Analisis Funcional

March 31, 2017 | Author: kaguji0329 | Category: N/A

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´ INTRODUCCION

1. CONCEPTO.

El Análisis Funcional es una rama de las Matemáticas que utiliza el lenguaje de la Geometr´ıa en el estudio de ciertas estructuras topológico-algebraicas y de los métodos que pueden aplicarse a problemas anal´ıticos mediante el conocimiento de estas estructuras. As´ı, muchos problemas en Análisis se refieren no sólo a objetos aislados, como funciones, medidas u operadores, sino a clases o conjuntos de tales objetos. La mayor´ıa de estas clases (en el caso que nos ocupa) son espacios vectoriales, tanto reales como complejos. Como los procesos de l´ımite juegan su papel en todo problema anal´ıtico -concepto que permite hablar de diferenciación e integración y en general de procesos infinitos, que pueden incluso reducirse a la consideración de ciertos procesos finitos,- no debe sorprender que esos espacios estén dotados de métricas, o al menos de topolog´ıas, para poder establecer relaciones naturales entre los objetos de esos espacios y generalizar conceptos familiares, como el de l´ımite de sucesiones, sucesiones de Cauchy, funciones continuas, etc. Una forma simple, pero que ser´ a fundamental en el desarrollo de este curso, consiste en introducir una norma, obteniéndose una estructura de espacio normado. La idea crucial en el estudio del espacio vectorial clásico Rn de las n-tuplas de n´ umeros reales es la expresada por R. Descartes y consiste en asociar a cada elemento (x1 , . . . , xn ) del espacio un punto en un sistema de coordenadas ortogonales. De esta forma todo punto representa un vector y tiene sentido geométrico la suma de vectores y el producto por un escalar, los planos tienen 1

una expresi´ pon anal´ıtica y la distancia entre dos puntos se puede expresar como de un punto x al origen d(x, y) = |x1 − y1 |2 + · · · + |xn − yn |2 . La distancia p 2 de coordenadas, llamada norma de x, es kxk = |x1 | + · · · + |xn |2 . Además, se dice que dos vectores x e y son ortogonales cuando x1 y1 + · · · + xn yn = 0; de aqu´ı se define el producto interior de x e y como hx, yi = x1 y1 + · · · + xn yn . Es fácil observar que la norma se puede definir a partir del producto escalar como p kxk = hx, xi y que la distancia se define a partir de la norma mediante la fórmula d(x, y) = kx − yk. Todo lo anterior puede generalizarse sin dificultad al espacio Cn si se define el producto interior hx, yi = x1 y1 + · · · + xn yn . Este tratamiento algebraico para resolver problemas geométricos ha dominado el pensamiento matem´ atico por m´ as de un siglo. Por otra parte, identificando cada punto o vector x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Cn con la funci´ on x : {1, . . . , n} → C definida por x(1) = x1 , . . . , x(n) = xn , puede tratarse a Cn como el espacio de las funciones complejas con dominio el conjunto {1, . . . , n}. Era natural, llegados a este punto, extender estas ideas a otros objetos matem´ aticos con estructura similar. Fueron D. Hilbert y su alumno E. Schmidt quienes consideraron el espacio de las sucesiones o funciones con dominio el con∞ P junto N, donde tiene sentido el producto interior hx, yi = xn yn en el caso de n=1

que la serie converja; pero esto ocurrePcuando las sucesiones P (xn )n∈N e (yn )n∈N tienen cuadrado sumable, es decir si n∈N |xn |2 < ∞ y n∈N |yn |2 < ∞. Esto origin´ o el espacio `2 de dichas sucesiones, que es la generalización inmediata del espacio eucl´ıdeo Cn . Nuevas extensiones corresponden por ejemplo al caso en que las funciones estén definidas en un intervalo [a, b]: identificando ahora funciones que sean iguales en casi todo punto, se define el producto interior de dos funciones f y g como Rb hf, gi = a f (t) g(t)dt. Se obtiene as´ı el espacio L2 [a, b] de las funciones complejas f : [a, b] → C de cuadrado integrable en [a, b] con respecto a la medida de Lebesgue. Sin embargo, al pasar a espacios de dimensión infinita, se presentan diferencias fundamentales en algunas propiedades, como son: Mientras que en el caso finito toda aplicación lineal es continua, en el caso infinito existen aplicaciones lineales que no son continuas. En el caso finito toda sucesión de Cauchy es convergente pero en el caso infinito no siempre es cierto. Donde esta propiedad es cierta tenemos los llamados espacios completos; donde no es cierta, todav´ıa puede completarse el espacio para que valga la propiedad. En el caso finito toda bola cerrada es compacta (teorema de Bolzano2

Weierstrass) pero en el caso infinito nunca es cierto. Por esta razón es importante el estudio de los operadores compactos que son la generalización directa de los operadores en espacios de dimensión finita. La necesidad de considerar espacios de dimensión infinita, originada por su relación con las teor´ıas cl´ asicas de momentos, de las ecuaciones integrales, etc., permitió dar un gran impulso al desarrollo del Análisis Funcional, impulso que ya no ha cesado al sumarse con la influencia que parte de sus aplicaciones e interrelación con otras ramas del An´ alisis, como la Mecánica Cuántica, Análisis Armónico y Teor´ıa de Aproximaci´ on e Interpolación, entre otras.

´ 2. EVOLUCION.

El análisis funcional nace en la resoluci´ on de ecuaciones donde las incógnitas son funciones. A las ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales estudiadas en el siglo XVIII se unen las ecuaciones integrales a partir del siglo XIX; luego las ecuaciones integro-diferenciales y demás ecuaciones funcionales. A lo largo de los siglos XVIII y XIX se daban soluciones formales de ecuaciones diferenciales resolviendo sistemas infinitos de ecuaciones por el método de coeficientes indeterminados. Por supuesto en esa época no importaba demasiado la convergencia de las series asociadas a tales problemas. Hacia 1800 comienza el estudio de tres tipos de ecuaciones fundamentales en la F´ısica Matemática: ∂2u ∂2u ∂2u + 2 + 2 = 0 : ecuación de Laplace ∂x2 ∂y ∂z ∂2u − ∆u = 0 : ecuación de ondas ∂t2 ∂u − ∆u = 0 : ecuación del calor ∂t que dan lugar al An´ alisis Lineal, a la teor´ıa de series e integrales de Fourier, a la teor´ıa de Sturm-Liouville y a finales de siglo aparecieron los primeros ejemplos de espacios de Hilbert y algunos resultados de la teor´ıa espectral de operadores en tales espacios. También hacia el final del siglo XIX se impone la distinción entre diversos tipos de convergencia de sucesiones de funciones lo que conducirá a la idea general de topolog´ıa sobre un conjunto de funciones. ∆u ≡

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A principios del presente siglo se empezó a desarrollar la teor´ıa abstracta gracias a los trabajos de muchos investigadores, entre los que podemos citar a V. Volterra, I. Fredholm, D. Hilbert, M. Fréchet, F. y M. Riesz, E. Schmidt, H. Weyl, H. Hahn, T. Carleman, J. von Neumann, E. Hellinger, S. Banach, M. Stone, etc., quienes estudiaron las ecuaciones integrales, problemas de valores propios, descomposiciones espectrales de operadores lineales, etc., y fueron descubriendo el correcto encuadre conceptual de los resultados. Ya no se trata de reducir cuestiones referentes a espacios infinito-dimensionales a la geometr´ıa del espacio finito-dimensional sino de desarrollar la geometr´ıa de los objetos a analizar desde un punto de vista intr´ınseco, sin estar sujeto a la elección de coordenadas ni a la adopci´ on de bases espec´ıficas, y usando la geometr´ıa eucl´ıdea sólo como analog´ıa. Los avances experimentados durante esa época fueron presentados de forma sistemática en los famosos libros “Théorie des Opérations Linéaires”, de Banach y “Linear Transformations in Hilbert Spaces”de Stone, ambos publicados en 1932. Ambos tratados ejercieron una gran influencia posterior y todav´ıa sirven de base para un tratamiento b´ asico del Análisis Funcional y la Teor´ıa de Operadores. La axiom´ atica de los espacios de Hilbert fue dada por von Neumann en un art´ıculo de 1930, fundamental en la teor´ıa de operadores no acotados pues establece para ellos el teorema espectral, generalizando lo hecho por Hilbert veinte a˜ nos antes para operadores acotados. El interés de von Neumann en la teor´ıa de operadores, que arranc´ o de la Mec´ anica Cu´ antica, le condujo a un estudio sistemático de las álgebras de operadores; estudio profundizado por I. Gelfand (1941) al descubrir el importante papel que representan los ideales maximales de un álgebra conmutativa y construir as´ı la hoy llamada transformada de Gelfand. La axiomatización y discusi´ on de estos espacios es la que permite un tratamiento unificado de los elementos de an´ alisis, geometr´ıa y matemática aplicada ya citados además de la teor´ıa de operadores, series de Fourier abstractas, geometr´ıa de subespacios, topolog´ıa débil, fuerte y uniforme, teor´ıa de espectros y muchos otros. A partir de los a˜ nos 40 se desplaz´ o el interés en los espacios normados por el de los espacios localmente convexos motivado por la construcción de L. Schwartz de la teor´ıa de distribuciones, la cual ha resultado tener muchas aplicaciones, en particular a las ecuaciones en derivadas parciales. El desarrollo de la teor´ıa de distribuciones también ha originado la aparición de la teor´ıa de operadores pseudo-diferenciales y el An´ alisis sobre variedades diferenciales.

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3. CONTENIDO DEL CURSO.

Con respecto al orden de presentaci´ on de los temas, el curso se desarrolla partiendo de los conceptos generales de espacio métrico y de aplicación entre espacios métricos para, consecutivamente, ir a˜ nadiendo restricciones que motiven por un lado la idea de norma y de producto escalar definidas en clases adecuadas de espacios métricos, y por otro la introducci´ on de los operadores lineales que act´ uen sobre dichos espacios. Con este esquema se consigue, en primer lugar, presentar al principio la notación y terminolog´ıa a seguir a lo largo del curso y conseguir una paulatina toma de contacto con los recursos t´ıpicos en los que se incidirá posteriormente. En segundo lugar, se aprovechan las propiedades y ejemplos más generales y se refinan para proporcionar modelos simples y ejemplos concretos. De particular interés son los espacios clásicos de sucesiones y de funciones los cuales, introducidos desde un principio, permitir´ an comprobar sobre ellos las propiedades que caracterizarán los nuevos espacios que se ir´ an definiendo a lo largo del curso. El c´ırculo se cierra cuando se muestra que los espacios de Hilbert separables son la generalización inmediata de los espacios eucl´ıdeos y que los operadores lineales y acotados juegan el papel de matrices asociadas a homomorfismos (especialmente ilustrativo en este aspecto es el texto de I. Gohberg y S. Goldberg [GG]). El esquema de la p´ agina siguiente muestra la dependencia entre los cap´ıtulos que componen el programa propuesto. Al final de cada cap´ıtulo se presenta una colección de problemas resueltos en su totalidad, completando as´ı la informaci´ on básica desarrollada a lo largo del cap´ıtulo. Se proponen también una serie de temas complementarios con referencia a los textos en donde pueden consultarse. Una extensa, aunque no exhaustiva, lista de publicaciones relativas al tema se proporciona en la bibliograf´ıa final, lista que incluye tanto tratados generales, como textos introductorios, as´ı como textos que aportan información suplementaria a los objetivos de este curso b´ asico.

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INTERDEPENDENCIA LOGICA

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I. NOCIONES GENERALES SOBRE ESPACIOS ´ METRICOS

En este primer cap´ıtulo se recuerdan los conceptos topológicos básicos y se adopta la terminolog´ıa y notación que se manejarán a lo largo del curso; se introducen además los ejemplos que servirán de modelo para las aplicaciones esenciales de la teor´ıa a desarrollar.

SECCIONES 1. Definiciones previas y primeros ejemplos. 2. Nociones topológicas en espacios métricos. 3. Aplicaciones entre espacios métricos. 4. Completitud en espacios métricos. 5. Compacidad en espacios métricos. 6. Ejercicios.

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1. DEFINICIONES PREVIAS Y PRIMEROS EJEMPLOS.

La estructura más importante del análisis funcional es el espacio vectorial. Un conjunto X 6= ∅ se llama espacio vectorial (y sus elementos se llamarán vectores) respecto al cuerpo E (a cuyos elementos llamaremos escalares) si en X se definen dos operaciones, suma y multiplicación por escalar, con las propiedades algebraicas siguientes: (a) X es un grupo abeliano respecto a la suma, es decir: a.1) ∀x ∈ X : x + y = y + x. a.2) ∀x, y, z ∈ X : (x + y) + z = x + (y + z). a.3) Existe un u ńico 0 ∈ X tal que x + 0 = 0 + x, ∀x ∈ X (no confundirlo con el neutro de E). a.4) ∀x ∈ X, ∃ − x ∈ X : x + (−x) = 0. (b) La multiplicación por escalar verifica: b.1) ∀x ∈ X, ∀α, β ∈ E : α(β · x) = (αβ) · x. b.2) ∀x ∈ X, 1 · x = x (1 es la identidad en E). b.3) ∀x ∈ X, ∀α, β ∈ E : (α + β) · x = α · x + β · x. b.4) ∀x, y ∈ X, ∀α ∈ E : α · (x + y) = α · x + α · y. Un espacio vectorial real es aquél donde E = R y un espacio vectorial complejo es aquél donde E = C. Siempre que no se especifique el cuerpo E, entenderemos que se trata de R ó C. Notaci´ on: Si X es un espacio vectorial, A ⊂ X, B ⊂ X, λ ∈ E, escribiremos A + B = {x + y : x ∈ A, y ∈ B}, A − B = {x − y : x ∈ A, y ∈ B}, A \ B = {x : x ∈ A, x 6∈ B} (en particular Ac = X \ A), λA = {λx : x ∈ A} (obsérvese que 2A 6= A + A), A × B = {(x, y) : x ∈ A, y ∈ B}. Una familia finita de vectores {x1 , . . . , xn } ⊂ X se dice linealmente independiente cuando α1 x1 + · · · + αn xn = 0 =⇒ α1 = · · · = αn = 0. 2

Análogamente, una colección arbitraria de vectores es linealmente independiente si cualquier subconjunto finito de ella es linealmente independiente. Se dice que un conjunto A ⊂ X linealmente independiente es base de Hamel de X si todo vector x ∈ X puede expresarse como combinación lineal de elementos de A, es decir si existen escalares α1 , . . . , αn ∈ E y vectores x1 , . . . , xn ∈ A tales que x = α1 x1 + · · · + αn xn . Entenderemos siempre las combinaciones lineales finitas, aunque haya un n´ umero infinito de elementos en la base. Se puede probar (como una aplicación del lema de Zorn) que todo espacio vectorial posee una base de Hamel. Además todas las bases tienen el mismo n´ umero de elementos, llamado dimensión (algebraica) del espacio. Un conjunto Y ⊂ X es subespacio de X si Y es también espacio vectorial (con las mismas operaciones, por supuesto). Esto ocurre si y sólo si 0 ∈ Y y αY + βY ⊂ Y, ∀α, β ∈ E. Dada una familia U ⊂ X, el menor subespacio de X que contiene a U se llama subespacio generado por U , y lo denotaremos por hU i. Se dice que X es suma directa de los subconjuntos M1 , . . . , Mn , lo cual denotaremos por X = M1 ⊕ · · · ⊕ Mn , si X X = M1 + · · · + Mn y Mi ∩ Mj = {0}, i = 1, . . . , n. j6=i

Si esto es cierto, todo vector en X se puede escribir en forma u ńica como suma x = m1 +· · ·+mn con mi ∈ Mi , i = 1, . . . n. A diferencia de lo anterior, se define la suma directa externa de dos espacios X e Y al producto X × Y con las operaciones usuales. En un conjunto arbitrario (no necesariamente con estructura algebraica) se puede definir el concepto de métrica. Si además posee estructura de espacio vectorial, ciertas métricas darán lugar a la noción de norma, como veremos en el cap´ıtulo II. 1.1.- Definici´ on. Un espacio métrico es un par (X, d), donde X es un conjunto arbitrario no vac´ıo y d : X × X → R una aplicación, llamada distancia o métrica, tal que, para cualesquiera x, y, z ∈ X, se verifica: (1) d(x, y) ≥ 0. (2) d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y. (3) d(x, y) = d(y, x). (4) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z). De la definición son evidentes las siguientes propiedades: 3

i) d(x1 , xn ) ≤ d(x1 , x2 ) + d(x2 , x3 ) + · · · + d(xn−1 , xn ), ∀x1 , x2 , . . . , xn ∈ X. ii) |d(x, z) − d(y, z)| ≤ d(x, y), ∀x, y, z ∈ X. iii) Si Y es un subconjunto del espacio métrico (X, d) y se define d0 (y1 , y2 ) = d(y1 , y2 ), ∀y1 , y2 ∈ Y , entonces (Y, d0 ) es también un espacio métrico y d0 se llama métrica inducida por d a Y . 1.2.- Ejemplos. ( 1) Sea X un conjunto cualquiera. La aplicación d definida 1 si x 6= y por d(x, y) = es la llamada métrica trivial o discreta. 0 six = y, 2) Si X = R, d(x, y) = |x − y| es la distancia usual (eucl´ıdea). p 3) Para X = R2 , d(x, y) = (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 es también la distancia eucl´ıdea. Las aplicaciones d(x, y) = |x1 −y1 |+|x2 −y2 | y d(x, y) = máx{|x1 −y1 |, |x2 − y2 |} son también métricas en X. 4) En X = Rn son distancias dp (x, y) =

n X

|xi − yi |p

1/p

(p ≥ 1), y

i=1

d∞ (x, y) =

máx |xi − yi |.

1≤i≤n

Un hecho interesante es que todas ellas van a dar topolog´ıas equivalentes (ver teorema 5.9, cap´ıtulo II).. 5) Sean X = Q, c ∈ R (0 < c < 1), p primo. Todo x ∈ Q se puede escribir a como x = pα donde p no divide a a ni a b. As´ı definimos el valor p-ádico b de x como |x|p = cα si x 6= 0 y |0|p = 0. De este modo, d(x, y) = |x − y|p es una métrica (ver [BN]). 6) En el espacio X = {x = (xn )n∈N : xn ∈ C, (xn )n∈N sucesión acotada} definimos d(x, y) = supn |xn − yn |. As´ı (X, d) es un espacio métrico y se denota por `∞ . P p 7) En general, si llamamos `p = {x = (xn )n∈N : ∞ n=1 |xn | < ∞}, (p ≥ P∞ 1/p p 1), las aplicaciones dp (x, y) = son también distann=1 |xn − yn | cias. El espacio correspondiente a p = 2 fue estudiado por Hilbert (1912) en su estudio sobre las ecuaciones integrales y constituyó el primer ejemplo de los que posteriomente definiremos como espacios de Hilbert. 4

Para comprobar los axiomas (concretamente la desigualdad triangular) son necesarias las desigualdades de Hölder y Minkowski que veremos posteriormente (cap´ıtulo II, sección 2). Como la desigualdad triangular falla precisamente cuando p < 1, no tiene sentido definir el espacio `p con p < 1. 8) Los espacios c = {(xn )n∈N : xn ∈ C, (xn )n∈N convergente} y c0 = {(xn )n∈N : xn ∈ C, l´ım xn = 0}, n→∞

al ser subespacios de `∞ , son espacios métricos con la métrica inducida por `∞ . 9) Si llamamos C[a, b] al espacio de las funciones continuas en [a, b], la aplicación d(f, g) = máxx∈[a,b] |f (x) − g(x)| define también una distancia en el conjunto. 10) Más generalmente, si B(A) es el espacio de las funciones acotadas en A, d(f, g) = supx∈A |f (x) − g(x)| es también una distancia. Dejamos como ejercicio la comprobación de los axiomas de espacio métrico en los ejemplos anteriores.

´ ´ 2. NOCIONES TOPOLOGICAS EN ESPACIOS METRICOS.

Sea (X, d) un espacio métrico. Si x ∈ X, r > 0, la bola abierta de centro x y radio r es el conjunto B(x, r) = {y ∈ X : d(x, y) < r}. Análogamente se definen las correspondientes bolas cerradas B(x, r) = {y ∈ X : d(x, y) ≤ r} y las esferas S(x, r) = {y ∈ X : d(x, y) = r}. En general, se llama diámetro de un conjunto A a diám A = sup{d(x, y) : x, y ∈ A}. ( {x} si r ≤ 1, Ejemplos. 1) Si d es la métrica trivial en X, B(x, r) = X si r > 1. 2) En (R, | · |), las bolas abiertas son B(x, r) = {y ∈ R : |x − y| < r}. 2.1.- Definici´ on. Sea A ⊂ X. Se dice que x ∈ A es punto interior de A si existe r > 0 tal que B(x, r) ⊂ A. Se llama interior de A al conjunto int A = {x ∈ A : x es punto interior de A}. Si int A = A, A se llama abierto. Si llamamos A a la colección de todos los conjuntos abiertos de X, tenemos las siguientes propiedades: 5

P1) Aα ∈ A, α ∈ I =⇒

S

P2) A1 , . . . , An ∈ A =⇒

α∈I

Aα ∈ A (I es cualquier conjunto de ´ındices).

Tn

i=1 Ai

∈ A.

P3) ∅, X ∈ A. Observaci´ on. Recordemos que un espacio topológico es aquél en el que existe una familia A de subconjuntos de X que verifican los axiomas (P1), (P2), (P3). De aqu´ı se deduce que todo espacio métrico es a su vez un espacio topológico. 2.2.- Definici´ on. Dado A ⊂ X, un punto x ∈ X es de adherencia de A si ∀r > 0 : B(x, r) ∩ A 6= ∅. El conjunto A = {x ∈ X : x es punto de adherencia de A} se llama clausura de A. Un conjunto A se dice cerrado cuando A = A. Las siguientes propiedades son elementales: (1) A ⊂ A; (2) A ⊂ B =⇒ A ⊂ B; (3) A ∪ B = A ∪ B. 2.3.- Proposici´ on. A es abierto si y s´ olo si Ac es cerrado. Demostraci´ on. Supongamos que A es abierto. Entonces x ∈ Ac =⇒ ∀r > 0 : B(x, r) ∩ Ac 6= ∅ =⇒ B(x, r) 6⊂ A =⇒ x 6∈ int A =⇒

(como A es abierto) x 6∈ A =⇒ x ∈ Ac .

Esto quiere decir que Ac es cerrado. El rec´ıproco también es directo.

♦

De esta proposición y de las propiedades análogas para los abiertos, se deducen las siguientes: P1) T Si {Ai }i∈I es una familia arbitraria de conjuntos cerrados, entonces i∈I Ai es cerrado. S P2) Si {A1 , . . . , An } son cerrados, ni=1 Ai es cerrado. P3) ∅, X son cerrados. 2.4.- Definici´ on. Un punto x ∈ X es punto l´ımite (o de acumulación) de A ⊂ X cuando ∀r > 0, B(x, r) ∩ A contiene infinitos puntos de A (lo que es equivalente a decir que contiene alg´ un punto de A distinto de x). Se llama conjunto derivado de A, A0 = {x ∈ X : x es punto l´ımite de A}. Es fácil comprobar que A es cerrado si y sólo si A0 ⊂ A. 6

2.5.- Definici´ on. Dada una sucesión (xn )n∈N de puntos de X, se dice que converge al punto x, y se escribe xn → x, cuando ∀r > 0, ∃N : xn ∈ B(x, r), ∀n > N. La condición anterior equivale a que la sucesión de n´ umeros reales {d(xn , x)}n∈N converge a cero. Análogamente, una sucesión de subconjuntos {An }n∈N de X converge a un punto x ∈ X si para toda bola B centrada en x, existe un ´ındice m tal que An ⊂ B para todo n > m. Es inmediato que: 2.6.- Proposici´ on. Dada una sucesi´ on arbitraria (xn )n∈N en X, si llamamos Ak = {xn : n > k}, entonces xn → x si y s´ olo si Ak converge a x. Ejemplos. 1) Sea X un conjunto arbitrario con la métrica trivial. Si xn → x, entonces xn = x, ∀n > N. 2) Sea Q con la distancia p-ádica. Dada la sucesión {pn }n∈N , d(0, pn ) = |p|np = cn y como c < 1, pn → 0. 2.7.- Definici´ on. Una sucesión (xn )n∈N en X es acotada cuando sup{d(xn , xm ) : n, m ∈ N} < ∞. En general, un subconjunto M ⊂ X es acotado cuando M ⊂ B(x0 , r) con x0 arbitrario y r suficientemente grande. Un concepto más general, y que relacionaremos posteriormente con el de compacidad, es el siguiente: 2.8.- Definici´ on. Un conjunto A de un espacio métrico X se dice totalmente acotado o precompacto si, dado cualquier ε > 0, existe un n´ umero finito de conjuntos A1 , . . . , Ap tales que A = A1 ∪ · · · ∪ Ap y diám Ai ≤ ε, i = 1, . . . , p. 2.9.- Proposici´ on. Si A es totalmente acotado, entonces es acotado. Demostraci´ on. Tomemos ε = 1; por hipótesis A = A1 ∪· · ·∪Ap con diám Ai ≤ 1. Para cada i ∈ {1, . . . , p}, elegimos xi ∈ Ai y llamamos δ = máx{d(xi , xj ), i, j = 1, . . . , p}. Dados x, y ∈ A, existirán i, j tales que x ∈ Ai , y ∈ Aj ; luego d(x, y) ≤ d(x, xi ) + d(xi , xj ) + d(xj , y) ≤ 1 + δ + 1 = 2 + δ, lo que prueba la acotación de A.

♦

El rec´ıproco no es cierto: basta considerar un conjunto infinito A con la métrica discreta pues toda esfera de radio ε < 1 sólo posee un punto y A no 7

puede cubrirse con un n´ umero finito de esferas de radio ε < 1. Sin embargo, es evidente que se trata de un conjunto acotado. 2.10.- Lema. Sea (X, d) un espacio métrico. a) Si (xn )n∈N es convergente, entonces est´ a acotada y su l´ımite es u ńico. b) Si xn → x, yn → y, entonces d(xn , yn ) → d(x, y). Demostraci´ on. a) Haciendo ε > 1, existe N ∈ N tal que d(xn , x) < 1, ∀n > N . Por otra parte, para los valores n ≤ N, existe a = máx{d(x1 , x), . . . , d(xN , x)}. Entonces d(xn , x) ≤ 1 + a, ∀n y d(xn , xm ) ≤ 2(1 + a), ∀n, m. Si xn → x, xn → y, entonces 0 ≤ d(x, y) ≤ d(x, xn ) + d(xn , y) → 0. b) Por la desigualdad triangular, d(xn , yn ) ≤ d(xn , x) + d(x, y) + d(y, yn ). Entonces |d(xn , yn ) − d(x, y)| ≤ d(xn , x) + d(y, yn ) → 0. ♦ Observaci´ on. En R con la métrica eucl´ıdea se verifica además que toda sucesión monótona y acotada es convergente. Otro resultado importante es el teorema de Bolzano-Weierstrass que afirma que toda sucesión acotada en R tiene alguna sub-sucesi´ on convergente. Muy u ´tiles en lo sucesivo serán las siguientes caracterizaciones de la clausura de un conjunto. 2.11.- Proposici´ on. x ∈ A ⇐⇒ ∃(xn )n∈N ⊂ A tal que xn → x. Demostraci´ on. Si x ∈ A, por definición, ∀n ∈ N, B(x, 1/n)∩A 6= ∅. Elegimos un punto xn ∈ B(x, 1/n) ∩ A. Está claro que xn → x porque d(xn , x) < 1/n. Rec´ıprocamente, si xn → x con xn ∈ A, dado cualquier r > 0, existe N (r) tal que xn ∈ B(x, r), ∀n > N (r), de donde B(x, r) ∩ A 6= ∅. ♦ 2.12.- Corolario. A es cerrado si y s´ olo si dada cualquier sucesi´ on (xn )n∈N contenida en A y xn → x, entonces x ∈ A. 2.13.- Definici´ on. Un subconjunto M de un espacio métrico X es denso en X si M = X. El espacio X se dice separable si posee alg´ un subconjunto numerable que es denso en X. En la práctica se prefieren los espacios separables, más simples que los otros. Veamos algunos ejemplos. Ejemplos. 1) Si X es un espacio con la métrica discreta, es separable si y sólo si es numerable, pues ning´ un subespacio propio puede ser denso. 2) R es separable pues Q ⊂ R es numerable y denso en R. 3) C es separable pues {x + iy : x, y ∈ Q} es numerable y denso en C. 8

4) Veamos que `∞ no es separable: Sea M = {y = (yn )n∈N sucesión formada por ceros y unos}. Asociamos a cada y otro n´ umero yb ∈ [0, 1] cuya representación binaria es y1 /2 + y2 /22 + n · · · + yn /2 + . . . As´ı, como [0, 1] no es numerable y dos puntos distintos yb, zb ∈ [0, 1] tienen distintas representaciones binarias, el conjunto de las sucesiones M formadas por ceros y unos es también no numerable. (Otra forma de ver que M es no numerable es aplicar el procedimiento diagonal de Cantor.) Además, dos de ellas verifican d(y, z) = 1. Por tanto, {B(y, 1/3) : y ∈ M } es una familia no numerable de conjuntos disjuntos. Si un conjunto arbitrario D fuera denso en `∞ , cada una de esas bolas tendr´ıa alg´ un punto de D; como hay un conjunto no numerable de bolas, debe haber un conjunto no numerable de elementos de D. De esto se deduce que `∞ no es separable. 5) Los espacios `p , con 1 ≤ p < ∞, son separables: En efecto, si M = {y = (y1 , . . . , yn , 0, . . . ) : yk ∈ Q, ∀k}, M es numerable. ∞ P Además, ∀x = (xn )n∈N ∈ `p , dado cualquier ε > 0, ∃n = n(x) : |xk |p < k=n+1

εp /2 (por ser el resto de una serie convergente). P Como Q es denso en R, ∃yk ∈ Q : nk=1 |xk − yk |p < εp /2. Si definimos el elemento y = (y1 , . . . , yn , 0, . . . ), entonces d(x, y)p =

n X j=1

|xk − yk |p +

∞ X

|xk |p < εp =⇒ d(x, y) < ε.

j=n+1

Esto demuestra que M es denso en `p .

´ 3. APLICACIONES ENTRE ESPACIOS METRICOS.

3.1.- Definici´ on. Sean (X, d), (Y, d0 ) espacios métricos. Se dice que una aplicación f : X → Y es continua en x0 ∈ X cuando ∀ε > 0, ∃δ > 0 : f (B(x0 , δ)) ⊂ B(f (x0 ), ε). 9

Si f es continua en todo x ∈ X, se llama aplicación continua. (Es evidente que esta definición extiende el concepto de continuidad de funciones reales.) 3.2.- Proposici´ on. f : X → Y es continua en x0 si y s´ olo si toda sucesi´ on (xn )n∈N que converge a x0 verifica f (xn ) → f (x0 ). Demostraci´ on. a) Sea f continua en x0 . Entonces ∀ε > 0, ∃δ > 0 : f (B(x0 , δ)) ⊂ B(f (x0 ), ε). Si xn → x0 , dado tal δ, existe N tal que xn ∈ B(x0 , δ), ∀n > N. Entonces f (xn ) ∈ B(f (x0 ), ε). En definitiva, ∀ε > 0, ∃N : f (xn ) ∈ B(f (x0 ), ε), ∀n > N lo que significa que f (xn ) → f (x0 ). b) Si f no es continua en x0 , entonces ∃ε > 0 : ∀δ > 0, ∃y ∈ B(x0 , δ) : f (y) 6∈ B(f (x0 ), ε). Si elegimos δn = 1/n, encontramos una sucesión (yn )n∈N tal que yn ∈ B(x0 , δn ) y f (yn ) 6∈ B(f (x0 ), ε). Entonces yn → x0 pero f (yn ) 6→ f (x0 ). ♦

3.3.- Proposici´ on. Sean X e Y dos espacios métricos y f : X → Y . Son equivalentes: i) f es continua. ii) xn → x =⇒ f (xn ) → f (x), ∀x ∈ X. iii) F ⊂ Y es cerrado =⇒ f −1 (F ) ⊂ X es cerrado. iv) A ⊂ Y es abierto =⇒ f −1 (A) ⊂ X es abierto. Demostraci´ on. i) =⇒ ii). Ya probado en la proposición anterior. ii) =⇒ iii). Supongamos que f verifica ii); sea F cerrado en Y y A = f −1 (F ). Veamos que A ⊂ A. Si x ∈ A, ∃(xn )n∈N con xn ∈ A tal que xn → x (por la proposición 2.11). Por hipótesis, f (xn ) → f (x), pero f (xn ) ∈ F =⇒ f (x) ∈ F . Como F es cerrado, f (x) ∈ F =⇒ x ∈ f −1 (F ) = A. iii) =⇒ iv). Sea A ⊂ Y abierto. Entonces Y \ A es cerrado y, por hipótesis, f −1 (Y \ A) es cerrado. Como f −1 (Y \ A) = X \ f −1 (A), entonces f −1 (A) es abierto. iv) =⇒ i). Sea x ∈ X y elegimos ε > 0 arbitrario. Es claro que B(f (x), ε) es abierto. Esto implica por hipótesis que f −1 (B(f (x), ε)) es abierto. Como 10

x ∈ f −1 (B(f (x), ε)), debe existir δ > 0 tal que B(x, δ) ⊂ f −1 (B(f (x), ε)). De aqu´ı se deduce que f (B(x, δ)) ⊂ B(f (x), ε), como quer´ıamos demostrar. ♦

´ 4. COMPLETITUD EN ESPACIOS METRICOS.

Cuando un conjunto tiene ciertas propiedades, es interesante saber qué tipo de aplicaciones conservan dichas propiedades. As´ı, un isomorfismo preserva la linealidad de los vectores de un espacio e incluso permite identificar los dos espacios y tratarlos como uno solo. Veremos aqu´ı un concepto similar para los espacios métricos. 4.1.- Definici´ on. Dados dos espacios métricos (X, d), (Y, d0 ), sea f : X → Y. Si f es biyectiva y bicontinua (es decir, tanto f como f −1 son continuas), f se llama homeomorfismo. Los homeomorfismos preservan las propiedades topológicas esenciales: as´ı aplican abiertos de X en abiertos de Y y si x ∈ A0 , f (x) ∈ f (A)0 . 4.2.- Definici´ on. a) Si una aplicación f : X → Y entre dos espacios métricos verifica que ∀x1 , x2 ∈ X : d(x1 , x2 ) = d0 (f (x1 ), f (x2 )), entonces f se llama isometr´ıa. b) Si existe una isometr´ıa biyectiva f : X → Y , diremos que los espacios métricos X e Y son isométricos. Dos espacios isométricos son indistinguibles respecto a la métrica aunque difieran en la naturaleza de sus puntos. 4.3.- Definici´ on. Sea (X, d) un espacio métrico. Una aplicación T : X → X se llama contracción si ∀x, y ∈ X, existe alg´ un r ∈ (0, 1) tal que d(T x, T y) ≤ r · d(x, y). 4.4.- Proposici´ on. Toda contracci´ on T en un espacio métrico (X, d) es continua. Demostraci´ on. Para probar que T es continua en x0 ∈ X, debemos ver que ∀B(T x0 , ε), ∃B(x0 , δ) : T (B(x0 , δ)) ⊂ B(T x0 , ε). Sea pues x ∈ B(x0 , δ) un punto arbitrario; debe cumplirse que T x ∈ B(T x0 , ε), es decir d(T x, T x0 ) < ε. Como T es contracción, existe r ∈ (0, 1) tal 11

que d(T x, T x0 ) ≤ r · d(x, x0 ) < r · δ. Tomando δ = ε/r, se verifica que d(T x, T x0 ) < ε, como quer´ıamos probar. ♦ 4.5.- Definici´ on. Sea (X, d) un espacio métrico. Una sucesión (xn )n∈N es de Cauchy cuando ∀ε > 0, ∃N : d(xn , xm ) < ε, ∀n, m > N. Es fácil comprobar que toda sucesión convergente es de Cauchy. Además, en R ó C toda sucesión de Cauchy converge, pero en general esto no es cierto. 4.6.- Definici´ on (Fréchet, 1906). Un espacio métrico es completo si toda sucesión de Cauchy es convergente. 4.7.- Ejemplos. 1) Cualquier conjunto X con la métrica trivial es completo. 2) Rn con cualquier distancia de las ya definidas es completo. 3) El intervalo X = (0, 1), con d(x, y) = |x − y|, no es completo, porque la sucesión {1/n}n∈N es de Cauchy pero su l´ımite es cero. 4) El conjunto X = Q con la métrica eucl´ıdea d(x, y) = |x−y| no es completo (hay sucesiones de racionales cuyo l´ımite es irracional). 5) X = Q, con d(x, y) = |x − y|p , no es completo como muestra el siguiente ejemplo: k P Eligiendo p√= 5, la sucesión xn = 21 nk=0 (−1)k 1/2 k 5 es de Cauchy y converge a −1 que no es racional. 6) Veamos que el espacio `∞ es completo: (n)

(n)

Sea {x(n) }n∈N = {(x1 , x2 , . . . )}n∈N una sucesión de Cauchy en `∞ . Entonces, ∀ε > 0, ∃N tal que, para n, m > N , (m)

d(x(m) , x(n) ) < ε =⇒ |xi

(n)

(m)

− xi | < ε, ∀i =⇒ ∃xi : d(xi

, xi ) < ε.

Si llamamos x = (x1 , x2 , . . . ), entonces d(x(m) , x) ≤ ε, es decir x(m) → x. (m)

Por otra parte, como la sucesión (xi )m∈N converge a xi , está acotada, es (m) decir ∃k > 0 : |xi | < k, ∀m. Aplicando la desigualdad triangular, (m)

|xi | ≤ |xi − xi

(m)

| + |xi

| < ε + k,

lo que significa que (xi )i∈N está acotada. Esto prueba que x ∈ `∞ . 7) También son completos los espacios `p , para 1 ≤ p < ∞. 12

Para comprobarlo, sea {x(n) }n∈N una sucesión de Cauchy en `p . Entonces ∃N tal que, para n, m > N : d(x(n) , x(m) ) =

X

(n)

|xi

(m) p 1/p

− xi

|

(n)

< ε =⇒ |xi

(m)

− xi

| < ε, ∀i.

i (n)

(n)

Esto implica que {xi }n∈N es de Cauchy, por lo que xi

→ xi ∈ C.

Si llamamos x = (x1 , . . . xi , . . . ), veamos que x(n) → x y x ∈ `p : P (n) (m) Como ki=1 |xi − xi |p < εp , ∀k, entonces, haciendo m → ∞, k X i=1

(n)

|xi

− xi |p ≤ εp =⇒

∞ X

(n)

|xi

− xi |p ≤ εp =⇒ x(n) − x ∈ `p .

i=1

Por la desigualdad de Minkowski (cap´ıtulo II, sección 2), x = x(n) + (x − x(n) ) ∈ `p . P (n) p p (n) → x. Además, d(x(n) , x)p = ∞ i=1 |xi − xi | ≤ ε =⇒ x 8) Si X = C[a, b] y d(f, g) = máxx∈[a,b] |f (x) − g(x)|, entonces X es completo: Si {fn }n∈N es de Cauchy, máxx∈[a,b] |fn (x) − fm (x)| < ε, para n, m > N. Entonces |fn (x) − fm (x)| < ε, ∀x ∈ [a, b]. Por tanto, por el criterio de convergencia de Cauchy, {fn }n∈N converge uniformemente en [a, b] y, como fn son continuas, la función l´ımite también lo será. As´ı, X es completo. R 1/2 b 9) X = C[a, b] con la métrica d(f, g) = a |f (x) − g(x)|2 dx , ∀f, g ∈ X no es completo.

Si hacemos por ejemplo a = −1, b = 1, la sucesión {fn }n∈N definida por   si − 1 ≤ x ≤ 0 0 fn (x) = nx si 0 < x ≤ 1/n,   1 si 1/n < x ≤ 1 13

( 0 es de Cauchy pero el l´ımite f (x) = 1 x = 0.

si − 1 ≤ x ≤ 0 no es continua en si 0 < x ≤ 1,

10) X = {p : [a, b] → C : p polinomio} con d(p, q) = máxx∈[a,b] |p(x) − q(x)| no es completo. Para demostrarlo, basta tomar una sucesión de polinomios P que nconverja uniformemente a una función continua (por ejemplo, ex = n≥0 xn! ). Otros ejemplos de espacios completos se obtienen gracias a la siguiente caracterización. 4.8.- Proposici´ on. Un subconjunto M de un espacio métrico completo X es completo si y s´ olo si M es cerrado en X. Demostraci´ on. Sea M completo. Entonces, ∀x ∈ M , ∃{xn }n∈N con xn ∈ M, ∀n tal que xn → x. Pero como {xn }n∈N converge, es de Cauchy; por tanto converge en M , lo que prueba que x ∈ M. Rec´ıprocamente, sea M cerrado y {xn }n∈N de Cauchy en M . Por ser X completo, xn → x ∈ X =⇒ x ∈ M =⇒ x ∈ M. ♦ Ejemplo. El espacio c = {x = (xn )n∈N ∈ `∞ : (xn )n∈N converge en C} es completo con la métrica inducida por `∞ . En efecto, sea x = (xn )n∈N ∈ c. Entonces ∃yk = (ynk )n∈N ∈ c : yk → x =⇒ |ynk − xn | ≤ d(yk , x) < ε/3, ∀k ≥ N. Como {ynN }n∈N es convergente, es de Cauchy y |ypN − yqN | < ε/3, ∀p, q ≥ N1 . Entonces |xp − xq | ≤ |xp − ypN | + |ypN − yqN | + |yqN − xq | < ε. Esto implica que (xn )n∈N es de Cauchy y, en consecuencia, x ∈ c. Un hecho importante de la completitud es que todo espacio métrico puede verse como subespacio de un espacio métrico completo. 4.9.- Definici´ on. Dado un espacio métrico (X, d), un espacio (X ∗ , d∗ ) se llama compleción de (X, d) si existe X0 subespacio denso de X ∗ tal que (X, d) es isométrico a (X0 , d∗ ). 4.10.- Teorema. Todo espacio métrico tiene una compleci´ on y dos compleciones de un mismo espacio métrico son isométricas. Demostraci´ on (esquema): Sea X ∗ el conjunto de las clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy en X, mediante la relación: {xn }n∈N ∼ {yn }n∈N ⇐⇒: l´ım d(xn , yn ) = 0. n

14

Se define d∗ : X ∗ × X ∗ → R como d∗ (x∗ , y ∗ ) = l´ımn d(xn , yn ) siendo {xn } ∈ x∗ , {yn } ∈ y ∗ . Se debe probar: a) Dicho l´ımite existe (para ello basta que {d(xn , yn )} sea de Cauchy en R). b) La definición no depende de los representantes elegidos. c) d∗ es una métrica. d) X ∗ contiene un subespacio X0 isométrico a X. Para ello definimos X0 = {x∗ ∈ X ∗ : (x, x, . . . ) ∈ x∗ } y f : X → X0 como f (x) = x∗ . e) X0 = X ∗ . f) X ∗ es completo. g) Si (X ∗∗ , d∗∗ ) es compleción de X, ∃f : X ∗ → X ∗∗ isometr´ıa. Otra caracterización importante de los espacios completos, que sólo enunciaremos, viene dada en términos de sucesiones decrecientes de conjuntos o encajes. 4.11.- Definici´ on. Diremos que una sucesión {An }n∈N de subconjuntos de X es un encaje cuando A1 ⊃ · · · ⊃ An ⊃ . . . y diám An → 0. 4.12.- Proposici´ on. Sea {An }n∈N un T encaje de conjuntos no vac´ıos. Entonces An converge a x si y s´ olo si x ∈ n∈N An . 4.13.- Teorema (Principio de encaje de Haussdorf). Sea X un espacio métrico. Son equivalentes: i) X es completo. ii) Todo encaje {Fn }n∈N de conjuntos cerrados no vac´ıos tiene intersecci´ on no vac´ıa. iii) Todo encaje {An }n∈N de conjuntos no vac´ıos converge a un punto x ∈ X.

15

´ 5. COMPACIDAD EN ESPACIOS METRICOS.

5.1.- Definici´ on. Una familiaS{Ai }i∈I de conjuntos se llama cubrimiento de un conjunto A cuando A ⊂ i∈I Ai . Dado un cubrimiento {Ai }i∈I de A, se llama subcubrimiento a todo cubrimiento {Ai }i∈J tal que J ⊂ I. 5.2.- Definici´ on. Un subconjunto M de un espacio métrico X es compacto si todo cubrimiento por abiertos de M posee alg´ un subcubrimiento finito (llamada propiedad de Borel-Lebesgue). As´ı, por ejemplo, en R con la métrica usual, el intervalo abierto (0, 1) no es compacto pues del cubrimiento {(1/n, 1), n ∈ N} no se puede extraer ning´ un subcubrimiento finito. Por otra parte, si un conjunto X posee la métrica discreta, ning´ un subconjunto infinito M puede ser compacto; para comprobarlo basta considerar la familia de bolas abiertas {B(x, 1/2)}x∈M que es un cubrimiento de M pero que no posee ning´ un subcubrimiento finito. 5.3.- Definici´ on. Una familia {Xi }i∈I de conjuntos es un sistema centrado o tiene la propiedad de intersección finita si toda subfamilia finita tiene intersección no vac´ıa. Un conjunto A ⊂ X tiene la propiedad de Riesz si para todo T sistema centrado {Fi }i∈I de cerrados tal que Fi ⊂ A, ∀i ∈ I, se tiene que i∈I Fi 6= ∅. 5.4.- Proposici´ on. Un conjunto A en un espacio métrico X es compacto si y s´ olo si es cerrado y tiene la propiedad de Riesz. (Ver la demostración en [CC], [KF].) 5.5.- Proposici´ on. Todo subconjunto cerrado contenido en un compacto es a su vez compacto. La siguiente caracterización de los conjuntos compactos será u ´til en lo sucesivo. 5.6.- Teorema. Sea X un espacio métrico y A ⊂ X. Son equivalentes: i) A es totalmente acotado y completo. ii) A es compacto. iii) Toda sucesi´ on {xn }n∈N contenida en A posee alguna subsucesi´ on {xnk }k∈N convergente en A (propiedad de Bolzano-Weierstrass). Demostraci´ on. i) =⇒ ii): Sea {Ai }i∈I un cubrimiento por abiertos de A y supongamos que ning´ un subconjunto finito cubre a A. Por hipótesis, dado ε > 0, existen K1 , . . . , Kp tales que A = K1 ∪ · · · ∪ Kp y diám Ki ≤ ε. Además al menos uno de los Ki no puede cubrirse con ning´ un sistema finito 16

de conjuntos de {Ai }i∈I ; digamos que es K1 . Por ser K1 ⊂ A, es también totalmente acotado. Repitiendo el argumento anterior, existirá K2 ⊂ K1 con diám K2 ≤ ε/2 que no puede cubrirse con un n´ umero finito de conjuntos de {Ai }i∈I . Formamos as´ı un encaje {Kn }n∈N de conjuntos contenidos en A que es completo. Por S el teorema 4.13 existe x ∈ A tal que Kn converge a x. Como x ∈ A ⊂ i∈I Ai , existe A0 ∈ {Ai }i∈I con x ∈ A0 ; luego para n grande será Kn ⊂ A0 lo que contradice que Kn no se puede cubrir con un n´ umero finito de conjuntos de {Ai }i∈I . ii) =⇒ iii): Sea A compacto y {xn }n∈N una sucesión de elementos de A. Definimos Xn = {xn , xn+1 , . . . }. Es evidente que {Xn }n∈N es una familia con la propiedad de intersección finita. Por ser A compacto, existe x ∈ A tal que x ∈ Xn para todo n. Podemos suponer que para alg´ un m es x 6∈ Xm (en caso contrario la tesis es evidente). Como x ∈ Xm \ Xm , por la proposición 2.11, x es el l´ımite de alguna subsucesión de {xn }n∈N . iii) =⇒ i): Sea {xn }n∈N una sucesión de Cauchy en A; por hipótesis existe una subsucesión convergente en A lo que implica que la propia sucesión converge en A. Luego A es completo. Si A no fuese totalmente acotado, existir´ıa ε > 0 tal que A no puede cubrirse con un n´ umero finito de bolas de radio ε/2. Elegimos x1 ∈ A y llamamos B1 = B(x1 , ε/2). Como B1 no cubre a A, existe x2 6∈ B1 ; sea B2 = B(x2 , ε/2). Razonando en la misma forma, encontramos una sucesión {xn }n∈N de puntos de A tal que xn 6∈ B1 ∪· · ·∪Bn−1 , es decir d(xi , xj ) ≥ ε/2 con lo que ninguna subsucesión de {xn }n∈N puede ser convergente. ♦ 5.7.- Lema. Un subconjunto compacto de un espacio métrico es cerrado y acotado. Demostraci´ on. Sea M un conjunto compacto y x ∈ M . Entonces existe una sucesión {xn }n∈N ⊂ M que converge a x. Como M es compacto, x ∈ M (pues las subsucesiones deben tener el mismo l´ımite que {xn }n∈N ). Si M no fuera acotado, dado b ∈ M, ∃{yn }n∈N sucesión en M no acotada tal que d(yn , b) > n. Como {yn }n∈N no está acotada, no puede tener ninguna sub-sucesión convergente. ♦ El rec´ıproco es falso, como muestra el siguiente ejemplo: La sucesión {en }n∈N ⊂ `2 , donde en = (δnj )∞ a acotada y es cerrada j=1 , est´ pues se trata√ de un conjunto formado por puntos aislados para los que d(xn , xm ) = 2. Sin embargo, no es compacto por la misma razón. En el caso de espacios normados de dimensión finita el rec´ıproco también es cierto como probaremos más adelante (cap´ıtulo II, teorema 5.7). Hemos probado as´ı que si un conjunto no es cerrado no puede ser compacto. 17

Sin embargo su clausura s´ı puede serlo. Esto origina la siguiente definición. 5.8.- Definici´ on. Un conjunto A de un espacio métrico X es relativamente compacto si su clausura A es compacta. Las siguientes caracterizaciones (cuya demostración omitiremos) serán u ´tiles. 5.9.- Proposici´ on. La condici´ on necesaria y suficiente para que un conjunto A de un espacio métrico completo X sea relativamente compacto, es que sea totalmente acotado. 5.10.- Proposici´ on. La condici´ on necesaria y suficiente para que un conjunto A de un espacio métrico X sea relativamente compacto es que sea secuencialmente compacto, es decir que toda sucesi´ on de elementos de A posea alguna subsucesi´ on convergente (pero no necesariamente a un punto de A). En el análisis, uno de los espacios métricos más importantes es C[a, b] y un criterio importante para el estudio de la compacidad en estos espacios (que aplicaremos posteriormente en el estudio de ciertos operadores integrales) es el teorema de Arzelá-Ascoli que enunciaremos tras definir los conceptos necesarios. 5.11.- Definici´ on. Una familia F = {ϕ} de funciones definidas en [a, b] se llama equiacotada cuando existe una constante k > 0 tal que |ϕ(x)| < k, ∀x ∈ [a, b], ∀ϕ ∈ F . La familia F se dice equicontinua cuando para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que ∀ϕ ∈ F , d(x1 , x2 ) < δ =⇒ |ϕ(x1 ) − ϕ(x2 )| < ε. 5.12.- Teorema (Arzelá-Ascoli). Una familia F ⊂ C[a, b] es relativamente compacta en C[a, b] si y s´ olo si es equiacotada y equicontinua. 5.13.- Teorema (Arzelá-Ascoli generalizado). Dados dos espacios métricos compactos X e Y , llamamos C(X, Y ) = {f : X → Y : f es continua}, que es espacio métrico con la distancia d(f, g) = supx∈X d(f (x), g(x)). Una condici´ on necesaria y suficiente para que un conjunto A ⊂ C(X, Y ) sea relativamente compacto es que ∀ε > 0, ∃δ > 0 : d(x1 , x2 ) < δ =⇒ d(f (x1 ), f (x2 )) < ε, para cualesquiera f ∈ A, x1 , x2 ∈ X. Los conjuntos compactos tienen propiedades interesantes que los hacen comportarse como conjuntos finitos. As´ı por ejemplo la imagen continua de un compacto es un compacto. 18

5.14.- Teorema. Sea f : X → Y una aplicaci´ on continua y X, Y espacios métricos. Si M es compacto en X, f (M ) es compacto en Y . La prueba es directa. 5.15.- Corolario. Si f : X → R es continua y M es compacto en X, entonces f alcanza el m´ aximo (y el m´ınimo) en alg´ un punto de M . Demostraci´ on. f (M ) ⊂ R es compacto, con lo que f (M ) es cerrado y acotado. Esto implica que ´ınf f (M ) ∈ f (M ) y sup f (M ) ∈ f (M ) y las imágenes inversas de esos puntos están en M . ♦

19

6. EJERCICIOS.

1. Sea d una m´ etrica en X . Determinar todas las constantes k para las que

i) kd, ii) d + k es una m´ etrica sobre X . Resp.: i) Sea d0 = kd. Para que d0 (x, y) > 0, debe ser k > 0. Para que d0 (x, y) = 0 ⇐⇒ x = y, debe ser k 6= 0. Como las otras dos propiedades son siempre ciertas, toda constante k > 0 hace de d0 una métrica. ii) Sea d00 = d + k. Para que d00 (x, y) = 0 ⇐⇒ x = y, hace falta que k = 0 porque x = y =⇒ d(x, y) = 0 =⇒ d00 (x, y) = d(x, y) + k = k. As´ı pues, sólo para k = 0 es d00 un métrica. 2. Si A es el subespacio de `∞ formado por las sucesiones de ceros y unos, ¿cu´ al es la m´ etrica inducida sobre A? ( 1 Resp.: Como d(x, y) = supn |xn − yn | = 0 métrica discreta.

si x 6= y se trata de la si x = y,

3. Sea X el conjunto de las ternas ordenadas de ceros y unos. Mostrar que X tiene 8 elementos y que d(x, y) =“n´ umero de lugares etrica sobre X . en que x e y tienen valores diferentes.es una m´ (Esta es la llamada distancia de Hamming y es u ´til en teor´ıa de aut´ omatas y c´ odigos.) Resp.: card X = 23 = 8. i) Es evidente que d(x, y) ≥ 0. 20

ii) d(x, y) = 0 =⇒ x e y no tienen ning´ un valor diferente =⇒ x = y. El rec´ıproco es similar. iii) Por la simetr´ıa de la definición, d(x, y) = d(y, x). iv) Sean x = (x1 , x2 , x3 ), y = (y1 , y2 , y3 ), z = (z1 , z2 , z3 ); debido a que d(x, y) = |x1 − y1 | + |x2 − y2 | + |x3 − y3 |, por la desigualdad triangular en R se deduce que d(x, y) =

=

3 X i=1 3 X i=1

|xi − yi | = |xi − zi | +

3 X i=1 3 X

|xi − zi + zi − yi | ≤

3 X

(|xi − zi | + |zi − yi |)

i=1

|zi − yi | = d(x, z) + d(z, y).

i=1

4. Determinar si la aplicaci´ on d : R × R → R definida por d(x, y) = 2 2 |x − y | es una distancia. Si no lo es, decir si existe un subconjunto de la recta en que s´ı lo sea. Dar el mayor de los conjuntos que lo cumplen. Resp.: Si x = y, es claro que d(x, y) = 0. Sin embargo, si d(x, y) = 0 =⇒ x2 = y 2 , pero puede ser x = −y lo que implica que d no es distancia. Si d está definida en R+ ∪{0} ó R− ∪{0}, x2 = y 2 =⇒ x = y. En cualquier caso, d(x, y) = d(y, x) y d(x, y) = |x2 − y 2 | ≤ |x2 − z 2 | + |z 2 − y 2 | = d(x, z) + d(y, z), de modo que d es distancia en dichos subconjuntos de R. 5. a) Encontrar una sucesi´ on que converja a cero, pero no est´ e en ning´ un `p , con 1 ≤ p < ∞.

b) Encontrar una sucesi´ on que est´ e en `p con p > 1, pero no en 1 ` . Resp.: a) La sucesión (1/ ln n)n≥2 evidentemente converge a cero pero, P n)p debido a que l´ımn→∞ 1/(ln = ∞, ∀p ≥ 1, la serie |1/(ln n)p | es 1/n divergente. 21

P b) La sucesión (1/n)n≥1 no está en `1P , pues la serie 1/n es divergente, pero está en `p con p > 1 pues 1/np < ∞, ∀p > 1. 6. Sea (X, d) un espacio m´ etrico cualquiera. Demostrar que la aplid(x,y) es tambi´ en caci´ on D : X × X → R definida por D(x, y) = 1+d(x,y) una distancia sobre X . Resp.: Es evidente que D(x, x) = 0 y, si D(x, y) = 0 =⇒ d(x, y) = 0 =⇒ x = y. Por ser d distancia, también D(x, y) = D(y, x). Por u ´ltimo, teniendo en cuenta que la función y = resulta: D(x, y) = = ≤

x 1+x

es creciente,

d(x, z) + d(y, z) d(x, y) ≤ 1 + d(x, y) 1 + d(x, z) + d(y, z) d(x, z) d(y, z) + 1 + d(x, z) + d(y, z) 1 + d(x, z) + d(y, z) d(x, z) d(y, z) + = D(x, z) + D(y, z). 1 + d(x, z) 1 + d(y, z)

7. Sea (X, d) un espacio m´ etrico y P (X) el conjunto de partes de X . Se define la aplicaci´ on D : P (X) × P (X) → R por D(A, B) = ´ınf{d(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}.

a) Probar que D no es una m´ etrica en P (X). b) Si A ∩ B 6= ∅, probar que D(A, B) = 0. ¿Qu´ e se puede decir del rec´ıproco? c) Si x ∈ X, B ⊂ X, se define δ(x, B) = ´ınf b∈B d(x, b). Probar que ∀x, y ∈ X, |δ(x, B) − δ(y, B)| ≤ d(x, y). Resp.: a) Si A ∩ B 6= ∅, ∃x ∈ A ∩ B =⇒ D(A, B) = d(x, x) = 0. Sin embargo A 6= B. b) Si D(A, B) = 0 =⇒ ∃an ∈ A, bn ∈ B : d(an , bn ) → 0, pero puede ser A∩B 6= ∅ (ver por ejemplo las bolas B(0, 1) y B(2, 1) en la distancia eucl´ıdea de R). 22

c) Sean b, b0 ∈ B; por la desigualdad triangular, d(x, b) ≤ d(x, y) + d(y, b) ≤ d(x, y) + d(y, b0 ) + d(b0 , b). Esto implica que ´ınf d(x, b) ≤ d(x, y)+ ´ınf d(y, b0 )+ ´ınf d(b0 , b) = d(x, y)+ ´ınf d(y, b0 ), 0 0 0 b ∈B

b∈B

b,b ∈B

b ∈B

o bien δ(x, B) ≤ d(x, y) + δ(y, B). Análogamente se prueba que δ(y, B) ≤ δ(x, B) + d(x, y). 8. Si (X1 , d1 ) y (X2 , d2 ) son espacios m´ etricos, probar que en el espacio producto X = X1 × X2 se pueden definir las m´ etricas siguientes: d(x, y) = d1 (x1 , y1 ) + d2 (x2 , y2 ), d(x, y) = máx{d1 (x1 , y1 ), d2 (x2 , y2 )},

donde x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ) ∈ X. Resp.: i) Es evidente que d(x, y) ≥ 0 y d(x, y) ≥ 0. ii) De la definición se deduce también que: d(x, y) = 0 ⇐⇒ d1 (x1 , y1 ) = d2 (x2 , y2 ) = 0 ⇐⇒ x1 = y1 , x2 = y2 ⇐⇒ x = y; d(x, y) = 0 ⇐⇒ d1 (x1 , y1 ) = d2 (x2 , y2 ) = 0 ⇐⇒ x1 = y1 , x2 = y2 ⇐⇒ x = y. iii) Es claro también que d(x, y) = d(y, x), d(x, y) = d(y, x). iv) En el caso de d, se prueba fácilmente que d(x, y) = d1 (x1 , y1 ) + d2 (x2 , y2 ) ≤ d1 (x1 , z1 ) + d1 (z1 , y1 ) + d2 (x2 , z2 ) + d2 (z2 , y2 ) = d(x, z) + d(z, y). Para probar la desigualdad triangular en el otro caso, supongamos, sin pérdida de generalidad, que d1 (x1 , y1 ) ≥ d2 (x2 , y2 ); as´ı, d(x, y) = d1 (x1 , y1 ). Entonces d(x, y) = d1 (x1 , y1 ) ≤ d1 (x1 , z1 ) + d1 (z1 , y1 ) ≤ máx{d1 (x1 , z1 ), d2 (x2 , z2 )} + máx{d1 (z1 , y1 ), d2 (z2 , y2 )} =

d(x, z) + d(z, y). 23

9. En R definimos la distancia d(a, b) =

|a−b| 1+|a−b|

(ver ejercicio 6).

a) Determinar las bolas abiertas. b) Hallar δ(2, A) donde A = {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1}. c) Hallar D(A, B) donde B = {x ∈ R : −2 < x < −1}. (Las aplicaciones δ y D est´ an definidas en el ejercicio 7.) Resp.: a) Sea x ∈ B(a, r); entonces |x − a| < r =⇒ |x − a| < r + r|x − a| =⇒ (1 − r) · |x − a| < r. 1 + |x − a| - Si r < 1: |x − a| <

r 1−r

=⇒ B(a, r) = a −

r 1−r , a

+

r 1−r

.

- Si r = 1: B(a, r) = R. - Si r > 1 se obtiene también que B(a, r) = R. b) Por definición, δ(2, A) = ´ınf d(2, x) = ´ınf 0≤x≤1

pues y =

2−x 3−x

0≤x≤1

2−x 1 |2 − x| = ´ınf = , 1 + |2 − x| 0≤x≤1 3 − x 2

es una función decreciente en [0, 1].

c) D(A, B) = ´ınf{d(x, y) : x ∈ [0, 1], y ∈ (−2, −1)}. Si x ∈ [0, 1], y ∈ (−2, −1), d(x, y) = Como la derivada parcial constante. Análogamente, como x es constante.

∂d ∂y

=

∂d ∂x

=

x−y 1+x−y .

1 (1+x−y)2

−1 (1+x−y)2

> 0, d es creciente si y es

< 0, entonces d es decreciente si

En el cuadrado [0, 1] × [−2, −1], el m´ınimo se alcanza en (0, −1) y vale 1/2.

24

10. Probar que la clausura B(x0 , r) de una bola abierta B(x0 , r) en un espacio m´ etrico puede ser distinta de la bola cerrada B(x0 , r). Resp.: Sea X un conjunto cualquiera con la métrica discreta, y x0 ∈ X arbitrario. Entonces B(x0 , 1) = {x ∈ X : d(x, x0 ) < 1} = {x0 } =⇒ B(x0 , 1) = {x0 }; sin embargo, B(x0 , 1) = {x ∈ X : d(x, x0 ) ≤ 1} = X. 11. Demostrar que si X es un espacio m´ etrico, A ⊂ X y r ∈ R+ , entonces Vr (A) = {x ∈ X : d(x, A) ≤ r} es cerrado. Resp.: Veamos en primer lugar que la aplicación f : X → R+ definida por f (x) = d(x, A) = ´ınf{d(x, y) : y ∈ A} es continua: Sean ε > 0 y x0 ∈ X arbitrarios. Por la desigualdad triangular, para cualesquiera a, b ∈ A, d(x, a) ≤ d(x, x0 ) + d(x0 , b) + d(b, a). Entonces ´ınf d(x, a) ≤ d(x, x0 )+´ınf d(x0 , b)+ ´ınf d(b, a) =⇒ f (x) ≤ d(x, x0 )+f (x0 ).

a∈A

b∈A

a,b∈A

Análogamente se prueba que f (x0 ) ≤ d(x, x0 ) + f (x). En definitiva |f (x) − f (x0 )| ≤ d(x, x0 ). Si elegimos δ = ε, entonces d(x, x0 ) < δ =⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε. Como [0, r] es cerrado en R+ , entonces f −1 [0, r] también es cerrado en X. Además f −1 [0, r] = {x ∈ E : f (x) ≤ r} = {x ∈ E : d(x, A) ≤ r} = Vr (A). Otra forma consiste en probar que el complementario Vrc (A) es abierto: Sea para ello x ∈ Vrc (A) =⇒ d(x, A) > r. Si llamamos s = d(x, A), veamos que B(x, (s − r)/2) ⊂ Vrc (A). ∀y ∈ B(x, (s − r)/2), d(x, y) < (s − r)/2. Como d(x, A) ≤ d(x, y) + s+r d(y, A), entonces d(y, A) ≥ d(x, A) − d(x, y) > s − s−r 2 = 2 > r. 12. Probar que un espacio m´ etrico X es separable si y s´ olo si existe Y ⊂ X numerable tal que ∀ε > 0, ∀x ∈ X, ∃y ∈ Y : d(x, y) < ε. 25

Resp.: Si X es separable, existe por definición M ⊂ X numerable tal que ∀x ∈ X, ∃{xn }n∈N ⊂ M : xn → x. Entonces ∀ε > 0, ∃N : d(xn , x) < ε, ∀n > N. Rec´ıprocamente, si ∀x ∈ X, ∃y ∈ Y : d(x, y) < ε, entonces x ∈ Y . Esto implica que X = Y con Y numerable, es decir X es separable. 13. Sea {xn }n∈N una sucesi´ on en un espacio m´ etrico X . Probar:

a) Si xn → x, entonces toda sub-sucesi´ on {xnk }k∈N de {xn }n∈N converge a x. b) Si {xn }n∈N es de Cauchy y tiene alguna sub-sucesi´ on convergente, entonces {xn }n∈N converge al mismo l´ımite que dicha sub-sucesi´ on. Resp.: a) Basta tener en cuenta que, si d(xn , x) < ε, ∀n > N , entonces d(xnk , x) < ε, con nk > N . b) Por hipótesis, ∀ε > 0,

∃N1 : d(xnk , x) < ε/2 si nk ≥ N1 ∃N2 : d(xn , xm ) < ε/2 si n, m ≥ N2 .

Tomando N = máx{N1 , N2 }, d(xn , x) ≤ d(xn , xnk ) + d(xnk , x) < ε, si n > N. 14. Sea {xn }n∈N una sucesi´ on en un espacio m´ etrico y consideramos las subsucesiones {x2n }n∈N , {x2n+1 }n∈N , {x3n }n∈N que suponemos convergentes. Demostrar que {xn }n∈N es convergente.

Poner un ejemplo de una sucesi´ on no convergente y que ∀k ≥ 2, {xkn }n∈N sea convergente. Resp.: Supongamos que l´ım x2n = a, l´ım x3n = b, l´ım x2n+1 = c. Por ser {x6n }n∈N subsucesión de {x2n }n∈N y {x3n }n∈N , l´ım x6n = a = b. Por ser {x6n+3 }n∈N subsucesión de {x3n }n∈N y {x2n+1 }n∈N , l´ım x6n+3 = b = c. 26

As´ı pues, l´ım x2n = l´ım x2n+1 = a. Veamos que l´ım xn = a: ∀ε > 0,

∃n1 : |x2n − a| < ε, ∀n > n1 , ∃n2 : |x2n+1 − a| < ε, ∀n > n2 .

Si p = máx{n1 , n2 }, |xn − a| < ε, ∀n > p. ( 1 En cuanto a la segunda parte, si definimos xn = n entonces xkn = 1, ∀n, pero {xn }n∈N no converge.

si n no es primo si n es primo,

15. Sea {un }n∈N , un ∈ R, un ≥ 0 tal que l´ımn→∞ un = 0. Demostrar que existe una infinidad de ´ındices n tales que para cada m > n, un ≥ um . Resp.: Por hipótesis, ∀ε > 0, ∃N : uN , uN +1 , . . . < ε. Por ser convergente, {un }n∈N está acotada superiormente, con lo que tiene supremo. Dicho supremo está en el conjunto porque, en caso contrario, ser´ıa un punto de acumulación no nulo y la sucesión no podr´ıa ser convergente a 0. Si uν0 es dicho máximo, um ≤ uν0 , ∀m > ν0 . Tomamos ahora la sucesión {uν0 +1 , . . . } y aplicamos el mismo razonamiento anterior : ∃ν1 > ν0 tal que uν1 ≥ um , ∀m > ν1 , y as´ı sucesivamente. Es evidente que la sucesión {uν0 , uν1 , . . . } es decreciente. Otra forma (por reducción al absurdo): Si sólo existiera un conjunto finito de ´ındices {n0 , . . . , nk } para el que um ≤ uni , ∀m > ni (i = 0, . . . , k), entonces ∃m1 : um1 > unk +1 , ∃m2 > m1 : um2 > um1 , .. . Esto indica que la subsucesión {umk }k∈N es creciente y no tiene l´ımite cero, lo que contradice la hipótesis.

27

16. Si d1 , d2 son m´ etricas equivalentes sobre X , probar que las sucesiones de Cauchy en (X, d1 ) y (X, d2 ) son las mismas. Resp.: Por hipótesis, ∃a, b > 0 : a · d1 (x, y) ≤ d2 (x, y) ≤ b · d1 (x, y). Si {xn }n∈N es de Cauchy en (X, d1 ), d1 (xn , xm ) < ε/b, ∀n, m > Nε . Entonces d2 (xn , xm ) ≤ b · d1 (xn , xm ) < ε. Esto implica que {xn }n∈N es de Cauchy respecto a d2 . Análogamente se prueba la segunda parte. 17. Si A y B son cerrados y disjuntos en un espacio m´ etrico X , demostrar que existe f : X → [0, 1] continua tal que f (x) = 0, ∀x ∈ A y f (x) = 1, ∀x ∈ B . d(x,A) . El denominador nunca se Resp.: Basta definir f (x) = d(x,A)+d(x,B) anula por lo que f está definida en todo X.

18. Sea f : R → R una aplicaci´ on continua y peri´ odica tal que el conjunto {T : T es per´ıodo de f } es denso en R. Demostrar que f es constante. Resp.: ∀x ∈ R, ∃(Tn )n∈N : Tn → x y f (a + Tn ) = f (a), ∀a ∈ R. En particular f (Tn ) = f (0 + Tn ) = f (0). Como Tn → x y f es continua, f (Tn ) → f (x). Por tanto, f (x) = f (0), ∀x ∈ R. 19. Sea f : X → Y una aplicaci´ on tal que f |A : A → f (A) es continua, con A ⊂ X . ¿Es f continua en A? ( 0 si x ∈ Q Resp.: No, pues la función de Dirichlet f (x) = no lo 1 si x 6∈ Q, satisface. La restricción f |Q es continua y constante pero l´ımx→a f (x) 6= f (a) con a ∈ Q.

28

20. Sea f : R → R una funci´ on aditiva y continua en x0 . Demostrar que f es continua en R y que f (x) = ax, ∀x ∈ R con a fijo. Resp.: a) Veamos que f es continua en R. Por hipótesis , ∀ε > 0, ∃δ > 0 : |x − x0 | < δ =⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε. Debemos probar que f es continua en x, es decir ∀ε > 0, ∃δ > 0 : |y − x| < δ =⇒ |f (y) − f (x)| < ε. Pero si |y − x| < δ, entonces |y − x + x0 − x0 | < δ =⇒ |f (y − x + x0 ) − f (x0 )| < ε =⇒ |f (y) − f (x) + f (x0 ) − f (x0 )| = |f (y) − f (x)| < ε. b) ∀n ∈ N, es claro que f (n) = nf (1). Llamamos a = f (1). Por una parte, f (x) = f (0 + x) = f (0) + f (x) =⇒ f (0) = 0. Además, 0 = f (1+(−1)) = f (1)+f (−1). Esto implica que f (−1) = −a y f (−m) = mf (−1) = −am. Por otra parte, a = f (1) = f (q/q) = qf (1/q) =⇒ f (1/q) = a · (1/q). Entonces f (p/q) = pf (1/q) = p · a · (1/q) = a · (p/q). Por u ´ltimo, ∀x ∈ R, ∃xn ∈ Q : xn → x. Por ser f continua, f (xn ) → f (x). Como f (xn ) = axn , f (xn ) → ax, de modo que ax = f (x). 21. Sean las aplicaciones f : E → F , g : F → G, donde f es continua y sobre, g es continua y g ◦ f es homeomorfismo. Demostrar que f y g son homeomorfismos. Resp.: Como g ◦ f es biyectiva, g es sobre y f es inyectiva. Entonces f es biyectiva. Dado A abierto en E, (g ◦ f )(A) es abierto en G. Como g es continua, f (A) es abierto en F. Esto implica que f −1 es continua y f es homeomorfismo. ∀x, y ∈ F , si g(x) = g(y), entonces (g ◦ f )−1 (g(x)) = (g ◦ f )−1 (g(y)) =⇒ f −1 (x) = f −1 (y) =⇒ x = y. Esto prueba que g es inyectiva con lo que g es biyectiva. 29

Dado B abierto en F, f −1 (B) es abierto en E. Entonces (g◦f )f −1 (B) = g(B) es abierto en G =⇒ g −1 continua =⇒ g homeomorfismo. Otra forma: g = g ◦ f ◦ f −1 con g ◦ f biyectiva y f −1 biyectiva =⇒ g biyectiva. g −1 = f ◦ f −1 ◦ g −1 con f continua y f −1 ◦ g −1 continua =⇒ g −1 continua. f −1 = f −1 ◦ g −1 ◦ g con g continua y f −1 ◦ g −1 continua =⇒ f −1 continua. 22. Sea f : R → R una aplicaci´ on estrictamente creciente. Probar que la funci´ on D(x, y) = |f (x) − f (y)| es una distancia sobre R pero D no es equivalente a | · |. Resp.: a) D(x, y) = 0 ⇐⇒ f (x) = f (y) ⇐⇒ x = y (f es inyectiva por ser estrictamente creciente). D(x, y) = |f (x)−f (y)| = |f (x)−f (z)+f (z)−f (y)| ≤ D(x, z)+D(z, y). El resto es evidente. b) Si f no es continua en x0 , ∃ε > 0 : ∀δ > 0, |x − x0 | < δ pero |f (x) − f (x0 )| ≥ ε. Si fuera D equivalente a | · |, ∃a, b > 0 : a · |x − y| ≤ |f (x) − f (y)| ≤ b · |x − y|. Eligiendo δ = ε/b, ε ≤ |f (x) − f (x0 )| ≤ b · |x − x0 | < b · ε/b = ε, lo cual es absurdo. 23. Sea M ⊂ `∞ el subespacio de las sucesiones con un n´ umero finito de t´ erminos no nulos. Probar que M no es completo. Resp.: Construimos la sucesión {x(n) }n∈N siguiente:

x(n)

x(1) = (1, 0, . . . ) x(2) = (1, 1/4, 0, . . . ) ... = (1, 1/4, . . . , 1/n2 , 0, . . . ). (n)

Si m > n, d(x(n) , x(m) ) = sup |xj

30

(m)

− xj

|=

1 (n+1)2

→ 0.

As´ı definida, x(n) ∈ M, ∀n, pero l´ım x(n) = x = (1, 1/4, . . . , 1/n2 , . . . ) 6∈ n→∞ M. 1 24. Consideremos para cada n ∈ N la sucesi´ on sn = 1 + 1!1 + · · · + n! . Demostrar que {sn }n∈N es de Cauchy en Q y deducir de ello que Q no es completo.

Resp.: Para probar que es de Cauchy, veamos que |sn − sm | → 0. En efecto, si suponemos que n > m, ∞ X 1 1 1 |sn − sm | = + ··· + ≤ →0 (m + 1)! n! k! k=m+1

por ser el resto de una serie convergente (como es sabido, e =

P∞

n=0 1/n!).

Ahora bien, como l´ımn→∞ sn = e 6∈ Q, se deduce que Q no es completo. 25. Probar que todo espacio con la m´ etrica discreta es completo. Resp.: Si X posee la métrica discreta, y {xn }n∈N es de Cauchy en X, entonces ∀n, m > N, xn = xm . Esto implica que {xn }n∈N es convergente. 26. Si (X1 , d1 ), (X2 , d2 ) son espacios m´ etricos isom´ etricos y X1 es completo, probar que X2 es completo. Resp.: Sea {yn }n∈N una sucesión de Cauchy en X2 . Como X1 y X2 son isométricos, ∃f : X1 → X2 isometr´ıa biyectiva. Por tanto, ∃xn ∈ X1 : f (xn ) = yn . Además, d2 (yn , ym ) = d2 (f (xn ), f (xm )) = d1 (xn , xm ). Por tanto, {xn }n∈N es de Cauchy en X1 . Al ser X1 completo, existe x ∈ X tal que xn → x, de donde d2 (yn , f (x)) = d1 (xn , x) → 0 =⇒ {yn }n∈N converge a f (x).

31

27. Demostrar que toda isometr´ıa f : R → R cumple que f (x) = a + x o f (x) = a − x. ´ Resp.: Por ser f isometr´ıa, |f (x) − f (y)| = |x − y|. En particular, |f (x) − f (0)| = |x|, es decir f (x) − f (0) = x ó f (x) − f (0) = −x. Ahora bien, si existieran x1 , x2 ∈ R, x1 6= x2 tales que f (x1 ) − f (0) = x1 y f (x2 ) − f (0) = −x2 , entonces f (x1 ) − f (x2 ) = x1 + x2 =⇒ |f (x1 ) − f (x2 )| = |x1 + x2 | = 6 |x1 − x2 | si x1 , x2 6= 0. Llamando f (0) = a, se obtiene el resultado. 28. Un espacio m´ etrico se dice localmente compacto si todo punto tiene un entorno compacto. Probar que Rn y Cn son espacios localmente compactos pero no compactos. Resp.: Dado un punto arbitrario x en Rn ó Cn , cualquier bola cerrada centrada en x es un compacto (por ser un conjunto cerrado y acotado contenido en un espacio de dimensión finita). Sin embargo, los espacios Rn y Cn no son compactos pues no son acotados. 29. Sea X un conjunto no vac´ıo. Una aplicaci´ on d : X × X → R se llama pseudom´ etrica si se verifica lo siguiente:

i) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X. ii) d(x, x) = 0, ∀x ∈ X . iii) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X . iv) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(y, z), ∀x, y, z ∈ X . Rb ¿La funci´ on d(x, y) = a |x(t)−y(t)|dt define una m´ etrica o pseudom´ etrica en C[a, b]? ¿Y en las funciones R[a, b] integrables Riemann en [a, b]? Resp.: Los apartados i), ii) y iii) son evidentes. Por otra parte, como |x(t) − y(t)| ≤ |x(t) − z(t)| + |z(t) − y(t)|, ∀t ∈ [a, b], 32

entonces Z b

b

Z

Z a

a

a

Además, si x, y ∈ C[a, b] y

Rb a

b

|z(t) − y(t)|dt.

|x(t) − z(t)|dt +

|x(t) − y(t)|dt ≤

|x(t) − y(t)|dt = 0, entonces x = y.

Sin embargo si x e y se diferencian en su valor en un punto c ∈ (a, b) y Rb son integrables, a |x−y| = 0 pero x 6= y. Esto indica que la aplicación, definida en R[a, b], es una pseudométrica. 30. a) Si tenemos una pseudom´ etrica d sobre X , vamos a establecer una relaci´ on binaria x ∼ y ⇐⇒ d(x, y) = 0. Demostrar que ∼ es de equivalencia y que el conjunto cociente se puede estructurar en espacio m´ etrico mediante una distancia que se puede definir de forma natural a partir de d.

b) Demostrar que d : R2 × R2 → R2 definida por d(a, b) = |a1 − b1 |, si a = (a1 , a2 ), b = (b1 , b2 ),

es pseudom´ etrica sobre R2 . Determinar el conjunto cociente y la distancia definida sobre ´ el. Resp.: a) Sea x∗ = {y ∈ X : y ∼ x} = {y ∈ X : d(x, y) = 0}. Definimos d∗ : X/∼ × X/∼ → R por d∗ (x∗ , y ∗ ) = d(x, y), donde x ∈ x∗ , y ∈ y ∗ . - d∗ está bien definida: ∀x, x0 ∈ x∗ , y, y 0 ∈ y ∗ : d(x, y) ≤ d(x, x0 ) + d(x0 , y 0 ) + d(y 0 , y) = d(x0 , y 0 ) =⇒ d(x, y) = d(x0 , y 0 ). d(x0 , y 0 ) ≤ d(x0 , x) + d(x, y 0 ) + d(y, y 0 ) = d(x, y) - d∗ es una métrica: d∗ (x∗ , y ∗ ) = 0 ⇐⇒ d(x, y) = 0 ⇐⇒ x ∼ y ⇐⇒ x∗ = y ∗ . d∗ (x∗ , y ∗ ) = d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) = d∗ (x∗ , z ∗ ) + d∗ (z ∗ , y ∗ ). b) Es fácil comprobar que d es pseudométrica. Debido a que a ∼ b ⇐⇒ |a1 − b1 | = 0 ⇐⇒ a1 = b1 , podemos caracterizar a∗ = {x = (x1 , x2 ) ∈ R2 : x1 = a1 }. De este modo, R2 /∼ = {(x, 0) : x ∈ R} y la distancia en el espacio cociente es d∗ (a∗ , b∗ ) = |a1 − b1 |. 33

31. Sea d una distancia en un conjunto X . Diremos que d es ultram´ etrica si d(x, z) ≤ máx{d(x, y), d(y, z)}, ∀x, y, z ∈ X .

Supongamos que d es ultram´ etrica. a) Demostrar que si d(a, b) 6= d(b, c), d(a, c) = máx{d(a, b), d(b, c)}. b) Probar que cada B(a, r) es, a la vez, un conjunto abierto y cerrado y que ∀b ∈ B(a, r), B(b, r) = B(a, r). c) Demostrar que cada B(a, r) es, a la vez, un conjunto abierto y cerrado y que ∀b ∈ B(a, r), B(b, r) = B(a, r). d) Probar que, si dos bolas tienen un punto en com´ un, una de ellas est´ a contenida en la otra. e) Probar que la distancia de dos bolas abiertas distintas de radio r contenidas en una bola cerrada de radio r es igual a r. Resp.: a) Supongamos que d(a, b) < d(b, c). Entonces d(a, c) ≤ máx{d(a, b), d(b, c)} = d(b, c) ≤ máx{d(b, a), d(a, c)} = d(a, c) =⇒ d(a, c) = d(b, c) = máx{d(a, b), d(b, c)}. Si d(a, b) > d(b, c), entonces d(a, c) ≤ máx{d(a, b), d(b, c)} = d(a, b) ≤ máx{d(a, c), d(c, b)} = d(a, c) =⇒ d(a, c) = d(a, b) = máx{d(a, b), d(b, c)}. b) Sea x ∈ B(a, r). Entonces ∀ε > 0, ∃y ∈ B(a, r) : d(x, y) < ε. Eligiendo ε < r, d(a, x) ≤ máx{d(a, y), d(y, x)} < r =⇒ x ∈ B(a, r). Probemos la igualdad B(b, r) = B(a, r) por doble inclusión: c ∈ B(b, r) =⇒ d(a, c) ≤ máx{d(a, b), d(b, c)} < r =⇒ c ∈ B(a, r), c ∈ B(a, r) =⇒ d(c, b) ≤ máx{d(c, a), d(a, b)} < r =⇒ c ∈ B(b, r). c) La bola B(a, r) es un conjunto abierto si y sólo si ∀y ∈ B(a, r), ∃ε > 0 : B(y, ε) ⊂ B(a, r). Si elegimos ε < r, todo z ∈ B(y, ε) verifica d(y, z) < ε y d(a, z) ≤ máx{d(a, y), d(y, z)} ≤ r. 34

La igualdad B(b, r) = B(a, r) se prueba de forma análoga al apartado b). d) Sea x ∈ B(a, r) ∩ B(b, s) y supongamos que r < s. Entonces d(x, a) < r y d(x, b) < s, de donde d(a, b) ≤ máx{d(a, x), d(x, b)} < s. Además ∀y ∈ B(a, r), d(y, b) ≤ máx{d(y, a), d(a, b)} < s =⇒ y ∈ B(b, s). Si r = s, B(a, r) = B(b, r) pues, como d(a, b) < r, a ∈ B(b, r) y por b), B(a, r) = B(b, r). e) Por d), si las bolas son distintas, son disjuntas: B(a, r)∩B(b, r) = ∅. Si A = B(a, r), B = B(b, r), C = B(c, r), A ⊂ C, B ⊂ C =⇒ d(A, B) = r. Si x ∈ A, y ∈ B, d(x, y) ≤ máx{d(x, c), d(c, y)} ≤ r =⇒ d(A, B) ≤ r. Como d(A, B) ≥ r, deducimos en definitiva que d(A, B) = r. 32. Sea X un conjunto arbitrario y E el conjunto de la sucesiones infinitas de elementos de X , E = {x = (xn )n∈N : xn ∈ X}. Para cada par de elementos de E definimos K(x, y) = k si xn = yn , ∀n < k y xk 6= yk , es decir, k es el menor ( ´ındice que cumple que xn 6= yn . Si 1/K(x, y) si x 6= y definimos ahora d(x, y) = demostrar que 0 si x = y, d es distancia ultram´ etrica sobre E . Resp.: Evidentemente, d(x, x) = 0 y si d(x, y) = 0, entonces x = y. También es claro que d(x, y) = d(y, x). Dados x, y, z ∈ E, llamamos K(x, y) = n1 y K(y, z) = n2 . Si n1 = n2 , es evidente que K(x, z) = n1 . Si n1 < n2 , entonces x1 = y1 , . . . , xn1 −1 = yn1 −1 , xn1 6= yn1 y1 = z1 , . . . , yn1 = zn1 , . . . , yn2 −1 = zn2 −1, , yn2 6= zn2

=⇒ K(x, z) = n1 .

