Analisis Matematico I UTP

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DEL PERÚ Vicerrectorado de Investigación

ANÁLISIS MATEMÁTICO I TINS Básicos INGENIERÍA INDUSTRIAL, INGENIERÍA DE SISTEMAS, INGENIERÍA ELECTRÓNICA, INGENIERÍA MECATRÓNICA, INGENIERÍA TEXTIL, INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIONES, INGENIERÍA AUTOMOTRIZ, INGENIERÍA AERONÁUTICA, INGENIERÍA DE SOFTWARE, INGENIERÍA MARÍTIMA, INGENIERÍA NAVAL

TEXTOS DE INSTRUCCIÓN (TINS) / UTP

Lima - Perú

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ANÁLISIS MATEMÁTICO I

© ANÁLISIS MATEMÁTICO I Desarrollo y Edición

: Vicerrectorado de Investigación

Elaboración del TINS

: • Lic. Carlos Bravo Quispe • Lic. Primitivo Cárdenas Torres

Diseño y Diagramación

: Julia Saldaña Balandra

Soporte acadêmico

: Instituto de Investigación

Producción

: Imprenta Grupo IDAT

Queda prohibida cualquier forma de reproducción, venta, comunicación pública y transformación de esta obra.

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ANÁLISIS MATEMÁTICO I

“El presente material de lectura contiene una compilación de artículos, de breves extractos de obras matemáticas publicadas lícitamente, acompañadas de resúmenes de los temas a cargo del profesor; constituye un material auxiliar de enseñanza para ser empleado en el desarrollo de las clases en nuestra institución. Éste material es de uso exclusivo de los alumnos y docentes de la Universidad Tecnológica del Perú, preparado para fines didácticos en aplicación del Artículo 41 inc. C y el Art. 43 inc. A., del Decreto Legislativo 822, Ley sobre Derechos de Autor”.

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ANÁLISIS MATEMÁTICO I

PRESENTACIÓN

La matemática, ciencia de la más alta jerarquía, en el concierto de las ciencias, desde los albores de la civilización humana sigue siendo la base del desarrollo científico y tecnológico de nuestro mundo. La Ingeniería como expresión de la tecnología, se erige sobre la base de los diferentes espacios de la creación matemática, del sentimiento y del pensamiento de la humanidad. De allí, que en la formación académica de Ingenieros, la UTP privilegia el estudio de la matemática, en la convicción de dotar a sus estudiantes firme pensamiento abstracto y amplio pensamiento innovador. En esta dimensión se ha desarrollado el presente texto de instrucción, en su primera edición dirigido a estudiantes de Ingeniería de las Carreras de Ingeniería de: Sistemas, Industriales, Electrónica y Mecatrónica y Telecomunicaciones, para la Asignatura de ANÁLISIS MATEMÁTICO I. Plasma la preocupación institucional de la innovación de la enseñanzaaprendizaje en educación universitaria, que en acelerada continuidad promueve la producción de materiales educativos, actualizados en concordancia a las exigencias de estos tiempos. La estructura del contenido del texto permitirá lograr conocimientos de ANÁLISIS MATEMÁTICO, progresivamente modelada en función del silabo de la Asignatura acotada líneas arriba; contenido elaborado mediante un proceso acucioso de recopilación de temas, desarrollados en diferentes fuentes bibliográficas. La conformación del texto ha sido posible gracias al esfuerzo y dedicación académica de los profesores: Lic. Carlos Bravo Quispe y Lic. Primitivo Cárdenas Torres. La recopilación aludida de temas pertinentes, consistentes y actualizados, para estudiantes de segundo ciclo, tiene el siguiente ordenamiento temático: Relaciones, Funciones, Límite y Continuidad de Funciones, Derivadas y sus aplicaciones en los diferentes campos de la Ingeniería.

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ANÁLISIS MATEMÁTICO I

Al cerrar esta presentación debemos reconocer el esfuerzo y trabajo de los profesores que han permitido la elaboración del presente texto en su primera edición y la dedicación paciente del Dr. José Reategui Canga en la revisión del texto.

Vicerrectorado de Investigación

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ÍNDICE CAPÍTULO I: RELACIONES BINARIAS 1.1 PAR ORDENADO Y PRODUCTO CARTESIANO 1.1.1 PAR ORDENADO 1.1.2 PRODUCTO CARTESIANO 1.2 DOMINIO, RANGO Y GRÁFICA DE UNA RELACIÓN

11 11 11 12 16

CAPÍTULO II: FUNCIONES 2.1 DOMINIO, RANGO Y GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL 2.2 FUNCIONES ESPECIALES O TIPOS DE FUNCIONES FUNCIÓN CONSTANTE FUNCIÓN IDENTIDAD FUNCIÓN LINEAL FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA FUNCIÓN SIGNO FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO FUNCIÓN CUADRÁTICA FUNCIÓN RACIONAL ENTERA O POLINÓMICA. FUNCIÓN RACIONAL FRACCIONARIA FUNCIÓN PROYECCIÓN FUNCIÓN MÁXIMO ENTERO OPERACIONES CON FUNCIONES DEFINICIÓN EJERCICIOS PROPUESTOS 2.3 CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES: FUNCIONES INYECTIVAS, SOBREYECTIVAS Y BIYECTIVAS 2.3.1 FUNCIÓN INYECTIVA 2.3.2 FUNCIÓN SOBREYECTIVA.

21 22 25 27 27 27 28 28 29 29 30 30 31 32 33 33 36 36 40

CAPÍTULO III: LÍMITES DE FUNCIONES 3.1. DEFINICIÓN INFORMAL DE LÍMITE 3.2 DEFINICIÓN FORMAL DE LÍMITE TEOREMA (UNICIDAD DE LÍMITE). DEMOSTRACIÓN TEOREMA (TEOREMA DEL SÁNDWICH) TEOREMA. DEMOSTRACIÓN

57 57 61 62 62

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48 48 50

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3.3 3.4

PROPIEDADES DE LOS LÍMITES LÍMITES LATERALES LÍMITE POR LA IZQUIERDA LÍMITE POR LA DERECHA. TEOREMA. EJERCICIOS 3.5 LIMITES AL INFINITO 3.6 ASÍNTOTAS 3.7 FUNCIONES CONTINUAS 3.8 LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS. TEOREMAS Y DEMOSTRACIONES MISCELÁNEA DE PROBLEMAS DE LÍMITES Y CONTINUIDAD CAPÍTULO IV: LA DERIVADA 4.1 DEFINICIÓN 4.2 CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD 4.3 REGLAS PARA LA DERIVACIÓN 4.4 DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRASCENDENTES 4.5 DERIVADA DE LAS FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA 4.6 DERIVADA DE LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS 4.7 DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS 4.8 DERIVACIÓN IMPLÍCITA 4.9 DERIVADAS DE ORDENSUPERIOR 4.10 DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA 4.11 DIFERENCIALES 4.12 LA DERIVADA COMO UNA RAZÓN DE CAMBIO 4.13 EL TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA DERIVADA Y SUS APLICACIONES 4.14 REGLAS DE L’ HOSPITAL 4.15 APLICACIONES DE LA DERIVADA 4.16 CONCAVIDAD Y CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA EJERCICIOS BIBLIOGRAFÍA

63 66 66 66 74 76 79 84 92 95 95 100 103 105 108 108 110 111 116 119 120 123 130 135 140 150 161 165

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DISTRIBUCIÓN TEMÁTICA Clase N°

Tema

Semana

1

Relaciones: dominio, rango y gráficas. Funciones: definición, dominio y rango.

1

2

Funciones especiales: constante, identidad lineal. Raíz cuadrada, función signo.

2

3

Clases de funciones: inyectivas, suryectiva y biyectiva. Función valor absoluto. Función escalón unitario.

3

4

Función entero. Funciones pares e impares. Funciones periódicas.

4

5

Operaciones com funciones: suma, resta, producto, división. Inversa de funciones.

5

6

Imágenes inversas de subconjuntos del dominio. Límite de funciones. Definición y propiedades.

6

7

Límites algebraicos y trigonométricos. Límites laterales. Límites al infinito y límites infinitos. Asíntotas.

7

8

Continuidad. Teoremas. Continuidad en un punto en un intervalo. Clases de discontinuidad.

8

9

Derivación. Interpretación geométrica. Rectas tangente y normal. Derivadas laterales. Gráficas.

9

10

EXAMEN

10

11

Reglas de derivación. Derivadas trigonométricas. Derivada de funciones exponenciales y logarítmicas. R. cadena.

11

12

Derivadas de orden superior. Derivación implícita. Derivada de las funciones inversa. Diferenciales.

12

13

Aplicaciones de diferenciales. La derivada como razón de cambio.

13

14

Teorema de Rolle y teorema de valor medio para derivadas. Interpretación y aplicaciones.

14

PARCIAL

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15

Regla de L’Hospital. Funciones crecientes y decrecientes (funciones monótonas). Máximos – mínimos.

15

16

Puntos críticos. Teoremas. Criterio de la primera derivada para valores extremos.

16

17

Criterio de la segunda derivada. Concavidad y punto de inflexión.

17

18

Estudio de las funciones trascendentes. Funciones trigonométricas y trigonométricas inversas y sus derivadas.

18

19

EXAMEN FINAL

19

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EXAMEN SUSTITUTORIO

20

10

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CAPÍTULO I

RELACIONES BINARIAS

1.1

PAR ORDENADO Y PRODUCTO CARTESIANO 1.1.1 PAR ORDENADO.- Dados dos elementos a y b interesa formar un conjunto que depende de dichos elementos y del orden en que se consideran. DEFINICIÓN. Par ordenado (a, b) es el conjunto cuyos elementos son {a} y {a, b}. Es decir: (a, b) = {{a}, {a, b}} a y b son la primera y la segunda componente del par ordenado. En particular se tiene: (a, a) = {{a},{a,a}} = {{a}} Si a ≠ b, entonces (a, b) ≠ (b, a) TEOREMA 1: Dos pares ordenados son iguales si y solo si tienen sus componentes respectivamente iguales. Es decir: (a, b) = (c, d) ⇔ a = c ∧ b = d DEMOSTRACIÓN: Se sigue de la definición de par ordenado. EJEMPLO N°1. Hallar m2 + n2 si: (m — n, – 2) = (4, m + n) ⎧ m−n = 4 Por el teorema anterior se tiene que: ⎨ ⎩m + n = − 2 sumando estas expresiones miembro a miembro se obtiene m = 1. Que al reemplazar en la primera ecuación da lugar a que n = – 3

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ANÁLISIS MATEMÁTICO I

Por lo tanto

m2 + n2 = 10

EJEMPLO N°2: ¿ Es (3, 2°) = (3, 32 - 23)?. La repuesta es afirmativa, pues sabemos que: 2° = 1 y 32 – 23 = 1 1.1.2 PRODUCTO CARTESIANO.- Definimos el producto cartesiano de dos conjuntos no vacíos A y B como aquel conjunto cuyos elementos son todos los pares ordenados cuyas primeras componentes pertenecen a A y la segunda a B. Esto es: En particular:

A × B = {(a,b)/a ∈ A ∧ b∈ B} A × A = A2 = {(a, b)/ a∈ A ∧ b∈ A}

EJEMPLOS 1.

El producto cartesiano de A = {1, 2, 3} por B = {4, 5}, está dado por: A × B = {(1,4), (1, 5), (2,4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)} y B × A = {(4, 1), (4, 2), (4, 3), (5, 1), (5, 2), (5, 3)}

2.

Por ser pares ordenados, los elementos del producto cartesiano de dos conjuntos no vacíos pueden representarse mediante puntos del plano cuya abscisa y ordenada son, respectivamente, la primera y segunda componentes.

Figura 1

12

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

3.

El producto cartesiano no es conmutativo, pues (3, 4) pertenece a A×B y (3, 4) no pertenece a B × A.

4.

Dados los intervalos cerrados de números reales: [a, b] = {x ∈ R/a ≤ x ≤ b}

y

[c, d] = {y ∈ R/c ≤ y ≤ d}

Entonces [a, b] × [c, d] = {(x, y) ∈ R × R/a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d} es el rectángulo cuyos lados son dichos intervalos.

| Figura 2

5.

Sean A = {x ∈ R/⏐x⏐ < 2}

y

B = R.

Tenemos A × B = {(x , y) ∈ R × R/ –2 < x < 2 ∧ y∈R} es la franja abierta de la figura (fig. 3).

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Figura 3

Se puede definir un sistema coordenado rectángular o cartesiano* en el plano considerando en él dos rectas perpendiculares que se cortan o intersecan en el origen O de ambas. A menos que se especifique lo contrario, en cada recta se elige la misma unidad de longitud. Se acostumbra colocar una de las rectas en dirección horizontal con el sentido positivo a la derecha, y la otra, vertical en el sentido positivo hacia arriba, como se indica con las puntas de flecha en la figura (fig. 4) Las dos rectas se denominan los ejes coordenados y el punto O es el origen. La recta horizontal se suele llamar eje x y la vertical eje y, lo cual se indica escribiendo con X y una Y respectivamente, junto a las puntas de los ejes. Entonces tal plano es un plano coordenado XY. Los ejes coordenados dividen al plano en cuatro partes llamadas el primero, segundo, tercero y cuarto cuadrantes que se denotan por I , II , III y IV, respectivamente. A cada punto P en el plano XY se le puede asignar un par ordenado único (a, b), como se muestra en la figura (4). El número a es la abscisa(o coordenada x) de P, y b es su ordenada (o coordenada y). Se dice que P tiene las coordenadas (a,b). Recíprocamente, todo par ordenado (a, b) determina un punto P en el plano XY con coordenadas a y b. A veces se habla del punto (a, b), o P(a, b) para indicar al punto P con abscisa a y ordenada b. Para trazar un punto P(a, b) se localiza en un plano cooordenado y se representa por un pequeño círculo, como se ilustra para varios puntos en la figura (5).

14

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

Figura 4

Figura 5

Para fijar ideas consideremos el conjunto A formado por los alumnos del curso de Análisis Matemático I: a , b , c y d, y el conjunto B cuyos elementos son las posibles notas obtenidas en la primera práctica calificada: 1,2,3, 4, y 5, correspondiente a insuficiencia, aprobado, bueno, distinguido y sobresaliente. Es decir: A = {a,b,c,d}

y

B = {1,2,3,4,5}

Los elementos de A quedan vinculados con los elementos del conjunto B mediante la propiedad: P(x,y) : x obtuvo la nota y Supongamos que la situación en la primera práctica calificada queda especificada mediante el siguiente diagrama:

Figura 6

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Esta relación entre A y B está caracterizada por el conjunto de pares ordenados. P = {(a,2), (a,4), (b,4), (d,5)} Como c no tiene ningún correspondiente en B, consideremos que no ha clasificado en la prueba. Se tiene: (x,y) ∈ R Q P(x,y) es V DEFINICIÓN. Relación entre A y B es todo subconjunto del producto cartesiano A × B. En símbolos: R es una relación entre A y B ⇔ R ⊂ A × B o R: A → B Para indicar que un par ordenado (a,b) pertenece a la relación suele escribirse aRb, lo que equivale a (a,b) ∈ R.

1.2

DOMINIO, RANGO Y GRÁFICA DE UNA RELACIÓN Consideramos una relación R entre los conjuntos A y B. Si (x,y) ∈ R diremos que y es una imagen de x a través de R, y que x es una preimagen de y por R. DEFINICIÓN. Dominio de R es la totalidad de los elementos de A, que admiten imagen en B. Dom(R) = {x ∈ A / ∃ y ∈ B ∧ (x,y) ∈ R} Es decir: El dominio de la relación R es el conjunto formado por las primeras componentes de los pares ordenados (x,y) que pertenecen a R. DEFINICIÓN: El rango de la relación R es el conjunto formado por las segundas componentes de los pares ordenados (x,y) que pertenecen a la relación R, esto es Rang(R)={y∈B /∃ x∈A ∧ (x,y)∈ R}. EJEMPLO 1: De la relación R = {(a,2), (a,4), (b,4), (d,5)} Tenemos: Dom(R) = {a, b, d} y Rang(R) = {2, 4, 5}

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ANÁLISIS MATEMÁTICO I

EJEMPLO 2: Considerando el universo U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, determine el dominio, rango de las siguientes relaciones: 1. 2. 3.

