Analisis Funcional

March 31, 2017 | Author: kaguji0329 | Category: N/A
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´ INTRODUCCION

1. CONCEPTO.

El An´alisis Funcional es una rama de las Matem´aticas que utiliza el lenguaje de la Geometr´ıa en el estudio de ciertas estructuras topol´ogico-algebraicas y de los m´etodos que pueden aplicarse a problemas anal´ıticos mediante el conocimiento de estas estructuras. As´ı, muchos problemas en An´alisis se refieren no s´olo a objetos aislados, como funciones, medidas u operadores, sino a clases o conjuntos de tales objetos. La mayor´ıa de estas clases (en el caso que nos ocupa) son espacios vectoriales, tanto reales como complejos. Como los procesos de l´ımite juegan su papel en todo problema anal´ıtico -concepto que permite hablar de diferenciaci´on e integraci´on y en general de procesos infinitos, que pueden incluso reducirse a la consideraci´on de ciertos procesos finitos,- no debe sorprender que esos espacios est´en dotados de m´etricas, o al menos de topolog´ıas, para poder establecer relaciones naturales entre los objetos de esos espacios y generalizar conceptos familiares, como el de l´ımite de sucesiones, sucesiones de Cauchy, funciones continuas, etc. Una forma simple, pero que ser´ a fundamental en el desarrollo de este curso, consiste en introducir una norma, obteni´endose una estructura de espacio normado. La idea crucial en el estudio del espacio vectorial cl´asico Rn de las n-tuplas de n´ umeros reales es la expresada por R. Descartes y consiste en asociar a cada elemento (x1 , . . . , xn ) del espacio un punto en un sistema de coordenadas ortogonales. De esta forma todo punto representa un vector y tiene sentido geom´etrico la suma de vectores y el producto por un escalar, los planos tienen 1

una expresi´ pon anal´ıtica y la distancia entre dos puntos se puede expresar como de un punto x al origen d(x, y) = |x1 − y1 |2 + · · · + |xn − yn |2 . La distancia p 2 de coordenadas, llamada norma de x, es kxk = |x1 | + · · · + |xn |2 . Adem´as, se dice que dos vectores x e y son ortogonales cuando x1 y1 + · · · + xn yn = 0; de aqu´ı se define el producto interior de x e y como hx, yi = x1 y1 + · · · + xn yn . Es f´acil observar que la norma se puede definir a partir del producto escalar como p kxk = hx, xi y que la distancia se define a partir de la norma mediante la f´ormula d(x, y) = kx − yk. Todo lo anterior puede generalizarse sin dificultad al espacio Cn si se define el producto interior hx, yi = x1 y1 + · · · + xn yn . Este tratamiento algebraico para resolver problemas geom´etricos ha dominado el pensamiento matem´ atico por m´ as de un siglo. Por otra parte, identificando cada punto o vector x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Cn con la funci´ on x : {1, . . . , n} → C definida por x(1) = x1 , . . . , x(n) = xn , puede tratarse a Cn como el espacio de las funciones complejas con dominio el conjunto {1, . . . , n}. Era natural, llegados a este punto, extender estas ideas a otros objetos matem´ aticos con estructura similar. Fueron D. Hilbert y su alumno E. Schmidt quienes consideraron el espacio de las sucesiones o funciones con dominio el con∞ P junto N, donde tiene sentido el producto interior hx, yi = xn yn en el caso de n=1

que la serie converja; pero esto ocurrePcuando las sucesiones P (xn )n∈N e (yn )n∈N tienen cuadrado sumable, es decir si n∈N |xn |2 < ∞ y n∈N |yn |2 < ∞. Esto origin´ o el espacio `2 de dichas sucesiones, que es la generalizaci´on inmediata del espacio eucl´ıdeo Cn . Nuevas extensiones corresponden por ejemplo al caso en que las funciones est´en definidas en un intervalo [a, b]: identificando ahora funciones que sean iguales en casi todo punto, se define el producto interior de dos funciones f y g como Rb hf, gi = a f (t) g(t)dt. Se obtiene as´ı el espacio L2 [a, b] de las funciones complejas f : [a, b] → C de cuadrado integrable en [a, b] con respecto a la medida de Lebesgue. Sin embargo, al pasar a espacios de dimensi´on infinita, se presentan diferencias fundamentales en algunas propiedades, como son: Mientras que en el caso finito toda aplicaci´on lineal es continua, en el caso infinito existen aplicaciones lineales que no son continuas. En el caso finito toda sucesi´on de Cauchy es convergente pero en el caso infinito no siempre es cierto. Donde esta propiedad es cierta tenemos los llamados espacios completos; donde no es cierta, todav´ıa puede completarse el espacio para que valga la propiedad. En el caso finito toda bola cerrada es compacta (teorema de Bolzano2

Weierstrass) pero en el caso infinito nunca es cierto. Por esta raz´on es importante el estudio de los operadores compactos que son la generalizaci´on directa de los operadores en espacios de dimensi´on finita. La necesidad de considerar espacios de dimensi´on infinita, originada por su relaci´on con las teor´ıas cl´ asicas de momentos, de las ecuaciones integrales, etc., permiti´o dar un gran impulso al desarrollo del An´alisis Funcional, impulso que ya no ha cesado al sumarse con la influencia que parte de sus aplicaciones e interrelaci´on con otras ramas del An´ alisis, como la Mec´anica Cu´antica, An´alisis Arm´onico y Teor´ıa de Aproximaci´ on e Interpolaci´on, entre otras.

´ 2. EVOLUCION.

El an´alisis funcional nace en la resoluci´ on de ecuaciones donde las inc´ognitas son funciones. A las ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales estudiadas en el siglo XVIII se unen las ecuaciones integrales a partir del siglo XIX; luego las ecuaciones integro-diferenciales y dem´as ecuaciones funcionales. A lo largo de los siglos XVIII y XIX se daban soluciones formales de ecuaciones diferenciales resolviendo sistemas infinitos de ecuaciones por el m´etodo de coeficientes indeterminados. Por supuesto en esa ´epoca no importaba demasiado la convergencia de las series asociadas a tales problemas. Hacia 1800 comienza el estudio de tres tipos de ecuaciones fundamentales en la F´ısica Matem´atica: ∂2u ∂2u ∂2u + 2 + 2 = 0 : ecuaci´on de Laplace ∂x2 ∂y ∂z ∂2u − ∆u = 0 : ecuaci´on de ondas ∂t2 ∂u − ∆u = 0 : ecuaci´on del calor ∂t que dan lugar al An´ alisis Lineal, a la teor´ıa de series e integrales de Fourier, a la teor´ıa de Sturm-Liouville y a finales de siglo aparecieron los primeros ejemplos de espacios de Hilbert y algunos resultados de la teor´ıa espectral de operadores en tales espacios. Tambi´en hacia el final del siglo XIX se impone la distinci´on entre diversos tipos de convergencia de sucesiones de funciones lo que conducir´a a la idea general de topolog´ıa sobre un conjunto de funciones. ∆u ≡

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A principios del presente siglo se empez´o a desarrollar la teor´ıa abstracta gracias a los trabajos de muchos investigadores, entre los que podemos citar a V. Volterra, I. Fredholm, D. Hilbert, M. Fr´echet, F. y M. Riesz, E. Schmidt, H. Weyl, H. Hahn, T. Carleman, J. von Neumann, E. Hellinger, S. Banach, M. Stone, etc., quienes estudiaron las ecuaciones integrales, problemas de valores propios, descomposiciones espectrales de operadores lineales, etc., y fueron descubriendo el correcto encuadre conceptual de los resultados. Ya no se trata de reducir cuestiones referentes a espacios infinito-dimensionales a la geometr´ıa del espacio finito-dimensional sino de desarrollar la geometr´ıa de los objetos a analizar desde un punto de vista intr´ınseco, sin estar sujeto a la elecci´on de coordenadas ni a la adopci´ on de bases espec´ıficas, y usando la geometr´ıa eucl´ıdea s´olo como analog´ıa. Los avances experimentados durante esa ´epoca fueron presentados de forma sistem´atica en los famosos libros “Th´eorie des Op´erations Lin´eaires”, de Banach y “Linear Transformations in Hilbert Spaces”de Stone, ambos publicados en 1932. Ambos tratados ejercieron una gran influencia posterior y todav´ıa sirven de base para un tratamiento b´ asico del An´alisis Funcional y la Teor´ıa de Operadores. La axiom´ atica de los espacios de Hilbert fue dada por von Neumann en un art´ıculo de 1930, fundamental en la teor´ıa de operadores no acotados pues establece para ellos el teorema espectral, generalizando lo hecho por Hilbert veinte a˜ nos antes para operadores acotados. El inter´es de von Neumann en la teor´ıa de operadores, que arranc´ o de la Mec´ anica Cu´ antica, le condujo a un estudio sistem´atico de las ´algebras de operadores; estudio profundizado por I. Gelfand (1941) al descubrir el importante papel que representan los ideales maximales de un ´algebra conmutativa y construir as´ı la hoy llamada transformada de Gelfand. La axiomatizaci´on y discusi´ on de estos espacios es la que permite un tratamiento unificado de los elementos de an´ alisis, geometr´ıa y matem´atica aplicada ya citados adem´as de la teor´ıa de operadores, series de Fourier abstractas, geometr´ıa de subespacios, topolog´ıa d´ebil, fuerte y uniforme, teor´ıa de espectros y muchos otros. A partir de los a˜ nos 40 se desplaz´ o el inter´es en los espacios normados por el de los espacios localmente convexos motivado por la construcci´on de L. Schwartz de la teor´ıa de distribuciones, la cual ha resultado tener muchas aplicaciones, en particular a las ecuaciones en derivadas parciales. El desarrollo de la teor´ıa de distribuciones tambi´en ha originado la aparici´on de la teor´ıa de operadores pseudo-diferenciales y el An´ alisis sobre variedades diferenciales.

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3. CONTENIDO DEL CURSO.

Con respecto al orden de presentaci´ on de los temas, el curso se desarrolla partiendo de los conceptos generales de espacio m´etrico y de aplicaci´on entre espacios m´etricos para, consecutivamente, ir a˜ nadiendo restricciones que motiven por un lado la idea de norma y de producto escalar definidas en clases adecuadas de espacios m´etricos, y por otro la introducci´ on de los operadores lineales que act´ uen sobre dichos espacios. Con este esquema se consigue, en primer lugar, presentar al principio la notaci´on y terminolog´ıa a seguir a lo largo del curso y conseguir una paulatina toma de contacto con los recursos t´ıpicos en los que se incidir´a posteriormente. En segundo lugar, se aprovechan las propiedades y ejemplos m´as generales y se refinan para proporcionar modelos simples y ejemplos concretos. De particular inter´es son los espacios cl´asicos de sucesiones y de funciones los cuales, introducidos desde un principio, permitir´ an comprobar sobre ellos las propiedades que caracterizar´an los nuevos espacios que se ir´ an definiendo a lo largo del curso. El c´ırculo se cierra cuando se muestra que los espacios de Hilbert separables son la generalizaci´on inmediata de los espacios eucl´ıdeos y que los operadores lineales y acotados juegan el papel de matrices asociadas a homomorfismos (especialmente ilustrativo en este aspecto es el texto de I. Gohberg y S. Goldberg [GG]). El esquema de la p´ agina siguiente muestra la dependencia entre los cap´ıtulos que componen el programa propuesto. Al final de cada cap´ıtulo se presenta una colecci´on de problemas resueltos en su totalidad, completando as´ı la informaci´ on b´asica desarrollada a lo largo del cap´ıtulo. Se proponen tambi´en una serie de temas complementarios con referencia a los textos en donde pueden consultarse. Una extensa, aunque no exhaustiva, lista de publicaciones relativas al tema se proporciona en la bibliograf´ıa final, lista que incluye tanto tratados generales, como textos introductorios, as´ı como textos que aportan informaci´on suplementaria a los objetivos de este curso b´ asico.

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INTERDEPENDENCIA LOGICA

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I. NOCIONES GENERALES SOBRE ESPACIOS ´ METRICOS

En este primer cap´ıtulo se recuerdan los conceptos topol´ogicos b´asicos y se adopta la terminolog´ıa y notaci´on que se manejar´an a lo largo del curso; se introducen adem´as los ejemplos que servir´an de modelo para las aplicaciones esenciales de la teor´ıa a desarrollar.

SECCIONES 1. Definiciones previas y primeros ejemplos. 2. Nociones topol´ogicas en espacios m´etricos. 3. Aplicaciones entre espacios m´etricos. 4. Completitud en espacios m´etricos. 5. Compacidad en espacios m´etricos. 6. Ejercicios.

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1. DEFINICIONES PREVIAS Y PRIMEROS EJEMPLOS.

La estructura m´as importante del an´alisis funcional es el espacio vectorial. Un conjunto X 6= ∅ se llama espacio vectorial (y sus elementos se llamar´an vectores) respecto al cuerpo E (a cuyos elementos llamaremos escalares) si en X se definen dos operaciones, suma y multiplicaci´on por escalar, con las propiedades algebraicas siguientes: (a) X es un grupo abeliano respecto a la suma, es decir: a.1) ∀x ∈ X : x + y = y + x. a.2) ∀x, y, z ∈ X : (x + y) + z = x + (y + z). a.3) Existe un u ´nico 0 ∈ X tal que x + 0 = 0 + x, ∀x ∈ X (no confundirlo con el neutro de E). a.4) ∀x ∈ X, ∃ − x ∈ X : x + (−x) = 0. (b) La multiplicaci´on por escalar verifica: b.1) ∀x ∈ X, ∀α, β ∈ E : α(β · x) = (αβ) · x. b.2) ∀x ∈ X, 1 · x = x (1 es la identidad en E). b.3) ∀x ∈ X, ∀α, β ∈ E : (α + β) · x = α · x + β · x. b.4) ∀x, y ∈ X, ∀α ∈ E : α · (x + y) = α · x + α · y. Un espacio vectorial real es aqu´el donde E = R y un espacio vectorial complejo es aqu´el donde E = C. Siempre que no se especifique el cuerpo E, entenderemos que se trata de R ´o C. Notaci´ on: Si X es un espacio vectorial, A ⊂ X, B ⊂ X, λ ∈ E, escribiremos A + B = {x + y : x ∈ A, y ∈ B}, A − B = {x − y : x ∈ A, y ∈ B}, A \ B = {x : x ∈ A, x 6∈ B} (en particular Ac = X \ A), λA = {λx : x ∈ A} (obs´ervese que 2A 6= A + A), A × B = {(x, y) : x ∈ A, y ∈ B}. Una familia finita de vectores {x1 , . . . , xn } ⊂ X se dice linealmente independiente cuando α1 x1 + · · · + αn xn = 0 =⇒ α1 = · · · = αn = 0. 2

An´alogamente, una colecci´on arbitraria de vectores es linealmente independiente si cualquier subconjunto finito de ella es linealmente independiente. Se dice que un conjunto A ⊂ X linealmente independiente es base de Hamel de X si todo vector x ∈ X puede expresarse como combinaci´on lineal de elementos de A, es decir si existen escalares α1 , . . . , αn ∈ E y vectores x1 , . . . , xn ∈ A tales que x = α1 x1 + · · · + αn xn . Entenderemos siempre las combinaciones lineales finitas, aunque haya un n´ umero infinito de elementos en la base. Se puede probar (como una aplicaci´on del lema de Zorn) que todo espacio vectorial posee una base de Hamel. Adem´as todas las bases tienen el mismo n´ umero de elementos, llamado dimensi´on (algebraica) del espacio. Un conjunto Y ⊂ X es subespacio de X si Y es tambi´en espacio vectorial (con las mismas operaciones, por supuesto). Esto ocurre si y s´olo si 0 ∈ Y y αY + βY ⊂ Y, ∀α, β ∈ E. Dada una familia U ⊂ X, el menor subespacio de X que contiene a U se llama subespacio generado por U , y lo denotaremos por hU i. Se dice que X es suma directa de los subconjuntos M1 , . . . , Mn , lo cual denotaremos por X = M1 ⊕ · · · ⊕ Mn , si X X = M1 + · · · + Mn y Mi ∩ Mj = {0}, i = 1, . . . , n. j6=i

Si esto es cierto, todo vector en X se puede escribir en forma u ´nica como suma x = m1 +· · ·+mn con mi ∈ Mi , i = 1, . . . n. A diferencia de lo anterior, se define la suma directa externa de dos espacios X e Y al producto X × Y con las operaciones usuales. En un conjunto arbitrario (no necesariamente con estructura algebraica) se puede definir el concepto de m´etrica. Si adem´as posee estructura de espacio vectorial, ciertas m´etricas dar´an lugar a la noci´on de norma, como veremos en el cap´ıtulo II. 1.1.- Definici´ on. Un espacio m´etrico es un par (X, d), donde X es un conjunto arbitrario no vac´ıo y d : X × X → R una aplicaci´on, llamada distancia o m´etrica, tal que, para cualesquiera x, y, z ∈ X, se verifica: (1) d(x, y) ≥ 0. (2) d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y. (3) d(x, y) = d(y, x). (4) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z). De la definici´on son evidentes las siguientes propiedades: 3

i) d(x1 , xn ) ≤ d(x1 , x2 ) + d(x2 , x3 ) + · · · + d(xn−1 , xn ), ∀x1 , x2 , . . . , xn ∈ X. ii) |d(x, z) − d(y, z)| ≤ d(x, y), ∀x, y, z ∈ X. iii) Si Y es un subconjunto del espacio m´etrico (X, d) y se define d0 (y1 , y2 ) = d(y1 , y2 ), ∀y1 , y2 ∈ Y , entonces (Y, d0 ) es tambi´en un espacio m´etrico y d0 se llama m´etrica inducida por d a Y . 1.2.- Ejemplos. ( 1) Sea X un conjunto cualquiera. La aplicaci´on d definida 1 si x 6= y por d(x, y) = es la llamada m´etrica trivial o discreta. 0 six = y, 2) Si X = R, d(x, y) = |x − y| es la distancia usual (eucl´ıdea). p 3) Para X = R2 , d(x, y) = (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 es tambi´en la distancia eucl´ıdea. Las aplicaciones d(x, y) = |x1 −y1 |+|x2 −y2 | y d(x, y) = m´ax{|x1 −y1 |, |x2 − y2 |} son tambi´en m´etricas en X. 4) En X = Rn son distancias dp (x, y) =

n X

|xi − yi |p

1/p

(p ≥ 1), y

i=1

d∞ (x, y) =

m´ax |xi − yi |.

1≤i≤n

Un hecho interesante es que todas ellas van a dar topolog´ıas equivalentes (ver teorema 5.9, cap´ıtulo II).. 5) Sean X = Q, c ∈ R (0 < c < 1), p primo. Todo x ∈ Q se puede escribir a como x = pα donde p no divide a a ni a b. As´ı definimos el valor p-´adico b de x como |x|p = cα si x 6= 0 y |0|p = 0. De este modo, d(x, y) = |x − y|p es una m´etrica (ver [BN]). 6) En el espacio X = {x = (xn )n∈N : xn ∈ C, (xn )n∈N sucesi´on acotada} definimos d(x, y) = supn |xn − yn |. As´ı (X, d) es un espacio m´etrico y se denota por `∞ . P p 7) En general, si llamamos `p = {x = (xn )n∈N : ∞ n=1 |xn | < ∞}, (p ≥  P∞ 1/p p 1), las aplicaciones dp (x, y) = son tambi´en distann=1 |xn − yn | cias. El espacio correspondiente a p = 2 fue estudiado por Hilbert (1912) en su estudio sobre las ecuaciones integrales y constituy´o el primer ejemplo de los que posteriomente definiremos como espacios de Hilbert. 4

Para comprobar los axiomas (concretamente la desigualdad triangular) son necesarias las desigualdades de H¨older y Minkowski que veremos posteriormente (cap´ıtulo II, secci´on 2). Como la desigualdad triangular falla precisamente cuando p < 1, no tiene sentido definir el espacio `p con p < 1. 8) Los espacios c = {(xn )n∈N : xn ∈ C, (xn )n∈N convergente} y c0 = {(xn )n∈N : xn ∈ C, l´ım xn = 0}, n→∞

al ser subespacios de `∞ , son espacios m´etricos con la m´etrica inducida por `∞ . 9) Si llamamos C[a, b] al espacio de las funciones continuas en [a, b], la aplicaci´on d(f, g) = m´axx∈[a,b] |f (x) − g(x)| define tambi´en una distancia en el conjunto. 10) M´as generalmente, si B(A) es el espacio de las funciones acotadas en A, d(f, g) = supx∈A |f (x) − g(x)| es tambi´en una distancia. Dejamos como ejercicio la comprobaci´on de los axiomas de espacio m´etrico en los ejemplos anteriores.

´ ´ 2. NOCIONES TOPOLOGICAS EN ESPACIOS METRICOS.

Sea (X, d) un espacio m´etrico. Si x ∈ X, r > 0, la bola abierta de centro x y radio r es el conjunto B(x, r) = {y ∈ X : d(x, y) < r}. An´alogamente se definen las correspondientes bolas cerradas B(x, r) = {y ∈ X : d(x, y) ≤ r} y las esferas S(x, r) = {y ∈ X : d(x, y) = r}. En general, se llama di´ametro de un conjunto A a di´am A = sup{d(x, y) : x, y ∈ A}. ( {x} si r ≤ 1, Ejemplos. 1) Si d es la m´etrica trivial en X, B(x, r) = X si r > 1. 2) En (R, | · |), las bolas abiertas son B(x, r) = {y ∈ R : |x − y| < r}. 2.1.- Definici´ on. Sea A ⊂ X. Se dice que x ∈ A es punto interior de A si existe r > 0 tal que B(x, r) ⊂ A. Se llama interior de A al conjunto int A = {x ∈ A : x es punto interior de A}. Si int A = A, A se llama abierto. Si llamamos A a la colecci´on de todos los conjuntos abiertos de X, tenemos las siguientes propiedades: 5

P1) Aα ∈ A, α ∈ I =⇒

S

P2) A1 , . . . , An ∈ A =⇒

α∈I

Aα ∈ A (I es cualquier conjunto de ´ındices).

Tn

i=1 Ai

∈ A.

P3) ∅, X ∈ A. Observaci´ on. Recordemos que un espacio topol´ogico es aqu´el en el que existe una familia A de subconjuntos de X que verifican los axiomas (P1), (P2), (P3). De aqu´ı se deduce que todo espacio m´etrico es a su vez un espacio topol´ogico. 2.2.- Definici´ on. Dado A ⊂ X, un punto x ∈ X es de adherencia de A si ∀r > 0 : B(x, r) ∩ A 6= ∅. El conjunto A = {x ∈ X : x es punto de adherencia de A} se llama clausura de A. Un conjunto A se dice cerrado cuando A = A. Las siguientes propiedades son elementales: (1) A ⊂ A; (2) A ⊂ B =⇒ A ⊂ B; (3) A ∪ B = A ∪ B. 2.3.- Proposici´ on. A es abierto si y s´ olo si Ac es cerrado. Demostraci´ on. Supongamos que A es abierto. Entonces x ∈ Ac =⇒ ∀r > 0 : B(x, r) ∩ Ac 6= ∅ =⇒ B(x, r) 6⊂ A =⇒ x 6∈ int A =⇒

(como A es abierto) x 6∈ A =⇒ x ∈ Ac .

Esto quiere decir que Ac es cerrado. El rec´ıproco tambi´en es directo.



De esta proposici´on y de las propiedades an´alogas para los abiertos, se deducen las siguientes: P1) T Si {Ai }i∈I es una familia arbitraria de conjuntos cerrados, entonces i∈I Ai es cerrado. S P2) Si {A1 , . . . , An } son cerrados, ni=1 Ai es cerrado. P3) ∅, X son cerrados. 2.4.- Definici´ on. Un punto x ∈ X es punto l´ımite (o de acumulaci´on) de A ⊂ X cuando ∀r > 0, B(x, r) ∩ A contiene infinitos puntos de A (lo que es equivalente a decir que contiene alg´ un punto de A distinto de x). Se llama conjunto derivado de A, A0 = {x ∈ X : x es punto l´ımite de A}. Es f´acil comprobar que A es cerrado si y s´olo si A0 ⊂ A. 6

2.5.- Definici´ on. Dada una sucesi´on (xn )n∈N de puntos de X, se dice que converge al punto x, y se escribe xn → x, cuando ∀r > 0, ∃N : xn ∈ B(x, r), ∀n > N. La condici´on anterior equivale a que la sucesi´on de n´ umeros reales {d(xn , x)}n∈N converge a cero. An´alogamente, una sucesi´on de subconjuntos {An }n∈N de X converge a un punto x ∈ X si para toda bola B centrada en x, existe un ´ındice m tal que An ⊂ B para todo n > m. Es inmediato que: 2.6.- Proposici´ on. Dada una sucesi´ on arbitraria (xn )n∈N en X, si llamamos Ak = {xn : n > k}, entonces xn → x si y s´ olo si Ak converge a x. Ejemplos. 1) Sea X un conjunto arbitrario con la m´etrica trivial. Si xn → x, entonces xn = x, ∀n > N. 2) Sea Q con la distancia p-´adica. Dada la sucesi´on {pn }n∈N , d(0, pn ) = |p|np = cn y como c < 1, pn → 0. 2.7.- Definici´ on. Una sucesi´on (xn )n∈N en X es acotada cuando sup{d(xn , xm ) : n, m ∈ N} < ∞. En general, un subconjunto M ⊂ X es acotado cuando M ⊂ B(x0 , r) con x0 arbitrario y r suficientemente grande. Un concepto m´as general, y que relacionaremos posteriormente con el de compacidad, es el siguiente: 2.8.- Definici´ on. Un conjunto A de un espacio m´etrico X se dice totalmente acotado o precompacto si, dado cualquier ε > 0, existe un n´ umero finito de conjuntos A1 , . . . , Ap tales que A = A1 ∪ · · · ∪ Ap y di´am Ai ≤ ε, i = 1, . . . , p. 2.9.- Proposici´ on. Si A es totalmente acotado, entonces es acotado. Demostraci´ on. Tomemos ε = 1; por hip´otesis A = A1 ∪· · ·∪Ap con di´am Ai ≤ 1. Para cada i ∈ {1, . . . , p}, elegimos xi ∈ Ai y llamamos δ = m´ax{d(xi , xj ), i, j = 1, . . . , p}. Dados x, y ∈ A, existir´an i, j tales que x ∈ Ai , y ∈ Aj ; luego d(x, y) ≤ d(x, xi ) + d(xi , xj ) + d(xj , y) ≤ 1 + δ + 1 = 2 + δ, lo que prueba la acotaci´on de A.



El rec´ıproco no es cierto: basta considerar un conjunto infinito A con la m´etrica discreta pues toda esfera de radio ε < 1 s´olo posee un punto y A no 7

puede cubrirse con un n´ umero finito de esferas de radio ε < 1. Sin embargo, es evidente que se trata de un conjunto acotado. 2.10.- Lema. Sea (X, d) un espacio m´etrico. a) Si (xn )n∈N es convergente, entonces est´ a acotada y su l´ımite es u ´nico. b) Si xn → x, yn → y, entonces d(xn , yn ) → d(x, y). Demostraci´ on. a) Haciendo ε > 1, existe N ∈ N tal que d(xn , x) < 1, ∀n > N . Por otra parte, para los valores n ≤ N, existe a = m´ax{d(x1 , x), . . . , d(xN , x)}. Entonces d(xn , x) ≤ 1 + a, ∀n y d(xn , xm ) ≤ 2(1 + a), ∀n, m. Si xn → x, xn → y, entonces 0 ≤ d(x, y) ≤ d(x, xn ) + d(xn , y) → 0. b) Por la desigualdad triangular, d(xn , yn ) ≤ d(xn , x) + d(x, y) + d(y, yn ). Entonces |d(xn , yn ) − d(x, y)| ≤ d(xn , x) + d(y, yn ) → 0. ♦ Observaci´ on. En R con la m´etrica eucl´ıdea se verifica adem´as que toda sucesi´on mon´otona y acotada es convergente. Otro resultado importante es el teorema de Bolzano-Weierstrass que afirma que toda sucesi´on acotada en R tiene alguna sub-sucesi´ on convergente. Muy u ´tiles en lo sucesivo ser´an las siguientes caracterizaciones de la clausura de un conjunto. 2.11.- Proposici´ on. x ∈ A ⇐⇒ ∃(xn )n∈N ⊂ A tal que xn → x. Demostraci´ on. Si x ∈ A, por definici´on, ∀n ∈ N, B(x, 1/n)∩A 6= ∅. Elegimos un punto xn ∈ B(x, 1/n) ∩ A. Est´a claro que xn → x porque d(xn , x) < 1/n. Rec´ıprocamente, si xn → x con xn ∈ A, dado cualquier r > 0, existe N (r) tal que xn ∈ B(x, r), ∀n > N (r), de donde B(x, r) ∩ A 6= ∅. ♦ 2.12.- Corolario. A es cerrado si y s´ olo si dada cualquier sucesi´ on (xn )n∈N contenida en A y xn → x, entonces x ∈ A. 2.13.- Definici´ on. Un subconjunto M de un espacio m´etrico X es denso en X si M = X. El espacio X se dice separable si posee alg´ un subconjunto numerable que es denso en X. En la pr´actica se prefieren los espacios separables, m´as simples que los otros. Veamos algunos ejemplos. Ejemplos. 1) Si X es un espacio con la m´etrica discreta, es separable si y s´olo si es numerable, pues ning´ un subespacio propio puede ser denso. 2) R es separable pues Q ⊂ R es numerable y denso en R. 3) C es separable pues {x + iy : x, y ∈ Q} es numerable y denso en C. 8

4) Veamos que `∞ no es separable: Sea M = {y = (yn )n∈N sucesi´on formada por ceros y unos}. Asociamos a cada y otro n´ umero yb ∈ [0, 1] cuya representaci´on binaria es y1 /2 + y2 /22 + n · · · + yn /2 + . . . As´ı, como [0, 1] no es numerable y dos puntos distintos yb, zb ∈ [0, 1] tienen distintas representaciones binarias, el conjunto de las sucesiones M formadas por ceros y unos es tambi´en no numerable. (Otra forma de ver que M es no numerable es aplicar el procedimiento diagonal de Cantor.) Adem´as, dos de ellas verifican d(y, z) = 1. Por tanto, {B(y, 1/3) : y ∈ M } es una familia no numerable de conjuntos disjuntos. Si un conjunto arbitrario D fuera denso en `∞ , cada una de esas bolas tendr´ıa alg´ un punto de D; como hay un conjunto no numerable de bolas, debe haber un conjunto no numerable de elementos de D. De esto se deduce que `∞ no es separable. 5) Los espacios `p , con 1 ≤ p < ∞, son separables: En efecto, si M = {y = (y1 , . . . , yn , 0, . . . ) : yk ∈ Q, ∀k}, M es numerable. ∞ P Adem´as, ∀x = (xn )n∈N ∈ `p , dado cualquier ε > 0, ∃n = n(x) : |xk |p < k=n+1

εp /2 (por ser el resto de una serie convergente). P Como Q es denso en R, ∃yk ∈ Q : nk=1 |xk − yk |p < εp /2. Si definimos el elemento y = (y1 , . . . , yn , 0, . . . ), entonces d(x, y)p =

n X j=1

|xk − yk |p +

∞ X

|xk |p < εp =⇒ d(x, y) < ε.

j=n+1

Esto demuestra que M es denso en `p .

´ 3. APLICACIONES ENTRE ESPACIOS METRICOS.

3.1.- Definici´ on. Sean (X, d), (Y, d0 ) espacios m´etricos. Se dice que una aplicaci´on f : X → Y es continua en x0 ∈ X cuando ∀ε > 0, ∃δ > 0 : f (B(x0 , δ)) ⊂ B(f (x0 ), ε). 9

Si f es continua en todo x ∈ X, se llama aplicaci´on continua. (Es evidente que esta definici´on extiende el concepto de continuidad de funciones reales.) 3.2.- Proposici´ on. f : X → Y es continua en x0 si y s´ olo si toda sucesi´ on (xn )n∈N que converge a x0 verifica f (xn ) → f (x0 ). Demostraci´ on. a) Sea f continua en x0 . Entonces ∀ε > 0, ∃δ > 0 : f (B(x0 , δ)) ⊂ B(f (x0 ), ε). Si xn → x0 , dado tal δ, existe N tal que xn ∈ B(x0 , δ), ∀n > N. Entonces f (xn ) ∈ B(f (x0 ), ε). En definitiva, ∀ε > 0, ∃N : f (xn ) ∈ B(f (x0 ), ε), ∀n > N lo que significa que f (xn ) → f (x0 ). b) Si f no es continua en x0 , entonces ∃ε > 0 : ∀δ > 0, ∃y ∈ B(x0 , δ) : f (y) 6∈ B(f (x0 ), ε). Si elegimos δn = 1/n, encontramos una sucesi´on (yn )n∈N tal que yn ∈ B(x0 , δn ) y f (yn ) 6∈ B(f (x0 ), ε). Entonces yn → x0 pero f (yn ) 6→ f (x0 ). ♦

3.3.- Proposici´ on. Sean X e Y dos espacios m´etricos y f : X → Y . Son equivalentes: i) f es continua. ii) xn → x =⇒ f (xn ) → f (x), ∀x ∈ X. iii) F ⊂ Y es cerrado =⇒ f −1 (F ) ⊂ X es cerrado. iv) A ⊂ Y es abierto =⇒ f −1 (A) ⊂ X es abierto. Demostraci´ on. i) =⇒ ii). Ya probado en la proposici´on anterior. ii) =⇒ iii). Supongamos que f verifica ii); sea F cerrado en Y y A = f −1 (F ). Veamos que A ⊂ A. Si x ∈ A, ∃(xn )n∈N con xn ∈ A tal que xn → x (por la proposici´on 2.11). Por hip´otesis, f (xn ) → f (x), pero f (xn ) ∈ F =⇒ f (x) ∈ F . Como F es cerrado, f (x) ∈ F =⇒ x ∈ f −1 (F ) = A. iii) =⇒ iv). Sea A ⊂ Y abierto. Entonces Y \ A es cerrado y, por hip´otesis, f −1 (Y \ A) es cerrado. Como f −1 (Y \ A) = X \ f −1 (A), entonces f −1 (A) es abierto. iv) =⇒ i). Sea x ∈ X y elegimos ε > 0 arbitrario. Es claro que B(f (x), ε) es abierto. Esto implica por hip´otesis que f −1 (B(f (x), ε)) es abierto. Como 10

x ∈ f −1 (B(f (x), ε)), debe existir δ > 0 tal que B(x, δ) ⊂ f −1 (B(f (x), ε)). De aqu´ı se deduce que f (B(x, δ)) ⊂ B(f (x), ε), como quer´ıamos demostrar. ♦

´ 4. COMPLETITUD EN ESPACIOS METRICOS.

Cuando un conjunto tiene ciertas propiedades, es interesante saber qu´e tipo de aplicaciones conservan dichas propiedades. As´ı, un isomorfismo preserva la linealidad de los vectores de un espacio e incluso permite identificar los dos espacios y tratarlos como uno solo. Veremos aqu´ı un concepto similar para los espacios m´etricos. 4.1.- Definici´ on. Dados dos espacios m´etricos (X, d), (Y, d0 ), sea f : X → Y. Si f es biyectiva y bicontinua (es decir, tanto f como f −1 son continuas), f se llama homeomorfismo. Los homeomorfismos preservan las propiedades topol´ogicas esenciales: as´ı aplican abiertos de X en abiertos de Y y si x ∈ A0 , f (x) ∈ f (A)0 . 4.2.- Definici´ on. a) Si una aplicaci´on f : X → Y entre dos espacios m´etricos verifica que ∀x1 , x2 ∈ X : d(x1 , x2 ) = d0 (f (x1 ), f (x2 )), entonces f se llama isometr´ıa. b) Si existe una isometr´ıa biyectiva f : X → Y , diremos que los espacios m´etricos X e Y son isom´etricos. Dos espacios isom´etricos son indistinguibles respecto a la m´etrica aunque difieran en la naturaleza de sus puntos. 4.3.- Definici´ on. Sea (X, d) un espacio m´etrico. Una aplicaci´on T : X → X se llama contracci´on si ∀x, y ∈ X, existe alg´ un r ∈ (0, 1) tal que d(T x, T y) ≤ r · d(x, y). 4.4.- Proposici´ on. Toda contracci´ on T en un espacio m´etrico (X, d) es continua. Demostraci´ on. Para probar que T es continua en x0 ∈ X, debemos ver que ∀B(T x0 , ε), ∃B(x0 , δ) : T (B(x0 , δ)) ⊂ B(T x0 , ε). Sea pues x ∈ B(x0 , δ) un punto arbitrario; debe cumplirse que T x ∈ B(T x0 , ε), es decir d(T x, T x0 ) < ε. Como T es contracci´on, existe r ∈ (0, 1) tal 11

que d(T x, T x0 ) ≤ r · d(x, x0 ) < r · δ. Tomando δ = ε/r, se verifica que d(T x, T x0 ) < ε, como quer´ıamos probar. ♦ 4.5.- Definici´ on. Sea (X, d) un espacio m´etrico. Una sucesi´on (xn )n∈N es de Cauchy cuando ∀ε > 0, ∃N : d(xn , xm ) < ε, ∀n, m > N. Es f´acil comprobar que toda sucesi´on convergente es de Cauchy. Adem´as, en R ´o C toda sucesi´on de Cauchy converge, pero en general esto no es cierto. 4.6.- Definici´ on (Fr´echet, 1906). Un espacio m´etrico es completo si toda sucesi´on de Cauchy es convergente. 4.7.- Ejemplos. 1) Cualquier conjunto X con la m´etrica trivial es completo. 2) Rn con cualquier distancia de las ya definidas es completo. 3) El intervalo X = (0, 1), con d(x, y) = |x − y|, no es completo, porque la sucesi´on {1/n}n∈N es de Cauchy pero su l´ımite es cero. 4) El conjunto X = Q con la m´etrica eucl´ıdea d(x, y) = |x−y| no es completo (hay sucesiones de racionales cuyo l´ımite es irracional). 5) X = Q, con d(x, y) = |x − y|p , no es completo como muestra el siguiente ejemplo:  k P Eligiendo p√= 5, la sucesi´on xn = 21 nk=0 (−1)k 1/2 k 5 es de Cauchy y converge a −1 que no es racional. 6) Veamos que el espacio `∞ es completo: (n)

(n)

Sea {x(n) }n∈N = {(x1 , x2 , . . . )}n∈N una sucesi´on de Cauchy en `∞ . Entonces, ∀ε > 0, ∃N tal que, para n, m > N , (m)

d(x(m) , x(n) ) < ε =⇒ |xi

(n)

(m)

− xi | < ε, ∀i =⇒ ∃xi : d(xi

, xi ) < ε.

Si llamamos x = (x1 , x2 , . . . ), entonces d(x(m) , x) ≤ ε, es decir x(m) → x. (m)

Por otra parte, como la sucesi´on (xi )m∈N converge a xi , est´a acotada, es (m) decir ∃k > 0 : |xi | < k, ∀m. Aplicando la desigualdad triangular, (m)

|xi | ≤ |xi − xi

(m)

| + |xi

| < ε + k,

lo que significa que (xi )i∈N est´a acotada. Esto prueba que x ∈ `∞ . 7) Tambi´en son completos los espacios `p , para 1 ≤ p < ∞. 12

Para comprobarlo, sea {x(n) }n∈N una sucesi´on de Cauchy en `p . Entonces ∃N tal que, para n, m > N : d(x(n) , x(m) ) =

X

(n)

|xi

 (m) p 1/p

− xi

|

(n)

< ε =⇒ |xi

(m)

− xi

| < ε, ∀i.

i (n)

(n)

Esto implica que {xi }n∈N es de Cauchy, por lo que xi

→ xi ∈ C.

Si llamamos x = (x1 , . . . xi , . . . ), veamos que x(n) → x y x ∈ `p : P (n) (m) Como ki=1 |xi − xi |p < εp , ∀k, entonces, haciendo m → ∞, k X i=1

(n)

|xi

− xi |p ≤ εp =⇒

∞ X

(n)

|xi

− xi |p ≤ εp =⇒ x(n) − x ∈ `p .

i=1

Por la desigualdad de Minkowski (cap´ıtulo II, secci´on 2), x = x(n) + (x − x(n) ) ∈ `p . P (n) p p (n) → x. Adem´as, d(x(n) , x)p = ∞ i=1 |xi − xi | ≤ ε =⇒ x 8) Si X = C[a, b] y d(f, g) = m´axx∈[a,b] |f (x) − g(x)|, entonces X es completo: Si {fn }n∈N es de Cauchy, m´axx∈[a,b] |fn (x) − fm (x)| < ε, para n, m > N. Entonces |fn (x) − fm (x)| < ε, ∀x ∈ [a, b]. Por tanto, por el criterio de convergencia de Cauchy, {fn }n∈N converge uniformemente en [a, b] y, como fn son continuas, la funci´on l´ımite tambi´en lo ser´a. As´ı, X es completo. R 1/2 b 9) X = C[a, b] con la m´etrica d(f, g) = a |f (x) − g(x)|2 dx , ∀f, g ∈ X no es completo.

Si hacemos por ejemplo a = −1, b = 1, la sucesi´on {fn }n∈N definida por   si − 1 ≤ x ≤ 0 0 fn (x) = nx si 0 < x ≤ 1/n,   1 si 1/n < x ≤ 1 13

( 0 es de Cauchy pero el l´ımite f (x) = 1 x = 0.

si − 1 ≤ x ≤ 0 no es continua en si 0 < x ≤ 1,

10) X = {p : [a, b] → C : p polinomio} con d(p, q) = m´axx∈[a,b] |p(x) − q(x)| no es completo. Para demostrarlo, basta tomar una sucesi´on de polinomios P que nconverja uniformemente a una funci´on continua (por ejemplo, ex = n≥0 xn! ). Otros ejemplos de espacios completos se obtienen gracias a la siguiente caracterizaci´on. 4.8.- Proposici´ on. Un subconjunto M de un espacio m´etrico completo X es completo si y s´ olo si M es cerrado en X. Demostraci´ on. Sea M completo. Entonces, ∀x ∈ M , ∃{xn }n∈N con xn ∈ M, ∀n tal que xn → x. Pero como {xn }n∈N converge, es de Cauchy; por tanto converge en M , lo que prueba que x ∈ M. Rec´ıprocamente, sea M cerrado y {xn }n∈N de Cauchy en M . Por ser X completo, xn → x ∈ X =⇒ x ∈ M =⇒ x ∈ M. ♦ Ejemplo. El espacio c = {x = (xn )n∈N ∈ `∞ : (xn )n∈N converge en C} es completo con la m´etrica inducida por `∞ . En efecto, sea x = (xn )n∈N ∈ c. Entonces ∃yk = (ynk )n∈N ∈ c : yk → x =⇒ |ynk − xn | ≤ d(yk , x) < ε/3, ∀k ≥ N. Como {ynN }n∈N es convergente, es de Cauchy y |ypN − yqN | < ε/3, ∀p, q ≥ N1 . Entonces |xp − xq | ≤ |xp − ypN | + |ypN − yqN | + |yqN − xq | < ε. Esto implica que (xn )n∈N es de Cauchy y, en consecuencia, x ∈ c. Un hecho importante de la completitud es que todo espacio m´etrico puede verse como subespacio de un espacio m´etrico completo. 4.9.- Definici´ on. Dado un espacio m´etrico (X, d), un espacio (X ∗ , d∗ ) se llama compleci´on de (X, d) si existe X0 subespacio denso de X ∗ tal que (X, d) es isom´etrico a (X0 , d∗ ). 4.10.- Teorema. Todo espacio m´etrico tiene una compleci´ on y dos compleciones de un mismo espacio m´etrico son isom´etricas. Demostraci´ on (esquema): Sea X ∗ el conjunto de las clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy en X, mediante la relaci´on: {xn }n∈N ∼ {yn }n∈N ⇐⇒: l´ım d(xn , yn ) = 0. n

14

Se define d∗ : X ∗ × X ∗ → R como d∗ (x∗ , y ∗ ) = l´ımn d(xn , yn ) siendo {xn } ∈ x∗ , {yn } ∈ y ∗ . Se debe probar: a) Dicho l´ımite existe (para ello basta que {d(xn , yn )} sea de Cauchy en R). b) La definici´on no depende de los representantes elegidos. c) d∗ es una m´etrica. d) X ∗ contiene un subespacio X0 isom´etrico a X. Para ello definimos X0 = {x∗ ∈ X ∗ : (x, x, . . . ) ∈ x∗ } y f : X → X0 como f (x) = x∗ . e) X0 = X ∗ . f) X ∗ es completo. g) Si (X ∗∗ , d∗∗ ) es compleci´on de X, ∃f : X ∗ → X ∗∗ isometr´ıa. Otra caracterizaci´on importante de los espacios completos, que s´olo enunciaremos, viene dada en t´erminos de sucesiones decrecientes de conjuntos o encajes. 4.11.- Definici´ on. Diremos que una sucesi´on {An }n∈N de subconjuntos de X es un encaje cuando A1 ⊃ · · · ⊃ An ⊃ . . . y di´am An → 0. 4.12.- Proposici´ on. Sea {An }n∈N un T encaje de conjuntos no vac´ıos. Entonces An converge a x si y s´ olo si x ∈ n∈N An . 4.13.- Teorema (Principio de encaje de Haussdorf). Sea X un espacio m´etrico. Son equivalentes: i) X es completo. ii) Todo encaje {Fn }n∈N de conjuntos cerrados no vac´ıos tiene intersecci´ on no vac´ıa. iii) Todo encaje {An }n∈N de conjuntos no vac´ıos converge a un punto x ∈ X.

15

´ 5. COMPACIDAD EN ESPACIOS METRICOS.

5.1.- Definici´ on. Una familiaS{Ai }i∈I de conjuntos se llama cubrimiento de un conjunto A cuando A ⊂ i∈I Ai . Dado un cubrimiento {Ai }i∈I de A, se llama subcubrimiento a todo cubrimiento {Ai }i∈J tal que J ⊂ I. 5.2.- Definici´ on. Un subconjunto M de un espacio m´etrico X es compacto si todo cubrimiento por abiertos de M posee alg´ un subcubrimiento finito (llamada propiedad de Borel-Lebesgue). As´ı, por ejemplo, en R con la m´etrica usual, el intervalo abierto (0, 1) no es compacto pues del cubrimiento {(1/n, 1), n ∈ N} no se puede extraer ning´ un subcubrimiento finito. Por otra parte, si un conjunto X posee la m´etrica discreta, ning´ un subconjunto infinito M puede ser compacto; para comprobarlo basta considerar la familia de bolas abiertas {B(x, 1/2)}x∈M que es un cubrimiento de M pero que no posee ning´ un subcubrimiento finito. 5.3.- Definici´ on. Una familia {Xi }i∈I de conjuntos es un sistema centrado o tiene la propiedad de intersecci´on finita si toda subfamilia finita tiene intersecci´on no vac´ıa. Un conjunto A ⊂ X tiene la propiedad de Riesz si para todo T sistema centrado {Fi }i∈I de cerrados tal que Fi ⊂ A, ∀i ∈ I, se tiene que i∈I Fi 6= ∅. 5.4.- Proposici´ on. Un conjunto A en un espacio m´etrico X es compacto si y s´ olo si es cerrado y tiene la propiedad de Riesz. (Ver la demostraci´on en [CC], [KF].) 5.5.- Proposici´ on. Todo subconjunto cerrado contenido en un compacto es a su vez compacto. La siguiente caracterizaci´on de los conjuntos compactos ser´a u ´til en lo sucesivo. 5.6.- Teorema. Sea X un espacio m´etrico y A ⊂ X. Son equivalentes: i) A es totalmente acotado y completo. ii) A es compacto. iii) Toda sucesi´ on {xn }n∈N contenida en A posee alguna subsucesi´ on {xnk }k∈N convergente en A (propiedad de Bolzano-Weierstrass). Demostraci´ on. i) =⇒ ii): Sea {Ai }i∈I un cubrimiento por abiertos de A y supongamos que ning´ un subconjunto finito cubre a A. Por hip´otesis, dado ε > 0, existen K1 , . . . , Kp tales que A = K1 ∪ · · · ∪ Kp y di´am Ki ≤ ε. Adem´as al menos uno de los Ki no puede cubrirse con ning´ un sistema finito 16

de conjuntos de {Ai }i∈I ; digamos que es K1 . Por ser K1 ⊂ A, es tambi´en totalmente acotado. Repitiendo el argumento anterior, existir´a K2 ⊂ K1 con di´am K2 ≤ ε/2 que no puede cubrirse con un n´ umero finito de conjuntos de {Ai }i∈I . Formamos as´ı un encaje {Kn }n∈N de conjuntos contenidos en A que es completo. Por S el teorema 4.13 existe x ∈ A tal que Kn converge a x. Como x ∈ A ⊂ i∈I Ai , existe A0 ∈ {Ai }i∈I con x ∈ A0 ; luego para n grande ser´a Kn ⊂ A0 lo que contradice que Kn no se puede cubrir con un n´ umero finito de conjuntos de {Ai }i∈I . ii) =⇒ iii): Sea A compacto y {xn }n∈N una sucesi´on de elementos de A. Definimos Xn = {xn , xn+1 , . . . }. Es evidente que {Xn }n∈N es una familia con la propiedad de intersecci´on finita. Por ser A compacto, existe x ∈ A tal que x ∈ Xn para todo n. Podemos suponer que para alg´ un m es x 6∈ Xm (en caso contrario la tesis es evidente). Como x ∈ Xm \ Xm , por la proposici´on 2.11, x es el l´ımite de alguna subsucesi´on de {xn }n∈N . iii) =⇒ i): Sea {xn }n∈N una sucesi´on de Cauchy en A; por hip´otesis existe una subsucesi´on convergente en A lo que implica que la propia sucesi´on converge en A. Luego A es completo. Si A no fuese totalmente acotado, existir´ıa ε > 0 tal que A no puede cubrirse con un n´ umero finito de bolas de radio ε/2. Elegimos x1 ∈ A y llamamos B1 = B(x1 , ε/2). Como B1 no cubre a A, existe x2 6∈ B1 ; sea B2 = B(x2 , ε/2). Razonando en la misma forma, encontramos una sucesi´on {xn }n∈N de puntos de A tal que xn 6∈ B1 ∪· · ·∪Bn−1 , es decir d(xi , xj ) ≥ ε/2 con lo que ninguna subsucesi´on de {xn }n∈N puede ser convergente. ♦ 5.7.- Lema. Un subconjunto compacto de un espacio m´etrico es cerrado y acotado. Demostraci´ on. Sea M un conjunto compacto y x ∈ M . Entonces existe una sucesi´on {xn }n∈N ⊂ M que converge a x. Como M es compacto, x ∈ M (pues las subsucesiones deben tener el mismo l´ımite que {xn }n∈N ). Si M no fuera acotado, dado b ∈ M, ∃{yn }n∈N sucesi´on en M no acotada tal que d(yn , b) > n. Como {yn }n∈N no est´a acotada, no puede tener ninguna sub-sucesi´on convergente. ♦ El rec´ıproco es falso, como muestra el siguiente ejemplo: La sucesi´on {en }n∈N ⊂ `2 , donde en = (δnj )∞ a acotada y es cerrada j=1 , est´ pues se trata√ de un conjunto formado por puntos aislados para los que d(xn , xm ) = 2. Sin embargo, no es compacto por la misma raz´on. En el caso de espacios normados de dimensi´on finita el rec´ıproco tambi´en es cierto como probaremos m´as adelante (cap´ıtulo II, teorema 5.7). Hemos probado as´ı que si un conjunto no es cerrado no puede ser compacto. 17

Sin embargo su clausura s´ı puede serlo. Esto origina la siguiente definici´on. 5.8.- Definici´ on. Un conjunto A de un espacio m´etrico X es relativamente compacto si su clausura A es compacta. Las siguientes caracterizaciones (cuya demostraci´on omitiremos) ser´an u ´tiles. 5.9.- Proposici´ on. La condici´ on necesaria y suficiente para que un conjunto A de un espacio m´etrico completo X sea relativamente compacto, es que sea totalmente acotado. 5.10.- Proposici´ on. La condici´ on necesaria y suficiente para que un conjunto A de un espacio m´etrico X sea relativamente compacto es que sea secuencialmente compacto, es decir que toda sucesi´ on de elementos de A posea alguna subsucesi´ on convergente (pero no necesariamente a un punto de A). En el an´alisis, uno de los espacios m´etricos m´as importantes es C[a, b] y un criterio importante para el estudio de la compacidad en estos espacios (que aplicaremos posteriormente en el estudio de ciertos operadores integrales) es el teorema de Arzel´a-Ascoli que enunciaremos tras definir los conceptos necesarios. 5.11.- Definici´ on. Una familia F = {ϕ} de funciones definidas en [a, b] se llama equiacotada cuando existe una constante k > 0 tal que |ϕ(x)| < k, ∀x ∈ [a, b], ∀ϕ ∈ F . La familia F se dice equicontinua cuando para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que ∀ϕ ∈ F , d(x1 , x2 ) < δ =⇒ |ϕ(x1 ) − ϕ(x2 )| < ε. 5.12.- Teorema (Arzel´a-Ascoli). Una familia F ⊂ C[a, b] es relativamente compacta en C[a, b] si y s´ olo si es equiacotada y equicontinua. 5.13.- Teorema (Arzel´a-Ascoli generalizado). Dados dos espacios m´etricos compactos X e Y , llamamos C(X, Y ) = {f : X → Y : f es continua}, que es espacio m´etrico con la distancia d(f, g) = supx∈X d(f (x), g(x)). Una condici´ on necesaria y suficiente para que un conjunto A ⊂ C(X, Y ) sea relativamente compacto es que ∀ε > 0, ∃δ > 0 : d(x1 , x2 ) < δ =⇒ d(f (x1 ), f (x2 )) < ε, para cualesquiera f ∈ A, x1 , x2 ∈ X. Los conjuntos compactos tienen propiedades interesantes que los hacen comportarse como conjuntos finitos. As´ı por ejemplo la imagen continua de un compacto es un compacto. 18

5.14.- Teorema. Sea f : X → Y una aplicaci´ on continua y X, Y espacios m´etricos. Si M es compacto en X, f (M ) es compacto en Y . La prueba es directa. 5.15.- Corolario. Si f : X → R es continua y M es compacto en X, entonces f alcanza el m´ aximo (y el m´ınimo) en alg´ un punto de M . Demostraci´ on. f (M ) ⊂ R es compacto, con lo que f (M ) es cerrado y acotado. Esto implica que ´ınf f (M ) ∈ f (M ) y sup f (M ) ∈ f (M ) y las im´agenes inversas de esos puntos est´an en M . ♦

19

6. EJERCICIOS.

1. Sea d una m´ etrica en X . Determinar todas las constantes k para las que

i) kd, ii) d + k es una m´ etrica sobre X . Resp.: i) Sea d0 = kd. Para que d0 (x, y) > 0, debe ser k > 0. Para que d0 (x, y) = 0 ⇐⇒ x = y, debe ser k 6= 0. Como las otras dos propiedades son siempre ciertas, toda constante k > 0 hace de d0 una m´etrica. ii) Sea d00 = d + k. Para que d00 (x, y) = 0 ⇐⇒ x = y, hace falta que k = 0 porque x = y =⇒ d(x, y) = 0 =⇒ d00 (x, y) = d(x, y) + k = k. As´ı pues, s´olo para k = 0 es d00 un m´etrica.   2. Si A es el subespacio de `∞ formado por las sucesiones de ceros y unos, ¿cu´ al es la m´ etrica inducida sobre A? ( 1 Resp.: Como d(x, y) = supn |xn − yn | = 0 m´etrica discreta.

si x 6= y se trata de la si x = y,

  3. Sea X el conjunto de las ternas ordenadas de ceros y unos. Mostrar que X tiene 8 elementos y que d(x, y) =“n´ umero de lugares etrica sobre X . en que x e y tienen valores diferentes.es una m´ (Esta es la llamada distancia de Hamming y es u ´til en teor´ıa de aut´ omatas y c´ odigos.) Resp.: card X = 23 = 8. i) Es evidente que d(x, y) ≥ 0. 20

ii) d(x, y) = 0 =⇒ x e y no tienen ning´ un valor diferente =⇒ x = y. El rec´ıproco es similar. iii) Por la simetr´ıa de la definici´on, d(x, y) = d(y, x). iv) Sean x = (x1 , x2 , x3 ), y = (y1 , y2 , y3 ), z = (z1 , z2 , z3 ); debido a que d(x, y) = |x1 − y1 | + |x2 − y2 | + |x3 − y3 |, por la desigualdad triangular en R se deduce que d(x, y) =

=

3 X i=1 3 X i=1

|xi − yi | = |xi − zi | +

3 X i=1 3 X

|xi − zi + zi − yi | ≤

3 X

(|xi − zi | + |zi − yi |)

i=1

|zi − yi | = d(x, z) + d(z, y).

i=1

  4. Determinar si la aplicaci´ on d : R × R → R definida por d(x, y) = 2 2 |x − y | es una distancia. Si no lo es, decir si existe un subconjunto de la recta en que s´ı lo sea. Dar el mayor de los conjuntos que lo cumplen. Resp.: Si x = y, es claro que d(x, y) = 0. Sin embargo, si d(x, y) = 0 =⇒ x2 = y 2 , pero puede ser x = −y lo que implica que d no es distancia. Si d est´a definida en R+ ∪{0} ´o R− ∪{0}, x2 = y 2 =⇒ x = y. En cualquier caso, d(x, y) = d(y, x) y d(x, y) = |x2 − y 2 | ≤ |x2 − z 2 | + |z 2 − y 2 | = d(x, z) + d(y, z), de modo que d es distancia en dichos subconjuntos de R.   5. a) Encontrar una sucesi´ on que converja a cero, pero no est´ e en ning´ un `p , con 1 ≤ p < ∞.

b) Encontrar una sucesi´ on que est´ e en `p con p > 1, pero no en 1 ` . Resp.: a) La sucesi´on (1/ ln n)n≥2 evidentemente converge a cero pero, P n)p debido a que l´ımn→∞ 1/(ln = ∞, ∀p ≥ 1, la serie |1/(ln n)p | es 1/n divergente. 21

P b) La sucesi´on (1/n)n≥1 no est´a en `1P , pues la serie 1/n es divergente, pero est´a en `p con p > 1 pues 1/np < ∞, ∀p > 1.   6. Sea (X, d) un espacio m´ etrico cualquiera. Demostrar que la aplid(x,y) es tambi´ en caci´ on D : X × X → R definida por D(x, y) = 1+d(x,y) una distancia sobre X . Resp.: Es evidente que D(x, x) = 0 y, si D(x, y) = 0 =⇒ d(x, y) = 0 =⇒ x = y. Por ser d distancia, tambi´en D(x, y) = D(y, x). Por u ´ltimo, teniendo en cuenta que la funci´on y = resulta: D(x, y) = = ≤

x 1+x

es creciente,

d(x, z) + d(y, z) d(x, y) ≤ 1 + d(x, y) 1 + d(x, z) + d(y, z) d(x, z) d(y, z) + 1 + d(x, z) + d(y, z) 1 + d(x, z) + d(y, z) d(x, z) d(y, z) + = D(x, z) + D(y, z). 1 + d(x, z) 1 + d(y, z)  

7. Sea (X, d) un espacio m´ etrico y P (X) el conjunto de partes de X . Se define la aplicaci´ on D : P (X) × P (X) → R por D(A, B) = ´ınf{d(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}.

a) Probar que D no es una m´ etrica en P (X). b) Si A ∩ B 6= ∅, probar que D(A, B) = 0. ¿Qu´ e se puede decir del rec´ıproco? c) Si x ∈ X, B ⊂ X, se define δ(x, B) = ´ınf b∈B d(x, b). Probar que ∀x, y ∈ X, |δ(x, B) − δ(y, B)| ≤ d(x, y). Resp.: a) Si A ∩ B 6= ∅, ∃x ∈ A ∩ B =⇒ D(A, B) = d(x, x) = 0. Sin embargo A 6= B. b) Si D(A, B) = 0 =⇒ ∃an ∈ A, bn ∈ B : d(an , bn ) → 0, pero puede ser A∩B 6= ∅ (ver por ejemplo las bolas B(0, 1) y B(2, 1) en la distancia eucl´ıdea de R). 22

c) Sean b, b0 ∈ B; por la desigualdad triangular, d(x, b) ≤ d(x, y) + d(y, b) ≤ d(x, y) + d(y, b0 ) + d(b0 , b). Esto implica que ´ınf d(x, b) ≤ d(x, y)+ ´ınf d(y, b0 )+ ´ınf d(b0 , b) = d(x, y)+ ´ınf d(y, b0 ), 0 0 0 b ∈B

b∈B

b,b ∈B

b ∈B

o bien δ(x, B) ≤ d(x, y) + δ(y, B). An´alogamente se prueba que δ(y, B) ≤ δ(x, B) + d(x, y).   8. Si (X1 , d1 ) y (X2 , d2 ) son espacios m´ etricos, probar que en el espacio producto X = X1 × X2 se pueden definir las m´ etricas siguientes: d(x, y) = d1 (x1 , y1 ) + d2 (x2 , y2 ), d(x, y) = m´ax{d1 (x1 , y1 ), d2 (x2 , y2 )},

donde x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ) ∈ X. Resp.: i) Es evidente que d(x, y) ≥ 0 y d(x, y) ≥ 0. ii) De la definici´on se deduce tambi´en que: d(x, y) = 0 ⇐⇒ d1 (x1 , y1 ) = d2 (x2 , y2 ) = 0 ⇐⇒ x1 = y1 , x2 = y2 ⇐⇒ x = y; d(x, y) = 0 ⇐⇒ d1 (x1 , y1 ) = d2 (x2 , y2 ) = 0 ⇐⇒ x1 = y1 , x2 = y2 ⇐⇒ x = y. iii) Es claro tambi´en que d(x, y) = d(y, x), d(x, y) = d(y, x). iv) En el caso de d, se prueba f´acilmente que d(x, y) = d1 (x1 , y1 ) + d2 (x2 , y2 ) ≤ d1 (x1 , z1 ) + d1 (z1 , y1 ) + d2 (x2 , z2 ) + d2 (z2 , y2 ) = d(x, z) + d(z, y). Para probar la desigualdad triangular en el otro caso, supongamos, sin p´erdida de generalidad, que d1 (x1 , y1 ) ≥ d2 (x2 , y2 ); as´ı, d(x, y) = d1 (x1 , y1 ). Entonces d(x, y) = d1 (x1 , y1 ) ≤ d1 (x1 , z1 ) + d1 (z1 , y1 ) ≤ m´ax{d1 (x1 , z1 ), d2 (x2 , z2 )} + m´ax{d1 (z1 , y1 ), d2 (z2 , y2 )} =

d(x, z) + d(z, y). 23

  9. En R definimos la distancia d(a, b) =

|a−b| 1+|a−b|

(ver ejercicio 6).

a) Determinar las bolas abiertas. b) Hallar δ(2, A) donde A = {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1}. c) Hallar D(A, B) donde B = {x ∈ R : −2 < x < −1}. (Las aplicaciones δ y D est´ an definidas en el ejercicio 7.) Resp.: a) Sea x ∈ B(a, r); entonces |x − a| < r =⇒ |x − a| < r + r|x − a| =⇒ (1 − r) · |x − a| < r. 1 + |x − a| - Si r < 1: |x − a| <

r 1−r

=⇒ B(a, r) = a −

r 1−r , a

+

r 1−r



.

- Si r = 1: B(a, r) = R. - Si r > 1 se obtiene tambi´en que B(a, r) = R. b) Por definici´on, δ(2, A) = ´ınf d(2, x) = ´ınf 0≤x≤1

pues y =

2−x 3−x

0≤x≤1

2−x 1 |2 − x| = ´ınf = , 1 + |2 − x| 0≤x≤1 3 − x 2

es una funci´on decreciente en [0, 1].

c) D(A, B) = ´ınf{d(x, y) : x ∈ [0, 1], y ∈ (−2, −1)}. Si x ∈ [0, 1], y ∈ (−2, −1), d(x, y) = Como la derivada parcial constante. An´alogamente, como x es constante.

∂d ∂y

=

∂d ∂x

=

x−y 1+x−y .

1 (1+x−y)2

−1 (1+x−y)2

> 0, d es creciente si y es

< 0, entonces d es decreciente si

En el cuadrado [0, 1] × [−2, −1], el m´ınimo se alcanza en (0, −1) y vale 1/2.  

24

10. Probar que la clausura B(x0 , r) de una bola abierta B(x0 , r) en un espacio m´ etrico puede ser distinta de la bola cerrada B(x0 , r). Resp.: Sea X un conjunto cualquiera con la m´etrica discreta, y x0 ∈ X arbitrario. Entonces B(x0 , 1) = {x ∈ X : d(x, x0 ) < 1} = {x0 } =⇒ B(x0 , 1) = {x0 }; sin embargo, B(x0 , 1) = {x ∈ X : d(x, x0 ) ≤ 1} = X.   11. Demostrar que si X es un espacio m´ etrico, A ⊂ X y r ∈ R+ , entonces Vr (A) = {x ∈ X : d(x, A) ≤ r} es cerrado. Resp.: Veamos en primer lugar que la aplicaci´on f : X → R+ definida por f (x) = d(x, A) = ´ınf{d(x, y) : y ∈ A} es continua: Sean ε > 0 y x0 ∈ X arbitrarios. Por la desigualdad triangular, para cualesquiera a, b ∈ A, d(x, a) ≤ d(x, x0 ) + d(x0 , b) + d(b, a). Entonces ´ınf d(x, a) ≤ d(x, x0 )+´ınf d(x0 , b)+ ´ınf d(b, a) =⇒ f (x) ≤ d(x, x0 )+f (x0 ).

a∈A

b∈A

a,b∈A

An´alogamente se prueba que f (x0 ) ≤ d(x, x0 ) + f (x). En definitiva |f (x) − f (x0 )| ≤ d(x, x0 ). Si elegimos δ = ε, entonces d(x, x0 ) < δ =⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε. Como [0, r] es cerrado en R+ , entonces f −1 [0, r] tambi´en es cerrado en X. Adem´as f −1 [0, r] = {x ∈ E : f (x) ≤ r} = {x ∈ E : d(x, A) ≤ r} = Vr (A). Otra forma consiste en probar que el complementario Vrc (A) es abierto: Sea para ello x ∈ Vrc (A) =⇒ d(x, A) > r. Si llamamos s = d(x, A), veamos que B(x, (s − r)/2) ⊂ Vrc (A). ∀y ∈ B(x, (s − r)/2), d(x, y) < (s − r)/2. Como d(x, A) ≤ d(x, y) + s+r d(y, A), entonces d(y, A) ≥ d(x, A) − d(x, y) > s − s−r 2 = 2 > r.   12. Probar que un espacio m´ etrico X es separable si y s´ olo si existe Y ⊂ X numerable tal que ∀ε > 0, ∀x ∈ X, ∃y ∈ Y : d(x, y) < ε. 25

Resp.: Si X es separable, existe por definici´on M ⊂ X numerable tal que ∀x ∈ X, ∃{xn }n∈N ⊂ M : xn → x. Entonces ∀ε > 0, ∃N : d(xn , x) < ε, ∀n > N. Rec´ıprocamente, si ∀x ∈ X, ∃y ∈ Y : d(x, y) < ε, entonces x ∈ Y . Esto implica que X = Y con Y numerable, es decir X es separable.   13. Sea {xn }n∈N una sucesi´ on en un espacio m´ etrico X . Probar:

a) Si xn → x, entonces toda sub-sucesi´ on {xnk }k∈N de {xn }n∈N converge a x. b) Si {xn }n∈N es de Cauchy y tiene alguna sub-sucesi´ on convergente, entonces {xn }n∈N converge al mismo l´ımite que dicha sub-sucesi´ on. Resp.: a) Basta tener en cuenta que, si d(xn , x) < ε, ∀n > N , entonces d(xnk , x) < ε, con nk > N . b) Por hip´otesis, ∀ε > 0,

∃N1 : d(xnk , x) < ε/2 si nk ≥ N1 ∃N2 : d(xn , xm ) < ε/2 si n, m ≥ N2 .

Tomando N = m´ax{N1 , N2 }, d(xn , x) ≤ d(xn , xnk ) + d(xnk , x) < ε, si n > N.   14. Sea {xn }n∈N una sucesi´ on en un espacio m´ etrico y consideramos las subsucesiones {x2n }n∈N , {x2n+1 }n∈N , {x3n }n∈N que suponemos convergentes. Demostrar que {xn }n∈N es convergente.

Poner un ejemplo de una sucesi´ on no convergente y que ∀k ≥ 2, {xkn }n∈N sea convergente. Resp.: Supongamos que l´ım x2n = a, l´ım x3n = b, l´ım x2n+1 = c. Por ser {x6n }n∈N subsucesi´on de {x2n }n∈N y {x3n }n∈N , l´ım x6n = a = b. Por ser {x6n+3 }n∈N subsucesi´on de {x3n }n∈N y {x2n+1 }n∈N , l´ım x6n+3 = b = c. 26

As´ı pues, l´ım x2n = l´ım x2n+1 = a. Veamos que l´ım xn = a: ∀ε > 0,

∃n1 : |x2n − a| < ε, ∀n > n1 , ∃n2 : |x2n+1 − a| < ε, ∀n > n2 .

Si p = m´ax{n1 , n2 }, |xn − a| < ε, ∀n > p. ( 1 En cuanto a la segunda parte, si definimos xn = n entonces xkn = 1, ∀n, pero {xn }n∈N no converge.

si n no es primo si n es primo,

  15. Sea {un }n∈N , un ∈ R, un ≥ 0 tal que l´ımn→∞ un = 0. Demostrar que existe una infinidad de ´ındices n tales que para cada m > n, un ≥ um . Resp.: Por hip´otesis, ∀ε > 0, ∃N : uN , uN +1 , . . . < ε. Por ser convergente, {un }n∈N est´a acotada superiormente, con lo que tiene supremo. Dicho supremo est´a en el conjunto porque, en caso contrario, ser´ıa un punto de acumulaci´on no nulo y la sucesi´on no podr´ıa ser convergente a 0. Si uν0 es dicho m´aximo, um ≤ uν0 , ∀m > ν0 . Tomamos ahora la sucesi´on {uν0 +1 , . . . } y aplicamos el mismo razonamiento anterior : ∃ν1 > ν0 tal que uν1 ≥ um , ∀m > ν1 , y as´ı sucesivamente. Es evidente que la sucesi´on {uν0 , uν1 , . . . } es decreciente. Otra forma (por reducci´on al absurdo): Si s´olo existiera un conjunto finito de ´ındices {n0 , . . . , nk } para el que um ≤ uni , ∀m > ni (i = 0, . . . , k), entonces ∃m1 : um1 > unk +1 , ∃m2 > m1 : um2 > um1 , .. . Esto indica que la subsucesi´on {umk }k∈N es creciente y no tiene l´ımite cero, lo que contradice la hip´otesis.  

27

16. Si d1 , d2 son m´ etricas equivalentes sobre X , probar que las sucesiones de Cauchy en (X, d1 ) y (X, d2 ) son las mismas. Resp.: Por hip´otesis, ∃a, b > 0 : a · d1 (x, y) ≤ d2 (x, y) ≤ b · d1 (x, y). Si {xn }n∈N es de Cauchy en (X, d1 ), d1 (xn , xm ) < ε/b, ∀n, m > Nε . Entonces d2 (xn , xm ) ≤ b · d1 (xn , xm ) < ε. Esto implica que {xn }n∈N es de Cauchy respecto a d2 . An´alogamente se prueba la segunda parte.   17. Si A y B son cerrados y disjuntos en un espacio m´ etrico X , demostrar que existe f : X → [0, 1] continua tal que f (x) = 0, ∀x ∈ A y f (x) = 1, ∀x ∈ B . d(x,A) . El denominador nunca se Resp.: Basta definir f (x) = d(x,A)+d(x,B) anula por lo que f est´a definida en todo X.

  18. Sea f : R → R una aplicaci´ on continua y peri´ odica tal que el conjunto {T : T es per´ıodo de f } es denso en R. Demostrar que f es constante. Resp.: ∀x ∈ R, ∃(Tn )n∈N : Tn → x y f (a + Tn ) = f (a), ∀a ∈ R. En particular f (Tn ) = f (0 + Tn ) = f (0). Como Tn → x y f es continua, f (Tn ) → f (x). Por tanto, f (x) = f (0), ∀x ∈ R.   19. Sea f : X → Y una aplicaci´ on tal que f |A : A → f (A) es continua, con A ⊂ X . ¿Es f continua en A? ( 0 si x ∈ Q Resp.: No, pues la funci´on de Dirichlet f (x) = no lo 1 si x 6∈ Q, satisface. La restricci´on f |Q es continua y constante pero l´ımx→a f (x) 6= f (a) con a ∈ Q.  

28

20. Sea f : R → R una funci´ on aditiva y continua en x0 . Demostrar que f es continua en R y que f (x) = ax, ∀x ∈ R con a fijo. Resp.: a) Veamos que f es continua en R. Por hip´otesis , ∀ε > 0, ∃δ > 0 : |x − x0 | < δ =⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε. Debemos probar que f es continua en x, es decir ∀ε > 0, ∃δ > 0 : |y − x| < δ =⇒ |f (y) − f (x)| < ε. Pero si |y − x| < δ, entonces |y − x + x0 − x0 | < δ =⇒ |f (y − x + x0 ) − f (x0 )| < ε =⇒ |f (y) − f (x) + f (x0 ) − f (x0 )| = |f (y) − f (x)| < ε. b) ∀n ∈ N, es claro que f (n) = nf (1). Llamamos a = f (1). Por una parte, f (x) = f (0 + x) = f (0) + f (x) =⇒ f (0) = 0. Adem´as, 0 = f (1+(−1)) = f (1)+f (−1). Esto implica que f (−1) = −a y f (−m) = mf (−1) = −am. Por otra parte, a = f (1) = f (q/q) = qf (1/q) =⇒ f (1/q) = a · (1/q). Entonces f (p/q) = pf (1/q) = p · a · (1/q) = a · (p/q). Por u ´ltimo, ∀x ∈ R, ∃xn ∈ Q : xn → x. Por ser f continua, f (xn ) → f (x). Como f (xn ) = axn , f (xn ) → ax, de modo que ax = f (x).   21. Sean las aplicaciones f : E → F , g : F → G, donde f es continua y sobre, g es continua y g ◦ f es homeomorfismo. Demostrar que f y g son homeomorfismos. Resp.: Como g ◦ f es biyectiva, g es sobre y f es inyectiva. Entonces f es biyectiva. Dado A abierto en E, (g ◦ f )(A) es abierto en G. Como g es continua, f (A) es abierto en F. Esto implica que f −1 es continua y f es homeomorfismo. ∀x, y ∈ F , si g(x) = g(y), entonces (g ◦ f )−1 (g(x)) = (g ◦ f )−1 (g(y)) =⇒ f −1 (x) = f −1 (y) =⇒ x = y. Esto prueba que g es inyectiva con lo que g es biyectiva. 29

Dado B abierto en F, f −1 (B) es abierto en E. Entonces (g◦f )f −1 (B) = g(B) es abierto en G =⇒ g −1 continua =⇒ g homeomorfismo. Otra forma: g = g ◦ f ◦ f −1 con g ◦ f biyectiva y f −1 biyectiva =⇒ g biyectiva. g −1 = f ◦ f −1 ◦ g −1 con f continua y f −1 ◦ g −1 continua =⇒ g −1 continua. f −1 = f −1 ◦ g −1 ◦ g con g continua y f −1 ◦ g −1 continua =⇒ f −1 continua.   22. Sea f : R → R una aplicaci´ on estrictamente creciente. Probar que la funci´ on D(x, y) = |f (x) − f (y)| es una distancia sobre R pero D no es equivalente a | · |. Resp.: a) D(x, y) = 0 ⇐⇒ f (x) = f (y) ⇐⇒ x = y (f es inyectiva por ser estrictamente creciente). D(x, y) = |f (x)−f (y)| = |f (x)−f (z)+f (z)−f (y)| ≤ D(x, z)+D(z, y). El resto es evidente. b) Si f no es continua en x0 , ∃ε > 0 : ∀δ > 0, |x − x0 | < δ pero |f (x) − f (x0 )| ≥ ε. Si fuera D equivalente a | · |, ∃a, b > 0 : a · |x − y| ≤ |f (x) − f (y)| ≤ b · |x − y|. Eligiendo δ = ε/b, ε ≤ |f (x) − f (x0 )| ≤ b · |x − x0 | < b · ε/b = ε, lo cual es absurdo.   23. Sea M ⊂ `∞ el subespacio de las sucesiones con un n´ umero finito de t´ erminos no nulos. Probar que M no es completo. Resp.: Construimos la sucesi´on {x(n) }n∈N siguiente:

x(n)

x(1) = (1, 0, . . . ) x(2) = (1, 1/4, 0, . . . ) ... = (1, 1/4, . . . , 1/n2 , 0, . . . ). (n)

Si m > n, d(x(n) , x(m) ) = sup |xj

30

(m)

− xj

|=

1 (n+1)2

→ 0.

As´ı definida, x(n) ∈ M, ∀n, pero l´ım x(n) = x = (1, 1/4, . . . , 1/n2 , . . . ) 6∈ n→∞ M.   1 24. Consideremos para cada n ∈ N la sucesi´ on sn = 1 + 1!1 + · · · + n! . Demostrar que {sn }n∈N es de Cauchy en Q y deducir de ello que Q no es completo.

Resp.: Para probar que es de Cauchy, veamos que |sn − sm | → 0. En efecto, si suponemos que n > m, ∞ X 1 1 1 |sn − sm | = + ··· + ≤ →0 (m + 1)! n! k! k=m+1

por ser el resto de una serie convergente (como es sabido, e =

P∞

n=0 1/n!).

Ahora bien, como l´ımn→∞ sn = e 6∈ Q, se deduce que Q no es completo.   25. Probar que todo espacio con la m´ etrica discreta es completo. Resp.: Si X posee la m´etrica discreta, y {xn }n∈N es de Cauchy en X, entonces ∀n, m > N, xn = xm . Esto implica que {xn }n∈N es convergente.   26. Si (X1 , d1 ), (X2 , d2 ) son espacios m´ etricos isom´ etricos y X1 es completo, probar que X2 es completo. Resp.: Sea {yn }n∈N una sucesi´on de Cauchy en X2 . Como X1 y X2 son isom´etricos, ∃f : X1 → X2 isometr´ıa biyectiva. Por tanto, ∃xn ∈ X1 : f (xn ) = yn . Adem´as, d2 (yn , ym ) = d2 (f (xn ), f (xm )) = d1 (xn , xm ). Por tanto, {xn }n∈N es de Cauchy en X1 . Al ser X1 completo, existe x ∈ X tal que xn → x, de donde d2 (yn , f (x)) = d1 (xn , x) → 0 =⇒ {yn }n∈N converge a f (x).  

31

27. Demostrar que toda isometr´ıa f : R → R cumple que f (x) = a + x o f (x) = a − x. ´ Resp.: Por ser f isometr´ıa, |f (x) − f (y)| = |x − y|. En particular, |f (x) − f (0)| = |x|, es decir f (x) − f (0) = x ´o f (x) − f (0) = −x. Ahora bien, si existieran x1 , x2 ∈ R, x1 6= x2 tales que f (x1 ) − f (0) = x1 y f (x2 ) − f (0) = −x2 , entonces f (x1 ) − f (x2 ) = x1 + x2 =⇒ |f (x1 ) − f (x2 )| = |x1 + x2 | = 6 |x1 − x2 | si x1 , x2 6= 0. Llamando f (0) = a, se obtiene el resultado.   28. Un espacio m´ etrico se dice localmente compacto si todo punto tiene un entorno compacto. Probar que Rn y Cn son espacios localmente compactos pero no compactos. Resp.: Dado un punto arbitrario x en Rn ´o Cn , cualquier bola cerrada centrada en x es un compacto (por ser un conjunto cerrado y acotado contenido en un espacio de dimensi´on finita). Sin embargo, los espacios Rn y Cn no son compactos pues no son acotados.   29. Sea X un conjunto no vac´ıo. Una aplicaci´ on d : X × X → R se llama pseudom´ etrica si se verifica lo siguiente:

i) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X. ii) d(x, x) = 0, ∀x ∈ X . iii) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X . iv) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(y, z), ∀x, y, z ∈ X . Rb ¿La funci´ on d(x, y) = a |x(t)−y(t)|dt define una m´ etrica o pseudom´ etrica en C[a, b]? ¿Y en las funciones R[a, b] integrables Riemann en [a, b]? Resp.: Los apartados i), ii) y iii) son evidentes. Por otra parte, como |x(t) − y(t)| ≤ |x(t) − z(t)| + |z(t) − y(t)|, ∀t ∈ [a, b], 32

entonces Z b

b

Z

Z a

a

a

Adem´as, si x, y ∈ C[a, b] y

Rb a

b

|z(t) − y(t)|dt.

|x(t) − z(t)|dt +

|x(t) − y(t)|dt ≤

|x(t) − y(t)|dt = 0, entonces x = y.

Sin embargo si x e y se diferencian en su valor en un punto c ∈ (a, b) y Rb son integrables, a |x−y| = 0 pero x 6= y. Esto indica que la aplicaci´on, definida en R[a, b], es una pseudom´etrica.   30. a) Si tenemos una pseudom´ etrica d sobre X , vamos a establecer una relaci´ on binaria x ∼ y ⇐⇒ d(x, y) = 0. Demostrar que ∼ es de equivalencia y que el conjunto cociente se puede estructurar en espacio m´ etrico mediante una distancia que se puede definir de forma natural a partir de d.

b) Demostrar que d : R2 × R2 → R2 definida por d(a, b) = |a1 − b1 |, si a = (a1 , a2 ), b = (b1 , b2 ),

es pseudom´ etrica sobre R2 . Determinar el conjunto cociente y la distancia definida sobre ´ el. Resp.: a) Sea x∗ = {y ∈ X : y ∼ x} = {y ∈ X : d(x, y) = 0}. Definimos d∗ : X/∼ × X/∼ → R por d∗ (x∗ , y ∗ ) = d(x, y), donde x ∈ x∗ , y ∈ y ∗ . - d∗ est´a bien definida: ∀x, x0 ∈ x∗ , y, y 0 ∈ y ∗ :  d(x, y) ≤ d(x, x0 ) + d(x0 , y 0 ) + d(y 0 , y) = d(x0 , y 0 ) =⇒ d(x, y) = d(x0 , y 0 ). d(x0 , y 0 ) ≤ d(x0 , x) + d(x, y 0 ) + d(y, y 0 ) = d(x, y) - d∗ es una m´etrica: d∗ (x∗ , y ∗ ) = 0 ⇐⇒ d(x, y) = 0 ⇐⇒ x ∼ y ⇐⇒ x∗ = y ∗ . d∗ (x∗ , y ∗ ) = d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) = d∗ (x∗ , z ∗ ) + d∗ (z ∗ , y ∗ ). b) Es f´acil comprobar que d es pseudom´etrica. Debido a que a ∼ b ⇐⇒ |a1 − b1 | = 0 ⇐⇒ a1 = b1 , podemos caracterizar a∗ = {x = (x1 , x2 ) ∈ R2 : x1 = a1 }. De este modo, R2 /∼ = {(x, 0) : x ∈ R} y la distancia en el espacio cociente es d∗ (a∗ , b∗ ) = |a1 − b1 |.   33

31. Sea d una distancia en un conjunto X . Diremos que d es ultram´ etrica si d(x, z) ≤ m´ax{d(x, y), d(y, z)}, ∀x, y, z ∈ X .

Supongamos que d es ultram´ etrica. a) Demostrar que si d(a, b) 6= d(b, c), d(a, c) = m´ax{d(a, b), d(b, c)}. b) Probar que cada B(a, r) es, a la vez, un conjunto abierto y cerrado y que ∀b ∈ B(a, r), B(b, r) = B(a, r). c) Demostrar que cada B(a, r) es, a la vez, un conjunto abierto y cerrado y que ∀b ∈ B(a, r), B(b, r) = B(a, r). d) Probar que, si dos bolas tienen un punto en com´ un, una de ellas est´ a contenida en la otra. e) Probar que la distancia de dos bolas abiertas distintas de radio r contenidas en una bola cerrada de radio r es igual a r. Resp.: a) Supongamos que d(a, b) < d(b, c). Entonces d(a, c) ≤ m´ax{d(a, b), d(b, c)} = d(b, c) ≤ m´ax{d(b, a), d(a, c)} = d(a, c) =⇒ d(a, c) = d(b, c) = m´ax{d(a, b), d(b, c)}. Si d(a, b) > d(b, c), entonces d(a, c) ≤ m´ax{d(a, b), d(b, c)} = d(a, b) ≤ m´ax{d(a, c), d(c, b)} = d(a, c) =⇒ d(a, c) = d(a, b) = m´ax{d(a, b), d(b, c)}. b) Sea x ∈ B(a, r). Entonces ∀ε > 0, ∃y ∈ B(a, r) : d(x, y) < ε. Eligiendo ε < r, d(a, x) ≤ m´ax{d(a, y), d(y, x)} < r =⇒ x ∈ B(a, r). Probemos la igualdad B(b, r) = B(a, r) por doble inclusi´on: c ∈ B(b, r) =⇒ d(a, c) ≤ m´ax{d(a, b), d(b, c)} < r =⇒ c ∈ B(a, r), c ∈ B(a, r) =⇒ d(c, b) ≤ m´ax{d(c, a), d(a, b)} < r =⇒ c ∈ B(b, r). c) La bola B(a, r) es un conjunto abierto si y s´olo si ∀y ∈ B(a, r), ∃ε > 0 : B(y, ε) ⊂ B(a, r). Si elegimos ε < r, todo z ∈ B(y, ε) verifica d(y, z) < ε y d(a, z) ≤ m´ax{d(a, y), d(y, z)} ≤ r. 34

La igualdad B(b, r) = B(a, r) se prueba de forma an´aloga al apartado b). d) Sea x ∈ B(a, r) ∩ B(b, s) y supongamos que r < s. Entonces d(x, a) < r y d(x, b) < s, de donde d(a, b) ≤ m´ax{d(a, x), d(x, b)} < s. Adem´as ∀y ∈ B(a, r), d(y, b) ≤ m´ax{d(y, a), d(a, b)} < s =⇒ y ∈ B(b, s). Si r = s, B(a, r) = B(b, r) pues, como d(a, b) < r, a ∈ B(b, r) y por b), B(a, r) = B(b, r). e) Por d), si las bolas son distintas, son disjuntas: B(a, r)∩B(b, r) = ∅. Si A = B(a, r), B = B(b, r), C = B(c, r), A ⊂ C, B ⊂ C =⇒ d(A, B) = r. Si x ∈ A, y ∈ B, d(x, y) ≤ m´ax{d(x, c), d(c, y)} ≤ r =⇒ d(A, B) ≤ r. Como d(A, B) ≥ r, deducimos en definitiva que d(A, B) = r.   32. Sea X un conjunto arbitrario y E el conjunto de la sucesiones infinitas de elementos de X , E = {x = (xn )n∈N : xn ∈ X}. Para cada par de elementos de E definimos K(x, y) = k si xn = yn , ∀n < k y xk 6= yk , es decir, k es el menor ( ´ındice que cumple que xn 6= yn . Si 1/K(x, y) si x 6= y definimos ahora d(x, y) = demostrar que 0 si x = y, d es distancia ultram´ etrica sobre E . Resp.: Evidentemente, d(x, x) = 0 y si d(x, y) = 0, entonces x = y. Tambi´en es claro que d(x, y) = d(y, x). Dados x, y, z ∈ E, llamamos K(x, y) = n1 y K(y, z) = n2 . Si n1 = n2 , es evidente que K(x, z) = n1 . Si n1 < n2 , entonces x1 = y1 , . . . , xn1 −1 = yn1 −1 , xn1 6= yn1 y1 = z1 , . . . , yn1 = zn1 , . . . , yn2 −1 = zn2 −1, , yn2 6= zn2

 =⇒ K(x, z) = n1 .

En ambos casos, d(x, z) = 1/n1 ≤ 1/n1 + 1/n2 = d(x, y) + d(y, z). Adem´as m´ax{d(x, y), d(y, z)} = 1/n1 = d(x, z).  

35

33. a) Si X es un espacio m´ etrico, demostrar que la condici´ on necesaria para que una sucesi´ on {xn }n∈N sea de Cauchy es que ∀ε > 0, ∃n0 : d(xn , xn+1 ) < ε si n > n0 .

Demostrar el rec´ıproco con un contraejemplo. b) Sea X un espacio ultram´ etrico. Probar que la condici´ on necesaria y suficiente para que una sucesi´ on de elementos de X sea de Cauchy es que l´ım d(xn , xn+1 ) = 0. n→∞

Resp.: a) La primera parte es evidente. Para el rec´ıproco, consideramos la sucesi´on xn = 1 + 1/2 + · · · + 1/n. Resulta entonces que d(xn , xn+1 ) =

1 n+1

< ε si n > 1/ε.

Sin embargo, si tomamos ε = 1/2, d(xN , x2N ) =

1 1 1 1 1 + ··· + + ··· + = , ∀n ∈ N, > N +1 2N 2N 2N 2

es decir {xn }n∈N no es de Cauchy. b) Supongamos que l´ım d(xn , xn+1 ) = 0, es decir d(xn , xn+1 ) < n→∞

ε, ∀n > n0 . Sean p > q > n0 ; entonces d(xp , xq ) ≤ m´ax{d(xq , xq+1 ), d(xq+1 , xp )}. A su vez, d(xq+1 , xp ) ≤ m´ax{d(xq+1 , xq+2 ), d(xq+2 , xp )}. Repitiendo el proceso, obtenemos que d(xp−2 , xp ) ≤ m´ax{d(xp−2 , xp−1 ), d(xp−1 , xp )} < ε. En definitiva, d(xp , xq ) < ε y {xn }n∈N es de Cauchy.

36

II. ESPACIOS NORMADOS Y ESPACIOS DE BANACH

Se pretende en este cap´ıtulo establecer los resultados generales relacionados con el concepto de norma en un espacio vectorial as´ı como mostrar las distintas t´ecnicas que se aplican en las demostraciones de estos hechos. Ser´a fundamental entender el concepto de acotaci´on de un operador lineal as´ı como su relaci´on con el de continuidad.

SECCIONES 1. Espacios normados. Definici´on y ejemplos. 2. Desigualdades de H¨older y Minkowski. 3. Espacios Lp . 4. Propiedades de los espacios normados. 5. Espacios normados de dimensi´on finita. 6. Operadores lineales acotados. 7. Funcionales lineales. Espacio dual. 8. Ejercicios.

37

´ Y EJEMPLOS. 1. ESPACIOS NORMADOS. DEFINICION

En este cap´ıtulo consideraremos m´etricas definidas en espacios dotados de alguna estructura algebraica, m´as concretamente en espacios vectoriales, tal como se presenta en las aplicaciones que se presentan en esta teor´ıa. En un espacio vectorial X son de particular importancia las m´etricas que verifican i) d(x + a, y + a) = d(x, y), es decir, d es invariante por traslaciones, ii) d(αx, αy) = |α| · d(x, y), es decir, d aumenta proporcionalmente a la dilataci´on, pues basta conocer d(x, 0), ∀x ∈ X para determinar completamente la distancia entre dos elementos cualesquiera, ya que d(x, y) = d(x − y, 0). Definimos entonces la longitud o norma de un vector x por kxk = d(x, 0). Esto sugiere, en un contexto abstracto, la siguiente definici´on axiom´atica. 1.1.- Definici´ on. Un espacio normado es un par (X, k · k) formado por un espacio vectorial X y una aplicaci´on k · k : X → R, llamada norma, con las siguientes propiedades: (i) kxk ≥ 0. (ii) kxk = 0 ⇐⇒ x = 0. (iii) kαxk = |α| · kxk. (iv) kx + yk ≤ kxk + kyk (desigualdad triangular). Si no se exige la condici´on (ii), la aplicaci´on k · k se llama seminorma. Observaciones. 1) Todo espacio normado es a su vez un espacio m´etrico, pues basta, dado (X, k · k), definir d(x, y) = kx − yk. As´ı todas las nociones de espacios m´etricos est´an definidas tambi´en para los espacios normados. En particular, los conjuntos B(0, 1) = {x ∈ X : kxk < 1}, B(0, 1) = {x ∈ X : kxk ≤ 1} son las bolas unitarias abierta y cerrada de X, respectivamente. 2) El rec´ıproco de lo anterior no es cierto, es decir, no todo espacio m´etrico es normado. Por ejemplo, X = {(a1 , . . . an , . . . ) : an ∈ C} sobre el cuerpo C ∞ X 1 |ai − bi | es espacio vectorial; si definimos d(x, y) = · , se puede ver i 2 1 + |ai − bi | i=1 que es espacio m´etrico, pero para λ ∈ C, d(λx, λy) 6= |λ| d(x, y) con lo que, si defini´eramos la “norma.a partir de la distancia, obtendr´ıamos kλx−λyk = 6 |λ|·kx−yk y X no ser´ıa espacio normado de esa forma. Otro ejemplo sencillo 38

es la m´etrica discreta pues k2xk = d(2x, 0) = 1 pero |2| · kxk = 2 · d(x, 0) = 2. Sin embargo, la motivaci´on dada al principio permite probar lo siguiente. 1.2.- Proposici´ on. Si (X, k·k) es un espacio normado, la aplicaci´ on d(x, y) = kx − yk, ∀x, y ∈ X verifica i) d(x + z, y + z) = d(x, y); ii) d(λx, λy) = |λ| · d(x, y). Rec´ıprocamente, si X es un espacio vectorial y (X, d) es un espacio m´etrico en el que se verifican i) y ii), entonces (X, k · k) es un espacio normado, donde kxk = d(x, 0). La demostraci´on es evidente. 1.3.- Definici´ on. Sea X un espacio vectorial normado, en el que se define la m´etrica d(x, y) = kx − yk. Si (X, d) es completo, X se dice espacio de Banach. 1.4.- Ejemplos. 1) X = R ´o C con la norma del valor absoluto son espacios de Banach. P 2) X = Rn ´o Cn con la norma kxk = ( ni=1 |xi |p )1/p ( p ≥ 1) es de Banach. Los axiomas i), ii) y iii) de norma son evidentes y la desigualdad triangular se deduce de la desigualdad de Minkowski. Veamos que es completo: Sea {xk = (xk1 , . . . , xkn ), k ∈ N} una sucesi´on de Cauchy en Rn . Entonces kxp − xq k < ε, ∀p, q > N =⇒ |xpi − xqi | < ε, ∀p, q > N, 1 ≤ i ≤ n. Esto implica que ∃xi ∈ R : |xki − xi | < ε, 1 ≤ i ≤ n. P Si llamamos x = (x1 , . . . , xn ), resulta que kxk − xkp = ni=1 |xki − xi |p < nεp . P∞ p 3) Sea `p = {x = (xn )n∈N : xn ∈ C, n=1 |xn | < ∞} (p ≥ 1), y definimos  P∞ p 1/p . kxkp = n=1 |xn | Al igual que en el ejemplo 2, la desigualdad de Minkowski (para sumas infinitas) permite probar que es una norma. La completitud fue probada en el cap´ıtulo I; veremos adem´as que se puede deducir de un caso m´as general (ver secci´on siguiente). 4) Sea `∞ = {x = (xn )n∈N : xn ∈ C, {xn }n∈N acotada}, y definimos kxk = supn |xn |. As´ı (X, d) es un espacio de Banach, como vimos en el cap´ıtulo I. 39

5) X = C[a, b] (funciones continuas en [a, b]), con la norma kf k = m´ax |f (x)| x∈[a,b]

es de Banach, como ya vimos en el cap´ıtulo anterior. R 1/2 b 6) El mismo espacio anterior C[a, b] con la norma kf k = a |f (x)|2 dx no es completo. Sin embargo, este espacio puede completarse como veremos despu´es y su compleci´on es precisamente el espacio L2 [a, b] (ver secci´on 3). 7) Si X = B(A) es el espacio de las funciones acotadas en A, la norma kf k = sup |f (x)| tambi´en da lugar a un espacio de Banach. x∈A

8) Sea VA[a, b] la clase de funciones de variaci´on acotada en [a, b]. Es un espacio vectorial con las operaciones usuales y se define la norma kf k = |f (a)| + V (f ) donde V (f ) representa la variaci´on total de f que convierte al espacio VA[a, b] en un espacio de Banach.

¨ 2. DESIGUALDADES DE HOLDER Y MINKOWSKI.

En algunos ejemplos de espacios normados la desigualdad triangular se deduce de la desigualdad de Minkowski que probaremos en este apartado como consecuencia de la desigualdad de H¨older. En el siguiente apartado utilizaremos estas desigualdades para definir normas en otros ejemplos de espacios de funciones, que han sido fundamentales en el desarrollo del An´alisis Funcional. 2.1.- Lema. Sean α, β > 0, 0 < λ < 1. Entonces αλ β 1−λ ≤ λα + (1 − λ)β. Adem´ as la igualdad es cierta si y s´ olo si α = β. Demostraci´ on. Se define ϕ(t) = (1 − λ) + λt − tλ para t ≥ 0. As´ı ϕ0 (t) = λ − λtλ−1 que ser´a negativo si t < 1 y positivo si t > 1. Por tanto, el punto t = 1 corresponde a un m´ınimo. Como ϕ(t) ≥ ϕ(1) = 0, entonces 1 − λ + λt ≥ tλ . Haciendo t = α/β se deduce el resultado (para β 6= 0). Si β = 0, el resultado es trivial.



Observaciones. 1) El lema anterior expresa que la media geom´etrica es menor o igual a la media aritm´etica, porque si hacemos λ = k/n, 1 − λ = 40

(n − k)/n, tenemos αk/n · β n−k/n ≤ kα/n + (n − k)β/n de donde q α+ .(k) . . +α + β+ (n−k) . . . +β n α .(k) . . α · β (n−k) ... β ≤ . n 2) Si α = ex1 , β = ex2 , el lema indica que eλx1 +(1−λ)x2 = eλx1 e(1−λ)x2 ≤ λex1 + (1 − λ)ex2 , es decir que la funci´on exponencial es convexa. 2.2.- Teorema. Sean (X, S, µ) un espacio medible, f, g : X → [0, ∞] funciones medibles, 1 < p < ∞ y 1/p + 1/q = 1. Entonces: a) (desigualdad de H¨older) 1/p Z 1/q q f dµ · g dµ .

Z

Z

p

(f g)dµ ≤ X

X

X

b) (desigualdad de Minkowski) Z

p

(f + g) dµ

1/p

1/p Z 1/p p f dµ + g dµ .

Z

p



X

X

Demostraci´ on. a) Llamamos A = guimos tres casos:

R X

X

f p dµ

1/p

,B=

R X

g q dµ

1/q

y distin-

p - A = 0 (´o B = 0). R Como f ≥ 0, f = 0 c.s. =⇒ f = 0 c.s. =⇒ f · g = 0 c.s. As´ı pues X f gdµ = 0. R - A = ∞ (´o B = ∞). Es evidente que X f gdµ ≤ ∞. R R f g - 0 < A, B < ∞. Debemos probar que X f gdµ ≤ A·B, o bien X A · B dµ ≤ 1. Si aplicamos el lema anterior a α = f p /Ap , β = g q /B q , λ = 1/p, 1 − λ = 1/q, resulta:

f g 1 fp 1 gq · ≤ · p + · q, A B p A q B desigualdad v´alida ∀x ∈ X. Integrando miembro a miembro, Z f g 1 1 · dµ ≤ · Ap + · B q = 1, c.q.d. p q A B p · A q · B X b) Debido a que (f + g)p = (f + g)(f + g)p−1 = f (f + g)p−1 + g(f + g)p−1 , aplicando la desigualdad de H¨older a cada uno de los sumandos, 41

tenemos: Z 1/p Z 1/q Z p−1 p q(p−1) f (f + g) dµ ≤ f dµ (f + g) dµ , X

X

X

1/p Z 1/q g(f + g)p−1 dµ ≤ g p dµ (f + g)q(p−1) dµ , X X X " Z 1/p Z 1/p # Z 1/q Z p p p p (f + g) dµ ≤ f dµ =⇒ + g dµ · (f + g) dµ , Z

Z

X

X

X

X

1/q R debido a que q(p − 1) = p. Si llamamos ahora C = X (f + g)p dµ , caben los siguientes casos: R - C = 0 =⇒ X (f + g)p dµ = 0 y la desigualdad es evidente. R - C = ∞ =⇒ X (f + g)p dµ = ∞. Como la funci´on y = xp es convexa, (f (x)/2 + g(x)/2)p ≤ f (x)p /2 + g(x)p /2, de donde: Z  Z Z 1 p p 1 1 1 p p p p (f +g) ≤ (f +g ) =⇒ (f +g) dµ ≤ f dµ + g dµ . 2p 2 2p X 2 X X R R R Como X (f + g)p dµ = ∞, debe ser X f p dµ = ∞ ´o X g p dµ = ∞. R 1−1/q 1/p 1/p R R - 0 < C < ∞ =⇒ X (f + g)p dµ ≤ X f p dµ + X g p dµ , lo que da lugar al resultado deseado. ♦ El teorema anterior tiene las siguientes consecuencias. 2.3.- Corolario. Si f, g : X → [0, ∞] son medibles y 0 < p < 1, 1/p + 1/q = 1, entonces 1/p R q 1/q R R . a) X f gdµ ≥ X f p dµ X g dµ 1/p 1/p 1/p R R R b) X (f + g)p dµ ≥ X f p dµ + X g p dµ , 1/q R donde suponemos que las integrales involucradas son finitas y X g q dµ 6= 0. 0

Demostraci´ on. a) Sea p0 = 1/p y llamamos ψ = (f g)p = (f g)1/p , ϕ = 0 −p −1/p g = g . De este modo, 1 < p0 < ∞, f p = ψϕ y ψ, ϕ son medibles. Entonces Z 1/p0 Z 1/q0 Z Z p p0 q0 f dµ = ψϕdµ ≤ ψ dµ ϕ dµ , X

X

X

X 0

0

donde 1/p0 + 1/q 0 = 1. Debido a que ϕq = g q y ψ p = f g, obtenemos: Z

p

Z

f dµ ≤ X

1/p0 Z 1/pq0 q f gdµ g dµ .

