ANÁLISIS MATEMÁTICO PARA ECONOMISTA I.pdf

Universidad Nacional

Federico Villarreal

GUÍA ACADÉMICA ANÁLISIS MATEMÁTICO PARA ECONOMISTAS I ECONOMIA I CICLO VERÓNICA A. MORE SÁNCHEZ

Euded Escuela Universitaria

Educación a distancia

Análisis Matemático para Economistas I 

I N D I C E                                                                                                    Introducción Orientaciones Generales del curso Evaluación Medios y Recursos Didácticos Objetivos de la Asignatura PRIMERA UNIDAD: INTRODUCCIÓN 1.1 El uso de las matemáticas en la ciencia económica. Modelos económicos. 1.2

El Sistema de los Números Reales

1.3 Teoría de conjuntos 1.4 Ecuaciones. Sistema de ecuaciones lineales SEGUNDA UNIDAD: FUNCIONES DE UNA VARIABLE 2.1 Introducción 2.2. Funciones de una variable real 2.3 Gráficas de funciones 2.4 Funciones lineales: Pendiente y ecuaciones de la recta 2.5 Funciones cuadráticas 2.10 Aplicaciones a la economía TERCERA UNIDAD: CÁLCULO DIFERENCIA DE UNA VARIABLE 3.1 Pendientes de una curva 3.2 La pendiente de la tangente y la derivada. Una pincelada sobre límites 3.3 Reglas sencillas de derivación 3.4 Aplicaciones a la economía CUARTA UNIDAD: MATRICES Y DETERMINANTES 4.1 Conceptos básicos sobre matrices 4.2 Operaciones con matrices     

Análisis Matemático para Economistas I  4.3 Matriz inversa 4.4 Determinación del valor del determinante 4.5 Resolución de sistemas de ecuaciones lineales. La regla de Cramer

    

Análisis Matemático para Economistas I 

ORIENTACIONES PARA EL ESTUDIO

Considerando que el processo de enseñanza – aprendizaje más efectivo es aquel donde el alumno es el protagonista, es conveniente proponer las siguientes recomendaciones como estratégias de aprendizaje, los cuales redundan en el cumplimiento de los objetivos planteados:

    

a.

Recomendaciones para el estudio de la asignatura:  Planifica y dosifica el tempo que vas a dedicar a la asignatura en general y a cada una de las unidades.  Refuerza los temas propuestos a través del texto guia de acuerdo a la indicación de la guia académica.  Investiga situaciones reales donde pueda aplicar los conocimientos adquiridos.  Trata de desarrollar los trabajos bajo el enfoque de trabajo en equipo, a fin de optimizar los refuerzos y otros recursos.  Estudia con metas previamente estabelecidas, los cuales le guiarán en el desarrollo de la asignatura.

b.

Recomendaciones para el uso de la guia académica  Revisar y analizar criticamente la información proporcionada en esta guia a fin de interactuar con fluidez durante las sesiones. Hacerlo antecipadamente.  Desarrollar necesariamente las actividades propuestas en cada una de las unidades, confiriéndole una dosis de valor agregado en forma creativa.  Desarrollar necesaria y conscientemente las preguntas de la autoevaluación es una forma de medir la evolución del aprendizaje. Si el resultado de la autoevaluación es menos al 60 % se recomienda repasar la unidad.  Revisar la bibliografia y la webgrafía con la finalidade de profundizar los temas desarrollados.

Análisis Matemático para Economistas I 

INTRODUCCIÓN

El mundo económico es una región nebulosa.  Los primeros exploradores usaron visión no asistida. La matemática es el faro mediante el cual lo que antes Se veía tenue ahora surge con trazos firmes y marcados. -Irving Fisher (1892)

Hoy en día es esencial para un estudiante de economía una comprensión sólida de las matemáticas. Aunque se pueden dar de forma clara, sin usar matemáticas, razonamientos convincentes de problemas económicos sencillos que impliquen dos o tres variable, si queremos considerar muchas variables y la forma como interaccionan, es necesario recurrir a un modelo matemático. Esta guía está escrita para los estudiantes de economía de la asignatura análisis matemático, decidido a aprender las técnicas matemáticas básicas. Entre otras, funciones de una variable, cálculo diferencial, matrices y determinantes. Todas estas técnicas son esenciales para los cursos superiores de economía. A veces damos importancia a lo económico no solamente para motivar un tema matemático, sino para ayudar a tener una intuición matemática. La guía está ordenado de tal manera que los conocimientos se van adquiriendo progresivamente y está organizada en cuatro unidades, cada unidad está estructurada con sus respectivos objetivos y actividades. En la primera unidad se presenta conceptos de modelos económicos, Conjunto de los números Reales y ecuaciones. En la segunda unidad se analiza las funciones de una variable real. La tercera unidad se centra en el estudio de una introducción al cálculo diferencial. Finalmente, en la cuarta unidad se desarrolla matrices y determinantes y su relación con la solución de sistemas de ecuaciones lineales. Esperamos que el texto constituya una guía efectiva y motive a la vez al estudio y la dedicación adecuada que permita el logro de los objetivos. El uso de la guía requiere ser complementada con la profundización o ampliación de parte del alumno de los temas contenidos en ésta con el texto base.

Econ. Verónica A. More Sánchez

    

Análisis Matemático para Economistas I  Orientaciones generales de estudio El estudio en la modalidad que has elegido demanda un gran esfuerzo y mucha dedicación además de responsabilidad y una buena organización. Es por esta razón que al iniciar el estudio de nuestra asignatura me permito brindarte algunas orientaciones buscando que se optimice tu rendimiento académico: 

 



Busque un lugar donde se sienta cómodo para realizar la lectura de la guía didáctica así como del texto básico. En lo posible un lugar con claridad y libre de ruido. Organice un horario de estudio en el que cada asignatura cuente con el tiempo necesario de acuerdo al grado de dificultad. Realice una lectura comprensiva, utilizando técnicas como el subrayado, el uso de mapas conceptuales u organizadores visuales que le permitan identificar las ideas principales para reforzar los conocimientos. Es recomendable realizar las actividades propuestas en la presente Guía Didáctica pues le permitirá verificar el logro de los aprendizajes.

Se ha optado por utilizar dos textos de base para el estudio eligiéndose los libros: Budnick Frank s. “Matemáticas aplicadas para la administración, economía y las ciencias sociales”. MCGRAWHILL interamericana, 4ta. Edición 2007. (TEXTO BÁSICO 1) Y como TEXTO BÁSICO 2 “Matemáticas para administración y economía” de los autores Haeusssler y Paul. No es necesario que consulten los dos libros. En la primera unidad debemos desarrollar el estudio de Conjunto de los números Reales y ecuaciones. Este tema lo podrá encontrar en el capítulo 1 del TEXTO BÁSICO 1 y en el capítulo 0 del TEXTO BÁSICO 2 En la segunda unidad estudiaremos funciones de una variable real, tipos de funciones, funciones lineales y cuadráticas para lo cual analizaremos los capítulos 4, 5, y 6 del TEXTO BÁSICO 1 y los capítulos 1 y 2 del TEXTO BÁSICO 2. En la tercera unidad estudiaremos introducción al cálculo diferencial que se encuentra en el capítulo 15 del TEXTO BÁSICO 1 y en el capítulo 10 del TEXTO BÁSICO 2. En la cuarta unidad estudiaremos Las Matrices y los Determinantes que se desarrolla en el capítulo 9 del TEXTO BÁSICO 1 y capítulo 6 del TEXTO BÁSICO 2. Tutorías Las tutorías se desarrollaran mediante la programación de un calendario de tutorías. La tutoría será presencial y virtual.     

Análisis Matemático para Economistas I  Evaluación El promedio final de la asignatura en la Modalidad Presencial – Virtual se obtiene aplicando los siguientes pasos porcentuales:  Evaluación de trabajos interactivos (TI): (40%)  Evaluación parcial (IV): (20%).  Evaluación final (EF): (40%). PF = TI (0,4) + IV (0,2) + EF (0,4) Medios y recursos didácticos Texto Básico 1:

Texto Básico 2:

Textos complementarios

Plataforma virtual

Budnick Frank s. “Matemáticas aplicadas para la administración,  economía y las ciencias sociales”. MCGRAWHILL interamericana,  4ta. Edición 2007. Hauessler Ernest. – Paul Richard (2003). Matemáticas para administración y economía. México: Pearson Educación Editores. Puedes encontrar este libro en la biblioteca virtual de google que es el siguiente enlace: http://interesanteyutil.blogspot.com/2011/04/libro-dematematicas-para-economia-y.html Los demás que figuran en el sílabo de la asignatura.