R1 = {(x,y) ∈ U × U / y = 2x} R2 = {(x,y) ∈ U × U / x = 3} R3 = {(x,y) ∈ U × U / 2x < y}

Solución: Tenemos 1. R1 = {(1,2), (2,4), (3,6)} (i) Dom(Rl) = {1,2, 3}

(ii) Rang(R1) = {2, 4, 6}

2.

R2 = {(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3, 5), (3, 6)} (i) Dom(R2) = {3} (ii) Rang(R2) = {1,2, 3, 4, 5, 6}

3.

R3 = {(1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,5), (2,6),} (i) Dom(R3) = {1, 2} (ii) Rang(R3) = {2, 3, 4, 5, 6}

GRÁFICA DE UNA RELACIÓN Se llama gráfica de una relación de A en B al conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen dicha relación. Tener en mente que una relación puede ser de la forma F(x,y) = 0 o inecuaciones de la forma F(x, y) < 0, F(x, y) > 0, F(x, y) ≤ 0 o F(x, y) ≥ 0. Pasos a seguir para determinar la gráfica de una relación: 1. 2.

3. 4.

Determinación de la intersección con los ejes coordenados: (a) Eje X: Se hace y = 0 y se resuelve F(x, 0) = 0 (b) Eje Y: Se hace x = 0 y se resuelve F(0, y) = 0 Determinación de las simetrías con respecto a los ejes coordenados: (a) Eje X: Debe cumplirse F(x, –y) = F(x, y) (b) Eje Y: Debe cumplirse F(–x,y] = F(x,y] (c) Origen: Debe cumplirse F(–x, –y) = F(x,y) Extensión: Consiste en determinar el dominio y rango de la relación Asíntotas: Consiste en determinar las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas que pueda tener la relación. Asíntotas verticales: se obtienen al determinar el dominio, viene a ser aquellos valores de x que hacen cero al denominador, es decir son rectas verticales en lascuales la gráfica de la función está muy

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ANÁLISIS MATEMÁTICO I

cerca de dicha recta a medida x tiene a dichos valores que anulan al denominador. Asíntotas horizontales: se obtienen al determinar el rango, vienen a ser aquellos valores de y que anulan al denominado, es decir son rectas horizontales. Asíntotas oblícuas: son rectas y=mx+b, m≠0, que serán determinadas con suma facilidad, cuando los límites al infinito de una función. Ejemplo: 1 y= x Dom (f)= R -{0}

Ran (f)= R -{0}

L: x=0 es una asíntota vertical L: y=0 es una asíntota horizontal 5.

Tabulación: Se determina un número finito de puntos que pertenecen a la relación para obtener la gráfica adecuada Trazado de la gráfica de la relación.

6. EJEMPLO Determine la gráfica de la relación R = {(x, y)∈R×R/y – x2 = 0} Solución 1. Intersección con los ejes coordenados (a) Eje x: hacemos y = 0 en la ecuación: y – x2 = 0 entonces: – x2 = 0 de donde x=0 (b) Eje y: hacemos x = 0 en la ecuación: y – x2 = 0 entonces: y–0=0 de donde y=0 18

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

2.

Simetrías (a) Eje x: Debe ser F(x,–y) = F(x,y) –y + x2 ≠ y + x2 por lo tanto no existe simetría con respecto al eje x. (b) Eje y: Debe ser F(–x,y] = F(x,y) y – (–x)2 = y – x2 Por lo tanto, existe simetría con respecto al eje Y (c) Origen: Debe cumplirse F(–x, –y) = F(x,y] –y – (–x2) = –y – x2 ≠ F(x,y) Por lo tanto, no existe simetría con respecto al origen.

3.

Extensión (a) Dominio: se despeja "y" De y – x2 = 0 se tiene y = x2 Por lo tanto, su dominio es R. (b) Rango: se despeja "x" De y – x2 = 0 se tiene x = ± y Luego: y ∈ Rang(R) ⇔ y ≥ 0 Por lo tanto Rang(R) = [0, +∞ >.

4.

Asíntotas: no posee ningún tipo de asíntotas

5.

Tabulación

Figura 7

19

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EJERCICIOS – PROPUESTOS 1.

En U = {1, 2, 4, 6, 8}. Determine dominio, rango y gráfica de la relación: R = {(x, y) ∈ U × U / x – y ≤ 40}

2.

En U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Determine la relación: R = {(x,y) ∈ U x U / x + y es divisible por 4}, indicando su dominio y rango.

3.

Determine dominio rango y gráfico de las siguientes relaciones: (a) R1 = {(x, y) ∈ R × R / xy –3 = 1} (b) R2 = {( x, y) ∈ R × R / x 2y - 4y – 1 = 0} (c) R3 = {( x, y) ∈ R × R / 2 x + y ≤ 1} (d) #4 = {( x, y) ∈ R × R / 2y + x2 ≤ 0} (e) R5 = {( x, y) ∈ R × R / x 2 + 2y2 ≤ 4}

4.

Determine la gráfica de las siguientes ecuaciones: (a) xy2 – 4x – y2 = 0 (b) x2 + 9y = 0 (C) x2 + y2 = 2 (d) x2 + y2 + 2x + 4y – 1 = 0

5.

Determinar dominio, rango y gráfica de las siguientes relaciones: (a) R1 = {(x, y) ∈ R × R / |x – 2| – y = 0} (b)R2 = {(x, y) ∈ R × M / (x – 2y)(x + y) ≥ 0} (c) R3 = {(x,y) ∈ R × R / |x| + |y| ≤ 1} (d)R4 = {(x, y) ∈ R × R / l < x2 + y2 ≤ 4}

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CAPÍTULO II

FUNCIONES Sean A y B dos conjuntos no vacíos y sea f una relación binaria de A en B, esto es, f⊂AxB. Entenderemos por función de A en B toda regla que asocia a cada elemento x del conjunto A un único elemento “y” del conjunto B. Es decir, una función es un conjunto de pares ordenados tales que la primera componente pertenece a A y la segunda a B, de modo tal que dos pares ordenados distintos no tengan la misma primera componente. Para denotar que d es una función de A en B, se escribe: f: A → B y se lee: “f es una función de A en B”. Formalmente tenemos la siguiente: DEFINICIÓN: f es una función de A en B si y sólo si se satisface las siguientes condiciones: i) ii)

f⊂AxB (x,y)∈f ∧ (x,z) ∈f ⇒ y=z

Regla de correspondencia: Si (x,y) ∈f, decimos que “y” es la imagen o valor de x por f, y suele escribirse y=f(x), es decir “y” es el transformado de x por la función f. De aquí que denotamos: f: A → B / y=f(x) EJEMPLO. Si A= {–1,0,1,2,4,}, B = {0,1,4,16} y f es la relación definida por: (x,y) ∈ f ⇔ y = x2 entonces se tiene f = {(–1, 1), (0, 0), (1, 1), (2,4), (4, 16)} ya que cada segunda componente es el cuadrado de la primera. El diagrama de Venn correspondiente es:

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ANÁLISIS MATEMÁTICO I

Figura 1

DEFINICIÓN. f es una función o aplicación de A en B si y solo si f es una relación entre A y B, tal que todo elemento de A tiene un único correspondiente en B. OBSERVACIÓN: Toda función f : A → B es una relación, mas lo recíproco no necesariamente es cierto.

2.1

DOMINIO, RANGO Y GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN DEFINICIÓN. Definimos el dominio y el rango de una función f:A→B como el dominio y el rango de la relación f: D(f) = Dom(f ) ={x∈ A / ∃ y ∈ B; (x,y) ∈ f } R(f) = Rang(f) = {y∈ B / ∃ x ∈ A; (x,y) ∈ f } Al rango de f se le conoce también como imagen de f y se le denota por Img (f) = {f(x) / x ∈ A } Se denomina gráfica de la función f, al conjunto: Gf = {(x,y)/x ∈ Dom(f) ∧ y = f(x) ∈ Rang(f)} OBSERVACIÓN: Una función queda especificada si se dan el dominio A, el codominio B y además la relación f ⊂ A × B, que satisface las condiciones (i) y (ii) de la definición.

22

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

EJEMPLO. Del Img(f)={0,1,4,16}

ejemplo

anterior,

tenemos:

Dom(f)=A,

EJEMPLO. Determinemos si las siguientes relaciones son funciones: i)

Sean A = {a, b, c, d}, B = {1, 2, 3} y la relación f = {(a,l),(b,2),(c,2),(d,l)} se cumplen las condiciones de la definición, y resulta f una función tal que f(a)=1, f(b)=2, f(c)=2, f(d)=1 El diagrama es el siguiente:

Figura 2

ii)

Con los mismos A y B, la relación f = {(a,1), (a,2), (c,1), (d,3)} no es una función, pues no se verifica la condición (ii), ya que un mismo elemento de A tiene dos imágenes en B, como ocurre con a. El diagrama de la relación es:

Figura 3

23

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iii)

Si A es el conjunto de personas y f es la relación en A definida por (x, y) ∈ f ⇔ x es hijo de y entonces f es una función de A en A, ya que toda persona tiene padre y este es único. En cambio la relación definida en el mismo A mediante (x, y) ∈ f ⇔ x es padre de y no es una función de A en A, ya que existen en A personas que no son padres, es decir elementos del dominio que carecen de imagen en el codominio; por otra parte, tampoco se verifica la unicidad, pues existen personas que son padres de mas de un hijo. Esto significa que si una relación es función la relación inversa no lo es necesariamente.

EJERCICIOS — RESUELTOS 1.

Se desea construir un tanque horizontal de acero para almacenar gas propano, que tenga forma de cilindro circular recto de 3m de largo con una semiesfera en cada extremo. El radio r no esta aún determinado. Expresar el volumen V del tanque como una función de r. Solución El volumen de la parte cilíndrica del tanque puede calcularse multiplicando la altura 3 por el área πr2 de la base del cilindro. Esto es: Volumen del cilindro = 3πr2 Los dos extremos semi esféricos forman juntos una esfera de radio r. Usando la formula para el volumen de la esfera, obtenemos Volumen de los extremos =

24

4 3 πr 3

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

Por lo tanto, el volumen V del tanque es: V =

2.

1 2 πr (4 r + 9 ) 3

Dos barcos zarpan al mismo tiempo del puerto. Uno viaja al oeste a 17mi/h y el otro hacia el sur a 12mi/h. Sea t el tiempo (en horas) después de la salida. Expresar la distancia d entre las embarcaciones como una función de t.

Solución

Figura 4

Aplicando Pitágoras, tenemos: d2 = a2 + b2 y como: distancia = (velocidad) (tiempo) se tiene:

a = 17t, b = 12t

Por lo tanto, reemplazando, obtenemos d =

25

(17t )2 + (12t )2

=

433 t

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FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL DEFINICIÓN. Una función f : A → B donde A y B son subconjuntos no vacíos de R, se denomina función real de variable real o función de una variable real con valores reales.

EJEMPLO ,x ≤ 2 ⎧2 ⎪ Sea f:A→B una función definida por: f ( x ) = ⎨ x + 3 ,2 < x < 3 ⎪5 ,x = 3 ⎩

donde A y B son, subconjuntos de R. Se observa que Dom (f) = A =< - ∞,3] , Rang(f) =[5,6 > ∪ {2}

Figura 6

EJEMPLO

Determine el dominio, rango y gráfica de la función f(x)= 16 − x 2

a)

El dominio se determina resolviendo la inecuación: 16 – x2 ≥ 0 ⇔ –4 ≤ x ≤ 4 Por tanto:

Dom(f) = [–4, 4]

26

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b)

c)

2 Sea y = f (x) tenemos y = 16 − x y ∈ Rang (f) ⇔ (y ≥ 0 ∧ x2 = 16 – y2) ⇔ y ∈ [0,4] Por tanto Rang (f) = [0,4]

La gráfica de f esta dado como

Figura 7

2.3

FUNCIONES ESPECIALES O TIPOS DE FUNCIONES FUNCIÓN CONSTANTE.- Es aquella función f : R → R definida por f(x) = c, donde c es una constante real.

(a) Dom(f) = R

(b) Rang(f) = {c}

Su gráfica es una recta horizontal

Figura 8

27

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

FUNCIÓN IDENTIDAD.- Es aquella función f : R → R talque f (x) = x para todo x ∈ R, también se denota por I(x)=x

La identidad de R es entonces la función que asigna a cada elemento de R el mismo elemento. a)

Dom(f) = R

(b)

Rang(f) = R

Su gráfica es una recta diagonal como se muestra en la figura.

Figura 9

FUNCIÓN LINEAL.- Es aquella función f : R → R definida por f(x) = ax + b, donde a, b ∈ R ,a ≠ 0 son constantes.

a) Dom(f) = R Su gráfica esta dada por:

Figura 10

28

(b) Rang(f) = R

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO.- Es aquella función f:R→R definida ,x ≥ 0 ⎧x por f ( x ) = x = ⎨ ⎩− x , x < 0

a) Dom(f) = R

(b) Rang(f) = [0,+∞>

Su gráfico esta dado por:

Figura 11

FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA.- Es aquella función f:R→R dada por f ( x) = x

a)

Dom(f) = [0, +∞ >

(b)

Su gráfica es:

0 Figura 12

29

Rang(f) = [0, +∞ >

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

FUNCIÓN SIGNO.- Es aquella función f : R → R ,x < 0 ⎧− 1 ⎪ ,x = 0 definida por f ( x ) = sgn( x ) = ⎨0 ⎪1 , x > 0 ⎩

a) Dom(f) = R

(b)Rang (f) = {-1,0, 1}

Su gráfico esta dado por:

Figura 13

FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO.- Es aquella función f : R → R ⎧0 , x < 0 , llamado también función de definida por f ( x ) = U ( x ) = ⎨ ⎩1 , x ≥ 0 Heaviside.

a) Dom(f) = R

(b)Rang(f) = {0, 1}

Su gráfico esta dado por:

30

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

Figura 14

FUNCIÓN CUADRÁTICA.- Es aquella función f : R → R definida por f(x) = ax2 + bx + c, donde a, b, c ∈ R,a ≠ 0

Su dominio es el conjunto de los números reales es decir: Dom(f) = R La gráfica de una función cuadrática es una parábola con eje focal paralelo al eje y. DEFINIMOS: U= b2 - 4ac, llamado discriminante. Tenemos los siguientes casos:

i) ii) iii)

si U > 0, la función cuadrática tiene dos raíces reales diferentes, es decir la gráfica de f interseca al eje X en dos puntos reales diferentes. Si U = 0, la función cuadrática tiene una raíz real doble (raíz de multiplicidad dos) Si U < 0, la función cuadrática no tiene raíces reales, es decir la gráfica de la función f no interseca al eje X

Δ ⎞ ⎛ b ,− el cual El vértice de la parábola está dada por V = ⎜ − ⎟ 4a ⎠ ⎝ 2a determina el rango de la función cuadrática en los siguientes casos: Por lo tanto se tiene: i)

⎡ Δ Si a > 0 el rango está dado por Rang(f) = ⎢ − ,+ ∞ ⎣ 4a

31

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

ii)

Si a < 0 el rango está dado por Rang(f)= − ∞, −

Δ ⎤ 4a ⎥⎦

FUNCIÓN RACIONAL ENTERA O POLINÓMICA.- Es aquella función f : R → R definida por:

f(x) = a0xn + a1xn–1 + • • • + an–1x + an, a0 ≠ 0 donde los ai , i = 0, • • • , n son constantes reales. Llamado también función polinómica de grado n En este caso el dominio de f es R. CASOS PARTICULARES i) f(x) = x2n, n ∈ N (polinomio de exponente par):Rang (f] = [0,+∞ > ii) f(x) = x2n+1 , ∈ N (polinomio de exponente impar) : Rang(f) = R FUNCIÓN RACIONAL FRACCIONARIA.- Es aquella función f:R→R tal que f(x) es el cociente de dos polinomios P(x) y Q(x), osea;

a x n + a x n −1 + ... + a x + a P( x) 1 n −1 n f ( x) = = 0m m −1 Q( x) b0 x + b1 x + ... + bm −1 x + bm Donde a0 . b0 ≠ 0 y Dom (f ))= {x ∈ R/ Q(x) ≠0} donde los ai y bj, i=0, …, n, j = 0,…, m son constantes reales.

