Matriz de Rigidez de Elemento Viga - Columna 2D, de Eje Recto y de Sección Constante Referida a GDL Orientados Según Ejes Locales
Ecuaciones diferenciales:
EA u ′ = N = − F1 EA u = − F1 x + C 0 v = v flexión + v corte ′ EI v ′flexión = M = F2 x − F3
EI v ′flexión = 12 F2 x 2 − F3 x + C1
⇒
′ = −V = − F2 GAs v corte EI ′ EI v ′ = EI v ′flexión + v corte F2 = 12 F2 x 2 − F3 x + C1 − GAs EI EI v = 16 F2 x 3 − 12 F3 x 2 + C1 − F2 x + C 2 GAs
(
)
′ =θ − v ′ = v ′flexión + v corte
Nota relativa a los giros en los extremos: En las expresiones siguientes: φ =
Deformada
12 EI GAs L2
Condiciones de Borde
Columna 1
u (0) = 1 u ( L) = 0 v(0) = v( L) = 0 v ′(0) = v ′( L) = −
F2 GAs
Columna 2
u (0) = u ( L) = 0 v ′(0) = v ′( L) = −
F2 GAs
F1 = − F4 =
EA L
F2 = F5 = 0 F3 = F6 = 0
F2 = − F5 = F3 = F6 =
12 EI
(1 + φ ) L3 6 EI
(1 + φ ) L2
F1 = F4 = 0
v(0) = v( L) = 0 F v ′(0) = 1 − 2 GAs
Fuerzas en GDL
F1 = F4 = 0
v(0) = 1 v( L) = 0
u (0) = u ( L) = 0
Columna 3
F2 GAs
F v ′( L) = − 2 GAs
F2 = − F5 =
6 EI
(1 + φ ) L2
4 + φ EI F3 = 1+φ L
2 − φ EI F6 = 1+φ L
Columna 4
u (0) = 0 u ( L) = 1 v ′(0) = v ′( L) = −
F2 = F5 = 0
F2 GAs
F3 = F6 = 0
Columna 5
u (0) = u ( L) = 0
F1 = F4 = 0
v(0) = 0 v( L) = 1
F5 = − F2 =
F v ′(0) = v ′( L) = − 2 GAs
F3 = F6 = −
Columna 6
u (0) = u ( L) = 0
K (e)
φ=
EA L
0
0
0
12 EI (1 + φ ) L3
0
6 EI (1 + φ ) L2
6 EI (1 + φ ) L2 4 + φ EI 1+φ L
0
0
−
12 EI GAs L2
EA L 0 0
−
12 EI (1 + φ ) L3
6 EI (1 + φ ) L2
6 EI (1 + φ ) L2 2 − φ EI 1+φ L −
12 EI
(1 + φ ) L3 6 EI
(1 + φ ) L2
F1 = F4 = 0
v(0) = v( L) = 0 F F v ′(0) = − 2 v ′( L) = 1 − 2 GAs GAs
=
EA L
F4 = − F1 =
v(0) = v( L) = 0
−
F2 = − F5 =
(1 + φ ) L2
2 − φ EI F3 = 1+φ L
EA L
0
0
−
12 EI (1 + φ ) L3
0
−
6 EI (1 + φ ) L2
EA L
0
0
12 EI (1 + φ ) L3
0
6 EI
−
6 EI (1 + φ ) L2
4 + φ EI F6 = 1+φ L
6 EI (1 + φ ) L2 2 − φ EI 1+φ L 0 6 EI − (1 + φ ) L2 4 + φ EI 1+φ L 0
Matriz de Flexibilidad de Elemento Viga - Columna 2D U=
∫
aij =
L
N2 dx + 2 EA
∂2 U = ∂ Fi ∂ F j
∫
∫ L
L
M2 dx + 2 EI
∂N ∂ Fi
∫
∂N ∂ Fj
L
V2 dx 2 GAs
dx + EA
∫
L
∂M ∂ Fi
∂M ∂ Fj
dx + EI
∫
L
∂V ∂ Fi
M = F2 x − F3
∂M =x ∂ F2
⇒
∂M = −1 ∂ F3
V = F2
a 22 =
∂2 U ∂
F12
∂2 U ∂
F22
a 32 = a 23 = a 33 =
∂2 U ∂
F32
L EA A= 0 0
L EA A= 0 0
=
L EA
=
