Analisis Matricial PDF
May 22, 2024 | Author: Anonymous | Category: N/A
Short Description
Download Analisis Matricial PDF...
Description
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
~1~
WLADIMIR DIEGO CURASMA
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS MÉTODO DE LAS RIGIDECES
~2~
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
CAPÍTULO I RESORTES
~1~
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN RESORTE ELASTICO: En la siguiente figura se presenta un resorte elástico sometido a fuerzas F1 y F2 que siguen la dirección de su eje.
K
F1 , 1
F2 , 2
δ1 y δ2 representan los desplazamientos nodales en la dirección de dichas fuerzas y la K es la constante del resorte. Por definición, la matriz de rigidez será del tipo mostrado en la expresión siguiente:
F1 k11 k12 1 ……………. (1.1) F2 k21 k22 2 Y para encontrar los valores de los diferentes términos se puede utilizar el concepto físico visto atrás: 1. CASO 1: Para obtener los coeficientes de la primera columna de la matriz anterior veamos el siguiente grafico en donde el nudo 1 tiene un desplazamiento unitario y el nudo 2 permanece en su posición. K
De la ecuación (1.1) tenemos lo siguiente:
F1 k111 k12 2 , F2 k211 k22 2
K
donde el desplazamiento en el nudo 2 es nulo y el desplazamiento del nudo 1 es igual a 1; de donde obtenemos:
´
F1 k111 k12 2 k11 ……………. (a) F2 k211 k22 2 k21 ……………. (b) Por la física se sabe que:
F1 k 1 k , por acción y reacción se produce la misma fuerza unitaria pero en sentido contrario
de
F2 F1 k .
~2~
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
De donde obtenemos los valores de los coeficientes de la primera columna:
k11 k k21 k 2. CASO 2: Para obtener los coeficientes de la segunda columna de la matriz (1.1) veamos el siguiente grafico en donde el nudo 2 tiene un desplazamiento unitario y el nudo 1 permanece en su posición. K
De la ecuación (1.1) tenemos lo siguiente:
F1 k111 k12 2 , F2 k211 k22 2
K ´
donde el desplazamiento en el nudo 2 es igual a 1 y el desplazamiento del nudo 1 es nulo; de donde obtenemos:
F1 k111 k12 2 k12 ……………. (a) F2 k211 k22 2 k22 ……………. (b) Por la física se sabe que:
F2 k 2 k 1 k , por acción y reacción se produce la misma fuerza unitaria pero en sentido contrario
F1 F2 k .
De donde obtenemos los valores de los coeficientes de la primera columna:
k12 k k22 k Por consiguiente, la matriz de rigidez del resorte será:
k k 1 1 K k ……………. (1.2) k k 1 1 Entonces, la ecuación (1.1) tendrá la siguiente forma:
F1 k k 1 ……………. (1.3) F2 k k 2
F K ~3~
de
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
PROBLEMA N° 1.1: En el sistema mostrado determinar los desplazamientos y la reacción del nodo 1. K1=4 N/mm
K2=6 N/mm
K3=3 N/mm
F2= -30 N
F4= 50 N
F1=F3=0
K2 F2
F4 K3
K1 K2
Grados de libertad del sistema que son 3 GDL
SOLUCIÓN: RESORTE K2
RESORTE K1: 0
1
1
4 4 K1 4 4
6 6 1 K2 6 6 2
0 1
RESORTE K3: 2
3
3 3 K3 3 3
2
2 3
Ensamblamos la matriz de rigidez global del sistema.
0 16 12 0 4 6 6 6 6 K 6 6 6 6 3 3 12 15 3 N mm 0 0 3 3 3 3
~4~
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
Formamos el vector fuerza de la estructura, colocamos las fuerzas en el nodo 2.
30 F 0 N 50 Hallamos los desplazamientos
F K de cada carretilla:
30 16 12 0 2 2 5 0 12 15 3 3 3 9.167 mm 50 0 3 3 4 4 25.833 Cálculo de las fuerzas de cada elemento: F K RESORTE K1:
F1 4 4 0 20 N F2 4 4 5 20
K1 20
20
RESORTE K2:
K2
F1 6 6 5 25 N F2 6 6 9.167 25
-25
25
RESORTE K3:
F1 3 3 9.167 50 N F2 3 3 25.833 50
K3 50
Por lo tanto las reacciones son:
R1 20()
~5~
50
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
PROBLEMA N° 1.2: Determinar las reacciones del sistema mostrado. 3K 5P
2K
P K
K
Grados de libertad del sistema que son 3 GDL
SOLUCIÓN: RESORTE AB: 0
K AB
1
2 2 0 K 2 2 1
RESORTE BC: 1
K BC
2
3 3 1 K 3 3 2
RESORTE BD: 1
K AB
3
1 1 1 K 1 1 3
RESORTE DE: 3
0
1 1 3 K AB K 1 1 0
~6~
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
Ensamblamos la matriz de la estructura.
6 3 1 K K 3 3 0 1 0 2 Formamos el vector fuerza de la estructura.
0 F P 5 1 Obtenemos los desplazamientos mediante la ecuación: F K
0 6 3 1 1 P 5 K 3 3 0 2 1 1 0 2 3
1 1.8 P 2 K 3.467 0.4 3 Para determinar las reacciones usamos los resortes AB y DE.
2 2 0 P 3.6 F AB K P 2 2 1.8 K 3.6 1 1 0.4 P 0.4 F DE K P 1 1 0 K 0.4 Por lo tanto las reacciones son:
RA 3.6 P() RE 0.4 P()
~7~
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
PROBLEMA N° 1.3: Resuelva la estructura mostrada, esto es, encuentre reacciones, desplazamientos y fuerzas internas para una fuerza de 5000 N aplicada en el nudo C, K1=1000 N/mm, K2=2000 N/mm y K3=3000 N/mm. 5000 N K3
K2
K1
Grados de libertad del sistema que son 2 GDL K3
K2
K1
SOLUCIÓN: RESORTE K1: 0
1
1000 1000 0 K1 1000 1000 1 RESORTE K2: 1
2
2000 2000 1 K1 2000 2000 2 RESORTE K3: 2
0
3000 3000 2 K1 3000 3000 0 Ensamblamos la matriz de la estructura.
2000 3000 2000 1000 2000 K 2000 3000 2000 5000 2000
~8~
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
Formamos el vector fuerza de la estructura.
0 F 5000 Obtenemos los desplazamientos mediante la ecuación: F K 0 3000 5000 2000
2000 1 5000 2
10 1 11 mm 2 15 11 Para obtener las reacciones calculamos las fuerzas internas de cada resorte:
F
K1
F K2
F
K3
0 1000 1000 909.091 10 N 1000 1000 909.091 11
10 2000 2000 11 909.091 N 2000 2000 15 909.091 11 15 3000 3000 4090.909 11 N 3000 3000 0 4090.909
Por lo tanto la reacción el nudo A y D es:
RA 909.091() RD 4090.909()
~9~
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
PROBLEMA N° 1.4: Resuelva la estructura mostrada, esto es, encuentre reacciones, desplazamientos y fuerzas internas. 20 KN
50 KN
A
Ka
1
B
C Kb
2 Ka
Grados de libertad del sistema que son 2 GDL
Kb
SOLUCIÓN: RESORTE AB: 1
K AB
2
600 600 1 600 600 2
RESORTE BC: 2
K BC
0
200 200 2 200 200 0
Ensamblamos la matriz de la estructura.
600 600 K 600 800 Formamos el vector fuerza de la estructura.
50 F 20 Obtenemos los desplazamientos mediante la ecuación: F K 50 600 20 600
600 1 800 2
7 1 30 m 2 3 20
~ 10 ~
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
Para obtener las reacciones calculamos las fuerzas internas de cada resorte:
F AB
F
BC
7 600 600 30 50 KN 600 600 3 50 20 3 200 200 30 20 KN 200 200 0 30
50 KN
50 KN
A
B
Ka
Fuerzas internas en los resortes 30 KN
30 KN
B
C Kb
Por lo tanto la reacción el nudo C es:
RC 30 KN () PROBLEMA N° 1.5: Para el conjunto de muelles que se muestra en la siguiente figura, obtenga: a) La matriz de rigidez global. b) Los desplazamientos en los nodos. c) Fuerzas en los elementos locales. El nodo 1 es fijo mientras que el nodo 5 tiene un desplazamiento de 20 mm las constantes de los resortes son todas iguales a K= 200 KN/m. F5x K1
K2
K1
K2
K3
K3
SOLUCIÓN: RESORTE K1: 0
1
200 200 0 K1 200 200 1
~ 11 ~
K4
K4
20 mm
Grados de libertad del sistema que son 4 GDL
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
RESORTE K2: 1
2
200 200 1 K2 200 200 2 RESORTE K3: 2 3
200 200 2 K3 200 200 3 RESORTE K4: 3 4
200 200 3 K4 200 200 4 a) Ensamblamos la matriz de rigidez global del sistema.
200 0 0 400 200 0 0 200 200 200 200 200 200 0 200 400 200 0 KN K 0 200 200 200 200 0 200 400 200 m 0 0 200 200 0 0 200 200 Formamos el vector fuerza de la estructura, las fuerzas en los nodos 2, 3, 4 son cero ya que no existe ninguna fuerza externa.
F2 0 F 0 F 3 F4 0 F5 F5 b) Obtenemos los desplazamientos mediante la ecuación: F K
0 0 2 0 400 200 0 3 0 200 400 200 , como se sabe que 5 =20mm=0.02m. 0 0 200 400 200 4 0 200 200 5 F5 0
~ 12 ~
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
0 0 2 0 400 200 0 3 0 200 400 200 0 0 200 400 200 4 0 200 200 0.02 F5 0 Resolviendo el sistema de matrices:
0 2 0 0 400 200 0 200 400 200 3 0 0.02 0 0 200 400 4 200 2 0.005 3 0.01 m 0.015 4 c) Fuerzas en los elementos locales. RESORTE K1:
f11 200 200 0 1 2 KN f1 200 200 0.005 1
1 KN
1 KN K1
RESORTE K2:
f 21 200 200 0.005 1 2 KN f 2 200 200 0.01 1
1 KN K2
RESORTE K3:
f31 200 200 0.01 1 2 KN f3 200 200 0.015 1
1 KN
1 KN K3
RESORTE K4:
f 41 200 200 0.015 1 2 KN f 4 200 200 0.02 1
1 KN
1 KN
1 KN K4
PROBLEMA N° 1.6: Dos carros están conectados por la disposición de resortes que se muestra en la Figura (a) Determine el conjunto completo de ecuaciones de equilibrio para el sistema en el forma [K] {U} = {F}. (b) Si k = 50 lb./in., F1 = 20 lb., y F2 = 15 lb., calcule el desplazamiento de cada carretilla y la fuerza en cada resorte.
~ 13 ~
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
Grados de libertad del sistema que son 2 GDL
SOLUCIÓN: RESORTE k1: 0
RESORTE k2: 1
1
2k 2k 1 K2 2k 2k 2
k k 0 K1 k k 1 RESORTE k3: 1
2
RESORTE k4: 2
0
0
k k 2 K4 k k 0
2k 2k 1 K3 2k 2k 0 a) Ensamblamos la matriz de rigidez global del sistema.
k 2k 2k 2k 5k 2k K 2k k 2k 3k 2k Formamos el vector fuerza de la estructura, colocamos las fuerzas en los nudos 1 y 2.
F F 1 F2 Hallamos los desplazamientos
F K
~ 14 ~
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
F1 5k 2k 1 F2 2k 3k 2 b) Si k = 50 lb./in., F1 = 20 lb., y F2 = 15 lb., calcule el desplazamiento de cada carretilla y la fuerza en cada resorte. Ensamblamos la matriz de rigidez global del sistema.
5k 2k 250 100 K 2 k 3 k 100 150 Formamos el vector fuerza de la estructura, colocamos las fuerzas en los nudos 1 y 2.
F 20 F 1 F2 15 Hallamos los desplazamientos
F K de cada carretilla:
20 250 100 1 1 0.05455 in 15 100 150 2 2 0.06364 Cálculo de las fuerzas de cada elemento: F K RESORTE k1:
0 F1 50 50 2.7275 lb F2 50 50 0.05455 2.7275 RESORTE k2:
F1 100 100 0.05455 11.819 lb F 100 100 0.06364 11.819 2 RESORTE k3:
F1 100 100 0.05455 5.455 lb F 100 100 0 5.455 2 RESORTE k4:
F1 50 50 0.06364 3.182 lb F 50 50 0 3.182 2
~ 15 ~
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
PROBLEMA N° 1.7: Tres carros están conectados por la disposición de resortes que se muestra en la figura determinar la matriz global del sistema, calcular los desplazamientos en cada nodo y reacciones que se producen en los nodos empotrados, los carros son infinitamente rígidos.
