UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP
1 http://campus.utelesup.com e-mail:
[email protected]
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Prefacio
La asignatura es de naturaleza
práctico – teórico, orientado a desarrollar en el
estudiante habilidades superiores del pensamiento para el razonamiento lógico y creativo, solución de problemas y la toma de decisiones.
Comprende cuatro Unidades de Aprendizaje: Unidad I: Integración Indefinida Unidad II: Integración Trigonométrica e Integración por Fracciones Parciales Unidad III: Integración Definida Unidad IV: Derivadas parciales, Integración Aproximada, Integrales Dobles e integrales Triples y sus aplicaciones
Estructura de los Contenidos Integración Indefinida
La antiderivada de una función o Integral Indefinida.
Integración Trigonom. e Integrac. por Fracciones Parciales
Integración Trigonométrica
Integral. Inmediata Integrac. por sustituc. algebraica
Integrales que involucran funciones trigonométricas inversas
Integración de las funciones exponenciales y logarítmicas
Integración por sustitución trigonométrica
Métodos de integración: Integración por partes
Integración de funciones racionales (descomposición en fracciones parciales)
Integración Definida
La integral definida y sus Propiedades. La regla de Barrow
Cálculo de áreas de regiones planas
Volúmenes de sólidos en revolución
Trabajo mecánico. Longitud de arco
Deriv. Parcial, Integrac. Aprox, Integ. Dobles y Triples y sus aplicaciones
Derivadas parciales
Integración Aproximada. Regla del trapecio, Método del punto medio
Integral Doble y triple
Aplicaciones de las Integrales
La competencia que el estudiante debe lograr al final de la asignatura es: “Reconoce, determina, relaciona, evalúa, analiza y aplica los conocimientos matemáticos correspondiente al cálculo Integral, con destreza y seguridad”.
2
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Índice del Contenido
I. PREFACIO II. DESARROLLO DE LOS CONTENIDOS UNIDAD DE APRENDIZAJE 1: INTEGRACIÒN INDEFINIDA 1. Introducción a. Presentación y contextualización b. Competencia (logro) c. Capacidades d. Actitudes e. Ideas básicas y contenido 2. Desarrollo de los temas a. Tema 01: La antiderivada de una función o Integral Indefinida. b. Tema 02: Integrales inmediatas. Integración por sustitución algebraica. c. Tema 03: Integración de las funciones exponenciales y logarítmicas. d. Tema 04: Métodos de integración: Integración por partes. 3. Lecturas recomendadas 4. Actividades 5. Autoevaluación 6. Resumen UNIDAD DE APRENDIZAJE 2: INTEGRACION TRIGONOMETRICA E INTEGRACION POR FRACCIONES PARCIALES 1. Introducción a. Presentación y contextualización b. Competencia (logro) c. Capacidades d. Actitudes e. Ideas básicas y contenido 2. Desarrollo de los temas a. Tema 01: Integración Trigonométrica. b. Tema 02: Integrales que involucran funciones trigonométricas inversas. c. Tema 03: Integración por sustitución trigonométrica. d. Tema 04: Integración de funciones racionales (descomposición en fracciones parciales) 3. Lecturas recomendadas 4. Actividades 5. Autoevaluación 6. Resumen UNIDAD DE APRENDIZAJE 3: INTEGRACIÒN DEFINIDA 1. Introducción a. Presentación y contextualización b. Competencia (logro) c. Capacidades d. Actitudes e. Ideas básicas y contenido 2. Desarrollo de los temas e. Tema 01: La integral definida y sus Propiedades. La regla de Barrow. a. Tema 02: Cálculo de áreas de regiones planas. b. Tema 03: Volúmenes de sólidos en revolución. c. Tema 04: Trabajo mecánico. Longitud de arco. 3. Lecturas recomendadas 4. Actividades 5. Autoevaluación 6. Resumen
02 03 04-30 05 05 05 05 05 05 06-27 06 14 19 23 28 28 29 30
UNIDAD DE APRENDIZAJE 4: DERIVADAS PARCIALES, INTEGRACIÓN APROXIMADA, INTEGRALES DOBLES Y TRIPLES Y SUS APLICACIONES 1. Introducción a. Presentación y contextualización b. Competencia c. Capacidades d. Actitudes e. Ideas básicas y contenido 2. Desarrollo de los temas a. Tema 01: Derivadas parciales b. Tema 02: Integración Aproximada. Regla del trapecio, Método del punto medio. c. Tema 03: Integral Doble y triple d. Tema 04: Aplicaciones de las Integrales 3. Lecturas recomendadas 4. Actividades 5. Autoevaluación 6. Resumen III. GLOSARIO IV. FUENTES DE INFORMACIÓN V. SOLUCIONARIO
92-114
31-58 32 32 32 32 32 32 33-54 33 39 44 48 55 55 56 58 59-91 60 60 60 60 60 60 61-86 61 67 74 79 87 87 89 91
93 93 93 93 93 93 94-125 94 98 104 108 111 111 112 114 115 121 124
3
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UNIDAD
1
4
Introducción
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP
a)Presentación y contextualización Los temas que se tratan en la presente unidad temática, tiene por finalidad que el estudiante comprenda la Integral Indefinida, así como formular apreciaciones críticas sobre los diversos conceptos desarrollados.
b)Competencia Analiza y relaciona debidamente el concepto de la Integral Indefinida.
c) Capacidades 1. Analiza y relaciona debidamente el concepto de la Integral Indefinida. 2. Determina y calcula las integrales inmediatas y la integración por sustitución algebraica. 3. Interpreta el contexto de la integración de funciones exponenciales y logarítmicas, con uso efectivo de las propiedades de este tópico. 4. Utiliza y aplica correctamente los métodos de integración por partes.
d)Actitudes Promueve actividades y toma de decisiones pertinentes. Reconoce y valora las relaciones entre
“lenguaje gráfico” y “lenguaje
algebraico”. Muestra interés y Confía en su capacidad para percibir y resolver la Integración Indefinida.
e) Presentación de Ideas básicas y contenido esenciales de la Unidad: La Unidad de Aprendizaje 01: INTEGRAL INDEFINIDA, comprende el desarrollo de los siguientes temas: TEMA 01: La Antiderivada de una Función o Integral Indefinida. TEMA 02: Integrales Inmediatas. Integración por Sustitución Algebraica TEMA 03: Integración de las Funciones Exponenciales y Logarítmicas. TEMA 04: Métodos de Integración: Integral por partes.
5
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TEMA 1
La Antiderivada de una Función o Integral Indefinida
Competencia: “Analiza y relaciona debidamente el concepto de la Integral Indefinida”.
6
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Desarrollo de los Temas
Tema 01: La Antiderivada de una Función o Integral Indefinida DEFINICIÓN:
Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo:
( )
Si A la expresión:
∫ ( )
. ( )
∫ es el signo integral, Se llama integral indefinida donde:
f (x) : es el
integrando. C es la constante de integración.
Ejemplo 1: Hallar la antiderivada general de ( ) Solución: Buscamos una función Es decir,
( )
( ) tal que ( ) , entonces
( )
( )
7
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FÓRMULAS DE INTEGRACIÓN Sean f y g funciones que tienen antiderivadas (integrales indefinidas), sea k una constante y r un número racional, entonces:
1. ∫ 2. ∫
( )
∫ ( )
3. ∫( ( )
( ))
∫ ( )
∫ ( )
4. ∫( ( )
( ))
∫ ( )
∫ ( )
5. ∫
( )* ( )+
( ( ))
Ejemplo 1: Hallar la siguiente integral: ∫(
)
Solución:
(3x 5 5x 7 x 4 )dx 3x 5 dx 5xdx 7 x 4 dx x6 x2 x5 3 x dx 5 xdx 7 x dx 3 5 7 c 6 2 5 5
4
8
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USO DE LA TECNOLOGÍA: PROGRAMA WINPLOT
1. ∫
9
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2. ∫
10
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP TABLA BÁSICA DE INTEGRALES
x n 1 x dx C ; n 1 n 1 1. n
2.
dx x Ln x C
ax a dx Ln a C (a 0) ;
e dx e
x
3.
x
4.
sen x dx cos x C
5.
cos x dx sen x C
6.
sec
7.
cos ec
8.
sec x tg x dx sec x C
9.
cos ec x cot g x dx cos ec x C
10.
11.
cot g x dx Ln cos ec x
12.
sec x dx Ln sec x tg x
13.
cos ec x dx Ln cos ec x co tg x
2
x
C
x dx tg x C 2
x dx cot g x C
tg x dx Ln sec x C
C
C C
11
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14.
dx 1 x arctg C , a 0 x2 a2 a a
15.
x
2
16.
a
2
17.
18.
dx 1 xa Ln C , a 0 2 2a xa a dx 1 ax Ln C , a 0 2 2a ax x
dx x2 a2 dx a2 x2
dx
Ln x x 2 a 2 C , a 0
arcsen
x C , ( a 0) a
x
19.
x
20.
senh x dx cosh x C
21.
cosh x dx senh x C
22.
sec h
23.
cos ec
24.
sec h tgh x dx sec h x C
25.
cos ech x cot gh x dx cos ech x C
x2 a2
2
2
arc sec
a
C , ( a 0)
x dx tgh x C h x dx cot gh x C
12
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Ejemplos:
∫
=∫
∫
∫
∫(
)
=∫(
)
∫
∫
∫
∫(
∫
)
∫
=∫(
= 9.
)
13
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TEMA 2 Integrales Inmediatas, Integración por Sustitución Algebraica
Competencia: “Determina y calcula las integrales inmediatas y la integración por sustitución algebraica”. 14
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Tema 02: Integrales Inmediatas, Integración por Sustitución Algebraica 1. INTEGRALES INMEDIATAS O POR SUSTITUCIONES ELEMENTALES Evaluar: o ∫(
)
o ∫√
∫
∫
∫
o ∫.
√
/
∫
∫(
o ∫√
∫
)
(
)
∫ = (
o ∫. (
)
)
/
(
)
2. INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN ALGEBRAICA ( )
∫ ( ) ( ) ∫
( ) ( )
( )
15
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)
∫(
Evaluar
Solución:
Haciendo: u = 5x + 1 Tenemos du = 5 dx
(es el resultado de derivar: 5x + 1 )
Despejando: )
∫(
∫
∫
(
)
∫(
)
Solución: du = 2b2 x dx
u=
∫(
)
∫
=
=
(
=
)
∫ (
+C
+C
)
Solución: Como ∫ (
(
) )
∫(
)
∫
∫
16
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∫√ Solución: (
∫
∫
√
(
)
∫[(
(
)
(
)
)
∫
)
∫(
]
(
)
)
√
Solución: , se tiene que du= ∫
∫
√
√ ∫
∫
(
)
(
∫ (
∫
)
)
∫ (
)
(
)
∫(√
)
√ ∫(
)
∫
∫
17
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√ )
∫(√ (√
∫(√
√ )
(
∫
√ )
)
√ √
√ ∫
∫
√
∫(
)
∫(
)
∫
(
∫
∫
∫
√
∫
)
√
√
√
∫
√
√(
∫
⁄
∫
⁄
⁄
)
18
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TEMA 3
Integración de las Funciones Exponenciales y Logarítmicas
1
Competencia: “Interpreta el contexto de la integración de funciones exponenciales y logarítmicas, con uso efectivo de las propiedades de este tópico”.
