Analisis Matricial de Estructuras

ANÁLISIS ANÁLISIS MA MATRICIAL USANDO EL MÉTODO DE RIGIDEZ Eugenio R. Gajardo Ponce 2014

VENTAJAS VENTAJAS Y DESVENT DESVENTAJAS DEL ANÁLISIS ANÁLISIS MATRICIAL MATRICIAL Ventajas: Permite utilizar métodos de cálculo en forma compacta, precisa y general, facilita el tratamiento tratamiento de la teoría de estructuras como unidad. Proporciona un sistema apropiado de análisis de estructuras y determina una base muy conveniente conveniente para el desarrollo de programas de computación.

Desventajas: Los métodos matriciales se caracterizan por una gran cantidad de cálculo sistemático

VENTAJAS VENTAJAS Y DESVENT DESVENTAJAS DEL ANÁLISIS ANÁLISIS MATRICIAL MATRICIAL Ventajas: Permite utilizar métodos de cálculo en forma compacta, precisa y general, facilita el tratamiento tratamiento de la teoría de estructuras como unidad. Proporciona un sistema apropiado de análisis de estructuras y determina una base muy conveniente conveniente para el desarrollo de programas de computación.

Desventajas: Los métodos matriciales se caracterizan por una gran cantidad de cálculo sistemático

MÉTODO DE LA RIGIDEZ Estructura lineal: Todos los movimientos y esfuerzos son funciones lineales de las cargas- pequeñas deformaciones (ecuaciones de equilibrio en la estructura no distorsionada sea por desplazamientos de la estructura o deformaciones de los elementos). Las barras son rectas y de sección constante. Se disponemos de tres conjuntos de ecuaciones que deben cumplirse.  –

Compatibilidad de los desplazamientos

 –

Relaciones Fuerza – Desplazamientos

 –

Ecuaciones de equilibrio

CONJUNTOS DE ECUACIONES •

•

•

Las ecuaciones de compatibilidad relacionan las deformaciones de barras con los desplazamientos nodales. Introduciendo estas relaciones en las ecuaciones constitutivas, relacionamos las fuerzas en los extremos de barras con los desplazamientos nodales Introduciendo estas últimas relaciones en las ecuaciones de equilibrio se obtiene un conjunto de ecuaciones de fuerzas nodales en función de desplazamientos nodales, que pueden ser consideradas como Ecuaciones de Equilibrio de la estructura en función de desplazamientos. La resolución de este sistema de ecuaciones permite obtener el valor de las incógnitas (desplazamientos nodales), a partir de los cuales se obtienen las solicitaciones de las barras de la estructura, así como las

TIPO DE ESTRUCTURAS SEGÚN ESFUERZOS Y DEFORMACIÓN EN LOS EXTREMOS DE LAS BARRAS CASOS SÓLO CON ESFUERZOS NORMALES. Reticulado Plano: tendremos dos desplazamientos por nudo Reticulado Espacial: tres desplazamientos por nudo.

CASOS EN LOS CUALES SE PUEDEN INCLUIR ADEMÁS LOS ESFUERZOS DE CORTE, FLECTOR Y TORSOR: Pórtico Plano: tres desplazamientos por nudo. (una rotación en el plano del pórtico y dos traslaciones), como solicitaciones de extremo de barra una fuerza axial, un esfuerzo de corte y un momento flector.

Pórtico Espacial: seis desplazamientos por nudo, tres traslaciones y tres rotaciones. Como solicitaciones de extremo de barra una fuerza axial, dos esfuerzos de corte dos momentos flectores y un momento torsor.

Emparrillado de vigas: tres desplazamientos nodales (un corrimiento normal al plano de la grilla) y dos rotaciones alrededor de los ejes contenidos en el plano mencionado). Los esfuerzos son un cortante y dos momentos (un torsor y un flector).

ANÁLISIS DE UNA ARMADURA ESTÁTICAMENTE DETERMINADA

COMPATIBILIDAD •

•

Las deformaciones q de los elementos se deben compatibilizar con los desplazamientos nodales r. Sea qi el valor de la deformación del elemento producida por un desplazamiento nodal unitario r j, el valor total de la deformación de cada elemento es:

COMPATIBILIDAD q1 = qia, q2 = q ja ........ etc. Conjunto de total de las deformaciones en los elementos.

r1, r2

, …….