X

X

42

De las relaciones anteriores se deduce que pp0 = 1, pq 0 = −q, con lo que: Z 1/p Z 1/q Z  f p dµ · g q dµ ≤ f gdµ , c.q.d. X

X

X

b) De la igualdad (f + g)p = f (f + g)p−1 + g(f + g)p−1 , se deduce: Z Z Z p p−1 (f + g) dµ = f (f + g) dµ + g(f + g)p−1 dµ X

X

X

1/p Z 1/q p q(p−1) f dµ · (f + g) dµ

Z ≥ X

X

1/p Z 1/q p q(p−1) g dµ · (f + g) dµ X X  Z  # Z

Z + " Z =

1/p

f p dµ

1/p

X

Suponiendo que

R

X (f

g p dµ

+

(f + g)q(p−1) dµ

·

X

X

+ g)p dµ < ∞, se deduce el resultado.



2.4.- Corolario. En las condiciones del teorema 2,2, la desigualdad de H¨ older se convierte en igualdad si y s´ olo si existen λ1 , λ2 constantes no nulas a la vez tales que λ1 f p = λ2 g q c.s. Demostraci´ on. Al igual que en el lema 2.1, la igualdad es cierta si y s´olo si Z Z gq fp p q q R R = , es decir f · g dµ = g · f p dµ, p dµ q dµ f g X X X X R R con λ1 = X g q dµ y λ2 = X f p dµ no nulas ambas. Podemos suponer adem´as λ1 = 0, λ2 6= 0 pues entonces 0 = λ2 g q c.s. =⇒ g q = 0 c.s. =⇒ g = 0 c.s. y se verifica la igualdad. ♦ Observaciones. 1) Si X es un conjunto numerable, digamos por comodidad X = N, P (N) la σ-´algebra formada por los subconjuntos de N, µ : P (N) → [0, ∞] la medida de contar, definida por µ(A) = card A, toda aplicaci´on f : N → C es medible pues ∀V abierto, f −1 (V ) ⊂ N =⇒ f −1 (V ) ∈ P (N). As´ı pues, si f : N → [0, ∞] es medible, f (n) = |xn |, Z Z XZ X X p p f dµ = f dµ = f p dµ = f (n)p = |xn |p . N

∪n∈N {n}

n∈N {n}

n∈N

n∈N

Esto permite escribir las desigualdades de H¨older y Minkowski para sumas finitas o series num´ericas. Estas ser´ıan: !1/p !1/q ∞ ∞ ∞ X X X |xi yi | ≤ |xi |p · |yi |q , i=1

i=1

i=1

43

1/q .

∞ X

!1/p p

|xi + yi |

i=1



∞ X

!1/p p

|xi |

+

i=1

∞ X

!1/p p

|yi |

.

i=1

2) En el caso de p = 1 ´o p = ∞ se prueban tambi´en desigualdades an´alogas que quedan de la forma X X |xi yi | ≤ |xi | · sup |yi |, i∈N

i∈N

i∈N

sup |xi + yi | ≤ sup |xi | + sup |yi |. i∈N

i∈N

i∈N

3) En el caso particular de que p = q = 2, la desigualdad de H¨older se llama desigualdad de Cauchy-Schwarz, de importancia en espacios dotados de una estructura geom´etrica (considerados en el cap´ıtulo III).

3. ESPACIOS Lp .

Los ejemplos m´as u ´tiles de espacios normados corresponden a los llamados espacios Lp . Fueron adem´as los que dieron impulso al desarrollo de la teor´ıa de espacios de Hilbert y espacios normados. Supondremos en esta secci´on que X es un espacio de medida y µ una medida positiva. Es conocido el espacio de funciones de m´odulo integrable, representado por Z 1 L (µ) = {f : X → C : f medible y |f |dµ < ∞}. X

Si ahora hacemos 1 ≤ p < ∞, definimos an´alogamente el espacio de funciones de potencia p-´esima integrable, como Z p L (µ) = {f : X → C : f medible y |f |p dµ < ∞}. X

1/p R Si definimos la aplicaci´on k · kp : Lp (µ) → R por kf kp = X |f |p dµ , es evidente que Lp (µ) = {f : X → C : f medible y kf kp < ∞}. En el caso de p = ∞ procedemos de una forma algo diferente: Si g : X → C es una funci´on medible, tambi´en es medible |g|; sabemos que ∀α ∈ R, |g|−1 (α, ∞] es medible y podemos definir el conjunto S = {α ∈ R : µ(|g|−1 (α, ∞]) = 0}. 44

Llamamos supremo esencial de |g| a kgk∞ = ´ınf S, cuando S 6= ∅, y kgk∞ = ∞, cuando S = ∅. Probemos en primer lugar la existencia de dicho ´ınfimo; para ello basta probar que 0 es una cota inferior de S: En efecto, si existiera α ∈ S tal que α < 0, entonces de la inclusi´on [0, ∞] ⊂ (α, ∞] se deduce que |g|−1 [0, ∞] ⊂ |g|−1 (α, ∞] =⇒ µ(X) = µ(|g|−1 [0, ∞]) ≤ µ(|g|−1 (α, ∞]) = 0 =⇒ µ(X) = 0, lo cual es absurdo. Lo anterior permite definir el espacio L∞ (µ) = {f : X → C : f medible y kf k∞ < ∞} que llamaremos espacio de las funciones medibles esencialmente acotadas. Una caracterizaci´on del supremo esencial la proporciona el siguiente lema: 3.1.- Lema. Dada f : X → C medible, se tiene |f (x)| ≤ λ para casi todo x ⇐⇒ kf k∞ ≤ λ. En consecuencia, |f (x)| ≤ kf k∞ para casi todo x (haciendo λ = kf k∞ ) y kf k∞ es la m´ınima cota superior (c.s.) de |f |. Demostraci´ on. Supongamos que |f | ≤ λ c.s., es decir |f (x)| ≤ λ, ∀x ∈ Ac con µ(A) = 0. Entonces, si |f (x)| > λ, es x ∈ A y |f |−1 (λ, ∞] ⊂ A =⇒ µ(|f |−1 (λ, ∞]) ≤ µ(A) = 0 =⇒ λ ∈ S y kf k∞ ≤ λ. Rec´ıprocamente, suponiendo que kf k∞ ≤ λ, veamos que |f | ≤ λ c.s., lo que equivale a probar que µ(A) = 0, siendo A = {x : |f (x)| > λ}. Por hip´otesis, existe α ∈ S tal que α ≤ λ pues si fuese α > λ, ∀α ∈ S, λ ser´ıa cota inferior de S y λ < kf k∞ , lo que es absurdo. Entonces A = |f |−1 (λ, ∞] ⊂ |f |−1 (α, ∞] =⇒ µ(A) ≤ µ(|f |−1 (α, ∞]) = 0.



Aplicando las desigualdades de H¨older y Minkowski, se prueban los siguientes resultados. 3.2.- Proposici´ on. Sean p, q exponentes conjugados, es decir 1/p+1/q = 1, con 1 ≤ p ≤ ∞. Si f ∈ Lp (µ) y g ∈ Lq (µ), entonces f g ∈ L1 (µ) y kf gk1 ≤ kf kp kgkq . 45

Demostraci´ on. Si 1 < p < ∞, por la desigualdad de H¨older, tenemos: Z

Z

Z |f g|dµ =

X

1/p Z

p

|f |·|g|dµ ≤

|f | dµ

X

X

1/q |g| dµ = kf kp kgkq < ∞. q

X

Si p = ∞, q = 1, entonces |f (x)| ≤ kf k∞ c.s., con lo que existe A de medida nula tal que |f (x)| ≤ kf k∞ , ∀x ∈ Ac . De este modo, Z Z Z Z kf k∞ |g|dµ |f | · |g|dµ ≤ |f | · |g|dµ = |f g|dµ = c c A A X X Z Z |g|dµ = kf k∞ kgk1 < ∞.♦ |g|dµ ≤ kf k∞ = kf k∞ Ac

X

3.3.- Proposici´ on. Si 1 ≤ p ≤ ∞, entonces Lp (µ) es un espacio vectorial sobre C y k · kp es una seminorma. Demostraci´ on. Estudiaremos por separado los siguientes casos: a) Si 1 ≤ p < ∞ y f, g ∈ Lp (µ), de la desigualdad de Minkowski deducimos que f + g ∈ Lp (µ) y kf + gkp ≤ kf kp + kgkp . Adem´as Z kαf kp =

p

1/p

|αf | dµ

Z

p

1/p

|α| |f | dµ

=

X

p

= |α|·kf kp =⇒ αf ∈ Lp (µ).

X

b) Si p = ∞, debido a que |f | ≤ kf k∞ y |g| ≤ kgk∞ c.s., entonces tambi´en |f + g| ≤ |f | + |g| ≤ kf k∞ + kgk∞ c.s. Esto implica que kf k∞ + kgk∞ es cota superior esencial de |f + g|. Al ser kf + gk∞ la m´ınima, se deduce que kf + gk∞ ≤ kf k∞ + kgk∞ . Por otro lado, si suponemos α 6= 0: kαf k∞ = ´ınf{β ∈ R : µ(|αf |−1 (β, ∞]) = 0} = ´ınf S1 supuesto S1 6= ∅. Ahora bien, x ∈ |αf |−1 (β, ∞] ⇐⇒ |αf |(x) > β ⇐⇒ |αf (x)| > β ⇐⇒ |α| · |f (x)| > β ⇐⇒ |f (x)| > β/|α| ⇐⇒ x ∈ |f |−1 (β/|α|, ∞] con lo que ´ınf S1 = ´ınf{β ∈ R : µ(|f |−1 (β/|α|, ∞]) = 0} = ´ınf{|α|β/|α| ∈ R : µ(|f |−1 (β/|α|, ∞]) = 0} = ´ınf{|α|β1 ∈ R : µ(|f |−1 (β1 , ∞]) = 0} = |α|´ınf{β1 ∈ R : µ(|f |−1 (β1 , ∞]) = 0} = |α|´ınf S2 = |α| · kf k∞ . De este modo, si f ∈ L∞ (µ), kαf k∞ = ´ınf S1 = |α| · kf k∞ . 46



Observaci´ on. En general, k·kp no es norma pues no se verifica la implicaci´on kf kp = 0 =⇒ f (x) = 0, ∀x ∈ X. Sin embargo, en el caso de las funciones Rb reales continuas en un intervalo [a, b], X = C[a, b], kf k1 = a |f (x)|dx = 0 =⇒ f = 0. Tambi´en, en los espacios `p , k · kp es una norma. Para obtener espacios normados de las seminormas anteriores, definimos la relaci´on de equivalencia ∀f, g ∈ Lp (µ), f ∼ g ⇐⇒ f = g c.s., o bien kf − gkp = 0. El espacio cociente, que seguiremos denotando por Lp (µ), es ahora un espacio normado si definimos kfekp = kf kp , donde f es un representante de la clase de equivalencia fe. Probaremos por u ´ltimo la completitud de los espacios reci´en definidos, resultado obtenido de forma simult´anea e independiente por F. Riesz y E. Fischer en 1907. 3.4.- Teorema (Riesz-Fischer). Si 1 ≤ p ≤ ∞, entonces (Lp (µ), k · kp ) es de Banach. Demostraci´ on. a) Veamos primero el caso 1 ≤ p < ∞. Sea pues (fn )n∈N una sucesi´on de Cauchy en Lp (µ). Tomando ε = 1/2i , sabemos que ∃ni tal que kfn − fm kp < 1/2i , ∀n, m ≥ ni . Esto permite extraer una subsucesi´on (fni )i≥1 tal que kfni+1 − fni kp < 1/2i , ∀i. P P Llamamos ahora gk = ki=1 |fni+1 − fni | y g = ∞ i=1 |fni+1 − fni |. Debido a que |fni+1 − fni | ∈ Lp (µ), se deduce que gk ∈ Lp (µ). As´ı pues, Z kgk kp = X



X

k Z X i=1

k X

1/p "Z |gk | dµ = p

p

#1/p

!p |fni+1 − fni |



i=1

1/p

|fni+1 − fni | dµ

=

X

k X i=1

kfni+1 − fni kp <

k X 1 < 1. 2i i=1

Como adem´as l´ımk gk = g, tambi´en l´ımk |gk |p = |g|p y deducimos que Z Z Z p p |g| dµ = l´ım |gk | dµ ≤ l´ım inf |gk |p dµ ≤ 1 =⇒ kgkp ≤ 1, X

X

k

k

|g|p

X

es finita c.s. y tambi´en g(x) < ∞ c.s. P Lo anterior indica que la serie i≥1 (fni+1 − fni )P es absolutamente convergente c.s., as´ı como tambi´en lo es la serie fn1 + i≥1 (fni+1 − fni ). Definimos ( P fn1 (x) + i≥1 (fni+1 (x) − fni (x)) si x ∈ Ac f (x) = donde µ(A) = 0. 0 si x ∈ A,

por lo que

47

P ımi fni (x) Debido a que fn1 + k−1 i=1 (fni+1 − fni ) = fnk , resulta que f (x) = l´ c.s. Veamos que fn → f y que f ∈ Lp (µ). Dado ε > 0, sabemos que ∃N tal que kfn − fm kp < ε, ∀n, m ≥ N . Tomando m ≥ N , tenemos: Z Z Z l´ım |fni − fm |p dµ | l´ım fni − fm |p dµ = |f − fm |p dµ = kf − fm kpp = i X i X X Z |fni − fm |p dµ = l´ım inf kfni − fm kpp ≤ εp , ≤ l´ım inf i

i

X

tomando ni ≥ N . Esto implica que f − fm ∈ Lp (µ) y en consecuencia f ∈ Lp (µ) debido a que f = (f −fm )+fm . Por otra parte, al ser kf −fm kp ≤ ε, ∀m ≥ N , la sucesi´on original converge a f . b) Si p = ∞, tomamos nuevamente una sucesi´on (fn )n∈N de Cauchy en L∞ (µ). De este modo, kfn − fm k∞ < ε, ∀n, m > N (ε). Si Am,n = {x : |fn (x) − S fm (x)| ≥ kfn − fm k∞ + ε}, resulta que µ(Am,n ) = 0, con lo que, si A = m,n Am,n , entonces µ(A) = 0. Esto prueba que (fn (x))n∈N converge uniformemente en E \ A. ( l´ımn fn (x) si x ∈ E \ A Si definimos f (x) = , se ve inmediatamente que 0 si x ∈ A l´ımn kfn − f k∞ = 0, pues |f (x) − fm (x)| = | l´ım fn (x) − fm (x)| n

c.s. = l´ım |fn (x) − fm (x)| ≤ l´ım kfn − fm k∞ + ε < 2ε, ∀m, n ≥ N. n

n

Entonces 2ε es cota superior esencial de f −fm , de modo que kf −fm k∞ < 2ε, ∀m ≥ N =⇒ f − fm ∈ L∞ (µ) =⇒ f ∈ L∞ (µ) y fm → f en L∞ (µ). ♦ Observaciones. 1) A partir de la definici´on son inmediatas las inclusiones `1 ⊂ `p ⊂ `q ⊂ `∞ , 1 < p < q < ∞. 2) An´alogamente, en el espacio (X, S, µ), si µ(X) < ∞, entonces L∞ ⊂ Lq ⊂ Lp ⊂ L1 , para 1 < p < q < ∞. En efecto, si llamamos r = q/p > 1, Z X

|f |p dµ ≤ |f |p r · k1kr0 =

Z

|f |q dµ

Esto implica que kf kp ≤ kf kq · µ(X)1/p−1/q . De la misma forma, kf kq ≤ µ(X)1/q · kf k∞ . 48

1/r

0

· µ(X)1/r .

3) En general, Lp 6⊂ Lq y Lq 6⊂ Lp , pero si f ∈ Lp ∩ Lq , entonces f ∈ Lr con p < r < q: Z Z Z |f |r dµ = |f |r dµ + |f |r dµ X |f |≤1 |f |>1 Z Z |f |q dµ ≤ kf kpp + kf kqq < ∞. |f |p dµ + ≤ |f |>1

|f |≤1

Se verifica tambi´en la desigualdad de interpolaci´on kf kr ≤ kf kαp · kf kαq , donde

1 α 1−α = + (0 ≤ α ≤ 1). r p q

4. PROPIEDADES DE LOS ESPACIOS NORMADOS.

Probaremos en esta secci´on las propiedades fundamentales de los espacios normados. 4.1.- Teorema. Sea X un espacio vectorial normado. Entonces: a) kxk − kyk ≤ kx − yk, ∀x, y ∈ X. b) B(x0 , r) = x0 + B(0, r), ∀x0 ∈ X, r > 0. Demostraci´ on. a) Por la desigualdad triangular, kxk = kx − y + yk ≤ kx − yk + kyk =⇒ kxk − kyk ≤ kx − yk; kyk = ky − x + xk ≤ ky − xk + kxk =⇒ −kx − yk ≤ kxk − kyk. b) Debido a las propiedades de la norma, x ∈ B(x0 , r) ⇐⇒ kx − x0 k < r ⇐⇒ x − x0 ∈ B(0, r) ⇐⇒ x ∈ x0 + B(0, r).



4.2.- Teorema. Sea X un espacio vectorial normado. Son equivalentes: i) X es de Banach. ii) Si {an }n∈N ⊂ X y

P

n∈N kan k

< ∞ =⇒

P

n∈N an

converge en X.

Esto indica que en los espacios de Banach la convergencia absoluta implica la convergencia. 49

P Demostraci´ on. i) =⇒ ii). Sea Sn = nk=1 ak . Si m > n,

m

m ∞

X

X X

kSm − Sn k = ak ≤ kak k ≤ kak k < ε.

k=n+1

k=n+1

k=n+1

Esto implica que {Sm }m∈N es de Cauchy en X y por tanto converge. ii) =⇒ i). Sea {an }n∈N de Cauchy en X. Hacemos an0 = 0 y elegimos n1 ∈ N : kan1 − am k < 1/2, ∀m > n1 , n2 > n1 : kan2 − am k < 1/22 , ∀m > n2 , .. . nk > nk−1 : kank − am k < 1/2k , ∀m > nk . P k − ank−1 k ≤ kan1 k + ∞ k=1 1/2 < ∞. P Por hip´otesis, k∈N (ank − ank−1 ) es convergente. Entonces As´ı

P∞

k=1 kank

a=

∞ X k=1

(ank − ank−1 ) = l´ım

h→∞

h X

(ank − ank−1 ) = l´ım anh ,

k=1

h→∞

y esto implica que {anh }h∈N es convergente. Como {an }n∈N es de Cauchy y tiene una subsucesi´on convergente, ella misma es convergente y X es completo. ♦ 4.3.- Proposici´ on. Sea X un espacio vectorial normado sobre el cuerpo E. Si definimos en X × X ´ o E × X la m´etrica producto k(u, v)k = kuk + kvk, entonces las aplicaciones (x, y) 7→ x + y y (α, x) 7→ αx, definidas en X × X y E × X, respectivamente, son continuas. Adem´ as, la norma k · k : X → R es uniformemente continua. Demostraci´ on. Es f´acil comprobar que la m´etrica producto verifica los axiomas de norma. De este modo: Como kx+y −(x0 +y0 )k ≤ kx−x0 k+ky −y0 k, la primera es continua. Para demostrar que la aplicaci´on (α, x) 7→ αx es continua en (α0 , x0 ), elegiε ε } y kx − x0 k < 2(1+1+|α . mos α, x tales que |α − α0 | < m´ın{1, 2(1+1+kx 0 k) 0 |) Entonces |α| − |α0 | ≤ |α − α0 | < 1 =⇒ |α| < 1 + |α0 |. Adem´as, kαx − α0 x0 k ≤ |α| · kx − x0 k + kx0 k · |α − α0 | ε ε < |α| · + kx0 k · < ε. 2(1 + 1 + |α0 |) 2(1 + 1 + kx0 k) 50

Por u ´ltimo, para probar que la norma es uniformemente continua, dado kxk − kx0 k < ε si kx − x0 k < δ. ε > 0, debemos encontrar δ > 0 tal que Ahora bien, como kxk − kx0 k ≤ kx − x0 k, basta elegir δ = ε. ♦ 4.4.- Corolario. Si (X, k · k) es un espacio normado, x0 ∈ X, λ0 ∈ E, λ0 6= 0, entonces las aplicaciones x 7→ x + x0 (traslaci´ on de vector x0 ) y x 7→ λ0 x (homotecia de raz´ on λ0 ) son homeomorfismos. Demostraci´ on. Basta probar que son bicontinuas. La primera de ellas es composici´on de f : X → X × X, dada por f (x) = (x, x0 ), y g : X × X → X, dada por g(x, x0 ) = x + x0 . Por el teorema anterior, g es continua; es f´acil probar que f es tambi´en continua, de modo que g ◦ f es continua. Adem´as, el mismo argumento prueba que la inversa x 7→ x − x0 es continua. An´alogamente se prueba que la segunda es continua.



4.5.- Proposici´ on. Un subespacio Y de un espacio de Banach X es completo si y s´ olo si Y es cerrado en X. Demostraci´ on. Se deduce de la propiedad an´aloga para espacios m´etricos. ♦

4.6.- Teorema (compleci´on). Sea (X, k · k) un espacio normado. Existe un espacio de Banach X ∗ y una isometr´ıa A : X → W donde W es un subespacio denso de X ∗ . Dicho espacio X ∗ es u ´nico salvo isometr´ıas. Demostraci´ on. Por el teorema an´alogo en espacios m´etricos, existe (X ∗ , d) y A : X → W isometr´ıa con W ⊂ X ∗ denso. Falta probar que podemos dotar a X ∗ de una estructura de espacio vectorial normado. Recordando que x∗ e y ∗ son clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy en X, elegimos {xn }n∈N ∈ x∗ , {yn }n∈N ∈ y ∗ . Hacemos zn = xn + yn . As´ı , {zn }n∈N es de Cauchy en X pues kzn − zm k ≤ kxn − xm k + kyn − ym k. Por tanto, definimos z ∗ = x∗ + y ∗ como la clase de equivalencia que contiene a {zn }n∈N (esta definici´on no depende de la elecci´on de los representantes). Tambi´en definimos αx∗ ∈ X ∗ como la clase que contiene a {αxn }n∈N (de nuevo esta definici´on no depende de los representantes). As´ı obtenemos un espacio vectorial. En W las operaciones inducidas por X ∗ coinciden con las inducidas por X a trav´es de A. Adem´as A induce en W una norma k · k1 as´ı: si y ∗ = Ax ∈ W, ky ∗ k1 = kxk. Como la m´etrica en W es la restricci´on de d∗ a W (ya que A es isom´etrico), podemos extender la norma k · k1 a X ∗ as´ı : kx∗ k2 = d∗ (0∗ , x∗ ), ∀x∗ ∈ X ∗ . 51

Para comprobar los axiomas, basta aplicar a k · k1 un proceso de l´ımite. ♦

El concepto de base en un espacio vectorial se extiende en el caso de espacios normados en el siguiente sentido: 4.7.- Definici´ on. Dado un espacio normado (X, k · k), una sucesi´on (xn )n∈N es una base de Schauder de P X cuando ∀x ∈ X, existe una sucesi´on de escalares (αn )n∈N tal que x = n∈N αn xn . Por ejemplo, la sucesi´on (en )n∈N , donde en = (δkn )k∈N , es una base de Schauder de `p , para todo p ≥ 1. Observaci´ on. No necesariamente un espacio de Banach separable tiene una base de Schauder, como prob´o P. Enflo en 1973 (ver el art´ıculo de P. Halmos titulado Has progress in Mathematics slowed down? y publicado en Amer. Math. Montly, volumen 97 (1990), p´ag. 561–588, para comprender la relevancia de este resultado). 4.8.- Proposici´ on. Dado un espacio normado

P (X, k · k)

con base de Schau N

∗ der (xn )n∈N , si definimos kxk = supN ∈N n=1 αn xn , entonces (X, k · k∗ ) es un espacio de Banach y, en consecuencia, (X, k · k) tambi´en es de Banach. Demostraci´ on. Es f´acil comprobar que k · k∗ es norma. Veamos que (X, k · k∗ ) es completo: P P P Si y = n∈N βn xn ∈ X, entonces βn xn = nk=1 βk xk − n−1 k=1 βk xk , de donde 2kyk∗ ∗ kβn xn k ≤ 2kyk , con lo que |βn | ≤ kxn k . Sea (a(k) )k∈N una sucesi´on de Cauchy en (X, k · k∗ ). Si a(k) =

P

(k)

αn xn ,

n∈N

(k)

entonces (αn )k∈N es una sucesi´on de Cauchy en el cuerpo de escalares; P (k) llamamos αn = l´ımk αn . Probaremos ahora que n∈N αn xn converge en k · k a alg´ un a ∈ X y que l´ımk ka(k) − ak∗ = 0: - Dado ε > 0, sea n0 ∈ N tal que ka(n) − a(m) k∗ < ε/4, si n, m ≥ n0 . Para cualesquiera i, j ∈ N tenemos: i+j X

(n) (αk



(m) αk )xk

k=i

=

i+j X

(n)

(m)

(αk − αk )xk −

k=1

i−1 X

(n)

k=1

De aqu´ı,

i+j

X

(n) (m)

(αk − αk )xk ≤ 2ka(n) − a(m) k∗ < ε/2.

k=i

52

(m)

(αk − αk )xk .

P

i+j (n)

Fijando n y haciendo m → ∞, tenemos que k=i (αk − αk )xk < ε/2, si n ≥ n0 . P∞ (n0 ) Debido

Pa que k=1 αk xk es convergente, existe i0 ∈ N tal que ∀j ∈ N,

i0 +j (n0 )

k=i0 αk xk < ε/2. Luego,





i0 +j

i0 +j

i0 +j X X X





(n0 ) (n0 )



αk xk (αk − αk )xk + αk xk ≤

< ε.

k=i0

k=i0

k=i0 P Esto indica que la serie αk xk converge a alg´ un a ∈ X. - Por ser (a(n) )n∈N una sucesi´on de Cauchy, dado ε > 0, existe n0 ∈ N tal

P

que

j

(n) (m) (n) (m) ∗ ka − a k < ε/2, si n, m ≥ n0 . As´ı, k=1 (αk − αk )xk < ε,

P

(n) para todo j ∈ N. Haciendo m → ∞, tenemos que jk=1 (αk − αk )xk < ε, ∀j ∈ N. Esto quiere decir que ka(n) − ak∗ ≤ ε si n ≥ n0 y (X, k · k∗ ) es completo. Debido a que kxk ≤ kxk∗ , para todo x ∈ X, tambi´en (X, k · k) es completo. ♦

´ FINITA. 5. ESPACIOS NORMADOS DE DIMENSION

El hecho de que la dimensi´on del espacio sea finita da lugar a algunas caracter´ısticas especiales. Por ejemplo, el teorema de Bolzano-Weierstrass demuestra que, en un espacio de dimensi´on finita, cualquier bola cerrada B(z, r) es compacta. Veremos a continuaci´on que, en el caso infinito, B(z, r) nunca es compacta. 5.1.- Lema (F. Riesz). Sea X un espacio normado, Y, Z subespacios de X con Y subconjunto cerrado propio de Z. Entonces ∀ϑ ∈ (0, 1), ∃z ∈ Z de norma uno tal que kz − yk ≥ ϑ, ∀y ∈ Y. Demostraci´ on. Sea v ∈ Z \ Y y llamamos a = d(v, Y ) = ´ınf d(v, y) = ´ınf kv − yk. y∈Y

y∈Y

Como Y es cerrado, a > 0. Por definici´on de ´ınfimo, existe un elemento y0 ∈ Y tal que a ≤ kv − y0 k ≤ a/ϑ para todo ϑ ∈ (0, 1). Sea z = c(v − y0 ) con c = kv − y0 k−1 . As´ı, kzk = 1 y y kz − yk = kc(v − y0 ) − yk = ckv − y0 − k = ckv − y1 k, c 53

con y1 = y0 + y/c. Como y1 ∈ Y, kv − y1 k ≥ a =⇒ kz − yk ≥ kv − y0 k−1 a ≥ ϑ.



5.2.- Corolario. Si X es un espacio normado y M un subespacio cerrado propio de X, entonces existe un elemento z ∈ X de norma 1 tal que d(z, M ) = 1. Demostraci´ on. Por el lema anterior, ∃z ∈ X : kzk = 1 y d(z, M ) ≥ 1. Como M es subespacio, 0 ∈ M y d(z, M ) ≤ d(z, 0) = kzk = 1. ♦ El lema 5.1 permite demostrar la siguiente caracterizaci´on de los espacios de dimensi´on finita. 5.3.- Teorema (F. Riesz). En un espacio normado X, las siguientes condiciones son equivalentes: i) La bola unidad B(0, 1) es compacta. ii) X tiene dimensi´ on finita. Demostraci´ on. i) =⇒ ii). Si dim X = ∞, sea x1 ∈ X, kx1 k = 1, y construimos X1 = h{x1 }i que es subespacio propio y cerrado de X. Por el lema anterior, ∃x2 ∈ X \ X1 : kx2 k = 1, kx2 − x1 k ≥ 1/2. Ahora llamamos X2 = h{x1 , x2 }i, y tambi´en ahora ∃x3 ∈ X \ X2 : kx3 k = 1, kx3 − x1 k ≥ 1/2, kx3 − x2 k ≥ 1/2. Llegamos as´ı a una sucesi´on {xn }n∈N ⊂ B(0, 1) tal que kxn − xm k ≥ 1/2, ∀n, m. De esta forma, {xn }n∈N no puede tener ninguna sub-sucesi´on convergente lo que contradice su compacidad. El rec´ıproco corresponde al teorema de Bolzano-Weierstrass.



Otro resultado destacable es el de la completitud, que probaremos despu´es del siguiente lema. 5.4.- Lema. Dados un espacio normado X (de cualquier dimensi´ on) y una familia {x1 , . . . , xn } linealmente independiente, existe c > 0 : ∀α1 , . . . , αn ∈ E : kα1 x1 + · · · + αn xn k ≥ c(|α1 | + · · · + |αn |). Demostraci´ on. Sea s = |α1 | + · · · + |αn |. Si s = 0, αi = 0, ∀i =⇒ la desigualdad es cierta ∀c. Si s > 0, llamamos βi = αi /s, y la desigualdad a probar es kβ1 x1 + · · · + βn xn k ≥ c, donde

n X i=1

54

|βi | = 1.

Si suponemos que la acotaci´on anterior no es cierta, existe una sucesi´on (ym )m∈N tal que kym k → 0 y ym =

n X

(m) βi xi ,

con

i=1

n X

(m)

|βi

| = 1.

i=1 (m)

Fijado i ∈ {1, . . . , n}, la sucesi´on {βi 1).

}m∈N est´a acotada (pues

P

(m)

|βi

|=

(m)

Por el teorema de Bolzano-Weierstrass, {β1 }m∈N tiene una sub-sucesi´on convergente, digamos a β1 . A esta sub-sucesi´on le corresponde {y1m }m∈N . Aplicando el mismo argumento se prueba que existe {y2m }m∈N subsucesi´on (m) {y1m }m∈N , tal que {β2 }m∈N converge a β2 . Despu´es de n pasos, obtenemos P (m) una sub-sucesi´on {ynm }m∈N de {ym }m∈N de la forma ynm = nj=1 γj xj con Pn (m) (m) (m) = 1, cuyos escalares γj verifican γi → βi . De este modo, j=1 |γj | P P ynm → y = ni=1 βi xi donde ni=1 |βi | = 1. Esto implica que no todos los βi son cero, con lo cual y 6= 0 (por ser el conjunto {x1 , . . . , xn } linealmente independiente). Por otro lado, ynm → y =⇒ kynm k → kyk. Como por hip´otesis, kym k → 0 e {ynm }m∈N es sub-sucesi´on, entonces kyk = 0, de donde y = 0, lo que lleva a una contradicci´on. ♦ 5.5.- Teorema (completitud). Todo subespacio Y de dimensi´ on finita de un espacio normado X es completo. En particular, todo espacio normado de dimensi´ on finita es completo. Demostraci´ on. Sea {ym }m∈N una sucesi´on de Cauchy en Y . Si {e1 , . . . , en } P (m) es una base de Y , ym = ni=1 αi ei . Entonces, por el lema anterior, n n X

X

(m) (k) (m) (k)

ε > kym − yk k = (αi − αi )ei ≥ c |αi − αi |, ∀m, k > N (ε). i=1

i=1

(m)

Entonces {αi P }m∈N es de Cauchy en E, y por lo tanto, converge a αi . Llamamos y = ni=1 αi ei . Evidentemente, y ∈ Y y X (m) X (m) kym − yk = k (αi − αi )ei k ≤ |αi − αi | · kei k, que tiende a cero.



5.6.- Corolario. Todo subespacio Y de dimensi´ on finita de un espacio normado X es cerrado. La prueba es evidente. La siguiente caracterizaci´on es usada a veces como definici´on de compacidad en dimensi´on finita. 55

5.7.- Teorema. Si X es un espacio normado de dimensi´ on finita, todo subconjunto M de X es compacto si y s´ olo si es cerrado y acotado. Demostraci´ on. Ya probamos en el cap´ıtulo I, lema 5.7, que todo compacto es cerrado y acotado. Sea M cerrado y acotado y {xm }m∈N una sucesi´on en M . (m)

(m)

As´ı, xm = α1 e1 + · · · + αn en , donde {e1 , . . . , en } es una base de X. P (m) Como M es acotado, kxm k ≤ k, ∀m. Por el lema 5.4, k ≥ kxm k ≥ c ni=1 |αi |. (m) Tenemos, para cada i, una sucesi´on escalar {αi }m∈N acotada. Por el teorema de Bolzano-Weierstrass, posee un punto de acumulaci´on ξi . Repitiendo el argumento del lemaP 5.4, se deduce que {xm }m∈N tiene una sub-sucesi´on que converge a x = ni=1 ξi ei . Como M es cerrado, x ∈ M. ♦

Contraejemplo. Si X es el conjunto de las sucesiones de soporte finito y  P∞ 2 1/2 , entonces (X, k·k) es normado y (e(k) ) kxk = k∈N es una base i=1 |xi | (k) de X, si definimos e = (δnk )n∈N . La bola unidad B(0, 1) es cerrada y acotada, claramente, pero no es compacta. Para ello basta ver que existe una sucesi´on que no tiene ninguna subsucesi´on convergente. Como (e(k) )k∈N ⊂ B(0, 1), si existiera (e(kj ) )j∈N subsucesi´on convergente a e ∈ B(0, 1), √ ke(kj ) −e(km ) k = 2 =⇒ l´ım ke(kj ) −e(km ) k = k l´ım e(kj ) −e(km ) k = ke−e(km ) k j→∞

j→∞

lo que es absurdo. Otra caracter´ıstica de los espacios de dimensi´on finita es que todas las normas son equivalentes (dan la misma topolog´ıa). 5.8.- Definici´ on. Dos normas k · k1 y k · k2 en X se dicen equivalentes cuando ∃a, b > 0 : akxk1 ≤ kxk2 ≤ bkxk1 , ∀x ∈ X. Es f´acil probar que la relaci´on es efectivamente de equivalencia y que dos normas equivalentes dan lugar a la misma topolog´ıa. 5.9.- Teorema (normas equivalentes). En un espacio vectorial de dimensi´ on finita, todas las normas son equivalentes. Demostraci´ on. Sean k·k1 y k·k2 dos normas cualesquiera en X. {e1 , . . . , en } PSi n es una base de X, todo x ∈ X tiene una representaci´ on x = i=1 αi ei . ApliP cando el lema 5.4, existe c tal que kxk1 ≥ c ni=1 |αi |. Por otro lado, kxk2 ≤

n X

|αi | · kei k2 ≤ k

i=1

n X i=1

56

|αi |

si k = m´ax kei k2 . Esto implica que kc kxk2 ≤ c

Pn

i=1 |αi |

≤ kxk1 .

Intercambiando los papeles de k · k1 y k · k2 se obtiene la otra desigualdad. ♦

Observar la importancia de este resultado que prueba la independencia de la convergencia de sucesiones respecto de la norma que se elija.

6. OPERADORES LINEALES ACOTADOS.

La estructura algebraica que posee todo espacio normado hace plantearnos el estudio de las aplicaciones lineales entre ellos. Debido a su importancia en el desarrollo del An´alisis Funcional, el curso se concentra a partir de aqu´ı en el estudio de dichas aplicaciones, que reciben el nombre de operadores. Adem´as, salvo en algunas situaciones concretas, y en especial en el cap´ıtulo VII, dichos operadores se supondr´an acotados, de ah´ı que precisemos dicho concepto a continuaci´on. 6.1.- Definici´ on. Sean X, Y espacios normados y A : X → Y un operador lineal. Decimos que A es acotado si existe k > 0 : kAxk ≤ kkxk, ∀x ∈ X. Observaci´ on. En C´alculo elemental, una funci´on es acotada cuando su imagen es un conjunto acotado. Sin embargo, no hay funciones no nulas que sean lineales y acotadas pues, debido a la linealidad, si kAxk ≤ k, ∀x =⇒ A = 0, de ah´ı que para definir un operador lineal acotado exijamos simplemente que su restricci´on a la bola unidad tenga imagen acotada. kAxk ≤ k, ∀x 6= 0. Entonces el menor valor kxk de k para el que se verifica la desigualdad es precisamente sup kAxk kxk . Esto

De la definici´on se deduce que

kxk6=0

motiva la siguiente definici´on. 6.2.- Definici´ on. Dado un operador A : X → Y lineal y acotado, se llama kAxk norma de A, a kAk = sup . kxk6=0 kxk 6.3.- Definici´ on. Llamamos L(X, Y ) = {A : X → Y : A es lineal y acotado} (en particular L(X) = {A : X → X : A lineal y acotado}), que es un espacio vectorial con los operaciones usuales y es normado si definimos kAk como arriba. Para ver bajo qu´e condiciones es de Banach, nos basta el siguiente resultado. 57

6.4.- Teorema. Si Y es de Banach, entonces L(X, Y ) es de Banach. Demostraci´ on. Debemos ver que toda sucesi´on de Cauchy en L(X, Y ) converge en el mismo espacio. Consideramos para ello una sucesi´on {An }n∈N de Cauchy en L(X, Y ), es decir, tal que kAn − Am k < ε, si n, m > N (ε). Entonces ∀x ∈ X, kAn x − Am xk ≤ kAn − Am k · kxk < εkxk. Esto implica que {An x}n∈N es de Cauchy en Y , de donde ∃y ∈ Y : An x → y, porque Y es completo. Definimos A : X → Y como Ax = y. Entonces (∗) A es lineal (evidente). (∗) A es acotado: Si n > N , kAn x − Axk = kAn x − l´ım Am xk = l´ım kAn x − Am xk ≤ ε · kxk. m

Entonces An − A es acotado para n > N . Como An tambi´en es acotado, A = An − (An − A) es acotado. (∗) An → A : Como kAn x − Axk ≤ ε · kxk, entonces kAn − Ak ≤ ε. ♦ 6.5.- Lema. Otras definiciones equivalentes de norma de un operador son: (a) kAk = ´ınf K, donde K = {k ∈ R : kAxk ≤ kkxk, ∀x ∈ X}. (b) kAk = supkxk≤1 kAxk. (c) kAk = supkxk=1 kAxk. Demostraci´ on. a) Como kAk ≥ implica que kAk ≥ ´ınf K. Rec´ıprocamente, ∀k ∈ K, k ≥ k ≥ sup x6=0

kAxk kxk

=⇒ kAxk ≤ kAk · kxk, ∀x ∈ X. Esto

kAxk kxk ,

∀x 6= 0. Por tanto,

kAxk =⇒ k ≥ kAk =⇒ ´ınf{k} ≥ kAk. kxk

b) Sea kxk ≤ 1. Entonces kAk ≥

kAxk kxk

≥ kAxk =⇒ kAk ≥ supkxk≤1 kAxk.

Rec´ıprocamente, si x 6= 0, kAxk kAxk = kA (x/kxk) k ≤ sup kAyk =⇒ sup ≤ sup kAyk. kxk x6=0 kxk kyk≤1 kyk≤1 Por tanto, kAk ≤ supkxk≤1 kAxk. c) Es an´aloga a b) con las modificaciones obvias. 58



6.6.- Ejemplos. 1) Si I : X → X es el operador identidad, kIk = 1 y si 0 : X → Y es el operador cero, k0k = 0. 2) Si P[0, 1] es el espacio de los polinomios sobre [0, 1] con norma kf k = m´axx∈[0,1] |f (x)|, entonces el operador derivada D : P[0, 1] → P[0, 1] definido como Df (x) = f 0 (x) es lineal pero no acotado, porque tomando fn (x) = xn , entonces kfn k = 1, Dfn (x) = nxn−1 y kDfn k = n > c, ∀c. Este ejemplo b´asico hace que tenga gran importancia el estudio de los operadores no acotados. R1 3) Sea T : C[0, 1] → C[0, 1] el operador definido por T f (x) = 0 k(x, y)f (y)dy, donde k es una funci´on continua en [0, 1] × [0, 1], llamada n´ ucleo del operador. T es acotado pues Z 1 Z kT f k = m´ax k(x, y)f (y)dy ≤ m´ax x∈I x∈I

1

|k(x, y)| · |f (y)|dy ≤ k0 kf k,

0

0

donde k0 es una cota superior de |k(x, y)|. En dimensi´on finita todos los operadores lineales son acotados como probamos a continuaci´on. 6.7.- Teorema. Si A : X → Y es lineal y X es de dimensi´ on finita, entonces A es acotado. P Demostraci´ on. Sean {e1 , . . . , en } una base de X y x = ni=1 αi ei un elemento arbitrario de X. Entonces Ax =

n X

αi Aei =⇒ kAxk ≤

i=1

n X

|αi | · kAei k ≤ m´ax kAei k · i

i=1

El lema 5.4 establece que kxk ≥ c kAxk ≤

Pn

i=1 |αi |,

n X

|αi |.

i=1

de donde

1 m´ax kAei k · kxk = kkxk. c i

Esto implica que A es acotado.



Veremos a continuaci´on una relaci´on directa entre operadores acotados y continuos cuando estos son lineales y una simplificaci´on importante del concepto de continuidad. 6.8.- Teorema. Sea A : X → Y un operador lineal entre espacios normados. Son equivalentes: i) A es uniformemente continuo. ii) A es continuo. 59

iii) A es continuo en alg´ un x0 ∈ X. iv) A es continuo en 0. v) A es acotado. vi) M ⊂ X acotado =⇒ A(M ) ⊂ Y acotado. Demostraci´ on. i) =⇒ ii) =⇒ iii) =⇒ iv) son evidentes. iv) =⇒ v). Supongamos que A es continuo y no acotado. Entonces ∀k ∈ xk N, ∃xk ∈ X : kAxk k > kkxk k. Si llamamos yk = kkx , como kyk k = 1/k, kk resulta que yk → 0. Por la continuidad de A, Ayk → A(0) = 0, es decir ∀ε > 0, ∃N : k > N =⇒ kAyk k < ε. Si tomamos ε < 1, kAyk k =

kAxk k kkxk k

> 1, lo que es absurdo.

v) =⇒ vi). Sea M ⊂ X acotado. Entonces existe K : kxk ≤ k, ∀x ∈ M. Por ser A acotado, kAxk ≤ kAk · kxk ≤ kAk · k, ∀x ∈ M . Esto implica que A(M ) es acotado. vi) =⇒ i). Sea M la bola unitaria cerrada en X. Como M es acotado, A(M ) es acotado en Y , es decir kAxk ≤ k, ∀x ∈ M . Dado cualquier ε > 0, hacemos δ = ε/k, con lo que, si kx − yk < δ, entonces

kAx − Ayk = kA(x − y)k = kx − yk · A

x − y 

< δ · k = ε, kx − yk

pues (x − y)/kx − yk ∈ M .



6.9.- Corolario. Si A : X → Y es un operador lineal acotado, entonces xn → x =⇒ Axn → Ax. Demostraci´ on. kAxn − Axk ≤ kAk kxn − xk → 0.



Probamos a continuaci´on la siguiente caracterizaci´on de la existencia de operador inverso acotado. 6.10.- Teorema (operador inverso). Sea A : X → Y un operador lineal. La condici´ on necesaria y suficiente para que exista A−1 : A(X) → X y est´e acotado es que ∃k > 0 : kkxk ≤ kAxk, ∀x ∈ X. Demostraci´ on. a) Para que exista A−1 , debe ser A inyectiva. En efecto, de Ax = 0 se deduce que kAxk = 0 =⇒ kkxk = 0 =⇒ x = 0. La comprobaci´on de que A−1 es lineal es directa. Veamos que es acotado: 60

∀y ∈ A(X), ∃x ∈ X : Ax = y, es decir x = A−1 y. Por hip´otesis, ∃k > 0 : kkA−1 yk ≤ kyk. Entonces kA−1 yk ≤ (1/k)kyk de modo queA−1 est´a acotado. b) Como A−1 est´a acotado, ∃k > 0 : kA−1 yk ≤ kkyk. Para todo x ∈ X, hacemos y = Ax; entonces kA−1 Axk ≤ kkAxk. Por tanto, (1/k)kxk ≤ kAxk. ♦ 6.11.- Definici´ on (restricci´on, extensi´on). a) Dado un operador A : X → Y y un subconjunto X0 ⊂ X, al operador A|X0 : X0 → Y definido por A|X0 x = Ax, ∀x ∈ X0 , se le llama restricci´on de A a X0 . e tal que X ⊂ X, e b) De la misma manera, dado A : X → Y y un conjunto X e definido en X e cuya restricci´on a X coincide con A se llama un operador A e extensi´on de A a X. Entre las extensiones de un mismo operador, son importantes las que conservan las propiedades b´asicas del operador de partida, como la linealidad y acotaci´on. 6.12.- Teorema. Sea A : X → Y un operador lineal acotado, donde Y es e : X → Y tal que A e es lineal, de Banach. Entonces A tiene una extensi´ on A e = kAk. acotado y kAk Demostraci´ on. Sea x ∈ X. Entonces existe {xn }n∈N ⊂ X : xn → x. Como kAxn − Axm k = kA(xn − xm )k ≤ kAk · kxn − xm k → 0, entonces {Axn }n∈N es de Cauchy en Y y, por lo tanto, converge a y ∈ Y (porque Y es de Banach). e = y. As´ı definido, se puede probar lo siguiente: Definimos Ax * La definici´on no depende de la elecci´on de la sucesi´on que tiende a x: Si xn → x y zn → x, entonces {x1 , z1 , x2 , z2 , . . . } tambi´en converge a x y, como A es acotado, la sucesi´on de sus im´agenes tambi´en converge. Por tanto, las dos sub-sucesiones {Axn }n∈N y {Azn }n∈N convergen al mismo l´ımite. e es lineal (evidente). *A e = Ax, ∀x ∈ X. * Ax e si xn → x, entonces * Como kAxn k ≤ kAk · kxn k y Axn → y = Ax, e e e extensi´on de kAxk ≤ kAk · kxk. Por tanto, kAk ≤ kAk. Pero, al ser A e ≥ kAk, entonces kAk = kAk. e A, kAk ♦ 61

Diversas generalizaciones y variaciones de este resultado son objeto de numerosos estudios, importantes tanto en la teor´ıa de operadores como en otras ´areas afines.

7. FUNCIONALES LINEALES. ESPACIO DUAL.

Entre los operadores lineales en espacios normados, una clase importante, e hist´oricamente precursora de los mismos, la constituyen los funcionales lineales que estudiamos en esta secci´on. 7.1.- Definici´ on. Un funcional es un operador cuyo rango est´a en el conjunto R ´o C. Un funcional lineal es un operador lineal f : X → E donde X es un espacio vectorial y E su cuerpo de escalares. Un funcional lineal acotado es un operador lineal acotado cuyo rango est´a en E, cuerpo de escalares del espacio normado X, es decir, si existe k > 0 : |f (x)| ≤ kkxk, ∀x ∈ X. Se define la norma de f del mismo modo que en el caso de operadores lineales, y se verifican las mismas propiedades obtenidas en el caso general. 7.2.- Ejemplos. 1) k · k : X → R es un funcional no lineal. 2) Para cada a ∈ Rn , fa : Rn → R definido por fa (x) = a · x = a1 x1 + · · · + an xn (producto escalar por un vector fijo) es un funcional lineal y acotado: |fa (x)| = |x · a| ≤ kxk · kak =⇒ kf k ≤ kak. Pero adem´as, si hacemos x = a, resulta kfa k ≥ kak. De lo que se deduce que kfa k = kak.

|fa (x)| kxk

=

kak2 kak

=⇒ kfa k ≥

P 3) La aplicaci´on f : `2 → R, definida por f (x) = i∈N ai xi donde (ai )i∈N ∈ `2 es fijo, es tambi´en un funcional lineal y acotado pues, por la desigualdad de Cauchy-Schwarz, |f (x)| ≤ kxk2 · kak2 . Del mismo modo, el operador f : `p → R definido por f (x) = a · x, con a ∈ `q fijo, es tambi´en lineal y acotado. Rb 4) El operador f : C[a, b] → R definido por f (x) = a x(t)dt (integral definida) es lineal y acotado: Z b x(t)dt ≤ (b − a) · m´ax |x(t)| = (b − a) · kxk =⇒ kf k ≤ b − a. |f (x)| = a

a≤t≤b

Si elegimos en particular x0 = 1, kf k ≥ deduce que kf k = b − a. 62

|f (x0 )| kx0 k

Rb

=

dt 1

a

= b − a. De aqu´ı se

7.3.- Proposici´ on. Sea X un espacio normado y f un funcional lineal en X. Entonces f es continuo si y s´ olo si su n´ ucleo N (f ) es cerrado. Demostraci´ on. a) La prueba de que N (f ) es cerrado es directa. b) Supongamos que N = N (f ) es cerrado. Si N = X, entonces f = 0 y es continuo. Si N 6= X, existe x1 ∈ X : f (x1 ) 6= 0. Sea x0 = x1 /f (x1 ). Como f (x0 ) = 1 y N es cerrado, d(x0 , N ) = d > 0. Por otra parte, ∀x ∈ X, x = x − f (x) · x0 + f (x) · x0 , donde x − f (x) · x0 ∈ N . Esto indica que X = N ⊕ {λx0 : λ ∈ E}. Si escribimos entonces x = n + λx0 , con n ∈ N , λ ∈ E, resulta: kxk = |λ| · kx0 + n/λk ≥ |λ| · d = |f (λx0 + n)| · d = |f (x)| · d. Esto implica que |f (x)| ≤ (1/d) · kxk y f es continuo.



En espacios vectoriales de dimensi´on finita es conocido el hecho de que si {e1 , . . . , en } es una base de X, entonces el espacio X ∗ , llamado dual algebraico de X, definido por X ∗ = {f : X → R : f lineal}, tiene dimensi´on n y el conjunto {f1 , . . . , fn }, donde fi (ek ) = δik , es una base de X ∗ . En dimensi´on infinita, tenemos el siguiente resultado an´alogo: 7.4.- Proposici´ on. Si (X, k · k) es un espacio normadoP y (xn )n∈N es una base de Schauder, el funcional lineal fk definido por fk ( n∈N αn xn ) = αk es continuo. P Demostraci´ on. Dado a = n∈N αn xn ∈ X y teniendo en cuenta la demostraci´on de la proposici´on 4.8, resulta:

k k−1

X X 1 1

|fk (a)| = |αk | = kαk xk k = αn xn − αn xn

kxk k kxk k n=1



1 M · 2kak∗ ≤ kak. kxk k kxk k

n=1



Este hecho es el punto de partida para definir el concepto de espacio dual en espacios normados arbitrarios. 7.5.- Definici´ on. Sea X un espacio normado; llamamos espacio dual de X a X 0 = {f : X → E : f lineal y acotado}. Si dim X < ∞, este concepto coincide con el de dual algebraico (por el teorema 6.7). El espacio X 0 ser´a siempre completo por serlo el cuerpo de escalares de X. Es a menudo conveniente estudiar el espacio dual de un espacio normado para obtener propiedades del mismo espacio, por lo que estudiaremos 63

su estructura en algunos ejemplos cl´asicos. Veremos posteriormente, como consecuencia del teorema de Hahn-Banach (cap´ıtulo IV), que el dual de un espacio normado no trivial es no trivial. 7.6.- Ejemplos. 1) El dual de Rn con la norma eucl´ıdea es Rn (en realidad es un espacio isom´etrico a Rn ): Como dim Rn = n, todo f lineal es acotado. Pn Pn Si x = i=1 αi f (ei ). Por la desigualdad de Cauchyi=1 αi ei , f (x) = Schwarz, !1/2 n !1/2 n n X X X 2 2 |f (x)| ≤ |αi f (ei )| ≤ |αi | |f (ei )| i=1

= kxk ·

n X

i=1 !1/2 2

|f (ei )|

i=1

,

i=1

de donde kf k ≤

 2 1/2 . i=1 |f (ei )|

Pn

Tomando en particular x = (f (e1 ), . . . , f (en )), se obtiene la igualdad. As´ı,  Pn 2 1/2 coincide con la norma eucl´ ıdea y la aplicaci´on kf k = i=1 |f (ei )| definida por f 7→ (f (e1 ), . . . , f (en )) es un isomorfismo isom´etrico de (Rn )0 en Rn . 2) El dual de `1 es `∞ . ∀x ∈ `1 , podemos escribir x =

P∞

∞ k=1 αk ek , donde ek = (δkj )j=1 forma P . ., 0, αn+1 , . . . ) y x− nk=1 αk ek = (0, .(n)

una

base de Schauder de `1 , porque



n

X

X



αk ek = αk ek → 0

x −



k=1

k=n+1

por ser el resto de una serie convergente. Definimos la aplicaci´on T f = (f (ek ))k∈N , ∀f ∈ (`1 )0 . Como f (x) =

P

αk f (ek ),

k∈N

entonces |f (ek )| ≤ kf k · kek k = kf k, pues kek k = 1. En consecuencia, supk |f (ek )| ≤ kf k de donde (f (ek ))k∈N ∈ `∞ . ∞ 1 - T es P sobre: ∀b = (βk )k∈N ∈ ` 1, definimos g : ` → E como g(x) = k∈N αk βk si x = (αk )k∈N ∈ ` .

El funcional g es lineal y acotado, pues X X |g(x)| ≤ |αk βk | ≤ sup |βk | · |αk | = kxk1 · sup |βk | =⇒ g ∈ (`1 )0 . k∈N

Adem´as, como g(ek ) = b.

k

k∈N

P

j∈N δkj βj

64

k

= βk , T g = (g(ek ))k∈N = (βk )k∈N =

- T esPinyectiva: Si T f1 = T f2 , P entonces f1 (ek ) = f2 (ek ), ∀k. Como f1 (x) = x f (e ) y f (x) = 1 2 k k k∈N k∈N xk f2 (ek ), entonces f1 = f2 . - T es isometr´ıa: Por una parte, kT f k∞ = supk |f (ek )| ≤ kf k y de X X |f (x)| = | αk f (ek )| ≤ sup |f (ek )| · |αk | = kxk · sup |f (ek )| k

k∈N

k

k∈N

(para probar la desigualdad se toman sumas parciales y, debido a la convergencia de la serie, calcular el l´ımite), tenemos que kf k ≤ supk |f (ek )| = kT f k. As´ı los espacios (`1 )0 y `∞ son isom´etricos. 1 p

3) El dual de `p es `q si

+

1 q

= 1, (1 < p < ∞) :

Una base de Schauder de `p es ek = (δkj )∞ j=1 . P P ∀x ∈ `p , x = k∈N αk ek . Si f ∈ (`p )0 , f (x) = k∈N αk f (ek ). Definimos como antes T f = (f (ek ))k∈N . Para probar que la imagen de est´a en `q , definimos para cada n, la sucesi´on (T |f (ek )|q si k ≤ n y f (ek ) 6= 0, (n) (n) f (ek ) x(n) = (ξk )∞ k=1 con ξk = 0 si k > n ´o f (ek ) = 0. P P (n) Entonces f (x(n) ) = k∈N ξk f (ek ) = nk=1 |f (ek )|q . Como adem´as, (n)

f (x

(n)

) ≤ kf k · kx

n X

kp = kf k

!1/p (n) |ξk |p

k=1 n X

= kf k

!1/p pq−p

|f (ek )|

= kf k

resulta que

n P

|f (ek

)|q

1− 1



p

=

k=1

|f (ek )|

,

n P

|f (ek

)|q

1/q ≤ kf k.

k=1

 Haciendo n → ∞,

!1/p q

k=1

k=1



n X

∞ P

|f (ek

)|q

1/q

≤ kf k de donde (f (ek ))k∈N ∈ `q .

k=1

T es sobre: Dado b = (βk )k∈N ∈ `q , podemos P∞ asociarle un funcional linealp y acotado g en `p , mediante g(x) = k=1 αk βk con x = (αk )k∈N ∈ ` (la acotaci´on se deduce de la desigualdad de H¨older 2.2.a). Entonces g ∈ (`p )0 . Se ve f´acilmente que T es tambi´en inyectiva. 65

Por u ´ltimo veamos que la norma de f es la norma en `q de T f : X |f (x)| = αk f (ek ) ≤ k∈N

!1/p X

|αk |p

k∈N

!1/q X

|f (ek )|q

k∈N

!1/q = kxk

X

|f (ek )|q

.

k∈N

Tomando el supremo sobre los x de norma 1, sale que kf k ≤

 q 1/q k∈N |f (ek )|

P

Como la otra desigualdad tambi´en es cierta, se deduce la igualdad kf k =  P q 1/q , con lo que se establece el isomorfismo f 7→ (f (e )) k k∈N k∈N |f (ek )| deseado. Observaci´ on. Otros ejemplos se pueden obtener debido al hecho de que si X0 es subespacio denso de X e Y es completo, entonces L(X0 , Y ) = L(X, Y ), se deduce en particular que X00 = X 0 .

66

.

EJERCICIOS.

1. Sea 1r = p1 + 1q . Probar que si f ∈ Lp , g ∈ Lq , entonces f · g ∈ Lr y kf · gkr ≤ kf kp · kgkq . Resp.: Basta aplicar la desigualdad de H¨older a las funciones f r y g r , 1 1 sabiendo que 1 = p/r + q/r .   2. Sea f ∈ Lp (R), 1 < p < ∞. Probar que g(x) =  1/q 2 kgk1 ≤ q−1 · kf kp .

f (x) 1+|x|

∈ L1 (R) y que

Resp.: Aplicando la desigualdad de H¨older y resolviendo las integrales involucradas, obtenemos Z Z Z 1/p  Z 1 1 q 1/q |g(x)|dx = |f (x)| · dx ≤ |f (x)|p dx · dx 1 + |x| R R R R 1 + |x| Z ∞ i1/q hZ 0 1 1 2 1/q dx+ dx . = kf kp · = kf kp · q q q−1 0 (1 + x) −∞ (1 − x)   3. Probar que, en todo espacio normado, B(x, r) = B(x, r). Resp.: Como B(x, r) ⊂ B(x, r), entonces B(x, r) ⊂ B(x, r) = B(x, r). Rec´ıprocamente, sabiendo que B(x, r) = B(x, r)∪S(x, r), para probar que B(x, r) ⊂ B(x, r) basta ver que S(x, r) ⊂ B(x, r), es decir que si y ∈ S(x, r), dado ε > 0, ∃z ∈ B(x, r) : d(y, z) < ε. Para ello consideramos un elemento z = x + λ(y − x) y calculemos λ para que se verifique la tesis. kz − xk = kλ(y − x)k = |λ| · ky − xk = |λ| · r < r ⇐⇒ |λ| < 1, ky − zk = ky − x − λy + λxk = |1 − λ| · ky − xk = |1 − λ| · r < ε ⇐⇒ |1 − λ| < ε/r. De este modo, si suponemos ε < r, 0 < ε/r < 1, tomando 1−λ = ε/2r, ε ε ε es |1 − λ|r = 2r · r = ε/2 < ε. Adem´as, como λ = 1 − 2r y 2r < 1, entonces |λ| < 1. 67

Si fuera ε ≥ r, tomamos z = y + 12 (x − y). Entonces 1 1 kz − xk = ky + (x − y) − xk = ky − xk = r/2 < r 2 2 1 1 ky − zk = k (x − y)k = k(x − y)k = r/2 < r ≤ ε. 2 2 Interpretaci´ on gr´ afica:

  4. i) Caracterizar todas las normas sobre R considerado como espacio vectorial real.

ii) Idem sobre C como espacio complejo. iii) Probar que C puede tener otras normas considerado como espacio real. Resp.: i) Sea k · k una norma. Si llamamos α = k1k, entonces ∀λ ∈ R, kλk = |λ| · k1k = |λ| · α.

Rec´ıprocamente, ∀α ∈ R+ , podemos definir kλkα = |λ| · α y es f´acil comprobar que se trata de una norma. ii) An´alogo al anterior. ii) Si definimos kzk = | Re z| + | Im z|, es una norma en C como espacio real, pero no coincide con las anteriores √ pues, como k1k = 1, entonces k1 + ik = 2 pero k1 + ik1 = 1 · |1 + i| = 2.   5. a) Probar que la m´ etrica discreta en un espacio vectorial no trivial X no puede obtenerse de una norma. 68

b) Sea d una m´ etrica sobre un espacio vectorial X 6= {0} obtenida a partir de una norma. Si se define la aplicaci´ on d0 como 0 0 0 d (x, x) = 0, d (x, y) = d(x, y) + 1, probar que d no puede obtenerse de una norma. Resp.: a) Para que una m´etrica pueda obtenerse de una norma hace falta que d(x + α, y + α) = d(x, y) y d(αx, αy) = |α| · d(x, y). Pero si elegimos |α| = 6 1, x 6= y, entonces d(x, y) = 1 = d(αx, αy) y no se cumple la segunda condici´on. b) Si |α| = 6 1, d0 (αx, αy) = d(αx, αy) + 1 = |α| · d(x, y) + 1 = |α|[d(x, y) + 1] + 1 − |α| = |α| · d0 (x, y) + 1 − |α| = 6 |α| · d0 (x, y).

  6. Sea (X, k · k) un espacio normado y Sr = {x ∈ X : kxk = r} con r > 0. Probar que X es de Banach si y s´ olo si ∃r tal que Sr es completo. Resp.: a) Supongamos que X es de Banach y sea r > 0 arbitrario; entonces ∀x ∈ S r , ∃(xn )n∈N ⊂ Sr : xn → x. Como kxn k = r y la norma es continua, l´ımn kxn k = k l´ımn xn k = kxk = r. Esto implica que Sr es cerrado y, en consecuencia, completo. b) Sea r0 > 0 tal que Sr0 es completo y sea r > 0 arbitrario. Dada la sucesi´on de Cauchy (xn )n∈N en Sr , sea yn = (r0 /r)xn ; entonces yn ∈ Sr0 y adem´as (yn )n∈N es de Cauchy, por lo que ∃y ∈ Sr0 tal que y = l´ımn yn . Definimos x = (r/r0 )y; entonces x ∈ Sr y kxn −xk = (r/r0 )kyn −yk → 0. Por tanto, Sr es completo, ∀r. Falta demostrar que toda sucesi´on de Cauchy en X es convergente. Sea pues (xn )n∈N de Cauchy en X. Entonces, si λn = kxn k, la sucesi´on (λn )n∈N es de Cauchy pues |λn − λm | ≤ kxn − xm k → 0. Como en E toda sucesi´on de Cauchy es convergente, tenemos dos opciones: Si l´ımn λn = 0 =⇒ l´ımn kxn k = 0 =⇒ l´ımn xn = 0. 69

Si l´ımn λn 6= 0, λn 6= 0, excepto para un n´ umero finito de ´ındices. Si llamamos yn = rxn /λn , la sucesi´on (yn )n∈N , que est´a contenida en Sr , es de Cauchy, pues:

x

kλm xn − λn xm k

n xm kyn − ym k = r −

=r λn λm |λn λm | y kλm xn −λn xm k ≤ |λm |·kxn −xm k+|λm −λn |·kxm k → 0 (recordamos que toda sucesi´on de Cauchy est´a acotada). Por ser Sr completo, ∃y ∈ Sr : yn → y, de donde xn → (λ/r)y.   7. Se considera el conjunto C0 (Rn ) = {f : Rn → R : f continua y l´ım f (x) = 0} x→∞

con la norma kf k = m´axn |f (x)|. Probar que es de Banach. x∈R

Resp.: La norma est´a bien definida pues, si f ∈ C0 (Rn ), f 6= 0, ∀ε > 0, ∃δ > 0 : |x| > δ =⇒ |f (x)| < ε =⇒ m´axn |f (x)| = m´ax |f (x)|, x∈R

|x|≤δ

que existe por el teorema de Weierstrass. Los axiomas de norma son evidentes. Si (fn )n∈N es una sucesi´on de Cauchy en C0 (Rn ), converge uniformemente a una funci´on continua f (como en el caso general). Veamos que f ∈ C0 (Rn ): ( |f (x) − fn (x)| < ε/2 ∀ε > 0, |fn (x)| < ε/2

para n > N (ε) para |x| > δ(ε)

) =⇒ |f (x)| < ε, para |x| > δ(ε).

  8. Sea φ el conjunto formado por las sucesiones escalares de soporte finito. Probar que (φ, k · kp ) con p ≥ 1 es un espacio normado no completo. Resp.: Al ser φ subespacio de lp , es normado. 70

Para p > 1, consideramos la sucesi´on (yn )n∈N ⊂ φ dada por: y1 = (1, 0, . . . ) y2 = (1, 1/2, 0, . . . ) .. . yn = (1, 1/2, . . . , 1/n, 0, . . . ). As´ı,

kyn+k −yn kpp = (0, . . . 0,

k

p X 1 1 1

,..., , 0, . . . ) = 0 : B(a, r) ⊂ S. Sea x ∈ X arbitrario, x 6= 0, y elegimos t ∈ R tal que 0 < t < r/kxk. As´ı elegido, es evidente que z = a + tx ∈ B(a, r), de donde z ∈ S. Como x = t−1 (z − a), entonces x ∈ S. Al ser x arbitrario, X ⊂ S, es decir S = X, lo que contradice la hip´otesis. Observaci´ on: Dicho conjunto se llama conjunto fronterizo (todos sus puntos son aislados). El u ´ltimo apartado prueba que S no es abierto. Adem´as, si fuera cerrado, debe ser un conjunto nunca denso.   11. Sea K ⊂ R un compacto y C(K) = {f : K → C : f continua}.

a) Probar que (C(K), k · k∞ ) es un espacio de Banach. b) Probar que (C(K), k · kp ) con 1 ≤ p < ∞ no es completo. 72

Resp.: a) Al ser f continua, kf k∞ = supx∈K |f (x)| = m´axx∈K |f (x)|. Los axiomas de norma se comprueban de forma directa. Para ver que el espacio es completo, consideremos una sucesi´on de Cauchy {fn }n∈N en C(K). Entonces ∀ε > 0, ∃n0 : kfm − fn k∞ < ε, ∀m, n > n0 . Por tanto, |fm (x) − fn (x)| < ε, ∀m, n > n0 , ∀x ∈ K y la sucesi´on {fn (x)}n∈N es de Cauchy en C, con lo que existe f (x) = l´ımn→∞ fn (x) y la convergencia es uniforme. Esto indica adem´as que f es continua en K. Veamos que kfn − f k∞ → 0: Como |fn (x)−f (x)| = |fn (x)− l´ım fm (x)| = l´ım |fn (x)−fm (x)| ≤ ε, ∀m, n > n0 , m→∞

m→∞

es evidente que kfn − f k∞ = supx∈K |fn (x) − f (x)| ≤ ε. b) Los axiomas de norma se deducen de los correspondientes en Lp (K) con la medida de Lebesgue. Para ver que no es completo, consideramos la sucesi´on (fn )n∈N definida por:   0 fn (x) = nx − n/2 + 1   1

si 0 ≤ x ≤ 1/2 − 1/n si 1/2 − 1/n ≤ x ≤ 1/2 si x ≥ 1/2.

Es evidente que kfn kp < ∞. Adem´as: kfn −fm kpp

Z =

1 2 1 1 −n 2

p

|fn (x)−fm (x)| dx ≤

Z

1 2 1 1 −n 2

p

|fn (x)| dx ≤

Z

1 2

dx =

1 1 −n 2

Sin embargo, fn → χ[1/2,1] que no es continua en x = 1/2. Observaci´ on. Aunque K 6= [0, 1], el proceso ser´ıa el siguiente: Por ser K compacto, ∃[a, b] ⊂ K; mediante un cambio de variable x 7→ x−a b−a , pasamos de [a, b] a [0, 1]. La sucesi´on (fn )n∈N se define como antes y la prolongamos a todo K de modo que sea constante fuera de [0, 1].  

73

1 → 0. n

12. Probar que Cc (R) = {f : R → R : f continua con soporte compacto }

es un espacio vectorial normado con la norma del supremo, pero no es de Banach. Resp.: El espacio es normado pues es un subconjunto de L∞ . Para ver que no es completo, basta considerar la sucesi´on   e−|x| si x ∈ [−n, n]    e−n (x + n + 1) si x ∈ [−n − 1, −n] fn (x) = −n  −e (x − n − 1) si x ∈ [n, n + 1]    0 en el resto, que es de Cauchy pero su l´ımite f (x) = e−|x| no pertenece al espacio.   13. Sea (X, k · k) un espacio normado y T : X → X un isomorfismo algebraico. Si definimos N : X → E por N (x) = kT xk, probar:

a) N es una norma. b) N es equivalente a k · k si y s´ olo si T es homeomorfismo. Resp.: a) N (x) ≥ 0 pues kT xk ≥ 0, ∀x ∈ X. N (x) = 0 ⇐⇒ kT xk = 0 ⇐⇒ T x = 0 ⇐⇒ x = 0 (pues T es, en particular, inyectiva). N (λx) = kT (λx)k = kλT xk = |λ| · kT xk = |λ| · N (x). N (x + y) = kT (x + y)k ≤ kT x + T yk ≤ kT xk + kT yk = N (x) + N (y). b) N es equivalente a k · k ⇐⇒ ∃m, M > 0 : mkxk ≤ N (x) ≤ M kxk. 1 Esto equivale a kxk ≤ m kT xk y kT xk ≤ M kxk, condiciones que equivalen a la existencia y continuidad de T −1 y T , respectivamente, es decir, a que T es homeomorfismo.  

74

14. Un subconjunto A de un espacio vectorial X es convexo si para cualesquiera x, y ∈ A, α ∈ (0, 1), se tiene que αx + (1 − α)y ∈ A.

a) Probar que la bola unitaria cerrada B(0, 1) en un espacio normado es convexo. b) Aplicando lo anterior, probar que ϕ(x) =

p

|x1 | +

p

2 |x2 | no

define una norma en R2 . Resp.: a) Sean x, y ∈ B(0, 1). Entonces kxk ≤ 1, kyk ≤ 1. Si α ∈ (0, 1), kαx + (1 − α)yk ≤ |α| · kxk + |1 − α| · kyk ≤ α + (1 − α) = 1. Esto implica que αx + (1 − α)y ∈ B(0, 1). b) Veamos que B(0, 1) no es convexa en dicho espacio. Para ello observamos p p la gr´afica de dicha bola, es decir el conjunto {(x1 , x2 ) : ( |x1 | + |x2 |)2 ≤ 1}. Haciendo x = (1, 0), y = (0, 1), ϕ(x) = 1, ϕ(y) = 1. Sin embargo p x/2 + y/2 = (1/2, 1/2) 6∈ B(0, 1) porque ϕ(1/2, 1/2) = ( 1/2 + p 1/2)2 = 2 > 1.

  15. Si X es un espacio vectorial, una aplicaci´ on p : X → R se llama seminorma si verifica i) p(x) ≥ 0, ii) p(αx) = |α| · p(x), iii) p(x + y) ≤ p(x) + p(y).

a) Probar que |p(x) − p(y)| ≤ p(x − y). b) Probar que p es una norma si verifica p(x) 6= 0, ∀x 6= 0. c) Probar que N = {x ∈ X : p(x) = 0} es un subespacio de X y la aplicaci´ on k · k : X/N → R definida por kb xk = p(x), donde x ∈ x b, es una norma. 75

Resp.: a) Haciendo α = 0 en ii), resulta que p(0) = 0. Como x = x − y + y, p(x) ≤ p(x − y) + p(y) =⇒ p(x) − p(y) ≤ p(x − y). Como y = y − x + x, p(y) ≤ p(y − x) + p(x) =⇒ p(y) − p(x) ≤ p(y − x). Adem´as, p(y − x) = p(−(x − y)) = | − 1| · p(x − y) = p(x − y). En definitiva, −p(x − y) ≤ p(x) − p(y) ≤ p(x − y). b) Es evidente. c) Si x, y ∈ N y α, β ∈ C, entonces p(x) = p(y) = 0 =⇒ p(αx+βy) ≤ p(αx)+p(βy) = |α|·p(x)+|β|·p(y) = 0, es decir αx + βy ∈ N . Veamos que kb xk = p(x) es una norma. • kb x k ≥ 0 por i). • kb x k = 0 =⇒ p(x) = 0 =⇒ x ∈ N =⇒ x b = 0. Rec´ıprocamente, si x b = 0 =⇒ p(x) = 0 =⇒ kb x k = 0. • Como α · x b = αx, c kαb x k = p(αx) = |α| · p(x) = |α| · kb x k. • kb x + ybk = kx[ + yk = p(x + y) ≤ p(x) + p(y) = kb x k + kb y k. • k · k est´a bien definida: Si x, y ∈ x b, x − y ∈ N =⇒ p(x − y) = 0 =⇒ |p(x) − p(y)| ≤ p(x − y) = 0. Por tanto, p(x) = p(y).   16. Sea (X, k · k) un espacio normado y M un subespacio cerrado de X . En el espacio cociente X/M definimos |||b x||| = ´ınf kx + yk, ∀b x ∈ X/M. y∈M

a) Probar que ||| · ||| define una norma en X/M . b) Si X es de Banach, probar que (X/M, ||| · |||) es de Banach. c) Si M y X/M son de Banach, probar que X es de Banach. d) Si X es separable, probar que X/M es separable. Resp.: a) Observemos en primer lugar que |||b x||| = d(x, M ). • De la observaci´on anterior es claro que |||b x||| ≥ 0, ∀x ∈ X. 76

• |||b x||| = 0 ⇐⇒ d(x, M ) = 0 ⇐⇒ x ∈ M ⇐⇒ x ∈ M ⇐⇒ x b=b 0. • Debido a que kα(x + y)k = |α| · kx + yk, ∀y ∈ M , tomando ´ınfimos y recordando que αx c = αb x, resulta: |||αx||| c = |||αb x||| = ´ınf kα(x + y)k = ´ınf |α| · kx + yk|α| · |||b x|||. y∈M

y∈M

• Debido a que kx + m1 + y + m2 k ≤ kx + m1 k + ky + m2 k, ∀m1 , m2 ∈ M, tomando ´ınfimos, se obtiene: ´ınf

m1 ,m2 ∈M

kx + y + m1 + m2 k



´ınf kx + m1 k + ´ınf ky + m2 k

m1 ∈M

m2 ∈M

=⇒ |||x[ + y||| ≤ |||b x||| + |||b y |||. b) Sea {c xn }n∈N una sucesi´on de Cauchy en X/M . Entonces ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N tal que |||xc cn ||| < ε, ∀m, n > n0 . Por la definici´on de m −x ||| · |||, ∃yk ∈ x ck : kym − yn k < 2ε lo que implica que {yn }n∈N es de Cauchy en X. As´ı pues, ∃y ∈ X : yn → y. Si llamamos x b a la clase de equivalencia que contiene a y, como |||c xn − x b||| ≤ kyn − yk, se deduce que x cn → x b. c) Sea {xn }n∈N una sucesi´on de Cauchy en X. Como \ |||b xm −b xn ||| = |||(xm − xn )||| = d(xm −xn , M ) ≤ d(xm −xn , 0) = kxm −xn k, tambi´en la sucesi´on {c xn }n∈N es de Cauchy en X/M . Por hip´otesis, existe x b ∈ X/M tal que x cn → x b. Entonces, ∀ε > 0, ∃n0 : d(xn − x, M ) < ε/2, ∀n > n0 , de donde ∃y ∈ M : d(xn − x, y) < ε, ∀n > n0 . En definitiva, kxn − x − yk < ε, ∀n > n0 , es decir xn → x + y. d) Sea Y un subconjunto numerable y denso en X y llamamos Yb al conjunto formado por las clases de equivalencia de los elementos de Y . Es evidente que Yb es numerable. Adem´as, si x b ∈ X/M es arbitrario, ∀ε > 0, ∃y ∈ Y : kx − yk < ε. Por ser M cerrado, |||b x − yb||| ≤ kx − yk. Como yb ∈ Yb , deducimos que Yb es denso en X/M .  

77

17. Sea X un espacio normado.

a) Si M ⊂ X es subespacio completo, probar que la aplicaci´ on can´ onica ϕ : X → X/M es continua y kϕk = 1. b) Si M ⊂ X es subespacio cerrado e Y ⊂ X un subespacio de dimensi´ on finita, probar que M + Y es cerrado en X . Resp.: a) Por definici´on, ϕ(x) = x b, de donde |||ϕ(x)||| = ´ınf kx + mk ≤ ´ınf (kxk + kmk) = kxk. m∈M

m∈M

Esto implica que ϕ es continua y kϕk ≤ 1. Por otra parte, de la definici´on de ´ınfimo, ∀ε > 0, ∃y ∈ x b : kyk < (1 + ε)|||b x|||. Como ϕ(y) = x b, kyk < (1 + ε)|||ϕ(y)||| ≤ (1 + ε)kϕk · kyk =⇒

1 < kϕk, ∀ε > 0. 1+ε

De lo anterior se deduce que kϕk ≥ 1. b) Supondremos que M ∩ Y = {0} pues, si M ∩ Y = M1 6= {0}, basta definir Y 0 = Y \ M1 de modo que M + Y = M + Y 0 y M ∩ Y 0 = {0} ( Y 0 tambi´en tiene dimensi´on finita). (1) Probemos en primer lugar que mk + yk → 0 =⇒ mk → 0, yk → 0: Si fuera yk 6→ 0, ∃{ykj }j∈N ⊂ M : kykj k = 1, mkj + ykj → 0. Como la esfera unidad en Y es compacta, se puede extraer otra subsucesi´on convergente ykj → y ∈ Y con kyk = 1. Esto implica que mkj → −y ∈ M ∩ Y con lo que y = 0, lo que contradice la suposici´on inicial. As´ı pues, yk → 0 y, por hip´otesis, mk + yk → 0, de donde mk → 0. (2) Veamos ahora que {yk }k∈N est´a acotada si {mk + yk }k∈N converge: Si kyk k → ∞, como kmk + yk k ≤ c, haciendo m0k = mk /kyk k, yk0 = yk /kyk k, entonces km0k + yk0 k =

kmk + yk k c ≤ → 0, con kyk0 k = 1 kyk k kyk k

lo que contradice (1). (3) Por u ´ltimo, si {mk +yk }k∈N converge a x, probemos que x ∈ M +Y : Por ser Y compacto y la sucesi´on {yk }k∈N acotada, existe una subsucesi´on {ykj }j∈N tal que ykj → y ∈ Y . Esto implica que mkj → x − y ∈ M 78

(por ser M cerrado). Entonces x ∈ M + Y pues x = (x − y) + y y x − y ∈ M.   18. Sean (X1 , k · k1 ), . . . , (Xn , k · kn ) espacios normados arbitrarios y X = X1 × · · · × Xn el espacio producto. 

a) Probar que X es normado si definimos kxk =

n P

k=1

kxk kpk

1/p

,

1 ≤ p < ∞, o bien kxk = m´ax kxk kk . 1≤k≤n

b) Si dim Xi = ki < ∞, 1 ≤ i ≤ n, probar que dim X =

Pn

i=1 ki .

c) Probar que Xi son de Banach para todo i si y s´ olo si X es de Banach. Resp.: a) De los axiomas de norma para los espacios Xi (1 ≤ i ≤ n) y la desigualdad de Minkowski se deducen los correspondientes axiomas para X. b) Si {xi1 , . . . , xiki } es una base de Xi , para i = 1, . . . , n, es f´acil comprobar que {(x11 , 0, . . . , 0), . . . , (x1k1 , 0, . . . , 0), . . . , (0, . . . , 0, xn1 ), . . . , (0, . . . , 0, xnkn )} es una base de X. c) Supongamos que Xi son espacios de Banach, ∀i = 1, . . . , n, y sea {x(k) }k∈N una sucesi´on de Cauchy en X. Entonces, ∀ε > 0, X (k) (j) (k) (j) kx(k) − x(j) kp = kxi − xi kpi < εp =⇒ kxi − xi k < ε. 1≤i≤n (k)

Esto implica que ∃xi : kxi − xi k < ε, ∀i. (An´alogamente se procede con la norma del m´aximo.) Se define as´ı un elemento x = (x1 , . . . , xn ) ∈ X tal que X 1/p (k) kx(k) − xk = kxi − xi kpi < ε · n1/p 1≤i≤n

lo que significa que x(k) → x y X es de Banach. (i)

Rec´ıprocamente, si X es de Banach, sean {xm }m∈N sucesiones de Cauchy en Xi , para 1 ≤ i ≤ n. Es f´acil comprobar entonces que 79

(1)

(n)

{(xm , . . . , xm )}m∈N es de Cauchy en X en cada una de las normas. (1) (n) Por hip´otesis, existe (x1 , . . . , xn ) ∈ X tal que l´ımm (xm , . . . , xm ) = (i) (x1 , . . . , xn ). De aqu´ı se deduce que l´ımm xm = xi , ∀i = 1, . . . , n.   19. Sean (X1 , k · k1 ), (X2 , k · k2 ) espacios normados. Si {xn }n∈N ⊂ X1 es una sucesi´ on que converge a x en (X1 , k·k1 ) y {Tn }n∈N ⊂ L(X1 , X2 ) una sucesi´ on que converge a T en (L(X1 , X2 ), k · k), probar que Tn xn → T x en (X2 , k · k2 ). Resp.: Por hip´otesis, ∀ε > 0, ∃n0 : kxn − xk1 < ε/kT k y kxn k1 < M , ∀n > n0 . Por otra parte, ∃n1 : kTn − T k < ε/M , ∀n > n1 . Entonces, ∀n > m´ax{n0 , n1 }, tenemos: kTn xn − T xk2 ≤ kTn xn − T xn k2 + kT xn − T xk2 = k(Tn − T )xn k2 + kT (xn − x)k2 ≤ kTn − T k · kxn k1 + kT k · kxn − xk1 < ε.   20. Llamamos V al espacio de las funciones continuas en [a, b] con valores complejos y consideramos los espacios normados X1 = (V, k · k∞ ) y X2 = (V, k · k2 ). Probar que la aplicaci´ on identidad I : X1 → X2 es continua, pero no es homeomorfismo. Resp.: Debemos probar que ∀ε > 0, ∃δ > 0 : kx − yk∞ < δ =⇒ kx − yk2 < ε. Pero, de kx − yk∞ < δ, deducimos Z |x(t) − y(t)| < δ, ∀t ∈ [a, b] =⇒

b

|x(t) − y(t)|2 dt < δ 2 · (b − a).

a

Basta pues hacer δ 2 · (b − a) = ε2 para obtener kx − yk2 < ε. Para ver que la inversa no es continua, elegimos     si t ∈ [0, 1 − 1/n) 0 0 xn (t) = nt − n + 1 si t ∈ [1 − 1/n, 1) , yn (t) = nt − n     1 si t ∈ [1, 2] 1 80

si t ∈ [0, 1) si t ∈ [1, 1 + 1/n) si t ∈ [1 + 1/n, 2].

De este modo, m´axt∈[0,2] |xn (t)−yn (t)| = 1 pero 2/3n.

R2 0

|xn (t)−yn (t)|2 dt =

Si hacemos n para que 2/3n < δ, para cualquier δ > 0 R 2 ε < 1 y elegimos 2 resulta 0 |xn (t) − yn (t)| dt < δ pero m´axt∈[0,2] |xn (t) − yn (t)| > ε.   21. Si T : X → Y es un operador lineal y acotado, probar que el n´ ucleo N (T ) es cerrado pero la imagen R(T ) no es necesariamente cerrado. Resp.: a) Sea {xn }n∈N ⊂ N (T ) una sucesi´on convergente a x. Como T es continua, T xn → T x. Pero T xn = 0, ∀n =⇒ T x = 0 =⇒ x ∈ N (T ). Por tanto, N (T ) es cerrado. b) Definimos el operador T : `∞ → `∞ por T (x1 , . . . , xn , . . . ) = (x1 , x2 /2, . . . , xn /n, . . . ). En este caso, R(T ) = {y ∈ `∞ : (y1 , 2y2 , . . . , nyn , . . . ) ∈ `∞ }. √ √ Elegimos la sucesi´on y (k) = (1, 1/ 2, . . . , 1/ k, 0 . . . ). Es√claro que (k) = (1, . . . , 1/ k, . . . ) 6∈ y (k) ∈ R(T ), ∀k. Sin embargo, √ l´ımk→∞√y R(T ) porque la sucesi´on (1, 2/ 2, . . . , k/ k, . . . ) no est´a acotada. Esto prueba que R(T ) no es cerrado.   22. Sean X e Y dos espacios normados sobre R y f : X → Y una aplicaci´ on aditiva en X y acotada en la bola unidad de X . Probar que f es lineal y continua. Resp.: Por la aditividad de f deducimos lo siguiente: f (x + 0) = f (x) = f (x) + f (0) =⇒ f (0) = 0; f (x+ .(n) . . +x) = f (nx) = f (x)+ .(n) . . +f (x) = nf (x), ∀n ∈ N; 0 = f (x − x) = f (x) + f (−x) =⇒ f (−x) = −f (x); f (nx) = nf (x), ∀n ∈ Z; p p p q · f ( x) = f (px) = pf (x) =⇒ f ( x) = f (x), ∀p/q ∈ Q. q q q Veamos que f es continua: 81

Por hip´otesis, si kzk ≤ 1 =⇒ kf (z)k ≤ k. Dados ε > 0 y x0 ∈ X, debemos encontrar δ > 0 tal que kf (x) − f (x0 )k < ε, si kx − x0 k < δ. Sabemos que, kx − x0 k < 1/p =⇒ kp(x − x0 )k < 1 =⇒ kf (p(x − x0 ))k < k, es decir kf (x) − f (x0 )k < k/p. Por tanto, basta hacer p > k/ε, p ∈ N, para que kx − x0 k < 1/p =⇒ kf (x) − f (x0 )k < k/p < ε. Por u ´ltimo veamos la linealidad de f : Si r ∈ R, sea {qn }n∈N una sucesi´on de racionales tal que qn → r. Por la continuidad de f, f (rx) = l´ım f (qn x) = l´ım qn f (x) = rf (x). n

n

  23. Sea {αn }n∈N una sucesi´ on acotada en C y T : `1 → `1 el operador definido por T (xn )n∈N = (αn xn )n∈N .

a) Probar que T ∈ L(`1 ) y kT k = sup{|αn | : n ∈ N}. b) Probar que N (T ) = {0} ⇐⇒ αn 6= 0, ∀n. c) Probar que si N (T ) = {0}, entonces R(T ) es denso en `1 . Resp.: a) Es evidente que T es lineal. Para ver que T es acotada, supongamos que |an | ≤ M, ∀n. Entonces X X kT xk = |an xn | ≤ M |xn | = M kxk =⇒ kT k ≤ sup |an |. Si elegimos la sucesi´on x(n) = {0, (n−1) . . . , 0, 1, 0, . . . }, entonces kT x(n) k = |αn | =⇒ kT k ≥ |αn |, ∀n =⇒ kT k ≥ sup |αn |. b) Si N (T ) = {0}, T x(n) = αn 6= 0, ∀n. Rec´ıprocamente, si αn 6= 0, ∀n y x ∈ N (T ), entonces T x = (αn xn ) = 0 =⇒ αn xn = 0, ∀n =⇒ xn = 0, ∀n =⇒ x = 0. 82

c) Sea y = (yn )n∈N ∈ `1 y llamamos x(n) = (y1 /α1 , 0, . . . , yn /αn , 0, . . . ), n ∈ N. Entonces T x(n) = (y1 , . . . , yn , 0, . . . ) y T x(n) → y.   24. Si X = C[0, R 1 1], se definen los operadores S, T : X → X como Sx(s) = s 0 x(t)dt, T x(s) = sx(s), respectivamente. ¿Conmutan S y T ? Encontrar kSk, kT k, kT Sk y kST k. Resp.: a) Por definici´on, Z 1 t · x(t)dt, (ST x)(s) = S(T x)(s) = S(sx(s)) = s 0 Z 1 Z 1 2 x(t)dt. (T Sx)(s) = T (Sx(s)) = T (s x(t)dt) = s 0

0

Es evidente entonces que no conmutan. R1 R1 R1 b) Como kSxk = m´axs∈[0,1] |s 0 x(t)dt| ≤ | 0 x(t)dt| ≤ 0 |x(t)|dt ≤ kf k, entonces kSk ≤ 1. Si elegimos en particular x0 (s) = 1, (Sx0 )(s) = s y kSx0 k = 1. En definitiva, kSk = 1. Por otra parte, como kT xk = m´axs∈[0,1] |sx(s)| ≤ m´axs∈[0,1] |x(s)| = kxk, tambi´en kT k ≤ 1. Nuevamente, para x0 (s) = 1, kx0 k = 1 y (T x0 )(s) = s, de donde kT x0 k = 1. As´ı pues, kT k = 1. c) Debido a que kT Sxk ≤ kT k · kSxk ≤ kT k · kSk · kxk = kxk, entonces kT Sk ≤ 1. Tomando x0 (s) = 1, (T Sx0 )(s) = s2 =⇒ kT Sx0 k = 1 =⇒ kT Sk ≥ 1, lo que implica que kT Sk = 1. R1 Por otra parte, si kxk = 1, entonces |x(s)| ≤ 1, ∀s =⇒ 0 tx(t)dt ≤ R1 R1 ı pues kST xk ≤ 1/2. 0 tdt = 1/2, de donde s 0 tx(t)dt ≤ s/2. As´ R1 Ahora bien, si elegimos la funci´on x0 (s) = 1, (ST x0 )(s) = s 0 tx0 (t) = s/2 de modo que kST x0 k = 1/2.   25. Sea X = C[0, 1] con la norma uniforme.

a) Si T ∈ L(X) se define como T (f )(t) = encontrar kT k. 83

tf (t) ,t 1+t2

∈ [0, 1], f ∈ X,

b) Si S ∈ L(X) se define como S(f )(t) = K es continua, probar que S es acotado.

R1

K(t, s)f (s)ds, donde

0

c) Fijado t0 ∈ [0, 1], se define x∗ ∈ X 0 por x∗ (f ) = f (t0 ). Encontrar kx∗ k. Resp.: a) Por definici´on, tf (t) ≤ m´ax |f (t)| · m´ax t = 1 · kf k, kT f k = m´ax 2 2 1+t 2 t∈[0,1] 1 + t t 1+t2

porque la funci´on y =

es creciente en [0, 1].

Para f ≡ 1 se verifica la igualdad. Por tanto, kT k = 1/2. b) Nuevamente, kSf k =

sup

Z

K(t, s)f (s)ds

0

t∈[0,1]

Z ≤

1

sup

1

Z |K(t, s)| · |f (s)|ds ≤ kf k · sup

1

|K(t, s)|ds.

t∈[0,1] 0

t∈[0,1] 0

Esto implica que kSk ≤ supt∈[0,1]

R1 0

|K(t, s)|ds.

c) kx∗ k = supkf k=1 |x∗ (f )| = supkf k=1 |f (t0 )| = 1.   2 2 26. Se R t define el operador de Volterra V : L [0, 1] → L [0, 1] por (V√f )(t) = 0 f (s)ds. Probar que V es lineal y acotado y que kV k ≤ 1/ 2.

Resp.: Por la linealidad de la integral, es evidente que V es lineal. Adem´as V es acotado. En efecto: Z 1 Z 1 Z t 2 2 2 f (s)ds dt kV f k = |V f (t)| dt = 0 0 0 Z 1Z t Z t 2 (desig. de H¨older) Z 1 h Z t i 2 ≤ |f (s)|ds dt ≤ |f (s)| ds · 12 ds dt 0 0 0 0 0 Z 1hZ t Z 1Z 1 i  = t · |f (s)|2 ds dt = t · |f (s)|2 dt ds 0 0 0 s Z 1 1 = |f (s)|2 · (1/2 − s2 /2)ds ≤ kf k2 2 0 √ 1 =⇒ kV f k ≤ √ · kf k =⇒ kV k ≤ 1/ 2. 2 84

  27. Se define Φ : L2 [a, b] → L2 [a, b] por Φ(f )(x) = xf (x), ∀x ∈ [a, b]. Probar que Φ es lineal y acotado con kΦk = m´ax{|b|, |a|}. Resp.: Que Φ es lineal es trivial. Adem´as kΦ(f )k22 =

Z

b

|xf (x)|2 dx ≤ (m´ax{|b|, |a|})2 ·kf k22 =⇒ kΦk ≤ m´ax{|b|, |a|}.

a

Por otra parte, suponiendo que |b| ≥ |a| y llamando fn = χ[b− b−a ,b] , n

kΦ(fn )k22 =

Z

b

|xfn (x)|2 dx =

Z

|x|2 · |fn (x)|2 dx =

a

a

=

b

Z

b

|x|2 dx

b− b−a n

h 3 x3 b b3 (b − b−a b − a (b − a)2 i b − a 2 n ) − = b − b · + · . b−a = 3 b− n 3 3 n 3n2 n

Adem´as, kfn k22

=⇒

b

b−a b−a |fn (x)|2 dx = b − b + = n n a r kΦ(fn )k2 b − a (b − a)2 + → |b| = b2 − b · kfn k2 n 3n2

Z =

si n → ∞, de donde kΦk ≥ |b|. En definitiva, kΦk = |b| = m´ax{|a|, |b|}.   28. Sean (X, k · k1 ), (Y, k · k2 ) dos espacios normados sobre el mismo cuerpo y T ∈ L(X, Y ) una aplicaci´ on biyectiva, tal que T −1 ∈ L(Y, X).

a) Probar que kT −1 k ≥ kT k−1 . ¿Es cierta la igualdad? b) Probar que X es de Banach si y s´ olo si Y es de Banach. Resp.: a) En general, dados dos operadores A ∈ L(X, Y ) y B ∈ L(Y, Z), debido a que kBAxk ≤ kBk · kAxk ≤ kBk · kAk · kxk, se deduce que kBAk ≤ kBk · kAk. En particular, 1 ≤ kT k · kT −1 k, de lo que deducimos que kT k−1 ≤ kT −1 k. 85

La igualdad no es cierta en general. Incluso en el caso finito-dimensional, si consideramos por ejemplo el operador T : R2 → R2 definido por T (x1 , x2 ) = (2x1 , x2 ), entonces T es lineal, biyectiva y acotada. Adem´as T −1 (x1 , x2 ) = (x1 /2, x2 ). Por tanto, kT k = 2 y kT −1 k = 1, de modo que, en general, no es cierta la igualdad entre kT k−1 y kT −1 k. b) Supongamos que X es de Banach (an´alogamente se procede con la implicaci´on rec´ıproca). Si {yn }n∈N es una sucesi´on de Cauchy en Y , existe xn ∈ X tal que T xn = yn , ∀n. Como kxn − xm k = kT −1 (yn − ym )k ≤ kT −1 k · kyn − ym k, entonces {xn }n∈N es de Cauchy en X. Por hip´otesis, ∃x ∈ X : xn → x. Si llamamos y = T x, es f´acil probar que yn → y, con lo que Y es de Banach.   Rt 29. Sea T : C[0, 1] → C[0, 1] definido por y(t) = 0 x(s)ds. Encontrar el rango R(T ) y T −1 : R(T ) → C[0, 1]. ¿Es T −1 lineal y acotado? Resp.: Por definici´on, R(T ) =



Z y ∈: C[0, 1] : ∃x ∈ C[0, 1], y(t) =

t

x(s)ds



0

= {y ∈ C[0, 1] : y 0 (t) = x(t) ∈ C[0, 1], y(0) = 0} = {y ∈ C 1 [0, 1] : y(0) = 0}. −1 Si T x = y, es decir cuando y(t) = R t y ∈ R(T ), ser´a T y = x cuando 0 (t) = x(t); en definitiva, T −1 y = y 0 . x(s)ds lo que implica que y 0

Es claro que T −1 es lineal. Sin embargo no est´a acotado porque, si elegimos fn (x) = xn , entonces kfn k = m´ax |fn (x)| = 1 pero x∈[0,1]

kT −1 fn k ra la que

= m´ax

|nxn−1 |

x∈[0,1] kT −1 fn k

≤ kkfn k.

= n y no existe ninguna constante k pa-

  30. En (C[a, b], k · k∞ ) sea M el subespacio de las funciones f ∈ C[a, b] que tienen dos derivadas continuas y tales que f (a) = f (b) = 0. Se define el operador T : M → C[a, b] por T f = f 00 . Probar que existe T −1 y que R(T ) = C[a, b]. Resp.: T es inyectiva, pues si f 00 = g 00 =⇒ f 0 (x) = g 0 (x) + C =⇒ f (x) = g(x) + Cx + D. 86

Ahora bien, de f (a) = g(a) = 0 y f (b) = g(b) = 0, se deduce que f = g. T es adem´ as sobre, pues si g(x) = f 00 (x) con f (a) = f (b) = 0, entonces R x f 0 (x) = a g(t)dt + k1 , de donde Z xhZ s i g(t)dt ds + k1 (x − a) + k2 ; f (x) = a

eligiendo k1 =

−1 b−a

M.

a

Z bhZ a

s

i g(t)dt ds y k2 = 0, deducimos que f ∈

a

  31. Sea X = {f : [0, 1] → R : f continua} provisto de la norma de la R x convergencia uniforme y sea T : X → X definido por T f (x) = 0 f (s)ds. Rx a) Probar que T n f (x) = 0 Kn (x, s)f (s)ds, donde Kn (x, s) es una funci´ on continua en [0, 1] × [0, 1].

b) Calcular kT n k y la suma de la serie

P∞

n=1 T

n.

c) Resolver la ecuaci´ on (I − T )f = g con f ∈ X . Resp.: a) Si aplicamos el m´etodo de inducci´on, para n = 1, K1 (t, u) = 1, que es evidentemente continua. Si suponemos la propiedad cierta para n, entonces Z t Z thZ v i n+1 n n T x(t) = T (T x)(t) = T x(v)dv = Kn (v, u)x(u)du dv. 0

0

0

Intercambiando el orden de integraci´on, obtenemos: Z thZ t Z t i T n+1 x(t) = Kn (v, u)x(u)dv du = Kn+1 (t, u)x(u)du, 0

u

0

Rt

donde definimos Kn+1 (t, u) = u Kn (v, u)dv. Para ver que es continua, calcularemos expl´ıcitamente Kn : Rt Claramente, K1 (t, u) = 1 y K2 (t, u) = u dv = t − u; si suponemos que Kn (t, u) =

(t−u)n−1 (n−1)! ,

veamos que Kn+1 (t, u) = Z

t

Kn+1 (t, u) = u

(t−u)n n! :

(v − u)n−1 (t − u)n dv = (n − 1)! n! 87

la cual es evidentemente continua. b) Como |T n x(t)| ≤

Z 0

t

(t − u)n−1 |x(u)|du ≤ kxk∞ (n − 1)!

Z

t

0

(t − u)n−1 kxk∞ du ≤ , (n − 1)! n!

entonces kT n xk ≤ kxk∞ /n! con lo que kT n k ≤ (1/n!). Rt n−1 tn n Por otra parte, como T n 1 = 0 (t−u) (n−1)! du = n! , entonces kT 1k = (1/n!). En definitiva, kT n k = (1/n!). P n k es convergente. Por ser Esto indica adem´as que la serie n∈N kTP n L(X) completo, es convergente tambi´en n∈N T . Para calcular su suma, debido a que p X

n

T x(t) =

Z t

1+

0

n=1

(t − u)p−1  t−u + ··· + x(u)du, 1! (p − 1)!

Rt definimos H : X → X por Hx(t) = 0 et−u · x(u)du. As´ı definido, H es lineal y acotado pues Z t Z 1 −u t e |x(u)|du ≤ k · kxk∞ donde k = e e−u du. |Hx(t)| ≤ e 0

0

Adem´as p X Hx(t) − T n x(t) ≤

Z t p−1 t−u X (t − u)n − e · |x(u)|du n! 0 n=0

n=1

p−1 X (t − u)n ≤ kxk∞ · sup et−u − , n! u∈[0,t] n=0

de donde kHx −

p X

n

T xk∞

p−1 ϑ X ≤ kxk∞ · sup e − ϑn /n! . ϑ∈[0,1]

n=1

n=0

Ahora bien, como la serie n≥0 ϑn /n! converge uniformemente a eϑ sobre cualquier compacto deP R, el supremo anterior tiende a cero cuando p → ∞. Esto prueba que n≥1 T n = H. P

c) Dado g ∈ X, como la serie I + T + · · · + T n + . . . converge en L(X) a I + H y, debido a que (I − T )(I + T + · · · + T n ) = (I + T + · · · + T n )(I − T ) = I − T n+1 → I, se deduce que existe (I − T )−1 = I + T + · · · + T n + · · · = I + H. 88

La ecuaci´on dada tiene pues soluci´on x = (I − T )−1 g = (I + H)g, de donde Z t x(t) = g(t) + et · e−u g(u)du. 0

  32. Probar que f1 (x) = m´axt∈[a,b] x(t) y f2 (x) = m´ınt∈[a,b] x(t) definen funcionales en C[a, b]. ¿Son lineales? ¿Acotados? Resp.: Por ser x ∈ C[a, b], alcanza los valores m´aximo y m´ınimo, con lo que ambos funcionales est´an definidos. Ninguno de ellos es lineal: si hacemos por ejemplo x1 (t) = t y x2 (t) = 1 − t en [0, 1], f1 (x1 + x2 ) = m´ax(x1 (t) + x2 (t)) = 1 pero f1 (x1 ) + f1 (x2 ) = m´ax x1 (t) + m´ax x2 (t) = 1 + 1 = 2. An´alogamente se comprueba con el m´ınimo.   33. Sea X un espacio normado complejo y f un funcional lineal sobre X . Si llamamos f1 (x) = Re f (x), f2 (x) = Im f (x), ∀x ∈ X , probar la equivalencia de las siguientes proposiciones:

i) f : X → C es acotado. ii) f1 : X → R es lineal y acotado. iii) f2 : X → R es lineal y acotado. Resp.: Dado f (x) = f1 (x) + if2 (x), como  f (ix) = f1 (ix) + if2 (ix) =⇒ f1 (ix) = −f2 (x), f2 (ix) = f1 (x), if (x) = if1 (x) − f2 (x) podemos escribir f (x) = f1 (x) − if1 (ix), ∀x ∈ X. i) =⇒ ii): Supongamos que f es acotado. Veamos que f1 es lineal y acotado. f1 (x + y) + if2 (x + y) = f (x + y) = f (x) + f (y) = f1 (x) + if2 (x) + f1 (y) + if2 (y) = f1 (x) + f1 (y) + i[f2 (x) + f2 (y)]. Igualando la parte real se deduce que f1 (x + y) = f1 (x) + f1 (y). 89

An´alogamente se prueba que f1 (αx) = αf1 (x). |f1 (x)| ≤ |f (x)| ≤ kf k · kxk =⇒ kf1 k ≤ kf k. ii) =⇒ iii): Como f2 (x) = −f1 (ix), entonces f2 (x + y) = −f1 (ix + iy) = −f1 (ix) − f1 (iy) = f2 (x) + f2 (y), ∀x, y ∈ X; f2 (αx) = −f1 (iαx) = −αf1 (ix) = αf2 (x); |f2 (x)| = |f1 (ix)| ≤ kf1 k · kixk = kf1 k · kxk =⇒ kf2 k ≤ kf1 k. iii) =⇒ i): Si escribimos f de la forma f (x) = f2 (ix) + if2 (x), resulta: |f (x)| = |f2 (ix) + if2 (x)| ≤ |f2 (ix)| + |if2 (x)| ≤ kf2 k · kxk + kf2 k · kxk =⇒ kf k ≤ 2kf2 k.   3 34. Sea Z = {x ∈ R3 : x2 = 0} y f : Z → R definido por f (x) = x1 −x 2 . 3 Encontrar una extensi´ on lineal f de f a todo R tal que f (x0 ) = k (k constante dada), con x0 = (1, 1, 1). ¿Es u ´nica tal f ?