Grados de libertad del sistema que son 3 GDL
SOLUCIÓN: RESORTE k1: 0
RESORTE k2: 1
1
80 80 1 K2 80 80 2
60 60 0 K1 60 60 1 RESORTE k3: 1
2
RESORTE k4: 1
2
3
150 150 K4 150 150
50 50 1 K3 50 50 2
~ 16 ~
1 3
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
RESORTE k6:
RESORTE k5: 2
3
3
120 120 K5 120 120
0
180 180 K6 180 180
2 3
Ensamblamos la matriz de rigidez global del sistema.
80 50 150 60 80 50 150 340 130 150 K 80 50 80 50 120 120 130 250 120 150 120 150 120 180 150 120 450 Formamos el vector fuerza de la estructura, colocamos las fuerzas en los nudos 1 ,2 y 3.
100 F 0 lb 80 Hallamos los desplazamientos
F K de cada carretilla:
100 340 130 150 1 1 0.91026 0 130 250 120 2 2 0.80769 in 80 150 120 450 0.69658 3 3 Cálculo de las fuerzas de cada elemento: F K RESORTE k1:
F1 60 60 0 54.6156 lb F2 60 60 0.91026 54.6156 RESORTE k2:
F1 80 80 0.91026 8.2056 lb F2 80 80 0.80769 8.2056 RESORTE k3:
F1 50 50 0.91026 5.1285 lb F2 50 50 0.80769 5.1285
~ 17 ~
3 0 } 0
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
RESORTE k4:
F1 150 150 0.91026 32.052 lb F2 150 150 0.69658 32.052 RESORTE k5:
F1 120 120 0.80769 13.3332 lb F2 120 120 0.69658 13.3332 RESORTE k6:
F1 180 180 0.69658 125.3844 lb F2 180 180 0 125.3844 Del cálculo de fuerzas de cada resorte tenemos que las reacciones ocurren en los resortes 1 y 6 de donde obtenemos las reacciones: K1
K6
De donde obtenemos las reacciones en el lado izquierdo y lado derecho del sistema:
RIZQUIERDA 54.6156 RDERECHO 125.3844 PROBLEMA N° 1.8: Para el ensamble de resortes obtenga la matriz de rigidez global, los desplazamientos de los nodos 2, las fuerzas nodales globales y las fuerzas locales de cada resorte. K1=1000 N/mm, K2=2000 N/mm y K3=3000 N/mm, se aplica una fuerza de P=10 N tal como se muestra en el siguiente gráfico.
~ 18 ~
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
Grados de libertad del sistema que son 1 GDL
SOLUCIÓN: RESORTE K2:
RESORTE K1: 0
1
1
1000 1000 K1 1000 1000
2000 2000 1 K2 2000 2000 0
0 1
RESORTE K3: 1
0
3000 3000 1 K3 3000 3000 0 Ensamblamos la matriz de rigidez global del sistema.
K 1000 2000 3000 6000 N
mm
Formamos el vector fuerza de la estructura, colocamos las fuerzas en el nodo 2.
F 10 N Hallamos los desplazamientos
0
F K de cada carretilla:
10 6000 2 2
10 1 mm mm 6000 600
~ 19 ~
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
Cálculo de las fuerzas de cada elemento: F K RESORTE K1:
0 5 F1 1000 1000 3N 1 5 F2 1000 1000 600 3
K1
RESORTE K2:
1 10 F1 2000 2000 3 N 600 F2 2000 2000 0 10 3
K2
RESORTE K3: K3
1 F1 3000 3000 5 600 N F2 3000 3000 0 5
~ 20 ~
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
CAPÍTULO II MIEMBROS CARGADOS AXIALMENTE
~1~
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
En este capítulo, usaremos el elemento de barra en el análisis de miembros cargados axialmente en forma de varilla. Comenzamos con los dos elementos de barra populares que utilizan un elemento de dos nodos y un elemento de tres nodos, así como barras de área de sección constante, barras de área de sección transversal variable y la barra escalonada. El estrés es una fuerza interna que se ha distribuido en el área de la sección transversal de la varilla y se define como:
F A Donde σ es el estrés, F es la fuerza y A es el área de la sección transversal.
En la figura anterior se presenta una barra prismática sometida a tensión simple. En Resistencia de materiales se vio que dicha barra experimenta una elongación d dada por:
FL EA
Despejando se obtiene: F
EA L
Completamente análoga a la obtenida para el resorte elástico si considera una constante del resorte equivalente:
Ke
EA L
En consecuencia, se puede escribir que la matriz de rigidez de una barra sometida a tensión o compresión simple, está dada por:
EA EA L L EA 1 1 K EA EA L 1 1 L L
~2~
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
BARRA SOMETIDAS A CAMBIO DE TEMPERATURA:
t t f t0 , el incremento de temperatura está dado por la diferencia de la temperatura final menos la temperatura inicial, los incrementos de temperatura generan esfuerzos internos de compresión, mientras que los decrementos de temperatura originan esfuerzos internos de tracción. L,A,E Δt+
dt dn
Incremento temperatura:
t t f t0
Deformación Termina:
t L t
Deformación Mecánica:
a
Igualando:
NL EA
a t
L t
NL EA
N EA t
El vector fuerza por incremento de temperatura es la siguiente:
EA t 1 f0 EA t EA t 1
~3~
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
PROBLEMA N° 2.1: Determinar el alargamiento producido en el extremo inferior debido a las cargas aplicadas. Desprecie la deformación producida por peso propio.
E 2 106 kg / cm2 A3 6cm2
A2 5cm2
A1 2cm2
6 Ton
III 40 cm
2 Ton
1
2
I
II 80 cm
Grados de libertad del sistema que son 3.
80 cm
SOLUCIÓN: Determinamos la matriz de rigidez de cada elemento: ELEMENTO III: 0
1
0.15 0.15 0 K III E 0.15 0.15 1 ELEMENTO II: 1
2
0.0625 0.0625 1 K II E 0.0625 0.0625 2 ELEMENTO I: 2
3
0.025 0.025 2 KI E 0.025 0.025 3 Ensamblamos la matriz de la estructura.
0 0.2125 0.0625 K E 0.0625 0.0875 0.025 0 0.025 0.025
~4~
3
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
Formamos el vector fuerza de la estructura.
0 F 6000 kg 2000 Obtenemos los desplazamientos mediante la ecuación: F K
0 1 0 0.2125 0.0625 6000 E 0.0625 0.0875 0.025 2 2000 0 0.025 0.025 3
E 2 106 kg / cm2
1 0.027 2 0.091 cm 0.131 3 Vemos que son desplazamientos totales de los nudos si queremos de cada barra se hace una diferencia entre desplazamientos.
1 0.027cm 2 0.091 0.027 0.064cm 3 0.131 0.091 0.04cm PROBLEMA N° 2.2: Una varilla está formada por tres partes distintas como se indica en la figura y soporta las cargar mostrada, determinar los esfuerzos en cada elemento si los extremos están fijamente empotrados en unos muros muy rígidos.
A 2400mm 2
E 83KN mm 2
Alu min io : A 1200mm 2
E 70 KN mm 2
Bronce : Acero :
A 600mm 2
E 200 KN mm 2
~5~
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
120 KN
Diego Curasma Wladimir
50 KN ACERO
ALUMINIO BRONCE
600 mm
400 mm
Grados de libertad del sistema que son 2 GDL
300 mm
SOLUCIÓN: Determinamos la matriz de rigidez de cada elemento: ELEMENTO I (BRONCE): 0 1
332 332 0 KI 332 332 1 ELEMENTO II (ALUMINIO): 1 2
210 210 1 K II 210 210 2
ELEMENTO III (ACERO): 2 0
400 400 2 K III 400 400 0 0 Ensamblamos la matriz de la estructura.
210 542 210 KN 332 210 K 210 210 400 210 610 mm Formamos el vector fuerza de la estructura.
120 F KN 50 Obtenemos los desplazamientos mediante la ecuación: F K
~6~
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
120 542 210 1 50 210 610 2
1 0.29213 mm 2 0.18254 Cálculo de las fuerzas de cada elemento: F K ELEMENTO I (BRONCE):
0 F1 332 332 96.99 KN F2 332 332 0.29213 96.99
COMPRESION
ELEMENTO II (ALUMINIO):
F1 210 210 0.29213 23.01 KN F2 210 210 0.18254 23.01
TRACCION
ELEMENTO III (ACERO):
F1 400 400 0.18254 73.01 KN 0 73.01 F2 400 400
TRACCION
Cálculo los esfuerzo de cada elemento: F A
96.99 KN 40.41MPa 2400mm 2 23.01KN 19.18MPa ELEMENTO II (ALUMINIO): ALUMINIO 1200mm 2 73.01KN 121.68MPa ELEMENTO III (ACERO): ACERO 600mm 2 ELEMENTO I (BRONCE): BRONCE
PROBLEMA N° 2.3: Calcular los esfuerzos normales que se generan en los elementos del sistema elástico representado. Considerar E 10 kg cm ; para las tres barras A1= 20 cm2, A2=35 cm2, A3=40 cm2. 5
2
~7~
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
8m
3
Grados de libertad del sistema que son 3 GDL 7m
2
16000Kg 5m
1 0.038m
SOLUCIÓN: Determinamos la matriz de rigidez de cada elemento: ELEMENTO 3: 0
1
5000 5000 0 K3 5000 5000 1 ELEMENTO 2: 1
2
5000 5000 1 K2 5000 5000 2 ELEMENTO 1: 2
3
4000 4000 2 K1 4000 4000 3 Ensamblamos la matriz de la estructura.
5000 0 10000 5000 0 5000 5000 kg K 5000 5000 4000 4000 5000 9000 4000 cm 0 4000 4000 0 4000 4000
~8~
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
Formamos el vector fuerza de la estructura.
0 F 16000 kg 0 Supuesto que no existiese la restricción del piso rígido, obtenemos los desplazamientos mediante la ecuación: F K
0 1 0 10000 5000 16000 5000 9000 4000 2 0 0 4000 4000 3 1 3.2 2 6.4 cm 6.4 3 Puesto que el desplazamiento del nodo 3 es 6.4>3.8, en el extremo libre se presentará una Reacción, que impida el alargamiento total. Obtenemos los desplazamientos mediante la ecuación: F K , considerando el desplazamiento en el nudo 3 de 3.8 cm.
0 1 0 10000 5000 16000 5000 9000 4000 2 0 0 4000 4000 3.8 Resolviendo el sistema de matrices:
0 10000 5000 1 0 3.8 16000 5000 9000 2 4000
1 2.4 cm 2 4.8 Cálculo de las fuerzas de cada elemento: F K ELEMENTO 1:
F1 4000 4000 4.8 4000 kg F2 4000 4000 3.8 4000
~9~
COMPRESION
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
ELEMENTO 2:
F1 5000 5000 2.4 12000 kg F2 5000 5000 4.8 12000
TRACCION
ELEMENTO 3:
F1 5000 5000 0 12000 kg F2 5000 5000 2.4 12000
TRACCION
Cálculo los esfuerzo de cada elemento: F A
4000kg kg 200 2 COMPRESION 2 20cm cm 12000kg kg 342.857 2 ELEMENTO (2): 2 TRACCION 2 35cm cm 12000kg kg 300 2 TRACCION ELEMENTO (3): 3 2 40cm cm ELEMENTO (1): 1
PROBLEMA N° 2.4: Encuentre el desplazamiento nodal, el esfuerzo en cada elemento de la Figura como se muestra a continuación. Si la estructura está sujeta a un aumento de temperatura, ΔT = 75 ° C, P1 =50 kN, P2= 75 kN. BRONCE A=2400 mm2 E=83 GPA α=18.9 x 10-6/°C
A
B
P1
C
ALUMINIO A=1200 mm2 E=70 GPA α =23 x 10-6/°C
P2
ACERO A=600 mm2 E=200 GPA α =11.7 x 10-6/°C
D ACERO
ALUMINIO BRONCE
800 mm
600 mm
400 mm
~ 10 ~
Grados de libertad del sistema que son 2 GDL
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
SOLUCIÓN: Determinamos la matriz de rigidez de cada elemento: L1=800 mm,
L2=600mm,
L3=400mm
A1=2400 mm2,
A2=1200 mm2,
A3=600 mm2
E1=83 x 103 N/mm2,
E2=70 x 103 N/mm2,
E3=200 x 103 N/mm2,
α1=18.9 x 10-6/°C,
α2=23 x 10-6/°C,
α3=11.7 x 10-6/°C,
BRONCE: 0
K Bronce
1
1 E1 A1 1 1 83 103 2400 1 1 3 1 249 10 L1 1 1 800 1 1 1 1
0 1
ALUMINIO: 1
K Aluminio
2
1 E2 A2 1 1 70 103 1200 1 1 3 1 140 10 L2 1 1 600 1 1 1 1
1 2
ACERO: 2
K Acero
0
1 E3 A3 1 1 200 103 600 1 1 3 1 300 10 L3 1 1 400 1 1 1 1
Ensamblamos la matriz de la estructura.
