Análisis gráfico -Física

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS (Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA) AMÉRICA )

FACULTAD DE CIENCIAS BIOLÓGICAS E.A.P Genética y Biotecnología DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE CIENCIAS BÁSICAS

LABORATORIO DE FÍSICA Profesor de laboratorio: Erwin Haya Enriquez

TEMA: ANÁLISIS GRÁFICO

 Alumna: Código:

2012

OBJETIVOS 

Conocer las bases para una buena representación grafica



Utilizar adecuadamente el papel milimétrico, logarítmico y semilogaritmico.



Descubrir el comportamiento de un sistema físico a partir de la evaluación de los datos obtenidos en un experimento.

  Hacer uso de las técnicas del análisis gráfico, incluyendo las técnicas de



linealizacion y ajuste por el método de cuadrados mínimos para un comportamiento lineal de los datos. 

Obtener nuevos datos por interpolación y extrapolación. FUNDAMENTO TEÓRICO

 Al estudiar cualquier fenómeno físico, se busca obtener cambios o variaciones del sistema ante situaciones que podamos aplicar y controlar. Es por ello que se hacen mediciones de las cantidades físicas que intervienen en el sistema a estudiar, siguiendo procedimientos y/o protocolos establecidos, para luego encontrar la relación de aquellas cantidades y visualizar claramente el fenómeno físico.

I.

GRÁFICAS Con los datos obtenidos del fenómeno se construye una tabla de datos.  Aunque ya se pueda vislumbrar una relación funcional entre los datos, se recomienda hacer una gráfica con los valores de la tabla para observar claramente la evolución del fenómeno, es decir, las variaciones de una cantidad respecto a otra. También se pueden obtener nuevos datos por extrapolación o interpolación gracias a la relación funcional (ley).

II.

ELECCIÓN DE VARIABLES Cuando investigamos un fenómeno físico tratamos con variables que se relacionen de tal modo que el cambio en una de ellas afecta a los valores de las otras. Entonces surge la necesidad de elegir ciertas variables.

A.

Variables Son las cantidades físicas que intervienen en el experimento y cuya relación de desea conocer. Como variable se le puede asignar, durante el proceso, un número ilimitado de valores. Distinguimos dos tipos de variables

1.

Variable Independiente Es la variable que podemos controlar, es decir, podemos variar en un proceso experimental, por lo que puede tomar cualquier

valor

arbitrariamente

seleccionado

por

el

experimentador. Se llama también variable de entrada.

2.

Variable Dependiente Es aquella variable, cuyo valor depende del valor que toma la variable independiente, es la respuesta del sistema físico a un cambio en la variable independiente. Se llama también como variable de salida.

III.

FUNCIÓN: Una cantidad “y” determinada por el valor de la variable “x”. y=f(x)

A.

Funciones lineales Correspondiente a la geometría y el álgebra elemental, una función lineal

es

una función

polinómica de

primer

grado.

Es

decir,

una función que se representa en el plano cartesiano como una línea recta. Esta función se puede escribir como: y=b+mx

Donde m y b son constantes reales,   es una variable real. La constante m es la pendiente de la recta (inclinación), y b es el punto de corte de la recta con el eje y . y2

=

 −   − 

 =

∆ ∆

y1 b x1 x2 X Representación gráfica de una función lineal

B.

Funciones Potenciales Cuando la gráfica en papel milimétrico de y=f(x), no resulta lineal podemos sospechar de una relación potencial, es decir, que las variables están afectadas de algún exponente diferente de la unidad. Esta función potencial viene representada por la siguiente ecuación: y = k x

Donde k y n son constantes que deberán ser determinadas, el exponente n puede ser un número entero o fraccionario. Una forma de determinar el valor del exponente es por el método de linealización de la función, es decir, transformar la ecuación en una forma lineal a base de logaritmos. log(y) = log(k) + n log(x)

 A continuación de muestra los gráficos de una función potencial creciente: Y

Y

X Función potencial (papel milimétrico)

X Función potencial linealizada (papel logarítmico)

En ambos gráficos se ha representado directamente los valores de (x, y)

C.

Función Exponencial Las funciones exponenciales son la de la forma representada en la siguiente figura y la que la representa tiene la forma: y = k e−.

