AnAlisis MatemAtico II - HEctor Di Caro

HECTOR A. DI CARO LILIANA B. GALLEGO

ANALISIS II MATEMATICO II CON APLICACIONES A LA ECONOMIA

^ E D ic io n e s m n c e H i B U E N O S A I R E S - B O G O T A - C A R A C A S - M E X IC O , D F

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E M P R E S A A D H E R ID A A L A C A M A R A A R G E N T IN A D E L L IB R O

PROLOGO C o m o ocurriera con otras publicaciones, las prim eras ideas que llevarían luego a la con creción de este lib ro surgieron en el añ o 1 9 7 5 , ante un p ed id o que m e fuera form ulado p o r mis alum nos y que m e llevaron en ton ces a la publicación de los prim eros apuntes. Tam bién , c o m o lo h e expresado en otras oportunidades, n o sería honesto com enzar este trabajo, sin expresar mi reco n o cim ien to a quienes m e ofrecieron su confianza y a p o y o o contribuyeron d e una u otra m an era — tal v e z sin saberlo— a que este trabajo se concretara. C re o que al dedicarm e, p o r vocación , exclusivam ente a la docencia, he sido útil al gran ausente, qu e es el alum no, p e ro de lo que n o te n g o la m en or duda, es del a p o y o que m e brindó, sobre to d o en m om en to s difíciles d e mi vida, p o r ello quiero devolverle en p arte, con tnis publicaciones, to d o m i agradecim iento La obra es a p rop iad a para los cursos que se dictan en las Facultades de C iencias E conóm icas y destinada especialm en te a los alum nos qu e en los primeros años de estudio se encuentran desorientados p o r la falta de un texto que responda a los program as exigidos. N o d ig o nada n u evo en este libro, sino qu e h e tratado de v o lc a rla experiencia didáctica adquirida a través de largos años d e enseñar la asignatura en las principales universidades del país. F.l contenido se refiere al estudio de las funciones d e más d e una variable, recordando p reviam en te co n cep to s básicos d e g e o m e tría analítica, en dos y tres dim ensiones fe o particular, estudio d e curvas y superficies, con sus gráficos respectivos) indispensables para la represen tación d e las funciones d e dos variables y que el alum no, en gen eral, n o recuerda o d escon o ce.

PROLOGO

VIH

A n tes de c o m en za r cada capitulo con (os tem as esp ecíficos, les recuerdo el misrno tem a para funciones d e una variable, y antes de finalizarlos, el alumno encontrará p rim ero un cuestionario de repaso — que si lo contesta correctam ente significará qu e está elaboran do el con ten id o del texto—

y en segu ndo lugar,

ejercicios de aplicación , con respuestas, sugerencias y soluciones d e los mismos, al final de la obra. A d em á s d e los ejercicios respectivos específicos, el libro con tien e con todo detalle y para cada tem a las aplicaciones econ óm icas respectivas, d eb ien d o destacar que esta parte, tan im portante, ha estado a ca rg o de la p ro feso ra I.u (a n a G

alleg o .

quien ha a p o rta d o un trabajo valiosísim o. El m ism o servirá, adem ás d e la capacita­ ción de los alum nos en sus respectivas especialidades, al p erfeccion a m ien to de los docentes en dich os tem as. Si esta obra contribuye en algo a la com pren sión d e los tem as tratados, los autores sentirán qu e sus esfuerzos han estado justificados.

H éctor

A. Di

C aro

Indice

1.

F U N C IO N E S D E V A R I A S V A R I A B L E S

7

1.1

In tro d u cció n ..............................................................................................

7

1.2

C on cep tos básicos de g e o m e tría a n a lític a ..........................................

8

1 .2.1

Espacio euclídiano u-dim ensional ...........................................

9

1 .2 .2

Sistem a coord en a d o lin e a l........................................................

10

1 .2 .3

Sistem a coord en a d o bidim ensionaí o p la n o ........................

10

1 .2 .4

Sistem a co o rd en a d o tridim ensional o en el e s p a c io

11

1.2.5

Estudio d e gráficas en el p ia n o .............................................

17

1.2.6

Estudio d e curvas en el p la n o o esp acio d e dos d im e n s io n e s ......................................

1.3

Estudio de gráficas en el esp acio ............................................

28

1.2.8

Estudio d e superficies en el e s p a c io ......................................

32

Conjuntos puntuales. Entornos. R e c in to s ...........................................

49

Clasificación de p u n to s ..............................................................

53

1.3.1

2.

18

1.2.7

1.4

F u n cion es...............'....................

54

1.5

Subconjunto de variabilidad....................................................................

62

1.6

R epresentaciones gráficas d e c a m p o s escalares................................

69

1.7

Curvas de n i v e l .........................................................................................

83

1.8

Aplicaciones econ óm ica s del c o n c e p to de curvas d e n i v e l

90

1.9

C uestionario d e r e p a s o ...........................................................................

106

1.10 Ejercicios de a p lic a c ió n ...........................................................................

108

L IM IT E S Y C O N T IN U ID A D

113

2.1

Lím ites para funciones de una v a r ia b le ...............................................

113

2.1.1

117

Función continua en un punto ................................................

INDICE

2

2 .2

Lím ites para funciones d e d os variables in d e p e n d ie n te s ...............

2 .3

Lím ite d ob le o s im u ltá n e o ....................................................................

121

2 .4

Lím ites sucesivos o re ite ra d o s ..............................................................

125

2 .5

Lím ites r a d ia le s .......................................................................................

128

6

P rop ied a d es de los lím ite s ..................................................................... 135

2 .7

D efin ición d e C o n tin u id a d ..................................................................... 136

2 .8

P ro p ied a d es d e las funciones c o n tin u a s ..............................................

137

2 .9

2

3.

120

C u estion ario d e r e p a s o ..........................................................................

141

2 .1 0 Ejercicios d e a p lic a c ió n ..........................................................................

142

D E R IV A D A S

147

3 .1

D erivada p ara fu n cion es d e una v a ria b le ...........................................

147

3 .2

D erivadas p a rcia les..................................................................................

149

3 .3

In terpretación g e o m é t r ic a .....................................................................

150

3 .4

Función derivada, cálculo d e derivadas parciales d e p rim er orden aplican do la d e fin ic ió n ............................................................................

151

3 .5

Cálculo d irecto d e derivadas p a r c ia le s ................................................ 154

3 .6

D erivadas parciales d e ord en s u p e r io r ...............................................

3 .7

3 .8

A p lica cio n es econ óm icas: fu nciones m argin ales y elasticidades....

169

3 .7 .1

Estudio d e la función p r o d u c c ió n ............................................

175

3 .7 .2

E je r c ic io s ......................................................................................

179

3 .7 .3

Estudio d e la función d e m a n d a ................................................

181

3 .7 .4

E lasticid ad .....................................................................................

186

3 .7 .5

Ejercicios ......................................................................................

104

T e o r e m a d el valor m e d i o ......................................................................

195

A p lica cio n es e c o n ó m ic a s .........................................................

198

C u estion ario d e r e p a s o ..........................................................................

201

3 .8 .1 3 .9

163

3 .1 0 Ejercicios d e a p lic a c ió n ........................................................................... 202

4.

D IF E R E N C IA L

4 .1

209

In tro d u c c ió n .............................................................................................

209

4 .2

Funciones diferenciabíes. D iferen cia t o t a l .........................................

215

4 .3

S ign ificad o g e o m é tric o d e la d ife re n c ia l.............................................

216

4 .4

R ecta norm al a una s u p e r fic ie .............................................................. 218

4 .5

C álcu lo ap lican d o d ife re n c ia le s ............................................................. 219

3

INDICE

4 .6

5.

A p licacion es econ óm ica s del co n c e p to de diferencia t o t a l

226

4.6.1

Sustitución de factores en la p ro d u c c ió n .......................

226

4 .6 .2

Sustitución de b ien es en la función u tilidad..................

228

4 .7

D iferenciales su cesivas............................................................................

233

4 .8

C u estionario d e r e p a s o .........................................................................

235

4 .9

Ejercicios d e a p lic a c ió n .......................................................................... 235

F U N C IO N E S C O M P U E S T A S , IM P L IC IT A S Y H O M O G E N E A S

239

5 .1

Funciones c o m p u esta s...........................................................................

239

5 .2

Derivadas d e funciones c o m p u e s ta s ...................................................

242

5 .2 .1

D erivadas d e funciones com puestas de una variable in d e p e n d ie n te ............................................................................... 242

5 .2 .2

D erivadas de funciones com puestas de varias variables in d e p e n d ie n te s ............................................................................

5 .2 .3

246

O tro s ejercicios de a p lic a c ió n ................................................... 247

5 .3

Funciones im p líc ita s ...............................................................................

253

5 .4

Derivada d e funciones im p lícita s........................................................

255

5.4.1

E jem plos d e funciones econ óm ica s definidas en form a im p líc ita ......................................................................................... 2 5 9

5 .5

Ecuación del p la n o tangente cuando la su perficie está expresada en form a im p líc ita .................................................................................... 262

5 .6

Funciones h o m o g é n e a s .........................................................................

5 .7

T e o re m a de E u le r ................................................................................... 267

5 .8

5 .9

Funciones e c o n ó m ica s h o m o g é n e a s .................................................. 5 .8 .1

Funciones d e utilidad h o m o g é n e a s ...............................

269

5 .8 .2

Funciones d e produ cción h o m o g é n e a s .........................

272

C uestionario de r e p a s o ..........................................................................

264

269

278

5 .1 0 Ejercicios d e a p lic a c ió n ........................................................................... 279

6.

F O R M U L A S D E T A Y L O R Y D E M A C L A U R IN P A R A F U N C IO N E S D E D O S V A R IA B L E S

285

6.1

Introducción .............................................................................................

285

6 .2

Fórmula d e T a y lo r y M a c Laurin para funciones d e una variable .. 287

6 .3

Fórmulas d e T a y lo r y M ac Laurin para funciones d e d os variables..

6 .4

291

A plicacion es e c o n ó m ica s d e la fórm ula de T a y lo r y M ac Laurin para funciones d e d os v a r ia b le s

................................................

306

4

7.

INDICE

6 .5

C u estionario d e r e p a s o ........................................................................

6 .6

Ejercicios d e a p lic a c ió n ......................................................................... 3 1 0

EXTREM O S

313

7.1

In tro d u c c ió n ............................................................................................ 313

7 .2

E xtrem os para funciones de una va ria b le...........................................

7 .3

E xtrem os para funciones de dos variab les .......................................... 317

7 .4

7 .5

A plicacion es e c o n ó m ic a s ..................................................................... 7 .4 .1

Discrim inación d e p r e c io s .......................................................

