Analisis Matricial de Estructuras

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE BOLIVAR

FACULTAD DE INGENIERA PROGRAMA: INGENIERIA CIVIL

TRABAJO FINAL DE ANALISIS ESTRUCTURAL

DOCENTE: M.Sc. ANTONIO MARIA MERLANO RIVERA

ESTUDIANTES: JUAN CAMILO SANCHEZ TORDECILLA – T00038120 CARLOS MAURICIO PEÑARANDA BOBADILLA – T00038094

30 de Noviembre de 2016 Cartagena de Indias - Bolívar

Análisis Matricial El análisis matricial es una técnica de resolución de problemas complejos de cualquier área de la matemática aplicada, cuyas raíces nos dirigen directamente a la algebra lineal. En general, es la herramienta principal para poder reducir y reformular problemas por medio de matrices, ya que en la vida laboral y científica resulta menos complejo y más rápido resolver problemas extensos con esta técnica que el mismo problema desde su origen por cualquier otro método. El objetivo principal es como resolver un problema X en matrices. Para ello es necesario conocer a fondo la teoría de matrices y operaciones con ellas que den lugar a la solución del problema X. Eso en pocas palabras es el análisis matricial. A lo largo de la historia del Análisis Estructural se han aceptado teorías muy válidas, exactas y otras aproximadas para cálculos sobre las estructuras. Estos cálculos pueden ser sobre líneas de influencia, cargas, deflexiones, ángulos de giro o rotación, deformaciones, áreas de los elementos necesarias para el diseño, etc. Todos basados en la estática y resistencia de materiales; con un último invitado (y el más importante): Algebra lineal. Básicamente los métodos matriciales consisten en llevar la estructura continua real a un modelo matemático de elementos estructurales finitos, cuyas propiedades pueden expresarse en forma matricial. Algunos de estos métodos son denominados clásicos y en su momento fueron trascendentales, pero hoy en día solo se les hace referencia de manera académica, más no laboral. Se basaban en teorías de deformaciones elásticas y arrojaban resultados exactos sobre una estructura, pero con una gran desventaja que va en contra de cualquier ingeniero: el tiempo de realización. Luego, alrededor de 1920 comenzaron a utilizarse métodos aproximados con hipótesis simplificadas sobre las estructuras, que aunque sean aproximados generaban y generan, aun, muchas ventajas en cuanto a cálculos (análisis y diseño), tiempo y desarrollo de un proyecto. Algunas ventajas de los métodos aproximados son:

 Al poder desarrollarse en menos tiempo, permiten hacer varias alternativas de análisis y diseño estructural, y así estimar varias opciones iniciales de costos y presupuestos sobre un proyecto.  Determinar los tamaños de los miembros estructurales a partir de las fuerzas resultantes del análisis aproximado en estructuras estáticamente indeterminadas. Esto es necesario porque el análisis de estructuras estáticamente indeterminadas se basa en las propiedades elásticas de sus miembros, las cuales dependen de sus dimensiones.  Permiten verificar los resultados que arrojan las computadoras. Los métodos aproximados más comunes son:   

Cross (distribución de momentos) Kani Takabeya

Para llegar a concretar las teorías de los métodos matriciales para optimizar el desarrollo matemático de estructuras complejas, pasaron muchos años de constante investigación y esfuerzo de grandes mentes, de lo anterior surge la pregunta “¿Quién fue el primero en escribir sobre la rigidez o flexibilidad matricial?”. Esta interrogante fue plasmada en un ensayo en el año 1995 La respuesta natural fue “alguien trabajando en la industria aeronáutica de Inglaterra o Alemania, entre los años 1920 y 1930. Desde entonces, varios autores han examinado reportes y publicaciones de la época. Para el grupo de Aeroelasticidad del Laboratorio Físico Nacional de Teddington, un pueblo convertido ahora en un suburbio de Londres, estas pistas representan el origen del Análisis Matricial de Estructuras. La evolución del análisis matricial de estructuras (AME) ocurre entre 1930 y 1970, y se debe, fundamentalmente, a cuatro autores: Collar y Duncan, Argyris y Turner. Los cuales dedicaron la mayor parte de sus vidas en implementar métodos que reduzcan cálculos matemáticos para optimizar el tiempo en el cual se presentaban los resultados. Entre 1945 y 1955, aparecieron métodos exactos a base de computadoras: El método de la rigidez y el método de la flexibilidad. Aunque los métodos aproximados, especialmente el de distribución de momentos de Cross,

