Análisis Matemático - Ricardo Figueroa García

ANÁLISIS MATEMÁTICO 1 R. FICUEROA C.

E d ic io n e s

CBB

LIMA - PERÚ

A N Á L IS IS M A T E M Á T IC O 1 SEGUNDA EDICIÓN E n e ro 2006

© Im p re so e n E d ic io n e s J iró n L o re to 1696 B re ñ a - T e le fa x 4 2 3 -8 4 6 9 E -m a il: e d ic io n e s _ 2 @ h o tm a il.c o m L im a - P e rú

Todos los derechos reservaciones conforme al Decreto Ley N° 26905 HECHO EL DEPÓSITO LEGAL N° 1501052004 - 5262 RAZÓN S O C IA L : R IC A R D O F IG U E R O A G A R C ÍA DOMICILIO : Jr. Loreto 1696 - Breña E ste lib ro no se p u e d e rep ro d u cir total o p arcialm ente p o r n in g ú n m ed io e le c tró n ic o , m e c á n ico o fotocopia u o tro s m ed io s sin el p re v io y e x p re so p e rm iso d el autor.

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Prólogo Esie es un libro para un curso corto de A nálisis M atem ático dirigido para estudiantes cuyo interés prim ordial radica en la ingeniería, las ciencias físicas y m atem áticas, econom ía y ciencias adm inistrativas. Su propósito es el de proporcionar una exposición asequible y flexible que cubra los tem as m ás im portantes del Cálculo D iferencial de una v a riab le , tan sencilla y claramente como sea p o sib le, de modo que sea adecuada a la experiencia y madurez del estudiante Entre los temas que contiene el libro y que tienen importantes aplicaciones en las áreas antes mencionadas están ios siguientes. El prim er capítulo contiene algunos temas de revisión y preliminares para el estudio del A nálisis M atem ático: F U N C IO N E S . A quí se presenta en fonna com pleta las técnicas para hallar el dom inioy el rango. así como la construcción de sus gráficas, tanto algebraicas como trascendentes. Las funciones como modelos m atemáticos de situaciones prácticas que aparecen a lo largo del texto se introducen primero en la Sección 1.7 donde se dan sugerencias de com o obtener dichas funciones paso a p a s o . El segundo c a p ítu lo , que trata sobre L I M I T E S , es q u iz á , el m ás im portante de los capítulos que contienen el libro , pues sirve de punto de partida para iniciar el estudio del Análisis M atem ático. Prim ero se introducen una serie de conceptos relacionados con puntos de acumulación y vecindades , para luego conducir al estudiante a una definición rigurosa del límite en térm inos de intervalos abiertos como vecindades . Las demostraciones de los teore­ mas básicos sobre límites son relativamente sencillas cuando se formulan em pleando vecinda­ des y la abundancia de ejem plos perm iten al estudiante comprender realmente cada demostra­ ción . Los otros dos capítulos siguientes : C O N T IN U ID A D y DERIVADA son práctica­ mente una extensión del segundo cap ítu lo , pues cada uno de estos temas se definen a base de límites. En el capítulo 5 se hace un estudio amplio sobre las A P L IC A C IO N E S D E L A S D E ­ RIVADAS que implican m áxim os y mínim os así com o el trazado de gráficas de fu n cio n es,

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Prólogo

IV

problem as de optim ización y aproxim aciones del cálculo de raíces de una ecuación por el método de N e w to n . En el capítulo 6 se tratan las E C U A C IO N E S PA R A M É T R ÍC A S , su derivada y aplicaciones . En el capítulo 7 se establecen m étodos para calcular límites que toman diversas FO R M A S IN D E T E R M IN A D A S por lareg lad eL 'H o sp ital y la aplicación de la Fórm ula de Taylor para aproxim aciones p o linom iales. En todos estos capítulos , una atención especial se presta en los ejem plos concretos , aplicaciones y problem as que sirvan tanto para clasificar el desarrollo de la teoría com o para dem ostrar la notable versatilidad del C álculo en la investigación de im portantes cuestiones cien tíficas. Para guiar al estudiante se dan una variedad de aplicaciones, esencialmente por medio de ejercicio s, los cuales recom iendo se resuelvan progresivamente , tuda vez que en la selec­ ción de los m ismos , he tenido cuidado en considerar el grado de dificultad . M uchos ejerci­ cios contienen sugerencias de carácter instructivo y las respuestas de la mayoría se encuentran al final del libro Aprovecho la oportunidad para expresar mi agradecim iento a la Editorial A M ÉR IC A cuyo personal no ha escatim ado esfuerzos para resolver las dificultades inherentes a la publi­ cación del te x to . A sim ism o , una mensión especial de gratitud va dirigida a la Señorita Abilia Sánchez Paulino, por su dedicación y abnegada labor de diagram ar gran parte del manuscrito. Creo que su excelente colaboración ha sido inestim able .

El autor

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Contenido F U N C I O N E S ______________________________________________

1.2 1-3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8

In tro d u c c ió n -------------------------

— , — - ........................ j .

1.1

Definición de función -----------------.---------------------------------- 2 Evaluación de una función -----------4 Gráfica de una función ............. ........... '— - — ........... - .............. .— • 6 13 Determinación del dom inio de una función — -----------------Determinación del rango de u n a f u n c i ó n . - - .................- — - - 17 Funciones com o m odelos matemáticos — .....................— - ............... 18 Funciones especiales Definición 1.5: F u u c ió ru d e n tid a d .................................................... 23 Definición 1 .6 : Función c o n s ta n te ........................................... 23 Definición 1.7 Función lineal — - ..................... ........... • 24 26 Definición 1.8: Función c u a d r á tic a .................................... Definición 1.9 Función raíz cuadrada ................ 31 D efinición 1.10: Función p o lín ó m ic a -----------------------35 Definición 1.11: Función r a c io n a l....................... 36 Definición Definición Definición Definición Definición Definición Definición Definición

1.12: 1.13 : 1.14 : 1.15 : 1.16: 1.17: 1.18 : 1.19:

Función seccionada ............... Función escalón unitario -• Función signo - Función valor a b s o l u t o ............................................. Función máximo entero ................................. Función par -Función impar — .......................... Función periódica — ................

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37 40 41 42 49 58 61 63

Contenido

VI 1.9 1.10 1.11

A lgebra de las f u n c io n e s ------------------------------------------------------------- 73 Com posición de f u n c io n e s ----------------------------------------------------83 Funciones crecientes y decrecientes --------------------------------------------- 94 Definición 1.23 : Función in y e c tiv a - 96 100 Definición 1.24 : Función sobreyecó va — .................................. Definición 1.23 : Función b iy e c tiv a -----------------------------------101 1.12 Función inversa ------------------------------------------1.12.1 Propiedades de las funciones inversas -------------------------------------------104 1.13 Función longitud de arco ------------------------------------------------------------ 115 1.14 Las funciones trigonom étricas — ---------------------------1.14.1 Propiedades de las funciones trigonométricas ------------------------------ 119 1.14.2 Gráficas de las funciones trigonom étricas ........................................... 123

116

L IM IT E S _____________________________________________£? 2.1

2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13

2.14

Introducción ---------------------------------------------------------Definición 2.1 : Vecindad de un número r e a l ................- .........................139 Definición 2.2 : Punto de a c u m u la c ió n .....................................................140 Definición 2.3 : Conjunto a c o t a d o ................- ......................................... 142 Definición 2.4 : Función a c o t a d a ------------------------------------------------143 Noción de lím ite de una función --------------------------------------------------- 145 Definición 2.5 : Función acotada de una vecindad N ---------------------- 147 El lím ite de una f u n c i ó n .............................. - 149 Definición 2 .6 : U na definición rigurosa del l í m i t e ---------------- 151 Teoremas sobre l í m i t e s ................................................. - .................. 167 Lím ite de una función in te r m e d ia -------------------------------------------------- 177 Técnicas para evaluar el límite de una función — ................................ 182 Lím ites la t e r a l e s ................................- --------------------------------Lím ite de las funciones trig o n o m é tric a s ....................................- ...............216 Lím ites al i n f i n i t o - ........... - ........................................... Límites i n f in ito s .....................— ------------------------Lím ites infinitos en i n f i n i t o ----------------------------------------------------------261 Asíntotas y su uso en las representaciones g r á f ic a s ------------------------- 269 Las funciones exponenciales y lo g a rítm ic a s ...................................285 D efinición 2.21 : L a función p o te n c ia ........................................ Definición 2.22 : Función exponencial de base a ....................................286 Definición 2.23 : Función logarítm ica de base a ---------------------------- 287 El número e ---------------- 1 ------------------------------------------------------------292 Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

139

202 236 252

285

VII

Contenido

2.14.1 Propiedades de los límites exponenciales y lo g a rítm ic o s --------------------297 2.14.2 L ím iíe sd e la fo rm a : lim [ /( jc ) x-*a

= L

- ..................

298

Q j C O N T IN U ID A D ______________________________________ 3.1

3.2

33 3.4 3.5 3.6 3.7

Introducción ................... - .............................. 307 Definición 3.1 : Continuidad en un p u n t o ------------------------------------- 308 Definición 3.2 : Definición ( e - 8) d e la c o n lin u id a d ----------------------- 309 Definición 3.3 : Definición en términos de vecindades - ............ 309 309 Definición 3 .4 : Condiciones de c o n tin u id a d ------------Puntos de D isc o n tin u id a d ................................ 315 Definición 3.5 : Discontinuidad e v i t a b le ---------------------------------------315 Definición 3.6 : Discontinuidad inevitable --------------------------------316 Continuidad lateral --------------------------------------------------------------------- 324 Composición de funciones c o n tin u a s --------------326 Continuidad en intervalos ------------329 Funciones acotadas -------------------------------------------------------------------- 341 Propiedades fundamentales de las funciones c o n tin u a s ---------------------- 349

L A D E R IV A D A ______________________________________ £ 4.1 4.2 4.3 4.4

4.5 4.6

Introducción ------------------------------------------------------------------------------ 363 In c re m e n to s .................. - -----------363 Definición 4.1 : Increm ento de una función -------364 Tangentes a una c u r v a ------------------------------------364 Definición 4 .2 : Pendiente de la t a n g e n te --------------------------------------- 365 Derivada de una función en un p u n t o --------------367 Definición 4.4 : Form a alternativa de definir / ’(■*).................... 367 D efinición 4.5 : L a función d e r i v a d a ----------------------369 Derivabilidad y continuidad --------------------- ............ .. 371 Reglas básicas de derivación ............................... - ............... — 382 Teorema 4 .2 : Regla de la c o n s ta n te ------------382 Teorema 4 .3 : Regla de la p o te n c ia --------------382 Teorema 4 .4 : Regla del múltiplo constante ...................... 383 Teorema 4 .5 : Regla de la combinación l i n e a l - .................... 384 Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

Contenido

VIII

Teorem a 4 .6 : R egla del p r o d u c to ..............- ------------

.................................................. 386

Teorema 4 .7 : R egla del r e c íp r o c o Teorem a 4 .8 : Regla del cociente 4.7

385

----------------------

387

R egla de la potencia generalizada - ---------------------

390

4.8

---------------------------------- 399 Derivada de una función c o m p u e s ta T eo rem a4 .1 0 : Regla de la c a d e n a -----------------------399

4.9

La derivada de una función i n v e r s a ---------------------------------------- - - - 401

4.10

Derivadas de orden s u p e r i o r ..............

409

4 .11

Derivación im p líc ita -----------------------------------------

422

Derivación de las funciones tra s c e n d e n te s--------------

428

Teorema 4 .1 4 : Derivadas de las funciones trigonométricas inversas

441

4.12

Teorema 4.17 : Derivada de una función logaritmo de base b -------------- 452 T e o re m a 4 .18 : D erivadade lafunción e x p o n e n c ia l-------------------------- 459 4 .1 9 :

Derivada de la función exponencial n a t u r a l--------------

459

Teorema 4 .2 0 : D erivadade la función exponencial p o te n c ia l------------- 460 4.13

A lgunos problemas sobre la t a n g e n te -------------------------------------------- 465 D efinición 4.6 : La recta tangente y a recta n o r m a l ------------------------- 465 Definición 4.7 : Tangente h o r iz o n ta l................

466

Definición 4.8 : Tangente vertical ----------------------------------------------- 466 Definición 4.9 :

....................... 467

Longitud de la tangente y n o r m a l

D efinición4.10: Angulo entre dos c u r v a s ----------------4.14

La derivadacom o razón de variación

Definición 4 .1 1 : Razón promedio de cam bio

- ...........— --------------- 478

Definición 4.12 : Razón de variación instantánea

-------------------------- 479

D efin ició n 4 .l3 : Intensidad relativa y razón porcentual 4.15

468

----------------------------------- 478

----------------- 481

M ovim iento r e c tilín e o -------------------------------------------------------- . . . .

482

Definición 4.14 : Velocidad prom edio e in s ta n tá n e a ----------------------- 483 D efinición 4.15 : L a aceleración in s ta n tá n e a --------------------------------- 485 4.16

Razones de variación re la c io n a d a s

4.17

D ife re n c ia le s------------------------

--------

488 506

T eorem a4.2l : El tam año relativo de d y y Ay ---------------

508

4.17.1 Propagación de errores - ..............- ----------

508

4.17.2 Aproximación lineal -------------------------------

511

4.17.3 Propiedades de las d ife re n c ia le s

515

...........

4.17.4 Diferenciales de orden s u p e r i o r ..................... Definición 4.16 : Segunda d if e r e n c ia l

516 ..........................

517

4.17.5 Propiedades de las diferenciales de orden s u p e r io r .................

518

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IX

Contenido

1 0 ) A P L IC A C IO N E S D E L A D ER IV A D A ________________ £ 5.1 5.2

5.3

5.4 5.5 5.6

5.7

5.8 5.9

Introducción -------------------------------------------------------------------------------523 Máximos y m ín im o s -------------------------------------------------------------------- 523 Definición 5.1 : Noción de extremos -------------------------------------------- 523 Teorema 5 .1 : El teorem a del valor e x tr e m o ----------------------------------- 524 Definición 5 .2 : Extremos relativos o l o c a l e s --------------------------------- 524 Definición 5.3 : Número c r í t i c o ................. 525 Teorema 5 .2 : Teorema del extremo in te r io r ----------------------------------- 526 El teorem a del valor medio y sus a p lic a c io n e s-----------------------------------530 Teorema 5 .3 : El teorem a del R o l l e --------------530 Consecuencias del Teorema de R o l l e --------------------------------------------- 531 Teorema 5 .4 : Teorema del valor medio (L a g ra n g e )------------------------- 537 Consecuencia del Teorema de Lagrange ------------538 Teorema 5 .5 : Teorema de C a u c h y .............................- ........................- - 5 4 5 Criterio para las funciones crecientes y decrecientes — ............................551 Teorema 5 .6 : Funciones crecientes y d e c re c ie n te s -------------------------- 551 El criterio de la prim era d e r iv a d a ----------------------------------------------------555 El criterio de la segunda d e r iv a d a ........................... — 556 Teorema 5 .8 : Criterio de c o n c a v id a d ------------------------------------------- 568 Teorema 5 .9 : Punto de inflexión ---------------------571 Teorema 5 .1 0 : El criterio de la segunda d e r iv a d a --------------------------- 574 --------------------- 580 Resumen de técnicas para graficar una f u n c ió n Gráfica de una función polinóm ica — ------------------580 G ráfica de una función racional ...................... 583 G ráfica de una función conteniendo un radical de índice p a r Gráfica de una función conteniendo un radical de índice i m p a r Gráficas de funciones s e c c io n a d a s -----------------------------------------Gráficas de funciones trascendentes Problemas de o p tim iz a c ió n ---------------El método de N e w t o n ------------

589 59! 594 601 611 637

E C U A C IO N E S P A R A M É TR IC A S ____________________£ 6.1 6.2

Curva p a ra m é tric a ----------------647 Derivación paramétrica ----------------------------------------------------------------655

6.3

Rectas tangentes a curvas p a ra m é tric a s ----------------Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

656

Contenido

X 6.4 6.5 6.6

Derivación paramétrica de orden s u p e r io r ---------------------------------------- 662 Asíntotas en curvas p a ra m é tric a s ----------------------------------------------------666 Trazado de curvas p a ra in é tric a s -----------668

F O R M A S IN D E T E R M IN A D A S ______________________ 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6

In tro d u c c ió n .................................. 677 Prim era regla de L’ H ospital: Forma 0 / 0 ---------------------------------------- 677 Segunda regla de L’ H o sp ital: Form a « A » .................. 684 Form as indeterminadas a d ic io n a le s --------------------------------------- 691 Las formas indeterminadas 0Ü, S = 4 r t ; r = 3 =» S = 97c ; r = 4 S ~ 16rc ; r = 5 S = 2 5 it; . . . (1) Si designam os por A = { 2 , 3 . 4 , 5 , . . . } el c o n ju n to d e to dos lo s ra d io s e sc o g id o s y B = ( 4 ;c , 9 r t , I 6tc , 2 5 í t , . .} el conjunto de todas las áreas correspondientes , y si expresamos las magnitudes ( 1 ) com o un conjunto de pares ordenados ( r , s) obtendremos una relación funcional de S a través de r : / = {(2 , 47t ) , (3 , 9 i t ) , ( 4 , 16ít), (5 , 2 5 ít), . . . } c A x B Es d e c ir, esta correspondencia define una función de A en B.