POR EJEMPLO 1 1. f(x) = x i) Dom (f) = R – {0}, (ii) Rang(f) = R –{0}

32

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

Figura 15

2.

f(x) =

1

1 + x2 i) Dom(f) = R ,

(ii) Rang(f) = f ( x) = ⎨ ⎪⎩3 − x , x ∈ [3,8 > ⎧⎪ x 2 − 4 f ( x) = ⎨ ⎪⎩ − 2 ⎧⎪ x 2 − 4 f ( x) = ⎨ ⎪⎩ 3 − x

, x ≠ −3 , x = −3 ,x < 3 ,x ≥ 3

⎧ x + 5 , x ∈ [ −4,7 > f ( x) = ⎨ ⎩3 − x , x ∈ [7,12 > x−2 ,x < 0 ⎧⎪ f ( x) = ⎨ 2 ⎪⎩ x + 2 x − 5 , x ∈ [3,8 > ⎧− 4 , x ∈< −∞,−2 > ⎪ f ( x ) = ⎨− 1 , x ∈ [ −2, 2] ⎪ 3 ,x > 2 ⎩

Determine el domino, rango y gráfica de las siguientes funciones: 1. f (x) = (x– a x b )2 ⎛ ( x − 3)( x 2 + 9 ) ⎞ ⎟ 7. f (x) = sgn ⎜ ⎜ x2 − 2 x − 8 ⎟ 2. f (x) = x − a x b ⎝ ⎠ 3. g (x) = a x b − x 8. g (x) = ⎡⎣ x ⎤⎦ 4. h (x) = |x – 1| – |x| a xb 9. g (x) = 1 + ( −1) 5. f (x) = sgn(x2 – 16) 6. f (x) = |2x – 1| – x

38

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

OPERACIONES CON FUNCIONES DEFINICIÓN: Dos funciones f : A → ℜ y cuando

D( f ) = D( g ) y

g : B → ℜ son iguales

f ( x) = g ( x) ∀x ∈ D( f )

DEFINICIÓN: Sean f y g dos funciones reales con D( f ) = A y D( g ) = B .

Si A ∩ B ≠ φ , se define: a) b) c) d)

e) f)

Función suma de f y g : ( f + g )( x) = f ( x) + g ( x) y D( f + g ) = A ∩ B Función Diferencia de f y g : ( f − g )( x) = f ( x) − g ( x) y D( f − g ) = A ∩ B Función producto de f y g : ( f .g )( x) = f ( x) g ( x) y D ( f .g ) = A ∩ B Función cociente de f y g : f f f ( x) ( )( x) = y D ( ) = {x ∈ A ∩ B / g ( x ) ≠ 0} g g ( x) g Producto de una constante por una función: (kf )( x) = kf ( x) , k ∈R. Para este caso D(kf ) = A . Función valor absoluto de f: f ( x) = f ( x) y D ( f ) = A

EJEMPLO. Para las funciones definidas por: f ( x) = 25 − x 2 , D ( f ) = [− 5,5]

g ( x) =

3x − 5

x2 − 9

, D( g ) =< −∞,−3 > ∪ < 3,+∞ >

tenemos: i) ( f + g )( x) = 25 − x 2 +

3x − 5

x2 − 9

39

, D ( f + g ) = [− 5,−3 > ∪ < 3, 5] = M

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

ii) ( f − g )( x) = 25 − x 2 −

iii)

( f .g )( x) = 25 − x 2 .

f iv) ( )( x) = g

3x − 5

x2 − 9 3x − 5

x2 − 9

, D ( f .g ) = [− 5,−3 > ∪ < 3, 5] = M

[

{ }

25 − x 2 . x 2 − 9 f , D( ) = − 5,−3 > ∪ < 3, 5] − 5 = M 3 3x − 5 g

2 v) (3 f )( x) = 3 f ( x) = 3 25 − x

vi)

, D ( f − g ) = [− 5,−3 > ∪ < 3, 5] = M

f ( x) = f ( x) = 25 − x 2

,

,

D(3 f ) = M

D ( f ) = [− 5,5]

DEFINICIÓN (COMPOSICIÓN DE FUNCIONES)

Sean f : A → R y g : B → R dos funciones tales que R( f ) ∩ B ≠ φ . La función ( g D f ) definida por: ( g D f )( x) = g ( f ( x)) se denomina función compuesta de g y f o función de funciones. El dominio de la función g D f es D = {x ∈ D ( f ) ∧ f ( x ) ∈ D ( g )} EJEMPLO Sean f y g dadas por f ( x) = x − 2 y g ( x) = 5 x + x . Encontrar ( g D f )( x) y el Dominio de g D f Solución

Tenemos: D( f ) = R , R( f ) = R ; D ( g ) = [0,+∞ > , R ( g ) = [0,+∞ > como R ( f ) ∩ D( g ) ≠ φ , se tiene ( g D f )( x) = 5( x − 2) + x − 2 y

40

D ( g D f ) = [2,+∞ >

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

EJEMPLO Sean f ( x) = x 2 − 1 y g ( x) = 3 x + 5 . Determinar f D g y g D f Solución Se tiene:

D( f ) = R , R ( f ) = [− 1,+∞ > , D( g ) = R , R( g ) = R a)

Como R ( f ) ∩ D( g ) ≠ φ , entonces ( g D f )( x) = g ( f ( x)) = 3( x 2 − 1) + 5 ∴ ( g D f )( x) = 3x 2 + 2 y

b)

D( g D f ) = R

Como R ( g ) ∩ D( f ) ≠ φ , entonces ( f D g )( x) = f ( g ( x)) = (3x + 5) 2 − 1 ∴ ( f D g )( x) = 9 x 2 + 30 x + 24 y D( f D g ) = R

Nótese que en este último ejemplo f ( g ( x)) y g ( f ( x)) no son iguales, es decir: f Dg ≠ gD f . EJEMPLO Sean las funciones definidas por f ( x) = Hallar f D g y g D f

x 2 − 4 y g ( x) =

x−2

Solución Se tiene D ( f ) =< −∞, − 2] ∪ [2,+∞ > y D ( g ) = [2,+∞ >

{

}

a) D ( g D f ) = D ( f ) ∩ {x : f ( x) ∈ D ( g )} = D ( f ) ∩ x : x 2 − 4 ∈ [2,+∞ >

{

{

}

= D( f ) ∩ x : x 2 − 4 ≥ 2 = D( f ) ∩ x : x ≤ − 6 ∨ x ≥ 6

] [

=< −∞,− 6 ∪ y

6 ,+∞ >

( g D f )( x) = g ( f ( x)) =

x2 − 4 − 2

b)

41

}

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

{

}

D( f D g ) = D( g ) ∩ {x : g ( x) ∈ D( f )} = D( g ) ∩ x : x − 2 ∈< −∞, − 2] ∪ [2,+∞ >

{

}

= D( g ) ∩ x : x − 2 ≤ −2 ∨ x − 2 ≥ 2 = D( g ) ∩ {x : φ ∨ x ≥ 6} = [6,+∞ > y ( f D g )( x) = f ( g ( x)) = x − 6 EJEMPLO Un globo esférico de juguete se infla con helio. El radio del globo aumenta a razón de 1.5 cm/s, expresar el volumen V del globo como una función del tiempo t (en segundos) Solución Sea x el radio del globo. Suponiendo que al comenzar el radio es 0, entonces a los t segundos x = 1.5t

(radio del globo a los t segundos).

Después de 1seg. el radio es 1.5cm, a los 2seg. el radio es 3.0cm, a los 3seg. es 4.5cm, etcétera. Ahora escribimos 4 V= π x 3 (volumen de una esfera de radio x). 3 Esto da una relación de composición de funciones en la que V es una función de x, y x es una función de t . Por sustitución, 4 4 4 27 V = π x 3 = π (1.5t )3 = π ( t 3 ) 3 3 3 8

Simplificando llegamos a la siguiente formula para V como función de t : 9 V = π t3 2

42

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

EJERCICIOS RESUELTOS

1.-

Dadas las funciones , x ∈< −1, 2] ⎧ 2x − 4 f ( x) = ⎨ 2 ⎩ x − 5 x + 1 , x ∈< 2,5 > ⎧ x 2 + 2 x − 1 , x ∈< −2,1] g ( x) = ⎨ 5 , x ∈< 1,+∞ > ⎩

,

Determine dominio, rango y gráfica de f + g Solución

Tenemos

⎧2 x − 4 + x 2 + 2 x − 1 , x ∈< −1, 2]∩ < −2,1] =< −1,1] ⎪ ( f + g )( x) = ⎨ 2x − 4 + 5 , x ∈< −1, 2]∩ < 1,+∞ >=< 1, 2] ⎪ x 2 − 5x + 1 + 5 , x ∈< 2,5 > ∩ < 1,+∞ >=< 2,5 > ⎩ ⎧ x 2 + 4 x − 5 , x ∈< −1,1] ⎪ = ⎨ 2x + 1 , x ∈< 1, 2] ⎪ x 2 − 5 x + 6 , x ∈< 2,5 > ⎩

Luego, Dom( f + g ) =< −1,1] ∪ < 1, 2] ∪ < 2,5 >=< −1,5 > ⎡ −1 Rang ( f + g ) =< −8, 0] ∪ < 3,5] ∪ ⎢ , 6 >=< −8, 6 > ⎣4 2.-

Determine dominio, rango y gráfica de g − f Si f ( x) = 3 x − 1

,2 ≤ x < 3

y

g ( x) = 3 x − 1 , x ∈<

Solución

Como 2 ≤ x < 3 ⇔ 6 ≤ 3 x < 9 Los posibles máximos enteros de 3x son :6, 7, 8

43

7 8 , > 3 3

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

Para a3 x b = 6 ⇒ 6 ≤ 3 x < 7 ⇒ 2 ≤ x < 7

7 3 8

a3 x b = 7 ⇒ 7 ≤ 3 x < 8 ⇒ 3 ≤ x < 3 8

a3 x b = 8 ⇒ 8 ≤ 3 x < 9 ⇒ 3 ≤ x < 3 Luego ⎧ ⎡ 7 ⎪5 , x ∈ ⎢ 2, > ⎣ 3 ⎪ ⎪⎪ ⎡7 8 f ( x ) = a3 x b − 1 = ⎨ 6 , x ∈ ⎢ , > ⎣3 3 ⎪ ⎪ ⎡8 ⎪7 , x ∈ ⎢ ,3 > ⎪⎩ ⎣3

Por lo tanto ( g − f )( x) = 3x − 1 − 6 , x ∈<

7 8 , > 3 3

El cual tiene como rango Rang ( g − f ) =< 6 − 6, 7 − 6 >

3.-

Dadas las funciones f ( x) = 3x + 1 , x ∈< −6, 2] y g ( x) = −2 x + 1 , x ∈ [3,5] . Determine f D g , si existe. Solución Analicemos la existencia: Rang ( g ) ∩ Dom( f ) = [− 9,−5]∩ < −6, 2] ≠ φ

Esto determina que existe f D g . Dom( f D g ) = Dom( g ) ∩ {x / g ( x) ∈ Dom( f )} = [3,5] ∩ { x / − 2 x + 1 ∈< −6, 2] } = [3,5] ∩ {x / − 6 < −2 x + 1 ≤ 2}

44

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

[3,5] ∩ ⎡⎢ − 1 , 7 >= ⎡⎢3, 7 >

⎣ 2 ⎣2 2 Y ( f D g )( x) = f ( g ( x)) = f (−2 x + 1) = 3(−2 x + 1) + 1 = −6 x + 4

4.-

,x = φ

Luego no existe la composición g1 D f ii)

Rang ( f ) ∩ Dom( g 2 ) =< 1, 9] ∩ [1,+∞ >≠ φ . Luego si existe la composición g 2 D f

Dom( g 2 D f ) = Dom( f ) ∩ {x / f ( x) ∈ Dom( g 2 )} = < −1, 3] ∩ {x / 2 x + 3 ∈ [1,+∞ >} < −1, 3] ∩ {x / x ≥ −1} =< −1, 3]

y ( g 2 D f )( x) = g 2 (2 x + 3) = (2 x + 3) 2 − 2(2 x + 3) + 3 = 4x 2 + 8x + 6 Por lo tanto ( g D f )( x) = 4 x 2 + 8 x + 6 , x ∈< −1, 3]

45

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

EJERCICIOS PROPUESTOS

1.-

Dadas las funciones f y g definidas por: ⎧ 3x − 4 , x < 6 ⎧ x −5 ,x < 3 a) f (x) = ⎨ , g ( x) = ⎨ ⎩− 4x + 6 , x > 9 ⎩4 x − 6 , x ≥ 3 ⎧ x −5 ,x < 2 g ( x) = ⎨ ⎩4 x − 1 , x > 5 ,x > 2 ⎧2 x − 5 c) f ( x) = 2 x 2 − 4 x − 5 , g ( x) = ⎨ ,−3 < x ≤ 2 ⎩ 2 ⎧− 3 x + 4 1 < x < 3 d) f ( x) = x 2 − 2 x − 1 ,−2 < x < 7 , g ( x) = ⎨ x≥3 ⎩ 4 Hallar dominio, rango y gráfica de f + g , f − g . ⎧ x 2 − 3x + 5 , x ≤ 4 b) f ( x) = ⎨ , 2 − 7 > 4 x x ⎩

2.-

Dadas las funciones: a) f ( x) = 3x 2 − x − 6 , x < 1

g ( x) = − x 2 + 2 x − 2 , x ≥ 0

,

b) f ( x) = x 2 − 5 x − 7 ,2 ≤ x < 6 , g ( x) = 4 x − x 2 + 5 ,−1 < x < 4 c) f ( x) = −5 x + 4 ,−4 < x ≤ 5

, g ( x) = x 2 − 6 x − 5 , x > 1

Hallar dominio rango y gráfica de f + g , f − g . 3.-

4.-

f = {(−1,0), (2,2), (−3,4), (4,3), (5,−1) } , g {(−1,3), (4,−2), (5,0), (2,4), (7,8), (8,9)} ⎛ f −g⎞ ⎟⎟ . Hallar el rango de ⎜⎜ ⎝ g ⎠ Dadas las funciones: f = {(−3,4), (−1,0), (2,0), (3,1), (4,1), (5,3), (6,6)}, g = {(−4, −3), ( −3, 0), (1, 0), (2,3), (3,3), (4, 6), (6, 6), (7,5)}

Hallar máx{a + b /( a, b) ∈ ( f + g )}

5.-

Dadas las funciones : f = {(−3,4), (−2,0), (2,0), (3,2), (4,6), (7,5)} , g ( x) = 3x + 5, x < 4 Hallar máx{a + b /( a, b) ∈ ( f + g )} + min{a + b /( a , b) ∈ ( f − g )} 46

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

2.2

CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES DEFINICIÓN.- (Función inyectiva o uno a uno). Se dice que una función f:A→B con dominio D es inyectiva, si para cualquier x1, x2 ∈ D con x1 ≠ x2 se tiene que f(x1) ≠ f(x2) Es decir;

f : A → B es inyectiva si f(x1) = f(x2) con x1,x2 ∈ D implica x1 = x2 EJEMPLO En A = {0,1, 2, 5}, B = {0, 2, 3,4, 5, } i) f = {(0,0), (1,3), (2,4), (5,2)} es función inyectiva. ii) f = {(1, 2), (2, 3), (5, 3), (0, 0)} no es función inyectiva. DEFINICIÓN.- (Función sobreyectiva). Una función f: A→B es sobreyectiva, si para todo y ∈ B, existe x ∈ A, talque f(x) = y. En otras palabras: f : A → B es sobreyectiva si Img(f) = B EJEMPLO Sea A = {0,1,2,3,4}, B = {1,,4,5} y la función f : A → B, definida por

f (0) = 1, f (1) = 1, f (2) = 4, f (3) = 5, f (4) = 4 Esta función es sobreyectiva, porque Img(f) = B. DEFINICIÓN.- (Función Biyectiva). Se dice que una función f : A → B es biyectiva cuando es inyectiva y sobreyectiva. EJEMPLO Sean A = {1, 2, 3, 4}, B = {5, 7, 8, 9} y la función f : A→ B definida por

f(1) = 5, f (2)=7, f (3) = 8, f (8) = 9 es una función biyectiva.