140 249 140 389 140 3 3 K 10 10 140 300 140 140 440 Vector de fuerzas externas en los nodos del sistema.
50 NODO 3 FEXT 10 N 75
1 2
~ 11 ~
2 0
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
Vector de fuerzas de las elongaciones debidas a incrementos de temperatura en cada elemento.
EA t 1 f0 EA t , Δt=60° C EA t 1
1 1 1 0 F0BRONCE E1 A11 t 83 103 2400 18.9 106 75 282.37 103 N 1 1 1 1 1 1 1 1 F0ALUMINIO E2 A2 2 t 70 103 1200 23 106 75 144.9 103 N 2 1 1 1
1 1 1 2 F0ACERO E3 A33 t 200 103 600 11.7 106 75 105.3 103 N 1 1 1 0 Vector de fuerzas internas del sistema.
282.37 144.9 137.47 3 3 FT e F0(e) 10 10 N Esta fuerza corresponde al grado 144.9 105.3 39.6 de libertad 1 y 2. vector de fuerzas externas del sistema F, ensamble de las fuerzas
F Fexter .nudos FT
50 3 137.47 3 50 137.47 3 87.47 3 F 10 10 10 10 N 75 39.6 75 39.6 35.4 Hallamos los desplazamientos
F K
87.47 3 389 140 3 1 10 10 35.4 140 440 2
1 0.2212 mm 0.0101 2 Cálculo de las fuerzas de cada elemento: F K F0TERMICO ELEMENTO BRONCE:
1 0 F1 1 227291.2 3 1 282.37 103 249 10 N 1 1 0.2212 1 227291.2 F2
~ 12 ~
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
ELEMENTO ALUMINIO:
1 0.2212 F1 177282 3 1 3 1 140 10 144.9 10 N 1 1 0.0101 1 177282 F2 ELEMENTO ACERO:
1 0.0101 F1 1 102270 3 1 105.3 103 300 10 N 1 1 0 1 102270 F2 Cálculo los esfuerzo de cada elemento: F A
227291.2 N N 94.7 2 2400mm mm 2 177282 N N 147.74 ELEMENTO (ALUMINIO): 2 2 1200mm mm 2 102270 N N 170.45 ELEMENTO (ACERO): 3 2 600mm mm 2
COMPRESION
ELEMENTO BRONCE1): 1
COMPRESION COMPRESION
PROBLEMA N° 2.5: La barra compuesta de la figura, está firmemente sujeta a soportes indeformables. Se aplica una fuerza axial P=50 kips a una temperatura de 60° F. Calcular los esfuerzos en cada material a la temperatura de 120° F, α=6.5x10-6 in/(in. °F) para el acero y α=12.80x10-6 in/(in. °F) para el aluminio. 15 in
10 in
P
ALUMINIO
ACERO
E=10x106 psi
E=29x106 psi
A=2 in2
A=3 in2
Grados de libertad del sistema que son 1 GDL
Psi=lb/in2
SOLUCIÓN:
1 kips=1000 lbf
ALUMINIO: 0
K Alu min io
1 E1 A1 1 1 10 106 2 1 1 4 6 1 10 L1 1 1 15 1 1 3 1 1
~ 13 ~
1 0 1
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
ACERO: 1
K Acero
0
1 E2 A2 1 1 29 106 3 1 1 87 6 1 10 L2 1 1 10 1 1 10 1 1
1 0
Ensamblamos la matriz de la estructura.
4 87 301 6 lb K 106 10 in 3 10 30 Vector de fuerzas externas en los nodos del sistema. NODO FEXT 50 103 lb
1
Vector de fuerzas de las elongaciones debidas a incrementos de temperatura en cada elemento.
EA t 1 f0 EA t , Δt=60° C EA t 1
1 1 1 F0ALUMIN E1 A11 t 10 106 2 12.8 106 60 15.36 103 lb 1 1 1
0
1 1 1 F0ACERO E2 A2 2 t 29 106 3 6.5 106 60 33.93 103 lb 1 1 1
1
Vector de fuerzas internas del sistema.
FT F0(e) 15.36 33.93 103 18.57 103 lb Esta fuerza corresponde al grado de libertad 1. vector de fuerzas externas del sistema F, ensamble de las fuerzas
F 50 103 18.57 103 31.43 103 lb Hallamos los desplazamientos
F K
~ 14 ~
F Fexter .nudos FT
1
0
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
31.43 103 lb
301 6 lb 10 1 in 30
94.29 102 in 301 1 0.00313 in
1
Cálculo de las fuerzas de cada elemento: F K F0TERMICO ELEMENTO ALUMINIO:
0 1 F1 4 6 1 102 15.36 103 1 11183.25 lb 94.29 10 1 1 1 11183.25 F2 3 301 ELEMENTO ACERO:
94.29 1 F1 61183.25 6 1 2 3 1 301 10 33.93 10 8.7 10 lb 1 1 0 1 61183.25 F2 Cálculo los esfuerzo de cada elemento: F A
11183.25 lb lb 5591.62 2 2 2 in in 61183.25 lb lb 20394.42 2 ELEMENTO (ACERO): 2 2 3 in in ELEMENTO (ALUMINIO): 1
COMPRESION COMPRESION
PROBLEMA N° 2.6: Una varilla de acero que tiene una sección constante de 300 mm2 y una longitud de 150 m se suspende verticalmente de uno de sus extremos y soporta una carga de 20 kN que pende de su extremo inferior. Si la densidad del acero es 7850 kg/m3 y E=200x103 MN/m2, determine el alargamiento de la varilla.
75 m
B
75 m
ACERO
150 m
A
Para el ejemplo dividimos la barra en dos tramos tal como se muestra. Los grados de libertad del sistema que son 2 GDL.
1 C
P
2
~ 15 ~
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
SOLUCIÓN: Determinamos la matriz de rigidez de cada elemento: ACERO TRAMO AB (1): 0
K AB
1
1 N E1 A1 1 1 200 109 300 106 1 1 5 1 8 10 L1 1 1 75 1 1 1 1 m
0 1
ACERO TRAMO BC (2): 1
K BC
2
1 N E2 A2 1 1 200 109 300 106 1 1 5 1 8 10 L2 1 1 75 1 1 1 1 m
Ensamblamos la matriz de la estructura.
1 N 1 1 1 5 2 K 8 105 8 10 1 1 1 1 m Formamos el vector fuerza de la estructura debido a la carga externa P.
0 1 FEXT . N 3 2 20 10 El vector de carga nodal debido al peso es:
FPROPIO
AgL 2 , donde densidad , A area, g gravedad , L longitud AgL 2
FAB
6 AgL1 7850 300 10 9.81 75 866.345625 0 2 2 6 AgL 866.345625 7850 300 10 9.81 75 1 1 2 2
FBC
6 AgL2 7850 300 10 9.81 75 866.345625 2 1 2 6 AgL2 7850 300 10 9.81 75 866.345625 2 2 2
~ 16 ~
1 2
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
Ensamblamos el vector de fuerzas debido al peso propio:
866.345625 866.345625 1732.69125 FPROPIO 866.345625 866.345625 Ensamblamos el vector de fuerzas del sistema:
0 1732.69125 1732.69125 FSISTEMA FEXT . FPROPIO 3 20 10 866.345625 20866.345625 Hallamos los desplazamientos
F K
1 B 1732.69125 5 2 8 10 20866.345625 1 1 C
B 0.02825 28.25 m mm 0.05433 54.33 C PROBLEMA N° 2.7: Encuentre los desplazamientos nodales, las tensiones del elemento y la reacción en la barra cónica sometida a una carga de 6000 N como se muestra en la Figura 3.21. Además, el miembro experimenta un aumento de temperatura de 30 ° C. Use 3 elementos de igual longitud para el modelo de elementos finitos. Tome E = 200 GPa, v = 0.3, y α = 7 × 10 -6 / ° C.
1000 mm2
2000 mm2
6000 N
El área del elemento en el empotramiento es de 2000 mm2 y al final 1000 mm2, para desarrollar en problema se debe obtener el modelo de elementos finitos.
1500 mm
SOLUCIÓN: Determinamos el modelo de elementos finitos con 03 elementos tal como se muestra.
A1
A2
A3
6000 N 500 mm
500 mm
500 mm
Grados de libertad del sistema 3.
~ 17 ~
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
Determinamos los parámetros del modelo de elementos finitos: .
L1 L2 L3 500 mm
T 30o C
,
E 2 105
N mm 2
A1 2000 mm2 2000 1000 =1500 mm2 2 A3 1000 mm2
A2
Determinamos la matriz de rigidez de cada elemento: TRAMO (A1): 0
K A1
1
1 N E1 A1 1 1 2 105 2000 1 1 5 1 8 10 L1 1 1 500 1 1 1 1 mm
0 1
TRAMO (A2): 1
K A2
2
1 N E2 A2 1 1 2 105 1500 1 1 5 1 6 10 L2 1 1 500 1 1 1 1 mm
1 2
TRAMO (A3): 2
3
1 N E3 A3 1 1 2 105 1000 1 1 5 1 K A3 4 10 L3 1 1 500 1 1 1 1 mm Ensamblamos la matriz de la estructura.
0 8 6 6 14 6 0 N 5 K 6 6 4 4 10 6 10 4 105 mm 0 0 4 4 4 4
~ 18 ~
2 3
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
Vector de fuerzas externas en los nodos del sistema.
NODO EXT
F
0 0 N 6000
1 2 3
Vector de fuerzas de las elongaciones debidas a incrementos de temperatura en cada elemento.
EA t 1 f0 EA t , Δt=30° C EA t 1
1 1 1 0 F0A1 E1 A11 t 2 105 2000 7 106 30 84 103 N 1 1 1 1 1 1 1 1 F0A1 E1 A11 t 2 105 1500 7 106 30 63 103 N 2 1 1 1 1 1 1 2 F0A1 E1 A11 t 2 105 1000 7 106 30 42 103 N 3 1 1 1 Vector de fuerzas internas del sistema.
FT F
(e) 0
84 63 21 3 63 42 10 21 103 N 42 42
vector de fuerzas externas del sistema F, ensamble de las fuerzas
0 21 21000 F 0 21 103 21000 N 6000 42 48000 Hallamos los desplazamientos
F K
21000 14 6 0 1 5 21000 6 10 4 10 2 48000 0 4 4 3
~ 19 ~
F Fexter .nudos FT
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
1 0.1125 2 0.2275 mm 0.3475 3 Cálculo de las fuerzas de cada elemento: F K F0TERMICO ELEMENTO A1:
1 0 F1 6000 5 1 3 1 8 10 84 10 N 1 1 0.1125 1 6000 F2 ELEMENTO A2:
1 0.1125 F1 1 6000 5 1 63 103 6 10 N 1 1 0.2275 1 6000 F2 ELEMENTO A3:
1 0.2275 F1 1 6000 5 1 42 103 4 10 N 1 1 0.3475 1 6000 F2 Cálculo los esfuerzo de cada elemento: F A
6000 N N 3 3MPa 2 2000 mm mm 2 6000 N N 4 4 MPa ELEMENTO (A2): 2 2 1500 mm mm 2 6000 N N 6 6 MPa ELEMENTO (A3): 3 2 1000 mm mm 2 ELEMENTO (A1): 1
La reacción la obtenemos de las fuerzas del elemento A1: 6000N
6000N
De donde en el nodo i se produce la reacción:
R 6000
~ 20 ~
TRACCION TRACCION TRACCION
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
PROBLEMA N° 2.8: Considere la placa delgada (de acero) en la figura, la placa tiene un espesor uniforme t = 1 in., Módulo de Young E = 30x106 psi, y el peso específico es de 0.2836 lb/in3. Además de su propio peso, la placa está sujeta a una carga puntual P = 100 lb en su punto medio. a) Modela la placa con dos elementos finitos. b) Escriba expresiones para las matrices de rigidez del elemento y los vectores de fuerza de cada elemento. c) Obtener la matriz de rigidez estructural K y el vector de carga global F. d) Obtener los desplazamientos de los nodos. e) Evaluar las tensiones en cada elemento. f) Determine la fuerza de reacción en el soporte
24 in
12 in
6 in
P
3 in
SOLUCIÓN: a) Modelado de la placa con dos elementos finitos.
12 in
5.25 in
24 in
1
1
12 in
P
1
Grados de libertad del sistema 2.