Resp.: Por hip´otesis, f (1, 0, 0) = 1/2 y f (0, 0, 1) = −1/2. Para que f (1, 1, 1) = k, debe ser f (1, 1, 1) =

1 1 + f (0, 1, 0) − = f (0, 1, 0) = k. 2 2

La extensi´on es u ´nica porque queda determinada la imagen de la base can´onica.   35. En el espacio m´ etrico (R3 , k · k1 ) consideramos el subespacio lineal M = {x ∈ R3 : x1 + 2x2 = x3 = 0} y definimos f ∈ M 0 por f (x) = x1 . Encontrar dos extensiones diferentes de f a todo R3 con la misma norma de f . Resp.: Por definici´on, M es el espacio generado por u = (1, −1/2, 0). Como kuk1 = 3/2 y f (u) = 1, entonces, ∀x ∈ M de la forma x = α · u, f (x) = α y kf k = sup x6=0

|α| 2 |f (x)| = sup = . kxk 3 α∈R (3/2)|α|

90

Sea {e1 , e2 , e3 } la base can´onica de R3 y fe una extensi´on de f . Como kfek = kf k = 2/3, en particular debe ser |fe(ei )| ≤ 2/3, i = 1, 2, 3.

(1)

Como adem´as fe(u) = f (u), tenemos que 1 = fe(e1 − e2 /2) = fe(e1 ) − (1/2)fe(e2 ).

(2)

De (1) y (2) se deduce que necesariamente fe(e1 ) = 2/3 y fe(e2 ) = −2/3. Basta elegir arbitrariamente fe(e3 ) tal que |fe(e3 )| ≤ 2/3 para que, dado cualquier x ∈ R3 , con x = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 , fe(x) = |fe(x)| ≤

2 2 x1 − x2 + fe(e3 )x3 ; 3 3 2 2 2 2 |x1 | + |x2 | + |fe(e3 )| · |x3 | ≤ [|x1 | + |x2 | + |x3 |] = kxk1 , 3 3 3 3

de donde kfek ≤ 2/3. Por ser extensi´on de f , kfek ≥ kf k = 2/3. Esto implica que kfek = kf k.   36. Sean X, Y 6= {0} espacios normados con dim X = ∞.

a) Probar que existe al menos un operador lineal no acotado T : X → Y. b) Probar que el espacio dual X 0 no coincide con el dual algebraico X ∗ . Resp.: a) Sea {en }n∈N una base de Hamel de X. Si definimos T en = nen , T es lineal. Adem´as, como kT en k = nken k, entonces kT en k/ken k = n y ∃n : kT en k/ken k > k, ∀k lo que implica que T no es acotado. b) El operador definido por T en = n est´a en X ∗ por ser lineal, pero no est´a en X 0 por no ser acotado.   37. Sea X un espacio normado y M un subespacio cerrado de X . Si denotamos por M ⊥ = {f ∈ X 0 : f (y) = 0, ∀y ∈ M } al llamado conjunto anulador o polar de M , demostrar:

a) M ⊥ es subespacio cerrado de X 0 . 91

b) M ⊥ es isomorfo a (X/M )0 . Resp.: a) Sea {fn }n∈N una sucesi´on de Cauchy en M ⊥ . Entonces para cualquier x ∈ X, |fn (x) − fm (x)| ≤ kfn − fm k · kxk → 0 con lo que {fn (x)}n∈N es de Cauchy en E(= R ´o C), lo que implica que ∃λ ∈ E : fn (x) → λ. Esto permite definir el funcional f : X → E por f (x) = λ. Es evidente que f es lineal. Adem´as • f es acotado pues |f (x)| = |λ| = l´ım |fn (x)| ≤ l´ım kfn k · kxk. n→∞

n→∞

• fn → f porque kfn − f k = sup |fn (x) − f (x)| ≤ ε. kxk=1

• f ∈ M ⊥ porque f (y) = l´ımn fn (y) = 0, ∀y ∈ M. b) Definimos T : (X/M )0 → M ⊥ por (T f )(x) = f (ϕ(x)), donde ϕ es la aplicaci´on can´onica (que env´ıa a todo elemento la clase de equivalencia que lo contiene). As´ı definido, es evidente que T es lineal. Veamos que T es acotado: |(T f )(x)| = |f (ϕ(x))| ≤ kf k · kϕ(x)k ≤ kf k · kϕk · kxk. Como kϕk ≤ 1, entonces kT f k ≤ kf k, de donde kT k ≤ 1. Adem´as, si y ∈ M, (T f )(y) = f (ϕ(y)) = f ([0]) = 0, es decir T f ∈ M ⊥. Falta comprobar que T es sobre. Para ello, a cada g ∈ M ⊥ , le asociamos el funcional f : X/M → E definido por f (ξ) = g(x), si x ∈ ξ. Debemos probar: • f est´a bien definido pues si x, x0 ∈ ξ, entonces x − x0 ∈ M =⇒ g(x − x0 ) = 0 =⇒ g(x) = g(x0 ). • f es lineal (evidente). • f es acotado: |f (ξ)| = |g(x)| ≤ kgk·kxk =⇒ |f (ξ)| ≤ kgk·´ınf kxk = kgk·kξk =⇒ kf k ≤ kgk. x∈ξ

• T f = g (evidente). • kT k = 1: kf k(X/M )0 = sup f (ξ) ≤ sup |f (ϕ(x))| = sup |T f (x)| = kT f k. ξ∈X/M

x∈X

92

x∈X

  38. Sea c0 = {a = (an )n∈N : an ∈ C, an → 0}.

a) Probar que c0 es un espacio de Banach con la norma inducida por `∞ . b) Demostrar que el dual de c0 es `1 . Resp.: a) c0 es normado por ser subespacio de `∞ . Veamos que es cerrado: Si a ∈ c0 , ∃(an )n∈N ⊂ c0 : an → a. Entonces kan −ak∞ = sup |akn −ak | < ε, ∀n > N (ε) =⇒ |akn −ak | < ε, ∀k, ∀n > N (ε). k

De este modo, |ak | ≤ |ak − akn | + |akn | < ε + ε porque an ∈ c0 , es decir l´ımk→∞ akn = 0. Esto prueba que a ∈ c0 . P fn xn , b) Definimos F : `1 → (c0 )0 por F f = fe, donde fe(x) = n≥1

∀x ∈ c0 . • Eligiendo x = (x1 , . . . , xN , 0, . . . ), |fe(x)| ≤

N X

|fn xn | ≤ m´ax |xn | ·

n=1

N X

|fn |.

n=1

Haciendo N → ∞, |fe(x)| ≤ kxk∞ · kf k1 =⇒ kfek ≤ kf k1 =⇒ kF k ≤ 1. e • F es isometr´ıa: Dado fe ∈ (c0 )0 , llamamos fP n = f (en ). N e As´ı, si x = (x1 . . . , xN , 0, . . . ), f (x) = n=1 fn xn( . Como fn = e−iϕn si 0 < n ≤ N (N ) (N ) eiϕn ·|fn |, definimos g (N ) = (gn )n∈N , donde gn = 0 si n > N. Entonces: |fe(g (N ) )| =

N X

|fn | ≤ kfek · kg (N ) k∞ = kfek < ∞.

n=1

Esto implica que f = (fn )n∈N ∈ `1 y kf k1 ≤ kfek =⇒ kF k = 1. P • F es sobre: Dado fe ∈ (c0 )0 , ∀x ∈ c0 , escribimos x = n∈N xn en con P lo que fe(x) = n∈N xn fe(en ). Basta probar que (fe(en ))n∈N ∈ `1 , 93

P P es decir n∈N |fe(en )| < ∞. Para ello tomamos: x(N ) = N n=1 en ∈ c0 , de donde N X

|fe(en )| =

n=1

Si hacemos N → ∞,

fe(en ) · |fe(en )|

N X fe(en ) e · f (en ) = fe(x(N ) ) ≤ kfek. |fe(en )|

n=1

P∞

n=1 |f (en )|

e

< ∞.

TEMAS COMPLEMENTARIOS 1. Construcci´on de espacios normados: espacio producto y espacio cociente ([CC], [So]). 2. Espacios de funciones continuas. Base de Schauder para C[0, 1]. Espacio dual de C[a, b] ([KF]). 3. Espacio dual de Lp (X, µ) ([Ro]). 4. Ecuaciones integrales lineales ([Da], [KF]). 5. C´alculo diferencial en espacios normados: derivadas de Fr´echet y Gˆateaux ([KF], [LS]).

94

III. PRODUCTO INTERIOR Y ESPACIOS DE HILBERT

A fin de dotar a los espacios normados de una geometr´ıa, debemos definir un producto interior o escalar. Nos proponemos que el estudiante se familiarice con los espacios dotados de producto interior, conozca sus propiedades b´asicas y pueda aprovecharlas para poderlas aplicar tanto al estudio de las series de Fourier, los polinomios ortogonales y la teor´ıa b´asica de operadores.

SECCIONES 1. Introducci´on hist´orica. 2. Definici´on y primeros ejemplos. 3. Propiedades del producto interior. 4. Conjuntos ortonormales. 5. Ortogonalizaci´on de polinomios. 6. Representaci´on de funcionales en espacios de Hilbert. 7. Operador adjunto. Operadores autoadjuntos y unitarios. 8. Ejercicios.

95

´ HISTORICA. ´ 1. INTRODUCCION

Ilustramos en esta primera secci´on c´omo el estudio de las siguientes ecuaciones en derivadas parciales ha sido fundamental en el desarrollo de los espacios de Hilbert: 2

∂ u 1) Ecuaci´on del calor: ∂u on corresponde a la temperatura ∂t = ∂x2 (su soluci´ u(x, t) de un alambre en el instante t y en el punto x). 2

2

2) Ecuaci´on de ondas: ∂∂t2u = ∂∂xu2 (la soluci´on u(x, t) es ahora la altura de una onda en propagaci´on para el instante t en un punto cuya proyecci´on sobre el eje es x). 2

2

3) Ecuaci´on de Laplace: ∂∂t2u + ∂∂xu2 = ρ (ahora u es la energ´ıa potencial de un cuerpo y ρ es la densidad de masas). Nos limitaremos a estudiar la ecuaci´on del calor (an´alogamente se podr´ıa hacer con las otras ecuaciones). Para buscar sus soluciones, suponemos que u es de variables separadas, es decir de la forma u(t, x) = ϕ(t)ξ(x). Entonces ut = ϕ0 (t)ξ(x) y uxx = ϕ(t)ξ 00 (x), luego ϕ0 (t)ξ(x) = ϕ(t)ξ 00 (x), o bien ϕ0 (t)/ϕ(t) = ξ 00 (x)/ξ(x). Como el primer miembro no depende de x y el segundo miembro no depende de t, deben ser constantes. Debemos resolver entonces las siguientes ecuaciones: ϕ0 (t)/ϕ(t) = k; ξ 00 (x)/ξ(x) = p, con k y p constantes. La soluci´on general de la primera ecuaci´on es ϕ(t) = cekt y de la segunda ξ(x) = c1 cos(δx)+c2 sen(δx), donde p = −δ 2 (si p > 0, δ es complejo). Supongamos por simplificar que el alambre es circular y tiene longitud 2π. Esto hace que ξ sea peri´odica de per´ıodo 2π, y que δ deba ser entero; resulta ξ(x) = c1 cos(nx) + c2 sen(nx), con n ∈ Z. Como las soluciones de la ecuaci´on del calor se obtienen haciendo k = −n2 , tenemos la siguiente familia de soluciones: 2

2

un (t, x) = e−n t cos(nx), vn (t, x) = e−n t sen(nx). Adem´as, cualquier combinaci´on lineal finita de ellas u(t, x) =

n1 X

2

2

[an e−n t cos(nx) + bn e−n t sen(nx)]

n=n0

es soluci´on. 96

Fourier pensaba que toda soluci´on puede escribirse como suma infinita de senos y cosenos (lo que lleva involucrado un problema de convergencia). Por otra parte, cuando t = 0, obtenemos una funci´on de una variable u(0, x) = f (x) =

n1 X

[an cos(nx) + bn sen(nx)].

n=n0

De acuerdo con esto, Fourier supon´ıa tambi´en que toda funci´on peri´odica se puede escribir como suma infinita de senos y cosenos, lo cual no es cierto puntualmente. Otra forma de escribir las series anteriores se obtiene con las f´ormulas cos x = (eix + e−ix )/2, sen x = (eix − e−ix )/2i. As´ı   X    X an bn an bn 2 −n2 t inx −inx u(t, x) = e = cn e−n t einx , e + e + − 2 2i 2 2i n∈N n∈Z donde, para t = 0, tenemos f (x) =

inx . n∈Z cn e

P

Aqu´ı se plantean las siguientes preguntas: 1) ¿Las exponenciales trigonom´etricas ser´an base de alg´ un espacio? Esto permitir´ıa obtener la funci´on f cuando se conocen sus coeficientes respecto a dicha base. 2) ¿C´omo obtener los coeficientes cn cuando la funci´on f es conocida? Para responder a esta pregunta, aplicamos las siguientes f´ormulas: ( Z 2π 1 si n = 0 1 1 einx dx = (ein2π − 1) = 2π 0 2πin 0 si n 6= 0, ( Z 2π 1 si m = n 1 1 eimx e−inx dx = (ei(m−n)2π − 1) = 2π 0 2πin 0 si m 6= n. Con lo anterior tenemos Z 2π Z f (x)dx = 0

0



X

inx

cn e

dx =

n∈Z

Z

X n∈Z 2π

Z



cn

einx dx

0

1 f (x)dx; = 2πc0 =⇒ c0 = 2π 0 Z 2π Z 2π X X Z f (x)e−imx dx = cn einx e−imx dx = cn 0

0

n∈Z

n∈Z

= 2πcm =⇒ cm = 97

1 2π

Z 0





einx e−imx dx

0

f (x)e−imx dx.

(Aqu´ı se debe precisar en qu´e sentido converge la serie y c´omo justificar el intercambio de la serie con la integral.)

´ Y PRIMEROS EJEMPLOS. 2. DEFINICION

Una clase importante de espacios normados permite generalizar muchas propiedades de la geometr´ıa del espacio ordinario que dependen de la noci´on de ´angulo, especialmente las que se refieren a la perpendicularidad. Recordamos que, si x, y ∈ Rn y α es el ´angulo que forman, se define el producto escalar por hx, yi = kxk · kyk · cos α. Queremos obtener una noci´on abstracta de producto escalar en espacios normados generales que permita extender la f´ormula anterior. Como es l´ogico pensar, los espacios con producto escalar son hist´oricamente anteriores a los espacios normados generales y mantienen todav´ıa muchas propiedades de los espacios eucl´ıdeos. La teor´ıa fue iniciada por Hilbert (1912) en sus trabajos sobre ecuaciones integrales y todav´ıa hoy en d´ıa estos espacios son b´asicos en numerosas aplicaciones del An´alisis Funcional. 2.1.- Definici´ on. Un espacio con producto interior o pre-Hilbert es un espacio vectorial X en el que se define una aplicaci´on h·, ·i : X × X → E con las siguientes propiedades: (1) (aditiva) hx + y, zi = hx, zi + hy, zi; (2) (homog´enea) hαx, yi = αhx, yi; (3) (herm´ıtica) hx, yi = hy, xi; (4) (definida positiva) hx, xi ≥ 0 y hx, xi = 0 ⇐⇒ x = 0. Toda aplicaci´on que verifique (1), (2) y (3) se llama forma sesquilineal herm´ıtica (ver definici´on 6.4). Nota. Los axiomas anteriores fueron primero establecidos por von Neumann en 1930 en sus trabajos sobre fundamentos matem´aticos de la Mec´anica Cu´antica. En su definici´on se inclu´ıa tambi´en la separabilidad del espacio, axioma posteriormente eliminado cuando L¨owing, Rellig y F. Riesz mostraron que en la pr´actica era innecesaria dicha restricci´on. De los axiomas se deducen inmediatamente las siguientes propiedades: a) hx, 0i = 0, ∀x ∈ X. b) hx, yi = 0, ∀x ∈ X =⇒ y = 0. 98

c) hx, αy1 + βy2 i = αhx, y1 i + βhx, y2 i. Todo espacio pre-Hilbert es p en particular normado, donde la norma asociada se define como kxk = hx,p xi, y por tanto es tambi´en m´etrico, con la distancia d(x, y) = kx − yk = hx − y, x − yi. Esto motiva la siguiente definici´on: Un espacio de Hilbert es un espacio pre-Hilbert completo (respecto a la m´etrica asociada). Por tanto, todo espacio de Hilbert es un espacio de Banach en el que se ha definido un producto interior. Observaci´ on. El rec´ıproco de la afirmaci´on anterior no es cierto, es decir no todos los espacios normados son espacios pre-Hilbert. Daremos a continuaci´on una caracterizaci´on de los espacios normados para los que se puede definir un producto escalar cuya norma asociada sea la dada. Dicha caracterizaci´on se basa en los siguientes hechos cuya demostraci´on es inmediata. 2.2.- Proposici´ on (identidad del paralelogramo). Si (X, h·, ·i) es un espacio pre-Hilbert, la norma asociada verifica kx + yk2 + kx − yk2 = 2(kxk2 + kyk2 ). El siguiente resultado muestra c´omo la norma asociada permite a su vez definir el producto interior. 2.3.- Proposici´ on (identidad de polarizaci´on). Sea (X, h·, ·i) un espacio pre-Hilbert arbitrario. a) Si X es real, hx, yi = 41 [kx + yk2 − kx − yk2 ]. b) Si X es complejo, Rehx, yi = Imhx, yi =

1 [kx + yk2 − kx − yk2 ], 4 1 [kx + iyk2 − kx − iyk2 ]. 4

Esta propiedad sugiere una forma de definir un producto interior a partir de una norma. Sin embargo, ser´a necesaria la identidad del paralelogramo. El siguiente resultado proporciona una especie de rec´ıproco de la proposici´on 2.2. 2.4.- Proposici´ on. Sea (X, k · k) un espacio normado. Si se verifica la ley del paralelogramo 2,2, entonces existe un producto interior h·, ·i en X tal que kxk = hx, xi1/2 . Demostraci´ on. a) Caso real. Definimos hx, yi = 41 [kx + yk2 − kx − yk2 ]. Lo u ´nico que presenta dificultad es la linealidad del producto interior. Esta se demuestra en los siguientes pasos: 99

* hx, yi + hz, yi = 12 hx + z, 2yi. En particular, si z = 0, entonces hx, yi = 1 1 2 hx, 2yi, de donde hu + v, yi = 2 hu + v, 2yi = hu, yi + hv, yi. * Como hx, yi = hy, xi, tambi´en es aditiva en la segunda componente. * Como hnx, yi = nhx, yi si n ∈ Z, se deduce que hx/n, yi = n1 hx, yi y hrx, yi = rhx, yi con r ∈ Q. De la continuidad del producto interior (probado posteriormente en 3.3), se prueba que, para todo a ∈ R, si a = l´ımk rk con rk ∈ Q, hax, yi = l´ımk hrk x, yi = l´ımk rk hx, yi = ahx, yi. b) Caso complejo. Definimos ahora hx, yi = hx, yiR + ihx, iyiR donde 1 hx, yiR = [kx + yk2 − kx − yk2 ]. 4 De lo anterior se deduce f´acilmente la identidad de polarizaci´on 2.3 (b). * Por c´alculo directo se comprueba que hx, ixiR = 0 y hix, iyiR = hx, yiR . La primera de las igualdades muestra que hx, xi = kxk2 y que hx, xi = 0 ⇐⇒ x = 0. La segunda identidad permite probar que hix, yi = ihx, yi y de aqu´ı se deduce que hy, xi = hx, yi. * La aditividad de h·, ·i en sus dos argumentos se deduce de la aditividad de h·, ·iR . * S´olo queda probar que hax, yi = ahx, yi, con a ∈ C. Para ello, basta tener en cuenta la linealidad de h·, ·iR y que hix, yi = ihx, yi. ♦ 2.5.- Ejemplos. 1) Rn es un espacio de Hilbert si definimos el producto interior hx, yi = x1 y1 + · · · + xn yn . Como la m´etrica asociada p d(x, y) = (x1 − y1 )2 + · · · + (xn − yn )2 es la eucl´ıdea, es ya sabido que el espacio es completo. 2) Cn es un espacio de Hilbert con el producto hx, yi = x1 y1 + . . . xn yn p porque nuevamente kxk = |x1 |2 + · · · + |xn |2 da lugar a una norma. P∞ 3) `2 = {x = (x1 , x2 , . . . ) : xn ∈ C, |xn |2 < ∞} es un espacio de n=1 P∞ Hilbert separable con el producto hx, yi = n=1 xn yn . La convergencia de la serie se deduce de la desigualdad de Cauchy- Schwarz. Este fue el primer ejemplo de espacio de Hilbert, estudiado por ´el mismo en 1912 y punto de partida para la definici´on axiom´atica dada por von Neumann. P∞ p 4) `p = {x = (x1 , x2 , . . . ) : xn ∈ C, n=1 |xn | < ∞}, con p 6= 2, no es un espacio pre-Hilbert pues, si tomamos x = (1, 1, 0, . . . ), y = (1, −1, 0 . . . ), 100

entonces kxk = kyk = 21/p , kx + yk = kx − yk = 2. Por tanto, no se verifica la ley del paralelogramo. Rb 5) Si L2 [a, b] es la compleci´on del conjunto {f : [a, b] → C : a |f (x)|2 dx < Rb ∞}, es un espacio de Hilbert con el producto interior hf, gi = a f (x) g(x)dx como se prueba an´alogamente al ejemplo 3. Otra forma de introducir el espacio L2 [a, b] es a partir de `2 y corresponde al estudio de las series de Fourier: Sea f una funci´on con derivada continua en [0, 2π] tal que f (2π) = f (0). Entonces X X bn sen nx, an cos nx + f (x) = a0 /2 + n≥1

n≥1

donde an =

1 π



Z

f (x) cos nxdx, bn = 0

Z

1 π



f (x) sen nxdx, 0

y la convergencia de la serie es uniforme (resultado cl´asico sobre series de Fourier). Si escribimos 1 1 1 φ2k (x) = √ cos kx, φ2k+1 (x) = √ sen kx, φ0 (x) = √ , π π 2π las f´ormulas anteriores quedan de la forma f (x) =

∞ X

Z



f (x)φn (x)dx.

αn φn (x), con αn = 0

n=0

R 2π Una propiedad importante es que 0 φm (x)φn (x)dx = δnm (la familia es ortonormal); adem´as, la sucesi´on {αn }n≥0 est´a en `2 . En efecto, para cualquier N ∈ N, N X n=0

2

|αn | =

N X

Z αn ·

n=0

donde definimos fN (x) =



Z f (x)φn (x)dx =

0



f (x)fN (x)dx, 0

PN

n=0 αn φn (x).

Como Fourier converge uniformemente a f , fN (x) →Pf (x), resulta R Pla serie de 2 → 2π |f (x)|2 dx y podemos escribir adem´ 2 que N |α | as ∞ n n=0 |αn | = 0 R 2π n=02 0 |f (x)| dx. Sin embargo el rec´ıproco no es cierto, es decir dada Puna sucesi´on {αn }n≥0 ∈ `2 , no tiene por qu´e existir f ∈ C 1 [0, 2π] tal que n≥0 αn φn (x) = f (x). La 101

fn

f

raz´on es que, como `2 es completo, toda sucesi´on de Cauchy converge a alg´ un α ∈ `2 . Sin embargo, existen sucesiones {fn }n≥0 de funciones contenidas en R 2π C 1 [0, 2π] tales que1 0 |fi (x) − fk (x)|2 dx → 0, pero que no convergen a 1 π+en π ejemplo: 2π n πon n C 1 [0,2π ningunaπ− funci´ 2π] como muestra el siguiente R 2π Lo que se puede probar es que el l´ımite f verifica 0 |f (x)|2 dx < ∞, es decir f ∈ L2 [0, 2π]. 6) En general, si E es un espacio de medida y µ una medida positiva so2 bre R E, L (E, µ) es un espacio de Hilbert con el producto interior hf, gi = E f gdµ. 7) El espacio C[a, b] de las funciones continuas en [a, b], con el producto Rb hf, gi = a f (x) g(x)dx, es un espacio pre-Hilbert pero no de Hilbert. Sin embargo la norma kf k = m´axx∈[a,b] |f (x)| no proviene de ning´ un producto x−a interior porque si tomamos f (x) = 1, g(x) = b−a , no se verifica la ley del paralelogramo.

3. PROPIEDADES DEL PRODUCTO INTERIOR.

En esta secci´on desarrollamos las propiedades b´asicas del producto interior. Adem´as de los resultados en s´ı mismos, que ser´an u ´tiles en la evoluci´on posterior del curso, permitir´an dar a conocer las t´ecnicas m´as usuales de demostraci´on. 3.1.- Proposici´ on (desigualdad de Cauchy-Schwarz-Buniakowski). Para cualesquiera x, y ∈ X, |hx, yi| ≤ kxk · kyk y la igualdad se cumple si y s´ olo si x, y son linealmente dependientes. Demostraci´ on. Si y = 0, es evidente pues hx, 0i = 0. Si y 6= 0, 0 ≤ kx − αyk2 = hx − αy, x − αyi = hx, xi − αhx, yi − α[hy, xi − αhy, yi]. Eligiendo α =

hy,xi hy,yi ,

queda

0 ≤ hx, xi −

hy, xihx, yi |hx, yi|2 = kxk2 − . hy, yi kyk2

La igualdad se cumple cuando 0 = kx − αyk2 , es decir si x = αy. Consecuencias de la propiedad anterior son las siguientes. 102



3.2.- Proposici´ on (desigualdad triangular). Para cualesquiera x, y ∈ X, kx + yk ≤ kxk + kyk y la igualdad se cumple si y s´ olo si y = 0 ´ o x = cy (c ≥ 0). Demostraci´ on. Por definici´on, es evidente que

kx + yk2 = hx + y, x + yi = kxk2 + hx, yi + hy, xi + kyk2 = kxk2 + kyk2 + 2 Rehx, yi ≤ kxk2 + kyk2 + 2|hx, yi| ≤ kxk2 + kyk2 + 2kxk · kyk = (kxk + kyk)2 . La igualdad es cierta si y s´olo si 2 Rehx, yi = 2kxk · kyk. En particular, |hx, yi| = kxk · kyk lo que implica dependencia lineal x = cy. Adem´as Imhx, yi = 0 y Rehx, yi ≥ 0 =⇒ 0 ≤ hx, yi = hcy, yi = ckyk2 =⇒ c ≥ 0. ♦

3.3.- Proposici´ on (continuidad del producto interior). Si xn → x, yn → y, entonces hxn , yn i → hx, yi. An´ alogamente, si (xn )n∈N e (yn )n∈N son sucesiones de Cauchy en X, entonces (hxn , yn i)n∈N es de Cauchy en E. Demostraci´ on. En la diferencia |hxn , yn i−hx, yi| sumamos y restamos hxn , yi. As´ı: |hxn , yn i−hx, yi| ≤ |hxn , yn −yi|+|hx−xn , yi| ≤ kxn k·kyn −yk+kx−xn k·kyk → 0. Basta aplicar la hip´otesis para deducir que hxn , yn i → hx, yi.



Sugerido por la noci´on de perpendicularidad en espacios eucl´ıdeos se puede definir el siguiente concepto. 3.4.- Definici´ on. Dos elementos x, y de (X, h·, ·i) son ortogonales, y escribimos x⊥y, cuando hx, yi = 0. Tambi´en, dos conjuntos A, B ⊂ X son ortogonales si x⊥y, ∀x ∈ A, y ∈ B. Dado un subconjunto A ⊂ X, el complemento ortogonal de A es el conjunto A⊥ = {x ∈ X : x⊥A}. 3.5.- Proposici´ on (teorema de Pit´agoras). Si x⊥y, kx + yk2 = kxk2 + 2 kyk . La demostraci´on es directa. 3.6.- Corolario. Si A es cualquier subconjunto de X, A⊥ es subespacio cerrado de X. Aplicaci´ on. Veremos a continuaci´on que todo espacio pre-Hilbert puede ser completado y la compleci´on ser´a u ´nica salvo isomorfismos, donde un isomorfismo entre espacios pre-Hilbert es una aplicaci´on lineal U : X → Y 103

biyectiva y tal que hU x1 , U x2 i = hx1 , x2 i, ∀x1 , x2 ∈ X (en particular U es una isometr´ıa pues preserva las distancias). El siguiente teorema motiva el nombre de espacios pre-Hilbert a los que tienen definido un producto interior y no son completos. 3.7.- Teorema (compleci´on). Dado un espacio pre-Hilbert (X, h·, ·i), existe un espacio de Hilbert H y un isomorfismo A : X → W donde W es denso en H. Adem´ as el espacio H es u ´nico salvo isomorfismos. Demostraci´ on. Por la teor´ıa de espacios de Banach (cap´ıtulo II, teorema 4.6), existe un espacio H de Banach y una isometr´ıa A : X → W con W denso en H. Por la continuidad de A, A es tambi´en isomorfismo de X sobre W , pensados como espacios normados. Por la proposici´on 3.3, se puede definir en H un producto interior hx, yi = l´ımhxn , yn i donde (xn )n∈N ∈ x, (yn )n∈N ∈ y (recordemos que x e y son clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy en W tales que kxn − x0n k → 0). La norma asociada a este producto es kxkN = hx, xi1/2 , ∀x ∈ H. Si (xn )n∈N ∈ x, podemos poner kxkN = l´ımn hxn , xn i1/2 = l´ımn kxn k = kxk y coinciden ambas normas, por lo que H es un espacio de Hilbert. Teniendo en cuenta la identidad de polarizaci´on, vemos que A es isomorfismo de X en W pensados como espacios pre-Hilbert. El mismo teorema 4.6 tambi´en garantiza que H es u ´nico salvo isometr´ıas. ♦

El siguiente resultado tambi´en es consecuencia de su an´alogo en espacios normados. 3.8.- Teorema. Sea H un espacio de Hilbert e Y un subespacio de H. a) Y es completo si y s´ olo si Y es cerrado en H. b) Si Y es de dimensi´ on finita, entonces Y es completo. c) Si H es separable, Y tambi´en. M´ as general, todo subconjunto de un espacio pre-Hilbert separable es separable. Destacaremos sobre los dem´as el siguiente teorema de proyecci´on, que ser´a el punto de partida en el problema de la descomposici´on espectral de un espacio de Hilbert, problema que estudiaremos posteriormente con toda generalidad. 3.9.- Teorema (proyecci´on). Sea X un espacio de Hilbert y M un subespacio cerrado de X. Dado cualquier elemento x ∈ X, si llamamos d a la distancia de x a M , d = ´ınf{kx − yk : y ∈ M }, existe un u ´nico elemento y ∈ M tal que ky − xk = d. Adem´ as (x − y)⊥M. Demostraci´ on. Como d = ´ınf{kx − yk : y ∈ M }, existe una sucesi´on {yn }n∈N en M tal que kyn − xk → d. Si aplicamos la regla del paralelogramo a 104

yn − x, ym − x, resulta: kyn + ym − 2xk2 + kyn − ym k2 = 2kyn − xk2 + 2kym − xk2 . m Como kyn +ym −2xk2 = 4k yn +y −xk2 y 2 d.

yn +ym 2

m ∈ M, entonces k yn +y −xk ≥ 2

La igualdad anterior queda ahora kyn − ym k2 ≤ 2kyn − xk2 + 2kym − xk2 − 4d2 . Tomando el l´ımite cuando n, m → ∞, se obtiene que kyn − ym k → 0. As´ı se prueba que {yn }n∈N es de Cauchy en M por lo que existe y ∈ M tal que yn → y. Entonces d = l´ımn kyn − xk = k l´ımn yn − xk = ky − xk. Dicho elemento es adem´as u ´nico, porque si y, y0 ∈ M verifican ky − xk = ky0 − xk = d, entonces por la ley del paralelogramo: ky − y0 k2 = k(y − x) − (y0 − x)k2 = 2ky − xk2 + 2ky0 − xk2 − k(y − x) + (y0 − x)k2 = 2d2 + 2d2 − 4k1/2(y + y0 ) − xk2 ≤ 4d2 − 4d2 = 0 =⇒ y = y0 . El elemento z = x − y es ortogonal a M porque, en caso contrario, existir´ıa y1 ∈ M , y1 6= 0, tal que hz, y1 i = β 6= 0. Entonces kz − αy1 k2 = hz, zi − αhz, y1 i − α[hy1 , zi − αhy1 , y1 i] |β|2 = hz, zi − αhz, y1 i = kzk2 − < d2 ky1 k2 si α =

hy1 ,zi hy1 ,y1 i

pues kzk = d.

Pero esto es imposible porque z − αy1 = x − (y + αy1 ); de aqu´ı concluimos que kz − αy1 k ≥ d. ♦ El teorema anterior tambi´en es cierto si M es un subconjunto de X no vac´ıo, convexo y completo. El problema de existencia puede no tener soluci´on si M no es completo (basta considerar un intervalo abierto M de R y un punto cualquiera x ∈ R2 , x 6∈ M ). La unicidad puede fallar en el caso de no convexidad como se ve en el siguiente ejemplo: X = R2 , M = {(a, 0) : a ∈ [1, 2] ∪ [3, 4]}, x = (3/2, 1). Las primeras consecuencias ya proporcionan resultados interesantes, como los siguientes. 3.10.- Corolario. Sean X un espacio de Hilbert y M un subespacio cerrado de X. Entonces X = M ⊕ M ⊥ . 105

Demostraci´ on. ∀x ∈ X, ∃y ∈ M : ky −xk = d. Adem´as si z = x−y, entonces z ∈ M ⊥ , con lo que x = y + z. Si fuera x = y + z = y1 + z1 , entonces y − y1 = z1 − z, pero y − y1 ∈ M y z1 − z ∈ M ⊥ . Sabiendo que M ⊥ es subespacio de X, resulta que y − y1 = z − z1 = 0. ♦

Un contraejemplo de lo anterior cuando X no es de Hilbert se puede encontrar en el ejercicio 10 al final del cap´ıtulo. 3.11.- Corolario. Si M es subespacio cerrado de X, entonces M = M ⊥⊥ . Demostraci´ on. Es evidente que M ⊂ M ⊥⊥ . Rec´ıprocamente, si x ∈ M ⊥⊥ , existen dos elementos y ∈ M ⊂ M ⊥⊥ , z ∈ M ⊥ tales que x = y + z. Entonces z = x − y ∈ M ⊥⊥ ∩ M ⊥ = {0}. Esto implica que x = y ∈ M . ♦ Otra consecuencia del teorema de proyecci´on, que veremos posteriormente, ser´a el teorema de representaci´on de Riesz, el cual permite identificar un espacio de Hilbert con su dual. El nombre dado al teorema viene motivado por la siguiente definici´on. 3.12.- Definici´ on. Si X = M ⊕ M ⊥ , la aplicaci´on P : X → X definida por P x = y si x = y + z, z ∈ M ⊥ , se llama proyecci´on ortogonal de X sobre M . As´ı definida, P es lineal y acotado, idempotente (P 2 = P ), siendo M = P (X) y M ⊥ = N (P ). An´alogamente, se puede definir P 0 : X → M ⊥ como la proyecci´on ortogonal sobre M ⊥ con las mismas propiedades que la anterior (recordamos que M ⊥⊥ = M ). Adem´as P 0 = I − P . Esta definici´on generaliza el concepto de proyecci´on en espacios vectoriales (donde se sabe que toda aplicaci´on idempotente E : X → X determina una descomposici´on en suma directa X = M ⊕ N donde M = {x ∈ X : Ex = x} y N = {x ∈ X : Ex = 0} y, rec´ıprocamente, dada la descomposici´on x = M ⊕N , la aplicaci´on Ex = y, si x = y+z, con y ∈ M, z ∈ N es idempotente) y ser´a el punto de partida para la representaci´on espectral de operadores en espacios de Hilbert (ver algunas propiedades de las proyecciones en los problemas al final del cap´ıtulo).

106

4. CONJUNTOS ORTONORMALES.

En esta secci´on vamos a representar todo elemento de un espacio de Hilbert como combinaci´on lineal (que incluso puede ser no numerable) de elementos de un conjunto ortonormal completo, concepto que definiremos posteriormente. Los coeficientes de dicha combinaci´on lineal se llamar´an coeficientes de Fourier del elemento dado. Deduciremos el lema de Riemann-Lebesgue, 2 que establece las condiciones para que exista una funci´on en L cuyos √ [0, 2π] coeficientes de Fourier respecto al conjunto ortonormal {(1/ 2π)eint : n ∈ Z} sean dados, mediante el teorema de Riesz-Fischer. 4.1.- Definici´ on. Dado un espacio X pre-Hilbert, un conjunto ortogonal M de X es un subconjunto M ⊂ X, tal que ∀x, y ∈ M, x 6= y, hx, yi = 0. M es un conjunto ortonormal si adem´as de lo anterior, hx, xi = 1, ∀x ∈ M. El teorema de Pit´agoras se puede generalizar a conjuntos ortogonales, as´ı: si {x1 , . . . , xn } es ortogonal, entonces kx1 + · · · + xn k2 = P kx1 k2 + · · · + kxn k2 . Adem´as, si {e1 , . . . , en } es un conjunto ortonormal, k ni=1 λi ei k2 = P n 2 i=1 |λi | . 4.2.- Ejemplos. 1) En Rn , la base can´onica {ei = (δij )nj=1 : i = 1, . . . , n} es ortonormal. 2) En `2 , la familia {ei = (δij )∞ j=1 : i = 1, . . . , n} es ortonormal. R 2π 3) En C[0, 2π] sobre R, con hx, yi = 0 x(t)y(t)dt, la sucesi´on un (t) = cos nt √ nt (n ≥ 1) es (n ≥ 0) es ortogonal y la sucesi´on e0 (t) = √12π , en (t) = cos π ortonormal. n o∞ 4) La familia √12π eint es un sistema ortonormal en L2 [−π, π]. n=−∞

Es f´acil probar que todo conjunto ortogonal es linealmente independiente y, aunque el rec´ıproco no es cierto, el m´etodo de ortogonalizaci´on de Gram-Schmidt permite construir un conjunto ortonormal a partir de uno linealmente independiente de manera que generen el mismo subespacio. La importancia de dicho proceso estriba en que los conjuntos ortonormales permiten de forma m´as f´acil la determinaci´on de los coeficientes en cualquier combinaci´on lineal que los conjuntos que son simplemente linealmente independientes. Un primer resultado relacionado con el cardinal de los conjuntos ortonormales es el siguiente: 4.3.- Teorema. Si X es un espacio pre-Hilbert separable, todo conjunto ortonormal A es finito o numerable. 107

Demostraci´ on. Si √ x, y ∈ A, kx − yk2 = kxk2 − hx, yi − hy, xi + kyk2 = 2 de donde kx − yk = 2. Por ser X separable, existe M ⊂ X numerable tal que M √ = X. Para 0 cualesquiera x, y ∈ A, existen b, b ∈ M tales que b ∈ B(x, 2/2), b0 ∈ √ B(y, 2/2) y por lo tanto, b 6= b0 . Si A no fuera numerable, podr´ıamos encontrar una colecci´ √on no numerable de elementos de M , cada uno de ellos en una bola B(x, 2/2) con x ∈ A (y por tanto distintos entre s´ı), lo cual contradice el hecho de que M es numerable. ♦ Para establecer los resultados generales de esta secci´on, definiremos el siguiente concepto. 4.4.- Definici´ on. Dada una familia arbitraria IP de ´ındices y un conjunto {xα }P α∈I en un espacio normado X, se dice que α∈I xα = x cuando x = sup{ α∈J xα : J ⊂ I, J finito} o bien, cuando

X

∀ε > 0, ∃J0 ⊂ I finito : x − xα < ε, ∀J ⊃ J0 finito.

α∈J

Esta noci´on es similar a la de convergencia incondicional de n´ umeros reales pues la convergencia es bastante fuerte para garantizar que ning´ un reagrupamiento de los t´erminos tendr´a efecto sobre la misma. De la definici´on se deducen las siguientes propiedades: P P 4.5.- Proposici´ on. a) Si α∈I βxα = α∈I xα = x y β ∈ E, entonces βx. P P P b) Si α∈I xα = x y α∈I yα = y, entonces α∈I (xα + yα ) = x + y. P c) Si α∈I xα = x, entonces xα = 0 excepto para un conjunto numerable. Demostraci´ on. Los apartados a) y b) son evidentes. Para probar c), sea εn = 1/n; existe Hn tal que ∀J ⊃ Hn , J finito, se tiene P que α∈J xα − x < εn /2. Consideramos un conjunto J0 finito tal que J0 ∩ Hn = ∅, para todo n; resulta as´ı que

X



X X X X











x− x x− x + = x − x ≤ x α < 1/n. α α α α

α∈J0

α∈J0 ∪Hn

α∈J0 ∪Hn

α∈Hn

S

α∈Hn

Si tomamos el conjunto numerable n∈N Hn y cualquier ´ındice α no contenido en el conjunto, de lo anterior se deduce que kxα k < 1/n, ∀n, es decir S xα = 0, para cualquier α 6∈ n∈N Hn . ♦ 108

Con esta notaci´on probamos ahora la desigualdad de Bessel. 4.6.- Teorema. Sea X un espacio pre-Hilbert, A un conjunto ortonormal de X, y ∈ X arbitrario. Entonces: a) (Desigualdad de Bessel) ∀x1 , . . . , xn ∈ A :

n X

|hy, xi i|2 ≤ kyk2 .

i=1

Los elementos hy, xi i se llaman coeficientes de Fourier de y respecto del conjunto ortonormal {xi }ni=1 . b) El conjunto J = {x ∈ A : hy, xi = 6 0} es numerable. P c) ∀z ∈ X : x∈A |hy, xi hz, xi| ≤ kyk · kzk. Demostraci´ on. a) Llamamos αi = hy, xi i. De este modo, 0 ≤ hy −

n X

αi xi , y −

i=1

= kyk2 −

n X

n X

αi xi i

i=1

αi hxi , yi −

i=1

n X

αi hy, xi i +

i=1 j=1

i=1

Esto implica que kyk2 ≥

n X n X

αi αj hxi , xj i = kyk2 −

n X i=1

Pn

2 i=1 |hy, xi i| .

De lo anterior se deduce que la igualdad es tambi´en v´alida si n es infinito. b) Llamamos Jn = {x ∈ A : |hy, xi| ≥ 1/n} y elegimos x1 , . . . , xm ∈ Jn . Por a), m X 1 2 kyk ≥ |hy, xi i|2 ≥ m · 2 =⇒ m ≤ n2 kyk2 < ∞, n i=1

es decir Jn es finito. S Como J = ∞ on numerable de conjuntos finitos, es numeran=1 Jn es uni´ ble. c) Por las desigualdades de H¨older y de Bessel, para cualesquiera x1 , . . . , xn ∈ A tenemos !1/2 !1/2 n n n X X X |hy, xi i hz, xi i| ≤ |hy, xi i|2 · |hz, xi i|2 ≤ kyk · kzk. i=1

i=1

i=1

Como hy, xi i y hz, xi i son cero excepto para un conjunto numerable {xi } ⊂ P A, entonces es absolutamente convergente la serie x∈A |hy, xi hz, xi|.♦ 109

|αi |2 .

Tambi´en se deducen de forma directa los siguientes resultados sobre convergencia de la serie de Fourier asociada a un elemento arbitrario. 4.7.- Teorema. Sea X un espacio de Hilbert y A = {xn }n∈N una sucesi´ on ortonormal en X. Entonces, dada la sucesi´ on {αn }n∈N ⊂ E, P P a) αn xn converge si y s´ olo si |αn |2 converge (es decir, (αn )n∈N ∈ n∈N

n∈N

`2 ).

b) Si

P

n∈N αn xn

converge a x, entonces αn = hx, xn i, ∀n ∈ N, es decir x=

X

hx, xn ixn .

n∈N

c) Para todo x ∈ X, la serie X).

P

n∈N hx, xn ixn

converge (en la norma de

Pn 2 Demostraci´ o n. a) Si llamamos S = n k=1 αk xk , entonces kSn − Sm k = Pn 2 k=m+1 |αk | (n > m). El resto es evidente (recordemos que X es completo). P P b) Sea x = n∈N αn xn . Si Sn = nk=1 αk xk , entonces hSn , xk i = αk , ∀k ≤ n. Esto implica que l´ımn hSn , xk i = αk , ∀k, de donde hx, xk i = αk , ∀k. P c) Por la desigualdad de Bessel, la serie n∈N |hx, xn i|2 converge. Aplicando a) se obtiene lo deseado. ♦ Si aplicamos los resultados anteriores al espacio real L2 [0, 2π], obtenemos lo siguiente. 4.8.- Proposici´ on. a) (Lema de Riemann-Lebesgue). Si f ∈ L2 [0, 2π] y llamamos

Z



a0 = (1/π)

f (t)dt, 0

Z



an = (1/π)

f (t) cos(nt/2)dt, si n es par, 0

Z bn = (1/π)



f (t) sen[(n + 1)t/2]dt, si n es impar, 0

entonces l´ımn an = 0, l´ımn bn = 0. b) (Teorema de Riesz-Fischer). Rec´ıprocamente, dada una sucesi´ on de n´ umeros reales {c0 , d1 , c2 , d3 , . . . } tal que X X c20 + c2n + d2n < ∞, n par

n impar

110

entonces existe una funci´ on f ∈ L2 [0, 2π] cuyos coeficientes de Fourier son la sucesi´ on dada. √ Demostraci´ on. a) Sabemos que la sucesi´on {xn }n≥0 , donde x0 = 1/ 2π, √ √ x2n−1 = (1/ π) sen nt, x2n = (1/ π) cos nt, para n ≥ 1, es un conjunto 2 ortonormal. Si definimos R 2π para cada f ∈ L [0, 2π] los coeficientes de Fourier αn = hf, xn i = 0 f (t)xn (t)dt, n ≥ 0, por la desigualdad de Bessel, P 2 2 n≥0 |αn | ≤ kf k . A partir de esta desigualdad, y llamando Z 1 2π a0 = f (t)dt, π 0 Z 1 2π f (t) cos(nt/2)dt, si n es par , an = π 0 Z 1 2π bn = f (t) sen[(n + 1)t/2]dt, si n es impar, π 0 a los coeficientes ordinarios de Fourier, obtenemos ! Z ∞ 2π X f 2 (t)dt (π/2)a20 + π (a2n + b2n ) ≤ 0

n=1

lo que implica que l´ımn an = 0, l´ımn bn = 0. b) Al aplicar el teorema 4.7(a) a la sucesi´on {xn }n≥0 definida antes, obtenemos ! X X c0 1 √ +√ cn cos nt + dn sen nt π n par 2π n impar √ 2 converge a alguna funci´on f ∈ L [0, 2π] y f / π tiene a la sucesi´on dada por coeficientes de Fourier. ♦ El siguiente concepto generaliza el de base ortonormal en un espacio eucl´ıdeo. 4.9.- Definici´ on. Sea X un espacio pre-Hilbert y A un conjunto ortonormal. Entonces A es completo cuando se cumple cualquiera de las condiciones siguientes: (a) No existe ning´ un conjunto ortonormal que contenga propiamente a A. (b) ∀x ∈ X, si x⊥A, entonces x = 0. Es o que (a) implica (b) porque si existiera x⊥A, x 6= 0, entonces A ∪ n claro x ser´ıa ortonormal conteniendo propiamente a A. kxk Tambi´en (b) implica (a), porque si existiera B ortonormal tal que A ⊂ B, A 6= B, podr´ıamos tomar x ∈ B \ A, y ser´ıa x⊥A y kxk = 1. 111

Observaci´ on. A los conjuntos ortonormales completos se les llama bases ortonormales. Sin embargo, nunca un conjunto ortonormal completo infinito puede ser base de Hamel en un espacio de Hilbert. En efecto, si A es ortonormal completo infinito de P H, consPun conjunto −2 x con {x } −4 truimos la serie k ⊂ A. Como la serie k N k∈N k∈N k P k k∈−2 converge, existe x ∈ H tal que k∈N k xk = x. Si A fuera base de H, ∃γα , . . . , γν tales que x = γα xα + . . . γν xν . Eligiendo j 6= α, . . . , ν, hxj ,

X

k −2 xk i = j −2 = hxj , γα xα + . . . γν xν i = 0

k≥1

lo que es absurdo. 4.10.- Teorema. En un espacio pre-Hilbert X 6= {0} existe un conjunto ortonormal completo y todo conjunto ortonormal puede extenderse a un conjunto ortonormal completo. Demostraci´ on. Basta probar la segunda parte porque se deduce inmediatamente de ah´ı la primera. Sea B un conjunto ortonormal fijo, S = {A : A es conjunto ortonormal, B ⊂ A}. El conjunto S est´a parcialmente ordenado con la relaci´on de inclusi´on. Veamos que toda familia totalmente ordenada de S tiene cota superior: Sea T = S {Aα : α ∈ I} unSsubconjunto totalmente ordenado de S. Como A Sα ⊂ α∈I Aα , entonces α∈I Aα es cota superior de T . Adem´as B ⊂ α∈I Aα . S Si x, y ∈ α∈I Aα , ∃α, β ∈ I : x ∈ Aα , y ∈ Aβ (y suponemos Aα ⊂ Aβ por ser T totalmente ordenado). Entonces x, y ∈ Aβ de donde x⊥y, kxk = S kyk = 1 =⇒ α∈I Aα ∈ S. Se dice entonces que S es un conjunto inductivo. Se puede aplicar el lema de Zorn1 , por el que debe existir un elemento maximal en S. Este elemento es un conjunto ortonormal completo, pues por definici´on de maximal, no puede haber otro conjunto ortonormal que lo contenga. ♦ 4.11.- Teorema. a) Sea X un espacio pre-Hilbert y A un conjunto ortonormal tal que hAi = X. Entonces A es completo. b) Si X es de Hilbert y A = {xα }α∈I un conjunto ortonormal completo, entonces hAi = X. Demostraci´ on. a) Si A no fuera completo, existir´ıa x ∈ X ortogonal al conjunto. Adem´as x⊥hAi e incluso x⊥ hAi lo que es absurdo. 1

Lema de Zorn: Todo conjunto ordenado, inductivo y no vac´ıo tiene un elemento maximal.

112

b) Si hAi 6= X, existe x ∈ X \ hAi. Por el teorema de proyecci´on, existe y ∈ hAi tal que (x − y)⊥ hAi. Por tanto, (x − y)⊥A, pero x 6= y. Resulta entonces que A no es completo. ♦ Otra caracterizaci´on de los conjuntos ortonormales completos la da la identidad de Parseval. 4.12.- Teorema. a) Sea X un espacioPpre-Hilbert y A = {xα }α∈I un conjunto ortonormal. Si ∀x ∈ X, kxk2 = α∈I |hx, xα i|2 , entonces A es completo. b) (Identidad de Parseval) Si X esPde Hilbert y A es un conjunto ortonormal completo, se verifica que kxk2 = α∈I |hx, xα i|2 , ∀x ∈ X. Observaci´ on. Por el teorema 4.6(b) s´olo hay como m´aximo un conjunto numerable de productos hx, xα i no nulos. Demostraci´ on. a) Si A no fuera completo, existir´ıa x ∈ X tal que x⊥A. Por la identidad de Parseval, kxk = 0, lo que es absurdo. P b) Sea x ∈ X. α∈I hx, xα ixα converge (teorema 4.7(c)), PComo la serie llamamos y = α∈I hx, xα ixα . Entonces (x − y)⊥A : hx − y, xβ i = hx, xβ i −

X

hx, xα ihxα , xβ i = hx, xβ i − hx, xβ i = 0;

α∈I

hx − y, vi = hx, vi −

X

hx, xα ihxα , vi = 0 − 0 = 0,

α∈I

∀v ∈ A, v distinto de los xα de la serie (que son precisamente aquellos para los que hx, vi = 0). P Por definici´on, como (x − y)⊥A =⇒ x − y = 0 =⇒ x = α∈I hx, xα ixα =⇒ P kxk2 = α∈I hx, xα i hx, xα i. ♦ Nota. La parte (a) del teorema tambi´en es cierta si la identidad de Parseval se supone cierta s´olo en un conjunto denso en X (ver la prueba en [BN]). La ventaja que ello supone es evidente y en las aplicaciones pr´acticas es f´acil obtener subconjuntos densos donde se verifique la igualdad. Por ejemplo, √ √ √ para probar que la sucesi´on {1/ 2π, cos t/ π, sen t/ π, . . . } es un conjunto ortonormal completo en L2 [0, 2π] sobre R basta ver que la identidad de Parseval es cierta en la clase de polinomios trigonom´etricos de L2 [0, 2π] (que es denso en L2 por el teorema de Stone-Weierstrass). Podemos resumir todos los resultados anteriores en el siguiente esquema. 4.13.- Teorema. Sea A = {xα }α∈I un conjunto ortonormal en un espacio de Hilbert X. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: i) A es completo. 113

ii) x⊥A =⇒ x = 0. iii) x ∈ X =⇒ x =

P

α∈I hx, xα ixα .

iv) hAi = X. P v) kxk2 = α∈I |hx, xα i|2 . P vi) ∀x, y ∈ X, hx, yi = α∈I hx, xα ihxα , yi. (Es claro que en algunas equivalencias no es necesario que X sea de Hilbert.) n int o e Ejemplo. En L2 [0, 2π] un conjunto ortonormal completo es A = √ , n ∈ Z . 2π R 2π En efecto, sea f ∈ L2 [0, 2π], tal que f ⊥A, es decir, 0 f (t)e−int dt = 0, ∀n ∈ Rt Z. Definimos G(t) = 0 f (x)dx − C, donde G(2π) = −C = G(0). Como Rt on absolutamente continua, G0 (t) = f (t) en casi to0 f (x)dx es una funci´ R 2π do punto. Esto implica que 0 G0 (t)e−int dt = 0. Integrando por partes, tenemos Z 2π Z 2π 2π 0 = e−int G(t) 0 − G(t)(−in)e−int dt = G(2π)−G(0)+in G(t)e−int dt. 0

0

R 2π Rt Si llamamos F (t) = 0 f (x)dx, tenemos que 0 = 0 (F (t) − C)e−int dt, n 6= R 2π 0. Elegimos C de modo que 0 F (t)dt = 2πC. Por el teorema de aproximaci´on de Weierstrass, podemos Paproximariktuniformemente G(t) por el polinomio trigonom´etrico T (t) = m k=−m ak e , de modo que |G(t) − T (t)| < ε, ∀t ∈ [0, 2π]. Resulta as´ı: 2π

Z

G(t)T (t)dt = 0

m X

Z ak

2π ikt

G(t)e

0

Z =

Z 0

Z ≤ ε



Z √ |G(t)| · 1dt ≤ ε 2π

0

R 2π 0



G(t)(G(t) − T (t))dt

G(t)G(t)dt = 0

Si suponemos

|G(t)|2 dt

dt = 0 =⇒

0

−m 2π



Z



1/2 |G(t)|2 dt .

0

|G(t)|2 dt 6= 0, resulta

R

2π 0

1/2 √ ≤ ε 2π. |G(t)|2 dt

Como ε es arbitrario, Z



Z

2

|G(t)| dt = 0 =⇒ G(t) = 0 =⇒ 0

f (x)dx = C =⇒ f (t) = 0 0

en casi todo punto. 114

t

Justificamos a continuaci´on el nombre de dimensi´on de Hilbert dado al cardinal de un conjunto ortonormal completo. 4.14.- Teorema (cardinal de los conjuntos ortonormales completos). En un espacio pre-Hilbert X, cualesquiera dos conjuntos ortonormales completos A = {xα : α ∈ I}, B = {yβ : β ∈ J} tienen el mismo cardinal (llamado dimensi´ on de Hilbert o dimensi´ on ortogonal de X). Demostraci´ on. Es trivial si A y B son finitos, porque ser´ıan bases del mismo espacio vectorial X. 6 0} que En el caso general, si xα ∈ A, definimos Bxα = {yβ ∈ B : hxα , yβ i = es numerable (teorema 4.6(b)). Veamos ahora que para todo yβ ∈ B existe xα ∈ A tal que yβ ∈ Bxα : Si no fuera as´ı, hxα , yβ i = 0, ∀xα ∈ A =⇒ yβ ⊥A. Pero, al ser A completo, yβ = 0, lo que es absurdo pues kyβ k = 1. Entonces [ B= Bxα =⇒ card B ≤ card A · card Bxα = card A α∈I

ya que Bxα es numerable. An´alogamente se procede para demostrar que card A ≤ card B.



Para concluir probaremos las siguientes equivalencias, que generalizan lo que ocurre con los espacios eucl´ıdeos, pues se proporcionan muestras concretas de espacios mediante los cuales todos los dem´as s´olo se diferencian en la dimensi´on. 4.15.- Teorema. Si X es un espacio pre-Hilbert de dimensi´ on n, entonces n X es congruente con C , es decir existe un isomorfismo isom´etrico entre X y Cn . Demostraci´ on. Sea {x1 , . . . , xn } una base ortonormal de X. P ∀x ∈ X, ∃α1 , . . . , αn ∈ E : x = ni=1 αi xi . Definimos A : X → Cn como Ax = (α1 , . . . , αn ). Es evidente que A es isomorfismo isom´etrico. ♦ 4.16.- Teorema. Si X es un espacio de Hilbert separable, complejo y de dimensi´ on infinita, entonces X es congruente con `2 . Demostraci´ on. Por ser X separable, contiene un conjunto ortonormal completo numerable, digamos {xn }n∈N . Para cada x ∈ X y n ∈ N definimos αn = hx, xn i. Por la identidad de Parseval, X X kxk2 = |hx, xn i|2 = |αn |2 < ∞. n∈N

n∈N

Esto implica que {αn }n∈N ∈ `2 . As´ı pues, el operador A : X → `2 dado por Ax = (αn )n∈N , ∀x ∈ X 115

est´a bien definido y es lineal. Veamos que A es un isomorfismo isom´etrico. (∗) A es inyectiva: Ax = 0 =⇒ hx, xn i = 0, ∀n =⇒ x = 0 porque {xn }n∈N es completo. P 2 2 (∗) A es sobre: Si (β ) n n∈ N ∈ ` , n∈N |βn | < ∞ lo que implica que P un x ∈ X de donde βn = hx, xn i, es decir (βn )n∈N = n∈N βn xn converge a alg´ Ax. P (∗) A es isometr´ıa, pues kAxk2 = n∈N |αn |2 = kxk2 . ♦

´ DE POLINOMIOS. 5. ORTOGONALIZACION

En esta secci´on se aplican los resultados anteriores para obtener familias de polinomios ortonormales en algunos casos pr´acticos de especial importancia. Empezaremos recordando el teorema de ortogonalizaci´on de GramSchmidt. 5.1.- Teorema (ortogonalizaci´on de Gram-Schmidt). Si {y1 , . . . , yn , . . . } es un conjunto linealmente independiente en un espacio pre-Hilbert X, entonces existe un conjunto ortonormal {x1 , . . . , xn , . . . } tal que h{x1 , . . . , xk }i = h{y1 , . . . , yk }i, ∀k ∈ N. Demostraci´ on. Aplicaremos el m´etodo de inducci´on sobre n. Para n = 1, hacemos x1 = y1 /ky1 k. Esto hace que kx1 k = 1 y h{x1 }i = h{y1 }i. Si fuera cierto para n − 1, ve´amoslo para n: Pn−1 hyn , xi ixi . Entonces Llamamos w = yn − i=1 n−1 X

hw, xk i = hyn , xk i−

hyn , xi ihxi , xk i = hyn , xk i−hyn , xk i = 0, k = 1, . . . , n−1.

i=1

Si fuera w = 0, tendr´ıamos yn =

n−1 P

hyn , xi ixi , con lo que yn ∈ h{x1 , . . . , xn−1 }i =

i=1

h{y1 , . . . , yn−1 }i, lo que contradice la hip´otesis. Si llamamos xn = w/kwk, es trivial que {x1 , . . . , xn } es un conjunto ortonormal y que h{x1 , . . . , xn }i = h{y1 , . . . , yn }i. ♦ 116

Veamos como aplicaci´on de lo anterior c´omo generar los polinomios ortonormales de mayor importancia pr´actica. A. Polinomios de Legendre. El espacio C[−1, 1] con el producto escalar R1 hx, yi = −1 x(t)y(t)dt puede completarse y dar lugar al espacio L2 [−1, 1]. Una base ortonormal de este espacio se puede obtener aplicando el m´etodo de ortogonalizaci´on de Gram-Schmidt a la familia linealmente independiente de polinomios {xn (t) = tn , n = 0, 1, . . . }. n

d 2 n 5.2.- Teorema. Si llamamos Pn (t) = 2n1·n! · dt n (t − 1) , entonces la familia q en (t) = 2n+1 2 Pn (t), n = 0, 1, . . . , es un conjunto ortonormal completo en

L2 [−1, 1]. Demostraci´ on. Veamos en primer lugar que hPm , Pn i = 0 si 0 ≤ m < n. Como Pm es un polinomio, basta probar que hxm , Pn i = 0 para m < n. Si integramos por partes (donde escribimos por comodidad u = t2 − 1), teniendo en cuenta que las derivadas Dk (un )(t) se anulan para k < n en t = ±1: 2n n!hxm , Pn i =

Z

1

tm Dn (un )(t)dt

−1 1

Z

tm−1 Dn−1 (un )(t)dt = . . .

= −m −1

Z

m

1

Dn−m (un )(t)dt = (−1)m m!Dn−m−1 (un )(t)|1−1 = 0.

= (−1) m! −1

A continuaci´on probaremos que ken k = 1, ∀n, para lo cual integramos nuevamente por partes y tenemos en cuenta que D2n (un )(t) = (2n)!: (2n n!)2 kPn k2 =

Z

1

Dn (un )(t)Dn (un )(t)dt

−1

Z

1

Dn−1 (un )(t)Dn+1 (un )(t)dt = . . .

= − −1

Z

n

1

= (−1) (2n)!

Z

n

u (t)dt = 2(2n)! −1

Z = 2(2n)!

π/2

cos2n+1 sds =

0

1

(1 − t2 )n dt

0

22n+1 (n!)2 . 2n + 1



Observaci´ on. Los polinomios de Legendre {Pn }n≥0 son soluci´on de la llamada ecuaci´on de Legendre: (1 − t2 )Pn00 − 2tPn0 + n(n + 1)Pn = 0. 117

2

B. Polinomios de Hermite. En el espacio L2 (R), las funciones {xn e−x /2 } forman un conjunto linealmente independiente para n ≥ 0. Aplicando el proceso de Gram-Schmidt, obtenemos las funciones de Hermite Φn (x) =

(n! ·

2n

1 2 √ 1/2 · e−x /2 · Hn (x) · π)

donde {Hn }n≥0 son los polinomios de Hermite 2

Hn (x) = (−1)n · ex ·

dn −x2 e . dxn

Se puede probar que las funciones de Hermite forman una base ortonormal de L2 (R) y que los polinomios de Hermite verifican la ecuaci´on diferencial Hn00 − 2xHn0 + 2nHn = 0. C. Polinomios de Laguerre. En X = L2 [0, ∞), la sucesi´on {e−x/2 xn }n≥0 es linealmente independiente. La familia ortonormal que se obtiene es Ψn (x) = e−x/2 Ln (x), donde   n X 1 x dn −x n (−1)j n j · e · n (e x ), es decir Ln (x) = x , Ln (x) = n! dx j! j j=0

son los polinomios de Laguerre. Estos polinomios verifican la ecuaci´on xL00n + (1 − x)L0n + nLn = 0.

´ DE FUNCIONALES EN ESPACIOS DE 6. REPRESENTACION HILBERT.

En los espacios de Hilbert, la forma general que tienen los funcionales lineales y acotados es sorprendentemente simple y de gran importancia pr´actica. Es muy sencillo comprobar que todo espacio eucl´ıdeo puede identificarse con su dual. 6.1.- Teorema (Riesz para dimensi´on finita). Si X es un espacio pre-Hilbert de dimensi´ on finita y f : X → E un funcional lineal, entonces existe un u ´nico y ∈ X tal que f (x) = hx, yi, ∀x ∈ X. Demostraci´ on. Sea {x1 , . . . , xn } una base ortonormal de X. Si y =

n P

f (xi )xi ,

i=1

definimos la aplicaci´on fy : X → E como fy (x) = hx, yi. En particular, 118

fy (xj ) = f (xj ), ∀j = 1, . . . , n. De aqu´ı se deduce que fy (x) = f (x), ∀x ∈ X. Si existiera otro z ∈ X tal que hx, yi = hx, zi, ∀x ∈ X, entonces hx, y − zi = 0, ∀x =⇒ y = z. ♦ Probaremos a continuaci´on el teorema de representaci´on de Riesz que prueba que este hecho es tambi´en cierto en espacios de Hilbert arbitrarios. 6.2.- Teorema (Riesz para cualquier dimensi´on). Un funcional f : X → E de un espacio de Hilbert es lineal y acotado si y s´ olo si existe un u ´nico y ∈ X tal que f (x) = hx, yi, ∀x ∈ X. Adem´ as kf k = kyk. Demostraci´ on. La unicidad de y es clara como hicimos en el teorema anterior. a) Dado y ∈ X, consideramos el funcional f (x) = hx, yi. Claramente, f es lineal. Adem´as |f (x)| = |hx, yi| ≤ kxk · kyk por la desigualdad de CauchySchwarz. Por tanto, f est´a acotado y kf k ≤ kyk. Pero si hacemos x = y, |f (y)| = kyk · kyk =⇒ kf k ≥ kyk y en definitiva, kf k = kyk. b) Sea f un funcional lineal y acotado en X y definimos M = {x ∈ X : f (x) = 0} que es subespacio cerrado de X por la continuidad de f . Si M = X, f ≡ 0 y f (x) = hx, 0i, es decir, existe y = 0 tal que f (x) = hx, 0i. Si M 6= X, existe w 6= 0 tal que w ∈ M ⊥ . Vamos a probar que existe α ∈ E tal que y = αw satisface las condiciones del teorema. Si x ∈ M, f (x) = 0 y hx, αwi = αhx, wi = 0, y cualquier α sirve. Si x = βw con β 6= 0, f (x) = βf (w) y hx, αwi = β αhw, wi con lo que f (x) = hx, αwi cuando α = f (w)/kwk2 . Si x ∈ X es arbitrario, x = x − βw + βw y elegimos β para que x − βw ∈ M, es decir, β = f (x)/f (w). De este modo, f (x) = f (x−βw)+f (βw) = hx−βw, αwi+hβw, αwi = hx, αwi = hx, yi.



De este teorema tambi´en se deduce el an´alogo a la proposici´on 7.3 del cap´ıtulo II. Concretamente, en un espacio de Hilbert un funcional lineal es continuo si y s´olo si su n´ ucleo es un subespacio cerrado. Este hecho muestra que la existencia de funcionales lineales no continuos va ´ıntimamente ligada con la existencia de subespacios lineales no cerrados. As´ı pues, el n´ ucleo de un funcional lineal no continuo es un subespacio denso en X. En efecto, si por el contrario dim M ⊥ > 0, ∃e⊥M tal que f (e) = 1; esto implica que ∀y ∈ X, y = f (y)e + (y − f (y)e) con f (y)e ∈ hei y f (y − f (y)e) = 0 =⇒ y − f (y)e ∈ M , y la suma es ortogonal. Esto indica que X = hei ⊕ M , de donde M es cerrado, con lo que f es continuo, en contradicci´on con la hip´otesis. En definitiva, dim M ⊥ = 0 =⇒ M = X. 119

El teorema 6.2 permite tambi´en obtener una representaci´on general de formas sesquilineales en espacios de Hilbert. 6.3.- Definici´ on. Dados dos espacios vectoriales X, Y , una forma sesquilineal sobre X × Y es una aplicaci´on h : X × Y → E tal que h es lineal en la primera variable y antilineal en la segunda. Si X e Y son normados, h es acotada si existe c ≥ 0 tal que |h(x, y)| ≤ |h(x,y)| c · kxk · kyk y se define khk = supx,y6=0 kxk·kyk como la norma de h. Ejemplo. Si S ∈ L(X, Y ) entonces h(x, y) = hSx, yi es una forma sesquilineal acotada. El rec´ıproco corresponde al siguiente resultado. 6.4.- Teorema (representaci´on de Riesz para formas sesquilineales). Sean H1 , H2 espacios de Hilbert y h : H1 × H2 → E una forma sesquilineal acotada. Entonces existe un u ´nico operador lineal S : H1 → H2 acotado tal que h(x, y) = hSx, yi y kSk = khk. Demostraci´ on. Fijado x ∈ H1 , el operador h(x, ·) : H2 → E es un funcional lineal y acotado. Entonces existe un u ´nico z ∈ H2 tal que h(x, y) = hy, zi. Por tanto, h(x, y) = hz, yi. Como z depende de x y es u ´nico, queda definido un operador S : H1 → H2 dado por Sx = z. As´ı definido, se prueba que → S es lineal: hS(αx1 + βx2 ), yi = h(αx1 + βx2 , y) = αh(x1 , y) + βh(x2 , y) = αhSx1 , yi + βhSx2 , yi = hαSx1 + βSx2 , yi, ∀y =⇒ S(αx1 + βx2 ) = αSx1 + βSx2 . → S es acotado: |hSx, yi| |hSx, Sxi| kSxk ≥ sup = sup = kSk. x,y6=0 kxk · kyk x6=0,Sx6=0 kxk · kSxk x6=0 kxk

khk = sup

→ kSk = khk : Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz, khk = sup

|hSx, yi| kSxk · kyk ≤ sup = kSk. kxk · kyk kxk · kyk

→ S es u ´nico: Si ∃T : H1 → H2 tal que h(x, y) = hSx, yi = hT x, yi, entonces Sx = T x de donde S = T. ♦ El concepto de forma sesquilineal es una generalizaci´on del producto interior. Demostraremos a continuaci´on diversos resultados que extienden a los ya obtenidos para el producto interior, donde el papel de norma corresponde ahora al de la forma cuadr´atica asociada a una forma sesquilineal. 6.5.- Definici´ on. Una forma sesquilineal f : X → X se dice sim´etrica cuando f (y, x) = f (x, y), ∀x, y ∈ X. Por otra parte, si f (x, x) ≥ 0, ∀x ∈ X, 120

f se dice forma sesquilineal definida no negativa. Por ejemplo, f (x, y) = hx, yi es una forma sesquilineal sim´etrica y definida no negativa, y f (x, x) representa la norma. Dada una forma sesquilineal f : X ×X → E, el conjunto {f (x, x) : x ∈ X} se llama forma cuadr´ atica asociada. As´ı, si llamamos fb(x) = f (x, x), se puede recuperar la forma sesquilineal por la identidad de polarizaci´on 1 1 i i f (x, y) = fb(x + y) − fb(x − y) + fb(x + iy) − fb(x − iy). 4 4 4 4 En consecuencia, si f1 y f2 son formas sesquilineales y fb1 = fb2 , entonces f1 = f2 . 6.6.- Proposici´ on. Dada una forma sesquilineal f : X × X → E, f es sim´etrica si y s´ olo si fb es real. Demostraci´ on. a) Si suponemos que f (y, x) = f (x, y), entonces fb(x) = f (x, x) = f (x, x) = fb(x), ∀x ∈ X lo que implica que fb es real. b) Rec´ıprocamente, si fb es real, de la identidad de polarizaci´on y las igualdades fb(z) = fb(−z), fb(iz) = fb(z), ∀z ∈ X, se deduce que f (x, y) = =

1 b 1 i i f (x + y) − fb(x − y) − fb(x + iy) + fb(x − iy) 4 4 4 4 1 i i 1b f (y + x) − fb(y − x) − fb(y − ix) + fb(y + ix) = f (y, x). 4 4 4 4

6.7.- Corolario. Si A : X → X es un operador lineal acotado, entonces son equivalentes: i) La forma sesquilineal f : X × X → E definida por f (x, y) = hAx, yi es sim´etrica. ii) hAx, xi es real para todo x ∈ X. Para la prueba, basta observar que hAx, xi es la forma cuadr´atica asociada a f. 6.8.- Proposici´ on. Dada una forma sesquilineal f : X × X → E, f es acotada si y s´ olo si fb es acotada. Adem´ as kfbk ≤ kf k ≤ 2kfbk. Demostraci´ on. Utilizaremos las igualdades kf k =

sup

|f (x, y)|, kfbk = sup |fb(x)|,

kxk,kyk=1

kxk=1

las cuales se pueden probar de forma similar a las obtenidas en el caso de operadores lineales. 121



Si suponemos f acotada, entonces |fb(x)| = |f (x, x)| ≤ kf k · kxk2 =⇒ kfbk ≤ kf k. Rec´ıprocamente, si suponemos fb acotada, aplicando la desigualdad triangular en la identidad de polarizaci´on, obtenemos 1 |f (x, y)| ≤ kfbk · (kx + yk2 + kx − yk2 + kx + iyk2 + kx − iyk2 ). 4 Aplicando en el segundo miembro la identidad del paralelogramo, resulta: 1 |f (x, y)| ≤ kfbk · [2(kxk2 + kyk2 ) + 2(kxk2 + kyk2 )] = kfbk · (kxk2 + kyk2 ). 4 Tomando el supremo para valores x, y, con kxk = kyk = 1, llegamos en definitiva a que kf k ≤ 2kfbk. ♦ 6.9.- Proposici´ on. Si f es una forma sesquilineal sim´etrica acotada, entonces kf k = kfbk. Demostraci´ on. Por ser fb real, de la identidad de polarizaci´on obtenemos en particular 1 1 1 Re f (x, y) = fb(x+y)− fb(x−y) =⇒ | Re f (x, y)| ≤ kfbk·(2kxk2 +2kyk2 ). 4 4 4 Si suponemos kxk = kyk = 1, resulta | Re f (x, y)| ≤ kfbk. Escribiendo en forma polar f (x, y) = r · eiϑ , para α = e−iϑ , tenemos αf (x, y) = r = |f (x, y)|, de donde |f (x, y)| = | Re αf (x, y)| = | Re f (αx, y)| ≤ kfbk, para cualesquiera x, y ∈ X tales que kxk = kyk = 1. En consecuencia, kf k = supkxk=kyk=1 |f (x, y)| ≤ kfbk lo que, junto al resultado del teorema anterior, conduce a la tesis. ♦ 6.10.- Proposici´ on (Desigualdad de Cauchy-Schwarz generalizada). Si f es un forma sesquilineal no negativa, entonces |f (x, y)|2 ≤ fb(x) · fb(y), ∀x, y ∈ X. La prueba es similar a la realizada en la proposici´on 3.1, y se deja como ejercicio.

122

7. OPERADOR ADJUNTO. OPERADORES AUTOADJUNTOS Y UNITARIOS.

El teorema de representaci´on de Riesz permite de forma natural asociar a todo operador T ∈ L(H1 , H2 ) el llamado operador adjunto T ∗ ∈ L(H2 , H1 ) definido por la condici´on hT x, yi = hx, T ∗ yi, ∀x ∈ H1 , y ∈ H2 , y cuyas propiedades estudiaremos en esta secci´on. Nos limitaremos en esta secci´on a estudiar el caso de operadores T : H → H y dejamos al lector la posibilidad de desarrollar el caso general. Queremos indicar tambi´en que en el caso de espacios normados se puede definir un concepto an´alogo pero algunas demostraciones precisan aplicar el teorema de Hahn-Banach que estudiaremos en el pr´oximo cap´ıtulo (en los ejercicios del cap´ıtulo IV se dan dichas nociones). Aseguramos en primer lugar la existencia del operador adjunto y mostramos algunas propiedades b´asicas de los mismos. 7.1.- Teorema. Sean H un espacio de Hilbert y T ∈ L(H). Entonces existe un u ´nico operador T ∗ ∈ L(H) tal que hT x, yi = hx, T ∗ yi. Adem´ as kT k = ∗ kT k. Demostraci´ on. Para cada y ∈ H definimos el funcional fy (x) = hT x, yi. Debido a que |hT x, yi| ≤ kT xk · kyk ≤ kT k · kxk · kyk, se deduce que fy es un funcional lineal acotado. Por el teorema de representaci´on de Riesz, existe un u ´nico z ∈ H tal que fy (x) = hx, zi. Definimos pues el operador T ∗ y = z. Dicho operador es lineal pues, ∀y1 , y2 ∈ H, α ∈ E, x ∈ H: hx, T ∗ (αy1 + y2 )i = hT x, αy1 + y2 i = αhT x, y1 i + hT x, y2 i =

αhx, T ∗ y1 i + hx, T ∗ y2 i = hx, αT ∗ y1 + T ∗ y2 i.

Adem´as T ∗ est´a acotado pues, ∀x, y ∈ H, |hx, T ∗ yi| = |hT x, yi| ≤ kT k · kxk · kyk. En particular, para x = T ∗ y tenemos que kT ∗ yk2 ≤ kT k · kT ∗ yk · kyk, de donde kT ∗ yk ≤ kT k · kyk y kT ∗ k ≤ kT k. Por otra parte, como T ∗∗ = T , resulta que kT k = kT ∗∗ k ≤ kT ∗ k. 7.2.- Proposici´ on. Dados S, T ∈ L(H) y α ∈ E, entonces: a) (S + T )∗ = S ∗ + T ∗ . 123



b) (αT )∗ = αT ∗ . c) (ST )∗ = T ∗ S ∗ . d) T ∗∗ = T . e) kT ∗ T k = kT k2 . Demostraci´ on. Queda como ejercicio, pues se trata de simples comprobaciones. 7.3.- Proposici´ on. Si llamamos N (T ) al n´ ucleo del operador T y R(T ) al rango, entonces a) N (T ∗ ) = R(T )⊥ . b) N (T ) = R(T ∗ )⊥ . Demostraci´ on. Para cualesquiera x ∈ N (T ∗ ), y ∈ H, hx, T yi = hT ∗ x, yi = 0, de donde x ∈ R(T )⊥ . Rec´ıprocamente, si x ∈ R(T )⊥ , entonces hT ∗ x, yi = hx, T yi = 0, para todo y ∈ H, de donde T ∗ x = 0. Para la parte b) basta aplicar a) al operador T ∗ .



7.4.- Definici´ on. El operador T ∗ as´ı construido se llama adjunto de T . Un operador T es autoadjunto cuando T = T ∗ . Observaciones. 1) El concepto de operador adjunto generaliza el de matriz adjunta pues en los espacios eucl´ıdeos la matriz asociada al operador adjunto es la traspuesta de la conjugada de la matriz asociada al operador de partida. Un ejemplo cl´asico en dimensi´on infinita lo constituyen los operadores integrales. As´ı, si A : L2 [0, 1] → L2 [0, 1] es el operador definido R1 por Ax(t) = 0 K(t, s)x(s)ds, donde K es una funci´on continua, entonces R1 A∗ x(t) = 0 K(s, t)x(s)ds. 2) Los operadores autoadjuntos juegan en L(H) el papel que los n´ umeros reales juegan en C. Por tanto, todo operador T ∈ L(H) se podr´a escribir en la forma T = A + iB, con A, B autoadjuntos. Esta clase de operadores, cuya estructura est´a ya perfectamente delimitada, aparece en multitud de aplicaciones. Recordamos que en espacios m´etricos una aplicaci´on que conserva las distancias se llama isometr´ıa. Cuando se trata de espacios normados esta propiedad se traduce en que una isometr´ıa A : X → Y es un operador que conserva las normas, es decir kAxk = kxk, ∀x ∈ X. Si X e Y son adem´as espacios pre-Hilbert, es sencillo comprobar (aplicando la identidad de polarizaci´on) que un operador A ∈ L(X, Y ) es una isometr´ıa si y s´olo si 124

hAx, Ayi = hx, yi, ∀x, y ∈ X. En lo sucesivo aplicaremos esta caracterizaci´on como definici´on de isometr´ıas en espacios pre-Hilbert. 7.5.- Definici´ on. Toda isometr´ıa sobreyectiva recibir´a el nombre de operador unitario. Estos operadores se corresponden con las rotaciones y simetr´ıas respecto del origen en los espacios eucl´ıdeos y, al igual que all´ı, estos operadores son los m´as simples en cuanto no cambia la longitud ni el ´angulo entre vectores. Veamos a continuaci´on algunas caracterizaciones de estos operadores. 7.6.- Proposici´ on. Sea T ∈ L(H). a) T es isometr´ıa si y s´ olo si T ∗ T = I. b) T es unitario si y s´ olo si T ∗ T = T T ∗ = I. Demostraci´ on. El apartado a) se deduce de las siguientes equivalencias: T isometr´ıa

⇐⇒ hT x, T yi = hx, yi, ∀x, y ∈ H ⇐⇒ hx, T ∗ T yi = hx, yi, ∀x, y ∈ H ⇐⇒ T ∗ T = I.

b) Por el apartado anterior, si T es unitario, T ∗ T = I. Adem´as, por ser T sobre, ∀x, y ∈ H, hT T ∗ x, yi = hT T ∗ x, T zi = hT ∗ x, zi = hx, T zi = hx, yi =⇒ T T ∗ = I. Rec´ıprocamente, si T ∗ T = T T ∗ = I, entonces, por una parte, T es isometr´ıa; por otra parte, para cualquier y ∈ H, si llamamos x = T ∗ y; entonces T x = T T ∗ y = y, es decir T es sobre. ♦ Otra clase de operadores relacionada con las anteriores es la de los operadores normales, los que por definici´on verifican la igualdad T T ∗ = T ∗ T . Esta clase de operadores tiene gran inter´es en el desarrollo de la teor´ıa espectral y estudiaremos sus propiedades en el cap´ıtulo VI.

125

EJERCICIOS.

1. Si X es un espacio vectorial de dimensi´ on finita y {e1 , . . . , en } una base de X , probar que cualquier producto interior sobre X est´ a completamente determinado por los valores γij = hei , ej i, (i, j = 1, . . . , n). ¿Es posible elegir arbitrariamente dichos escalares? Resp.: Sean x, y ∈ X arbitrarios, x = Entonces hx, yi =

n X n X

αi βj hei , ej i =

i=1 j=1

Pn

i=1 αi ei ,

n X n X

y =

Pn

j=1 βj ej .

αi βj γij .

i=1 j=1

Sin embargo, la elecci´on de la matriz (γij )i,j=1,...,n no puede ser arbitraria, pues para dar lugar a un producto interior debe cumplir γij = γji , ∀i, j y adem´as γii > 0, ∀i.   2. Sea X un espacio pre-Hilbert real. Probar que si kx+yk2 = kxk2 + kyk2 , entonces x⊥y . Probar que lo anterior no es cierto si X es complejo. Resp.: De los axiomas del producto escalar obtenemos: kx + yk2 = hx + y, x + yi = kxk2 + hx, yi + hy, xi + kyk2 . Aplicando la hip´otesis se deduce que 2Rehx, yi = 0 =⇒ hx, yi = 0 =⇒ x⊥y. Si X es complejo, basta elegir x, y ∈ X tales que hx, yi = ib, con b 6= 0. As´ı, kx + yk2 = kxk2 + kyk2 pero x no es ortogonal a y.   3. Probar que en un espacio pre-Hilbert, para cualquier escalar α, x⊥y ⇐⇒ kx + αyk = kx − αyk. Resp.: Las siguientes igualdades son v´alidas en general: kx + αyk2 = hx, xi + αhy, xi + αhx, yi + α αhy, yi, kx − αyk2 = hx, xi − αhy, xi − αhx, yi + α αhy, yi. 126

As´ı pues, si x⊥y, entonces kx + αyk2 = kxk2 + α αkyk2 = kx − αyk2 . Rec´ıprocamente, si kx+αyk = kx−αyk, entonces 2αhy, xi = −2 αhx, yi. Si hacemos α = 1, resulta: hy, xi + hy, xi = 0 =⇒ Rehy, xi = 0. Haciendo ahora α = i: ihy, xi − i hy, xi = 0 =⇒ Imhy, xi = 0. En definitiva, tenemos que hy, xi = 0 =⇒ x⊥y.   4. Sea X un espacio pre-Hilbert. Probar que kλx + (1 − λ)yk = kxk, ∀λ ∈ [0, 1] =⇒ x = y.

¿Es cierto lo anterior si X es un espacio normado? Resp.: Por hip´otesis, si λ = 0, kyk = kxk y, si λ = 1/2, (1/2)kx+yk = kxk. Por la identidad del paralelogramo, kx+yk2 +kx−yk2 = 2kxk2 +2kyk2 , lo que implica, teniendo en cuenta lo anterior, que 4kxk2 + kx − yk2 = 4kxk2 . Entonces kx − yk = 0, es decir x = y. Si X es simplemente normado, puede no verificarse la identidad del paralelogramo. Por ejemplo, en `∞ , los vectores x = (1, 0, . . . ), y = (1, 1, 0, . . . ), verifican kxk∞ = kyk∞ = 1, kλx + (1 − λ)yk∞ = 1, pero x 6= y.   5. Se dice que un espacio de Banach es uniformemente convexo si, dadas dos sucesiones arbitrarias (xn )n∈N , (yn )n∈N , tales que kxn k = kyn k = 1 y k(1/2)(xn + yn )k → 1, entonces xn − yn → 0.

a) Probar que todo espacio de Hilbert es uniformemente convexo. b) Sabiendo que, ∀f, g ∈ Lp [a, b], kf + gkq + kf − gkq ≤ 2(kf kp + kgkp )q−1 , si 1 < p ≤ 2, kf + gkp + kf − gkp ≤ 2p−1 (kf kp + kgkp ), si 2 ≤ p < ∞, 127

donde (1/p) + (1/q) = 1, probar que Lp [a, b] (1 < p < ∞) es uniformemente convexo. c) Dar un ejemplo de un espacio de Banach de dimensi´ on 2 que no sea uniformemente convexo. Resp.: a) Sea H un espacio de Hilbert; consideramos dos sucesiones (xn )n∈N , (yn )n∈N , tales que kxn k = kyn k = 1 y k(1/2)(xn + yn )k → 1. De la identidad del paralelogramo kxn + yn k2 + kxn − yn k2 = 2kxn k2 + 2kyn k2 , resulta que kxn − yn k2 = 4 − kxn + yn k2 . Tomando l´ımites, se concluye que kxn − yn k2 → 0, o bien xn − yn → 0. b) Sean (fn )n∈N , (gn )n∈N sucesiones en Lp [a, b] tales que kfn k = kgn k = 1 y k(1/2)(fn + gn )k → 1. Si 1 < p ≤ 2, kfn + gn kq + kfn − gn kq ≤ 2 · 2q−1 = 2q , de donde, tomando l´ımites, kfn − gn kq → 0, o bien fn − gn → 0. Si 2 ≤ p < ∞, de la desigualdad an´aloga se deduce tambi´en que fn − gn → 0. c) Consideramos el espacio (R2 , k·k1 ) y las sucesiones (xn )n∈N , (yn )n∈N , dadas por xn = (0, 1), yn = (1, 0), ∀n. Es evidente que kxn k = kyn k = 1 y kxn + yn k = kxn − yn k = 2, lo que prueba que el espacio no es uniformemente convexo.   6. Probar que el espacio X = C[0, 1] con el producto escalar hx, yi = R1 x(t) y(t)dt es pre-Hilbert pero no es completo. 0 Resp.: Los axiomas de producto escalar son de f´acil comprobaci´on. Para ver que no es completo, consideramos( la sucesi´on (xn )n∈N dada n si t ≤ 1/n3 por xn (t) = ´ınf{n, t−1/3 }, es decir xn (t) = −1/3 t si t ≥ 1/n3 . La sucesi´on es de Cauchy pues 2

Z

kxn − xn+p k =

1 2

Z

|xn (t) − xn+p (t)| dt ≤ 0

0

que tiende a cero cuando n → ∞. 128

1/n3

t−1/3 dt

Sin embargo, no es convergente pues ∀x ∈ X, Z

2

1

|x(t)−t

kx−xn k ≥

−1/3 2

2

Z

| dt =⇒ l´ım inf kx−xn k ≥

1/n3

1

|x(t)−t−1/3 |2 dt.

0

Como t−1/3 no est´a acotada en [0, 1], existe un intervalo compacto en el cual |x(t) − t−1/3 | > 0, luego la integral es positiva y la sucesi´on (xn )n∈N no tiene l´ımite.   7. Probar que en todo espacio de Hilbert complejo se verifica:

a) hx, yi =

1 N

PN

b) hx, yi =

1 2π

R 2π

k=1 kx

0

+ e2πik/N yk2 e2πik/N , para N ≥ 3.

kx + eiθ yk2 eiθ dθ.

Resp.: a) Por la linealidad del producto escalar: kx + eiθ yk2 eiθ = kxk2 eiθ + hx, yi + hy, xie2iθ + kyk2 eiθ .

(∗)

Por otra parte, si N ≥ 3: N X

e2πk/N =

k=1

y, an´alogamente,

e2πi(N +1)/N − e2πi/N e2πi/N (e2πi − 1) = = 0, e2πi/N − 1 e2πi/N − 1

N X

e4πk/N = 0.

k=1

Aplicando estas igualdades, es evidente el resultado propuesto. R 2π R 2π b) Teniendo en cuenta nuevamente (∗) y que 0 eiθ dθ = 0 e2iθ dθ = 0, se obtiene el resultado.   8. Sea H un espacio de Hilbert y M un subconjunto de H cerrado, convexo y no vac´ıo. Probar que M tiene un u ´nico elemento de norma m´ınima (es decir de distancia m´ınima al origen). Resp.: Sea δ = ´ınf x∈M kxk y consideramos la sucesi´on (xn )n∈N ⊂ M tal que kxn k → δ. 129

Por la identidad del paralelogramo,

x + x 2 x − x 2 kx k2 kx k2

n

n m m m n + .

+

= 2 2 2 2 Como M es convexo, k(xn + xm )/2k ≥ δ, luego

x − x 2 kx k2 kx k2

n n m m + − δ 2 → 0.

≤ 2 2 2 Esto implica que (xn )n∈N es de Cauchy. Por ser M cerrado, ∃x0 ∈ M : xn → x0 . Adem´as kx0 k = δ. Si existiera y ∈ M tambi´en de norma m´ınima, la sucesi´on (x0 , y, x0 , y, . . . ) ser´ıa de Cauchy y por tanto x0 = y.   9. a) Probar que el espacio C[−1, 1] es suma directa ortogonal de los conjuntos de las funciones pares e impares en [−1, 1].

b) Dar ejemplos de descomposici´ on de R3 como suma directa de un subespacio y su complemento ortogonal o un par de subespacios complementarios. Resp.: a) Basta escribir f (x) = (f (x) + f (−x))/2+(f (x) − f (−x))/2, donde el primer sumando es una funci´on par y el segundo impar. Adem´as, si f (x) = f1 (x) + f2 (x) = g1 (x) + g2 (x) con f1 , g1 pares y f2 , g2 impares, entonces f1 (x) − g1 (x) = g2 (x) − f2 (x), con f1 − g1 par y g2 − f2 impar. Esto implica que f1 − g1 = 0 = g2 − f2 . Adem´ R 1 as, la suma es ortogonal pues si f es par y g impar, f · g es impar y −1 f · g = hf, gi = 0. b) Un ejemplo trivial es R3 = h{(1, 0, 0)}i ⊕ h{(0, 1, 0), (0, 0, 1)}i.   10. Probar que la descomposici´ on X = M ⊕ M ⊥ no es cierta si M es subespacio cerrado de X pero X es pre-Hilbert. Resp.: Sea X el espacio de las sucesiones con soporte finito, el cual es pre-Hilbert considerado como subespacio de `2 . Si x0 = (1/n)n∈N ∈ `2 , llamamos M = {y ∈ X : y⊥x0 en `2 }. 130

Veamos que X no es completo: para ello consideramos la sucesi´on (xn )n∈N dada por xn = (1/2, 1/22 , . . . , 1/2n , 0, . . . ), n ≥ 1. Entonces, para m < n: n

kx −

xm k22

=

n X

k 2

(1/2 ) =

k=m+1

n X

1/4k ≤

k=m+1

1 1/4m+1 = 3/4 3 · 4m

que tiende a cero si m → ∞. Esto prueba que {xn }n∈N es de Cauchy en X pero l´ım xn = x = (1/2, 1/22 , . . . 1/2n , . . . ) 6∈ X. Calcularemos a continuaci´on M ⊥ . Para ello, sea x = (xn )n∈N ⊥M. Como los elementos v n = (0, . . . , 0, n, −(n + 1), 0, . . . ) est´an en M, en particular x⊥v n , ∀n. Tenemos as´ı: 0 = hx, v 1 i = x1 − 2x2 =⇒ x2 = x1 /2, 0 = hx, v 2 i = 2x2 − 3x3 = 0 =⇒ x3 = 2x2 /3 = x1 /3, .. . 0 = hx, v n i = nxn − (n + 1)xn+1 = 0 =⇒ xn+1 = nxn /(n + 1) = x1 /(n + 1). De lo anterior se deduce que x 6∈ X pues x no tiene soporte finito; entonces M ⊥ = {0}.   11. Probar que Y = {x = (ξn )n∈N ∈ `2 : ξ2n = 0, n ∈ N} es subespacio cerrado de `2 y encontrar Y ⊥ . ¿Qui´ en es Y ⊥ si Y = 2 h{e1 , . . . , en }i ⊂ ` , con ek = (δkj )j∈N ? Resp.: a) Es f´acil ver que Y es subespacio. Para probar que es cerrado, sea x ∈ Y . Por definici´on, ∃{xn }n∈N ⊂ Y : xn → x. Si x 6∈ Y, ∃k ∈ N : ξ2k 6= 0. Entonces kxn − xk ≥ |ξ2k |. Esto prueba que existe ε > 0 tal que ∀N > 0, kxn − xk ≥ ε, ∀n > N , con lo que xn 6→ x, en contradicci´on con la suposici´on inicial. Para determinar Y ⊥ , sea y ∈ Y ⊥ =⇒ hx, yi = 0, ∀x ∈ Y =⇒ P n∈N ξn ηn = 0. En particular, eligiendo los elementos e2k+1 ∈ Y , he2k+1 , yi = η2k+1 = 0. Esto implica que Y ⊥ = {y = (ηn )n∈N ∈ `2 : η2n+1 = 0, n ∈ N}. 131

b) Si Y = h{e1 , . . . , en }i, todo elemento y = (ηn )n∈N ∈ Y ⊥ , verifica ηk = hy, ek i = 0, ∀k = 1, . . . , n. Esto implica que Y ⊥ = h{en+1 , . . . }i = {y = (ηn )n∈N ∈ `2 : ηk = 0, k = 1, . . . , n}.   12. Sea X un espacio de Hilbert y f ∈ X 0 , f 6= 0. Si llamamos M al n´ ucleo de f , probar que dim M ⊥ = 1. Resp.: Como M es subespacio cerrado de X, X = M ⊕ M ⊥ y M ⊥ 6= {0}. Sea m0 ∈ M ⊥ tal que f (m0 ) = 1. Dado cualquier x ∈ M ⊥ , si llamamos a = f (x), tenemos f (x) = a = a · f (m0 ) = f (am0 ) =⇒ f (x − am0 ) = 0 =⇒ x − am0 ∈ M. Como x = 0 + x = (x − am0 ) + am0 y la descomposici´on es u ´nica, se deduce que x = am0 . Esto proporciona la siguiente interpretaci´on geom´etrica de cualquier f ∈ X0 : Existe un subespacio M de codimensi´on 1 en X (es decir, un hiperplano) sobre cuyos elementos f toma el valor cero. Existe adem´as un vector x ortogonal a dicho hiperplano (es decir que genera el subespacio unidimensional M ⊥ ); el valor de f sobre un elemento y se obtiene mediante la proyecci´on ortogonal de y sobre M ⊥ ; as´ı, si la proyecci´on es kx, f (y) = kkxk2 .

M⊥

{y ∈ X : f (y) = kkxk2 } M  

132

13. En el espacio φ de las sucesiones con soporte finito se considera el conjunto X λk /k = 0}. S = {(λn ) ∈ φ : k∈N

Probar que

S⊥

= {0}.

Resp.: Consideremos el conjunto S1 = {x2 , x3 , . . . }, donde, para cada n ≥ 2, xn = (1, 0, . . . , 0, −n, 0 . . . ) (donde −n ocupa el lugar n-´esimo). P Entonces S1 ⊂ S pues si x ∈ S1 , k∈N λk /k = 1 + −n/n = 0 =⇒ x ∈ S. Como S ⊥ ⊂ S1⊥ , basta probar que S1⊥ = {0}. Sea pues y ∈ S1⊥ ; entonces hy, xn i = 0, de donde y1 − nyn = 0, ∀n. Como el soporte de y es finito, yk = 0, ∀k > N ; en particular 0 = hy, xN +1 i = y1 =⇒ y1 = 0 lo que implica a su vez que yn = 0, ∀n.   14. Encontrar los complementos ortogonales en L2 (0, 1) de los siguientes conjuntos:

a) Los polinomios en x. b) Los polinomios en x2 . c) Los polinomios con t´ ermino independiente cero. d) Los polinomios cuya suma de coeficientes es cero. Resp.: El complemento ortogonal es {0} en todos los casos. * Es sabido que el espacio de los polinomios es denso en L2 . Basta probar pues que todos los polinomios est´an en la clausura de los conjuntos dados. * Para el apartado b), basta observar que   ∞ X p n 1/2 2 x = 1 − (1 − x ) = (−1) (1 − x2 )n n n=0

√ si 0 < x < 2, y x est´a en la clausura del espacio generado por los polinomios en x2 . 133

* Para el apartado c), basta observar que  ∞  X 1 −1 1=x· =x· (x − 1)n 1 + (x − 1) n n=0

si 0 < x < 2, de modo que 1 es l´ımite de una sucesi´on de polinomios en x. * Para el apartado d), observar que k

x =

∞ X

(xk+n − xk+n+1 ), ∀k.

n=0

  R1 15. En el espacio C[−1, 1] con el producto hf, gi = −1 f (x) g(x)dx, se pide encontrar los complementos ortogonales de los siguientes conjuntos:

a) Las funciones que se anulan para x ≤ 0. b) Las funciones que se anulan en x = 0. Resp.: a) Claramente, M ⊥ = {f ∈ C[−1, 1] : f (x) = 0, ∀x ≥ 0}. b) Veamos que M ⊥ = {0}. En efecto, por definici´on, f ∈ M ⊥ ⇐⇒ hf, gi = 0, ∀g ∈ M . Si fuera f no nula, ∃x0 ∈ [−1, 1] : f (x0 ) 6= 0. Entonces ∃δ > 0 : f (x) 6= 0, ∀x ∈ (x0 − δ, x0 + δ). En caso de que f (0) = 0, haciendo g(x) = f (x), ∀x ∈ [−1, 1], tendr´ıamos Z 1 0 = hf, gi = |f (x)|2 dx =⇒ f = 0. −1

As´ı pues, debe ser f (0) 6= 0; entonces ∃δ > 0 : f (x) 6= 0, ∀x ∈ (−δ, δ). ( f (x) si |x| > δ Haciendo g(x) = |x|f (x) resulta si |x| < δ, δ Z 0 = hf, gi ≥ |f (x)|2 dx ≥ 0. |x|>δ

Esto implica que f (x) = 0 si |x| > δ, ∀δ, de modo que f = 0.  