Herramientas a emplearse en plataforma virtual: Foros, tareas, chat, enlaces, examen, elección, páginas, entre otros

Objetivos Generales

Interpretar y aplicar acertadamente los técnicas de la matemática básica como modelos económicos, el sistema de los números reales, nociones básicas de la teoría de conjuntos, ecuaciones, sistemas de ecuaciones lineales, relaciones y funciones, funciones de una variable real, introducción a las derivadas, matrices y determinantes, en el planteamiento y solución de problemas económicos. Fomentar el razonamiento lógico, la capacidad deductiva y el uso del lenguaje matemático, de tal manera que permita al alumno realizar un análisis eficiente de las situaciones económicas.

    

Análisis Matemático para Economistas I 

PRIMERA UNIDAD INTRODUCCIÓN

OBJETIVO ESPECIFICO

Aplicar correctamente los teoremas y propiedades de los números reales y la teoría de conjuntos para dar solución de una ecuación.

    

Análisis Matemático para Economistas I    

1.1. El uso de las matemáticas en la ciencia económica. Modelos económicos. 1.1.1 Las Matemáticas y la Ciencia Económica La actividad económica ha sido parte de la vida humana durante miles de años. La ciencia económica dio un giro impresionante en el siglo XVIII con la publicación de trabajos como el de David Hume, Polítical Discourses (1752), el Tableau Economique de FranÇois Quesnay (1758-1759), o the Wealth of Nations de Adam Smith (1776). Se empezaron a formalizar los razonamientos económicos. Hacia la mitad del siglo XIX algunos autores comenzaron a usar las matemáticas para elaborar sus teorías. Entre los pioneros podemos citar a Agustín Cournot (fue el primero en definir y dibujar una curva de demanda y en usar el cálculo diferencial para resolver problemas de maximización en economía) y León Walras (que se distinguió por redactar y resolver el primer modelo multiecuacional para el equilibrio general de oferta y demanda en todos los mercados simultáneamente). Descubrieron que muchas de sus ideas se podían formular de forma más efectiva usando el lenguaje matemático, porque es más preciso y conciso, existe una gran cantidad de teoremas matemáticos, se evita la adopción de suposiciones implícitas indeseables y permite tratar el caso general de variables. Es decir, el uso del lenguaje matemático ha hecho posible la introducción de conceptos económicos mucho más sofisticados y de teorías económicas cada vez más complejas. Por ejemplo el dinamismo del sector construcción en nuestro país tiene efectos finales que son difíciles de calcular sin recurrir a dispositivos matemático formales. ¿Qué consecuencias tendrá esto para el empleo? En principio, se crearán nuevos puestos de trabajo en el sector. Sin embargo la creación de nuevas casas requiere de muchos materiales. Así debe crecer el empleo en las empresas de suministro de estos productos. Pero estas empresas necesitan, a su vez, materiales que fabrican otras, y así sucesivamente. El incremento de la producción conlleva al incremento del empleo y éste el de los ingresos, se producirá una mayor demanda de bienes de consumo, crece el empleo entre los productores de bienes de consumo y nuevamente crece el flujo de datos de entrada. El método científico en la Ciencia Económica incluye los siguientes elementos importantes:

    

Análisis Matemático para Economistas I  1. Observaciones cualitativas y cuantitativas de los fenómenos (directamente o por experimentos). 2. Procesamiento numérico y estadístico de los datos observados. 3. Construcción de modelos teóricos que describan los fenómenos observados y expliquen las relaciones entre ellos. 4. Usos de esos modelos teóricos para deducir predicciones 5. Corrección y mejora de los modelos para que permitan mejores predicciones. Así las ciencias empíricas se asientan sobre procesos de observación, modelización y verificación. 1.2 Modelos económicos Hacia principios del siglo XIX, el matemático alemán Gauss cuestionó la geometría euclídea, desarrollándose la primera geometría no euclídea en la década de 1820. Desde entonces se acepta que sólo las observaciones pueden decidir qué modelo geométrico brinda la mejor descripción del espacio físico. Esto prueba que puede haber una diferencia importante entre un modelo matemático y sus posibles interpretaciones en la realidad. Más aún, puede ocurrir que haya más de un modelo capaz de describir un cierto fenómeno. Ciertamente, esto ocurre a menudo en economía. Un modelo es solamente una representación aproximada de la realidad. No podemos jamás considerar todos los factores que influyen en un fenómeno tan complejo. Es simplemente un marco teórico y no necesariamente tiene que ser matemático. Sin embargo, si el modelo es matemático, por lo general consistirá en un conjunto de ecuaciones diseñadas para describir la estructura del modelo, éstas ecuaciones relacionan cierta cantidad de variables entre sí en ciertas maneras. Entonces, mediante la aplicación de las operaciones matemáticas se puede obtener un conjunto de conclusiones. En matemáticas hay dos tipos de cantidades: constantes y variables. 1. Constantes absolutas, que siempre tienen el mismo valor; tales cantidades son números, o bien, símbolos que representan números. 2. Constantes paramétricas o parámetros que mantienen el mismo valor en un problema dado, pero pueden tener diferentes valores en otros problemas; tales cantidades dependen de la situación particular representada en el problema.

    

Análisis Matemático para Economistas I  3. Variables son aquellas que toman todos los valores significativos posibles en el problema; tales cantidades pueden variar discreta o continuamente, y estar restringidas, por ejemplo, a valores positivos. En las matemáticas puras se usan generalmente las letras iniciales del alfabeto para representar los parámetros, y las letras finales, para las variables. Sin embargo en las matemáticas aplicadas hay muchas excepciones a esta convención, y con frecuencia una variable se representa a veces por la primera letra de su nombre. Las variables de uso común en economía son precio, ganancia, costo, ingreso, consumo, ingreso nacional, inversión, importaciones y exportaciones. Un modelo económico se puede resolver para obtener los valores solución de cierto conjunto de variables. Esta clase de variables, cuyos valores solución se buscan desde el modelo, se conocen como variables endógenas. No obstante, el modelo también podría contener variables que están determinadas por fuerzas externas al modelo y cuyas magnitudes se aceptan como datos; este tipo de variables se llaman variables exógenas. Una variable que es endógena en un modelo podría muy bien ser exógena en otro. Ejemplo1: a. En la ecuación de una recta,

1

1 es una constante numérica, a y b son parámetros, son variables. b. En la ecuación para el costo total como una función de la producción. ∝



       Donde Q denota la producción, α es el costo fijo (el valor de C cuando Q = 0) y

βQ es el costo variable (que para cada incremento unitario en Q, hay un incremento constante de β en C).   α y β son parámetros , C y Q son variables

    

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1.2

El Sistema de los Números Reales y Teoría de Conjuntos 1.2.1. Números Reales El siguiente mapa conceptual nos ayudará a comprender mejor como está estructurado el conjunto de los números reales.

FIGURA 0.1 Mapa conceptual del tema: Los números reales

El sistema numérico real consiste de un conjunto R de elementos denominados números reales y dos operaciones llamadas adición y multiplicación, denotadas por los símbolos + y ·, respectivamente. Si a y b son elementos del conjunto R, indica la suma de a y b, y o (ab) representa su producto. La operación sustracción se define mediante la ecuación.

Donde denota el negativo de el cuál es el número para el que La operación división se define mediante la ecuación /     

∙



0

0

Análisis Matemático para Economistas I 

Donde

representa el recíproco de b, que es el número para el cuál ∙

1

El sistema numérico real puede describirse completamente mediante un conjunto de axiomas (la palabra axioma se emplea para indicar una proposición formal que se considera verdadera sin demostración). Con base en estos axiomas se pueden deducir las propiedades de los números reales de las que se obtienen las conocidas operaciones algebraicas de resolución de ecuaciones y factorización, entre otros. Las propiedades que pueden obtenerse como consecuencias lógicas de los axiomas se denominan teoremas. En los enunciados de la mayoría de los teoremas se presentan dos partes: la parte del “si” llamada hipótesis, y la parte de “entonces” denominada conclusión. El argumento que verifica un teorema recibe el nombre de demostración (o prueba). Una demostración consiste en mostrar que la conclusión se infiere de la supuesta verdad de la hipótesis. Un número real es positivo, negativo o cero, y cualquier número real puede clasificarse como racional o irracional. Un número racional es aquel que puede expresarse como la razón de dos números enteros. Esto es, un número racional son números enteros y 0 , es de la forma ,

\ ,

0

Los números racionales consisten de: Los números enteros positivos o números naturales (N), negativos y cero. … , 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, … Las fracciones positivas y negativas, tales como 4 1 5 , , 7 8 3 Los números decimales finitos positivos y negativos por ejemplo 3 3 0.75 1.5 4 2 Los números decimales infinitos periódicos positivos y negativos, tales como     

Análisis Matemático para Economistas I  2 3

0.666 …

4 11

0.3636 …

2 15

0.1333 …

Los números reales que no son racionales se denominan números irracionales (I). Éstos son los números decimales infinitos no periódicos positivos y negativos, por ejemplo, √2 Los números reales pueden representarse por puntos en una recta,

FIGURA 0.2 La recta de los números reales 

Ejemplo 2 a) 4. 3 b) 5. 2 c) 10 .