2
2
3.75 in
2
~ 21 ~
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir 6 in
El ancho del elemento 1 se obtiene de la siguiente manera:
6 4.5 5.25 in 2 3 4.5 l2 3.75 in 2
12 in
l1
24 in
4.5 in
El área transversal de cada elemento será:
A1 l1 t 5.25 1 5.25 in2 A2 l2 t 3.75 1 3.75 in2
3 in
b) Expresiones para las matrices de rigidez del elemento y los vectores de fuerza de cada elemento, E = 30x106 lb/in2. b.1) Matriz de rigidez de cada elemento ELEMENTO 1: 0
K1
1
1 lb E1 A1 1 1 30 106 5.25 1 1 6 1 13.125 10 L1 1 1 12 1 1 1 1 in
0 1
ELEMENTO 2: 1
2
1 lb E2 A2 1 1 30 106 3.75 1 1 6 1 K2 9.375 10 L2 1 1 12 1 1 1 1 in
1 2
b.2) Vector fuerza de cada elemento El vector de carga nodal debido al peso es:
FPROPIO
FPROPIO
AgL 2 , donde densidad , A area, g gravedad , L longitud AgL 2 AL 2 , donde g peso especifico AL 2
~ 22 ~
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
A1 L1 0.2836 5.25 12 8.9334 2 F1 2 A1 L1 0.2836 5.25 12 8.9334 2 2
0
A2 L2 0.2836 3.75 12 6.381 2 F2 2 A2 L2 0.2836 3.75 12 6.381 2 2
1
1
2
c) Matriz de rigidez estructural K y el vector de carga global F. c.1) Matriz de rigidez del sistema
13.125 9.375 9.375 22.5 9.375 6 6 lb K 10 10 9.375 9.375 in 9.375 9.375 c.2) El vector de carga global F. Formamos el vector fuerza de la estructura debido a la carga externa P.
100 FEXT . lb 0
1 2
Ensamblamos el vector de fuerzas debido al peso propio:
8.9334 6.381 15.3144 FPROPIO lb 6.381 6.381 Ensamblamos el vector de fuerzas del sistema:
100 15.3144 115.3144 FSISTEMA FEXT . FPROPIO 0 6.381 6.381 d) Desplazamientos de los nodos.
F K
115.3144 22.5 9.375 6 1 10 6.381 9.375 9.375 2
1 0.9272 5 10 in 0.9953 2
~ 23 ~
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
e) Evaluar las tensiones en cada elemento. Cálculo de las fuerzas de cada elemento: F K ELEMENTO 1:
1 0 F1 121.695 6 1 105 13.125 10 lb F 1 1 0.9272 121.695 2 ELEMENTO 2:
1 0.9272 F1 6.384375 6 1 105 9.375 10 lb 1 1 0.9953 6.384375 F2 Cálculo los esfuerzo de cada elemento: F A
f)
ELEMENTO 1: 1
121.695 lb lb 23.18 2 23.18 Psi 2 5.25 in in
TRACCION
ELEMENTO 2: 2
6.384375 lb lb 1.7025 2 1.7025 Psi 2 3.75 in in
TRACCION
Fuerza de reacción en el soporte
R 121.695 8.9334 130.6284 lb
~ 24 ~
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
CAPÍTULO III ARMADURAS
~1~
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
La matriz de rigidez de elementos tipo armadura biarticulados en donde no se tiene efectos de flexión, cortante y torsión.
En elementos en donde la barra no está con ninguna orientación se tiene la siguiente matriz. 2
4
1
i
K (e)
EA L 0 EA L 0
3
j
0 0 Orientado a los ejes locales del elemento. 0 0
EA L 0 0 EA 0 L 0 0 0
La matriz nos indica la fuerza necesaria para producir un desplazamiento unitario en el grado de libertad indicado
Para elementos orientados arbitrariamente tenemos: 2
j
1
Grados de libertad 4
i
K (e)
3
cos 2 (cos )( sen ) cos 2 (cos )( sen ) sen 2 (cos )( sen ) sen 2 EA (cos )( sen ) L cos 2 (cos )( sen ) cos 2 (cos )( sen ) sen 2 (cos )( sen ) sen 2 (cos )( sen ) El ángulo Ø es la orientación del elemento a partir de un eje horizontal.
~2~
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
PROBLEMA N° 3.1: Calcular las fuerzas internas de cada elemento y el desplazamiento en el nudo B tanto horizontal como vertical. Considere E=cte. y las áreas de cada barra se muestran como 2A, 3A y 4A.
P
2
L
2A A
B
A
B
1
3A 4A C
45°
45°
C
Se muestran los grados de libertad de la estructura. ° 60
D
60 °
D
SOLUCIÓN: Ensamblamos la matriz de rigidez de cada elemento. ELEMENTO AB: 2
A
4
1
∝ = 0°
3
B
Se enumeran los ejes locales de cada elemento tal como se muestra de donde tenemos:
Cos ∝ = 0 Sen ∝ = 0 0
K AB
1 2 EA 0 L 1 0
1
2
0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0
0
0 0
Grados de libertad de la estructura asociados a los ejes locales.
0 0
~3~
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
ELEMENTO CB:
Se enumeran los ejes locales de cada elemento tal como se muestra de donde tenemos:
4
3
B
∝ = 45° 𝐶𝑜𝑠 ∝ =
√2 2
Sen ∝ =
√2 2
2 45°
C
1
0
1 2 1 3EA 2 L 2 1 2 1 2
K CB
0
1 2 1 2 1 2 1 2
1
2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
0 0 0 0
ELEMENTO DB: 4
Se enumeran los ejes locales de cada elemento tal como se muestra de donde tenemos:
3 B
∝ = 60° 𝐶𝑜𝑠 ∝ =
Sen ∝ = 2 °
60
D
1
~4~
1 2
√3 2
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
0
0
K DB
1 4 3 4 EA 4 2L 1 4 3 4
Diego Curasma Wladimir
1
3 4 3 4 3 4 3 4
2
3 4 3 4 3 4 3 4
1 4 3 4 1 4 3 4
0 0 1 2
Ensamblamos la matriz de rigidez de la estructura según los grados de libertad, como la estructura presenta 2 GDL la matriz será de 2x2 la cual debe ser simétrica. 2
1
3 2 1 2 EA 4 2 K L 3 2 3 0 4 2
3 2 3 1 4 2 3 2 3 2 0 4 2
0
EA 3.561 1.927 L 1.927 2.561
K
Ensamblamos el vector fuerza de la estructura teniendo en cuenta los grados de libertad globales. De la ecuación:
0 F 1 P 2
F K
De donde tenemos que:
F K
1
Resolviendo la ecuación obtenemos los desplazamientos del nudo B. 0 EA 3.561 1.927 1 L 1.927 2.561 2 P 1 LP 0.474 2 EA 0.356
0.356 0 0.659 1
1 LP 0.356 2 EA 0.659
~5~
Son los desplazamientos del nudo B
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
Calculamos las fuerzas internas de los elementos asociados a los grados de libertad locales de cada elemento: ELEMENTO AB:
PAB K AB AB
F1 1 F2 2 EA 0 F3 L 1 0 F4
ELEMENTO CB:
0 0 0.712 0 LP 0 0 P 0 EA 0.356 0.712 0 0.659 0
PCB KCB CB
1 2 F1 1 F 2 3EA 2 F3 L 2 1 2 F 4 1 2
ELEMENTO DB.
0 1 0 0 0 1 0 0
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 0 0.321 1 2 LP 0 0.321 P 1 EA 0.356 0.321 2 0.659 0.321 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
PDB K DB DB
1 4 F1 3 F2 4 EA 4 F3 2 L 1 F4 4 3 4
3 4 3 4 3 4 3 4
1 4 3 4 1 4 3 4
3 4 0 0.393 3 4 LP 0 0.680 P 3 EA 0.356 0.393 4 0.659 0.680 3 4
~6~
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
PROBLEMA N° 3.2: Determine la fuerza en cada miembro de la armadura mostrada si el soporte en el nudo D se desplaza hacia abajo 25mm considere 𝐸𝐴 = 8(10)3 𝑘𝑁. 8
B
A
B
7
1
3m
A
2
6
4
D C
C
4m
SOLUCIÓN:
D
5
3
Se enumeran los grados de libertad de la estructura considerando los apoyos libres
Determinamos la matriz de rigidez de cada elemento: ELEMENTO AB: 7
K AB
0.25 0 EA 0.25 0
8
1
0 0.25 0 0 0 0.25 0 0
Grados de libertad de la estructura asociados a los ejes GLOBALES.
2
0 7 0 8 0 1 0 2
2
4
A
ELEMENTO CB: 1
K CB
2
3
B
1
2
5
6
0.128 0.096 0.128 0.096 0.096 0.072 0.096 0.072 EA 0.128 0.096 0.128 0.096 0.096 0.072 0.096 0.072
B
1 2 5 6
4
C
~7~
3
1
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir 4
ELEMENTO DB: 3
K DB
1
4
0 0 0 0.333 EA 0 0 0 0.333
3
B
2
0 0 0 0.333 0 0 0 0.333
3 4 1
2
2 D
1
Ensamblamos la matriz de rigidez de la estructura según los grados de libertad, como se tomó libres los apoyos de la estructura presenta 8 GDL. Por lo tanto la matriz será 8x8.
1
2
0.378 0.096 0.405 0.096 0 0 0 0.333 K EA 0.128 0.096 0.096 0.072 0.25 0 0 0
3
4
5
6
7
0 0 0.128 0.096 0.25 0 0.333 0.096 0.072 0 0 0 0 0 0 0 0.333 0 0 0 0 0 0.128 0.096 0 0 0 0.096 0.072 0 0 0 0 0 0.25 0 0 0 0 0
8
0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8
Ensamblamos el vector fuerza y desplazamiento de la estructura teniendo en cuenta los grados de libertad globales. De la ecuación:
F K
0 0.378 0.096 0.405 0 0.096 R3 0 0 0.333 R4 EA 0 R5 0.128 0.096 R6 0.096 0.072 R 0.25 0 7 R 0 0 8
0 0 0.128 0.096 0.25 0 0.333 0.096 0.072 0 0 0 0 0 0 0 0.333 0 0 0 0 0 0.128 0.096 0 0 0 0.096 0.072 0 0 0 0 0 0.25 0 0 0 0 0
0 1 0 2 0 0 0 0.025 0 0 0 0 0 0 0 0
Desarrollamos la solución para las ecuaciones y obtenemos los desplazamientos:
~8~
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
0 0.025 0 0.128 0.096 0.25 0 0 0 0.378 0.096 1 0 EA EA 0 0 0 0 0.096 0.405 2 0 0.333 0.096 0.072 0 0 De donde obtenemos:
0 EA 0.3781 0.096 2 0 0 EA 0.0961 0.4053 2 0.00833 Si resolvemos estas ecuaciones simultáneamente obtenemos:
1 0.00556m 2 0.021875m Calculamos las fuerzas en cada elemento asociados a los grado de libertar locales de las barras: ELEMENTO AB:
F1 0.25 F2 EA 0 F3 0.25 0 F4
0 0.25 0 0 0 0.25 0 0
0 0 11.1 0 0 0 KN 0 0.00556 11.1 0 0.021875 0
11.1KN
11.1KN 3 B
A ELEMENTO CB:
0.096 0.128 0.096 0.00556 11.1 F1 0.128 0.072 0.096 0.072 0.021875 8.33 F2 EA 0.096 KN F3 0.128 0.096 0.128 11.1 0.096 0 0.072 0 0.096 0.072 0.096 8.33 F4
~9~
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
8.33KN
B
11.1KN
11.1KN C 8.33KN
ELEMENTO DB:
0 F1 0 F2 EA 0 0.333 F3 0 0 0 0.333 F4
0 0 0 0 0 0.333 0.025 8.33 KN 0 0 0.00556 0 0 0.333 0.021875 8.33 8.33KN B
D 8.33KN
~ 10 ~
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
PROBLEMA N° 3.3: Para el sistema mostrado en la figura, calcular los esfuerzos térmicos en las barras de acero. a
2a
A
A
3a
A
B
2A
I
B
I
II
II
Se enumeran los grados de libertad de la estructura que solo presenta 1
1
2A III
C
C
D
t 40C E 2 106 kg / cm 2
12.5 106 / C SOLUCIÓN: Determinamos la matriz de rigidez de cada elemento: ELEMENTO CD: 0
K CD
1 EA 0 a 1 0
1
0 0
0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0
ELEMENTO CB: 0
KCB
1
0
0
0.171 0.256 0.171 0.256 EA 0.256 0.384 0.256 0.384 a 0.171 0.256 0.171 0.256 0.256 0.384 0.256 0.384
~ 11 ~
0 1 0 0
III
D
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
ELEMENTO CA: 0
KCA
1
0
0
0.032 0.095 0.032 0.095 EA 0.095 0.285 0.095 0.285 a 0.032 0.095 0.032 0.095 0.095 0.285 0.095 0.285
0 1 0 0
Ensamblamos la matriz de la estructura mediante un ensamble teniendo en cuenta los grados de libertad globales.
