Análisis Matemático I -límites y continuidad
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL
ANÁLISIS MATEMÁTICO I RESPONSABLES: DIAZ ESPINOZA SANDY MEDALITH. RAMIREZ CRUZ YALEMI LIBERTAD.
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Límites y continuidad
INDICE I. INTRODUCCIÓN II. OBJETIVOS II.1. OBJETIVOS GENERALES: II.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS: III. MARCO TEÓRICO LÍMITES Y CONTINUIDAD III.1 LÍMITES III.1.1 PUNTO DE ACUMULACIÓN: III.1.2 FUNCIÓN ACOTADA: III.1.3 EL LÍMITE DE UNA FUNCION REAL DE VARIABLE REAL: III.1.4 OBSERVACIONES: III.1.5 TEOREMAS SOBRE LÍMITES: TEOREMA 1: TEOREMA 2: UNICIDAD DEL LÍMITE: TEOREMA3: TEOREMA DEL ENCAJO O TEOREMA DEL SANDWINCH: III.1.6. LÍMITES LATERALES: a) LÍMITE DE f POR LA DERECHA: a) LÍMITE DE f POR LA IZQUIERDA: III.1.7 LÍMITES INDETERMINADOS: III.1.10LÍMITES DE FUNCIONES CON: VALOR ABSOLUTO, MÁXIMO ENTERO Y SIGNO DE x:
DEFINICIÓN DE VALOR ABSOLUTO: DEFINICÓN DE MÁXIMO ENTERO: DEFINICIÓN DE FUNCIÓN SIGNO DE X: III.1.9. LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS: III.1.10. LÍMITES FINITOS: III.1.11. LÍMITES AL INFINITOS: III.1.12. ASÍNTOTAS: 1) ASÍNTOTA VERTICAL: 2) ASÍNTOTA HORIZONTAL: 3) ASÍNTOTA OBLICUA: III.2. CONTINUIDAD III.2.3. CONTINUIDAD EN UN PUNTO: III.2.4. CONTINUIDAD EN TÉRMINOS DE VENCIDADES: III.2.5. CONDICIONES DE CONTINUIDAD: III.2.6. DISCONTINUIDAD: III.2.6.1. PUNTOS DE DISCONTINUIDAD: III.2.6.2. TIPOS DE DISCONTINUIDAD: 1) DISCONTINUIDAD EVITABLE: 2) DISCONTINUIDAD INEVITABLE:
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4 5 5 5 6 6 6 7 7 10 10 10 9 9 10 10 10 11 12 12 12 12 12 13 13 13 13 13 13 14 14 18 18 18 18 19 19 19 Página 2
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3) DISCONTINUIDAD DE PRIMERA CLASE: Discontinuidad finita. Discontinuidad evitable o discontinuidad de punto faltante: DISCONTINUIDAD DE SEGUNDA CLASE: III.2.7. CONTINUIDAD LATERAL: III.2.7.1. CONTINUIDAD POR LA DERECHA: III.2.7.2. CONTINUIDAD POR LA IZQUIERDA: III.2.10. CONTINUIDAD EN INTERVALOS: III.2.10.1. CONTINUIDAD SOBRE UN SUBCONJUNTO DEL DOMINIO: III.2.11. FUNCIONES ACOTADAS: III.2.11.1. FUNCIÓN ACOTADA SUPERIORMENTE: III.2.11.2. FUNCIÓN ACOTADA INFERIORMENTE: III.2.12. PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS: III.2.12.1. TEOREMA DEL CERO: III.2.12.2. TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO (BERNARD BOLZANO): III.2.12.3.TEOREMA DE ACOTACIÓ LOCAL: III.2.12.4. TEOREMA DE ACOTACIÓN GLOBAL: III.2.12.5. TEOREMA DEL VALOR MÁXIMO Y MÍNIMO (Teorema de Karl Weierstrass): III.2.12.6. TEOREMA DE CONTINUIDAD: III.2.5. OBSERVACIONES: IV. Anexos: V. MISCELÁNEA DE EJERCICIOS
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20 20 24 24 24 25 25 29 29 31 31 34 34 34 35 35 35 35 35 35 36 37
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I.
INTRODUCCIÓN
La noción de límite de una función es el tema central del cálculo matemático, es tal vez el más importante, pues esta íntimamente ligada a los conceptos de continuidad, derivada e integral. Es por esto que antes de dar una definición formal del concepto de límite analizaremos ciertas definiciones, como punto de acumulación y una serie de ejemplos que sentaran las bases y a la vez facilitarán la comprensión de diversos términos que intervienen en la definición rigurosa. Es preciso
recalcar que es de suma importancia abordar los temas antes ya
mencionados debido a su estrecha relación con el cálculo matemático la misma que repercute e influye mucho en la realización y ejecución de los proyectos de ingeniería civil. A continuación trataremos los temas propuestos en este presente trabajo monográfico, de una manera profunda, tratando de enriquecer nuestro conocimiento con la ayuda de los conceptos obtenidos a través de esta recopilación de información. En esta monografía hemos considerado importante mencionar y tratar ciertos puntos característicos relacionados con los temas: límites y continuidad, cuyos conceptos nos facilitara reforzar el proceso de aprendizaje para que luego podamos aplicarlo en la realidad.