47

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

2.3

FUNCIONES INYECTIVAS, SOBREYECTIVAS Y BIYECTIVAS 2.3.1

FUNCIÓN INYECTIVA DEFINICIÓN: se dice que una función es inyectiva (o univalente) cuando todo elemento del rango tiene un único elemento en el dominio al cual esta asociado.

Es decir

∀ a, b ∈ Dom( f ) : f (a) = f (b) ⇒ a = b

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA Una función es inyectiva si cualquier recta paralela al eje X, intersecta a la gráfico de la función en un solo punto. EJEMPLO N°1

Figura 1 ES INYECTIVA, porque la recta A intersecta a la función y=f(x). En un sólo punto.

NO ES INYECTIVA, porque la recta horizontal A intersecta a la función y = f (x) en más de un punto.

EJEMPLO N°2 Sea f ( x) = x 2 , x ∈< −∞,0 > . Determine si la función es inyectiva. Solución Sean a,b ∈< −∞,0 > : f (a ) = f (b) ⇒ a 2 = b 2 ⇒ a −b = 0 ∨ a +b = 0

Como a < 0 ∧ b < 0 ⇒ a + b < 0 , por lo tanto a = b . Es decir f es inyectiva.

48

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

EJEMPLO N°3

Dada la función f ( x) = inyectiva. Solución

2x − 1 , x ∈ [4,8] determine si esta función es x+2 2a − 1 2b − 1 = a+2 b+2 ⇒ (2a − 1)(b + 2) = (2b − 1)(a + 2) ⇒ 2ab + 4a − b − 2 = 2ab + 4b − a − 2 ⇒a=b

Sean a, b ∈ [4,8] : f (a) = f (b) ⇒

Luego f es inyectiva en su dominio [4,8] EJEMPLO N°4 Dada f ( x) = 3 + 2 x − x 2 , x ∈ [− 1,3] . Analiza si f es inyectiva. Solución

Sea a, b ∈ [− 1,3], f ( a ) = f (b) ⇒

3 + 2a − a 2 =

3 + 2b − b 2

⇒ 3 + 2a − a 2 = 3 + 2b − b 2 ⇒ (a − b)(a + b − 2) = 0 ⇒ a −b = 0∨ a +b−2 = 0

Como a, b ∈ [− 1,3] ⇒ −4 ≤ a + b − 2 ≤ 4 y además:

f (−1) = f (3) = 0 , sin embargo − 1 ≠ 3 . Luego f no es inyectiva.

⎧f OBSERVACIÓN. Para que una función de la forma f ( x) = ⎨ 1 , sea ⎩ f2 una función inyectiva es suficiente que se verifique las dos condiciones siguientes:

i) f1 y f 2 son inyectivas en sus dominios y ii) R ( f1 ) ∩ R ( f 2 ) = φ

49

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

EJEMPLO N°5 ⎧ x 2 − 4 x − 2 , x ∈< 4,6 > Dada la función f ( x) = ⎨ , x ∈ [6,8 > ⎩ 3x − 1 Determine si f es inyectiva. Solución i) Inyectividad: Sea f1 ( x) = x 2 − 4 x − 2 , x ∈< 4,6 > . Tomemos a, b ∈< 4,6 >: f (a) = f (b) ⇒ a 2 − 4a − 2 = b 2 − 4b − 2 ⇒ (a − b)(a + b − 4) = 0 Pero 4 < a + b − 4 < 8 , entonces a = b.

Por lo tanto f 1 es inyectiva. Claramente f 2 ( x) = 3 x − 1 es inyectiva. ii)

Como R( f1 ) =< −2,10 > y R ( f 2 ) = [17,23 > R( f1 ) ∩ R( f 2 ) = φ . Por lo tanto f es inyectiva.

EJEMPLO N°6 Determine si la función

, x ∈< −1, 4] ⎧ 2x − 1 f ( x) = ⎨ 2 ,x ≥ 4 ⎩x − 6x + 2

Es inyectiva. Solución

Llamemos f1 ( x) = 2 x − 1 y

f 2 ( x) = x 2 − 6 x + 2

f es inyectiva ⇔ i ) f 1 y f 2 son inyectivas y ii) Rang ( f 1 ) ∩ Rang ( f 2 ) = φ Tenemos i) f1 es inyectiva y además Rang ( f1 ) =< −3, 7]

ii)

f 2 ( x) = ( x − 3) 2 − 7 , x ≥ 4 50

se

tiene

que

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

Sean

f (a) = f (b) ⇔ (a − 3) 2 − 7 = (b − 3) 2 − 7 ⇔ a =b ∨ a+b = 6

Como a y b pertenecen al dominio de la función se tiene que a + b ≥ 8 . Por lo tanto se debe verificar solamente a=b

Luego f 2 es inyectiva y además Rang ( f 2 ) = [− 6,+∞ > Tenemos que f1 y f 2 son inyectivas y Rang ( f 1 ) ∩ Rang ( f 2 ) ≠ φ , esto nos indica que la función f no es inyectiva.

2.3.2

FUNCIÓN SOBREYECTIVA DEFINICIÓN DE APLICACIÓN Sean A y B dos conjuntos de números reales y sea f : A → B una función de A en B. Diremos que f es una aplicación de A en B , si Dom( f ) = A . DEFINICIÓN (Función Sobreyectiva).- Sean A y B dos conjuntos de números reales, y sea f : A → B una aplicación de A en B.

Diremos que f es sobreyectiva ⇔ ∀y ∈ B, ∃x ∈ Dom( f ) = f ( x ) En otras palabras: f es sobreyectiva ⇔ R( f ) = B INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA f es sobreyectiva ⇔ toda recta paralela L al Eje X corta al grafico de f.

Es decir, gra( f ) ∩ L ≠ φ .

51

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

EJEMPLO N°8 La función f :< −2,5 >→< −4,17 > definida por sobreyectiva?

f ( x) = 3x + 2 ¿Es

Solución Como x ∈< −2,5 >⇔ −2 < x < 5 ⇔ −6 < 3 x < 15 ⇔ −4 < 3 x − 2 < 17 ⇔ R( f ) =< −4,17 >

Por lo tanto f es sobreyectiva. DEFINICIÓN.- Se dice que una función f : A → B es biyectiva si y solamente si es inyectiva y sobreyectiva.

EJEMPLO N°9 5 1 x f : < 1,5 > → < − , − > definida por f ( x) = , x−9 4 8 verificar que es biyectiva..

Dada la función

Solución

i)

a b = a−9 b−9 ⇒ a (b − 9) = b(a − 9) ⇒ a = b.

f es inyectiva. Sean a, b ∈ Dom( f ) : f (a ) = f (b) ⇒

Luego f es inyectiva ii)

f sobreyectiva. Se tiene f ( x) = 1 +

9 , como x ∈< 1,5 >⇔ 1 < x < 5 x−9 ⇔ −8 < x − 9 < −4 ⇔−

52

9 9 9 < definida por f ( x) = x−9 4 8

Determine la inversa si existe. Solución Vemos que dicha función es biyectiva, por lo tanto posee inversa f 9x esta es f −1 ( x) = x −1

−1

EJERCICIOS

1.-

Analizar si las siguientes funciones son inyectivas ⎧2 x − 4 , x ∈< 2,4 > d) f ( x) = ⎨ 2 [4,6 > ⎩x − 4

a) f ( x) = 3x − 5 x ∈< 2,5 >

⎧ 2x − 4 b) f ( x) = 2 x 2 − 4 x + 3 , x ∈ [− 2,3 > e) f ( x) = ⎨ ⎩ x−3

c) f ( x) = − x 2 − 6 x + 3 , x ∈< 3, 5]

53

, x ∈< −1, 2]

[3,7 >

f) f ( x) = 2 x − 6 + 5 , x ∈ [3,5 >

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

2.-

Determine la inversa de las siguientes funciones si existe a) f ( x) = 3x 2 − 4 x − 2 , x ∈< 2,5 >

⎧ 2 x − 1 , x ∈< 1,3 > c) f ( x) = ⎨ ⎩− 3x + 5 , x ∈ [3, 5]

b) f ( x) = 4 x − 5 , x ∈ [2, 6]

⎧ x − 4 , x ∈ [4,6 ) d) f ( x) = ⎨ ⎩ 3x − 2 , x ∈< 6,9 >

3.-

Determine si las siguientes funciones dadas son inyectivas: ⎧⎪2 − 3 − x , x < 3 a) Dada la función f definida por: f(x) = ⎨ ⎪⎩2 + x − 3 , x ≤ 3 determine si la función f es inyectiva. ⎧− 2 x 2 8 x − 7 , x < 2 ⎪ b) Demostrar que f es inyectiva donde: f ( x ) ⎨ x + 6 ,x ≥ 2 ⎪ x ⎩ 10 + 3 x c) Sea f . A →

2 − x − x 2 , x ∈ [ −2,1]

EJERCICIOS RESUELTOS

1.

Determine si la función f : N → N definida por f(x) = 2x es inyectiva. Solución Sean a,b ∈ N tales que f (a) = f(b). Esto sigue que: 2a = 2b ⇒ a = b De modo que f es inyectiva.

54

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

Además f no es sobreyectiva, Pues los elementos del codominio(conjunto de llegada) que son impares carecen de antecedente en N. Resultando que f no es biyectiva. 2.

Si consideramos como codominio el conjunto P de los números naturales pares y f : N —> P talque f(x) = 2x, determine si f es sobreyectiva. Solución Ahora se puede demostrar que f es sobreyectiva, en efecto b b Dado b ∈ P existe a = ∈ N tal que f(a) = 2a = 2( ) = b 2 2 Siendo f inyectiva y sobreyectiva resulta biyectiva.

3.

Se lanza una moneda tres veces. Los posibles resultados de este experimento aleatorio son todas las ternas formadas por "caras" y "sellos", o bien por “unos" y "ceros", y son las siguientes: A = {(1,1,1), (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (0,0,0)} El conjunto A de todos los elementos, se llama espacio muestral asociado al experimento. Definamos ahora la función de A en R, que asigna a cada elemento la diferencia entre el número de caras y el número de sellos. Determine si la función: (i) es inyectiva (ii) es sobreyectiva cuya representación esta dada por:

Figura 5

55

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

Solución (i) No es inyectiva, pues a 1 le corresponde la imagen de los elementos (1,0,1) y (0,1,1) ' (ii) No es sobreyectiva, pues el elemento 2 del codominio no es imagen de ningún elemento del dominio. EJERCICIOS PROPUESTOS

1. 2.

3. 4. 5. 6.

7. 8.

9.

10.

11.

Dada la función f(x) = 2x — 1, determine el valor de E = 4f(2)–5f(–2)f(3) Dada la función f(x) = 2x2 + 5x — 3, determine el valor de f ( −2) f ( −1) + 2 f (0) − 3 f (1) E= f ( 2) Hallar los valores de a y b si f(x) = ax2 + bx + 5, si f(x + 1) = f(x) + 8x + 1 Si f(x) = ax + b, f (2) = 7 , f(3) = 12. Calcular f (–4)f(l). En A = {1,2,3,4} se definen las funciones f = {(1,1), (2,3), (4,2), (3,3), (4,m)} y g(x) = mx2 + bx + c. Si f (1) = g(l), f(2) = 4. Hallar Rang(g). En cada caso determinar a y b para que f y g sean funciones y determinarla completamente: f = {(1,8), (2, –3), (1, a2 + b2), (–1, a + b), (a2 + b, a), (b + a2, b)} g = {(4, 3), (–5, –3), (4, a2 – b2), (–5, a + b), (a2 + b, a), (a2 + b2, b)} Explique porque la gráfica de la ecuación x2 + y2 = 4 no es la gráfica de una función. Se desea construir una caja sin tapa a partir de una hoja de cartón rectángular que tiene dimensiones 20cm x 30cm. Para ello se recortaron cuatro cuadrados idénticos de área x2, uno en cada esquina y se doblaron hacia arriba los lados resultantes. Exprese el volumen V de la caja como una función de x. Un cilindro circular recto de radio r y altura h esta inscrito en cono circular de altura 12cm y radio de la base 4cm (a) Exprese h como una función de r.(sug.: use triángulos semejantes) (b) Exprese el volumen V del cilindro como una función de r Un hombre se encuentra en un bote a 2 millas del punto más cercano A de la costa, que es recta, y desea llegar a una casa que se encuentra en el punto B de la citada costa, a 6 millas de A. El hombre piensa remar hasta un punto P entre A y B que se encuentran a x millas de la casa y luego caminar el resto. Suponiendo que puede remar a una velocidad de 3mi/h y caminar a 5mi/h, exprese el tiempo total T que le tomara llegar a la casa, como una función de x. Una caja cerrada con una base cuadrada debe tener un volumen de 250cm3. El material para la base y la tapa cuesta s/3 por cm2 y el material para los lados cuesta s/2 por cm2. Expresar el costo de construcción de la caja como una función de la longitud de su base. 56

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

CAPÍTULO III

LÍMITES DE FUNCIONES 3.1.

DEFINICIÓN INFORMAL DE LÍMITE: Sea x0∈I = en un intervalo abierto y sea f una función definida en todo el intervalo excepto posiblemente en x0 y L un número real. Entonces:

lim f ( x) = L

x → x0

significa que f (x) puede acercarse arbitrariamente a L si x se elige suficientemente cercano a x0 (pero x≠x0). La frase f (x) puede acercarse arbitrariamente a L que se tiene en la definición, significa que f ( x) − L se puede hacer tan pequeño como se quiera escogiendo x lo suficientemente cercano a x0 (pero x≠x0). Por ejemplo, tomando valores de x lo suficientemente cercanos a x0 (con x≠x0) se puede hacer que f ( x) − L < 0.0001 , o bien f ( x) − L < 0.00001 , etcétera.

En la sección siguiente se demostrara que: lim x →0

senx =1 x

en donde x denota un número real que es el valor en radianes de un Angulo. Con una calculadora se puede obtener la siguiente tabla que ilustra este importante resultado. x ± 0 .1 ± 0.01 ± 0.001 ± 0.0001 ± 0.00001 ± 0.000001

sex x 0.998334166 0999983333 0.999999833 0.999999995 1 1 57

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

Aunque una calculadora puede usarse para tener una idea del valor de un límite, no sirve para demostrar que el límite existe. Es necesario contar con una teoría matemática precisa de los límites que no dependa de instrumentos mecánicos o de conjeturas. La gráfica de la función f en la figura 1 muestra un caso en el que lim f ( x) = L . En ella no hace falta ubicar un punto correspondiente a

x → x0

x = x0 porque al tomar el limite el valor de f ( x0 ) no tiene ninguna importancia.

