Analisis Matematico III Vectores
July 4, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A
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Ingeniería Civil
TRABAJO DE ANÁLISIS MATEMÁTICO MATEMÁTICO III III Tema:
Funciones vectoriales definición y cálculo. Derivadas e Integrales de funciones vectoriales Vectores tangente, unitario y normal. Curvatura y Movimiento curvilínea Integrantes:
Guamán Ilvay Cristhian Fabian Jonathan Quigüiri José García Docente:
Ing. Geovany Gonzales Curso:
4° Ingeniería Civil
Fecha de entrega:
22 de octubre. de 2018
1
Índice Introducción .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. 3 OBJETIVO GENERAL ........................................................................... ....................................................................................................................... ............................................ 3 OBJETIVOS ESPECÍFICOS ............................................................................................................ ............................................................................................................ 3 Funciones vectoriales .............................................................................................. .................................................................................................................... ...................... 4 Derivada de una función vectorial v ectorial ................................................................................................ ................................................................................................ 6 Reglas de derivación.......................................................................................................... derivación.................................................................................................................. ........ 7 ......................................................................................... 8 Integración de funciones vectoriales. .......................................................................................... Vector tangente unitario: .................................................................. .............................................................................................................. ............................................ 9 Vector normal unitario: ................................................................................................................. ................................................................................................................. 9 Curvatura............................................................................................................................ ..................................................................................................................................... ......... 10 Curvatura en coordenadas rectangulares ................................................................................... ................................................................................... 11 Movimiento curvilíneo ................................................................................................................ ................................................................................................................ 12 Conclusión ................................................................................................................................... .................................................................................................................................. 15
Bibliografía .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. 15
2
Introducción Un campo vectorial representa la distribución espacial de una magnitud vectorial. Es una expresión de cálculo vectorial que asocia un vector a cada punto en el espacio euclidiano, de la forma \varphi:\R^n \to \R^n. Los campos vectoriales se utilizan en física, por ejemplo, para representar la velocidad y la dirección de un fluido en el espacio, o la intensidad y la dirección de fuerzas como la gravitatoria o la fuerza electromagnética. Como expresión matemática rigurosa, los campos vectoriales se definen en variedades diferenciables como secciones del fibrado tangente de la variedad. Este es el tipo de tratamiento necesario para modelizar el espacio-tiempo curvo de la teoría general de la relatividad, por ejemplo.
OBJETIVO Reconocer las GENERAL funciones vectoriales y su aplicación. OBJETIVOS ESPECÍFICOS Definir las funciones f unciones vectoriales. Determinar el límite de funciones vectoriales. Determinar la continuidad de funciones vectoriales. Operar la derivación e integración de funciones vectoriales. Definir el vector normal y tangente unitario.
3
Funciones vectoriales Definición