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II.
OBJETIVOS
II.1. OBJETIVOS GENERALES:
Conocer y manejar las nociones de Análisis Matemático que son básicas para el estudio de esta y otras asignaturas del área: Límites y continuidad de funciones reales de varias variables reales.
Este objetivo se abordará al analizar e interpretar geométricamente diversos conceptos y resultados, y plantear problemas.
Adquirir destreza en la modelización y resolución de problemas de la vida real que se puedan abordaren nuestro campo de trabajo.
II.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
Calcular el límite de una función real.
Establecer la continuidad o discontinuidad de una función real dada, en cualquier punto de su dominio.
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III.
MARCO TEÓRICO
LÍMITES Y CONTINUIDAD III.1 LÍMITES III.1.1 PUNTO DE ACUMULACIÓN: DEFINICIÓN 1: Dado un subconjunto A de números reales ), diremos que un punto es un punto de acumulación de A si cualquier vecindad contiene por lo menos un punto x de A distinto de . DEFINICIÓN 2: Sea
, diremos que
es punto de acumulación de A si:
Es decir:
|
|
ANÁLSIS MATEMÁTICO I
LÍMITES Y CONTINUIDAD. Autor: Moisés Lázaro C. Pág. DEFINICIÓN 1: Sea el conjunto entonces se llama punto de acumulación de S, si solo si, todo intervalo abierto y cerrado en contiene por lo menos un punto distinto de sí. Esto es
es punto de acumulación de
y {
Equivalentemente es
se cumple:
}
es punto de acumulación de: |
| ANÁLSIS MATEMÁTICO I
Autor: R. Figueroa G.Pag140. Lic. Sánchez Culqui Eladio
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III.1.2 FUNCIÓN ACOTADA: Se dice que una función es acotada sobre un conjunto imágenes f(s) está acotado, es decir, si existe un número real que: |
si el conjunto de llamado cota, tal
|
Equivalentemente: Es acotada sobre Donde m y M son las cotas inferiores y superiores respectivamente. ANÁLSIS MATEMÁTICO I
Autor: R. Figueroa G. Pág.143 III.1.3 EL LÍMITE DE UNA FUNCION REAL DE VARIABLE REAL: DEFINICIÓN 1: Sea Sea
una función con valores reales definidos en
:
un punto de acumulación de A.
Diremos que el numero L es el límite de f(x) cuando x tiende hacia y escribiremos si para cada número real , dado arbitrariamente podemos | | | encontrar tal que si y entonces | . Definición simbólica: Sea
es punto de acumulación de A.
|
|
|
| ANÁLISIS MATEMÁTICO I
LÍMITES Y CONTINUIDAD. Autor: Moisés Lázaro C.
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DEFINICIÓN 1: Sea una función definida en cada número de algún intervalo abierto que contiene a , excepto posiblemente en el numero mismo. Se dice que L es el límite de la función f en sin y sólo si para cada número existe un número tal que si con la propiedad de que si: Formalmente: |
|
|
|
|
|
|
| ANÁLSIS MATEMÁTICO I Autor: R. Figueroa G. pág.151
III.1.4 OBSERVACIONES: III.1.5 TEOREMAS SOBRE LÍMITES: TEOREMA 1: Sea
puno de acumulación de
, entonces:
Es decir, si alguno de estos límites existe entonces, el otro también existe. DEMOSTRACIÓN:
1) Si |
|
2) Hagamos que: 3) Sustituimos 2) en 1):
|
; tal que: | ; donde si
| |
|
entonces |
Por tanto esto implica que:
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LÍMITES Y CONTINUIDAD.
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Autor: Moisés Lázaro C. Pág. TEOREMA 2: UNICIDAD DEL LÍMITE: Si existe
este es único.
DEMOSTRCIÓN: Sea
punto de acumulación de
Si
, entonces: | 1) Debemos comprobar que: | 2) Por hipótesis se tiene: Luego dado cualquier existe
3) Obtenemos: encontrar |
, lo cual implica: tales que para:
|
|
|
|
|
|
|
|
{ tal que | |
}. Como | |
es punto de acumulación de A podemos . Entonces: | | | | | ANÁLSIS MATEMÁTICO I
LÍMITES Y CONTINUIDAD. Autor: Moisés Lázaro C. TEOREMA 3: TEOREMA DEL ENCAJO O TEOREMA DEL SANDWINCH: Sea Si para todo
punto de acumulación de tenemos
y además:
, entonces: ANÁLSIS MATEMÁTICO I
LÍMITES Y CONTINUIDAD. Autor: Moisés Lázaro C.
