estructura completa como cuerpo rígido;

es la matriz de amortiguamiento del sistema de aislamiento; K

del sistema de aislamiento; r

(b )

(b )

es la matriz de rigidez

g en los grados de libertad de es un vector de colocación de u

g es la aceleración del suelo, definida por su acelerograma; M la base; u

( s)

, C

(s)

K ( s) ,

y

(s)

son las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez de la superestructura; r es la matriz de   g en los grados de libertad de la estructura; u es la aceleración en la colocación de u superestructura. Al despejar de la ecuación (9.1), el vector de aceleraciones del sistema de aislamiento

q , se tiene:

g − M ( t ) q = −r ( b ) u

−1

[C

(b)

]

t

 q + K ( b ) q + r ( s ) M ( s ) u

 en ecuación (9.2) se encuentra, luego de simplificar Al sustituir q

g , el siguiente r (b) u

sistema de ecuaciones diferenciales.

 + C ( s ) u + K ( s ) u = M ( s ) r ( s ) M ( t ) M ( s) u

−1

(C

(b)

)

t

 ( 9.3 ) q + K ( b ) q + r ( s ) M ( s ) u

Kulkarni y Jangrid (2002) analizan e interpretan la interacción entre el sistema de aislamiento y la superestructura y concluyen que la flexibilidad de la estructura no influye mayormente en la respuesta del sistema de aislamiento especialmente cuando el período de vibración de la superestructura con base empotrada es menor a 1.0 s.; en este caso, se puede ignorar el término r se considera

( s) t

 de la ecuación ( 9.1). Nótese que únicamente en ésta ecuación M (s) u

 = 0 . En efecto al desarrollar la ecuación (9.3) se tiene: u

 + C ( s ) u + K ( s ) u = M ( s ) r ( s ) M ( t ) M (s) u −1

−1

(C

(b)

)

−1

t

 − M ( s ) r ( s ) M ( t ) r ( s ) M ( s ) u  + C ( s ) u + K ( s ) u = M ( s ) r ( s ) M ( t ) M (s) u ⎛⎜ M ( s ) − M ( s ) r ( s ) M ⎝

( t ) −1 ( s ) t

r

t

 q + K ( b ) q + M ( s ) r ( s ) M ( t ) r ( s ) M ( s ) u

 + C ( s ) u + K ( s ) u = M ( s ) r ( s ) M M ( s ) ⎞⎟ u ⎠

~ ( s)

Se denomina Matriz de Masa corregida M

−1

( t ) −1

(C (C

) q)

(b)

q + K ( b ) q

(b)

q + K ( b )

, a:

t −1 ~ M ( s) = M (s) − M ( s) r ( s) M (t ) r ( s) M ( s)

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( 9.4 )

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254

Luego, el sistema de ecuaciones diferenciales para la superestructura, queda:

~  + C ( s ) u + K ( s ) u = M ( s ) r ( s ) a~ (q, q ) M (s) u −1 a~ (q, q ) = M ( t ) C ( b ) q + K ( b ) q

(

)

( 9.5 )

( 9.6 )

~ (q, q ) es el vector de aceleración de la superestructura. Donde a

9.4 MÉTODO CUASI-ESTÁTICO En el Método Cuasi-Estático, De la Llera et al (2005), la respuesta de sistema de aislamiento se obtiene en forma dinámica con la ecuación (9.7) en que no se toma en cuenta  . Se recomienda utilizar el Procedimiento de Espacio la aceleración de la superestructura u de Estado, PEE, para encontrar la respuesta q y q .

g M ( t ) q + C ( b ) q + K ( b ) q = − M ( t ) r ( b ) u

( 9.7 )

Por otra parte, la respuesta de la superestructura se halla en forma estática mediante las ecuaciones (9.8) y (9.9)

K ( s ) u = F ( s ) (q, q )

( 9.8 )

F ( s ) (q, q ) = M ( s ) r ( s ) a~ (q, q )

( 9.9 )

La ecuación (9.8) es la ecuación básica de equilibrio de estructuras estáticas pero aquí se debe calcular en cada incremento de tiempo, F (q, q ) que son las fuerzas que actúan en la superestructura en cada piso y en cada instante de tiempo de duración del sismo. (s)

En estos métodos se considera que la masa de la superestructura está rígidamente vinculada al aislamiento, por este motivo se calcula M superestructura más la masa del aislamiento.