7 .4 .2

Prob lem a d e una em presa de producción m ú ltip le

Extrem os c o n d ic io n a d o s ...................................................................... 7 .5 .1

7 .6

314

337 337 341 343

M éto d o d e L a g r a n g e ................................................................ 3 4 4

A p lica cion es econ óm icas de extrem os ligados o vin c u la d o s

355

7 .6 .1

C om binación de costo m ínim o con nivel de producción fijo

7 .6 .2

M axim ización del producto con co sto f i j o ............................ 3 5 8

7 .6 .3

355

M axim ización del ben eficio para un nivel d e ven tas d a d o .. 361

7 .6 .4

M axim ¡ 2ación d e la utilidad con renta f i j a ............................ 362

7 .6 .5

M inim ización d e los gastos del consum idor con utilidad fija . 366

7 .6 .6

M axim ización del ingreso en producción conjunta con una cantidad d e Insumo f i j o ............................................................

8.

310

368

7 .7

C uestionario de r e p a s o .........................................................................

372

7 .8

Ejercicios de a p lic a c ió n .....................................................

372

IN T E G R A L E S M U L T IP L E S : IN T E G R A L E S D O B L E S

379

8.1

Introducción ............................................................................................ 379

8 .2

Integral d e fin id a .....................................................................................

380

8 .2 .1

P rop ied a d es de la integral definida .......................................

382

8 .2 .2

T e o re m a del valor m ed io del cálculo in te g r a l...................... 383

8 .2 .3

L a función área c o m o función p rim itiv a ............................... 383

8 .2 .4

Cálculo d e la integral definida m ediante la p r im itiv a

8 .2 .5

Integrales con límites in fin ito s ................................................

384 385

8 .3

A plicacion es d e la integral d e fin id a .................................................... 386

8 .4

Integrales ite r a d a s .................................................................................. 400

8 .5

Integrales d o b le s ....................................................................................

404

8 .5 .1

Interpretación g e o m é tr ic a ........................................................ 407

8 .5 .2

P rop ied ad es d e la integral d o b le ............................................. 409

8 .5 .3

R educción de la integral doble a integrales ite r a d a s

410

5

INDICE

9.

8 .6

Aplicacion es de las integrales d o b le s ..................................................

411

8 .7

Cuestionario de r e p a s o ..........................................................................

425

8 .8

Ejercicios de a p lic a c ió n ..........................................................................

426

IN T E G R A L E S M U L T IP L E S : C A M B IO D E V A R IA B L E S

429

9.1

In tro d u cció n .............................................................................................

429

9 .2

C am bio de variables en las integrales d o b le s ....................................

432

9 3

Integrales trip le s ....................................................................................... 4 3 7 9.3 .1

P rop ied ad es de las Integrales trip le s .......................................

441

9 .4

Reducción de integrales triples a integrales ite ra d a s .....................

9 .5

A plicacion es de las integrales trip le s .................................................... 4 4 3

442

9 .6

C am bio de variables en las integrales m ú ltiples.................................

9 .7

Cuestionario d e r e p a s o ........................................................................... 4 5 2

9 .8

Ejercicios d e a p lic a c ió n ..........................................................................

450

452

1 0 . E C U A C IO N E S D IF E R E N C IA L E S O R D IN A R IA S D E P R IM E R ORDEN

455

10.1 In tro d u cció n .............................................................................................

455

1 0.2 Ecuaciones diferenciales. D efin icion es y fu n d a m en tos..................... 4 5 6 10.2.1 Existencia y unicidad d e s o lu c io n e s ....................................... 1 0.3 Ecuaciones diferenciales de p rim er o r d e n ..................................... 10.3.1

459 462

Ecuaciones diferenciales con variables s e p a ra b le s

462

1 0.3.2 Ecuaciones h o m o g é n e a s .........................................................

473

1 0.3.3 Ecuaciones diferenciales lin e a le s ........................................... 1 0 .3 .4 Ecuación de B ern o u lli..............................................................

478 487

1 0 .3 .5 Ecuaciones diferenciales e x a c ta s ...........................................

489

1 0.4 Cuestionario d e r e p a s o ........................................................................... 4 9 4 1 0.5 Ejercicios d e a p lic a c ió n ........................................................................... 4 9 4

1 1 . E C U A C IO N E S D IF E R E N C IA L E S O R D IN A R IA S D E SEGUNDO O RD EN

11.1 Introducción. T e o re m a d e e x is te n c ia ...................................................

501

501

11.2 Ecuaciones diferenciales de segundo orden reducidles a ecuaciones d e prim er o r d e n .......................................................................................

502

11.2.1

502

Ecuaciones d on d e falta la variable d e p e n d ie n te ................

1 1 .2 .2 Ecuaciones en las que falta la variable in d e p e n d ie n te

504

INDICE

6 1 1 .3

Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficien­ tes c o n s ta n te s .......................................................................................... 505

1 1 4 Ecuaciones diferenciales lineales h om o gén ea s de segundo orden con coeficien tes co n s ta n te s .................................................................. 506 1 1.5 Ecuaciones diferenciales lineales n o h om ogén eas (com pletas) de

A.

segundo orden con coeficien tes con stan tes......................................

514

1 1.6 C uestionario de r e p a s o .........................................................................

523

1 1.7 Ejercicios de a p lic a c ió n ........................................................................

524

R E S P U E S T A S , S U G E R E N C IA S Y S O L U C IO N E S A L O S E J E R C IC IO S P R O P U E S T O S

527

A. 1

C apitu lo

1 ............................................................................................

527

A .2

C apítu lo

2 ............................................................................................ 536

A .3

C apítu lo

3 ............................................................................................

A .4

Capítulo

4 ............................................................................................ 545

A .5

Capítulo

5 ...........................................................................................

.6

Capítulo

6

A .7

Capítulo

7 ............................................................................................

548

.8

Capítulo

8

549

A .9

Capitulo

A A

541 546

............................................................................................ 548 ............................................................................................

9 ............................................................................................

550

A . 10 Capítulo 1 0 ...............................................................................................

551

A . 11 C apitu lo 11 ...............................................................................................

555

B IB L IO G R A F IA

557

C a p ítu lo 1

F U N C IO N E S D E V A R IA S V A R IA B LES 1.1

In t r o d u c c ió n E l conocimiento del cálenlo infinitesimal os requisito previo indis­

pensable para acometer el estudio de casi cualquier rama ele la matemá­ tica superior John Yon Neumann, uno do los matemáticos más n otab le de este siglo en su obra “ The M ath en m h cia rí’ ha escrito: *'E1 c á lc u lo h a s id o el p r im e r lo g r o d e la m a te m á tic a m o d e r n a y r e s u lta d ifíc il e x a g e r a r su im p o rta n c ia . C r e o q u e d e fin e d o fo r m a m ás in e q u ív o c a q u e cu alqu ier o t r a c o sa el c o m ie n z o d e la m a te m á tic a a ctu a l; el a n á lis is m a te m á tic o , q u e es su d e s a r r o llo ló g ic o , cons­ t it u y e t o d a v ía e l m á x im o a v a n c e té c n ic o r e a liz a d o en e l c a m in o d e l p e n s a m ie n to r ig u r o s o " L a mayoría de las cuestiones teóricas del cálculo infinitesimal pueden expresarse cu términos geométricos, de modo que el cfílenle y la (¡Cómairia constituyen una unidad cuyo estudio es indispensable. E l estudio de 1¿ls funciones entre números variables

limitó en

el curso de Análisis M atem ático I, al caso de una variable independiente: explíci t.ámente V -■ f ( x )

'1-1]

o, en form a im plícita F (* ,í, ) «

0

' 1 .2 ;

Am pliarem os esta 1i mi f ación definiendo funciones entre unías variables. P o r simplicidad nos referiremos ai caso de dos variables indo-

8

Cap. 1 F U N C IO N E S D E V A R I A S V A R IA B L E S

pondLccUcs (se ttat.au ow L.4): explícitamente - =

(1.3)

y)

o, en form a implícita

(1.4) Sin embargo, haremos la generalización correspondiente en aqnoj)o ¡ y - z\ L a d is ta n c ia d e X a

Y os la m is m a q u e d e Y

a X , e s d e c ir , só lo d e p e n d e

d o l p a r d o p u n t o s y n o d o s u o rd e n , luego: \ X -Y \ = \ Y -X \

(1.7)

9

1.2 Conceptos b á sico s de geometría analítica

1.2. t

Espacio aw'li&iunn rt-riimeTisioncl Se. llama n-upla a una sucesión de n números.

Si con R n in

dinamos el conjunto de todo* los puntos de un espacio i\■dimensional, con í renuencia resultará conveniente representar un punto de R * por una sola letra tal como X. O sea llamamos pim ío X en este espacio a i.oda n-upla ordenada de números reales X = {X i,X 2, . . . ..Tn) Dos n-uplas ordenadas X -

(r.u x 2.. . • • ,3 * )

y

y =* (y) ./;/■>,... ; yn)

coinciden si y sólo si

*1

= V i; -T*» = ]Í2\ ■• • ; S-n - Vn

(1.8)

Se llama distancia en el i di ana entre dos puntos X = ( x \, X'2 , . . . ; x n) núincro real \y - X| = |

=

. yn) o simplemente distancia, al

- i t f ~ + fe:. - X»)1 +

. -TlVn - x n)*\

(U ))

El espacio asi definido se llam a espo o o cudtdinno n- d?traer** siono}. Puede demostrarse que este espacio es un espado métrico

La

expresión anterior de distaría a coincido para ti = 2 y n — 3 con la que (v¡ obtiene para la distancia cuclidiana entre dos puntos en el plano ( R 2) y en el espacio ( R 3) respectivamente (ver expresiones (1.11) y (1.12)) mediante aplicación del teorema de Pitágoras. Así como desistíamos un punto do. un espacio de n-dimensiones por una 7i-ado ordenado. o u-npla de números i cales, para designar uri punto de un espacio de dos dimensiones ( R 2) emplearemos un por ordonodo o dupla de números reales (a*, y) (donde x es la primera componente c* y os la segunda componente) y para designar un punto de un espacio de tras dimensiones ( R 3) emplearemos una leiam. orden ado de mi meros reales. Consideremos los distintos sistemas de coordenadas*

Cap. 1 F U N C IO N E S D E V A R IA S V A R IA B L E S

10

1.2.2

Sistema coordenado lineal

Sabemos qne lo» números reales pueden representarse gráficamente p o r los puntos de una línea recta.

A I

-2

-|/2 - L

. I

7/3 B l

P

.............................................................................................................................