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III.1.5. LÍMITES LATERALES: Los limites laterales de f, por la izquierda y por la derecha de , se presentan cuando se realiza restringiendo el dominio de la función f a los subconjuntos siguientes: b) LÍMITE DE f POR LA DERECHA: Definición: L es el límite por la derecha de
. .
si dado: |
tal que: | |
|
O también: |
|
Denotación:
Se lee: “Límite lateral derecho de f en
”
c) LÍMITE DE f POR LA IZQUIERDA: Definición: El valor L es el límite de f por la izquierda de si: Dado , que depende de y del punto | O equivalentemente: |
tal que: | |
Denotación: Se lee: “Límite lateral izquierdo de f en
”
III.1.5.1. TEOREMAS: Si f está definida en un entorno reducido de a, y si que:
entonces se cumple
ANÁLSIS MATEMÁTICO I Autor: A. Venero B. Pag.267
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III.1.6 LÍMITES INDETERMINADOS: Las formas indeterminadas más usadas son: b)
a)
c)
Otras formas indeterminadas son:
b)
a)
c)
d)
1. Cálculo de límites indeterminados de forma: Si
, entonces para evitar la indeterminación se harán ciertas operaciones
en el numerador y/o denominador de modo que se pueda simplificar el binomio
.
Casos que se presentan: CASO I: Si
son POLINOMIOS de grado n y m respectivamente, y
,
entonces la indeterminación se evita tan solo FACTORIZANDO el numerador denominador , de modo que el binomio se simplifique así:
y/o el
. CASO II: Si
son RADICALSE y
, entonces la indeterminación se evita
RACIONALIZANDO en el denominador y /o numerador. CASO III: Si
son FUNCIÓNES TRIGONOMETRICAS, y
indeterminación se evita haciendo uso del teorema de
, entonces la y algunas
identidades trigonométricas. ANALSIS MATEMATICO I
LÍMITES Y CONTINUIDAD. Autor: Moisés Lázaro C. III.1.7 LÍMITES DE FUNCIONES CON: VALOR ABSOLUTO, MÁXIMO ENTERO Y SIGNO DE x: Cada vez que se tenga funciones con valor absoluto, máximo entero y signo de x, se deberá tener en cuenta las correspondientes definiciones:
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1. DEFINICIÓN DE VALOR ABSOLUTO: | |
. .
2. DEFINICÓN DE MÁXIMO ENTERO: ⟦ ⟧ 3. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN SIGNO DE X:
ANÁLSIS MATEMÁTICO I
LÍMITES Y CONTINUIDAD. Autor: Moisés Lázaro C. III.1.10. LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS: Para calcular límites trigonométricos, se hará uso del siguiente teorema:
De este teorema se deducen los siguientes teoremas siguientes:
ANÁLSIS MATEMÁTICO I
LÍMITES Y CONTINUIDAD. Autor: Moisés Lázaro C. III.1.9. LÍMITES FINITOS: III.1.10. LÍMITES AL INFINITOS:
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III.1.11. ASÍNTOTAS: 1) ASÍNTOTA VERTICAL: La recta
funcion de
se una asíntota vertical de la gráfica de la
si: tal que
i. Si
siempre que: tal que
ii. Si
siempre que: tal que
iii. Si
siempre que: tal que
iv. Si
siempre que: 2) ASÍNTOTA HORIZONTAL: La recta
se una asíntota horizontal de la
gráfica de la funcion de si: i. Sea A es ilimitado superiormente. Dada , escribamos: Sí y sólo si: Tal que: | | , A es ilimitado inferiormente. Dado que existe un número
ii. Dada
,
Tal que: 3) ASÍNTOTA OBLICUA: la recta
función
| | es asíntota oblicua de la gráfica de la
si se cumple lo siguiente:
i.
[
]
ii.
[
]
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III.2. CONTINUIDAD III.2.1. DEFINICIÓN: La idea de continuidad de una continuidad de una función f en un punto de su ], es decir que la gráfica no tenga rupturas tipo salto dominio[ vertical a lo largo de la recta vertical . La función f es continua en si par cada , existe un tal que: |
|
|
|
GRÁFICA
ANÁLSIS MATEMÁTICO I Autor: R. Figueroa G. Pag.307 III.2.2 DEFINICIÓN2: Sea Si es punto que pertenece al dominio de en el cual no es continua, entonces decimos que es discontinua en o que tiene una discontinuidad en ANÁLSIS MATEMÁTICO I
LÍMITES Y CONTINUIDAD. Autor: Moisés Lázaro C.