12; 5 . 2 10 8: 2 4 5. 7 10 35 10 35 25 3 : 6 30: 6 5

d) Son números racionales 4, 9, ,

…

e) El número racional admite diferentes representaciones en forma de fracción,



⋯ Todas estas fracciones son equivalentes entre sí y

es la

fracción irreducible. f) √5 no es un número racional puesto que no se puede representar por una fracción cuyo numerados y denominador sean números enteros. Por la misma razón, g)

√

, √3

1 5 tampoco son números racionales.

5 es un número entero

h)

0,06

0,8 son números decimales finitos o exactos.

i)

4,33333 …

4,3͡ es un número decimal periódico puro cuyo periodo es 3

j)

3,0212121 …

3,02͡1 es un número decimal periódico mixto cuyo periodo

es 21 y cuyo anteperiodo es 0.     

Análisis Matemático para Economistas I  k) Son números irracionales √3 l) Otro número es

lim 1 →

1,7320508 … , 1

√5

√

entre otros.

2,71828182845905 … .

1.2.2 Conjuntos En ocasiones se utilizará notación y terminología de conjuntos. La idea de conjunto se emplea extensivamente en matemáticas y se considera un concepto básico. En términos sencillos, un conjunto es una colección de objetos, y los objetos de un conjunto se denominan elementos. Si cada elemento de un conjunto F es también un elemento de un conjunto G, entonces se dice que F es un subconjunto de G. En cálculo se tratará con el conjunto R de los números reales. Dos subconjuntos importantes de R son el conjunto N de los números naturales (o enteros positivos) y el conjunto Z de los números enteros. Se utilizará el símbolo ∈ para indicar que un elemento específico pertenece a un conjunto. En consecuencia, se puede escribir 12 ∈ N, lo cual se lee “12 es un elemento de N”. La notación a, b ∈ F expresa que tanto a como b son elementos de F. El símbolo ∉ se lee “no es elemento de”. Así ¼ ∉ a N se lee “¼ no es elemento de N”. Un par de llaves { }, empleado junto con palabras o símbolos, pueden describir un conjunto. Si F es el conjunto de los números naturales menores que 7, puede escribirse el conjunto F como {1, 2, 3, 4, 5, 6} El conjunto F también puede expresarse como { x tales que x es un número natural menor que 7}  Donde el símbolo x se denomina variable. Una variable es un símbolo que se emplea para representar cualquier elemento de un conjunto dado. El conjunto F también se puede expresar por medio de la notación por construcción como sigue, donde se emplea una barra vertical en lugar de las palabras tales que: { x | x es un número natural menor que 7}

    

Análisis Matemático para Economistas I  Lo cual se lee “el conjunto de todas las x tales que x es un número natural menor que 7” Dos conjuntos se dice que son iguales, lo que se escribe como , si tienen elementos idénticos. La Unión de dos conjuntos , denotada por ∪ y que se lee “A unión B”, es el conjunto de todos los elementos que están en , . La intersección de , denotada por ∩ y que se lee “A intersección B”, es el conjunto de sólo aquellos elementos que están tanto en . El conjunto que no contiene elementos recibe el nombre de conjunto vacío y se denota por ∅. 1.2.3 Orden en el conjunto de números reales. Intervalos En el conjunto de los números reales existe una ordenación “natural que se puede definir a partir de las relaciones de orden “menor” o “menor o igual”. Dados dos números reales distintos , se dice que es menor que y se escribe si es un número positivo. Se dice que es menor o igual que y se escribe si es un número positivo o cero. Si también se dice que y se escribe . Análogamente, si también se dice que y se escribe . A continuación, se enumeran algunas propiedades que relacionan las desigualdades con las operaciones entre números reales. Dados , ∈ se verifica: 1.



⟹

2.



⟹ .

.

0

.

.

0

3. Si



y ambos tienen el mismo signo, entonces

Como caso particular, se cumple: 1 ⟹

    

1

1

Análisis Matemático para Economistas I  0



1





1 ⟹

0 ⟹

1 ⟹

1

1

1

1

1

1

Similares propiedades se verifican con la desigualdad ˂ en lugar de la desigualdad ≤. Ejemplo 3: a)

2

1 ⟹ 2

3

b) 3

4 ⟹ 2.3

c) 1

√2 ⟹ 1

d)

6

5 ⟹

1

3 ⟹ 1

2.4 ⟹ 6

4 8

√





⟹







Las propiedades anteriores son muy útiles a la hora de resolver inecuaciones. Ejemplo 4: a) 3 b)

8 ⟹ 3

5

3

10 ⟹



3

5



8 ⟹

5

. 10 ⟹

2

La ordenación existente en el conjunto de los números reales permite definir un tipo de conjuntos en R que van a ser muy útiles: los intervalos. Se distinguen los siguientes tipos de intervalos: ,



∈ |

 Intervalo cerrado: ,



∈ |

 Intervalo abierto:

    

Análisis Matemático para Economistas I   Intervalo semiabierto o semicerrado: ,



∈ |

,



∈ |



Los intervalos que determinan cada uno de los conjuntos anteriores se denominan extremos del correspondiente intervalo. Los intervalos que se han definido son intervalos finitos. Si se consideran los símbolos ∞ ∞ como determinantes de uno de los dos extremos surgen los intervalos infinitos:  Intervalo infinito abierto: (a, +∞

∈ |

0

 Intervalo infinito cerrado: [ a, +∞ ∈ | 0 Notar que

∞,



∈ |

∞,

∈ |



∞, ∞

A partir del concepto de intervalo, se define entorno simétrico de centro ∈ y radio 0 como el intervalo abierto , ∈ | Ejemplo 5: a)

3, 7

,

son intervalos finitos abiertos;

, ∞ es un intervalo infinito abierto. b) 2, 5 2,4 son intervalos finitos cerrados; ∞, 1 122 0, ∞ son intervalos infinitos cerrados. c)

√7, 0 3, 10 son intervalos semiabiertos o semicerrados.

d) El entorno simétrico de centro cero 0 y radio 2 es el intervalo 0 2, 0 2 2, 2

    

Análisis Matemático para Economistas I  Ejemplo 6: a) El conjunto de valores de x que verifican 2 calcula a continuación: 2

5

15 ⟹ 2

10 ⟹



5

15 es el intervalo que se

5, es decir, la solución de la

inecuación es el intervalo infinito abierto (-∞, 5 1 3 es el intervalo que se b) El conjunto de valores de x que verifican calcula a continuación: 1 3 ⟹ 4 ⟹ 2 2, es decir, la solución de la inecuación es el intervalo cerrado 2, 2 10 se calcula a continuación: c) El conjunto de valores de x que verifican 5 10 5 10 ⟹ 2 ⟹ √2 √2 5 1.2.4 Valor absoluto de un número real Dado un número real cualquiera, , se define su valor absoluto como │ │ 0 0 El valor absoluto de representa la distancia del origen de la recta real al punto que representa al número . Si , ∈ 1. │ │ 2. │

0 │

3. │

│ │

│

4. │ . │

    



│ │

│ │ (desigualdad triangular)

│ │ . │ │

5. │ │ = 6. √

0 se verifican las siguientes propiedades:

│ │ │ │

│ │

,

con

0

Análisis Matemático para Economistas I 

7. │ │

⟺

8. │ │

⟺





Ejemplo 7: a) │ b) │7

9│

│9│

│

7 7

9 7 7



0 7 0

c) │ 2 1│ │ 1 │ 1 número es siempre positivo o cero.