En ambos casos, d(x, z) = 1/n1 ≤ 1/n1 + 1/n2 = d(x, y) + d(y, z). Además máx{d(x, y), d(y, z)} = 1/n1 = d(x, z).

35

33. a) Si X es un espacio m´ etrico, demostrar que la condici´ on necesaria para que una sucesi´ on {xn }n∈N sea de Cauchy es que ∀ε > 0, ∃n0 : d(xn , xn+1 ) < ε si n > n0 .

Demostrar el rec´ıproco con un contraejemplo. b) Sea X un espacio ultram´ etrico. Probar que la condici´ on necesaria y suficiente para que una sucesi´ on de elementos de X sea de Cauchy es que l´ım d(xn , xn+1 ) = 0. n→∞

Resp.: a) La primera parte es evidente. Para el rec´ıproco, consideramos la sucesión xn = 1 + 1/2 + · · · + 1/n. Resulta entonces que d(xn , xn+1 ) =

1 n+1

< ε si n > 1/ε.

Sin embargo, si tomamos ε = 1/2, d(xN , x2N ) =

1 1 1 1 1 + ··· + + ··· + = , ∀n ∈ N, > N +1 2N 2N 2N 2

es decir {xn }n∈N no es de Cauchy. b) Supongamos que l´ım d(xn , xn+1 ) = 0, es decir d(xn , xn+1 ) < n→∞

ε, ∀n > n0 . Sean p > q > n0 ; entonces d(xp , xq ) ≤ máx{d(xq , xq+1 ), d(xq+1 , xp )}. A su vez, d(xq+1 , xp ) ≤ máx{d(xq+1 , xq+2 ), d(xq+2 , xp )}. Repitiendo el proceso, obtenemos que d(xp−2 , xp ) ≤ máx{d(xp−2 , xp−1 ), d(xp−1 , xp )} < ε. En definitiva, d(xp , xq ) < ε y {xn }n∈N es de Cauchy.

36

II. ESPACIOS NORMADOS Y ESPACIOS DE BANACH

Se pretende en este cap´ıtulo establecer los resultados generales relacionados con el concepto de norma en un espacio vectorial as´ı como mostrar las distintas técnicas que se aplican en las demostraciones de estos hechos. Será fundamental entender el concepto de acotación de un operador lineal as´ı como su relación con el de continuidad.

SECCIONES 1. Espacios normados. Definición y ejemplos. 2. Desigualdades de Hölder y Minkowski. 3. Espacios Lp . 4. Propiedades de los espacios normados. 5. Espacios normados de dimensión finita. 6. Operadores lineales acotados. 7. Funcionales lineales. Espacio dual. 8. Ejercicios.

37

´ Y EJEMPLOS. 1. ESPACIOS NORMADOS. DEFINICION

En este cap´ıtulo consideraremos métricas definidas en espacios dotados de alguna estructura algebraica, más concretamente en espacios vectoriales, tal como se presenta en las aplicaciones que se presentan en esta teor´ıa. En un espacio vectorial X son de particular importancia las métricas que verifican i) d(x + a, y + a) = d(x, y), es decir, d es invariante por traslaciones, ii) d(αx, αy) = |α| · d(x, y), es decir, d aumenta proporcionalmente a la dilatación, pues basta conocer d(x, 0), ∀x ∈ X para determinar completamente la distancia entre dos elementos cualesquiera, ya que d(x, y) = d(x − y, 0). Definimos entonces la longitud o norma de un vector x por kxk = d(x, 0). Esto sugiere, en un contexto abstracto, la siguiente definición axiomática. 1.1.- Definici´ on. Un espacio normado es un par (X, k · k) formado por un espacio vectorial X y una aplicación k · k : X → R, llamada norma, con las siguientes propiedades: (i) kxk ≥ 0. (ii) kxk = 0 ⇐⇒ x = 0. (iii) kαxk = |α| · kxk. (iv) kx + yk ≤ kxk + kyk (desigualdad triangular). Si no se exige la condición (ii), la aplicación k · k se llama seminorma. Observaciones. 1) Todo espacio normado es a su vez un espacio métrico, pues basta, dado (X, k · k), definir d(x, y) = kx − yk. As´ı todas las nociones de espacios métricos están definidas también para los espacios normados. En particular, los conjuntos B(0, 1) = {x ∈ X : kxk < 1}, B(0, 1) = {x ∈ X : kxk ≤ 1} son las bolas unitarias abierta y cerrada de X, respectivamente. 2) El rec´ıproco de lo anterior no es cierto, es decir, no todo espacio métrico es normado. Por ejemplo, X = {(a1 , . . . an , . . . ) : an ∈ C} sobre el cuerpo C ∞ X 1 |ai − bi | es espacio vectorial; si definimos d(x, y) = · , se puede ver i 2 1 + |ai − bi | i=1 que es espacio métrico, pero para λ ∈ C, d(λx, λy) 6= |λ| d(x, y) con lo que, si definiéramos la “norma.a partir de la distancia, obtendr´ıamos kλx−λyk = 6 |λ|·kx−yk y X no ser´ıa espacio normado de esa forma. Otro ejemplo sencillo 38

es la métrica discreta pues k2xk = d(2x, 0) = 1 pero |2| · kxk = 2 · d(x, 0) = 2. Sin embargo, la motivación dada al principio permite probar lo siguiente. 1.2.- Proposici´ on. Si (X, k·k) es un espacio normado, la aplicaci´ on d(x, y) = kx − yk, ∀x, y ∈ X verifica i) d(x + z, y + z) = d(x, y); ii) d(λx, λy) = |λ| · d(x, y). Rec´ıprocamente, si X es un espacio vectorial y (X, d) es un espacio métrico en el que se verifican i) y ii), entonces (X, k · k) es un espacio normado, donde kxk = d(x, 0). La demostración es evidente. 1.3.- Definici´ on. Sea X un espacio vectorial normado, en el que se define la métrica d(x, y) = kx − yk. Si (X, d) es completo, X se dice espacio de Banach. 1.4.- Ejemplos. 1) X = R ó C con la norma del valor absoluto son espacios de Banach. P 2) X = Rn ó Cn con la norma kxk = ( ni=1 |xi |p )1/p ( p ≥ 1) es de Banach. Los axiomas i), ii) y iii) de norma son evidentes y la desigualdad triangular se deduce de la desigualdad de Minkowski. Veamos que es completo: Sea {xk = (xk1 , . . . , xkn ), k ∈ N} una sucesión de Cauchy en Rn . Entonces kxp − xq k < ε, ∀p, q > N =⇒ |xpi − xqi | < ε, ∀p, q > N, 1 ≤ i ≤ n. Esto implica que ∃xi ∈ R : |xki − xi | < ε, 1 ≤ i ≤ n. P Si llamamos x = (x1 , . . . , xn ), resulta que kxk − xkp = ni=1 |xki − xi |p < nεp . P∞ p 3) Sea `p = {x = (xn )n∈N : xn ∈ C, n=1 |xn | < ∞} (p ≥ 1), y definimos P∞ p 1/p . kxkp = n=1 |xn | Al igual que en el ejemplo 2, la desigualdad de Minkowski (para sumas infinitas) permite probar que es una norma. La completitud fue probada en el cap´ıtulo I; veremos además que se puede deducir de un caso más general (ver sección siguiente). 4) Sea `∞ = {x = (xn )n∈N : xn ∈ C, {xn }n∈N acotada}, y definimos kxk = supn |xn |. As´ı (X, d) es un espacio de Banach, como vimos en el cap´ıtulo I. 39

5) X = C[a, b] (funciones continuas en [a, b]), con la norma kf k = máx |f (x)| x∈[a,b]

es de Banach, como ya vimos en el cap´ıtulo anterior. R 1/2 b 6) El mismo espacio anterior C[a, b] con la norma kf k = a |f (x)|2 dx no es completo. Sin embargo, este espacio puede completarse como veremos después y su compleción es precisamente el espacio L2 [a, b] (ver sección 3). 7) Si X = B(A) es el espacio de las funciones acotadas en A, la norma kf k = sup |f (x)| también da lugar a un espacio de Banach. x∈A

8) Sea VA[a, b] la clase de funciones de variación acotada en [a, b]. Es un espacio vectorial con las operaciones usuales y se define la norma kf k = |f (a)| + V (f ) donde V (f ) representa la variación total de f que convierte al espacio VA[a, b] en un espacio de Banach.

¨ 2. DESIGUALDADES DE HOLDER Y MINKOWSKI.

En algunos ejemplos de espacios normados la desigualdad triangular se deduce de la desigualdad de Minkowski que probaremos en este apartado como consecuencia de la desigualdad de Hölder. En el siguiente apartado utilizaremos estas desigualdades para definir normas en otros ejemplos de espacios de funciones, que han sido fundamentales en el desarrollo del Análisis Funcional. 2.1.- Lema. Sean α, β > 0, 0 < λ < 1. Entonces αλ β 1−λ ≤ λα + (1 − λ)β. Adem´ as la igualdad es cierta si y s´ olo si α = β. Demostraci´ on. Se define ϕ(t) = (1 − λ) + λt − tλ para t ≥ 0. As´ı ϕ0 (t) = λ − λtλ−1 que será negativo si t < 1 y positivo si t > 1. Por tanto, el punto t = 1 corresponde a un m´ınimo. Como ϕ(t) ≥ ϕ(1) = 0, entonces 1 − λ + λt ≥ tλ . Haciendo t = α/β se deduce el resultado (para β 6= 0). Si β = 0, el resultado es trivial.

♦

Observaciones. 1) El lema anterior expresa que la media geométrica es menor o igual a la media aritmética, porque si hacemos λ = k/n, 1 − λ = 40

(n − k)/n, tenemos αk/n · β n−k/n ≤ kα/n + (n − k)β/n de donde q α+ .(k) . . +α + β+ (n−k) . . . +β n α .(k) . . α · β (n−k) ... β ≤ . n 2) Si α = ex1 , β = ex2 , el lema indica que eλx1 +(1−λ)x2 = eλx1 e(1−λ)x2 ≤ λex1 + (1 − λ)ex2 , es decir que la función exponencial es convexa. 2.2.- Teorema. Sean (X, S, µ) un espacio medible, f, g : X → [0, ∞] funciones medibles, 1 < p < ∞ y 1/p + 1/q = 1. Entonces: a) (desigualdad de Hölder) 1/p Z 1/q q f dµ · g dµ .

Z

Z

p

(f g)dµ ≤ X

X

X

b) (desigualdad de Minkowski) Z

p

(f + g) dµ

1/p

1/p Z 1/p p f dµ + g dµ .

Z

p

≤

X

X

Demostraci´ on. a) Llamamos A = guimos tres casos:

R X

X

f p dµ

1/p

,B=

R X

g q dµ

1/q

y distin-

p - A = 0 (ó B = 0). R Como f ≥ 0, f = 0 c.s. =⇒ f = 0 c.s. =⇒ f · g = 0 c.s. As´ı pues X f gdµ = 0. R - A = ∞ (ó B = ∞). Es evidente que X f gdµ ≤ ∞. R R f g - 0 < A, B < ∞. Debemos probar que X f gdµ ≤ A·B, o bien X A · B dµ ≤ 1. Si aplicamos el lema anterior a α = f p /Ap , β = g q /B q , λ = 1/p, 1 − λ = 1/q, resulta:

f g 1 fp 1 gq · ≤ · p + · q, A B p A q B desigualdad válida ∀x ∈ X. Integrando miembro a miembro, Z f g 1 1 · dµ ≤ · Ap + · B q = 1, c.q.d. p q A B p · A q · B X b) Debido a que (f + g)p = (f + g)(f + g)p−1 = f (f + g)p−1 + g(f + g)p−1 , aplicando la desigualdad de Hölder a cada uno de los sumandos, 41

tenemos: Z 1/p Z 1/q Z p−1 p q(p−1) f (f + g) dµ ≤ f dµ (f + g) dµ , X

X

X

1/p Z 1/q g(f + g)p−1 dµ ≤ g p dµ (f + g)q(p−1) dµ , X X X " Z 1/p Z 1/p # Z 1/q Z p p p p (f + g) dµ ≤ f dµ =⇒ + g dµ · (f + g) dµ , Z

Z

X

X

X

X

1/q R debido a que q(p − 1) = p. Si llamamos ahora C = X (f + g)p dµ , caben los siguientes casos: R - C = 0 =⇒ X (f + g)p dµ = 0 y la desigualdad es evidente. R - C = ∞ =⇒ X (f + g)p dµ = ∞. Como la función y = xp es convexa, (f (x)/2 + g(x)/2)p ≤ f (x)p /2 + g(x)p /2, de donde: Z Z Z 1 p p 1 1 1 p p p p (f +g) ≤ (f +g ) =⇒ (f +g) dµ ≤ f dµ + g dµ . 2p 2 2p X 2 X X R R R Como X (f + g)p dµ = ∞, debe ser X f p dµ = ∞ ó X g p dµ = ∞. R 1−1/q 1/p 1/p R R - 0 < C < ∞ =⇒ X (f + g)p dµ ≤ X f p dµ + X g p dµ , lo que da lugar al resultado deseado. ♦ El teorema anterior tiene las siguientes consecuencias. 2.3.- Corolario. Si f, g : X → [0, ∞] son medibles y 0 < p < 1, 1/p + 1/q = 1, entonces 1/p R q 1/q R R . a) X f gdµ ≥ X f p dµ X g dµ 1/p 1/p 1/p R R R b) X (f + g)p dµ ≥ X f p dµ + X g p dµ , 1/q R donde suponemos que las integrales involucradas son finitas y X g q dµ 6= 0. 0

Demostraci´ on. a) Sea p0 = 1/p y llamamos ψ = (f g)p = (f g)1/p , ϕ = 0 −p −1/p g = g . De este modo, 1 < p0 < ∞, f p = ψϕ y ψ, ϕ son medibles. Entonces Z 1/p0 Z 1/q0 Z Z p p0 q0 f dµ = ψϕdµ ≤ ψ dµ ϕ dµ , X

X

X

X 0

0

donde 1/p0 + 1/q 0 = 1. Debido a que ϕq = g q y ψ p = f g, obtenemos: Z

p

Z

f dµ ≤ X

1/p0 Z 1/pq0 q f gdµ g dµ .

X

X

42

De las relaciones anteriores se deduce que pp0 = 1, pq 0 = −q, con lo que: Z 1/p Z 1/q Z f p dµ · g q dµ ≤ f gdµ , c.q.d. X

X

X

b) De la igualdad (f + g)p = f (f + g)p−1 + g(f + g)p−1 , se deduce: Z Z Z p p−1 (f + g) dµ = f (f + g) dµ + g(f + g)p−1 dµ X

X

X

1/p Z 1/q p q(p−1) f dµ · (f + g) dµ

Z ≥ X

X

1/p Z 1/q p q(p−1) g dµ · (f + g) dµ X X Z # Z

Z + " Z =

1/p

f p dµ

1/p

X

Suponiendo que

R

X (f

g p dµ

+

(f + g)q(p−1) dµ

·

X

X

+ g)p dµ < ∞, se deduce el resultado.

♦

2.4.- Corolario. En las condiciones del teorema 2,2, la desigualdad de H¨ older se convierte en igualdad si y s´ olo si existen λ1 , λ2 constantes no nulas a la vez tales que λ1 f p = λ2 g q c.s. Demostraci´ on. Al igual que en el lema 2.1, la igualdad es cierta si y sólo si Z Z gq fp p q q R R = , es decir f · g dµ = g · f p dµ, p dµ q dµ f g X X X X R R con λ1 = X g q dµ y λ2 = X f p dµ no nulas ambas. Podemos suponer además λ1 = 0, λ2 6= 0 pues entonces 0 = λ2 g q c.s. =⇒ g q = 0 c.s. =⇒ g = 0 c.s. y se verifica la igualdad. ♦ Observaciones. 1) Si X es un conjunto numerable, digamos por comodidad X = N, P (N) la σ-álgebra formada por los subconjuntos de N, µ : P (N) → [0, ∞] la medida de contar, definida por µ(A) = card A, toda aplicación f : N → C es medible pues ∀V abierto, f −1 (V ) ⊂ N =⇒ f −1 (V ) ∈ P (N). As´ı pues, si f : N → [0, ∞] es medible, f (n) = |xn |, Z Z XZ X X p p f dµ = f dµ = f p dµ = f (n)p = |xn |p . N

∪n∈N {n}

n∈N {n}

n∈N

n∈N

Esto permite escribir las desigualdades de Hölder y Minkowski para sumas finitas o series numéricas. Estas ser´ıan: !1/p !1/q ∞ ∞ ∞ X X X |xi yi | ≤ |xi |p · |yi |q , i=1

i=1

i=1

43

1/q .

∞ X

!1/p p

|xi + yi |

i=1

≤

∞ X

!1/p p

|xi |

+

i=1

∞ X

!1/p p

|yi |

.

i=1

2) En el caso de p = 1 ó p = ∞ se prueban también desigualdades análogas que quedan de la forma X X |xi yi | ≤ |xi | · sup |yi |, i∈N

i∈N

i∈N

sup |xi + yi | ≤ sup |xi | + sup |yi |. i∈N

i∈N

i∈N

3) En el caso particular de que p = q = 2, la desigualdad de Hölder se llama desigualdad de Cauchy-Schwarz, de importancia en espacios dotados de una estructura geométrica (considerados en el cap´ıtulo III).

3. ESPACIOS Lp .

Los ejemplos más u ´tiles de espacios normados corresponden a los llamados espacios Lp . Fueron además los que dieron impulso al desarrollo de la teor´ıa de espacios de Hilbert y espacios normados. Supondremos en esta sección que X es un espacio de medida y µ una medida positiva. Es conocido el espacio de funciones de módulo integrable, representado por Z 1 L (µ) = {f : X → C : f medible y |f |dµ < ∞}. X

Si ahora hacemos 1 ≤ p < ∞, definimos análogamente el espacio de funciones de potencia p-ésima integrable, como Z p L (µ) = {f : X → C : f medible y |f |p dµ < ∞}. X

1/p R Si definimos la aplicación k · kp : Lp (µ) → R por kf kp = X |f |p dµ , es evidente que Lp (µ) = {f : X → C : f medible y kf kp < ∞}. En el caso de p = ∞ procedemos de una forma algo diferente: Si g : X → C es una función medible, también es medible |g|; sabemos que ∀α ∈ R, |g|−1 (α, ∞] es medible y podemos definir el conjunto S = {α ∈ R : µ(|g|−1 (α, ∞]) = 0}. 44

Llamamos supremo esencial de |g| a kgk∞ = ´ınf S, cuando S 6= ∅, y kgk∞ = ∞, cuando S = ∅. Probemos en primer lugar la existencia de dicho ´ınfimo; para ello basta probar que 0 es una cota inferior de S: En efecto, si existiera α ∈ S tal que α < 0, entonces de la inclusión [0, ∞] ⊂ (α, ∞] se deduce que |g|−1 [0, ∞] ⊂ |g|−1 (α, ∞] =⇒ µ(X) = µ(|g|−1 [0, ∞]) ≤ µ(|g|−1 (α, ∞]) = 0 =⇒ µ(X) = 0, lo cual es absurdo. Lo anterior permite definir el espacio L∞ (µ) = {f : X → C : f medible y kf k∞ < ∞} que llamaremos espacio de las funciones medibles esencialmente acotadas. Una caracterización del supremo esencial la proporciona el siguiente lema: 3.1.- Lema. Dada f : X → C medible, se tiene |f (x)| ≤ λ para casi todo x ⇐⇒ kf k∞ ≤ λ. En consecuencia, |f (x)| ≤ kf k∞ para casi todo x (haciendo λ = kf k∞ ) y kf k∞ es la m´ınima cota superior (c.s.) de |f |. Demostraci´ on. Supongamos que |f | ≤ λ c.s., es decir |f (x)| ≤ λ, ∀x ∈ Ac con µ(A) = 0. Entonces, si |f (x)| > λ, es x ∈ A y |f |−1 (λ, ∞] ⊂ A =⇒ µ(|f |−1 (λ, ∞]) ≤ µ(A) = 0 =⇒ λ ∈ S y kf k∞ ≤ λ. Rec´ıprocamente, suponiendo que kf k∞ ≤ λ, veamos que |f | ≤ λ c.s., lo que equivale a probar que µ(A) = 0, siendo A = {x : |f (x)| > λ}. Por hipótesis, existe α ∈ S tal que α ≤ λ pues si fuese α > λ, ∀α ∈ S, λ ser´ıa cota inferior de S y λ < kf k∞ , lo que es absurdo. Entonces A = |f |−1 (λ, ∞] ⊂ |f |−1 (α, ∞] =⇒ µ(A) ≤ µ(|f |−1 (α, ∞]) = 0.

♦

Aplicando las desigualdades de Hölder y Minkowski, se prueban los siguientes resultados. 3.2.- Proposici´ on. Sean p, q exponentes conjugados, es decir 1/p+1/q = 1, con 1 ≤ p ≤ ∞. Si f ∈ Lp (µ) y g ∈ Lq (µ), entonces f g ∈ L1 (µ) y kf gk1 ≤ kf kp kgkq . 45

Demostraci´ on. Si 1 < p < ∞, por la desigualdad de Hölder, tenemos: Z

Z

Z |f g|dµ =

X

1/p Z

p

|f |·|g|dµ ≤

|f | dµ

X

X

1/q |g| dµ = kf kp kgkq < ∞. q

X

Si p = ∞, q = 1, entonces |f (x)| ≤ kf k∞ c.s., con lo que existe A de medida nula tal que |f (x)| ≤ kf k∞ , ∀x ∈ Ac . De este modo, Z Z Z Z kf k∞ |g|dµ |f | · |g|dµ ≤ |f | · |g|dµ = |f g|dµ = c c A A X X Z Z |g|dµ = kf k∞ kgk1 < ∞.♦ |g|dµ ≤ kf k∞ = kf k∞ Ac

X

3.3.- Proposici´ on. Si 1 ≤ p ≤ ∞, entonces Lp (µ) es un espacio vectorial sobre C y k · kp es una seminorma. Demostraci´ on. Estudiaremos por separado los siguientes casos: a) Si 1 ≤ p < ∞ y f, g ∈ Lp (µ), de la desigualdad de Minkowski deducimos que f + g ∈ Lp (µ) y kf + gkp ≤ kf kp + kgkp . Además Z kαf kp =

p

1/p

|αf | dµ

Z

p

1/p

|α| |f | dµ

=

X

p

= |α|·kf kp =⇒ αf ∈ Lp (µ).

X

b) Si p = ∞, debido a que |f | ≤ kf k∞ y |g| ≤ kgk∞ c.s., entonces también |f + g| ≤ |f | + |g| ≤ kf k∞ + kgk∞ c.s. Esto implica que kf k∞ + kgk∞ es cota superior esencial de |f + g|. Al ser kf + gk∞ la m´ınima, se deduce que kf + gk∞ ≤ kf k∞ + kgk∞ . Por otro lado, si suponemos α 6= 0: kαf k∞ = ´ınf{β ∈ R : µ(|αf |−1 (β, ∞]) = 0} = ´ınf S1 supuesto S1 6= ∅. Ahora bien, x ∈ |αf |−1 (β, ∞] ⇐⇒ |αf |(x) > β ⇐⇒ |αf (x)| > β ⇐⇒ |α| · |f (x)| > β ⇐⇒ |f (x)| > β/|α| ⇐⇒ x ∈ |f |−1 (β/|α|, ∞] con lo que ´ınf S1 = ´ınf{β ∈ R : µ(|f |−1 (β/|α|, ∞]) = 0} = ´ınf{|α|β/|α| ∈ R : µ(|f |−1 (β/|α|, ∞]) = 0} = ´ınf{|α|β1 ∈ R : µ(|f |−1 (β1 , ∞]) = 0} = |α|´ınf{β1 ∈ R : µ(|f |−1 (β1 , ∞]) = 0} = |α|´ınf S2 = |α| · kf k∞ . De este modo, si f ∈ L∞ (µ), kαf k∞ = ´ınf S1 = |α| · kf k∞ . 46

♦

Observaci´ on. En general, k·kp no es norma pues no se verifica la implicación kf kp = 0 =⇒ f (x) = 0, ∀x ∈ X. Sin embargo, en el caso de las funciones Rb reales continuas en un intervalo [a, b], X = C[a, b], kf k1 = a |f (x)|dx = 0 =⇒ f = 0. También, en los espacios `p , k · kp es una norma. Para obtener espacios normados de las seminormas anteriores, definimos la relación de equivalencia ∀f, g ∈ Lp (µ), f ∼ g ⇐⇒ f = g c.s., o bien kf − gkp = 0. El espacio cociente, que seguiremos denotando por Lp (µ), es ahora un espacio normado si definimos kfekp = kf kp , donde f es un representante de la clase de equivalencia fe. Probaremos por u ´ltimo la completitud de los espacios recién definidos, resultado obtenido de forma simultánea e independiente por F. Riesz y E. Fischer en 1907. 3.4.- Teorema (Riesz-Fischer). Si 1 ≤ p ≤ ∞, entonces (Lp (µ), k · kp ) es de Banach. Demostraci´ on. a) Veamos primero el caso 1 ≤ p < ∞. Sea pues (fn )n∈N una sucesión de Cauchy en Lp (µ). Tomando ε = 1/2i , sabemos que ∃ni tal que kfn − fm kp < 1/2i , ∀n, m ≥ ni . Esto permite extraer una subsucesión (fni )i≥1 tal que kfni+1 − fni kp < 1/2i , ∀i. P P Llamamos ahora gk = ki=1 |fni+1 − fni | y g = ∞ i=1 |fni+1 − fni |. Debido a que |fni+1 − fni | ∈ Lp (µ), se deduce que gk ∈ Lp (µ). As´ı pues, Z kgk kp = X

≤

X

k Z X i=1

k X

1/p "Z |gk | dµ = p

p

#1/p

!p |fni+1 − fni |

dµ

i=1

1/p

|fni+1 − fni | dµ

=

X

k X i=1

kfni+1 − fni kp <

k X 1 < 1. 2i i=1

Como además l´ımk gk = g, también l´ımk |gk |p = |g|p y deducimos que Z Z Z p p |g| dµ = l´ım |gk | dµ ≤ l´ım inf |gk |p dµ ≤ 1 =⇒ kgkp ≤ 1, X

X

k

k

|g|p

X

es finita c.s. y también g(x) < ∞ c.s. P Lo anterior indica que la serie i≥1 (fni+1 − fni )P es absolutamente convergente c.s., as´ı como también lo es la serie fn1 + i≥1 (fni+1 − fni ). Definimos ( P fn1 (x) + i≥1 (fni+1 (x) − fni (x)) si x ∈ Ac f (x) = donde µ(A) = 0. 0 si x ∈ A,

por lo que

47

P ımi fni (x) Debido a que fn1 + k−1 i=1 (fni+1 − fni ) = fnk , resulta que f (x) = l´ c.s. Veamos que fn → f y que f ∈ Lp (µ). Dado ε > 0, sabemos que ∃N tal que kfn − fm kp < ε, ∀n, m ≥ N . Tomando m ≥ N , tenemos: Z Z Z l´ım |fni − fm |p dµ | l´ım fni − fm |p dµ = |f − fm |p dµ = kf − fm kpp = i X i X X Z |fni − fm |p dµ = l´ım inf kfni − fm kpp ≤ εp , ≤ l´ım inf i

i

X

tomando ni ≥ N . Esto implica que f − fm ∈ Lp (µ) y en consecuencia f ∈ Lp (µ) debido a que f = (f −fm )+fm . Por otra parte, al ser kf −fm kp ≤ ε, ∀m ≥ N , la sucesión original converge a f . b) Si p = ∞, tomamos nuevamente una sucesión (fn )n∈N de Cauchy en L∞ (µ). De este modo, kfn − fm k∞ < ε, ∀n, m > N (ε). Si Am,n = {x : |fn (x) − S fm (x)| ≥ kfn − fm k∞ + ε}, resulta que µ(Am,n ) = 0, con lo que, si A = m,n Am,n , entonces µ(A) = 0. Esto prueba que (fn (x))n∈N converge uniformemente en E \ A. ( l´ımn fn (x) si x ∈ E \ A Si definimos f (x) = , se ve inmediatamente que 0 si x ∈ A l´ımn kfn − f k∞ = 0, pues |f (x) − fm (x)| = | l´ım fn (x) − fm (x)| n

c.s. = l´ım |fn (x) − fm (x)| ≤ l´ım kfn − fm k∞ + ε < 2ε, ∀m, n ≥ N. n

n

Entonces 2ε es cota superior esencial de f −fm , de modo que kf −fm k∞ < 2ε, ∀m ≥ N =⇒ f − fm ∈ L∞ (µ) =⇒ f ∈ L∞ (µ) y fm → f en L∞ (µ). ♦ Observaciones. 1) A partir de la definición son inmediatas las inclusiones `1 ⊂ `p ⊂ `q ⊂ `∞ , 1 < p < q < ∞. 2) Análogamente, en el espacio (X, S, µ), si µ(X) < ∞, entonces L∞ ⊂ Lq ⊂ Lp ⊂ L1 , para 1 < p < q < ∞. En efecto, si llamamos r = q/p > 1, Z X

|f |p dµ ≤ |f |p r · k1kr0 =

Z

|f |q dµ

Esto implica que kf kp ≤ kf kq · µ(X)1/p−1/q . De la misma forma, kf kq ≤ µ(X)1/q · kf k∞ . 48

1/r

0

· µ(X)1/r .

3) En general, Lp 6⊂ Lq y Lq 6⊂ Lp , pero si f ∈ Lp ∩ Lq , entonces f ∈ Lr con p < r < q: Z Z Z |f |r dµ = |f |r dµ + |f |r dµ X |f |≤1 |f |>1 Z Z |f |q dµ ≤ kf kpp + kf kqq < ∞. |f |p dµ + ≤ |f |>1

|f |≤1

Se verifica también la desigualdad de interpolación kf kr ≤ kf kαp · kf kαq , donde

1 α 1−α = + (0 ≤ α ≤ 1). r p q

4. PROPIEDADES DE LOS ESPACIOS NORMADOS.

Probaremos en esta sección las propiedades fundamentales de los espacios normados. 4.1.- Teorema. Sea X un espacio vectorial normado. Entonces: a) kxk − kyk ≤ kx − yk, ∀x, y ∈ X. b) B(x0 , r) = x0 + B(0, r), ∀x0 ∈ X, r > 0. Demostraci´ on. a) Por la desigualdad triangular, kxk = kx − y + yk ≤ kx − yk + kyk =⇒ kxk − kyk ≤ kx − yk; kyk = ky − x + xk ≤ ky − xk + kxk =⇒ −kx − yk ≤ kxk − kyk. b) Debido a las propiedades de la norma, x ∈ B(x0 , r) ⇐⇒ kx − x0 k < r ⇐⇒ x − x0 ∈ B(0, r) ⇐⇒ x ∈ x0 + B(0, r).

♦

4.2.- Teorema. Sea X un espacio vectorial normado. Son equivalentes: i) X es de Banach. ii) Si {an }n∈N ⊂ X y

P

n∈N kan k

< ∞ =⇒

P

n∈N an

converge en X.

Esto indica que en los espacios de Banach la convergencia absoluta implica la convergencia. 49

P Demostraci´ on. i) =⇒ ii). Sea Sn = nk=1 ak . Si m > n,

m

m ∞

X

X X

kSm − Sn k = ak ≤ kak k ≤ kak k < ε.

k=n+1

k=n+1

k=n+1

Esto implica que {Sm }m∈N es de Cauchy en X y por tanto converge. ii) =⇒ i). Sea {an }n∈N de Cauchy en X. Hacemos an0 = 0 y elegimos n1 ∈ N : kan1 − am k < 1/2, ∀m > n1 , n2 > n1 : kan2 − am k < 1/22 , ∀m > n2 , .. . nk > nk−1 : kank − am k < 1/2k , ∀m > nk . P k − ank−1 k ≤ kan1 k + ∞ k=1 1/2 < ∞. P Por hipótesis, k∈N (ank − ank−1 ) es convergente. Entonces As´ı

P∞

k=1 kank

a=

∞ X k=1

(ank − ank−1 ) = l´ım

h→∞

h X

(ank − ank−1 ) = l´ım anh ,

k=1

h→∞

y esto implica que {anh }h∈N es convergente. Como {an }n∈N es de Cauchy y tiene una subsucesión convergente, ella misma es convergente y X es completo. ♦ 4.3.- Proposici´ on. Sea X un espacio vectorial normado sobre el cuerpo E. Si definimos en X × X ´ o E × X la métrica producto k(u, v)k = kuk + kvk, entonces las aplicaciones (x, y) 7→ x + y y (α, x) 7→ αx, definidas en X × X y E × X, respectivamente, son continuas. Adem´ as, la norma k · k : X → R es uniformemente continua. Demostraci´ on. Es fácil comprobar que la métrica producto verifica los axiomas de norma. De este modo: Como kx+y −(x0 +y0 )k ≤ kx−x0 k+ky −y0 k, la primera es continua. Para demostrar que la aplicación (α, x) 7→ αx es continua en (α0 , x0 ), elegiε ε } y kx − x0 k < 2(1+1+|α . mos α, x tales que |α − α0 | < m´ın{1, 2(1+1+kx 0 k) 0 |) Entonces |α| − |α0 | ≤ |α − α0 | < 1 =⇒ |α| < 1 + |α0 |. Además, kαx − α0 x0 k ≤ |α| · kx − x0 k + kx0 k · |α − α0 | ε ε < |α| · + kx0 k · < ε. 2(1 + 1 + |α0 |) 2(1 + 1 + kx0 k) 50

Por u ´ltimo, para probar que la norma es uniformemente continua, dado kxk − kx0 k < ε si kx − x0 k < δ. ε > 0, debemos encontrar δ > 0 tal que Ahora bien, como kxk − kx0 k ≤ kx − x0 k, basta elegir δ = ε. ♦ 4.4.- Corolario. Si (X, k · k) es un espacio normado, x0 ∈ X, λ0 ∈ E, λ0 6= 0, entonces las aplicaciones x 7→ x + x0 (traslaci´ on de vector x0 ) y x 7→ λ0 x (homotecia de raz´ on λ0 ) son homeomorfismos. Demostraci´ on. Basta probar que son bicontinuas. La primera de ellas es composición de f : X → X × X, dada por f (x) = (x, x0 ), y g : X × X → X, dada por g(x, x0 ) = x + x0 . Por el teorema anterior, g es continua; es fácil probar que f es también continua, de modo que g ◦ f es continua. Además, el mismo argumento prueba que la inversa x 7→ x − x0 es continua. Análogamente se prueba que la segunda es continua.

♦

4.5.- Proposici´ on. Un subespacio Y de un espacio de Banach X es completo si y s´ olo si Y es cerrado en X. Demostraci´ on. Se deduce de la propiedad análoga para espacios métricos. ♦

4.6.- Teorema (compleción). Sea (X, k · k) un espacio normado. Existe un espacio de Banach X ∗ y una isometr´ıa A : X → W donde W es un subespacio denso de X ∗ . Dicho espacio X ∗ es u ńico salvo isometr´ıas. Demostraci´ on. Por el teorema análogo en espacios métricos, existe (X ∗ , d) y A : X → W isometr´ıa con W ⊂ X ∗ denso. Falta probar que podemos dotar a X ∗ de una estructura de espacio vectorial normado. Recordando que x∗ e y ∗ son clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy en X, elegimos {xn }n∈N ∈ x∗ , {yn }n∈N ∈ y ∗ . Hacemos zn = xn + yn . As´ı , {zn }n∈N es de Cauchy en X pues kzn − zm k ≤ kxn − xm k + kyn − ym k. Por tanto, definimos z ∗ = x∗ + y ∗ como la clase de equivalencia que contiene a {zn }n∈N (esta definición no depende de la elección de los representantes). También definimos αx∗ ∈ X ∗ como la clase que contiene a {αxn }n∈N (de nuevo esta definición no depende de los representantes). As´ı obtenemos un espacio vectorial. En W las operaciones inducidas por X ∗ coinciden con las inducidas por X a través de A. Además A induce en W una norma k · k1 as´ı: si y ∗ = Ax ∈ W, ky ∗ k1 = kxk. Como la métrica en W es la restricción de d∗ a W (ya que A es isométrico), podemos extender la norma k · k1 a X ∗ as´ı : kx∗ k2 = d∗ (0∗ , x∗ ), ∀x∗ ∈ X ∗ . 51

Para comprobar los axiomas, basta aplicar a k · k1 un proceso de l´ımite. ♦

El concepto de base en un espacio vectorial se extiende en el caso de espacios normados en el siguiente sentido: 4.7.- Definici´ on. Dado un espacio normado (X, k · k), una sucesión (xn )n∈N es una base de Schauder de P X cuando ∀x ∈ X, existe una sucesión de escalares (αn )n∈N tal que x = n∈N αn xn . Por ejemplo, la sucesión (en )n∈N , donde en = (δkn )k∈N , es una base de Schauder de `p , para todo p ≥ 1. Observaci´ on. No necesariamente un espacio de Banach separable tiene una base de Schauder, como probó P. Enflo en 1973 (ver el art´ıculo de P. Halmos titulado Has progress in Mathematics slowed down? y publicado en Amer. Math. Montly, volumen 97 (1990), pág. 561–588, para comprender la relevancia de este resultado). 4.8.- Proposici´ on. Dado un espacio normado

P (X, k · k)

con base de Schau N

∗ der (xn )n∈N , si definimos kxk = supN ∈N n=1 αn xn , entonces (X, k · k∗ ) es un espacio de Banach y, en consecuencia, (X, k · k) también es de Banach. Demostraci´ on. Es fácil comprobar que k · k∗ es norma. Veamos que (X, k · k∗ ) es completo: P P P Si y = n∈N βn xn ∈ X, entonces βn xn = nk=1 βk xk − n−1 k=1 βk xk , de donde 2kyk∗ ∗ kβn xn k ≤ 2kyk , con lo que |βn | ≤ kxn k . Sea (a(k) )k∈N una sucesión de Cauchy en (X, k · k∗ ). Si a(k) =

P

(k)

αn xn ,

n∈N

(k)

entonces (αn )k∈N es una sucesión de Cauchy en el cuerpo de escalares; P (k) llamamos αn = l´ımk αn . Probaremos ahora que n∈N αn xn converge en k · k a alg´ un a ∈ X y que l´ımk ka(k) − ak∗ = 0: - Dado ε > 0, sea n0 ∈ N tal que ka(n) − a(m) k∗ < ε/4, si n, m ≥ n0 . Para cualesquiera i, j ∈ N tenemos: i+j X

(n) (αk

−

(m) αk )xk

k=i

=

i+j X

(n)

(m)

(αk − αk )xk −

k=1

i−1 X

(n)

k=1

De aqu´ı,

i+j

X

(n) (m)

(αk − αk )xk ≤ 2ka(n) − a(m) k∗ < ε/2.

k=i

52

(m)

(αk − αk )xk .

P

i+j (n)

Fijando n y haciendo m → ∞, tenemos que k=i (αk − αk )xk < ε/2, si n ≥ n0 . P∞ (n0 ) Debido

Pa que k=1 αk xk es convergente, existe i0 ∈ N tal que ∀j ∈ N,

i0 +j (n0 )

k=i0 αk xk < ε/2. Luego,

i0 +j

i0 +j

i0 +j X X X

(n0 ) (n0 )

αk xk (αk − αk )xk + αk xk ≤

< ε.

k=i0

k=i0

k=i0 P Esto indica que la serie αk xk converge a alg´ un a ∈ X. - Por ser (a(n) )n∈N una sucesión de Cauchy, dado ε > 0, existe n0 ∈ N tal

P

que

j

(n) (m) (n) (m) ∗ ka − a k < ε/2, si n, m ≥ n0 . As´ı, k=1 (αk − αk )xk < ε,

P

(n) para todo j ∈ N. Haciendo m → ∞, tenemos que jk=1 (αk − αk )xk < ε, ∀j ∈ N. Esto quiere decir que ka(n) − ak∗ ≤ ε si n ≥ n0 y (X, k · k∗ ) es completo. Debido a que kxk ≤ kxk∗ , para todo x ∈ X, también (X, k · k) es completo. ♦

´ FINITA. 5. ESPACIOS NORMADOS DE DIMENSION

El hecho de que la dimensión del espacio sea finita da lugar a algunas caracter´ısticas especiales. Por ejemplo, el teorema de Bolzano-Weierstrass demuestra que, en un espacio de dimensión finita, cualquier bola cerrada B(z, r) es compacta. Veremos a continuación que, en el caso infinito, B(z, r) nunca es compacta. 5.1.- Lema (F. Riesz). Sea X un espacio normado, Y, Z subespacios de X con Y subconjunto cerrado propio de Z. Entonces ∀ϑ ∈ (0, 1), ∃z ∈ Z de norma uno tal que kz − yk ≥ ϑ, ∀y ∈ Y. Demostraci´ on. Sea v ∈ Z \ Y y llamamos a = d(v, Y ) = ´ınf d(v, y) = ´ınf kv − yk. y∈Y

y∈Y

Como Y es cerrado, a > 0. Por definición de ´ınfimo, existe un elemento y0 ∈ Y tal que a ≤ kv − y0 k ≤ a/ϑ para todo ϑ ∈ (0, 1). Sea z = c(v − y0 ) con c = kv − y0 k−1 . As´ı, kzk = 1 y y kz − yk = kc(v − y0 ) − yk = ckv − y0 − k = ckv − y1 k, c 53

con y1 = y0 + y/c. Como y1 ∈ Y, kv − y1 k ≥ a =⇒ kz − yk ≥ kv − y0 k−1 a ≥ ϑ.

♦

5.2.- Corolario. Si X es un espacio normado y M un subespacio cerrado propio de X, entonces existe un elemento z ∈ X de norma 1 tal que d(z, M ) = 1. Demostraci´ on. Por el lema anterior, ∃z ∈ X : kzk = 1 y d(z, M ) ≥ 1. Como M es subespacio, 0 ∈ M y d(z, M ) ≤ d(z, 0) = kzk = 1. ♦ El lema 5.1 permite demostrar la siguiente caracterización de los espacios de dimensión finita. 5.3.- Teorema (F. Riesz). En un espacio normado X, las siguientes condiciones son equivalentes: i) La bola unidad B(0, 1) es compacta. ii) X tiene dimensi´ on finita. Demostraci´ on. i) =⇒ ii). Si dim X = ∞, sea x1 ∈ X, kx1 k = 1, y construimos X1 = h{x1 }i que es subespacio propio y cerrado de X. Por el lema anterior, ∃x2 ∈ X \ X1 : kx2 k = 1, kx2 − x1 k ≥ 1/2. Ahora llamamos X2 = h{x1 , x2 }i, y también ahora ∃x3 ∈ X \ X2 : kx3 k = 1, kx3 − x1 k ≥ 1/2, kx3 − x2 k ≥ 1/2. Llegamos as´ı a una sucesión {xn }n∈N ⊂ B(0, 1) tal que kxn − xm k ≥ 1/2, ∀n, m. De esta forma, {xn }n∈N no puede tener ninguna sub-sucesión convergente lo que contradice su compacidad. El rec´ıproco corresponde al teorema de Bolzano-Weierstrass.

♦

Otro resultado destacable es el de la completitud, que probaremos después del siguiente lema. 5.4.- Lema. Dados un espacio normado X (de cualquier dimensi´ on) y una familia {x1 , . . . , xn } linealmente independiente, existe c > 0 : ∀α1 , . . . , αn ∈ E : kα1 x1 + · · · + αn xn k ≥ c(|α1 | + · · · + |αn |). Demostraci´ on. Sea s = |α1 | + · · · + |αn |. Si s = 0, αi = 0, ∀i =⇒ la desigualdad es cierta ∀c. Si s > 0, llamamos βi = αi /s, y la desigualdad a probar es kβ1 x1 + · · · + βn xn k ≥ c, donde

n X i=1

54

|βi | = 1.

Si suponemos que la acotación anterior no es cierta, existe una sucesión (ym )m∈N tal que kym k → 0 y ym =

n X

(m) βi xi ,

con

i=1

n X

(m)

|βi

| = 1.

i=1 (m)

Fijado i ∈ {1, . . . , n}, la sucesión {βi 1).

}m∈N está acotada (pues

P

(m)

|βi

|=

(m)

Por el teorema de Bolzano-Weierstrass, {β1 }m∈N tiene una sub-sucesión convergente, digamos a β1 . A esta sub-sucesión le corresponde {y1m }m∈N . Aplicando el mismo argumento se prueba que existe {y2m }m∈N subsucesión (m) {y1m }m∈N , tal que {β2 }m∈N converge a β2 . Después de n pasos, obtenemos P (m) una sub-sucesión {ynm }m∈N de {ym }m∈N de la forma ynm = nj=1 γj xj con Pn (m) (m) (m) = 1, cuyos escalares γj verifican γi → βi . De este modo, j=1 |γj | P P ynm → y = ni=1 βi xi donde ni=1 |βi | = 1. Esto implica que no todos los βi son cero, con lo cual y 6= 0 (por ser el conjunto {x1 , . . . , xn } linealmente independiente). Por otro lado, ynm → y =⇒ kynm k → kyk. Como por hipótesis, kym k → 0 e {ynm }m∈N es sub-sucesión, entonces kyk = 0, de donde y = 0, lo que lleva a una contradicción. ♦ 5.5.- Teorema (completitud). Todo subespacio Y de dimensi´ on finita de un espacio normado X es completo. En particular, todo espacio normado de dimensi´ on finita es completo. Demostraci´ on. Sea {ym }m∈N una sucesión de Cauchy en Y . Si {e1 , . . . , en } P (m) es una base de Y , ym = ni=1 αi ei . Entonces, por el lema anterior, n n X

X

(m) (k) (m) (k)

ε > kym − yk k = (αi − αi )ei ≥ c |αi − αi |, ∀m, k > N (ε). i=1

i=1

(m)

Entonces {αi P }m∈N es de Cauchy en E, y por lo tanto, converge a αi . Llamamos y = ni=1 αi ei . Evidentemente, y ∈ Y y X (m) X (m) kym − yk = k (αi − αi )ei k ≤ |αi − αi | · kei k, que tiende a cero.

♦

5.6.- Corolario. Todo subespacio Y de dimensi´ on finita de un espacio normado X es cerrado. La prueba es evidente. La siguiente caracterización es usada a veces como definición de compacidad en dimensión finita. 55

5.7.- Teorema. Si X es un espacio normado de dimensi´ on finita, todo subconjunto M de X es compacto si y s´ olo si es cerrado y acotado. Demostraci´ on. Ya probamos en el cap´ıtulo I, lema 5.7, que todo compacto es cerrado y acotado. Sea M cerrado y acotado y {xm }m∈N una sucesión en M . (m)

(m)

As´ı, xm = α1 e1 + · · · + αn en , donde {e1 , . . . , en } es una base de X. P (m) Como M es acotado, kxm k ≤ k, ∀m. Por el lema 5.4, k ≥ kxm k ≥ c ni=1 |αi |. (m) Tenemos, para cada i, una sucesión escalar {αi }m∈N acotada. Por el teorema de Bolzano-Weierstrass, posee un punto de acumulación ξi . Repitiendo el argumento del lemaP 5.4, se deduce que {xm }m∈N tiene una sub-sucesión que converge a x = ni=1 ξi ei . Como M es cerrado, x ∈ M. ♦

Contraejemplo. Si X es el conjunto de las sucesiones de soporte finito y P∞ 2 1/2 , entonces (X, k·k) es normado y (e(k) ) kxk = k∈N es una base i=1 |xi | (k) de X, si definimos e = (δnk )n∈N . La bola unidad B(0, 1) es cerrada y acotada, claramente, pero no es compacta. Para ello basta ver que existe una sucesión que no tiene ninguna subsucesión convergente. Como (e(k) )k∈N ⊂ B(0, 1), si existiera (e(kj ) )j∈N subsucesión convergente a e ∈ B(0, 1), √ ke(kj ) −e(km ) k = 2 =⇒ l´ım ke(kj ) −e(km ) k = k l´ım e(kj ) −e(km ) k = ke−e(km ) k j→∞

j→∞

lo que es absurdo. Otra caracter´ıstica de los espacios de dimensión finita es que todas las normas son equivalentes (dan la misma topolog´ıa). 5.8.- Definici´ on. Dos normas k · k1 y k · k2 en X se dicen equivalentes cuando ∃a, b > 0 : akxk1 ≤ kxk2 ≤ bkxk1 , ∀x ∈ X. Es fácil probar que la relación es efectivamente de equivalencia y que dos normas equivalentes dan lugar a la misma topolog´ıa. 5.9.- Teorema (normas equivalentes). En un espacio vectorial de dimensi´ on finita, todas las normas son equivalentes. Demostraci´ on. Sean k·k1 y k·k2 dos normas cualesquiera en X. {e1 , . . . , en } PSi n es una base de X, todo x ∈ X tiene una representaci´ on x = i=1 αi ei . ApliP cando el lema 5.4, existe c tal que kxk1 ≥ c ni=1 |αi |. Por otro lado, kxk2 ≤

n X

|αi | · kei k2 ≤ k

i=1

n X i=1

56

|αi |

si k = máx kei k2 . Esto implica que kc kxk2 ≤ c

Pn

i=1 |αi |

≤ kxk1 .

Intercambiando los papeles de k · k1 y k · k2 se obtiene la otra desigualdad. ♦

Observar la importancia de este resultado que prueba la independencia de la convergencia de sucesiones respecto de la norma que se elija.

6. OPERADORES LINEALES ACOTADOS.

La estructura algebraica que posee todo espacio normado hace plantearnos el estudio de las aplicaciones lineales entre ellos. Debido a su importancia en el desarrollo del Análisis Funcional, el curso se concentra a partir de aqu´ı en el estudio de dichas aplicaciones, que reciben el nombre de operadores. Además, salvo en algunas situaciones concretas, y en especial en el cap´ıtulo VII, dichos operadores se supondrán acotados, de ah´ı que precisemos dicho concepto a continuación. 6.1.- Definici´ on. Sean X, Y espacios normados y A : X → Y un operador lineal. Decimos que A es acotado si existe k > 0 : kAxk ≤ kkxk, ∀x ∈ X. Observaci´ on. En Cálculo elemental, una función es acotada cuando su imagen es un conjunto acotado. Sin embargo, no hay funciones no nulas que sean lineales y acotadas pues, debido a la linealidad, si kAxk ≤ k, ∀x =⇒ A = 0, de ah´ı que para definir un operador lineal acotado exijamos simplemente que su restricción a la bola unidad tenga imagen acotada. kAxk ≤ k, ∀x 6= 0. Entonces el menor valor kxk de k para el que se verifica la desigualdad es precisamente sup kAxk kxk . Esto

De la definición se deduce que

kxk6=0

motiva la siguiente definición. 6.2.- Definici´ on. Dado un operador A : X → Y lineal y acotado, se llama kAxk norma de A, a kAk = sup . kxk6=0 kxk 6.3.- Definici´ on. Llamamos L(X, Y ) = {A : X → Y : A es lineal y acotado} (en particular L(X) = {A : X → X : A lineal y acotado}), que es un espacio vectorial con los operaciones usuales y es normado si definimos kAk como arriba. Para ver bajo qué condiciones es de Banach, nos basta el siguiente resultado. 57

6.4.- Teorema. Si Y es de Banach, entonces L(X, Y ) es de Banach. Demostraci´ on. Debemos ver que toda sucesión de Cauchy en L(X, Y ) converge en el mismo espacio. Consideramos para ello una sucesión {An }n∈N de Cauchy en L(X, Y ), es decir, tal que kAn − Am k < ε, si n, m > N (ε). Entonces ∀x ∈ X, kAn x − Am xk ≤ kAn − Am k · kxk < εkxk. Esto implica que {An x}n∈N es de Cauchy en Y , de donde ∃y ∈ Y : An x → y, porque Y es completo. Definimos A : X → Y como Ax = y. Entonces (∗) A es lineal (evidente). (∗) A es acotado: Si n > N , kAn x − Axk = kAn x − l´ım Am xk = l´ım kAn x − Am xk ≤ ε · kxk. m

Entonces An − A es acotado para n > N . Como An también es acotado, A = An − (An − A) es acotado. (∗) An → A : Como kAn x − Axk ≤ ε · kxk, entonces kAn − Ak ≤ ε. ♦ 6.5.- Lema. Otras definiciones equivalentes de norma de un operador son: (a) kAk = ´ınf K, donde K = {k ∈ R : kAxk ≤ kkxk, ∀x ∈ X}. (b) kAk = supkxk≤1 kAxk. (c) kAk = supkxk=1 kAxk. Demostraci´ on. a) Como kAk ≥ implica que kAk ≥ ´ınf K. Rec´ıprocamente, ∀k ∈ K, k ≥ k ≥ sup x6=0

kAxk kxk

=⇒ kAxk ≤ kAk · kxk, ∀x ∈ X. Esto

kAxk kxk ,

∀x 6= 0. Por tanto,

kAxk =⇒ k ≥ kAk =⇒ ´ınf{k} ≥ kAk. kxk

b) Sea kxk ≤ 1. Entonces kAk ≥

kAxk kxk

≥ kAxk =⇒ kAk ≥ supkxk≤1 kAxk.

Rec´ıprocamente, si x 6= 0, kAxk kAxk = kA (x/kxk) k ≤ sup kAyk =⇒ sup ≤ sup kAyk. kxk x6=0 kxk kyk≤1 kyk≤1 Por tanto, kAk ≤ supkxk≤1 kAxk. c) Es análoga a b) con las modificaciones obvias. 58

♦

6.6.- Ejemplos. 1) Si I : X → X es el operador identidad, kIk = 1 y si 0 : X → Y es el operador cero, k0k = 0. 2) Si P[0, 1] es el espacio de los polinomios sobre [0, 1] con norma kf k = máxx∈[0,1] |f (x)|, entonces el operador derivada D : P[0, 1] → P[0, 1] definido como Df (x) = f 0 (x) es lineal pero no acotado, porque tomando fn (x) = xn , entonces kfn k = 1, Dfn (x) = nxn−1 y kDfn k = n > c, ∀c. Este ejemplo básico hace que tenga gran importancia el estudio de los operadores no acotados. R1 3) Sea T : C[0, 1] → C[0, 1] el operador definido por T f (x) = 0 k(x, y)f (y)dy, donde k es una función continua en [0, 1] × [0, 1], llamada n´ ucleo del operador. T es acotado pues Z 1 Z kT f k = máx k(x, y)f (y)dy ≤ máx x∈I x∈I

1

|k(x, y)| · |f (y)|dy ≤ k0 kf k,

0

0

donde k0 es una cota superior de |k(x, y)|. En dimensión finita todos los operadores lineales son acotados como probamos a continuación. 6.7.- Teorema. Si A : X → Y es lineal y X es de dimensi´ on finita, entonces A es acotado. P Demostraci´ on. Sean {e1 , . . . , en } una base de X y x = ni=1 αi ei un elemento arbitrario de X. Entonces Ax =

n X

αi Aei =⇒ kAxk ≤

i=1

n X

|αi | · kAei k ≤ máx kAei k · i

i=1

El lema 5.4 establece que kxk ≥ c kAxk ≤

Pn

i=1 |αi |,

n X

|αi |.

i=1

de donde

1 máx kAei k · kxk = kkxk. c i

Esto implica que A es acotado.

♦

Veremos a continuación una relación directa entre operadores acotados y continuos cuando estos son lineales y una simplificación importante del concepto de continuidad. 6.8.- Teorema. Sea A : X → Y un operador lineal entre espacios normados. Son equivalentes: i) A es uniformemente continuo. ii) A es continuo. 59

iii) A es continuo en alg´ un x0 ∈ X. iv) A es continuo en 0. v) A es acotado. vi) M ⊂ X acotado =⇒ A(M ) ⊂ Y acotado. Demostraci´ on. i) =⇒ ii) =⇒ iii) =⇒ iv) son evidentes. iv) =⇒ v). Supongamos que A es continuo y no acotado. Entonces ∀k ∈ xk N, ∃xk ∈ X : kAxk k > kkxk k. Si llamamos yk = kkx , como kyk k = 1/k, kk resulta que yk → 0. Por la continuidad de A, Ayk → A(0) = 0, es decir ∀ε > 0, ∃N : k > N =⇒ kAyk k < ε. Si tomamos ε < 1, kAyk k =

kAxk k kkxk k

> 1, lo que es absurdo.

v) =⇒ vi). Sea M ⊂ X acotado. Entonces existe K : kxk ≤ k, ∀x ∈ M. Por ser A acotado, kAxk ≤ kAk · kxk ≤ kAk · k, ∀x ∈ M . Esto implica que A(M ) es acotado. vi) =⇒ i). Sea M la bola unitaria cerrada en X. Como M es acotado, A(M ) es acotado en Y , es decir kAxk ≤ k, ∀x ∈ M . Dado cualquier ε > 0, hacemos δ = ε/k, con lo que, si kx − yk < δ, entonces

kAx − Ayk = kA(x − y)k = kx − yk · A

x − y

< δ · k = ε, kx − yk

pues (x − y)/kx − yk ∈ M .

♦

6.9.- Corolario. Si A : X → Y es un operador lineal acotado, entonces xn → x =⇒ Axn → Ax. Demostraci´ on. kAxn − Axk ≤ kAk kxn − xk → 0.

♦

Probamos a continuación la siguiente caracterización de la existencia de operador inverso acotado. 6.10.- Teorema (operador inverso). Sea A : X → Y un operador lineal. La condici´ on necesaria y suficiente para que exista A−1 : A(X) → X y esté acotado es que ∃k > 0 : kkxk ≤ kAxk, ∀x ∈ X. Demostraci´ on. a) Para que exista A−1 , debe ser A inyectiva. En efecto, de Ax = 0 se deduce que kAxk = 0 =⇒ kkxk = 0 =⇒ x = 0. La comprobación de que A−1 es lineal es directa. Veamos que es acotado: 60

∀y ∈ A(X), ∃x ∈ X : Ax = y, es decir x = A−1 y. Por hipótesis, ∃k > 0 : kkA−1 yk ≤ kyk. Entonces kA−1 yk ≤ (1/k)kyk de modo queA−1 está acotado. b) Como A−1 está acotado, ∃k > 0 : kA−1 yk ≤ kkyk. Para todo x ∈ X, hacemos y = Ax; entonces kA−1 Axk ≤ kkAxk. Por tanto, (1/k)kxk ≤ kAxk. ♦ 6.11.- Definici´ on (restricción, extensión). a) Dado un operador A : X → Y y un subconjunto X0 ⊂ X, al operador A|X0 : X0 → Y definido por A|X0 x = Ax, ∀x ∈ X0 , se le llama restricción de A a X0 . e tal que X ⊂ X, e b) De la misma manera, dado A : X → Y y un conjunto X e definido en X e cuya restricción a X coincide con A se llama un operador A e extensión de A a X. Entre las extensiones de un mismo operador, son importantes las que conservan las propiedades básicas del operador de partida, como la linealidad y acotación. 6.12.- Teorema. Sea A : X → Y un operador lineal acotado, donde Y es e : X → Y tal que A e es lineal, de Banach. Entonces A tiene una extensi´ on A e = kAk. acotado y kAk Demostraci´ on. Sea x ∈ X. Entonces existe {xn }n∈N ⊂ X : xn → x. Como kAxn − Axm k = kA(xn − xm )k ≤ kAk · kxn − xm k → 0, entonces {Axn }n∈N es de Cauchy en Y y, por lo tanto, converge a y ∈ Y (porque Y es de Banach). e = y. As´ı definido, se puede probar lo siguiente: Definimos Ax * La definición no depende de la elección de la sucesión que tiende a x: Si xn → x y zn → x, entonces {x1 , z1 , x2 , z2 , . . . } también converge a x y, como A es acotado, la sucesión de sus imágenes también converge. Por tanto, las dos sub-sucesiones {Axn }n∈N y {Azn }n∈N convergen al mismo l´ımite. e es lineal (evidente). *A e = Ax, ∀x ∈ X. * Ax e si xn → x, entonces * Como kAxn k ≤ kAk · kxn k y Axn → y = Ax, e e e extensión de kAxk ≤ kAk · kxk. Por tanto, kAk ≤ kAk. Pero, al ser A e ≥ kAk, entonces kAk = kAk. e A, kAk ♦ 61

Diversas generalizaciones y variaciones de este resultado son objeto de numerosos estudios, importantes tanto en la teor´ıa de operadores como en otras áreas afines.

7. FUNCIONALES LINEALES. ESPACIO DUAL.

Entre los operadores lineales en espacios normados, una clase importante, e históricamente precursora de los mismos, la constituyen los funcionales lineales que estudiamos en esta sección. 7.1.- Definici´ on. Un funcional es un operador cuyo rango está en el conjunto R ó C. Un funcional lineal es un operador lineal f : X → E donde X es un espacio vectorial y E su cuerpo de escalares. Un funcional lineal acotado es un operador lineal acotado cuyo rango está en E, cuerpo de escalares del espacio normado X, es decir, si existe k > 0 : |f (x)| ≤ kkxk, ∀x ∈ X. Se define la norma de f del mismo modo que en el caso de operadores lineales, y se verifican las mismas propiedades obtenidas en el caso general. 7.2.- Ejemplos. 1) k · k : X → R es un funcional no lineal. 2) Para cada a ∈ Rn , fa : Rn → R definido por fa (x) = a · x = a1 x1 + · · · + an xn (producto escalar por un vector fijo) es un funcional lineal y acotado: |fa (x)| = |x · a| ≤ kxk · kak =⇒ kf k ≤ kak. Pero además, si hacemos x = a, resulta kfa k ≥ kak. De lo que se deduce que kfa k = kak.

|fa (x)| kxk

=

kak2 kak

=⇒ kfa k ≥

P 3) La aplicación f : `2 → R, definida por f (x) = i∈N ai xi donde (ai )i∈N ∈ `2 es fijo, es también un funcional lineal y acotado pues, por la desigualdad de Cauchy-Schwarz, |f (x)| ≤ kxk2 · kak2 . Del mismo modo, el operador f : `p → R definido por f (x) = a · x, con a ∈ `q fijo, es también lineal y acotado. Rb 4) El operador f : C[a, b] → R definido por f (x) = a x(t)dt (integral definida) es lineal y acotado: Z b x(t)dt ≤ (b − a) · máx |x(t)| = (b − a) · kxk =⇒ kf k ≤ b − a. |f (x)| = a

a≤t≤b

Si elegimos en particular x0 = 1, kf k ≥ deduce que kf k = b − a. 62

|f (x0 )| kx0 k

Rb

=

dt 1

a

= b − a. De aqu´ı se

7.3.- Proposici´ on. Sea X un espacio normado y f un funcional lineal en X. Entonces f es continuo si y s´ olo si su n´ ucleo N (f ) es cerrado. Demostraci´ on. a) La prueba de que N (f ) es cerrado es directa. b) Supongamos que N = N (f ) es cerrado. Si N = X, entonces f = 0 y es continuo. Si N 6= X, existe x1 ∈ X : f (x1 ) 6= 0. Sea x0 = x1 /f (x1 ). Como f (x0 ) = 1 y N es cerrado, d(x0 , N ) = d > 0. Por otra parte, ∀x ∈ X, x = x − f (x) · x0 + f (x) · x0 , donde x − f (x) · x0 ∈ N . Esto indica que X = N ⊕ {λx0 : λ ∈ E}. Si escribimos entonces x = n + λx0 , con n ∈ N , λ ∈ E, resulta: kxk = |λ| · kx0 + n/λk ≥ |λ| · d = |f (λx0 + n)| · d = |f (x)| · d. Esto implica que |f (x)| ≤ (1/d) · kxk y f es continuo.

♦

En espacios vectoriales de dimensión finita es conocido el hecho de que si {e1 , . . . , en } es una base de X, entonces el espacio X ∗ , llamado dual algebraico de X, definido por X ∗ = {f : X → R : f lineal}, tiene dimensión n y el conjunto {f1 , . . . , fn }, donde fi (ek ) = δik , es una base de X ∗ . En dimensión infinita, tenemos el siguiente resultado análogo: 7.4.- Proposici´ on. Si (X, k · k) es un espacio normadoP y (xn )n∈N es una base de Schauder, el funcional lineal fk definido por fk ( n∈N αn xn ) = αk es continuo. P Demostraci´ on. Dado a = n∈N αn xn ∈ X y teniendo en cuenta la demostración de la proposición 4.8, resulta:

k k−1

X X 1 1

|fk (a)| = |αk | = kαk xk k = αn xn − αn xn

kxk k kxk k n=1

≤

1 M · 2kak∗ ≤ kak. kxk k kxk k

n=1

♦

Este hecho es el punto de partida para definir el concepto de espacio dual en espacios normados arbitrarios. 7.5.- Definici´ on. Sea X un espacio normado; llamamos espacio dual de X a X 0 = {f : X → E : f lineal y acotado}. Si dim X < ∞, este concepto coincide con el de dual algebraico (por el teorema 6.7). El espacio X 0 será siempre completo por serlo el cuerpo de escalares de X. Es a menudo conveniente estudiar el espacio dual de un espacio normado para obtener propiedades del mismo espacio, por lo que estudiaremos 63

su estructura en algunos ejemplos clásicos. Veremos posteriormente, como consecuencia del teorema de Hahn-Banach (cap´ıtulo IV), que el dual de un espacio normado no trivial es no trivial. 7.6.- Ejemplos. 1) El dual de Rn con la norma eucl´ıdea es Rn (en realidad es un espacio isométrico a Rn ): Como dim Rn = n, todo f lineal es acotado. Pn Pn Si x = i=1 αi f (ei ). Por la desigualdad de Cauchyi=1 αi ei , f (x) = Schwarz, !1/2 n !1/2 n n X X X 2 2 |f (x)| ≤ |αi f (ei )| ≤ |αi | |f (ei )| i=1

= kxk ·

n X

i=1 !1/2 2

|f (ei )|

i=1

,

i=1

de donde kf k ≤

2 1/2 . i=1 |f (ei )|

Pn

Tomando en particular x = (f (e1 ), . . . , f (en )), se obtiene la igualdad. As´ı, Pn 2 1/2 coincide con la norma eucl´ ıdea y la aplicación kf k = i=1 |f (ei )| definida por f 7→ (f (e1 ), . . . , f (en )) es un isomorfismo isométrico de (Rn )0 en Rn . 2) El dual de `1 es `∞ . ∀x ∈ `1 , podemos escribir x =

P∞

∞ k=1 αk ek , donde ek = (δkj )j=1 forma P . ., 0, αn+1 , . . . ) y x− nk=1 αk ek = (0, .(n)

una

base de Schauder de `1 , porque

∞

n

X

X

αk ek = αk ek → 0

x −

k=1

k=n+1

por ser el resto de una serie convergente. Definimos la aplicación T f = (f (ek ))k∈N , ∀f ∈ (`1 )0 . Como f (x) =

P

αk f (ek ),

k∈N

entonces |f (ek )| ≤ kf k · kek k = kf k, pues kek k = 1. En consecuencia, supk |f (ek )| ≤ kf k de donde (f (ek ))k∈N ∈ `∞ . ∞ 1 - T es P sobre: ∀b = (βk )k∈N ∈ ` 1, definimos g : ` → E como g(x) = k∈N αk βk si x = (αk )k∈N ∈ ` .

El funcional g es lineal y acotado, pues X X |g(x)| ≤ |αk βk | ≤ sup |βk | · |αk | = kxk1 · sup |βk | =⇒ g ∈ (`1 )0 . k∈N

Además, como g(ek ) = b.

k

k∈N

P

j∈N δkj βj

64

k

= βk , T g = (g(ek ))k∈N = (βk )k∈N =

- T esPinyectiva: Si T f1 = T f2 , P entonces f1 (ek ) = f2 (ek ), ∀k. Como f1 (x) = x f (e ) y f (x) = 1 2 k k k∈N k∈N xk f2 (ek ), entonces f1 = f2 . - T es isometr´ıa: Por una parte, kT f k∞ = supk |f (ek )| ≤ kf k y de X X |f (x)| = | αk f (ek )| ≤ sup |f (ek )| · |αk | = kxk · sup |f (ek )| k

k∈N

k

k∈N

(para probar la desigualdad se toman sumas parciales y, debido a la convergencia de la serie, calcular el l´ımite), tenemos que kf k ≤ supk |f (ek )| = kT f k. As´ı los espacios (`1 )0 y `∞ son isométricos. 1 p

3) El dual de `p es `q si

+

1 q

= 1, (1 < p < ∞) :

Una base de Schauder de `p es ek = (δkj )∞ j=1 . P P ∀x ∈ `p , x = k∈N αk ek . Si f ∈ (`p )0 , f (x) = k∈N αk f (ek ). Definimos como antes T f = (f (ek ))k∈N . Para probar que la imagen de está en `q , definimos para cada n, la sucesión (T |f (ek )|q si k ≤ n y f (ek ) 6= 0, (n) (n) f (ek ) x(n) = (ξk )∞ k=1 con ξk = 0 si k > n ó f (ek ) = 0. P P (n) Entonces f (x(n) ) = k∈N ξk f (ek ) = nk=1 |f (ek )|q . Como además, (n)

f (x

(n)

) ≤ kf k · kx

n X

kp = kf k

!1/p (n) |ξk |p

k=1 n X

= kf k

!1/p pq−p

|f (ek )|

= kf k

resulta que

n P

|f (ek

)|q

1− 1

p

=

k=1

|f (ek )|

,

n P

|f (ek

)|q

1/q ≤ kf k.

k=1

Haciendo n → ∞,

!1/p q

k=1

k=1

n X

∞ P

|f (ek

)|q

1/q

≤ kf k de donde (f (ek ))k∈N ∈ `q .

k=1

T es sobre: Dado b = (βk )k∈N ∈ `q , podemos P∞ asociarle un funcional linealp y acotado g en `p , mediante g(x) = k=1 αk βk con x = (αk )k∈N ∈ ` (la acotación se deduce de la desigualdad de Hölder 2.2.a). Entonces g ∈ (`p )0 . Se ve fácilmente que T es también inyectiva. 65

Por u ´ltimo veamos que la norma de f es la norma en `q de T f : X |f (x)| = αk f (ek ) ≤ k∈N

!1/p X

|αk |p

k∈N

!1/q X

|f (ek )|q

k∈N

!1/q = kxk

X

|f (ek )|q

.

k∈N

Tomando el supremo sobre los x de norma 1, sale que kf k ≤

q 1/q k∈N |f (ek )|

P

Como la otra desigualdad también es cierta, se deduce la igualdad kf k = P q 1/q , con lo que se establece el isomorfismo f 7→ (f (e )) k k∈N k∈N |f (ek )| deseado. Observaci´ on. Otros ejemplos se pueden obtener debido al hecho de que si X0 es subespacio denso de X e Y es completo, entonces L(X0 , Y ) = L(X, Y ), se deduce en particular que X00 = X 0 .

66

.

EJERCICIOS.

1. Sea 1r = p1 + 1q . Probar que si f ∈ Lp , g ∈ Lq , entonces f · g ∈ Lr y kf · gkr ≤ kf kp · kgkq . Resp.: Basta aplicar la desigualdad de Hölder a las funciones f r y g r , 1 1 sabiendo que 1 = p/r + q/r . 2. Sea f ∈ Lp (R), 1 < p < ∞. Probar que g(x) = 1/q 2 kgk1 ≤ q−1 · kf kp .

f (x) 1+|x|

∈ L1 (R) y que

Resp.: Aplicando la desigualdad de Hölder y resolviendo las integrales involucradas, obtenemos Z Z Z 1/p Z 1 1 q 1/q |g(x)|dx = |f (x)| · dx ≤ |f (x)|p dx · dx 1 + |x| R R R R 1 + |x| Z ∞ i1/q hZ 0 1 1 2 1/q dx+ dx . = kf kp · = kf kp · q q q−1 0 (1 + x) −∞ (1 − x) 3. Probar que, en todo espacio normado, B(x, r) = B(x, r). Resp.: Como B(x, r) ⊂ B(x, r), entonces B(x, r) ⊂ B(x, r) = B(x, r). Rec´ıprocamente, sabiendo que B(x, r) = B(x, r)∪S(x, r), para probar que B(x, r) ⊂ B(x, r) basta ver que S(x, r) ⊂ B(x, r), es decir que si y ∈ S(x, r), dado ε > 0, ∃z ∈ B(x, r) : d(y, z) < ε. Para ello consideramos un elemento z = x + λ(y − x) y calculemos λ para que se verifique la tesis. kz − xk = kλ(y − x)k = |λ| · ky − xk = |λ| · r < r ⇐⇒ |λ| < 1, ky − zk = ky − x − λy + λxk = |1 − λ| · ky − xk = |1 − λ| · r < ε ⇐⇒ |1 − λ| < ε/r. De este modo, si suponemos ε < r, 0 < ε/r < 1, tomando 1−λ = ε/2r, ε ε ε es |1 − λ|r = 2r · r = ε/2 < ε. Además, como λ = 1 − 2r y 2r < 1, entonces |λ| < 1. 67

Si fuera ε ≥ r, tomamos z = y + 12 (x − y). Entonces 1 1 kz − xk = ky + (x − y) − xk = ky − xk = r/2 < r 2 2 1 1 ky − zk = k (x − y)k = k(x − y)k = r/2 < r ≤ ε. 2 2 Interpretaci´ on gr´ afica:

4. i) Caracterizar todas las normas sobre R considerado como espacio vectorial real.

ii) Idem sobre C como espacio complejo. iii) Probar que C puede tener otras normas considerado como espacio real. Resp.: i) Sea k · k una norma. Si llamamos α = k1k, entonces ∀λ ∈ R, kλk = |λ| · k1k = |λ| · α.

Rec´ıprocamente, ∀α ∈ R+ , podemos definir kλkα = |λ| · α y es fácil comprobar que se trata de una norma. ii) Análogo al anterior. ii) Si definimos kzk = | Re z| + | Im z|, es una norma en C como espacio real, pero no coincide con las anteriores √ pues, como k1k = 1, entonces k1 + ik = 2 pero k1 + ik1 = 1 · |1 + i| = 2. 5. a) Probar que la m´ etrica discreta en un espacio vectorial no trivial X no puede obtenerse de una norma. 68

b) Sea d una m´ etrica sobre un espacio vectorial X 6= {0} obtenida a partir de una norma. Si se define la aplicaci´ on d0 como 0 0 0 d (x, x) = 0, d (x, y) = d(x, y) + 1, probar que d no puede obtenerse de una norma. Resp.: a) Para que una métrica pueda obtenerse de una norma hace falta que d(x + α, y + α) = d(x, y) y d(αx, αy) = |α| · d(x, y). Pero si elegimos |α| = 6 1, x 6= y, entonces d(x, y) = 1 = d(αx, αy) y no se cumple la segunda condición. b) Si |α| = 6 1, d0 (αx, αy) = d(αx, αy) + 1 = |α| · d(x, y) + 1 = |α|[d(x, y) + 1] + 1 − |α| = |α| · d0 (x, y) + 1 − |α| = 6 |α| · d0 (x, y).

6. Sea (X, k · k) un espacio normado y Sr = {x ∈ X : kxk = r} con r > 0. Probar que X es de Banach si y s´ olo si ∃r tal que Sr es completo. Resp.: a) Supongamos que X es de Banach y sea r > 0 arbitrario; entonces ∀x ∈ S r , ∃(xn )n∈N ⊂ Sr : xn → x. Como kxn k = r y la norma es continua, l´ımn kxn k = k l´ımn xn k = kxk = r. Esto implica que Sr es cerrado y, en consecuencia, completo. b) Sea r0 > 0 tal que Sr0 es completo y sea r > 0 arbitrario. Dada la sucesión de Cauchy (xn )n∈N en Sr , sea yn = (r0 /r)xn ; entonces yn ∈ Sr0 y además (yn )n∈N es de Cauchy, por lo que ∃y ∈ Sr0 tal que y = l´ımn yn . Definimos x = (r/r0 )y; entonces x ∈ Sr y kxn −xk = (r/r0 )kyn −yk → 0. Por tanto, Sr es completo, ∀r. Falta demostrar que toda sucesión de Cauchy en X es convergente. Sea pues (xn )n∈N de Cauchy en X. Entonces, si λn = kxn k, la sucesión (λn )n∈N es de Cauchy pues |λn − λm | ≤ kxn − xm k → 0. Como en E toda sucesión de Cauchy es convergente, tenemos dos opciones: Si l´ımn λn = 0 =⇒ l´ımn kxn k = 0 =⇒ l´ımn xn = 0. 69

Si l´ımn λn 6= 0, λn 6= 0, excepto para un n´ umero finito de ´ındices. Si llamamos yn = rxn /λn , la sucesión (yn )n∈N , que está contenida en Sr , es de Cauchy, pues:

x

kλm xn − λn xm k

n xm kyn − ym k = r −

=r λn λm |λn λm | y kλm xn −λn xm k ≤ |λm |·kxn −xm k+|λm −λn |·kxm k → 0 (recordamos que toda sucesión de Cauchy está acotada). Por ser Sr completo, ∃y ∈ Sr : yn → y, de donde xn → (λ/r)y. 7. Se considera el conjunto C0 (Rn ) = {f : Rn → R : f continua y l´ım f (x) = 0} x→∞

con la norma kf k = máxn |f (x)|. Probar que es de Banach. x∈R

Resp.: La norma está bien definida pues, si f ∈ C0 (Rn ), f 6= 0, ∀ε > 0, ∃δ > 0 : |x| > δ =⇒ |f (x)| < ε =⇒ máxn |f (x)| = máx |f (x)|, x∈R

|x|≤δ

que existe por el teorema de Weierstrass. Los axiomas de norma son evidentes. Si (fn )n∈N es una sucesión de Cauchy en C0 (Rn ), converge uniformemente a una función continua f (como en el caso general). Veamos que f ∈ C0 (Rn ): ( |f (x) − fn (x)| < ε/2 ∀ε > 0, |fn (x)| < ε/2

para n > N (ε) para |x| > δ(ε)

) =⇒ |f (x)| < ε, para |x| > δ(ε).

8. Sea φ el conjunto formado por las sucesiones escalares de soporte finito. Probar que (φ, k · kp ) con p ≥ 1 es un espacio normado no completo. Resp.: Al ser φ subespacio de lp , es normado. 70

Para p > 1, consideramos la sucesión (yn )n∈N ⊂ φ dada por: y1 = (1, 0, . . . ) y2 = (1, 1/2, 0, . . . ) .. . yn = (1, 1/2, . . . , 1/n, 0, . . . ). As´ı,

kyn+k −yn kpp = (0, . . . 0,

k

p X 1 1 1

,..., , 0, . . . ) = 0 : B(a, r) ⊂ S. Sea x ∈ X arbitrario, x 6= 0, y elegimos t ∈ R tal que 0 < t < r/kxk. As´ı elegido, es evidente que z = a + tx ∈ B(a, r), de donde z ∈ S. Como x = t−1 (z − a), entonces x ∈ S. Al ser x arbitrario, X ⊂ S, es decir S = X, lo que contradice la hipótesis. Observaci´ on: Dicho conjunto se llama conjunto fronterizo (todos sus puntos son aislados). El u ´ltimo apartado prueba que S no es abierto. Además, si fuera cerrado, debe ser un conjunto nunca denso. 11. Sea K ⊂ R un compacto y C(K) = {f : K → C : f continua}.

a) Probar que (C(K), k · k∞ ) es un espacio de Banach. b) Probar que (C(K), k · kp ) con 1 ≤ p < ∞ no es completo. 72

Resp.: a) Al ser f continua, kf k∞ = supx∈K |f (x)| = máxx∈K |f (x)|. Los axiomas de norma se comprueban de forma directa. Para ver que el espacio es completo, consideremos una sucesión de Cauchy {fn }n∈N en C(K). Entonces ∀ε > 0, ∃n0 : kfm − fn k∞ < ε, ∀m, n > n0 . Por tanto, |fm (x) − fn (x)| < ε, ∀m, n > n0 , ∀x ∈ K y la sucesión {fn (x)}n∈N es de Cauchy en C, con lo que existe f (x) = l´ımn→∞ fn (x) y la convergencia es uniforme. Esto indica además que f es continua en K. Veamos que kfn − f k∞ → 0: Como |fn (x)−f (x)| = |fn (x)− l´ım fm (x)| = l´ım |fn (x)−fm (x)| ≤ ε, ∀m, n > n0 , m→∞

m→∞

es evidente que kfn − f k∞ = supx∈K |fn (x) − f (x)| ≤ ε. b) Los axiomas de norma se deducen de los correspondientes en Lp (K) con la medida de Lebesgue. Para ver que no es completo, consideramos la sucesión (fn )n∈N definida por:   0 fn (x) = nx − n/2 + 1   1

si 0 ≤ x ≤ 1/2 − 1/n si 1/2 − 1/n ≤ x ≤ 1/2 si x ≥ 1/2.

Es evidente que kfn kp < ∞. Además: kfn −fm kpp

Z =

1 2 1 1 −n 2

p

|fn (x)−fm (x)| dx ≤

Z

1 2 1 1 −n 2

p

|fn (x)| dx ≤

Z

1 2

dx =

1 1 −n 2

Sin embargo, fn → χ[1/2,1] que no es continua en x = 1/2. Observaci´ on. Aunque K 6= [0, 1], el proceso ser´ıa el siguiente: Por ser K compacto, ∃[a, b] ⊂ K; mediante un cambio de variable x 7→ x−a b−a , pasamos de [a, b] a [0, 1]. La sucesión (fn )n∈N se define como antes y la prolongamos a todo K de modo que sea constante fuera de [0, 1].

73

1 → 0. n

12. Probar que Cc (R) = {f : R → R : f continua con soporte compacto }

es un espacio vectorial normado con la norma del supremo, pero no es de Banach. Resp.: El espacio es normado pues es un subconjunto de L∞ . Para ver que no es completo, basta considerar la sucesión   e−|x| si x ∈ [−n, n]    e−n (x + n + 1) si x ∈ [−n − 1, −n] fn (x) = −n  −e (x − n − 1) si x ∈ [n, n + 1]    0 en el resto, que es de Cauchy pero su l´ımite f (x) = e−|x| no pertenece al espacio. 13. Sea (X, k · k) un espacio normado y T : X → X un isomorfismo algebraico. Si definimos N : X → E por N (x) = kT xk, probar:

a) N es una norma. b) N es equivalente a k · k si y s´ olo si T es homeomorfismo. Resp.: a) N (x) ≥ 0 pues kT xk ≥ 0, ∀x ∈ X. N (x) = 0 ⇐⇒ kT xk = 0 ⇐⇒ T x = 0 ⇐⇒ x = 0 (pues T es, en particular, inyectiva). N (λx) = kT (λx)k = kλT xk = |λ| · kT xk = |λ| · N (x). N (x + y) = kT (x + y)k ≤ kT x + T yk ≤ kT xk + kT yk = N (x) + N (y). b) N es equivalente a k · k ⇐⇒ ∃m, M > 0 : mkxk ≤ N (x) ≤ M kxk. 1 Esto equivale a kxk ≤ m kT xk y kT xk ≤ M kxk, condiciones que equivalen a la existencia y continuidad de T −1 y T , respectivamente, es decir, a que T es homeomorfismo.

