Analisis Matematico II

ANÁLISIS MATEMÁTICO II

Joel J. Bastidas Valdivia

Cada autor es responsable del contenido de su propio texto. De esta edición: © Universidad Continental S.A.C 2012 Jr. Junin 355, Miraflores, Lima-18 Teléfono: 213 2760 Derechos reservados Primera Edición: Noviembre 2013 Tiraje: 500 ejemplares Autor: Joel J. Bastidas Valdivia Oficina de Producción de Contenidos y Recursos Impreso en el Perú - Solvimagraf S.A.C Jr. Emilio Althaus N° 406 Of. 301 - Lince [email protected] Fondo Editorial de la Universidad Continental

Todos los derechos reservados. Esta publicación no puede ser reproducida, en todo ni en parte, ni registrada en o trasmitida por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio sea mecánico, fotoquímico, electrónico, magnético, electroóptico, por fotocopia, o cualquier otro sin el permiso previo por escrito de la Universidad.

ÍNDICE INTRODUCCIÓN 7 DIAGRAMA DE PRESENTACIÓN DE LA ASIGNATURA 9 UNIDAD I: “INTEGRALES INDEFINIDAS Y MÉTODOS DE INTEGRACIÓN”

11

DIAGRAMA DE PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD I TEMA N°1: INTEGRALES INDEFINIDAS 1 Antiderivadas o primitivas.



12

2 La integral indefinida definición y propiedades.

12

3 Integración directa

13

TEMA N° 2: MÉTODOS DE INTEGRACIÓN I 1 Integración por sustitución (Cambio de variable)

18

2 Integración por partes

26

LECTURA SELECCIONADA: “Un poco de historia y el nacimiento del cálculo” Fuente: Engler A, Muller D, Vrancken S, Hecklein M. El Cálculo Diferencial. Buenos Aires: Universidad Nacional del Litoral. Pág. 14-16.

30

ACTIVIDAD N°1

33

TEMA N°3: MÉTODOS DE INTEGRACIÓN II 1 Integrales de funciones trigonométricas.

34

2 Integrales de funciones trigonométricas inversas.

35

3 Sustituciones trigonométricas.

38

4 Integración de funciones racionales mediante fracciones simples o parciales.

39

ACTIVIDAD N°2

43

CONTROL DE LECTURA Nº1

43

AUTOEVALUACIÓN NO. 01

46

BIBLIOGRAFÍA DE LA UNIDAD I

48

UNIDAD II: “LA INTEGRAL DEFINIDA Y SUS APLICACIONES”

51

DIAGRAMA DE PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD II TEMA N° 1: LA INTEGRAL DEFINIDA. 1 Sumas de Rieman y la integral definida.

52

TEMA N° 2: TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO. 1 Teorema del valor medio para integrales.

60

2 Segundo teorema fundamental del cálculo.

62

ACTIVIDAD N°1

64

TEMA N° 3: APLICACIÓN DEL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO 1 Cambio de variable para integrales definidas.

65

2 Integración por partes para integrales definidas.

67

TEMA N° 4: APLICACIONES DE LA INTEGRAL 1 Área de una región entre dos curvas

68

2 Calculo de arco y superficie de revolución.

70

3 Cálculo de volúmenes por el método de los discos, arandelas (anillos) y por el método de las capas.

74

LECTURA SELECCIONADA: “Área” Fuente: Larson R. Hostetler R. Edwards B. Cálculo integral. Editorial Mc Graw Hill. Pág. 86. 2009.

82

ACTIVIDAD N°2

85

TAREA ACADEMICA Nº1

85

AUTOEVALUACIÓN Nº 2

87

BIBLIOGRAFÍA DE LA UNIDAD II

89

UNIDAD III: “ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Y SUS APLICACIONES”

93

DIAGRAMA DE PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD III TEMA N° 1: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN. 1 Nociones básicas

94

2 Generalidades.

96

TEMA N° 2: MÉTODOS CLÁSICOS DE SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN. (EDO) 1 EDO de variables separables.

97

2 EDO reducibles a variables separables.

98

3 EDO homogéneas.



99

4 EDO reducible a homogéneas.

100

5 EDO exactas.

104

6 EDO reducible a exactas.

107

7 EDO lineales.

110

8 EDO de Bernoulli.

113

ACTIVIDAD N°1

116

TEMA N° 3: APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN. 1 Crecimiento y descomposición.

116

2 Problemas de dilución (Ecuación de la continuidad).

119

3 Vaciado de tanques.

122

4 Aplicaciones a la física.

128

CONTROL DE LECTURA Nº 2

129

AUTOEVALUACIÓN Nº 3

131

BIBLIOGRAFÍA DE LA UNIDAD III

134

UNIDAD IV: “TRANSFORMADA DE LAPLACE”

137

DIAGRAMA DE PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD IV TEMA N° 1: TRANSFORMADA DE LAPLACE 1 Introducción.

138

2 Definición.

138

3 Transformada inversa de Laplace.

140

TEMA N° 2: TEOREMAS DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE. 1 Primer teorema de Traslación.

142

2 Transformada de la derivada.

142

3 Transformada de la integración.

142

4 Solución de ecuaciones diferenciales en condiciones iniciales aplicando la Transformada de Laplace.

142

LECTURA SELECCIONADA: “Ley de Newton de la dinámica” Fuente: Courant R. Robbins H. “Qué son las matemáticas? Editorial Fondo de cultura económica.



Pág. 503 y 504. 2008.

146

ACTIVIDAD N°1

147

TAREA ACADEMICA Nº 2

147

AUTOEVALUACIÓN Nº 4

149

BIBLIOGRAFÍA DE LA UNIDAD IV

151

INTRODUCCIÓN

E

l cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación; es muy común en la ingeniería y en la matemática en general y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución. Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos. La integral definida de una función representa el área limitada por la gráfica de la función, con signo positivo cuando la función toma valores positivos y negativo cuando toma valores negativos. Las derivadas y las integrales tienen diferentes campos de aplicación, pero en este caso en particular, nos referiremos a los beneficios que se obtienen mediante el uso de las integrales. Para llevar a cabo estas aplicaciones, nos valemos del uso de dos herramientas elementales: * Las integrales definidas y

integración indefinidafue inicialmente la dominante. El Cálculo Integral incluía además de la integración de funciones, los problemas y la teoría de las ecuaciones diferenciales, el cálculo variacional, la teoría de funciones especiales, etc. Tal formulación general creció inusualmente rápido. Euler necesitó en los años 1768 y 1770 tres grandes volúmenes para dar una exposición sistemática de él. Según Euler el Cálculo Integral constituía un método de búsqueda, dada la relación entre los diferenciales o la relación entre las propias cantidades. La operación con lo que esto se obtenía se denominaba integración. El concepto primario de tal Cálculo, por supuesto, era la integral indefinida. El propio Cálculo tenía el objetivo de elaborar métodos de búsqueda de las funciones primitivas para funciones de una clase lo más amplia posible. Los logros principales en la construcción del Cálculo Integral inicialmente pertenecieron a J. Bernoulli y después a Euler, cuyo aporte fue inusitadamente grande. La integración llevada por este último hasta sus últimas consecuencias y las cuadraturas por él encontradas, todavía constituyen el marco de todos los cursos y tratados modernos sobre Cálculo Integral, cuyos textos actuales son sólo modificaciones de los tratados de Euler en lo relativo al lenguaje.

* El Teorema Fundamental del Cálculo Integral Los creadores del Análisis Infinitesimal introdujeron el Cálculo Integral, considerando los problemas inversos de sus cálculos. En la teoría de fluxiones de Newton la mutua inversibilidad de los problemas del cálculo de fluxiones y fluentes se evidenciaba claramente. Para Leibniz el problema era más complejo: la integral surgía inicialmente como definida. No obstante, la integración se reducía prácticamente a la búsqueda de funciones primitivas. La idea de la

Principales objetivos a estudiar en el presente texto son: * Integrales indefinidas * Métodos de integración * Integrales definidas * Aplicaciones de la integral definida. * Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. * Transformada de Laplace.

8

Desarrollo de contenidos

PRESENTACIÓN DE LA ASIGNATURA ANALISIS MATEMATICO II Diagrama

Objetivos

Lecturas seleccionadas

Glosario

Recordatorio

Anotaciones

Inicio

COMPETENCIA DE LA ASIGNATURA Aplica los métodos y técnicas del cálculo integral de funciones en una variable, para sus aplicaciones en el campo de las ciencias e ingeniería.

Desarrollo Autoevaluación el desarrolloActividades de la integral definida y de contenidos

Glosario UNIDADES DIDÁCTICAS

Lecturas seleccionadas

UNIDAD I

Bibliografía

UNIDAD II

“Integrales “La Integral definida Indefinidas y y sus aplicaciones ” Métodos de Recordatorio Anotaciones Integración”

UNIDAD III

UNIDAD IV

“Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden y sus aplicaciones”

“Transformada de Laplace”

UNIDAD III

UNIDAD IV

TIEMPO MÍNIMO DE ESTUDIO UNIDAD I

UNIDAD II

1ª y 2ª semana

3ª y 4ª semana

5ª y 6ª semana

7ª y 8ª semana

16 horas

16 horas

16 horas

16 horas

ANÁLISIS MATEMÁTICO II Actividades Autoevaluación MANUAL AUTOFORMATIVO

Bibliografía

9

10

UNIDAD I: INTEGRALES INDEFINIDAS Y MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

Desarrollo de contenidos

Diagrama

Desarrollo de contenidos

Diagrama Lecturas seleccionadas

Objetivos

Inicio Lecturas seleccionadas

Glosario

Recordatorio

Anotaciones

UNIDAD I: INTEGRALES INDEFINIDAS Y MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Actividades

Autoevaluación

DIAGRAMA DE PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD Objetivos Glosario

Inicio Bibliografía

CONTENIDO

Desarrollo de contenidos Recordatorio

Actividades Anotaciones

Lecturas seleccionadas

Glosario

Autoevaluación

LECTURAS SELECCIONADAS

BIBLIOGRAFÍA

ACTIVIDADES

AUTOEVALUACIÓN

Bibliografía

ORGANIZACION DE LOS APRENDIZAJES Recordatorio

ANÁLISIS MATEMÁTICO II Actividades Autoevaluación MANUAL AUTOFORMATIVO

Anotaciones

CONOCIMIENTOS

PROCEDIMIENTOS

Tema N°1:Integrales indefinidas 1. Antiderivadas o primitivas 2. La integral indefinida definición y propiedades 3 Integración directa Tema N°2: Métodos de integración I 1. Integración porsustitución (Cambio de variable) 1.1. Integración de las funciones logaritmo natural 1.2. Integración de las funciones exponenciales 2. Integración por partes Lectura seleccionada 1: “Un poco de historia y el nacimiento del cálculo” Fuente: Engler A, Muller D, Vrancken S, Hecklein M. El Cálculo Diferencial. Buenos Aires: Universidad Nacional del Litoral. Pág. 14-16 Tema N° 3: Métodos de integración II 1. Integrales de funciones trigonométricas 2. Integrales de funciones trigonométricas inversas 3. Sustituciones trigonométricas 4. Integración de funciones racionales mediante Fracciones simples o parciales Autoevaluación Nº 1

1. Calcula integrales inmediatas usando las reglas. Analiza las antiderivadas usando un sistema de coordenadas. Resuelve ejercicios de cálculo. Como una manera de afianzar sus conocimientos

ACTITUDES

Demuestra perseverancia para resolver los diferentes problemas del cálculo integral que se 2. Aplica la integración por partes apliquen dentro adecuadamente. Resuelve ejerci- del campo cios de cálculo integral utilizan- de acción de do el método de integración por su profesión, mostrando partes interés por Actividad N° 1 conocer Aplicación: “Integrándonos al los campos turismo interno” teóricos del cálculo integral Los contenidos de apoyo para el desarrollo de la actividad 1 pertenecen a los temas 1 y 2 de la semana 1 3. Aplica las reglas de integración adecuadamente para funciones trigonométricas 4. Aplica la integración para fracciones simples o parciales y otras técnicas de integración Actividad N° 2 Resuelve un conjunto de ejercicios respecto al tema 3 y 4 Control de Lectura Nº 1 Prueba escrita. (Objetiva o cuestionario) sobre los temas de las semanas 1y 2

Bibliografía

11

12

ollo nidos

Actividades

Autoevaluación

as nadas

Glosario

Bibliografía

torio

Anotaciones

UNIDAD I: INTEGRALES INDEFINIDAS Y MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

ANÁLISIS MATEMÁTICO II Desarrollo Actividades Autoevaluación UNIDAD I: INTEGRALES INDEFINIDAS Y MÉTODOS DE INTEGRACIÓN de contenidos MANUAL AUTOFORMATIVO

Lecturas seleccionadas

TEMA N° 1: INTEGRALES INDEFINIDAS

Glosario

1 ANTIDERIVADAS O PRIMITIVAS: 2 Suponer que se decide encontrar una función F cuya derivada es f ( x) = 3x . Recordatorio Por lo que se sabe de derivadas es posible afirmar que:

d

 x3  = 3x 2

F ( x) = x3 Porque dx   La función F es una antiderivada de f. Definición de una antiderivada o primitiva Se dice que una función F es una antiderivada o primitiva de f. en un intervalo I si F '( x) = f ( x) para todo x en I.

Nótese que F es una antiderivada de f, en vez de la antiderivada de f. Para entender por qué, observar que:

F1 ( x) = x31 F2 ( x) = x3 − 5, y F3 ( x) = x3 + 97 2 Son todas antiderivadas de f ( x) = 3x .

De hecho, para cualquier constante K, la función dada por antiderivada de f.

F ( x= ) x3 + K

es una

TEOREMA 1: Representación de antiderivadas o primitivas

Si F es una antiderivada de f en un intervalo I, entonces G es una antiderivada de f en el intervalo I si y sólo si G es de la forma G= ( x) F ( x) + K , para todo x en I, donde C es una constante. 2 La integral indefinida, definición y propiedades:

Cuando se resuelve una ecuación diferencial de la forma:

dy = f ( x) dx

Es conveniente escribirla en la forma diferencial equivalente: dy = f ( x)dx. La operación para determinar todas las soluciones de esta ecuación se denomina antiderivación (o integración indefinida) y se denota mediante un signo integral

∫

La solución general se denota mediante:

∫

La expresión f ( x)dx se lee como la antiderivada o primitiva de f con respecto a x. De tal manera, la diferencial de dx sirve para identificar a x como la variable de integración. El término integral indefinida es sinónimo de antiderivada. La naturaleza inversa de la integración y la derivación pude verificarse sustituyendo

Anotaciones

Bibliografía

13

14

ollo nidos

Actividades

Autoevaluación

as nadas

Glosario

Bibliografía

torio

UNIDAD I: INTEGRALES INDEFINIDAS Y MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

F ( x) por f ( x) en la definición de integración indefinida para obtener:

Anotaciones

)dx ∫ F '( x=

Además, si

F ( x) + K La integración indefinida es la “inversa” de la derivación.

