Analisis Numerico METODO STEFFENSEN

Conminucionflotacionlixivi acionminapirometalurgiae Metodo Numerico STEFFENSEN xtractivapulvimetalurgiafl otacioncavayereverberom enagangarelaveriegogang aneienineciininknccatodoc obreelectrowiningsolucion Integrantes: -BERNAL HEREDIA, Héctor Jesus tostaciontromelconcentra -CARRANZA LEVANO, Renato -JARA SOLORZANO, Edinson -MIRANDA MARCOS , Jhony dorougherreextraccionorg anicocargadoplsmolibdeni tascavengerplantademolib denofundicionespesadors ulfurosgrizzleyzarandasag chancadosecundariohpgr molinodebarrasrelaveraflo tacioncleanerremoliendac onvertidorcobreblistersec 12 de Setiembre del 2015

Analisis Numerico Método Nemerico STEFFENSEN Profesor: Lic.Gladys G.Melgarejo Estremadoyro

CONTENIDO: 1. 2. 3. 4.

Concepto Teorico del Método STEFFENSEN----------------------------02 Pasos a seguir para la resolución de un problema-------------------05 Algoritmo del Metodo Steffensen------------------------------------------06 Problemas del Metodo Steffensen-----------------------------------------07

MÉTODO DE STEFFENSEN  



 

Johan Frederik Steffensen descubrió un algoritmo que permite calcular las raíces en ecuaciones no lineales rápidamente. Este algoritmo es una combinación del Método del Punto Fijo y del Método de Aiken, este método también es conocido como Método de Punto Fijo acelerado. El método de Steffensen presenta una convergencia rápida y cuadrática; y no requiere, como el caso del método de newton, la evaluación de derivada alguna. Solo necesita un punto inicial en el proceso de iteración. En cada iteración,el número de dígitos correctos en la respuesta se duplica. El problema de este método es la elección del valor inicial Xo.

Suponga que la ecuación es

x=g ( x ) . El algoritmo de Steffensen

consiste en una combinación del método de aproximaciones sucesivas con el método de Aiken. Cuando conocemos 3 iteraciones del método de Página 17

Analisis Numerico Método Nemerico STEFFENSEN Profesor: Lic.Gladys G.Melgarejo Estremadoyro aproximaciones sucesivas comenzamos a aplicar el método de Aitken. El método de Steffensen consiste en tomar este valor como nuevo punto de partida para calcular tres nuevas iteraciones del método de aproximaciones sucesivas y aplicar de nuevo el método Aitken. El método se esquematiza de la forma siguiente: xn x n+1 En la iteración ( n+1 ) se conoce y se calcula así:

p0=x n p g(¿¿ 0) p 1=¿

p g(¿¿ 1) p 2=¿

x n+1= p2−

( p 2−p 1 )

2

p2−2 p1 + p0

es la fórmula general de Steffensen .

Luego, la forma más simple de la fórmula para el método de Steffensen ocurre cuando se utiliza para encontrar los ceros o raíces de una función , es decir, queremos encontrar el valor que satisface .

Para Steffensen, cerca de la solución aproximadamente satisface:

, la función

se supone que

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Esta condición hace la función adecuada como una corrección para encontrar la solución, aunque no es necesaria para que este método trabaje eficientemente.

Para algunas funciones, el método de Steffensen puede funcionar incluso si esta condición no es cumplida, pero en tal caso, el valor de partida debe ser muy cercano a la solución , y la convergencia a la solución podría tornarse lenta (veremos que la condición no es necesaria para desarrollar el método, mas sí hace lenta la convergencia, mostramos esta “lentitud” relativa comparada contra el método de Newton Raphson en el problema N°4 el cual requiere menor número de iteraciones).

(*)Método Newton Raphson: hallamos la raíz con apenas 3 iteraciones (las demás son para efectos de comprobación). Método Steffensen: hallamos la raíz con 14 iteraciones (las demás son para efectos de comprobación).

