Analisis Numerico Examen 1 Espol Dic 2008

ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DEL LITORAL INSTITUTO DE CIENCIAS MATEMATICAS ANALISIS NUMERICO PRIMERA EVALUACION EVA LUACION

GUAYAQUIL, 9 DE DICIEMBRE DICIEMBRE DE 2008

SOLUCIÓN Nombre:… Ing.

Luis Rodríguez Ojeda …….…………………………………Paralelo:………

Tema1:  

En una región se desean instalar tres nuevos distribuidores x1, x2, x3  de un producto. En las cercanías ya existen otros distribuidores: A, B, C, D, E, F, G   del mismo producto. En el gráfico, los círculos indican el precio de venta del producto que ofrece cada distribuidor. Las líneas indican con que otros distribuidores están directamente conectados y el costo de transporte. Determine el precio de venta que deben establecer los distribuidores x1, x2, x3, de tal manera que sean el promedio de los precios de los distribuidores con los que están directamente conectados, incluyendo el precio del transporte.

modelo matemático para describir el problema problema (sistema de ecuaciones ecuaciones lineales) a) Plantee un modelo x1, x 2, x 3: Precio promedio de los distribuidores distribuidores 1, 2, 3

x1 x2 x3

1 (0.3 2.8 0.2 3.1 0.4 2.7 0.1 x2 0.5 5 1 (0.5 3.2 0.3 3.4 0.2 x3 0.1 x1 ) 4 1 (0.2 2.9 0.3 3.3 0.5 x1 0.2 x2 ) 4

x3 ) 5 

A |B

0

-1 -1 4

0 -1.2000 1.0000 =

0 0 1.0000

=

2.0200

3.8000 -1.2000

9.7200

3.8000

9.4200

-0.2632

2.5316

1.0000 -0.3158

2.5579

0 0

3.4211 12.4895

0

0

0

1.0000

0

0

3.492

0

3.7108

1.0000

3.6508

3.4923

X=

x1

AX=B: -1 4 -1 x2

-Jordan n b) Encuentre la solución con el método de Gauss -Jorda

1.0000 -0.2000 -0.2000 -0.2000

-1 -1

3.7108 3.6508

x3

10.1 7.7 7.4

c) Determine si el método iterativo de Jacobi converge. Realice tres iteraciones y encuentre la norma del error. Vector inicial: vector cero.

i (|ai,i| >

n

| ai,j | )

limX(k) k

 j 1,j i

X

0 X

(0)

0 0

x1(k+1) = 1/5 (10.1 - x2(k) - x3(k )) x2(k+1) = 1/4 (7.7 - x1(k) - x3(k )) x3(k+1) = 1/4 (7.4 - x1(k) - x2(k ))

k = 0, 1, 2, ...

k=0:

x1(1)  = 1/5 (10.1 - x2(0) - x3(0) ) = 1/5 (10.1 - 0 - 0) = 2.02 x2(1) = 1/4 (7.7 - x1(0) - x3(0) ) = 1/4 (7.7 - 0 - 0) = 1.925 x3(1) = 1/4 (7.4 - x1(0) - x2(0) ) = 1/4 (7.4 - 0 - 0) = 1.85

k=1:

x1(2)  = 1/5 (10.1 - x2(1) - x3(1) ) = 2.7750 x2(2) = 1/4 (7.7 - x1(1) - x3(1) ) = 2.8925 x3(2) = 1/4 (7.4 - x1(1) - x2(1) ) = 2.8363

k=3:

x1(3)  = 1/5 (10.1 - x2(2) - x3(2) ) = 3.1658 x2(3) = 1/4 (7.7 - x1(2) - x3(2) ) = 3.3278 x3(3) = 1/4 (7.4 - x1(2) - x2(2) ) = 3.2669 3.4923 3.1658

|| X || || X

X

(3)

|| || 3.7108

3.3278 || 0.3839

3.6508 3.2669

Tema 2:   El

índice enfriador del viento I   es una función que depende de dos factores: La temperatura real T  y la velocidad del viento v; es decir I = f(T,v). La siguiente tabla registra los valores de I  recogidos en cierto momento por un investigador en los páramos del Cotopaxi. Por ejemplo, cuando la temperatura real es 5 grados Celsius y el viento de 20 km/hora, el índice I = f(5,20) = 1 , que quiere decir que la temperatura que se siente en estas condiciones es de 1 grado, aunque no sea la temperatura real.

v T 5



5

10

15

20

4

2

2

1

0



2

5



8





3



10



4



11



5

12

Usando interpolación polinomial es timar la temperatura que sentirá una persona situada en un lugar en el que la temperatura real es de 2 grados y la velocidad del viento es 12 km/ hora.