)dx ∫ f ( x=

F ( x) + C entonces

d  f ( x)dx  = f ( x) La derivación es la “inversa” de la integración indefinida. dx  ∫ Estas dos ecuaciones permiten obtener directamente fórmulas de integración a partir de fórmulas de derivación, como se muestra en el siguiente resumen. Reglas básicas de integración y algunas propiedades de la integral indefinida Fórmula de derivación

d [C ] = 0 dx d [ kx ] = k dx d [ kf ( x)] = kf '( x) dx d [ f ( x) ± g ( x)] = f '( x) ± g ( x) dx d n  x  = nx n−1 dx   d [ sen x ] = cos x dx d [cos x ] = − sen x dx d [ tan x ] = sec2 x dx d [sec x ] = sec x tan x dx d [cot x ] = − csc2 x dx d [csc x ] = − csc x cot x dx

Fórmula de integración

∫ 0dx = C ∫ k dx=

ck + C

∫ k f ( x)dx = k ∫ f ( x)dx ∫ [ f ( x) ± g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx ≠ ∫ g ( x)dx x n+1

∫ x dx = n + 1 + C , n ≠ 1 n

x dx ∫ cos =

sen x + C

x dx ∫ sen =

cos x + C

∫ sec

2

x= dx tan x + C

dx ∫ sec x tan x=

∫ csc

2

sec x + C

x dx = − cot x + C

− csc x + C ∫ csc x cot x dx =

3 Integración directa: En esta sección se calcula integrales indefinidas utilizando de manera directa las reglas básicas de integración presentadas en la sección anterior, en los siguientes ejemplos se muestra el procedimiento. EJEMPLO 1: Aplicación de las reglas básicas de integración Describir las antiderivadas o primitivas de 5x. Solución:

ANÁLISIS MATEMÁTICO II Desarrollo Actividades Autoevaluación UNIDAD I: INTEGRALES INDEFINIDAS Y MÉTODOS DE INTEGRACIÓN de contenidos MANUAL AUTOFORMATIVO

∫ 5x dx = 5 ∫ x dx

Regla del múltiplo constante.

= 5∫ x −1 dx

Rescribir x como x 2

 x2  = 5  + K  2

=

5 2 x + K 2

Lecturas seleccionadas

Glosario

Recordatorio

Anotaciones

Regla de potencia (n = 1)

Simplificar.

5 De tal manera, las antiderivadas o primitivas de 5x son de la forma x 2 + K , donde 2 K es cualquier constante.

Cuando se evalúan integrales indefinidas, una aplicación estricta de las reglas básicas de integración tiende a producir complicadas constantes de integración. En el caso del ejemplo 1 se podría haber escrito:

 x2  5 2 5 x dx = 5 x dx = 5  + K  = x + 5K . ∫ ∫  2  2 Sin embargo, como K representa cualquier constante, es tanto problemático como innecesario escribir 5K como la constante de integración. De tal modo, se escribe en la forma más simple,

3 2 x + 3K 2

3 2 x + K. 2

En el ejemplo 1, advertir que el patrón general de integración es similar al de la derivación. Figura No 1: PASOS PARA INTEGRAR

(Larson, Hostetler y Edwards. Calculo Integral: Segunda edición en español. Mexico 2009-Pág.13)

EJEMPLO 2: Reescribir antes de integrar Integral original

a)

1

∫x

3

dx

Reescribir

∫x

−3

dx

Integrar

x −2 +K −2

Simplificar

−

1 +K 2 x2

Bibliografía

15

16

ollo nidos

Actividades

Autoevaluación

as nadas

Glosario

Bibliografía

torio

UNIDAD I: INTEGRALES INDEFINIDAS Y MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

b)

∫

1

x dx

∫ x dx 2

x

Anotaciones

3

c) ∫ 2 sen x dx

3

2

2 32 x +K 3

+K

2

−2 cos x + K

2(− cos x) + K

2∫ sen x dx

Recordar que, por simple derivación, puede comprobarse si una primitiva es co-

2

3

2 rrecta. Así, en el ejemplo 2b, para saber si la primitiva x + K es correcta, basta 3 con derivarla para obtener

2 2   2  3  1 2 Dx  x3= + K   = x 3   3  2 

x

Usar la derivación para verificar la antiderivada. Las reglas básicas de infracción listadas en la sección anterior permiten integrar cualquier función polinómica, como se muestra en el ejemplo 3. EJEMPLO 3: Integración de funciones polinómicas

a) ∫ dx = ∫ 1 dx

Se entiende que el integrando es uno.

= x + K Integrar.



b) ∫ ( x + 2)dx =

x2 + K1 + 2 x + K 2 Integrar. 2

=

=

∫ x dx + 2 dx

x2 + 2 x + K K= K1 + K 2 2

La segunda línea en la solución suele omitirse.

 x5   x3  x 2 c) ∫ (3x 4 − 5 x 2 + x)dx = 3   − 5   + + K Integrar  5  3 2

3 5 5 3 1 2 x − x + x + K Simplificar 5 3 2

=



EJEMPLO 4: Reescribir antes de integrar

∫ = =

x +1 = dx x

1   x +  dx Reescribir como dos fracciones x x

∫ 

− ∫ ( x 2 + x 2 )dx 1

x 3

3

2

2

+

1

x 1

1

2

2

+K



Reescribir con exponentes fraccionarios

ANÁLISIS MATEMÁTICO II Desarrollo Actividades Autoevaluación UNIDAD I: INTEGRALES INDEFINIDAS Y MÉTODOS DE INTEGRACIÓN de contenidos MANUAL AUTOFORMATIVO

= =

2 32 1 x + 2x 2 + K 3

Lecturas seleccionadas

Glosario

Recordatorio

Anotaciones

Integrar

2 x ( x + 3) + K 3

Simplificar

NOTA: Cuando se integren los cocientes, no deben integrarse numerador y denominador por separado. Esto es incorrecto tanto en la integración como en la derivación. Al respecto, obsérvese el ejemplo 4.

1

x +1 2 dx x ( x + 3) + K no es lo mismo que ∫ x= 3

2

∫ ( x + 1)dx = 2 x + x + K ∫ x dx 2 x x + K 3

1

2

EJEMPLO 5: Reescribir antes de integrar

 1  sen x  sen x dx = ∫    dx Reescribir como un producto 2 x  cos x  cos x 

∫ cos

= ∫ sec x tan x dx

= sec x + K

Rescribir utilizando identidades trigonométricas Integrar

Condiciones iniciales y soluciones Particulares

∫

f ( x)dx tiene muchas soluciones (cada una difiSe ha visto que la ecuación y riendo de las otras en una constante). Eso significa que las gráficas de cualesquiera dos antiderivadas o primitivas de f son traslaciones verticales una de otra. Por ejemplo, la figura 2.2 muestra las gráficas de varias de las antiderivadas o primitivas de la forma.

y=

∫ (3x

3

− 1)dx = x3 − x + K



Solución general

Para diversos valores enteros de C. Cada una de estas antiderivadas o primitivas es una solución de la ecuación diferencial.

dy = 3x 2 − 1 dx En muchas aplicaciones de la integración se da suficiente información para determinar una solución particular. Para hacer esto, sólo se necesita conocer el valor de y = F ( x) para un valor de x. Esta información recibe el nombre de condición inicial. Por ejemplo, en la figura 2.2 sólo una de las curvas pasa por el punto (2,4) Para encontrar esta curva, se utiliza la siguiente información.

F ( x) = x3 − x + K

Solución general

F (2) = 4

Condición inicial

Utilizando la condición inicial en la solución general, es posible determinar que

F (2) = 8 − 2 + K = 4, lo que implica que K = −2 . De tal modo, se obtiene

F ( x) = x3 − x − 2

Solución particular

Bibliografía

17

18

ollo nidos

Actividades

Autoevaluación

as nadas

Glosario

Bibliografía

torio

UNIDAD I: INTEGRALES INDEFINIDAS Y MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

EJEMPLO 6: Solución de un problema de movimiento vertical Una pelota se lanza hacia arriba con una velocidad inicial de 64 pies por segundo a partir de una altura inicial de 80 pies. Anotaciones

a) Encontrar la función posición que expresa la altura s en una función del tiempo t. b) ¿Cuándo llegará la pelota al suelo? Solución: a) Considerar que t = 0 representa el tiempo inicial. Las dos condiciones iniciales indicadas pueden escribirse de la siguiente manera:



s (0) = 80

La altura inicial es 80 pies



s '(0) = 64

La velocidad inicial es de 64 pies por segundo

Utilizando – 32 pues/s2 como la aceleración de la gravedad, se tiene:



s ''(t ) = −32



s '(t ) = −32t + C1 ∫ s ''(t )dt = ∫ −32dt =

Empleando la velocidad inicial, se obtiene s’(0) = 64 = –32(0) + C1, lo cual implica que C1 = 64. Después, integrando s’(t), se obtiene:



2 s (t ) = ∫ s ''(t )dt =∫ (−32 + 64)dt =−16t + 64t + C2

Al utilizar la altura inicial se encuentra que



s (0) = 80 = −16(02 ) + 64(0) + C2

Lo que implica que C2 = 80. De ese modo, la función posición es



s (t ) = 16t 2 + 64t + 80

b)Utilizando la función posición que se encontró en el apartado a), es posible determinar el tiempo en que la pelota pega en el suelo al resolver la ecuación s(t) =0.



s (t ) = −16t 2 + 64t + 80



−16(t + 1)(t − 5) = 0



t = −1,5

Como t debe ser positiva, se puede concluir que la pelota golpea el suelo 5 segundos después de haber sido lanzada.

ANÁLISIS MATEMÁTICO II Desarrollo Actividades Autoevaluación UNIDAD I: INTEGRALES INDEFINIDAS Y MÉTODOS DE INTEGRACIÓN de contenidos MANUAL AUTOFORMATIVO

Lecturas seleccionadas

TEMA N° 2: “MÉTODOS DE INTEGRACIÓN I”

Glosario

1 INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN (CAMBIO DE VARIABLE) Con un cambio de variable formal se puede reescribir por completo la integral Recordatorio en términos de u y du (o cualquier otra variable conveniente). Aunque este procedimiento puede implicar más pasos escritos que el reconocimiento de patrones ilustrado en los ejemplos 1 a 3, resulta útil para integrados complicados. La técnica del cambio de variable utiliza la notación de Leibniz para la diferencial. Eso es, si

u = g ( x), entonces du = g '( x ) dx, y la integral en el teorema 2.2 toma la forma:

)dx ∫ f (u= )du ∫ f ( g ( x)) g '( x=

F (u ) + C

EJEMPLO 1: Cambio de variable Encontrar

∫

2 x − 1 dx

Solución:

u 2 x − 1 Calcular después la diferencial du Primero, sea u la función interior = de manera que du = 2 dx Ahora, utilizando para obtener:

 du  2 x − 1dx = ∫ u  2 

∫

=



= =

=

1 12 u du 2∫



1  u3 2   +C 2 3 2 



= 2x −1

u= y dx du / 2 , sustituir

Integrar en términos de u

Regla del múltiplo constante

Antiderivada en términos de u

1 32 u + C Simplificar 3

1 (2 x − 1)3 2 + C 3



Antiderivada en términos de x

EJEMPLO 2: Cambio de variable Encontrar

∫x

2 x − 1 dx

Solución:

u 2 x − 1 para obtener dx = du / 2 Como en el ejemplo previo, considerar que = Como el integrando contiene un factor de x se tiene que despejar x en términos de u, como se muestra:

u = 2 x − 1 ⇒ x = (u − 1) / 2 Resolver x en términos de u. Después de esto, utilizando la sustitución, se obtiene:

∫x

 u + 1  1 2  du  2 x − 1 dx = ∫  2  u  2 

Anotaciones

Bibliografía

19

20

ollo nidos

Actividades

Autoevaluación

as nadas

Glosario

Bibliografía

torio

UNIDAD I: INTEGRALES INDEFINIDAS Y MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

=

1 (u 3 2 + u1 2 )du ∫ 4

=

1  u5 2 u3 2  +  +C 4 5 2 3 2 

=

1 1 (2 x − 1)3 2 + (2 x − 1)3 2 + C 10 6

Anotaciones

Para completar el cambio de variable en el ejemplo 5, debe resolverse para x en términos de u. Algunas veces esto es muy difícil. Por formula no siempre es necesario, como se ilustra en el siguiente ejemplo. EJEMPLO 3: Cambio de variable

Determinar

∫ sen 3x cos3x dx 2

Solución Debido a que

sen 2 3x = ( sen3x)2 , podemos tomar u = sen3x.

Entonces:

du = (cos 3x)(3)dx Luego, debido a que cos3x dx es parte de la integral original, puede escribirse:

du = cos3x dx 3 Sustituyendo

u

y du / 3 en la integral original, se obtiene

∫ sen 3x cos3x dx = ∫ u 2



=

=

=

2

du 3

1 2 u du 3∫

1  u2   +C 3 3 

1 sen3 3x + C 9

Es posible verificar lo anterior derivando

d 1  1 sen3 3x  =   (3)( sen3x) 2 (cos3x)(3)  dx  9  9 2 = sen 3 x cos 3 x Como la derivación produce el integrando original, se ha obtenido la antiderivada o primitiva correcta. Los pasos que se utilizan para la integración por sustitución se resumen en la siguiente guía.

ANÁLISIS MATEMÁTICO II Desarrollo Actividades Autoevaluación UNIDAD I: INTEGRALES INDEFINIDAS Y MÉTODOS DE INTEGRACIÓN de contenidos MANUAL AUTOFORMATIVO

Lecturas seleccionadas

Estrategia para realizar un cambio de variable

1. Elegir la sustitución u = g ( x ) . Usualmente es mejor elegir la parte interna de una función compuesta, tal como una cantidad elevada a una potencia.