134

16. Si X es un espacio pre-Hilbert y S ⊂ X , probar:

a) S ⊥ es subespacio cerrado de X . b) S ⊂ S ⊥⊥ . c) S1 ⊂ S2 =⇒ S1⊥ ⊃ S2⊥ . d) Si X es de Hilbert, M , N subespacios cerrados de X y M ⊥N, entonces M + N es subespacio cerrado. e) Si X es de Hilbert, entonces hSi es denso en X si y s´ olo si S ⊥ = {0}. Resp.: a) Es evidente que S ⊥ es subespacio. Para ver que es cerrado, sea y ∈ S ⊥ ; entonces ∃(xn )n∈N ⊂ S ⊥ : xn → y. Sea z ∈ S arbitrario: |hy, zi| = |hy − xn , zi + hxn , zi| = |hy − xn , zi| ≤ ky − xn k · kzk → 0. Esto implica que y ∈ S ⊥ . b) y ∈ S =⇒ hy, zi = 0, ∀z ∈ S ⊥ =⇒ y ∈ S ⊥⊥ . c) y ∈ S2⊥ =⇒ hy, zi = 0, ∀z ∈ S2 =⇒ hy, zi = 0, ∀z ∈ S1 =⇒ y ∈ S1⊥ . d) Sea x ∈ M + N ; entonces ∃(xn )n∈N ⊂ M + N : xn → x. Como xn = yn + zn , con yn ∈ M, zn ∈ N , por el teorema de Pit´agoras, kxn − xm k2 = kyn − ym k2 + kzn − zm k2 y como kxn − xm k → 0, entonces kyn − ym k → 0 y kzn − zm k → 0. Por ser M y N cerrados, ∃y ∈ M, z ∈ N : yn → y, zn → z =⇒ xn → y + z = x =⇒ x ∈ M + N. e) Supongamos que hSi es denso en X y sea y ∈ S ⊥ . Entonces hy, xi = 0, ∀x ∈ S =⇒ hy, zi = 0, ∀z ∈ hSi =⇒ hy, ui = 0, ∀u ∈ hSi = X. Por tanto, y = 0. Rec´ıprocamente, de la descomposici´on X = S ⊥ ⊕ S ⊥⊥ , deducimos que todo x ∈ X se escribe como x = y + z, con y ∈ S ⊥ , z ∈ S ⊥⊥ , de donde x = z. Como S ⊥⊥ ⊃ S, entonces S ⊥⊥ ⊃ hSi. Ahora bien, como S ⊂ hSi, ⊥

entonces S ⊥ ⊃ hSi y S ⊥⊥ ⊂ hSi. Esto prueba que hSi = S ⊥⊥ y, en consecuencia, x ∈ hSi.   135

17. Sea H un espacio de Hilbert complejo.

a) Probar que toda proyecci´ on ortogonal E es idempotente (es 2 decir, E = E ) y autoadjunta (es decir, hEx1 , x2 i = hx1 , Ex2 i). b) Probar el rec´ıproco de lo anterior, es decir que todo operador autoadjunto e idempotente en H es una proyecci´ on ortogonal. Resp.: a) Dado cualquier x ∈ X, ∃y ∈ M, z ∈ M ⊥ : x = y + z, de donde Ex = y, E 2 x = Ey = y = Ex lo que implica que E 2 = E. Adem´as, si hacemos x1 = y1 +z1 , x2 = y2 +z2 , con y1 , y2 ∈ M, z1 , z2 ∈ M⊥ : hEx1 , x2 i = hy1 , x2 i = hy1 , y2 i+hy1 , z2 i = hy1 , y2 i = hx1 , y2 i = hx1 , Ex2 i. b) Sea E : X → X autoadjunto e idempotente. Veamos en primer lugar que E es acotado: xn → x =⇒ kE(xn − x)k2 = hE(xn − x), E(xn − x)i =

hxn − x, E 2 (xn − x)i = hxn − x, E(xn − x)i → 0 =⇒ Exn → Ex.

Si definimos M = {x ∈ X : Ex = x}, veamos que M es cerrado: Si x ∈ M , ∃(xn )n∈N ∈ M : xn → x, de donde Exn → Ex. Ahora bien, como Exn = xn , xn → Ex y, por la unicidad del l´ımite, Ex = x =⇒ x ∈ M. Sean ahora x ∈ X, y ∈ M ; entonces hx − Ex, yi = hx, yi − hEx, yi = hx, Eyi − hx, Eyi = 0, lo que implica que x − Ex⊥M . Por u ´ltimo, si z = x−Ex, x = Ex+z, con Ex ∈ M, z ∈ M ⊥ . Adem´as Ez = Ex − E 2 x = Ex − Ex = 0.   18. Sea H un espacio de Hilbert. Probar que si P ∈ L(H) es una proyecci´ on ortogonal, entonces H = R(P )⊕R(I −P ), suma directa ortogonal. Resp.: Si P es proyecci´on ortogonal, por definici´on existe un subespacio cerrado M de H tal que, si x ∈ H se descompone en x = y + z con y ∈ M, z ∈ M ⊥ , entonces P x = y. 136

Es evidente entonces que R(P ) = M y R(I − P ) = M ⊥ ; por tanto H = R(P ) ⊕ R(I − P ) y adem´as R(P )⊥R(I − P ).   19. Probar que las siguientes proposiciones son equivalentes en un espacio de Hilbert H :

i) P ∈ L(H) es una proyecci´ on ortogonal. ii) P ∈ L(H) es tal que P 2 = P y R(P )⊥R(I − P ). iii) P ∈ L(H) es tal que P 2 = P y R(P )⊥ = {x ∈ H : P (x) = 0}. Resp.: i) =⇒ ii). Es evidente (ver el ejercicio anterior). ii) =⇒ iii). Como ∀x ∈ H, x = P x + (I − P )x, entonces H = R(P ) + R(I − P ). Adem´as, por hip´otesis, R(P )⊥R(I − P ) lo que prueba que H = R(P ) ⊕ R(I − P ), es decir, R(P )⊥ = R(I − P ). Basta pues probar que R(I − P ) = N (P ). En efecto, y ∈ R(I − P ) =⇒ ∃x ∈ H : y = x − P x =⇒ P y = P x − P 2 x = P x − P x = 0 =⇒ y ∈ N (P ), x ∈ N (P ) =⇒ P x = 0 =⇒ x − P x = x =⇒ x ∈ R(I − P ). iii) =⇒ i). Sea M = R(P ). As´ı, M es subespacio de H. Adem´as, M es cerrado, pues M = N (I − P ) (lo que se prueba an´alogamente al apartado anterior). Por hip´otesis, M ⊥ = N (P ). Entonces, dados y ∈ M, z ∈ M ⊥ : P (y + z) = P y + P z = P y = y =⇒ P es la proyecci´on sobre M.   20. En `2 se considera la sucesi´ on {en }n≥1 definida por en = (δnk )k≥1 y el conjunto M = {e2n−1 + e2n : n ≥ 1}.

a) Identificar los subespacios cerrados M ⊥ y M ⊥⊥ en `2 . b) Sean P y Q las proyecciones ortogonales tales que R(P ) = M ⊥ y R(Q) = M ⊥⊥ . Si a = (ak )k∈N ∈ `2 , probar que P (a) = (bk )k∈N , donde b2k−1 = −b2k = (a2k−1 − a2k )/2, k ≥ 1; y que Q(a) = (ck )k∈N , donde c2k−1 = c2k = (a2k−1 + a2k )/2, k ≥ 1. 137

Resp.: a) Por definici´on, y ∈ M ⊥ ⇐⇒ hy, e2n−1 + e2n i = 0 ⇐⇒ y2n−1 + y2n = 0. Por tanto, M ⊥ = {y ∈ `2 : y2n−1 +y2n = 0, n ≥ 1} = h{e2n−1 − e2n : n ≥ 1}i. Por otra parte, y ∈ M ⊥⊥ ⇐⇒ hy, e2n−1 − e2n i = 0 ⇐⇒ y2n−1 − y2n = 0. As´ı pues, M ⊥⊥ = {y ∈ `2 : y2n−1 − y2n = 0} = hM i. b) Si a ∈ `2 , a = (. . . , a2k−1 , a2k , . . . ) =

X

λk (e2k−1 − e2k ) +

k

X

µk (e2k−1 + e2k ).

k

Entonces λk + µk = a2k−1 −λk + µk = a2k Como P a = que

P

 =⇒ λk =

a2k−1 + a2k a2k−1 − a2k , µk = . 2 2

λk (e2k−1 − e2k ), Qa =

k∈N

P

µk (e2k−1 + e2k ), deducimos

k∈N

P a = (λ1 , −λ1 , λ2 , −λ2 , . . . ), con λk = (a2k−1 − a2k )/2, Qa = (µ1 , µ1 , µ2 , µ2 , . . . ), con µk = (a2k−1 − a2k )/2.   21. Sean H un espacio de Hilbert, M un subespacio cerrado de H y T ∈ L(H). Se dice que M es invariante bajo T si T x ∈ M, ∀x ∈ M , y que M reduce a T si M y M ⊥ son invariantes bajo T . Sea P ∈ L(H) la proyecci´ on ortogonal tal que R(P ) = M .

a) Probar que M es invariante bajo T si y s´ olo si P T P = T P . b) Probar la equivalencia de las siguientes proposiciones: i) M reduce a T . ii) P T = T P . iii) M es invariante bajo T y T ∗ . 138

Resp.: a) =⇒: ∀x ∈ H, x = y + z, con y ∈ M , z ∈ M ⊥ . Entonces (P T P )x = P (T y) = T y pues T y ∈ M . Como y = P x, (P T P )x = T P x. ⇐=: Si x ∈ M , T x = T P x = P (T P )x que, por definici´on, est´a en M . b) i) =⇒ ii): ∀x ∈ H, escribimos x = y + z, con y ∈ M, z ∈ M ⊥ . Por hip´otesis, T y ∈ M, T z ∈ M ⊥ . Entonces P T x = P T y + P T z = T y = T P x. ii) =⇒ iii): Como P es la proyecci´on sobre M , ∀x ∈ M, P x = x =⇒ T P x = T x =⇒ P (T x) = T x =⇒ T x ∈ M. Por otra parte, para cualquier y ∈ M ⊥ , hT ∗ x, yi = hx, T yi = hP x, T yi = hx, P T yi = hx, T P yi = hx, T 0i = hx, 0i = 0 =⇒ T ∗ x⊥M ⊥ =⇒ T ∗ x ∈ M. iii) =⇒ i): S´olo falta ver que ∀x ∈ M ⊥ , T x ∈ M ⊥ . Pero si x ∈ M ⊥ , entonces hT x, yi = hx, T ∗ yi = 0, ∀y ∈ M, pues M es invariante bajo T ∗ . Esto muestra que T x ∈ M ⊥ .   22. En C 1 [a, b] definimos hf, gi =

Rb a

 f (x) g(x) + f 0 (x) g 0 (x) dx.

a) Probar que h·, ·i es un producto escalar en C 1 [a, b]. b) Probar que ∀f ∈ C 1 [−π, π], R  √ hR π  i1/2 π 0 (x) sen x dx ≤ 2 +|f 0 (x)|2 dx f (x) cos x−f 2π |f (x)| . −π −π c) Probar que la familia (gn )n∈Z , donde gn (x) = √

einx , 2π(1+n2 )

es un

sistema ortonormal en C 1 [−π, π]. d) Si W = {f ∈ C 1 [−π, π] : f (−π) = f (π)}, probar que la funci´ on f (x) = sh x es ortogonal a W . Deducir que la familia {gn }n∈Z en c) no es base ortonormal de C 1 [−π, π]. Resp.: a) Como hf, f i = 0.

Rb a

|f (x)|2 dx+

Rb a

|f 0 (x)|2 dx, entonces hf, f i ≥

Ahora bien, si hf, f i = 0, como f es continua, f (x) = 0, ∀x ∈ [a, b]. 139

El resto de axiomas se deduce de la linealidad de la integral. b) Basta aplicar la desigualdad de Cauchy-Schwarz a las funciones f ∈ C 1 [−π, π] y g(x) = cos x y tener en cuenta que kgk2 = 2π. c) Por la definici´on, # Z π" einx e−imx ineinx −ime−imx p hgn , gm i = ·p +p ·p dx 2π(1+n2 ) 2π(1+m2 ) 2π(1+n2 ) 2π(1+m2 ) −π ( Z π 0 si n 6= m 1 + nm p ei(n−m)x dx = = 2 2 1 si n = m. 2π (1 + n )(1 + m ) −π d) Sea g ∈ W arbitrario. Integrando por partes, Z π Z π π 0 0 0 f (x) g (x)dx = f (x) g(x) −π − f 00 (x) g(x)dx. −π

−π

Como g(π) = g(−π) = 0 y f 00 (x) = f (x), resulta: Z π Z π hf, gi = f (x) g(x)dx + f 0 (x) g 0 (x)dx Z−π Z−π π π f 00 (x) g(x)dx = 0. = f (x) g(x)dx − −π

−π

De aqu´ı se deduce que W ⊥ 6= {0} y, como las funciones gn de la familia ortogonal est´an en W , no forman una base ortonormal.   (m) [−1, 1]. Probar que los coeficientes de Legendre de f 23. Sea f ∈ Cr Z 1 2k + 1 1 son ak = · k f (k) (t)(1 − t2 )k dt, k ≤ m. 2 2 · k! −1

q 1 dk 2 k Resp.: Teniendo en cuenta que pk (x) = 2k+1 2 · 2k ·k! · dxk (x − 1) , obtenemos integrando por partes: r Z 1 2k + 1 1 dk ak = f (x) · k (x2 − 1)k dx · k 2 2 · k! −1 dx r Z 1 2k + 1 1 = · k · (−1)k f (k) (x) · (x2 − 1)k dx 2 2 · k! −1 r Z 1 1 2k + 1 · k f (k) (x) · (1 − x2 )k dx. = 2 2 · k! −1  

140

Z 24. Encontrar m´ın

1

a,b,c∈C −1

|x3 − a − bx − cx2 |2 dx.

R1 Resp.: Si D2 = m´ına,b,c∈C −1 |x3 − a − bx − cx2 |2 dx, D es la distancia en L2 [−1, 1] de x3 al plano generado x2 }, es decir, la distancia p {1, x, p √ por 3 de x al plano generado por {1/ 2, 3/2 · x, 5/2 · (1/2) · (3x2 − 1)}. Si αp0 + βp1 + γp2 es la proyecci´on de x3 sobre dicho plano, entonces: Z 1 Z 1 1 3 (x − αp0 − βp1 − γp2 )p0 dx = √ (x3 − α)dx =⇒ α = 0, 0 = 2 −1 −1 r Z 1 r Z 1 3 3 2 3 4 (x − αp0 − βp1 − γp2 )p1 dx = 0 = (x − β)dx =⇒ β = · , 2 −1 2 5 −1 r Z 1 Z 5 1 1 3 (x − αp0 − βp1 − γp2 )p2 dx = ((3x2 − 1)x3 − γ)dx =⇒ γ = 0. 0 = · 2 2 −1 −1 R 2 1 Deducimos entonces que D2 = −1 x3 − (3/5)x dx = (2/7) − (6/25), p de donde D = 8/175.   25. Encontrar las series de Fourier de las siguientes funciones definidas en L2 [−π, π] y utilizar la identidad de Parseval para deducir cada una de las f´ ormulas enunciadas:

a) f (x) = x, b) f (x) = x2 ,

P

n≥1 1/n

P

2

n≥1 1/n

= π 2 /6.

4

= π 4 /90. ikx

e Resp.: Utilizaremos el conjunto { √ : k ∈ Z} como base ortonormal 2π de L2 (−π, π). √ P eikx ikx / 2πi, obtene√ a) Como f (x) = ∞ k=−∞ ak · 2π , donde ak = hf, e mos a0 = 0 y, para k 6= 0: Z π Z π −ikx e−ikx x e−ikx π e √ dx ak = x · √ dx = · √ + −ik 2π 2π −π −π −π ik 2π −π (−1)k π(−1)k −π 2 √ = = · √ − · √ (−1)k . ik ik 2π ik 2 2π

Entonces x=

X k∈Z,k6=0

141

(−1)k+1

eikx . ik

Teniendo en cuenta que kf k2 = ∞ X

|ak |2 =

−∞

Rπ −π

X π2 k6=0

k2

x2 dx = 23 π 3 y ·

X 2π 4 = , 2π k2 k6=0

aplicando la identidad de Parseval kxk2 =

P∞

2 k=−∞ |ak | ,

resulta que

∞ X X 1 π2 π2 1 = =⇒ = . k2 3 k2 6 k6=0

k=1

b) An´alogamente al caso anterior, tenemos: e−ikx 1 4π x2 · √ dx = √ · 2 (−1)k , k 6= 0; 2π 2π k −π 1 2 3 √ · π . 2π 3

Z ak = a0 =

π

Nuevamente, de la identidad de Parseval, Rπ 5 kf (x)k2 = −π x4 dx = 2π5 P∞ P 2 5 1 2 k=−∞ |ak | = 9 π + k6=0 2π ·

) 16π 2 k4

∞ X 1 π4 =⇒ = . k4 90 k=1

  26. Sea X un espacio pre-Hilbert y A = (xα )α∈I un conjunto ortonormal completo. Encontrar el elemento de mejor aproximaci´ on a x ∈ X en el subespacio M = hAi. Resp.: Como X = M ⊕ M ⊥ , todo x ∈ X se descompone de forma u ´nica como x = y + z, con y ∈ M, z ∈ M ⊥ . Pero, por hip´otesis, y=

X α∈I

hy, xα ixα =

X

hx − z, xα ixα =

α∈I

X

hx, xα ixα .

α∈I

P P Por tanto, kx − α∈I hx, xα ixα k ≤ kx − α∈I λα xα k, ∀λα ∈ E, lo que prueba que la proyecci´on de x sobre M produce la mejor aproximaci´on en M .  

142

27. Sea H un espacio de Hilbert y {e1 , . . . , en } un conjunto linealmente independiente. Dado x ∈ H , calcular la distancia de x al subespacio generado por {e1 , . . . , en }. Deducir de lo anterior la desigualdad de Bessel. Resp.: Llamamos M al subespacio generado por {e1 , . . . , en }. Si escribimos x = x1 + x2 , con x1 ∈ M, x2 ∈ M ⊥ , sabemos que kx − x1 k = d(x, M ). El problema se reduce pues a calcular x1 , la proyecci´on ortogonal de x en M. Llamamos {v1 , . . . , vn } a la base ortonormal P obtenida de {e1 , . . . , en } n por el proceso de Gram- Schmidt. Como x = 1 i=1 αi vi y x−x1 ⊥vk , ∀k, Pn entonces αi = hx, vi i, de donde x1 = i=1 hx, vi ivi . Adem´as 2

d(x, M )

= kx −

n X

hx, vi ivi k2

i=1 2

= kxk −

n X

hx, vi ihvi , xi −

i=1

= kxk2 −

n X

n X i=1

hx, vi ihx, vi i +

n X

|hx, vi i|2

i=1

|hx, vi i|2 .

i=1

De aqu´ı se deduce inmediatamente la desigualdad de Bessel.   28. Sea H un espacio de Hilbert y M ⊂ H un subespacio vectorial. Si M 6= H , probar que existe y ∈ H , y 6= 0, tal que y⊥ M . Concluir que M es denso si y s´ olo si el u ´nico elemento ortogonal a M es y = 0. Resp.: a) Es claro que ( M , h·, ·i) es de Hilbert. Por tanto, existe un conjunto ortonormal completo de M , que denotaremos por {xα }α∈I . P Dado z ∈ H\ M , z 6= 0, definimos y = z− α∈I hz, xα ixα . As´ı definido, hy, xα i = 0, lo que implica que y⊥{xα }α∈I y tambi´en y⊥ M . b) Es evidente que si M es denso en H, e y⊥M , entonces y⊥ M , de donde y = 0. Rec´ıprocamente, si M no fuera denso, por a) existir´ıa y ∈ H, y 6= 0 tal que y⊥ M y en particular y⊥M lo que contradice la hip´otesis. 143

  29. Sea {en }n∈N una sucesi´ on ortonormal en un espacio pre-Hilbert X e Yk el espacio generado por {e1 , . . . , ek }.

a) Si x ∈ X , y =

Pk

n=1 hx, en ien ,

probar que x − y⊥Yk .

P b) Si x ∈ X , y = kn=1 βn en , probar que kx − yk es m´ınimo en Yk si βn = hx, en i, n = 1, . . . , k. Resp.: a) Sea z =

Pk

n=1 γn en

un elemento arbitrario de Yk . Entonces

hx − y, zi = hx, zi − hy, zi =

k X n=1

γn hx, en i −

k X

αn hen , zi = 0.

n=1

b) Teniendo en cuenta que x − y ∈ Yk⊥ , y − z ∈ Yk , resulta: kx − zk2 = kx − y + y − zk2 = kx − yk2 + ky − zk2 ≥ kx − yk2 , ∀z ∈ Yk .   30. Sea {en }n∈N una sucesi´ on ortonormal en X y x ∈ X . Probar que el n´ umero mk de coeficientes de Fourier hx, en i de x tales que |hx, en i| > 1/k verifica mk < k 2 kxk2 (esto quiere decir que x no tiene demasiados coeficientes de Fourier “grandes”). Resp.: Si llamamos Ek = {hx, en i : |hx, en i| > 1/k} y elegimos los elementos {e1 , . . . , emk } tales que {hx, e1 i, . . . , hx, emk i} ⊂ Ek , entonces por la desigualdad de Bessel, mk X

|hx, en i|2 ≤ kxk2 =⇒ mk ·

n=1

1 < kxk2 =⇒ mk < k 2 · kxk2 . k2

  31. Sea µ la medida en R definida por µ(A) = card(A), ∀A ⊂ R. Probar que L2 (R, µ) es no separable e isomorfo al espacio de los polinomios trigonom´ etricos (combinaciones lineales de eiλx , λ ∈ R). 144

( 1 Resp.: Sea fλ (x) = 0 2 normal de L (R, µ).

si x = λ Entonces {fλ }λ∈R es base ortosi x = 6 λ.

Como no es numerable, el espacio no es separable. Por otra parte, la aplicaci´on fλ 7→ eiλx es un isomorfismo entre ambos espacios. Adem´as es isometr´ıa pues: Z Z fλ1 (x) fλ2 (x)dµ(x) = hfλ1 , fλ2 i = |fλ1 (x)|2 dµ(x) = 1. ∪ {x}

R

x∈R

  32. Sea X un espacio de Hilbert. Probar que si X contiene una sucesi´ on ortonormal completa, entonces X es separable. Resp.: Si X no fuera separable, todo subconjunto denso en X ser´ıa no numerable. Sin embargo si {en }n∈N es una sucesi´on ortonormal completa, M = P h{en }n∈N i y todo x ∈ X ser´ıa de la forma x = n∈N hx, en ien , es decir x ∈ M.   33. Sea {en }n∈N una sucesi´ on ortonormal en un espacio de Hilbert H y M1 = h{en }n∈N i.

a) Probar que ∀x ∈ H, x ∈ M1 ⇐⇒ x = hx, en i.

P

n∈N αn en ,

con αn =

b) Si {e en }n∈N es otra sucesi´ on ortonormal en H Py definimos M2 = h{e en }n∈N i, probar que M1 = M2 ⇐⇒ en = em , een = m∈N αnm e P α e , con α = he , e e i. mn m nm n m m∈N P Resp.: a) “=⇒”Llamamos y = o que la n∈N hx, en ien (ya se prob´ serie es convergente). Entonces: X hx−y, ek i = hx, ek i− hx, en ihen , ek i = 0 =⇒ x−y⊥M1 =⇒ x−y⊥ M1 . n∈N ⊥

Mediante la descomposici´on H = M1 ⊕ M1 , sabemos que x = y + z, ⊥ con y ∈ M1 , z ∈ M1 . Como, por hip´otesis, x ∈ M1 , deducimos que y = x. 145

P “⇐=C ¸ omo la serie n∈N hx, en ien es convergente, l´ımn Sk = x, donde Pk Sk = n=1 αn en . Esto implica que x ∈ M1 porque la sucesi´on{Sk }n∈N ⊂ M1 converge a x. b) “=⇒.Aplicando el apartado a), obtenemos: X en ∈ M1 =⇒ en ∈ M2 =⇒ en = αnm eem , con αnm = hen , eem i m∈N

een ∈ M2 =⇒ een ∈ M1 =⇒ een =

X

αmn em , con αmn = he en , em i = hem , een i.

m∈N

“⇐=”Nuevamente del apartado a), resulta: X X αn en , con αn = hx, en i = αnm hx, eem i x ∈ M1 ⇐⇒ x = n∈N

⇐⇒ x =

XX

m∈N

αnm hx, eem ien =

X

hx, eem ie em ⇐⇒ x ∈ M2 .

m∈N

n∈N m∈N

  34. Sea {ek }k∈N una base ortonormal en un espacio de Hilbert H y (µk )k∈N una sucesi´ on acotada de n´ umeros complejos, con M = sup{|µk |, k ∈ N}.

a) Probar que existe un u ´nico T ∈ L(H) tal que T ek = µk ek . b) Probar que kT k = M . c) Encontrar T ∗ y calcular su norma. d) Probar que T es normal, es decir T T ∗ = T ∗ T .. e) ¿Qu´ e propiedad debe cumplir la sucesi´ on (µk )k∈N para que T sea autoadjunto? f) Probar que, si |µk | > 1, para todo k , entonces existe T −1 ∈ L(H).

Resp.: a) Basta definir T x = ∞ P

∞ P k=1

hx, ek iek .

k=1

La unicidad es evidente. 146

µk hx, ek iek pues ∀x ∈ H, x =

T es claramente lineal y, por la identidad de Parseval, 2

kT xk = hT x, T xi =

∞ X

|µk |2 |hx, ek i|2 ≤ M 2 · kxk2

k=1

lo que implica que T es acotado y kT k ≤ M. b) En particular, kT ek k = kµk ek k = |µk | =⇒ kT k ≥ |µk |, ∀k =⇒ kT k ≥ M. De aqu´ı se deduce que kT k = M . c) Como hT ek , ek i = hµk ek , ek i = µk , entonces hek , T ∗ ek i = µk y deducimos que T ∗ ek = µk ek . As´ı definido, T ∗ es lineal y acotado con kT ∗ k = kT k. d) Veamos que T T ∗ = T ∗ T : T ∗ T ek = T ∗ (µk ek ) = µk µk ek = |µk |2 ek , T T ∗ ek = T ( µk ek ) = µk µk ek = |µk |2 ek . e) Evidentemente, T = T ∗ si (µk )k∈N ⊂ R. f) Si |µk | > 1, 1 = kek k < |µk | = kT ek k =⇒ ∃T −1 ∈ L(H).   35. Sea X un espacio normado e Y un espacio pre-Hilbert. Si un operador T : X → Y es lineal y acotado, probar que kT k = sup A, donde   |hT x, yi| : kxk ≤ 1, kyk ≤ 1 . A= kxk · kyk Resp.: Por la desigualdad de Cauchy- Schwarz, kT xk · kyk kT k · kxk · kyk |hT x, yi| ≤ ≤ = kT k =⇒ sup A ≤ kT k. kxk · kyk kxk · kyk kxk · kyk Por otra parte, como x/kxk y T x/kT xk tienen norma 1, entonces hT (x/kxk), T x/kT xki ∈ A. Por tanto: 1 kT xk hT ( x ), T x i = |hT x, T xi| = ≤ sup A. kxk kT xk kxk · kT xk kxk De aqu´ı se deduce que supkxk≤1 kT xk/kxk ≤ sup A con lo que kT k ≤ sup A.   147

36. Averiguar si la implicaci´ on hT x, xi = 0, ∀x ∈ X =⇒ T = 0 es cierta en los siguientes casos:

a) H espacio de Hilbert real y T ∈ L(H). b) H espacio de Hilbert complejo y T ∈ L(H). c) H espacio de Hilbert y T = T ∗ . Resp.: a) La implicaci´on anterior no es cierta como se muestra con el siguiente ejemplo: En el espacio H = R2 definimos T (1, 0) = (0, 1), T (0, 1) = (−1, 0); es evidente que T 6= 0 pero hT x, xi = 0, ∀x ∈ H, pues T (a, b) = (−b, a). b) Sean x, y ∈ H y α ∈ C arbitrarios. Entonces: 0 = hT (x + αy), x + αyi = hT x, xi + αhT y, xi + αhT x, yi + hT (αy), αyi = αhT y, xi + αhT x, yi. En particular, si α ∈ R, 0 = hT y, xi + hT x, yi y, si α = i, 0 = hT y, xi − hT x, yi. Al resolver el sistema obtenemos hT x, yi = 0, ∀x, y ∈ H de lo que se deduce que T = 0 y la implicaci´on es cierta. c) En el cap´ıtulo VII se prueba (teorema de Hellinger-Toeplitz) que todo operador lineal autoadjunto es acotado; esto indica que, si H es complejo, la implicaci´on es cierta, como se deduce de b). Ahora bien, si H es real, entonces, para cualesquiera x, y ∈ H, tenemos: 0 = hT (x+y), x+yi = hT y, xi+hT x, yi = hy, T xi+hT x, yi = 2hT x, yi y la implicaci´on tambi´en es cierta.   37. Probar que el teorema de representaci´ on de Riesz permite definir un producto escalar en el dual de un espacio de Hilbert. Probar que la norma asociada a dicho producto escalar coincide con la norma usual de operadores. Resp.: Sean f1 , f2 ∈ X 0 . Por el teorema de representaci´on de Riesz, existen x1 , x2 ∈ X tales que f1 (y) = hy, x1 i, f2 (y) = hy, x2 i, ∀y ∈ X. Definimos en X 0 el producto hf1 , f2 i = hx2 , x1 i. 148

• Como (f1 + f2 )(y) = f1 (y) + f2 (y) = hy, x1 i + hy, x2 i = hy, x1 + x2 i, entonces hf1 + f2 , f3 i = hx3 , x1 + x2 i = hx3 , x1 i + hx3 , x2 i = hf1 , f3 i + hf2 , f3 i. • Como (λf1 )(y) = λf1 (y) = λhy, x1 i = hy, λx1 i, entonces hλf1 , f2 i = hx2 , λx1 i = λhx2 , x1 i = λhf1 , f2 i. • hf1 , f1 i = hx1 , x1 i = kx1 k2 ≥ 0. La norma asociada es kf k2 = hf, f i = hx, xi, es decir kf k = kxk y coincide con la norma usual.   38. a) Si X es un espacio pre-Hilbert y z ∈ X , probar que fz (x) = hx, zi define un funcional lineal acotado f sobre X de norma kzk.

b) Si la aplicaci´ on X → X 0 dada por z 7→ fz es sobre, probar que X es de Hilbert. Resp.: a) Es evidente que fz es lineal. Como |fz (x)| = |hx, zi| ≤ kxk · kzk, entonces kfz k ≤ kzk. Por otra parte, de |fz (z)| = |hz, zi| = kzk2 , se deduce que kfz k ≥ kzk. b) Sea {xn }n∈N una sucesi´on de Cauchy en X. Debido a que fxn −xm (y) = hy, xn i − hy, xm i = fxn (y) − fxm (y) = (fxn − fxm )(y), la sucesi´on {fxn }n∈N es de Cauchy en X 0 porque kfxn − fxm k = kxn − xm k → 0. Esto implica que ∃f ∈ X 0 : fxn → f . Por tanto, ∃x ∈ X : f = fx . As´ı pues, kfxn − fx k = kxn − xk → 0.   39. Probar que todo espacio de Hilbert H es isomorfo a su segundo dual H 00 = (H 0 )0 . Resp.: Si probamos que H es isom´etrico a H 0 , como H 0 es tambi´en de Hilbert, entonces H 0 ' H 00 y por la transitividad, H ' H 00 . Por el teorema de representaci´on de Riesz, ∀f ∈ H 0 , ∃z ∈ H : f (x) = hx, zi, ∀x ∈ H 149

y kf k = kzk. Definimos T : H 0 → H por T f = z y probemos que T es un isomorfismo isom´etrico. • T es lineal: Si f1 (x) = hx, z1 i y f2 (x) = hx, z2 i, entonces: hx, T f1 + T f2 i = hx, T f1 i + hx, T f2 i = hx, z1 i + hx, z2 i = hx, z1 + z2 i = hx, T (f1 + f2 )i =⇒ T f1 + T f2 = T (f1 + f2 ). Idem con αf . • T es biyectiva: T f1 = T f2 =⇒ z1 = z2 =⇒ hx, z1 i = hx, z2 i, ∀x =⇒ f1 = f2 . ∀z ∈ H, ∃fz ∈ H 0 definido por fz (x) = hx, zi. Adem´as T fz = z. • T es isometr´ıa: kT f k = kzk = kf k, ∀f =⇒ kT k = 1. Otra forma de obtener el isomorfismo es utilizar directamente la aplicaci´on T : H → H 00 definida por T (y)(f ) = f (y) = hy, zi, ∀y ∈ H, f ∈ H 0.   40. Sea X un espacio vectorial sobre el cuerpo E . Una forma sesquilineal herm´ıtica h sobre X × X es una aplicaci´ on h : X × X → E que verifica h(x + y, z) = h(x, z) + h(y, z), h(αx, y) = αh(x, y), h(x, y) = h(y, x).

a) ¿Qu´ e condici´ on hay que imponer a h para que sea un producto interior sobre X ? b) Si h es semidefinida positiva, es decir h(x, x) ≥ 0, ∀x ∈ X , probar que se verifica la desigualdad de Schwarz |h(x, y)|2 ≤ h(x, x)h(y, y). c) Si h es una forma sesquilineal semidefinida positiva, probar p que la aplicaci´ on p(x) = h(x, x) define una seminorma en X . Resp.: a) Para que h sea un producto interior, s´olo es necesario imponer las condiciones h(x, x) ≥ 0 y h(x, x) = 0 =⇒ x = 0. b) Si h(x, y) = 0, es evidente. Si h(x, y) 6= 0, como h(αxβy, αx+βy) = α αh(x, x)+α βh(x, y)+ αβ h(x, y)+β βh(y, y) ≥ 0, 150

haciendo α ∈ R, β =

h(x,y) |h(x,y)| ,

resulta :

α2 h(x, x) + α|h(x, y)| + α|h(x, y)| + h(y, y) ≥ 0, ecuaci´on de segundo grado en α que es siempre no negativa, de modo que su discriminante debe ser negativo, |h(x, y)|2 − h(x, x)h(y, y) ≤ 0. c) Evidente.   41. Sea K : L2 [0, 1] → L2 [0, 1] el operador integral definido por Z t (t − s)f (s)ds. (Kf )(t) = 0

a) Probar que kKk < 1 y que K n f (t) =

Rt 0

(t−s)2n−1 (2n−1)! f (s)ds,

n ≥ 1.

b) Utilizar lo anterior para resolver la ecuaci´ on integral Z t (t − s)f (s)ds, g ∈ L2 [0, 1]. f (t) = g(t) + 0

Resp.: a) Veamos que K es acotado: Z 1 Z 1 Z t 2 2 2 kKf k = |Kf (t)| dt = (t − s)f (s)ds dt 0 0 0 Z 1hZ t Z 1hZ t Z t i2 i 2 ≤ |t − s| · |f (s)|ds dt ≤ |t − s| ds · |f (s)|2 ds dt 0 0 0 0 0 Z 1h Z Z 1hZ t 3 i i (s − t)3 t t t = |f (s)|2 ds dt = · |f (s)|2 ds dt 3 0 0 0 0 0 3 1 1 1 · kf k2 =⇒ kKf k ≤ √ kf k =⇒ kKk ≤ √ < 1. ≤ 3 3 3 Veamos lo siguiente por inducci´on: Para n = 1 es evidente. Si es cierto para n, entonces K

n+1

n

Z

t

f (t) = K[K f ](t) = (t − s)K n f (s)ds 0 Z t i h Z s (s − u)2n−1 f (u)du ds = (t − s) (2n − 1)! 0 0 Z t Z t (s − u)2n−1 = du (t − s) f (u)ds (2n − 1)! 0 u Z t Z t Z t f (u) f (u)(t − u)2n+1 2n−1 = du (t − s) · (s − u) ds = du. (2n − 1)! u (2n + 1)! 0 0 151

b) Queremos resolver la ecuaci´on f (t) = g(t) + Kf (t), que se puede escribir tambi´en como g(t) = (I − K)f (t). Entonces, al ser kKk < 1, f (t) = (I − K)−1 g(t) =

∞ X

K n g(t)

n=0

=

Z tX ∞ (t − s)2n−1 0 n=0

(2n − 1)!

Z

t

sh(t − s)g(s)ds.

g(s)ds = 0

TEMAS COMPLEMENTARIOS 1. Polinomios de Legendre, Hermite, Laguerre ([Kr], [Fo]). 2. Determinante de Gram ([GG]).

152

IV. LOS CUATRO ´ PILARES DEL ANALISIS FUNCIONAL

El sugestivo t´ıtulo que proponemos para este cap´ıtulo, y utilizado por varios autores, quiere indicar que toda la estructura del An´alisis Funcional est´a basada en cuatro poderosos pilares: los teoremas de Hahn-Banach, de Banach-Steinhaus, de la aplicaci´on abierta y del gr´afico cerrado. Tanto en este cap´ıtulo como en los siguientes se ofrece una amplia gama de aplicaciones y consecuencias que han permitido un desarrollo significativo en la teor´ıa que nos ocupa.

SECCIONES 1. Teorema de Hahn-Banach. 2. Consecuencias del teorema de Hahn-Banach. Espacio doble dual. 3. Teorema de categor´ıa de Baire. 4. Principio de acotaci´on uniforme y teorema de Banach-Steinhaus. 5. Convergencia de sucesiones en espacios normados. 6. Teorema de la aplicaci´on abierta. 7. Teorema del gr´afico cerrado. 8. Clausura de un operador. 9. Ejercicios.

153

1. TEOREMA DE HAHN-BANACH.

El teorema de Hahn-Banach es un teorema de extensi´on de funcionales lineales (entendemos por un teorema de extensi´on aquel en donde, definido un objeto matem´atico sobre un subconjunto Y ⊂ X, se quiere definir dicho objeto sobre todo el conjunto X de manera que se mantengan las propiedades b´asicas del objeto en el conjunto donde se extendi´o). En An´alisis son frecuentes los casos en que un funcional lineal es dominado por un funcional sublineal convexo. Por ejemplo, la Rintegral de Riemann de 1 una funci´on x = x(t) es un funcional lineal f (x) = 0 x(t)dt; en cambio, la integral superior p(x) es sub-lineal y se tiene que f (x) ≤ p(x). Queremos extender tambi´en aqu´ı un funcional lineal que verifique una propiedad de acotaci´on similar. Por el teorema de representaci´on de Riesz, sabemos que todo funcional lineal en un espacio de Hilbert es un producto escalar. Queremos saber ahora bajo qu´e condiciones existen funcionales lineales acotados en un espacio de Banach arbitrario y la respuesta a esto la da el teorema de Hahn-Banach. Se probar´a primero el caso donde el espacio normado es real (resultado debido a Hahn en 1927 y Banach en 1929) y luego veremos c´omo ciertas modificaciones permiten demostrar el caso complejo (que fue hecho por Bohnenblust y Sobczyk en 1938). 1.1.- Definici´ on. Sean X un espacio vectorial sobre E y p : X → R un funcional. Diremos que (1) p es sub-aditiva cuando p(x + y) ≤ p(x) + p(y), ∀x, y ∈ X; (2) p es homog´enea positiva cuando p(αx) = αp(x), ∀x ∈ X, α ≥ 0; (3) p es sim´etrica cuando p(αx) = |α|p(x), ∀x ∈ X, α ∈ E; (4) p es convexa cuando p(αx + (1 − α)y) ≤ αp(x) + (1 − α)p(y), ∀x, y ∈ X, α ∈ [0, 1]. As´ı diremos que p es funcional sublineal si es sub-aditiva y homog´enea positiva y p es seminorma si es sub-aditiva y sim´etrica. En particular, la norma es un funcional sublineal e incluso una seminorma. Una primera relaci´on entre dichos conceptos viene dada en el siguiente resultado, cuya demostraci´on omitimos. 1.2.- Lema. Un funcional p : X → E en un espacio vectorial es una seminorma si y s´ olo si es una aplicaci´ on sim´etrica y convexa. 154

1.3.- Lema. Sea X un espacio vectorial real, M un subespacio propio de X, x0 ∈ X \ M . Sea N = hM ∪ {x0 }i, f : M → R un funcional lineal, p : X → R un funcional sub-lineal tal que f (x) ≤ p(x), ∀x ∈ M. Entonces existe F : N → R funcional lineal tal que F (x) ≤ p(x), ∀x ∈ N , y f (x) = F (x), ∀x ∈ M (F es entonces una extensi´ on de f ). Demostraci´ on. Si y1 , y2 ∈ M, entonces f (y1 )−f (y2 ) = f (y1 −y2 ) ≤ p(y1 −y2 ) = p(y1 +x0 −x0 −y2 ) ≤ p(y1 +x0 )+p(−y2 −x0 ), de donde −p(−y2 − x0 ) − f (y2 ) ≤ p(y1 + x0 ) − f (y1 ). Como el primer miembro no depende de y1 y el segundo no depende de y2 , entonces, llamando a = sup{−p(−y2 − x0 ) − f (y2 ) : y2 ∈ M }, b = ´ınf{p(y1 + x0 ) − f (y1 ) : y1 ∈ M }, es claro que a ≤ b. Llamamos c ∈ R a un n´ umero que verifica a ≤ c ≤ b. Por tanto, ∀y ∈ M, (∗)

−p(−y − x0 ) − f (y) ≤ c ≤ p(y + x0 ) − f (y).

Definimos F : N → R como F (y + αx0 ) = f (y) + αc, con y ∈ M, α ∈ R, que es un funcional lineal en N y evidentemente extiende a f . Falta comprobar que F est´a acotado por p: (a) Si α = 0, F (y + αx0 ) = f (y) ≤ p(y) =⇒ F (x) ≤ p(x), ∀x ∈ M. (b) Si α > 0, aplicamos la segunda desigualdad de (∗) al elemento y/α : 1 f (y) + c ≤ p(y/α + x0 ) α =⇒ f (y) + αc ≤ p(y + αx0 )

c ≤ p(y/α + x0 ) − f (y/α) =⇒

=⇒ F (y + αx0 ) ≤ p(y + αx0 ). (c) Si α < 0, aplicamos la primera desigualdad de (∗) al elemento y/α: 1 −p(−y/α − x0 ) − f (y/α) ≤ c =⇒ − f (y) − c ≤ p(−y/α − x0 ) α =⇒ f (y) + αc ≤ p(y + αxo ) =⇒ F (y + αx0 ) ≤ p(y + αx0 ).



1.4.- Teorema (Hahn-Banach real). Sea X un espacio vectorial real, M un subespacio de X, p un funcional sub-lineal sobre X, f un funcional lineal 155

sobre M tal que ∀x ∈ M, f (x) ≤ p(x). Entonces existe F : X → R funcional lineal que extiende a f y tal que F (x) ≤ p(x), ∀x ∈ X. Demostraci´ on. Consideremos el conjunto S = {g : D(g) → R : g lineal, g|M = f y g(x) ≤ p(x), ∀x ∈ D(g)}. El conjunto S es no vac´ıo porque f ∈ S; definimos un orden parcial en S as´ı: g1 ≤ g2 si g2 es extensi´on de g1 , es decir, si D(g1 ) ⊂ D(g2 ) y g2 |D(g1 ) = g1 . Veamos que S es inductivo, es decir que toda cadena (subconjunto totalmente ordenado) en S posee una cota superior en S: Sea pues C = {gα : α ∈ I} un subconjunto de S totalmente ordenado, y definimos gb : D(b g ) → R como gb(x) = gα (x), si x ∈ D(gα ). As´ı, D(b g) = S D(g ). α α∈I • D(b g ) es un subespacio de X: Si x, y ∈ D(b g ), y λ, µ ∈ R, entonces ∃α, β ∈ I : x ∈ D(gα ), y ∈ D(gβ ) e incluso λx ∈ D(gα ), µy ∈ D(gβ ). Si suponemos que D(gα ) ⊂ D(gβ ), entonces λx, µy ∈ D(gβ ) y λx + µy ∈ D(gβ ). De aqu´ı resulta que λx + µy ∈ D(b g ). • gb est´a bien definido: Si x ∈ D(gα ) y x ∈ D(gβ ), entonces g(x) = gα (x), g(x) = gβ (x). Como C est´a totalmente ordenado, si D(gα ) ⊂ D(gβ ), gβ extiende a gα , de modo que gβ (x) = gα (x). Es f´acil comprobar que gb es lineal, que extiende a f , que gb(x) ≤ p(x), ∀x ∈ D(b g ) y que gα ≤ gb, ∀α ∈ I. Podemos as´ı aplicar el lema de Zorn, que asegura la existencia de F ∈ S elemento maximal de S. S´olo falta probar que D(F ) = X. Si suponemos lo contrario, deber´ıa existir alg´ un x0 ∈ X \ D(F ). Por el lema anterior, ∃F 0 definido en hD(F ) ∪ {x0 }i, que extiende a F y tal que F 0 (x) ≤ p(x), ∀x ∈ D(F 0 ). Esto quiere decir que F 0 ∈ S y F no puede ser maximal, lo que lleva a una contradicci´on.♦ Observaci´ on. Si queremos evitar el uso del lema de Zorn (que hace que la prueba no sea constructiva) podr´ıamos aplicar el m´etodo indicado en el lema previo. Se construye as´ı una sucesi´on de espacios N1 , N2 , . . . tales que M ⊂ N1 ⊂ N2 ⊂ . . . y una sucesi´on de funcionales lineales F1 , F2 , . . . definidos en N1 , N2 , . . . cada uno extensi´on del anterior y todos acotados S∞ por p. La demostraci´on estar´ıa completa si pudi´eramos escribir X = i=1 Ni , lo cual no siempre es cierto. Sin embargo la mayor´ıa de los espacios que se encuentran en An´alisis verifican lo anterior. Adem´as en los espacios de Hilbert tambi´en se simplifica mucho la demostraci´on como mostraremos en breve. 156

1.5.- Teorema (Hahn-Banach complejo). Sea X un espacio vectorial complejo, M un subespacio de X, p una seminorma en X. Sea f un funcional lineal sobre M tal que ∀x ∈ M, |f (x)| ≤ p(x). Entonces existe F : X → C funcional lineal que extiende a f y tal que |F (x)| ≤ p(x), ∀x ∈ X. Demostraci´ on. Si escribimos f (x) = f1 (x)+if2 (x) con f1 = Re f, f2 = Im f, probaremos en primer lugar que f1 y f2 son funcionales lineales reales, es decir, ∀x ∈ M, ∀α ∈ R : fi (αx) = αfi (x), i = 1, 2 : Sea pues α ∈ R. As´ı, f (αx) = f1 (αx) + if2 (αx), αf (x) = αf1 (x) + iαf2 (x). Igualando las partes real e imaginaria, obtenemos lo deseado. Por otra parte, como if (x) = if1 (x) − f2 (x) = f1 (ix) + if2 (ix), resulta que f1 (ix) = −f2 (x). Por hip´otesis, como |f (x)| ≤ p(x), resulta en particular que f1 (x) ≤ p(x). Aplicamos el teorema de Hahn-Banach real a f1 y probamos la existencia de F1 : X → R que extiende a f1 y tal que F1 (x) ≤ p(x), ∀x ∈ X. Definimos ahora F (x) = F1 (x) − iF1 (ix) y probaremos lo siguiente. • F extiende a f : Si x ∈ M, F1 (x) = f1 (x) y F1 (ix) = f1 (ix) = −f2 (x) de donde F (x) = f1 (x) + if2 (x) = f (x). • F es un funcional lineal real (evidente porque F1 lo es). • F es un funcional lineal complejo: Como F (ix) = F1 (ix) − iF1 (−x) = F1 (ix) + iF1 (x) y adem´as iF (x) = iF1 (x) + F1 (ix), entonces F (ix) = iF (x) y por tanto, F (αx) = αF (x). • |F (x)| ≤ p(x): Supongamos que F (x) 6= 0, y escribimos F (x) = reiϑ . As´ı, F (e−iϑ x) = r = |F (x)|. Por tanto, la parte imaginaria de F (e−iϑ x) es cero, −F1 (ie−iϑ x) = 0, con lo que F (e−iϑ x) = F1 (e−iϑ x). Como F1 (x) ≤ p(x), |F (x)| = F (e−iϑ x) = F1 (e−iϑ x) ≤ p(e−iϑ x) = p(x).



Como aplicaci´on estudiaremos la situaci´on de los funcionales lineales acotados en espacios normados, tal como nos pregunt´abamos al principio de la secci´on. 1.6.- Teorema (Hahn-Banach en espacios normados). Sea f un funcional lineal y acotado sobre un subespacio M de un espacio normado X. Entonces 157

existe un funcional lineal y acotado F sobre X que extiende a f y conserva la norma. [Esto asegura que existe alguna extensi´on de f que tiene norma m´ınima.] Demostraci´ on. Si M = {0}, f = 0 y su extensi´on es F = 0. Si M 6= {0}, definimos el funcional p : X → R por p(x) = kf kM · kxk. As´ı definido, se verifica que p(x + y) ≤ p(x) + p(y) y p(αx) = |α| · p(x), ∀α ∈ C. Efectivamente, p(x + y) = kf k · kx + yk ≤ kf k · kxk + kf k · kyk = p(x) + p(y) y p(αx) = kf k · kαxk = |α| · kf k · kxk = |α| · p(x). Adem´as, como f est´a acotado, |f (x)| ≤ kf k · kxk = p(x). Se cumplen as´ı las condiciones del teorema de Hahn-Banach, lo que asegura la existencia de un funcional lineal F : X → C tal que F (x) = f (x), ∀x ∈ M, y |F (x)| ≤ p(x), ∀x ∈ X. Como |F (x)| ≤ kf k · kxk, entonces kF kX ≤ kf kM . Pero al ser F extensi´on de f , kF kX ≥ kf kM , con lo que se deduce la igualdad de las normas.♦ Como anunci´abamos antes, el caso especial de espacios de Hilbert es extremadamente simple, debido al teorema de representaci´on de Riesz. Como todo funcional sobre M tiene la forma f (x) = hx, yi, y ∈ M , y el producto interior se puede definir en todo X, existe F (x) = hx, yi, ∀x ∈ X extensi´on de f y kF k = kyk = kf k.

2. CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DE HAHN-BANACH. ESPACIO DOBLE DUAL.

Ilustramos en esta secci´on algunas consecuencias del teorema de HahnBanach y proponemos en los ejercicios al final del cap´ıtulo m´as aplicaciones del mismo. Una versi´on geom´etrica del teorema se sugiere como tema complementario y puede ser consultado en las obras de referencia. 2.1.- Teorema. Sea M un subespacio de un espacio vectorial normado X y x0 ∈ X un elemento que verifica d = d(x0 , M ) > 0. Entonces existe F : X → E lineal y acotado tal que kF k = 1, F (x0 ) = d, F (x) = 0, ∀x ∈ M. Demostraci´ on. Sea M1 = {z ∈ X : z = αx0 + x, α ∈ E, x ∈ M }. Definimos f : M1 → E por f (z) = αd. Observamos en primer lugar que la representaci´on z = αx0 + x es u ´nica: en caso contrario, si adem´as z = α0 x0 + x0 , 158

entonces (α0 − α)x0 = x − x0 ∈ M, de donde α0 − α = 0 y x − x0 = 0. Esto quiere decir que f est´a bien definido. Adem´as f es lineal en M1 y se anula sobre M . Por otra parte, como

x

|f (αx0 + x)| = |α|d ≤ |α| · x0 + = kαx0 + xk, α f est´a acotado en M1 y kf k ≤ 1. Como adem´as, dado cualquier ε > 0, ∃x1 ∈ M : kx0 − x1 k < d + ε, entonces f (x0 − x1 ) = d y |f (x0 − x1 )| d ε > =1− , kx0 − x1 k d+ε d+ε resulta que kf k = 1. Por el teorema de Hahn-Banach, existe un operador F : X → E lineal y acotado tal que kF k = 1 y F = f en M1 . ♦ 2.2.- Corolario. Sea X un espacio vectorial normado y x0 6= 0 un elemento de X. Entonces existe un funcional F lineal y acotado sobre X tal que kF k = 1 y F (x0 ) = kx0 k. Demostraci´ on. Basta hacer M = {0} en el teorema anterior.



Este resultado prueba que el dual de un espacio no trivial es tambi´en no trivial. Adem´as en un espacio normado X existen funcionales que separan puntos distintos de X, es decir si x 6= y, existe f ∈ X 0 tal que f (x) 6= f (y). 2.3.- Corolario. Si x1 ∈ X es tal que f (x1 ) = 0 para todo funcional lineal y acotado f de X, entonces x1 = 0. Dado un espacio normado (X, k · k), a cada x ∈ X le hacemos corresponder el funcional x b : X 0 → E definido por x b(f ) = f (x). As´ı definido, se prueba que x b est´a en el doble dual de X. 2.4.- Proposici´ on. Para cada x ∈ X, a) x b es lineal. b) |b x(f )| ≤ kxk · kf k, para todo f ∈ X 0 . c) x b ∈ X 00 y kb xk ≤ kxk. La demostraci´on es evidente. 2.5.- Proposici´ on. Para cada x ∈ X, kb xk = kxk. Demostraci´ on. Por el teorema de Hahn-Banach, para cada x ∈ X, existe f ∈ X 0 tal que kf k = 1 y f (x) = kxk. Para esta f tenemos que |b x(f )| = |f (x)| = kxk = kxk · kf k. 159

Luego kb xk = supkf k=1 |b x(f )| ≥ kxk.



La proposici´on anterior indica que la aplicaci´on Φ : X → X 00 definida por Φ(x) = x b es una isometr´ıa lineal. Esta aplicaci´on es la llamada inmersi´ on natural y origina el siguiente concepto. 2.6.- Definici´ on. Un espacio normado X es reflexivo cuando la aplicaci´on Φ es sobre. En este caso X y X 00 son isom´etricos. Ejemplo. Si 1 < p < ∞, `p es reflexivo. En primer lugar, (`p )00 es isomorfo a `p ; falta pues verificar que la composici´on del isomorfismo natural de `p en (`p )0 con el isomorfismo natural de (`p )0 en (`p )00 , da lugar a la inmersi´on de `p en (`p )00 . Los siguientes resultados muestran que los espacios reflexivos forman una clase comprendida entre las de los espacios de Hilbert y los de Banach. 2.7.- Proposici´ on. Si X es reflexivo, entonces X es de Banach. La demostraci´on es evidente porque, al ser X 00 de Banach y X isom´etrico a X 00 , X debe ser tambi´en de Banach. 2.8.- Proposici´ on. Todo espacio normado de dimensi´ on finita es reflexivo. Tambi´en la prueba es directa pues si dim X = n, entonces dim X 0 = n, de donde dim X 00 = n. Esto prueba la reflexividad de X. 2.9.- Proposici´ on. Todo espacio de Hilbert es reflexivo. Demostraci´ on. Basta probar que la aplicaci´on Φ : X → X 00 definida por Φ(x) = x b es sobre. Para ello sea g ∈ X 00 y definimos f : X → E por f (x) = g(T x), donde T : X → X 0 viene dada por (T x)(y) = hy, xi. El operador T es antilineal y kT k = 1, lo que permite deducir que f ∈ X 0 . Por el teorema de representaci´on de Riesz, existe z ∈ X tal que f (x) = hx, zi. Por tanto g(T x) = hz, xi = (T x)(z) = Φ(z)(T x). Como adem´as T es sobre (lo que se puede comprobar tambi´en mediante el teorema de representaci´on de Riesz), Φ(z) = g, como quer´ıamos demostrar. ♦

160

3. TEOREMA DE CATEGORIA DE BAIRE.

La completitud de ciertos espacios suele ser fundamental en muchos teoremas del An´alisis. En el caso de espacios m´etricos, un instrumento de mucha utilidad es el teorema de categor´ıa que exponemos en esta secci´on. 3.1.- Definici´ on. Sea X un espacio m´etrico y M ⊂ X. (a) M es raro o nunca denso de X si M tiene interior vac´ıo (lo que equivale c a que M es denso en X). (b) M es de primera categor´ıa si es uni´on numerable de conjuntos nunca densos. (c) M es de segunda categor´ıa si no es de primera categor´ıa. 3.2.- Ejemplos. 1) Si d es la m´etrica trivial, el u ´nico conjunto nunca denso es el vac´ıo. 2) El conjunto vac´ıo es de primera categor´ıa. Por lo tanto, no puede ser de segunda categor´ıa. 3) En R con laS m´etrica usual, Q es de primera categor´ıa pues, por ser numerable, Q = ∞ i=1 {xi } y {xi } = {xi }, int{xi } = ∅. S en lo ser´a. 4) Si {Ai }∞ ıa, ∞ i=1 son de primera categor´ i=1 Ai tambi´ 5) Si A es de primera categor´ıa y C de segunda, con C = A ∪ B, entonces B es de segunda categor´ıa. Por tanto, en el ejemplo 3), como R = Q ∪ I y R es de segunda categor´ıa, I tambi´en lo ser´a. 3.3.- Lema (teorema de intersecci´on de Cantor). Sea (X, d) un espacio m´etrico completo y (Fn )n∈N una sucesi´ on decreciente de subconjuntos no vac´ıos y cerrados de X tales que T δ(Fn ) → 0 (donde se define δ(M ) = sup{d(x, y) : x, y ∈ M }. Entonces ∞ n=1 Fn contiene exactamente un punto. Demostraci´ on. Sea xn ∈ Fn . Por ser δ(Fn ) → 0, la sucesi´on (xn )n∈N es de Cauchy, por lo que existe x = l´ım xn . T Fijado n0 ∈ N, xn ∈ Fn0 , ∀n ≥ n0 . Como Fn0 es cerrado, x ∈ Fn0 =⇒ x ∈ n≥1 Fn . T T T Adem´as, como δ( Fn ) ≤ δ(Fn ) → 0, δ( Fn ) = 0 =⇒ Fn = {x}. n≥1

n≥1

n≥1



3.4.- Lema. Sean X un espacio m´etrico completo, A ⊂ X un subconjunto nunca denso y B ⊂ X una bola abierta. Entonces existe B1 ⊂ B bola cerrada tal que B1 ∩ A = ∅. Adem´ as se puede elegir B1 para que δ(B1 ) < k, ∀k > 0. 161

Demostraci´ on. Como int( A) = ∅, debe ser B 6⊂ A, de modo que ∃x ∈ B \ A. Por ser B abierto y A cerrado, existe r > 0 : B(x, r) ∩ A = ∅. Podemos elegir r de modo que B(x, r) ⊂ B y B(x, r) ∩ A = ∅. Adem´as, dado k > 0, tomando r < k/2, δ( B(x, r)) < k. ♦ 3.5.- Teorema (categor´ıa de Baire). Si un espacio m´etrico X 6= ∅ es completo, es de segunda categor´ıa. Demostraci´ on. Dada cualquier sucesi´on (ASn )n∈N de conjuntos nunca densos en X, probaremos que existe x ∈ X : x 6∈ n∈N An . Por el lema 3.4, existe F1 bola cerrada con δ(F1 ) < 1, F1 ∩ A1 = ∅. Adem´as, existe F2 ⊂ int(F1 ) bola cerrada con δ(F2 ) < 1/2 : F2 ∩ A2 = ∅. Aplicando el mismo procedimiento, obtenemos una sucesi´on (Fn )n∈N de bolas cerradas tales que Fn ⊂ int(Fn−1 ), δ(Fn ) < 1/n, Fn ∩ An = ∅. T Por el lema 3.3, existe x ∈ n∈N Fn , de modo que x 6∈ An , ∀n, lo que implica S que x 6∈ n∈N An . ♦ Observaciones. 1) El rec´ıproco de este teorema no es cierto (v´ease en [Bou1] un ejemplo de un espacio normado incompleto que es de segunda categor´ıa). 2) Una aplicaci´on curiosa del teorema consiste en probar la existencia de funciones continuas en todo [0, 1] y no derivables en ning´ un punto del intervalo (se puede ver en [BN]).

´ UNIFORME Y TEOREMA DE 4. PRINCIPIO DE ACOTACION BANACH-STEINHAUS.

Las ideas de la secci´on anterior las aplicaremos a continuaci´on para demostrar otro de los teoremas fundamentales del cap´ıtulo, como es el principio de acotaci´on uniforme. Dicho teorema proporciona un criterio para determinar cu´ando una familia de operadores lineales y acotados est´a acotada uniformemente. M´as precisamente, veremos cu´ando la acotaci´on puntual implica la acotaci´on uniforme. 4.1.- Definici´ on. Dados dos espacios normados X e Y , una familia de operadores {Aα }α∈I ⊂ L(X, Y ) se dice equicontinua cuando supα∈I kAα k < ∞. 162

4.2.- Teorema (Principio de acotaci´on uniforme). Sea {Aα }α∈I una familia de elementos de L(X, Y ), donde X es de Banach. Si {kAα xk}α∈I est´ a acotada para todo x ∈ X, entonces la familia {Aα }α∈I es equicontinua. En otras palabras, si ∀x ∈ X, ∃cx > 0 : kAα xk ≤ cx =⇒ ∃c > 0 : kAα k ≤ c. Demostraci´ on. (a) Supongamos que I es numerable. As´ı {An }n∈I es una sucesi´on. Sea Mk = {x ∈ X : kAn xk ≤ k, ∀n}, ∀k ∈ N. Cada Mk es cerrado, porque si x ∈ M k , entonces existe {xi }i∈N en Mk tal que xi → x. Como An es continua, An xi → An x, de donde kAn xi k → kAn xk. Adem´as, como xi ∈ Mk , kAn xi k ≤ k. Por lo tanto, kAn xk ≤ k con lo que x ∈ Mk . S Por construcci´on, X = k∈N Mk . As´ı, como X es completo, seg´ un el teorema de categor´ıa de Baire, existe k0 : B0 = B(x0 , r) ⊂ Mk0 , ∃x0 ∈ Mk0 (no todos los Mk pueden ser nunca densos). Sea x ∈ X y definimos z = x0 +γx, con γ = r/2kxk. Entonces kz−x0 k ≤ r/2, de donde z ∈ Mk0 y kAn zk ≤ k0 , ∀n. Adem´as, kAn x0 k ≤ k0 , ∀n. De aqu´ı, kAn xk = γ −1 kAn (z − x0 )k ≤ 2k0 /γ. Esto implica que kAn k = supkxk=1 kAn xk ≤ 4k0 /r. (b) Si I no es numerable, supongamos que sup kAα k = ∞. Entonces existe una sucesi´on {An }n∈N tal que kA1 k > 1, kA2 k > 2, . . . Aplicando la parte (a) a la sucesi´on {An }n∈N , probamos que supn kAn k < ∞, lo que contradice la construcci´on anterior. ♦ Es interesante remarcar que la hip´otesis de categor´ıa es esencial como muestra el ejemplo dado en [La]. A continuaci´on veremos algunas consecuencias y aplicaciones del teorema. 4.3.- Corolario (Teorema de Banach-Steinhaus, 1927). Sean X un espacio de Banach, Y un espacio normado y {Tn }n∈N ⊂ L(X, Y ). Si {Tn x}n∈N es convergente para todo x ∈ X, entonces {Tn }n∈N es equicontinuo. Adem´ as, si l´ımn Tn x = T x, ∀x ∈ X, entonces T ∈ L(X, Y ) y kT k ≤ l´ım inf kTn k. Demostraci´ on. Por ser convergente, la sucesi´on (Tn x)n∈N est´a acotada. Por el principio de acotaci´on uniforme, {Tn }n∈N es equicontinuo. Como kTn k ≤ M para todo n, kT xk ≤ M kxk para todo x ∈ X. Claramente, T es lineal y kT xk = l´ım kTn xk ≤ l´ım inf kTn k · kxk (la sucesi´on (kTn k)n∈N est´a acotada por lo que tiene l´ımite inferior). ♦ Si X no es de Banach, este resultado es falso, como muestra el siguiente ejemplo. 163

Hagamos X = C[0, 1] con kf k1 = R 1/n por Tn (f ) = n 0 f (t)dt.

R1 0

|f (t)|dt y Tn : C[0, 1] → R definidos

Cada Tn es lineal y continuo: 1/n

Z |Tn (f )| ≤ n

|f (t)|dt ≤ n · kf k1 =⇒ kTn k ≤ n. 0

Adem´as, R 1/n ∀f ∈ C[0, 1], l´ım Tn (f ) = l´ım n

n

0

f (t)dt = f (0). 1/n

Por tanto, ∃ l´ımn Tn (f ) = f (0), pero el funcional F : f 7→ f (0) no est´a acotado pues si consideramos la sucesi´on ( −n3 (t − 1/n2 ) si x ∈ [0, 1/n2 ] gn (t) = 0 si x ≥ 1/n2 , entonces kgn k =

1 2n

→ 0 pero F (gn ) = gn (0) = n → ∞.

4.4.- Corolario. Sea X un espacio de Banach y (fn )n∈N ⊂ X 0 una sucesi´ on tal que ∃ l´ımn fn (x) = f (x), ∀x ∈ X. Entonces f ∈ X 0 . Demostraci´ on. Es consecuencia directa del anterior. Este resultado indica que, en un espacio de Banach, la convergencia puntual de funcionales lineales continuas implica la continuidad de la funci´on l´ımite. 4.5.- Ejemplo. En el espacio de lasR funciones integrables es sabido R que, si 1 {fn }n∈N ⊂ L (R) es tal que supn∈N R |fn | < ∞, entonces supn∈N R |fn g| < ∞, ∀g ∈ C0 (R). El teorema de acotaci´on uniforme garantiza el rec´ıproco, pues podemos interpretar los elementos de L1 (R) como funcionales lineales continuos, L1 (R) ⊂ C0 (R)0 . Sin embargo, el resultado es falso en el espacio Cc (R) de las funciones R continuas con soporte compacto, que no es de Banach: ∀g ∈ C ( R ), sup c n |fn g| < R 1 ∞ pero supn R |fn | = ∞ para alguna sucesi´on {fn }n∈N ⊂ L (R) pues, tomando fn = χ[0,n] , Z sup n

Z |fn g| = sup n

n

Z



|g| ≤ 0

Z |g| < ∞ y sup n

−∞

|fn | = sup n = ∞.

4.6.- Corolario. El espacio normado X de los polinomios x(t) = con norma kxk = m´axi |ai |, no es completo.

P∞

i=0 ai t

i,

Demostraci´ on. Construimos la sucesi´on de funcionales An : X → R por An 0 = 0, An x = a0 + · · · + an−1 . As´ı definidos, An son lineales y acotados 164

pues, como |ai | ≤ kxk, entonces |An x| ≤ nkxk. Como todo polinomio x de grado Nx tiene como m´aximo Nx + 1 coeficientes no nulos, tenemos |An x| ≤ (Nx +1)kxk = cx , ∀n, la cual es una de las hip´otesis del teorema de acotaci´on uniforme. Ahora bien, si elegimos x(t) = 1 + t + · · · + tn , resulta que kxk = 1 y An x = n = nkxk. Como kAn k ≥ |An x|/kxk, entonces kAn k ≥ n y {kAn k} no est´a acotada. Al ser falsa la tesis del teorema, debe ser porque X no es completo. ♦ Hacemos por u ´ltimo la siguiente observaci´on: es sabido que la continuidad no es condici´on necesaria para la convergencia (sirva como contraejemplo ( 0 si − π ≤ t < 0 la funci´on x(t) = , x(t + 2π) = x(t)). Pero adem´as el 1 si 0 ≤ t ≤ π principio de acotaci´on uniforme permite probar que ni siquiera es condici´on suficiente, es decir, que existen funciones continuas cuya serie de Fourier diverge en un punto (ver [Kr]).

5. CONVERGENCIA DE SUCESIONES EN ESPACIOS NORMADOS.

Adem´as de los conceptos de convergencia puntual y convergencia uniforme de sucesiones de funciones continuas, podemos estudiar en el contexto de los espacios normados otros tipos de convergencia lo que dar´a lugar a topolog´ıas diferentes a la inducida por la norma. La teor´ıa de convergencia d´ebil que mostramos a continuaci´on hace uso del teorema de acotaci´on uniforme y es, de hecho, una de la mayores aplicaciones del mismo. 5.1.- Definici´ on. Una sucesi´on {xn }n∈N en un espacio normado X es convergente en sentido fuerte o convergente en norma si existe x ∈ X tal que l´ım kxn − xk = 0. n→∞

Se dice que x es l´ımite fuerte de {xn }n∈N y se escribe xn → x. Este es el concepto usual de convergencia. 5.2.- Definici´ on. Una sucesi´on {xn }n∈N en un espacio normado X es convergente en sentido d´ebil si existe x ∈ X tal que f (xn ) → f (x), ∀f ∈ X 0 . Se d

dice entonces que x es l´ımite d´ebil de {xn }n∈N y se escribe xn → x. d

5.3.- Lema. Sea xn → x. Entonces: (a) El l´ımite d´ebil es u ´nico. 165

(b) Toda subsucesi´ on de {xn }n∈N converge d´ebilmente a x. (c) La sucesi´ on {kxn k}n∈N est´ a acotada. d

d

Demostraci´ on. a) Supongamos que xn → x, xn → y; entonces f (xn ) → f (x) y f (xn ) → f (y), ∀f ∈ X 0 . Por tanto f (x) = f (y) y f (x − y) = 0. Como lo anterior es cierto para toda f ∈ X 0 , x = y. b) Se deduce de que {f (xn )}n∈N es una sucesi´on num´erica convergente y toda subsucesi´on de ella converge al mismo l´ımite f (x). c) Por hip´otesis, {f (xn )}n∈N est´a acotada, digamos |f (xn )| ≤ cf , ∀n. Definimos gn ∈ X 00 como gn (f ) = f (xn ), ∀f ∈ X 0 . Entonces |gn (f )| = |f (xn )| ≤ cf , ∀n. Como X 0 es completo, por el teorema de acotaci´on uniforme, {kgn k}n∈N est´a acotada. Pero kgn k = kxn k debido a la proposici´on 2.5. As´ı queda probada la tesis. ♦ Veamos a continuaci´on la relaci´on entre los dos tipos de convergencia definidos. 5.4.- Teorema. Sea X un espacio normado. d

(a) Si xn → x, entonces xn → x. (b) El rec´ıproco de (a) no siempre es cierto. (c) Si dim X < ∞, la convergencia d´ebil implica la convergencia fuerte. Demostraci´ on. a) Supongamos que xn → x, es decir, kxn −xk → 0. Entonces |f (xn ) − f (x)| = |f (xn − x)| ≤ kf k · kxn − xk → 0, ∀f ∈ X 0 . b) Sea H un espacio de Hilbert y {en }n∈N una sucesi´on ortonormal. Por el teorema de representaci´on de Riesz, ∀f ∈ H 0 , ∃z ∈ H : f (x) = hx, zi. P∞ Aplicando la desigualdad de Bessel, n=1 |hen , zi|2 ≤ kzk2 , con lo que la serie de la izquierda converge y entonces hen , zi → 0. d

Como f (en ) = hen , zi, lo anterior implica que en → 0. Sin embargo, {en }n∈N no es fuertemente convergente pues ken − em k2 = hen − em , en − em i = 2, si n 6= m. d

c) Sea {e1 , . . . , ek } una base de X y xn → x. Escribimos xn =

k X

(n)

αi ei , x =

i=1

k X

αi ei .

i=1

Por hip´otesis, f (xn ) → f (x), ∀f ∈ X 0 . Definiendo fj (ei ) = δij , i, j = 166

(n)

1, . . . , k, tenemos αj

→ αj , j = 1, . . . , k. De este modo,

kxn − xk ≤

k X

(n)

|αi

− αi | · kei k → 0

i=1

y xn → x.



Observaciones. 1) Existen tambi´en espacios de dimensi´on infinita donde la convergencia fuerte y d´ebil son equivalentes. Fue probado por Schur que el espacio `1 es un ejemplo de ellos. 2) Es evidente, gracias al teorema de Riesz, que, en un espacio de Hilbert d

H, xn → x si y s´olo si hxn , zi → hx, zi, ∀z ∈ H. 3) Una especie de rec´ıproco de (a) es el siguiente resultado. d

Si xn → x en X, entonces existe {yn }n∈N tal que yn es combinaci´on lineal de xn y kx − yn k → 0 (ver [CC]). Esto equivale a decir que x pertenece al espacio generado por la sucesi´on (xn )n∈N . 4) Como los elementos de X pueden pensarse como funcionales lineales sobre d

X 0 , podemos decir tambi´en que xn → x si xn (f ) → x(f ), ∀f ∈ X 0 ; es decir, la convergencia d´ebil en X no es m´as que la convergencia puntual considerando X como espacio de funciones sobre X 0 . 5.5.- Lema. Sea X un espacio normado y {xn }n∈N una sucesi´ on en X. d

Entonces xn → x si y s´ olo si la sucesi´ on {kxn k}n∈N est´ a acotada y ∃M ⊂ X 0 subconjunto completo, (es decir, hM i = X 0 ) tal que f (xn ) → f (x), ∀f ∈ M . d

Demostraci´ on. a) Si xn → x, por el lema 5.3, la sucesi´on {kxn k}n∈N est´a acotada. El resto es evidente. b) Por hip´otesis, kxn k ≤ c, ∀n, y elegimos c para que kxk ≤ c. Sea f ∈PX 0 . Entonces existe g ∈ hM i tal que kf − gk < ε/3c. Escribimos 0 g(x) = nk=1 αk fk (x), con fk ∈ M . De este modo, ∃N ∈ N: |g(xn ) − g(x)| ≤

n0 X

|αk | · |fk (xn ) − fk (x)| < ε/3, ∀n > N

k=1

teniendo en cuenta que fk (xn ) → fk (x), ∀k = 1, . . . , n0 . Aplicando ahora la desigualdad triangular, tenemos que para todo n > N: |f (xn ) − f (x)| ≤ |f (xn ) − g(xn )| + |g(xn ) − g(x)| + |g(x) − f (x)| < kf − gk · kxn k + ε/3 + kg − f k · kxk < ε/3c · c + ε/3 + ε/3c · c = ε. 167



Un ejemplo donde se aplica lo anterior es el espacio `p , con 1 < p < ∞, donde d (n) xn → x si y s´olo si la sucesi´on {kxn k}n∈N est´a acotada y ξj → ξj , ∀j, siendo (n)

xn = (ξj )j∈N , x = (ξj )j∈N . En efecto, como el dual de `p es `q y una base de Schauder de `q es {en }n∈N , con en = (δnj )j∈N , basta aplicar el lema con M = {en }n∈N . ANEXO.

Veamos c´ omo el concepto de convergencia d´ ebil viene sugerido por el de

topolog´ıa d´ ebil. Para ello recordamos los siguientes conceptos:

τ una topolog´ıa en X . Se dice que una ∀A ∈ τ, x ∈ A, existe B ∈ β tal que x ∈ B ⊂ A.

Definici´ on. Sea

familia

β

Definici´ on. Un espacio vectorial topol´ ogico es un espacio vectorial

E

con una topolog´ıa

τ

es una base de

X

τ

si

sobre un cuerpo

tal que las funciones suma y producto por escalar son continuas.

As´ı, por ejemplo, todo espacio vectorial topol´ ogico de dimensi´ on finita n es isomorfo a E n , y todo espacio normado es un espacio vectorial topol´ogico. En este caso la topolog´ıa inducida por la norma se llama topolog´ıa fuerte. Definici´ on. Si

X

es un espacio vectorial y

F

una familia de funcionales lineales definida

en X , se define la topolog´ıa d´ ebil generada por F a la topolog´ıa m´ as d´ ebil (la menor) en X

f ∈ F un funcional continuo. Claramente, la topolog´ıa d´ebil generada F es la topolog´ıa generada por los subconjuntos de X de la forma f −1 (U ) con f ∈ F , U abierto en E . Una base de la topolog´ıa d´ebil generada por F es la formada que hace a cada

por

por los conjuntos de la forma

N (x0 , f1 , . . . , fm , ε1 , . . . , εm ) = {x ∈ X : |fk (x)−fk (x0 )| < εk , k = 1, . . . , m}, x0 ∈ X , m ∈ N, f1 , . . . , fm ∈ F , ε1 , . . . , εm > 0. Debido a que N (x0 , f, ε) = f −1 (B(f (x0 ), ε)), se deduce que

donde

N (x0 , f1 , . . . , fm , ε1 , . . . , εm ) =

m \

N (x0 , fk , εk ).

k=1 Con estas ideas, si

X

es un espacio normado, a la topolog´ıa d´ ebil generada por

llama topolog´ıa d´ ebil en

X

X0

se le

y se pueden probar sin dificultad los siguientes resultados:

Proposici´ on. a) La topolog´ıa d´ ebil es m´ as d´ ebil que la topolog´ıa fuerte (la inducida por la norma). b) Una sucesi´ on

f (x), ∀f ∈ X 0 .

(xn )n∈N

converge a

x en la topolog´ıa d´ebil si y s´olo si f (xn ) →

De este modo los conceptos y propiedades de la convergencia d´ ebil son consecuencia de los m´ as generales aqu´ı expuestos.

Vamos a estudiar ahora el caso de sucesiones de operadores entre espacios normados donde distinguiremos entre tres tipos de convergencia (las definiciones y terminolog´ıa fueron introducidas por von Neumann en 1929). 5.6.- Definici´ on. Sean X, Y espacios normados. Una sucesi´on {Tn }n∈N de operadores en L(X, Y ) se dice 168

(1) uniformemente convergente si {Tn }n∈N converge en la norma de L(X, Y ), es decir, si existe T ∈ L(X, Y ) tal que kTn − T k → 0; (2) fuertemente convergente si {Tn x}n∈N converge fuertemente en Y , para todo x ∈ X, es decir, kTn x − T xk → 0; (3) d´ebilmente convergente si {Tn x}n∈N converge d´ebilmente en Y , para todo x ∈ X, es decir, |f (Tn x) − f (T x)| → 0, ∀f ∈ Y 0 . No es dif´ıcil probar que (1) =⇒ (2) =⇒ (3), y los rec´ıprocos no son necesariamente ciertos. 5.7.- Ejemplos. 1) En `2 consideramos la sucesi´on Tn : `2 → `2 de operadores lineales y acotados definidos por Tn x = (0, .(n) . ., 0, ξn+1 , ξn+2 , . . . ) donde x = (ξ1 , . . . , ξn , ξn+1 , . . . ). Es evidente que {Tn }n∈N converge fuertemente a 0; sin embargo no converge uniformemente porque kTn − 0k = kTn k = 1. 2) Si definimos ahora Tn : `2 → `2 como Tn (ξ1 , . . . , ξn , . . . ) = (0, .(n) . ., 0, ξ1 , ξ2 , . . . ), Tn es tambi´en lineal y acotado, d´ebilmente convergente a cero pero no fuertemente. P∞ En efecto, ∀f ∈ (`2 )0 , ∃z = (ηj )j∈N : f (x) = hx, zi = j=1 ξj η j , donde x = (ξj )j∈N , debido al teorema de representaci´on de Riesz. As´ı pues, f (Tn x) = hTn x, zi =

∞ X

ξn−j η j =

j=n+1

∞ X

ξk η n+k .

k=1

Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz, 2

2

|f (Tn x)| = |hTn x, zi| ≤

∞ X k=1

2

|ξk | ·

∞ X

|ηm |2 .

m=n+1

Como la u ´ltima suma es el resto de una serie convergente, |f (Tn x)| → 0 = f (0x). √ √ Sin embargo, para x = (1, 0, 0, . . . ), kTm x − Tn xk = 12 + 12 = 2, para m 6= n, por lo que la sucesi´on no converge fuertemente. Estudiamos ahora el l´ımite de una sucesi´on de operadores seg´ un el tipo de convergencia. Si la convergencia Tn → T es uniforme, T ∈ L(X, Y ). Sin embargo, si la convergencia es fuerte o d´ebil, T es lineal pero no acotado, como se ve en el siguiente ejemplo. 169

Sea X = {x ∈ `2 : x tiene un n´ umero finito de componentes no nulas}. Se define Tn (ξj ) = (ξ1 , 2ξ2 , 3ξ3 , . . . , nξn , ξn+1 , ξn+2 , . . . ). Esta sucesi´on converge fuertemente a T (ξj ) = (jξj ) que es un operador lineal no acotado. Sin embargo, si X es completo, tenemos el siguiente resultado. 5.8.- Lema. Sea {Tn }n∈N ⊂ L(X, Y ), donde X es un espacio de Banach e Y un espacio normado. Si Tn → T en sentido fuerte, entonces T ∈ L(X, Y ). Demostraci´ on. La linealidad de T se deduce de la de Tn . Adem´as, de la convergencia Tn x → T x, ∀x ∈ X, se deduce que la sucesi´on {kTn xk}n∈N est´a acotada para todo x. Por el teorema de acotaci´on uniforme, como X es completo, {kTn k}n∈N est´a acotada. Por tanto, kTn xk ≤ kTn k · kxk ≤ kkxk =⇒ kT xk ≤ kkxk.



5.9.- Teorema. Dados dos espacios de Banach X, Y una sucesi´ on {Tn }n∈N de operadores en L(X, Y ) converge en sentido fuerte si y s´ olo si {kTn k}n∈N est´ a acotada y {Tn x}n∈N es de Cauchy en Y , para todo x de un subconjunto completo M de X. Demostraci´ on. Si Tn x → T x, ∀x ∈ X, por el teorema de acotaci´on uniforme, {kTn k}n∈N est´a acotada. El resto es trivial. Rec´ıprocamente, si kTn k ≤ c, ∀n, sean x ∈ X y ε > 0 arbitrarios. Como hM i es denso en X, existe y ∈ hM i tal que kx − yk < ε/3c. Adem´as kTn y − Tm yk < ε/3, ∀m, n > N. De aqu´ı, por la desigualdad triangular, es f´acil probar que {Tn x}n∈N es de Cauchy en Y : kTn x − Tm xk ≤ kTn x − Tn yk + kTn y − Tm yk + kTm y − Tm xk ≤ kTn k · kx − yk + ε/3 + kTm k · kx − yk < ε. Como Y es completo, {Tn x}n∈N converge en Y .



5.10.- Definici´ on. Una sucesi´on {An }n∈N en L(X, Y ) se dice de Cauchy en sentido fuerte cuando {An x}n∈N es de Cauchy, ∀x ∈ X. 5.11.- Teorema. Si X, Y son espacios de Banach, L(X, Y ) es completo en sentido fuerte, es decir, toda sucesi´ on de Cauchy fuerte converge fuertemente. Demostraci´ on. Por hip´otesis, sea {Tn x}n∈N de Cauchy, ∀x ∈ X. Como Y es f

de Banach, Tn x → T x. As´ı definido, T es lineal y Tn → T. Falta probar que T ∈ L(X, Y ). 170

Por el teorema anterior, kTn k < M, ∀n. Entonces kTn xk < M kxk, de donde l´ım kTn xk ≤ M kxk y, por la continuidad de la norma, k l´ım Tn xk ≤ M kxk o sea kT xk ≤ M kxk. As´ı, T es acotado. ♦ Los funcionales lineales son tambi´en operadores lineales pero el hecho de que su imagen est´e en R ´o C hace que la convergencia fuerte y d´ebil sean equivalentes (pues {Tn x}n∈N est´a en un espacio de dimensi´on 1). Los conceptos que se aplican aqu´ı son los siguientes. 5.12.- Definici´ on. Sea {fn }n∈N una sucesi´on de funcionales lineales acotados en un espacio normado X. (a) Decimos que {fn }n∈N converge en sentido fuerte a f ∈ X 0 si kfn − f k → 0. (b) Por otra parte, decimos que {fn }n∈N converge en sentido d´ebil-∗ a f ∈ X 0 si fn (x) → f (x), ∀x ∈ X. Si X es un espacio normado, entonces X ⊂ X 00 y ∀x ∈ X, ∃l ∈ X 00 : l(f ) = f (x). Una sucesi´on {fn }n∈N ⊂ X 0 converge d´ebilmente si l(fn ) → l(f ), ∀l ∈ X 00 , es decir, fn (x) → f (x), ∀x ∈ X. El rec´ıproco no es cierto cuando X 6= X 00 pues pueden existir l ∈ X 00 \ X con lo que no se debe confundir la topolog´ıa d´ebil con la topolog´ıa d´ebil-∗ en X 0 . Como un simple corolario del teorema 5.9, se demuestra lo siguiente. 5.13.- Teorema. Una sucesi´ on {fn }n∈N de funcionales lineales acotados en un espacio de Banach X es convergente d´ebil-∗ y el l´ımite es lineal y acotado si y s´ olo si {kfn k}n∈N est´ a acotada y {fn (x)}n∈N es de Cauchy, para todo x ∈ M donde hM i = X. Tabla de los distintos tipos de convergencia Espacio

Tipo

Notaci´on

Definici´on

X

Fuerte

xn → x

kxn − xk → 0

X

D´ebil

L(X, Y ) Uniforme L(X, Y )

Fuerte

d

xn → x

f (xn ) → f (x), ∀f ∈ X 0

Tn → T

kTn − T k → 0

f

Tn → T d

kTn x − T xk → 0, ∀x ∈ X d

L(X, Y )

D´ebil

Tn → T

Tn x → T x, ∀x ∈ X

L(X, E)

Fuerte

fn → f

kfn − f k → 0

L(X, E)

D´ebil-∗

d∗

fn → f

kfn x − f xk → 0, ∀x ∈ X

En el estudio de espacios normados tiene importancia el teorema de BourbakiAlaoglu. Su enunciado es el siguiente: La esfera unitaria cerrada S ∗ = {f ∈ X 0 : kf k ≤ 1} en el espacio X 0 dual del espacio normado X es compacta en la topolog´ıa d´ebil-∗ de X 0 . 171

Por el teorema de Riesz (cap´ıtulo 2, teorema 5.3) sabemos que la esfera S ∗ no puede ser compacta en la topolog´ıa de la norma m´etrica de X 0 si dim X = ∞. El teorema anterior muestra que la topolog´ıa d´ebil-∗ no puede darse por una norma.

´ ABIERTA. 6. TEOREMA DE LA APLICACION

A continuaci´on vamos a establecer condiciones para que un operador acotado sea una aplicaci´on abierta y para que tenga inverso acotado. Nuevamente el marco natural son los espacios de Banach y la herramienta b´asica el teorema de categor´ıa de Baire. 6.1.- Definici´ on. Sean X, Y espacios m´etricos. Una aplicaci´on T : D(T ) → Y con D(T ) ⊂ X es abierta si para todo abierto A en D(T ), T (A) es abierto en Y . Observaci´ on. Si T no es sobre, hay que distinguir entre los conceptos de aplicaci´on abierta de D(T ) en Y o sobre su rango. Este segundo concepto es m´as d´ebil que el primero, porque si X ⊂ Y , la aplicaci´on identidad de X en Y es abierta si y s´olo si X es subconjunto abierto de Y , mientras que la identidad de X sobre su rango es siempre abierta. El teorema de la aplicaci´on abierta da condiciones para que un operador lineal sea abierto y para que tenga inverso acotado. Usaremos para su demostraci´on el siguiente lema previo. 6.2.- Lema (bola unidad abierta). Sean X, Y de Banach y T : X → Y un operador lineal acotado sobre. Si llamamos B0 = B(0, 1) ⊂ X, entonces T (B0 ) contiene una bola abierta de centro 0 ∈ Y. Demostraci´ on. Lo demostraremos en varios pasos: (a) Si B1 = B(0, 2−1 ), T (B1 ) contiene alguna bola B ∗ : S ∀x ∈ X, ∃k > 2kxk : x ∈ kB1 . Esto implica que X = ∞ k=1 kB1 . Como T es S∞ S∞ sobre y lineal, Y = T (X) = k=1 kT (B1 ) = k=1 kT (B1 ). Por el teorema de categor´ıa de Baire, Y es de segunda categor´ıa. Por tanto, alg´ un kT (B1 ) debe contener una bola abierta y tambi´en T (B1 ) contiene una bola abierta, digamos B ∗ = B(y0 , ε). En consecuencia, B ∗ − y0 = B(0, ε) ⊂ T (B1 ) − y0 . 172

(b) B ∗ − y0 ⊂ T (B0 ): B ∗ − y0 = B(0, ε) ⊂ T (B1 ) − y0 ⊂ T (B1 ) − T (B1 ) = 2 T (B1 ) = T (B0 ). (c) Si Bn = B(0, 2−n ) ⊂ X, entonces T (Bn ) contiene alguna bola Vn alrededor de 0 ∈ Y : Como T es lineal, T (Bn ) = 2−n T (B0 ). De aqu´ı se deduce que Vn = B(0, ε/2n ) ⊂ T (Bn ). (d) Por u ´ltimo, T (B0 ) contiene alguna bola abierta alrededor de 0 ∈ Y. M´as precisamente, veremos que V1 = B(0, ε/2) ⊂ T (B0 ): Sea y ∈ V1 . Entonces y ∈ T (B1 ) =⇒ ∃v ∈ T (B1 ) : ky − vk < ε/4. Pero v = T x1 con x1 ∈ B1 ; entonces ky − T x1 k < ε/4 =⇒ y − T x1 ∈ V2 ⊂ T (B2 ). Esto implica a su vez que ∃x2 ∈ B2 : k(y − T x1 ) − T x2 k < ε/8 =⇒ y − T x1 − T x2 ∈ V3 ⊂ T (B3 ) y as´ı sucesivamente. Existe entonces xn ∈ Bn tal que n X

y − T xi < ε/2n+1 , n ≥ 1. i=1

Sea zn = x1 + · · · + xn . Como xi ∈ Bi , kxi k < 2−i . Para n > m, kzn − zm k ≤

n X

kxk k <

k=m+1

∞ X k=m+1

1 →0 2k

si m → ∞. Por tanto, {zn }n∈N es de Cauchy y, por ser X completo, existe ∞ ∞ P P 1 kxk k < = 1. x ∈ X tal que zn → x. Adem´as, x ∈ B0 pues 2k k=1

k=1

Como T es continua, T zn → T x. Como adem´as T zn → y, T x = y lo que implica que y ∈ T (B0 ). ♦ 6.3.- Teorema (aplicaci´on abierta o inversa acotada). Sean X e Y espacios de Banach y T : X → Y un operador lineal acotado. a) Si T es sobre, entonces T es abierto. b) Si T es biyectiva, entonces T −1 es continua (y por tanto acotada). 173

Demostraci´ on. Debemos probar que si A ⊂ X es abierto, entonces T (A) es abierto. Para ello, si y = T x ∈ T (A), debe existir una bola abierta centrada en y y contenida en T (A). Sea pues y = T x ∈ T (A). Por ser A abierto, contiene una bola abierta de centro x. Entonces A − x ⊃ B(0, r). Si k = 1/r, k(A − x) ⊃ B(0, 1). Por el lema 6.2, T (k(A − x)) = k(T (A) − T x) contiene una bola de centro 0, como tambi´en T (A) − T x. Entonces T (A) contiene una bola abierta alrededor de T x = y. Si adem´as T es inyectiva, como T −1 es lineal, T es acotada.



En el teorema anterior las hip´otesis de completitud son esenciales como se muestra en los ejercicios al final del cap´ıtulo. Una consecuencia elemental es la siguiente. 6.4.- Corolario. Sea X un espacio vectorial que es de Banach con respecto a las normas k · k1 y k · k2 . Si existe c > 0 tal que kxk2 ≤ ckxk1 , ∀x ∈ X, entonces las normas son equivalentes. Basta tener en cuenta que la identidad es un operador acotado.

´ 7. TEOREMA DEL GRAFICO CERRADO.

En las aplicaciones pr´acticas, no todos los operadores son acotados (estos son particularmente importantes en Mec´anica Cu´antica). Sin embargo, pr´acticamente todos son cerrados (cuya definici´on veremos a continuaci´on), o al menos clausurables. El teorema del gr´afico cerrado, objeto de esta secci´on, da condiciones para que un operador cerrado sea acotado. 7.1.- Definici´ on. Dados dos espacios normados X, Y y un operador lineal T : D(T ) → Y con dominio D(T ) ⊂ X. Se dice que T es un operador cerrado si su gr´afico G(T ) = {(x, y) : x ∈ D(T ), y = T x} es cerrado en el espacio normado X × Y , definido mediante las operaciones (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ), α(x, y) = (αx, αy), y la norma k(x, y)k = kxkX + kykY . Observaci´ on. Si X e Y son de Banach, entonces X × Y tambi´en lo es. Sea, en efecto, una sucesi´on {zn }n∈N = {(xn , yn )}n∈N de Cauchy en X × Y . Entonces kzn − zm k = kxn − xm k + kyn − ym k < ε, ∀n, m > N. 174

Esto implica que {xn }n∈N , {yn }n∈N son de Cauchy en X e Y , respectivamente; por tanto convergen. Si xn → x, yn → y, entonces (xn , yn ) → (x, y), trivialmente. Ejemplos. 1) El adjunto de un operador es siempre cerrado (cap´ıtulo VII, corolario 1.9). 2) Si f : R → R es continua, entonces G(f ) es cerrado. Probaremos que, bajo ciertas condiciones, si el gr´afico es cerrado, la funci´on es continua. Probaremos en primer lugar una propiedad que es usada a veces como definici´on de operador cerrado. 7.2.- Teorema. Sea T : D(T ) ⊂ X → Y un operador lineal, donde X e Y son normados. Entonces T es cerrado si y s´ olo si cada vez que xn → x con xn ∈ D(T ) y T xn → y, entonces x ∈ D(T ) y T x = y. Demostraci´ on. a) Supongamos que T es cerrado y sea (xn )n∈N una sucesi´on en D(T ) tal que xn → x y T xn → y. Entonces: k(xn , T xn ) − (x, y)k = kxn − xkX + kT xn − ykY → 0. Como el gr´afico es cerrado, (x, y) ∈ G(T ), de modo que x ∈ D(T ) y T x = y. b) Rec´ıprocamente, para probar que G(T ) es cerrado, consideramos en G(T ) la sucesi´on ((xn , T xn ))n∈N tal que (xn , T xn ) → (x, y). Entonces kxn − xk + kT xn − yk → 0, con lo que kxn −xk → 0 y kT xn −yk → 0. Por hip´otesis, x ∈ D(T ) y T x = y, lo que quiere decir que (x, y) ∈ G(T ). ♦ 7.3.- Teorema (gr´afico cerrado). Sea T : D(T ) ⊂ X → Y un operador lineal entre dos espacios de Banach X e Y . Si D(T ) es cerrado en X, entonces T es cerrado si y s´ olo si T es acotado. Demostraci´ on. a) Si T es acotado, es continuo. Por el teorema anterior, es evidente que T es cerrado. b) Supongamos ahora que G(T ) es cerrado en X × Y , donde D(T ) es cerrado en X; en consecuencia, G(T ) y D(T ) son completos. Consideramos la aplicaci´on P : G(T ) → D(T ) definida como P (x, T x) = x que es lineal y acotada pues kP (x, T x)k = kxk ≤ kxk + kT xk = k(x, T x)k. Adem´as P es biyectiva porque su inversa P −1 : D(T ) → G(T ) es P −1 x = (x, T x). Podemos aplicar el teorema de la aplicaci´on abierta; as´ı P −1 es 175

acotada y existe k : k(x, T x)k ≤ kkxk, ∀x ∈ D(T ). Entonces T est´a acotado porque kT xk ≤ kxk + kT xk = k(x, T x)k ≤ kkxk, ∀x ∈ D(T ).



7.4.- Ejemplo (operador diferencial). Sea X = C[0, 1] y T : D(T ) → X definida por T x = x0 , donde x0 representa la derivada y D(T ) es el conjunto de funciones con derivada continua en [0, 1]. Entonces T es cerrado pero no acotado. Demostraci´ on. Si consideramos la sucesi´on {xn }n∈N definida por xn (t) = tn , t ∈ [0, 1], entonces T xn (t) = ntn−1 y kxn k = m´ax0≤t≤1 |xn (t)| = 1, con lo que kT xn k = n; por lo tanto no existe k ∈ R tal que kT xn k ≤ k. Entonces T no est´a acotado. Sea la sucesi´on {xn }n∈N en D(T ) tal que xn → x y T xn = x0n → y. Como la convergencia en norma de C[0, 1] es la convergencia uniforme, tenemos Z

t

Z y(s)ds =

0

t

l´ım x0n (s)ds

Z = l´ım n

0

Esto implica que x(t) = x(0) + y.

Rt 0

t

x0n (s)ds = x(t) − x(0).

0

y(s)ds y, por tanto, x ∈ D(T ) y x0 =

Por el teorema anterior, T es cerrado. Esto a su vez implica que D(T ) no es cerrado en X porque, en caso contrario, T ser´ıa acotado. ♦ Veamos a continuaci´on que tambi´en existen operadores acotados pero no cerrados. Si T : D(T ) → D(T ) ⊂ X es el operador identidad, donde D(T ) es un subespacio denso propio de X, es trivial que T es lineal y acotado, pero no es cerrado porque si x ∈ X \ D(T ), existe {xn }n∈N en D(T ) tal que xn → x. Sin embargo, existe una relaci´on como se expresa a continuaci´on. 7.5.- Lema. Sea T : D(T ) → Y un operador lineal acotado con dominio D(T ) ⊂ X y X, Y espacios normados. Entonces: (a) Si D(T ) es cerrado en X, entonces T es cerrado. (b) Si T es cerrado e Y es completo, entonces D(T ) es cerrado en X. Demostraci´ on. (a) Sea (xn )n∈N ⊂ D(T ) tal que xn → x y T xn → y. Entonces x ∈ D(T ) = D(T ) y T xn → T x porque T es continuo. (b) Sea x ∈ D(T ). Entonces existe {xn }n∈N en D(T ) tal que xn → x. Como T es acotado, kT xn − T xm k ≤ kT k · kxn − xm k. Por tanto, {T xn }n∈N es 176

de Cauchy, con lo que converge a y ∈ Y por ser Y completo. Como T es cerrado, x ∈ D(T ) (y T x = y), lo que prueba que D(T ) es cerrado. ♦

8. CLAUSURA DE UN OPERADOR.

En el apartado anterior se consideran operadores cerrados. Estudiaremos ahora la manera de construir operadores cerrados como extensi´on de ciertos operadores. Consideremos un operador lineal T : D(T ) ⊂ X → Y entre dos espacios normados X e Y . Como sabemos, T es cerrado si y s´olo si su grafo G(T ) es cerrado en X × Y . Supongamos ahora que T no es cerrado. 8.1.- Definici´ on. Se dice que T es clausurable si existe una extensi´on cerrada de T , es decir ∃T1 operador cerrado tal que T1 |D(T ) = T . 8.2.- Proposici´ on. Si T es clausurable, admite una extensi´ on cerrada minimal, llamada clausura de T y que representaremos por T . Adem´ as G( T ) = G(T ). Demostraci´ on. Sea T1 una extensi´on cerrada de T . Entonces G(T1 ) es cerrado y G(T ) ⊂ G(T1 ) as´ı como G(T ) ⊂ G(T1 ). Por tanto G(T ) no contiene puntos de la forma (0, y) con y 6= 0. Esto a su vez implica que G(T ) es el gr´afico de un operador, que llamaremos T , el cual es evidentemente cerrado. Cualquier otro operador cerrado T 0 que sea extensi´on de T deber´a verificar que G(T ) ⊂ G(T 0 ) de donde G( T ) = G(T ) ⊂ G(T 0 ), es decir ser´a tambi´en extensi´on de T . ♦ De lo anterior se deduce que x ∈ D( T ) si y s´olo si existe una sucesi´on (xn )n∈N contenida en D(T ) tal que xn → x y T xn → T x, con lo que D(T ) ⊂ D( T ) ⊂ D(T ). Damos a continuaci´on algunas caracterizaciones de los operadores clausurables. 8.3.- Proposici´ on. Dado un operador lineal T : D(T ) ⊂ X → Y , son equivalentes: i) T es clausurable. ii) G(T ) no contiene puntos de la forma (0, y) con y 6= 0. iii) Si (xn )n∈N ⊂ D(T ) es tal que xn → 0, T xn → y, entonces y = 0. 177

Para la demostraci´on basta tener en cuenta el resultado anterior y el hecho de que, si (0, y) ∈ G(T ), existe (xn )n∈N ⊂ D(T ) tal que xn → 0, T xn → y, de modo que iii) =⇒ ii). 8.4.- Ejemplo. Consideramos el operador derivaci´on T x = x0 en el espacio L2 [0, 1]. En este caso D(T ) = {x ∈ L2 [0, 1] : ∃x0 ∈ L2 [0, 1]}. Este operador ya no es cerrado como lo era en el caso de las funciones continuas. Veamos sin embargo que es clausurable. Sea para ello z ∈ C01 [0, 1] una funci´on de clase R1 C 1 que se anula en los extremos 0 y 1. Si x ∈ D(T ), entonces 0 x0 (t)z(t)dt = R1 − 0 z 0 (t)x(t)dt. Sea (xn )n∈N ⊂ D(T ) una sucesi´on tal que xn → 0 y T xn = x0n → y. Como Z 1 1 0 ∀z ∈ C0 [0, 1], hy, zi = l´ımhxn , zi = l´ım x0n (t)z(t)dt 0 Z 1 = − l´ım xn (t)z 0 (t)dt = − l´ımhxn , z 0 i = 0, 0

al ser C01 denso en L2 [0, 1], ser´a y = 0. Por la proposici´on anterior se deduce que T es clausurable. As´ı pues, D( T ) es el espacio de las funciones x ∈ L2 [0, 1] para las cuales ∃(xn )n∈N ⊂ C01 [0, 1], con kxn − xk2 → 0 y ∃y ∈ L2 [0, 1], con kx0n − yk2 → 0. Aunque un elemento de D( T ) puede no ser derivable, la funci´on y se llama derivada generalizada de x en sentido de Sobolev. El espacio D( T ) se suele designar por W20 y llamarse espacio de Sobolev. Mostramos por u ´ltimo una clase particular de operadores clausurables, para los que D( T ) = D(T ) y obtenidos mediante el principio de extensi´on por continuidad. Para ello supondremos que T : D(T ) ⊂ X → Y es un operador lineal acotado e Y es de Banach. 8.6.- Lema. Bajo las condiciones anteriores, existe un u ´nico operador lineal acotado Tb definido en D(T ), que extiende a T y tal que kT k = kTbk. Dicho operador es precisamente la clausura de T . Para probar este resultado basta definir Tb como Tbx = l´ım T xn , donde xn ∈ D(T ) y xn → x. CONSIDERACIONES FINALES. Un contexto m´as abstracto donde se pueden enunciar versiones m´as generales de los resultados del cap´ıtulo corresponde a los espacios de Fr´echet, que son espacios vectoriales topol´ogicos cuya topolog´ıa est´a inducida por una m´etrica invariante por traslaciones y completa (ver [Ru]). Se deja al lector el an´alisis comparativo de los resultados en uno y otro contexto. 178

EJERCICIOS.

