ANALISIS SENSITIVITAS-1

BEBERAPA FORMULA PENTING DALAM solusi PROGRAM LINEAR

FITRIANI AGUSTINA,

Bentuk Standar Masalah PL 

Maksimasi :  z  c1 x1  c2 x2    cn xn dengan pembatas linear

a11 x1  a12 x2    a1n xn  b1 a21 x1  a22 x2    a2 n xn  b2 



am1 x1  am 2 x2    amn xn  bm dan pembatas tanda  x j  0,  j  1, 2, , n  FITRIANI AGUSTINA,

(1)

Apabila diketahui solusi layak optimal untuk masalah PL di atas telah diperoleh, dengan BV j menyatakan BV untuk baris ke- j  dari tabel optimalnya. 

BV = {BV1, BV2,…, BVm} menyatakan himpunan BV dari tabel optimal dan didef:



 x BV    x BV   x BV    x BV m 1

2



NBV menyatakan optimal



xNBV me meny nyat atak akan an vektor ektor be bero rord rde e ((n ((n – m) x 1) dimana elemen-elemennya elemen-elemennya merupakan NBV FITRIANI AGUSTINA,

himpunan



T 

NBV

dari

tabel



cBV merupakan vektor baris berorde (1 x m) dinya dinyataka takan n cBV = [cBV1 cBV2 … cBVm]



cNBV merupakan vektor baris berorde (1 x (n – m)) dimana dimana elemen elemen-ele -elemen menny nya a me merup rupakan akan koefis koefisien ien fungsi tujuan dari NBV



Mat atrriks iks B be bero rord rde e (m x m) merup erupak akan an mat atrriks dimana kolom-kolomnya diisi dengan kolom-kolom BV



a j merupakan kol kolom (dalam lam pemba bata tas s linear bentuk standar) untuk peubah x j dalam persamaan (1) . FITRIANI AGUSTINA,



Matriks N berorde (m x (n – m)) m)) me meru rupa paka kan n matriks iks dimana kolom-kol kolomnya diisi dengan kolom-kolom NBV.



b adalah vektor kolom berorde (m x 1) merupakan ruas kanan dari pembatas linear dalam persamaan (1).

FITRIANI AGUSTINA,

Permasalahan

PL

dalam

persamaan

(1)

dapat

dinyatakan sbb: Maksimasi

 z  c BV   x BV   c NBV  x NBV 

dengan pembatas linear & pembatas tanda

 B x BV   N  X  NBV   b

(2)

 x BV  , x NBV   0 Selanjutnya kalikan pers. (2) dengan B-1, diperoleh B-1BxBV + B-1NxNBV = B-1b xBV + B-1NxNBV = B-1b FITRIANI AGUSTINA,

(3)

Berdasarkan (3) diperoleh: o

Kolom untuk x j pada tabel optimal adalah B-1a j

o

Ruas kanan pada tabel optimal adalah B-1b

FITRIANI AGUSTINA,

Menentukan baris 0/baris z pada tabel optimal berdasar masalah awal PL Selanjutnya apabila pers. (3) dikalikan dengan cBV, diperoleh: cBVxBV + cBVB-1NxNBV = cBVB-1b

(4)

Fungsi tujuan awal adalah z = cBVxBV + cNBVxNBV z – cBVxBV – cNBVxNBV = 0

(5)

Selanjutnya penjumlahan dari (4) dan (5) diperoleh: z + (cBVB-1N – cNBV)xNBV = cBVB-1b

FITRIANI AGUSTINA,

(6)

Berdasarkan pers. (6), maka: o

Koefisien dari x j pada baris 0/baris z dinotasikan dengan c j(baru), dan ditentukan dengan: c j(baru) = cBVB-1a j – c j

o

Ruas kanan pada baris 0/baris z dalam tabel optimal adalah cBVB-1b

o

Koefisien slack variable  si pada baris 0 ditentukan dengan: elemen ke-i dari cBVB-1

o

Koefisien

sur surplus plus

vari varia able  ble  ei

pada

baris

ditentukan dengan: -(elemen ke-i dari cBVB-1) FITRIANI AGUSTINA,

0

o

Koefisien

arti artifi fici cial al

vari variab able  le  ai

pada

baris

0

ditentukan dengan:

FITRIANI AGUSTINA,

(elemen ke-i dari cBVB-1) + M

(Max)

(elemen ke-i dari cBVB-1) – M

(Min)

Contoh SOAL

Unt ntuk uk ma masa sala lah h PL be beri riku kutt dipe dipero role leh h solu solusi si op opti tima mall dengan BV = {x1, x2}. Tentukan tabel optimalnya. Maksimasi:

z = 3x1 + x2

dengan pembatas linear dan pembatas tanda 2x1 - x2

≤

2

- x1 + x2 ≤ 4

FITRIANI AGUSTINA,

x1,x2 ≥ 0

Penyelesaian: Bentuk standar: Maksimasi:

z = 3x1 + x2

dengan pembatas linear dan pembatas tanda 2x1 - x2 +1s1 + 0s2 = 2 -x1 + x2 +0s1 + 1s2 = 4

x1,x2,s1,s2 ≥ 0

Diketahui BV adalah x1 dan x2 maka diperoleh bahwa matriks B adalah

 2  1  B    1 1    FITRIANI AGUSTINA,

diperoleh



1 1   B    1 2   Menentukan kolom s1 pada tabel optimal: 1

1 1 1  1  B as        1 2 0 1 1

1



Menentukan kolom s2 pada tabel optimal:



1 1  0 1   B a s        1 2 1  2 Menentukan ruas kanan tabel optimal 1

2

1  B b   1 1

FITRIANI AGUSTINA,

1   2

6      2 4 10



Bagian tabel optimal tanpa baris z/baris 0, yaitu  x1  0 x2  1s1  1s2  6 0 x1   x2

FITRIANI AGUSTINA,

 1s1  2s2  10

Menent Mene ntuk ukan an bari baris s 0/ 0/ba bari ris s z pada pada tabe tabell opti optima mall Diketahui cBV = [3 1] 1],, sehi sehing ngga ga 1 1  4 5 c BV  B  3 1   1 2 1



Menentukan koefisien s1 pada baris 0/baris z tabel optim timal adalah elem lemen perta tam ma dari c BV  B 1 yaitu 4



Menent Mene ntu ukan kan koe koefisi fisien en s1 dalam baris 0 tabel 1 c  B optimal adalah elemen pertama dari  BV  yaitu 5



Menentukan ruas kanan dalam baris 0 tabel optimal:  2 1 c BV  B b  4 5   28

 4

FITRIANI AGUSTINA,



Tabel Optimal untuk masalah PL di atas adalah  z  0 x1  0 x2  4s1  5s2  28

FITRIANI AGUSTINA,

1 x1  0 x2

 1s1  1s2  6

0 x1  1 x2

 1s1  2s2  10

ANALISIS SENSITIVITAS (ANALISIS PASCAOPTIMAL)

FITRIANI AGUSTINA,

Inti dari analisis pasca-optimal ada dalam penelitian terhadap tabel simpleks umum yang diberikan dalam bentuk matriks. Diketahui masalah PL berikut dalam bentuk standar: Maksimasi / Minimasi

 z  C  BV  X  BV   C  NBV  X  NBV  dengan pembatas linear dan pembatas tanda

 B  X  BV   N  X  NBV   b

FITRIANI AGUSTINA,

 X  I  , X  II   0

Analisi Analisis s sensit sensitiv ivita itas s akan akan me mempe mpelaj lajari ari me menge ngenai nai pengaruh perubahan koefisien fungsi tujuan CBV dan CNBV da dan/ n/at atau au jum jumlah lah sum sumbe berr daya aya yan ang g ters te rsed edia ia b. Peru Peruba baha han n da dala lam m CBV, CNBV, dan b tidak memiliki pengaruh apapun terhadap B atau B-1. Hal

pertama

sensitivitas

yang

adalah

dilakukan menguji

dalam

analisis

apakah

sebuah

perubahan tertentu dari (CBV, CNBV) ke (DBV, DNBV) dan/atau perubahan dari b ke d akan membuat basis saat ini B optimal dan layak. FITRIANI AGUSTINA,

Asumsi

tidak

ada

perubahan

pada

B,

untuk

meny me nyel eles esai aika kann nny ya ma maka ka kita kita akan akan men engg ggan anti ti CBV dengan DBV dan b dengan d, kemudian menghitung ulang baris tujuan (gunakan DBVB-1) dan ruas kanan dihitung dengan B-1d. Apab Apabilila a tida tidak k ada satu satu pu pun n koe koefisi fisien en ba bari ris s tu tuju jua an yang baru tersebut

melanggar optimalitas dan

koef koefiisien sien rua uas s kana kanan n yan ang g ba barru men enja jad di ne nega gati tif, f, maka B tetap optimal dan layak di nilai yang baru B-1d. FITRIANI AGUSTINA,

Ana nalilisi sis s sens sensiitiv tivitas itas da dapa patt dim dimasuk asukka kan n ke da dala lam m salah satu dari ketiga kategori berikut: 1.

Perubahan dalam koefisien tujuan (CBV, CNBV) hanya dapat mempengaruhi optimalitas

2.

Perubahan dalam ruas kanan b hanya dapat mempengaruhi kelayakan

3.

Peru Peruba baha han n simul simulta tan n da dala lam m (CBV, CNBV)

dan b

dapa da patt me memp mpen enga garu ruhi hi ba baik ik op opti tima malilita tas s ma maup upun un kelayakan.

FITRIANI AGUSTINA,

Perubahan yang mempengaruhi optimalitas Optimalitas dari solusi simpleks dipengaruhi oleh hanya satu dari tiga cara ini: 1.

Koefisien tujuan (CBV, CNBV) diubah

2.

Penggunaan sumber daya dari sebuah kegiatan nondasar (vektor kolom NBV dalam A) diubah.

3.

Sebu Sebuah ah kegi kegia ata tan n ba barru dita ditam mbah ahka kan n ke da dala lam m model

FITRIANI AGUSTINA,

Perubahan yang mempengaruhi kelayakan Kelayakan dari solusi simpleks dipengaruhi oleh hanya satu dari dua cara ini: 1.