(b )

como la suma de la masa de la

9.4.1 Procedimiento de análisis El procedimiento de análisis sísmico empleando el Método Cuasi-Estático, se resume en los siguientes pasos: 1. Se encuentra la respuesta en el tiempo del sistema de aisladores q , resolviendo el sistema de ecuaciones diferenciales descrito en ( 9.1 ), que se repite a continuación.

g M ( t ) q + C ( b ) q + K ( b ) q = − M ( t ) r ( b ) u 2. Se halla el vector de aceleración total de la estructura completa como cuerpo rígido

a~(q, q )

(

−1 a~ (q, q ) = M ( t ) C ( b ) q + K ( b ) q

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)

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ROBERTO AGUIAR FALCONI CEINCI-ESPE 3. Se encuentran las fuerzas laterales en cada piso F

255

(s)

F ( s ) = M ( s ) r ( s ) a~ (q, q ) ( s)

Donde M es la matriz de masa de la superestructura; r g en los grados de libertad de la estructura. colocación de u

(s)

es la matriz de

4. Se obtienen los desplazamientos laterales y giros en el centro de masas de cada piso, resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones lineales.

K (s) u = F (s) Siendo K

( s)

la matriz de rigidez de la superestructura.

5. Se hallan los desplazamientos laterales en cada pórtico p

( j)

.

p ( j) = A( j) u Donde A

( j)

laterales p

( j)

es la matriz de compatibilidad de deformaciones entre las coordenadas y las coordenadas del centro de masa

Las matrices A

A

α

( j)

( 9.10 )

( j)

, K

( s)

, M

( s)

u . La j representa el pórtico j.

, para la superestructura son las siguientes.

Senα r1 ⎡Cosα ⎢ ...... ....... =⎢ ⎢⎣ Cosα Senα

⎤ ...... ⎥⎥ rn ⎥⎦

( 9.11 )

j con el eje de las X. r1 es la distancia del centro de masas al pórtico j en el primer piso, rn es similar a r1 pero en Donde

es el ángulo que forma la dirección positiva del pórtico ( j)

el último piso. La matriz A tiene NP filas y 3 por pórticos de la estructura. Para el ejemplo se tiene:

NP

K (s) = ∑ A( j) j =1

t

NP columnas. Siendo NP el número de

K L( j )

A( j)

( j)

Siendo K L la matriz de rigidez lateral del pórtico de la siguiente manera.

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( 9.12 )

j . También se puede obtener K ( s )

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K (s)

⎡ NP 2 ( j) ⎢∑ Cosα K L ⎢ j =1 ⎢ NP = ⎢∑ Senα Cosα K L( j ) ⎢ j =1 ⎢ NP ⎢∑ Cosα K L( j ) r ( j ) ⎢⎣ i =1

r

( j)

( j)

⎤ r ( j) ⎥ j =1 ⎥ NP ⎥ ( j) ( j) Sen α K r ⎥ ∑ L j =1 ⎥ NP ⎥ ( j) ( j) 2 ⎥ K r ∑ L ⎥⎦ i =1

NP

∑ Senα Cosα K j =1

NP

∑ Cosα K

( j) L

NP

∑ Senα

2

j =1

K L( j )

( )

NP

∑ Senα K i =1

⎡r1 ⎢ ⎢ =⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣

( j) L

r ( j)

" ri "

( j) L

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ rn ⎥⎦

( 9.13)

NP por NP conformada por las distancias ( s) desde el centro de masa al pórtico, con su respectivo signo. La matriz de masa M es: Siendo r

una matriz diagonal de orden

M ( s)

m (s)

J (s)

⎡m ( s ) ⎢ =⎢ ⎢ ⎣

⎡m1 ⎢ ⎢ ⎢ =⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣⎢ ⎡ J1 ⎢ ⎢ ⎢ =⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣⎢

⎤ ⎥ ⎥ (s) ⎥ J ⎦

m ( s)

m2 " mi "

J2

Ji =

" Ji "

(

mi 2 ai + bi2 12

( 9.14 )

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ m n ⎦⎥

( 9.15 )

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ J n ⎦⎥

( 9.16 )

)

( 9.17 )

Donde m i es la masa del piso i; J i es el momento de inercia de la masa con respecto al C.M.; a i , bi son las dimensiones en planta de la losa del piso i.

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•

257

EJEMPLO 1

Realizar el análisis sísmico de la estructura de un piso indicada en la figura 9.8, ante el sismo de El Centro de 1940, cuyo acelerograma se muestra en la figura 9.9. Todas las columnas son iguales y son de 30/30 cm., las vigas también son iguales y son de 20/30 cm. Las luces de la estructura son de 5.0 m., y la altura del entrepiso es de 3.0 m. La carga muerta es D = 500 Kg / m . La carga viva L = 200 Kg / m . El centro de masas C.M. es colineal entre la losa superior al aislamiento de base y la losa del primer piso. 2

2

Figura 9.8 Estructura de análisis de ejemplo 1.

La rigidez de cada aislador es de

k b = 20 T / m. La masa del aislador más la

cimentación más la masa de la losa bajo la cual están los aisladores, es mb = 0.10 T s / m . 2

El amortiguamiento del aislador

ξ b = 0.10 . Presentar en un gráfico la respuesta en el tiempo

para el movimiento horizontal de la base q ( x ) y para el desplazamiento horizontal del primer ( x) piso u1 .