Donde k y µ son constates que deberán ser determinadas. Exponente diferente a la unidad. Y

X Función exponencial (papel milimétrico)

Y

X Función exponencial linealizada (papel semilogarítmico)

Las constantes k y µ se pueden determinar linealizando la función exponencial, para ello es necesario expresarlo en su forma lineal tomando logaritmos log(y) = log(k)  (μloge)x

IV.

Ajuste de una recta: método de los mínimos cuadrados La pendiente m y, el corte con el eje Y b, son magnitudes determinadas

después del ajuste. El método de mínimos cuadrados se basa en que la desviación total de los datos experimentales con relación a los puntos ajustados debe ser mínimo. Se tiene la ecuación lineal: y=b+mx

Utilizando el método de los mínimos cuadrados para hallar m y b

b=

∑  ²∑  −∑  ∑    ∑   ²− (  )²

m=

∑   − ∑ ∑  ∑  − (∑ )²

PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL

MATERIALES 3 hojas de papel milimétrico 



1 hoja de papel logarítmico



1hoja de papel semilogarítmico



Regla 30 cm

  Lápiz



1.

 ANÁLISIS DE RESULTADOS

1. En condiciones de reposo contamos el número de pulsos arteriales de los integrantes del grupo. TABLA 1 T(s) 10 20 30 40 50 60 70 80 Nombre Miguel 14 18 40 53 64 75 86 99 Vania

12

24

35

50

63

75

85

79

 Andrea

13

23

35

47

59

68

84

91

2. La tabla 2 muestra la rapidez (v) de propagación de un pulso eléctrico a lo largo de una fibra nerviosa en función de su diámetro (d).

V(m/s) 15.8 d(μm) 2.0

18.8 3.2

25.1 5.0

TABLA 2 30.2 37.6 45.7 7.9 11.2 15.8

50.1 20.0

63.1 28.2

70.8 39.8

79.4 50.1

3. La tabla 3 muestra la tasa de recuento de una sustancia radiactiva en el tiempo. TABLA 3 9 10 T(días) 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Cuentas/min

2.

455

402

356

315

278

246

218

193

171

151

Cuestionario 1. Construya la gráfica correspondiente a la tabla 1 en papel milimétrico, número de pulsos en función del tiempo. Describa la gráfica: Para t= 75 s, el número de pulsos arteriales es: 87 

= 1,15 + 0,96  = 1,15(75) + 0,96  = 87,21

Para t= 120 s, el número de pulsos arteriales es: 139 

=

1,15 + 0,96  = 1,15(120) + 0,96  = 138,96 

133

2. Construya la gráfica correspondiente a la tabla 2 en papel milimétrico, la rapidez del pulso eléctrico en función del diámetro de la fibra nerviosa. Describa esta gráfica: Para d= 6.0 μm, la rapidez del impulso eléctrico es  = 10,72 ,  = 10,72(6),  = 27,22 /

Para d= 54 μm, la rapidez del impulso eléctrico es :  = 10,72 ,  = 10,72(54),  = 83,33 /

De los resultados anteriores, ¿cuál es el más confiable? El que tenga menor % de error He tomado el valor real como el valor que me proporciona la gráfica en el papel logarítmico. |    | = 100%  

Para el 1° dato

E=

Para el 2° dato

|27.50  27.22| x100% = 1,02% 27.50

E=

|85  83.33| x100% = 1,97% 85

El primer dato es el más confiable

3. Ajustar por el método de mínimos cuadrados los siguientes datos:

Tabla 7.1 ∑

xi yi xi yi xi²

1 1 1 1

3 7 21 9

4 12 48 16

6 17 102 36

8 25 200 64

11 34 374 121

12 36 432 144

15 45 675 225

60 177 1853 616

Obtenemos b y m, mediante el método de mínimos cuadrados

= =

∑  ²∑  −∑  ∑   

=

∑   ²− (  )² ()()−()()

∑   − ∑ ∑ 

=

()−() 

 = 1,62

∑ − (∑ )² ()()−()( ∑  − (∑ )²

 = 3,17

Finalmente la ecuación es:

 = 3,17  1,62

4. Construya la gráfica correspondiente a la Tabla 1 en papel milimétrico y determine la ecuación empírica. Con los datos de Andrea y utilizando el método de los mínimos cuadrados: ∑

x

Tiempo (s)