Figura 1

EJEMPLO N°1 x −9 Sea f ( x) = x −3 a) Calcular lim f ( x ) x→ 9

b)

Trazar la gráfica de f y comprobar gráficamente el límite en la parte (a)

Solución a) Notemos que el número 9 no está en el dominio de f , ya que al 0 que no tiene sentido. sustituir x por 9 se llega a la expresión 0 Para evaluar el límite cambiamos la forma de f ( x) racionalizando como sigue:

58

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

lim f ( x) = lim x →9

x →9

lim

⎛ x−9 x−9 x + 3⎞ ⎟= = lim⎜⎜ • x − 3 x →9 ⎝ x − 3 x + 3 ⎟⎠

x →9

( x − 9)( x + 3) x−9

Por la definición 1, para calcular el limite de f ( x ) cuando x → 9 , podemos suponer que x ≠ 9 . Por lo tanto, x − 9 ≠ 0 y es posible dividir el numerador y el denominador por x − 9 ; es decir, podemos cancelar la expresión x − 9 . Esto da lim f ( x) = lim( x + 3) = 9 + 3 = 6 x →9

b)

x →9

Al racionalizar f ( x) como en la parte (a), vemos que la gráfica de f es la misma que la de la función y = x + 3 , excepto en el punto (9,6). El hecho de que (9,6) no esta en la gráfica de f se ilustra con un pequeño círculo claro en la Figura 2. Cuando x se acerca a 9, la ordenada f (x) en la gráfica de f se acerca al número 6. Nótese que f (x) nunca toma el valor 6, sin embargo, se puede hacer tan cercano a 6 como se desee escogiendo x suficientemente cerca de 9.

Figura 2

59

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

EJEMPLO N°2

Calcular lim f ( x) , si f ( x) = x→ 2

2 x 2 − 5x + 2 5x 2 − 7 x − 6

Solución El número 2 no está en el dominio de f por que al sustituir x por 2 se obtiene la expresión sin sentido 0 0 . Factorizando el numerador y el denominador,

f ( x) =

( x − 2)(2 x − 1) . ( x − 2)(5 x + 3)

En este paso no puede cancelarse el factor x − 2 , sin embargo, al tomar el limite de f (x) cuando x → 2 si se puede cancelar ya que según la definición 1, x ≠ 2 y entonces x − 2 ≠ 0 . Por lo tanto, 2x − 1 3 2 x 2 − 5x + 2 ( x − 2)(2 x − 1) = lim = lim = 2 x→2 5 x − 7 x − 6 x → 2 ( x − 2)(5 x + 3) x→2 5 x + 3 13

lim f ( x) = lim x→2

1 proporciona un ejemplo en x el que el limite no existe cuando x tiende a 0. Consultando la gráfica de f en la Figura 3 se capta que al dar a x valores cercanos a 0 (con x ≠ 0 ), f (x) no esta acotado; es decir, crece sin frontera.

La función racional f definida por f ( x) =

Figura 3

60

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

3.2

DEFINICIÓN FORMAL DE LÍMITE DEFINICIÓN 2.- Sea a un punto de un intervalo abierto I= , sea f una función definida en todo el intervalo excepto posiblemente en x0 y sea L un número real. Entonces: lim f ( x) = L

x → x0

significa que para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que si x ∈ Dom( f ) ∧ 0 < x − x0 < δ , entonces f ( x) − L < ε EJEMPLO

1 7 Comprobar que lim (2 x − 1) = x→4 2 2 Solución Tenemos, las siguientes desigualdades son equivalentes: 1 2

(2 x − 1) − 72 que contiene a x0 , tal que f ( x) > 0 para todo x en < x0 − δ , x0 + δ > , excepto posiblemente en x = x0 . DEMOSTRACIÓN Tomemos ε = 12 L ( L > 0 ), entonces el intervalo < L − ε , L + ε > contiene solamente números positivos, luego por la definición de limite, existe un δ > 0 tal que si x esta en el intervalo abierto < x0 − δ , x0 + δ > y x ≠ x0 , entonces f (x) esta en < L − ε , L + ε > y, por lo tanto, f ( x) > 0.

61

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

TEOREMA (UNICIDAD DE LÍMITE) El límite de una función, cuando existe, es único, es decir,

si lim f ( x) = L1 y lim f ( x) = L2 , entonces L1 = L2 . x → x0

x → x0

DEMOSTRACIÓN. Ejercicio TEOREMA (TEOREMA DEL SÁNDWICH O DE ENCAJE) Sean f , g y h funciones tales que: a) b)

f ( x) ≤ g ( x) ≤ h( x) , ∀x ∈< a − r , a + r > con x ≠ a (r>0) lim f ( x) = lim h( x) = L .

x → x0

x → x0

Entonces lim g ( x) = L x → x0

DEMOSTRACIÓN. Ejercicio TEOREMA. Sean f y g dos funciones tales que

a) b)

lim f ( x) = 0

x → x0

∃M > 0 tal que g ( x) < M , ∀x ∈< x0 − r , x0 + r > con x ≠ x0

( r > 0 ). Entonces lim f ( x) g ( x) = 0 x → x0

DEMOSTRACIÓN Sea ε > 0 , de la hipótesis de (a) y (b), existe un intervalo abierto < x0 − δ , x0 + δ > con 0 < δ ≤ r tal que, ∀x ∈< x0 − δ , x0 + δ > con

x ≠ x0 , se tiene f ( x) <

ε M

; también se verifica:

f ( x) g ( x) = f ( x) g ( x) < f ( x) M < Es decir, 0 < x − x0 < δ ⇒ f ( x) g ( x) < ε Esto nos indica que

lim f ( x) g ( x) = 0 .

x → x0

62

ε M

M =ε

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

3.3

PROPIEDADES DE LOS LÍMITES TEOREMA. Sean f y g funciones tales que lim f ( x) = L y lim g ( x) = M . Entonces x → x0

1.2.3.4.5.-

x → x0

lim c = c , c constante

x → x0

lim cf ( x) = c lim f ( x) , c constante

x → x0

x → x0

lim [ f ( x) ± g ( x) ] = L ± M

x → x0

lim [ f ( x) g ( x) ] = LM

x → x0

lim

x → x0

f ( x) L = , si M ≠ 0 g ( x) M

DEMOSTRACIÓN. Ejercicio TEOREMA Si lim f ( x) = L y n es cualquier entero positivo, entonces: x → x0

n n lim [ f ( x) ] = L n ⇔ lim [ f ( x)] = ⎡ lim f ( x) ⎤ x → x0 x → x0 ⎣⎢ x → x0 ⎦⎥

n

EJEMPLO Como lim(3x − 2) = 4 , se tiene que lim(3 x − 2) 3 = 4 3 = 64 x→2

x→2

TEOREMA Si n es un entero positivo y lim f ( x) = L , entonces: x→a

lim n f ( x) = n L ⇔ lim

x → x0

x → x0

n

f ( x) = n lim f ( x)

con la restricción de que si n es par, L > 0 .

63

x → x0

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

x3 + 2 x + 3 EJEMPLO. Determine lim x→2 x2 + 5 Solución x3 + 2 x + 3 x3 + 2 x + 3 8+ 4+3 15 Del teorema lim = lim = = 2 2 x →2 x →2 x +5 x +5 4+5 3 3x 2 + 17 x − 20 x →1 4 x 2 − 25 x + 21

EJEMPLO. Hallar lim

Solución Claramente al determinar este limite se tiene 0 0 una indeterminación, Como 1 es raíz del numerador y del denominador, se pueden factorizar obteniéndose ( x − 1)(3 x + 20) 3 x + 20 23 = lim =− x →1 ( x − 1)(4 x − 21) x →1 4 x − 21 17

lim

Observación. Las formas indeterminadas son: 0 ∞ , , ∞ − ∞ , 0.∞ , 0 0 , 1∞ y (∞) 0 0 ∞

si en el cálculo del límite aparecen alguna de estas formas, se deben resolver estos límites usando artificios de tal manera que se puedan levantar la indeterminación.

EJEMPLO. Hallar el límite (si existe) lim x →3

x2 − 2 x + 6 − x2 + 2 x − 6 x2 − 4x + 3

Solución

x2 − 2x + 6 − x2 + 2x − 6 0 Evaluando se tiene; lim = (indeterminado) x →3 x2 − 4x + 3 0 Para levantar la indeterminación sumamos y restamos 3 en el numerador lim x →3

x2 − 2 x + 6 − x2 + 2 x − 6 ( x 2 − 2 x + 6 − 3) + (3 − x 2 + 2 x − 6) = lim x →3 x2 − 4x + 3 x2 − 4 x + 3

64

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

factor a eliminar (x-3): x2 − 2x − 3

−

x 2 + 2 x − 15

x2 − 2 x + 6 + 3 3 + x2 + 2 x − 6 x →3 x2 − 4x + 3 ( x − 3)( x + 1) ( x − 3)( x + 5) − 2 2 = lim x − 2 x + 6 + 3 3 + x + 2 x − 6 x →3 ( x − 3)( x − 1) ( x + 1) ( x + 5) − 2 2 = lim x − 2 x + 6 + 3 3 + x + 2 x − 6 x →3 ( x − 1) 4 8 − 6 6 = −1 = 2 3 = lim

3

x −1

x →1 4

x −1

EJEMPLO. Determine lim Solución 3

Tenemos lim

x →1 4

x −1 0 = (indeterminado) x −1 0

⎧ x = y12 ⇒ Hacemos el cambio: MCM(3,4)⇒x=y12 de aquí ⎨ ⎩ si x → 1 ⇒ y → 1

Luego 3

x −1

x →1 4

x −1

lim

= lim y →1

y4 −1 0 = (indeterminado) y3 − 1 0

factor a eliminar ( y − 1) ; y4 −1 ( y − 1)( y + 1)( y 2 + 1) ( y + 1)( y 2 + 1) 4 lim = lim 3 = lim = lim = 2 x →1 4 y →1 y2 + y +1 3 x − 1 y →1 y − 1 y →1 ( y − 1)( y + y + 1) 3

x −1

65

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

3.4

LÍMITES LATERALES LÍMITE POR LA IZQUIERDA: Sea f una función definida en un intervalo abierto < a, b > . Entonces lim f ( x) = L1

x → x0

significa que f ( x) puede acercarse arbitrariamente a L1 escogiendo x suficientemente cerca de x0 , con x< x0 LÍMITE POR LA DERECHA: Sea f una función definida en un intervalo abierto < x0 ,c>. Entonces

lim f ( x) = L2

x → x0 +

significa que f ( x) puede acercarse arbitrariamente a L2 escogiendo x suficientemente cerca de x0 con x> x0 Damos a continuación algunas gráficas de los límites laterales. En la figura 4, x tiende a x0 por la izquierda. En la figura 5, x tiende a x0 por la derecha.

Fig.4

Fig.5

Limite por la izquierda: lim− f ( x)

Limite por la derecha: lim+ f ( x)

x → x0

x → x0

66

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

TEOREMA: Sea x0 un punto contenido en un intervalo abierto y f una función definida en todo el intervalo, excepto posiblemente en x0. Entonces lim f ( x) = L si y solo si lim− f ( x) = lim+ f ( x) = L . x → x0

x → x0

x → x0

EJEMPLO N°3 x Dado f ( x) = . Calcular lim− f ( x) , lim+ f ( x) y lim f ( x) . x→0 x →0 x →0 x Solución x Si x > 0 , entonces x = x y f ( x) = =1. Por lo tanto: x lim+ f ( x) = lim+ 1 = 1 . x →0

x →0

x = −1 . Por tanto, x lim− f ( x) = lim− (−1) = −1 .

Si x < 0 , entonces x = − x y f ( x) = − x →0

x →0

Como los límites por la derecha y por la izquierda no son iguales, del Teorema se deduce que lim f ( x) no existe. x→0

EJEMPLO N°4 Sea f la función definida por

⎧2− x ,x 1

Evaluar lim− f ( x) , lim+ f ( x) , lim f ( x) . x →1

Solución Claramente,

x →1

x→1

lim f ( x) = lim− (2 − x) = 1

x →1−

x →1

lim f ( x) = lim+ ( x 2 + 1) = 2

x →1+

x →1

Como los límites por la derecha y por la izquierda no son iguales, por el Teorema, lim f ( x) no existe. x→1

67

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

c xf x 2 − dd gg e 3h EJEMPLO. Determinar si existe lim x → 6 2 x + 10 a b Solución Analicemos sus límites laterales:

i)

Para x < 6 :

c xf x < 2 ⇒ dd gg = 1 y 2 x < 12 ⇒ a 2 x b = 11 3 e 3h

Por lo tanto; c xf x 2 − dd gg x 2 − 1 35 e 3h = lim− = . lim− x →6 a2 x b + 10 x→6 11 + 10 21

ii)

Para x > 6 :

c xf x > 2 ⇒ dd gg = 2 y 2 x > 12 ⇒ a 2 x b = 12 3 e 3h

Por lo tanto; c xf x 2 − dd gg x 2 − 2 34 17 e 3h = lim+ = = lim+ x →6 a2 x b + 10 x→6 12 + 10 22 11

Como los límites laterales no son iguales, se tiene que no existe dicho límite.

EJERCICIOS A.

Determine (si existen) los siguientes límites: 1.

lim

x 2 − ( a + 1) x + a

x→a

lim

2.

x→2

lim

3.

x →3

x 3− a 3 x 3 − x 2 − 8 x + 12 x 3 − x 2 − 12 x + 20 x3 + 6x2 − 9x x 3 − 5 x 2 + 3x + 9

68

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

4.

lim

x100 − 2 x + 1 x 50 − 2 x + 1

x →1

1 + x2 − 1

lim

5. 6.

x2 − 2x + 6 −

lim

7.

x→2

8.

lim

3x − 6 1 − 4x − 7 x+3

x → −3

x →0 3 1 +

13. 14.

x −1

x →1 4

x −1

3

x −1

x →1

3

x + x −2 x −1

3

x +2 x −2 x −1

x →1

lim

x →1

x→4

lim

16.

x2 − x

lim

lim

15.

x −2

3

lim

12.

x −1

x −4

x →16 4

lim

11.

x2 + 7 − 4

1+ x −1

lim

lim

10.

x →3

x2 + 2x − 6

x2 − 4x + 3

x →3

lim

9.

x2

x→0

2−

x

3 − 2x − 1 x2 − 6 −

x+6

x +1 − 2

69

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

x + 3x + 1 − 2 x + 7

lim

17.

x + 4 x + 5 − 3 x + 13

x →1

1+ x − 1− x

lim

18.

x→0 3 1 +

lim

19.

x→4

lim

20.

22.

3 x 2 − 17 x + 20 4 x 2 − 25 x + 36 x3 − 2x 2 − 4x + 8 3x 2 + 3x − 6

x→2

lim

21.

x →1

2x3 − 5x 2 − 2x − 3 4 x 3 − 13 x 2 + 4 x − 3

2 ⎛ 2 ⎞ lim ⎜ − ⎟ 2 x → 2⎝ 3 x − 6 2x − 5x + 2 ⎠ 3

lim

23.

x →1

24.

lim

25.

3

x − 2 x + 3x − 2 x −1

3

x 2 − 42 x + 8

x →1

lim

( x − 8)2

x →8

B.

lim

x→4

5 x + 3 − 3x + 1 x − 3x + 2

3

26.

x − 31− x

x − 3 2x + x − 8 x−4

Determine los siguientes límites:

1.

⎧x 2 , x < 1 ⎪ f ( x) = ⎨ x ,1< x < 4 ⎪4 − x, x > 4 lim f ( x ), lim f ( x ) ⎩ x →1 x→4 , donde:

70

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

C.

2.

⎧6 x − x 2 ,x < 2 ⎪⎪ 2 Determine lim f ( x) . Donde f ( x ) = ⎨2 x − x − 3 , x > 2 x →2 ⎪ 6 ,x = 2 ⎪⎩

3.