74

14. Un subconjunto A de un espacio vectorial X es convexo si para cualesquiera x, y ∈ A, α ∈ (0, 1), se tiene que αx + (1 − α)y ∈ A.

a) Probar que la bola unitaria cerrada B(0, 1) en un espacio normado es convexo. b) Aplicando lo anterior, probar que ϕ(x) =

p

|x1 | +

p

2 |x2 | no

define una norma en R2 . Resp.: a) Sean x, y ∈ B(0, 1). Entonces kxk ≤ 1, kyk ≤ 1. Si α ∈ (0, 1), kαx + (1 − α)yk ≤ |α| · kxk + |1 − α| · kyk ≤ α + (1 − α) = 1. Esto implica que αx + (1 − α)y ∈ B(0, 1). b) Veamos que B(0, 1) no es convexa en dicho espacio. Para ello observamos p p la gráfica de dicha bola, es decir el conjunto {(x1 , x2 ) : ( |x1 | + |x2 |)2 ≤ 1}. Haciendo x = (1, 0), y = (0, 1), ϕ(x) = 1, ϕ(y) = 1. Sin embargo p x/2 + y/2 = (1/2, 1/2) 6∈ B(0, 1) porque ϕ(1/2, 1/2) = ( 1/2 + p 1/2)2 = 2 > 1.

15. Si X es un espacio vectorial, una aplicaci´ on p : X → R se llama seminorma si verifica i) p(x) ≥ 0, ii) p(αx) = |α| · p(x), iii) p(x + y) ≤ p(x) + p(y).

a) Probar que |p(x) − p(y)| ≤ p(x − y). b) Probar que p es una norma si verifica p(x) 6= 0, ∀x 6= 0. c) Probar que N = {x ∈ X : p(x) = 0} es un subespacio de X y la aplicaci´ on k · k : X/N → R definida por kb xk = p(x), donde x ∈ x b, es una norma. 75

Resp.: a) Haciendo α = 0 en ii), resulta que p(0) = 0. Como x = x − y + y, p(x) ≤ p(x − y) + p(y) =⇒ p(x) − p(y) ≤ p(x − y). Como y = y − x + x, p(y) ≤ p(y − x) + p(x) =⇒ p(y) − p(x) ≤ p(y − x). Además, p(y − x) = p(−(x − y)) = | − 1| · p(x − y) = p(x − y). En definitiva, −p(x − y) ≤ p(x) − p(y) ≤ p(x − y). b) Es evidente. c) Si x, y ∈ N y α, β ∈ C, entonces p(x) = p(y) = 0 =⇒ p(αx+βy) ≤ p(αx)+p(βy) = |α|·p(x)+|β|·p(y) = 0, es decir αx + βy ∈ N . Veamos que kb xk = p(x) es una norma. • kb x k ≥ 0 por i). • kb x k = 0 =⇒ p(x) = 0 =⇒ x ∈ N =⇒ x b = 0. Rec´ıprocamente, si x b = 0 =⇒ p(x) = 0 =⇒ kb x k = 0. • Como α · x b = αx, c kαb x k = p(αx) = |α| · p(x) = |α| · kb x k. • kb x + ybk = kx[ + yk = p(x + y) ≤ p(x) + p(y) = kb x k + kb y k. • k · k está bien definida: Si x, y ∈ x b, x − y ∈ N =⇒ p(x − y) = 0 =⇒ |p(x) − p(y)| ≤ p(x − y) = 0. Por tanto, p(x) = p(y). 16. Sea (X, k · k) un espacio normado y M un subespacio cerrado de X . En el espacio cociente X/M definimos |||b x||| = ´ınf kx + yk, ∀b x ∈ X/M. y∈M

a) Probar que ||| · ||| define una norma en X/M . b) Si X es de Banach, probar que (X/M, ||| · |||) es de Banach. c) Si M y X/M son de Banach, probar que X es de Banach. d) Si X es separable, probar que X/M es separable. Resp.: a) Observemos en primer lugar que |||b x||| = d(x, M ). • De la observación anterior es claro que |||b x||| ≥ 0, ∀x ∈ X. 76

• |||b x||| = 0 ⇐⇒ d(x, M ) = 0 ⇐⇒ x ∈ M ⇐⇒ x ∈ M ⇐⇒ x b=b 0. • Debido a que kα(x + y)k = |α| · kx + yk, ∀y ∈ M , tomando ´ınfimos y recordando que αx c = αb x, resulta: |||αx||| c = |||αb x||| = ´ınf kα(x + y)k = ´ınf |α| · kx + yk|α| · |||b x|||. y∈M

y∈M

• Debido a que kx + m1 + y + m2 k ≤ kx + m1 k + ky + m2 k, ∀m1 , m2 ∈ M, tomando ´ınfimos, se obtiene: ´ınf

m1 ,m2 ∈M

kx + y + m1 + m2 k

≤

´ınf kx + m1 k + ´ınf ky + m2 k

m1 ∈M

m2 ∈M

=⇒ |||x[ + y||| ≤ |||b x||| + |||b y |||. b) Sea {c xn }n∈N una sucesión de Cauchy en X/M . Entonces ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N tal que |||xc cn ||| < ε, ∀m, n > n0 . Por la definición de m −x ||| · |||, ∃yk ∈ x ck : kym − yn k < 2ε lo que implica que {yn }n∈N es de Cauchy en X. As´ı pues, ∃y ∈ X : yn → y. Si llamamos x b a la clase de equivalencia que contiene a y, como |||c xn − x b||| ≤ kyn − yk, se deduce que x cn → x b. c) Sea {xn }n∈N una sucesión de Cauchy en X. Como \ |||b xm −b xn ||| = |||(xm − xn )||| = d(xm −xn , M ) ≤ d(xm −xn , 0) = kxm −xn k, también la sucesión {c xn }n∈N es de Cauchy en X/M . Por hipótesis, existe x b ∈ X/M tal que x cn → x b. Entonces, ∀ε > 0, ∃n0 : d(xn − x, M ) < ε/2, ∀n > n0 , de donde ∃y ∈ M : d(xn − x, y) < ε, ∀n > n0 . En definitiva, kxn − x − yk < ε, ∀n > n0 , es decir xn → x + y. d) Sea Y un subconjunto numerable y denso en X y llamamos Yb al conjunto formado por las clases de equivalencia de los elementos de Y . Es evidente que Yb es numerable. Además, si x b ∈ X/M es arbitrario, ∀ε > 0, ∃y ∈ Y : kx − yk < ε. Por ser M cerrado, |||b x − yb||| ≤ kx − yk. Como yb ∈ Yb , deducimos que Yb es denso en X/M .

77

17. Sea X un espacio normado.

a) Si M ⊂ X es subespacio completo, probar que la aplicaci´ on can´ onica ϕ : X → X/M es continua y kϕk = 1. b) Si M ⊂ X es subespacio cerrado e Y ⊂ X un subespacio de dimensi´ on finita, probar que M + Y es cerrado en X . Resp.: a) Por definición, ϕ(x) = x b, de donde |||ϕ(x)||| = ´ınf kx + mk ≤ ´ınf (kxk + kmk) = kxk. m∈M

m∈M

Esto implica que ϕ es continua y kϕk ≤ 1. Por otra parte, de la definición de ´ınfimo, ∀ε > 0, ∃y ∈ x b : kyk < (1 + ε)|||b x|||. Como ϕ(y) = x b, kyk < (1 + ε)|||ϕ(y)||| ≤ (1 + ε)kϕk · kyk =⇒

1 < kϕk, ∀ε > 0. 1+ε

De lo anterior se deduce que kϕk ≥ 1. b) Supondremos que M ∩ Y = {0} pues, si M ∩ Y = M1 6= {0}, basta definir Y 0 = Y \ M1 de modo que M + Y = M + Y 0 y M ∩ Y 0 = {0} ( Y 0 también tiene dimensión finita). (1) Probemos en primer lugar que mk + yk → 0 =⇒ mk → 0, yk → 0: Si fuera yk 6→ 0, ∃{ykj }j∈N ⊂ M : kykj k = 1, mkj + ykj → 0. Como la esfera unidad en Y es compacta, se puede extraer otra subsucesión convergente ykj → y ∈ Y con kyk = 1. Esto implica que mkj → −y ∈ M ∩ Y con lo que y = 0, lo que contradice la suposición inicial. As´ı pues, yk → 0 y, por hipótesis, mk + yk → 0, de donde mk → 0. (2) Veamos ahora que {yk }k∈N está acotada si {mk + yk }k∈N converge: Si kyk k → ∞, como kmk + yk k ≤ c, haciendo m0k = mk /kyk k, yk0 = yk /kyk k, entonces km0k + yk0 k =

kmk + yk k c ≤ → 0, con kyk0 k = 1 kyk k kyk k

lo que contradice (1). (3) Por u ´ltimo, si {mk +yk }k∈N converge a x, probemos que x ∈ M +Y : Por ser Y compacto y la sucesión {yk }k∈N acotada, existe una subsucesión {ykj }j∈N tal que ykj → y ∈ Y . Esto implica que mkj → x − y ∈ M 78

(por ser M cerrado). Entonces x ∈ M + Y pues x = (x − y) + y y x − y ∈ M. 18. Sean (X1 , k · k1 ), . . . , (Xn , k · kn ) espacios normados arbitrarios y X = X1 × · · · × Xn el espacio producto.

a) Probar que X es normado si definimos kxk =

n P

k=1

kxk kpk

1/p

,

1 ≤ p < ∞, o bien kxk = máx kxk kk . 1≤k≤n

b) Si dim Xi = ki < ∞, 1 ≤ i ≤ n, probar que dim X =

Pn

i=1 ki .

c) Probar que Xi son de Banach para todo i si y s´ olo si X es de Banach. Resp.: a) De los axiomas de norma para los espacios Xi (1 ≤ i ≤ n) y la desigualdad de Minkowski se deducen los correspondientes axiomas para X. b) Si {xi1 , . . . , xiki } es una base de Xi , para i = 1, . . . , n, es fácil comprobar que {(x11 , 0, . . . , 0), . . . , (x1k1 , 0, . . . , 0), . . . , (0, . . . , 0, xn1 ), . . . , (0, . . . , 0, xnkn )} es una base de X. c) Supongamos que Xi son espacios de Banach, ∀i = 1, . . . , n, y sea {x(k) }k∈N una sucesión de Cauchy en X. Entonces, ∀ε > 0, X (k) (j) (k) (j) kx(k) − x(j) kp = kxi − xi kpi < εp =⇒ kxi − xi k < ε. 1≤i≤n (k)

Esto implica que ∃xi : kxi − xi k < ε, ∀i. (Análogamente se procede con la norma del máximo.) Se define as´ı un elemento x = (x1 , . . . , xn ) ∈ X tal que X 1/p (k) kx(k) − xk = kxi − xi kpi < ε · n1/p 1≤i≤n

lo que significa que x(k) → x y X es de Banach. (i)

Rec´ıprocamente, si X es de Banach, sean {xm }m∈N sucesiones de Cauchy en Xi , para 1 ≤ i ≤ n. Es fácil comprobar entonces que 79

(1)

(n)

{(xm , . . . , xm )}m∈N es de Cauchy en X en cada una de las normas. (1) (n) Por hipótesis, existe (x1 , . . . , xn ) ∈ X tal que l´ımm (xm , . . . , xm ) = (i) (x1 , . . . , xn ). De aqu´ı se deduce que l´ımm xm = xi , ∀i = 1, . . . , n. 19. Sean (X1 , k · k1 ), (X2 , k · k2 ) espacios normados. Si {xn }n∈N ⊂ X1 es una sucesi´ on que converge a x en (X1 , k·k1 ) y {Tn }n∈N ⊂ L(X1 , X2 ) una sucesi´ on que converge a T en (L(X1 , X2 ), k · k), probar que Tn xn → T x en (X2 , k · k2 ). Resp.: Por hipótesis, ∀ε > 0, ∃n0 : kxn − xk1 < ε/kT k y kxn k1 < M , ∀n > n0 . Por otra parte, ∃n1 : kTn − T k < ε/M , ∀n > n1 . Entonces, ∀n > máx{n0 , n1 }, tenemos: kTn xn − T xk2 ≤ kTn xn − T xn k2 + kT xn − T xk2 = k(Tn − T )xn k2 + kT (xn − x)k2 ≤ kTn − T k · kxn k1 + kT k · kxn − xk1 < ε. 20. Llamamos V al espacio de las funciones continuas en [a, b] con valores complejos y consideramos los espacios normados X1 = (V, k · k∞ ) y X2 = (V, k · k2 ). Probar que la aplicaci´ on identidad I : X1 → X2 es continua, pero no es homeomorfismo. Resp.: Debemos probar que ∀ε > 0, ∃δ > 0 : kx − yk∞ < δ =⇒ kx − yk2 < ε. Pero, de kx − yk∞ < δ, deducimos Z |x(t) − y(t)| < δ, ∀t ∈ [a, b] =⇒

b

|x(t) − y(t)|2 dt < δ 2 · (b − a).

a

Basta pues hacer δ 2 · (b − a) = ε2 para obtener kx − yk2 < ε. Para ver que la inversa no es continua, elegimos     si t ∈ [0, 1 − 1/n) 0 0 xn (t) = nt − n + 1 si t ∈ [1 − 1/n, 1) , yn (t) = nt − n     1 si t ∈ [1, 2] 1 80

si t ∈ [0, 1) si t ∈ [1, 1 + 1/n) si t ∈ [1 + 1/n, 2].

De este modo, máxt∈[0,2] |xn (t)−yn (t)| = 1 pero 2/3n.

R2 0

|xn (t)−yn (t)|2 dt =

Si hacemos n para que 2/3n < δ, para cualquier δ > 0 R 2 ε < 1 y elegimos 2 resulta 0 |xn (t) − yn (t)| dt < δ pero máxt∈[0,2] |xn (t) − yn (t)| > ε. 21. Si T : X → Y es un operador lineal y acotado, probar que el n´ ucleo N (T ) es cerrado pero la imagen R(T ) no es necesariamente cerrado. Resp.: a) Sea {xn }n∈N ⊂ N (T ) una sucesión convergente a x. Como T es continua, T xn → T x. Pero T xn = 0, ∀n =⇒ T x = 0 =⇒ x ∈ N (T ). Por tanto, N (T ) es cerrado. b) Definimos el operador T : `∞ → `∞ por T (x1 , . . . , xn , . . . ) = (x1 , x2 /2, . . . , xn /n, . . . ). En este caso, R(T ) = {y ∈ `∞ : (y1 , 2y2 , . . . , nyn , . . . ) ∈ `∞ }. √ √ Elegimos la sucesión y (k) = (1, 1/ 2, . . . , 1/ k, 0 . . . ). Es√claro que (k) = (1, . . . , 1/ k, . . . ) 6∈ y (k) ∈ R(T ), ∀k. Sin embargo, √ l´ımk→∞√y R(T ) porque la sucesión (1, 2/ 2, . . . , k/ k, . . . ) no está acotada. Esto prueba que R(T ) no es cerrado. 22. Sean X e Y dos espacios normados sobre R y f : X → Y una aplicaci´ on aditiva en X y acotada en la bola unidad de X . Probar que f es lineal y continua. Resp.: Por la aditividad de f deducimos lo siguiente: f (x + 0) = f (x) = f (x) + f (0) =⇒ f (0) = 0; f (x+ .(n) . . +x) = f (nx) = f (x)+ .(n) . . +f (x) = nf (x), ∀n ∈ N; 0 = f (x − x) = f (x) + f (−x) =⇒ f (−x) = −f (x); f (nx) = nf (x), ∀n ∈ Z; p p p q · f ( x) = f (px) = pf (x) =⇒ f ( x) = f (x), ∀p/q ∈ Q. q q q Veamos que f es continua: 81

Por hipótesis, si kzk ≤ 1 =⇒ kf (z)k ≤ k. Dados ε > 0 y x0 ∈ X, debemos encontrar δ > 0 tal que kf (x) − f (x0 )k < ε, si kx − x0 k < δ. Sabemos que, kx − x0 k < 1/p =⇒ kp(x − x0 )k < 1 =⇒ kf (p(x − x0 ))k < k, es decir kf (x) − f (x0 )k < k/p. Por tanto, basta hacer p > k/ε, p ∈ N, para que kx − x0 k < 1/p =⇒ kf (x) − f (x0 )k < k/p < ε. Por u ´ltimo veamos la linealidad de f : Si r ∈ R, sea {qn }n∈N una sucesión de racionales tal que qn → r. Por la continuidad de f, f (rx) = l´ım f (qn x) = l´ım qn f (x) = rf (x). n

n

23. Sea {αn }n∈N una sucesi´ on acotada en C y T : `1 → `1 el operador definido por T (xn )n∈N = (αn xn )n∈N .

a) Probar que T ∈ L(`1 ) y kT k = sup{|αn | : n ∈ N}. b) Probar que N (T ) = {0} ⇐⇒ αn 6= 0, ∀n. c) Probar que si N (T ) = {0}, entonces R(T ) es denso en `1 . Resp.: a) Es evidente que T es lineal. Para ver que T es acotada, supongamos que |an | ≤ M, ∀n. Entonces X X kT xk = |an xn | ≤ M |xn | = M kxk =⇒ kT k ≤ sup |an |. Si elegimos la sucesión x(n) = {0, (n−1) . . . , 0, 1, 0, . . . }, entonces kT x(n) k = |αn | =⇒ kT k ≥ |αn |, ∀n =⇒ kT k ≥ sup |αn |. b) Si N (T ) = {0}, T x(n) = αn 6= 0, ∀n. Rec´ıprocamente, si αn 6= 0, ∀n y x ∈ N (T ), entonces T x = (αn xn ) = 0 =⇒ αn xn = 0, ∀n =⇒ xn = 0, ∀n =⇒ x = 0. 82

c) Sea y = (yn )n∈N ∈ `1 y llamamos x(n) = (y1 /α1 , 0, . . . , yn /αn , 0, . . . ), n ∈ N. Entonces T x(n) = (y1 , . . . , yn , 0, . . . ) y T x(n) → y. 24. Si X = C[0, R 1 1], se definen los operadores S, T : X → X como Sx(s) = s 0 x(t)dt, T x(s) = sx(s), respectivamente. ¿Conmutan S y T ? Encontrar kSk, kT k, kT Sk y kST k. Resp.: a) Por definición, Z 1 t · x(t)dt, (ST x)(s) = S(T x)(s) = S(sx(s)) = s 0 Z 1 Z 1 2 x(t)dt. (T Sx)(s) = T (Sx(s)) = T (s x(t)dt) = s 0

0

Es evidente entonces que no conmutan. R1 R1 R1 b) Como kSxk = máxs∈[0,1] |s 0 x(t)dt| ≤ | 0 x(t)dt| ≤ 0 |x(t)|dt ≤ kf k, entonces kSk ≤ 1. Si elegimos en particular x0 (s) = 1, (Sx0 )(s) = s y kSx0 k = 1. En definitiva, kSk = 1. Por otra parte, como kT xk = máxs∈[0,1] |sx(s)| ≤ máxs∈[0,1] |x(s)| = kxk, también kT k ≤ 1. Nuevamente, para x0 (s) = 1, kx0 k = 1 y (T x0 )(s) = s, de donde kT x0 k = 1. As´ı pues, kT k = 1. c) Debido a que kT Sxk ≤ kT k · kSxk ≤ kT k · kSk · kxk = kxk, entonces kT Sk ≤ 1. Tomando x0 (s) = 1, (T Sx0 )(s) = s2 =⇒ kT Sx0 k = 1 =⇒ kT Sk ≥ 1, lo que implica que kT Sk = 1. R1 Por otra parte, si kxk = 1, entonces |x(s)| ≤ 1, ∀s =⇒ 0 tx(t)dt ≤ R1 R1 ı pues kST xk ≤ 1/2. 0 tdt = 1/2, de donde s 0 tx(t)dt ≤ s/2. As´ R1 Ahora bien, si elegimos la función x0 (s) = 1, (ST x0 )(s) = s 0 tx0 (t) = s/2 de modo que kST x0 k = 1/2. 25. Sea X = C[0, 1] con la norma uniforme.

a) Si T ∈ L(X) se define como T (f )(t) = encontrar kT k. 83

tf (t) ,t 1+t2

∈ [0, 1], f ∈ X,

b) Si S ∈ L(X) se define como S(f )(t) = K es continua, probar que S es acotado.

R1

K(t, s)f (s)ds, donde

0

c) Fijado t0 ∈ [0, 1], se define x∗ ∈ X 0 por x∗ (f ) = f (t0 ). Encontrar kx∗ k. Resp.: a) Por definición, tf (t) ≤ máx |f (t)| · máx t = 1 · kf k, kT f k = máx 2 2 1+t 2 t∈[0,1] 1 + t t 1+t2

porque la función y =

es creciente en [0, 1].

Para f ≡ 1 se verifica la igualdad. Por tanto, kT k = 1/2. b) Nuevamente, kSf k =

sup

Z

K(t, s)f (s)ds

0

t∈[0,1]

Z ≤

1

sup

1

Z |K(t, s)| · |f (s)|ds ≤ kf k · sup

1

|K(t, s)|ds.

t∈[0,1] 0

t∈[0,1] 0

Esto implica que kSk ≤ supt∈[0,1]

R1 0

|K(t, s)|ds.

c) kx∗ k = supkf k=1 |x∗ (f )| = supkf k=1 |f (t0 )| = 1. 2 2 26. Se R t define el operador de Volterra V : L [0, 1] → L [0, 1] por (V√f )(t) = 0 f (s)ds. Probar que V es lineal y acotado y que kV k ≤ 1/ 2.

Resp.: Por la linealidad de la integral, es evidente que V es lineal. Además V es acotado. En efecto: Z 1 Z 1 Z t 2 2 2 f (s)ds dt kV f k = |V f (t)| dt = 0 0 0 Z 1Z t Z t 2 (desig. de Hölder) Z 1 h Z t i 2 ≤ |f (s)|ds dt ≤ |f (s)| ds · 12 ds dt 0 0 0 0 0 Z 1hZ t Z 1Z 1 i = t · |f (s)|2 ds dt = t · |f (s)|2 dt ds 0 0 0 s Z 1 1 = |f (s)|2 · (1/2 − s2 /2)ds ≤ kf k2 2 0 √ 1 =⇒ kV f k ≤ √ · kf k =⇒ kV k ≤ 1/ 2. 2 84

27. Se define Φ : L2 [a, b] → L2 [a, b] por Φ(f )(x) = xf (x), ∀x ∈ [a, b]. Probar que Φ es lineal y acotado con kΦk = máx{|b|, |a|}. Resp.: Que Φ es lineal es trivial. Además kΦ(f )k22 =

Z

b

|xf (x)|2 dx ≤ (máx{|b|, |a|})2 ·kf k22 =⇒ kΦk ≤ máx{|b|, |a|}.

a

Por otra parte, suponiendo que |b| ≥ |a| y llamando fn = χ[b− b−a ,b] , n

kΦ(fn )k22 =

Z

b

|xfn (x)|2 dx =

Z

|x|2 · |fn (x)|2 dx =

a

a

=

b

Z

b

|x|2 dx

b− b−a n

h 3 x3 b b3 (b − b−a b − a (b − a)2 i b − a 2 n ) − = b − b · + · . b−a = 3 b− n 3 3 n 3n2 n

Además, kfn k22

=⇒

b

b−a b−a |fn (x)|2 dx = b − b + = n n a r kΦ(fn )k2 b − a (b − a)2 + → |b| = b2 − b · kfn k2 n 3n2

Z =

si n → ∞, de donde kΦk ≥ |b|. En definitiva, kΦk = |b| = máx{|a|, |b|}. 28. Sean (X, k · k1 ), (Y, k · k2 ) dos espacios normados sobre el mismo cuerpo y T ∈ L(X, Y ) una aplicaci´ on biyectiva, tal que T −1 ∈ L(Y, X).

a) Probar que kT −1 k ≥ kT k−1 . ¿Es cierta la igualdad? b) Probar que X es de Banach si y s´ olo si Y es de Banach. Resp.: a) En general, dados dos operadores A ∈ L(X, Y ) y B ∈ L(Y, Z), debido a que kBAxk ≤ kBk · kAxk ≤ kBk · kAk · kxk, se deduce que kBAk ≤ kBk · kAk. En particular, 1 ≤ kT k · kT −1 k, de lo que deducimos que kT k−1 ≤ kT −1 k. 85

La igualdad no es cierta en general. Incluso en el caso finito-dimensional, si consideramos por ejemplo el operador T : R2 → R2 definido por T (x1 , x2 ) = (2x1 , x2 ), entonces T es lineal, biyectiva y acotada. Además T −1 (x1 , x2 ) = (x1 /2, x2 ). Por tanto, kT k = 2 y kT −1 k = 1, de modo que, en general, no es cierta la igualdad entre kT k−1 y kT −1 k. b) Supongamos que X es de Banach (análogamente se procede con la implicación rec´ıproca). Si {yn }n∈N es una sucesión de Cauchy en Y , existe xn ∈ X tal que T xn = yn , ∀n. Como kxn − xm k = kT −1 (yn − ym )k ≤ kT −1 k · kyn − ym k, entonces {xn }n∈N es de Cauchy en X. Por hipótesis, ∃x ∈ X : xn → x. Si llamamos y = T x, es fácil probar que yn → y, con lo que Y es de Banach. Rt 29. Sea T : C[0, 1] → C[0, 1] definido por y(t) = 0 x(s)ds. Encontrar el rango R(T ) y T −1 : R(T ) → C[0, 1]. ¿Es T −1 lineal y acotado? Resp.: Por definición, R(T ) =

Z y ∈: C[0, 1] : ∃x ∈ C[0, 1], y(t) =

t

x(s)ds

0

= {y ∈ C[0, 1] : y 0 (t) = x(t) ∈ C[0, 1], y(0) = 0} = {y ∈ C 1 [0, 1] : y(0) = 0}. −1 Si T x = y, es decir cuando y(t) = R t y ∈ R(T ), será T y = x cuando 0 (t) = x(t); en definitiva, T −1 y = y 0 . x(s)ds lo que implica que y 0

Es claro que T −1 es lineal. Sin embargo no está acotado porque, si elegimos fn (x) = xn , entonces kfn k = máx |fn (x)| = 1 pero x∈[0,1]

kT −1 fn k ra la que

= máx

|nxn−1 |

x∈[0,1] kT −1 fn k

≤ kkfn k.

= n y no existe ninguna constante k pa-

30. En (C[a, b], k · k∞ ) sea M el subespacio de las funciones f ∈ C[a, b] que tienen dos derivadas continuas y tales que f (a) = f (b) = 0. Se define el operador T : M → C[a, b] por T f = f 00 . Probar que existe T −1 y que R(T ) = C[a, b]. Resp.: T es inyectiva, pues si f 00 = g 00 =⇒ f 0 (x) = g 0 (x) + C =⇒ f (x) = g(x) + Cx + D. 86

Ahora bien, de f (a) = g(a) = 0 y f (b) = g(b) = 0, se deduce que f = g. T es adem´ as sobre, pues si g(x) = f 00 (x) con f (a) = f (b) = 0, entonces R x f 0 (x) = a g(t)dt + k1 , de donde Z xhZ s i g(t)dt ds + k1 (x − a) + k2 ; f (x) = a

eligiendo k1 =

−1 b−a

M.

a

Z bhZ a

s

i g(t)dt ds y k2 = 0, deducimos que f ∈

a

31. Sea X = {f : [0, 1] → R : f continua} provisto de la norma de la R x convergencia uniforme y sea T : X → X definido por T f (x) = 0 f (s)ds. Rx a) Probar que T n f (x) = 0 Kn (x, s)f (s)ds, donde Kn (x, s) es una funci´ on continua en [0, 1] × [0, 1].

b) Calcular kT n k y la suma de la serie

P∞

n=1 T

n.

c) Resolver la ecuaci´ on (I − T )f = g con f ∈ X . Resp.: a) Si aplicamos el método de inducción, para n = 1, K1 (t, u) = 1, que es evidentemente continua. Si suponemos la propiedad cierta para n, entonces Z t Z thZ v i n+1 n n T x(t) = T (T x)(t) = T x(v)dv = Kn (v, u)x(u)du dv. 0

0

0

Intercambiando el orden de integración, obtenemos: Z thZ t Z t i T n+1 x(t) = Kn (v, u)x(u)dv du = Kn+1 (t, u)x(u)du, 0

u

0

Rt

donde definimos Kn+1 (t, u) = u Kn (v, u)dv. Para ver que es continua, calcularemos expl´ıcitamente Kn : Rt Claramente, K1 (t, u) = 1 y K2 (t, u) = u dv = t − u; si suponemos que Kn (t, u) =

(t−u)n−1 (n−1)! ,

veamos que Kn+1 (t, u) = Z

t

Kn+1 (t, u) = u

(t−u)n n! :

(v − u)n−1 (t − u)n dv = (n − 1)! n! 87

la cual es evidentemente continua. b) Como |T n x(t)| ≤

Z 0

t

(t − u)n−1 |x(u)|du ≤ kxk∞ (n − 1)!

Z

t

0

(t − u)n−1 kxk∞ du ≤ , (n − 1)! n!

entonces kT n xk ≤ kxk∞ /n! con lo que kT n k ≤ (1/n!). Rt n−1 tn n Por otra parte, como T n 1 = 0 (t−u) (n−1)! du = n! , entonces kT 1k = (1/n!). En definitiva, kT n k = (1/n!). P n k es convergente. Por ser Esto indica además que la serie n∈N kTP n L(X) completo, es convergente también n∈N T . Para calcular su suma, debido a que p X

n

T x(t) =

Z t

1+

0

n=1

(t − u)p−1 t−u + ··· + x(u)du, 1! (p − 1)!

Rt definimos H : X → X por Hx(t) = 0 et−u · x(u)du. As´ı definido, H es lineal y acotado pues Z t Z 1 −u t e |x(u)|du ≤ k · kxk∞ donde k = e e−u du. |Hx(t)| ≤ e 0

0

Además p X Hx(t) − T n x(t) ≤

Z t p−1 t−u X (t − u)n − e · |x(u)|du n! 0 n=0

n=1

p−1 X (t − u)n ≤ kxk∞ · sup et−u − , n! u∈[0,t] n=0

de donde kHx −

p X

n

T xk∞

p−1 ϑ X ≤ kxk∞ · sup e − ϑn /n! . ϑ∈[0,1]

n=1

n=0

Ahora bien, como la serie n≥0 ϑn /n! converge uniformemente a eϑ sobre cualquier compacto deP R, el supremo anterior tiende a cero cuando p → ∞. Esto prueba que n≥1 T n = H. P

c) Dado g ∈ X, como la serie I + T + · · · + T n + . . . converge en L(X) a I + H y, debido a que (I − T )(I + T + · · · + T n ) = (I + T + · · · + T n )(I − T ) = I − T n+1 → I, se deduce que existe (I − T )−1 = I + T + · · · + T n + · · · = I + H. 88

La ecuación dada tiene pues solución x = (I − T )−1 g = (I + H)g, de donde Z t x(t) = g(t) + et · e−u g(u)du. 0

32. Probar que f1 (x) = máxt∈[a,b] x(t) y f2 (x) = m´ınt∈[a,b] x(t) definen funcionales en C[a, b]. ¿Son lineales? ¿Acotados? Resp.: Por ser x ∈ C[a, b], alcanza los valores máximo y m´ınimo, con lo que ambos funcionales están definidos. Ninguno de ellos es lineal: si hacemos por ejemplo x1 (t) = t y x2 (t) = 1 − t en [0, 1], f1 (x1 + x2 ) = máx(x1 (t) + x2 (t)) = 1 pero f1 (x1 ) + f1 (x2 ) = máx x1 (t) + máx x2 (t) = 1 + 1 = 2. Análogamente se comprueba con el m´ınimo. 33. Sea X un espacio normado complejo y f un funcional lineal sobre X . Si llamamos f1 (x) = Re f (x), f2 (x) = Im f (x), ∀x ∈ X , probar la equivalencia de las siguientes proposiciones:

i) f : X → C es acotado. ii) f1 : X → R es lineal y acotado. iii) f2 : X → R es lineal y acotado. Resp.: Dado f (x) = f1 (x) + if2 (x), como f (ix) = f1 (ix) + if2 (ix) =⇒ f1 (ix) = −f2 (x), f2 (ix) = f1 (x), if (x) = if1 (x) − f2 (x) podemos escribir f (x) = f1 (x) − if1 (ix), ∀x ∈ X. i) =⇒ ii): Supongamos que f es acotado. Veamos que f1 es lineal y acotado. f1 (x + y) + if2 (x + y) = f (x + y) = f (x) + f (y) = f1 (x) + if2 (x) + f1 (y) + if2 (y) = f1 (x) + f1 (y) + i[f2 (x) + f2 (y)]. Igualando la parte real se deduce que f1 (x + y) = f1 (x) + f1 (y). 89

Análogamente se prueba que f1 (αx) = αf1 (x). |f1 (x)| ≤ |f (x)| ≤ kf k · kxk =⇒ kf1 k ≤ kf k. ii) =⇒ iii): Como f2 (x) = −f1 (ix), entonces f2 (x + y) = −f1 (ix + iy) = −f1 (ix) − f1 (iy) = f2 (x) + f2 (y), ∀x, y ∈ X; f2 (αx) = −f1 (iαx) = −αf1 (ix) = αf2 (x); |f2 (x)| = |f1 (ix)| ≤ kf1 k · kixk = kf1 k · kxk =⇒ kf2 k ≤ kf1 k. iii) =⇒ i): Si escribimos f de la forma f (x) = f2 (ix) + if2 (x), resulta: |f (x)| = |f2 (ix) + if2 (x)| ≤ |f2 (ix)| + |if2 (x)| ≤ kf2 k · kxk + kf2 k · kxk =⇒ kf k ≤ 2kf2 k. 3 34. Sea Z = {x ∈ R3 : x2 = 0} y f : Z → R definido por f (x) = x1 −x 2 . 3 Encontrar una extensi´ on lineal f de f a todo R tal que f (x0 ) = k (k constante dada), con x0 = (1, 1, 1). ¿Es u ńica tal f ?

Resp.: Por hipótesis, f (1, 0, 0) = 1/2 y f (0, 0, 1) = −1/2. Para que f (1, 1, 1) = k, debe ser f (1, 1, 1) =

1 1 + f (0, 1, 0) − = f (0, 1, 0) = k. 2 2

La extensión es u ńica porque queda determinada la imagen de la base canónica. 35. En el espacio m´ etrico (R3 , k · k1 ) consideramos el subespacio lineal M = {x ∈ R3 : x1 + 2x2 = x3 = 0} y definimos f ∈ M 0 por f (x) = x1 . Encontrar dos extensiones diferentes de f a todo R3 con la misma norma de f . Resp.: Por definición, M es el espacio generado por u = (1, −1/2, 0). Como kuk1 = 3/2 y f (u) = 1, entonces, ∀x ∈ M de la forma x = α · u, f (x) = α y kf k = sup x6=0

|α| 2 |f (x)| = sup = . kxk 3 α∈R (3/2)|α|

90

Sea {e1 , e2 , e3 } la base canónica de R3 y fe una extensión de f . Como kfek = kf k = 2/3, en particular debe ser |fe(ei )| ≤ 2/3, i = 1, 2, 3.

(1)

Como además fe(u) = f (u), tenemos que 1 = fe(e1 − e2 /2) = fe(e1 ) − (1/2)fe(e2 ).

(2)

De (1) y (2) se deduce que necesariamente fe(e1 ) = 2/3 y fe(e2 ) = −2/3. Basta elegir arbitrariamente fe(e3 ) tal que |fe(e3 )| ≤ 2/3 para que, dado cualquier x ∈ R3 , con x = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 , fe(x) = |fe(x)| ≤

2 2 x1 − x2 + fe(e3 )x3 ; 3 3 2 2 2 2 |x1 | + |x2 | + |fe(e3 )| · |x3 | ≤ [|x1 | + |x2 | + |x3 |] = kxk1 , 3 3 3 3

de donde kfek ≤ 2/3. Por ser extensión de f , kfek ≥ kf k = 2/3. Esto implica que kfek = kf k. 36. Sean X, Y 6= {0} espacios normados con dim X = ∞.

a) Probar que existe al menos un operador lineal no acotado T : X → Y. b) Probar que el espacio dual X 0 no coincide con el dual algebraico X ∗ . Resp.: a) Sea {en }n∈N una base de Hamel de X. Si definimos T en = nen , T es lineal. Además, como kT en k = nken k, entonces kT en k/ken k = n y ∃n : kT en k/ken k > k, ∀k lo que implica que T no es acotado. b) El operador definido por T en = n está en X ∗ por ser lineal, pero no está en X 0 por no ser acotado. 37. Sea X un espacio normado y M un subespacio cerrado de X . Si denotamos por M ⊥ = {f ∈ X 0 : f (y) = 0, ∀y ∈ M } al llamado conjunto anulador o polar de M , demostrar:

a) M ⊥ es subespacio cerrado de X 0 . 91

b) M ⊥ es isomorfo a (X/M )0 . Resp.: a) Sea {fn }n∈N una sucesión de Cauchy en M ⊥ . Entonces para cualquier x ∈ X, |fn (x) − fm (x)| ≤ kfn − fm k · kxk → 0 con lo que {fn (x)}n∈N es de Cauchy en E(= R ó C), lo que implica que ∃λ ∈ E : fn (x) → λ. Esto permite definir el funcional f : X → E por f (x) = λ. Es evidente que f es lineal. Además • f es acotado pues |f (x)| = |λ| = l´ım |fn (x)| ≤ l´ım kfn k · kxk. n→∞

n→∞

• fn → f porque kfn − f k = sup |fn (x) − f (x)| ≤ ε. kxk=1

• f ∈ M ⊥ porque f (y) = l´ımn fn (y) = 0, ∀y ∈ M. b) Definimos T : (X/M )0 → M ⊥ por (T f )(x) = f (ϕ(x)), donde ϕ es la aplicación canónica (que env´ıa a todo elemento la clase de equivalencia que lo contiene). As´ı definido, es evidente que T es lineal. Veamos que T es acotado: |(T f )(x)| = |f (ϕ(x))| ≤ kf k · kϕ(x)k ≤ kf k · kϕk · kxk. Como kϕk ≤ 1, entonces kT f k ≤ kf k, de donde kT k ≤ 1. Además, si y ∈ M, (T f )(y) = f (ϕ(y)) = f ([0]) = 0, es decir T f ∈ M ⊥. Falta comprobar que T es sobre. Para ello, a cada g ∈ M ⊥ , le asociamos el funcional f : X/M → E definido por f (ξ) = g(x), si x ∈ ξ. Debemos probar: • f está bien definido pues si x, x0 ∈ ξ, entonces x − x0 ∈ M =⇒ g(x − x0 ) = 0 =⇒ g(x) = g(x0 ). • f es lineal (evidente). • f es acotado: |f (ξ)| = |g(x)| ≤ kgk·kxk =⇒ |f (ξ)| ≤ kgk·´ınf kxk = kgk·kξk =⇒ kf k ≤ kgk. x∈ξ

• T f = g (evidente). • kT k = 1: kf k(X/M )0 = sup f (ξ) ≤ sup |f (ϕ(x))| = sup |T f (x)| = kT f k. ξ∈X/M

x∈X

92

x∈X

38. Sea c0 = {a = (an )n∈N : an ∈ C, an → 0}.

a) Probar que c0 es un espacio de Banach con la norma inducida por `∞ . b) Demostrar que el dual de c0 es `1 . Resp.: a) c0 es normado por ser subespacio de `∞ . Veamos que es cerrado: Si a ∈ c0 , ∃(an )n∈N ⊂ c0 : an → a. Entonces kan −ak∞ = sup |akn −ak | < ε, ∀n > N (ε) =⇒ |akn −ak | < ε, ∀k, ∀n > N (ε). k

De este modo, |ak | ≤ |ak − akn | + |akn | < ε + ε porque an ∈ c0 , es decir l´ımk→∞ akn = 0. Esto prueba que a ∈ c0 . P fn xn , b) Definimos F : `1 → (c0 )0 por F f = fe, donde fe(x) = n≥1

∀x ∈ c0 . • Eligiendo x = (x1 , . . . , xN , 0, . . . ), |fe(x)| ≤

N X

|fn xn | ≤ máx |xn | ·

n=1

N X

|fn |.

n=1

Haciendo N → ∞, |fe(x)| ≤ kxk∞ · kf k1 =⇒ kfek ≤ kf k1 =⇒ kF k ≤ 1. e • F es isometr´ıa: Dado fe ∈ (c0 )0 , llamamos fP n = f (en ). N e As´ı, si x = (x1 . . . , xN , 0, . . . ), f (x) = n=1 fn xn( . Como fn = e−iϕn si 0 < n ≤ N (N ) (N ) eiϕn ·|fn |, definimos g (N ) = (gn )n∈N , donde gn = 0 si n > N. Entonces: |fe(g (N ) )| =

N X

|fn | ≤ kfek · kg (N ) k∞ = kfek < ∞.

n=1

Esto implica que f = (fn )n∈N ∈ `1 y kf k1 ≤ kfek =⇒ kF k = 1. P • F es sobre: Dado fe ∈ (c0 )0 , ∀x ∈ c0 , escribimos x = n∈N xn en con P lo que fe(x) = n∈N xn fe(en ). Basta probar que (fe(en ))n∈N ∈ `1 , 93

P P es decir n∈N |fe(en )| < ∞. Para ello tomamos: x(N ) = N n=1 en ∈ c0 , de donde N X

|fe(en )| =

n=1

Si hacemos N → ∞,

fe(en ) · |fe(en )|

N X fe(en ) e · f (en ) = fe(x(N ) ) ≤ kfek. |fe(en )|

n=1

P∞

n=1 |f (en )|

e

< ∞.

TEMAS COMPLEMENTARIOS 1. Construcción de espacios normados: espacio producto y espacio cociente ([CC], [So]). 2. Espacios de funciones continuas. Base de Schauder para C[0, 1]. Espacio dual de C[a, b] ([KF]). 3. Espacio dual de Lp (X, µ) ([Ro]). 4. Ecuaciones integrales lineales ([Da], [KF]). 5. Cálculo diferencial en espacios normados: derivadas de Fréchet y Gâteaux ([KF], [LS]).

94

III. PRODUCTO INTERIOR Y ESPACIOS DE HILBERT

A fin de dotar a los espacios normados de una geometr´ıa, debemos definir un producto interior o escalar. Nos proponemos que el estudiante se familiarice con los espacios dotados de producto interior, conozca sus propiedades básicas y pueda aprovecharlas para poderlas aplicar tanto al estudio de las series de Fourier, los polinomios ortogonales y la teor´ıa básica de operadores.

SECCIONES 1. Introducción histórica. 2. Definición y primeros ejemplos. 3. Propiedades del producto interior. 4. Conjuntos ortonormales. 5. Ortogonalización de polinomios. 6. Representación de funcionales en espacios de Hilbert. 7. Operador adjunto. Operadores autoadjuntos y unitarios. 8. Ejercicios.

95

´ HISTORICA. ´ 1. INTRODUCCION

Ilustramos en esta primera sección cómo el estudio de las siguientes ecuaciones en derivadas parciales ha sido fundamental en el desarrollo de los espacios de Hilbert: 2

∂ u 1) Ecuación del calor: ∂u on corresponde a la temperatura ∂t = ∂x2 (su soluci´ u(x, t) de un alambre en el instante t y en el punto x). 2

2

2) Ecuación de ondas: ∂∂t2u = ∂∂xu2 (la solución u(x, t) es ahora la altura de una onda en propagación para el instante t en un punto cuya proyección sobre el eje es x). 2

2

3) Ecuación de Laplace: ∂∂t2u + ∂∂xu2 = ρ (ahora u es la energ´ıa potencial de un cuerpo y ρ es la densidad de masas). Nos limitaremos a estudiar la ecuación del calor (análogamente se podr´ıa hacer con las otras ecuaciones). Para buscar sus soluciones, suponemos que u es de variables separadas, es decir de la forma u(t, x) = ϕ(t)ξ(x). Entonces ut = ϕ0 (t)ξ(x) y uxx = ϕ(t)ξ 00 (x), luego ϕ0 (t)ξ(x) = ϕ(t)ξ 00 (x), o bien ϕ0 (t)/ϕ(t) = ξ 00 (x)/ξ(x). Como el primer miembro no depende de x y el segundo miembro no depende de t, deben ser constantes. Debemos resolver entonces las siguientes ecuaciones: ϕ0 (t)/ϕ(t) = k; ξ 00 (x)/ξ(x) = p, con k y p constantes. La solución general de la primera ecuación es ϕ(t) = cekt y de la segunda ξ(x) = c1 cos(δx)+c2 sen(δx), donde p = −δ 2 (si p > 0, δ es complejo). Supongamos por simplificar que el alambre es circular y tiene longitud 2π. Esto hace que ξ sea periódica de per´ıodo 2π, y que δ deba ser entero; resulta ξ(x) = c1 cos(nx) + c2 sen(nx), con n ∈ Z. Como las soluciones de la ecuación del calor se obtienen haciendo k = −n2 , tenemos la siguiente familia de soluciones: 2

2

un (t, x) = e−n t cos(nx), vn (t, x) = e−n t sen(nx). Además, cualquier combinación lineal finita de ellas u(t, x) =

n1 X

2

2

[an e−n t cos(nx) + bn e−n t sen(nx)]

n=n0

es solución. 96

Fourier pensaba que toda solución puede escribirse como suma infinita de senos y cosenos (lo que lleva involucrado un problema de convergencia). Por otra parte, cuando t = 0, obtenemos una función de una variable u(0, x) = f (x) =

n1 X

[an cos(nx) + bn sen(nx)].

n=n0

De acuerdo con esto, Fourier supon´ıa también que toda función periódica se puede escribir como suma infinita de senos y cosenos, lo cual no es cierto puntualmente. Otra forma de escribir las series anteriores se obtiene con las fórmulas cos x = (eix + e−ix )/2, sen x = (eix − e−ix )/2i. As´ı X X an bn an bn 2 −n2 t inx −inx u(t, x) = e = cn e−n t einx , e + e + − 2 2i 2 2i n∈N n∈Z donde, para t = 0, tenemos f (x) =

inx . n∈Z cn e

P

Aqu´ı se plantean las siguientes preguntas: 1) ¿Las exponenciales trigonométricas serán base de alg´ un espacio? Esto permitir´ıa obtener la función f cuando se conocen sus coeficientes respecto a dicha base. 2) ¿Cómo obtener los coeficientes cn cuando la función f es conocida? Para responder a esta pregunta, aplicamos las siguientes fórmulas: ( Z 2π 1 si n = 0 1 1 einx dx = (ein2π − 1) = 2π 0 2πin 0 si n 6= 0, ( Z 2π 1 si m = n 1 1 eimx e−inx dx = (ei(m−n)2π − 1) = 2π 0 2πin 0 si m 6= n. Con lo anterior tenemos Z 2π Z f (x)dx = 0

0

2π

X

inx

cn e

dx =

n∈Z

Z

X n∈Z 2π

Z

2π

cn

einx dx

0

1 f (x)dx; = 2πc0 =⇒ c0 = 2π 0 Z 2π Z 2π X X Z f (x)e−imx dx = cn einx e−imx dx = cn 0

0

n∈Z

n∈Z

= 2πcm =⇒ cm = 97

1 2π

Z 0

2π

2π

einx e−imx dx

0

f (x)e−imx dx.

(Aqu´ı se debe precisar en qué sentido converge la serie y cómo justificar el intercambio de la serie con la integral.)

´ Y PRIMEROS EJEMPLOS. 2. DEFINICION

Una clase importante de espacios normados permite generalizar muchas propiedades de la geometr´ıa del espacio ordinario que dependen de la noción de ángulo, especialmente las que se refieren a la perpendicularidad. Recordamos que, si x, y ∈ Rn y α es el ángulo que forman, se define el producto escalar por hx, yi = kxk · kyk · cos α. Queremos obtener una noción abstracta de producto escalar en espacios normados generales que permita extender la fórmula anterior. Como es lógico pensar, los espacios con producto escalar son históricamente anteriores a los espacios normados generales y mantienen todav´ıa muchas propiedades de los espacios eucl´ıdeos. La teor´ıa fue iniciada por Hilbert (1912) en sus trabajos sobre ecuaciones integrales y todav´ıa hoy en d´ıa estos espacios son básicos en numerosas aplicaciones del Análisis Funcional. 2.1.- Definici´ on. Un espacio con producto interior o pre-Hilbert es un espacio vectorial X en el que se define una aplicación h·, ·i : X × X → E con las siguientes propiedades: (1) (aditiva) hx + y, zi = hx, zi + hy, zi; (2) (homogénea) hαx, yi = αhx, yi; (3) (herm´ıtica) hx, yi = hy, xi; (4) (definida positiva) hx, xi ≥ 0 y hx, xi = 0 ⇐⇒ x = 0. Toda aplicación que verifique (1), (2) y (3) se llama forma sesquilineal herm´ıtica (ver definición 6.4). Nota. Los axiomas anteriores fueron primero establecidos por von Neumann en 1930 en sus trabajos sobre fundamentos matemáticos de la Mecánica Cuántica. En su definición se inclu´ıa también la separabilidad del espacio, axioma posteriormente eliminado cuando Löwing, Rellig y F. Riesz mostraron que en la práctica era innecesaria dicha restricción. De los axiomas se deducen inmediatamente las siguientes propiedades: a) hx, 0i = 0, ∀x ∈ X. b) hx, yi = 0, ∀x ∈ X =⇒ y = 0. 98

c) hx, αy1 + βy2 i = αhx, y1 i + βhx, y2 i. Todo espacio pre-Hilbert es p en particular normado, donde la norma asociada se define como kxk = hx,p xi, y por tanto es también métrico, con la distancia d(x, y) = kx − yk = hx − y, x − yi. Esto motiva la siguiente definición: Un espacio de Hilbert es un espacio pre-Hilbert completo (respecto a la métrica asociada). Por tanto, todo espacio de Hilbert es un espacio de Banach en el que se ha definido un producto interior. Observaci´ on. El rec´ıproco de la afirmación anterior no es cierto, es decir no todos los espacios normados son espacios pre-Hilbert. Daremos a continuación una caracterización de los espacios normados para los que se puede definir un producto escalar cuya norma asociada sea la dada. Dicha caracterización se basa en los siguientes hechos cuya demostración es inmediata. 2.2.- Proposici´ on (identidad del paralelogramo). Si (X, h·, ·i) es un espacio pre-Hilbert, la norma asociada verifica kx + yk2 + kx − yk2 = 2(kxk2 + kyk2 ). El siguiente resultado muestra cómo la norma asociada permite a su vez definir el producto interior. 2.3.- Proposici´ on (identidad de polarización). Sea (X, h·, ·i) un espacio pre-Hilbert arbitrario. a) Si X es real, hx, yi = 41 [kx + yk2 − kx − yk2 ]. b) Si X es complejo, Rehx, yi = Imhx, yi =

1 [kx + yk2 − kx − yk2 ], 4 1 [kx + iyk2 − kx − iyk2 ]. 4

Esta propiedad sugiere una forma de definir un producto interior a partir de una norma. Sin embargo, será necesaria la identidad del paralelogramo. El siguiente resultado proporciona una especie de rec´ıproco de la proposición 2.2. 2.4.- Proposici´ on. Sea (X, k · k) un espacio normado. Si se verifica la ley del paralelogramo 2,2, entonces existe un producto interior h·, ·i en X tal que kxk = hx, xi1/2 . Demostraci´ on. a) Caso real. Definimos hx, yi = 41 [kx + yk2 − kx − yk2 ]. Lo u ńico que presenta dificultad es la linealidad del producto interior. Esta se demuestra en los siguientes pasos: 99

* hx, yi + hz, yi = 12 hx + z, 2yi. En particular, si z = 0, entonces hx, yi = 1 1 2 hx, 2yi, de donde hu + v, yi = 2 hu + v, 2yi = hu, yi + hv, yi. * Como hx, yi = hy, xi, también es aditiva en la segunda componente. * Como hnx, yi = nhx, yi si n ∈ Z, se deduce que hx/n, yi = n1 hx, yi y hrx, yi = rhx, yi con r ∈ Q. De la continuidad del producto interior (probado posteriormente en 3.3), se prueba que, para todo a ∈ R, si a = l´ımk rk con rk ∈ Q, hax, yi = l´ımk hrk x, yi = l´ımk rk hx, yi = ahx, yi. b) Caso complejo. Definimos ahora hx, yi = hx, yiR + ihx, iyiR donde 1 hx, yiR = [kx + yk2 − kx − yk2 ]. 4 De lo anterior se deduce fácilmente la identidad de polarización 2.3 (b). * Por cálculo directo se comprueba que hx, ixiR = 0 y hix, iyiR = hx, yiR . La primera de las igualdades muestra que hx, xi = kxk2 y que hx, xi = 0 ⇐⇒ x = 0. La segunda identidad permite probar que hix, yi = ihx, yi y de aqu´ı se deduce que hy, xi = hx, yi. * La aditividad de h·, ·i en sus dos argumentos se deduce de la aditividad de h·, ·iR . * Sólo queda probar que hax, yi = ahx, yi, con a ∈ C. Para ello, basta tener en cuenta la linealidad de h·, ·iR y que hix, yi = ihx, yi. ♦ 2.5.- Ejemplos. 1) Rn es un espacio de Hilbert si definimos el producto interior hx, yi = x1 y1 + · · · + xn yn . Como la métrica asociada p d(x, y) = (x1 − y1 )2 + · · · + (xn − yn )2 es la eucl´ıdea, es ya sabido que el espacio es completo. 2) Cn es un espacio de Hilbert con el producto hx, yi = x1 y1 + . . . xn yn p porque nuevamente kxk = |x1 |2 + · · · + |xn |2 da lugar a una norma. P∞ 3) `2 = {x = (x1 , x2 , . . . ) : xn ∈ C, |xn |2 < ∞} es un espacio de n=1 P∞ Hilbert separable con el producto hx, yi = n=1 xn yn . La convergencia de la serie se deduce de la desigualdad de Cauchy- Schwarz. Este fue el primer ejemplo de espacio de Hilbert, estudiado por él mismo en 1912 y punto de partida para la definición axiomática dada por von Neumann. P∞ p 4) `p = {x = (x1 , x2 , . . . ) : xn ∈ C, n=1 |xn | < ∞}, con p 6= 2, no es un espacio pre-Hilbert pues, si tomamos x = (1, 1, 0, . . . ), y = (1, −1, 0 . . . ), 100

entonces kxk = kyk = 21/p , kx + yk = kx − yk = 2. Por tanto, no se verifica la ley del paralelogramo. Rb 5) Si L2 [a, b] es la compleción del conjunto {f : [a, b] → C : a |f (x)|2 dx < Rb ∞}, es un espacio de Hilbert con el producto interior hf, gi = a f (x) g(x)dx como se prueba análogamente al ejemplo 3. Otra forma de introducir el espacio L2 [a, b] es a partir de `2 y corresponde al estudio de las series de Fourier: Sea f una función con derivada continua en [0, 2π] tal que f (2π) = f (0). Entonces X X bn sen nx, an cos nx + f (x) = a0 /2 + n≥1

n≥1

donde an =

1 π

2π

Z

f (x) cos nxdx, bn = 0

Z

1 π

2π

f (x) sen nxdx, 0

y la convergencia de la serie es uniforme (resultado clásico sobre series de Fourier). Si escribimos 1 1 1 φ2k (x) = √ cos kx, φ2k+1 (x) = √ sen kx, φ0 (x) = √ , π π 2π las fórmulas anteriores quedan de la forma f (x) =

∞ X

Z

2π

f (x)φn (x)dx.

αn φn (x), con αn = 0

n=0

R 2π Una propiedad importante es que 0 φm (x)φn (x)dx = δnm (la familia es ortonormal); además, la sucesión {αn }n≥0 está en `2 . En efecto, para cualquier N ∈ N, N X n=0

2

|αn | =

N X

Z αn ·

n=0

donde definimos fN (x) =

2π

Z f (x)φn (x)dx =

0

2π

f (x)fN (x)dx, 0

PN

n=0 αn φn (x).

Como Fourier converge uniformemente a f , fN (x) →Pf (x), resulta R Pla serie de 2 → 2π |f (x)|2 dx y podemos escribir adem´ 2 que N |α | as ∞ n n=0 |αn | = 0 R 2π n=02 0 |f (x)| dx. Sin embargo el rec´ıproco no es cierto, es decir dada Puna sucesión {αn }n≥0 ∈ `2 , no tiene por qué existir f ∈ C 1 [0, 2π] tal que n≥0 αn φn (x) = f (x). La 101

fn

f

razón es que, como `2 es completo, toda sucesión de Cauchy converge a alg´ un α ∈ `2 . Sin embargo, existen sucesiones {fn }n≥0 de funciones contenidas en R 2π C 1 [0, 2π] tales que1 0 |fi (x) − fk (x)|2 dx → 0, pero que no convergen a 1 π+en π ejemplo: 2π n πon n C 1 [0,2π ningunaπ− funci´ 2π] como muestra el siguiente R 2π Lo que se puede probar es que el l´ımite f verifica 0 |f (x)|2 dx < ∞, es decir f ∈ L2 [0, 2π]. 6) En general, si E es un espacio de medida y µ una medida positiva so2 bre R E, L (E, µ) es un espacio de Hilbert con el producto interior hf, gi = E f gdµ. 7) El espacio C[a, b] de las funciones continuas en [a, b], con el producto Rb hf, gi = a f (x) g(x)dx, es un espacio pre-Hilbert pero no de Hilbert. Sin embargo la norma kf k = máxx∈[a,b] |f (x)| no proviene de ning´ un producto x−a interior porque si tomamos f (x) = 1, g(x) = b−a , no se verifica la ley del paralelogramo.

3. PROPIEDADES DEL PRODUCTO INTERIOR.

En esta sección desarrollamos las propiedades básicas del producto interior. Además de los resultados en s´ı mismos, que serán u ´tiles en la evolución posterior del curso, permitirán dar a conocer las técnicas más usuales de demostración. 3.1.- Proposici´ on (desigualdad de Cauchy-Schwarz-Buniakowski). Para cualesquiera x, y ∈ X, |hx, yi| ≤ kxk · kyk y la igualdad se cumple si y s´ olo si x, y son linealmente dependientes. Demostraci´ on. Si y = 0, es evidente pues hx, 0i = 0. Si y 6= 0, 0 ≤ kx − αyk2 = hx − αy, x − αyi = hx, xi − αhx, yi − α[hy, xi − αhy, yi]. Eligiendo α =

hy,xi hy,yi ,

queda

0 ≤ hx, xi −

hy, xihx, yi |hx, yi|2 = kxk2 − . hy, yi kyk2

La igualdad se cumple cuando 0 = kx − αyk2 , es decir si x = αy. Consecuencias de la propiedad anterior son las siguientes. 102

♦

3.2.- Proposici´ on (desigualdad triangular). Para cualesquiera x, y ∈ X, kx + yk ≤ kxk + kyk y la igualdad se cumple si y s´ olo si y = 0 ´ o x = cy (c ≥ 0). Demostraci´ on. Por definición, es evidente que

kx + yk2 = hx + y, x + yi = kxk2 + hx, yi + hy, xi + kyk2 = kxk2 + kyk2 + 2 Rehx, yi ≤ kxk2 + kyk2 + 2|hx, yi| ≤ kxk2 + kyk2 + 2kxk · kyk = (kxk + kyk)2 . La igualdad es cierta si y sólo si 2 Rehx, yi = 2kxk · kyk. En particular, |hx, yi| = kxk · kyk lo que implica dependencia lineal x = cy. Además Imhx, yi = 0 y Rehx, yi ≥ 0 =⇒ 0 ≤ hx, yi = hcy, yi = ckyk2 =⇒ c ≥ 0. ♦

3.3.- Proposici´ on (continuidad del producto interior). Si xn → x, yn → y, entonces hxn , yn i → hx, yi. An´ alogamente, si (xn )n∈N e (yn )n∈N son sucesiones de Cauchy en X, entonces (hxn , yn i)n∈N es de Cauchy en E. Demostraci´ on. En la diferencia |hxn , yn i−hx, yi| sumamos y restamos hxn , yi. As´ı: |hxn , yn i−hx, yi| ≤ |hxn , yn −yi|+|hx−xn , yi| ≤ kxn k·kyn −yk+kx−xn k·kyk → 0. Basta aplicar la hipótesis para deducir que hxn , yn i → hx, yi.

♦

Sugerido por la noción de perpendicularidad en espacios eucl´ıdeos se puede definir el siguiente concepto. 3.4.- Definici´ on. Dos elementos x, y de (X, h·, ·i) son ortogonales, y escribimos x⊥y, cuando hx, yi = 0. También, dos conjuntos A, B ⊂ X son ortogonales si x⊥y, ∀x ∈ A, y ∈ B. Dado un subconjunto A ⊂ X, el complemento ortogonal de A es el conjunto A⊥ = {x ∈ X : x⊥A}. 3.5.- Proposici´ on (teorema de Pitágoras). Si x⊥y, kx + yk2 = kxk2 + 2 kyk . La demostración es directa. 3.6.- Corolario. Si A es cualquier subconjunto de X, A⊥ es subespacio cerrado de X. Aplicaci´ on. Veremos a continuación que todo espacio pre-Hilbert puede ser completado y la compleción será u ńica salvo isomorfismos, donde un isomorfismo entre espacios pre-Hilbert es una aplicación lineal U : X → Y 103

biyectiva y tal que hU x1 , U x2 i = hx1 , x2 i, ∀x1 , x2 ∈ X (en particular U es una isometr´ıa pues preserva las distancias). El siguiente teorema motiva el nombre de espacios pre-Hilbert a los que tienen definido un producto interior y no son completos. 3.7.- Teorema (compleción). Dado un espacio pre-Hilbert (X, h·, ·i), existe un espacio de Hilbert H y un isomorfismo A : X → W donde W es denso en H. Adem´ as el espacio H es u ńico salvo isomorfismos. Demostraci´ on. Por la teor´ıa de espacios de Banach (cap´ıtulo II, teorema 4.6), existe un espacio H de Banach y una isometr´ıa A : X → W con W denso en H. Por la continuidad de A, A es también isomorfismo de X sobre W , pensados como espacios normados. Por la proposición 3.3, se puede definir en H un producto interior hx, yi = l´ımhxn , yn i donde (xn )n∈N ∈ x, (yn )n∈N ∈ y (recordemos que x e y son clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy en W tales que kxn − x0n k → 0). La norma asociada a este producto es kxkN = hx, xi1/2 , ∀x ∈ H. Si (xn )n∈N ∈ x, podemos poner kxkN = l´ımn hxn , xn i1/2 = l´ımn kxn k = kxk y coinciden ambas normas, por lo que H es un espacio de Hilbert. Teniendo en cuenta la identidad de polarización, vemos que A es isomorfismo de X en W pensados como espacios pre-Hilbert. El mismo teorema 4.6 también garantiza que H es u ńico salvo isometr´ıas. ♦

El siguiente resultado también es consecuencia de su análogo en espacios normados. 3.8.- Teorema. Sea H un espacio de Hilbert e Y un subespacio de H. a) Y es completo si y s´ olo si Y es cerrado en H. b) Si Y es de dimensi´ on finita, entonces Y es completo. c) Si H es separable, Y también. M´ as general, todo subconjunto de un espacio pre-Hilbert separable es separable. Destacaremos sobre los demás el siguiente teorema de proyección, que será el punto de partida en el problema de la descomposición espectral de un espacio de Hilbert, problema que estudiaremos posteriormente con toda generalidad. 3.9.- Teorema (proyección). Sea X un espacio de Hilbert y M un subespacio cerrado de X. Dado cualquier elemento x ∈ X, si llamamos d a la distancia de x a M , d = ´ınf{kx − yk : y ∈ M }, existe un u ńico elemento y ∈ M tal que ky − xk = d. Adem´ as (x − y)⊥M. Demostraci´ on. Como d = ´ınf{kx − yk : y ∈ M }, existe una sucesión {yn }n∈N en M tal que kyn − xk → d. Si aplicamos la regla del paralelogramo a 104

yn − x, ym − x, resulta: kyn + ym − 2xk2 + kyn − ym k2 = 2kyn − xk2 + 2kym − xk2 . m Como kyn +ym −2xk2 = 4k yn +y −xk2 y 2 d.

yn +ym 2

m ∈ M, entonces k yn +y −xk ≥ 2

La igualdad anterior queda ahora kyn − ym k2 ≤ 2kyn − xk2 + 2kym − xk2 − 4d2 . Tomando el l´ımite cuando n, m → ∞, se obtiene que kyn − ym k → 0. As´ı se prueba que {yn }n∈N es de Cauchy en M por lo que existe y ∈ M tal que yn → y. Entonces d = l´ımn kyn − xk = k l´ımn yn − xk = ky − xk. Dicho elemento es además u ńico, porque si y, y0 ∈ M verifican ky − xk = ky0 − xk = d, entonces por la ley del paralelogramo: ky − y0 k2 = k(y − x) − (y0 − x)k2 = 2ky − xk2 + 2ky0 − xk2 − k(y − x) + (y0 − x)k2 = 2d2 + 2d2 − 4k1/2(y + y0 ) − xk2 ≤ 4d2 − 4d2 = 0 =⇒ y = y0 . El elemento z = x − y es ortogonal a M porque, en caso contrario, existir´ıa y1 ∈ M , y1 6= 0, tal que hz, y1 i = β 6= 0. Entonces kz − αy1 k2 = hz, zi − αhz, y1 i − α[hy1 , zi − αhy1 , y1 i] |β|2 = hz, zi − αhz, y1 i = kzk2 − < d2 ky1 k2 si α =

hy1 ,zi hy1 ,y1 i

pues kzk = d.

Pero esto es imposible porque z − αy1 = x − (y + αy1 ); de aqu´ı concluimos que kz − αy1 k ≥ d. ♦ El teorema anterior también es cierto si M es un subconjunto de X no vac´ıo, convexo y completo. El problema de existencia puede no tener solución si M no es completo (basta considerar un intervalo abierto M de R y un punto cualquiera x ∈ R2 , x 6∈ M ). La unicidad puede fallar en el caso de no convexidad como se ve en el siguiente ejemplo: X = R2 , M = {(a, 0) : a ∈ [1, 2] ∪ [3, 4]}, x = (3/2, 1). Las primeras consecuencias ya proporcionan resultados interesantes, como los siguientes. 3.10.- Corolario. Sean X un espacio de Hilbert y M un subespacio cerrado de X. Entonces X = M ⊕ M ⊥ . 105

Demostraci´ on. ∀x ∈ X, ∃y ∈ M : ky −xk = d. Además si z = x−y, entonces z ∈ M ⊥ , con lo que x = y + z. Si fuera x = y + z = y1 + z1 , entonces y − y1 = z1 − z, pero y − y1 ∈ M y z1 − z ∈ M ⊥ . Sabiendo que M ⊥ es subespacio de X, resulta que y − y1 = z − z1 = 0. ♦

Un contraejemplo de lo anterior cuando X no es de Hilbert se puede encontrar en el ejercicio 10 al final del cap´ıtulo. 3.11.- Corolario. Si M es subespacio cerrado de X, entonces M = M ⊥⊥ . Demostraci´ on. Es evidente que M ⊂ M ⊥⊥ . Rec´ıprocamente, si x ∈ M ⊥⊥ , existen dos elementos y ∈ M ⊂ M ⊥⊥ , z ∈ M ⊥ tales que x = y + z. Entonces z = x − y ∈ M ⊥⊥ ∩ M ⊥ = {0}. Esto implica que x = y ∈ M . ♦ Otra consecuencia del teorema de proyección, que veremos posteriormente, será el teorema de representación de Riesz, el cual permite identificar un espacio de Hilbert con su dual. El nombre dado al teorema viene motivado por la siguiente definición. 3.12.- Definici´ on. Si X = M ⊕ M ⊥ , la aplicación P : X → X definida por P x = y si x = y + z, z ∈ M ⊥ , se llama proyección ortogonal de X sobre M . As´ı definida, P es lineal y acotado, idempotente (P 2 = P ), siendo M = P (X) y M ⊥ = N (P ). Análogamente, se puede definir P 0 : X → M ⊥ como la proyección ortogonal sobre M ⊥ con las mismas propiedades que la anterior (recordamos que M ⊥⊥ = M ). Además P 0 = I − P . Esta definición generaliza el concepto de proyección en espacios vectoriales (donde se sabe que toda aplicación idempotente E : X → X determina una descomposición en suma directa X = M ⊕ N donde M = {x ∈ X : Ex = x} y N = {x ∈ X : Ex = 0} y, rec´ıprocamente, dada la descomposición x = M ⊕N , la aplicación Ex = y, si x = y+z, con y ∈ M, z ∈ N es idempotente) y será el punto de partida para la representación espectral de operadores en espacios de Hilbert (ver algunas propiedades de las proyecciones en los problemas al final del cap´ıtulo).

106

4. CONJUNTOS ORTONORMALES.

En esta sección vamos a representar todo elemento de un espacio de Hilbert como combinación lineal (que incluso puede ser no numerable) de elementos de un conjunto ortonormal completo, concepto que definiremos posteriormente. Los coeficientes de dicha combinación lineal se llamarán coeficientes de Fourier del elemento dado. Deduciremos el lema de Riemann-Lebesgue, 2 que establece las condiciones para que exista una función en L cuyos √ [0, 2π] coeficientes de Fourier respecto al conjunto ortonormal {(1/ 2π)eint : n ∈ Z} sean dados, mediante el teorema de Riesz-Fischer. 4.1.- Definici´ on. Dado un espacio X pre-Hilbert, un conjunto ortogonal M de X es un subconjunto M ⊂ X, tal que ∀x, y ∈ M, x 6= y, hx, yi = 0. M es un conjunto ortonormal si además de lo anterior, hx, xi = 1, ∀x ∈ M. El teorema de Pitágoras se puede generalizar a conjuntos ortogonales, as´ı: si {x1 , . . . , xn } es ortogonal, entonces kx1 + · · · + xn k2 = P kx1 k2 + · · · + kxn k2 . Además, si {e1 , . . . , en } es un conjunto ortonormal, k ni=1 λi ei k2 = P n 2 i=1 |λi | . 4.2.- Ejemplos. 1) En Rn , la base canónica {ei = (δij )nj=1 : i = 1, . . . , n} es ortonormal. 2) En `2 , la familia {ei = (δij )∞ j=1 : i = 1, . . . , n} es ortonormal. R 2π 3) En C[0, 2π] sobre R, con hx, yi = 0 x(t)y(t)dt, la sucesión un (t) = cos nt √ nt (n ≥ 1) es (n ≥ 0) es ortogonal y la sucesión e0 (t) = √12π , en (t) = cos π ortonormal. n o∞ 4) La familia √12π eint es un sistema ortonormal en L2 [−π, π]. n=−∞

Es fácil probar que todo conjunto ortogonal es linealmente independiente y, aunque el rec´ıproco no es cierto, el método de ortogonalización de Gram-Schmidt permite construir un conjunto ortonormal a partir de uno linealmente independiente de manera que generen el mismo subespacio. La importancia de dicho proceso estriba en que los conjuntos ortonormales permiten de forma más fácil la determinación de los coeficientes en cualquier combinación lineal que los conjuntos que son simplemente linealmente independientes. Un primer resultado relacionado con el cardinal de los conjuntos ortonormales es el siguiente: 4.3.- Teorema. Si X es un espacio pre-Hilbert separable, todo conjunto ortonormal A es finito o numerable. 107

Demostraci´ on. Si √ x, y ∈ A, kx − yk2 = kxk2 − hx, yi − hy, xi + kyk2 = 2 de donde kx − yk = 2. Por ser X separable, existe M ⊂ X numerable tal que M √ = X. Para 0 cualesquiera x, y ∈ A, existen b, b ∈ M tales que b ∈ B(x, 2/2), b0 ∈ √ B(y, 2/2) y por lo tanto, b 6= b0 . Si A no fuera numerable, podr´ıamos encontrar una colecci´ √on no numerable de elementos de M , cada uno de ellos en una bola B(x, 2/2) con x ∈ A (y por tanto distintos entre s´ı), lo cual contradice el hecho de que M es numerable. ♦ Para establecer los resultados generales de esta sección, definiremos el siguiente concepto. 4.4.- Definici´ on. Dada una familia arbitraria IP de ´ındices y un conjunto {xα }P α∈I en un espacio normado X, se dice que α∈I xα = x cuando x = sup{ α∈J xα : J ⊂ I, J finito} o bien, cuando

X

∀ε > 0, ∃J0 ⊂ I finito : x − xα < ε, ∀J ⊃ J0 finito.

α∈J

Esta noción es similar a la de convergencia incondicional de n´ umeros reales pues la convergencia es bastante fuerte para garantizar que ning´ un reagrupamiento de los términos tendrá efecto sobre la misma. De la definición se deducen las siguientes propiedades: P P 4.5.- Proposici´ on. a) Si α∈I βxα = α∈I xα = x y β ∈ E, entonces βx. P P P b) Si α∈I xα = x y α∈I yα = y, entonces α∈I (xα + yα ) = x + y. P c) Si α∈I xα = x, entonces xα = 0 excepto para un conjunto numerable. Demostraci´ on. Los apartados a) y b) son evidentes. Para probar c), sea εn = 1/n; existe Hn tal que ∀J ⊃ Hn , J finito, se tiene P que α∈J xα − x < εn /2. Consideramos un conjunto J0 finito tal que J0 ∩ Hn = ∅, para todo n; resulta as´ı que

X

X X X X

x− x x− x + = x − x ≤ x α < 1/n. α α α α

α∈J0

α∈J0 ∪Hn

α∈J0 ∪Hn

α∈Hn

S

α∈Hn

Si tomamos el conjunto numerable n∈N Hn y cualquier ´ındice α no contenido en el conjunto, de lo anterior se deduce que kxα k < 1/n, ∀n, es decir S xα = 0, para cualquier α 6∈ n∈N Hn . ♦ 108

Con esta notación probamos ahora la desigualdad de Bessel. 4.6.- Teorema. Sea X un espacio pre-Hilbert, A un conjunto ortonormal de X, y ∈ X arbitrario. Entonces: a) (Desigualdad de Bessel) ∀x1 , . . . , xn ∈ A :

n X

|hy, xi i|2 ≤ kyk2 .

i=1

Los elementos hy, xi i se llaman coeficientes de Fourier de y respecto del conjunto ortonormal {xi }ni=1 . b) El conjunto J = {x ∈ A : hy, xi = 6 0} es numerable. P c) ∀z ∈ X : x∈A |hy, xi hz, xi| ≤ kyk · kzk. Demostraci´ on. a) Llamamos αi = hy, xi i. De este modo, 0 ≤ hy −

n X

αi xi , y −

i=1

= kyk2 −

n X

n X

αi xi i

i=1

αi hxi , yi −

i=1

n X

αi hy, xi i +

i=1 j=1

i=1

Esto implica que kyk2 ≥

n X n X

αi αj hxi , xj i = kyk2 −

n X i=1

Pn

2 i=1 |hy, xi i| .

De lo anterior se deduce que la igualdad es también válida si n es infinito. b) Llamamos Jn = {x ∈ A : |hy, xi| ≥ 1/n} y elegimos x1 , . . . , xm ∈ Jn . Por a), m X 1 2 kyk ≥ |hy, xi i|2 ≥ m · 2 =⇒ m ≤ n2 kyk2 < ∞, n i=1

es decir Jn es finito. S Como J = ∞ on numerable de conjuntos finitos, es numeran=1 Jn es uni´ ble. c) Por las desigualdades de Hölder y de Bessel, para cualesquiera x1 , . . . , xn ∈ A tenemos !1/2 !1/2 n n n X X X |hy, xi i hz, xi i| ≤ |hy, xi i|2 · |hz, xi i|2 ≤ kyk · kzk. i=1

i=1

i=1

Como hy, xi i y hz, xi i son cero excepto para un conjunto numerable {xi } ⊂ P A, entonces es absolutamente convergente la serie x∈A |hy, xi hz, xi|.♦ 109

|αi |2 .

También se deducen de forma directa los siguientes resultados sobre convergencia de la serie de Fourier asociada a un elemento arbitrario. 4.7.- Teorema. Sea X un espacio de Hilbert y A = {xn }n∈N una sucesi´ on ortonormal en X. Entonces, dada la sucesi´ on {αn }n∈N ⊂ E, P P a) αn xn converge si y s´ olo si |αn |2 converge (es decir, (αn )n∈N ∈ n∈N

n∈N

`2 ).

b) Si

P

n∈N αn xn

converge a x, entonces αn = hx, xn i, ∀n ∈ N, es decir x=

X

hx, xn ixn .

n∈N

c) Para todo x ∈ X, la serie X).

P

n∈N hx, xn ixn

converge (en la norma de

Pn 2 Demostraci´ o n. a) Si llamamos S = n k=1 αk xk , entonces kSn − Sm k = Pn 2 k=m+1 |αk | (n > m). El resto es evidente (recordemos que X es completo). P P b) Sea x = n∈N αn xn . Si Sn = nk=1 αk xk , entonces hSn , xk i = αk , ∀k ≤ n. Esto implica que l´ımn hSn , xk i = αk , ∀k, de donde hx, xk i = αk , ∀k. P c) Por la desigualdad de Bessel, la serie n∈N |hx, xn i|2 converge. Aplicando a) se obtiene lo deseado. ♦ Si aplicamos los resultados anteriores al espacio real L2 [0, 2π], obtenemos lo siguiente. 4.8.- Proposici´ on. a) (Lema de Riemann-Lebesgue). Si f ∈ L2 [0, 2π] y llamamos

Z

2π

a0 = (1/π)

f (t)dt, 0

Z

2π

an = (1/π)

f (t) cos(nt/2)dt, si n es par, 0

Z bn = (1/π)

2π

f (t) sen[(n + 1)t/2]dt, si n es impar, 0

entonces l´ımn an = 0, l´ımn bn = 0. b) (Teorema de Riesz-Fischer). Rec´ıprocamente, dada una sucesi´ on de n´ umeros reales {c0 , d1 , c2 , d3 , . . . } tal que X X c20 + c2n + d2n < ∞, n par

n impar

110

entonces existe una funci´ on f ∈ L2 [0, 2π] cuyos coeficientes de Fourier son la sucesi´ on dada. √ Demostraci´ on. a) Sabemos que la sucesión {xn }n≥0 , donde x0 = 1/ 2π, √ √ x2n−1 = (1/ π) sen nt, x2n = (1/ π) cos nt, para n ≥ 1, es un conjunto 2 ortonormal. Si definimos R 2π para cada f ∈ L [0, 2π] los coeficientes de Fourier αn = hf, xn i = 0 f (t)xn (t)dt, n ≥ 0, por la desigualdad de Bessel, P 2 2 n≥0 |αn | ≤ kf k . A partir de esta desigualdad, y llamando Z 1 2π a0 = f (t)dt, π 0 Z 1 2π f (t) cos(nt/2)dt, si n es par , an = π 0 Z 1 2π bn = f (t) sen[(n + 1)t/2]dt, si n es impar, π 0 a los coeficientes ordinarios de Fourier, obtenemos ! Z ∞ 2π X f 2 (t)dt (π/2)a20 + π (a2n + b2n ) ≤ 0

n=1

lo que implica que l´ımn an = 0, l´ımn bn = 0. b) Al aplicar el teorema 4.7(a) a la sucesión {xn }n≥0 definida antes, obtenemos ! X X c0 1 √ +√ cn cos nt + dn sen nt π n par 2π n impar √ 2 converge a alguna función f ∈ L [0, 2π] y f / π tiene a la sucesión dada por coeficientes de Fourier. ♦ El siguiente concepto generaliza el de base ortonormal en un espacio eucl´ıdeo. 4.9.- Definici´ on. Sea X un espacio pre-Hilbert y A un conjunto ortonormal. Entonces A es completo cuando se cumple cualquiera de las condiciones siguientes: (a) No existe ning´ un conjunto ortonormal que contenga propiamente a A. (b) ∀x ∈ X, si x⊥A, entonces x = 0. Es o que (a) implica (b) porque si existiera x⊥A, x 6= 0, entonces A ∪ n claro x ser´ıa ortonormal conteniendo propiamente a A. kxk También (b) implica (a), porque si existiera B ortonormal tal que A ⊂ B, A 6= B, podr´ıamos tomar x ∈ B \ A, y ser´ıa x⊥A y kxk = 1. 111

Observaci´ on. A los conjuntos ortonormales completos se les llama bases ortonormales. Sin embargo, nunca un conjunto ortonormal completo infinito puede ser base de Hamel en un espacio de Hilbert. En efecto, si A es ortonormal completo infinito de P H, consPun conjunto −2 x con {x } −4 truimos la serie k ⊂ A. Como la serie k N k∈N k∈N k P k k∈−2 converge, existe x ∈ H tal que k∈N k xk = x. Si A fuera base de H, ∃γα , . . . , γν tales que x = γα xα + . . . γν xν . Eligiendo j 6= α, . . . , ν, hxj ,

X

k −2 xk i = j −2 = hxj , γα xα + . . . γν xν i = 0

k≥1

lo que es absurdo. 4.10.- Teorema. En un espacio pre-Hilbert X 6= {0} existe un conjunto ortonormal completo y todo conjunto ortonormal puede extenderse a un conjunto ortonormal completo. Demostraci´ on. Basta probar la segunda parte porque se deduce inmediatamente de ah´ı la primera. Sea B un conjunto ortonormal fijo, S = {A : A es conjunto ortonormal, B ⊂ A}. El conjunto S está parcialmente ordenado con la relación de inclusión. Veamos que toda familia totalmente ordenada de S tiene cota superior: Sea T = S {Aα : α ∈ I} unSsubconjunto totalmente ordenado de S. Como A Sα ⊂ α∈I Aα , entonces α∈I Aα es cota superior de T . Además B ⊂ α∈I Aα . S Si x, y ∈ α∈I Aα , ∃α, β ∈ I : x ∈ Aα , y ∈ Aβ (y suponemos Aα ⊂ Aβ por ser T totalmente ordenado). Entonces x, y ∈ Aβ de donde x⊥y, kxk = S kyk = 1 =⇒ α∈I Aα ∈ S. Se dice entonces que S es un conjunto inductivo. Se puede aplicar el lema de Zorn1 , por el que debe existir un elemento maximal en S. Este elemento es un conjunto ortonormal completo, pues por definición de maximal, no puede haber otro conjunto ortonormal que lo contenga. ♦ 4.11.- Teorema. a) Sea X un espacio pre-Hilbert y A un conjunto ortonormal tal que hAi = X. Entonces A es completo. b) Si X es de Hilbert y A = {xα }α∈I un conjunto ortonormal completo, entonces hAi = X. Demostraci´ on. a) Si A no fuera completo, existir´ıa x ∈ X ortogonal al conjunto. Además x⊥hAi e incluso x⊥ hAi lo que es absurdo. 1

Lema de Zorn: Todo conjunto ordenado, inductivo y no vac´ıo tiene un elemento maximal.

112

b) Si hAi 6= X, existe x ∈ X \ hAi. Por el teorema de proyección, existe y ∈ hAi tal que (x − y)⊥ hAi. Por tanto, (x − y)⊥A, pero x 6= y. Resulta entonces que A no es completo. ♦ Otra caracterización de los conjuntos ortonormales completos la da la identidad de Parseval. 4.12.- Teorema. a) Sea X un espacioPpre-Hilbert y A = {xα }α∈I un conjunto ortonormal. Si ∀x ∈ X, kxk2 = α∈I |hx, xα i|2 , entonces A es completo. b) (Identidad de Parseval) Si X esPde Hilbert y A es un conjunto ortonormal completo, se verifica que kxk2 = α∈I |hx, xα i|2 , ∀x ∈ X. Observaci´ on. Por el teorema 4.6(b) sólo hay como máximo un conjunto numerable de productos hx, xα i no nulos. Demostraci´ on. a) Si A no fuera completo, existir´ıa x ∈ X tal que x⊥A. Por la identidad de Parseval, kxk = 0, lo que es absurdo. P b) Sea x ∈ X. α∈I hx, xα ixα converge (teorema 4.7(c)), PComo la serie llamamos y = α∈I hx, xα ixα . Entonces (x − y)⊥A : hx − y, xβ i = hx, xβ i −

X

hx, xα ihxα , xβ i = hx, xβ i − hx, xβ i = 0;

α∈I

hx − y, vi = hx, vi −

X

hx, xα ihxα , vi = 0 − 0 = 0,

α∈I

∀v ∈ A, v distinto de los xα de la serie (que son precisamente aquellos para los que hx, vi = 0). P Por definición, como (x − y)⊥A =⇒ x − y = 0 =⇒ x = α∈I hx, xα ixα =⇒ P kxk2 = α∈I hx, xα i hx, xα i. ♦ Nota. La parte (a) del teorema también es cierta si la identidad de Parseval se supone cierta sólo en un conjunto denso en X (ver la prueba en [BN]). La ventaja que ello supone es evidente y en las aplicaciones prácticas es fácil obtener subconjuntos densos donde se verifique la igualdad. Por ejemplo, √ √ √ para probar que la sucesión {1/ 2π, cos t/ π, sen t/ π, . . . } es un conjunto ortonormal completo en L2 [0, 2π] sobre R basta ver que la identidad de Parseval es cierta en la clase de polinomios trigonométricos de L2 [0, 2π] (que es denso en L2 por el teorema de Stone-Weierstrass). Podemos resumir todos los resultados anteriores en el siguiente esquema. 4.13.- Teorema. Sea A = {xα }α∈I un conjunto ortonormal en un espacio de Hilbert X. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: i) A es completo. 113

ii) x⊥A =⇒ x = 0. iii) x ∈ X =⇒ x =

P

α∈I hx, xα ixα .

iv) hAi = X. P v) kxk2 = α∈I |hx, xα i|2 . P vi) ∀x, y ∈ X, hx, yi = α∈I hx, xα ihxα , yi. (Es claro que en algunas equivalencias no es necesario que X sea de Hilbert.) n int o e Ejemplo. En L2 [0, 2π] un conjunto ortonormal completo es A = √ , n ∈ Z . 2π R 2π En efecto, sea f ∈ L2 [0, 2π], tal que f ⊥A, es decir, 0 f (t)e−int dt = 0, ∀n ∈ Rt Z. Definimos G(t) = 0 f (x)dx − C, donde G(2π) = −C = G(0). Como Rt on absolutamente continua, G0 (t) = f (t) en casi to0 f (x)dx es una funci´ R 2π do punto. Esto implica que 0 G0 (t)e−int dt = 0. Integrando por partes, tenemos Z 2π Z 2π 2π 0 = e−int G(t) 0 − G(t)(−in)e−int dt = G(2π)−G(0)+in G(t)e−int dt. 0

0

R 2π Rt Si llamamos F (t) = 0 f (x)dx, tenemos que 0 = 0 (F (t) − C)e−int dt, n 6= R 2π 0. Elegimos C de modo que 0 F (t)dt = 2πC. Por el teorema de aproximación de Weierstrass, podemos Paproximariktuniformemente G(t) por el polinomio trigonométrico T (t) = m k=−m ak e , de modo que |G(t) − T (t)| < ε, ∀t ∈ [0, 2π]. Resulta as´ı: 2π

Z

G(t)T (t)dt = 0

m X

Z ak

2π ikt

G(t)e

0

Z =

Z 0

Z ≤ ε

2π

Z √ |G(t)| · 1dt ≤ ε 2π

0

R 2π 0

2π

G(t)(G(t) − T (t))dt

G(t)G(t)dt = 0

Si suponemos

|G(t)|2 dt

dt = 0 =⇒

0

−m 2π

2π

Z

2π

1/2 |G(t)|2 dt .