•

SOLUCIÓN Al utilizar el programa RLAXINFI, con un módulo de elasticidad del hormigón

E = 1738965.21 T / m 2 . Se halla que la matriz de rigidez lateral de los pórticos con inercias gruesas. Esta vale: K L = 554.5 T / m . Al ser todos los pórticos iguales, considerado es

esta es la matriz de rigidez lateral de cada uno de ellos.

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Figura 9.9 Acelerograma del sismo de El Centro de 1940. El peso D del primer piso vale D = 0.5 * 25 = 12.5 T . La estructura en estudio es una vivienda, se tomará el 25% de la carga viva para el análisis sísmico. Luego

L = 0.25 * 0.2 * 25 = 1.25 T .

La masa que llega a cada aislador proveniente de la superestructura es el peso total debido a carga muerta más porcentaje de carga viva dividida para la aceleración de la 2 gravedad y dividida para 4 aisladores. mi = (12.5 + 1.25 ) / 9.8 / 4 = 0.35 T s / m . A esta masa se debe añadir la masa de los aisladores más la cimentación que se considera igual a

0.10 T s 2 / m .

Figura 9.10 Identificación de los pórticos.

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La distancia del centro de masas C.M. a cada uno de los pórticos es de 2.5 m., pero ( s)

(b)

y K . Para explicar los signos en la tienen signo, para hallar las matrices de rigidez K figura 9.10 se han identificado los pórticos y se ha definido la orientación positiva ya que la distancia será positiva si la orientación positiva del pórtico rota con relación al C.M. en forma antihorario. En la tabla 9.1 se indican los valores del vector r de cada uno de los pórticos y los valores del ángulo α , que se mide a partir del eje X hasta la orientación positiva del pórtico. Con estos valores se forma la matriz de compatibilidad A , ecuación ( 9.11 ). Estas son: Tabla 9.1 Valores r y α de los pórticos para hallar la matriz de compatibilidad A. Pórtico Distancia del C.M. al pórtico. r Ángulo α -2.5 m. 0 1 2.5 m. 0 2 -2.5 m. 90 A 2.5 m. 90 B

A (1) = [1

− 2.5]

0

A ( 2 ) = [1

2.5]

0

A ( A) = [0

− 2.5]

1

A ( B ) = [0

2.5]

1

La matriz de rigidez de la superestructura (9.12) o con la ecuación (9.13) es:

K

(s )

⎡1109 = ⎢⎢ 0 ⎢⎣ 0

K ( s ) que se encuentra con la ecuación

0 1109 0

⎤ ⎥ ⎥ 13863 ⎥⎦ 0 0

K ( s ) al ( s) igual que todas las matrices que intervienen en el análisis sísmico. La matriz de masa M El programa CUASIESTATICOAISLAMIENTO calcula esta matriz de rigidez

para el ejemplo., es:

M

( s)

⎡1.4031 = ⎢⎢ 0 ⎢⎣ 0

0 1.4031 0

0 0 5.8461

⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦

Las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez del sistema de aislamiento de base, para este ejemplo, son diagonales y valen.

M

(t )

⎡1.80 ⎤ ⎡2.4 ⎢ ⎥ ⎢ (b ) =⎢ 1.80 ⎥ C =⎢ ⎢⎣ ⎢⎣ 22.5⎥⎦ 22.5 = 0.45 ∗ (2.5 2 + 2.5 2 ) ∗ 4

[

]

⎤ ⎡80 ⎥ ⎢ (b) 2.4 80 ⎥ K =⎢ ⎢⎣ 30.0⎥⎦ 1000 = 20 ∗ (2.5 2 + 2.5 2 ) ∗ 4

[

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]

⎤ ⎥ ⎥ 1000⎥⎦

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260

Al utilizar el programa CUASIESTÁTICOAISLAMIENTO se halla la respuesta en el tiempo solicitada. Esta se presenta en la figura 9.11. Es importante notar como el sistema de aislamiento experimenta grandes desplazamientos laterales, alcanzando los 8 cm., para los primeros instantes de tiempo. En cambio la estructura prácticamente no se desplaza lateralmente. Esta es la ventaja de construir estructuras con aisladores de base.

Figura 9.11 Desplazamientos del sistema de aislamiento y del primer piso, en el C.M.

9.4.2 Programa CUASIESTÁTICOAISLAMIENTO El programa CUASIESTATICOAISLAMIENTO tiene una subrutina que se denomina PSE3. Por lo tanto, antes de usar el programa se debe verificar que en la carpeta Work de MATLAB se tenga grabado esta subrutina que fue listada en el capítulo anterior. Los datos de entrada del programa CUASIESTATICOAISLAMIENTO son:

>> [NP]=cuasiesticoaislamiento(NP,Sedabase,Iejes,PesoD,PesoL,KLG,r,Sismo,dt) • • • •

NP Sedabase Iejes PesoD

•

PesoL

•

KLG

Número de pisos del edificio. Factor de amortiguamiento de los aisladores de base. Número de pórticos de la estructura en el sentido de análisis sísmico. Vector en el que se indica el peso total de cada uno de los pisos, desde el primer piso al último, debido a carga muerta D. Vector en el que se indica el peso de cada planta debido al porcentaje de carga viva L, que se considera en el análisis de acuerdo al uso de la estructura. Matriz que contiene las matrices de rigidez lateral de cada uno de los pórticos de la estructura.