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III.2.3. CONTINUIDAD EN UN PUNTO: Se dice que una función
es continua en
si y solo si:
Ejemplos de funciones continuas en un punto de sus dominios son: Funciones polinómicas: Funciones racionales:
Funciones trigonométricas: y es continua en todo punto de , en todo tal que
en todo
.
tal que ANÁLSIS MATEMÁTICO I Autor: R. Figueroa G. pag.308
EJEMPLOS 1 Para que valores de la función definida es continua:
Solución: Siendo f una función seccionada, los posibles puntos de continuidad se presentan en la unión de los intervalos de definición, esto es, en Analicemos la continuidad en cada caso. 1. Continuidad en
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i) ii)
f está definida en pues en si está en la vecindad de 1 y cerca de:
-3 = -2 , entonces los valores de f se acumulan
Si esta en la vecindad de 1 y cerca de:
, entonces los valores de f se acumulan
Como iii)
existe
se cumple que:
, luego f es continua en
2. continuidad en i) ii)
en [ Si está en la vecindad de 2 y acumulan cerca de:
, existe. , entonces los valores de f se
Si está en la vecindad de 2 y acumulan cerca de:
, entonces los valores de f se
Como
iii)
No se cumple la condición: Entonces la función f no es continua en En consecuencia, la función es continua en todo su dominio, excepto en Grafica
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EJEMPLOS 2 Sea la función: |
|
Analizar la continuidad de f en los puntos
Solución: Al eliminar las barras del valor absoluto obtenemos:
1. Continuidad en i) ii)
Luego, existe iii)
Como
, la función es discontinua en
2. Análogamente se determina que también f es discontinua en
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3. La grafica de f es:
III.2.4. CONTINUIDAD EN TÉRMINOS DE VENCIDADES: Una función
es continua
y solo si, para
próximo a
,
es próximo a [
] ANÁLSIS MATEMÁTICO I
Autor: R. Figueroa G.
Pag.309
III.2.5. CONDICIONES DE CONTINUIDAD: Se dice que una función es continua en el punto las siguientes condiciones: i. ii. iii.
esta definida, es decir, existe Existe .
si, y solo si, se satisfacen .
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Pag.309
III.2.6. DISCONTINUIDAD: III.2.6.1. PUNTOS DE DISCONTINUIDAD: En términos de la gráfica de una función, la discontinuidad implica una interrupción, un salto o ruptura en el trazado de dicha gráfica, originadas por dos motivos: a) Que el b) Que el
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existe, pero debe ser diferente a no exista.
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III.2.6.2. TIPOS DE DISCONTINUIDAD: 1) DISCONTINUIDAD EVITABLE: Un punto removible o evitable si se cumple lo siguiente: i. ii. Graficas:
se dice que es de discontinuidad .
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2) DISCONTINUIDAD INEVITABLE: Un punto esencial o inevitable si se cumple que:
se dice que es de discontinuidad
i.
ii. Grafico
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Se puede distinguir dos clases de discontinuidad:
DISCONTINUIDAD DE PRIMERA CLASE: Discontinuidad finita: se tiene en cuenta las siguientes condiciones:
Discontinuidad evitable o discontinuidad de punto faltante: se
cumple lo siguiente:
DISCONTINUIDAD DE SEGUNDA CLASE: si no existe limites laterales en Es decir: Si esto ocurre también se denomina discontinuidad infinita. ANÁLSIS MATEMÁTICO I
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EJEMPLOS 1
Sea la función:
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Analizar la continuidad de f en todo su dominio. Solución: Teniendo en cuenta que:
= 1, si
√
0,
√ √
-1,
√
√
Entonces:
Analicemos ahora las condiciones de continuidad en 1. Continuidad en i) ii) ( Dado que iii)
) existe
Se cumple que:
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2. Continuidad en i) ii)
( Como
iii)
)
no existe
No se cumple que:
3. Continuidad en Como
no está definida, pues
Si existe, significa que Luego la extensión continua de la función f en
es:
EJEMPLOS 2 Sea la función:
√
, si
1
, si Esbozar la gráfica mostrando todas las asíntotas existentes e indicar los puntos de discontinuidad. Solución: 1. Intersección con los ejes coordenados. En a) Eje
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] ]
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b) Eje y: En a) Eje y: 2. Asíntotas verticales Para
] No hay intersección. La curva pasa por el origen.
√
]
;
√
Luego,
,
√
√
es una asíntota vertical en ambos sentidos.
Para Es una asíntota vertical hacia abajo. 3. Asíntotas horizontales 6
Entonces,
| |√
7=-1 (par
| |
es una asíntota horizontal *
+=
No existe asíntota horizontal.
4. asíntotas oblicuas En
:
=
En
:
=
=
No existe asíntota oblicua izquierda. =1 [
Luego,
]
=-2
es una asíntota oblicua derecha.
5. Puntos de continuidad En la discontinuidad es esencial ya que ambas rectas son asíntotas verticales. Sin embargo en : Lic. Sánchez Culqui Eladio
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1)=
√
√
Además como Existe; entonces redefinir.
, existe
1), no existe pues
y
es un punto de discontinuidad evitable y podemos
{ }
, si
III.2.7. CONTINUIDAD LATERAL: III.2.7.1. CONTINUIDAD POR LA DERECHA: Una función i.
es continua por la derecha de
, si y sólo si:
existe.
ii.