1. Si un funcional sub-aditivo p sobre un espacio normado X es continuo en 0 y p(0) = 0, probar que p es continuo para todo x. Resp.: Por hip´otesis, si xn → 0, p(xn ) → p(0) = 0. Sea ahora una sucesi´on (yn )n∈N tal que yn → y. Entonces yn − y → 0 =⇒ p(yn − y) → 0 y − yn → 0 =⇒ p(y − yn ) → 0. Ahora bien,   p(yn ) − p(y) ≤ p(yn − y) → 0 =⇒ p(yn ) → p(y). |p(yn ) − p(y)| = ´o   p(y) − p(yn ) ≤ p(y − yn ) → 0   2. Probar que un funcional p : X → E sobre un espacio vectorial X es una seminorma si y s´ olo si es sim´ etrica y convexa. Resp.: =⇒) Si p es seminorma, debemos ver que es convexa: ∀x ∈ X, α ∈ [0, 1] : p(αx + (1 − α)y) ≤ p(αx) + p((1 − α)y) = αp(x) + (1 − α)p(y). ⇐=) Veamos ahora que p es subaditiva: p(x + y) = 2p(x/2 + y/2) ≤ 2 ·

 1 1 p(x) + p(y) = p(x) + p(y). 2 2

  3. Sea p un funcional sub-lineal sobre un espacio vectorial real X . Si x0 es un elemento fijo de X , llamamos Z = {x ∈ X : x = αx0 , α ∈ R}

y definimos f (x) = αp(x0 ), para todo x ∈ Z . Probar que existe F : X → R lineal tal que F (x) ≤ p(x), ∀x ∈ X. Resp.: Basta probar que f es lineal sobre Z y verifica f (x) ≤ p(x), ∀x ∈ Z. El resto se deduce del teorema de Hahn-Banach. 179

• Si x = x0 , f (x0 = p(x0 ). • Si x = αx0 , α > 0 : f (x) = αp(x0 ) = p(αx0 ) = p(x). • Si x = αx0 , α < 0 : f (x) = αp(x0 ) = −(−αp(x0 )) = −p(−αx0 ) = −p(−x). Como p es sub-lineal, p(0) ≤ p(x) + p(−x), pero p(0) ≥ 0, lo que implica que −p(−x) ≤ p(x) y as´ı f (x) ≤ p(x).   4. Sean X e Y dos espacios de Banach y T ∈ L(X, Y ). Se define el adjunto de T como el operador T ∗ : Y 0 → X 0 definido por (T ∗ g)(x) = g(T x), ∀g ∈ Y 0 , x ∈ X.

Probar que T ∗ ∈ L(Y 0 , X 0 ) y kT ∗ k = kT k. Resp.: Veamos en primer lugar que T ∗ es lineal y acotado. • T ∗ es lineal pues, ∀x ∈ X: T ∗ (λ1 g1 + λ2 g2 )(x) = (λ1 g1 + λ2 g2 )(T x) = λ1 g1 (T x) + λ2 g2 (T x) = λ1 (T ∗ g1 )(x) + λ2 (T ∗ g2 )(x) = (λ1 T ∗ g1 + λ2 T ∗ g2 )(x). • T ∗ acotado: Por definici´on, kT ∗ k = sup kT ∗ gk con kT ∗ gk = sup |(T ∗ g)(x)| = sup |g(T x)|. kgk=1

kxk=1

kxk=1

Ahora bien, como |g(T x)| ≤ kgk · kT xk ≤ kgk · kT k · kxk, ∀x, se deduce que kT ∗ gk ≤ kgk · kT k. Por tanto, kT ∗ k ≤ kT k. • Para probar que kT ∗ k = kT k, usaremos el siguiente resultado (corolario 2.2 del teorema de Hahn-Banach): ∀x ∈ X, ∃g ∈ Y 0 : kgk = 1, g(T x) = kT xk. Por tanto, kT xk = g(T x) = (T ∗ g)(x) ≤ kT ∗ gk·kxk ≤ kT ∗ k·kgk·kxk = kT ∗ k·kxk, lo cual implica que kT k ≤ kT ∗ k.  

180

5. Sea X un espacio de Banach. Dados dos subespacios M ⊂ X , N ⊂ X 0 , se definen los anuladores de M y N como M ⊥ = {f ∈ X 0 : f (x) = 0, ∀x ∈ M }, ⊥

N

= {x ∈ X : g(x) = 0, ∀g ∈ N },

respectivamente. a) Probar que M ⊥ y ⊥ N son subespacios cerrados de X 0 y X , respectivamente, y que ⊥ (M ⊥ ) = M . b) Si M es un subespacio cerrado de X , probar que existe un isomorfismo isom´ etrico entre M 0 y X 0 /M ⊥ . c) Probar que N (T ∗ ) = R(T )⊥ y N (T ) = ⊥ R(T ∗ ). Resp.: a) Es f´acil comprobar que M ⊥ y ⊥ N son subespacios. Veamos que son cerrados: • Si f ∈ M ⊥ , ∃{fn }n∈N ⊂ M ⊥ : fn → f , es decir kfn − f k → 0. Como fn ∈ M ⊥ , fn (x) = 0, ∀x ∈ M . Adem´as, |fn (x) − f (x)| = k(fn − f )(x)k ≤ kfn − f k · kxk → 0, de modo que f (x) = 0, ∀x ∈ M , es decir f ∈ M ⊥ . • Sea x ∈ ⊥ N . Entonces ∃{xn }n∈N ⊂ ⊥ N tal que kxn − xk → 0. Por definici´on, g(xn ) = 0, ∀g ∈ N . Adem´as |g(xn ) − g(x)| = |g(xn − x)| ≤ kgk · kxn − xk → 0, de modo que g(x) = 0, ∀g ∈ N , es decir x ∈ ⊥ N . Veamos ahora que ⊥ (M ⊥ ) = M . • Si x ∈ M , f (x) = 0 cuando f ∈ M ⊥ . Por tanto, x ∈ ⊥ (M ⊥ ). Como ⊥ (M ⊥ ) es cerrado, M ⊂ ⊥ (M ⊥ ). • Supongamos por reducci´on al absurdo que ∃y ∈ ⊥ (M ⊥ ) pero y 6∈ M . Entonces d(y, M ) = d > 0. Por el teorema de Hahn-Banach, ∃f ∈ X 0 , con kf k = 1, tal que f (x) = 0, ∀x ∈ M (es decir f ∈ M ⊥ ) y f (y) 6= 0. Por otro lado, como y ∈ ⊥ (M ⊥ ), f (y) = 0, ∀f ∈ M ⊥ lo que es absurdo. b) Dado m0 ∈ M 0 , por el teorema de Hahn-Banach, existe x0 ∈ X 0 extensi´on lineal de m0 con kx0 k = km0 k. Definimos as´ı σ : M 0 → X 0 /M ⊥ por σ(m0 ) = x0 + M ⊥ . • σ est´a bien definida: Si x0 , y 0 son extensiones de m0 , x0 − y 0 ∈ M ⊥ , de donde x0 + M ⊥ = y0 + M ⊥. 181

• σ es lineal: Si z 0 + M ⊥ = σ(m0 + n0 ), x0 + M ⊥ = σ(m0 ), y 0 + M ⊥ = σ(n0 ), entonces x0 |M = m0 , y 0 |M = n0 y z 0 |M = m0 + n0 , de donde (x0 + y 0 − z 0 )(m) = m0 (m) + n0 (m) − (m0 + n0 )(m) = 0, ∀m ∈ M por lo que x0 + y 0 − z 0 ∈ M ⊥ y σ(m0 + n0 ) = σ(m0 ) + σ(n0 ). An´alogamente se prueba la homogeneidad de σ. • σ es sobre: Dado x0 +M ⊥ ∈ X 0 /M ⊥ , llamamos m0 = x0 |M . Entonces m0 ∈ M 0 y σ(m0 ) = x0 + M ⊥ . • σ es isometr´ıa: Si m0 ∈ M 0 y x0 ∈ X 0 es una extensi´on de m0 , entonces km0 k ≤ kx0 k. Como kx0 + M ⊥ k = ´ınf{kx0 + m01 k : m01 ∈ M ⊥ } ≤ kx0 k, entonces km0 k ≤ kσ(m0 )k ≤ kx0 k. Por el teorema de HahnBanach, existe x0 extensi´on de m0 con kx0 k = km0 k. Entonces km0 k = kσ(m0 )k. c) Aplicando las definiciones, se deduce f´acilmente que: ∈ N (T ∗ ) ⇐⇒ T ∗ g = 0 ⇐⇒ (T ∗ g)(x) = 0, ∀x ∈ X ⇐⇒ g(T x) = 0, ∀x ∈ X ⇐⇒ g ∈ R(T )⊥ . x ∈ N (T ) ⇐⇒ T x = 0 ⇐⇒ g(T x) = 0, ∀g ∈ Y 0 ⇐⇒ (T ∗ g)(x) = 0, ∀g ∈ Y 0 ⇐⇒ f (x) = 0, ∀f ∈ R(T ∗ ) ⇐⇒ x ∈ ⊥ R(T ∗ ).   6. a) Sea X un espacio normado y M ⊂ X un subespacio. Probar la equivalencia: M = X ⇐⇒ M ⊥ = 0.

b) Sean X e Y dos espacios normados y T ∈ L(X, Y ). Probar que T ∗ es inyectiva si y s´ olo si R(T ) es denso en Y. Resp.: a) =⇒: Dado x ∈ X, por hip´otesis ∃{xn }n∈N ⊂ M tal que xn → x. Si f ∈ X 0 es tal que f (x) = 0, ∀x ∈ M , entonces f (xn ) = 0. Por la continuidad de f se deduce que f (xn ) → f (x) de modo que f (x) = 0. ⇐=: Sea ahora x ∈ X y llamamos d = d(x, M ). Si x 6∈ M , entonces d > 0 y existe F ∈ X 0 tal que kF k = 1, F (x) = d y F (z) = 0, ∀z ∈ M . Por hip´otesis, como F (z) = 0, ∀z ∈ M , entonces F (x) = 0, de modo que d = 0, lo que es absurdo. 182

b) =⇒: Supongamos que T ∗ es inyectiva. Si R(T ) 6= Y , por el apartado a), existe un funcional g ∈ Y 0 no nulo tal que g(y) = 0, ∀y ∈ R(T ). Esto implica que g(T x) = 0, ∀x ∈ X y, por definici´on del adjunto, (T ∗ g)(x) = 0, ∀x ∈ X, es decir, T ∗ g = 0. Esto implica que g ∈ N (T ∗ ), lo que contradice la hip´otesis. ⇐=: Rec´ıprocamente, si R(T ) = Y , por el apartado a), todo funcional g ∈ Y 0 tal que g(y) = 0, ∀y ∈ R(T ), es nulo. Pero g(y) = 0, ∀y ∈ R(T ) implica que g(T x) = 0, ∀x ∈ X, es decir (T ∗ g)(x) = 0, ∀x ∈ X. De la afirmaci´on anterior se deduce que N (T ∗ ) = 0, es decir T ∗ es inyectiva.   7. Sea X un espacio normado. Probar que ∀x ∈ X, ∃f ∈ X 0 tal que kf k = kxk y f (x) = kxk2 . Concluir que ∀x ∈ X, kxk = sup{|f (x)| : f ∈ X 0 , kf k ≤ 1}. Resp.: Fijado x ∈ X, definimos M = {λx : λ ∈ E} y f0 (λx) = λkxk2 . As´ı definido, f0 : M → E es lineal y acotado y k0 f k = kxk. Por el teorema de Hahn-Banach, ∃f : X ∈ E : f (x) = kxk2 y kf k = kxk. Para probar la segunda parte, por un lado, como ∀f ∈ X 0 , |f (x)| ≤ kf k · kxk, entonces sup{|f (x)| : f ∈ X 0 , kf k ≤ 1} ≤ kxk. Por otra parte, si aplicamos el apartado anterior, dado x, ∃f ∈ X 0 (x) tal que kf k = kxk y f (x) = kxk2 . Si definimos f1 (x) = fkxk , entonces kf1 k = 1 y f1 (x) = kxk lo que implica que kxk ≤ sup{|f (x)| : f ∈ X 0 , kf k ≤ 1}.   8. Sean X, Y espacios normados y x0 ∈ X , x0 6= 0. Dado y0 ∈ Y , probar que existe T : X → Y lineal y continua tal que T (x0 ) = y0 , de forma que kT k · kx0 k = ky0 k. Resp.: Si definimos f0 : h{x0 }i → E por f0 (λx0 ) = λ, entonces f0 es lineal y continua. Adem´as kf0 k = supλ6=0 |f0 (λx0 )|/kλx0 k = 1/kx0 k. Por el teorema de Hahn-Banach, ∃f ∈ X 0 : f |h{x0 }i = f0 y kf k = kf0 k = kx10 k . 183

Dado y0 ∈ Y, definimos g : E → Y por g(λ) = λy0 . Entonces g es lineal y continua, por lo que T = g ◦ f es lineal y continua. Adem´as T (x0 ) = (g ◦ f )(x0 ) = y0 y k(g ◦ f )(x)k = kf (x)y0 k = |f (x)| · ky0 k lo que implica que kT k = sup x6=0

k(g ◦ f )(x)k |f (x)| · ky0 k ky0 k = sup = kf k · ky0 k = . kxk kxk kx 0k x6=0  

9. Sean X, Y espacios normados con X 6= {0}. Probar que Y es de Banach si L(X, Y ) es de Banach. Resp.: Sea {yn }n∈N una sucesi´on de Cauchy en Y . Como X 6= {0}, ∃x0 ∈ X con kx0 k = 1. Por un corolario del teorema de Hahn-Banach, ∃f ∈ X 0 tal que f (x0 ) = 1 y kf k = 1. Definimos la sucesi´on {Tn }n∈N de operadores Tn : X → Y por Tn (x) = f (x)yn , que es evidentemente lineal. Como f es continua, ∃M > 0 : |f (x)| ≤ M kxk, ∀x ∈ X; entonces kTn (x)k = kf (x)yn k = |f (x)| · kyn k ≤ M kyn k · kxk, ∀x ∈ X, lo que implica que cada Tn es continua. Como kf k = 1,

|f (x)| kxk

≤ 1, ∀x 6= 0, es decir |f (x)| ≤ kxk; entonces

kTn (x)k = |f (x)| · kyn k ≤ kxk · kyn k =⇒ kTn k ≤ kyn k. Adem´as, como kTn (x0 )k = |f (x0 )| · kyn k = kyn k =⇒ kyn k ≤ kTn k. Los resultados anteriores muestran pues que kTn k = kyn k. As´ı pues, {Tn }n∈N es tambi´en de Cauchy y, por ser L(X, Y ) de Banach, ∃T ∈ L(X, Y ) tal que Tn → T . Probaremos que {yn }n∈N converge a T (x0 ). En efecto, como kyn − T (x0 )k = kTn (x0 ) − T (x0 )k = k(Tn − T )(x0 )k ≤ kTn − T k · kx0 k = kTn − T k, dado ε > 0, ∃n0 : kTn − T k < ε, ∀n ≥ n0 y tambi´en kyn − T (x0 )k < ε, ∀n ≥ n0 .  

184

10. Sea X un espacio normado y x ∈ X un elemento de norma 1. Probar que existe un subespacio cerrado M de X tal que X = M ⊕ h{x}i y d(x, M ) = 1. Resp.: Definimos f : h{x}i → E por f (αx) = α. Como |f (αx)| = |α| = |α| · kxk, es claro que kf k = 1. Por el teorema de Hahn-Banach, ∃F : X → E lineal y acotado tal que kF k = 1 y F (x) = 1. Sea M = N (F ), que es un subespacio cerrado de X. Para todo y ∈ X, si llamamos α = F (y), F (y − αx) = F (y) − αF (x) = 0, es decir, y − αx ∈ M. De este modo, y = αx + m, con m ∈ M. Adem´as, como kF k = 1, entonces |F (y)| ≤ kyk, ∀y ∈ X. En particular, si y = x−m, |F (y)| = 1 y 1 ≤ kx−mk, lo que implica que d(x, M ) ≥ 1. Ahora bien, como kxk = kx − 0k = 1, d(x, M ) = 1.   11. Sea S(0, r) una esfera arbitraria en un espacio normado X y x0 ∈ S(0, r) un punto cualquiera. Probar que existe un hiperplano H0 a contenida que contiene a x0 y tal que la bola cerrada B(0, r) est´ en uno de los dos semiespacios determinados por H0 . Resp.: Es consecuencia del anterior. Obtenemos M = N (F ) y definimos H0 = x0 + M , H0 = {x ∈ X : F (x) = r}. Gr´aficamente, la idea es la siguiente:

x0 h{x0 }i   12. Sea S : `2 → `2 el operador definido por S(x1 , x2 , . . . ) = (x3 , x4 , . . . ) 185

y llamamos Tn = S n . Encontrar una cota para kTn xk y calcular l´ımn kTn xk, kTn k, l´ımn kTn k. Resp.: Es f´acil comprobar que Tn (x1 , x2 , . . . ) = S n (x1 , x2 , . . . ) = (x2n+1 , x2n+2 , . . . ). P Entonces, kTn xk2 = ( k≥2n+1 |xk |2 )1/2 ≤ kxk2 , de donde l´ımn kTn xk = 0 por ser el resto de una serie convergente. Adem´as, como kTn xk ≤ kxk, kTn k ≤ 1. Por otra parte, para e1 = (1, 0, 0, . . . ), kTn e1 k = ke2n+1 k = ke1 k, lo que implica que kTn k = 1, de donde l´ımn kTn k = 1. Obs´ervese que l´ımn kTn xk = 6 l´ımn kTn k · kxk.   13. Sean (X1 , k · k1 ) un espacio normado y (X2 , k · k2 ) un espacio de Banach. Consideramos la familia {Tα }α∈I ⊂ L(X1 , X2 ) tal que l´ım supα kTα k < ∞. Sea L = {x ∈ X1 : ∃ l´ımα Tα (x)}. Probar que L es un subespacio cerrado de X1 . Concluir que si {Tα (x)}α converge para todo x ∈ M , para alg´ un M denso en X1 , entonces {Tα (x)}α converge para todo x ∈ X1 . Resp.: a) La prueba de que L es subespacio es directa. Veamos que es cerrado: Sea x ∈ L; entonces ∃xn ∈ L : xn → x. Como xn ∈ L, ∃ l´ımα Tα xn = yn . As´ı, {yn }n∈N es una sucesi´on en X2 tal que kTα xn − Tα xm k ≤ kTα k · kxn − xm k → 0, de donde kyn − ym k → 0. Como X2 es completo, ∃y ∈ X2 : yn → y. Veamos que l´ımα Tα x = y: |Tα x − yk ≤ kTα x − Tα xn k + kTα xn − yn k + kyn − yk ≤ kTα k · kx − xn k + kTα xn − yn k + kyn − yk → 0. Esto quiere decir que x ∈ L y L es cerrado. b) Supongamos por el contrario que ∃x ∈ X1 : {Tα x}α no converge; entonces x 6∈ L. 186

Como M = X1 , ∃xn ∈ M : xn → x. Entonces {Tα xn }α converge, ∀n, de donde xn ∈ L, ∀n. De aqu´ı, x ∈ L = L, lo que contradice lo anterior.   14. Probar que la completitud de un espacio X es esencial en el teorema de acotaci´ on uniforme. Resp.: Consideramos el conjunto X = {x ∈ `∞ : ∃N = N (x), xn = 0, ∀n > N } y definimos la sucesi´on de funcionales Tn : X → E por Tn (x) = nxn . Est´a claro que X no es completo pues x(n) = (1, .(n) . ., 1/n, 0, . . . ) ∈ X pero l´ımn x(n) = (1, 1/2, . . . ) 6∈ X. ( 0 si n > N Como ∀x ∈ X, ∃N : xn = 0, ∀n > N , entonces Tn x = nxn si n ≤ N. As´ı pues, |Tn x| = 0 si n > N y |Tn x| ≤ N · kxk si n ≤ N. n x| Como kTn k ≥ |Tkxk , ∀x 6= 0, tomando x = (1, .(n) . ., 1, 0, . . . ), entonces Tn x = n y kxk = 1, de donde kTn k ≥ n y {kTn k}n∈N no est´a acotado.

  15. Sea c0 ⊂ `∞ el subespacio de las sucesiones complejasPque convergen a cero, y sea y = (yn )n∈N una sucesi´ on talPque n∈N xn yn converge para todo x = (xn )n∈N ∈ c0 . Probar que n∈N |yn | < ∞. Resp.: Definimos Tn : c0 → C por Tn x = M = {y = (yn )n :

X

Pn

k=1 xk yk ,

∀y ∈ M , donde

xn yn converge, ∀x ∈ c0 }.

n∈N

P P Como |Tn x| = nk=1 xk yk est´a acotado por ser { nk=1 xk yk }n∈N una sucesi´on convergente (sucesi´on de sumas parciales de una serie convergente), podemos aplicar el teorema de acotaci´on uniforme. De lo anterior se deduce que kTn k ≤ c, ∀n. Como Pn |Tn x| k=1 xk yk kTn k ≥ = , kxk kxk 187

P |yk |

(

P si k ≤ n y resulta kTn k ≥ = nk=1 |yk |. 1 si k > n, P Tenemos as´ı una sucesi´on { nk=1 |yk |}n∈N acotada superiormente y Pn creciente (todos sus t´erminos son positivos). Entonces { k=1 |yk |}n∈N P converge y la serie correspondiente ∞ |y | es convergente. k k=1 elegimos x =

y k /|yk | 0

  16. Si X e Y son espacios de Banach y Tn ∈ L(X, Y ), n ≥ 1, probar la equivalencia de las siguientes proposiciones:

i) {kTn k}n es acotada. ii) {kTn xk}n es acotada para todo x ∈ X . iii) {|g(Tn x)|}n es acotada para todo x ∈ X y todo g ∈ Y 0 . Resp.: i) =⇒ ii) =⇒ iii) son evidentes. iii) =⇒ i). Para cada x ∈ X, definimos la sucesi´on de funcionales yn : Y 0 → C por yn (g) = g(Tn x). Por hip´otesis, {|yn (g)|}n∈N est´a acotada lo que implica que {kyn k}n∈N es acotada. Pero, como kyn k = kTn xk, por el teorema de acotaci´on uniforme, {kTn k}n∈N est´a acotada.   d

17. Si xn → x0 en un espacio normado X , probar que x0 ∈ M , donde M = h{xn }n∈N i. Resp.: Si, por el contrario, x0 6∈ M , por un corolario del teorema de Hahn-Banach, llamando d = d(x0 , M ) > 0, existe f ∈ X 0 : kf k = 1, f (y) = 0, ∀y ∈ M y f (x0 ) = d. Ahora bien, como xn ∈ M, f (xn ) = 0, ∀n ∈ N, y de la convergencia d

xn → x0 , se deduce que f (xn ) → f (x0 ). Por lo tanto, f (x0 ) = 0, lo que contradice la suposici´on anterior.   18. Sea H un espacio de Hilbert y {ek }k∈N una base ortonormal. Dada una sucesi´ on {xn }n∈N en H , probar que d

xn → x ⇐⇒ hxn , ek i → hx, ek i, ∀k . 188

Resp.: =⇒: Para cada ek existe, por el teorema de representaci´on de Riesz, un funcional fk ∈ H 0 tal que hx, ek i = fk (x), ∀x ∈ H. Como, por hip´otesis, fk (xn ) → fk (x), deducimos que hxn , ek i → hx, ek i. ⇐=: Sea f ∈ H 0 arbitrario. Nuevamente por el teorema de representaci´on de Riesz, existe un u ´nico elemento y ∈ H tal queP f (x) = hx, yi, ∀x ∈ H. Al ser {ek }k∈N una base ortonormal de H, y = k∈N hy, ek iek , de modo que X X f (x) = hx, yi = hy, ek ihx, ek i y f (xn ) = hxn , yi = hy, ek ihxn , ek i. k∈N

k∈N

De estas igualdades y de la hip´otesis hxn , ek i → hx, ek i se deduce la d

convergencia f (xn ) → f (x), es decir xn → x.   R1 19. En el espacio C[0, 1] con la norma kf k = 0 |f (t)|dt, encontrar una sucesi´ on (fn )n∈N convergente en norma a g ∈ C[0, 1] pero no convergente puntualmente. R1 Resp.: Definimos fn (t) = tn . As´ı kfn k = 0 tn dt = 1/(n + 1) de modo que fn → 0 en la norma k · k1 . ( 0 si t < 1 n Por otra parte, l´ımn→∞ t = que no es continua en 1 si t = 1, [0, 1].   20. a) Se define la sucesi´ on fn : [0, ∞) → R por ( n −n/2x2 si x 6= 0, 3e fn (x) = x 0 si x = 0.

Estudiar la convergencia puntual, en L1 y en L∞ . b) Idem para la sucesi´ on fn (x) = sen2

π x

· χ[

1 ,1 n+1 n

] (x), fn (0) = 0.

Resp.: a) Como n −n/2x2 n/x3 1/x3 e = l´ ım = l´ ım =0 n→∞ x3 n→∞ en/2x2 n→∞ (1/2x2 )en/2x2 l´ım

189

si x 6= 0, entonces fn → 0 puntualmente pues |fn (x)| → 0, ∀x ∈ [0, ∞]. Por otra parte, Z



kfn k1 = 0

n −n/2x2 2 B e dx = l´ım e−n/2x 0 = 1 3 B→∞ x

lo que implica que fn 6→ 0 en L1 . Para estudiar la convergencia en L∞ , calculemos kfn k∞ = sup x∈[0,∞]

n −n/2x2 e . x3

Debido a que 3n  −n/2x2 n  n − 3x2  −n/2x2 e = e , x6 x4 x4 x2 p se deduce que fn alcanza el m´aximo en x = n/3. De aqu´ı, √ p 3 3 3/2 kfn k∞ = fn ( n/3) = √ e → 0 n fn0 (x) =

 n2



cuando n → ∞; por tanto, fn → 0 en la norma uniforme. b) Para los valores x 6∈ [0, 1], fn (x) = 0, con lo que fn (x) → 0. h i Si x ∈ (0, 1], ∃n0 ∈ N : x > 1/n0 , es decir x 6∈ n01+1 , n10 ; entonces fn (x) = 0, ∀n > n0 , y nuevamente fn (x) → 0. La convergencia no es uniforme porque, tomando xn = que xn → 0 pero l´ımn→∞ fn (xn ) = 1 6= f (0) = 0.

2 2n+1 ,

es claro

Para cualquier p ≥ 1 tenemos: Z ∞ Z 1  n π p 1 1 1 kfn kpp = |fn (x)|p dx = sen2 = → 0. dx ≤ − 1 x n n + 1 n(n + 1) −∞ n+1

De aqu´ı se deduce que fn → 0 en Lp , ∀p ≥ 1.   21. Sean X un espacio de Banach, Y normado y Tn ∈ L(X, Y ). Si {Tn }n∈N converge fuertemente, probar que {kTn k}n∈N es acotado. O bien: si Tn x → T x, ∀x ∈ X =⇒ T ∈ L(X, Y ). Resp.: Por hip´otesis, la sucesi´on {Tn x}n∈N converge, ∀x ∈ X. Esto implica que {kTn xk}n∈N es acotado. Por el teorema de acotaci´on uniforme, {kTn k}n∈N es acotado.  

190

22. Probar que el operador T : L1 [1, ∞) → L1 [1, ∞) definido por (T f )(t) = t−1 f (t) es acotado pero no abierto. Resp.: Debido a la acotaci´on Z Z ∞ |T f (t)|dt = kT f k1 =



1

1

Z ∞ f (t) |f (t)|dt = kf k1 , dt ≤ t 1

resulta que kT k ≤ 1. Para ver que no es abierto, basta encontrar una sucesi´on de funciones gn ∈ R(T ), con gn → 0 pero kT −1 gn k > 1. ( 2/n2 , t ∈ (1, n + 1) En efecto, si definimos gn (t) = , entonces: 0 resto Z

n+1

|tgn (t)k =

(n + 1)2 − 1 2 dt = > 1, n2 n2 2 2[(n + 1) − 1] dt = → 0. 2 n n2

t· 1

Z kgn k = 1

n+1

Adem´as, gn ∈ R(T ) pues t · gn (t) ∈ L1 .   23. Sea X el subespacio de `∞ formado por las sucesiones que tienen como m´ aximo un n´ umero finito de t´ erminos no nulos y sea T : X → X el operador definido por y = T x = (x1 , x2 /2, x3 /3, . . . ). Probar que T es lineal y acotado pero T −1 no est´ a acotado. ¿Contradice esto el teorema de la aplicaci´ on abierta? Resp.: Es evidente que T es lineal. Para ver que es acotado, basta observar que kT xk∞ = k( xnn )k∞ ≤ kxk∞ , de donde kT k ≤ 1. T es sobre pues ∀x ∈ X, ∃y = (nxn )n∈N ∈ X : T y = x. T es inyectiva: x 6= y =⇒ ∃n ∈ N : xn 6= yn =⇒

xn n

6=

yn n

=⇒ T x 6= T y.

Sin embargo T −1 no es acotado pues, debido a que kT −1 yk = knyn k, −1 (y ) = (nδ )∞ , de donde si elegimos yn = (δnk )∞ n nk k=1 k=1 , entonces T −1 kT yn k = n → ∞. Al no ser X de Banach, no es aplicable el teorema de la aplicaci´on abierta.  

191

24. En el espacio X de las funciones reales continuas en [0, 1] se Rt define el operador T : X → X por (T f )(t) = 0 f (s)ds, ∀t ∈ [0, 1]. Encontrar Y = R(T ). Probar que T : X → Y es un operador lineal acotado y biyectivo pero T −1 : Y → X no es acotado como podr´ıa esperarse del teorema de la aplicaci´ on abierta. ¿Por qu´ e? Rt Resp.: Si g ∈ R(T ), ∃f ∈ X : g(t) = 0 f (s)ds =⇒ g 0 (x) = f (x), g(0) = 0. Por tanto, R(T ) = {g ∈ C 1 [0, 1] : g(0) = 0}. Veamos que T es acotado: Z t |f (s)|ds ≤ kf k∞ · t =⇒ kT f k ≤ kf k∞ . |(T f )(t)| ≤ 0

Adem´as, T es inyectiva pues, si T f = 0, entonces f (t) = 0, ∀t =⇒ f = 0.

Rt 0

f (s)ds = 0, ∀t =⇒

Sin embargo, T −1 no es acotado pues T −1 g = g 0 (operador derivada). No se puede aplicar el teorema de la aplicaci´on abierta porque el espacio X no es completo.   25. Sean X e Y espacios de Banach y T : X → Y un operador lineal acotado e inyectivo. Probar que T −1 : R(T ) → X es acotado si y s´ olo si R(T ) es cerrado en Y . Resp.: a) Si R(T ) es cerrado, es completo. Por el teorema de la aplicaci´on abierta, como T : X → R(T ) es biyectivo, ∃T −1 : R(T ) → X acotado. b) Sea y ∈ R(T ); entonces ∃(yn )n∈N ⊂ R(T ) : yn → y y ∃(xn )n∈N ⊂ X : T xn = yn . Como kxn − xm k = kT −1 (yn − ym )k ≤ kT −1 k · kyn − ym k → 0, y X es de Banach, ∃x = l´ımn xn . Por u ´ltimo, teniendo en cuenta que kyn − T xk = kT xn − T xk ≤ kT k · kxn − xk → 0, deducimos que T x = y, es decir y ∈ R(T ).  

192

26. Sea T un operador lineal cerrado. Si dos sucesiones {xn }n∈N e {yn }n∈N en D(T ) convergen al mismo l´ımite x y si {T xn }n∈N y {T yn }n∈N convergen, probar que {T xn }n∈N y {T yn }n∈N tienen el mismo l´ımite. Resp.: Si xn → x, yn → x, entonces xn − yn → 0. Por otra parte, si T xn → u, T yn → v, entonces T (xn − yn ) → u − v. Por el teorema del gr´afico cerrado, T (0) = 0 = u − v =⇒ u = v.   27. Sea X un espacio vectorial y k·k1 , k·k2 dos normas en X tales que (X, k · k1 ), (X, k · k2 ) son de Banach. Probar que las dos normas son equivalentes si y s´ olo si ∃M > 0 : kxk1 ≤ M kxk2 , ∀x ∈ X . Resp.: Probemos que la aplicaci´on identidad I : (X, k·k1 ) → (X, k·k2 ) es lineal y continua. Para ello, supongamos que kxn − xk1 → 0 y kI(xn ) − yk2 → 0. Entonces kI(x)−yk1 = kx−yk1 ≤ kx−xn k1 +kxn −yk1 ≤ kx−xn k1 +M kI(xn )−yk2 → 0, lo que implica que I(x) = y. Esto prueba que I es un operador cerrado. Por el teorema del gr´afico cerrado, I es continua. Entonces kI(x)k2 ≤ bkxk1 y de la hip´otesis se deduce que las normas son equivalentes.   28. Supongamos que X es un espacio de Banach respecto a dos normas k · k1 y k · k2 , y que si una sucesi´ on (xn )n∈N ⊂ X converge a los l´ımites y y z en ambos espacios, entonces y = z . Probar que las dos normas son equivalentes. Resp.: De la hip´otesis, al igual que el ejercicio anterior, se obtiene inmediatamente que la aplicaci´on identidad I : (X, k · k1 ) → (X, k · k2 ) es biyectiva y cerrada. El teorema del gr´afico cerrado asegura que I es continua, es decir kIxk2 ≤ M kxk1 , lo que prueba que las normas son equivalentes.  

193

29. Sea X un espacio de Banach y M, N subespacios cerrados de X . Supongamos que cada x ∈ X tiene una representaci´ on u ´nica de la forma x = y + z con y ∈ M, z ∈ N . Probar que existe k tal que kyk ≤ kkxk, x ∈ X . Resp.: Se define T : X → X como la proyecci´on T x = y, si x = y + z, con y ∈ M , z ∈ N . Veamos que T cumple las condiciones del teorema del gr´afico cerrado: Supongamos que xn → x, T xn → y. Como T xn ∈ M y M es cerrado, y ∈ M , de donde y = T y. Por otra parte, como xn −T xn ∈ N y N es cerrado, entonces x−y ∈ N , de donde T (x − y) = 0, es decir T x = T y. De lo anterior deducimos que y = T x. El teorema del gr´afico cerrado prueba entonces que T es continuo, lo que da lugar a la tesis.   30. Sea T : C 1 [0, 2π] → C[0, 2π] el operador definido por (T f )(x) = f (x) + f 0 (x). Probar que T es lineal y cerrado pero no acotado (se supone definida la norma infinito en ambos espacios). Deducir de lo anterior que C 1 [0, 2π] no es de Banach. Resp.: Para ver que T es cerrado, consideramos una sucesi´on (fn )n∈N de funciones en C 1 [0, 2π] tal que fn → f, T fn → g. Por la convergencia uniforme en [0, 2π], tenemos que: Z

t

Z

t

Z

t

(T fn )(x)dx = l´ım [fn (x) + fn0 (x)]dx n n 0 0 0 Z t Z t = l´ım[fn (t) − fn (0) + fn (x)dx] = f (t) − f (0) + f (x)dx n 0 0 Z t Z t =⇒ f (t) = f (0) + g(x)dx − f (x)dx =⇒ f 0 (t) = g(t) − f (t). g(x)dx = l´ım

0

0

De este modo, f ∈ D(T ) y T f = g. Para ver que T no es acotado, basta tomar la sucesi´on fn (x) = sen nx, que verifica kfn k∞ = 1, pero kT fn k∞ = supn∈N |n cos nx+sen nx| ≥ n.  

194

31. Sea T un operador lineal cerrado con dominio D(T ) en un espacio de Banach X y rango R(T ) en un espacio normado Y . Si T −1 existe y es acotado, probar que R(T ) es cerrado.1 Resp.: Probemos que T −1 es cerrado: Si (yn )n∈N es una sucesi´on de elementos en D(T −1 ) tal que yn → y, T −1 yn → x, entonces ∃(xn )n∈N ⊂ D(T ) : T xn = yn → y, de donde T −1 yn = xn → x. Como T es cerrado, entonces x ∈ D(T ) y T x = y, es decir y ∈ D(T −1 ), T −1 y = x. Pero si T −1 es cerrado, entonces D(T −1 ) = R(T ) es cerrado. Otra forma de probarlo es ver que G(T −1 ) = {(T x, x) : x ∈ D(T )} ⊂ Y ×X es cerrado, pero como la aplicaci´on f : X ×Y → Y ×X, definida por f (x, y) = (y, x), es isometr´ıa y G(T ) es cerrado, entonces G(T −1 ) es cerrado.   32. Sea T : D(T ) ⊂ X → Y un operador lineal con grafo G(T ), donde X e Y son espacios de Banach. Probar que T tiene una extensi´ on Te que es un operador lineal cerrado con grafo G(T ) si y s´ olo si G(T ) no contiene ning´ un elemento de la forma (0, y), con y 6= 0. Resp.: a) Supongamos que ∃Te extensi´on lineal cerrada de T con grafo G(Te) = G(T ). Por ser Te lineal, Te(0) = 0, de modo que (0, y) 6∈ G(Te) con y 6= 0, es decir (0, y) 6∈ G(T ). b) Supongamos ahora que G(T ) no contiene ning´ un elemento de la forma (0, y), con y 6= 0. Si existieran (x1 , y1 ), (x1 , y2 ) ∈ G(T ), entonces (0, y1 − y2 ) ∈ G(T ) =⇒ y1 − y2 = 0. Esto asegura que el operador Tex = y1 = y2 est´a bien definido y es una extensi´on de T . Adem´as, Te es lineal pues G(T ) es espacio vectorial y Te es cerrado pues G(T ) es cerrado.   33. Demostrar que un operador T : D(T ) ⊂ X → Y es clausurable si y s´ olo si  xn ∈ D(T ), xn → x, T xn → y =⇒ y = y 0 . x0n ∈ D(T ), x0n → x, T x0n → y 0 Resp.: Se deduce inmediatamente de la proposici´on 8.3. 195

De esta propiedad es claro tambi´en que D( T ) = {x ∈ X : ∃(xn )n∈N ⊂ D(T ), xn → x, ∃ l´ım T xn }. n

TEMAS COMPLEMENTARIOS 1. Versi´on geom´etrica del teorema de Hanh-Banach ([La], [CC]). 2. Integraci´on num´erica y convergencia d´ebil-∗ ([Kr]). 3. Sucesiones de Cauchy d´ebiles ([Sc]).

196

V. TEOR´IA ESPECTRAL EN ESPACIOS NORMADOS

Damos comienzo en este cap´ıtulo a la llamada teor´ıa espectral de operadores en espacios normados. Toda la informaci´on acumulada hasta el momento se ir´a aplicando sucesivamente al estudio de las propiedades espectrales de los operadores lineales y acotados. Con la mirada puesta en la situaci´on finito-dimensional, trataremos de generalizar los conceptos de resolvente y espectro y de obtener descomposiciones de los operadores compactos mediante proyecciones sobre ciertos subespacios invariantes.

SECCIONES 1. Introducci´on. Definiciones previas. 2. Propiedades espectrales de los operadores lineales acotados. Funciones de un operador. 3. Operadores compactos. 4. Descomposici´on espectral de los operadores compactos. 5. Ecuaciones lineales de operadores compactos. Ecuaciones integrales de Fredholm. 6. Ejercicios.

197

´ 1. INTRODUCCION. DEFINICIONES PREVIAS.

Mucha informaci´on sobre el comportamiento de un operador lineal A se puede obtener estudiando la familia de operadores A−λI, con λ real o complejo (obs´ervese que todo subespacio invariante bajo A es tambi´en invariante bajo A − λI y que todos los operadores de la forma A − λI conmutan entre s´ı). Por otra parte, a menudo el inverso de un operador es m´as importante que el propio operador. En particular, la teor´ıa espectral trata de las propiedades del operador (A − λI)−1 , donde A ∈ L(X) con X espacio normado y λ un escalar fijado (esto permitir´a descomponer el operador A en el mayor n´ umero de componentes y, paralelamente, una descomposici´on del espacio X en suma de subespacios invariantes bajo A). En las aplicaciones pr´acticas esto permitir´a resolver sistemas de ecuaciones lineales, ecuaciones diferenciales y ecuaciones integrales. En el caso de dimensi´on finita la situaci´on es particularmente simple: dado un operador lineal A : X → X en un espacio normado de dimensi´on finita, dim X = n, fijado un escalar λ, o existe (A − λI)−1 o no existe; si no existe, en cuyo caso λ recibe el nombre de autovalor de A, se prueba f´acilmente que existen como m´aximo n autovalores y son precisamente las ra´ıces de la ecuaci´on caracter´ıstica det(A − λI) = 0 (donde identificamos el operador A con su matriz asociada respecto a cualquier base de X). En particular se deduce que todo tal operador tiene al menos un autovalor. Adem´as todas las matrices que representan al mismo operador A ∈ L(X) con respecto a distintas bases de X tienen los mismos autovalores. Las cosas no son tan simples en dimensi´on infinita: aparte de que puede haber infinitos valores de λ para los que (A − λI)−1 no existe, en los casos de existencia debemos precisar los resultados, tanto el que (A − λI)−1 sea lineal y acotado como el que el rango de (A − λI) sea denso en X. Nada de esto tiene significado en dimensi´on finita. El estudio de estas cuestiones nos conduce al an´alisis espectral y pretendemos obtener los resultados que generalizan los conocidos en el caso de dimensi´on finita. Un resultado fundamental en ´algebra lineal es el siguiente: Teorema. Si X es un espacio eucl´ıdeo de dimensi´ on n y A ∈ L(X) es un operador autoadjunto, entonces existe una base ortonormal {ϕ1 , . . . , ϕn } de X y unos n´ umeros reales λ1 , . . . , λn tales que Aϕi = λi ϕi , i = 1, . . . , n. Adem´ as, si llamamos Ei a la proyecci´ on ortogonal sobrePN (A − λi I), i = n 1, . . . , n, entonces Ei 6= 0, ∀i,PEi Ej = 0 si i 6= j, i=1 Ei = I y se n tiene la descomposici´ on A = λ E . Como consecuencia, la matriz i i i=1 de A asociada a dicha base es la matriz diagonal (hAϕi , ϕj i)i,j=1,...n = 198

 λ1 . . .  ..  . 0 ...

0

  .

λn

Veamos un ejemplo de lo que puede pasar en dimensi´on infinita. Ejemplo. Sea h una funci´on real continua y 2π-peri´odica. R πEntonces el operador K : L2 [−π, π] → L2 [−π, π], definido por (Kf )(t) = −π h(t−s)f (s)ds, es lineal y acotado. Si elegimos la base ortonormal ϕn (t) = √12π eint , n ∈ Z, resulta Z π Z t+π 1 ins 1 1 √ h(t−s) h(s) √ ein(t−s) ds = √ eint λn , (Kϕn )(t) = e ds = 2π 2π 2π −π t−π donde λn =

Rπ −π

h(s)e−ins ds, n ∈ Z, es decir, Kϕn = λn ϕn .

La matriz asociada al operador K respecto a la base {ϕn }n∈Z es la matriz diagonal doblemente infinita        

..



. λ−1

   .   

0 λ0

0

λ1 ..

.

En lo que sigue, mientras no se especifique lo contrario, supondremos que X es un espacio normado complejo no trivial y A : X → X un operador lineal. 1.1.- Definici´ on. Diremos que λ ∈ C es un punto regular de A si existe Rλ (A) = (A − λI)−1 y es un operador acotado definido en un subconjunto denso de X. El conjunto resolvente de A es ρ(A) = {λ ∈ C : λ es punto regular de A}. El t´ermino resolvente se refiere a que la ecuaci´on (A−λI)x = y tiene soluci´on x = (A−λI)−1 y. Adem´as el estudio de las propiedades de (A−λI)−1 permite obtener informaci´on sobre el propio A. Llamaremos espectro de A al conjunto σ(A) = C \ ρ(A), es decir al conjunto de puntos no regulares de A, que llamaremos puntos espectrales de A. En particular los autovalores de A son puntos espectrales. El siguiente ejemplo muestra que, en general, no todos los puntos espectrales son autovalores (a diferencia de los espacios de dimensi´on finita donde la teor´ıa espectral se estudia a partir de los autovalores al ser estos los u ´nicos puntos espectrales). 199

Ejemplo. En el espacio H = L2 (R) con la medida de Lebesgue se define el operador (M f )(x) = eix · f (x). Como kM f k = kf k y (M −1 f )(x) = e−ix · f (x), deducimos que M es unitario. Encontremos los autovalores de M: Dado λ ∈ C, existe fλ ∈ L2 (R) tal que M fλ = λfλ si y s´olo si eix fλ (x) = λfλ (x) c.s. Esto implica que fλ (x) = 0 c.s. de modo que kfλ k = 0 y M no tiene autovalores. Sea ahora ρ ∈ C tal que (M − ρI)f = g, es decir (eix − ρ)f (x) = g(x) c.s. o bien f (x) = (eix − ρ)−1 g(x) c.s. y se define un operador lineal [(M − ρI)−1 g](x) = (eix − ρ)−1 g(x). El operador (M − ρI)−1 est´a acotado si y s´olo si |ρ| = 6 1; esto quiere decir que σ(M ) = {ρ ∈ C : |ρ| = 1} = T, lo que prueba que el espectro es no vac´ıo aunque el operador no posea autovalores. Clasificaremos el espectro en tres grupos: - Un punto λ ∈ C es autovalor de A o pertenece al espectro puntual de A, λ ∈ σp (A), si no existe (A−λI)−1 . Cada vector x ∈ X tal que (A−λI)x = 0, con λ ∈ σp (A) se llama autovector de A correspondiente a λ y el subespacio de X que contiene al cero y a los autovectores correspondientes a un mismo λ se llama autoespacio correspondiente a λ. - Un punto λ ∈ C pertenece al espectro continuo de A, λ ∈ σc (A), si R(A−λI) es denso en X y existe (A − λI)−1 pero no est´a acotado. - Un punto λ ∈ C pertenece al espectro residual de A, λ ∈ σr (A), si existe (A − λI)−1 pero est´a definido en un subconjunto no denso de X. De las definiciones anteriores se deduce que C = ρ(A) ∪ σ(A) = ρ(A) ∪ σp (A) ∪ σc (A) ∪ σr (A)

y que la uni´on es disjunta, obteni´endose as´ı una partici´on de C. La siguiente tabla resume las caracter´ısticas de los distintos conjuntos: λ

(A − λI)−1 (A − λI)−1

R(A − λI)

ρ(A)

existe

acotada

denso en X

σc (A)

existe

no acotada

denso en X

σr (A)

existe



no denso en X

σp (A)

no existe





Una propiedad b´asica de los autovectores es la siguiente: 200

1.2.- Proposici´ on. Autovectores x1 , . . . , xn correspondientes a autovalores λ1 , . . . , λn distintos de un operador lineal A sobre un espacio normado complejo X son linealmente independientes. Demostraci´ on. Si {x1 , . . . , xn } fueran linealmente dependientes, denotamos por xm el primero de ellos que es combinaci´on lineal de los anteriores, es decir xm = α1 x1 + · · · + αm−1 xm−1 . Entonces 0

=

(A − λm I)xm =

m−1 X

αj (A − λm I)xj =

j=1

m−1 X

αj (λj − λm )xj

j=1

=⇒ αj (λj − λm ) = 0, ∀j = 1, . . . , m − 1 =⇒ αj = 0, ∀j = 1, . . . , m − 1 =⇒ xm = 0, lo cual es absurdo.



(A − λI)−1 ,

Es sabido que si X tiene dimensi´on finita y existe entonces debe ser acotado. Adem´as R(A − λI) = X, con lo que se deduce que σc (A) = σr (A) = ∅; de ah´ı que los puntos del espectro puntual se llamen tambi´en autovalores de A. Sin embargo en el caso de dimensi´on infinita tenemos puntos espectrales que no son autovalores, como muestran los siguientes ejemplos. 1.3.- Ejemplos. 1) Sea T : `2 → `2 el operador traslaci´on a la derecha, definido por T (x1 , x2 , . . . ) = (0, x1 , x2 , . . . ). Este operador es acotado y tiene norma uno. El operador inverso T −1 : T (X) → X es la traslaci´on hacia la izquierda T −1 (x1 , x2 , . . . ) = (x2 , x3 , . . . ). Como T (X) no es denso en X, el punto λ = 0 es un valor espectral de T pero no es autovalor ya que T x = 0 =⇒ x = 0 y el vector cero no puede ser autovector. 2) Sea X un espacio de Hilbert separable de dimensi´on infinita P y {xn }n∈N una base ortonormal de X. SiP hacemos para cada x ∈ X, x = n∈N αn xn , y definimos el operador Ax = n∈N αn λn xn , donde {λn }n∈N es una sucesi´on de escalares distintos de uno pero con λn → 1, se prueba que λn ∈ σp (A), ∀n; 1 ∈ σc (A); Si λ 6= λn , ∀n y λ 6= 1 =⇒ λ ∈ ρ(A); σr (A) = ∅. 3) Bajo las mismas condiciones del ejemplo anterior, definimos el operador destrucci´on ∞ ∞ X X αn Ax = xn+1 , para x = αn xn . n+1 n=1

n=1

201

Se comprueba aqu´ı que 0 ∈ σr (A) y λ ∈ ρ(A), ∀λ 6= 0. En el caso de dimensi´on infinita, los operadores cuyo comportamiento es el m´as parecido al caso de dimensi´on finita son los operadores completamente continuos o compactos pues, como veremos en el apartado 4, el conjunto de autovalores es a lo sumo numerable y el cero es su u ´nico posible punto de acumulaci´on.

2. PROPIEDADES ESPECTRALES DE LOS OPERADORES LINEALES ACOTADOS. FUNCIONES DE UN OPERADOR.

Supondremos en esta secci´on que X es un espacio de Banach complejo y no vac´ıo y T : X → X un operador lineal y estudiaremos las principales caracter´ısticas del espectro y de la resolvente. Utilizaremos la notaci´on Rλ (T ) = (T − λI)−1 para indicar la resolvente de T (cuando no haya confusi´on escribiremos simplemente Rλ ). Nota. Las propiedades que enunciamos en este apartado relativas a L(X) se pueden f´acilmente extender a cualquier ´algebra de Banach con identidad; pero el contexto en el que aqu´ı se plantean es el que aplicaremos posteriormente en la teor´ıa espectral (puede consultarse en [Ru] para el estudio de estos conceptos). 2.1.- Lema. Sea X de Banach, T : X → X lineal y λ ∈ ρ(T ). Si T es cerrado o acotado, entonces Rλ (T ) est´ a definido en todo X y es acotado. Demostraci´ on. Si T es cerrado, tambi´en lo es T − λI. Por tanto, tambi´en lo es (T − λI)−1 . Entonces, por el teorema del gr´afico cerrado, su dominio D(Rλ ) es cerrado, de modo que D(Rλ ) = D(Rλ ) = X, pues λ ∈ ρ(T ). Si T fuera acotado, como D(T ) = X es cerrado, T es cerrado y se aplica el razonamiento anterior. ♦ 2.2.- Teorema. Sean T ∈ L(X) y λ, µ ∈ ρ(T ). Entonces: (a) (Ecuaci´ on de la resolvente) Rµ − Rλ = (µ − λ)Rµ Rλ . (b) Rλ S = SRλ , ∀S ∈ L(X) tal que ST = T S. (c) Rλ Rµ = Rµ Rλ . Demostraci´ on. (a) Teniendo en cuenta que Rλ y Rµ est´an definidas en todo 202

X, resulta: Rµ − Rλ = Rµ (T − λI)Rλ − Rµ (T − µI)Rλ = Rµ (T − λI − T + µI)Rλ = (µ − λ)Rµ Rλ . (b) Si ST = T S, S(T − λI) = (T − λI)S. Entonces Rλ S = Rλ S(T − λI)Rλ = Rλ (T − λI)SRλ = SRλ . (c) Como Rλ conmuta con T , Rλ conmuta con Rµ , por (b).



2.3.- Lema. Si T ∈ L(X), σ(T ) = σ(T ∗ ) y Rλ (T ∗ ) = Rλ (T )∗ si λ ∈ ρ(T ∗ ) = ρ(T ). Demostraci´ on. Ver ejercicio 2 al final del cap´ıtulo. A continuaci´on enunciamos el teorema de la aplicaci´on espectral que generaliza el resultado en dimensi´on finita de que si λ es autovalor de una matriz A, entonces p(λ) = an λn + · · · + a1 λ + a0 es autovalor de la matriz p(A) = an An + · · · + a1 A + a0 I. Utilizaremos la notaci´on p(σ(T )) = {µ ∈ C : µ = p(λ), λ ∈ σ(T )} y la notaci´on an´aloga p(ρ(T )) para la resolvente. 2.4.- Teorema (aplicaci´on espectral para polinomios). Si T ∈ L(X) y p(λ) = an λn + · · · + a1 λ + a0 , an 6= 0, entonces p(σ(T )) = σ(p(T )). Demostraci´ on. Supondremos que σ(T ) 6= ∅ (ver teorema 2.10). Si n = 0, p(σ(T )) = {a0 } = σ(p(T )). Sea pues n > 0. • Llamaremos S = p(T ) y Sµ = p(T ) − µI, µ ∈ C. Veamos que σ(S) ⊂ p(σ(T )). Fijado µ ∈ C, el polinomio Sµ (λ) = p(λ) − µ se factoriza como Sµ (λ) = αn (λ − γ1 ) . . . (λ − γn ) lo que corresponde a Sµ = p(T ) − µI = αn (T − γ1 I) . . . (T − γn I). Si cada γj est´a en ρ(T ), entonces existe Sµ−1 = (αn )−1 (T − γn I)−1 . . . (T − γ1 I)−1 por lo que µ ∈ ρ(p(T )). Lo anterior prueba tambi´en que si µ ∈ σ(p(T )), entonces γj ∈ σ(T ) para alg´ un j. Por lo tanto, Sµ (γj ) = p(γj )−µ = 0, de donde µ = p(γj ) ∈ p(σ(T )). • Sea ahora µ ∈ p(σ(T )). Por definici´on µ = p(β) para alg´ un β ∈ σ(T ). Aqu´ı se presentan dos posibilidades: (∗) T − βI no tiene inversa. Como β es un cero del polinomio Sµ (λ) = p(λ) − µ, entonces Sµ (λ) = 203

(λ − β)g(λ) y tambi´en Sµ = p(T ) − µI = (T − βI)g(T ). Ahora bien, como todos los factores de g(T ) conmutan con T −βI, es cierto tambi´en que Sµ = g(T )(T − βI). Si Sµ tuviera inversa, podr´ıamos poner I = (T − βI)g(T )Sµ−1 = Sµ−1 g(T )(T − βI), pero esto indica que T − βI tiene inverso, lo cual contradice nuestro supuesto. Por tanto Sµ no tiene inverso, es decir µ ∈ σ(p(T )). (∗) T − βI tiene inverso. Esto indica que R(T − βI) 6= X pues, en caso contrario, β ∈ ρ(T ) por el teorema de la aplicaci´on abierta. Como Sµ = p(T ) − µI = (T − βI)g(T ), entonces R(Sµ ) 6= X, de donde µ ∈ σ(p(T )). ♦ El teorema de la aplicaci´on espectral es tambi´en cierto en espacios m´as generales que los polinomios. As´ı, si definimos el espacio F (T ) = {f : f es funci´on anal´ıtica en alg´ un entorno de σ(T )}, entonces se puede demostrar que f (σ(T )) = σ(f (T )), ∀f ∈ F (T ) (ver [DS]). El lema siguiente es un resultado b´asico que permitir´a deducir las propiedades topol´ogicas del espectro, as´ı como f´ormulas de representaci´on para la resolvente. 2.5.- Lema. Sea X un espacio de Banach y T ∈ L(X). Si kT k < 1, entonces ∞ P existe (I − T )−1 ∈ L(X) e (I − T )−1 = T j , donde la serie converge en j=0

la norma de L(X). Demostraci´ on. Como kT j k ≤ kT kj y la serie geom´etrica

∞ P

kT kj converge

j=0 ∞ P

para kT k < 1, la serie

T j converge absolutamente para kT k < 1.

j=0

Como X es de Banach, tambi´en lo es L(X) y la convergencia absoluta im∞ P plica la convergencia de la serie T j. j=0

Llamemos S =

P∞

j=0 T

j.

Como

(I − T )(I + T + · · · + T n ) = (I + T + · · · + T n )(I − T ) = I − T n+1 , ∀n, y T n+1 → 0 cuando n → ∞, pues kT k < 1, entonces (I −T )S = S(I −T ) = I de donde S = (I − T )−1 . ♦ 2.6.- Teorema. El espectro σ(T ) de un operador T ∈ L(X), donde X es de Banach complejo, es un conjunto cerrado. 204

Demostraci´ on. Si ρ(T ) = ∅, es abierto. Sea pues ρ(T ) 6= ∅ y λ0 ∈ ρ(T ). ∀λ ∈ C, T − λI = (T − λ0 I) − (λ − λ0 )I = (T − λ0 I)[I − (λ − λ0 )(T − λ0 I)−1 ]. Por el lema 2.1, (T − λ0 I)−1 ∈ L(X) y por el lema 2.5, si llamamos V = ∞ P (λ − λ0 )j (T − λ0 I)−j , ∀λ tal que (λ − λ0 )(T − λ0 I)−1 , existe (I − V )−1 = j=0

kV k < 1, es decir cuando |λ − λ0 | <

(∗)

1 . k(T − λ0 I)−1 k

Esta desigualdad muestra que (T − λI)−1 ∈ L(X); por tanto, si λ verifica (∗), existe (T − λI)−1 = [(T − λ0 I)(I − V )]−1 = (I − V )−1 (T − λ0 I)−1 . As´ı pues, la desigualdad (∗) representa un entorno de λ0 formado por puntos regulares de T . Esto quiere decir que ρ(T ) es abierto, de modo que σ(T ) = C \ ρ(T ) es cerrado. ♦ De la demostraci´on del resultado anterior se obtiene inmediatamente el siguiente teorema de representaci´on. 2.7.- Teorema. En las condiciones anteriores, si λ0 ∈ ρ(T ), se tiene la representaci´ on para la resolvente (∗∗)

Rλ = (T − λI)−1 =

∞ X

(λ − λ0 )j Rλj+1 , 0

j=0

donde la serie converge absolutamente en la bola |λ−λ0 | < k(T −λ0 I)−1 k−1 , la cual est´ a contenida en ρ(T ). 2.8.- Corolario. Dado T ∈ L(X), la resolvente Rλ (T ), considerada como funci´ on de λ con valores en L(X), es localmente holomorfa en ρ(T )1 . Demostraci´ on. Para cualesquiera x ∈ X, f ∈ X 0 , definimos h(λ) = f (Rλ (T )x). A partir de (∗∗) obtenemos el desarrollo en serie h(λ) =

∞ X

cj (λ − λ0 )j con cj = f (Rλ0 (T )j+1 x)

j=0

que converge absolutamente en el disco |λ − λ0 | < kRλ0 k−1 .



Adem´as ρ(T ) es el mayor conjunto en el cual Rλ (T ) es localmente holomorfa por lo que podemos decir que es el dominio natural de analiticidad de Rλ (T ). 1

Dado un conjunto Ω abierto en C, si S : Ω → L(X) es una funci´ on que toma valores operadores en X (donde escribiremos S(λ) = Sλ ), decimos que S es localmente holomorfa en Ω si ∀x ∈ X, f ∈ X 0 , la funci´ on h(λ) = f (Sλ x) es holomorfa en Ω.

205

2.9.- Teorema. Si T ∈ L(X), dado λ ∈ ρ(T ), entonces kRλ (T )k ≥ 1/δ(λ) siendo δ(λ) = ´ınf s∈σ(T ) |λ−s| = d(λ, σ(T )). En consecuencia, kRλ (T )k → ∞ cuando δ(λ) → 0. Demostraci´ on. Si λ ∈ ρ(T ), entonces {µ : |µ − λ| < kRλ k−1 } ⊂ ρ(T ) de donde d(λ, σ(T )) ≥ 1/kRλ k si suponemos que σ(T ) 6= ∅. ♦ 2.10.- Teorema. Si T ∈ L(X), σ(T ) 6= ∅. Demostraci´ on. Si T = 0, evidentemente σ(T ) = {0} = 6 ∅. Sea pues T 6= 0 y supongamos que σ(T ) = ∅. Entonces, ρ(T ) = C y existe (T − λI)−1 ∈ L(X), ∀λ ∈ C. Por el corolario 2,8, la funci´on h(λ) = f (Rλ x) es holomorfa en C, ∀x ∈ X, f ∈ X 0 . Probemos a continuaci´on que h es acotada en todo el plano complejo. a) En el c´ırculo |λ| ≤ 2kT k, h es continua y por tanto acotada. b) Si λ > 2kT k, la serie 1 1 1X 1 n (T − λI)−1 = − (I − T )−1 = − T λ λ λ λn n≥0

converge absolutamente, pues k(1/λ)T k < 1. Adem´as k(T − λI)−1 k ≤

1 1 1 1 1 X 1 = · · kT kn = · < . 1 n |λ| |λ| |λ| 1 − |λ| kT k |λ| − kT k kT k n≥0

Se prueba as´ı que h est´a acotada tambi´en en esta regi´on pues |h(λ)| ≤ kf k · kRλ k · kxk <

kf k · kxk . kT k

En definitiva, h es holomorfa y acotada en C y, por el teorema de Liouville, h es constante. Esto implica que Rλ es independiente de λ, as´ı como tambi´en lo es Rλ−1 = T − λI, lo cual es absurdo. ♦ El teorema anterior puede ser falso si se consideran espacios de Hilbert reales. As´ı por ejemplo, si  consideramos el operador T : R2 → R2 definido por la  0 −1 matriz A = , entonces T − λI no es inyectiva si y s´olo si λ es ra´ız 1 0 de la ecuaci´on det(A − λI) = 0. Como R2 tiene dimensi´on finita sobre R, σ(T ) = ∅. 2.11.- Teorema. El espectro σ(T ) de T ∈ L(X) es compacto y est´ a contenido en la bola cerrada B(0, kT k). 206

Demostraci´ on. Procediendo como en el teorema anterior, se tiene que 1X 1 (∗ ∗ ∗) Rλ = − · T n, λ λn n≥0

donde la serie converge cuando |λ| > kT k. Esto implica que {λ ∈ C : |λ| > kT k} est´a contenido en ρ(T ), con lo que el espectro σ(T ) debe estar en el disco B(0, kT k). Como σ(T ) es adem´as cerrado, es compacto. ♦ De este teorema se deduce en particular que ρ(T ) 6= ∅. El resultado motiva adem´as el siguiente concepto: 2.12.- Definici´ on. Si T ∈ L(X), se llama radio espectral de T a rσ (T ) = sup{|λ| : λ ∈ σ(T )}, es decir al radio del menor disco centrado en el origen que contiene a σ(T ). Del teorema 2.11 es claro que rσ (T ) ≤ kT k (la figura adjunta ilustra lo dicho). El siguiente resultado permite refinar esta acotaci´on.

σ(T )

rσ (T ) kT k

2.13.- Teorema (f´ormula de Gelfand). Sea T ∈ L(X). Entonces rσ (T ) = l´ım kT n k1/n = ´ınf kT n k1/n . n

n≥1

Demostraci´ on. a) Probaremos en primer lugar que l´ım kT n k1/n = ´ınf kT n k1/n . n→∞

n≥1

Fijado un entero positivo m, ∀n ∈ N, n = m · qn + rn con 0 ≤ rn < m. Esto implica que kT n k1/n = kT m·qn +rn k1/n ≤ kT m kqn /n · kT krn /n . Como qn /n → 1/m y rn /n → 0 cuando n → ∞, resulta que l´ım sup kT n k1/n ≤ kT m k1/m , n→∞

de donde l´ım sup kT n k1/n ≤ ´ınf kT m k1/m ≤ l´ım inf kT n k1/n . n→∞

n→∞

m≥1

207

b) Por el teorema de la aplicaci´on espectral, σ(T n ) = [σ(T )]n ; es evidente entonces que rσ (T n ) = [rσ (T )]n . Ahora bien, como rσ (T n ) ≤ kT n k, entonces rσ (T ) = [rσ (T n )]1/n ≤ kT n k1/n , ∀n. Por tanto, rσ (T ) ≤ l´ımn→∞ kT n k1/n y la demostraci´on estar´a concluida si l´ımn→∞ kT n k1/n = rσ (T ). P Recordando de nuevo la f´ormula (∗ ∗ ∗), tenemos que Rλ = −κ n≥0 κn T n , donde llamamos κ = 1/λ. Por la f´ormula de Hadamard, la serie anterior converge absolutamente cuando |κ| < r, donde 1/r = l´ımn→∞ kT n k1/n . Como Rλ es localmente holomorfa en el conjunto resolvente ρ(T ), si llamamos M al conjunto del plano que corresponde a ρ(T ) por la transformaci´on κ = 1/λ, sabemos que el radio de convergencia r es el radio del mayor disco abierto alrededor de κ = 0 que est´a incluido completamente en M . Por tanto, 1/r es el radio del menor c´ırculo alrededor de λ = 0 cuyo exterior est´a completamente incluido en ρ(T ). Como esta es precisamente la definici´on de radio espectral de T , resulta en definitiva que rσ (T ) = 1/r = l´ımn→∞ kT n k1/n , lo que prueba el enunciado. ♦

3. OPERADORES COMPACTOS.

Los operadores compactos son aquellos cuyas propiedades m´as se asemejan a las de los operadores lineales en espacios de dimensi´on finita de modo que su teor´ıa espectral ser´a una extensi´on directa de aquellos y una forma sencilla de introducirse en este estudio. Adem´as muchos de los operadores que aparecen en el estudio de ecuaciones integrales son compactos. As´ı, una aplicaci´on de dicha teor´ıa espectral conduce a la teor´ıa de Fredholm para ecuaciones integrales. Es sabido que un operador acotado transforma conjuntos acotados en conjuntos acotados. Si adem´as dicho operador tiene rango finito, es decir la imagen tiene dimensi´on finita, transforma conjuntos acotados en relativamente compactos. Esta propiedad nos lleva a introducir la siguiente clase de operadores. 3.1.- Definici´ on. Sean X e Y espacios normados. Un operador T : X → Y es compacto o completamente continuo si es lineal y la imagen de todo subconjunto acotado en X es relativamente compacto (es decir, tiene clausura 208

compacta). De la definici´on se deduce que un operador lineal T : X → Y es compacto si y s´olo si T (B1 ) es compacto, siendo B1 = {x ∈ X : kxk ≤ 1} la bola unidad en X. 3.2.- Ejemplo. Una clase importante de operadores compactos la forman ciertos operadores integrales.R As´ı, si X = L2 ([0, 1], dt), el operador T : X → 1 X definido por (T f )(s) = 0 k(s, t)f (t)dt, donde k ∈ C([0, 1] × [0, 1]), es compacto. Para comprobarlo, veamos que T (B1 ) es compacto. Es claro que si f ∈ B1 , T f ∈ C[0, 1] y Z

1

|f (t)|dt ≤ kkk∞ · kf k2 ≤ kkk∞

kT f k∞ ≤ kkk∞ 0

de modo que T (B1 ) es un conjunto acotado de (C[0, 1], k·k∞ ). Adem´as T (B1 ) es un conjunto equicontinuo. En efecto, dado ε > 0, por ser k uniformemente continuo en [0, 1] × [0, 1], existe δ > 0 tal que |k(s1 , t) − k(s2 , t)| < ε, ∀t ∈ [0, 1], |s1 − s2 | < δ. Por tanto, para todo f ∈ B1 , Z |(T f )(s1 )−(T f )(s2 )| ≤

1

Z |k(s1 , t)−k(s2 , t)|·|f (t)|dt < ε

0

1

|f (t)|dt ≤ εkf k2 ≤ ε. 0

Por el teorema de Arzel´a-Ascoli, T (B1 ) es compacto en (C[0, 1], k · k∞ ). Entonces, si (fn )n∈N ⊂ B1 , existe una subsucesi´on (fnk )k∈N y una funci´on f ∈ C[0, 1] tales que kT fnk − f k∞ → 0, de donde kT fnk − f k2 → 0 lo que prueba la compacidad de T . Incluso si k ∈ L2 ([0, 1] × [0, 1], dsdt), el operador integral arriba definido es compacto (ver los ejercicios al final del cap´ıtulo). Tales operadores se llaman operadores de Hilbert-Schmidt y juegan un papel importante en el estudio de ecuaciones diferenciales e integrales. As´ı por ejemplo, el operador T origina la ecuaci´on integral (T − λI)x(s) = y(s), donde λ ∈ C, es un par´ametro, y, k son funciones dadas y x es la funci´on inc´ognita. Hilbert prob´o que la solubilidad de la ecuaci´on no depende de la existencia de la representaci´on integral de T sino de que T es un operador compacto. Es f´acil verificar que todo operador lineal acotado aplica conjuntos relativamente compactos en conjuntos relativamente compactos, de modo que la propiedad de compacidad es m´as fuerte que la de continuidad. El t´ermino de operador completamente continuo viene sugerido por el siguiente resultado, en donde se prueba adem´as que no todo operador acotado es compacto. 209

3.3.- Lema. a) Todo operador compacto T : X → Y es acotado y, por tanto, continuo. b) Si dim X = ∞, el operador identidad I : X → X no es compacto. Demostraci´ on. a) Como S = {x ∈ X : kxk = 1} es acotado, T (S) es compacto y por tanto acotado. As´ı pues sup kT xk < ∞, de donde T es kxk=1

acotado. b) La bola unitaria cerrada B = {x ∈ X : kxk ≤ 1} es acotada. Si dim X = ∞, B no puede ser compacto (teorema 5.3, cap´ıtulo II). De ah´ı que I(B) = B = B no sea relativamente compacto. ♦ Las siguientes caracterizaciones son a veces usadas como definici´on de operador compacto. 3.4.- Teorema. Sea T : X → Y lineal. Son equivalentes: i) T es compacto. ii) Dada cualquier sucesi´ on {xn }n∈N acotada en X, su imagen {T xn }n∈N tiene alguna sub-sucesi´ on convergente. iii) Dada cualquier sucesi´ on {xn }n∈N ⊂ B(0, 1), {T xn }n∈N tiene alguna subsucesi´ on convergente. Demostraci´ on. i) =⇒ ii): Si T es compacto y {xn }n∈N es acotada, la clausura del conjunto {T xn }n∈N es compacto. De aqu´ı se deduce que {T xn }n∈N contiene alguna subsucesi´on convergente. ii) =⇒ iii): es trivial. iii) =⇒ i): Sea M ⊂ X un conjunto acotado e {yn }n∈N una sucesi´on arbitraria en T (M ). Entonces existe una sucesi´on {xn }n∈N en M tal que T xn = yn , ∀n. Como {xn }n∈N est´a acotada, existe r > 0 tal que kxn k < r, ∀n. Por hip´otesis, la sucesi´on {T (r−1 xn )}n∈N tiene una subsucesi´on convergente, digamos {T (r−1 xnk )}k∈N . Como T xnk = rT (r−1 xnk ), la sucesi´on {T xnk } = {ynk } tambi´en converge, lo que quiere decir que T (M ) es compacto. ♦ Un operador T : X → Y se dice de rango finito cuando dim T (X) < ∞. El siguiente resultado prueba que todo operador acotado de rango finito es compacto. (En particular los operadores de Cn en Cn , objeto del Algebra Lineal, son siempre compactos.) 3.5.- Teorema. Sea T : X → Y lineal. Entonces a) Si T es acotado y de rango finito, entonces T es compacto. b) Si dim X < ∞, T es compacto. 210

Demostraci´ on. a) Sea {xn }n∈N una sucesi´on acotada en X. De la desigualdad kT xn k ≤ kT k·kxn k, se deduce que {T xn }n∈N es acotada. Como dim T (X) < ∞, {T xn }n∈N es relativamente compacto, de modo que tiene una subsucesi´on convergente. El apartado b) es consecuencia de a), pues T es acotado si dim X < ∞, y dim T (X) ≤ dim X < ∞. ♦ Observaci´ on. Todo operador compacto se puede descomponer en suma de dos operadores donde uno tiene rango finito y el otro tiene norma menor que cualquier n´ umero positivo (ver [LS]). Por eso, aunque el rec´ıproco de 3.5(a) no es cierto, los operadores compactos son casi de rango finito. 3.6.- Teorema. El conjunto {T : X → X : T lineal y compacto} es subespacio de L(X). Demostraci´ on. Dados S, T compactos y α, β ∈ E, consideramos una sucesi´on {xn }n∈N acotada en X. Por hip´otesis, {T xn }n∈N tiene una subsucesi´on, que llamaremos {T xnk }k∈N , convergente. Aplicando ahora S, tambi´en existe una subsucesi´on de {Sxnk }k∈N , {Sxnkj }j∈N , convergente. Como ambas sucesiones, {T xnkj }j∈N y {Sxnk }k∈N , son convergentes, es claro que {αT xnkj + βSxnkj }j∈N es convergente. ♦ 3.7.- Teorema. Sean T : X → X un operador compacto y S : X → X un operador lineal acotado. Entonces T S y ST son compactos. Demostraci´ on. Sea B ⊂ X acotado; entonces S(B) es acotado y T (S(B)) = T S(B) es relativamente compacto. Esto implica que T S es compacto. Sea ahora {xn }n∈N una sucesi´on acotada en X; entonces {T xn }n∈N tiene una subsucesi´on convergente {T xnk }k∈N y, por ser S continuo, {ST xnk }k∈N tambi´en converge. Esto prueba que ST es compacto. ♦ Los dos u ´ltimos teoremas prueban que la clase de operadores compactos es un ideal bil´atero del anillo L(X). Como consecuencia de lo anterior y del lema 3.3(b) se prueba que, en un espacio de dimensi´on infinita, un operador compacto no admite inverso acotado. El siguiente resultado prueba que la clase de los operadores compactos forma un subconjunto cerrado de L(X, Y ). 3.8.- Teorema. Sea {Tn }n∈N una sucesi´ on de operadores lineales y compactos de X en Y , donde Y es de Banach. Si {Tn }n∈N converge uniformemente, es decir, ∃T : kTn − T k → 0, entonces T es compacto. Demostraci´ on. Usaremos el llamado m´etodo diagonal, para lo cual sea {xm }m∈N una sucesi´on acotada en X. Como T1 es compacto, existe una subsucesi´on 211

{x1m } tal que {T1 x1m } es de Cauchy. A su vez existe {x2m } subsucesi´on de {x1m } tal que {T2 x2m } es de Cauchy. En general, existe una sub-sucesi´on {xnm } tal que {Tn xnm } es de Cauchy. Si elegimos ahora la sub-sucesi´on diagonal {ym }m∈N con ym = xmm , ∀m, entonces {Tn ym }m∈N es de Cauchy para cada n fijo. Como {ym }m∈N es tambi´en acotada, ∃c > 0 : kym k ≤ c, ∀m. De la convergencia uniforme de la sucesi´on {Tn }n∈N se deduce que ∀ε > 0, ∃n0 : kT − Tp k < ε/3c, ∀p ≥ n0 , y, como {Tp ym }m∈N es de Cauchy, ∃n1 : kTp yj − Tp yk k < ε/3, ∀j, k ≥ n1 . Entonces kT yj − T yk k ≤ kT yj − Tp yj k + kTp yj − Tp yk k + kTp yk − T yk k ≤ kT − Tp k · kyj k + ε/3 + kTp − T k · kyk k < (ε/3c) · c + ε/3 + (ε/3c) · c = ε. Como Y es completo, {T ym }m∈N converge, lo que prueba que T es compacto. ♦

Observaci´ on. El teorema es falso si sustituimos convergencia uniforme por convergencia fuerte, como lo muestra el ejemplo de Tn : `2 → `2 definido por Tn x = (x1 , . . . , xn , 0, . . . ). Como Tn es lineal y acotado y dim Tn (`2 ) < ∞, es compacto para todo n. Adem´as Tn x → x = Ix pero el operador identidad no es compacto pues dim `2 = ∞. Ejemplo. Para probar que el operador T : `2 → `2 definido por T x = (xn /n)n≥1 es compacto, definimos Tn : `2 → `2 del siguiente modo:   x2 xn Tn x = x1 , , . . . , , 0, . . . . 2 n As´ı Tn es lineal y acotado y como dim Tn (`2 ) < ∞, es tambi´en compacto. Adem´as k(T − Tn )xk2 =

∞ ∞ X X 1 1 kxk2 2 2 |x | ≤ |x | ≤ . j j j2 (n + 1)2 (n + 1)2 j=n+1

j=n+1

Tomando el supremo sobre todos los x de norma 1, vemos que kT − Tn k ≤ 1 n+1 y el teorema anterior prueba que T es compacto. Probaremos a continuaci´on que los operadores compactos aplican sucesiones d´ebilmente convergentes en sucesiones fuertemente convergentes. 212

d

3.9.- Teorema. Sea T : X → Y un operador compacto. Si xn → x en X, f

entonces T xn → T x. Demostraci´ on. Llamamos yn = T xn e y = T x. Sea g ∈ Y 0 y definimos f : X → E por f (z) = g(T z), ∀z ∈ X. Como T es acotado, f ∈ X 0 y |f (z)| = |g(T z)| ≤ kgk · kT zk ≤ kgk · kT k · kzk. d

Por definici´on, si xn → x, entonces f (xn ) → f (x), es decir, g(T xn ) → g(T x), d

o bien g(yn ) → g(y). Como g es arbitrario, yn → y. f

Si no fuera cierto que yn → y, existir´ıa {ynk }k∈N subsucesi´on de {yn }n∈N tal un η > 0. Como {xn }n∈N converge d´ebilmente, que kynk − yk ≥ η, para alg´ est´a acotada y tambi´en lo estar´a {xnk }k∈N . Como T es compacto, {T xnk }k∈N tiene una subsucesi´on convergente, digamos {e yj }j∈N y escribimos yej → ye. d

Como tambi´en yej → y, entonces ye = y. En consecuencia ke yj − yk → 0 pero ||e yj − yk ≥ η > 0 lo cual es absurdo. ♦ Otra propiedad interesante es que los operadores compactos admiten clausura compacta. 3.10.- Teorema. Sean X un espacio normado, Y un espacio de Banach y T : X → Y un operador lineal compacto. Entonces existe Te : X → Y extensi´ on lineal compacta. Demostraci´ on. Como T es acotado (lema 3.3.a), tiene una extensi´on lineal acotada Te : X → Y . Veamos que Te es compacto: Sea {e xn }n∈N una sucesi´on acotada en X. Por ser X denso en X, existe una sucesi´on {xn }n∈N en X tal que x en − xn → 0, ∀n. Evidentemente {xn }n∈N est´a acotada, de modo que {T xn }n∈N tiene una sub-sucesi´on convergente, T xnk → y ∈ Y . Como, en particular, x enk − xnk → 0, entonces Tex enk − Texnk = Tex enk − T xnk → 0, de donde Tex enk → y, lo que prueba la compacidad de Te.



Un hecho fundamental en la resoluci´on de ecuaciones que involucran operadores compactos es el de que el adjunto de un operador compacto es tambi´en compacto. 3.11.- Teorema (Schauder). Si T : X → Y es compacto, entonces T ∗ es tambi´en compacto. Demostraci´ on. Basta ver que la imagen T ∗ (B 0 ) de la bola unidad B 0 de Y 0 es relativamente compacto. 213

Sea B = B(0, 1) en X. Como T es compacto, T ( B) es relativamente compacto. Dado f ∈ B 0 , para cualquier y ∈ T ( B), tenemos |f (y)| ≤ kf k · kyk = kf k · kT xk ≤ kf k · kT k · kxk ≤ kT k, pues kf k < 1 y kxk ≤ 1. Esto indica que los funcionales de B 0 est´an uniformemente acotados sobre T ( B). Por otra parte, dichos funcionales son equicontinuos sobre T ( B) pues, si y1 , y2 ∈ T ( B) y f ∈ B 0 , |f (y1 ) − f (y2 )| = |f (y1 − y2 )| ≤ ky1 − y2 k. Una generalizaci´on del teorema de Arzel´a-Ascoli (cap´ıtulo I, teorema 5.12) prueba que B 0 es relativamente compacto para la convergencia uniforme sobre T ( B). Sea ahora una sucesi´on arbitraria (T ∗ fn )n∈N ⊂ T ∗ (B 0 ). Como B 0 es relativamente compacto, existe una subsucesi´on (fni )i∈N de (fn ), que converge uniformemente sobre T ( B), es decir sup |fni (T x) − fnj (T x)| = sup |T ∗ (fni − fnj )(x)| = kT ∗ (fni − fnj )k → 0. x∈ B

x∈ B

Esto implica que la sucesi´on (T ∗ fni )i∈N converge en norma, de modo que T ∗ (B 0 ) es relativamente compacto. ♦

´ ESPECTRAL DE LOS OPERADORES 4. DESCOMPOSICION COMPACTOS.

Obtenemos en esta secci´on la descomposici´on espectral de los operadores compactos en espacios normados. Es notable el hecho de que las propiedades espectrales de los operadores compactos son simples generalizaciones de la teor´ıa de autovalores de matrices finitas. Se deben a F. Riesz y J. Schauder los resultados fundamentales de la teor´ıa que desarrollamos a continuaci´on. En primer lugar veremos que si un operador compacto tiene infinitos autovalores, estos pueden disponerse en una sucesi´on que converge a cero (m´as adelante se probar´a que el espectro de un operador compacto, a excepci´on del cero, est´a formado u ´nicamente por autovalores). 4.1.- Teorema. El conjunto de autovalores de un operador compacto T sobre un espacio normado X es finito o numerable y su u ´nico posible punto de acumulaci´ on es λ = 0. 214

Demostraci´ on. Basta probar que para todo real k > 0, el conjunto Ak = {λ ∈ σp (T ) : |λ| ≥ k} S es finito pues σp (T ) = k∈N Ak . Supongamos por el contrario que ∃k0 > 0 tal que Ak0 es infinito. Existe entonces una sucesi´on {λn }n∈N de autovalores distintos tal que |λn | ≥ k0 . Para cada λn , existe xn 6= 0 tal que T xn = λn xn y el conjunto {x1 , . . . , xn } es linealmente independiente (proposici´on 1.2). Llamamos Mn = h{x1 , . . . , xn }i. Como los Mn tienen dimensi´on finita, son cerrados; por el lema de Riesz (cap´ıtulo II, lema 5.1), existe una sucesi´on {yn }n∈N tal que yn ∈ Mn , kyn k = 1, kyn − xk ≥ 1/2, ∀x ∈ Mn−1 . Podemos pues escribir T yn − T ym = λn yn − x e, donde x e = λn yn − T y n + T y m . Supongamos m < n y probemos que x e ∈ Mn−1 : ym ∈ Mm ⊂ Mn−1 = h{x1 , . . . , xn−1 }i =⇒ T ym ∈ Mn−1 pues T xj = λj xj . Adem´as, si yn =

Pn

i=1 αi xi ,

λn yn − T y n =

n X

entonces

αi (λn xi − T xi ) =

i=1

n−1 X

αi (λn − λi )xi ∈ Mn−1 .

i=1

Ambos resultados conducen a que x e ∈ Mn−1 ; por tanto, x = λ−1 e ∈ Mn−1 n x as´ı que 1 1 1 kλn yn − x ek = |λn | · kyn − xk ≥ |λn | ≥ k0 =⇒ kT yn − T ym k ≥ k0 . 2 2 2 Esto implica que {T yn }n∈N no tiene ninguna subsucesi´on convergente lo que contradice la compacidad de T pues {yn }n∈N es acotado. ♦ Ejemplo. El conjunto de autovalores puede ser tambi´en vac´ıo como muestra el operador T : `2 → `2 definido por T (x) = (0, x1 , x2 /2, x3 /3, . . . ). El siguiente teorema prueba que un operador compacto s´olo tiene un n´ umero finito de vectores propios linealmente independientes asociados a un mismo autovalor no nulo, es decir el autoespacio correspondiente a cualquier autovalor no nulo tiene dimensi´on finita (utilizaremos la notaci´on Tλ = T − λI, para cualquier λ ∈ C). 4.2.- Teorema. Sea T : X → X un operador compacto. Entonces N (Tλ ) es cerrado y tiene dimensi´ on finita para todo λ 6= 0. Demostraci´ on. La primera parte es evidente pues T es continuo y N (Tλ ) = (T − λI)−1 ({0}) es la imagen inversa de un cerrado. 215

Por otra parte, debido al teorema 5.3 del cap´ıtulo II, la dimensi´on de N (Tλ ) es finita si la bola unitaria cerrada M en N (Tλ ) es compacta. Para ello sea {xn }n∈N una sucesi´on en M . Entonces {xn }n∈N es acotada y {T xn }n∈N tiene una subsucesi´on convergente {T xnk }k∈N . Pero Tλ xn = T xn − λxn = 0, de modo que xn = λ−1 T xn . Entonces la sucesi´on {xnk }k∈N = {λ−1 T xnk }k∈N tambi´en converge y su l´ımite est´a en M . Esto prueba que M es compacto. ♦

Observaci´ on. La hip´otesis de compacidad es esencial pues, si T es el operador identidad y λ = 1, basta tomar el espacio X de dimensi´on infinita para que N (Tλ ) = N (0) = X no tenga dimensi´on finita. Por otra parte, en el caso λ = 0 tampoco se puede asegurar nada pues basta tomar T = 0 para que dim N (T0 ) = dim N (T ) = dim X que puede no ser finita. 4.3.- Corolario. En las condiciones del teorema anterior, dim N (Tλn ) < ∞, ∀n ∈ N y λ 6= 0. Demostraci´ on. Del desarrollo n   n   X X n k−1 n k n−k n n n T (−λ)n−k , T (−λ) = (−λ) I + T Tλ = (T − λI) = k k k=1

k=0

se deduce que podemos escribir Tλn = W − µI, donde llamamos µ = −(−λ)n n  k−1 P n y W = ST = T S, donde S = (−λ)n−k , que es acotado por serlo k T k=1

T. Como T es compacto, W tambi´en es compacto (teorema 3.7) y del teorema anterior se deduce la tesis. ♦ Sabemos que el rango de un operador acotado no es necesariamente cerrado, pero en el caso de operadores compactos tenemos lo siguiente. 4.4.- Teorema. Si T : X → X es compacto, el rango de Tλ es cerrado, ∀λ 6= 0. Demostraci´ on. Supongamos que Tλ (X) no es cerrado. Entonces existe alg´ un elemento y ∈ Tλ (X), y 6∈ Tλ (X) y una sucesi´on {xn }n∈N en X tales que yn = Tλ xn → y. Como y 6= 0, existe N ∈ N tal que yn 6= 0, ∀n > N , con lo que xn 6∈ N (Tλ ). Supondremos sin p´erdida de generalidad que esto es cierto para todo n. Como N (Tλ ) es cerrado, δn = ´ınf z∈N (Tλ ) kxn − zk > 0. Por definici´on de ´ınfimo, existe alguna sucesi´on {zn }n∈N en N (Tλ ) tal que an = kxn − zn k < 2δn . Ahora veamos que an = kxn − zn k → ∞ por reducci´on al absurdo. 216

Si lo anterior no es cierto, {xn − zn }n∈N tiene alguna subsucesi´on acotada. Como T es compacto, {T (xn − zn )}n∈N tiene una subsucesi´on convergente. De la igualdad I = λ−1 (T − Tλ ) y usando que Tλ zn = 0, tenemos xn − zn = λ−1 (T − Tλ )(xn − zn ) = λ−1 [T (xn − zn ) − Tλ xn ]. Como {Tλ xn }n∈N converge, {xn −zn }n∈N tiene una subsucesi´on convergente, digamos xnk − znk → v. Como T es compacto, es continuo y as´ı tambi´en Tλ . Entonces Tλ (xnk − znk ) = Tλ xnk → Tλ v, de modo que Tλ v = y. Esto contradice el hecho de que y 6∈ Tλ (X). Por u ´ltimo, si llamamos wn = a−1 n (xn − zn ), tenemos kwn k = 1. Debido a que an → ∞, Tλ zn = 0 y {Tλ xn }n∈N converge a y 6= 0, entonces Tλ wn = an −1 Tλ xn → 0. Nuevamente, de I = λ−1 (T − Tλ ), deducimos que wn = λ−1 (T wn − Tλ wn ). Como T es compacto y {wn }n∈N acotada, {T wn }n∈N tiene una subsucesi´on convergente. Adem´as, como hemos visto, {Tλ wn }n∈N converge. Por tanto {wn }n∈N tiene una subsucesi´on convergente, wnk → w. Esto implica que Tλ w = 0, es decir w ∈ N (Tλ ). Como tambi´en zn ∈ N (Tλ ), un = zn + an w ∈ N (Tλ ). Entonces kxn − un k ≥ δn =⇒ δn ≤ kxn − zn − an wk = kan wn − an wk = an kwn − wk < 2δn kwn − wk =⇒ 1/2 < kwn − wk, lo que es absurdo.



4.5.- Corolario. En las condiciones del teorema anterior, el rango de Tλn es cerrado, ∀n ∈ N y λ 6= 0. Demostraci´ on. Basta observar que el operador W definido en la demostraci´on del corolario 4.3 es compacto. ♦ Es evidente comprobar que N (Tλ0 ) ⊂ N (Tλ ) ⊂ · · · ⊂ N (Tλn ) ⊂ . . . y Tλ0 (X) ⊃ Tλ (X) ⊃ · · · ⊃ Tλn (X) ⊃ . . . En el caso de operadores compactos, estas inclusiones pueden refinarse del siguiente modo. 4.6.- Lema. Sea T : X → X compacto y λ 6= 0. Entonces existe un entero positivo r tal que N (Tλ0 ) ⊂ N (Tλ ) ⊂ · · · ⊂ N (Tλr ) = N (Tλr+1 ) = . . . 217

y las inclusiones son estrictas. Demostraci´ on. Escribiremos por comodidad Nn = N (Tλn ). *) Es evidente que Nm ⊂ Nm+1 . Supongamos que no hay ning´ un m para el que Nm = Nm+1 . Como Nn es cerrado para todo n, por el lema de Riesz (cap´ıtulo II, lema 5.1), existe una sucesi´on {yn }n∈N tal que yn ∈ Nn , kyn k = 1, kyn − xk ≥ 1/2, ∀x ∈ Nn−1 . De Tλ = T − λI, tenemos que T = Tλ + λI y T yn − T ym = λyn − x e donde x e = Tλ ym + λym − Tλ yn . Si m < n, claramente λym ∈ Nm ⊂ Nn−1 . Adem´as, 0 = Tλm ym = Tλm−1 (Tλ ym ), de donde Tλ ym ∈ Nm−1 ⊂ Nn−1 . An´alogamente, de yn ∈ Nn obtenemos Tλ yn ∈ Nn−1 . Lo anterior indica que x e ∈ Nn−1 y tambi´en x = λ−1 x e ∈ Nn−1 . Entonces kT yn − T ym k = kλyn − x ek = |λ| · kyn − xk ≥ |λ|/2 y {T yn }n∈N no tiene ninguna subsucesi´on convergente pero T es compacto. Esto quiere decir que existe m tal que Nm = Nm+1 . *) Veamos ahora que Nm = Nm+1 =⇒ Nn = Nn+1 , ∀n > m. Si x ∈ Nn+1 , entonces Tλn+1 x = 0. Si llamamos z = Tλn−m x, entonces z ∈ Nm+1 . Por hip´otesis z ∈ Nm , de modo que x ∈ Nn . ♦ Para los rangos el resultado an´alogo es el siguiente. 4.7.- Lema. Sea T : X → X compacto y λ 6= 0. Entonces existe un entero positivo q tal que Tλ0 (X) ⊃ Tλ (X) ⊃ · · · ⊃ Tλq (X) = Tλq+1 (X) = . . . y las inclusiones son estrictas. Demostraci´ on. La prueba es paralela a la anterior y escribiremos Rn = n Tλ (X). *) Supongamos que para todo s, Rs 6= Rs+1 , es decir Rn+1 es subespacio propio de Rn , para todo n. Por el lema de Riesz, existe una sucesi´on {xn }n∈N tal que xn ∈ Rn , kxn k = 1, kxn − xk ≥ 1/2, ∀x ∈ Rn+1 . Como T = Tλ + λI, T xm − T xn = λxm − (−Tλ xm + Tλ xn + λxn ). Por un lado, λxm ∈ Rm y como xm ∈ Rm , Tλ xm ∈ Rm+1 . 218

Adem´as, si n > m, Tλ xn + λxn ∈ Rn ⊂ Rm+1 ; entonces existe x ∈ Rm+1 tal que T xm − T xn = λ(xm − x), de donde kT xm − T xn k = |λ| · kxm − xk ≥ |λ|/2 > 0. Como T es compacto, {T xn }n∈N debe tener alguna subsucesi´on convergente, lo que contradice la desigualdad anterior. Esto prueba que existe s ∈ Z+ tal que Rs = Rs+1 . *) Adem´as Rq+1 = Rq significa que Tλ aplica Rq sobre s´ı mismo. Sucesivas aplicaciones de Tλ dan lugar a Rn+1 = Rn , ∀n > q. ♦ Combinando los dos lemas anteriores llegamos al siguiente resultado. 4.8.- Teorema. Sea T : X → X un operador compacto y λ 6= 0. Entonces existe r ∈ N tal que N (Tλ0 ) ⊂ N (Tλ ) ⊂ · · · ⊂ N (Tλr ) = N (Tλr+1 ) = . . . Tλ0 (X) ⊃ Tλ (X) ⊃ · · · ⊃ Tλr (X) = Tλr+1 (X) = . . . y las inclusiones son propias. Demostraci´ on. Debido a los dos lemas anteriores, s´olo falta probar que q = r. a) Probemos que q ≥ r. Por el lema 4.7, Rq+1 = Rq . As´ı, si y ∈ Rq , ∃x ∈ Rq : y = Tλ x. Veamos en primer lugar que (∗)

Tλ x = 0, x ∈ Rq =⇒ x = 0.

Si no fuera cierto, existir´ıa x1 ∈ Rq , x1 6= 0, tal que Tλ x1 = 0. En esta situaci´on debe existir x2 ∈ Rq tal que x1 = Tλ x2 . Sucesivamente, tenemos para todo n 0 6= x1 = Tλ x2 = · · · = Tλn−1 xn , pero 0 = Tλ x1 = · · · = Tλn xn . Esto implica que xn ∈ Nn \ Nn−1 , de donde Nn−1 ⊂ Nn , Nn−1 6= Nn , ∀n, lo que contradice el lema 4.6. Veamos ahora que Nq+1 = Nq (esto implicar´a que q ≥ r pues r es el menor entero que da la igualdad). Teniendo en cuenta (∗), x ∈ Nq+1 =⇒ Tλq+1 x = 0 =⇒ Tλ (Tλq x) = 0 =⇒ Tλq x = 0 =⇒ x ∈ Nq . Como siempre Nq ⊂ Nq+1 , se deduce la igualdad. Queda probado entonces que q ≥ r. 219

b) Veamos ahora que q ≤ r. Para ello, basta ver que Nq−1 es subespacio propio de Nq , pues r es el menor entero n para el que Nn = Nn+1 . Por la definici´on de q, la inclusi´on Rq ⊂ Rq−1 es propia. Sea y ∈ Rq−1 \ Rq . Entonces ∃x ∈ X : y = Tλq−1 x. Como Tλ y ∈ Rq = Rq+1 , existe z ∈ X : Tλ y = Tλq+1 z. Veamos que x − Tλ z ∈ Nq \ Nq−1 : Tλq−1 (x − Tλ z) = y − Tλq z 6= 0 pues y 6∈ Rq y Tλq z ∈ Rq =⇒ x − Tλ z 6∈ Nq−1 ; Tλq (x − Tλ z) = Tλ y − Tλ y = 0 =⇒ x − Tλ z ∈ Nq . Resulta entonces que Nq−1 es subespacio propio de Nq .



El siguiente teorema, aplicaci´on del resultado anterior, es an´alogo al conocido en el caso de dimensi´on finita y representa la principal herramienta en el estudio de los operadores compactos. 4.9.- Teorema (descomposici´on espectral). Sean X, T, λ, r como en los teoremas previos. Entonces X tiene la descomposici´ on X = N (Tλr ) ⊕ Tλr (X). Demostraci´ on. Dado x ∈ X, debemos encontrar una descomposici´on x = y + z, con y ∈ N (Tλr ), z ∈ Tλr (X). Si llamamos z = Tλr x, por el teorema 4.8, como z ∈ Rr , z ∈ R2r y existe x1 ∈ X tal que z = Tλ2r x1 . Llamamos ahora x0 = Tλr x1 ; entonces Tλr x0 = Tλ2r x1 = z = Tλr x, de donde x − x0 ∈ Nr y x = (x − x0 ) + x0 con x − x0 ∈ Nr , x0 ∈ Rr . Para comprobar que la descomposici´on es u ´nica, llamemos v0 ∈ Nr ∩ Rr . Entonces existe v ∈ X : v0 = Tλr v y adem´as Tλr v0 = 0, de donde Tλ2r v = Tλr v0 = 0. Esto quiere decir que v ∈ N2r = Nr . As´ı Tλr v = v0 = 0. ♦   1 −1 2 2 Ejemplo. Sea T : R → R el operador definido por T = . −1 1 Para λ = 2, se obtiene r = 1 y la descomposici´on R2 = N (T2 ) ⊕ T2 (R2 ), donde N (T2 ) = h(1, −1)i y T2 (R2 ) = h(1, 1)i. Para λ 6= 0 y λ 6= 2, la descomposici´on es trivial R2 = {0} ⊕ R2 . Probaremos por u ´ltimo las siguientes sencillas propiedades espectrales. 4.10.- Teorema. Si X es un espacio de Banach de dimensi´ on infinita y T ∈ L(X) un operador compacto, entonces 0 ∈ σ(T ). Demostraci´ on. Si 0 ∈ ρ(T ), existir´ıa T −1 = T0−1 ∈ L(X). Como T es compacto, I = T −1 T es compacto, lo que no es posible pues dim X = ∞.♦ 220

4.11.- Teorema (caracterizaci´on del espectro). Sea X un espacio de Banach y T : X → X compacto. Todo punto espectral λ 6= 0 de T (si existe) es autovalor. Nota. El teorema tambi´en es cierto en espacios normados generales (ver ejercicio 13). Demostraci´ on. Si N (Tλ ) 6= {0}, λ es autovalor de T . Si N (Tλ ) = {0}, entonces existe Tλ−1 : Tλ (X) → X. Como {0} = N (I) = N (Tλ0 ) = N (Tλ ), se obtiene el valor r = 0 en el teorema 4.8. Entonces X = Tλ0 (X) = Tλ1 (X) =⇒ Tλ es biyectiva y Tλ−1 es acotado por el teorema de la aplicaci´on abierta, ya que X es completo. En definitiva λ ∈ ρ(T ). ♦

5. ECUACIONES LINEALES DE OPERADORES COMPACTOS. ECUACIONES INTEGRALES DE FREDHOLM.

La teor´ıa espectral de operadores compactos fue desarrollada por Riesz para estudiar las ecuaciones integrales lineales. Aqu´ı la aplicaremos para probar el teorema de alternativa de Fredholm, que relaciona el comportamiento de los operadores compactos con la solubilidad de ciertas ecuaciones. Los resultados que obtendremos extienden los resultados an´alogos de Algebra Lineal. Sean X un espacio normado y A : X → X un operador compacto y definimos T = A−I. Damos a continuaci´on una cadena de proposiciones que muestran la estrecha relaci´on que existe entre las soluciones de las ecuaciones Tx = y ∗

T f

= g

(1) (2)

y sus correspondientes ecuaciones homog´eneas asociadas. 5.1.- Teorema. Dado y ∈ X, la ecuaci´ on (1) tiene soluci´ on si y s´ olo si f (y) = 0, para todo funcional lineal f soluci´ on de la ecuaci´ on homog´enea T ∗ f = 0. Demostraci´ on. Si T x = y tiene soluci´on x0 ∈ X y f es un funcional lineal tal que T ∗ f = 0, entonces f (y) = f (Ax0 −x0 ) = f (Ax0 )−f (x0 ) = (A∗ f )(x0 )−f (x0 ) = (T ∗ f )(x0 ) = 0. 221

Rec´ıprocamente, supongamos que f (y) = 0, para todo funcional lineal f tal que T ∗ f = 0. Si y 6∈ T (X), entonces d(y, T (X)) = d > 0 pues, al ser A compacto, T (X) es cerrado. Por el teorema de Hahn-Banach, existe f0 funcional lineal tal que f0 (y) = 1 y f0 (z) = 0, ∀z ∈ T (X). De esta igualdad se deduce que 0 = f0 (Ax − x) = (A∗ f0 − f0 )(x) = (T ∗ f0 )(x), ∀x ∈ X =⇒ T ∗ f0 = 0. Por hip´otesis f0 (y) = 0 lo que contradice la construcci´on anterior.



A∗ f

5.2.- Corolario. Si la ecuaci´ on homog´enea adjunta − f = 0 s´ olo tiene la soluci´ on trivial f = 0, la ecuaci´ on Ax − x = y tiene soluci´ on para todo y ∈ X. Enunciamos a continuaci´on un lema auxiliar que utilizaremos en la proposici´on siguiente (su demostraci´on se propone en el ejercicio 7 al final del cap´ıtulo). 5.3.- Lema. Si X es un espacio normado y A : X → X un operador lineal compacto, entonces existe α > 0 tal que, para todo valor de y para el que (1) tiene soluci´ on, al menos una de esas soluciones x e satisface la acotaci´ on ke xk ≤ αkyk. 5.4.- Teorema. Para que la ecuaci´ on (2) con g ∈ X 0 dado tenga soluci´ on, es necesario y suficiente que g(x) = 0 para todo x ∈ X soluci´ on de la ecuaci´ on homog´enea T x = 0. Demostraci´ on. La necesidad se deduce inmediatamente de la igualdad g(x) = (T ∗ f )(x) = f (T x) = f (0) = 0. Para la suficiencia, definimos en L = T (X) un funcional f0 como f0 (y) = g(x), donde y = T x. Dicho funcional est´a bien definido pues, si T x = T u, entonces A(x − u) − (x − u) = 0 =⇒ g(x − u) = 0 =⇒ g(x) = g(u). Es f´acil ver que f0 es lineal; para ver que est´a acotado, utilizamos el lema anterior, es decir que kxk < αkyk para alg´ un x tal que T x = y, y alg´ un α > 0. Entonces |f0 (y)| = |g(x)| ≤ kgk · kxk ≤ kgk · α · kyk. Por el teorema de Hahn-Banach, f0 se puede extender a f definido en X de modo que f (T x) = f (y) = f0 (y) = g(x) =⇒ (T ∗ f )(x) = g(x) lo que produce una soluci´on de (2).