19
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Tema 03: Integración de las Funciones Exponenciales y Logarítmicas INTEGRAL DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS: Las funciones exponenciales y logarítmicas son integrables en sus dominios y se tienen las siguientes fórmulas de integración: 1) e x dx e x c 2) h' ( x)e
h( x)
3) a x dx
dx e h( x ) c
1 x a c si a 0 a 1 ln a
4) g ' ( x)a g ( x ) dx
1 g ( x) a c si a 0 a 1 ln a
5)
1 dx ln x c , x 0 x
6)
f ' ( x) dx ln f ( x) c , f ( x) 0 f ( x)
7)
Ley de Exponentes (
)
Derivada de Funciones Exponenciales y Logarítmicas
0
20
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∫
Solución: ∫
(
∫
)
∫
(
∫
)
∫ ∫
(
)
(
)
∫
(
)
(
(
)
∫(
)
)
(
(
)
)
(
)
∫
21
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∫
(
∫
∫
∫
( (
) )
)
(
( (
∫
(
)
)
) )
(
∫
) (
∫
( (
)
) )
∫
(
)
(
)
∫
(
)
( (
∫
∫( (
(
)
(
( (
(
)
)
) )
(
)
)
)
∫
(
)
)
) (
)
22
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP
TEMA 4 Métodos de Integración: Integral por partes
Competencia: “Utiliza y aplica correctamente los métodos de integración por partes”.
23
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP
Tema 04: Métodos de Integración: Integral por partes INTEGRACIÓN POR PARTES Y APLICACIÓN
u dv uv v du
Sean u u(x) y v v(x) dos funciones diferenciables e integrables, entonces:
Observaciones:
1.
Reconocer a u y v en el problema original.
2. Escoger a “dv” de tal manera que sea fácil de hallar “v”. Considerar: Derivadas trigonométricas:
, , ,
( )( )( )-
,
( )-
,
( )-
,
( )-
( )
( )
( )
( )
Funciones trigonométricas
24
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Donde: Aplicar sustitución trigonométrica para √ T
casos complejos
z z z
1
√
Ejemplo 1: Hallar ln x dx INTEGRANDO POR PARTES
Sea u ln x du
√
Solución
f(x) = ∫u.dv f(x) = u.v - ∫v.du
1 dx x
dv dx v x
1 ln x dx (ln x)( x) x dx (ln x)( x) dx x
ln x dx (ln x)( x) c
Ejemplo 2:
x.Sec
2
x dx
INTEGRANDO POR PARTES
Solución
f(x) = ∫u.dv f(x) = u.v - ∫v.du
u x du 1dx dv Sec 2 x v tan x
uv v du ∫
x. tan x tan x.dx
x. tan x Ln sec x c
25
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP
∫(
Ejemplo 3:
)
Solución √ X
z z z
1
, ∫
(
∫
Ejemplo 4:
∫
∫
)
(
( )∫
)
∫
∫
√
√ √
∫
∫
∫
∫
∫
√
∫ ( ∫ )
)
(
) √
(√
(
)
√
(√
)
26
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∫
∫
∫ ∫
∫
∫
∫
∫ ∫
∫ [
[ ]
[
] ]
27
Lecturas Recomendadas
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP
Integral Indefinida (Inmediatas-Por sustitución-Por Partes-Varias) http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Problemas/54-1-p-Integral.html
Integral Indefinida http://www.uoc.edu/in3/emath/docs/Integral_Indefinida.pdf
Integración por partes http://www.scribd.com/doc/506075/Integracion-por-partes
Actividades y Ejercicios
Cálculo de Integrales, Usando el Software Matlab 2009. (En caso de no tener el Software indicado, puede resolverlo mediante la aplicación de Fórmulas básicas de Integración). Envía el desarrollo de tus actividades a través de “Cálculo de Integrales”.
1.- ∫ 2.- ∫ 3.-
a dx 3 dx
4. -
x
x
x
2
dx dx 2 2 a x 22
28
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Autoevaluaciones ( x3 +1 ) 3/2
1. Calcular ∫
( x3 +1 ) 5/2 + C
a)
( x3 +1 ) 5/2 + C
d)
∫
2. a)
∫ √
a)
4. a) .
b) √
b) √
∫
(
/
b) c) d)
e)
+c
d) √ + c
e) 2x + c
+c
d) √
e) √
)+c
)
x
+c
b) √ + c
c) √
+ c d) Ln 3x + c e) ln 2x
dx
(
2
+c
)
(
(
+ c c) √
)
b) d)
a)
( x3 +1 ) 5/2 + C
e)
√
a)
6. Calcular:
c) √
+c
+c
5. Calcular : ∫
( x3 +1 ) 5/2 + C
c)
√
√ +c
3.
( x3 +1 ) 5/2 + C
b)
(
)
(
)
c) e) (
(
)
)
ln xdx
x 3 ln x x 3 c 3 9 3 ln x x c 3 9 x 3 ln x x 3 c 3 3 3 x ln x c 3 x 3 ln x x 2 c 3
29
Resumen
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UNIDAD DE APRENDIZAJE I:
LA ANTIDERIVADA DE UNA FUNCIÓN O INTEGRAL INDEFINIDA Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si
F ' ( x) f ( x), x I . A la expresión: f ( x)dx F ( x) c
INTEGRALES INMEDIATAS INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN ALGEBRAICA ( )
∫ ( ) ( ) ∫
Se llama integral indefinida donde: es el signo integral, f (x) : es el
( ) ( )
( )
integrando y C es la constante de integración. INTEGRACION DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS:
Fórmulas Fundamentales De Integración
1. Si F ( x) f ( x) , entonces f ( x)dx F ( x) C donde C , es una constante arbitraria. 2. Si
x
n n
es
cualquier
número
real,
excepto
–1,
entonces:
x n 1 dx C , donde C es una constante arbitraria. n 1
3. La integral de una constante por una función es la constante por la integral de la función. Esto es:
a f (x) dx
Propiedades de la función logaritmo neperiano Ln: (
)
(
)
( )
( )
. /
. /
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN INTEGRAL POR PARTES
= a f ( x ) dx
4. La integral de una suma de funciones es la suma de las integrales de las funciones. Esto es: si f y g son funciones, entonces:
[ f ( x) g ( x)] dx = f(x) dx + g(x) dx
Sean u u(x) y v v(x) dos funciones diferenciables e integrables, entonces:
30
u dv uv v du
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UNIDAD
2
31
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP
Introducción
a)Presentación y contextualización Los temas que se tratan en la presente unidad temática, tiene por finalidad que el estudiante comprenda la “INTEGRACIÓN TRIGONOMÉTRICA E INTEGRACIÓN POR FRACCIONES PARCIALES” así como formular apreciaciones críticas sobre los diversos conceptos desarrollados.
b)Competencia (Logro) Identifica y comprende la Integración Trigonométrica e Integración por Fracciones parciales.
c) Capacidades 1. Resuelve operaciones que se le presenta con integrales trigonométricas, aplicando las fórmulas básicas de integración en combinación con las identidades trigonométricas. 2. Analiza y resuelve integrales que involucran funciones trigonométricas inversas. 3. Analiza con criterio y destreza la integración por sustitución trigonométrica 4. Aplica criterios y técnicas adecuadas para evaluar la integración de funciones racionales.
d)Actitudes Respeto a las normas de convivencia: Cumple con los horarios establecidos. Respeta y cumple las normas de convivencia en el ámbito universitario. Desarrolla interés por investigar sobre formas y configuraciones que pueden representarse matemáticamente. Valora la utilidad de la Integración Trigonométrica y de la Integración por Fracciones Parciales para explicar y predecir ciertos hechos de la vida cotidiana. Reconoce y valora críticamente la utilidad del desarrollo tecnológico para realizar cálculos, exploraciones numéricas y representaciones gráficas.
e) Presentación de ideas básicas y contenido esenciales de la Unidad La Unidad de Aprendizaje 2: “Integración Trigonométrica e Integración por Fracciones Parciales “comprende el desarrollo de los siguientes temas: TEMA 01: Integración Trigonométrica TEMA 02: Integrales que involucran Funciones Trigonométricas Inversas TEMA 03: Integración por Sustitución Trigonométrica TEMA 04: Integración Funciones Racionales
32
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TEMA 1 Integración Trigonométrica
Competencia: “Resuelve operaciones que se le presenta con integrales trigonométricas, aplicando las fórmulas básicas de integración en combinación con las identidades trigonométricas”.
33
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP
Desarrollo de los Temas
Tema 01: Integración Trigonométrica
Las
integrales
operaciones
trigonométricas
algebraicas
sobre
implican funciones
trigonométricas, se aplican las fórmulas básicas de
integración
identidades
en
combinación
trigonométricas,
para
con
las
evaluar
integrales que contienen productos de potencias de funciones trigonométricas.
3) ∫ 4) ∫ 5) ∫ ∫ 6) ∫ ∫
-Ln Ln
7) ∫ ∫
Ln Ln
8) ∫ ∫
Ln -Ln
+C +C
34
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INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS – CRITERIOS:
Si n es un número entero positivo impar, se comienza escribiendo: ∫
∫
Como el entero n-1 es par, se puede aplicar la identidad trigonométrica , para obtener una integral más fácil.
Análogamente par potencias impares de Cos x se escribe: ∫
∫
Como el entero n-1 es par, se puede aplicar la identidad trigonométrica para obtener una integral más sencilla
Cuando el integrando es
o bien
, para n par, las
fórmulas para la mitad de un ángulo: =
o bien
=
Pueden ayudar a simplificar el integrando.
35
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP
Calcular las siguientes integrales:
1. ∫ 2. ∫
dx =
Ejemplo1: Hallar: ∫ Solución:
∫ Haciendo u
∫
=∫ = Cos x -∫
=-∫
-Ln
+C
= -Ln
+C
Ejemplo 2: Hallar: ∫ Solución:
∫
=∫
.
/
=∫ Tomando como u el denominador de este cociente se obtiene:
u = Sec x + tan x
= Sec x Tan x + Se
=∫
dx = ∫
= Ln
+C
x
+C
36
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP
Ejemplo 3: Hallar ∫ Solución:
∫ ∫(
) )
∫( ∫(
∫(
(
)
)
)(
)
∫ ∫
Ejemplo 3: Hallar ∫ Solución:
,
∫
∫( (
)
)
37
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP
Ejemplo 4: Hallar ∫ Solución:
(
∫ ∫ ∫
(
(
)
) ) (
) )(
∫(
∫(
)
∫
∫
)
(
-2) +c
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TEMA 2 Integrales que involucran funciones Trigonométricas Inversas
Competencia: “Analiza y resuelve integrales que involucran funciones trigonométricas inversas”.