- 1 0

1

2

3

4

x

F ig u r a 1 En el esquema (figura 1) al establecerse una correspondencia biunívoca entre puntos de un recta y los números reales se obtiene un sistemo, coordenado y en este caso com o todos los puntos están sobre la misma recta, el sistema se llam a coordenado lineal o sistema unidimen­ sion a l El número real x correspondiente al punto P se llama coordenada del punto P y se indica P ( x ) .

Análogamente: A (-2); B (3 ); etc.

La

distancia entre dos puntos A (a ) y B (b ) se denota con |AB| y es igual a la expresión : \ A B \ ~ \ b -a \

(1.10)

En el ejemplo |3B| = | 3 - ( - 2 ) | = 5 1.2.3

Sistema coordenado bidim.ensional o plano

E l sistem a anterior no nos perm ite representar puntos de un plano, para ello cuusiduramos el esquema (figura 2 )

1.2 C onceptos b á sicos de geometría analítica

11

donde a cada punto corresponde un pm ordenado, (primeva componente: abeisa; segunda componente: ordenada) de coordenadas y cada par or­ denado de numeras se identifica con un punto, llam ado gráfica del par ordenado. Éste sisterna rectangular de coordenados en el plano establece una correspondencia biunívoea entre cada punto del plano y un par or­ denado de números reales. Si como en la figura 2 un punto P en el plano tiene coordenadas (a, 6), indicamos este hecho escribiendo P (a , 6); en la misma figura con­ sideramos el punto Q (4,-1). Dados dos puntos P\ (íó , y\) y (x -¿, ) corno se ve en la figura 3, aplicando el teorema de Pitágoras, la distancia entre dichos puntas puede cal culiarse por medio de la siguiente fórmula: l ^ i ^ l “ y / fa - * i

1.2.4

)2 +

(V2 * V i)2

( 1 -1 1 )

Sistema coordenado triá im en jiorw ! o en el espacio Los sistemas anteriores no nos perm iten representar puntos del

espacio, para ello utilizaremos el sistema de coordenadas rectangulares en el espacio que consiste

12

Cap. 1 F U N C IO N E S D E V A R IA S V A R IA B L E S

Figura 4

(figura 4 ) cu referir cada punto a tres píanos mutuamente perpendicu­ lares que se cortan en el punto 0 , origen del sistema (pues para localizar un punto en el espacio necesitamos otra dimensión, que denominaremos Z o eje de cotas, además de las dos dimensiones del sistema coordenado plajio, llamados X c Y . Estos tres planos (coordenados) se cortan por pares, determinando tres ejes coordenados, uno vertical (el Z ) y dos horizontales ( X e Y ). En la práctica es suficiente trazar los ejes coordenados, como en la figura 5. E l eje X so lia trazado formando un ángulo de 135° con c\ *je Y , pero representa una recta perpendicular al plano Y Z , que es el plano de la página.

1.2 C onceptos b á sico s de geometría analítica

13

P ara medir distancias sobre los ejes Y y 7 n nn form a paralela a )u»s mismos se utiliza la eseaJa com pleta mientras qnc las distancias medi­ das a lo largo del eje X paralelamente al mismo se acortan, generalmente hasta alrededor de siete décimas (y/2¡2) de la escala com pleta. E sta dis­ minución en la escala do representación sobre el eje X paralelamente a él se realiza para aumentar el efecto de profundidad en la perspectiva.

D ado un punto P cualquiera del espacio determinamos su posi­ ción haciendo pasar por P planos paralelas a los coordenados, que cortan a los ejes X , Y y Z en los puntos A , B y C respectivamente (figura

6 ).

14

C ap. 1 F U N C IO N E S D E V A R IA S V A R IA B L E S

¿, ■i gura

6

c

/ z

o

y

B

/ Estos planos, junto con los coordenados forman un paralelepípedo re d orectainrular. Las distancias de P a las planos coordenados están dadas por las longitudes O A . O B y O C , números reales que llamamos respectiva­ m ente x, y, 7. y que constituyen las coordenadas de P ;la s indicamos por P (x < 2/, -)■ Observamos que un sistemo, de coordenadas rectangulares en el espacio establece una correspondencia biunívoca entre cada punto del espacio y una terna ordenada de numeras reales. E \ jercirio l t Indicar las coordenadas do Ion puntos A , B. C, D. O y P de la figura 6 . Solución. Las coordenadas pedidas son: A (x,0 .0 ); B(0,v.0); C(O,0,z); D (x.y,0)j 0 (0 ,0 ,0 ) y P (x,y,z). E je r c ic io 2: Trazar los puntos

—i ) y

—3,4).

Solución. C om o se indica en la figura 7, para trazar el punto P>. asig­ namos a x y a y los valores 3 y 4 respectivamente, obteniendo el punto D sobre el plano horizontal X Y . P o r dicho punto y perpendicular al plano horizontal X Y . P o r dicho punto y perpendicular al plano mencionado, llevam os el valor —i . obteniendo P\.

1.2 C onceptos b á sico s de geometría analítica

15

Análogamente, para trazar P 2 los valores —2 y —3 determinan E. P o r éste, perpendicular al plano horizontal llevamos 4 *mi dad es. obte­ niendo p 2 Dados dos puntos P \ {x \ ,y \, zx) y P¿(x-¿,y 2 > S) para hallar la distancia entre ios mismos

del espacio (figura

construimos un paralelepípedo cuyas caras sean paralelas a los planos coordenados y en el que los puntos P\ y P 2 sean vértices opuestos A (x-¿1y i, Z j) y B ( x 2 ,U 2 >z\)

eligen com o en la figura, resulta

¡P,.4| = \x2 - X i i ; \AB\ = \y2 — y il; \BP¿\ = |r2 - z-¡\;

Si

16

Cap. 1 F U N C IO N E S D E V A R IA S V A R IA B L E S

A E l triángulo P i A B tiene un ángulo recto en A y el triángulo A P i B P i uu ángulo recto en B. P o r lo t.tinto

\P7 a \2 + |A B \ 2 = I K s l 2; l ^ s f + \ m \ 2 = p y ^ l 2;

0 \T \R

\ 2

sea = *

|7 \ A

|2

+

\ m

\ 2

=

( * J

-

X i)

3

+

( j f t

—

V i)

2

+

( i s

-

Luego la fórmula de la distancia pedida es \ p j\ f =

- * i )2 +

(!/2 -

!/iT2 + t e -

*1 j*

( 1 .12 )

L u g a r g e o m é t r ic o o c o n ju n to d e p u n tos: Hemos insto que existe una correspondencia biimívoca entre los puntos del plano (o del espacio de tres dimensiones) y los pares ordenados de ni uñeros reales (las ternas ordenadas de números reales), llamados co­ ordenadas del punto. Nos interesa encontrar ahora una correspondencia similar, entre elementos geométricos como curvas del plano o superficies del espacio, y elementos algebraicos com o ecuaciones en dos y tres variables respectivamente. Llamamos iugar^geom.éfjico o con ju n to de puntos a todos los puntos del plano (o del espacio) que verifiquen una o varias propiedades geométricas y sólo a ellos. O sea, si un punto del plano (o del espacio) no verifica dichas propiedades no pertenece al conjunto de puntos. Para indicar que “C es d conjunto de puntos del plano de coor­ denadas x ,y que cumplen cierta propiedad p" escribimos C = { P ( x , 2/) tales que cumplen p }. Análogamente, en R ? la notación es C = { P { x , y , z ) t.aies que cumplen p } indica que “ C es el conjunto de puntos del espacio de coor­ denadas x, y, z que cumplen la propiedad p” A continuación desarrollaremos el concepto de curva en el plano com o un subconjunto de puntos dei plano y también obtendremos los conceptos de curva alabeada y superficie com o subconj untos de puntos del espacio.

1.2 C onceptos b á sico s úe geometría analítica

1.2.5

17

Estudio de gr áficos en el plano

Un conjunto de pares ordenados tiene una gráfica que consiste en el conjunto formado por las gráficas de los pares ordenados individúalas. E je r c ic io 3

IV azar la gráfica del conjunto {(x,t/ )/ 0 < r < 4; 1 < y < 3} Solución. La gráfica la coastituye el rectángulo sombreado (figtira 0).

Si se tiene una ecuación (o inecuación) en dos variables x e y, es decir F ( x , y ) = 0 o F ( x , y ) < 0, se dice que el par (a , fe) es solución de la misma si al reemplazar x por a e y por b la ecuación (o inecuación) resulta -verdadera. P o r ejemplo, (3,4) es una solución de la ecuación x ¿ + y ¿ = 25 puesto que 3” + 4 2 = 25 es una ecuación verdadera. En cambio (2,1) no os una solución puesto que la ecuación 22 4- \¿ = 25 es falsa. E l conjunto S de todas las soluciones de una ecuación en dos variables es llamado conjunto solución o gráfica de la ecuación. Dado un conjunte? S de puntos en el plano coordenado se de­ nomina uecnación do S” a la expresión — 0 , ta l que el conjunto de todas las soluciones de esta ecuación constituye el conjunto S.

18

1.2.6

Cap. 1 F U N C IO N E S D E V A R IA S V A R IA B L E S

Estudio de cuinos en elpln.no o espacio de dos dimensiones. Conviene recordar las siguientes gráficas en el plano .representadas

por: 1). Ecuaciones de p rim e r grado: Lo. Recta. L a ecuación general de la recta es A x H- B y 4- C = 0

(1.13)

con A , B y C constantes cualesquiera, siempre que A y B no sean si­ multáneamente nulas. L a form a sim étrica es (ver figura 10), con p y q distintos de cero

(1.14) Siendo p el valor de a b a sa donde la recta corta al eje x y q el valor de ordenada correspondiente a la intersección con el eje y.

L a form a explícita es y = mx + q

(1.15)

siendo m la pendiente (recordar que m = tgpor ser h = k = 0, se reduce a x 2 + y2 = r 2 ecuación de la circunferencia con centro en el origen.

Desarrollando (1.24) obtenemos la form a general de la ecuación x ¿ H- y2 H- D x + E y + F = 0 O sea, si (1.22) representa una circunferencia A = C y B = 0.

(1.25)

23

1.2 Conceptos b á sico s de geometría analítica

E je r c ic io 4: ¿Cuál es el lugar de los puntos P ( x , y ) cuyas coordenadas satis­ facen la inecuación (x - h )2 + (y - k )2 < r 2? Solución: Com o el primer m iem bro de esta inecuación os el cuadrado de la distancia \CP\ entre el punto (h , k ) y cualquier punto ( x tf/); entonces la expresión establece que la distancia \CP\ debe ser menor que el valor r; es decir que dicha ecuación se satisface para todos los puntos cuya distancia al punto (h ,k ) sea menor que r. (|CP| < r ). Dichas puntos pertenecen al círculo de centro (h^k) y radio r excepto las que pertenecen a la circunferencia borde (por ello represen­ tam os en línea punteada la curva borde o frontera).