1.3

7

7 7

ya que el cuadrado de cualquier

Ecuaciones. Sistema de Ecuaciones Lineales

1.3.1 Ecuaciones Sean y dos funciones cuyos dominios son conjuntos de números (cuando dependen de una sola variable) o cuyos dominios son conjuntos pares, ternas, etc. (cuando las funciones dependen de dos, tres o más variables). En todos los casos, las imágenes de las funciones son conjuntos de números. Considérese una nueva entidad matemática llamada ecuación que tiene la forma Si las funciones dependen de una sola variable, entonces ecuación “ ". Si las funciones dependen de dos variables, entonces , , es una ecuación “ ", en tres variables se tiene la ecuación , , , , .

es una

Resolver la ecuación consiste en encontrar todos los elementos comunes de los dominios de y que hacen que los valores de las funciones (las imágenes) coincidan. El conjunto de elementos que satisfacen la igualdad , , ó , , , , , se denomina conjunto solución de la ecuación y cada elemento del conjunto solución se llama raíz de la ecuación.

    

Análisis Matemático para Economistas I  Cuando resolvemos una ecuación podemos aplicar ciertas reglas para obtener ecuaciones equivalentes, esto es, ecuaciones que tienen exactamente las mismas soluciones que la ecuación dada originalmente. Estas reglas incluyen la suma (o resta) del mismo polinomio de ambos miembros, así como la multiplicación (o división) de ambos miembros, por (entre) la misma constante, excepto por (entre) cero. Una ecuación lineal (en x) es de primer grado y tiene la forma 0, donde 0. Toda ecuación lineal tiene exactamente una raíz. Para resolver una ecuación lineal hay que aplicarle operaciones matemáticas hasta obtener una ecuación equivalente en la que la incógnita queda aislada de un lado de la ecuación. Una ecuación cuadrática (en x) es de segundo grado y tiene la forma 0, donde 0. Tiene dos raíces reales y diferentes, exactamente una raíz real, o bien no tiene raíces. Una ecuación cuadrática puede resolverse por factorización o por medio de la fórmula cuadrática: √ 2



4

Ejemplo 8: Si

,

3.

3. y

, 3.

2, entonces la ecuación 2

3.

Tiene como conjunto solución , : El cual contiene infinitos pares reales.



1

Desde el punto de vista geométrico, el conjunto solución de una ecuación es el conjunto de puntos (de la recta, del plano, del espacio de 3 dimensiones o de un hiperespacio) donde se intersectan los gráficos de las funciones y . En el ejemplo, los gráficos de las funciones , 3. 3. y , 2 Se representan por dos planos en el espacio tridimensional. El conjunto solución , : 1, es el conjunto de los puntos de una recta en el plano bidimensional.

    

Análisis Matemático para Economistas I  1.3.2 Sistemas de ecuaciones lineales Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones de las cuales interesan los conjuntos solución de un sistema las raíces comunes. Sean ₁, ₂, ₃ … , con k ecuaciones. Resolver un sistema de ecuaciones es encontrar la intersección de sus conjuntos solución. Un sistema de ecuaciones es lineal cuando todas las funciones que intervienen en las ecuaciones son funciones polinómicas de hasta grado 1. Los siguientes son ejemplos de sistemas de ecuaciones no lineales. 2.

2. 1

3



.

2. 1

La llave a la izquierda indica que el par de ecuaciones forma un sistema, esto es, que interesa encontrar el conjunto de pares , que satisfacen a la vez ambas ecuaciones. La forma de un sistema lineal con n incógnita y m ecuaciones es la siguiente:

.

.

⋯ . . . ⋯ . ………………………………………. . . ⋯ .

son todos nulos, entonces el sistema lineal se dice homogéneo. Si , , … , Si el sistema lineal es homogéneo, entonces el conjunto solución no es vacío (siempre tiene raíces). Todo sistema lineal de ecuaciones puede clasificarse en una y solo una de tres categorías:  Sistema compatible determinado: el conjunto solución tiene una única raíz.  Sistema compatible indeterminado: el conjunto solución admite infinitas raíces.  Sistema incompatible: el conjunto solución es el conjunto vacío. Para resolver un sistema lineal de ecuaciones se pueden utilizar varios métodos:   Método de Gauss  Regla de Cramer  Reducción a un sistema de Cramer.     

Análisis Matemático para Economistas I  En el capítulo sobre Matrices volveremos sobre la regla de Cramer, para resolver sistemas lineales, utilizando el enfoque matricial.

ACTIVIDADES DE LA PRIMERA UNIDAD 1. Elaborar un mapa conceptual sobre el tema las matemáticas y la ciencia económica. 2. Indicar a que conjuntos numéricos pertenecen cada uno de los siguientes números: 3 3 6 8 18 , , √4, √5, 1 √3, , √ 6, √4 25, , 2 √5 √8 4 7 3. Escriba lo siguiente en notación de conjuntos: a. El conjunto de los números reales mayores que 34 b. El conjunto de los números reales mayores que 8 pero menores que 65. 4. Dentro del paréntesis coloque V si la proposición es verdadera o F si la proposición es falsa. ( ) Todos número racional el entero ( ) Los números naturales son un subconjunto de los reales. ( ) Todo número irracional es real. ( ) Todas la raíces inexactas son números racionales. ( ) Los números racionales son un subconjunto de los enteros. 5. Dentro del paréntesis coloque el subconjunto de los números reales al que pertenece cada número. ( ) –3/5 ( ) 135 ( ) –10 ( ) √37

6. Expresar mediante intervalos los siguientes subconjuntos de R: a. | 4 3 2 b. | 3 4 0 7. Ordenar los siguientes números reales de menor a mayor: , , 4, 5, ,

8. Determinar la expresión decimal de los números racionales ,

y decir

de qué tipo son. 9. Realizar de forma detallada las siguientes operaciones simplificando el resultado:     

Análisis Matemático para Economistas I  a. 24 b. 24

3 4 3 4

c.

6

d. 5 e.

3 1

√2

3

√2

10. Determinar el signo de las siguientes expresiones teniendo en cuenta que un número real negativo, positivo y | | | |: a. b. –b c. d. | | e. | | | | | f. | 11. Resolver las siguientes ecuaciones en N, Z, Q y R: a. 2 4 6 b. 2 6 4 c. 5 7 3 d. e. 3

 

    

5

7

es

Análisis Matemático para Economistas I 

  SEGUNDA UNIDAD FUNCIONES DE  UNA VARIABLE

OBJETIVO ESPECÍFICO 1. Representar y aplicar relaciones en los números reales, determinando correctamente su dominio, contradominio y gráfica. Representar y construir funciones reales de variable real.

    

Análisis Matemático para Economistas I 

2.1

Introducción

Un conjunto de pares ordenados de números reales recibe el nombre de relación binaria. El conjunto de los primeros elementos de una relación binaria se llama dominio de la relación, denotado por . El conjunto de los segundos elementos es el contradominio o imagen de la relación, denotado por . Para un conjunto dado , las cantidades y se denominan variables. El conjunto de valores que toma la variable es el dominio, y suele llamarse la variable independiente; el conjunto de valores que toma la variable es el contradominio, y a se le denomina por lo general, variable dependiente. Cuando a partir del contexto, resulta claro el número de variables, una relación binaria puede llamarse simplemente relación. Si la relación es tal que en ella a cada elemento del dominio le corresponde uno y sólo un elemento del contradominio, se dice que esta relación es una función. Todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones. Una variable es función de otra si la primera depende de la segunda. En una conversación ordinaria utilizamos la palabra “función” de una forma análoga. Decimos por ejemplo, que la tasa de mortalidad infantil de un país es función de la calidad de su atención médica, o que el producto nacional bruto es función del nivel de inversión. En ambos casos, obtener una fórmula que represente a la función exactamente es tarea difícil. Una función no sólo se puede representar a través de una fórmula matemática, una tabla puede también establecer la relación. También se puede ilustrar la dependencia entre dos variables mediante una curva o un gráfico.

2.2

Funciones de una Variable Real

2.2.1 Definición de función Se llama función real de variable real a cualquier aplicación : ⟶ ⊆ , es decir, cualquier correspondencia que asocia a cada elemento de D es un único número real. Habitualmente, la notación que se usa para representar una función es donde de .     

es la aplicación que indica cómo se obtiene el valor de

,

conocido el valor

Análisis Matemático para Economistas I  La notación é " " , denominada valor de función, se debe al matemático y físico Suizo Leonhard Euler (1707-1783). Como hemos mencionado anteriormente, el dominio de definición de , es el conjunto de números reales para los cuales existe . Es decir:

∈ │



En los modelos económicos, para determinar el dominio no sólo hay que considerar la existencia matemática de , sino también que tenga sentido en el contexto económico considerando tanto como . En economía se llama a menudo a variable endógena.

variable exógena, mientras que

es la

Ejemplo 9: a) El coste total (en nuevos soles) de la producción de q unidades de un cierto bien viene dado por: 200 1000 Hallar el dominio de C y el coste de producir 25, 100 y a unidades. Supongamos que la empresa produce a unidades; hallar el incremento de coste en la producción de una unidad adicional. Solución: 

El 0, ∞ │0 , la producción ( no puede tomar valores menores a cero para que tenga sentido en el contexto económico.