Recordatorio

2. Calcular du = g '( x)dx 3. Reescribir la integral resultante en términos de la variable u. 4. Encontrar la integral resultante en términos de u. 5. Reemplazar u por g ( x) para obtener una antiderivada o primitiva en términos de x. 6. Verificar la respuesta por derivación. La regla general de las potencias para integrales Una de las sustituciones u más comunes incluye cantidades en el integrando que se elevan a una potencia. Debido a la importancia de este tipo de sustitución, se le da un nombre especial: la regla general de las potencias para integrales. Una prueba de esta regla sigue directamente de la regla (simple) de las potencias para la integración, junto con el teorema 2.2. TEOREMA 2: La regla general de las potencias para integrales

TEOREMA 2: Si g es una función derivable de x, entonces: n

'( x)dx ∫ [ g ( x)] g=

[ g ( x) ]

n+1

+ C n ≠ −1

n +1

De manera equivalente, si u = g ( x), entonces: n du ∫u =

u n+1 + C n ≠ −1 n +1

EJEMPLO 4: Sustitución y regla general de las potencias 5

5 u     5 (3 x − 11) 4 4 3(3 x − 1) dx = (3 x − 1) (3) dx = +C ∫ ∫ 5 a) u4

du

2

2 u      2 ( x + x )2 2 2 (2 x + 1)( x + x ) dx = ( x + x )(2 x + 1) dx = −C ∫ ∫ 2 b) u1

du

32

c)

∫ 3x

2

u /(3/2)   u1 2 du     ( x3 − 2)3 2 2 3 2 12 2 x − 2dx= ∫ ( x + 2) (3x )dx= + C= ( x3 − 2)3 2 + C 32 3 −1

u ( −1)        −4 x (1 − 2 x 2 ) −1 1 2 −2 dx = (1 − 2 x ) ( − 4 x ) dx = +C − +C 2 ∫ (1 − 2 x ) ∫ −1 1 − 2 x2 u −2

d)

du

3

/3  u  u2 du      (cos x)3 2 2 − ∫ (cos x) (− sen x)dx = − +C ∫ cos xsen dx = 3 e)

Glosario

Anotaciones

Bibliografía

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Glosario

Bibliografía

torio

Anotaciones

UNIDAD I: INTEGRALES INDEFINIDAS Y MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

Algunas integrales cuyos integrados incluyen cantidades elevadas a potencias no pueden determinarse mediante la regla general de las potencias. Considerar las dos integrales:

∫ x( x

2

∫ (x

+ 1) 2 dx y

2

+ 1) 2 dx

2

u x + 1 funciona en la primera integral pero no en la segunda. La sustitución = En la segunda, la sustitución falla porque al integrando le falta el factor xnecesario para formar du. Por fortuna, esta integral particular puede hacerse desarrollando 2

2

4

el integrando como ( x + 1) = x + 2 x potencias para integrar cada término.

2

+1

y utilizando la regla (simple) de las

1.1 Integración de las funciones logaritmo natural. Regla log para integración Las reglas de derivación

d 1 ln x  = dx x

d u' ln u  =  dx u

Que se estudiaron en la sección anterior producen las siguientes reglas de integración: TEOREMA 2.5 : Regla log para integración

Sea u una función derivable de x.

1

dx ∫ x=

1.

1

ln x + C



2.

du ∫ u=

ln u + C

Como du = u ' dx la segunda fórmula puede expresarse como

u'

∫ u=

dx = ln u + C

Forma alternativa para la regla log.

EJEMPLO 1: Uso de la regla log para integración-

2

1

∫ x dx = 2∫ x dx

Regla del múltiplo constante

= 2ln x + C

Regla log para integración

= ln( x 2 ) + C

Propiedad de los logaritmos

2

Como x no puede ser negativo, el valor absoluto no es necesario en la formula final de la primitiva o antiderivada. EJEMPLO 2 Uso de la regla log con cambio de variable Hallar

1

∫ 4 x − 1 dx

Solución:

u 4 x − 1, entonces du = 4dx Si se toma =

1

1 

1



∫ 4 x − 1 dx = 4 ∫  4 x − 1  4 dx

Multiplicar y dividir por 4

ANÁLISIS MATEMÁTICO II Desarrollo Actividades Autoevaluación UNIDAD I: INTEGRALES INDEFINIDAS Y MÉTODOS DE INTEGRACIÓN de contenidos MANUAL AUTOFORMATIVO

Glosario

Recordatorio

Anotaciones

1 1 du Sustituir = u 4x −1 4∫u

=



Lecturas seleccionadas

1 ln u + C Aplicar la regla log 4

=

1 ln 4 x − 1 + C 4

=

En el ejemplo 3 usar la alternativa de la regla log. Para aplicar esta regla, buscar cocientes en los que el numerador sea la derivada del denominador. EJEMPLO 3: Integración de cocientes para la regla log

3x 2 + 1 dx = ln x3 + x + C a) ∫ 3 x +x

u = x3 + x

sec 2 x = dx ln tan x + C ∫ tan x

u = tan x

b)

x +1 1 2x + 2 dx = ∫ 2 dx + 2x 2 x + 2x 1 = ln x 2 + 2 x + C 2 c)

∫x

d)

∫ 3x + 2 dx = 3 ∫ 3x + 2 dx

=

2

1

1

3

= u x2 + 2 x

= u 3x + 2

1 ln 3x + 2 + C 3

Con antiderivadas o primitivas que contienen logaritmos es fácil obtener formas que hasta cierto punto se ven diferentes, pero que, sin embargo, son equivalentes. Por ejemplo, ¿cuáles de las siguientes son equivalentes a la antiderivada o primitiva en el ejemplo 3d?

ln (3x + 2)1/3 + C ,

1 2 ln x + + C , 3 3

1/3

ln 3x + 2 + C

Las integrales a las que se aplica la regla log aparecen a menudo disfrazadas. Por ejemplo, si una función racional tiene el numerador de grado mayor o igual que el del denominador, una división puede revelar una forma a la que se pueda aplicar la regla log. Esto se muestra en el ejemplo 4. EJEMPLO 4 Dividir antes de integrar

Hallar

x2 + x + 1 ∫ x 2 + 1 dx

Solución: Primero se utiliza la división larga par rescribir el integrado.

x2 + x + 1 ⇒ x2 + 1

x 2 + 1)

1 x2 + x + 1 ⇒ 1 + x x x2 + 1

Bibliografía

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Bibliografía

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Anotaciones

UNIDAD I: INTEGRALES INDEFINIDAS Y MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

Ahora, se puede integrar para obtener:.

x2 + x + 1 dx ∫ x2 + 1 = 1

∫ dx + 2 ∫ x

=



∫ 1 + x

2

x   dx + 1  Reescribir usando la división larga

2x dx +1

2

1 = x + ln ( x 2 + 1) + C 2

Reescribir como dos integrales Integrar

Verificar este resultado por derivación para obtener el integrado original, El siguiente ejemplo presenta otro caso en que el uso de la regla log está disfrazado. En este caso, un cambio de la variable ayuda a reconocer la regla log. EJEMPLO 5: Cambio de variable con la regla log.

Hallar

2x

∫ ( x + 1)

2

dx

Solución Si se toma u= x + 1, entonces du = dx y x= u − 1

2x

∫ ( x + 1)

2

dx = ∫

2(u − 1) du Sustituir u2

u 1  = 2∫  2 − 2  du u u 

= 2∫

du − 2∫ u −3du u

Reescribir como dos fracciones

Rescribir como dos integrales

 u −1  = 2ln u − 2   Integrar  −1  2 = 2ln u + + C u

= 2ln x + 1 +

2 +C x +1

Simplificar Sustitución regresiva

Comprobar este resultado por derivación para obtener el integrado original. Al estudiar los métodos mostrados en los ejemplos 4 y 5, está claro que ambos involucran reescribir el integrado disfrazado ajustando a una o más fórmulas básicas de integración. En las próximas secciones del capítulo 2 se estudiarán ampliamente las técnicas de integración. Para dominar estas técnicas se requiere reconocer la naturaleza de “probar y error” de la integración. En este sentido, la integración no es tan directa como la derivación. La derivación se plantea así: “He aquí la pregunta: ¿Cuál es la respuesta? La integración viene a ser más bien: “He aquí la respuesta: ¿Cuál es la pregunta?

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Las siguientes son estrategias que se pueden usar para la integración:

Lecturas seleccionadas

Glosario

Estrategias para la integración 1. Memorizar una lista básica de fórmulas de integración, (Incluyendo las daRecordatorio das en esta sección, ya disponemos de 12 fórmulas: la regla de las potencias, la regla log y 10 reglas trigonométricas. Al final del capítulo 2 la lista se ampliará a 20 reglas básicas) 2. Buscar una fórmula de integración que se parezca total o parcialmente al integrado y, por pruebas y error, elegir una u que ajuste el integrando a la fórmula. 3. Si no se puede hallar una sustitución u adecuada, intentar transformar el integrando, mediante identidades trigonométricas, multiplicación y división por la misma cantidad, o suma y resta de una misma cantidad. Se requiere ingenio. 4. Si se tiene acceso a un software de computadora que resuelva antiderivadas, es conveniente usarlo. EJEMPLO 6: Sustitución de u y la regla log.

Resolver la ecuación diferencial

dy 1 = dx x ln x

Solución: La solución se puede escribir como una integral indefinida

y=∫

1 dx x ln x

Como el integrando es un cociente con denominador de potencia 1 se puede intentar utilizar la regla log. Hay tres formas posibles para u. La forma u = x y

u = x ln x no logra ajustarse a la forma

u '/ u

de la regla log, pero sí la tercera

= u ln= x, u ' 1/ x se obtiene lo siguiente. forma. Haciendo 1

1/ x

∫ x ln x dx = ∫ x ln x dx

=∫

Dividir numerador y denominador entre x

u' dx Sustituir u = ln x u

= ln u + C

Aplicar regla log

= ln ln x + C Sustitución regresiva

Por lo tanto, la solución= es y

ln ln x + C

1.2 Integrales de funciones exponenciales. Cada fórmula de derivación para exponenciales tiene su correspondiente fórmula de integración. TEOREMA 3: Regla de integración para funciones exponenciales

Si u es una función derivable de x. 1.

∫ e dx= x

ex + C

2.

∫ e du= u

eu + C

Anotaciones

Bibliografía

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Bibliografía

torio

Anotaciones

UNIDAD I: INTEGRALES INDEFINIDAS Y MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

EJEMPLO 1: Integración de funciones exponenciales

∫e

Encontrar

3 x +1

dx

Solución:

u 3x + 1, entonces du = 3dx si se hace =

∫e

3 x +1

dx =

1 3 x+1 e (3)dx Multiplicar y dividir por 3. 3∫

1 u e du 3∫



=



1 = eu du 3

u 3x + 1 Sustituir =



e3 x+1 = +C 3

Aplicar la regla exponencial



Sustituir nuevamente

NOTA: En el ejemplo 10, el factor constante 3 se ha introducido para crear du = 3dx. Sin embargo, recordemos que no se puede introducir un factor variable faltante en el integrando. Por ejemplo:

∫e

− x2

dx ≠

1 − x2 e ( x dx) x∫

EJEMPLO 2: Integración de funciones exponenciales −x ∫ 5xe dx 2

Encontrar

Solución: Si se tiene u = − x

∫ 5xe =

− x2

∫ 5e = −

dx = ∫ 5e − x ( x dx)

n

2

 du  −   2 

5 u e du 2∫

− x2

= − e

Reagrupar el integrando

2 Sustituir u = − x



5 u = − e + C 2 5 2

entonces du = −2 x dx o x dx = − du / 2

+ C

Regla del múltiplo constante

Aplicar la regla exponencial

Sustitución regresiva

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EJEMPLO 3: Integración de funciones exponenciales. du   eu  e  1  dx = − ∫ e1/2  − 2  dx u = 1 a) ∫ 2 x x  x  1/ x

Lecturas seleccionadas

Glosario

Recordatorio

Anotaciones

u

e du    cos x cos x sen x e dx = − e ( − senx dx ) b) ∫ ∫

u = cos x

2 INTEGRACIÓN POR PARTES: En esta sección se estudiará una técnica importante de integración llamada integración por partes. Esta técnica puede aplicarse a una amplia variedad de funciones y es particularmente útil para integrados que contengan productos de funciones algebraicas y trascendentes. Por ejemplo, la integración por partes funciona bien con integrales como.

∫ x ln x dx,

∫x e

2 x

∫ e senx dx x

dx y

La integración por partes está basada en la fórmula para la derivada de un producto:

d dv du uv ] u + v [= = uv '+ vu ' dx dx dx

= uv

Integrando se obtiene

∫ udv + ∫ vdu

Volviendo a escribir esta ecuación se obtiene el teorema siguiente. TEOREMA 4: Integración por partes

Si u y v son funciones de x y tienen derivadas continuas, entonces:

∫ udv=

uv − ∫ vdu

Esta fórmula expresa la integral original en términos de otra integral. Dependiendo de la elección de u y dv, puede ser más fácil de evaluar la segunda integral que la original. Porque la elección de u y dv es importante en la integración por el proceso de partes, se proporcionan las pautas siguientes. Estrategias para integrar por partes 1. Intentar tomar como dv la porción más complicada del integrando que se ajuste a una regla básica de integración y como u el factor restante del integrando. 2. Intentar tomar como u la porción del integrando cuya derivada es una función más simple que u, y como dv el factor restante del integrado. EJEMPLO 1 Integración por partes

Encontrar

∫ xe dx

Solución Para aplicar la integración por partes es necesario escribir la integral en la forma

∫ u dv . Hay varias maneras de hacer esto.

e dx), ∫ ( e )( x dx), ∫ (1)( xe dx), ∫ ( xe )(dx) ∫ (x)(    x

u

dv

x

u

x

dv

u

dv

x

u

dv

Las estrategias de la página anterior hacen pensar en la elección de la primera op-

x, y dv = e x dx

ción porque la derivada de u = x es simple que es la porción más complicada del integrando que se adapta a una fórmula básica de la integración.

Bibliografía

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Bibliografía

torio

UNIDAD I: INTEGRALES INDEFINIDAS Y MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

∫ dv= ∫ e

dv= e x dx ⇒ v= Anotaciones

x

dx= e x

u =x ⇒ du =dx Ahora, la integración por partes:

∫ u dv=

uv − ∫ v du

dx ∫ xe =



xe − ∫ e dx

x

x

Fórmula de integración por partes

x

= xe x − e x + C

Sustituir



Integrar x

x

Para verificar esto, derivar xe − e + C para ver que se obtiene el integrando original. EJEMPLO 2 Integración por partes Encontrar

∫x

2

ln x dx

Solución: 2

En este caso, x se integra más fácil que In x. Además, la derivada de In x es más simple que In x. Así se debe hacer:

dv = x 2 dx dv = x 2 dx ⇒= v u = ln x ⇒ du =

2 ∫ x dx=

x3 3

1 dx x

La integración por partes produce:

∫ u dv=

uv − ∫ v du

2 x dx ∫ x ln=

= =

Fórmula de integración por partes

x3 1  x3   1  ln x − ∫     dx Sustitución 3 3  3  x 

x3 1 ln x − ∫ x 2 dx Simplificar 3 3 x3 x3 ln x − + C Integrar 3 9

Verificar este resultado derivando

d  x3 x3  x3  1  x2 2 2  ln x − =    + (ln x)( x ) − = x ln x dx  3 9  3  x 3 Una aplicación sorprendente de la integración por partes involucra integrados que

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Lecturas seleccionadas

constan de un solo factor, tales como

∫ ln x dx o ∫ arsen x dx.

Glosario

En estos casos hay que

tomar dv = dx, como se muestra en el próximo ejemplo.