Donde a

rn Conjunto de los desplazamientos nodales

es conocida como la matriz de transformación de desplazamientos que relaciona las deformaciones internas de los elementos con los desplazamientos nodales externos

EJEMPLO COMPATIBILIDAD

MATRIZ DE TRANSFORMACIÓN DE DESPLAZAMIENTOS

RELACIÓN FUERZA-DEFORMACIÓN

*

MATRIZ DE RIGIDEZ DE LOS ELEMENTOS k

MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA K

Donde: R: Fuerzas Nodales Externas r: Desplazamientos Nodales Q: Fuerzas internas en cada elemento

EJEMPLO 1

DATOS BÁSICOS Matriz de transformación de desplazamientos

R1 = R2 = 0 y R3 = -8 Klbs Suponer A/L = 1 ka = kb =kc = E = 30000 Klbs/in2

La Matriz Diagonal queda :

La Matriz Total de Rigidez es:

La Matriz Total de Rigidez inversa es :

Los desplazamientos nodales son r= K-1 R :

Los desplazamientos nodales son:

Los esfuerzos en las barras quedan:

ANÁLISIS DE UNA ARMADURA INDETERMINADA

ARMADURA DE REFERENCIA

DESPLAZAMIENTOS NODALES

COMPATIBILIDAD ENTRE DESPLAZAMIENTOS Y DEFORMACIONES

GENERALIZACIÓN DE LA COMPATIBILIDAD

APLICACIÓN EN EL EJEMPLO

RELACIONES CONSTITUTIVAS s= Esfuerzos en las barras k= Matriz de rigidez de las barras e= Deformaciones de las barras

MATRIZ GLOBAL DE RIGIDEZ

PASOS DE UNA SOLUCION GENERAL 1.

Definir matriz de compatibilidad [a] y de rigidez de las barras [k ].

2.

Obtener la Matriz Global de Rigidez: [K] = [a]T [k ] [a]

3.

Obtener los vectores de desplazamientos de los nodos, usando la relación: {F} = [K] {u}

4.

Determinar las deformaciones de las barras, usando las ecuaciones de compatibilidad: {e} = [a] {u}

5.

Obtener los esfuerzos en las barras: {s} = [k ] {e}

5.

Comprobar que la solución sea la correcta:

RESOLUCIÓN DEL EJEMPLO

VECTOR DE FUERZA Y MATRIZ DE COMPATIBILIDAD

MATRIZ GLOBAL DE RIGIDEZ

VECTOR DE DESPLAZAMIENTOS

VECTOR DE DEFORMACIONES DE LAS BARRAS

VECTOR DE ESFUERZOS DE LAS BARRAS

VERIFICACIÓN

ANÁLISIS DE MARCOS

ELEMENTOS DE SECCION CONSTANTES Y VARIABLES

ELEMENTO BIDIMENSIONAL

ELEMENTO TRIDIMENSIONAL

JUNTA TÍPICA

PÓRTICO COMPUESTOS POR TRES MIEMBROS Y 4 JUNTAS

PORTICO PLANO CON ELEMENTOS TOTALMENTE FLEXIBLES

PORTICO PLANO CON ELEMENTOS TOTALMENTE FLEXIBLES (2)

PORTICO PLANO CON VIGA AXIALMENTE RIGIDA

MARCO PLANO CON VIGAS AXIALMENTE RIGIDAS

PORTICO CON VIGA TRANSVERSALMENTE RIGIDA

PORTICO CON VIGA TRANSVERSALMENTE RIGIDA

MATRIZ DE RIGIDEZ DE ELEMENTOS PRISMATICOS EN COORDENADAS LOCALES

MATRIZ DE RIGIDEZ VIGA BIDIMENSIONAL

MATRIZ DE RIGIDEZ VIGA-COLUMNA BIDIMENSIONAL

Desplazamientos Unitarios Viga Empotrada

Matriz de Giro Donde:

Matriz de Giro T

Matriz de Giro T

ENSAMBLAJE DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ (1)

ENSAMBLAJE DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ (2)

EJEMPLO DE MARCOS

GRADOS DE LIBERTAD

DIVISIÓN DE SUB-MATRICES

COMPOSICIÓN DE LAS SUB-MATRICES

ANALISIS DE LOS ELEMENTOS 1 Y 2

SUB-MATRICES DE RIGIDEZ EN COORDENADAS LOCALES DE LOS ELEMENTOS 1 Y 2

SUB-MATRICES DE RIGIDEZ EN COORDENADAS GLOBALES DE LOS ELEMENTOS 1 Y 2 Sólo contribuyen las sub-matrices de los nodos libres no empotrados, el ángulo de giro es 90° en ambos casos.