⎧⎪ bx 2 + ab ,x ≥0 Si f ( x) = ⎨ 2 1/ 2 ⎪⎩2 ( x + b ) − b, x < 0

Determine a y b para que: lim f ( x ) = f (0) x →0

4. 5. 6.

y

f (1) = −1

⎧ x 3 + 2 x 2 − 5x + 6 , x→ ℜ , una función y L ∈ ℜ , se dice que L es el límite de f (x) cuando x tiende para + ∞ , el cual denotamos como L = lim f ( x) , si y solo si, dado ε > 0, ∃N > 0 / x → +∞

x > N ⇒ f ( x) − L < ε

DEFINICIÓN. Sea f :< −∞, a >→ ℜ , una función y L ∈ ℜ , se dice que L es el límite de f (x) cuando x tiende para − ∞ , el cual denotamos como L = lim f ( x) , si y solo si, dado ε > 0, ∃N < 0 / x → −∞

x < N ⇒ f ( x) − L < ε

72

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

PROPIEDAD. Si n es un entero positivo cualquiera, entonces:

1 =0 x → +∞ x n

1 =0 x → −∞ x n

i) lim

ii) lim

PROPIEDAD. Se cumplen operaciones con límites.

las mismas que las del teorema de las

4 x 2 − 3x + 6 x → +∞ 5 x 2 + 7 x − 3

EJEMPLO. Determine lim

Solución Dividiendo numerador y denominador por x 2 , se tiene:

4 x 2 − 3x + 6 = lim lim 2 x → +∞ 5 x + 7 x − 3 x → +∞

3 + x 7 5+ − x 4−

6 x2 = 4 3 5 x2

Observación: i) si x → +∞ ⇒ x = x 2

ii) si x → −∞ ⇒ x = − x 2

EJEMPLO. Determine lim

x → −∞

3x 2 − 5 x − 3 3x − 5

Solución Dividiendo numerador y denominador por x = − x 2 , tenemos:

3x − 5 x − 3 = lim − x → −∞ 3x − 5 2

lim

x → −∞

73

5 3 − 3 x x2 = 5 3 3− x

3−

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

EJEMPLO. Hallar las constantes a y b para que x2 +1 lim ( − ax − b) = 0 x → +∞ x + 1 Solución (1 − a) x 2 − (a + b) x + 1 − b Tenemos lim ( ) = 0, x → +∞ x +1

Luego analizando este límite para que sea igual a cero cuando x → +∞ , se tiene que:

k , k=constante; esto es posible solo cuando los coeficientes de x 2 y ∞ de x sean ceros, es decir: 0=

1 − a = 0 y − ( a + b ) = 0 ⇔ a = 1 y b = −1 .

LÍMITES INFINITOS Sea f una función definida en un intervalo abierto I que contiene al número x0, x0 puede o no estar en el dominio de f . DEFINICIÓN. Se dice que el limite de f ( x) es + ∞ cuando x tiende al punto x0, y se escribe lim f ( x) = +∞ , si dado k > 0 ∃δ > 0 tal que x→a

0 < x − x0 < δ ⇒ f ( x) > k

(figura 6)

74

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

DEFINICIÓN. Se dice que le limite de f ( x) es − ∞ cuando x tiende al punto x0, y se escribe lim f ( x) = −∞ , si dado k > 0 ∃δ > 0 tal que x→a

0 < x − x0 < δ ⇒ f ( x) < − k

(figura 7) PROPOSICIÓN. Si n es un entero positivo, entonces: 1 i) lim+ n = +∞ x →0 x

ii)

lim

x →0 −

1

xn

⎧+ ∞ , n es par =⎨ ⎩− ∞ , n es impar

PROPOSICIÓN. Sea a un número real y lim f ( x) = 0 , lim g ( x) = c, x → x0

x → x0

c ≠ 0 . Entonces:

i)

ii)

Si c > 0 y f ( x) → 0 a través de valores positivos de f ( x) , g ( x) = +∞ entonces lim x → x0 f ( x ) Si c > 0 y f ( x) → 0 a través de valores negativos de f ( x) , g ( x) = −∞ entonces lim x → x0 f ( x )

75

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

iii)

iv)

Si c < 0 y f ( x) → 0 a través de valores positivos de f ( x) , g ( x) = −∞ entonces lim x → x0 f ( x ) Si c < 0 y f ( x) → 0 a través de valores negativos de f ( x) , g ( x) entonces lim = +∞ x → x0 f ( x )

EJEMPLO. Determine lim− x→2

3x 2 − 7 x + 6 x2 + x − 6

Solución

3x 2 − 7 x + 6 3x 2 − 7 x + 6 4 Tenemos lim− 2 = lim− = − = −∞ 2 → x→2 x ( x + 3)( x − 2) 0 x + x−6

3.6

ASÍNTOTAS DEFINICIÓN. Si la distancia d entre una recta L y el punto A que se mueve a lo largo de una curva tiende a cero, cuando el punto A tiende al infinito, la recta L es llamada asíntota de la curva; es decir, si lim d ( A, L) = 0 A→ +∞

(Fig. 8) PROPOSICIÓN. La recta x = x0 es una asíntota vertical de la curva y = f ( x) , si se cumple uno de los siguientes enunciados

76

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

a) lim f ( x) = ±∞ x → x0

b) lim+ f ( x) = ±∞ c) x → x0

lim f ( x) = ±∞

x → x0−

(Fig. 9) PROPOSICIÓN. La recta y = k es una asíntota horizontal de la curva y = f ( x) si se cumple una de las siguientes condiciones

a) lim f ( x) = k

b) lim f ( x) = k

x → +∞

x → −∞

(Fig.10) PROPOSICIÓN. La recta y = m x + b , m ≠ 0 , es una asíntota oblicua de la curva y = f ( x) si se cumple una de las siguientes condiciones:

77

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

i)

f ( x) = m y lim [ f ( x) − mx] = b (llamada asíntota oblicua x → +∞ x → +∞ x derecha. Fig. 11) lim

fig 11

ii)

f ( x) = m y lim [ f ( x) − mx] = b (llamada asíntota oblicua x → −∞ x → −∞ x izquierda. Fig. 12) lim

fig 12

x 4 − 4x − 3 EJEMPLO. Determine las asíntotas de la curva y = f ( x) = x 3 − 27 Solución i)

Asíntotas verticales: x = 3 , pues

78

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

lim−

x →3

x 4 − 4x − 3 = −∞ y ( x − 3)( x 2 + 3 x + 9)

lim+

x →3

x 4 − 4x − 3 = +∞ ( x − 3)( x 2 + 3x + 9)

ii)

Asíntotas Horizontales: no existe, pues 4 3 x− 2 − 3 4 x − 4x − 3 x x = ±∞ = lim lim x → ±∞ x → ±∞ 27 x 3 − 27 1− 3 x

iii)

Asíntotas Oblicuas

a)

f ( x) x 4 − 4x − 3 Derecha: m = lim = lim =1 y x → +∞ x → +∞ x ( x 3 − 27) x ⎡ x 4 − 4x − 3 ⎤ − 31x − 3 =0 − x ⎥ = lim 3 b = lim [ f ( x) − mx] = lim ⎢ 3 x → +∞ x → +∞ ⎣ x − 27 ⎦ x →+∞ x − 27

por lo tanto L : y = x De manera se determina que la asíntota oblicua izquierda es L : y = x

3.7

FUNCIONES CONTINUAS DEFINICIÓN. Una función f : R→R es continua en un número x0 si se satisface las tres condiciones siguientes:

(i) (ii)

f está definida en un intervalo abierto que contiene a x0 lim f ( x) existe

x → x0

(iii) lim f ( x) = f (x 0 ) x → x0

Si f no es continua en x0 entonces se dice que es discontinua en x0 o que tiene una discontinuidad en x0

79

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

EJEMPLO a) Demostrar que un polinomio es una función continua en todo número real x0

b)

Demostrar que una función racional es continua en todos los números reales de su dominio.

Solución a) Un polinomio f esta definido en todo ℜ y además lim f ( x) = f ( x0 ) para todo número real a. Entonces f satisface x → x0

las condiciones (i)-(iii) de la Definición de continuidad y, por lo tanto, es una función continua en x0. b)

Si q es una función racional, entonces q = f h , donde f y h son polinomios. Por lo tanto q esta definida en todos los números reales excepto en los ceros de h . Resulta que si h( x0 ) ≠ 0 , entonces q esta definida en un intervalo abierto que contiene a x0. Además, se sabe que lim q ( x) = q ( x0 ) . Luego de la definición de continuidad x → x0

se sigue que q es continua en x0. En la figura 13 aparecen las gráficas de varias funciones que no son continuas en el número real x0 y se indican los nombres que se dan a tales discontinuidades.

80

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

Fig 13 DEFINICIÓN. Sea f una función definida en un intervalo cerrado [a, b] . La función f es continua en [a, b] si lo es en < a, b > y además

lim f ( x) = f (a) y lim− f ( x) = f (b)

x→a +

x →b

Si una función f tiene un limite por la derecha o por la izquierda como los que aparecen en la Definición anterior, se dice que f es continua en a por la derecha o que f es continua en b por la izquierda, respectivamente. EJEMPLO. Sea f ( x) = 4 − x 2 . Trazar la gráfica de f y demostrar que es continua en el intervalo cerrado [− 2,2]

81

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

Solución Claramente f es continua en el intervalo abierto < −2,2 > y además lim+ f ( x) = lim+ f ( x) = 0 . x → −2

x→2

Tiene como gráfica la parte superior de la circunferencia de centro el origen de coordenadas y radio 2.

(Fig.14) TEOREMA. Si las funciones f y g son continuas en a , entonces también lo son la suma f + g , la diferencia f − g , el producto f .g y, si f g (a) ≠ 0 , el cociente g TEOREMA. Si f y g son funciones tales que lim g ( x) = b , y f es x → x0

continua en b , entonces: lim f ( g ( x)) = f (b) = f (lim g ( x)) x → x0

x → x0

TEOREMA. Si g es continua en a y f es continua en b = g (a ) , entonces lim f ( g ( x)) = f (lim g ( x)) = f ( g ( x0 )) x → x0

x → x0

EJEMPLO. Sea f ( x) = x . Probar que f es continua en todo número

real x0.

82

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

Solución Como x = x 2 , se tiene que

lim f ( x) = lim x = lim x 2 = lim x 2 = a 2 = a = f (a )

x → x0

x → x0

x → x0

x → x0

TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO Si f es continua en un intervalo cerrado [a, b] , y w es cualquier número entre f (a) y f (b) , entonces existe al menos un número c en [a, b] tal que f (c) = w . EJEMPLO Verificar el Teorema f ( x) = x + 1 en el intervalo [3,24] .

del

Valor

Intermedio

para

Solución La función f es continua en [3,24] . Como f (3) = 2 y f (24) = 5 , si w es cualquier número real entre 2 y 5, debe encontrarse un número c en el intervalo [3,24] tal que f (c) = w , es decir, c + 1 = w . Elevando al

cuadrado y despejando c obtenemos c = w 2 − 1 . Este número c esta en el intervalo [3,24] , pues si 2 < w < 5 , entonces: 3 < w 2 − 1 < 24 . Para verificar nuestro resultado escribimos:

f (c) = f ( w 2 − 1) = ( w 2 − 1) + 1 = w.

83

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

3.8

LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS

lim

TEOREMA:

t →0

sent =1 t

DEMOSTRACIÓN:

Supongamos primero que 0 < t < 12 π De la figura adjunta, se muestra la circunferencia unitaria x 2 + y 2 = 1 Y el sector sombreado BOP, donde B es el punto (1,0) y P es el punto (cos t , sent ) . El área de un sector circular de radio r y ángulo central medida en radianes t , esta dominada por 1 2 r t ; así, si S unidades cuadradas representa el área del sector BOP, 2

S = 12 t

(1)

Consideremos ahora el triángulo BOP y Sea K1 unidades cuadradas el área de dicho triangulo. De esto:

K1 =

1 2

AP . OB = 12 ( sent )(1) = 12 sent

(2)

La recta que pasa por los puntos O(0,0) y P (cos t , sent ) tiene pendiente ( sent ) ; por lo tanto, su ecuación es: (cos t )

84

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

sent x cos t

y=

Esta línea corta a la recta x = 1 en el punto (1, sent cos t ) , que en la figura es el punto T. Si K 2 unidades cuadradas es el área del triángulo rectángulo BOT, K2 =

1 2

BT . 0 B =

1 sent 1 sent .1 = 2 cos t 2 cos t

(3)

Claramente de nuestra figura observamos que: K1 < S < K 2

(4)

Al sustituir (1), (2), (3) en la desigualdad (4), 1 1 1 sent sent < t < 2 2 2 cos t

De la multiplicación de cada miembro de esta desigualdad por 2

sent

, lo

cual es positivo por que 0 < t < 12 π , obtenemos 1<

t 1 < sent cos t

Al tomar el reciproco de cada miembro de esta desigualdad y al invertir el sentido de los signos de la desigualdad tenemos cos t <

sent ⇒ 2 ,9 ≤ x < 3,1 ⇒ 1, 4 ≤ x − luego: ⎧ − ( x − 3)4 + x9 F ( x) = ⎨ 4 9 ⎩ ( x − 3) + x

3

12 (4 x − 5 )5

c 3f 3 < 1, 6 ⇒ dd x − gg = 1 , 2 2h e

⎧ − 4 ( x − 3)3 + 9x8 ⇒ F ' ( x) = ⎨ 3 8 , x≥3 ⎩ 4 ( x − 3) + 9x

, x 0 , a ≠ 1 ⇒ f ' ( x) =

4.-

Si f ( x) = ln x , ∀ x ∈ R + ⇒ f ' ( x) =

5.6.7.8.9.-

1 x ln a

1 x u h ( x) = a , a > 0 , a ≠ 1 ⇒ h ' ( x) = a u ln a . u ' , donde u = u (x) es derivable h ( x) = a u ⇒ h ' ( x) = a u . u ' u' h ( x) = ln u ⇒ h ' ( x) = u u' h ( x) = log a u ⇒ h ' ( x) = u ln a vu ' F ( x) = u v ⇒ F ' ( x) = u v [ v ' ln u + ] , donde u = u (x) , v = v (x) u son derivables

EJEMPLOS

1.- Aplicando logaritmos derivar la función f ( x ) = y =

( 3x + 5 ) 5 ( x 3 + 3 ) 7 ( x 2 + 2 )1 / 2

Solución Para aplicar logaritmos por definición debemos asegurar que y ≠ 0 ⇒

1 ln f ( x ) = ln y = 5 ln 3x + 5 + 7 ln x 3 + 3 − ln x 2 + 2 , luego 2 y' x x 15 21x 2 15 21x 2 = + 3 − 2 ⇒ y '= y ( + 3 − 2 ) y 3x + 5 x + 3 x + 2 3x + 5 x + 3 x + 2 y ' =

( 3 x + 5 )5 ( x 3 + 3 ) 7 ( x 2 + 2 )1/ 2

⎛ 15 21x 2 x ⎞ + − 2 ⎜ ⎟ 3 ⎝ 3x + 5 x + 3 x + 2 ⎠

108

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

y' =

15 ( 3x + 5 ) 4 ( x 3 + 3 )7 + ( x 2 + 2 )1/ 2

21x 2 ( 3x + 5 ) 4 ( x 3 + 3 )6 x ( 3x + 5 )5 ( x3 + 3 )7 − ( x 2 + 2 )1/ 2 x2 + 2

2

2.- Si y = x s e n x , hallar y ' Solución

Aplicando el teorema 9, y ' = x 2

x s e n x ( sen 2 x . ln x + 3.- Si

s e n2 x

⎛ sen 2 x ⎞ ⎜ (2 senx cos x).ln x + ⎟ = x ⎠ ⎝

sen 2 x ) x

2

y = log ( x s e n x ) , hallar y '

Solución Aplicando teorema 8 y 9, 2

y '=

(x

s e n2 x

s e n2 x

x

)'

ln 10

=

x s e n x ( 2senx cos x . ln x +

sen 2 x ) x

2

x s e n x ln 10

4.- Dado f ( x) = ( 1 + x 2 ) a r c t g x , calcular f ' ( 1) Solución 2 Aplicando el teorema 9, f ( x) = ( 1 + x 2 ) a r c t g x = e a r c t g x ln ( 1+ x ) ⇒

f ' ( x) = ( 1 + x 2 ) π

ar ct g x

π

= (1+ x 2 )

ar ct g x

π

[

ln ( 1 + x 2 ) 2 x arctgx + ] , 1+ x 2 1+ x 2

ln ( 2 ) 2 ln ( 2 ) π f ' (1) = 2 [ + ] =24 [ + ] 2 2 2 4 4

109

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

4.6

DERIVADA DE LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS

Las seis funciones trigonométricas hiperbólicas se denotan y se definen como: x 1 x ( e − e − ) ⇒ f ' ( x) = cosh x 2 x 1 f ( x) = cosh x = ( e x + e − ) ⇒ f ' ( x) = senhx 2 senhx ⇒ g ' ( x) = sec h 2 x g ( x) = tghx = cosh x cosh x g ( x) = ctghx = ⇒ g ' ( x) = − cos ech 2 x senhx 1 ⇒ h ' ( x) = − sec hx tghx h ( x) = sec hx = cosh x 1 ⇒ h ' ( x) = − cos echx ctghx h ( x) = co sec hx = senhx