222

5.5.- Corolario. Si T x = 0 s´ olo admite la soluci´ on trivial x = 0, la ecuaci´ on T ∗ f = g admite soluci´ on para todo g. Adem´as de lo anterior existe una estrecha relaci´on entre la solubilidad de la ecuaci´on homog´enea y la de la ecuaci´on no homog´enea asociada. 5.6.- Teorema. Si A es un operador compacto en un espacio normado X, la ecuaci´ on (1) tiene soluci´ on para todo y ∈ X si y s´ olo si la ecuaci´ on homog´enea asociada T x = 0 s´ olo tiene la soluci´ on trivial. En este caso la soluci´ on de (1) es u ´nica y el operador T = A−I tiene inverso acotado. Demostraci´ on. a) Por hip´otesis, para cada y ∈ X, existe x ∈ X tal que T x = y. Supongamos sin embargo que existe x1 6= 0 tal que T x1 = 0. Aplicando la hip´otesis a x1 , existe x2 ∈ X tal que T x2 = x1 . Procediendo por recurrencia, obtenemos una sucesi´on (xn )n∈N ⊂ X tal que xn = T xn+1 , ∀n ∈ N. Tenemos as´ı: 0 6= x1 = T x2 = · · · = T n−1 xn y 0 = T x1 = T 2 x2 = · · · = T n xn , ∀n ∈ N. Esto implica que xn ∈ N (T n ) \ N (T n−1 ), ∀n ∈ N lo que contradice el lema 4.6 (recordemos que T = A − I = A1 ). b) Supongamos ahora que x = 0 es la u ´nica soluci´on de la ecuaci´on homog´enea T x = 0. Por el corolario 5.5, ∀g ∈ X 0 la ecuaci´on T ∗ f = g tiene soluci´on. Como A∗ tambi´en es compacto, podemos aplicar la implicaci´on probada en a) para concluir que T ∗ f = 0 s´olo tiene la soluci´on trivial. Por el corolario 5.2, la ecuaci´on T x = y tiene soluci´on, ∀y ∈ X. c) Para ver que la soluci´on de (1) es u ´nica, supongamos que existen x1 , x2 ∈ X tales que T x1 = T x2 = y. Entonces T (x1 − x2 ) = 0. Ahora bien, como T x = 0 s´olo tiene la soluci´on trivial, debe ser x1 = x2 . d) Por u ´ltimo, como T x = y tiene soluci´on u ´nica, se puede definir T −1 y = x, ∀y ∈ X. Adem´as T −1 est´a acotado pues, por el lema 5.3, existe α > 0 tal que kxk = kT −1 yk ≤ αkyk. ♦ 5.7.- Corolario. La ecuaci´ on T ∗ f = g tiene soluci´ on para todo g ∈ X 0 si y s´ olo si f = 0 es la u ´nica soluci´ on de la ecuaci´ on homog´enea T ∗ f = 0. En ∗ este caso, la ecuaci´ on T f = g tiene soluci´ on u ´nica. Nuestro siguiente resultado se basa en el lema que enunciamos a continuaci´on, y cuya demostraci´on puede hacerse por inducci´on. 5.8.- Lema. Si X es un espacio normado y {f1 , . . . , fm } un conjunto linealmente independiente en X 0 , existe un conjunto {z1 , . . . , zm } ⊂ X tal que fj (zk ) = δjk (j, k = 1, . . . m). 223

Un par de conjuntos como los que verifican el lema recibe el nombre de sistema biortogonal. 5.9.- Teorema. Las ecuaciones T x = 0 y T ∗ f = 0 tienen el mismo n´ umero de soluciones linealmente independientes. Demostraci´ on. Debemos probar que dim N (T ) = dim N (T ∗ ). Al ser A y A∗ compactos, n = dim N (T ) < ∞ y m = dim N (T ∗ ) < ∞. a) Si suponemos n = 0, la ecuaci´on T x = 0 s´olo tiene la soluci´on trivial x = 0. Por el corolario 5.5, la ecuaci´on T ∗ f = g tiene soluci´on ∀g ∈ X 0 . Por el corolario 5.7, f = 0 es la u ´nica soluci´on de T ∗ f = 0, con lo que m = 0. b) Sean ahora n > 0, m > 0 y consideremos una base de N (T ), {x1 , . . . , xn }. Para cada k ∈ {1, . . . , n}, consideramos el subespacio Mk generado por el conjunto {x1 , . . . , xk−1 , xk+1 , . . . , xn }. Como xk 6∈ Mk , d(xk , Mk ) = δk > 0. Por una consecuencia del teorema de Hahn-Banach, ∃gk ∈ X 0 : kgk k = 1, gk (xk ) = 1, gk (xi ) = 0 (i 6= k). Si consideramos tambi´en una base {f1 , . . . , fm } de N (T ∗ ), el lema anterior afirma que existe un conjunto {z1 , . . . , zm } ⊂ X tal que fj (zk ) = δjk (j, k = 1, . . . , m). c) Supongamos Pn que n < m y definamos el operador S : X → X por Sx = Ax + j=1 gj (x)zj . Es f´acil comprobar que S es lineal y compacto. Veamos tambi´en que la ecuaci´on homog´enea Sx − x = 0 s´olo tiene la soluci´on trivial. En efecto, si suponemos que Sx0 −x0 = 0, entonces fk (Sx0 −x0 ) = fk (0) = 0 (k = 1, . . . , m), de donde 0 = fk (Sx0 − x0 ) = fk (T x0 +

n X

gj (x0 )zj ) = fk (T x0 ) +

j=1

n X

gj (x0 )fk (zj )

j=1

= fk (T x0 ) + gk (x0 ) = (T ∗ fk )(x0 ) + gk (x0 ) = gk (x0 ), k = 1, . . . , n. P Entonces Sx0 − x0 = T x0 + nj=1 gj (x0 )zj = T x0 . Como P Sx0 − x0 = 0 por hip´otesis, resulta que x0 ∈ N (T ); por tanto, x0 = nj=1 αj xj . Entonces n X 0 = gk (x0 ) = αj gk (xj ) = αk , k = 1, . . . , n, j=1

lo que implica que x0 = 0. 224

Aplicando el teorema 5.6, la ecuaci´on Sx − x = y tiene soluci´on ∀y ∈ X. En particular, para y = zn+1 (recordamos que n < m), existe x = v tal que Sv − v = zn+1 . De aqu´ı obtenemos: 1 = fn+1 (zn+1 ) = fn+1 (Sv − v) = fn+1 T v +

n X

gj (v)zj



j=1

= fn+1 (T v) +

n X

gj (v)fn+1 (zj ) = (T ∗ fn+1 )(v).

j=1

Por otro lado, fn+1 ∈ N (T ∗ ) lo que lleva a una contradicci´on; deducimos pues que n < m es imposible. d) Supongamos ahora que n > m. Definimos an´alogamente Se : X 0 → X 0 P m ∗ e =A f+ por Sf j=1 f (zj )gj . Nuevamente, Se es lineal y compacto. Adem´as f0 = 0 es la u ´nica soluci´on de e Sf − f = 0 lo que se prueba de forma an´aloga al obtenido en c). Aplicando e − f = g tiene soluci´on para nuevamente el teorema 5.6, deducimos que Sf 0 e cualquier g ∈ X . En particular, para g = gm+1 existe f = h tal que Sh−h = gm+1 . Entonces e − h)(xm+1 ) 1 = gm+1 (xm+1 ) = (Sh m X ∗ = (T h)(xm+1 ) + h(zj )gj (xm+1 ) = (T ∗ h)(xm+1 ) = h(T xm+1 ). j=1

Ahora bien, como xm+1 ∈ N (T ), T (xm+1 ) = 0, de modo que h(T xm+1 ) = 0 lo que es absurdo. De c) y d) se deduce que n = m.



Observaci´ on. Debido a que la ecuaci´on (10 )

Ax − λx = y, λ 6= 0

se puede escribir como λ−1 Ax−x = λ−1 y y a que λ−1 A es compacto a la vez que A, los teoremas anteriores son v´alidos para las ecuaciones (10 ) y (20 )

A∗ f − λf = g, λ 6= 0

en lugar de (1) y (2). Las relaciones obtenidas en las proposiciones anteriores motivan la adopci´on del concepto de alternativa. 5.10.- Definici´ on. Un operador A ∈ L(X) sobre un espacio normado X satisface la alternativa de Fredholm si cumple alguna de las siguientes condiciones: 225

(I) Las ecuaciones no homog´eneas Ax = y, A∗ f = g (donde A∗ representa el adjunto de A) tienen soluciones x, f para cualesquiera y ∈ X, g ∈ X 0 , respectivamente, y dichas soluciones son u ´nicas. En este caso las ecuaciones homog´eneas asociadas s´olo tienen las soluciones triviales. (II) Las ecuaciones homog´eneas Ax = 0, A∗ f = 0, tienen el mismo n´ umero finito de soluciones linealmente independientes {x1 , . . . , xn }, {f1 , . . . , fn }, n ≥ 1, respectivamente. En particular las ecuaciones no homog´eneas Ax = y, A∗ f = g tienen soluciones si y s´olo si fk (y) = 0, g(xk ) = 0, k = 1, . . . , n, respectivamente. Con esta noci´on, todo lo anterior se puede agrupar enunciando el siguiente resultado general de alternativa. 5.11.- Teorema (alternativa de Fredholm). Sea A : X → X un operador lineal compacto sobre un espacio normado X y λ 6= 0. Entonces Aλ = A − λI verifica la alternativa de Fredholm. Las soluciones generales de las P ecuaciones P (10 ) y (20 ) son respectivamente de la forma x = x0 + nk=1 αk xk , f = f0 + nk=1 λk fk , donde x0 , f0 son soluciones particulares y αk , λk constantes arbitrarias. Este resultado generaliza el obtenido por Fredholm sobre existencia de soluciones de ecuaciones integrales del tipo b

Z g(s) + µ

k(s, t)f (t)dt = f (s), a

donde ahora X = C[a, b], el n´ ucleo k es una funci´on continua y g ∈ C[a, b] es dado. La ecuaci´on anterior puede escribirse como g = (I − µA)f , donde Rb el operador (Af )(s) = a k(s, t)f (t)dt es compacto. Aplicando el teorema de alternativa, se deduce f´acilmente el siguiente resultado: 5.12.- Teorema (Fredholm). Sea D = {(s, t) : a ≤ s, t ≤ b} y k : D → C una funci´ on continua. Si µ es un n´ umero complejo no nulo, una de las siguientes alternativas es cierta: a) o bien cada una de las ecuaciones Z

b

f (s) = g(s) + µ

k(s, t)f (t)dt, a ≤ s ≤ b, (3)

(3)

k(t, s)f (t)dt, a ≤ s ≤ b, (4)

(4)

a

Z f (s) = g(s) + µ

b

a

tiene soluci´ on u ´nica f ∈ C[a, b] para cada g ∈ C[a, b], 226

b) o bien las dos ecuaciones homog´eneas Z b f (s) = µ k(s, t)f (t)dt, a ≤ s ≤ b, (5) a Z b k(t, s)f (t)dt, a ≤ s ≤ b, (6) f (s) = µ

(5) (6)

a

tienen soluciones no nulas f ∈ C[a, b]. Si se cumple (b), las ecuaciones (5) y (6) tienen el mismo n´ umero de soluciones linealmente independientes en C[a, b]; la ecuaci´ on (3) tiene soRb luciones f ∈ C[a, b] si y s´ olo si a g(s)h(s)ds = 0, ∀h ∈ C[a, b] soluci´ on de (6); y la ecuaci´ on (4) tiene soluciones f ∈ C[a, b] si y s´ olo si Rb on de (5). a g(s)h(s)ds = 0, ∀h ∈ C[a, b] soluci´ Por u ´ltimo, el conjunto {µ ∈ C : se cumple (b)} es numerable y no tiene puntos de acumulaci´ on. Demostraci´ on. Definimos los operadores integrales K, K 0 : C[a, b] → C[a, b] por Z b Z b 0 (Kf )(s) = k(s, t)f (t)dt, (K f )(s) = k(t, s)f (t)dt, ∀s ∈ [a, b]. a

a

As´ı definidos, K y escribir en la forma

K0

son compactos. Las ecuaciones (3) a (6) se pueden

(I − µK)f = g,

(I − µK 0 )f = g,

(I − µK)f = 0,

(I − µK 0 )f = 0.

Debido a que K 0 no es el adjunto de K no se puede aplicar el teorema de alternativa 5.11. Sin embargo, veremos que K 0 y K ∗ est´an estrechamente ligados. Definimos para cada g ∈ C[a, b] el funcional Jg : C[a, b] → C por Z b Jg (f ) = g(s)f (s)ds. a

C[a, b]0

Es f´acil comprobar que Jg ∈ definida por Jg = Jg es inyectiva.

y que la aplicaci´on J : C[a, b] → C[a, b]0

Probaremos ahora que K ∗ ◦ J = J ◦ K 0 . En efecto, ∀f, g ∈ C[a, b], Z b ∗ (K Jg )(f ) = Jg (Kf ) = g(s)(Kf )(s)ds a   Z b  Z b Z b Z b = g(s) k(s, t)f (t)dt ds = f (t) k(s, t)g(s)ds dt a

Z =

a b

a

f (t)(K 0 g)(t)dt = JK 0 g (f ).

a

227

a

De lo anterior se deduce que (I ∗ − µK ∗ ) ◦ J = J ◦ (I − µK 0 ) y, como J es inyectiva, J[N (I − µK 0 )] = N (I ∗ − µK ∗ ) ∩ J(C[a, b]), de donde dim N (I − µK 0 ) = dim J[N (I − µK 0 )] = dim[N (I ∗ − µK ∗ ) ∩ J(C[a, b])] ≤ dim N (I ∗ − µK ∗ ) = dim N (I − µK). Como la relaci´on entre K y K 0 es sim´etrica, podemos intercambiar K con K 0 y obtener la desigualdad contraria, con lo que dim N (I − µK 0 ) = dim N (I − µK) = dim(I ∗ − µK ∗ ).

(∗)

Como µK y µK 0 son compactos, se obtiene la tesis aplicando el teorema de alternativa de Fredholm. En efecto: - Supongamos que (I − µK)f = 0 s´olo tiene la soluci´on trivial. Debido a (∗), la ecuaci´on (I − µK 0 )f = 0 s´olo tiene la soluci´on trivial. Por el teorema 5.6, las ecuaciones (I − µK)f = g, (I − µK 0 )f = g tienen soluciones u ´nicas, con lo que queda probado (a). - Supongamos ahora que (I − µK)f = 0 tiene alguna soluci´on f0 6= 0. Otra vez, por (∗), la ecuaci´on (I − µK 0 )f = 0 tiene alguna soluci´on no nula, lo que prueba el apartado (b). - La misma condici´on (∗) muestra que (5) y (6) tienen el mismo n´ umero de soluciones linealmente independientes. Rb - Veamos ahora que (I − µK)f = g tiene soluci´on si y s´olo si a g(s)h(s) = 0 para cualquier h soluci´on de (I − µK 0 )h = 0. Sean pues f y h tales que (I − µK)f = g y (I − µK 0 )h = 0. Entonces, como Z b

g(s) = f (s) − µ

k(s, t)f (t)dt, a

resulta Z b

Z

b

h(s)f (s)ds − µ

g(s)h(s)ds = a

Z b Z

a Z b

a a b Z b

Z h(s)f (s)ds−µ

= a

Z =

b

Z

a b

h(s)f (s)ds− a

b



k(s, t)f (t)dt h(s)ds  k(s, t)h(s)ds f (t)dt

a

h(t)f (t)dt = 0. a

Rec´ıprocamente, si h es soluci´on de (I − µK 0 )h = 0, entonces J(I − µK 0 )h = 0, de donde (I ∗ − µK ∗ )(Jh) = 0, es decir Jh es soluci´on de (I ∗ − µK ∗ )f = 0. Como, por hip´otesis, (Jh)g = 0, por el teorema 5.1, (I − µK)f = g tiene soluci´on. An´alogamente se procede con el caso dual. 228



(Ver [BN] y [RN] para desarrollos similares y aplicaciones del mismo tema.)

229

EJERCICIOS.

1. Sea T ∈ L(X).

a) Probar que el conjunto ∆ = {λ ∈ C : T − λI es biyectiva pero (T − λI)−1 no es continua} es vac´ıo. b) Probar que σ(T ) \ σp (T ) = {λ ∈ C : T − λI es inyectivo pero no sobre}. Resp.: a) Es consecuencia directa del teorema de la aplicaci´on abierta. b) Teniendo en cuenta que σp (T ) = {λ ∈ C : T − λI es no inyectiva} resulta que σ(T ) \ σp (T ) = {λ ∈ C : T − λI inyectiva no sobre} ∪ ∆ y el resultado es consecuencia del apartado a). Observaci´ on. Este hecho sugiere la distinci´on hecha en la teor´ıa entre espectro puntual y espectro no puntual.   2. Sea T ∈ L(X). Probar que σ(T ) = σ(T ∗ ) y Rλ (T ∗ ) = Rλ (T )∗ , ∀λ ∈ ρ(T ∗ ) = ρ(T ) (lema 2.3). Resp.: Utilizaremos las siguientes propiedades: (T − λI)∗ = T ∗ − λI ∃T −1 ∈ L(X) ⇐⇒ ∃(T ∗ )−1 ∈ L(X 0 ) y (T −1 )∗ = (T ∗ )−1 . As´ı pues, λ ∈ ρ(T ) ⇐⇒ (T − λI)−1 ∈ L(X) ⇐⇒ ((T − λI)−1 )∗ ∈ L(X 0 ) ⇐⇒ (T ∗ − λI) ∈ L(X 0 ) ⇐⇒ λ ∈ ρ(T ∗ ). Como σ(T ) = C \ ρ(T ), se deduce que σ(T ) = σ(T ∗ ). Por otra parte, ∀λ ∈ ρ(T ) = ρ(T ∗ ), Rλ (T ∗ ) = (T ∗ − λI)−1 = ((T − λI)∗ )−1 = ((T − λI)−1 )∗ = (Rλ (T ))∗ .  

230

3. Sea X normado. Probar que el conjunto de operadores invertibles es abierto en L(X). Resp.: Sea T ∈ L(X) invertible. Probemos que ∃r > 0 tal que la bola B(T, r) est´a formada por operadores invertibles. Para ello elegimos r = kT −1 k−1 ; si S ∈ B(T, r), entonces kS − T k < kT −1 k−1 . Veamos que S es invertible: kT −1 S − Ik

=

kT −1 (S − T )k ≤ kT −1 k · kS − T k < 1

=⇒ ∃(I − (T −1 S − I))−1 ∈ L(X) =⇒ ∃(T −1 S)−1 ∈ L(X) =⇒ ∃S −1 ∈ L(X).   4. Sea X de Banach y T ∈ L(X). Probar que l´ım kT n k1/n < 1 =⇒ (I − T )−1 =

n→∞

X

Tn

n≥0

y converge en la norma de L(X). n 1/n n n Resp.: Sea α < 1 tal que l´ımn→∞ PkT k n < α. Entonces kT k < α , ∀n > N . De este modo, la P serie n≥0 kT k es convergente y, por ser L(X) de Banach, tambi´en n≥0 T n converge. P P n ımm→∞ Sm Llamamos S = n≥0 T n y Sm = m n=0 T ; entonces S = l´ y (I − T )Sn = Sn (I − T ) = I − T n+1 .

Como kT n k < αn , l´ımn→∞ kT n k = 0, de donde l´ımn→∞ Sn = (I − T )−1 . De este resultado se obtiene la f´ormula de Neumann: si T ∈ L(X) y λ ∈ C son tales que |λ|−1 > l´ımn kT n k1/n , entonces l´ımn k(λT )n k1/n < 1, de modo que I − λT es invertible y (I − λT )−1 =

X

λn T n ,

n≥0

donde la serie converge en la norma de L(X).  

231

5. Sea X un espacio de dimensi´ on infinita y A : X → X un operador compacto. Probar que A−1 , si existe, no es acotado. Resp.: Supongamos que A−1 ∈ L(X). Por ser A compacto y la clase de operadores compactos un ideal bil´atero de L(X), se deduce que I = AA−1 es compacto. Pero, como la dimensi´on del espacio es infinita, el operador identidad no puede ser compacto.   6. Sea X un espacio normado, z ∈ X , f ∈ X 0 elementos fijos. Definimos A : X → X por Ax = f (x)z . Probar que A es compacto. Resp.: Sea {xn }n∈N una sucesi´on acotada en X, kxn k ≤ M , ∀n. Veamos que {Axn }n∈N posee alguna subsucesi´on convergente. Como f es acotado, |f (xn )| ≤ kf k · kxn k ≤ kf k · M , lo que prueba que {f (xn )}n∈N es una sucesi´on uniformemente acotada. Por el teorema de Bolzano-Weierstrass, tiene una subsucesi´on, {f (xnk )}k∈N , convergente, digamos a λ. Como Axnk = f (xnk )z, resulta que Axnk → λz, lo que prueba el enunciado.   7. Sea T : X → X un operador compacto. Probar que existe una constante M > 0 tal que ∀y ∈ R(Tλ ), kTλ−1 yk ≤ M kyk. Resp.: Sea y 6= 0 un elemento de R(Tλ ) y x0 ∈ X tal que (T − λI)x0 = y. Como dim N (Tλ ) < ∞, N (Tλ ) es cerrado. Entonces existe w ∈ N (Tλ ) tal que d(x0 , N (Tλ )) = kx0 − wk > 0. Si llamamos x = x0 − w, entonces Tλ x = y y, si probamos que existe M > 0 tal que d(x0 , N (Tλ )) ≤ M kTλ x0 k, entonces kxk = kx0 − wk ≤ M kTλ x0 k = M kyk. Supongamos por el contrario que no existe tal M , es decir que (∗)

∀n > 0, ∃yn ∈ R(Tλ ) : kTλ−1 yn k > nkyn k.

Entonces existe una sucesi´on (xn )n∈N ⊂ X tal que Tλ xn = yn , ∀n y, como yn 6= 0, xn 6∈ N (Tλ ), ∀n. 232

Como N (Tλ ) es cerrado, si llamamos dn = d(xn , N (Tλ )), entonces dn > 0, ∀n. Por tanto, ∃wn ∈ N (Tλ ) tal que dn ≤ kxn −wn k < 2dn . Sea ahora vn = kxn −wn k−1 (xn −wn ); as´ı, kvn k = 1 y, por ser T compacto, existe una subsucesi´on (vnk )k∈N tal que (T vnk )k∈N es convergente. Por otra parte, de la igualdad yn = Tλ xn = Tλ (xn − wn ) = Tλ (kxn − wn k · vn ) y teniendo en cuenta (∗), se deduce que kxn − wn k · kvn k > nkyn k, de donde kTλ vn k = kxn − wn k−1 · kyn k < 1/n, ∀n ∈ N. Esto implica que Tλ vn → 0. Como adem´as vn = −λ−1 (Tλ vn − T vn ), deducimos que (vnk )k∈N tambi´en converge, en contradicci´on con la definici´on de vn (ver prueba del teorema 4.4).   8. Dado un espacio vectorial X y un subespacio M de X , se llama codimensi´on de M a codim M = dim X/M , cuando esta cantidad es finita.

a) Probar que M tiene codimensi´ on finita si y s´ olo si existe N subespacio de X con dimensi´ on finita tal que X = M ⊕ N . b) Si X es un espacio normado y T : X → X es un operador compacto, probar que R(T − λI) tiene codimensi´ on finita y codim R(T − λI) = dim N (T − λI). Resp.: a) Supongamos que {x1 +M, . . . , xn +M } es una base de X/M . Es evidente que {x1 , . . . , xn } es linealmente independiente. Llamamos N Pnal espacio generado por dicho conjunto. As´ı, ∀x ∈ X, x + M = k=1 αk (xk + M ), es decir x = y + z, con y ∈ M , z ∈ N , y la descomposici´on es u ´nica. Rec´ıprocamente, si {y1 , . . . , yn } es una base de N , definimos ϕ : N → X/M por ϕ(yk ) = yk + M (restricci´on a N de la aplicaci´on can´onica). Como, por hip´otesis, X = M ⊕ N , ϕ es biyectiva. Esto implica que dim X/M = codim M = n. b) Por el teorema espectral de operadores compactos, (∗)

X = N (Tλr ) ⊕ R(Tλr ).

Por tanto, debido que que Tλ (R(Tλr )) = R(Tλr ), deducimos que (∗∗) R(Tλ ) = Tλ (X) = Tλ (N (Tλr )) ⊕ Tλ (R(Tλr )) = Tλ (N (Tλr )) ⊕ R(Tλr ). 233

Por otra parte, es f´acil probar que Tλ (N (Tλr )) ⊂ N (Tλr ), lo que permite definir S = Tλ |N (Tλr ) : N (Tλr ) → N (Tλr ). Como N (Tλr ) tiene dimensi´on finita, dim N (Tλr ) = dim N (S)+dim R(S), de donde dim N (S) = codim R(S). Por el apartado a), existe N ⊂ N (Tλr ) tal que N (Tλr ) = R(S) ⊕ N , con dim N = codim R(S). Sustituyendo esta descomposici´on en (∗) y aplicando (∗∗), resulta: X = R(S) ⊕ N ⊕ R(Tλr ) = N ⊕ R(Tλ ), de modo que codim R(Tλ ) = dim N = dim N (S) = dim N (Tλ ) pues N (Tλ ) = N (S).   9. Sea k un n´ ucleo continuo en el cuadrado [0, 1]×[0, 1]. Probar que el Z 1 operador integral T : C[0, 1] → C[0, 1], definido por T x(s) = k(s, t)x(t)dt, 0

es compacto.

Resp.: Sea M ⊂ C[0, 1] un conjunto acotado. Probemos que T (M ) es relativamente compacto en la m´etrica de C[0, 1]. Por hip´otesis, existe K > 0 tal que kxk∞ ≤ K, ∀x ∈ M . • Veamos que T x es una funci´on uniformemente acotada, ∀x ∈ M : Si λ = m´ax0≤s,t≤1 |k(s, t)|, entonces |T x(s)| ≤ λ · K. • Veamos adem´as que T x es equicontinua, ∀x ∈ M : Sea para ello ε > 0 arbitrario. Como k es uniformemente continuo, existe δ > 0 tal que |k(s1 , t) − k(s2 , t)| < ε/K, si |s1 − s2 | < δ, ∀t ∈ [0, 1]. Entonces Z |T x(s1 ) − T x(s2 )| ≤

1

|k(s1 , t) − k(s2 , t)| · |x(t)|dt < ε 0

si |s1 − s2 | < δ. Aplicando ahora el teorema de Arzela-Ascoli, deducimos que el conjunto T (M ) es relativamente compacto.  

234

10. Probar que el operador integral T : L2 [0, 1] → L2 [0, 1] definiZ 1 Z 1Z 1 do por Ax(s) = k(s, t)x(t)dt, donde k 2 (s, t)dsdt < ∞, es 0

compacto.

0

0

Resp.: Supongamos en primer lugar que k es continua en [0, 1] × [0, 1] y llamemos λ = m´ax |k(s, t)|. Para ver que T es compacto, sea M 0≤s,t≤1

un conjunto acotado en L2 [0, 1] y kxk2 ≤ K, ∀x ∈ M . Por la desigualdad de H¨older, ∀x ∈ M, 1

Z |T x(s)| ≤

Z |k(s, t)x(t)|dt ≤

0

1

1/2 Z |k(s, t)| dt

1

2

0

2

|x(t)| dt

1/2 ≤ λ·K,

0

de lo que se deduce que T (M ) es uniformemente acotado. Adem´as, T (M ) es equicontinua pues, si elegimos ε > 0 arbitrariamente, existe δ > 0 tal que |k(s1 , t) − k(s2 , t)| < ε/K, si |s1 − s2 | < δ, t ∈ [0, 1]. Entonces Z |T x(s1 )−T x(s2 )| ≤

1 2

1/2 Z

|k(s1 , t) − k(s2 , t)| dt 0

1

1/2 |x(t)| dt < ε. 2

0

Del teorema de Arzela-Ascoli se deduce que T es compacto. Supongamos ahora que k es un n´ ucleo arbitrario en L2 ([0, 1] × [0, 1]). Consideramos una sucesi´on {kn }n∈N de n´ ucleos continuos convergente R1 2 a k en L ([0, 1] × [0, 1]). Si definimos Tn x(s) = 0 kn (s, t)x(t)dt, se obtiene que 2

kT x − Tn xk

2 = [k(s, t) − kn (s, t)]x(t)dt ds 0 0 Z 1  Z 1  Z 1  2 2 ≤ |k(s, t) − kn (s, t)| dt · |x(t)| dt ds 0 0 0 Z 1Z 1 2 = kxk2 · |k(s, t) − kn (s, t)|2 dtds. Z

1 Z 1

0

0

R R 1/2 1 1 Esto implica que kT − Tn k ≤ 0 0 |k(s, t) − kn (s, t)|2 dsdt y, en consecuencia, que Tn → T . Por el teorema 3.8 se deduce que T es compacto.  

235

11. Sea T : `2 → `2 definido por T (x1 , x2 , . . . ) = (0, x2 , 0, x4 , . . . ). Calcular N (Tλn ), ∀n ∈ N. Deducir que T no es compacto. Resp.: Por definici´on, Tλ (x1 , x2 , . . . , ) = (−λx1 , (1 − λ)x2 , −λx3 , (1 − λ)x4 , . . . ). Procediendo por recurrencia, obtenemos que Tλn (x1 , x2 , . . . ) = ((−λ)n x1 , (1 − λ)n x2 , (−λ)n x3 , (1 − λ)n x4 , . . . ). De este modo, x ∈ N (Tλn ) ⇐⇒ (−λ)n x2k−1 = 0, (1−λ)n x2k = 0, ∀k ∈ N. En el caso λ = 0, resulta N (Tλn ) = {(x1 , 0, x3 , 0, . . . ) : xk ∈ C}. Si λ = 1, N (Tλn ) = h{(0, x2 , 0, x4 , 0, . . . ) : xk ∈ C}i. Este espacio tiene dimensi´on infinita, lo que implica que T no es compacto.   12. En el espacio `2 definimos los operadores compactos A(x1 , x2 , . . . ) = (x2 , x3 /2, x4 /3, . . . ), B(x1 , x2 , . . . ) = (0, x1 , x2 /2, x3 /3, . . . ), C(x1 , x2 , . . . ) = (x1 , x2 /2, x3 /3, . . . ).

Probar que 0 ∈ σp (A), 0 ∈ σr (B), 0 ∈ σc (C). Resp.: a) Por definici´on, λ ∈ σp (A) ⇐⇒ N (Aλ ) 6= {0}. Ahora bien, como Aλ (x1 , x2 , . . . ) = (x2 − λx1 , x3 /2 − λx2 , x4 /3 − λx3 , . . . ), resulta que x ∈ N (Aλ ) ⇐⇒ xn+1 /n − λxn = 0, ∀n ∈ N ⇐⇒ xn+1 = nλxn = · · · = n!λn x1 , ∀n ∈ N. En particular, el elemento (1, λ, 2λ2 , . . . , n!λn , . . . ) ∈ N (Aλ ). Haciendo λ = 0, e1 = (1, 0, 0, . . . ) ∈ N (A0 ) lo que indica que 0 ∈ σp (A). b) Por definici´on, λ ∈ σr (B) ⇐⇒ (B − λI)−1 est´a definido en un conjunto no denso de `2 , es decir R(Bλ ) 6= `2 . En este caso, y ∈ R(Bλ ) ⇐⇒ ∃x ∈ `2 : −λx1 = y1 , xn /n − λxn+1 = yn+1 , ∀n ∈ N. 236

Para λ = 0, B0 x = y ⇐⇒ 0 = y1 , xn /n = yn+1 , ∀n ∈ N, de modo que el espacio generado por e1 = (1, 0, . . . ) 6∈ R(B0 ). Esto implica que R(B0 ) 6= `2 y 0 ∈ σr (B). c) Si llamamos (en )n∈N a la base can´onica de `2 , es evidente que R(C) = `2 , pues Cen = (1/n)en , ∀n ∈ N. As´ı pues, existe el inverso C −1 y est´a definido en todo el espacio; sin embargo, C −1 no est´a acotado pues C −1 en = nen =⇒ kC −1 en k2 = |n| · ken k2 = |n|. Por definici´on, 0 ∈ σc (C).   13. Sean X un espacio normado y T ∈ L(X) un operador compacto. Probar que todo punto espectral no nulo de T es autovalor. Resp.: Sea λ ∈ σ(T ), λ 6= 0 y supongamos que existe Tλ−1 . Probemos que λ ∈ ρ(T ): Por hip´otesis, la ecuaci´on homog´enea Tλ x = 0 s´olo tiene la soluci´on trivial x = 0. Por el teorema 5.6, la ecuaci´on Tλ x = y tiene soluci´on para cualquier y ∈ X. El mismo teorema prueba que el operador Tλ−1 est´a definido en todo X y est´a acotado, lo que significa que λ ∈ ρ(T ).   Z

1

14. Resolver la ecuaci´ on integral x(s) − µ

x(t)dt = 1, en el espacio 0

L2 [0, 1].

Resp.: Consideramos en primer lugar la ecuaci´on homog´enea 1

Z x(s) − µ

x(t)dt = 0. 0

Z De la igualdad x(s) = µ

1

x(t)dt, deducimos que 0

Z x(s) = µ

1

Z

µ 0

1



2

Z

x(r)dr dt = µ 0

1

x(r)dr = µx(s), 0

de donde (1 − µ)x(s) = 0. Descomponemos pues el problema en dos casos: 237

a) Si µ 6= 1, la u ´nica soluci´on de la ecuaci´on homog´enea es la trivial. As´ı pues, la ecuaci´on propuesta tiene soluci´ ´nica. Ron1 u Debido a que el operador asociado T x(s) = 0 x(t)dt tiene norma uno, pues 2 Z 1 Z 1 2 x(t)dt ds = kxk22 , kT xk2 = 0

0

kT k−1

en el caso |µ| < = 1 la soluci´on puede expresarse mediante la f´ormula de Neumann x = 1 + µT (1) + µ2 T 2 (1) + · · · =

1 , 1−µ

soluci´on que tambi´en es v´alida cuando |µ| > 1. b) Si µ = 1, cualquier funci´on constante es soluci´on de la ecuaci´on homog´enea. Sabemos por elR teorema 5.12 que la ecuaci´on dada 1 tiene soluci´on si y s´olo si 0 1 · h(s)ds = 0, para cualquier h soluci´on de la homog´enea asociada (observar que T = T ∗ ). Ahora bien, como la u ´ltima igualdad no es cierta para las funciones constantes, deducimos que la ecuaci´on dada no tiene soluci´on.

TEMAS COMPLEMENTARIOS 1. Propiedades espectrales de las ´algebras de Banach ([Kr]). 2. Algebras-C ∗ ([Ru]). 3. Principio del punto fijo de Schauder y sus aplicaciones ([LS]). 4. Aplicaciones de las ecuaciones integrales a la teor´ıa del potencial ([RN]).

238

VI. TEOR´IA ESPECTRAL EN ESPACIOS DE HILBERT La teor´ıa espectral de cierta clase de operadores en espacios de Hilbert fue iniciada por el propio Hilbert en 1904; tiene importantes aplicaciones a problemas de an´alisis cl´asico, especialmente en ecuaciones diferenciales. Tambi´en es una herramienta indispensable en el estudio de ´algebras de operadores en espacios de Hilbert, que son los que forman la base matem´atica de la Mec´anica Cu´antica. Probaremos en este cap´ıtulo el teorema espectral de operadores autoadjuntos y normales sobre espacios de Hilbert. Dicho teorema ser´a una generalizaci´on del teorema de diagonalizaci´on de las matrices herm´ıticas y representa la introducci´on m´as natural a la teor´ıa espectral de operadores arbitrarios en espacios de Hilbert. SECCIONES 1. Introducci´on. 2. Propiedades espectrales de operadores normales y autoadjuntos. 3. Teorema espectral de operadores normales compactos. 4. Teorema espectral de operadores autoadjuntos compactos. 5. Operadores positivos. 6. Operadores proyecci´on. 7. Funciones de operadores acotados autoadjuntos. 8. Teorema espectral de operadores autoadjuntos. 9. Teorema espectral de operadores autoadjuntos: segunda versi´on. 10. Ejercicios. 239

´ 1. INTRODUCCION.

En este cap´ıtulo ilustraremos el desarrollo de la teor´ıa espectral en espacios de Hilbert probando el teorema espectral de operadores autoadjuntos y normales. Recordamos que, dado un operador lineal acotado T ∈ L(H1 , H2 ) entre dos espacios de Hilbert complejos H1 y H2 , se define el adjunto de T como el operador T ∗ : H2 → H1 tal que ∀x ∈ H1 , y ∈ H2 : hT x, yi = hx, T ∗ yi y se prueba que T ∗ ∈ L(H2 , H1 ) y kT ∗ k = kT k. Un operador T ∈ L(H) es autoadjunto cuando T ∗ = T . Los operadores autoadjuntos son una generalizaci´on directa de las matrices herm´ıticas, pues si T : Cn → Cn es un operador autoadjunto y (aij ) la matriz asociada a T respecto de una base ortonormal de Cn , sabemos que aij = aji , i, j = 1, . . . , n, es decir la matriz es herm´ıtica. Recordaremos en primer lugar el teorema de factorizaci´on de matrices herm´ıticas que se generalizar´a posteriormente con el teorema espectral de operadores autoadjuntos. Teorema. Sea H el espacio eucl´ıdeo n-dimensional y T : H → H un operador autoadjunto. Existe entonces una base ortonormal {u1 , . . . , un } de H formada por vectores propios de T , es decir ∃λ1 , . . . , λn ∈ C : T uj = λj uj , j = 1, . . . , n. Para motivar los conceptos que se aplicar´an a lo largo del cap´ıtulo, damos otros enunciados equivalentes y consecuencias inmediatas del teorema anterior. 1.- Si llamamos Hi = h{ui }i, i = 1, . . . , n, entonces T Hi ⊂ Hi ; por tanto, H = H1 ⊕ · · · ⊕ Hn suma directa ortogonal. Todo espacio de dimensi´on finita se puede descomponer como suma directa ortogonal de subespacios de dimensi´on 1 cada uno de ellos T -invariante. 2.- Si llamamos ahora Ti = T |Hi , i = 1, . . . , n, entonces T = T1 + · · · + Tn . 3.- El teorema tambi´en se puede enunciar as´ı: Existe una base  {u1 , . . . , un }de H respecto de la cual la matriz asociada es λ1 0   . .. diagonal Λ =  . 0 λn 4.- Dada una base {u1 , . . . , un } de H, si definimos la transformada de Fourier de un elemento x = c1 u1 + · · · + cn un ∈ H como x b = (b x(1), . . . , x b(n)) = 240

(c1 , . . . , cn ), se tiene: x = x b(1)u1 + · · · + x b(n)un hx, yi = x b(1) yb(1) + · · · + x b(n) yb(n) n X Tx = λi x b(i)ui . i=1

Si definimos la funci´on b a : {1, . . . , n} → C por b a(i) = λi , entonces y = T x ⇐⇒ yb(i) = b a(i)b x(i), es decir, aplicar el operador T a un elemento x equivale a multiplicar por b a la transformada de Fourier x b de x. 5.- Como toda funci´on x b definida en {1, . . . , n} es la transformada de Fourier de alg´ un x ∈ H y |b x(1)|2 +· · ·+|b x(n)|2 < ∞, llamando µ a la medida discreta definida en R y concentrada en los puntos {1, . . . , n}, se puede pensar x b como un elemento de L2 (µ) siendo la correspondencia x 7→ x b un isomorfismo entre H y L2 (µ). El resultado de 3.- se puede expresar ahora como: Existe un isomorfismo x 7→ x b de H en L2 (µ) en el que el operador T se transforma en la multiplicaci´on por b a. 6.- Si llamamos S al espacio de los n primeros n´ umeros naturales S = {1, . . . , n} con la topolog´ıa discreta, se puede pensar la funci´on real b a como un elemento de Cr (S) = {f : S → R : f continua}. Si B = c0 I + c1 T + · · · + ck T k y definimos bb(i) = c0 + c1 b a(i) + · · · + ck b a(i)k , entonces y = Bx ⇐⇒ yb(i) = bb(i) · x b(i), i = 1, . . . , n. M´as generalmente, ∀bb ∈ Cr (S), se puede definir un operador B por la f´ormula anterior. Como la base {u1 , . . . , un } es ortogonal, X X kxk2 = |b x(i)|2 , kBxk2 = |bb(i)|2 · |b x(i)|2 =⇒ kBk = sup |bb(i)| = kbbk∞ . i∈S

En particular, si bbn (i) → bb(i), entonces Bn → B en norma. 7.- Supongamos ahora que b a(i) 6= 0, ∀i ∈ S y b a(i) 6= b a(j) si i 6= j. El conjunto de los operadores B correspondientes a los posibles bb ∈ Cr (S) coincide con el ´algebra P a = a(T ) generada por T , es decir el ´algebra de operadores B = l´ımn nk=1 ck T k . Adem´as, si B ≥ 0, entonces bb(i) ≥ 0 pues bb(i) = hBui , ui i. Se tiene entonces: 241

Existe un isomorfismo B 7→ bb de a en Cr (S) tal que kBk = kbbk∞ y si B ≥ 0, entonces bb(i) ≥ 0. En particular a T le corresponde la funci´on b a(i) = λi . 8.- Para cada ∆ intervalo de R, se puede definir el operador P (∆) : H → H por y = P (∆)x si yb(i) = ϕ∆ (i)b x(i), siendo ϕ∆ la funci´on caracter´ıstica de ∆. Dicho operador verifica: i) P (∆) es un proyector en H. ii) P (∅) = 0 y P (R) = I. iii) Si ∆ =

S

∆n , uni´on disjunta, P (∆) =

n∈N

P

P (∆n ) = l´ımn

n∈N

n P

P (∆k ).

k=1

iv) Si ∆ = ∆1 ∩ ∆2 , P (∆) = P (∆1 ) · P (∆2 ). Se dice que P (∆) es la medida espectral de T pues P (∆) tiene las propiedades de una medida com´ un salvo que no es un n´ umero sino un proyector. 9.- Si ∆j ∩ S = {j}, entonces P (∆j )x = x b(j)uj , es decir, P (∆j ) es la proyecci´on sobre el autoespacio Hj = h{uj }i correspondiente a λj . Se tiene as´ı la descomposici´on I = P (∆1 ) + · · · + P (∆n ) y (∗)

T =b a(1)P (∆1 ) + · · · + b a(n)P (∆n ).

En definitiva: A todo operador autoadjunto T le corresponde una medida espectral P (∆) con las propiedades i) a iv) de modo que se cumple (∗), f´ormula llamada descomposici´on espectral de T . Esta forma tan sencilla de expresar la imagen por T de cualquier elemento x ∈ H es lo que hace atractiva la descomposici´on. Otra forma de escribir la representaci´on anterior, m´as adecuada para su generalizaci´on al caso de dimensi´on infinita, se obtiene de la siguiente forma: Suponemos como antes que los autovalores λ1 , . . . , λn del operador T son diferentes y que λ1 < . . . < λn ; llamamos nuevamente {u1 , . . . , un } a la base ortonormal de autovectores asociada y ∆i un intervalo en R tal que ∆i ∩ S = {i} (i = 1, . . . , n). Si Pi = P (∆i ) : H → H es la proyecci´on definida por Pi x = x b(i)ui = hx, ui iui , se definen las proyecciones E0 = 0, Ek =

X

Pi , k = 1, . . . , n

i≤k

242

Entonces, para todo x ∈ H se tiene la descomposici´on x=

n X

(Ei − Ei−1 )x y T x =

i=1

n X

λi (Ei − Ei−1 )x.

i=1

M´as generalmente, si definimos Eλ =

X

Pi , λ ∈ R ,

λi ≤λ

tenemos que P1 = Eλ1 , Pi = Eλi − Eλi−1 (i = 2, . . . , n). Como Eλ es constante si λ ∈ [λj−1 , λj ) (j = 2, . . . , n), podemos escribir tambi´en Pj = Eλj −Eλj −0 (j = 1, . . . , n), con lo que, para todo x ∈ H, x=

n X j=1

Pj x =

n X

(Eλj −Eλj −0 )x y T x =

j=1

n X j=1

λ j Pj x =

n X

λj (Eλj −Eλj −0 )x.

j=1

P Si llamamos dEλ = Eλ − Eλ−0 , podemos escribir T = nj=1 λj dEλj , que es la llamada representaci´oP n espectral de T . De esta representaci´on se obtiene n on que puede escribirse adem´as que hT x, yi = j=1 λj dhEλj x, yi, expresi´ R∞ tambi´en como integral de Riemann-Stieltjes hT x, yi = −∞ λdµ(λ), donde µ(λ) = hEλ x, yi. Debido a lo anterior se pueden hacer operaciones algebraicas num´ericas con el operador y tener informaci´ on sobre el nuevo espectro. Por ejemplo, si Pn Pn 3 3 T = k=1 λk Pk , T = k=1 λk Pk y σ(T 3 ) = {λ31 , . . . , λ3n }. Rec´ıprocamente, se pueden definir nuevos operadores como funciones del operador conocido. Por ejemplo, cos T = (cos λ1 )P1 + · · · + (cos λn )Pn .

2. PROPIEDADES ESPECTRALES DE OPERADORES NORMALES Y AUTOADJUNTOS.

Los operadores autoadjuntos pueden estudiarse como caso particular de los operadores normales. Recordamos que un operador A ∈ L(H), donde H un espacio de Hilbert complejo, es normal cuando AA∗ = A∗ A. Un ejemplo t´ıpico lo forman los operadores de multiplicaci´on Mϕ ∈ L(L2 (R)) definidos por Mϕ f = ϕ · f , con ϕ ∈ L∞ (R) fija. En este caso σr (Mϕ ) = ∅, σp (Mϕ ) = {λ ∈ C : m(ϕ−1 (λ)) > 0}, ρ(Mϕ ) = {λ ∈ C : ∃k > 0, |λ − ϕ(x)| ≥ k c.s.}. En conclusi´on σ(Mϕ ) = ϕ(R). 243

Estudiaremos en esta secci´on algunas propiedades de estas clases de operadores, que permitir´an simplificar los argumentos en el desarrollo posterior de la teor´ıa. 2.1.- Teorema. Un operador A ∈ L(H) es normal si y s´ olo si kA∗ xk = kAxk, ∀x ∈ H. Demostraci´ on. Basta observar que ∀x ∈ H, kAxk2 = hAx, Axi = hA∗ Ax, xi y kA∗ xk2 = hA∗ x, A∗ xi = hAA∗ x, xi.



Una consecuencia inmediata de este resultado es que los n´ ucleos N (A) y ∗ N (A ) coinciden si A es normal. En cuanto a la estructura de los operadores autoadjuntos, probaremos los siguientes resultados. 2.2.- Teorema. Sean S, T ∈ L(H) operadores autoadjuntos y α, β ∈ R. Entonces αS + βT es autoadjunto. Adem´ as ST es autoadjunto si y s´ olo si T S = ST . Demostraci´ on. De las propiedades del producto escalar, es evidente que h(αS + βT )x, yi = αhSx, yi + βhT x, yi = αhx, Syi + βhx, T yi = hx, αSyi + hx, βT yi = hx, (αS + βT )yi. Con respecto a la segunda parte, si T S = ST , entonces h(ST )x, yi = hT x, Syi = hx, T Syi = hx, ST yi. Rec´ıprocamente, si ST es autoadjunto, hST x, yi = hx, ST yi = hSx, T yi = hT Sx, yi, ∀x, y =⇒ T S = ST.



2.3.- Teorema. Un operador T ∈ L(H) es autoadjunto si y s´ olo si hT x, xi es real, ∀x ∈ H. Demostraci´ on. Si T es autoadjunto, hT x, xi = hx, T xi = hT x, xi de donde hT x, xi ∈ R, ∀x ∈ H. Rec´ıprocamente, si hT x, xi ∈ R, ∀x ∈ H, entonces, por definici´on de adjunto, hT x, xi = hT x, xi = hx, T xi = hT ∗ x, xi =⇒ h(T − T ∗ )x, xi = 0, ∀x ∈ H. Como H es un espacio complejo, T − T ∗ = 0 (ver ejercicio 36 del cap´ıtulo III), es decir T es autoadjunto. ♦ 244

Veremos posteriormente otras similitudes entre ciertas clases de operadores y algunos subconjuntos del campo complejo, que motivar´an algunas propiedades importantes de aquellos. 2.4.- Teorema. Si T ∈ L(H) es autoadjunto, entonces kT k = sup |hT x, xi|. kxk=1

Demostraci´ on. Llamemos α = sup |hT x, xi|. Por la desigualdad de Cauchykxk=1

Schwarz, ∀x ∈ H, |hT x, xi| ≤ kT xk · kxk ≤ kT k · kxk2 . Esto indica por un lado que α ≤ kT k. Para probar la desigualdad contraria, sean x, y ∈ H. Entonces hT (x + y), x + yi − hT (x − y), x − yi = 4 RehT x, yi. Si aplicamos la desigualdad triangular y la identidad del paralelogramo, obtenemos: 4| RehT x, yi| ≤ |hT (x + y), x + yi| + |hT (x − y), x − yi|   ≤ α kx + yk2 + kx − yk2 = 2α kxk2 + kyk2 . En particular, si tomamos x ∈ H con kxk = 1 y T x 6= 0, y = kT xk−1 T x, resulta 1 kT xk = RehT x, kT xk−1 T xi ≤ α(1 + 1) = α. 2 Obtenemos as´ı que kT k = sup kT xk ≤ α. ♦ kxk=1

2.5.- Lema. Si T ∈ L(H) es autoadjunto y M un subespacio de H invariante bajo T , entonces M ⊥ es tambi´en invariante bajo T . Demostraci´ on. Es evidente pues, dados x ∈ M, y ∈ M ⊥ arbitrarios, 0 = hT x, yi = hx, T yi =⇒ T y⊥M.



Estudiaremos a continuaci´on las propiedades espectrales de estas clases de operadores. As´ı como en los espacios de dimensi´on finita el espectro no puntual es vac´ıo, en los operadores normales probaremos que este se reduce al espectro continuo. Esto permite simplificar el estudio del espectro para estos operadores, que son adem´as los que se presentan en los ejemplos m´as comunes. 2.6.- Teorema. Si A ∈ L(H) es normal, σr (A) = ∅. Demostraci´ on. Sea λ ∈ σr (A), λ 6= 0. Entonces (A − λI)H es un subespacio propio de H. Por el teorema de proyecci´on, existe un elemento v ∈ H no nulo tal que h(A − λI)h, vi = 0, ∀h ∈ H. Entonces hh, (A∗ − λI)vi = 0, ∀h ∈ H 245

lo que implica que (A∗ − λI)v = 0 as´ı como k(A∗ − λI)vk2 = k(A−λI)vk2 = 0. Deducimos as´ı que λ es autovalor, lo que contradice la suposici´on inicial. ♦

2.7.- Teorema. Si A es normal, rσ (A) = kAk. Adem´ as, existe λ ∈ σ(A) tal que |λ| = kAk. Demostraci´ on. a) Por ser A normal, ∀x ∈ H kAxk = kA∗ xk =⇒ kA(Ax)k = kA∗ (Ax)k =⇒ kA2 k

=

sup kA2 xk = sup kA∗ Axk = kA∗ Ak = kAk2 . kxk=1

kxk=1

Utilizando el hecho de que si A es normal, entonces Ak es normal, ∀k ∈ N, k k se prueba por inducci´on que kA2 k = kAk2 , ∀k ∈ N. Si ahora aplicamos la f´ormula del radio espectral de Gelfand, q q p 2k 2k k n n 2 kA k = l´ım kA k = l´ım kAk2k = kAk. rσ (A) = l´ım n→∞

k→∞

k→∞

b) Como la funci´on | · | : σ(A) → R+ es continua y σ(A) es compacto, se alcanza el valor m´aximo en dicho conjunto, es decir existe λ ∈ σ(A) tal que |λ| = m´ax |µ| = sup |µ| = rσ (A) = kAk. ♦ µ∈σ(A)

µ∈σ(A)

2.8.- Corolario. Si A ∈ L(H) es un operador normal compacto, σp (A) 6= ∅ y existe alg´ un λ ∈ σp (A) tal que |λ| = kAk. Demostraci´ on. Sea λ ∈ σ(A) tal que |λ| = kAk. - Si λ = 0, entonces T = 0, de modo que λ ∈ σp (A). - Si λ 6= 0, entonces λ ∈ σp (A) (teorema 4.11, cap´ıtulo V).



2.9.- Teorema. Sea T ∈ L(H) autoadjunto. Entonces: a) Todos los autovalores de T (si existen) son reales. b) Autovectores correspondientes a distintos autovalores son ortogonales. Demostraci´ on. a) Si λ es autovalor y T x = λx con x 6= 0, entonces λhx, xi = hλx, xi = hT x, xi = hx, T xi = λhx, xi. Esto implica que λ = λ, es decir λ es real. b) Si λ y µ son autovalores y λ 6= µ, con T x = λx y T y = µy, entonces λhx, yi = hλx, yi = hT x, yi = hx, T yi = hx, µyi = µhx, yi. 246

Esto implica que hx, yi = 0.



2.10.- Lema. Si T ∈ L(H) es autoadjunto, λ ∈ ρ(T ) ⇐⇒ ∃c > 0 : kTλ xk ≥ ckxk, ∀x ∈ H. Demostraci´ on. =⇒: Si λ ∈ ρ(T ), ∃Rλ = (T − λI)−1 y es acotado. Si llamamos kRλ k = k > 0, entonces kxk = kRλ Tλ xk ≤ kRλ k · kTλ xk = kkTλ xk. Esto implica que kTλ xk ≥ ckxk con c = 1/k. ⇐=: a) Veamos en primer lugar que Tλ : H → Tλ (H) es biyectiva: Tλ x = 0 =⇒ kTλ xk = 0 =⇒ ckxk = 0 =⇒ x = 0. b) Adem´as Tλ (H) es denso en H: x0 ⊥ Tλ (H) =⇒ x0 ⊥Tλ (H) =⇒ 0 = hTλ x, x0 i = hT x, x0 i − λhx, x0 i, ∀x ∈ H =⇒ hT x, x0 i = hx, T x0 i = hx, λx0 i, ∀x ∈ H =⇒ T x0 = λx0 . Si x0 6= 0, λ es autovalor de T , por lo que λ = λ y Tλ x0 = 0; entonces 0 = kTλ x0 k ≥ ckx0 k > 0 ⊥

lo que es absurdo. De aqu´ı concluimos que x0 = 0 y Tλ (H) = {0}. c) Por u ´ltimo, Tλ (H) es cerrado: Sea y ∈ Tλ (H); entonces existe una sucesi´on (yn )n∈N ⊂ Tλ (H) tal que yn → y. Si llamamos Tλ xn = yn , entonces 1 1 kxn − xm k ≤ kTλ xn − Tλ xm k = kyn − ym k → 0 c c lo que implica que (xn )n∈N es de Cauchy. Como H es completo, existe x ∈ H tal que xn → x. De la continuidad de Tλ deducimos que yn = Tλ xn → Tλ x. Por la unicidad del l´ımite, Tλ x = y. Debido a b) y c), se deduce que Tλ (H) = H. Esto significa que Rλ = Tλ−1 est´a definido en todo H y es acotado, por la hip´otesis, con lo que concluimos que λ ∈ ρ(T ). ♦ 2.11.- Teorema. El espectro σ(T ) de un operador autoadjunto T ∈ L(H) en un espacio de Hilbert H complejo es real. M´ as a´ un, si m = ´ınf kxk=1 hT x, xi y M = supkxk=1 hT x, xi, entonces σ(T ) ⊂ [m, M ]. Demostraci´ on. a) Sea λ = α + iβ, con β 6= 0. Si x ∈ H, hTλ x, xi = hT x, xi − λhx, xi hTλ x, xi = hT x, xi − λhx, xi. 247

Restando miembro a miembro, −2i ImhTλ x, xi = hTλ x, xi − hTλ x, xi = (λ − λ)hx, xi = 2iβkxk2 . Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz, |β| · kxk2 = | ImhTλ x, xi| ≤ |hTλ x, xi| ≤ kTλ xk · kxk. Esto implica que |β| · kxk ≤ kTλ xk. Como β 6= 0, del teorema anterior se deduce que λ ∈ ρ(T ). b) Probaremos que si λ = M +c, con c > 0, es real, entonces λ ∈ ρ(T ): Dado cualquier x 6= 0, llamamos v = kxk−1 x. As´ı: hT x, xi = kxk2 hT v, vi ≤ kxk2 sup hT ve, vei = hx, xi · M. ke v k=1

Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz, kTλ xk · kxk ≥ −hTλ x, xi = −hT x, xi + λhx, xi ≥ (−M + λ)hx, xi = ckxk2 . Dividiendo por kxk, kTλ xk ≥ ckxk =⇒ λ ∈ ρ(T ). An´alogamente se prueba que si λ < m, tambi´en λ ∈ ρ(T ).



Las constantes m y M tienen una interesante relaci´on con la norma de T: 2.12.- Corolario. Si T es autoadjunto, kT k = m´ax{|m|, |M |}. Demostraci´ on. Es consecuencia del teorema anterior y el teorema 2.4. Se puede probar tambi´en que las cotas m y M de σ(T ) no pueden mejorarse, es decir: 2.13.- Teorema. Si H 6= {0} y T ∈ L(H) es autoadjunto, m, M ∈ σ(T ). Demostraci´ on. Debido a la equivalencia M ∈ σ(T ) ⇐⇒ M + k ∈ σ(T + kI) con k ∈ R, podemos suponer sin p´erdida de generalidad que 0 ≤ m ≤ M . Por el teorema anterior, como M = supkxk=1 hT x, xi = kT k, entonces dada cualquier sucesi´on (δn )n∈N de n´ umeros reales no negativos, con δn → 0, ∃(xn )n∈N : kxn k = 1, hT xn , xn i ≥ M − δn . Entonces kT xn k ≤ kT k · kxn k = kT k = M y, como T es autoadjunto, kT xn − M xn k2 = hT xn − M xn , T xn − M xn i = kT xn k2 − 2M hT xn , xn i + M 2 kxn k2 ≤ M 2 − 2M (M − δn ) + M 2 = 2M δn → 0. 248

Por tanto, no existe ning´ un c > 0 tal que kTM xn k = k(T − M I)xn k ≥ c = ckxn k lo que quiere decir que M no puede estar en ρ(T ). La demostraci´on de que m ∈ σ(T ) es similar.



2.14.- Corolario. Si T ∈ L(H) es autoadjunto, kT k = sup{|λ| : λ ∈ σ(T )}. Si un operador autoadjunto es adem´as compacto, podemos precisar el resultado del teorema 2.13. 2.15.- Corolario. Si T ∈ L(H) es autoadjunto y compacto, entonces m, M ∈ σp (T ) siempre que sean no nulos. Demostraci´ on. El teorema 4.11 del cap´ıtulo V afirma que todo punto espectral no nulo de un operador compacto es un autovalor. De aqu´ı se deduce inmediatamente el resultado. ♦ 2.16.- Corolario. Si T ∈ L(H) es autoadjunto y compacto, entonces su espectro puntual es no vac´ıo. Demostraci´ on. Si alguno de los valores m, M es no nulo, pertenece a σp (T ) seg´ un el resultado anterior. Por otra parte, si m = M = 0, entonces hT x, xi = 0, ∀x ∈ H. Esto implica que T = 0 y λ = 0 es autovalor. ♦ A continuaci´on definimos el espectro aproximado de un operador, muy u ´til por poderse describir bajo condiciones poco rigurosas y, que en el caso de operadores normales, es especialmente simple. 2.17.- Definici´ on. Dado A ∈ L(H), se dice que λ es un autovalor aproximado de A si ∀ε > 0, ∃x ∈ D(A) : kxk = 1, k(A − λI)xk < ε. Llamaremos espectro aproximado de A al conjunto Π(A) de autovalores aproximados de A. A continuaci´on, enunciamos sin demostrar algunas propiedades b´asicas del espectro aproximado. 2.18.- Teorema. λ ∈ Π(A) ⇐⇒ A − λI no tiene inversa acotada. Esto implica en particular que Π(A) ⊂ σ(A). En el caso de operadores normales, es cierto tambi´en el rec´ıproco. Tenemos as´ı: 2.19.- Teorema. Si A es normal, Π(A) = σ(A). Este resultado nos proporcionar´a una forma m´as conveniente de caracterizar los valores espectrales de un operador normal. 249

2.20.- Teorema. Sea A ∈ L(H). Son equivalentes: i) ∃λ ∈ Π(A) : |λ| = kAk; ii) kAk = supkxk=1 |hAx, xi|. De los resultados anteriores se desprende que la condici´on i) siempre se verifica para operadores normales, de modo que ii) permite calcular la norma de un operador normal.

3. TEOREMA ESPECTRAL DE OPERADORES NORMALES COMPACTOS.

En esta secci´on damos el primer paso en la generalizaci´on del teorema espectral de operadores en espacios eucl´ıdeos pues la descomposici´on que se obtiene en el caso de operadores compactos viene dada en forma de serie infinita. M´as pr´oxima a´ un es la descomposici´on de los operadores de rango finito, de modo que empezaremos estudiando este caso. Los operadores normales de rango finito poseen una gran similitud con los operadores lineales definidos en espacios de dimensi´on finita: por ejemplo, su espectro puntual consiste tambi´en en un n´ umero finito de autovalores. Adem´as, su espectro residual es vac´ıo y su espectro continuo contiene a lo sumo el cero. Ahora bien, si 0 ∈ σc (A), A(H) = H y, al ser A(H) de dimensi´on finita, es cerrado con lo que no puede ser igual a H si la dimensi´on de H es infinita. Veremos pues que el teorema espectral tiene una forma completamente an´aloga al caso finito-dimensional. El resultado que obtengamos nos servir´a de gu´ıa para tratar de extenderlo a casos m´as generales. Por u ´ltimo, queremos indicar que estos operadores poseen su propio inter´es pues con frecuencia en las aplicaciones pr´acticas aparecen, o bien operadores de rango finito, o bien operadores que se pueden expresar como l´ımites de sucesiones de estos operadores. En la prueba del teorema espectral necesitaremos el siguiente lema. 3.1.- Lema. Sea H T un espacio de Hilbert, T ∈ L(H) un operador compacto normal. Entonces λ∈C N (T − λI)⊥ = {0}. S Demostraci´ on. Si llamamos L = λ∈C N (Tλ ), debemos probar que L⊥ = {0}, lo que se deduce de las siguientes propiedades elementales: 250

- T Tλ = Tλ T y T ∗ Tλ = Tλ T ∗ , ∀λ ∈ C. - T (N (Tλ )) ⊂ N (Tλ ) y T ∗ (N (Tλ )) ⊂ N (Tλ ). - T (L) ⊂ L y T ∗ (L) ⊂ L. - T (L⊥ ) ⊂ L⊥ y T ∗ (L⊥ ) ⊂ L⊥ . Si suponemos que L⊥ 6= {0}, podemos considerar el operador A = T |L⊥ , que es normal y compacto. Entonces existe alg´ un λ ∈ σp (A) tal que |λ| = kAk. Sea x 6= 0 alg´ un autovector asociado a λ. Entonces Aλ x = Tλ x = 0 =⇒ x ∈ N (Tλ ) ⊂ L =⇒ x ∈ L ∩ L⊥ = {0} lo que es absurdo.



3.2.- Teorema. Sean H un espacio de Hilbert y T ∈ L(H) un operador normal. Son equivalentes: i) T tiene rango finito. ii) T es compacto y σp (T ) es un conjunto finito. En cualquier caso, si σp (T ) = {λ1 , . . . , λn } y Ei es la proyecci´ on ortogonal sobre N (T − λi I) (i = 1, . . . , n), entonces: P a) T = ni=1 λi Ei . b) Ei ⊥Ej para i 6= j. P c) ni=1 Ei = I. Demostraci´ on. i) =⇒ ii): Por ser T de rango finito, es compacto y su espectro puntual es a lo sumo numerable. Supongamos pues que σp (T ) = {λ1 , . . . , λn , . . . } con λi 6= λj , ∀i 6= j. Entonces ∃xi ∈ H : xi 6= 0, Tλi xi = 0, ∀i ∈ N. Como T es normal, el conjunto {x1 , . . . , xn , . . . } es ortogonal. Entonces el conjunto {T (λ−1 n xn ) : λn 6= 0} es linealmente independiente e infinito; esto implica que dim R(T ) = ∞ lo que es absurdo. ii) =⇒ i): Supongamos que σp (T ) = {λ1 , . . . , λn }, con λi 6= λj (i 6= j). Por ser T normal, autovectores correspondientes a autovalores distintos son ortogonales, lo que implica que N (T − λL i I)⊥N (T − λj I)) (i 6= j) y podemos formar la suma directa ortogonal M = ni=1 N (T − λi I); veamos que M = H. El espacio M es cerrado por ser suma S directa ortogonal de subespacios cerrados. Adem´as, si llamamos L = ni=1 N (T − λi I), teniendo en cuenta que L⊥ = M ⊥ , basta probar que L⊥ = {0} para deducir que M = H. 251

En lo Tque podemos escribir L = S efecto, si λ 6∈ σp (T ), N (Tλ ) = {0}, por ⊥ = ⊥ N (T ). Aplicando el lema anterior, L λ λ∈C λ∈C N (Tλ ) = {0}. De lo anterior se obtiene Pntambi´en que, ∀x ∈ H, existe xi ∈ N (T − λi I) (i = ´nica. Entonces 1, . . . , n), tal que x = i=1 xi y la descomposici´on es u Tx =

n X

T xi =

n X

i=1

λi xi ∈

i=1

n M

N (T − λi I).

i=1

Por ser T compacto, N (T − λi I) tiene dimensi´on finita, de lo que se deduce que R(T ) tiene dimensi´on finita, es decir que T es de rango finito. Para probar la u ´ltima parte, supongamos que T es un operador compacto y σp (T ) = {λ1 , . . . , λn }. Si llamamos Ei a la proyecci´on ortogonal sobre N (T − λi I) (i = 1, . . . , n), debido a que N (T − λi I) ⊂ N (T − λj I)⊥ , (i 6= j), se deduce que Ei ⊥Ej (i 6= j). P De la descomposici´on x = ni=1 xi , con xi ∈ N (T − λi I), resulta: Ek x =

n X

Ek xi = Ek xk = xk ,

i=1

de donde x =

Pn

Tx =

i=1 Ei x,

n X i=1

es decir

T xi =

n X

Pn

i=1 Ei

λi xi =

i=1

n X

= I. Adem´as

λi Ei x =⇒ T =

i=1

n X

λ i Ei .



i=1

Probaremos por u ´ltimo que la descomposici´on anterior es u ´nica. 3.3.- Teorema. Sean H un espacio de Hilbert y T ∈ L(H) un operador normal que verifica las condiciones a), b) y c) del teorema anterior. Entonces σp (T ) = {λ1 , . . . , λn } y Ei es la proyecci´ on ortogonal sobre N (T − λi I) (i = 1, . . . , n). Demostraci´ on. Aplicando Ek en la igualdad c) y teniendo en cuenta que Ei Ek = 0 si i 6= k, obtenemos que Ek =

n X

Ek Ei = Ek2 ,

i=1

lo que prueba que Ek es un operador proyecci´on. Sea ahora x ∈ R(Ei ). Entonces Ei x = x, de donde T Ei x = T x pero, por a), resulta tambi´en que Ei T x = λi Ei x = λi x = T x. 252

Esto indica a su vez que x es autovector asociado al autovalor λi . Para ver que T no tiene m´as autovalores,Psupongamos que T x = µx (x 6= 0). Entonces, de a) y c), deducimos que ni=1 (λi − µ)Ei x = 0. Aplicando Ek y teniendo en cuenta b), resulta que (λk − µ)Ek x = 0, k = 1, . . . , n. P Si µ 6= λk , ∀k, entonces Ek x = 0, as´ı como ni=1 Ek x = 0, lo que es absurdo. Comprobaremos por u ´ltimo que Ei es la proyecci´on ortogonal sobre N (T − λi I). Sea para ello x ∈ N (T − λi I); entonces (T − λi I)x = 0, de donde Pn nuevamente k=1 (λk − λi )Ek x = 0. Aplicando ahora Ej , tenemos que (λj − λi )Ej x = 0, es decir Ej x = 0, si j 6= i. P Por tanto, x = nk=1 Ek x = Ei x lo que implica que x ∈ R(Ei ). Rec´ıprocamente, si x ∈ R(Ei ), ya probamos que x es autovector de T asociado al autovalor λi , es decir x ∈ N (T − λi I). ♦ Si el operador no tiene rango finito pero es compacto, la descomposici´on espectral presenta la u ´nica diferencia de que la suma no ser´a finita, pero aparece en forma de serie infinita, pues sabemos que el espectro puntual tiene como m´aximo un conjunto numerable de puntos. Para obtener la correspondiente descomposici´on, se debe introducir en primer lugar el concepto de convergencia de una familia de operadores {Tα }α∈I a un operador T como extensi´on de la idea de convergencia fuerte de sucesiones de operadores. Para ello, sea H un espacio de Hilbert complejo P y {Mα : α ∈ I} una familia de subespacios cerrados de H. Definimos α∈I Mα como el conjunto de P sumas conmutativamente convergentes α∈I xα , con xα ∈ Mα , introducidas en el cap´ıtulo III (definici´on 4.4). Las caracter´ısticas de este conjunto se muestran en los siguientes resultados. P 3.4.- Proposici´ on. Si llamamos M = α∈I Mα , entonces S a) h α∈I Mα i = M . S b) Si Mα ⊥Mβ , α 6= β, entonces h α∈I Mα i = M L (en lo sucesivo utilizaremos la α∈I Mα para indicar la clausuS notaci´on ra del espacio generado por α∈I Mα , donde {Mα }α∈I es una familia de subespacios cerrados y ortogonales dos a dos). 3.5.- Proposici´ on. Sea {Mα }α∈I una familia ortogonal de subespacios cerrados de H. Entonces: (x⊥

[

Mα =⇒ x = 0) ⇐⇒ H = h

α∈I

[

α∈I

253

Mα i =

M α∈I



(en similitud al concepto de conjunto ortonormal completo definido en el cap´ıtulo III). La prueba es en alg´ un sentido similar a su an´aloga relativa a las bases ortonormales. 3.6.- Proposici´ on. Las sumas convergentes y los operadores lineales acotados conmutan, es decir, si T ∈ L(H), entonces X X x= xα =⇒ T x = T xα . α∈I

α∈I

Una extensi´on del concepto de convergencia fuerte de una sucesi´on de operadores es la siguiente: 3.7.- Definici´ es sumable P on. Una familia {Tα }α∈I de operadores en L(H) P a T cuando α∈I Tα x = T x, ∀x ∈ H. Escribiremos en este caso α∈I Tα = T. 3.8.- Proposici´ on. Si {Eα }α∈I es P una familia de proyecciones ortogonales con on ortogonal sobre L Eα ⊥Eβ si α 6= β, entonces α∈I Eα es la proyecci´ M , donde M = R(E ), ∀α. α α α α∈I L Demostraci´ on. Sea E la proyecci´on ortogonal sobre M = α∈I Mα que es un subespacio cerrado. Todo zP∈ H tiene la descomposici´on u ´nica z = x + y con x ∈ M , y ∈ M ⊥ , y x = α∈I xα con xα ∈ Mα . Por otro lado, si β ∈ I, Eβ x = xβ y Eβ y = 0, ∀y ∈ M ⊥ ⊂ Mβ⊥ . Esto implica que Eβ z = Eβ x + Eβ y = xβ . Entonces X X X Ez = x = xα = Eα z, ∀z ∈ H =⇒ E = Eα . α∈I

α∈I



α∈I

Con la notaci´on y conceptos anteriores, obtenemos el teorema espectral para operadores normales compactos. 3.9.- Teorema. Sea H un espacio de Hilbert y T ∈ L(H) un operador normal compacto. Entonces σp (T ) es finito o numerable. Adem´ as M M i) H = N (T ) ⊕ N (T − λI) = N (T − λI). λ∈C

λ∈σp (T ) λ6=0

Tambi´en H =

M

N (T ∗ − λI).

λ∈C

ii) R(T ) = R(T ∗ ) =

M

N (T − λI) =

λ6=0

M λ6=0

254

N (T ∗ − λI).

iii) T =

X

λEλ =

λ∈C

X

λEλ , I =

X

Eλ , donde Eλ representa la pro-

λ∈C

λ∈σp (T )

yecci´ on ortogonal sobre N (T − λI). De este modo, el espacio H se descompone en subespacios en cada uno de los cuales el operador T es simplemente la multiplicaci´on de un elemento por un n´ umero particular. Demostraci´ on. i) Como los autovectores asociados a distintos autovalores son ortogonales y si λ 6∈ σp (T ), N (Tλ ) = {0}, tenemos que {N (Tλ ) : λ ∈ C} es una familia ortogonal de subespacios cerrados de H. Al ser T normal y compacto, x⊥N (Tλ ), ∀λ ∈ C =⇒ x = 0. Por la proposici´on 3.5, esto equivale a H= h

[

N (Tλ )i =

λ∈C

M

M M N (Tλ ) = N (T )⊕ N (Tλ ) = N (T )⊕ N (Tλ ).

λ∈C

λ∈C λ6=0

λ∈σp (T ) λ6=0

ii) Como T es normal, N (T ) = N (T ∗ ), de donde R(T ) = N (T ∗ )⊥ = N (T )⊥ . De aqu´ı se obtiene la descomposici´on H = N (T ) ⊕ R(T ). Por otra parte, H = N (T ) ⊕

M

N (Tλ ).

λ6=0

De estas dos descomposiciones y debido a que Lel complemento ortogonal de un subespacio es u ´nico, resulta que R(T ) = λ6=0 N (Tλ ). iii) El conjunto {Eλ : λ ∈ C} es una familia de proyecciones ortogonales tal P que Eλ ⊥Eµ (λ 6= µ). Por la proposici´on 3.8, la suma E = E0 + λ∈σp (T ) Eλ λ6=0 L es la proyecci´on ortogonal sobre N (T ) ⊕ λ∈σp (T ) N (Tλ ) = H. Pero la λ6=0

proyecci´on sobre todo el espacio H es la identidad, de modo que X I = E0 + Eλ . λ∈σp (T ) λ6=0

Si escribimos para cada x ∈ H, X x = x0 + xλ , x0 ∈ N (T ), xλ ∈ N (Tλ ), λ∈σp (T ) λ6=0

255

entonces T x = T x0 +

X λ∈σp (T ) λ6=0

T xλ =

X λ∈σp (T ) λ6=0

λxλ =

X

λEλ x.



λ∈σp (T ) λ6=0

Observaciones. a) Como T es compacto, como m´aximo un conjunto numerable de espacios de la forma N (T − λI) ser´a no trivial. b) Si T es un operador compacto arbitrario, se tiene la descomposici´on T = A + iB, con A y B operadores normales P compactos. As´ı pues, P conocidas las descomposiciones espectrales A = λ P y B = j j j∈N k∈N µk Qk , se P P obtiene que T = j∈N λj Pj +i k∈N µk Qk , pero como Pj y Qk no conmutan, la descomposici´on espectral no se puede mejorar.

4. TEOREMA ESPECTRAL DE OPERADORES AUTOADJUNTOS COMPACTOS.

En esta secci´on estudiaremos el caso particular de los operadores autoadjuntos compactos y obtendremos una representaci´on concreta de los mismos. As´ı pues, H ser´a un espacio de Hilbert complejo de dimensi´on infinita, T ∈ L(H) un operador autoadjunto compacto con infinitos autovalores, los cuales como sabemos forman un conjunto numerable de n´ umeros reales cuyo u ´nico posible punto de acumulaci´on es el cero. Ordenamos el conjunto de autovalores {λn }n∈N de modo que |λn | ≥ |λn+1 |, n = 1, 2, . . . , y llamamos Nn = N (T −λn I) = {x ∈ H : T x = λn x}, n = 1, 2, . . . , es decir, el autoespacio correspondiente al autovalor λn . Como Nn tiene dimensi´on finita, tiene una base ortonormal de autovectores que designaremos por {umn−1 +1 , umn−1 +2 , . . . , umn } (donde m0 = 0) y, si n 6= m, cada punto de Nn es ortogonal a Nm . Se deduce de ello que {un }n∈N es ortonormal. 4.1.- Lema. Si llamamos F al subespacio generado por la familia {un }n∈N , entonces T (F ) ⊂ F y T |F ⊥ = 0. Demostraci´ on. Como cada punto de {un : n ∈ N} es autovector de T , es evidente que T (F ) ⊂ F de lo que se deduce adem´as que T (F ⊥ ) ⊂ F ⊥ . Es claro que T |F ⊥ es autoadjunto por lo que existe λ ∈ σ(T |F ⊥ ) con |λ| = kT |F ⊥ k. 256

Si suponemos que T |F ⊥ 6= 0, es f´acil comprobar que T |F ⊥ es compacto, de modo que λ debe ser autovalor de T |F ⊥ . Sea x 6= 0 un autovector asociado a λ. Entonces T x = (T |F ⊥ )x = λx con lo que λ es tambi´en autovalor de T . Entonces λ = λn para alg´ un n y x ∈ Nn . Como Nn ⊂ F y x ∈ F ⊥ , entonces x = 0, lo que es absurdo. ♦ Siguiendo la notaci´on anterior, es f´acil ver adem´as que F ⊥ = N (T ). Llamamos ahora µn = λk si n = mk−1 + 1, . . . , mk y k = 1, 2, . . . Entonces T un = µn un , n = 1, 2, . . . , lo que permite obtener la siguiente generalizaci´on del teorema de diagonalizaci´on de matrices sim´etricas. 4.2.- Teorema. on anteriores, para cualquier P En las condiciones y notaci´ x ∈ H, T x = µn hx, un iun . n∈N

Demostraci´ on. Sea x ∈ H y hacemos x = y + z con y ∈ F, z ∈ F ⊥ . Por el lema anterior, T x = T y + T z = T y ∈ F . Como {un : n = 1, 2, . . . } es base ortonormal de F , X X X Tx = hT x, un iun = hx, T un iun = µn hx, un iun . n∈N

n∈N



n∈N

El siguiente resultado permite calcular num´ericamente los autovalores de ciertos operadores autoadjuntos compactos. 4.3.- Corolario. ∀n ∈ N, |µn | = sup{|hT x, xi| : kxk = 1 y hx, um i = 0 para 1 ≤ m ≤ n − 1}. Demostraci´ on. Es obvio que hT un , un i = µn . Adem´as si x ∈ H y hx, um i = 0, ∀m = 1, . . . , n − 1, entonces Tx =

∞ X

µm hx, um ium y hT x, xi =

m=n 2 Como la serie n=1 |hx, un i| converge y que, como adem´as |µm | ≤ |µn | para m ≥ n,

|hT x, xi| ≤

µm |hx, um i|2 .

m=n

P∞

P∞

∞ X

∞ X

2

|µm | · |hx, um i| ≤ |µn | ·

m=n

2 n=1 |hx, un i|

∞ X

≤ kxk2 , resulta

|hx, um i|2 ≤ |µn | · kxk2 .



m=n

Otra direcci´on en la que puede obtenerse la teor´ıa espectral de operadores autoadjuntos compactos es debida a Riesz y no utiliza la teor´ıa de RieszSchauder. El primer paso consiste en probar directamente que existe λ autovalor de T tal que |λ| = kT k (corolario 2.8). A continuaci´on, un argumento inductivo prueba que existen dos sucesiones (µn )n∈N ⊂ R y (un )n∈N ⊂ H tales que T un = µn un , ∀n, y se satisface el corolario anterior. Por u ´ltimo se 257

ve que todos los autovalores de T aparecen al menos una vez en (µn )n∈N y que se cumple el teorema de descomposici´on anterior. El u ´ltimo resultado de esta secci´on proporciona una caracterizaci´on de la resolvente de los operadores en estudio. 4.4.- Teorema. Si T ∈ L(H) es un operador autoadjunto compacto y λ un elemento no nulo de la resolvente de T , entonces 1 1 X µn (T − λI)−1 x = − x − hx, un iun , ∀x ∈ H. λ λ n∈N λ − µn Demostraci´ on. Sean x ∈ H, y = (T − λI)−1 x. Entonces x = (T − λI)y =

∞ X

µn hy, un iun − λy,

n=1

de donde y + λ1 x =

P∞

µn n=1 λ hy, un iun .

Resulta que ∞

X µn 1 1 hy, um i + hx, um i = hy + x, um i = hy, un ihun , um i λ λ λ n=1

=

µm 1 hy, um i =⇒ hy, um i = hx, um i. λ µm − λ

1 1 X µn En definitiva, y = (T − λI)−1 x = − x − hx, un iun . λ λ n∈N λ − µn



5. OPERADORES POSITIVOS.

La situaci´on en el caso de operadores autoadjuntos no necesariamente compactos es m´as complicada. En primer lugar, el espectro, aunque es un subconjunto de R, puede no ser numerable. As´ı, mientras un operador autoadjunto compacto se representa por una serie, un operador autoadjunto general se representa por una integral, la cual involucra operadores que son proyecci´on ortogonal. En la construcci´on de estos son importantes los operadores positivos. Por tanto, el estudio de los operadores positivos y sus ra´ıces cuadradas ser´a una herramienta u ´til para deducir una representaci´on espectral de los operadores autoadjuntos. El m´etodo que se desarrolla aqu´ı se debe a F. Riesz (1934). 258

En el conjunto de operadores autoadjuntos sobre un espacio de Hilbert complejo H, debido a que hT x, xi es real, se puede introducir una relaci´on de orden as´ı: T1 ≤ T2 si hT1 x, xi ≤ hT2 x, xi, ∀x ∈ H. Esto nos lleva en particular a definir los operadores positivos. 5.1.- Definici´ on. Un operador autoadjunto T ∈ L(H) es positivo, y se escribe T ≥ 0, si hT x, xi ≥ 0, ∀x ∈ H. Los siguientes resultados describen la estructura de los operadores positivos. 5.2.- Teorema. Sean S, T ∈ L(H) dos operadores positivos. Entonces a) S + T es positivo. b) Si α ∈ R+ , αS es positivo. c) Si ST = T S, ST es positivo. Demostraci´ on. La demostraci´on de a) y b) es evidente. Veamos pues el apartado c). Si S = 0, es trivial. Si S 6= 0, definimos la sucesi´on S1 = kSk−1 S, Sn+1 = Sn − Sn2 , n = 1, 2, . . . *) Se prueba por inducci´on que 0 ≤ Sn ≤ I: Como S ≥ 0, S1 ≥ 0. Adem´as S1 ≤ I pues hS1 x, xi =

1 kSxk · kxk hSx, xi ≤ ≤ kxk2 = hx, xi = hIx, xi, ∀x ∈ H. kSk kSk

Si hacemos la hip´otesis inductiva de que 0 ≤ Sk ≤ I, es decir 0 ≤ I − Sk ≤ I, como Sk es autoadjunto, para todo x ∈ H, y = Sk x, tenemos: hSk2 (I − Sk )x, xi = h(I − Sk )Sk x, Sk xi = h(I − Sk )y, yi ≥ 0, de modo que Sk2 (I − Sk ) ≥ 0. An´alogamente se prueba que Sk (I − Sk )2 ≥ 0. Aplicando a), 0 ≤ Sk2 (I − Sk ) + Sk (I − Sk )2 = Sk − Sk2 = Sk+1 . Por otra parte, como Sk2 ≥ 0, I − Sk ≥ 0, sumando: 0 ≤ Sk2 + I − Sk = I − Sk+1 =⇒ Sk+1 ≤ I. *) Veamos por u ´ltimo que hST x, xi ≥ 0, ∀x ∈ H. De lo anterior se deduce que S1 = S12 + S2 = S12 + S22 + S3 = · · · = S12 + S22 + · · · + Sn2 + Sn+1 . 259

Como Sn+1 ≥ 0, S12 + · · · + Sn2 = S1 − Sn+1 ≤ S1 . Por la definici´on de la relaci´on “≤”tenemos: n X j=1

2

kSj xk =

n X

hSj x, Sj xi =

j=1

n X

hSj2 x, xi ≤ hS1 x, xi.

j=1

P Esto indica que n kSn xk2 es una serie convergente, de donde kSn xk → 0 as´ı como Sn x → 0. Entonces n X

 Sj2 x = (S1 − Sn+1 )x → S1 x.

j=1

Todos los Sj conmutan con T pues son combinaciones lineales de S1 = kSk−1 S. Por ello y de la continuidad del producto escalar deducimos que, para todo x ∈ H, si llamamos yj = Sj x, hST x, xi = kSkhT S1 x, xi n n X X 2 = kSk l´ım hT Sj x, xi = kSk l´ım hT yj , yj i ≥ 0. n

n

j=1



j=1

5.3.- Teorema. Sea T ∈ L(H) autoadjunto. Entonces T es positivo si y s´ olo si σ(T ) ⊂ [0, ∞). Demostraci´ on. Recordamos que σ(T ) ⊂ [m, M ], donde m = ´ınf{hT x, xi : kxk = 1} y M = sup{hT x, xi : kxk = 1}. Si T ≥ 0, entonces m ≥ 0 y σ(T ) ⊂ [0, ∞). Rec´ıprocamente, si σ(T ) ⊂ [0, ∞), como m ∈ σ(T ), entonces m ≥ 0, de donde hT x, xi ≥ 0, para todo x de norma uno. Esto implica que T ≥ 0. ♦

La relaci´on de orden definida en los operadores autoadjuntos sugiere tambi´en el siguiente concepto. 5.4.- Definici´ on. Una sucesi´on  {Tn } de operadores   autoadjuntos  en un creciente T1 ≤ T2 ≤ . . . espacio de Hilbert H es mon´otona si . decreciente T1 ≥ T2 ≥ . . . Una propiedad interesante de las sucesiones mon´otonas, que ser´a crucial en el resultado final, generaliza el hecho de que toda sucesi´on mon´otona y acotada de n´ umeros reales es convergente. Es la siguiente: 5.5.- Teorema. Sea H un espacio de Hilbert complejo y {Tn }n∈N una sucesi´ on mon´ otona creciente de operadores autoadjuntos en H tal que Ti Tj = Tj Ti , ∀i, j. Sea K ∈ L(H) un operador autoadjunto tal que T1 ≤ T2 ≤ 260

· · · ≤ K y Ti K = KTi , ∀i. Entonces existe T ∈ L(H) autoadjunto tal que Tn x → T x, ∀x ∈ H y T ≤ K. Nota. Este teorema fue demostrado por Nagy (1942) pero una prueba general sin la condici´on de permutabilidad es debida a Vigier (1946). Demostraci´ on. Llamamos Sn = K −Tn ; claramente Sn es autoadjunto. Primer paso. Probaremos que (hSn2 x, xi)n∈N es una sucesi´on convergente para todo x ∈ H. Observamos en primer lugar que, si m < n, Tn − Tm y K − Tm son positivos. Como ambos conmutan, su producto es positivo. Entonces 2 2 Sm − Sn Sm = (Sm − Sn )Sm = (Tn − Tm )(K − Tm ) ≥ 0 =⇒ Sm ≥ Sn Sm

y, an´alogamente, Sn Sm − Sn2 = Sn (Sm − Sn ) = (K − Tn )(Tn − Tm ) ≥ 0 =⇒ Sn Sm ≥ Sn2 . 2 para m < n. Ambos resultados indican que Sn2 ≤ Sn Sm ≤ Sm

Adem´as 2 hSm x, xi ≥ hSn Sm x, xi ≥ hSn2 x, xi = hSn x, Sn xi = kSn xk2 ≥ 0,

 por lo que la sucesi´on hSn2 x, xi n∈N , con x fijo, es decreciente y acotada inferiormente por cero. Entonces converge. Segundo paso. Veamos ahora que (Tn x)n∈N converge. Como los Sn son autoadjuntos y conmutan y −2hSm Sn x, xi ≤ −2hSn2 x, xi cuando m < n, obtenemos que kSm x − Sn xk2 = h(Sm − Sn )x, (Sm − Sn )xi = h(Sm − Sn )2 x, xi 2 2 = hSm x, xi − 2hSm Sn x, xi + hSn2 x, xi ≤ hSm x, xi − hSn2 x, xi.

 De la convergencia de hSn2 x, xi n∈N se deduce que la sucesi´on (Sn x)n∈N es de Cauchy y, por tanto, convergente. Como Tn = K − Sn , la sucesi´on (Tn x)n∈N tambi´en converge y podemos escribir Tn x → y, ∀x ∈ H. Esto define un operador T : H → H por T x = y, que es lineal y autoadjunto porque Tn son autoadjuntos y el producto escalar es continuo. Como (Tn x)n∈N converge, est´a acotada para todo x ∈ H. Por el teorema de acotaci´on uniforme, T est´a acotado. Por u ´ltimo, de Tn ≤ K se deduce que T ≤ K. ♦

Es claro que si T ∈ L(H) es autoadjunto, T 2 es positivo, pues hT 2 x, xi = hT x, T xi ≥ 0, pero ahora nos planteamos el problema inverso: dado un 261

operador T positivo, encontrar un operador autoadjunto A tal que A2 = T . Esto sugiere el siguiente concepto. 5.6.- Definici´ on. Dado T ∈ L(H) positivo, un operador A ∈ L(H) autoadjunto se llama ra´ız cuadrada de T si A2 = T . Si adem´as A ≥ 0, A se llama ra´ız cuadrada positiva de T y se denota por A = T 1/2 . El siguiente teorema muestra que la ra´ız cuadrada de T puede representarse como l´ımite de una sucesi´on de polinomios en T y, en consecuencia, conmuta con todos los operadores que conmuten con T . 5.7.- Teorema. Todo operador T ∈ L(H) positivo tiene una ra´ız cuadrada positiva A y ´esta es u ´nica. Adem´ as A conmuta con todo S ∈ L(H) tal que ST = T S. Demostraci´ on. Si T = 0, entonces existe A = T 1/2 = 0. Sea pues T 6= 0. Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz, hT x, xi ≤ kT xk · kxk ≤ kT k · kxk2 . Si llamamos Q = kT k−1 · T , entonces hQx, xi ≤ kxk2 = hIx, xi, es decir, Q ≤ I. Si logramos probar que Q tiene una u ´nica ra´ız cuadrada positiva B = Q1/2 , entonces kT k1/2 · B es ra´ız cuadrada de T pues (kT k1/2 B)2 = kT k · B 2 = kT k · Q = T. Adem´as es f´acil probar que la unicidad de Q1/2 implica la unicidad de la ra´ız cuadrada positiva de T . Basta pues probar el teorema bajo la suposici´on adicional de que T ≤ I. (•) Existencia de la ra´ız cuadrada (Visser, 1937). Definimos la sucesi´on 1 A0 = 0, An+1 = An + (T − A2n ), n = 0, 1, . . . 2 Como cada An es un polinomio en T , es autoadjunto y todos conmutan entre s´ı, por lo que tambi´en conmutan con todo operador que conmute con T . Probaremos las siguientes propiedades: (1) An ≤ I, ∀n. Por inducci´on; es evidente que A0 ≤ I y si An−1 ≤ I, (I − An−1 )2 ≥ 0. Tambi´en I − T ≥ 0. Entonces: 1 1 1 0 ≤ (I−An−1 )2 + (I−T ) = I−An−1 − (T −A2n−1 ) = I−An =⇒ An ≤ I. 2 2 2 262

(2) An ≤ An+1 , ∀n. Por inducci´on: como T ≥ 0, (1/2)T ≥ 0. Entonces A1 ≥ A0 . Si suponemos que An−1 ≤ An , entonces 1 1 An+1 − An = An + (T − A2n ) − An−1 − (T − A2n−1 ) 2 2   1 = (An − An−1 ) I − (An + An−1 ) . 2 Por (1), I − (1/2)(An + An−1 ) = (1/2)(I − An + I − An+1 ) ≥ 0 y, por hip´otesis, An − An−1 ≥ 0, de modo que An+1 − An ≥ 0. (3) An x → Ax, con A = T 1/2 . Como (An )n∈N es mon´otona creciente y acotada superiormente por I, aplicando el teorema 5.5, existe A ∈ L(H) autoadjunto tal que An x → Ax, ∀x ∈ H. Adem´as, por ser (An x)n∈N de Cauchy, 1 An+1 x−An x = (T x−A2n x) → 0 =⇒ T x−A2 x = 0, ∀x =⇒ T = A2 . 2 Como 0 = A0 ≤ An , resulta que hAn x, xi ≥ 0, ∀x ∈ H. Tomando l´ımites, obtenemos que hAx, xi ≥ 0, ∀x ∈ H, es decir A es positivo. (4) Si S ∈ L(H) conmuta con T , entonces S conmuta con A. Debido a que ST = T S =⇒ An S = SAn =⇒ An Sx = SAn x, ∀x ∈ H. Tomando l´ımites se deduce el resultado. (•) Unicidad de la ra´ız cuadrada (Nagy, 1938). Sea B otra ra´ız cuadrada positiva de T . Como A2 = B 2 = T y BT = BB 2 = B 2 B = T B, entonces AB = BA por (4). Dado x ∈ H, llamamos y = (A−B)x. Entonces hAy, yi ≥ 0 y hBy, yi ≥ 0. Adem´as hAy, yi + hBy, yi = h(A + B)y, yi = h(A2 − B 2 )x, yi = 0 =⇒ hAy, yi = hBy, yi = 0. Como A es autoadjunto y positivo, existe C ≥ 0 autoadjunto tal que C 2 = A. Entonces 0 = hAy, yi = hC 2 y, yi = hCy, Cyi = kCyk2 =⇒ Cy = 0 =⇒ Ay = C 2 y = 0. An´alogamente se prueba que By = 0, de donde (A − B)y = 0. Resulta que para todo x ∈ H, kAx − Bxk2 = h(A − B)2 x, xi = h(A − B)y, xi = 0 =⇒ Ax − Bx = 0, de lo que se deduce en definitiva que A = B. 263



5.8.- Corolario. Sean A, B ≥ 0. a) Si A2 = B 2 , entonces A = B. b) Si A ≥ B y C es un operador positivo que conmuta con A y B, entonces AC ≥ BC.

´ 6. OPERADORES PROYECCION.

Un ejemplo importante de operadores positivos lo constituyen los operadores proyecci´on, que fueron definidos en cap´ıtulos anteriores: cuando un espacio de Hilbert se representa como suma directa de un subespacio cerrado M y su complemento ortogonal M ⊥ , por la unicidad de la descomposici´on x = y + z con y ∈ M, z ∈ M ⊥ , queda definida la proyecci´on ortogonal P : H → H por P x = y, con lo que se puede escribir x = P x + (I − P )x, ∀x ∈ H. Debido a la simplicidad de estos operadores, es un problema interesante expresar operadores m´as generales en t´erminos de proyecciones. En este apartado estableceremos algunas propiedades de las proyecciones. A veces se usa como definici´on de proyecci´on la siguiente caracterizaci´on. 6.1.- Teorema. Un operador lineal y acotado P : H → H es proyecci´ on or2 togonal si y s´ olo si P es autoadjunto e idempotente (es decir, P = P ). Observaci´ on. En realidad, basta que P sea lineal pues, como probaremos en el cap´ıtulo siguiente, si un operador es autoadjunto, es cerrado y, por el teorema del gr´afico cerrado, es acotado. Demostraci´ on. a) Sea P una proyecci´on en H y llamamos M = P (H). Sea x ∈ H y P x = y. Entonces P 2 x = P y = y = P x =⇒ P 2 = P . Si x1 = y1 + z1 , x2 = y2 + z2 , con y1 , y2 ∈ M y z1 , z2 ∈ M ⊥ , entonces es claro que hy1 , z2 i = hy2 , z1 i = 0. As´ı pues hP x1 , x2 i = hy1 , y2 + z2 i = hy1 , y2 i = hy1 + z1 , y2 i = hx1 , P x2 i. b) Rec´ıprocamente, si P 2 = P = P ∗ , llamamos tambi´en M = P (H). Dado x ∈ H, escribimos x = P x + (I − P )x. ∀x, y ∈ H, hP x, (I − P )yi = hx, P (I − P )yi = hx, P y − P 2 yi = hx, 0i = 0. Esto quiere decir que P (H)⊥(I − P )(H). 264

Adem´as M = N (I − P ) pues y ∈ M =⇒ y = P x, x ∈ H =⇒ (I−P )P x = P x−P 2 x = 0 =⇒ y ∈ N (I−P ); x ∈ N (I − P ) =⇒ (I − P )x = 0 =⇒ x = P x =⇒ x ∈ M. Esto quiere decir que M es cerrado. Adem´as P |M es la identidad en M pues si y = P x, entonces P y = P 2 x = P x = y. ♦ Otras propiedades b´asicas de las proyecciones son: 6.2.- Teorema. Si P ∈ L(H) es una proyecci´ on ortogonal, a) hP x, xi = kP xk2 ; b) P ≥ 0; c) kP k ≤ 1 y kP k = 1 si P (H) 6= {0}. d) R(P ) = {y ∈ H : P y = y}, N (P ) = R(P )⊥ . e) kP xk = kxk =⇒ P x = x. La demostraci´on es directa. A continuaci´on damos condiciones para que la composici´on de proyecciones sea proyecci´on. 6.3.- Teorema. a) Si P1 , P2 son proyecciones sobre H, P = P1 P2 es proyecci´ on si y s´ olo si P1 P2 = P2 P1 . En este caso, si Mi = Pi (H) (i = 1, 2), P (H) = M1 ∩ M2 . b) Dos subespacios cerrados M1 , M2 de H son ortogonales si y s´ olo si P1 P2 = 0, donde Pi es la proyecci´ on de H sobre Mi , i = 1, 2 (en este caso se dice que P1 y P2 son proyecciones ortogonales entre s´ı). Demostraci´ on. a) Supongamos que P = P1 P2 es proyecci´on; por ser P autoadjunto, P1 P2 = (P1 P2 )∗ = P2∗ P1∗ = P2 P1 . Rec´ıprocamente, si P1 P2 = P2 P1 , entonces P es autoadjunto pues P ∗ = (P1 P2 )∗ = P2∗ P1∗ = P2 P1 = P1 P2 = P. Adem´as es idempotente pues P 2 = (P1 P2 )(P1 P2 ) = P12 P22 = P1 P2 = P. Por u ´ltimo, si x ∈ P (H), entonces x = P x = P1 (P2 x) = P2 (P1 x). Como P1 (P2 x) ∈ M1 y P2 (P1 x) ∈ M2 , entonces x ∈ M1 ∩ M2 . Rec´ıprocamente, si y ∈ M1 ∩ M2 , entonces P y = P1 P2 y = P1 y = y, de donde y ∈ P (H). 265

b) Si M1 ⊥M2 , entonces M1 ∩ M2 = {0} y P1 P2 x = 0, ∀x ∈ H, pues hP1 P2 x, zi = hP2 x, P1 zi = 0, ∀z ∈ H. Esto indica que P1 P2 = 0. Si P1 P2 = 0, ∀y ∈ M1 , z ∈ M2 , tenemos hy, zi = hP1 y, P2 zi = hy, P1 P2 zi = hy, 0i = 0 =⇒ M1 ⊥M2 .



El siguiente resultado establece condiciones para que la suma de proyecciones sea proyecci´on. 6.4.- Teorema. Dadas dos proyecciones P1 , P2 en H, a) la suma P = P1 +P2 es proyecci´ on si y s´ olo si M1 = P1 (H) y M2 = P2 (H) son ortogonales; b) si P = P1 + P2 es proyecci´ on, P proyecta H sobre M = M1 ⊕ M2 . Demostraci´ on. a) Si P = P1 + P2 es proyecci´on, P = P 2 , es decir P1 + P2 = (P1 + P2 )2 = P12 + P1 P2 + P2 P1 + P22 = P1 + P1 P2 + P2 P1 + P2 . Esto implica que P1 P2 + P2 P1 = 0 de donde P2 P1 P2 +P2 P1 = 0 =⇒ P2 P1 P2 +P2 P1 P2 = 0 =⇒ P2 P1 P2 = 0 =⇒ P2 P1 = 0. Por el teorema anterior, M1 ⊥M2 . Rec´ıprocamente, si M1 ⊥M2 , P1 P2 = P2 P1 = 0 =⇒ P1 P2 + P2 P1 = 0 =⇒ P 2 = P. Como P1 y P2 son autoadjuntos, tambi´en lo es P . Esto implica que P es proyecci´on. b) Si llamamos M = P (H), dado y ∈ M , existe x ∈ H tal que y = P x = P1 x + P2 x ∈ M1 ⊕ M2 =⇒ M ⊂ M1 ⊕ M2 . Sea ahora z ∈ M1 ⊕ M2 =⇒ z = y1 + y2 con yi ∈ Mi , i = 1, 2. P z = P1 (y1 + y2 ) + P2 (y1 + y2 ) = P1 y1 + P2 y2 = y1 + y2 = z. Esto implica que z ∈ M y M1 ⊕ M2 ⊂ M . De lo anterior se deduce la igualdad buscada.



Las siguientes propiedades de las proyecciones nos permitir´an obtener una representaci´on espectral de los operadores autoadjuntos. Una propiedad b´asica se refiere a la relaci´on de orden que se define entre proyecciones. 266

6.5.- Teorema. Sean P1 , P2 proyecciones definidas en H y denotamos por M1 = P1 (H), M2 = P2 (H) y N1 = N (P1 ), N2 = N (P2 ) a los rangos y n´ ucleos de P1 y P2 , respectivamente. Las siguientes condiciones son equivalentes: i) P2 P1 = P1 P2 = P1 . ii) kP1 xk ≤ kP2 xk, ∀x ∈ H. iii) P1 ≤ P2 . iv) N1 ⊃ N2 . v) M1 ⊂ M2 . Demostraci´ on. i) =⇒ ii). Como kP1 k ≤ 1, kP1 xk = kP1 P2 xk ≤ kP1 k · kP2 xk ≤ kP2 xk, ∀x ∈ H. ii) =⇒ iii). ∀x ∈ H, hP1 x, xi = kP1 xk2 ≤ kP2 xk2 = hP2 x, xi =⇒ P1 ≤ P2 . iii) =⇒ iv). Sea x ∈ N2 = N (P2 ). Entonces P2 x = 0 =⇒ kP1 xk2 = hP1 x, xi ≤ hP2 x, xi = 0 =⇒ x ∈ N (P1 ). iv) =⇒ v). Es evidente pues Mi es el complemento ortogonal de Ni , i = 1, 2. v) =⇒ i). ∀x ∈ H, P1 x ∈ M1 =⇒ P1 x ∈ M2 =⇒ P2 (P1 x) = P1 x =⇒ P2 P1 = P1 . Como P1 es autoadjunto, P1 = P2 P1 = (P2 P1 )∗ = P1∗ P2∗ = P1 P2 .