(4 + φ ) L3 L3 L + = 3 EI GAs 12 EI
φ=
dx GAs
∂N = −1 ∂ F1
N = − F1
a11 =
∂V ∂ Fj
∂V =1 ∂ F2
12 EI GAs L2
∂2 U L2 =− ∂ F2 ∂ F3 2 EI L EI
=
0
(4 + φ ) L3 12 EI −
L2 2 EI
0
(4 + φ ) L 12 EI
−
(2 − φ ) L 12 EI
2 L − 2 EI L EI 0
K = A −1
⇒
(2 − φ ) L − 12 EI (4 + φ ) L 12 EI
EA L = 0 0
0
⇒
K = A −1
6 EI (1 + φ ) L2 4 + φ EI 1+φ L
0
0
12 EI
(1 + φ ) L3 6 EI
(1 + φ ) L2
EA L = 0 0
0 4 + φ EI 1+φ L 2 − φ EI 1+φ L
2 − φ EI 1+φ L 4 + φ EI 1+φ L 0
EJES LOCALES Y EJES GLOBALES
Grados de Libertad de la Estructura
Grados de libertad del elemento orientados según ejes locales:
K ′ (e) u ′ (e) = f ′ (e)
Grados de libertad del elemento orientados según ejes globales:
Proyección de las componentes de desplazamiento y de fuerza:
u′ ( e ) = T u ( e ) f ′( e ) = T f ( e )
K ′ ( e ) u′ ( e ) = f ′ ( e )
⇒ K ′( e ) T u ( e ) = T f ( e )
⇒ TT K ′ ( e ) T u ( e ) = f ( e ) ⇓ K ( e ) = TT K ′ ( e ) T
ROTACIÓN DEL SISTEMA DE REFERENCIA
K ′( e ) u ′ ( e ) = f ′ ( e )
K ( e )u ( e ) = f ( e ) K ( e ) = TT K ′ ( e ) T u1′ = c x u1 + c y u 2 u 2′ = −c y u1 + c x u 2 u 3′ = u 3 u 4′ = c x u 4 + c y u 5 u 5′ = −c y u 4 + c x u 5 u 6′ = u 6
MATRIZ DE RIGIDEZ DE ELEMENTO VIGA-COLUMNA 2D CON REFERENCIA A GDL ORIENTADOS SEGÚN EJES LOCALES
K (e)
=
EA
0
0
12 EI
6 EI
(1 + φ )L3
(1 + φ )L2
6 EI
(1 + φ )L
4 + φ EI 1+φ L
0
0
L 0 0 −
2
EA L 0 0
−
12 EI
(1 + φ )L3 6 EI
(1 + φ )L
2
−
EA
−
0
L 0
−
0
−
EA
6 EI
0
(1 + φ )L2 12 EI
0
2 − φ EI 1+φ L
6 EI
0
L
(1 + φ )L2
12 EI
(1 + φ )L3
(1 + φ )L3 −
6 EI
(1 + φ )L2
6 EI 2 (1 + φ )L 2 − φ EI 1+φ L 0 6 EI − (1 + φ )L2 4 + φ EI 1+φ L 0
MATRIZ DE RIGIDEZ DE ELEMENTO VIGA-COLUMNA 2D CON REFERENCIA A GDL ORIENTADOS SEGÚN EJES GLOBALES
K (e)
EA 2 12 EI cx + c2 L (1 + φ ) L3 y EA − 12 EI c c L (1 + φ ) L3 x y 6 EI − cy ( 1 + φ ) L2 = 12 EI EA 2 2 − L c x − (1 + φ ) L3 c y 12 EI EA c c 3 − ( + 1 φ ) L x y L 6 EI − cy ( + 1 φ ) L2
EA 2 12 EI cy + c2 L (1 + φ ) L3 x 6 EI
(1 + φ ) L2
cx
12 EI EA cxc y − 3 L ( ) + L 1 φ EA 2 12 EI − cy − c2 L (1 + φ ) L3 x 6 EI
(1 + φ ) L2
cx
( Simétrica ) 4 + φ EI 1+ φ L 6 EI c (1 + φ ) L2 y −
6 EI c (1 + φ ) L2 x
2 − φ EI 1 + φ L
EA 2 12 EI cx + c2 L (1 + φ ) L3 y EA 12 EI c c − 3 x y L (1 + φ ) L 6 EI c (1 + φ ) L2 y
EA 2 12 EI cy + c2 L (1 + φ ) L3 x −