[
|
|
ε
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si para cada
Una función f es continua por la derecha en
correspondiente
existe un
tal que: [ |
|
ε
está definida.
i) ii)
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Autor: A. Venero B. Pag.348
III.2.7.2. CONTINUIDAD POR LA IZQUIERDA: Una función
es continua por la izquierda de
i.
si y sólo si:
existe.
ii.
|
]
|
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Autor: R. Figueroa G.
Pag.324
si para cada
Una función f es continua por la izquierda en
correspondiente
tal que:
| i) ii)
existe un
|
ε
está definida.
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Autor: A. Venero B. Pag.348
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III.2.10. CONTINUIDAD EN INTERVALOS: III.2.10.1. CONTINUIDAD SOBRE UN SUBCONJUNTO DEL DOMINIO: DEFINICIÓN1: Una función denotado por
es continua sobre un conjunto es continua en cada punto de
, si la función restringida,
Según la forma de 〈 a) Si continua
〉 la función es continua sobre 〈 〉 se cumple:
〈
〉
, si
[ b) Si cumple:
], la función
[
]
, si se
es continua sobre
es
i.
ii. c) Si [ cumple: d) Si cumple:
, la función
] la función
es continua sobre
[
es continua sobre
, si se
]
, si se
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Autor: R. Figueroa G.
DEFINICIÓN2: La función f se dice que es continua sobre un conjunto
restringida es continua en cada punto de De manera que: 〈 〉 la definición dada resulta equivalente a: Si 〉 La función es continua sobre 〈 si 〉 cada punto de 〈 [ ] la definición dada resulta equivalente a: Si ] La función es continua sobre [ . [ [, la definición equivale a que: Si [ La función es continua sobre[
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Pag.329
si la función
es continua
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EJEMPLOS 1 |
Determinar la continuidad de la función
|
en el intervalo[
]
Solución: La función f es discontinua en
Sin embargo f es continua sobre el conjunto [
. ]
En consecuencia, la función f es continua en
[
]
EJEMPLOS 2 La función definida por: Es continua sobre Solución: Dado que f es continua en
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, lo será en [
]
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i)
( =
(
) (
)
) =
ii) Sea
entonces
Luego
pero como [(
) (
) ]=
Por lo tanto, f será continua en [
EJEMPLOS 3
], si definimos:
Sea la función: , si
⟦ ⟧ , si
[
]
{ }
Hallar las asíntotas de la gráfica, analizar la continuidad de f en [
Solución: a) Determinación de las asíntotas 1. Asíntotas horizontales: En asintotas horizontales. 2. Asíntotas verticales:
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En
es una asíntota
vertical hacia arriba. En
( ⟦ ⟧)
Entonces
es una asíntota vertical hacia arriba.
3. Asíntotas oblicuas: En
*
+ [
Por lo tanto
]
es una asíntota oblicua derecha
b) Continuidad de f en [ Continuidad en : i)
⟦ ⟧
Luego, f es continua por la izquierda de Continuidad en
[
]
ydiscontinua en
{ } ( )
⟦ ⟧ Entonces
[
] ⟦ ⟧
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III.2.9. FUNCIONES ACOTADAS: III.2.9.1. FUNCIÓN ACOTADA SUPERIORMENTE: Una función está acotada superiormente sobre un conjunto , si el conjunto de imágenes está acotado superiormente, es decir, si existe un número real tal que
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Pag.341
III.2.9.2. FUNCIÓN ACOTADA INFERIORMENTE: Una función está acotada inferiormente sobre un conjunto , si el conjunto de imágenes está acotado inferiormente, es decir, si existe un número real tal que
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EJEMPLOS 1 Hallar el supremo e ínfimo de la función , si
[
]
Solución: Sea Si
= [
[
]
]
Invirtiendo se tiene: [ {
Luego:
[
{ [
]
]}
,*
+-
]}
{[
]}
EJEMPLOS 2 Sea la función: |
| Y
S=
Hallar si existen el
{ }
y el
.
Solución: y|
Como la función seno es acotada, esto es: |
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|
|
|
| ]
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Por consiguiente: ,
{ }-
,
{ }-
]
] 0
Como Grafica
III.2.10. PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS: III.2.10.1. TEOREMA DEL CERO: ] ] Si Sea [ una función continua en [ y tiene signos opuestos, es decir, si: Ó 〉 Entonces existe un número c en el intervalo abierto 〈
NOTA: Este teorema tiene su aplicación en la solución de ecuación de la forma 𝒇 𝒙 𝟎.