Y

^

\

/P /

I

\ /

\

\

/

Figura 17

N O T A : Si la inecuación es: (x — h)~ + (y — k )2 < r 2 su gráfica corresponde a to d o el círculo de centro en (h , k ) y radio r incluida la circunferencía borde. b)

Lo. pm'ííbola. Una parábola es el lugar de los puntos del plano

que equidistan de un punto F , llam ado foco y de una recta denominada directriz ambos incluidos en el mismo plano. Entonces designado por P ( x ty ) un punto cualquiera de la curva (figura 18), debe cumplirse |FP| = |FA|*

24

Cap. 1 F U N C IO N E S D E V A R IA S V A R IA B L E S

P o r la fórm ula de la distancia (1.11)

y '1 7 ^ 1 =

1^

+

11

Igualando estas dos expresiones, elevando al cuadrado y simplificando, resulta y1 =

2 px

( 1 .20)

que es l a ecuación de l a parábola de vértice en el origen y eje X L a ecuación general de la parábola cuyo eje es par al et o (o coincide con) el eje X es de i a forma y2 + D x -f- E y + F = 0

(1.27j

O seaf si la expresión ( 1 .22 ) representa una parábola como la mencionada, entonces A — f í = 0. Análogamente,

si el vértice está en el origen y su eje coincide

con el eje Y (figura 19), la ecuación de la parábola es

1.2 C onceptos b á sico s de geometría analítica

25

c) L a elipse. Una elipse es el lugar geom étrico de los puntos P [ x , y ) cuya suma de distancias a dos puntos fijos F j y llamados focos, es constante.

(figura

Si designamos p o r (2 a ) a la suma |F 1 (P| + \P¿P\ de las distancias entonces las coordenadas de P deben satisfacer la ecuación

20 ),

Z ( x + c ) - + T ,2 + ^ { x - c f + y2 = 2 a

(1.29)

Para simplificar esta expresión, transponemos el segundo radical al segundo miembro de la ecuación, elevamos al cuadrado y reducimos términos semejantes (1.30)

26

Cap. 1 F U N C IO N E S D E V A R IA S V A R IA B L E S

Volviendo a elevar al cuadrado y simplificando, se obtiene

a2

o } - c2

P u e r to qu e la sum a |/*\P| H-

¿N

= 1

\£'¿P\ — '2 ______

(1.31)

d e dos lados del

n

tr iá n g u l o F 3 F e s m a y o r q u e oí t.c ie e r la d o |F , F j = 2 o. resulto. 2 > 2 c, en c o n s e c u e n c ia 4a- > Acr => a 2 > c2 =? ci¿ -- c~ > O E n to n c e s «al se r

a - — c2 p o s itiv o , n a r n o s ‘b ’ o sea:

s u r a íz c u a d r a d a e s ro a l y p o d f b a .

b ¡= \ / b 2 — c 2

taloi* q u e d e n o m i­

Reemplazando en (1.31) obtenemos

quo oh la ecuación canónica de la elipse (con centro en ni origen y ejes coi ncirlont.es con los ejes en ordenados), donde o y b son los semiejes mayor y m eh or respectivamente (ver figura

20 ).

L a ecuación general de la elipse cor. ejes paralelos a les coorde­ nados es A ? - -f C y L + D x + E y + F = 0

(1.33)

con )«i condición do que si obtiene

Esta expresión parece exactamente igual que la obtenida pava la elipse, pero ahora a 2 — c2 es negativo, ya que la diferencia de los dos lados del triángulo fq F-¿P es menor que el tercero: 2u < 2c. Así. en este caso, c2 — ar es positivo y su raíz cuadrarla real y positiva la dosignarc(1.34) obtenemos

que es la ecuación canónica de la hipérbola, donde a v b son los ejes transverso y conjugado, respectivamente (ver figura 2 1 ). I.a ecuación general de la hipérbola con ejes paralelos a los coordenados es A r

4- C y 2 *h D x

4* E y 4* F = 0

(1.3b)

con la condicióu de que si la expresión ( 1 .22 ) representa una hipérbola com o la m en cion ada^ Y C deben tener signos opuestos y B — 0. Com o caso particular, si a = b, la hipérbola se llama hipérbola equilátera y la ecuación (1.36) tom a la form a más sencilla ícon eje transverso coincidcntc con el eje X ) (1.37;

28

/

Cap. 1 F U N C IO N E S D E V A R IA S V A R IA B L E S

2 .7

Estucho do gráficos e n el espacio

Repasaremos las principales gráficas y las ecuaciones respectivas on el espacio, haciendo algunas consideraciones previas. Angulos y cosenos directores.

Si consideramos dos recias no

copian ares decimos que se cruzau. LI ai riamos ángulo de dos rectas que se cruzan al formado por otras dos rectas cualesquiera que se cortan, de m odo tal que estas últimas rectas tienen el mismo sentido y son paralelas a las anteriores. L a dirección de una recta cualquiera r en el espacio {ver figura

22 )

se determina por los ángulos que form a con los ejes coordenados.

Si r 110 pasa por el ongen, trazamos r ’ por O, paralela a r y del mismo sentirlo. Los ángulos a. fi v 7 formados por r ’ v las partes positivas de X , Y y Z se llaman ángulos duve lores de la recta dirigida r.

En lugar cío dichos ángulos, con frecuencia emplearemos los cosenos de los mismos. Estos cosenos (c o s (a ), cos(.tf), cos(*,)) se llaman t co s e ros directores de r. Si de la recta conocemos dos puntos P i(x 1 . ¿n, ~i) y P ¿ (x 2, y¿, z-¿) y hacemos pasar por ellas planos paralelos a los coordenados (ver figura 23) estos planos forman un paralelepípedo recto rectangular que tiene a P\ P¿ por diagonal y a ¡\ V\, P\ Vi y P\ por aristas.

29

1.2 C onceptos b á sico s de geometría analítica

Teniendo en cuenta que í ’iV'i = A iA ? — x ¿ — x-i

~P\ V'i — B \ B 2

=

= i/:» -

Vi

= Z. - Z:

resultan de los triángulos

F ig u r a 2 3 a )

que c o s e •=

x2S\P2

(1.38; (1.39)

Cap. 1 F U N C IO N E S D E V A R IA S V A R IA B L E S

30

eos 7 = ^

# r\ l 2

(1-40)

re spect. ivamenl c . Números directores. Si consideramos números que sean propor­ cionales a los cosenos directores, reciben el nombre de números direc­ tores. Una recta dirigida tiene un número infinito de numeras direc­ tores. pero solamente tiene un conjunto de cosenos directores. Si a. b y c son números directores de una recta, los indicaremos [a, b, r] debiendo cumplirse que

cosa

b eos/?

C eos 7

(1.41)

Si en (1.88) multiplicamos las cosenos directores por PiP-¿ ve­ mos que una terna de números directores de la recta que pasa por P : t e i , yi , - i ) y

, y-¿, z2) es [x 2 - x t i y2 -

2/1,22

Angulo form ado p o r dos rectos. ríe pcrpendiculo.ri.dnd. Dadas dos rectas

77

- ^il

(1.42)

C ondiciones de paraleh.sm.0 y

y r 2 cuyos ángulos directores son a 1? /3|,

7i

y c\¿, 0 2 > 72 respectivamente y considerando un punto cualquiera de i ' i . para hallar el ángulo 0 que las mismas forman (fig 24) proyectamos sobre r 2 la poligonal O R Q P ) , así como su resultante O P j, obteniendo QP\ eos 0 — O R c v s c t 2 -b R Q eos 02 + Q P i eos 71 pero ( j R = O P ¡ cü sa L R Q — OP\ eos 0i Q T \ = O P ¡ c os7 X

31

1.2 C onceptos b á sico s de geometría analítica

reemplazando, resulta

O P \ eos 9 = O P \ eos a i eos

-f

ü f \ e o s ¡3i c o s / b •¥ O P \ e o s -; eos

o sea eos 9

=2 eos a i

eos a¿ + eos fi\ eos &¿ + e o s l eos --2

(1 -43J

Si, como caso parí icular, las rectas son paralelas v están dirigidas en el mismo sentido, sus correspondientes ángulos directores síin iguales. Entonces eos a i ^ c o sa * eos 0 ! = eos 1% eos 7 j = cos->* luego cIj

jh

£i_

bn

C2

(1 44!

siendo (1.44) la comb a ón de pomlelis7no de dos •nieta.s. En cambio, si son perpendiculares, 9 = 90" por Jo tanto eos'? = 0. Según (1.43) eos e¡i eos 02 + eos (3i eos 02 + eos -)\ eos y¿ = 0 luego fi) a2 +

¿162

+ cxc2 = 0

que es la condición de perpendicularidad de dos redas.

(1-45)

32

Cap. 1 F U N C IO N E S D E V A R IA S V A R IA D L E S

cS'

I&tiid ?o de sapcí/t'ac.s o * e i e sp a c io

77/ p/er?o Vim os que en geometría analítica del plano, considerando un per do ejes coordenados, podernos hacer corrresponder o cada ecuación c v dos va nebíes F (x .y )-^ 0

(1.46)

?/ = / ( * )

(1.-17)

o en fo n na explícita

una lín m plan o que constituye la gráfica de aquella ecuación. También vim os que. recíprocamente, considerada una línea plana definida geomé­ trica monto, so puedo encontrar una ecuación, (1 4fi} o (1.47). veiiíioada solamente por las coordenadas de todos los pumos do la línea. Análogamente, en geometría analítica de) espacio, dada una ¿cuaoóv- en tres m m i f o

n ^ v,

2)

* o

(1.48)

o, en form a explícita z = C (T -,y )

(1.49)

z ) un punto cualquiera .diferente de i l , sobre ex y r la recta que pasa por A y P, y que. por cotisigr liante está contenida en el plano, entonces r y n son perpendiculares entre .sí. Según (1.42) los números directores de r son [x — X\sy — ?/¡, ~ - ~ i ) luego, por (1.45) A ( z - X ]) + J . i ( y - V i ) + C [ Z - 2 i ) = 0

(1.50)

que os la form a ordinaria do la ecuación de un plano que pasa por un punto. Desarrollando (1.5(1) A x + B y -h C z - [Á X j +

*f C-z{ ) — 0 -

D

y reemplazando la expresión constante por el término constante - D , resulta Az + By + Cz +

D-i)

(1.51)

que os la- forrnn. y e n e ro l de la ecuación d tl p lan o . Recíprocamente, puedo demostrarse, que toda ecuación de. la form a (1.51) representa un plano. Luego, toda ecuación lineal de la forma A z -f B y + C z +

D

= 1)

Cap. 1 F U N C IO N E S D E V A R IA S V A R IA B L E S

34

en la que por lo menos uno de los tres ooefioient.es (A B, y C ) es dife­ rente de cero, ropiosonta tin plano, cuyos coeficientes (A . B, C ) son los mimeios directores de .su normal. Observamos que en este espacio, las ecuaciones condenen, en general, tros variables; pero su número puede ser me ñor. pues si uno de los coeficientes es ceio, por ejem plo C de (1.51) es cero, la normal al plano es perpendicular al eje Z y por consiguiente el plano as paralelo a ese eje y perpendicular al plano determinado por los ottos dos. Así Ax + By + D

^0

(1.52)

t\-. la ecuación de un plano tí (lig.26) paralelo al eje 7. y perpendicular al plano X Y .

