Análisis Económico de Inversiones Programa de Ingeniería de Sistemas MSc. Gloria Stella Ramírez Reyes gloria.ramirez@correouniv alle.edu.co
[email protected] Fuente: VARELA Fuente: VARELA V. Rodrigo Rodrigo. Evaluación económica de proyectos de inversión. 7 Ed. Colombia: Mc Graw Hill. 2010.
Gradiente Aritmético
Son anualida dad des vari ria ables es,, cuyos pag pagos ntan an o dis dismi minu nuye yen n en una periódicos aume aument cantidad constante. cantidad constante. Pueden ser crecientes ser crecientes o decrecientes, decrecientes, según el tipo de variación. El cálculo de los vvalores alores de las anualidades de variación uniforme se efectúa utilizando las propiedades propie dades de las progresiones progresiones aritméticas aritméticas y los valore ores de las anuali alidades est estudiadas das hasta el momento
Nomenclatura de Flujos Gradiente Aritmético
Gradiente Gradie nte aritmé aritmétic tico: o: En En la posición n1+1 hay una base (B) que cambia hasta n2 en en una canti antida dad d uniforme (G). (G). En n1 no hay flujo, flujo, el primer gradiente (G) está en n1+2. Dife Difere renc ncia ia entr entre e n2 y n1 da el número de flujos. Los valores de G pueden ser + o –.
B n1-n2 G 0
B+2G B+G B
n1 n1 n1+1 +1 . . . . . . . . . . n2
n
Cálculo del gradiente aritmético (1) CU j
B j 1* G
n
F CU j B F / P , i, n j j 1
n
F j 1* G F / P , i, n j j 1 n
j 1 F / P , i, n j
F G
j 1
1*
Cálculo del gradiente aritmético (2)
Multiplicando la ecuación anterior por (F/P,i,1)=(1+i) se tiene: n
j 1 F / P , i, n j F / P , i,1
F * 1 i G
j 1
Recordando que (F/ (F/P P,i,n ,i,n)(F/ )(F/P P,i,1 ,i,1)= )= (F/P (F/P,i,n ,i,n+1), +1), entonces: n
F * 1 i G j 1 F / P , i, n j 1 2* j 1
Restando a la ecuación anterior 1*, la ecuación 2*
n1
F / P , i, n j n 1G F / P , i,0 Fi G j 1
Cálculo del gradiente aritmético (3)
Reorganizándola y recordando que (F/P,i,0)=1 y considerando las relaciones entre factores de equivalencia y despejando F, se transforma en: tenemos: F
G
F / A, i, n
i
n
Para convertir este F en una A lo multiplicamos por un (A/F,i,n) A
G i
1
n A / F , i, n
Manteniendo el simbolismo: n A F i n A G 1
/
i
, ,
G A / G, i, n
A B G A / G, i, n
Ejemplo 1:
Una persona contrae la obligación de pagar $2.000 cada final de mes, durante un año, aume au ment ntan ando do su suss pago pagoss suce sucesi sivvos en $100 $100 cada mes, hallar:
A la tasa del 24%, el valor presente de su obligación. Si desea sustituir su obligación por otra equivalente con la misma tasa, con pagos mensuales iguales, ¿cuánto deberá pagar mensualmente?
Ejemplo 2:
Las ventas promedio de un almacén son de $400.000 mensuales; el dueño inicia una ampliación y estima que sus ventas, a partir del quinto mes, se incrementarán con un gradiente de $5 $50. 0.00 000 0 me mens nsua uale les, s, esta es tabi bili lizán zándo dose se al cabo ca bo d de e un año. año. Ha Hallllar ar e ell val valor or actu actual al de sus ventas durante primer año año.. Tasa de interés: 18% anual
Gradiente Geométrico
S on
anualidades co con
variación
geométrica, geométrica s ue delecico r, cien qte ue en se ca car rac acte teri riza zan n, porq poerque coci ente entr tre e dos términos sucesivos es constante
Puede ser creciente ser creciente o decreciente
Nomenclatura de Flujos Gradiente Geométrico
Gradie Grad ient nte e geom geomét étri rico co:: En la pos posici ición n1+1 hay una un a base ase (T (T)) que que cambi mbia ha has sta n2 en propor proporció ción n constante (s = tasa de escalamiento). En n1 no hay flujo, el primer gradiente (s) está en n1+2. Diferencia entre n2 y n1 da el número de flujos. Valores de s pueden ser + o -.
T s
n1-n2 0
T
T+T*s
n1 n1+1 . . . . . .
n2
n
Cálculo del Gradiente Geométrico (1) C j
T 1 s
j 1
Para traer traer a valor presente esa suma C j , ubicada en la posición j , usando una tasa de interés del i% j 1
j 1
VPC j T 1 s
1 s
P / F , i, j T
j
1 i Ahora para calcular calcular el valor presente total, tenemos que sumar todos los VPC j de todos los periodos n
P
VPC VP C j j 1
n
1 s
j 1
j T 1 i j 1
Cálculo del Gradiente Geométrico (2) Transformando algebráicamente X=(1+s)/(1+i) en: j
T n j 1 s P 1 s j 1 i 1 s j X T
n
1
1
Multiplicando ambos miembros por X , se obtiene:
T
n 1
PX 1 s X j j 1 Restando la ecuación 2 de la 1 tenemos: P X 1 T X n 1 X 1 s
Cálculo del Gradiente Geométrico (3) Reorganizando y sustituyendo:
1 s 1 1 i P s i n
En notación estándar:
P
T P / T , s, i, n
Para los casos en los que s = i
P
nT
1 i
Ejemplo 3:
Una deuda debe cancelarse en 5 años con de. año cuotas a una de tasa$10.000 de intecada rés dfinal el 6% Esto Es toss pago pagoss se incr increm emen enta tan, n, desp despué uéss del primero, en un 10% anual cada uno. Hallar el valor presente de la deuda
Ejemplo 4:
Una deuda se amortiza en 6 años con p agos sevencido mestralesa una de tasa $9.00efectiva 0 por semestre anual del 10%, incrementando cada año los pagos en un 20%. Hallar el valor presente de la deuda.
Ejemplo 5:
Una estaci ación de servicios se arr arrienda durante 4 años, y en el contrato se establece una base de $500.000 semestral, más una adición de $100.000 por servicios que se incrementan cada p e r i o d o e n 7 % s e m e s t r a l . H a l l a r a l a tasa del 10% con capitalización semestral, el valor presente del contrato del arriendo
