Analisis Matematico I-Eduardo Espinoza Ramos

May 3, 2024 | Author: Anonymous | Category: N/A

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i iiiiiüi;

ANALISIS MATEMÁTICO I PARA ESTUDIANTES DE CIENCIA E INGENIERIA (TERCERA EDICION)

♦

SISTEMA DE NUMEROS REALES

♦

RELACIONES Y FUNCIONES

♦

LIM ITES Y CONTINUIDAD

♦

DERIVADAS

♦

APLICACIONES DE LA DERIVADA

♦

DIFERENCIALES

EDUARDO ESPINOZA RAMOS

IMPRESO EN EL PERÚ 20 - 03 - 2002

39 EDICIÓN

DERECHOS RESERVADOS W -jtr

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Este libro no p u e d e reproducirse total ó p a rc ia lm e n te por ningún m é to d o ■ í lossistemas d e fo to c o p ia , |I g .rá fico , e le c tró n ico o m e c á n ic o , in clu y e n d' o ...í sni..< An j.f registros m a g n é tic o s o d e alim e n ta ció n d e datos, sin expreso consentim ie nto f £»f *i d e l autor y Editor. í I * í * I I í

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N9 10070440607

Ley d e D e re ch os del Autor

N9 13714

Registro c o m e rc ia l

Ne 10716

Escritura P u b lica

N2 4484

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PRESENTACION Eduardo Espinoza Ramos, catedrático en la especialidad de matemática pura, me hace el honor de pedirme la presentación de su obra Análisis Matemático I para Estudiantes de Ciencia e Ingeniería. El objeto principal de la presente obra Análisis Matemático I, es precisamente llenar el vacío que existe para su fácil y mejor aprendizaje, desarrollando y analizando los conceptos básicos necesarios y su aplicación hacia las especialidades de Ingeniería, de tal manera que permita a los estudiantes disponer de una herramienta de trabajo práctico y comprensible. El método didáctico empleado en todo el libro consta de cinco capítulos: Sistema de Números Reales;

Relaciones y Funciones; Límites y Continuidad; Derivadas y sus

Aplicaciones y Diferenciales. Para orientación del estudiante, el trabajo llevado a cabo por el autor, en esta obra, es digno de elogio. Su lenguaje sencillo y desarrollo al alcance del estudiante, producto de sus años de experiencia como docente Universitario le permiten tratar rigurosamente estos, desde el punto de vista científico en forma didáctica y amena. Los ejercicios y/o problemas cuidadosamente seleccionados complementan los propósitos y métodos empleados en la teoría. Finalmente, expreso mi felicitación al autor de la obra EDUARDO ESPINOZA RAMOS, quien ya se suma a la legión de autores nacionales que tienen más conocimiento de nuestra realidad Universitaria.

ING. EDUARDO BULNES SAMAME JEFE DE DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA UNIVERSIDAD RICARDO PALMA, i A-SECRETARIO ACADEMICO DE LA FACULTAD DE INGENIERIA

PROLOGO

En la presente obra Intitulada “Análisis Matemático I para Estudiantes de Ciencia e Ingeniería” en su 3ra. Edición, hemos aprovechado de los numerosos y valiosos comentarios y sugerencias de mis colegas que elaboran en las diversas universidades de la capital, motivo por el cual se ha ampliado la demostración de propiedades así como los conceptos básicos teóricos e incluyendo propiedades y teorema de acuerdo a las exigencias de la nueva curricula. Al igual que su 2da edición se expone en forma teórica y práctica, los conceptos de sistemas de números reales, relaciones y funciones, límites y continuidad, derivadas y sus aplicaciones, así como la regla de L’Hospital, las funciones hiperbólicas y la diferencial con sus aplicaciones, así mismo se ha incluido algunos teorema en cuanto corresponde a las aplicaciones de las derivadas antes de los Teoremas de Rolle y del Valor Medio, también se han incluido mas ejercicios desarrollados y propuestos en las practicas y exámenes de las diversas universidades de la capital proporcionados por mis colegas y en especiales de los coordinadores de área académica.

La parte teórica se desarrolla de manera metódica y con especial cuidado, tratando de

noperder el rigor matemático pero tratando de no caer en el excesivo formulismo que

confunde al lector.

La lectura provechosa del presente trabajo requiere del conocimiento previo del álgebra elemental, geometría plana y trigonometría.

La presente obra es recomendable para estudiante de ciencias matemáticas, física, ingeniería, economía y para toda persona interesada en fundamentar sólidamente sus conocimientos matemáticos del análisis real.

Por ultimo deseo agradecer y expresar mi aprecio a las siguientes personas por sus valiosos comentarios y sugerencias.

D O C T O R PEDRO C O N T R E R A S CH A M O R R O Ex-Director de la Escuela Profesional de Matemática Pura de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos. Catedrático Principal en Pos-Grado de la Facultad de Matemática Pura de la UNMSM Miembro Fundador de la Academia Nacional de Ciencia y tecnología del Perú. Catedrático de la Universidad Particular Ricardo Palma. D O C T O R EU G EN IO C A B A N ILL A S LAPA Doctor en matemática Pura, Universidad Federal de Río de Janeiro —Brasil. Director de Pos-Grado en la Universidad Nacional Mayor de San Marcos. Catedrático de la Universidad Nacional del Callao. LIC. A N T O N IO CA LD ER O N L EA N D R O Ex-Jefe de Departamento Académico de la Facultad de Ing. Pesquera y Alimentos de la Universidad Nacional del Callao. Jefe de Departamento Académico de la Facultad de Ciencias Naturales y Matemática de la Universidad Nacional del Callao. Coordinador del Area de Matemática en la Facultad de Ingeniería de la Universidad Ricardo Palma. LIC. SE R G IO L EY V A H ARO Ex Jefe del Centro de Computo de la Facultad de Ingeniería Química de la Universidad Nacional del Callao. Catedrático en la Facultad de Ingeniería Ambiental y de Recursos Naturales de la Universidad Nacional del Callao. LIC. JUA N BERNUI B A R R O S Director del Instituto de Investigación de la Facultad de Ciencias Naturales y Matemática de la Universidad Nacional del Callao. Catedrático de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos. LIC. PALERM O SO T O SO TO Catedrático de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos. Catedrático de la Universidad Particular Ricardo Palma. Mg. JO SE Q UIK E BR O N C A N O Catedrático de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos. Coordinador del área de matemática en la Facultad de Ciencias Matemáticas Puras.

Lic. GUILLERMO MAS AZAHUANCHE Catedrático de la Universidad Nacional del Callao Catedrático de la Universidad Nacional de Ingeniería. Catedrático de la Universidad Ricardo Palma.

E D U A R D O E S P IN O Z A R A M O S

DEDICATORIA

Este libro lo dedico a mis hijos R O N A L D , JO R G E

y

D IA N A ,

caminos para que

que

Dios

ilumine

sus

INDICE CAPITULO I [* ■

S í.-» T E M A S D E N U M E R O S R E A L E S

1.1

Introducción

1

1.2

Definición

2

1.3

Axiomas de Sustitución

4

1.4

Axiomas Distributivas

4

1.5

Teorema de Igualdad para la Adición

4

1.6

Teorema de Igualdad para la Multiplicación

4

1.7

Teorema de Cancelación para la Adición

4

1.8

Teorema de Cancelación para la Multiplicación

5

1.9

Sustracción de Números Reales

5

1.10

División de Números Reales

5

1.11

Ejercicios Desarrollados-

6

1.12

Representación de los Números Reales

10

1.13

Desigualdades

11

1.14

Axioma de la Relación de orden

12

1.15

Definición

12

1.16

Teorema

12

1.17

Teorema

13

1.18

Teorema

13

1.19

Teorema

14

1.20

Teorema

14

1.21

Teorema

15

1.22

Ejercicios Desarrollados

15

1.23

Ejercicios Propuestos

23

1.24

Inecuaciones

29

1.25

Conjuntos solución de una Inecuación

31

1.26

Resolución de una Inecuación

31

1.27

Inecuación de Primer Grado en una Incógnita

31

1.28

Inecuación de Segundo Grado en unaIncógnita

33

1.29

Inecuaciones Polinómicas

38

1.30

Inecuaciones Fraccionarias

42

1.31

Inecuaciones Exponenciales

45

1.32

Inecuaciones Irracionales

47

1.33

Ejercicios Desarrollados

58

1.34

Ejercicios Propuestos

84

1.35

Valor Absoluto

1.36

Propiedades Básicas para resolverEcuaciones e Inecuaciones donde interviene Valor Absoluto

101

102

1.37

Máximo Entero

104

1.38

Propiedades del Máximo Entero

106

1.39

Inecuaciones Logarítmicas

111

1.40

Ejercicios Desarrollados

116

1.41

Ejercicios Propuestos

155

1.42

Conjuntos Acotados

176

1.43

Axiomas del Supremo o Axiomasde la mínima cota superior

177

1.44

Principio Arquimediano

178

1.45

Ejercicios Propuestos

180

CAPITULO II

2.1

Introducción

182

2.2

Relaciones Binarias

191

2.3

Gráfica de una Relación de R en R

198

2.4

Ejercicios Desarrollados

202

2.5

Ejercicios Propuestos

212

2.6

Funciones

215

2.7

Dominio y Rango de una Función

216

2.8

Criterio para el Calculo del Dominio y Rango de una Función

217

2.9

Aplicaciones de A en B

218

2.10

Funciones Especiales

219

2.11

Evaluación de una Función

224

2.12

Función definida con Varias Reglas deCorrespondencia

224

2.13

Trazado de Gráficas Especiales

225

2.14

Ejercicios Desarrollados

229

2.15

Ejercicios Propuestos

247

2.16

Operaciones con Funciones

258

2.17

Composición de Funciones

264

2.18

Propiedades de la Comprensión de Funciones

270

2.19

Ejercicios Desarrollados

270

2.20

Ejercicios Propuestos

282

2.21

Funciones: Inyectivas, Suryectivas y Biyectivas

293

2.22

Funciones Crecientes, Decrecientes y Monotomas

295

2.23

Calculo de Rango de Funciones Inyectivas Monotomas

297

2.24

Función Inversa

298

2.25

Función Inversa de una Composición

300

2.26

Ejercicios Desarrollados

300

2.26

Ejercicios Propuestos

313

CAPITULO III 3.

LIMITES Y CONTINUIDAD

3.1

Introducción

325

3.2

Definición

326

3.3

Ejercicios Propuestos

334

3.4

Proposición

337

3.5

Proposición

337

3.6

Teorema (Unicidad de Limite)

338

3.7

Teorema

339

3.8

Teorema

339

3.9

Propiedades sobre Limite de Funciones

340

3.10

Ejercicios Desarrollados

343

3.11

Ejercicios Propuestos

354

3.12

Limites Laterales

365

3.13

Ejercicios Propuestos

370

3.14

Limites al Infinito

375

3.15

Ejercicios Propuestos

381

3.16

Limites Infinitos

386

3.17

Ejercicios Propuestos

389

3.18

Teorema de Sándwich

390

3.19

Limites Trigonométricos

391

3.20

Ejercicios Propuestos

399

3.21

Función Exponencial y Logarítmica

404

3.22

El Numero e

408

3.23

Calculo de Limites de la forma Uní (/(.v ))?í' ' X->a '

409

3.24

Ejercicios Desarrollados

410

3.25

Ejercicios Propuestos

413

Asíntota de una Curva

418

Ejercicios Propuestos

424

Continuidad de una Función

426

Tipos de Continuidad

427

Ejercicios Propuestos

433

Problemas Sobre Limite

440

Problemas Propuestos

446

CAPITULO IV L A D E R IV A D A Definición

499

Inierpretación Geométrica de la Derivada

451

Definición

453

Definición

453

Derivadas Laterales

454

Derivabilidad y Continuidad

455

Algunas Reglas de Derivación

457

Derivadas de una Función Compuesto (Regla de la Cadena)

462

Derivación de la Función Exponencial y Logarítmica

464

Teorema

468

Derivación de las Funciones Trigonométricas

471

Teorema (Derivadas de las Funciones Trigonométricas)

474

Derivación de las Funciones Trigonométricas

477

Regla de Derivación para las Funciones Trigonométricas Inversas

482

Derivación Implícita

484

Derivada de la Función de la Forma y = (f ( x ) ) s(r)

486

Ejercicios Desarrollados

487

4.18

Ejercicios Propuestos

511

4.19

Ecuaciones de la Tangente y Normal a una Curva

526

4.20

Ecuaciones Paramétricas

529

4.21

Derivadas de Orden Superior

533

4.22

Ejercicios Desarrollados

538

4.23

Ejercicios Propuestos

555

CAPITULO V 5.

A P L IC A C IO N E S D E L A D E R IV A D A

5.1

Valores Máximos y Mínimos de una Función

565

5.2

Teorema

566

5.3

Extremos de una Función

566

5.4

Teorema (de los valores intermedios)

569

5.5

Teorema de Rolle

570

5.6

Teorema del Valor Medio

573

5.7

Teorema (de la función constante)

574

5.8

Teorema (de la diferencia constante)

575

5.9

Función Creciente y Decreciente

574

5.10

Teorema

580

5.11

Criterio de la Primera Derivada para Extremos Relativos

581

5.12

Criterio de la Segunda Derivada para Extremos Relativos

582

5.13

Concavidad y Punto de Inflexión

583

5.14

Ejercicios Desarrollados

587

5.15

Ejercicios Propuestos

626

5.16

Razón de Cambio Promedio y Razón de Cambio Constante

639

5.17

Formula que Relaciona dos Variables cuya Razón de Cambio es Constante

640

5.18

Razón de Cambio Promedio

641

5.19

Razones Instantáneas

641

5.20

Velocidad y Aceleración Rectilínea

642

5.21

Razones de Cambio Relacionadas

642

5.22

Procedimiento Aconsejado para Resolver Problemas de Variables Relacionadas

642

5.23

Problemas Desarrollados

643

5.24

Problemas Propuestos

651

5.25

Aplicación a la Económica

658

5.26

Ejercicios Desarrollados

661

5.27

Problemas Propuestos

673

5.28

La Regla de L’Hospital

678

5.29

Ejercicios Desarrollados

680

5.30

Ejercicios Propuestos

684

5.31

Funciones Hiperbólicas

687

5.32

Ejercicios Propuestos

693

5.33

Derivadas de las Funciones Hiperbólicas

694

5.34

Ejercicios Propuestos

698

5.35

Funciones Hiperbólicas Inversas

701

5.36

Derivación de las Funciones Hiperbólicas Inversas

704

5.37

Ejercicios Propuestos

706

5.38

Diferenciales

708

5.39

Diferenciales como una Aproximación

710

5.40

Diferenciales de Orden Superior

711

5.41

Ejercicios Propuestos

717

BIBLIOGRAFIA

722

1

Sistema de Números Reales

CAPITULO I

1.

SISTEMA DE NÚMEROS REALES.-

1.1

flST R O PU C C lO N .E1 sistema de los números reales de los cuales ahora disponemos, es el resultado de una enorme cantidad de reílexión por parte del hombre. Los enteros positivos, es decir: 1,2,3,..., pueden encontrarse desde el comienzo de nuestra civilización. Los enteros tan grandes como 100,000 se usaban en Egipto en fechas tan tempranas como es 300 A.C. Los antiguos Egipcios y Babilonios desarrollaron una aritmética con los enteros positivos con los cuales podían efectuarse las operaciones de adición y multiplicación, aunque la división no se desarrolló por completo. Estos antiguos pueblos usaron ciertas fracciones, tenemos pues, que los números racionales aparecieron también en una temprana etapa de nuestra civilización (un número racional es cociente de dos enteros). Los Babilonios fueron los que más éxito tuvieron en el desarrollo del aritmética y el álgebra por que tenían una notación para los números muy superior a la de los Egipcios. Esta notación en principio, análoga a nuestro sistema decimal, excepto por el hecho de que su base es 60 en lugar de 10. Una buena notación es el pre-requisito para el desarrollo de los matemáticos. Nuestro sistema decimal con los números llamados arábigos fue inventado por los Hindúes e introducido en Europa occidental en el siglo XII a través de las traducciones de textos Arabes. Sin embargo, la aceptación generalizada de esta notación demoró mucho en llegar.

Eduardo Espinoza Ramos La espera fue aun mayor para la aceptación de los números negativos, incluso hasta finales del siglo XVI se descartaban las raíces negativas de las ecuaciones. La aritmética y el álgebra se desarrollaron bajo él estimulo de problemas prácticos en contradicción de la'geometría que desarrollaron los griegos solamente para su satisfacción intelectual y en un modelo del sistema lógico. Sin embargo, con el desarrollo del cálculo, los números reales especialmente los números irracionales tales como

~Jl, n, V 5 .

tuvieron que sustentarse sobre una firme

fundamentación lógica, esto se logro en la ultima parte del siglo XIX. Disponemos ahora de un sistema de axiomas que describen completamente los números reales partiendo de estos axiomas podemos derivar todas las propiedades de los números reales. Esto es el método usado en la geometría Euclidiana, se acepta un cierto número de proposiciones, a las que se llama axiomas o postulados o hipótesis y basándose en esas axiomas se prueban todos los teoremas de la geometría.

1.2

DEFlNÍClQNvLlamaremos sistema de los números reales a un conjunto R, provisto de dos operaciones adición (+) y multiplicación (.) (leyes de composición interna) y una relación de orden denotado por “R (a,b) -—-> +(a,b) = a + b Además debe cumplirse los axiomas siguientes: Af, Cerradura:

V a, b e R => a + b e R

Ax Conmutatividad:

a + b = b + a , Va.beR

A-, Asociatividad:

(a + b) + c = a + (b + c), V a,b,c e R

» Sistema de Números Reales

3

Aj

Identidad aditiva:

VaeR,

30eR /a+0=0+ a=a

A4

Opuesto Aditivo:

VaeR,

3 - a e R, y es único, tal que: a + (-a) = (-a) + a = 0

2o LEY DE COMPOSICIÓN INTERNA:

•: R x R - ^ R

Además debe cumplirse los axiomas siguientes: A/„ Cerradura:

V a, b e R => a.b e R

M l Conmutativa:

a.b = b.a,V a,b e R

M 2 Asociativa:

(a.b).c = a.(b.c), V a,b,c e R

M 3 Identidad Multiplicativa:

V a e R, 3

1 * 0, 1 e R, tal que:

1.a = a

M 4 Inverso Multiplicativo:

V a * 0, 3 a~1 e R, tal que: a.a ~l - a 1.a = 1

3o RELACIÓN DE ORDEN: Ox V a.b e R una y solamente una de las relaciones se cumple a a + c < b+ c, V a,b,c e R.

0 4 Sí a < b, c > 0 entonces a.c < b.c OBSERVACIÓN: i)

A los números a_ y b los llamaremos sumando, y al número a + b suma de a y b.

i¡)

En a.b; a los números a y b los llamaremos factores y al número a.b producto de a y b.

iü)

El opuesto es único, así mismo cuando existe el inverso es único.

4

1,3

Eduardo Espinoza Ramos

AXIOMA DE S I STITÜCION.Si a y b pertenecen a un conjunto B y si a = b, entonces en toda relación se puede sustituir al elemento a por el elemento b sin que altere el significado de la relación.

1.5

a)

a.(b + c) = a.b + a.c, V a, b, c e R

distributiva a izquierda

b)

(a + b).c = a.c + b.c. V a, b, c e R

distributiva a derecha

TEOREMA PE IGUALDAD PARA LA A P IC IO N ~ Si a = b entonces a + c = b + c, para todo a, b, e e R Demostración Ioa = b. por hipótesis. 2o

a + c = a + c, propiedad reflexiva.

3o

a + c = b + c , Io. 2° y axioma 1.3

Sí a = b entonces a.c = b.c, para todo a, b, c e R Demostración

j ,7

Io

a = b por hipótesis.

2°

a.c = a.c. propiedad reflexiva.

3°

a.c = b.c, Io, 2° y axioma 1.3

TEO R EM A DE C AN C ELA C IO N PARA L A APICFON.Sean a,b,c e R ;

S ía + c = b + c entonces a = b Demostración

Io

a + c = b + c . por hipótesis.

2o

a + c + (-c) = b + c + (-c), Io y teorema 1.4?

5

Sistema de Números Reales

J.8

3o

a + (c + (-c)) = b + (c + (-c)), 2° y A2

4°

a + O = b + U, 3° axioma A4

5°

a

= b. 4o, axioma A¿

TEOREMA DE CANCELACION PARA LA M ULTIPLICACION.Sean a,b,c e R; Si a.c = b.e y e * 0, entonces a = b Demostración Io a.c = b.c, 2

o

... por hipótesis. c * 0,

... por hipótesis

3o

3 — e R / (a.c).— = (b.c). —, c c c

4o

a.(c.—) =b.(c.—) , c c

. .. 2 o, I o y axioma M A

. . . 3 o y axioma M-,

5o a . l = b .l ,

. . . 4 o y axioma M 4

6°

... 5o y axioma M 3

a = b,

1.9 DEFINICION.-

Para cualquier números reales a,b e R, definiremos a la sustracción de números reales por: a - b = a + (-b)

1.10

DIVISION DE N Ú M ER O S REALES.DEFINICION.-

Para cualquier números reales a,b e R, donde b * 0, definiremos al cociente de números reales por:

6

1.11 ©

Eduardo Espinoza Ramos

EJERCICIOS DES ARROLLADOS.Para cada número real a e R, demostrar que a + a = 2a Demostración 1°

a = a.l

. .. Por

2o

a + a = a.l + a.l

. .. 1° y axioma 1.4

3o

a + a = a .(l+ l)

. .. 2o y axioma 1J .a

4°

a + a = a.2 ... 3o y por M •,

5o

a + a = 2a

... 4o y por M ,

Para cada número real a e R, demostrar que a.0 = 0 Demostración

( 3)

1°

a.0 = a.0 + 0

... Por Aj

2o

a.0 = a.0 + (a + (-a))

... 1° y por A4

3o

a.0 = (a.0 + a) + (-a)

... 2o y por A2

4°

a.0 = (a.0 + a.l) + (-a)

... 3o y por M 3

5o

a.0 = a(0 + l) + (-a)

... 4o y por axioma 1.3.a

6°

a.0 = a.l + (-a)

... 5o y por A}

70

a.0 = a + (-a)

... 6° y por M 3

8o

a.0 = 0

... 7o y por A4

Para cada número real a e R, demostrar que:

-a = (-l).a

Demostración Basta demostrar que a + (-l)a = 0, porque (-l).a, y - a son inversos aditivos de a por A4

7

Sistema de Números Reales Luego

a + (-1 )a = 1.a + (-l)a,

... por axioma

a + (-l)a = (1 + (-1 ))a,

... por axioma vfy.b.

a + (-l)a = 0.a,

... por A 4

a + (-l)a = 0,

... .-.

( 4)

1.3

por ejercicio 2.

-a = (-l)a

Para cada número real a e R, demostrar que -(-a) = a Demostración I o a + (-a) = 0 2

°

30

...

(-a) + (-(-a)) = 0

... por A4

(-a) + (-(-a)) = a + (-a)

... Io , 2 o

4o -(-a) = a

por A 4

... 3o y por teorema 1.6

( 5 ) Para cada número real a,b e R, demostrar que (-a).(-b) = a.b Demostración

(ó )

1°

(-a).(-b) = [(-1 )a][(-l )b]

... por el ejercicio 3

2o

(-a).(-b) = (-1 )[a((-1)b)]

... 1° y M 2

3o

(-a).(-b) = (-1 )[(-1 >a].b

... 2o y M x, M 2

40

(-a).(-b) = (-1 )[(-a)].b

... 3o y ejercicio3

5o

(-a).(-b) = [(-1 )(-a)].b

... 4o y M 2

6o

(-a).(-b)=a.b

... 5o y ejercicio4

V a.b e R, demostrar que a.(-b) = -(a.b) Demostración Io

a.(-b) = a.((-l).b)

... por ejercicio 3

8 a.(-b) = (a.(-l)).b

... 1° y p o rM ,

3o

a.(-b) = ((-1 )a).b

... 2o y por M x

4°

a.(-b) = (-l)(a.b)

... 3o y por M 2

5o

a.(-b) = -(a.b)

... 4o y ejercicio3

6o

-(a-b) = (-1 )(a.b)

... Por el ejercicio 3

?o

-(ab) = ((-l)a).b

... 6o y por M 2

8o

-(ab) = (-a).b

... T y ejercicio 3.

9°

a(-b) = -(ab) = (-a).b

V a,b

g

O OC

2°

O

©

Eduardo Espinoza Ramos

R, demostrar que a.(b - c) = a .b -a .c Demostración

1°

a.(b - c) = a.(b + (-c))

... definición de sustracción

2o

a.(b - c) = a.b + a.(-c)

... 10 y axioma 1.3 .a

3o

a.(b - c) = a.b + (-(a.c))

... 2o ejercicio 6

40

a.(b - c) = a .b - a .c

... 3o definición de sustracción

Para a e R, demostrar sí a * 0, entonces a "1 = Demostración Io

a 1 = ( a _l).l

...

por M-,

2o

a~l = l .( a _l)

...

Io y

3o

a "1 = —

... 2o definición de división

9

Sistema de Números Reales ( 9)

V a,b e R, a .b * O, demostrar que (a.b) 1 =a 1.b Demostración

Io

(a.b).— = 1 {ab)

por A/4

2° (ab).{aJb)~l =1

3°

10J ^

y definición de división

(a.b).(a 1b 1) = ( a ) . ( a ) 1.(b).(b 1)

por M 2

4°(a.b).(a .h ■' u) =1,( a . -*) . ( 1b ..--) 1. a b

3°, M 2 y definición de división.

5°

(a.b).(a [.b ‘ ) = (1 )(!) = !

4° y M 4

6°

(a.b).(a l .b l ) = 1

de 5°

7°

(a.b).(a.b) 1 = (a./>)(a 1i> 1)

... de 2° y 6°

8°

(ai?) 1

... 7° y teorema 1.7

1

V a,b,c,d e R, b * 0, d * 0. demostrar que: —+ — = b d

+- ^'c b.d

Demostración

Io

- + - = a.b 1 + c . d x b d

por definición de división

2°

T + Ì 7 = ( a . b ì ) . { d . - ) + {c.d-x).(b.-) b d d b

Io y por M a

3°

— + — = ( a . b l ).(d.d x) + (c.d 1).(b.b ') b d

... 2o y definición por división.

10

Eduardo Espinoza Ramos

4o

U2

- + - = ( a. d) . (b]. d l ) + (b.c).(b1. d l ) b d

... 3o, A/, '

50

— + — = (a.d).(b.d) 1 + (b.c).(b.d)~x h d

... 4° y ’

ejercicio9

6"

— + — - ( a M + bx;).(bd) 1 b d

... de 5°

y axioma 1.3.b.

1°

—+ — = h d

... 6o y definición de división

+— hd

REPRESENTACION PE LOS NÚMEROS R E A L E sT Entre los números reales y los puntos de una recta existe una correspondencia, es decir: 51 sobre una recta se fija su origen “O”, una unidad, y un sentido positivo, entonces, a cada punto de una recta le corresponde un número real y reciprocamente, a cada número real le corresponde un único punto de la recta, al número real correspondiente a un punto de la recta se le llama abscisa del punto. ------ 1-------- 1--------1------- 1------- 1------- 1-------- 1--------1---------1— ► -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 NOTACION PARA LOS CONJUNTOS DE NÜMEROS.-

N: Conjunto de los: números naturales. Z:

Conjunto do los números enteros.

Q:

Conjunto de ios números racionales,

í:

Conjunto de los números irracionales.

R:

Conjun ¡o de los números reales.

C:

Conjunto de los números complejos.;

11

Sistema de Números Reales CONJUNTO DE LOS NUMEROS REALES

N 0 = {0,1,2,...,«,...} Z

0

entero positivo

enteros negativos

Decimales periódicos = 0.abe =

999

racionales R

Decimales periódico mixto = 0.abede Decimales exactos = 0 .abe =

abede - ab 99900

abe 1000

Q = { - l a . b e Z , b * 0} b I f propios: a/2 , -73 ,... V Irracionales! trascendentes = {e, 7t,...}

1.13

DESIGUALDADES., La correspondencia entre los números reales y los puntos de una recta pueden usarse para dar una interpretación geométrica de la relación de orden entre los números reales. La relación a < b significa que sobre una recta numérica el punto A corresponde al número “a”, que se encuentra a la izquierda del punto B correspondiente al número “b” . A B ------------ 1----------------------1-----------► a b El símbolo < se lee "Es menor que”. También usaremos los símbolos siguientes:

12 1.13.a

Eduardo Espinoza Ramos DEFINICIÓN.i) ¡i)

1.13.b

Un número real “a” es positivo sí, a > 0. Un número real “a” es negativo sí, a < 0.

DEFINICIÓN.Llamaremos desigualdad a una expresión que indica que un número es mayor ó menor que otro. Por ejemplo: 5 < 9.

U4

AXIOMA DE LA RELACION DE ORDEN.V a,b,c e R., se tiene: Ox Orden de tricotomía: una y sólo una de las siguientes posibilidades se cumple: a = b v ab O,

Orden transitivo: s í a a + c 0 => a.c < b.c En base a estos axiomas daremos las siguientes definiciones:

L15

1.16

DEF1N1CJON.i)

a b - a e s positivo.

ii)

a > b a —b es positivo.

iii)

a b a > b v a = b

a = b v a 0 + (-b)

2o y 0 ,

4°

-a + (b + (-b))> -b

5o

-a + 0 > -b

4o y A4

6o

-a > -b

5° y a 3

3o,

a2 y

A

TEQ R EM A .Sí a, b, c e R, donde a a.c > b.c Demostración

1° a ( )

2o y definición 1.14.i)

4o - a.c < -b.c

I o, 3o y 0 4 y ejercicio 6

5o a.c > b.c

4o y teorema

1. bfa

14 1.19

Eduardo Espinoza Ramos 1 1LUKIUMA.Para a e R, a * 0 => a 2 > 0 Demostración 1°

a* 0

por hipótesis

2o

a> 0 v a< 0

l° y 0 ,

3o

sí a > 0 => a.a > 0.a

2° y 0 4

A

O

\M

N

4o

3o y ejercicio 2

5o

sí a < 0 => -a > 0

2o y definición 1.15i

6o

(-a)(-a) > 0. (-a)

5o y o 4

T

a2 >0

6o, ejercicio 2 y 5

TEO R EM A .Para a e R. a * O entonces a 1 tiene el mismo signo que “a” es decir: i)

Sí a > 0 => a~x > 0

¡i)

Sí a < 0 => a~l < 0

Demostración i)

Io a > 0 2o

éT

'cO

hipótesis auxiliar

3o ¿7.a’ 1 < 0

I o, 2o y teorema 1.18

4o 1 < 0

3o y M 4 es absurdo

5o

por 2 o y 4 o

íT

' > 0,

6o Sí a > 0 => a~x > 0 ü)

por hipótesis

I o y 5o

Su demostración es en forma similar.

Sistema de Números Reales « /«<

15

TCADCM A Para a,b e R, donde a y b tienen el mismo signo, sí a a 1 > d 1 Demostración Como a y b tienen el mismo signo entonces se tiene dos casos: i)

a >0 a b >0

i¡)

a<

i)

1°

a 0

T

a 1>0

4o

a.a~ < b.a~l

3o y 1°; 0 4

5o

(a.a~l )b~l < (b.a x)b~x

3o y 4o; 0 4

6o

(a.a~1)b~1 0

2o, teorema 1.20

m

2

V

ii) 1i ,¿¿ ©

Su demostración es en forma similar.

IT l t ? D C i r iIva ftC W c A D D A T T An / W GiJüiKvlv ÜÍ-SAKKULLAUU5.Si a > b > 0, Demostrar que:

a 1 > b 2 , donde a,b e R. Demostración

Por hipótesis se tiene a > b > 0 => a > 0 Como

a

b>

0

a > b => a + b > 2b > 0 => a + b > 0

. ..( a )

a > b => a - b > 0

.. (ß)

16

Eduardo Espinoza Ramos de (a) y (f¡) se tiene: (a + b)(a —b) > 0.(a —b) de donde a 1 - b 1 > 0

=> a 2 > b 2

Sí a > b > 0 =s> a 2 > b 2

Sía,b>0 y a 2 > b2 = > a > b Demostración Por hipótesis se tiene

a 2 > b 2 => a 2 - b 2 > 0 de donde (a + b )( a - b ) > 0 ... (a)

como a > 0 a b > 0 => a + b > 0, de donde —— > o a+b de (a) y (P) se tiene ^ +

®

Sib>a>0

a +b

...

—— > 0 , de donde a - b > 0 entonces a > b .

y c > 0. Demostrar: >— 3 bh-Lr+ c bh Demostración

Como b > a > 0

=>

b > a y c >0

a. b>0

...(1 )

=> b .c > a .c

. . . ( 2)

en (2 ) sumando a.b > 0 en ambos lados. a.b + b.c > a.b + a.c ,

.

v

..

.

i

t

1

b.(a + c) > a.(b + c) , de donde:

®

d +C

Cl

------ > — b +c b

a c „ a+c c >— Si a,b,c,d > 0 y — > — Demostrar br» d/i b+d d Demostración a c Como — > — , donde b ,d > 0 b d

=> a.d >b.c

... (1)

Además c > 0, d > 0 entonces c.d > 0 Sumando c.d > 0, a ambos miembros en (1):

a.d + c.d > b.c + c.d

17

Sistema de Números Reales

d.(a + c) > c.(b + d), de donde: a + ° > — b +d d (^ )

Para a,b,c números reales. Demostrar que a 2 + b 1 + c 2 >a.b + a £ + b.c Demostración V a.b e R, ( a - b ) 2 > 0

a 2 + b 2 - 2a.b > 0

V a. c e R, (a - c )2 > 0

a 2 + c 2 - 2 a r >0

V b,c e R, (b - c ) 2 > 0

b 2 + c 2 - 2b.c > 0 2( a 2 + b 2 + c 2 ) -2(a.b + a.c + b.c) > 0

de donde a 2 + b 2 + c 2 >a.b + a.c + b.c (7 )

V a,b e R ' , demostrar que ü + ^ > -Jali Solución Como a,b e R + => -Ja - 4 b e R Sí 4 a —4b e R => (4a ~ 4 b ) 2 > 0, de donde a + b - 2 4 a 4 b > 0

=> a + b > 2 4 a b

a +b ->4ah

(l)

Demostrar que sí a < b, Entonces a <

■ a + a < a + b => 2 a < a + b

...(1 )

a a + b 0

=> a 2 + c 2 > 2a ¿

...(1 )

V b,d e R, ( b - d ) 2 > 0 => b 2 + d 2 >l b. d sumando (1) y (2 ) se tiene:

...(2 )

a 2 +b 2 + c 2 + d 2 > 2 (a£ + b.d) 2 > 2(a.c + b.d)

V a,b,c,d e R + y n e Z + , demostrar que:

1 > a.c + b.d

a 2" + b 2n + c 2n + d 2" > 4 (abcd)"12

Demostración a,b e R + => a " , b n e /?+ ,pero a ” - b n e R, entonces: (an - b n) 2 > 0 => a 2n + b 2n > 2 a nb ” c,d e R^ => c " , d n e R + , pero c " - d "

. . . ( 1) e R, entonces:

(c" - d " ) 2 > 0 => c 2" + ¿ 2n > 2 c nd"

...(2 )

Sumando (1) y (2) se tiene:

...(3 )

a 2" + ¿>2n + c 2" + d 2n> 2 ( a nb" + c " d " )

( J a " b n - a / c V "”) 2 > 0 => a nb" + cnd n>2^¡anb nc nd n a 2" + />2” + c 2" + ¿ 2n > 4 -Janb nc nd n ...

(lo)

a 2" + 62” + c 2" + í / 2n ¿4(a¿>c 0, Demostrar que (1 —a)(l - b ) ( l - c ) > 8abc Demostración Como a,b ,c > 0 => -J~a,-Jb,-Jc > 0 entonces:

...( 4 )

19

Sistema de Números Reales -Je e R

b + c> 2-Jbc

-Je e R

=> • a+ c> 2-Jac

-Jb e R

a + b> 2-Jab

(b + e)(a + c)(a + b ) > 8abe 1- a = b + c Pero sí a + b + c = 1

\ - b - a +c

. . ( 2)

\-c+ a+b Reemplazando (2) en (1) se tiene:(1 —a)( 1 —b)( 1 - c) > 8abc

©

Si a.b.c.d e R" , Demostrar que:

(ab + cd)(ac + bd) > 4abcd

Demostración Como a,b,c,d e R + => ab > 0, cd > 0, ac > 0, bd >

0

De donde -Jai) -~Jcd e R, y -Jac--Jbd e R. entonces: \(-\fab—J c d ) 2 > 0

\ab + cd > 2-Jabcd

\(4ac- - J b d ) 1 > 0

Iac + bd > 2-Jabcd

multiplicando se tiene: Sean a,b,c,d e R

(ab + cd)(ac + bd) > 4abcd

ac , a a+c c tal que — < — . demostrar que: — < -------< — b d b b+d d Demostración

Como

—< — => a.d < b.c por que b,d e R 1 a.d < b.c, sumando a.b, a ambos b d miembros ad + ab < be + ab, factorizando

a(b + d) < b(a + c), de donde ~ En ad < be sumando cd, a ambos miembros ad + cd < be + cd,

. . . ( 1)

20

Eduardo Espinoza Ramos

Factorizando d(a + c) < c(b + d), de donde:

Ü í£ < £ b+d d

^ . De (1) y (2) se tiene:

c d

a a+c — < ---------b b+d

a

_ , , . De donde por transitividad se tiene:

a +c b+d

. . . ( 2)

----------< —

a a +c c —< ------- < — b b +d d

Si a,b,c y d, son números reales cualesquiera. Demostrar que: a 4 + b 4 + c 4 + d 4 > Aabcd Demostración Como a,b,c,d e R => a 2, b 2, c 2, d 2 e R, además: \a2- b 2 e R

(a2 - b 2) 2 > 0

\c~ —d~ e R

(c2 - d 2) 2 > 0

de donde al efectuar se tiene:

a 4 + b 4 > l a 2b 2 c A + d A > l c 2d 2

... (2)

Sumando (1) y (2) miembro a miembro se tiene: a 4 + b 4 + c 4 + d A > l ( a 2b 2 + c 2d 2) Como ab. cd e R

=>

ab - cd s R,

...(3 ) entonces:

(a b -cd )'>0

a~b2 + c 2d 2 >2abcd => 2(a2b 2 + c 2d 2)> 4abcd de (3) y (4) por transitividad se tiene:

a 4 + b A + c 4 + d 4 > 4abcd

Si a > 0, a e R, demostrar que: a + — > 2 a Demostración Como a > 0 => -Ja > 0 , de donde 4 a —

e R por lo tanto

de

donde

...(4 )

Sistema de Números Reales

21

(Va — 7=)2 ^ 0 , desarrollando se tiene: Va , „+ , Si a,b,c, e , demostrar que:

a - 2 + —> 0 de donde a + — > 2 a a

bc ac ab , — + ------1-— >a + b + c a b c Demostración

Por hipótesis se tiene que a,b,c > 0, entonces — > 0 , —> 0 , —> 0 entonces aplicando el ejercicio 14). b c c

Ahora a (1) multiplicamos por c,a,b respectivamente. ac bc ^ _ — + — >2c b a ab a c . — + — >2a c b ab — +— >2b c a

b

a

-a c c

„bc

-ab =>

. h e ac ab s -, , , 2(-----h— + — ) > 2(a + b + c) a b c r.- ^ i ^ rv j Si a > 0, b > 0, demostrar que:

2 — + 2 — + 2 — >2c + 2a + 2b

bc ac ab , — + — + — >a +b +c a b c a +b _ a b -----:— - < -— - + a + b + 1 6+1 a + l Demostración

Como a > 0, b > 0, entonces a + 1 > 1, b + 1 > 1 luego se tiene: a +l>1

a + è + 1> è + 1

Z> + 1 > 1

a +b + \> a + l

ahora inviniendo cada una de las desigualdades:

----- ---- < —— y ----- ----- < — — a + b + 1 ¿>+ 1 a +b + 1 a + l

22

Eduardo Espinoza Ramos multiplicando a las desigualdades por a y b respectivamente. a a b _ b ---------- < ------ y ---------- < ------o + b +1 b +1 ¿7+ ¿>+ l

+1

• a +b ^ a b Sumado estas dos desigualdades se t i e n e : ---------- < ------ + a + b +1 b +1 a +1 17)

1 Si a,b e R, b * 0, demostrar que: — a 2 +ab + b 2

4 3b 2

Demostración

Completando cuadrado en a +ab + b

se tiene: c r + a b + b = (a + —

(1)

Como a.b e R => a + — e R, de donde (a + —)2 > 0 2 2 J 3t>2 ■ Sumando ------ se tiene: 4 o

, b ■, 3b2 3b 2 (a + —) ' + -------> -----2 4 4

...( 2 )

Ahora de (1) y (2) se tiene. 2 . ,t a ' +ab + b~

18) '

3b2

, . . 1 como b * 0 invertimos — ----- -— a 2 +ab + b 2

Si a > 0 y b < 0, Demostrar que:

a

4 3b2

0, b < 0 => ab < 0, sumando “a” a ambos miembros se tiene: a + b.a < a, de donde a(b + 1) < a Como a > 0

=>

... (1)

-X- > 0 , ahora multiplicamos a (1) por - \ a~ a~

... a(b + l) a . Obten íendose ----- < —r- simplificando a a

,

¿+1 1 .'. ----- < — a a

Sistema de Números Reales

19j

23

Si a > 0 . b > 0 tal que a + b = l , demostrar que:

a^ - ~

Demostración Como a > 0, b > 0 => a - b e R, de donde: ( a - b ) 2 > 0 => a 2 - 2 a b + b 2 > 0 sumando 4ab. a 2 +2ab + b 2 > 4 ab de donde:

(a + b)2 > 4 ab

pero como a + b = l , se tiene l >4 a b , por lo tanto a^>-~

20j

Si a > 0 , b > 0 , 3a * 5b, demostrar que: 5b 3a

— +— >2

Demostración Como 3 a * 5 b => 3 a - 5 b * 0 y 3 a - 5 b e R entonces ( 3 a -5 6 )2 > 0 Desarrollando se tiene:

9a 2 - 3 0 a b + 25b2 > 0

Sumando 30ab, a ambos miembros:

9a 2 +25b 2 > 30ab multiplicando por

15ab

9 a 2 +25Z>2 30ab . . . 3a 5b , -------------- > ------- , de donde: — + — > 2 15ab 15ab 5b 3a i . 23

E JER C IC IO S PRO PUESTO S.-

©

Si a y b son números reales positivos, demostrar que:

(T )

Si a,b,c son números reales positivos, demostrar que:

(—+ —+ - ) ( a + b + c) > 9 a b e

©

Si

positivos,

a,b,c,d

son

números

( - + —+ - + —)(a + b + c + d ) > 16 a b c d

reales

(—+ —)(a + b) > 4 a b

demostrar

que:

24

Eduardo Espinoza Ramos

( 4)

Si a y b dos números reales positivos tal que a > b, demostrar que:

(J)

V a e R. a * 0, demostrar que:

Si a,b,c e R* , demostrar que: (T )

Si

—+ — > — + 3 b a a2

a 2 +— > 6

(b + c)(a + c)(a + b) > 8abc

a,b e R, demostrar que: a^b + ab* < a 4 + b A

Si a,b,c e R, demostrar que:

a 2 + b 2 + c 2 +3 > 2(a + b + c)

®

Si 0 < a < 1, demostrar que a 2 9abc ©

Si

a.b.c

son

números positivos

y

no iguales

entre

si.