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Capítulo I: Funciones

2

ÍÍT l

D E F IN IC IÓ N D E F U N C IÓ N

Sean A y B d o s conjuntos no vacíos y sea / una relación binaria de A en B .e sto es , / c A n B . Entenderem os por función de A en B toda regla que asocia a un elem ento x del conjunto A exactam ente un único elem ento y del conjunto B. Diremos que y es la im agen d e * m e d ia n te /. El D o m ( f ) ^ A , y su rango consta de todas las imágenes d e los elem entos x d e A. Es d e c ir: / es una función d e A en B o

(E JE M P L O

"P )

para un x € A . 3 ! y € BI ( x . y) e /

Sean los conjuntos A = { I , 2 ,3 ,4 } y B = {a ,& ,c} . Establecer cuál de los siguientes esquem as constituye una función de A en B.

F IG U R A

11 S o lu c ió n

En el diagrama (1): / = { (I , a ) , (2 , a ) , (3 t b ) , (4 , b) } , donde Dom( /) = { 1 ,2 ,3 ,4 } y R an( / ) = { a , b} * B . Luego / es una función de A en B , pues cada x e A está relacionado con un único y e B . O bsérvese que no es necesario que R a n (/) = B. En el diagram a ( 2 ) : g = {(1 , a ) , ( 2 , c ) , ( 4 , b)} , donde Dom(g) = {1 , 2 , 4 } c A y Ran(g) = {a , b , c} = B . Luego , g es una función de A en B au nquex = 3 € A no esté relacionado con ningún y e B. En el diagram a ( 3 ) : h = {(1 , a ) , ( l , b) , (2 , b ) , ( 3 , c ) . ( 4 , c)} , no es una función de A en B , pues si bien el D om (/> = A . existe un x = I e A al cuál le corresponden dos imágenes: y = a € B , y =¿€B . ■ [Frotación] Para denotar que / es una función de A en B se escribe / : A -» B jc - >

y = / W

y se dice q u e: “ y es la imagen de x m e d ia n te /” “ y es el valor num érico de / en x " “ y es el transform ado d e x por la función / " ^O B SE R V A C IÓ N 1.11 U n a fu n ció n / es una a p lic a ció n d e A en B si y só lo si / es un subconjunto de A x B que satisface las siguientes condiciones de existencia y u n icid ad : Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

3

Sección 1.2 : Definición de Junción i)

V x e A , 3 ! y e B |( x ,> ) e /

ii)

Si (x ,y ) 6 / a ( x , z) e / =* y = z

A s í, en el esquem a (1) el Ejem plo 1 , la función / es una aplicación de A en B porque todo el conjunto A (conjunto d e partida) es el dominio de / , mientras que el Ran(_f) c: B (conjunto de llegada).

Sean A = { -2 ,-1 , 1 , 3 , 4 , 8} y B = {-l , 0 , I , 2 , 3 , 4 , 5 } . H a lla r le y de modo tal que el conjunto / = { ( - 2 ,4 ) , (3 . - I ) , (2x , -2y) , (3 x - 2y , 2 ) , (3 , x + 3 y ) , ( - 2 , x - 2 y ) , (-1 1)} sea una aplicación de A en B.

(e je m p lo

Solución

2 )

De la condición de unicidad de la Observación I . I se tiene ( - 2 , 4 ) e / a (-2 , J t - 2y ) e /

4 = jc -2 y

(1)

(3 ,- 1 ) e / a (3 , x + 3y) e /

«=* - l = j c + 3 y

(2)

La solución común del sistem a de ecuaciones (1) y (2) es : jc = 2 , y = -l L u ego , / = {(-2 , 4 ) , (-1 , 3 ) , (3 , - 1) , (4 , 2 ) , (8 ,2 )} , de donde D o m (/) =

{ -2 ,-1 , 3 , 4 , 8 } = A y R a n (/) = { - 1 , 2 , 3 , 4 } c B

■

Obsérvese que / transforma cada x e A en un elemento y del rango, entonces podemos decir que / transforma al conjunto A en el conjunto R an( / ) £ B , denominado conjunto d e im ágenes y denotado por / ( A ) . Por lo q u e , definimos : i) Dom( / ) = { j c e A | 3 ! y E B , y = / ( * ) } = A ii) R a n (/) = /( A ) = {/(* )

e

B I x e A} c B es el conjunto imagen de A mediante /

OBSERV A CIÓ N 1.2 En este libro tratarem os con funciones del tipo / : A —> B . donde A c I R y B c [R , a las que llamaremos Junciones reales d e variable real y denotaremos / : (R -> IR x —* y — f ( x) Esto es :

/ = { (x , y) e IR x IR I y = f ( x ) }

o bien :

/ = { (* , /(*)) € IR * R Ix e D o m (/)} Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

Capítulo l : Funciones

4

Según esta notación , si /(* ) es una función de * y *Qe D o m (/), la expresión /(* n) , ya lo hemos dicho .significa la imagen de *(| o el valor numérico obtenido por /(* ) al sustituir * por x(). Por esta razón siempre se deftne una función m ediante una ley o fórm ula, llamada regla de corres­ pondencia , que perm ite calcular para cualquier * e D om (/) su imagen y = /(* ) . En consecuen­ cia , una función queda com pletam ente definida si se conocen 1. Su regla de correspondencia/(* ) 2. Su dominio P or ejem plo , sean los conjuntos A = {1 , 2 , 4} y B = {2 , 4, 8} y la función / : A —» JB I / = { (I , 2 ) , (2 , 4 ) , (4 , 6)} . Si en / denotam os p o r* cualquier elemento de su dom inio A ; entonces la regla de correspondencia que nos perm ite hallar su correspondiente im agen es /( * ) = 2* , de modo q u e , sim bólicam ente, podem os escribir / = { ( * , 2*> € (Rx [R| * e A}

(T 7 3 J

E V A L U A C IÓ N D E U N A F U N C IÓ N

Con frecuencia se describe una función por medio de una fórmula que especifique como se calcula el núm ero /(* ) en térm inos del núm ero*. Por ejem p lo , la fórmula : f ( x ) = x 2+ 2 x - 5 , x e IR (1) describe la regla de correspondencia de una función / que tiene como dom inio el eje real. La notación funcional tiene la ventaja d e identificar claram ente la variable dependiente com o /(x ) a la vez otorga un nombre a la fu n ció n . El valor de la función cuando* = * Mse denota por /(* 0) y se lee “/ d ex ()" , se dice entonces que la función está valuada en *(l. El símbolo / ( ) puede ser considerado com o una operación que se va a ejecutar cuando se i nsene un valor del dom inio entre el paréntesis. P o r ejem plo , la función definida por la fórm ula ( l ) puede ser descrita como / ( ) = ( )2 + 2 ( ) - 5 con paréntesis en lugar de las x. Por ta n to , si querem os e v a lu a r/(-4 ), colocamos sencillamente -4 en cada p arén tesis: /(-4 ) = (-4)3 + 2(-4) - 5 = 1 6 - 8 - 5 = 3 N o todas las funciones se definen por m edio de una fórmula única. P or ejem p lo , si escribimos

{

*-’ - * + 1 , s i * > 1 ._ _ _ _ _

vi-*

. si * < 1

tenemos una definición perfecta de una función. Algunos de sus valores son / ( 3 ) = (3)2 - (3) + I = 9 - 3 + 1 = 7 / ( - 3) = V i- ( - 3) = V i = 2 Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

Sección 1.3 : Evaluación de una Junción E JE M P L O

3 ]

Sea la función / = {(x , j t - 2 r + 3 ) e R x r | >■= /(* )} . H a lla r: a) / ( - O

Solución

5

,

b) m

.

c) /( 2 )

, d) E = /(4 + h )h^(4 —

Si x e ER C*2 - 2* + 3) e IR , luego, D o m (/) = IR y Ran(/ ) = [R .

La regla de correspondencia d e / e s f ( x) =x *~ 2x + 3 , por tan to , la función esta bien definida.

Describimos la función com o / ( ) = ( )2 - 2 ( ) + 3 , entonces : a) / ( - I ) - ( - 0 1 - 2 (-l) + 3 = I + 2 + 3 = 6 la imagen d e -1 es 6 b) /(O ) = (O)3 - 2(0) + 3 = 0 - 0 + 3 = 3 e=> la imagen de 0 es 3 c ) /( 2 ) = (2)2 - 2(2) + 3 = 4 - 4 + 3 = 3 •=> la imagen de 2 es también 3 ó) /( 4 + h) = (4 + h)3 - 2(4 + h) + 3 y / ( 4 - h ) = (4 - h)2 - 2(4 - h) + 3 ^

E JE M P L O Solución

C = -K4 + h> - ^ 4 - h> _ 4 (4 )(h )-4 h ^ h(16 - 4) _ l2

4 ]

u

Sea la función / : (R —» IR [ f ( 2 x + 3) = 4xa - I x + 3, hallar la imagen d e x

Hallaremos j ( x ) por dos m étodos:

a) M étodo d el cam bio de variables. Sea u = 2* + 3 ■=> x =

u^

S i / ( 2 r + 3) = 4 ^ - 2 r + 3 t=^ / ( u) = 4 ( - ^ ) ‘ - 2 ( - ^ ) + 3 = u2 - 7u + 15 /(V 2 x+ 1 ) = 8x ! + 22v + 20

(E JE M P LO

6 ]

■

D eterm inar si el conjunto f = {(*2 + 2 , x) I x e CR} es o no una función

La regla de correspondencia d e / es /C *2 + 2) = x S e a n * = 2 y x = -2 dos elem entos d e ld o m in io d e / Para x = 2 , f (4 + 2 ) = 2 « / ( 6 ) = 2 => ( 6 , 2 ) e / x = -2 , / ( 4 + 2) = - 2 « / ( 6) = -2 => ( 6, -2) e f D e la condición de unicidad : ( at , y) e / a (x , z ) e / t=> y = z , se sigue que ( 6 , 2 ) é / a (6 , - 2 ) e / >=> 2 = - 2 lo cual es falso , por tanto , / no es una función. Solución

(1,4)

■

G R Á F IC A D E U N A F U N C IÓ N

Cuando el dominio y el rango de una función consisten en números reales ambos , es posible plasmar el com portam iento de la función en form a gráfica.

Definición 1.1 : GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN Sea una función / : A —> B , donde Á c IR y B c IR, se define la gráfica de / , y s e denota G r ( / ) , al conjunto de todos los pares ordenados en los q u e x e A está como primer elem en­ to y su imagen y = f ( x ) e B com osegundo elemento. Es d e c ir: G r ( / ) = { ( * , . ) ’) £

E J] r e A ,

y ? = / (!* ) ¿

c A x B

o bien . G r ( / ) = {(X j / W 6

lR ? U ‘ e A j c A x B

P R O P IE D A D E S G . l : V ate A , existe un par ordenado (a; , y ) e G r ( / ) , es d e c ir, el D o m (G r(/)) = A G .2 : (jr, y) e G rf/ ) a ( a: , z) e G r(/) y = z (U nicidad) G .3 : Si PC*. y) e Gr( / ) P(* ,y ) e /

(E JE M P L O a)

( - 1 ,6 )

7 )

Sea la función / : IR —» CR definida por la fórm ula f ( x ) = -2x2 - 3jc + 5. D ecir si los siguientes pares ordenados pertenecen o no a la G r(/) b) ( 3 /2 .- 4 ) c) ( 4 ,3 9 ) Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

7

Sección 1.4 : Gráfica de una función Solución

Por ia propiedad G.3 se tiene :

a) / ( - l ) = - 2 M ) 2 - 3 ( - l ) + 5 = 6 = > ( - ! , 6) e / => ( - 1 . 6) e GríJ) b) /(3 /2 ) * -2 (3/2)2 - 3(3/2) + 5 = -4 => (3/2 , -4) e / =» (3 /2 , -4) e Grlf ) c) /( 4 ) = -2(4)2 - 3(4) + 5 = - 39

(EJE M P LO

8)

( 4 , -39) e / , luego ( 4 ,3 9 ) e Gr( /)

Sea la función / : A —> B | f ( x ) = 4 - x2, A = ( - 2 ,3 ] y B = [-5 , 5 ) ; trazar la gráfica de / mostrando el conjunto A x B.

So lu ció n

En p rim er lugar co nstruim os el rectángulo A x B (F ig u ra 1.3 ) , lu e g o d ib u ja m o s la g rá fic a d e / elig ie n d o lo s p u n to s e x tre m o s y un p u n to in term ed io d e A. A s í , p a ra

, » ¡

* = -2 i A =* / ( - 2 ) = 4 - ( - 2 )2 = 0 ^

J

(-2 ,0 ) e Gr(f)

r = 0e A

/(O ) = 4 - (O)3- 4 o

( 0 , 4) e Gr( / )

j = 3 e A o

f ( 3 ) = 4 - Í3)2 = -5 => (3 , -5) e G r(f)

t

Obsérvese que aunque ( - 2 ,0 ) e G r(/),e ste p u n to n o ssirv e c o m o referencia para el trazado de la curva. Por lo ta n to : GlX f)~ {U ,Jí3 - 4 ) |j c e ( - 2 , 3]} c A x B

■

! I ^ “ I^IGufíÁ V.3

~

OBSERV A CIÓ N 1.3

Sabemos que una función no debe tener dos pares ordenados con la misma prim era componente. Según esta definición si se presenta la gráfica de una función en IR- se debe cum plir la siguiente propiedad geométrica fundamental: "U na relación / : A - » B , A c [ R y B c = [ R , e s una función real si y sólo si cada línea recta vertical 31 corta a la gráfica de / a lo más en un punto” . Es decir : Gr( /) f| 31 - {P} , P 6 [R2 Esta observación proporciona un criterio visual para funciones.

^E JE M P L O

9 j

En las gráficas de la Figura 1.4 , establecer la diferencia entre gráficas de una función y los de una relación.

Solución

La gráfica en (a) es la de una función porque una línea vertical A c o rta a la curva de

im agen:

un solo punto P , esto es , a cada elem ento del dominio le corresponde una de la jc, y,

La gráfica en fb) es la de una relación que no es función pues una línea vertical 31 corta a la curva en dos puntos P, y P , , es d e c ir. a cada elemento del dominio x l le corresponden varias imáge­ nes, las com prendidas entre y, e y2. Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

m

Capítulo / ; Funciones

8

OBSERV A CIÓ N 1.4

L a notación funcional sirve para describir cómodamente transforma­ ciones de gráficas en el plano. Algunas familias de gráficas tienen una forma básica com ún y apoyándose en éstas se pueden hacer tres tipos de transformaciones : 1. Traslaciones horizontales 2. Traslaciones verticales 3. Reflexiones.