El coste de producir 25 unidades se halla sustituyendo de y así análogamente con 100 y : 25 100

200 . 25√25

1000

200 . 100 . √100

200 . 25 . 5 1000

El coste de producción de coste es 1

200

b) El dominio de la función

201 000

1 unidades es 1 √

√

26 000

1000

200 √



1000

por 25 en la fórmula

1 es

1000

1 , luego el aumento de 200 √

1000

0, ∞ ya que para que exista

√ , debe ser mayor o igual que 0, y además como está en el denominador no puede ser 0.     

Análisis Matemático para Economistas I 

La imagen de

se puede definir también como:



∈ │

∈



Ejemplo 10: 

3, al estar definida por un polinomio existe para Dada cualquier número real, luego . Además se verifica que .



Dada √ 1, para que exista se debe cumplir que 1 0, ya que no existe la raíz cuadrada de números negativos. Por tanto, se debe cumplir x 1 y por ello 1, ∞ y 0, ∞ .

2.2.2 Tipos de funciones 

Funciones polinomiales: Una función polinómica de grado n es de la forma: Con ∈ ,

∈

0

El dominio (D) de estas funciones es R Ejemplo 11: 

+5

- 12

Funciones constantes: Una función cuya imagen consiste sólo en un elemento se llama función constante. El valor de la no cambia sin importar el valor de . Es decir, el dominio (D) de estas funciones es R. 5

Ejemplo 12: 

Funciones racionales: Son funciones de la forma: Siendo y funciones polinómicas. El dominio (D) está formado por todos los números reales (R) que no son raíces del polinomio del denominador. Ejemplo 13:

     



Funciones Irracionales: Son funciones de la forma

Análisis Matemático para Economistas I 

Donde R(x) es una función racional y un número natural mayor que 1. Si n es impar el dominio de esta función es igual al dominio de R(x). Si n es par el dominio de esta función está formado por todos los números reales para los que 0 √

Ejemplo 14: 

1

Funciones no algebraicas: Cualquier función expresada en términos de polinomios o raíces, o ambas cosas por ejemplo la raíz cuadrada de polinomios es una función algebraica. En consecuencia las funciones analizadas hasta aquí son algebraicas. Sin embargo las funciones exponenciales como son no algebraicas. Las funciones logarítmicas, como son también no algebraicas. Otras clases de funciones no algebraicas son las funciones trigonométricas. A las funciones no algebraicas también se le conoce con el nombre de funciones trascendentes.

Una función

se dice:

 Función creciente en un Intervalo ⊆ si para cualquier par de puntos , ∈ I, tales que ˂ se verifica f( ) ≤ f( )  Función estrictamente creciente en un Intervalo I Ϲ D si para cualquier par de puntos , ∈ I, tales que ˂ se verifica f( ) ˂ f( )  Función decreciente en un Intervalo ⊆ si para cualquier par de puntos , ∈ I, tales que ˂ se verifica f( )≥ f( )  Función estrictamente decreciente en un Intervalo ⊆ si para cualquier par de puntos , ∈ I, tales que ˂ se verifica f( ) ˃ f( ) Ejemplo 15:

estrictamente creciente

decreciente pero no estrictamente Decreciente en 0, ∞

Figura 0.3: Tipos de funciones 

 Función cóncava en un Intervalo ⊆ si dados dos puntos cualesquiera cualquier par de puntos , ∈ I, el segmento que une los puntos     

Análisis Matemático para Economistas I  ( , f ( ) ,f( )) nunca se sitúa por encima de la gráfica.  Función estrictamente cóncava en un Intervalo ⊆ si dados dos puntos cualesquiera cualquier par de puntos , ∈ I, el segmento que une los puntos ( , f ( ) , f ( )) se sitúa por debajo de la gráfica.  Función convexa en un Intervalo ⊆ si dados dos puntos cualesquiera cualquier par de puntos , ∈ I, el segmento que une los puntos ( ,f( ) ,f( )) nunca se sitúa por debajo de la gráfica.  Función estrictamente convexa en un Intervalo ⊆ si dados dos puntos cualesquiera cualquier par de puntos , ∈ I, el segmento que une los puntos ( , f ( ) , f ( )) se sitúa por encima de la gráfica.

Ejemplo 16:

Cóncava pero no estrictamente cóncava en .

estrictamente convexa en

Figura 0.4:Tipos de funciones 

2.2.3 Operaciones con Funciones Sean f y g dos funciones reales de variable real con dominios respectivamente. Se definen las funciones. Suma de y f g x f x Producto de t. f x

    

g x D f

g

y

D f ∩ D g

por un escalar

t . f x D t. f

D f  

Producto de y f. g x f x . g x D f. g

D f ∩ D g

Cociente de y f/g x f x / g x D f/g

D f ∩ xє D g /g x

0

Análisis Matemático para Economistas I 

Composición de y f°g x f g x D f°g Inversa de y x ↔ f x

xє D g /g x є D f

y D



La es inversa en caso de sea inyectiva y las gráficas de una función y de su inversa son simétricas respecto a la recta . Ejemplo 17: (a) Dada las funciones: , realizar las siguientes operaciones:  3  5. 5  

.

3

1,

vamos a

1







 3 1 3 1  3 1 (b) La función 3 1 es inyectiva, para calcular su función inversa hay que operar de la siguiente forma: Intercambiando las variables en 3 1, queda 3 1 y despejando la y tenemos que , luego .

2.3

Gráfica de un Función

Un sistema de coordenadas rectangulares nos permite representar de manera geométrica ecuaciones en dos variables, así como funciones. La gráfica de una ecuación en y consiste en todos los puntos ( , que corresponden a las soluciones de la ecuación. Para obtenerla trazamos un número suficiente de puntos y los conectamos (en donde sea apropiado), de modo que la forma básica de la gráfica sea visible. Los puntos en donde la gráfica interseca al eje y al eje se denominan intersección e intersección , respectivamente. Una intersección se encuentra al hacer igual a cero y resolver para ; una intersección se encuentra al hacer igual a cero y resolver para .

    

Análisis Matemático para Economistas I  Se llama gráfica de al conjunto de todos los pares de números reales que tienen como primera componente cualquier valor del dominio de y como segunda su ámbito . Se denota por . Es decir, , ∈ │ ∈ , Se deduce que la gráfica de una función es la misma que la gráfica de la ecuación . Ejemplo18:



1



Figura 0.5: Tipos de funciones 

Note que el segundo ejemplo, b), no corresponde a una función porque la gráfica de una función tiene la propiedad de que una recta vertical que pase por cualquier punto del eje OX la corta a lo sumo una vez, de lo contrario significaría que un mismo número tendría más de una imagen por lo que no sería aplicación, y por tanto tampoco función. Cuando la gráfica de una ecuación tiene simetría, el efecto de imagen de espejo nos permite bosquejar la gráfica con menos puntos que de otra forma serían necesarios. Las pruebas para simetría son las siguientes:  Simetría con respecto al eje : Reemplace en la ecuación dada.  Simetría con respecto al eje ∶ Reemplace en la ecuación dada.  Simetría con respecto al origen: Reemplace y en la ecuación dada. Es simétrica si se obtiene una ecuación equivalente.

    

Análisis Matemático para Economistas I  Ejemplo 19: La función h está definida por

9 3

Determine el dominio, su imagen y dibuje la gráfica. Solución: como h(x) está definida en todo x, excepto 3, el dominio de h es el conjunto de los números reales (R) excepto 3, cuando 3, tanto el numerador como el denominador son cero y

no está definido.

3 3 La gráfica de h consta de todos los puntos de la recta 3 excepto el punto 3,6), y se muestra en la figura 0.6. El contradominio (imagen) de h es el conjunto de todos los números reales excepto 6.

