Analisis Matematico II UTP 2014 I 1

FACULTAD DE INGENIERÍA DE SISTEMAS Y ELECTRÓNICA

ESCUELA DE INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIONES ANALISIS MATEMÀTICO II

PERIODO 2013-III

PRESENTADO POR:

JOSE EDUARDO TORRES VEGA Coronel EP ( R ) Diplomado en Ciencia y Tecnología Ingeniero Electrónico CIP Maestro en Administración Experto en Logística Diplomado en Seguridad y Salud Ocupacional Docente Universitario a nivrl pre grado y post grado Consultor en Servicios de Telecomunicaciones Estudios Teóricos de Radiaciones No Ionizantes

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SUMARIO 1. LA ANTIDERIV ANTIDERIVADA ADA Y LA INTEGRAL INDEFINIDA 2. PRO PROPIED PIEDADES ADES BÁSI BÁSICAS. CAS. 3. IN INTE TEGR GRAL ALES ES EL ELEM EMEN ENTTAL ALES ES,, AL ALGU GUNA NASS AP APLI LICA CACI CION ONES ES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA 4. SOLUCI SOLUCION ON CONDUCID CONDUCIDA A DE EJERCICIOS BIBLIOGRAFÍA

1. 2. 3. 4. 5. 6.

LEITHO LEIT HOLD LD,, LO LOUI UIS: S: (1 (199 997) 7).. El cálculo con Geometría Analítica.Edit. Harla. México. AYR YREES, FR FRAN ANK K : (198 989 9). Cálculo Diferencial e Integral . Edit. Mc Graw Hill. México. ZILL, DENNIS : (1987).Cálculo con Geometría Analítica. Grupo. Editorial Iberoamérica. México. BRITTO BRI TTON, N, JA JACK. CK. KRI KRIEGH EGH :   Matemáticas Universitarias. Editorial CECSA. DEMI DE MIDO DOVI VICH CH,, B. : Problemas y Ejercicios. Análisis Matemático. Editorial Mir. PISK SKUN UNO OV, N. : Cálculo Diferencial e Integral . Tomo I. Editorial Mir Mir..

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Esquema

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Primitivas o Antiderivadas Una función F se llama anti derivada de una función  f  en un intervalo I, si la derivada de F es f; esto es: F´(x) = f(x) para todo x en I. Observación: 



De la definición se ve que F no es única. Para que F´(x) exista, la función F(x) debe ser continua. ESCUELA DE INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIONES

En el mismo sentido: La función G(x) es una primitiva de la función f(x) en un intervalo I si G´(x)=f(x) para todo x del intervalo I. No toda función admite primitiva en un intervalo I. Sin embargo se verifica lo siguiente 

 

Teorema Toda función continua f en el intervalo [a,b] tiene una función primitiva y, por consiguiente integral indefinida. Sin embargo,  … . “La  derivada de una función elemental es una función elemental, la primitiva de una función elemental puede no ser una función  elemental” Ejm. e

-x

2

dx ,

sen x  x 

dx  ,

cos x  x 

dx  ,

1 ln x 

dx  .

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Para encontrar la primitiva de una función debemos establecer la existencia de una función F(x) tal que su derivada sea igual a la función f(x) conocida

d ( F ( x)) dx

  f  ( x)

Ejemplo. Sea f(x) = x; ¿cuál será su primitiva?  F 1 ( x) 

¿cumple el requisito

d ( F ( x)) dx

1 2

  f  ( x) ?

d ( F 1 ( x)) dx

x2

1

 2   x   x 2

Luego F1(x) es primitiva de f(x) ESCUELA DE INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIONES

¿Qué ocurre con

 F 2 ( x)



1

2

2

d ( F 2 ( x)) dx

x



2 ?

  x

Luego F2(x) también es primitiva de f(x).  F 3 ( x) 

1 2

x 2  55

F3(x) también es primitiva de f(x).

Observación: De la definición y los ejemplos se ve que F no es única. Para que F´(x) exista, la función F(x) debe ser continua. ESCUELA DE INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIONES

Se concluye en que si una función f(x) es continua y derivable puede tener infinitas funciones primitivas, cuya forma es: 1  F ( x)   x 2  C  2

Donde C es una constante arbitraria o   “constante de mitigación”.

Interpretación geométrica

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TEOREMA Si F es una anti derivada de f en un intervalo I, la anti derivada más general de f en I es: F (x)+ C, donde C es una constante arbitraria. NOTACION El conjunto de todas las anti derivadas se denomina: la   Integral  Indefinida de f respecto a x, denotada por: Diferencial de x Símbolo de Integral

   f  ( x)dx   F ( x)  C  Función integrando

Constante de integración

Una anti derivada de f  ESCUELA DE INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIONES

Ejemplo: la integral indefinida de f(x) = e x es G(x) = e x + C, donde C es una consx x tante. Se expresa de la siguiente manera:    e dx = e  + C

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PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA 1.