Solución usando la fórmula de Lagra nge Es necesario colocar los datos en forma ordenada en cada variable:

v T -5 0 5

5

10

15

20

-8

-10

-11

-12

2

3



4



4

5



2



2

1

Primero interpolamos para t=2, con v=5, 10, 15, 20  con la fórmula de Lagrange para un polinomio de segundo grado pues hay tres datos en la dirección T: 2

p2 (t) =

fiLi (t) = f0L0 (t ) + f1L1(t) + f2L 2 (t ) ; i=0 2

(t-t j )

 j=0,j i

(ti -t j )

Li (t) =

, i=0, 1, 2

Debido a que no se requiere la forma algebraica del polinomio, podemos sustituir directamente el valor para interpolar t=2: 2

L0 (2) =  j=0,j 0

2

L1 (2) =  j=0,j 1

2

L2 (2) =  j=0,j 2

(2-t j ) (t 0 -t j ) (2-t j ) (t1 -t j ) (2-t j ) (t 2 -t j )

=

=

=

(2-t1 )(2-t 2 ) (t0 -t1 )(t0 -t2 ) (2-t 0 )(2-t 2 ) (t1 -t0 )(t 1-t2 ) (2-t 0 )(2-t1 ) (t 2 -t 0 )(t2 -t1 )

=

=

=

(2-0)(2-5) = -3/25 (-5-0))(-5-5)) (2-(-5))(2-5) = 21/25 (0-(-5))(0-5) (2-(-5))(2-0) = 7/25 (5-(-5))(5-0)

Polinomio de interpolación para v=5, 10, 15, 20:

p2 (2) = f0L0 (2)

f1L1 (2)

f2L2 (2)

( 3 / 25)f0

(21/ 25)f1

(7 / 25)f2  

Sustituimos los valores dados: -3 21 7 p2 (2) = (-8) ( 2) (4) 0.4 v=5: 25 25 25 -3 21 7 v=10: p2 (2) = (-10) ( 3) (2) -0.7600 25 25 25 -3 21 7 v=15: p2 (2) = (-11) ( 4) (2) -1.4800 25 25 25 -3 21 7 (-12) ( 5) (1) -2.4800 v=15: p2 (2) = 25 25 25 Finalmente usamos un polinomio de tercer grado para interpolar en v=12, con los resultados de

T=2: v

5

10

15

20

0.4

-0.76

-1.48

-2.48

fiLi(v) = f0L0 (v) + f1L 1(v) + f2L 2 (v)

f3L 3 (v) ;

T 2 3

p3 (v) = i=0 3

(v-v j )

 j=0,j i

(vi -v j )

Li (v) =

, i=0, 1, 2, 3

Debido a que no se requiere la forma algebraica del polinomio, podemos sustituir directamente el valor para interpolar de la otra variable v = 12:

3

L0 (12) =  j=0,j 0 3

L1 (12) =  j=0,j 1 3

L2 (12) =

(12-v j ) (v0 -v j ) (12-v j ) (v1-v j ) (12-v j )

 j=0,j 2

(v2 -v j )

3

(12-v j )

L3 (12) =  j=0,j 3

(v2 -v j )

= = = =

(12-v1 )(12-v2 )(12-v3 ) (v0 -v1 )(v0 -v 2 )(v 0 -v 3 ) (12-v0 )(12-v2 )(12-v 3 ) (v1-v0 )(v1-v 2 )(v1-v 3 ) (12-v0 )(12-v1)(12-v3 ) (v2 -v0 )(v2 -v1 )(v 0-v3 ) (12-v0 )(12-v1)(12-v2 ) (v3 -v0 )(v3 -v1 )(v 3-v2 )

=

(12-10)(12-15)(12-20) = -8/125 (5-10)(5-15)(5-20)

=

(12-5)(12-15)(12-20) = 84/125 (10-5)(10-15)(10-20)

=

(12-5)(12-10)(12-20) = 56/125 (15-5)(15-10)(15-20)

=

(12-5)(12-10)(12-15) = -7/125 (20-5)(20-10)(20-15)

Entonces se puede obtener el resultado final para la interpolación:

v=12:

p3 (12) = f0L0 (12) + f1L1 (12) + f2 L2 (12)

f3 L3 (12)

= (0.4)(-8/125) + (-0.76)(84/125) + (-1.48)(56/125) + (-2.48)(-7/ 125)

f(2, 12)

-1.0605

-1.0605

Tema 3: La concentración de bacterias contaminantes

c

en un lago decrece de acuerdo con la

relación

c

70e

1.5t

25e

0.075t

Se necesita determinar el tiempo para que la concentración de bacterias se reduzca a 9 unidades o menos. a) Determine un intervalo de exis tencia de la raíz de la ecuación. (Grafique)

c

f (t)

70e

1.5t

25e

0.075t

9

0

f   es una función decreciente:

f(12) > 0 f(14) < 0

r  [12, 14]

b) Encuentre un valor de t tal que la convergencia del método de Newton este garantizada. Por el teorema de convergencia, el método de Newton converge para valores t < r  Ej. t = 12 c) Aproxime la raíz con el método de Newton, indicando la cota del error.

t = t - f(t)/f'(t) = t - (70exp(-1.5*t)+25exp(-0.075t)-9)/(-105exp(-1.5t)-1.875exp(-0.0.75t)) Valores calculados 13.5272 13.6217 13.6220 13.6220 Error < 0.0001