Análisis No lineal por grandes desplazamientos

UNIVERSIDAD NACIONAL NACIONAL DE INGENIERIA FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL UNIDAD DE POSGRADO

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NOLINEALIDAD POR GRANDES DESPLAZAMIENTOS

Introducción  Análisis

estructural de cables (puentes colgantes de gran luz)  tomar en cuenta efectos no lineales.

 La

clase de no linealidad que se presenta en estructuras de cable es la no linealidad geométrica.

 Las

estructuras de cables   2 tipos de no linealidad geométrica: No linealidad debido a grandes desplazamientos y la no linealidad debida a la catenaria.

 Suposiciones   el

comportamiento de los cables pueden separase y estudiarse independientemente.

 Cálculo

de flecha de montaje, efecto de cargas concentradas en puentes sin viga de rigidez  demuestran la necesidad de considerar la no linealidad de la estructura.

No linealidad debido a la catenaria del cable  Peso

propio del cable  No linealidades en la fuerza axial las tensiones y deflexiones se encuentran   interrelacionadas.

 No

linealidad debida a grandes desplazamientos y debido al efecto de la catenaria son dependientes. Este ultimo puede estimarse usando una formula aproximada sugerida por Leonhardt  Puede ser calculado independientemente introduciéndose adecuadamente en los coeficientes de la matriz de rigidez del cable.

 E  sa g 



 E 0



2

1

  

2

 L x E 0

12

3

 



E0 = Modulo de Young del cable sin efecto de la catenaria  = peso específico del cable.  = Esfuerzo de tension en el cable. Lx = Longitud de la proyección horizontal del cable.

No linealidad debido a grandes desplazamientos  Observando

un elemento antes y después de que haya experimentado deformaciones   introducen: a) cambios en la longitud del elemento, b) rotación de cuerpo rígido del elemento y c) curvatura en el elemento.

 Efectos

prácticos del análisis  despreciar la presencia de la curvatura por no ser muy significativa.

 El

cambio de longitud y la rotación de cuerpo rígido del elemento   Se pueden introducirse fácilmente en la matriz de rigidez en función de los desplazamientos en los extremos del elemento.

ANL por grandes desplazamientos – Análisis Matricial  Para

considerar los cambios en la geometría a medida que se incrementa la carga   obtener expresiones para los desplazamientos U   problema NL se estudia como una secuencia de pasos lineales (se aplica pequeños incrementos de carga hasta alcanzar la carga total).

 Grandes

desplazamientos   ecuaciones de equilibrio deben de plantearse en la geometría deformada  la relación matricial (F = K U), ya no se cumple. (F = fuerzas en el elemento, K = matriz de rigidez y U = desplazamientos)

 Sin

Fig. Peunte Akashi-Kaikyo, entre Kobe y Naruto Japón

embargo debido a la presencia de grandes deformaciones, las ecuaciones de deformación-desplazamiento contienen términos no lineales que deben de incluirse al calcular la matriz de rigidez K.

ANL por grandes desplazamientos – Análisis Matricial  Matriz

de rigidez modificada debido a los término no lineales

 K

= Ke + Kg.



Kg: matriz de rigidez geométrica (depende tanto de la geometría de los elementos como de las fuerzas presentes en estos)



Ke: es la matriz elástica del elemento (calculada para la geometría inicial del elemento, y la cual suele cambiar a medida que cambia la geometría del elemento). Paso

Rigidez

1

Ke(0)+Kg(0)

DU1

F1

2

Ke(U1)+Kg(U1)

DU2

F2

3

Ke(U2)+Kg(U2)

DU3

F3

...

.........

....

.....

 El

cálculo de este tipo de estructuras, se hace de manera incremental, el proceso de análisis se puede representar en el siguiente esquema

Desplazamiento Fuerza en el incremental elemento

Ejemplo aplicativo  Barras

elásticas sometidas a fuerza vertical.

Datos: L/2 = 5 m P = 14 tn a1 = 5° E = 1.61x107 tn/m2 A = 9.62x10-4 m2  Comportamiento   

nolineal usando:

Solución analítica (exacta) Forma iterativa Calculo matricial (que es la manera como trabajan los programas de calculo como el SAP2000)

Fig. Estructura a analizar

Ejemplo aplicativo  Solución analítica

Ejemplo aplicativo  Solución iterativa 

Otro método para calcular estructuras con no linealidad  procesos iterativos.



Se usarán dos formas de calculo iterativo i) Secuencia de de pasos lineales  se impone al sistema un desplazamiento pequeño Du   establecer relaciones lineales con la geometría del sistema. Los desplazamientos se incrementan hasta que la carga P que equilibra el sistema sea del valor que deseamos (para el ejemplo, P = 14 tn).

Fig. Desplazamientos incrementales

Ejemplo aplicativo  Solución iterativa

Ejemplo aplicativo  Solución iterativa

ii) Segunda alternativa: Secuencia de pasos lineales calculando las tensiones en los elementos considerando la configuración inicial. Seguidamente volver a calcular las tensiones con la posición corregida hasta que los valores converjan y se verifique el equilibrio.

Fig. Secuencia de cálculo lineal

Ejemplo aplicativo  Solución iterativa

Ejemplo aplicativo  Solución matricial

  Fig. Elongación y rotación axial de un cuerpo rígido





S: Matriz de fuerzas actuantes Ke: Matriz de rigidez elástica Kg: Matriz de rigidez geométrica

Se debe tener en cuenta la orientación de los elementos ya que las matrices mostradas han sido obtenidas para un elemento cuya posición inicial es horizontal.

Ejemplo aplicativo  Solución matricial

Fig. Modelo matemático

Ejemplo aplicativo usando software    

Propiedades de los materiales: E = 1.61x10 7 tn/m2 Sección: A = 9.62x10-4 m2 Usar elementos barra o cables Hacer análisis lineal estático y no lineal estático

L/2 = 5 m P = 14 tn a1 = 5° E = 1.61x107 tn/m2 A = 9.62x10-4 m2

Fig. Modelo matemático usando barras

Fig. Esquema

Ejemplo aplicativo usando software 

Verificando el equilibrio: El desplazamiento vertical del nudo central es -0.17758 m, con lo cual el ángulo para la configuración final será:



El valor de la tensión es de T = 57.3424 tn. Para que se cumpla el equilibrio se debe cumplir:



El valor de  2TSen( a )   debe ser igual a 14 tn. El valor de  2TSen( a )   es igual a 14.0012 tn. (cumple el equilibrio)



Aplicación en SAP2000

Preguntas