6 EI
(1 + φ ) L2
cx
4 + φ EI 1 + φ L
PÓRTICO A DOS AGUAS Unidades: t, m E = 2.1 x 107 t/m2 Luz Altura
0 H A − 23.51 0 M 76.47 AB = = 264.71 H B 23.53 − 17.647 M BA 64.71
N AB = −V BC = 26.47 Fuerzas, columna derecha:
0.4444 − 0.6667 − 0.4444 − 0.6667 1.3333 0.6667 0.6667 1 − 0.6667 ( CD ) ( CD ) ( CD ) f u =K = EI 0 − 0.4444 0.6667 0.4444 0.6667 EI 0 − 0.6667 0.6667 0.6667 1.3333 N CD = V BC = −26.47
H D − 76.47 0 M 135.29 0 DC = = H 76 . 47 264 . 71 C − 61.765 M CD 94.12
PÓRTICO CON CARGAS DISTRIBUIDAS
Matrices de rigidez de elementos típicos:
K ( viga )
4 EI L = 2 EI L
K ( columna )
4 EI h = 2 EI h
2 EI L 4 EI L 2 EI h 4 EI h
Códigos de ensamble:
2.6667 K ( AB ) = EI 0 1.3333
1.3333 2.6667
0 1
3.2000 K ( BC ) = EI 0 1.6000
1.6000 3.2000
1 2
1.0000 K ( BD ) = EI 0 0.5000
0.5000 1.0000
0 1
Matriz de rigidez de la estructura:
6.8667 K = EI 0 1.6000
1.6000 3.2000
Fuerzas ficticias, viga AB:
Pab L 53.333 f 0( AB ) = = − Pab L − 53.333 Fuerzas ficticias, viga BC:
wL2 12 62.5 f 0( BC ) = = 2 − wL 12 − 62.5 Ensamble de fuerzas ficticias con signo cambiado:
f =−
∑f e
(e) 0
− 9.1667 = 62.5000
Desplazamientos:
Ku=f
⇒
u=
1 − 6.6621 EI 0 22.862
Fuerzas en GDL del elemento AB (viga izquierda):
44.45 f ( AB ) = f 0( AB ) + K ( AB ) u ( AB ) = − 71.10 V AB = P + ( M AB + M BA ) / L = 40 + (44.45 − 71.10) / 6 = 35.56 V BA = V AB − 2 P = 35.56 − 80 = −44.44 Fuerzas en GDL del elemento BC (viga derecha):
77.76 f ( BC ) = f 0( BC ) + K ( BC ) u ( BC ) = 0 V BC = wL / 2 + ( M BC + M CB ) / L = 75 + (77.76 + 0) / 5 = 90.55 VCB = V BC − wl = 90.55 − 150 = −59.45 Fuerzas en GDL del elemento DB (columna):
− 3.33 f ( BD ) = f 0( BD ) + K ( BD ) u ( BD ) = − 6.66 V BD = ( M BD + M DB ) / h = −2.50
wL2 12 90 f 0( BC ) = = 2 − wL 12 − 90 Ensamble de fuerzas ficticias con signo cambiado:
f =−
∑ e
f 0( e )
50 = − 15 90
Desplazamientos:
Ku=f
79.412 1 u= − 20.294 EI 0 18.971 Fuerzas en los GDL del elemento BC (viga):
75.59 f ( BC ) = f 0( BC ) + K ( BC ) u ( BC ) = − 78.24 V BC = wL / 2 + ( M BC + M CB ) / L = 90 + (75.59 − 78.24) / 6 = 89.56 VCB = V BC − wl = 89.56 − 180 = −90.44 Fuerzas en los GDL del elemento AB (columna izquierda):
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