Recordatorio

EJEMPLO 3: Integración sucesiva por partes Encontrar

∫ x sen x dx 2

Solución: Los factores x 2 y sen x son igualmente fáciles para integrar. Sin embargo la derivada de x 2 se vuelve más simple, considerando que la derivada de sen x no lo es. Así que, se debe elegir la opción u = x 2

dv = sen x dx ⇒ v = ∫ senx dx =−cos x u = x 2 ⇒ du = 2 x dx Ahora, la integración por partes produce

− x cos x + ∫ 2 x cos x dx ∫ x sen x dx = 2

2

Primer uso de la integración por partes

Este primer uso de la integración por partes ha tenido éxito simplificando la integral original, pero la integral de la derecha todavía no se adapta a una regla básica de integración. Para evaluar esa integral, aplicar de nuevo la integración por partes. Esta vez sea u = 2 x

= dv cos x dx = ⇒v

x dx ∫ cos=

senx

u = 2 x ⇒ du = 2dx Ahora, la integración pro partes produce:

= x dx ∫ 2 x cos

2 x sen x − ∫ 2 sen x dx Segundo uso de la integración por partes

= 2 xsenx + 2 cos x + C

Combinando estos dos resultados se puede escribir:

− x cos x + 2 x sen x + 2cos x + C ∫ x sen x dx = 2

2

Al hacer aplicaciones repetidas de la integración por partes, tener cuidado de no intercambiar las sustituciones en las aplicaciones sucesivas. Así, en el ejemplo 4, la 2 y dv senx dx. Si en la segunda aplicación se huprimera sustitución= era u x=

= = x y dv 2 x, se habría obtenido: biera cambiado la sustitución a u cos

− x cos x + ∫ 2 x cos x dx ∫ x sen x dx = 2

2



= − x 2 cos x + x 2 cos x + ∫ x 2 sen x dx



= ∫ x 2 sen x dx

Deshaciendo como consecuencia la integración anterior y volviendo a la integral original. Al hacer aplicaciones repetidas de integración por partes, también debe percatarse de la aparición de un múltiplo constante de la integral original. Por ejemplo, esto ocurre cuando se usa la integración por partes para evaluar

Anotaciones

Bibliografía

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Bibliografía

torio

UNIDAD I: INTEGRALES INDEFINIDAS Y MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

∫ e cos 2 x dx y también ocurre en el próximo ejemplo. x

Anotaciones

Figura no 2: Resumen de integrales comunes utilizando integración por partes.

Método tabular En problemas que contienen aplicaciones repetidas de la integración por partes, un método tabular, ilustrado en el ejemplo 6, puede ayudar para organizar el trabajo. Este método funciona bien para las integrales del tipo

∫ x sen ax dx, ∫ x ,cos ax dx y ∫ x n

n

n

eax dx

EJEMPLO 6 Uso del método tabular Encontrar

∫ x sen 4 x dx 2

' dx sen 4 x dx. Solución: Empezar como de costumbre haciendo u = x 2 = y dv v= Luego, crear una tabla de tres columnas, como se muestra. Signos u y sus

v ' y sus

Alternados derivadas 2

+

x

–

2x

+

2

–

0

antiderivadas sen x

1 − cos 4 x 4 −

1 sen 4 x 16

1 cos 4 x 64

Derivar hasta obtener una derivada nula. La solución se obtiene sumando los productos con signo de las entradas diagonales.

1

1

1

− x cos 4 x + x sen 4 x + cos 4 x + C ∫ x sen4 x dx = 4 8 32 2

2

Diagrama

Objetivos

Inicio

Desarrollo de contenidos

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LECTURA SELECCIONADA Glosario “Un pocoBibliografía de historia y el nacimiento del cálculo”1

Lecturas seleccionadas

Glosario

Recordatorio

Anotaciones

El Cálculo constituye una de las grandes conquistas intelectuales de la humanidad. Una vez construido, la historia de la matemática ya no fue igual: la geometría, el álgebra y la Recordatorio Anotaciones aritmética, la trigonometría, se colocaron en una nueva perspectiva teórica. Detrás de cualquier invento, descubrimiento o nueva teoría, existe, indudablemente, la evolución de ideas que hacen posible su nacimiento. Es muy interesante prestar atención en el bagaje de conocimientos que se acumula, desarrolla y evoluciona a través de los años para dar lugar, en algún momento en particular y a través de alguna persona en especial, al nacimiento de una nueva idea, de una nueva teoría, que seguramente se va a convertir en un descubrimiento importante para el estado actual de la ciencia y, por lo tanto merece el reconocimiento. El Cálculo cristaliza conceptos y métodos que la humanidad estuvo tratando de dominar por más de veinte siglos. Una larga lista de personas trabajaron con los métodos “infinitesimales” pero hubo que esperar hasta el siglo XVII para tener la madurez social, científica y matemática que permitiría construir el Cálculo que utilizamos en nuestros días. Sus aplicaciones son difíciles de cuantificar porque toda la matemática moderna, de una u otra forma, ha recibido su influencia; y las diferentes partes del andamiaje matemático interactúan constantemente con las ciencias naturales y la tecnología moderna. Newton y Leibniz son considerados los inventores del cálculo pero representan un eslabón en una larga cadena iniciada muchos siglos antes. Fueron ellos quienes dieron a los procedimientos infinitesimales de sus antecesores inmediatos, Barrow y Fermat, la unidad algorítmica y la precisión necesaria como método novedoso y de generalidad suficiente para su desarrollo posterior. Estos desarrollos estuvieron elaborados a partir de visiones de hombres como Torricelli, Cavalieri, y Galileo; o Kepler, Valerio, y Stevin. Los alcances de las operaciones iniciales con infinitesimales que estos hombres lograron, fueron también resultado directo de las contribuciones de Oresme, Arquímedes y Eudoxo. Finalmente el trabajo de estos últimos estuvo inspirado por problemas matemáticos y filosóficos sugeridos por Aristóteles, Platón, Tales de Mileto, Zenón y Pitágoras. Para tener la perspectiva científica e histórica apropiada, debe reconocerse que una de las contribuciones previas decisivas fue la Geometría Analítica desarrollada independientemente por Descartes y Fermat. Sin la contribución de éstos y de muchos otros hombres más, el cálculo de NewtonyLeibniz seguramente no existiría. Su construcción fue parte importante de la revolución científica que vivió la Europa del siglo XVII.Los nuevos métodos enfatizaron la experiencia empírica y la descripción matemática de nuestra relación con la realidad. La revolución científica supuso una ruptura con las formas de pensar, estudiar y vincularse con la naturaleza que dominaron casi absolutamente en Europa entre los siglos V y XV. Esta ruptura y salto en la historia del conocimiento estuvieron precedidos por las importantes transformaciones que se vivieron durante los siglos XV y XVI con el Renacimiento y la Reforma Protestante. El Cálculo Diferencial e Integral están en el corazón del tipo de conocimiento, cultura y de sociedad de la que, esencialmente, somos parte. El extraordinario avance registrado por la matemática, la física y la técnica durante los siglos XVIII, XIX y XX, se lo debemos al Cálculo infinitesimal y por eso se puede considerar como una de las joyas de la creación intelectual de la que el hombre puede sentirse orgulloso. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1

Engler A, Muller D, Vrancken S, Hecklein M. El Cálculo Diferencial. Buenos Aires: Universidad Nacional del Litoral. Pág. 14-16.

Bibliografía

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32

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Bibliografía

torio

UNIDAD I: INTEGRALES INDEFINIDAS Y MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

EL SIGLO XVII Y LA DISPUTA POR LA CREACIÓN DEL CÁLCULO

En sus comienzos el cálculo fue desarrollado para estudiar cuatro problemas científicos y matemáticos: Anotaciones

• Encontrar la tangente a una curva en un punto. • Encontrar el valor máximo o mínimo de una cantidad. • Encontrar la longitud de una curva, el área de una región y el volumen de un sólido. • Dada una fórmula de la distancia recorrida por un cuerpo en cualquier tiempo conocido, encontrar la velocidad y la aceleración del cuerpo en cualquier insta nte. Recíprocamente, dada una fórmula en la que se especifique la aceleración o la velocidad en cualquier instante, encontrar la distancia recorrida por el cuerpo en un período de tiempo conocido. En parte estos problemas fueron analizados por las mentes más brillantes de este siglo, concluyendo en la obra cumbre del filósofo-matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz y el físico-matemático inglés Issac Newton: la creación del cálculo. Se sabe que los dos trabajaron en forma casi simultánea pero sus enfoques son diferentes. Los trabajos de Newton están motivados por sus propias investigaciones físicas (de allí que tratara a las variables como “cantidades que fluyen”) mientras que Leibniz conserva un carácter más geométrico y, diferenciándose de su colega, trata a la derivada como un cociente incremental, y no como una velocidad. Leibniz no habla de derivada sino de incrementos infinitamente pequeños, a los que llama diferenciales. Un incremento de x infinitamente pequeño se llama diferencial de x, y se anota dx. Lo mismo ocurre para y (con notación dy). Lo que Newton llamó fluxión, para Leibniz fue un cociente de diferenciales (dy/dx). No resulta difícil imaginar que, al no poseer en esos tiempos un concepto claro de límite y ni siquiera de función, los fundamentos de su cálculo infinitesimal son poco rigurosos. Se puede decir que el cálculo de fluxiones de Newton se basa en algunas demostraciones algebraicas poco convincentes, y las diferenciales de Leibniz se presentan como entidades extrañas que, aunque se definen, no se comportan como incrementos. Esta falta de rigor, muy alejada del carácter perfeccionista de la época griega, fue muy usual en la época post-renacentista y duramente criticada. Dos siglos pasaron hasta que las desprolijidades en los fundamentos del cálculo infinitesimal se solucionaron, y hoy aquel cálculo, potencialmente enriquecido, se muestra como uno de los más profundos hallazgos del razonamiento humano. Resulta muy interesante la larga y lamentable polémica desatada a raíz de la prioridad en el descubrimiento. Al principio la disputa se realizó en el marco de la cortesía pero al cabo de tres décadas comenzó a ser ofensiva hasta que en el siglo XVIII se convirtieron en mutuas acusaciones de plagio. La polémica se tornó cada vez mayor y finalmente se convirtió en una rivalidad entre los matemáticos británicos y los continentales. La discusión siguió hasta mucho después de la muerte de los dos grandes protagonistas y, afortunadamente, hoy ha perdido interés y la posteridad ha distribuido equitativamente las glorias. Hoy está claro que ambos descubrieron este cálculo en forma independiente y casi simultánea entre 1670 y 1677, aunque fueron publicados unos cuantos años más tarde. La difusión de las nuevas ideas fue muy lenta y al principio sus aplicaciones escasas. Los nuevos métodos tuvieron cada vez más éxito y permitieron resolver con facilidad muchos problemas. Los nuevos logros fueron sometidos a severas críticas, la justificación y las explicaciones lógicas y rigurosas de los procedimientos empleados no se dieron hasta avanzado el siglo XIX, cuando aparecieron otros matemáticos, más preocupados por la presentación final de los métodos que por su utilización en la resolución de problemas concretos.

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EL SIGLO XVIII

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Durante buena parte del siglo los discípulos de Newton y Leibniz se basaron en sus trabajos para resolver diversos problemas de física, astronomía e ingeniería, lo que les permitió, al mismo tiempo, crear campos nuevos dentro de las matemáticas. Así,Recordatorio los hermanos Bernoulli inventaron el cálculo de variaciones y el matemático francés Monge la geometría descriptiva. Lagrange, también francés, dio un tratamiento completamente analítico de la mecánica, realizó contribuciones al estudio de las ecuaciones diferenciales y la teoría de números, y desarrolló la teoría de grupos. Su contemporáneo Laplace escribió Teoría analítica de las probabilidades (1812) y el clásico Mecánica celeste (1799-1825), que le valió el sobrenombre de “el Newton francés”. Sin embargo el gran matemático del siglo fue el suizo Euler, quien aportó ideas fundamentales sobre el cálculo y otras ramas de las matemáticas y sus aplicaciones. Euler escribió textos sobre cálculo, mecánica y álgebra que se convirtieron en modelos a seguir para otros autores interesados en estas disciplinas. El éxito de Euler y de otros matemáticos para resolver problemas tanto matemáticos como físicos utilizando el cálculo sólo sirvió para acentuar la falta de un desarrollo adecuado y justificado de las ideas básicas del cálculo. La teoría de Newton se basó en la cinemática y las velocidades, la de Leibniz en los infinitésimos, y el tratamiento de Lagrange era completamente algebraica y basada en el concepto de las series infinitas. Todos estos sistemas eran inadecuados en comparación con el modelo lógico de la geometría griega, y este problema no fue resuelto hasta el siglo posterior. A los matemáticos de fines del siglo el horizonte matemático les parecía obstruido. Se había llegado al estudio de cuestiones muy complicadas a las que nos se les conocía o veía un alcance claro. Los sabios sentían la necesidad de estudiar conceptos nuevos y hallar nuevos procedimientos. EL SIGLO XX Un problema importante fue definir el significado de la palabra función. Euler, Lagrange y el matemático francés Fourier aportaron soluciones, pero fue el matemático alemán Dirichlet quien propuso su definición en los términos actuales. En 1821, un matemático francés, Cauchy, consiguió un enfoque lógico y apropiado del cálculo y se dedicó a dar una definición precisa de “función continua”. Basó su visión del cálculo sólo en cantidades finitas y el concepto de límite. Esta solución planteó un nuevo problema, el de la definición lógica de número real. Aunque la definición de cálculo de Cauchy estaba basada en este concepto, no fue él sino el matemático alemán Dedekind quien encontró una definición adecuada para los números reales. Los matemáticos alemanes Cantor y Weierstrass también dieron otras definiciones casi al mismo tiempo. Además de fortalecer los fundamentos del análisis, nombre dado a partir de entonces a las técnicas del cálculo, se llevaron a cabo importantes avances en esta materia. Gauss, uno de los más importantes matemáticos de la historia, dio una explicación adecuada del concepto de número complejo; estos números formaron un nuevo y completo campo del análisis, desarrollado en los trabajos de Cauchy, Weierstrass y el matemático alemán Riemann. Otro importante avance fue el estudio de las sumas infinitas de expresiones con funciones trigonométricas, herramientas muy útiles tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas, hecho por Fourier. Cantor estudió los conjuntos infinitos y una aritmética de números infinitos. La teoría de Cantor fue considerada demasiado abstracta y criticada. Encontramos aquí un espíritu crítico en la elaboración de estas nociones tan ricas. Esto constituye un punto de vista muy diferente del que animaba a los matemáticos del siglo anterior. Ya no se trata de construir expresiones ni forjar nuevos métodos de cálculo, sino de analizar conceptos considerados hasta entonces intuitivos. Gauss desarrolló la geometría no euclidiana pero tuvo miedo de la controversia que pudiera causar su publicación. También en este siglo se pasa del estudio simple de los polinomios al estudio de la estructura de sistemas algebraicos.

