Analisis Nodal

Unidad 2: Métodos de análisis.

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Introducción



Existen dos métodos fundamentales para analizar circuitos:  Análisis nodal.  Análisis de mallas. Estas técnicas se basan en la aplicación sistemática de las leyes de Kirchhoff: LCK y LVK, respectivamente. Lo que se obtiene al aplicar cada procedimiento, es un conjunto de ecuaciones lineales algebraicas. Las variables del conjunto de ecuaciones lineales son: •

•







•

•



Los voltajes de nodo, para el método de análisis nodal. Las corrientes de lazo, para el método de análisis de mallas.

El conjunto de ecuaciones lineales puede resolverse por cualquier método conocido como: Gauss, Gauss-Jordan, Regla de Kramer, etc.

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Análisis Nodal





Se basa en la ley de corrientes de Kichhoff y en la ley de Ohm para determinar los voltajes nodales de un circuito. Voltajes nodales: •

•

•



Suponga que un circuito posee n nodos. Uno de ellos se elige como el nodo de referencia: poseerá un potencial de 0 Volts. Definimos como voltajes nodales del circuito a la diferencia de tensión que existe entre cada uno de los n-1 nodos y el nodo de referencia.

No confundir voltaje nodal con voltaje de rama.

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Voltajes de nodo



En referencia al circuito de la figura: •

•



Si estamos interesados en conocer un voltaje de rama del circuito, por ejemplo Vr (por LVK): V r 



Posee 5 nodos, uno de referencia (el cual posee una tensión de 0Volts). Los demás nodos tendrán una tensión de V1, V2, V3 y V4, respectivamente, con respecto al nodo de referencia.



V 10



V 1





V 20



(V 1



V 0 )



(V 2



V 0 )

V 2

Todas las demás variables del circuito se determinarán a partir de los voltajes nodales. FCE – BUAP

V20

V30 V40

V10

Nodo de referencia

Análisis Nodal (continúa)

Abordaremos el tema dividiendo al análisis nodal en tres casos: 1. Análisis nodal sin fuentes de tensión (dependientes o independientes). Las fuentes de excitación son solo de corriente. 2. Análisis nodal con fuentes de tensión con una de sus terminales conectada al nodo de referencia. 3. Análisis nodal con fuentes de tensión conectadas entre dos nodos de no referencia. 

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1) Análisis nodal sin fuentes de tensión 

Procedimiento:

1. Seleccione un nodo como nodo de referencia. Los símbolos comunes  para indicar el nodo de referencia son:

2. Asigne las tensiones V1, V2, … , Vn-1 (aun desconocidas) a los n-1 nodos restantes del circuito, considerando que éste posee n nodos. FCE – BUAP



Ejemplo: Paso 2 V1

V2

Paso 1

V3

… Procedimiento (continúa)

3. Aplique la LCK a cada uno de los n-1 nodos de no referencia. Use la ley de Ohm para expresar las corrientes de rama en términos de los voltajes de nodo.

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Detalle del paso 3

Identifique la corriente de cada resistor con una etiqueta, por ejemplo: i1 , i2 ,…, i M  , donde M es el número de resistores del circuito.

 La dirección que se asigne es indistinta.

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i1

i3 i2

La asignación de etiquetas a las corrientes de los resistores no es necesaria cuando ya se ha adquirido suficiente experiencia en el uso del método.

Detalle del paso 3

Use la ley de Ohm para expresar las corrientes de rama en términos de los voltajes de nodo. 

Para el resistor de 1 W : Su corriente de rama es i1, su voltaje de rama en términos de los voltajes de nodo es V1 - V2 (de acuerdo a la ley pasiva de los signos), por lo tanto, por la ley de Ohm: i1 



V 1  V 2 1W

Para el resistor de 2 W : Su corriente y voltaje de rama son i1, y V2-0, respectivamente, por lo tanto, por la ley de Ohm: V 2  0 i2  2W

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

Para el resistor de 4 W : Su corriente y voltaje de rama son i1, y V2-0, respectivamente, por lo tanto, por la ley de Ohm: i3 

V 3  V 2

4W

Detalle del paso 3

 Aplique la LCK a cada uno de los n-1 nodos de no referencia. 