Demostrar

que:

cero.

Demostrar

que:

(a + b + c)(a~l + ¿ _1 + c _1) > 9 13J

Si

a

y

b

son

números

reales

diferentes

a 2 16Z>2 8a 32 b — + — — + 24> — +---b~ a b a ¿ 4)

Si Sug.

a 2 + b 2 = 1. Demostrar que: - ^ ¡ 2 < a + b < 4 l ( x - y ) 2 > 0 => 2 ( x 2 +>’2) > (x + y ) 2

15) Si a + b = c, a > 0, b > 0, demostrar que: a 2,i + b 2,3 > c 2li

®

Si a + b > c > 0, demostrar que:

—— + l + o \ +b

1+ c

de

Sistema de Números Reales ©

Si a,b,c > O, demostrar que:

25 3abe < a 3 + 63 + c 3

®

Si c > 0, d > 0, 2d * 3c, demostrar que:

(í? )

Si a > 0, b > 0, a * b, demostrar que:

Si a,b,c e R, demostrar que:

4d

2 4b

(20)

— >1 3c

-Ja

b 2c 2 + c 2a 2 + a 2b 2 > abc(a + h + c)

2 l)

Sea a + b = 2, donde a y b son números reales, demostrar que: a 4 + b 4 > 2

^\ 221

7 7 ? 9 9 9 Si a~ +b~ +c~ = 1 y x +>> + z = 1 , demostrar que: ax + b y + c z < l

23) ‘ J

b 1 1 " Si a > 0, b >0, demostrar que: — + ——> —+ — 4 b2 a 2 a b

24)

Si 0 < a < l , demostrar que: a 2 < a

25)

Si a,b > 0, demostrar que:

26)

Si a > 0, b > 0, demostrar que:

-Jab > a +b

°

> (—í^ ) 3

(27)

Si a > 0 , a * 1, demostrar que: a l + ^ — > a 2 + ~ a a~

28)

S i a > 0 y b > 0, demostrar que: 4(a +b ) > ( a + b)

29)

Si a y b son números reales, demostrar que: ~J(a~+c ) 2 +(b + d ) 2 < -Ja2 + b 2 + -Je2 + d 2

3(y

Si a.b,c e R T, demostrar que: (a + ¿>+ c) 3 >21abc

(31)

Si a,b,c y d son números reales cualesquiera. Demostrar (ab + c d )2 < ( a2 + c 2)(b2 + d 2)

26

Eduardo Espinoza Ramos

2) Si a.b e R, demostrar que:

a 4 + b 4 > —(a + b)4 8

33)Si a > 0 y b > 0 , demostrar que: “■

(g + —) 2 + (b + —) 2 a h

2

Si a > 0 , b > 0

(35)

Si a,b.t\d e R,demostrar que: ac+bd < ^ ( a 2 + b 2)(c2 + d 2)

(3ó)

Si a,b e R tal que a + b = 1, demostrar que: a 4 + b A > ^

®

8j Si a,b e R tal que a + b = 3, demostrar que: a 4 + b 4 > —

38)

Si a,b.c,d e R +, demostrar que: ~ ( a + b + c + d)>^J a bed

Si a: , a 2,...,a„. bx, b2,...,b„ eR tal que: demostrar que:

40)

+ +¿*) 2

1 1 25 tal que a + b = l , demostrar que: (a + —) 2 + (b + —) 2 > -^-

^

9)

a +b

a 2 + a 2 +...+a2 = \ , b 2 +b2 +...+b2 =1

axbx + a 2b2 +...+a„b„ a Si - a > 0 y ( a - b ) 2 > {a + b)2 , entonces b >0

(42)

Si a, b e R, tal que 2a +4b = 1, Demostrar que:

.43)

Si a > 0. b > 0 =? a 3 + b l > a 2b + ab 2

44) ^

Si jc,,x,,...,jcn e R -

y si

p =^Jxxj c2..jc„ V

a 2 + b2 >

x 2 +X1 —— + x n demostrar -—+— y a X1 =+ —-2---n

que: p < a. ÍÍ)

^

Si a,b,c,m,n,p e R / m > 0 , n > 0 , p > 0 :

— < —< — entonces: m

n

p

— < ^+ a + c < m

m+n+p

p

Sistema de Números Reales

27

®

_ , . Probar que si al < a 2 < — 0 y a — + — b2 a 2 a b

54)

Consideremos x, y, z, w números reales, demostrar que: ■ > 2 2 ' > ^ 2 x + y + z + w > —(x y + xz + xw + y z + yw + zw)

a2

b2

55)

Si a y b son números desiguales positivos demostrar que: a + b < — + — • b a

56)

Si a,b y c son números positivos distintos. Demostrar que: (a + b + c) 2 < 3 ( a 1 + b 2 + c 2)

51)

Si a y b son números positivos distintos, demostrar que:

,58)Si x,y son números distintos, demostrar que: 59)

(a 3 + b 3)(a + b)> ( a 2 + b 2) 2

(x 4 + y 4 )(x2 +>’2) > ( x 3 +>'3) 2

Si x,y,z son números positivos distintos, demostrar que: xy(x + y) + yz(y + z) + xz(x + z) > 6xyz

28

(£0) 61J

Eduardo Espinoza Ramos a-2 b-2 Demostrar que: a —---- < a-1 b-1 Sean a,b,c,x,y,z números positivos distintos, demostrar que: (a2 + b 2 + c 2 )(x2 + y 2 + z 2) > (ax + by + cz) 2

(62)

Demostrar que: 0 < d < c => ^ — ^ - > d 2 ( c - d )

_

4

.3

@

Si 0 < d < c => d 3( c - d ) < — - — < c 2( c - d )

(64)

Si x > 0 , y > 0, z > 0, demostrar que:

®

a)

xyz = 1 => x + y + z > 3

b)

xyz = 1

a

x+y+ z=3 o

Demostrar que: x > 0 , y > 0 , z > 0

x=y =z= 1 x y z x y z = > — + —+ —>3 ( s u g : ----- —= 1 y ejercicio 64) y z x y z x

(óó)

Demostrar para todo a y b real

\[ab < -~= \¡a2 + b 2

(ó?)

Si x e y e R, demuestre que: |x| + |y| > |x + y|

(68)

Si x 1, x 2,...,x „ e R~ tal que x¡

(69^

Si a,b e R, demostrar que:

(70)

Si a > 0, probar que:

=1.

Entonces x x + x2>1

(a + b)4 < 8(a4 + b 4 )

2 i X . + +a > a + 1 x +a

J i ) Si a,b,c ei?* ,y si a 2 + b 2 + c 2 = 8 . demostrar que: a 3 + b3 + c 3 > 1 6 ^

72)

Si a > 0 , b > 0, demostrar que:

(-^- + -^ -)(a 2 +Z>2) > 4

29

Sistema de Números Reates

73)

Demostrar que sí a,b,c nos números reales positivos entonces a+ +C > Ifabc

^ 4)

Sí V a,be R talque a > 0 A b > 0 y a < x 2 - J a < x < 4 b v - - J b < x < —Ja

^ 5)

Si

JC], x 2 , —, x„ e R, talque x¡ jc2...jc„ = 1. Demostrar que x x + x 2 +...+x„ > n

Si a,h e. R ' , Demostrar que ( a 2 + b 2)(a + b)2 >&a2b 2

77) ^

Si

78) Si a,b

g

a + b + c = 0, Demostrar que: (—+ —+ —)2 = ——+ - Î - + — a b c a - b2 c2 1 1 R , Demostrar que ——+ ——> a 2 b2

1.24

JNECUACÏONES.-

1.24.1

DEFINICION.-

(a + b)2

Una inecuación es una desigualdad en las que hay una o más cantidades desconocidas (incógnita) y

que sólo se verifica para

determinados valores de la incógnita o incógnitas. Ejemplo.- La desigualdad:

2x + 1 > x + 5, es una inecuación por que tiene una

incógnita “x” que se verifica para valores mayores que 4. 1.24.2

INTERVALOS.-

Los intervalos son sub-conjuntos de los números reales que sirven

para expresar la solución de las inecuaciones, estos intervalos sé representan gráficamente en la recta numérica real. Consideremos los siguientes tipos de intervalos: a)

Intervalo cerrado.-

a a }

a

= {x e R / x > a}

< OHHmHHiHHMtHtttttt *•

a u = {x e R / x * a}

Nota.- ( l ) Ejemplo.-

mmHtHHHmHMMtto mmmtHHmwmmm

a

S ix e [a,b] a s x ¿ b Demostrar que: síx e[2,4] entonces 2x + 3 € [7,11] Solución

x e [2,4] => 2 < x < 4, multiplicando por 2 4 < 2x < 8, sumando 3 7 Sí 7 < 2 x + 3 < l l

< 2x + 3 < 11 => 2x + 3 e [7,11]

Por lo tanto, sí x e [2,4] => 2x + 3

g

[7,11]

Sistema de Números Reales © Ejemplo.-

31 & < x x e Solución

2x —6 e =?> -4 < 2x —6 < 4, sumando 6 2 < 2x < 10 dividiendo entre 2 l 0 ó ax + b < 0 , a=£Q Para resolver estas inecuaciones se debe considerar a > 0, es decir, sí a > 0, entonces: X >

b

.

------ O

a

X <

b —

a

Su representación gráfica es O M M tM H H M H m tm ►

b a

X

Ó

■■ tH M tm tH ftH H H tH tH iO

X

b a

32

Eduardo Espinoza Ramos

Luego la solución es dado en la forma: Ejemplos.-

0

x e < — ,+oo > a

ó

x e < -oo,— > a

Resolver las siguientes inecuaciones.

3x —4 < x + 6 Solución Las inecuaciones de primer grado en una incógnita, se resuelve, expresando la inecuación en la forma: En un sólo miembro se pone la incógnita, en el otro miembro los números, es decir: 3x - x < 6 + 4, simplificando se tiene: x < 5, es decir: x e m m H H M H t M m m t O ------►

La solución es: x e

5 0

3(x —4) + 4x < 7x + 2 Solución Poniendo en un sólo miembrola incógnita y en el otro miembrolos números: 3x - 12 + 4x < 7x + 2 => 3x + 4x - 7x < 2 + 12simplificando

0<

14

esta desigualdad obtenida es cierta, entonces la solución de la inecuación dada , es el conjunto de todos los números reales (x e R).

0

5x —4(x + 5) < x —24 Solución En forma análoga a los ejemplos anteriores en un sólo miembro ponemos las incógnitas y en el otro miembro los números:

5x —4x —x < -24 + 20 simplificando 0 < - 4

Como la desigualdad obtenida no es correcta, entonces no hay ningún valor de x, que verifique que la inecuación dada. Por lo tanto la solución es el vacío ().

0

2 < 5 —3x < 11 Solución Aplicando la propiedad de transitividad:

a

Si la inecuación es de la forma: a x2 +bx + c> 0 , con a > 0. La solución es todos los valores de x * r, es decir:

ii)

x e U

Si la inecuación es de la forma: ax2 + bx + c < 0 , con a > 0. No se verifica para ningún valor real de x.

3o Caso.i)

Si la ecuación ax2 + bx+c = 0 , tiene dos raíces no reales.

+

Si la inecuación es de la forma: ax2 bx + c

>0, con a > 0.

La solución es todos los valores reales de x. ii)

Si la inecuación es de la forma: ax2 +bx+c < 0 , con a > 0. No se verifica para ningún valor real de x.

RESUMIENDO EN EL SIGUIENTE CUADRO. Raíces de la Ecuación Forma de la Inecuación a x2 +bx + c = 0 a x 2 +bx + c > 0 , a > 0

Raíces diferentes

Conjunto Solución

< —oo, r, > U

r\ 0

Raíz Real Unica

Raíces no reales

36

Eduardo Espinoza Ramos Ejemplos.-

©

Resolver las siguientes inecuaciones.

2 x 2 —jc-1 0 > 0 Solución Resolveremos la inecuación usando propiedades de los números reales: a,b > 0 o 2;t“ - ; t - 1 0 > 0

Ca>ÖA b > 0 ) v {a < 0 a b < 0)

=> (x + 2)(2x —5)> 0

(x + 2)(2x- 5 ) > 0

(x +

2 > 0 a 2 x —5 > 0 ) v ( x + 2 < 0 a 2 x —5 < 0 )

(x > -2

a

x > 5/2)

v

----------------- ► O--------------Q//////////A 5

O-

-2

(x < -2

a

x < 5/2)

-«--------------- O « ///////////O -2

2

La solución es:

-O -6 — ► 5 2

x e < —oo,—2 >U < — ,+oo> 2

Otra forma de resolver esta inecuación, es por la-naturaleza de sus raíces de la ecuación , 2x~

-

jc -

10 = 0

, de donde

= - 2 , r2

5 = —

de acuerdo al cuadro la solución es:

, luego 7

¥ x e < - 00,-2 >U < — ,+«>> 2

©

;t2 +8 jc- 6 5 < O Solución Usando propiedades de los números reales. ¡sr,b>flO

-^h < a < -4 b

completando cuadrados en x 2 + 8x- 6 5 < O, se tiene:

<

r2 y como 2x

,

—je: — 1 0

> 0

,

Sistema de Números Reales

37

x 2 + 8x + 16 < 65 + 16 => (x + 4) 2 < 8 1 , aplicando la propiedad (x + 4 )2 0

entonces:

x e R; x * -1 0 , (x + 10)2 > 0 , por lo tanto la solución es; x s R -{ -1 0 ¡

Ahora veremos de acuerdo a la naturaleza de las raíces: x 2 + 20x +100 = 0 => r = -10, multiplicidad 2, y como x 2 + 20x +100 > 0 , de acuerdo al cuadro de solución es: x

®

g

R —{-10}

, 3 9 x ~ + —jc + — < 0 inn Solución Aplicando la propiedad de los números reales: V x e R , x 2 > 0

luego

3 x 2 + —x +

5

9 -----< 0 100

3 'i => (x + — )2 < 0 10

pero F

3

( x h ------- )2 >

10

ningún valor real para x que verifique a la inecuación, es decir: .

0 , entonces no existe

38

Eduardo Espinoza Ramos 3 9 Ahora resolvemos mediante la naturaleza de las raíces de la ecuación x~ +—x + -—- = 0 , 5 100 3 r = ----- de multiplicidad dos, pero se tiene que 10

de donde

acuerdo al cuadro la solución es:

IM

9 3 9 x~ + —x +-------- < 0 y de 5 100

(|).

INECUACIO NES PO LIN O M ÍC A S.Una inecuación polinómica en una incógnita, es de la forma siguiente: P { x } - a nx n +,..+atx + a $ > 0 donde o 0, a)

s

o

n

ó '.

P{x) ~ a„xn

constantes y a„ * 0 , n e Z 4

+

0 ó P(x) < 0, se resuelve de acuerdo a la naturaleza de sus raíces de la ecuación polinómica P(x) = 0, en una forma sencilla y rápida, considerando a„> 0 . Para

esto

hallaremos

primero

las

raíces

del

polinomio

P(x) = a„xn +...+£7lx + a 0 = 0, y como éste polinomio es de grado n entonces tiene n raíces, lo cual pueden ser reales diferentes, reales de multiplicidad y no reales. I o Caso.-

Cuando las raíces de la ecuación polinómica p(x) = 0, son reales diferentes. Es decir:

a)

rx < r, < ...< rn_x < rn

En los intervalos consecutivos determinados por las raíces del polinomio P(x) = 0, se alternan los signos “+” y

reemplazando por asignar el signo

(+) al intervalo < rn ,> .

^ A A ^ A ^ T A A ^ A A ^ ■ ■ ■ ■ ■ rn-3

rn -2

rn - l

rn

r

39

Sistema de Números Reales b)

Si la inecuación polinómica es de la forma: P(x) = a nx n +...+alx + a 0 > 0 , a n > 0 ; al conjunto solución será la unión de los intervalos a los cuales se le ha asignado el signo

c)

Si la inecuación polinómica es de la forma: P(x) = anx" +...+axx + a0 < 0 , a„ > 0 ; el conjunto solución, será la unión de los intervalos a los cuales se le ha asignado el signo

NOTA.Ejemplo: ©

Explicar el método de Ruffini Resolver las inecuaciones siguientes:

jc5 + 3 x 4 - 5 x 3 - 1 5 x 2 + 4 jc+ 1 2 >0

Solución Expresamos el I o miembro de la inecuación en forma factorizada (x + 3)(x + 2)(x—l)(x + 1)(x —2) = 0 1

1

1

1

1

3

-5

-15

4

12

1

4

-1

-16

-12

4

-1

-16

-12

0

2

12

22

12

6

11

6

0

-1

-5

-6

5

6

0

-2

-6

3

0

-3 1

0

1

2

-1

-2

-3

40

Eduardo Espinoza Ramos Luego las raíces son:

/•, = - 3 , r2 = - 2 , r3 = - l , rA = 1, /-5 = 2

-3

- 2 - 1

1

2

Como P(x) > 0, la solución es la unión de los intervalos donde aparecen el signo (+). Es decir:

©

x e U < -l,l> U

2x3 - 3 jr 2 -1 l.v + 6 < 0

Solución Hall aremos las raíces de la ecuación 2

2

2

2 x 3 - 3x 2 -1 Le + 6 = 0

-3

-11

6

-4

14

-6

-7

3

0

6

-3

-1

0

-2

3

'/2

1 2

0

Luego las raíces del polinomio son:

r, = - 2 , r2 = —, r, = 3

Como la inecuación es de la forma P(x) < 0, la solución es la unión de los intervalos donde aparecen el signo (-). Es decir: 2° Caso.-

x e < -oo,-2 > { / < —,3 > 2

Si algunas de las raíces del polinomio P(x) = 0 son reales de multiplicidad de orden mayor que 1 se tiene:

41

Sistema de Números Reales a)

Cuando el orden de la multiplicidad de una de las raíces del polinomio P(x) = 0 es par, en este caso a la raíz no se considera para la determinación de los intervalos y para dar la solución se sigue el mismo proceso del I o caso.

b)

Cuando el orden de la multiplicidad de una de las raíces del polinomio P(x) = 0, es impar, en este caso a la raíz se considera para la determinación de los intervalos y para dar la solución se sigue el mismo proceso del I o caso.

Ejemplo.0

Resolver las inecuaciones siguientes.

( x - l ) 2(x + 2)(x + 4) > 0 Solución Resolviendo la ecuación

(x - 1 ) 2 (x + 2)(x + 4) = 0 , de donde

rx = - 4 ,

r, = - 2 ,

y

= 1, de multiplicidad 2.

-4

-2

1

Como la inecuación es de la forma P(x) > 0, la solución es la unión de los intervalos donde aparecen el signo (+), es decir: ©

x e U - {1}

(2x +1 )(3x - 2)3(2x - 5) < 0 Solución Resolviendo la ecuación (2x + l)(3 x -2 )3(2 x -5 ) = 0 , de donde

1

2 ri = y de

multiplicidad 3, r, = —

-1/2

2/3

5/2

Como la inecuación es de la forma P(x) < 0, la solución es la unión de los intervalos donde aparecen el signo (-). Es decir: 3o Caso.-

1 2 5 x e < -oo,- —> U < —, — >

Cuando alguna de las raíces del polinomio P(x) = 0 no son reales, en este caso a estas raíces no se consideran en la determinación de los intervalos y para dar la solución se sigue el mismo procedimiento de los casos anteriores.

42

Eduardo Espinoza Ramos Ejemplo.-

©

Resolver las siguientes inecuaciones.

(.v2 - 7 ) ( x 2 +16)(.v2 —16)(jc2 + 1) < 0 Solución Resolviendo la ecuación: (x 2 - l ) ( x 2 + 16)(x2 -1 6 )(x 2 +1) = 0 , de donde

rx = - 4 , r2 = —j 7 , i\ = ^ 7 , r4 =4, r¡¡ = - 4 / , r6 = 4i , r-¡ = /, +

A

-4

-V7

V7

Como la inecuación es de la forma P(x)

A

T

-

i

4

< 0, la solución es de la unión

de losintervalos

donde aparecen el signo (-), es decir:x e < - 4 - - J l > U < -Jl,4 > (? )

(1+x + x 2)(2 - x - x 2) > 0 Solución La inecuación la expresaremos así: ahora resolviendo la ecuación -1 + V3i

-1 -V 3 ;

( x 2+ x + 1)(jc 2 + x - 2) < 0

( x 1 +x

+ \){x2 + x - 2 ) = 0 de donde: r¡= - 2 , -----

r 3 = ---- r ---- , # 4 = ---- -----

•

AA~r A/' -2

r 2 =1 ,

+

1

Como la inecuación es de la forma P(x) < 0, la solución es la unión de los intervalos donde aparecen el signo (-), es decir: x e [-2,1]

L30

INECUACIONES FRACCIONAR! AS.Una inecuación fraccionaria en una incógnita es de la forma:

donde P(x) y Q(x) son monomios o polinomios diferente de cero.

Sistema de Números Reates

43

Para resolver una inecuación fraccionaria debe tenerse en cuenta que las inecuaciones: P(x) . . P(x) _ . , , ----- - > 0 o ------- < 0 , son equivalentes a las inecuaciones Q(x) Q(x) M P(x).Q (x)>0 ó P(x).Q (x) Q 2(x)> 0 , de donde se tiene:

Si

^ > 0 Q(x)

=*

P(x)n f ' ( x ) >0.Q2(x) O(x)

=¡> P(x).Q(x) > 0

Si

^ > < 0 Q(x)

=>

P(X)Q ( X) < 0 .Q2(x) Q(x)

=>

Ejemplo./^ \

^

P(x).Q(x)< 0 V ’w v w

Resolver las inecuaciones siguientes:

(-Y(.t 2 -1 )( jc x +3)(* + 3)(jc- 2 ) ^ Q

;> u

( x —5)(x + 7)

Solución , • (* 2 - l)( * + 3 )(* -2 ) , • • • ■■ La inecuación----------- ——---------- > 0 , es equivalente a la siguiente inecuación. ( x - 5 ) ( x + 7) H B (jc2 —1)(jc+3)( jc—2)(jc—5)(jc-»- 7) > 0 , para x * -7 ,5 ahora hallaremos las raíces de la ecuación ( x 2 —1)(jc -i- 3)(jc —2)(jc —5)(jch- 7) = 0 . De donde r, = -7 , r2

-

7

-3 ,

-

= - 1 , r4 = 1, rs =2 , r6 = 5 , que son reales diferentes.

3

-

1

1

2

5

P(x) Como la inecuación es de la forma ------ > 0, la solución es la unión de los intervalos Q(x) donde aparecen el signo (+) es decir: x e U U U

©

x-2 x +3

jc + 1 ---------- > 0 , que es equivalente a: a'( x + 3)

x(2x + 1)(x + 3 )x > 0, para x * -3,0 ahora encontramos las raíces de la ecuación. (2x + l)(x + 3)x = 0, de donde r, = - 3 , r2 = — , r3 = 0

-3

-1/2

0

Como la inecuación es de la forma: (2x + l)(x + 3)x > 0, la solución es la unión de los intervalos donde aparecen el signo (+). es decir: xe x x -1

< —3,—> U < 0 .+ » >

2

x-\ 2x - + ----- gíx)

Resolver las siguientes inecuaciones:

46

0

Eduardo Espinoza Ramos

3/3(S,-l>/3 Solución 5jr-t-l

La inecuación dada es equivalente a:

3(x +l)

5x+l

3 9 < 9 10

=>

6x+6

3 9 < 3 10

, ^ , 5jr + l 6.v + 6 como a = 3 > 1 entonces ------- < --------9 10 50.y+ 1 0 < 54.r + 54

=?> —44tv^1K' 2)]A 3>(0,°12^

=> x > - l l => x e < - l l , + o o >

x e

3jr-l

Solución La inecuación dada se puede escribir en la forma: (jr-j-'Xjr -2) ( 0 ,2 )

* -3

.

(x+l)(.r-2)

> ( u - ^ z o ) 3 x -i

dedonde:

(0 ( 0 , 2 ) 12a- 4 ,

8 ,

.

(x + \ ) ( x - 2 )

como a = 0.2 < 1, se tien e:--------------- < 1 2 - 4 x-3

(jc + 1)(jc —2) => ------- ------ - - 1 2 * + 4 < 0 jc—3

1 l x 2 -3 9 x + 14 efectuando operaciones y simplificando tenemos: --------------------> 0 , esta inecuación es x -3 equivalente a: (1 be2 -3 9 x + 14)(j c - 3) > 0 p a ra x * 3 . Ahora hallando las raíces de : (1 lx 2 -3 9 x + 14)0c-3) = 0 , de donde: 3 9 -^ 9 0 5 , r, = ------------- , r7 = 3 , 1

22

2

3

39-V905 22

39+^905 = ------------22

3

39 + ^905 22

47

Sistema de Números Reales

P(x) Como la inecuación es de la forma ------ > 0 , la solución es la unión de los intervalos Q(x) , ■ . ■ donde aparece el signo (+) es decir:

1.32

3 9 -^ 9 0 5 , „ 39 + ^905 x e < -------------- j > U 22

22

INEC U AC IO N ES IRRACIONALES.» Las inecuaciones irracionales en una incógnita son de la forma: .....Ó

............................. 0

donde P2 (x),P-¡ (x),...,P„ (x) son monomios o polinomios diferentes de cero. Para que la solución de la inecuación sea valida debe resolverse antes la condición P¡(x)> 0 , i = 2,3,...,n en las expresiones con una radical par, cuyo conjunto solución constituirá el universo o dentro del cual se resuelve la inecuación dada.Debe observarse que

quiere decir, ( +^ P ( x ) ) y si se desea la raíz negativa se escribirá

expresamente como ( - - J P f x ) ) ; es decir: i)

V P(x) > 0

, ^P(x) > 0

ii) -JP(x) = 0

0

=> x > - 5

=> U = [-5,+»>, luego el conjunto solución es [-5,+*» ©

-Jx + 1 > 0 Solución Como -Jx + 7 > 0 entonces el conjunto universal es x + 7 > 0 => x > - 7 Además -Jx + l > 0

x + 7 > 0 = > x e .

Luego el conjunto solución es x @

-Jx^5

g

[-7,+*>> A

x

g

Sistema de Números Reales

49

Solución Como sj x- 5 < 0 , el conjunto universal es x - 5> 0 => x > 5 => U= [5,+oo> y como 0

x x e [-3,+oo> x e n < -o o ,4 ] = [-3,4] como la suma de dos positivos es siempre mayor que un negativo. -Jx + 3 +- J 4- X > -3 es valido V x

g

U = [-3,4],

Luego el

Eduardo Espinoza Ramos

50

®

- J x ^ 7 >3 Solución Sea U: x —7 > 0 => x > 7 = > x e [7,+*>

-Jx—7 >3 o

x -7 > 9

=>x>16

=> x e < 16,+*>

el conjunto solución es x e U n < 16,+oo> = < 16,+*> (? )

-V -v -5 > 0 Solución -

V-v- 5 > 0 o

- J x - 5 < 0 el conjunto solución es .

V-í2 - x - 1 2 0

=> (x —4)(x + 3) > 0

+

-3

U l =< -oo,-3] U [4,+x> > U 2 '■

x

2-6

x

+ 5>0

=> (x —5)(x —1 )> 0

\ /

1

V x2 - x —12

=>

\ /

+

U 2 =< -oo,l] U [5,+ *>

de donde 5 x < 1 7

.

5

Sistema de Números Reales

51

Solución Como t/x 2 - 4 tiene el mismo signo que x 2 - 4 y (x + 4 )3 tiene el mismo signo que x + 4 entonces la inecuación dada es equivalente. \¡x2 - 4 ( x - 2 ) 2(x3 -1 3 x + 12) (x 2 - 4 ) ( x - 2 ) 2(x 3 -1 3 x + 12) _ ---------¿ U ---------------:------------------------ > U (x + 4)3(x 3 + 8x 2 + 4 x -4 8 ) (x + 4)(xi + 8.x2 + 4 x - 48) Como V x e R, ( x - 2 ) 2 > 0 entonces (x 2 —4)(.v —2 )2( r 1 -13,v + 12) ■ U O (x + 4)(x3 + 8x2 + 4 x -4 8 )

(x 2 - 4 ) ( x 3 -13x + 12) ----------- ;-------;--------------¿ U (x + 4)(x3 + 8x2 + 4 x -4 8 )

(x + 2 ) ( x - 2 ) ( x - l)(x 2 + x -1 2 ) > 0 , para x * 2, - 4 (x + 4 )(x -2 )(x + 6)(x + 4) (x + 2 )(x -l)(x + 4 )(x -3 ) (x + 6)

> 0 , para x * 2, - 4

-6 Luego el conjunto solución es:

-4

-2 x e

Vx + 7 (x + 2 )4 (.v + 3);l í x 2^ 7x + 12 V h T I

0 A x + 9 > 0

=> x < 1 0 A x > - 9

x e U = 3(jc3 - 2 7 ) ( x 2 - 1 4 x + 4 8 )

~

como los radicales impares tienen el mismo signo que las cantidades subradicales entonces: (x + 7)(x + 2 )4(x + 3)(x2 - 7 x + 12)

„ , _ . 4 „ - < 0 , como para todo x e R (x + 2) > 0

(or—8)3 ( x —3)(x') + 3 x + 9 ) ( x - 6 ) ( x - 8 )

(x + 7)(x + 3 )( x -3 )(x - 4 ) . , ------------- -----—-< 0 , para x * 3, 8 simplificando tenemos (x —8) (x —3 )(x -6 )(x -8 )

-—

(x + 7)(x + 3 )(x -4 ) ^ A --------- — ---------< 0 , x * 3,8

- 7 - 3

x e [-7,-3] U [4,6> luego el conjunto solución es: /.

+

\A ~ ^ ~ ~ V 4 6

+

_»

x e U n ([-7,-3] U [4,6>)

x e [-7,-3] U [4,6>

ahora veremos como resolver diversas formas de la inecuación con radicales aplicando criterios de acuerdo a cada tipo de inecuación irracional. 1°

Para las inecuaciones irracionales de las formas: a)

b)

J P M > Q(x).

La solución se obtiene así:

J P Ü j > Q(x) o

(P(x) > 0 A [Q(x) < 0 V (P(x) > 0 A P(x) > Q 2(x))])

sJP(x) > O(x) ; la solución se obtiene así: J P M > Q(x) o [P(x) > 0 A (Q(x) < 0 V [P(x) > 0 A P(x) > Q 2 (x)])]

2o

Para las inecuaciones irracionales de las formas: a)

-JP(x) < Q ( x ) ; la solución se obtiene así: J

püc)

< Q(x)

«•

[(P(x) > 0 A (Q(x) > 0 A P(x) < Q 2(x ))]

53

Sistema de Números Reales

b)

-JP(x) < Q(x) ; la solución se obtiene así: J P ( x ) < Q(x)

3o

P(x) > 0 A [Q(.x) > 0 A P(x) < Q 2(x)]

Para las inecuaciones irracionales de la forma: a)

b)

-JP(x) +^¡Q(x) > 0 ;

La solución se obtiene así:

4P(x)+4Q(x) > 0

=> P(x) > 0 A Q(x) > 0

,JP(x) + ~ J Q (x ) >

0

^P(x)+^Q(x)> 0 4o

/

; La solución se obtiene así: => P(x) > 0 A Q(x) > 0

Para la inecuación irracional de la forma: s¡P(x) +s[Q(x) > K , K > 0; La solución se obtiene así: -¡FV¡)+4Q( x ) > K

5o

^

[(P U )> 0 A Q(x)> 0) A P(x) > ( k ~ 4 0 M ) 2]

Para las inecuaciones irracionales de la forma: -JP(x) +^¡Q(x) < 0 ; ^P (X )+ ^Q ^j< 0

La solución se obtiene así: => P(x) = 0 A Q(x) = 0

OBSERVACION.C’onsíderemos otros casos más generales. Io Caso.-

b)

Si n es impar positivo mayor que uno.

P í » ) # w >0 R(x)

o

f w . e w >0 R(x)

_ < 0 R(x)'i¡Q(x)

«

— '4 q Ü ) o

P(x) > Q(x)

3j 2 _ j.

Ejemplo.- Resolver la inecuación

__*------------> 0

Solución El conjunto de referencia o conjunto universal se obtiene del radical par y diferente de cero: x 2 -1 > 0 , dé donde x 2 > 1 => x > 1 v x < -1

x e u

luego el radical par resulta positivo y puede simplificar quedando la inecuación > 0 , que de acuerdo a las observaciones, las expresiones del subradical tiene el \¡x + 5 mismo signo

- —— > 0 , de donde ——- < 0 ------ - .....^ .................. x +5 .v + 5 .5

3

x e Luego la solución de la inecuación es:

x e n (< -» .-1> u < 1,+oc>)

.-. x e u < l,3 > n i i • •• V A - A .( x 3 + 8 x 2 + 4 x -4 8 ) Ejemplo.- Resolver la inecuación--------------— ------------------- > 0 (* + 4)5(x -1 3 jc + 12)

Sistema de Números Reales

57

Solución De acuerdo a las observaciones indicadas se tiene que ^ x 2 - 9 tiene el mismo signo que x 2 - 9 y que (x + 4 )5 tiene el mismo signo que x + 4, por lo tanto la inecuación dada resulta equivalente a la inecuación: ( x 2 - 9 ) ( x 3 + 8 x2 + 4 x -4 8 ) . ------------------------------------ > 0 factorizando el numerador y el denominador (x + 4)(x -1 3 x + 12) (.v + 3 )(x - 3 )(x - 2 )(x + 6)(a + 4) — ---------------------------—----- —> 0 o x + — = — => 2 x 2 - 5 x + 2 = 0 , de donde r3 = — , r4 = 2 2 A' 2 '2 ordenando las raíces en la recta numérica + 1/2

2/3

3/2

2

Como la inecuación es de la forma P(x) < 0. la solución es la unión de los intervalos donde aparece el signo (-), es decir:

x(2x + 1)(x —2)(2x —3) > 63 Solución Hallaremos las raíces de la ecuación: x(2x + 1)(x —2)(2x —3) —63 = 0, entonces x(2 x -3 )(2 x + 1)(x —2) —63 = 0 (2 x 2 - 3x)(2x2 - 3.v - 2) - 63 = 0 Sea

r = 2.\'2 - 3 x

r 2 - 2 r -6 3 = 0

z ( z - 2 )-6 3 = 0 => ( ; - 9 ) ( r + 7) = 0 , dedonde z = 9, z = -7, entonces:

Para z = 9 => 9 = 2.y2 -3.y => 2.t2 —3jc—9 = 0 , dedonde: r,i = —2 . r-,. = 3

Sistema de Números Reales

61

Para z = -7 => --7 = 2 x —3jc => 2 j r - 3 j c + 7 = 0 , dedonde: r =

3 + V47i

+

-3/2

3

Como la inecuación es de la forma P(x) > 0, la solución es la unión de los intervalos

©

I!

X

donde aparecen el signo (+), es decir:

> U

x < x-3 1- x 2-x Solución La inecuación dada se escribe en la forma: .v

x-3

1—x

2-x

0 , es equivalente a la inecuación (x-l)(x-2) (2x —3 )(x —1)(x - 2 ) > 0 para x ^ 1,2 encontrando las raíces de la ecuación ( 2 x - 3 ) ( x - l ) ( x —2) = 0, se tiene:

r,1 = 1, r, = —,. r-,23= 2

3/2 como la inecuación es de la forma ------ > 0 , la solución es la unión de los intervalos Q(x) donde aparecen el signo (+), es decir:

XC< ! ,- } £ / <

>

Eduardo Espinoza Ramos

62

©

x -2 x+1 ■< ---x+3 Solución La inecuación dada se escribe en la forma: x-2 x+1 A x(x - 2) - (x + \)(x + 3) . -------- — < 0 => ----------;-------------------< 0 , simplificando x+3 x x(x + 3) - 6 x —3 ---------- < 0 x(x + 3)

n2x => ----------- > 0 , entonces la inecuación ----------- > 0 es equivalente a la x(x + 3) x (x +3)

inecuación (2x + l)x(x + 3) > 0, para x * -3,0, ahoraencontraremos las raices de la ecuación:

(2x + 1)(x + 3)x = 0, de donde rx = -3 ,

-3

-1/2

r2 = —~ , r3= 0.

0

Como la inecuación P(x) > 0, la solución es la unión de los intervalos donde aparecen el i

signo (+) es decir:

0 ^

______ 2_______

* x; -15- 5» x++6 6> ¿o u x + x -4 2 Solución x -5 x + 6 „ (x -2 )(x -3 ) , — > 0 ------------------> 0 , esta inecuación es equivalente a: x + x -4 2 (x + 7)(x - 6) (x—2)(x—3)(x + 7)(x - 6) > 0 para x * -7,6, ahora encontraremos las raíces de la ecuación, (x —2)(x —3)(x + 7)(x —6) = 0, donde i\ = - 7 , r2 = 2 , r3 = 3 , r4 = 6 .

-7

2

3

6

+

Sistema de Números Reales

63

P(x) Como la ecuación es de la forma ------> 0

la solución es la unión de los intervalos

Q(x)

donde aparecen el signo (+), es decir:

- x 3 + J 2 +22.V--40

®

x( x + 7)

x £

-7> U [2,3

>0 Solución

La inecuación dada escribiremos en la forma: x 1 -.v 2 - 22x + 40 x{x + 7)

(x - 2 ) ( x - 4 ) ( x + 5) < 0 => ------- :----------------- < 0 x{x + 7 )

, -, ( x - 2 )( x - 4 )( a:+ 5) . , La inecuación --------- -— ......... < 0 , es equivalente a: x(x + 7) (x —2)(x —4)(x + 5)x(x + 7 ) < 0, para x * -7,0 ahora encontramos las raíces de la ecuación (x - 2 )(x -4 )(x + 5)x(x + 7) = 0 de donde: rx = - 7 , r2 = - 5 , r3 = 0 , r4 =2 , r5 = 4

P(x ) Como la inecuación es de la forma ----- - < 0 , la solución es la unión de los intervalos

Q(x)

donde aparecen el signo (-), es decir:

©

x 6 tí

U [2,4]

2 4 ~ 4x > 0n 1i + —------------x 2 —2jc—15 Solución

La inecuación dada escribiremos en la forma:

— — 6x + 9 ^ ^ a-2

- 2 a-- 1 5

^

(x -3 y >0 (,r-5 )(.r + 3)

Eduardo Espinoza Ramos

64

i ( t —3)“ pero ( x - 3 ) 2 > 0 , x * 3 , entonces: — —— — — > 0

(x-5Kor+3)

1 (.r-5 )(.t + 3)

> 0 . x * -3 ,5 • » (x —5)(x + 3) > 0.

1

U -5K X +3)

> 0 para

3

para x * -3, 5,

ahora encontraremos las raíces de (x —5)(x + 3) = 0, de donde jj = - 3 , r2 = 5 .

A A ~Â A

-3 Pi Jr) Como la inecuación es de la forma —— > 0 , la solución es la unión de los intervalos donde aparecen el signo (+). es decir: 3.V+ 5

2x + l

| x 6 U > - f$ f

0 o 2x+1

o

---------- < 0 2x +1

C3> ---------> 0 2 x+ l

(3x —2)(2x + 1) = > 0 , para x * —— 2

I 2 ahora encontramos las raíces de: (;3x —2> (2x + I) = 0, donde ri = —*r2 = y

-1/2

2/3

P{x} Como la inecuación es de la forras — — > 0 , la solución es la unión de los intervalos Qix) donde aparecen el signo (+>, es decir

65

Sistema de Números Reales

©

(2.v2 - 8 x + 8)(x + 3) x+6

>0 Solución

(2x2 - 8 x + 8)(x + 3)

x+3 >0 x +6

> 0 , (x -2 )

x+6

x+6

> 0, Vx e R

(x + 3)(x + 6) > 0, para x * -6

Luego las raíces de (x + 3)(x + 6) = 0 son rx = - 6 , r2 = -3

-6

-3

P{x) Como la inecuación es de la forma ------ > 0 , la solución es la unión de los intervalos Q(x) donde aparecen el signo (+), es decir:

X, e U

(l-x -x ~ )(2 -x -x ) >0 (3 -x )(2 -x ) Solución ( l - x - x 2) ( 2 - x - - x 2) (3 -x )(2 -x )

>0

(x + x - l ) ( x ~ + x - 2 ) (x -3 )(x - 2 )

>0

(x 2 + x - l ) ( x 2 + x - 2 ) >0(x2 + x - l ) ( x 2 + x - 2 ) ( x - 3 ) ( x - 2 ) > 0 , p a ra x * 2 ,3 (x -3 )(x -2 ) ahora encontramos las raíces de: (x 2 + x - l ) ( x 2 + x - 2 ) ( x - 3 ) ( x - 2 ) = 0 , dé donde -1 -V 5 -1 + ^ 5 , 0 , rx = - 2 , r2 = ---- ----- , r3 = — - — , r4 = 1 , /-5 = 2 , r6 =3

-2—1—v/5 -1 + V5

1

2

3

Eduardo Espinoza Ramos

66

P(x)

Como la inecuación es de la forma

> 0 , la solución es la unión de los intervalos

Q(x) donde aparecen el signo (+), es decir:

2 x 5 - 1i

x

x4+l

x

5

lili

->

-2

+2 Solución

Vx

e

R,

x

4+

l> 0 ,

x

4+

2>0,

entonces la inecuación dada se puede escribir en la

forma: (x5 - l ) ( x 4 + 2 ) < ( x 5 - 2 ) ( x 4 +1), efectuando operaciones y simplificando se tiene: x 4(x + l ) < 0 , luego encontrando las raíces de x 4(x + l ) = 0

se tiene /¡ = - 1 , r2 = 0 , multiplicidad 4.

-i

punto critico de multiplicidad par.