TIPOS BASICOS DE TRANSFORMACIONES Gráfica o rig in al: Traslación horizontal de h unidades a la d erech a: Traslación horizontal de h unidades a la izquierda : Traslación vertical de k unidades hacia a b a jo : Traslación vertical de k unidades hacia a rrib a : Reflexión (en el eje X) : Reflexión (en el eje Y ; :

k > 0) V= /tT ) v=/u-h) y = /(.v + h) y = /(.* )- k >’= /(* ) + k y = -/(* ) W < -rt

E JEM P LO 10 J M ediante la gráfica de la función f(x ) = (Figura l .5 ), dibujar el de las funciones a) y s

+2

d) y = V f - x + 2

b) y = - Vic - 1

c) y = Vjc- I - 2

c) y - yJx + 2

f) y = - V x- 2 + l

So lució n

F I G U R A 1.5

a) Si y=*Jx + 2 «=>>• = f ( x ) + 2 Tenemos un desplazamiento vertical de la Gr( /) , 2 unidades hacia arriba.

b) Si y = - Vx - l ■=>>' = - f ( x ) - l Reflexión (en el eje X) y desplazam iento vertical d e la G r ( /) , l unidad hacia abajo. c) Si y = Vjc + 2 o

y = f ( x + 2) Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

Sección 1.4 : Gráfica de una Junción

9

Desplazamiento horizontal de la G r ( / ) , 2 unidades hacia la izquierda. d) Si >■= VT^Jt + 2 «

y = / K x - I)] + 2

Reflexión (en el eje Y) y desplazam ientos: horizontal 1 unidad a la d erecha, y v ertica l, 2 unidades hacia arriba. e) Si y =

- 2 y = f ( x - 1) - 2

D esplazam ientos: h orizo n tal, I unidad a la d erecha, y vertical, 2 unidades hacia abajo. f)

Si y = - \'jc- 2 + 1 •=> y = - f ( x - 2 ) + I Reflexión (en el eje X) y desplazam ientos: horizontal, 2 unidades a la derecha, y vertical, 1 unidad hacia arriba.

OBSERV A CIÓ N J.5

Con relación a la gráfica original y = f ( x ) existen otros dos tipos de transform aciones en el plano que son los siguientes

1. Gráfica de la función g(x) = a f ( x ) a)

Si 0 < a < 1 , la Gr(g) se obtienen recortando verticalmente la G r(/) en un factor de a.

b) Si a > 1 . la Gr(g) se obtiene estirando verticalmente la Gr(_f) en un factor de a . En am bos casos se toma com o base el eje X. 2. Gráfica de la función %{x) = f ( a x ) a) Si 0 < a < 1 , la G r(g) se obtiene estirando horizontalmente la G r( / ) en un factor Ma b) Si a > 0 , la G r(g) se obtiene recortando horizontalmente la G r(f) en un factor de a . En am bos casos se toma com o base el eje Y.

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10

Capítulo I : Funciones

(E JE M P LO 1 1 j

Solución

D ad a la g rá fic a d e f (F ig u ra l . 7 ) , d ib u ja r la g rá fic a de ia fu n ció n g (x ) = 2 - / ( x + l ) , lu e g o , indicar su dom inio y rango.

Obtenem os la G r(gj haciendo las siguientes transformaciones a) >’ = /(■* + 0 »traslación horizontal l unidad a la izquierda b) >' = - f ( x + l ) , reflexión en el eje X c) y = - f ( x + l) + 2 , traslación vertical 2 unidades hacia arriba.

Leyenda a)

------------------

b)

------------------

c)

------------------

D o m (g ) = [ - 6 , 5 > - { - 1 }

R an (g ) = [-3 , 4 ]

E JEM P LO 12 ) a) g (* )= ( 1 / 2 ) ^ ,

M ediante la gráfica de la función /(jc) = (Figura l .5 ), dibujar el de las funciones (Ejemplo de la OBSERVA CION 1.5) x e

[ 0 .4 ]

b) g(*) = 2-Jx , x e [0 ,4 ] Solución

a) g(*) =

c) e ( x) =^ Ix /2 , y e [ 0 ,2 ] d) g(*) = g ( x ) = - i- /( x ) , a = ^ e < 0 , l ) Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

11

E JE R C IO O S : C r u p a l

Dibujam os la G rtg ), recortando verticalmente la G r(/) en un factor d e a = 1/2 , tomando como referencia el eje X. b) g(x) = 2 V* •=> gC*) = 2 / ( * ) , a = 2 e

3. { ( x - I .j ^ + Z r j U e IR}

2, (x3 - 4 , x ) ! x e (R}

4. { [(x + 1

3 ) . (* ,.y)] l(* ,>’) e IR2}

5. Si / e s una función real de variable r e a l, tal que f ( x + 3) = x2 + 3 , hallar el valor de E = f{a + 2) - f i a - 2) a- 1 6. S i / es una función real tal q u e / ( * - 2) = 3jc-11 >’

^

—— = 6 ,a # 2 ,

hallar el valor de a. 7. Sea la función /( x ) = a x 2 + fcx + c t a l q u e / ( - l ) = 0 . /( 1 ) = 8 y / ( - l ) + / ( l / 2 ) hallar f(2). Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

15/4,

Capítulo I : Funciones

12

8. Sea f ( x ) = a x 2 + b x +c , verificar que f ( x + 3) - 3 f ( x + 2) + 3 f ( x + I) - f ( x ) —O 9. Si / es una función real tal que f ( ^ 3 x + 4 ) = 9a:2 + 36x + 3 2 , hallar / (\íx + 2 ) 10.

H allar / ( * ) , s i : a)

/ ( * +

O

=

jc2

-3

x

ó) / ( ^ ) = at+ V T T * 2 , a: > 0

+ 2

b) /( 3 a: - 2 ) = 9jt2 + ¿ a: - 8 f)

c) / ( * + “X I) = * 2+ -xT‘ ■

f ( x - j ) = \ X

, x *0

11. H allar la regla de correspondencia de la función f ( x ) = a x 2 + b x + c que tiene a CRcomo su dom inio y tal que / ( - I ) = 3 , f ( 2 ) = 0 y /( 4 ) = 28 12. Sea / ( n ) la sum a de n térm inos de una progresión aritm ética. D em ostrar que : Sn = / ( n + 3) - 3 /(n + 2) + 3 /(n + l ) - / ( n ) = 0 [ Sugerencia : Sea la P.A.ra , a + r , a + 2 r

a +(n-])r^

Sn = /(n) = an + ^ (n - l)r]

13. M ediante la gráfica de f ( x ) = U l , (Figura 1.10), dibujar el de las funciones a) > = | a: | - 2

c )y = -U -2 |

e) y = 2 - 1 1 - jrt

b )y = U+3l

d) y = U + l l - 2

f)y = ^U -2 |

14. U sando la gráfica de f ( x ) = a)

y = ^íx - 1

c) y = ylx~ I

F I G U R A 1.10

15.

, (Figura 1. I I ) , dibujare! de las funciones e) y = ~ tfx.

F I G U R A 1.11

D ado la gráfica de la fun­ ción / (Figura 1.12), dibu­ ja r la gráfica de la función g(*) = 5 - / ( - * + 3 ).

F I G U R A 1.12

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Sección 1.5 : Determinación del dominio de una junción

[1 ,5 )

13

D E T E R M IN A C IÓ N D E L D O M IN IO DE U N A F U N C IÓ N

Cuando una función viene dada por una fórmula o regla de correspondencia, se suele sobreentender que el dom inio consiste de todos los números para los que la regla de correspon­ dencia está bien definida. A hora bien . el dom inio de una función puede describirse explícita­ mente junto con la función o estar implícito en la fórmula que define a la función. P or ejemplo , para las funciones a) / : A - » B , A c t R , B c l R b) g(jt) = V 7 7 2 , 2 < x < 7 el dominio está descrito explícitam ente, pues en a) D o m (/) = A = { j r e A l B ! > e B , y ~ /(*)} b) Dom(g) = {jc| 2 < x < 7 } = [2 ,7 ] Por su p a rte : a) Las funciones polinómicas / 6 j-

R egla de correspondencia de la función : f ( x ) =

^

=3 -

Si A = (6 , +°°) R an( f ) = /( A ) = /((6 , +°°)) Obtendremos el segundo miembro de esta fórmula partiendo de x e A 1. S i ; t > 6

( S i * > a ■=> -7 < n ) ■*

« = * j c - 5 > 6 - 5 i = > j » : - 5 > 1 < = > —1— < i x-5 ^ ^ >0

2.

C o m o x - 5 > I .tam bién x - 5 > 0

(Si a e [Ry a > 0 ■=> ^ -> 0)

3.

Luego , de los pasos ( I ) y (2) se sigue que : 0 < —^5 < *

4.

M ultiplicando p o r -1 : - 1 < - — — < 0 «=* - l + 3 < 3 jc - 5

- —— < 0 + 3 x -5

5. De donde : 2 < f ( x ) < 3 => R an (/) = { y e 1R 1 2 < y < 3} = ( 2 , 3 )

ÍÍ7 T >

■

F U N C I O N E S C O M O M O D E L O S M A T E M Á T IC O S

Del uso y aprovechamiento del lenguaje de las funciones se puede expresar diversos tipos de situaciones prácticas, que tienen que ver con la geom etría, física, econom ía, biología, etc, en términos de una relación funcional. La función obtenida representa un modelo matemá­ tico de tales situaciones. Los ejem plos que siguen muestran el procedim iento im plícito en la obtención de algunos modelos matemáticos.

(EJE M P LO

8 )

Determ inar una función que exprese el área del rectángulo de base x y perímetro 2a (fl> 0) .H allar el dominio y el rango de la función obtenida. Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

19

Sección I.7.: Funciones como modelos matemáticos Solución

Designemos p o r* e>' las dimensiones del rectángu­ lo (Figura 1.19)

1. Por geometría sabem os que su área esta dada por A = xy 2. Com o la fórm ula de A está expresada en térm inos d e dos variables x e y , usaremos el hecho de que el perímetro del rectángulo e s : 2 x + 2 y = 2a =* y = a - x

F I G U R A 1.19

3. L u eg o , en el paso (2 ): A(x) = x(o - x ) , a > 0 4. A h o ra , de esta últim a fórm ula debem os especificar el dom inio de la función A. O bvia­ m ente, sólo lo s v a lo re sx > 0 producirán rectángulos e fe c tiv o s, esto e s , si A (x)> 0 ^ x(a - x) > 0 0 < x < a (=> Dom(A) = { 0 , a) A sí, la definición com pleta del área es

: A (x) = ex - x2 , x e (0 , a)

5.

Rango de la función : A(x) = a x - x 2= y - - [ x - y ) 1

6.

Si 0 < x < a i=> - y

7.

M ultiplicando por - 1 : - y - < - ( x -

< x- y

< y =5

0 < ( x - y )2 < y )< 0 > = > 0 < y - - ( x - y )

“ "4~

.=> 0 < A (x) < a V 4 .% R an(A ) = { y e Í R l O < y < a 2!4} = (0 , a 2/4]

■

[EJEM P LO 9 J U n hom bre está en un bote a 2 millas del punto más próxim o de la costa. Tiene que ir al punto Q (Figura 1.20), situado 3 millas más abajo por la costa y a una milla tierra a dentro. Puede remar a 2 millas por hora y andar a 6 millas por hora. Expresar el tiem po T de su recorrido en función de x. Solución

El espacio remado por el h o m b re e s: PA = _s/jt2 + 4 y el espacio cam inado es : A Q = VI + (3 - x)2

Sabiendo que el tiem po = T = - ^ + ^

espacio

»entonces el tiempo T de su recorrído de P a Q es :

■=> T(x) = 1 ^ + 4

+ - M x 2 - 6x + 10 , x e ( 0 ,3 )

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■

Capítulo ¡ : Funciones

20

10 ] En una circunferencia de radio r = 5 , se inscribe un triángulo isósceles. E xpresar el área del triángulo en función de su altura. Súfacióti

1. Sea BH = x la altura del triángulo isósceles ABC y sea A C = 6 la longitud del lado desigual.

2. El área del triángulo A B C es S = -^ (AC) (BH) = 3. En el triángulo rectángulo B C D : HC2 = BH x HD (La altura es m edia proporcional entre los segmentos en que divide a la hipotenusa) 4. Entonces : (6/2)2 = x (2 r - x ) , de d o n d e , 5. L u eg o , para r = 5 , en el paso (2 ): 6. Como S (x )> 0 c=> x ( I O - x ) > 0

6 = 2 Vx (2r - x) S(x) = x V x (1 0 -x )

0 < x < 10

S(x) = x Vx (10 - x) , x € ( 0 , 1 0 )

■

(EJEM PLO 1 1 ]

El gerente de una tienda de m uebles com pra refrigeradoras al precio de mayoreo de $ 250 cada uno . Sobre la base de experiencias pasadas, el gerente sabe que puede vender 20 refrigeradoras al m es a $ 4 0 0 cada uno y un refrigerador adicional al m es por cada reducción de $ 3 en el precio de v en ta Expresar la utilidad mensual U como función del número x de refrigeradoras mensualmente vendidas. S pU if& n '

Interpretem os el enunciado del problem a con el significado d e que el precio de venta p de cada refrigerador es impuesto al comienzo de cada mes y que todas las refrigeradoras se venden al mismo p re c io . E ntonces: 1. La utilidad unitaria d e la venta de cada refrigerador e s : u = p - 250 2. La utilidad m ensual total U de la venta de x refrigeradoras es U = x u = x ( p - 250) 3. Designem os por n el número de reducciones de $ 3 hechas al precio de venta o rig in a l, de modo q u e : p = 400 - 3n 4. Como se pueden vender n refrigeradoras m ás que los 20 originales, entonces x = n + 2 0 , de d o n d e , n = x - 20

5. En el paso (3) se deduce q u e :

p = 400 - 3(x - 20) = 460 - 3x 6. Sustituyendo este valor de p en el paso (2) obtenemos la fórmula U(x) = x ( 2 l0 - 3 x ) = 3x(70 - x) para la utilidad mensual U com o función del número x de refrigeradoras vendidas al mes. 7. Dado que seria inaceptable la utilidad n eg ativ a, entonces si U (x) > 0 « 3x (70 - x) > 0 0 < x < 70 Por lo q u e , la descripción com pleta de la función utilidad es U(x) = 3x(70 - x) , 0 < x < 70 Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

EJERCICIOS

21

G rupo 2

8. Para el cálculo del ra n g o , escribimos UU ) = 3 (7 ttc -x 2) = - 3 ( x 2-7 0 x + I225J + 3675 *=* U(x) = -3 (x - 35)3 + 3675 Llegamos al segundo miembro de esta fórmula partiendo del d o m inio, esto e s , si 0 < x < 70

-35 < x - 35 < 35 ^

M ultiplicando por - 3 : Sumando 3675 :

0 < (x - 35)3 < 1225

- 3675 < -3 (x - 35)2 < 0 0 < 3675 - 3(x - 35)2 < 3675 [ R |/( jt) = I + V3 + 2jc- jt1

21. / = { ( x , - ^ )

| ^

(x2- 4 ) > 0 }

22. Sí el área total de un cono circular recto m ide 4 n u2 , hallar su altura como función del radio. D ar el dom inio y dibujar la gráfica de la función. 23. Hallar la función que exprese el área de un triángulo isósceles en términos del lado desigual x , sabiendo que la longitud del perím etro es 2a. A d em ás, hallar el dominio y rango de la función. 24. La altura de un cilindro es igual a su radio . Exprese el área total A d e la superficie (inclu­ yendo am bas bases) en función de su volumen. 25. Se va a construir una caja rectangular que tenga un volumen de 256 piesJ . Su base debe ser doble de largo que de ancho. El material de la tapa vale $ 10 po r p ie 2 y el de los lados y b a s e , $ 5 por pie2. Expresar el costo de construcción de la caja com o una función de uno de los lados de la base. 26. El peso aproximado del cerebro de una persona es directamente proporcional al peso de su cu erp o . y una persona que pesa 150 Ib. tiene un cerebro cuyo peso aproximado es de 4 Ib. a) Encuentre un modelo matemático que exprese el peso aproximado del cerebro como una función del peso de la persona, b) D eterm ine el peso aproxim ado del cerebro de una persona que pesa 176 Ib. 27. Una página impresa contienen una región de impresión de 24 pulg2 , un margen de 1.5 pulg. en las partes superior e inferior y un margen de 1 pulg, en los lados, a) Encuentre un modelo matemático que exprese el área total de la página como una función del ancho de la región de impresión, b) Cuál es el dom inio de la función. 28. A un cam po de form a rectangular se le colocaron 240m de cerco, a) E xpresar un modelo matem ático que exprese el área del terreno com o una función de uno de sus lados, b) Qué dim ensiones debe tener este cam po rectangular para que su área sea m áxima ? D eterm inar dicha área. 29. Una ventana tipo norm anda tiene la figura de un rectángulo rematado por un sem icírculo. Suponga que una ventana de este tipo tendrá un perím etro de 200 p u lg ., y que la cantidad de luz transmitida es directamente proporcional al área de la ventana .a ) Si r pulg. es el radio de sem icírculo, exprese la cantidad de luz transmitida por la ventana como función de r. b) Cuál es el dom inio de la función resultante? Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

23

Sección 1.8 : Funciones especiales 30.