Como aplicaci´on se puede probar un resultado sobre diferencia de proyecciones. 6.6.- Teorema. Sean P1 , P2 dos proyecciones definidas en H. Entonces: a) P = P2 −P1 es proyecci´ on si y s´ olo si M1 ⊂ M2 , donde Mi = Pi (H), i = 1, 2. b) Adem´ as, si P = P2 − P1 es proyecci´ on y P (H) = M , entonces M es el complemento ortogonal de M1 en M2 , M = M2 M1 . Demostraci´ on. a) Si P = P2 − P1 es proyecci´on, P = P 2 , es decir P2 − P1

=

P22 − P2 P1 − P1 P2 + P12 = P2 − P2 P1 − P1 P2 + P1

=⇒ 2P1 = P1 P2 + P2 P1 . 267

(∗)

Multiplicando a derecha e izquierda por P2 , tenemos 2P2 P1 = P2 P1 P2 + P2 P1 =⇒ P2 P1 P2 = P2 P1 , 2P1 P2 = P1 P2 + P2 P1 P2 =⇒ P2 P1 P2 = P1 P2 . Aplicando (∗), resulta que P1 = P2 P1 P2 = P2 P1 = P1 P2 . Por el teorema anterior se deduce que M1 ⊂ M2 . Rec´ıprocamente, si M1 ⊂ M2 , de nuevo por el el teorema anterior P2 P1 = P1 P2 = P1 , de donde, invirtiendo el proceso anterior, P es idempotente. Adem´as P es autoadjunto por serlo P1 y P2 . b) Si y ∈ M , y = P x = P2 x − P1 x, como M1 ⊂ M2 , P2 P1 = P1 , de modo que P2 y = P22 x − P2 P1 x = P2 x − P1 x = y =⇒ y ∈ M2 . Por otra parte, como P1 P2 = P1 , P1 y = P1 P2 x − P12 x = P1 x − P1 x = 0 =⇒ y ∈ N (P1 ) = M1⊥ . De lo anterior se deduce que M ⊂ M2 ∩ M1⊥ . Veamos ahora la inclusi´on contraria. Sea pues v ∈ M2 ∩ M1⊥ ; P v = (P2 − P1 )v = P2 v − P1 v = v − 0 = v =⇒ v ∈ M.



De los dos u ´ltimos teoremas se deduce un resultado b´asico sobre convergencia de sucesiones crecientes de proyecciones. 6.7.- Teorema. Sea (Pn )n≥1 una sucesi´ on creciente de proyecciones definidas en un espacio de Hilbert H. Entonces: a) (Pn )n≥1 converge en sentido fuerte a una proyecci´ on P definida en H. S b) P proyecta H sobre P (H) = n∈N Pn (H). T c) El n´ ucleo de P es N (P ) = n∈N N (Pn ). Demostraci´ on. a) Sea m < n. Por hip´otesis Pm ≤ Pn , de donde Pm (H) ⊂ Pn (H) y Pn − Pm es una proyecci´on. Entonces, ∀x ∈ H, (∗) kPn x − Pm xk2 = h(Pn − Pm )x, xi = hPn x, xi − hPm x, xi = kPn xk2 − kPm xk2 . Como kPn k ≤ 1, kPn xk ≤ kxk, ∀n. Es decir (kPn xk)n∈N es una sucesi´on acotada. Como tambi´en es mon´otona creciente, es convergente. De (∗) deducimos que (Pn x)n∈N es de Cauchy y, como H es de Hilbert, existe y ∈ H 268

tal que Pn x → y. Definimos el operador P ∈ L(H) por P x = y, y probemos que P es una proyecci´on: hP ∗ x, yi = hx, P yi = hx, l´ım Pn yi = l´ımhx, Pn yi = l´ımhPn x, yi = hP x, yi; n

n

n

2

hP x, xi = hP x, P xi = l´ımhPn xPn xi = l´ımhPn x, xi = hP x, xi. n

n

b) Si m < n, Pm ≤ Pn , de modo que h(Pn − Pm )x, xi ≥ 0, ∀x ∈ H. Haciendo n → ∞, resulta h(P − Pm )x, xi S ≥ 0, es decir Pm ≤ P . Entonces Pm (H) ⊂ P (H), ∀m. Esto prueba que m∈N Pm (H) ⊂ P (H); ahora bien, S al ser P (H) = N (I − P ), P (H) es cerrado, por lo que m∈N Pm (H) ⊂ P (H). S Por otro lado, como Pm x ∈ Pm (H) ⊂ m∈N Pm (H) y Pm x → P x, deducimos S S que P x ∈ m∈N Pm (H), de donde P (H) ⊂ m∈N Pm (H). S En definitiva, P (H) = m∈N Pm (H). c) De las relaciones N (P ) = P (H)⊥ ⊂ Pn (H)⊥ , ∀n, se deduce que N (P ) ⊂

\

Pn (H)⊥ =

n∈N

\

N (Pn ).

n∈N

T Por otro lado, si x ∈ n∈N N (Pn ), Pn x = 0, ∀n, de donde P x = 0. Esto T prueba que n∈N N (Pn ) ⊂ N (P ). ♦

7. FUNCIONES DE OPERADORES ACOTADOS AUTOADJUNTOS.

En esta secci´on se introduce un c´alculo funcional para un operador autoadjunto T ∈ L(H) en un espacio de Hilbert H y se desarrollan los resultados fundamentales que constituyen las herramientas necesarias para probar el teorema espectral de operadores autoadjuntos, en la l´ınea de las ideas mostradas por F. Riesz en 1934. Dicho c´alculo funcional consiste en estudiar las propiedades de la aplicaci´on f 7→ f (T ), definida en un espacio adecuado de funciones acotadas, como extensi´on de la aplicaci´on natural p 7→ p(T ), definida en el espacio de los polinomios con coeficientes reales y dominio en el intervalo [m, M ], donde mI ≤ T ≤ M I, y m < M . 269

Llamaremos P = {p : [m, M ] → R : p(t) = α0 + α1 t + · · · + αn tn , αi ∈ R, ∀i} al espacio de los polinomios con coeficientes reales y denotaremos por P + al subespacio de P formado por los polinomios no negativos. Si p ∈ P , escribiremos p(T ) = α0 I + α1 T + · · · + αn T n , que es autoadjunto. La aplicaci´on p 7→ p(T ) es lineal y multiplicativa, es decir p(T ) + q(T ) = (p + q)(T ), (λp)(T ) = λ · p(T ) y (pq)(T ) = p(T )q(T ), ∀p, q ∈ P . Del lema siguiente se deduce adem´as que es mon´otona. 7.1.- Lema. Si p ∈ P + , entonces p(T ) es un operador positivo. Demostraci´ on. Basta probar que σ(p(T )) ⊂ [0, ∞). Por el teorema de la aplicaci´on espectral, σ(p(T )) = p(σ(T )). Como p es positivo, p(σ(T )) ≥ 0. ♦ Probaremos a continuaci´on dos resultados que permitir´an obtener la extensi´on deseada de la aplicaci´on p 7→ p(T ). 7.2.- Lema. Sea (pn )n∈N ⊂ P + , con pn+1 ≤ pn para n ∈ N. Entonces (pn (T ))n∈N converge en sentido fuerte a un operador positivo. Demostraci´ on. Por el lema anterior, 0 ≤ pn+1 (T ) ≤ pn (T ), n ∈ N. Si aplicamos el teorema 5.5 a la sucesi´on (−pn (T ))n∈N , deducimos que (pn (T ))n∈N converge en sentido fuerte a un operador autoadjunto S. Adem´as, hSx, xi = l´ım hpn (T )x, xi ≥ 0, n→∞

es decir S es positivo.



P+

7.3.- Lema. Sean (pn )n∈N , (qn )n∈N ⊂ sucesiones decrecientes y S1 , S2 los l´ımites fuertes de (pn (T ))n∈N , (qn (T ))n∈N , respectivamente. Si l´ımn→∞ pn (t) ≤ l´ımn→∞ qn (t) para m ≤ t ≤ M , entonces S1 ≤ S2 . Demostraci´ on. Fijamos un entero positivo k. Para cada t ∈ [m, M ], l´ım(pn (t) − qk (t)) ≤ l´ım pn (t) − l´ım qn (t) ≤ 0. n

n

n

Si llamamos rn = m´ax{pn − qk , 0}, para n ∈ N, entonces l´ımn rn (t) = 0, ∀t. Adem´as rn+1 ≤ rn , n ∈ N. Por el teorema de Dini, la sucesi´on (rn )n∈N converge uniformemente a 0 en [m, M ]. Dado pues ε > 0, existe N tal que 0 ≤ rn (t) < ε, ∀t ∈ [m, M ], ∀n ≥ N . Esto implica que pn (t) − qk (t) < ε, ∀t ∈ [m, M ], ∀n ≥ N . Por el lema 7.1, pn (T ) ≤ qk (T ) + εI, ∀n ≥ N . Entonces S1 ≤ qk (T ) + εI. Como k es arbitrario, S1 ≤ S2 + εI de donde S1 ≤ S2 . ♦ 270

7.4.- Definici´ on. Denotaremos por L+ al conjunto de funciones reales f definidas en el intervalo [m, M ] tales que existe una sucesi´on (pn )n∈N ⊂ P + con las propiedades: a) 0 ≤ pn+1 ≤ pn , n ∈ N. b) l´ımn pn (t) = f (t), ∀t ∈ [m, M ]. Es claro que si f ∈ L+ , entonces f es acotada; definimos pues f (T ) como el operador positivo que es l´ımite fuerte de (pn (T ))n∈N , donde (pn )n∈N ⊂ P + es una sucesi´on decreciente tal que l´ımn pn (t) = f (t), ∀t ∈ [m, M ]. Del lema anterior se deduce que f (T ) est´a bien definida. Las propiedades de la aplicaci´on p 7→ p(T ) son tambi´en v´alidas en L+ como se demuestra a continuaci´on. 7.5.- Lema. Dado f ∈ L+ , la aplicaci´ on anterior f 7→ f (T ) verifica: a) (f + g)(T ) = f (T ) + g(T ), ∀f, g ∈ L+ . b) (αf )(T ) = αf (T ), ∀f ∈ L+ , α ≥ 0. c) (f g)(T ) = f (T )g(T ), ∀f, g ∈ L+ . d) f ≤ g =⇒ f (T ) ≤ g(T ), ∀f, g ∈ L+ . Demostraci´ on. (a) Si f (t) = l´ımn pn (t), g(t) = l´ımn qn (t), entonces (f + g)(t) = l´ımn (pn + qn )(t) de donde (f + g)(T ) = l´ım(pn + qn )(T ) = l´ım(pn (T ) + qn (T )) = f (T ) + g(T ). n

n

(b) Si f (t) = l´ımn pn (t), (αf )(t) = l´ım(αpn )(t) =⇒ (αf )(T ) = l´ım(αpn )(T ) = α l´ım pn (T ). n

n

n

(c) Si f (t) = l´ımn pn (t), g(t) = l´ımn qn (t), con (pn )n∈N , (qn )n∈N ⊂ P + decrecientes, entonces pn+1 qn+1 ≤ pn qn , ∀n y l´ım(pn qn )(t) = l´ım pn (t)qn (t) = f (t)g(t) = (f g)(t), ∀t ∈ [m, M ], n

n

es decir (f g)(T ) es l´ımite fuerte de ((pn qn )(T ))n∈N . Entonces, ∀x, y ∈ H, h(f (T )g(T ))x, yi = hf (T )(g(T )x), yi = hg(T )x, f (T )yi = l´ımhqn (T )x, pn (T )yi = l´ımhpn (T )(qn (T )x), yi n

n

= l´ımh(pn (T )qn (T ))x, yi = l´ımh(pn qn )(T )x, yi = h(f g)(T )x, yi, n

n

de donde f (T )g(T ) = (f g)(T ). (d) Se deduce del lema 7.3.



271

7.6.- Definici´ on. Si denotamos por L = {f : [m, M ] → R : f acotada y f = f1 − f2 con f1 , f2 ∈ L+ }, es tambi´en evidente que las funciones de L est´an acotadas y que P ⊂ L. Se prueba de forma an´aloga a la anterior que la aplicaci´on p 7→ p(T ) se puede extender a todo L de modo que se mantengan las propiedades de la misma. Para ello, dado f ∈ L, definimos f (T ) = f1 (T )−f2 (T ), donde f = f1 −f2 con f1 , f2 ∈ L+ ; es claro que f (T ) es un operador autoadjunto, que la definici´on no depende de la descomposici´on de f y coincide con la definici´on 7.4 en el caso particular de que f ∈ L+ . 7.7.- Teorema. La aplicaci´ on anterior tambi´en es lineal y verifica: a) (f g)(T ) = f (T )g(T ), ∀f, g ∈ L. b) f ≤ g =⇒ f (T ) ≤ g(T ), ∀f, g ∈ L. La demostraci´on es directa a partir del lema 7.5.

8. TEOREMA ESPECTRAL DE OPERADORES AUTOADJUNTOS.

Como ya hemos indicado, vamos a desarrollar una versi´on del teorema espectral con ayuda del c´alculo funcional comentado en la secci´on anterior. Al igual que antes, T ser´a un operador lineal acotado y autoadjunto en un espacio de Hilbert H, m, M ∈ R son n´ umeros tales que mI ≤ T ≤ M I y m < M . El objetivo es aproximar T por combinaciones lineales de proyecciones ortogonales sobre H, obtenidas por un c´alculo funcional. Para ello, definimos para cada s ∈ R una funci´on es : [m, M ] → R por: - Si s < m, es = 0. ( 1 - Si m ≤ s < M, es (t) = 0

si m ≤ t ≤ s, si s < t ≤ M.

- Si s ≥ M, es = 1. 8.1.- Lema. Para todo s ∈ R, es ∈ L+ . Esto permite definir para cada t ∈ R un operador positivo por E(t) = et (T ). Demostraci´ on. Si s < m ´o s ≥ M , es evidente. 272

Sea pues m ≤ s < M y denotamos por N al menor entero positivo tal que s + N −1 ≤ M .   si m ≤ t ≤ s, 1 Para n ≥ N , sea fn (t) = −nt + ns + 1 si s < t < s + 1/n, Es f´acil ver   0 si s + 1/n ≤ t ≤ M. que fn es continua y que l´ımn fn (t) = es (t), ∀t ∈ [m, M ]. Tambi´en es claro que 0 ≤ fn+1 ≤ fn para n ≥ N. Por el teorema de aproximaci´on de Weierstrass, existe una sucesi´on (pn )n∈N de polinomios tal que, para n ≥ N : fn (t) + 2−n−1 < pn (t) < fn (t) + 2−n , ∀t ∈ [m, M ]. De este modo, pn ∈ P + , pn+1 ≤ pn , para n ≥ N , y l´ımn pn (t) = es (t), ∀t ∈ [m, M ]. Esto implica que es ∈ L+ . ♦ 8.2.- Lema. Para todo t ∈ R, E(t) es una proyecci´ on ortogonal en H que conmuta con T . Adem´ as a) E(s) ≤ E(t), para s ≤ t. b) E(t) = 0, para t < m. c) E(t) = I, para t ≥ M. Demostraci´ on. Es consecuencia del lema 7.5 y del hecho de que e2t = et , es ≤ et cuando s ≤ t, et = 0 para t < m y et = 1 para t ≥ M . ♦ Una aplicaci´on E : R → L(H) que cumple las condiciones a), b) y c) del lema anterior recibe el nombre de resoluci´on de la identidad o descomposici´on de la unidad. Sugeridos por la integral de Riemann-Stieltjes, damos sentido al siguiente concepto. 8.3.- Definici´ on. Dados m, M ∈ R con m < M y E : R → L(H) una resoluci´on de la identidad, diremos que un funci´on f : [m, M ] → R es E−integrable cuando existe un operador autoadjunto S tal que: n

X

∀ε > 0, ∃δ > 0 : S − f (tk )[E(sk ) − E(sk−1 )] < ε k=1

para cualquier partici´on {s0 , s1 , . . . , sn } de [m, M ] de di´ametro menor que δ (es decir, con sk − sk−1 < δ, ∀k = 1, 2, . . . , n) y cualesquiera t1 , . . . , tn con sk−1 ≤ tk ≤ sk , k = 1, . . . , n. Es claro que si f es E-integrable, s´olo existe un operador autoadjunto S que RM verifica la definici´on. Bajo estas condiciones, escribiremos S = m f (t)dE(t). 273

8.4.- Teorema (espectral). En las condiciones y notaci´ on anteriores, dados a, b ∈ R, con a < m y b ≥ M , la aplicaci´ on identidad I : [a, b] → R es ERb integrable y T = a tdE(t). Demostraci´ on. Si s, u ∈ R con s < u, entonces ( 1 si t ∈ (s, u] ∩ [m, M ], eu (t) − es (t) = 0 si t ∈ [m, M ] \ (s, u]. Por lo tanto, s(eu (t)−es (t)) ≤ t(eu (t)−es (t)) ≤ u(eu (t)−es (t)), ∀t ∈ [m, M ], de donde s(E(u) − E(s)) ≤ T (E(u) − E(s)) ≤ u(E(u) − E(s)). Sean ahora ε > 0 y {s0 , s1 , . . . , sn } una partici´on de [a, b] de di´ametro menor que ε. Tenemos n X

sk−1 (E(sk )−E(sk−1 )) ≤ T

k=1

n X

(E(sk )−E(sk−1 )) ≤

k=1

n X

sk (E(sk )−E(sk−1 )).

k=1

Pn

Como k=1 (E(sk ) − E(sk−1 )) = E(b) − E(a) = I, si ahora t1 , . . . , tn son n´ umeros reales tales que sk−1 ≤ tk ≤ sk , obtenemos n X

(sk−1 − tk )(E(sk ) − E(sk−1 )) ≤ T −

k=1

n X

tk (E(sk ) − E(sk−1 ))

k=1



n X

(sk − tk )(E(sk ) − E(sk−1 )).

k=1

Como sk−1 − tk > −ε y sk − tk < ε y debido a que E(sk ) − E(sk−1 ) ≥ 0, resulta que −ε

n X

(E(sk ) − E(sk−1 )) = −εI ≤ T −

k=1

n X

tk (E(sk ) − E(sk−1 ))

k=1

≤ εI = ε

n X

(E(sk ) − E(sk−1 )).

k=1

Esto prueba que T =

Rb a

tdE(t).



Recordamos que, si T es adem´as compacto, las proyecciones ortogonales E(t) tienen una forma especialmente simple, lo que lleva de nuevo al teorema demostrado en la secci´on 4. El teorema espectral es una herramienta u ´til en el estudio de operadores lineales acotados en espacios de Hilbert, pues permite reducir cuestiones 274

sobre cierto tipo de operadores a cuestiones similares sobre proyecciones ortogonales.

9. TEOREMA ESPECTRAL DE OPERADORES AUTOADJUN´ TOS: SEGUNDA VERSION.

Recordamos que nuestro objetivo es obtener una representaci´on de operadores acotados autoadjuntos en un espacio de Hilbert en t´erminos de operadores m´as simples (como son las proyecciones) cuyas propiedades son m´as f´aciles de determinar y las mismas dan informaci´on sobre el operador de partida. Dicha representaci´on recibir´a el nombre de representaci´on espectral y la familia de proyecciones asociada se llamar´a familia espectral o descomposi´on de la unidad. El uso de esta representaci´on para el caso de dimensi´on finita servir´a de motivaci´on para obtener la generalizaci´on a este caso. Sea pues H un espacio de Hilbert complejo de dimensi´on infinita. Recordamos que, si T ∈ L(H) es un operador autoadjunto y compacto, el conjunto de autovalores {λj }j∈N es finito o numerable, cuyo u ´nico posible punto de acumulaci´on es el cero. Si Pλ representa la P proyecci´on ortogonal sobre N (T − λI), definimos, para cada λ ∈ R, Eλ = λi ≤λ Pλi . Por la proposici´on 3.8, Eλ es la proyecci´on ortogonal sobre el espacio generado por los autovalores correspondientes a autovalores λi ≤ λ. Adem´as, se prueba f´acilmente que Eλ Eµ = Eµ Eλ = Eλ si λ < µ; Eλ = 0 si λ < m y Eλ = I si λ ≥ M ; Eλ+ =

l´ım Eµ = Eλ .

µ→λ+

Lo anterior sugiere la siguiente definici´on. 9.1.- Definici´ on. Una familia espectral real o descomposici´on de la unidad es una familia uniparam´etrica de proyecciones (Eλ )λ∈R definidas en un espacio de Hilbert H y que verifica las propiedades: Eλ ≤ Eµ si λ < µ;

(1) (2) (3)

l´ım Eλ x = 0 y l´ım Eλ x = x;

λ→−∞

λ→∞

l´ım Eµ x = Eλ x, ∀x ∈ H.

µ→λ+

La familia (Eλ )λ∈R es familia espectral del intervalo [a, b] si Eλ = 0 para λ < a y Eλ = I para λ ≥ b. Estas familias tendr´an un inter´es especial 275

pues el espectro de operadores acotados autoadjuntos es un intervalo real finito. M´as adelante veremos que a todo operador acotado autoadjunto se le puede asociar una familia espectral que permitir´a representar el operador mediante una integral de Riemann-Stieltjes (y se llamar´a representaci´on espectral del operador) generalizando lo obtenido en casos anteriores. 9.2.- Lema. Sea H un espacio de Hilbert complejo y A, B ∈ L(H) operadores autoadjuntos tales que AB = BA y A2 = B 2 . Si llamamos Q a la proyecci´ on ortogonal de H sobre N (A + B), entonces: a) Todo operador C ∈ L(H) que conmuta con A + B conmuta tambi´en con Q. b) Si Ax = 0, entonces Qx = x. c) A = (I − 2Q)B. Demostraci´ on. a) Sea x ∈ H; entonces CQx ∈ N (A + B) pues, debido a que Qx ∈ N (A + B), (A + B)CQx = C(A + B)Qx = 0. Por tanto, QCQx = CQx. An´alogamente, se prueba que QC ∗ Qx = C ∗ Qx, ∀x ∈ H. Deducimos as´ı que QC = (C ∗ Q)∗ = (QC ∗ Q)∗ = QCQ = CQ. b) Supongamos que Ax = 0. Entonces kBxk2 = hBx, Bxi = hB 2 x, xi = hA2 x, xi = kA2 k2 = 0. Por tanto, Bx = 0, con lo que (A + B)x = 0, es decir x ∈ N (A + B). Por definici´on de Q, Qx = x. c) Por u ´ltimo, como A2 = B 2 , (A + B)(A − B)x = (A2 − B 2 )x = 0, ∀x ∈ H, de donde (A − B)x ∈ N (A + B), es decir Q(A − B)x = (A − B)x, ∀x ∈ H. Como, por otra parte, Q(A + B) = (A + B)Q y Qx ∈ N (A + B), ∀x ∈ H, resulta que Q(A + B)x = (A + B)Qx = 0. De las relaciones QA + QB = 0 y QA − QB = A − B, deducimos que 2QB = B − A, es decir A = (I − 2Q)B. ♦ 9.3.- Teorema. Si A ∈ L(H) es autoadjunto, existe un proyector E− tal que a) todo C ∈ L(H) que conmuta con A conmuta tambi´en con E− ; 276

b) Ax = 0 =⇒ E− x = x; c) A(I − E− ) ≥ 0, −AE− ≥ 0. Demostraci´ on. a) Definimos E− como la proyecci´on sobre N (A + B), donde B es la ra´ız cuadrada positiva de A2 . Si C conmuta con A, conmuta con A2 y, por tanto, con B. Por el lema anterior se deduce a). b) Se deduce tambi´en del lema anterior. c) Teniendo en cuenta el apartado c) del lema anterior, resulta: A(I − E− ) = B − 2E− B − BE− + 2E− BE− = B − BE− = B(I − E− ) ≥ 0, −AE− = −BE− + 2E− BE− = BE− ≥ 0, pues la composici´on de dos operadores positivos que conmutan es un operador positivo. ♦ 9.4.- Definici´ on. Dado A ∈ L(H) autoadjunto, los operadores positivos A+ = A(I − E− ) y A− = −AE− reciben el nombre de parte positiva y parte negativa de A, respectivamente. Del teorema anterior se deduce que 1 1 A+ = (A + B), A− = (B − A), 2 2 as´ı como A = A+ − A− . Ejemplos. 1) Sea A una matriz sim´etrica de orden n y λ1 , λ2 , . . . , λn el conjunto de sus autovalores ordenados de modo que λ1 , . . . , λk < 0 y λk+1 , . . . , λn > 0. Es conocido el hecho de que A es unitariamente equivalente a la matriz diagonal formada por los autovalores, A = U diag(λ1 , . . . , λn )U −1 . En este caso, A+ = U diag(0, . . . , 0, λk+1 , . . . , λn )U −1 y A− = U diag(λ1 , . . . , λk , 0, . . . , 0)U −1 . 2) Sea A ∈ L(L2 [−1, 1]) el operador definido por Ax(t) = tx(t). Entonces A+ x(t) = (1/2)(t + |t|)x(t) y A− x(t) = (1/2)(|t| − t)x(t). 9.5.- Lema. Sea A ∈ L(H) autoadjunto y llamemos E a la proyecci´ on ortogonal sobre N (A+ ). Entonces a) A+ E = EA+ = 0. b) A− E = EA− = A− . c) AE = EA = −A− , (I − E)A = A(I − E) = A+ . Demostraci´ on. a) Por definici´on, Ex ∈ N (A+ ), ∀x ∈ H. Entonces A+ E = 0. Adem´as, EA+ = (A+ E)∗ = 0∗ = 0. b) Como 1 1 A+ A− = (B + A)(B − A) = (B 2 − A2 ) = 0, 4 4 277

entonces A− x ∈ N (A+ ), lo que implica que EA− x = A− x. Adem´as, A− E = (EA− )∗ = A∗− = A− . c) Como A = A+ − A− , AE = A+ E − A− E = −A− , (I − E)A = A − AE = A + A− = A+ .



9.6.- Definici´ on. Dado A ∈ L(H), se llama valor absoluto de A al operador |A| = A+ + A− . Del lema anterior se deduce que E|A| = |A|E = A− e (I − E)|A| = A+ . Es evidente tambi´en que |A| ≥ A, |A| ≥ −A, A+ ≥ A, A− ≥ −A. Estas acotaciones son ´optimas en el sentido que indican los resultados siguientes. 9.7.- Lema. Con los datos anteriores, |A| es el menor operador autoadjunto que conmuta con A y es cota superior de A y −A. Demostraci´ on. Debemos probar que, si C ∈ L(H) es un operador autoadjunto tal que CA = AC, C ≥ A y C ≥ −A, entonces C ≥ |A|. Ahora bien, C ≥ A =⇒ C(I − E) ≥ A(I − E) = A+ , C ≥ −A =⇒ CE ≥ −AE = A− . Sumando miembro a miembro, deducimos que C ≥ A+ + A− = |A|.♦ 9.8.- Corolario. Si A ∈ L(H) es autoadjunto, entonces A+ y A− son los menores operadores positivos que conmutan con A y son cotas superiores de A y −A, respectivamente. Demostraci´ on. En el lema anterior se prob´o que C(I − E) ≥ A+ . Adem´as, si C ≥ 0, entonces CE ≥ 0. Por tanto, C ≥ A+ + CE ≥ A+ . An´alogamente se procede con el otro caso.



Estamos ya en condiciones de probar el teorema espectral de operadores autoadjuntos. 278

9.9.- Teorema. Sea A ∈ L(H) autoadjunto. Existe entonces una descomZ b λdEλ , donde a < m < M ≤ posici´ on de la unidad {Eλ }λ∈R tal que A = a

b.

Demostraci´ on. Dado λ ∈ R, llamamos Aλ = A − λI. + Si λ < µ, es evidente que Aµ ≤ Aλ ≤ A+ λ . Como Aλ ≥ 0, ∀λ ∈ R, por el + + corolario 9.8 deducimos que Aµ ≤ Aλ .

En particular, si λ < m, como Aλ ≥ 0, entonces A+ λ = Aλ ≥ (m − λ)I y, si + λ ≥ M , entonces Aλ ≤ 0, de donde Aλ = 0. (•) Llamamos ahora Mλ = N (A+ ı definidos, {Mλ }λ∈R es una familia λ ). As´ creciente de subespacios tal que Mλ = {0} si λ < m y Mλ = H si λ ≥ M. En efecto, si λ < µ, + + + + + + 2 + 2 A+ µ ≤ Aλ =⇒ (Aµ ) ≤ Aλ Aµ =⇒ kAµ xk ≤ hAλ Aµ x, xi, ∀x ∈ H. 2 En particular, si x ∈ Mλ , entonces kA+ µ xk = 0, es decir x ∈ Mµ .

(•) Definimos ahora Eλ como la proyecci´on ortogonal sobre Mλ . As´ı, {Eλ }λ∈R es una familia creciente de operadores, tal que Eλ = 0 si λ < m y Eλ = I si λ ≥ M. (•) Para λ < µ, definimos Eλµ = Eµ − Eλ . Entonces Eµ Eλµ = Eµ − Eµ Eλ = Eµ − Eλ = Eλµ , (I − Eλ )Eλµ = Eλµ − Eλ Eµ + (Eλ )2 = Eλµ . + Como A+ λ , Aµ y Eλµ son operadores positivos y conmutan, entonces

(µI − A)Eλµ = −Aµ Eλµ = −Aµ Eµ Eλµ = A− µ Eλµ ≥ 0, (A − λI)Eλµ = Aλ Eλµ = Aλ (I − Eλ )Eλµ = A+ λ Eλµ ≥ 0, o bien λEλµ ≤ AEλµ ≤ µEλµ .

(∗)

(•) Sea ahora el conjunto {µ0 , µ1 , . . . , µn } una partici´on del intervalo [a, b] tal que a = µ0 < m < µ1 < . . . < µn−1 < M ≤ µn = b y escribimos la desigualdad (∗) para cada par de puntos consecutivos. Llegamos as´ı a n X k=1

µk−1 Eµk−1 µk ≤ A

n X k=1

279

Eµk−1 µk ≤

n X k=1

µk Eµk−1 µk .

Si m´ax1≤k≤n (µk −µk−1 ) ≤ ε, la diferencia entre los extremos es menor o igual que εI. Adem´as, el t´ermino central es A. Eligiendo pues cualquier λk ∈ (µk−1 , µk ), 1 ≤ k ≤ n, obtenemos:

n

X

λk (Eµk − Eµk−1 ) ≤ ε,

A −

k=1

lo cual escribimos como A =

Rb a

λdEλ , o bien, como A =

RM

m−

λdEλ .

(•) Queda u ´nicamente probar que {Eλ }λ∈R es continua por la derecha, como funci´on de λ, es decir Pλ = l´ımµ→λ+ Eλµ = 0. Tomando l´ımites en la desigualdad (∗), obtenemos que λPλ ≤ APλ ≤ λPλ , de donde APλ = λPλ o bien Aλ Pλ = 0. Como A+ λ Pλ = (I − Eλ )Aλ Pλ = 0, entonces Pλ x ∈ Mλ , ∀x ∈ H, de donde Eλ Pλ = Pλ . An´alogamente, de (I −Eλ )Eλµ = Eλµ , se obtiene que (I −Eλ )Pλ = Pλ , de donde Pλ − Eλ Pλ = 0 = Pλ . ♦ Observaci´ on. Como la convergencia uniforme implica la convergencia fuerte y la convergencia d´ebil, del teorema R Manterior se deducen tambi´en las RM f´ormulas Ax = m− λdEλ x y hAx, xi = m− λdhEλ x, xi, ∀x ∈ H. Ejemplos. 1) Sea A = U diag(λ1 , λ2 , . . . , λn )U −1 una matriz sim´etrica de orden n, donde λ1 < λ2 < . . . < λn y sea ei un vector propio asociado al autovalor λi . Entonces, si t ∈ [λi , λi+1 ), el operador Et es un proyector sobre el subespacio de dimensi´on i generado por e1 , e2 , . . . , ei . Si t < λ1 , Et = 0 y si t ≥ λn , Et = I. 2) Si A : L2 [−1, 1] → L2 [−1, 1] es el operador definido por Af (x) = xf (x), entonces Et f (x) = φt (x) donde φt (x) = 0 para x > t y φt (x) = 1 para x ≤ t. Es evidente que Et = 0 si t < −1 y Et = I si t > 1.

280

EJERCICIOS.

1. Sea M : L2 (R) → L2 (R) el operador definido por (M f )(x) = eix f (x). Probar que M es unitario, que no tiene valores propios y sin embargo, σ(M ) = T. Resp.: Veamos en primer lugar que M es isometr´ıa: si f ∈ L2 (R), entonces Z Z Z ix 2 2 2 2 |f (x)|2 dx = kf k2 . |e | |f (x)| dx = |M f (x)| dx = kM f k = R

R

R

Adem´as M es sobre: M (e−ix f (x)) = f (x) =⇒ (M −1 f )(x) = e−ix f (x). Para probar que M no tiene autovalores, supongamos que, para alg´ un λ ∈ C, existe fλ ∈ L2 (R) no nula tal que M fλ = λfλ . Esto equivale a la igualdad eix fλ (x) = λfλ (x) c.s. En los puntos x tales que fλ (x) 6= 0, debe ser eix = λ, igualdad que s´olo es posible a lo sumo en un conjunto numerable. As´ı pues, fλ (x) = 0 c.s., es decir kfλ k = 0 y M no tiene autovalores. Para calcular el espectro de M , resolvemos la ecuaci´on (M − ρI)f = g. Resulta as´ı: 1 (eix − ρ)f (x) = g(x) c.s. =⇒ f (x) = ix g(x) c.s. e −ρ con lo que [(M − ρI)−1 g](x) = eix1−ρ g(x) define un operador lineal. Veamos bajo qu´e condiciones (M − ρI)−1 g ∈ L2 (R), ∀g ∈ L2 (R). Si |eix − ρ|−1 ≤ c c.s., entonces Z −1 2 2 |g(x)|2 dx = c2 kgk2 =⇒ k(M − ρI)−1 k ≤ c k(M − ρI) gk ≤ c R

por lo que (M − ρI)−1 es acotado. Ahora bien, si |ρ| = 6 1, entonces |eix − ρ|−1 ≤ c c.s., lo que prueba que C \ T ⊂ ρ(M ). Por el contrario, si |ρ| = 1, ρ = eix0 , veamos que el operador [(M − ρI)−1 g](x) =

eix

1 g(x) c.s. − eix0

no es acotado en L2 (R). Para ello, sea ε > 0 arbitrario; existe entonces δ > 0 tal que |x − x0 | < δ =⇒ |eix − eix0 | < ε. 281

Si llamamos g a la funci´on caracter´ıstica de (x0 − δ, x0 + δ), entonces 2

Z

kgk =

√ −1

2

|g(x)| dx = 2δ y k(m − ρI)

gk >

R

kgk 2δ = , ε ε

lo que implica que k(M − ρI)−1 k > 1/ε. Al ser cierta esta desigualdad para cualquier ε > 0, se deduce que (M − ρI)−1 no est´a acotado. En definitiva, resulta que σ(M ) = T.   2. Sea H un espacio de Hilbert. Probar que un operador A ∈ L(H) es compacto si y s´ olo si ∀ε > 0, ∃Aε de rango finito : kA − Aε k < ε. Resp.: Supongamos que A es compacto. Si llamamos B a la bola unidad en H, A(B) es relativamente compacto. Por tanto, se puede recubrir con una familia finita de bolas de centro bi y radio ε, A(B) ⊂ Sn B(b on ortogonal i , ε). Sea M = h{b1 , . . . , bn }i y P la proyecci´ i=1 sobre M . As´ı, P A tiene rango finito. Adem´as, ∀x ∈ B, Ax ∈ B(bi , ε), de donde d(Ax, M ) < ε, lo que implica que kAx − P Axk < ε, y esto a su vez que kA − P Ak ≤ ε. Basta llamar Aε = P A para probar la tesis. El rec´ıproco es evidente pues A es l´ımite de una sucesi´on de operadores de rango finito.   3. Sea Mϕ : L2 (R) → L2 (R) el operador de multiplicaci´ on definido por Mϕ f = ϕ · f .

a) Probar que Mϕ es acotado si y s´ olo si ϕ ∈ L∞ (R). b) Probar que σr (Mϕ ) = ∅, σp (Mϕ ) = {λ ∈ C : m(ϕ−1 (λ)) > 0}, ρ(Mϕ ) = {λ ∈ C : ∃k > 0, |λ − ϕ(x)| ≥ k c.s.}. Resp.: a) Supongamos que ϕ ∈ L∞ (R). Entonces Z kMϕ k = sup kϕf k2 = sup kf k2 =1

kf k2 =1

282

R

1/2 |ϕ(x)|2 |f (x)|2 dx ≤ kϕk∞ < ∞.

Rec´ıprocamente, si ϕ 6∈ L∞ (R), entonces ∀k > 0, ∃Ak ⊂ R medible y acotado ( tal que m(Ak ) > 0 y ϕ(x) > k, ∀x ∈ Ak . Si definimos 1 si x ∈ Ak f (x) = entonces 0 si x 6∈ Ak , Z Z kMϕ f k22 = |ϕ(x)|2 ·|f (x)|2 dx = |ϕ(x)|2 dx > k 2 ·m(Ak ) = k 2 ·kf k22 Ak

R

de lo que se deduce que Mϕ no es acotado. b) Sea λ ∈ C; por definici´on, λ ∈ σp (Mϕ ) ⇐⇒ ∃f 6= 0 : Mϕ f = λf ⇐⇒ ∃f 6= 0 : (ϕ(x)−λ)f (x) = 0 c.s. Como f 6= 0, lo anterior es equivalente a la existencia de un conjunto ∆ ⊂ R medible, con m(∆) > 0, tal que ϕ(x) = λ, ∀x ∈ ∆, es decir, que m(ϕ−1 (λ)) > 0. Un vector propio asociado al autovalor λ es f = 1∆ . Para calcular el conjunto resolvente, recordemos que λ ∈ ρ(Mϕ ) si y s´olo si ∃(Mϕ − λI)−1 acotado. Ahora bien, g ∈ R(Mϕ − λI) si ∃f ∈ g(x) L2 (R) tal que ϕf − λf = g c.s. o bien, si f (x) = ϕ(x)−λ c.s. (siempre que ϕ(x) 6= λ c.s.) Por tanto, existe (Mϕ − λI)−1 f (x) = Adem´as,

1 ϕ(x)−λ f (x)

si ϕ(x) 6= λ c.s.

(Mϕ − λI)−1 f ∈ L2 (R), ∀f ∈ L2 (R) ⇐⇒ ∃k > 0 : |λ − ϕ(x)| ≥ k c.s. En este caso, k(Mϕ − λI)−1 f k ≤ k −1 kf k. As´ı pues, ρ(Mϕ ) = {λ ∈ C : ∃k > 0 : |λ − ϕ(x)| ≥ k c.s.}. Por u ´ltimo, para probar que σr (Mϕ ) = ∅, veamos que Mϕ es normal: Debido a que Z hMϕ f, gi =

Z f (x) ϕ(x)g(x)dx = hf, M ϕ gi,

ϕ(x)f (x) g(x)dx = R

R

resulta que (Mϕ )∗ = M ϕ . Como adem´as (Mϕ Mψ )f = Mϕ (ψ · f ) = ϕ · ψ · f = Mϕψ f , ∀f ∈ L2 (R), deducimos que Mϕ (Mϕ )∗ = Mϕ M ϕ = M|ϕ|2 = (Mϕ )∗ Mϕ , es decir Mϕ es un operador normal. Basta aplicar el teorema 2.6 para concluir que σr (Mϕ ) = ∅.  

283

4. Sea H un espacio de Hilbert y S, T, U, V operadores autoadjuntos. Probar:

a) S ≤ T , U ≤ V =⇒ S + U ≤ T + V . b) S ≤ T, T ≤ U =⇒ S ≤ U . c) S ≥ 0, ∃S −1 =⇒ S −1 ≥ 0. Resp.: Los apartados a) y b) son triviales. Para probar c), sea y ∈ R(S) y llamemos x = S −1 y. Por ser S autoadjunto, hS −1 y, yi = hx, Sxi = hSx, xi ≥ 0.   5. Sea A ∈ L(H) un operador autoadjunto. Probar:

a) kAk ≤ a ⇐⇒ −aI ≤ A ≤ aI . b) Si A ≥ 0, entonces |hAx, yi|2 ≤ hAx, xi · hAy, yi, ∀x, y ∈ H . c) Si A ≥ 0, entonces kAxk2 ≤ kAk · hAx, xi, ∀x ∈ H . Resp.: a) Por una parte, kAk ≤ a =⇒ |hAx, xi| ≤ a, ∀x ∈ H con kxk = 1 =⇒ −a ≤ hAx, xi ≤ a =⇒ h−ax, xi ≤ hAx, xi ≤ hax, xi. Sea z ∈ H, z 6= 0, y llamamos x = z/kzk. Entonces h−az, zi = kzk2 h−ax, xi ≤ kzk2 hAx, xi = hAz, zi ≤ kzk2 hAx, xi = haz, zi =⇒ −aI ≤ A ≤ aI. Rec´ıprocamente, kAk = supkxk=1 |hAx, xi| ≤ supkxk=1 hax, xi = a. b) Si definimos la forma sesquilineal f (x, y) = hAx, yi, la desigualdad buscada se reduce a la desigualdad de Cauchy-Schwarz generalizada probada en el cap´ıtulo III (proposici´on 6.12). c) Si en el apartado anterior hacemos y = Ax, obtenemos: |hAx, Axi|2 ≤ hAx, xi · hA2 x, Axi. 284

Ahora bien, de la desigualdad de Cauchy-Schwarz, tenemos la acotaci´on hA2 x, Axi ≤ kA2 xk · kAxk ≤ kAk · kAxk2 , lo que, al sustituir en la desigualdad anterior, da lugar al resultado propuesto.   6. Sea H un espacio de Hilbert y sean {An }n≥1 y B operadores acotados y autoadjuntos en H tales que A1 ≤ A2 ≤ · · · ≤ B .

a) Verificar que kAn x − Am xk4 ≤ |hAn x, xi − hAm x, xi| · (kAn k + kAm k)3 · kxk2 . b) Deducir que existe un operador autoadjunto A ∈ L(H) tal que l´ım An x = Ax, ∀x ∈ H . n→∞

Resp.: a) Para n > m, llamamos Anm = An − Am . Entonces: kAn x − Am xk4 = |hAn x − Am x, An x − Am xi|2 = |hAnm x, Anm xi|2 ≤ hAnm x, xi · hAnm Anm x, Anm xi (por el ejercicio anterior) ≤ hAnm x, xi · kAnm k · kAnm xk2 ≤ |hAn x, xi − hAm x, xi| · (kAn k + kAm k)3 · kxk2 . b) Para cada x ∈ H, la sucesi´on num´erica {hAn x, xi}n∈N es creciente y acotada pues hAm x, xi ≤ hAn x, xi ≤ hBx, xi, ∀m < n. Por tanto, es una sucesi´on de Cauchy, es decir |hAn x, xi − hAm x, xi| → 0 si m, n → ∞. Aplicando la desigualdad obtenida en el apartado a), deducimos que kAn x − Am xk → 0 si m, n → ∞. Como H es completo, la sucesi´on {An x}n∈N converge y podemos definir el operador A ∈ L(H) por Ax = l´ımn→∞ An x, ∀n ∈ H. Como hA1 x, xi ≤ hAx, xi ≤ hBx, xi, ∀x ∈ H, entonces A ≤ B. Adem´as A es autoadjunto, pues hAx, yi = h l´ım An x, yi = l´ım hAn x, yi n→∞

=

n→∞

l´ım hx, An yi = hx, l´ım An yi = hx, Ayi.

n→∞

n→∞

 

285

7. Sea T ∈ L(H). Probar que T es invertible si y s´ olo si las cotas inferiores ´ınf h(T ∗ T )x, xi e ´ınf h(T T ∗ )x, xi son estrictamente pokxk=1

kxk=1

sitivas. Resp.: Sean m1 y m2 las cotas inferiores de T ∗ T y T T ∗ , respectivamente, as´ı como M1 y M2 las correspondientes cotas superiores. a) Supongamos que m1 > 0 y m2 > 0. Si elegimos constantes c1 y c2 tales que ci < 2/Mi (i = 1, 2) y definimos los operadores A01 = c1 T ∗ T , A02 = c2 T T ∗ , entonces es f´acil comprobar que (∗)

0 < m0i ≤ Mi0 < 2 (i = 1, 2),

donde, para cada i = 1, 2, m0i y Mi0 denotan las cotas inferior y superior de A0i , respectivamente. Por ser A0i autoadjunto, para cada i = 1, 2, la condici´on (∗) equivale a la acotaci´on kI − A0i k < 1. Esto significa que existe (A0i )−1 (i = 1, 2) y, en consecuencia, existen (T ∗ T )−1 y (T T ∗ )−1 . As´ı pues, como I = (T ∗ T )−1 T ∗ T = T T ∗ (T T ∗ )−1 , T tiene inverso a izquierda y a derecha. Por tanto, existe T −1 = (T ∗ T )−1 T ∗ = T ∗ (T T ∗ )−1 . b) Rec´ıprocamente, si T es un operador invertible y suponemos que m1 ≤ 0, entonces existe una sucesi´on {xn }n∈N tal que kxn k = 1, ∀n, y kT xn k2 = hT ∗ T xn , xn i → 0. Esto quiere decir que kxn k = kT −1 T xn k ≤ kT −1 k · kT xn k → 0, lo que contradice lo anterior.   8. H un espacio de Hilbert, M1 y M2 subespacios de H y P1 y P2 las proyecciones sobre M1 y M2 , respectivamente, tales que P1 P2 = P2 P1 . Probar que P1 + P2 − P1 P2 es una proyecci´ on sobre M1 + M2 . Resp.: Si escribimos P1 + P2 − P1 P2 = P1 + (I − P1 )P2 , tenemos, por un lado, que P1 (I − P1 )P2 = (P1 − P12 )P2 = 0, lo que significa que P1 e (I − P1 )P2 son proyecciones ortogonales entre s´ı. Por otra parte, como (I − P1 )P2 = P2 (I − P1 ), deducimos que la composici´on (I − P1 )P2 es la proyecci´on sobre M1⊥ ∩ M2 (teorema 7.3). 286

As´ı pues, la suma P1 + (I − P1 )P2 es la proyecci´on ortogonal sobre M1 + (M1⊥ ∩ M2 ) = M1 + M2 .   9. Sean A y B dos operadores autoadjuntos que conmutan entre s´ı. Probar que (1/2)(A+B+|A−B|) es el menor operador autoadjunto que conmuta con A y B y es cota superior de ambos. [Dicho operador se denota por sup{A, B}.] Resp.: Como |A−B| ≥ A−B, sup{A, B} ≥ (1/2)(A+B+A−B) = A. Como, adem´as, |A−B| ≥ B −A, sup{A, B} ≥ (1/2)(A+B +B −A) = B. Si C ∈ L(H) es autoadjunto y CA = AC, CB = BC, C ≥ A, C ≥ B, entonces  1 A − 12 (A + B) = 12 (A − B) C − (A + B) ≥ B − 21 (A + B) = − 12 (A − B). 2 Por tanto, 1 1 1 C − (A + B) ≥ |A − B| =⇒ C ≥ (A + B + |A − B|), 2 2 2 pues C conmuta con A − B.   10. Se dice que un operador V ( kxk H1 ⊕ H2 con kV xk = 0 T ∈ L(H) es de la forma T (T ∗ T )1/2 ≥ 0 y kV xk = kxk, von Neumann).

: H → H es isometr´ıa parcial si H = si x ∈ H1 Probar que todo operador si x ∈ H2 . = V A con V isometr´ıa parcial, A = ∀x ∈ A(H) (descomposici´ on polar de

Resp.: Si T ∈ L(H), entonces T ∗ T es positivo pues hT ∗ T x, xi = hT x, T xi = kT xk2 ≥ 0. As´ı pues, existe un operador A ≥ 0 tal que A2 = T ∗ T y A conmuta con todo operador que conmute con T ∗ T . Adem´as, kT xk2 = hT x, T xi = hT ∗ T x, xi = hA2 x, xi = hAx, Axi = kAxk2 =⇒ kT xk = kAxk, ∀x ∈ H. 287

Si definimos el operador V1 y = T x, ∀y = Ax, entonces: i) V1 est´a bien definida pues, si Ax1 = Ax2 , entonces A(x1 − x2 ) = 0, de donde kT (x1 − x2 )k = 0, es decir T x1 = T x2 . ii) V1 es isometr´ıa en R(A) pues kV1 yk2 = kT xk2 = h(T ∗ T )x, xi = hAx, Axi = kyk2 . ( V1 y si y ∈ R(A) As´ı pues, el operador V : H → H definido por V y = 0 si y ∈ R(A)⊥ , (observemos que R(A) es cerrado, pues N (A)⊥ = R(A)) es isometr´ıa parcial. En efecto, si y = Ax, entonces kV yk = kT xk = kAxk = kyk, pero kV yk = 0, ∀y ∈ R(A)⊥ . Basta, para completar la demostraci´on, comprobar que T = V A, lo cual es evidente, pues ∀x ∈ H, T x = V y = V Ax. Observaci´ on. Si dim H < ∞, A(H) y T (H) tienen la misma codimensi´on, entonces V es una isometr´ıa definida en A(H) y se puede extender a un operador unitario sobre H. La descomposici´on polar toma ahora la forma T = V A con V unitario y A ≥ 0, lo cual es una generalizaci´on a operadores de la descomposici´on polar de un n´ umero iϑ iϑ complejo λ = r · e , con r ≥ 0 y |e | = 1.

TEMAS COMPLEMENTARIOS. 1. Teor´ıa de funciones casi-peri´odicas ([AG]). 2. Teorema espectral de operadores normales ([RN], [He]).

288

VII. OPERADORES NO ACOTADOS EN ESPACIOS DE HILBERT

La teor´ıa de operadores no acotados surge como necesidad de establecer los fundamentos matem´aticos de la Mec´anica Cu´antica y fue desarrollada en los a˜ nos 1920-1930 por von Neumann y Stone. Sus principales aplicaciones, aparte de la Mec´anica Cu´antica, se dirigen al estudio de las ecuaciones diferenciales. Sirva este cap´ıtulo para mostrar las propiedades fundamentales de los operadores no acotados, destacando las diferencias y nuevas dificultades que aparecen al eliminar la condici´on de acotaci´on en los operadores, en especial el problema de extensi´on que aqu´ı aparece. SECCIONES 1. Introducci´on. Operadores sim´etricos y autoadjuntos. 2. Propiedades espectrales de operadores sim´etricos y autoadjuntos. 3. Teorema espectral de operadores unitarios. 4. Teorema espectral de operadores autoadjuntos no acotados. 5. Ejercicios.

289

´ ´ 1. INTRODUCCION. OPERADORES SIMETRICOS Y AUTOADJUNTOS.

Los dos ejemplos b´asicos de operadores no acotados son el operador multiplid caci´on M f (x) = x · f (x) y el operador derivaci´on Df (x) = dx f (x), definidos 2 en L (R), operadores para los que se cumple la relaci´on de conmutaci´on DM − M D = I, f´ormula en la que se basa el principio de incertidumbre de la Mec´anica Cu´antica. Se puede probar adem´as que la relaci´on anterior no se da en ninguna pareja de operadores acotados (ver los ejercicios al final del cap´ıtulo) y los operadores que la cumplen se pueden identificar con los anteriores. El primer resultado que enunciamos es uno de los primeros teoremas del An´alisis Funcional (1910) y sugiere que el dominio de un operador y el problema de extensi´on del mismo juegan un importante papel en la cuesti´on de su acotaci´on. 1.1.- Teorema (Hellinger-Toeplitz). Sea H un espacio de Hilbert y supongamos que T : H → H es un operador lineal definido en todo H y sim´etrico, es decir tal que hT x, yi = hx, T yi, ∀x, y ∈ H. Entonces T es acotado. En particular, como el operador multiplicaci´on verifica Z hM f, gi = xf (x) g(x)dx = hf, M gi R

y no es acotado, no puede estar definido en todo el espacio. Demostraci´ on. Supongamos por el contrario que existe una sucesi´on de Cauchy (yn )n∈N en H con kyn k = 1 y kT yn k → ∞. Definimos la sucesi´on (fn )n∈N de funcionales lineales en H por fn (x) = hT x, yn i = hx, T yn i, ∀n. Por la desigualdad de Schwarz, |fn (x)| = |hx, T yn i| ≤ kT yn k · kxk, de modo que cada fn est´a acotado. Adem´as, de |fn (x)| = |hT x, yn i| ≤ kT xk de deduce que (fn (x))n∈N es una sucesi´on acotada. Por el principio de acotaci´on uniforme (cap´ıtulo IV, teorema 4.2), (kfn k)n∈N est´a acotada, por lo que kfn k ≤ k, ∀n. As´ı |fn (x)| ≤ kfn k · kxk ≤ kkxk. En particular, para x = T yn resulta que kT yn k2 = hT yn , T yn i = |fn (T yn )| ≤ kkT yn k =⇒ kT yn k ≤ k lo que es absurdo.



Observaciones. 1) El teorema anterior sugiere plantear el problema de determinar dominios de operadores y obtener extensiones de los mismos. 290

Utilizaremos la notaci´on S ⊂ T para indicar que T es extensi´on de S, es decir D(S) ⊂ D(T ) y T |D(S) = S. Es claro que S ⊂ T si y s´olo si G(S) ⊂ G(T ), donde G representa el grafo del operador. 2) Si un operador lineal es acotado, es decir ∃k > 0 : kT xk ≤ kkxk, ∀x ∈ D(T ), puede extenderse a D(T ) por continuidad. Si D(T ) no fuera denso en H, se puede extender T m´as all´a de D(T ), haciendo por ejemplo T x = 0, ∀x ∈ D(T )⊥ , y por linealidad definirlo en todo H. Dicha extensi´on estar´a tambi´en acotada y tendr´a la misma norma de T . Esto sugiere suponer que los operadores lineales acotados est´an siempre definidos en todo H, de modo que en lo sucesivo adoptaremos dicho convenio. A continuaci´on vamos a generalizar el concepto de operador adjunto en el caso de operadores no acotados. 1.2.- Definici´ on. Dado un operador lineal T con dominio D(T ) ⊂ H, se define D(T ∗ ) = {x0 ∈ H : ∃y 0 , hT x, x0 i = hx, y 0 i, ∀x ∈ D(T )} y se llama adjunto de T al operador T ∗ definido por ∀x0 ∈ D(T ∗ ) : T ∗ x0 = y 0 . 1.3.- Proposici´ on. T ∗ est´ a bien definida (es decir y 0 es u ´nico) si y s´ olo si D(T ) es denso en H. Demostraci´ on. Si D(T ) 6= H, existe y1 ∈ H con y1 6= 0 tal que y1 ⊥D(T ). As´ı hx, y 0 i = hx, y 0 i + hx, y1 i. Rec´ıprocamente, si D(T ) = H e y1 = T ∗ x, y2 = T ∗ x, entonces hy1 , zi = hy2 , zi, ∀z ∈ D(T ) =⇒ y1 − y2 ⊥D(T ) =⇒ y1 − y2 ⊥H =⇒ y1 = y2 . Observaciones. De la definici´on se deducen tambi´en las propiedades correspondientes al caso en que los operadores son acotados. En particular: 1) ∀x ∈ D(T ), x0 ∈ D(T ∗ ) : hT x, x0 i = hx, T ∗ x0 i. 2) Si T ∈ L(H), entonces T ∗ ∈ L(H) y kT ∗ k = kT k. 3) Si T ∈ L(H), entonces T ∗∗ = T . 4) Si S, T ∈ L(H), T ∗ S ∗ = (ST )∗ . 5) Si α ∈ C y T tiene dominio denso en H, entonces (αT )∗ = αT ∗ . Sin embargo, para operadores no acotados se presentan ciertas diferencias como se muestra a continuaci´on. 291

1.4.- Proposici´ on. Sean S y T dos operadores lineales con dominio denso en el mismo espacio de Hilbert H. a) Si S ⊂ T , entonces T ∗ ⊂ S ∗ . b) T ∗ + S ∗ ⊂ (T + S)∗ . c) Si ST tiene dominio denso en H, entonces T ∗ S ∗ ⊂ (ST )∗ . Si adem´ as ∗ ∗ ∗ S ∈ L(H), entonces T S = (ST ) . Demostraci´ on. a) Si x ∈ D(T ∗ ), entonces existe y ∈ H tal que hx, T zi = hy, zi, ∀z ∈ D(T ). Como S ⊂ T , hy, zi = hx, T zi = hx, Szi, ∀z ∈ D(S). Esto implica que x ∈ D(S ∗ ) y S ∗ x = y, o bien que T ∗ ⊂ S ∗ . b) Si x ∈ D(T ∗ + S ∗ ), entonces x ∈ D(T ∗ ) y x ∈ D(S ∗ ). Por tanto, ∃y1 , y2 ∈ H : h x, T zi = hy1 , zi, ∀z ∈ D(T ) h x, Szi = hy2 , zi, ∀z ∈ D(S) =⇒ h x, (T + S)zi = hy1 + y2 , zi, ∀z ∈ D(T ) ∩ D(S) = D(T + S). Esto implica que x ∈ D(T + S)∗ y (T + S)∗ x = y1 + y2 = (T ∗ + S ∗ )x. c) Si x ∈ D(T ∗ S ∗ ) =⇒ x ∈ D(S ∗ ), S ∗ x ∈ D(T ∗ ). Por tanto, ∃y1 ∈ H : hx, Szi = hy1 , zi, ∀z ∈ D(S), ∃y2 ∈ H : hS ∗ x, T ui = hy2 , ui, ∀u ∈ D(T ), Ahora bien, si u ∈ D(ST ), entonces u ∈ D(T ) y z = T u ∈ D(S). Teniendo en cuenta que y1 = S ∗ x, tenemos: hx, ST ui = hx, Szi = hy1 , zi = hS ∗ x, T ui = hy2 , ui lo que implica que x ∈ D((ST )∗ ) y (ST )∗ x = y2 = T ∗ S ∗ x. Por u ´ltimo, si S ∈ L(H), veamos que D((ST )∗ ) ⊂ D(T ∗ S ∗ ). Sea pues x ∈ D((ST )∗ ). Entonces ∃y ∈ H : hx, (ST )zi = hy, zi, ∀z ∈ D(ST ). En particular hx, (ST )zi = hy, zi, ∀z ∈ D(T ). Como S ∈ L(H), S ∗ ∈ L(H) y hx, (ST )zi = hS ∗ x, T zi, lo que implica que S ∗ x ∈ D(T ∗ ). Como adem´as D(S ∗ ) = H, tambi´en x ∈ D(S ∗ ); por tanto x ∈ D(T ∗ S ∗ ). ♦ Una generalizaci´on del concepto de operadores sim´etricos para operadores no acotados es la siguiente: 1.5.- Definici´ on. Un operador T : D(T ) ⊂ H → H es sim´etrico si hT x, yi = hx, T yi, ∀x, y ∈ D(T ). Un operador sim´etrico es maximal si no tiene extensiones sim´etricas propias. 292

Observaci´ on. A veces se exige que un operador sim´etrico tenga dominio denso y, en caso de no cumplir esta condici´on, recibe el nombre de operador herm´ıtico. Las siguientes caracterizaciones de los operadores sim´etricos son u ´tiles. 1.6.- Proposici´ on. Si D(T ) = H, son equivalentes: i) T es sim´etrico. ii) T ⊂ T ∗ . iii) hT x, xi ∈ R, ∀x ∈ D(T ). Demostraci´ on. i) =⇒ ii). Sea x ∈ D(T ). Existe entonces y = T x tal que hT z, xi = hz, yi, para todo z ∈ D(T ). Esto implica que x ∈ D(T ∗ ) y que T ∗ x = y = T x. ii) =⇒ iii). Si x ∈ D(T ), hT x, xi = hT ∗ x, xi = hx, T xi = hT x, xi. Esto implica que hT x, xi ∈ R. iii) =⇒ i). Sea α ∈ C. Entonces hT (x + αy), x + αyi = hT x, xi + αhT y, xi + αhT x, yi + α αhT y, yi hx + αy, T (x + αy)i = hx, T xi + αhy, T xi + αhx, T yi + α αhy, T yi. Teniendo en cuenta que hT (x + αy), x + αyi = hx + αy, T (x + αy)i, resulta: Para α = 1, hx, T yi+hT x, yi = hT x, yi+hx, T yi =⇒ ImhT x, yi = Imhx, T yi. Para α = i, hx, T yi+hx, T yi = hT x, yi+hT x, yi =⇒ Rehx, T yi = RehT x, yi. De las dos igualdades se deduce que hT x, yi = hx, T yi.



1.7.- Definici´ on. Un operador T : D(T ) ⊂ H → H con dominio denso en H es autoadjunto si T = T ∗ . Es evidente entonces que todo operador autoadjunto es sim´etrico y si D(T ) = H, el rec´ıproco tambi´en es cierto. De la definici´on se deduce tambi´en que todo operador sim´etrico T que verifica D(T ) = D(T ∗ ) es autoadjunto. d el operador definido en el Ejemplos. 1) Sea H = L2 (R) y D = i · dx conjunto de funciones que tienen l´ımite cero en los infinitos (que es denso en H). Entonces D es sim´etrico.

2) Sea H = L2 [0, 1] y se define Tk f = i · f 0 , (k = 1, 2, 3), con D(T1 ) = {f ∈ H : f absolutamente continua y f 0 ∈ H}, D(T2 ) = {f ∈ D(T1 ) : f (0) = f (1)} ⊂ D(T1 ), D(T3 ) = {f ∈ D(T2 ) : f (0) = f (1) = 0} ⊂ D(T2 ), 293

dominios que definen varios aspectos del problema de la cuerda vibrante. Se observa en primer lugar que T3 ⊂ T2 ⊂ T1 . Tenemos adem´as que T1∗ = T3 , T2∗ = T2 , T3∗ = T1 . Resulta pues que T2 es extensi´on autoadjunta del operador sim´etrico T3 y T1 es una extensi´on no sim´etrica de T2 . Esto indica en particular que los conceptos de operador sim´etrico y autoadjunto no coinciden en el caso de operadores no acotados. Observemos adem´as que el c´alculo del operador adjunto depende del dominio del operador y no basta la definici´on formal del mismo. En un espacio de Hilbert arbitrario H, la aplicaci´on U : H × H → H × H, definida por U (x, y) = i(y, −x), llamado operador de conjugaci´on, es un operador unitario tal que U 2 = I; adem´as tenemos lo siguiente: 1.8.- Proposici´ on. Sea T : D(T ) ⊂ H → H un operador lineal con D(T ) = H. a) Si G(T ) = {(x, T x) : x ∈ D(T )} es el grafo de T , entonces U (G(T ))⊥ = G(T ∗ ). b) Si T admite una clausura, entonces su adjunto T ∗ tiene dominio denso en H y U (G(T ∗ ))⊥ = G(T ∗∗ ). Demostraci´ on. a) Supongamos que (x, y) ∈ U (G(T ))⊥ . Entonces, ∀(u, v) ∈ U (G(T )), h(x, y), (u, v)i = 0. Como (u, v) = U (a, T a) = (iT a, −ia) para alg´ un a ∈ D(T ), resulta: 0 = h(x, y), (u, v)i = hx, ui + hy, vi = hx, iT ai + hy, −iai = −ihx, T ai + ihy, ai =⇒ hx, T ai = hy, ai. Esto implica que x ∈ D(T ∗ ) y que y = T ∗ x. Rec´ıprocamente, si (x, y) ∈ G(T ∗ ), x ∈ D(T ∗ ), y = T ∗ x. Por tanto, para todo a ∈ D(T ), h(x, y), (iT a, −ia)i = −ihx, T ai + ihy, ai = −ihT ∗ x, ai + ihy, ai = 0. b) Supongamos que D(T ∗ ) 6= H, es decir ∃y0 6= 0 : y0 ⊥D(T ∗ ). Entonces hy0 , xi = 0, ∀x ∈ D(T ∗ ), de donde h(y0 , 0), (x, T ∗ x)i = 0, ∀x ∈ D(T ∗ ) =⇒ (y0 , 0) ∈ G(T ∗ )⊥ . Debido al apartado (a), G(T ∗ )⊥ = U (G(T ))⊥⊥ = U (G(T )). 294

Por tanto, ∃(xn )n∈N ⊂ D(T ) tal que (y0 , 0) = l´ımn U (xn , T xn ), de donde y0 = l´ım iT xn , 0 = l´ım −ixn . n

n

Por ser T clausurable, si l´ımn ixn = 0, l´ımn iT xn = y0 , entonces y0 = 0, lo que contradice la suposici´on inicial. La segunda parte se obtiene de (a) sustituyendo T por T ∗ .



La importancia de este teorema queda patente en la variedad de consecuencias que de ´el se derivan. 1.9.- Corolario. Sea T : D(T ) ⊂ H → H un operador lineal con dominio denso en H. 1) T ∗ es cerrado. En particular los operadores autoadjuntos son cerrados. 2) Si D(T ∗ ) es tambi´en denso en H, T ⊂ T ∗∗ . 3) Si T es clausurable, entonces ( T )∗ = T ∗ , T = T ∗∗ . En particular, si T es cerrado, T = T ∗∗ . 4) N (T ∗ ) = R(T )⊥ y, si T es cerrado, N (T ) = R(T ∗ )⊥ . 5) Si T es sim´etrico, es clausurable y T es tambi´en sim´etrico. 6) H × H = G(T ∗ ) ⊕ U G(T ).  −T x + y = a siempre tiene soluci´ on (x, y) ∈ 7) Si T es cerrado, el sistema x + T ∗y = b D(T ) × D(T ∗ ). 8) Si T es inyectiva y R(T ) es denso en H, entonces T ∗ es inyectiva y ∗ (T ∗ )−1 = (T −1 ) . Demostraci´ on. 1) G(T ∗ ) es cerrado por ser el complemento ortogonal de un subespacio de H × H. 2) Como U (G(T ))⊥ = G(T ∗ ), resulta U (G(T )) = G(T ∗ )⊥ =⇒ U (G(T )) ⊂ G(T ∗ )⊥ =⇒ G(T ) ⊂ U (G(T ∗ )⊥ ) = G(T ∗∗ ) =⇒ T ⊂ T ∗∗ . 3) Si T es la clausura de T , G( T ) = G(T ). Entonces ∗

U (G( T )) = U (G(T )) =⇒ G(T ∗ ) = U (G(T ))⊥ = U (G( T ))⊥ = G( T ). Por otra parte, de G(T ∗ ) = U (G(T ))⊥ deducimos que G(T ∗ )⊥ = U (G(T ))⊥⊥ = U ( G(T )) = U (G( T )) 295

y de aqu´ı, G(T ∗∗ ) = U (G(T ∗ ))⊥ = U (G(T ∗ )⊥ ) = U 2 (G( T )) = G( T ). Esto prueba que T ∗∗ = T . 4) De lo anterior se deduce x ∈ N (T ∗ ) ⇐⇒ (x, 0) ∈ G(T ∗ ) ⇐⇒ h(x, 0), (u, v)i = 0, ∀(u, v) ∈ U (G(T )) ⇐⇒ h(x, 0), (iT a, −ia)i = 0, ∀a ∈ D(T ) ⇐⇒ hx, T ai = 0, ∀a ∈ D(T ) ⇐⇒ x ∈ R(T )⊥ . 5) Si T es sim´etrico, T ∗ es extensi´on de T y T ∗ es cerrado. Adem´as, ∀x, y ∈ D( T ), ∃(xn )n∈N , (ym )m∈N ⊂ D(T ) tales que xn → x, T xn → T x, ym → y, T ym → T y. As´ı pues, h T x, yi = l´ımhT xn , ym i = l´ımhxn , T ym i = hx, T yi. n,m

n,m

6) Es evidente pues G(T ∗ )⊥ = U (G(T )). 7) Sea (a, b) ∈ H × H arbitrario. Tenemos: (a, b) = f + g, f ∈ G(T ∗ ), g ∈ U (G(T )) = U (G(T )) (a, b) = (y, T ∗ y) + U (x0 , T x0 ), y ∈ D(T ∗ ), x0 ∈ D(T ) =⇒ (a, b) = (y, T ∗ y) + i(T x0 , −x0 ) = (y, T ∗ y) + (−T x, x), y ∈ D(T ∗ ), x ∈ D(T ). ⊥

8) Por el apartado (4), N (T ∗ ) = R(T )⊥ = R(T ) = {0}. Teniendo en cuenta ahora la proposici´on 1.4, como D(T ) y D(T −1 ) = R(T ) son densos en H, entonces (T −1 )∗ T ∗ ⊂ (T T −1 )∗ = I =⇒ (T −1 )∗ = (T ∗ )−1 .



Observaci´ on. Debido al apartado 5) se puede suponer siempre que un operador sim´etrico es cerrado. La siguiente propiedad ser´a tambi´en u ´til en el estudio de los operadores autoadjuntos. 1.10.- Proposici´ on. Sea T un operador sim´etrico con dominio denso en H. Entonces: a) D(T ) = H =⇒ T = T ∗ y T ∈ L(H). 296

b) T = T ∗ y T inyectivo =⇒ R(T ) = H y T −1 = (T −1 )∗ . c) R(T ) = H =⇒ T inyectivo. d) R(T ) = H =⇒ T = T ∗ y T −1 ∈ L(H). Demostraci´ on. a) Por ser T sim´etrico, T ⊂ T ∗ . Como D(T ) = H, T = T ∗ . Por el teorema del gr´afico cerrado, como T es cerrado y D(T ) = H, T es acotado. (Como se observa, esto constituye otra prueba del teorema de Hellinger-Toeplitz.) b) Debido al apartado 4 del corolario anterior, N (T ) = R(T )⊥ , de modo que, si N (T ) = 0, entonces R(T ) = H. La segunda parte se obtiene ahora aplicando el apartado 8 del corolario citado. c) Sea v ∈ D(T ) tal que T v = 0. Entonces: hT v, xi = 0, ∀x ∈ D(T ) =⇒ hv, T xi = 0, ∀x ∈ D(T ) =⇒ v ∈ R(T )⊥ =⇒ v = 0. d) Si R(T ) = H, T es inyectiva y existe S = T −1 con D(S) = R(T ) = H. Dados f, h ∈ R(T ), f = T g, h = T k, entonces hSf, hi = hg, T ki = hT g, ki = hf, ki = hf, Shi, es decir S es sim´etrico. Por el apartado a), S = S ∗ ∈ L(H) y, por el apartado b), T = S −1 es autoadjunto. ♦ Estudiaremos a continuaci´on el problema de las extensiones de operadores sim´etricos. Sabemos que, si T es un operador sim´etrico y S es una extensi´on sim´etrica de T , entonces T ⊂ S ⊂ S ∗ ⊂ T ∗ , es decir toda extensi´on sim´etrica de T es restricci´on de T ∗ . 1.11.- Proposici´ on. a) Todo operador sim´etrico tiene alguna extensi´ on sim´etrica maximal. b) Toda extensi´ on sim´etrica maximal de un operador sim´etrico es cerrada. c) Todo operador autoadjunto es sim´etrico maximal. El apartado a) es una simple aplicaci´on del lema de Zorn y los otros dos son consecuencia de los resultados anteriores. 1.12.- Teorema. Sean T un operador sim´etrico y λ = a + ib con a, b ∈ R. Entonces: a) k(T − λI)xk2 = b2 kxk2 + k(T − aI)xk2 , ∀x ∈ D(T ). 297

b) Si b 6= 0, N (T − λI) = {0}, es decir T − λI es inyectivo. c) Si b 6= 0 y T es cerrado, entonces R(T − λI) es cerrado. d) Si adem´ as R(T − λI) = H, T es sim´etrico maximal. Demostraci´ on. Observamos en primer lugar que k(T −λI)xk2 = k(T −aI)x−ibxk2 = k(T −aI)xk2 +b2 kxk2 +2 Re ih(T −aI)x, bxi donde h(T − aI)x, bxi = bhT x, xi − abkxk2 ∈ R. Esto demuestra el apartado a). De aqu´ı tambi´en se deduce que (T − λI)x = 0 =⇒ b2 kxk2 = 0 =⇒ x = 0, lo que prueba el apartado b). Para probar c) elegimos una sucesi´on (xn )n∈N ⊂ D(T ) tal que (T − λI)xn → y. Entonces (xn )n∈N es de Cauchy porque b2 kxn −xm k2 ≤ k(T −aI)(xn −xm )k2 +b2 kxn −xm k2 = k(T −λI)(xn −xm )k2 → 0. Por ser H de Hilbert, existe x = l´ımn xn . De este modo, por ser T − λI cerrado, debe ser x ∈ D(T − λI) y (T − λI)x = y, es decir y ∈ R(T − λI). Por u ´ltimo, para probar d) suponemos que existe un operador sim´etrico S tal que T ⊂ S. Entonces H = R(T − λI) ⊂ R(S − λI). Si consideramos un elemento u ∈ D(S) \ D(T ), aplicando el resultado de b) al operador S, tenemos: ∃u0 ∈ D(T ) : (S − λI)u = (T − λI)u0 = (S − λI)u0 =⇒ u = u0 lo que es absurdo a no ser que T = S.



El siguiente resultado permite asociar a todo operador cerrado un operador positivo acotado y sirve de base para dar una prueba del teorema espectral de operadores autoadjuntos no acotados. 1.13.- Teorema. Sea T cerrado con dominio denso; se define Q = I + T ∗ T . Entonces: a) Q : D(Q) → H es biyectivo y existen B, C ∈ L(H), con kBk ≤ 1, kCk ≤ 1, tales que C = T B y BQ ⊂ QB = I. Adem´ as B ≥ 0 y T ∗ T es autoadjunto. b) Sea T 0 = T |D(T ∗ T ) ; entonces G(T 0 ) es denso en G(T ). Demostraci´ on. Por el apartado 6 del corolario 1.9 y teniendo en cuenta que T es cerrado, H × H = G(T ∗ ) ⊕ U G(T ). Entonces, ∀h ∈ H, existen x ∈ D(T ), y ∈ D(T ∗ ) tales que: (0, h) = (y, T ∗ y) + U (x, T x) = (y + iT x, T ∗ y − ix). 298

Quedan definidos as´ı los operadores Bh = −ix, Ch = y, que tienen dominio H y son lineales. Adem´as, debido a que la suma anterior es ortogonal, por la definici´on de norma en H × H, tenemos: khk2 = kChk2 + kT ∗ Chk2 + kT Bhk2 + kBhk2 ≥ kChk2 + kBhk2 . Entonces kChk ≤ khk y kBhk ≤ khk, con lo que kBk ≤ 1 y kCk ≤ 1. Adem´as, 0 = Ch − T Bh =⇒ T B = C h = T ∗ Ch + Bh = Bh + T ∗ T Bh = (I + T ∗ T )Bh =⇒ QB = I. En particular, ∀y ∈ D(Q), ∃h ∈ H tal que y = Bh; por tanto, Qy = QBh = h y BQy = Bh = y, de donde BQ ⊂ I. La aplicaci´on Q es biyectiva pues, por ser QB = I, Q es sobre y, por ser BQ ⊂ I, Q es inyectiva. Adem´as, Q es un operador positivo pues, ∀x ∈ D(Q), hQx, xi = hx, xi + hT ∗ T x, xi = kxk2 + kT xk2 ≥ 0. Veamos, como consecuencia de lo anterior, que B ≥ 0: Dado cualquier h ∈ H, sea x ∈ D(Q) tal que h = Qx; entonces hBh, hi = hBQx, Qxi = hx, Qxi ≥ 0. Como B ∈ L(H), B es autoadjunto. De 1.10(b) se deduce que Q es tambi´en autoadjunto, con lo que evidentemente Q − I = T ∗ T es autoadjunto. Para probar b), consideremos un elemento (x, T x) ortogonal a G(T 0 ). Entonces ∀y ∈ D(T ∗ T ) = D(Q) : 0 = h(x, T x), (y, T y)i = hx, yi+hT x, T yi = hx, (I+T ∗ T )yi = hx, Qyi =⇒ x⊥R(Q). Como R(Q) = H, x = 0.



TT∗

T ∗∗ T ∗

Observaci´ on. Teniendo en cuenta que = (pues T es cerrado) ∗ y T es cerrado, el resultado anterior tambi´en se aplica al operador T T ∗ . Adem´as, de la proposici´on 1.10 se deduce que los operadores (I + T ∗ T )−1 y (I + T T ∗ )−1 son acotados. Veremos en los ejercicios al final del cap´ıtulo algunas aplicaciones de este teorema.

299

´ 2. PROPIEDADES ESPECTRALES DE OPERADORES SIMETRICOS Y AUTOADJUNTOS.

Muchas de las propiedades espectrales de operadores autoadjuntos acotados se conservan en el caso de operadores no acotados. Algunas de dichas propiedades se generalizan en esta secci´on. Observemos en primer lugar que, si T : D(T ) ⊂ H → H es un operador lineal cerrado con dominio denso, entonces T − λI : D(T ) → R(T ) es biyectiva si y s´olo si λ no es autovalor de T . As´ı pues, los autovalores son aquellos para los que, o bien T − λI no tiene inverso, o bien (T − λI)−1 no es un operador acotado definido en todo H. Si T es adem´as un operador sim´etrico, sus autovalores son reales (teorema 1.12.b). Esto da lugar al siguiente resultado. 2.1.- Proposici´ on. Sea T un operador autoadjunto. La condici´ on necesaria y suficiente para que λ sea autovalor de T es que R(T − λI) 6= H. Demostraci´ on. Si λ es autovalor, existe x 6= 0 tal que T x = λx. Entonces: hx, (T − λI)yi = h(T − λI)x, yi = 0, ∀y ∈ D(T ). Esto implica que x⊥R(T − λI) con lo que R(T − λI) 6= H. Rec´ıprocamente, si R(T − λI) 6= H, entonces ∃x 6= 0 tal que x⊥R(T − λI). Luego hx, (T − λI)yi = 0, ∀y ∈ D(T ) =⇒ hx, T yi = hx, λyi, ∀y ∈ D(T ) =⇒ x ∈ D(T ∗ ), T ∗ x = λx. Como T es autoadjunto y λ ∈ R, entonces T x = λx.



2.2.- Corolario. Si T es autoadjunto, el autoespacio correspondiente a un autovalor λ es R(T − λI)⊥ . El siguiente resultado es tambi´en similar al correspondiente en el caso de operadores acotados. 2.3.- Teorema. Sea T : D(T ) ⊂ H → H un operador autoadjunto con dominio denso en H. Entonces λ ∈ ρ(T ) ⇐⇒ ∃c > 0 : k(T − λI)xk ≥ ckxk, ∀x ∈ D(T ). Los tres lemas siguientes ser´an u ´tiles en la determinaci´on del espectro de los operadores sim´etricos. 2.4.- Lema. Sea T un operador sim´etrico cerrado y λ = a + ib un complejo, con b 6= 0. Si µ ∈ C es tal que |λ − µ| < |b|, entonces N (T ∗ − µI) ∩ N (T ∗ − λI)⊥ = {0}. 300

Demostraci´ on. Supongamos por el contrario que ∃f ∈ N (T ∗ − µI) ∩ N (T ∗ − λI)⊥ y kf k = 1. Como R(T − λI) es cerrado, N (T ∗ − λI)⊥ = R(T − λI), de modo que existe g ∈ H tal que (T − λI)g = f . As´ı pues, como f ∈ N (T ∗ − µI), 0 = h(T ∗ − µI)f, gi = hf, (T − µI)gi = hf, (T − λI)gi + (λ − µ)hf, gi = kf k2 + (λ − µ)hf, gi. Entonces  1 = kf k2 = |λ − µ| · |hf, gi| ≤ |λ − µ| · kgk =⇒ 1 ≤ |λ − µ| · |b|−1 , 1 = kf k = k(T − λI)gk ≥ |b| · kgk lo que contradice la hip´otesis.



2.5.- Lema. Sean M y N subespacios cerrados de un espacio de Hilbert H, tales que M ∩ N ⊥ = {0}. Entonces dim M ≤ dim N . Demostraci´ on. Llamamos P : H → H a la proyecci´on ortogonal sobre N y T : M → N a la restricci´on de P a M , T f = P f , ∀f ∈ M . Es evidente que T es inyectiva. Por tanto, si L ⊂ M es un subespacio arbitrario con dim L = k, entonces dim T L = k ≤ dim N , lo que implica que dim M ≤ dim N . ♦ 2.6.- Lema. Si T es un operador sim´etrico cerrado, entonces dim N (T ∗ −λI) es constante para cualquier λ con Im λ > 0. Demostraci´ on. De los lemas anteriores, haciendo λ = a + ib, con b > 0, se deduce que dim N (T ∗ − µI) ≤ dim N (T ∗ − λI) si |λ − µ| < b. Tomando |λ − µ| < b/2, tambi´en |λ − µ| < Im µ, de modo que la desigualdad contraria tambi´en es cierta. Se prueba as´ı que la funci´on λ 7→ dim N (T ∗ − λI) es localmente constante. Cubriendo el semiplano superior con bolas donde se cumpla lo anterior, se obtiene la tesis. ♦ 2.7.- Teorema. Si T es un operador sim´etrico cerrado, entonces una y s´ olo una de las siguientes posibilidades es cierta: i) σ(T ) = C. ii) σ(T ) = {λ ∈ C : Im λ ≥ 0}. iii) σ(T ) = {λ ∈ C : Im λ ≤ 0}. iv) σ(T ) ⊂ R. Demostraci´ on. Sea H± = {λ ∈ C : ± Im λ > 0}. Por la proposici´on 1.12, si λ ∈ H± , T − λI es inyectiva y tiene rango cerrado. Tenemos dos posibilidades: 301

- Si T − λI no es sobre, entonces λ ∈ σ(T ). - Si T − λI es sobre, por la proposici´on 1.10(d), λ ∈ ρ(T ). Como N (T ∗ − λI) = R(T − λI)⊥ , del lema anterior resultan las siguientes opciones (observando adem´as que σ(T ) es cerrado, lo que se prueba como en el caso de operadores acotados): i) H+ ⊂ σ(T ), H− ⊂ σ(T ) =⇒ σ(T ) = C. ii) H+ ⊂ σ(T ), H− ∩ σ(T ) = ∅ =⇒ σ(T ) = H+ = {λ ∈ C : Im λ ≥ 0}. iii) H+ ∩σ(T ) = ∅, H− ⊂ σ(T ) =⇒ σ(T ) = H− = {λ ∈ C : Im λ ≤ 0}. iv) H+ ∩ σ(T ) = ∅, H− ∩ σ(T ) = ∅ =⇒ σ(T ) ⊂ R.



2.8.- Proposici´ on. Si T es un operador sim´etrico cerrado, son equivalentes: i) T es autoadjunto. ii) σ(T ) ⊂ R. iii) N (T ∗ − iI) = N (T ∗ + iI) = {0}. Demostraci´ on. Por ser T sim´etrico, sus autovalores son reales. i) =⇒ ii): Sea T autoadjunto y tomemos λ ∈ C \ R. Teniendo en cuenta los apartados b) y c) del teorema 1.12, {0} = N (T − λI) = N (T ∗ − λI) = [R(T − λI)]⊥ =⇒ R(T − λI) = H y, por el teorema anterior (repitiendo el argumento para λ), se deduce que el espectro de T es real. ii) =⇒ iii): Como ±i ∈ ρ(T ), N (T ∗ ± iI) = [R(T ∓ iI)]⊥ = H ⊥ = {0}. iii) =⇒ i): Por hip´otesis, R(T − iI) = R(T + iI) = H. Veamos que adem´as T ± iI son inyectivas: Sea x ∈ D(T ) tal que (T ± iI)x = 0. Por ser T ∗ extensi´on de T , ∀z ∈ H resulta: hx, zi = hx, (T ∓iI)yi = h(T ∗ ±iI)x, yi = h(T ±iI)x, yi = h0, yi = 0 =⇒ x = 0. Esto quiere decir que existe (T ± iI)−1 ∈ L(H). Como [(T ± iI)−1 ]∗ = (T ∗ ∓ iI)−1 , tambi´en (T ∗ ∓ iI)−1 ∈ L(H). Sea h ∈ D(T ∗ ). Entonces existe f ∈ D(T ) tal que (T + iI)f = (T ∗ + iI)h. Pero (T + iI)f = (T ∗ + iI)f , de modo que f = h y T = T ∗ . ♦ 302

3. TEOREMA ESPECTRAL DE OPERADORES UNITARIOS.

A fin de lograr una representaci´on espectral de operadores autoadjuntos, utilizaremos la transformada de Cayley y la representaci´on espectral de operadores unitarios, que son acotados. En esta secci´on se deduce dicha representaci´on espectral. Utilizaremos el enfoque cl´asico, inigualable en su alcance al enfoque actual v´ıa la teor´ıa de ´algebras de Banach, transformada de Gelfand y teorema de Gelfand-Naimark, pero m´as pr´oximo a quienes est´en orientados a las aplicaciones. En primer lugar se prueba que el espectro de un operador unitario est´a en la circunferencia unidad. 3.1.- Teorema. Sea U : H → H un operador unitario en un espacio de Hilbert complejo H; entonces |λ| = 1, ∀λ ∈ σ(U ). Demostraci´ on. Basta observar que, si |λ| < 1,

k(U − λI)xk ≥ kU xk − |λ| · kxk = (1 − |λ|)kxk,

si |λ| > 1,

k(U − λI)xk ≥ |λ| · kxk − kU xk = (|λ| − 1)kxk,

y, en ambos casos, ∃(U − λI)−1 ∈ L(H).



Hay varias formas de obtener el teorema espectral de operadores unitarios, desde la de Wintner (1929) y pasando por las de von Neumann (1930), Stone (1932), Wecken (1935), Friedrichs (1935) y Riesz-Nagy (1955). En el caso finito-dimensional sabemos que si H es un espacio de Hilbert con dim H = n y U es un operador unitario en H, entonces existe una base ortonormal {v1 , . . . , vn } de H formada por vectores propios de U , con U vj = λj vj , j = 1, . . . , n y |λj | = 1. Si llamamos Ej al subespacio propio asociado a λj , Ej = {v ∈ H : U v = λj v}, y Pj a la proyecci´on ortogonal de H sobre Ej (j = 1, . . . , m con m ≤ n), el teorema espectral dice que i) H = E1 ⊕ · · · ⊕ Em ; ii) I = P1 + . . . Pm ; iii) U = λ1 P1 + · · · + λm Pm . Una posible generalizaci´ on en dimensi´oRn infinita puede producir la descomP posici´on U = ∞ λ P o bien U = T λdP , siendo T = {λ ∈ C : |λ| = 1} k k k=1 (pues los autovalores est´an en la circunferencia unidad). 303

Para que tenga sentido dicha integral necesitamos definir una correspondencia entre la σ-´algebra Ω de subconjuntos de Borel en T y el espacio L(H) de los operadores lineales y acotados en H que tenga las propiedades de una medida. De ah´ı que debamos introducir la siguiente definici´on. 3.2.- Definici´ on. Sean X un conjunto arbitrario, Ω una σ-´algebra de subconjuntos de X y H un espacio de Hilbert. Una medida espectral u ortogonal en (X, Ω, H) es una correspondencia E : Ω → L(H) con las propiedades i) E(∆) es una proyecci´on ortogonal, ∀∆ ∈ Ω. ii) E(X) = I, E(∅) = 0. iii) Si {A Sn }n∈N ⊂ ΩPson disjuntos dos a dos y x ∈ H arbitrario, entonces E( An )x = E(An )x. n∈N

n∈N

iv) E(A ∩ B) = E(A)E(B), ∀A, B ∈ Ω. De la definici´on se deduce inmediatamente el siguiente resultado. 3.3.- Lema. Si E es una medida espectral en (X, Ω, H) y x, y ∈ H, entonces la funci´ on de conjuntos Ex,y : Ω → C definida por Ex,y (∆) = hE(∆)x, yi es una medida numerablemente aditiva en Ω con variaci´ on total kEx,y k ≤ kxk · kyk. El siguiente resultado da sentido al concepto de integral respecto a una medida espectral. 3.4.- Proposici´ on. Si E es una medida espectral en (X, Ω, H) y φ : X → C una funci´ on Ω-medible acotada, existe un u ´nico operador A ∈ L(H) tal que para cualesquiera ε > 0 y {∆1 , . . . , ∆n } Ω-partici´ on de X con sup{|φ(x) − φ(x0 )| : x, x0 ∈ ∆k } < ε (1 ≤ k ≤ n), entonces

n

X

φ(xk )E(∆k ) < ε, ∀xk ∈ ∆k .

A − k=1

RDicho operador se llama integral de φ respecto a E y se R denota por A = X φdE. Del resultado anterior se deduce que hAx, yi = X φdEx,y . P Demostraci´ oP n. A cada funci´on simple s = nk=1 αk χ∆k le asociamos el operador As = nk=1 αk E(∆k ). Como cada E(∆k ) es autoadjunto, entonces A∗s =

n X

αk E(∆k ) = A s .

k=1

304

Si t =

Pm

j=1 βj χ∆0j

As At =

X

es otra funci´on simple, entonces αk βj E(∆k )E(∆0j ) =

k,j

X

αk βj E(∆k ∩ ∆0j ) = Ast .

k,j

De estas igualdades se deduce que A∗s As = A s As = A ss = A|s|2 . Si tomamos x, y ∈ H arbitrarios, obtenemos: hAs x, yi =

n X

αk hE(∆k )x, yi =

k=1

n X

Z sdEx,y ,

αk Ex,y (∆k ) =

k=1

X

de modo que 2

kAs xk =

hA∗s As x, xi

Z = hA|s|2 x, xi =

|s|2 dEx,x ≤ ksk2∞ kEx,x k ≤ ksk2∞ ·kxk2 ,

X

es decir kAs xk ≤ ksk∞ · kxk. Por otra parte, es claro que, si x ∈ R(E(∆i )), entonces As x = αi E(∆i )x = αi x; de esta igualdad y eligiendo i de manera que |αi | = ksk∞ , resulta que (∗)

kAs k = ksk∞ .

Sea ahora φ : X → C una funci´on Ω-medible y acotada y (s(i) )i∈N una sucesi´on de funciones simples medibles que converge a φ. De la f´ormula (∗) deducimos que la sucesi´on (As(i) )i∈N es de Cauchy en L(H); por tanto, converge a un operador A ∈ L(H). Dicho operador no depende de la elecci´on de la sucesi´on (s(i) )i∈N . As´ı pues, dados ε > 0 y {∆1 , . . . , ∆n } con las condiciones indicadas en el enunciado, la tesis se sigue de la convergencia de la sucesi´on (As(i) )i∈N al operador A. ♦ Con esta notaci´on, si consideramos la σ-´algebra Ω = {∆ ⊂ T : ∆ de Borel en T}, el teorema espectral se enuncia entonces de la siguiente forma: 3.5.- Teorema. Si U ∈ L(H) es unitario, ´nica medida R nentonces existe una u n espectral E en (T, Ω, H) tal que U = T z dE(z), ∀n ∈ Z. Observaci´ on. Debido a que todo punto z ∈ T puede representarse como R 2π z = eit , con t ∈ [0, 2π), podemos escribir U n = 0 eint dE(t). Demostraci´ on. El proceso ser´a el siguiente: 305

1) Buscaremos una familia de medidas {µx , x ∈ H} tal que Z hU n x, xi = z n dµx (z), ∀n ∈ Z. T

Fijado x ∈ H, consideramos la sucesi´on num´erica {cn (x)}n∈Z , definida por cn (x) = hU n x, xi. De la definici´on es claro que c−n = cn . R Como la medida espectral debe verificar que U n = T z n dE(z), ∀n ∈ Z y, en R particular, hU n x, xi = T z n dhE(z)x, xi, ∀x ∈ H, la medida escalar R n positiva µx definida por µx (∆) = hE(∆)x, xi debe verificar cn (x) = T z dµx (z), ∀n ∈ Z. La existencia de tal medida corresponde al llamado problema trigonom´etrico de momentos; la respuesta a dicho problema la proporciona el teorema de representaci´on de Herglotz: Dicha medida µ existe (y es u ´nica) si y s´ olo si la sucesi´ on {cn }n∈Z es definida positiva, es decir N X

cj−k λj λk ≥ 0, ∀N ∈ N, ∀λ1 , . . . , λN ∈ C.

j,k=1

En este caso la sucesi´on {hU n x, xi}n∈Z es definida positiva, pues N X

cj−k (x)λj λk =

j,k=1

N X

hU j−k x, xiλj λk

j,k=1

=

N X

N

X

2

hλj U x, λk U xi = λj U j x ≥ 0. j

k

j=1

j,k=1

2) A continuaci´on queremos encontrar una familia de medidas µx,y (∆) para R n n las que hU x, yi = T z dµx,y (z), ∀n ∈ Z. Para ello utilizamos la identidad de polarizaci´on hU n x, yi =

1 [hU n (x + y), x + yi − hU n (x − y), x − yi] 4 i + [hU n (x + iy), x + iyi − hU n (x − iy), x − iyi] , 4

por lo que basta definir 1 1 i i µx,y (∆) = µx+y (∆) − µx−y (∆) + µx+iy (∆) − µx−iy (∆). 4 4 4 4 3) Fijado ∆ de Borel en T, la funci´on β(∆) : H × H → C definida por 306

β(∆)(x, y) = µx,y (∆) es una forma sesquilineal: Z

z n dµαx1 +x2 ,y (z), Z Z n n n αhU x1 , yi + hU x2 , yi = α z dµx1 ,y (z) + z n dµx2 ,y (z) T Z T z n d[αµx1 ,y (z) + µx2 ,y (z)], = n

hU (αx1 + x2 ), yi =

T

T

de modo que Z

Z

f (z)d[αµx1 ,y (z) + µx2 ,y (z)],

f (z)dµαx1 +x2 ,y (z) = T

T

∀f exponencial trigonom´etrica. Por linealidad, tambi´en es cierta para polinomios trigonom´etricos y, por el teorema de aproximaci´on de Weierstrass, tambi´en para toda funci´on continua o continua a trozos. En particular, Z

Z χ∆ (z)dµαx1 +x2 ,y (z) =

T

χ∆ (z)d[αµx1 ,y (z) + µx2 ,y (z)], T

o bien µαx1 +x2 ,y (∆) = αµx1 ,y (∆) + µx2 ,y (∆). An´alogamente, debido a la igualdad n

x, yi = z −n dµx,y (z) Z T hU n y, xi = z −n d µy,x (z), ∀n ∈ Z,

hx, U yi = hU =

Z

−n

T

y razonando como en el caso anterior, se deduce que µx,y (∆) = µy,x (∆). 4) Veremos a continuaci´on que F : C(T) → L(H), definida por F (g) = g(U ), es una representaci´on de C(T) (espacio de las funciones continuas en T con la norma del supremo), es decir es un homomorfismo de ´algebras que cumple F (g ∗ ) = F (g)∗ , donde definimos g ∗ (x) = g(x). Definimos en primer lugar F : P P → L(H) por F (p) = p(U ), donde denotan 2 mos por P = {p : T → C : p(z) = N n=N1 an z } al espacio de los polinomios trigonom´etricos con la norma del supremo. Resultan de la definici´on las siguientes propiedades: i) F es lineal, F (α1 p1 + α2 p2 ) = α1 F (p1 ) + α2 F (p2 ). ii) F es multiplicativa, F (p1 p2 ) = F (p1 )F (p2 ). R iii) hp(U )x, yi = T p(z)dµx,y (z), ∀x, y ∈ H. 307

iv) p(U ) = p(U )∗ : Z



Z

hx, p(U ) yi = hp(U )x, yi = p(z)dµx,y (z) = p(z)d µx,y (z) T T Z = p(z)dµy,x (z) = h p(U )y, xi = hx, p(U )yi. T

v) Si p(z) ≥ 0, ∀z, entonces p(U ) ≥ 0: Por el teorema de Fej´er-Riesz, si p ∈ P es positivo, ∃q ∈ P : p = |q|2 . Entonces hp(U )x, xi = h( qq)(U )x, xi = h q(U )q(U )x, xi = hq(U )∗ q(U )x, xi = kq(U )xk2 ≥ 0. vi) kF k = 1: kp(U )xk2 = hp(U )x, p(U )xi = hp(U )∗ p(U )x, xi ≤ kpk2∞ · kxk2 ⇐⇒

h[kpk2∞ I − p(U )∗ p(U )]x, xi ≥ 0.

Como kpk2∞ I − p(U )∗ p(U ) = F (q) con q(z) = kpk2∞ − |p(z)|2 ≥ 0, la desigualdad anterior se deduce de v). En definitiva, kp(U )xk ≤ kpk∞ · kxk =⇒ kp(U )k ≤ kpk∞ =⇒ kF k ≤ 1. Por otra parte, tomando p(z) = 1, ∀z, entonces p(U ) = I de modo que kF k ≥ kp(U )k/kpk∞ = 1 =⇒ kF k = 1. Como F es acotada y L(H) es completo, F se extiende a P que es el espacio C(T) de las funciones continuas con la norma del supremo, donde se mantienen las propiedades anteriores; en particular, Z (∗) hF (g)x, yi = hg(U )x, yi = g(z)dµx,y (z), ∀g ∈ C(T). T

5) Debido a la equivalencia entre el dual de C(T) y el espacio de las medidas R de Borel finitas en T, dada por µ 7→ l ∈ C(T)0 , con l(f ) = T f dµ, ∀f ∈ C(T), podemos probar la acotaci´on de µx,y como sigue:   Z kµx,y k = sup f dµx,y : f ∈ C(T), kf k∞ ≤ 1 T

= sup{|hf (U )x, yi| : f ∈ C(T), kf k∞ ≤ 1} ≤ sup{kf (U )k · kxk · kyk : f ∈ C(T), kf k ≤ 1} ≤ kxk · kyk. 6) El siguiente paso es extender la representaci´on F a la C ∗ -´algebra B(T) de las funciones medibles Borel y acotadas en T. 308

R Fijamos ahora g ∈ B(T) y definimos βg (x, y) = T g(z)dµx,y (z). Debido a que βg es un forma sesquilineal acotada con kβg k ≤ kgk∞ , por el teorema de representaci´on de Riesz para formas sesquilineales (cap´ıtulo III, teorema 6.5), existe un u ´nico operador Ag ∈ L(H) tal que βg (x, y) = hAg x, yi y kAg k ≤ kgk∞ . La nueva aplicaci´on F : B(T) → L(H) definida por F (g) = Ag est´a bien definida, kF (g)k ≤ kgk∞ y Z (∗∗) hF (g)x, yi = g(z)dµx,y (z), ∀x, y ∈ H. T

Debemos probar a continuaci´on que F es una representaci´on de B(T) que extiende a la correspondiente representaci´on de C(T). i) Es inmediato de (∗) y (∗∗) que se trata de una extensi´on. ii) Es tambi´en evidente que F es lineal y tiene norma 1. iii) F ( g) = F (g)∗ pues, ∀x, y ∈ H: ∗

hF (g) x, yi =

hA∗g x, yi

Z = hAg y, xi =

g(z)dµy,x (z) T

Z g(z)dµx,y (z) = hA g x, yi = hF ( g)x, yi.

= T

iv) F es multiplicativa; para ello veamos en primer lugar que F (f g) = F (f )F (g) con f ∈ C(T) y g ∈ B(T), pero debido a las equivalencias F (f g) = F (f )F (g) ⇐⇒ hF (f g)x, yi = hF (f )F (g)x, yi = hF (g)x, F (f )∗ yi Z Z ⇐⇒ (f g)(z)dµx,y (z) = g(z)dµx,F (f )∗ y (z), T

T

la igualdad anterior ser´ R R a cierta si y s´olo si f dµx,y = dµx,F (f )∗ y , ∀f ∈ C(T), o bien T ϕf dµx,y = T ϕdµx,F (f )∗ y , ∀ϕ ∈ C(T), lo que equivale a la multiplicatividad de F en C(T) que ya fue probada. R R Queda as´ı probado que T f (z)(g(z)dµx,y (z)) = T f (z)dµx,g(U )∗ y (z), ∀f ∈ C(T), g ∈ B(T), de donde gdµx,y = dµx,g(U )∗ y . Sean ahora g, g1 ∈ B(T); entonces Z Z hF (gg1 )x, yi = (gg1 )(z)dµx,y (z) = g1 (z)dµx,g(U )∗ y (z) T

T

= hg1 (U )x, g(U )∗ yi = hg(U )g1 (U )x, yi = hF (g)F (g1 )x, yi. 7) Definimos ahora, para cada ∆ de Borel en T el operador E(∆) = F (χ∆ ) ∈ L(H). De la definici´on se deduce directamente que hE(∆)x, yi = µx,y (∆). Veamos que E es una medida espectral en T. 309

i) E(∆) es un proyector ortogonal: E(∆)2 = F (χ∆ ) · F (χ∆ ) = F (χ∆ · χ∆ ) = F (χ∆ ) = E(∆); E(∆)∗ = F (χ∆ )∗ = F ( χ∆ ) = F (χ∆ ) = E(∆). ii) E(T) = F (χT ) = F (1) = I, E(∅) = F (χ∅ ) = F (0) = 0. iii) Si ∆1 , ∆2 ∈ Ω, E(∆1 ∩∆2 ) = F (χ∆1 ∩∆2 ) = F (χ∆1 χ∆2 ) = F (χ∆1 )F (χ∆2 ) = E(∆1 )E(∆2 ). iv) Si {∆j }j∈N ⊂ Ω son disjuntos S dos a dos, es f´acil probar la aditividad finita. Si llamamos Hn = k>n ∆k , para todo x ∈ H tenemos: m

[

2 X



∆j )x − E(∆j )x = E(Hm )x, E(Hm )x

E( j∈N

j=1



E(Hm )x, x = F (χHm )x, x Z X = χHm (z)dµx,x (z) = µx,x (∆j ), =



T

j>m

expresi´on que tiende a cero si m → ∞. R 8) Por u ´ltimo veamos que F (g) = T g(z)dE(z), ∀g ∈ C(T): Dado ε > 0, sea {∆1 , . . . , ∆n } una partici´on de T mediante elementos de Ω tal que sup{|g(x) − g(x0 )| : x, x0 ∈ ∆k } < ε, (1 ≤ k ≤ n). P Entonces, para cualquierPelecci´on xk ∈ ∆k , kg − nk=1 g(xk )χ∆k k∞ < ε. Como kF k = 1, kF (g) − nk=1 g(xk )E(∆k )k < ε, lo que implica que F (g) = R g(z)dE(z), ∀g ∈ C(T). T R En particular, si g(z) = z n , entonces F (g) = U n , de donde U n = T z n dE(z), lo que completa la demostraci´on. ♦ La medida espectral encontrada tiene la siguiente propiedad adicional. 3.6.- Proposici´ on. Si U ∈ L(H) es un operador unitario y A ∈ L(H) es un operador que conmuta con U , entonces A conmuta con E(∆), para todo ∆ de Borel en T. Adem´ as µx,A∗ y = µAx,y . Demostraci´ on. En primer lugar se comprueba que Ap(U ) = p(U )A, para cualquier polinomio trigonom´etrico p. A continuaci´on, si aproximamos toda funci´on continua f ∈ C(T) mediante polinomios trigonom´etricos (aplicando el teorema de Stone-Weierstrass), se prueba que Af (U ) = f (U )A. Por u ´ltimo, si ∆ ∈ Ω, consideremos la sucesi´on creciente {gn }n∈N de funciones 310

continuas tal que gn → χ∆ . Por el teorema de la convergencia mon´otona, ∀x, y ∈ H se tiene: hAE(∆)x, yi = hE(∆)x, A∗ yi = µx,A∗ y (∆) Z Z = χ∆ (z)dµx,A∗ y (z) = l´ım gn (z)dµx,A∗ y (z) = l´ımhgn (U )x, A∗ yi n

T

T

n

= l´ımhAgn (U )x, yi = l´ımhgn (U )Ax, yi = hE(∆)Ax, yi. n

n

Para la segunda parte, de AU = U A se deduce que: hE(∆)Ax, yi = hAE(∆)x, yi = hE(∆)x, A∗ yi =⇒ µx,A∗ y = µAx,y .