Comparando (1.52) con (1.13) vemos que mientras en el plano la ecuación lineal en dos variables representa una iect.a, en el espudo, la misma ecuación, representa una superficie, en este caso un plano per­ pendicular al plano X Y . Si dos de los coeficientes son nulos, por ejemplo B = C = 0, la ecuación (1.52) se reduce a A z + D = t)

(1.53)

en ose caso el plano os paralelo al plano coordenado determinado por las

35

1.2 Conceptos b á sicos de geometría analítica

ejes correspondientes ;i las variables ausentes. De (1.53)

D x = — - = con stan te

O sea, X

T -

(1.54)

¡¡

en el espado es la ecuación de un piano

7

pa: alele al plano Y Z (fig. 27).

Com parando (1.54) con (1.20). vemos que la misma ecuación considerada en el plano representa uno recta paralela ál eje Y (ñ g .llj.

Figura 27

C b m o in d ic a m o s e n l a f ig u ra 2 7 , h e s i a clist.fiiicía e n tre el orig en y e l p u n t o e n q u e e l p la n o corta a l e je X . P o r lo ta n to , si a d e m á s es D = 0, o sea B = C — D = 0, r e s u l ta

x

=0

que es la ecuación del plano Y Z (fig. 28);

(

1.55!

36

Cap. 1 F U N C fO N E S D E V A R IA S V A R IA B L E S

Fisura

c o n f r o n t a r c o n ( 1 . 21 ). Auuílo ¿am onte en io s d em ás casos y = k

(1.56)

que os la ecuación tic un piano paralelo al X Z. J = 6

(1.57)

Z

(1.58)

quo os la ecuación tlrJ plano X Z . = =

k

que e s la acuna ón de un plano paralelo al X Y . 2=0

(1.59)

que es la ecuación del plano X V .

E c u a c io n e s d e la r e c ta e n e l e s p a c io d e tr e s d im en sion es Dijim os que si un conjunto cíe puntas del espacio satisfacen una condición, .su representación geométrica es una superficie (en particular estudiamos el plano); s¡ satisfacen, en cambio, do* condiciones será una curva en el espacio. Sabemos también que dados dos conjuntos de puntos C\ y C¿, la u n ión de esos dos conjuntos, que indicamos Cx u G t

37

1.2 C onceptos b á sico s de geometría analítica

el conjunto de puntos íS)

(1.77)

(1.78)

L a ecuación V“

z*

k x = 4-r + — F c*

(1.79)

corresponde a un paraboloide elíptico de eje x y la ecuación a:1/ ^ = “T a 2 + T? corresponde a un paraboloide elíptico de eje y. Por ejemplo: y ~ a*2 - f z 2 tiene por gráfica:

(1.80)

Cap. 1 F U N C IO N E S D E V A R IA S V A R IA B L E S

44

z Paraboloide elíptico

Y

X

2) tivo ) Por ejemplo:

Pnruboloxit hiperbólico: (un coeficiente positivo y otro nega­

I.a gráfica corresponde a una siip oifric simétrica respecto al plano y z (ir — 0 ). Grafio amos z — - r 2 \ y7

La ecuación (1.82) corresponde a un paraboloide hiperbólico simétrico respecto al plano XZ ( y = Ü)

1.2 C onceptos b á sico s de geometría analítica

45

Análogam ente pueden determinarse ecuaciones de paraboloides hiperbólicas con otra orientación. d) Superficie-'» ol'iirh'kw -5 Están engendradas por lina recta (genorata iz) que se muevo de tal manera que se mantiene siempre paralela a una recta lija dada y pasa siempre por una curva fija dada (directriz';. Si las generatrices son perpendiculares al plano de su directriz, dicha superficie cilindu ra se llam a reet.a y. en caso contrario, oblicuo U na ecuación do segundo grado que contenga dos variables re­ presenta en el espacio una superficie cilindrica recta cuyas generatrices son paralelas io ) (figura 38)

E '(C o ) = { x , y , z f { x - x oy + { y - j/o}2 + ( z - * ) 2 < 62)

l '^ í

9 0 *1 7 5

( 1 .86 )

52

Cap, 1 F U N C IO N E S D E V A R IA S V A R IA B L E S

V

v X T a m b ié n d e b e re m o s c o n s i d e r a r e n n u e s tro e s tu d io e n to rn o s c u a d ra d o s (e n R ‘ ) y e n to r n o s c ú b ic o s ( e n R 3 ). e s p e c ia lm e n te lo s p rim e ro s

Entorno cuadrada

d e s e m ia m p lifu d o s e l c o n ju n t o de* p u n t o s (x*, t a l e s que

y)

6 > 0 d e u n p u n to C ofx 'm p o )

í I?; - z a\ < ó {

\y -V o'< £

intervalo

E n e l e s p a d o d e d a s d im e n sio n e s d e fin im o s ta m b ié n a l los e je s d e fin id o p o r los

caira do: a s t o d o r e c tá n g u lo d e la d o s p a ra le lo s a p u n t o s {x,y) ta l e s q u e (f i g u r a 3 9 )

(1 .S 7 ) Y

F ig u ra 39

53

1.3 C o n ju n to s puntuales. Entornos. R e cin to s

el

Suprim iendo el signo igual eu las expresiones autor i o res resolta m torvo lo a b ie rto .

E n general, tratarem os con un subconjunto S — ((: i , y ) de pun­ tos de B 2} . T a l conjunto divide al plano en dos partes, el conmuto S y los restantes puntos del plano que constituyen el complemen to de S. {.3 1 dosificación de pantos P u n to de ac u m u lo cÁón. U n punto, que puede pertenecer o no a un conjunto S, se dice de ac u m u la c ió n de dicho conjunto, cuando en todo entorno reducido suyo hay algún punto de S.

P es punto de acumulación cíe S

V £ '(P )

3x £

SO E \P )

P lin to in te rio r. U n punto perteneciente a un con ¡unto S, se dice que es h i t e n o r al m ism o, cuando existe un entorno Suyo chic es pune de S; o sea. todos los piuit.os del entorno pertenecen a $.

P es punto in te rio r a S ^ 3 £ ( P j /

E (P )

C

S

P u n to e x te rio r. U n punto se dice que es c ite .n o r a un conjunto S ,si hay al ¿pin entorno suyo que no contiene ningún punto del conjunro; o sea, un punto e xte rior a] conjunto S es punto in te rio r del complemento S. P es exterior a S o 3 E ( P ) / E ( P ) n S = 0

P u n to de. fro n te ro . U n punto se dice de frontera de un conjunto al cual pued^ o n o [ic n e n e c c r,si ¿n todo entorno suyo hay al^nn punto que pertenezca a S y algún punto que no pertenezca a S S

P es frontera

P no es in te rio r )' P no es exterior

P u n to aislad o . Un p unto que pertenece a i si a do,s\ existe algún entorno reducido suyo

a un conjunto S se dice (pie no contieno ningún punto de S.Luego el punto aislado es un ejemplo de punto de frontera. P

es un punto aislado de

S & P C: S

A 3 E * [P )

> E '( P )

OS

-

0

• iron/,e7a hVontera de un conjunto es el cxmjunto formado por sus

Cap. 1 F U N C IO N E S D E V A R IA S V A R IA B L E S

54

puntos de frontera, • Contorno. Contorno de un conjunto es el conjunto de los puntos no exteriores que son puntos de acumulación de puntos exteriores aJ conjunto. • Conjunto abierto . Un conjunto S se dice abierto si y sólo si todos sus puntos son interiores al conjunto, • Conjunto cerro río. Un conjunto se dice cerrado si su complemento es abierto; o también, cuando la frontera del conjunto pertenece al conjunto, en consecuencia todos sus puntos son de acumulación. • Conjuntos conexos. Conjuntos tales como círculos, rectángulos, etc, en que dos puntos cualesquiera pueden unirse mediante una poligonal de un número finito de lados y cuyos puntos pertenecen todos ni conjunto considerado, se dicen corvejos. E n caso contrario se dicen inconexos. • Recmf.o o regv.ón abierto* Es un conjunto conexo cuyos puntos son todos interiore*. • R egión Es un conjunto conexo formado por un recinto y alguno o todos sus puntos frontera, • Región cerrada o recinto cerrado. Es el conjunto formado por los puntos de un recinto más su frontera.

1.4

F u n cion es Según 1a definición de Dirichlet, decimos que “una función es una

correspondencia que asigna a. cada dem onio de un conjunto dado un único eleme 7¡¿o d e otro conjunto (distinto o no do aquél)” . Exigiendo así las condiciones de existencia e unicidad que caracterizan a la relación funcional. Indicando con

’la correspondencia mencionada en la definición

y con A y B los conjuntos dados, podemos escribir / :A -

B

que se lee “/ es una función de A en B ” .

1.4 Funciones

55

A se llama, conjunto de partida o dominio. B se llam a con.junto de llegada. Además, si a € A , el elemento b de B que 1c* corresponde a o. se llam a imagen ele a, que indicamos f (c ) y se lee " f ele n." L a condición de existencia so expresa Vx* 6 A 3 y € B / / ( t ) L a condición de unicidad se expresa V i 6 A y Vi e B . y v t £ B : { f { x ) = yl A / ( i ) =

= *y ¡ =y-¡}

R e p a s o d e funciones d e una variable E jem plo í. Sea A = {19G 4,1065,1966,1967} v B = {150.000,180.000, 130.000,220.000} Si indicamos 1

t\£A

^

i y o o

i sv v 1

9

6

/ 7

/

/

1 5 0

0 0 0

-fc . 1 s n n n n ^ 1 ü u . w U — . il ♦

/

n . n’J 'oJ In J Ji V

2 2 0 . 0 0 0

Figura 40 Se tra ta de una función que a cada año de A , le hace corresponder, por ejemplo, la producción de heladeras en dicho año (ligura 40) Ejem plo 2 Consideremos la venta anual de tractores desde 1980 a 1987: 1980 1981

13.000 17.000

1982

11.000

1983 ■' 12.000 1984

15.000

1985

13.000

1986

9.500

1987

10.000

56

Cap. 1 F U N C IO N E S D E V A R IA S V A R IA B L E S

Es preferible* representar las fundones mediante un gráfico carte­ siano (figura 41).