39
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Tema 02: Integrales que involucran funciones Trigonométricas Inversas Sea u, una función derivable de x, y sea a > 0
1. ∫ √ 2. ∫ 3. ∫
= arc Sen
=
√
arc Tan
= arc Sec |
4. ∫ 5. ∫
|
| |
Transformación de diferencial Trigonométrica: Una diferencial trigonométrica que contiene sólo funciones racionales, sex, cosx puede transformarse en otra expresión diferencial, racional en “z”.
√ z zz 1 z
40
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Ejemplos:
1. ∫ √
= arc Sen
2. ∫
=
∫
=∫
√
(
(√ )
arc Tan
3. ∫
a=2
√(
√
u = 2x , a = 3
)
=
4. ∫ √
√
)
+C
= arc Sec
5. ∫
∫
∫
∫
∫ ∫
∫
(
(
)
)
(
)
41
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP
6. ∫
(
√
)
∫
∫
(
∫
(
) )(
)
∫
√
7. ∫ √
∫√
8.
∫
(
)
v zz z
a
∫
∫
∫
∫
, -
0
, -
1
42
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP
9.
∫√
∫
∫
√
(
10.
√
)
∫
∫ ∫ ∫
(
(
∫
) (
) 0
)
1
43
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP
TEMA 3 Integración por Sustitución Trigonométrica
Competencia: “Analiza con criterio y destreza la integración por sustitución trigonométrica”. 44
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP
Tema 03: Integración por Sustitución Trigonométrica
Expresión en el integrado
Sustitución Trigonométrica
√
X = a Sen
√
X = a Tan
√
X = a Sec
Ejemplo 1:
∫
√
Solución ∫
∫
Tomando:
√
√
√
√
√ =
√
(
)
√
√
√ Como: X = 4
dx = 4
Reemplazando: ∫
∫
∫
∫ ∫
45
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP Ejemplo 2:
∫
√
√ 3x zz 4 z
. / (
á ∫
(
)
(
)
∫
)
∫ [ (
) 6
Ejemplo 3:
∫(
]
√
7
√
)
x zz 2 z
. /
46
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∫
(
∫
)
(
∫
)
∫
∫
∫
(
)
,
[ -
(
Ejemplo 4:
∫
]
)
√
√ x zz √ z
√
√
√
( ) √
√
√
√ ∫ ∫
√
√ √ √
∫
∫ √
47
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TEMA 4 Integración de Funciones Racionales (Descomposición en fracciones parciales)
Competencia: “Aplica criterios y técnicas adecuadas para evaluar la integración de funciones racionales”.
48
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Tema 04: Integración de Funciones Racionales (Descomposición en fracciones parciales) Ejemplo 1:
∫
∫(
(
)(
(
)(
)
(
)(
)
)(
)
)
(
Puntos Críticos : *
Sustituir:
x=0 x=0
) (
( )(
) )
(
)
)(
)
(
)
(
)
+ (
Sustituir:
)(
Para encontrar los valores de A, B y C. Para encontrar los valores de A, B y C.
Hay que sustituir x por valores que hagan que varios de los factores sean cero. X= 0
X=1
X = -3
-9 = -3A
8 = 4C
-12 = 12B
3=A
C=2
-1 = B
4 x 2 13x 9 3 1 2 dx x x 3 x 1 x x 3 x 1
3
1 1 1 dx dx 2 dx x x3 x 1
49
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3Ln x Ln x 3 2 Ln x 1 C
Ln x 3 Ln x 3 Ln x 1 c 2
x 3 . x 1 c Ln x 3 Ln x3 2
Ln x . x 1 3
2
REGLA LOG PARA INTEGRACIÓN
1
1.
x dx Ln x C
2.
u du Ln u C
3.
u, u dx Ln u C
1
Forma Alternativa
USO DE LA REGLA LOG PARA INTEGRACIÓN Ejemplo: 2
1
x dx 2 x dx 2Ln x +C =
Ln x C 2
Casos:
1 1 4 1 4 x 1 dx 4 4 x 1 dx 4 Ln 4 x 1 C
50
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x
2
x 1 2x dx 2 dx 2 x 1 1
=
1 Ln x 2 1 C 2
3x 2 1 3 x 3 x dx Ln x x C
1 x 1 1 2x 2 Ln x 2 2 x C dx dx = 2 2 2 x 2x 2 x 2x
1 1 3 1 dx dx 3x 2 3 3x 2 3 Ln 3x 2 C
DIVIDIR ANTES DE INTEGRAR
1 2x x 2 x 1 x dx 1 dx dx = x 2 1 2 x 2 1 dx x 2 1
=x+
1 Ln x 2 1 C 2
51
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CAMBIO DE VARIABLE CON LA REGLA LOG Hallar:
2x
x 1
dx
2
Si se toma u = x + 1 , entonces du = dx y x = u - 1
2x
x 1
2
dx =
=2
= 2
2(u 1) du u2
u
u
2
1 du u2
du 2 u 2 du u
u 1 Ln u 2 =2 1 C
2 C u
=
2 Ln u
=
2 Ln x 1
2 C x 1
Ejercicios Resueltos
∫
(
)
∫
(
)
∫(
)
52
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∫(
)
∫ ∫ ∫
∫ ∫
(
( ) ( )
∫
(
)
) ) ∫
(
(
)
(
(
(
∫[
)
(
)
(
(
) ( ( (
∫[
)
(
)
)(
)
) )(
∫[
(
∫
)
(
(
(
∫
) ) )
( ( (
)
(
)
)
)
)
)
]
(
)
]
]
(
) )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
∫
(
)
∫
(
)
53
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∫ ∫
∫
(
)
∫
(
)
(
(
∫
) ∫
(
)
)
) ( | (
( | (
(
) )
⁄ ⁄
|
|√
( (
) )
⁄ ⁄
|
) | )
54
Lecturas Recomendadas
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Integrales Trigonométricas http://prepa2.blogcindario.com/ficheros/funciones.pdf http://web.educastur.princast.es/ies/pravia/carpetas/recursos/mates/recurso_ 2005/textos/paraiso/apuntes/metodos_integracion.pdf
Integración de Funciones Racionales http://www.matematicasypoesia.com.es/monografias/Integrales.htm http://www.x.edu.uy/inet/fracciones_simples2.pdf
Actividades y Ejercicios Cálculo de Integrales, Usando el Software Matlab 2009. (En caso de no tener el Software indicado, puede resolverlo mediante la aplicación de Fórmulas básicas de Integración). Desarrolla tus ejercicios en envía esta actividad a través de “Cálculo de Integrales trigonom tricas”. .
1. Calcular : ∫
4
2. Calcular: ∫
5. Calcular: ∫
3
∫
∫
55
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Autoevaluación 1. Evaluar : ∫
a. –Cos x + 2/3 Cos3 x – 1/5 Cos5 x + C b. –Sen x + 2/3 Cos3 x – 1/5 Cos5 x + C c. –Tan x + 2/3 Cos3 x – 1/5 Cos5 x + C d. –Csc x + 2/3 Cos3 x – 1/5 Cos5 x + C e. –Sec x + 2/3 Cos3 x – 1/5 Cos5 x + C
2. Evaluar : ∫ a. b. c. d. e.
3. Hallar: ∫
a.
√
arc sec
2x 4
c
b.
2x 1 arc sec c 4 4
c.
x 1 arc sec c 4 4
d.
2x 1 sec c 4 4
e.
2x 1 arc sec c 2 4
56
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4. Hallar:
x
dx 2x 5
2
x
3
2
c
4 x 2x 5 x 1 c 2 2 x x 5 b. x 1 c 2 4 x 2 x 5 c. 1 c 2 d. 4 x 2 x 5 x 1 c 2 4 x 2 x 5 e. 2
a.
4x 2 9x 1 dx 3 2 5. Hallar: x 2 x x 2
ln a.
ln b.
ln c.
ln d.
ln e.
x 12 x 13 x2
x 12 x 13 x3
x 12 x 13 x3
x 12 x 13 x2
x 12 x 23 x2
c c c
c c
57
Resumen
UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP
UNIDAD DE APRENDIZAJE Ii:
Integrales que Involucran Funciones Trigonométricas Inversas
Integración Trigonométrica
Si n es un número entero positivo impar, se comienza escribiendo: ∫
∫
Pueden
, para obtener una
u,
una
función
derivable de x, y sea a > 0
integral más fácil.
∫√
Análogamente par potencias impares de Cos x se escribe:
∫
∫
a
simplificar el integrando. Sea
Como el entero n-1 es par, se puede aplicar la identidad trigonométrica
ayudar
= arc Sen
=
Integración de Funciones Racionales
Integración por Sustitución Trigonométrica
Expresión en el integrado
Sustitución Trigonométrica
Si P(x) y Q(x) son dos polinomios con coeficientes reales; f(x) es función racional si: f(x)=P(x)/Q(x) y
√
X = a Sen
2
√
X = a Tan
Se llaman fracciones simples a las funciones que se presentan bajo una de las formas siguientes:
√
X = a Sec
( )
arc Tan
(
∫
Como el entero n-1 es par, se puede aplicar la identidad trigonométrica para obtener una integral más sencilla 1. Cuando el integrando es o bien , para n par , las fórmulas para la mitad de un ángulo: 2. =
o bien
∫
√
=
arc
3
)
Sec
(
=
58
)
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UNIDAD
3
59
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Introducción
f) Presentación y contextualización Los temas que se tratan en la presente unidad temática, tiene por finalidad que el estudiante comprenda la Integración Definida así como formular apreciaciones críticas sobre los diversos conceptos desarrollados.
g) Competencia Reconoce, determina, relaciona, gráfica y resuelve problemas relacionados a la Integración Definida.
h) Capacidades 1. Calcula con criterio y destreza las propiedades y la regla de Barrow de la integral definida. 2. Utiliza convenientemente la integral definida para calcular el área de una región plana. 3. Identifica y calcula con eficacia volúmenes de sólido en revoluciones y los métodos del disco. 4. Determinar el trabajo mecánico y la longitud de un arco
i) Actitudes Sentido de Organización. Planifica y cumple oportunamente sus tareas y actividades diarias. Presenta sus trabajos en forma organizada. Presenta y explica el proceso y los resultados de su trabajo en forma clara y ordenada respecto a la Integración Definida. Valora la precisión y utilidad del “lenguaje matemático” para comunicar y resolver problemas y fenómenos de la vida diaria.
j) Presentación de Ideas básicas y contenido esenciales de la Unidad: La Unidad de Aprendizaje 03: INTEGRACIÓN DEFINIDA comprende el desarrollo de los siguientes temas: TEMA 01: La Integral Definida y sus Propiedades. La regla de Barrow. TEMA 02: Cálculo de Áreas de Regiones Planas. TEMA 03: Volúmenes de sólidos en Revolución. TEMA 04: Trabajo mecánico. Longitud de Arco.
60
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TEMA 1 La Integral Definida y sus Propiedades La Regla de Barrow
Competencia: “Calcula con criterio y destreza las propiedades y la regla de Barrow de la integral definida”.