Figura 0.6: La recta 

Algunas veces la gráfica de una función puede obtenerse a partir de una función conocida, por medio de un desplazamiento vertical hacia arriba o hacia abajo, un desplazamiento horizontal hacia la derecha o hacia la izquierda, una reflexión con

    

Análisis Matemático para Economistas I  respecto al eje x o al eje y, o bien un alargamiento o una contracción vertical en dirección del eje x. Tales transformaciones están indicadas en el siguiente cuadro: Tabla N° 1 Transformaciones, Ecuación

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

2.4

, ,

1 1

0

¿Cómo Transformar la gráfica? Desplazar c unidades hacia arriba. Desplazar c unidades hacia abajo. Desplazar c unidades hacia la derecha. Desplazar c unidades hacia la izquierda. Reflejar con respecto al eje x. Reflejar con respecto al eje y. Alargar verticalmente alejándose del eje x (c). Contraer verticalmente hasta el eje x (c).

Funciones lineales: Pendiente y ecuaciones de la recta

2.4.1 Inclinación y pendiente de la recta Una relación lineal entre las variables

e

es de la forma:

y

constantes)

La gráfica de la ecuación es una recta. Si designamos por a la función que asigna a , entonces y se llama función lineal (normalmente los matemáticos reservan este nombre para las funciones definidas por . El número se llama pendiente de la función. Si elegimos un valor arbitrario de x. Entonces 1 1 . Esto indica que la pendiente se puede interpretar como el cambio en el valor de la función cuando aumenta en 1 unidad. También podemos decir que la pendiente es la tangente trigonométrica del ángulo que forma el eje OX positivo con dicha recta.

    

Análisis Matemático para Economistas I  Ejemplo 20: La recta que pasa por los puntos 0, 2 2,0 está representada por la siguiente figura. La inclinación de esta recta es igual a 45 y su pendiente es 45 1

Figura 0.7: Pendiente de una recta 

La pendiente de la recta r es:

Donde

,



,











son dos puntos distintos cualesquiera de r.

Para el ejemplo anterior:

0 2

2 0

1

Si la pendiente es positiva, la recta está inclinada hacia arriba a la derecha y, mientras mayor es el valor de , más vertical es. Por otra parte, si es negativa, la recta está inclinada hacia abajo a la derecha, y el valor absoluto de mide la cuantía de esta inclinación. En el caso particular en que 0 (pendiente nula) para todo , y la recta es paralela al eje . Los tres casos se recogen en la siguiente figura:

  Figura 0.8: Tipos de pendientes 

    

Análisis Matemático para Economistas I  Ejemplo 21: Sea 0,15 0,14, q la función estimada de demanda anual de arroz en India en el periodo 1949-1964 ( es el precio y es el consumo por persona). Solución: La pendiente es 0,15 lo que nos dice que, si el precio aumenta en 1 unidad, entonces la cantidad demandada disminuye 0,15 unidades. 2.4.2. Ecuaciones de la Recta: 

Forma de punto y pendiente La ecuación de la recta r que pasa por el punto , y tiene pendiente y , es cualquier otro punto de la recta, la pendiente viene dada por la fórmula:

, se obtiene

Multiplicando cada miembro por

Nótese que, son números fijos, que expresan las coordenadas de un punto fijo. Por otra parte son variables que designan un punto arbitrario de la recta. Ejemplo 22: La ecuación de la recta que pasa por el punto 1, 4 y tiene por pendiente 2 es 4 2 1 

Forma de dos puntos La ecuación de la recta que pasa por obtiene como sigue:

,



,

), donde

Paso 1: Calcúlese la pendiente de la recta: Paso 2: Sustitúyase la expresión de

    

en la fórmula punto-pendiente.

, se

Análisis Matemático para Economistas I  Ejemplo 23: La ecuación de la recta que pasa por los puntos 4, 2 3 2 1 1 4 2 1 4 2 4⟹ 2 

1,3 es

Ecuación general de la recta: La ecuación general de una recta en el plano es 0 Siendo , números reales y las variables las coordenadas de un punto cualquiera de la recta. Así, un punto , del plano pertenece a la recta si verifica la ecuación. Ejemplo 24: Para comprobar si los puntos 0, 4 , 2,1 2, 1 pertenecen a la recta 3 2 8, sustituimos las coordenadas en cada punto de la ecuación. o Punto P: 3.0 2. 4 8, por tanto, P pertenece a la recta. o Punto Q: 3.2 2.1 6 2 4 8, por tanto, Q ∉ a la recta. o Punto R: 3.2 2. 1 6 2 8, por tanto R pertenece a la recta.

Distancia entre dos puntos Sean , , , dos puntos cualesquiera. Por el teorema de Pitágoras, la distancia entre esos puntos verifica la ecuación

Ejemplo 25: Hallar la distancia Solución: 4

5

3

1

    Figura 0.9: Distancia entre dos puntos 

    

4,3

entre los puntos

9

4

√81

5, 1 16

√97

9,85

Análisis Matemático para Economistas I 

2.5

Funciones cuadráticas

Una función es una función cuadrática si y sólo si puede escribirse en la forma , donde , son constantes y 0. La gráfica de la función cuadrática se llama parábola. Si 0, la gráfica se extiende hacia arriba de manera indefinida y decimos que la parábola abre hacia arriba. Si 0, entonces la parábola abre hacia abajo. (Véase la fig 10)

  Figura 10: Gráficas de la parábola 

 



Cada parábola en la figura 10 Es simétrica con respecto a una recta vertical, llamada el eje de simetría de la parábola. El eje de simetría no es parte de la parábola, pero nos ayuda a hacer su bosquejo. La figura 10 también muestra puntos marcados como vértice, donde el eje corta a la parábola. Si 0 , el vértice es el punto “más bajo” de la parábola. Esto significa

que

ó Si

0, la

,

tiene

un

valor

mínimo

en

el



punto

,

. tiene un valor máximo en el punto

,

ó

,

.

Ejemplo : Completar el cuadrado, para las funciones siguientes y hallar el máximo o mínimo 4 3 b) 2 4 600 de cada una: a)     

Análisis Matemático para Economistas I  Solución: (a) 4 3 4 3 1 La expresión 2 40 600 2 (b) 2 2 x 10

La expresión -2(



4

4

4 3 1

í 20 600 20x 100 200 2 x 10 400 400 á

2 -1 2.

600 400



0.

ACTIVIDADES DE LA SEGUNDA UNIDAD

1. Determinar el dominio y ámbito de las siguientes funciones: A. El coste por día de una empresa C es función de su producción diaria q según la relación C = 800 + 20q. Si la empresa tienen una capacidad límite de producir 5000 unidades al día. ¿Cuál es el dominio y el ámbito de la ? B. y √ 9 2 1 C. 2. Dadas las funciones: 3. La función



3

,

.

3



°

1 es inyectiva, calcular la inversa de

4. Sea la función de demanda general de un bien A,

  

.

 

2y-

el precio del bien A, Siendo la renta, Sabiendo que inicialmente 50y , 2 a) b) c) d)

1

1,

los precios de otros bienes. 3 = 5

Determinar la cantidad de ese bien que inicialmente se demanda Obtener la expresión de su demanda directa Obtener la expresión de la demanda en función de la renta Determinar la relación existente entre los bienes A y B, sabiendo que el bien B tiene una demanda decreciente respecto de su precio. e) Determinar la relación existente entre los bienes A y C, sabiendo que el bien C tiene una demanda decreciente respecto de su precio.     

Análisis Matemático para Economistas I  5. Supongamos que el coste total de fabricación de x unidades productos está dado por la función: 5 32 a) ¿Cuál es el coste de fabricación de 12 productos b) ¿Cuál es el coste de fabricación del duodécimo producto? c) Expresar el coste de fabricación medio como función de x 6. Escribir la ecuación de la recta que pasa por los puntos 5, 2 2,4 y esbozar la gráfica. 7. Escribir la ecuación de la recta que corta al eje de abscisas en 4 y al de ordenadas en -3. Esbozar la gráfica. 8. Hallar la ecuación de la recta formada por los puntos que equidistan de 5, 2 2,1 y esbozar la gráfica. 9. Indicar que características tienen las funciones cuyas gráficas son las siguientes curvas:

10. (a) Sea x f(x)

-1

4 .Rellenar la tabla siguiente 0 1 2

3

4

5

(c) Usando la tabla anterior, dibujar la gráfica de f. (c) Determinar el mínimo. (d) Resolver la ecuación =0 11. Completar los cuadrados en las siguientes funciones cuadráticas y determinar su máximo o mínimo: (a) 4 (b) 6 18 6 44 (c) 9

    

Análisis Matemático para Economistas I 

TERCERA UNIDAD CÁLCULO DIFERENCIAL DE UNA

OBJETIVO ESPECÍFICO Aplicar el cálculo diferencial en el desarrollo y resolución de problemas económicos.  