Dado un valor inicial adecuado , una secuencia de valores puede ser generado usando la fórmula de abajo. Cuando esta empieza a trabajar o iterar, cada valor en la secuencia es mucho más cercano a la solución que el valor anterior. El valor del paso primero genera el valor para el siguiente paso, a través de esta fórmula:

Para valores n = 0, 1, 2, 3,..., donde la función pendiente

f ' ( x n ) en (ᾳ) (para el conocido

Método de Newton), será reemplazado por una función una composición en base a la función original

x n+1=x n−

en (Ө), que es

, y se da de la siguiente forma:

f ( xn)

' f ( x n ) …(ᾳ)

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…(Ө)

La función

es el valor que reemplaza la función pendiente de , y es hallado a

partir del segundo valor de la coordenada coordenada auxiliar

y la , con la aclaración que

Es únicamente para propósito de encontrar para este punto auxiliar, que el valor inicial dado de la función debe estar adecuadamente cerca de su propia solución, y por esa razón cumplir el requisito de que:

Para todas las demás partes del cálculo, el método de Steffensen sólo requiere que la función sea continua y tener una solución cercana al valor inicial. Entonces podemos resumir la fórmula a:

x n+1=x n−

(f ( x n ))2 f ( x n+ f ( x n ) )−f (x n )

;

n=0, 1,…

PASOS A SEGUIR PARA LA RESOLUCIÓN DE UN PROBLEMA: -

Tenemos una función cualquiera:

f ( x )=a n x n +a n−1 x n−1+........+ a2 x 2 +a1 x1 +a 0 -

Creamos otra función despejando la variable de mayor grado:

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√

−an−1 x n−1−… … ..−a2 x 2−a1 x1 −a0 g (x )= an n

-

Considerando el punto inicial p0=x 0

xn p1=g(p ) 0

p g(¿¿ 1) p 2=¿ -

p0

Finalmente, teniendo los puntos

,

p1

,

p2

. Estos datos lo

reemplazamos en la formula general de Steffensen: x n+1= p2−

-

( p 2−p 1)2 p2−2 p1 + p0

Hacemos la tabla correspondiente: p0

n

p1

p2

x n+1

%E

0 1 ⁞

⁞

⁞

⁞

⁞

⁞

ALGORITMO DE STEFFENSEN Página 17

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PROBLEMA 1 f ( x )=x−e−x

Dada la función

error absoluto de, con

calcule la raíz de la ecuación con

x 0=1

f ( x )=x−e−x g(x)=x=e−x p0=x o=1 p1=g( x ) =g (1 ) 0

p2=g( p ) 1

PRIMERA ITERACIÓN

n=0 p0=x o=1 −x

−1

p1=g( x ) =g (1 )=e =e =0.367879441 0

p2=g( p )=g (0.367879441 )=e−x =e−0.367879441 =0.692200628 1

Entonces en: 2

( p 2−p 1) x n+1= p2− p2−2 p1 + p0 2

x 1=p 2−

( p2− p1 )

p 2−2 p 1+ p0

0.367879441+1 0.692200628−2 ¿ 2 ( 0.692200628−0.367879441) ¿ 0.692200628− ¿ Página 17

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x 1=0.582226097 SEGUNDA ITERACIÓN

n=1 p0=0.582226097 −x

−0.582226097

=0.558653365

−x

−0.558653365

=0.571978792

p1=g( x ) =g (0.582226097 )=e =e 0

p2=g( p )=g (0.558653365 )=e =e 1

Entonces en: ( p 2−p 1)2 x n+1= p2− p2−2 p1 + p0 2

x 2 = p2 −

( p2 − p1 )

p 2−2 p 1+ p0

¿ 0.571978792−

( 0.571978792−0.558653365 )2 0.571978792−2(0.558653365)+0.582226097

x 2=0.0567166438 TERCERA ITERACIÓN n=2 p0=0.0567166438 −x

p1=g( x ) =g (0.0567166438 )=e =e 0

−0.0567166438

=0.567130162

p2=g( p )=g (0.567130162 )=e−x =e−0.567130162 =0.567150736 1

Entonces en: Página 17

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x n+1= p2−

( p 2−p 1)2 p2−2 p1 + p0 2

x 3= p2−

( p2− p1 )

p 2−2 p 1+ p 0

( 0.56150736−0.567130162 )2 ¿ 0.56150736− 0.56150736−2(0.567130162)+ 0.0567166438 x 3=0.567143290 CUARTA ITERACIÓN n=3 p0=0.567143290 −x