Un campo petrolero que contiene 20 pozos ha estado produciendo 4000 barriles diarios de petróleo. Por cada pozo nuevo que es perforado, suponga que la producción diaria de cada uno disminuye 5 barriles. Escriba la producción diaria del cam po petrolero en función del número x de pozos nuevos que se perforan.

(1.8)

F U N C I O N E S E S P E C IA L E S

Definición 1.5 : FUNCIÓN IDENTIDAD Es aquel la función denotada p o r I : (R —» CR .donde el dominio y el rango es el conjunto de los números reales y que tiene com o regla de correspondencia I(x) = x . V * e IR Es d e c ir, en esta función cada número real se corresponde a si mismo. Su gráfica (Figura l .22) es la recta de pendiente m = Tg 45c * l , denotada por G r(l) = { ( x , x ) \ x e IR} pasa por el origen de coordenadas como bisectriz del prim er y tercer cuadrante. Cuando e! dominio de esta función está restringido a un conjunto A •)!>• = k} o b ie n : C(x) = k Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

Capítulo ¡ : Funciones

24 La gráfica de esta función es una recta horizontal (Figura 1.24) denotada por Gr(C) = { x , k) | V* e IR} Considerando que la gráfica de una función constante pasa por el punto ( O , k) y es paralela al eje X , la posición d e la recta depende del valor de k.

F I G U R A 1.24

1. Si k > 0 , la G r(C) es una recta horizontal situada por encima del eje X 2. Si k = 0 , la G r(C ) es el eje X , se d ice ento n ces q ue la función es nula , esto es , y = 0, V x e IR. 3. Si k < 0 , la Gr(C) es una recta horizontal situada debajo del eje X.

Definición 1.7 : FUNCIÓN LINEAL Es aquella función / : IR —►IR cuya regla de correspondencia es /(x ) = m x + b donde m y 6 son núm eros reales fijos y til * 0 Su gráfica es una línea recta ÍB (Figura 1.25) cuya pendiente o coeficiente angular es m y su ordenada en el origen es b.

TEOREMA 1.1 Sean x ,.,..^ » y , , y2 núm eros reales tales q u e x ^ jq .,y

entonces existe una única

función lineal / tal que = /( * ,) e y 9 = D em ostración

En e fe c to , sean P ^x, , y ,) y P2(x2 , y2) dos puntos diferentes cuyas coordena­ d as satisfacen la ecuación : /( x ) = mx + b . C om o y = f ( x ) , escribim os entonces y = m x + b , luego , deben e x istir los núm eros reales m y f c . m í O , tales q ue :

Restando am bas ecuaciones obtenem os: y sustituyendo (3) en (1) se tien e: y, =

y {- m x t + b

(I)

y2= m x , + b

(2 )

y2 - y , r _y

(3 )

2

1 +

= m b «=> b -

(4)

Si los números reales m y fc existen por las ecuaciones (3) y (4), entonces la función lineal también existe y está definida por Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

Sección ¡.8 : Funciones especiales

25

x 2 y r x iyi

Por le qu e : ,( * ,) =

O B SE R V A C IÓ N 1.6

)* , +

/(*,) = >,

En el triángulo P, Q P 2 de la Figura 1.26 , se tiene Tgct =

P,Q

T g a = - ^ 1 * In x 2- x ,

La pendiente de una recta es la tangente de su ángulo d e inclinación. O B SE R V A C IÓ N 1.7

Para determ inar la ecuación de una recta basta conocer dos puntos de ella con los cuales se calcula su pendiente. luego eligiendo cual­ quiera de los dos puntos como punto de paso . por ejemplo P ((jr,, y , ) . y P(x , y) com o punto genérico, se sigue que y ~y m= 77T ** y - y ^ m O c - x J

EJEM P LO

1 J H allar la función lineal para la cual se cumple que 2 /(2 ) + /( 4 ) = 2 l y / ( - 3 ) - 3 / ( l ) = - l 6

Solución

Sea la función lin e a l: f ( x ) = m * +b

(I)

Si 2 /(2 ) + /( 4 ) = 2 1 2(2m + 6) + (4m + ¿) = /(-3 > - 3 /(1 ) = 16

(-3m + ¿) - 3(m + 6) = - 16

La solución común de las ecuaciones (2) y (3) e s :

2 1>=>8m + 36 = 2l ^ 3m + ¿ =

8

(2) (3)

m= 3 y b= - I

Entonces en ( I ) , la función lineal está definida por la fórmula f ( x) = 3 x - l

Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

m

Capítulo I ■Funciones

26 2 )

(e je m p lo

H allar la función lineal tal q ue / [ / ( * - 1)] = 16* - I

Solución Sea la función lin e a l: f ( x ) = m * + b E n to n ces,

(I)

/ ( * - 1) = m(* - 1) + b = in* - in + b

En (1) , su stitu im o s* p o r/ ( * - I) y obtenemos : D e la condición dada y de (2) se sigue q u e :

(2)

/ [ / ( * - I)] = m / ( * - l ) + ¿

16*- 1 = m (m * - m + 6) + 6 «=^ 16* - 1 = mí* + &(m+ l ) - m 2 Identificando coeficientes:

í m2 = 16 in = ± 4 < ( b(m + I) - m2 = -1 e s b = in - I

En ( 3 ), para m = 4 , b - 3 y pasa m = -4 , b — -5 ; 'p o r ta n to , en ( 1), hay dos soluciones /( * ) = 4 * + 3 o /( * ) = - 4 * - 5

E JE M P L O

3 j

■

U na tienda de artículos dom ésticos tiene 900 licuadoras en alm acén al principio de cada m es ; las ventas de licuadoras promedian 25 unidades

por día de venta. a) H allar un m odelo m atem ático que represente el número de licuadoras en almacén en cual­ quier día de ventas de cada mes. b) En que tiem po se agotará las licuadoras en almacén ? c) Cuál es la cantidad de licuadoras cuando han transcurrido 12 días ? IS olución] a) Sea y el número de licuadoras en almacén y se a * el número de días de venta. Al inicio de cada m e s , es d e c ir, cuando * = 0 , tenemos en almacén y = 900 licuadoras. C om o el núm ero de licuadoras dism in u ye en alm acén a razón de 25 unidades p o r d ía de venta , entonces y cam bia en -25 unidades cuando * cam bia en I unidad , es d ecir q u e la razón d e cam bio o p en d ien te es m = -25. L uego , la función está d ad a p o r la fó rm u la : y = m * + b = -25* + 900 (1) b) Cuando las licuadoras se agotan en almacén se tiene que y = 0 Entonces , en ( I) : 0 = -25* + 900 * = 36 días c) C u a n d o * = 12 , en (1) se tiene :

y = -25( 12) + 900 = 600

Definición 1.8 : FUNCION CUADRATICA Es aquella función con dom inio IR y definida por la ecuación / ( * ) = o x2 + bx + c d o n d e a .6 y e son constantesque representan números re a le s y a * 0 Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

■

27

Sección 1.8 : Funciones especiales

Esta función puede e sc rib ¡rs e c o m o /{ (x ,y )e R 2I y = a x 2+ b x + c } cuya gráfica es la misma que de la ecuación y = a x 2 + b x + c ,y que mediante el artificio de com pletar cuadrados puede ser transformado en otra equivalente de la fo rm a : y = a ( x - h)2 + k El siguiente teorema nos muestra el procedimiento a seguir.

TEOREMA 1.2 : Valores extremos de la función cuadrática La función cuadrática definida por / ( x) = a x 2 + b x + c = a ( x - h ) z + k , a * 0 donde: h = -

2a

y

k=

Aa

■ , tienen un valor extrem o en el punto x - - - ~2a

i) Si a > 0 , el valor extremo es un valor m ínim o k = / ( h ) , es d e c ir, R an (/) = [ k , + « ) ¡i) Si a < 0 , el valor extremo es un valor m áximo k = / ( h ) , es d e c ir, Ran(/> , kj Demostración En e fe c to , sea y = f ( x ) , entonces y ®a x 2 + b x + c = a (x2 + ' l -> Ü\ X + Si hacemos h = -

y

— x + — ) = a (x2 + — x + a a / ' a b b1 \ a X + Aa1 ) +C

k=

que es otra form a de representar la función

-7^7 - -7^-7 ) + c 4a 2 Aa21

b2 t b \2 " Aa “ a \ X + 2a i +

Aac-b2 4a

, obtenemos : y ~ a (x + h )2 - k y = a x 2+ bx + c

y“k Por otro la d o , si (x - h)2 = —— , y com o (x - h)2 > 0 , V x e IR , entonces i) S i a > 0

= » y - k > 0 < = > y > k , luego y e [ k , -k*>) = R a n (/) , es d ecir , la función

tiene un valor m ínim o k , cuando x = - bl2a ii) S i a c O e * y - k < 0 < = * y < k , luego y e ( - ~ , k] = Ran ( / ) , es d e c ir, la función tiene un valor máximo k , cuando x = - b/2a La gráfica de una función cuadrática es una curva llamada parábola que es simétrica respecto a la recta vertical x = h (eje de sim etría). Según los resultados anteriores puede ser una de las dos formas siguientes: 1. Si a > 0 , la parábola es abierta hacia arriba y de este modo el vértice V ( h , k) es el punto más bajo de la gráfica (Véase la Figura 1.27) 2. Si a < 0 , la parábola se abre hacia abajo y así el vértice V (h , k) es el punto m ás alto de la gráfica (Véase la Figura 1.28).

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Capítulo J : Funciones

28

E JE M P L O _4J

Esbozar las gráficas de las funciones a)

Solución a)

-f

/(* ) = 3 - 2 X - X 2

b) f ( x ) = ± x? - 3 x + 6

U sarem os el m étodo d e c o m p letar el cuadrado para h allar e! vértice de cada parábola.

La ecuación que define a la función / e s :

> » = 3 - 2 r - j r 2 = - ( x + I )2 + 4

d e d o n d e , a = - 1 , h = -1 , k = 4 V (-l , 4 ) , e j e : j c = h x = -1 Como a < 0 , la parábola es abierta hacia a b a jo , por lo que R a n (/) = (-«>, 4] Para dibujar la G r(/) hallamos dos puntos de la parábola mediante sus intersecciones con el e je X , e s t o e s .s i > = 0 i=> 3 - 2 r - ^ = 0 « jt = -3 ó jc = 1 . L uego, uniendo los puntos A (-3 ,0 ) y B ( 1 , 0) con el vértice obtenem os la G r ( /) . V éasela Figura 1.29.

b)

La ecuación que define a la función g es : y =

^ j p - l x + fs = -^•(x-3) +

de d o n d e , a = 1/2, h = 3 , k = 3/2 V(3 , 3 /2 ), eje x = h = 3. Como a > 0 , la parábola es abierta hacia a rrib a , por lo que R an( /) = [3 /2 , +«■) Un segundo punto de la parábola lo obtenemos mediante su intersección con el eje Y , es decir, si x = 0 c=> y = 6 , luego , A (0 , 6) e G r(g) , y el tercer punto , po r sim etría de A Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

Sección 1.8 : Funciones especiales

29

respecto ai eje x = 3 , esto es , A’(6 , 6). Uniendo estos tres puntos obtenem os la Gr(g) mostrada en la Figura 1.30. ■

[EJEM P LO Solución

5j

Sea la función f = {(* , >■) Ix 1 - 4 x - 8y - 4 = 0} . D eterm inar un valor m áxim o, o bien uno mínimo de dicha función.

La ecuación que define a / es : 8y = x 2 - 4 x - 4 D e este m o d o , los valores de la función / están dados por

^X) =

8

2

X

'

2

Para esta función cuadrática: a - 1/8, b = -1/2. Com o a > 0, f tiene un valor mínimo en el punto donde x = h = b/2a , esto es , si h = - ^ = 2 entonces el valor mínimo e s , 2( 1/ 8) k = f(2) = ± ( 2 f - 1 ( 2 ) - 1

* -1

■

{EJEMPLO 6 ] Si / es una función cuadrática tal que f { x + 2) - f { x - 2) = 4 ( 3 - x ) , V * € IR D etenninarun valor m áxim o, o bien uno mínimo d e / s i /(O ) = It i Solución

Sea la función cuadrática f ( x ) = a x 2 + b x + c Si /(O ) = 1/2 a(0)2 + b(0) + c = 1/2 »

(1)

c = 1/2

Además : f ( x + 2) = a(x + 2 f + b(x + 2) + c y f ( x - 2 ) = a( x - 2 )2 + b(x - 2) + c «=> f ( x + 2 ) - f ( x - 2 ) = a{(x + 2 )1 - ( x - 2 )2] + 6[(x + 2 ) - ( j r - 2 )] = a[4 (* )(2 )]+ 6 [(2 ) + (2)] = % a x + 4 b Luego si 8a x +4í> = 12 - 4 x , V x e IR (8a = -4 ) a (4b = 12) a = -1/2 a& = 3 Por lo q u e , en ( I ) , los valores de la función f ( x ) están dados por /(* ) - " ^ X2 + 3X + Como a < 0 , / tiene un valor máximo en * = h = -bi2a h = 3 El valor máximo e s :

k = / ( h) = - y (3)2 + 3(3) + ~ k = 5

■

^EJEMPLO 7 J Se va a cercar un terreno rectangular situado en la ribera de un río y no se necesita cercar a lo largo de éste. El material para construirla valla cuesta $ 6 el metro lineal para los extrem os y $ 8 por metro lin e a l, para el lado paralelo al río ; se utilizarán $ 1200 de material para vallas. Hallar las dimensiones del terreno de mayor área posi­ Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

Capítulo ! : Funciones

30

ble que pueda dem arcarse con los $ 1200 de material. Cuál es la m ayor área ? Solución

Sean * e y las dim ensiones del terreno y A su área (Figura 1.31)

■=> A = x y (1) El costo del m aterial para cada uno de los extrem os del terreno es : 6y + 6y = 12y. El costo del material correspon­ diente al tercer la d o , paralelo al rio es : 8* . De modo que el costo total de la cerca es 12y + 8* = 1200 y = | ( 1 5 0 - * ) (2) Para expresar A en térm inos de una sola variable sustitui­ mos (2) en ( I ) y obtenemos A(*) = y (1 5 0 -* )* =

_____

tj

P l G Ú f t A 1 .3 Í

x 1 + 100*

La función A es cuadrática con a = -2 /3 y b = 100. C o m o a < 0 , la función A tiene un valor máximo en * = - b!2a • = > * = -