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33

34

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UNIDAD I: INTEGRALES INDEFINIDAS Y MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

Los fundamentos de la matemática fueron completamente transformados durante el siglo XIX, sobre todo por el matemático inglés Boole en su libro Investigación sobre las leyes del pensamiento (1854). SIGLO XX Y NUESTROS DÍAS Es importante el aporte realizado por Lebesgue referido a la integración y a la teoría de la medida y las modificaciones y generalizaciones realizadas por matemáticos que lo sucedieron. En la Conferencia Internacional de Matemáticos que tuvo lugar en París en 1900, el matemático alemán David Hilbert, quien contribuyó de forma sustancial en casi todas las ramas de la matemática retomó veintitrés problemas matemáticos que él creía podrían ser las metas de la investigación matemática del siglo que recién comenzaba. Estos problemas fueron el estímulo de una gran parte de los trabajos matemáticos del siglo. El avance originado por la invención del ordenador o computadora digital programable dio un gran impulso a ciertas ramas de la matemática, como el análisis numérico y las matemáticas finitas, y generó nuevas áreas de investigación matemática como el estudio de los algoritmos. Se convirtió en una poderosa herramienta en campos tan diversos como la teoría de números, las ecuaciones diferenciales y el álgebra abstracta. Además, el ordenador permitió encontrar la solución a varios problemas matemáticos que no se habían podido resolver anteriormente. El conocimiento matemático del mundo moderno está avanzando más rápido que nunca. Teorías que eran completamente distintas se han reunido para formar teorías más completas y abstractas. Aunque la mayoría de los problemas más importantes han sido resueltos, otros siguen sin solución. Al mismo tiempo aparecen nuevos y estimulantes problemas y aún la matemática más abstracta encuentra aplicación. CONCLUSIONES El progreso de las ideas no se da en el tiempo a través de una trayectoria perfectamente delineada y preconcebida; existen muchos elementos que en la construcción son desechados, reformulados o agregados. Las concepciones filosóficas sobre la realidad, el papel de la ciencia, y en especial las concepciones sobre las características que debe reunir el conocimiento matemático para ser considerado como conocimiento científico, determinaron los enfoques realizados en cada época. El impacto que tuvieron los personajes y las contribuciones consignadas en la historia difícilmente puede ser comprendida cabalmente si estas consideraciones no se toman en cuenta.

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ACTIVIDAD N° 1: Autoevaluación

Esta actividad puede consultarla en su aula virtual.

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ANÁLISIS MATEMÁTICO II Desarrollo Actividades Autoevaluación UNIDAD I: INTEGRALES INDEFINIDAS Y MÉTODOS DE INTEGRACIÓN de contenidos MANUAL AUTOFORMATIVO

TEMA N° 3: MÉTODOS DE INTEGRACIÓN II

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1 INTEGRALES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS En la sección 2.3 se estudiaron seis reglas de integración trigonométricas, las seis Recordatorio que corresponden directamente a reglas de derivación. Con la regla log se puede completar el conjunto de reglas básicas de integración trigonométricas. EJEMPLO 1: Usando una identidad trigonométrica. Hallar

∫ tan x dx

Solución: Esta integral no parece adaptable a ninguna de las reglas básicas de la lista. Sin embargo, usando una identidad trigonométrica se tiene:

sen x

∫ tan x dx = ∫ cos x dx Sabiendo que

Dx [ cos x ] = − sen x, tenemos u = cos x y escribimos

∫ tan x dx = −∫

= −∫

− sen x dx cos x

u' dx Sustituir u = cos x u

= ln u + C



Identidad trigonométrica

= − ln cos x + C

Aplicar regla de log. Sustitución hacia atrás

En el ejemplo 7 se usó una identidad trigonométrica para derivar una regla de integración de la función tangente. En el siguiente ejemplo se efectúa a un paso algo inusual (multiplicar y dividir por una misma cantidad) para llegar a una fórmula de integración para la función secante.

EJEMPLO 2 Obtención de la fórmula para secante Hallar

∫ sec x dx

Solución: Considerar el siguiente procedimiento.

 sec x + tan x 

∫ sec x dx = ∫ sex x  sec x + tan x  dx

=∫

sec 2 x + sec x tan x dx sec x + tan x

Tomando

u

como el denominador de este cociente se obtiene:

u= sec x + tan x ⇒ u =' sec x tan x + sec2 x Así, se puede concluir que:

Anotaciones

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36

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UNIDAD I: INTEGRALES INDEFINIDAS Y MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

∫ sec x dx = ∫ Anotaciones

=∫



sec 2 x + sec x tan x dx sec x + tan x

Reescribir el integrando

u' dx Sustituir= u sec x + tan x u

= ln u + C

Aplicar regla de log

= ln sec x + tan x + C

Sustitución regresiva.

Con los resultados de los ejemplos 7 y 8 se dispone de las fórmulas de integración de sen x, cos x, tan x y nuación.

sec x Las seis reglas trigonométricas se resumen a conti-

Integrales de las seis funciones trigonométricas básicas

du ∫ senu=

cos u + C

du ∫ cos u=



− ln cos u + C ∫ tan u du =

∫ sec u du=

ln sec u + tan u + C

sec u + C

= u du ∫ cot

ln senu + C

− ln csc u − cot u + C ∫ csc u du =

EJEMPLO 3: Integración de funciones trigonométricas. Evaluar

∫

1 + tan 2 x dx

Solución: Recordando que

∫

1 + tan 2 x = sec2 x,

para escribir

2 1 + tan 2 x dx = ∫ sec x dx

= ∫ sec x dx

= ln sec x + tan x

2 INTEGRALES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS. EJEMPLO 1: Una comparación de tres integrales diferentes Encontrar cada integral

4 dx 2 ∫ a) x + 9

b)

4x ∫ x2 + 9 dx

c)

4 x2 ∫ x2 + 9 dx

Solución:

= u x= ya 3 a) Usar la regla del arcotangente y sea



∫x

2

4 1 dx = 4∫ 2 2 dx +2 x +3

x 1 = 4  arctan  + C 3 3  

Regla del múltiplo constante

Regla del arcotangente

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4 x arctan + C 3 3 Simplificar

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=

b) Aquí la regla del arcotangente no aplica porque el numerador contiene un fac-

u x 2 + 9 Entonces du = 2 x dx y se tor de x. Considerar la regla log y sea = tiene.

4x 2 x dx dx = 2∫ 2 +9 x + 9 Regla del múltiplo constante du = 2∫ u x2 + 9 u Sustitución =

∫x

2

= 2ln u += C 2ln( x 2 + 9) + C





Regla log.

c) Porque el grado del numerador es igual al grado del denominador se debe usar la división primero para volver a escribir la función racional impropia como la suma de un polinomio y una función racional propia.

4 x2 dx ∫ x2 + 9=



=



∫  4 − x

∫ 4dx − 36∫ x

2

36   dx +9

2



1 dx + 9

x 1 = 4 x − 36  arctan  + C 3 3





x = 4 x − 12arctan + C 3

EJEMPLO 2: Una sustitución del tipo

Encontrar

∫

x2 16 − x 6

Reescribir usando la división grande Escribir como dos integrales

Integrar

Simplificar

a2 − u 2

dx

Solución: Porque el radical en el denominador puede escribirse en la forma:

a2 − u 2 =

42 − ( x3 ) 2

Se puede probar la sustitución u = x3 . Entonces

∫

x2 16 − x 6



=

dx =

1 3x 2 dx 3 ∫ 16 − ( x3 ) 2

1 du ∫ 3 42 − u 2

du = 3x 2 dx

se obtiene:

Rescribir la integral

Sustitución u = x3

=

1 u arcsen + C 3 4

Regla del arcoseno

=

1 x3 arcsen + C 3 4

Reescribir como una función de x.

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UNIDAD I: INTEGRALES INDEFINIDAS Y MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

Sorprendente, dos de las reglas de la integración normalmente pasadas por alto son la regla log y la regla de las potencias. Notar en los próximos dos ejemplos cómo estas dos reglas de la integración pueden ocultarse. EJEMPLO 3: Una forma disfrazada de la regla log.

Encontrar

1

∫ 1+ e

x

dx

Solución La integral no parece adaptarse a ninguna de las reglas básicas. Sin embargo, la forma del cociente hace pensar en la regla log. Si se expresa

u = 1 + ex

x

, entonces du = e dx . Obtener el du requerido sumando y restando e x en el numerador, como sigue:

1 1 + ex − ex dx = ∫ 1 + ex ∫ 1 + e x dx  1 + ex ex − ∫  1 + e x 1 + e x

=

=

∫ dx − ∫

e x dx 1 + ex



  dx 



=x − ln(1 + e x ) + C

Sumar y restar e x en el numerador

Reescribir como dos fracciones

Rescribir como dos integrales Integral

NOTA: Hay más de una manera de resolver un problema de integración. Así, el ejemplo 15 demuestra que multiplicando el numerador y denominador por e− x se obtiene una integral de

∫

la forma − du / u. Ver si se puede conseguir la misma respuesta por este procedimiento (Tener cuidado: la respuesta aparecerá en una forma diferente.) EJEMPLO 4: Una forma disfrazada de la regla de las potencias. Encontrar

∫ (cot x) [ln(senx)] dx

Solución: De nuevo, la integral no parece adaptarse a ninguna de las reglas básicas. Sin embargo, considerando las dos opciones primarias par

= u [u cot = x y u ln( sen x)] ,

se puede ver que la segunda opción es la apro-

piada porque;

du u = ln( sen x) y =

cos x = dx cot x dx sen x

Así,

∫ (cot x) [ln(sen x)] dx = ∫ u du Sustitución u = ln (sen x) =

=

u2 + C Integrar 2

1 2 [ln(sen x)] + C 2

Reescribir como una función de x.

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NOTA: En el ejemplo 4, verificar que la derivada de Es el integrando de la integral original.

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1 2 [ ln( sen x)] + C 2

Repaso de las reglas básicas de integración (a > θ ) 1. 2.

∫ kf (u )du = k ∫ f (u )du

∫ [ f (u) ± g (u)]du = ∫ f (u)du = ∫ f (u)du + ∫ g (u)dx

∫ du=

u + C 4. ∫ u n= du

5. = ln u + C 6.

du u

∫ e du=

 1 u = 7. ∫ α du  ln α

∫

3.

∫

∫

 u α + C 

du sen u + C 9. cos u= 11.

= u du ∫ cos

u n+1 + C ≠ −1 n +1

u

eu + C

− cos u + C 8. sen u du = 10.

− ln cos u + C ∫ tan u du =

ln sen u + C 12. ∫ senu= du tan u + C

∫

∫

2

du 13. csc u du= ln csc u + cot u + C 14. sec u=

∫

2

− cot u + C 15. csc u du =

∫

du sec u + C 16. sec u tan u=

∫

du csc u + C 18. 17. csc u cot u=

1 u arctan + C a a

du +u

∫a

19. = 2 2

tan u + C

20.

∫

du u = arcsen + C 2 2 a a −u du

∫= u a −a 2

2

u 1 arc sec + C a a

Pueden usarse a menudo las identidades trigonométricas para adaptar integrados a una de las reglas básicas de la integración. 3 SUSTITUCIONES TRIGONOMÉTRICAS. EJEMPLO 1: Uso de identidades trigonométricas Encontrar

∫ tan

2

2x dx

Solución: Notar que la tan 2 u no está en la lista de reglas básicas de integración. Sin embargo, sec2 u está en la lista. Esto hace pensar en la identidad trigonométrica 2 tan = u sec 2 u − 1. Si se hace u = 2 x, entonces du = 2 dx y

∫ tan

2

2 x dx =

=

1 tan 2 u du 2∫

1 (sec 2 u − 1)du 2∫

Sustitución

u = 2x

Identidad trigonométrica

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UNIDAD I: INTEGRALES INDEFINIDAS Y MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

= Anotaciones

1 1 sec2 u du − ∫ du 2∫ 2

Rescribir como dos integrales

=

1 u tan u − + C Integrar 2 2

=

1 tan 2 x − x + C 2

Reescribir como una función de x.

Esta sección concluye con un resumen de los procedimientos comunes para adaptar los integrados a la regla básica de integración. Procedimiento para adaptar los integrales a las reglas básicas Técnica Ejemplo Desarrollar

(1 + e x )2 = 1 + 2e x + e 2 x

(el numerador)

1+ x 1 x = + x2 + 1 x2 + 1 x2 + 1

Separar el numerador

1

Completar el cuadrado

2x − x

2

=

1 1 − ( x − 1) 2

Dividir la función racional impropia

x2 1 = 1− 2 2 x +1 x +1

Sumar y restar términos en el numerador

2x 2x + 2 − 2 2x + 2 2 = = − x 2 + 2 x + 1 x 2 + 2 x + 1 x 2 + 2 x + 1 ( x + 1)2

Usar identidades

2 cot = x

trigonométricas

csc 2 x − 1

1 1    1 − senx  1 − sen x Multiplicar y dividir por el = =   conjugado pitagórico 1 + sen x  1 + senx   1 − senx  1 − sen 2 x

=

1 − senx senx = sec2 x − 2 cos x cos 2 x

NOTA: Recordar que se puede separar los numeradores pero no los denominadores. Se debe tener cuidado con este error común cuando se adapten los integrados a las reglas básicas.

1 1 1 ≠ 2+ x +1 x 1

No separar el denominador

2

4 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES MEDIANTE FRACCIO



NES PARCIALES ¿Cómo integrar una Función racional?



P( x) x3 + 2x + 4 = 4 Q( x) x + 3x 2 + 2 x + 1

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Respuesta: Expresándola como una suma de fracciones más simples, llamadas FRACCIONES PARCIALES. DESCOMPOSICION EN FRACCIONES PARCIALES

f ( x) = Consideremos la función racional:

P( x) Q( x)

Es posible expresar f como una suma de fracciones más sencillas, siempre que el grado de P sea menor que el grado de Q. Esa función racional se llama propia. Si f es impropia; esto es, si grado(P(x)) ≥ grado(Q(x)), debemos dividir Q entre P hasta obtener un residuo tal que

f ( x) =

P( x) R( x) = C ( x) + Q( x) Q( x)

El siguiente paso consiste en expresar la función racional propia R (x) / Q (x) como una suma de fracciones parciales, de la forma:

o bien

A A x +B i 2 (ax + b ) ax + bx + c

(

)

j

CASOS DE DESCOMPOSICION EN FRACCIONES PARCIALES CASO I: EL DENOMINADOR Q (X), ES UN PRODUCTO DE FACTORES LINEALES DISTINTOS. Esto significa que podemos escribir:

Q( x) = (a1 x + b1 )(a2 x + b2 )....(ak x + bk )

En donde no hay factor que se repita. Es este caso, el teorema de las fracciones parciales establece que existen constantes, A1, A2 , ..... A k tales que

Ak R( x) A1 A2 = + + ... + Q( x) (a1 x + b1 ) (a2 x + b2 ) (ak x + bk ) Ejercicios: Determine

5

1.