Vektor ruas kanan b diubah

2.

Sebuah pembatas linear ditambahkan ke dalam model

FITRIANI AGUSTINA,

Perubahan yang mempengaruhi optimalitas dan kelayakan Optimalitas dari solusi simpleks dipengaruhi oleh: 1.

Koe oefi fisi sien en tu tuju juan an (CBV, CNBV) dan vektor ruas kanan b diubah

FITRIANI AGUSTINA,

1.

Perubahan koefisien fungsi tujuan untuk NBV

2.

Perubahan koefisien fungsi tujuan untuk BV

3.

Perubahan ruas kanan dari pembatas linear

4.

Perubahan pada kolom NBV

5.

Penambahan peubah baru/aktivitas baru

6.

Penambahan pembatas linear

FITRIANI AGUSTINA,

Contoh Kasus Maksi aksim masi: si:

z = 60 60x x1 + 30x2 + 20x3

dengan pembatas linear dan pembatas tanda 8x1 + 6 x2 +

x3

≤

48

4x1 + 2 x2 + 1,5x3

≤

20

2x1 + 1,5x2 + 0,5x3 ≤ 8

FITRIANI AGUSTINA,

x1,x2,x3 ≥ 0

Tabel optimalnya adalah: BV

z

X1

X2

X3

X4

X5

X6

Solusi

Z

1

0

5

0

0

10

0

280

X4

0

0

-2

0

1

2

-8

24

X3

0

0

-2

1

0

2

-4

8

X1

0

1

1,25

0

0

-0,5

1,5

2

Berdasarkan tabel di atas diperoleh informasi: BV adalah x4, x3, x1 dan NBV adalah x2, x5, x6

FITRIANI AGUSTINA,

Perubahan koefisien fungsi tujuan untuk NBV Perubahan ini terjadi karena adanya perubahan baik pada

kontribusi

k e u ntu n g a n

maupun

kontribusi

ongkos dari kegiatan yang diwakili oleh NBV. Pada contoh di atas satu-satunya peubah keputusan nonbasis adalah x2. Misalkan koefisien tujuan dari x2 berubah dari c 2  30 menjadi c 2  30   . Nilai BV akan tetap optimal jika c 2  tidak optimal jika c 2  0 ˆ

ˆ

FITRIANI AGUSTINA,

0

,dan menjadi

Nilai koefisien fungsi tujuan baru setelah terjadinya peru pe ruba baha han n da dapa patt diten ditentu tukan kan de deng ngan an me meng nggu guna nakan kan rumus:

c  j  c BV   B

1

ˆ

 a j  c j

Berdasarkan tabel optimal diperoleh informasi:  x BV   S1  x3 x1 

T 

1  1  B  0  0

2 2

 0,5

 8  4  1,5

c BV   0 20 60

sehin sehingg gga a dipe dipero role leh h nila nilaii c 2 : ˆ

1  c 2  0 20 60 0  0 ˆ

FITRIANI AGUSTINA,

2 2

 0,5

 8  6   4    2   30     5   1,5 1,5

Agar sol solusi tetap optimal maka c

ˆ

5    0 atau

FITRIANI AGUSTINA,

2

0

oleh karena itu

5

KLIK

Perubahan koefisien fungsi tujuan untuk BV Perubahan ini terjadi karena adanya perubahan baik pada

kontribusi

k e u ntu n g a n

maupun

kontribusi

ongkos dari kegiatan yang diwakili oleh BV. Mengubah

koefisien

fungsi

tujuan

BV

artinya

mengubah cBV sehingga koefisien pada baris z dari tabel optimal akan berubah. Misalkan

koefisien

tujuan

dari

x1

berubah

dari c1 60 menjadi c 1 60   Oleh karena itu cBV akan menjadi c BV   0 FITRIANI AGUSTINA,

20 60  

Berdasarkan tabel optimal diperoleh informasi:  x BV   S1  x3 x1 

T 

1  1  B  0  0

2 2

 0,5

 8  4  c BV   0 20 60   1,5

1 3   c  BV  B  0 10   10   5 2   1

sehingga diperoleh nilai koefisien NBV: 1

c NBV   c BV   B  a NBV   c NBV  ˆ

c NBV  ˆ

FITRIANI AGUSTINA,

 5  5    4

10 

1 2



 10   2  3

Agar solusi tetap optimal maka c NBV   0 oleh karena itu ˆ

 4    20

FITRIANI AGUSTINA,

KLIK

Perubahan ruas kanan dari pembatas linear Misalkan ruas kanan dari pembatas linear ke-2 berubah dari b 2  20 menjadi b 2  20   Oleh karena itu b akan menjadi

Ruas

kanan

dari

 48    b  20      8 

pembatas

linear

optimalnya menjadi: 2  8   48  24  2  1      1  B b  0 2  4 20    8  2      0  0,5 1,5   8   2  0,5 FITRIANI AGUSTINA,

dari

tabel

Agar solusi tetap layak maka b  0 ˆ

oleh karena itu

4   4

FITRIANI AGUSTINA,

KLIK