comandaron en el mercado de la ingeniería, surgió la necesidad en la industria aeronáutica de obtener análisis y diseños mucho más rápido y de manera exacta sobre el comportamiento estructural de sus aviones. El campo de la ingeniería estructural también comenzó a sentir la necesidad de métodos de análisis y diseño que arrojaran soluciones para la elaboración de estructuras más complejas. Por suerte la tecnología iba paralela a estas necesidades de los ingenieros, era la época en que las computadoras digitales comenzaron a salir a flote. La idea de unir la algebra lineal, con el análisis estructural y la tecnología comenzó a hacerse más poderosa hasta generar lo que hoy en día conocemos como el Análisis Matricial de Estructuras, el arma más poderosa que cualquier ingeniero puede llegar a tener para analizar cualquier tipo de estructura. Inicialmente, en respuesta a la necesidad de la aeronáutica, Levy demostró cómo podía plantearse matricialmente un método de fuerzas para analizar el comportamiento estructural de los aviones con un alto número de incógnitas. A él se le sumaron otros ingenieros, todo tenían algo en común: usaban una matriz de flexibilidad para darle solución a los problemas. Posteriormente, el mismo Levy comenzó a usar un método matricial basado en deformaciones, que involucra una matriz de rigidez, y que hace el problema mucho más sencillo y más exactos los cálculos de la mano de las computadoras. Desde ese entonces, hasta el sol de hoy, todos los autores y matemáticos han llegado a la misma conclusión; dándole el mayor peso y énfasis a este método de la Rigidez. Antes de entrar de lleno en los métodos del Análisis Matricial de Estructuras hay que recordar conceptos muy básicos de los cursos de resistencia de materiales y algebra lineal, que son las bases de estos métodos. El objetivo del análisis matricial estructural es asignar a la estructura un objeto matemático que relacione las deformaciones con las fuerzas externas en cada uno de sus miembros, considerando que las estructuras son montajes de miembros conectados en cada extremo como nudos.

 De la resistencia de materiales tenemos que:

Si suponemos un elemento estructural de sección transversal constante a lo largo del elemento y lo sometemos a una carga axial P, entonces la presión o esfuerzo axial sobre ese elemento será: P σ= A

Otro concepto a tener en cuenta es el Hooke

relacionado

con

derivado de la Ley de resistencia

de materiales: todo material tiene un rango en el que se comporta según la ley de Hooke, elásticamente. Dicho rango es el de diseño y en el todo material sufre deformaciones proporcionales. De manera que si un elemento de X material se somete a una carga externa va a sufrir deformaciones, pero al retirar la carga volverá a su estado inicial. En el grafico siguiente se explicara un ejemplo más detallado:

Esta es la gráfica de esfuerzos ( σ ¿

vs deformación unitaria ( ε ¿

del

acero. Como vemos, el material presenta deformaciones proporcionales dentro del rango elástico o de diseño, que es la zona ubicada del lado

izquierdo de la línea roja. Por tanto en este rango se cumple que la pendiente será igual a: σ =Pendiente=Modulo de elasticidad=Ε ε Cabe aclarar que el módulo de elasticidad es propio de cada material y es constante en el rango de diseño. La deformación unitaria se puede definir según el siguiente gráfico:

Si a una barra de longitud inicial L se le aplica una fuerza axial P, esta barra sufrirá una deformación o alongamiento S. Entonces la deformación por cada unidad de longitud de la barra L será: δ ε= L Si trabajamos estas tres ecuaciones (solo las podemos relacionar dentro del rango elástico de cada material), podemos obtener fuerzas externas a partir de deformaciones y rigidez del elemento estructural; así: P σ= A P=σ . A P=(ε . Ε). A

δ P=( . Ε) . A L P=

A .Ε .δ L

Rigid ez

Donde A es el área transversal de la sección, E el módulo de elasticidad, L su longitud, S la deformación y P la carga externa. A.Ε Si establecemos que K= L entonces la ecuación final queda:

P=K . δ (ecuacionbasica del analisis matricial)