∫ (2 x + 1)(x − 2) dx



4 x 2 − 3x − 4 ∫ 3 2 dx 2. x + x − 2 x



∫ 3. x

2

1 dx −4

CASO II: Q (X) ES UN PRODUCTO DE FACTORES LINEALES, ALGUNOS DE LOS CUALES SE REPITEN Considere que el primer factor lineal factorización de Q (x) se obtiene

(a1 x + b1 )

(a1 x + b1 )

r

se repite r veces; esto es, en la

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42

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UNIDAD I: INTEGRALES INDEFINIDAS Y MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

Entonces, en lugar del término único

A1 (a1 x + b1 )

Emplearíamos:

A1 A2 Ar + + ... + 2 (a1 x + b1 ) (a2 x + b2 ) (ar x + br ) r Ejemplo:

Resolver

2x2 + x − 2 ∫ x(x − 1)2 dx

Solución:

2x 2 + x − 2 x(x − 1)

2

x = 1: C = 1

=

A B C + + x ( x − 1) ( x − 1) 2

x = 0: A = -2

x = -1: B = 4

2

2x + x − 2 − 2 4 1 = + + 2 x ( x − 1) ( x − 1) 2 x(x − 1) Integrando

Ejercicios:

Determine

1.

2. 3.

CASO III: Q (X) CONTIENE FACTORES CUADRÁTICOS IRREDUCIBLES, NINGUNO DE LOS CUALES SE REPITE

Si Q (x) tiene el factor ax2 + b x + c, en donde b2-4ac 0 existe una δ > 0 tal que para toda partición con

∆ 0 en el intervalo [ 0, 2]

∫ Área =

2

0

(2 x 2 − 3x + 2)dx



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Anotaciones

Integrar entre x = 0 y x = 2

2

 2 x 2 3x 2  =  − + 2x 3 2   0

Encontrar la antiderivada

 16  =  − 6 + 4  − (0 − 0 + 0)  3 

=

Aplicar el teorema fundamental del cálculo.

10 3

1 El teorema del valor medio para integrales En la sección 3.1 se vio que el área de una región bajo una curva es mayor que el área de un rectángulo inscrito y menor que el área de un rectángulo circunscrito. El teorema del valor medio para integrales establece que en alguna parte “entre” los rectángulos inscritos y circunscritos hay un rectángulo cuya área es precisamente igual al área de la región bajo la curva, como se ilustra en la figura 2.5. Rectángulo de valor medio. b

∫ (c)(b − a) = ∫ f ( x)dx a

Figura 7 TEOREMA 11: Teorema del valor medio para integrales

[

]

Si f es continua en el intervalo cerrado a, b , entonces existe un número c en el

[

]

intervalo cerrado a, b , tal que:

∫

b

a

f= ( x)dx f (c)(b − a)

Valor medio de una función El valor de f(c) dada en el teorema de valor medio para integrales recibe el nombre de valor medio de f en el intervalo [ a, b ] .

Definición de valor medio de una función en un intervalo Si f es integrable en el intervalo cerrado [ a, b ] , entonces el valor medio de f en el intervalo es:

1 b f ( x)dx b − a ∫a NOTA: Obsérvese en la figura 3.28 que el área de la región bajo la gráfica f es igual al área del rectángulo cuya altura es el valor medio.

Bibliografía

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UNIDAD II: LA INTEGRAL DEFINIDA Y SUS APLICACIONES

Para saber por qué el promedio de f se define de esta manera, supóngase que se di-

Anotaciones

c vide [ a, b ] en n subintervalos de igual anchura ∆x = (b − a ) / n. Si i es cualquier punto en el i-ésimosubintervalo, la media aritmética de los valores de la función en c los i está dado por: = an

1 [ f (c1 ) + f (c2 ) + ... + f (cn )] n

Al multiplicar y dividir entre

(b

a),

Porcentaje de

f (c1 )... f (cn )

puede escribirse la medida como:

1 1 n b−a b−a = an = f (ci )  f (ci )  ∑ ∑   n i 1= b−a b−a i 1  n  = n

1 n = ∑ f (ci )∆x b − a i=1 Por último, al tomar el límite cuando n → ∞ se obtiene el valor medio de f en el intervalo [ a, b ] , como se indicó en la definición anterior.

Este desarrollo del valor medio de una función en un intervalo es sólo uno de los muchos usos prácticos de las integrales definidas para representar procesos de suma. EJEMPLO 4: Determinación del valor medio de una función

x) 3x 2 − 2 x en el intervalo [1, 4] Determinar el valor medio de f (= Solución El valor medio está dado por

1 b 1 4 2 ( ) (3x − 2 x)dx = f x dx 3 ∫1 b − a ∫a =

=

4 1 2  x − x 2  1 3

1 48 = 16 [64 − 16 − (1 − 1)] = 3 3

EJEMPLO 5: La velocidad del sonido A diferentes alturas en la atmósfera de la Tierra, el sonido viaja a diferentes velocidades. La velocidad del sonido s(x) (en metros por segundo) puede modelarse mediante:

 −4 x + 341 295,  3  x + 278.5, s ( x) =  4  3 x + 254.5  2   − 3 x + 404.5  2

0 ≤ x < 11.5 11.5 ≤ x < 22 22 ≤ x < 32 32 ≤ x < 50 50 ≤ x ≤ 80

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Donde x es la altura en kilómetros ¿Cuál es la velocidad media del sonido sobre el intervalo

[0,80] ?

[0,80] . Para hacer

Recordatorio

Solución: Se empieza con la integración s(x) en e intervalo esto, se puede dividir la integral en cinco partes.

∫

11.5

0

s ( x)dx =∫

11.5

0

11.5

(−4 x + 341)dx = −2 x 2 + 341x 

22

22

11.5

11.5

s ( x)dx ∫ ∫=

= (295)dx

295 x ]11.5 [= 22

0

=3657

3097.5 32

3  3 2  ∫22 s( x)dx =∫22  4 x + 278.5  dx  8 x + 278.5x  22 =2987.5 32

50

∫

32

32

50

50  3  3 2  s ( x)dx = 5688 ∫32  2 x + 254.5  dx =  4 x + 254.5 x  =   32

80

80  3   3 2  9210 ∫50 s( x)dx =∫50  − 2 x + 404.5  dx =−  4 x + 404.5 x  =   50 80

Al sumar los valores de las cinco integrales, se obtiene:

∫

80

0

s ( x)dx = 24 640

De tal modo, la velocidad media del sonido entre los 0 y los 80 km de altitud es velo-

= cidad promedio

1 80 24640 s= ( x)dx = 308 ∫ 0 80 80 metros por segundo.

2 El segundo teorema fundamental del cálculos Al introducir la integral definida de f en el intervalo [ a, b ] se ha tomado como fijo el límite superior de la integración b y x como la variable de integración. Sin embargo, es posible que surja una situación un poco diferente en la que la variable x se use como el límite superior de integración. Para evitar la confusión de utilizar x de dos maneras diferentes, se usa temporalmente tcomo la variable de integración. (Recordar que la integral definida no es una función de su variable de integración) TEOREMA 12: El segundo teorema fundamental del cálculo

Si f es continúa en un intervalo abierto I que contiene a, entonces, para todo x en el intervalo:

d  x f (t )dt  = f ( x) ∫   a dx  Demostración Empezar difiriendo F como: x

F ( x) = ∫ f (t )dt a

Luego, de acuerdo con la definición de la derivada, es posible escribir

F '( x) =lím ∆x→0

F ( x + ∆x) − F ( x) ∆x

Anotaciones

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59

60

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UNIDAD II: LA INTEGRAL DEFINIDA Y SUS APLICACIONES

=

lím ∆x→0

x 1  x+∆x ( ) f t dt − ∫a f (t )dt  ∆x  ∫x

lím ∆x→0

a 1  x+∆x f (t )dt + ∫ f (t )dt  ∫ x  ∆x  a

Anotaciones

=

=lím ∆x→0

1  x+∆x f (t )dt  ∫   x ∆x 

0 ), se sabe Por el teorema del valor medio para integrales (suponiendo que ∆x = x , x + ∆ x [ ] tal que la integral en la expresión que existe un número c en el intervalo f ( x ) ∆ x anterior es igual a . Además, como x ≤ c ≤ x + ∆x se sigue que c → x cuando ∆x → 0.

De tal modo, se obtiene:

= F '( x)

lím ∆x→0

1   ∆x f (c)∆x   



=lím ∆x→0 f (c )



= f ( x)

Es posible plantear un argumento similar para ∆x < 0 NOTA: Utilizando el modelo del área para integrales definidas, considerar la aproximación:

f ( x)∆x =∫

x +∆x

x

f (t )dt

Se dice que el área del rectángulo de altura f(x) y anchura ∆x es aproximadamente igual al área de la región que se encuentra entre la gráfica f y el eje x en el [ x, x + ∆x ] , como se muestra en la figura 3.32. intervalo Notar que el segundo teorema del cálculo indica que toda f continua admite una derivada o primitiva. Sin embargo, ésta no necesita ser una función elemental. EJEMPLO 7: Empleo del segundo teorema fundamental del cálculo

Calcular

d  x 2 t + 1 dt  ∫   0 dx  f= (t )

t2 +1

Solución: Advertir que es continua en toda la recta real. De tal modo, empleando el segundo teorema fundamental del cálculo, es posible escribir:

d  x 2 t − 1 dt  = x 2 + 1 ∫  dx  0 La derivación que se muestra en el ejemplo 7 es una aplicación directa del segundo teorema fundamental del cálculo. El siguiente ejemplo muestra cómo puede combinarse este teorema con la regla de la cadena para encontrar la derivada de una función. EJEMPLO 8: Empleo del segundo teorema fundamental del cálculo.

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x3

Encontrar la derivada de

F ( x) ∫ cot t dt π /2

3

Solución: Haciendo u = x es factible aplicar el segundo teorema fundamental del cálculo junto con la regla de la cadena como se ilustra.

F '( x) =

Regla de la cadena

=

dF d du [ F ( x) ] du sx Definición de du

=

d  x3 du cos t dt  ∫  du  π /2  dx





dF du du dx

x3





= (cos u )(3x 2 )



= (cos x3 )(3x 2 )

Sustituir

∫π

/2

cos t dt por F ( x)

Aplicar el segundo teorema fundamental del cálculo Reescribir como función de x.

Debido a que la integral del ejemplo 8 se integra con facilidad, se puede verificar la derivada de modo siguiente:

F ( x) =

x3

∫π

/2

cos t dt = sent

x2

]π /2 = sen x3 − sen

π = ( sen x3 ) − 1 2

En esta forma, se tiene la posibilidad de aplicar la regla de las potencias para verificar que la derivada es la misma que la que se obtuvo en el ejemplo 8.

F '( x) = (cos x3 )(3x 2 ) Diagrama

Objetivos

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ACTIVIDAD N° 1: Autoevaluación

Esta actividad puede consultarla en su aula virtual Lecturas seleccionadas

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UNIDAD II: LA INTEGRAL DEFINIDA Y SUS APLICACIONES

TEMA N° 3: APLICACIÓN DEL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO 1 Cambio de variable para integrales definidas Cuando se usa la sustitución de du en una integral definida, muchas veces es conveniente determinar los límites de integración para la variable u en vez de convertir la antiderivada o primitiva de nuevo a la variable x y calcularla en los límites originales. Este cambio de variable se establece explícitamente en el siguiente teorema. La demostración sigue del teorema 2.2 en combinación con el teorema fundamental de cálculo. TEOREMA 13: Cambio de variable para integrales definidas

Si la función

[ a, b ]

∫

b

a

u = g ( x) tiene una derivada continua en el intervalo cerrado

y f es contínua en el recorrido o rango g, entonces:

f ( g ( x)) g '( x)dx = ∫

g (b )

g (a)

f (u ) du

EJEMPLO 9: Cambio de variables 1

∫ x( x Calcular 0

2

+ 1)3 dx

Solución: 2 u x 2 + 1 después, u = x + 1 ⇒ du = 2 x dx Para calcular esta integral, sea =

Antes de sustituir, determina los nuevos límites superior e inferior de integración: Límite inferior 2

Cuando x = 0, u = 0 + 1 = 1

Límite superior 2 Cuando x = 1, u = 1 + 1 = 2

Ahora, es posible sustituir para obtener:

∫

1

0

x( x 2 + 1)3 dx= =



1 1 2 ( x + 1)3 (2 x) dx 2 ∫0

Límites de integración para x

1 2 3 u du 2 ∫1

Límites de integración para u

2

=

=

=



1 u4    2  4 1

1 1 4−  2 4 15 8

1 4 (u / 4) Intentar rescribir la antiderivada o primitiva 2 en términos de la variable x y calcular la integral definida en los límites originales de integración, como se muestra: 2

1

1 u4  1  ( x 2 + 1) 4  =     2  4 1 2  4  0

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1 1  15 4−  = 2 4 8

=

EJEMPLO 10: Cambio de variable

Calcular

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A=∫

x

5

2x −1

1

dx

u Solución: Para calcular esta integral, considerar que=

2 x − 1 Después, obtener

2 u= 2x −1

u2 +1 = 2x

u2 +1 =x 2 u du = dx Diferencia cada lado Antes de sustituir, determinar los nuevos límites superior e inferior de integración Límite inferior Cuando x= 1, u=

Límite superior

2 − 1 + 1= 1 Cuando x= 5, u=

Ahora, sustituir para obtener:

∫

5

1

x 2x −1

dx = ∫

3

1

=

1  u2 −1    u du u 2 

1 3 2 (u + 1)du 2 ∫1 3

=

=

=

 1  u3  + u 2 3 1

1 1   9 + 3 − − 1 2 3  16 3

Geométricamente, es posible interpretar la ecuación:

∫

5

1

x 2x −1

dx = ∫

3

1

u2 +1 du 2

10 − 1 + 1= 3

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Figura 8

16 La región después de la sustitución tiene un área de 3 como se muestra en la figura 8.

Al calcular integrales definidas por cambio de variable (sustitución), es posible que el límite superior de integración correspondiente a la nueva variable u sea más pequeño que el límite inferior. Si esto ocurre, no hay que reordenar los límites. Simplemente se calcula la integral de la manera usual. Por ejemplo, después de

u sustituir =

1 − x en la integral

∫

1

0

x 2 (1 − x)1/2 dx

Se obtiene u = 1 − 1 = 0 cuando x = 1, y u = 1 − 0 = 1 cuando x = 0. De tal modo, la forma correcta de esta integral en la variable u es: 1

−2∫ (1 − u 2 )u 2 du 0

2 INTEGRACIÓN POR PARTES PARA INTEGRALES DEFINIDAS En esta sección se estudiará una técnica importante de integración llamada integración por partes. Esta técnica puede aplicarse a una amplia variedad de funciones y es particularmente útil para integrandos que contengan productos de funciones algebraicas y trascendentes. Por ejemplo, la integración por partes funciona bien con integrales como:

∫ x ln x dx,

∫x e

2 x

dx y

∫ e senx dx x

La integración pro partes está basada en la fórmula para la derivada de un producto:

d dv du uv ] u + v [= dx dx dx = uv '+ vu ' Volviendo a escribir esta ecuación se obtiene el teorema siguiente. TEOREMA 14: Integración por partes

Si u y v son funciones de x y tienen derivadas continuas, entonces:

∫ u dv=

uv − ∫ v du

Esta fórmula expresa la integral original en términos de otra integral. Dependiendo de la elección de u y dv, puede ser más fácil de evaluar la segunda integral que la original. Porque la elección de u y dv es importante en la integración por el proceso

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de partes, se proporcionan las pautas siguientes.