= 75 m . En (2): y = y (150 - 75) - 50m

Por lo ta n to , la m ayor área posible que pueda dem arcarse con $ 1200 es A = 75 x 50 = 3,750 m1

[e j e m

■

sj

Un fabricante de cam isas puede producir una camisa en particular con un costo de $ 10 por unidad. Se estim a que si el precio de venta de la camisa e s * , entonces el número de camisas que se vende por semana es 120 - x. D eterm inar cuál debe ser el precio de venta con el objeto de que las utilidades sem anales del fabricante alcancen un nivel máximo. plo

Solución

Sea I dólares el ingreso se m a n a l. Com o el ingreso es el producto del precio de venta de cada cam isa por el número de cam isas vendidas, entonces: I = * ( 1 2 0 -* ) Sea C dólares el costo total de cam isas que se venden por semana. Com o el costo total es el producto d e c a d a ca m isa y el número de camisas vendidas .entonces C = 10(120-*) Las utilidades se obtienen restando del ingreso total el costo to ta l, esto es , si P dólares es la utilidad semanal del fabricante, entonces P(*) = I - C = * ( 1 2 0 - * ) - 1 0 (1 2 0 -* ) = -* 2 + 130*- 1200 La función P es cuadrática con a = - i ,b = 130 y com o a < 0 , P tiene un valor m áxim o en el punto donde * = -b /2 a . A sí pues ,* = - 1 30/-2 = 65 d ó lares, es el precio de venta con el cual las utilidades del fabricante alcanzan su nivel máximo. B

¡EJEM PLO T T |

En un triángulo A B C , cuya base A C = 10 cm y su altura BH = 6c m , está Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

Sección 1.8 : Funciones especiales

31

inscrito un rectángulo (Figura 1.32). Si S es el área de dicho rectángulo , hallar un modelo matemático expresando S com o función de su base x . Construir la gráfica de esta función y hallar su valor máximo. Solución

Si S es el área del rectángulo e=> S = x y (I) Para expresar S en términos de una sola variable haremos uso de la geometría elem ental, esto e s : AABC = A D B F « f g

= | |

«

f

=

Al sustituir (2) en (1) se obtiene el modelo m atemático :

«

y=

6 . | x

(2)

S(x) = - y x? + 6x , x e (0 , 10)

La función S es cuadrática con a = - 3 l 5 y b = 6 ,y c o m o a < 0 , S tiene un valor máximo en el punto x = -b¡2a , es d e c ir , en x = 5 . Por lo que S(5) = - | (5)3 + 6(5) = 15 es el valor máximo de la función , cuya gráfica se muestra en la Figura 1.33

Definición 1.9 : FUNCIÓN RAIZ CUADRADA Es aquella función denotada por %T, con dom inio el conjunto de los números reales positi­ vos y cuya regla d e correspondencia es para la cual f ( x ) t=¡\!* es el número cuyo cuadrado es IR , denotada por f ( x ) = a nxr + a n t x ” ' + . . . . + a Txz + , a lx + a ll

( l)

e Í R , donde n es un entero positivo y ail, a t , c 2, a t , a M, son números reales fijos llamados coeficientes, a t # 0 es el coeficiente dominante y + »:> '+ ...

■« w * 0

se denom ina función racional. Cualquier función polinóm ica es una función racional, esto ocurre cuando Q(x) es una función constante , en particular cuando Q(x) = I , V r e Dom(Q). El dominio de una función racional es el conjunto CR tales que Q(jc) * 0.

f.EJEMPLO 12 J

C onstruir las gráficas de las funciones racionales

Solución

y =

b)

a) , = f

l -x l +x

A m bas funciones son casos especiales de una función racional de la form a P (* )/Q (x ), llam adas fu n c io n e s hom ográficas.

En (a) escrib im o s: (x - 0) ( y - 0 ) = 2 D o m (/) = R an(/) = (R -{ 0 } L a gráfica de esta función es una hipérbola equilátera cuyas asíntotas son los ejes coordenados jc = 0 , y = 0 . (Véase la Figura l .43) Yé

•

J X

F I G U R A 1.43

En ( b ) , efectuam os la división y obtenemos : y = - 1 +

2

(x+l)(y+l) = 2

Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

37

Sección 1.8 : Funciones especióles

L u eg o , el D o m (/) = R an (/) = [R - 1} La gráfica de e sta función es la hipérbola equ ilátera del ejercicio ( a ) , cuyo cen tro se ha trasladado al punto (-1 , - ! ) , es d e c ir , sus asíntotas son las rectas x = -1 , y = -1 (V éase la Figura 1.44) ■

EJEM P LO 13

J

H allar el domi ni o, rango y dibujar la gráfica de la función *, - 6.r2 + 3* + 10

ñx) Solución

Factorizando los términos de la función racional se tiene fi

n )

VA

\ = -rlt + DCt - 5í(.r - 2)(.r - 4) (x+l)(*-2)(*-5)

1

«=> f ( x ) = *C *-4) = ( x - 2)2 - 4 , x * - 1 , 2 , 5 La gráfica de / e s la parábola de vértice en V (2 , -4). Entonces el D o m (/) = ÍR - {-1 , 2 , 5 } . Para determ inar el rango hallamos los puntos ex clu id o s, esto e s , s i : x = - l ■=> y = (-3 3 --4 = 5

A (-I , 5 ) « G r ( /)

x = 2 => y = (0)‘ - 4 = -4 ^

V (2 , - 4 ) e G r ( /)

x=5 ^

L

----- / i > 2 i ti ‘

2 •»

y = (3)2 - 4 = 5 => B(5 ,5 ) tí G r ( /)

Obsérvese que los puntos A y B tienen la misma ordenada, por lo que habrá que quitar y = 5 del rango, esto es, R an (/) = ( -4 , +®°} - {5}. La gráfica de la función se muestra en la Figura 1.45 ❖ Hasta aquí hemos tratado solamente funciones de tipo /(x ) = y , donde una misma formula nos describe el comportamiento de la función en todo su dominio. Sin em bargo, podemos tener funciones que tengan distinto com portam iento dependiendo de los valores del dom inio. Es decir , el concepto de una función , cuya regla de correspondencia consta de dos o más fórm ulas, nos permite enunciar la siguiente definición.

Definición 1.12 : FUNCIÓN SECCIONADA Es aquella función cuya regla de correspondencia tiene la forma /,(-0 . J t e A /(O =

) , tales que A f | B n C = ,y que los

valores de la función dependen de donde esté lo calizado*. P or ejem plo : / ( - 4 ) = -l . pue s -4 e (-«>, -2 ) ; /(O ) = I , ya que 0 e [ - 2 , 2 ) ; / ( 5 ) = 3 , puesto que 5 e [2 , +). L uego la G r(/) en cada sección es una recta p aralela al eje X , dado que /,( * ) = - l , f 2(x) — l y f y(x) = 3 son funciones constantes. P o r tanto , D o m (/) = IR , R a n (/) = { -l , l , 3} y la G r ( /) = G r ( / () U G r ( / 2) U G r ( / 3) se m uestra en la F igura 1.46.

(e je m p lo 1F )

■

Hallar el rango y dibujar la gráfico de la función í 5 - Vjc1 + 2x - 3 , si x - I

Solución

Vemos que el dominio de / se ha dividido en dos subconjuntos : A = (-o® , -3] y B ={-1 , + ° ° ). tales que A D B =

Entonces , sean : /,C jc) = 5 - V(jr+ 1)- - 4 , jt < -3 y /,(* ) = 7 - (x - 1)2 , x > - 1 El rango de / lo obtenem os analíticam ente partiendo de los dominios de / , y / 2 a) Para / , : si x < -3 «=» x + I < -2 t=> (jjc + 1Y > 4 «=> V O + 1)2 - 4 £ 0 M ultiplicando p o r-1 : - V(jr + I)2 - 4 < 0 «=> 5 - ^ ( x + I )2 - 4 < 5 o

/,( * ) £ 5

b) P a ra / 2 : sí jr > - 1 «=» x - 1 > -2 ■=> (jc- 1)2> 0 >=> - ( * - l)3 < 0 ^ 7 - ( jt - 1) z < 7 => f 2(x) < 7 Por lo q u e , de (a) y (b) se tiene : R a n (/) = (-«», 5] U

, 7] = (- ' - 5)2 = 4 , x £ - 3 L u eg o , la G r(/,) es parte de una hipérbola con centro en C (-1 ,5 ) restringida a la región x < -3 y con una de sus a sín to tas, la recta ( , : x - y + 6 = 0. En f 2 : y = : - ( x - I)3 + 7 , l a G r ( /2) e s la de una parábola con vértice en V(1 ,7 ) restringida a la región j c>- I . (Véase la Figura 1.47) ■ Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

39

Sección 1.8 : Funciones especiales

^ E JE M P L O 1 6 )

U n com erciante de ropa gasta 200 dólares p o rc ad a docena de cam isas com pradas , si es que com pra no más de 8 docenas. Sin embargo , si la capacidad de com pra sobrepasa las 8 docenas el precio de com pra estará reducida en $ 12.50 por el número de docenas excedentes. Definir la función de compras (gasto realizado) como función del número de cam isas adquiridas. Cuál será el mayor gasto que se podría realizar y en este coso cuántas camisas se adquirirían? Dibujar la gráfica de la función. Solución

Sea x el número de docenas de camisas adquiridas y sea G(x) el gasto total realiza­ do al com prar las a d o c e n a s. Según el e n u n c ia d o , cada docena cu estaS 200 si x e [0 , 8] , e n to n ces: G(x) = 200x , si 0 < x < 8 (!) Si x - 8 es el número de docenas excedentes, entonces es precio por cada docena de exceso será g(x) = 200 - 12.5(x - 8) , y por las x docenas se gastará. G(x) = [2 0 0 - !2 .5 (x -8 )]x e=> G(x) = (3 0 0 - I2.5x)x, si 8 < x < x . Es evidente que se gastará en com prar docenas de cam isas hasta que G(x) = 0 , esto es , si 3 0 0 - I2.5 = 0 , de donde , x = x ( = 24 docenas «=> G (x )= 3 0 0 x - I2.5x2 . si 8 < x < 24 (2) Por tanto , la función de com pras com o función de camisas ad­ quiridas la obtenem os de ( l ) y (2 ): 200x

, s¡0á x á 8

G(x) =

GfUU . i I.6W1

31)0 0

300x - 12.5X1, si 8 < x < 24 En x e (8 , 2 4 ], la función G es cuadrática y de a q u í:

r

7\ / V 4 i 12

24

F I G U R A 1.48

a = - 12.5 < 0 y b = 3 0 0 , luego , la función alcanzará su m ayor valor en el punto donde x = -bí2a x = 12 . Es decir , el mayor gasto ocurre cuando se compran I2 d o c e n a sd e camisas y éste e s , G íl 2) = 300(12)- 12,5(12)- = $ 1,800. La gráfica de la función se muestra en la Figura 1.48 ■ Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

Capítulo l : Funciones

40

Definición 1.13 : FUNCION ESCALON UNITARIO Es aquella función denotada por u , que se lee escalón unitario d e paso a y que está definida p o r: f 0 . si x < a u (* ) = u (* -a ) = < { l ,s¡A ->fl con dom inio IR y rango el conjunto { 0 , l } , y cuya gráfica se m uestra en la Figura ! .49 v.\ i

'

a

0

F I G U R A 1.49

EJEM P LO 17 )

Sea la función que consiste en el conjunto d e pares ordenados (x , y ) , donde y está relacionado con x p o r : f ( x ) = u(jt) + 2 u(jc - 1) - 3u(jc - 2) siendo u la función escalón u n itario . Indicar su dom inio, rango y construir su gráfica. Solución

Sea y = u(x) + 2u(* - I ) - 3 u(jc - 2) E n to n ces, por la definición 1.13 , se tiene

Í 0 ,síjc< 0 u(*) = { 1 , six>0

;

í 0 , si x < 1 u (x - 1) = u,(jr) = < l I ,six> I

u ( * - 2) = u,(x) = '

I ,six>2

Siguiendo el m étodo d e los valores críticos, hallam os los intervalos de variación en x = 0, x = I y x —2 .E n cada intervalo, la función u tomará valoresdeO y 1, a la izquierda y derecha, respectivam ente, del valor crítico correspondiente. 0 0 ^ ' x+ 1 >

Jre(-oo.-3)U =

óx =2

j re U

La gráfica de f ( x ) en cada intervalo son rectas paralelas al eje X , puesto que y = -1 e y = 1 son funciones constantes (Véase L a Figura 1.52) .P o r ta n to , D o m (/) = » - { - ! }

(EJEM P LO 19 )

y Rant f ) = { - l , 0 , 1}

Se define la función g en IR por g(x) =

-1 0 1

H allareld o m in io ,e lran g o y e sb o z a rla g rd fic a d e lafu n c ió n f ( x ) = g \Solución

Según la D efinición 1.14 , g e s la función sig n o , entonces Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

■

, si x < 0 , si x = 0 ,si x > 0 *j

Capitulo I : Funciones

42

-1 , si

x-3

) / , W e Í U

(4)

L u eg o , sustituyendo (2 ), (3) y (4) en (1) se sigue que /( A ) = < -3/5,-1/3] U [-3 /5 ,1 ) U {1} = [-3 /5 ,1 ]

EJEMPLO 23 J H allar el dom inio y el rango e la función /(x ) = V 1x |2 + 4x + 4 1 |x + 1 I + I | - 17 Solución

Dado que | x l 2 = x 2 y lx + I I + 1 > 0 , V x e (R, entonces /(x ) = Vx2 + 4x + 4( |x + IÍ + Í ) - 1 7 = Vx2 + 4 x + 4 | x + 11 - 13

L uego, la función es real

x2 + 4x + 4 l x + ll - 1 3 > 0

Resolveremos la ecuación (1) considerando los casos siguientes: C aso 1

S ix + l < 0 = > | x + l | = - ( x + l ) .entonces en (1) Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

(I)

45

Sección 1.8 : Funciones especiales

(.x < -l ) «

A

[x*+ 4x-4(x + ] ) - 13>0]

a

(x V T 7 )

*=>

(x < - 1)

A

(jc2> 17)

jrí-V ñ

Caso 2 S ix + l> 0 lx + I I = +(x + 1), entonces en (1) : (x > -l) a [x2 + 4x + 4 (x + 1)- 13>0] «=* (x > -l) a [(x+ 4)2> 25] « (x > -I) a (x + 4 < -5 v x + 4>5) » x > I Por consiguiente:

. Vx1- 17 /(x) = <

, si x < - VI?

Vjt + 8x - 9 , si x > 1

Luego , Dom(/) =

, -VT7 ] U í 1, +°°) y como Vx3- 17 > 0, V x < - Vl7 y

Vx2+ 8x-9 > 0 , V x > l , entonces, Ran(/) = [0,+«>)

(e je m p lo

Solución

2 4 ) Sea la función: /(x) = 9V3-2x-x* -U + 6 | + x -3

Ix - 1 I + 1 x - 3 1 + |x + 5 ! + x H a lla r, el dominio , el rango y dibujarla gráfica d e / .