Como la inecuación es de la forma p(x) < 0, la solución es: (x ¿ - 2x + 4)(x-1) U 

Solución x + 5 x —1 ------ < ------- c? x-6 x -3 3x - 7 (x -6 )(x -3 )

,-] V 3

68 Eduardo Espinoza Ramos ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ^ ----------------Solución (x + 2 )2 > 0 , para x * -2, la inecuación dada es equivalente. (x -3 )(x + l)(x + 4) , ---------------------- —= —----p - > 0 , la cual es equivalente a: (jc+ 2)x(x + 3)(x + V 3 )(x -V 3 ) (x -3 )(x + l)(x -4 )x (x + 3)(x + -j 3) ( x- -j 3 )( x + 2) > 0 , x ^ O ,-3,-2, -^3 , —73 ahora encontramos las raíces de la ecuación, (x + 2 )(x - 3)(x +1 )(x - 4)x(x + 3 )(x + V3 )(x - V3) = 0 , de donde /•, = -3 , r2 = - 2 , /-3 = —s/3 , r4 = - 1 , r5 = 0 , r6 = -y/3 , r7 = 3 , r8 = 4

-3

-2

-V3

-1

0

-73

3

4

P(x) Como la inecuación es de la forma - — - > 0, la solución es la unión de los intervalos Q(x) donde aparecen el signo (+), es decir: xe

17)

x+2

<

> U < - 2 ,-7 3 > l / < - ! , ü > t / < a/3,3> £/ < 4,+ô>

* x" + 2 Solución

^

2

2

X- 2 X x -2 X n j j ------ < —------- < = > --------------------------------------- --< 0 , de donde x+2 x + 2 x + 2 x '+ 2 -4 x 2 + 2 x -4 ----------- ------ < 0 (x + 2)(x + 2)

2x2 - x + 2 a ------------ -------> 0 (x + 2)(x +2)

V x eR , 2x2 -x - t 2 > 0 y x 2 + 2 > 0 , entonces se simplifica la inecuación------ > 0 x+2

69

Sistema de Números Reales

L u eg o ------ > 0 x+ 2

o

x + 2 > 0, para x * -2. La solución es:

x+4 x ■> x -7 x+l Solución x+4

xx+ 4 x . , , —---r > 0 , de donde x -7 x +l

12x + 4 (x - 7 )(x + l)

,

-

•> ----x -7 x+l >0

o

(3x + l)(x -7 )(x + 1) > 0, para x *-1,7

ahora encontramos las raíces de la ecuación (3x + l)(x —7)(x + 1) = 0, de donde

r2 — ■r . r3 - 7 -3

-1/3

P(x) Como la solución es de la forma ------ > 0 , la solución es la unión de los intervalos Q(X) donde aparecen los intervalos donde aparece el signo (+), es decir: x £<

< 7,+üG >

2x' -6 x + 3 x 2 -5 x + 4 Solución 2x2 - 6 x + 3 x 2 -5 x + 4 x 2 —x —1

> 1

2x - 6x + 3

- 1 > 0 , de donde

x 2 -5 x + 4 > 0 (x 2 —x —1)(x2 —5x + 4) > 0 p a r a x * l , 4 ;

x 2 - 5x + 4 ahora hallaremos las raíces de la ecuación.

(x 2 - x - l ) ( x 2 - 5 x + 4) = 0 , dedonde

r2 = 1 , r3 = ~

, r4 = 4

70

Eduardo Espinoza Ramos

I - V5

i+ S

P(x) Como la inecuación es de la forma ------ > 0, la solución es la unión de los intervalos Q(x) I - -s/5 „ l+ $ 5 r, „ x e < - í s , -------- >U U a : 2 2

donde aparecen el signo (+), es decir:

2jc -1 x x +\ < ------ < x + 4x + 4 x + 4 Solución 2 x -l x x+1 0 , estas

ecuaciones son equivalentes a: (x — 1)(x + 4) < 0 A x + 4 > 0, para x * -4 ahora encontraron las raices de las ecuaciones, (x —2)(x + 4) = 0 A x + 4 = 0 , de donde t \ = - 4 , r 2 = 1 A r3 = —4

A de acuerdo a la forma de la inecuación la solución es:

+

-4 x e A x e [-4,+to>

4 x2- x - 2 0 A [Q(x) > 0) A (P(x) < Q 2(x)]) 4 x 2- x - 2 0 A [ 5 - x > 0 A x 2 - x - 2 < ( 5 - x ) 2 ])

Sistema de Números Reales

71

( x 2 - x - 2 ) > 0 A [ 5 - x > 0 A j:2 —jc —2 < 2 5 —1Ojc-hjc2]) ( jc - 2)(x +1) > 0 A ( x < 5 A x < 3 )

-1

5 -o

x e

/W/iWWiWO--------- QW////////////zO -1 2 3 ---------------- o

La solución es:

x 6 ----------b--------

1 2 x -8 2 x - 3 10x-10 . 2x + 2 2 x - 3 8x + 8 + 6 x - 9 --------- + — — - > -------------------------------------------------------------------- , sim plificando:----------- + 3 4 3 3 4 12 1 4 x -l> 0

=> x > — ; la solución es: 14

32-^2**^ > (42A.8Jr~3) 2/5 Solución

La inecuación dada es equivalente a:

jr+l 2 5.2 2 > (24a.2 3a~9) 2' 5 , de donde

73

Sistema de Números Reales A-+U

14.V-18

2 2 >2

5

, como a = 2 > 0, entonces:

x + 11 14jc—18 ------- > -----------

5 x + 5 5 > 2 8 x -3 6

o1 < x < i1, Demostrar * que: Si — 2

91_

=> x <

La solución

23

X

91 • 23

€ < ~tXJ ~~~ >

3 < -----x + 2< — ^ — 8 jc + 3 7 Solución

x +2 =

x +3

1—

(se obtiene dividiendo)

x+3

- < jc < 1, =>

1 A— 1< 1 —< x + 3 < 4 1 => 4 x+ 3< 7 1 1 — 0 A x + 5 > 0 ) A (V T A )2 - 5 ) A ( l - x < ~Jx + 5)

[x + 5 > 0 A (1 - x < 0 v (x + 5 > OAx + 5 > (1—x 2))] [x > - 5 A(x > 1v (x > -5Ax + 5 > 1- 2x + x 2 ))]

o

[x > -5A (x > 1v (x > -5A x2 - 3 x - 4 < 0 ) ) ]

...( 1 )

74

Eduardo Espinoza Ramos

ahora (2 ) en

(1 )

o

[jc > - 5 A (je

> 1 v (jc >

[ jc >

>1 v x

[ x > - 5 A x > -1 ] => x > - l

se tien e:

-5 A ( x

(x

<

e

1 A x > -5) A x e

-5

A

jc e [ - 1 , 4 ] ) ) ]

[-1,4])] =>

x e [ - l,o o >

•( 2 )

[-l,+ o o >

x e [-5, 1] A x e [-l,+oo> V3jc + 7 - V * r 2 > 9 Solución 7 C a lc u la n d o e l cam p o de e xiste n cia

3.r + 7 > 0 a .v - 2 > 0

o

x

>

+

x

A x>2

p o r lo ta n to x e [ 2 ,+oo> es el cam p o de existe n cia

~j3x + l > 9 + V * - 2

jce[2,+oo> A [3jc + 7 A (jc- 3 6 < 9 V * - 2 ) jte[2,+oo> A x 2 -153jc + 1458< 0

x

r~

€ [ 2 , + oo >

A. 153 2 17577 A ( j c -------) ' < ------— 2

jc

„

e [ 2 , + oo >

a

153-^17577

--------------------------<

2

1S3-V17577 153+VÍ7577

-Jx

+1+V*-2 > 0

V9-JC2 -Vjc Solución

Calculando el campo de existencia

4

m

jc

153 + Vi 7577

< ------------------------

2

Sistema de Números Reales (x —1 > 0

75

x - 2 > 0)

A

(9 -x

A

(x > 1 a x > 2 ) a ( x 2 < 9 (x

x

>1 > 2

a

a

x > 2) 0 <

x

(-3

a

a

0) a

x > 0)

de donde x e

0 , V x e a/ x

x > 0)

A

> 0.V x -1 + V x - 2

, .------- > 0 - j 9 - x 2 ~ 4 x > 0 -J9 - X 2 —sjx

de donde Vx < ^ ¡ 9 - x 2 x + x - 9 0, x * l , 9

como V x e R ,

x 2 +jc + 1 > 0 , j r + 3 > 0

entonces ( x - \ ) ( x - - j 3 ) ( x + -Jí) > 0 , x * l , 9 ahora encontrando las raíces de: ( x - I ) ( x ~ j3 ) ( x + -J í) = 0

de donde:

t \ = - ^ ¡ 3 , r2 = 1, r3 = -\¡3 *_____

\ /

^

\ /

—73

^»

14 3

Como la inecuación es de la forma P(x) > 0, la solución es la unión de los intervalos donde aparece el signo (+), es decir:

1.34

EJERCICIOS PROPUESTOS.

I.

Resolver las siguientes inecuaciones

X

€< -~V-U > U < V i,+ » > -**j

©

-1 3 3

©

í - i > 2 í+ i 2 4 3

Rpta. < -oo,----- > 18

©

-3x + 4 < 4x +5

Rpta. [ - y ,+ o o >

©

2x + 6 x , ------------- < 5 3 4

D * < -oo,— 36 > Rpta.

©

5x —2 < 1Ox + 8 < 2x —8

Rpta.

©

1 , 1 1 — \ +3 a - 3 b

Sistema de Números Reales

©

85

Rpta.

X

X

.

X

,

„

—+ — > 1 + —, c > b > a > 0 a h c

©

2x - 6 •

3.V+ 8

3(x —5) —4 (4 - 3 x ) > 2(7 —x) —3 ( x - 5) 11.

24 ah

— + 4 > — +2 x , a > b > 0 3a 6b

Rpta. <

5a + \ 2 a b - 4 b

a he

-.+00 >

ac + bc - ab

» 38 Rpta. < oo,— >

Rpta.

Resolver las inecuaciones siguientes: , 3 - ^ 3 3 + ^3 Rpta. < -------- . --------- > „

©

2 x 2 - 6jc + 3 < 0

©

2.v2 + 6.v - 9 < 0

©

9.y2 + 54.y > -76

©

- 4 x 2 + 4x + 3 > 0

©

4x~ + 9.y + 9 < 0

Rpta. (|>

©

4 x 2 - 4.y + 7 > 0

Rpta. V x e R - {—\

©

x 4 - 2 x 2 -8 < 0

Rpta.

©

-4.V2 - 8 < -12.Y

Rpta. U

©

.y 2

- 2 -j3 x- 2 > 0

. - 3 - 3V3 - 3 + 3V3 Rpta. < ------------ , -------------> _

„ . 9+V 5 V 5 -9 Rpta. < - 0 0 ,-----------> U

Rpta. < -oc.^3 —s/5 > U

Eduardo Espinoza Ramos 3x~ -S .v + 11 > 4< x-l)

Rpta. V x

3x2 - iOx+3 < o

Rpta. < —3 >

12)

x(3x + 2) < (x + 2)

Rpta. U

13)

4a - 8 x + l < O

10)

©

© 15)

5a - —14x + 9 < O

.v2

+ 3a

+ 2 > O

-2 x -3 x

>0

g

R

, 2 - ^ 3 2 + ^3 R pta. < -------- , --------- > _

Rpta. [1.—] Rpta. U Rpta.

[-1 ,-]

17)

3x2 - 5 x —2 > O

R pta. < — oo,— >U < 2,+oo> 3

18)

(x 2 + 2 x )(x 2 —1) —24 > O

Rpta. U

19)

x(x —3 )(x —l)(x +■2 )> 16

„ „ 1 -^ 3 3 - 1+ ^33 Rpta. < -o o ,—— — > U < ----------- ,+oc>

(jy

x 4 + 2 x 3 - x 2 + 4x —6 < O

Rpta.

©

(x" + x - 6 ) ( 4 x - 4 - x _ ) < O

Rpta.

22)

2x3 + 3 x 2 —1l x - 6 > O

Rpta. [-3,-y]í/[2,+ oo >

23)

x 3 - 3 x 2 -1 3 x + 15 >0

Rpta. IJ

x 4 - 4 x \ - x 2r+ 1 6 x -1 2 > 0

Rpta. U U

x 5 + 3x4 —5x3 - 1 5x2 + 4x +12 > O

Rpta. U < - U > U

(24) 25)

)

Sistema de Números Reales @

x 5 - 6 x 4 - x 3 + 29x2 + 8 x -1 5 < 0

R p ta .

@

87

<

-oc,z l z j l > [ / < - i , ~ 1 + ^5 > 2 2

< 3

>

(x 2 -2 x - 5 ) ( x 2 - 2 x - 7 ) ( x 2 - 2 x - 4 ) > 0

R p ta .

<

-oo, 1 - 2 V2 > t / < l - V ó ,

1

- 0 /5 > t / 0

@

(x 3 - 5 x 2 + 7 x -3 )(2 -x )> 0

^0)

( x - a ) ( x — b ) ( x - c ) ( x — d ) < 0, si a 0

R p ta . < -3 ,0 > U

< -00.-/3 -a/ÌO >

R p ta .

(6 x

(33)

( 3 - x ) 3( x 2 - l )

(3 4 )

x

(3 5 )

x4- 3x3+5x2- 27x - 36 < 0

@

x

(3 7 )

(2 x 2 - 4 x - l) ( 3 x

x

R p ta .

x

2-3

2( l - x

( 3^

(X 2

) 5x >

R p ta . < - o o , - l > £ / < 1, - >

0

x-2 > 0

R p ta .

U

R p ta .

R p ta . < - 1 ,4>

2

R p ta . < - l , l > - { 0 }

< -

2 - 6x

00,-2 - 0/6

5 + 8x 4 + 1 2 x 3 -

x

R p ta . < a ,b > U < c ,d >

+ 3 ) 2 ( x J - 1 ) j (3 x - 5 ) 7 < 0

4<

(3 8 )

R p ta . [2 ,3 ]

U UU

(3 2 )

4-2

1 + a/ 6 >

x

+ 4 )(x 2 + 4 x - 2 ) > 0

> V < 2-

2-8 x -1 2

—1)(x2+9)(x +4)(x-5) >

-2 +

0/6 > U <

-2- - - —

> 0

0

,+00 >

R p ta . < -6 ,-2 >

R p ta .

U

U U

Eduardo Espinoza Ramos

88 (4iy

(x + 2)(x + 3)(x - 4)(x —5) > 44

R pta. V x e R

©

x 6 +6.v4 + 9 x 2 + 4 > 0

R pta. V x e R

©

x 4 ~3x2 - 6 x - 2 < 0

Rpta. < 1 - a/2 ,1 + V 2 >

(43)

x 5 - 6 x 4 - 1 7x3 + 17x2 + 6 x - l > 0 —3 —-Js —3 + -\¡5 .. . < --------— , ------- — > U < 4 -715,1 > U < 4 + VÍ5,-+ * > 2 2

Rpta.

x 4 - 2 x 2 + 8 x -3 > 0

x 4 - 2 x 3 - 5 x 2 + 1 0 x -3 < 0 {46 ©

III.

2

2

Rpta. [-l-V 7 l,-4 ] t/[2 ,-l+ V 7 T ]

Resolver las ecuaciones siguientes: X

Rpta. U

------ < 3+x 2-x 4

^

3 x - 7 '" 3 - 2 x

©

x -2

3 31i r , 7 R pta. < —, — l t / < —,+00 > 2 14 3

x 2 +2 ? x~

Rpta.

X

x +4

Rpta. < -00,-4 >t/[—,2 >

x-2

x3-4

©

2

—1—s/3 3 -a /5 , -]

(x + 9)(x —3)(x -7 )(x + 5) 1680

X+1

O

Rpta. < —oo.—l --\Í2 > U < —1+-J2 ,+00 >

x -2 < -------x 2 +1 x 2 +2

Rpta. U

2x

x

x +1

x -1

R pta. < — oo,— l > U < 0,1>

Sistema de Números Reales

©

©

x 2 +2

x 2 +l

x 4 +1

x 4 +1

■ >-

Rpta. V x € R

x ' —2x ^ ,t+ 8 x —4 ~ 2 I

©

89

Rpta.

3.V+1

x 2 +4x + 4 1 x+1

—

•< •

x -2

Rpta. V x e R - {-2,2}

x 2 —4

2

Rpta. < -oo.-l > [ / < - 3 >

3x-ì

2 x 2 - 3 x +3

< .

2

jc

Rpta. £ /< ( ),—> U < 2,+oo > 2 6

( x - 2 ) ( 2 x + 3)

Rpta. < - 2 ,— > u < jc —1

Rpta. (fi

{ x2 - 2)(x + 5)(x- 3)

>0

Rpta. < -oo,-5 > U < - 3 ,- ^ 2 > U < 0 , ^ 2 > U < 3,+oo >

x( x - +2K.V + 3) (6 . y +

3 )2(.t2 + 1)3(3jc —5 )7

(.y + 6 )- ( 2 a- + 3)

17

(4.Y + 2 )2(.r2 + 2 ) 5(2.y - 8 ) 9 (.v + 1)2(2,v + 5 )13

x + 4 < ____ x -2 ____ x —5 x +3

>0

U < —,+oo>

Rpta. < - - , 4 > - { - l , - - } 2 2

Eduardo Espinoza Ramos

90

20) "J

-J— +A L < - 2 x -4 x +2

Rpta. U

U 2 + ! ~ 6)(J:; ~ J:~ 6) > 0 (v —4)(x - 2) _ -y

Rpta. < -to,-3 > U < - J l M > U < 3 .4 * •

2

22) ^

———< —-----x +2 x +2

Rpta.

23) ‘ J

-A _ +- i - > 2 jc + 3 x - l

Rpta. < -3 ,-l> U < l,2 >

24)

2

25) " ,

26)

>

> -L

y ~ —?v4-3

Rpta.

, >

[ -1 0

3 Rpta. < -oo,l > U < — , 2 > U < 3,+» > 2

> -3

x~ —4 * + 3 2jc4 7jc3 + 8 x 2 + 6 x + 1 — -— -——— ■ — -------- ---------- > 0 6x + 17x + 23x + 18x + l x + \

_ „- 5 —yry . . . i i -5 + V n R pta. < ------------ ,-1 > £/ < -----,— > U < ------------- ,+oo > 2 2 3 2 7 2 7 ) ^ x -l 2g>

f. —— < 5Rpta. < -o o ,-l >(J < — ,1 > {/ < 2,+oo > x l

"2 5

12x5 - 3 5 x 4 - 5 3 x 3 + 53x2 + 3 5x-12 x 6 +15x5 + 78x 4 +155x3 + 7 8x2 +15x + l < Rpta.

29) ^ (30)

2x ~1 x +4

< -o o ,~ 5 ~ -^ 2 A'+ 2 3-x

■ ....... > (l-x -)d -x ) Rpta.

A'—l .í + 3

> ¿ / < - l , - 2 > t / < - -5 ^ A - .2 - 7 3 > ¿ / < l,2 + V3 > 3 4 2 ——— h---- > --------

Rpta. U

+9 ( l - x ) - ( l + x)

< - o o - l - V3 > U < -1 + -s/3,1 > 1/ < 1,2 > í / < 2,+oc >

91

Sistema de Números Reales

W

4x-----20jc2 + 8 < 8 x —5x + 4

^

®

( x - l ) 2(x 2 —1)(a 4 -1 ) A ------------------ ---------- > 0 (x + \ ) ( x - 2 )

/^ \

( x 2 + 5x + 6)(x4 -1 6 )(x 2 - 4x - 1 2) ^ Q (1 —3jc)3 (.v —1)( j: 2 +1) Rpta.

2 > U < —1,1 > t / < 2 ,-Jó >

Rpta.

< -oo,-3 > U < -2 , j > U < 1,2 > U < 6,+oo >

34 ) " J

—-------- X- ^ - < 4-x 5 x

R pta.

35) k

- , -+- 7--+- < 2 x~ +3x + 2

R pta.

36) "

--Y- - - - - - - - v--T ~ —- < 0 (x —4)(x -16)

Rpta.

(1 + x + x 2 ) ( 2 - x - x 2 )(x4 - 2 x 2 —3 x -2 )

U

U < ^ j — U > U [ 2 , ^ f > U < ^ 6 + 2,+oo> „ Rpta. P

5 12 < —, — > 7

7

; 0

< -00,-3 }U < -2 ,-7 3 > t/[-l,0 >U < -73,3]i/[4,+oo >

A+ ~ > X * ~

Rpta.

Eduardo Espinoza Ramos

92 2

3

©

+5

a

- + ------> X —1

A+ l

Rpta.

1 -X 2

x

2

2a

c2 - 5 a + 6

2-x

(3-x)(l-x)

13 1 l< . -+ x 4( .y —1) 4x + 12 (a-- +4x + 4 ) ( x - 9)'

R pta. U[--------------,0 > U < 1,+» >

X —1

x-\ a+

X +1

Rpta. < - 1,0> U< 1,+oo>

X

-0

Rpta.

< -

oo, - V

5 ] í / < 1 , 2 > C / [ - n/ 5 , + oo>

( x 2 +.v + l)(x 2 - 3 x + 2) 3a a2 -

>1

x2-3 a+ 2 a2

Rpta. C/

x-6 U Rpta. 2( a 2 -1 ) x +3

>0

Rpta. U

2( a 2 + 2 a - 3 )

a2

Rpta. U- {1}

-4 a+ 3

- 4A - 5

2 a - a 2 -1 A2 - A 4

(2 a - 8a + 8)(a -i- 3) a+

6

>0

Rpta. U[-3,+oo>

Sistema de Números Reales x~ -2-y + I

2x + \

x+1

Rpta. < 1,+oo>

>0

x —1

93

Rpta. [-2,-l>

>3

x 2 +4.Í +9

x 2 —4 x —5 x2 + a + 2

3 7

x+2

32

_

x 2 —4

x x-2

2+x - x 2

x+ 2

>0

Rpta. t-4.-2> U U0

Rpta. [-3,1> U U {2}

x 2 + 5 a -1 4

a-- +X.V-12—jf 3 l x - x 2-6 a + 3x + 2

a -2

a-2

a+2

© 1

2

3

A+l

a +3

a +2

A +1

,

- + ------ > ■

1-A

-------- 2 < -----1—x

X

X 2 + 8a + 24 a+

2

>8

Rpta. u

Rpta. u

Rpta. < -o o ,-l > u < 0,

Rpta.

1

94

Eduardo Espinoza Ramos x-2

2x-3

x +2

Ax -1

6

3

7

x -1

x +1

a +2

40 + (x - 1)(.y - 3 )(x + 4)(x + 6) 30

. + ------ < .

x -4

x

+2

2x2 - 6

x

+3 .

x~ - 5 x + 4

3x

■1

x 1 —x —6

7

©

.y + 1

, >]

1 - + --------7 ------x-l x-2 x +1 Ox +16

2 x 2 + 7x + 5 -3x + 2

x -l

x 2 + 6x + 5

>0

x -2

x 2 + 3x + 2 (79) iV .

© © © ©

>10

-+ 4 > x + 1 0

3x 2 - 4 ^ £ ----------< x + 6 x-6 Resolver las ecuaciones siguientes: 4.V-3

©

,l]u[4,+oo>

Rpta. < - 2 ,— > u < 4

-

(0.5)“

lx -2

> ( 0 .0 6 2 5 ) ~

27-V-! < 9 .v+3

R pta. < —,+oc> 4 Rpta.

2.V -2 2**1 (0.2) 2

2 5'" 8 4 .v 3----- 3 ----l5.v I

32,M)(.v-2) '

’

„ .

-1 —733 -1 + ^33 4 4

Rpta. < ---------- — -------- — >

Sistema de Números Reales

©

t ( 0 . 5 ) '! (0.5)‘ r ' - , <

95

Rpta. V x g R

í ^

8' Rpta. V x e R

©

9 x*i .3 2x4-5

x)

Rpta. U

< X~-IÍ322

Rpta.

V81A"1S < V243A w Mx-zy (n)

(256)

2

XM6,

> 29(jJ~,)\83j;+1.2565(

729A \243A ' 2436.275jr_6 812x

@

86

Rpta. U

27

Rpta.

3A ’.32v>27 x-5

u , . 42293 +33 a/2293-33 Rpta. < -------- —------, -------— — >

x-9

Rpta.

2 ~ >8 ~ 5^+3

2x+l

o * 131 Rpta. 217

(16)

(42) »"-1>(64)-'~1

Rpta. U < 1,—>

17;

[(0.3)ív“1)(a:~2)]v"3 >[(0.09)vi-4]r2~9

Rpta. V x

18)

^/(0.00032)5' 2 u { 2 5 }

2 R p ta . < 1 ,2 >

lx + 2

R p ta .

' V JC-1

a /a 2 - 1 4 a - 1 3 < a + 1

J x 2 - 4 l j x +4 ©

16^ ]

+1

^

©

84 +

a /a 2 - 4 a ' + 3

R p ta . "

l ^ S, - 4 y 2 -A/A + 4 1

A'

A- 2

X+ 4

------ < ------- <

R p ta . < | , l ] i / [ 1 3 , + o o >

A- 2 --------A+ l

R p ta . (|)

R p ta .

99

Sistema de Números Reales Ix - 9 1 - 2 x Ijc + 5 1+5

Rpta. < V Ì 0 -1 , l +-JÍ0>

0

Rpta.

y -J2 I - Va 2 - 4 -3 a-4

a

Rpta. [-4,-1] U {4}

> a 2 - 2a - 2 9

[5 - V 16- A 2 32 - 2 a a

N x 2-X -2 -: v

Rpta. [0,4]

>-Jx

+ 2

Rpta. [-4,-2] U [2,3]

> a-5

2 —4 x —4

V a 2 - 6 a + 5 + a /a 2 - 7 a + 10 < 0

Rpta. x = 5

®

V a 2 - 6 a + 5 + V x 2 - 7 a + 10 > 0

Rpta. 2 - x lx + 4

Rpta. O

4 jc- 5

>x-6

Rpta. U [3,5]

Rpta. < - 2 , - —>

Rpta. [-5,-3] U {5}

V 4-Vx2 -9 'Jx2~ - x —l 2 ( x ~5 )( 2x 2 - 3 x - 2 ) < O

+*-2+3

®

>x-4

Rpta. < -2 ^ 2 , —2] £/ [1, 2^2 >

V 9 - x 2 -1 l^ x 2 -5x + 4 - 2 I

>x-6

Rpta. [-2,0] U [4,5]

2--Jx-2 Í£ z * + ííz £ > o x -1 ^x +3

(56)

Rpta.

Sistema de Números Reales

101

V'x 2 + l ( x 2 - 4 x + l) >0 4x + 4 ■Jx-Ì +-Jx + 2

Rpta. u < 2 + a/3 ,

00

>

Rpta. [ 1 , ^ — !->

>0

■\¡9-x2 -o /x 5?)

-Jx + 3 + a/x - 6 > a /6 - j

6 Ì)

V2x —1 + a/3 x

63)

a/ 2 x

óo)

- 2 > a/4 x - 3 +

+ 3 + a/ 3 x - 2 -

a/ 2 x

a/5 x

0/ x 2 - 2 x - a /x 2 + 4x > 2 a/ x 2 - 2 x

-4

+ 5 < a/ 3 x

a/ ö - x 2

(i? )

1.35

- a/ x 2 + 4x > 2

- a/ x

V 2 x + 3 + a/ 3 x - 2 ~ a/ 2 x + 5 < a/3 x

VALOR ABSOLUTO.a)

DEFINICION.-

Al valor absoluto del número real x denotaremos por |x|, y se define por la regla.

x sí x > 0

lili -X si x < 0 Ejemplo.b)

|7| = 7.

|-7| = -(-7) = 7

PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO.(T )

|a| > 0, V a e R

Q

|a| = |-a|

@

b*0 6

( 2)

|a| > a V a e R

|ab| = |a||b|

©

|a+b||2< ( |a | + |f>|)2 entonces

IM

/.

|a + b{< |a| + |b|

PROPIEDADES BASICAS PARA RESOLVER ECUACIONES" 1 INECUACIONES DONDE INTERVIENE VALOR ABSOLUTO» (7 )

[a| = 0 a = 0 |a| = b

[ b > 0 A ¡a = b v a = -b)J

^3)

|a| = |b) a = b v a = -b

©

Si b > 0, entonces: i)

©

|a| b v a < -b

Si a, b e R se verifica i)

|a| > b a > b v a < -b

La demostración de estas propiedades dejamos paira el lector. Ejemplo.- Resolver la ecuación |4x + 3| = 7 Solución

„

|4x + 3{=7 4x + 3 = 7 v 4x + 3 = -7 O

.

X = l

V

X

5

= ------

2

Luego para x = 1, .1 = - — son soluciones para la ecuación dada.

Sistema de Números Reales

103

Ejemplo.- Resolver la ecuación |2x + 2| = 6x - 1 8 Solución |2x + 2| = 6x —18 o

[6x —18 > 0 A (2x + 2 = 6 x —18 v 2x + 2 = -6x + 18)]

[x > 3 A (x = 5 v x = 2)] >

2

5

3

Luego la solución de la ecuación es x = 5. Ejemplo.- Resolver la ecuación |x —2| = |3 —2x| Solución |x - 2 | = |3 - 2 x | x —2= 3 —2x v x —2 = -3 + 2x

x=— vx=l, 3

la solución es: {1,—} 3

. t» ,, , , j , •. |4 x + l | —| jc- 1 | , . , Ejemplo.- Hallar el valor de la ex p resió n :---------------------, si x e X

Solución 1 4x +1 , x > — 4

14x + 11 =■

-4 x -l , x< — 4 si x e =>

Luego:

|4x + 11= 4x + 1 ,

|x —11= 1 —x

14x + 1 1—| x —11_ 4x + l —(1 -x ) _ 5x — =5 x X X

|4 x + l | - | x - l | x

—5 , para x e

Eduardo Espinoza Ramos

104

Ejemplo.- Resolver la inecuación |2x —5| < 3 Solución |2x - 5| < 3 -3 < 2x - 5 < 3

»

2 9 , x * 6

23/5

6

6

13

23 x e < - o o ,— > U < 6,+oo> A < —» ,6 > í/< 1 3 ,+ o o > 5 •4wMMHmHHMtmmQ------------ ©--------- (ywmHwmmim► 23/5 6 13

---------------------------- O

La solución es:

O-----------

23 x e < -oo, — > U < 13,+oc > 5

Si x es un número real, el máximo entero de x representaremos por [| x |] y es el mayor de todo los entero menores o iguales a x. es decir:

105

Sistema de Números Reales [| x |] = máx {n e Z / x > n |

Para calcular el máximo entero de un número real x, se observa todos los enteros que se encuentran a la izquierda de x (o que coinciden con x, en caso que x sea entero) y el mayor de todos ellos es el máximo entero [| x |] , por ejemplo: -------1------- 1-------1-------1-------1-------1--------h — * -1 0 1 2 x 3 De donde [| x |] = 2 Ejemplo.- Hallar [| 3.7 |] De donde [| 3 .7 1] = 3

^

Q

1

2

3 3 7 4

Si x se encuentra entre dos enteros consecutivos de la forma: •4------

n Entonces:

x

n+1

f [ j k| ] =n , n e Z Ejemplo.-[| x |] = -4 -4 < x < -3 => x Ejemplo

g

[-4,-3>

v H ?.. ■\ '.■■■; absurda-, puesip que todo máximo entero.es un numero entero.

Eduardo Espinoza Ramos

106

1.38.

PROPIEDADES DEL MAXIMO ENTERO.[| x |] e Z, por definición

©

( 3)

V x e R, [| x |] < x, por definición

( 4)

[| x |] < x < [| x |] + 1, V xeR

©

0 < x —[| x |] < 1, V x e R

©

[ |[ |x |] |] = [ |x |] , V x e R

0

[| x + n |] = ti x |] + n, n e Z En efecto:

Sea [| x |] = k, k e Z, entonces

[| x |] = x o

xeZ

k [| x + n| ] = k + n = [ | x | ] + n ©

[| x |] < n o

^ 0)

[| x |] > n x > n, n e Z , x e R

^2)

V x, y e R,si x < y [| x |] < [| y |]

©

[| x + y |] > [| x |]+ [| y |] En efecto:

x < n + 1, n e Z

Sean

[| x |] = m

ni < x < m +1

[| y |] = n

n< y [| x |] + [| y |]

Z + => [| nx |] > n [| x |] efecto:

Sea [| x| ] = m => m < x < m + l => nm < nx < nui + n => [| nx |] > nm

[| nx |] > n [| x |]

Sistema de Números Reales

15) Si x e R y a? e Z + , entonces [|

n

|] = [| — |] n

(16) Si a y b e Z , x e R , entonces se cumple: i)

a 5x < 3 ©

3 j g < —oo, —> 5

[| 2x |] < x Solución Si x < 0 => 2x < x => [| 2x |] < 2x < x Es decir [| 2x |] < x Sí

0

=> 0 < 2x < 1 => [| 2x |] = 0 < x

Es decir [| 2x |] < x

S 2 -< 0, -- >

Si

S 3 -■

x > y => 2x> 1 => [| 2x |] > 1 es decir: [| 2x |] * x

S =< -oo.O > u < 0, — > 2

Eduardo Espinoza Ramos ©

[I 2x |] < [| 4x I] Solución 1 f[l 2jc |] = 0 S i O < x < — =>{ => 0 < 0 falso 4 [[| 4x |] = 0

, , 1 Ahora si x > — 4

2x>— [| 2jc|]> 0 2 => 4x>\

5 = [ ,+oo > i

Entonces [| 2x |] < [| 4x |] ©

[| -5x |] < [| x |] Solución 1 í 0 < 5jc < 1 Sí 0 < x < — => \ 5 [[|x |] = 0 /.

=> -1 < -5x < 0 => [| -5x |] = -1 y -1 < 0 11 U ^

=< 0, j >

Sí x > y

=> -5x < x => [| -5x |] < [| x |]

S 2 = [-j ,+°° >

S = ©

[I x - 1|] < [| x |] Solución Sí x > 1; supongamos que: [| x |] = k => [| x —11] = k —1 < k = [| x |] de donde Si x < 1, entonces [| x —1 |] < 0 entonces

©

[| x —1 |] < [| x |]

a

[| x |] <

S 2 =< -»,1

([I x |] —2)(x —2)(x + 1) > 0 Solución

= [l,+oo > 0 >S= R

109

Sistema de Números Reales a)

Si x < 2

[| x | ]—2 < 0. luego resolveremos

-(x -2 ) ( x + 1)> 0 es decir

-2)(x+l) 0 luego resolveremos (x —2 ) ( x + l ) > 0

Sy = [3.+» > n(< --»,-1 > i^>{2,+*>)

/. Sj =[3,+oc >

S = o [3,+x> ®

(.*'- \ ) ( x 2 + \) J [ \x \] - x > 0 Solución [| x |] —x > 0, entonces [| x |] > x, pero por definición se tiene: [| x |] < x, VxeR

=> [| x |] = x e Z

Luego resolveremos (x ' -1)(jc2 +1) > 0 => x > 1 (7 )

S =Z

([| x —2 [| x |]) (x —1)(x + 1) > 0 Solución [| x —2[| x |] |] = [I x |] —2[| x |] = [| -x |]

i)

Si x < 0 , => -[| x |] > 0. entonces resolveremos (x —l ) ( x + l ) > 0

5 , = < —oo.-l]

ii) Si 0 < x < l ^ [| x |] = 0 entonces S = [0,I> iii) Si x > l => [| x |] > 0, entonces resolveremos (x — l ) ( x + l ) < 0 ... s = ( ) A+i A+3 f(x + 4)(x + 3) < 0 A (2x + 7)(x + 3) > 0], x * - 3

Luego la solución es:

©

x e [ - 4 ,- — >

Resolver la inecuación [|

x -l — |] > 4 Solución

Aplicando la propiedad siguiente: 4 e Z. r i *

L

h

>4

X -

j—i— > 4 |x|-1>20

5

La solución es: x e

Si y e Z, [ | a |]>_ v x > y

|x| > 21

< -o o ,-2 1]

U

x > 21 V x < -21

[ 2 1,+

Resolver la inecuación [|| a | - 2 a |] = 0 Solución

111

Sistema de Números Reales Por definición de máximo entero se tiene: [|| x | - 2 x |] = 0

•»

0 < |x| - 2x < 1 o

ahora por la propiedad transitiva se tiene:

2 x < |x |< l + 2 x

además se conoce que:

2x < |x| < 1 + 2x

(a |x| = x reemplazando en (1 ) se tiene: 2x < 0 A x < 1+ 2x = > x < 0 A x > - l La primera parte de la solución es: 2°

x x e

x e [0,+oo> A x = 0

=> |x| = -x reemplazando en (1) se tiene:

2x < -x A -x < 1 + 2x => x < 0 A jc> —

la segunda parte de la solución es:

3

=> x e < - —,01 3

x e A < — ,0] 3

Por lo tanto la solución de [ || jc|- 2 x |] = 0 es:

1.39

jc€ < ~ —,0>

3

. r e < - y ,0 > t / { 0 [ = < - ÿ , 0 ]

INECUACIONES LOGARITMICAS., Para el estudio de las inecuaciones logarítmicas es necesario recordar lo siguiente: En primer lugar la definición de logaritmo es decir: N* *x

o

A

N

>

0 a b>0

En segundo lugar las propiedades del logaritmo a)

log/, AB = log/, A + log6 B

b)

log,, — = logfc A -lo g * B D

Eduardo Espinoza Ramos

112

c)

log* A" = u log* A

d)

\ogh '4a = - \ o g h A ti

e)

log,, 1 = 0

f)

log* b = 1

g)

log/, N log* a

log„ N :

En tercer lugar se observa la gráfica y = log/, x cuando b > 1 y 0 < b < 1. También dentro del campo de los números reales, solo tiene logaritmo los números reales positivo: ahora gratificamos la ecuación y = log* x .

Al observar la gráfica se tiene los siguientes casos: I o Caso.-

Cuando la base es b > 1, en la gráfica podemos observar:

i)

Los números mayores que 1 tiene

ii)

Los números A,, x 2 e R

logaritmo positivo.

entre 0 y 1 tiene logaritmo negativo, entonces para cualquier

se tiene

Sí b > 1 y 0 < x x < x 2 log* x x < logAx 2 De donde deducimos las relaciones siguientes: a)

Sí x > 0, b > 1; N e R => log* x > N

x > b"

b)

Si x > 0, b > 1; N e R => log* x < N

x < b"

Sistema de Números Reales 2o Caso.i)

113

Cuando la base es 0 < b < 1. en la gráfica podemos observar:

Los números mayores que 1 tiene logaritmo negativo.

ii) Los números entre 0 y 1 tiene logaritmo positivo, entonces para cualquier

x x, x 2 de

R+ se tiene: Sí 0 logfc x 2 de donde deducimos las relaciones siguientes: Sí x > 0, 0 log/, x > N

o

Sí x > 0, 0 

x > b N

OBSERVACION.-

log6 x < N

0 < x c si b > 1 a < c si 0 b r si b > 1 a log2(5x + 3) Solución Calculando el campo de existencia de los logarítmicos dados 2x + 4 > 0

a 5 x + 3>0

de donde x > -2 a

como la base es 2 > 1, entonces se tiene:

x

> —

3 5

se

114

Eduardo Espinoza Ramos ,

,

3

1

3

1

La solucion es: a e< — ,+oo > n < -oo,—> = < — , —> 5 3 5 3 ©

„

3

1

S =< — , —> 5 3

log, (2x + 5 ) < - 2 3

Solución Calculando el campo de existencia del logaritmo 2x + 5 > 0, entonces * > - — de donde U =<

,+oo> 2

2

, 1 < ,1, entonces se tiene: • como ,la base es — 3 lo g , (2 ,r+ 5) < - 2 o

(2x + 5 > ( —y 2 => 2x + 5 > 9 = > x > 2

3

Luego la solución es: x e < ©

=> x e

3

,+oo > n < 2,+oo >=< 2,+ » >

S=

log2 (| -v —2 1-1) > 1 Solución Calculando el campo de existencia del logaritmo | x —2 | - 1 > 0 =>

| x —2 | > 1 => x —2 > 1

v

x —2 < - 1 => x > 3 v x < l

de donde U = u x = -2 v x = —, 3

por lo tanto la solución es x = — 3

Eduardo Espinoza Ramos

122

@

|-v —4 12 - 5 1JC-41+6 = O Solución Factorizando se tiene:

(|x - 4| - 3)(|x - 4| - 2) = 0

« • |x —4| —3 = 0 v |x —4| —2 = 0 |x —4| = 3 v |x —4| = 2 ( x - 4 = 3 v x - 4 = -3) v ( x - 4 = 2 v x - 4

= -2)

x = 7 v x = l v x = 6 v x = 2,las soluciones son:

Hallar el valor de la expresión:+ ^— ——Zi x

{1,2,6,7¡

si x £

Solución Por la definición de valor absoluto se tiene:

x

14x + 7 | = •

—l

1 -x

- 4 a - 7 si x < — 4

si A > 7 si

X — 5

15.V+ 4 1 =

- 5cx - 4„

■

si

x

< —

;

|4 + 3;c| =

4 5

4 + 3x si x > — 3 4 - 4 - 3 x si x < —

ahora para x e |5x + 4| = 5x + 4, |4 + 3x| = 4 + 3x | 5jc + 4 1—14 —3jc I 5x + 4 - ( 4 + 3x) 2x „ corno x e ----------1 1 -------— = ---------- ---------- = — = 2

15x + 4 1- 14 + 3x |

r r li

l

i

j

-2 si x e

i

Hallar el valor de la expresión:

| 5jc —2 0 1—13x —2 0 1 . ----- ------ 1-------------- 1 si x e

Solución Aplicando la definición de valor absoluto

|5 x - 2 0 | =

Í5 x -2 0

si x > 4

20 - 5x si x — 3 ln , . 20 2 0 - 3 x si x < — 3

ahora para x e |5x —20| = 2 0 - 5 x , |3x —20| = 2 0 - 3 x

l

, . 15.v - 2 0 1- 13x - 2 0 1 2 0 - 5 x - ( 2 0 - 3 x ) 2x „ corno x e —— ■ — '— ---------------------------------------------------!•= ----------- ---------- = -

15x - 2 0 1- 13x - 2 0 1

17)

= -2 si x e

Resolver la inecuación | x 2 - 4 1< 5 Solución Por la propiedad: |a| 0 IX2 —4 1 b V a < -b

19 - ,v2 | >3

9 - a 2 >3 v 9 - a2 a/Í2 v x < -a/T2

- M wm» -a/6

-síñ Luego la solución es: ,3 a -3

a€

0 A * — < 0 , para x * -1

o

(5 x - l)(x + 1) > 0 A (x —5)(x + 1) -1

1/5

x e < - » ,- 1 > £ /< —,+oo> A x e < - l ,5 > 5

1HHHM -1

oLuego la solución es

Resolver:

5 -o

1¡ 5 /

X S < ~ ,5 >

—!— e [—,1] x+4 3 Solución

—— e [ - , l ] x+4 3

=>

=>

21)

Resolver

2 x -l

3

x+4

1 --------- para x * —,2 se tiene \2 x -\\ |x - 2 | 2

5|x—21> |2x - 1|, elevando al cuadrado 2 5 ( x - 2 ) 2 > ( 2 x - l ) ? efectuando y simplificando:

7 x 2 -3 2 x + 3 3 > 0 o

(7 x - ll)( x -3 ) >0

+

11/7

3

Como (7x — 11 )(x - 3) > 0, se toma los intervalos donde aparecen el signo (+), es decir < -oo,-y-] U [3,+to > . Luego la solución es:

U [3,+*>-{!>'

Eduardo Espinoza Ramos

126

22)

Resolver la inecuación:

| jr —11 + 2 1x - l | -3 < 0 Solución

Completando cuadrados se tiene: ( | jc- 1|+ 1 )2 < 4

o

- 2 < |x + 1|+ 1 < 2

o

-3 < |x + 11< 1

-3 < |x + 11 A |x + 11< 1 R A -1 < x + 1 < 1 R A -2 < x < 0, la solución es x e

23)i jc—3 1 —3 1jc—3 1—18 > 0 Solución Factorizando se tiene: (|x —3| - 6)(|x - 3 | + 3) > 0 «

(|x —3| > 6 A |x —3| > -3) v (|x —31< 6 A |x —3| < -3)

(|x —3| > 6 A R) v 4> ( x - 3 > 6 v x - 3 < - 6 ) A R

La solución es

(x > 9 v x < -3) A R

(x < -3 v x > 9)

x e U

\x\-\ > 0 2-x

Solución

Por la definición de valor absoluto | x |=

x, x > 0 -x, x |x| = -x, reemplazando en la ecuación dada se tiene

Sistema de Números Reales x +\

-x-\ >0 2-x

x —2

127

>0

x +\ >0 x-2

de donde ( x + l ) ( x - 2 ) = 0

como

«

r

(x + l ) ( x - 2 ) > 0, para x * 2

_2

-1

2

x +1 > 0 la solución es la unión de los intervalos donde aparecen el signo (+) es x-2 x e (0

x —1 Si ------ < 0 (X- l ) ( x - 2 ) < 0 para x * 2 x-2 Entonces (x - 1)(x —2) = 0 => t\ = 1, r2 = 2 x —1 Como — —-< 0 => la solución es: x x-2

e

[0,+»> A [1,2> = [1,2>

x e [ Ì s2>

...(2 )