Calcula 61
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Desarrollo de los Temas
Tema 01: La Integral Definida. Propiedades, La Regla de Barrow DEFINICIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA La integral definida de la función
x b
x a
entre
xa
y x b se denota por:
f ( x) dx
y representa el área limitada por la curva
y f (x)
, las rectas
x a, x b
y el eje x.
b
A f ( x) dx a
y
f (x)
A 0
a
b
x
La i n t e g r al d e f i n i da se representa por:
∫
( )
∑( ( )
)
62
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∫ es el signo de integración. A e s e l límite inferior de la integración.
b e s e l límite superior de la integración.
( ) Es el i n t e gr a n d o
o función a integrar.
d x es d i f er e n c i a l d e x , e indica cuál es la variable de la función que se integra.
(
) ( )
( )
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO (LA REGLA DE BARROW) Sea
f una función integrable en [a, b]
, además sea F una antiderivada cualquiera de f,
entonces:
x b
xa
f ( x) dx F (b) F (a)
PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Sean
f y g funciones integrables en [a, b] , además sea k una constante:
b
b
a
a
k f ( x) dx k
f ( x) dx
a f ( x) g ( x) dx a f ( x) dx a g ( x) dx b
b
b
b
b
b
a
a
f ( x) g ( x) dx
f ( x) dx g ( x) dx a
63
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Calcular las siguientes integrales definidas aplicando la regla de Barrow.
Ejemplo 1: Evalúe
2 1
(4 x 6 x 2 ) dx Solución
2 1
2
2
1
1
(4 x 6 x 2 ) dx 4 x dx 6 x 2 dx
4 .
2 x2
x 2
6
x 1
3 x2
x 3
x 1
4 1 8 1 4 6 12 2 2 3 3 Ejemplo 2 :
∫
(
) Solución
∫
(
)
[
(
)
]
[ (
)
(
)
]
64
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Ejemplo 3:
∫
√ Solución
∫
[ √
√
(
]
)
Ejemplo 4:
√
∫
Solución
√
∫
(
∫ [
)
[ (
) ]
]
Ejemplo 5:
∫
√
Solución
∫ 0√
∫
√ 1
√
(
)
√
65
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Ejemplo 6:
∫
Mediante la sumatoria hallar:
Solución
∫
∑ ( )
(
( )
)
( )
( )
(
)
∑ ( ) ( (
)(
∑ ( )
)
∑
)
66
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TEMA 2 Cálculo de Áreas de Regiones Planas
Competencia: “Utiliza convenientemente la integral definida para calcular el área de una región plana”. 67
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Tema 02: Cálculo de Áreas de Regiones Planas El área generada bajo una curva continua, en un intervalo cerrado [a,b], se puede calcular haciendo uso de la integral definida.
Una vez más, el teorema fundamental del cálculo, aparece como herramienta de gran ayuda al momento de calcular las mencionadas áreas.
Es importante señalar, que para tener éxito al momento de enfrentar ejercicios de este tipo, se requiere de la construcción -por lo menos aproximada- de los esbozos de las gráficas, de las funciones involucradas en una situación problemática particular.
Como se va a trabajar con integración definida, se requiere que las integrales a resolver, posean límites de integración y se debe de analizar con detenimiento como se determinan dichos límites. Generalmente, los citados límites, vienen representados por las asíntotas y/o intersecciones que presentan las gráficas construidas previamente.
Para efectos de la construcción de las gráficas, es necesario que el lector recuerde el conjunto de pasos, vistos en cursos anteriores, para tal fin. Entre ellos están: Corte con los ejes y entre curvas, asíntotas, puntos críticos y de inflexión, concavidades, etc.
Ejemplo 1: Determinar el área de la región limitada por la curva Y 4 3x y los ejes coordenados.
68
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Solución Construir el esbozo gráfico, de las curvas dadas:
Determinar los límites de integración. Para ello basta con observar la Zona roja y visualizar entre que valores se ubica la variable “x”. De acuerdo a ello, se tiene que:
A
4 3
4 3x dx
(1)
0
Si se integra (1), usando integración inmediata, se puede escribir que:
3x A 4 x 2
2
4 3
0
69
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Ahora, si se aplica el TFD, se obtiene:
4 4 2 3(0) 2 A 4 3 40 2 3 3
Efectuando las concluye que:
A
operaciones
6
indicadas,
se
16 8 8 3 3 3
Ejemplo 2: Hallar el área de la región R, ubicada en el primer cuadrante que se encuentra bajo la curva
y
1 x
y está limitado por las rectas
yx ; y0
y x2
Solución Construir el esbozo gráfico, de las curvas dadas:
70
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Determinar los límites de integración. Para ello basta con observar la Zona roja y visualizar entre que valores se ubica la variable “x”. De acuerdo a ello, se tiene que:
1
A xdx 0
2
1
1 dx x
(1)
Si se integra (1), usando integración inmediata, se puede escribir que:
x2 A 2
1
ln x
2 1
0
Ahora, si se aplica el TFD, se obtiene:
12 0 2 A ln 2 ln 1 2 2 Efectuando las operaciones indicadas, se concluye que:
A
2 1 1 ln ln 2 2 1 2
Ejemplo 3: Hallar el área de la región que se encuentra bajo las curvas.
f x 2 x 5 y
g x x 2 2 x 1
71
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Solución: Construir el esbozo gráfico, de las curvas dadas:
Determinar los límites de integración. Para ello basta con observar la Zona roja y visualizar entre que valores se ubica la variable “x”. De acuerdo a ello, se tiene que:
A
2
2
2x 5 x
2
2 x 1 dx
(1)
Si se integra (1), usando integración inmediata, se puede escribir que:
2
x3 A x 5x x2 x 3 2 2
Ahora, si se aplica el TFD, se obtiene:
72
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3 3 2 2 2 2 2 2 A 2 52 2 2 2 5 2 2 2 3 3
Efectuando las operaciones indicadas, se concluye que:
A
16 16 32 3 3 3
Ejemplo 4: Hallar el área de la superficie sombreada de un triángulo de coordenadas en el eje “y” de (0,6) y en el eje “x” de (4,0)
∫ (
∫ ∫
(
)
.
/
∫
)
(
)
73
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TEMA 3 Volúmenes de Sólidos en Revolución
Competencia: “Identifica y calcula con eficacia volúmenes de sólido en revoluciones, los métodos del disco”.
74
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Tema 03: Volúmenes de Sólidos en Revolución El volumen de un objeto desempeña un papel importante en muchos problemas de las ciencias físicas, como las de determinar centros de masa y momentos de inercia.
Determinar el volumen de un objeto que tiene forma regular es relativamente sencillo, pero, ¿Cómo determinar el volumen de objetos que tienen forma irregular?
SI LA REGIÓN DE UN PLANO GIRA ALREDEDOR DE UNA RECTA L DEL PLANO GENERA UN CUERPO GEOMÉTRICO SÓLIDO QUE SE LLAMA SÓLIDO DE REVOLUCIÓN, LA RECTA, SE DENOMINA EJE DE REVOLUCIÓN.
Si una región R acotada por la gráfica de una función f continua no negativa, por eje X, y por las rectas verticales x=a y x = b gira alrededor del eje x , se genera un sólida como el de la siguiente figura:
75
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Sea f continua en ,
- y sea R la región acotada por la gráfica de f, el eje X y las
rectas verticales x = a y x= b. El volumen V del sólido de revolución generado al girar R alrededor del eje X es:
∫
, ( )-
Pasos para determinar el volumen de un sólido: Graficar e identificar la región que se va a girar
Dibujar un disco representativo, e identificar R(x) o R(y)
Elevar al cuadrado R y multiplicarlo por .¡¡
Integrar y evaluar
La integración es con respecto a la variable que define el eje de rotación.
Ejemplo 1: Hallar el volumen del sólido generado al girar la región acotada por y = √
y las rectas
x = 1 y x = 4 alrededor de la recta y = 1.
76
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Ejemplo 2:
La región acotada por el eje y , y las gráficas y = x3 , y = 1 , y = 8 gira alrededor del eje y. Calcular el volumen del sólido.
∫
, ( )-
= ∫
0 1
=
77
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Ejemplo 3: Hallar el volumen del sólido generado al girar la región entre la parábola x = y2 + 1 y la recta x = 3 alrededor de la recta x = 3.
( )
(
)
√
∫
√
(
)
√
∫
√
(
)
√
√
6
7
√ √
78
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TEMA 4 Trabajo Mecánico Longitud de Arco
Competencia: “Determina el trabajo mecánico y la longitud de un arco”.
79
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Tema 04: Trabajo Mecánico Longitud de Arco TRABAJO MECÁNICO: La palabra trabajo se emplea en forma cotidiana para indicar la cantidad total de esfuerzo requerido a fin de llevar a cabo una tarea. En física el trabajo (trabajo mecánico) tiene un significado técnico, que depende la idea de una fuerza.
Uno puede intuir que una fuerza describe el empuje o tirón sobre un objeto: por ejemplo un empuje horizontal sobre un libro a través de una mesa, o el tirón hacia abajo de la gravedad terrestre sobre una pelota. En general, si un objeto se mueve en línea recta y su función de posición es s(t) , la fuerza F sobre el objeto ( en la misma dirección ) se define de acuerdo con la segunda ley de Newton del movimiento, como el producto de su masa m por su aceleración.
F = mxa
El trabajo efectuado se define como el producto de la fuerza F por la distancia d que se mueve el objeto: Trabajo = Fuerza por distancia, cuya unidad es: Newton/metros
W = Fxd
80
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Definiremos el Trabajo efectuado al mover al objeto de a hacia b como:
∫ ( ) Ejemplo 1: Cuando una partícula está a una distancia de x pies del origen, actúa sobre ella una fuerza igual a x2 +2x libras. ¿Cuánto trabajo se efectúa al moverla de x=1 a x=3?
Solución: ∫ (
)
1 =
=
=16
pies -lb
Ejemplo 2:
Se requiere una fuerza de 40 N , para mantener estirado un resorte desde su longitud natural de 10 cm, hasta 15 cm. ¿Cuánto trabajo se efectúa al estirarlo de 15 a 18 cm?
Solución: Según la Ley de Hooke f(x) = Kx. Cuando el resorte se estira de 10 a 15 cm. El estiramiento es 5cm = 0,005 m. Esto quiere decir que f(0,05) = 40 , así que:
0,05 k = 40 K=800
∫
= =
1
= 1,56 joules
81
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LONGITUD DE ARCO: Si
( ) es continua en [ a , b ] , la longitud de la curva y = f(x) ,
∫ √
, ( )-
∫ √
√
∫
(
es :
(
)
)
∫ √ ∫ √ ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
Ejemplo 1: Calcule la longitud del arco de la parábola semicúbica
entre los puntos
(1,1) y (4,8).
Solución: y = x3/2 f(x) = x3/2 ( ) ∫ √
, ( )-
∫ √
[
]
∫ √
82
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Sustituimos u = 1+
entonces du =
Cuando x = 1 , u = 13/4 Cuando x = 4 , u = 10 Por lo tanto:
∫
√
=
(
√
√
)u
Ejemplo 2:
Hallar la longitud del arco de curva
en el intervalo [0, 1].