Como el denominador * 0 , V* e IR, el D om (f) lo obtendremos a partir de la raíz c u a d ra d a .es decir:

/ es real< = > 3 - 2 x - x J > 0 « (x - 1)2 < 4 c=> -3 < x < 1 (jc - 5 )2 < = > j c < - 4 v j c > 2 Entonces : f t(x) = U + 3 1 + Ijc - 2 1 , si j c e (- jc

- 2 < -6

2

3

>

5

jc

+

jc

- 2 > 0

«=> I jc +

3

1= + ( j c +

i=> |jc - 2 1= - ( jc - 2 )

- ( j c + 3 ) - ( jc - 2 ) =

-2 ;c -l ,

s íjt

■=> I jc - 2 I = + ( jc - 2 )

< -4

■=* /,(* ) = [ b)

Si12 x - 1 1 ^ Ix - 5 I

( jc

+ 3) +

( jc

- 2) =

2 jc

+ 1,si jc > 2

x e [-4 , 2 ] , es el com plem ento de (a)

Luego :/,( * ) = U + 5 1 - U - 1 1 , si x e [ - 4 ,2 ] Com o el punto critico f -4 <

jc<

jc

= 1 e [ - 4 , 2 ] , entonces s í :

l < j c + 5 < 6 i = * | j c + 5 | = + (jr + 5 )

1 1

- 3 < x -

I < 0

f

6

jc

3)



1

¿ 2

2

L a Gr( f ) se m uestra en la Figura 1.58 , de d o n d e : D o m (/) = IR y R a n (/) = [-4 , +«>)

Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

Sección ¡.8 : Funciones especiales OBSERV A CIÓ N 1.12

47

Con respecto a la gráfica de funciones definidas por / 0 , Vjc e D o m ( /), y , además í g ( x ) ,s ig ( ¿ ) > 0 /( * ) =

i [ -g (x),sig(A ) < 0

se observa dos aspectos fundam entales: a) Las restricciones: g (x )> 0 y g (x )< 0 b) Las imágenes : f ( x ) = g(jr) y f ( x ) = - g(x) Esto significa que la G r(/) se obtiene a partir de la Gr(g) y ocurre que si g es positiva la G r ( f ) = Gr(g) ,y cuando es negativa, la G r(/) se obtiene por reflexión de la Gr(g) sobre el eje X . En consecuencia, la G r(/) siempre se mantendrá en el semiplano superior del eje X. Para el caso de funciones definidas p o r : /U ) = | g ( x ) ± h ] ± k la G r(/) se mantendrá en el semiplano superior de la recta y — k

E JE M P L O 2 6 )

Construir la gráfica de las funciones a) f ( x ) =

Solución

a)

Sea g(x) -

x+2 x-2 ** > - 1 + ~ 2

b) /(*) = \ j t - 4 x \ - 1

w (Jf - 2) (>• - I) = 4

La Gr(g) es la de una hipérbola equilátera con centro en C ( 2 , l ) y asíntotas, las rectas x = 2 , y - 1 .P o r tanto, la G r ( /) , que se muestra en la Figura 1.5 9 , comprende la parte de la hipérbola arriba del eje X donde g(x) > 0 , esto e s , en x € (-- I (semiplano supe­ rior de la recta y = - 1 ) , ju n to con la parte reflejada de la Gr(g) donde g(x) < -I (trazo disco n tin u o ). Luego , D o m (/) = IR y R an (/) = [-!,+«»> ■

EJEM P LO 27 j

Sea f la función cuya gráfica se muestra en laF igura 1.61. Hallar la gráfica de las fun­

ciones :

Y. k

\ a) g(*) = f ( \ x \ ) ..x e Dom ( / )

1

.T .J

b) hO ) = I f ( x ) I , J t e D o m (/)

1

4

'

-1

F I G U R A 1.61

Solución

a) P o r definición d e valor absoluto ' / ( x ) , si x > 0

gW = / ( U I ) = /(-x ) , si jc < 0 L u eg o , si x > 0 J a Gr(g) = G r( / ) , esto e s , si x e [ 0 , 4 ] , y si x < 0 , la Gr(g) se obtiene por reflexión de la G r(/)e n el eje Y . De laF ig u ra 1.61 : -I

, s i0 < x < 1

/(*) = x - 2 , si 1 < x £ 4

-1

,S ¡0 < -X < 1 -l [ x ] = max {n e ZI n á

jc}

De las propiedades de los números reales es conveniente recordar que si [jc] = n < = > n < j c < n + l , n € Z en to n ces el d o mi n i o de la f unci ón má x i mo e n te ro es la uni ón de in te rv a lo s d e la fo r­ m a [n , n + l ) , n e Z , esto es D om (/) = CR = x € U [ n , n + l > , y c o m o / ( x ) = n ne Z

R a n (/) = Z

Luego , para trazar la gráfica de f ( x ) = [ x ] , especificaremos / para algunos intervalos de longitud unitaria a cada lado del origen. Si -2

<

jc<

0 < x < 1 «=> [ x ] = 0

- I t=* n = [ * ] = - 2

- l < jc < 0 c* n = [ jc 1 = -1

m

-2 , s í x € -1 , si x e = í x ) = < 0 , síjce 1 , si jc e 2 , si x €

1 j r < a , V a e Z Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

Capítulo 1 : Funciones

50 M E .6 : S ¡ [ j r ] < a < = > J c < a + J , V a € Z M E .7 : S i l J t ] > a « j c > c , V a e Z M E .8 : Vj c e IR, j c- I < [ * ] < * M E .9 : V x , ) ‘ 6 R . [ x ] + l y ] < [ * + >']

[EJE M P LO 28 ) Solución

a)

Construir la gráfica de la función f ( x ) = [ i n r ] , m e Z ( 1)

P o r l a p r o p i e d a d M E . l t [ m x ] = n n < m x < n + 1 Puede ocurrir dos c a so s :

Si m e Z + ^ ^

)

171 < 0

2

i /m

2 /m

1 /m

■i/m

0 •1

.2 /m

'

“

!

*2

FIGURA 1.66 Situaciones similares se presenta para funciones definidas por f(x) = [ xfm ] donde el Dom(/) está constituido por la unión de intervalos de la forma [m n , m (n + I)) o (m(n + 1) . m n] , es decir , cada intervalo se alarga m veces la longitud unitaria. Nota

Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

51

Sección 1.8 : Funciones especiales

EJEMPLO 29 J Solución

Construir la gráfica de la función f { x ) = ( jt/2 ]

Si [jc/2 J = n n X

Hallar el d o m in io , el rango y construir la gráfica de la función

l. Dibujam os con trazo discontinuo la gráfica de g(x) = ^ ^

, .llamadacurva

de A g n e si, que tiene por asíntota al eje X. 2. Determinación del dom inio y el rango de / . Com o la curva se extiende a lo largo del eje X *=* D o m (/) = R Además , f > 0 , V j r e IR c* f + | > I y 0 < —

r < I c=> 0 < —

l + X2

Luego : [



, -V

«=> I < y ~ 5" < 2 »

x e [-V 3 .-I) U (1 . V3 ]

.=* 2 <

x e [-1 , - l WÍ J) U (I/V 3 , I]

n = 3 t=j. 3 <



< 4 xe [-!A Í3,0> u x = 0 4.

Con toda esta información trazamos la gráfica de / , mostrada en la Figura 1.71.

Nota

OTROS EJEMPLOS ILUSTRATIVOS

[EJEMPLO 32 J Solución

Hallar el d om in io , el rango y construir la gráfica de la función : /(x ) = \ x \ - [ x ]

Sabemos que si [ x ] = n c=> n < x < n + l

(M E . 1)

P or el valor absoluto, consideremos los casos siguientes a) S i x > 0 , l x | = x « = > f ( x ) = x - [ x 1 «=> /(x ) = x - n « r e [ n , n + l ) 1n e Z + b) Si x < 0, 1 x I = -x ■=> /(x ) = - x - [ x ] t=> f ( x ) = - x - n x e [ n , n + l ) , n e ZL u e g o , de (a) y (b) se sigue que el D o m (/) = ÍR. Análogamente para determinar el rango de / consideremos dos casos C aso !

Si x > 0 ■=? n < x < n + 1 [ r ] = n , n e Z , y com o lx ) = x *=$ n < Ix I < n + l y restando n a cada extrem o e tiene : 0 < Ijc I - n < I o

C aso2

y e [0 , l)

S i x < 0 e ^ - n - l < x < - n t = > [x] = - n - 1 M ultiplicandopor-1 : n < - x < n + l , y c o m o I x l = - x => n c l x ! < n + 1 Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

Capitulo 1 : Funciones

54

Si sumamos (n + 1) a cada extrem o obtenemos : 2 n + l < | x l + ( n + l ) < 2 n + 2 Entonces : 2 n + l < | x ! - [ x J < (2n + I ) + I , y haciendo 2n + 1 = k

e

Z im p a r, se tiene

k < / ( x ) < k + 1 c ) y e { k , k + l ] , k e Z impar •\ Ran ( / ) = [0 , 1) U (k , k + I ] » k e Z impar. n« 7 Dando valores a n en (a) y ib) se tie n e :

fO0 =

2 - jc, si -re 1 - jc , si jc e X , si JC € 1 X - I . si X € jc - 2 , si x €

[-2 ,-1 ) [-1 ,0 ) [0 , 1 ) [ 1 , 2) [ 2 ,3 ) F I G U R A 1.72

Dibujando cada recta en el intervalo correspondiente obtenemos la G r(/) m ostrada en la Figura 1.72. ■

E JE M P L O 3 3 )

H allar el d o m in io , el rango y construir la gráfica de la función f(x) =

Solución

(-1 y

n -jc

, donde n =

[ jc ]

i. La función tiene sentido e s n - x * 0 , es decir D o m (/) = 1R - { jc| [ jc] - jc= 0 ) , pero s¡ [ jc] = x

xe Z

Por lo ta n to , D o m (/) = R - Z 2. Para determ inar el rango d e / debem os considerar dos casos C aso 1

Si n es un número p a r : n = 2k , k e Z «=> ( - ! ) " = 1

1 ,jc e < 2 k , 2 k + I) ¿K “ X Si 2k < j c < 2 k + I => - (2k + l ) < - j c < - 2 k , y sum ando2k se tiene : y si [ x ] = 2k «

2k < x < 2k + I , luego , /,(x ) =

- J < 2 k - j c < 0 => - o °< C aso 2

1 ( - l ) n = -l

y si ^

[ x ]= 2k + l => 2k + I < x < 2 k + 2 ^

= 2 k + l-jc = x - 2 k - 1 ’ x e 1< jc

- 2 k -

1

[x] 0i=> |x|-[x]>0 Además : l x | = - x i = > | x l + x = 0 , lu ego, f ( x ) =

= 0

S i/( x ) = O . V x e (-«> ,0) «=> jce R" y R an (/) = {0} C aso 2

(I)

S i x > 0 e=> | x | = x Comox-[x]^0«=>[x]*x(xeZ)A(x>0)

«=* x e Z+

(2)

Por lo q u e , de (1) y (2) , se sigue q u e : D o m (/) = R - Z+ 2.

Para determ inar el rango de / en el caso 2 , consideremos a) 0 < x < 1 y b) x > l l x ¿ Z + a) Si O < x < I i=> [ x ] = 0 y |x] = x i=* /(x ) = ^

= 2

R an (/) = {2} , V x e (0 ,1 )

(3)

b) S i x > l l x e Z + n ^ [ x ] = n « n < x < n + l , n > 0 ■=> f W

/( x ) = 2 + -^ n— , x e [ n , n + l ) , n > O

~ *+*

Si n < x < n + l « = > n - n < x - n < n + l - n * = * 0 < x - n < l => —-— > 1 x-n Pero com o x > l y [ x ] = n > l •=}> 2n > 2 > O , luego en ( 4 ) : 7TTT > ! ~

T^¡

>2n «

2+ y ^ >2n* 2 «

/W >2n + 2

Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

(4 )

Capitulo I : Funciones

Sfi

f ( x ) > 4 , luego y e (4 , + “ ) , si x > 1 1 x g Z+

Pero n > I

(5)

Por ta n to , de (1 ), (3) y (5 ): Ran( /) = { 0 ,2 } U , 0) , si jc e ( 0 , 1) . si -ce (I ,2 ) , n = 1 , si x e (2 , 3 ) , n = 2

- 2

F I G U R A 1.74

3.

Con esta última información trazamos la G r(/) m ostrada en la Figura 1.74

(¡E JE M P L 0 ^ 3 í^ J

Construir la gráfica y hallar el rango de la función [ f(x) = S [

Solución

, si [ jc ] es par

[jc -2 ]

, V x e [-I ,4 ] 3 jc -

[ jc + l ] , si [ jc ] es impar

H aciendo uso d e la propiedad : [jt + m ] = [jc ] + m , m e Z sean : / ( j c ) = [ j c ] - 2 , s i [ j c ] e s par / , ( j c ) = 3 j r - [ j c ] - l , s i [ j c ] e s impar

En / , , si [ jc ] = n = 2k 2k < j c < 2 k + 1 En /2 , si [ jc ] = n = 2k + 1 «

■=*/(*) =

2k + 1 < jc < 2k + 2 t=>

í <

2k

-2

, si jc e

[2 k , k

[

3 jc

-

, si jc e

[2 k

2 - 2 k

/,(* ) = 2k - 2 / ,( jc )

=

3 jc

- 2 - 2k

+ I)

+ 1,

2k

+

2)

L u eg o , / , para k = - 1 , 0 , 1 , y en / , para k = - 2 , -1 , 0 , I , obtenemos

/ ( jc )

-4 , si jce -2 , si jc e 0 , si jc e = n par

►n impar

La Gr( / ) se m uestra en la Figura 1.75, de donde Ran ( / ) = [-7 , -4] U [-3 , 0] U [ 1 ,4 ) U [5 , 8) Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

Sección ¡.8 : Funciones especiales

^EJEMPLO 3 6 J

57

H allar el dominio, rango y dibujar la gráfica de la función [x-l] + (l-x]

,s i 0 < x < 2

( / .)

’SÍ*>2

( / 2)

2 - V jc- [ x ]

/(* ) = <

Sgn ( T7T) Solución

En / , se tiene : [ x - l ] + [ l - x ] = [ x ] - l + l + [ - x ]

(M E .2 )

í 0,sixe Z ■=> /,(* ) = [ x ) + [ - x ] = < { - 1 , si jc e DR-Z

(M E .3)

[ x ] < x , que es válida V x e (R

(M E .8)

P o re l ra d ic a l: x - [ x ] > 0 o

Para hallar la imagen simplificada de / , escribimos la restricción 0 < x < 2 = {0} U < 0 , 1 ) U {1} U 0 ( x < 0 )

V

( x > I)

- 0 x = 1 < 0 0 < x < 1

Debido a la restricción x > 2 , sólo interesa : / 2(x) = 1 , si x > l E ntonces, la regla de correspondencia de / e s : 0

, s i x e { 0 , 1}

I 2

__

La gráfica correspondiente se muestra en la Figura 1.7 6 , de d o n d e: R a n ( /) = < -1 ,-1 /2 ) U { 0 , 1 } Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

FIGURA 1 -76

58

Capitulo ¡ : Funciones

Definición 1.17 : FUNCIÓN PAR Es aquella función que secaracterizapor tener unagráfica simétricarespectodel eje V , es decir, si en ella se cumple lo siguiente: i) S i j t e D o m (/) «=* ~x e D om (/) ii) /(-* ) = / ( jt) . V x e Ü o m ( /)

EJEMPLO 37 J Determinar si las funciones dadas sonpares a) /(x) = 3x4-Zr1 b) g(*) = I*-1+ 2*1 , jce - x e Dom(/) = IR ii) f(-x) = 3(-xy-2(-x)2= 3.x4- Zr2 «=> /(-*) = /(*) Por lo tanto, / es una función par b) i) Sixe (-3 ,3) ^ -3 < jc< 3 o 3>xr>-3 *=> ~xe {-3 , 3) i>) e U ) = Í(-jc)í + 2(-x)| = |-*2-2*| = | -(a?+ 2r| = \x* + 2x\ «=> E(--k) = g(x), Vxe Dom(g) Por lo tanto, g es una función par.