La solución de la inecuación es la unión de (1) y (2) es decir: x e

I 2x + 3 1— I T3x~ + ~ 7i I Solución 1 . 2.V-+3

.

x , 3x + 7

1 .1x1 \2x + 3\ |3x + 71

7 3 Para x * — , ~— , se tiene: |3x + 7| < |x| |2x + 3|

Eduardo Espinoza Ramos

128

-3/2

-7/3

13x + 7 | = —3x - 7 a)

si x <

...( 2 )

\x\= -x |2 x + 3 | = —2 x —3

reemplazando (2) en (1) se tiene: -3x—7 < (-x)(-2x —3) de donde

2x' ! + 6x + 7 > 0

pero como V x e R , 2 x 2 + 6x + 7 > 0

7

la solución es:

K R ~ <

7

->

13x + 7 1= 3x + 7 .v b)

o7 3 Si — < x < — 3 2

...(3)

| X |= - x

12x + 3 |= -2 x - 3

reemplazando (3) en (1) se tiene:

3x + 7 < -x(-2x - 3) de donde 2x2- 7 > 0

2x2 - 7 > 0 => (V2x + V 7 )(V 2 x -V 7 )> 0

'V 2

La solución es:

7 A (< -o o ,-J —] [/ U íy >+0° >)

■ a , x < —1 1, - 2■

a z

:

+

1/2 Sí

a

< — => |2x —11= 1 —2x

Reemplazando en la inecuación dada: - 2 a +1

A

--------- < 0 a-

- 2 a-3

—

2a - 2

n

— - >0

(x ~ l) ( x - 3 ) ( x + 1 ) > 0

(a - 3 ( a' + Ì)

para x * - 1,3. Mediante el criterio de los puntos críticos se tiene:

-1

1

3

134

Eduardo Espinoza Ramos

La solución para este caso es:

x € < - » , —> A ()

x&< - J , ~ > 2

Si -v>— => |2x —11= 2x — 1, reemplazando en la inecuación dada

2x - 1+1

0

=> x (x - 3 )(x + l ) > 0 , x * - l , 3

Mediante el criterio de los puntos críticos se tiene:

-1

0

3

La solución para este caso es: x e [—,+oo > A (< -1.0] U < 3.+oo > X €

Por lo tanto la solución de la inecuación es:

x e < -1, —> U < 3,-f > * M ' '

I-V--.VI-2 >0 \x\-l Solución A la inecuación expresaremos en la forma

-v

- i

..(1 )

1*1-1

Ahora aplicamos la definición de valor absoluto.

m= 0 . ,

-X SI X < 0

I-k- J K ,

x - i si * > i . ,

1- X , SI X < 1

p a r a x < 0 =>|x| = -x , | x - l | = l - x

<

+

\y 0

-

\ /

+

1 ...(2 )

t

135

Sistema de Números Reales

- a ( 1 - x ) - _2 ^Q —A' —1

^

-v2 - , -v.- 2 < o

=>

^ ~ 2 ^ + 1> < q A + 1A+ l)

para x * 1, —---- ^'v-~ - < 0 => x —2 < 0, x * -1 A +l

=> x e U U

... (3)

para 0 á x < 1, -=> |x| = x, |x —11= 1 —x reemplazando (3) en (1) se tiene: > | l ~ Jrl~ 2 > o » A- 1

= A- 1

£ —ü ± l < o A- 1

pero como V x e R. a 2 —x + 2 > 0 => —

x —1 < 0

x # 1 => x < 1, luego la solución para este caso es: x e [0,1> A = [0,1 > ... O )

para x > 1 => |x| = x. |x —11= x —1 reemplazando (4) en (1) se tiene: xU -0-2^ o A —1

:Y -— -I- >Q ^ A —1

( x ~ 2)(x+- ^ > o A -l

=> (x —2)(x + l)(x —1) > 0, para x * 1 Ahora por el criterio de los puntos críticos se tiene

xe

136

Eduardo Espinoza Ramos Por lo tanto la solución general de la inecuación es: la unión de (a), (p) y (y) x € 0 \~ 4 ? Solución A la inecuación dada expresaremos en la forma.

|4,-->iL-s>o =. Ly.!l£2-4.!y5>o 1 -4 7

...(l|

h*i

Aplicando la definición de valor absoluto: I -v |=

1 si 1 2 0 -x si x < 0

Parax |x| = - x, |x —4| = 4 —x

...(2 )

—x( 4 —iri —5 Reemplazando (2) en (1) se tiene: --------- :------ > 0 => 1 +x

|-, - 5 ) ( t t l | > 0 jr +1

para x

x

- 5

La solución para este caso se tiene: Para 0 < x < 4

>0

v 2 —4 r —S

— ---- -— > 0 x +1

=» x > 5

x e A [5,+*>> = |x| = x, |x —4| = 4 —x

...(3 )

Reemplazando (3) en (1) se tiene: x(4 —v) - 5 — - >0 1 -x

4 x - x 2 -5 A x 2 —4x + 5 ^ A => -------------- ¿ 0 = > --------------- > () 1 -x x —1

como V x e R , x 2 - 4x + 5 > 0 => —-— > 0 x -1

. .. ( a )

=> x — 1 > 0. x * 1

entonces x > 1, por lo tanto la solución para este caso es:

Sistema de Números Reales x

g

137

[0,4> A

x e

... (ß)

para x > 4 => |x| = x , |x —4| = x —4

... (4)

reemplazando (4) en (1) se tiene: jc( jc

- 4) - 5

1—X

x~ —4x —5

>0

x 1 - 4x - 5

>0

1—Xx - \

>0

para x * 1, (x —5)(x+l)(x—1) >0, ahora mediante el criterio de los puntos críticos se tiene:

-1

1

5

la solución para este caso es: x e [4,+oo> A ([-!,!> V [5,+oo>) (Y)

La solución general es la unión de (a), (ß), y (y)

\2 -x\-x 8 a - 19 -

jc 2

la solución es: x e [-2.1 > U U [2,3> U [3,9>

k37j

|l í l |< 4 x +3 Jt + 1 Solución x +3 | — - | < 4x + 3 x+l

x +3 (4x + 3 > 0 A - 4 x - 3 < ------ < 4 x + 3) x+l

o

, 3 . . . . x +3 x +3 . (x > — A ( - 4 * - 3 < ------ A ------ < 4x + 3)) 4 x +l x+1

o

(x > --

3

A

r-f 3 - + 4x + 3 > 0 A x+l

4x +

,2x2 + 4 x + 3

x ( 2 x + 3)

4

,

3

(x >

.

— A (---------------- > 0 A -------- —L > 0))

4

o

X+ 3 3 - - — — > 0)) x+l

(—

,

x + l

3

A /

1

A

x + l

*

x ( 2 x + 3)

( x > —- A (— - > 0 A ------- — >0)) 4 x+l x+l

puesto que 2 x 2 + 4x + 3 > 0

-3/4

A

(

V

/

-3/4

A l

\ V

0 de donde x ~ + 4 > 0 A x ~ + x + 4 > 0 , entonces | x 2 + 4 | = x 2 + 4 luego reemplazando se tiene: X > X 3— x2 + 4 x 2 +x+ 4

@

x (x 2 + x + 4 ) > ( x - 3 ) ( x 2 +4)

x 3 + x 2 + 4 x > x 2 - 3 x 2 + 4 x -1 2

x2 >-3

=> V x e R

J í M d d i _ ü l z i L d l +V 9 ^ > 0 Ir + +4 |x + 2y i|++ ll |Ixr -—111I +4 Solución

y

4

X

II X | —| —12 |x + 2 | + l

111—X | —3 1 | x —11+4

f - ------

.

------------------------------- +V9-X > 0 , entonces

x | | x I —11-12 _ j l l ~ x I - 3 1^ Q A 9 _ ^ 0 |x + 2| +l | x - 1 1+4 ^ M x - l | - 1 2 ^ j | l , - x | - 3| |x + 2|+l | x - 1 1+4 además como

U _!_LL_11> o , | x - 1 1+4

xiixM i-n j i - x i ^ j ^ |x + 2 | + l

entonces:

dedonde

| x - 1 1+4

iLÜül—L!—— > o A x < 9 como |x + 2| + 1 > 0 entonces lx + 21+1 ' '

Eduardo Espinoza Ramos

142

x |x —11- 12 > O A x < 9 Por definición:

... (1)

í jc, x > 0

| x |= < , entonces (-je, x < 0

si x < 0 => x|-x —11- 12 > 0 => x|x + 1| - 12 > 0 I x+ 1 , x > —1 . como |.v + l | = i => x e = U [-1,0> | —x —1 , X < - 1

si x e => |x + 1| = -x —1 como x|x + 11- 12 > O => —jc2 —jc —12 >0 => x 2 +x + 12 < O => 3 x e R,

v

tal que x 2 + x + 12 < O; por lo tanto (j)

si x e [ - 1 ,0 => |x + 1| = x + 1 => x(x + 1 ) - 12 > 0 x2+ x-l2> 0

:=> (x + 4)(x —3 )> O

*— +

Luego x e [-1,0> A = (j> Ahora si x > O => x|x —11-1 2 > O A x < 9 => x (x —1)—12 > O A x < 9 =>

jc2

—j c —1 2 > 0 A x < 9 => (x —4)(x + 3) > 0 A x < 9

-3 x

e A

x

g

4 x

x + 2x + l < x

, x * -l

2x + l < 0, x * - l => x < — , x * - l 2

I — 1! - 2 | — - | > 0 x +3 x+3 Solución

Completando cuadrados se tiene:

n * + l i ^2 , ( |------ l - l ) 2 > l x+3

| —+- |2 - 2 1 * + - 1+ l > l de donde x+ 3 x+3

, x + l . ,, . x + l , , , l v | ---- - | - l < - l x+3 x+3

»

,x+l, „ . x+1, . I---- r i > 2 v I---- - | < 0 x+3 x+3 x + l . .x + l . x +l . ------ 1 > 2 => ------- > 2 v ------- < -2 x+3 x+3 x+3

x+l

-, «x + l „ . -------- 2 > 0 v -------+ 2 < 0 x+3 x+3 x +5 x+3

3x + 7 < 0 v ---------< 0 x+3

Eduardo Espinoza Ramos

144

-5

-3

-3

-7/3

5 -3 * [ | - ———I] = 2 x Solución |í z 3 í n , 2

«

2 < ^ < 3 x

X

5 -3 x 2 < --------< 3

5 -3 * 5 - 3 jc 2 < — — A -------- 0 . --------< X

,

+ v

0

X

V 1

+

,

u

5/6

jce< 0 ,ll A x e< -oo,0 > U < — ,+°o > 6

0 oLa solución es:

5/6

1

Sistema de Números Reales

145

Solución

0

2-Vjc * 1 => 4.v * 1 => x

— 4

Por lo tanto analizaremos en: [0, —> U < —,+to > 4 4 si -v > ~ entonces en (1) se tiene:

.v > 0 A

jc <

2-v/x -1

x > 0 A x - 2 - J x + 1< 0

x > 0 A (Vx - l ) 2 < 0

si 0 < x < — =;• x < 0 A x > 2 y [ x - l 4

=>

=> x < 0 A x > 0

=> [ | - jc|] > 1 o

como -x > 1 => x < -1 => x

©

-x2l g

O A - —- > 0

-3

0 o-

Como x > l aplicamos la propiedad:

x+3 X —1

>x

x2-2x-3

x +3 . = > -------- x > 0 x —l

M

K £ ii

x —1

x +3 lo g r (------ )> 1 x- 1

x+3 x -1

-------- > X

[

—X

x+3 -x ' +x >0 x-1 ) 2 < x < 5 x -6 x -6

-4 < x —6 - 1 < —— < - x-6 4

x —9 x -6

| < M , sí x e [2,5]

3

Eduardo Espinoza Ramos

154 1

- < ---- —

R p ta .

{_ 2 1 0 . '

2

|= l

©

3 11jc + 1 1—4 12 - 5 | | j c + 1 | - 4 | =

©

1 lx I - 3 | = | 3 x + 2 |

©

|| jc +

©

| 2x — 3

21 - 1 12 - 5

2

||jc + 2 |- 1 |- 6 =

| - 1 = | x —3 |

3 ' 7

{± V 2 , ±

^

2}

R p ta . {-7 ,-3 ,1 ,5 }

R p ta .

0

{_74 ’Í4 }

R p ta . {-9 .5 }

R p ta .

< -4

2}

Sistema de Números Reales

157

@

| |x 2 -5jc + 1 5 |- x 2 + 8|=3jc + 9

Rpta. {-,16}

@

|x + 1 | + 2 | x —2| = | x —8 |

Rpta.

@

3 |x + 1 | - 2 | x —2 | = 2x —1

Rpta. { | , 8}

®

2 11A*—5 1-t-212 -11 II Jt- 5 1- 2 1+12 = 0

Rpta. {3,7}

II.

Hallar el valor de las siguientes expresiones:

©

|12 + 5 -rJ ~ | 1 2 r 4*J si x €

| 7jc + 1 0 1—I 5a* —101

.

. .

Rpta. 9

_ ^

,

®

-----------y-!----------- si x e

Rpta. 6

®

|9jc + 8 |- |2 j c - 8 | --------- -—--------- '

„ ,, Rpta. 11

. si x e

34)

f f i .t 31 J 3 -* ! si x e

Rpta. 3

55)

15.V-201-|3.V- 2 0 1 . „ „ ------ ----- — — ------ si x e

„ , Rpta. -2

©

|6 * + 32 | - 4 I « - * I

R pta. 2

©

I 4-V+ 1 | - | A- 1 |

si x e < .3,.2>

g. x e < Q l >

38) 17Y+ 2 1 I3-y + 2 1 si x e

3 13jc - 8 1- 13x + 2 4 1 . e , — !— ----------- si x € 2x

R p ta >

j

Rpta. 4

„ , Rpta. -6

Eduardo Espinoza Ramos

158

15^ 41- 14. 4,1 s i x £ < 0 3 >

Rpta. 1

l$2) n i. (41)

Resolver cada una de las siguientes inecuaciones. x +2 2.V-3

Rpta. < - 00,

I

JCH---I < 6

Rpta. [-4,-2] U [2,4]

9

X

x + 3jc +11 l U, , < — 5, » > Rpta. < - 00,-----

2

6

Rpta. < - - , - l > U < - l , - - > 2 4 Rpta. < . - 1 > U < - 1 ,- —> 2 4 Rpta. < -oc,0 > U < 0, — >

Rpta. < -» , 1> U >

Sistema de Números Reales

Rpta. < -oo,-3 >

' 3+.v f ^ ' 42 2.V-5 4-x

i— 6-2.V , 3.V -1

©

U< -3 , — ][/[!, »

Rpta. U U

2

I > -6

Rpta. U

| x —4 1 < - 2 x + 4 . x +3 < 5-x x +Z

Rpta.

Rpta. < -00.22 - -Jvì > U < -2.1 + 2sÌ2 >

I “ " 7 1 < 4 jc + 3 .r + 1

Rpta.

|x —2| < 2x

Rpta.

|x -Q\-2x

2

>0

x-4

\4x~ —8jc + 4 1

3M 2 ’

Rpta.

_ „ r3 - V Ì 5 3 + VÌ5 Rpta. [---------- , ----------- >

>

Eduardo Espinoza Ramos

160

I x + 5 I > 2x —3

(68 )

a)

b)

12. r - l I +1

Rpta. ,8> x + 2

Rpta.

[69)

Ix 2 - 4 1> —2x + 4

Rpta. U U < 2 ,00>

(70)

|2x + 11> 2 + x

Rpta.

©

|4x + 3| > x + 2

Rpta. <

K !2)

|3x + 8| > 8x —3

„Rpta.

( 73 )

Demostrar que:

00,

1_> U < —

,00

>

11,] < - 00, —

a)

Sí I x I < 3 => —5— e < — — —> x-1 4 10

b)

c)

Sí I x I < 2

d)

Si I x I < 1 =* I ——7 1 < 2 x -2

e)

Sí I x —3 I < 1 => | ^ | < 7

f)

Si Ix —2 I < 1 => I x" —4 1 < 5

I

x +4

2

5

x +1

3

x-1

g)

Sí I x I < 3 => I ^ 4 1 < 7 x-4 4

h)

Si I x —4 I < 1 =>

i)

Sí Ix —3 I< 1 => 1 < _ ! _ |

k)

74)

Si I x - 2 | < y = > | x 2 - 4 | < | | x - 2 |

Sabiendo que: b > 0 y | x —a | < 2b probar que:

2

x -2

— - | —< —i— < 1 3 x -3 1 x - a + 2b

e < 1 - , l, >

5

Sistema de Números Reales

161

©

D e m o s tra r que si x,a e < -o o ,-l] U [1 , * >

©

| — |2 + 3 | — | < - 2 2 4

R p ta . -1 < x < 1

©

I M + 2 | < | jc2 |

R p ta . < -to ,-2 ] U [2 , no >

©

l- v - 2 1 2 —3 1jc—2 1— 4 < 0

R p ta . < -2 ,6 >

| . c - I | 2 + 2 1jc -1 1 - 3 < 0

R p ta . < 0 ,2 >

| . v - 2 |2 —2 1jc—2 1—15 > 0

R p ta . < -3 ,7 > ~

©

U l2 + U l < v 4

3 3 R p ta . < — , — > H 2 2

©

2 < | , v | 2 + \x\

R p ta .

©

| jcj - 1 | 2 —| jc3 —11—3 < 0

„ 4 r i — s/nr 3 + v r j -, R p ta . [ 2 , 2 ]

©

| jc—3 12 —3 1jc—3 1- 1 8 > 0

R p ta . < -oo,-3> U < 9 , * »

©

| x —1 12 + 5 1jc —1 1- 3 6 > 0

R p ta . U

©

| * + '| ! - 2 | * +ì|> 0 jc + 3 jc + 3

R p ta .

©

1x

R p ta . R

©

©

| x - 3 | + 2| x | < 5

.v2

©

+ 2|jc + 3 | - 1 ( x 0

12,v- 5 i - 1.V- 2 1 + 1je I2 > 7

|- - - |< |jc - ì/| jc a

„ R p ta .

1] U [ 1, » >

< -5 ,-3 > U < - 3 , -

r~ | rn

— 1 1> | x | —2

entonces:

2 „ < -y,2 >

R p ta . [ 1 - - T Í 7 - 1 + V 5 ]

Rpta. < - * . - Ì 6 ] t / [ 2 V 2 . + o o >

162

Eduardo Espinoza Ramos Rpta.

(91J

,y 2 - | 3 . v + 2 | + . v > 0

©

| 3x —2 | < | x + 6 |

Rpta.

©

|x + 2| <

Rpta. U< 2 ,+to>

\ x \ 2

|3.v2 - 2.v + 1 1 > 3 1x2 + x - l |

1+ V 4 8 Í

TT

12

©

| x —1 | + |x + 1 |< 4

Rpta.

@

12 x 2 - 4 x - 6 \ > 12 x J —3jc —9 1

Rpta. | x + 9-| + | x —2 |

Rpta. (j)

(98)

|4 x + 2 | > | x —1 | + 3 | x + 1 |

Rpta.

1

1— 7481

22

12

5

Rpta. U < ------------ , — >

3.v3 - 2 x 2 - l x - 2 1 > |x 3 + 6 .y2 —9jr —1 4 1

Rpta. U

|10-3.y +jc | < \x~ +x-6|

Rpta. [4, oo>

\ 2 x ¿ +JT-1I < \ 2 x z - x - \ \

Rpta. U < 0, > V2 V2

x —6 | - | x —3 | < | x —1 I

Rpta. < -oo,-2]í/[^,+oo >

(|x-l| +|*-2|X |l-*|-|*-2|) < jc2-6

6 -3 x

| jc +

3|

x

x + 12

x-3

4 3 \x+2\

2,v +1 < -

Rpta.

- 2 > U < - 2 , ~ 5 +

>

Sistema de Números Reales 3

163

5

-< -

„ „ r 13 + 5Vl3 -1 3 + 5-/Í3 n Rpta. [----- ------ , ------- --------]

12.v- 31 *2+* +l

Rpta. < - o o - l > U < -1,0 > U <

I— — I > 1-l-vl x

| x " —2x —4 8 1( | x ” —2x 1—| x —121) | x —2 1—6 2-|2-x|-x

Rpta. {-6} U

Rpta.

| x - x 2 1-2

Rpta. < -oo,0 > U l+ | x |

ôo >

X

2x-l

x-2 > | x + 3|

Rpta. [ - l - V 6 , | > t / < | , - l + V 6 > t / < 2 , o o >

Rpta. [-1 —s/7,—n/6] U [1 + V 7 , 2 > U h/6,+oo>

x - l

x+1 Ix

1 C/[—,1 > U < l,+oo >

Rpta. [L+oc>

Rpta. R —{-2}

| x " + 4x + 4 1 x ' + 4

■> x —1

|x|+l|

Rpta. < -oo, -Jl >

164

© @

© © © © ©

© © ©

Eduardo Espinoza Ramos 14x2 - 91 >0 12x + 5 1

R pta. V x e R - { - :

| x + 1 | - 2 | x | + 3 | x —2 | < 6

3—| -Y - 4 x [

| x - 5 1+ X 2

3 | 2 x + 6 | - | x + --| < 6 V

Rpta. 0

Rpta. [-4,-3> U -1

4-lxl

Rpta. x - 6

R pta. [-1,3]

©

| x —1 | - 1x | + | 2x —3 |> x + 2

Rpta. < -oo, — > U < 6,+oo >

@

(V |x -l|-3 -V 5 -|x -4 |)(V |x -l|-3 + V 5 -|x ^ 4 |) < |x |- 6

Rpta.

[4,7]

Sistema de Números Reales

(| x | +2)(| x [ - 2 h l x 2 + 4

165

>0

Rpta. x "-1

-4x|

0

Sistema de Números Reales

-V l-v-41-l jc-11 IV.

169

w

UI-1

Encontrar el menor número M con la propiedad de que para todo x e R se cumple:

©

2x - x 2 < M

Rpta. M = 1

©

\ - 4 x - x 2 U < 2,+ro > ]. Hallar el menor valor de M tal que | --------1 < M x 2 x+ 5

©

Sí |x —31< 1. Hallar el número M tal que:

©

Hallar M tal que sí |x| < 2 =>

©

Encontrar un número M positivo tal que:

x 3- 2 x 2 + 3 x -4 | ), Determinar el menor número M tal que | ———|< M x x +4

22)

Determinar el número M tal que:

| ——

< M , V x e

x^ +14 | —--------------- 1 < M , sí x e [-1,2] x -4jc + 14

®

Hallar el menor número M tal que:

(2 ^

Hallar un número M tal que: sí |x| < 1 => | - í- í—| < M x +3

VI.

Resolver las siguientes ecuaciones:

©

[| 3x |] = x + 2

Rpta.

x= 1

©

[| 3jc I] = 2x + 2

Rpta.

x = 2 ,^

©

[| l £ r -2 1 - 3 1] = 5

Rpta.

©

[|2-|jt||] = 1

Rpta.

[-1,0> U 2 2

©

[ | | 2, : - 1||] = 1

©

x ■+■2 t l ^ l ] =2 x+3

Rpta. <

Rpta. < ü . 8] 2

©

[1 U - 2 | +3 n = 4

©

[| 2 - 1x 11] = 1

Rpta. [7,9>

©

[1~ ~ T 1] = ^ x +3

Rpta.

©

[I* 2 - 2 x |] = 3

Rpta. < l - 7 5 , - l ] u [ 3 4 + V 5 >

©

[| 2x |] - 1x —11= 2x —3

Rpta. {-2 — — 4} 3 ’3

Rpta. [-1 , 0 u log,(7-2.V )

Rpta.

»1

< -3 .1 > u < 3 ,4 >

Rpta. < -1 + VÄ.2 > u < 2,5]

Rpta. [- 1, 0 >

u < 3 ,1 5 >

_

12

7

5

2

Rpta. < — , —>

^ò)

lo g , (.v -4.Y + 3) > -1

Rpta.

[0 .1 >

©

log2(| -V—2 1-1) > 1

Rpta.

< - x , - 1> u < 5 , » >

©

l0 g ^ H (l ^ 7

Rpta.

< 0 ,i>

(Í 9 )

lo g (;(2 + .v )< l

)-°

(20)

'u

< 3,4]

l

l o g , (.v2 - 4 ) > l o g , ( 4 . v - 7 )

1 @

lo g 2(.v2) + lo g 2(.v4) > 3

(22)

[ 2 , + to>

log, ( 8 - 2 a ) >3 T

1

Eduardo Espinoza Ramos

176

1.42

CONJUNTOS ACOTAPOS.a)

DEFINICION.-

Llamaremos cota superior de un conjunto A c R

a todo

número k e R tal que x < k, VxeA, ósea que cualquier número que sea mayor o igual que los elementos de A se llama “cota superior de A”. Cuando A tiene alguna cota superior, diremos que el conjunto A es acotado superiormente. Ejemplo.- Sea A = y la cota superior k = 5 cotas superiores de A A

--------- C ...............,.............,................. ,...............;.......R x 3 4 5 6 7

.

Observamos que cualquiera de los números reales mayores que 3 e incluso el 3 es cota superior de A. De todas estas cotas superiores de A, él número 3 es la menor. Luego daremos la siguiente definición. b)

DEFINICION.-

A la menor de las cotas superiores de un conjunto A c

R y

acotado superiormente, se le llama supremos de A o mínima cota superior de A y se denota por Sup(A). OBSERVACIÓN.O

El supremo de A es también una cota superior de A.

©

La menor cota superior k = Supremo de A = Sup A esta caracterizada por las condiciones siguientes que es equivalente a la definición. K = Sup A o V x e A y para toda cota superior k' de A, se tiene que x < k < k'

©

El supremo de un conjunto A, si existe, no es necesariamente un elemento de A. como en el caso de A = cuyo supremo es 3 no pertenece al conjunto A.

La existencia del supremo para conjuntos acotados superiormente esta dado por el siguiente axioma.

Sistema de Números Reales

1.43

177

A X IO M A DEL SUPREM O O A X IO M A D E LA M ÍN IM A C O T A ...... SU PER IO R .Todo conjunto A de números reales, no vacío y acotado superiormente, tiene una menor cota superior en R. Ejemplo.- Demostrar que sí A = entonces Sup A = 3 Solución Probaremos esta afirmación por el absurdo. Supongamos que 3 no es la menor cota superior de A, entonces se puede asegurar que k +3 existe una cota superior k de A tal que k < 3 y puesto que k < —-— < 3

Tomamos k ' = —— 2 De donde

=> k < k ' < 3

...( 1 )

k ' e A = < -oo,3 > , pero siendo 1 cota superior de A debería tenerse

k'< k

contradiciendo a (1). La suposición es absurda por lo tanto Sup A = 3. a)

DEFINICION.-

Llamaremos cota inferior de un conjunto A c R a todo número k e R tal que k < x, V x eA. Osea que cualquier número

que sea menor o igual que los elementos de A se llama “cota inferior de A”. Cuando A tiene alguna cota inferior, diremos que el conjunto A es acotado inferiormente. Ejemplo.- Sea A = [-2,7> y la cota inferior k = -2. cota s inferiores de A

-4

A

R 7

Se observa que cualquiera de los números reales menores que - 2 e incluso el —2 es cota inferior de A.

Eduardo Espinoza Ramos

178

De todas estas cotas inferiores de A el número -2 es la mayor. Luego daremos la siguiente definición. b)

DEFINICION.-

A la mayor de las cotas inferiores de un conjunto A c R y

acotado inferiormente, se le llama infimo de A o máxima cota inferior de A y se denota por inf (A). OBSERVACIÓN. ,

©

El infimo de A es también una cota inferior de A.

(T )

La mayor cota inferior k = inf(A) = K = inf(A) o

©

infimo de A esta caracterizada por la condición.

V x e A y para (oda cota inferior k' de A se tiene k'< k < x .

El ínfimo de un conjunto puede no ser elemento del conjunto dado.

Ejemplo.- El conjunto A = [-2,7> esta acotado superiormente por 8 e inferiormente por —3, además la mayor cota inferior es -2 y la menor cota superior es7 por lo tanto:

Sup(A) = 7 y Inf(A) = -2 de donde Sup(A) í A, Inf(A) e A

Cuando en un conjunto A se tiene que Sup(A) e A entonces el Sup(A) también se le llama el máximo de A y si el Inf(A) e A entonces al ínfimo de A también se le llama el mínimo de A. c)

DEFINICION.-

Un conjunto A se dice que es acotado, si es a la vez acotado inferiormente y superiormente.

Ejemplo.- El conjunto A = U [30,50] es acotado y Sup(A) = 50, Inf(A) = 1. Ejemplo.- El conjunto A = ,-5] U no es acotado inferiormente ni superiormente.

1.44

PRINCIPIO ARQLIMEDIANÜ.Si

x es

0 0

=> k —x < k y por

lo tanto (k —x) no puede ser cota superior de A puesto que k es la menor de todas ellas. Luego existe un elemento de A: /n,jc como

e iV tal que k - x < m^x < k

...( 1 )

Pues si así no fuese, entonces se tendría que n x < k - x , V n x e A => k —x seria cota superior de A lo cual es felso. Luego de (1) => Jt

k n > 1 => 0 < x = — son dos conjuntos acotados inferiormente tales que A c = B probar que Inf (B) < Inf(A).

©

Hallar supremos y el ínfimo de A = {-—— / n e N ) , B = 3«+ 4 Rpta.

©

sup(^) = - — , inf(A) = - 2 ,

— +^n / n & N } 3«+ 8

sup(S) = 4 , inf(5) = 0.2

Determinar el supremo y el ínfimo si existen en cada uno de los ejercicios. a)

A = { x e R / x ¿ 0}

Rpta. Sup A = 7, Inf A = -3

. c)

.,3 + 2« ,

A={/n 3 -2 n

g N}

d)

A = {x& R/x

—4jc—12 < 0}

e)

/Í = {jce7?/|*||jc + l | < 2 }

Rpta. Sup A = 1, Inf A = -2

f)

A = { x & R ! \6 + x - x

Rpta. Sup A = 4, Inf A = -3

| Sup {Inf(A), Inf(B)}. ©

Determinar el supremo y el ínfimo si existe de los siguientes conjuntos. a)

A = {xeR /\4-x\> x}

b)

A = { x & R / \ I*2 -4 1 a - c =m.3, V a,b,c e Z

(b,c) e R => (a,c) e R, V a,b,c e Z.

Por lo tanto R es una relación de equivalencia.

Eduardo Espinoza Ramos

196

d)

DETERMINACION DE UNA RELACION BINARIA. Teniendo en cuenta que una relación es un conjunto de pares ordenados, entonces a una relación determinaremos por extensión o por compresión. Ira. Por Extensión.Una relación queda determinada por extensión cuando se menciona cada uno de los pares ordenados de la relación. Ejemplos.a) b)

={(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)} ,

R 2 = { (a ,b), (c, d),( e, f) }

Si A = {2,3,6,9} y B = {1,4,5,6,12}

Expresa por extensión cada una de las relaciones: (T )

R = {(x,y) e A x B / y = 2x} Solución R = {(2,4),(3,6),(6,12)} R = {(x,y) e A x B / x + y = 12} Solución R = {6,6}

2da. Por Comprensión.Una relación queda determinada por comprensión cuando se da una propiedad que caracteriza a todos los pares ordenados que conforman la relación. Ejemplos.a)

Si A = Z conjunto de los números enteros la relación R={(x,y)eZx Z / y = x} es una relación expresada por comprensión.

b)

Si U = {x e N / x < 7}. Determinar por comprensión la relación: R = {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4),(7,5)}

Relaciones y Funciones

197

Solución Se observa que la diferencia entre la primera componente y la segunda componente es dos unidades por lo tanto expresaremos por comprensión: R = {(x,y) e U x U / x —y = 2 } e)

RELACION INVERSA.Si R c A x B es una relación de A en B; entonces a la relación inversa de R lo denotaremos por R~l y está definido por: R~l ={(y,x) e B x A l ( x , y ) e R \

Ejemplo.- Sí R= {(3,2),(3.1),(4,2),(4,5),(6,8)} => R~l = {(2,3),(1,3),(2,4),(5,4),(8,6)} Ejemplo.- Hallar la inversa de las siguientes relaciones. a)

R = {(x,y)e R x R / x + 3y = 12} Solución Para determinar la inversa de una relación se despeja x, es decir: Luego se permuta x por y es decir:

x = 12 —3y

y = 12 - 3x

R * ~ U x , y ) z R x R , !y ^ n ~ 3 x \ b)

R = {(x,y) e R x R / 3 x + 4 y = 5 A 1 < x < 7} Solución 5-4y Primeramente despejamos x de 3x + 4y = 5 es decir: x = ■■■ ■ , 1 < x < 7 5 - 4y Ahora veremos como va variando y; como l < x < 7 => 1 < ------ —< 7 3 3 < 5 — 4 y < 21

=í>

- 4 < y < ^

Eduardo Espinoza Ramos

198

5 -4 v 1 Luego x - — ——, - 4 < ^ < —, por lo tanto al permutar x por y se tiene:

5 - 4* - 4 < j t < — v = --------, ■ 3 2 jt* = { (x ,y ) e R x R /y =^ ^ , - 4 < x < - } 3 2

2,3.

GRAFICA DE UNA RELACION DE R EN R,a)

Definición.-

Llamaremos gráfica de una relación de R en R al conjunto de puntos P(x,y) cuyas coordenadas satisfagan a dicha relación, teniendo en

cuenta que una relación puede estar expresada en una de las formas: E(x,y) = 0 V E(x,y) < 0 V E(x,y) > 0 V E(x,y) < 0 V E(x,y) > 0. b)

Discusión de la Gráfica de una Relación. Para trazar la gráfica de una relación dada por la ecuación E(x,y) = 0, daremos el siguiente criterio. Ira. Determinación de las intersecciones con los ejes coordenados. -

Intersección con el eje X:

E(x,y) n eje x = {(x, y) e R 2 / y = 0} = P

Es decir: para hallar el punto P de intersección con el eje X se hace y =0 en la ecuación E(x,y) = 0, ósea que se resuelve la ecuación E(x,0) = 0 -

Intersección con el eje Y:

E(x,y) n eje y = {(x,y) e R 2 l x = 0} = Q

Es decir: para hallar el punto Q de intercesión con el eje Y se hace x =0 en la ecuación E(x,y) = 0, ósea que se resuelve la ecuación E(0,y) = 0. 2da. Determinación de la simetría con respecto a los ejes coordenados. -

Simetría con respecto al eje X. Existe simetría con respecto a eje X si se cumple E(x,y) = E(x,-y). Fig. (a)

Relaciones)’ Funciones

199

Simetría con respecto al eje Y. Existe simetría con respecto al eje Y si se cumple E(x,y) = E(-x,y) Fig. (b) Simetría con respecto al origen. Existe simetría con respecto al origen si se cumple E(x,y) = E(-x,-y). Fig. (c)

3ra. Determinación de la extensión de la curva. Consiste en determinar el dominio y el rango de la relación. 4ta. Determinación de las Ecuaciones de las Asíntotas. Trataremos solamente de las asíntotas verticales y horizontales. -

Asíntotas Verticales.- La recta x=a, es una asíntota vertical de la relación E(x,y) = 0, si para cada (x,y) e E(x,y), se tiene que para “y” bastante grande la distancia de “x”a“a” es decir |x-a| es muy pequeño.

200

Eduardo Espinoza Ramos

Para

calcular las asíntotas verticales se despeja la variable y de la ecuación

E(x,y) = 0 es decir:

y = —— de donde f y g son expresiones solamente de x,

g(x) entonces las asíntotas verticales se obtienen de la ecuación g(x) = 0, es decir haciendo el denominador igual a cero. Asíntotas Horizontales.- La recta y = b es una asíntota horizontal de la relación E(x,y) = 0 sí para cada (x,y) e E(x,y) sé tiene que para “x” bastante grande la distancia de “y” a “b” es decir |y —b| es muy pequeña.

ecuación E(x,y) = 0, es decir:

x ■

donde f

y

g

son expresiones

8(y) solamente de y, entonces las asíntotas horizontales se obtienen de la ecuación g(y) = 0 es decir haciendo el denominador igual a cero.

Relaciones y Funciones

201

5ta. Tabulación. Consiste en calcular un número determinado de pares ordenados a partir de la ecuación E(x,y) = 0. 6

ta. Trazado de la curva.- Mapeo de los pares ordenados.

OBSERVACION

(7)

Diremos que el par (a,b) pertenece a la relación E(x,y)

=0

sí y solo sí E(a,b)

= 0.

Ejemplo.- Discutir y graficar la relación: R = {(x,y) e R x R / xy —2 y —x = 0} Solución A la relación dada escribiremos en la forma:

R(x,y) = x y —2y - x = 0

Io

Intersección con los ejes coordenados:

-

Con el eje X; hacemos, y = 0 ;

R(x,0) = 0 - 0 - x = 0 => x = 0

-

Con el eje Y; hacemos, x = 0;

R(0,y) = 0 —2 y - 0 = 0 => y = 0

2° Simetrías: -

Con respecto al eje X: R(x,y) = R(x,-y) pero x(-y) —2(-y) —x * xy —2y —x, por lo tanto no existe simetría con el eje X.

-

Con respecto al eje Y: R(x,y) = R(-x,y) pero x y —2 y —x * -xy—2y + x, por lo tanto no existe simetría con el eje Y.

-

Con respecto al origen: R(x,y) = R(-x,-y) pero x y -2 y - x * (-x)(-y) - 2(-y) - (-x), por lo tanto no existe simetría con el origen.

3o Extensión: -

X

Calculamos el dominio, para esto despejamos y es decir: y = ------ . jc -2

Luego D r = R - { 2}

202

Eduardo Espinoza Ramos

-

Calculamos el rango, para esto despejamos x es decir: x = -----y -1 Luego R r = /? -{ l}

4° Asíntotas: -

x Asíntota Vertical: se despeja y. y = ------ la ecuación de la asíntota vertical es x=2 x-2

-

Asíntota horizontal: se despeja x: 2 y x = ------, la ecuación de la asíntota horizontal es y = 1. y -1

5o Tabulación: X Y

O

0 1 0 -1

3 4 3 2

Hallar el dominio y rango de la relación:

-1 -2 0.3 0.5

R = {(x,y) e R x R I x y 2 - x + 3 y 2 +1 = 0}

Solución Calculando el dominio de la relación R, para esto despejamos y de la ecuación

x y 2 - x + 3 y 2 +1 = 0 => (x + 3 ) y 2 = x - \ '

=>

y = ± J ——V* + 3

Relaciones y Funciones

203

Analizando los valores que pueda tomar x para que y sea real, en este caso debe cumplirse:

—— > 0.

+

*+

\ /

-

-3

\ /

+

1

Luego D r =< -oo,-3 > t/[l,+oo > Ahora calculamos el rango de la relación R. Para esto despejamos x de la ecuación: x y 2 - x + 3y 2 +1 = 0 2

2

3>’2 + 1

x(v~ -1 ) = -3 y~ - 1

=>

x - --------------

J 2 -1 Luego los valores que puede tomar y para x sea real es que y * ± 1 P orlotanto

R r = /J -{ -l,l}

Hallar el dominio y el rango de la relación: R = {(x,y) e. R x R I x 2y 2 - A x 2 - A y 2 =0} Solución Sea x 2y 2 - A x 2 - A y 2 = 0

...(1 ) Ax2

Para calcular el dominio de la ecuación (1) despejamos y = ±

x 2 -A Ahora analizaremos los valores que pueda tomar x para que y sea real, en este caso debe cumplir:

x2 —----- > 0 x -4

La solución es x e

=>

1 ——— - > 0 x2-A

1 ------------------ > 0 (x + 2 ) ( x - 2 )

U

Para x = 0 también se verifica. Por lo tanto:

DR = < - o o ,- 2 > U < 2,+oo > U {0}

Eduardo Espinoza Ramos

204

Ahora calculamos el rango de la relación para esto despejamos x de la ecuación (1) 4y 2 x = ± —f—— , analizando los valores que pueda tomar y para que x sea real, en este caso

ty

~4

4y 2 se tiene —------> 0 y2-4

V y e R, y2 > 0

4 ¿— - s>o0 => y = 0 se cumple, —~ y 2-4

-2

= ----------=> —----- — > 0 (y-2)(y+2)

2

La solución es y e U Por lo tanto: R r = < -*>,-2 > U < 2,+oo > í/{0} ©

Sí A = {2,3,6,9,11} y B = {1,4,5,6,12,14} Expresar por extensión cada una de las siguientes relaciones: a)

R = {(x,y) e R A x B / y = 3x} Solución R = {(2,6)}

b)

R = {(x,y) e A x B / x + y = 12} Solución R = {(6,6),(11,1)}

c)

R = {(x,y) e A x B / y = x} Solución

R = {(6,6)}

Relaciones y Funciones (T )

205

Si el universo es U = {1,2,3,4,5} determinar por comprensión cada una de las relaciones: a)

R = {(1,1 ),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5) } Solución R = {(x,y) e U x U / y = x ¡

b)

R = {(3,1 ),(4,2),(5,3)} Solución R = {(x,y) e U x U / y = x - 2}

La relación R = {(x,y) e Z x Z / x —y = 2k, k e Z ( .

Es una relación de equivalencia

Solución a)

Reflexiva: S ix = y

=> y —x = 0 => x —x = 2(0), 0 e

Luego V (x,x) e R b)

R es reflexiva.

_

Simetría: Como x —y = 2k, multiplicando p o r—1 se tiene: y —x = 2(-k),-k e Z Luego (y,x) e R

c)

Z

.'. R es simétrica

Transitiva: Sí (x,y) e R => x - y = 2kx ,

k x &Z

(y,z) e R => y - z = 2k2 ,

k 2 &Z

x - z = 2(kx + k 2) , k x + k 2 e Z Luego (x,z) e R ^6^

.’. R es transitiva. Por lo tanto R es de equivalencia.

La relación R definida por: R = {(x,y) € R x R / |x - y| < 4}, R es de equivalencia. Solución a)

Reflexiva:

V x e R , |x —x| = 0 < 4 => (xjc) e R

.\

R es reflexiva

Eduardo Espinoza Ramos

206

b)

Simétrica: (x,y) e R

=> |x - y| < 4 => | y - x | < 4

c)

=> (y,x) e R

R no es transitiva: para esto tomemos dos

R es simétrica.

pares ordenados

(7,4) e R =>

|7 —4| = 3 < 4

(4.1) e R =>

|4 —11= 3 < 4

(7.1) e R

|7 —1| = 6 ¿ 4, luego R no es transitiva.

Por lo tanto R no es de equivalencia. ©

Determinar sí la relación: R = { ( x , y ) /

+ ~Jy =1, x, y e R ' } es reflexiva, simétrica y

transitiva. Solución

,

a)

Reflexiva: S í x e / ? + =>

v

V

x* — 4 .