Una función vectorial de una variable real en en el espacio es una función cuyo dominio es un conjunto de números reales y cuyo rango es un conjunto de vectores del espacio, es decir, es una función del tipo r : I R V 3
t
r (t )
f (t )
i g (t ) j h (t ) k ( f (t ) , g (t ), h (t ) )
donde f , g componentes y h son funciones reales de variable real t , llamadas funciones componentes de r . Nota: Si la función vectorial r describe el movimiento de una partícula, el vector ( f (t ) , g (t ), h (t ) ) señala su posición en el instante t , en estos casos t representa r (t )
la variable tiempo. Ejemplo 1: r : R V 3 / r (t )
/ r (t )
Ejemplo 2:
r : R V 3
( 2 3 t ) i 2 t j (1 t ) k sen t , cos cos 3 t ) ( t 2 , sen
D omi nio ni o d de e una funci función ón vve ecto ctorr i al
Este dado por la intersección de los dominios de sus funciones componentes, es decir, si ( f (t ) , g (t ), h (t ) ) entonces r (t )
I Dom (r ) Dom ( f ) Dom ( g ) Dom (h)
Ejemplo: Si
r
(t )
1
2,
t
t
, ln t el dominio de
r
será
I t R / t
L í mi te y co conti ntinui nuida dad dd de e una fu funci nció ón ve vect ctori ori al
Sea la función vectorial
r
lim lim
: I r
3 R V
/
r (t )
t a
( f (t ) , g (t ), h (t ) ) se
(t ) lim f (t ) , lim g (t ) , lim h ( t )
t a
t a
t a
siempre que existan los límites de las funciones componentes. Ejemplo: Si li lim m r (t ) t 0
r
(t )
1
2 3 t , se sen n t , t
e
2 t
2 2 t lim (1 3 t ) , lim ) (1, 0, 1) sen t , lim (t e t 0 t 0 t 0
Si a I se dice que r es continua en a si
entonces
li lim m
r
(t )
r
(a )
define
0
t a
Teniendo en cuenta las definiciones de límite y continuidad resulta: “La función vectorial
r
(t )
( f (t ) , g (t ), h (t ) ) es continua en
a
si y solo si sus funciones
y h son continuas en a ” componentes f , g
R eprese presenta ntaci ció ón ggrr áfi áfica ca d de e una funci unció ón ve vect ctori ori al
Sea la función vectorial
r
: I
R V 3
/
r (t )
( f (t ) , g (t ), h (t ) )
4
Para cada
se obtiene un vector r (t ) , que es el vector posición del punto P ( f (t ) , g (t ), h (t ) ) . Si la función vectorial es continua en I , es decir sus funciones componentes f , g yy h son continuas en I , define una curva C en en el espacio formada por los extremos del vector r (t ) donde t varía varía de a a b. z t I
P ( f f ((t )), g ,g (t), (t),h(t )))) •
C
r(t )
t
t
r
y
x
, z ) del espacio tal que Entonces la curva C es el conjunto de todos los puntos P ( x, y
x f ( t ) y g ( t ) con t I , a estas ecuaciones se las llama ecuaciones paramétricas de z h ( t )
la curva C y y t es el parámetro. Cuando se grafica una curva descrita por una función vectorial r ( t ) , cada punto de la misma (extremo del vector r ( t ) ) queda determinado por un valor elegido para el parámetro t . Al trazar los puntos resultantes de valores crecientes de t , la curva se va trazando en una dirección específica, en este caso se dice que la curva está orientada
positivamente.
1: Sea r (t ) 3 t , 2 2 t ,1 3t con t R , cómo r es continua en define una curva C en en el espacio. Las ecuaciones paramétricas de C son son
Ejemplo
x
3
t
R
y 2 2 t z 1 3 t
t I
con
Estas son las ecuacion ecuaciones es paramétricas de una recta que contiene al punto P 0 ( 3, 2, 1) y es paralela al vector u ( .1, 2, 3 ) .
Sea r (t ) co cos s t , se sen n t con t 0, 2 , cómo r es continua en R define curva C en el plano, cuyas ecuaciones paramétricas son
Ejemplo 2 :
una
x cos t con t 0, 2 y sen t
Para determinar cuál es la curva C , elevando ambos miembros de las ecuaciones paramétricas al cuadrado y sumando miembro a miembro obtenemos la ecuación
5
cartesiana x y ( 0, 0 ) y radio 1. 2
2
1
, que en el plano representa una circunferencia con centro en
Derivada de una función vectorial Definición
Sea r una función vectorial, se define su derivada r
' (t )
t
( t t )
r
lim lim 0
r
'
como r
( t )
t
siempre que este límite exista. I nte nterr pretaci pretación ón geo geom métr trii ca de la d de er i vada vada de una ffunci unción ón ve vecto ctorr i al
Supongamos que r ( t ) sea el vector posición del punto P y del punto Q, entonces secante a la curva C . Si t 0 el vector 1 t
r
( t t )
entonces cuando
r
r
tiene la misma dirección y sentido que el vector PQ ,
el vector
1 t
tangente a la curva C en en el punto P . Si z P
el vector posición
( t t ) r (t ) PQ se puede considerar como un vector
1 (t ) PQ t
t 0
t ) r ( t
r’(t )
Q
PQ
se aproxima a un vector que está en la recta
t 0
con un razonamiento similar se llega a la misma conclusión. Por lo que al vector r ' ( t ) se lo denomina vector tangente a la
•
curva C en en el punto P , siempre que r ' ( t ) exista y r ' ( t ) 0 .
r(t ) r t +∆t +∆t
y
x
C
r
t
La recta tangente a la curva C en en el punto P es es la recta que contiene a P y tiene la dirección del vector r ' ( t ) . También se puede considerar el vector tangente unitario
T (t )
r ' ( t )
r ' ( t )
.