K
EA 0.669 a
Fuerzas ficticias que compensan las elongaciones debidas a incrementos de temperatura.
N0 EA T
F0CD
80 0 EA 80 0
F0CB
44.376 66.564 EA 44.376 66.564
F0CA
12.649 37.947 EA 12.649 37.947
Ensamble de las fuerzas con signo cambiado.
F e F0( e ) EA (104.511) Hallamos los desplazamientos
EA (104.511)
Esta fuerza corresponde al grado de libertad 1
F K
EA 0.669 (1 ) a
1 a(104.511)(1.495)
1 a(156.242) Cálculo de las fuerzas de cada elemento:
~ 12 ~
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
ELEMENTO CD:
F CD
80 1 0 EA 0 EA 80 a 1 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0
80EA
0 0 80 0 156.242 0 a EA 80 0 0 0 0 0 80EA
COMPRESION
C
D
ELEMENTO CB:
F CB
0 44.376 0.171 0.256 0.171 0.256 4.378 66.564 EA 0.256 0.384 0.256 0.384 156.242 6.567 EA a EA 44.376 a 0.171 0.256 0.171 0.256 4.378 0 0.384 0 66.564 0.256 0.384 0.256 6.567
6.567EA
CO MP RE SI ON
B
6.567EA C
4.378EA
Fuerza en la barra esta dado por : F CB EA 4.3782 6.5672 7.893EA
4.378EA
ELEMENTO CA:
F CA
0 12.649 0.032 0.095 0.032 0.095 2.194 37.947 EA 0.095 0.285 0.095 0.285 156.242 6.582 EA a EA 12.649 a 0.032 0.095 2.194 0.032 0.095 0 0 37.947 0.095 0.285 0.095 0.285 6.582
~ 13 ~
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
6.582EA
2.194EA A
CION TRAC
Fuerza en la barra esta dado por : F CA EA 6.5822 2.1942 6.938EA
C
2.194EA
6.582EA Cálculo de los esfuerzos térmicos:
F A
ELEMENTO CD: 80 EA CD 1000kg / cm 2 2A ELEMENTO CB: 7.893EA CB 98.663kg / cm 2 2A ELEMENTO CA: 6.938 EA CA 173.45kg / cm 2 A
PROBLEMA N° 3.4: La estructura mostrada en la figura está formada por dos barras de cobre y dos barras de acero los cuales concurren en un nudo. Si el conjunto sufre un aumento de temperatura de t 10C y si la sección recta de las barras de cobre es el doble a los del acero, determinar las tensiones aparecidas en cada barra.
2 Acobre Aacero Acobre 2 A Aacero A
cobre 16.5 / C acero 12.5 / C
Ecobre E Eacero 2 E donde : E 106 kg / cm 2
donde : 106
~ 14 ~
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
A
D
COBRE
a
30°
B
60 °
a
ACERO
C
F
A
D
2 B
1
C
F
SOLUCIÓN: Determinamos la matriz de rigidez de cada elemento: ELEMENTO CB: 0
K CB
Se enumeran los grados de libertad de la estructura que solo presenta 2.
0
1
2
0.433 0.75 0.433 0 0.75 0.25 0.433 0.25 0 EA 0.433 0.433 1 a 0.75 0.433 0.75 0.25 2 0.433 0.25 0.433
~ 15 ~
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
ELEMENTO FB: 0
K FB
0
2
1
0.75 0.433 0.75 0.433 0.433 0.25 EA 0.433 0.25 0.75 0.433 a 0.75 0.433 0.433 0.25 0.433 0.25
0 0 1 2
ELEMENTO BA: 1
K BA
2
0
0
2
0
0
0.433 0.75 0.433 0.75 1 0.75 1.299 2 EA 0.75 1.299 0.433 0.75 0 a 0.433 0.75 0.75 1.299 0.75 1.299 0
ELEMENTO BA: 1
K BD
0.75 0.433 0.75 0.433 1.299 0.75 1.299 EA 0.75 0.75 a 0.433 0.75 0.433 1.299 0.75 1.299 0.75
1 2 0 0
Ensamblamos la matriz de la estructura mediante un ensamble teniendo en cuenta los grados de libertad globales.
K
0 EA 2.366 3.098 a 0
Fuerzas ficticias que compensan las elongaciones debidas a incrementos de temperatura. En esta parte introducimos los valores que se anteponen a las variables de E, A y 𝛼 para así uniformizar y solo trabajar como se muestra.
N0 EA T
F0CB
216.506 125 EA 216.206 125
F0FB
216.506 125 EA 216.206 125
~ 16 ~
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
F0BA
Diego Curasma Wladimir
165 285.788 EA 165 285.788
F0BA
165 285.788 EA 165 285.788
Ensamble de las fuerzas con signo cambiado.
0 F e F0( e) EA 321.576 Hallamos los desplazamientos
Esta fuerza corresponde al grado de libertad 2
F K
0 0 1 EA 2.366 EA 3.098 2 a 0 321.576 0 1 a 103.801 2
Cálculo de las fuerzas de cada elemento: ELEMENTO CB:
F CB
0.433 0.75 0.433 0 216.506 0.75 216.452 125 EA 0.433 0.25 0.433 0.25 0 a EA 150.950 EA 216.206 a 0.75 0.433 0.75 261.452 0.433 0 0.25 125 0.433 0.25 0.433 103.801 150.950
150.95EA B
261.452EA
N SIO E R MP CO
La fuerza en la barra esta dado por : F CB EA 216.4522 150.9502 301.899EA
150.95EA C
261.452EA
~ 17 ~
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
ELEMENTO BA:
F BA
0 165 0.433 0.75 0.433 0.75 87.149 285.788 EA 0.75 1.299 0.75 1.299 103.801 150.951 EA a EA 165 a 0.433 0.75 87.149 0.433 0.75 0 0 285.788 0.75 1.299 0.75 1.299 150.951
150.951EA A
87.149EA
La fuerza en la barra esta dado por : N SIO RE MP CO
F BA EA 150.9512 87.1492 174.303EA
87.149EA
B
150.951EA Cálculo de los esfuerzos térmicos:
F A
ELEMENTO CB: esta barra es igual a la barra BF
CB
301.899 EA 301.899kg / cm 2 A
ELEMENTO BA: esta barra es igual a la barra BD
CB
174.303EA 87.152kg / cm 2 2A
~ 18 ~
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
PROBLEMA N° 3.5: Determinar el desplazamiento del punto de aplicación de la carga P en el sistema mostrado, considerar que todas las barras tienen el mismo EA. 5
C C
P
Se enumeran los grados de libertad de la estructura que presentan 5 tal como se muestra
a
a
4
45°
D
D
45°
A
A
a
P
a
3
B
B
SOLUCIÓN: Determinamos la matriz de rigidez de cada elemento: ELEMENTO AC: 0
K AC
0
4
5
0
1
0
0.5 0.5 0.5 0.5 0 EA 0.5 0.5 0.5 0.5 0 a 0.5 0.5 0.5 0.5 4 0.5 0.5 0.5 0.5 5
ELEMENTO AD: 0
K AD
0.707 EA 0 a 0.707 0
0 0.707 0 0 0 0.707 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0
~ 19 ~
2
1
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
ELEMENTO AB: 0
K AB
0
2
3
0
4
5
3
1
0
0.5 0.5 0.5 0.5 0 EA 0.5 0.5 0.5 0.5 0 a 0.5 0.5 0.5 0.5 2 0.5 0.5 0.5 0.5 3
ELEMENTO DC: 1
K DC
0.5 0.5 0.5 0.5 1 EA 0.5 0.5 0.5 0.5 0 a 0.5 0.5 0.5 0.5 4 0.5 0.5 0.5 0.5 5
ELEMENTO BD: 2
K BD
0.5 0.5 0.5 0.5 EA 0.5 0.5 0.5 0.5 a 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5
2 3 1 0
Ensamblamos la matriz de la estructura mediante un ensamble teniendo en cuenta los grados de libertad globales.
1
2
3
4
5
1.707 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 1 0 0 0 EA 0.5 K 0 1 0 0 a 0 0 1 0 0.5 0.5 0 0 0 1 Formamos el vector fuerza de la estructura con cinco grados de libertad.
0 0 0 0 F P P 1 0 0 P 1
~ 20 ~
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
Obtenemos los desplazamientos mediante la ecuación: F K
0 1.707 0.5 0.5 0.5 0.5 1 1 0 0 0 2 0 EA 0.5 0.5 P 1 0 1 0 0 3 a 0 0 1 0 4 0 0.5 1 0.5 0 0 0 1 5 Obtenemos la inversa de la matriz y tenemos:
0.707 0.707 0.707 1 1.414 0.354 0.354 2 Pa 0.707 1.354 3 0.707 0.354 1.354 0.354 EA 0.354 0.354 1.354 4 0.707 0.707 0.354 0.354 0.354 5
0.707 0 0.354 0 0.354 1 0.354 0 1.354 1
1 1.414 2 Pa 0.707 3 1.707 EA 4 0.707 1.707 5
PROBLEMA N° 3.6: Calcular las fuerzas en las barras del reticulado plano
A1 10cm2
A2 10cm2
P 4000kg
K 2000
kg cm
A3 20cm2
E 2.1106
kg cm 2
~ 21 ~
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
P
60 cm
A
Diego Curasma Wladimir
2 A
1
80 cm
B
B
1
2 3
Se muestran los grados de libertad de la estructura
4
K C
C
3
SOLUCIÓN: Matriz de rigidez de cada elemento: ELEMENTO AB:
K AB
0 350000 0 350000 0
0 1 0 350000 0 0 0 350000 0 0
2 0 0 0 0
0 0 1 2
ELEMENTO CA:
KCA
3 4 0 0 0 262500 0 0 0 262500
0 0 0 0 0 262500 0 0 0 262500
3 4 0 0
ELEMENTO CB:
KCB
3 1 4 2 201864.956 152116.155 201864.956 152116.155 201864.956 267883.845 201864.956 267883.845 152116.155 201864.956 152116.155 201864.956 267883.845 201864.956 267883.845 201864.956
~ 22 ~
3 4 1 2
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
RESORTE: 0
3
2000 2000 0 Kr 2000 2000 3 Matriz de rigidez del sistema:
502116.155 201864.956 152116.155 201864.956 201864.956 267883.845 201864.956 267883.845 K 152116.155 201864.956 154116.155 201864.956 201864.956 267883.845 201864.956 530383.845 El vector fuerza del sistema es:
0 4000 F 0 0 Obtenemos los desplazamientos mediante la ecuación: F K
0 502116.155 201864.956 152116.155 201864.956 1 4000 201864.956 267883.845 201864.956 267883.845 2 0 152116.155 201864.956 154116.155 201864.956 3 0 201864.956 267883.845 201864.956 530383.845 4 1 0.0086 2 1.1723 3 1.5071 4 0.0152 Cálculo de las fuerzas de cada elemento: ELEMENTO AB:
F
AB
350000 0 350000 0
0 350000 0 0 0 350000 0 0
0 0 3010 0 0 0 kg 0 0.0086 3010 0 1.1723 0
~ 23 ~
3010 kg A
3010 kg 3 B
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
ELEMENTO CA:
F CA
0 0 0 262500 0 0 0 262500
3990 kg
0 0 1.5071 0 0 262500 0.0152 3990 kg 0 0 0 0 0 262500 0 3990
A
C 3990 kg
ELEMENTO CB:
F CB
201864.956 152116.155 201864.956 1.5071 3015.484 152116.155 201864.956 267883.845 201864.956 267883.845 0.0152 4001.683 kg 152116.155 201864.956 152116.155 201864.956 0.0086 3015.484 201864.956 267883.845 201864.956 267883.845 1.1723 4001.683 4001.683 kg 3015.484 kg B
La fuerza en la barra esta dado por : F CB 3015.4842 4001.6832 5010.65kg (Compresion)
3015.484 kg C 4001.683 kg
RESORTE:
2000 2000 0 3014.2 F Re sorte kg 2000 2000 1.5071 3014.2
~ 24 ~
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
CAPÍTULO IV VIGAS
~1~
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
PROBLEMA N° 1: Si el apoyo “B” del sistema mostrado cede 0.2 mm, se pide calcular las fuerzas de reacción en los apoyos y dibujar el DFC y DMF. Considerar: EI=constante. 4 ton 2 ton/m
A
0.2
5 ton-m
B
C
3m
4m
3m
1 2
4
3
Grados de libertad del sistema que son 4 GDL
SOLUCIÓN: Ensamblamos la matriz de rigidez de cada elemento. ELEMENTO AB: 0
K AB
2
3
1
0.188 0.375 0.188 0.375 0.375 1 0.375 0.5 EI 0.188 0.375 0.188 0.375 0.5 0.375 1 0.375
1
0 2
3
2
1
4
3
ELEMENTO BC: 1
K BC
3
4
0
0.056 0.167 0.056 0.167 0.167 0.667 0.167 0.333 EI 0.056 0.167 0.056 0.167 0.333 0.167 0.667 0.167
Ensamblamos la matriz de rigidez de la estructura:
~2~
1
1 3 0 4
2
3 4
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
0.244 0.375 0.208 0.167 0.375 1 0.5 0 K EI 0.208 0.5 1.667 0.333 0 0.333 0.667 0.167 El vector fuerza de nudos del sistema F s .