10

20

30

40

50

60

70

80

360

y

Pulso

13

23

35

47

59

68

84

91

420

xy

130

460

1050

1880

2950

4080

5880



100

400

900

1600

2500

3600

4900

=

=

8(23710)  (360)(420) = 1,15 8(20400)  (360)

=

=

N∑x i y i  ∑x i∑y i N∑x i  (∑x i)²

∑x i ²∑y i  ∑x i ∑x i y i N∑ x i ²  (x i )²

(20400)(420)  (360)(23710) = 0,96 8(20400)  (360)²

Finalmente:  =   + 



=

(pulso)

,  + , 

(tiempo)

7280 23710 6400 20400

5. Construya la gráfica correspondiente a la Tabla 2 en papel milimétrico. Describa esta gráfica: (ver siguiente página) Los puntos tienden a formar una curva ascendente. 6. Construya la gráfica correspondiente a la Tabla 2 en papel logarítmico. Describa esta gráfica. Halle la fórmula empírica que relaciona V  con d. Los puntos tienden a formar una recta. Esto se debe a que el papel logarítmico hace el trabajo de convertir los datos a sus logaritmos respectivos para apreciar mejor la relación funcional. ∑

logy V(m/s) logx d(μm) logx.logy (logx)

1,18 0,30 0,35 0,09

1,27 0,51 0,65 0,26

1,40 0,70 0,98 0,49

1,48 0,90 1,33 0,81

1,58 1,05 1,66 1,10

1,66 1,20 1,99 1,44

1,70 1,30 2,21 1,69

1,80 1,45 2,61 2,10

1,85 1,60 2,96 2,56

1,90 1,70 3,23 2,89

N∑x i y i  ∑x i∑y i N∑x i  (∑x i)² (10)(17,98)  (10,71)(15,82) = = 0,52 10(13,43)  10,71 =

b= b=

∑x i ²∑y i  ∑x i ∑x i y i N∑ x i ²  (x i )²

(13,43)(15,82)  (10,71)(17,98) = 1,03 10(13,43  (10,71)²

La ecuación lineal es:



=

0,52 + 1,03

log() = log() +  log() = 0,52log() + log()  = 0,52

log() = 1,03  = 10,72  =    →  = 10,72 , Donde y : velocidad (m/s)……x: diámetro (µm)

15,82 10,71 17,98 13,43

7. Construya la gráfica correspondiente a la Tabla 3 en papel milimétrico. Describa esta gráfica:  Al unir los puntos se visualiza una curva descendente 8. Construya la gráfica correspondiente a la Tabla 3 en papel semilogarítmico y determine la ecuación empírica que relaciona t   con el número de cuentas. ∑

logy Cuentas 2,66 2,60 2,55 2,50 2,44 2,39 2,34 2,29 2.23 2,18 2,12 26,3  /min x t (días) 55 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x.logy. 0 2,60 5.10 7,50 9,76 11,95 14,04 16.03 17,84 19,62 21,2 125,64 (x) 385 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 N∑x i y i  ∑x i∑y i N∑x i  (∑x i)² (11)(125,64)  (55)(26,3) = = 0,053 11(385)  55 =

b= b=

∑x i ²∑y i  ∑x i ∑x i y i N∑ x i ²  (x i )²

(385)(26,3)  (125,64)(55) = 2,66 11(385)  (55)²

Se obtiene la función lineal: 

= 0,053 + 2,66

log() =  log()  + log(2,66) log(2,66) = 477,088 =  log() = 0,053  = 0,12  =  −

 = , −,

3.

Análisis de resultados y conclusiones 

Al colocar los datos de una tabla en un papel gráfico, nos dimos cuenta de que no todos los puntos coincidieron con la recta o curva (según sea el caso).



En la tabla 1 (pulsos arteriales), los datos obtenidos jamás van a formar una recta pues intervienen diversos factores externos como internos, en la toma de las medidas.



Es recomendable utilizar el método de los mínimos cuadrados para obtener una fórmula empírica más precisa.

4.

Bibliografía 

Experimentación: Una introducción a la Teoría de Mediciones y al Diseño de Experimentos. D.C Baird. Editorial Prentice Hall.



Cómo construir gráficas. G.E Shilov. Editorial Mir.