1.- f ( x) = senhx = 2.3.4.5.6.-

4.7

DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

Las seis funciones trigonométricas son periódicas y por tanto no son biunívocas, en consecuencia no es inyectiva, sin embargo restringiendo el dominio adecuadamente podemos invertir estas funciones y estas funciones inversas denotamos y definimos como sigue: 1.-

Arcsen = { ( x , y ) / x = seny , x ≤ 1 , y ≤

π

}

2.-

2 Arc cos = { ( x , y ) / x = cos y , x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ π

3.-

Arc tg = { ( x , y ) / x = tgy , −

π

}

π

5.-

, −∞ < x < ∞ } 2 2 Arc c tg = { ( x , y ) / x = c tgy , 0 < y < π , − ∞ < x < ∞ } π π Arc sec = { ( x , y ) / x = sec y , − π ≤ y < − ∨ 0 ≤ y < , x ≥1

6.-

Arc cos ec = { ( x , y ) / x = cos ecy , − π < y ≤ −

4.-



130

algún

punto

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

La recta tangente LT es paralela al eje X . (Ver fig.) Y

P0 (c , f (c))

Pendiente = 0

f’ (c) = 0

0 (a, f (a))

(b, f (b)) c

TEOREMA DEL VALOR MEDIO.- Sea F : [ a , b función tal que:

X

]→ R

una

i) F es continua en el intervalo [ a , b ] ii) F es derivable en el intervalo < a , b > Entonces existe un punto c ∈< a , b > tal que F ' ( c ) =

F (b) − F ( a ) b−a

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA.En algún punto P0 ( c , F ( c )) de la curva sobre el intervalo < a , b > la recta tangente LT es paralela al segmento AB . (Ver fig.).

131

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

Y

B (x, f (x))

(b, f (b)) E(x)

(x, y) (a,f A (a))

a

x b

X

c EJEMPLOS

1.-

Dado F ( x ) = 4 x 3 − 9 x , verificar que satisface las condiciones del 3 3 ] [ − 3, 3 ] teorema de Rolle en los intervalos [ − , 0 ] [ 0 , 2 2 2 2 y hallar un valor apropiado de c en cada uno de los intervalos para los cuales F ' ( c ) = 0 . Solución F ( x ) = 4 x 3 − 9 x es continua y derivable en todo R por ser una función polinomial ,esto prueba que se cumple las condiciones i) y ii) .

Haciendo F ( x ) = 0 se tiene que x = − Si

[

3 3 x=0 x= 2 2

3 b = 0 se cumplen las hipótesis del teorema de Rolle en 2 3 3 ] [ 0 , 3 ]. − , 0 ] y análogamente se cumplen en [ 0 , 2 2 2 a=−

132

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

F ' ( x ) =12 x 2 − 9 = 0 ⇒ F ' ( c ) = 12c 2 − 9 = 0 ⇒ c = ± 3 3 − ,0 ] c=− , para 2 2 3 3 3 ], c=± . − , 2 2 2

tenemos que: para y para 2.-

[

[

3 2

, entonces

[ 0, 3 ] 2

c=

3 2

Hallar el valor de x0 que satisface las condiciones del Teorema del valor Medio si F ( x ) = 3x 2 + 4 x − 3 cuando a = 1 b = 3 . Solución Aplicando el TVM F ( a) = F (1) = 4 F ( b) = F ( 3 ) = 36 F ' ( x ) = 6 x + 4 F ' ( x0 ) = 6 x0 + 4 b − a = 2 entonces tenemos que 36 = 4 + 2( 6 x0 + 4 ) ⇒ x0 = 2

3.-

Aplicando el TVM calcular aproximadamente

6

65

Solución Sea F ( x ) = 6 x a = 64 b = 65 , entonces se obtiene que 1 F (65 ) = F (64 ) + ( 65 − 64 ) F ' ( x0 ) = F (64 ) + ( 65 − 64 ) 5 6 6 x0

64 < x0 < 65 , como x0 no se conoce asumimos x0 = 64 , entonces 1 1 6 65 = 6 64 + = 2+ ≅ 2,00521 6 5 192 6 64 4.-

Dado F ( x ) = x 2 + 2 x + 1 , 1 ≤ x ≤ 4 , encuentre un número c ∈< 1, 4 > F ( 4) − F (1) tal que F ' ( x ) = 4 −1 Solución F satisface las condiciones del TVM sobre el intervalo [ 1 , 4 ] por tanto existe tal número c ∈< 1, 4 > , pero como F ' ( x ) = 2 x + 2 25 − 4 5 F ( 4 ) = 25 F (1) = 4 , por tanto 2c + 2 = ⇒ c = es un número 4 −1 2 con las propiedades requeridas .

133

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

EJERCICIOS

1.-

Enuncie la generalización del Teorema del Valor Medio

2.-

Si g ( x ) = 3 x 5 + 3 x 4 ,

[

−8 , 8

] , hallar todos los números

c ∈< − 8 , 8 > tal que se cumple

g '( x ) =

g ( 8 ) − g (−8 ) . 8 − ( − 8)

3.-

Para la función H ( x ) = 4 x 3 + 12 x 2 − x − 3 , encontrar tres intervalos [ a , b ] tal que se cumplan las condiciones del teorema de Rolle y halle un número x0 en cada intervalo abierto < a , b > tal que H ' ( x0 ) = 0 .

4.-

Aplicando el teorema de Rolle, verificar que la ecuación 4 x 3 − 6 x 2 + 4 x − 1 = 0 tiene al menos una raíz real en el intervalo abierto < 0 ,1 > .

5.-

En cada uno de los ejercicios, hallar los intervalos [ a , b ] en los que F ( a) = F ( b ) = 0 y el Teorema de Rolle es aplicable .Para cada uno de ellos hallar los x0 tal que F ' ( x0 ) = 0 . a) F ( x ) = x 2 − 2 x b) F ( x ) = x 3 − 6 x 2 + 11x − 6

f) F ( x ) = x 2 − 3 x + 2 g) F ( x ) = x ( x 2 − x − 2 )

2 3

d) F ( x ) = 3 − x − 3

x 2 − 2x − 3 h) F ( x ) = x+2 i) F ( x ) = ( x − 3 ) ( x + 1) 2

e) F ( x ) = x 2 − 6 x + 10

j) F ( x ) = 4 x −tg ( π x )

c) F ( x ) = x − 1

f) F ( x ) = 6.-

x ⎛π x ⎞ − sen ⎜ ⎟ 2 ⎝ 6 ⎠

k) F ( x ) =

6x

π

− 4sen 2 x

Aplicar el Teorema del Valor Medio a F en el intervalo indicado y F (b) − F (a ) hallar los valores de x0 en < a , b > tales que F ' ( x0 ) = b−a a) b)

F ( x ) = x ( x2 − x − 2) , [ −1 , 1 F ( x ) = x − 2senx , [ − π , π ] 134

]

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

[ 0 ,1 ]

c)

F ( x ) = x3 ,

d)

F ( x ) = 2senx + senx

[ 0,π ]

7.-

La altura de una bola t segundos después de ser lanzada viene dada F ( t ) = −16 x 2 + 48t + 32 ¿Según el Teorema de Rolle , que velocidad ha llevado en algún momento del intervalo [ 1, 2 ] ?

8.-

El costo de pedido y transporte de compuesto usado en una factoría x 1 viene dado por C ( x) = 10 ( + ) con C medido en miles de x x+3 dólares y x la cantidad del pedido en cientos de unidades : Verificar que C ( 3 ) = C ( 6 ) Según el teorema de Rolle , la razón de cambio del costo debe ser cero en algún tamaño del pedido en el intervalo [ 3 , 6 ]. Hallarlo.

a) b)

4.14

REGLAS DE L’ HOSPITAL TEOREMA 1. Sean F , G : I → R dos funciones y x0 ∈ D ( F ) ∩ D ( G ) . Supongamos que

F ( x0 ) = F ' ( x0 ) = ... = F

( n −1 )

( x0 ) = 0 ,

( n −1 )

G ( x0 ) = G ' ( x0 ) = ... = G ( x0 ) = 0 donde F ( n ) y G ( n ) son continúas en un intervalo I ⊂ D ( F ) ∩ D ( G ) tal que x0 ∈ I y G

(n)

F ( n ) ( x0 ) F ( x) ) = (n) . ( x0 ) ≠ 0 , entonces lim ( x → x0 G( x) G ( x0 )

TEOREMA 2. Sean F , G : I → R dos funciones continuas en [x0 − h , x0 ]⊂ D ( F ) ∩ D ( G ) para h > 0 y derivables en I =< x0 − h , x0 > , con G ' ( x ) ≠ 0 ∀x ∈ I .Si F ( x0 ) = 0 G ( x0 ) = 0

y lim− ( x → x0

F ( x) F '( x ) )=L . ) = L ⇒ lim− ( ' x → x0 G( x) G ( x)

135

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

TEOREMA 3. Sean F , G : I → R dos funciones continuas en [x0 , x0 + h]⊂ D ( F ) ∩ D ( G ) para h > 0 y derivables en I =< x0 , x 0 + h > , con G ' ( x ) ≠ 0 ∀x ∈ I .Si F ( x0 ) = 0

G ( x0 ) = 0 y lim+ ( x → x0

F ( x) F '( x ) )=L ) = L ⇒ lim+ ( ' x → x G( x) G ( x) 0

TEOREMA 4.- Sean F , G : I → R dos funciones continuas en [x0 − h , x0 + h]⊂ D ( F ) ∩ D ( G ) para h > 0 y derivables con G ' ( x ) ≠ 0 en el intervalo < x0 − h , > ∪ < x0 , x0 + h > . Si

F ( x0 ) = 0 G ( x0 ) = 0 y lim ( x → x0

F ( x) F '( x ) )=L ) = L ⇒ lim ( ' x → x0 G( x) G ( x)

TEOREMA 5.- Sean F , G : I → R dos funciones y x0 ∈ D ( F ) ∩ D ( G ) para los cuales F ( n −1 ) y G ( n −1 ) son continuas

en [x0 − h , x0 + h] , h > 0 y además F

(n)

( x ) y G ( n ) ( x ) existen en

el mismo intervalo tal que G ( n ) ( x ) ≠ 0 en < x0 − h , x0 > ∪ < x0 , x0 + h > . Si F ( x0 ) = F ' ( x0 ) = F ' ' ( x0 ) = .... = F G ( x0 ) = G ' ( x0 ) = G ' ' ( x0 ) = .... = G

( n −1 )

( n −1 )

( x0 ) = 0

F ( n)( x ) ( x0 ) = 0 y lim ( ( n ) )=L x → x0 G ( x)

F ( x) F ( n)( x ) entonces lim ( ) = lim ( ). x → x0 G ( x ) x → x0 G ( n ) ( x ) Los teoremas mencionados se llaman Reglas de L’ Hospital y es muy importante tener presente que estos teoremas solamente se pueden aplicar F ( x) para calcular el lim ( ) cuando F ( x0 ) = 0 y G ( x0 ) = 0 . x→ x0 G( x) TEOREMA 6.- Sean F , G : I → R funciones derivables en [h , ∞ > para algún h > 0 y G ' ( x ) ≠ 0 para x ∈ [h , ∞ > .Si lim F ( x ) = 0 y x→ ∞

lim G ( x ) = 0 y si lim (

x→ ∞

x →∞

F '( x ) F ( x) ) = L , entonces lim ( )=L x → ∞ G '( x ) G( x)

136

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

TEOREMA 7.- Sean F , G : I → R funciones derivables en < −∞ , h] para algún h > 0 y G ' ( x ) ≠ 0 para x ∈< −∞ , h ] .Si F '( x ) lim F ( x ) = 0 y lim G ( x ) = 0 y si lim ( ) = L , entonces x→ ∞ x→ ∞ x → −∞ G ' ( x ) F ( x) lim ( )=L x → −∞ G( x) TEOREMA 8 ( L’ Hospital

∞ ).- Sean F , G : I → R funciones: ∞

Continuas en [x0 , x0 + h] Derivables en < x0 , x0 + h > G ' ( x ) ≠ 0 x ∈< x0 , x0 + h > lim+ F ( x ) = ∞ lim+ G ( x ) = ∞ x → x0

x → x0

F '( x ) ) = L ( o ±∞ ). x → −∞ G ' ( x ) F ( x) F ' ( x) ) = lim+ ( Entonces lim+ ( )=L x → x0 x → x0 G( x) G '( x ) lim (

137

( o ±∞ )

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

PROBLEMAS DE APLICACIÓN x − senx 1.Calcular lim ( ) x→ 0 x3 Solución Sea F ( x ) = x − senx , G ( x ) = x 3 observamos que F ( 0 ) = 0 G ( 0 ) = 0 , por tanto F (0) está indefinido, por tanto G (0) F ( x) 1 − cos x senx 1 lim ( ) = lim ( ) = lim ( )= 2 x→ 0 x → 0 x → 0 6x G( x) 6 3x 1

2.-

senx x 2 ) Evaluar lim ( x→ 0 x Solución x 1 1 ⎡ ⎤ senx − x lim senx − x 1 − ⎛ ⎛ senx − x ⎞ ⎞ senx − x ⎥ x3 ⎛ senx ⎞ x2 ⎛ senx ⎞ x2 x→ 0 ⎢ x3 6 = + − = + = = lim ⎜ lim 1 1 lim 1 e e ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟⎟ x→ 0 x→ 0 ⎜ x→ 0 ⎢ ⎥ x x ⎠⎠ ⎝ x ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ ⎣⎢ ⎦⎥

En este problema se ha usado el numero e la Regla de L’ Hospital. 3.-

Encontrar lim ( x→ 0

tgx − x ) x − senx

Solución Aplicando el mismo método que en el problema 1, 1 + cos x sec 2 x − 1 1 − cos 2 x sec 2 x − 1 lim ( ) = lim ( ) = lim ( )=2 2 x→ 0 x→ 0 x→ 0 1 − cos x cos x (1 − cos x) cos 2 x

4.-

1 tg ( ) x ) Calcular lim ( x→ ∞ 1 x Solución 1 1 1 − 2 sec 2 ( ) tg ( ) x ) = lim sec 2 ( 1 ) = 1 x ) = lim ( x lim ( x→ ∞ x → ∞ x→ ∞ 1 1 x − 2 x x

138

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

5.-

[

Para un cierto valor de λ , el límite lim ( x 5 + 7 x 4 + 2 ) λ − x ] es finito y x→ 0

diferente de cero. Determinar λ y calcular el valor del límite. Solución ⎡ 5 (( x 5 + 7 x 4 + 2 ) λ − x)(( x 5 + 7 x 4 + 2 ) λ + x ) 4 λ L = lim ⎢( x + 7 x + 2 ) − x ] = lim ( )= x→ ∞ x→ ∞ ( x5 + 7x 4 + 2 )λ + x ⎣ ⎡ (( x 5 + 7 x 4 + 2 ) λ − x)(( x 5 + 7 x 4 + 2 ) λ + x ) ( x 5 + 7 x 4 + 2 ) 2λ − x 2 lim ( ) lim ( = ) ⎢ x→ ∞ 5 4 λ 5 4 λ x→ ∞ ( 7 2 ) + + + ( 7 2 ) x x x x + x + + x ⎣

este límite existe si el grado del numerador y del denominador son 1 iguales, entonces 10λ = 2 o 5λ = 1 en ambos casos λ = , por tanto 5 7 para este valor L = 5

139

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

4.15

APLICACIONES DE LA DERIVADA MÁXIMOS Y MÍNIMOS LOCALES DE FUNCIONES. FUNCIONES CRECIENTE Y DECRECIENTE (O MONÓTONAS) DEFINICIÓN.- Sea F : I → R una función definida en un intervalo I y x1 , x 2 ∈ I . Entonces: i) F es una función creciente en I , si para x1 < x 2 ⇒ F ( x1 ) < F ( x 2 ) ii) F es una función decreciente en I , si para x1 < x 2 ⇒ F ( x1 ) > F ( x 2 ) iii) F es una función constante en I , si para x1 < x 2 ⇒ F ( x1 ) = F ( x 2 )

La figura 1 ilustra gráficamente la definición anterior.

