Analisis Matricial de una Cercha de 3 elementos.

TRABAJO DE ANALISIS ESTRUCTURAL II

ANALISIS MATRICIAL: MATRIZ DE RIGIDEZ

MARTÍNEZ GUZMÁN JOSUÉ DAVID

CARLOS COLMENARES DOCENTE

UNIVERSIDAD DE LA GUAJIRA FACULTAD DE INGENIERÍA PROGRAMA DE INGENIERÍA CIVIL RIOHACHA  – LA GUAJIRA 2015

1

TALLER 1 (7%/35%) Asignatura: Análisis Estructural II 11/09/15 Tema: Análisis Matricial- Método de las Rigideces

 A

C



B



 Analizar la siguiente cercha sabiendo que: 1. 2.

Los elementos son de acero Es= 200000 MPa Los 3 Elementos tienen la siguiente sección transversal:

Dexteriror = 10 cm Espesor = 0.55 cm

3. C.C = Tres (3) últimos dígitos de la cedula. Determinar:  A. B.

Reacciones y desplazamientos (si los hay) en los apoyos. Desplazamiento del punto donde se aplica la fuerza.

2

DESARROLLO.

Primero que todo, especificamos el valor de la fuerza, correspondiente a los últimos 3 dígitos de mi Tarjeta de Identidad, y se establece el sistema Global (Flechas en negro) con sus ejes cartesianos (Líneas punteadas color violeta). 2

Y

387 Kg 1

3m

6

4

5

3

X

Para realizar el análisis matricial y hallar los desplazamientos en los nodos y reacciones en apoyos que produce la fuerza es necesario hallar las matrices de rigidez locales para cada elemento (1,2 y 3). Luego, hallar las matrices transformaciones para los elementos 1 y 2, debido a que sus sistemas locales están inclinados con respecto al eje horizontal del sistema global, lo que no se hace con el elemento 3, ya que su eje horizontal local coincide con el eje horizontal global. Con esto se hallan las matrices globales correspondientes a cada uno de los elementos para posteriormente realizar un ensamblaje y hallar la matriz global.

1 0 1 0 [] =  ∗100 000 001 000 1     cos  s i n  0 0 [] = si00n cos00 scoisn0 cossin0 2

Matriz de Rigidez local. E= Modulo de elasticidad del material del elemento, A= área de la sección transversal del elemento y L= longitud del elemento.

3



Matriz transformación. = ángulo del inclinación del sistema local del elemento con respecto al sistema global. Para hallar las matrices de rigidez globales para cada elemento empleamos la siguiente ecuación:

[[]−]

Matriz Global. rigidez local.

[] = [−][][] 3

= Matriz inversa de la matriz transformación. = Matriz transformación.

[]

= Matriz de

 Antes de empezar a hallar las matrices locales, determinamos el A, que es igual en todos los elementos. (Se emplea la fórmula de la corona circular) Circunferencia mayor. (D=10 cm) Espesor (0.55 cm)

  = 4   4

Circunferencia menor.

Donde D= Diámetro de la circunferencia mayor y d= diámetro de la circunferencia menor. Como tenemos D= 10cm, hallamos d:

 =   2  ==10 120 0.558.9 =8.9  =;16.       4; 32   = 1.632 ∗10− 4

Este sería el área a emplear en la solución de mis matrices de rigidez.

4

ELEMENTO 1. De (1) tenemos la matriz de rigidez local del elemento 1:

1 0 1 0    0. 0 01632  [] = 200000   2+3∗ 100 000 001 000   90. 5 2 0 90. 5 2 0 [] = 90.00 5 2 000 90.00 5 2 000 

De (2) tenemos la matriz transformación del elemento 1:

  costan− 323 sintan− 323 0 0  − 2 costan− 2 0 si n t a n 0 [] = 0 0 costan− 323 sintan− 323 − −   2) 0 0 s i n t a n cost a n 2 ( 0. 5 5 0. 8 3 0 0 [] = 0.0083 0.0055 0.0.05853 0.0.08535 0. 5 5 0. 8 3 0 0 [−] =0.0083 0.0055 0.0.05853 0.0.05853 

Inversa de T 1.

5

De (3) tenemos la matriz de rigidez global para el elemento 1:

0. 5 5 0. 8 3 0 0   90. 5 2 0 90. 5 2 0 [] = 0.0083 0.0055 0.0.05853 0.0.05853 ∗ 90.00 5 2 000 90.00 5 2 000  0. 5 5 0. 8 3 0 0 ∗ 0.0083 0.0055 0.0.05853 0.0.08535 27. 8 5 41. 7 8 27. 8 5 41. 7 8 [] =27.41.41.787858 41.62.62.676787 41.27.41.877588 62.41.62.766877  

ELEMENTO 2.

De (1) tenemos la matriz de rigidez local del elemento 2:

1 0 1 0    0. 0 01632  [] = 200000   3+3∗ 100 000 001 000   76. 9 3 0 76. 9 3 0 [] = 76.00 9 3 000 76.00 9 3 000 

6

De (2) tenemos la matriz transformación del elemento 2:

[] cos180tan− 3 sin 180tan− 3 0 0 3− 3 3− 3 si n 180t a n   cos180t a n   0 0 3 3 = 0 0 cos180tan− 33 sin 180tan− 33 3 3 − − 0 0 s i n 180t a n   cos180t a n   3 3 ( ) 0. 7 0. 7 0 0 [] =0.00 7 0.00 7 0.0.0 77 0.0.077 0. 7 0. 7 0 0 [−] = 0.007 0.00 7 0.0.077 0.0.0 77 0. 7 0. 7 0 0   76. 9 3 0 76. 9 3 0 [] = 0.007 0.00 7 0.0.077 0.0.0 77∗76.00 9 3 000 76.00 9 3 000  0. 7 0. 7 0 0 ∗0.00 7 0.00 7 0.0.0 77 0.0.077 38. 4 6 38. 4 6 38. 4 6 38. 4 6 [] =38.38.38.444666 38.38.38.444666 38.38.38.444666 38.38.38.444666   Inversa de T 2.