17000 15000 I3UD0

I (000

O000 1980

S\ 82

53 84 S5 86 87

F ig u ra 4 ]

Se trata rio una función que a cada año, desdo 1980 a 1987, le hac:o corresponder el número de traetor&s producidos anualmente. E n m a te m á tic a ., si b ie n so e m p le a n ta b la s p a r a d e fin ir fu n c io n e s, e s p o s ib le f r o r u im tc tn c n te d e fin ir la s m e d ia n te u n a fó rm u la .

Ejemplo 3: A - {1,2,3} , B « {1,2,3.4.5. ü)

f : A —> B

x

2x\

S e a l a fu n c ió n dada por q u e c a d a e le m e n to d e A se tr a n s f o r m a e n su d u p lo .

T 2 í Figura 42

E s t o q u ie re d ecir

57

1.4 Funciones

Observarnos que el gráfico J\ (figura «12; do la in ación / es c) conjunto de todos los pares ordenados en los que a G A osla como primer dem en to y su imagen com o segundo elemento. O sea .f: -

{ ( a , ! '} / a € A . b = f ( a ) }

E jem plo 4'- Sea la función / : R -*-' T i dada por r -• 2v. Observamos que la fórmula es [a misma, pero ahora d con i unto de partida es el ele ios números reala.*» y también ésto o.s conjunto de llegada. L a representación cartesiana da una idea clara c r la fundón, gráficam ente es una recta que pasa por el origen (figura 43) y cuya pendiente (m — 2). (V er 1.2.6).

L a fórmula x —> 2a: puedo escribirse así: /(.*;) — 2x. quiere decir qic la función transforma cada x en 2 t, por ejemplo, / (3 ) — 6; o también puede escribirse y — 2 z, que quiere decir que si darnos valores a x obten­ ernos los valores “y ’' del conjunto de llegada. C om o una vez fijado el valor de x queda determinado el valor di* y, se dice que y es la independiente.

dependiente. A x la llamamos va noble

58

Cap. 1 F U N C IO N E S D E V A R IA S V A R IA B L E S

E jem plo 5. Considerarnos f :R —> R dada por la siguiente fórmula

í

Una

/ (x )

= f

para x < 2

^ f[x)

—x

para x > 2

función

puede estar dada, como en este ejemplo,por una

combinación de fórmulas.

Quiere decir que para valores de x menores o iguales que 2 em­ pleamos una fórmula v para x mayor que 2 otra fórmula A sí obtenemos la siguiente tabla de valores y la gráfica respectiva (figura 44).

E jem plo 6 . Sea la función f ( x ) = -3 .

Si com o en este caso no se mencionan ambos conjuntos de par­ tida y de llegada, supondremos que ambos conjuntos coinciden con el conjunto de los números reales; o sea. estudiarnos funciones de variable reo.1 .

La dada es !a llamada función constante (ver 1.2.8) que a todo número real le asigna un mismo número, en este caso —3. (Fig. 45)

J A Funciones

59

Y

‘2 -1 0 1 0

&

%

y -3 -3 -3 -3 -3 -3

Fisura 45

y = -3

• Observación i . Exchu’mos fiel conjunto de partida los números reates para los cuales la función no está definida. Por ejemplo, el conjunto de partida de la función x

está constituido por todos los números reales menos el 2; o sea R — { 2 } , pues dicha función no está definida para i = 2, ya que no es posible la división por cero.

Efectúe el lector la gráfica asociando a cada número x ^ 2 el numero

x 7^2

• Observación c2 . En los ejemplos de funciones relacionadas con la economía advertimos que: 1. Se trata en general do funciones de valores aisladas. 2. N o se dispone de una fórmula simple que fie fina esos valores. 3. E n general las variables tornan valores no negativos. E n cambio, en matemática aparecen frecuentemente funciones que: 1. Están definidas para todo valor real de modo que su gráfica es "unida” .

60

Cap. 1 F U N C IO N E S D E V A R IA S V A R IA B L E S

2. Se dispone de una fórmula que permite hallar los valores de la función Esto no quiere decir que no se den en economía o en mate­ mática funciones de otro tipo. La m atem ática lia desarrollado métodos profundos e ingeniosos en el análisis de sus problemas; emplearemos esos métodos como auxi­ liares de las investigaciones econónácas. Los recursos de la matemática y a han dado pruebas de su poten­ cia cu otros campos ele la actividad humana: física, química, ingeniería. P o r otra parte, las ciencias que se valen de )a matemática plante­ an también a esta última nuevos problemas, manifestándose nuevamente la interdependencia entre lus distintos campos del conocimiento. Hemos repasado las funciones de una variable independiente, pevo como dijimos (ver L l ) . en economía emplearemos fundones de dos o más xziriabltts; por ello pasamos a considerarlas.

Funciones u cam pos escalares de dos variables Si dado un con junio do partida A , la función F 1c asigna a cada par ordenado do mí metes reales pertenecientes al mismo, un único el­ emento de otro conjunto do llegada B, se dice que F es una ¡unción o

y.po esadan de dos

ce7

obles

Es decir: dada F : A —•1R / A C R 2 es una función o campo escalar de dos variables si el D o rn F «

A ( condición de existencia) y 1a

imagen correspondiente a cada elemento es única (condición de unión dad). Si por ejemplo' A m

(i.i) ( 0 .2 )

6

61

1.4 Funciones

le corresponde el diagram a de la figura 4G

(1 ,0 > — (1. Ds (ü, 2/

< M3

(3, 3>

F ig u ra 46

— 6

Siguiendo la ñor ación clásica expresamos una función de dos variables mediante la forma

2 =

F{x, y)

donde x c y son las variables independientes, z la variable dependiente y que se lee “ z es función del par ordenado ( 2 , 7/)’'

Entonces la condición dc^u^oitiiSf pnede expresarse como

\f(x,y)r.A 3 ;

€ R /

F(x,y)

« c

y la condición de unicidad equivale a*

V ( x , 2/ ) r

A y z\

G R ,V

22 s R

:

[F(x,y) *

^ A

F{x. j) =

;2 ^

z} =

s 2]

L a gráfica de la función de! ejemplo antci ior en un sistema carte­ siano será

1111

conjunto de ternas ordenadas de números reales o sea,

geométricamente, un conjunto de puntos aislado» (figura 47) en el espa­ cio tridimensional 7?\

Cap. 1 F U N C IO N E S D E V A R IA S V A R IA B L E S

62

Observamos que mientras las variables independientes x e y se representan en ol plano X Y , la variable dependiente z se representa sobre eje Z. En (l.fi) efectuamos las representaciones gráficas.

1.5

Subcon ju n to de variabilidad Hemos puntualizado que, para definir una función es preciso in­

dicar • El dominio. • El conjunto ck: llegada • L a tabla o la fórmula qun define la transformación. Sin embargo, cuando no se indica expresamente lo contrario, se entiende que ei do m n tio es el subeon junto de pares ordenados ( x , y ) para los cuales está definida la función, o sea que satisfacen a z = F ( x , y ) . A este sub conjunto, que llamaremos snbeonjunto real de variabilidad, se le ha llamado tradicionalmente campo de variación de { x , y ) o campo existencia! de la función, denominación que preferimos evitar porque la palabra campo se emplea actualmente en matemática

7.5 Subconjunto de variabilidad

63

en otro sentido.

E je rc ic io 5. Deterntinar y representar el subcon junto de los pares do número* reales para los cuales eslá definida la función 1 /

- - 9 _ ( l 5 + j,J)

Solución: K1 denominado: debe ser distinto de cero; como en este caso el denominador se anula para x : -f?/2 = 9 (\er (1.2.13)), ésto significa que la función darla está definida para todo punto [x, y) del plano excepto para los puntos de la circunferencia (figura 481 de centro en el origen y radio 3 O sea el sub conjunto pedido es S = { ( x , 2/) € R '/ x 2 + y 2 = 0} solamente se exciuj'on los puntos pertenecientes a la circunferencia.

E je r c ic io 6 D e terminal' y representar el subconjunl o de los pares de números reales para los cuales está definido el campo escalar

34

Cap. 1 F U N C IO N E S D E V A R IA S V A R IA B L E S

Solución. Para que 1a raíz sea real. el radicando debe ser no negativo 4 — x 2 — y 2 > 0. En este caso, el radicando será negativo para x 2 Jr y 2 > 4 . Luego la función estará definida para todos las puntas de la ciiciinferencia con centro en el origen y radio 2 y para todas los puntos interiores a la misma (figura 49).

y "

Se excluyen los puntos exteriores al círculo

O sea

S = { ( * , * ) € R 2/ x 2 + y * < 4 } E je rc ic io 7 Determinar y representar el subconjunto real de variabilidad del campo escalar z - ln (l - x 2 - y2) Solución» Para que la función esté definida, debe ser 1 - x 2 - y2 > 0 O sea 1 - x ¿ - y¿ > 0 = » —x 2 - y2 > - 1 =>■ x 2 + y2 < 1 Luego la función está definida para todos las puntos interiores al círculo (figura 50) con centro en el origen y radio 1. O sea: 5 « {{x ,v )€ R 7 ® a+ y a < i}

65

1.5 Subcon¡unto de variabilidad /

F igu ra 50

S e e x c l u y e n lo s p u n t o s p e r t e n e c i e n t e s a la c ir c u n f e r e n c i a x 2 + y 2 « y lo s e x t e r io r e s

a

1

la m is m a

F ^ e rc ic io 8 Determ inar y representar el subcon junto rea) de variabilidad de la función ln (x 2 H- 7/2 — 1) Solución. En este caso la función está definida si se cumplen las dos condi­ ciones siguientes: 1)

ln (x 2 + y 2 ~ 1) # 0

2)

x 2 + y2 - 1 > 0

P o r la condición 1) ln (x 2 + j 2 - 1)

0 =>■ x 2 H- y 7 - 1 ^ 1 =$■ cr + y2 ^ 2

Significa que la función está definida para todos las puntos ex­ teriores a la circunferencia con centro en el origen y radio 2.(Fig. 51) P o r la condición 2) x 2 + V2 - 1 > 0 ^ x 2 + y 2 > 1 significa que la función está definida para todos los puntos exteriores a la circunferencia (figura 51) con centro en el origen y radio 1.