Figura 1

Con la siguiente definición se presenta la terminología que se usa para denotar los valores más grandes y los valores más pequeños de una función en un intervalo I . DEFINICIÓN.- Sea F : I → R una función definida en un intervalo I y sea x0 ∈ I . Entonces: F ( x0 ) es el máximo o valor máximo de F en I si i) F ( x ) ≤ F ( x0 ) ∀x ∈ I ii) F ( x0 ) es el mínimo o valor mínimo de F en I si F ( x ) ≥ F ( x0 ) ∀x ∈ I

140

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

Las figuras 2 y 3 muestran un máximo y un mínimo, en ellas se presenta I como intervalo cerrado I = [a , b ] .

Figura 2 y 3

Si F ( x0 ) es el máximo de F en I , se dice que F alcanza su máximo en x0 y en este caso el punto P0 ( x0 , F ( x0 )) es el punto mas alto de la gráfica, llamado también cúspide o cima. Si F ( x0 ) es el mínimo de F en I , se dice que F alcanza su mínimo en x0 y en este caso P0 ( x0 , F ( x0 )) es el punto mas bajo de la gráfica, llamado también valle o sima. Los máximos y mínimos son también denominados valores extremos de F.

141

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

EJEMPLOS

1.-

La función F ( x) = x 3 − 3x 2 es creciente en < −∞ , 0] , [2 , ∞ > y decreciente en [0 , 2] como se ve en la figura 4

Figura 4

2.-

Localizar los valores extremos de F ( x) = x 3 − 3x 2 en los intervalos siguientes intervalos < −3 , 5 > , < −2 , 3 > < −1 , 3 > < −1 , 4 > [− 3 , 5 > [− 3 , 5] Solución i) ii) iii) iv) v) vi)

En < −2 , 5 > , F no posee máximo ni mínimo En < −2 , 3 > , F solo tiene máximo y su valor máximo es F (0) = 0 En < −1 , 3 > , F tiene máximo y mínimo, su valor máximo es F ( 0 ) = 0 y su valor mínimo es F ( 2 ) = −4 . En < −1 , 4 > , F tiene mínimo y su valor mínimo es F ( 2 ) = −4 En [− 3 , 5 > , F tiene mínimo y su valor mínimo es F ( − 3 ) = −54 En [− 3 , 5] , F tiene máximo y mínimo absolutos y su valor máximo F (5) = 50 y su valor mínimo es F ( − 3 ) = −54

142

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

Figura 5 TEOREMA.- Si F :[a , b] → R es una función continua en [a , b] , entonces F alcanza un mínimo y un máximo por lo menos una vez en [a , b] .

Los valores extremos de una función se llaman también mínimo absoluto y máximo absoluto de F en un intervalo. Los máximos y mínimos locales de una función son también importantes y se definen como sigue. DEFINICIÓN.- Sea x0 un punto del dominio de F ( x0 ∈ D ( F ) ) entonces:

i)

ii)

F ( x0 ) es un máximo local (o máximo relativo) de F si existe x0 ∈ I tal que un intervalo abierto I = < a , b > F ( x ) ≤ F ( x0 ) ∀x ∈ I F ( x0 ) es un mínimo local (o mínimo relativo) de F si existe un intervalo abierto I = < a , b > x0 ∈ I tal que F ( x ) ≥ F ( x0 ) ∀x ∈ I .

143

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

La palabra local se refiere a que estos máximos y mínimos lo son en relación con una región, un intervalo abierto pequeño I = < a , b > que contiene al punto x0 . Fuera de este intervalo F puede tomar valores mayores o menores. Los máximos y mínimos locales pueden no incluir entre ellos a los máximos y mínimos absolutos de F .

Figura 6 DEFINICIÓN (PUNTO CRÍTICO).- Sea F : I → R, un punto x0 ∈ I se llama punto crítico o punto singular (o estacionario) de F si F ' ( x0 ) = 0 o F ' ( x0 ) no existe (siempre que x0 ∈ D ( F ) o que existe F ( x0 ) ). EJEMPLOS 1

1.-

Hallar los puntos estacionarios de la función F ( x) = ( x + 5) 2 ( x − 4 ) 3 Solución 1

F ( x) = ( x + 5) 2 ( x − 4 ) 3 ⇒ 1

2

− 1 F ' ( x) = 2( x + 5)( x − 4 ) 3 + (( x + 5) 2 ( x − 4 ) 3 = 3

144

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

F ' ( x) =

( x + 5)( 7 x − 19 3( x − 4 )

2 3

⇒ F ' ( x) = 0 si x = −5

no existe, pero x = 4 ∈ D ( F ) , entonces x = −5

∨ x= , x=

19 , F '( 4) 7

19 y x = 4 son 7

puntos críticos de F . 2.-

Hallar los puntos críticos de G ( x) =

2 x 1+ x2

Solución

2x 1− x2 [ ] = 0 ⇔ 1 − x 2 = 0 ⇒ x = ±1 , pero en G ' (0) no G ' ( x) = 2 2 x (1 + x ) existe, sin embargo G (0) existe, entonces x = −1 , 0 , 1 son puntos críticos de G TEOREMA.- Sea F :[a , b] → R una función continua en [a , b] y derivable en < a , b > . i) Si F ' ( x ) > 0 para todo x ∈< a , b > , entonces F es creciente en [a , b] ii) Si F ' ( x ) < 0 para todo x ∈< a , b > , entonces F es decreciente en [a , b] iii) Si F ' ( x ) = 0 para todo x ∈< a , b > , entonces F es una constante en < a , b > EJEMPLOS 1.Hallar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de 3 F ( x) = x 3 − x 2 2 Solución F ' ( x) = 3x 2 − 3x = 0 ⇒ x = 0 y 1 son los puntos críticos, entonces analizaremos en los siguientes intervalos < − ∞ , 0 > < 0 , 1 > < 1, ∞ > .

145

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

Intervalo



Valor prueba

x = −1

Signo de F ' ( x ) Conclusión

F ' ( − 1) = 6 > 0 Creciente en

< − ∞ , 0]

x=

< 1, ∞ >

1 2

x=2

1 3 F '( ) = − < 0 2 4 Decreciente en

[0 , 1]

F ' ( 2) = 6 > 0

[

Creciente en 1, ∞ >

La grafica de F se ilustra en la figura 7.

Figura 7

2.-

1 Encontrar los intervalos donde H ( x) = ( x 3 − 6 x 2 + 9 x + 6 ) es creciente 6 1 2 o decreciente H ' ( x) = ( x − 4 x + 9 x ) = 0 x = 1 y 3 son los punto 2 críticos, lo analizaremos en los siguientes intervalos < − ∞ , 1 > < 1, 3 > < 3 , ∞ >

146

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

Intervalo Valor prueba Signo e H ' ( x ) Conclusión



< 1, 3 >

< 3, ∞ >

x=2

x=4

x=0 H '( 0) =

3 >0 2

Creciente en

< − ∞ , 1]

H ' (2 ) = −

1 x0 ∈ I y derivable en I =< a , b > , excepto a lo sumo en el mismo punto x0 . Entonces F ( x0 ) puede clasificarse como sigue:

148

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

i) ii) iii)

Si F ' cambia de signo de positiva a negativa en x0 , entonces F ( x0 ) es un Máximo relativo de F . Si F ' cambia de signo de negativa a positiva en x0 , entonces F ( x0 ) es un mínimo relativo de F . F ' ( x ) < 0 para todo x ∈ I , excepto x = x 0 , Si F ' ( x ) > 0 ∨ entonces F ( x0 ) no es un valor extremo de F .

EJEMPLOS

1.-

Determinar los valores extremos de la función H ( x) = ( x 2 − 8 ) 3 x 2 y trazar la gráfica. Solución 1 8( x2 − 2) 2 − H ' ( x) = ( x 2 − 8 ) ( x 3 ) = = 0 entonces los puntos críticos 3 33 x son x = ± 2 H ' (0) no existe, pero H (0) está bien definida, entonces x = 0 es también punto crítico, sugiere obtener el signo de H ' ( x) en cada uno de los intervalos < − ∞ , − 2 > < − 2 , 0 > < 0 , 2 > < 2, ∞ >

−∞ < x < − 2

Intervalo Valor prueba k Valor de prueba

H '( k) Signo de

H '( k) Conclusión

x = −8 H ' ( −8 ) = −

− 2 0 , F posee un mínimo local en x0 y su valor mínimo es F ( x0 ) ¡COMENTARIO!

Existen problemas en que las condiciones dados en los criterios de la primera y segunda derivada no son aplicables. Por ejemplo si H ( x) = ( x − 5 ) 4 para todo x ∈ R Como H ' ( x) = 4 ( x − 5 ) 3 ⇒ x = 5 es un punto critico de H , pero H ' ' ( x) = 12 ( x − 5 ) 2 ⇒ H ' ' ( 5 ) = 0 entonces el criterio de la segunda derivada no se puede aplicar, pero la teoría recomienda retomar el criterio de la primera derivada o viceversa, sin embargo podemos determinar los valores extremos de H , concavidad , puntos de inflexión con la ayuda del siguiente teorema que no es muy común en los textos de calculo diferencial.

151

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

TEOREMA ⊗ .- Sea F : I ⊂ R ⇒ R que satisface las siguientes condiciones: F tiene derivadas continuas hasta el orden n en I =< a , b > i) ii) F ' ' ( x0 ) = F ' ' ' ( x0 ) = .... = F ( n −1 ) ( x0 ) = 0 y

iii) iv) v) vi)

F ( n ) ( x0 ) ≠ 0 Entonces se tiene: Si n es par y F ( n ) ( x0 ) > 0 ⇒ F es cóncava hacía arriba en x0 Si n es par y F ( n ) ( x0 ) < 0 ⇒ F es cóncava hacía abajo en x0 Si n es impar, en x0 existe punto de inflexión para F

EJEMPLOS DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS 1 1.Dado la función G ( x) = ( x 4 − 8 x 2 ) encontrar los valores extremos, 8 intervalos de crecimiento y de decrecimiento y graficar Solución

1 G ' ( x) = ( 4 x 3 − 16 x ) = 0 ⇒ x = −2 ; 0 ; 2 son los puntos críticos, lo 8 analizaremos en los siguientes intervalos < − ∞ , − 2 > < − 2 , 0 > < 0, 2 > < 2, ∞ > Intervalo Valor prueba k Valor de prueba

G '( k) Signo de

H '( k)

− ∞ < x < −2

x = −3 G ' (−3 ) = −

15 2

0< x < 2

x = −1

x =1

G ' ( −1 ) =

⎯ decreciente en

Conclusión

−2< x< 0



De acuerdo el criterio de la primera derivada tenemos que G ( 0 ) = 0 es un valor máximo relativo y G ( − 2) = G ( 2 ) = −2 son valores mínimos relativos. 152

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

Figura 11

2.-

Dado la función H ( x) = x 5 − 5 x 3 , encontrar los valores extremos, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los intervalos de concavidad, puntos de Inflexión y trazar la grafica. Solución H ' ( x) = 5 x 4 − 15 x 2 = 0 ⇒

estacionarios

x=− 3,0, 3

son

H ' ' ( x) = 20 x 3 − 30 x = 0 ⇒ x = −

3 2

,0,

los 3 2

puntos son los

posibles puntos de inflexión Como H ' ' ( 0 ) = 0 el criterio de la segunda derivada no se puede aplicar, sin necesidad de acudir al criterio de la primera derivada podemos decidir Teorema ⊗ , aplicando el último 2 x=0 H ' ' ' ( x ) = 60 x − 30 ⇒ H ' ' ' ( 0 ) = −30 ≠ 0 entonces corresponde a un punto de inflexión en x = − de inflexión son:

153

6 3 ,0, los puntos 2 2

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

6 6 6 6 6 6 ,H ( )= (− , 21 ) P1 ( 0 , 0 ) ) P2 ( , − 21 ) 2 2 2 8 2 8

P0 ( −

−∞ < x 0 , entonces hay mínimo en x = 1 y su valor mínimo es h (1) = − 1 . Los intervalos de crecimiento y de decrecimiento se da en gráfico de la función.

158

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

Figura 15

6.-

El costo de producción de x pantalones de casimir ingles 100 a 100 es C ( x) = 2 + 3 x dólares y el precio de venta por pantalón es P( x) = 55 − 2 x ¿Cuántos pantalones se debe producir diario para maximizar la utilidad? Solución El ingreso por la venta de pantalones es I ( x) = x ( 55 − 2 x ) , luego la , entonces utilidad es U ( x) = I ( x ) − C ( x ) = 52 x − 2 x 2 − 2 U ' ( x) = 52 − 4 x = 0 ⇒ x = 13 es el único punto de inflexión U ' ' ( x) = − 4 ⇒ U ' ' (13) = 4 < 0 entonces existe máximo y valor máximo es U (13) = $ 336 el número de pantalones producidos por día es x = 13 Con lo cual ayuna utilidad diaria de U (13) = $ 336 .

7.-

En una ciudad de 5000 habitantes, la tasa de propagación de una epidemia (índice de variación de personas infectadas) es proporcional al producto del número de personas infectadas por el número de personas inmunizadas de esta enfermedad .Si la epidemia se difunde con una tasa de 9 personas por día cuando hay 100 personas infectadas a) ¿Con que

159

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

tasa se difunde la epidemia cuando ya están contagiados 200 personas? b) ¿Cuál es el número de personas contagiadas? Solución Sea x = el número de personas contagias, 5000 − x = número de personas no contagias y g ( x) = número de personas contagiadas por día, entonces g ( x) = kx ( 5000 − x ) donde k > 0 es la constante de proporcionalidad.

Por dato, cuando hay x = 100 personas infectadas, hay 9 personas contagiadas por día g (100 ) = 9 sustituyendo 9 , 9 = k (100 )( 5000 − 100 ) ⇒ k = 490000 9 entonces g ( x) = x ( 5000 − x ) 490000 a)

Cuando x = 200 g ( 200 ) =

9 ( 200 ) ( 5000 − 200 ) = 17,6 490000

personas por día b)

g ' ( x) =

9 9 9 ( 5000 − x ) − x= ( 5000 − 2 x ) = 0 490000 490000 490000

entonces x = 2500 9 9 9 g ' ' ( x) = (− 2) = − ⇒ g ' ' ( 2500 ) = − 0 cuando − 6 < x < −3 y cuando x > 2 d) h ' ' ( x) < 0 cuando x < −6 y cuando − 3 < x < 2

15.-

Esbozar el gráfico de una función con todas las propiedades siguientes: a) f ' ( x) > 0 cuando x < −1 y cuando x > 3 b) f ' ( x) < 0 cuando − 1 < x < 3 c) f ' ' ( x) < 0 cuando x < 2 d) f ' ' ( x) > 0 cuando x > 2

16.-

Un alambre de 60 cm. de largo se va partir en dos trozos .Una de las partes se va a doblarse en forma de circunferencia y la otra en forma de triángulo equilátero. ¿Como se debe cortar el alambre para que la suma de las áreas de la circunferencia y del triángulo que se forman sea máximo? ¿Y como debe cortar para que sea mínimo?

163

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

164

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

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