ANALISIS DE LOS ELEMENTOS 3 Y 4

SUB-MATRICES DE RIGIDEZ EN COORDENADAS LOCALES DE LOS ELEMENTOS 3 Y 4

SUB-MATRICES DE RIGIDEZ EN COORDENADAS GLOBALES DE LOS ELEMENTOS 3 Y 4

ANALISIS DE LOS ELEMENTOS 5 Y 6

SUB-MATRICES DE RIGIDEZ EN COORDENADAS LOCALES DE LOS ELEMENTOS 5 Y 6

SUB-MATRICES DE RIGIDEZ EN COORDENADAS GLOBALES DE LOS ELEMENTOS 5 Y 6

ENSAMBLAJE DE LA MATRIZ GLOBAL DE RIGIDEZ K

RESULTADO DE LA MATRIZ GLOBAL DE RIGIDEZ K

OBTENCION DE GIROS Y DESPLAZAMIENTOS GLOBALES

CALCULO DE DEFORMACIONES Y ESFUERZOS DE LOS ELEMENTOS EN COORDENADAS LOCALES

CALCULO DE DEFORMACIONES DEL ELEMENTO 1 EN COORDENADAS LOCALES

CALCULO DE ESFUERZOS DEL ELEMENTO 1 EN COORDENADAS LOCALES

EMPOTRAMIENTO PERFECTO

Elementos 6 y 9

Elementos 6 y 9

Elemento 8

Elemento 8

APLICACIÓN DE FUERZAS Y MOMENTOS

ENSAMBLAJE MATRIZ DE RIGIDEZ

MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA

DESPLAZAMIENTOS NODALES

EJEMPLO TRATAMIENTO ELEMENTO VIGA 8

VERIFICACIÓN EQUILIBRIO ELEMNTO 8

VERIFICACIÓN DEL EQUILIBRIO (MOMENTOS)

Ensamblaje Directo

Matriz de Rigidez Directa

Matriz de Rigidez Directa

CARGAS EN LAS ESTRUCTURAS Clasificación Cargas muertas. Cargas vivas estáticas. Cargas vivas móviles. Impacto. Nieve. Viento. Sismos. Otros

Normativa Chilena NCh 1537.of1986 (2009):

Cargas permanentes y sobrecargas de uso.

NCh 431.of1977 (2009):

Sobrecarga de nieve

NCh 432.of1971 (2009):

Sobrecarga de viento

NCh 433.of1996 (2008):

Diseño sísmico de edificios

NCh 2369.of2003:

Diseño sísmico de estructuras e instalaciones industriales

NCh 3171.of2008:

Diseño estructural – Disposiciones generales y combinaciones de cargas

NOTACIÓN Y SIMBOLOGIA SEGÚN NCh 1537

NOTACIÓN Y SIMBOLOGIA SEGÚN NCh 1537

METODOS DE DISEÑO POR RESISTENCIA SEGÚN NCh 1537

INTEGRIDAD ESTRUCTURAL GENERAL

COMBINACIONES DE CARGA

EJEMPLO DE COMBINACIONES DE CARGAS SEGÚN NCh1537 DISEÑO POR RESISTENCIA

DISEÑO POR TENSIONES ADMISIBLES

EJEMPLO DE COMBINACIONES DE CARGA NORMAS INTERNACIONALES Estados límite de Resistencia I. II. III. IV. V.

Uso vehicular normal, sin viento. Uso vehicular especial, sin viento. Presencia extrema de viento (90 km/h). Fuertes cargas permanentes. Uso vehicular con viento.

Estados límite de Eventos Extremos I. II.

Sismo. Cargas de hielo, choques de barcos o vehículos, otros eventos hidráulicos.

Estados límite de Servicio I.

Operación normal del puente, con cargas nominales, incluye viento. Para control de compresiones en elementos pretensados. II. Combinación para controlar la fluencia en estructuras de acero. III. Combinación para control de agrietamiento y tracciones en elementos pretensados. Fatiga- por cargas repetitivas producidas por vehículos.

CARGAS PERMANENTES, CARGAS DE SUELO Y PRESIÓN HIDROSTÁTICA.

CARGAS PERMANENTES, CARGAS DE SUELO Y PRESIÓN HIDROSTÁTICA.

CARGAS DE USO

EJEMPLOS DE SOBRECARGAS SOBRECARGAS DE USO DE PISO Y TECHOS TABLA 4 - NCh 1537

REDUCCION CARGA DE USO DE PISO

REDUCCION CARGA DE USO DE PISO

FACTOR DE REDUCCION KLL POR TIPO DE ELEMENTO

REDUCCION CARGA DE USO DE TECHO (SÓLO MANTENCION)

SOBRECARGA NIEVE

SOBRECARGA DE VIENTO

CARGA SISMICA (MÉTODO ELASTICO)