0 0 s F 5 0 Vector de fuerzas de empotramiento perfecto de cada elemento:
4 2.667 E FAB 4 2.667
2 ton/m
0 2 2.667
1 3
2.667
L=4m
4
4 4 ton
E FBC
2 3 2 3
1 3 0 4
L=3 m
L=3 m L=6 m
3 2
3 2
Ensamblamos el vector fuerza de empotramiento prefecto del sistema:
6 2.667 E F 0.333 3 Vector de fuerzas internas del sistema: F F s F E
0 6 6 0 2.667 2.667 s E F F F 5 0.333 4.667 0 3 3
~3~
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
F K
1
Resolviendo la ecuación obtenemos los desplazamientos.
6 0.244 0.375 0.208 0.167 0.0002 1 0.5 0 2 2.667 EI 0.375 4.667 0.208 0.5 1.667 0.333 3 0 0.333 0.667 3 0.167 4 Para obtener los desplazamientos hacemos lo siguiente:
0.5 0 2 2.667 0.375 1 4.667 EI 0.208 0.0002 EI 0.5 1.667 0.333 3 3 0.167 0 0.333 0.667 4 2 4.467 1 3 EI 3.6001 2.7004 4 Cálculo de las fuerzas internas de los elementos: F e FeE K e u e ELEMENTO AB:
F AB
0 4 0.188 0.375 0.188 0.375 2.667 0.375 1 0.375 0.5 4.467 1 EI 4 0.188 0.375 0.188 0375 0.0002 EI 0.5 0.375 1 2.667 0.375 3.6001
F AB
3.675 0 4.325 1.3
3.675 0
4.325 1.3
ELEMENTO BC:
F BC
2 0.056 0.167 0.056 0.167 0.0002 3 0.167 0.667 0.167 0.333 3.6001 1 EI 2 0.056 0.167 0.056 0.167 EI 0 0.333 0.167 0.667 2.7004 3 0.167
~4~
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
F BC
3.052 6.3 0.948 0
Diego Curasma Wladimir
3.052
0.948
6.3
0
Diagrama de momento flector y fuerza cortante:
3.675
3.052
DFC 0.948 4.325 6.3 1.3
DMF 2.05 3.38
PROBLEMA N° 2: Para la viga mostrada en la figura se pide: a) Calcular las reacciones en los apoyos. b) Graficar los diagramas de fuerza cortante y momento flector debidamente acotados. Considerar: EI=constante. Tener en cuenta la rótula en el nudo “C”.
~5~
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
8 ton/m
6 ton
2 ton/m
A
D
3m
B
C
1.5 m
1.5 m
3m
1
4 2
3 Grados de libertad de la estructura.
SOLUCIÓN: Ensamblamos la matriz de rigidez de cada elemento. ELEMENTO DA: 1
K DA
12 27 6 9 EI 12 27 6 9
2
0
6 9 4 3 6 9 2 3
12 27 6 9 12 27 6 9
3
4
3 9 3 3 3 9
3 27 3 9 3 27
3
6 9 2 3 6 9 4 3
1 1
2
3
2
4
0 3
ELEMENTO AC: 0
K AC
3 27 3 EI 9 3 27
0 1
3
2
4
~6~
3 4
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
ELEMENTO CB:
KCD
4
0
0
3 27 3 EI 27 3 9
3 27 3 27 3 9
3 9 3 9 3 3
4 1
0
3
2
4
0
Ensamblamos la matriz de rigidez de la estructura:
12 27 6 9 K EI 6 9 0
6 9 4 3 2 3 0
0 4 3 1 3 9 3 3 3 9 27 27 6 9 2 3
0
El vector fuerza de nudos del sistema F s .
0 0 s F 0 0 Vector de fuerzas de empotramiento perfecto de cada elemento:
E FDA
0 0 12 12
8 ton/m
1 2 0
12
3 12
~7~
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir 2 ton/m
E FCB
2.25 4 3.75 0 2.25 0
2.25 2.25
3.75
6 ton
E AC
F
4.125 0 3.375 3 1.875 4
3.375 4.125
1.875
Ensamblamos el vector fuerza de empotramiento prefecto del sistema:
0 0 E F 8.625 4.125 Vector de fuerzas internas del sistema: F F s F E
0 0 0 0 0 0 F Fs FE 0 8.625 8.625 0 4.125 4.125
F K
1
Resolviendo la ecuación obtenemos los desplazamientos.
12 27 0 6 0 EI 9 8.625 6 9 4.125 0
6 9 4 3 2 3 0
1 0 2 4 3 3 1 3 9 4 3 3 3 9 27 27 6 9 2 3
0
1 14.625 2 1 4.875 3 EI 4.875 11.25 4
~8~
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
Cálculo de las fuerzas internas de los elementos: F e FeE K e u e ELEMENTO CB:
F CB
3 27 2.25 3 3.75 EI 27 2.25 3 9
F CB
1 5 TON 6
3 27 3 27 3 9
3 9 11.25 3 1 0 9 EI 0 3 3 1
5 6
ELEMENTO AC:
F AC
3 27 4.125 3 3.375 EI 9 1.875 3 27
F AC
7 12 TON 1
3 9 3 3 3 9
3 27 0 3 1 4.875 9 EI 11.25 3 27 7 12
ELEMENTO DA:
F DA
12 27 0 6 0 EI 9 12 12 27 12 6 9
1
6 9 4 3 6 9 2 3
12 27 6 9 12 27 6 9
6 9 2 14.625 3 4.875 1 EI 6 0 9 4.875 4 3
~9~
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
F DA
Diego Curasma Wladimir
12
0 0 TON 12 12
12
Diagrama de momento flector y fuerza cortante:
7 1
DFC
5 12 12 6 1.5
DMF 0.25
PROBLEMA N° 3: Para la viga mostrada en la figura dibujar los DMF. y DFC. Considerar EI=constante. 30 KN
15 KN
12 KN/m
4 1
A
B 5m
5m
C 6m
2
D
3m
Grados de libertad de la estructura.
~ 10 ~
3
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
SOLUCIÓN: Ensamblamos la matriz de rigidez de cada elemento. ELEMENTO AB: 0
0
K AB
1
0
0.012 0.06 0.012 0.06 0.06 0.4 0.06 0.2 EI 0.012 0.06 0.012 0.06 0.2 0.06 0.4 0.06
0
1
3
0 0
2
4
1
ELEMENTO BC: 0
K BC
12 216 6 36 EI 12 216 6 36
1
0
2
6 36 4 6 6 36 2 6
12 216 6 36 12 216 6 36
6 36 2 6 6 36 4 6
2
4
3
6 9 4 3 6 9 2 3
12 27 6 9 12 27 6 9
1
0 2
3 4
1 0 2
ELEMENTO CD: 0
K CD
12 27 6 9 EI 12 27 6 9
6 9 2 3 6 9 4 3
1
0 2 4 3
~ 11 ~
2
3 4
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
Ensamblamos la matriz de rigidez de la estructura:
0 0 1.06667 0.33333 0.33333 2 0.66667 0.66667 K EI 0 0.66667 1.33333 0.66667 0.66667 0.66667 0.44444 0 El vector fuerza de nudos del sistema F s .
0 0 s F 0 15 Vector de fuerzas de empotramiento perfecto de cada elemento:
E FAB
E FBC
15 37.5 15 37.5
36 0 36 1 36 0 36 2
30 KN
0 0 0
L=5 m
37.5
L=5 m
37.5
L=10 m
1
15
15
12 KN/m
36
36
L=6m
36
Ensamblamos el vector fuerza de empotramiento prefecto del sistema:
1.5 36 FE 0 0 Vector de fuerzas internas del sistema: F F s F E
0 1.5 1.5 0 36 36 s E F F F 0 0 0 15 0 15
~ 12 ~
36
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
F K
1
Resolviendo la ecuación obtenemos los desplazamientos.
0 0 1.5 1.06667 0.33333 1 2 0.66667 0.66667 2 36 EI 0.33333 0 0 0.66667 1.33333 0.66667 3 0.66667 0.66667 0.44444 15 0 4
1 6.66916 2 1 16.84155 3 EI 84.34931 185.53889 4 Cálculo de las fuerzas internas de los elementos: F e FeE K e u e ELEMENTO AB:
F AB
15 0.012 0.06 0.012 0.06 0 37.5 0.06 0.4 0.06 0.2 0 1 EI 15 0.012 0.06 0.012 0.06 0 EI 0.2 0.06 0.4 37.5 0.06 6.66916
F AB
15.4 38.83 KN 14.6 34.83
15.4
14.6
38.83
34.83
ELEMENTO BC:
F BC
12 216 36 6 36 EI 36 36 12 216 36 6 36
6 36 4 6 6 36 2 6
12 216 6 36 12 216 6 36
6 36 0 2 6 6.66916 1 EI 6 0 36 16.84155 4 6
~ 13 ~
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
F BC
34.3 34.83 KN 37.7 45
Diego Curasma Wladimir
34.3
37.7
34.83
45
ELEMENTO CD:
F BC
F CD
12 27 6 9 EI 12 27 6 9 15 45 KN 15 0
6 9 4 3 6 9 2 3
12 27 6 9 12 27 6 9
6 9 0 2 3 16.84155 1 6 185.53889 EI 9 84.34931 4 3 15 45
0
15
Diagrama de momento flector y fuerza cortante: 34.3 15.4
15
DFC 14.6 37.7 38.83
45
34.83
DMF 14.2
15.415
38.2
~ 14 ~
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
PROBLEMA N° 4: Resolver la viga mostrada EI 1.2 10 ton m . Y además los apoyos B y C son elásticos, con coeficientes 400 y 500 ton/m, respectivamente. 5
2
3 ton/m
A
B
D
C
6m
5m
4m
2 1
4
3
6
5
Grados de libertad de la estructura.
SOLUCIÓN: Ensamblamos la matriz de rigidez de cada elemento. ELEMENTO AB: 1
0
K AB
2
3
6666.667 20000 6666.667 20000 20000 80000 20000 40000 6666.667 20000 6666.667 20000 40000 20000 80000 20000
0
1
3
1 2
2
4
3
ELEMENTO BC: 2
K BC
3
4
5
22500 45000 22500 45000 2 45000 120000 45000 60000 3 22500 45000 22500 45000 4 45000 60000 45000 120000 5
1
3
2
4
ELEMENTO CD: 4
KCD
5
0
6
28800 11520 28800 4 11520 28800 96000 28800 48000 5 11520 28800 11520 28800 0 28800 48000 28800 96000 6
~ 15 ~
1 2
3 4
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
RESORTE B: 0
2
4001 400 0 KB 400 400 2 RESORTE C: 0
4
500 500 0 KC 500 500 4 Ensamblamos la matriz de rigidez de la estructura:
20000 40000 0 0 0 80000 0 20000 29566.667 25000 22500 45000 40000 25000 200000 45000 60000 0 K 22500 45000 34520 16200 28800 0 0 45000 60000 16200 216000 48000 0 0 28800 48000 96000 0
El vector fuerza de nudos del sistema F s .
0 0 0 Fs 0 0 0 Vector de fuerzas de empotramiento perfecto de cada elemento:
E FAB
9 9 9 9
3 ton/m
0 1 2 3
9
9
L=6m
9
9
~ 16 ~
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
E FBC
6 4 6 4
2 3 2 4
Diego Curasma Wladimir
3 ton/m
4
5
4
L=4m
6
6
Ensamblamos el vector fuerza de empotramiento prefecto del sistema:
9 15 5 FE 6 4 0 Vector de fuerzas internas del sistema: F F s F E
0 9 9 0 15 15 0 5 5 F Fs FE 0 6 6 0 4 4 0 0 0
F K
1
Resolviendo la ecuación obtenemos los desplazamientos.