Solución:
Ahora hacemos: 2
9 9 9 t 1 x t 2 1 x t 2 1 x 4 4 4
2t dt 9 dx 8 dt dx 4
9
83
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Luego se tiene:
L
13 2
1
8 t. tdt 1 9
13 2
8 2 8 t dt 9 9 1
13 2
8 t t dt 9 3 1 3
13 2
2
8 3 t 27
13 2
1
3 8 13 8 13 13 3 1 1 27 2 27 8
Por lo tanto:
L
8 13 13 1u 27 8
Ejemplo 3: Hallar la longitud del arco de la parábola 6 y x desde el origen de coordenadas al 2
8 3
punto 4;
Solución: De:
6y x2
se tiene:
y´
Donde:
y
x 3
x2 6
Se aplica la fórmula de integración:
u 2 a2 2 u a du u a ln u u 2 a 2 c 2 2 2
2
9 x Haciendo: Donde: u = x ; a = 3
2
x 2 32
Luego se tiene:
L
4
0
2 4 4 9 x x2 1 4 x 1 dx 1 dx dx 9 x 2 dx 0 0 9 9 3 0 3 2
84
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4
1 x 9 L x 2 32 ln x x 2 32 3 2 2 0
1 4 9 9 0 4 2 9 ln 4 4 2 9 0 2 9 ln 0 0 2 9 3 2 2 2 2 1 9 9 1 9 10 ln 9 0 ln 3 10 ln 3 3 2 2 3 2 Por lo tanto:
L
1 9 10 ln 3 u 3 2
Ejemplo 4: Calcular la longitud de arco de la curva y = x2 desde el origen hasta el punto (2, 4)
Solución: La derivada de y es:y´=
2x
Luego se tiene:
L 1 2 x dx 2
2
0
Ahora recordamos :
85
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Para el caso nuestro a = 1 y u = 2x, de donde 2dx = du Al reemplazar obtenemos:
2 2 2dx 1 2 x L 1 2 x dx 12 2 x 0 0 2 2 2 2
2
2
2 2 1 2 2 1 2 x ln 2 x 12 2 x 2 0
1 1 1 1 1 2 2 x 1 4 x ln 2 x 1 4 x 2 17 ln 4 17 0 ln 1 2 2 2 2 2 0 2
1 1 1 1 1 1 2 17 ln 4 17 2(4,12) ln 8,12 8,24 1,04 9,28 4,64 2 2 2 3 2 2 Luego se tiene el valor aproximado de L:
L=4,64 u
86
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Lecturas Recomendadas
Integral Definida http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/cursoelsie/integracion-definida/html/integracion.pdf http://personales.unican.es/gonzaleof/Ciencias_1/areasC1.pdf
Cálculo de áreas planas http://www.juntadeandalucia.es/averroes/~29009272/1999/articulos/articulo4.PDF
Cálculo de longitud del arco, trabajo mecánico http://personales.upv.es/aperis/docencia/int_linea.pdf
Actividades y Ejercicios Desarrolla:
1. a)
5 72
b)
5 72
b)
2
c)
5 60
d)
1 72
e)
1 72
2. a)
c)
2
d)
4
e)
4
87
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3. Calcular el área del recinto limitado por la curva y =
4x − x 2 y el eje OX.
a)
32 2 u 3
b)
2 2 u 3
c)
32 2 u 5
d)
32 2 u 3
e)
16 2 u 3
4. Hallar el volumen del tronco de cono engendrado
por la rotación alrededor OX del área limitada por y = 6 − x, y = 0, x = 0, x = 4.
a)
108 3 u 3
b)
98 3 u 3
c)
308 3 u 3
d)
208 3 u 3
e)
5. Encuentre la longitud del arco de la curva
del origen al punto a)
11 u 3
b)
14 u 3
c)
3;2 16 u 3
3
d)
4 u 3
208u 3
9 y 2 4x3
e)
14 u 5
Reali za estas activida des en un solo archi vo y envíalo a través de “ Integ ración definida” .
88
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Autoevaluaciones 1. a) 3888 b) 3881 c) 3889 d) 5888 e) 5000
2. a) b) 2 c) 3 d) 4 e) 3. Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 9 − x2 y el eje OX. a) 30u2 b) 36u2 c) 40u2 d) 45u2 e) 100u2 4. Calcular el área del recinto limitado por la curva y = x2 − 4x y el eje OX.
a) 32/3u2 b) 30/7u2 c) 4/7u2 d) 5/7u2 e) 1/2u2
89
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5
Calcular el volumen engendrado por la rotación del área limitada por la parábola y2 = x y la recta x = 2, alrededor del eje OY.
a)
128 3 u 3
b)
120 3 u 5
c)
123 3 u 5
d)
28 3 u 5
e)
128 3 u 5
6. Calcular la longitud del arco de la curva y = x3/2 entre x = 0 y x =5.
a)
335 u 27
35 u b) 27
335 u c) 9
335 33 u u d) 3 e) 27
90
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Resumen
UNIDAD DE APRENDIZAJE III LA INTEGRAL DEFINIDA Y SUS
LA REGLA DE BARROW
PROPIEDADES La integral definida de la función f entre
x a y x b se denota por:
x b
x a
Sea f una función integrable en [a, b] , además sea F una antiderivada cualquiera de f, entonces: x b
xa
VOLÚMENES DE SÓLIDOS EN
f ( x) dx
REVOLUCIÓN
y representa el área limitada por la curva y f (x) , las rectas x a, x b y el eje x. b
A f ( x) dx
- y sea R la región Sea f continua en , acotada por la gráfica de f , el eje X y las rectas verticales x = a y x= b. El volumen V del sólido de revolución generado al girar R alrededor del eje X es:
a
∫
y
ARCO.
A a
, ( )-
TRABAJO MECÁNICO LONGITUD DE
f (x)
0
f ( x) dx F (b) F (a)
b
Si x
( ) es continua en [ a , b ] , la
CÁLCULO DE ÁREAS DE REGIONES PLANAS Área entre una función y el eje de abscisas 1. La función es positiva Si la función es positiva en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función está por encima del eje de abscisas. El área de la función viene dada por:
2. La función es negativa Si la función es negativa en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función está por debajo del eje de abscisas. El área de la función viene dada por:
3. La función toma valores positivos y negativos En ese caso el recinto tiene zonas por encima y por debajo del eje de abscisas. Para calcular el área de la función seguiremos los siguientes pasos: El área es igual a la suma de las integrales definidas en valor absoluto de cada intervalo. ÁREA COMPRENDIDA ENTRE DOS FUNCIONES. El área comprendida entre dos funciones es igual al área de la función que está situada por encima menos el área de la función que está situada por debajo.
longitud de la curva y = f(x) , es :
∫ √
, ( )-
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UNIDAD
4
92
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Introducción
a)Presentación y contextualización Los temas que se tratan en la presente unidad temática, tiene por finalidad que el estudiante comprenda las Derivadas Parciales, Integración Aproximada, Integrales Dobles, Integrales Triples y las Aplicaciones de las Integrales, así como formular apreciaciones críticas sobre los diversos conceptos desarrollados.
b)Competencia Evalúa, simplifica y halla las Derivadas Parciales, Integración Aproximada, las Integrales Dobles, Integrales Triples y las Aplicaciones de las Integrales.
c) Capacidades 1. Utiliza con criterio y destreza las derivadas parciales. 2. Identifica y aplica la integración aproximada, la regla del trapecio y el método del punto medio. 3. Utiliza convenientemente las reglas de integración para la integral doble y triple 4. Conoce y Aplica la integral definida para la solución de problemas.
d)Actitudes Perseverancia en las tareas: Muestra constancia a través del cumplimiento de los trabajos asignados. Valora y disfruta con la perspectiva creativa de la matemática. Muestra interés y persevera en buscar conexiones entre las Derivadas Parciales, Integración Aproximada, Integrales Dobles, Integrales Triples y las Aplicaciones de las Integrales, las situaciones de la vida cotidiana y los conocimientos matemáticos.
e) Presentación de Ideas básicas y contenido esenciales de la Unidad: La Unidad de Aprendizaje 4: Derivadas Parciales, Integración Aproximada, Integrales Dobles y Triples y sus Aplicaciones, comprende el desarrollo de los siguientes temas: TEMA 01: Derivadas parciales. TEMA 02: Integración Aproximada. Regla del trapecio, Método del punto medio. TEMA 03: Integral Doble e Integral Triple. TEMA 04: Aplicaciones de las Integrales.
93
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TEMA 1 Derivadas Parciales
Competencia: “Utiliza con criterio y destreza las derivadas parciales”.
94
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Desarrollo de los Temas
Tema 01: Derivadas Parciales DEFINICIÓN Si: z = f(x,y), las primeras derivadas parciales de f con respecto a x y a y, son las funciones fx y fy definidas por :
(
)
(
)
Observación: existen varias notaciones para la derivada parcial.
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
95
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Ejemplo 1: (
)
(
)
(
)
Solución: Hallamos las derivadas parciales respecto a x(fx), luego respecto a y(fy)
(
)
( )
( )
(
)
( ) ( )
(
)
(
( )
)
Ejemplo 2: (
)
.
(
/
)
Solución:
(
)
.
/ .
(
)
.
/
/
96
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Ejemplo 3: (
)
.
(
/
)
Solución:
(
)
(
)
.
/ . .
/
/ (
)
Ejemplo 4: (
)
(
) Encuentre las derivadas parciales de
segundo orden
Solución:
Ejemplo 5: Si
(
)
, calcular la derivada parcial
del cuarto orden
Solución:
97
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TEMA 2 Integración Aproximada, Regla del Trapecio y Método del Punto Medio
Competencia: “Identifica y aplica la integración aproximada, la regla del trapecio y el método del punto medio”. 98
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Tema 02: Integración Aproximada, Regla del Trapecio y Método del Punto Medio INTEGRACIÓN APROXIMADA Hay dos situaciones en que es imposible calcular el valor exacto de una integral definida.
La primera es consecuencia de que para evaluar ∫ del
( )
cálculo,
con el teorema fundamental necesitamos
conocer
∫
una
∫ √
antiderivada de f, sin embargo, a veces es difícil,
o hasta imposible encontrarla,
por
ejemplo: es imposible evaluar con exactitud las integrales siguientes:
La segunda situación se presenta cuando la función se determina con un experimento científico
utilizando
las
indicaciones
de
instrumentos. En ambos casos necesitamos calcular valores aproximados de las integrales definidas.