66

Cap. 1 F U N C IO N E S D E V A R IA S V A R IA B L E S

Luego el conjunto pedido queda determinado por la conjunción de las dos condiciones. O sea: 5 ^ { ( r 5y) € R 2/ x 2 + ?/2 # 2 A x 2 + y2 > 1}

S e e x c lu y e n Io

í p u n io s

p e r t e n e c i e n t e s a la s

c i r c u n f e r e n c i a s x ’ + y 2= 2 y

x 2+ y 2s )

y l o s p u n t o s i n t e r i o r e s a e s t a ú lt im a

E je r c ic io 9 Determinar y representar el subeonjunto real de variabilidad del campo escalar 1 £Í _l ¿ i _ i

9

4

1

Solución. Para que ja raíz sea real, el radicando debe ser n o negativo, p e r o además debe ser distinto de cero para que no se anule el denominador. Luego ** v2 y + t -

i « í > q ^

j

v2 , + Í > 1

Luego la función está definida para todos los puntos exteriores a la elipse (figura 52) con centro en el origen y semiejes 3 y 2.

1.5 Subconjunto de variabilidad

67

S e e x c lu y e n los puntos

O sea: 5 = U i . fy'¡ e R . V ^ - i 7 > ' } E je r c ic io lü Do ten ni mu* y representar el snbconjnnJo real de variabilidad fie la función : = ~ ^ xy (\ -x-y ) S o h ia ó t i .

El radicando debe ser no negativo. El producto xy{ l —T.—y ) > 0 .si 1)

xy > 0 A (1 - x - y) > D

2)

xy < Q A { l - x - y ) < ( )

Debemos estudiar por separado las das condiciones: l) x y > 0 corresponde a ios puntos de los cuadrantes 1 y I I I dol plano X Y (figura 63).

Cap. 1 F U N C IO N E S D E V A R IA S V A R IA B L E S

68

1

-

*

-

1/ >

0

=4>

1

-

X

>

¿ / = *•

y <

l -

X

a puntos pertenecientes e inferiores a la recta y ^ 1 — x

L a conjunción de esas dos condiciones es la intersección entre ambas conjuntos;corresponde a la parte sombreada de la figura 53, in­ cluyendo a los ejes y a la recta.

2) x y ¿ 0 corresponde a los puntos de los cuadrantes I I y I V del plano X Y (figura 54'.

1 - s - y

y =* y > l ~ x

a puntos pertenecientes y superiores a la recta y — 1 — x.

L a intersección de las dos conjuntos corresponde a la parte som­ breada de la figura 54. incluyendo a los ejes y a la recta

1>6 Representaciones gráficas de campos escalares

69

El subconjunto real de variabilidad lo constituyen los puntos pertenecientes a la unión de los casos (1) y (2) (ver figura 55), o sea S = { ( i , ? / ) e R 2/ ( l - x - y > 0 A x y > 0) V (1 - x - y < 0 A x y < 0 )}

1.6

R e p r e s e n ta c io n e s gráficas d e cam p os escalares A sí como las funciones de una variable se representan cu general

por una curva C R 2 en un gráfico cartesiano bi dimensional, paro, re­ presentar geométricamente una función de dos variables se necesita un gráfico cartesiano tridimensional donde las ternas (x,y> F ( x , y ) ) repre­ sentan los pinitos de una superficie F i C. R 3 (figura 56)

70

Cap. 1 F U N C IO N E S D E V A R IA S V A R IA B L E S

Como ve i nos en la figura, determinarlo el subcon junto real de variabilidad S de la fundón r = F ( x . y), a nn punto 7u(^0)!A)) de S, corresponde para z un valor F ( t q . y r j ) . Luego ( x e n y o ? - F f c c n l / o ) ) 1 ^ coordenadas rectangulares de un punto del espacio. Si el punto Po (^o- yo) recorre todos los puntas del subcon i unto 3, el conjunto de todos las ter­ nas ordenadas {io * i/n; -o) que resultan, se llama supo f cié representativa o grnfi.cn de la función dada. E l segmento de recta perpendicular al plano X Y en el punto Pn, extendido hasta la superficie representativa, representa el número f ' N . ’/n)P o r lo tanto, el conjunto de puntos ¿ i = {(^ ü f?/o,-o) C R 1/ (tg,?/o) C S A 2o = ¿'(xo.l/ o)} constituye; la gi aflea b\ do una función de dos variables. Representaremos las superficies más utilizadas.

E je rc ic io 11 Representar la función

2=

-4 z -2 y + 8

(1.88)

1.6 Representaciones gráficas de cam pos escalares

71

Solaciov. E sta superficie resalí a simple de representar, porque igualando a cero (1.S8) obtenemos la ecuación de un plano (ver 1.2). Luego no tenemos más que enconUar la intersección de la superficie con cada uno do los ejes coordenados, (figura 57)

2/ =

0 y

Para hallar la intersección con el eje X. según (1.2) hacemos — 0, i remplazando en (1,83) resulta

2

0

=

=

2

o sea el plano inferseefa al eje X en el punto A (2 ,(),()). Análogamente procedemos con los otros ejes, obteniendo las in­ tersecciones con el eje Y l:r — 0: r =- 0), resulta y = 4, o sea B (0,4,0) con el eje

Z íx = 0: y = 0). resulta z — 8, o sea C(0,0,8).

Las rectas d e ir.*ere.v?cción rio u n plano con los planos eooi do­ nados se llaman trazas riel plano. Para hallar la ecuación de la traza .sobre el plano X Y , lineemos (ver 1.2)

2

= 0, obteniendo al reemplazar en (1.88)

2x + y = 4

72

Cap. 1 F U N C IO N E S D E V A R IA S V A R IA B L E S

O sea 4

0

que es la recta r

Observemos que mientras

2r + y - 4 = 0 en R 2 es la ecuación de la recta intersección (traza) del plano dado, con el plano X Y ; en R

3

es la ecuación de un plano (ver 1.2) perpendicular

al plano X Y . E n forma similar, se hallan las restantes trazas • sobre el plano X 2

4x + z

=8

y

=0

• sobre el plano Y Z

j

2x + z

\

x

8 =0

-

E je rc ic io 12 Representar la ecuación x ¿ + y 2 -f z 2 = 16 Investigar si es una velación funcional. Solución. Sabemos que la ecuación corresponde a una superficie esférica con centro en el origen y radio 4. Sí bien su gráfica es sencilla, es ventajoso discutir la ecuación do una superficie antes de construirla. Limitaremos, cuando sea necesario, nuestra discusión a los pasos siguientes: 1.

2.

Intersecciones con los $¡es coordenados TYaanR con los ejes coordenados

1.6 Representaciones gráficas de cam pos escalares

73

3. Secciones por planos paralelas a los pianos coordenados. Tales secciones pueden determinarse convenientemente cortando la su­ perficie con tuia serie de planos paralelos a Jas ejes coordenados, permitiéndonos una buena idea de la forma de la superficie que queremos representar.

E n el caso propuesto, las intersecciones con los ejes son:

eje X: y

__

=

0 , X- = 16

= ±\/Í6 ->

(puntos A y A ’ respectivamente, figura 58)

eje Y : x =

Z

- 0, y 1 = 16 =>

X

= -4

(puntos B y B ’)

eje Z:

x

= V=

0 , -2 = 16 => s = =4

(puntos C y C )

Las trazas resultan :

sobre el plano X Y : i 2 + y 2 = 16, z = 0 (c.imunfprpnría de radio A, perteneciente al plano X Y ).

sobre el plano Y Z : y2 + z 2 = 16, x = 0 (circunferencia perteneciente al plano Y Z )

sobre el plano XZ:

y2 + z 2 =

16.7/ = 0

(circunferencia perteneciente al plano XZ)

Representando estas curvas en la figura 53, obtenemos la gráfica pedida.

Cap. 1 F U N C IO N E S D E V A R IA S V A R IA B L E S

74

z Figura 58 C (0. 0, 4) %

\

\

w hü.

0)

/ 1 's | ! \ J b (0.4.0) (0*4/0) 1 0 / i 1 B’K * t 7 7 '•v ' / // *

X

y/

? ( 0 , 0,-4;

L a ecuación de la esfera no es un campo escalar o relación fun­ cional pues si despejamos z de (1.70) obtenemos dos funciones:

21 = + \ A 2 - ( x 2 +2/2)

= -y/ r2 -

{ x 2 + y '¡ )

(1.89)

(1.90)

1,6 Representaciones gráficas de cam pos escalares

75

no correspondiendo a cada elemento del conjunto de partida un único ele­ m ento del conjunto de llegada. Es decir que ya no se cumple la condición de unicidad. En la figura 59 hemos representado la serniesfera superior, que resulta al considerar la raíz cuadrada con signo positivo y en la figura 60 la semiesfera inferior que resulta a! considorar la raíz cuadrada con signo negativo. En cada caso, para obtener el subconjunto real de variabilidad debe cumplirse que i 2 + y 2 < 16 Luego, el subconjunto de los pares ordenados de números reales para las cuales están definidas las funciones (1.89) y (1.90), lo constituyen los puntas del plano pertenecientes al círculo x 2 + i/ 2 — 16, o sea de radio 4 (figura 61), incluyendo el borde.

Z

Figura 61

76

Cap. 1 F U N C IO N E S D E V A R IA S V A R IA B L E S

E je r c ic io 13. Representar en R 3 las superficies de ecuación a ) 2x -h y = 4 b) ^ = 3 c) x = 0 indicándola naturaleza de cada una y analizar si corresponden a gráficos de un campo escalar.

Solud-ón, a)

2; + y = 4.

Representa en R 3 un plano perpendicular al

plano X Y {figura 62), no representativo de un campo escalar.

Figura 62

B(0,4, 0)

L a traza en el plano X Y es la recta 2x 4- y = 4; z = 0 b) z = 3. Representa el plano paralelo al plano X Y . (figura 63) que pasa por el punto C del eje 2 decot.a3; esrepresentatiyode un cam poescolar.