20000 40000 0 0 0 1 9 80000 0 2 15 20000 29566.667 25000 22500 45000 5 40000 25000 200000 45000 60000 0 3 22500 45000 34520 16200 28800 4 6 0 4 0 45000 60000 16200 216000 48000 5 0 0 28800 48000 96000 6 0 0 1 0.0020349944 2 0.0085342225 3 0.0004221224 m 4 0.0071958384 5 0.0010061183 6 0.0016556924
~ 17 ~
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
Cálculo de las fuerzas internas de los elementos: F e FeE K e u e ELEMENTO AB:
F AB
F
AB
0 9 6666.667 20000 6666.667 20000 9 20000 80000 20000 40000 0.0020349944 9 6666.667 20000 6666.667 20000 0.0085342225 40000 20000 80000 9 20000 0.0004221224 16.7525 0 ton 1.2475 46.5149
16.7525
1.2475 46.5149
ELEMENTO BC:
F BC
6 22500 45000 22500 45000 0.0085342225 4 45000 120000 45000 60000 0.0004221224 6 22500 45000 22500 45000 0.0071958384 4 45000 60000 45000 120000 0.0010061183
F BC
2.1662 46.5149 ton 9.8338 31.1796
2.1662 - 46.5149
9.8338 31.1796
ELEMENTO CD:
F BC
28800 11520 28800 0.0071958384 11520 28800 96000 28800 48000 0.0010061183 11520 28800 11520 28800 0 28800 48000 28800 96000 0.0016556924
F CD
6.2359 31.1796 ton 6.2359 0
6.2359 31.1796
6.2359
~ 18 ~
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
Diagrama de momento flector y fuerza cortante: 16.7525 2.1662
DFC 1.2475 6.2359 9.8338
DMF
31.1796 46.5149 47.2969
PROBLEMA N° 5: En la figura se muestra una viga en cantiléver EI 1.2 105 ton m 2 . Sobre la que actúa una carga uniformemente distribuida de: w=3 ton/m además en el extremo libre se apoya en dos resortes, uno lineal de k1=937.5 ton/m y otro rotacional de k = 62500ton-m/rad, se pide:
Las reaccione en el empotramiento de la viga. Los desplazamientos en el nudo B. DMF. Y DFC.
1 w=3 ton/m
2
x2
B
A
x1
5m
SOLUCIÓN: Ensamblamos la matriz de rigidez de cada elemento.
~ 19 ~
Grados de libertad de la estructura.
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
ELEMENTO AB: 0
0
K AB
1
2
28800 11520 28800 11520 28800 96000 28800 48000 11520 28800 11520 28800 28800 48000 28800 96000
0 0 1
1
3
2
4
2
RESORTE K1(lineal): 0
1
937.5 0 937.5 1 K1 937.5 937.5 1 RESORTE K2(giro): 0
2
62500 -62500 0 K2 -62500 62500 2 Ensamblamos la matriz de rigidez de la estructura:
12457.5 28800 K 28800 158500 El vector fuerza de nudos del sistema F s .
0 Fs 0 Vector de fuerzas de empotramiento perfecto de cada elemento:
E FAB
7.5 6.25 7.5 6.25
3 ton/m
0 0 1 2
6.25
6.25
L=5m
7.5
7.5
Ensamblamos el vector fuerza de empotramiento prefecto del sistema:
7.5 FE 6.25 Vector de fuerzas internas del sistema: F F s F E
~ 20 ~
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
0 7.5 7.5 F Fs FE 0 6.25 6.25
F K
1
Resolviendo la ecuación obtenemos los desplazamientos.
7.5 12457.5 28800 1 6.25 28800 158500 2 1 0.0008809 m 2 0.0001206 Cálculo de las fuerzas internas de los elementos: F e FeE K e u e ELEMENTO AB:
F AB
F
AB
28800 11520 28800 0 7.5 11520 6.25 28800 96000 28800 48000 0 7.5 11520 28800 11520 28800 0.0008809 6.25 28800 48000 28800 96000 0.0001206 14.175 25.831 ton 0.825 7.542
14.175 25.831
0.825 7.542
FUERZA EN EL RESORTE K1:
F K F 937.5 0.0008809 0.825 FUERZA EN EL RESORTE K2:
F K F 62500 0.0001206 7.54
~ 21 ~
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
Diagrama de momento flector y fuerza cortante:
14.175 DFC
0.825 25.831 DMF
7.542
PROBLEMA N° 6: Resolver la viga continua con extremos empotrados. EI=Constante.
15 KN/m
A
B 6m
40 KN
20 KN/m
C 5m
D 3m
3m
Grados de libertad de la estructura.
SOLUCIÓN: Ensamblamos la matriz de rigidez de cada elemento.
~ 22 ~
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
ELEMENTO AB: 0
K AB
12 216 6 36 EI 12 216 6 36
0
6 36 4 6 6 36 2 6
0
1
12 216 6 36 12 216 6 36
6 36 2 6 6 36 4 6
0
2
1
0 0
3
2
4
0 1
ELEMENTO BC: 0
K BC
1
6 12 12 125 25 125 4 6 6 25 5 25 EI 12 12 6 125 25 125 6 2 6 5 25 25
6 25 2 5 6 25 4 5
1
0 1
3
2
4
0 2
ELEMENTO CD: 0
K CD
12 216 6 36 EI 12 216 6 36
2
6 36 4 6 6 36 2 6
0
0
12 216 6 36 12 216 6 36
6 36 2 6 6 36 4 6
1
0 2 0 0
Ensamblamos la matriz de rigidez de la estructura:
0.4 1.46667 K EI 1.46667 0.4
~ 23 ~
2
3 4
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
El vector fuerza de nudos del sistema F s .
0 Fs 0 Vector de fuerzas de empotramiento perfecto de cada elemento:
45 45 E FAB 45 45
E FBC
E FCD
15 KN/m
0 0 45
0 1
50 41.66667 50 41.66667
45
L=6m
45
20 KN/m
0 1 0
41.66667
2
20 0 30 2 20 0 30 0
45
41.66667
L=5m
50
50 40 KN
L=3 m
30
L=3 m
30
L=6 m
20
20
Ensamblamos el vector fuerza de empotramiento prefecto del sistema:
3.33333 FE 11.66667 Vector de fuerzas internas del sistema: F F s F E
0 3.33333 3.33333 F Fs FE 0 11.66667 11.66667
F K
1
Resolviendo la ecuación obtenemos los desplazamientos.
0.4 1 3.33333 1.46667 EI 1.46667 2 11.66667 0.4 1 1 0.11161 m 2 EI 7.92409
~ 24 ~
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
Cálculo de las fuerzas internas de los elementos: F e FeE K e u e ELEMENTO AB:
F AB
12 216 45 6 36 45 EI 45 12 216 45 6 36
F AB
45.02 45.04 ton 44.98 44.9
6 36 4 6 6 36 2 6
12 216 6 36 12 216 6 36
6 36 2 0 6 0 1 6 0 EI 36 0.11161 4 6
ELEMENTO BC:
F BC
6 12 12 125 25 125 50 4 6 6 25 41.66667 5 25 EI 50 12 12 6 125 25 125 41.66667 6 2 6 5 25 25
F BC
51.93 44.93 ton 48.07 35.28
~ 25 ~
6 25 2 0 5 0.11161 1 6 0 EI 25 7.92409 4 5
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
ELEMENTO CD:
F CD
12 216 20 6 30 EI 36 20 12 216 30 6 36
F CD
21.32 35.29 ton 18.68 27.36
6 36 4 6 6 36 2 6
12 216 6 36 12 216 6 36
6 36 2 0 6 7.92409 1 6 0 EI 36 0 4 6
Diagrama de momento flector y fuerza cortante: 15 KN/m
6m
40 KN
20 KN/m
5m
~ 26 ~
3m
3m
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
CAPÍTULO V PORTICOS
~1~
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
PROBLEMA N° 1: Analizar la estructura mostrada bajo la acción de un efecto térmico en la cara superior de las dos
ts 30C
h 30cm
A1 A2 60cm 2
E 2.1106 kg / cm2
1.1106
(2)
h
1 C
400
barras.
I1 I 2 1000cm 4
ts (1)
300
400
Grados de libertad de la estructura.
SOLUCIÓN: Ensamblamos la matriz de rigidez de cada elemento. ELEMENTO 12: 0
0
0
1
0
2
0 0 315000 0 0 315000 0 0 393.75 78750 0 393.75 78750 0 0 78750 21000000 0 78750 10500000 0 K12 0 0 315000 0 0 315000 1 0 393.75 78750 0 393.75 78750 0 0 78750 10500000 0 78750 21000000 2 ELEMENTO 23: Angulo de inclinación es arctan(400 / 300) 1
0
2
0
0
0
120863.232 40320 90849.024 120863.232 40320 90849.024 30240 120863.232 161352.576 30240 120863.232 161352.576 40320 30240 16800000 40320 30240 8400000 K 23 40320 90849.024 120863.232 40320 90849.024 120863.232 120863.232 161352.576 30240 120863.232 161352.576 30240 30240 8400000 40320 30240 16800000 40320
~2~
1 0 2 0 0 0
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
Ensamblamos la matriz de rigidez de la estructura:
405849.024 40320 K 37800000 40320 El vector fuerza de nudos del sistema F s .
0 Fs 0 Vector de fuerzas de empotramiento perfecto de cada elemento:
t ti F . s . A.E 2 t ti M . s .E.I h
1 30C kg . .60cm2 .2.1106 2 2079kg C 2 cm 1 30C 6 kg M 1.1106 . .1000cm4 2310kg / cm .2.110 2 C 30cm cm F 1.1106
ts ts
Como la barra 2-3 sus fuerzas no están orientados adecuadamente y deben transformarse a un sistema equivalente esto se hace aplicando simplemente trigonometría. Tal como se aprecia en la siguiente figura.
~3~
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
F1E2
2079 0 2310 2079 0 2310
1247.4 1663.2 2310 F2E3 1247.4 1663.2 2310
Diego Curasma Wladimir
0 0 0 1 0 2
1 0 2 0 0 0
Ensamblamos el vector fuerza de empotramiento prefecto del sistema:
831.6 FE 0 Vector de fuerzas internas del sistema: F F s F E
0 831.6 831.6 F Fs FE 0 0 0
~4~
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
F K
1
Resolviendo la ecuación obtenemos los desplazamientos.
831.6 405849.024 40320 1 37800000 2 0 40320 1 0.002049255 cm 2 0.0000021859 Cálculo de las fuerzas internas de los elementos: F e FeE K e u e ELEMENTO 1-2:
0 0 315000 0 0 0 2079 315000 0 393.75 78750 0 393.75 78750 0 0 2310 0 78750 21000000 0 78750 10500000 0 F 12 0 0 315000 0 0 2079 315000 0.002049255 0 0 393.75 78750 0 393.75 78750 0 0 78750 10500000 0 78750 21000000 2310 0.0000021859 1433.485 0.172 2287.048 F 12 kg 1433.485 0.172 2355.904 ELEMENTO 1-2:
F 23
120863.232 40320 90849.024 120863.232 40320 0.002049255 1247.4 90849.024 30240 120863.232 161352.576 30240 0 1663.2 120863.232 161352.576 2310 40320 30240 16800000 40320 30240 8400000 0.0000021859 40320 90849.024 120863.232 40320 0 1247.4 90849.024 120863.232 1663.2 120863.232 161352.576 30240 120863.232 161352.576 30240 0 30240 8400000 40320 30240 16800000 0 2310 40320
~5~
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
F 23
Diego Curasma Wladimir
1433.485 1910.946 2355.903 kg 1433.485 1910.946 2245.736
Diagrama de momento flector, fuerza cortante y axial:
PROBLEMA N° 2: Se pide calcular los desplazamientos en el pórtico de la figura y trazar los diagramas de M y Q. Considerar E=2100000 kg/cm2.
Barra1: L1 300cm
Barra 2 : L2 200cm
I1 600cm4
I 2 400cm4
A1 5cm2
A2 4cm 2
~6~
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
200 kg
(1)
150 cm
50 kg/m
(2)
200 cm
150 cm
Grados de libertad de la estructura.
SOLUCIÓN: Ensamblamos la matriz de rigidez de cada elemento. ELEMENTO 1: 0
0
0
2
1
3
0 0 35000 0 0 35000 560 84000 0 560 84000 0 0 84000 16800000 0 84000 8400000 K1 0 0 35000 0 0 35000 0 560 84000 0 560 84000 84000 8400000 0 84000 16800000 0
0 0 0 1 2 3
ELEMENTO 2: 0
0
4
1
2
3
0 126000 1260 0 126000 1260 0 42000 0 0 42000 0 126000 0 16800000 126000 0 8400000 K2 0 126000 1260 0 126000 1260 0 42000 0 0 42000 0 0 8400000 126000 0 16800000 126000 Ensamblamos la matriz de rigidez de la estructura:
0 126000 126000 36260 0 42560 84000 0 K 126000 84000 33600000 8400000 0 8400000 16800000 126000
~7~
0 0 4 1 2 3
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
El vector fuerza de nudos del sistema F s .