REGLA DEL TRAPECIO
∫
( ) , (
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)-
99
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Ejemplos:
Emplee la regla del trapecio, con n=5, para calcular, aproximadamente, la
∫
integral:
Solución: Con n=5, a=1 y b = 2, tenemos que
, ( )
∫
(
=
)
(
)
(
)
(
)
( )-
1
= 0,10 y
f(x) = 1/x
x
0,6956
Hallar: ∫
usando la regla del trapecio con n = 6
Solución: Aquí a=0 y b=3 Así que:
100
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Entonces los extremos de los seis subintervalos son x 0;0,5;1;1,5;2;2,5;3 y los valores de
,(
∫
)
,(
(
)
)-
(
)-
y
f(x)=e^(-x^2)
x
0,8862
MÉTODO DEL PUNTO MEDIO
∫ ( )
, (̅ )
(̅ )
(̅ )
(̅ )-
Donde:
̅
(
)
,
-
101
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Ejemplo Aplique la regla del punto medio, con n = 10, para hallar, aproximadamente, la integral 1
0
e x dx x f (0,05) f (0,15) .... f (0,85) f (0,95) 2
[ ] = 1,460393
y
f(x)=e^(x^2)
1,460393 x
ACTIVIDAD Use la regla del trapecio para aproximar la integral con el valor especificado de n. 1. ∫ √
2. ∫
3.
∫
rpta : 1,913972
,
n=6
rpta : 0,481672
n=10
rpta: 0,746211
102
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4. ∫
(
)
rpta : 0,451948
5. ∫
rpta : 2,031893
6. ∫
rpta : 0,409140
7. ∫
rpta : 1,064275
Use la regla del punto medio para aproximar la integral con el valor especificado de “n”.
8. ∫
(
)
rpta : 0,451991
9. ∫
rpta : 0,388849
10. ∫
rpta : 1,067416
103
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TEMA 3 Integral Doble e Integral Triple
Competencia: “Utiliza convenientemente las reglas de integración para la integral doble y triple”.
104
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Tema 03: Integral Doble e Integral Triple ∫ ∫ (
)
Solución:
∫ 0∫ (
)
1
∫ ,
-
∫ [(
)— (
∫ (
)]
) -
∫ ∫ (
)
Solución:
∫ 0∫ (
)
1
∫ ,
-
∫ [(
)— (
∫ (
)]
) -
∫ ∫ Solución:
∫ 0∫
1
∫ ,
-
∫ (
) -
.
/
.
/
105
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∫ ∫
( (
)
( (
-
∫
)
) )
Solución:
∫ 0.
/
.
/1
-
Ejemplos:
(
∫ ∫ ∫
)
Resolución ∫ ∫ ,(
)
∫ ∫ .
/
∫ ,.
/
∫ .
/
,
-
-
-
∫ ∫
∫
Resolución ∫ ∫ ∫ ,
∫ -
∫ ∫ ∫ (
(
) )
106
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∬ (
)
Resolución ) ∬ ( ∫ 0
∫ .∫ ( 1
∫ (
)
∫ ,
/
√
√
( )
-
)
∫ .∫
∬
/
Resolución ( )
∫ .∫
∬
0
∫ (
/
)
1
( )
∬(
∫ .∫ (
)
)
/
Resolución ∫ .∫
∬
∫ .∫ (
/
∫ (,
-
)
/
)
En los ejercicios 1 al 5, evaluar la integral triple.
1. ∫ ∫ ∫ ( 2. ∫ ∫ ∫
)
4. ∫ ∫
∫
√
5. ∫ ∫ ∫
3. ∫ ∫ ∫
107
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TEMA 4 Aplicaciones de las Integrales
Competencia: “Conoce y Aplica la integral definida para la solución de problemas”.
108
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Tema 04: Aplicaciones de las Integrales Ejercicios: Después de producir 1000 televisores, una empresa determina que su planta de ensamblado está siguiendo una curva de aprendizaje de la forma
( )
en donde f(x) es el número de horas–hombre requeridos a fin de ensamblar el televisor número x + 1 estime el número total de horas – hombre requeridas en el ensamblado de 4000 televisores adicionales.
Solución: El número total de horas hombre requerido en el ensamblado de todos los televisores adicionales después de los primeros 1000 está dado por: 5000
T
5000
1000
f ( x)dx
5000
1000
20 x
x 0,1521 dx 20. 0,152 1 1000
0 ,152
20 (5000) 0,848 (1000) 0,848 2359(1370 350) 0,848 24,060
Las tasas de costo e ingreso de cierta operación minera está dada por C(t) = 5 + 2 t2/3 y R(t)=17 - t2/3 en donde C y R se miden en millones de dólares y t en años. Determine cuánto deberá prolongarse la operación y encuentre la utilidad total que puede obtenerse durante este período.
Solución: R’ (T)= Tasa de Ingreso C’ (T)=Tasa de costo de operación 2
C (T) 5 2T 3 2
R (T) 17 - T 3 “C” y “R” se miden en millones de dólares y “T” en años. El instante óptimo T1 quedará como resultado la utilidad máxima. Será en el instante en que las dos tasas (de costo e ingreso) son iguales. Es decir C’ (T)= R’ (T)
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b)
a) 2 3
5 2T 17 T
8
Utilidad 0
2 3
2 3
2 2 8 17 T 3 5 2T 3 dT 0 2 8 12 3T 3 dT 0
3T 12 2 3
T 4 T 4
R' T C ' T dT
2 8 3
8
T 12T 3. 3,2 5 3 0
En consecuencia la operación
5 3
deberá mantenerse por T1 = 8 años
millones de dólares
Una compañía minera debe decidir entre dos estrategias para explotar sus recursos. Invirtiendo $ 10 millones en maquinarias será capaz de producir una utilidad neta de $3 millones anuales de manera que el recurso durará 10 años. Alternativamente, la compañía puede invertir $ 15 millones en una maquinaria mejor para obtener una utilidad neta de $5 millones anuales por un período de 7 años. Suponiendo una tasa de descuento nominal de 10% ¿Cuál estrategia deberá utilizar la compañía?
Solución a) La primera estrategia: Tiene una razón de utilidad de f(t)=3, (3 millones anuales) Tiempo = ¿ = 10 años
Valor presente
Descuento nominal= r= 10% =0,1
VP F (T ).e rT dT
T
Valor presente P1
10
0
30e 0,1T
0
3e 0,1T dT 10
100 10
30 1 e 1 10 8,964 millones de dólares 7
b)
P2 5e 0,1T dT 15 50 1 e 0,7 10,171 millones de dólares 0
Por lo tanto la segunda estrategia Primera estrategia: 8,964 millones de dólares
es mejor (estrategia de desarrollo
Segunda estrategia: 10,171 millones de dólares
de recursos).
110
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Lecturas Recomendadas
INTEGRALES MULTIPLES http://www.uhu.es/07021/ficheros/Temas/amte04.pdf
INTEGRALES MULTIPLES 2 http://www.fermat.uma.es/docs/analisis/presentaciones/presentacionesfermat3. pdf
LA INTEGRAL DEFINIDA Y SUS APLICACIONES http://www.uoc.edu/in3/emath/docs/Integral_Definida.pdf
CÁLCULO - GUÍA DIDÁCTICA Y MÓDULO http://www.funlam.edu.co/administracion.modulo/NIVEL-02/Calculo.pdf
Actividades y Ejercicios 1. Si: (
)
a) 28
, determinar el valor de
(
c) 30
d) 50
e) 18
c)
d) 1
e) -1
b) 55/3
c) -68/3
d) 55/2
e) -2/25
b) 1/2
c) 35/21
d) 2/5
e) 3/2
d) 4
e) 5
b) -28
2. Evaluar : ∫ (
)
a) 3x
3. Evaluar: ∫
)
b) 5x
(
∫
a) 30/2
)
4. Evaluar: ∫ ∫ a) 25
∫ ∫
5.
a) 1
b) 2
(
) c) 3
Realiza los ejercicios y envía esta actividad a través de “Ejercicios de la UA4”.
111
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Autoevaluaciones ∫ √
1) a) 16/3
b) 2/15
c)3/7
d) 4/3
e)2/3
c) 0
d) -1
e) 3
∫ √
2) a) -1
b) 2
3) Calcular el valor aproximado de la integral definida por la regla trapecial para el valor de n indicando ∫ √
; n = 6 (señala el valor más cercano a tu
respuesta).
a) 3,6894
4) ∫ ∫
b) 4,5842
(
a) 11/16
a) 5
d) 5,4578
e) -2,4586
c) 4/7
d) 5/12
e) 9/7
d) 8
e) -2
) b) 8/15
∫ ∫ (
5)
c) 0,1475
)
b) 6
c) -8
6) Las funciones de oferta y demanda de cierto producto están dadas por p = g(x) = 52 + 2x
y
p = f (x) =100 – x2 respectivamente. Determinar el superávit del consumidor y del productor, suponiendo que se ha establecido el equilibrio del mercado. a) 100 y 36
b) 36 y 72
c) 144 y 36
d) 100 y 72
e) 144 y 72
112
Resumen
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UNIDAD DE APRENDIZAJE Iv
Derivadas Parciales
Integral Doble o Triple
Si: z = f(x, y) , las primeras derivadas parciales de f con respecto De la misma manera en que la integral de una función positiva f (x) de una
a x y a y, son las funciones fx y fy definidas por :
(
(
)
)
(
variable definida en un intervalo puede interpretarse cómo el área entre la
)
gráfica de la función y el eje x en ese intervalo, la doble integral de una función positiva f (x, y) de dos variables, definida en una región del plano xy,
(
(
)
)
(
)
se puede interpretar como el volumen entre la superficie definida por la función y el plano xy en ese intervalo. Al realizar una "integral triple" de una
Observación: Existen varias notaciones para la derivada parcial:
(
)
(
)
(
)
(
)
Regla del Trapecio
Método del Punto Medio
(
función f (x, y, z) definida en una región del espacio xyz, el resultado es
)
un hipervolumen, sin embargo es bueno notar que si f (x, y, z) = 1 el resultado se puede interpretar como el volumen de la región de integración.
(
∫
( )
∫
( )
)
, ( )
, (̅ )
( )
(̅ )
( )
( )
(̅ )
113
(
(̅ )-
)
(
)-
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Glosario
FUNCIÓN MATEMÁTICA: En matemáticas,
una función,
aplicación o mapeo f es
una relación entre
un
conjunto dado X (el dominio) y otro conjunto de elementos Y(el rango) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento del rango f(x). Se denota por:
FUNCIÓN EXPONENCIAL: La función exponencial, es conocida formalmente como la función real ex, donde e es el número de Euler, aproximadamente 2.71828.... Esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función. Se denota equivalentemente como f(x)=ex o exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa del logaritmo natural.
FUNCIÓN LOGARÍTMICA: Dado un número real (argumento x), la función logaritmo le asigna el exponente n (o potencia) a la que un número fijo (base b) se ha de elevar para obtener dicho argumento. Es la función inversa de la exponencial x = bn. Esta función se escribe como: n = logb x, lo que permite obtener n.
(esto se lee como: logaritmo en base "b" de "x" es igual a "n"; sí y solo si "b" elevado a la "n" da por resultado a "x") La base b tiene que ser positiva y distinta de 1
.
x tiene que ser un número positivo (x > 0). n puede ser cualquier número real
.
Así, en la expresión 102 = 100, el logaritmo de 100 en base 10 es 2, y se escribe como log10 100 = 2.
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS: Las funciones trigonométricas, en matemáticas, son relaciones angulares que se utilizan para relacionar los ángulos del triángulo con las longitudes de los lados del mismo según los principios de la Trigonometría.