0

|G(t)|2 dt 6= 0, resulta

R

2π 0

1/2 √ ≤ ε 2π. |G(t)|2 dt

Como ε es arbitrario, Z

2π

Z

2

|G(t)| dt = 0 =⇒ G(t) = 0 =⇒ 0

f (x)dx = C =⇒ f (t) = 0 0

en casi todo punto. 114

t

Justificamos a continuación el nombre de dimensión de Hilbert dado al cardinal de un conjunto ortonormal completo. 4.14.- Teorema (cardinal de los conjuntos ortonormales completos). En un espacio pre-Hilbert X, cualesquiera dos conjuntos ortonormales completos A = {xα : α ∈ I}, B = {yβ : β ∈ J} tienen el mismo cardinal (llamado dimensi´ on de Hilbert o dimensi´ on ortogonal de X). Demostraci´ on. Es trivial si A y B son finitos, porque ser´ıan bases del mismo espacio vectorial X. 6 0} que En el caso general, si xα ∈ A, definimos Bxα = {yβ ∈ B : hxα , yβ i = es numerable (teorema 4.6(b)). Veamos ahora que para todo yβ ∈ B existe xα ∈ A tal que yβ ∈ Bxα : Si no fuera as´ı, hxα , yβ i = 0, ∀xα ∈ A =⇒ yβ ⊥A. Pero, al ser A completo, yβ = 0, lo que es absurdo pues kyβ k = 1. Entonces [ B= Bxα =⇒ card B ≤ card A · card Bxα = card A α∈I

ya que Bxα es numerable. Análogamente se procede para demostrar que card A ≤ card B.

♦

Para concluir probaremos las siguientes equivalencias, que generalizan lo que ocurre con los espacios eucl´ıdeos, pues se proporcionan muestras concretas de espacios mediante los cuales todos los demás sólo se diferencian en la dimensión. 4.15.- Teorema. Si X es un espacio pre-Hilbert de dimensi´ on n, entonces n X es congruente con C , es decir existe un isomorfismo isométrico entre X y Cn . Demostraci´ on. Sea {x1 , . . . , xn } una base ortonormal de X. P ∀x ∈ X, ∃α1 , . . . , αn ∈ E : x = ni=1 αi xi . Definimos A : X → Cn como Ax = (α1 , . . . , αn ). Es evidente que A es isomorfismo isométrico. ♦ 4.16.- Teorema. Si X es un espacio de Hilbert separable, complejo y de dimensi´ on infinita, entonces X es congruente con `2 . Demostraci´ on. Por ser X separable, contiene un conjunto ortonormal completo numerable, digamos {xn }n∈N . Para cada x ∈ X y n ∈ N definimos αn = hx, xn i. Por la identidad de Parseval, X X kxk2 = |hx, xn i|2 = |αn |2 < ∞. n∈N

n∈N

Esto implica que {αn }n∈N ∈ `2 . As´ı pues, el operador A : X → `2 dado por Ax = (αn )n∈N , ∀x ∈ X 115

está bien definido y es lineal. Veamos que A es un isomorfismo isométrico. (∗) A es inyectiva: Ax = 0 =⇒ hx, xn i = 0, ∀n =⇒ x = 0 porque {xn }n∈N es completo. P 2 2 (∗) A es sobre: Si (β ) n n∈ N ∈ ` , n∈N |βn | < ∞ lo que implica que P un x ∈ X de donde βn = hx, xn i, es decir (βn )n∈N = n∈N βn xn converge a alg´ Ax. P (∗) A es isometr´ıa, pues kAxk2 = n∈N |αn |2 = kxk2 . ♦

´ DE POLINOMIOS. 5. ORTOGONALIZACION

En esta sección se aplican los resultados anteriores para obtener familias de polinomios ortonormales en algunos casos prácticos de especial importancia. Empezaremos recordando el teorema de ortogonalización de GramSchmidt. 5.1.- Teorema (ortogonalización de Gram-Schmidt). Si {y1 , . . . , yn , . . . } es un conjunto linealmente independiente en un espacio pre-Hilbert X, entonces existe un conjunto ortonormal {x1 , . . . , xn , . . . } tal que h{x1 , . . . , xk }i = h{y1 , . . . , yk }i, ∀k ∈ N. Demostraci´ on. Aplicaremos el método de inducción sobre n. Para n = 1, hacemos x1 = y1 /ky1 k. Esto hace que kx1 k = 1 y h{x1 }i = h{y1 }i. Si fuera cierto para n − 1, veámoslo para n: Pn−1 hyn , xi ixi . Entonces Llamamos w = yn − i=1 n−1 X

hw, xk i = hyn , xk i−

hyn , xi ihxi , xk i = hyn , xk i−hyn , xk i = 0, k = 1, . . . , n−1.

i=1

Si fuera w = 0, tendr´ıamos yn =

n−1 P

hyn , xi ixi , con lo que yn ∈ h{x1 , . . . , xn−1 }i =

i=1

h{y1 , . . . , yn−1 }i, lo que contradice la hipótesis. Si llamamos xn = w/kwk, es trivial que {x1 , . . . , xn } es un conjunto ortonormal y que h{x1 , . . . , xn }i = h{y1 , . . . , yn }i. ♦ 116

Veamos como aplicación de lo anterior cómo generar los polinomios ortonormales de mayor importancia práctica. A. Polinomios de Legendre. El espacio C[−1, 1] con el producto escalar R1 hx, yi = −1 x(t)y(t)dt puede completarse y dar lugar al espacio L2 [−1, 1]. Una base ortonormal de este espacio se puede obtener aplicando el método de ortogonalización de Gram-Schmidt a la familia linealmente independiente de polinomios {xn (t) = tn , n = 0, 1, . . . }. n

d 2 n 5.2.- Teorema. Si llamamos Pn (t) = 2n1·n! · dt n (t − 1) , entonces la familia q en (t) = 2n+1 2 Pn (t), n = 0, 1, . . . , es un conjunto ortonormal completo en

L2 [−1, 1]. Demostraci´ on. Veamos en primer lugar que hPm , Pn i = 0 si 0 ≤ m < n. Como Pm es un polinomio, basta probar que hxm , Pn i = 0 para m < n. Si integramos por partes (donde escribimos por comodidad u = t2 − 1), teniendo en cuenta que las derivadas Dk (un )(t) se anulan para k < n en t = ±1: 2n n!hxm , Pn i =

Z

1

tm Dn (un )(t)dt

−1 1

Z

tm−1 Dn−1 (un )(t)dt = . . .

= −m −1

Z

m

1

Dn−m (un )(t)dt = (−1)m m!Dn−m−1 (un )(t)|1−1 = 0.

= (−1) m! −1

A continuación probaremos que ken k = 1, ∀n, para lo cual integramos nuevamente por partes y tenemos en cuenta que D2n (un )(t) = (2n)!: (2n n!)2 kPn k2 =

Z

1

Dn (un )(t)Dn (un )(t)dt

−1

Z

1

Dn−1 (un )(t)Dn+1 (un )(t)dt = . . .

= − −1

Z

n

1

= (−1) (2n)!

Z

n

u (t)dt = 2(2n)! −1

Z = 2(2n)!

π/2

cos2n+1 sds =

0

1

(1 − t2 )n dt

0

22n+1 (n!)2 . 2n + 1

♦

Observaci´ on. Los polinomios de Legendre {Pn }n≥0 son solución de la llamada ecuación de Legendre: (1 − t2 )Pn00 − 2tPn0 + n(n + 1)Pn = 0. 117

2

B. Polinomios de Hermite. En el espacio L2 (R), las funciones {xn e−x /2 } forman un conjunto linealmente independiente para n ≥ 0. Aplicando el proceso de Gram-Schmidt, obtenemos las funciones de Hermite Φn (x) =

(n! ·

2n

1 2 √ 1/2 · e−x /2 · Hn (x) · π)

donde {Hn }n≥0 son los polinomios de Hermite 2

Hn (x) = (−1)n · ex ·

dn −x2 e . dxn

Se puede probar que las funciones de Hermite forman una base ortonormal de L2 (R) y que los polinomios de Hermite verifican la ecuación diferencial Hn00 − 2xHn0 + 2nHn = 0. C. Polinomios de Laguerre. En X = L2 [0, ∞), la sucesión {e−x/2 xn }n≥0 es linealmente independiente. La familia ortonormal que se obtiene es Ψn (x) = e−x/2 Ln (x), donde n X 1 x dn −x n (−1)j n j · e · n (e x ), es decir Ln (x) = x , Ln (x) = n! dx j! j j=0

son los polinomios de Laguerre. Estos polinomios verifican la ecuación xL00n + (1 − x)L0n + nLn = 0.

´ DE FUNCIONALES EN ESPACIOS DE 6. REPRESENTACION HILBERT.

En los espacios de Hilbert, la forma general que tienen los funcionales lineales y acotados es sorprendentemente simple y de gran importancia práctica. Es muy sencillo comprobar que todo espacio eucl´ıdeo puede identificarse con su dual. 6.1.- Teorema (Riesz para dimensión finita). Si X es un espacio pre-Hilbert de dimensi´ on finita y f : X → E un funcional lineal, entonces existe un u ńico y ∈ X tal que f (x) = hx, yi, ∀x ∈ X. Demostraci´ on. Sea {x1 , . . . , xn } una base ortonormal de X. Si y =

n P

f (xi )xi ,

i=1

definimos la aplicación fy : X → E como fy (x) = hx, yi. En particular, 118

fy (xj ) = f (xj ), ∀j = 1, . . . , n. De aqu´ı se deduce que fy (x) = f (x), ∀x ∈ X. Si existiera otro z ∈ X tal que hx, yi = hx, zi, ∀x ∈ X, entonces hx, y − zi = 0, ∀x =⇒ y = z. ♦ Probaremos a continuación el teorema de representación de Riesz que prueba que este hecho es también cierto en espacios de Hilbert arbitrarios. 6.2.- Teorema (Riesz para cualquier dimensión). Un funcional f : X → E de un espacio de Hilbert es lineal y acotado si y s´ olo si existe un u ńico y ∈ X tal que f (x) = hx, yi, ∀x ∈ X. Adem´ as kf k = kyk. Demostraci´ on. La unicidad de y es clara como hicimos en el teorema anterior. a) Dado y ∈ X, consideramos el funcional f (x) = hx, yi. Claramente, f es lineal. Además |f (x)| = |hx, yi| ≤ kxk · kyk por la desigualdad de CauchySchwarz. Por tanto, f está acotado y kf k ≤ kyk. Pero si hacemos x = y, |f (y)| = kyk · kyk =⇒ kf k ≥ kyk y en definitiva, kf k = kyk. b) Sea f un funcional lineal y acotado en X y definimos M = {x ∈ X : f (x) = 0} que es subespacio cerrado de X por la continuidad de f . Si M = X, f ≡ 0 y f (x) = hx, 0i, es decir, existe y = 0 tal que f (x) = hx, 0i. Si M 6= X, existe w 6= 0 tal que w ∈ M ⊥ . Vamos a probar que existe α ∈ E tal que y = αw satisface las condiciones del teorema. Si x ∈ M, f (x) = 0 y hx, αwi = αhx, wi = 0, y cualquier α sirve. Si x = βw con β 6= 0, f (x) = βf (w) y hx, αwi = β αhw, wi con lo que f (x) = hx, αwi cuando α = f (w)/kwk2 . Si x ∈ X es arbitrario, x = x − βw + βw y elegimos β para que x − βw ∈ M, es decir, β = f (x)/f (w). De este modo, f (x) = f (x−βw)+f (βw) = hx−βw, αwi+hβw, αwi = hx, αwi = hx, yi.

♦

De este teorema también se deduce el análogo a la proposición 7.3 del cap´ıtulo II. Concretamente, en un espacio de Hilbert un funcional lineal es continuo si y sólo si su n´ ucleo es un subespacio cerrado. Este hecho muestra que la existencia de funcionales lineales no continuos va ´ıntimamente ligada con la existencia de subespacios lineales no cerrados. As´ı pues, el n´ ucleo de un funcional lineal no continuo es un subespacio denso en X. En efecto, si por el contrario dim M ⊥ > 0, ∃e⊥M tal que f (e) = 1; esto implica que ∀y ∈ X, y = f (y)e + (y − f (y)e) con f (y)e ∈ hei y f (y − f (y)e) = 0 =⇒ y − f (y)e ∈ M , y la suma es ortogonal. Esto indica que X = hei ⊕ M , de donde M es cerrado, con lo que f es continuo, en contradicción con la hipótesis. En definitiva, dim M ⊥ = 0 =⇒ M = X. 119

El teorema 6.2 permite también obtener una representación general de formas sesquilineales en espacios de Hilbert. 6.3.- Definici´ on. Dados dos espacios vectoriales X, Y , una forma sesquilineal sobre X × Y es una aplicación h : X × Y → E tal que h es lineal en la primera variable y antilineal en la segunda. Si X e Y son normados, h es acotada si existe c ≥ 0 tal que |h(x, y)| ≤ |h(x,y)| c · kxk · kyk y se define khk = supx,y6=0 kxk·kyk como la norma de h. Ejemplo. Si S ∈ L(X, Y ) entonces h(x, y) = hSx, yi es una forma sesquilineal acotada. El rec´ıproco corresponde al siguiente resultado. 6.4.- Teorema (representación de Riesz para formas sesquilineales). Sean H1 , H2 espacios de Hilbert y h : H1 × H2 → E una forma sesquilineal acotada. Entonces existe un u ńico operador lineal S : H1 → H2 acotado tal que h(x, y) = hSx, yi y kSk = khk. Demostraci´ on. Fijado x ∈ H1 , el operador h(x, ·) : H2 → E es un funcional lineal y acotado. Entonces existe un u ńico z ∈ H2 tal que h(x, y) = hy, zi. Por tanto, h(x, y) = hz, yi. Como z depende de x y es u ńico, queda definido un operador S : H1 → H2 dado por Sx = z. As´ı definido, se prueba que → S es lineal: hS(αx1 + βx2 ), yi = h(αx1 + βx2 , y) = αh(x1 , y) + βh(x2 , y) = αhSx1 , yi + βhSx2 , yi = hαSx1 + βSx2 , yi, ∀y =⇒ S(αx1 + βx2 ) = αSx1 + βSx2 . → S es acotado: |hSx, yi| |hSx, Sxi| kSxk ≥ sup = sup = kSk. x,y6=0 kxk · kyk x6=0,Sx6=0 kxk · kSxk x6=0 kxk

khk = sup

→ kSk = khk : Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz, khk = sup

|hSx, yi| kSxk · kyk ≤ sup = kSk. kxk · kyk kxk · kyk

→ S es u ńico: Si ∃T : H1 → H2 tal que h(x, y) = hSx, yi = hT x, yi, entonces Sx = T x de donde S = T. ♦ El concepto de forma sesquilineal es una generalización del producto interior. Demostraremos a continuación diversos resultados que extienden a los ya obtenidos para el producto interior, donde el papel de norma corresponde ahora al de la forma cuadrática asociada a una forma sesquilineal. 6.5.- Definici´ on. Una forma sesquilineal f : X → X se dice simétrica cuando f (y, x) = f (x, y), ∀x, y ∈ X. Por otra parte, si f (x, x) ≥ 0, ∀x ∈ X, 120

f se dice forma sesquilineal definida no negativa. Por ejemplo, f (x, y) = hx, yi es una forma sesquilineal simétrica y definida no negativa, y f (x, x) representa la norma. Dada una forma sesquilineal f : X ×X → E, el conjunto {f (x, x) : x ∈ X} se llama forma cuadr´ atica asociada. As´ı, si llamamos fb(x) = f (x, x), se puede recuperar la forma sesquilineal por la identidad de polarización 1 1 i i f (x, y) = fb(x + y) − fb(x − y) + fb(x + iy) − fb(x − iy). 4 4 4 4 En consecuencia, si f1 y f2 son formas sesquilineales y fb1 = fb2 , entonces f1 = f2 . 6.6.- Proposici´ on. Dada una forma sesquilineal f : X × X → E, f es simétrica si y s´ olo si fb es real. Demostraci´ on. a) Si suponemos que f (y, x) = f (x, y), entonces fb(x) = f (x, x) = f (x, x) = fb(x), ∀x ∈ X lo que implica que fb es real. b) Rec´ıprocamente, si fb es real, de la identidad de polarización y las igualdades fb(z) = fb(−z), fb(iz) = fb(z), ∀z ∈ X, se deduce que f (x, y) = =

1 b 1 i i f (x + y) − fb(x − y) − fb(x + iy) + fb(x − iy) 4 4 4 4 1 i i 1b f (y + x) − fb(y − x) − fb(y − ix) + fb(y + ix) = f (y, x). 4 4 4 4

6.7.- Corolario. Si A : X → X es un operador lineal acotado, entonces son equivalentes: i) La forma sesquilineal f : X × X → E definida por f (x, y) = hAx, yi es simétrica. ii) hAx, xi es real para todo x ∈ X. Para la prueba, basta observar que hAx, xi es la forma cuadrática asociada a f. 6.8.- Proposici´ on. Dada una forma sesquilineal f : X × X → E, f es acotada si y s´ olo si fb es acotada. Adem´ as kfbk ≤ kf k ≤ 2kfbk. Demostraci´ on. Utilizaremos las igualdades kf k =

sup

|f (x, y)|, kfbk = sup |fb(x)|,

kxk,kyk=1

kxk=1

las cuales se pueden probar de forma similar a las obtenidas en el caso de operadores lineales. 121

♦

Si suponemos f acotada, entonces |fb(x)| = |f (x, x)| ≤ kf k · kxk2 =⇒ kfbk ≤ kf k. Rec´ıprocamente, si suponemos fb acotada, aplicando la desigualdad triangular en la identidad de polarización, obtenemos 1 |f (x, y)| ≤ kfbk · (kx + yk2 + kx − yk2 + kx + iyk2 + kx − iyk2 ). 4 Aplicando en el segundo miembro la identidad del paralelogramo, resulta: 1 |f (x, y)| ≤ kfbk · [2(kxk2 + kyk2 ) + 2(kxk2 + kyk2 )] = kfbk · (kxk2 + kyk2 ). 4 Tomando el supremo para valores x, y, con kxk = kyk = 1, llegamos en definitiva a que kf k ≤ 2kfbk. ♦ 6.9.- Proposici´ on. Si f es una forma sesquilineal simétrica acotada, entonces kf k = kfbk. Demostraci´ on. Por ser fb real, de la identidad de polarización obtenemos en particular 1 1 1 Re f (x, y) = fb(x+y)− fb(x−y) =⇒ | Re f (x, y)| ≤ kfbk·(2kxk2 +2kyk2 ). 4 4 4 Si suponemos kxk = kyk = 1, resulta | Re f (x, y)| ≤ kfbk. Escribiendo en forma polar f (x, y) = r · eiϑ , para α = e−iϑ , tenemos αf (x, y) = r = |f (x, y)|, de donde |f (x, y)| = | Re αf (x, y)| = | Re f (αx, y)| ≤ kfbk, para cualesquiera x, y ∈ X tales que kxk = kyk = 1. En consecuencia, kf k = supkxk=kyk=1 |f (x, y)| ≤ kfbk lo que, junto al resultado del teorema anterior, conduce a la tesis. ♦ 6.10.- Proposici´ on (Desigualdad de Cauchy-Schwarz generalizada). Si f es un forma sesquilineal no negativa, entonces |f (x, y)|2 ≤ fb(x) · fb(y), ∀x, y ∈ X. La prueba es similar a la realizada en la proposición 3.1, y se deja como ejercicio.

122

7. OPERADOR ADJUNTO. OPERADORES AUTOADJUNTOS Y UNITARIOS.

El teorema de representación de Riesz permite de forma natural asociar a todo operador T ∈ L(H1 , H2 ) el llamado operador adjunto T ∗ ∈ L(H2 , H1 ) definido por la condición hT x, yi = hx, T ∗ yi, ∀x ∈ H1 , y ∈ H2 , y cuyas propiedades estudiaremos en esta sección. Nos limitaremos en esta sección a estudiar el caso de operadores T : H → H y dejamos al lector la posibilidad de desarrollar el caso general. Queremos indicar también que en el caso de espacios normados se puede definir un concepto análogo pero algunas demostraciones precisan aplicar el teorema de Hahn-Banach que estudiaremos en el próximo cap´ıtulo (en los ejercicios del cap´ıtulo IV se dan dichas nociones). Aseguramos en primer lugar la existencia del operador adjunto y mostramos algunas propiedades básicas de los mismos. 7.1.- Teorema. Sean H un espacio de Hilbert y T ∈ L(H). Entonces existe un u ńico operador T ∗ ∈ L(H) tal que hT x, yi = hx, T ∗ yi. Adem´ as kT k = ∗ kT k. Demostraci´ on. Para cada y ∈ H definimos el funcional fy (x) = hT x, yi. Debido a que |hT x, yi| ≤ kT xk · kyk ≤ kT k · kxk · kyk, se deduce que fy es un funcional lineal acotado. Por el teorema de representación de Riesz, existe un u ńico z ∈ H tal que fy (x) = hx, zi. Definimos pues el operador T ∗ y = z. Dicho operador es lineal pues, ∀y1 , y2 ∈ H, α ∈ E, x ∈ H: hx, T ∗ (αy1 + y2 )i = hT x, αy1 + y2 i = αhT x, y1 i + hT x, y2 i =

αhx, T ∗ y1 i + hx, T ∗ y2 i = hx, αT ∗ y1 + T ∗ y2 i.

Además T ∗ está acotado pues, ∀x, y ∈ H, |hx, T ∗ yi| = |hT x, yi| ≤ kT k · kxk · kyk. En particular, para x = T ∗ y tenemos que kT ∗ yk2 ≤ kT k · kT ∗ yk · kyk, de donde kT ∗ yk ≤ kT k · kyk y kT ∗ k ≤ kT k. Por otra parte, como T ∗∗ = T , resulta que kT k = kT ∗∗ k ≤ kT ∗ k. 7.2.- Proposici´ on. Dados S, T ∈ L(H) y α ∈ E, entonces: a) (S + T )∗ = S ∗ + T ∗ . 123

♦

b) (αT )∗ = αT ∗ . c) (ST )∗ = T ∗ S ∗ . d) T ∗∗ = T . e) kT ∗ T k = kT k2 . Demostraci´ on. Queda como ejercicio, pues se trata de simples comprobaciones. 7.3.- Proposici´ on. Si llamamos N (T ) al n´ ucleo del operador T y R(T ) al rango, entonces a) N (T ∗ ) = R(T )⊥ . b) N (T ) = R(T ∗ )⊥ . Demostraci´ on. Para cualesquiera x ∈ N (T ∗ ), y ∈ H, hx, T yi = hT ∗ x, yi = 0, de donde x ∈ R(T )⊥ . Rec´ıprocamente, si x ∈ R(T )⊥ , entonces hT ∗ x, yi = hx, T yi = 0, para todo y ∈ H, de donde T ∗ x = 0. Para la parte b) basta aplicar a) al operador T ∗ .

♦

7.4.- Definici´ on. El operador T ∗ as´ı construido se llama adjunto de T . Un operador T es autoadjunto cuando T = T ∗ . Observaciones. 1) El concepto de operador adjunto generaliza el de matriz adjunta pues en los espacios eucl´ıdeos la matriz asociada al operador adjunto es la traspuesta de la conjugada de la matriz asociada al operador de partida. Un ejemplo clásico en dimensión infinita lo constituyen los operadores integrales. As´ı, si A : L2 [0, 1] → L2 [0, 1] es el operador definido R1 por Ax(t) = 0 K(t, s)x(s)ds, donde K es una función continua, entonces R1 A∗ x(t) = 0 K(s, t)x(s)ds. 2) Los operadores autoadjuntos juegan en L(H) el papel que los n´ umeros reales juegan en C. Por tanto, todo operador T ∈ L(H) se podrá escribir en la forma T = A + iB, con A, B autoadjuntos. Esta clase de operadores, cuya estructura está ya perfectamente delimitada, aparece en multitud de aplicaciones. Recordamos que en espacios métricos una aplicación que conserva las distancias se llama isometr´ıa. Cuando se trata de espacios normados esta propiedad se traduce en que una isometr´ıa A : X → Y es un operador que conserva las normas, es decir kAxk = kxk, ∀x ∈ X. Si X e Y son además espacios pre-Hilbert, es sencillo comprobar (aplicando la identidad de polarización) que un operador A ∈ L(X, Y ) es una isometr´ıa si y sólo si 124

hAx, Ayi = hx, yi, ∀x, y ∈ X. En lo sucesivo aplicaremos esta caracterización como definición de isometr´ıas en espacios pre-Hilbert. 7.5.- Definici´ on. Toda isometr´ıa sobreyectiva recibirá el nombre de operador unitario. Estos operadores se corresponden con las rotaciones y simetr´ıas respecto del origen en los espacios eucl´ıdeos y, al igual que all´ı, estos operadores son los más simples en cuanto no cambia la longitud ni el ángulo entre vectores. Veamos a continuación algunas caracterizaciones de estos operadores. 7.6.- Proposici´ on. Sea T ∈ L(H). a) T es isometr´ıa si y s´ olo si T ∗ T = I. b) T es unitario si y s´ olo si T ∗ T = T T ∗ = I. Demostraci´ on. El apartado a) se deduce de las siguientes equivalencias: T isometr´ıa

⇐⇒ hT x, T yi = hx, yi, ∀x, y ∈ H ⇐⇒ hx, T ∗ T yi = hx, yi, ∀x, y ∈ H ⇐⇒ T ∗ T = I.

b) Por el apartado anterior, si T es unitario, T ∗ T = I. Además, por ser T sobre, ∀x, y ∈ H, hT T ∗ x, yi = hT T ∗ x, T zi = hT ∗ x, zi = hx, T zi = hx, yi =⇒ T T ∗ = I. Rec´ıprocamente, si T ∗ T = T T ∗ = I, entonces, por una parte, T es isometr´ıa; por otra parte, para cualquier y ∈ H, si llamamos x = T ∗ y; entonces T x = T T ∗ y = y, es decir T es sobre. ♦ Otra clase de operadores relacionada con las anteriores es la de los operadores normales, los que por definición verifican la igualdad T T ∗ = T ∗ T . Esta clase de operadores tiene gran interés en el desarrollo de la teor´ıa espectral y estudiaremos sus propiedades en el cap´ıtulo VI.

125

EJERCICIOS.

1. Si X es un espacio vectorial de dimensi´ on finita y {e1 , . . . , en } una base de X , probar que cualquier producto interior sobre X est´ a completamente determinado por los valores γij = hei , ej i, (i, j = 1, . . . , n). ¿Es posible elegir arbitrariamente dichos escalares? Resp.: Sean x, y ∈ X arbitrarios, x = Entonces hx, yi =

n X n X

αi βj hei , ej i =

i=1 j=1

Pn

i=1 αi ei ,

n X n X

y =

Pn

j=1 βj ej .

αi βj γij .

i=1 j=1

Sin embargo, la elección de la matriz (γij )i,j=1,...,n no puede ser arbitraria, pues para dar lugar a un producto interior debe cumplir γij = γji , ∀i, j y además γii > 0, ∀i. 2. Sea X un espacio pre-Hilbert real. Probar que si kx+yk2 = kxk2 + kyk2 , entonces x⊥y . Probar que lo anterior no es cierto si X es complejo. Resp.: De los axiomas del producto escalar obtenemos: kx + yk2 = hx + y, x + yi = kxk2 + hx, yi + hy, xi + kyk2 . Aplicando la hipótesis se deduce que 2Rehx, yi = 0 =⇒ hx, yi = 0 =⇒ x⊥y. Si X es complejo, basta elegir x, y ∈ X tales que hx, yi = ib, con b 6= 0. As´ı, kx + yk2 = kxk2 + kyk2 pero x no es ortogonal a y. 3. Probar que en un espacio pre-Hilbert, para cualquier escalar α, x⊥y ⇐⇒ kx + αyk = kx − αyk. Resp.: Las siguientes igualdades son válidas en general: kx + αyk2 = hx, xi + αhy, xi + αhx, yi + α αhy, yi, kx − αyk2 = hx, xi − αhy, xi − αhx, yi + α αhy, yi. 126

As´ı pues, si x⊥y, entonces kx + αyk2 = kxk2 + α αkyk2 = kx − αyk2 . Rec´ıprocamente, si kx+αyk = kx−αyk, entonces 2αhy, xi = −2 αhx, yi. Si hacemos α = 1, resulta: hy, xi + hy, xi = 0 =⇒ Rehy, xi = 0. Haciendo ahora α = i: ihy, xi − i hy, xi = 0 =⇒ Imhy, xi = 0. En definitiva, tenemos que hy, xi = 0 =⇒ x⊥y. 4. Sea X un espacio pre-Hilbert. Probar que kλx + (1 − λ)yk = kxk, ∀λ ∈ [0, 1] =⇒ x = y.

¿Es cierto lo anterior si X es un espacio normado? Resp.: Por hipótesis, si λ = 0, kyk = kxk y, si λ = 1/2, (1/2)kx+yk = kxk. Por la identidad del paralelogramo, kx+yk2 +kx−yk2 = 2kxk2 +2kyk2 , lo que implica, teniendo en cuenta lo anterior, que 4kxk2 + kx − yk2 = 4kxk2 . Entonces kx − yk = 0, es decir x = y. Si X es simplemente normado, puede no verificarse la identidad del paralelogramo. Por ejemplo, en `∞ , los vectores x = (1, 0, . . . ), y = (1, 1, 0, . . . ), verifican kxk∞ = kyk∞ = 1, kλx + (1 − λ)yk∞ = 1, pero x 6= y. 5. Se dice que un espacio de Banach es uniformemente convexo si, dadas dos sucesiones arbitrarias (xn )n∈N , (yn )n∈N , tales que kxn k = kyn k = 1 y k(1/2)(xn + yn )k → 1, entonces xn − yn → 0.

a) Probar que todo espacio de Hilbert es uniformemente convexo. b) Sabiendo que, ∀f, g ∈ Lp [a, b], kf + gkq + kf − gkq ≤ 2(kf kp + kgkp )q−1 , si 1 < p ≤ 2, kf + gkp + kf − gkp ≤ 2p−1 (kf kp + kgkp ), si 2 ≤ p < ∞, 127

donde (1/p) + (1/q) = 1, probar que Lp [a, b] (1 < p < ∞) es uniformemente convexo. c) Dar un ejemplo de un espacio de Banach de dimensi´ on 2 que no sea uniformemente convexo. Resp.: a) Sea H un espacio de Hilbert; consideramos dos sucesiones (xn )n∈N , (yn )n∈N , tales que kxn k = kyn k = 1 y k(1/2)(xn + yn )k → 1. De la identidad del paralelogramo kxn + yn k2 + kxn − yn k2 = 2kxn k2 + 2kyn k2 , resulta que kxn − yn k2 = 4 − kxn + yn k2 . Tomando l´ımites, se concluye que kxn − yn k2 → 0, o bien xn − yn → 0. b) Sean (fn )n∈N , (gn )n∈N sucesiones en Lp [a, b] tales que kfn k = kgn k = 1 y k(1/2)(fn + gn )k → 1. Si 1 < p ≤ 2, kfn + gn kq + kfn − gn kq ≤ 2 · 2q−1 = 2q , de donde, tomando l´ımites, kfn − gn kq → 0, o bien fn − gn → 0. Si 2 ≤ p < ∞, de la desigualdad análoga se deduce también que fn − gn → 0. c) Consideramos el espacio (R2 , k·k1 ) y las sucesiones (xn )n∈N , (yn )n∈N , dadas por xn = (0, 1), yn = (1, 0), ∀n. Es evidente que kxn k = kyn k = 1 y kxn + yn k = kxn − yn k = 2, lo que prueba que el espacio no es uniformemente convexo. 6. Probar que el espacio X = C[0, 1] con el producto escalar hx, yi = R1 x(t) y(t)dt es pre-Hilbert pero no es completo. 0 Resp.: Los axiomas de producto escalar son de fácil comprobación. Para ver que no es completo, consideramos( la sucesión (xn )n∈N dada n si t ≤ 1/n3 por xn (t) = ´ınf{n, t−1/3 }, es decir xn (t) = −1/3 t si t ≥ 1/n3 . La sucesión es de Cauchy pues 2

Z

kxn − xn+p k =

1 2

Z

|xn (t) − xn+p (t)| dt ≤ 0

0

que tiende a cero cuando n → ∞. 128

1/n3

t−1/3 dt

Sin embargo, no es convergente pues ∀x ∈ X, Z

2

1

|x(t)−t

kx−xn k ≥

−1/3 2

2

Z

| dt =⇒ l´ım inf kx−xn k ≥

1/n3

1

|x(t)−t−1/3 |2 dt.

0

Como t−1/3 no está acotada en [0, 1], existe un intervalo compacto en el cual |x(t) − t−1/3 | > 0, luego la integral es positiva y la sucesión (xn )n∈N no tiene l´ımite. 7. Probar que en todo espacio de Hilbert complejo se verifica:

a) hx, yi =

1 N

PN

b) hx, yi =

1 2π

R 2π

k=1 kx

0

+ e2πik/N yk2 e2πik/N , para N ≥ 3.

kx + eiθ yk2 eiθ dθ.

Resp.: a) Por la linealidad del producto escalar: kx + eiθ yk2 eiθ = kxk2 eiθ + hx, yi + hy, xie2iθ + kyk2 eiθ .

(∗)

Por otra parte, si N ≥ 3: N X

e2πk/N =

k=1

y, análogamente,

e2πi(N +1)/N − e2πi/N e2πi/N (e2πi − 1) = = 0, e2πi/N − 1 e2πi/N − 1

N X

e4πk/N = 0.

k=1

Aplicando estas igualdades, es evidente el resultado propuesto. R 2π R 2π b) Teniendo en cuenta nuevamente (∗) y que 0 eiθ dθ = 0 e2iθ dθ = 0, se obtiene el resultado. 8. Sea H un espacio de Hilbert y M un subconjunto de H cerrado, convexo y no vac´ıo. Probar que M tiene un u ńico elemento de norma m´ınima (es decir de distancia m´ınima al origen). Resp.: Sea δ = ´ınf x∈M kxk y consideramos la sucesión (xn )n∈N ⊂ M tal que kxn k → δ. 129

Por la identidad del paralelogramo,

x + x 2 x − x 2 kx k2 kx k2

n

n m m m n + .

+

= 2 2 2 2 Como M es convexo, k(xn + xm )/2k ≥ δ, luego

x − x 2 kx k2 kx k2

n n m m + − δ 2 → 0.

≤ 2 2 2 Esto implica que (xn )n∈N es de Cauchy. Por ser M cerrado, ∃x0 ∈ M : xn → x0 . Además kx0 k = δ. Si existiera y ∈ M también de norma m´ınima, la sucesión (x0 , y, x0 , y, . . . ) ser´ıa de Cauchy y por tanto x0 = y. 9. a) Probar que el espacio C[−1, 1] es suma directa ortogonal de los conjuntos de las funciones pares e impares en [−1, 1].

b) Dar ejemplos de descomposici´ on de R3 como suma directa de un subespacio y su complemento ortogonal o un par de subespacios complementarios. Resp.: a) Basta escribir f (x) = (f (x) + f (−x))/2+(f (x) − f (−x))/2, donde el primer sumando es una función par y el segundo impar. Además, si f (x) = f1 (x) + f2 (x) = g1 (x) + g2 (x) con f1 , g1 pares y f2 , g2 impares, entonces f1 (x) − g1 (x) = g2 (x) − f2 (x), con f1 − g1 par y g2 − f2 impar. Esto implica que f1 − g1 = 0 = g2 − f2 . Adem´ R 1 as, la suma es ortogonal pues si f es par y g impar, f · g es impar y −1 f · g = hf, gi = 0. b) Un ejemplo trivial es R3 = h{(1, 0, 0)}i ⊕ h{(0, 1, 0), (0, 0, 1)}i. 10. Probar que la descomposici´ on X = M ⊕ M ⊥ no es cierta si M es subespacio cerrado de X pero X es pre-Hilbert. Resp.: Sea X el espacio de las sucesiones con soporte finito, el cual es pre-Hilbert considerado como subespacio de `2 . Si x0 = (1/n)n∈N ∈ `2 , llamamos M = {y ∈ X : y⊥x0 en `2 }. 130

Veamos que X no es completo: para ello consideramos la sucesión (xn )n∈N dada por xn = (1/2, 1/22 , . . . , 1/2n , 0, . . . ), n ≥ 1. Entonces, para m < n: n

kx −

xm k22

=

n X

k 2

(1/2 ) =

k=m+1

n X

1/4k ≤

k=m+1

1 1/4m+1 = 3/4 3 · 4m

que tiende a cero si m → ∞. Esto prueba que {xn }n∈N es de Cauchy en X pero l´ım xn = x = (1/2, 1/22 , . . . 1/2n , . . . ) 6∈ X. Calcularemos a continuación M ⊥ . Para ello, sea x = (xn )n∈N ⊥M. Como los elementos v n = (0, . . . , 0, n, −(n + 1), 0, . . . ) están en M, en particular x⊥v n , ∀n. Tenemos as´ı: 0 = hx, v 1 i = x1 − 2x2 =⇒ x2 = x1 /2, 0 = hx, v 2 i = 2x2 − 3x3 = 0 =⇒ x3 = 2x2 /3 = x1 /3, .. . 0 = hx, v n i = nxn − (n + 1)xn+1 = 0 =⇒ xn+1 = nxn /(n + 1) = x1 /(n + 1). De lo anterior se deduce que x 6∈ X pues x no tiene soporte finito; entonces M ⊥ = {0}. 11. Probar que Y = {x = (ξn )n∈N ∈ `2 : ξ2n = 0, n ∈ N} es subespacio cerrado de `2 y encontrar Y ⊥ . ¿Qui´ en es Y ⊥ si Y = 2 h{e1 , . . . , en }i ⊂ ` , con ek = (δkj )j∈N ? Resp.: a) Es fácil ver que Y es subespacio. Para probar que es cerrado, sea x ∈ Y . Por definición, ∃{xn }n∈N ⊂ Y : xn → x. Si x 6∈ Y, ∃k ∈ N : ξ2k 6= 0. Entonces kxn − xk ≥ |ξ2k |. Esto prueba que existe ε > 0 tal que ∀N > 0, kxn − xk ≥ ε, ∀n > N , con lo que xn 6→ x, en contradicción con la suposición inicial. Para determinar Y ⊥ , sea y ∈ Y ⊥ =⇒ hx, yi = 0, ∀x ∈ Y =⇒ P n∈N ξn ηn = 0. En particular, eligiendo los elementos e2k+1 ∈ Y , he2k+1 , yi = η2k+1 = 0. Esto implica que Y ⊥ = {y = (ηn )n∈N ∈ `2 : η2n+1 = 0, n ∈ N}. 131

b) Si Y = h{e1 , . . . , en }i, todo elemento y = (ηn )n∈N ∈ Y ⊥ , verifica ηk = hy, ek i = 0, ∀k = 1, . . . , n. Esto implica que Y ⊥ = h{en+1 , . . . }i = {y = (ηn )n∈N ∈ `2 : ηk = 0, k = 1, . . . , n}. 12. Sea X un espacio de Hilbert y f ∈ X 0 , f 6= 0. Si llamamos M al n´ ucleo de f , probar que dim M ⊥ = 1. Resp.: Como M es subespacio cerrado de X, X = M ⊕ M ⊥ y M ⊥ 6= {0}. Sea m0 ∈ M ⊥ tal que f (m0 ) = 1. Dado cualquier x ∈ M ⊥ , si llamamos a = f (x), tenemos f (x) = a = a · f (m0 ) = f (am0 ) =⇒ f (x − am0 ) = 0 =⇒ x − am0 ∈ M. Como x = 0 + x = (x − am0 ) + am0 y la descomposición es u ńica, se deduce que x = am0 . Esto proporciona la siguiente interpretación geométrica de cualquier f ∈ X0 : Existe un subespacio M de codimensión 1 en X (es decir, un hiperplano) sobre cuyos elementos f toma el valor cero. Existe además un vector x ortogonal a dicho hiperplano (es decir que genera el subespacio unidimensional M ⊥ ); el valor de f sobre un elemento y se obtiene mediante la proyección ortogonal de y sobre M ⊥ ; as´ı, si la proyección es kx, f (y) = kkxk2 .

M⊥

{y ∈ X : f (y) = kkxk2 } M

132

13. En el espacio φ de las sucesiones con soporte finito se considera el conjunto X λk /k = 0}. S = {(λn ) ∈ φ : k∈N

Probar que

S⊥

= {0}.

Resp.: Consideremos el conjunto S1 = {x2 , x3 , . . . }, donde, para cada n ≥ 2, xn = (1, 0, . . . , 0, −n, 0 . . . ) (donde −n ocupa el lugar n-ésimo). P Entonces S1 ⊂ S pues si x ∈ S1 , k∈N λk /k = 1 + −n/n = 0 =⇒ x ∈ S. Como S ⊥ ⊂ S1⊥ , basta probar que S1⊥ = {0}. Sea pues y ∈ S1⊥ ; entonces hy, xn i = 0, de donde y1 − nyn = 0, ∀n. Como el soporte de y es finito, yk = 0, ∀k > N ; en particular 0 = hy, xN +1 i = y1 =⇒ y1 = 0 lo que implica a su vez que yn = 0, ∀n. 14. Encontrar los complementos ortogonales en L2 (0, 1) de los siguientes conjuntos:

a) Los polinomios en x. b) Los polinomios en x2 . c) Los polinomios con t´ ermino independiente cero. d) Los polinomios cuya suma de coeficientes es cero. Resp.: El complemento ortogonal es {0} en todos los casos. * Es sabido que el espacio de los polinomios es denso en L2 . Basta probar pues que todos los polinomios están en la clausura de los conjuntos dados. * Para el apartado b), basta observar que ∞ X p n 1/2 2 x = 1 − (1 − x ) = (−1) (1 − x2 )n n n=0

√ si 0 < x < 2, y x está en la clausura del espacio generado por los polinomios en x2 . 133

* Para el apartado c), basta observar que ∞ X 1 −1 1=x· =x· (x − 1)n 1 + (x − 1) n n=0

si 0 < x < 2, de modo que 1 es l´ımite de una sucesión de polinomios en x. * Para el apartado d), observar que k

x =

∞ X

(xk+n − xk+n+1 ), ∀k.

n=0

R1 15. En el espacio C[−1, 1] con el producto hf, gi = −1 f (x) g(x)dx, se pide encontrar los complementos ortogonales de los siguientes conjuntos:

a) Las funciones que se anulan para x ≤ 0. b) Las funciones que se anulan en x = 0. Resp.: a) Claramente, M ⊥ = {f ∈ C[−1, 1] : f (x) = 0, ∀x ≥ 0}. b) Veamos que M ⊥ = {0}. En efecto, por definición, f ∈ M ⊥ ⇐⇒ hf, gi = 0, ∀g ∈ M . Si fuera f no nula, ∃x0 ∈ [−1, 1] : f (x0 ) 6= 0. Entonces ∃δ > 0 : f (x) 6= 0, ∀x ∈ (x0 − δ, x0 + δ). En caso de que f (0) = 0, haciendo g(x) = f (x), ∀x ∈ [−1, 1], tendr´ıamos Z 1 0 = hf, gi = |f (x)|2 dx =⇒ f = 0. −1

As´ı pues, debe ser f (0) 6= 0; entonces ∃δ > 0 : f (x) 6= 0, ∀x ∈ (−δ, δ). ( f (x) si |x| > δ Haciendo g(x) = |x|f (x) resulta si |x| < δ, δ Z 0 = hf, gi ≥ |f (x)|2 dx ≥ 0. |x|>δ

Esto implica que f (x) = 0 si |x| > δ, ∀δ, de modo que f = 0.

134

16. Si X es un espacio pre-Hilbert y S ⊂ X , probar:

a) S ⊥ es subespacio cerrado de X . b) S ⊂ S ⊥⊥ . c) S1 ⊂ S2 =⇒ S1⊥ ⊃ S2⊥ . d) Si X es de Hilbert, M , N subespacios cerrados de X y M ⊥N, entonces M + N es subespacio cerrado. e) Si X es de Hilbert, entonces hSi es denso en X si y s´ olo si S ⊥ = {0}. Resp.: a) Es evidente que S ⊥ es subespacio. Para ver que es cerrado, sea y ∈ S ⊥ ; entonces ∃(xn )n∈N ⊂ S ⊥ : xn → y. Sea z ∈ S arbitrario: |hy, zi| = |hy − xn , zi + hxn , zi| = |hy − xn , zi| ≤ ky − xn k · kzk → 0. Esto implica que y ∈ S ⊥ . b) y ∈ S =⇒ hy, zi = 0, ∀z ∈ S ⊥ =⇒ y ∈ S ⊥⊥ . c) y ∈ S2⊥ =⇒ hy, zi = 0, ∀z ∈ S2 =⇒ hy, zi = 0, ∀z ∈ S1 =⇒ y ∈ S1⊥ . d) Sea x ∈ M + N ; entonces ∃(xn )n∈N ⊂ M + N : xn → x. Como xn = yn + zn , con yn ∈ M, zn ∈ N , por el teorema de Pitágoras, kxn − xm k2 = kyn − ym k2 + kzn − zm k2 y como kxn − xm k → 0, entonces kyn − ym k → 0 y kzn − zm k → 0. Por ser M y N cerrados, ∃y ∈ M, z ∈ N : yn → y, zn → z =⇒ xn → y + z = x =⇒ x ∈ M + N. e) Supongamos que hSi es denso en X y sea y ∈ S ⊥ . Entonces hy, xi = 0, ∀x ∈ S =⇒ hy, zi = 0, ∀z ∈ hSi =⇒ hy, ui = 0, ∀u ∈ hSi = X. Por tanto, y = 0. Rec´ıprocamente, de la descomposición X = S ⊥ ⊕ S ⊥⊥ , deducimos que todo x ∈ X se escribe como x = y + z, con y ∈ S ⊥ , z ∈ S ⊥⊥ , de donde x = z. Como S ⊥⊥ ⊃ S, entonces S ⊥⊥ ⊃ hSi. Ahora bien, como S ⊂ hSi, ⊥

entonces S ⊥ ⊃ hSi y S ⊥⊥ ⊂ hSi. Esto prueba que hSi = S ⊥⊥ y, en consecuencia, x ∈ hSi. 135

17. Sea H un espacio de Hilbert complejo.

a) Probar que toda proyecci´ on ortogonal E es idempotente (es 2 decir, E = E ) y autoadjunta (es decir, hEx1 , x2 i = hx1 , Ex2 i). b) Probar el rec´ıproco de lo anterior, es decir que todo operador autoadjunto e idempotente en H es una proyecci´ on ortogonal. Resp.: a) Dado cualquier x ∈ X, ∃y ∈ M, z ∈ M ⊥ : x = y + z, de donde Ex = y, E 2 x = Ey = y = Ex lo que implica que E 2 = E. Además, si hacemos x1 = y1 +z1 , x2 = y2 +z2 , con y1 , y2 ∈ M, z1 , z2 ∈ M⊥ : hEx1 , x2 i = hy1 , x2 i = hy1 , y2 i+hy1 , z2 i = hy1 , y2 i = hx1 , y2 i = hx1 , Ex2 i. b) Sea E : X → X autoadjunto e idempotente. Veamos en primer lugar que E es acotado: xn → x =⇒ kE(xn − x)k2 = hE(xn − x), E(xn − x)i =

hxn − x, E 2 (xn − x)i = hxn − x, E(xn − x)i → 0 =⇒ Exn → Ex.

Si definimos M = {x ∈ X : Ex = x}, veamos que M es cerrado: Si x ∈ M , ∃(xn )n∈N ∈ M : xn → x, de donde Exn → Ex. Ahora bien, como Exn = xn , xn → Ex y, por la unicidad del l´ımite, Ex = x =⇒ x ∈ M. Sean ahora x ∈ X, y ∈ M ; entonces hx − Ex, yi = hx, yi − hEx, yi = hx, Eyi − hx, Eyi = 0, lo que implica que x − Ex⊥M . Por u ´ltimo, si z = x−Ex, x = Ex+z, con Ex ∈ M, z ∈ M ⊥ . Además Ez = Ex − E 2 x = Ex − Ex = 0. 18. Sea H un espacio de Hilbert. Probar que si P ∈ L(H) es una proyecci´ on ortogonal, entonces H = R(P )⊕R(I −P ), suma directa ortogonal. Resp.: Si P es proyección ortogonal, por definición existe un subespacio cerrado M de H tal que, si x ∈ H se descompone en x = y + z con y ∈ M, z ∈ M ⊥ , entonces P x = y. 136

Es evidente entonces que R(P ) = M y R(I − P ) = M ⊥ ; por tanto H = R(P ) ⊕ R(I − P ) y además R(P )⊥R(I − P ). 19. Probar que las siguientes proposiciones son equivalentes en un espacio de Hilbert H :

i) P ∈ L(H) es una proyecci´ on ortogonal. ii) P ∈ L(H) es tal que P 2 = P y R(P )⊥R(I − P ). iii) P ∈ L(H) es tal que P 2 = P y R(P )⊥ = {x ∈ H : P (x) = 0}. Resp.: i) =⇒ ii). Es evidente (ver el ejercicio anterior). ii) =⇒ iii). Como ∀x ∈ H, x = P x + (I − P )x, entonces H = R(P ) + R(I − P ). Además, por hipótesis, R(P )⊥R(I − P ) lo que prueba que H = R(P ) ⊕ R(I − P ), es decir, R(P )⊥ = R(I − P ). Basta pues probar que R(I − P ) = N (P ). En efecto, y ∈ R(I − P ) =⇒ ∃x ∈ H : y = x − P x =⇒ P y = P x − P 2 x = P x − P x = 0 =⇒ y ∈ N (P ), x ∈ N (P ) =⇒ P x = 0 =⇒ x − P x = x =⇒ x ∈ R(I − P ). iii) =⇒ i). Sea M = R(P ). As´ı, M es subespacio de H. Además, M es cerrado, pues M = N (I − P ) (lo que se prueba análogamente al apartado anterior). Por hipótesis, M ⊥ = N (P ). Entonces, dados y ∈ M, z ∈ M ⊥ : P (y + z) = P y + P z = P y = y =⇒ P es la proyección sobre M. 20. En `2 se considera la sucesi´ on {en }n≥1 definida por en = (δnk )k≥1 y el conjunto M = {e2n−1 + e2n : n ≥ 1}.

a) Identificar los subespacios cerrados M ⊥ y M ⊥⊥ en `2 . b) Sean P y Q las proyecciones ortogonales tales que R(P ) = M ⊥ y R(Q) = M ⊥⊥ . Si a = (ak )k∈N ∈ `2 , probar que P (a) = (bk )k∈N , donde b2k−1 = −b2k = (a2k−1 − a2k )/2, k ≥ 1; y que Q(a) = (ck )k∈N , donde c2k−1 = c2k = (a2k−1 + a2k )/2, k ≥ 1. 137

Resp.: a) Por definición, y ∈ M ⊥ ⇐⇒ hy, e2n−1 + e2n i = 0 ⇐⇒ y2n−1 + y2n = 0. Por tanto, M ⊥ = {y ∈ `2 : y2n−1 +y2n = 0, n ≥ 1} = h{e2n−1 − e2n : n ≥ 1}i. Por otra parte, y ∈ M ⊥⊥ ⇐⇒ hy, e2n−1 − e2n i = 0 ⇐⇒ y2n−1 − y2n = 0. As´ı pues, M ⊥⊥ = {y ∈ `2 : y2n−1 − y2n = 0} = hM i. b) Si a ∈ `2 , a = (. . . , a2k−1 , a2k , . . . ) =

X

λk (e2k−1 − e2k ) +

k

X

µk (e2k−1 + e2k ).

k

Entonces λk + µk = a2k−1 −λk + µk = a2k Como P a = que

P

=⇒ λk =

a2k−1 + a2k a2k−1 − a2k , µk = . 2 2

λk (e2k−1 − e2k ), Qa =

k∈N

P

µk (e2k−1 + e2k ), deducimos

k∈N

P a = (λ1 , −λ1 , λ2 , −λ2 , . . . ), con λk = (a2k−1 − a2k )/2, Qa = (µ1 , µ1 , µ2 , µ2 , . . . ), con µk = (a2k−1 − a2k )/2. 21. Sean H un espacio de Hilbert, M un subespacio cerrado de H y T ∈ L(H). Se dice que M es invariante bajo T si T x ∈ M, ∀x ∈ M , y que M reduce a T si M y M ⊥ son invariantes bajo T . Sea P ∈ L(H) la proyecci´ on ortogonal tal que R(P ) = M .

a) Probar que M es invariante bajo T si y s´ olo si P T P = T P . b) Probar la equivalencia de las siguientes proposiciones: i) M reduce a T . ii) P T = T P . iii) M es invariante bajo T y T ∗ . 138

Resp.: a) =⇒: ∀x ∈ H, x = y + z, con y ∈ M , z ∈ M ⊥ . Entonces (P T P )x = P (T y) = T y pues T y ∈ M . Como y = P x, (P T P )x = T P x. ⇐=: Si x ∈ M , T x = T P x = P (T P )x que, por definición, está en M . b) i) =⇒ ii): ∀x ∈ H, escribimos x = y + z, con y ∈ M, z ∈ M ⊥ . Por hipótesis, T y ∈ M, T z ∈ M ⊥ . Entonces P T x = P T y + P T z = T y = T P x. ii) =⇒ iii): Como P es la proyección sobre M , ∀x ∈ M, P x = x =⇒ T P x = T x =⇒ P (T x) = T x =⇒ T x ∈ M. Por otra parte, para cualquier y ∈ M ⊥ , hT ∗ x, yi = hx, T yi = hP x, T yi = hx, P T yi = hx, T P yi = hx, T 0i = hx, 0i = 0 =⇒ T ∗ x⊥M ⊥ =⇒ T ∗ x ∈ M. iii) =⇒ i): Sólo falta ver que ∀x ∈ M ⊥ , T x ∈ M ⊥ . Pero si x ∈ M ⊥ , entonces hT x, yi = hx, T ∗ yi = 0, ∀y ∈ M, pues M es invariante bajo T ∗ . Esto muestra que T x ∈ M ⊥ . 22. En C 1 [a, b] definimos hf, gi =

Rb a

f (x) g(x) + f 0 (x) g 0 (x) dx.

a) Probar que h·, ·i es un producto escalar en C 1 [a, b]. b) Probar que ∀f ∈ C 1 [−π, π], R √ hR π i1/2 π 0 (x) sen x dx ≤ 2 +|f 0 (x)|2 dx f (x) cos x−f 2π |f (x)| . −π −π c) Probar que la familia (gn )n∈Z , donde gn (x) = √

einx , 2π(1+n2 )

es un

sistema ortonormal en C 1 [−π, π]. d) Si W = {f ∈ C 1 [−π, π] : f (−π) = f (π)}, probar que la funci´ on f (x) = sh x es ortogonal a W . Deducir que la familia {gn }n∈Z en c) no es base ortonormal de C 1 [−π, π]. Resp.: a) Como hf, f i = 0.

Rb a

|f (x)|2 dx+

Rb a

|f 0 (x)|2 dx, entonces hf, f i ≥

Ahora bien, si hf, f i = 0, como f es continua, f (x) = 0, ∀x ∈ [a, b]. 139

El resto de axiomas se deduce de la linealidad de la integral. b) Basta aplicar la desigualdad de Cauchy-Schwarz a las funciones f ∈ C 1 [−π, π] y g(x) = cos x y tener en cuenta que kgk2 = 2π. c) Por la definición, # Z π" einx e−imx ineinx −ime−imx p hgn , gm i = ·p +p ·p dx 2π(1+n2 ) 2π(1+m2 ) 2π(1+n2 ) 2π(1+m2 ) −π ( Z π 0 si n 6= m 1 + nm p ei(n−m)x dx = = 2 2 1 si n = m. 2π (1 + n )(1 + m ) −π d) Sea g ∈ W arbitrario. Integrando por partes, Z π Z π π 0 0 0 f (x) g (x)dx = f (x) g(x) −π − f 00 (x) g(x)dx. −π

−π

Como g(π) = g(−π) = 0 y f 00 (x) = f (x), resulta: Z π Z π hf, gi = f (x) g(x)dx + f 0 (x) g 0 (x)dx Z−π Z−π π π f 00 (x) g(x)dx = 0. = f (x) g(x)dx − −π

−π

De aqu´ı se deduce que W ⊥ 6= {0} y, como las funciones gn de la familia ortogonal están en W , no forman una base ortonormal. (m) [−1, 1]. Probar que los coeficientes de Legendre de f 23. Sea f ∈ Cr Z 1 2k + 1 1 son ak = · k f (k) (t)(1 − t2 )k dt, k ≤ m. 2 2 · k! −1

q 1 dk 2 k Resp.: Teniendo en cuenta que pk (x) = 2k+1 2 · 2k ·k! · dxk (x − 1) , obtenemos integrando por partes: r Z 1 2k + 1 1 dk ak = f (x) · k (x2 − 1)k dx · k 2 2 · k! −1 dx r Z 1 2k + 1 1 = · k · (−1)k f (k) (x) · (x2 − 1)k dx 2 2 · k! −1 r Z 1 1 2k + 1 · k f (k) (x) · (1 − x2 )k dx. = 2 2 · k! −1

140

Z 24. Encontrar m´ın

1

a,b,c∈C −1

|x3 − a − bx − cx2 |2 dx.

R1 Resp.: Si D2 = m´ına,b,c∈C −1 |x3 − a − bx − cx2 |2 dx, D es la distancia en L2 [−1, 1] de x3 al plano generado x2 }, es decir, la distancia p {1, x, p √ por 3 de x al plano generado por {1/ 2, 3/2 · x, 5/2 · (1/2) · (3x2 − 1)}. Si αp0 + βp1 + γp2 es la proyección de x3 sobre dicho plano, entonces: Z 1 Z 1 1 3 (x − αp0 − βp1 − γp2 )p0 dx = √ (x3 − α)dx =⇒ α = 0, 0 = 2 −1 −1 r Z 1 r Z 1 3 3 2 3 4 (x − αp0 − βp1 − γp2 )p1 dx = 0 = (x − β)dx =⇒ β = · , 2 −1 2 5 −1 r Z 1 Z 5 1 1 3 (x − αp0 − βp1 − γp2 )p2 dx = ((3x2 − 1)x3 − γ)dx =⇒ γ = 0. 0 = · 2 2 −1 −1 R 2 1 Deducimos entonces que D2 = −1 x3 − (3/5)x dx = (2/7) − (6/25), p de donde D = 8/175. 25. Encontrar las series de Fourier de las siguientes funciones definidas en L2 [−π, π] y utilizar la identidad de Parseval para deducir cada una de las f´ ormulas enunciadas:

a) f (x) = x, b) f (x) = x2 ,

P

n≥1 1/n

P

2

n≥1 1/n

= π 2 /6.

4

= π 4 /90. ikx

e Resp.: Utilizaremos el conjunto { √ : k ∈ Z} como base ortonormal 2π de L2 (−π, π). √ P eikx ikx / 2πi, obtene√ a) Como f (x) = ∞ k=−∞ ak · 2π , donde ak = hf, e mos a0 = 0 y, para k 6= 0: Z π Z π −ikx e−ikx x e−ikx π e √ dx ak = x · √ dx = · √ + −ik 2π 2π −π −π −π ik 2π −π (−1)k π(−1)k −π 2 √ = = · √ − · √ (−1)k . ik ik 2π ik 2 2π

Entonces x=

X k∈Z,k6=0

141

(−1)k+1

eikx . ik

Teniendo en cuenta que kf k2 = ∞ X

|ak |2 =

−∞

Rπ −π

X π2 k6=0

k2

x2 dx = 23 π 3 y ·

X 2π 4 = , 2π k2 k6=0

aplicando la identidad de Parseval kxk2 =

P∞

2 k=−∞ |ak | ,

resulta que

∞ X X 1 π2 π2 1 = =⇒ = . k2 3 k2 6 k6=0

k=1

b) Análogamente al caso anterior, tenemos: e−ikx 1 4π x2 · √ dx = √ · 2 (−1)k , k 6= 0; 2π 2π k −π 1 2 3 √ · π . 2π 3

Z ak = a0 =

π

Nuevamente, de la identidad de Parseval, Rπ 5 kf (x)k2 = −π x4 dx = 2π5 P∞ P 2 5 1 2 k=−∞ |ak | = 9 π + k6=0 2π ·

) 16π 2 k4

∞ X 1 π4 =⇒ = . k4 90 k=1

26. Sea X un espacio pre-Hilbert y A = (xα )α∈I un conjunto ortonormal completo. Encontrar el elemento de mejor aproximaci´ on a x ∈ X en el subespacio M = hAi. Resp.: Como X = M ⊕ M ⊥ , todo x ∈ X se descompone de forma u ńica como x = y + z, con y ∈ M, z ∈ M ⊥ . Pero, por hipótesis, y=

X α∈I

hy, xα ixα =

X

hx − z, xα ixα =

α∈I

X

hx, xα ixα .

α∈I

P P Por tanto, kx − α∈I hx, xα ixα k ≤ kx − α∈I λα xα k, ∀λα ∈ E, lo que prueba que la proyección de x sobre M produce la mejor aproximación en M .

142

27. Sea H un espacio de Hilbert y {e1 , . . . , en } un conjunto linealmente independiente. Dado x ∈ H , calcular la distancia de x al subespacio generado por {e1 , . . . , en }. Deducir de lo anterior la desigualdad de Bessel. Resp.: Llamamos M al subespacio generado por {e1 , . . . , en }. Si escribimos x = x1 + x2 , con x1 ∈ M, x2 ∈ M ⊥ , sabemos que kx − x1 k = d(x, M ). El problema se reduce pues a calcular x1 , la proyección ortogonal de x en M. Llamamos {v1 , . . . , vn } a la base ortonormal P obtenida de {e1 , . . . , en } n por el proceso de Gram- Schmidt. Como x = 1 i=1 αi vi y x−x1 ⊥vk , ∀k, Pn entonces αi = hx, vi i, de donde x1 = i=1 hx, vi ivi . Además 2

d(x, M )

= kx −

n X

hx, vi ivi k2

i=1 2

= kxk −

n X

hx, vi ihvi , xi −

i=1

= kxk2 −

n X

n X i=1

hx, vi ihx, vi i +

n X

|hx, vi i|2

i=1

|hx, vi i|2 .

i=1

De aqu´ı se deduce inmediatamente la desigualdad de Bessel. 28. Sea H un espacio de Hilbert y M ⊂ H un subespacio vectorial. Si M 6= H , probar que existe y ∈ H , y 6= 0, tal que y⊥ M . Concluir que M es denso si y s´ olo si el u ńico elemento ortogonal a M es y = 0. Resp.: a) Es claro que ( M , h·, ·i) es de Hilbert. Por tanto, existe un conjunto ortonormal completo de M , que denotaremos por {xα }α∈I . P Dado z ∈ H\ M , z 6= 0, definimos y = z− α∈I hz, xα ixα . As´ı definido, hy, xα i = 0, lo que implica que y⊥{xα }α∈I y también y⊥ M . b) Es evidente que si M es denso en H, e y⊥M , entonces y⊥ M , de donde y = 0. Rec´ıprocamente, si M no fuera denso, por a) existir´ıa y ∈ H, y 6= 0 tal que y⊥ M y en particular y⊥M lo que contradice la hipótesis. 143

29. Sea {en }n∈N una sucesi´ on ortonormal en un espacio pre-Hilbert X e Yk el espacio generado por {e1 , . . . , ek }.

a) Si x ∈ X , y =

Pk

n=1 hx, en ien ,

probar que x − y⊥Yk .

P b) Si x ∈ X , y = kn=1 βn en , probar que kx − yk es m´ınimo en Yk si βn = hx, en i, n = 1, . . . , k. Resp.: a) Sea z =

Pk

n=1 γn en

un elemento arbitrario de Yk . Entonces

hx − y, zi = hx, zi − hy, zi =

k X n=1

γn hx, en i −

k X

αn hen , zi = 0.

n=1

b) Teniendo en cuenta que x − y ∈ Yk⊥ , y − z ∈ Yk , resulta: kx − zk2 = kx − y + y − zk2 = kx − yk2 + ky − zk2 ≥ kx − yk2 , ∀z ∈ Yk . 30. Sea {en }n∈N una sucesi´ on ortonormal en X y x ∈ X . Probar que el n´ umero mk de coeficientes de Fourier hx, en i de x tales que |hx, en i| > 1/k verifica mk < k 2 kxk2 (esto quiere decir que x no tiene demasiados coeficientes de Fourier “grandes”). Resp.: Si llamamos Ek = {hx, en i : |hx, en i| > 1/k} y elegimos los elementos {e1 , . . . , emk } tales que {hx, e1 i, . . . , hx, emk i} ⊂ Ek , entonces por la desigualdad de Bessel, mk X

|hx, en i|2 ≤ kxk2 =⇒ mk ·

n=1

1 < kxk2 =⇒ mk < k 2 · kxk2 . k2

31. Sea µ la medida en R definida por µ(A) = card(A), ∀A ⊂ R. Probar que L2 (R, µ) es no separable e isomorfo al espacio de los polinomios trigonom´ etricos (combinaciones lineales de eiλx , λ ∈ R). 144

( 1 Resp.: Sea fλ (x) = 0 2 normal de L (R, µ).

si x = λ Entonces {fλ }λ∈R es base ortosi x = 6 λ.

Como no es numerable, el espacio no es separable. Por otra parte, la aplicación fλ 7→ eiλx es un isomorfismo entre ambos espacios. Además es isometr´ıa pues: Z Z fλ1 (x) fλ2 (x)dµ(x) = hfλ1 , fλ2 i = |fλ1 (x)|2 dµ(x) = 1. ∪ {x}

R

x∈R

32. Sea X un espacio de Hilbert. Probar que si X contiene una sucesi´ on ortonormal completa, entonces X es separable. Resp.: Si X no fuera separable, todo subconjunto denso en X ser´ıa no numerable. Sin embargo si {en }n∈N es una sucesión ortonormal completa, M = P h{en }n∈N i y todo x ∈ X ser´ıa de la forma x = n∈N hx, en ien , es decir x ∈ M. 33. Sea {en }n∈N una sucesi´ on ortonormal en un espacio de Hilbert H y M1 = h{en }n∈N i.

a) Probar que ∀x ∈ H, x ∈ M1 ⇐⇒ x = hx, en i.

P

n∈N αn en ,

con αn =

b) Si {e en }n∈N es otra sucesi´ on ortonormal en H Py definimos M2 = h{e en }n∈N i, probar que M1 = M2 ⇐⇒ en = em , een = m∈N αnm e P α e , con α = he , e e i. mn m nm n m m∈N P Resp.: a) “=⇒”Llamamos y = o que la n∈N hx, en ien (ya se prob´ serie es convergente). Entonces: X hx−y, ek i = hx, ek i− hx, en ihen , ek i = 0 =⇒ x−y⊥M1 =⇒ x−y⊥ M1 . n∈N ⊥

Mediante la descomposición H = M1 ⊕ M1 , sabemos que x = y + z, ⊥ con y ∈ M1 , z ∈ M1 . Como, por hipótesis, x ∈ M1 , deducimos que y = x. 145

P “⇐=C ¸ omo la serie n∈N hx, en ien es convergente, l´ımn Sk = x, donde Pk Sk = n=1 αn en . Esto implica que x ∈ M1 porque la sucesión{Sk }n∈N ⊂ M1 converge a x. b) “=⇒.Aplicando el apartado a), obtenemos: X en ∈ M1 =⇒ en ∈ M2 =⇒ en = αnm eem , con αnm = hen , eem i m∈N

een ∈ M2 =⇒ een ∈ M1 =⇒ een =

X

αmn em , con αmn = he en , em i = hem , een i.

m∈N

“⇐=”Nuevamente del apartado a), resulta: X X αn en , con αn = hx, en i = αnm hx, eem i x ∈ M1 ⇐⇒ x = n∈N

⇐⇒ x =

XX

m∈N

αnm hx, eem ien =

X

hx, eem ie em ⇐⇒ x ∈ M2 .

m∈N

n∈N m∈N

34. Sea {ek }k∈N una base ortonormal en un espacio de Hilbert H y (µk )k∈N una sucesi´ on acotada de n´ umeros complejos, con M = sup{|µk |, k ∈ N}.

a) Probar que existe un u ńico T ∈ L(H) tal que T ek = µk ek . b) Probar que kT k = M . c) Encontrar T ∗ y calcular su norma. d) Probar que T es normal, es decir T T ∗ = T ∗ T .. e) ¿Qu´ e propiedad debe cumplir la sucesi´ on (µk )k∈N para que T sea autoadjunto? f) Probar que, si |µk | > 1, para todo k , entonces existe T −1 ∈ L(H).

Resp.: a) Basta definir T x = ∞ P

∞ P k=1

hx, ek iek .

k=1

La unicidad es evidente. 146

µk hx, ek iek pues ∀x ∈ H, x =

T es claramente lineal y, por la identidad de Parseval, 2

kT xk = hT x, T xi =

∞ X

|µk |2 |hx, ek i|2 ≤ M 2 · kxk2

k=1

lo que implica que T es acotado y kT k ≤ M. b) En particular, kT ek k = kµk ek k = |µk | =⇒ kT k ≥ |µk |, ∀k =⇒ kT k ≥ M. De aqu´ı se deduce que kT k = M . c) Como hT ek , ek i = hµk ek , ek i = µk , entonces hek , T ∗ ek i = µk y deducimos que T ∗ ek = µk ek . As´ı definido, T ∗ es lineal y acotado con kT ∗ k = kT k. d) Veamos que T T ∗ = T ∗ T : T ∗ T ek = T ∗ (µk ek ) = µk µk ek = |µk |2 ek , T T ∗ ek = T ( µk ek ) = µk µk ek = |µk |2 ek . e) Evidentemente, T = T ∗ si (µk )k∈N ⊂ R. f) Si |µk | > 1, 1 = kek k < |µk | = kT ek k =⇒ ∃T −1 ∈ L(H). 35. Sea X un espacio normado e Y un espacio pre-Hilbert. Si un operador T : X → Y es lineal y acotado, probar que kT k = sup A, donde |hT x, yi| : kxk ≤ 1, kyk ≤ 1 . A= kxk · kyk Resp.: Por la desigualdad de Cauchy- Schwarz, kT xk · kyk kT k · kxk · kyk |hT x, yi| ≤ ≤ = kT k =⇒ sup A ≤ kT k. kxk · kyk kxk · kyk kxk · kyk Por otra parte, como x/kxk y T x/kT xk tienen norma 1, entonces hT (x/kxk), T x/kT xki ∈ A. Por tanto: 1 kT xk hT ( x ), T x i = |hT x, T xi| = ≤ sup A. kxk kT xk kxk · kT xk kxk De aqu´ı se deduce que supkxk≤1 kT xk/kxk ≤ sup A con lo que kT k ≤ sup A. 147

36. Averiguar si la implicaci´ on hT x, xi = 0, ∀x ∈ X =⇒ T = 0 es cierta en los siguientes casos:

a) H espacio de Hilbert real y T ∈ L(H). b) H espacio de Hilbert complejo y T ∈ L(H). c) H espacio de Hilbert y T = T ∗ . Resp.: a) La implicación anterior no es cierta como se muestra con el siguiente ejemplo: En el espacio H = R2 definimos T (1, 0) = (0, 1), T (0, 1) = (−1, 0); es evidente que T 6= 0 pero hT x, xi = 0, ∀x ∈ H, pues T (a, b) = (−b, a). b) Sean x, y ∈ H y α ∈ C arbitrarios. Entonces: 0 = hT (x + αy), x + αyi = hT x, xi + αhT y, xi + αhT x, yi + hT (αy), αyi = αhT y, xi + αhT x, yi. En particular, si α ∈ R, 0 = hT y, xi + hT x, yi y, si α = i, 0 = hT y, xi − hT x, yi. Al resolver el sistema obtenemos hT x, yi = 0, ∀x, y ∈ H de lo que se deduce que T = 0 y la implicación es cierta. c) En el cap´ıtulo VII se prueba (teorema de Hellinger-Toeplitz) que todo operador lineal autoadjunto es acotado; esto indica que, si H es complejo, la implicación es cierta, como se deduce de b). Ahora bien, si H es real, entonces, para cualesquiera x, y ∈ H, tenemos: 0 = hT (x+y), x+yi = hT y, xi+hT x, yi = hy, T xi+hT x, yi = 2hT x, yi y la implicación también es cierta. 37. Probar que el teorema de representaci´ on de Riesz permite definir un producto escalar en el dual de un espacio de Hilbert. Probar que la norma asociada a dicho producto escalar coincide con la norma usual de operadores. Resp.: Sean f1 , f2 ∈ X 0 . Por el teorema de representación de Riesz, existen x1 , x2 ∈ X tales que f1 (y) = hy, x1 i, f2 (y) = hy, x2 i, ∀y ∈ X. Definimos en X 0 el producto hf1 , f2 i = hx2 , x1 i. 148

• Como (f1 + f2 )(y) = f1 (y) + f2 (y) = hy, x1 i + hy, x2 i = hy, x1 + x2 i, entonces hf1 + f2 , f3 i = hx3 , x1 + x2 i = hx3 , x1 i + hx3 , x2 i = hf1 , f3 i + hf2 , f3 i. • Como (λf1 )(y) = λf1 (y) = λhy, x1 i = hy, λx1 i, entonces hλf1 , f2 i = hx2 , λx1 i = λhx2 , x1 i = λhf1 , f2 i. • hf1 , f1 i = hx1 , x1 i = kx1 k2 ≥ 0. La norma asociada es kf k2 = hf, f i = hx, xi, es decir kf k = kxk y coincide con la norma usual. 38. a) Si X es un espacio pre-Hilbert y z ∈ X , probar que fz (x) = hx, zi define un funcional lineal acotado f sobre X de norma kzk.

b) Si la aplicaci´ on X → X 0 dada por z 7→ fz es sobre, probar que X es de Hilbert. Resp.: a) Es evidente que fz es lineal. Como |fz (x)| = |hx, zi| ≤ kxk · kzk, entonces kfz k ≤ kzk. Por otra parte, de |fz (z)| = |hz, zi| = kzk2 , se deduce que kfz k ≥ kzk. b) Sea {xn }n∈N una sucesión de Cauchy en X. Debido a que fxn −xm (y) = hy, xn i − hy, xm i = fxn (y) − fxm (y) = (fxn − fxm )(y), la sucesión {fxn }n∈N es de Cauchy en X 0 porque kfxn − fxm k = kxn − xm k → 0. Esto implica que ∃f ∈ X 0 : fxn → f . Por tanto, ∃x ∈ X : f = fx . As´ı pues, kfxn − fx k = kxn − xk → 0. 39. Probar que todo espacio de Hilbert H es isomorfo a su segundo dual H 00 = (H 0 )0 . Resp.: Si probamos que H es isométrico a H 0 , como H 0 es también de Hilbert, entonces H 0 ' H 00 y por la transitividad, H ' H 00 . Por el teorema de representación de Riesz, ∀f ∈ H 0 , ∃z ∈ H : f (x) = hx, zi, ∀x ∈ H 149

y kf k = kzk. Definimos T : H 0 → H por T f = z y probemos que T es un isomorfismo isométrico. • T es lineal: Si f1 (x) = hx, z1 i y f2 (x) = hx, z2 i, entonces: hx, T f1 + T f2 i = hx, T f1 i + hx, T f2 i = hx, z1 i + hx, z2 i = hx, z1 + z2 i = hx, T (f1 + f2 )i =⇒ T f1 + T f2 = T (f1 + f2 ). Idem con αf . • T es biyectiva: T f1 = T f2 =⇒ z1 = z2 =⇒ hx, z1 i = hx, z2 i, ∀x =⇒ f1 = f2 . ∀z ∈ H, ∃fz ∈ H 0 definido por fz (x) = hx, zi. Además T fz = z. • T es isometr´ıa: kT f k = kzk = kf k, ∀f =⇒ kT k = 1. Otra forma de obtener el isomorfismo es utilizar directamente la aplicación T : H → H 00 definida por T (y)(f ) = f (y) = hy, zi, ∀y ∈ H, f ∈ H 0. 40. Sea X un espacio vectorial sobre el cuerpo E . Una forma sesquilineal herm´ıtica h sobre X × X es una aplicaci´ on h : X × X → E que verifica h(x + y, z) = h(x, z) + h(y, z), h(αx, y) = αh(x, y), h(x, y) = h(y, x).

a) ¿Qu´ e condici´ on hay que imponer a h para que sea un producto interior sobre X ? b) Si h es semidefinida positiva, es decir h(x, x) ≥ 0, ∀x ∈ X , probar que se verifica la desigualdad de Schwarz |h(x, y)|2 ≤ h(x, x)h(y, y). c) Si h es una forma sesquilineal semidefinida positiva, probar p que la aplicaci´ on p(x) = h(x, x) define una seminorma en X . Resp.: a) Para que h sea un producto interior, sólo es necesario imponer las condiciones h(x, x) ≥ 0 y h(x, x) = 0 =⇒ x = 0. b) Si h(x, y) = 0, es evidente. Si h(x, y) 6= 0, como h(αxβy, αx+βy) = α αh(x, x)+α βh(x, y)+ αβ h(x, y)+β βh(y, y) ≥ 0, 150

haciendo α ∈ R, β =

h(x,y) |h(x,y)| ,

resulta :

α2 h(x, x) + α|h(x, y)| + α|h(x, y)| + h(y, y) ≥ 0, ecuación de segundo grado en α que es siempre no negativa, de modo que su discriminante debe ser negativo, |h(x, y)|2 − h(x, x)h(y, y) ≤ 0. c) Evidente. 41. Sea K : L2 [0, 1] → L2 [0, 1] el operador integral definido por Z t (t − s)f (s)ds. (Kf )(t) = 0

a) Probar que kKk < 1 y que K n f (t) =

Rt 0

(t−s)2n−1 (2n−1)! f (s)ds,

n ≥ 1.

b) Utilizar lo anterior para resolver la ecuaci´ on integral Z t (t − s)f (s)ds, g ∈ L2 [0, 1]. f (t) = g(t) + 0

Resp.: a) Veamos que K es acotado: Z 1 Z 1 Z t 2 2 2 kKf k = |Kf (t)| dt = (t − s)f (s)ds dt 0 0 0 Z 1hZ t Z 1hZ t Z t i2 i 2 ≤ |t − s| · |f (s)|ds dt ≤ |t − s| ds · |f (s)|2 ds dt 0 0 0 0 0 Z 1h Z Z 1hZ t 3 i i (s − t)3 t t t = |f (s)|2 ds dt = · |f (s)|2 ds dt 3 0 0 0 0 0 3 1 1 1 · kf k2 =⇒ kKf k ≤ √ kf k =⇒ kKk ≤ √ < 1. ≤ 3 3 3 Veamos lo siguiente por inducción: Para n = 1 es evidente. Si es cierto para n, entonces K

n+1

n

Z

t

f (t) = K[K f ](t) = (t − s)K n f (s)ds 0 Z t i h Z s (s − u)2n−1 f (u)du ds = (t − s) (2n − 1)! 0 0 Z t Z t (s − u)2n−1 = du (t − s) f (u)ds (2n − 1)! 0 u Z t Z t Z t f (u) f (u)(t − u)2n+1 2n−1 = du (t − s) · (s − u) ds = du. (2n − 1)! u (2n + 1)! 0 0 151

b) Queremos resolver la ecuación f (t) = g(t) + Kf (t), que se puede escribir también como g(t) = (I − K)f (t). Entonces, al ser kKk < 1, f (t) = (I − K)−1 g(t) =

∞ X

K n g(t)

n=0

=

Z tX ∞ (t − s)2n−1 0 n=0

(2n − 1)!

Z

t

sh(t − s)g(s)ds.

g(s)ds = 0

TEMAS COMPLEMENTARIOS 1. Polinomios de Legendre, Hermite, Laguerre ([Kr], [Fo]). 2. Determinante de Gram ([GG]).

152

IV. LOS CUATRO ´ PILARES DEL ANALISIS FUNCIONAL

El sugestivo t´ıtulo que proponemos para este cap´ıtulo, y utilizado por varios autores, quiere indicar que toda la estructura del Análisis Funcional está basada en cuatro poderosos pilares: los teoremas de Hahn-Banach, de Banach-Steinhaus, de la aplicación abierta y del gráfico cerrado. Tanto en este cap´ıtulo como en los siguientes se ofrece una amplia gama de aplicaciones y consecuencias que han permitido un desarrollo significativo en la teor´ıa que nos ocupa.

SECCIONES 1. Teorema de Hahn-Banach. 2. Consecuencias del teorema de Hahn-Banach. Espacio doble dual. 3. Teorema de categor´ıa de Baire. 4. Principio de acotación uniforme y teorema de Banach-Steinhaus. 5. Convergencia de sucesiones en espacios normados. 6. Teorema de la aplicación abierta. 7. Teorema del gráfico cerrado. 8. Clausura de un operador. 9. Ejercicios.