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ROBERTO AGUIAR FALCONI CEINCI-ESPE •

r

•

Sismo

•

dt

261

Vector que contiene la distancia desde el Centro de Masas a cada pórtico, con signo. Se da un solo dato por pórtico debido a que el programa CUASIESTATICOAISLAMIENTO contempla que el centro de masas es colineal. Archivo que contiene el acelerograma del sismo que se analiza. Este archivo tiene una sola columna y el número de filas es igual al número de puntos del sismo. Se recomienda que esté en m/s2. Incremento de tiempo del acelerograma. La respuesta en el tiempo de la estructura se la obtiene para este incremento de tiempo.

En el listado del programa que se indica a continuación, el programa dibuja la respuesta en el tiempo del último piso de la estructura y del sistema de aislamiento de base, medido en el Centro de Masa. El programa puede también hallar la respuesta en el tiempo de los pórticos externos en el sentido de análisis sísmico, halla la respuesta para el último piso y para el primer piso. Si se desea esta opción se deberá quitar los % en la parte correspondiente, que está cerca del final y colocar % en las últimas líneas.

function [NP]=cuasiestaticoaislamiento(NP,sedabase,iejes,pesoD,pesoL,KLG,r,sismo,dt) % % Analisis sismico en el tiempo, espacial de estructuras con aislamiento de base % por el Metodo cuasiestatico, considerando 3 gdl por planta. % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE % Marzo-2007 % Version corregida Julio-2007 %---------------------------------------------------------------------------------% [NP]=cuasiestaticoaislamiento(NP,sedabase,iejes,pesoD,pesoL,KLG,r,sismo,dt) %---------------------------------------------------------------------------------% % sedabase Factor de amortiguamiento de los aisladores. % iejes # de ejes de columnas en el sentido de analisis sismico. % alt Vector que contine las alturas a cada piso medido desde la base. % pesoD Vector que contiene la carga muerta D de cada piso. % pesoL Vector que contiene la carga viva L de cada piso. % KLG Matriz que contiene las matrices de rigidez lateral de todos los % porticos con inercias gruesas. Primero los de sentido X. % r Vector que contiene la distancia del portico al centro de masa, de % cada uno de los porticos, con signo, positivo antihorario. Primero % se ingresan las distancias a los porticos en sentido X. luego a los % porticos en sentido Y. % % rs Matriz de colocacion de la aceleracion del suelo en gdl superestructura % rb Vector de colocacion de la aceleracion del suelo en gdl de la base % sismo Archivo que contiene el acelerograma % dt Incremento de tiempo del acelerograma % ace aceleracion total en la superestructura % F Fuerza estatica que actua en cada piso de la superestructura % u Vector de desplazamientos laterales de cada piso de la superestructura % umax Vector que contiene los maximos desplazamientos del ultimo piso % utot Matriz que contiene los desplazamientos de superestructura en cada % incremento de tiempo. En las filas estan los incrementos de tiempo. % p Matriz que contiene la respuesta en el tiempo de cada portico. % La fila 1 es para el portico 1, la 2 para el 2, etc.

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% A Matriz de paso de coordenadas de piso a coordenadas de portico. Las % primeras filas son para el portico 1 las siguientes para el 2, etc. % NP Numero de pisos % % KS Matriz de rigidez de superestructura en coordenadas de piso. % MS Matriz de masa de superestructura en coordenadas de piso. % KB Matriz de rigidez del sistema de aislamiento. % MB Matriz de masas del sistema de aislamiento. % CB Matriz de amortiguamiento del sistema de aislamiento. % qt Matriz que contiene desplazamientos de la base para todos los gdl. % vt Matriz que contiene velocidades de la base para todos los gdl. % q Vector que contiene solo historia de desplazamientos de la base. % ntot=input ('\n Numero total de porticos de la estructura :'); fprintf ('\n Codigos para analisis sismico: Sentido X=1 Sentido Y=2'); isismo=input ('\n Ingrese codigo de sentido de analisis sismico :'); rs=zeros(3*NP,3);rb=[0;0;0]; if isismo==1;nx=iejes; ny=ntot-nx;rb(1)=1; var=2;for j=1:NP; rs(j,1)=1; end; else;ny=iejes; nx=ntot-ny;rb(2)=1;var=1;for j=1:NP; rs(j+NP,2)=1; end; end; %Submatrices de rigidez: KEE, con inercias gruesas Kxx=zeros(NP,NP);Kyy=zeros(NP,NP);Kteta=zeros(NP,NP);cero=zeros(NP,NP); Kxt=zeros(NP,NP);Kyt=zeros(NP,NP);for k=1:NP;identidad(k,k)=1;end; for i=1:ntot for k=1:NP rtet(k,k)=r(i); end rteta=rtet*rtet; ji=NP*(i-1)+1;jf=NP*(i-1)+NP; if i> load c:\casad >> [KL]=rlviscoelasticonew (casad) Numero de nudos: 9 Numero de pisos: 2 Numero de nudos restringuidos: 3 Numero de diagonales: 2 Modulo de elasticidad del hormigón (T/m2): 1738965.21 Diagonal numero, 11 Nudo inicial de diagonal con disipador: 4 Nudo final de diagonal con disipador: 8 Diagonal numero, 12 Nudo inicial de diagonal con disipador: 6 Nudo final de diagonal con disipador: 8 Calcula con: Inercias gruesas, codigo=0. Con inercias agrietadas, codigo=1 Ingrese codigo de inercias :1 El programa reporta:

•

MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL CON INERCIAS GRUESAS, CON DISIPADORES

⎡ 4675.9 KL = ⎢ ⎣− 3709.7 •

− 3709.7 ⎤ 3505.5 ⎥⎦

MATRIZ DE RIGIDEZ LATERL CON DISIPADORES E INERCIAS AGRIETADAS

⎡4629.8 KL = ⎢ ⎣− 3676.4

− 3676.4⎤ 3464.6 ⎥⎦

Para encontrar las dos matrices de rigidez lateral, se debe ejecutar dos veces el programa. A continuación se presenta el programa RLVISCOELASTICO

function[KL]=rlviscoelasticonew(nombre) % % Programa para encontrar la matriz de rigidez lateral de un portico plano % considerando que todos los elementos son axialmente rigidos. % Con disipadores de energia viscoelasticos % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE %------------------------------------------------------------% [KL]=rlviscoelasticonew(nombre)

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ROBERTO AGUIAR FALCONI CEINCI-ESPE %------------------------------------------------------------% CG Matriz de coordenadas generalizadas % VC Vector de colocacion %E Modulo de elasticidad del material del portico. % SS Matriz de rigidez de la estructura % b: base de la seccion transversal. % h: altura de la seccion transversal. % long: longitud del elemento. % ke Rigidez equivalente de la diagonal con disipador de energia. % nombre Archivo de datos que contiene la base, la altura y la longitud % de cada uno de los elementos. El nombre debe tener extension .txt % Para los disipadores de energia se indica la rigidez equivalente % del conjunto acero-goma; el angulo de la diagonal en grados y un % cero. % nod=input('\n Numero de nudos:'); np=input(' Numero de pisos:'); nr=input(' Numero de nudos restringuidos:'); ndiag=input(' Numero de diagonales:'); E=input(' Modulo de elasticidad:'); % Coordenadas Generalizadas CG=zeros(nod,2);ngl=0;k=nr; for i=1:np ngl=ngl+1; for j=1:nr k=k+1; CG(k,1)=ngl; end end for i=1:nod-nr ngl=ngl+1; k=nr+i; CG(k,2)=ngl; end ncol=np*nr; mbr=ncol+(nr-1)*np;nvig=mbr-ncol;mbr1=mbr+ndiag; ici=0;icf=nr; for i=1:ncol ici=ici+1; icf=icf+1;ini(i)=ici;fin(i)=icf; end ii=ncol; for j=1:np ici=j*nr; for i=1:nr-1 ii=ii+1;ici=ici+1;ini(ii)=ici;fin(ii)=ici+1; end end % Arreglo VC. Vectores de colocacion for i=1:mbr for k=1:2 VC(i,k)= CG(ini(i),k); VC(i,k+2) = CG(fin(i),k); end end % Arreglo VC de diagonales for i=1:ndiag fprintf ('\n Diagonal numero, %d ',mbr+i); nidiag=input ('\n Nudo inicial de diagonal con disipador:'); nfdiag=input ('Nudo final de diagonal con disipador:'); for k=1:2

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VC(mbr+i,k)=CG(nidiag,k); VC(mbr+i,k+2)=CG(nfdiag,k); end end % Matriz de rigidez de miembro y de la estructura for i=1:mbr B(i)=nombre(i,1);H(i)=nombre(i,2);L(i)=nombre(i,3); end for i=1:ndiag kd(i)=nombre(i+mbr,1); alfa(i)=nombre(i+mbr,2); end % Calculo de la matriz de rigidez de la estructura fprintf ('\n Calcula con: Inercias gruesas, codigo=0. Con inercias agrietadas, codigo=1'); icod=input('\n Ingrese codigo de inercias :'); SS=zeros(ngl,ngl); for i=1:mbr b=B(i);h=H(i);long=L(i);iner=b*h^3/12;ei=E*iner; if i> KLS = [ K LA 2 ; K LA 2 ; K LA 2 ; K LA 2 ; K LA 2 ; K LA 2 ; K LA 2 ; K LA 2 ; K LA 2 ; K LA 2 ] ¾