Luego (x,x) í R => R no es reflexiva.

b) Simétrica: Sí (x,y) e R

~Jx + - J y + J x =1

=> (y,x) e R

Por lo tanto R es simétrica. c)

Transitiva: Sí (x,y) e R entonces: -Jx+^Jy' = 1 (y,z) e R entonces -Jy + -J: = 1 4 x + -Jz = 2(1 - J y ) * 1 (x,z) g R, por lo tanto no es transitiva.

Relaciones y Funciones Discutir y graficar la relación:

207

R ={(jc, y ) e RxR! x 2y - 4 y + x = 0} Solución

La relación dada también se escribe así: R(x, y) = x 2y - 4y + x = 0 Ahora haremos la discusión correspondiente: Ira. Intersección con los ejes coordenados -

Con el eje X, hacemos y = 0; R(x,0) = 0 —0 + x = 0 =>

-

Con el eje Y, hacemos x = 0;

x= 0

R(0,y) = 0 - - 4 y + 0 = 0 = > y = 0

2da. Simetrías -

Con respecto al eje X: R(x,y) = R(x,-y). Pero x 2 ( - y ) - 4 ( - y) + x * x 2y - 4 y + x , por lo tanto no existe simetría en el eje X.

-

Con respecto al eje Y: R(x,y) = R(-x,y) Pero x 2y - 4 y + x * (~x)2y - 4 y - x , por lo tanto no existe simetría con el eje Y.

-

Con respecto al origen: R(x,y) = R(-x,-y) x 2y - 4y + x = (-je)2 - 4( - y ) - x , por lo tanto si existe en el origen.

3ra. Extensión.

Calculamos el rango, para esto despejamos x

el rango es todos los reales R, puesto que y = 0, x = 0. la ecuación se verifica.

208

Eduardo Espinoza Ramos 4ta. Asíntotas -

—X Asíntotas Verticales: se despeja y, y = —------, las ecuaciones de las asíntotas x~ - 4 verticales se obtienen de la ecuación x 2 - 4 = 0 de donde x = -2, x = +2 es decir: x = ± 2 son las asíntotas verticales.

-

- l ± J l + 16>’2 Asíntotas horizontales, se despeja x, x = ------- -----------. 2y La ecuación de la asíntota horizontal es y = 0

5ta. Tabulación.

(? )

Discutir y graficar la relación:

R = {(x,y) e R x R / x 2y 2 - 4 x 2 - 4 y 2 = 0} Solución

A la relación dada escribiremos en la forma: R(x, y) = x 2y 2 - Ax2 - 4 y 2 = 0 Ahora haremos la discusión correspondiente.

Relaciones y Funciones

209

Ira. Intersecciones con los ejes coordenados. -

C o n elejeX , ha c e mo s y =0 de donde

i?(x,0) = 0 - 4 x 2 - 0 = 0 => x = 0

-

Con el eje Y, hacemosx = 0 de donde R( 0, jk)

= 0 —0 —4>-2 = 0 => y = 0

2da. Simetrías: -

Con respecto al eje X: R(x,y) = R(x,-y) Como x 2y 2 - 4 x 2 - 4 y 2 = x 2( - y ) 2 - 4 x 2 - 4 ( - y ) 2 Por lo tanto existe simetría en el eje X.

-

Con respecto al eje Y:

R(x,y) = R(-x,y)

Como x 2y 2 - 4 x 2 - 4 y 2 = ( - x ) 2y 2 - 4 ( - x ) 2 - 4 y 2 Por lo tanto existe simetría en el eje Y. -

Con respecto al origen: R(x,y) = R(-x,-y) Como x 2y 2 - 4 x 2 - 4 y 2 = ( - x ) 2( - y ) 2 - 4 ( - x ) 2 - 4 ( - y ) 2 Por lo tanto existe simetría en el origen.

3ra. Extensión.

Calculamos el dominio para esto despejamos y,

y =±

+ y es real sí ———- > 0 x-l-22 -__4A

=>

( x - 2 ) ( x + 2)

x e U por lo tanto

>0

+

-2

2

D R =< - qo,- 2 > U < 2,+> U {0}

Eduardo Espinoza Ramos

210

4 y x es real si —— —> 0 y _4

1 (>’-2)(> ’+ 2)

-2

2

y e U >. Por lo tanto .'. R r = < -*>,-2 > U < 2,+oo > {/{0f 4ta. Asíntotas.

Asíntotas verticales:

4* se despeja y = ± J —----Ijc - 4

Las asíntotas verticales se obtiene de la ecuación x - 4 = 0 => x = ± 2 Asíntotas horizontales: se despeja

4yJ

x =±

ly 2-4

Las asíntotas horizontales se obtienen de la ecuación j r - 4 = 0 5ta. Tabulación.

»

Discutir

y

graficar la relación.

R ={(x,y) Solución

w |Si

±4 i+

y

±3 i+

X

@

=> y = ± 2

g

0 0

R x R / y x 2 - 4 y - x 2 =0}

211

Relaciones y Funciones A la relación dada escribiremos en la forma: R(x, y) = y x 2 - 4 y - x 2 = 0 Ahora haremos la discusión correspondiente Ira. Intersección con los ejes coordenados. -

Con el eje X, hacemos y = 0, de donde R(x,0) = 0 - 0 - x 2 =0

-

Con el eje Y, hacemos x = 0, de donde

=> x = 0

R(0,y) = 0 - 4 y - 0 = 0 => y = 0

2da. Simetrías -

Con respecto al eje X: R(x,y) = R(x,-y) pero y x 2 - 4 y - x 2 * - y x 2 - 4 ( - y ) - x 2 por lo tanto no existe simetría en el eje X.

-

Con respecto al eje Y: R(x,y) = R(-x,y) como y x 2 - 4 y - x 2 = y ( - x ) 2 - 4 y - ( - x ) 2 por lo tanto existe simetría en el eje Y.

-

_

Con respecto al origen: R(x,y) = R(-x,-y) pero y x 2 - 4 y - x 2 * - y ( - x ) 2 - 4 ( - y ) - ( - x ) 2 por lo tanto no existe simetría en el origen.

3ra. Extensión. X Calculamos el dominio, para esto despejamos y de donde y = —------, y es real ' x~ - 4 si x ± 2, luego entonces .\ DR = R - {-2,2}

Calculamos el rango, para esto despejamos x., x = ±

x es real sí: —— > 0 >'-1

+

+ 0

212

Eduardo Espinoza Ramos y e

4ta. Asíntotas

Asíntotas verticales, se despeja y, y =

x2 .... , las asíntotas verticales se obtienen *2-4

de la ecuación x 2 - 4 = 0 => x = ±2.

-

Asíntotas horizontales, se despeja x,

x =±

4y

y- 1

las asíntotas horizontales se

obtienen de la ecuación y —1 = 0 => y = 1. 5ta. Tabulación. X y

1US.

0 0

±1 -0.3

±1.5 -1.2

±3 1.8

±2.5 2.7

EJERCICIOS PROPUESTOS.» Hallar el dominio y rango de las relaciones. a)

R ={(x,y) e R x R / y = x 2 - 4 x , y < 0}

c)

R = { ( x , y ) e R x R / x 2 = .v -l}

e)

R = { { x , y ) < z R x R I - J x + f i = X)

f)

b)

R = {(x,y) e R x R / y = - ^ 4 - x 2 }

d)

R = {(x,y) e RxR / xy-2y-x=0} R = { ( x , y ) e R x R / x 2y 2 +xy = 5}

213

Relaciones y Funciones

g)

( 2)

( 3)

R = { ( x , y ) e R x R / y = — ----------- } 2x - 3 x - 5

h)

i)

R = { ( x , y ) e R x R ! x 2y 2 - 2 x + y 2 - 4 = 0}

j)

R = { ( x , y ) e R x R / ( x 2 - 6 x + 5 )y 2 = 4 y - l }

Si U = {x

gZ

' / x impar A i < 8 } .

R ={( x, y)

g Rx R/ ( x 2 - 4 ) y

= y 2}

Tabular las siguientes relaciones en U

a)

R = {(x,y) e U x U / x = 3 V y = 5 }

b) R = {(x,y)e U x U / x + y = 8 }

c)

R = {(x,y)

d)

g

U x U / x y = 21}

R = {(x,y)eU xU /x divide a 20}

En el conjunto de los naturales N se define una relación R de la siguiente forma: R = {(x,y) e N x N / x 2 + x = y 2 + >>} es decir si es una relación de equivalencia, justifique su respuesta.

©

En R se define las siguientes relaciones, V x,y e R a)

R = {(x,y)

g

R x R / | x —l| = |y —1|}

R = {(x, y) g R x R / x 2 - x = y 2 - y } .

b)

Demostrar que son relaciones de equivalencia. ©

Siendo A = {1,2,3,4,5,6} estudiar las propiedades de las relaciones binarias. a) c)

R = {(x,y) e A x A / x - y < 2}

R = {(x,y) e A x A / x < y }

R pta. (^ó)

b)

R = {(x,y) e A x A / x + y > 0}

a y c es de equivalencia, b) es reflexiva

En A = {1,2,3,4} se considera la relación R = {(x,y) e A x A / x = y V x + y = 3} Es de equivalencia.

R pta. Si

( 7)

En Z define la relación R:

(? )

Clasificar la relación R definida en Z x Z mediante (a ,b)R(a\ b' ) R pta.

R = {(x,y)

R es de equivalencia.

g

ZxZ / x 2 + x = y 2 + y } . Graficar R. ab'=ba'

Eduardo Espinoza Ramos

214

©

Definimos en el conjunto Z x (Z —0) la siguiente relación (a,b) R (c,d) ad = be Es una relación de equivalencia

©

Demostrar que la relación dada por:

R es una relación de equivalencia

R p ta .

R = {(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(a,c),(c,a),(b,d),(d,b)}

En el conjunto A = {a,b,c,d} es una relación de equivalencia. (íl)

Discutir y graficar las relaciones siguientes: a)

xy2 - 3 y 2 - l = 0

c)

y 2 =-?—

b)

d)

y 2( x2 - 4 ) = x + 2 y =-

3-x

T

2x2 - 3 x - 5

e)

x 2y 2 - x

2 + y 2 +1 = 0

g)

xy-2x-y-2 = 0

f)

h)

x 2y 2 + 4 x 2 - 4 y 2 = 0 y 2 (x + l) = 4

Discutir y graficar las relaciones siguientes: \

a)

2

,

¿

i

n

wv b) y

x y + xy-6x-3 = 0

3x2 - 8 x + 4

= — *— ----------

x v

C) y V

2

4jc2

x 2 +1

_

d) y = —----------

-----

x -4

2xz - 5 x + 2

e)

3 2 x +x y - y

g)

yx2 - 2 5 y - x = 0

=0

2

a-V f)

y =

h)

y =

j ( x + 3)

(x + 2 )(x -2 ) x 2 -3 x + 2 ( A - l) 2

^3)

Discutir y graficar las relaciones siguientes: , a)

x 2 -2 5

y = ---------—

^

b)

x+1

c)

2x2 - 5 x + 2 v = — -------------3x -1 0 x + 3

4 x -5

y = ---------------

2(x -1 )

d)

2 2 , 2 ,n n xy - 4 x - 3 y +12x = 0

215

Relaciones y Funciones

@

Discutir y graficar la relación R definida por:

( 2 x - \ ),2 R = {(x, y ) e RxR / y = ~ ;---------- ' x - 7 xh 1'.‘

Se va a introducir el concepto de función, hablando libremente una función f de un conjunto A en un conjunto B es una regla (procedimiento o mecanismo) que nos transporta de un conjunto a otro de manera que asociamos cada elemento A un único elemento en B. a)

DEFINICION.-

Consideremos dos conjuntos cualquiera A y B, a la relación binaria f de A en B le llamaremos función de A en B, si y

solo si, verifica:

esto quiere decir, que dos pares ordenados distintos no pueden tener la misma primera componente. Gráficamente:

B f es función, sí b = c

Observaciones: O

Una función f de A en B denotaremos por: f: A -----> B; ó A — ——>B y se lee “f es una función de A en B”, donde el conjunto A le llamaremos conjunto de partida y el conjunto B le llamaremos conjunto de llegada.

©

Si el par (a,b) e f, escribiremos b = f(a) y se dice que b es la imagen de

“a” por f ó

también, que b = f(a) es el valor de f en el punto a. ©

Sí A —B —R, ci 1&función f! R

^ R, se denomins. funciónre h no es función

DOMINIO Y IMM0O PE Sea f: A ----- >B una función de A en B, llamaremos dominio de la función f, al conjunto de todas sus primeras componentes, al cual denotaremos por D f , e s decir:

Relaciones y Funciones

217

y llamaremos rango de la función f al conjunto de las imágenes de todos los elementos de A, mediante f al cual denotaremos por R f es decir:

Ejemplo.- Sea f = {(1,2),(3,4),(5,6),(7,8)}

su dominio y rango es: Df ={1,3,5,7};

Rf ={ 2,4,6,8}

2,8.

C R ITER IO PARA E L CALCULO DEL D O M IN IO Y R A N G O D I

El dominio de una función f se determina analizando todos los valores posibles que pueda tomar x, de tal manera que f(x) sea real, salvo el caso en que dicho dominio sea especificado. El rango de una función f se determina despejando la variable x en función de “y”, luego se analiza todos los valores posibles que pueda tomar “y”, de tal manera que x sea real. Ejemplo.- Hallar el dominio y rango de la función / ( x ) = -Jl + x - x 2 Solución Calculando el dominio: como y = f(x,) entonces: y = -Jl + x - x 2 luego “y” es real si, 2 + x - x 2 > 0 , de donde ^

- x - 2 < 0

(x —2)(x + 1) < 0

-1

Eduardo Espinoza Ramos

218

Luego el dominio es:

Df = [-1,2]

Calculando el rango: como y = ^ 2 + x - x 2 , y > 0

y 2 =2 + x - x 2 , despejamos x, es decir:

x

l± ^9 -4 y2

9 3 3 Luego x es real si 9 - 4 y 2 > 0 => y 2 < — => — < v < — 4 2 2 P orlotanto / ? / =[ 0 , +oo >n [-^-,-^-] = [0,^-]

Ejemplo.- Hallar el rango de la función:

de donde

R f =[ 0 ,y ]

f ( x ) = x 2 - 4x + 7 , x e [2,3]

Solución En este caso el dominio esta especificado x e [2,3] ahora calculando el rango: como 2 y = f ( x ) = x - 4 x + 7 . Despejamos x es decir:

x=2±Jy^3

4 ± J 4 y —12 i-----x = ----- ----------- = 2 ± ^ J y - 3

e [2,3] => 2 < 2 ± ^ 3 < 3

0 < ±-\¡y—3 0 < ~Jy—3 0 < y —3 < 3

©

FUNCION VALOR ABSOLUTO.-

A la fimción f, le llamaremos función valor absoluto, si su regla de correspondencia es:

f(x) = jx¡, donde ¡ * j;

También se puede expresar en la forma: f= {(x.y) € R x R / y » fx¡| Donde D f = R y R f =[0,+oo> y su gráfica es:

©

FUNCION MAXIMO ENTERO.-

A la función f, le llamaremos función máximo entero, si su regla de correspondencia es:

Relaciones y Funciones

221

f ( x ) = [j .r j]

donde [[x |]= n

o

También se puede expresar en la forma:

n < \ < n + 1, n e Z

j - í(x,_v) e R x R f y = Q x []}

donde D f = R y R ¡ = Z 1

Y

4

. --- o

3

o

2 1

-5 -4 -3 -2 -1

1

2

Si

xe [0,1>

f ( x ) = [|* |] = 0

=>

f(x) = 0

Si

xe [1,2> o

f ( x ) = [|x |] = l

=>

f(x) = 1

Si

x € [2,3> o

f ( x ) = [ |x |] = 2

=>

f(x) = 2

Si

x e [3,4> f ( x ) = [| -v |] = 3

=>

f(x) = 3

3

S í x g [-1,0>

/ ( x ) = [|x |] = —1 => f(x) = -l

Sixe[-2,-l>

/ (x) = [| x |] = —2

=> f(x) = -2

Si x

g

[-3,-2>

f(x) = -3

4 5

X

222

Q

Eduardo Espinoza Ramos FUNCION SIGNO.-

A la función f, le llamaremos función signo, si su regla de correspondencia es:

~~ , x * 0

lililí!! 0 . Jf = 0 o

X También puede expresar en la forma: f~

e 8 x R / y -síg (x )}

Donde D f = R , Rf = {-1,0,1} (? )

y su gráfica es:

FUNCION CUADRATICA.A la función f, le llamaremos función cuadrática, si su regla de correspondencia es: f i x ) - a x 1 + bx + c , a,b.e e R, a * 0 También a la ecuación cuadrática se expresa así:

La gráfica de la función cuadrática es una parábola con eje perpendicular al eje X en el cual se presenta dos casos. Si a > 0 la gráfica se abre hacia arriba. Si a < 0 la gráfica se abre hacia abajo. El dominio de la función cuadrática es: D f - R , El rango se determina completando cuadrados. Como f ( x ) = a x 2 +bx + c

=>

f { x ) = a{x2 + —x+-^-—- ) + c ~ — n A^ 2 án

Relaciones y Funciones

223

Luego el vértice de la parábola es: V(— — , ^ ac 2a 4a

@

■)

D f =R

D f =R

D r4 a c - b ¿ Rr = [ ----------- ,+oo> ' 4a

R f =< -oo,------------ 1

n

f

4ac-b 4a

FUNCION POL1NOM1AL.A la función f, le llamaremos función polinomial, si su regla de correspondencia es:

donde a 0, a 1, a 2,...,a„_l ,a„ son números reales, an * 0 . Ejemplo.-

(lo)

f ( x ) = 5 x5 + I x 4 +3jc + 6 , esuna función polinomial.

FUNCIÓN RACIONAL.A la función f, le llamaremos función racional, si su regla de correspondencia es: , ,_v

a nx n -t an , xn (....-

.....

\.r

-t-.+ b iX + h f,

-rK

*

_ ______ ...... J Ä*OT6A

donde a0, a1,...,an , b0,bl ,...,bm son constantes reales y b„ ± 0

224

Eduardo Espinoza Ramos x + 5 x -1 7 Ejemplo.- La función f ( x ) = —------------ , es una función racional cuyo dominio es el x - 5 x +6 conjunto de todas las x, de tal manera que el denominador no se anule, es decir:

2,11.

D f ={x e R / x 2 - 5 x + 6 * 0} = R-{2, 3}

EVALUACION DÉ m k Consideremos una función f con regla de correspondencia.

Si x toma valores específicos, por ejemplo: x = x 0 , entonces y 0 = f ( x 0) se dice que la función ha sido evaluada, en otras palabras es: Cuando x = x 0 el valor de la función es / (x0) Ejemplo.- Si f ( x ) = 2 x 3 + x 2 + x + 2 , el valor de f en el punto x = 2 es f(2) es decir: / ( 2 ) = 2(2)3 +( 2 ) 2 + 2 + 2 = 16 + 4 + 2 + 2 = 24 Ejemplo.- Si f ( x ) = x 2 + x + 1

entonces

/(z ) = z 2 +z + 1 f ( 4 y ) = y + 4 y +l

Ejemplo.- Si / ( x) = 5* , probar que f(x + y) = f(x).f(y) Solución f ( x + y) = 5x+y = 5*.Sy = f ( x ) . f ( y ) ••• f(x + y) = f(x).f(y)

_

_

_

_

_

_

_

™

CORRESPONDENCIA.

CON

VARIAS

_____________ " ■

REGLAS 'K -

m A .v

En las funciones definidas con dos o mas reglas de correspondencia, su dominio y rango se determinan de la siguiente forma:

Relaciones y Funciones

225

Suponiendo que la función f es definida por:

el dominio de f(x) se determinan así:

D f * D fi sjDfi

el rango de la función f(x) se calcula por:

R r ~ R;t 1 •{ , [ f 1{x) = x 1 - 2 , si x < 0

=>

\Df = [l,+oo> \ [Dft = < -oo,O>

D r = D fi u D f¡ = [l,+oo > u < - = < -o o ,O > u

[l,+ o o >

*

Ahora calcularemos el rango: Si x > l = > y = 2 x + l

despejamosx:

* =^ --> 1

Si x y = x 2 - 2 , despejando x se tiene: x = de donde:

=> y > 3 de donde: y e [3,+oo> y + 2 < O => -Jy + 2 > O => y > -2

y e

Luego el rango de la función f es dada por:

R f = < -2,+oo > u [3,+oo > = < -2,+oo >

Cuando se conoce una función y = f(x), en base a esta función, se puede construir otra función en una forma rápida mediante el siguiente criterio:

Eduardo Espinoza Ramos

226

le r. Si se tiene la gráfica de y = f(x) entonces la gráfica de la íunción: F(x) = f(x) + c se obtiene desplazando verticalmente la gráfica de y = f(x) en c unidades, siendo hacia arriba si c > 0 y hacia abajo si c < 0.

2do. Si se tiene la gráfica de y = f(x) entonces la gráfica de la íunción F(x) = f(x —c) se obtiene desplazando horizontalmente la gráfica de y = f(x) en c unidades, siendo hacia la derecha si c > 0 y hacia la izquierda si c < 0.

3er. Si se tiene la gráfica de y = f(x) entonces la gráfica de la función F(x) = f{x —h) + k se obtiene desplazando horizontal y verticalmente la gráfica y = f(x) en h y k unidades respectivamente.

f ( x - h ) + k, h < 0, k < 0

f(x - h) + k, h > 0, k < 0

227

Relaciones y Funciones

4ta. Si se tiene la gráfica y = f(x) entonces la gráfica de la función F(x) = af(x), a > 0 se obtiene de la siguiente manera: i) ii)

Si a > 1 la gráfica esta estirándose verticalmente en un factor a en base al eje X. Si 0 < a < 1, la gráfica esta encogiéndose verticalmente en su factor a.

5ta. Si se tiene y = f(x) entonces la gráfica de la ñinción F(x) = f(ax), a > 0 se obtiene de la siguiente manera: i)

Si a > 1, la gráfica se encoge horizontalmente en un factor a en base al eje Y.

ii)

Si 0 < a < 1, la gráfica se estira horizontalmente en un factor a en base al eje Y.

6

ta. Si se tiene la gráfica y = fi(x) entonces la gráfica de la función F(x) = -f(x) se obtiene haciendo rotar la gráfica y = ffa.) alrededor del eje X.

Eduardo Espinoza Ramos

228

7ma.Si se tiene la gráfica y = f(x) entonces la gráfica de la función F(x) = fT-x) se obtiene haciendo rotar la gráfica y = í(x ) alrededor del eje Y.

8va. Si se tiene la gráfica y = f (x) entonces la gráfica de la función F(x) = -f(-x) se obtiene haciendo rotar la gráfica y = f(x) alrededor del eje X y el eje Y. Ejemplo.- Graficar la función F( x) = - J x - 2 + 2 Solución La gráfica de F(x) = -Jx - 2 + 2 se construye a partir de la función f ( x ) = 4 x , trasladando a la derecha 2 dos unidades y hacia arriba dos unidades.

Relaciones y Funciones

229

Ejemplo.- Graficar la función F(x) = |x - 3| +3 Solución La gráfica de F(x) = |x - 3| + 3 se construye a partir de la función f(x) = |x |, trasladando a la derecha 3 unidades y hacia arriba 3 unidades.

©

Determinar el dominio y rango de la función

/ (x) = -Jx2 -1

Solución Como y = f { x ) = 4 x 2 -1 =>y = 4 x 2 - 1 .

Luego analizamos los valores que x puede

tomar para que “y” sea real, y como y ^ J x 2 - 1 entonces “y” es real si x 2 -1 > 0 => x 2 > l = > x < - l V x > l por lo tanto el dominio es: D f = < -o o ,-l]u [l,o o >

Ahora calculamos el rango, y para esto despejamos x y = ^ x 2 - 1 , y > 0 => x = ± J y 2 + 1 , Luego analizamos los valores que “y” puede tomar para que x sea real y como x = i ^ f y ^ V l entonces x es real Vy e R . Por lo tanto el rango de f es :R r = [0,+*> > n R =[0,+oo > ©

Calcular el rango de f ( x ) = 2 x 2 + 5 x - 6 Solución

Eduardo Espinoza Ramos

230

Como y = f ( x ) => y = 2*2 + 5 x - 6 es una función cuadrática en estos casos el rango se determina completando cuadrados: , . . 2 5 25x 25 . _ . 73 . . 5 x2 v + 6 = 2(jc + —x — ) ------dedonde y + — = 2 (x + —) ' 2 16 8 8 4 5 73 Luego K (-—,— —) por lo tanto el rango de fes:

(5 )

73 R f = [— — ,+oo>

Determinar dominio, rango y construir la gráfica de la función / (x) =

4 x 2 -1 2x + l

Solución

_ . . , . , . 4x2 - 1 (2x + l ) ( 2 x - l ) 1 Factorizando y simplificando se tiene: / (x) = ---------------------------------------------------- = ---------- -2x +1 2x +1 2 Luego como f(x) = 2x-l , x * -1 / 2 su dominio es: D f = R - { - —}

Ahora calculando el rango, para esto despejamos x: 1 1 c o m o x e c -o o .— > u < — ,qo > entonces 2

2

y = 2x -1 => x =

y +l

y+l 1 1 ------ e< - 00,— > u < — ,00 > 2

2

2

. - 0 0 < v+i ---- < — 1v1— y.• (x )\ , v

r) , • ¡ f*i ‘ t v . ' u,, ■por

259

Relaciones y Funciones

i) *i>

i S + g ) ( x ) ^ f U ) + g{x)

a

Vx? = {2,3,4}

ahora calculamos los pares ordenados que pertenecen a f + g. ( / + g)(2) = / ( 2) + g( 2) = 4 +0 = 4

( / + g)(3) = f ( 3 ) + g(3) = -1 + 4 = 3

(2,4) e f + g (3,3) e / + g

=>

( / + g)(4) = /( 4 ) + g(4) =3 + 7 = 10

(4,10) e / + g

Luego la suma de f y g es: f + g = {(2,4),(3,3),(4,10)}

Ejemplo.- Calcular (f + g)(x) sí:

\2x +1, si x > 1 f(x) = \ . [x

Í3x +1, si x < 8 , gW = ] .

- 2 , s i x < 0

[ 2 jc

Solución Primeramente calculamos el dominio de f y g D r — < —oo,0>

u

[l,+ * >

,

= < -o o ,8]

u

< 1 0 ,+ o o >

Luego calculamos el dominio de la suma f + g es: ■*----------- o 0

D r+g = D r

a

o----------------------------------------- ►Df 'i 1

8

-•

10

D f+(! = D f A D fi = < -o o ,0 > u [1,8] u < 1 0 ,+ oo>

o---------

• Dn 9

Dg

, s i jc> 10

260

Eduardo Espinoza Ramos Ahora definimos la suma en cada intervalo Si x < 0,( / + g)(x) = f ( x ) + g(x) = x 2 - 2 + 3x + 1 r x 2 + 3 x - \ Si 1 < x < 8, (f + g)(x) = f(x) + g(x) = 2x + 1 + 3x + 1 = 5x + 2 Si x < 10,

( / + g)(x) = f ( x ) + g(x) = 2x + 1 + 2 jc3 = 2 jc3 + 2x + 1

Luego la suma (f + g)(x) es:

( f + g)(x)-

x~+3x-l

si x < 0

5x + 2

si 1 < x < í

2x3 +2x + \ si x > 10 c)

Diferencia de Funciones.Si f y g son dos funciones con dominio D f y D g respectivamente entonces a la diferencia de f y g denotada por f - g se define: i>

Df , ~ D f / n,

¡i)

11 - g m = m - g(x). v « 0 / a

d

.

Ejemplo.- Hallar f - g si f = {(1,2),(2,5),(3,4),(4,1)} y g = {(0,2),(1,0),(2,1),(-1,3)} Solución Primeramente calculamos el dominio D f y Dg : D f = {1,23,4}, D g ={-1,0,1,2} Ahora calculamos el dominio de la diferencia

^ f g =Df

Calculando los pares ordenados que pertenecen a f —g í(/-á f)(l) = / ( l ) - g ( l ) = 2 - 0 = 2

^

f(1.2) s . f - g

\ ( f - g ) ( 2 ) = f ( 2 ) - g ( 2 ) = 5 -1 = 4 ^

[(2,4) e f - g

Luego la diferencia f - g es:

f —g = {(1,2),(2,4)}

a

D ? = {1,2}

Relaciones y Funciones d)

261

Multiplicación de funciones.Si f y g son dos funciones con dominio D r y Dg respectivamente, entonces a la multiplicación de f y g denotado por f.g se define: I)

D/ g = £ ) y A D s

: V .t 6 /> / A Ü g

Ejemplo.- Hallar f.g si: f = {(1,4),(4,5)(2,3),(3,2)} y g = {(0,2),(1,2),(2,-1),(3,0),(5,2)} Solución Primeramente calculamos el dominio Df y D g :

D r = {1,23,4}, D g = {0,1,2,3,5>

Ahora calculamos el dominio del producto: D f g = D r

a

Dg = {1,23}

Calculamos los pares ordenados que pertenecen a f.g (/.g )(l) = / ( l ) + g(l) = 4.2 = 8

(1.8) € f . g

(/.g X 2 ) = / ( 2 ) + g (2 ) = 3 .(- l) = -3

(2,-3) g f . g

(/.g )(3 ) = /( 3 ) + g(3) = 2.(0) = 0

(3,0) e f . g

Luego el producto f.g es:

f.g = {(l,8),(2,-3),(3,0»

2x + l . x > l Ejemplo.- Hallar (f.g)(x) donde: f ( x ) = \ 2

, g(x)=.

\x 2 - 2 , x u [l,+oo > ,

D g = < -x>,8] u < 10,+oo >

Ahora calculamos el dominio del producto f.g

3.r +1 , x < 8 3 2 x 3 , .r > 10

Eduardo Espinoza Ramos

262

D f g = Z ) r A D g = < - o o , 0 > u [1,8] u < lO .oo >

Ahora definimos el producto en cada intervalo Si x < 0, (f .g)(x) = f ( x ) . g( x ) = (x 2 -2).(3x + 1) = 3x3 + x 2 - 6 x - 2 Si 1 < x < 8,

(f .g)(x) = f (x ) .g (x ) = (2x + l)(3x + l) = 6 x 2 + 5x + l

Si x > 10, {f.g)(x) = f (x) .g {x) = {2x + l)2x3 = 4 x 4 + 2x3 3x3 + x 1 —6x - 2, Luego el producto (f.g)(x) es:

(f.g){x) = 6x2 + 5x +1 4x4 + 2x3

e)

si x < 0

, si 1 < x 10

Cociente de Funciones.Si f y g son dos funciones con dominios D f y Dg respectivamente entonces el cociente de f y g denotado por f/g se define

Ejemplo.- Hallar f/g si: f ={(-2,3), (0,3), (4.0), (5,-3), (6,3)} y g ={(0,-2), (-2,5), (3,2), (5,0), (8,-2)} Solución Primeramente calculamos el dominio de f y g: D f = {-2,0,4,5.6}, D g = {-2,0,3,5,8} Ahora calculamos el dominio del cociente f/g D r/g = D f A

—{x e D g i g(x) = 0}

= {-2,0,4,5,6}n {-2,03,5,8}-{5 e D , / ^{5) = 0} = {-2,0,5}- {5} = {-2,0}

Relaciones y Funciones

263

Calculando los pares ordenados que pertenecen a f/g

g

g(~2)

( - 2 ,-^ ) g —

5

5

g

(0,-2) e Z Y

g(0)

2

2

2

1 Luego el cociente — es: g

g

f 3 3 — = {(-2,—),(0,— )} g 5 2

/' Í2x +1, si x e[-3 ,0 > fx2 + 1, si x g [-2,21 Ejem plo.-Hallar (—)(x) si: / ( x ) = < ,g W = . g |x + 2 , si x e [0,4] [x —4 , si x g< 2,5] Solución Calculando los dominios de f y g:

D f = [-3,0 > u [0,4] , £>? = [-2,2] u < 2,5]

Ahora calculamos el conjunto { x e D g / g(x) = 0} a)

Si x

b)

Si x e

g

[-2,2] => g(x) = x 2 + l = 0 g(x) = x —4 = 0

-3

-2

-{4}

=

[-2,0

, si x

g

[-2,0 >

( - ) ( * ) = A ——, si x

g

< 0 ,2 ]

Df i g = D f

a í

),,

2x +1

0

x ¿ +1 x ‘ +1 x+2 , x+4

s í x g

> u

=> 3 x => x = 4

2

tal que g(x) = 0 entonces:

4

x g u

264

Eduardo Espinoza Ramos

M í i l COMPOSICIÓN m F D N O O N E S.Definición.-

Dadas dos funciones f y g, tales que: f: A ----- >B ; g: B ----- > C y que R f AÜf, *(j), entonces la función compuesta g o f es aquella función

definida por:

h =g o f\

OBSERVACION.

Para que exista la composición de funciones g o f es necesario que: Rf

a

D g *.

ILUSTRACION GRAFICA

i»)

' ¿W

cC

Relaciones y Funciones

265

Ejemplo.- Sean f = {(0,1),(1,2),(2,3),(4,3),(5,2)} yg= {(6,7),(5,4),(4,3),(2,4),(1,4),(0,7)} Hallar Dgof , Dgof , así como f o g y g o f. Solución

i)

Calculando Dg°f

fog

{x

G D g / X G D g A g ( x ) G D f } por definición: 2,

4,

5,

6}

4

4

4

4

4

g(i)

g(2)

g(4)

g(5)

g(6)

ll

ii

4

II 4

II

7

II 4

ll 7

Dg= { 0, 1 g(0)

1,

3

_____y

veremos cuales pertenecen al D f Se observa que el 4 & D r entonces

D r„g ={ 1,2,5}

Ahora veremos su regla de correspondencia. (/0g)(l) = /( g ( l) ) = / ( 4 ) = 3 (fog)(2) = f(g(2)) = /(4) = 3 (/» g )(5 ) = / ( g ( 5 ) )

= /(4)=3

(1.3) G f og (2.3) g fog (5.3) g f o g

f o g = {(1,3),(2,3),(5,3)} ii)

Calculando Dgof ; Dgof —{ x & D f / x & D f a f ( x ) g Dg } por definición.

Eduardo Espinoza Ramos

266

Df = { O,

1,

2,

4,

5}

f(0)

f(l)

f(2)

f(4)

f(5)

II

II

II

II

II

1

2

3

3

V._______

2

_______ y

Veremos cuales de estos elementos pertenecen al Dg , entonces 1 e Dg , 2 e Dg luego: D eof ={0,1,5} Ahora veremos su regla de correspondencia. (g»n(0) = g (/(0 ) ) = g(l) = 4

(0,4) e g o f

(go/')(l) = g ( /( l) ) = g(2) = 4

(1.4) 6 g o f

(go.f)(5) = f (g ( 5 ) ) = g(2) = 4

(5.4) e g o f

g o f = {(0,4),(1,4),(5,4)} Ejemplo.- Sean f, g: R — » R tal que: f ( x ) = x 2 + 2x + 3 , g(x) = x —5 Agof)(l) + (fog)(2).(fog)(3) - (gogX 2) 1-2 Hallar [(fng)(2) Solución Calculando cada una de las operaciones (g o í)(l) = (g(f(D) = g(6) = 1

;

(fog)(2) = (f(g(2)) = f(-3) = 6

(fog)(3) = f(g(3)) = f(-2) = 3

;

(gog)(2) = g(g(2) = g(-3) = -8

Ahora reemplazamos en la expresión dada: ri g o / m + (Jog)(2)lfog)(3) -(gog)(2) (fog){ 2)

2 _ 1+ (6)(3) - (-8)

2 = 27

2 = ,9 12 = J _ J 16J6281

Relaciones y Funciones

r. , c Ejemplo.- Sea

267

, v |- 3 x 2 + l si x > 1 g(x) = < . [x-l si x < \

TI „ Hallar

(gog)(l) + 2 g (-l) —-------------e—— (go g )(-l) + g '( l )

Solución

= g ( g ( l ) ) = g ( - 2) = -3 (gog)í-D = g ( g ( - l ) ) = g(-2)=-3 ( g o g ) ( l)

Calculando cada operación se tiene:

g (-l) = -2,g(l) = -2

Ahora reemplazamos en la expresión: (gog)(-\) + g 2(l) Ejemplo.- Si

í{x)=x2

encontrar

dos

= -3 + 2(-2) = ± ± = _ 1 - 3 + (-2) -3 + 4

funciones

g

para

los

cuales

( fag)(x) = 4 x 2 - 12x + 9

Solución ( f o g ) ( x ) = f ( g ( A-)) = 4.V2 - 12x + 9 = (2.x - 3 ) 2 g 2(x) = (2 .v -3 )' => g(x) = ±(2x-3) g l ( x) = 2 x - 3

, g 2 (x) = - 2 x + 3

Ejemplo.- Dadas las funciones f(x) = 3x- 2 si x e < 0 ,+ ; g ( x ) = x 2 sí x e

a) b)

Hallar fog (la función f composición g) Hallar gof (la función g composición f) Solución

a)

1ro. calculamos el dominio de f o g: D foK - {x e Dx l x e x e Dg

a

Ag(x) e D f }

g(x) e D ,

x €< -3,5 > a x 2 e< O.oo > x e u

entonces x e A u 2

[2 x

sí

x

>4

Solución Veremos el caso cuando las funciones tienen dos reglas de correspondencia. í/i( x ) /W = L . | / 2(x)

si x e D r . n ‘ . s; x e D /z

£ (* )=

íg(x) .sí x e D „ /' » ■ n [g 2W * e D Í2

el dominio de f o g se obtiene siguiendo el mismo criterio del ejemplo anterior, es decir: 0

D f w , = V e Dk¡ / x e Dg¡

A

g, (x) € D fi}

x e A -x e entonces x e , s/ x e < -o o ,-2 ]

(/og)(x) = x 2

, si x e [4,oo>

, si x e < -a o ,-2 ] ,

.sí

x e < - l,2 >

- 8 x 3 , si x e [4 ,o o >

PROPIEDADES DE LA COMPOSICION DE FUNCIONES,Consideremos las funciones f, g, h, I (identidad)

2.19. ©

©

f o g * g o f no es conmutativa

©

(fóg) o h = fo(goh) asociativa

©

(f + g) o h = (foh) + (goh) distributiva

©

(fg) o h = ( f o h ).(g o h )

©

fo I = f , I o f = f , V f

®

I " o l m = J nm, n , m e Z +

©

I v ”o l " = 7" o I 1"' = / , w e z + ,nim par

©

/" = /././.. J

EJERCICIOS DESARROLLADOS. Dada las funciones f= {(2,1),(-2,3),(1,5),(-3,4),(7,8)); g = {(3,-2),(7,2),(-3,l),(2,4)} Calcular f + g, f - g, f.g , f/g

Relaciones y Funciones

271

Solución Calculando el dominio de cada función:

D f - { - 3,-2,l,2,7}

; D e = {- ■3,23,7}

Como D r^g = D r- g = D f g = D f a Dg ={-3,2,7} (-3,5)e/ + g

(./ + g )(-3 ) - . / (—3) + g (-3 ) = 4 + 1=5 ( / + íf )(2) = f ( 2 ) + g(2) = 1+ 4 = 5

(2,5) e / + g (7,10) e / + g

=*

( / + #)(7) = / ( 7 ) + g(7) = 8 + 2 = 10 /. f + g = {(-3,5),(2,5),(7,10)}

( / - g ) ( - 3) = 1 (-3 ) -¿ K -3 ) = 4 - 1 = 3 ( / - g >(2) = / ( 2 ) - g (2 ) = 1- 4 = -3

(-3,3) e / - g

=*

(2,-3) e / - g (7,6) e / - g

(/-g ) (7 )= /( 7 ) -g (7 ) = 8 -2 = 6

f-g= {(-3,3).(2,-3).(7.6)} (-3,4) e / .g

(/.g )(-3 ) = /(-3 ) .g (- 3 ) = 4(1) = 4 (./.g)(2) = /(2 ).g (2 ) = l ( 4 ) = 4

=>

(/.g )(7 ) = /(7 ).g (7 ) = 8(2) = 16

(2,4) e f .g (7,16) e . / ‘.g

f . g = {(-3,4),(2,4),(7,16)} Calculando el dominio de f/g:

(Z f = r1 íf |(- , , = T g(~3)

D / /? = / ) , - a D>r- { * /g(jc) = 0} = {-3,2,7}

4

(-3,4) e — g

/(2 ) _ 1 (—)(2) = g(2) 4 g

(2 ,1 )./ 4 g

(7_)(7) = / Í Z l = | = 4

(7,4)e —

g

g(7)

2

— = ¡(-3,4), (2,-^-), (7,4)} 2 4

©

Sean f = {(1,3),(3,5),(2,4),(4,6)}; g = {(4,1),(0,-3),(3,2),(1,0)}.

Hallar f/g

Eduardo Espinoza Ramos

272

Solución Calculando el dominio de cada función:

D f = {1,2.3.4} ,

Calculando el dominio de f/g: D rig = D r

g

g(3)

2

2

®

g(4)

D e - { x / g(x) = 0\ = {1,3,4} —{1 }={3,4}

g

(4.6) e áT

a

DR = {0,1,3,4}

— - {(3,2),(4,6)|

/

g

2

1

[jc + 4, x < - l Si f ( x) = 4 jc —3, —1 < j c < 4

-2 x , —4 < jc < 3 , g(x) = < . -4 , x> 3

Calculando f + g

Solución Calculando el dominio de cada función: D f = < - « ,- 1 > u [-1,4 > ; Dg = < -4,3 > u [3,oo >

Ahora interceptamos los dominios------- um m rnm m m m w im m im aiiiim ri

-4

D rJ.g = D f

a

Ds =

<

-4 ,-1

>

u

[-1.3

>

-1

u

[3,4 >

Si x e < - 4 ,- l> , f(x) + g(x) = x + 4 - 2 x = -x + 4 x e [-1,3>, f'(x) + g(x) = x - 3 - 2 x = - x - 3 x

g

[3,4>, f(x) + g(x) = x —3 —4 = x —7 -JC

+ 4 si

de donde ( / + g)(x) = - x - 3 jc

©

—7

jc e <

- 4 ,-1 >

si x e [-1 ,3 > ,v ;x e [3 ,4 >

Hallar (f + g)(x) si f y g están definidas por:

3

Relaciones y Funciones

273 [ | jc|] , si - 3 < jc 1

3jc

•

g(x) =

-2

, si \ < x 1

x —1 >1 V x - K - l

Ahora a la función f(x) expresamos así:

=>

x>2 V x u < 2,+oo >

Dibujando los dominios de cada función en una recta horizontal. ■Dr 1

-O

=Df

D e = [-3.0 > u [0,1 > u [1,2] u < 2,oo >

a

Calculando la suma en cada intervalo x

g

[-3,0> =>

x e [0.1> X € [1,2]

f ( x ) + g(x) = 3a+ [|jc|] /(jr) + g W = |jc - l|+ [ |jc |]

=> / ( x ) + g(x) = | jc- 1 |- 2

X € => líx) + g(x) = 3x + 1 - 2x = x + l

NOTA.-

Se efectúa la operación en sus propias reglas de correspondencia 3* + [| x |]

( / + g)(x) =

, si jc e [-3,0 >

j jc - 1 |+ [ | jc|], si

.re [0 ,l>

| x - 1 1-2

, si

jc +

, si .v e < 2 ,+ * >

1

x e [1,2]

274

©

Eduardo Espinoza Ramos

sr flx) = |x - 2 | + |x + 2 |, g (x )=

[3x + 2, s i x < 0 . [ l- .t,

.s íjc > 0

y H(x) = fíx) + g (x ), D H = [-2,3 > .