153

1. TEOREMA DE HAHN-BANACH.

El teorema de Hahn-Banach es un teorema de extensión de funcionales lineales (entendemos por un teorema de extensión aquel en donde, definido un objeto matemático sobre un subconjunto Y ⊂ X, se quiere definir dicho objeto sobre todo el conjunto X de manera que se mantengan las propiedades básicas del objeto en el conjunto donde se extendió). En Análisis son frecuentes los casos en que un funcional lineal es dominado por un funcional sublineal convexo. Por ejemplo, la Rintegral de Riemann de 1 una función x = x(t) es un funcional lineal f (x) = 0 x(t)dt; en cambio, la integral superior p(x) es sub-lineal y se tiene que f (x) ≤ p(x). Queremos extender también aqu´ı un funcional lineal que verifique una propiedad de acotación similar. Por el teorema de representación de Riesz, sabemos que todo funcional lineal en un espacio de Hilbert es un producto escalar. Queremos saber ahora bajo qué condiciones existen funcionales lineales acotados en un espacio de Banach arbitrario y la respuesta a esto la da el teorema de Hahn-Banach. Se probará primero el caso donde el espacio normado es real (resultado debido a Hahn en 1927 y Banach en 1929) y luego veremos cómo ciertas modificaciones permiten demostrar el caso complejo (que fue hecho por Bohnenblust y Sobczyk en 1938). 1.1.- Definici´ on. Sean X un espacio vectorial sobre E y p : X → R un funcional. Diremos que (1) p es sub-aditiva cuando p(x + y) ≤ p(x) + p(y), ∀x, y ∈ X; (2) p es homogénea positiva cuando p(αx) = αp(x), ∀x ∈ X, α ≥ 0; (3) p es simétrica cuando p(αx) = |α|p(x), ∀x ∈ X, α ∈ E; (4) p es convexa cuando p(αx + (1 − α)y) ≤ αp(x) + (1 − α)p(y), ∀x, y ∈ X, α ∈ [0, 1]. As´ı diremos que p es funcional sublineal si es sub-aditiva y homogénea positiva y p es seminorma si es sub-aditiva y simétrica. En particular, la norma es un funcional sublineal e incluso una seminorma. Una primera relación entre dichos conceptos viene dada en el siguiente resultado, cuya demostración omitimos. 1.2.- Lema. Un funcional p : X → E en un espacio vectorial es una seminorma si y s´ olo si es una aplicaci´ on simétrica y convexa. 154

1.3.- Lema. Sea X un espacio vectorial real, M un subespacio propio de X, x0 ∈ X \ M . Sea N = hM ∪ {x0 }i, f : M → R un funcional lineal, p : X → R un funcional sub-lineal tal que f (x) ≤ p(x), ∀x ∈ M. Entonces existe F : N → R funcional lineal tal que F (x) ≤ p(x), ∀x ∈ N , y f (x) = F (x), ∀x ∈ M (F es entonces una extensi´ on de f ). Demostraci´ on. Si y1 , y2 ∈ M, entonces f (y1 )−f (y2 ) = f (y1 −y2 ) ≤ p(y1 −y2 ) = p(y1 +x0 −x0 −y2 ) ≤ p(y1 +x0 )+p(−y2 −x0 ), de donde −p(−y2 − x0 ) − f (y2 ) ≤ p(y1 + x0 ) − f (y1 ). Como el primer miembro no depende de y1 y el segundo no depende de y2 , entonces, llamando a = sup{−p(−y2 − x0 ) − f (y2 ) : y2 ∈ M }, b = ´ınf{p(y1 + x0 ) − f (y1 ) : y1 ∈ M }, es claro que a ≤ b. Llamamos c ∈ R a un n´ umero que verifica a ≤ c ≤ b. Por tanto, ∀y ∈ M, (∗)

−p(−y − x0 ) − f (y) ≤ c ≤ p(y + x0 ) − f (y).

Definimos F : N → R como F (y + αx0 ) = f (y) + αc, con y ∈ M, α ∈ R, que es un funcional lineal en N y evidentemente extiende a f . Falta comprobar que F está acotado por p: (a) Si α = 0, F (y + αx0 ) = f (y) ≤ p(y) =⇒ F (x) ≤ p(x), ∀x ∈ M. (b) Si α > 0, aplicamos la segunda desigualdad de (∗) al elemento y/α : 1 f (y) + c ≤ p(y/α + x0 ) α =⇒ f (y) + αc ≤ p(y + αx0 )

c ≤ p(y/α + x0 ) − f (y/α) =⇒

=⇒ F (y + αx0 ) ≤ p(y + αx0 ). (c) Si α < 0, aplicamos la primera desigualdad de (∗) al elemento y/α: 1 −p(−y/α − x0 ) − f (y/α) ≤ c =⇒ − f (y) − c ≤ p(−y/α − x0 ) α =⇒ f (y) + αc ≤ p(y + αxo ) =⇒ F (y + αx0 ) ≤ p(y + αx0 ).

♦

1.4.- Teorema (Hahn-Banach real). Sea X un espacio vectorial real, M un subespacio de X, p un funcional sub-lineal sobre X, f un funcional lineal 155

sobre M tal que ∀x ∈ M, f (x) ≤ p(x). Entonces existe F : X → R funcional lineal que extiende a f y tal que F (x) ≤ p(x), ∀x ∈ X. Demostraci´ on. Consideremos el conjunto S = {g : D(g) → R : g lineal, g|M = f y g(x) ≤ p(x), ∀x ∈ D(g)}. El conjunto S es no vac´ıo porque f ∈ S; definimos un orden parcial en S as´ı: g1 ≤ g2 si g2 es extensión de g1 , es decir, si D(g1 ) ⊂ D(g2 ) y g2 |D(g1 ) = g1 . Veamos que S es inductivo, es decir que toda cadena (subconjunto totalmente ordenado) en S posee una cota superior en S: Sea pues C = {gα : α ∈ I} un subconjunto de S totalmente ordenado, y definimos gb : D(b g ) → R como gb(x) = gα (x), si x ∈ D(gα ). As´ı, D(b g) = S D(g ). α α∈I • D(b g ) es un subespacio de X: Si x, y ∈ D(b g ), y λ, µ ∈ R, entonces ∃α, β ∈ I : x ∈ D(gα ), y ∈ D(gβ ) e incluso λx ∈ D(gα ), µy ∈ D(gβ ). Si suponemos que D(gα ) ⊂ D(gβ ), entonces λx, µy ∈ D(gβ ) y λx + µy ∈ D(gβ ). De aqu´ı resulta que λx + µy ∈ D(b g ). • gb está bien definido: Si x ∈ D(gα ) y x ∈ D(gβ ), entonces g(x) = gα (x), g(x) = gβ (x). Como C está totalmente ordenado, si D(gα ) ⊂ D(gβ ), gβ extiende a gα , de modo que gβ (x) = gα (x). Es fácil comprobar que gb es lineal, que extiende a f , que gb(x) ≤ p(x), ∀x ∈ D(b g ) y que gα ≤ gb, ∀α ∈ I. Podemos as´ı aplicar el lema de Zorn, que asegura la existencia de F ∈ S elemento maximal de S. Sólo falta probar que D(F ) = X. Si suponemos lo contrario, deber´ıa existir alg´ un x0 ∈ X \ D(F ). Por el lema anterior, ∃F 0 definido en hD(F ) ∪ {x0 }i, que extiende a F y tal que F 0 (x) ≤ p(x), ∀x ∈ D(F 0 ). Esto quiere decir que F 0 ∈ S y F no puede ser maximal, lo que lleva a una contradicción.♦ Observaci´ on. Si queremos evitar el uso del lema de Zorn (que hace que la prueba no sea constructiva) podr´ıamos aplicar el método indicado en el lema previo. Se construye as´ı una sucesión de espacios N1 , N2 , . . . tales que M ⊂ N1 ⊂ N2 ⊂ . . . y una sucesión de funcionales lineales F1 , F2 , . . . definidos en N1 , N2 , . . . cada uno extensión del anterior y todos acotados S∞ por p. La demostración estar´ıa completa si pudiéramos escribir X = i=1 Ni , lo cual no siempre es cierto. Sin embargo la mayor´ıa de los espacios que se encuentran en Análisis verifican lo anterior. Además en los espacios de Hilbert también se simplifica mucho la demostración como mostraremos en breve. 156

1.5.- Teorema (Hahn-Banach complejo). Sea X un espacio vectorial complejo, M un subespacio de X, p una seminorma en X. Sea f un funcional lineal sobre M tal que ∀x ∈ M, |f (x)| ≤ p(x). Entonces existe F : X → C funcional lineal que extiende a f y tal que |F (x)| ≤ p(x), ∀x ∈ X. Demostraci´ on. Si escribimos f (x) = f1 (x)+if2 (x) con f1 = Re f, f2 = Im f, probaremos en primer lugar que f1 y f2 son funcionales lineales reales, es decir, ∀x ∈ M, ∀α ∈ R : fi (αx) = αfi (x), i = 1, 2 : Sea pues α ∈ R. As´ı, f (αx) = f1 (αx) + if2 (αx), αf (x) = αf1 (x) + iαf2 (x). Igualando las partes real e imaginaria, obtenemos lo deseado. Por otra parte, como if (x) = if1 (x) − f2 (x) = f1 (ix) + if2 (ix), resulta que f1 (ix) = −f2 (x). Por hipótesis, como |f (x)| ≤ p(x), resulta en particular que f1 (x) ≤ p(x). Aplicamos el teorema de Hahn-Banach real a f1 y probamos la existencia de F1 : X → R que extiende a f1 y tal que F1 (x) ≤ p(x), ∀x ∈ X. Definimos ahora F (x) = F1 (x) − iF1 (ix) y probaremos lo siguiente. • F extiende a f : Si x ∈ M, F1 (x) = f1 (x) y F1 (ix) = f1 (ix) = −f2 (x) de donde F (x) = f1 (x) + if2 (x) = f (x). • F es un funcional lineal real (evidente porque F1 lo es). • F es un funcional lineal complejo: Como F (ix) = F1 (ix) − iF1 (−x) = F1 (ix) + iF1 (x) y además iF (x) = iF1 (x) + F1 (ix), entonces F (ix) = iF (x) y por tanto, F (αx) = αF (x). • |F (x)| ≤ p(x): Supongamos que F (x) 6= 0, y escribimos F (x) = reiϑ . As´ı, F (e−iϑ x) = r = |F (x)|. Por tanto, la parte imaginaria de F (e−iϑ x) es cero, −F1 (ie−iϑ x) = 0, con lo que F (e−iϑ x) = F1 (e−iϑ x). Como F1 (x) ≤ p(x), |F (x)| = F (e−iϑ x) = F1 (e−iϑ x) ≤ p(e−iϑ x) = p(x).

♦

Como aplicación estudiaremos la situación de los funcionales lineales acotados en espacios normados, tal como nos preguntábamos al principio de la sección. 1.6.- Teorema (Hahn-Banach en espacios normados). Sea f un funcional lineal y acotado sobre un subespacio M de un espacio normado X. Entonces 157

existe un funcional lineal y acotado F sobre X que extiende a f y conserva la norma. [Esto asegura que existe alguna extensión de f que tiene norma m´ınima.] Demostraci´ on. Si M = {0}, f = 0 y su extensión es F = 0. Si M 6= {0}, definimos el funcional p : X → R por p(x) = kf kM · kxk. As´ı definido, se verifica que p(x + y) ≤ p(x) + p(y) y p(αx) = |α| · p(x), ∀α ∈ C. Efectivamente, p(x + y) = kf k · kx + yk ≤ kf k · kxk + kf k · kyk = p(x) + p(y) y p(αx) = kf k · kαxk = |α| · kf k · kxk = |α| · p(x). Además, como f está acotado, |f (x)| ≤ kf k · kxk = p(x). Se cumplen as´ı las condiciones del teorema de Hahn-Banach, lo que asegura la existencia de un funcional lineal F : X → C tal que F (x) = f (x), ∀x ∈ M, y |F (x)| ≤ p(x), ∀x ∈ X. Como |F (x)| ≤ kf k · kxk, entonces kF kX ≤ kf kM . Pero al ser F extensión de f , kF kX ≥ kf kM , con lo que se deduce la igualdad de las normas.♦ Como anunciábamos antes, el caso especial de espacios de Hilbert es extremadamente simple, debido al teorema de representación de Riesz. Como todo funcional sobre M tiene la forma f (x) = hx, yi, y ∈ M , y el producto interior se puede definir en todo X, existe F (x) = hx, yi, ∀x ∈ X extensión de f y kF k = kyk = kf k.

2. CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DE HAHN-BANACH. ESPACIO DOBLE DUAL.

Ilustramos en esta sección algunas consecuencias del teorema de HahnBanach y proponemos en los ejercicios al final del cap´ıtulo más aplicaciones del mismo. Una versión geométrica del teorema se sugiere como tema complementario y puede ser consultado en las obras de referencia. 2.1.- Teorema. Sea M un subespacio de un espacio vectorial normado X y x0 ∈ X un elemento que verifica d = d(x0 , M ) > 0. Entonces existe F : X → E lineal y acotado tal que kF k = 1, F (x0 ) = d, F (x) = 0, ∀x ∈ M. Demostraci´ on. Sea M1 = {z ∈ X : z = αx0 + x, α ∈ E, x ∈ M }. Definimos f : M1 → E por f (z) = αd. Observamos en primer lugar que la representación z = αx0 + x es u ńica: en caso contrario, si además z = α0 x0 + x0 , 158

entonces (α0 − α)x0 = x − x0 ∈ M, de donde α0 − α = 0 y x − x0 = 0. Esto quiere decir que f está bien definido. Además f es lineal en M1 y se anula sobre M . Por otra parte, como

x

|f (αx0 + x)| = |α|d ≤ |α| · x0 + = kαx0 + xk, α f está acotado en M1 y kf k ≤ 1. Como además, dado cualquier ε > 0, ∃x1 ∈ M : kx0 − x1 k < d + ε, entonces f (x0 − x1 ) = d y |f (x0 − x1 )| d ε > =1− , kx0 − x1 k d+ε d+ε resulta que kf k = 1. Por el teorema de Hahn-Banach, existe un operador F : X → E lineal y acotado tal que kF k = 1 y F = f en M1 . ♦ 2.2.- Corolario. Sea X un espacio vectorial normado y x0 6= 0 un elemento de X. Entonces existe un funcional F lineal y acotado sobre X tal que kF k = 1 y F (x0 ) = kx0 k. Demostraci´ on. Basta hacer M = {0} en el teorema anterior.

♦

Este resultado prueba que el dual de un espacio no trivial es también no trivial. Además en un espacio normado X existen funcionales que separan puntos distintos de X, es decir si x 6= y, existe f ∈ X 0 tal que f (x) 6= f (y). 2.3.- Corolario. Si x1 ∈ X es tal que f (x1 ) = 0 para todo funcional lineal y acotado f de X, entonces x1 = 0. Dado un espacio normado (X, k · k), a cada x ∈ X le hacemos corresponder el funcional x b : X 0 → E definido por x b(f ) = f (x). As´ı definido, se prueba que x b está en el doble dual de X. 2.4.- Proposici´ on. Para cada x ∈ X, a) x b es lineal. b) |b x(f )| ≤ kxk · kf k, para todo f ∈ X 0 . c) x b ∈ X 00 y kb xk ≤ kxk. La demostración es evidente. 2.5.- Proposici´ on. Para cada x ∈ X, kb xk = kxk. Demostraci´ on. Por el teorema de Hahn-Banach, para cada x ∈ X, existe f ∈ X 0 tal que kf k = 1 y f (x) = kxk. Para esta f tenemos que |b x(f )| = |f (x)| = kxk = kxk · kf k. 159

Luego kb xk = supkf k=1 |b x(f )| ≥ kxk.

♦

La proposición anterior indica que la aplicación Φ : X → X 00 definida por Φ(x) = x b es una isometr´ıa lineal. Esta aplicación es la llamada inmersi´ on natural y origina el siguiente concepto. 2.6.- Definici´ on. Un espacio normado X es reflexivo cuando la aplicación Φ es sobre. En este caso X y X 00 son isométricos. Ejemplo. Si 1 < p < ∞, `p es reflexivo. En primer lugar, (`p )00 es isomorfo a `p ; falta pues verificar que la composición del isomorfismo natural de `p en (`p )0 con el isomorfismo natural de (`p )0 en (`p )00 , da lugar a la inmersión de `p en (`p )00 . Los siguientes resultados muestran que los espacios reflexivos forman una clase comprendida entre las de los espacios de Hilbert y los de Banach. 2.7.- Proposici´ on. Si X es reflexivo, entonces X es de Banach. La demostración es evidente porque, al ser X 00 de Banach y X isométrico a X 00 , X debe ser también de Banach. 2.8.- Proposici´ on. Todo espacio normado de dimensi´ on finita es reflexivo. También la prueba es directa pues si dim X = n, entonces dim X 0 = n, de donde dim X 00 = n. Esto prueba la reflexividad de X. 2.9.- Proposici´ on. Todo espacio de Hilbert es reflexivo. Demostraci´ on. Basta probar que la aplicación Φ : X → X 00 definida por Φ(x) = x b es sobre. Para ello sea g ∈ X 00 y definimos f : X → E por f (x) = g(T x), donde T : X → X 0 viene dada por (T x)(y) = hy, xi. El operador T es antilineal y kT k = 1, lo que permite deducir que f ∈ X 0 . Por el teorema de representación de Riesz, existe z ∈ X tal que f (x) = hx, zi. Por tanto g(T x) = hz, xi = (T x)(z) = Φ(z)(T x). Como además T es sobre (lo que se puede comprobar también mediante el teorema de representación de Riesz), Φ(z) = g, como quer´ıamos demostrar. ♦

160

3. TEOREMA DE CATEGORIA DE BAIRE.

La completitud de ciertos espacios suele ser fundamental en muchos teoremas del Análisis. En el caso de espacios métricos, un instrumento de mucha utilidad es el teorema de categor´ıa que exponemos en esta sección. 3.1.- Definici´ on. Sea X un espacio métrico y M ⊂ X. (a) M es raro o nunca denso de X si M tiene interior vac´ıo (lo que equivale c a que M es denso en X). (b) M es de primera categor´ıa si es unión numerable de conjuntos nunca densos. (c) M es de segunda categor´ıa si no es de primera categor´ıa. 3.2.- Ejemplos. 1) Si d es la métrica trivial, el u ńico conjunto nunca denso es el vac´ıo. 2) El conjunto vac´ıo es de primera categor´ıa. Por lo tanto, no puede ser de segunda categor´ıa. 3) En R con laS métrica usual, Q es de primera categor´ıa pues, por ser numerable, Q = ∞ i=1 {xi } y {xi } = {xi }, int{xi } = ∅. S en lo será. 4) Si {Ai }∞ ıa, ∞ i=1 son de primera categor´ i=1 Ai tambi´ 5) Si A es de primera categor´ıa y C de segunda, con C = A ∪ B, entonces B es de segunda categor´ıa. Por tanto, en el ejemplo 3), como R = Q ∪ I y R es de segunda categor´ıa, I también lo será. 3.3.- Lema (teorema de intersección de Cantor). Sea (X, d) un espacio métrico completo y (Fn )n∈N una sucesi´ on decreciente de subconjuntos no vac´ıos y cerrados de X tales que T δ(Fn ) → 0 (donde se define δ(M ) = sup{d(x, y) : x, y ∈ M }. Entonces ∞ n=1 Fn contiene exactamente un punto. Demostraci´ on. Sea xn ∈ Fn . Por ser δ(Fn ) → 0, la sucesión (xn )n∈N es de Cauchy, por lo que existe x = l´ım xn . T Fijado n0 ∈ N, xn ∈ Fn0 , ∀n ≥ n0 . Como Fn0 es cerrado, x ∈ Fn0 =⇒ x ∈ n≥1 Fn . T T T Además, como δ( Fn ) ≤ δ(Fn ) → 0, δ( Fn ) = 0 =⇒ Fn = {x}. n≥1

n≥1

n≥1

♦

3.4.- Lema. Sean X un espacio métrico completo, A ⊂ X un subconjunto nunca denso y B ⊂ X una bola abierta. Entonces existe B1 ⊂ B bola cerrada tal que B1 ∩ A = ∅. Adem´ as se puede elegir B1 para que δ(B1 ) < k, ∀k > 0. 161

Demostraci´ on. Como int( A) = ∅, debe ser B 6⊂ A, de modo que ∃x ∈ B \ A. Por ser B abierto y A cerrado, existe r > 0 : B(x, r) ∩ A = ∅. Podemos elegir r de modo que B(x, r) ⊂ B y B(x, r) ∩ A = ∅. Además, dado k > 0, tomando r < k/2, δ( B(x, r)) < k. ♦ 3.5.- Teorema (categor´ıa de Baire). Si un espacio métrico X 6= ∅ es completo, es de segunda categor´ıa. Demostraci´ on. Dada cualquier sucesión (ASn )n∈N de conjuntos nunca densos en X, probaremos que existe x ∈ X : x 6∈ n∈N An . Por el lema 3.4, existe F1 bola cerrada con δ(F1 ) < 1, F1 ∩ A1 = ∅. Además, existe F2 ⊂ int(F1 ) bola cerrada con δ(F2 ) < 1/2 : F2 ∩ A2 = ∅. Aplicando el mismo procedimiento, obtenemos una sucesión (Fn )n∈N de bolas cerradas tales que Fn ⊂ int(Fn−1 ), δ(Fn ) < 1/n, Fn ∩ An = ∅. T Por el lema 3.3, existe x ∈ n∈N Fn , de modo que x 6∈ An , ∀n, lo que implica S que x 6∈ n∈N An . ♦ Observaciones. 1) El rec´ıproco de este teorema no es cierto (véase en [Bou1] un ejemplo de un espacio normado incompleto que es de segunda categor´ıa). 2) Una aplicación curiosa del teorema consiste en probar la existencia de funciones continuas en todo [0, 1] y no derivables en ning´ un punto del intervalo (se puede ver en [BN]).

´ UNIFORME Y TEOREMA DE 4. PRINCIPIO DE ACOTACION BANACH-STEINHAUS.

Las ideas de la sección anterior las aplicaremos a continuación para demostrar otro de los teoremas fundamentales del cap´ıtulo, como es el principio de acotación uniforme. Dicho teorema proporciona un criterio para determinar cuándo una familia de operadores lineales y acotados está acotada uniformemente. Más precisamente, veremos cuándo la acotación puntual implica la acotación uniforme. 4.1.- Definici´ on. Dados dos espacios normados X e Y , una familia de operadores {Aα }α∈I ⊂ L(X, Y ) se dice equicontinua cuando supα∈I kAα k < ∞. 162

4.2.- Teorema (Principio de acotación uniforme). Sea {Aα }α∈I una familia de elementos de L(X, Y ), donde X es de Banach. Si {kAα xk}α∈I est´ a acotada para todo x ∈ X, entonces la familia {Aα }α∈I es equicontinua. En otras palabras, si ∀x ∈ X, ∃cx > 0 : kAα xk ≤ cx =⇒ ∃c > 0 : kAα k ≤ c. Demostraci´ on. (a) Supongamos que I es numerable. As´ı {An }n∈I es una sucesión. Sea Mk = {x ∈ X : kAn xk ≤ k, ∀n}, ∀k ∈ N. Cada Mk es cerrado, porque si x ∈ M k , entonces existe {xi }i∈N en Mk tal que xi → x. Como An es continua, An xi → An x, de donde kAn xi k → kAn xk. Además, como xi ∈ Mk , kAn xi k ≤ k. Por lo tanto, kAn xk ≤ k con lo que x ∈ Mk . S Por construcción, X = k∈N Mk . As´ı, como X es completo, seg´ un el teorema de categor´ıa de Baire, existe k0 : B0 = B(x0 , r) ⊂ Mk0 , ∃x0 ∈ Mk0 (no todos los Mk pueden ser nunca densos). Sea x ∈ X y definimos z = x0 +γx, con γ = r/2kxk. Entonces kz−x0 k ≤ r/2, de donde z ∈ Mk0 y kAn zk ≤ k0 , ∀n. Además, kAn x0 k ≤ k0 , ∀n. De aqu´ı, kAn xk = γ −1 kAn (z − x0 )k ≤ 2k0 /γ. Esto implica que kAn k = supkxk=1 kAn xk ≤ 4k0 /r. (b) Si I no es numerable, supongamos que sup kAα k = ∞. Entonces existe una sucesión {An }n∈N tal que kA1 k > 1, kA2 k > 2, . . . Aplicando la parte (a) a la sucesión {An }n∈N , probamos que supn kAn k < ∞, lo que contradice la construcción anterior. ♦ Es interesante remarcar que la hipótesis de categor´ıa es esencial como muestra el ejemplo dado en [La]. A continuación veremos algunas consecuencias y aplicaciones del teorema. 4.3.- Corolario (Teorema de Banach-Steinhaus, 1927). Sean X un espacio de Banach, Y un espacio normado y {Tn }n∈N ⊂ L(X, Y ). Si {Tn x}n∈N es convergente para todo x ∈ X, entonces {Tn }n∈N es equicontinuo. Adem´ as, si l´ımn Tn x = T x, ∀x ∈ X, entonces T ∈ L(X, Y ) y kT k ≤ l´ım inf kTn k. Demostraci´ on. Por ser convergente, la sucesión (Tn x)n∈N está acotada. Por el principio de acotación uniforme, {Tn }n∈N es equicontinuo. Como kTn k ≤ M para todo n, kT xk ≤ M kxk para todo x ∈ X. Claramente, T es lineal y kT xk = l´ım kTn xk ≤ l´ım inf kTn k · kxk (la sucesión (kTn k)n∈N está acotada por lo que tiene l´ımite inferior). ♦ Si X no es de Banach, este resultado es falso, como muestra el siguiente ejemplo. 163

Hagamos X = C[0, 1] con kf k1 = R 1/n por Tn (f ) = n 0 f (t)dt.

R1 0

|f (t)|dt y Tn : C[0, 1] → R definidos

Cada Tn es lineal y continuo: 1/n

Z |Tn (f )| ≤ n

|f (t)|dt ≤ n · kf k1 =⇒ kTn k ≤ n. 0

Además, R 1/n ∀f ∈ C[0, 1], l´ım Tn (f ) = l´ım n

n

0

f (t)dt = f (0). 1/n

Por tanto, ∃ l´ımn Tn (f ) = f (0), pero el funcional F : f 7→ f (0) no está acotado pues si consideramos la sucesión ( −n3 (t − 1/n2 ) si x ∈ [0, 1/n2 ] gn (t) = 0 si x ≥ 1/n2 , entonces kgn k =

1 2n

→ 0 pero F (gn ) = gn (0) = n → ∞.

4.4.- Corolario. Sea X un espacio de Banach y (fn )n∈N ⊂ X 0 una sucesi´ on tal que ∃ l´ımn fn (x) = f (x), ∀x ∈ X. Entonces f ∈ X 0 . Demostraci´ on. Es consecuencia directa del anterior. Este resultado indica que, en un espacio de Banach, la convergencia puntual de funcionales lineales continuas implica la continuidad de la función l´ımite. 4.5.- Ejemplo. En el espacio de lasR funciones integrables es sabido R que, si 1 {fn }n∈N ⊂ L (R) es tal que supn∈N R |fn | < ∞, entonces supn∈N R |fn g| < ∞, ∀g ∈ C0 (R). El teorema de acotación uniforme garantiza el rec´ıproco, pues podemos interpretar los elementos de L1 (R) como funcionales lineales continuos, L1 (R) ⊂ C0 (R)0 . Sin embargo, el resultado es falso en el espacio Cc (R) de las funciones R continuas con soporte compacto, que no es de Banach: ∀g ∈ C ( R ), sup c n |fn g| < R 1 ∞ pero supn R |fn | = ∞ para alguna sucesión {fn }n∈N ⊂ L (R) pues, tomando fn = χ[0,n] , Z sup n

Z |fn g| = sup n

n

Z

∞

|g| ≤ 0

Z |g| < ∞ y sup n

−∞

|fn | = sup n = ∞.

4.6.- Corolario. El espacio normado X de los polinomios x(t) = con norma kxk = máxi |ai |, no es completo.

P∞

i=0 ai t

i,

Demostraci´ on. Construimos la sucesión de funcionales An : X → R por An 0 = 0, An x = a0 + · · · + an−1 . As´ı definidos, An son lineales y acotados 164

pues, como |ai | ≤ kxk, entonces |An x| ≤ nkxk. Como todo polinomio x de grado Nx tiene como máximo Nx + 1 coeficientes no nulos, tenemos |An x| ≤ (Nx +1)kxk = cx , ∀n, la cual es una de las hipótesis del teorema de acotación uniforme. Ahora bien, si elegimos x(t) = 1 + t + · · · + tn , resulta que kxk = 1 y An x = n = nkxk. Como kAn k ≥ |An x|/kxk, entonces kAn k ≥ n y {kAn k} no está acotada. Al ser falsa la tesis del teorema, debe ser porque X no es completo. ♦ Hacemos por u ´ltimo la siguiente observación: es sabido que la continuidad no es condición necesaria para la convergencia (sirva como contraejemplo ( 0 si − π ≤ t < 0 la función x(t) = , x(t + 2π) = x(t)). Pero además el 1 si 0 ≤ t ≤ π principio de acotación uniforme permite probar que ni siquiera es condición suficiente, es decir, que existen funciones continuas cuya serie de Fourier diverge en un punto (ver [Kr]).

5. CONVERGENCIA DE SUCESIONES EN ESPACIOS NORMADOS.

Además de los conceptos de convergencia puntual y convergencia uniforme de sucesiones de funciones continuas, podemos estudiar en el contexto de los espacios normados otros tipos de convergencia lo que dará lugar a topolog´ıas diferentes a la inducida por la norma. La teor´ıa de convergencia débil que mostramos a continuación hace uso del teorema de acotación uniforme y es, de hecho, una de la mayores aplicaciones del mismo. 5.1.- Definici´ on. Una sucesión {xn }n∈N en un espacio normado X es convergente en sentido fuerte o convergente en norma si existe x ∈ X tal que l´ım kxn − xk = 0. n→∞

Se dice que x es l´ımite fuerte de {xn }n∈N y se escribe xn → x. Este es el concepto usual de convergencia. 5.2.- Definici´ on. Una sucesión {xn }n∈N en un espacio normado X es convergente en sentido débil si existe x ∈ X tal que f (xn ) → f (x), ∀f ∈ X 0 . Se d

dice entonces que x es l´ımite débil de {xn }n∈N y se escribe xn → x. d

5.3.- Lema. Sea xn → x. Entonces: (a) El l´ımite débil es u ńico. 165

(b) Toda subsucesi´ on de {xn }n∈N converge débilmente a x. (c) La sucesi´ on {kxn k}n∈N est´ a acotada. d

d

Demostraci´ on. a) Supongamos que xn → x, xn → y; entonces f (xn ) → f (x) y f (xn ) → f (y), ∀f ∈ X 0 . Por tanto f (x) = f (y) y f (x − y) = 0. Como lo anterior es cierto para toda f ∈ X 0 , x = y. b) Se deduce de que {f (xn )}n∈N es una sucesión numérica convergente y toda subsucesión de ella converge al mismo l´ımite f (x). c) Por hipótesis, {f (xn )}n∈N está acotada, digamos |f (xn )| ≤ cf , ∀n. Definimos gn ∈ X 00 como gn (f ) = f (xn ), ∀f ∈ X 0 . Entonces |gn (f )| = |f (xn )| ≤ cf , ∀n. Como X 0 es completo, por el teorema de acotación uniforme, {kgn k}n∈N está acotada. Pero kgn k = kxn k debido a la proposición 2.5. As´ı queda probada la tesis. ♦ Veamos a continuación la relación entre los dos tipos de convergencia definidos. 5.4.- Teorema. Sea X un espacio normado. d

(a) Si xn → x, entonces xn → x. (b) El rec´ıproco de (a) no siempre es cierto. (c) Si dim X < ∞, la convergencia débil implica la convergencia fuerte. Demostraci´ on. a) Supongamos que xn → x, es decir, kxn −xk → 0. Entonces |f (xn ) − f (x)| = |f (xn − x)| ≤ kf k · kxn − xk → 0, ∀f ∈ X 0 . b) Sea H un espacio de Hilbert y {en }n∈N una sucesión ortonormal. Por el teorema de representación de Riesz, ∀f ∈ H 0 , ∃z ∈ H : f (x) = hx, zi. P∞ Aplicando la desigualdad de Bessel, n=1 |hen , zi|2 ≤ kzk2 , con lo que la serie de la izquierda converge y entonces hen , zi → 0. d

Como f (en ) = hen , zi, lo anterior implica que en → 0. Sin embargo, {en }n∈N no es fuertemente convergente pues ken − em k2 = hen − em , en − em i = 2, si n 6= m. d

c) Sea {e1 , . . . , ek } una base de X y xn → x. Escribimos xn =

k X

(n)

αi ei , x =

i=1

k X

αi ei .

i=1

Por hipótesis, f (xn ) → f (x), ∀f ∈ X 0 . Definiendo fj (ei ) = δij , i, j = 166

(n)

1, . . . , k, tenemos αj

→ αj , j = 1, . . . , k. De este modo,

kxn − xk ≤

k X

(n)

|αi

− αi | · kei k → 0

i=1

y xn → x.

♦

Observaciones. 1) Existen también espacios de dimensión infinita donde la convergencia fuerte y débil son equivalentes. Fue probado por Schur que el espacio `1 es un ejemplo de ellos. 2) Es evidente, gracias al teorema de Riesz, que, en un espacio de Hilbert d

H, xn → x si y sólo si hxn , zi → hx, zi, ∀z ∈ H. 3) Una especie de rec´ıproco de (a) es el siguiente resultado. d

Si xn → x en X, entonces existe {yn }n∈N tal que yn es combinación lineal de xn y kx − yn k → 0 (ver [CC]). Esto equivale a decir que x pertenece al espacio generado por la sucesión (xn )n∈N . 4) Como los elementos de X pueden pensarse como funcionales lineales sobre d

X 0 , podemos decir también que xn → x si xn (f ) → x(f ), ∀f ∈ X 0 ; es decir, la convergencia débil en X no es más que la convergencia puntual considerando X como espacio de funciones sobre X 0 . 5.5.- Lema. Sea X un espacio normado y {xn }n∈N una sucesi´ on en X. d

Entonces xn → x si y s´ olo si la sucesi´ on {kxn k}n∈N est´ a acotada y ∃M ⊂ X 0 subconjunto completo, (es decir, hM i = X 0 ) tal que f (xn ) → f (x), ∀f ∈ M . d

Demostraci´ on. a) Si xn → x, por el lema 5.3, la sucesión {kxn k}n∈N está acotada. El resto es evidente. b) Por hipótesis, kxn k ≤ c, ∀n, y elegimos c para que kxk ≤ c. Sea f ∈PX 0 . Entonces existe g ∈ hM i tal que kf − gk < ε/3c. Escribimos 0 g(x) = nk=1 αk fk (x), con fk ∈ M . De este modo, ∃N ∈ N: |g(xn ) − g(x)| ≤

n0 X

|αk | · |fk (xn ) − fk (x)| < ε/3, ∀n > N

k=1

teniendo en cuenta que fk (xn ) → fk (x), ∀k = 1, . . . , n0 . Aplicando ahora la desigualdad triangular, tenemos que para todo n > N: |f (xn ) − f (x)| ≤ |f (xn ) − g(xn )| + |g(xn ) − g(x)| + |g(x) − f (x)| < kf − gk · kxn k + ε/3 + kg − f k · kxk < ε/3c · c + ε/3 + ε/3c · c = ε. 167

♦

Un ejemplo donde se aplica lo anterior es el espacio `p , con 1 < p < ∞, donde d (n) xn → x si y sólo si la sucesión {kxn k}n∈N está acotada y ξj → ξj , ∀j, siendo (n)

xn = (ξj )j∈N , x = (ξj )j∈N . En efecto, como el dual de `p es `q y una base de Schauder de `q es {en }n∈N , con en = (δnj )j∈N , basta aplicar el lema con M = {en }n∈N . ANEXO.

Veamos c´ omo el concepto de convergencia d´ ebil viene sugerido por el de

topolog´ıa d´ ebil. Para ello recordamos los siguientes conceptos:

τ una topolog´ıa en X . Se dice que una ∀A ∈ τ, x ∈ A, existe B ∈ β tal que x ∈ B ⊂ A.

Definici´ on. Sea

familia

β

Definici´ on. Un espacio vectorial topol´ ogico es un espacio vectorial

E

con una topolog´ıa

τ

es una base de

X

τ

si

sobre un cuerpo

tal que las funciones suma y producto por escalar son continuas.

As´ı, por ejemplo, todo espacio vectorial topol´ ogico de dimensi´ on finita n es isomorfo a E n , y todo espacio normado es un espacio vectorial topológico. En este caso la topolog´ıa inducida por la norma se llama topolog´ıa fuerte. Definici´ on. Si

X

es un espacio vectorial y

F

una familia de funcionales lineales definida

en X , se define la topolog´ıa d´ ebil generada por F a la topolog´ıa m´ as d´ ebil (la menor) en X

f ∈ F un funcional continuo. Claramente, la topolog´ıa débil generada F es la topolog´ıa generada por los subconjuntos de X de la forma f −1 (U ) con f ∈ F , U abierto en E . Una base de la topolog´ıa débil generada por F es la formada que hace a cada

por

por los conjuntos de la forma

N (x0 , f1 , . . . , fm , ε1 , . . . , εm ) = {x ∈ X : |fk (x)−fk (x0 )| < εk , k = 1, . . . , m}, x0 ∈ X , m ∈ N, f1 , . . . , fm ∈ F , ε1 , . . . , εm > 0. Debido a que N (x0 , f, ε) = f −1 (B(f (x0 ), ε)), se deduce que

donde

N (x0 , f1 , . . . , fm , ε1 , . . . , εm ) =

m \

N (x0 , fk , εk ).

k=1 Con estas ideas, si

X

es un espacio normado, a la topolog´ıa d´ ebil generada por

llama topolog´ıa d´ ebil en

X

X0

se le

y se pueden probar sin dificultad los siguientes resultados:

Proposici´ on. a) La topolog´ıa d´ ebil es m´ as d´ ebil que la topolog´ıa fuerte (la inducida por la norma). b) Una sucesi´ on

f (x), ∀f ∈ X 0 .

(xn )n∈N

converge a

x en la topolog´ıa débil si y sólo si f (xn ) →

De este modo los conceptos y propiedades de la convergencia d´ ebil son consecuencia de los m´ as generales aqu´ı expuestos.

Vamos a estudiar ahora el caso de sucesiones de operadores entre espacios normados donde distinguiremos entre tres tipos de convergencia (las definiciones y terminolog´ıa fueron introducidas por von Neumann en 1929). 5.6.- Definici´ on. Sean X, Y espacios normados. Una sucesión {Tn }n∈N de operadores en L(X, Y ) se dice 168

(1) uniformemente convergente si {Tn }n∈N converge en la norma de L(X, Y ), es decir, si existe T ∈ L(X, Y ) tal que kTn − T k → 0; (2) fuertemente convergente si {Tn x}n∈N converge fuertemente en Y , para todo x ∈ X, es decir, kTn x − T xk → 0; (3) débilmente convergente si {Tn x}n∈N converge débilmente en Y , para todo x ∈ X, es decir, |f (Tn x) − f (T x)| → 0, ∀f ∈ Y 0 . No es dif´ıcil probar que (1) =⇒ (2) =⇒ (3), y los rec´ıprocos no son necesariamente ciertos. 5.7.- Ejemplos. 1) En `2 consideramos la sucesión Tn : `2 → `2 de operadores lineales y acotados definidos por Tn x = (0, .(n) . ., 0, ξn+1 , ξn+2 , . . . ) donde x = (ξ1 , . . . , ξn , ξn+1 , . . . ). Es evidente que {Tn }n∈N converge fuertemente a 0; sin embargo no converge uniformemente porque kTn − 0k = kTn k = 1. 2) Si definimos ahora Tn : `2 → `2 como Tn (ξ1 , . . . , ξn , . . . ) = (0, .(n) . ., 0, ξ1 , ξ2 , . . . ), Tn es también lineal y acotado, débilmente convergente a cero pero no fuertemente. P∞ En efecto, ∀f ∈ (`2 )0 , ∃z = (ηj )j∈N : f (x) = hx, zi = j=1 ξj η j , donde x = (ξj )j∈N , debido al teorema de representación de Riesz. As´ı pues, f (Tn x) = hTn x, zi =

∞ X

ξn−j η j =

j=n+1

∞ X

ξk η n+k .

k=1

Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz, 2

2

|f (Tn x)| = |hTn x, zi| ≤

∞ X k=1

2

|ξk | ·

∞ X

|ηm |2 .

m=n+1

Como la u ´ltima suma es el resto de una serie convergente, |f (Tn x)| → 0 = f (0x). √ √ Sin embargo, para x = (1, 0, 0, . . . ), kTm x − Tn xk = 12 + 12 = 2, para m 6= n, por lo que la sucesión no converge fuertemente. Estudiamos ahora el l´ımite de una sucesión de operadores seg´ un el tipo de convergencia. Si la convergencia Tn → T es uniforme, T ∈ L(X, Y ). Sin embargo, si la convergencia es fuerte o débil, T es lineal pero no acotado, como se ve en el siguiente ejemplo. 169

Sea X = {x ∈ `2 : x tiene un n´ umero finito de componentes no nulas}. Se define Tn (ξj ) = (ξ1 , 2ξ2 , 3ξ3 , . . . , nξn , ξn+1 , ξn+2 , . . . ). Esta sucesión converge fuertemente a T (ξj ) = (jξj ) que es un operador lineal no acotado. Sin embargo, si X es completo, tenemos el siguiente resultado. 5.8.- Lema. Sea {Tn }n∈N ⊂ L(X, Y ), donde X es un espacio de Banach e Y un espacio normado. Si Tn → T en sentido fuerte, entonces T ∈ L(X, Y ). Demostraci´ on. La linealidad de T se deduce de la de Tn . Además, de la convergencia Tn x → T x, ∀x ∈ X, se deduce que la sucesión {kTn xk}n∈N está acotada para todo x. Por el teorema de acotación uniforme, como X es completo, {kTn k}n∈N está acotada. Por tanto, kTn xk ≤ kTn k · kxk ≤ kkxk =⇒ kT xk ≤ kkxk.

♦

5.9.- Teorema. Dados dos espacios de Banach X, Y una sucesi´ on {Tn }n∈N de operadores en L(X, Y ) converge en sentido fuerte si y s´ olo si {kTn k}n∈N est´ a acotada y {Tn x}n∈N es de Cauchy en Y , para todo x de un subconjunto completo M de X. Demostraci´ on. Si Tn x → T x, ∀x ∈ X, por el teorema de acotación uniforme, {kTn k}n∈N está acotada. El resto es trivial. Rec´ıprocamente, si kTn k ≤ c, ∀n, sean x ∈ X y ε > 0 arbitrarios. Como hM i es denso en X, existe y ∈ hM i tal que kx − yk < ε/3c. Además kTn y − Tm yk < ε/3, ∀m, n > N. De aqu´ı, por la desigualdad triangular, es fácil probar que {Tn x}n∈N es de Cauchy en Y : kTn x − Tm xk ≤ kTn x − Tn yk + kTn y − Tm yk + kTm y − Tm xk ≤ kTn k · kx − yk + ε/3 + kTm k · kx − yk < ε. Como Y es completo, {Tn x}n∈N converge en Y .

♦

5.10.- Definici´ on. Una sucesión {An }n∈N en L(X, Y ) se dice de Cauchy en sentido fuerte cuando {An x}n∈N es de Cauchy, ∀x ∈ X. 5.11.- Teorema. Si X, Y son espacios de Banach, L(X, Y ) es completo en sentido fuerte, es decir, toda sucesi´ on de Cauchy fuerte converge fuertemente. Demostraci´ on. Por hipótesis, sea {Tn x}n∈N de Cauchy, ∀x ∈ X. Como Y es f

de Banach, Tn x → T x. As´ı definido, T es lineal y Tn → T. Falta probar que T ∈ L(X, Y ). 170

Por el teorema anterior, kTn k < M, ∀n. Entonces kTn xk < M kxk, de donde l´ım kTn xk ≤ M kxk y, por la continuidad de la norma, k l´ım Tn xk ≤ M kxk o sea kT xk ≤ M kxk. As´ı, T es acotado. ♦ Los funcionales lineales son también operadores lineales pero el hecho de que su imagen esté en R ó C hace que la convergencia fuerte y débil sean equivalentes (pues {Tn x}n∈N está en un espacio de dimensión 1). Los conceptos que se aplican aqu´ı son los siguientes. 5.12.- Definici´ on. Sea {fn }n∈N una sucesión de funcionales lineales acotados en un espacio normado X. (a) Decimos que {fn }n∈N converge en sentido fuerte a f ∈ X 0 si kfn − f k → 0. (b) Por otra parte, decimos que {fn }n∈N converge en sentido débil-∗ a f ∈ X 0 si fn (x) → f (x), ∀x ∈ X. Si X es un espacio normado, entonces X ⊂ X 00 y ∀x ∈ X, ∃l ∈ X 00 : l(f ) = f (x). Una sucesión {fn }n∈N ⊂ X 0 converge débilmente si l(fn ) → l(f ), ∀l ∈ X 00 , es decir, fn (x) → f (x), ∀x ∈ X. El rec´ıproco no es cierto cuando X 6= X 00 pues pueden existir l ∈ X 00 \ X con lo que no se debe confundir la topolog´ıa débil con la topolog´ıa débil-∗ en X 0 . Como un simple corolario del teorema 5.9, se demuestra lo siguiente. 5.13.- Teorema. Una sucesi´ on {fn }n∈N de funcionales lineales acotados en un espacio de Banach X es convergente débil-∗ y el l´ımite es lineal y acotado si y s´ olo si {kfn k}n∈N est´ a acotada y {fn (x)}n∈N es de Cauchy, para todo x ∈ M donde hM i = X. Tabla de los distintos tipos de convergencia Espacio

Tipo

Notación

Definición

X

Fuerte

xn → x

kxn − xk → 0

X

Débil

L(X, Y ) Uniforme L(X, Y )

Fuerte

d

xn → x

f (xn ) → f (x), ∀f ∈ X 0

Tn → T

kTn − T k → 0

f

Tn → T d

kTn x − T xk → 0, ∀x ∈ X d

L(X, Y )

Débil

Tn → T

Tn x → T x, ∀x ∈ X

L(X, E)

Fuerte

fn → f

kfn − f k → 0

L(X, E)

Débil-∗

d∗

fn → f

kfn x − f xk → 0, ∀x ∈ X

En el estudio de espacios normados tiene importancia el teorema de BourbakiAlaoglu. Su enunciado es el siguiente: La esfera unitaria cerrada S ∗ = {f ∈ X 0 : kf k ≤ 1} en el espacio X 0 dual del espacio normado X es compacta en la topolog´ıa débil-∗ de X 0 . 171

Por el teorema de Riesz (cap´ıtulo 2, teorema 5.3) sabemos que la esfera S ∗ no puede ser compacta en la topolog´ıa de la norma métrica de X 0 si dim X = ∞. El teorema anterior muestra que la topolog´ıa débil-∗ no puede darse por una norma.

´ ABIERTA. 6. TEOREMA DE LA APLICACION

A continuación vamos a establecer condiciones para que un operador acotado sea una aplicación abierta y para que tenga inverso acotado. Nuevamente el marco natural son los espacios de Banach y la herramienta básica el teorema de categor´ıa de Baire. 6.1.- Definici´ on. Sean X, Y espacios métricos. Una aplicación T : D(T ) → Y con D(T ) ⊂ X es abierta si para todo abierto A en D(T ), T (A) es abierto en Y . Observaci´ on. Si T no es sobre, hay que distinguir entre los conceptos de aplicación abierta de D(T ) en Y o sobre su rango. Este segundo concepto es más débil que el primero, porque si X ⊂ Y , la aplicación identidad de X en Y es abierta si y sólo si X es subconjunto abierto de Y , mientras que la identidad de X sobre su rango es siempre abierta. El teorema de la aplicación abierta da condiciones para que un operador lineal sea abierto y para que tenga inverso acotado. Usaremos para su demostración el siguiente lema previo. 6.2.- Lema (bola unidad abierta). Sean X, Y de Banach y T : X → Y un operador lineal acotado sobre. Si llamamos B0 = B(0, 1) ⊂ X, entonces T (B0 ) contiene una bola abierta de centro 0 ∈ Y. Demostraci´ on. Lo demostraremos en varios pasos: (a) Si B1 = B(0, 2−1 ), T (B1 ) contiene alguna bola B ∗ : S ∀x ∈ X, ∃k > 2kxk : x ∈ kB1 . Esto implica que X = ∞ k=1 kB1 . Como T es S∞ S∞ sobre y lineal, Y = T (X) = k=1 kT (B1 ) = k=1 kT (B1 ). Por el teorema de categor´ıa de Baire, Y es de segunda categor´ıa. Por tanto, alg´ un kT (B1 ) debe contener una bola abierta y también T (B1 ) contiene una bola abierta, digamos B ∗ = B(y0 , ε). En consecuencia, B ∗ − y0 = B(0, ε) ⊂ T (B1 ) − y0 . 172

(b) B ∗ − y0 ⊂ T (B0 ): B ∗ − y0 = B(0, ε) ⊂ T (B1 ) − y0 ⊂ T (B1 ) − T (B1 ) = 2 T (B1 ) = T (B0 ). (c) Si Bn = B(0, 2−n ) ⊂ X, entonces T (Bn ) contiene alguna bola Vn alrededor de 0 ∈ Y : Como T es lineal, T (Bn ) = 2−n T (B0 ). De aqu´ı se deduce que Vn = B(0, ε/2n ) ⊂ T (Bn ). (d) Por u ´ltimo, T (B0 ) contiene alguna bola abierta alrededor de 0 ∈ Y. Más precisamente, veremos que V1 = B(0, ε/2) ⊂ T (B0 ): Sea y ∈ V1 . Entonces y ∈ T (B1 ) =⇒ ∃v ∈ T (B1 ) : ky − vk < ε/4. Pero v = T x1 con x1 ∈ B1 ; entonces ky − T x1 k < ε/4 =⇒ y − T x1 ∈ V2 ⊂ T (B2 ). Esto implica a su vez que ∃x2 ∈ B2 : k(y − T x1 ) − T x2 k < ε/8 =⇒ y − T x1 − T x2 ∈ V3 ⊂ T (B3 ) y as´ı sucesivamente. Existe entonces xn ∈ Bn tal que n X

y − T xi < ε/2n+1 , n ≥ 1. i=1

Sea zn = x1 + · · · + xn . Como xi ∈ Bi , kxi k < 2−i . Para n > m, kzn − zm k ≤

n X

kxk k <

k=m+1

∞ X k=m+1

1 →0 2k

si m → ∞. Por tanto, {zn }n∈N es de Cauchy y, por ser X completo, existe ∞ ∞ P P 1 kxk k < = 1. x ∈ X tal que zn → x. Además, x ∈ B0 pues 2k k=1

k=1

Como T es continua, T zn → T x. Como además T zn → y, T x = y lo que implica que y ∈ T (B0 ). ♦ 6.3.- Teorema (aplicación abierta o inversa acotada). Sean X e Y espacios de Banach y T : X → Y un operador lineal acotado. a) Si T es sobre, entonces T es abierto. b) Si T es biyectiva, entonces T −1 es continua (y por tanto acotada). 173

Demostraci´ on. Debemos probar que si A ⊂ X es abierto, entonces T (A) es abierto. Para ello, si y = T x ∈ T (A), debe existir una bola abierta centrada en y y contenida en T (A). Sea pues y = T x ∈ T (A). Por ser A abierto, contiene una bola abierta de centro x. Entonces A − x ⊃ B(0, r). Si k = 1/r, k(A − x) ⊃ B(0, 1). Por el lema 6.2, T (k(A − x)) = k(T (A) − T x) contiene una bola de centro 0, como también T (A) − T x. Entonces T (A) contiene una bola abierta alrededor de T x = y. Si además T es inyectiva, como T −1 es lineal, T es acotada.

♦

En el teorema anterior las hipótesis de completitud son esenciales como se muestra en los ejercicios al final del cap´ıtulo. Una consecuencia elemental es la siguiente. 6.4.- Corolario. Sea X un espacio vectorial que es de Banach con respecto a las normas k · k1 y k · k2 . Si existe c > 0 tal que kxk2 ≤ ckxk1 , ∀x ∈ X, entonces las normas son equivalentes. Basta tener en cuenta que la identidad es un operador acotado.

´ 7. TEOREMA DEL GRAFICO CERRADO.

En las aplicaciones prácticas, no todos los operadores son acotados (estos son particularmente importantes en Mecánica Cuántica). Sin embargo, prácticamente todos son cerrados (cuya definición veremos a continuación), o al menos clausurables. El teorema del gráfico cerrado, objeto de esta sección, da condiciones para que un operador cerrado sea acotado. 7.1.- Definici´ on. Dados dos espacios normados X, Y y un operador lineal T : D(T ) → Y con dominio D(T ) ⊂ X. Se dice que T es un operador cerrado si su gráfico G(T ) = {(x, y) : x ∈ D(T ), y = T x} es cerrado en el espacio normado X × Y , definido mediante las operaciones (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ), α(x, y) = (αx, αy), y la norma k(x, y)k = kxkX + kykY . Observaci´ on. Si X e Y son de Banach, entonces X × Y también lo es. Sea, en efecto, una sucesión {zn }n∈N = {(xn , yn )}n∈N de Cauchy en X × Y . Entonces kzn − zm k = kxn − xm k + kyn − ym k < ε, ∀n, m > N. 174

Esto implica que {xn }n∈N , {yn }n∈N son de Cauchy en X e Y , respectivamente; por tanto convergen. Si xn → x, yn → y, entonces (xn , yn ) → (x, y), trivialmente. Ejemplos. 1) El adjunto de un operador es siempre cerrado (cap´ıtulo VII, corolario 1.9). 2) Si f : R → R es continua, entonces G(f ) es cerrado. Probaremos que, bajo ciertas condiciones, si el gráfico es cerrado, la función es continua. Probaremos en primer lugar una propiedad que es usada a veces como definición de operador cerrado. 7.2.- Teorema. Sea T : D(T ) ⊂ X → Y un operador lineal, donde X e Y son normados. Entonces T es cerrado si y s´ olo si cada vez que xn → x con xn ∈ D(T ) y T xn → y, entonces x ∈ D(T ) y T x = y. Demostraci´ on. a) Supongamos que T es cerrado y sea (xn )n∈N una sucesión en D(T ) tal que xn → x y T xn → y. Entonces: k(xn , T xn ) − (x, y)k = kxn − xkX + kT xn − ykY → 0. Como el gráfico es cerrado, (x, y) ∈ G(T ), de modo que x ∈ D(T ) y T x = y. b) Rec´ıprocamente, para probar que G(T ) es cerrado, consideramos en G(T ) la sucesión ((xn , T xn ))n∈N tal que (xn , T xn ) → (x, y). Entonces kxn − xk + kT xn − yk → 0, con lo que kxn −xk → 0 y kT xn −yk → 0. Por hipótesis, x ∈ D(T ) y T x = y, lo que quiere decir que (x, y) ∈ G(T ). ♦ 7.3.- Teorema (gráfico cerrado). Sea T : D(T ) ⊂ X → Y un operador lineal entre dos espacios de Banach X e Y . Si D(T ) es cerrado en X, entonces T es cerrado si y s´ olo si T es acotado. Demostraci´ on. a) Si T es acotado, es continuo. Por el teorema anterior, es evidente que T es cerrado. b) Supongamos ahora que G(T ) es cerrado en X × Y , donde D(T ) es cerrado en X; en consecuencia, G(T ) y D(T ) son completos. Consideramos la aplicación P : G(T ) → D(T ) definida como P (x, T x) = x que es lineal y acotada pues kP (x, T x)k = kxk ≤ kxk + kT xk = k(x, T x)k. Además P es biyectiva porque su inversa P −1 : D(T ) → G(T ) es P −1 x = (x, T x). Podemos aplicar el teorema de la aplicación abierta; as´ı P −1 es 175

acotada y existe k : k(x, T x)k ≤ kkxk, ∀x ∈ D(T ). Entonces T está acotado porque kT xk ≤ kxk + kT xk = k(x, T x)k ≤ kkxk, ∀x ∈ D(T ).

♦

7.4.- Ejemplo (operador diferencial). Sea X = C[0, 1] y T : D(T ) → X definida por T x = x0 , donde x0 representa la derivada y D(T ) es el conjunto de funciones con derivada continua en [0, 1]. Entonces T es cerrado pero no acotado. Demostraci´ on. Si consideramos la sucesión {xn }n∈N definida por xn (t) = tn , t ∈ [0, 1], entonces T xn (t) = ntn−1 y kxn k = máx0≤t≤1 |xn (t)| = 1, con lo que kT xn k = n; por lo tanto no existe k ∈ R tal que kT xn k ≤ k. Entonces T no está acotado. Sea la sucesión {xn }n∈N en D(T ) tal que xn → x y T xn = x0n → y. Como la convergencia en norma de C[0, 1] es la convergencia uniforme, tenemos Z

t

Z y(s)ds =

0

t

l´ım x0n (s)ds

Z = l´ım n

0

Esto implica que x(t) = x(0) + y.

Rt 0

t

x0n (s)ds = x(t) − x(0).

0

y(s)ds y, por tanto, x ∈ D(T ) y x0 =

Por el teorema anterior, T es cerrado. Esto a su vez implica que D(T ) no es cerrado en X porque, en caso contrario, T ser´ıa acotado. ♦ Veamos a continuación que también existen operadores acotados pero no cerrados. Si T : D(T ) → D(T ) ⊂ X es el operador identidad, donde D(T ) es un subespacio denso propio de X, es trivial que T es lineal y acotado, pero no es cerrado porque si x ∈ X \ D(T ), existe {xn }n∈N en D(T ) tal que xn → x. Sin embargo, existe una relación como se expresa a continuación. 7.5.- Lema. Sea T : D(T ) → Y un operador lineal acotado con dominio D(T ) ⊂ X y X, Y espacios normados. Entonces: (a) Si D(T ) es cerrado en X, entonces T es cerrado. (b) Si T es cerrado e Y es completo, entonces D(T ) es cerrado en X. Demostraci´ on. (a) Sea (xn )n∈N ⊂ D(T ) tal que xn → x y T xn → y. Entonces x ∈ D(T ) = D(T ) y T xn → T x porque T es continuo. (b) Sea x ∈ D(T ). Entonces existe {xn }n∈N en D(T ) tal que xn → x. Como T es acotado, kT xn − T xm k ≤ kT k · kxn − xm k. Por tanto, {T xn }n∈N es 176

de Cauchy, con lo que converge a y ∈ Y por ser Y completo. Como T es cerrado, x ∈ D(T ) (y T x = y), lo que prueba que D(T ) es cerrado. ♦

8. CLAUSURA DE UN OPERADOR.

En el apartado anterior se consideran operadores cerrados. Estudiaremos ahora la manera de construir operadores cerrados como extensión de ciertos operadores. Consideremos un operador lineal T : D(T ) ⊂ X → Y entre dos espacios normados X e Y . Como sabemos, T es cerrado si y sólo si su grafo G(T ) es cerrado en X × Y . Supongamos ahora que T no es cerrado. 8.1.- Definici´ on. Se dice que T es clausurable si existe una extensión cerrada de T , es decir ∃T1 operador cerrado tal que T1 |D(T ) = T . 8.2.- Proposici´ on. Si T es clausurable, admite una extensi´ on cerrada minimal, llamada clausura de T y que representaremos por T . Adem´ as G( T ) = G(T ). Demostraci´ on. Sea T1 una extensión cerrada de T . Entonces G(T1 ) es cerrado y G(T ) ⊂ G(T1 ) as´ı como G(T ) ⊂ G(T1 ). Por tanto G(T ) no contiene puntos de la forma (0, y) con y 6= 0. Esto a su vez implica que G(T ) es el gráfico de un operador, que llamaremos T , el cual es evidentemente cerrado. Cualquier otro operador cerrado T 0 que sea extensión de T deberá verificar que G(T ) ⊂ G(T 0 ) de donde G( T ) = G(T ) ⊂ G(T 0 ), es decir será también extensión de T . ♦ De lo anterior se deduce que x ∈ D( T ) si y sólo si existe una sucesión (xn )n∈N contenida en D(T ) tal que xn → x y T xn → T x, con lo que D(T ) ⊂ D( T ) ⊂ D(T ). Damos a continuación algunas caracterizaciones de los operadores clausurables. 8.3.- Proposici´ on. Dado un operador lineal T : D(T ) ⊂ X → Y , son equivalentes: i) T es clausurable. ii) G(T ) no contiene puntos de la forma (0, y) con y 6= 0. iii) Si (xn )n∈N ⊂ D(T ) es tal que xn → 0, T xn → y, entonces y = 0. 177

Para la demostración basta tener en cuenta el resultado anterior y el hecho de que, si (0, y) ∈ G(T ), existe (xn )n∈N ⊂ D(T ) tal que xn → 0, T xn → y, de modo que iii) =⇒ ii). 8.4.- Ejemplo. Consideramos el operador derivación T x = x0 en el espacio L2 [0, 1]. En este caso D(T ) = {x ∈ L2 [0, 1] : ∃x0 ∈ L2 [0, 1]}. Este operador ya no es cerrado como lo era en el caso de las funciones continuas. Veamos sin embargo que es clausurable. Sea para ello z ∈ C01 [0, 1] una función de clase R1 C 1 que se anula en los extremos 0 y 1. Si x ∈ D(T ), entonces 0 x0 (t)z(t)dt = R1 − 0 z 0 (t)x(t)dt. Sea (xn )n∈N ⊂ D(T ) una sucesión tal que xn → 0 y T xn = x0n → y. Como Z 1 1 0 ∀z ∈ C0 [0, 1], hy, zi = l´ımhxn , zi = l´ım x0n (t)z(t)dt 0 Z 1 = − l´ım xn (t)z 0 (t)dt = − l´ımhxn , z 0 i = 0, 0

al ser C01 denso en L2 [0, 1], será y = 0. Por la proposición anterior se deduce que T es clausurable. As´ı pues, D( T ) es el espacio de las funciones x ∈ L2 [0, 1] para las cuales ∃(xn )n∈N ⊂ C01 [0, 1], con kxn − xk2 → 0 y ∃y ∈ L2 [0, 1], con kx0n − yk2 → 0. Aunque un elemento de D( T ) puede no ser derivable, la función y se llama derivada generalizada de x en sentido de Sobolev. El espacio D( T ) se suele designar por W20 y llamarse espacio de Sobolev. Mostramos por u ´ltimo una clase particular de operadores clausurables, para los que D( T ) = D(T ) y obtenidos mediante el principio de extensión por continuidad. Para ello supondremos que T : D(T ) ⊂ X → Y es un operador lineal acotado e Y es de Banach. 8.6.- Lema. Bajo las condiciones anteriores, existe un u ńico operador lineal acotado Tb definido en D(T ), que extiende a T y tal que kT k = kTbk. Dicho operador es precisamente la clausura de T . Para probar este resultado basta definir Tb como Tbx = l´ım T xn , donde xn ∈ D(T ) y xn → x. CONSIDERACIONES FINALES. Un contexto más abstracto donde se pueden enunciar versiones más generales de los resultados del cap´ıtulo corresponde a los espacios de Fréchet, que son espacios vectoriales topológicos cuya topolog´ıa está inducida por una métrica invariante por traslaciones y completa (ver [Ru]). Se deja al lector el análisis comparativo de los resultados en uno y otro contexto. 178

EJERCICIOS.

1. Si un funcional sub-aditivo p sobre un espacio normado X es continuo en 0 y p(0) = 0, probar que p es continuo para todo x. Resp.: Por hipótesis, si xn → 0, p(xn ) → p(0) = 0. Sea ahora una sucesión (yn )n∈N tal que yn → y. Entonces yn − y → 0 =⇒ p(yn − y) → 0 y − yn → 0 =⇒ p(y − yn ) → 0. Ahora bien,   p(yn ) − p(y) ≤ p(yn − y) → 0 =⇒ p(yn ) → p(y). |p(yn ) − p(y)| = ó   p(y) − p(yn ) ≤ p(y − yn ) → 0 2. Probar que un funcional p : X → E sobre un espacio vectorial X es una seminorma si y s´ olo si es sim´ etrica y convexa. Resp.: =⇒) Si p es seminorma, debemos ver que es convexa: ∀x ∈ X, α ∈ [0, 1] : p(αx + (1 − α)y) ≤ p(αx) + p((1 − α)y) = αp(x) + (1 − α)p(y). ⇐=) Veamos ahora que p es subaditiva: p(x + y) = 2p(x/2 + y/2) ≤ 2 ·

1 1 p(x) + p(y) = p(x) + p(y). 2 2

3. Sea p un funcional sub-lineal sobre un espacio vectorial real X . Si x0 es un elemento fijo de X , llamamos Z = {x ∈ X : x = αx0 , α ∈ R}

y definimos f (x) = αp(x0 ), para todo x ∈ Z . Probar que existe F : X → R lineal tal que F (x) ≤ p(x), ∀x ∈ X. Resp.: Basta probar que f es lineal sobre Z y verifica f (x) ≤ p(x), ∀x ∈ Z. El resto se deduce del teorema de Hahn-Banach. 179

• Si x = x0 , f (x0 = p(x0 ). • Si x = αx0 , α > 0 : f (x) = αp(x0 ) = p(αx0 ) = p(x). • Si x = αx0 , α < 0 : f (x) = αp(x0 ) = −(−αp(x0 )) = −p(−αx0 ) = −p(−x). Como p es sub-lineal, p(0) ≤ p(x) + p(−x), pero p(0) ≥ 0, lo que implica que −p(−x) ≤ p(x) y as´ı f (x) ≤ p(x). 4. Sean X e Y dos espacios de Banach y T ∈ L(X, Y ). Se define el adjunto de T como el operador T ∗ : Y 0 → X 0 definido por (T ∗ g)(x) = g(T x), ∀g ∈ Y 0 , x ∈ X.

Probar que T ∗ ∈ L(Y 0 , X 0 ) y kT ∗ k = kT k. Resp.: Veamos en primer lugar que T ∗ es lineal y acotado. • T ∗ es lineal pues, ∀x ∈ X: T ∗ (λ1 g1 + λ2 g2 )(x) = (λ1 g1 + λ2 g2 )(T x) = λ1 g1 (T x) + λ2 g2 (T x) = λ1 (T ∗ g1 )(x) + λ2 (T ∗ g2 )(x) = (λ1 T ∗ g1 + λ2 T ∗ g2 )(x). • T ∗ acotado: Por definición, kT ∗ k = sup kT ∗ gk con kT ∗ gk = sup |(T ∗ g)(x)| = sup |g(T x)|. kgk=1

kxk=1

kxk=1

Ahora bien, como |g(T x)| ≤ kgk · kT xk ≤ kgk · kT k · kxk, ∀x, se deduce que kT ∗ gk ≤ kgk · kT k. Por tanto, kT ∗ k ≤ kT k. • Para probar que kT ∗ k = kT k, usaremos el siguiente resultado (corolario 2.2 del teorema de Hahn-Banach): ∀x ∈ X, ∃g ∈ Y 0 : kgk = 1, g(T x) = kT xk. Por tanto, kT xk = g(T x) = (T ∗ g)(x) ≤ kT ∗ gk·kxk ≤ kT ∗ k·kgk·kxk = kT ∗ k·kxk, lo cual implica que kT k ≤ kT ∗ k.

180

5. Sea X un espacio de Banach. Dados dos subespacios M ⊂ X , N ⊂ X 0 , se definen los anuladores de M y N como M ⊥ = {f ∈ X 0 : f (x) = 0, ∀x ∈ M }, ⊥

N

= {x ∈ X : g(x) = 0, ∀g ∈ N },

respectivamente. a) Probar que M ⊥ y ⊥ N son subespacios cerrados de X 0 y X , respectivamente, y que ⊥ (M ⊥ ) = M . b) Si M es un subespacio cerrado de X , probar que existe un isomorfismo isom´ etrico entre M 0 y X 0 /M ⊥ . c) Probar que N (T ∗ ) = R(T )⊥ y N (T ) = ⊥ R(T ∗ ). Resp.: a) Es fácil comprobar que M ⊥ y ⊥ N son subespacios. Veamos que son cerrados: • Si f ∈ M ⊥ , ∃{fn }n∈N ⊂ M ⊥ : fn → f , es decir kfn − f k → 0. Como fn ∈ M ⊥ , fn (x) = 0, ∀x ∈ M . Además, |fn (x) − f (x)| = k(fn − f )(x)k ≤ kfn − f k · kxk → 0, de modo que f (x) = 0, ∀x ∈ M , es decir f ∈ M ⊥ . • Sea x ∈ ⊥ N . Entonces ∃{xn }n∈N ⊂ ⊥ N tal que kxn − xk → 0. Por definición, g(xn ) = 0, ∀g ∈ N . Además |g(xn ) − g(x)| = |g(xn − x)| ≤ kgk · kxn − xk → 0, de modo que g(x) = 0, ∀g ∈ N , es decir x ∈ ⊥ N . Veamos ahora que ⊥ (M ⊥ ) = M . • Si x ∈ M , f (x) = 0 cuando f ∈ M ⊥ . Por tanto, x ∈ ⊥ (M ⊥ ). Como ⊥ (M ⊥ ) es cerrado, M ⊂ ⊥ (M ⊥ ). • Supongamos por reducción al absurdo que ∃y ∈ ⊥ (M ⊥ ) pero y 6∈ M . Entonces d(y, M ) = d > 0. Por el teorema de Hahn-Banach, ∃f ∈ X 0 , con kf k = 1, tal que f (x) = 0, ∀x ∈ M (es decir f ∈ M ⊥ ) y f (y) 6= 0. Por otro lado, como y ∈ ⊥ (M ⊥ ), f (y) = 0, ∀f ∈ M ⊥ lo que es absurdo. b) Dado m0 ∈ M 0 , por el teorema de Hahn-Banach, existe x0 ∈ X 0 extensión lineal de m0 con kx0 k = km0 k. Definimos as´ı σ : M 0 → X 0 /M ⊥ por σ(m0 ) = x0 + M ⊥ . • σ está bien definida: Si x0 , y 0 son extensiones de m0 , x0 − y 0 ∈ M ⊥ , de donde x0 + M ⊥ = y0 + M ⊥. 181

• σ es lineal: Si z 0 + M ⊥ = σ(m0 + n0 ), x0 + M ⊥ = σ(m0 ), y 0 + M ⊥ = σ(n0 ), entonces x0 |M = m0 , y 0 |M = n0 y z 0 |M = m0 + n0 , de donde (x0 + y 0 − z 0 )(m) = m0 (m) + n0 (m) − (m0 + n0 )(m) = 0, ∀m ∈ M por lo que x0 + y 0 − z 0 ∈ M ⊥ y σ(m0 + n0 ) = σ(m0 ) + σ(n0 ). Análogamente se prueba la homogeneidad de σ. • σ es sobre: Dado x0 +M ⊥ ∈ X 0 /M ⊥ , llamamos m0 = x0 |M . Entonces m0 ∈ M 0 y σ(m0 ) = x0 + M ⊥ . • σ es isometr´ıa: Si m0 ∈ M 0 y x0 ∈ X 0 es una extensión de m0 , entonces km0 k ≤ kx0 k. Como kx0 + M ⊥ k = ´ınf{kx0 + m01 k : m01 ∈ M ⊥ } ≤ kx0 k, entonces km0 k ≤ kσ(m0 )k ≤ kx0 k. Por el teorema de HahnBanach, existe x0 extensión de m0 con kx0 k = km0 k. Entonces km0 k = kσ(m0 )k. c) Aplicando las definiciones, se deduce fácilmente que: ∈ N (T ∗ ) ⇐⇒ T ∗ g = 0 ⇐⇒ (T ∗ g)(x) = 0, ∀x ∈ X ⇐⇒ g(T x) = 0, ∀x ∈ X ⇐⇒ g ∈ R(T )⊥ . x ∈ N (T ) ⇐⇒ T x = 0 ⇐⇒ g(T x) = 0, ∀g ∈ Y 0 ⇐⇒ (T ∗ g)(x) = 0, ∀g ∈ Y 0 ⇐⇒ f (x) = 0, ∀f ∈ R(T ∗ ) ⇐⇒ x ∈ ⊥ R(T ∗ ). 6. a) Sea X un espacio normado y M ⊂ X un subespacio. Probar la equivalencia: M = X ⇐⇒ M ⊥ = 0.

b) Sean X e Y dos espacios normados y T ∈ L(X, Y ). Probar que T ∗ es inyectiva si y s´ olo si R(T ) es denso en Y. Resp.: a) =⇒: Dado x ∈ X, por hipótesis ∃{xn }n∈N ⊂ M tal que xn → x. Si f ∈ X 0 es tal que f (x) = 0, ∀x ∈ M , entonces f (xn ) = 0. Por la continuidad de f se deduce que f (xn ) → f (x) de modo que f (x) = 0. ⇐=: Sea ahora x ∈ X y llamamos d = d(x, M ). Si x 6∈ M , entonces d > 0 y existe F ∈ X 0 tal que kF k = 1, F (x) = d y F (z) = 0, ∀z ∈ M . Por hipótesis, como F (z) = 0, ∀z ∈ M , entonces F (x) = 0, de modo que d = 0, lo que es absurdo. 182

b) =⇒: Supongamos que T ∗ es inyectiva. Si R(T ) 6= Y , por el apartado a), existe un funcional g ∈ Y 0 no nulo tal que g(y) = 0, ∀y ∈ R(T ). Esto implica que g(T x) = 0, ∀x ∈ X y, por definición del adjunto, (T ∗ g)(x) = 0, ∀x ∈ X, es decir, T ∗ g = 0. Esto implica que g ∈ N (T ∗ ), lo que contradice la hipótesis. ⇐=: Rec´ıprocamente, si R(T ) = Y , por el apartado a), todo funcional g ∈ Y 0 tal que g(y) = 0, ∀y ∈ R(T ), es nulo. Pero g(y) = 0, ∀y ∈ R(T ) implica que g(T x) = 0, ∀x ∈ X, es decir (T ∗ g)(x) = 0, ∀x ∈ X. De la afirmación anterior se deduce que N (T ∗ ) = 0, es decir T ∗ es inyectiva. 7. Sea X un espacio normado. Probar que ∀x ∈ X, ∃f ∈ X 0 tal que kf k = kxk y f (x) = kxk2 . Concluir que ∀x ∈ X, kxk = sup{|f (x)| : f ∈ X 0 , kf k ≤ 1}. Resp.: Fijado x ∈ X, definimos M = {λx : λ ∈ E} y f0 (λx) = λkxk2 . As´ı definido, f0 : M → E es lineal y acotado y k0 f k = kxk. Por el teorema de Hahn-Banach, ∃f : X ∈ E : f (x) = kxk2 y kf k = kxk. Para probar la segunda parte, por un lado, como ∀f ∈ X 0 , |f (x)| ≤ kf k · kxk, entonces sup{|f (x)| : f ∈ X 0 , kf k ≤ 1} ≤ kxk. Por otra parte, si aplicamos el apartado anterior, dado x, ∃f ∈ X 0 (x) tal que kf k = kxk y f (x) = kxk2 . Si definimos f1 (x) = fkxk , entonces kf1 k = 1 y f1 (x) = kxk lo que implica que kxk ≤ sup{|f (x)| : f ∈ X 0 , kf k ≤ 1}. 8. Sean X, Y espacios normados y x0 ∈ X , x0 6= 0. Dado y0 ∈ Y , probar que existe T : X → Y lineal y continua tal que T (x0 ) = y0 , de forma que kT k · kx0 k = ky0 k. Resp.: Si definimos f0 : h{x0 }i → E por f0 (λx0 ) = λ, entonces f0 es lineal y continua. Además kf0 k = supλ6=0 |f0 (λx0 )|/kλx0 k = 1/kx0 k. Por el teorema de Hahn-Banach, ∃f ∈ X 0 : f |h{x0 }i = f0 y kf k = kf0 k = kx10 k . 183

Dado y0 ∈ Y, definimos g : E → Y por g(λ) = λy0 . Entonces g es lineal y continua, por lo que T = g ◦ f es lineal y continua. Además T (x0 ) = (g ◦ f )(x0 ) = y0 y k(g ◦ f )(x)k = kf (x)y0 k = |f (x)| · ky0 k lo que implica que kT k = sup x6=0

k(g ◦ f )(x)k |f (x)| · ky0 k ky0 k = sup = kf k · ky0 k = . kxk kxk kx 0k x6=0

9. Sean X, Y espacios normados con X 6= {0}. Probar que Y es de Banach si L(X, Y ) es de Banach. Resp.: Sea {yn }n∈N una sucesión de Cauchy en Y . Como X 6= {0}, ∃x0 ∈ X con kx0 k = 1. Por un corolario del teorema de Hahn-Banach, ∃f ∈ X 0 tal que f (x0 ) = 1 y kf k = 1. Definimos la sucesión {Tn }n∈N de operadores Tn : X → Y por Tn (x) = f (x)yn , que es evidentemente lineal. Como f es continua, ∃M > 0 : |f (x)| ≤ M kxk, ∀x ∈ X; entonces kTn (x)k = kf (x)yn k = |f (x)| · kyn k ≤ M kyn k · kxk, ∀x ∈ X, lo que implica que cada Tn es continua. Como kf k = 1,

|f (x)| kxk

≤ 1, ∀x 6= 0, es decir |f (x)| ≤ kxk; entonces

kTn (x)k = |f (x)| · kyn k ≤ kxk · kyn k =⇒ kTn k ≤ kyn k. Además, como kTn (x0 )k = |f (x0 )| · kyn k = kyn k =⇒ kyn k ≤ kTn k. Los resultados anteriores muestran pues que kTn k = kyn k. As´ı pues, {Tn }n∈N es también de Cauchy y, por ser L(X, Y ) de Banach, ∃T ∈ L(X, Y ) tal que Tn → T . Probaremos que {yn }n∈N converge a T (x0 ). En efecto, como kyn − T (x0 )k = kTn (x0 ) − T (x0 )k = k(Tn − T )(x0 )k ≤ kTn − T k · kx0 k = kTn − T k, dado ε > 0, ∃n0 : kTn − T k < ε, ∀n ≥ n0 y también kyn − T (x0 )k < ε, ∀n ≥ n0 .

184

10. Sea X un espacio normado y x ∈ X un elemento de norma 1. Probar que existe un subespacio cerrado M de X tal que X = M ⊕ h{x}i y d(x, M ) = 1. Resp.: Definimos f : h{x}i → E por f (αx) = α. Como |f (αx)| = |α| = |α| · kxk, es claro que kf k = 1. Por el teorema de Hahn-Banach, ∃F : X → E lineal y acotado tal que kF k = 1 y F (x) = 1. Sea M = N (F ), que es un subespacio cerrado de X. Para todo y ∈ X, si llamamos α = F (y), F (y − αx) = F (y) − αF (x) = 0, es decir, y − αx ∈ M. De este modo, y = αx + m, con m ∈ M. Además, como kF k = 1, entonces |F (y)| ≤ kyk, ∀y ∈ X. En particular, si y = x−m, |F (y)| = 1 y 1 ≤ kx−mk, lo que implica que d(x, M ) ≥ 1. Ahora bien, como kxk = kx − 0k = 1, d(x, M ) = 1. 11. Sea S(0, r) una esfera arbitraria en un espacio normado X y x0 ∈ S(0, r) un punto cualquiera. Probar que existe un hiperplano H0 a contenida que contiene a x0 y tal que la bola cerrada B(0, r) est´ en uno de los dos semiespacios determinados por H0 . Resp.: Es consecuencia del anterior. Obtenemos M = N (F ) y definimos H0 = x0 + M , H0 = {x ∈ X : F (x) = r}. Gráficamente, la idea es la siguiente:

x0 h{x0 }i 12. Sea S : `2 → `2 el operador definido por S(x1 , x2 , . . . ) = (x3 , x4 , . . . ) 185

y llamamos Tn = S n . Encontrar una cota para kTn xk y calcular l´ımn kTn xk, kTn k, l´ımn kTn k. Resp.: Es fácil comprobar que Tn (x1 , x2 , . . . ) = S n (x1 , x2 , . . . ) = (x2n+1 , x2n+2 , . . . ). P Entonces, kTn xk2 = ( k≥2n+1 |xk |2 )1/2 ≤ kxk2 , de donde l´ımn kTn xk = 0 por ser el resto de una serie convergente. Además, como kTn xk ≤ kxk, kTn k ≤ 1. Por otra parte, para e1 = (1, 0, 0, . . . ), kTn e1 k = ke2n+1 k = ke1 k, lo que implica que kTn k = 1, de donde l´ımn kTn k = 1. Obsérvese que l´ımn kTn xk = 6 l´ımn kTn k · kxk. 13. Sean (X1 , k · k1 ) un espacio normado y (X2 , k · k2 ) un espacio de Banach. Consideramos la familia {Tα }α∈I ⊂ L(X1 , X2 ) tal que l´ım supα kTα k < ∞. Sea L = {x ∈ X1 : ∃ l´ımα Tα (x)}. Probar que L es un subespacio cerrado de X1 . Concluir que si {Tα (x)}α converge para todo x ∈ M , para alg´ un M denso en X1 , entonces {Tα (x)}α converge para todo x ∈ X1 . Resp.: a) La prueba de que L es subespacio es directa. Veamos que es cerrado: Sea x ∈ L; entonces ∃xn ∈ L : xn → x. Como xn ∈ L, ∃ l´ımα Tα xn = yn . As´ı, {yn }n∈N es una sucesión en X2 tal que kTα xn − Tα xm k ≤ kTα k · kxn − xm k → 0, de donde kyn − ym k → 0. Como X2 es completo, ∃y ∈ X2 : yn → y. Veamos que l´ımα Tα x = y: |Tα x − yk ≤ kTα x − Tα xn k + kTα xn − yn k + kyn − yk ≤ kTα k · kx − xn k + kTα xn − yn k + kyn − yk → 0. Esto quiere decir que x ∈ L y L es cerrado. b) Supongamos por el contrario que ∃x ∈ X1 : {Tα x}α no converge; entonces x 6∈ L. 186

Como M = X1 , ∃xn ∈ M : xn → x. Entonces {Tα xn }α converge, ∀n, de donde xn ∈ L, ∀n. De aqu´ı, x ∈ L = L, lo que contradice lo anterior. 14. Probar que la completitud de un espacio X es esencial en el teorema de acotaci´ on uniforme. Resp.: Consideramos el conjunto X = {x ∈ `∞ : ∃N = N (x), xn = 0, ∀n > N } y definimos la sucesión de funcionales Tn : X → E por Tn (x) = nxn . Está claro que X no es completo pues x(n) = (1, .(n) . ., 1/n, 0, . . . ) ∈ X pero l´ımn x(n) = (1, 1/2, . . . ) 6∈ X. ( 0 si n > N Como ∀x ∈ X, ∃N : xn = 0, ∀n > N , entonces Tn x = nxn si n ≤ N. As´ı pues, |Tn x| = 0 si n > N y |Tn x| ≤ N · kxk si n ≤ N. n x| Como kTn k ≥ |Tkxk , ∀x 6= 0, tomando x = (1, .(n) . ., 1, 0, . . . ), entonces Tn x = n y kxk = 1, de donde kTn k ≥ n y {kTn k}n∈N no está acotado.

15. Sea c0 ⊂ `∞ el subespacio de las sucesiones complejasPque convergen a cero, y sea y = (yn )n∈N una sucesi´ on talPque n∈N xn yn converge para todo x = (xn )n∈N ∈ c0 . Probar que n∈N |yn | < ∞. Resp.: Definimos Tn : c0 → C por Tn x = M = {y = (yn )n :

X

Pn

k=1 xk yk ,

∀y ∈ M , donde

xn yn converge, ∀x ∈ c0 }.

n∈N

P P Como |Tn x| = nk=1 xk yk está acotado por ser { nk=1 xk yk }n∈N una sucesión convergente (sucesión de sumas parciales de una serie convergente), podemos aplicar el teorema de acotación uniforme. De lo anterior se deduce que kTn k ≤ c, ∀n. Como Pn |Tn x| k=1 xk yk kTn k ≥ = , kxk kxk 187

P |yk |

(

P si k ≤ n y resulta kTn k ≥ = nk=1 |yk |. 1 si k > n, P Tenemos as´ı una sucesión { nk=1 |yk |}n∈N acotada superiormente y Pn creciente (todos sus términos son positivos). Entonces { k=1 |yk |}n∈N P converge y la serie correspondiente ∞ |y | es convergente. k k=1 elegimos x =

y k /|yk | 0

16. Si X e Y son espacios de Banach y Tn ∈ L(X, Y ), n ≥ 1, probar la equivalencia de las siguientes proposiciones:

i) {kTn k}n es acotada. ii) {kTn xk}n es acotada para todo x ∈ X . iii) {|g(Tn x)|}n es acotada para todo x ∈ X y todo g ∈ Y 0 . Resp.: i) =⇒ ii) =⇒ iii) son evidentes. iii) =⇒ i). Para cada x ∈ X, definimos la sucesión de funcionales yn : Y 0 → C por yn (g) = g(Tn x). Por hipótesis, {|yn (g)|}n∈N está acotada lo que implica que {kyn k}n∈N es acotada. Pero, como kyn k = kTn xk, por el teorema de acotación uniforme, {kTn k}n∈N está acotada. d

17. Si xn → x0 en un espacio normado X , probar que x0 ∈ M , donde M = h{xn }n∈N i. Resp.: Si, por el contrario, x0 6∈ M , por un corolario del teorema de Hahn-Banach, llamando d = d(x0 , M ) > 0, existe f ∈ X 0 : kf k = 1, f (y) = 0, ∀y ∈ M y f (x0 ) = d. Ahora bien, como xn ∈ M, f (xn ) = 0, ∀n ∈ N, y de la convergencia d

xn → x0 , se deduce que f (xn ) → f (x0 ). Por lo tanto, f (x0 ) = 0, lo que contradice la suposición anterior. 18. Sea H un espacio de Hilbert y {ek }k∈N una base ortonormal. Dada una sucesi´ on {xn }n∈N en H , probar que d

xn → x ⇐⇒ hxn , ek i → hx, ek i, ∀k . 188

Resp.: =⇒: Para cada ek existe, por el teorema de representación de Riesz, un funcional fk ∈ H 0 tal que hx, ek i = fk (x), ∀x ∈ H. Como, por hipótesis, fk (xn ) → fk (x), deducimos que hxn , ek i → hx, ek i. ⇐=: Sea f ∈ H 0 arbitrario. Nuevamente por el teorema de representación de Riesz, existe un u ńico elemento y ∈ H tal queP f (x) = hx, yi, ∀x ∈ H. Al ser {ek }k∈N una base ortonormal de H, y = k∈N hy, ek iek , de modo que X X f (x) = hx, yi = hy, ek ihx, ek i y f (xn ) = hxn , yi = hy, ek ihxn , ek i. k∈N

k∈N

De estas igualdades y de la hipótesis hxn , ek i → hx, ek i se deduce la d

convergencia f (xn ) → f (x), es decir xn → x. R1 19. En el espacio C[0, 1] con la norma kf k = 0 |f (t)|dt, encontrar una sucesi´ on (fn )n∈N convergente en norma a g ∈ C[0, 1] pero no convergente puntualmente. R1 Resp.: Definimos fn (t) = tn . As´ı kfn k = 0 tn dt = 1/(n + 1) de modo que fn → 0 en la norma k · k1 . ( 0 si t < 1 n Por otra parte, l´ımn→∞ t = que no es continua en 1 si t = 1, [0, 1]. 20. a) Se define la sucesi´ on fn : [0, ∞) → R por ( n −n/2x2 si x 6= 0, 3e fn (x) = x 0 si x = 0.