Estructura con disipadores con inercias agrietadas (Para el pórtico de la izquierda de la figura 10.3. A esta matriz se denomina K LDA1 y para el pórtico derecha de la figura 10.3, que ya fue calculada)

⎡ 8505.6 K L = ⎢⎢− 3657.5 ⎢⎣ 311.6

6183.8 − 3046.0

⎤ ⎥=K LDA1 ⎥ ⎥ 2774.9⎦

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Se denomina KL a la matriz de rigidez que contiene a todas las matrices de rigidez lateral, con inercias agrietadas, de todos los pórticos en la estructura con disipadores de energía. >> KL = [ K LDA1 ; K LA2 ; K LA2 ; K LA2 ; K LDA1; K LDA1 ; K LA 2 ; K LA 2 ; K LA 2 ; K LDA1 ] ¾

Estructura con disipadores con inercias gruesas (Para los dos pórticos de la figura 10.3. Sea K LD1 la matriz de rigidez lateral del pórtico con disipadores y K L 2 la matriz de rigidez lateral del pórtico sin disipadores).

⎡ 8588.9 K L = ⎢⎢− 3631.5 ⎢⎣ 270.0 ⎡ 6947.2 K L = ⎢⎢− 2810.7 ⎢⎣ 270.0

6283.1 − 3106.7

⎤ ⎥=K LD1 ⎥ ⎥ 2868.0⎦

4641.4 − 2285.8

⎤ ⎥=K L2 ⎥ 2047.1⎥⎦

Sea KLG la matriz que contiene a las matrices de rigidez lateral con inercias gruesas, de todos los pórticos de la estructura con disipadores de energía. >> KLG = [ K LD1 ; K L 2 ; K L 2 ; K L 2 ; K LD1 ; K LD1 ; K L 2 ; K L 2 ; K L 2 ; K LD1 ] ™ Ahora se debe encontrar el vector que contiene a los pesos de la estructura debido a carga muerta y al 25% de la carga viva. Se denominan a estos vectores PesoD y PesoL, respectivamente.

D = 0.6 * 12 * 12 = 86.4 T L = 0.25 * 0.2 * 12 * 12 = 7.2 T

PesoD = [86.4; 86.4; 86.4] PesoL = [7.2;7.2;7.2]

™ Se debe hallar la matriz r con la distancia del Centro de Masas C.M. al pórtico. Para cada pórtico se da una fila de datos que corresponde al valor de distancia del C.M. al pórtico en cada piso. En el ejemplo el C.M. se halla en el centro de gravedad de la planta. >>

r = [−6 − 6 − 6; − 4 − 4 − 4; 0 0 0; 4 4 4; 6 6 6; − 6 − 6 − 6; − 4 − 4 − 4; 0 0 0; 4 4 4; 6 6 6] ™ Se determina el vector que contiene la altura desde la base a cada piso. Para el ejemplo la altura de piso es de 3.0 m. Se denomina altura a este vector.

>> altura =[3; 6; 9]

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Resultados

En la tabla 10.3 se presenta las respuestas máximas probables que reporta el programa en el Centro de Masas. Se indican las fuerzas laterales sin el efecto de la torsión accidental; las fuerzas laterales con la torsión accidental, los desplazamientos inelásticos hallados de acuerdo al CEC-2000, la deriva máxima de piso γ i , el índice de estabilidad de piso

θ i y las fuerzas finales. Piso

1 2 3

Fuerzas sin Torsión (T.) 9.1788 16.6329 28.0822

Tabla 10.3 Respuestas máximas en el Centro de Masas Desplazamientos Fuerzas γi θi Inelásticos con Torsión (m.) (T.) 9.7379 0.0154 0.0051 0.0106 17.5579 0.0388 0.0078 0.0062 29.6448 0.0534 0.0049 0.0031

Fuerzas Finales (T.) 9.7379 17.5579 29.6448

El programa VISCOELASTICOESPECTRO también reporta los desplazamientos laterales en cada uno de los pórticos.

10.9 PROGRAMA VISCOELASTICOESPECTRO Como se ha indicado el programa VISCOELASTICOESPECTRO sirve para el análisis sísmico de estructuras espaciales con disipadores de energía visco elásticos de goma, ante el espectro de diseño inelástico del CEC-2000. En el programa se ha considerado lo siguiente: •

El factor de reducción de las fuerzas sísmicas R es 6 para los perfiles de suelo S1, S2 y S3. Para el perfil de suelo S4 es 5.

•

En estructuras con disipadores de energía, la inercia agrietada de vigas y columnas es igual a I V = 0.8 I g ; I C = I g . Donde I g es la inercia gruesa. De tal manera que se admite un ligero daño en las vigas. Los disipadores de energía deben trabajar en rango elástico.