Hallar la gráfica y el rango de H. Solución Primeramente definiremos los valores absolutos

\x~2\ =

x - 2 , si x > 2 2 - x , si x < 2

U + 2| =

-2

x +2

, si x > - 2

- x - 2 , si x < - 2

2

Ahora definiremos f(x) en cada intervalo Si x < -2

, ftx) = (2 —x) + (-x —2) = -2x

-2 < x < 2 , fíx) = 2 - x + x + 2 = 4 x > 2 , flx) = x - 2 + x + 2 = 2x - 2x , si x < - 2 por lo tanto

f(x) =

4

, si - 2 < x < 2

2x . si x > 2 Ahora calculemos los dominios de cada función

D4 -2 D„, Da = [-2,3 > = [-2,0 > u [0,2 > u [2,3 > Definiremos a la función H(x) en cada intervalo x e [-2,0> => H(x) = 4 + 3x + 2 = 3x + 6 x € [0,2>

=> H(x) = 4 + 1 —x = 5 —x

Dg

Relaciones y Funciones x e [2,3>

275

H(x) = 2x + 1 —x = x + 1 Y

Por lo tanto la función H(x) queda definida por: 3x + 6 si ~ 2 < x < 0 H(x) = x = y - 2 Como x e y-2 e y e f ( y ) = ( y - 2 ) 2, y e y + 1 g [-2,2] => - 2 < y + l < 2 = > - 3 < y < l

=>

y g [-3,1]

Luego g ( x - \ ) = x 2 => g (y ) = ( y + \ )2 ,y e [ - 3 .1 ] Ahora veremos en x:

(7 )

g(x) = (x +1)2 , x e [-3,1 ]

Calcular (f+g)(x) y (f/g)(x), donde f ( x)

V i - * , Si JC 4

je" - 1 , si jt < 0

x ;g (* ) = {x

, si Q < x ú 2

x + 5 , si x > 2

Eduardo Espinoza Ramos

276

D , =< —oo,l] u [4,+oo> , Dg = < -oo,0> u [0,2] u Ahora calculamos D f+g -► D f

1

0 -o

4 D„

D f +g = D f A Dg = < -oo,0 > u [0,1] u [4,+oo > Calculando f(x) + g(x) en cada intervalo Si x e , x g [0,1],

f ( x ) + g(x) = - J l - x + x 2 -1

f ( x ) + g(x) = J l - x + x

x g [4,+oo> , f ( x ) + g(x) = -Jx +x +5 • J l - x + x 2 -1 , sí jc - {O,-1} = u u -Jl-x

, si X G< -00,-1 > U < —1,0 >

*2-i V i-* JC

, Sí X G< 0,1] , s/

jt + 5

* > 4

Relaciones y Funciones

©

277

Calcular (f + g)(x) y (f/g)(x) donde x

, si x < - 2 r----/ ( * ) = V l - x , si - 2 < x < 0 X , si 0 < x < 2 0

;

. X2 -1 , SÍ ~ 1 0 < X < 2 g(x) = < r _ ,six > 2

Solución Calculando el dominio de cada función D f = < -oo,-2 > u f—2,0 > u [0,20 > ,

D g = < -10,2 > u [2,+oo >

Ahora calculamos el D f+g -o • --------o

-10 o—

-o D#

-2

20 -> D n

Df+g = D f A Dg = < -1 0 ,-2 > u [-2,0 > u [0,2 > u [2,20 > Calculando f(x) + g(x) en cada intervalo. x e , / ( x ) + g ( x ) = x 2 -1 + x 2 - l = 2x2 - 2 x e [-2,0>,

/(jc) + g(x) = 4 l - x + x 2 - 1

x e [0,2>, f ( x ) + g(x) = x + x 2 -1 x e [2,20>,

f ( x ) + g(x) = x + -Jx 2x2 - 2

Luego se tiene:

( / + g)(x) = / ( x ) + g(x) =

si -1 0 < x < -2

• J l - x + x 2 -1 si —2 < x < 0 x + 2 x -l

s/ 0 < x < 2

x+

si 2 < x < 20

Eduardo Espinoza Ramos

278

Calculando (f/g)(x) x2- l —2— si -1 0 < JC< 2 —{-1.1} x —1

1

si x e [-2,-1 > u < -1,0 > , x2-l ósea (—){x) = si x e [0,1 > u < 1,2 > g x2-l

si - 2 < * < 0 - { - U } (A(x) = x g

— si 0 < jc < 2 —{—1,1} x -1

4~x ( 9)

si —10 < jc < —2

si x e[2 ,2 0 >

si 2 < x < 2 0

■Jx

Dadas las funciones definidas por: f = {(0,0),(4,3),(2,4),(-3,2),(3,-1)} y

g = {(6,2),(3,4),(2,0),(4,7)}. Calcular f o g

Solución II

Q

. es decir:

{xl x e D g a g ( x ) e D f }

3,

4,

6

i

4

4

g(2)

8(3)

8(4)

8(6)

II

II 4

II

ll

7

2

Dg = {

2,

0

}

V Veremos cuales pertenecen al Df Se observa que: 0 e D y , 4 g D r , 2 & D f

entonces D fog = {2,3,6}

Ahora calculamos los elementos de f o g (f°g)(2) = f ( g ( 2 ) ) = / ( 0 ) = 0 (/óg)(3) = /(g (3 )) = / ( 4 ) = 3 (fog)(6) = f ( g ( 6 ) ) = f ( 2 ) = 4

(2,0) g Dfog =>

(33) e Dfog (6,4) g D fag

f o g = {(2,0),(3,3),(6,4)}

Relaciones y Funciones

(ío )

279

Sean las funciones reales de variable real / ( x ) = J * + ^ ^ [x - 1 , x > l

g(x) = i * ’ * < ^ ( l—x , x > 0

Hallar f o g Solución De acuerdo a los criterios establecidos se tiene:

/ W = ( / l W * ’t + 2 - I S 1 , * w = | * > w " 12 • x < 0 } / ,( * ) = ) t - l . » > 1 = *20 Calculando D /ofi = {xe Z)^ A g, (x) e / ) ^ x e< -oo,0 > A x 2 < 1 desarrollando x e A -1 < x < 1 => x e [-1,0> (/iO gi)(x) = / 1(g 1(x)) = / i ( x 2) = x 2 + 2 , x e [ - l ,0 > Calculando D /¡ogi = {x / x e

_

A g 2(x) e Df ¡ }

x e [0.+*> A 1 - x e A 0 < x < o o => x e [0,+oo> (f\Og2 )(x) = f i ( g 2 (x)) = / i ( l - x ) = l - x + 2 = 3 - x Calculando D f og¡ = {x / x e D g A g x(x) e D f } x g < - » ,0 > A x 2 e x e A x e u = => x 6 < -» ,-l> ( f r ° g \ )(x) = f 2( g X(x)) = / 2(X2) = x 2 -1 Calculando D y j A 1 - x e < !,+ «> entonces x e [0,+oo> A x e => (j) x 2 -1 si X < - 1

( fog)(x) = x 2 + 2 si x &[—1,0 >

3 -x

si xe[0,+oo>

Eduardo Espinoza Ramos

280

(íj)

Dadas las funciones:

f ( x ) = { *’ * E< °°’1] [-1 , x e< l,+ o o >

*(*) = {* 8 ’ * < 0 [ [ |* l ] , * > 0

Calcular (f o g)(x) Solución

íf t (x) = x2 -8 si x < 0

f ( x ) \ A M =x , x e < ^ ] I /2 (*) = “ i- x e< l>+a0 > ’

\ g 2 W = [|* |]

si x > 0

Dfog = ^->f,ogl u ^/,0g2K ~JP>f1ogl U^>f1°g2 D f log¡ = { x l x e D g¡A g {( x ) e D f i } x < 0 A x 2 - 8 e< -oo,l]

x < 0 A -00 < x 2 < 9

=> x < 0 A (-00 < x 2 A x 2 < 9) => x < 0

=> x < 0

A (R A -3 < x < 3)

A - 3 < x < 3 => x e [-3,0>

( A ° ¿ i ) = A ( g i O)) = f \ ( x 1 -8) =x2-8 (/lO g i)(*) = * 2 - 8 , X 6 [-3,0> D.f¡og1 - { x f x e Dg A g 2(x) e D ^ } i > 0 A [|x |]e < -o o ,l]

=> jc> 0 A —00< [|ar |] < 1 =>

x > 0 A-oo

(f\Og2 )(*) = /1 ( g 2(x)) = / j ([|x |]) = [|x |] (f\Og2) ( x ) H \ x \ ] ,

x

g

[ 0 ,2 >

Df 2og¡ = { x / x e D g¡ A g(x) g D f i } x < 0 A x 2 —8g x

x < 0 A 9 xg< -oo,-3>

281

Relaciones y Funciones

( f 2° S \ )(*) = h (Si O » = f 2(x 2 - 8) = -1 (Í20Si )(*) = “ I . x e D f 2og2 = { x / x & D gi A g 2( x ) G D f 2}

x > OA [| jc |] e< 1,+ qo >

=>

=> x >0 A2

jc>

0

A 1 < [ | jc| ] < +oo

Ü 2 ° S 2) = f 2( g 2 (*)) = f i (tix I]) = “ I • x e [2,+«» ( f 2° g 2 )M = " I . x 6 [2,+oo> x 2 - 8 si x e [ - 3 ,0 > (fog)(x) = [| x |] —1 ( Í 2)

si x e [0,2 > si x e< —oo,-3 > i^{2,+oo >

Si f ( x ) = x 2 y (fog)(x) = 4 x 2 -1 2 x + 9 encontrar dos funciones g(x).

Solución (fog)(x) = f ( g ( x ) ) = 4 x 2 -1 2 x + 9 g 2( x ) = ( 2 * - 3 ) 2 => g(x) = ± ( 2 x - 3 ) 13)

g 1(x) = 2 x - 3 , g 2(x) = -2 x + 3

Sí f(x - 1) = x - 2 y (gof)(x + 2) = 2 x 2 - x . Calcularg(x) Solución f ( x - l ) = x —2 => fTx) = x —1 (go/)(x + 2) = 2x2 - x (g of )(x) = 2 x 2 - 9 x + 10 g ( x - l ) = 2x2 - 9 x + 10

=> (gof)(x) = 2 ( x - 2 ) 2 - ( x - 2 ) = 2x2 - 9 x +10 de donde g (/(x )) = 2x 2 - 9x +10 =>

g(x) = 2(x + l) 2 -9 (x + l) + 10 = 2 x 2 - 5 x + 3

Eduardo Espinoza Ramos

282

©

Si

f { x ) = x 2 +2

y

g ( x ) = x + a , determinar el

valor

de

a

de

modo que

(f o g)(3) = (g o f)(a —1). Solución (fog)O) = f (g (3 ) ) = f ( 3 + a) = (3 + a ) 2 + 2 = a 2 + 6a + l l

...( 1 )

( g o f ) ( a - 1) = g ( f ( a -1)) = g((a - l ) 2 + 2) = g ( a 2 - 2 a + 3) = a 2 - 2 a + 3 + a = a 2 - a + 3 -

^ 5)

, Igualando (1) y (2) se tiene:

,

8 a +6a + \ \ = a - a + 3

... (2)

=> a =

Si H(x) = eos 2x y f(x) = sen x encuentre una función g tal que H(x) = (g o f)(x) Solución H(x) = (g o f)(x) = g(f(x)) = eos 2x g(senx) = cos2 x - s e n 2 x = l- - 2 s e n 2 x

g(x) = 1 - 2 x 2

©

Calcular f ± g , f.g , f/g , donde

f = {(1,2),(3,4),(2,5),(4,1)}; g={(3,-l),(2,l),(l,0)(0,2)}

©

Calcular f ± g , f.g , f/g , donde

f = {(-3,2),(0,0),(2,4),(3,-1),(4,3)} , g = {(2,0),(3,4),(4,7),(6,2)}

©

— “

i»

/

Si f= {(1,3),(2,6),(4,8),(6,2)} y g = {(1,2),(2,-1),(0,1),(4,5),(7,0)} Hallar f + g , f - g , f.g , f/g

©

Si f= {(1,4),(2,5),(3,6),(4,-6),(5,-5)} y g = {(0,8),(1,3),(2,0),(3,7),(4,0),(5,10)} Calcular f + g , f - g , f.g , f/g

©

Sean f= {(2,8),(8,4),(6,9),(4,7),(3,6),(1,5)} y g = {(7,1),(3,2),(5,5),(10,5),(1,3)} Hallar f + g , f - g , f.g , f/g

" r,J

Relaciones y Funciones

©

283

Sean f = i(4,l),(6,5),(5,4),(8,3),(9,2),|

y

g = l a)

f(x) = [x 2 - 2 , x < 0 7

b)

f(x) =

c)

f(x) = •

,x< 10

3 x -l , U - 1 K 1 x , x >3

x - \ , x>ll x2

si

X>1

|x - l |s / x~ d)

x > 10

JC< 1

U x +l , x > - l g(x) = \ 2 [X - 1 , x < - l

si XG [-1 0 ,-7 >

f ( x ) = 2x

si x e [-4,0 >

- x 2 +x , g(x) = - x + 3 x +2

2 x i - 2 si x e < 0 ,8 > Í2x -1 , x e [ 0 ,l> e)

/(x ) =

f)

/(* ) =

Ix

, x e [ 2 ,5 >

x | , x s [-1,3 >

g)

/(* ) =

- 2x + 3 , x e [3,6] x2 - l , | x | < 2 x

, x>2

©

Hallar (f+g)(x) y (f / g)(x) sí: / ( x ) =

©

Hallar (f + g )(x ), donde: [| X — 11] , x

e<

g(*) =

g(x) =

, si x e < - 8 ,- 4 ] , si x e < - 4 ,0 ] , si x e < 0 ,3 ]

3x , x e< -1,1] 2x , x e< 1,4] -v/x-1

, x e [ l,4 >

[| X |]

, x e[5,7

>

x —1 , 0 < x < 3 gW =

x+1 , x < 0

í-\/l—x

, x4

-4,-1]

/ ( x ) = [ |x |] + l , x e [0,2] | x - 2 1+3 , x e< -1,0 > u < 2,3]

x2 -1

, x - 3 , x e [ - l ,0 > u [ 2 ,3 >

284

Eduardo Espinoza Ramos f

Dadas las funciones definidas por:

f{x) = {

4 jc+ [ | jc | ]

[| —jc I]—5jc , x e < -4,-1]

(II)

Hallar

| jc —3 1

(f/g )(x )

, x e < 1,6 >

+ l |- 3

I|jc

g (* ) =

, jc e < - 3 ,0 >

.

Hallar (f + g)(x) y graficar

, ig < 0 ,2 ]

donde:

1*1 2x

/(jc ) =

x g [ —5,—1] *6

f[| * —2 1] , x e [0,3 >

[1,4]

gX

'

X1

{

, x

g

[3,6]

Hallar (f + g)(x) y graficar donde [ |* - 1 |]

7 , x e [-3 ,-1 >

, x e < - 4 ,- l]

g(x) = 1

, * G[0,2] / ( * ) = [|* |]+ 1 | jc—2 1-1-3 , j c e < - l ,0 > u < 2 ,3 ] 11)

, x e [0,2 >

- 2 , x e [ - l ,0 > u [ 2 ,3 ]

Hallar (f + g)(x) y graficar donde sig

(| x 2 - 4 1) si x 2

| x - 3 1> 6

Dado las funciones f{x) = 2 x - 3 , - l < x < 3 ; g-(jc) =

jc—[| jc |]

x +2

---------< 0

Dadas 1as funciones:

x-4

7 - jc

f(x) = i

A

jc <

o ( r í = í[ll * - 11- 2 1]*2 -2 jc , - 1 < * < 2 Hallar (f + g)(x) [ | jc - 4 1 , 2 < jc < 9 ' y

,

x e [-2,2]

2jc —1 JC

jc —1

5

2

y

graficar

graficar donde

[I*2 l]+1* 2 - 1 1-3 /(* ) =

—

—

2

Relaciones y Funciones

©

285

Dada las funciones f ( x ) = 2x - [ | 2 x +[| x |] |] , - ~ < x < \ g(x) = | | x —2 | - | x | |

, |x| < 1 ;

Hallar (f+ g)(x)

Hallar (f+g)(x), (f-g)(x), (f.g)(x) donde Í3x+1 / w - L 5x

,

x e [-1,1 >

,

x e< 1,6]

g(x)

2-sfx -1

x e[0,3 >

x-2

x g < 3 ,5 ]u [6 ,8 >

Hallar (2f —4g)(x), donde U 2-4| x+2

,

x g

[[I * ~ 3 1], x e [1,4 > x

< -2 ,1 >

x e [u o >

3x + 5

Calcular (f + g) (x), (f.g) (x), (f/g) (x) y graficar donde Í2x --1 , x e[0,2]

a)

. / (x) = j

b)

f ( x ) = 3x, 1 < x < 3 :

[3

,x

r

; g(x)=Jx

g [3.5]

x x 4 ’

hallar gof

Hallar fog y gof si existen , donde 1 xe f ( x ) = x —1 | x 2 + 1 1 , x e< 1,2 >

f[|x|] , x e [0,1 > g(x) = ' l'Jx2 - 1 , X G [1,3 >

,

Hallar ( f o g oh)(x) si f ( x ) = x 2 +2x + l , g(x) = x - 2 , h(x) = x - 3

© ©

Sean f(x) = ax + 2 , g(x) = x —6 , a ^ O , b * 0 Sean / M - P ” 1 • [x/2 , 4

2 g(x) = x —1 ’ 'Y e f |- 1 | , x e < 0 , 3 >

Determinar gof sí

Calcular (fog)(x) y (gof)(x)

íx , x e [-3,0] f(x) =\ , | x ¿ , x e< 0,5]

Sean / ( x ) = [|x |] y g(x) =

[|x - 4 | ] , x > 0 x*

SiF(x) = ctgx

,g(x) = x -1 5 , x e < - 1 0 , 9 ]

, x< 2*,

Sean las funciones f ( x ) = ' -x ,

g(x) = i x ' x _ Hallar gof [2x , x > 4

Hallar gof, si f y g son funciones reales, tales que: , x 2 +1 , X < 1 fix)= \ , -x 2 , X > 4

,[x —1 , x < 2 g(x) = \ l 2 , x>4

y

Sean las funciones f y g definidas por:

/ (x) = | ' V -x

Sí +3 si x > 3

y

g(x) = \ X 1 ’ í < .2 - Hallar fog y su rango i 2 , x>4

Sean las funciones f y g definida por: jx 2+ l , x < l

fix) =\

, - x 2 , x>4

y

íx ' - 4 , x e [0,4] g (x ) = -¡

0

. x e< 4,7 >

.

Hallar fog

Relaciones y Funciones 70/

Dada las funciones f y g definidas por:

./(*) =

\ x +1 , x < l - x

7u

291

,

jc>

y

4

g(x) =

x - - 4 , x e [0,4] 1 J o

, xe< 4,7>

Dadas las funciones f y g definidas en R por: s i g ( \ x - - 4 \ ) si | JCI

y

g(x) = 3 , x e

+10.c + 21 si [ jc —3 1 > 6

Construir la gráfica de f + g, indicando explícitamente su rango.

72)

Hallar fog, siendo /

+1 , x < ^ 3

y

( jc) = •

g (x ) =

x>^¡3

73)

r, „ r • , Hallar fog, siendo:

74)

Hallar fog siendo:

[

f , , ] x Sl x e

2x + l , —3 < jc < f(x) =

-1

> 1

y g(x) = 1 - x determinar los dominios de las 1 + JC

composiciones fog y gof. 76)

Si g ( 2 - x ) = 4 x - \

y (g o f)(x) = 2x - 1 , Hallar la función fi(x)

77)

Dadas las funciones

/ ( jc) :

y g(x) = 1 — x, determinar los dominios de las 1—x

composiciones fog y gof y sus reglas correspondientes.

Eduardo Espinoza Ramos

292

2 jc + 1, —3 < jc < —1

78)

-1 . .v < O

Hallar (fog)(x) sí: f ( x ) =

1. —1 < JC< 1

, g(x) =

3jc + 2. jc > O

- , x>\ X

Si /'(jc) = -Jx2 -1 6 y g(x) = —-— , Hallar (fog)(x) jc +

_

2

_

,

Sean las funciones f y g definidas por: f (x)=<

jc2 + 3 jc,

.v/ jc< 3

, g(x) ■

\ - x +3, si jc> 3

f3 —jc, si x < \ 5 —jc, si jc>1

Hallar (fog)(x). 1

,

xe<

-2 ,2 >

f [ | x — 1 1], jc e [0 ,1 >

, g(x) = < ¡—— Hallar (fog)(x) si es que existe n/jc -1 , x e [1,3 > \2x2 + 3|, * e< 2 ,3 >

Si /( * ) = jc -2

^82

Si / ( jc) = jc2 + 2 jc + 2 . hallar la función g(x) tal que (fog)(x) = x 2 - 4

©

Hallar (fog)(x) si / ( * ) = {

Tj ■>

JCG 3

©

Sean

f y

g

dos

JJC - 8 . JC 0

í[ | jc —11], 0 < jc< 3

Si /(.c) = { ,--------■ —

jc + 5

jc-t-1

y g(x) = — ~, calcular (gof)(x)

funciones,

x-4

tales

que:

/ ( jc) =

[ l ^ - ^ l] , xe< -l,l> 3 —x ,

■yjx2 +2x, jc e [1,2 > 2 , x-l

jc g [ - 2 ,- 1 >

.

.

. Hallar fog, si es que existe.

| jc —11, x e < 0,3 > Si H(x) = ' j x 2 - 2 jc + 3 y (HoF)(x) =-J[\x\]+3

calcular F(x)

íx - 1 , x e [ 0 ,l] [jc3, jc e [—1,1] Dados f ( x) = \ , , g(*) = 'í [ j r + 1 , x e < -o o ,0 > u < l,+ o o > [2 jc + [ | jc|]jc-, . c e [3,4] (fog)(x) si es que existe.

„ „ .H alla r

Relaciones y Funciones

2J1

293

FUNCIONES; INYgCTIVAS» S m m C 'm A B Y BIY1QWA&~ a)

Función Inyectiva.La función f: A -» B es inyectiva (univalente) si a cada elemento del dominio le corresponde un único elemento del

rango, es decir, si existen dos elementos

x x x 2 e D r distintos x x * x 2 cuyas imágenes son distintas f { x x) ± f ( x 2) loque es equivalente a decir: Si xx, x 2 e D f : f ( x x) = f ( x 2) => x x = x 2 que es la forma más práctica para ' * * t determinar si una función es inyectiva. Ejemplo.-

f función inyectiva

f no es inyectiva

Ejemplo.- Determinar que la función f(x) = 5x + 3 es inyectiva. Solución f es inyectiva sí

f { x x) = f ( x 2) => x¡ = x 2 f ( x x) = f ( x 2)=> 5xx +3 = 5x2 +3

xx =x2

f ( x ) = 5x + 3 es inyectiva Observación.- En forma gráfica se puede determinar si una función es inyectiva o no, para esto tracemos una recta paralela al eje X, si dicha recta corta a la gráfica en dos partes o más, entonces la función f no es inyectiva y si corta en un solo punto, entonces la función f es inyectiva. Ejemplo.- Si f ( x ) = x 2

y

g(x) = 4 x

294

Eduardo Espinoza Ramos

b) Función suryectiva.La función f: A -> B, es suryectiva (o sobre) si y solo si, V y e B, existe x e A tal que y = f(x); esto quiere decir que todo elemento de B es imagen por lo menos de un elemento de A es decir que f: A

B es suryectiva si R f = B

Ejemplo.- La función f: [0,qo> -» [0,oo> tal que

f ( x ) =-Jx es suryectiva puesto que

R f =[0,*> > Ejemplo.- Determinar si la función f(x) = 3x+5 es suryectiva. Solución Como f: R —> R / f(x) = 3x+5 y —5 v —5 y = 3x+5 despejamos x es decir jc= - - Luego V y e R, 3jc = — — y —5 y -5 Tal que f ( x ) = / —) = 3(—-—) + 5 = y entonces f es suryectiva. c)

Función Biyectiva La función f: A -> B se llama función biyectiva, si la función f es inyectiva y suryectiva simultáneamente.

Relaciones y Funciones

295

x Ejemplo.- Determinar si la función f: [0,2> -> R f - [-8,8]

298

Eduardo Espinoza Ramos

2 ¿ á ': m v N c im ^ m s m

a)

Definición.- Consideremos la función:

f = { ( x , f ( x ) ) / x e£> /}

condom inio

D f y rango R f entonces diremos que existe la función inversa de f. si y solo si, f es inyectiva. A la función inversa de f denotaremos por f * ó /

1, la cual es definida en la forma

siguiente:

donde:

D r, = R f

y

R¡> = D f

Ejemplo.- Consideremos una función inyectiva f = {(1,3),(2,5),(4,7),(6,9),(8,11)}

b)

entonces la función inversa de f es:

/ * = {(3,1),(5,2),(7,4),(9,6),(11,8)}

donde Df . = {3,5,7,9,11} = R r

Rf , = [1,2,4,6,8} = D f

y

Gráfico de la Función Inversa Consideremos una función f y su inversa / * , el gráfico de la función inversa / * es simétrica a la función f con respecto a la función identidad I(x) = x por tal motivo dicho gráfico se obtiene por reflexión con respecto a la recta I(x) = x.

Relaciones y Funciones

c)

299

Propiedad Fundamental de las Funciones Inversas Sí f: A->B es una función inyectiva y / * : B-»A es la función inversa de f entonces:

d)

Cálculo de la función Inversa Sea f: A-»B una función inyectiva, entonces a la función inversa f * : B -> A se Wíí$: puede hallar resolviendo la ecuación

Ejemplo.- Hallar la inversa de la función fl¡x) = 7x + 3 Solución f ( f * ( x ) ) = x => l / * ( x ) + 3 = x

f*(x) =

x-3

También la inversa de una función inyectiva se puede obtener en la forma siguiente:

Ejemplo.- Hallar la inversa de la función Solución Como y = fl[x) => y = 5x - 3, x e [0,5]

f(x) = 5x-3 s íx e [0 ,5 ]

300

Eduardo Espinoza Ramos v+3 x= ■ , x €[0,5]

Primeramente se despeja x:

Luego se determina la variación de y

x = ^ Í ^ e [ 0 , 5 ] => 0 < ^ - < 5 5 5

-3 - 0 < y + 3 < 2 5

=> y e [-3, 22]

y 4-3

x - ------ ,y e [-3 ,2 2 ], ahora permutaremos x por y es decir:

y =

2,25

, x e [-3,22]. Por lo tantof * ( x ) =

■ , x e [-3,22]

FUNCIÓN IN \ ERSA D I UNA COMPOSiCIÓRSi dos funciones f y g son inyectivas y la función composición f o g existen entonces la función f o g es inyectiva por lo tanto tiene inversa (f o g)* en este caso tiene la siguiente propiedad, (fo g )* = g * o P

(7 )

Determinar si la función es inyectiva f ( x ) = , \ 3 x 3/2+ 2 x U2

Solución Simplificado 3jc372 + 2 x Xí 2 = -Jx(3x + 2) de aquí se tiene que x>0 => |x| = x entonces 2¡x\+x +2 ' X ~ U

x

3/2+2 x 1/2

_

3x + 2

_ 1

Í 4 x ( 3 x +2 ) ~ ^

debemos probar que f(a) = f(b) =^> a = b con lo cual se determina que es inyectiva. f(a) = f(b) => -1= = —!= Va Vb

=> a = b.

Por lo tanto f es inyectiva.

Relaciones y Funciones

301

Demostrar que f es in>ectiva donde f ( x ) = 5 X , V x e R. Solución Debemos probar que:

f(a) = f(b) => a = b

fía) = ftb) => 5a =5* => a = b Por lo tanto f es myectiva. ©

Dada la función f ( x ) = x + 'Jx2 + 7 , x e [-3,3]. demostrar que f es inyectiva. Solución Probaremos que fía) = f(b) => a = b fía) = ffb) => a + 4 a 2 + 7 = b + 4 b 2 +7 a - h = 4 b 1 + 7 - 4 a 2 +7 , elevando al cuadrado:

( a - b ) 2 = ( 4 b 2 + l 4 a 2 + 7 )2 a b + 1 = 4 a 2 + 7 4 b 2 +1 , elevando al cuadrado:

0 2/>2 +14a/> + 49 = a 2í r + 7 o 2 + 7 /r + 4 9 a2 -2ab+ h 2 =0

©

=> ( a - b ) 2 = 0 =>a = b

.*. fesinyectiva

La función f: R —►[(),+*> definida por /(jr) = 5jc2 . ¿Es f suryectiva? Solución Debemos de comprobar que: V y e[0,+*>> , 3 x e R tal que f(x) = y pero como y = 5x2 => x = ± 4 y / 5 .entonces: 3x = ±V>’ / 5 , y e [(),*> tal que / ( x ) = f ( ± 4 y / 5 ) = 5( ± 4 y T x ) 2 = y

/.ffx ) = y => f es suryectiva.

302

Eduardo Espinoza Ramos Determinar si la lünción f { x ) = x +1 - [ | x |] , x e R es inyectiva.

Solución Definimos él [| x | ] , V x e R [| .v |] = k

k < x < k + l , k e Z .

x +3

fix) =

Luego la función f(x) queda definida

, x e [-2,-1 >

x +2 jr + 1

,

x e[-l,0 >

, x e [0,1 >

Luego la función f(x) es la unión de una familia de funciones lineales donde cada una de las cuales es inyectiva, es decir: f ( x ) = x+l-[| x|]

=>

f(x) = x + l - k

Probaremos que si f(a) = ffb) => a = b ffa) = fíb) = > a + l - k = b + l - k

=> a = b

Por lo tanto cada función f(x) sea inyectiva falta ver que la intersección de los rangos de dos en dos es el vacío. f k (x) = x + \ - k x£[k,k+l>=>k l < x + l - k < 2

1 < f k (x) < 2 y e [1,2> => Rfi =[1,2 > tf C ^ f k W =[1,2 >± definida por f(x) = -2x + 1 es biyectiva.

Solución Veremos si f es inyectiva, es decir: / (x ,) = / ( x 2)

=> x¡ = x 2

f f ( x , ) = -2 x , +1

Xj = x 2

(/og)(*l) = (/og)(*2)=> /(g(*l)) = /(g(*2)) =>

g(xt ) = g (x 2) , por ser f inyectiva.

=>

x, = x , , por ser g inyectiva.

Como (fog)(xx) = (f og )(x2) => Xj = x 2 , enlonces f o g es también inyectiva. ( 9)

Si f: R ----- >B es una función suryectiva. Tal que f(x) = |x —3| - x, Hallar el conjunto B.

Solución

Luego a la función f expresaremos así:

/ (x) =

Donde Df =< - 00,3 > u [3,+00 > , ahora calculamos el rango

Si x > 3 => y = fix) = -3 => y = -3 R f = < - 3 ,+00 > u {-3} = [-3 ,+00 > Por lo tanto la función f es suryectiva cuando:

B = [-3,+®>

Si la función f es creciente en todo su dominio demostrar que f es inyectiva. Solución

Relaciones y Funciones

305

xx x2

Aplicaremos la definición siguiente de función inyectiva f es inyectiva, si

V xi,x2 eZ)y

implicaque f ( x x) * f ( x 2) , Como

jcj *■x 2

=>

JCj < x 2 V x 2 < x x

pero

f

es

creciente

entonces:

/ ( x , ) < f ( x 2) V f ( x 2) < f { x x) de donde f ( x x) * f ( x 2) por lo tanto f es inyectiva.

Demostrar que la función f es inyectiva, donde:

/

( jc) =

„ —2¡= , si• jce yx —x ~ , si x < 0

Solución 2

Primeramente veremos si f x(x) =

V Xj , x 2 G Dfi

, y f 2(x) = -x~ son inyectivas.

2 2 f i ( x 1) = f 1(x2) => - = = - = V*i y xz

=> x x = x 2

Por lo tanto f x(x) es inyectiva. V x , , x 2 e D fi => f 2(Xj) = f 2(x2) => -x!2 = - x 2 => X! = x 2 Por lo tanto f 2 (x) es inyectiva. Ahora veremos que R f¡ A R f = 0 „

Para x e

„ < 4 ,+ oo>

4

2

4

x = — e => —r - > 4 ^ para x < 0

4

=> y = —== => x = —— Vx y

=>

,

R f = < 0 , l > .. ‘

=> y = - x 2 => x = - s [ ^ y < 0 => - J - y > 0 => - y > 0

R r = < —oo,0 > Jl

=> y

a

< -oo.O > = (

Por lo tanto es inyectiva.

{- 5 x 2/_+^73x - 3

X< 0 , x >0

Solución La función f x(x) = V ~ x 3 , x < 0, es inyectiva. La función / 2(x) = - 5 x 2 + 7 x - 3 , x > 0 no es inyectiva. Por lo tanto la función no es inyectiva. Hallar la inversa f

,

(x) si existe, de la función f definida por: f ( x ) = \

Í 2x + 1 , x 0

Solución Graficandoa la función f(x) se tiene:

Si x < 0 =>

Rj- = < -°o,l]

x > 0 => R f = < l,+oo > además cada función f x(x) y / 2 (x) son inyectivas, y como

a

Por lo tanto existe la inversa de f(x). calculamos la inversa de fi(x) Si x < 0 , /j(x ) = 2x + l

x

g

0, f 2(x) = x 2 +1 para esto: f 2( f , (x)) = x , x e f p (x) +1 = x , de donde f 2 (x) = - J x - l , x e < l,+ « >

'je—1 por lo tanto:

/ (x) =

2

, x 1 14)

Probar que f ( x ) = 4-Jx - x para 0 < x < 1, posee inversa y hallar la función inversa si es que existe.

Solución Para que f(x) tenga inversa debe de ser inyectiva y para esto debe cumplir que:

/(x,) =/(x2) ^

-

x

=>xx= x 2

x = 4 j x 2 - x 2

=>

-

x

2) = 0

=> 4 ( ^ ’ - ^ 7 ) - ( ^ " - ^ / x 7 ) ( V * i " + ^ / * 7 ) = o => ( ^ - ^ K 4 ~ 4 x í - x 2) = 0 Como0

3

’

x'+2x-3

... 2 xx++ J^.x 2 +48 .n (x) = -------- --------- , x e[4,l 1]

Determinar si P (x) si existe.

,xe[-lj>

Solución Determinaremos si f(x) es inyectiva Six>3

=> /j( x ) = V x -3 donde

= [0,oo>

S i/ j (x ,) = / [ (x2) =>-^x, - 3 = ^/x2 - 3 elevando al cuadrado => Xj = x 2 => / es inyectiva Si —1 < x < 1 => / 2(x) = x 2 + 2 x - 3 = (x + 1)2 - 4 Como -1 < x < 1 => 0 < x + 1 < 2

=> 0 < (x + 1)2 < 4

=> —4 < ( x + 1)2 - 4 < 0

=í> /?/2 = [-4 ,0 >

Si f 2(x1) = f 2(x1)=> (x¡ +1)2 - 4 = (x2 +1)2 - 4 => (x¡ +1)2 = (x2 +1)2 => X] +1 = x 2 +1 => x, —x 2 puesto que x j,x 2 e [ - l , l > . Por lo tanto f 2 es inyectiva. Como Rft a. R f - [0,oo > a [-4,0 > = .

311

Relaciones y Funciones Entonces f(x) es inyectiva y por lo tanto 3 f*(x) Ahora calculando la inversa de cada función:

/ , ( /j (jc)) = x , x e [0,+»>

t/í./'i* (-V)) —3 = x => f * (.v) = x 2 + 3, x e[0,+oo> f 2( . / * ( x ) ) = x , x e [-4,0> (/ 2*(x))2 + 2 / * ( x ) - 3 = x => f 2 (x) = -Jx + 4 - \ , x e [-4,0> Jx2 +3 ■■■/ * ( * ) =

19)

, x>0

Vx + 4 - 1 , - 4 < x < 0

Si f(x) = 2x —3b , determinar el valor de b de manera que / ( / ; +1) = 3 f * ( b ~ ) Solución Calculando la inversa de f(x):

2P(x) - 3b = x, x

e

f(f*(x)) = x, x e D t .

D , * , de donde / * (x) =

, x & D r,

como /'(b + \) = 3 f * ( b 2) , entonces 2(b + \ ) - 3 b = 3(— y ^ - )

3/?2 +1 16-4 = 0 => ( 3 b - l)(b + 4) = 0, de donde b = | , b = -4

, 20P

íx 2 - 8x + 7 .vi 4 < x < 7 V - 3 < x < -1 Sea J (x) = /,( x ) = x 2 - 8 x + 7

./,(x) —x 2 - 8 x + 7 = ( x - 4 ) 2 - 9

Eduardo Espinoza Ramos

312

Si x, ,x 2 e D f¡ ; f \ (x ,) = /j (x2 ) (Xl _ 4 ) 2 - 9 = (x 2 - 4 ) 2 - 9

=> x, = x 2

=> IXj —4 12= |x2 —4 12 => |Xj - 4 | = |x 2 - 4 | => x, = x 2 , puesto que |x - 4 | = x - 4

Sí 4 < x < 7 , |x —4| —4 —x s i —3 < x < - l . S í —l < x < 3

Luego f x(x) es inyectiva

=> / 2(x) = V 7 -2 x

Sí x x, x 2 eZ>/2 ; f 2(Xj) = f 2(x2) => Xi = x 2 -2xi

2x 2

=í> 2 xj = 2 x 2 =>

x,

= x 2 . Luego / 2(x) es inyectiva.

Ahora calcularemos el rango de cada función. Sí 4 < x < 7 V - 3 < x < - 1

=> 0 < ( x - 4)2 < 9 V - 7 < x - 4 < - 5

- 9 < ( x - 4 ) 2 - 9 < 0 V 16 < ( x - 4 ) 2 - 9 < 40, pro lo tanto Sí —1 < x < 3 => - 6 < - 2 x Entonces

1 <

7 - 2x <

9

=>

Ry¡ = < -9 ,0 ] u < 16,40] l< ^ 7 -2 x

= u < 2,00> x2-4

Determinar si f es una función biyectiva ^ 3)

«•

R pta. si es biyectiva inyectiva, si no lo es, restringir su R pta. No es inyectiva

Funciones y Relaciones

©

315

Sea f una Junción definida por / ( x ) = ^—y —j-, D f = R . Es f una función inyectiva? R pta. f es inyectiva

( Í 5) W

Dada la función f ( x ) =—— Mostrar que f es inyectiva y graficar ' ' (x -2 )(x - 4 x - 1 2 )

Sea f ( x) = ———+- ——-1 , x e . Demostrar que f es inyectiva (ó univalente) x -1 (x -1 )2 17)

Si se sabe que f(-1) = 4 y f(3) = -2 , donde f es una función lineal, hallar la ecuación que

Rpta. / * ( * ) =

define P(x)

1$)

Sí

a)

©)

f( x ) =2x+c

fíO). P (0 )

y / ( c ) = 2 / * ( c 2 ). Encontrar el valor de :

Rpta. - 8

b)

R pta.- 4

Si f(x) = 3x + 2a, Determinar los valores de a de modo que

Rpta. 20)

f(a2)

a--l V

=f*(a + 2) a=\

Hallar la inversa f*(x) si existe para la función. f ( x ) = x 2 + 4x -1

Rpta: / * ( x ) = - 2 21)

+

, x e - 4 x

+5 ,xe[-4,-l>

Hallar la inversa f*(x) si existe de la función, / ( x ) = x 2 - 2 x - l , x > 2

Rpta. / * ( x ) = 1+ Vx + 2 , x > - l (22)

Hallar la función f*(x) si existe, para la función, f ( x ) = ( | x - 5 1 +l + x )V 5 -x

Eduardo Espinoza Ramos

316

lx

2+'2.x ■+■2,x ^1. Hallar la función inversa de fi(x) si existe

Sí f ( x ) = < ’ x 3 + 4,x 5

3- J x - 4 , x < 5 24)

Sí la función f: -» R, definida por: f ( x )

Hallar la inversa de f(x) si existe 1-1*1 R p ta . / * ( x) = 1+ 1 * 1

(25)

Hallar í*(x) si existe de:

a)

\-Jb-X,X< 0 f(x) = -

b)

í-x,x < 0 f(x) = \ \-x ,x>0

d)

f{x) =

Lr + l , x > 0

C)

f(x) = ( \ x -3 \ + x y j 3 - x

|x-6|+x+Vx-6-[|x-4|]x +6 -Jl - x

2x + 3 7 9 Dada la función f ( x ) = ---------- , x e < — > . Hallar P (x) si existe. '

®

x-1

2 2

\2-x\,x>2

Sí f: R -> R tal que f ( x ) = \

, -jr

. Determinar la función inversa f*(x) si existe. 1

Hallar (f o g)(x), determinar si es inyectiva en caso afirmativo, calcular (f + g)* (x)

Relaciones y Funciones

319

2x - 1 2 x + 2 40}

Dadas las funciones / (x) ■

x +2

,x3

, -2 y g(x) = | x | + 3. Determinar el dominio de f*o g. 2 4 Si f ( x - 2) = ------ . Hallar el valor de x que satisfaga ( / * o / ) ( —) = 2 . jc + 3 ' x

Dada la función f definida por: / (x) =

\ x - 5 \ + 4 x + * J x - 5 - [ |x |] x + 5 -Jó-x

Rpta. f * ( x ) =

Hallar f*(x) si existe.

6 x 2 +5 x 2 +1

x +4 Si f* es una función biyectiva tal que / * ( ------ ) = D . Hallar el conjunto solución de la 3x 3x inecuación: / (c) > Rpta. x e u jí + 4

@

Sean f ( x ) = x * + 2 ,

g l x ) - ——- si x +3

Rpta. -

47)

3 1

Hallar g*(a+5)

Dada las funciones reales / (x) = 1+---X ■, g(x) = —, x ^ 0 . Hallar el dominio de f*og* x x Rpta. - {0} = U

Eduardo Espinoza Ramos

320

48)

Si f y g son dos funciones donde f(x-l) = 3x+2, g(2x+3) = 4x+4 . Hallar (g* o g)(x) R pta. £ * ± 2

49)

Sea f: < - l , l > - > R , tal que / ( x ) = -— -— , analizar si f es inyectiva.

