Analisis Matricial de Una Parrilla

ANALISIS MATRICIAL DE UN ELEMENTO PARRILLA Docente: MBA Ing. Marlon Cubas Armas

• Las parrillas son estructuras reticulares sometidas a cargas que actúan perpendicularmen te a su plano.

• Ejemplos de ellas se encuentran en muchas estructuras industriales, en losas de entrepiso con viguetas en dos direcciones, en tableros de puentes y en culatas de bodegas y fabricas sometidas a la acción del viento. • Los nudos se suponen rígidos y en consecuencia las acciones principales sobre sus miembros son torsión, flexión y corte

• En la deducción de la matriz de rigidez de sus miembros se utilizara el principio de superposición.

• Se supone que la parrilla queda contenida en el plano horizontal X-Y y las cargas quedan actuando verticalmente en la dirección del eje Z. Esto permite el empleo de las matrices de transformación deducidas antes.

• Por lo que la Ecuación básica de un elemento de parrilla orientado en la dirección del eje X del sistema de coordenadas generales es:

• • • •

Dónde: J = Cbt4 C= 1/3 – 0.21*(t/b)*[1 – (1/12)(t/b)4] b y t son las dimensiones transversales del elemento y b mayor o igual a t.

• La Ecuación básica de un elemento de parrilla orientado en la dirección del eje Y del sistema de coordenadas generales es:

• • • •

Dónde: J = Cbt4 C= 1/3 – 0.21*(t/b)*[1 – (1/12)(t/b)4] b y t son las dimensiones transversales del elemento y b mayor o igual a t.

• Ejemplo N° 02.- Resuelva matricialmente la estructura descrita a continuación: • Ambos elementos tiene una sección de 300 mm x 400 mm (b x h), el módulo de elasticidad vale 19 kN/mm2 y la relación de Poisson 0.20

• 1.- DETERMINACION DE LOS ELEMENTOS DE LAS MATRICES ELEMENTO

L

GJ/L

2EI/L

4EI/L

6EI/L2

12EI/L3

1-2

2.4

6415.20

25333.33

50666.67

31666.67

26388.89

2-3

3

5132.16

20266.67

40533.33

20266.67

13511.11

• 2.- DETERMINACION DE LOS MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO My12E= - My21E = -15 kN-m Z12E = Z21E = 25.0 kN My13E= - My31E = 15 kN-m Z13E = Z31E = 30.0 kN

• 3.- GENERACION DE LAS MATRICES DE RIGIDEZ DE LOS ELEMENTOS

[K12]=

Θx1

Θy1

W1

Θx2

Θy2

W2

6415.20

0

0

-6415.20

0

0

Θx1

0

50666.67 -31666.67

0

25333.33 31666.67

Θy1

0

-31666.67 26388.89

0

-31666.67 -26388.89

W1

-6415.20

0

0

6415.20

0

0

Θx2

0

25333.33 -31666.67

0

50666.67 31666.67

Θy2

0

31666.67 -26388.89

0

31666.67 26388.89

W2

[K12]=

Θx2

Θy2

W2

Θx3

40533.33

0

0

5132.16

20266.67

0

13511.11 20266.66

0.00

20266.67

0

20266.67 40533.33

0

20266.66 20266.67 0.00

0

Θy3 0 -5132.16

W3 20266.66 Θx2 0.00 Θy2 13511.11 W2 20266.66 Θx3

0 -5132.16 0.00 0 5132.16 0.00 Θy3 20266.67 0.00 13511.11 20266.67 0.00 13511.11 W3

• 4.- DETERMINACION DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL DE LA ESTRUCTURA Θx1 6415.20

[K]=

Θy1 0.00

W1 Θx2 Θy2 0.00 -6415.20 0.00 0.00 50666.67 31666.67 0 25333.33 0.00 0 -31666.67 31666.67 26388.89 -6415.20 0 0 46948.53 0 0 25333.33 31666.67 0 55798.83 0 31666.67 26388.89 20266.67 31666.67 0 0 0 20266.67 0 0 0 0 0.00 -5132.16 0 0 0 0.00 20266.67

W2 0.00

Θx3 0

31666.67 0 0 26388.89 20266.67 20266.67 31666.67

0

Θy3 0

W3 0

Θx1

0

0

Θy1

0 0

0 -20266.67

W1 Θx2

-5132.16

0

Θy2

39900.00 20266.67 0 -13511.11 20266.67 40533.33 0 -20266.67 0 0 5132.16 0 0.00 13511.11 13511.11 -20266.67

W2 Θx3 Θy3 W3

• 5.- APLICACIÓN Y ORDENAMIENTO DE LA ECUACION MATRICIAL GENERAL M1X

Θx1

M1XE

M1Y

Θy1

M1YE

Z1

W1

Z1E

M2X

Θx2

M1XE

M2Y

=

[K]

X

Θy2

+

M1YE

Z2

W2

Z1E

M3X

Θx3

M1XE

M3Y

Θy3

M1YE

Z3

W3

Z1E

Θx1

M1XE=15

Θy1

M1YE=-15

39900.00

W1

Z1E=55

0

0

Θx2

M2XE

0

0

0

Z2

0

0

0

M3X

20266.67

0.00

M3Y

0.00

Z3

20266.67

M1X=0

46948.53

0.00

20266.67

M1Y=0

0.00

55798.83

-31666.67

Z1=-40

20266.67

-31666.67

M2X

0

M2Y

=

Kna

X

Θy2

+

M2YE

W2

Z2E

-20266.67

Θx3

M3XE

-5132.16

0.00

Θy3

M3YE

0.00

-13511.11

W3

Z3E

Kaa

• 6.- DETERMINACION DE LOS DESPLAZAMIENTOS

Θx1 Θy1 W1

=

3.54385E-05

-1.8588E-05 -3.2753E-05

-1.85875E-05

4.2358E-05

4.3059E-05

-3.27525E-05

4.3059E-05

7.5872E-05

X

-15

2.30E-03

15

= -3.18E-03

-95

-6.07E-03

• 7.- DETERMINACION DE LAS FUERZAS Y MTS M2XE=0

M2X

0

0

0

M2Y

0

0

0

2.30E-03

0

0

0x

-3.18E-03 +

Z2E=25

-6.07E-03

M3XE=0

Z2

=

M3X

20266.66

M3Y

0

Z3

20266.66

0 -20266.66 -5132.16

0

0 -13511.11

M2YE=-15

M3YE=15 Z3E=25

• 8.- DIAGRAMA DE LA DEFORMADA DE LA ESTRUCTURA

• 9.- DIAGRAMA DE FUERZAS CORTANTES

• 10.- DIAGRAMA DE MOMENTOS FLECTORES