•

Para encontrar el amortiguamiento equivalente de la estructura con disipadores de energía se ha utilizado el Método de la Energía Modal de Deformación. Para el efecto se debe calcular la matriz de rigidez de la estructura en coordenadas de piso de dos formas, sin disipadores de energía y con disipadores de energía. Para los dos casos se ha trabajado con inercias agrietadas en las vigas.

•

Con los amortiguamientos equivalentes de la estructura en cada modo de vibración se encontró el amortiguamiento promedio ξ y para este amortiguamiento se halló el espectro con el que se realiza el análisis sísmico. La ecuación utilizada para el efecto es:

⎛ 1+ ξ f a = 2 ⎜⎜ 0.865 ⎝ 1 + 14.68 ξ

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

( 10.9 )

Donde f a es el factor por el cual se debe multiplicar las ordenadas del espectro elástico del CEC-2000. El espectro del CEC-2000 está obtenido para un ξ = 0.05 . La

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ecuación ( 10.9 ) fue presentada en el capítulo 2 y sirve para encontrar formas espectrales para cualquier factor de amortiguamiento ξ a partir de un espectro cuyo ξ = 0.05 . •

Una vez que se tiene el espectro para el ξ promedio se dividen las ordenadas espectrales para el factor R .

•

El programa permite analizar estructuras con Centros de Masa que no sean colineales. Pero lo que se deben tener pórticos ortogonales.

•

El programa sirve para el análisis sísmico de estructuras sin orificios ya que el momento de inercia de la masa J i , de cada planta se halló con la siguiente ecuación.

Ji =

[

mi 2 ai + bi2 12

]

( 10.10 )

Donde a i , bi son las dimensiones en planta de la losa y mi es la masa total del piso. Si se tienen orificios en la losa es conveniente que el usuario calcule manualmente J i e ingrese esta cantidad como dato para lo que debe modificar el programa pero es muy sencillo. •

El usuario tiene la posibilidad de escoger entre nueve criterios de combinación modal, el que más le convenga. Los criterios fueron indicados en el capítulo 65 Se recomienda trabajar con el criterio de la normativa de Perú de 2003, que es una combinación lineal de los criterios del valor máximo probable y de la superposición directa.

•

El detalle del método de superposición modal que realiza el programa se describió en los capítulos 5 y 6 de este libro.

La forma de uso del programa es la siguiente:

>> [seda]=viscoelasticoespectro(ejes,altura,PesoD,PesoL,KLS,KL,KLG,r)

ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

ejes es el número de ejes de la estructura en la dirección analizada. altura vector que contiene la altura desde el piso a cada uno de los pisos de la estructura. PesoD vector con los pesos totales de cada uno de los pisos, debido a carga muerta. PesoL vector con los pesos totales de cada uno de los pisos, debidos al 25% de la carga viva. KLS matriz que contiene las matrices de rigidez lateral K L de la estructura sin disipadores de energía, hallada con inercias agrietadas. KL similar a KLS pero en la estructura con disipadores de energía y con inercias agrietadas. KLG similar a KLS pero en la estructura con disipadores de energía y con inercias gruesas. r matriz que contiene la distancia del centro de masas a cada uno de los pórticos. Cada fila es para un pórtico. Y en cada fila se debe indicar esta distancia para cada piso, con su signo.

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function [seda]=viscoelasticoespectro(iejes,alt,pesoD,pesoL,KLs,KL,KLG,r) % % Programa para el analisis sismico de estructuras con disipadores % viscoelasticos, se realiza analisis modal espacial considerando tres % grado de libertad por planta empleando el Espectro Inelastico del CEC-2000 % y el factor de reduccion de las fuerzas sismicas hallados en el proyecto % de investigacion desarrollado en CEINCI-ESPE en 2005-2007 % % Por: Roberto Aguiar Falconi y Marcos Zevallos Loor % CEINCI-ESPE % Febrero de 2008 %----------------------------------------------------------------------% [seda]=viscoelasticoespectro(iejes,alt,pesoD,pesoL,KLs,KL,KLG,r) %----------------------------------------------------------------------% %H Altura total de edificio Z Factor de Zona % iejes # de ejes de columnas en el sentido de analisis sismico % alt Vector que contine las alturas a cada piso medido desde la base. % pesoD Vector que contiene la carga muerta D de cada piso. % pesoL Vector que contiene el porcentaje de carga viva L de cada piso. % KLS Matriz de rigidez de estructura sin disipadores de energia con % inercias agrietadas. Iv = 0.8 Ig; Ic = 1.0 Ig. De todos porticos. % KL Matriz que contiene las matrices de rigidez lateral de los porticos % con disipadores de energia, con inercias agrietadas.Iv = 0.8 Ig; Ic = 1.0 Ig. % KLG Matriz que contiene las matrices de rigidez lateral de los porticos % en un solo sentido, con inercias gruesas. %r Matriz que contiene la distancia del portico al centro de masa, de % cada uno de los porticos, con signo, positivo antihorario. % Para cada piso se indica el valor de r. La primera fila % corresponde al portico 1, se dan los r de cada piso. % PESO Peso total Reactivo. V Cortante Basal eta = input ('\n Factor de perdida de la goma (igual para todos los modos) :'); bbeta = input ('\n El amortiguamiento de la estructura sin disipadores :'); ntot = input ('\n Número total de pórticos de la estructura:'); % NP=length(alt); for i=1:NP-1; j=NP-i+1; alt(j)=alt(j)-alt(j-1);end fprintf ('\n Si el analisis es en sentido X, el codigo es 1; para sentido Y es 2'); isismo= input ('\ Indique el codigo del sentido de analisis sismico'); if isismo==1; nx=iejes; ny=ntot-nx; else ny=iejes; nx=ntot-ny; end %Submatrices de rigidez: KEE, con inercias agrietadas sin disipadores Kxxs=zeros(NP,NP);Kyys=zeros(NP,NP);Ktetas=zeros(NP,NP); ceros=zeros(NP,NP);Kxts=zeros(NP,NP);Kyts=zeros(NP,NP); for k=1:NP; identidad(k,k)=1; end; for i=1:ntot for k=1:NP rtet(k,k)=r(i,k); end rteta=rtet*rtet;