50)

Hallar P (x ) si existe, donde, / (x) =

x +x , x > 5 Ix

51J

, JC< —1

|x + (x 2 +1)1/2 ,x > 1 Analizar la inyectibilidad de la función, / (x) - -i l ------- 1 , en caso afirmativo \ —y/ - x 3 +1 , x < -1 hallar P(x)

52)

Sea f y g dos funciones, tales que:

, x e < - l ,l > /( * ) =

3~ x 4 x 2 + 2x , x e'[l,2 >

— - , xe[\2> . ; g(x) = x -1 . Hallar f o g si es que existe. | je —11 , i e < 0 , l >

x2 + 2 x - 2 , - 3 < x < - 2

53)

Hallar P (x ) si es que existe de la función, / (x)

U+3|

lx-21-1 54)

Analizar la inyectibilidad de tal función,

, -1 < x < 1

x H" 2x “ 1 , x 5í 2 /'(x) = -i ’ ‘ ( -x 3 , x>2

, en caso

afirmativo hallar P (x)

55)

Hallar f*(x) si existe donde

a)

¡x + 4 x - 5 , x e [-2 ,l > f(x) = < x -5 , x e [ 5 ,+ * >

b)

|x ¿ + 2x + 2 , x > l fix) = • x2 +4 , x

, x e [ - l ,0 ]

d)

x 4 4 , xe

e)

/(* )

Jx2 -8 x + 7 j/7 -2 x

t)

fix)

x

,

,

2 + 1 0 x + 21 ,

•fx + l + l

fix)

|—\Jx + 1

-(

h)

fix)

x

,

2 + 6 x + 8) ,

x s< 0 ,3 >

,

x e [ 1 0 ,+00 >

xe

xg[-1,+oo>

•x + 3

,

[1,+ oo>

x g

| —x 2 —2 x

,

xe[-3 ,-l>

¡2 + V3 + 2 x - x 2

,

xe[-l,l]

fix) =

fix) =

j4 ---\/x 2 + 1 2 x + 27

,

[x2 +6x + 6

I)

fix ) =

,

x < -l x>0

x2

,

x e[l,2>

[|A|] + V x - [ | x | ]

,

x e[-l,l>

-V -x

4,7]

[-13>

xe< -oo,-l >

■yfx —1

O

>U<

, xe< -l,3]

Jx2 +2x + 2 ,

g)

,

+ 1 ,

x e [-4,-2 >

V x + 2 , x e [-2,2]

x e < -3,-1 x g

—

fix)=< 2

xe[-9 ,-l>

Eduardo Espinoza Ramos

322

- 4 - ( x + 2) 2 , J te [-5 ,-2 ] 11)

0

2a[|x + 3|]

, j c e < - 2 ,- l>

2 + -Jx+ 1

, jte

4

, x=l

fix) =

Dadas las funciones

f(x)

ir2-I r - \

Í2.V-1 , JC0

g(x) = 1 r -

Hallar si existe fog* Analizar si las funciones reales f y g son inyectivas - 2x +10 , x < 0 f i x ) = ■Jx2 +16 , 0 < x < 3 , 3

,

- x 2 - U ) x - 2 1 , ,v e [-5 ,-l] g(x) ■

, .v>3

U - 2

1-1

, x e < 1,2]

U + 3|

x2-4

©

Si g: A -> B y f: B -> C, son funciones inyectivas, demostrar que fog: A -» C es inyectiva.

59)

Analizar la inyectividad de la función

f(x) ■

-J - x J

, x 0 afirmativo, hallar su inversa.

Si / (x) =

- x 2 , x0 x

¡ 2 - x 2 , -f3

65) "

x ~ —4 si x < -~2 Si / ( x) = < ____ ’ " . Determinar P (x) si existe. l - V x - 2 , si x > 2

66)

Hallar la inversa de f si existe donde / (x) =

Jx + 2 x - 3 , x < 2 -x3

67)

, x>2

Decir si f(x) es inyectiva, si es así hallar f*(x) donde / (x) =

| x |, x < —1 2 - x 2, x > 11

68)

2x, x < 3 Dado f ( x ) = < , probar que f(x) es inyectiva y hallar f*(x). x‘ , 3 2 es inyectiva, en caso afirmativo, hallar su inversa.

©

Sea / ( x ) = | ^ ^ _ ^ L A ^ , mostrar que fes inyectiva y hallar P(x). -V3-x, x , g(x) = -——=- , xgR. Calcular (gof*)(x) si existe. x +4

[14)

Sean f ( x ) = 2x~

Í75)

Si f ( x - l ) = 3x + 2, g(2x + 3) = 4x + 4, encontrar (g*oí)(x) x 2 + 4x-l, x Calcular f*(x) si existe, donde: f ( x ) =

Jl)

Sean f ( x ) =

|x + 4 |

2x2 - 1 2 x + 3, — , x3 x-3

, x

g< g<

Hallar f*(x) si existe donde f ( x ) = - j 9 x - 2 , x

-2,0 > u < 0,1 >

j t g c -2,3]

■Calcular (Pog)(x), si existe

x + 2, x < 2 18)

-4 ,-3 ]

g<

23 >

( x - 3 ) 2 +5, x > 3

325

Limites y Continuidad

CAPITULO III

3.

L IM IT E S Y C O N T IN U ID A D .

3A

INTRODUCCION^ La teoría de límites de una función es indispensable conocer la teoría puesto que es la base sobre el cual se dan los conceptos fundamentales del cálculo como son: la continuidad, la derivada, la integral, etc.. Antes de dar la definición de límite de una función daremos la idea intuitiva. Sea L un número real y f una función definida en las proximidades del número “a”, no necesariamente en “a” y denotaremos por: lim f ( x ) = L y diremos que: x->a

Cuando x se aproxima a “a”; f(x) se aproxima a L. ó para x próximo a “a”; f{x) está próximo a L. ó para x aproximadamente igual a “a”, f(x) es aproximadamente igual a L.

Ahora daremos algunas definiciones previas a la definición de límite. a)

Punto de Acumulación.-

Sean A c R y jc„ e R , al punto x 0 le llamaremos punto de acumulación del conjunto A sí y sólo sí, todo

intervalo abierto de centro jc0 contiene por lo menos un elemento x * x n del conjunto A.

Eduardo Espinoza Ramos

326

Ejemplo.- Si A = entonces 2 es un punto de acumulación de A, es decir:

-1 Sí A = [2,9> entonces 2 es punto de acumulación de A y también 9 es punto de acumulación, es decir:

- H — 2

H

-----------------

9

Si A = [1,5] u x0 es el número real L, es decir que pan i cada s > 0 (tan pequeño como uno quiere) debe existir un número 8 > 0 de tal mane)ra que los puntos (je ,/(x)), Vx e (x0 - 8 , x 0 + 8) rectángulo comprendido

, debe de estar en el interior del

entre las rectas de ecuaciones: x = x 0 - 8 ,

x = x0 + 0 , 3 S = min{l,—\ se tiene que: 6

Sí 0 < |x - 4 | < 5 --=> |ff x )-9 | = |x + l ||x - 4 | < 6 |x - 4 | < c

b)

.\ lim x 2 -3jc + 5 = 9 *-->4

Método General Para Encontrar él 6 En la definición de límite de una función f(x) cuando x -> .v0 ( lim f ( x ) = L ) , x -tx „

necesitamos probar que dado cualquier e>0, es posible encontrar un 5 >0 tal que sí: 0

< | jc—jc0 | < ^

=>| f ( x) —L | < £

Para encontrar un 8 > 0 se hace de la manera siguiente:

1ro.

Se descompone |f(x) - L| en dos factores, en donde uno de los cuales debe de ser |

2do.

| es decir:

\ f ( x ) - L \ = | g(x) ||x - x0 | < | h(x) \ \ x - x 0 \

Se debe acotar |h(x)| < K , para algún K dentro de un intervalo 0 < | x - x 0 | < 5 ,, donde 5, se elige como cualquier valor que satisface la relación 5, < | jc0 —a | (diferencia entre x f) y su asíntota) En particular 5, = -j | x () - a \

Eduardo Espinoza Ramos

330

Nota.- Si se tiene varias asíntotas se toman las diferencias de x 0 con todas las asíntotas, luego se elige la menor de ellas y se toma

\l H-4\ 0, debemos de encontrar 8 > 0 en términos de e, tal que: 0<

|x —

5| <

8

=>

| ^

Ü

- 4

|

<

e

x-3

Para encontrar el 8 > 0 se hace la forma siguiente: \ f ( x ) - L \ = 1 - 4 - 4 1 = | ~ 3 (* ~ 5) | = 31 — ~ [ | * ~ 51 jc —3 x-3 x-3

...(1 )

Ahora acotando la función | —-— | y para esto calculamos (5, = — 15 —3 1=1 de acuerdo .t- 3 2 2do. Paso del método establecido.

331

Limites y Continuidad |jr-5| -1 < x —5 < 1, sumando2

3

x-3

=>

1 < x - 3 | - U < 1 x-3

...(2 )

Ahora reemplazando (2) en (1) se tiene: | /'(x)-£|=3|-— |U -5 |< 3 |jc -5 |< e x-3 £ Luego se elige S = min{ 1, y}

de donde | j c - 5 | < - = 5 , 3

Por lo tanto, dado c > 0 , 3 8 = m in{\,^) se tiene: Sí 0 < | x - 5 | < 8

=> |f(x) —L | < e

x +3 lim ------ = 4 Jf— *5 X -3 X

Ejemplo.- Aplicando la definición de límite demostrar que: lim — ------------ = -1 '-»i 2x - 5 x + 2 Solución Por definición de límite se tiene: lim — ------- = -1 o V e > 0 , 3 8 = ? / s i 0 < | x - l | < 6 = > | — — ------------ (-1 )| '2x--5x +2 2x - 5 x + 2 es decir, dado c > 0, existe un 8 > 0 en términos de e. Tal que 0 < |x - 1| < 8 entonces | — — - ---------- ( - l ) | < c 2 x - - 5 x +2 Para encontrar el 8 > 0 se hace en la forma siguiente: |/( ,) - ! | = | 2x~ - 5 x + 2

= — — 2 -----— I jc-112 1 2 ,t-l || jc -2 |

... (1)

Ahora acotado la expresión —— — -------- y para esto calculamos 1 4

4

4 — < 2x —1 < —,— < x —2 < — 4 4 2 2 4 4

=>

1 2x-l

1 x-2

4 3

- < 2>

Ahora reemplazando (2) en (1) se tiene:

| / ( x ) - Z , | = 2 ---- ---- .— -— | x - l | 2< — | x - l | 2< c dedonde: 12.x - 11 | x —2 1 3 1 -JJc Por lo tanto el S = miu\ —, — -} se tiene que: 4 4

|x -l|< ^^ 1 1 4

Si 0 < | x —1 | < 5 => | f ( x ) - L | < c

A lint— ——-------= -1 2x - 5 x + 2 Ejemplo.- Aplicando la definición de límite demostrar que: lim 2~Jx + 5 = 7 X --> \

Solución Por definición de límite se tiene: lim 2s[x+ 5 = 7 o

x> 1

V e > 0 , 3 8 = ? / s i 0 < |x —1| < 5 => \2-Jx + 5 - l \ < c

es decir dado í; > 0 existe un 5 > 0 en términos de e de tal manera que 0 < |x — 1| < 8 entonces 12 ^ x + 5 —7 1 < c

Limites y Continuidad

333

Ahora calculamos el 5 > 0 y para esto se tiene: 12~Jx + 5 - 7 |= 2 1~Jx - 1 1= 2 1-p¡-— 1| * ~ 11 V* +1 Luego acotamos la expresión '

•••(!)

* ' -Jx +1

Tomamos ó', = 1 para acotar | —=l— | en efecto: *\lx +1 Si 0 < | x - l | < 5 , =1 => -1 < x —1 < 1 => 0 0 ,3 5 = ? / si 0 < |x - 0| < 5 => 2x + V3

V3

Eduardo Espinoza Ramos

334

es decir dado c > 0, existe 8 > 0 en términos de e de tal manera que 0 < |x — 11 < 8 entonces

,

x —J l Í2 --------■==+ ■»/—) 0 y para esto se tiene: , x-Jl

. -Jl ,

2x + V3

+2-^2 ,

^3

V3

1

„ ,

l 2^ + -V3 " Y|

*"(

S, = —|x 0 -a | = —| 0 - - — | 1 2 2 2

Calculamos

4

1 41 Ahora acotamos la expresión | --------¡= I, tomando 8, = — 2x+ j3 1 4 , . s 73 V3 ^3 V3 . S 0 < \ x < 8, = — = > ------ < x < — = > ------- < 2 x < — 1 4 4 4 2 2 V3 , p¡ 3^3 => ----

2 1 2 = r < ---------= < - = 3-V3 2* + -v/3 V3

*

,

.

. . 4

/ l v

.

Ahora reemplazando (2) en ( 1) se tiene:

, x~ sf2 V 3, -V3+2V2 2 , | --------j= + —¡= | < j =— . —j= \ x \ < c 2x + -v3 V3 V3 V3

-

A1_

- ®

| jc | < .... - /—j ' £ - p . = g 2 .. Por 3- 1 S^ = min{— ,1 U I lo tanto ic u n u r— \' 2(V3+V2) ' 4 2(V3+2V2)

3,3.

EJERCICIOS PROPUESTOS.Mediante la definición de límite. Demostrar que:

(l)

Hm 3 x 2 - x - 2 = 8 .r->2

( 2) ^

lini3x2 + 2 x = 5 ,r->l

)

Limites y Continuidad

©

335

lim 4x~ + x - 4 = 10

©

©

3 x -l 1 l i m ------- = — ■'—•o x - 2 2

©

lim ——- = -1 *->0 x +1

©

3 + 2x lint ■V-»1. 2 5 —JC

©

lim — = -21 x—*-i x + 8

©

jr-*3

© 13)

X-* 2

8 9

lim x 3 - 3 x2 + 3x -1 = 8

»

lim

2

x —1

1 lim r-*:' x 2 +16

1 25

lim -Jx +T = 2

x ‘ + 7 x + 10 3 lim —------------- = — x-*-2 x - 3 x - 1 0 7

32

2 x 4 - 6 x 3 + x 2 +3 //wí------------------------ = -8 *-»i x -1 19)

lim x 3 + x 2 - 2 x = 140 .V— >5

lim 3.v1 - 2 x 2 + 2 x - 3 = -3 9 A

3x3 + l l x 2 + x - 5

15)

ío )

lim a x 1 +bx + c = axl + bx() + c

©

/im — — = 5 *-*2 X - l

18)

//w =4 *-»1 x —1

2x - 2

20) lim -J2x = 2

"

^Í3x^ - ñ 1 lint------------- = — •v-»2 3 3

22)

-v—>2

lim a/x + 5 = 3 .r-*4

©

lim -J- 2x = V2

(24)

©

x— >\

lim l¡2¿ = \ T 2

@

jr->27

(TT)

lim \Í2x = V = 4

©

lim l¡ 4 x -5 = 3 v->H

lim 3 -V 3 x = 0 v-*“*

@

lim V2 - X 2"- Vx = O

®

lim ifx = -2

lim Vx —8 = -5

Eduardo Espinoza Ramos

336

3 Í)

1

33)

lint -J lx - t f x = 2

lim

(32)

W

lim

— = -)= -Jx + Í

s¡2

—- = —

(34)

lim —= L = r = ^ -

(35)

lim ■ — = 1 < >0~Jx + 4

(3ó) ^

limX t } ■'-’■i ~Jx

.37)

lim ^=-f-»i je —1 2

(38) lim ^ ~ 2 *->4 x —4

3,1

1 -74.c + 5 —4

(44)

45)

lim x - — ¿ = - 3 4 ■> *h ^ x +3

41)

47)

//w *-»2

15

4 -- = 3 .v —2

(46) lim ^ •,- >a * - a

~ '^ a1 2-Ja

^

r-o.s

lim ,v“[|jc + 2|] —0.5

(48)

lim — -

(49) W

lim \ ¡ 4 - x 2 =a/3 v->i

(50) W

lim X_ ^ ?L—— = —4 *->i - j 9 - 5 x - 2

lim3 — Í=- = l .1 Vx

(52)

lim l x ^ + — =l jf— >1/3 y 9

@

//w ^ ~ 4* ~ 3

51)

lim • £ —^- = 1

, ,My x +3

v- /

w

,-»2 1jc | —2

--3

= -12

.v+2

a> 0

337

Limites y Continuidad

55)

lim —— — —- = O jr-»4

57)

59)

(56)

X —3

x 4 + l

5

lim 4x +1 = -5 2.V+ 1

© w

l i m x -+2x+- 2 = 2 -v_>o x 2x +1

lim_ íli -P-+ i -=:l

(60)

lim

í-» v l3 + x - x 2

3.4.

l i m j * * +17

x —» v2

l'X| - 1

jr- * - i x 2 + l

2

PROPOSICION.Sí x e R, |x| < e para todo c > 0, entonces x = 0. Demostración La demostración la haremos por el absurdo. Supongamos que x * 0, esto quiere decir Ix I | x | > 0. Ahora elegimos c, = — de donde e, > 0 y como |x | < c se cumple para £¡ = —

2

de donde: | x | < ^—

=>

2

1 < Vi (absurdo) y esto es debido a la suposición

original la cual no es valida, por lo tanto se cumple que x = 0.

3*5.

PROPOSICION.Si

lint f ( x ) = L y a < L < b, entonces existe un número 5 > 0, tal que: a < f(x) .V„

para todo x e D f

y 0 < |jr-jc 0 | < ¿> Demostración

Sea e = min {b —L, L —a} Entonces

ax„ '

V xeD f

b —L > 0 , L - a > 0

e Además

como a < L 

A 0 < |-v —jc0 I < ¿>

Eduardo Espinoza Ramos

338

Entonces |f(x) —L| < c => L —c < f(x) < L + e

. . . (2)

Luego de (1) y (2) se tiene: a < L —e < f(x) < L + e < b, V x e D r y 0 < |x - J t 0 | < £ =>

a Lx = ¿ 2 £ En efecto para e > 0, consideremos lim f (jc) = L x; para —> 0 , existe 0 tal que x —>a'

2

£

0 < \ x - a | < 5 , entonces| f ( x ) - L x \ < — , en forma similar lim f ( x ) =

2

£

, para — > 0 ,

x - >a'

2

£ existe 8 2 > 0 , tal que 0 < \ x - a \ < S 2 entonces \ f ( x ) - L 2 \ < — además se tiene:

| Lx - L 2 | = | (L, - f ( x ) ) + ( / ( x) - L 2) | < | f ( x ) - Lx | + 1f ( x ) - L2 | < | + 1 = c

es decir: \ L x - L 2 \ < e para 0 < \ x - a | < 8 = min{8x, 8 2)

Por lo tanto: se tiene si e > 0 para 0 < |x —a| < 8 Se tiene | L x - L 2 | < lo tanto: Lx = L2 .

e

y esto implica L x - L 2 = 0 de acuerdo a la proposición 1.8 por

339

Limites y Continuidad

3.7.

TEOKEMA.Si f y g son dos funciones tales que f(x) < g(x), V x de un intervalo con x * a, lim f ( x ) = L , lim g(x) = M x~>a

entonces L < M es decir:

x

y

lint f (x) < lim g(x) x~*a

x —>a

Demostración Demostraremos por el absurdo. Supongamos que L > M entonces L - M > 0 Como lim f ( x ) - - L y lim g(x) = M , para r. = ——— , existen 8¡ >0 y S 2 > 0 tales .v >o' \ >í/ 2 que:

f ( ) < \ x - a \, \ f ( x ) - L \ , , . entonces | 0 < |jc —o | 2 I -M \ M por lo tanto debe cumplirse L < M.

3.8,

TBOREMA-Si

lim f ( x ) = L

entonces existe 8 > 0 , tal que: para todo x e < a - 8 , a + 5>, x * a,

x -->u

se tiene |f(x)| <

k

para algún

k

real positivo.

Demostración Como lim f (x) - L por definición se tiene, dado c = 1 existe 8 > 0 tal que para todo x~> a'

x, | f ( x ) - L | < c = l siempre que 0 0 y para x * a, un elemento del intervalo entonces: Luego tomando

|f(x)| = |f(x) - L + L| < |f(x) - L| + |L| < 1 + |L| k

= 1 + |L| se cumple que:

|f(x)| <

k

para x e

Eduardo Espinoza Ramos

340 i a

DDADiFTt a n r c C A it o r i l u v n r c n c c i T v r i r u i v c Sean f y g dos funciones tales que: lint f ( x ) = L , lint g(x) = M y k una constante, entonces:

a)

c)

lint k = k

b)

x —>a

x~>a

lim( f ( x ) ± g(x)) = lim j ( x )± lim g(x) = L ± M

x *a '

-V—>í/ '

x->a

d)

lim f ( x ) . g ( x ) = ( lim f(x)).(lim g(x)) = L.M

e)

l i m —— = ------ ----- = — , si M * 0 jt m g(x) lim g(x) M

f)

f( . l i m f ( x ) , l i m ± ------- = — , si M * 0 , g ( x ) * 0 ,r->" g(x) lim g(x) M

x ~*u

x —>a

g)

lim ( f (x))" = ( limf ( x ) ) " , n entero positivo.

h)

lim %Jf(x) - nflim f ( x ) = '^¡L , V n par positivo.

i)

lim kf (x ) = k lini f ( x )

x —*a

jr tu

x-> a

lim | f ( x )

x-> a

x-+a

Yx —fa

| = |

lim f ( x ) x —>a

| = |L \

Demostración a)

La demostración es inmediata de la definición de límite, dado c > 0, existe 6 > 0, tal que | f(x) —k | < e siempre que 0 < |x —a| < 8 Como f(x) = k entonces | k - k| = 0 < e siempre que |x - a| < 8, en este caso se puede tomar cualquier 8 en particular 8 = e.

Limites y Continuidad

b)

Como

341

£ lim f ( x ) = L por definición dado c > 0, ex = — , existe S > 0 tal que x-*a

\k\

|f(x)-L | <

c)

Como

£ =—

|k |

entonces:

\ k f ( x ) —k L \ < c . Por lo tanto:

l i m kf { x) = kL

x— *u

E lim f ( x ) = L y lim g(x) = M , dado c > 0, para — > 0 existen 0 , '

8-, >0 tal que:

Ahora tomando

x->a

2

Í0< \ x - a \ < 8 y ' ' 1 => | 0 < \x - a \ < S2

\f(x)-L \< z

8 = min{81, 8 2} ,para 0 <

|x -

...(1 )

a| < 8

se verifica (1)

simultáneamente, además: | ( /( x ) + g(x)) ~ ( L + M ) ¡ < \ f ( x ) - L | + 1g(x) - M | < ! + ! = c es decir: 0 < | x - a | < 8 entonces |(f(x) + g(x)) —(L + M)| < c lo que implica: lim( f ( x ) + g(x)) = L + M = lim f ( x ) + lim g(x) x —>a '

x

d)

Como lim f ( x ) = L « • x -ya

0< \x-a\< 8l

x —>a

£ V e > 0 y e, —------------- > 0 , existe 0 , tal que: 2(| M |+1)

=>| f ( x ) - ¿ | < C],

además

limg(x) = M ,

Ve >0

y

x~>a

£ = ------------ > 0 , existe 5 , > 0 tal que 0 < \ x - a |< 8-, => I g(x) - M |< e-,. ' 2(| ¿| +1) M 2 h 2 Ahora para r.3 = 1

como

l i m g( x) = M

entonces existe

0

tal que

x->a

0

< \ x —a | < |g(x) —M| < 1 => |g(x)| < 1 + |M|

Ahora elegimos 8 =min{8l , S 2, 0 , tal que: X-+tí

0

< | x - a | — -— < —2 — Ig W I

(sug. Tomar c,

. . . (1)

1 *1

y aplicar la definición de límite),

cM~ Sea c > 0 para c 2 = —-— > 0 , existe 5 , > 0 , tal que: 0 < | j c - ¿ z | < í >2 => | g ( x ) - M |< £ ,

•••(2)

Ahora tomando 8 = min{8{, S2} para 0 < |x - a| < 8 se verifica (1) y (2) y además: 1 g(x)

1 , 1 1 2 I— — . : lXv-'W g ( * ) - * l < ----- T *'’ r-2) M IM || g(x) | | M | | g(x) | | M |"

1 2 cM 1 1 1 — — | | —— \a'

l i m ----- = — , Ahora aplicando d) y e) se tiene:

x—>a g ( X)

M

lim - — = lim f ( x ) . —-— = lim f (x ). lim —-— = — '

>«

g(x)

v

->a

g(x)

x~*a ‘

x xi g ( x )

M

La demostración de las propiedades g) h) i) se deja para el lector.

lim -- — = — x->a g ( x )

M

Limites y Continuidad

343

OBSERVACIÓN.-

Si

Límite de una función polinómica:

f \ x ) = b„xn +bn_1x n l +...+b]x + b0

es

una función polinómica donde

b„ , b„ , ,...,b0 son constantes reales, entonces para todo número real “a” se cumple:

lim f ( x ) = lim b„xn + b „ ^ x n l +...+blx + b0 = a"b„ + a n~1bn_l +...+abx + Z>0 X -+ U

X -> £ /

(La demostración se deja como ejercicio para el lector).

3.10.

EJERCICIOS PESARROLLABOS.Calcular los siguientes límites aplicando sus propiedades.

(^7)

lim 3 x 3 - 2 x 2 + 5 x - 7 j->2 Solución Aplicando el criterio del limite de una función polinómica: lim 3x 3 - 2 x 2 +5j c- 7 = 3(2)3 - 2 ( 2 ) 2 + 5 (2 )-7

.v->2

= 3 (8 )-2 (4 ) + 1 0 - 7 = 2 4 - 8 + 1 0 - 7 = 3 4 - 15= 19

®

(,-„ 2 íl± i2 í± i x~>2 5x —3jc + 10 Solución Para el caso de los límites de las funciones racionales, primeramente veremos los casos inmediatos y esto ocurre cuando se evalúa el numerador y denominador, si son diferentes de cero simultáneamente o uno de ellos por lo menos es diferente de cero, entonces el límite se obtiene en forma directa (veremos estos casos).

3.y2 +17jc + 4 _ 3(2)2 + 17 (2 )+ 4 _ 50 _ 25 *-2 5 x 2 —3JC+ 10

5(2)2 —3(2) + 10

24

12

344

Q

Eduardo Espinoza Ramos 2x3 - 3 x 2 + 4 x -3 9 Hm , 4x + 3x + 7

Solución 2x3 - 3 x 2 + 4 x -3 9 _ 2(3)3 -3 (3 )2 + 4 (3 )-3 9 _ 5 4 - 2 7 + 1 2 -3 9 _ _0_ _ '-»s

®

4 x 2 + 3x + 7

~

4(3)2 +3(3)+ 7

~

36 + 9 + 7

“ 52 "

„ 2 x 2 + 7x + 5 hm *-*4 x 2 -1 6

Solución 2 x 2 + 7x + 5 2(4)2 + 7(4) + 5 32 + 28 + 5 65 _ h m ----- ---------- = -------- ------------ = -------------- = — 3 *->4 x -1 6 4 -1 6 16-16 0

Nota.- Ahora veremos los límites de las funciones racionales que al evaluar nos d a — . 0

en este caso sé factoriza para evitar la indeterminación. 0

. x3-2 x 2-4x + 8 .im ------- --------------lim x~>~2 3 x " + 3x - 6 r—k_

Solución x3 - 2 x2 - 4 x + 8 x 2( x - 2 ) - 4 ( x - 2 ) (x 2 - 4 ) ( x - 2 ) h m ------- -------------= hm ————------ — -— = l i m --------- --------3x + 3 x - 6 x-> -2 3(x + x - 2 ) » - 2 3 (í + 2 ) ( x - l )

(x + 2 ) ( x - 2 ) 2 (x-2)2 (-2 -2 )2 16 = lim — ■ — —----------------------------------- — = lim --L— = » - 2 3 ( x + 2 ) ( x - l) x- - > - 2 3 (x—1) 3(—2 —1) 9

©

lim x~+a x~ - ( a - 2 ) x - 2 a

Solución x2 -(a-l)x-í? x 2 - a x +x - a x ( x - a ) +( x - a ) lim — ------------------- = lim ■ , ■■ — —-------- = lim x~*a x 2 - ( a - 2 ) x —2a x^ a x 2 - a x + 2 x - 2 a ar~>" x (x —a) + 2 (x —a) (x + 1) ( x - a ) = h m -----------------= lim *->« (x + 2)(x - a)

x~*a x + 2

-

x +12 3 x - 6

345 2

2x2 -5 x +2

Solución Al evaluar se tiene la forma - oo, en este caso se debe efectuar la operación para evitar la indeterminación, es decir:

4.v4 + 9 r ’ + 3 ; r - 5 ; c - 3 lim ----- ------------------------3;2 v 3 jc + 1 0 - 4 x -> 2 V 3 jc + 1 0 - 4 V x -1 -1 + -Jx2 - 3 -1

x-2

= /,-«[■ x r 2 _ _ x ^ 2 ------- x ^ 2 } x~>2 *j3x + 10 - 4 7 -2 1

x+2 , + - ? = = ------- 1 ( M x - l ) 2 + \ j x - 1 +1 V x2 - 3 +1 = l i m ------------------------ ------1— — x— >2

3

V3x + 10 +4

1 - + ------4 1, -1+ 2i- 1 , —+ 1 1, 1 + 1 + 1 1+ 1 _ 3_____ _ 3___= 3 3 3 4+4 8 8 \J x -1- x + J x 2 -3 32 I m -------,........................= — *->2 V3x + 1 0 - 4 9

3.1.1. EJERCICIOS PROPUESTOS Calcular los siguientes limites, mediante las propiedades.

®

x 2 ~ (a + \)x + a h m ------- 3----- 5-----

x— >a

x -a

x 3 - x 2- 8 x + 12

hm — ----- ------- -----

a- 1

Rpta. — i st 3a2 n ,

Rpta. 0

'-* 2 x 3 - x 2 —12x + 20

®

.. 3jc2—17jc + 20 hm — ---------x~*4 4x -2 5 x + 36

D

,

Rpta. I

4 — 3_= 32 3 9 8

355

Limites y Continuidad

©

„m í-»2

*-X - ~ 2? x2 - 4

©

l,m

^

*-»ijc3 + 2x2 - 7jc + 4

/-\

R pta. 11

Rpta.

i

5

5jc2 + 3 jc5 - 8

17

16J

lim------------------------------------------------------------------------;-----Rpta.—

©

x 3 + 6 x 2 + 9x 3 hm— r------------------------------------------------------------------ --------- Rpta.—

^

/^ n

(8 ) v“x

®

V->1 7x - 4 . X - 3

*->3 .y3 + 5 x 2 + 3 * - 9

© W 12)

2

2.r3 - 52 - 2jc - 3 lim—-------r-----------

11

Rpta. —

* - M x 3 -13x2 + 4 x - 3

x2 lim---------1-- ■'--------,

x~*i (1 + 1-*1 /I _L ax) *- „—í(asi +I x) v\^

10)

24

17 a > Oy a

Rpta.

1

2x~" + l - 3 r “2"

lim -----r_>13x ~ 5 + 2x

1- a

R pta. 5

lin/ ™ - 2* * 1 — i j r s o- 2 x + l

R pta. * 24 10

l i m - —------ X 2 ) - ■ ^ 2 ( x 3 -1 2

jc +

2

1 6 ) 10

Rpta. -1

13) ■1

//ro(—---------^— ) x- l 1-X l-JC3

14)

Hallar los valores de m de tal manera quelim —— mX- -- ——— = m 1 - 2 7

'—

Rpta. ¿ )

2

jr - * m

JC — m

Rpta. m = 5, m = - 4 (íi) W

Hallar el valor de “a”, a > 0, sabiendo que

lim —— 2a x + ax *-»1 2a x + x 2

=2a-5

Rpta. a = 2

Eduardo Espinoza Ramos

356

Q )

Si li m— ^ ----------- = ¿ * 0 , calcular el valor de a + b *->'ax-+2x + b

R pta.

-2

(l7 )

Si f(x) = x - 2 y g(x + l) = x 2 - x , calcular lim ^ ° S ) ( X + ^)

65)

Si se sabe que lim ^ = 4 y lim = -6 . Calcular lim — — —n - x 3 n -x2 * -* ig W

w

R pta.

*->2 (g o /)(x + 2)

3

R pta. -1

b +x , , , f ( a + x ) —f ( a ) Si f ( x ) = ------ , x * b , calcular / r a ;------------- :----b-x *->0 x

n R pta.

ab ---------— (b-a)

(20) ^

Si f ( x ) = X+- - , x * 0 , calcular lim ' -------— x -3 *->o 5/¡

R pta.

-1

(21)

Sí

w

lim fS l t 2> - = 8 y *^-^h2x-2

lim _£Íí2_ = 3 . Calcular l i m ^ x —4 «ogW

R pta.

x->-2

Si f ( x ) = j 3 x + l , Hallar lim f ( x + h) ~ f ( x). A V l + x 2 -1

R pta. — 2= 2-j3x + \ „

//w ------------------

1

Rpta. —

.V—>0

v-2K

24;

2

Rpta. 1 .v- > 0

jt

25 )

lim V - .- -—V 3jr 14

^

X-.5

f f wVx 2 - 2 x + 6 z 2 / x i í 2«z 6

W

*-»J

(27) ^

lim — .v—> 2 1 ¡Ay —1

lim

Rpta. -1

X~5

@

28)

-

x

, ;Y + 3-

x~*~ yx

+ 7 -4

a> _ i

-4 x + 3

3

Rpt a.

2

Rpta.

3

3

Limites y Continuidad

357

©

„ 'h+a+b-Ja*b Jf-»0 X

Rpta.

®

2-4 x hm----,

j;->4 3 -v 2 x + l

Rpta.

©

x->a

©

V8 + JC-2 lim-----------n x

Rpta.

©

4x2+9 -3 ,r->0 x a+X-,

Rpta.

+ X-1 hm -x/l-----*-*M\ +x -1

Rpta.

3 2

V *- 2 hm-------•* .v-8

Rpta.

1 12

.. Vb2-x

© © © © © © ©

-Jb2-a X-a

l,m 77=---*->™yx-2

1 2-Ja+b 3 4 1

Rpta.

2-fb2- a 1 12 1 6

Rpta. 4

5

hm tfT -i

Rpta.

hm V *-1 •'->>v* -1

Rpta.

3 2

VT-1 Al— ■ r-»• 4/X - 1

Rpta.

4 3

—ü hm -Jx _

Rpta. 3

•'-*1v* -1

..

,v-»64

ijx - 4

8

358

Eduardo Espinoza Ramos

-

©

^

@ @

i

^ T 7 -V 8

!'™ T T ~ r

*-i

*->i

© W

),„,

*-1

7

12

1 RP,a - i

Rpta. -

JC-1

K +

F

6

R p ta .

- i 6

x -1 \[ x - 2-Jx + 3x - 2 lim -- ----------------------------jc-l

®

3

R p ,a -

í/(jr + l): - '7 x + 1 - 1 í ™ ---------------------------

v- '

F

,. a

t f x 2 - 2 l f x +1 (j - i , í -

©

_ 7 R p ta . 3

_ 1 R pta- ?

Rpta. _ L

W

( jc- 8 )

144

x 2 +2x

^

@ v-y

. 52)

“J

& r * £ = L 7.í x-*i

JC-1

x 2 -*J x - x - 5 9 5 i m ---------- --------------------

v-»2S

x-25

R p ta . 6

48 9 R p ta . -------

10

Limites y Continuidad

53)

359

Rpta. 3

Um x '

•t~>1 V x -1

aâx-x2

CN 54J

^

g)

56)

o ,

lim ---------,— •'-»« a-~Jax

„

Rpta. ---- '=

v->a x* - a

lini

„

Rpta. 3a

6aMa2

—-

Rpta.

\[x - l

^

57)

.. J b c - x + i H i ï - J ï lim -------------------------x~*4 x-4

g)

U m ^Z Sß.

^

*-»■ V x - V ä

g)

,„ V ^ T - Æ ît 2

6

_ „

3

V2

Rpta. 3a

Rpta. _ j_

^

VÔ

X

60)

lj3x +5 + x f 3 //»i — -------------

Rpta.

-rjv 61) ^

Vx2 + 4 - 2 hm—---------------------

_ 1 R p ta .----36

•v->-2

»2

+

1+ 1

X —2x —16x + 32

©

63) ^

10

6

R pla. _ i .v—»0

lim .

jc2

X—r W ) V l+ x 3 - V l + x 2

- 8

Rpta. --------v 12

4

Rpta. -2

Eduardo Espinoza Ramos

360

® ©

Rpta.

^Jx4 + l —^Jx2 +l lim —--------- -------— *— ► 0 X1

Rpta.

1 2

(¿Jx + 6 -%Jx + 7 h m -------- —--------- .2 x -4

Rpta.

1 24

- J x —J a + ^ x - a —----h m -------, -Jx1 - a 2

Rpta.

.. - i x - ~ j 2 a + ^ ¡ x - 2 a hm --------.......... .---------Jx2 - 4 a 2

Rpta.

Rpta.

©

2 -4 x h m ------. *->A 3 -- J 2 x + l

Rpta.

©

©

Í5

1

1 12 3 4

Rpta. 2V2

V Í-V 2

3*j2x2 - 2 - j 3 x 2 +4 + 2 h m -----------------------------x~>2

1

2sfa

5 V I-3 -V x -4 lim ------------------Jf->4 x-4

3^2x2 -V 8 * -2

3

■J2a

©

©

70

x 2 - 6 —v/x + 6 h m ----- 7= -------Jr_>3 -Jx + l —2

Rpta. -1

X -2

ifx + J -2 x -x -1 0 h m -------------------------X +8

Rpta.

19 16

Limites y Continuidad

-7 -7 1

V

®

¿5

3 -x

R pta-

78)

lim 1 - f f i î ï ï *->o 3x

R p ta .

lim — 1~SÍ2X — L =^ r~>2 2 - ^ / 9 —>/2x-3

Rpta. -12

;■ ^/x4 +1 -a/Ä 2 +1 lim ------------ ---------.«-o r

1 Rpta. — P 2

" y

79) "

80)

^

X ^

^

X

2

~ 1

“

361

6

7

I

I

9

* +x2

2

o-«a

82)

i- V Î W 2 T 7 - 7 3 lim ---------------------'-»2 /-2

i Rpta. — = K 8-x/3

83)

lim *->i

Rpta.

-^* 1—x

1¡3~+4x - 2 lim -— ==-------*->25 V ^ - 5

® 0iC, 86)

lim ------------ ;---------------------'-»í

x -4x +3

V x2 + 4 - 2 lim —---------------------v ~*2 x -2 x ~ -1 6 x + 32

I

8

1 Rpta. — 12 V-T2 - 2 x + 6

~ 4 x 2 + 2 x -6 1 Rpta. — 3

„ 1 R p t a .-----36

Eduardo Espinoza Ramos

362

¡¡m V 7 + ^ T T - V 5 T T ^

R p(a

22

a/jc + -JAx + 5 —J3x + 13

® y

;. 4\[4x - 5j&x - x 2 +16 /íW —;------ F = - r— ---*->2jc3 - 4 ^ 2 x - 5 l f 4 x + l O

«6

19 23 R p t a .------25

V ^ 3 -3

18

1 ,-3 1 ^ 2 6 1 ^ 3 1 -2 6 7 ^ 3 3 ‘

~ 3

4 - 2 1 l x 2 + 1 5 x -6

x-3

93)

.. V* 2 + 2 7 - 3 hm , ■ —----^ « 4 /7 7 1 6 -2

_ . Rpta.

32 — 27

.n j l 94) k 7

, ^ 3 x - 2 + x - s^ 2 h m ------- ,,------ ----------*-1 V ^ + 7 -2

„ „ Rpta.

57 — 5

95)

lini X -T :\ ^ ^ í - M l - x +x 2

"

S ) •r-’2

97) "

.. //W X^ s j

\ ¡ 5 x - 2 +-\¡x + 2 - 2x H 5 x -2 + x +% ...=--------, x 2 - X + 2 + X +3

Rpta. 6

R |„ a, 4 288 _ t 2560 Rpta. ------1863

Limites y Continuidad

,00)

Un, '- 2 3 x - 2 V l5 - 3 x

101)

S 12

+^ + jr->0

2 '-*>

Rpta. -2

X- x-jx + 1

[102)

103)

363

Rpta. +oo

V x2 - 3 x + 2

l i m ---------- V * + ^ — -----v - - 7 = 7 ^ 2 - V ^ T + 2x

Rota. — 18

104)

/• a/ x -1 + 4 1- ^ x - l - ^ x - l + 4 h m —¡ = — -------— ----- ----*-*o ^ T ^ - S ^ x - î + l i x ^ - S

Rpta.

4 — 3

105)

+ 3 ^ /x -3 x -l /zm ------------------^ = -

_ Rpta.

27 —

L '

x +3^ - 3 ^ 7

106) J

lint y i í f —yj—1 v.o 3 /f^ 7 _ V l 3 7

107)

»■ V3x2 + x + 4 + -\/x 2 +5x + 1 0 - 6x 2 ------- . . . — :---- ------ ------------lim •r_>1

Rpta. — F 2

_ Rpta.

\j-Jx + 3 + 6 + Vx + 8 - 5x2

(l08j v '

lim ^ X +? ^ 2 + 3 *-»i x —1

■ y

/ /w 8 - 2 x + ^ - Æ .4 x -4

110)

8

lim V2x + 7_ ,v->in x - 9 - c o s ( x - 1 0 )

506 371

Rpta.

-I 4

_ 23 12

Rpta. — 54

Eduardo Espinoza Ramos

364

111)

4 ¿ j 4 x - 5 ^ x - x 2 +16 lim » 2 j t 3 -4 a/2 x -5 V 4 jc +10

„ 23 R p t a . -----25

Vl + x 2 —J \ ~ 2 x h m ----------------------

R pta. 1

-v/jc—1 —x + V x2 —3 h m -------------'■*2 V3x + 1 0 - 4

Rpta. 4

,im £ t E jn z

Rpta.

x +x

,u )

x —»0

r 2

.. a/x + 1 —1 //w -----------*-> X

Vl + 3x - ^ 3 - x h m ------------ -------*-*> 1- x a /x

119)

ijx -ifx hm JT-.1 l - x 2

121)

lim

■Jx—'J 2 x - l

-8

l i m ---- - =

lim ----- ...... ...... - x^ l - \ ¡ 3 - 4 x ^ \

*->64 4 - V x

[,201

t o 3 E Z d !5 ± I jt->0 r

-J$x—1 —\¡2x + 2

x-l lim x~*1 V x2 + 3 - 2

-\/3.V-2 + Vx + 6 - 4 h m ----------------------------Jf->2 x —2

- j 2 x - 2 Ijx lim --------------Jf-»8 x —8

V4.t - 7 - V 4 x + 1 /znj----------------------*->2 x -2 V x - 4 —s/3x —14 h m ----------------------x-*s x -5

122)

126)

Jm lim — p = ------*-»2 *j2x - 2 lim x -* 4

VxZ 5 -V 2

x -4

x

+T+4

Limites y Continuidad

3.12.

365

LÍM ITES LA TER ALES Para que exista lim f ( x ) , depende del comportamiento de la función f(x) cuando x tiende x —*a '

hacia a, tanto para valores de x menores que a (por la izquierda de a), como para los valores de x mayores que a (por la derecha de a).