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Estrategias para integrar por partes 1. Intentar tomar como dv la porción más complicada del integrando que se ajuste a una regla básica de integración y como u el factor restante del integrando. 2. Intentar tomar como u la porción del integrando cuya derivada es una función más simple que u, y como dv el factor restante del integrado.

EJEMPLO 1:

1  du = dx  u arctgx =   1 + x2 →  x2 dv = xdx = v = xdx  ∫ 2

1

∫ xarctgxdx 0



Ponemos

1

Así:

1

1  x2  1 1 x2 1 1  1  = − = − xarctgxdx arctgx dx arctg 1 − dx= 2  2 ∫ 1 + x2 ∫0 ∫ + 2 2 1 x2   0 0 0

1π 1 π 1 π  π −2 1 = − [ x − arctgx ]0 = − 1 −  = =0, 285... 24 2 8 2 4  4

TEMA N° 4: APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA 1 ÁREA DE UNA REGIÓN ENTRE DOS CURVAS. EJEMPLO 1: Una región determinada por dos gráficas que se intersecan Encontrar el área de la región comprendida entre las gráficas de f(x) = 2 - x2 y g(x) = x. Solución: En la figura 2.7, se observa que las gráficas de f y g tienen dos puntos de intersección. Para encontrar las coordenadas x de estos puntos, se hace f(x) y (g) iguales y se resuelve para x. 2 - x2 = x

igualar f(x) con g(x)

- x2 - x + 2 = 0

escribir en forma general

- (x + 2)(x - 1) = 0

factorizar

x = - 2 ó 1

despejar para x

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Figura no 9

Así, a = - 2 y b = 1. Porque g(x) £ f(x) para todo x en el intervalo [-2; 1], el rectángulo representativo tiene un área de: DA = [f(x) - g(x)] Dx

= [(2 - x2) - x] Dx

y el área de la región es:

EJEMPLO 2: Curvas que se intersecan en más de dos puntos Encontrar el área de la región comprendida entre las gráficas de f(x) = 3x3 - x2 - 10x y g(x) = - x2 + 2x. Solución: Empezar igualando f(x) y g(x) y resolviendo para x. Así se obtienen las coordenadas de x en cada punto de intersección de las dos gráficas. 3x3 - x2 - 10x = - x2 + 2x

igualar f(x) a g(x)

3x3 - 12x = 0

escribir en forma general

3x(x - 2)(x + 2) = 0

factorizar



x = - 2; 0; 2 despejar para x

Así, las dos gráficas se cortan cuando x = – 2; 0 y 2. En la figura 2.8 se observa que g(x) ≤ f(x) en el intervalo [- 2; 0]. Sin embargo, las dos gráficas cambian en el origen, y f(x) ≤ g(x) en el intervalo [0; 2]. Así, se necesitan dos integrales, una para el intervalo [-2; 0] y otra para el intervalo [0; 2].

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Figura no 10

NOTA: En el ejemplo anterior se observa que se obtiene un resultado incorrecto si se integra de – 2 a 2. Tal integral produce:

Si la gráfica de una función de y es una frontera de una región, a menudo es conveniente usar rectángulos representativos horizontales y encontrar el área integrando en la variable y. En general, para determinar el área entre dos curvas, se usan:

Donde (x1; y1) y (x2; y2) son los puntos adyacentes de intersección de las dos curvas implicadas o puntos sobre las rectas de la frontera especificadas. EJEMPLO 3: Rectángulos representativos horizontales Encontrar el área de la región acotada por las gráficas de x = 3 - y2 y x = y + 1. Solución: Considerar g(x) = 3 - y2 y f(y) = y + 1 Estas dos curvas se intersecan cuando y = - 2 y y = 1, como se muestra en la figura (1). Porque f(y)g(x) en este intervalo, se tiene: A = [g(y) - f(y)]y = [(3 - y2) - (y + 1)]y Así, el área es:

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UNIDAD II: LA INTEGRAL DEFINIDA Y SUS APLICACIONES

En el ejemplo anterior se observa que integrando con respecto a y se necesita solo una integral. Si se integran con respecto a x, se necesitarán dos integrales porque la frontera superior habría cambiado en x = 2, como se muestra en la figura (2).

2 LONGITUD DE ARCO Y SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN. En esta sección se usan las integrales definidas para encontrar las longitudes de arco de las curvas y las áreas de superficies de revolución. En ambos casos, un arco (un segmento de una curva) se aproxima por segmentos de recta cuyas longitudes son dadas por la fórmula de la distancia conocida.

Una curva rectificable es aquella que tiene una longitud de arco finita. Se verá que una condición suficiente para que la gráfica de una función f sea rectificable entre (a, f(a)) y (b, f(b)) es que f’ sea continua sobre [a; b]. Dicha función es continuamente derivable sobre [a; b], y su gráfico en el intervalo [a; b] es una curva suave. Considerar una función y = f(x) tal que es continuamente derivable en el intervalo [a; b]. Se puede aproximar la gráfica de f por n segmentos de recta cuyos puntos terminales son determinados por la partición. a = x0 < x1 < x2 < ... 0, el eje x, es decir, la recta horizontal  y = 0 y las rectas verticales x = a y x = b, donde 0 0 constante y T>0 constante, entonces ct

L

{ f (t )} ( x)

existe para s >c.

f (t ) ≤ f (t ) ≤ Mect

NOTA: cuando orden exponencial (ver figura 45)

t ≥ T,

para

entonces decimos que

f (t )

es de

Figura 45

Observación: L es un operador lineal, en efecto def .

L {α f (t ) + β g (t )} ( s )=

∫

∞

0

e − st (α f (t ) + β g (t ))dt

∞

∞

0

0

= α ∫ e− st f (t )dt + β ∫ e− st g (t ))dt



= α L { f (t )} ( s ) + β L { g (t )} ( s )



EJEMPLO: Encontrar F(s) Sea: f(t) = t2+2t+2

Sea: f(t) = cosh(at)

Desarrollo UNIDAD IV: TRANSFORMADA DE LAPLACE de contenidos

Teoremas:

{1= } (s)

1) L

1 , s > 0, s

k L {k= } (s) , s



s>0

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constante

n! , s > 0,= n 1, 2,... s n+1 3) L e at ( s ) = { } s −1 a , para s > a k 4) L { = senkt} ( s ) , s>0 2 s + k2 s 5) L {= cos kt} ( s ) , s>0 s2 − k 2 2) L

s) {t } (=

6) L

h kt} ( s ) = {sen

k , s> k s + k2

7) L

= kt} ( s ) {cosh

s , s> k s − k2

8)

n

2

2

n! , s= > a, n 1, 2,... ( s − a) n+1

e at } ( s ) L {t n=

3 TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE Si L { f (t )} ( s ) = F ( s ) entonces decimos que f(t) es una transformada inversa de Laplace de F(s) y se denota asi:

L−1 { F ( s )} = f (t ) NOTA La transformada inversa de Laplace de F(s) no necesariamente es única. Teoremas de la transformada inversa de Laplace: Para a y k constantes se tiene:

1  −1  k  1, y L=   k si s > 0, s s

−1

1) L=  

tn −1  n !  −1  1  n t y si s > 0, L = L = 2)  n+1   n+1  s   s  n! −1

3) L

 1  at =   e si s > a s − a

−1

 k  2 2 s + k 

4) L =  

k  senkt 1 senkt y L−= si s > 0,  2 2 k s + k 

 s  = cos kt si s > 0,  2 2 s + k 

−1

5) L

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UNIDAD IV: TRANSFORMADA DE LAPLACE

−1

 k  s − k 

1  senhkt −1  senhkt y L= si s > k  2 2 k s − k 

 s  s − k 

cosh kt si s > k

6) L=  2 2 Anotaciones

−1

7) L=  2 2

n !  n at n !  t n e at −1  −1  t e y si s > a L = L = 8)   n+1  n+1  n!  (s − a)   (s − a)  Ejemplo 1. Con factores lineales en el denominador

  7s − 1 B C  −1  A L−1  = + +  L    s − 3 s + 2 s − 1  ( s − 3)( s + 2)( s − 1)   1  −1  1  −1  1  = AL−1   + BL   + CL    s − 3 s + 2  s − 1 = Ae3t + Be−2t + Cet Pero por fracciones parciales

7s − 1 A B C = + + ( s − 3)( s + 2)( s − 1) s − 3 s + 2 s − 1 Para hallar el coeficiente A eliminamos de la fraccionel factor correspondiente a A y en la parte restante sustituimos a s por la raíz asociada a este factor; lo mismo hacemos para los coeficientes B y C.

7(3) − 1 = 2 (5)(2) 7(−2) − 1 = −1 B= (−5)(−3) 7(1) − 1 = −1 C= (−2)(3)

= A

  7s − 1 3t −2 t t L−1   = 2e − e − e  ( s − 3)( s + 2)( s − 1) 

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TEMA N° 2: “TEOREMAS SOBRE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE”

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Los teoremas que veremos en esta sección nos permitirán en muchos casos calcular la transformada inversa sin utilizar fracciones parciales. Recordatorio

1 PRIMER TEOREMA DE TRASLACIÓN Si a es un número real cualquiera, entonces at L {e= f (t )} ( s ) L

Ejemplo:

{ f (t )} (s − a)

= F (s − a)

1   L−1  2   s − 2s + 3   2t 1 1  −1  −1  L=  2  L=   e sent 2  s − 2s + 3   ( s − 2) + 1  2 TRANSFORMADA DE LA DERIVADA Si son continuas para y de orden exponencial y si es continua a tramos para t-0, entonces:

NOTA: para resolver E.D. necesitamos, en la mayoría de ejemplos, los casos n = 1 y n = 2. Para n = 1 Donde



L

{ y '(t )= } (s)

sY ( s ) − y (0)

{ y (t )} (s)

Y (s) = L

n= 2 L

{ y ''(t )} (s) =

s 2Y ( s ) − sy (0) − y '(0)

3 TRANSFORMADA DE LA INTEGRAL Si f es una función continua a tramos para t ≥ 0 y de orden exponencial, entonces:

L

{∫ f (t) dt= } (s) t

0

1 1 = F (s) L s s

{ f (t )} (s)

4 SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES CON CONDICIONES



INICIALES APLICANDO LA TRANSFORMADA DE LAPLACE. Pasos:

• Aplicar la transformada a ambos lados de la ecuación • Aplicar el teorema de la transformada de la derivada

L= { y '} sY (s) − y (0) L

{ y ''} =

Donde

s 2Y ( s ) − sy (0) − y '(0)

Y (s) = L

{ y (t )} (s)

Anotaciones

Bibliografía

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• Conseguir una función en s, es decir, despejar Y(s) • Hallar la transformada inversa: y (t ) = L Anotaciones

Ejemplo 1. Hallar la solución de

−1

{Y (s)}

y ''− 4 y ''+ 4 y= t 3e2t , y (0)= y '(0)= 0

Solución:

L {t 3 e 2t } { y ''} − 4L { y '} + 4L { y} =

1) L

3! ( s − 2) 4

2

2) s Y ( s ) − sy (0) − y '(0) − 4( sY ( s ) − y (0)) + 4Y ( s ) =

3! 2 3) s Y ( s ) − 4 sY ( s ) + 4Y ( s ) = 4 ( s − 2) 3! 3! 3! ( s − 2) 4 4) Y ( s ) = = = 2 s − 4 s + 4 ( s − 2) 4 ( s − 2) 2 ( s − 2)6 −1 y (t ) L= = {Y (s)} L

−1



 3!  t 5 2t e = 6  ( s − 2)  20

Ejemplo 2. Hallar la solución y '(t ) = 1 − sent − Solución: 1) L

{

t

L {1} ( s ) − L {sen t} ( s ) − L ∫ y (t ) dt { y '(t )} (s) = 0

1 1 1 sY ( s ) − y (0) =− 2 2 − Y ( s ) s s +1 s

1  1 1 2) Y ( s )  s +  = − 2 s  s s +1 



 s2 + 1  1 1 Y (s)  − 2 = s s s +1  

s 1 1 1 s 3) Y ( s ) = 2  − 2  = 2 − 2 s + 1  s s + 1  s + 1 ( s + 1) 2 −1 = 4) y (t ) L= {Y (s)} L

y (t ) = sent − L



−1

−1

 1   2  −L  s + 1

−1

 x   2 2  ( s + 1) 

s   1  2  = sent − sent ∗ cos t 2  s + 1 s + 1

t



= sent − ∫ senT cos(t − T ) dT



= sent − ∫ senT (cos t cos T + senT sent ) dT



= sent − cos t ∫ senT cos T dT − sent ∫ sen 2T dT

0

t

0

t

t

0

0

1 1 1 = cos t sen 2t − t sent + sent sen 2t 2 2 4

∫

t

0

y (t ) dt , y (0) = 0

} (s)

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2

Ejemplo 3. Hallar la solución de ty ''−= y ' t , y= (0) 0 Solución: L {ty ''} ( s ) − L (−1)

d L ds

L {t 2 } { y '} (s) = 2! s

{ y ''} (s) − (sY (s) − y (0)) = 3

−

d 2 2! ( s Y ( s ) − sy (0) − y '(0)) − sY ( s ) = ds s3

−

d 2 2! ( s y ( s )) − sY ( s ) = ds s3

2 −( s 2Y '( s ) + 2sY ( s )) − sY ( s ) = s3 2 − s 2Y '( s ) − 3sY ( s ) = s3 3 2 Y '( s ) + Y ( s ) = − 5 , E.D. lineal de primer orden s s 3

∫ s ds 3ln s F .I e = e= s3 Y (s)s3 = ∫−

Y ( s= )

2 3 s −1 s ds + C = −2 +C 5 s −1

2 C + s 4 s3

y (t ) L =

−1

t3

2  4  + CL s 

−1

1  3 s 

t2

= 2 3! + C 2! Ejemplo 4: Resolver la siguiente ecuación diferencial:

Solución: Aplicando la tranformada de Laplace a ambos miembros:

Dividimos entre s a toda la ecuación:

Bibliografía

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Bibliografía

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UNIDAD IV: TRANSFORMADA DE LAPLACE

Desarrollandoobtenemos:

Aplicandolímites:

Para cumplir la condición: C = 0 Por lo tanto:

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LECTURA SELECCIONADAS Glosario Bibliografía “Ley de Newton de la dinámica1”3

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Aunque un análisis más detallado de estos hechos está más allá de nuestro alcance, queremos tratarlos bajo el aspecto general de los conceptos fundamentales con los que Recordatorio revolucionó Anotaciones Newton la mecánica y la física. Él consideró el movimiento de una partícula con masa m y coordenadas espaciales x(t), y(t) y z(t), que son funciones de tiempo t, de manera que las componentes de la aceleración son las segundas derivadas x’’(t), y’’(t) y z’’(t). El paso primordial fue que Newton se dio cuenta de que las cantidades mx’’, my’’ y mz’’ pueden considerarse como las componentes de la fuerza cuando sobre la partícula. A primera vista esto podría parecer sólo una definición formal de la palabra “fuerza” en física, pero el gran logro de Newton fue haber formado esta definición en concordancia con los fenómenos reales de la naturaleza, en cuanto a que la naturaleza con frecuencia proporciona un campo de tales fuerzas que son conocidas por nosotros de antemano sin que sepamos nada sobre el movimiento particular que queremos estudiar. El gran triunfo de Newton en dinámica, la justificación de las leyes de Kepler para el movimiento de los planetas, muestra claramente la armonía entre su concepto matemático y la naturaleza. Newton primero asumió que la atracción de la gravedad es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. Si ponemos el Sol en el origen del sistema coordenado y si un planeta dado tiene las coordenadas x, y y z, se sigue que las componentes de la fuerza en la dirección x, y y z son iguales, respectivamente, a

−k .

x , r3

− k.

y r3

y −k

z r3

x 2 + y 2 + z 2 es Siendo k una constante gravitacional que no depende del tiempo y r = la distancia del Sol al planeta. Estas expresiones determinan el campo local de fuerzas, independiente del movimiento de una partícula en dicho campo. Ahora combinamos este conocimiento del campo de fuerzas con la ley general de Newton de la dinámica (i, e,, su expresión para la fuerza en términos del movimiento); igual las dos expresiones diferentes se producen las ecuaciones mx '' =

−kx , ( x 2 + y 2 + z 2 )3/2

my '' =

ky , ( x + y 2 + z 2 )3/2

mz '' =

−kz , ( x 2 + y 2 + z 2 )3/2

2

Que constituyen un sistema de tres ecuaciones diferenciales para tres funciones desconocidas x(t), y(t) y z(t). Este sistema puede resolverse y resulta que, en concordancia con las observaciones empíricas de Kepler, la órbita del planeta es una sección cónica con el Sol en un foco, las áreas barridas por una línea recta que una al Sol con el planeta son iguales para intervalos iguales de tiempo, y los cuadrados de los periodos de revolución completa para dos planetas son proporcionales a los cubos de sus distancias al Sol (debemos omitir la demostración). El problema de las vibraciones proporciona un ejemplo más elemental del método de Newton. Supóngase que tenemos una partícula moviéndose a lo largo de una línea recta, el eje x, y atada al origen mediante una fuerza elástica, como un resorte o una liga. Si la partícula es apartada de la posición de equilibrio en el origen a una posición dada por la coordenada x, la fuerza la jalará con una intensidad que suponemos proporcional a la extensión x; como la fuerza está dirigida hacia el origen, estará representada por −k 2 x , siendo −k 2 un factor negativo de proporcionalidad que expresa la fuerza de resorte

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------3

ANÁLISIS MATEMÁTICO II Actividades Autoevaluación MANUAL AUTOFORMATIVO

Fuente: Courant R. Robbins H. “Qué son las matemáticas? Editorial Fondo de cultura económica. Pág. 503 y 504. 2008

Bibliografía

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UNIDAD IV: TRANSFORMADA DE LAPLACE

elástico o de la liga. Además, suponemos que hay fricción que retarda el movimiento, la cual es proporcional a la velocidad x’ de la partícula, con un factor de proporcionalidad −r . Entonces la fuerza total en cualquier momento estará dada por − k 2 x − rx ' , y de acuerdo con el principio general de Newton encontramos o mx ''+ rx '+ k 2 x = 0

Anotaciones

mx '' = − k 2 x − rx '

Ésta es exactamente la ecuación diferencial (11) de vibraciones amortiguadas mencionadas antes. Este ejemplo sencillo es de gran importancia, ya que muchos tipos de sistemas vibratorios mecánicos y eléctricos pueden describirse matemáticamente mediante esta ecuación diferencial. Este ejemplo muestra un caso típico en el que una formula matemática abstracta descubre de una sola vez la estructura íntima de muchos fenómenos individuales aparentemente muy distintos y sin relación alguna. Esta abstracción que se logra a partir de la naturaleza particular de un fenómeno dado para formar la ley general que rige a toda una clase de fenómenos es uno de los rasgos distintivos del tratamiento matemático de los problemas físicos. Diagrama

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ACTIVIDAD N° 1: Autoevaluación

TAREA ACADÉMICA Nº 2 Glosario Bibliografía INSTRUCCIONES

P El examen tendrá una duración efectiva de 90 minutos. P Seleccionar la respuesta correcta de las 5 alternativas presentadas en cada pregunta. Anotaciones No se puede usar calculadora. P P No se puede usar formulario alguno. 1. Si se sabe que la transformada de Laplace se define como:

Calcule la transformada de L{Ft}=∫_0Ft.e-st.dt A)

L{F(t)}=8/(s-A)

B)

L{F(t)}=A/(s-8)

C)

L{F(t)}=A/(s-A)

D)

L{F(t)}=8/(s+A)

E)

L{F(t)}=A/(s+8)

2. Si , L{F(t)}=f(s), además L{eat F(t)}=f(s-a) y L{tn }=n!/sn+1 . Calcular el valor de “s” en: L{e3t t2 }=6/4! A) 5 B) 1 C) 2 D) 4 E) 3 3. Evaluar la siguiente transformada de Laplace: L{t.Cosat} A) (s2+a2)/(s2-a2)2 B) (s2+a2)/(s2-a3)2 C) (s2+a2)/(s2-a2)2 D) (s2+a2)/(s2-a2)2 E) (s2+a3)/(s2-a3)2

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4. Sabiendo que entonces Además . Hallar el valor de “n” y luego el valor de “E = 4n – 5” A) – 1 B) – 1/2 C) – 3 D) – 4 E) – 5/3 5. Si se sabe que la transformada de Laplace se define como:

Calcule la transformada de A)

L{F(t)}=5/(s-7)

B)

L{F(t)}=7/(s-5)

C)

L{F(t)}=7/(s-7)

D)

L{F(t)}=5/(s+7)

E)

L{F(t)}=7/(s+5)

6. Si L{F(t)}=f(s), además L{eat F(t)}=f(s-a) y L{tn }=n!/sn+1 . Calcular el valor de “s” en: L{e2t t3 }=96 A) 5/2 B) 4/3 C) 1/8 D) 1/2 E) 3/5 7. Evaluar la siguiente transformada de Laplace: L{t.eat Sent} A) 1/s {(2(s+a))/[(s+a)2+1]2 } B) 1/s {(2(s-a))/[(s+a)2+1]2 } C) 1/s {(2(s+a))/[(s+a)2+1]2 } D) 1/s {(2(s-a))/[(s+a)2+1]2 } E) 1/s {(2(s+a))/[(s+a)2+1]2 } 8. Sabiendo que entonces Además . Hallar el valor de “n” y luego el valor de “E = 3n –15” A) – 1 B) – 7 C) 6 D) 4 E) 5 9. La siguiente transformada de Laplace, se denomina: A) Transformada de Laplace de la derivada B) Transformada de Laplace de la integral C) Transformada de Laplace de la división por “t” D) Transformada de Laplace de Linealidad E) Transformada de Laplace de la multiplicación por potencias de “tn” 10. La siguiente transformada de Laplace, se denomina: A) Transformada de Laplace de la derivada B) Transformada de Laplace de la integral C) Transformada de Laplace de la división por “t” D) Transformada de Laplace de Linealidad E) Transformada de Laplace de la multiplicación por potencias de “tn”

Bibliografía

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AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD N° IV Tiempo estimado: 2 horas Lecturas seleccionadas

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Estimado participante: es momento de poder verificar su aprendizaje sobre los temas tratados en esta unidad. Actúe con la máxima responsabilidad y seriedad. Haga el mayor Bibliografía esfuerzo para desarrollar los ejercicios en el tiempo estimado. 1. Utilice la definición para calcular la transformada de Laplace de la función dada.

f (t ) = tet sent



A)

(s

2 ( s − 1) 2

B)

(s

C)

D)

E)

(s

− 2s + 2 )



2

( s − 1)

2

− 2s + 2 )

5 ( s − 1) 2

− s + 2)

2

2



3 ( s − 1)

( s 2 − 2s + 4 ) 3 ( s − 1) 4 2 ( s2 + s + 2)

2





2. Determine la transformada de Laplace de la función dada.

g= (t ) e 4t ( t − cos t )



A) = L( g )

1 s−2 − 2 ( s − 4) ( s − 4 )2

B) = L( g )

1 s−4 − 2 ( s − 2) ( s − 2 )2 + 1

C) = L( g )

1 s−4 − 2 ( s − 4) ( s − 4 )2 + 1

D) = L( g )

1 1 − 2 ( s − 4) ( s − 4 )2 + 1

E) = L( g )

1 s − 2 2 ( s − 4) s + 1

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3. Calcule la transormada de inversa de Laplace de la función de s dada.

P( s) = A)

1 s − 4s + 5 2

p (t ) = e 2t sen t.

y B)=

1 5tet + t 2 et 2

C) = y

tet + t 2 sent

D) = y

1 5te −2 + t 3et 2

E) = y

4 3 1 2 t te + t e 5 2

4. Resuelva el problema de valores iniciales que se proporciona. t

y , (t ) + 6 y (t ) + 9 ∫ y (r )dr = 1, 0



A)

y = e −3t

B)

3 y = te −3t 4

C)

y = 2te −2t

D)

y = 2te −3t

E)

y = te −3t

y (0) = 0

5. Resuelva el problema de valores iniciales que se proporciona. t



y , (t ) + 6 y (t ) + 9 ∫ y (r )dr = t, 0

t 1 1 y = e 3t − e 3t + 3 9 9 A)

B)

y=



t 3t 1 3t 1 e − e + 6 3 3



t 2 t 1 3t 1 e + e + 2 9 9 t 1 1 y = et − et + 3 9 9

E)

y=

C)

D)

y=

t 2 t 1 3t 1 e − e + 2 6 6

y (0) = 0

Bibliografía

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Bibliografía

UNIDAD IV: TRANSFORMADA DE LAPLACE

6. La siguiente propiedad de la Transformada de Laplace se le conoce con el nombre de: A) Segunda propiedad de traslación Anotaciones

B) Propiedad de linealidad C) Propiedad de cambio de escala D) Transformada de Laplace de la derivada E) Transformada de Laplace de Integrales 7. La siguiente transformada de Laplace se le conoce con el nombre de: A) Segunda propiedad de traslación B) Transformada de Laplace de Integrales C) Propiedad de cambio de escala D) Transformada de Laplace de la división por “tn” E) Transformada de Laplace de la división por “t 8. Si F(t)=sen7t. Halle el valorL{sen7t} A) L{sen7t}=7/(s2+9) B) L{sen7t}=7/(s2+59) C) L{sen7t}=7/(s2+25) D) L{sen7t}=7/(s2+36) E) L{sen7t}=7/(s2+49) 9. La siguiente propiedad en la Transformada de Laplace se le conoce con el nombre de: A) Segunda propiedad de traslación B) Propiedad del Cambio de Escala C) Primera Propiedad de traslación D) Transformada de Laplace de la división por “t” E) Transformada de Laplace de la derivada

10. Si F(t)=t^2.e^4t Halle L{F(t)} A) L{t3 e4t }=5/(s-4)4 B) L{t3 e4t }=6/(s-4)4 C) L{t3 e4t }=6/(s-4)4 D) L{t3 e4t }=5/(s+4)4

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Bibliografía

E) L{t3 e4t }=8/(s-4)4

BIBLIOGRAFÍA DE LA UNIDAD IV

1. Escobar Jaime. Ecuaciones diferenciales. Universidad de Antioquia. 2. Cornejo Serrano, Métodos de Solución de Ecuaciones Diferenciales y aplicaciones: Editorial Reverte. México 2008. Recordatorio

Anotaciones

3. Lizana Marcos. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Universidad de los Andes. Venezuela 2000. 4. Leithold Louis. El Cálculo. Editorial Oxford UniversityPress. México 1998. 5. Demidovich B.P. y MaronI.A. Cálculo Numérico Fundamental. Editorial VAAP. Ex– Unión Soviética 1984 6. Courant R. Robbins H. “Qué son las matemáticas? Editorial Fondo de cultura económica. México 2008

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Anotaciones

ANEXO: 1. CLAVES: CONTROL DE LECTURA No. 1

N° DE PREGUNTA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

RESPUESTAS C A D D C C D B D E

OBSERVACIONES

2. CLAVES: TAREA ACADÉMICA No. 1.

N° DE PREGUNTA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

RESPUESTAS D A C B B E C E C D

OBSERVACIONES

3. CLAVES: CONTROL DE LECTURA No. 2

N° DE PREGUNTA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

RESPUESTAS C B C D C E C A B C

OBSERVACIONES

Bibliografía

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torio

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Glosario

Bibliografía

UNIDAD IV: TRANSFORMADA DE LAPLACE

4. CLAVES: TAREA ACADÉMICA N0 2

N° DE PREGUNTA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Anotaciones

RESPUESTAS E A D C E A D C E A

OBSERVACIONES

2. CLAVES DE RESPUESTAS DE LAS AUTOEVALUACIONES

AUTOEVALUACIÓN 1

N° DE PREGUNTA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

RESPUESTAS B D C B C A E B A A

OBSERVACIONES

RESPUESTAS A C B A D E A C B B

OBSERVACIONES

AUTOEVALUACIÓN 2

N° DE PREGUNTA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

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AUTOEVALUACIÓN 3

N° DE PREGUNTA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

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RESPUESTAS A B C B C C A C D B

OBSERVACIONES

RESPUESTAS A C B E A C E E C B

OBSERVACIONES

Recordatorio

AUTOEVALUACION 4

N° DE PREGUNTA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Anotaciones

Bibliografía

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