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ROBERTO AGUIAR FALCONI CEINCI-ESPE ji=NP*(i-1)+1;jf=NP*(i-1)+NP; if i> [V]=viscoelasticoestatico(ejes,altura,Peso,KL) • •

ejes altura

• •

Peso KL

es el número de ejes de la estructura en la dirección del análisis sísmico. es el nombre de un vector que contiene la altura de cada piso, medida desde la base hasta el piso. vector que contiene los pesos totales de cada piso, debidos a carga muerta. Matriz que contiene a las matrices de rigidez lateral de los pórticos con inercias gruesas. Pero solo en el sentido de análisis.

function [V]=viscoelasticoestatico(iejes,alt,peso,KL) % % Analisis Estatico de acuerdo al CEC-2000 de edificios aporticados regulares % % Factor de reduccion de las fuerzas sismicas de acuerdo a Proyecto de % Investigacion desarrollado en CEINCI-ESPE 2005-2007. % Periodo de vibracion de estructuras con disipadores de energia el % obtenido por Aguiar y Garcia (2008) % % Se mayoran las fuerzas sismicas por torsion accidental en 10%. % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE % Marzo de 2008 %----------------------------------------------------------------------% [V]=analisisestaticonew(iejes,alt,peso,KL) %----------------------------------------------------------------------% R Factor de reduccion de las fuerzas sismicas % H Altura total de edificio Z Factor de Zona % iejes # de ejes de columnas en direccion de analisis sismico % alt Vector que contine las alturas a cada piso medido desde el suelo. % peso Vector que contiene los pesos reactivos de cada piso. % PESO Peso total Reactivo. V Cortante Basal % gama Deriva maxima de piso que el programa calcula. % KL Matriz que contiene la matriz de rigidez lateral de cada portico % en la direccion del analisis sismico con inercias gruesas es para % deriva de piso. % NP=length(alt); PESO=0;for i=1:NP; PESO=PESO+peso(i);end; H=alt(NP);

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ROBERTO AGUIAR FALCONI CEINCI-ESPE fprintf ('\n Codigos para zonas sismicas: 0.15g=1 0.25g=2 0.30g=3 04g=4'); ic=input ('\n Ingrese el codigo de la zona sismica :'); if ic==1; Z=0.15;elseif ic==2; Z=0.25;elseif ic==3;Z=0.30;else;Z=0.40;end fprintf ('\n Codigos para perfiles de suelo: S1=1 S2=2 S3=3 S4=4'); is=input('\n Indique el codigo del tipo de suelo :'); if is==1 T1=0.50;T2=2.50;beta=2.5;S=1;R=6.0; elseif is==2 T1=0.52;T2=3.11;beta=3.0;S=1.2;R=6.0; elseif is==3 T1=0.82;T2=4.59;beta=2.8;S=1.5;R=6.0; else T1=2.0;T2=10;beta=2.5;S=2;R=5.0; end I=input('\n Indique el factor de importancia :'); % Periodo fundamental, T=0.0865*H^(0.6993); rp=input('Estructura es regular en planta; si(s) o no(n):','s'); if rp=='s';fip=1;else;fip=0.8;end re=input('Estructura es regular en elevacion; si(s) o no(n):','s'); if rp=='s';fie=1;else;fie=0.8;end rw=0.91024*H^(-0.0507) eta=input ('Factor de perdida de la goma :'); bbeta=input ('Amortiguamiento de la estructura sin disipadores :'); % amortiguamiento equivalente de la estructura con disipadores seda=bbeta*rw+(eta/2)*(1-rw*rw); % factor fa para reducir el espectro por el amortiguamiento BO=2*((1+seda)/(1+(14.68*seda^0.865))); %Coeficiente C C=(1.25*S^S)/T; if C >=beta;C=beta;end if C