Para el caso de los límites laterales es más simple, por que depende del comportamiento de la función f(x) cuando x se aproxima hacia a ya sea por la izquierda o por la derecha de a y a esto denotaremos en la forma: Al límite de la función f(x), cuando x se aproxima hacia a por la izquierda es el número lx que denotaremos por:

fim , / ( x j t¿

al límite de la función f(x), cuando x se aproxima hacia a por la derecha es el número l2 que denotaremos por:

im /£ * )~ /2

Eduardo Espinoza Ramos

366

a)

Definición.- Consideremos una función f definida en el intervalo ; el límite de la función f(x) cuando x se aproxima hacia “a” por la izquierda es el número real L al cual denotaremos por

lim f (x) = L si para todo e > 0, x-> a~

existe un 8 > 0 tal que sí: a —8 < x < a. Entonces | f(x) —L | < e. Expresando esta definición en forma simbólica.

hm f{ x ) - L ^ > (V í>>0, 3 8 > 0 / s i a ~ 6 < x < a z¿> [ f l x ) ~ L j b)

Definición.- Consideremos una función f definida en el intervalo el límite de la función f(x) cuando x se aproxima hacia “a” por la derecha es el número L al cual denotaremos por lim f ( x ) = L , si para todo e > 0, existe un x- *a +

8 > 0 tal que si: a < x < a + 8 entonces | f(x) —L | < e Expresando esta definición en forma simbólica. hm

/{ * ) = £ = »

OBSERVACION.-

( V fj> 0 ,

3 S > f l / & a < x < 8

+ S r-> ¡^ x )~ L |< g }

Para que exista lim f ( x ) debe de cumplirse la condición siguiente:

rl hm f { x ) ~ L Hm / ( O x^4f '

Um f { x ) ~ L x-'+a*

En otras palabras, existe límite de una función sí y solo si, existen los límites laterales y son iguales. OBSERVACIÓN.-

No existe lim f ( x ) en los siguientes casos: x —yci

Cuando no existan uno de los límites laterales. ©

Cuando los límites laterales existen y son diferentes.

OBSERVACIÓN.- Al calcular el lim f ( x ) , cuando la función f(x) tiene diferentes x —>a '

reglas de correspondencia para xa se aplica el criterio de los límites laterales

Limites y Continuidad

367

Ejemplo.- Calcular si existe lim f ( x ) donde: *-»> ‘

f{x )= \X ' [x +1

-Ví * r

f ( x ) = lim x 2 +3 =1 +3 = 4

...(1)

x —,>r

J'(x) = lim .v + l = l + l = 2

...(2)

x —>i *

al comparar (1) y (2) se tiene que:

lim f ( x ) * limf ( x ) entonces

.T->1

.r->r

Ejemplo.- Calcular si existe , lim f ( x ) , donde: •r~>2

3

lim f(x)

-V— >1

f(x) = \ X S‘ v - 2 8 —2x si x > 2 '■

Solución Aplicando el criterio establecido se tiene: lim

jr—»2- '

3 lim f { x ) = 1 o x~>2

limf ( x ) = lim f ( x ) = 1 x->2+*

x—»2-*

f ( x ) = lim x 2 = 2 2 = 4

...(1 )

,v->2-

lim f ( x ) = lim 8 - 2 * = 8 - 4 = 4 jr-»2+ jt— >2—

...(2 )

al comparar (1) y (2) se tiene que:lim f ( x ) = /j'w /(jc) x-> 2-'

Ejemplo.- Calcular, si existe lim x .l—— -1 6 *->0 ^4*2 Solución

x-*2+'

= 4 entonces

3 lim f ( x ) = 4

x —>2

368

Eduardo Espinoza Ramos

.. x V1- 64x2 x V1- 64x2 V1- 64x2 1 lim --------------- = hm ----------------= /i»i — ---------- = — 2 1x |

-v*o '

2x

a'— >ti ’

xVT- 64x2 xa/i - 6 4 x 2 lim 1--------- :— tí lim ----------—

Como

< -»o

2 [x |

Ji ->n+

Ejemplo.- Calcular si existe

22

entonces:

2 1x |

, ¡~¡ 3 lim x A — - - 1 6 jt-»o ]] 4X -

lim — —^ ——

A >-1

' J x 2 -[\X \]

Solución Por propiedad se tiene

X^ y ¡ x 2 -[ \x \]

[] jc — 11] = [| x |] — 1

X^ 4 x 2 - [ \x \]

para - 4 < x < -3 =>

-4

X

.3

X

.2

[| -v |] = —4

.. [ |x - l |] - x .. - 4 -1 - x -5 -x -5 + 3 -2 hm , =■= lim . = lim • •• = ■ r ..... = -==■ r_> 3 -y/x2 - [ |x |] t~>'3y x 2 + 4 Jr~>“3~ t/x 2 + 4 a/9 + 4 VI3 para -3 < x < -2

=>

[| x |] = -3

[|x —1|]—x ..—3 —1—x .. —4 —x —4 + 31 lim ■■■.■ ■■■■■■■■- . — = lim —, ..... = hm --------= = — ■==■ ' ^ r J x 2 - [ \x \] r- 5W r + 3 j - - 3W x 2 +3 V9 + 3 V l2 [|JC- 1 1]-JC ^ hm - j _ *

Como '

V * 2 -

[I Jf I]

[ |x - l |] - x . lim ■ . ■ =■ entonces A' ^ “ r

a/

* 2 - [I x I]

x 2[ | 2x + ! | ] _ Ejemplo.- Calcular

io x

lim -------- ¡-----------------v->2- x 3 - l l x - + 3 8 x - 4 0 Solución

3 lim v > 3

, [|x — - t i x |]

11] —X

Limitesy Continuidad

369

Í i± i =2+J L = JC—1 JC—1

x

2

„ i £ i l l]= 2 + [l- L . x -1 x -1

7 3 1 4 3 para — < jc < 2 => —< .x —1 < 1 => 1 < ------< — => 3 < -------< 4 4 4 x -1 3 x -1

Por lo tanto [ |—— 1] = 3 x -1 * 2[ | ~ “ |] —1Ojt , 2 in y —] 5x -lO x lim —------ ------------------- = lim > >2 X1 - 1 L r + 38x - 400 *-*2 - x 3 - 1 lx 2 + 38x - 40 5 x (x -2 ) 5x um — ----------------------- = lim >2'( x 2 - 9 x + 2 0 )( x -2 ) >-»2 x 2 - 9 x + 20 Ejemplo.- Calcular

10 4 -1 8 + 20

3

lim -J\ x | +[| 3x |] si existe *->7/3 Solución

Sea

2< x< \

=> 6 < 3 x < 7

=> [|3jc|] = 6

_________ ____ s R lim J\ x | +[| 3x |] = lim -Jx + 6 = -----.V—>7/3’ JT—>7/3" 3

Sea — < x < 3 3

=> 7 < 3x < 8 => [| 3x |] = 7

lim J\ x | +[| 3x |] = //w Vx + 7 ■V *7/3*

Como

J—>7/3+

lim J \ x \ +[|3x|] * .v—>7 / 3”

Ejemplo.- Calcular si existe

3

lim J\ x | +[| 3x |] entonces .v->7/3+

jc—>7 / 3

//'»i ^ ^ *->^3

3 lim J\ x | +[| 3x 11

^ —

X - a/3

Eduardo Espinoza Ramos

370

Solución 2 < x [ |3 - x 2 |] = 0

, a / [ |3 - x 2 |] 0 „ hm ------------------------j =— = hm ---------j= = 0 .v x - a/3 Í-V 3 -J3 7jc—5 1jc I

x—*2

‘

18)

I JC—2 I

P

.V -> 3

Calcular si existe

lim -x/|.v | + [|3 x |]+ 4

Rpta. 3

.V—>5/3

19)

Calcular si existe lim

20) ‘

Calcular si existe lim -^ 4 -----^ l] + 2jt: x~*1 2x + 2 [|x + l |]

21)

Calcular si existe

1 J

--- --- - ——

IJc —21—[| jc|]

12- [ l f l ] lim --------- -—

x - » i/6 [ |3 x |] - 1 0

Rpta. 3

Rpta. 3

6 Rpta. —

5

' |J"H}X| *- WM• ^ 22)

23j

n i i Calcular

, 2 [|x 2 + l |] + |x + 2 |- 2 lim -----------------------------[|3jc + 2 |]

x—>VT

Calcular lim ^

^

_ Rpta.

/J 4 + V2

6

Rpta. 1

*->1* [|jc + 1 |] + 3jc-1

24)

Calcular si existe

1S)

Calcular

^

Rpta.

R p t, x-»2-

26) 1

lim a/|jc |+ [|3 jc |] + 4

X— >5/2 v

[| 2 jc - 1 1] + 2

* M lfl] Calcular si existe lim -------------*-»6 [| 2* |] + 10

3V6

’

8

Rpta. 3

Limites y Continuidad

(27)

373

Calcular lim ^ * + ^ +-^ ~ [ | x - 3 1]

R pta. - ( 2 ^ 7 + 6 )

Calcular lim ' “»r

R pta. — 6

Calcular

-J9 sig ( x - \ ) - x ¿

R pta. 1

lim [x~ —s i g ( \ x ~ - 1 |- 1 ) ]

Calcular si existe

lim [x2 + 5 + .si'g(|;t2 - 1 1-1)] x->j2

Rpta. 2

1 —J x

si X > 1

Calcular si existe l i m f ( x ) , donde: A—>1

f(x) =

2

X

* _ 2~2 (x -l)

©

Calcular si existe

Donde:

a)

lim f (x) X— >— 1

/(* ) = (x-2 [\x\])¿

R pta.

1

b)

si x < 1

lim f ( x ) Jr— >1

Rpta. a)

Calcular si existe lim [| jc |]+[| 4 - x \

R pta. 3

34)

Calcular

R pta. 10

35)

Calcular si existe

at->3

lim f| ———r—- |].[| ——— — — — —|] .r— >3 10 10

lim

U x 2 |]-1 1 x+1

Calcular lim ( x 2 + 2.v)[| 1- x |]

R pta. 3

R pta. -16

v -> 2 +

37)

Calcular si existe

lim

^ X ^ x 2 -[\x\]

Rpta. 3

3

b)

1

m I V2

Rpta. 3

Rpta. a

jr->3

M 1 -* ©

Calcular si existe

lim f (x) , donde: f (x) = •

x -t-2

si - 9 < x < - 2

> -w i N ] - H l - 8. [ i | i ] -, si - 2 < x < 7 X - |x |

Rpta. 3

©

Calcular si existe los límites: a)

lini

b)

Evaluar lim f ( x ) donde: ■V->1 '

f(x) =

x +2 x+3 2x + \

©

44)

lini

x->.r

lini *-*

36- 5 x

36 + 5x

10

10

■ si

Iim (x-\)[\x\] X->1

X > 1

Rpta. si x e< 0,1 >

Rpta. -10

2[| -V2 + l |] + |x + 2 |- 2

Rpta.

[|3x + 2|]

3(4-V 2 )

ljrti[j2x + 3 \ ] - 3 x - 2 [ \x \]

Rpta. 3

l- X

ax2 +bx + 1 ; x < l 46)

Sea

J (x) -

2a x - b

; 1 < x 2

límites de f(x) en x = 1 y x = 2.

™ 5 , 1 Rpta. a = —, h = — 3 3

375

Limites y Continuidad

x -x 47)

-4 x + 4 , x < -2 J+2

Si f i x ) = ax2 - 2&C+1, - 2 < x < 2 , Hallar a y b de tal manera que existe los limites x 2 - \ 3 x + 22 -, x > 2 x-2 D * a =— 1 y bA = — 21 Rpta.

de f(x) en x = 2 y x = -2

(48)

Calcular si existe lini f i x ) , donde: x-* 2

f (x) = -V2

x+3 Si

fix ) :

x -3

Lsen A ^ Ix I

Rpta.

Rpta. 3

3

, si x < -3

a x 9 -2 b x + l , si - 3 < x < 3 x 2 -22X + 57

. Hallar a y b de tal manera que exista los

, si x > 3

limites de f(x) en x = -3, x = 3

3.14.

f {x) = —

+ 5 + .ï/g(|x - 11- 1))

x 3 + 3x2 - 9 x - 2 1 SI)

'

Rpta. a = -1 y b =-

LIMI IE S AL INFINITO.Consideremos la función f i x ) = 2 +------ , cuya gráfica es: x -2

Eduardo Espinoza Ramos

376

Examinando la gráfica para valores de x cada vez más grande, el valor de la ñinción f se aproxima a 2, por lo tanto se puede decir que:

lim f ( x ) = 2

para el caso cuando x

*-*+ 0 0 *

decrece sin limite, el valor de la función f se aproxima a 2. Luego podemos decir que lim f (.v) = 2 . A estos tipos de límites se les llama límites al infinito. jr-*-«>* Ahora daremos las definiciones correspondientes.

a)

DEFINICION.-

Consideremos f: >----- > R, una función definida en el intervalo , él limite de la función f(x) cuando x crece sin

limite es él número L y denotamos por lim f ( x ) = L , para todo e > 0, existe un AT—M-co

N > 0 tal que sí x > N entonces: |f(x) - L| < e; es decir:

lim f ( x )

b)

DEFINICION.-

(V e > 0 , 3 N > 0 / s U > K f " ^ ¡f & P í| < «>

Consideremos

f: < -* ,b > ----- > R, una función definida en el

intervalo él limite de la función f(x) cuando x decrece sin limite es él número L y denotaremos por lim / ( x) = L , si para todo e > 0 existe .V—>—OO*

un número M < 0 tal que sí x < M, entonces: | f(x) —L| < c, es decir: Um f { x ) ~ l

* * (V 0 0 , 3 M < O/sí

•=» ff ( x ) ~ M < 2)

377

Limites y Continuidad c)

DEFINICION.-

Consideremos la función / : D r —>R , una función definida en su dominio él limite de la función f(x) cuando x -»*>, es

número real L que denotaremos por lim f ( x ) = L jr—>oo ‘

él

sí para todo e > 0, 3 M > 0.

tal que si |x |> M => |ff x )-L |< £ . d)

TEOREM A.- Sea n un número entero positivo cualquiera entonces se cumple: i)

lim ----= 0

¡i)

lini — = 0

Demostración i)

Por definición: V e > 0 , 3 N > 0 / x > N => I-i— 1 n 0 |-

lim (-Jx + -Jx + a /x - - J x )

Rpta. 1

30)

lim ] i ? Z I E Æ ± Z -

Rpta. ,

3 l)

lim x 3' 2 (a/x 3 +1 - V x 3 - 1 )

Rpta. 1

32J

lim ^ X- +. } +A 2 x:.J ±

C ^

-Jx + -Jx + y x

r-w*.6 / 8 .

00

Rpta. * 7 . ,

Eduardo Espinoza Ramos

384

® 34) ■ 7

35

)

'

36)

Iim xf^jx2 +-Jx4 +1 -jc-%/2)

O

Rpta.

X ->V

lim y.A+ ^—^ j r 1,2 x - k t . ^ 7 T _ 3/7

Rpta.

lin ,

Rpta. i

™

1/ x i + 2 i + l - i P ^ Í

3

a/ 8x 9 + 3x 4 + 1 + á/ jc'^ + x ~ +1 +10

lim — , jr— >+ac>

:—

..................

_........

R pta. 2

* a/jc4+ x 2 +1 + a /x 12 + x 2 +1 - 1 0

.. V* 4 +3 - V * 3 + 4 /;»;------—— — ^8)

39)

(41)

V ' Jr-Ko

42)

©

lim ( J 4x + ->/4x + -J4x - 2-Jx)

_ . A Rpta. O

Jt-»+or.

Rpta. — 2

lim (Mx3 - x 2 +\+%JxA - x 5 +1) X->-K

R p ta.-— 15

lim (Vx6 - 4 j c 3 - 1 / x 12+ 2 x 9 ) JT-»cr

Rpta. - 2

lim V jr- + 3

---------x)Rpta.O

lim (x 2 ~ 4 x 6 - 2 x 4 )

Rpta. —

lim ' l x 2 + l ~ 4 x 2 +\

r

-\A/x3 +5 + 4 x 2 + 6 - 2 x lim — ------ , :— J~ +* x —a/x3 - 12x 2 +1

1 R p t a .-----16

j

®

Limites y Continuidad

45)

lim É

Í6 )

lim

"

47)

.r—

S t/l- n n - x 1

R pta. I

R pla. ,

i l x l' + f a s + 2 - V i ’ + 3x3 +1

a/,y4 + 1 + a l i m --------------X—>X x +l

„ . . Rpta. 2

/■ ^/x6 -1 +2x lim ----------------x+2

R pta. 3

x-*+cr

49) "

x->.!f

50)

lim ~ x '~

5 l)

1)

V r '- 2 ^ + 1 + 3 / 7 7 1

ao\ 48) “■

"

385

lim

jr-»-®

Rpta. , / í + l

x —\

+-

R pta. 2

X +1

lim (x - ^ J ( x - a ) ( x - b ))

Rpta.

a + b

2

cXc ^ + 2 x c Hallar el mayor valor de c de modo que él lim — ------- = sea infinito y calcular él

limite.

(53) v -'

Si

lim *->+*

R pta. c = 1, L

x +x +l

- - J x 2 + 3 x -1 0 ) = —, calcular el valor de k

9^3 -

R pta. k = 3

2

(54)

Hallar las constantes k y b quecumple

lim (kx + b - X + ) = 0 *-»++■* x +1

Eduardo Espinoza Ramos

386

XU

LIMITES INFINITOS,-: Consideremos la función f (x) = ------ cuya gráfica es: ' x-2

En el gráfico se observa que cuando x se aproxima a 2 por la derecha, la función f(x) crece sin limite y su notación es: f o n /< * ) = +*> x-> T

y cuando x se aproxima a 2 por la izquierda, la función f(x) decrece sin limite y su notación es: lim

co

a todo este tipo de limites se les llama limites infinitos. Ahora daremos las definiciones siguientes: a)

DEFINICION.-

Consideremos una función f definida en algún intervalo 1 que contiene a c, excepto en c, entonces él lim f (x) = +*>, si y solo x —* r'

si, dado un número N > 0, existe un 8 > 0 tal que 0 < |x - c| < 8 entonces f(x) > N. Es decir:

lim f i x ) « + *

o

(V N > 0 . 3 8 > 0 / sí 0 < fx - c| < 8

fix) > N)

387

Limites y Continuidad

b)

DEFINICION.-

Consideremos una función f definida en algún intervalo I que contiene a b excepto en b, entonces él lim f (x ) = -oo, sí y solo x->b

si, dado un número N 0 tal que sí: 0 < |x —b| < 8 entonces f(x)o*

í ~°° >si n es impar lim —1 =< x" [+oo , si n es par

a->°-

La demostración del teorema queda a cargo del estudiante. NOTACION.i)

— = +oo, a > 0 O

..v

n)

a

«

— = -o o , a < O O

in)

— = O, a 5*0

a

Eduardo Espinoza Ramos

388

d)

PROPIEDADES.Sí lim f (x) = c , lint g(x) = 0 , donde a es un número real, c * 0, entonces:

i)

f(x) Sí c> 0 y g(x) ——> 0, para valores positivos de g(x) entonces: lim - — - = +*>

ii)

ffa ) Sí c > 0 y g(x)------ > 0, para valores negativos de g(x) entonces: lim -------- = - »

x - ,a g ( X )

x - ,a g ( X)

•••

f(x)

ii¡) S í c < 0 y g ( x ) ------ >0, para valores positivos de g(x) entonces: lim —-------= -oo X -> a

g(x) f(x)

iv) Si c 0. para valores negativos de g(x) entonces lim —■-

x->a g (x )

= +-»

Ejemplos.- Calcular los siguientes limites:

©

x +2 Hm jr-»2* X~ —4 X —‘i Solución x +2

l im —

©

x + 21

x +2

----- = l im -------------------= lim ------- = +oo

x~*2* X~ —4

*-*!' (X - 2 )(x + 2)

l im —

r-»2+ X ~ 2

----- = +x>

*->2"*2 - 4

,¡m J £ Í ± í _ x-»r 2 - x - x ~ Solución

lim

5x3 +1

,->r 2 - x - x

W

x-,4

5,v3 +1

5.r3 +1

(-4)

4

x + x-2

(x + 2 )( x -l)

0"

0’

------------ = - u m — ---------- = - l i m -------------------= ----------- = — = -oo

X-4 Solución

Limites y Continuidad

lim 4-

V l6 -jc2 x -4

389

16 -x2 (4 -x )(x + 4 ) = h m --------- = = = = = lim ( x - 4 y j \ 6 - x 2 ^ 4" ( x - 4 y j \ 6 - x 2

lim x— >4”

©

x -4

x+4 -8 — lim , = —- = -00 ” 4~ V l 6 - x 2 0+

■= —00

I¡„ ¡ L i J h l x —»4~

JC - 4

Solución

[ |* |] - 4 3 -4 -1 -1 l i m -----------= h m ------- = hm ------- = — = +00 X —4 x—>4- X —4 x —>4- x —4 O

[U I J - 4 hm ----- -— = +00 X - 4

x —>4-

x—» 4 -

Calcular los siguientes límites:

(T ) W

lim x— »2* x

— 4

R pta. +ao

Ç2 ) W

x-,-4-X

lim

■■X—

R pta. +00

® (7 ) W

( 5)

+4

lim ■■X.,+ 2 x->2~ x —4

lim

R pta. -00

R pta. +00

x -» -3 " 9 - X

lim —-— X -5

R pta. +00

lim X + 2

R pta. -00

x —>5+

®

x-» r

1— x

Eduardo Espinoza Ramos

390

(j) ^

lim ——x+l

Rpta. -oo

(¿ )

lim ^ * 0 - -x-»3~ 3 —JC

Rpta. -oo

(T )

lim x-*o* 5x~ +3x

Rpta. +oo

®

x 3 + 9 x 2 + 20x lim -----:------------*-*r x + x -1 2

Rpta. -oo

lim x-»3*

Rpta. +oo

® ©

■■ x -3

' 3x2 - 7x + 6 lim — i ----- — 2" xv 2 _- xv -_ 6A

(l3 )

lim — 116 x |+J—

w

x~>4 ( 4 - x h / 5 - l x + l l

@ W

lim 2* 2 ~ 5 x ~ 3 * -> 1 x -1

® (íó ) ^

_ Rpta. +oo

Rpta. +00

Rpta. 00

lim(— ------- -— -------------------------------------------------------------)Rpta.+00 - I l - x x - 2 x —1 lim (—----------— ) x-+2 x - 2 x -4

Rpta. 00

Consideremos tres funciones ffr), g(x) y h(x) tales que i)

f(x) < g(x) < h(x), V x * x 0 y

ii)

Si

lim f (x) = lim h(x) = L , entonces se cumple: jt— >jr0

lim g(x) = L *-»*0r->jro

Limites y Continuidad

391

Demostración Mediante la definición de limites se tiene: lint f (x) = L

V c > 0, 3 0 / 0 < | x - x0 | < |f(x) —L| < c

lim h(x) = L

o

V e > 0 , 3 0 / 0 < | x —x 0 | 0 x

ii)

lim

=1

iv)

lim eos .ï = eos x ()

Eduardo Espinoza Ramos

392

, x sen x , 1------ < eos x < --------< 1 2 x

para esto demostraremos la desigualdad:

donde x es el ángulo medido en radianes tal que:

0 < |x | < —

Consideremos él circulo unitario con centro en el origen del sistema de coordenadas rectangulares XY.

Sea 0 < x < — el arco AP, medido en radianes, donde: 2

P(cos x, sen x), A(1,0), B(cosx,0), C (l,tg x ) siendo C el punto de intersección de la recta que contiene el radio OP con la recta tangente a la circunferencia en A. En el gráfico observamos que: Area A POA < Area del sector circular OPA < área A OCA Donde:

Area A POA = —(1) sen x = Sen'Y 2

’

1

2

X

Area del sector circular OPA = —arco(radio)2 = —

* tgX , . Area AOCA = - £— , es decir: 2

seni i tg x , , , -------< —< , de donde: 2 2 2

Lim itesy Continuidad

393

sen x < x < tg x dividiendo entre sen x. x 1 sen x 1 < -------< ------- tomando inverso eosx < ------- 1------ < co sx 2

Ahora de (1) y (2) se tiene:

— (2)

x2 sen x 1-------< eos x < ------- o ^ + ^ sen 4x x ^ o ^ + ^ sen^x 2 + 12 7 X X 4 6 x -s e n 2 x lini *->o 2x + 3 sen 4x

®

2 7

1 - eos x lim r— wH X x-*Q Solución .. 1-e o s * ■ (l-c o sx )(l + cosx) sen2 x sen* sen* 0 lim ---------- = lim ------------------------- = h m ---------------= lim--------.------------= (1)(—) = 0 x-+0 X x-»0 x(l + cosx)-«-»Ox(l + COSX) JT-*0 x 1+ cosx 2 1 -c o sx „ lim ---------- = 0 x->0 X

( 4) lim W *-*“ x J

l-e o s x Solución

.. l - e o s x (1 - eosx)(l + cosx) .. sen2 x l im ---- -— = h m ------- ---------------- = hm — ------------x>0 x x nx 1+ eos nx • nix 1+ eos mx n2

m

2

n 2- m

2

2

2

1- eosfsen 4x) *->l) s e n '(s e n 3x) Solución sen 2 4 x 1 - cos(sen 4x) ¡jm l-co s(sen 4 x ) = ¡jm x~*° sen2(sen3x)

' \(,x 2

sen2 4x

1

= 16(1)(2 } _

Jr_>0 ^ sen2 3x ^sen(sen3x)^2 9x2

9(1)(1)

8

9

sen3;c

NOTA.- Si se tiene que calcular limites de fondones trigonométricos, cuando x tiene a x 0 diferente de cero, aplicaremos el teorema siguiente. b)

TEOREM A.-

Sí

hm f ( x ) = L o lim f ( x 0 +h) = L

x->x0 ‘

h -->0 ‘

Demostración Aplicando la definición de limites se tiene: Para cada c>0,

existe 8 > 0 tal que sí x & D f y

0 < | jc—jc0 | < «5 entonces:

|ffx) —L| < e

...( 1 )

Ahora hacemos un cambio h = x - x () de donde x = x 0 + h es decir la sustitución en (1) se tiene:

x0 + h s D r

| / ( x ü + h ) - L | < £ , por lo tanto:

y

0 < | jc0 + h - x 0 \ < c

entonces

Eduardo Espinoza Ramos

396

V e > 0 ,3 8 > 0 /x0 +h e D f

A O < |h| < 5 => \ f ( x 0 + h ) - L \ < e

Luego por definición de limite se tiene:

OBSERVACION.-

lim f ( x 0 +h) = L

En la práctica este procedimiento consiste en hacer el cambio de variable de la siguiente forma:

L = lint

*

f(x)=

lint

f ( x ) = lint f ( x 0+ /;) donde:x - x ()=h t-jr0->0

h->()‘

=> x = x0 + h

A este procedimiento se le da el nombrede reducción del limite de x0 a 0. Ejemplo.- Calcular los siguientes límites:

O

, 1- 2 eos x lint ------------j i n —3x Solución Aplicando el procedimiento de reducción:

3

lim

... (2 )

3

Reemplazando (2) en (1) se tiene:

l-2 c o s x li n t ------------- = lim h->0 -v-3x

l-2C0S(/í + y )

= lim h->o

n - 3 ( h +- ) 3

= lim h->0

1- 2[cosh .eos— - senh. sen —1 ___ 3 3 -3/!

Limites y Continuidad

397

1 -co sh (l-c o sh )(l + cosh) 1 -c o s 2 A sen2 A h m ---------- - l i m ----------- ------------= h m ----------- -— = h m -------------h-> o h a->o h { 1+ cosh)*->o /i(l + cosh) *->o h ( 1+ cosh) senh senh 0 . 0 . : lim ------ .---------- =(1)(----- )= —= 0 a->o h 1+ cosh 1+ 12

©

lim

1+ cos nx

r -*1' x

2 -2 x + l Solución

1 + COS7U' 1+ COS7CC lim — ---------- = hm ---------- — *-**x - 2 x + l (x -1 )2

.-.(1 )

Sea x - l = h => x = h + l

...(2)

Reemplazando (2) en (1) se tiene: 1 —cos tot 1+ c o s 7t (/; + 1) .. l + cos7z/icos7r-sen7¡Asen7r hm —----------- = hm — ----------------= h m -------------------- -----------------x -2 x + l h h—>o ),i 1-co s nh (1 - cos nh)(l + cos nh) ,7rsen7ZÄ,2 1 = h m ------ ----- = lim -------- -------------------- = lim(------------ ) . h2 h~>o A2(l + co s7iÄ) *-»° nh l + cosm'f ■>, lt K n 2 n~ (------- ) = -— 1+ 1

®

l1+ cos7cc

2

a-> o

. 1- cos 6x im -----------lim w-*o v/l sen 6x Solución 1- cos 6x l-c o s 6 x x h m ------------= hm — ■ = -V— >o sen 6x o o sen ox 6x donde

0 „ - =0 6

1—cos 6.v sen 6x sen 6x A h m ------------ = hm 6.-— — .--------------= 6(1)(0) = 0 « »o x x-*o 6x 1 + cos 6x

*

2 _ 2 x +1

n7 h m — -- = — 2

Eduardo Espinoza Ramos

398

1+ sen x -co sjc

©

l i m --------------------a-*o 1 - s e n x - e o s x

Solución 1+ se n -e o sx senx 1 -c o sx l + sen x -eo sx x , x x 1+ 0 , lim --------------------= lim -------------------- = lint — -- ------- ---------- = ---------= -1 x— >0 l —sen x —cos x *->o 1 - s e n x - e o s x ,r->o sen x + 1- eos jc -1 + 0

1+ s e n x - e o s x

lim -------------------jc-»o 1 - s e n x - e o s x

®

sen(7r - x )

lim v ------------r— nr* x ( n —x) Solución se n (^ --x )

lim ------------ - = x~>x X ( X - X )

se n (7 T -x )

lim -----------x - n —*0

•••(!)

x(TT-X)

Sea z = x - 7t => x = z + n

•••(2)

Reemplazando (2) en (1) se tiene: sen(Tr-x) sen(-z) senz 111 l i m ------------- = lim --------------- = lim ------- (------- ) = (1)(-------) = — x(n -x) (: + n )( -z ) 2-»o z z+ n n 0+n s e n te -x )

1

l i m ------------- -- — *->x x ( n - x ) n

©

, 1- eos 3x lim ------------

x-to 1 - eos 4x

Solución 1 - cos 3xé

^sen3x^?

1

lim ] ~ cos3x. = lim , x2 - = lim * U c f 3* jr— >o 1- cos 4x *->o 1- eos 4x a >o ^sen 4x ^2 * 2 x 1 + eos 4x x

Limites y Continuidad

399

, , sen 3 x ,2 ,, „ . ( 3 _ 3 7 “ ) (1 + cos4jc) = lim »o sen4x 2 (4 -------- ) (l + cos3x) 4x

9(2) 16(2) v'

9_ 16

Calcular los siguientes limites: 1 - sen— 2

©

x->n n —x

©

eos x - eos 3x lim ---------r------x— >0

©

x->0

©

Jt-s e n 2 x h m ------------*->o x + sen 3x

© © ©

lint

lim

Rpta. 0

Rpta. 4

tg .t- s e n x

Rpta.

Rpta. —— 4

1- a/ cosx

Rpta. — 4

hm -

lim h->o

I

sen(x + A )-se n x

Rpta. cosx

.. Vl + senx - V l - s e n x h m ----------------------------Jr-»0 x

Rpta. 1

©

Vcosx -a /c o sx h m --------------------x~>° sen x

Rpta. — — 12

©

e o s * -e o s 2x h m ----------------*->o 1- eos x

Rpta. 3

fío}

h m ----------------------X-*Q Y

1 - 2

c o s jc

+

c o s

2

oc

Rpta. -1

Eduardo Espinoza Ramos

400

1 - cos7jc

lim ------ ------

_ Rpta.

x -0

7 — 2

,. 1 -se n x l i m ------------

„ 1 Rpta.

—

2 @

Un, Í 2 £ £ Z 2 Í Í .r—>— ,*

Rpta.

eos 2x

2

//m (l-jc )tg — *->i 2

Rpta. — n

4

(h )

© 15)

,nx^

cos(— ) lim ------ j=x - > l 1 - -Jx

0

Rpta. 2 6

17)

Rpta. n

-VJ / 2 - eos x

sen x -co sx l i m ---------------r —>-f .

„ Rpta. -

l-tg x

1

'

^2

4

(ís )

l i m ( - - x ) tgx '2

®

,. sen x - s e n a //m ---------------jr-*o

„ Rpta.

eos a

X —Q

eos je-eo s o « m ---------------*->«

Rpta. 1

„ Rpta. -sen a

X -< 7

senóje lint ——— r ,2* 3x - 2 tt

_ Rpta.

„ 2

h

3

sen2 (7; + a ) - sen 2 a lint-------------------------a-»o h

„ _ Rpta. sen 2a

Limites y Continuidad

23)

...

24)

401

sen 3 jc. sen 5x

l i m -------------- r—;—

AT-.0 (x - x 3)2

3 sen/cc - sen 37a

h m ----------- ----------

“J

x->0

25)

hm —--------------------------

"

,•

_

"v-Y2 + 4 —3 eos x + 1 1 — eos x

s e n 2 6.x + tg 3 x

26) "

l i m --------------- -— 3x-n

@

lim

■>

_

„

_

7

Rpta. 4 n ¡

X1

x-»n

,, 15

Rpta.

Rpta.

„

,

Rpta.

t g 2 x (-íl se n 2 x + 3 s e n .t + 4 - V s e n 2 jt + 6 s e n jc + 1 2 )

-

2

-1

Rpta.

x —*— 2

Q s)

(n + 2x) cos(^~- + 3x) lim ------------------2---------

? R pta. £ 3

s e n (3 y + 3x)

sen(a + 2 x ) - 2 s e n ( e r + x ) + s e n a

(S Î)

Rpta.

-sen

a

cos(a + 2 x ) -2 c o s (a + x) + cosa hm — ----------- --------- ------------ ------------*-*(> x2

„ Rpta.

-eos

a

„ „ U t o + 2 * ) - 3 «() (1 -c o s x )2

hm —------------— x->o tg

(33)

„

h m ----------------------------------------.v— >0 x2

x - sen

x

Rpta. oc

lim COSX

Rpta.

t g f l j r - t g 3 ax h m -----------------

„ Rpta. a

-v- >0

tg x

1

—

Eduardo Espinoza Ramos

402

(35)

lim

-- -S- n- - - (1 + eos 2x)

36)

Rpta. -2 X~+\

37)

Rpta. ~ 64

~Jx -1

,,„ ,V Z Z Z ¡ ¡ E I JT ► (>

Rpla.

2

1 - COS X

(55)

/*»

Rpta. 2

©

lim - - - s— * 7r *-* y sen(x - —)

Rpta. V3

(40)

lim ------- —------- — Jt->0 (tg x -s e n x )"

Rpta. 4

41) 1

lim ----------- ---------------v > 1 => y = 2 r es creciente *

Como a = — < 1 => y = (—)x es decreciente 2 2

Eduardo Espinoza Ramos

406

c)

FUNCION LOGARITM ICA DE BASE “A” POSITIVA.De la definición de la función exponencial y = f ( x ) = a x a > 0, a * 1 se deduce que dicha función es inyectiva y por lo tanto tiene inversa. Luego a la función inversa de y = / ( x ) = a * le llamaremos función logarítmica de base “a” y la definiremos en la forma siguiente. Definición.- A la función f: ->■ R definida por:

Le llamaremos función logarítmica (ó función logaritmo) de base a donde a>0, a*l Se sabe que loga x es un número único b, tal que x = a h es decir:

NOTA: loga x = b se lee “el logaritmo en base “a” del número x es b” OBSERVACION La función logarítmica de base “a” tiene por regla de correspondencia la ecuación: donde i) ii)

Si a > 1, la función / ( x ) = log„ x es creciente Si 0 < a < 1, la función f ( x ) = log0 x es decreciente

407

Limites y Continuidad

d)

PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN LOGARÍTM ICA Si a, b > 0; entonces: ©

lo g „ l= 0

©

log« a = 1

©

log„ AB = loga A + loga B

©

lo g „-^ = logfl A - l o g a B

(? )

log„ A" = wlog„ A

©

©

loga

©

=

— logfc a

OBSERVACION.DEFINICIÓN.-

Sí

^

iogu J

a

a

lo g .^ ^ 1 log* a

x - e y -to g , x ~ L n x

Y

——ioga n

donde D f < 0,+°o > y R f =R

Eduardo Espinoza Ramos

408

DEFINICIÓN.-

La función cuya base es 10, se llama función logaritmo decimal ó vulgar y se denota por:

OBSERVACION (? )

3*22

ln e x = x

©

e'n x = x

EL NUMERO La expresión (1 + —)” tiene limite comprendido en 2 y 3 cuando n ----- *x>, es: n 2<

a)

Definición.-

donde:

e s 2.718281828459045....

OBSERVACION O

La función (1+—)x tiende al número e, cuando x -> x = — cuando x -» 00; z -> 0, entonces:

Limites y Continuidad

409

Para el cálculo de los límites de la forma l i m ( f ( x ) ) g(x) se consideran los siguientes x-*u

*

casos:

le r.

Sí existen loslímites

lim f ( x ) = Ay x —*a

lim g( x) = B y sonfinitos,entonces:

' x —>a

lim( f ( x ) ) g(x) = ( l i m f ( x ) y ” g(X) = A b x —>a

x —>a

2do. Sí Hm f ( x ) = A* l y x —>a'

lim g(x) = ±oo, x~*a

entonces l im (f{ x ))g{x)esinmediato. x-> a

'

3er. Si lim f ( x ) = A = 1 y lim g(x) = ±oo ( l 00 indeterminado) x —>a '

x —>a

En estos casos, estos límites se calculan de la siguiente forma. A la función f(x) expresamos así: f(x) = 1 + 4>(x) donde lim (x) = 0 x —>a

Luego se hace la sustitución y se aplica la definición del número e.

J

.v.

•.

x~xt

.......; .i.-..—..................

OBSERVACION.-

...■■■■■...y;

'

......;

a

En el cálculo de los límites de funciones logarítmicas se aplica la propiedad siguiente: i m W f í x ) } ~ L t í h m ÍUW

x->a

..

•

*-w»

410

Eduardo Espinoza Ramos

Calcular los siguientes límites. rx -4 ,,._ -)

x-*s X + 1 Solución x-4 7 _5 , - 5 — — J ~ :2)< lim [—— ]x~2 = lim[l+— ] ^ 2 = lim[(l + — ) 5 ] *+I = e ~ " *+1 = tT 5 Jr-* * je + 1

r-* »

jc + l

*-> ~ * -l +3 *->cr *•- +4* jc”

Solución

x 2 +3 ,. + x2 1+ 0 , lim —z------------------------------- = lim ---------= -------jr-»*' + 4X x~>oc 4^ 1 + 0

1

Ahora hacemos la transformación indicada en el criterio establecido. x 2 +3 — 3 -4 * — 3 -4 x — (— K ^ ) l i m v = fa i[ l+ 1 v = //w [q + . ) 3"4* ] * x+4x '->r' x~ +4x *->*> x ~ + 4 x x~>c' x " + 4x (x2 -1)(3 —4x) _4 = exp{ h m --------~ =e

Solución lim (4 x + l - V x + T ) ^ = lim [l + ( - J x - J x T l ) ] ^ = lim [1+—= — ^ = ] V7 *-** *-»■+» *-♦+» Vx -V-v + 1

= lim [(l + - ?=— p = r ) < ^ +^ 7>)] VnvTTT = e ^ 7 ^ 7 ^ = e -l/2 V jc-V x + 1

411

Limites y Continuidad

(T )

lim —Ln. o sen a - sen 3x sen a - 0 Entonces transformamos la función mediante el criterio establecido. , . ,.3sen U 1 a M + T 3sen V 1 I3 Jx A .. “ c o t, 77 u . „ + ------------------yenlx 2sen3x o v il J A . OQ, „ -j .. Um(----------------)sen3* = ./Z /W(l x—*o sen a - sen 3x *->0 sen a - s e n 3x

2 S e n jOX

x

■lim[(l+-------------------------- ) *-»0 sen a - sen 3x

®

sen M a -sen 3.v ' •* lífft Z : , Z x->o sen a -s e n 3* ^ a 2 sen 3 x ] sen a -s e n 3* = e = g

\l/ X

lim (cosx + a sen hx)1 x— >t\0'

Solución Como //w(cosx + asen¿>x) =1 + 0 = 1 entonces transformamos la función mediante el -V—>0

criterio establecido lint (eos x + a sen hx) ' = lim (1 + (eos x + a sen bx - 1) X - *i)

*->()

eos jr+tf sen.r-1

lim[(1+ (eos x + a sen bx - 1))cos*+0

412

Eduardo Espinoza Ramos cosjr+asen¿wr-l hm---------------

x

= £jr-*o

©

, . sen bx 1 - c o s jt limlab-------------)

— g x -'0

bx

x

—e

, _

—6

.

x i lim ^ — Jt->0 x

Solución Sea a = e x - \ = > e x = \ + a tomando logaritmo => Lnex = Ln(l + a )

x Lne = Ln(\+ a) =>x=L n(l+a)

Cuando x —>0; a-+0 entonces:

X

®

lim .íl jt-»0

« 1 l lint Ln(i+a) -- l i m ——= — = - = 1 a->0 a->0 L n(\+ a ) Lne

1

-

e x -1 lim -------

1

l x -1 x

Solución Sea a = 7 X - \ =>7X = l + a =>Ln7x = L n (l+ a )

=> x = —— L n(l+ a ) Ln 7

Cuando x—>0; a-->0 entonces:

lim —----- = lim — -------- = Ln7. lim --------- — — v-o x a ->n_ J _ £ „ n + a ) a -*0 l B ( l + a ) l a Ln7

®

Um >0

- L n l.-^— = L n l Lne

7X -5 * x

Solución En este limite se debe de aplicar el criterio del ejemplo (8) es decir la forma del límite del ejemplo anterior. i* _ 5 r n x _ d _ ( 5 jc 7* _ i 5 ^ -1 lim ------— = lim ---------— ------- = lim -------------lim -- ------= Ln7 - Ln5 = Ln x —y()

X

jt->0

X

x -* 0

X

*->0

X

413

Limites y Continuidad 9* _ 7 J lim ---------jr-.o 8X- 6 X Solución Ahora debemos de expresar en la forma del ejemplo anterior, dividiendo entre x 9* - 7 * 9' -1* lim ---------- = lim

9* - 1

7* -1

-1

ex - 1

x__ _ = ..lint.

jr->o g * _ 6 X

« o ^

v

©

lim a:->o

r

ln 8 - ln 6

j _4

3

r

sen 3x - s e n * Ln( 1+ jc) Solución

sen 3 x - sen* sen 3 x -se n jr lim ----------------- = lim = lim *-*o Ln(\+x) *-»o 1 Ln(y + x^ °

lim *-»o

sen 3jc

sen x _x____ 3(1) —1

3x L n (l+ x )Vx

3 -1 _ =

Lne

1

e„ ax —e„ß* x

3.25

JC

em -

= lim (------a->0 X

EJERCICIO!?i:i*í5MísSí:

1*

em - e *

X

lim c-»fl

1

Solución ) =J = Lnea - L ne^ = a L n e - ß Lne = a - ß

ÉÉË f e

Hallar los siguientes límites:

©

ltm JT -MO(x ’x\32x + 4+ 3f ' 1

R pta. e

©

, x 2 - 2 x +\ ,x hm (—----------- ) '

R pta. e

©

3x-4 — lim(i í - J ) 3 3x+2

x

-

-4 x+2

Rpta. e

• 2/3

2

Eduardo Espinoza Ramos

414

® 0

®

lim (cosx + sen x )x r-*0 ¡¡m L * a + x ) - L m

^

lim x(ln(x + a) - Inx)

Rpta. a

r —>nr

2

lint jr-*° x - 3 x + 2

( 8)

2 . l i m ( ^ r — ) x+x *-** x" +1

(? ) w

X-*« x 2 - 2

@

12)

®

I

~ sen x

-*

© ^

lÓ)

Rpta. e

x

Rpta. 2

Rpta. 1

Rpta.

Analisis Matematico I-Eduardo Espinoza Ramos

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