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EJEMPLOS 1
Usando el teorema del cero, demostrar que la parábola intersecta con la curva
se
Solución: 1. Sean A:
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C
√
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2. Si P(
A √
P(
√
√
C
√ 3. Sea la función que es continua en [ ] 4. Analicemos el signo que toma la función f en los extremos de los intervalos [ ]y[ ]
Si a) Para
[
] Si
Si b) Para
[
√
√
√
] Si
√
5. Por tanto la parábola A intercepta a la curva C en dos puntos: ] Y [
EJEMPLOS 2 Sin resolver la ecuación sus raíces reales. Solución: Sea , continua Por el teorema del cero sabemos que si
Lic. Sánchez Culqui Eladio
hallar el número de
y
, entonces existe
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Límites y continuidad
Elegiremos entonces puntos del dominio de f tales que cumplan con el antecedente de la condición dada, esto es:
1.
2.
3.
Por lo tanto, la ecuación dad tiene tres raíces reales
Lic. Sánchez Culqui Eladio
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III.2.10.2. TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO (BERNARD BOLZANO): ] ]y [ ]o [ Sea [ una función continua en [ Entonces y existe un número c entre a y b tal que:
].
GRAFICA
ANÁLSIS MATEMÁTICO I
Autor: R. Figueroa G.
Pag.351
III.2.10.3.TEOREMA DE ACOTACIÓ LOCAL: Si es continua en el punto , entonces existe un número , tal que está 〉es decir, existe un número acotada superiormente en el intervalo abierto 〈 real ; tal que: |
|
〈
〉 ANÁLSIS MATEMÁTICO I
Autor: R. Figueroa G.
Pag.352
Lic. Sánchez Culqui Eladio
Página 35
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III.2.10.4. TEOREMA DE ACOTACIÓN GLOBAL: Sea [ sobre [
]
una función continua sobre [
], se verifica que
es acotada
] ANÁLSIS MATEMÁTICO I
Autor: R. Figueroa G.
Pag352
III.2.10.5. TEOREMA DEL VALOR MÁXIMO Y MÍNIMO (Teorema de Karl Weierstrass): ], entonces existe Si es una función continua sobre [ la función toma su valor máximo y su mínimo [
[
]
[ [
] en los cuales
]
] ANÁLSIS MATEMÁTICO I
Autor: R. Figueroa G. III.2.10.5. TEOREMA DE CONTINUIDAD:
Pag.353
], Sea es una función univalente. Si es continua sobre el intervalo [ entonces la función inversa es continua sobre el intervalo con extremos en los puntos . ANÁLSIS MATEMÁTICO I
Autor: R. Figueroa G.
Pag.354
III.2.5. OBSERVACIONES: 1. Debido a la definición dada solamente tiene sentido analizar la continuidad de f en puntos del dominio de | | 2. No es necesario la restricción: , pues al pertenecer al | entonces para también se cumple que: | , | puesto que | . 3. Si es además un punto de acumulación del entonces se tiene en forma equivalente que: F es continua en si se cumple las tres condiciones: i. está definido. ii. iii.
Lic. Sánchez Culqui Eladio
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4. Si no es apunto de acumulación del entonces f resulta automáticamente continua en . En efecto: Existe una vecindad de de radio donde no existe ningún otro punto del que sea diferente de de esta manera la condición | | es satisfecha por un único punto y para el cual: |
Lic. Sánchez Culqui Eladio
|
|
|
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ANEXOS
Lic. Sánchez Culqui Eladio
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MISCELÁNEA DE EJERCICIOS 1. Evaluar los siguientes límites:
(
a)
√
√
)
Solución: i.
Al evaluar el límite, tenemos la forma indeterminada .
ii.
Factorizamos tratando de eliminar forma indeterminada: .
.
√
√
√
√
. 0
/
/ (√
√
[ √
√ √
, que es el factor que da la
)
/
(√ ) (√ )
]
1
0
(√
)(√ (√
)
) 1
(
) 0
√
√ (√ )
1
(√ ) [ (√
)
]
(
) 0
1
(√ )
√
0
(√
)
1
(
) 20
√
(√ )
1
0
(√
1 )
3
(
)
(
)
Lic. Sánchez Culqui Eladio
20
√
(√ )
1
0
(√
)
1
3
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0
iii.
1
(√ )
√
)
1
Levantamos el límite: 0
√
(
b)
0 (√
1
(√ )
√
√
0 (√
1 )
) .
√
√
/
Solución: i.
Al evaluar el límite, tenemos la forma indeterminada .
ii.
Factorizamos tratando de eliminar , que es el factor que da la forma indeterminada: 4
(√
(√
)
(√
) (( √ (( √
)
)
)
5 (√
)
√
(√
)
√
) (√
) )
(
) (( √ (( √
) )
.√
)
(√
)
√
/ )
(
) (( √
)
(√
)
√
)
(
) (( √
(
Lic. Sánchez Culqui Eladio
)
√
)
(√
) )
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6
(( √
)
(√
)
√
7
)
(
) 6
iii.
(( √
)
)
√
7
)
(
)
Levantamos el límite: (( √
(
c)
(√
√
)
(√
)
√
)
)
√
Solución: i.
Al evaluar obtenemos la forma indeterminada
ii.
