analisis real 1

BAB II KELENGKAPAN BILANGAN REAL

Sebagaimana telah digambarkan pada bab sebelumnya bahwa sist em bilangan rasional, memenuhi aksioma lapangan dan aksioma urutan, sehingga system bilangan rasional merupakan lapangan terurut. Tetapi Tetapi telah ditunjukkan bahwa rasional, disini akan ditunjukkan bahwa ℝ  bilangan

3 bukan  bilangan

≠ ℚ dengan menunjukan

bahwa

3 adalah

real. Sehingga perlu suatu aksioma tambahan untuk menggambarkan

karakteristik sistem bilangan real. Aksioma itu adalah “Aksioma Kelengkapan” biasa disebut si!at kelengkapan". #engan demikian bil angan real dikatakan sebagai lapangan terurut yang lengkap. 2.1 Aksioma Kelengkapan ℝ

$ntuk memahami aksioma kelengkapan, terlebih dahulu harus memahami  pengertian  batas atas dan batas bawah suatu sub himpunan dari ℝ. Definisi 2.1 Batas Atas dan Batas Bawah

%isalkan S sebuah himpunan bagian tak kosong dari ℝ

 .

i".

Sebuah bilangan a ∈ ℝ dikatakan atas atas S apabila x apabila x

≤a

ii". Sebuah bilangan b ∈ ℝ dikatakan atas awah S apabila x apabila x

untuk semua  x ∈ S.

≥b

untuk semua  x ∈ S.

&erdasarkan de!inisi diatas, jika S memiliki batas atas, maka S akan memiliki tak  terhingga batas atas sebab jika a merupakan batas atas S maka setiap bilangan c yang lebih besar dari a akan merupakan batas atas S juga. #emikian juga, jika S memiliki  batas bawah, maka S akan memiliki tak terhingga batas bawah. batas bawah.

Ke eng apan B angan

1

Definisi 2.2 !imp"nan #e$atas

%isalkan S sebuah himpunan bagian tak kosong dari ℝ

 .

i".

'impunan S dikatakan te$atas di atas apabila S memiliki batas atas.

ii". 'impunan S dikatakan te$atas di awah apabila S memiliki batas bawah. iii". 'impunan S dikatakan te$atas apabila S memiliki batas atas dan batas bawah.

%ontoh 2.1

a.

'impunan A ( ) 1, 3, *, 11, 1+. &ilangan 1 dan sembarang bilangan yang lebih ke-il dari 1 merupakan batas bawah A, kemudian bilangan 1+ dan sembarang  bilangan yang lebih besar dari 1+ merupakan batas atas A. Artiya, A merupakan himpunan terbatas.

 b. 'impunan & ( ) x ∈ ℝ  x / 0  adalah himpunan terbatas di atas, bilangan 0 dan sembarang bilangan yang lebih besar dari 0 merupakan batas atas &. -. 'impunan  ( ) x ∈ ℝ  x 2 3  adalah himpunan terbatas di bawah, bilangan 3 dan sembarang bilangan yang lebih ke-il dari 3 merupakan batas bawah . d. 'impunan # ( ) x ∈ ℝ  1 / x ≤ *  adalah himpunan terbatas artinya terbatas di  bawah dan terbatas di atas, bilangan 1 dan sembarang bilangan yang lebih ke-il dari 1 merupakan batas bawah #. Sedangkan bilangan * dan sembarang  bilangan yang lebih besar dari * merupakan batas atas #. e. 'impunan 4 ( ) x ∈ ℝ  x / 5 atau  x 2 +  bukan merupakan himpunan terbatas karena tidak memiliki batas atas maupun batas bawah. Sembarang bilangan b ∈

ℝ  bukan batas atas, karena selalu terdapat x ∈ 4 sehingga b < x. #emikian juga, untuk sembarang bilangan a ∈ ℝ  bukan batas bawah, karena selalu terbapat y ∈ 4 sehingga a > y.

!.

'impunan 6 ( )17n  n ∈ℕ  merupakan himpunan terbatas. 'impunan 6 dapat dinyatakan dalam bentuk lain, yaitu

 

6 ( 1,

1 1 1  , , ,⋅ ⋅⋅ 8 3 5 

Karena elemen 6 menurun, dapat disimpulkan bahwa bilangan 1 dan sembarang  bilangan yang lebih besar dari 1 merupakan batas atas 6, kemudian karena 17n

≥

9, ∀ n ∈ℕ,  bilangan 9 dan sembarang bilangan yang lebih ke-il dari 9 merupakan  batas bawah 6. :erlu di-atat, bahwa himpunan & pada -ontoh 8.1 bukan merupakan himpunan terbatas karena tidak memiliki batas bawah, demikian juga himpunan  bukan himpunan terbatas kenapa;". Sekarang masuk pada de!inisi utama, yaitu de!inisi supremum dan in!imum dari sebuah himpunan bagian dari bilangan real. Definisi 2.& '"p$em"m dan Infim"m

%isalkan S sebuah himpunan bagian tak kosong dari ℝ

 .

i".

Sebuah bilangan u ∈ ℝ dikatakan s"p$em"m (atas atas te$ke)il* S apabila a" u batas atas S,  b" jika w batas atas S, maka w ≥ u.

ii".

Sebuah bilangan v ∈ ℝ dikatakan infim"m (atas awah te$esa$* S apabila a" v batas atas S,  b" jika w batas bawah S, maka w ≤ v.

$ntuk selanjutnya, sup S

dan

in! S,

 berturut turut menyatakan supremun S dan in!imum S.

Lema 2.+ Ket"nggalan '"p$em"m dan Infim"m

%isalkan S sebuah himpunan bagian tak kosong dari ℝ

 .

i".



i?" tidak mempunyai batas bawah dan tidak mempunyai batas atas @leh kerena itu terdapat empat kemungkinan pula, apabila dihubungkan dengan supremum dan in!imum uraikan apa saja kemungkinan itu;". ema berikut akan berman!aat untuk menguji, apakah sebuah batas atas himpunan merupakan supremum. Lema 2., '"p$em"m

%isalkan S sebuah himpunan terbatas di atas di ℝ &ilangan u ( sup S jika dan hanya  jika untuk sembarang ε 2 9 terdapat sε ∈ S sehingga u  ε / sε.  .

B"kti. $ntuk membuktikan ema Supremum diatas harus ditunjukkan dua arah, untuk 

(⇒)

%isalkan u ( sup S dan ε 2 9. Karena u − ε

< u berarti u − ε  bukan batas atas S.

Akibatnya terdapat suatu sε ∈ S sehingga u  ε / sε. $ntuk sebaliknya (⇐) %isalkan u batas atas S demikian sehingga untuk sembarang ε 2 9 terdapat sε ∈ S sehingga u  ε / sε..