Estudiar la convergencia puntual, en L1 y en L∞ . b) Idem para la sucesi´ on fn (x) = sen2

π x

· χ[

1 ,1 n+1 n

] (x), fn (0) = 0.

Resp.: a) Como n −n/2x2 n/x3 1/x3 e = l´ ım = l´ ım =0 n→∞ x3 n→∞ en/2x2 n→∞ (1/2x2 )en/2x2 l´ım

189

si x 6= 0, entonces fn → 0 puntualmente pues |fn (x)| → 0, ∀x ∈ [0, ∞]. Por otra parte, Z

∞

kfn k1 = 0

n −n/2x2 2 B e dx = l´ım e−n/2x 0 = 1 3 B→∞ x

lo que implica que fn 6→ 0 en L1 . Para estudiar la convergencia en L∞ , calculemos kfn k∞ = sup x∈[0,∞]

n −n/2x2 e . x3

Debido a que 3n −n/2x2 n n − 3x2 −n/2x2 e = e , x6 x4 x4 x2 p se deduce que fn alcanza el máximo en x = n/3. De aqu´ı, √ p 3 3 3/2 kfn k∞ = fn ( n/3) = √ e → 0 n fn0 (x) =

n2

−

cuando n → ∞; por tanto, fn → 0 en la norma uniforme. b) Para los valores x 6∈ [0, 1], fn (x) = 0, con lo que fn (x) → 0. h i Si x ∈ (0, 1], ∃n0 ∈ N : x > 1/n0 , es decir x 6∈ n01+1 , n10 ; entonces fn (x) = 0, ∀n > n0 , y nuevamente fn (x) → 0. La convergencia no es uniforme porque, tomando xn = que xn → 0 pero l´ımn→∞ fn (xn ) = 1 6= f (0) = 0.

2 2n+1 ,

es claro

Para cualquier p ≥ 1 tenemos: Z ∞ Z 1 n π p 1 1 1 kfn kpp = |fn (x)|p dx = sen2 = → 0. dx ≤ − 1 x n n + 1 n(n + 1) −∞ n+1

De aqu´ı se deduce que fn → 0 en Lp , ∀p ≥ 1. 21. Sean X un espacio de Banach, Y normado y Tn ∈ L(X, Y ). Si {Tn }n∈N converge fuertemente, probar que {kTn k}n∈N es acotado. O bien: si Tn x → T x, ∀x ∈ X =⇒ T ∈ L(X, Y ). Resp.: Por hipótesis, la sucesión {Tn x}n∈N converge, ∀x ∈ X. Esto implica que {kTn xk}n∈N es acotado. Por el teorema de acotación uniforme, {kTn k}n∈N es acotado.

190

22. Probar que el operador T : L1 [1, ∞) → L1 [1, ∞) definido por (T f )(t) = t−1 f (t) es acotado pero no abierto. Resp.: Debido a la acotación Z Z ∞ |T f (t)|dt = kT f k1 =

∞

1

1

Z ∞ f (t) |f (t)|dt = kf k1 , dt ≤ t 1

resulta que kT k ≤ 1. Para ver que no es abierto, basta encontrar una sucesión de funciones gn ∈ R(T ), con gn → 0 pero kT −1 gn k > 1. ( 2/n2 , t ∈ (1, n + 1) En efecto, si definimos gn (t) = , entonces: 0 resto Z

n+1

|tgn (t)k =

(n + 1)2 − 1 2 dt = > 1, n2 n2 2 2[(n + 1) − 1] dt = → 0. 2 n n2

t· 1

Z kgn k = 1

n+1

Además, gn ∈ R(T ) pues t · gn (t) ∈ L1 . 23. Sea X el subespacio de `∞ formado por las sucesiones que tienen como m´ aximo un n´ umero finito de t´ erminos no nulos y sea T : X → X el operador definido por y = T x = (x1 , x2 /2, x3 /3, . . . ). Probar que T es lineal y acotado pero T −1 no est´ a acotado. ¿Contradice esto el teorema de la aplicaci´ on abierta? Resp.: Es evidente que T es lineal. Para ver que es acotado, basta observar que kT xk∞ = k( xnn )k∞ ≤ kxk∞ , de donde kT k ≤ 1. T es sobre pues ∀x ∈ X, ∃y = (nxn )n∈N ∈ X : T y = x. T es inyectiva: x 6= y =⇒ ∃n ∈ N : xn 6= yn =⇒

xn n

6=

yn n

=⇒ T x 6= T y.

Sin embargo T −1 no es acotado pues, debido a que kT −1 yk = knyn k, −1 (y ) = (nδ )∞ , de donde si elegimos yn = (δnk )∞ n nk k=1 k=1 , entonces T −1 kT yn k = n → ∞. Al no ser X de Banach, no es aplicable el teorema de la aplicación abierta.

191

24. En el espacio X de las funciones reales continuas en [0, 1] se Rt define el operador T : X → X por (T f )(t) = 0 f (s)ds, ∀t ∈ [0, 1]. Encontrar Y = R(T ). Probar que T : X → Y es un operador lineal acotado y biyectivo pero T −1 : Y → X no es acotado como podr´ıa esperarse del teorema de la aplicaci´ on abierta. ¿Por qu´ e? Rt Resp.: Si g ∈ R(T ), ∃f ∈ X : g(t) = 0 f (s)ds =⇒ g 0 (x) = f (x), g(0) = 0. Por tanto, R(T ) = {g ∈ C 1 [0, 1] : g(0) = 0}. Veamos que T es acotado: Z t |f (s)|ds ≤ kf k∞ · t =⇒ kT f k ≤ kf k∞ . |(T f )(t)| ≤ 0

Además, T es inyectiva pues, si T f = 0, entonces f (t) = 0, ∀t =⇒ f = 0.

Rt 0

f (s)ds = 0, ∀t =⇒

Sin embargo, T −1 no es acotado pues T −1 g = g 0 (operador derivada). No se puede aplicar el teorema de la aplicación abierta porque el espacio X no es completo. 25. Sean X e Y espacios de Banach y T : X → Y un operador lineal acotado e inyectivo. Probar que T −1 : R(T ) → X es acotado si y s´ olo si R(T ) es cerrado en Y . Resp.: a) Si R(T ) es cerrado, es completo. Por el teorema de la aplicación abierta, como T : X → R(T ) es biyectivo, ∃T −1 : R(T ) → X acotado. b) Sea y ∈ R(T ); entonces ∃(yn )n∈N ⊂ R(T ) : yn → y y ∃(xn )n∈N ⊂ X : T xn = yn . Como kxn − xm k = kT −1 (yn − ym )k ≤ kT −1 k · kyn − ym k → 0, y X es de Banach, ∃x = l´ımn xn . Por u ´ltimo, teniendo en cuenta que kyn − T xk = kT xn − T xk ≤ kT k · kxn − xk → 0, deducimos que T x = y, es decir y ∈ R(T ).

192

26. Sea T un operador lineal cerrado. Si dos sucesiones {xn }n∈N e {yn }n∈N en D(T ) convergen al mismo l´ımite x y si {T xn }n∈N y {T yn }n∈N convergen, probar que {T xn }n∈N y {T yn }n∈N tienen el mismo l´ımite. Resp.: Si xn → x, yn → x, entonces xn − yn → 0. Por otra parte, si T xn → u, T yn → v, entonces T (xn − yn ) → u − v. Por el teorema del gráfico cerrado, T (0) = 0 = u − v =⇒ u = v. 27. Sea X un espacio vectorial y k·k1 , k·k2 dos normas en X tales que (X, k · k1 ), (X, k · k2 ) son de Banach. Probar que las dos normas son equivalentes si y s´ olo si ∃M > 0 : kxk1 ≤ M kxk2 , ∀x ∈ X . Resp.: Probemos que la aplicación identidad I : (X, k·k1 ) → (X, k·k2 ) es lineal y continua. Para ello, supongamos que kxn − xk1 → 0 y kI(xn ) − yk2 → 0. Entonces kI(x)−yk1 = kx−yk1 ≤ kx−xn k1 +kxn −yk1 ≤ kx−xn k1 +M kI(xn )−yk2 → 0, lo que implica que I(x) = y. Esto prueba que I es un operador cerrado. Por el teorema del gráfico cerrado, I es continua. Entonces kI(x)k2 ≤ bkxk1 y de la hipótesis se deduce que las normas son equivalentes. 28. Supongamos que X es un espacio de Banach respecto a dos normas k · k1 y k · k2 , y que si una sucesi´ on (xn )n∈N ⊂ X converge a los l´ımites y y z en ambos espacios, entonces y = z . Probar que las dos normas son equivalentes. Resp.: De la hipótesis, al igual que el ejercicio anterior, se obtiene inmediatamente que la aplicación identidad I : (X, k · k1 ) → (X, k · k2 ) es biyectiva y cerrada. El teorema del gráfico cerrado asegura que I es continua, es decir kIxk2 ≤ M kxk1 , lo que prueba que las normas son equivalentes.

193

29. Sea X un espacio de Banach y M, N subespacios cerrados de X . Supongamos que cada x ∈ X tiene una representaci´ on u ńica de la forma x = y + z con y ∈ M, z ∈ N . Probar que existe k tal que kyk ≤ kkxk, x ∈ X . Resp.: Se define T : X → X como la proyección T x = y, si x = y + z, con y ∈ M , z ∈ N . Veamos que T cumple las condiciones del teorema del gráfico cerrado: Supongamos que xn → x, T xn → y. Como T xn ∈ M y M es cerrado, y ∈ M , de donde y = T y. Por otra parte, como xn −T xn ∈ N y N es cerrado, entonces x−y ∈ N , de donde T (x − y) = 0, es decir T x = T y. De lo anterior deducimos que y = T x. El teorema del gráfico cerrado prueba entonces que T es continuo, lo que da lugar a la tesis. 30. Sea T : C 1 [0, 2π] → C[0, 2π] el operador definido por (T f )(x) = f (x) + f 0 (x). Probar que T es lineal y cerrado pero no acotado (se supone definida la norma infinito en ambos espacios). Deducir de lo anterior que C 1 [0, 2π] no es de Banach. Resp.: Para ver que T es cerrado, consideramos una sucesión (fn )n∈N de funciones en C 1 [0, 2π] tal que fn → f, T fn → g. Por la convergencia uniforme en [0, 2π], tenemos que: Z

t

Z

t

Z

t

(T fn )(x)dx = l´ım [fn (x) + fn0 (x)]dx n n 0 0 0 Z t Z t = l´ım[fn (t) − fn (0) + fn (x)dx] = f (t) − f (0) + f (x)dx n 0 0 Z t Z t =⇒ f (t) = f (0) + g(x)dx − f (x)dx =⇒ f 0 (t) = g(t) − f (t). g(x)dx = l´ım

0

0

De este modo, f ∈ D(T ) y T f = g. Para ver que T no es acotado, basta tomar la sucesión fn (x) = sen nx, que verifica kfn k∞ = 1, pero kT fn k∞ = supn∈N |n cos nx+sen nx| ≥ n.

194

31. Sea T un operador lineal cerrado con dominio D(T ) en un espacio de Banach X y rango R(T ) en un espacio normado Y . Si T −1 existe y es acotado, probar que R(T ) es cerrado.1 Resp.: Probemos que T −1 es cerrado: Si (yn )n∈N es una sucesión de elementos en D(T −1 ) tal que yn → y, T −1 yn → x, entonces ∃(xn )n∈N ⊂ D(T ) : T xn = yn → y, de donde T −1 yn = xn → x. Como T es cerrado, entonces x ∈ D(T ) y T x = y, es decir y ∈ D(T −1 ), T −1 y = x. Pero si T −1 es cerrado, entonces D(T −1 ) = R(T ) es cerrado. Otra forma de probarlo es ver que G(T −1 ) = {(T x, x) : x ∈ D(T )} ⊂ Y ×X es cerrado, pero como la aplicación f : X ×Y → Y ×X, definida por f (x, y) = (y, x), es isometr´ıa y G(T ) es cerrado, entonces G(T −1 ) es cerrado. 32. Sea T : D(T ) ⊂ X → Y un operador lineal con grafo G(T ), donde X e Y son espacios de Banach. Probar que T tiene una extensi´ on Te que es un operador lineal cerrado con grafo G(T ) si y s´ olo si G(T ) no contiene ning´ un elemento de la forma (0, y), con y 6= 0. Resp.: a) Supongamos que ∃Te extensión lineal cerrada de T con grafo G(Te) = G(T ). Por ser Te lineal, Te(0) = 0, de modo que (0, y) 6∈ G(Te) con y 6= 0, es decir (0, y) 6∈ G(T ). b) Supongamos ahora que G(T ) no contiene ning´ un elemento de la forma (0, y), con y 6= 0. Si existieran (x1 , y1 ), (x1 , y2 ) ∈ G(T ), entonces (0, y1 − y2 ) ∈ G(T ) =⇒ y1 − y2 = 0. Esto asegura que el operador Tex = y1 = y2 está bien definido y es una extensión de T . Además, Te es lineal pues G(T ) es espacio vectorial y Te es cerrado pues G(T ) es cerrado. 33. Demostrar que un operador T : D(T ) ⊂ X → Y es clausurable si y s´ olo si xn ∈ D(T ), xn → x, T xn → y =⇒ y = y 0 . x0n ∈ D(T ), x0n → x, T x0n → y 0 Resp.: Se deduce inmediatamente de la proposición 8.3. 195

De esta propiedad es claro también que D( T ) = {x ∈ X : ∃(xn )n∈N ⊂ D(T ), xn → x, ∃ l´ım T xn }. n

TEMAS COMPLEMENTARIOS 1. Versión geométrica del teorema de Hanh-Banach ([La], [CC]). 2. Integración numérica y convergencia débil-∗ ([Kr]). 3. Sucesiones de Cauchy débiles ([Sc]).

196

V. TEORÍA ESPECTRAL EN ESPACIOS NORMADOS

Damos comienzo en este cap´ıtulo a la llamada teor´ıa espectral de operadores en espacios normados. Toda la información acumulada hasta el momento se irá aplicando sucesivamente al estudio de las propiedades espectrales de los operadores lineales y acotados. Con la mirada puesta en la situación finito-dimensional, trataremos de generalizar los conceptos de resolvente y espectro y de obtener descomposiciones de los operadores compactos mediante proyecciones sobre ciertos subespacios invariantes.

SECCIONES 1. Introducción. Definiciones previas. 2. Propiedades espectrales de los operadores lineales acotados. Funciones de un operador. 3. Operadores compactos. 4. Descomposición espectral de los operadores compactos. 5. Ecuaciones lineales de operadores compactos. Ecuaciones integrales de Fredholm. 6. Ejercicios.

197

´ 1. INTRODUCCION. DEFINICIONES PREVIAS.

Mucha información sobre el comportamiento de un operador lineal A se puede obtener estudiando la familia de operadores A−λI, con λ real o complejo (obsérvese que todo subespacio invariante bajo A es también invariante bajo A − λI y que todos los operadores de la forma A − λI conmutan entre s´ı). Por otra parte, a menudo el inverso de un operador es más importante que el propio operador. En particular, la teor´ıa espectral trata de las propiedades del operador (A − λI)−1 , donde A ∈ L(X) con X espacio normado y λ un escalar fijado (esto permitirá descomponer el operador A en el mayor n´ umero de componentes y, paralelamente, una descomposición del espacio X en suma de subespacios invariantes bajo A). En las aplicaciones prácticas esto permitirá resolver sistemas de ecuaciones lineales, ecuaciones diferenciales y ecuaciones integrales. En el caso de dimensión finita la situación es particularmente simple: dado un operador lineal A : X → X en un espacio normado de dimensión finita, dim X = n, fijado un escalar λ, o existe (A − λI)−1 o no existe; si no existe, en cuyo caso λ recibe el nombre de autovalor de A, se prueba fácilmente que existen como máximo n autovalores y son precisamente las ra´ıces de la ecuación caracter´ıstica det(A − λI) = 0 (donde identificamos el operador A con su matriz asociada respecto a cualquier base de X). En particular se deduce que todo tal operador tiene al menos un autovalor. Además todas las matrices que representan al mismo operador A ∈ L(X) con respecto a distintas bases de X tienen los mismos autovalores. Las cosas no son tan simples en dimensión infinita: aparte de que puede haber infinitos valores de λ para los que (A − λI)−1 no existe, en los casos de existencia debemos precisar los resultados, tanto el que (A − λI)−1 sea lineal y acotado como el que el rango de (A − λI) sea denso en X. Nada de esto tiene significado en dimensión finita. El estudio de estas cuestiones nos conduce al análisis espectral y pretendemos obtener los resultados que generalizan los conocidos en el caso de dimensión finita. Un resultado fundamental en álgebra lineal es el siguiente: Teorema. Si X es un espacio eucl´ıdeo de dimensi´ on n y A ∈ L(X) es un operador autoadjunto, entonces existe una base ortonormal {ϕ1 , . . . , ϕn } de X y unos n´ umeros reales λ1 , . . . , λn tales que Aϕi = λi ϕi , i = 1, . . . , n. Adem´ as, si llamamos Ei a la proyecci´ on ortogonal sobrePN (A − λi I), i = n 1, . . . , n, entonces Ei 6= 0, ∀i,PEi Ej = 0 si i 6= j, i=1 Ei = I y se n tiene la descomposici´ on A = λ E . Como consecuencia, la matriz i i i=1 de A asociada a dicha base es la matriz diagonal (hAϕi , ϕj i)i,j=1,...n = 198

 λ1 . . .  ..  . 0 ...

0

  .

λn

Veamos un ejemplo de lo que puede pasar en dimensión infinita. Ejemplo. Sea h una función real continua y 2π-periódica. R πEntonces el operador K : L2 [−π, π] → L2 [−π, π], definido por (Kf )(t) = −π h(t−s)f (s)ds, es lineal y acotado. Si elegimos la base ortonormal ϕn (t) = √12π eint , n ∈ Z, resulta Z π Z t+π 1 ins 1 1 √ h(t−s) h(s) √ ein(t−s) ds = √ eint λn , (Kϕn )(t) = e ds = 2π 2π 2π −π t−π donde λn =

Rπ −π

h(s)e−ins ds, n ∈ Z, es decir, Kϕn = λn ϕn .

La matriz asociada al operador K respecto a la base {ϕn }n∈Z es la matriz diagonal doblemente infinita        

..



. λ−1

   .   

0 λ0

0

λ1 ..

.

En lo que sigue, mientras no se especifique lo contrario, supondremos que X es un espacio normado complejo no trivial y A : X → X un operador lineal. 1.1.- Definici´ on. Diremos que λ ∈ C es un punto regular de A si existe Rλ (A) = (A − λI)−1 y es un operador acotado definido en un subconjunto denso de X. El conjunto resolvente de A es ρ(A) = {λ ∈ C : λ es punto regular de A}. El término resolvente se refiere a que la ecuación (A−λI)x = y tiene solución x = (A−λI)−1 y. Además el estudio de las propiedades de (A−λI)−1 permite obtener información sobre el propio A. Llamaremos espectro de A al conjunto σ(A) = C \ ρ(A), es decir al conjunto de puntos no regulares de A, que llamaremos puntos espectrales de A. En particular los autovalores de A son puntos espectrales. El siguiente ejemplo muestra que, en general, no todos los puntos espectrales son autovalores (a diferencia de los espacios de dimensión finita donde la teor´ıa espectral se estudia a partir de los autovalores al ser estos los u ńicos puntos espectrales). 199

Ejemplo. En el espacio H = L2 (R) con la medida de Lebesgue se define el operador (M f )(x) = eix · f (x). Como kM f k = kf k y (M −1 f )(x) = e−ix · f (x), deducimos que M es unitario. Encontremos los autovalores de M: Dado λ ∈ C, existe fλ ∈ L2 (R) tal que M fλ = λfλ si y sólo si eix fλ (x) = λfλ (x) c.s. Esto implica que fλ (x) = 0 c.s. de modo que kfλ k = 0 y M no tiene autovalores. Sea ahora ρ ∈ C tal que (M − ρI)f = g, es decir (eix − ρ)f (x) = g(x) c.s. o bien f (x) = (eix − ρ)−1 g(x) c.s. y se define un operador lineal [(M − ρI)−1 g](x) = (eix − ρ)−1 g(x). El operador (M − ρI)−1 está acotado si y sólo si |ρ| = 6 1; esto quiere decir que σ(M ) = {ρ ∈ C : |ρ| = 1} = T, lo que prueba que el espectro es no vac´ıo aunque el operador no posea autovalores. Clasificaremos el espectro en tres grupos: - Un punto λ ∈ C es autovalor de A o pertenece al espectro puntual de A, λ ∈ σp (A), si no existe (A−λI)−1 . Cada vector x ∈ X tal que (A−λI)x = 0, con λ ∈ σp (A) se llama autovector de A correspondiente a λ y el subespacio de X que contiene al cero y a los autovectores correspondientes a un mismo λ se llama autoespacio correspondiente a λ. - Un punto λ ∈ C pertenece al espectro continuo de A, λ ∈ σc (A), si R(A−λI) es denso en X y existe (A − λI)−1 pero no está acotado. - Un punto λ ∈ C pertenece al espectro residual de A, λ ∈ σr (A), si existe (A − λI)−1 pero está definido en un subconjunto no denso de X. De las definiciones anteriores se deduce que C = ρ(A) ∪ σ(A) = ρ(A) ∪ σp (A) ∪ σc (A) ∪ σr (A)

y que la unión es disjunta, obteniéndose as´ı una partición de C. La siguiente tabla resume las caracter´ısticas de los distintos conjuntos: λ

(A − λI)−1 (A − λI)−1

R(A − λI)

ρ(A)

existe

acotada

denso en X

σc (A)

existe

no acotada

denso en X

σr (A)

existe

–

no denso en X

σp (A)

no existe

–

–

Una propiedad básica de los autovectores es la siguiente: 200

1.2.- Proposici´ on. Autovectores x1 , . . . , xn correspondientes a autovalores λ1 , . . . , λn distintos de un operador lineal A sobre un espacio normado complejo X son linealmente independientes. Demostraci´ on. Si {x1 , . . . , xn } fueran linealmente dependientes, denotamos por xm el primero de ellos que es combinación lineal de los anteriores, es decir xm = α1 x1 + · · · + αm−1 xm−1 . Entonces 0

=

(A − λm I)xm =

m−1 X

αj (A − λm I)xj =

j=1

m−1 X

αj (λj − λm )xj

j=1

=⇒ αj (λj − λm ) = 0, ∀j = 1, . . . , m − 1 =⇒ αj = 0, ∀j = 1, . . . , m − 1 =⇒ xm = 0, lo cual es absurdo.

♦

(A − λI)−1 ,

Es sabido que si X tiene dimensión finita y existe entonces debe ser acotado. Además R(A − λI) = X, con lo que se deduce que σc (A) = σr (A) = ∅; de ah´ı que los puntos del espectro puntual se llamen también autovalores de A. Sin embargo en el caso de dimensión infinita tenemos puntos espectrales que no son autovalores, como muestran los siguientes ejemplos. 1.3.- Ejemplos. 1) Sea T : `2 → `2 el operador traslación a la derecha, definido por T (x1 , x2 , . . . ) = (0, x1 , x2 , . . . ). Este operador es acotado y tiene norma uno. El operador inverso T −1 : T (X) → X es la traslación hacia la izquierda T −1 (x1 , x2 , . . . ) = (x2 , x3 , . . . ). Como T (X) no es denso en X, el punto λ = 0 es un valor espectral de T pero no es autovalor ya que T x = 0 =⇒ x = 0 y el vector cero no puede ser autovector. 2) Sea X un espacio de Hilbert separable de dimensión infinita P y {xn }n∈N una base ortonormal de X. SiP hacemos para cada x ∈ X, x = n∈N αn xn , y definimos el operador Ax = n∈N αn λn xn , donde {λn }n∈N es una sucesión de escalares distintos de uno pero con λn → 1, se prueba que λn ∈ σp (A), ∀n; 1 ∈ σc (A); Si λ 6= λn , ∀n y λ 6= 1 =⇒ λ ∈ ρ(A); σr (A) = ∅. 3) Bajo las mismas condiciones del ejemplo anterior, definimos el operador destrucción ∞ ∞ X X αn Ax = xn+1 , para x = αn xn . n+1 n=1

n=1

201

Se comprueba aqu´ı que 0 ∈ σr (A) y λ ∈ ρ(A), ∀λ 6= 0. En el caso de dimensión infinita, los operadores cuyo comportamiento es el más parecido al caso de dimensión finita son los operadores completamente continuos o compactos pues, como veremos en el apartado 4, el conjunto de autovalores es a lo sumo numerable y el cero es su u ńico posible punto de acumulación.

2. PROPIEDADES ESPECTRALES DE LOS OPERADORES LINEALES ACOTADOS. FUNCIONES DE UN OPERADOR.

Supondremos en esta sección que X es un espacio de Banach complejo y no vac´ıo y T : X → X un operador lineal y estudiaremos las principales caracter´ısticas del espectro y de la resolvente. Utilizaremos la notación Rλ (T ) = (T − λI)−1 para indicar la resolvente de T (cuando no haya confusión escribiremos simplemente Rλ ). Nota. Las propiedades que enunciamos en este apartado relativas a L(X) se pueden fácilmente extender a cualquier álgebra de Banach con identidad; pero el contexto en el que aqu´ı se plantean es el que aplicaremos posteriormente en la teor´ıa espectral (puede consultarse en [Ru] para el estudio de estos conceptos). 2.1.- Lema. Sea X de Banach, T : X → X lineal y λ ∈ ρ(T ). Si T es cerrado o acotado, entonces Rλ (T ) est´ a definido en todo X y es acotado. Demostraci´ on. Si T es cerrado, también lo es T − λI. Por tanto, también lo es (T − λI)−1 . Entonces, por el teorema del gráfico cerrado, su dominio D(Rλ ) es cerrado, de modo que D(Rλ ) = D(Rλ ) = X, pues λ ∈ ρ(T ). Si T fuera acotado, como D(T ) = X es cerrado, T es cerrado y se aplica el razonamiento anterior. ♦ 2.2.- Teorema. Sean T ∈ L(X) y λ, µ ∈ ρ(T ). Entonces: (a) (Ecuaci´ on de la resolvente) Rµ − Rλ = (µ − λ)Rµ Rλ . (b) Rλ S = SRλ , ∀S ∈ L(X) tal que ST = T S. (c) Rλ Rµ = Rµ Rλ . Demostraci´ on. (a) Teniendo en cuenta que Rλ y Rµ están definidas en todo 202

X, resulta: Rµ − Rλ = Rµ (T − λI)Rλ − Rµ (T − µI)Rλ = Rµ (T − λI − T + µI)Rλ = (µ − λ)Rµ Rλ . (b) Si ST = T S, S(T − λI) = (T − λI)S. Entonces Rλ S = Rλ S(T − λI)Rλ = Rλ (T − λI)SRλ = SRλ . (c) Como Rλ conmuta con T , Rλ conmuta con Rµ , por (b).

♦

2.3.- Lema. Si T ∈ L(X), σ(T ) = σ(T ∗ ) y Rλ (T ∗ ) = Rλ (T )∗ si λ ∈ ρ(T ∗ ) = ρ(T ). Demostraci´ on. Ver ejercicio 2 al final del cap´ıtulo. A continuación enunciamos el teorema de la aplicación espectral que generaliza el resultado en dimensión finita de que si λ es autovalor de una matriz A, entonces p(λ) = an λn + · · · + a1 λ + a0 es autovalor de la matriz p(A) = an An + · · · + a1 A + a0 I. Utilizaremos la notación p(σ(T )) = {µ ∈ C : µ = p(λ), λ ∈ σ(T )} y la notación análoga p(ρ(T )) para la resolvente. 2.4.- Teorema (aplicación espectral para polinomios). Si T ∈ L(X) y p(λ) = an λn + · · · + a1 λ + a0 , an 6= 0, entonces p(σ(T )) = σ(p(T )). Demostraci´ on. Supondremos que σ(T ) 6= ∅ (ver teorema 2.10). Si n = 0, p(σ(T )) = {a0 } = σ(p(T )). Sea pues n > 0. • Llamaremos S = p(T ) y Sµ = p(T ) − µI, µ ∈ C. Veamos que σ(S) ⊂ p(σ(T )). Fijado µ ∈ C, el polinomio Sµ (λ) = p(λ) − µ se factoriza como Sµ (λ) = αn (λ − γ1 ) . . . (λ − γn ) lo que corresponde a Sµ = p(T ) − µI = αn (T − γ1 I) . . . (T − γn I). Si cada γj está en ρ(T ), entonces existe Sµ−1 = (αn )−1 (T − γn I)−1 . . . (T − γ1 I)−1 por lo que µ ∈ ρ(p(T )). Lo anterior prueba también que si µ ∈ σ(p(T )), entonces γj ∈ σ(T ) para alg´ un j. Por lo tanto, Sµ (γj ) = p(γj )−µ = 0, de donde µ = p(γj ) ∈ p(σ(T )). • Sea ahora µ ∈ p(σ(T )). Por definición µ = p(β) para alg´ un β ∈ σ(T ). Aqu´ı se presentan dos posibilidades: (∗) T − βI no tiene inversa. Como β es un cero del polinomio Sµ (λ) = p(λ) − µ, entonces Sµ (λ) = 203

(λ − β)g(λ) y también Sµ = p(T ) − µI = (T − βI)g(T ). Ahora bien, como todos los factores de g(T ) conmutan con T −βI, es cierto también que Sµ = g(T )(T − βI). Si Sµ tuviera inversa, podr´ıamos poner I = (T − βI)g(T )Sµ−1 = Sµ−1 g(T )(T − βI), pero esto indica que T − βI tiene inverso, lo cual contradice nuestro supuesto. Por tanto Sµ no tiene inverso, es decir µ ∈ σ(p(T )). (∗) T − βI tiene inverso. Esto indica que R(T − βI) 6= X pues, en caso contrario, β ∈ ρ(T ) por el teorema de la aplicación abierta. Como Sµ = p(T ) − µI = (T − βI)g(T ), entonces R(Sµ ) 6= X, de donde µ ∈ σ(p(T )). ♦ El teorema de la aplicación espectral es también cierto en espacios más generales que los polinomios. As´ı, si definimos el espacio F (T ) = {f : f es función anal´ıtica en alg´ un entorno de σ(T )}, entonces se puede demostrar que f (σ(T )) = σ(f (T )), ∀f ∈ F (T ) (ver [DS]). El lema siguiente es un resultado básico que permitirá deducir las propiedades topológicas del espectro, as´ı como fórmulas de representación para la resolvente. 2.5.- Lema. Sea X un espacio de Banach y T ∈ L(X). Si kT k < 1, entonces ∞ P existe (I − T )−1 ∈ L(X) e (I − T )−1 = T j , donde la serie converge en j=0

la norma de L(X). Demostraci´ on. Como kT j k ≤ kT kj y la serie geométrica

∞ P

kT kj converge

j=0 ∞ P

para kT k < 1, la serie

T j converge absolutamente para kT k < 1.

j=0

Como X es de Banach, también lo es L(X) y la convergencia absoluta im∞ P plica la convergencia de la serie T j. j=0

Llamemos S =

P∞

j=0 T

j.

Como

(I − T )(I + T + · · · + T n ) = (I + T + · · · + T n )(I − T ) = I − T n+1 , ∀n, y T n+1 → 0 cuando n → ∞, pues kT k < 1, entonces (I −T )S = S(I −T ) = I de donde S = (I − T )−1 . ♦ 2.6.- Teorema. El espectro σ(T ) de un operador T ∈ L(X), donde X es de Banach complejo, es un conjunto cerrado. 204

Demostraci´ on. Si ρ(T ) = ∅, es abierto. Sea pues ρ(T ) 6= ∅ y λ0 ∈ ρ(T ). ∀λ ∈ C, T − λI = (T − λ0 I) − (λ − λ0 )I = (T − λ0 I)[I − (λ − λ0 )(T − λ0 I)−1 ]. Por el lema 2.1, (T − λ0 I)−1 ∈ L(X) y por el lema 2.5, si llamamos V = ∞ P (λ − λ0 )j (T − λ0 I)−j , ∀λ tal que (λ − λ0 )(T − λ0 I)−1 , existe (I − V )−1 = j=0

kV k < 1, es decir cuando |λ − λ0 | <

(∗)

1 . k(T − λ0 I)−1 k

Esta desigualdad muestra que (T − λI)−1 ∈ L(X); por tanto, si λ verifica (∗), existe (T − λI)−1 = [(T − λ0 I)(I − V )]−1 = (I − V )−1 (T − λ0 I)−1 . As´ı pues, la desigualdad (∗) representa un entorno de λ0 formado por puntos regulares de T . Esto quiere decir que ρ(T ) es abierto, de modo que σ(T ) = C \ ρ(T ) es cerrado. ♦ De la demostración del resultado anterior se obtiene inmediatamente el siguiente teorema de representación. 2.7.- Teorema. En las condiciones anteriores, si λ0 ∈ ρ(T ), se tiene la representaci´ on para la resolvente (∗∗)

Rλ = (T − λI)−1 =

∞ X

(λ − λ0 )j Rλj+1 , 0

j=0

donde la serie converge absolutamente en la bola |λ−λ0 | < k(T −λ0 I)−1 k−1 , la cual est´ a contenida en ρ(T ). 2.8.- Corolario. Dado T ∈ L(X), la resolvente Rλ (T ), considerada como funci´ on de λ con valores en L(X), es localmente holomorfa en ρ(T )1 . Demostraci´ on. Para cualesquiera x ∈ X, f ∈ X 0 , definimos h(λ) = f (Rλ (T )x). A partir de (∗∗) obtenemos el desarrollo en serie h(λ) =

∞ X

cj (λ − λ0 )j con cj = f (Rλ0 (T )j+1 x)

j=0

que converge absolutamente en el disco |λ − λ0 | < kRλ0 k−1 .

♦

Además ρ(T ) es el mayor conjunto en el cual Rλ (T ) es localmente holomorfa por lo que podemos decir que es el dominio natural de analiticidad de Rλ (T ). 1

Dado un conjunto Ω abierto en C, si S : Ω → L(X) es una funci´ on que toma valores operadores en X (donde escribiremos S(λ) = Sλ ), decimos que S es localmente holomorfa en Ω si ∀x ∈ X, f ∈ X 0 , la funci´ on h(λ) = f (Sλ x) es holomorfa en Ω.

205

2.9.- Teorema. Si T ∈ L(X), dado λ ∈ ρ(T ), entonces kRλ (T )k ≥ 1/δ(λ) siendo δ(λ) = ´ınf s∈σ(T ) |λ−s| = d(λ, σ(T )). En consecuencia, kRλ (T )k → ∞ cuando δ(λ) → 0. Demostraci´ on. Si λ ∈ ρ(T ), entonces {µ : |µ − λ| < kRλ k−1 } ⊂ ρ(T ) de donde d(λ, σ(T )) ≥ 1/kRλ k si suponemos que σ(T ) 6= ∅. ♦ 2.10.- Teorema. Si T ∈ L(X), σ(T ) 6= ∅. Demostraci´ on. Si T = 0, evidentemente σ(T ) = {0} = 6 ∅. Sea pues T 6= 0 y supongamos que σ(T ) = ∅. Entonces, ρ(T ) = C y existe (T − λI)−1 ∈ L(X), ∀λ ∈ C. Por el corolario 2,8, la función h(λ) = f (Rλ x) es holomorfa en C, ∀x ∈ X, f ∈ X 0 . Probemos a continuación que h es acotada en todo el plano complejo. a) En el c´ırculo |λ| ≤ 2kT k, h es continua y por tanto acotada. b) Si λ > 2kT k, la serie 1 1 1X 1 n (T − λI)−1 = − (I − T )−1 = − T λ λ λ λn n≥0

converge absolutamente, pues k(1/λ)T k < 1. Además k(T − λI)−1 k ≤

1 1 1 1 1 X 1 = · · kT kn = · < . 1 n |λ| |λ| |λ| 1 − |λ| kT k |λ| − kT k kT k n≥0

Se prueba as´ı que h está acotada también en esta región pues |h(λ)| ≤ kf k · kRλ k · kxk <

kf k · kxk . kT k

En definitiva, h es holomorfa y acotada en C y, por el teorema de Liouville, h es constante. Esto implica que Rλ es independiente de λ, as´ı como también lo es Rλ−1 = T − λI, lo cual es absurdo. ♦ El teorema anterior puede ser falso si se consideran espacios de Hilbert reales. As´ı por ejemplo, si consideramos el operador T : R2 → R2 definido por la 0 −1 matriz A = , entonces T − λI no es inyectiva si y sólo si λ es ra´ız 1 0 de la ecuación det(A − λI) = 0. Como R2 tiene dimensión finita sobre R, σ(T ) = ∅. 2.11.- Teorema. El espectro σ(T ) de T ∈ L(X) es compacto y est´ a contenido en la bola cerrada B(0, kT k). 206

Demostraci´ on. Procediendo como en el teorema anterior, se tiene que 1X 1 (∗ ∗ ∗) Rλ = − · T n, λ λn n≥0

donde la serie converge cuando |λ| > kT k. Esto implica que {λ ∈ C : |λ| > kT k} está contenido en ρ(T ), con lo que el espectro σ(T ) debe estar en el disco B(0, kT k). Como σ(T ) es además cerrado, es compacto. ♦ De este teorema se deduce en particular que ρ(T ) 6= ∅. El resultado motiva además el siguiente concepto: 2.12.- Definici´ on. Si T ∈ L(X), se llama radio espectral de T a rσ (T ) = sup{|λ| : λ ∈ σ(T )}, es decir al radio del menor disco centrado en el origen que contiene a σ(T ). Del teorema 2.11 es claro que rσ (T ) ≤ kT k (la figura adjunta ilustra lo dicho). El siguiente resultado permite refinar esta acotación.

σ(T )

rσ (T ) kT k

2.13.- Teorema (fórmula de Gelfand). Sea T ∈ L(X). Entonces rσ (T ) = l´ım kT n k1/n = ´ınf kT n k1/n . n

n≥1

Demostraci´ on. a) Probaremos en primer lugar que l´ım kT n k1/n = ´ınf kT n k1/n . n→∞

n≥1

Fijado un entero positivo m, ∀n ∈ N, n = m · qn + rn con 0 ≤ rn < m. Esto implica que kT n k1/n = kT m·qn +rn k1/n ≤ kT m kqn /n · kT krn /n . Como qn /n → 1/m y rn /n → 0 cuando n → ∞, resulta que l´ım sup kT n k1/n ≤ kT m k1/m , n→∞

de donde l´ım sup kT n k1/n ≤ ´ınf kT m k1/m ≤ l´ım inf kT n k1/n . n→∞

n→∞

m≥1

207

b) Por el teorema de la aplicación espectral, σ(T n ) = [σ(T )]n ; es evidente entonces que rσ (T n ) = [rσ (T )]n . Ahora bien, como rσ (T n ) ≤ kT n k, entonces rσ (T ) = [rσ (T n )]1/n ≤ kT n k1/n , ∀n. Por tanto, rσ (T ) ≤ l´ımn→∞ kT n k1/n y la demostración estará concluida si l´ımn→∞ kT n k1/n = rσ (T ). P Recordando de nuevo la fórmula (∗ ∗ ∗), tenemos que Rλ = −κ n≥0 κn T n , donde llamamos κ = 1/λ. Por la fórmula de Hadamard, la serie anterior converge absolutamente cuando |κ| < r, donde 1/r = l´ımn→∞ kT n k1/n . Como Rλ es localmente holomorfa en el conjunto resolvente ρ(T ), si llamamos M al conjunto del plano que corresponde a ρ(T ) por la transformación κ = 1/λ, sabemos que el radio de convergencia r es el radio del mayor disco abierto alrededor de κ = 0 que está incluido completamente en M . Por tanto, 1/r es el radio del menor c´ırculo alrededor de λ = 0 cuyo exterior está completamente incluido en ρ(T ). Como esta es precisamente la definición de radio espectral de T , resulta en definitiva que rσ (T ) = 1/r = l´ımn→∞ kT n k1/n , lo que prueba el enunciado. ♦

3. OPERADORES COMPACTOS.

Los operadores compactos son aquellos cuyas propiedades más se asemejan a las de los operadores lineales en espacios de dimensión finita de modo que su teor´ıa espectral será una extensión directa de aquellos y una forma sencilla de introducirse en este estudio. Además muchos de los operadores que aparecen en el estudio de ecuaciones integrales son compactos. As´ı, una aplicación de dicha teor´ıa espectral conduce a la teor´ıa de Fredholm para ecuaciones integrales. Es sabido que un operador acotado transforma conjuntos acotados en conjuntos acotados. Si además dicho operador tiene rango finito, es decir la imagen tiene dimensión finita, transforma conjuntos acotados en relativamente compactos. Esta propiedad nos lleva a introducir la siguiente clase de operadores. 3.1.- Definici´ on. Sean X e Y espacios normados. Un operador T : X → Y es compacto o completamente continuo si es lineal y la imagen de todo subconjunto acotado en X es relativamente compacto (es decir, tiene clausura 208

compacta). De la definición se deduce que un operador lineal T : X → Y es compacto si y sólo si T (B1 ) es compacto, siendo B1 = {x ∈ X : kxk ≤ 1} la bola unidad en X. 3.2.- Ejemplo. Una clase importante de operadores compactos la forman ciertos operadores integrales.R As´ı, si X = L2 ([0, 1], dt), el operador T : X → 1 X definido por (T f )(s) = 0 k(s, t)f (t)dt, donde k ∈ C([0, 1] × [0, 1]), es compacto. Para comprobarlo, veamos que T (B1 ) es compacto. Es claro que si f ∈ B1 , T f ∈ C[0, 1] y Z

1

|f (t)|dt ≤ kkk∞ · kf k2 ≤ kkk∞

kT f k∞ ≤ kkk∞ 0

de modo que T (B1 ) es un conjunto acotado de (C[0, 1], k·k∞ ). Además T (B1 ) es un conjunto equicontinuo. En efecto, dado ε > 0, por ser k uniformemente continuo en [0, 1] × [0, 1], existe δ > 0 tal que |k(s1 , t) − k(s2 , t)| < ε, ∀t ∈ [0, 1], |s1 − s2 | < δ. Por tanto, para todo f ∈ B1 , Z |(T f )(s1 )−(T f )(s2 )| ≤

1

Z |k(s1 , t)−k(s2 , t)|·|f (t)|dt < ε

0

1

|f (t)|dt ≤ εkf k2 ≤ ε. 0

Por el teorema de Arzelá-Ascoli, T (B1 ) es compacto en (C[0, 1], k · k∞ ). Entonces, si (fn )n∈N ⊂ B1 , existe una subsucesión (fnk )k∈N y una función f ∈ C[0, 1] tales que kT fnk − f k∞ → 0, de donde kT fnk − f k2 → 0 lo que prueba la compacidad de T . Incluso si k ∈ L2 ([0, 1] × [0, 1], dsdt), el operador integral arriba definido es compacto (ver los ejercicios al final del cap´ıtulo). Tales operadores se llaman operadores de Hilbert-Schmidt y juegan un papel importante en el estudio de ecuaciones diferenciales e integrales. As´ı por ejemplo, el operador T origina la ecuación integral (T − λI)x(s) = y(s), donde λ ∈ C, es un parámetro, y, k son funciones dadas y x es la función incógnita. Hilbert probó que la solubilidad de la ecuación no depende de la existencia de la representación integral de T sino de que T es un operador compacto. Es fácil verificar que todo operador lineal acotado aplica conjuntos relativamente compactos en conjuntos relativamente compactos, de modo que la propiedad de compacidad es más fuerte que la de continuidad. El término de operador completamente continuo viene sugerido por el siguiente resultado, en donde se prueba además que no todo operador acotado es compacto. 209

3.3.- Lema. a) Todo operador compacto T : X → Y es acotado y, por tanto, continuo. b) Si dim X = ∞, el operador identidad I : X → X no es compacto. Demostraci´ on. a) Como S = {x ∈ X : kxk = 1} es acotado, T (S) es compacto y por tanto acotado. As´ı pues sup kT xk < ∞, de donde T es kxk=1

acotado. b) La bola unitaria cerrada B = {x ∈ X : kxk ≤ 1} es acotada. Si dim X = ∞, B no puede ser compacto (teorema 5.3, cap´ıtulo II). De ah´ı que I(B) = B = B no sea relativamente compacto. ♦ Las siguientes caracterizaciones son a veces usadas como definición de operador compacto. 3.4.- Teorema. Sea T : X → Y lineal. Son equivalentes: i) T es compacto. ii) Dada cualquier sucesi´ on {xn }n∈N acotada en X, su imagen {T xn }n∈N tiene alguna sub-sucesi´ on convergente. iii) Dada cualquier sucesi´ on {xn }n∈N ⊂ B(0, 1), {T xn }n∈N tiene alguna subsucesi´ on convergente. Demostraci´ on. i) =⇒ ii): Si T es compacto y {xn }n∈N es acotada, la clausura del conjunto {T xn }n∈N es compacto. De aqu´ı se deduce que {T xn }n∈N contiene alguna subsucesión convergente. ii) =⇒ iii): es trivial. iii) =⇒ i): Sea M ⊂ X un conjunto acotado e {yn }n∈N una sucesión arbitraria en T (M ). Entonces existe una sucesión {xn }n∈N en M tal que T xn = yn , ∀n. Como {xn }n∈N está acotada, existe r > 0 tal que kxn k < r, ∀n. Por hipótesis, la sucesión {T (r−1 xn )}n∈N tiene una subsucesión convergente, digamos {T (r−1 xnk )}k∈N . Como T xnk = rT (r−1 xnk ), la sucesión {T xnk } = {ynk } también converge, lo que quiere decir que T (M ) es compacto. ♦ Un operador T : X → Y se dice de rango finito cuando dim T (X) < ∞. El siguiente resultado prueba que todo operador acotado de rango finito es compacto. (En particular los operadores de Cn en Cn , objeto del Algebra Lineal, son siempre compactos.) 3.5.- Teorema. Sea T : X → Y lineal. Entonces a) Si T es acotado y de rango finito, entonces T es compacto. b) Si dim X < ∞, T es compacto. 210

Demostraci´ on. a) Sea {xn }n∈N una sucesión acotada en X. De la desigualdad kT xn k ≤ kT k·kxn k, se deduce que {T xn }n∈N es acotada. Como dim T (X) < ∞, {T xn }n∈N es relativamente compacto, de modo que tiene una subsucesión convergente. El apartado b) es consecuencia de a), pues T es acotado si dim X < ∞, y dim T (X) ≤ dim X < ∞. ♦ Observaci´ on. Todo operador compacto se puede descomponer en suma de dos operadores donde uno tiene rango finito y el otro tiene norma menor que cualquier n´ umero positivo (ver [LS]). Por eso, aunque el rec´ıproco de 3.5(a) no es cierto, los operadores compactos son casi de rango finito. 3.6.- Teorema. El conjunto {T : X → X : T lineal y compacto} es subespacio de L(X). Demostraci´ on. Dados S, T compactos y α, β ∈ E, consideramos una sucesión {xn }n∈N acotada en X. Por hipótesis, {T xn }n∈N tiene una subsucesión, que llamaremos {T xnk }k∈N , convergente. Aplicando ahora S, también existe una subsucesión de {Sxnk }k∈N , {Sxnkj }j∈N , convergente. Como ambas sucesiones, {T xnkj }j∈N y {Sxnk }k∈N , son convergentes, es claro que {αT xnkj + βSxnkj }j∈N es convergente. ♦ 3.7.- Teorema. Sean T : X → X un operador compacto y S : X → X un operador lineal acotado. Entonces T S y ST son compactos. Demostraci´ on. Sea B ⊂ X acotado; entonces S(B) es acotado y T (S(B)) = T S(B) es relativamente compacto. Esto implica que T S es compacto. Sea ahora {xn }n∈N una sucesión acotada en X; entonces {T xn }n∈N tiene una subsucesión convergente {T xnk }k∈N y, por ser S continuo, {ST xnk }k∈N también converge. Esto prueba que ST es compacto. ♦ Los dos u ´ltimos teoremas prueban que la clase de operadores compactos es un ideal bilátero del anillo L(X). Como consecuencia de lo anterior y del lema 3.3(b) se prueba que, en un espacio de dimensión infinita, un operador compacto no admite inverso acotado. El siguiente resultado prueba que la clase de los operadores compactos forma un subconjunto cerrado de L(X, Y ). 3.8.- Teorema. Sea {Tn }n∈N una sucesi´ on de operadores lineales y compactos de X en Y , donde Y es de Banach. Si {Tn }n∈N converge uniformemente, es decir, ∃T : kTn − T k → 0, entonces T es compacto. Demostraci´ on. Usaremos el llamado método diagonal, para lo cual sea {xm }m∈N una sucesión acotada en X. Como T1 es compacto, existe una subsucesión 211

{x1m } tal que {T1 x1m } es de Cauchy. A su vez existe {x2m } subsucesión de {x1m } tal que {T2 x2m } es de Cauchy. En general, existe una sub-sucesión {xnm } tal que {Tn xnm } es de Cauchy. Si elegimos ahora la sub-sucesión diagonal {ym }m∈N con ym = xmm , ∀m, entonces {Tn ym }m∈N es de Cauchy para cada n fijo. Como {ym }m∈N es también acotada, ∃c > 0 : kym k ≤ c, ∀m. De la convergencia uniforme de la sucesión {Tn }n∈N se deduce que ∀ε > 0, ∃n0 : kT − Tp k < ε/3c, ∀p ≥ n0 , y, como {Tp ym }m∈N es de Cauchy, ∃n1 : kTp yj − Tp yk k < ε/3, ∀j, k ≥ n1 . Entonces kT yj − T yk k ≤ kT yj − Tp yj k + kTp yj − Tp yk k + kTp yk − T yk k ≤ kT − Tp k · kyj k + ε/3 + kTp − T k · kyk k < (ε/3c) · c + ε/3 + (ε/3c) · c = ε. Como Y es completo, {T ym }m∈N converge, lo que prueba que T es compacto. ♦

Observaci´ on. El teorema es falso si sustituimos convergencia uniforme por convergencia fuerte, como lo muestra el ejemplo de Tn : `2 → `2 definido por Tn x = (x1 , . . . , xn , 0, . . . ). Como Tn es lineal y acotado y dim Tn (`2 ) < ∞, es compacto para todo n. Además Tn x → x = Ix pero el operador identidad no es compacto pues dim `2 = ∞. Ejemplo. Para probar que el operador T : `2 → `2 definido por T x = (xn /n)n≥1 es compacto, definimos Tn : `2 → `2 del siguiente modo: x2 xn Tn x = x1 , , . . . , , 0, . . . . 2 n As´ı Tn es lineal y acotado y como dim Tn (`2 ) < ∞, es también compacto. Además k(T − Tn )xk2 =

∞ ∞ X X 1 1 kxk2 2 2 |x | ≤ |x | ≤ . j j j2 (n + 1)2 (n + 1)2 j=n+1

j=n+1

Tomando el supremo sobre todos los x de norma 1, vemos que kT − Tn k ≤ 1 n+1 y el teorema anterior prueba que T es compacto. Probaremos a continuación que los operadores compactos aplican sucesiones débilmente convergentes en sucesiones fuertemente convergentes. 212

d

3.9.- Teorema. Sea T : X → Y un operador compacto. Si xn → x en X, f

entonces T xn → T x. Demostraci´ on. Llamamos yn = T xn e y = T x. Sea g ∈ Y 0 y definimos f : X → E por f (z) = g(T z), ∀z ∈ X. Como T es acotado, f ∈ X 0 y |f (z)| = |g(T z)| ≤ kgk · kT zk ≤ kgk · kT k · kzk. d

Por definición, si xn → x, entonces f (xn ) → f (x), es decir, g(T xn ) → g(T x), d

o bien g(yn ) → g(y). Como g es arbitrario, yn → y. f

Si no fuera cierto que yn → y, existir´ıa {ynk }k∈N subsucesión de {yn }n∈N tal un η > 0. Como {xn }n∈N converge débilmente, que kynk − yk ≥ η, para alg´ está acotada y también lo estará {xnk }k∈N . Como T es compacto, {T xnk }k∈N tiene una subsucesión convergente, digamos {e yj }j∈N y escribimos yej → ye. d

Como también yej → y, entonces ye = y. En consecuencia ke yj − yk → 0 pero ||e yj − yk ≥ η > 0 lo cual es absurdo. ♦ Otra propiedad interesante es que los operadores compactos admiten clausura compacta. 3.10.- Teorema. Sean X un espacio normado, Y un espacio de Banach y T : X → Y un operador lineal compacto. Entonces existe Te : X → Y extensi´ on lineal compacta. Demostraci´ on. Como T es acotado (lema 3.3.a), tiene una extensión lineal acotada Te : X → Y . Veamos que Te es compacto: Sea {e xn }n∈N una sucesión acotada en X. Por ser X denso en X, existe una sucesión {xn }n∈N en X tal que x en − xn → 0, ∀n. Evidentemente {xn }n∈N está acotada, de modo que {T xn }n∈N tiene una sub-sucesión convergente, T xnk → y ∈ Y . Como, en particular, x enk − xnk → 0, entonces Tex enk − Texnk = Tex enk − T xnk → 0, de donde Tex enk → y, lo que prueba la compacidad de Te.

♦

Un hecho fundamental en la resolución de ecuaciones que involucran operadores compactos es el de que el adjunto de un operador compacto es también compacto. 3.11.- Teorema (Schauder). Si T : X → Y es compacto, entonces T ∗ es también compacto. Demostraci´ on. Basta ver que la imagen T ∗ (B 0 ) de la bola unidad B 0 de Y 0 es relativamente compacto. 213

Sea B = B(0, 1) en X. Como T es compacto, T ( B) es relativamente compacto. Dado f ∈ B 0 , para cualquier y ∈ T ( B), tenemos |f (y)| ≤ kf k · kyk = kf k · kT xk ≤ kf k · kT k · kxk ≤ kT k, pues kf k < 1 y kxk ≤ 1. Esto indica que los funcionales de B 0 están uniformemente acotados sobre T ( B). Por otra parte, dichos funcionales son equicontinuos sobre T ( B) pues, si y1 , y2 ∈ T ( B) y f ∈ B 0 , |f (y1 ) − f (y2 )| = |f (y1 − y2 )| ≤ ky1 − y2 k. Una generalización del teorema de Arzelá-Ascoli (cap´ıtulo I, teorema 5.12) prueba que B 0 es relativamente compacto para la convergencia uniforme sobre T ( B). Sea ahora una sucesión arbitraria (T ∗ fn )n∈N ⊂ T ∗ (B 0 ). Como B 0 es relativamente compacto, existe una subsucesión (fni )i∈N de (fn ), que converge uniformemente sobre T ( B), es decir sup |fni (T x) − fnj (T x)| = sup |T ∗ (fni − fnj )(x)| = kT ∗ (fni − fnj )k → 0. x∈ B

x∈ B

Esto implica que la sucesión (T ∗ fni )i∈N converge en norma, de modo que T ∗ (B 0 ) es relativamente compacto. ♦

´ ESPECTRAL DE LOS OPERADORES 4. DESCOMPOSICION COMPACTOS.

Obtenemos en esta sección la descomposición espectral de los operadores compactos en espacios normados. Es notable el hecho de que las propiedades espectrales de los operadores compactos son simples generalizaciones de la teor´ıa de autovalores de matrices finitas. Se deben a F. Riesz y J. Schauder los resultados fundamentales de la teor´ıa que desarrollamos a continuación. En primer lugar veremos que si un operador compacto tiene infinitos autovalores, estos pueden disponerse en una sucesión que converge a cero (más adelante se probará que el espectro de un operador compacto, a excepción del cero, está formado u ńicamente por autovalores). 4.1.- Teorema. El conjunto de autovalores de un operador compacto T sobre un espacio normado X es finito o numerable y su u ńico posible punto de acumulaci´ on es λ = 0. 214

Demostraci´ on. Basta probar que para todo real k > 0, el conjunto Ak = {λ ∈ σp (T ) : |λ| ≥ k} S es finito pues σp (T ) = k∈N Ak . Supongamos por el contrario que ∃k0 > 0 tal que Ak0 es infinito. Existe entonces una sucesión {λn }n∈N de autovalores distintos tal que |λn | ≥ k0 . Para cada λn , existe xn 6= 0 tal que T xn = λn xn y el conjunto {x1 , . . . , xn } es linealmente independiente (proposición 1.2). Llamamos Mn = h{x1 , . . . , xn }i. Como los Mn tienen dimensión finita, son cerrados; por el lema de Riesz (cap´ıtulo II, lema 5.1), existe una sucesión {yn }n∈N tal que yn ∈ Mn , kyn k = 1, kyn − xk ≥ 1/2, ∀x ∈ Mn−1 . Podemos pues escribir T yn − T ym = λn yn − x e, donde x e = λn yn − T y n + T y m . Supongamos m < n y probemos que x e ∈ Mn−1 : ym ∈ Mm ⊂ Mn−1 = h{x1 , . . . , xn−1 }i =⇒ T ym ∈ Mn−1 pues T xj = λj xj . Además, si yn =

Pn

i=1 αi xi ,

λn yn − T y n =

n X

entonces

αi (λn xi − T xi ) =

i=1

n−1 X

αi (λn − λi )xi ∈ Mn−1 .

i=1

Ambos resultados conducen a que x e ∈ Mn−1 ; por tanto, x = λ−1 e ∈ Mn−1 n x as´ı que 1 1 1 kλn yn − x ek = |λn | · kyn − xk ≥ |λn | ≥ k0 =⇒ kT yn − T ym k ≥ k0 . 2 2 2 Esto implica que {T yn }n∈N no tiene ninguna subsucesión convergente lo que contradice la compacidad de T pues {yn }n∈N es acotado. ♦ Ejemplo. El conjunto de autovalores puede ser también vac´ıo como muestra el operador T : `2 → `2 definido por T (x) = (0, x1 , x2 /2, x3 /3, . . . ). El siguiente teorema prueba que un operador compacto sólo tiene un n´ umero finito de vectores propios linealmente independientes asociados a un mismo autovalor no nulo, es decir el autoespacio correspondiente a cualquier autovalor no nulo tiene dimensión finita (utilizaremos la notación Tλ = T − λI, para cualquier λ ∈ C). 4.2.- Teorema. Sea T : X → X un operador compacto. Entonces N (Tλ ) es cerrado y tiene dimensi´ on finita para todo λ 6= 0. Demostraci´ on. La primera parte es evidente pues T es continuo y N (Tλ ) = (T − λI)−1 ({0}) es la imagen inversa de un cerrado. 215

Por otra parte, debido al teorema 5.3 del cap´ıtulo II, la dimensión de N (Tλ ) es finita si la bola unitaria cerrada M en N (Tλ ) es compacta. Para ello sea {xn }n∈N una sucesión en M . Entonces {xn }n∈N es acotada y {T xn }n∈N tiene una subsucesión convergente {T xnk }k∈N . Pero Tλ xn = T xn − λxn = 0, de modo que xn = λ−1 T xn . Entonces la sucesión {xnk }k∈N = {λ−1 T xnk }k∈N también converge y su l´ımite está en M . Esto prueba que M es compacto. ♦

Observaci´ on. La hipótesis de compacidad es esencial pues, si T es el operador identidad y λ = 1, basta tomar el espacio X de dimensión infinita para que N (Tλ ) = N (0) = X no tenga dimensión finita. Por otra parte, en el caso λ = 0 tampoco se puede asegurar nada pues basta tomar T = 0 para que dim N (T0 ) = dim N (T ) = dim X que puede no ser finita. 4.3.- Corolario. En las condiciones del teorema anterior, dim N (Tλn ) < ∞, ∀n ∈ N y λ 6= 0. Demostraci´ on. Del desarrollo n n X X n k−1 n k n−k n n n T (−λ)n−k , T (−λ) = (−λ) I + T Tλ = (T − λI) = k k k=1

k=0

se deduce que podemos escribir Tλn = W − µI, donde llamamos µ = −(−λ)n n k−1 P n y W = ST = T S, donde S = (−λ)n−k , que es acotado por serlo k T k=1

T. Como T es compacto, W también es compacto (teorema 3.7) y del teorema anterior se deduce la tesis. ♦ Sabemos que el rango de un operador acotado no es necesariamente cerrado, pero en el caso de operadores compactos tenemos lo siguiente. 4.4.- Teorema. Si T : X → X es compacto, el rango de Tλ es cerrado, ∀λ 6= 0. Demostraci´ on. Supongamos que Tλ (X) no es cerrado. Entonces existe alg´ un elemento y ∈ Tλ (X), y 6∈ Tλ (X) y una sucesión {xn }n∈N en X tales que yn = Tλ xn → y. Como y 6= 0, existe N ∈ N tal que yn 6= 0, ∀n > N , con lo que xn 6∈ N (Tλ ). Supondremos sin pérdida de generalidad que esto es cierto para todo n. Como N (Tλ ) es cerrado, δn = ´ınf z∈N (Tλ ) kxn − zk > 0. Por definición de ´ınfimo, existe alguna sucesión {zn }n∈N en N (Tλ ) tal que an = kxn − zn k < 2δn . Ahora veamos que an = kxn − zn k → ∞ por reducción al absurdo. 216

Si lo anterior no es cierto, {xn − zn }n∈N tiene alguna subsucesión acotada. Como T es compacto, {T (xn − zn )}n∈N tiene una subsucesión convergente. De la igualdad I = λ−1 (T − Tλ ) y usando que Tλ zn = 0, tenemos xn − zn = λ−1 (T − Tλ )(xn − zn ) = λ−1 [T (xn − zn ) − Tλ xn ]. Como {Tλ xn }n∈N converge, {xn −zn }n∈N tiene una subsucesión convergente, digamos xnk − znk → v. Como T es compacto, es continuo y as´ı también Tλ . Entonces Tλ (xnk − znk ) = Tλ xnk → Tλ v, de modo que Tλ v = y. Esto contradice el hecho de que y 6∈ Tλ (X). Por u ´ltimo, si llamamos wn = a−1 n (xn − zn ), tenemos kwn k = 1. Debido a que an → ∞, Tλ zn = 0 y {Tλ xn }n∈N converge a y 6= 0, entonces Tλ wn = an −1 Tλ xn → 0. Nuevamente, de I = λ−1 (T − Tλ ), deducimos que wn = λ−1 (T wn − Tλ wn ). Como T es compacto y {wn }n∈N acotada, {T wn }n∈N tiene una subsucesión convergente. Además, como hemos visto, {Tλ wn }n∈N converge. Por tanto {wn }n∈N tiene una subsucesión convergente, wnk → w. Esto implica que Tλ w = 0, es decir w ∈ N (Tλ ). Como también zn ∈ N (Tλ ), un = zn + an w ∈ N (Tλ ). Entonces kxn − un k ≥ δn =⇒ δn ≤ kxn − zn − an wk = kan wn − an wk = an kwn − wk < 2δn kwn − wk =⇒ 1/2 < kwn − wk, lo que es absurdo.

♦

4.5.- Corolario. En las condiciones del teorema anterior, el rango de Tλn es cerrado, ∀n ∈ N y λ 6= 0. Demostraci´ on. Basta observar que el operador W definido en la demostración del corolario 4.3 es compacto. ♦ Es evidente comprobar que N (Tλ0 ) ⊂ N (Tλ ) ⊂ · · · ⊂ N (Tλn ) ⊂ . . . y Tλ0 (X) ⊃ Tλ (X) ⊃ · · · ⊃ Tλn (X) ⊃ . . . En el caso de operadores compactos, estas inclusiones pueden refinarse del siguiente modo. 4.6.- Lema. Sea T : X → X compacto y λ 6= 0. Entonces existe un entero positivo r tal que N (Tλ0 ) ⊂ N (Tλ ) ⊂ · · · ⊂ N (Tλr ) = N (Tλr+1 ) = . . . 217

y las inclusiones son estrictas. Demostraci´ on. Escribiremos por comodidad Nn = N (Tλn ). *) Es evidente que Nm ⊂ Nm+1 . Supongamos que no hay ning´ un m para el que Nm = Nm+1 . Como Nn es cerrado para todo n, por el lema de Riesz (cap´ıtulo II, lema 5.1), existe una sucesión {yn }n∈N tal que yn ∈ Nn , kyn k = 1, kyn − xk ≥ 1/2, ∀x ∈ Nn−1 . De Tλ = T − λI, tenemos que T = Tλ + λI y T yn − T ym = λyn − x e donde x e = Tλ ym + λym − Tλ yn . Si m < n, claramente λym ∈ Nm ⊂ Nn−1 . Además, 0 = Tλm ym = Tλm−1 (Tλ ym ), de donde Tλ ym ∈ Nm−1 ⊂ Nn−1 . Análogamente, de yn ∈ Nn obtenemos Tλ yn ∈ Nn−1 . Lo anterior indica que x e ∈ Nn−1 y también x = λ−1 x e ∈ Nn−1 . Entonces kT yn − T ym k = kλyn − x ek = |λ| · kyn − xk ≥ |λ|/2 y {T yn }n∈N no tiene ninguna subsucesión convergente pero T es compacto. Esto quiere decir que existe m tal que Nm = Nm+1 . *) Veamos ahora que Nm = Nm+1 =⇒ Nn = Nn+1 , ∀n > m. Si x ∈ Nn+1 , entonces Tλn+1 x = 0. Si llamamos z = Tλn−m x, entonces z ∈ Nm+1 . Por hipótesis z ∈ Nm , de modo que x ∈ Nn . ♦ Para los rangos el resultado análogo es el siguiente. 4.7.- Lema. Sea T : X → X compacto y λ 6= 0. Entonces existe un entero positivo q tal que Tλ0 (X) ⊃ Tλ (X) ⊃ · · · ⊃ Tλq (X) = Tλq+1 (X) = . . . y las inclusiones son estrictas. Demostraci´ on. La prueba es paralela a la anterior y escribiremos Rn = n Tλ (X). *) Supongamos que para todo s, Rs 6= Rs+1 , es decir Rn+1 es subespacio propio de Rn , para todo n. Por el lema de Riesz, existe una sucesión {xn }n∈N tal que xn ∈ Rn , kxn k = 1, kxn − xk ≥ 1/2, ∀x ∈ Rn+1 . Como T = Tλ + λI, T xm − T xn = λxm − (−Tλ xm + Tλ xn + λxn ). Por un lado, λxm ∈ Rm y como xm ∈ Rm , Tλ xm ∈ Rm+1 . 218

Además, si n > m, Tλ xn + λxn ∈ Rn ⊂ Rm+1 ; entonces existe x ∈ Rm+1 tal que T xm − T xn = λ(xm − x), de donde kT xm − T xn k = |λ| · kxm − xk ≥ |λ|/2 > 0. Como T es compacto, {T xn }n∈N debe tener alguna subsucesión convergente, lo que contradice la desigualdad anterior. Esto prueba que existe s ∈ Z+ tal que Rs = Rs+1 . *) Además Rq+1 = Rq significa que Tλ aplica Rq sobre s´ı mismo. Sucesivas aplicaciones de Tλ dan lugar a Rn+1 = Rn , ∀n > q. ♦ Combinando los dos lemas anteriores llegamos al siguiente resultado. 4.8.- Teorema. Sea T : X → X un operador compacto y λ 6= 0. Entonces existe r ∈ N tal que N (Tλ0 ) ⊂ N (Tλ ) ⊂ · · · ⊂ N (Tλr ) = N (Tλr+1 ) = . . . Tλ0 (X) ⊃ Tλ (X) ⊃ · · · ⊃ Tλr (X) = Tλr+1 (X) = . . . y las inclusiones son propias. Demostraci´ on. Debido a los dos lemas anteriores, sólo falta probar que q = r. a) Probemos que q ≥ r. Por el lema 4.7, Rq+1 = Rq . As´ı, si y ∈ Rq , ∃x ∈ Rq : y = Tλ x. Veamos en primer lugar que (∗)

Tλ x = 0, x ∈ Rq =⇒ x = 0.

Si no fuera cierto, existir´ıa x1 ∈ Rq , x1 6= 0, tal que Tλ x1 = 0. En esta situación debe existir x2 ∈ Rq tal que x1 = Tλ x2 . Sucesivamente, tenemos para todo n 0 6= x1 = Tλ x2 = · · · = Tλn−1 xn , pero 0 = Tλ x1 = · · · = Tλn xn . Esto implica que xn ∈ Nn \ Nn−1 , de donde Nn−1 ⊂ Nn , Nn−1 6= Nn , ∀n, lo que contradice el lema 4.6. Veamos ahora que Nq+1 = Nq (esto implicará que q ≥ r pues r es el menor entero que da la igualdad). Teniendo en cuenta (∗), x ∈ Nq+1 =⇒ Tλq+1 x = 0 =⇒ Tλ (Tλq x) = 0 =⇒ Tλq x = 0 =⇒ x ∈ Nq . Como siempre Nq ⊂ Nq+1 , se deduce la igualdad. Queda probado entonces que q ≥ r. 219

b) Veamos ahora que q ≤ r. Para ello, basta ver que Nq−1 es subespacio propio de Nq , pues r es el menor entero n para el que Nn = Nn+1 . Por la definición de q, la inclusión Rq ⊂ Rq−1 es propia. Sea y ∈ Rq−1 \ Rq . Entonces ∃x ∈ X : y = Tλq−1 x. Como Tλ y ∈ Rq = Rq+1 , existe z ∈ X : Tλ y = Tλq+1 z. Veamos que x − Tλ z ∈ Nq \ Nq−1 : Tλq−1 (x − Tλ z) = y − Tλq z 6= 0 pues y 6∈ Rq y Tλq z ∈ Rq =⇒ x − Tλ z 6∈ Nq−1 ; Tλq (x − Tλ z) = Tλ y − Tλ y = 0 =⇒ x − Tλ z ∈ Nq . Resulta entonces que Nq−1 es subespacio propio de Nq .

♦

El siguiente teorema, aplicación del resultado anterior, es análogo al conocido en el caso de dimensión finita y representa la principal herramienta en el estudio de los operadores compactos. 4.9.- Teorema (descomposición espectral). Sean X, T, λ, r como en los teoremas previos. Entonces X tiene la descomposici´ on X = N (Tλr ) ⊕ Tλr (X). Demostraci´ on. Dado x ∈ X, debemos encontrar una descomposición x = y + z, con y ∈ N (Tλr ), z ∈ Tλr (X). Si llamamos z = Tλr x, por el teorema 4.8, como z ∈ Rr , z ∈ R2r y existe x1 ∈ X tal que z = Tλ2r x1 . Llamamos ahora x0 = Tλr x1 ; entonces Tλr x0 = Tλ2r x1 = z = Tλr x, de donde x − x0 ∈ Nr y x = (x − x0 ) + x0 con x − x0 ∈ Nr , x0 ∈ Rr . Para comprobar que la descomposición es u ńica, llamemos v0 ∈ Nr ∩ Rr . Entonces existe v ∈ X : v0 = Tλr v y además Tλr v0 = 0, de donde Tλ2r v = Tλr v0 = 0. Esto quiere decir que v ∈ N2r = Nr . As´ı Tλr v = v0 = 0. ♦ 1 −1 2 2 Ejemplo. Sea T : R → R el operador definido por T = . −1 1 Para λ = 2, se obtiene r = 1 y la descomposición R2 = N (T2 ) ⊕ T2 (R2 ), donde N (T2 ) = h(1, −1)i y T2 (R2 ) = h(1, 1)i. Para λ 6= 0 y λ 6= 2, la descomposición es trivial R2 = {0} ⊕ R2 . Probaremos por u ´ltimo las siguientes sencillas propiedades espectrales. 4.10.- Teorema. Si X es un espacio de Banach de dimensi´ on infinita y T ∈ L(X) un operador compacto, entonces 0 ∈ σ(T ). Demostraci´ on. Si 0 ∈ ρ(T ), existir´ıa T −1 = T0−1 ∈ L(X). Como T es compacto, I = T −1 T es compacto, lo que no es posible pues dim X = ∞.♦ 220

4.11.- Teorema (caracterización del espectro). Sea X un espacio de Banach y T : X → X compacto. Todo punto espectral λ 6= 0 de T (si existe) es autovalor. Nota. El teorema también es cierto en espacios normados generales (ver ejercicio 13). Demostraci´ on. Si N (Tλ ) 6= {0}, λ es autovalor de T . Si N (Tλ ) = {0}, entonces existe Tλ−1 : Tλ (X) → X. Como {0} = N (I) = N (Tλ0 ) = N (Tλ ), se obtiene el valor r = 0 en el teorema 4.8. Entonces X = Tλ0 (X) = Tλ1 (X) =⇒ Tλ es biyectiva y Tλ−1 es acotado por el teorema de la aplicación abierta, ya que X es completo. En definitiva λ ∈ ρ(T ). ♦

5. ECUACIONES LINEALES DE OPERADORES COMPACTOS. ECUACIONES INTEGRALES DE FREDHOLM.

La teor´ıa espectral de operadores compactos fue desarrollada por Riesz para estudiar las ecuaciones integrales lineales. Aqu´ı la aplicaremos para probar el teorema de alternativa de Fredholm, que relaciona el comportamiento de los operadores compactos con la solubilidad de ciertas ecuaciones. Los resultados que obtendremos extienden los resultados análogos de Algebra Lineal. Sean X un espacio normado y A : X → X un operador compacto y definimos T = A−I. Damos a continuación una cadena de proposiciones que muestran la estrecha relación que existe entre las soluciones de las ecuaciones Tx = y ∗

T f

= g

(1) (2)

y sus correspondientes ecuaciones homogéneas asociadas. 5.1.- Teorema. Dado y ∈ X, la ecuaci´ on (1) tiene soluci´ on si y s´ olo si f (y) = 0, para todo funcional lineal f soluci´ on de la ecuaci´ on homogénea T ∗ f = 0. Demostraci´ on. Si T x = y tiene solución x0 ∈ X y f es un funcional lineal tal que T ∗ f = 0, entonces f (y) = f (Ax0 −x0 ) = f (Ax0 )−f (x0 ) = (A∗ f )(x0 )−f (x0 ) = (T ∗ f )(x0 ) = 0. 221

Rec´ıprocamente, supongamos que f (y) = 0, para todo funcional lineal f tal que T ∗ f = 0. Si y 6∈ T (X), entonces d(y, T (X)) = d > 0 pues, al ser A compacto, T (X) es cerrado. Por el teorema de Hahn-Banach, existe f0 funcional lineal tal que f0 (y) = 1 y f0 (z) = 0, ∀z ∈ T (X). De esta igualdad se deduce que 0 = f0 (Ax − x) = (A∗ f0 − f0 )(x) = (T ∗ f0 )(x), ∀x ∈ X =⇒ T ∗ f0 = 0. Por hipótesis f0 (y) = 0 lo que contradice la construcción anterior.

♦

A∗ f

5.2.- Corolario. Si la ecuaci´ on homogénea adjunta − f = 0 s´ olo tiene la soluci´ on trivial f = 0, la ecuaci´ on Ax − x = y tiene soluci´ on para todo y ∈ X. Enunciamos a continuación un lema auxiliar que utilizaremos en la proposición siguiente (su demostración se propone en el ejercicio 7 al final del cap´ıtulo). 5.3.- Lema. Si X es un espacio normado y A : X → X un operador lineal compacto, entonces existe α > 0 tal que, para todo valor de y para el que (1) tiene soluci´ on, al menos una de esas soluciones x e satisface la acotaci´ on ke xk ≤ αkyk. 5.4.- Teorema. Para que la ecuaci´ on (2) con g ∈ X 0 dado tenga soluci´ on, es necesario y suficiente que g(x) = 0 para todo x ∈ X soluci´ on de la ecuaci´ on homogénea T x = 0. Demostraci´ on. La necesidad se deduce inmediatamente de la igualdad g(x) = (T ∗ f )(x) = f (T x) = f (0) = 0. Para la suficiencia, definimos en L = T (X) un funcional f0 como f0 (y) = g(x), donde y = T x. Dicho funcional está bien definido pues, si T x = T u, entonces A(x − u) − (x − u) = 0 =⇒ g(x − u) = 0 =⇒ g(x) = g(u). Es fácil ver que f0 es lineal; para ver que está acotado, utilizamos el lema anterior, es decir que kxk < αkyk para alg´ un x tal que T x = y, y alg´ un α > 0. Entonces |f0 (y)| = |g(x)| ≤ kgk · kxk ≤ kgk · α · kyk. Por el teorema de Hahn-Banach, f0 se puede extender a f definido en X de modo que f (T x) = f (y) = f0 (y) = g(x) =⇒ (T ∗ f )(x) = g(x) lo que produce una solución de (2).

♦

222

5.5.- Corolario. Si T x = 0 s´ olo admite la soluci´ on trivial x = 0, la ecuaci´ on T ∗ f = g admite soluci´ on para todo g. Además de lo anterior existe una estrecha relación entre la solubilidad de la ecuación homogénea y la de la ecuación no homogénea asociada. 5.6.- Teorema. Si A es un operador compacto en un espacio normado X, la ecuaci´ on (1) tiene soluci´ on para todo y ∈ X si y s´ olo si la ecuaci´ on homogénea asociada T x = 0 s´ olo tiene la soluci´ on trivial. En este caso la soluci´ on de (1) es u ńica y el operador T = A−I tiene inverso acotado. Demostraci´ on. a) Por hipótesis, para cada y ∈ X, existe x ∈ X tal que T x = y. Supongamos sin embargo que existe x1 6= 0 tal que T x1 = 0. Aplicando la hipótesis a x1 , existe x2 ∈ X tal que T x2 = x1 . Procediendo por recurrencia, obtenemos una sucesión (xn )n∈N ⊂ X tal que xn = T xn+1 , ∀n ∈ N. Tenemos as´ı: 0 6= x1 = T x2 = · · · = T n−1 xn y 0 = T x1 = T 2 x2 = · · · = T n xn , ∀n ∈ N. Esto implica que xn ∈ N (T n ) \ N (T n−1 ), ∀n ∈ N lo que contradice el lema 4.6 (recordemos que T = A − I = A1 ). b) Supongamos ahora que x = 0 es la u ńica solución de la ecuación homogénea T x = 0. Por el corolario 5.5, ∀g ∈ X 0 la ecuación T ∗ f = g tiene solución. Como A∗ también es compacto, podemos aplicar la implicación probada en a) para concluir que T ∗ f = 0 sólo tiene la solución trivial. Por el corolario 5.2, la ecuación T x = y tiene solución, ∀y ∈ X. c) Para ver que la solución de (1) es u ńica, supongamos que existen x1 , x2 ∈ X tales que T x1 = T x2 = y. Entonces T (x1 − x2 ) = 0. Ahora bien, como T x = 0 sólo tiene la solución trivial, debe ser x1 = x2 . d) Por u ´ltimo, como T x = y tiene solución u ńica, se puede definir T −1 y = x, ∀y ∈ X. Además T −1 está acotado pues, por el lema 5.3, existe α > 0 tal que kxk = kT −1 yk ≤ αkyk. ♦ 5.7.- Corolario. La ecuaci´ on T ∗ f = g tiene soluci´ on para todo g ∈ X 0 si y s´ olo si f = 0 es la u ńica soluci´ on de la ecuaci´ on homogénea T ∗ f = 0. En ∗ este caso, la ecuaci´ on T f = g tiene soluci´ on u ńica. Nuestro siguiente resultado se basa en el lema que enunciamos a continuación, y cuya demostración puede hacerse por inducción. 5.8.- Lema. Si X es un espacio normado y {f1 , . . . , fm } un conjunto linealmente independiente en X 0 , existe un conjunto {z1 , . . . , zm } ⊂ X tal que fj (zk ) = δjk (j, k = 1, . . . m). 223

Un par de conjuntos como los que verifican el lema recibe el nombre de sistema biortogonal. 5.9.- Teorema. Las ecuaciones T x = 0 y T ∗ f = 0 tienen el mismo n´ umero de soluciones linealmente independientes. Demostraci´ on. Debemos probar que dim N (T ) = dim N (T ∗ ). Al ser A y A∗ compactos, n = dim N (T ) < ∞ y m = dim N (T ∗ ) < ∞. a) Si suponemos n = 0, la ecuación T x = 0 sólo tiene la solución trivial x = 0. Por el corolario 5.5, la ecuación T ∗ f = g tiene solución ∀g ∈ X 0 . Por el corolario 5.7, f = 0 es la u ńica solución de T ∗ f = 0, con lo que m = 0. b) Sean ahora n > 0, m > 0 y consideremos una base de N (T ), {x1 , . . . , xn }. Para cada k ∈ {1, . . . , n}, consideramos el subespacio Mk generado por el conjunto {x1 , . . . , xk−1 , xk+1 , . . . , xn }. Como xk 6∈ Mk , d(xk , Mk ) = δk > 0. Por una consecuencia del teorema de Hahn-Banach, ∃gk ∈ X 0 : kgk k = 1, gk (xk ) = 1, gk (xi ) = 0 (i 6= k). Si consideramos también una base {f1 , . . . , fm } de N (T ∗ ), el lema anterior afirma que existe un conjunto {z1 , . . . , zm } ⊂ X tal que fj (zk ) = δjk (j, k = 1, . . . , m). c) Supongamos Pn que n < m y definamos el operador S : X → X por Sx = Ax + j=1 gj (x)zj . Es fácil comprobar que S es lineal y compacto. Veamos también que la ecuación homogénea Sx − x = 0 sólo tiene la solución trivial. En efecto, si suponemos que Sx0 −x0 = 0, entonces fk (Sx0 −x0 ) = fk (0) = 0 (k = 1, . . . , m), de donde 0 = fk (Sx0 − x0 ) = fk (T x0 +

n X

gj (x0 )zj ) = fk (T x0 ) +

j=1

n X

gj (x0 )fk (zj )

j=1

= fk (T x0 ) + gk (x0 ) = (T ∗ fk )(x0 ) + gk (x0 ) = gk (x0 ), k = 1, . . . , n. P Entonces Sx0 − x0 = T x0 + nj=1 gj (x0 )zj = T x0 . Como P Sx0 − x0 = 0 por hipótesis, resulta que x0 ∈ N (T ); por tanto, x0 = nj=1 αj xj . Entonces n X 0 = gk (x0 ) = αj gk (xj ) = αk , k = 1, . . . , n, j=1

lo que implica que x0 = 0. 224

Aplicando el teorema 5.6, la ecuación Sx − x = y tiene solución ∀y ∈ X. En particular, para y = zn+1 (recordamos que n < m), existe x = v tal que Sv − v = zn+1 . De aqu´ı obtenemos: 1 = fn+1 (zn+1 ) = fn+1 (Sv − v) = fn+1 T v +

n X

gj (v)zj

j=1

= fn+1 (T v) +

n X

gj (v)fn+1 (zj ) = (T ∗ fn+1 )(v).

j=1

Por otro lado, fn+1 ∈ N (T ∗ ) lo que lleva a una contradicción; deducimos pues que n < m es imposible. d) Supongamos ahora que n > m. Definimos análogamente Se : X 0 → X 0 P m ∗ e =A f+ por Sf j=1 f (zj )gj . Nuevamente, Se es lineal y compacto. Además f0 = 0 es la u ńica solución de e Sf − f = 0 lo que se prueba de forma análoga al obtenido en c). Aplicando e − f = g tiene solución para nuevamente el teorema 5.6, deducimos que Sf 0 e cualquier g ∈ X . En particular, para g = gm+1 existe f = h tal que Sh−h = gm+1 . Entonces e − h)(xm+1 ) 1 = gm+1 (xm+1 ) = (Sh m X ∗ = (T h)(xm+1 ) + h(zj )gj (xm+1 ) = (T ∗ h)(xm+1 ) = h(T xm+1 ). j=1

Ahora bien, como xm+1 ∈ N (T ), T (xm+1 ) = 0, de modo que h(T xm+1 ) = 0 lo que es absurdo. De c) y d) se deduce que n = m.