■

EJEMPLO 38 J Si / es una función real de variable real definida p o r : f ( x ) = Vjc+ t-JC] + x [ x ] , dem ostrar que / es par D em ostración

En e fe c to , si / es una función de variable r e a l, ésta tiene sentido s i , y sólo s i : x + [ -x ] > 0

Ahorasi,jr+[-x]>0«=>

í a) x + [ - x ] = 0 = > x e Z < [ b) x + [ - x ] > 0 o x e (Ji

Probaremos ( a ) : 1. Sea x = n , n e Z , es d e c ir, x es un entero cualquiera 2. M ultiplicando p o r -1 : - x = - n = > [ - * ] = - n 3. Sumando ( l ) + (2 ): x + [ - x ] = n - n = 0 .cu m p le con la relación (a) L u e g o , si [ -x ] = - x - x e Z ■=> - (-*) = x e Z Probaremos (b) 4. Considerem os ahora : n < x < n + 1 5. M ultiplicando p o r -1 ( n + I ) < - x < - n «=> ( -x ] = - (n + 1) 6. Sumando [ -x ] a (4) tenem os : n + [ - x ] < x r + { - x ] < n + l + [ - x ] Entonces : n - ( n + ! ) < * + [ - x ] < n + l - ( n + l ) ■=> -1 < x + [ - * ] < 0 Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

Sección 1.8 : Funciones especiales

59

Obsérvese q u ex + [-x ] es siem pre n egativo, es d e c ir, no se cumple la relación ( b ) , por lo q u e x c . L u e g o : i) V x e D o m (/) = Z >=> - x € D om (/) = Z Si x e Z [ x ] = x y s i - x e Z e ^ [ -x ] = -x y si /( x ) = Vx + [ -x ] + x [ x ] >=* f ( x ) = V x - x + x(x) = x2 , x e Z Ü) / 2 > - x > - 2 «=> - 2 < - x < 2 r=> - x e [-2 , 2 ]

i) S i x e D o m (/) = [ - 2 ,2 ] r=> - x e D om (/) = [ -2 ,2 ]

ii) /(-x ) = [ l - x l + 3 / 2 ] = [ I xl + 3 / 2 ] = /(x ) Por lo ta n to , / es una función p a r . Para dibujar la G t(J) escribim os, D o m (/) = [ - 2 ,0 ) U [ 0 , 2 ] , entonces si / ,(x) = [ Ix | + 3/2 ] , x e [ 0 , 2 ] y /,(x ) = [ 1 x 1 + 3 /2 ], x e [-2 , 0 ) , se tiene : a)

E n x e [0 , 2 ] , | x | = x

/,(x ) = [ x + 3/2 ] = n , n e Z

S i x e [ 0 , 2 ] *=> 0 < x < 2 3/2 < x + 3 / 2 < 7 / 2 A h o ra, dando valores a n hasta cubrir el intervalo [3 /2 ,7 /2 ], se sigue que I , s i 3/2 < x + 3/2 < 2 2,si2 O

.C aso L

O)

Si x > 0 , 1*1 = x , entonces en ( I ) : 2x + 3 - x2 > 0 t í x2 - 2x - 3 < 0 ^

( j c > 0 ) a [ ( j c - I ) 3< 4 ] t í ( x > 0 )

a

(-2 < x - 1 < 2 )

t í (x > 0 ) a (-I < x < 3 ) t í x e [ 0 ,3 ] *Gaso 2

Si x < 0 , 1x I = - x , entonces en (1) : -2x + 3 - x2 > 0 t í x2 + 2x - 3 < 0 t í (x < 0) a [(x + l)2< 4 ] t í (x < 0) «

a

(-2 < x + 1 < 2 )

( x < 0 ) a ( - 3 < x < 1 ) t í x e [ - 3 ,0 )

Dom( f ) = [ - 3 ,0 ) U [ 0 , 3 ] = [ - 3 ,3 ] b)

Construcción de la gráfica d e / Obsérvese que / es una función p a r , pues i) S i x e D o m (/) = [ 0 , 3 ] t í - x e D o m (/) = [-3 ,0 ) ii) /(-x ) = / ( x ) , V x e D o m (/) = [-3 ,3 ]

-1 , s i x 3 < 1 t í -J < x < I y dado q u e : Sgn (x3 - I) = < 0 , si x2 = 1 t í x = ± 1 1 , si x2 > 1 « x < - 1 v x > 1 Entonces construim os la gráfica d e /c o rre sp o n d ie n te al intervalo [0 , 3 ] , para luego dibujar, por reflexión sobre el eje Y , la G r(/) correspondiente al intervalo [ -3 ,0 ). L u eg o , para intervalo [ 0 , 3 ] se tie n e : V2X + 3 - X 2 (-1) = - V 4 ^ ( x - J )2 , s i x e (-1 , I) fl [0 , 3] t í x e [ 0 , 1> /(x )= i

V 2 X + 3 - X 2 (0) = 0

. s i x e {-I , 1} D [ 0 , 3 ] t í x = 1

V2x + 3 - X a (I ) = V 4 - ( x - I)2 , s i ( x < - l v í > 1)U [ 0 . 3 ] t í x e

■

L

> _

F I G U R A 1.78

Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

til

Sección 1.8 : Funciones especiales

Definición 1.18: FUNCION IMPAR Es aquella función cuya gráfica se caracteriza por ser simétrica respecto del origen de coor­ denadas , es d e c ir: i) S i x e D o m (/) - x e D om (/) ¡i) f(-x ) = - / ( * ) , ^ j r e Dom(/}

EJEMPLO 41 )

Determ inar si las funciones dadas son impares a)

Solución

b) g(x) = >/x(2 + U I ) , r e [ - 2, 2]

/(x ) = 2 x * -3 x

a) Com o el D o m (/) = IR , entonces i) S i x e D o m (/) = IR e=t - x e Dom( /) = IR ii) /(-x ) = 2(-x)J - 3(-x) = -2x3 + 3x = - (2x3- 3x) >=> /(-x ) « - /(x ) Por lo ta n to , / es una función impar

b)

i) S i x e [ - 2 . 2 ] - 2 < x < 2 o ii)

2>-x>-2

g(-x) = ^ T í i T T T í ) = - ">/x(2 + | x l )

- x e [-2,2]

*=* g(-x) = - g(x)

/ . g es una función impar

EJEMPLO 4 2 j Solución

Sea g(x) = Vx2+ 4 - [x2 + 1/2 ] +X3+ x . Si f ( x ) = g(x) - g(-x ). determinar si / e s una función par o impar.

C om oel Dom(g) - IR , entonces -x e Dom(g) = IR L u e g o , g(-x) = V(-x)2+ 4 - [ (-jt)2 + 1/2 ] + (-x)3 + (-x) = ~Jx*~+4 - [ x 2 + 1 /2 ] - x3 - x

Por lo que la regla de correspondencia de / es : /(x ) = g(x) - g(-x) = 2X3 + 2x A h o ra , si /(-x ) = 2(-x)3 + 2(-x) - - (2x3+ x) ■=* /(-x ) = - /(x ) / e s una función impar.

■

EJEMPLO 43 )

S e a /u n a funcióncon dominio [ - a , a ] , de donde a > 0 . D em ostrar q u e / se puede expresar com o /(x ) = /,(x ) + / 2(x ), donde / es una función par y f 2 es una función impar. Demostración

E n efecto , haciendo /( x ) = ~ /( x ) + y /(x ) + y /(-x ) - ~ /(-x ) •=> /( * ) =

\

[/( * )

+

/(-X )]

+ y [/(x) - / ( - X

)]

S ean: /,(x ) = y [/(x ) + /(-x )] y /,( x ) = y [/(x ) - /(-x)] Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

(l )

Capítulo / ; Funciones

62 i) Si * 6 [ -a, a] - a < x < a a > - x > - a e=» - x e [-c , a)

[/(* ) + /(- * ) ] t=> f t(-x) = ~ [/(-*) + /( * ) ] = /,(.*)

ii) S i/,(.*) =

Luego, /,(x ) es una función par. Si /,( * )

=

\

Entonces , /

[/( J t) - / ( - jc ) ]

2( - j c )

e=> / , ( - j c )

=

\

[/( - jc ) - / ( * ) ]

=

- \

E /U ) - /( ■ * ) ]

= - /,(jc ), luego, f 2(x) es una función impar

Por lo tanto, en (1):

EJEMPLO 44 ) Demostración

=

/( jc )

/,( jc )

+

/ ,( jc )

Demostrar que el producto de dos funciones , una par y la otra impar, es una función impar. En efecto, sea la función f(x) = g(jc) • h(.c) t=> x e Dom(g) fl Dom(h) f Si g es par t=> <

( l)

i) V;ceDom(g) «=> -^ eD o m (g )

[ i¡) g(-Jc) = g (*),V jc e D o m (g )............................ (2) f < [

Si h es impar t=>

i) V jc€ Dom(h) i=£ -jceD om (h) ii) h(-:c) = - h(jc), Vjce Dom (h)....................... (3)

Multiplicando (2) por (3) , se tiene : g(-jc)*h(-.c) = -g(x)-h(jc) , \ fxe Dom(g) n Dom(h) Pero , en {1): f(-x) = g(-j¡) • h(-jc) ■=> f(-x) = -g (x )-h (*) = - / ( * ) /e s una función impar.

EJEMPLO 45 ] Solución

Sea la función/(jc) = V4 - jr Sgn función impar.

■

) . Comprobar que / es una

La función / es real cs> (4 - jc2 > 0) a (jc * 0) (-2 < jc < 2 ) a ( c * 0)

D om (/) = {x e IR I jc e [-2 , 2] - {0 }}

Para definir la función Sgn ( x ~ * j , ubicamos los puntos críticos jc = ± 1 y jc = 0 en el intervalo [ - 2 , 2 ] , esto es: -2

(-)

-I

(+) -1 , si

Entonces : Sgn ( *2" x n ^) =

*

0 ,si

0

(-)

1

(+)

2

> 0 « jce [-1, 1> U = 0 « x=± I

1 .s i > 0 « U U ( 0 . 1) y = V 4 ^ , > > 0 ¿ + y 2 = 4 , j e (-1 , 0 ) U (1 , 2] Es decir , la G r(/) mostrada en la Figura l .79 , consiste en cuatro arcos de circunferencia de centro en el origen y radio r = 2 . Por tan to , hemos comprobado geom étricam ente que / es una función im p ar. Ahora lo probaremos analíticam ente.

/(-* ) = i

- y¡4 - t-x)2 = - V 4 - j 2 , s i - j e [ - 2 ,- 1 ) U 0 , tal q ue f ( x + T ) = f ( x ) , esto es * + T - [ x + T ] = x ~ [ x ] .=> T = [jc + T ] - [jc] Como la diferencia de dos números enteras es un e n te ro , se sigue que T e Z , ad em á s, por la propiedad M E .2 : [ x + T ] = [ x ] + T , luego en (¡i) / U + T) = x + T - ( [ x ] + T ) = x - [ x ] = f(x) En consecuencia, / es una función periódica. b) Si T e Z , c o n T > 0 « = > T = { I , 2 , 3 , 4 . . . . } , de donde elegimos T = 1 como el mínimo período de / . c) Gráfica de la función f ( x ) = x - [ x ] Para intervalos de longitud unitaria se tie n e :

F I G U R A 1.80

De la Figura 1.80 podem os rescatar lo siguiente 1. El período T de una función / es la longitud de un intervalo. 2. Geom étricamente la gráfica de una función periódica tiene la propiedad de ser repetitiva. es d e c ir, se repite en idéntica form a cada T unidades. 3. y = f ( a ) - f ( b ) = f(c') = f ( d ) =

,sia= x,b =x + 1, c = x + 2, d - x + 3 , . . . .

Entonces : y = f ( x ) = f ( x + l ) = f ( x + 2) = / ( x + 3) = . . . . = / ( n ) , n e Z y com o [a , 6] = [b , c] = [c , d ] = . = T , en g e n e ra l, p ara una función periódica siem pre se cum ple que f ( x ) = f ( x + T ) = f ( x + 2T) = f ( x + 3T) = . . . = f ( x + n T ) , n e Z donde los números 2 T , 3 T , 4 T ................ n T , son también períodos de f .

EJEM PLO 47 ) Solución

Sea la función periódica f ( x ) = 2 x - [ 2 x + 3 ] + 3 . H allar el d o m in io , el período y el rango de f .

a) f ( x ) = 2x + 3 - ( [ 2 x ] + 3) >=> f ( x ) = 2 x - [ 2 x ] Por l o q ue el D o m (/) = IR

b)

m

Para determ inar el período de / usarem os dos métodos Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

(I)

Sección 1.8 : Funciones especiales

Método 1

Si / es periódica entonces 3 T

> 0 1/ ( x + T ) =

/ ( x ) , V x 6 IR

Luego, en (1): 2(x + T) - [ 2(x + T ) ] = 2 x - [ 2 x ] ■=? 2 T = [ 2x + 2 T ] - [ 2 x ] Como la diferencia d e dos números enteros es otro en tero , se sigue que 2 T e Z y T > 0 i=> 2T = {1 , 2 , 3 , 4 , . . . , n } , n e Z+ T = { l / 2 , 1 , 3 / 2 , 2 ..............n / 2 } , n e Z + /. T = 1/2 es el período mínimo de la función / M é to d o 2

S i/ e s p e r i ó d ic a :

i) V x e D o m (/)= IR (x + T ) e D om (/) = IR ii)

o

3 T > 0 1 f ( x + T) =

En particular, si x = 0 e D o m (/) => /(O + T ) = /(O ) [ 2 T ] = 2 T c ^ 2 T e Z y com o T > 0 , entonces: 2 T = { 1 , 2 , 3 , 4 , . . . , n} , n e Z+ => T = {1/2 ,1 ,3 /2 ,2 , . . . , n/2} , n e Z+ / . T = 1/2 es el período mínimo de la función / c)

Rango de la función : Si [ 2x ] = n n < 2x < n + 1 i=> [ 2 x ] < 2 x < [ 2 x J + l Restando [ 2x ] : •=> 0 < 2 x - [ 2 x ] < 1 c=* 0 < / ( x ) < I r=> R a n (/)= [ 0 , 1)

(EJEMPLO 48 ) Solución C aso 1

Sea la función p e rió d ic a /(x ) = 2 + (-1)" , donde n = [ x ] . H a l l a r e ! dom inio, el ran g o , el período y construir la Gr(/).

Si [ x ] = n n < x < n + 1 Si n es un núm ero p a r , n = 2 k , k e Z «=> (-1)2* = 1 E n to n c e s ,/(x ) = 2 + 1 = 3 , V x e [ 2 k , 2 k + l > , k e Z

C aso 2

■

Si n es un número im p a r, n = 2 k + I «=* (-l)2k +, = - l L u e g o , / ( x ) - 2 - 1 = I , V x e [2 k + 1 ,2 k + 2 > , k e Z

Por lo tanto : a) D o m (/) = (R b) R a n (/) = { 1 , 3 } c) Si / es una función periódica, entonces 3 T > 0 1 / ( x + T ) = / ( x ) , Vx e D om (/) = IR *=> 2 + ( - l) lJ+T] = 2 + ( - l ) l l l 1V r e IR En p articu lar, p a ra x = 0 : (-I),T] = 1 La igualdad se cumple V T e Z+ p a r , esto es T = { 2 , 4 , 6 , . . . . , 2k} , k e Z+ L u eg o , T = 2 es el período d e / . d) L a G r(/)s e m u e s tra e n la F ig u ra 1.81.

F I G U R A 1.B1

■

Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

/ ( jc)

,Vx

Capítulo 1 : Funciones

66 | J U ¡,,IP '.^ 1y,wji. l nrj' > .

E JE M P L Ó 4 9 j

H allar el d o m in io , el rango y dibujar la gráfica d e la función m

[ | jc - [ x ] 1 , si [ x ] es par = « [ | x - [ x + l ] | , s i [ x ] e s impar

( /,) C/2)

Es / una periódica ? En caso afirm ativo, hallar su período. \Solució n }

1. S i [ x ] = n < = > n < x < n + 1 e* [ x ] < x < [ x ] + 1 , V x e [R

y restando [ x ] a cada miembro de esta desigualdad se tie n e : 0 < x - [ jc I < 1 , por lo que , l x - [ x ] l = x - [ x ] E nton ces, /,( x ) = x - [ x ] , s i [ x ] es p a r . A hora si I x ] = n = 2k

2 k < x

2.