Factorizamos tratando de eliminar indeterminada: √
. √ (
, factor que da la forma
/ √ (
(√
)( √ )(√
)
(√
( (
)
(√ (
) )
)
(√
) (
√
)
)
( (
Lic. Sánchez Culqui Eladio
)
) )
√
((√ (
)
√ )
) (√
)
)
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(
)
√
( (√
) )
(
)
√
( (√
)) (
)
√
( (√
)) (
)
√
( (√
)) (
iv.
)
√
(√ ( Levantamos el límite:
)
(
)
)
√
(√
(
d)
√
√
√ √
√ √
)
)
Solución: v.
Al evaluar obtenemos la forma indeterminada
vi.
Factorizamos tratando de eliminar el factor que da la forma indeterminada: √ . √
Lic. Sánchez Culqui Eladio
√ √
√ √
/
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√
√ . √
√
(√ (√
) )
(√
( (√
)
(√
)
( ( √ (√
(√
.
. .
( (√
√
)
) ) )
(√ )
(√
(√
) )
Lic. Sánchez Culqui Eladio
)
/
√ )
√
/ ) )
(√
/
√
(√
)
)
(√
/ ) )
(√
) )
Levantamos el límite:
(√
) )
√
(√
)
)
) )
√
√
(√
)
√ √
(√
(√ )
(√
(√
)
√
(√
)
(√
)
(√
)(√
√
(√ .
(√
(√
)
(√
)
(
)
√
)
( ( √
)
(√
)
√ )
√
)
√
)
(√
)
√
)
(√
)
(√
)
)(√
)
(√
vii.
)(√ (√
)(√
(√
(
(√
)
(√
/
√
)(√ (√
(
√
√ (√
√ )
(√
)
Página 43
)
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(
e)
√
√
)
Solución: viii. ix.
Al evaluar obtenemos la forma indeterminada
, que es el factor que da la forma
Factorizamos tratando de eliminar indeterminada:
.
√
√
.
(√
√
(√
/
)(√
)
(√
)
(√
)
/
) (√
)
√
(√
)
√
(
)
(√
)
(√
(√
)
)
(√
)
√
(
) (√
)
(√
√
)
(
) (√
)
(√
√
)
(
) 4
(√
)
(√
√
)
(
)
4
x.
5
(√
)
(√
√
)
5
Levantamos el límite:
Lic. Sánchez Culqui Eladio
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4 (√
)
(( √
)
√
(
⟦
⟧
(⟦
f)
)
5
)
)
⟧
Solución: i. Determinamos el valor absoluto: ⟦ ⟧
⟦
⟦
⟧
⟦
ii.
⟧
⟧
Evaluamos el límite: . (
Lic. Sánchez Culqui Eladio
⟦ ⟦
⟧ ⟧
/
)
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(
g)
√
)
Solución: i.
Al evaluar el límite, tenemos la forma indeterminada .
ii.
Factorizamos tratando de eliminar indeterminada: .
√
/ √
.
iii.
, que es el factor que da la forma
(
)
.
(
)
.
/ √
(
(
)
(
(
)
(
(
)
.
(
)
(
/ )(
√ ( ( ( (
√
(√
)
√
)
(√
)
√
) )
√
)
√ )
)(
/
) )
/
√
)
Levantamos el límite: ( )(
Lic. Sánchez Culqui Eladio
√
)
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h)
(
(√
)
√
) (√ .
)
√
/
Solución: iv.
Al evaluar el límite, tenemos la forma indeterminada .
v.
Factorizamos tratando de eliminar indeterminada: (√ √ . .
(√
)
)
.
(√
) +
.
)
√ )
(√
) +
(√
)
√
[
.
)
√
(√
] (√ [ [
. (√
)
√
)
√
)
√
)
(√
√
5
5
/
]
(√
/
/
√ ]
(√
)
√
(√
*(√ 4
/
)(√
√
*(√ 4
vi.
, que es el factor que da la forma
/
/
Levantamos el límite:
Lic. Sánchez Culqui Eladio
)
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(
i)
)
Solución: i.
Al evaluar el límite, tenemos la forma indeterminada .
ii.
Factorizamos tratando de eliminar la forma indeterminada: (
, que es el factor que da )
.
/
.
/
.
/
.
/
(
iii.
)
Levantamos el límite: √ √
(
j)
)
Solución: i.
Al evaluar el límite, tenemos la forma indeterminada .
ii.
Factorizamos tratando de eliminar indeterminada:
Lic. Sánchez Culqui Eladio
que es el factor que da la forma
.
/
.
/
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4
iii.
)
5
4 (
)
5
. (
)
. (
)
/
. (
)
/
. (
)
(
) /
. (
)
(
) /
/
Levantamos el límite:
(
k)
(
)
Solución: i. Podemos expresar el límite de la siguiente forma: (
)
ii. iii.