    

Análisis Matemático para Economistas I 

3.1

Pendientes de una curva

La pendiente de una línea curva es más difícil de calcular debido a que no es constante. Depende de en qué parte de la curva se calcula. Existen dos formas de calcular la pendiente de una línea curva: En un punto o de un extremo a otro de un arco de la curva.  Pendiente en un punto.- Para calcular la pendiente en un punto sobre una curva, se traza una línea recta que tenga la misma pendiente que la curva en el punto en cuestión (línea tangente).

  Figura 11: Pendiente en un punto de la curva 

Si la recta toca la curva en el punto P, la pendiente de la curva en el punto P debe ser la misma que la pendiente de la recta.

    

Δy Δ

Análisis Matemático para Economistas I   Pendiente de un extremo a otro de un arco.- Un arco de una curva es un segmento de la misma curva.

Figura 12: Pendiente de un extremo a otro de un arco 

Es calcular la pendiente promedio entre dos puntos. Ejemplo 26: Dibuje una gráfica que muestre la relación entre dos variables .

Figura 13: Gráfico de la curva 

1. ¿Es la relación positiva o negativa? La relación es positiva debido a que conforme aumenta el valor de aumenta también el valor de . 2. ¿Aumenta o disminuye la pendiente de la relación conforme aumenta el valor de x? Conforme aumenta el valor de aumenta la pendiente de la relación, debido a que ∆ 1 (es constante), mientras ∆ aumenta cuando

    

Análisis Matemático para Economistas I  aumenta. Por tanto, el cociente de diferencias también aumenta y la curva se hace más vertical.

3. Calcula la pendiente de la relación entre , cuando

4

Figura 14: Pendiente en el punto donde x= 4 



36 6

16 4



20 2

10

4. Calcule la pendiente a través del arco, cuando x aumenta de 3 a 4.

Figura 15: Pendiente del arco cuando x aumenta de 3 a 4 

16 9 4 3

    

7

Análisis Matemático para Economistas I 

3.2

 

La Pendiente de tangente y la derivada. Pinceladas de límites.

Dada una función real ∈ en el que la función es continua, se aproxima a se sabe que cuando toma valores infinitamente próximos a , , pero la continuidad no informa de cómo se realiza esta aproximación, por ejemplo, creciendo, decreciendo… El concepto de derivada que a continuación se define proporciona esta información. ∆ , denominado incremento de la variable independiente, este valor da una medida de la proximidad entre , de forma que ⟶ es equivalente a ∆ ⇢ 0. ∆ ∆ , denominado incremento de la variable dependiente, este valor da una medida de la proximidad entre . Se llama cociente incremental al valor



Si se considera puntos infinitamente próximos a hay que calcular el límite del cociente incremental cuando ⟶ , lo que nos lleva a la definición de derivada en el punto . Se llama derivada de

en el punto

, al número real, si existe, dado por: lim →

Utilizando incrementos este límite se puede escribir de la forma lim

∆ →

Teniendo en cuenta que



∆ ∆

∆ →

∆

La derivada se denota habitualmente por ´ Si existe ´

se dice que

Ejemplo 27: Dada la función

    

∆ ∆

lim

,

o

.

es derivable en el punto 2

1, se calcula ´

1 como sigue:

Análisis Matemático para Economistas I  ´

1

1

lim

lim

1

⟶

lim ⟶

2

2

1 1

⟶

1 1

1 2

lim 2 ⟶

0 1 2

3

Es fácil entender la idea geométrica que hay detrás de la definición de derivada. Consideremos  un punto P de una curva del plano   (véase Figura 16   ). Tomemos otro punto Q de la curva.  La recta que pasa por P y Q se llama una secante (“que corta”). Si se deja P fijo y se mueve Q  sobre la curva acercándose a P, la secante girará alrededor de P, como se indica en la Figura 17)                  Figura 16                                                                                                        Figura 17                                                                             

 

3.3

Tasa de variación 

Hemos interpretado la derivada de una función como una pendiente de la tangente a su gráfica en el punto de que se trate. Veamos cómo se puede interpretar en general la derivada como tasa de variación. En el análisis estático comparativo, el problema consiste en hallar una tasa de cambio del valor de equilibrio de una variable endógena respecto al cambio en un parámetro particular o variable exógena. Supongamos que una cantidad está relacionada con una cantidad por . Si se da a x un valor a, el valor de la función es . Supongamos que se cambia por . El nuevo valor de y la variación del valor de la función, cuando x varía de a , es . La variación de por unidad de variación de x     

Análisis Matemático para Economistas I  tiene un nombre especial, la Tasa media de variación de vale

en el intervalo

,

,y

Tomando límite cuando h tiende a 0 se obtiene la derivada de la función en , ´ .

3.4

Reglas sencillas de derivación

El proceso de hallar la derivada de una función se llama derivación, en los subtemas anteriores de la unidad hemos usado la definición de derivada, aquí vamos a considerar algunas reglas muy sencillas que se derivan de la definición.  Si es una constante Ejemplo 28:

Sea la

, su derivada ´

es igual a 0

una constante 20 ⇒ ´

0

 Las constantes aditivas desaparecen al derivar: ⟹ ´ ´ Ejemplo 29: 100 ⇒ ´ ´



⇒ ´

(a es una constante arbitraria)

Ejemplo 30:

3.5

5⇒ ´

3

Aplicaciones a la economía

Consideremos una empresa que produce un bien en un periodo dado. Sea de producción de x unidades, ingreso por venta de x unidades y Beneficio de producción (y venta) de unidades.

    

coste

Análisis Matemático para Economistas I  Llamamos a ´ el coste marginal (en , a ´ el ingreso marginal y a ´ el beneficio marginal. Los economistas usan a menudo la palabra marginal de esta manera con el significado de derivada. Otro ejemplo sería la propensión marginal al consumo que viene a ser la derivada de la función de consumo respecto al ingreso; análogamente, el producto marginal del trabajo (o productividad marginal del trabajo) derivada de la función de producción respecto al trabajo. El coste marginal es igual a: ´

lim →

 

Como, normalmente, una empresa produce muchas unidades de , entonces se puede considerar que 1 es un número cercano a 0 y obtenemos la aproximación ´

1

1

 

Así el coste marginal es aproximadamente igual al incremento de coste , que es el coste adicional de producir una unidad más de .

1

ACTIVIDADES DE LA UNIDAD 1.- Dibuje una gráfica que muestre la relación entre dos variables

a. ¿Es positiva o negativa la relación? b. ¿Aumenta o disminuye la pendiente de la relación conforme aumenta el valor de x? c. Calcule la pendiente de la relación cuando x = 3 d. Calcule la pendiente de la relación a través del arco, cuando aumenta de 1 a 2.

    

Análisis Matemático para Economistas I  2.-Hallar la pendiente de la tangente a la gráfica de las funciones siguientes en los puntos que se indican a.

3

2

0,2

b.



1

1,0

c.

2

3,3

d.



2

e.



1,1

0,0

3.- La función de demanda de un bien de precio P está dada por la ecuación

. Hallar

4.- Sea el

3

100 la función de costes de una empresa.

¿Cuál es el coste marginal ´ 100 ? 5.- Si el ahorro total de un país es una función del producto nacional Y, entonces ´ se llama propensión marginal al ahorro (PMA). Hallar la PMA para las siguientes funciones: (a) (b) 100 10 2 6.- Calcular las derivadas de las funciones siguientes usando las reglas sencillas: (a)

5

(b)

9 4

(c)

200

7.- Supongamos que conocemos ´ funciones usando las reglas: (a)

2

3 8 

       (b)               (c)               (d)        4     

   

. Hallar las derivadas de las siguientes

Análisis Matemático para Economistas I 

CUARTA UNIDAD MATRICES Y DETERMINANTES OBJETIVO ESPECÍFICO Aplicar el cálculo matricial para resolución de sistemas de ecuaciones lineales y de problemas relacionados con la ciencia económica.