4. TEOREMA ESPECTRAL DE OPERADORES AUTOADJUNTOS NO ACOTADOS.

Es natural preguntarse si existe una descomposici´on espectral de todo operador sim´etrico an´aloga a la que existe en el caso de operadores acotados. Trabajos importantes, especialmente de Carleman relativos a ecuaciones integrales singulares, mostraron la imposibilidad de obtener una completa analog´ıa. Fue E. Schmidt quien observ´o que es necesario restringirse a operadores autoadjuntos si se quiere obtener una descomposici´on an´aloga. El teorema espectral para operadores autoadjuntos fue probado de diferentes maneras por von Neumann, Stone, Riesz y otros y constituy´o el punto de partida de la nueva teor´ıa de operadores lineales en espacios de Hilbert. En esta secci´on ilustramos una demostraci´on de von Neumann que hace uso de la transformada de Cayley y, por tanto, se basa en la descomposici´on espectral de operadores unitarios (acotados). Otras demostraciones pueden verse en los distintos textos de An´alisis Funcional (ver por ejemplo [BN], [RN], [Fu], [Ru]). Si uno considera los operadores, acotados o no, en espacios de Hilbert como generalizaciones de los n´ umeros complejos, se encuentra que muchos resultados sencillos en relaci´on a los n´ umeros complejos tienen an´alogos no triviales en el contexto de operadores. Uno de ellos se refiere a la transformada de M¨obius. Si en el espacio C definimos el conjunto T = {z ∈ C : |z| = 1}, la transformaci´on de M¨obius w = z−i on biyectiva de R en z+i es una aplicaci´ T \ {1} cuya inversa es z =

i(1+w) 1−w .

Una adaptaci´on de esta transformaci´on al caso de operadores permitir´a aplicar operadores autoadjuntos no 311

acotados sobre operadores unitarios acotados y operadores sim´etricos sobre isom´etricos. Esto permitir´a establecer una analog´ıa entre operadores lineales y n´ umeros complejos. Mediante esta analog´ıa los operadores autoadjuntos jugar´an el papel de n´ umeros reales, los operadores positivos corresponder´an a los reales no negativos y los operadores unitarios a los complejos de m´odulo 1. Esto viene sugerido por el hecho de que el espectro de un operador autoadjunto es real y el de un operador unitario est´a contenido en T. El paralelismo es m´as acusado si tenemos en cuenta que T es autoadjunto en un espacio complejo si y s´olo si hT x, xi ∈ R, ∀x. El siguiente ejemplo muestra que lo anterior no es cierto si el espacio es real: En el espacio X = R2 definimos el operador T (x1 , x2 ) = (x1 + 2x2 , x2 ). Entonces hT x, xi = 2|x2 | ∈ R pero T ∗ (x1 , x2 ) = (x1 , 2x1 + x2 ). La relaci´on entre operadores autoadjuntos y unitarios viene dada por el siguiente resultado. 4.1.- Proposici´ on. Sea T un operador autoadjunto en H. Entonces los operadores T ± iI tienen inversas acotadas definidas en todo H y el operador U = (T − iI)(T + iI)−1 es un operador unitario en H, llamado transformada de Cayley de T . Demostraci´ on. La primera parte se deduce de los teoremas 1.10 y 1.12 y de las igualdades N (T ± iI) = R(T ∓ iI)⊥ . Para ver que U es unitario, sea x ∈ H y llamamos y = (T + iI)−1 x. Entonces: kU xk2 = h(T − iI)y, (T − iI)yi = hT y, T yi − ihy, T yi + ihT y, yi + hy, yi = hT y, T yi − ihT y, yi + ihy, T yi + hy, yi = h(T + iI)y, (T + iI)yi = kxk2 .



Rec´ıprocamente, conocida la transformada de Cayley de un operador autoadjunto, se puede extraer este como sigue. 4.2.- Proposici´ on. Si U es la transformada de Cayley de un operador autoadjunto T en H, entonces I − U es inyectiva y T = i(I + U )(I − U )−1 . Demostraci´ on. Si (I − U )x = 0 y llamamos y = (T + iI)−1 x, tenemos: x = U x =⇒ x = (T − iI)y =⇒ (T + iI)y = (T − iI)y =⇒ y = 0 =⇒ x = 0. La segunda parte se obtiene por c´alculo directo.



4.3.- Corolario. Sea U la transformada de Cayley de un operador autoadjunto T . Entonces 1 no es autovalor de U . Adem´ as 1 est´ a en la resolvente de U si y s´ olo si T es acotado. 312

El rec´ıproco del resultado anterior tambi´en es cierto: si 1 no es autovalor de un operador unitario U , entonces U es la transformada de Cayley de alg´ un operador autoadjunto. Los dos u ´ltimos teoremas, con los que concluimos el cap´ıtulo y el curso, permiten establecer una correspondencia biun´ıvoca entre las medidas espectrales en R y los operadores autoadjuntos. 4.4.- Teorema (espectral de operadores autoadjuntos.) Sea T : D(T ) → H un operador autoadjunto con dominio R denso en H. Entonces existe una medida espectral P en R tal que T = R λdP (λ). Demostraci´ on. Sea U = (T − iI)(T + iI)−1 la transformada de Cayley de T ; como ya se ha probado, U es unitario, I − U es inyectivo y T = i(I + U )(I − U )−1 con D(T ) = (I − U )(H). Por el teorema espectral de operadores unitarios, existe E medida espectral R en T tal que U = T zdE(z). Por ser I − U inyectivo, 1 no es valor propio de U . De aqu´ı se deduce que E({1}) = 0. En efecto, supongamos por el contrario que H0 = E({1})H 6= {0}. Entonces existe x 6= 0 tal que x = E({1})x de donde U x = U E({1})x. Como E({1}) es el operador asociado a la funci´on caracter´ıstica χ{1} , tenemos: Z λ · χ{1} (λ)dE(λ)x = 1 · E({1})x = x,

U x = U E({1})x = T

lo cual contradice que I − U es inyectivo. 1+z Como la funci´on ϕ : T \ {1} → R definida por ϕ(z) = i · 1−z es biyectiva, la −1 funci´on P (∆) = E(ϕ (∆)), ∀∆ de Borel en R, es una medida espectral en R (como E({1}) = 0, E(T) = E(T \ {1}) = I).

Debido a la f´ormula de la transformada de Cayley, procediendo formalmente, obtenemos: Z Z 1+z T = i(I + U )(I − U )−1 = i · dE(z) = ϕ(z)dE(z); 1−z T T si hacemos el cambio λ = ϕ(z), resulta Z



T =

λdE(ϕ−1 (λ)) =

−∞

Z



λdP (λ).



−∞

R∞ Veamos el sentido de la expresi´on −∞ f (λ)dP (λ), con f : R → R funci´on medible, no necesariamente acotada. 313

4.5.- Teorema. Sea P una medida espectral en R y f : R → R una funci´ on medible. Existe entonces un u ´nico operador autoadjunto T con dominio Z f 2 (λ)dhP (λ)x, xi < ∞} D(T ) = {x ∈ H : R

tal que T =

R R

f (λ)dP (λ) y

kT xk2

=

R R

f 2 (λ)dhP (λ)x, xi, ∀x ∈ D(T ).

Demostraci´ on. Haremos la demostraci´on en dos pasos. R∞ 1) Si f es acotada, −∞ f (λ)dP (λ) es un operador acotado sim´etrico: R∞ En efecto, la aplicaci´on β(x, y) = −∞ f (λ)dhP (λ)x, yi es un funcional sesquilineal acotado pues Z ∞ d|hP (λ)x, yi| ≤ kf k∞ · kxk · kyk. |β(x, y)| ≤ kf k∞ −∞

Por tanto, existe un operador T ∈ L(H) tal que β(x, y) = hT x, yi, ∀x, y ∈ H. Adem´as T es autoadjunto pues Z ∞ hx, T yi = hT y, xi = β(y, x) = f (λ)d hP (λ)y, xi −∞ Z ∞ = f (λ)dhP (λ)x, yi = β(x, y) = hT x, yi. −∞

Escribiremos en este caso T =

R∞

−∞ f (λ)dP (λ).

2) Si S f es medible, llamamos ∆n = f −1 [n, n + 1), ∀n ∈ Z; por definici´on, on es disjunta. ahora ϕn = χ∆ R = n∈Z ∆n y la uni´ n , Pn = P Si llamamosP L P (∆n ) y Hn = Pn H, entonces 1 = n∈Z ϕn , I = n∈Z Pn , H = n∈Z Hn (donde la suma es ortogonal por ser {Pn }n∈Z una familia ortogonal de proyecciones). Como ahora f (λ)ϕn (λ) son funciones acotadas para todo n, existen, seg´ un el apartado anterior, Tn0 operadores sim´etricos y acotados tales que Z ∞ 0 Tn = f (λ)ϕn (λ)dP (λ). −∞

Veamos ahora que Tn0 H ⊂ Hn , para lo cual basta probar que Pn Tn0 = Tn0 : R Como Tn0 = ∆n f (λ)dP (λ), podemos aproximarlo por sumas de Riemann P del tipo Tn0 ∼ kj=1 f (λj )P (Fj ), siendo {F1 , . . . , Fk } una partici´on de ∆n y λj ∈ Fj (j = 1, . . . , k). Entonces Pn Tn0



k X j=1

f (λj )P (∆n )P (Fj ) =

k X

f (λj )P (∆n ∩ Fj ) =

j=1

314

k X j=1

f (λj )P (Fj ).

Como ambas sumas de Riemann coinciden, Tn0 = Pn Tn0 y, en consecuencia, R(Tn0 ) ⊂ Hn . Lo anterior permite definir los operadores Z ∞ Tn = f (λ)ϕn (λ)dP (λ)|Hn : Hn → Hn −∞

y probaremos a continuaci´on que existe un u ´nico operador autoadjunto T en H tal que T |Hn = Tn (teorema de Riesz-Lorch): P Definimos pues T x = n∈Z Tn Pn x cuyo dominio es D = {x ∈ H :

X

kTn Pn xk2 < ∞}

n∈Z

(ver teorema 4.7, cap´ıtulo III). As´ı x ∈ D si y s´olo si converge cuando k → ∞.

P

n∈[−k,k] Tn Pn x

As´ı definido se cumplen las siguientes propiedades: i) D ⊃ Hn , ∀n ∈ Z. ii) T est´a bien definido pues, si x ∈ D, X  X X Pn x = T (Pn x) = Tn Pn x. Tx = T n∈Z

n∈Z

n∈Z

iii) D es denso en H. En efecto, por i), Hn ⊂ D =⇒ h

[

Hn i ⊂ D =⇒ h

n∈Z

iv) D = {x ∈ H : kTn Pn xk

2

Hn i ⊂ D =⇒ H =

n∈Z

R∞

−∞ f

Z

2 (λ)dhP (λ)x, xi

f −∞

X

2

M

Hn ⊂ D.

n∈Z

< ∞} pues



= =⇒

[

(λ)ϕ2n (λ)dhP (λ)x, xi

Z =

f 2 (λ)dhP (λ)x, xi

∆n 2

Z



f 2 (λ)dhP (λ)x, xi.

kTn Pn xk = −∞

n∈Z

v) T es sim´etrico pues, ∀x, x0 ∈ H, X X hT x, x0 i = hTn Pn x, x0 i = hTn Pn x, Pn x0 i n∈Z

=

X

n∈Z

hPn x, Tn Pn x0 i =

n∈Z

X n∈Z

315

hx, Tn Pn x0 i = hx, T x0 i.

vi) T es autoadjunto, para lo cual basta probar que D(T ∗ ) ⊂ D(T ). Sea y ∈ D(T ∗ ); entonces existe y ∗ tal que hT x, yi = hx, y ∗ i, ∀x ∈ D. Veamos que Pn y ∗ = Tn Pn y: hTn Pn y, xi = hTn Pn y, Pn xi = hPn y, Tn Pn xi = hy, Tn Pn xi = hy, T Pn xi = hy ∗ , Pn xi = hPn y ∗ , xi, ∀x ∈ H. P P Entonces n∈Z kTn Pn yk2 = n∈Z kPn y ∗ k2 = ky ∗ k2 < ∞ =⇒ y ∈ D. vii) T es u ´nico. Para ello, supongamos que existe un operador autoadjunto S tal que S|Hn = Tn , ∀n ∈ N. Veamos que S = T . Si x ∈ D(T ), debido a que X X kTn Pn xk2 < ∞, kSPn xk2 = n∈N

n∈N

P se deduce que n∈N SPn x converge. P Por otro lado, como las sumas parciales de n∈N Pn x (que est´an en D(S)) convergen a x y S es cerrado, x ∈ D(S) y adem´as X X Sx = SPn x = Tn Pn x = T x. n∈N

n∈N

Esto implica que T ⊂ S. Rec´ıprocamente, por ser S autoadjunto, de la proposici´on 1.4 deducimos que S = S ∗ ⊂ T ∗ = T , de donde S = T . ♦ Observaciones. 1) La forma que adopta la descomposici´on espectral de un operador autoadjunto no acotado es similar a la correspondiente del caso acotado. Sin embargo aqu´ı los l´ımites de integraci´on en la representaci´on no son finitos debido a que el espectro de un operador autoadjunto no acotado, aun siendo real, no es acotado. 2) De la descomposici´on espectral de un operador autoadjunto T se puede obtener tambi´en una f´ormula para la resolvente Rz = (T −zI)−1 (ver propiedades de la misma en los ejercicios al final del cap´ıtulo). M´as precisamente, si P es la medida espectral de T , Z 1 Rz = dP (λ) λ − z R para cualquier valor de z donde tengan sentido dichas expresiones. Esta f´ormula se puede generalizar a operadores sim´etricos arbitrarios y proporcionar as´ı diversas aplicaciones de la teor´ıa de operadores. 3) Algunas notas hist´oricas con respecto al teorema espectral pueden consultarse en las obras de Steen [Ste], Dunford-Schwartz [DS] y Halmos [Ha1].

316

EJERCICIOS.

1. a) Probar que los operadores M f (x) = xf (x), Df (x) = f 0 (x) definidos en L2 (R) son operadores sim´ etricos no acotados y verifican la relaci´ on de conmutaci´ on DM − M D = I .

b) Probar que no existe ning´ un par de operadores acotados A, B que cumplan la relaci´ on AB − BA = I . Resp.: a) En diversos lugares se ha probado ya que dichos operadores son sim´etricos no acotados. Adem´as DM f (x) = D(xf (x)) = xf 0 (x) + f (x) = (I + M D)f (x), es decir DM − M D = I (en esta f´ormula se basa el principio de incertidumbre en Mec´anica Cu´antica). b) Supongamos que existen A, B ∈ L(H) tales que AB − BA = I. Entonces, multiplicando a izquierda y derecha por A, obtenemos: A2 B − ABA = A

y

ABA − BA2 = A.

Al sumar miembro a miembro, resulta que A2 B − BA2 = 2A. Repitiendo el proceso, se llega a la igualdad general An B − BAn = nAn−1 . Entonces nkAn−1 k ≤ kAn Bk + kBAn k ≤ kAn−1 k · kABk + kBAk · kAn−1 k. Si suponemos que A 6= 0, entonces kAn−1 k = 6 0, ∀n, y de lo anterior se deduce que n ≤ kABk + kBAk ≤ 2kAk · kBk, lo cual contradice el hecho de que A y B son operadores acotados.   2. Sean T1 , T2 , T3 tres operadores arbitrarios.

a) Probar que (T1 T2 )T3 = T1 (T2 T3 ). b) Probar que T1 ⊂ T2 =⇒ T3 T1 ⊂ T3 T2 y T1 T3 ⊂ T2 T3 . Resp.: a) Veamos en primer lugar que D((T1 T2 )T3 ) = D(T1 (T2 T3 )). 317

En efecto, x ∈ D((T1 T2 )T3 ) ⇐⇒ x ∈ D(T3 ), T3 x ∈ D(T1 T2 ) ⇐⇒ x ∈ D(T3 ), T3 x ∈ D(T2 ), T2 T3 x ∈ D(T1 ) ⇐⇒ x ∈ D(T2 T3 ), T2 T3 x ∈ D(T1 ) ⇐⇒ x ∈ D(T1 (T2 T3 )). Por otra parte, es evidente que, si x ∈ D((T1 T2 )T3 ), entonces (T1 T2 )T3 x = T1 (T2 T3 )x. b) Como, por hip´otesis, T1 ⊂ T2 , entonces D(T1 ) ⊂ D(T2 ) y T1 x = T2 x, ∀x ∈ D(T1 ). Resulta as´ı: x ∈ D(T3 T1 ) =⇒ x ∈ D(T1 ), T1 x ∈ D(T3 ) =⇒ x ∈ D(T2 ), T2 x ∈ D(T3 ) =⇒ x ∈ D(T3 T2 ). Adem´as, ∀x ∈ D(T3 T1 ): (T3 T1 )x = T3 (T1 x) = T3 (T2 x) = (T3 T2 )x, lo que prueba que T3 T1 ⊂ T3 T2 . Con el otro caso se procede de la misma forma.   3. Sea H = L2 (R) y llamamos D = {f ∈ L2 (R) : x · f (x) ∈ L2 (R)}. Probar que el operador T : H → H definido por T f (x) = xf (x) con dominio D es autoadjunto. [Este es el llamado operador posici´ on en Mec´ anica Cu´ antica.] Resp.: Veamos que D es denso en L2 (R). Para ello, basta observar que D contiene al conjunto de las funciones con soporte compacto y que este conjunto es denso en L2 (R). Veamos a continuaci´on que T es sim´etrico: Z Z hT f, gi = xf (x) g(x)dx = f (x) · xg(x)dx = hf, T gi, ∀f, g ∈ D. R

R

Esto implica que T ⊂ T ∗ (ver proposici´on 1.6). Por u ´ltimo, comprobaremos que D(T ∗ ) ⊂ D(T ): Sea g ∈ D(T ∗ ) y llamemos g ∗ = T ∗ g. Por definici´on de adjunto, Z Z f (x) g ∗ (x)dx. ∀f ∈ D(T ), xf (x) g(x)dx = R

R

318

Si tomamos f (x) = χ[α,x0 ] , la igualdad anterior queda Z

x0

Z

x0

g ∗ (x)dx

x g(x)dx = α

α

y, derivando, x0 g(x0 ) = g ∗ (x0 ) para casi todo x0 . Esto implica que g ∈ D y T ∗ g(x) = xg(x). De lo anterior se deduce que T es autoadjunto.   4. Sea H = L2 (R) y D = {f ∈ L2 (R) : f es absolutamente continua en todo intervalo finito y f 0 ∈ L2 (R)}. Probar que el operador T : H → H definido en D por T f (x) = −if 0 (x) es autoadjunto. [Este es el operador momento en Mec´ anica Cu´ antica.] Resp.: Definimos para cada n la funci´on continua   si x ∈ [α, x0 ] 1 fn (x) = 0 si x ≤ α − 1/n ´o x ≥ x0 + 1/n   recta en el resto. Las combinaciones lineales de funciones de la forma de fn con diferentes valores de α, x0 y n son densas en L2 (R). Por tanto, D es denso en H. Para probar que T es sim´etrico, sea g ∈ D. Entonces, ∀f ∈ D, integrando por partes obtenemos: Z a

b

b −if (x) g(x)dx = −if (x) g(x) a + 0

Z

b

f (x)[ −ig 0 (x)]dx.

a

Como f (x) g(x) es integrable en R, se deduce que

l´ım

a→−∞,b→∞

b f (x) g(x) a =

0y Z hT f, gi =

Z

0

−if (x) g(x)dx =

f (x)[ −ig 0 (x)]dx = hf, T gi.

R

R

Esto implica que g ∈ D(T ∗ ) y T ∗ g(x) = −ig 0 (x), es decir T ⊂ T ∗ . S´olo falta comprobar, al igual que en el ejercicio anterior, que D(T ∗ ) ⊂ D. Sea para ello g ∈ D(T ∗ ) y llamemos g ∗ = T ∗ g. Como sabemos, Z Z 0 −if (x) g(x)dx = f (x) g ∗ (x)dx, ∀f ∈ D. R

R

319

Eligiendo las funciones fn anteriores, la igualdad anterior se escribe como: Z α Z x0 +1/n Z −i g(x)dx − n n −i g(x)dx = fn (x) g ∗ (x)dx. α−1/n

x0

R

Haciendo n → ∞, obtenemos: Z x0  g ∗ (x)dx para casi todos α y x0 . −i g(α) − g(x0 ) = α

Por la desigualdad de Schwarz, se deduce que g ∗ es integrable sobre cualquier intervalo finito. Entonces g(x0 ) es absolutamente continua en x0 sobre cualquier intervalo finito y, por tanto, −ig 0 (x0 ) = g ∗ (x0 ) para casi todo x0 . Esto implica que g ∈ D y T ∗ g(x) = −ig 0 (x).   5. Probar que el operador T1 f (x) = if 0 (x) es sim´ etrico en D(T1 ) = 2 {f ∈ L [0, 1] : f es absolutamente continua, f (0) = f (1) = 0, f 0 ∈ L2 [0, 1]} pero no es autoadjunto. Resp.: Veamos que T1∗ = T2 donde T2 f (x) = if 0 (x) tiene dominio D(T2 ) = {f ∈ L2 [0, 1] : f es absolutamente continua y f 0 ∈ L2 [0, 1]}. Debido a que D(T1 ) = L2 [0, 1], existe el adjunto T1∗ . Si g ∈ D(T1∗ ) y llamamos g ∗ = T1∗ g, entonces Z 1 Z 1 ∀f ∈ D(T1 ) : if 0 (x) g(x)dx = f (x) g ∗ (x)dx. 0

0

R1

Si integramos por partes, 0 f (x) g ∗ (x)dx = − R x G∗ (x) = 0 g ∗ (s)ds. R1 Como f (1) = 0 f 0 (x)dx = 0, entonces 1

Z

R1 0

f 0 (x) G∗ (x)dx, donde

f 0 (x)[ G∗ (x) + i g(x) + c]dx = 0, ∀f ∈ D(T1 ), ∀c.

0

Rx R1 Por otra parte, ∀h ∈ L2 [0, 1], la funci´on H(x) = 0 h(s)ds−x 0 h(s)ds est´a en D(T1 ). Para esta funci´on se tiene: Z 1n Z 1 o  h(x) − h(s)ds G∗ (x) + i g(x) + c dx = 0. 0

0

Eligiendo c de modo que

R1 0

[G∗ (x)−ig(x)+c]dx = 0, resulta la igualdad

320

  R1 ∗ (x) + i g(x) + c dx = 0. Al ser h arbitrario, G∗ (x) = G h(x) R0x ∗ ∗ 0 g (s)ds = ig(x) − c. Por tanto, g ∈ D(T2 ) y T2 g = g , lo que ∗ prueba que T1 ⊂ T2 . Es claro tambi´en, integrando por partes, que T2 ⊂ T1∗ , lo que completa la prueba.   6. Sea T : D(T ) ⊂ H → H un operador lineal con dominio denso en H . Probar la siguiente equivalencia:

i) T es clausurable ii) D(T ∗ ) = H . Resp.: La implicaci´on i) =⇒ ii) corresponde a la proposici´on 1.8.b). El rec´ıproco se deduce del apartado 2 del corolario 1.9 (basta observar que T ⊂ T ∗∗ y que T ∗∗ es cerrado).   7. A la ecuaci´ on diferencial f 00 − f = g , siendo g ∈ L2 [0, 1] una funci´ on conocida, se le asocian los tres problemas de contorno siguientes:

a) f (0) = f (1) = 0. b) f 0 (0) = f 0 (1) = 0. c) f (0) = f (1) y f 0 (0) = f 0 (1). Mostrar que los tres problemas tienen soluci´ on u ´nica f tal que f 0 es absolutamente continua y f 00 ∈ L2 [0, 1]. Resp.: En el espacio de Hilbert H = L2 [0, 1] definimos los operadores Tk f = if 0 (k = 1, 2, 3), con dominios D(T1 ) = {f ∈ H : f es absolutamente continua y f 0 ∈ H} D(T2 ) = {f ∈ D(T1 ) : f (0) = f (1)} ⊂ D(T1 ) D(T3 ) = {f ∈ D(T2 ) : f (0) = f (1) = 0} ⊂ D(T2 ). Entonces T3 ⊂ T2 ⊂ T1 y adem´as T1∗ = T3 , T2∗ = T2 y T3∗ = T1 (como observ´abamos en el ejemplo de la p´agina 322). 321

a) Sea f ∈ D(T3∗ T3 ); entonces (I + T3∗ T3 )f = f + T1 T3 f = f − f 00 . Como T3 es cerrado (pues T3 = T1∗ ), y D(T3 ) = H, entonces I +T3∗ T3 : D(T3∗ T3 ) → H es biyectivo (teorema 1.13). As´ı pues, ∀g ∈ H, existe un u ´nico f ∈ D(T3∗ T3 ) tal que (I + T3∗ T3 )f = −g, es decir f 00 − f = g. Ahora bien, por ser f ∈ D(T3∗ T3 ), f ∈ D(T3 ) y T3 f ∈ D(T3∗ ), es decir f (0) = f (1) = 0, f 0 es absolutamente continua y f 00 ∈ H, lo que resuelve el problema a). b) Sea ahora f ∈ D(T1∗ T1 ); nuevamente, (I + T1∗ T1 )f = f + T3 T1 f = f − f 00 . El teorema 1.13 prueba tambi´en que el operador I + T1∗ T1 : D(T1∗ T1 ) → H es biyectivo. As´ı pues, ∀g ∈ H, existe un u ´nico f ∈ D(T1∗ T1 ) tal que (I + T1∗ T1 )f = −g, es decir f 00 − f = g. Dicha soluci´on verifica ahora que f ∈ D(T1 ) y T1 f ∈ D(T1∗ ), lo que corresponde a las condiciones f 0 (0) = f 0 (1) = 0, f 0 absolutamente continua y f 00 ∈ L2 [0, 1]. c) Consideramos en este caso f ∈ D(T2∗ T2 ). Repitiendo el proceso seguido en los dos casos anteriores se prueba la existencia de soluci´on para este problema.   8. Dada g ∈ L2 (R), probar que la ecuaci´ on diferencial f 00 − f = g 2 tiene soluci´ on u ´nica f ∈ L (R) tal que f 0 , f 00 ∈ L2 (R) y f, f 0 son absolutamente continuas.

Mediante c´ alculo directo, encontrar la f´ ormula Z Z 1 x t−x 1 ∞ x−t f (x) = − e g(t)dt − e g(t)dt 2 −∞ 2 x para determinar la soluci´ on de la ecuaci´ on. Resp.: Consideramos el operador T f = if 0 con dominio el conjunto de funciones absolutamente continuas en un intervalo cerrado de R y cuya derivada est´a en L2 (R). Como dicho dominio es denso en L2 (R) y T es autoadjunto, el teorema 1.13 prueba que I + T 2 : D(T 2 ) → L2 (R) es biyectivo. As´ı pues, dado g ∈ L2 (R), existe un u ´nico f ∈ D(T 2 ) tal que (I + T 2 )f = 00 −g, es decir f − f = g. Como f ∈ D(T ) y f 0 ∈ D(T ), la soluci´on f es absolutamente continua y f 0 ∈ L2 (R), as´ı como tambi´en f 0 es absolutamente continua y f 00 ∈ L2 (R). Para resolver expl´ıcitamente la ecuaci´on f 00 − f = g, buscamos en primer lugar la soluci´on general de la ecuaci´on homog´enea asociada 322

f 00 − f = 0, lo que da el conjunto y = C1 ex + C2 e−x , con C1 , C2 constantes arbitrarias. A continuaci´on aplicamos el m´etodo de variaci´on de constantes para resolver la ecuaci´on no homog´enea, es decir resolvemos el sistema C10 (x)ex + C20 (x)e−x = 0 C10 (x)ex − C20 (x)e−x = g(x) el cual tiene como soluci´on C10 (x) = (1/2)g(x)e−x , C20 (x) = −(1/2)g(x)ex . La soluci´on general de la ecuaci´on queda pues de la forma indicada en el enunciado.   9. Sea E una medida espectral arbitraria (ver definici´ on 3.2). Pro2 bar que |Ex,y (∆)| ≤ Ex,x (∆)Ey,y (∆), ∀x, y ∈ H . Resp.: Teniendo en cuenta que E(∆) es una proyecci´on ortogonal, por la desigualdad de Cauchy-Schwarz, obtenemos: |hE(∆)x, yi|2 = |hE(∆)x, E(∆)yi|2 ≤ kE(∆)xk2 · kE(∆)yk2 = hE(∆)x, E(∆)xi · hE(∆)y, E(∆)yi = hE(∆)x, xi · hE(∆)y, yi.   10. Sea T un operador sim´ etrico con dominio denso. Probar que el operador U : R(T + iI) → R(T − iI) definido por U = (T − iI)(T + iI)−1

(llamado tambi´ en transformada de Cayley de T ) es isom´ etrico. Resp.: Veamos en primer lugar que existe (T + iI)−1 y es acotado (como operador definido en R(T + iI)). Para ello basta observar la siguiente desigualdad, que es consecuencia de la proposici´on 1.12: k(T + iI)xk2 = kT xk2 + kxk2 ≥ kxk2 , ∀x ∈ D(T ). Para probar que U es isom´etrico, sean x, y ∈ D(U ). Entonces ∃f, g ∈ D(T ) tales que x = (T + iI)f , y = (T + iI)g. As´ı pues, hU x, U yi = h(T − iI)f, (T − iI)gi = hT f, T gi + hT f, −igi + h−if, T gi + h−if, −igi = hT f, T gi + ihf, T gi − ihT f, gi + hif, igi = hT f, T g + igi + hif, T g + igi = hT f + if, T g + igi = hx, yi. 323

  11. En el espacio `2 se define el operador V por V (α1 , α2 , . . . ) = (0, α1 , α2 , . . . ). Probar que V es la transformada de Cayley de un operador sim´ etrico T con ´ındices de defecto 0 y 1, donde, por definici´ on, los ´ındices de defecto de un operador sim´ etrico T son ⊥ ⊥ las dimensiones de R(T + iI) y R(T − iI) . Hallar una expresi´ on de T . Resp.: (•) Veamos en primer lugar que V es isometr´ıa: X X |αn |2 = kαk22 . |αn |2 y kV αk22 = ∀α ∈ `2 : kαk22 = n∈N

n∈N

Sin embargo, V no es unitario pues el elemento α = (1/n)n∈N est´a en `2 pero no est´a en el rango de V . (•) Probaremos a continuaci´on que I − V es inyectiva. En efecto, si α ∈ N (I − V ), entonces α = V α, es decir α1 = 0, αn+1 = αn , ∀n ∈ N, de donde α = 0. (•) De las condiciones anteriores se deduce la existencia de un operador sim´etrico T cuya transformada de Cayley es V , T = i(I +V )(I −V )−1 , y D(T ) = R(I − V ). (•) Calcularemos a continuaci´on los ´ındices de defecto de T : Como D(V ) = `2 , R(T + iI) = `2 de donde dim R(T + iI)⊥ = 0. P 2 Por otra parte, como R(V ) = {(0, α1 , α2 , . . . ) : n∈N |αn | < ∞}, ⊥ entonces R(V ) est´a generado por el elemento (1, 0, 0, . . . ). Teniendo en cuenta que R(V ) = R(T − iI), es evidente que dim R(T − iI)⊥ = 1. (•) Para obtener una expresi´on expl´ıcita de T , observemos que (I − V )(α1 , α2 , . . . ) = (α1 , α2 − α1 , . . . ). Por tanto, −1

(I − V )

(α1 , α2 , . . . ) = (α1 , α1 + α2 , . . . ,

n X

αk , . . . )

k=1

(I + V )(α1 , α2 , . . . ) = (α1 , α1 + α2 , . . . , αn−1 + αn , . . . ) =⇒ T (α1 , α2 , . . . ) = i(I + V )(I − V )−1 (α1 , α2 , . . . ) n−1 X = i(α1 , α2 + 2α1 , . . . , αn + 2 αk , . . . ), k=1

con D(T ) = {(αn )n∈N : |α1 |2 +|α1 +α2 |2 +· · ·+|  

324

Pn

2 k=1 αk | +. . .

< ∞}.

12. Sea T un operador autoadjunto con dominio denso en H y Rz = (T − zI)−1 el operador resolvente definido en el conjunto de valores {z ∈ C : ∃(T − zI)−1 , R(T − zI) = H}. Probar:

a) kRz xk ≤ (1/|β|)kxk si β = Im z 6= 0. b) Rz2 − Rz1 = (z2 − z1 )Rz2 Rz1 , ∀z1 , z2 ∈ ρ(T ). c) (Rz )∗ = R z . Resp.: a) A partir de la igualdad k(T − zI)xk2 = β 2 kxk2 + k(T − αI)xk2 , ∀x ∈ D(T ), z = α + iβ, si hacemos y = (T − zI)x, resulta kyk2 ≥ β 2 k(T − zI)−1 yk2 . b) Es evidente que R z2 − R z1

= Rz2 (T − z1 I)Rz1 − Rz2 (T − z2 I)Rz1 = Rz2 [(T − z1 I) − (T − z2 I)]Rz1 = (z2 − z1 )Rz2 Rz1 .

De esta relaci´on se deduce la conmutatividad Rz1 Rz2 = Rz2 Rz1 , ∀z1 , z2 ∈ ρ(T ). c) Como D(Rz ) = H, existe (Rz )∗ . Adem´as, ∀x ∈ D(Rz ), y ∈ D(R z ): hRz x, yi = hRz x, (T − zI)R z yi = h(T − zI)Rz x, R z yi = hx, R z yi =⇒ R z = (Rz )∗ .

TEMAS COMPLEMENTARIOS. 1. Operadores de multiplicaci´on y derivaci´on ([AG], [Kr]). 2. Semigrupos de operadores ([Ru]). 3. Operadores no acotados en Mec´anica Cu´antica ([Kr]). 4. Operadores cerrados y clausurables. Teorema de la aplicaci´on abierta para operadores no acotados ([CC]).

325

´ APENDICE 1

´ A LOS ESPACIOS DE KREIN. INTRODUCCION

Una forma de generalizar el concepto de producto escalar viene motivada por el siguiente ejemplo. 1. Ejemplo. En el espacio K = `2 se define el producto [x, y] =

X

xm ym −

X

xm ym ,

m6∈A

m∈A

para cualesquiera x = (xn )n∈N , y = (yn )n∈N ∈ K, donde A es cualquier subconjunto (fijo) de N. (1) El producto [·, ·] es una forma sesquilineal herm´ıtica en K pero no necesariamente un producto escalar. P EnPefecto, de la desigualdad de H¨older se deduce que las series m∈A xm ym y m6∈A xm ym son absolutamente convergentes. Esto permite sumarlas t´ermino a t´ermino y multiplicarlas por constantes arbitrarias; es decir: [αx + βy, z] =

X

(αxm + βym ) zm −

X m∈A

(αxm + βym ) zm

m6∈A

m∈A

= α

X

xm zm + β

X

y m zm − α

X

xm zm − β

m6∈A

m∈A

X

y m zm

m6∈A

= α[x, z] + β[y, z]; X X X X [x, y] = xm ym − xm ym = xm ym − xm ym = [y, x]. m∈A

m6∈A

m∈A

327

m6∈A

Para ver que no es un producto escalar, observamos que X X [x, x] = |xm |2 − |xm |2 , m6∈A

m∈A

de modo que, si elegimos la P sucesi´on 2x = (xn )n∈N ∈ K, con xn = 0 para n ∈ A, entonces [x, x] = − m6∈A |xm | < 0. (2) El producto anterior es no-degenerado, es decir se verifica [x, y] = 0, ∀y ∈ K =⇒ x = 0.

(3) El producto anterior, restringido a los espacios K + = {x ∈ K : sop(x) ⊂ A} y K − = {x ∈ K : sop(x) ⊂ N \ A} s´ı da lugar a espacios de Hilbert. M´as concretamente: i) K = K + ⊕ K − . ( xm = 0

si m ∈ A, En efecto, si x ∈ K es arbitrario, llamamos ym y si m 6∈ A, ( 0 si m ∈ A, zm = con lo que y = (ym )m ∈ K + , z = (zm )m ∈ K − xm si m 6∈ A, y adem´as x = y + z. Adem´as la descomposici´on es u ´nica pues, si x ∈ K + ∩ K − , entonces c sop(x) ⊂ A ∩ A = ∅, es decir x = 0. ii) [x+ , x− ] = 0, ∀x+ ∈ K + , x− ∈ K − . En efecto, si x+ ∈ K + , x− ∈ K − , entonces X X − − [x+ , x− ] = x+ x+ m xm − m xm = 0 m6∈A

m∈A

+ c pues x− m = 0, ∀m ∈ A y xm = 0, ∀m ∈ A .

iii) (K + , [·, ·]) y (K − , −[·, ·]) son espacios de Hilbert. P Es evidente que ∀x ∈ K + , [x, x] = m∈A |xm |2 ≥ 0 y si [x, x] = 0, entonces xm = 0, ∀m ∈ A. Como adem´as sop(x) ⊂ A, entonces xm = 0, ∀m ∈ Ac , es decir x = 0. Lo anterior prueba que (K + , [·, ·]) es pre-Hilbert. An´alogamente se prueba que (K − , −[·, ·]) es tambi´en pre-Hilbert. Como los productos de K + y K − son los inducidos por el producto usual de `2 , para ver que K + y K − son completos, basta comprobar que son cerrados en `2 . Veamos el caso de K + (que es an´alogo al caso de K − ): 328

Si x ∈ K + , existe una sucesi´on (x(n) )n∈N ⊂ K + tal que x(n) → x, P (n) es decir kx(n) − xk2 → 0. Esto implica que |xm − xm |2 → 0, de m∈N (n)

(n)

donde |xm − xm | → 0, ∀m ∈ N. Como xm = 0 si m 6∈ A, tambi´en xm = 0, ∀m 6∈ A, es decir sop(x) ⊂ A, de modo que x ∈ K + . El ejemplo anterior da sentido a la siguiente definici´on. 2. Definici´ on. Un espacio vectorial K en el que se define una forma sesquilineal herm´ıtica [·, ·] es un espacio de Krein si existen dos subespacios K + y K − con las propiedades i), ii) y iii). 3. Observaciones. a) Todo espacio de Hilbert puede considerarse como un espacio de Krein, con la descomposici´on trivial H = H ⊕ 0. b) El apartado ii) de la definici´on permite decir que K + y K − son ortogonales de modo que la descomposici´on i) es una suma directa ortogonal, llamada descomposici´on fundamental de K. 4. Proposici´ on. Si P + : K → K + y P − : K → K − son las proyecciones ortogonales asociadas a la descomposici´ on K = K + ⊕ K − , entonces el + − operador J = P − P , llamada simetr´ıa fundamental, verifica que [Jx, y] = [x, Jy], ∀x, y ∈ K; adem´ as J es invertible y J −1 = J. Demostraci´ on. Sean x = x+ + x− ∈ K, y = y + + y − ∈ K arbitrarios. Entonces [Jx, y] = [x+ −x− , y + +y − ] = [x+ , y + ]−[x− , y − ] = [x+ +x− , y + −y − ] = [x, Jy]. Por otra parte, si Jx = 0, entonces x+ − x− = 0 y, por la unicidad de la descomposici´on K = K + ⊕ K − , se deduce que x+ = x− = 0, de modo que J es invertible. Por u ´ltimo, como J(x+ − x− ) = x+ + x− , deducimos que J −1 = J. ♦ 5. Proposici´ on. Si definimos hx, yiJ = [Jx, y], x, y ∈ K, entonces (K, h·, ·iJ ) es un espacio de Hilbert en el cual J es un operador autoadjunto e involutivo. Rec´ıprocamente, si (H, h·, ·i) es un espacio de Hilbert y G ∈ L(H) un operador autoadjunto tal que G2 = I, entonces (H, [·, ·]) es un espacio de Krein con el producto [x, y] = hGx, yi, ∀x, y ∈ H. Demostraci´ on. a) Es evidente que el producto h·, ·iJ es lineal en la primera componente. Adem´as, de la proposici´on anterior, resulta: hy, xiJ = [Jy, x] = [x, Jy] = [Jx, y] = hx, yiJ . 329

Por ser (K + , [·, ·]) y (K − , −[·, ·]) pre-Hilbert, deducimos que hx, xiJ = [Jx, x] = [x+ − x− , x+ + x− ] = [x+ , x+ ] − [x− , x− ] ≥ 0, y, si hx, xiJ = 0, entonces [x+ , x+ ] = 0, [x− , x− ] = 0 de donde x+ = 0, x− = 0, es decir x = 0. Veamos que K es completo con dicho producto: Sea (xn )n∈N ⊂ K de Cauchy, es decir kxn − xm kJ → 0. Esto implica que [J(xn − xm ), xn − xm ] → 0, de donde + − − + + − − [x+ n − xm − xn + xm , xn − xm + xn − xm ] → 0 + + + − − − − =⇒ [x+ n − xm , xn − xm ] − [xn − xm , xn − xm ] → 0, + − lo que implica que (x+ n )n∈N es de Cauchy en K y (xn )n∈N es de Cauchy en + − − K − . As´ı pues, existen x+ ∈ K + , x− ∈ K − tales que x+ n → x y xn → x . + − Si llamamos x = x + x , entonces + + + − − − − hxn −x, xn −xiJ = [J(xn −x), xn −x] = [x+ n −x , xn −x ]−[xn −x , xn −x ] → 0

lo que implica que xn → x. Como J es sim´etrico respecto a [·, ·], entonces hJx, yiJ = [J 2 x, y] = [Jx, Jy] = hx, JyiJ . Adem´as, de J = J −1 resulta que JJ = JJ −1 =⇒ J 2 = I, es decir J es involutivo. Para probar el rec´ıproco, veamos los siguientes apartados: •) [·, ·] es una forma sesquilineal herm´ıtica. [αx + βy, z] = hG(αx + βy), zi = hαGx + βGy, zi = αhGx, zi + βhGy, zi = α[x, z] + β[y, z]; [y, x] =

hGy, xi = hx, Gyi = hGx, yi = [x, y].

•) ∃K + , K − tales que K = K + ⊕ K − . Definimos para ello K + = N (I − G), K − = N (I + G) y escribimos la descomposici´on h = 12 (h + Gh) + 12 (h − Gh), ∀h ∈ H. Veamos que: 1 1 h+ = (h + Gh) ∈ K + : (I − G)h+ = (h + Gh − Gh − G2 h) = 0; 2 2 1 1 h− = (h − Gh) ∈ K − : (I + G)h− = (h − Gh + Gh − G2 h) = 0; 2 2 K + ∩ K − = {0} : h ∈ K + ∩ K − =⇒ (I − G)h = (I + G)h = 0 =⇒ h = Gh = −Gh =⇒ h = 0. 330

•) [x+ , x− ] = 0, ∀x+ ∈ K + , x− ∈ K − . (∗)

x+ ∈ K + =⇒ (I − G)x+ = 0 =⇒ x+ = Gx+ ,

(∗∗)

x− ∈ K − =⇒ (I + G)x− = 0 =⇒ x− = −Gx− .

Por tanto, [x+ , x− ] = hGx+ , x− i = hx+ , Gx− i = hx+ , −x− i = hGx+ , −x− i = −[x+ , x− ] =⇒ [x+ , x− ] = 0. •) (K + , [·, ·]) y (K − , −[·, ·]) son espacios de Hilbert. Para ello, s´olo falta comprobar que [x+ , x+ ] ≥ 0 y [x+ , x+ ] = 0 =⇒ x+ = 0, [x− , x− ] ≥ 0 y [x− , x− ] = 0 =⇒ x− = 0 (al ser K + y K − subespacios cerrados de H, que es de Hilbert, ya son completos). Aplicando las igualdades (∗) y (∗∗), obtenemos en efecto: [x+ , x− ] = hGx+ , x− i = hx+ , x+ i ≥ 0, [x+ , x+ ] = 0 =⇒ hx+ , x+ i = 0 =⇒ x+ = 0; [x− , x− ] = hGx− , x− i = −hx− , x− i ≤ 0, [x− , x− ] = 0 =⇒ hx− , x− i = 0 =⇒ x− = 0. Como en K + coinciden los productos [·, ·] y h·, ·i y (K + , h·, ·i) es subespacio cerrado de H, K + es de Hilbert (an´alogamente se argumenta con K − ). ♦

6. Teorema. Sea (H, h·, ·i) un espacio de Hilbert en el que se define una forma sesquilineal herm´ıtica [·, ·] : H × H → C tal que α > 0 : |[x, y]| ≤ αhx, xi1/2 hy, yi1/2 , ∀x, y ∈ H. Entonces existe un operador autoadjunto G ∈ L(H) tal que [x, y] = hGx, yi, ∀x, y ∈ H y kGk ≤ α. Dicho operador G se llama operador de Gram de h·, ·i con respecto a [·, ·] y lo dicho anteriormente sugiere que (K, h·, ·i) es de Krein si y s´olo si G es invertible. Demostraci´ on. Se define el operador G : H × H por hGx, yi = [x, y], ∀x, y ∈ H. Se cumple as´ı: 331

•) G es lineal: hG(ax1 + bx2 ), yi

=

[ax1 + bx2 , y] = a[x1 , y] + b[x2 , y]

=

ahGx1 , yi + bhGx2 , yi = haGx1 + bGx2 , yi, ∀y ∈ H

=⇒ G(ax1 + bx2 ) = aGx1 + bGx2 . •) G es acotado: |hGx, Gxi|

=

|[x, Gx]| ≤ αhx, xi1/2 · hGx, Gxi1/2

=⇒ kGxk2 ≤ αkxk · kGxk =⇒ kGxk ≤ αkxk =⇒ kGk ≤ α. •) G es autoadjunto: hGx, yi = [x, y] = [y, x] = hGy, xi = hx, Gyi.



7. Teorema. Sean K = K1+ ⊕ K1− , K = K2+ ⊕ K2− dos descomposiciones fundamentales del espacio de Krein (K, [·, ·]) con simetr´ıas fundamentales J1 y J2 , respectivamente. Entonces: i) dim K1+ = dim K2+ , dim K1− = dim K2− . ii) Las normas k · kJ1 y k · kJ2 asociadas a los productos internos h·, ·iJ1 y h·, ·iJ2 , respectivamente, son equivalentes. 8. Definici´ on. Un subespacio L de un espacio de Krein (K, [·, ·]) es ortocomplementado si L admite un subespacio complementario ortogonal, es decir si K = L ⊕ L⊥ , donde L⊥ = {y ∈ K : [x, y] = 0, ∀x ∈ L}. 9. Observaci´ on. Es conocido el hecho que en espacios de Hilbert todo subespacio cerrado es ortocomplementado. En espacios de Krein esta propiedad no siempre es cierta, como muestran los siguientes ejemplos. P j 10. Ejemplos. a) Sea K = `2 y [x, y] = ∞ j=1 (−1) xj yj , donde x = (xj )j∈N , y = (yj )j∈N son elementos arbitrarios de K. Como vimos en el ejemplo 1, (K, [·, ·]) es un espacio P de KreinPpues basta tomar A = {2n : n ∈ N}, de modo que [x, y] = j∈A xj yj − j6∈A xj yj . Si definimos  L = x ∈ K : x2j =

2j x2j−1 , ∀j ∈ N , 2j − 1

se puede probar lo siguiente: •) L es cerrado pues, si x ∈ L, existe (x(n) )n∈N ⊂ L tal que x(n) → x. (n)

Es evidente (an´alogamente al ejemplo 1) que xj (n) x2j

=

2j 2j−1

(n) x2j−1 ,

tomando l´ımites, x2j = 332

2j 2j−1

→ xj , ∀j ∈ N. Como

x2j−1 , es decir x ∈ L.

•) L es definido positivo pues, si x ∈ L, X X X [x, x] = (−1)j |xj |2 = |x2j |2 − |x2j−1 |2 j∈N

j∈N

j∈N

 X 4j − 1 X  2j  = − 1 |x2j−1 |2 = |x2j−1 |2 ≥ 0 2j − 1 (2j − 1)2 j∈N

j∈N

y [x, x] = 0 =⇒ x2j−1 = 0, ∀j =⇒ x2j = 0, ∀j. •) L⊥ = {y ∈ K : y2j = 2j−1 2ji y2j−1 , ∀j} pues, si [x, y] = 0, ∀x ∈ L, en h 2j 2j particular e2j−1 + 2j−1 e2j , y = 0 =⇒ −y2j−1 + 2j−1 y2j = 0 =⇒ y2j = 2j−1 2j y2j−1 ,

∀j.

Rec´ıprocamente, si y2j = [x, y] =

X

=

X

j∈N

j∈N

2j−1 2j y2j−1 ,

x2j y2j −

X

∀j =⇒ [x, y] = 0, ∀x ∈ L pues

x2j−1 y2j−1

j∈N

X 2j − 1 2j x2j−1 · y2j−1 − x2j−1 · y2j−1 = 0. 2j − 1 2j j∈N

•) Veamos por u ´ltimo que L no es ortocomplementado, es decir L⊕L⊥ 6= K. Para ello consideramos x ∈ K de la forma x2j−1 = 0, x2j = 1/(2j) y supongamos que existen y ∈ L, z ∈ L⊥ tales que x = y + z. Entonces x2j−1 = y2j−1 + z2j−1 = 0 =⇒ y2j−1 = −z2j−1 1 1 2j 2j − 1 x2j = y2j + z2j = =⇒ = y2j−1 + z2j−1 2j 2j 2j − 1 2j h 2j 1 2j −1 i 4j 2 −(2j −1)2 =⇒ = − y2j−1 = y2j−1 2j 2j −1 2j 2j(2j − 1) 2j − 1 =⇒ y2j−1 = , ∀j. 4j − 1 Sin embargo, la sucesi´on y = (y2j−1 )j∈N no est´a en `2 porque ∞.

P

j∈N



2j−1 4j−1

2

=

b) Sea K un espacio de Krein y x, y ∈ K tales que [x, x] > 0, [y, y] < 0. Consideramos el subespacio L = {λx + µy : λ, µ ∈ C}. Se prueba entonces: - L es cerrado. - Si L fuera ortocomplementado, ser´ıa no degenerado. - L es degenerado (sugerencia: considerar las ra´ıces de la ecuaci´on [λx + y, λx + y] con λ ∈ R). 333

Observaci´ on. Dos referencias b´asicas correspondientes a este tema son [An] y [Bog].

334

´ APENDICE 2

´ EL TEOREMA ESPECTRAL. OR´ IGENES Y EVOLUCION.

La evoluci´on de la teor´ıa espectral es uno de los cap´ıtulos m´as informativos en la historia de las matem´aticas modernas. El hecho central del teorema espectral es que ciertos operadores lineales en dimensi´on infinita pueden representarse en forma diagonal. Aunque el teorema tenga profundas ra´ıces en el pasado, la teor´ıa matem´atica es un fen´omeno estrictamente del siglo XX. Todo estudiante de matem´aticas estudia alg´ un tipo de teorema espectral extra´ıdo de su contexto hist´orico pero inserto en su propio contexto del curso. Este esquema, aunque eficiente pedag´ogicamente, a menudo oscurece el hecho de que el teorema espectral es una especie en evoluci´on, que pretende proporcionar teor´ıas matem´aticas adecuadas para varios fen´omenos f´ısicos. Las ra´ıces hist´oricas del tema deben buscarse en tres ´areas originalmente alejadas, como son la Geometr´ıa Anal´ıtica (teorema de los ejes principales), el An´alisis (ecuaciones integrales) y el Algebra (sistemas infinitos de ecuaciones lineales), los cuales pasamos a esbozar.

1. TEOREMA DE LOS EJES PRINCIPALES.

Es el u ´nico teorema que puede considerarse precursor directo del teorema espectral moderno. No debe sorprender que en su forma m´as simple est´e contenido en los escritos de los fundadores de la Geometr´ıa Anal´ıtica, P. de Fermat y R. Descartes. 335

Destacaremos dos versiones del teorema de los ejes principales. - En el lenguaje de formas cuadr´ aticas: 1637 ... Descartes ... Una forma cuadr´ atica ax2 + 2bxy + cy 2 puede transformarse mediante una rotaci´ on en la forma normal αx2 + βy 2 donde los ejes principales de la forma normal coinciden con los ejes de coordenadas. P 1759 ... Lagrange ... Toda forma cuadr´ atica sim´etrica ni,j=1 aij xi xj en Rn puede escribirse mediante una transformaci´ on ortogonal en la forma Pn 2 normal i=1 λi xi . - Veamos c´omo surge un enunciado de este teorema en el lenguaje de matrices: Dada una aplicaci´on lineal T : Rn → Rn , su comportamiento viene determinado por los valores {T e1 , . . . , T en }, siendo {e1 ,P . . . , en } una base de Rn , y la matriz A = (aij )i,j=1,...,n definida por T ei = nj=1 aji ej representa la aplicaci´on T . Como esa matriz es diferente con respecto a otra base, surge la cuesti´on fundamental: Dado T , determinar las bases para las que la matriz asociada es sencilla. Esto permitir´ıa reconocer algunas propiedades intr´ınsecas de la aplicaci´on s´olo a partir de la representaci´on matricial. El siguiente resultado proporciona una condici´on necesaria y suficiente para que T admita una representaci´on en matriz diagonal. Teorema. Dada T : Rn → Rn , si T tiene una representaci´ on en matriz diagonal, existe un conjunto linealmente independiente {u1 , . . . , un } y un conjunto de escalares {λ1 , . . . , λn } tales que T uk = λk uk (k = 1, . . . , n). Rec´ıprocamente, si existe un conjunto {u1 , . . . , un } linealmente independiente en Rn y un conjunto {λ1 , . . . , λn } de escalares tales que T uk = λk uk (k = 1, . . . , n), entonces la matriz A = diag{λ1 , . . . , λn } representa la aplicaci´ on T respecto a la base {u1 , . . . , un }. Esto nos lleva a definir las nociones de autovalor y autovectores asociados, y el problema anterior ser´a consecuencia de: Dado T , encontrar todos sus autovalores y autovectores asociados. En algunos casos el problema de los autovalores da la respuesta completa o por lo menos es la clave para resolver el problema de la estructura de T . Una soluci´on sencilla a dicho problema es la siguiente: 336

1852 ... Sylvester ... Si A es una matriz asociada a T , λ es autovalor de T si y s´ olo si (A − λI)x = 0 tiene soluci´ on no trivial. Seg´ un la teor´ıa de matrices, esto equivale a det(A − λI) = 0. En este punto es l´ogico suponer el espacio complejo, para poder aceptar autovectores asociados a autovalores complejos (a no ser que T sea sim´etrico) y poder extenderlo a espacios de cualquier dimensi´on. A simple vista esto puede afectar la geometr´ıa de nuestro espacio, pero en realidad no ser´a as´ı. En el caso particular de las aplicaciones sim´etricas, el problema de los autovalores tiene la siguiente soluci´on: Teorema. Sea T : Cn → Cn una aplicaci´ on lineal sim´etrica. Entonces: i) Todos los autovalores de T son reales. ii) Autovectores correspondientes a autovalores distintos son ortogonales. iii) Existe una base de Cn formada por autovectores ortogonales dos a dos. Esto proporciona el teorema de los ejes principales en el lenguaje de matrices. 1858 ... Cayley ... Si A es una matriz sim´etrica real, existe una matriz ortogonal P tal que D = P −1 AP tiene forma diagonal; los elementos de D son los autovalores de A. 1904 ... Hilbert ... Sean λ1 ≤ · · · ≤ λn los autovalores de una matriz sim´etrica K, y {Φ1 , . . . , Φn } un sistema ortonormal de vectores propios asociados. La acci´ on de K con respecto a dicha base se representa por la matriz diagonal L = diag(λ1 , . . . , λn ). La matriz T cuyas filas son los vectores Φ1 , . . . , Φn es una transformaci´ on ortogonal que aplica la base {Φ1 , . . . , Φn } en la base can´ o nica, L = T −1 KT . La matriz L Pn on sobre puede escribirse como L = i=1 λi Pi , donde Pi es la proyecci´ el subespacio generado por Φi . Veamos c´omo puede exponerse en forma geom´etrica el an´alisis sobre la estructura de la aplicaci´on T . Suponemos que T es una aplicaci´on lineal sim´etrica en Cn , dotado de una estructura lineal. Definimos el concepto de autoespacio como el subespacio generado por el conjunto de autovectores asociados a un mismo autovalor. Debido a que dos autoespacios distintos son ortogonales, cabe definir la noci´on de complemento ortogonal de un conjunto M como el conjunto M ⊥ de vectores ortogonales a todos los elementos de M . Las siguientes propiedades expresan caracter´ısticas u ´tiles de las transformaciones sim´etricas: 337

 Si Mλ es el autoespacio asociado al autovalor λ, entonces Mλ⊥ es invariante bajo T . Esto sugiere que la estructura de T viene determinada por su comportamiento sobre Mλ y Mλ⊥ .  Siempre existe alg´ un autovalor λ (por ser el espacio complejo).  Si dim Mλ = r y dim Mλ⊥ = s, entonces s < n (de hecho r + s = n).  Todo elemento x ∈ Cn puede descomponerse como x = y +z, con y ∈ Mλ , z ∈ Mλ⊥ (y la descomposici´on es u ´nica). Debido a la descomposici´on anterior, T x = T y + T z, de la que sabemos T y = λy; basta calcular T z, el cual sabemos que est´a en Mλ⊥ . Hemos reducido pues el problema a un espacio s-dimensional, con s < n. - Si s = 0 termina aqu´ı. - Si s > 0, buscamos un autovalor µ de la restricci´on T |M ⊥ y continuamos λ como antes. Como la dimensi´on del espacio es finita, el proceso termina en un n´ umero finito de pasos. Recapitulando lo anterior, llegamos al teorema espectral en dimensi´on finita, que enunciamos as´ı: Teorema. Sea T : Cn → Cn una aplicaci´ on lineal sim´etrica. Existe entonces un n´ umero finito de n´ umeros reales distintos λ1 , . . . , λk y de subespacios cerrados M1 , . . . , Mk no triviales tales que: i) T |Mi = λi I, i = 1, . . . , k (Mi es el autoespacio asociado a λi ). ii) Mi ⊥Mj , ∀i 6= j. iii) ∀x ∈ Cn , ∃xi ∈ Mi : x = x1 + · · · + xk (descomposici´ on u ´nica). El teorema puede interpretarse diciendo que todo operador sim´etrico es suma de operadores elementales T = T1 + · · · + Tk , con Ti = λi I. El rec´ıproco establece que todo operador de la forma anterior es sim´etrico. Observaciones. 1) Es claro que Mi no est´an generados por los ejes principales ei = (δ1i , . . . , δni ). Sin embargo siempre es posible elegir una base ortogonal de modo que cada Mi est´e generado por alg´ un subconjunto de dicha base. 2) A pesar de la gran importancia del teorema espectral anterior en multitud de aplicaciones, el verdadero desarrollo de las ideas arriba esbozadas no se consigue hasta que se consideran espacios de dimensi´on infinita. La axiomatizaci´on y discusi´on de estos espacios es la que permite un tratamiento 338

unificado de elementos de an´alisis, geometr´ıa y matem´atica aplicada: espacios de funciones, ecuaciones diferenciales e integrales, teor´ıa de operadores, series de Fourier abstractas, geometr´ıa de subespacios, topolog´ıa d´ebil, fuerte y uniforme, teor´ıa de espectros, mec´anica cu´antica y muchos otros.

´ A ESPACIOS INFINITO-DIMENSIONALES. 2.- EVOLUCION

Dos son las l´ıneas fundamentales de evoluci´on de la teor´ıa al caso de espacios de dimensi´on infinita: los sistemas infinitos de ecuaciones lineales y las ecuaciones integrales. A. Sistemas infinitos de ecuaciones lineales. Los sistemas finitos de ecuaciones lineales se resolv´ıan a menudo por el m´etodo de eliminaci´on de variables. En los siglos XVIII y XIX se resolv´ıan sistemas infinitos de ecuaciones para obtener soluciones formales de ecuaciones diferenciales, por el m´etodo de coeficientes indeterminados. Los avances m´as significativos en esta l´ınea fueron los siguientes: 1822 ... Fourier ... quiso probar que toda funci´on puede expresarse como combinaci´on lineal infinita de t´erminos trigonom´etricos. Esto le llevaba a resolver un sistema infinito de ecuaciones lineales, por un proceso de l´ımite. 1870 ... K¨otteritzsch ... intent´o extender la regla de Cramer a sistemas infinitos. 1877 ... Hill ... aplic´o al caso infinito la teor´ıa de determinantes. 1885 ... Appell ... aplic´o el m´etodo de Fourier para determinar los coeficientes del desarrollo en serie de potencias de funciones el´ıpticas. 1885 ... Poincar´e ... proporcion´o una definici´on rigurosa de un determinante infinito. 1891 ... Von Koch ... desarroll´o la teor´ıa de los determinantes infinitos. Los avances en esta direcci´on pod´ıan haber llevado a alg´ un teorema espectral elemental si alguien hubiera generalizado la forma de diagonalizaci´on del teorema de los ejes principales. Esto se hizo al aplicar la teor´ıa de los determinantes infinitos a las ecuaciones integrales.

339

B. Ecuaciones integrales. Las ecuaciones integrales motivaron el inter´es de los matem´aticos por los espacios de dimensi´on infinita, espacios de Hilbert y, posteriormente, espacios de Banach. Es curioso que la atenci´on prestada a las ecuaciones integrales fuera posterior a la relacionada con las ecuaciones diferenciales, a pesar de que la teor´ıa de estas es considerablemente m´as complicada que la de las primeras. Se remonta a Abel en 1823 el primer estudio sobre las ecuaciones integrales, pero la teor´ıa tom´o relevancia en 1900 cuando Fredholm aplic´o a ellas la teor´ıa de matrices y determinantes infinitos. Imitando la t´ecnica de von Koch en el desarrollo de determinantes infinitos, Fredholm desarroll´o su famoso teorema de alternativa con respecto a las soluciones Φ de la ecuaci´on integral Z 1 (1) Φ(x) + K(x, y)Φ(y)dy = Ψ(x), 0 ≤ x ≤ 1, 0

consider´andola como la situaci´on l´ımite del correspondiente sistema lineal (2)

Φ(xi ) +

n X

K(xi , xj )Φ(xj ) = Ψ(xi ), 1 ≤ i ≤ n.

j=1

Fredholm defini´o un determinante DK para (1) como el an´alogo continuo del correspondiente al sistema (2) y prob´o que (1) tiene una u ´nica soluci´on que puede expresarse como cociente de dos determinantes cuando DK 6= 0; alternativamente, cuando DK = 0, la ecuaci´on homog´enea traspuesta Z 1 Φ(x) + K(y, x)Φ(y)dy = 0 0

tiene soluciones no triviales y (1) tiene soluci´on si y s´olo si Ψ es ortogonal a dichas soluciones. Posteriormente a Fredholm, Hilbert (1904) trabaj´o con la ecuaci´on integral Z 1 (3) Φ(x) − λ K(x, y)Φ(y)dy = Ψ(x), 0 ≤ x ≤ 1, 0

y su an´aloga ecuaci´on matricial finita o infinita (4)

Φ(xi ) − λ

n X

K(xi , xj )Φ(xj ) = Ψ(xi ).

j=1

Para construir la maquinaria de resoluci´on de estas ecuaciones, Hilbert defini´o el espectro de la forma cuadr´atica K, distinguiendo el espectro puntual 340

del espectro continuo, defini´o el concepto de continuidad completa para distinguir las formas con espectro puntual puro y las que tienen espectro m´as complicado. Incluso formul´o y prob´o el teorema espectral, no s´olo para formas completamente continuas, sino para formas acotadas.

3.- TEOR´ IA ESPECTRAL DE HILBERT-SCHMIDT.

A pesar de la asombrosa cantidad de an´alisis moderno contenido en los trabajos de Hilbert sobre ecuaciones integrales, su m´etodo b´asico era el de Bernoulli y Fredholm, de reducci´on al caso finito y un laborioso paso al l´ımite. Fue su alumno E. Schmidt quien introdujo el lenguaje de la geometr´ıa eucl´ıdea y en 1907 present´o una teor´ıa de los espacios `2 incluyendo las nociones de norma, linealidad, subespacios y proyecciones ortogonales. Observemos que una generalizaci´onpnatural del concepto de longitud para sucesiones num´ericas, P 2 como kxk = |x1 |2 + |x2 |2 + . . ., conduce a la restricci´on ∞ n=1 |xi | < ∞, necesaria en la consideraci´on de espacios infinito-dimensionales. Sin embargo, un desarrollo abstracto, como el introducido por von Neumann (del que hablaremos posteriormente) no tendr´a que estar sujeto a elecci´on de coordenadas ni a la adopci´on de una base espec´ıfica respecto a la cual la estructura de los operadores sim´etricos venga determinada. Los pasos m´as importantes en la extensi´on del teorema espectral son los siguientes: 1 - Generalizaci´on del concepto de autovalor al caso de una forma cuadr´atica sim´etrica infinita K. Se define para eso el espectro de K, σ(K) = {λ ∈ C : K − λI no tiene inversa acotada}, el cual puede descomponerse en: Espectro puntual, σp (K) = {λ ∈ σ(K) : Kφ = λφ tiene soluci´on no trivial}. Espectro continuo, σc (K) = σ(K) \ σp (K). (Recordemos que, para las transformaciones sim´etricas, el espectro residual es vac´ıo.) Al igual que en dimensi´on finita, todo punto espectral es real. 2 - Estudio de las relaciones entre una transformaci´on y su espectro. Destacamos: “El espectro est´ a acotado cuando K est´ a acotado. Adem´ as σ(K) ⊂ B(0, kKk).”De hecho, 341

“Si K es sim´etrico, kKk = sup{|λ| : λ ∈ σ(K)}.”(Teorema del radio espectral.) Incluso, ∃λ ∈ σ(K) : |λ| = kKk. 3 - Relaci´on entre la continuidad y la acotaci´on. “Los operadores lineales acotados en `2 son precisamente los operadores lineales continuos (preservan la convergencia fuerte).” As´ı, Hilbert extendi´o el teorema de los ejes principales a operadores lineales sim´etricos acotados. Teorema. Cada λ ∈ σp (K) tiene asociado un autovector φλ tal que el conjunto {φλ : λ ∈ σp (K)} es ortonormal. Si Pλ denota on sobre P la proyecci´ el subespacio generado por φλ , el operador L = λP es diagoλ λ∈σp (K) nal. Observemos que L refleja exactamente la acci´on de K sobre el subespacio generado por φλ pero, al ser estrictamente menor que `2 , no se puede asegurar que L y K representen la misma transformaci´on. Para expresar la contribuci´on del espectro continuo, Hilbert adopt´o la noci´on de integral de Stieltjes, definida por este en 1894 en su estudio sobre fracciones continuas: Rb Si f es continua y g creciente, Pn denotamos por a f (x)dg(x) a l´ımn i=1 f (ξi )[g(xi ) − g(xi−1 )]. P P λi (Eλi − Eλi−1 ), donde Eλi = Escribiendo pues la suma λi Pλi como Pi , Hilbert construy´ o para el espectro continuo σc (K) la integral de P j=1 λjR Stieltjes σc (K) λdEλ , quedando el teorema espectral enunciado de la siguiente forma: Teorema. Todo operador lineal sim´etrico acotado K en `2 puede representarse, a partir de una transformaci´ on ortogonal, en forma diagonal como Z X λPλ + λdEλ . λ∈σp (K)

λ∈σc (K)

Hilbert complet´o su teor´ıa espectral identificando una gran clase de operadores con espectro continuo vac´ıo, los que llam´o operadores completamente continuos. Schmidt los caracteriz´o con la propiedad de que aplican sucesiones d´ebilmente convergentes en sucesiones fuertemente convergentes. Estos operadores son los an´alogos infinito-dimensionales m´as pr´oximos a los operadores lineales en dimensi´on finita en cuanto pueden aproximarse por operadores de rango finito y su espectro est´a formado s´olo por autovalores donde el cero es el u ´nico posible punto deRacumulaci´on. En el estudio de las b ecuaciones integrales, el operador Kf = a k(·, y)f (y)dy es completamente continuo. 342

El primer problema que se plantea en esta situaci´on es el de encontrar todos los autovalores de un operador completamente continuo y sim´etrico. No es posible aqu´ı una analog´ıa completa con el caso finito-dimensional, pues no existe una teor´ıa de determinantes que d´e lugar a la ecuaci´on caracter´ıstica. Un m´etodo alternativo consiste en probar la existencia de un autovalor extremo para el cual |λ| = kKk. A partir de aqu´ı es tambi´en sencillo ver que todos los autovalores son reales, que autovectores asociados a autovalores distintos son ortogonales y que K deja invariante al complemento ortogonal del autoespacio correspondiente a cualquier autovalor. Tenemos adem´as, debido a que la identidad es completamente continua u ´nicamente en espacios finito-dimensionales, que el autoespacio correspondiente a cualquier autovalor no nulo tiene dimensi´on finita. En el caso de que λ = 0 sea autovalor, se presenta un problema adicional que se maneja como sigue: Llamamos M0 al autoespacio asociado al autovalor λ = 0. Como K deja invariante a M0⊥ , distinguimos dos casos: - Si dim M0⊥ es finita, aplicamos el teorema espectral en Cn . - Si dim M0⊥ es infinita, M0⊥ es a su vez un espacio de Hilbert sobre el cual K no tiene a λ = 0 como autovalor. Esto permite suponer en adelante que λ = 0 no es autovalor de K y, por tanto, M0⊥ = H. Para cualquier constante real α > 0, se puede probar que s´olo hay un n´ umero finito de autovalores de m´odulo mayor que α. As´ı pues, los autovalores pueden disponerse en forma de sucesi´on λ1 , λ2 , . . . tal que |λ1 | ≥ |λ2 | ≥ . . . . En el caso de que esta sucesi´on sea infinita, deducimos que l´ım λn = 0. Con estos datos, el teorema espectral puede enunciarse detalladamente como sigue: Teorema (espectral para operadores completamente continuos). Sea K un operador completamente continuo en un espacio de Hilbert con N (K) = {0}. Existe entonces una sucesi´ on finita o infinita de n´ umeros reales distintos λ1 , λ2 , . . . y una sucesi´ on de subespacios asociados M1 , M2 , . . . cada uno de ellos de dimensi´ on no nula, tales que: i) K|Mi = λi I, ∀i. ii) Mi ⊥Mj , ∀i 6= j. iii) H = M1 ⊕ M2 ⊕ . . . (clausura del espacio generado por iv) dim Mi < ∞, ∀i. 343

S

i∈N Mi ).

Los n´ umeros λi y los subespacios Mi est´ an un´ıvocamente determinados por K. Un m´etodo constructivo de demostraci´on se basa en definir la sucesi´on {λn } recursivamente como sigue: |λ1 | = sup{|hT x, xi| : kxk = 1} y T u1 = λ1 u1 ; |λn | = sup{|hT x, xi| : kxk = 1, hx, um i = 0, m = 1, . . . , n − 1} y T un = λn un (n > 1). Se prueba L entonces que la familia Mn = N (T − λn I) (n ≥ 1) es ortogonal y H = n Mn . La sucesi´on {λn } es el conjunto de autovalores de K y la familia {Mn }, la de los autoespacios asociados a dichos autovalores. Con este enunciado se incluye el m´ınimo necesario de resultados que podr´ıan esperarse a partir del teorema espectral en Cn . Adem´as es el teorema que se aplica a las ecuaciones integrales cl´asicas. El rec´ıproco del teorema espectral es sencillo pues se trata de construir un operador sim´etrico y completamente continuo a partir de las sucesiones {λn } y {Mn } de modo que estas den la soluci´on al problema de autovalores y autovectores. Un nexo mayor entre las teor´ıas de ecuaciones integrales y de matrices fue establecido por Hilbert a trav´es de los sistemas ortonormales completos. As´ı la ecuaci´on matricial (4) puede deducirse de la ecuaci´on integral (3) sustituyendo cada funci´on continua Φ, Ψ por su desarrollo de Fourier con respecto a un sistema ortonormal completo. Esto permiti´o a Hilbert deducir el teorema de alternativa de Fredholm para la ecuaci´on integral (1) directamente del teorema correspondiente para el sistema lineal infinito (2).

4. INTEGRAL DE LEBESGUE.

La teor´ıa de operadores lineales en dimensi´on infinita no se hizo clara hasta que se estudiaron nuevos espacios abstractos, propiciados por la integral de Lebesgue. El siguiente ejemplo que se estudi´o fue el de las funciones continuas: Si consideramos R 1 el espacio de las funciones x : [0, 1] → C continuas, la operaci´on hx, yi = 0 x(t) y(t)dt es un producto interior, pero el espacio, que tiene obviamente dimensi´on infinita, no es completo. El proceso de compleci´on requiere el desarrollo de la teor´ıa de integraci´on debida a H. Lebesgue, en la 344

misma ´epoca en que Hilbert creaba la teor´ıa espectral para el espacio `2 . Se construye as´ı el espacio L2 de las funciones cuyo cuadrado es integrable seg´ un Lebesgue, considerando id´enticas dos funciones si difieren en un conjunto de medida nula. La demostraci´on de la completitud de L2 fue dada simult´anea e independientemente por Riesz y Fischer en 1907. Esta prueba ilustra adem´as 2 2 el isomorfismo entre los espacios coeficientes de Fourier de P∞` y L 2puesR los 1 2 x(n)| = 0 |x(t)|2 dt. una funci´on x ∈ L verifican n=1 |b En 1910, Riesz, adem´as de introducir los espacios Lp , obtuvo una teor´ıa espectral para L2 an´aloga a la desarrollada por Hilbert y Schmidt para `2 . Previamente, en 1909, el propio Riesz prob´o su famoso teorema de representaci´on en el que resolv´ıa un problema estudiado en 1903 por J. Hadamard. Riesz prob´o que todo funcional lineal continuo en C[a, b] es una integral Rb de Stieltjes a f dg con respecto a alguna funci´on g de variaci´on acotada. A continuaci´on, Lebesgue prob´o que toda integral de Stieltjes puede interpretarse Rcomo una integral R b de Lebesgue interpretando adecuadamente la b f´ormula a f (x)dg(x) = a f (x)g 0 (x)dx. Esto condujo a J. Radon a desarrollar en 1913 la integraci´on con respecto a una medida (funci´on de conjuntos numerablemente aditiva) abarcando las integrales de Lebesgue y Stieltjes y dando pie a los fundamentos de todas las teor´ıas modernas de la integral abstracta. Lo anterior indica que la evoluci´on de la integral moderna estuvo conectada a la creaci´on de la teor´ıa espectral por Hilbert. Aunque no hay dependencia l´ogica entre ellas, es clara su dependencia hist´orica: Hilbert us´o la integral de Stieltjes para obtener el teorema espectral en `2 , mientras que Riesz us´o la integral de Lebesgue para desarrollar la misma en L2 .

´ 5. MECANICA CUANTICA.

En 1925-26, W. Heisenberg y E. Schr¨odinger crearon la teor´ıa de la mec´anica cu´antica en G¨ottingen. En la teor´ıa de Heisenberg el hecho de que ciertas observaciones at´omicas no pueden hacerse simult´aneamente fue interpretado matem´aticamente como la no conmutatividad de las operaciones que las representan. Como el ´algebra de matrices es no conmutativa, Heisenberg junto con M. Born y P. Jordan representaron cada cantidad f´ısica por una matriz apropiada. El conjunto de valores posibles de dicha cantidad f´ısica era el espectro de la transformaci´on. En contraste, Schr¨odinger inici´o una teor´ıa menos ortodoxa basada en su ecuaci´on de ondas. Tras la sorpresa inicial de que la mec´anica de ondas de Schr¨odinger y la mec´anica de matrices de Heisenberg -dos teor´ıas con hip´otesis esencialmente diferentes- deb´ıan producir 345

los mismos resultados, Schr¨odinger unific´o los dos enfoques probando que los autovalores del operador diferencial en la ecuaci´on de ondas determinan la correspondiente matriz de Heisenberg, resultados tambi´en obtenidos simult´aneamente por P. Dirac. Se comprob´o que la energ´ıa de un ´atomo puede ser expresada por una forma cuadr´atica, cuyo espectro corresponde al observable mediante un espectroscopio. Todo esto impuls´o nuevamente el inter´es en la teor´ıa espectral. El propio Hilbert se asombr´o de que los espectros de sus formas cuadr´aticas se pudieran interpretar como espectros at´omicos. Como ´el mismo dijo: Yo desarroll´e mi teor´ıa de infinitas variables sin presentir que m´as tarde encontrara aplicaciones al espectro de la f´ısica. R´apidamente se aclar´o sin embargo que la teor´ıa espectral de Hilbert era la base matem´atica apropiada para la nueva mec´anica. Matrices finitas e infinitas se interpretaron como operadores en un espacio de Hilbert (todav´ıa limitado a `2 ´o L2 ) y cantidades f´ısicas se representaban por tales operadores. La maquinaria matem´atica de la mec´anica cu´antica pas´o a ser la del an´alisis espectral y la renovada actividad precipit´o la publicaci´on por A. Wintner (1929) del primer libro dedicado a la teor´ıa espectral. El teorema original de Hilbert aplicado a formas cuadr´aticas reales acotadas y sim´etricas fue r´apidamente extendido (por Schmidt y otros) a matrices complejas acotadas y herm´ıticas, cuyos autovalores son tambi´en reales. Tanto las formas sim´etricas como las herm´ıticas pueden caracterizarse por la relaci´on hAx, yi = hx, Ayi, ∀x, y. Los operadores herm´ıticos tienen tambi´en espectro real y juegan el papel de los n´ umeros reales en el ´algebra de operadores. Casi milagrosamente, fueron los operadores herm´ıticos los que representaban cantidades f´ısicas en la nueva mec´anica. Una raz´on es que las cantidades f´ısicas se miden por n´ umeros reales, aunque m´as convincente es la justificaci´on de que los operadores herm´ıticos de la f´ısica matem´atica proporcionan leyes fundamentales de la f´ısica: si A es herm´ıtico, la ecuaci´on de ondas Φ00 = AΦ implica la conservaci´on de la energ´ıa y las soluciones de la ecuaci´on de Schr¨odinger Φ0 = iAΦ tienen norma constante, que es una hip´otesis fundamental en Mec´anica Cu´antica. Aunque todo observable era representado por un operador herm´ıtico, no necesariamente todo operador herm´ıtico representaba un observable. Dirac a˜ nadi´o en 1930 la hip´otesis crucial de que un operador herm´ıtico representa un observable si y s´olo si sus autovectores forman un sistema ortogonal completo. Esto aseguraba que cualquier vector (que representa un estado) pod´ıa expresarse como combinaci´on lineal (posiblemente infinita) de autovectores de un observable dado. La identificaci´on de operadores con esta propiedad es parte de la teor´ıa espectral de Hilbert-Schmidt, la cual s´olo proporcio346

na una respuesta parcial: los operadores herm´ıticos que son completamente continuos tienen un conjunto completo de autovalores. El teorema no da respuesta al esquema de Dirac pues los operadores en Mec´anica Cu´antica normalmente no son completamente continuos. La mayor´ıa de los operadores importantes en f´ısica involucran la diferenciaci´on. El teorema de integraci´on por partes prueba que el operador diferencial es esencialmente sim´etrico. Pero la derivada de una funci´on pr´acticamente no tiene relaci´on con la magnitud de la funci´on, por tanto la diferencial no es continua ni acotada, ni siquiera est´a definida en todo punto. De hecho, como probaron Hellinger y Toeplitz en 1910, si un operador sim´etrico o herm´ıtico estuviera definido en todo punto, deb´ıa estar acotado. Este sorprendente hecho afirma que un candidato al teorema espectral que no sea acotado, no puede estar definido en todo punto. P. Dirac intent´o soslayar el comportamiento excepcional del operador diferencial introduciendo su funci´on δ para definir derivadas donde no existen y as´ı ampliar el conjunto de funciones en donde se pueda aplicar dicho operador. Aunque este enfoque pudo explicar con ´exito la nueva mec´anica cu´antica, en aquella ´epoca represent´o m´as bien una alternativa al teorema espectral que una extensi´on del mismo y realmente no ayud´o a extender la teor´ıa de Hilbert a operadores no acotados.

6. TEOR´ IA ESPECTRAL DE VON NEUMANN Y STONE.

Desde Hilbert, el u ´nico estudio importante sobre los operadores no acotados fue el publicado por T. Carleman en 1923, donde se prob´o que muchos de los resultados de Fredholm y Hilbert son ciertos bajo un tipo m´as d´ebil de hip´otesis de acotaci´on. Desde el punto de vista de la teor´ıa espectral, la mayor contribuci´on se debi´o a J. von Neumann, quien introdujo en 1927 el concepto abstracto de operador lineal en un espacio de Hilbert, expres´o la teor´ıa de operadores de la Mec´anica Cu´antica en t´erminos de operadores en un espacio de Hilbert y reconoci´o expl´ıcitamente la necesidad de extender la teor´ıa espectral de operadores herm´ıticos al caso no acotado, extensi´on que obtuvo en 1929. 1) El primer paso en la teor´ıa de von Neumann fue definir axiom´aticamente el espacio de Hilbert abstracto como un espacio en el que se define un producto interior, que es completo y separable. Entonces defini´o un operador lineal T sobre un espacio de Hilbert abstracto H, cuyo dominio DT se supone generalmente denso en H. De este modo, los operadores lineales comprenden a las matrices y las formas cuadr´aticas de la teor´ıa de Hilbert 347

y las transformaciones de la mec´anica cu´antica. Un operador lineal es continuo si y s´olo si es acotado, y un operador lineal acotado con dominio denso puede extenderse un´ıvocamente a un operador lineal acotado definido en todo H. Todo operador lineal T con dominio denso tiene un u ´nico adjunto T ∗ definido por la relaci´on hT x, yi = hx, T ∗ yi, ∀x ∈ DT , y cuyo dominio es el conjunto de y ∈ H para los que se cumple la relaci´on anterior. Un operador T es autoadjunto si T = T ∗ y sim´etrico si T ∗ es extensi´on de T (los operadores autoadjuntos eran llamados hipermaximales por von Neumann). 2) En los operadores lineales acotados (definidos en todo H o que pueden extenderse para que lo est´en) coinciden los conceptos de operador sim´etrico y autoadjunto. El teorema de Hellinger-Toeplitz puede extenderse a los operadores de von Neumann con lo que se prueba que todo operador sim´etrico definido en todo H debe estar acotado (resultado muy relacionado con el teorema del gr´afico cerrado de S. Banach publicado en 1932). Hay as´ı tres tipos de operadores sim´etricos en la teor´ıa de von Neumann: - Acotados, autoadjuntos y definidos en todo el espacio. - No acotados, autoadjuntos y densamente definidos. - No acotados, no autoadjuntos y densamente definidos. La teor´ıa original de Hilbert se aplicaba a los primeros y el teorema espectral de von Neumann inclu´ıa tambi´en a los segundos. Esta teor´ıa fue desarrollada por Riesz en 1930 y m´as extensivamente por M. Stone en 1932. Los esfuerzos combinados de von Neumann y Stone en el per´ıodo 1927-1932 proporcionaron la mayor colecci´on de nuevos m´etodos para la teor´ıa espectral desde el trabajo de Hilbert durante el per´ıodo 1901-1906. 3) Del teorema espectral de Hilbert para un operador lineal sim´etrico acotado, Z X T = λPλ + λdEλ , λ∈σc (T )

λ∈σp (T )

al escribir la primera suma como integral de Stieltjes R y combinarla con la segunda integral, se obtiene la forma compacta T = λ∈σ(T ) λdEλ sobre todo el espectro. Los operadores Eλ son proyecciones con las siguientes propiedades: i) Si λ < µ, el rango de Eλ est´a contenido en el rango de Eµ . ii) Eλ+ε → Eλ cuando ε → 0+ . iii) Eλ → 0 si λ → −∞. 348

iv) Eλ → I si λ → +∞. Stone llam´o a dicha familia resoluci´on de la identidad. En forma intuitiva, se requiere que la funci´on λ 7→ Eλ sea creciente, continua por la derecha, con 0 e I como valores l´ımites a la izquierda y derecha. La extensi´on de von Neumann-Stone del teorema espectral al caso no acotado se enuncia del siguiente modo: Teorema. A todo operador autoadjunto T definido en un espacio de Hilbert H ´nica resoluci´ on de la identidad {Eλ } tal que T = R le corresponde una u λdE . (El espectro ahora no tiene porqu´e ser acotado.) λ σ(T ) Hagamos un esbozo de la demostraci´on en el caso acotado: El primer paso consiste en encontrar una familia {Mλ }λ∈R de subespacios de H con las siguientes propiedades: i) λ < −kT k =⇒ Mλ = {0}, λ > kT k =⇒ Mλ = H. ii) λ ≤ µ =⇒ Mλ ⊂ Mµ . iii) x ∈ Mλ =⇒ T x ∈ Mλ . Si llamamos Eλ a la proyecci´on sobre Mλ , la familia {Eλ }λ∈R es una resoluci´on de la identidad. El siguiente paso es considerar cualquier partici´on de (−kT k, kT k) o, m´as generalmente, una sucesi´on λ0 ≤ λ1 ≤ · · · ≤ λn tales que λ0 < −kT k, λn > kT k. Denotamos por ∆i a la diferencia λi − λi−1 y E∆i a Eλi − Eλi−1 . Se prueba entonces: i) ∀x, y ∈ H, hE∆i x, E∆j yi = 0 si i 6= j. P P la descomposici´on x = ni=1 xi , ii) Como I = ni=1 E∆i , todo x ∈ H tiene P con xi = E∆i x. Entonces kxk2 = ni=1 kxi k2 . Adem´as: iii) Si λ0i es cualquier n´ umero entre λi−1 y λi , entonces kT xi − λ0i xi k ≤ ∆i kxi k. A continuaci´on se prueba que T puede aproximarse en norma por sumas del n P tipo λ0i E∆i , es decir que para cualquier ε > 0, se tiene i=1

kT −

n X

λ0i E∆i k < ε, si λ0i ∈ (λi−1 , λi ), m´ax(λi − λi−1 ) ≤ ε,

i=1

desigualdad que, al interpretarse R βcomo aproximaci´on mediante sumas de Riemann, da lugar a la integral α λdEλ , con α < −kT k, β > kT k. 349

El rec´ıproco es consecuencia directa del hecho de que toda suma del tipo n P λ0i E∆i es sim´etrica y el l´ımite (en norma) de operadores sim´etricos es i=1

sim´etrico. Veremos por u ´ltimo c´omo se construyen los subespacios Mλ en el caso de que el operador sea completamente continuo: Dado λ ∈ R arbitrario, si Mi representa el autoespacio correspondiente al autovalor λi , definimos Mλ como el menor subespacio cerrado que incluye a todos los Mi , con λi < λ. La sucesi´on Mλ es constante hasta que λ pase por un autovalor, en cuyo caso se le a˜ nade el subespacio finito-dimensional de los autovectores asociados a dicho autovalor. A pesar de la fuerza del teorema, no cubre a muchos operadores diferenciales pues raramente son autoadjuntos. Por ejemplo, para que T = d/dt sea sim´etrico con DT = L2 [0, 1], debemos hacer DT = {f continuamente diferenciable tal que f (0) = f (1) = 0}, pero este dominio es demasiado peque˜ no para que T sea autoadjunto, y al agrandar el dominio se corre el riesgo de perder simetr´ıa. Esto mismo le sucede al tercer tipo de operadores citado antes. Para aplicar su teorema espectral a operadores sim´etricos, von Neumann tuvo que saber qu´e tipos de operadores sim´etricos admiten extensiones autoadjuntas (es f´acil deducir que, si T es sim´etrico y S es extensi´on sim´etrica de T , entonces T ⊂ S ⊂ S ∗ ⊂ T ∗ , es decir, toda extensi´on sim´etrica de T es restricci´on de T ∗ ). En 1929, ´el y Wintner identificaron una gran clase de tales operadores, los operadores semiacotados, para los que existe una constante M > 0 tal que hT x, xi ≤ M kxk, ∀x ∈ DT

´o

− M kxk ≤ hT x, xi, ∀x ∈ DT .

Stone (1932) y Friedrichs (1934) probaron que todo operador sim´etrico semiacotado puede extenderse a un operador autoadjunto semiacotado con la misma cota. Mientras que la teor´ıa espectral de Hilbert y de von Neumann-Stone est´a enfocada a operadores con espectro real, tambi´en el teorema espectral se aplica a operadores con espectro m´as general. El caso m´as simple corresponde a los operadores isom´etricos, que dejan invariante el producto interior; su espectro est´a contenido en el c´ırculo unidad. Un operador isom´etrico sobre se dice unitario y est´a caracterizado por el hecho de que su adjunto es su inverso. Los operadores unitarios fueron introducidos por L. Autonne en 1902 y estudiados por I. Schur en 1909. En 1929, von Neumann utiliz´o la transformada de Cayley C : T 7→ (T − iI)(T + iI)−1 para aplicar operadores sim´etricos en operadores isom´etricos y prob´o que T es autoadjunto si y s´olo si C(T ) es 350

unitario. As´ı el teorema espectral de operadores unitarios se sigue del correspondiente para operadores autoadjuntos usando una integral espectral sobre el c´ırculo unidad en vez de sobre la recta real. Como todo operador lineal acotado T puede descomponerse en forma T = A + iB con A y B acotados y autoadjuntos, en concreto A = (1/2)(T + T ∗ ), B = (1/2i)(T − T ∗ ), pareciera que el teorema espectral puede extenderse a todos los operadores lineales acotados usando esta descomposici´on. Sin embargo, hace falta que A y B conmuten (lo que equivale a que T T ∗ = T ∗ T ), de modo que la extensi´on deseada s´olo funciona para los operadores que conmutan con su adjunto, a los que Toeplitz llam´o normales en 1918. Toeplitz extendi´o el teorema espectral de Hilbert a formas cuadr´aticas normales completamente continuas probando que eran unitariamente equivalentes a una forma diagonal. En general, la resoluci´on espectral Z λdEλ T = σ(T )

se extiende a operadores normales acotados, donde σ(T ) es un conjunto compacto en C contenido en el disco cerrado B(0, kT k). Tanto las definiciones como la teor´ıa espectral de operadores normales no acotados fueron extendidas por von Neumann (1930) y Stone (1932). Despu´es del largo camino recorrido por el teorema de los ejes principales, estamos m´as cerca del An´alisis que de la Geometr´ıa. El contenido geom´etrico del teorema espectral en dimensi´on finita es que el espacio se puede escribir como suma directa de subespacios donde la transformaci´on act´ ua como una simple multiplicaci´on. Pero este enunciado falla en dimensi´on infinita en cuanto hace aparici´on el espectro continuo. En 1938 von Neumann resucit´o el teorema espectral geom´etrico definiendo una integral directa de espacios de Hilbert (en completa analog´ıa con la suma directa). Prob´o entonces que la acci´on de un operador autoadjunto en un espacio de Hilbert pod´ıa representarse como el efecto acumulado de multiplicaciones sobre ciertos subespacios cuya integral directa era unitariamente equivalente al espacio original.

7. TEOREMA DE GELFAND-NAIMARK.

Si H es un espacio de Hilbert, el conjunto L(H) = {T : H → H : T lineal y acotado} forma un anillo normado; tales anillos, y las distintas topolog´ıas sobre ellos definidas, fueron ampliamente estudiados por von Neumann y F. Murray, en el per´ıodo 1936-40. Los trabajos de 1941 y 1943 de I. Gelfand, M. Naimark y G. Shilov constituyeron una teor´ıa de anillos normados que 351

inclu´ıa los anillos de operadores de von Neumann y Murray y que proporcion´o un contexto general para el estudio de las transformadas de Fourier y el an´alisis arm´onico. El nombre de ´algebra de Banach se da actualmente a toda ´algebra normada completa (sobre C) que verifique la desigualdad kxyk ≤ kxk · kyk (es decir, el producto es continuo), y donde se supone la existencia de un elemento identidad e, tal que xe = ex = x y kek = 1. Ejemplos de ´algebras de Banach son el espacio L(H) y el espacio de las funciones continuas con valores complejos sobre un espacio topol´ogico compacto X con la norma del supremo. La relaci´on entre estos dos ejemplos es la parte de la teor´ıa de ´algebras de Banach que se dedica a la teor´ıa espectral. La teor´ıa de Gelfand sobre ´algebras de Banach conmutativas depende de tres conceptos fundamentales: homomorfismos complejos, ideales maximales y espectros. Un homomorfismo complejo es un funcional lineal multiplicativo no nulo. En completa analog´ıa con la teor´ıa espectral en espacios de Hilbert, Gelfand define el espectro σ(x) de un elemento x ∈ B como el conjunto {λ ∈ C : x − λe no tiene inverso}. De estas definiciones se deducen las siguientes propiedades: Proposici´ on. Sea B un ´ algebra de Banach conmutativa y MB el conjunto de homomorfismos complejos de B. a) f ∈ MB =⇒ N (f ) es ideal maximal. b) K ⊂ B ideal maximal =⇒ ∃f ∈ MB : K = N (f ) y dim B/K = 1. c) x ∈ B es inversible ⇐⇒ f (x) 6= 0, ∀f ∈ MB . d) x ∈ B es inversible ⇐⇒ x 6∈ I, ∀I ideal propio de B. e) σ(x) es compacto, no vac´ıo y σ(x) ⊂ B(0, kxk). f ) σ(x) = {h(x) : h ∈ MB }. Por esta raz´on, el espacio MB a menudo se llama espectro de B. El conjunto MB de homomorfismos complejos de un ´algebra conmutativa B (o equivalentemente de ideales maximales) es la topolog´ıa m´as d´ebil con respecto a la cual las funciones x b : MB → C definidas por x b(h) = h(x) son continuas, ∀x ∈ B. Es evidente pues que {b x : x ∈ MB } ⊂ C(MB ). Entonces el espacio topol´ogico MB es compacto y Hausdorff y cada elemento x ∈ B se representa en C(MB ) por su transformada de Gelfand x b. Se prueba adem´as que el rango de x b es σ(x), por lo que kb xk∞ ≤ kxk. Adem´as kb xk∞ = kxk (es decir, la transformada de Gelfand es una isometr´ıa) si y s´olo si kxk2 = kx2 k, ∀x ∈ B. En 1943, Gelfand y Naimark probaron que el ´algebra de Banach conmutativa C(MB ) se caracteriza por la presencia de una involuci´on, ∗ : f 7→ f (la 352

conjugaci´on compleja). En general, una involuci´on en un ´algebra B es una aplicaci´on ∗ : B → B que verifica: i) (x + y)∗ = x∗ + y ∗ . ii) (λx)∗ = λx∗ . iii) (xy)∗ = y ∗ x∗ . iv) x∗∗ = x. Probaron incluso que toda ´algebra de Banach conmutativa con una involuci´on que satisfaga kxx∗ k = kxk2 , ∀x, (llamada C ∗ -´algebra) es isomorfa isom´etricamente al ´algebra C(MB ) de alg´ un ´algebra de Banach B. En par∗ ticular, si B(T ) es la C -´algebra conmutativa generada por un operador normal acotado T , es isomorfa al ´algebra C(σ(T )). Teorema. Sea A una C ∗ -´ algebra conmutativa con espacio de ideales maximales MA . Entonces la transformada de Gelfand es una isometr´ıa de A sobre C(MA ), con la propiedad adicional de que (x∗ )b = x b (es decir, la transformada de Gelfand traslada la involuci´on dada sobre A a la involuci´on natural sobre C(MA )). En particular, si B(T ) es la C ∗ -´algebra conmutativa generada por un operador normal acotado T , es isomorfa al ´algebra C(σ(T )). Con respecto a la teor´ıa espectral, el teorema de Gelfand-Naimark es clave, pues permite deducir el teorema espectral de un operador normal acotado T , traduciendo el teorema de aproximaci´on uniforme de una P funci´on f ∈ C(σ(T )) por funciones escalonadas medibles de la forma f (λi )χ∆i (∆i conjunto medible). La traducci´on de este teorema al ´algebra B(T R ) (en el caso particular de f (λ) = λ) es la resoluci´on espectral T = λdEλ . La teor´ıa de Gelfand sobre ´algebras de Banach revela por tanto que el teorema espectral en alg´ un sentido es equivalente al hecho m´as rudimentario en teor´ıa de funciones. Incluso la teor´ıa de RGelfand lleva a un teorema espectral m´as fuerte, pues se tiene que f (T ) = f (λ)dEλ , para toda funci´on continua f . Este f´ormula fue originalmente introducida por von Neumann y Stone como la base de su c´alculo funcional. Para finalizar, daremos alg´ un detalle de la prueba del teorema espectral, utilizando estas ideas. Si A es un ´algebra con una involuci´on, decimos que un subconjunto S ⊂ A es normal cuando xy = yx, ∀x, y ∈ S y x∗ ∈ S, ∀x ∈ S. Asociado al concepto de resoluci´on de la identidad, definimos una medida espectral sobre la σ-´algebra B(MA ) de los conjuntos de Borel de MA , a una aplicaci´on E : B(MA ) → L(H) con las propiedades 353

i) E(∅) = 0, E(MA ) = I. ii) E(∆) es un proyector ortogonal. iii) E(∆1 ∩ ∆2 ) = E(∆1 )E(∆2 ). iv) ∆1 ∩ ∆2 = ∅ =⇒ E(∆1 ∪ ∆2 ) = E(∆1 ) + E(∆2 ). v) ∀x, y ∈ H, Ex,y (∆) = hE(∆)x, yi es una medida de Borel regular sobre B(MA ). Teorema. Sea A una sub´ algebra normal cerrada de L(H) que contiene la identidad y MA el espacio de ideales maximales de A. Entonces existe una u ´nica medida espectral E sobre los conjuntos de Borel de MA tal que Z T = TbdE, ∀T ∈ A, MA

(Tb es la transformada de Gelfand de T ) donde la integral se interpreta como R hT x, yi = MA TbdEx,y . Demostraci´ on. Es claro que A es una C ∗ -´algebra conmutativa. Por el teorema de Gelfand-Naimark, la aplicaci´on T 7→ Tb es un isomorfismo isom´etrico de A sobre C(MA ). - Unicidad de E: Fijados x, y ∈ H, la aplicaci´on Tb 7→ hT x, yi es un funcional lineal y acotado definido en todo C(MA ), el cual determina un´ıvocamente la medida Ex,y por la f´ormula Z hT x, yi = TbdEx,y (teorema de representaci´on de Riesz). MA

Por definici´on, hE(∆)x, yi = Ex,y (∆), lo que determina un´ıvocamente la proyecci´on E(∆), para cada ∆. - Existencia de E: Fijados x, y ∈ H, la aplicaci´on βx,y : C(MA ) → C definida por βx,y (Tb) = hT x, yi es un funcional lineal acotado (por el teorema de GelfandNaimark), tal que kβx,y k ≤ kxk · kyk, pues kTbk∞ = kT k. Por el teorema de representaci´on de Riesz, existe una medida compleja de Borel regular µx,y soR bre MA tal que hT x, yi = MA Tbdµx,y . Dicha medida verifica adem´as: (1) µαx1 +βx2 ,y = αµx1 ,y + βµx2 ,y . (2) µx,y = µy,x , pues cuando Tb es real, T es autoadjunto. (3) kµx,y k = kβx,y k. Fijada ahora f de Borel y Racotada en MA , la aplicaci´on βf : H × H → C definida por βf (x, y) = M f dµx,y es una forma sesquilineal acotada. A 354

Entonces (teorema de representaci´on de formas sesquilineales), Z ∃Φ(f ) ∈ L(H) : hΦ(f )x, yi = f dµx,y , ∀x, y ∈ H. MA

Este operador verifica: (4) Φ(Tb) = T (Φ extiende a la inversa de la transformada de Gelfand). (5) Φ(f ) es autoadjunto si f es real. (6) Φ(f g) = Φ(f )Φ(g), ∀f, g de Borel acotadas. Si para cada ∆ de Borel en MA definimos E(∆) = Φ(1∆ ), se demuestra tambi´en que: (7) E(∆1 ∩ ∆2 ) = E(∆1 )E(∆2 ); en particular, por (6), E(∆) es una proyecci´on. (8) E(∆) es autoadjunto, por (5). (9) E(∅) = 0, E(MA ) = I, por (4). P S (10) E( ni=1 ∆i ) = ni=1 E(∆i ), si ∆i ∩ ∆j = ∅, i 6= j. (11) hE(∆)x, yi = µx,y (∆). En definitiva, E es la medida espectral buscada. Particularizando lo anterior a un solo operador, resulta: Teorema. Sea T ∈ L(H) un operador normal. Existe entonces una u ´nica medida espectral E definida sobre los conjuntos de Borel de σ(T ) tal que Z T =

λdE(λ) σ(T )

(descomposici´ on espectral de T ). Demostraci´ on. Sea A la m´ınima sub´algebra cerrada de L(H) que contiene a I, T y T ∗ . As´ı puede aplicarse el teorema anterior; sabemos tambi´en que σ(T ) puede identificarse con el espacio de ideales maximales de A. Observaci´ on. Para consultar m´as detalles sobre este tema o completar alguna informaci´on, pueden verse las referencias [GG], [Lor], [Ru], [Ste].

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