Del múltiplo constante:

 kf  ( x)dx  k    f  ( x)dx 2. De la suma o diferencia:

   f  ( x)   g ( x) dx     f  ( x)dx    g ( x)dx CUIDADO:

  f  ( x) g ( x)dx    f  ( x)dx  g ( x)dx ESCUELA DE INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIONES

Ejercicios Encuentre la anti derivada más general de cada una de las siguientes funciones.

 8x  x  b)  f  ( x )  e a ) f(x)

c ) f(x)



3

1

x d )  f  ( x )  cos x

  f )  e dx  g )  sen(3 x)dx 5

e)  x dx 2 x

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Determine:

 2)  6 x  3dx 3)  x 1   x dx 4)  ( x  2 x  4) ( x  1)dx

1)

( x  8) 7 dx

2

3

2

3

5) 6) 7) 8)

 ( x  4) 2 x  3dx 3 z    z   1 dz    x. cos(3 x )dx 6 cos  x  ( 2   senx ) dx 3

2

2

3

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INTEGRALES ELEMENTALES O INMEDIATAS. Las integrales inmediatas son aquellas que se resuelven por la aplicación directa de alguna fórmula de integración.

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Integrales inmediatas para funciones compuestas



Tipo general

    

r+1

x x dx = + C, para cualquier constante r  –  1 r +1 r 

    

r+1 [f(x)] f '(x) [f(x)] r  dx =  + C para r  -1  r + 1

Ejemplo:



   

4 1 sen  2x 1 cos 2x sen 3 2x dx =1   3   =  sen4 2x + C  2 cos 2x sen  2x dx = 2 2 4 8

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

    

1 dx = ln | x | + C x

f ' ( x )

 f (x) dx

Tipo general

 = ln |f(x)| + C

Ejemplo:



    

tg 3x dx =

 1    3 

 – 

 3 sen 3x  dx cos 3x

 – 

 =

–

1  ln |cos 3x | + C 3

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 

  x  a  

ax dx = + C, para cualquier a > 0 ln a

Para a = e se obtiene

Tipo general

  x  e  

x

dx = e  + C

    

f '(x) a

f(x)

af(x)  dx =  + C, para a > 0  ln a

Ejemplo:



    

3 3 1 3  3x2 ex  dx =  ex + C x2 ex  dx = 1   3  3

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

    

sen x dx

Tipo general

= – cos x + C

    

f '(x) sen f(x) dx

=

–

cos f(x) + C

Ejemplo:



    

3x 3x e  sen (e  + 5) dx = 1    3 e3x sen (e3x + 5) dx = 3 

–

1 3x  cos (e + 5) + C 3

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

    

cos x dx = sen x + C

    

Tipo general

f '(x) cos f(x) dx = sen f(x) + C

Ejemplo:



1   7x  e  cos (e7x + 5) dx = 7  

   7  

1 e  cos (e  + 5) dx =  sen (e7x + 5) + C 7 7x

7x

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



1 1  x

2

Tipo general

dx  arcsen( x)  C  

g '(x)    2 dx = arcsen g(x) + C 1 [g(x)] 

Ejemplo: 3x 3x   e3x e 1   3e 1   3x  dx = dx = dx =  arcsen e  + C   6x 3x 2 3x 2 3  1  –  (e ) 3  1  –  e  1  –  (e )

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 

1

  1 + x2 dx = arctg x + C 

Tipo general

 

f ( x)

1

f ( x) 

2

dx  arctg( x )  C  

Ejemplo: 1 1     1 1   2 arctg   1 + 2x2 dx =  2 dx = 2 dx =  2 2  1 + ( 2x)  1 + ( 2x)

 2x   C 

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APLICACIONES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA 



SOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN DONDE SE TRATA DE ENCONTRAR UNA FUNCIÓN CONOCIENDOSE UNA EXPRESIÓN QUE INVOLUCRA A ALGUNA DE SUS DERIVADAS (ECUACIONES DIFERENCIALES). COMO HAY MUCHAS FUNCIONES QUE TIENEN LA MISMA DERIVADA, SE REQUIERE CONTAR CON UNA CONDICIÓN ADICIONAL (PROPORCIONAR UN PUNTO POR DONDE PASA LA FUNCIÓN).

EJEMPLO:

SOLUCION: La función que se busca es la primitiva de la función dada. De este modo

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Solución

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Solución:

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Solución:

Integrando ambos miembros de la ecuación. El primero con respecto a segundo con respecto a x 

y 

y al

C=2 Despejando se tiene: ESCUELA DE INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIONES

SOLUCION CONDUCIDA DE EJERCICIOS

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