♦

Observaci´ on. Debido a que la ecuación (10 )

Ax − λx = y, λ 6= 0

se puede escribir como λ−1 Ax−x = λ−1 y y a que λ−1 A es compacto a la vez que A, los teoremas anteriores son válidos para las ecuaciones (10 ) y (20 )

A∗ f − λf = g, λ 6= 0

en lugar de (1) y (2). Las relaciones obtenidas en las proposiciones anteriores motivan la adopción del concepto de alternativa. 5.10.- Definici´ on. Un operador A ∈ L(X) sobre un espacio normado X satisface la alternativa de Fredholm si cumple alguna de las siguientes condiciones: 225

(I) Las ecuaciones no homogéneas Ax = y, A∗ f = g (donde A∗ representa el adjunto de A) tienen soluciones x, f para cualesquiera y ∈ X, g ∈ X 0 , respectivamente, y dichas soluciones son u ńicas. En este caso las ecuaciones homogéneas asociadas sólo tienen las soluciones triviales. (II) Las ecuaciones homogéneas Ax = 0, A∗ f = 0, tienen el mismo n´ umero finito de soluciones linealmente independientes {x1 , . . . , xn }, {f1 , . . . , fn }, n ≥ 1, respectivamente. En particular las ecuaciones no homogéneas Ax = y, A∗ f = g tienen soluciones si y sólo si fk (y) = 0, g(xk ) = 0, k = 1, . . . , n, respectivamente. Con esta noción, todo lo anterior se puede agrupar enunciando el siguiente resultado general de alternativa. 5.11.- Teorema (alternativa de Fredholm). Sea A : X → X un operador lineal compacto sobre un espacio normado X y λ 6= 0. Entonces Aλ = A − λI verifica la alternativa de Fredholm. Las soluciones generales de las P ecuaciones P (10 ) y (20 ) son respectivamente de la forma x = x0 + nk=1 αk xk , f = f0 + nk=1 λk fk , donde x0 , f0 son soluciones particulares y αk , λk constantes arbitrarias. Este resultado generaliza el obtenido por Fredholm sobre existencia de soluciones de ecuaciones integrales del tipo b

Z g(s) + µ

k(s, t)f (t)dt = f (s), a

donde ahora X = C[a, b], el n´ ucleo k es una función continua y g ∈ C[a, b] es dado. La ecuación anterior puede escribirse como g = (I − µA)f , donde Rb el operador (Af )(s) = a k(s, t)f (t)dt es compacto. Aplicando el teorema de alternativa, se deduce fácilmente el siguiente resultado: 5.12.- Teorema (Fredholm). Sea D = {(s, t) : a ≤ s, t ≤ b} y k : D → C una funci´ on continua. Si µ es un n´ umero complejo no nulo, una de las siguientes alternativas es cierta: a) o bien cada una de las ecuaciones Z

b

f (s) = g(s) + µ

k(s, t)f (t)dt, a ≤ s ≤ b, (3)

(3)

k(t, s)f (t)dt, a ≤ s ≤ b, (4)

(4)

a

Z f (s) = g(s) + µ

b

a

tiene soluci´ on u ńica f ∈ C[a, b] para cada g ∈ C[a, b], 226

b) o bien las dos ecuaciones homogéneas Z b f (s) = µ k(s, t)f (t)dt, a ≤ s ≤ b, (5) a Z b k(t, s)f (t)dt, a ≤ s ≤ b, (6) f (s) = µ

(5) (6)

a

tienen soluciones no nulas f ∈ C[a, b]. Si se cumple (b), las ecuaciones (5) y (6) tienen el mismo n´ umero de soluciones linealmente independientes en C[a, b]; la ecuaci´ on (3) tiene soRb luciones f ∈ C[a, b] si y s´ olo si a g(s)h(s)ds = 0, ∀h ∈ C[a, b] soluci´ on de (6); y la ecuaci´ on (4) tiene soluciones f ∈ C[a, b] si y s´ olo si Rb on de (5). a g(s)h(s)ds = 0, ∀h ∈ C[a, b] soluci´ Por u ´ltimo, el conjunto {µ ∈ C : se cumple (b)} es numerable y no tiene puntos de acumulaci´ on. Demostraci´ on. Definimos los operadores integrales K, K 0 : C[a, b] → C[a, b] por Z b Z b 0 (Kf )(s) = k(s, t)f (t)dt, (K f )(s) = k(t, s)f (t)dt, ∀s ∈ [a, b]. a

a

As´ı definidos, K y escribir en la forma

K0

son compactos. Las ecuaciones (3) a (6) se pueden

(I − µK)f = g,

(I − µK 0 )f = g,

(I − µK)f = 0,

(I − µK 0 )f = 0.

Debido a que K 0 no es el adjunto de K no se puede aplicar el teorema de alternativa 5.11. Sin embargo, veremos que K 0 y K ∗ están estrechamente ligados. Definimos para cada g ∈ C[a, b] el funcional Jg : C[a, b] → C por Z b Jg (f ) = g(s)f (s)ds. a

C[a, b]0

Es fácil comprobar que Jg ∈ definida por Jg = Jg es inyectiva.

y que la aplicación J : C[a, b] → C[a, b]0

Probaremos ahora que K ∗ ◦ J = J ◦ K 0 . En efecto, ∀f, g ∈ C[a, b], Z b ∗ (K Jg )(f ) = Jg (Kf ) = g(s)(Kf )(s)ds a Z b Z b Z b Z b = g(s) k(s, t)f (t)dt ds = f (t) k(s, t)g(s)ds dt a

Z =

a b

a

f (t)(K 0 g)(t)dt = JK 0 g (f ).

a

227

a

De lo anterior se deduce que (I ∗ − µK ∗ ) ◦ J = J ◦ (I − µK 0 ) y, como J es inyectiva, J[N (I − µK 0 )] = N (I ∗ − µK ∗ ) ∩ J(C[a, b]), de donde dim N (I − µK 0 ) = dim J[N (I − µK 0 )] = dim[N (I ∗ − µK ∗ ) ∩ J(C[a, b])] ≤ dim N (I ∗ − µK ∗ ) = dim N (I − µK). Como la relación entre K y K 0 es simétrica, podemos intercambiar K con K 0 y obtener la desigualdad contraria, con lo que dim N (I − µK 0 ) = dim N (I − µK) = dim(I ∗ − µK ∗ ).

(∗)

Como µK y µK 0 son compactos, se obtiene la tesis aplicando el teorema de alternativa de Fredholm. En efecto: - Supongamos que (I − µK)f = 0 sólo tiene la solución trivial. Debido a (∗), la ecuación (I − µK 0 )f = 0 sólo tiene la solución trivial. Por el teorema 5.6, las ecuaciones (I − µK)f = g, (I − µK 0 )f = g tienen soluciones u ńicas, con lo que queda probado (a). - Supongamos ahora que (I − µK)f = 0 tiene alguna solución f0 6= 0. Otra vez, por (∗), la ecuación (I − µK 0 )f = 0 tiene alguna solución no nula, lo que prueba el apartado (b). - La misma condición (∗) muestra que (5) y (6) tienen el mismo n´ umero de soluciones linealmente independientes. Rb - Veamos ahora que (I − µK)f = g tiene solución si y sólo si a g(s)h(s) = 0 para cualquier h solución de (I − µK 0 )h = 0. Sean pues f y h tales que (I − µK)f = g y (I − µK 0 )h = 0. Entonces, como Z b

g(s) = f (s) − µ

k(s, t)f (t)dt, a

resulta Z b

Z

b

h(s)f (s)ds − µ

g(s)h(s)ds = a

Z b Z

a Z b

a a b Z b

Z h(s)f (s)ds−µ

= a

Z =

b

Z

a b

h(s)f (s)ds− a

b

k(s, t)f (t)dt h(s)ds k(s, t)h(s)ds f (t)dt

a

h(t)f (t)dt = 0. a

Rec´ıprocamente, si h es solución de (I − µK 0 )h = 0, entonces J(I − µK 0 )h = 0, de donde (I ∗ − µK ∗ )(Jh) = 0, es decir Jh es solución de (I ∗ − µK ∗ )f = 0. Como, por hipótesis, (Jh)g = 0, por el teorema 5.1, (I − µK)f = g tiene solución. Análogamente se procede con el caso dual. 228

♦

(Ver [BN] y [RN] para desarrollos similares y aplicaciones del mismo tema.)

229

EJERCICIOS.

1. Sea T ∈ L(X).

a) Probar que el conjunto ∆ = {λ ∈ C : T − λI es biyectiva pero (T − λI)−1 no es continua} es vac´ıo. b) Probar que σ(T ) \ σp (T ) = {λ ∈ C : T − λI es inyectivo pero no sobre}. Resp.: a) Es consecuencia directa del teorema de la aplicación abierta. b) Teniendo en cuenta que σp (T ) = {λ ∈ C : T − λI es no inyectiva} resulta que σ(T ) \ σp (T ) = {λ ∈ C : T − λI inyectiva no sobre} ∪ ∆ y el resultado es consecuencia del apartado a). Observaci´ on. Este hecho sugiere la distinción hecha en la teor´ıa entre espectro puntual y espectro no puntual. 2. Sea T ∈ L(X). Probar que σ(T ) = σ(T ∗ ) y Rλ (T ∗ ) = Rλ (T )∗ , ∀λ ∈ ρ(T ∗ ) = ρ(T ) (lema 2.3). Resp.: Utilizaremos las siguientes propiedades: (T − λI)∗ = T ∗ − λI ∃T −1 ∈ L(X) ⇐⇒ ∃(T ∗ )−1 ∈ L(X 0 ) y (T −1 )∗ = (T ∗ )−1 . As´ı pues, λ ∈ ρ(T ) ⇐⇒ (T − λI)−1 ∈ L(X) ⇐⇒ ((T − λI)−1 )∗ ∈ L(X 0 ) ⇐⇒ (T ∗ − λI) ∈ L(X 0 ) ⇐⇒ λ ∈ ρ(T ∗ ). Como σ(T ) = C \ ρ(T ), se deduce que σ(T ) = σ(T ∗ ). Por otra parte, ∀λ ∈ ρ(T ) = ρ(T ∗ ), Rλ (T ∗ ) = (T ∗ − λI)−1 = ((T − λI)∗ )−1 = ((T − λI)−1 )∗ = (Rλ (T ))∗ .

230

3. Sea X normado. Probar que el conjunto de operadores invertibles es abierto en L(X). Resp.: Sea T ∈ L(X) invertible. Probemos que ∃r > 0 tal que la bola B(T, r) está formada por operadores invertibles. Para ello elegimos r = kT −1 k−1 ; si S ∈ B(T, r), entonces kS − T k < kT −1 k−1 . Veamos que S es invertible: kT −1 S − Ik

=

kT −1 (S − T )k ≤ kT −1 k · kS − T k < 1

=⇒ ∃(I − (T −1 S − I))−1 ∈ L(X) =⇒ ∃(T −1 S)−1 ∈ L(X) =⇒ ∃S −1 ∈ L(X). 4. Sea X de Banach y T ∈ L(X). Probar que l´ım kT n k1/n < 1 =⇒ (I − T )−1 =

n→∞

X

Tn

n≥0

y converge en la norma de L(X). n 1/n n n Resp.: Sea α < 1 tal que l´ımn→∞ PkT k n < α. Entonces kT k < α , ∀n > N . De este modo, la P serie n≥0 kT k es convergente y, por ser L(X) de Banach, también n≥0 T n converge. P P n ımm→∞ Sm Llamamos S = n≥0 T n y Sm = m n=0 T ; entonces S = l´ y (I − T )Sn = Sn (I − T ) = I − T n+1 .

Como kT n k < αn , l´ımn→∞ kT n k = 0, de donde l´ımn→∞ Sn = (I − T )−1 . De este resultado se obtiene la fórmula de Neumann: si T ∈ L(X) y λ ∈ C son tales que |λ|−1 > l´ımn kT n k1/n , entonces l´ımn k(λT )n k1/n < 1, de modo que I − λT es invertible y (I − λT )−1 =

X

λn T n ,

n≥0

donde la serie converge en la norma de L(X).

231

5. Sea X un espacio de dimensi´ on infinita y A : X → X un operador compacto. Probar que A−1 , si existe, no es acotado. Resp.: Supongamos que A−1 ∈ L(X). Por ser A compacto y la clase de operadores compactos un ideal bilátero de L(X), se deduce que I = AA−1 es compacto. Pero, como la dimensión del espacio es infinita, el operador identidad no puede ser compacto. 6. Sea X un espacio normado, z ∈ X , f ∈ X 0 elementos fijos. Definimos A : X → X por Ax = f (x)z . Probar que A es compacto. Resp.: Sea {xn }n∈N una sucesión acotada en X, kxn k ≤ M , ∀n. Veamos que {Axn }n∈N posee alguna subsucesión convergente. Como f es acotado, |f (xn )| ≤ kf k · kxn k ≤ kf k · M , lo que prueba que {f (xn )}n∈N es una sucesión uniformemente acotada. Por el teorema de Bolzano-Weierstrass, tiene una subsucesión, {f (xnk )}k∈N , convergente, digamos a λ. Como Axnk = f (xnk )z, resulta que Axnk → λz, lo que prueba el enunciado. 7. Sea T : X → X un operador compacto. Probar que existe una constante M > 0 tal que ∀y ∈ R(Tλ ), kTλ−1 yk ≤ M kyk. Resp.: Sea y 6= 0 un elemento de R(Tλ ) y x0 ∈ X tal que (T − λI)x0 = y. Como dim N (Tλ ) < ∞, N (Tλ ) es cerrado. Entonces existe w ∈ N (Tλ ) tal que d(x0 , N (Tλ )) = kx0 − wk > 0. Si llamamos x = x0 − w, entonces Tλ x = y y, si probamos que existe M > 0 tal que d(x0 , N (Tλ )) ≤ M kTλ x0 k, entonces kxk = kx0 − wk ≤ M kTλ x0 k = M kyk. Supongamos por el contrario que no existe tal M , es decir que (∗)

∀n > 0, ∃yn ∈ R(Tλ ) : kTλ−1 yn k > nkyn k.

Entonces existe una sucesión (xn )n∈N ⊂ X tal que Tλ xn = yn , ∀n y, como yn 6= 0, xn 6∈ N (Tλ ), ∀n. 232

Como N (Tλ ) es cerrado, si llamamos dn = d(xn , N (Tλ )), entonces dn > 0, ∀n. Por tanto, ∃wn ∈ N (Tλ ) tal que dn ≤ kxn −wn k < 2dn . Sea ahora vn = kxn −wn k−1 (xn −wn ); as´ı, kvn k = 1 y, por ser T compacto, existe una subsucesión (vnk )k∈N tal que (T vnk )k∈N es convergente. Por otra parte, de la igualdad yn = Tλ xn = Tλ (xn − wn ) = Tλ (kxn − wn k · vn ) y teniendo en cuenta (∗), se deduce que kxn − wn k · kvn k > nkyn k, de donde kTλ vn k = kxn − wn k−1 · kyn k < 1/n, ∀n ∈ N. Esto implica que Tλ vn → 0. Como además vn = −λ−1 (Tλ vn − T vn ), deducimos que (vnk )k∈N también converge, en contradicción con la definición de vn (ver prueba del teorema 4.4). 8. Dado un espacio vectorial X y un subespacio M de X , se llama codimensión de M a codim M = dim X/M , cuando esta cantidad es finita.

a) Probar que M tiene codimensi´ on finita si y s´ olo si existe N subespacio de X con dimensi´ on finita tal que X = M ⊕ N . b) Si X es un espacio normado y T : X → X es un operador compacto, probar que R(T − λI) tiene codimensi´ on finita y codim R(T − λI) = dim N (T − λI). Resp.: a) Supongamos que {x1 +M, . . . , xn +M } es una base de X/M . Es evidente que {x1 , . . . , xn } es linealmente independiente. Llamamos N Pnal espacio generado por dicho conjunto. As´ı, ∀x ∈ X, x + M = k=1 αk (xk + M ), es decir x = y + z, con y ∈ M , z ∈ N , y la descomposición es u ńica. Rec´ıprocamente, si {y1 , . . . , yn } es una base de N , definimos ϕ : N → X/M por ϕ(yk ) = yk + M (restricción a N de la aplicación canónica). Como, por hipótesis, X = M ⊕ N , ϕ es biyectiva. Esto implica que dim X/M = codim M = n. b) Por el teorema espectral de operadores compactos, (∗)

X = N (Tλr ) ⊕ R(Tλr ).

Por tanto, debido que que Tλ (R(Tλr )) = R(Tλr ), deducimos que (∗∗) R(Tλ ) = Tλ (X) = Tλ (N (Tλr )) ⊕ Tλ (R(Tλr )) = Tλ (N (Tλr )) ⊕ R(Tλr ). 233

Por otra parte, es fácil probar que Tλ (N (Tλr )) ⊂ N (Tλr ), lo que permite definir S = Tλ |N (Tλr ) : N (Tλr ) → N (Tλr ). Como N (Tλr ) tiene dimensión finita, dim N (Tλr ) = dim N (S)+dim R(S), de donde dim N (S) = codim R(S). Por el apartado a), existe N ⊂ N (Tλr ) tal que N (Tλr ) = R(S) ⊕ N , con dim N = codim R(S). Sustituyendo esta descomposición en (∗) y aplicando (∗∗), resulta: X = R(S) ⊕ N ⊕ R(Tλr ) = N ⊕ R(Tλ ), de modo que codim R(Tλ ) = dim N = dim N (S) = dim N (Tλ ) pues N (Tλ ) = N (S). 9. Sea k un n´ ucleo continuo en el cuadrado [0, 1]×[0, 1]. Probar que el Z 1 operador integral T : C[0, 1] → C[0, 1], definido por T x(s) = k(s, t)x(t)dt, 0

es compacto.

Resp.: Sea M ⊂ C[0, 1] un conjunto acotado. Probemos que T (M ) es relativamente compacto en la métrica de C[0, 1]. Por hipótesis, existe K > 0 tal que kxk∞ ≤ K, ∀x ∈ M . • Veamos que T x es una función uniformemente acotada, ∀x ∈ M : Si λ = máx0≤s,t≤1 |k(s, t)|, entonces |T x(s)| ≤ λ · K. • Veamos además que T x es equicontinua, ∀x ∈ M : Sea para ello ε > 0 arbitrario. Como k es uniformemente continuo, existe δ > 0 tal que |k(s1 , t) − k(s2 , t)| < ε/K, si |s1 − s2 | < δ, ∀t ∈ [0, 1]. Entonces Z |T x(s1 ) − T x(s2 )| ≤

1

|k(s1 , t) − k(s2 , t)| · |x(t)|dt < ε 0

si |s1 − s2 | < δ. Aplicando ahora el teorema de Arzela-Ascoli, deducimos que el conjunto T (M ) es relativamente compacto.

234

10. Probar que el operador integral T : L2 [0, 1] → L2 [0, 1] definiZ 1 Z 1Z 1 do por Ax(s) = k(s, t)x(t)dt, donde k 2 (s, t)dsdt < ∞, es 0

compacto.

0

0

Resp.: Supongamos en primer lugar que k es continua en [0, 1] × [0, 1] y llamemos λ = máx |k(s, t)|. Para ver que T es compacto, sea M 0≤s,t≤1

un conjunto acotado en L2 [0, 1] y kxk2 ≤ K, ∀x ∈ M . Por la desigualdad de Hölder, ∀x ∈ M, 1

Z |T x(s)| ≤

Z |k(s, t)x(t)|dt ≤

0

1

1/2 Z |k(s, t)| dt

1

2

0

2

|x(t)| dt

1/2 ≤ λ·K,

0

de lo que se deduce que T (M ) es uniformemente acotado. Además, T (M ) es equicontinua pues, si elegimos ε > 0 arbitrariamente, existe δ > 0 tal que |k(s1 , t) − k(s2 , t)| < ε/K, si |s1 − s2 | < δ, t ∈ [0, 1]. Entonces Z |T x(s1 )−T x(s2 )| ≤

1 2

1/2 Z

|k(s1 , t) − k(s2 , t)| dt 0

1

1/2 |x(t)| dt < ε. 2

0

Del teorema de Arzela-Ascoli se deduce que T es compacto. Supongamos ahora que k es un n´ ucleo arbitrario en L2 ([0, 1] × [0, 1]). Consideramos una sucesión {kn }n∈N de n´ ucleos continuos convergente R1 2 a k en L ([0, 1] × [0, 1]). Si definimos Tn x(s) = 0 kn (s, t)x(t)dt, se obtiene que 2

kT x − Tn xk

2 = [k(s, t) − kn (s, t)]x(t)dt ds 0 0 Z 1 Z 1 Z 1 2 2 ≤ |k(s, t) − kn (s, t)| dt · |x(t)| dt ds 0 0 0 Z 1Z 1 2 = kxk2 · |k(s, t) − kn (s, t)|2 dtds. Z

1 Z 1

0

0

R R 1/2 1 1 Esto implica que kT − Tn k ≤ 0 0 |k(s, t) − kn (s, t)|2 dsdt y, en consecuencia, que Tn → T . Por el teorema 3.8 se deduce que T es compacto.

235

11. Sea T : `2 → `2 definido por T (x1 , x2 , . . . ) = (0, x2 , 0, x4 , . . . ). Calcular N (Tλn ), ∀n ∈ N. Deducir que T no es compacto. Resp.: Por definición, Tλ (x1 , x2 , . . . , ) = (−λx1 , (1 − λ)x2 , −λx3 , (1 − λ)x4 , . . . ). Procediendo por recurrencia, obtenemos que Tλn (x1 , x2 , . . . ) = ((−λ)n x1 , (1 − λ)n x2 , (−λ)n x3 , (1 − λ)n x4 , . . . ). De este modo, x ∈ N (Tλn ) ⇐⇒ (−λ)n x2k−1 = 0, (1−λ)n x2k = 0, ∀k ∈ N. En el caso λ = 0, resulta N (Tλn ) = {(x1 , 0, x3 , 0, . . . ) : xk ∈ C}. Si λ = 1, N (Tλn ) = h{(0, x2 , 0, x4 , 0, . . . ) : xk ∈ C}i. Este espacio tiene dimensión infinita, lo que implica que T no es compacto. 12. En el espacio `2 definimos los operadores compactos A(x1 , x2 , . . . ) = (x2 , x3 /2, x4 /3, . . . ), B(x1 , x2 , . . . ) = (0, x1 , x2 /2, x3 /3, . . . ), C(x1 , x2 , . . . ) = (x1 , x2 /2, x3 /3, . . . ).

Probar que 0 ∈ σp (A), 0 ∈ σr (B), 0 ∈ σc (C). Resp.: a) Por definición, λ ∈ σp (A) ⇐⇒ N (Aλ ) 6= {0}. Ahora bien, como Aλ (x1 , x2 , . . . ) = (x2 − λx1 , x3 /2 − λx2 , x4 /3 − λx3 , . . . ), resulta que x ∈ N (Aλ ) ⇐⇒ xn+1 /n − λxn = 0, ∀n ∈ N ⇐⇒ xn+1 = nλxn = · · · = n!λn x1 , ∀n ∈ N. En particular, el elemento (1, λ, 2λ2 , . . . , n!λn , . . . ) ∈ N (Aλ ). Haciendo λ = 0, e1 = (1, 0, 0, . . . ) ∈ N (A0 ) lo que indica que 0 ∈ σp (A). b) Por definición, λ ∈ σr (B) ⇐⇒ (B − λI)−1 está definido en un conjunto no denso de `2 , es decir R(Bλ ) 6= `2 . En este caso, y ∈ R(Bλ ) ⇐⇒ ∃x ∈ `2 : −λx1 = y1 , xn /n − λxn+1 = yn+1 , ∀n ∈ N. 236

Para λ = 0, B0 x = y ⇐⇒ 0 = y1 , xn /n = yn+1 , ∀n ∈ N, de modo que el espacio generado por e1 = (1, 0, . . . ) 6∈ R(B0 ). Esto implica que R(B0 ) 6= `2 y 0 ∈ σr (B). c) Si llamamos (en )n∈N a la base canónica de `2 , es evidente que R(C) = `2 , pues Cen = (1/n)en , ∀n ∈ N. As´ı pues, existe el inverso C −1 y está definido en todo el espacio; sin embargo, C −1 no está acotado pues C −1 en = nen =⇒ kC −1 en k2 = |n| · ken k2 = |n|. Por definición, 0 ∈ σc (C). 13. Sean X un espacio normado y T ∈ L(X) un operador compacto. Probar que todo punto espectral no nulo de T es autovalor. Resp.: Sea λ ∈ σ(T ), λ 6= 0 y supongamos que existe Tλ−1 . Probemos que λ ∈ ρ(T ): Por hipótesis, la ecuación homogénea Tλ x = 0 sólo tiene la solución trivial x = 0. Por el teorema 5.6, la ecuación Tλ x = y tiene solución para cualquier y ∈ X. El mismo teorema prueba que el operador Tλ−1 está definido en todo X y está acotado, lo que significa que λ ∈ ρ(T ). Z

1

14. Resolver la ecuaci´ on integral x(s) − µ

x(t)dt = 1, en el espacio 0

L2 [0, 1].

Resp.: Consideramos en primer lugar la ecuación homogénea 1

Z x(s) − µ

x(t)dt = 0. 0

Z De la igualdad x(s) = µ

1

x(t)dt, deducimos que 0

Z x(s) = µ

1

Z

µ 0

1

2

Z

x(r)dr dt = µ 0

1

x(r)dr = µx(s), 0

de donde (1 − µ)x(s) = 0. Descomponemos pues el problema en dos casos: 237

a) Si µ 6= 1, la u ńica solución de la ecuación homogénea es la trivial. As´ı pues, la ecuación propuesta tiene soluci´ ńica. Ron1 u Debido a que el operador asociado T x(s) = 0 x(t)dt tiene norma uno, pues 2 Z 1 Z 1 2 x(t)dt ds = kxk22 , kT xk2 = 0

0

kT k−1

en el caso |µ| < = 1 la solución puede expresarse mediante la fórmula de Neumann x = 1 + µT (1) + µ2 T 2 (1) + · · · =

1 , 1−µ

solución que también es válida cuando |µ| > 1. b) Si µ = 1, cualquier función constante es solución de la ecuación homogénea. Sabemos por elR teorema 5.12 que la ecuación dada 1 tiene solución si y sólo si 0 1 · h(s)ds = 0, para cualquier h solución de la homogénea asociada (observar que T = T ∗ ). Ahora bien, como la u ´ltima igualdad no es cierta para las funciones constantes, deducimos que la ecuación dada no tiene solución.

TEMAS COMPLEMENTARIOS 1. Propiedades espectrales de las álgebras de Banach ([Kr]). 2. Algebras-C ∗ ([Ru]). 3. Principio del punto fijo de Schauder y sus aplicaciones ([LS]). 4. Aplicaciones de las ecuaciones integrales a la teor´ıa del potencial ([RN]).

238

VI. TEORÍA ESPECTRAL EN ESPACIOS DE HILBERT La teor´ıa espectral de cierta clase de operadores en espacios de Hilbert fue iniciada por el propio Hilbert en 1904; tiene importantes aplicaciones a problemas de análisis clásico, especialmente en ecuaciones diferenciales. También es una herramienta indispensable en el estudio de álgebras de operadores en espacios de Hilbert, que son los que forman la base matemática de la Mecánica Cuántica. Probaremos en este cap´ıtulo el teorema espectral de operadores autoadjuntos y normales sobre espacios de Hilbert. Dicho teorema será una generalización del teorema de diagonalización de las matrices herm´ıticas y representa la introducción más natural a la teor´ıa espectral de operadores arbitrarios en espacios de Hilbert. SECCIONES 1. Introducción. 2. Propiedades espectrales de operadores normales y autoadjuntos. 3. Teorema espectral de operadores normales compactos. 4. Teorema espectral de operadores autoadjuntos compactos. 5. Operadores positivos. 6. Operadores proyección. 7. Funciones de operadores acotados autoadjuntos. 8. Teorema espectral de operadores autoadjuntos. 9. Teorema espectral de operadores autoadjuntos: segunda versión. 10. Ejercicios. 239

´ 1. INTRODUCCION.

En este cap´ıtulo ilustraremos el desarrollo de la teor´ıa espectral en espacios de Hilbert probando el teorema espectral de operadores autoadjuntos y normales. Recordamos que, dado un operador lineal acotado T ∈ L(H1 , H2 ) entre dos espacios de Hilbert complejos H1 y H2 , se define el adjunto de T como el operador T ∗ : H2 → H1 tal que ∀x ∈ H1 , y ∈ H2 : hT x, yi = hx, T ∗ yi y se prueba que T ∗ ∈ L(H2 , H1 ) y kT ∗ k = kT k. Un operador T ∈ L(H) es autoadjunto cuando T ∗ = T . Los operadores autoadjuntos son una generalización directa de las matrices herm´ıticas, pues si T : Cn → Cn es un operador autoadjunto y (aij ) la matriz asociada a T respecto de una base ortonormal de Cn , sabemos que aij = aji , i, j = 1, . . . , n, es decir la matriz es herm´ıtica. Recordaremos en primer lugar el teorema de factorización de matrices herm´ıticas que se generalizará posteriormente con el teorema espectral de operadores autoadjuntos. Teorema. Sea H el espacio eucl´ıdeo n-dimensional y T : H → H un operador autoadjunto. Existe entonces una base ortonormal {u1 , . . . , un } de H formada por vectores propios de T , es decir ∃λ1 , . . . , λn ∈ C : T uj = λj uj , j = 1, . . . , n. Para motivar los conceptos que se aplicarán a lo largo del cap´ıtulo, damos otros enunciados equivalentes y consecuencias inmediatas del teorema anterior. 1.- Si llamamos Hi = h{ui }i, i = 1, . . . , n, entonces T Hi ⊂ Hi ; por tanto, H = H1 ⊕ · · · ⊕ Hn suma directa ortogonal. Todo espacio de dimensión finita se puede descomponer como suma directa ortogonal de subespacios de dimensión 1 cada uno de ellos T -invariante. 2.- Si llamamos ahora Ti = T |Hi , i = 1, . . . , n, entonces T = T1 + · · · + Tn . 3.- El teorema también se puede enunciar as´ı: Existe una base  {u1 , . . . , un }de H respecto de la cual la matriz asociada es λ1 0   . .. diagonal Λ =  . 0 λn 4.- Dada una base {u1 , . . . , un } de H, si definimos la transformada de Fourier de un elemento x = c1 u1 + · · · + cn un ∈ H como x b = (b x(1), . . . , x b(n)) = 240

(c1 , . . . , cn ), se tiene: x = x b(1)u1 + · · · + x b(n)un hx, yi = x b(1) yb(1) + · · · + x b(n) yb(n) n X Tx = λi x b(i)ui . i=1

Si definimos la función b a : {1, . . . , n} → C por b a(i) = λi , entonces y = T x ⇐⇒ yb(i) = b a(i)b x(i), es decir, aplicar el operador T a un elemento x equivale a multiplicar por b a la transformada de Fourier x b de x. 5.- Como toda función x b definida en {1, . . . , n} es la transformada de Fourier de alg´ un x ∈ H y |b x(1)|2 +· · ·+|b x(n)|2 < ∞, llamando µ a la medida discreta definida en R y concentrada en los puntos {1, . . . , n}, se puede pensar x b como un elemento de L2 (µ) siendo la correspondencia x 7→ x b un isomorfismo entre H y L2 (µ). El resultado de 3.- se puede expresar ahora como: Existe un isomorfismo x 7→ x b de H en L2 (µ) en el que el operador T se transforma en la multiplicación por b a. 6.- Si llamamos S al espacio de los n primeros n´ umeros naturales S = {1, . . . , n} con la topolog´ıa discreta, se puede pensar la función real b a como un elemento de Cr (S) = {f : S → R : f continua}. Si B = c0 I + c1 T + · · · + ck T k y definimos bb(i) = c0 + c1 b a(i) + · · · + ck b a(i)k , entonces y = Bx ⇐⇒ yb(i) = bb(i) · x b(i), i = 1, . . . , n. Más generalmente, ∀bb ∈ Cr (S), se puede definir un operador B por la fórmula anterior. Como la base {u1 , . . . , un } es ortogonal, X X kxk2 = |b x(i)|2 , kBxk2 = |bb(i)|2 · |b x(i)|2 =⇒ kBk = sup |bb(i)| = kbbk∞ . i∈S

En particular, si bbn (i) → bb(i), entonces Bn → B en norma. 7.- Supongamos ahora que b a(i) 6= 0, ∀i ∈ S y b a(i) 6= b a(j) si i 6= j. El conjunto de los operadores B correspondientes a los posibles bb ∈ Cr (S) coincide con el álgebra P a = a(T ) generada por T , es decir el álgebra de operadores B = l´ımn nk=1 ck T k . Además, si B ≥ 0, entonces bb(i) ≥ 0 pues bb(i) = hBui , ui i. Se tiene entonces: 241

Existe un isomorfismo B 7→ bb de a en Cr (S) tal que kBk = kbbk∞ y si B ≥ 0, entonces bb(i) ≥ 0. En particular a T le corresponde la función b a(i) = λi . 8.- Para cada ∆ intervalo de R, se puede definir el operador P (∆) : H → H por y = P (∆)x si yb(i) = ϕ∆ (i)b x(i), siendo ϕ∆ la función caracter´ıstica de ∆. Dicho operador verifica: i) P (∆) es un proyector en H. ii) P (∅) = 0 y P (R) = I. iii) Si ∆ =

S

∆n , unión disjunta, P (∆) =

n∈N

P

P (∆n ) = l´ımn

n∈N

n P

P (∆k ).

k=1

iv) Si ∆ = ∆1 ∩ ∆2 , P (∆) = P (∆1 ) · P (∆2 ). Se dice que P (∆) es la medida espectral de T pues P (∆) tiene las propiedades de una medida com´ un salvo que no es un n´ umero sino un proyector. 9.- Si ∆j ∩ S = {j}, entonces P (∆j )x = x b(j)uj , es decir, P (∆j ) es la proyección sobre el autoespacio Hj = h{uj }i correspondiente a λj . Se tiene as´ı la descomposición I = P (∆1 ) + · · · + P (∆n ) y (∗)

T =b a(1)P (∆1 ) + · · · + b a(n)P (∆n ).

En definitiva: A todo operador autoadjunto T le corresponde una medida espectral P (∆) con las propiedades i) a iv) de modo que se cumple (∗), fórmula llamada descomposición espectral de T . Esta forma tan sencilla de expresar la imagen por T de cualquier elemento x ∈ H es lo que hace atractiva la descomposición. Otra forma de escribir la representación anterior, más adecuada para su generalización al caso de dimensión infinita, se obtiene de la siguiente forma: Suponemos como antes que los autovalores λ1 , . . . , λn del operador T son diferentes y que λ1 < . . . < λn ; llamamos nuevamente {u1 , . . . , un } a la base ortonormal de autovectores asociada y ∆i un intervalo en R tal que ∆i ∩ S = {i} (i = 1, . . . , n). Si Pi = P (∆i ) : H → H es la proyección definida por Pi x = x b(i)ui = hx, ui iui , se definen las proyecciones E0 = 0, Ek =

X

Pi , k = 1, . . . , n

i≤k

242

Entonces, para todo x ∈ H se tiene la descomposición x=

n X

(Ei − Ei−1 )x y T x =

i=1

n X

λi (Ei − Ei−1 )x.

i=1

Más generalmente, si definimos Eλ =

X

Pi , λ ∈ R ,

λi ≤λ

tenemos que P1 = Eλ1 , Pi = Eλi − Eλi−1 (i = 2, . . . , n). Como Eλ es constante si λ ∈ [λj−1 , λj ) (j = 2, . . . , n), podemos escribir también Pj = Eλj −Eλj −0 (j = 1, . . . , n), con lo que, para todo x ∈ H, x=

n X j=1

Pj x =

n X

(Eλj −Eλj −0 )x y T x =

j=1

n X j=1

λ j Pj x =

n X

λj (Eλj −Eλj −0 )x.

j=1

P Si llamamos dEλ = Eλ − Eλ−0 , podemos escribir T = nj=1 λj dEλj , que es la llamada representacióP n espectral de T . De esta representación se obtiene n on que puede escribirse además que hT x, yi = j=1 λj dhEλj x, yi, expresi´ R∞ también como integral de Riemann-Stieltjes hT x, yi = −∞ λdµ(λ), donde µ(λ) = hEλ x, yi. Debido a lo anterior se pueden hacer operaciones algebraicas numéricas con el operador y tener informaci´ on sobre el nuevo espectro. Por ejemplo, si Pn Pn 3 3 T = k=1 λk Pk , T = k=1 λk Pk y σ(T 3 ) = {λ31 , . . . , λ3n }. Rec´ıprocamente, se pueden definir nuevos operadores como funciones del operador conocido. Por ejemplo, cos T = (cos λ1 )P1 + · · · + (cos λn )Pn .

2. PROPIEDADES ESPECTRALES DE OPERADORES NORMALES Y AUTOADJUNTOS.

Los operadores autoadjuntos pueden estudiarse como caso particular de los operadores normales. Recordamos que un operador A ∈ L(H), donde H un espacio de Hilbert complejo, es normal cuando AA∗ = A∗ A. Un ejemplo t´ıpico lo forman los operadores de multiplicación Mϕ ∈ L(L2 (R)) definidos por Mϕ f = ϕ · f , con ϕ ∈ L∞ (R) fija. En este caso σr (Mϕ ) = ∅, σp (Mϕ ) = {λ ∈ C : m(ϕ−1 (λ)) > 0}, ρ(Mϕ ) = {λ ∈ C : ∃k > 0, |λ − ϕ(x)| ≥ k c.s.}. En conclusión σ(Mϕ ) = ϕ(R). 243

Estudiaremos en esta sección algunas propiedades de estas clases de operadores, que permitirán simplificar los argumentos en el desarrollo posterior de la teor´ıa. 2.1.- Teorema. Un operador A ∈ L(H) es normal si y s´ olo si kA∗ xk = kAxk, ∀x ∈ H. Demostraci´ on. Basta observar que ∀x ∈ H, kAxk2 = hAx, Axi = hA∗ Ax, xi y kA∗ xk2 = hA∗ x, A∗ xi = hAA∗ x, xi.

♦

Una consecuencia inmediata de este resultado es que los n´ ucleos N (A) y ∗ N (A ) coinciden si A es normal. En cuanto a la estructura de los operadores autoadjuntos, probaremos los siguientes resultados. 2.2.- Teorema. Sean S, T ∈ L(H) operadores autoadjuntos y α, β ∈ R. Entonces αS + βT es autoadjunto. Adem´ as ST es autoadjunto si y s´ olo si T S = ST . Demostraci´ on. De las propiedades del producto escalar, es evidente que h(αS + βT )x, yi = αhSx, yi + βhT x, yi = αhx, Syi + βhx, T yi = hx, αSyi + hx, βT yi = hx, (αS + βT )yi. Con respecto a la segunda parte, si T S = ST , entonces h(ST )x, yi = hT x, Syi = hx, T Syi = hx, ST yi. Rec´ıprocamente, si ST es autoadjunto, hST x, yi = hx, ST yi = hSx, T yi = hT Sx, yi, ∀x, y =⇒ T S = ST.

♦

2.3.- Teorema. Un operador T ∈ L(H) es autoadjunto si y s´ olo si hT x, xi es real, ∀x ∈ H. Demostraci´ on. Si T es autoadjunto, hT x, xi = hx, T xi = hT x, xi de donde hT x, xi ∈ R, ∀x ∈ H. Rec´ıprocamente, si hT x, xi ∈ R, ∀x ∈ H, entonces, por definición de adjunto, hT x, xi = hT x, xi = hx, T xi = hT ∗ x, xi =⇒ h(T − T ∗ )x, xi = 0, ∀x ∈ H. Como H es un espacio complejo, T − T ∗ = 0 (ver ejercicio 36 del cap´ıtulo III), es decir T es autoadjunto. ♦ 244

Veremos posteriormente otras similitudes entre ciertas clases de operadores y algunos subconjuntos del campo complejo, que motivarán algunas propiedades importantes de aquellos. 2.4.- Teorema. Si T ∈ L(H) es autoadjunto, entonces kT k = sup |hT x, xi|. kxk=1

Demostraci´ on. Llamemos α = sup |hT x, xi|. Por la desigualdad de Cauchykxk=1

Schwarz, ∀x ∈ H, |hT x, xi| ≤ kT xk · kxk ≤ kT k · kxk2 . Esto indica por un lado que α ≤ kT k. Para probar la desigualdad contraria, sean x, y ∈ H. Entonces hT (x + y), x + yi − hT (x − y), x − yi = 4 RehT x, yi. Si aplicamos la desigualdad triangular y la identidad del paralelogramo, obtenemos: 4| RehT x, yi| ≤ |hT (x + y), x + yi| + |hT (x − y), x − yi| ≤ α kx + yk2 + kx − yk2 = 2α kxk2 + kyk2 . En particular, si tomamos x ∈ H con kxk = 1 y T x 6= 0, y = kT xk−1 T x, resulta 1 kT xk = RehT x, kT xk−1 T xi ≤ α(1 + 1) = α. 2 Obtenemos as´ı que kT k = sup kT xk ≤ α. ♦ kxk=1

2.5.- Lema. Si T ∈ L(H) es autoadjunto y M un subespacio de H invariante bajo T , entonces M ⊥ es también invariante bajo T . Demostraci´ on. Es evidente pues, dados x ∈ M, y ∈ M ⊥ arbitrarios, 0 = hT x, yi = hx, T yi =⇒ T y⊥M.

♦

Estudiaremos a continuación las propiedades espectrales de estas clases de operadores. As´ı como en los espacios de dimensión finita el espectro no puntual es vac´ıo, en los operadores normales probaremos que este se reduce al espectro continuo. Esto permite simplificar el estudio del espectro para estos operadores, que son además los que se presentan en los ejemplos más comunes. 2.6.- Teorema. Si A ∈ L(H) es normal, σr (A) = ∅. Demostraci´ on. Sea λ ∈ σr (A), λ 6= 0. Entonces (A − λI)H es un subespacio propio de H. Por el teorema de proyección, existe un elemento v ∈ H no nulo tal que h(A − λI)h, vi = 0, ∀h ∈ H. Entonces hh, (A∗ − λI)vi = 0, ∀h ∈ H 245

lo que implica que (A∗ − λI)v = 0 as´ı como k(A∗ − λI)vk2 = k(A−λI)vk2 = 0. Deducimos as´ı que λ es autovalor, lo que contradice la suposición inicial. ♦

2.7.- Teorema. Si A es normal, rσ (A) = kAk. Adem´ as, existe λ ∈ σ(A) tal que |λ| = kAk. Demostraci´ on. a) Por ser A normal, ∀x ∈ H kAxk = kA∗ xk =⇒ kA(Ax)k = kA∗ (Ax)k =⇒ kA2 k

=

sup kA2 xk = sup kA∗ Axk = kA∗ Ak = kAk2 . kxk=1

kxk=1

Utilizando el hecho de que si A es normal, entonces Ak es normal, ∀k ∈ N, k k se prueba por inducción que kA2 k = kAk2 , ∀k ∈ N. Si ahora aplicamos la fórmula del radio espectral de Gelfand, q q p 2k 2k k n n 2 kA k = l´ım kA k = l´ım kAk2k = kAk. rσ (A) = l´ım n→∞

k→∞

k→∞

b) Como la función | · | : σ(A) → R+ es continua y σ(A) es compacto, se alcanza el valor máximo en dicho conjunto, es decir existe λ ∈ σ(A) tal que |λ| = máx |µ| = sup |µ| = rσ (A) = kAk. ♦ µ∈σ(A)

µ∈σ(A)

2.8.- Corolario. Si A ∈ L(H) es un operador normal compacto, σp (A) 6= ∅ y existe alg´ un λ ∈ σp (A) tal que |λ| = kAk. Demostraci´ on. Sea λ ∈ σ(A) tal que |λ| = kAk. - Si λ = 0, entonces T = 0, de modo que λ ∈ σp (A). - Si λ 6= 0, entonces λ ∈ σp (A) (teorema 4.11, cap´ıtulo V).

♦

2.9.- Teorema. Sea T ∈ L(H) autoadjunto. Entonces: a) Todos los autovalores de T (si existen) son reales. b) Autovectores correspondientes a distintos autovalores son ortogonales. Demostraci´ on. a) Si λ es autovalor y T x = λx con x 6= 0, entonces λhx, xi = hλx, xi = hT x, xi = hx, T xi = λhx, xi. Esto implica que λ = λ, es decir λ es real. b) Si λ y µ son autovalores y λ 6= µ, con T x = λx y T y = µy, entonces λhx, yi = hλx, yi = hT x, yi = hx, T yi = hx, µyi = µhx, yi. 246

Esto implica que hx, yi = 0.

♦

2.10.- Lema. Si T ∈ L(H) es autoadjunto, λ ∈ ρ(T ) ⇐⇒ ∃c > 0 : kTλ xk ≥ ckxk, ∀x ∈ H. Demostraci´ on. =⇒: Si λ ∈ ρ(T ), ∃Rλ = (T − λI)−1 y es acotado. Si llamamos kRλ k = k > 0, entonces kxk = kRλ Tλ xk ≤ kRλ k · kTλ xk = kkTλ xk. Esto implica que kTλ xk ≥ ckxk con c = 1/k. ⇐=: a) Veamos en primer lugar que Tλ : H → Tλ (H) es biyectiva: Tλ x = 0 =⇒ kTλ xk = 0 =⇒ ckxk = 0 =⇒ x = 0. b) Además Tλ (H) es denso en H: x0 ⊥ Tλ (H) =⇒ x0 ⊥Tλ (H) =⇒ 0 = hTλ x, x0 i = hT x, x0 i − λhx, x0 i, ∀x ∈ H =⇒ hT x, x0 i = hx, T x0 i = hx, λx0 i, ∀x ∈ H =⇒ T x0 = λx0 . Si x0 6= 0, λ es autovalor de T , por lo que λ = λ y Tλ x0 = 0; entonces 0 = kTλ x0 k ≥ ckx0 k > 0 ⊥

lo que es absurdo. De aqu´ı concluimos que x0 = 0 y Tλ (H) = {0}. c) Por u ´ltimo, Tλ (H) es cerrado: Sea y ∈ Tλ (H); entonces existe una sucesión (yn )n∈N ⊂ Tλ (H) tal que yn → y. Si llamamos Tλ xn = yn , entonces 1 1 kxn − xm k ≤ kTλ xn − Tλ xm k = kyn − ym k → 0 c c lo que implica que (xn )n∈N es de Cauchy. Como H es completo, existe x ∈ H tal que xn → x. De la continuidad de Tλ deducimos que yn = Tλ xn → Tλ x. Por la unicidad del l´ımite, Tλ x = y. Debido a b) y c), se deduce que Tλ (H) = H. Esto significa que Rλ = Tλ−1 está definido en todo H y es acotado, por la hipótesis, con lo que concluimos que λ ∈ ρ(T ). ♦ 2.11.- Teorema. El espectro σ(T ) de un operador autoadjunto T ∈ L(H) en un espacio de Hilbert H complejo es real. M´ as a´ un, si m = ´ınf kxk=1 hT x, xi y M = supkxk=1 hT x, xi, entonces σ(T ) ⊂ [m, M ]. Demostraci´ on. a) Sea λ = α + iβ, con β 6= 0. Si x ∈ H, hTλ x, xi = hT x, xi − λhx, xi hTλ x, xi = hT x, xi − λhx, xi. 247

Restando miembro a miembro, −2i ImhTλ x, xi = hTλ x, xi − hTλ x, xi = (λ − λ)hx, xi = 2iβkxk2 . Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz, |β| · kxk2 = | ImhTλ x, xi| ≤ |hTλ x, xi| ≤ kTλ xk · kxk. Esto implica que |β| · kxk ≤ kTλ xk. Como β 6= 0, del teorema anterior se deduce que λ ∈ ρ(T ). b) Probaremos que si λ = M +c, con c > 0, es real, entonces λ ∈ ρ(T ): Dado cualquier x 6= 0, llamamos v = kxk−1 x. As´ı: hT x, xi = kxk2 hT v, vi ≤ kxk2 sup hT ve, vei = hx, xi · M. ke v k=1

Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz, kTλ xk · kxk ≥ −hTλ x, xi = −hT x, xi + λhx, xi ≥ (−M + λ)hx, xi = ckxk2 . Dividiendo por kxk, kTλ xk ≥ ckxk =⇒ λ ∈ ρ(T ). Análogamente se prueba que si λ < m, también λ ∈ ρ(T ).

♦

Las constantes m y M tienen una interesante relación con la norma de T: 2.12.- Corolario. Si T es autoadjunto, kT k = máx{|m|, |M |}. Demostraci´ on. Es consecuencia del teorema anterior y el teorema 2.4. Se puede probar también que las cotas m y M de σ(T ) no pueden mejorarse, es decir: 2.13.- Teorema. Si H 6= {0} y T ∈ L(H) es autoadjunto, m, M ∈ σ(T ). Demostraci´ on. Debido a la equivalencia M ∈ σ(T ) ⇐⇒ M + k ∈ σ(T + kI) con k ∈ R, podemos suponer sin pérdida de generalidad que 0 ≤ m ≤ M . Por el teorema anterior, como M = supkxk=1 hT x, xi = kT k, entonces dada cualquier sucesión (δn )n∈N de n´ umeros reales no negativos, con δn → 0, ∃(xn )n∈N : kxn k = 1, hT xn , xn i ≥ M − δn . Entonces kT xn k ≤ kT k · kxn k = kT k = M y, como T es autoadjunto, kT xn − M xn k2 = hT xn − M xn , T xn − M xn i = kT xn k2 − 2M hT xn , xn i + M 2 kxn k2 ≤ M 2 − 2M (M − δn ) + M 2 = 2M δn → 0. 248

Por tanto, no existe ning´ un c > 0 tal que kTM xn k = k(T − M I)xn k ≥ c = ckxn k lo que quiere decir que M no puede estar en ρ(T ). La demostración de que m ∈ σ(T ) es similar.

♦

2.14.- Corolario. Si T ∈ L(H) es autoadjunto, kT k = sup{|λ| : λ ∈ σ(T )}. Si un operador autoadjunto es además compacto, podemos precisar el resultado del teorema 2.13. 2.15.- Corolario. Si T ∈ L(H) es autoadjunto y compacto, entonces m, M ∈ σp (T ) siempre que sean no nulos. Demostraci´ on. El teorema 4.11 del cap´ıtulo V afirma que todo punto espectral no nulo de un operador compacto es un autovalor. De aqu´ı se deduce inmediatamente el resultado. ♦ 2.16.- Corolario. Si T ∈ L(H) es autoadjunto y compacto, entonces su espectro puntual es no vac´ıo. Demostraci´ on. Si alguno de los valores m, M es no nulo, pertenece a σp (T ) seg´ un el resultado anterior. Por otra parte, si m = M = 0, entonces hT x, xi = 0, ∀x ∈ H. Esto implica que T = 0 y λ = 0 es autovalor. ♦ A continuación definimos el espectro aproximado de un operador, muy u ´til por poderse describir bajo condiciones poco rigurosas y, que en el caso de operadores normales, es especialmente simple. 2.17.- Definici´ on. Dado A ∈ L(H), se dice que λ es un autovalor aproximado de A si ∀ε > 0, ∃x ∈ D(A) : kxk = 1, k(A − λI)xk < ε. Llamaremos espectro aproximado de A al conjunto Π(A) de autovalores aproximados de A. A continuación, enunciamos sin demostrar algunas propiedades básicas del espectro aproximado. 2.18.- Teorema. λ ∈ Π(A) ⇐⇒ A − λI no tiene inversa acotada. Esto implica en particular que Π(A) ⊂ σ(A). En el caso de operadores normales, es cierto también el rec´ıproco. Tenemos as´ı: 2.19.- Teorema. Si A es normal, Π(A) = σ(A). Este resultado nos proporcionará una forma más conveniente de caracterizar los valores espectrales de un operador normal. 249

2.20.- Teorema. Sea A ∈ L(H). Son equivalentes: i) ∃λ ∈ Π(A) : |λ| = kAk; ii) kAk = supkxk=1 |hAx, xi|. De los resultados anteriores se desprende que la condición i) siempre se verifica para operadores normales, de modo que ii) permite calcular la norma de un operador normal.

3. TEOREMA ESPECTRAL DE OPERADORES NORMALES COMPACTOS.

En esta sección damos el primer paso en la generalización del teorema espectral de operadores en espacios eucl´ıdeos pues la descomposición que se obtiene en el caso de operadores compactos viene dada en forma de serie infinita. Más próxima a´ un es la descomposición de los operadores de rango finito, de modo que empezaremos estudiando este caso. Los operadores normales de rango finito poseen una gran similitud con los operadores lineales definidos en espacios de dimensión finita: por ejemplo, su espectro puntual consiste también en un n´ umero finito de autovalores. Además, su espectro residual es vac´ıo y su espectro continuo contiene a lo sumo el cero. Ahora bien, si 0 ∈ σc (A), A(H) = H y, al ser A(H) de dimensión finita, es cerrado con lo que no puede ser igual a H si la dimensión de H es infinita. Veremos pues que el teorema espectral tiene una forma completamente análoga al caso finito-dimensional. El resultado que obtengamos nos servirá de gu´ıa para tratar de extenderlo a casos más generales. Por u ´ltimo, queremos indicar que estos operadores poseen su propio interés pues con frecuencia en las aplicaciones prácticas aparecen, o bien operadores de rango finito, o bien operadores que se pueden expresar como l´ımites de sucesiones de estos operadores. En la prueba del teorema espectral necesitaremos el siguiente lema. 3.1.- Lema. Sea H T un espacio de Hilbert, T ∈ L(H) un operador compacto normal. Entonces λ∈C N (T − λI)⊥ = {0}. S Demostraci´ on. Si llamamos L = λ∈C N (Tλ ), debemos probar que L⊥ = {0}, lo que se deduce de las siguientes propiedades elementales: 250

- T Tλ = Tλ T y T ∗ Tλ = Tλ T ∗ , ∀λ ∈ C. - T (N (Tλ )) ⊂ N (Tλ ) y T ∗ (N (Tλ )) ⊂ N (Tλ ). - T (L) ⊂ L y T ∗ (L) ⊂ L. - T (L⊥ ) ⊂ L⊥ y T ∗ (L⊥ ) ⊂ L⊥ . Si suponemos que L⊥ 6= {0}, podemos considerar el operador A = T |L⊥ , que es normal y compacto. Entonces existe alg´ un λ ∈ σp (A) tal que |λ| = kAk. Sea x 6= 0 alg´ un autovector asociado a λ. Entonces Aλ x = Tλ x = 0 =⇒ x ∈ N (Tλ ) ⊂ L =⇒ x ∈ L ∩ L⊥ = {0} lo que es absurdo.

♦

3.2.- Teorema. Sean H un espacio de Hilbert y T ∈ L(H) un operador normal. Son equivalentes: i) T tiene rango finito. ii) T es compacto y σp (T ) es un conjunto finito. En cualquier caso, si σp (T ) = {λ1 , . . . , λn } y Ei es la proyecci´ on ortogonal sobre N (T − λi I) (i = 1, . . . , n), entonces: P a) T = ni=1 λi Ei . b) Ei ⊥Ej para i 6= j. P c) ni=1 Ei = I. Demostraci´ on. i) =⇒ ii): Por ser T de rango finito, es compacto y su espectro puntual es a lo sumo numerable. Supongamos pues que σp (T ) = {λ1 , . . . , λn , . . . } con λi 6= λj , ∀i 6= j. Entonces ∃xi ∈ H : xi 6= 0, Tλi xi = 0, ∀i ∈ N. Como T es normal, el conjunto {x1 , . . . , xn , . . . } es ortogonal. Entonces el conjunto {T (λ−1 n xn ) : λn 6= 0} es linealmente independiente e infinito; esto implica que dim R(T ) = ∞ lo que es absurdo. ii) =⇒ i): Supongamos que σp (T ) = {λ1 , . . . , λn }, con λi 6= λj (i 6= j). Por ser T normal, autovectores correspondientes a autovalores distintos son ortogonales, lo que implica que N (T − λL i I)⊥N (T − λj I)) (i 6= j) y podemos formar la suma directa ortogonal M = ni=1 N (T − λi I); veamos que M = H. El espacio M es cerrado por ser suma S directa ortogonal de subespacios cerrados. Además, si llamamos L = ni=1 N (T − λi I), teniendo en cuenta que L⊥ = M ⊥ , basta probar que L⊥ = {0} para deducir que M = H. 251

En lo Tque podemos escribir L = S efecto, si λ 6∈ σp (T ), N (Tλ ) = {0}, por ⊥ = ⊥ N (T ). Aplicando el lema anterior, L λ λ∈C λ∈C N (Tλ ) = {0}. De lo anterior se obtiene Pntambién que, ∀x ∈ H, existe xi ∈ N (T − λi I) (i = ńica. Entonces 1, . . . , n), tal que x = i=1 xi y la descomposición es u Tx =

n X

T xi =

n X

i=1

λi xi ∈

i=1

n M

N (T − λi I).

i=1

Por ser T compacto, N (T − λi I) tiene dimensión finita, de lo que se deduce que R(T ) tiene dimensión finita, es decir que T es de rango finito. Para probar la u ´ltima parte, supongamos que T es un operador compacto y σp (T ) = {λ1 , . . . , λn }. Si llamamos Ei a la proyección ortogonal sobre N (T − λi I) (i = 1, . . . , n), debido a que N (T − λi I) ⊂ N (T − λj I)⊥ , (i 6= j), se deduce que Ei ⊥Ej (i 6= j). P De la descomposición x = ni=1 xi , con xi ∈ N (T − λi I), resulta: Ek x =

n X

Ek xi = Ek xk = xk ,

i=1

de donde x =

Pn

Tx =

i=1 Ei x,

n X i=1

es decir

T xi =

n X

Pn

i=1 Ei

λi xi =

i=1

n X

= I. Además

λi Ei x =⇒ T =

i=1

n X

λ i Ei .

♦

i=1

Probaremos por u ´ltimo que la descomposición anterior es u ńica. 3.3.- Teorema. Sean H un espacio de Hilbert y T ∈ L(H) un operador normal que verifica las condiciones a), b) y c) del teorema anterior. Entonces σp (T ) = {λ1 , . . . , λn } y Ei es la proyecci´ on ortogonal sobre N (T − λi I) (i = 1, . . . , n). Demostraci´ on. Aplicando Ek en la igualdad c) y teniendo en cuenta que Ei Ek = 0 si i 6= k, obtenemos que Ek =

n X

Ek Ei = Ek2 ,

i=1

lo que prueba que Ek es un operador proyección. Sea ahora x ∈ R(Ei ). Entonces Ei x = x, de donde T Ei x = T x pero, por a), resulta también que Ei T x = λi Ei x = λi x = T x. 252

Esto indica a su vez que x es autovector asociado al autovalor λi . Para ver que T no tiene más autovalores,Psupongamos que T x = µx (x 6= 0). Entonces, de a) y c), deducimos que ni=1 (λi − µ)Ei x = 0. Aplicando Ek y teniendo en cuenta b), resulta que (λk − µ)Ek x = 0, k = 1, . . . , n. P Si µ 6= λk , ∀k, entonces Ek x = 0, as´ı como ni=1 Ek x = 0, lo que es absurdo. Comprobaremos por u ´ltimo que Ei es la proyección ortogonal sobre N (T − λi I). Sea para ello x ∈ N (T − λi I); entonces (T − λi I)x = 0, de donde Pn nuevamente k=1 (λk − λi )Ek x = 0. Aplicando ahora Ej , tenemos que (λj − λi )Ej x = 0, es decir Ej x = 0, si j 6= i. P Por tanto, x = nk=1 Ek x = Ei x lo que implica que x ∈ R(Ei ). Rec´ıprocamente, si x ∈ R(Ei ), ya probamos que x es autovector de T asociado al autovalor λi , es decir x ∈ N (T − λi I). ♦ Si el operador no tiene rango finito pero es compacto, la descomposición espectral presenta la u ńica diferencia de que la suma no será finita, pero aparece en forma de serie infinita, pues sabemos que el espectro puntual tiene como máximo un conjunto numerable de puntos. Para obtener la correspondiente descomposición, se debe introducir en primer lugar el concepto de convergencia de una familia de operadores {Tα }α∈I a un operador T como extensión de la idea de convergencia fuerte de sucesiones de operadores. Para ello, sea H un espacio de Hilbert complejo P y {Mα : α ∈ I} una familia de subespacios cerrados de H. Definimos α∈I Mα como el conjunto de P sumas conmutativamente convergentes α∈I xα , con xα ∈ Mα , introducidas en el cap´ıtulo III (definición 4.4). Las caracter´ısticas de este conjunto se muestran en los siguientes resultados. P 3.4.- Proposici´ on. Si llamamos M = α∈I Mα , entonces S a) h α∈I Mα i = M . S b) Si Mα ⊥Mβ , α 6= β, entonces h α∈I Mα i = M L (en lo sucesivo utilizaremos la α∈I Mα para indicar la clausuS notación ra del espacio generado por α∈I Mα , donde {Mα }α∈I es una familia de subespacios cerrados y ortogonales dos a dos). 3.5.- Proposici´ on. Sea {Mα }α∈I una familia ortogonal de subespacios cerrados de H. Entonces: (x⊥

[

Mα =⇒ x = 0) ⇐⇒ H = h

α∈I

[

α∈I

253

Mα i =

M α∈I

Mα

(en similitud al concepto de conjunto ortonormal completo definido en el cap´ıtulo III). La prueba es en alg´ un sentido similar a su análoga relativa a las bases ortonormales. 3.6.- Proposici´ on. Las sumas convergentes y los operadores lineales acotados conmutan, es decir, si T ∈ L(H), entonces X X x= xα =⇒ T x = T xα . α∈I

α∈I

Una extensión del concepto de convergencia fuerte de una sucesión de operadores es la siguiente: 3.7.- Definici´ es sumable P on. Una familia {Tα }α∈I de operadores en L(H) P a T cuando α∈I Tα x = T x, ∀x ∈ H. Escribiremos en este caso α∈I Tα = T. 3.8.- Proposici´ on. Si {Eα }α∈I es P una familia de proyecciones ortogonales con on ortogonal sobre L Eα ⊥Eβ si α 6= β, entonces α∈I Eα es la proyecci´ M , donde M = R(E ), ∀α. α α α α∈I L Demostraci´ on. Sea E la proyección ortogonal sobre M = α∈I Mα que es un subespacio cerrado. Todo zP∈ H tiene la descomposición u ńica z = x + y con x ∈ M , y ∈ M ⊥ , y x = α∈I xα con xα ∈ Mα . Por otro lado, si β ∈ I, Eβ x = xβ y Eβ y = 0, ∀y ∈ M ⊥ ⊂ Mβ⊥ . Esto implica que Eβ z = Eβ x + Eβ y = xβ . Entonces X X X Ez = x = xα = Eα z, ∀z ∈ H =⇒ E = Eα . α∈I

α∈I

♦

α∈I

Con la notación y conceptos anteriores, obtenemos el teorema espectral para operadores normales compactos. 3.9.- Teorema. Sea H un espacio de Hilbert y T ∈ L(H) un operador normal compacto. Entonces σp (T ) es finito o numerable. Adem´ as M M i) H = N (T ) ⊕ N (T − λI) = N (T − λI). λ∈C

λ∈σp (T ) λ6=0

También H =

M

N (T ∗ − λI).

λ∈C

ii) R(T ) = R(T ∗ ) =

M

N (T − λI) =

λ6=0

M λ6=0

254

N (T ∗ − λI).

iii) T =

X

λEλ =

λ∈C

X

λEλ , I =

X

Eλ , donde Eλ representa la pro-

λ∈C

λ∈σp (T )

yecci´ on ortogonal sobre N (T − λI). De este modo, el espacio H se descompone en subespacios en cada uno de los cuales el operador T es simplemente la multiplicación de un elemento por un n´ umero particular. Demostraci´ on. i) Como los autovectores asociados a distintos autovalores son ortogonales y si λ 6∈ σp (T ), N (Tλ ) = {0}, tenemos que {N (Tλ ) : λ ∈ C} es una familia ortogonal de subespacios cerrados de H. Al ser T normal y compacto, x⊥N (Tλ ), ∀λ ∈ C =⇒ x = 0. Por la proposición 3.5, esto equivale a H= h

[

N (Tλ )i =

λ∈C

M

M M N (Tλ ) = N (T )⊕ N (Tλ ) = N (T )⊕ N (Tλ ).

λ∈C

λ∈C λ6=0

λ∈σp (T ) λ6=0

ii) Como T es normal, N (T ) = N (T ∗ ), de donde R(T ) = N (T ∗ )⊥ = N (T )⊥ . De aqu´ı se obtiene la descomposición H = N (T ) ⊕ R(T ). Por otra parte, H = N (T ) ⊕

M

N (Tλ ).

λ6=0

De estas dos descomposiciones y debido a que Lel complemento ortogonal de un subespacio es u ńico, resulta que R(T ) = λ6=0 N (Tλ ). iii) El conjunto {Eλ : λ ∈ C} es una familia de proyecciones ortogonales tal P que Eλ ⊥Eµ (λ 6= µ). Por la proposición 3.8, la suma E = E0 + λ∈σp (T ) Eλ λ6=0 L es la proyección ortogonal sobre N (T ) ⊕ λ∈σp (T ) N (Tλ ) = H. Pero la λ6=0

proyección sobre todo el espacio H es la identidad, de modo que X I = E0 + Eλ . λ∈σp (T ) λ6=0

Si escribimos para cada x ∈ H, X x = x0 + xλ , x0 ∈ N (T ), xλ ∈ N (Tλ ), λ∈σp (T ) λ6=0

255

entonces T x = T x0 +

X λ∈σp (T ) λ6=0

T xλ =

X λ∈σp (T ) λ6=0

λxλ =

X

λEλ x.

♦

λ∈σp (T ) λ6=0

Observaciones. a) Como T es compacto, como máximo un conjunto numerable de espacios de la forma N (T − λI) será no trivial. b) Si T es un operador compacto arbitrario, se tiene la descomposición T = A + iB, con A y B operadores normales P compactos. As´ı pues, P conocidas las descomposiciones espectrales A = λ P y B = j j j∈N k∈N µk Qk , se P P obtiene que T = j∈N λj Pj +i k∈N µk Qk , pero como Pj y Qk no conmutan, la descomposición espectral no se puede mejorar.

4. TEOREMA ESPECTRAL DE OPERADORES AUTOADJUNTOS COMPACTOS.

En esta sección estudiaremos el caso particular de los operadores autoadjuntos compactos y obtendremos una representación concreta de los mismos. As´ı pues, H será un espacio de Hilbert complejo de dimensión infinita, T ∈ L(H) un operador autoadjunto compacto con infinitos autovalores, los cuales como sabemos forman un conjunto numerable de n´ umeros reales cuyo u ńico posible punto de acumulación es el cero. Ordenamos el conjunto de autovalores {λn }n∈N de modo que |λn | ≥ |λn+1 |, n = 1, 2, . . . , y llamamos Nn = N (T −λn I) = {x ∈ H : T x = λn x}, n = 1, 2, . . . , es decir, el autoespacio correspondiente al autovalor λn . Como Nn tiene dimensión finita, tiene una base ortonormal de autovectores que designaremos por {umn−1 +1 , umn−1 +2 , . . . , umn } (donde m0 = 0) y, si n 6= m, cada punto de Nn es ortogonal a Nm . Se deduce de ello que {un }n∈N es ortonormal. 4.1.- Lema. Si llamamos F al subespacio generado por la familia {un }n∈N , entonces T (F ) ⊂ F y T |F ⊥ = 0. Demostraci´ on. Como cada punto de {un : n ∈ N} es autovector de T , es evidente que T (F ) ⊂ F de lo que se deduce además que T (F ⊥ ) ⊂ F ⊥ . Es claro que T |F ⊥ es autoadjunto por lo que existe λ ∈ σ(T |F ⊥ ) con |λ| = kT |F ⊥ k. 256

Si suponemos que T |F ⊥ 6= 0, es fácil comprobar que T |F ⊥ es compacto, de modo que λ debe ser autovalor de T |F ⊥ . Sea x 6= 0 un autovector asociado a λ. Entonces T x = (T |F ⊥ )x = λx con lo que λ es también autovalor de T . Entonces λ = λn para alg´ un n y x ∈ Nn . Como Nn ⊂ F y x ∈ F ⊥ , entonces x = 0, lo que es absurdo. ♦ Siguiendo la notación anterior, es fácil ver además que F ⊥ = N (T ). Llamamos ahora µn = λk si n = mk−1 + 1, . . . , mk y k = 1, 2, . . . Entonces T un = µn un , n = 1, 2, . . . , lo que permite obtener la siguiente generalización del teorema de diagonalización de matrices simétricas. 4.2.- Teorema. on anteriores, para cualquier P En las condiciones y notaci´ x ∈ H, T x = µn hx, un iun . n∈N

Demostraci´ on. Sea x ∈ H y hacemos x = y + z con y ∈ F, z ∈ F ⊥ . Por el lema anterior, T x = T y + T z = T y ∈ F . Como {un : n = 1, 2, . . . } es base ortonormal de F , X X X Tx = hT x, un iun = hx, T un iun = µn hx, un iun . n∈N

n∈N

♦

n∈N

El siguiente resultado permite calcular numéricamente los autovalores de ciertos operadores autoadjuntos compactos. 4.3.- Corolario. ∀n ∈ N, |µn | = sup{|hT x, xi| : kxk = 1 y hx, um i = 0 para 1 ≤ m ≤ n − 1}. Demostraci´ on. Es obvio que hT un , un i = µn . Además si x ∈ H y hx, um i = 0, ∀m = 1, . . . , n − 1, entonces Tx =

∞ X

µm hx, um ium y hT x, xi =

m=n 2 Como la serie n=1 |hx, un i| converge y que, como además |µm | ≤ |µn | para m ≥ n,

|hT x, xi| ≤

µm |hx, um i|2 .

m=n

P∞

P∞

∞ X

∞ X

2

|µm | · |hx, um i| ≤ |µn | ·

m=n

2 n=1 |hx, un i|

∞ X

≤ kxk2 , resulta

|hx, um i|2 ≤ |µn | · kxk2 .

♦

m=n

Otra dirección en la que puede obtenerse la teor´ıa espectral de operadores autoadjuntos compactos es debida a Riesz y no utiliza la teor´ıa de RieszSchauder. El primer paso consiste en probar directamente que existe λ autovalor de T tal que |λ| = kT k (corolario 2.8). A continuación, un argumento inductivo prueba que existen dos sucesiones (µn )n∈N ⊂ R y (un )n∈N ⊂ H tales que T un = µn un , ∀n, y se satisface el corolario anterior. Por u ´ltimo se 257

ve que todos los autovalores de T aparecen al menos una vez en (µn )n∈N y que se cumple el teorema de descomposición anterior. El u ´ltimo resultado de esta sección proporciona una caracterización de la resolvente de los operadores en estudio. 4.4.- Teorema. Si T ∈ L(H) es un operador autoadjunto compacto y λ un elemento no nulo de la resolvente de T , entonces 1 1 X µn (T − λI)−1 x = − x − hx, un iun , ∀x ∈ H. λ λ n∈N λ − µn Demostraci´ on. Sean x ∈ H, y = (T − λI)−1 x. Entonces x = (T − λI)y =

∞ X

µn hy, un iun − λy,

n=1

de donde y + λ1 x =

P∞

µn n=1 λ hy, un iun .

Resulta que ∞

X µn 1 1 hy, um i + hx, um i = hy + x, um i = hy, un ihun , um i λ λ λ n=1

=

µm 1 hy, um i =⇒ hy, um i = hx, um i. λ µm − λ

1 1 X µn En definitiva, y = (T − λI)−1 x = − x − hx, un iun . λ λ n∈N λ − µn

♦

5. OPERADORES POSITIVOS.

La situación en el caso de operadores autoadjuntos no necesariamente compactos es más complicada. En primer lugar, el espectro, aunque es un subconjunto de R, puede no ser numerable. As´ı, mientras un operador autoadjunto compacto se representa por una serie, un operador autoadjunto general se representa por una integral, la cual involucra operadores que son proyección ortogonal. En la construcción de estos son importantes los operadores positivos. Por tanto, el estudio de los operadores positivos y sus ra´ıces cuadradas será una herramienta u ´til para deducir una representación espectral de los operadores autoadjuntos. El método que se desarrolla aqu´ı se debe a F. Riesz (1934). 258

En el conjunto de operadores autoadjuntos sobre un espacio de Hilbert complejo H, debido a que hT x, xi es real, se puede introducir una relación de orden as´ı: T1 ≤ T2 si hT1 x, xi ≤ hT2 x, xi, ∀x ∈ H. Esto nos lleva en particular a definir los operadores positivos. 5.1.- Definici´ on. Un operador autoadjunto T ∈ L(H) es positivo, y se escribe T ≥ 0, si hT x, xi ≥ 0, ∀x ∈ H. Los siguientes resultados describen la estructura de los operadores positivos. 5.2.- Teorema. Sean S, T ∈ L(H) dos operadores positivos. Entonces a) S + T es positivo. b) Si α ∈ R+ , αS es positivo. c) Si ST = T S, ST es positivo. Demostraci´ on. La demostración de a) y b) es evidente. Veamos pues el apartado c). Si S = 0, es trivial. Si S 6= 0, definimos la sucesión S1 = kSk−1 S, Sn+1 = Sn − Sn2 , n = 1, 2, . . . *) Se prueba por inducción que 0 ≤ Sn ≤ I: Como S ≥ 0, S1 ≥ 0. Además S1 ≤ I pues hS1 x, xi =

1 kSxk · kxk hSx, xi ≤ ≤ kxk2 = hx, xi = hIx, xi, ∀x ∈ H. kSk kSk

Si hacemos la hipótesis inductiva de que 0 ≤ Sk ≤ I, es decir 0 ≤ I − Sk ≤ I, como Sk es autoadjunto, para todo x ∈ H, y = Sk x, tenemos: hSk2 (I − Sk )x, xi = h(I − Sk )Sk x, Sk xi = h(I − Sk )y, yi ≥ 0, de modo que Sk2 (I − Sk ) ≥ 0. Análogamente se prueba que Sk (I − Sk )2 ≥ 0. Aplicando a), 0 ≤ Sk2 (I − Sk ) + Sk (I − Sk )2 = Sk − Sk2 = Sk+1 . Por otra parte, como Sk2 ≥ 0, I − Sk ≥ 0, sumando: 0 ≤ Sk2 + I − Sk = I − Sk+1 =⇒ Sk+1 ≤ I. *) Veamos por u ´ltimo que hST x, xi ≥ 0, ∀x ∈ H. De lo anterior se deduce que S1 = S12 + S2 = S12 + S22 + S3 = · · · = S12 + S22 + · · · + Sn2 + Sn+1 . 259

Como Sn+1 ≥ 0, S12 + · · · + Sn2 = S1 − Sn+1 ≤ S1 . Por la definición de la relación “≤”tenemos: n X j=1

2

kSj xk =

n X

hSj x, Sj xi =

j=1

n X

hSj2 x, xi ≤ hS1 x, xi.

j=1

P Esto indica que n kSn xk2 es una serie convergente, de donde kSn xk → 0 as´ı como Sn x → 0. Entonces n X

Sj2 x = (S1 − Sn+1 )x → S1 x.

j=1

Todos los Sj conmutan con T pues son combinaciones lineales de S1 = kSk−1 S. Por ello y de la continuidad del producto escalar deducimos que, para todo x ∈ H, si llamamos yj = Sj x, hST x, xi = kSkhT S1 x, xi n n X X 2 = kSk l´ım hT Sj x, xi = kSk l´ım hT yj , yj i ≥ 0. n

n

j=1

♦

j=1

5.3.- Teorema. Sea T ∈ L(H) autoadjunto. Entonces T es positivo si y s´ olo si σ(T ) ⊂ [0, ∞). Demostraci´ on. Recordamos que σ(T ) ⊂ [m, M ], donde m = ´ınf{hT x, xi : kxk = 1} y M = sup{hT x, xi : kxk = 1}. Si T ≥ 0, entonces m ≥ 0 y σ(T ) ⊂ [0, ∞). Rec´ıprocamente, si σ(T ) ⊂ [0, ∞), como m ∈ σ(T ), entonces m ≥ 0, de donde hT x, xi ≥ 0, para todo x de norma uno. Esto implica que T ≥ 0. ♦

La relación de orden definida en los operadores autoadjuntos sugiere también el siguiente concepto. 5.4.- Definici´ on. Una sucesión {Tn } de operadores autoadjuntos en un creciente T1 ≤ T2 ≤ . . . espacio de Hilbert H es monótona si . decreciente T1 ≥ T2 ≥ . . . Una propiedad interesante de las sucesiones monótonas, que será crucial en el resultado final, generaliza el hecho de que toda sucesión monótona y acotada de n´ umeros reales es convergente. Es la siguiente: 5.5.- Teorema. Sea H un espacio de Hilbert complejo y {Tn }n∈N una sucesi´ on mon´ otona creciente de operadores autoadjuntos en H tal que Ti Tj = Tj Ti , ∀i, j. Sea K ∈ L(H) un operador autoadjunto tal que T1 ≤ T2 ≤ 260

· · · ≤ K y Ti K = KTi , ∀i. Entonces existe T ∈ L(H) autoadjunto tal que Tn x → T x, ∀x ∈ H y T ≤ K. Nota. Este teorema fue demostrado por Nagy (1942) pero una prueba general sin la condición de permutabilidad es debida a Vigier (1946). Demostraci´ on. Llamamos Sn = K −Tn ; claramente Sn es autoadjunto. Primer paso. Probaremos que (hSn2 x, xi)n∈N es una sucesión convergente para todo x ∈ H. Observamos en primer lugar que, si m < n, Tn − Tm y K − Tm son positivos. Como ambos conmutan, su producto es positivo. Entonces 2 2 Sm − Sn Sm = (Sm − Sn )Sm = (Tn − Tm )(K − Tm ) ≥ 0 =⇒ Sm ≥ Sn Sm

y, análogamente, Sn Sm − Sn2 = Sn (Sm − Sn ) = (K − Tn )(Tn − Tm ) ≥ 0 =⇒ Sn Sm ≥ Sn2 . 2 para m < n. Ambos resultados indican que Sn2 ≤ Sn Sm ≤ Sm

Además 2 hSm x, xi ≥ hSn Sm x, xi ≥ hSn2 x, xi = hSn x, Sn xi = kSn xk2 ≥ 0,

por lo que la sucesión hSn2 x, xi n∈N , con x fijo, es decreciente y acotada inferiormente por cero. Entonces converge. Segundo paso. Veamos ahora que (Tn x)n∈N converge. Como los Sn son autoadjuntos y conmutan y −2hSm Sn x, xi ≤ −2hSn2 x, xi cuando m < n, obtenemos que kSm x − Sn xk2 = h(Sm − Sn )x, (Sm − Sn )xi = h(Sm − Sn )2 x, xi 2 2 = hSm x, xi − 2hSm Sn x, xi + hSn2 x, xi ≤ hSm x, xi − hSn2 x, xi.

De la convergencia de hSn2 x, xi n∈N se deduce que la sucesión (Sn x)n∈N es de Cauchy y, por tanto, convergente. Como Tn = K − Sn , la sucesión (Tn x)n∈N también converge y podemos escribir Tn x → y, ∀x ∈ H. Esto define un operador T : H → H por T x = y, que es lineal y autoadjunto porque Tn son autoadjuntos y el producto escalar es continuo. Como (Tn x)n∈N converge, está acotada para todo x ∈ H. Por el teorema de acotación uniforme, T está acotado. Por u ´ltimo, de Tn ≤ K se deduce que T ≤ K. ♦

Es claro que si T ∈ L(H) es autoadjunto, T 2 es positivo, pues hT 2 x, xi = hT x, T xi ≥ 0, pero ahora nos planteamos el problema inverso: dado un 261

operador T positivo, encontrar un operador autoadjunto A tal que A2 = T . Esto sugiere el siguiente concepto. 5.6.- Definici´ on. Dado T ∈ L(H) positivo, un operador A ∈ L(H) autoadjunto se llama ra´ız cuadrada de T si A2 = T . Si además A ≥ 0, A se llama ra´ız cuadrada positiva de T y se denota por A = T 1/2 . El siguiente teorema muestra que la ra´ız cuadrada de T puede representarse como l´ımite de una sucesión de polinomios en T y, en consecuencia, conmuta con todos los operadores que conmuten con T . 5.7.- Teorema. Todo operador T ∈ L(H) positivo tiene una ra´ız cuadrada positiva A y ésta es u ńica. Adem´ as A conmuta con todo S ∈ L(H) tal que ST = T S. Demostraci´ on. Si T = 0, entonces existe A = T 1/2 = 0. Sea pues T 6= 0. Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz, hT x, xi ≤ kT xk · kxk ≤ kT k · kxk2 . Si llamamos Q = kT k−1 · T , entonces hQx, xi ≤ kxk2 = hIx, xi, es decir, Q ≤ I. Si logramos probar que Q tiene una u ńica ra´ız cuadrada positiva B = Q1/2 , entonces kT k1/2 · B es ra´ız cuadrada de T pues (kT k1/2 B)2 = kT k · B 2 = kT k · Q = T. Además es fácil probar que la unicidad de Q1/2 implica la unicidad de la ra´ız cuadrada positiva de T . Basta pues probar el teorema bajo la suposición adicional de que T ≤ I. (•) Existencia de la ra´ız cuadrada (Visser, 1937). Definimos la sucesión 1 A0 = 0, An+1 = An + (T − A2n ), n = 0, 1, . . . 2 Como cada An es un polinomio en T , es autoadjunto y todos conmutan entre s´ı, por lo que también conmutan con todo operador que conmute con T . Probaremos las siguientes propiedades: (1) An ≤ I, ∀n. Por inducción; es evidente que A0 ≤ I y si An−1 ≤ I, (I − An−1 )2 ≥ 0. También I − T ≥ 0. Entonces: 1 1 1 0 ≤ (I−An−1 )2 + (I−T ) = I−An−1 − (T −A2n−1 ) = I−An =⇒ An ≤ I. 2 2 2 262

(2) An ≤ An+1 , ∀n. Por inducción: como T ≥ 0, (1/2)T ≥ 0. Entonces A1 ≥ A0 . Si suponemos que An−1 ≤ An , entonces 1 1 An+1 − An = An + (T − A2n ) − An−1 − (T − A2n−1 ) 2 2 1 = (An − An−1 ) I − (An + An−1 ) . 2 Por (1), I − (1/2)(An + An−1 ) = (1/2)(I − An + I − An+1 ) ≥ 0 y, por hipótesis, An − An−1 ≥ 0, de modo que An+1 − An ≥ 0. (3) An x → Ax, con A = T 1/2 . Como (An )n∈N es monótona creciente y acotada superiormente por I, aplicando el teorema 5.5, existe A ∈ L(H) autoadjunto tal que An x → Ax, ∀x ∈ H. Además, por ser (An x)n∈N de Cauchy, 1 An+1 x−An x = (T x−A2n x) → 0 =⇒ T x−A2 x = 0, ∀x =⇒ T = A2 . 2 Como 0 = A0 ≤ An , resulta que hAn x, xi ≥ 0, ∀x ∈ H. Tomando l´ımites, obtenemos que hAx, xi ≥ 0, ∀x ∈ H, es decir A es positivo. (4) Si S ∈ L(H) conmuta con T , entonces S conmuta con A. Debido a que ST = T S =⇒ An S = SAn =⇒ An Sx = SAn x, ∀x ∈ H. Tomando l´ımites se deduce el resultado. (•) Unicidad de la ra´ız cuadrada (Nagy, 1938). Sea B otra ra´ız cuadrada positiva de T . Como A2 = B 2 = T y BT = BB 2 = B 2 B = T B, entonces AB = BA por (4). Dado x ∈ H, llamamos y = (A−B)x. Entonces hAy, yi ≥ 0 y hBy, yi ≥ 0. Además hAy, yi + hBy, yi = h(A + B)y, yi = h(A2 − B 2 )x, yi = 0 =⇒ hAy, yi = hBy, yi = 0. Como A es autoadjunto y positivo, existe C ≥ 0 autoadjunto tal que C 2 = A. Entonces 0 = hAy, yi = hC 2 y, yi = hCy, Cyi = kCyk2 =⇒ Cy = 0 =⇒ Ay = C 2 y = 0. Análogamente se prueba que By = 0, de donde (A − B)y = 0. Resulta que para todo x ∈ H, kAx − Bxk2 = h(A − B)2 x, xi = h(A − B)y, xi = 0 =⇒ Ax − Bx = 0, de lo que se deduce en definitiva que A = B. 263

♦

5.8.- Corolario. Sean A, B ≥ 0. a) Si A2 = B 2 , entonces A = B. b) Si A ≥ B y C es un operador positivo que conmuta con A y B, entonces AC ≥ BC.