De aquí se deriva el método de la rigidez que es el más exacto, compatible con computadoras y más sencillo de aplicar ya que permite hallar de manera directa los desplazamientos y fuerzas de un elemento. El otro método, de flexibilidad, aunque tenga diferentes desarrollos para cada incógnita proporciona mayor exactitud frente a las respuestas dinámicas. Si usamos la última ecuación junto con los conceptos de la algebra lineal y asumiendo que las estructuras son montajes de miembros conectados en cada extremo como nudos, podemos expresarla en forma matricial como más adelante mostraremos. Analíticamente esta ecuación puede explicarse debido a que las estructuras al ser sometidas a cargas (acción), generan respuestas globales (toda la estructura) y locales (cada uno de sus miembros). Matricialmente, la relación entre acción (por cargas) y respuesta (por el diseño estructural) se puede representar así: [ P ] =[ K ][ δ ] (1) O también: [ δ ]= [ C ][ P ] (2) Dando lugar a los métodos del análisis matricial:  Método de la rigidez, basada en la ecuación (1)  Método de la flexibilidad, basada en la ecuación (2) Donde

[ C ] es la matriz de flexibilidad y [ K ] la matriz de rigidez ya

explicada. Nota: Si observamos cuidadosamente las ecuaciones (1) y (2) nos damos cuenta que la matriz de flexibilidad es la inversa de la matriz de rigidez y viceversa, ya que esta se puede reescribir como:

[ C ] = [ K ]−1 .

Como se había establecido anteriormente, estos métodos simplifican estructuras complejas reescribiendo las ecuaciones en términos matriciales, entonces físicamente se tiene que si sometemos una estructura a cargas

externas

P 1 , P2 , … , P n

sobre los nudos 1,2,..., n de la estructura (en el

caso de los marcos son las juntas), se tienen los desplazamientos δ1, δ 2, … , δn . Si comenzamos a analizar nodo por nodo y aplicando la ecuación de flexibilidad (2) tenemos que: δ 1=Ci 1 P 1+C i 2 P2 +…+C ¿ Pn Entonces, al escribir matricialmente todas las ecuaciones de todos los nudos de la estructura se tiene que:

Por el otro lado, como ambos métodos se relacionan por las matrices inversas de flexibilidad y rigidez, podemos reescribir esta matriz en términos de la rigidez K del elemento estructural en cada nodo:

Condición fundamental para desarrollar estos dos teoremas es que las matrices de flexibilidad y rigidez sean simétricas, de n (columnas) xn (filas).

Si bien el teorema de la flexibilidad no es tan usado, no está demás conocer aparte de sus ecuaciones ya señaladas anteriormente, su trasfondo. Este método permite resolver estáticamente una estructura hiperestática. Conózcase como hiperestática o indeterminada aquella estructura que está en equilibrio pero las ecuaciones de la estática resultan insuficientes para determinar todas las fuerzas internas o las reacciones.

Estructura estáticamente indeterminada (Hiperestática). En el método de las flexibilidades las estructuras a analizar son habitualmente hiperestáticas y puede adoptarse para ellas la hipótesis de comportamiento elástico y lineal. Para determinar el valor de las reacciones en los apoyos y de los esfuerzos en los extremos de las barras, es decir, para resolverlas estáticamente, debe utilizarse un método adecuado, como este. El grado de indeterminación de la estructura determinará el número de fuerzas redundantes y el número de ecuaciones extras necesarias para resolver la estructura. La estructura hiperestática se descompondrá en la suma de una estructura isostática básica (obtenida a partir de la original en la que se ha suprimido la o las fuerzas redundantes) cargada como la anterior y tantos estados unidad de carga multiplicados por la redundante asociada como sea el grado de indeterminación. Para devolver las condiciones cinemáticas a la estructura original se plantean condiciones de compatibilidad en cada uno de los puntos de aplicación de las fuerzas redundantes y en su dirección. Las incógnitas del sistema de ecuaciones de compatibilidad son las fuerzas redundantes (incógnitas estáticas principales). A partir de ellas se obtiene, directamente por equilibrio o bien mediante el principio de superposición, el resto de incógnitas estáticas, quedando resuelta la estructura .