t+∆t
t
T eor ore ema: Fórmula de cálculo de r ' ( t )
Sea la función vectorial r (t ) f (t ) i g (t ) j h (t ) k ( f (t ) , g (t ), h (t ) ) con que f , g y h son funciones derivables en I entonces r ' (t ) f ' (t ) i g ' (t ) j h ' (t ) k ( f ' (t ) , g ' (t ), h ' (t ) )
t I
tal
Demostración:
6
r
r
( t t )
r
( t )
lim ' (t ) li t m 0 t 1 lim m f ( t t ) , g ( t t ) , h ( t t ) f ( t ) , g (t ) , h ( t ) li t 0 t
lim lim t 0
1
t
f ( t t ) f ( t ) , g ( t t ) g ( t ) , h ( t t ) h ( t )
h ( t t ) h ( t ) g ( t t ) g ( t ) f ( t t ) f ( t ) lim lim lim m , lim , lim li t t t 0 0 0 t t t (*) f ' (t ) , g ' (t ) , h ' (t )
La igualdad (*) es válida pues por hipótesis f , g y h son funciones derivables. Ejemplo: Sea r (t ) cos R , vimos que su representación gráfica cos t , se sen n t , t con t es una hélice. r ' (t ) se sen n t , co cos s t , 1 r ' (0) se 0, 1, 1 sen n 0 , co cos s0 , 1
1 1 , 0, r ' (0) 2 2 r ' (0)
T (0 )
Las ecuaciones paramétricas paramétricas de la recta tangente a la hélice en el punto
P ( 1, 0,
0 ) son
x 1 y t z t
con t R
Reglas de derivación Sean r y r funciones vectoriales derivables, c un escalar y f una una función real derivable. Entonces 1
a.
2
d d t
r
1 (t )
r
d
( ) t 2
c.
d t d
d. e. f.
d t
d d t d d t
f ( t )
r1
d r 2 (t ) d t
d f ( t )
r
1 ( t )
2 (t )
r
1 ( t ) r 2 (t )
r
1 ( f (t ) )
d t
d t
(t )
r
(t )
d r 1 (t )
b. d t c r 1 (t ) c d
d r 1
r1
d t
d r 1 (t )
d t
(t ) f (t )
r
d r 1 (t )
d t
2 (t )
r2
r
(t )
d r 1 ( f (t )) f ' (t ) d t
d r 2 (t ) d t 1 (t )
r1
d r 2 (t )
(t )
d t
d r 2 (t ) d t
7
Integración de funciones vectoriales.
1.- Si indefinida (o antiderivada) de
donde f y g son son continuas en [a, b] entonces la integral es: (En el plano)
Y su integral definida en el intervalo
2.- Si la integral indefinida (o antiderivada) de
es:
donde f , g yy h son continuas en [a, b] entonces es:
(En el espacio) Y su integral definida en el intervalo
es:
Problemas resueltos. Problema 6. Resolver
.
Solución.
Por lo tanto
Problema 7. Resolver
Solución.
8
Vector tangente unitario: La geometría diferencial constituye el estudio de las curvas y superficies en el espacio. Sea C una curva en el espacio definida por la función R(t), dR /dt es un vector en la dirección de la tangente a C. A dicho vector le lllamaremos lamaremos T(t). Fórmula
() =
Vector normal unitario: Consideramos la longitud de arco S medida a partir de un punto fijo de C. La variación de T con respecto de S es una medida de la curvatura de C y se obtiene por dT/ds. La dirección de dT/ds en un punto cualquiera de C es la correspondiente a la normal a curva en dicho punto. El vector unitario N en la dirección de la normal se llama normal principal a la curva. Así, dT/ds = kN, siendo k la curvatura de C en el punto dado. El recíproco de la curvatura = 1/k se llama radio de curvatura. Fórmula
() = () ()
9
Curvatura La curvatura es el concepto más importante de la teoría de curvas y mide qué tanto se dobla una curva en un punto determinado. Puesto que la forma como se dobla una curva tiene que ver con su concavidad, es apenas natural pensar que la segunda derivada tiene que estar involucrada, esto es, la razón de cambio del vector tangente. Definición de curvatura Sea C una curva suave (en el plano pl ano o en el espacio) dada por
()
, donde s es el parametro
longitud de de arco arco.. La curva curva en está dada por:
Ejemplo:
= = ′′(())
Hallar la curvatura de la siguiente funcion:
() = 3 cocos+ s + 3sin+ n + () = −3 ssiinn + 3 coss++ ()= ()= ((−39−3si+9 n) +(3cos) +(1) + 1 ()= ()= 9 ( + )+1 ()= ()= 9 (1) + 1 ()= ()=√ √ 1010 −3 sin+3cos+1 ()= √ 1100 ‖′()‖ = 109 + 109 ‖()‖ = 109 (+) 3 = √ 1100
Se calcula r’ en la funcion, asi:
Aplicando la formula se obtiene:
Encontrando T’(t), se halla:
Entonces
10
3√ 1010 3 = √ 1010 = 10
Fórmulas para la curvatura Teorema Si C es una curva suave dad por r(t), entonces la curvatura K de C en t está dada por:
= ‖T′r′(t)‖t)‖ = ‖r′(‖t)×r′ r′(t)‖t)‖′(t)t)‖‖ r(t) =2i+j −
Ejemplo:
Hallar la curvatura de la curva definida por
.