    

Análisis Matemático para Economistas I 

4.1

Conceptos básicos de Matrices

4.1.1. Definición de Matrices Se llama matriz de orden a un conjunto de elementos dispuestos de filas el elemento que se encuentra en la fila y la columna . y columnas. Siendo

Las matrices se denotarán usualmente por letras mayúsculas, A, B,…,y los elementos de las mismas por minúsculas, a, b,… Dos matrices son iguales si son del mismo orden y los elementos situados en el mismo lugar coinciden. 4.1.2. Tipos de Matrices Según su orden a. Matriz rectangular: Una matriz cuadrada es una matriz rectangular Ejemplo 31:

Es una matriz rectangular de orden 3

2

b. Matriz cuadrada: Una matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir, Ejemplo 32:

    

Análisis Matemático para Economistas I  Entonces, A es una matriz cuadrada de orden 2 y su diagonal principal está formada por los elementos 3 7. Si una matriz no es cuadrada, entonces se dice que es rectangular. c. Matriz fila: Ejemplo 33:

1

d. Matriz columna: Ejemplo 34:

1

Según sus elementos: a. Matriz Nula: Se denomina matriz nula a una matriz que tiene todos sus elementos iguales a cero. Ejemplo 35:

b. Matriz Triangular Superior: Una matriz cuadrada es una matriz triangular superior o simplemente una matriz triangular, si todos los elementos bajo la diagonal principal son iguales a cero. Ejemplo 36:

c. Matriz Triangular Inferior: Una matriz cuadrada es una matriz triangular inferior, si todos los elementos sobre la diagonal principal son iguales a cero. Ejemplo 37:

d. Matriz Diagonal: Una matriz cuadrada es diagonal, si todos sus elementos no diagonales son cero. Se denota por D = diag ( , ,… . Ejemplo 38:     

Análisis Matemático para Economistas I 

e. Matriz Identidad o Unidad. La matriz N-cuadrada con “unos” en la diagonal principal y “ceros” en cualquier otra posición, denotada por I, se conoce como matriz identidad. Ejemplo 39:

4. 2 Operaciones con Matrices

SUMA Y RESTA DE MATRICES Dadas dos matrices A = aij y B= bij de orden mxn, la matriz suma A + B es otra matriz de mxn. SUMA: A + B = RESTA: A – B =



Ejemplo 40: Sean las matrices       1 0

3 4 7

4 2 2

1 3 2

5

2 0 7 1

7 1

3   2

Las matrices a sumar o restar no tienen por qué ser cuadradas. Las propiedades de la suma y resta de matrices son las mismas que para la suma y resta de números: y asociativa, existencia de neutro (matriz nula), existencia de opuesto conmutativa.

    

Análisis Matemático para Economistas I 

 

PRODUCTO DE UN NÚMERO REAL POR UNA MATRIZ Dados una matriz A = aij de mxn y un número real t, la matriz producto de orden mxn que se obtiene multiplicando cada elemento de A por t.







Ejemplo 41:



    

5 15 20 0

es otra matriz

Análisis Matemático para Economistas I  PRODUCTO DE MATRICES Dadas dos matrices A= aij de orden mxp y B= bij de orden pxn, la matriz producto AB es otra matriz de mxn, es decir, para poder multiplicar dos matrices, la primera debe tener el mismo número de columnas que filas la segunda. Ejemplo 42: .   2.3 .

1 1 2.1 1 .2 0.3 3 1 0.1 3.2 4.3 6 1 4.1 6.2



7 0 3 6   18 8

 

4.3 Matriz Inversa  Dada una matriz cuadrada A de orden n se dice que es regular o tiene matriz inversa si , verificando existe otra matriz del mismo orden llamada Ejemplo 43: Supongamos 









 

6 5 10 10 3 3 5 6

El estudiante verificará que  .     



  y 





 



1 0 0 1

 

Análisis Matemático para Economistas I 

Trasposición de matrices , es una matriz de orden Dada una matriz A= aij de orden mxn, la matriz traspuesta nxm que se obtiene intercambiando las filas y las columnas de A. Ejemplo 44: La traspuesta de A  

3 2 1 0 1 1 Una matriz cuadrada A es simétrica si

    

Análisis Matemático para Economistas I 

4.4. Determinación del Valor del Determinante A cualquier matriz cuadrada A se le puede asociar un número real, que se denomina determinante de A. Este número se suele simbolizar | | o det(A) y se calcula como sigue: •

Determinante de orden 1: | | Ejemplo 45: |12|

•



4.8

1 5



32

5

37

Determinante de orden 3 (regla de Sarrus)

| |



Ejemplo 47: •



|

5

Determinante de orden 2: | | Ejemplo 46:

•

12, | 5|

|







61

Determinante de orden n: Para este cálculo es necesario conocer los conceptos de de una matriz cuadrada A. menor complementario y de adjunto del elemento El menor complementario del elemento de una matriz A es el determinante de la matriz que se obtiene al quitar la fila y la columna de la matriz A. por el menor Adjunto del elemento de una matriz A es el producto de 1 . complementario del elemento . Se simboliza Ejemplo 48:





El menor complementario del elemento de A es, 0.2 2 1 2, este determinante es el de la submatriz de A obtenida al quitarle la primera fila y la tercera columna. El adjunto del elemento

    

de A es:

1



= 1



2

Análisis Matemático para Economistas I  El determinante de una matriz cuadrada A de orden n se calcula efectuando la suma de los productos de los elementos de una fila o columna por sus respectivos adjuntos, es decir: | | ⋯ (Desarrollo por la fila i) | |

⋯

(Desarrollo por la columna j)

Ejemplo 49: Para calcular | |





, en primer lugar elegimos una fila o columna para

desarrollar el determinante, por ejemplo la primera fila. Así, | |

2.

1

3.



A continuación calculamos los adjuntos necesarios: 0 5 1 1

1

3 5 2 1

1



En consecuencia | |

2.5

1

13

5

1 13

3 0 2 1

1

1 5

3 3

1 3

10

13

3

13

9

32

4.5. Resolución de Sistemas de Ecuaciones. La Regla de Cramer. Un sistema de ecuaciones lineales, por grande que sea, se puede escribir en una notación matricial compacta, esta clase de sistemas de ecuaciones se puede resolver al hallar la inversa de la matriz de coeficientes, siempre que exista la inversa. ¿Cómo probar la existencia de la inversa y cómo hallarla? Una determinada matriz de coeficientes puede tener inversa (es decir, puede ser “no singular”) sólo si es cuadrada (condición necesaria) y sus renglones son linealmente independientes (o sus columnas son linealmente independiente), es decir, ninguno debe ser una combinación lineal del resto (condición suficiente).     

Análisis Matemático para Economistas I 

Para determinar la “no singularidad” de una matriz se puede hacer uso también del determinante, éste debe ser diferente de cero ( | | 0 .

La Regla de Cramer El método de inversión de matriz anteriormente estudiado nos permite deducir una forma práctica de resolver un sistema de ecuaciones lineales, conocida como regla de cramer. Como | |

0, existe

, lo que permite despejar X:



⇒



⇒

Única solución del sistema.

Esta misma solución se puede calcular de otra forma, utilizando lo que se conoce como regla de Cramer:



… … … . … … … … … …

| |

1,2, … ,

para

Observar que la matriz cuyo determinante aparece en el numerador se obtiene cambiando en la matriz la columna -ésima por la columna de los términos independientes. Ejemplo 50: Vamos a resolver el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas por la regla de cramer. El sistema 2

5 3

0 6

Primero escribimos el sistema en la forma apropiada: 2 3

5 6

El determinante de la matriz de coeficientes es:

| |     



2 3

1 1

5

0     ⟹

existe una única solución 

Análisis Matemático para Economistas I 

Resolviendo para x, tenemos



| |

21 5

21 5

Resolviendo para y obtenemos



De este modo la solución es        



| |



17 5





El método que se acaba de describir puede extenderse a sistemas de n ecuaciones lineales con n incógnitas; dicho método se conoce como la regla de Cramer.

ACTIVIDADES DE LA CUARTA UNIDAD 1.- ¿Cuáles de las siguientes matrices son triangulares superiores? Y determinar el producto de A y B (AB) si es posible. 1 3 5

0 2 7

0 0 5

8 0 0

1 3 5 5 0 9

7 0



9 2

2.- Determine la matriz transpuesta de: 12 9



11 8 7 3

3. -Dadas las matrices:

7 2

9 4

10 3

y



9 6

7 4

11 5

Determinar: A + B y A – B 4.- Determine el valor del determinante de las siguientes matrices: a) 



12 6    3 7





    



9 6

21    11





3 2 4

14 5 1 3 5

10   4 0 7 3

Análisis Matemático para Economistas I   

4 3 7

5.- Hallar

2 2 4

matriz de la letra e) de la pregunta anterior.

6.-Dada la matriz

1 3 2

1 3 2

3 2 , determinar su inversa. 4

7.- Resolver el sistema por el método de Cramer: 3x – 5y = 15 4x +3y = 12

8.- Resolver el sistema: 5x + 3 y – 4 z = – 1 4x–5y+2z=0 3 x + 2 y + z = 10

   

4 1 6