Cada estructura puede utilizar un sistema de coordenadas diferentes para describir la localización de los puntos y para definir las direcciones de las cargas aplicadas, la comprensión de estos sistemas de coordenadas es fundamental para poder definir apropiadamente el modelo e interpretar los resultados. Utilizamos el sistema de coordenadas globales (X, Y) para definir nuestros ejes en una visión general de la estructura y el sistema local de coordenadas (X´y Y´) para analizar de una manera individual cada elemento de nuestra estructura. En la siguiente figura se muestra un ejemplo de coordenadas globales (a) y coordenadas locales (b).

Coordenadas globales y coordenadas locales

A continuación mostraremos 2 ejemplos del método de la rigidez en armaduras: En ambos, y casi en la mayoría de los casos, es necesario trabajar en un solos sistema de coordenadas. Entonces toca pasar de un sistema a otro mediante los conocidos en algebra lineal como cosenos directores.

Los programas computacionales resultan muy importantes a la hora de realizar los cálculos teniendo clara la teoría, ya que reduce significativamente el tiempo de diseño. Por ejemplo, la mayoría de los programas (por no decir todos) por lo general comienzan con una matriz de rigidez K donde todos los términos son 0; después se generan las matrices de rigidez globales del elemento estructural en estudio y estas se ubican en sus respectivas posiciones en la matriz K que inicialmente estaba en 0. Todo esto evita calcular las matrices de rigidez de cada elemento y almacenarlas para después juntarlas y obtener la matriz de rigidez global. Dentro de las muchísimas funciones que nos brinda el programa Excel, se encuentran varias relacionadas al análisis matricial. Estas nos permiten realizar todos los cálculos en milésimas de segundos, invertir matrices y multiplicarlas para obtener soluciones a las incógnitas. Además, crear una hoja de Excel es un trabajo muy significativo, ya que al tener una estructura para analizar, sería solo ingresar datos de entrada. Las funciones “=MINVERSA(“ y “=MMULT(“ son las que permiten realizar todos los cálculos computacionalmente. Cabe aclarar que estas funciones se ejecutan, una vez seleccionadas las matrices, hundiendo Ctrl+SHIFT+Enter. Además, Excel está limitado estructuralmente por estructuras complejas. Solo funciona con estructuras repetitivas y simples.

Así de fácil es usar el Excel para el cálculo de estructuras básicas por cualquiera de los dos métodos. Un error muy común es el de la manera de ingresar los datos, ya que Excel no convierte los sistemas de coordenadas. Es más apto para estructuras sencillas como pilotes o vigas. También existen software de programación como MATLAB que son más efectivos para analizar otro tipo de estructuras un poco más complejas. Al igual que Excel, este nos permite realizar operaciones matriciales y tiene las siguientes ventajas: trabaja con números reales y complejos, y brinda la posibilidad de combinar matemática simbólica con numérica. Un defecto que tiene MATLAB es que maneja

vectores y matrices como bloques enteros, ósea, no trabaja con elementos por separado, y cuando hablamos de matrices de rigidez hay que trabajar internamente por separado cada matriz para así obtener una matriz de rigidez global.

Ejemplo de como MatLab trabaja con matrices

Un tercer programa que nos sedujo fue el Anesmef 1.1, cuya funcionalidad es buena en el ámbito académico ya que calcula las estructuras por el método de la rigidez paso a paso, permitiendo al estudiante o diseñador observar si comete algún error. Calcula todo tipo de estructuras (aun las que tienen miembros inclinados) mediante cálculos simbólicos o numéricos, mostrando la matriz de rigidez reducida(global) y las subglobales y hallando los desplazamientos a partir de la transformación esta matriz usando Gauss o Cramer.

Permite trabajar con condiciones especiales

Así trabaja el programa Anesmef1.1.