−0.567143290

p1=g( x ) =g (0.567143290 )=e =e 0

=0.567143291

p2=g( p )=g (0.567143291 )=e−x =e−0.567143291 =0.567143290 1

Entonces en: 2

x n+1= p2−

x 4= p2 −

( p 2−p 1) p2−2 p1 + p0

( p 2 − p1 )

2

p2−2 p1 + p0

¿ 0.567143290−

( 0.567143290−0.567143291 )2 0.567143290−2(0.567143291)+0.567143290

x 4=0.567143290 Página 17

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EN LA TABLA: p0

n 0

1

p1

p2

x n+1

0.367879441

0.692200628

0.582226097 ----

%E

1

0.582226097

0.558653365

0.571978792

0.567166438 2.66

2

0.0567166438

0.567130162

0.567150736

0.567143290 4.09x1 0-3

3

0.567143290

0.567143291

0.567143290

0.567143290 ≈0

Entonces la raíz de la ecuación será: 0.567143290

PROBLEMA 2: .Calcular la raíz de

f ( x )=x 3 + x cos ( x )− x ln ( x )−9

por el método de

Steffensen hasta que el error sea menor a 0.5% con punto inicial

x 0=1

Se separa la variable de mayor exponente para obtener g(x) f ( x )=x 3 + x cos ( x )− x ln ( x )−9 0=x3 + x cos ( x )−x ln ( x )−9 9=x3 + x cos ( x )−x ln ( x )

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Analisis Numerico Método Nemerico STEFFENSEN Profesor: Lic.Gladys G.Melgarejo Estremadoyro g( x)=

9 =x x +cos ( x )−ln ( x ) 2

x 0=1

Primera iteración y 0=g(x 0 ) y 0=

9 =5.843008847 x + cos ( x ) −ln ( x ) 2

z 0=g( y 0 ) z 0=

9 =0.270431205 y + cos ( y )−ln ( y ) 2

2

x 1=x 0−

( y 0−x 0 )

=3.251888045

z 0 −2 y 0 + x 0

segunda iteración

x 1=3.251888045

y 0=g(x 0 ) y 1=

9 =1.071222430 x +cos ( x )−ln ( x ) 2

z 0=g( y 0 ) z 1=

9 =5.777494830 y +cos ( y )−ln ( y ) 2

x 2=x 1−

( y1 −x1 )

2

z 1−2 y 1 + x1

=2.561406656

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tercera iteración

x 2=2.561406656

y 0=g(x 0 ) y 2=

9 =1.881315431 x +cos ( x ) −ln ( x ) 2

z 0=g( y 0 ) z 2=

9 =3.459112339 y +cos ( y )−ln ( y ) 2

2

x 3=x 2−

( y 2−x 2 )

z 2−2 y 2 + x 2

=2.356558565

x 3=2.356558565

cuarta iteración y 3=g(x 3 ) y 3=

9 =2.256316685 x +cos ( x ) −ln ( x ) 2

z 0=g( y 0 ) z 3=

9 =2.469708081 y +cos ( y )−ln ( y ) 2

2

x 3=x 0−

( y 0−x 0 )

z0 −2 y 0 + x 0

quinta iteración

=2.324519763

x 4=2.324519763 Página 17

Analisis Numerico Método Nemerico STEFFENSEN Profesor: Lic.Gladys G.Melgarejo Estremadoyro y 4 =g (x 4 ) y4 =

9 =2.322268869 x +cos ( x )−ln ( x ) 2

z 0=g( y 0 ) z 4=

9 =2.326980850 y +cos ( y )−ln ( y ) 2

2

x 5=x 0−

( y 0−x 0 )

z0 −2 y 0 + x 0

|

ERROR=

=2.323792115

|

( 2.323792115−2.324519763 ) × 100 =0.031312958