Figura 63

'z = 3

2(ü, 0, 3)

1.6 Representaciones gráficas de campos escalares

77

c ) x = 0. Representa el plano coordenada Y Z (figura 64). N o corresponde a un campo escalar pues no cumple condiciones de existencia y unicidad-

E je rc ic io 14 A n alizar y representar la superficie de ecuación

16

25

(1.91)

9

Solución. Las intersecciones con los ejes son (ver figura 65). eje X :

A(4,0,0); A * K O ?0)

eje Y :

B(0,5,0); B ’ (0,-5. 0)

eje Z:

C (0,0,3); C ’ (0,0.-3)

Las trazas resultan:

sobre el plano X Y

= 1,

2 — 0,

sobre el plano X Z

— +

= 1, y = 0,

sobre el plano Y Z

& + ^ = l> i = 0,

(elipse)

(elipse)

(elipse)

Cap. 1 F U N C IO N E S D E V A R IA S V A R IA B L E S

78

Las seccione* con planos paralelos a los coordenados, también son elipses. Sobre los planos paralelas al plano XZ, obtenemos x2

z2

,

k2

1 6 H” 9 “

25’

V~

A medida que k aumenta a partir de 0, el tamaño de estas sec­ ciones elípticas disminuye continuamente, hasta que, cuando k = 5 se obtiene un punto

16 "1 9" ~ En la figura 05 hemos obtenido una gráfica adecuada de la su­ perficie representativa de (1.91) que es un elipsoide, dibujando esquemas de las trazas y de algunas secciones paralelas a uno de los ejes coorde­ nados. Dicha gráfica no corresponde a un campo escalar.

E je rc ic io 15 Analizar y representar la superficie de ecuación:

4

9

16

Solución. Las intersecciones con los ejes (figura 66) son:

79

1.6 Representaciones grálicas de ca m p os escalares

e.ieX:

A(2,0.0); A ’ (-2,0,0)

eje Y :

B(0,3,0); B ’ (0,-3, 0)

eje Zr

no corta al eje Z

L a sección producida por el plano z = 0, es la elipse con centro en el eje Z y .semiejes 2 y 3. Las secciones producidas por las planos X Z e Y Z son hipérbolas. O sea, las trazas sobre los planas X Y , X Z e Y Z son, respectivamente:

elipse.

hipérbola,

hipérbola,

xl

x T

9

y1

z “ 16

16

2

=

0

1,

v/ = 0

1,

* = 0

Las secciones produ cidaspor planos paralelos al X Y son las elipses

D e estas ecuaciones se deduce que, a medida que k aumenta de valor, estas elipses aumentan de tamaño, como se observa en la figura.

80

Cap. 1 F U N C IO N E S D E V A R IA S V A R IA B L E S

L a s s ec cio n e s producida--, pur p la u o s p a ra le lo s a lo s p la n o s c o o r ­ d e n a d o s X Z o Y Y, son las h e r b o l a s

re sp e ctiva rr.en t o. E -.u h e lem en to -' 'O ii suficientes p ava re p r e s e n ta r (fig u r a 6 6 ) la s u p c itic ic .

no es un hipr-rhrJoid': de m ía h o ja , c u d d ric a q u e n o es c erra d a ,

s in o q u e se e x t ie n d e in d efin id am en te. D ic h a g r á fic a n o c o rres p o n d e a un c a m p o e sc a la r

E j e r c i c i o 16

S oluciÓ Ti. E s t a es la e cu a c ión d e u n a c u d d ric a c u la q u e s e h a n s u p rim id o t o d o s lo s t c im in o s d e g r a d o in fe rio r a dos; os h o m o g é n e a e n Les tros v a ria b le s , lu e g o segú n i . 2 rep resen ta u n ^ o n o c u ó d ric v , c o n v é r t ic e e n ol o r ig e n d e c o o rd e n a d a s

i figu ra 67).

D i d ía g rá fic a n o os re p r e s e n ta tiv a

d e u n c a m p o escala r.

Figura 67

Y

p a ra z = (I . y.2 -L ?/2 = 0 c irc u n fe re n c ia p u n to (l a s u p e rfic ie p asa p o r el o r ig e n ).

1 £ Representaciones gráficas de cam pos escalares

para y — G , x ' —

81

por de rectas ( : = t ' / ; = --x constituyen

!a traza sobre el plauu X Z ). para x = 0 , x ¿ H- y 2 — k¿ cita inferencias. Las secciones con planos y

=1 k

ó x = k son hipérbolas.

ObseTvaaóv. Antas de clasificar una superficie como superficie cónica ron vértice en el origen, debemos observar si la ecuación ho­ mogénea representa una superficie. Así, la ecuación 'f- • ')} - _i_ -- — p es homogénea en r , y, =, pero representa solamente un punto, en el ori­ gen. E je r c ic io 17: Analizar \ representar las superficies de ecuación: a) x 2 4* y 2 = 9 b ) x- + c - 2 = 0 Solución a)

X" H- y¿ ~ 9 . Las trazas resultan:

sobro el plano X Y x~ 4- y~ = 9, 3 = 0 (circunferencias de radio 3) (figura GS) sobre el plano X Z x* = 9; y — 0 (par de rectas paralelas: ./ = 3; 3' = - 3 ) sobre el plano Y Z y 2 - 9.

x = 1)

(par de rectas paralelas: y =-- 3: y — —3) L a directriz es la circnnfeiencia x 2 4- ?/2 = Q.

2~

0

por este motivo la superficie se dice circuhu.

Cap. 1 F U N C IO N E S D E V A R IA S V A R IA B L E S

82

z

Figura 6 8

-3

..

3 Y *

X

Luego, se trata de un dlindro recto circular^ de eje paralelo al de coordenadas Z. b T2 + - - 2 — 0 = ^ 2 = —X2 H- 2 Las intersecciones con los ejes son (figura 69): e ;e X :

¿ (+ V 2 ,0 ,0 );

i4 '(—.v ^ ,0 ,0 )

e je Y :

no hay intersección

e> Z :

V (0,0,2)

Las trazas resultan: sobre el plano X Y x =: y/2, z = 0; x *= - v ^ . (rectas paralelas al eje Y )

s= 0

83

1.7 Curvas de nivel

sobre el plano X Z z 2 = —( z - 2 ) , y = 0 (parábola de eje Z y vértice V (0,0,2)) sobre el plano Y Z

z = 2, x = 0

(rectas paralela al eje Y ) Seccionando con planos paralelos al X Y , obtenemos las rectas (siempre que k < 2 )

Los planos paralelos al XZ, cortan a la superficie en las parábolas x2 = - { z - 2 ) , y = k Los planos paralelos al Y Z , cortan a la superficie en las rectas c

=

2

- / c

2

t

x =

k

Una parte de la superficie aparece en la figura 69. Se trata de un cilindro parabólico, cuyas generatrices son pa­ ralelas al eje Y v cuyas secciones paralelas al plano X Z son parábolas congruentes.

1.7

Curvas d e nivel

En el análisis considerado para la representación de superficies, hemos visto que un plano corta a una superficie según una curva; la curva ¿lsí obtenida se llama sección piona de la superficie. Luís más interesantes son las secciones horizontales (resultantes de cortar las superficies por planos paralelos al plano X Y ). Tomando diversas secciones horizontales situadas a distintas alturas del plano coordenado X Y y proyectándolas sobre éste íes decir, anulando la coordenada z ) obtendremos una serie de curvas en el plano X Y , las cuales se denominan cutvoj» de nivel de la su­ perficie. que constituyen otro m étodo para representar geométricamente la función z = F íx . y ) y que interpretadas convenientemente nos perm i­ tirán analizar numerosas cuestiones. Sirven para representar, por ejem ­ plo, cómo varían x e y, para un valor dado de z, llam ado cota. Además al cambiar las variables independientes el punto (x, y ) se m overá p o r el plano X Y . y este movimiento, en relación con las curvas de nivel, nos indicará cómo varia z (o sea, la altura de las diversas secciones de la

84

Cap. 1 F U N C IO N E S D E V A R IA S V A R IA B L E S

superficie) Simbólicamente la cm va de nivel z = k para un campo escalar - = F (.r. y) es el conjunto

c n ;._k =

{(i-,

y)

€ D om i 7 / i 7 (.r,'?/) = A:}

P R O PIE D A D E S : • Las cu ivas de nivel correspondientes a distintos niveles no pueden interceptarse pues se contradice la condición de unicidad de campo escalar. * Para cada cota existe una única curva de nivel E je r c ic io ] 8 Representar mediante curvas de nivel la función z = x 2 H- y 2 analizando el campo de variabilidad de z S c h in r jp .

Las únicas i ntersecciones con los ejes coordenadas están dadas poi el origen (figura 70a).

85

1.7 C urvas de nivel

L as trazan resultan* 2

sobre el plano

XY

s • — y2 = 0,

= 0 (es un punto de origen).

sobre el plano

XZ

x~ = z. j = 0 (parábola de eje Z )

sobre el plano

YZ

y~ = c, x —■U (paral )d a de eje Z )

Los planos z — A: cun /c > 0 cortan a la superficie en las curvas x 2 + y 2 = k, z = k, que constituye, para todos los valores de k > 0 una fam ilia de circunferencias, de radio \/í. Luego, en el espacio, z = x 2 -\-y2 representa un” paraboloide arcular. Si proyectamos las circunferencias de intersección obtenidas, so­ bre el plano X Y , obtenemos X W

« 1 ,

2 -1

H V' = (>/2)2, z ~ 2

x- +7/- = (v ^ )2, 2 = 3 j*2 4- y2 = 22, z — 4

las curvas de nivel (figura 70.b) que son por consiguiente circunferencias concéntricas en el origen.

86

Cap. 1 F U N C IO N E S D E V A R IA S V A R IA B L E S

Es imporíante darse cuenta de la superficie observando las cur­ vas c\e nivel. Si estudiamos, por ejemplo, las curvas de nivel (fig.71a) obten idas también al proyectar sobre X Y las secciones que resultan al cortar con planos paralelos al X Y , un paraboloide circular, de ecuación

2

= 100- x 2 - y 7

(1.92)

donde z > 0 y por lo tatito x 2 H- ?/2 < 1 0 0 , deberíamos “ver" que di día superficie tiene; concavidad hacia abajo (fig. 71b), contrariamente a la anterior. z = 76.

En esta figura indicamos en particular un corte por el plano

L a correspondiente curva de nivel es la circunferencia t 2 + y 2 = 25 en el plano X Y . Esta es la circunferencia que en la figura 71a lleva la etiqueta 2 = 75.

87

1.7 Curvas de nivel

z Figura 7 \b

7

z = 75

Y

X Esta interpretación es muy útil en distintas aplicaciones

E n la

técnica la función, (1.92) podría representar la temperatura z (en grados centígrados) en cada punt.o de una placa circular en un instante determinado. Si consideráramos las temperaturas de una esfera, aco­ daríamos un número a cada punto de la superficie esférica. Los puntos con el mismo valor de z constituirían una superficie isoterma. En economía, z podría representar determinada producción y x e y otros factores que intervienen en la misma. Haciendo variar x e y obtendríamos distintos valores para la producción, mientras que ésta permanecería constante a lo largo de una curva de nivel, aunque variaran x e y. M á s a d e la n te v e r e m o s d e m á s a p lic a c io n e s e c o n ó m ic a s d e ciir\