Al evaluar el límite del numerador, tenemos la forma indeterminada Pero cuando evaluamos el límite del denominador obtenemos:
iv.
Para determinar el límite del numerador, seguiremos el siguiente procedimiento:
.
ii.1.
Lic. Sánchez Culqui Eladio
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ii.2. Donde: ii.3.
ii.4 evaluamos para
(
) (
)
Al levantar el límite obtenemos: Como: v.
l)
Por último:
*
+
Solución: i. Podemos expresar el límite de la siguiente forma:
Lic. Sánchez Culqui Eladio
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0
ii. iii.
1
Al evaluar los límites, tenemos la forma indeterminada . Para determinar el límite del numerador, seguiremos el siguiente procedimiento: iii.1.
iii.2. Donde: iii.3.
iii.4 evaluamos para
(
) ( )
(
)
(
)
(
)
Al levantar el límite obtenemos:
Como:
Lic. Sánchez Culqui Eladio
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iv.
Para determinar el límite del denominador, seguiremos el siguiente procedimiento: iv.1.
(
)
iv.2. Donde: iv.3.
iv.4 evaluamos para ( (
) )
Al levantar el límite obtenemos: Como: v.
Por último:
Lic. Sánchez Culqui Eladio
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2. Dada la circunferencia de radio y centro , en donde se cumple que , calcular el límite cuando tiende hacia del cociente entre el área del triángulo y el área del triángulo B
A
O C D
Solución: i. Reemplazamos y completamos datos: B
𝜃 𝑅
𝜃
𝑎 𝜃 𝜃 O𝑎 C
𝑅 𝑅 cos 𝜃
𝑅 sen 𝜃 D
A
𝑅𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑎
ii.
Calculamos el límite: Cuando tiende a , entonces
iii.
Determinamos el área del triángulo
:
iv.
Determinamos el área del triángulo
:
v.
Determinamos :
vi.
Reemplazamos en el límite:
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𝑎𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑅𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃
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.(
vii.
)
/
Levantamos el límite:
3. Analizar la continuidad de la función
en el punto
, siendo:
Solución: i.
Por definición:
ii.
Si
iii.
Analizamos:
( ) 〈
〉
〈
〉
iii.1. Tratamos de eliminar
, factor que le da la forma
indeterminada
Lic. Sánchez Culqui Eladio
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Levantamos límite:
iii.1 Tratamos de eliminar
, factor que le da la forma
indeterminada
Levantamos límite:
Nos podemos dar cuenta que:
4. Analizar la continuidad de la función
dada por: √
Solución: a) Determinamos la continuidad en el punto i. ii.
Como
Lic. Sánchez Culqui Eladio
⟦ ⟧
:
, analizamos el límite por la derecha de :
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Evaluamos el límite:
b) Determinamos la continuidad en el punto √
i.
⟦ ⟧
:
Determinamos: ⟦ ⟧
√ √ ⟦ ⟧ ii.
Como
, analizamos el límite por la izquierda de
Evaluamos el límite:
5. Dada la función: ⟦
⟧
√
Hallar los valores de y para que sea una función continua en Solución: c) Determinamos la continuidad en el punto : i. ⟦ ⟧ ii. √ ⟧ para Determinamos ⟦
⟦
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⟧
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Evaluamos los límites: ⟦
√
6. Hallar los valores de las constantes dominio, en las funciones dadas: √
a)
que posibilitan la continuidad, en todo su
√ √
⟦
y
⟧
√
⟧
Solución: i. Determinamos la continuidad en el punto : i.1. i.2. Evaluamos los límites por la derecha como por la izquierda los cuales deben ser iguales: ⟦
√
⟧
√
Evaluamos para: Determinamos ⟦
√
⟦
√
⟧
⟧:
⟦
⟧
Reemplazamos y levantamos el límite: ⟦
Evaluamos para:
Lic. Sánchez Culqui Eladio
√
⟧
√ √
√
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√
√ √
√ √
√ √
√ (√
)(√
)
(√
√
√
)
√
√ (√
√
) (√
√
(√
(√
)
(√
)
(( √
)
(√
(√
)
)
)
√
)
√
(√ )
√
(√
)
5
/
√
√
)
/
√
√
4
√
(√
(√
(√
)
√
√
4
)
√
√
.
)
(√
(√
√
)
√ √
√ √
.
√
√
)
5
Levantamos el límite: . 4
(√
) √
(√ ( (
Lic. Sánchez Culqui Eladio
/
√
√
)
5
) )
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Límites y continuidad
ii.
Por último: ⟦
√
⟧
√ √
√
√
b)
√
√
Solución: i. Determinamos la continuidad en el punto : i.1. i.2. Evaluamos los límites por la derecha como por la izquierda los cuales deben ser iguales: √ √
Evaluamos para:
√ √
√
√ √ √ √ √
√.
/
Levantamos el límite: √
Basta decir que uno de los límites es indeterminado para decir que no existe continuidad en el punto
Lic. Sánchez Culqui Eladio
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