Por último, el programa SAP2000 es considerado el software de Análisis y Diseño Estructural más completo y sofisticado, calculando las estructuras más complejas habidas y por haber. Sus siglas indican Structural Analysis Program. Este, como sus seguidores, se basan en el método de la Rigidez (elementos finitos) con un interfaz gráfico en tres dimensiones. Con el SAP2000 podemos hacer análisis lineal, análisis dinámicos con respecto a las respuestas de la estructura, analizar estructuras con cargas móviles, dimensionamientos de elementos a base de hormigón, verificación de estructuras metálicas, etc. Su gran dominio del mercado ingenieril radica en sus miles de funciones, que aunque parezcan sencillas, facilitan en demasía los cálculos y ahorra significativamente el tiempo de análisis y diseño. SAP2000 permite convertir sistemas de coordenadas para trabajar más sencillamente, designar el material de los miembros, su geometría y hasta ir dibujando la estructura a criterio del ingeniero. No está de más decir que este software re soluciona matrices, usando todos los operadores necesarios para llegar a un resultado, como los otros software ya mencionados. No presenta problemas frente a estructuras con miembros inclinados. Además, es un programa muy acercado a la realidad ya que no solo analiza y diseña estructuras, sino que también modela estas mismas en condiciones reales: fuerzas generadas por vientos, sismos, olas, etc..

Sección para definir el sistema de coordenadas de los miembros.

Sección para definir material de los miembros.

Sección para definir las propiedades de las secciones de cada miembro estructural, para al final hallar sus

Un ejemplo de los resultados arrojados por SAP2000.

Aunque todos los software de Analisis Estructural difieren unos con otros, casi siempre en sus interfaces, se asemejan en que los errores cometidos por el diseñador usualmente son los mismos. Por eso se puede decir que detectar y verificar los errores en ellos no es una tarea tediosa. Algunas formas de revisar dichos errores son:    

De entrada, yendo un poco a la teoría, las matrices de rigidez deben ser simétricas. Si no es así, el software generara resultados erróneos. Como en cada caso (nudo) la estructura debe estar en equilibrio, es de esperar que la suma de los términos de cada columna de la matriz de rigidez K sea igual a cero. Condición útil para verificar la matriz de rigidez. Verificar que al introducir datos de entrada, estos mantengan en su totalidad un mismo sistema de unidades. Ubicar correctamente un sistema de coordenadas globales y locales. Se recomienda para todos los software ubicar el origen del sistema de coordenadas globales en un nodo de tal manera los otros tengan coordenadas positivas.

En conclusión, la feliz coincidencia de que las ramas de la matemática aplicada y la tecnología iban paralelas y luego se cruzaron, permitió un grandísimo avance en el Analisis Estructural. Por más complejo que parezca, la mayoría de actividades antropológicas nos conducen a la realización de estructuras, bien sean sencillas o complicadas. Para llegar a la realización de estas estructuras es necesario hacer evaluaciones preliminares para ver la viabilidad de tal proyecto (estimar costos a partir de materiales y dimensiones). Los métodos clásicos permiten calcular dichas estructuras en un periodo muy extenso de tiempo, y de una manera más tediosa, convirtiéndose en enemigos del ingeniero y de la economía de un país. La llegada de los software marco una gran diferencia en tiempos de entrega de análisis y diseños estructurales, llegando a ser grandes aliados del ingeniero diseñador. Dejando de lado la parte matemática aplicada podemos afirmar que el análisis matricial estructural conlleva directamente a un mejoramiento de la economía local ( del diseñador) y global (mercado, competencia) al reducir el enemigo principal de todo ingeniero: el tiempo.

Bibliografía 1. 2. 3. 4.

http://www.mate.unlp.edu.ar/~demetrio/Apuntes/Analisis_matricial_I.pdf http://www.uhu.es/javier.pajon/apuntes/matricial.pdf http://es.slideshare.net/damian4z2/sistema-de-coordenadas-15687429 http://estructurando.net/2015/02/09/metodo-matricial-para-estructuras-

con-excel/ 5. http://www.bdigital.unal.edu.co/9863/1/jorgeeduardohurtadogomez.2013. pdf 6. http://www.calculadoras.cl/foro/forum/calculadoras/familia-ti89-titaniumvoyage-200/zona-de-descarga/aplicaciones-para-ingenier%EDa/ingenier %EDa-mec%E1nica/381-estructuras-anesmef-1-1-y-cross-1-1? t=330&highlight=rigidez 7. https://onedrive.live.com/?authkey= %21&cid=542E34B9F9C781DA&id=542E34B9F9C781DA %21129&parId=542E34B9F9C781DA%21113&o=OneUp 8. Análisis de Estructuras, 2da edición – Jairo Uribe Escamilla. 9. Análisis Estructural, 8va edición – R. C. Hibbeler.