114
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Las
funciones
trigonométricas
son
de
gran
importancia
en física, astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones, la representación de fenómenos periódicos, y otras muchas aplicaciones.
FUNCIÓN RACIONAL: En matemáticas, una función racional es una función que puede ser expresada de la forma:
Donde P y Q son polinomios y x una variable, siendo Q distinto del polinomio nulo. Las funciones racionales están definidas o tienen su dominio de definición en todos los valores de x que no anulen el denominador.
INTEGRACIÓN: Proceso mediante el cual se construye una función real, a partir del conocimiento de sus cambios, causados por otra variable.
PRINCIPIO DE SUSTITUCIÓN El principio de sustitución en la teoría de límites consiste en evaluar o sustituir directamente en la función el valor al cual tiende la variable.
COORDENADAS POLARES
La transformación de coordenadas rectangulares a polares. Se puede notar que el área de la región polar es distinta que la de la región rectangular, lo que justifica la necesidad del jacobiano. También se puede demostrar que si se consiera ρ = (ρ1 + ρ2) / 2 (el radio medio), el área de la región polar es efectivamente ρΔρΔθ. En un espacio R2, un dominio de integración que tenga una simetría circular es muchas veces suceptible de ser transformado de coordenadas rectangulares a
115
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polares, lo que significa que cada punto P (x, y) del dominio de una integral doble tomará su valor correspondiente en coordenadas polares mediante la siguiente transformación:
Por ejemplo: Si la función es Aplicando la transformación se obtiene la función fácilmente integrable con respecto a φ y a ρ.
Se pueden obtener funciones incluso más simples: Si la función es
Uno tiene:
Si aplica la identidad trigonométrica pitagórica de senos y cosenos.
El determinante jacobiano de la transformación es:
El cual se obtiene insertando las derivadas parciales de x = ρ cos(θ), y = ρ sin(θ) en la primera columna con respecto a ρ y en la segunda con respecto a φ. Por lo tanto, una vez transformada la función, y multiplicada por su determinante jacobiano, ésta es igual a la integral original:
116
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COORDENADAS ESFÉRICAS
Gráfica de las coordenadas esféricas. Cuando existe simetría esférica en un dominio en R3, es posible utilizar una transformación hacia coordenadas esféricas para simplificar una integral triple. La función es transformada por la relación:
El determinate jacobiano de la transformación es el siguiente:
Tomando el valor absoluto del determinante se obtiene el factor que se debe añadir a la integral. Por lo tanto los diferenciales dx dy dz se transforman en ρ2 sin(φ) dρ dθ dφ. Finalmente se obtiene la fórmula de integración:
COORDENADAS CILÍNDRICAS
Gráfica de las Coordenadas Cilíndricas (Se muestra el ángulo θ como φ).
117
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El uso de coordenadas cilíndricas para transformar una integral triple, es conveniente especialmente cuando el dominio de integración presenta simetría alrededor del eje z. La función se transforma mediante la siguiente relación.
El determinante jacobiano de la transformación es el siguiente:
Por lo tanto, se puede derivar la siguiente fórmula de integración:
INTEGRAL MÚLTIPLE: Una integral múltiple es un tipo de integral definida aplicada a funciones de más de una variable real, por ejemplo, f (x, y) ó f (x, y, z).
APLICACIONES DE LA INTEGRAL EN DISCIPLINAS ADMINISTRATIVAS La integración es fundamental para la toma de decisiones en la Administración, debido a que permite realizar cálculos de las funciones a partir de su dinámica o sus cambios generados por otras variables.
SUPERÁVID ECONÓMICO: El término superávit económico se refiere a la diferencia de los ingresos sobre los gastos (egresos)
en
una organización durante
un
periodo
determinado.
Concretamente, el superávit de un Estado se debe a que recauda más por impuestos, tasas, retenciones, etc., que lo que gasta en proveer servicios públicos y pagar deudas. Normalmente no entran dentro de este concepto los préstamos para hacer frente a alguna deuda ni los capitales de amortización.
118
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MATLAB: MATLAB (abreviatura de MATrix LABoratory, "laboratorio de matrices") es un software matemático que ofrece un entorno de desarrollo integrado (IDE) con un lenguaje de programación propio (lenguaje M). Está disponible para las plataformas Unix, Windows y Apple Mac OS X. Puedes
encontrar
su
manual
en:
http://www.zona-net.com/cursos-y-
manuales/descargar-manual-matlab-en-espanol
119
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Fuentes de Información BIBLIOGRÁFICAS:
STEWART, James. “Cálculo, Conceptos y contextos”. Edit. Internacional Thomson. Editores , cuarta, 2001 HAASER – LASALLE. “Análisis Matemático Vol. I”. SULLIVAN. Edit. Trillas, séptima MITACC MEZA, Máximo. “Tópicos de Cálculo I y II”. Editorial Thales 1999. SWOKOWSKI, Earl. “Cálculo con geometría analítica”. Grupo Editorial Iberoamericana, segunda 1989 LEITHOLD, Louis. “El Cálculo, editorial Harla, México 2004”. VENERO, Armando. “Análisis Matemático I”. Editorial Ciencias. S.R.L. Lima, 1991. SOO TANG TAN . “Matemática Para La Administración Y Economía”. Tercera , 2005 LEITHOLD LOUIS. “Cálculo Para Ciencias Administrativas, Biológicas Y Sociales”. Tercera 2005 CLAUDIA NEUHAUSER. “Matemática Para Ciencias”. Segunda, 2004 AYRA –LARDNER. “Matemática Para Ciencias”. Cuarta 2004 GEORGE B. THOMAS, JR. “Calculo Una Variable”. Undécima Edición, 2006
ELECTRONICAS:
DERIVADAS Derivada - trigonométricas y potencias http://www.youtube.com/watch?v=pf7JO5cYBnk&feature=channel
Derivadas http://www.decarcaixent.com/actividades/mates/derivadas/default.htm
Derivadas de Primer Nivel http://www.derivadas.es/ejercicios-primer-nivel.htm
Tabla de Derivadas http://www.terra.es/personal2/jpb00000/tabladerivadas.htm
Derivada - Función elevada a una función http://www.youtube.com/watch?v=W-Rt_6PD8Cc&feature=channel
120
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INTEGRAL INDEFINIDA Integrales Inmediatas http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Problemas/54-1-p-INM.HTML http://euler.us.es/~renato/clases/programa/node3.html
La Integral Indefinida de Funciones de una Variable http://www.emp.uva.es/inf_acad/hermer/mate2/material/m2_prevt_integracion.pdf
La Integral Indefinida http://www.zweigmedia.com/MundoReal/tutorials4/frames6_1.html
Una Cierta Integral Indefinida http://personales.ya.com/casanchi/mat/unaintegral01.htm
Tabla de Integrales http://www.vitutor.com/integrales/indefinidas/tabla_integrales.html
Integral Indefinida y Definida http://chr1614.googlepages.com/Integrales.pdf
INTEGRAL DEFINIDA Apuntes de análisis y cálculo http://www.biopsychology.org/apuntes/calculo/calculo3.htm http://www.hiru.com/es/matematika/matematika_04700.html
Integral Definida http://www.vitutor.net/1/integral_definida.html http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/ La_integral_definida_y_la_funcion_area/index.htm
Integral Definida http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/cursoelsie/integracion-definida/html/integracion.pdf
DERIVADAS PARCIALES Interpretación geométrica de la derivada parcial http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/SUPERIOR/t3DerivadaParcial/node2.html
Derivadas Parciales http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Derivadas_parciales
121
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VIDEOS
DERIVADAS Calculo diferencial: rapideces de variación relacionadas http://www.youtube.com/watch?v=ldnKNhU1F0Q&feature=related
Reglas básicas de Derivación: Ejemplo1 http://www.youtube.com/watch?v=i1w_M_PT1kc&feature=related
Derivada - logaritmos, potencias y cocientes http://www.youtube.com/watch?v=0cZBxsvkNSI&feature=channel
INTEGRALES Integral involving substitution for an lynx term http://www.youtube.com/watch?v=WRZQaBeQH4M
Tabla de Anti derivadas inmediatas http://www.youtube.com/watch?v=MErL326vV0M
Ejercicio de Cálculo Diferencial e Integral - Parte 1 http://www.youtube.com/watch?v=cZ9SNTHsgb8&NR=1
Cálculo integral http://www.youtube.com/watch?v=fESUu8BXQaI&NR=1
Cálculo de una integral indefinida sencilla http://www.youtube.com/watch?v=rw_4LTlYGgo&feature=fvw
Integral indefinida de un polinomio http://www.youtube.com/watch?v=gxYYQEu6__4&feature=channel
Integral de polinomio partido raíz monomio http://www.youtube.com/watch?v=igEUyO2GCO8&feature=channel
Integral fracciones simples (Raíz compleja simple) http://www.youtube.com/watch?v=M3AGaJeuQo0&feature=channel
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Solucionario UNIDAD DE APRENDIZAJE 1
1. B
UNIDAD DE APRENDIZAJE 2: 1. A
2. B
2. D
3. B
3. B
4. A
4. C
5. A
5. A
6. A
UNIDAD DE
UNIDAD DE
APRENDIZAJE 3:
APRENDIZAJE 4:
1. A
1. A
2. B
2. C
3. B
3. A
4. A
4. A
5. E
5. C
6. A
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UNIDAD DE APRENDIZAJE Nº1
SOLUCIÓN DE LAS ACTIVIDADES 1.- ∫ Resolviendo usando Matlab: Ingresa línea por línea el siguiente código: Syms x n; f=x^n; int(f) ans = x^(n+1)/(n+1)
2.- ∫ Syms x; f=1/x; int(f) ans = log(x) 3.-
a dx 3 dx x
x
Syms x; f=3^x; int(f); ans = 1/log(3)*3^x
4.
x
2
dx dx 2 2 a x 22 >> Syms x; >> f=1/x^2-2^2; >> int(f) ans = -1/x+4*x
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UNIDAD DE APRENDIZAJE Nº1
SOLUCIÓN DE LA AUTOEVALUACIÓN 1. Calcular ∫
( x3 +1 ) 3/2
Solución: u = x3 + 1
du = 3x2 dx
∫ = = ( x3 +1 ) 5/2 + C Rpta. B 2.
∫
√
Solución: 1
1
1 1 x2 dx 1 dx x 2 dx C 2 1 x x2 2
X C
Rpta. B 3.
∫
√
Solución:
3
1 3 3 X2 C X 2 Rpta. B
4.