/ (( jc)

= x - 2 k , si x e [ 2 k , 2k + 1 ), k e Z

Del paso (1 ): x - [ x ] < 1 t=$ x - [ x ] - 1 < 0 ; luego » /2(x) = - ( x - [ x ] - I) f 2(x) = l - x + [ x ] , s i [ x ] e s impar S i [ x ] = n = 2k+I 2k+l 0 1f ( x + T ) = f ( x ) , V x e Dom ( / ) = IR i=» Cos [&(* + T ) + a] = Cos(fcjr + fl) «

Cos[(¿x + a ) + 6T] = Cos(bx + a)

Como la igualdad es válida V * e IR , en particular para x = 0 , tendremos Cos(a + 6T) = Cos a Cos a Cos bT - Sen a Sen bT = Cos a La igualdad se cum ple (CosfcT = I) a (SenfcT = 0) {bT = 0 v bT = 2n) T = 0 v T = 2n/b Como T * 0 , en to n ces, T = 2n/b es el período mínimo de la función /

■

E J E R C IC IO S . Grupo 3 1. S e a / una función lineal para la cual se cum ple que : 3 /(3 ) - / ( - ! ) = 10 y 2 /(4 ) + 5 /(2 ) = I. SÍ A = < -3 ,7 ] , h a lla r/(A ). 2. Sea / : IR —> IR 1f ( x ) = truc + b , con m y b constantes ; si /( 1 ) = 2 y /( 3 ) = 1 r calcular /(5 ) 3. S ea / una función lineal d e p en d ien te m e intercepto con el eje Y igual a b , tal que / ( m 2 - 2b) = f( b + 12 - 2 m 2) y /( 2 m + ¿ - 2 ) = / ( m + ¿ - 1). hallar la función g si se tiene que: g(x + 4 ) - x = / ( - ^ J

+ /

4. Hallar una función lineal tal que / [ / ( 2 x - 1)] = 3 + 18* 5. El propietario de una tienda de abarrotes encuentra que puede vender 980 galones de leche cada semana a $ 1.69 el galón y 1220 galones semanales a $ 1.49 . Suponga una relación lineal entre el precio de venta y la dem anda . C uántos galones puede vender a la sem ana a $ 1.56? 6. Utilice el método de com pletar el cuadrado para determ inar un valor máximo , o bien un mínimo y dibujar la gráfica de la función dada. Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

Capítulo 1 : Funciones

68 a)

f ( x ) = 4x7- 1 2 * + 7

c) /(* ) = - 2 x * + i 2 x - l l

b)

g = { (* , y) I x 2 + 2x - 2y + 6 = 0}

d) g =

{ ( jc

, y) I x 1 + 6x + 2y + 5 = 0}

7. U se el Teorema 1.2 para hallar un valor m áx im o , o bien uno mínimo de la función dada . Dibuje su gráfica. a)

f ( x ) = 2 + 4* - 3JC2

c) g(*) = 3*1 + 6x + 9

b)

g = { ( x , y )l8 y = 4*2 + 1 2 v - 9 }

d) / = { (* , y ) \ jc2 + 8* + 2y + 8 = 0}

8. Si / es una función cuadrática tal que : f [ x + 1/2) - / ( * - 1/2) = 4(2* - 1 ), Vjc e IR , determ inar un valor m áxim o, o bien uno mínimo de / si /(O ) = 5. 9. S i / : IR —» (R es una función d efinida p o r f ( x + 2) = 2x2 + 5x + c y / ( - I ) = 8 , determ inar el m ínimo valor de / .

10. Una agencia de viajes ofrece a una organización un viaje todo incluido por 800 dólares por se m a n a , si no más de 10 personas hacen el viaje. Sin embargo , el costo por persona se reducirá en $ 5 p o rcad a una después de 100 que hagan el viaje. Cuántas personas deberán viajar a fin de que la agencia reciba el m ayor ingreso total y cuál es éste ?

11. Una em presa puede vender a un precio de 100 dólares por unidad todas las piezas de un artículo que produce . Si se fabrican x unidades diarias , el m onto del costo total de la producción diaria es x 2 + 20* + 7 0 0 . Cuántas unidades deben producirse por día a fin de que laeinpresa obtenga las m áxim as utilidades totales diarias?. Cuál es el monto de éstas ? 12. Un carpintero puede construir estantes para libros a un costo de $ 40 cada uno. Si el carpintero vende los libreros a x por unidad , se estim a que 300 - 2x m uebles se venderán por m e s. Halle el precio de venta por estante que dará al carpintero las máximas utilidades totales mensuales.

13. Una ventana tipo normanda tiene la figura de un rectángulo rematado por un sem icírculo. Suponga que una ventana de este tipo tendrá un perímetro de 200 p u lgadas, y que la canti­ dad de luz transmitida es directamente proporcional al área de la ventana. Halle el radio del semicírculo de modo que la ventana admita el paso de la mayor cantidad de luz. 14. Si un acuario puede alojar un máximo de 10,000 peces , el índice de crecim iento de la población piscícola es conjuntam ente proporcional al número de peces que contiene el estanque y a la diferencia entre éste y 10,000. a) Si el índice de crecimiento es de 90 peces por sem ana cuando hay 1000 peces en el acuario , exprese la tasa de crecim iento de la población com o función del número de peces en el estanque, b) Calcúlese el índice de crecimiento de la población cuando hay 2000 peces. 15.

Un viaje auspiciado por una escuela y que da cabida a 250 estudiantes costará a cada alum no $ 15 dólares si no m ás de 150 alumnos hacen el p a se o ; sin embargo , el costo se reducirá en 5 centavos p o rcada estudiante que exceda 150, hasta que el costo se reduzca a $ 10 p orcada alumno, a) Si x estudiantes hacen el v iaje, exprese el monto del ingreso total como función d e* , b) Cuál es el dom inio de la función resultante, c) Cuántos estudiantes deben viajar para que la escuela reciba el máximo ingreso total. Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

EJERCICIOS

69

Grupo 3 : Funciones «spetuilrx

16. C onstruir la gráfica de la función homográfica y — ex + cf ’ cién d o laalafo rm a

a) y } y

. Exam inar los ejemplos.

>■= k +

= -3 * -^

b) }

2x-3

~^C * ^ ’ C * ^ ’ redü'

v

}

=^ x x-4

c) y = — — — c) }

2x + 4

17. D etermine analíticamente el rango de las funciones a)

/( x ) = 4 - V x 2+ 12*+ 27

b) /(*>=

*

c) /(jc) = x2 + 6x + 6 , x e ,-11]

* [ — ] +3^ l - 4 \ ' x e /W ® i r2 i í • jr€ (-2.1/2) L 2 J 1 \ 5 x - I | - 15 + 6 |jr + 2 1

18. H alle el d o m in io , el rango y dibujar la gráfica de las funciones : a)

/(x ) = 2 u ( x ) +x 2u ( x - l ) - u ( x - 2 )

b) / ( x ) = x u ( [x + 3] ) - x S g n ( l x | - I)

19. D eterm ine el rango y dibuje la gráfica de las funciones dadas a)

/(x ) = I x - 1 | + U + 1 I

b)

/(x ) = U + 2 | - 2 l 3 - x |

c) /( x ) =

|

2jc

-

11+ l x - 2 l

d) f ( x ) = l x + 2 l + l x - 2 | - U l

, x e [-1 0 , 10]

Vi - í jc I

20. H alle el dominio de la función : /(x ) = —¡-r----———

X I ¿ X “ II* £ X

21. Halle el d o m in io , el rango y dibuje la gráfica de las funciones

í a) /(x ) =

< [

í b) /( x ) = < (

Vx3- 2x

, sixe { I x - 11> 1} D { I x - 1 | < 3 }

x2- 4 x - 4 S g n ( | x | - 3 ) , si x e { | x - 3 i ^ l| D {I x - I I < 1} |x + 7 l + | x - l | , s i | 2 x + l | > | x - 7 | |x + 9 l - I x - 3 1 , si l2x + 11 < l x - 7 l

22. Halle todos los valores de x , si es que existen , tales que

Sgn( l 7 T i ) + Sgn( y ^ ) = °

.

23. Determine analíticam ente el rango de la función /d e fin id a p o r /(x ) =

í x3 + 10x + 21 , s i x e [-7 , -5) U [-2 , -1) s ____ [ Vx + 1 + 1 , s i x e (-1,3]

. Construir su gráfica

24. Halle el dom inio y construya las gráficas de las funciones: ^

T6

u,

^

_ Ix l - [ x ]

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-1

Capítulo / : Funciones

70

*•* En los ejercicios 25 al 44 , halle el dom inio , el rango y dibuje la gráfica de las funciones dadas. /( x ) =

V 2x- I [ I -x]

/(x ) = x 2- [ x ] 2

30.

/(x ) -

x + | xl Ixl - [ x ]

/(x ) = [ V 4 - x ]

33.

/(x ) = [ 1 1 - 2 x 1 ]

/(x ) = V [ x ] - x

26.

/(x ) =

28.

/(x ) = ( x - [ x ] ) 3+ [ x ]

29.

31.

/(x ) = r .3 ' x , I x l- [x]

32.

34. /(x ) = [x2 - 2x - 3]

37. /(x ) —

35. /( x ) = V [ x ] - 3 x

Vx3 - 9 . si x e [ x * ] > I x2> l < = > ( x < - l ) v ( x > l ) c=> D o m (/3) =

, -1] U [I , +00)

D o m (/) = ( [ - 2 , 6] - {0} ) n (.-1] U U , + ~ ) = [-2 .- 1 ] U [ 1 , 6 ]

(EJEM P LO

5)

Sean las funciones : / = { (x ,-y

V 9 - X 2 )!

s « ) = Sgn ( ^ ± f )

=

y

D o m (/) D {-3 , 3} = }

a) Halle el D o m (F ), si F(x) = /(x ) ■g(x) + h(x) b) Dibuje la Gr(F) y determ ine su ran g o . 'Sotucfim

S i/( x ) = ~ V 9 - x2

/ e s r e a l 9 - x 2 £ 0 - 3 á x < 3

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■

Capitulo I : Funciones

76

Pero por d efin ició n , el dom inio de / no debe co n tener al conjunto {-3 , 3} , p o r lo qu e : D o m (/) = 1 < x + 3 < 6

S i* e D om (F) t=> -2 < x < 3 M ultiplicando por - 1 : - 1 < - j —j

(I)

L ] - 1 = l+ [ ^ l x+3-* *-jc + 3 J

x e s re a l o 2

y2 - 14y+ 13 £ 0

( y <

E s to e s , el universo de la variable y , es : U = (-*»,

1]

U

1)

a

( y >

13)

[1 3 ,+ «»)

Como x e ( - 2 ,0 ] ■=> - 2 < - ^ ( y - 3 ± Vy2 - I4y + 13 ) < 0 «=> -1 - y < + Vy2 - 14y + 13 < 3 - y

IC aso 1]

(o )

-I -1 - 2 < - l - y S i y e U l y ^ l «=*-! < 1 3 - I ¿ 3 -yc=$ 2 < 3 - y

Nótese que -1 - y e s negativo y 3 - y es positivo V x e ( - 2 , 0 ] , entonces en (a) (- 1 - y < - Vy2 - 14y+ 1 3 ) v (Vy2- 14y + 13 < 3 - y ) ■=> (Vy2 - 14y + 13 < l + y )

v (Vy2 - 1 4 y + 1 3 < 3 - y ) ^

A h o ra , aplicando la propiedad : Va 0)

a

Q> > 0 a a

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(Vy3 - 14y+ 13 < 3 - y ) < b 7) , se tiene

Capítulo I : Funciones

80

(y2 - 14>•+ 13 > 0 ) a ( 3 - ) ’> 0 a >^- I4y + 1 3 < 9 - 6 y + y 2) «=^ ( y e U)

C aso2

a

(y < 3

a

y > 1/2) y e [ 1/2 , 1]

Si>*€ U l y > 13 «=> - >• Ran(h,) = {-2} c)

En j c e ( 2 , 6 ] ,s e a h j(x ) =

** ^

"

3" + 3 ( 3 ^ - 4 ) ^

R an(h3) = [ 1 . 5 ) (Verificar)

R an(//g) = [1/2 , 1] U {-2} U [I . 5> = {-2} U [1/2 , 5)

■

E J E R C IC IO S . Grupo 4 1.

S i / = { ( 0 , V 2 ) , ( 1 , ^ + V 5 ) , ( 2 , 0 ) } y g = { (0 , VÜ) , (2 , 1/2), (4 , V3 )} , h a lla r: a)

( / + g )(2 )

b) ( / *g) (2)

{

c) ( / , + 3g) (2)

0 , si x < 0 , g(x) = Sgn(x)

1,six¿0

Se define la función H(x) = / ( x + 2) - g(x - 2 ) , hallar el Ran(H) 3. Dadas las funciones / : A -> [-2 , 2] I / ( x ) = x 1 - 4 , A c [-3 , 3] ; g : ÍR —> IR [ g(x) = a /s T ? y h = { ( - 3 , 2 ) , ( - 2 . 3 ) , ( 0 , 1 ) . ( 1 , - 1 ) , ( 2 , 4 ) , ( 6 , 5 ) } a) 4.

Construir la G r(/) y hallar su dom inio.

b) H a l l a r / + g y g - h

D adas las funciones / : A - » [ 1 ,4 ) I f ( x ) = x2 - 2x + 1 , A c [-2 , 3 ] ; g : 2x + I , y g [-1 , 3} ; h : IR —> IR |h(x) = Ix2 - I | + x , y 5 2 a)

Dibujar la Gr(g + h)

b) H allar el D o m ( /- g )

5 . Sean las funciones / : R —» R I / ( x ) = x - | x - 1 I ; g : IR —> IR I g(x) = h : fR —> tR I h(x) = Vx2 - 9 , hallar el dom inio de la función ( / + g) ■h 6.

R R I g(x) =

Sean f ( x ) = x 2 y g(x) = 12x I , dibujar la G r( / + g) y hallar su rango. Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

x3 - 2 , x > - 2 ;

81

E JE R C IC IO S . G rupo 4 : A lgehru d e Lis fuñeiu/ies

7. Sean las funciones / : A —> [- 5, 3] If(x ) = - x2+ 2 x + 3 , A c ( - 3 , 5 ] ; g : I R —» {RI g(x) = V9-X5 . Hallar: a) / / g , b) D om (//g). 8. Dadas las funciones / y g , hallar/ + g y dibujar su gráfica f x + 3 . s i x e ( - 4, 0] a)

f 2 x - 4 , s i x e [-3, 2]

/(* ) = ^

. gC*) = í

[ 3x + 2 , si x € (1 ,6 )

l 2 - x , si x e ( 2 , 8 )

{ 4x + [ x ] , s¡ e (-3 , 0)

f [-jc]-2x,-4c- 5 1

,0=> / ( j c ) =

U - 1 /

^

\ u - 1/

,x*\

Dom (g) a g(*) € D om (/)}

*=> D o m ( /o g ) = x e [-1 , 1> U , Ix l = x >=> Partiendo

d e x G

x-3

4

<

l

4 x-3

= [ " 1 + 3" ^ ]

( 0 , 1 ) y siguiendo los pasos (a), se llega a la conclusión d eq u e [ - 1 + 3 ^ ]

Por .a m o , de (a) y (b) : j - | ^ _ 2 j =

2 . «=> /(x ) =

- 4 < — 3 x-3

f-1 , S Í X E R an (/) fl Dom(g) ^ 0 3. Determinación de los rangos de / y f 2 : R a n (/,) = -1 , constante En f 2 : y = Vx1 + 2x = V( x + l)2 - 1 Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

(g,) (g,)

Capítulo ¡ ' Funciones

90 Si I < * < 2

■=> 2 < x + i < 3 =¡> 4 < ( x + 1)2 < 9 ^

V3 < V (x + I)2 - 1 < V 8

=> R a n (/2) = [V 3 , V 8 ) 4. Com o R a n (/j) fl D om (g,) = 0

y R a n (/,) f| Dom(g2) = , no están definidas g f o / ,

y S2° / r 5.

R a n (/a) n D om (g,) = [