Teorema 12.9
Curvatura en coordenadas rectangulares Si C es la l a gráfica de una funcion dos veces derivable en el punto (x, y)
=()
, entonces la curvatura K
Esta dada por:
Ejemplo:
= [1+(′) |′′ |]/
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Hallar la curvatura de la parábola dada por Solución:
=− = 2 en
.
(Larson & Edwards, 2012, p. 872-874).
Movimiento curvilíneo Movimiento en dos dimensiones Supongamos que el movimiento tiene lugar en el plano XY, Situamos un origen, y unos ejes, y representamos la trayectoria del móvil, es decir, el conjunto de puntos por los que pasa el móvil. Las Las magnitudes qu quee describen uunn movimiento curvilíneo son: Vector posición r en un instante t.
Como la posición del móvil cambia con el tiempo. En el instante t, el móvil se encuentra en el punto P, o en otras palabras, su vector posición es r y en el instante t' se encuentra en el punto P', su posición viene dada por el vector r'.
=’−
=′− ′.
Diremos que el móvil se ha desplazado en el intervalo de tiempo Dicho Dicho vector tiene la dirección de la secante que une los puntos
..
Vector velocidad
12
El vector velocidad media, se define como el cociente entre el vector desplazamiento Dr y el tiempo que ha empleado en desplazarse Dt.
El vector velocidad media tiene la misma dirección que el vector desplazamiento, la secante que une los puntos cuando se calcula la velocidad media entre los instantes
1.
1
El vector velocidad en un instante, es el límite del vector velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero.
Ejemplo Vector aceleración
n el instante t el móvil se encuentra en P y tiene una velocidad v cuya dirección es tangente a la trayectoria en dicho punto. En el instante t' el móvil se encuentra en el punto P' y tiene una velocidad v'. El móvil ha cambiado, en general, su velocidad tanto en módulo como en dirección, en la cantidad dada por el vector diferencia .
=’−
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Se define la aceleración media como el cociente entre el vector cambio de velocidad el intervalo de tiempo , en el que tiene lugar dicho cambio.
=′−
y
Ejemplo Un automóvil describe una curva plana pl ana tal que sus coordenadas rectangulares rectangulares,, en función del tiempo están dadas por las expresiones: x=2t3-3t2, y=t2-2t+1 m. Calcular: Las componentes de la velocidad en cualquier instante.
=/=62−6 / = / = 2 − 2 //
Las componentes de la aceleración en cualquier instante.
= / = 122/ / −26 /2
Definición
El movimiento curvilíneo es el desplazamien desplazamiento to de una partícula a lo largo de una curva. Suponiendo que C es la curva cuta ecuación vectorial es
() = () + () + ℎ() ((),(),ℎ()).
Donde t denota el el tiempo, conforme t varia, eell punto terminal P de OP describe la curva C , de modo que la l a posición de una partícula, que se mueve a los largo de C , en el tiempo t unidades es el punto Definición de velocidad y aceleración en el movimiento curvilíneo Sea c la curva cuya ecuación vectorial es
() = () + () + ℎ() ((),(),ℎ()) () = () ⟺ (()) = ′(())+′() + ℎ′() () = () ⟺ () = + + ℎ () ⟺ () =′()
Si una partícula se mueve a lo l o largo de C de modo que su posición en cualquier tiempo t unidades es el punto , entonces el vector velocidad V(t) y el vector aceleración A(t) en el punto P se definen como:
Donde
existe:
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