Para el nodo 1:

5 

i1

Para el nodo 2: i1







 i3 

i2

Sustituyendo las ecuaciones para i 1 , i2 e i3: 5

1W

V 1  V 2

Para el nodo 1:

4



i3

1W 4

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V 1  V 2



V 3  V 2

V 3  V 2

4W

4W



V 2  0

2W

… Procedimiento (continúa)

4.

Resuelva las ecuaciones simultáneas resultantes para obtener las tensiones de nodo desconocidos. Para evitar las fracciones en los coeficientes, multiplicamos cada ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones: 5 V 1  V 2

1W



V 1  V 2

1W V 3  V 2

4



4W V 3  V 2

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4W

5  (V 1  V 2 ) 4(V 1  V 2 )  (V 3  V 2 )  2V 2 16  (V 3  V 2 )

V 1 

 V 2 

4V 1



5

7V 2

 V 3 

 V 2  V 3  16

m.c.m.  1 V 2  0

2W

m.c.m.  4 m.c.m.  4

V 1



23 Volts

V 2



18 Volts

V 3



34 Volts

0

2) Análisis nodal con fuentes de tensión con una de sus terminales conectada al nodo de referencia Si una fuente de tensión (independiente o dependiente) está conectada entre el nodo de referencia y cualquier otro nodo, el voltaje nodal de este último será igual a la tensión de la fuente (con signo dependiendo de la polaridad de la fuente). Esto reduce la cantidad de ecuaciones del circuito, pues ya no se debe aplicar la LCK a este nodo. FCE – BUAP



Ejemplo: v1





v2

v3

En este circuito, v1=30V. Para determinar v2 y v3 se utiliza el análisis nodal. Ejercicio: Aplique el análisis nodal para determinar v2 y v3.

3) Análisis nodal con fuentes de tensión conectadas entre dos nodos de no referencia

Si una fuente de tensión (dependiente o independiente) está conectada entre dos nodos de no referencia se denomina fuente “flotada”. Los dos nodos de la fuente forman un supernodo o nodo generalizado: Un supernodo es una superficie cerrada que incluye a una fuente de tensión flotada y a cualesquiera elementos ( R, L,C  ) conectados en paralelo con ella. 

 

Cabe destacar que un supernodo puede incluir dos nodos o más. Para el análisis nodal, se aplica la LCK al supernodo; además se aplica la LVK, con la cual se obtiene la ecuación de restricción del supernodo. Habrán tantas ecuaciones de restricción como fuentes dentro del supernodo.

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… continúa



Ejemplo:

Supernodo



Además, tenemos un supernodo formado por los nodos 2 y 3. Aplicando la LCK al supernodo, tenemos: i1



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

v1



i2

En este circuito tenemos una fuente de tensión conectada al nodo de referencia, por lo tanto, v1=10V.

i2

 i3

Usando la ley de Ohm, i1



 i4 



v2

i4

2 v2





0



i3

8



v1



v3

4 v3



0

6

O sea: v v 1

2

2



v v 1

3

4

v



2

0

8

v



3

0

6

… continúa



Simplificando: 18v1





9v2



10v3



0

Sustituyendo v1=10V : 9v2







 v2  5  v3  

 10v3  180

Falta una ecuación: La obtenemos de la ecuación de restricción del supernodo. Redibujamos el circuito de la siguiente forma:





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Aplicando LVK, 0



v

2

 v3 

5

Esta se conoce como la ecuación de restricción del supernodo. Un circuito tiene tantas ecuaciones de restricción como la cantidad de  fuentes “flotadas” o supernodos. Resolviendo el sistema de ecuaciones, v2=12.1V y v3=7.1V.

Ejercicios

… en el pizarrón …

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