∫
(
)
Solución:
Ln (2 x 1)dx u = Ln (2x-1) du= uv-
2 dx 2x 1
d v = dx
v=x
2
v du xLn(2 x 1) x. 2 x 1 dx
125
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1
1 2 x 1 dx
x Ln(2x – 1 ) -
x Ln(2x – 1 ) – x -
Ln 2 x 1 2
C
1 x Ln(2 x 1) C 2 Rpta. A 5. Calcular : ∫
(
)
dx
Solución: Sea u = Ln x ∫
(
)
du =
dx = ∫
(
)
dx = = ∫
du = (
3
) Rpta. A
6. Calcular:
x
2
ln xdx
Solución:
Haciendo:
dx du u ln x x 2 3 dv x dx v x 3
Ahora reemplazamos en la fórmula de integración por partes:
u dv uv v du x 3 x 3 dx 2 2 Simplificando: x ln xdx ln x dx ln x 3 3 x
x3 1 x 3 ln x x 3 ln x x 2 dx c 3 3 3 9 Rpta. A
126
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UNIDAD DE APRENDIZAJE Nº2
SOLUCIÓN DE LAS ACTIVIDADES
1. Calcular: ∫ Syms x; f=sin(x); int(f) ans = -cos(x)
2. Calcular: ∫ Syms x; f=cos(x); int(f) ans = sin(x)
3
∫ Syms x ; f=sec(x)^2; int(f) ans = sin(x)/cos(x)
4
∫ Syms x; f=csc(x)^2; int(f) ans = -cos(x)/sin(x)
5. Calcular: ∫ f=sec(x).*tan(x); int(f) ans = sec(x)
127
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UNIDAD DE APRENDIZAJE Nº2
SOLUCIÓN DE LA AUTOEVALUACIÓN 5 Sen xdx
1. Solución:
1 cos x 5
sen
4
x
1 4 4 cos x sen x 5 5
4 3 x dx sen 5
1 2 2 cos x sen x senx 3 3
1 4 8 4 2 cos x. sen x cos x. sen x cos x 5 15 15
= - Cos x + Cos3 x -
+C Rpta. A
Cos xSen 3
2.
4
xdx
Solución:
Cos 2 xCosx Sen 4 xdx
(1 Sen 2 x)CosxSen 4 xdx (1 Sen x) Sen xCos xdx 2
4
Haciendo
4
u = Senx du = Cosx dx
1 u 2 u 4 du
(u u )du 4
5
6
Observación:
sen x cos xdx m
n
si m y n son pares. Reducir los exponentes de m y n usando las fórmulas del ángulo mitad.
si n es impar Sen
7
u u 5 7
m
xCos n xdx Sen m xCos n1Cosx dx
utilizar: Cos 2 x 1 Sen 2 x hacer u = Senx 5
7
x sen sen 5
7
x
c
si m es impar
Sen
m
xCos n xdx Sen m1 xCos n Senx dx
utilizar : Sen 2 x 1 Cos 2 x Aplicar u = cosx Rpta. D
128
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3. Hallar: ∫
√
Solución:
x
dx 4 x 2 16
dx
x 2 x 4 2 2
Vamos a aplicar: ∫
= arc Sec
√
Entonces hacemos: u = 2x a=4 du= 2dx (en el ejercicio se va a multiplicar al numerador y denominador por 2) Se tiene:
x
dx 4 x 2 16
dx x 2 x 4 2 2
2x
2dx 2 x 2 4 2
2x 1 arc sec c 4 4 Rpta. B
4. Hallar:
x
dx 2
2x 5
3
2
Solución:
x 12 4
A la integral la escribiremos así:
x
dx 2
2x 5
3
2
x-1
dx
x 1
2
2
2
x 1
2
2
1 2 2
2
x 1 x 1 tg arct Se toma la función: 2 2 dx 2 sec 2 d x 1 2tg Además: sec
x 12 4 2
x 12 4 2 sec
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Ahora hacemos la sustitución en la integral:
x
dx 2
2x 5
3
2
dx
x 1
2
2 2 x 1 2 2 2
1 2
2 sec 2 d 1 cos d 2 4 sec .2 sec 4
sen x 1 c c 2 4 4 x 2x 5 Rpta. C
5. Hallar:
4x 2 9x 1 x 3 2 x 2 x 2dx
Solución: Factorizando la función polinómica del denominador:
Q( x) x 3 2 x 2 x 2 x 1x 1x 2 a la integral dada la expresamos así: A 4x 2 9x 1 4x 2 9x 1 B C dx x 3 2 x 2 x 2 x 1x 1x 2 X 1 X 1 X 2 dx Para calcular A, B y C:
4x 2 9x 1 A B C A( x 1)( x 2) B( x 1)( x 2) C ( x 1)( x 1) x 1x 1x 2 x3 2x 2 x 2 x 1 x 1 x 2 Puntos Críticos: *
+
Igualamos los numeradores:
4 x 2 9 x 1 Ax 1x 2 Bx 1x 2 C x 1x 1
x 1 6 2 A A 3 Para x 1 12 6 B B 2 x 2 3 3c C 1 Reemplazando estos valores tenemos:
A 4x 2 9x 1 B C 3 2 1 x 3 2 x 2 x 2dx X 1 X 1 X 2 dx x 1 x 1 x 2 dx 2 3 x 1 x 1 2 ln x 1 3 ln x 1 ln x 2 c ln
x2
c
Rpta. A
130
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UNIDAD DE APRENDIZAJE Nº3
SOLUCIÓN DE LAS ACTIVIDADES
1. Solución:
Rpta. A
2. Solución:
Rpta. C 3. Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 4x − x 2 y el eje OX. Solución: En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje OX para representar la curva y conocer los límites de integración.
En segundo lugar se calcula la integral:
Rpta. A
131
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4. Hallar el volumen del tronco de cono engendrado por la rotación alrededor OX del área limitada por y = 6 − x, y = 0, x = 0, x = 4. Solución:
Rpta. D 5. Encuentre la longitud del arco de la curva 9 y 2 4 x 3 del origen al
punto 3;2 3 . Solución:
4x3 y 9 2
De: 9 y 2 4 x 3
y
Se tiene:
4x3 9 3
y
Ahora hallamos la derivada de y:
2 2 x 3
y´ x
1 2
2
L
Entonces se tiene:
3
0
12 3 1 x dx 1 x dx 0
Ahora hacemos:
t 1 x t 2
X=0 ; t = 1
1 x
2
t 1 x 2
2t dt dx
X = 3 ; t = 2
Ahora en L:
L
3
0
2
2
2
1 x dx t (2t )dt 2t 2 dt 2 t 2 dt 1
1
1
2
t3 8 1 7 14 2 2 2 3 3 3 3 3 1 Finalmente:
L
14 u 3
Rpta. B
132
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UNIDAD DE APRENDIZAJE Nº3
SOLUCIÓN DE LA AUTOEVALUACIÓN 1)
Evaluar : 52 x 6 dx 0
4
3
Solución
0
3
52 x 6 dx = 2 2 x 6 dx
0
3
0
4
4
3
(1)
0 4 52 x 6 dx = 5 2 x 65
3
10
1 1 52 x 6 dx = 510 20 6 10 2 3 6 0
4
5
5
3
3888 4 5 2 x 6 dx 5 0 3 5 0
0
3
52 x 6 dx 3888 4
Rpta. A 2) Solución
Rpta. B
133
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3) Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 9 − x2 y el eje OX. Solución: En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje OX para representar la curva y conocer los límites de integración.
Como la parábola es simétrica respecto al eje OY, el área será igual al doble del área comprendida entre x = 0 y x = 3.
Rpta. B 4) Calcular el área del recinto limitado por la curva y = x2 − 4x y el eje OX.
Solución:
Rpta. A 5) Calcular el volumen engendrado por la rotación del área limitada por la parábola y 2 = x y la recta x = 2, alrededor del eje OY. Solución: Como gira alrededor del eje OY, aplicamos:
El volumen será la diferencia del engendrado por la recta y el engendrado por la parábola entre los extremos y = −4 e y = 4. Como la parábola es simétrica con respecto al eje OX, el volumen es igual a dos veces el volumen engendrado entre y = 0 e y = 4.
Rpta. E
134
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6) Calcular la longitud del arco de la curva y = x3/2 entre x = 0 y x =5. Solución: 1
3 y´ x 2 dx 2
Tenemos:
2
L
Luego en L:
5
0
3 12 5 9 1 x dx 1 x 0 4 2 X=0; t = 1
Ahora hacemos:
X=5; t = 7/2
2
9 9 9 t 1 x t 2 1 x t 2 1 x 4 4 4
2t dt 9 dx 8 dt dx 4
9
Luego se tiene: 7
7 2 1
7 2 1
7 2 1
8 8 8 L t. tdt t 2 dt 9 9 9
8 t 3 2 8 3 t 2 dt t 9 3 1 27
7 2 1
3 8 7 8 343 8 335 335 3 1 1 27 2 27 27 8 27 8
Por lo tanto:
L
335 unidades 27 Rpta. A
135
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UNIDAD DE APRENDIZAJE Nº4
SOLUCIÓN DE LAS ACTIVIDADES 1. Si: (
)
, determinar el valor de
(
)
Solución:
( )
(
)( )
Rpta. B 2. Evaluar : ∫ (
)
Solución: 7 4
5
Rpta. C ∫ ∫
Evaluar:
(
)
Solución:
2 x y dxdy x y 1
3
1
3
2
1 y
y 1
3
1
3
1
2
1
2
y
2
y 1
y 2 x dy 1 y
y 1 1 y 2 y 2 1 y dy 3
2y3 2y4 54 81 2 1 68 2 y 2 y dy 4 1 3 2 3 2 3 3 2
3
Rpta. C 4. Evaluar: Solución:
∫ ∫ 1
1 x 0
1 ydy dx 1
1 y2 x 1 2 dx 1 2 x 2 dx 2 x 1 0
1 1 1 1 0 2 2 2 21 Rpta. B
136
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5.
(
∫ ∫ Solución:
∫
)
(
) -
(
) ∫ (
) 7
Rpta. B
137
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UNIDAD DE APRENDIZAJE Nº4
SOLUCIÓN DE LA AUTOEVALUACIÓN ∫ √
1)
Solución:
( )
( )
Rpta. A y
∫ √
2)
Nota: Si ambos límites son el mismo número, el resultado de la integración es igual a cero.
Rpta. C
x
3) Calcular el valor aproximado de la integral definida por la regla trapecial para
el valor de n indicando
2
0
1 x 4 dx
;n=6
Solución: Hallaremos: x
20 1 6 3
Entonces los extremos de los seis subintervalos son
x 0; Y la función:
f ( x)
1 2 4 5 ; ;1; ; ;2 3 3 3 3
1 x4
138
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2
1 x 4 dx
0
x 1 2 4 5 f ( 0 ) 2 f ( ) 2 f ( ) 2 f 1 2 f 2 f f 2 2 3 3 3 3
1 1 21,0062 2(1,0943) 21,4142 22,0397 22,9523 4,1231 6
Luego se tiene el valor aproximado:
2
0
1 x 4 dx 3,6894 Aprox.
Rpta. A 4)
x
1 22 X
0 0
2
y 2 1 dy dx
Solución 1
0
2 2 x
1 3 2 x y 3 y y 0
1 14 14 dx x 3 10 x 2 10 x dx 0 3 3 1
7 4 10 14 11 x 5x 2 x 6 3 3 0 16 Rpta. A
5)
∫ ∫ (
)
∫ (
)
Solución
7 (
)—
∫ (
) 7
(
)—(
)
Rpta. C
139