De (3) tenemos la matriz de rigidez global para el elemento 2:

7

ELEMENTO 3. De (1) tenemos la matriz de rigidez local del elemento 3:

1 0 1 0   0 . 0 01632  [] = 200000   5 m  ∗100 000 001 000   65. 2 8 0 65. 2 8 0 [] = 65.00 2 8 000 65.00 2 8 000 

Como el eje horizontal del elemento 3 coincide con el eje horizontal del sistema global, no es necesario realizar matriz transformación, es decir, la matriz de rigidez local del elemento 1 será igual a su matriz de rigidez g lobal, así:

[] = []   65. 2 8 0 65. 2 8 0 [] =65.00 2 8 000 65.00 2 8 000 

 Ahora, nos queda ensamblar para encontrar la matriz de rigidez global de todo el sistema. Realizamos el grafico para observar que GDL locales de los elementos coinciden con los GDL del sistema global. 4

4

3

2

387 Kg

3

1

6

2

2

4

1 5

3 1

2

4

8

1

3

Elemento 3

Elemento

1

2

3

Local

Global 1

5

2

6

3

1

4

2

1

3

2

4

3

1

4

2

1

5

2

6

3

3

4

4

 Al ensamblar, nuestra matriz de rigidez global total queda así:

66.3.3321 101.3.3213 38.38.4466 38.38.4466 41.27.7885 62.41.6778  [] = 38.27.38.448665 38.41.38.447668 38.65.103.742468 38.38.04466 65.93.01258 41.0078    (41.78 62.67 0 0 41.78 62.67 ) [] = 

 Al dividir la matriz K en 4 partes, no queda algo así:

Notamos que K 11, nos resulta como una matriz cuadrada. Para hallar los desplazamientos que desconocemos, tenemos la siguiente formula:

    −  [] = [ ] ∗[]; [] =;  [] =  [] []

Desplazamientos desconocidos.

5

  es la matriz de fuerzas conocidas, donde entran F1, componente horizontal de la fuerza aplicada al nodo A; F 2, componente vertical de la fuerza aplicada al nodo A; y F 3, que vale 0 ya a que no opone reacción a una fuerza aplicada a ese apoyo en sentido horizontal (x).  Es la matriz de 9

desplazamientos desconocidos, entre los cuales entran U 1, en el nodo A producido por la fuerza F 1; U2, en el nodo A producido por la fuerza F 2; y U3, en B. Hallamos el valor de la Fuerza aplicada en el n odo A en Mega Newton.

 = 387  = 387 1 ∗10−    = 3,87  = 3,87 1∗ 10−    = 0.00387   ;    = 0.0035882  ℎ  , , cos22° = 0.00387 = 0.0035882   sin22° = 387 ;    = 0.0014497 ℎ , ,  = 0.0014497 

Hallamos las componentes de la fuerza aplicada en el nodo A.

Entonces, [F c] nos queda así:

Teniendo K11:

Inversa de K11:

0. 0 035882 [] =0.0014497    0 66. 3 1 3. 3 2 38. 4 6 [] = 38.3.3246 101.38.4163 103.38.4764   0. 0 206 0. 0 041 0. 0 091 −  [ ] = 0.0.00091041 0.0.00123061 0.0.00153061   10

De (5), tenemos que:

0. 0 206 0. 0 041 0. 0 091 0. 0 035882  [] =0.0.00091041 0.0.00123061 0.0.00153061 ∗ 0.0014497    0     0. 0 000679315  [] =0.0.000000311969     =  0002380945 

Esto me quiere decir que:

U1= 6.794 m en el nodo A hacia la izquierda, pues resulta n egativo, en la dirección 1.

U2= 0.293 m en el nodo A hacia abajo, pues resulta negativo, en la dirección 2. U1= 2.409 m en el apoyo B hacia la izquierda, resulta es negativo, en la dirección 3. Cabe resaltar que los desplazamientos U 4, U5, y U6, no aparecen aquí debido a que son puntos que están fijos y como ofrecen resistencia a moverse, generan reacciones a las fuerzas aplicadas, y por lo tanto, esos puntos no se desplazan en esas direcciones. Para hallar las reacciones que me crean los apoyos B y C en los sentidos 4, 5 y 6, utilizaremos la fórmula:

    [] = []∗ []; [] = [] = 6 38. 4 6 38. 4 6 38. 4 6     [] = 27. 8 5 41. 7 8 65. 2 8  41.78 62.67 0

K21 la sacamos de la matriz de rigidez global K.

11

De (6) tenemos entonces que:

38. 4 6 38. 4 6 38. 4 6    0. 0 000679315   [] =27.  ∗    8 5 41. 7 8 65. 2 8 0. 0 0000311969  41.78 62.67 0 0.00002380945  0. 0 01576  [] = 0.0.0003576       =  03033 

Como conclusión tenemos lo siguiente:

Reacción F4= 0.001576 MN en el apoyo B hacia abajo, pues resulta negativo, en la dirección 4. Reacción F5= 0.003576 MN en el apoyo C hacia la derecha, pues resulta positiva, en la dirección 5 Reacción F6= 0.003033 MN en el apoyo C hacia arriba, pues resulta positiva, en la dirección 6.

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