0 0 s F 0 0 Vector de fuerzas de empotramiento perfecto de cada elemento: 200 kg
0
1666.6667
0 0 1
7500
2
7500
L=300 cm
100
100
50
0 100 7500 F1E 0 100 7500
3
4 1 2
Ensamblamos el vector fuerza de empotramiento prefecto del sistema:
50 100 E F 5833.33333 1666.66667 Vector de fuerzas internas del sistema: F F s F E
50 0 50 0 100 100 s E F F F 0 5833.33333 5833.33333 0 1666.66667 1666.66667
~8~
1666.6667
3
50 kg/m
L=200 cm
0 0
50
50 0 1666.66667 F2E 50 0 1666.66667
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
F K
1
Resolviendo la ecuación obtenemos los desplazamientos.
50 0 126000 126000 1 36260 100 0 42560 84000 0 2 5833.33333 126000 84000 33600000 8400000 3 0 8400000 16800000 4 1666.66667 126000 1 0.0020708159 2 0.002016577 cm 3 0.0001687438 4 0.0000303655 Cálculo de las fuerzas internas de los elementos: F e FeE K e u e ELEMENTO 1:
0 0 35000 0 0 0 0 35000 560 84000 0 560 84000 0 100 0 7500 0 84000 16800000 0 84000 8400000 0 F1 0 0 35000 0 0 0 35000 0.0020708159 100 0 560 84000 0 560 84000 0.002016577 84000 8400000 0 84000 16800000 0.0001687438 7500 0 72.48 115.3 9086.84 F1 kg 72.48 84.7 4495.71
~9~
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
ELEMENTO 2: 50 0 126000 1260 0 126000 0 1260 0 0 42000 0 0 42000 0 0 1666.66667 126000 0 16800000 126000 0 8400000 0.0000303655 2 F 50 0 126000 1260 0 126000 0.0020708159 1260 0.002016577 0 0 42000 0 0 42000 0 0 8400000 126000 0 16800000 1666.66667 126000 0.0001687438
27.52 84.7 0 F2 kg 72.48 84.7 4495.71
Diagrama de momento flector, fuerza cortante:
Diagrama momento flector.
Diagrama fuerza cortante.
~ 10 ~
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
PROBLEMA N° 3:
2.5 m
2.5 m
Para el pórtico plano indicado en la figura, cuyas vigas son de 30/30 y las columnas de 30/40. Se desea encontrar la matriz de rigidez lateral considerando que todos los elementos son axialmente rígidos. Considerar E=2173706.5 ton/m2
4.5 m
Grados de libertad de la estructura.
4.5 m
SOLUCIÓN: Ensamblamos la matriz de rigidez de cada elemento. VIGA 7: 3
4
1304.22 652.11 3 KV 7 4 652.11 1304.22 VIGA 8: 4
5
1304.22 652.11 4 KV 8 5 652.11 1304.22 VIGA 9: 6
7
1304.22 652.11 6 KV 9 7 652.11 1304.22
~ 11 ~
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
VIGA 10: 7
8
1304.22 652.11 7 KV 10 8 652.11 1304.22 COLUMNA 1: 0
0
1
3
2671.05 3338.81 2671.05 3338.81 3338.81 5564.69 3338.81 2782.34 K C1 2671.05 3338.81 2671.05 3338.81 3338.81 2782.34 3338.81 5564.69
0 0 1 3
COLUMNA 2: 0
KC 2
0
1
4
2671.05 3338.81 2671.05 3338.81 3338.81 5564.69 3338.81 2782.34 2671.05 3338.81 2671.05 3338.81 3338.81 2782.34 3338.81 5564.69
0 0 1 4
COLUMNA 3: 0
KC 3
0
1
5
2671.05 3338.81 2671.05 3338.81 3338.81 5564.69 3338.81 2782.34 2671.05 3338.81 2671.05 3338.81 3338.81 2782.34 3338.81 5564.69
0 0 1 5
COLUMNA 4: 1
KC 4
3
2
6
2671.05 3338.81 2671.05 3338.81 3338.81 5564.69 3338.81 2782.34 2671.05 3338.81 2671.05 3338.81 3338.81 2782.34 3338.81 5564.69
~ 12 ~
1 3 2 6
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
COLUMNA 5: 1
KC 5
4
2
7
2671.05 3338.81 2671.05 3338.81 3338.81 5564.69 3338.81 2782.34 2671.05 3338.81 2671.05 3338.81 3338.81 2782.34 3338.81 5564.69
1 4 2 7
COLUMNA 6: 1
KC 6
5
2
8
2671.05 3338.81 2671.05 3338.81 3338.81 5564.69 3338.81 2782.34 2671.05 3338.81 2671.05 3338.81 3338.81 2782.34 3338.81 5564.69
1 5 2 8
Ensamblamos la matriz general que de 8x8
0 0 0 3338.81 3338.81 3338.81 16026.3 8013.15 8013.15 8013.15 3338.81 3338.81 3338.81 3338.81 3338.81 3338.81 0 3338.81 12433.6 652.11 0 2782.34 0 0 0 3338.81 652.11 13737.82 652.11 0 2782.34 0 K 0 3338.81 0 652.11 12433.6 0 0 2782.34 0 0 6868.91 652.11 0 3338.81 3338.81 2782.34 3338.81 3338.81 0 2782.34 0 652.11 8173.13 652.11 0 0 2782.34 0 652.11 6868.91 3338.81 3338.81
Matriz de rigidez lateral.
K K AA K BA
KL K AA K AB KBB 1 KBA
K AB K BB
Ahora condensamos los grados 1 y 2
11542.055 4452.106 KL 4452.106 2737.467
~ 13 ~
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
CAPÍTULO VI MUROS
~1~
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
PROBLEMA N° 1: Determinar la matriz de rigidez lateral del pórtico indicado incorporando la mampostería en el cálculo. La resistencia a la compresión del hormigón es F´c=210 kg/cm2 y de la mampostería f´m=35 kg/cm2. Calcular el módulo de elasticidad del hormigón E 15000 f ´c y el módulo de elasticidad de la mampostería Em 500 f ´m . El espesor de la pared es t=0.15m considerar que las columnas y vigas son axialmente rígidas. 3.25 m
1
3
2
2.80 m
2.70 m
2.80m
4
3.50 m
Grados de libertad de la estructura.
SOLUCIÓN: Ensamblamos la matriz de rigidez de cada elemento.
kg ton 2173706.51193 2 2 cm m kg ton Em 500 35 17500 2 175000 2 cm m
E 15000 210 217370.651193
ELEMENTO COLUMNA IZQUIERDA l=2.80m: 0
K columnaIZ
1
0
2
232.0802 324.9123 232.0802 324.9123 324.9123 606.5029 324.9123 303.2515 232.0802 324.9123 232.0802 324.9123 324.9123 303.2515 324.9123 606.5029
0 0 1 2
ELEMENTO COLUMNA DERECHA l=2.80m: 0
K columnaDE
1
0
3
232.0802 324.9123 232.0802 324.9123 324.9123 606.5029 324.9123 303.2515 232.0802 324.9123 232.0802 324.9123 324.9123 303.2515 324.9123 606.5029
~2~
0 0 1 3
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
ELEMENTO VIGA l=3.50m: 3
2
248.4236 124.2118 2 Kviga 124.2118 248.4236 3 ELEMENTO DIAGONAL EQUIVALENTE:
L 3.252 2.702 4.2252m L 4.2252 a 1.0563m 4 4 A at 1.0563 0.15 0.1584m 2 EmA 175000 0.1584 6562.50 L 4.2252 0
K mamposteria
1
0
0
3881.666 3224.728 3881.666 3224.728 3224.728 2678.97 3224.728 2678.97 3881.666 3224.728 3881.666 3224.728 2678.97 3224.728 2678.97 3224.728
Ensamblamos la matriz de rigidez del sistema.
4345.8261 324.9123 324.9123 K 324.9123 854.9265 124.2118 324.9123 124.2118 854.9265 Submatrices.
K AA 4345.8261
K AB 324.9123 324.9123
K BA 324.9123 324.9123
854.9265 124.2118 K BB 124.2118 854.9265
Matriz de rigidez lateral.
KL K AA K AB KBB 1 KBA
K L 4130.1916
~3~
0 0 1 0
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
PROBLEMA N° 2: Hallar la matriz de rigidez lateral del pórtico, presentado en la siguiente figura. Todas las vigas y columnas son de 30/40 cm., el ancho de la pared es de 20 cm. El módulo de elasticidad del hormigón es 1500000 T/m2 y el módulo de elasticidad de la mampostería es 100000 T/m2.
8
4
3.20 m
3
2
3.20 m
3.20 m
2.80 m
6
3.00 m
3.20 m
5
7
1
5.00 m
4.60 m
Grados de libertad de la estructura.
5.00 m
SOLUCIÓN: Ensamblamos la matriz de rigidez de cada elemento. ELEMENTO COLUMNA 1: l=3.20 m: 0
1
0
3
878.906 1406.25 878.906 1406.25 1406.25 3000 1406.25 1500 K c1 878.906 1406.25 878.906 1406.25 1500 1406.25 3000 1406.25
0 0 1 3
ELEMENTO COLUMNA 2: l=3.20 m: 0
0
1
4
878.906 1406.25 878.906 1406.25 1406.25 3000 1406.25 1500 Kc 2 878.906 1406.25 878.906 1406.25 1500 1406.25 3000 1406.25
~4~
0 0 1 4
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
ELEMENTO COLUMNA 3: l=3.20 m: 3
1
2
5
878.906 1406.25 878.906 1406.25 1406.25 3000 1406.25 1500 Kc3 878.906 1406.25 878.906 1406.25 1500 1406.25 3000 1406.25 ELEMENTO COLUMNA 4: l=3.20 m: 4
1
2
6
878.906 1406.25 878.906 1406.25 1406.25 3000 1406.25 1500 Kc 4 878.906 1406.25 878.906 1406.25 1500 1406.25 3000 1406.25
1 3 32 3 35 3 3 3 3 1 3 3 4 3 2 6
ELEMENTO VIGA 5: l=3.50m: 4
3
1920.00 960.00 3 Kviga5 960.00 1920.00 4 ELEMENTO VIGA 6: l=3.50m: 6
5
1920.00 960.00 5 Kviga5 960.00 1920.00 6 ELEMENTO DIAGONAL EQUIVALENTE 7:
L 4.602 3.002 5.492m L 5.492 a 1.373m 4 4 A at 1.373 0.20 0.2746m 2 EmA 100000 0.2746 5000 L 5.492 0
K mamposteria 7
1
0
0
3507.958 2287.798 3507.958 2287.798 2287.798 1492.042 2287.798 1492.042 3507.958 2287.798 3507.958 2287.798 2287.798 1492.042 2287.798 1492.042
~5~
0 0 1 0
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Diego Curasma Wladimir
ELEMENTO DIAGONAL EQUIVALENTE 8:
L 4.602 2.802 5.385m L 5.385 a 1.346m 4 4 A at 1.346 0.20 0.2692m 2 EmA 100000 0.2692 4999.071 L 5.385 1
K mamposteria8
2
0
0
3647.598 2220.277 3647.598 2220.277 1 2220.277 1351.473 2220.277 1351.473 0 3647.598 2220.277 3647.598 2220.277 2 2220.277 1351.473 2220.277 1351.473 0
Ensamblamos la matriz de rigidez del sistema.
0 0 10671.18 5405.41 5405.41 5405.41 1406.25 1406.25 0 1406.25 7920.00 960 K 0 1406.25 960 7920.00 1406.25 1406.25 1500 0 0 1500 1406.25 1406.25
1406.25 1406.25 1406.25 1406.25 1500 0 0 1500 4920.00 960 960 4920.00
Submatrices.
10671.18 5405.41 K AA 5405.41 5405.41
K BA
0 0 1406.25 1406.25
1406.25 1406.25 1406.25 1406.25
Matriz de rigidez lateral.
K K AA K BA
0 1406.25 1406.25 0 K AB 1406.25 1406.25 1406.25 1406.25
K BB
960 1500 0 7920.00 960 7920.00 0 1500 1500 0 4920.00 960 0 1500 960 4920.00
KL K AA K AB KBB 1 KBA
K AB K BB
9968.258 4821.225 KL 4821.225 4473.513
~6~
View more...
Comments