´ 6. OPERADORES PROYECCION.

Un ejemplo importante de operadores positivos lo constituyen los operadores proyección, que fueron definidos en cap´ıtulos anteriores: cuando un espacio de Hilbert se representa como suma directa de un subespacio cerrado M y su complemento ortogonal M ⊥ , por la unicidad de la descomposición x = y + z con y ∈ M, z ∈ M ⊥ , queda definida la proyección ortogonal P : H → H por P x = y, con lo que se puede escribir x = P x + (I − P )x, ∀x ∈ H. Debido a la simplicidad de estos operadores, es un problema interesante expresar operadores más generales en términos de proyecciones. En este apartado estableceremos algunas propiedades de las proyecciones. A veces se usa como definición de proyección la siguiente caracterización. 6.1.- Teorema. Un operador lineal y acotado P : H → H es proyecci´ on or2 togonal si y s´ olo si P es autoadjunto e idempotente (es decir, P = P ). Observaci´ on. En realidad, basta que P sea lineal pues, como probaremos en el cap´ıtulo siguiente, si un operador es autoadjunto, es cerrado y, por el teorema del gráfico cerrado, es acotado. Demostraci´ on. a) Sea P una proyección en H y llamamos M = P (H). Sea x ∈ H y P x = y. Entonces P 2 x = P y = y = P x =⇒ P 2 = P . Si x1 = y1 + z1 , x2 = y2 + z2 , con y1 , y2 ∈ M y z1 , z2 ∈ M ⊥ , entonces es claro que hy1 , z2 i = hy2 , z1 i = 0. As´ı pues hP x1 , x2 i = hy1 , y2 + z2 i = hy1 , y2 i = hy1 + z1 , y2 i = hx1 , P x2 i. b) Rec´ıprocamente, si P 2 = P = P ∗ , llamamos también M = P (H). Dado x ∈ H, escribimos x = P x + (I − P )x. ∀x, y ∈ H, hP x, (I − P )yi = hx, P (I − P )yi = hx, P y − P 2 yi = hx, 0i = 0. Esto quiere decir que P (H)⊥(I − P )(H). 264

Además M = N (I − P ) pues y ∈ M =⇒ y = P x, x ∈ H =⇒ (I−P )P x = P x−P 2 x = 0 =⇒ y ∈ N (I−P ); x ∈ N (I − P ) =⇒ (I − P )x = 0 =⇒ x = P x =⇒ x ∈ M. Esto quiere decir que M es cerrado. Además P |M es la identidad en M pues si y = P x, entonces P y = P 2 x = P x = y. ♦ Otras propiedades básicas de las proyecciones son: 6.2.- Teorema. Si P ∈ L(H) es una proyecci´ on ortogonal, a) hP x, xi = kP xk2 ; b) P ≥ 0; c) kP k ≤ 1 y kP k = 1 si P (H) 6= {0}. d) R(P ) = {y ∈ H : P y = y}, N (P ) = R(P )⊥ . e) kP xk = kxk =⇒ P x = x. La demostración es directa. A continuación damos condiciones para que la composición de proyecciones sea proyección. 6.3.- Teorema. a) Si P1 , P2 son proyecciones sobre H, P = P1 P2 es proyecci´ on si y s´ olo si P1 P2 = P2 P1 . En este caso, si Mi = Pi (H) (i = 1, 2), P (H) = M1 ∩ M2 . b) Dos subespacios cerrados M1 , M2 de H son ortogonales si y s´ olo si P1 P2 = 0, donde Pi es la proyecci´ on de H sobre Mi , i = 1, 2 (en este caso se dice que P1 y P2 son proyecciones ortogonales entre s´ı). Demostraci´ on. a) Supongamos que P = P1 P2 es proyección; por ser P autoadjunto, P1 P2 = (P1 P2 )∗ = P2∗ P1∗ = P2 P1 . Rec´ıprocamente, si P1 P2 = P2 P1 , entonces P es autoadjunto pues P ∗ = (P1 P2 )∗ = P2∗ P1∗ = P2 P1 = P1 P2 = P. Además es idempotente pues P 2 = (P1 P2 )(P1 P2 ) = P12 P22 = P1 P2 = P. Por u ´ltimo, si x ∈ P (H), entonces x = P x = P1 (P2 x) = P2 (P1 x). Como P1 (P2 x) ∈ M1 y P2 (P1 x) ∈ M2 , entonces x ∈ M1 ∩ M2 . Rec´ıprocamente, si y ∈ M1 ∩ M2 , entonces P y = P1 P2 y = P1 y = y, de donde y ∈ P (H). 265

b) Si M1 ⊥M2 , entonces M1 ∩ M2 = {0} y P1 P2 x = 0, ∀x ∈ H, pues hP1 P2 x, zi = hP2 x, P1 zi = 0, ∀z ∈ H. Esto indica que P1 P2 = 0. Si P1 P2 = 0, ∀y ∈ M1 , z ∈ M2 , tenemos hy, zi = hP1 y, P2 zi = hy, P1 P2 zi = hy, 0i = 0 =⇒ M1 ⊥M2 .

♦

El siguiente resultado establece condiciones para que la suma de proyecciones sea proyección. 6.4.- Teorema. Dadas dos proyecciones P1 , P2 en H, a) la suma P = P1 +P2 es proyecci´ on si y s´ olo si M1 = P1 (H) y M2 = P2 (H) son ortogonales; b) si P = P1 + P2 es proyecci´ on, P proyecta H sobre M = M1 ⊕ M2 . Demostraci´ on. a) Si P = P1 + P2 es proyección, P = P 2 , es decir P1 + P2 = (P1 + P2 )2 = P12 + P1 P2 + P2 P1 + P22 = P1 + P1 P2 + P2 P1 + P2 . Esto implica que P1 P2 + P2 P1 = 0 de donde P2 P1 P2 +P2 P1 = 0 =⇒ P2 P1 P2 +P2 P1 P2 = 0 =⇒ P2 P1 P2 = 0 =⇒ P2 P1 = 0. Por el teorema anterior, M1 ⊥M2 . Rec´ıprocamente, si M1 ⊥M2 , P1 P2 = P2 P1 = 0 =⇒ P1 P2 + P2 P1 = 0 =⇒ P 2 = P. Como P1 y P2 son autoadjuntos, también lo es P . Esto implica que P es proyección. b) Si llamamos M = P (H), dado y ∈ M , existe x ∈ H tal que y = P x = P1 x + P2 x ∈ M1 ⊕ M2 =⇒ M ⊂ M1 ⊕ M2 . Sea ahora z ∈ M1 ⊕ M2 =⇒ z = y1 + y2 con yi ∈ Mi , i = 1, 2. P z = P1 (y1 + y2 ) + P2 (y1 + y2 ) = P1 y1 + P2 y2 = y1 + y2 = z. Esto implica que z ∈ M y M1 ⊕ M2 ⊂ M . De lo anterior se deduce la igualdad buscada.

♦

Las siguientes propiedades de las proyecciones nos permitirán obtener una representación espectral de los operadores autoadjuntos. Una propiedad básica se refiere a la relación de orden que se define entre proyecciones. 266

6.5.- Teorema. Sean P1 , P2 proyecciones definidas en H y denotamos por M1 = P1 (H), M2 = P2 (H) y N1 = N (P1 ), N2 = N (P2 ) a los rangos y n´ ucleos de P1 y P2 , respectivamente. Las siguientes condiciones son equivalentes: i) P2 P1 = P1 P2 = P1 . ii) kP1 xk ≤ kP2 xk, ∀x ∈ H. iii) P1 ≤ P2 . iv) N1 ⊃ N2 . v) M1 ⊂ M2 . Demostraci´ on. i) =⇒ ii). Como kP1 k ≤ 1, kP1 xk = kP1 P2 xk ≤ kP1 k · kP2 xk ≤ kP2 xk, ∀x ∈ H. ii) =⇒ iii). ∀x ∈ H, hP1 x, xi = kP1 xk2 ≤ kP2 xk2 = hP2 x, xi =⇒ P1 ≤ P2 . iii) =⇒ iv). Sea x ∈ N2 = N (P2 ). Entonces P2 x = 0 =⇒ kP1 xk2 = hP1 x, xi ≤ hP2 x, xi = 0 =⇒ x ∈ N (P1 ). iv) =⇒ v). Es evidente pues Mi es el complemento ortogonal de Ni , i = 1, 2. v) =⇒ i). ∀x ∈ H, P1 x ∈ M1 =⇒ P1 x ∈ M2 =⇒ P2 (P1 x) = P1 x =⇒ P2 P1 = P1 . Como P1 es autoadjunto, P1 = P2 P1 = (P2 P1 )∗ = P1∗ P2∗ = P1 P2 .

♦

Como aplicación se puede probar un resultado sobre diferencia de proyecciones. 6.6.- Teorema. Sean P1 , P2 dos proyecciones definidas en H. Entonces: a) P = P2 −P1 es proyecci´ on si y s´ olo si M1 ⊂ M2 , donde Mi = Pi (H), i = 1, 2. b) Adem´ as, si P = P2 − P1 es proyecci´ on y P (H) = M , entonces M es el complemento ortogonal de M1 en M2 , M = M2 M1 . Demostraci´ on. a) Si P = P2 − P1 es proyección, P = P 2 , es decir P2 − P1

=

P22 − P2 P1 − P1 P2 + P12 = P2 − P2 P1 − P1 P2 + P1

=⇒ 2P1 = P1 P2 + P2 P1 . 267

(∗)

Multiplicando a derecha e izquierda por P2 , tenemos 2P2 P1 = P2 P1 P2 + P2 P1 =⇒ P2 P1 P2 = P2 P1 , 2P1 P2 = P1 P2 + P2 P1 P2 =⇒ P2 P1 P2 = P1 P2 . Aplicando (∗), resulta que P1 = P2 P1 P2 = P2 P1 = P1 P2 . Por el teorema anterior se deduce que M1 ⊂ M2 . Rec´ıprocamente, si M1 ⊂ M2 , de nuevo por el el teorema anterior P2 P1 = P1 P2 = P1 , de donde, invirtiendo el proceso anterior, P es idempotente. Además P es autoadjunto por serlo P1 y P2 . b) Si y ∈ M , y = P x = P2 x − P1 x, como M1 ⊂ M2 , P2 P1 = P1 , de modo que P2 y = P22 x − P2 P1 x = P2 x − P1 x = y =⇒ y ∈ M2 . Por otra parte, como P1 P2 = P1 , P1 y = P1 P2 x − P12 x = P1 x − P1 x = 0 =⇒ y ∈ N (P1 ) = M1⊥ . De lo anterior se deduce que M ⊂ M2 ∩ M1⊥ . Veamos ahora la inclusión contraria. Sea pues v ∈ M2 ∩ M1⊥ ; P v = (P2 − P1 )v = P2 v − P1 v = v − 0 = v =⇒ v ∈ M.

♦

De los dos u ´ltimos teoremas se deduce un resultado básico sobre convergencia de sucesiones crecientes de proyecciones. 6.7.- Teorema. Sea (Pn )n≥1 una sucesi´ on creciente de proyecciones definidas en un espacio de Hilbert H. Entonces: a) (Pn )n≥1 converge en sentido fuerte a una proyecci´ on P definida en H. S b) P proyecta H sobre P (H) = n∈N Pn (H). T c) El n´ ucleo de P es N (P ) = n∈N N (Pn ). Demostraci´ on. a) Sea m < n. Por hipótesis Pm ≤ Pn , de donde Pm (H) ⊂ Pn (H) y Pn − Pm es una proyección. Entonces, ∀x ∈ H, (∗) kPn x − Pm xk2 = h(Pn − Pm )x, xi = hPn x, xi − hPm x, xi = kPn xk2 − kPm xk2 . Como kPn k ≤ 1, kPn xk ≤ kxk, ∀n. Es decir (kPn xk)n∈N es una sucesión acotada. Como también es monótona creciente, es convergente. De (∗) deducimos que (Pn x)n∈N es de Cauchy y, como H es de Hilbert, existe y ∈ H 268

tal que Pn x → y. Definimos el operador P ∈ L(H) por P x = y, y probemos que P es una proyección: hP ∗ x, yi = hx, P yi = hx, l´ım Pn yi = l´ımhx, Pn yi = l´ımhPn x, yi = hP x, yi; n

n

n

2

hP x, xi = hP x, P xi = l´ımhPn xPn xi = l´ımhPn x, xi = hP x, xi. n

n

b) Si m < n, Pm ≤ Pn , de modo que h(Pn − Pm )x, xi ≥ 0, ∀x ∈ H. Haciendo n → ∞, resulta h(P − Pm )x, xi S ≥ 0, es decir Pm ≤ P . Entonces Pm (H) ⊂ P (H), ∀m. Esto prueba que m∈N Pm (H) ⊂ P (H); ahora bien, S al ser P (H) = N (I − P ), P (H) es cerrado, por lo que m∈N Pm (H) ⊂ P (H). S Por otro lado, como Pm x ∈ Pm (H) ⊂ m∈N Pm (H) y Pm x → P x, deducimos S S que P x ∈ m∈N Pm (H), de donde P (H) ⊂ m∈N Pm (H). S En definitiva, P (H) = m∈N Pm (H). c) De las relaciones N (P ) = P (H)⊥ ⊂ Pn (H)⊥ , ∀n, se deduce que N (P ) ⊂

\

Pn (H)⊥ =

n∈N

\

N (Pn ).

n∈N

T Por otro lado, si x ∈ n∈N N (Pn ), Pn x = 0, ∀n, de donde P x = 0. Esto T prueba que n∈N N (Pn ) ⊂ N (P ). ♦

7. FUNCIONES DE OPERADORES ACOTADOS AUTOADJUNTOS.

En esta sección se introduce un cálculo funcional para un operador autoadjunto T ∈ L(H) en un espacio de Hilbert H y se desarrollan los resultados fundamentales que constituyen las herramientas necesarias para probar el teorema espectral de operadores autoadjuntos, en la l´ınea de las ideas mostradas por F. Riesz en 1934. Dicho cálculo funcional consiste en estudiar las propiedades de la aplicación f 7→ f (T ), definida en un espacio adecuado de funciones acotadas, como extensión de la aplicación natural p 7→ p(T ), definida en el espacio de los polinomios con coeficientes reales y dominio en el intervalo [m, M ], donde mI ≤ T ≤ M I, y m < M . 269

Llamaremos P = {p : [m, M ] → R : p(t) = α0 + α1 t + · · · + αn tn , αi ∈ R, ∀i} al espacio de los polinomios con coeficientes reales y denotaremos por P + al subespacio de P formado por los polinomios no negativos. Si p ∈ P , escribiremos p(T ) = α0 I + α1 T + · · · + αn T n , que es autoadjunto. La aplicación p 7→ p(T ) es lineal y multiplicativa, es decir p(T ) + q(T ) = (p + q)(T ), (λp)(T ) = λ · p(T ) y (pq)(T ) = p(T )q(T ), ∀p, q ∈ P . Del lema siguiente se deduce además que es monótona. 7.1.- Lema. Si p ∈ P + , entonces p(T ) es un operador positivo. Demostraci´ on. Basta probar que σ(p(T )) ⊂ [0, ∞). Por el teorema de la aplicación espectral, σ(p(T )) = p(σ(T )). Como p es positivo, p(σ(T )) ≥ 0. ♦ Probaremos a continuación dos resultados que permitirán obtener la extensión deseada de la aplicación p 7→ p(T ). 7.2.- Lema. Sea (pn )n∈N ⊂ P + , con pn+1 ≤ pn para n ∈ N. Entonces (pn (T ))n∈N converge en sentido fuerte a un operador positivo. Demostraci´ on. Por el lema anterior, 0 ≤ pn+1 (T ) ≤ pn (T ), n ∈ N. Si aplicamos el teorema 5.5 a la sucesión (−pn (T ))n∈N , deducimos que (pn (T ))n∈N converge en sentido fuerte a un operador autoadjunto S. Además, hSx, xi = l´ım hpn (T )x, xi ≥ 0, n→∞

es decir S es positivo.

♦

P+

7.3.- Lema. Sean (pn )n∈N , (qn )n∈N ⊂ sucesiones decrecientes y S1 , S2 los l´ımites fuertes de (pn (T ))n∈N , (qn (T ))n∈N , respectivamente. Si l´ımn→∞ pn (t) ≤ l´ımn→∞ qn (t) para m ≤ t ≤ M , entonces S1 ≤ S2 . Demostraci´ on. Fijamos un entero positivo k. Para cada t ∈ [m, M ], l´ım(pn (t) − qk (t)) ≤ l´ım pn (t) − l´ım qn (t) ≤ 0. n

n

n

Si llamamos rn = máx{pn − qk , 0}, para n ∈ N, entonces l´ımn rn (t) = 0, ∀t. Además rn+1 ≤ rn , n ∈ N. Por el teorema de Dini, la sucesión (rn )n∈N converge uniformemente a 0 en [m, M ]. Dado pues ε > 0, existe N tal que 0 ≤ rn (t) < ε, ∀t ∈ [m, M ], ∀n ≥ N . Esto implica que pn (t) − qk (t) < ε, ∀t ∈ [m, M ], ∀n ≥ N . Por el lema 7.1, pn (T ) ≤ qk (T ) + εI, ∀n ≥ N . Entonces S1 ≤ qk (T ) + εI. Como k es arbitrario, S1 ≤ S2 + εI de donde S1 ≤ S2 . ♦ 270

7.4.- Definici´ on. Denotaremos por L+ al conjunto de funciones reales f definidas en el intervalo [m, M ] tales que existe una sucesión (pn )n∈N ⊂ P + con las propiedades: a) 0 ≤ pn+1 ≤ pn , n ∈ N. b) l´ımn pn (t) = f (t), ∀t ∈ [m, M ]. Es claro que si f ∈ L+ , entonces f es acotada; definimos pues f (T ) como el operador positivo que es l´ımite fuerte de (pn (T ))n∈N , donde (pn )n∈N ⊂ P + es una sucesión decreciente tal que l´ımn pn (t) = f (t), ∀t ∈ [m, M ]. Del lema anterior se deduce que f (T ) está bien definida. Las propiedades de la aplicación p 7→ p(T ) son también válidas en L+ como se demuestra a continuación. 7.5.- Lema. Dado f ∈ L+ , la aplicaci´ on anterior f 7→ f (T ) verifica: a) (f + g)(T ) = f (T ) + g(T ), ∀f, g ∈ L+ . b) (αf )(T ) = αf (T ), ∀f ∈ L+ , α ≥ 0. c) (f g)(T ) = f (T )g(T ), ∀f, g ∈ L+ . d) f ≤ g =⇒ f (T ) ≤ g(T ), ∀f, g ∈ L+ . Demostraci´ on. (a) Si f (t) = l´ımn pn (t), g(t) = l´ımn qn (t), entonces (f + g)(t) = l´ımn (pn + qn )(t) de donde (f + g)(T ) = l´ım(pn + qn )(T ) = l´ım(pn (T ) + qn (T )) = f (T ) + g(T ). n

n

(b) Si f (t) = l´ımn pn (t), (αf )(t) = l´ım(αpn )(t) =⇒ (αf )(T ) = l´ım(αpn )(T ) = α l´ım pn (T ). n

n

n

(c) Si f (t) = l´ımn pn (t), g(t) = l´ımn qn (t), con (pn )n∈N , (qn )n∈N ⊂ P + decrecientes, entonces pn+1 qn+1 ≤ pn qn , ∀n y l´ım(pn qn )(t) = l´ım pn (t)qn (t) = f (t)g(t) = (f g)(t), ∀t ∈ [m, M ], n

n

es decir (f g)(T ) es l´ımite fuerte de ((pn qn )(T ))n∈N . Entonces, ∀x, y ∈ H, h(f (T )g(T ))x, yi = hf (T )(g(T )x), yi = hg(T )x, f (T )yi = l´ımhqn (T )x, pn (T )yi = l´ımhpn (T )(qn (T )x), yi n

n

= l´ımh(pn (T )qn (T ))x, yi = l´ımh(pn qn )(T )x, yi = h(f g)(T )x, yi, n

n

de donde f (T )g(T ) = (f g)(T ). (d) Se deduce del lema 7.3.

♦

271

7.6.- Definici´ on. Si denotamos por L = {f : [m, M ] → R : f acotada y f = f1 − f2 con f1 , f2 ∈ L+ }, es también evidente que las funciones de L están acotadas y que P ⊂ L. Se prueba de forma análoga a la anterior que la aplicación p 7→ p(T ) se puede extender a todo L de modo que se mantengan las propiedades de la misma. Para ello, dado f ∈ L, definimos f (T ) = f1 (T )−f2 (T ), donde f = f1 −f2 con f1 , f2 ∈ L+ ; es claro que f (T ) es un operador autoadjunto, que la definición no depende de la descomposición de f y coincide con la definición 7.4 en el caso particular de que f ∈ L+ . 7.7.- Teorema. La aplicaci´ on anterior también es lineal y verifica: a) (f g)(T ) = f (T )g(T ), ∀f, g ∈ L. b) f ≤ g =⇒ f (T ) ≤ g(T ), ∀f, g ∈ L. La demostración es directa a partir del lema 7.5.

8. TEOREMA ESPECTRAL DE OPERADORES AUTOADJUNTOS.

Como ya hemos indicado, vamos a desarrollar una versión del teorema espectral con ayuda del cálculo funcional comentado en la sección anterior. Al igual que antes, T será un operador lineal acotado y autoadjunto en un espacio de Hilbert H, m, M ∈ R son n´ umeros tales que mI ≤ T ≤ M I y m < M . El objetivo es aproximar T por combinaciones lineales de proyecciones ortogonales sobre H, obtenidas por un cálculo funcional. Para ello, definimos para cada s ∈ R una función es : [m, M ] → R por: - Si s < m, es = 0. ( 1 - Si m ≤ s < M, es (t) = 0

si m ≤ t ≤ s, si s < t ≤ M.

- Si s ≥ M, es = 1. 8.1.- Lema. Para todo s ∈ R, es ∈ L+ . Esto permite definir para cada t ∈ R un operador positivo por E(t) = et (T ). Demostraci´ on. Si s < m ó s ≥ M , es evidente. 272

Sea pues m ≤ s < M y denotamos por N al menor entero positivo tal que s + N −1 ≤ M .   si m ≤ t ≤ s, 1 Para n ≥ N , sea fn (t) = −nt + ns + 1 si s < t < s + 1/n, Es fácil ver   0 si s + 1/n ≤ t ≤ M. que fn es continua y que l´ımn fn (t) = es (t), ∀t ∈ [m, M ]. También es claro que 0 ≤ fn+1 ≤ fn para n ≥ N. Por el teorema de aproximación de Weierstrass, existe una sucesión (pn )n∈N de polinomios tal que, para n ≥ N : fn (t) + 2−n−1 < pn (t) < fn (t) + 2−n , ∀t ∈ [m, M ]. De este modo, pn ∈ P + , pn+1 ≤ pn , para n ≥ N , y l´ımn pn (t) = es (t), ∀t ∈ [m, M ]. Esto implica que es ∈ L+ . ♦ 8.2.- Lema. Para todo t ∈ R, E(t) es una proyecci´ on ortogonal en H que conmuta con T . Adem´ as a) E(s) ≤ E(t), para s ≤ t. b) E(t) = 0, para t < m. c) E(t) = I, para t ≥ M. Demostraci´ on. Es consecuencia del lema 7.5 y del hecho de que e2t = et , es ≤ et cuando s ≤ t, et = 0 para t < m y et = 1 para t ≥ M . ♦ Una aplicación E : R → L(H) que cumple las condiciones a), b) y c) del lema anterior recibe el nombre de resolución de la identidad o descomposición de la unidad. Sugeridos por la integral de Riemann-Stieltjes, damos sentido al siguiente concepto. 8.3.- Definici´ on. Dados m, M ∈ R con m < M y E : R → L(H) una resolución de la identidad, diremos que un función f : [m, M ] → R es E−integrable cuando existe un operador autoadjunto S tal que: n

X

∀ε > 0, ∃δ > 0 : S − f (tk )[E(sk ) − E(sk−1 )] < ε k=1

para cualquier partición {s0 , s1 , . . . , sn } de [m, M ] de diámetro menor que δ (es decir, con sk − sk−1 < δ, ∀k = 1, 2, . . . , n) y cualesquiera t1 , . . . , tn con sk−1 ≤ tk ≤ sk , k = 1, . . . , n. Es claro que si f es E-integrable, sólo existe un operador autoadjunto S que RM verifica la definición. Bajo estas condiciones, escribiremos S = m f (t)dE(t). 273

8.4.- Teorema (espectral). En las condiciones y notaci´ on anteriores, dados a, b ∈ R, con a < m y b ≥ M , la aplicaci´ on identidad I : [a, b] → R es ERb integrable y T = a tdE(t). Demostraci´ on. Si s, u ∈ R con s < u, entonces ( 1 si t ∈ (s, u] ∩ [m, M ], eu (t) − es (t) = 0 si t ∈ [m, M ] \ (s, u]. Por lo tanto, s(eu (t)−es (t)) ≤ t(eu (t)−es (t)) ≤ u(eu (t)−es (t)), ∀t ∈ [m, M ], de donde s(E(u) − E(s)) ≤ T (E(u) − E(s)) ≤ u(E(u) − E(s)). Sean ahora ε > 0 y {s0 , s1 , . . . , sn } una partición de [a, b] de diámetro menor que ε. Tenemos n X

sk−1 (E(sk )−E(sk−1 )) ≤ T

k=1

n X

(E(sk )−E(sk−1 )) ≤

k=1

n X

sk (E(sk )−E(sk−1 )).

k=1

Pn

Como k=1 (E(sk ) − E(sk−1 )) = E(b) − E(a) = I, si ahora t1 , . . . , tn son n´ umeros reales tales que sk−1 ≤ tk ≤ sk , obtenemos n X

(sk−1 − tk )(E(sk ) − E(sk−1 )) ≤ T −

k=1

n X

tk (E(sk ) − E(sk−1 ))

k=1

≤

n X

(sk − tk )(E(sk ) − E(sk−1 )).

k=1

Como sk−1 − tk > −ε y sk − tk < ε y debido a que E(sk ) − E(sk−1 ) ≥ 0, resulta que −ε

n X

(E(sk ) − E(sk−1 )) = −εI ≤ T −

k=1

n X

tk (E(sk ) − E(sk−1 ))

k=1

≤ εI = ε

n X

(E(sk ) − E(sk−1 )).

k=1

Esto prueba que T =

Rb a

tdE(t).

♦

Recordamos que, si T es además compacto, las proyecciones ortogonales E(t) tienen una forma especialmente simple, lo que lleva de nuevo al teorema demostrado en la sección 4. El teorema espectral es una herramienta u ´til en el estudio de operadores lineales acotados en espacios de Hilbert, pues permite reducir cuestiones 274

sobre cierto tipo de operadores a cuestiones similares sobre proyecciones ortogonales.

9. TEOREMA ESPECTRAL DE OPERADORES AUTOADJUN´ TOS: SEGUNDA VERSION.

Recordamos que nuestro objetivo es obtener una representación de operadores acotados autoadjuntos en un espacio de Hilbert en términos de operadores más simples (como son las proyecciones) cuyas propiedades son más fáciles de determinar y las mismas dan información sobre el operador de partida. Dicha representación recibirá el nombre de representación espectral y la familia de proyecciones asociada se llamará familia espectral o descomposión de la unidad. El uso de esta representación para el caso de dimensión finita servirá de motivación para obtener la generalización a este caso. Sea pues H un espacio de Hilbert complejo de dimensión infinita. Recordamos que, si T ∈ L(H) es un operador autoadjunto y compacto, el conjunto de autovalores {λj }j∈N es finito o numerable, cuyo u ńico posible punto de acumulación es el cero. Si Pλ representa la P proyección ortogonal sobre N (T − λI), definimos, para cada λ ∈ R, Eλ = λi ≤λ Pλi . Por la proposición 3.8, Eλ es la proyección ortogonal sobre el espacio generado por los autovalores correspondientes a autovalores λi ≤ λ. Además, se prueba fácilmente que Eλ Eµ = Eµ Eλ = Eλ si λ < µ; Eλ = 0 si λ < m y Eλ = I si λ ≥ M ; Eλ+ =

l´ım Eµ = Eλ .

µ→λ+

Lo anterior sugiere la siguiente definición. 9.1.- Definici´ on. Una familia espectral real o descomposición de la unidad es una familia uniparamétrica de proyecciones (Eλ )λ∈R definidas en un espacio de Hilbert H y que verifica las propiedades: Eλ ≤ Eµ si λ < µ;

(1) (2) (3)

l´ım Eλ x = 0 y l´ım Eλ x = x;

λ→−∞

λ→∞

l´ım Eµ x = Eλ x, ∀x ∈ H.

µ→λ+

La familia (Eλ )λ∈R es familia espectral del intervalo [a, b] si Eλ = 0 para λ < a y Eλ = I para λ ≥ b. Estas familias tendrán un interés especial 275

pues el espectro de operadores acotados autoadjuntos es un intervalo real finito. Más adelante veremos que a todo operador acotado autoadjunto se le puede asociar una familia espectral que permitirá representar el operador mediante una integral de Riemann-Stieltjes (y se llamará representación espectral del operador) generalizando lo obtenido en casos anteriores. 9.2.- Lema. Sea H un espacio de Hilbert complejo y A, B ∈ L(H) operadores autoadjuntos tales que AB = BA y A2 = B 2 . Si llamamos Q a la proyecci´ on ortogonal de H sobre N (A + B), entonces: a) Todo operador C ∈ L(H) que conmuta con A + B conmuta también con Q. b) Si Ax = 0, entonces Qx = x. c) A = (I − 2Q)B. Demostraci´ on. a) Sea x ∈ H; entonces CQx ∈ N (A + B) pues, debido a que Qx ∈ N (A + B), (A + B)CQx = C(A + B)Qx = 0. Por tanto, QCQx = CQx. Análogamente, se prueba que QC ∗ Qx = C ∗ Qx, ∀x ∈ H. Deducimos as´ı que QC = (C ∗ Q)∗ = (QC ∗ Q)∗ = QCQ = CQ. b) Supongamos que Ax = 0. Entonces kBxk2 = hBx, Bxi = hB 2 x, xi = hA2 x, xi = kA2 k2 = 0. Por tanto, Bx = 0, con lo que (A + B)x = 0, es decir x ∈ N (A + B). Por definición de Q, Qx = x. c) Por u ´ltimo, como A2 = B 2 , (A + B)(A − B)x = (A2 − B 2 )x = 0, ∀x ∈ H, de donde (A − B)x ∈ N (A + B), es decir Q(A − B)x = (A − B)x, ∀x ∈ H. Como, por otra parte, Q(A + B) = (A + B)Q y Qx ∈ N (A + B), ∀x ∈ H, resulta que Q(A + B)x = (A + B)Qx = 0. De las relaciones QA + QB = 0 y QA − QB = A − B, deducimos que 2QB = B − A, es decir A = (I − 2Q)B. ♦ 9.3.- Teorema. Si A ∈ L(H) es autoadjunto, existe un proyector E− tal que a) todo C ∈ L(H) que conmuta con A conmuta también con E− ; 276

b) Ax = 0 =⇒ E− x = x; c) A(I − E− ) ≥ 0, −AE− ≥ 0. Demostraci´ on. a) Definimos E− como la proyección sobre N (A + B), donde B es la ra´ız cuadrada positiva de A2 . Si C conmuta con A, conmuta con A2 y, por tanto, con B. Por el lema anterior se deduce a). b) Se deduce también del lema anterior. c) Teniendo en cuenta el apartado c) del lema anterior, resulta: A(I − E− ) = B − 2E− B − BE− + 2E− BE− = B − BE− = B(I − E− ) ≥ 0, −AE− = −BE− + 2E− BE− = BE− ≥ 0, pues la composición de dos operadores positivos que conmutan es un operador positivo. ♦ 9.4.- Definici´ on. Dado A ∈ L(H) autoadjunto, los operadores positivos A+ = A(I − E− ) y A− = −AE− reciben el nombre de parte positiva y parte negativa de A, respectivamente. Del teorema anterior se deduce que 1 1 A+ = (A + B), A− = (B − A), 2 2 as´ı como A = A+ − A− . Ejemplos. 1) Sea A una matriz simétrica de orden n y λ1 , λ2 , . . . , λn el conjunto de sus autovalores ordenados de modo que λ1 , . . . , λk < 0 y λk+1 , . . . , λn > 0. Es conocido el hecho de que A es unitariamente equivalente a la matriz diagonal formada por los autovalores, A = U diag(λ1 , . . . , λn )U −1 . En este caso, A+ = U diag(0, . . . , 0, λk+1 , . . . , λn )U −1 y A− = U diag(λ1 , . . . , λk , 0, . . . , 0)U −1 . 2) Sea A ∈ L(L2 [−1, 1]) el operador definido por Ax(t) = tx(t). Entonces A+ x(t) = (1/2)(t + |t|)x(t) y A− x(t) = (1/2)(|t| − t)x(t). 9.5.- Lema. Sea A ∈ L(H) autoadjunto y llamemos E a la proyecci´ on ortogonal sobre N (A+ ). Entonces a) A+ E = EA+ = 0. b) A− E = EA− = A− . c) AE = EA = −A− , (I − E)A = A(I − E) = A+ . Demostraci´ on. a) Por definición, Ex ∈ N (A+ ), ∀x ∈ H. Entonces A+ E = 0. Además, EA+ = (A+ E)∗ = 0∗ = 0. b) Como 1 1 A+ A− = (B + A)(B − A) = (B 2 − A2 ) = 0, 4 4 277

entonces A− x ∈ N (A+ ), lo que implica que EA− x = A− x. Además, A− E = (EA− )∗ = A∗− = A− . c) Como A = A+ − A− , AE = A+ E − A− E = −A− , (I − E)A = A − AE = A + A− = A+ .

♦

9.6.- Definici´ on. Dado A ∈ L(H), se llama valor absoluto de A al operador |A| = A+ + A− . Del lema anterior se deduce que E|A| = |A|E = A− e (I − E)|A| = A+ . Es evidente también que |A| ≥ A, |A| ≥ −A, A+ ≥ A, A− ≥ −A. Estas acotaciones son óptimas en el sentido que indican los resultados siguientes. 9.7.- Lema. Con los datos anteriores, |A| es el menor operador autoadjunto que conmuta con A y es cota superior de A y −A. Demostraci´ on. Debemos probar que, si C ∈ L(H) es un operador autoadjunto tal que CA = AC, C ≥ A y C ≥ −A, entonces C ≥ |A|. Ahora bien, C ≥ A =⇒ C(I − E) ≥ A(I − E) = A+ , C ≥ −A =⇒ CE ≥ −AE = A− . Sumando miembro a miembro, deducimos que C ≥ A+ + A− = |A|.♦ 9.8.- Corolario. Si A ∈ L(H) es autoadjunto, entonces A+ y A− son los menores operadores positivos que conmutan con A y son cotas superiores de A y −A, respectivamente. Demostraci´ on. En el lema anterior se probó que C(I − E) ≥ A+ . Además, si C ≥ 0, entonces CE ≥ 0. Por tanto, C ≥ A+ + CE ≥ A+ . Análogamente se procede con el otro caso.

♦

Estamos ya en condiciones de probar el teorema espectral de operadores autoadjuntos. 278

9.9.- Teorema. Sea A ∈ L(H) autoadjunto. Existe entonces una descomZ b λdEλ , donde a < m < M ≤ posici´ on de la unidad {Eλ }λ∈R tal que A = a

b.

Demostraci´ on. Dado λ ∈ R, llamamos Aλ = A − λI. + Si λ < µ, es evidente que Aµ ≤ Aλ ≤ A+ λ . Como Aλ ≥ 0, ∀λ ∈ R, por el + + corolario 9.8 deducimos que Aµ ≤ Aλ .

En particular, si λ < m, como Aλ ≥ 0, entonces A+ λ = Aλ ≥ (m − λ)I y, si + λ ≥ M , entonces Aλ ≤ 0, de donde Aλ = 0. (•) Llamamos ahora Mλ = N (A+ ı definidos, {Mλ }λ∈R es una familia λ ). As´ creciente de subespacios tal que Mλ = {0} si λ < m y Mλ = H si λ ≥ M. En efecto, si λ < µ, + + + + + + 2 + 2 A+ µ ≤ Aλ =⇒ (Aµ ) ≤ Aλ Aµ =⇒ kAµ xk ≤ hAλ Aµ x, xi, ∀x ∈ H. 2 En particular, si x ∈ Mλ , entonces kA+ µ xk = 0, es decir x ∈ Mµ .

(•) Definimos ahora Eλ como la proyección ortogonal sobre Mλ . As´ı, {Eλ }λ∈R es una familia creciente de operadores, tal que Eλ = 0 si λ < m y Eλ = I si λ ≥ M. (•) Para λ < µ, definimos Eλµ = Eµ − Eλ . Entonces Eµ Eλµ = Eµ − Eµ Eλ = Eµ − Eλ = Eλµ , (I − Eλ )Eλµ = Eλµ − Eλ Eµ + (Eλ )2 = Eλµ . + Como A+ λ , Aµ y Eλµ son operadores positivos y conmutan, entonces

(µI − A)Eλµ = −Aµ Eλµ = −Aµ Eµ Eλµ = A− µ Eλµ ≥ 0, (A − λI)Eλµ = Aλ Eλµ = Aλ (I − Eλ )Eλµ = A+ λ Eλµ ≥ 0, o bien λEλµ ≤ AEλµ ≤ µEλµ .

(∗)

(•) Sea ahora el conjunto {µ0 , µ1 , . . . , µn } una partición del intervalo [a, b] tal que a = µ0 < m < µ1 < . . . < µn−1 < M ≤ µn = b y escribimos la desigualdad (∗) para cada par de puntos consecutivos. Llegamos as´ı a n X k=1

µk−1 Eµk−1 µk ≤ A

n X k=1

279

Eµk−1 µk ≤

n X k=1

µk Eµk−1 µk .

Si máx1≤k≤n (µk −µk−1 ) ≤ ε, la diferencia entre los extremos es menor o igual que εI. Además, el término central es A. Eligiendo pues cualquier λk ∈ (µk−1 , µk ), 1 ≤ k ≤ n, obtenemos:

n

X

λk (Eµk − Eµk−1 ) ≤ ε,

A −

k=1

lo cual escribimos como A =

Rb a

λdEλ , o bien, como A =

RM

m−

λdEλ .

(•) Queda u ńicamente probar que {Eλ }λ∈R es continua por la derecha, como función de λ, es decir Pλ = l´ımµ→λ+ Eλµ = 0. Tomando l´ımites en la desigualdad (∗), obtenemos que λPλ ≤ APλ ≤ λPλ , de donde APλ = λPλ o bien Aλ Pλ = 0. Como A+ λ Pλ = (I − Eλ )Aλ Pλ = 0, entonces Pλ x ∈ Mλ , ∀x ∈ H, de donde Eλ Pλ = Pλ . Análogamente, de (I −Eλ )Eλµ = Eλµ , se obtiene que (I −Eλ )Pλ = Pλ , de donde Pλ − Eλ Pλ = 0 = Pλ . ♦ Observaci´ on. Como la convergencia uniforme implica la convergencia fuerte y la convergencia débil, del teorema R Manterior se deducen también las RM fórmulas Ax = m− λdEλ x y hAx, xi = m− λdhEλ x, xi, ∀x ∈ H. Ejemplos. 1) Sea A = U diag(λ1 , λ2 , . . . , λn )U −1 una matriz simétrica de orden n, donde λ1 < λ2 < . . . < λn y sea ei un vector propio asociado al autovalor λi . Entonces, si t ∈ [λi , λi+1 ), el operador Et es un proyector sobre el subespacio de dimensión i generado por e1 , e2 , . . . , ei . Si t < λ1 , Et = 0 y si t ≥ λn , Et = I. 2) Si A : L2 [−1, 1] → L2 [−1, 1] es el operador definido por Af (x) = xf (x), entonces Et f (x) = φt (x) donde φt (x) = 0 para x > t y φt (x) = 1 para x ≤ t. Es evidente que Et = 0 si t < −1 y Et = I si t > 1.

280

EJERCICIOS.

1. Sea M : L2 (R) → L2 (R) el operador definido por (M f )(x) = eix f (x). Probar que M es unitario, que no tiene valores propios y sin embargo, σ(M ) = T. Resp.: Veamos en primer lugar que M es isometr´ıa: si f ∈ L2 (R), entonces Z Z Z ix 2 2 2 2 |f (x)|2 dx = kf k2 . |e | |f (x)| dx = |M f (x)| dx = kM f k = R

R

R

Además M es sobre: M (e−ix f (x)) = f (x) =⇒ (M −1 f )(x) = e−ix f (x). Para probar que M no tiene autovalores, supongamos que, para alg´ un λ ∈ C, existe fλ ∈ L2 (R) no nula tal que M fλ = λfλ . Esto equivale a la igualdad eix fλ (x) = λfλ (x) c.s. En los puntos x tales que fλ (x) 6= 0, debe ser eix = λ, igualdad que sólo es posible a lo sumo en un conjunto numerable. As´ı pues, fλ (x) = 0 c.s., es decir kfλ k = 0 y M no tiene autovalores. Para calcular el espectro de M , resolvemos la ecuación (M − ρI)f = g. Resulta as´ı: 1 (eix − ρ)f (x) = g(x) c.s. =⇒ f (x) = ix g(x) c.s. e −ρ con lo que [(M − ρI)−1 g](x) = eix1−ρ g(x) define un operador lineal. Veamos bajo qué condiciones (M − ρI)−1 g ∈ L2 (R), ∀g ∈ L2 (R). Si |eix − ρ|−1 ≤ c c.s., entonces Z −1 2 2 |g(x)|2 dx = c2 kgk2 =⇒ k(M − ρI)−1 k ≤ c k(M − ρI) gk ≤ c R

por lo que (M − ρI)−1 es acotado. Ahora bien, si |ρ| = 6 1, entonces |eix − ρ|−1 ≤ c c.s., lo que prueba que C \ T ⊂ ρ(M ). Por el contrario, si |ρ| = 1, ρ = eix0 , veamos que el operador [(M − ρI)−1 g](x) =

eix

1 g(x) c.s. − eix0

no es acotado en L2 (R). Para ello, sea ε > 0 arbitrario; existe entonces δ > 0 tal que |x − x0 | < δ =⇒ |eix − eix0 | < ε. 281

Si llamamos g a la función caracter´ıstica de (x0 − δ, x0 + δ), entonces 2

Z

kgk =

√ −1

2

|g(x)| dx = 2δ y k(m − ρI)

gk >

R

kgk 2δ = , ε ε

lo que implica que k(M − ρI)−1 k > 1/ε. Al ser cierta esta desigualdad para cualquier ε > 0, se deduce que (M − ρI)−1 no está acotado. En definitiva, resulta que σ(M ) = T. 2. Sea H un espacio de Hilbert. Probar que un operador A ∈ L(H) es compacto si y s´ olo si ∀ε > 0, ∃Aε de rango finito : kA − Aε k < ε. Resp.: Supongamos que A es compacto. Si llamamos B a la bola unidad en H, A(B) es relativamente compacto. Por tanto, se puede recubrir con una familia finita de bolas de centro bi y radio ε, A(B) ⊂ Sn B(b on ortogonal i , ε). Sea M = h{b1 , . . . , bn }i y P la proyecci´ i=1 sobre M . As´ı, P A tiene rango finito. Además, ∀x ∈ B, Ax ∈ B(bi , ε), de donde d(Ax, M ) < ε, lo que implica que kAx − P Axk < ε, y esto a su vez que kA − P Ak ≤ ε. Basta llamar Aε = P A para probar la tesis. El rec´ıproco es evidente pues A es l´ımite de una sucesión de operadores de rango finito. 3. Sea Mϕ : L2 (R) → L2 (R) el operador de multiplicaci´ on definido por Mϕ f = ϕ · f .

a) Probar que Mϕ es acotado si y s´ olo si ϕ ∈ L∞ (R). b) Probar que σr (Mϕ ) = ∅, σp (Mϕ ) = {λ ∈ C : m(ϕ−1 (λ)) > 0}, ρ(Mϕ ) = {λ ∈ C : ∃k > 0, |λ − ϕ(x)| ≥ k c.s.}. Resp.: a) Supongamos que ϕ ∈ L∞ (R). Entonces Z kMϕ k = sup kϕf k2 = sup kf k2 =1

kf k2 =1

282

R

1/2 |ϕ(x)|2 |f (x)|2 dx ≤ kϕk∞ < ∞.

Rec´ıprocamente, si ϕ 6∈ L∞ (R), entonces ∀k > 0, ∃Ak ⊂ R medible y acotado ( tal que m(Ak ) > 0 y ϕ(x) > k, ∀x ∈ Ak . Si definimos 1 si x ∈ Ak f (x) = entonces 0 si x 6∈ Ak , Z Z kMϕ f k22 = |ϕ(x)|2 ·|f (x)|2 dx = |ϕ(x)|2 dx > k 2 ·m(Ak ) = k 2 ·kf k22 Ak

R

de lo que se deduce que Mϕ no es acotado. b) Sea λ ∈ C; por definición, λ ∈ σp (Mϕ ) ⇐⇒ ∃f 6= 0 : Mϕ f = λf ⇐⇒ ∃f 6= 0 : (ϕ(x)−λ)f (x) = 0 c.s. Como f 6= 0, lo anterior es equivalente a la existencia de un conjunto ∆ ⊂ R medible, con m(∆) > 0, tal que ϕ(x) = λ, ∀x ∈ ∆, es decir, que m(ϕ−1 (λ)) > 0. Un vector propio asociado al autovalor λ es f = 1∆ . Para calcular el conjunto resolvente, recordemos que λ ∈ ρ(Mϕ ) si y sólo si ∃(Mϕ − λI)−1 acotado. Ahora bien, g ∈ R(Mϕ − λI) si ∃f ∈ g(x) L2 (R) tal que ϕf − λf = g c.s. o bien, si f (x) = ϕ(x)−λ c.s. (siempre que ϕ(x) 6= λ c.s.) Por tanto, existe (Mϕ − λI)−1 f (x) = Además,

1 ϕ(x)−λ f (x)

si ϕ(x) 6= λ c.s.

(Mϕ − λI)−1 f ∈ L2 (R), ∀f ∈ L2 (R) ⇐⇒ ∃k > 0 : |λ − ϕ(x)| ≥ k c.s. En este caso, k(Mϕ − λI)−1 f k ≤ k −1 kf k. As´ı pues, ρ(Mϕ ) = {λ ∈ C : ∃k > 0 : |λ − ϕ(x)| ≥ k c.s.}. Por u ´ltimo, para probar que σr (Mϕ ) = ∅, veamos que Mϕ es normal: Debido a que Z hMϕ f, gi =

Z f (x) ϕ(x)g(x)dx = hf, M ϕ gi,

ϕ(x)f (x) g(x)dx = R

R

resulta que (Mϕ )∗ = M ϕ . Como además (Mϕ Mψ )f = Mϕ (ψ · f ) = ϕ · ψ · f = Mϕψ f , ∀f ∈ L2 (R), deducimos que Mϕ (Mϕ )∗ = Mϕ M ϕ = M|ϕ|2 = (Mϕ )∗ Mϕ , es decir Mϕ es un operador normal. Basta aplicar el teorema 2.6 para concluir que σr (Mϕ ) = ∅.

283

4. Sea H un espacio de Hilbert y S, T, U, V operadores autoadjuntos. Probar:

a) S ≤ T , U ≤ V =⇒ S + U ≤ T + V . b) S ≤ T, T ≤ U =⇒ S ≤ U . c) S ≥ 0, ∃S −1 =⇒ S −1 ≥ 0. Resp.: Los apartados a) y b) son triviales. Para probar c), sea y ∈ R(S) y llamemos x = S −1 y. Por ser S autoadjunto, hS −1 y, yi = hx, Sxi = hSx, xi ≥ 0. 5. Sea A ∈ L(H) un operador autoadjunto. Probar:

a) kAk ≤ a ⇐⇒ −aI ≤ A ≤ aI . b) Si A ≥ 0, entonces |hAx, yi|2 ≤ hAx, xi · hAy, yi, ∀x, y ∈ H . c) Si A ≥ 0, entonces kAxk2 ≤ kAk · hAx, xi, ∀x ∈ H . Resp.: a) Por una parte, kAk ≤ a =⇒ |hAx, xi| ≤ a, ∀x ∈ H con kxk = 1 =⇒ −a ≤ hAx, xi ≤ a =⇒ h−ax, xi ≤ hAx, xi ≤ hax, xi. Sea z ∈ H, z 6= 0, y llamamos x = z/kzk. Entonces h−az, zi = kzk2 h−ax, xi ≤ kzk2 hAx, xi = hAz, zi ≤ kzk2 hAx, xi = haz, zi =⇒ −aI ≤ A ≤ aI. Rec´ıprocamente, kAk = supkxk=1 |hAx, xi| ≤ supkxk=1 hax, xi = a. b) Si definimos la forma sesquilineal f (x, y) = hAx, yi, la desigualdad buscada se reduce a la desigualdad de Cauchy-Schwarz generalizada probada en el cap´ıtulo III (proposición 6.12). c) Si en el apartado anterior hacemos y = Ax, obtenemos: |hAx, Axi|2 ≤ hAx, xi · hA2 x, Axi. 284

Ahora bien, de la desigualdad de Cauchy-Schwarz, tenemos la acotación hA2 x, Axi ≤ kA2 xk · kAxk ≤ kAk · kAxk2 , lo que, al sustituir en la desigualdad anterior, da lugar al resultado propuesto. 6. Sea H un espacio de Hilbert y sean {An }n≥1 y B operadores acotados y autoadjuntos en H tales que A1 ≤ A2 ≤ · · · ≤ B .

a) Verificar que kAn x − Am xk4 ≤ |hAn x, xi − hAm x, xi| · (kAn k + kAm k)3 · kxk2 . b) Deducir que existe un operador autoadjunto A ∈ L(H) tal que l´ım An x = Ax, ∀x ∈ H . n→∞

Resp.: a) Para n > m, llamamos Anm = An − Am . Entonces: kAn x − Am xk4 = |hAn x − Am x, An x − Am xi|2 = |hAnm x, Anm xi|2 ≤ hAnm x, xi · hAnm Anm x, Anm xi (por el ejercicio anterior) ≤ hAnm x, xi · kAnm k · kAnm xk2 ≤ |hAn x, xi − hAm x, xi| · (kAn k + kAm k)3 · kxk2 . b) Para cada x ∈ H, la sucesión numérica {hAn x, xi}n∈N es creciente y acotada pues hAm x, xi ≤ hAn x, xi ≤ hBx, xi, ∀m < n. Por tanto, es una sucesión de Cauchy, es decir |hAn x, xi − hAm x, xi| → 0 si m, n → ∞. Aplicando la desigualdad obtenida en el apartado a), deducimos que kAn x − Am xk → 0 si m, n → ∞. Como H es completo, la sucesión {An x}n∈N converge y podemos definir el operador A ∈ L(H) por Ax = l´ımn→∞ An x, ∀n ∈ H. Como hA1 x, xi ≤ hAx, xi ≤ hBx, xi, ∀x ∈ H, entonces A ≤ B. Además A es autoadjunto, pues hAx, yi = h l´ım An x, yi = l´ım hAn x, yi n→∞

=

n→∞

l´ım hx, An yi = hx, l´ım An yi = hx, Ayi.

n→∞

n→∞

285

7. Sea T ∈ L(H). Probar que T es invertible si y s´ olo si las cotas inferiores ´ınf h(T ∗ T )x, xi e ´ınf h(T T ∗ )x, xi son estrictamente pokxk=1

kxk=1

sitivas. Resp.: Sean m1 y m2 las cotas inferiores de T ∗ T y T T ∗ , respectivamente, as´ı como M1 y M2 las correspondientes cotas superiores. a) Supongamos que m1 > 0 y m2 > 0. Si elegimos constantes c1 y c2 tales que ci < 2/Mi (i = 1, 2) y definimos los operadores A01 = c1 T ∗ T , A02 = c2 T T ∗ , entonces es fácil comprobar que (∗)

0 < m0i ≤ Mi0 < 2 (i = 1, 2),

donde, para cada i = 1, 2, m0i y Mi0 denotan las cotas inferior y superior de A0i , respectivamente. Por ser A0i autoadjunto, para cada i = 1, 2, la condición (∗) equivale a la acotación kI − A0i k < 1. Esto significa que existe (A0i )−1 (i = 1, 2) y, en consecuencia, existen (T ∗ T )−1 y (T T ∗ )−1 . As´ı pues, como I = (T ∗ T )−1 T ∗ T = T T ∗ (T T ∗ )−1 , T tiene inverso a izquierda y a derecha. Por tanto, existe T −1 = (T ∗ T )−1 T ∗ = T ∗ (T T ∗ )−1 . b) Rec´ıprocamente, si T es un operador invertible y suponemos que m1 ≤ 0, entonces existe una sucesión {xn }n∈N tal que kxn k = 1, ∀n, y kT xn k2 = hT ∗ T xn , xn i → 0. Esto quiere decir que kxn k = kT −1 T xn k ≤ kT −1 k · kT xn k → 0, lo que contradice lo anterior. 8. H un espacio de Hilbert, M1 y M2 subespacios de H y P1 y P2 las proyecciones sobre M1 y M2 , respectivamente, tales que P1 P2 = P2 P1 . Probar que P1 + P2 − P1 P2 es una proyecci´ on sobre M1 + M2 . Resp.: Si escribimos P1 + P2 − P1 P2 = P1 + (I − P1 )P2 , tenemos, por un lado, que P1 (I − P1 )P2 = (P1 − P12 )P2 = 0, lo que significa que P1 e (I − P1 )P2 son proyecciones ortogonales entre s´ı. Por otra parte, como (I − P1 )P2 = P2 (I − P1 ), deducimos que la composición (I − P1 )P2 es la proyección sobre M1⊥ ∩ M2 (teorema 7.3). 286

As´ı pues, la suma P1 + (I − P1 )P2 es la proyección ortogonal sobre M1 + (M1⊥ ∩ M2 ) = M1 + M2 . 9. Sean A y B dos operadores autoadjuntos que conmutan entre s´ı. Probar que (1/2)(A+B+|A−B|) es el menor operador autoadjunto que conmuta con A y B y es cota superior de ambos. [Dicho operador se denota por sup{A, B}.] Resp.: Como |A−B| ≥ A−B, sup{A, B} ≥ (1/2)(A+B+A−B) = A. Como, además, |A−B| ≥ B −A, sup{A, B} ≥ (1/2)(A+B +B −A) = B. Si C ∈ L(H) es autoadjunto y CA = AC, CB = BC, C ≥ A, C ≥ B, entonces 1 A − 12 (A + B) = 12 (A − B) C − (A + B) ≥ B − 21 (A + B) = − 12 (A − B). 2 Por tanto, 1 1 1 C − (A + B) ≥ |A − B| =⇒ C ≥ (A + B + |A − B|), 2 2 2 pues C conmuta con A − B. 10. Se dice que un operador V ( kxk H1 ⊕ H2 con kV xk = 0 T ∈ L(H) es de la forma T (T ∗ T )1/2 ≥ 0 y kV xk = kxk, von Neumann).

: H → H es isometr´ıa parcial si H = si x ∈ H1 Probar que todo operador si x ∈ H2 . = V A con V isometr´ıa parcial, A = ∀x ∈ A(H) (descomposici´ on polar de

Resp.: Si T ∈ L(H), entonces T ∗ T es positivo pues hT ∗ T x, xi = hT x, T xi = kT xk2 ≥ 0. As´ı pues, existe un operador A ≥ 0 tal que A2 = T ∗ T y A conmuta con todo operador que conmute con T ∗ T . Además, kT xk2 = hT x, T xi = hT ∗ T x, xi = hA2 x, xi = hAx, Axi = kAxk2 =⇒ kT xk = kAxk, ∀x ∈ H. 287

Si definimos el operador V1 y = T x, ∀y = Ax, entonces: i) V1 está bien definida pues, si Ax1 = Ax2 , entonces A(x1 − x2 ) = 0, de donde kT (x1 − x2 )k = 0, es decir T x1 = T x2 . ii) V1 es isometr´ıa en R(A) pues kV1 yk2 = kT xk2 = h(T ∗ T )x, xi = hAx, Axi = kyk2 . ( V1 y si y ∈ R(A) As´ı pues, el operador V : H → H definido por V y = 0 si y ∈ R(A)⊥ , (observemos que R(A) es cerrado, pues N (A)⊥ = R(A)) es isometr´ıa parcial. En efecto, si y = Ax, entonces kV yk = kT xk = kAxk = kyk, pero kV yk = 0, ∀y ∈ R(A)⊥ . Basta, para completar la demostración, comprobar que T = V A, lo cual es evidente, pues ∀x ∈ H, T x = V y = V Ax. Observaci´ on. Si dim H < ∞, A(H) y T (H) tienen la misma codimensión, entonces V es una isometr´ıa definida en A(H) y se puede extender a un operador unitario sobre H. La descomposición polar toma ahora la forma T = V A con V unitario y A ≥ 0, lo cual es una generalización a operadores de la descomposición polar de un n´ umero iϑ iϑ complejo λ = r · e , con r ≥ 0 y |e | = 1.

TEMAS COMPLEMENTARIOS. 1. Teor´ıa de funciones casi-periódicas ([AG]). 2. Teorema espectral de operadores normales ([RN], [He]).

288

VII. OPERADORES NO ACOTADOS EN ESPACIOS DE HILBERT

La teor´ıa de operadores no acotados surge como necesidad de establecer los fundamentos matemáticos de la Mecánica Cuántica y fue desarrollada en los a˜ nos 1920-1930 por von Neumann y Stone. Sus principales aplicaciones, aparte de la Mecánica Cuántica, se dirigen al estudio de las ecuaciones diferenciales. Sirva este cap´ıtulo para mostrar las propiedades fundamentales de los operadores no acotados, destacando las diferencias y nuevas dificultades que aparecen al eliminar la condición de acotación en los operadores, en especial el problema de extensión que aqu´ı aparece. SECCIONES 1. Introducción. Operadores simétricos y autoadjuntos. 2. Propiedades espectrales de operadores simétricos y autoadjuntos. 3. Teorema espectral de operadores unitarios. 4. Teorema espectral de operadores autoadjuntos no acotados. 5. Ejercicios.

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´ ´ 1. INTRODUCCION. OPERADORES SIMETRICOS Y AUTOADJUNTOS.

Los dos ejemplos básicos de operadores no acotados son el operador multiplid cación M f (x) = x · f (x) y el operador derivación Df (x) = dx f (x), definidos 2 en L (R), operadores para los que se cumple la relación de conmutación DM − M D = I, fórmula en la que se basa el principio de incertidumbre de la Mecánica Cuántica. Se puede probar además que la relación anterior no se da en ninguna pareja de operadores acotados (ver los ejercicios al final del cap´ıtulo) y los operadores que la cumplen se pueden identificar con los anteriores. El primer resultado que enunciamos es uno de los primeros teoremas del Análisis Funcional (1910) y sugiere que el dominio de un operador y el problema de extensión del mismo juegan un importante papel en la cuestión de su acotación. 1.1.- Teorema (Hellinger-Toeplitz). Sea H un espacio de Hilbert y supongamos que T : H → H es un operador lineal definido en todo H y simétrico, es decir tal que hT x, yi = hx, T yi, ∀x, y ∈ H. Entonces T es acotado. En particular, como el operador multiplicación verifica Z hM f, gi = xf (x) g(x)dx = hf, M gi R

y no es acotado, no puede estar definido en todo el espacio. Demostraci´ on. Supongamos por el contrario que existe una sucesión de Cauchy (yn )n∈N en H con kyn k = 1 y kT yn k → ∞. Definimos la sucesión (fn )n∈N de funcionales lineales en H por fn (x) = hT x, yn i = hx, T yn i, ∀n. Por la desigualdad de Schwarz, |fn (x)| = |hx, T yn i| ≤ kT yn k · kxk, de modo que cada fn está acotado. Además, de |fn (x)| = |hT x, yn i| ≤ kT xk de deduce que (fn (x))n∈N es una sucesión acotada. Por el principio de acotación uniforme (cap´ıtulo IV, teorema 4.2), (kfn k)n∈N está acotada, por lo que kfn k ≤ k, ∀n. As´ı |fn (x)| ≤ kfn k · kxk ≤ kkxk. En particular, para x = T yn resulta que kT yn k2 = hT yn , T yn i = |fn (T yn )| ≤ kkT yn k =⇒ kT yn k ≤ k lo que es absurdo.

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Observaciones. 1) El teorema anterior sugiere plantear el problema de determinar dominios de operadores y obtener extensiones de los mismos. 290

Utilizaremos la notación S ⊂ T para indicar que T es extensión de S, es decir D(S) ⊂ D(T ) y T |D(S) = S. Es claro que S ⊂ T si y sólo si G(S) ⊂ G(T ), donde G representa el grafo del operador. 2) Si un operador lineal es acotado, es decir ∃k > 0 : kT xk ≤ kkxk, ∀x ∈ D(T ), puede extenderse a D(T ) por continuidad. Si D(T ) no fuera denso en H, se puede extender T más allá de D(T ), haciendo por ejemplo T x = 0, ∀x ∈ D(T )⊥ , y por linealidad definirlo en todo H. Dicha extensión estará también acotada y tendrá la misma norma de T . Esto sugiere suponer que los operadores lineales acotados están siempre definidos en todo H, de modo que en lo sucesivo adoptaremos dicho convenio. A continuación vamos a generalizar el concepto de operador adjunto en el caso de operadores no acotados. 1.2.- Definici´ on. Dado un operador lineal T con dominio D(T ) ⊂ H, se define D(T ∗ ) = {x0 ∈ H : ∃y 0 , hT x, x0 i = hx, y 0 i, ∀x ∈ D(T )} y se llama adjunto de T al operador T ∗ definido por ∀x0 ∈ D(T ∗ ) : T ∗ x0 = y 0 . 1.3.- Proposici´ on. T ∗ est´ a bien definida (es decir y 0 es u ńico) si y s´ olo si D(T ) es denso en H. Demostraci´ on. Si D(T ) 6= H, existe y1 ∈ H con y1 6= 0 tal que y1 ⊥D(T ). As´ı hx, y 0 i = hx, y 0 i + hx, y1 i. Rec´ıprocamente, si D(T ) = H e y1 = T ∗ x, y2 = T ∗ x, entonces hy1 , zi = hy2 , zi, ∀z ∈ D(T ) =⇒ y1 − y2 ⊥D(T ) =⇒ y1 − y2 ⊥H =⇒ y1 = y2 . Observaciones. De la definición se deducen también las propiedades correspondientes al caso en que los operadores son acotados. En particular: 1) ∀x ∈ D(T ), x0 ∈ D(T ∗ ) : hT x, x0 i = hx, T ∗ x0 i. 2) Si T ∈ L(H), entonces T ∗ ∈ L(H) y kT ∗ k = kT k. 3) Si T ∈ L(H), entonces T ∗∗ = T . 4) Si S, T ∈ L(H), T ∗ S ∗ = (ST )∗ . 5) Si α ∈ C y T tiene dominio denso en H, entonces (αT )∗ = αT ∗ . Sin embargo, para operadores no acotados se presentan ciertas diferencias como se muestra a continuación. 291

1.4.- Proposici´ on. Sean S y T dos operadores lineales con dominio denso en el mismo espacio de Hilbert H. a) Si S ⊂ T , entonces T ∗ ⊂ S ∗ . b) T ∗ + S ∗ ⊂ (T + S)∗ . c) Si ST tiene dominio denso en H, entonces T ∗ S ∗ ⊂ (ST )∗ . Si adem´ as ∗ ∗ ∗ S ∈ L(H), entonces T S = (ST ) . Demostraci´ on. a) Si x ∈ D(T ∗ ), entonces existe y ∈ H tal que hx, T zi = hy, zi, ∀z ∈ D(T ). Como S ⊂ T , hy, zi = hx, T zi = hx, Szi, ∀z ∈ D(S). Esto implica que x ∈ D(S ∗ ) y S ∗ x = y, o bien que T ∗ ⊂ S ∗ . b) Si x ∈ D(T ∗ + S ∗ ), entonces x ∈ D(T ∗ ) y x ∈ D(S ∗ ). Por tanto, ∃y1 , y2 ∈ H : h x, T zi = hy1 , zi, ∀z ∈ D(T ) h x, Szi = hy2 , zi, ∀z ∈ D(S) =⇒ h x, (T + S)zi = hy1 + y2 , zi, ∀z ∈ D(T ) ∩ D(S) = D(T + S). Esto implica que x ∈ D(T + S)∗ y (T + S)∗ x = y1 + y2 = (T ∗ + S ∗ )x. c) Si x ∈ D(T ∗ S ∗ ) =⇒ x ∈ D(S ∗ ), S ∗ x ∈ D(T ∗ ). Por tanto, ∃y1 ∈ H : hx, Szi = hy1 , zi, ∀z ∈ D(S), ∃y2 ∈ H : hS ∗ x, T ui = hy2 , ui, ∀u ∈ D(T ), Ahora bien, si u ∈ D(ST ), entonces u ∈ D(T ) y z = T u ∈ D(S). Teniendo en cuenta que y1 = S ∗ x, tenemos: hx, ST ui = hx, Szi = hy1 , zi = hS ∗ x, T ui = hy2 , ui lo que implica que x ∈ D((ST )∗ ) y (ST )∗ x = y2 = T ∗ S ∗ x. Por u ´ltimo, si S ∈ L(H), veamos que D((ST )∗ ) ⊂ D(T ∗ S ∗ ). Sea pues x ∈ D((ST )∗ ). Entonces ∃y ∈ H : hx, (ST )zi = hy, zi, ∀z ∈ D(ST ). En particular hx, (ST )zi = hy, zi, ∀z ∈ D(T ). Como S ∈ L(H), S ∗ ∈ L(H) y hx, (ST )zi = hS ∗ x, T zi, lo que implica que S ∗ x ∈ D(T ∗ ). Como además D(S ∗ ) = H, también x ∈ D(S ∗ ); por tanto x ∈ D(T ∗ S ∗ ). ♦ Una generalización del concepto de operadores simétricos para operadores no acotados es la siguiente: 1.5.- Definici´ on. Un operador T : D(T ) ⊂ H → H es simétrico si hT x, yi = hx, T yi, ∀x, y ∈ D(T ). Un operador simétrico es maximal si no tiene extensiones simétricas propias. 292

Observaci´ on. A veces se exige que un operador simétrico tenga dominio denso y, en caso de no cumplir esta condición, recibe el nombre de operador herm´ıtico. Las siguientes caracterizaciones de los operadores simétricos son u ´tiles. 1.6.- Proposici´ on. Si D(T ) = H, son equivalentes: i) T es simétrico. ii) T ⊂ T ∗ . iii) hT x, xi ∈ R, ∀x ∈ D(T ). Demostraci´ on. i) =⇒ ii). Sea x ∈ D(T ). Existe entonces y = T x tal que hT z, xi = hz, yi, para todo z ∈ D(T ). Esto implica que x ∈ D(T ∗ ) y que T ∗ x = y = T x. ii) =⇒ iii). Si x ∈ D(T ), hT x, xi = hT ∗ x, xi = hx, T xi = hT x, xi. Esto implica que hT x, xi ∈ R. iii) =⇒ i). Sea α ∈ C. Entonces hT (x + αy), x + αyi = hT x, xi + αhT y, xi + αhT x, yi + α αhT y, yi hx + αy, T (x + αy)i = hx, T xi + αhy, T xi + αhx, T yi + α αhy, T yi. Teniendo en cuenta que hT (x + αy), x + αyi = hx + αy, T (x + αy)i, resulta: Para α = 1, hx, T yi+hT x, yi = hT x, yi+hx, T yi =⇒ ImhT x, yi = Imhx, T yi. Para α = i, hx, T yi+hx, T yi = hT x, yi+hT x, yi =⇒ Rehx, T yi = RehT x, yi. De las dos igualdades se deduce que hT x, yi = hx, T yi.

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1.7.- Definici´ on. Un operador T : D(T ) ⊂ H → H con dominio denso en H es autoadjunto si T = T ∗ . Es evidente entonces que todo operador autoadjunto es simétrico y si D(T ) = H, el rec´ıproco también es cierto. De la definición se deduce también que todo operador simétrico T que verifica D(T ) = D(T ∗ ) es autoadjunto. d el operador definido en el Ejemplos. 1) Sea H = L2 (R) y D = i · dx conjunto de funciones que tienen l´ımite cero en los infinitos (que es denso en H). Entonces D es simétrico.

2) Sea H = L2 [0, 1] y se define Tk f = i · f 0 , (k = 1, 2, 3), con D(T1 ) = {f ∈ H : f absolutamente continua y f 0 ∈ H}, D(T2 ) = {f ∈ D(T1 ) : f (0) = f (1)} ⊂ D(T1 ), D(T3 ) = {f ∈ D(T2 ) : f (0) = f (1) = 0} ⊂ D(T2 ), 293

dominios que definen varios aspectos del problema de la cuerda vibrante. Se observa en primer lugar que T3 ⊂ T2 ⊂ T1 . Tenemos además que T1∗ = T3 , T2∗ = T2 , T3∗ = T1 . Resulta pues que T2 es extensión autoadjunta del operador simétrico T3 y T1 es una extensión no simétrica de T2 . Esto indica en particular que los conceptos de operador simétrico y autoadjunto no coinciden en el caso de operadores no acotados. Observemos además que el cálculo del operador adjunto depende del dominio del operador y no basta la definición formal del mismo. En un espacio de Hilbert arbitrario H, la aplicación U : H × H → H × H, definida por U (x, y) = i(y, −x), llamado operador de conjugación, es un operador unitario tal que U 2 = I; además tenemos lo siguiente: 1.8.- Proposici´ on. Sea T : D(T ) ⊂ H → H un operador lineal con D(T ) = H. a) Si G(T ) = {(x, T x) : x ∈ D(T )} es el grafo de T , entonces U (G(T ))⊥ = G(T ∗ ). b) Si T admite una clausura, entonces su adjunto T ∗ tiene dominio denso en H y U (G(T ∗ ))⊥ = G(T ∗∗ ). Demostraci´ on. a) Supongamos que (x, y) ∈ U (G(T ))⊥ . Entonces, ∀(u, v) ∈ U (G(T )), h(x, y), (u, v)i = 0. Como (u, v) = U (a, T a) = (iT a, −ia) para alg´ un a ∈ D(T ), resulta: 0 = h(x, y), (u, v)i = hx, ui + hy, vi = hx, iT ai + hy, −iai = −ihx, T ai + ihy, ai =⇒ hx, T ai = hy, ai. Esto implica que x ∈ D(T ∗ ) y que y = T ∗ x. Rec´ıprocamente, si (x, y) ∈ G(T ∗ ), x ∈ D(T ∗ ), y = T ∗ x. Por tanto, para todo a ∈ D(T ), h(x, y), (iT a, −ia)i = −ihx, T ai + ihy, ai = −ihT ∗ x, ai + ihy, ai = 0. b) Supongamos que D(T ∗ ) 6= H, es decir ∃y0 6= 0 : y0 ⊥D(T ∗ ). Entonces hy0 , xi = 0, ∀x ∈ D(T ∗ ), de donde h(y0 , 0), (x, T ∗ x)i = 0, ∀x ∈ D(T ∗ ) =⇒ (y0 , 0) ∈ G(T ∗ )⊥ . Debido al apartado (a), G(T ∗ )⊥ = U (G(T ))⊥⊥ = U (G(T )). 294

Por tanto, ∃(xn )n∈N ⊂ D(T ) tal que (y0 , 0) = l´ımn U (xn , T xn ), de donde y0 = l´ım iT xn , 0 = l´ım −ixn . n

n

Por ser T clausurable, si l´ımn ixn = 0, l´ımn iT xn = y0 , entonces y0 = 0, lo que contradice la suposición inicial. La segunda parte se obtiene de (a) sustituyendo T por T ∗ .

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La importancia de este teorema queda patente en la variedad de consecuencias que de él se derivan. 1.9.- Corolario. Sea T : D(T ) ⊂ H → H un operador lineal con dominio denso en H. 1) T ∗ es cerrado. En particular los operadores autoadjuntos son cerrados. 2) Si D(T ∗ ) es también denso en H, T ⊂ T ∗∗ . 3) Si T es clausurable, entonces ( T )∗ = T ∗ , T = T ∗∗ . En particular, si T es cerrado, T = T ∗∗ . 4) N (T ∗ ) = R(T )⊥ y, si T es cerrado, N (T ) = R(T ∗ )⊥ . 5) Si T es simétrico, es clausurable y T es también simétrico. 6) H × H = G(T ∗ ) ⊕ U G(T ). −T x + y = a siempre tiene soluci´ on (x, y) ∈ 7) Si T es cerrado, el sistema x + T ∗y = b D(T ) × D(T ∗ ). 8) Si T es inyectiva y R(T ) es denso en H, entonces T ∗ es inyectiva y ∗ (T ∗ )−1 = (T −1 ) . Demostraci´ on. 1) G(T ∗ ) es cerrado por ser el complemento ortogonal de un subespacio de H × H. 2) Como U (G(T ))⊥ = G(T ∗ ), resulta U (G(T )) = G(T ∗ )⊥ =⇒ U (G(T )) ⊂ G(T ∗ )⊥ =⇒ G(T ) ⊂ U (G(T ∗ )⊥ ) = G(T ∗∗ ) =⇒ T ⊂ T ∗∗ . 3) Si T es la clausura de T , G( T ) = G(T ). Entonces ∗

U (G( T )) = U (G(T )) =⇒ G(T ∗ ) = U (G(T ))⊥ = U (G( T ))⊥ = G( T ). Por otra parte, de G(T ∗ ) = U (G(T ))⊥ deducimos que G(T ∗ )⊥ = U (G(T ))⊥⊥ = U ( G(T )) = U (G( T )) 295

y de aqu´ı, G(T ∗∗ ) = U (G(T ∗ ))⊥ = U (G(T ∗ )⊥ ) = U 2 (G( T )) = G( T ). Esto prueba que T ∗∗ = T . 4) De lo anterior se deduce x ∈ N (T ∗ ) ⇐⇒ (x, 0) ∈ G(T ∗ ) ⇐⇒ h(x, 0), (u, v)i = 0, ∀(u, v) ∈ U (G(T )) ⇐⇒ h(x, 0), (iT a, −ia)i = 0, ∀a ∈ D(T ) ⇐⇒ hx, T ai = 0, ∀a ∈ D(T ) ⇐⇒ x ∈ R(T )⊥ . 5) Si T es simétrico, T ∗ es extensión de T y T ∗ es cerrado. Además, ∀x, y ∈ D( T ), ∃(xn )n∈N , (ym )m∈N ⊂ D(T ) tales que xn → x, T xn → T x, ym → y, T ym → T y. As´ı pues, h T x, yi = l´ımhT xn , ym i = l´ımhxn , T ym i = hx, T yi. n,m

n,m

6) Es evidente pues G(T ∗ )⊥ = U (G(T )). 7) Sea (a, b) ∈ H × H arbitrario. Tenemos: (a, b) = f + g, f ∈ G(T ∗ ), g ∈ U (G(T )) = U (G(T )) (a, b) = (y, T ∗ y) + U (x0 , T x0 ), y ∈ D(T ∗ ), x0 ∈ D(T ) =⇒ (a, b) = (y, T ∗ y) + i(T x0 , −x0 ) = (y, T ∗ y) + (−T x, x), y ∈ D(T ∗ ), x ∈ D(T ). ⊥

8) Por el apartado (4), N (T ∗ ) = R(T )⊥ = R(T ) = {0}. Teniendo en cuenta ahora la proposición 1.4, como D(T ) y D(T −1 ) = R(T ) son densos en H, entonces (T −1 )∗ T ∗ ⊂ (T T −1 )∗ = I =⇒ (T −1 )∗ = (T ∗ )−1 .

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Observaci´ on. Debido al apartado 5) se puede suponer siempre que un operador simétrico es cerrado. La siguiente propiedad será también u ´til en el estudio de los operadores autoadjuntos. 1.10.- Proposici´ on. Sea T un operador simétrico con dominio denso en H. Entonces: a) D(T ) = H =⇒ T = T ∗ y T ∈ L(H). 296

b) T = T ∗ y T inyectivo =⇒ R(T ) = H y T −1 = (T −1 )∗ . c) R(T ) = H =⇒ T inyectivo. d) R(T ) = H =⇒ T = T ∗ y T −1 ∈ L(H). Demostraci´ on. a) Por ser T simétrico, T ⊂ T ∗ . Como D(T ) = H, T = T ∗ . Por el teorema del gráfico cerrado, como T es cerrado y D(T ) = H, T es acotado. (Como se observa, esto constituye otra prueba del teorema de Hellinger-Toeplitz.) b) Debido al apartado 4 del corolario anterior, N (T ) = R(T )⊥ , de modo que, si N (T ) = 0, entonces R(T ) = H. La segunda parte se obtiene ahora aplicando el apartado 8 del corolario citado. c) Sea v ∈ D(T ) tal que T v = 0. Entonces: hT v, xi = 0, ∀x ∈ D(T ) =⇒ hv, T xi = 0, ∀x ∈ D(T ) =⇒ v ∈ R(T )⊥ =⇒ v = 0. d) Si R(T ) = H, T es inyectiva y existe S = T −1 con D(S) = R(T ) = H. Dados f, h ∈ R(T ), f = T g, h = T k, entonces hSf, hi = hg, T ki = hT g, ki = hf, ki = hf, Shi, es decir S es simétrico. Por el apartado a), S = S ∗ ∈ L(H) y, por el apartado b), T = S −1 es autoadjunto. ♦ Estudiaremos a continuación el problema de las extensiones de operadores simétricos. Sabemos que, si T es un operador simétrico y S es una extensión simétrica de T , entonces T ⊂ S ⊂ S ∗ ⊂ T ∗ , es decir toda extensión simétrica de T es restricción de T ∗ . 1.11.- Proposici´ on. a) Todo operador simétrico tiene alguna extensi´ on simétrica maximal. b) Toda extensi´ on simétrica maximal de un operador simétrico es cerrada. c) Todo operador autoadjunto es simétrico maximal. El apartado a) es una simple aplicación del lema de Zorn y los otros dos son consecuencia de los resultados anteriores. 1.12.- Teorema. Sean T un operador simétrico y λ = a + ib con a, b ∈ R. Entonces: a) k(T − λI)xk2 = b2 kxk2 + k(T − aI)xk2 , ∀x ∈ D(T ). 297

b) Si b 6= 0, N (T − λI) = {0}, es decir T − λI es inyectivo. c) Si b 6= 0 y T es cerrado, entonces R(T − λI) es cerrado. d) Si adem´ as R(T − λI) = H, T es simétrico maximal. Demostraci´ on. Observamos en primer lugar que k(T −λI)xk2 = k(T −aI)x−ibxk2 = k(T −aI)xk2 +b2 kxk2 +2 Re ih(T −aI)x, bxi donde h(T − aI)x, bxi = bhT x, xi − abkxk2 ∈ R. Esto demuestra el apartado a). De aqu´ı también se deduce que (T − λI)x = 0 =⇒ b2 kxk2 = 0 =⇒ x = 0, lo que prueba el apartado b). Para probar c) elegimos una sucesión (xn )n∈N ⊂ D(T ) tal que (T − λI)xn → y. Entonces (xn )n∈N es de Cauchy porque b2 kxn −xm k2 ≤ k(T −aI)(xn −xm )k2 +b2 kxn −xm k2 = k(T −λI)(xn −xm )k2 → 0. Por ser H de Hilbert, existe x = l´ımn xn . De este modo, por ser T − λI cerrado, debe ser x ∈ D(T − λI) y (T − λI)x = y, es decir y ∈ R(T − λI). Por u ´ltimo, para probar d) suponemos que existe un operador simétrico S tal que T ⊂ S. Entonces H = R(T − λI) ⊂ R(S − λI). Si consideramos un elemento u ∈ D(S) \ D(T ), aplicando el resultado de b) al operador S, tenemos: ∃u0 ∈ D(T ) : (S − λI)u = (T − λI)u0 = (S − λI)u0 =⇒ u = u0 lo que es absurdo a no ser que T = S.

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El siguiente resultado permite asociar a todo operador cerrado un operador positivo acotado y sirve de base para dar una prueba del teorema espectral de operadores autoadjuntos no acotados. 1.13.- Teorema. Sea T cerrado con dominio denso; se define Q = I + T ∗ T . Entonces: a) Q : D(Q) → H es biyectivo y existen B, C ∈ L(H), con kBk ≤ 1, kCk ≤ 1, tales que C = T B y BQ ⊂ QB = I. Adem´ as B ≥ 0 y T ∗ T es autoadjunto. b) Sea T 0 = T |D(T ∗ T ) ; entonces G(T 0 ) es denso en G(T ). Demostraci´ on. Por el apartado 6 del corolario 1.9 y teniendo en cuenta que T es cerrado, H × H = G(T ∗ ) ⊕ U G(T ). Entonces, ∀h ∈ H, existen x ∈ D(T ), y ∈ D(T ∗ ) tales que: (0, h) = (y, T ∗ y) + U (x, T x) = (y + iT x, T ∗ y − ix). 298

Quedan definidos as´ı los operadores Bh = −ix, Ch = y, que tienen dominio H y son lineales. Además, debido a que la suma anterior es ortogonal, por la definición de norma en H × H, tenemos: khk2 = kChk2 + kT ∗ Chk2 + kT Bhk2 + kBhk2 ≥ kChk2 + kBhk2 . Entonces kChk ≤ khk y kBhk ≤ khk, con lo que kBk ≤ 1 y kCk ≤ 1. Además, 0 = Ch − T Bh =⇒ T B = C h = T ∗ Ch + Bh = Bh + T ∗ T Bh = (I + T ∗ T )Bh =⇒ QB = I. En particular, ∀y ∈ D(Q), ∃h ∈ H tal que y = Bh; por tanto, Qy = QBh = h y BQy = Bh = y, de donde BQ ⊂ I. La aplicación Q es biyectiva pues, por ser QB = I, Q es sobre y, por ser BQ ⊂ I, Q es inyectiva. Además, Q es un operador positivo pues, ∀x ∈ D(Q), hQx, xi = hx, xi + hT ∗ T x, xi = kxk2 + kT xk2 ≥ 0. Veamos, como consecuencia de lo anterior, que B ≥ 0: Dado cualquier h ∈ H, sea x ∈ D(Q) tal que h = Qx; entonces hBh, hi = hBQx, Qxi = hx, Qxi ≥ 0. Como B ∈ L(H), B es autoadjunto. De 1.10(b) se deduce que Q es también autoadjunto, con lo que evidentemente Q − I = T ∗ T es autoadjunto. Para probar b), consideremos un elemento (x, T x) ortogonal a G(T 0 ). Entonces ∀y ∈ D(T ∗ T ) = D(Q) : 0 = h(x, T x), (y, T y)i = hx, yi+hT x, T yi = hx, (I+T ∗ T )yi = hx, Qyi =⇒ x⊥R(Q). Como R(Q) = H, x = 0.

♦

TT∗

T ∗∗ T ∗

Observaci´ on. Teniendo en cuenta que = (pues T es cerrado) ∗ y T es cerrado, el resultado anterior también se aplica al operador T T ∗ . Además, de la proposición 1.10 se deduce que los operadores (I + T ∗ T )−1 y (I + T T ∗ )−1 son acotados. Veremos en los ejercicios al final del cap´ıtulo algunas aplicaciones de este teorema.

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´ 2. PROPIEDADES ESPECTRALES DE OPERADORES SIMETRICOS Y AUTOADJUNTOS.

Muchas de las propiedades espectrales de operadores autoadjuntos acotados se conservan en el caso de operadores no acotados. Algunas de dichas propiedades se generalizan en esta sección. Observemos en primer lugar que, si T : D(T ) ⊂ H → H es un operador lineal cerrado con dominio denso, entonces T − λI : D(T ) → R(T ) es biyectiva si y sólo si λ no es autovalor de T . As´ı pues, los autovalores son aquellos para los que, o bien T − λI no tiene inverso, o bien (T − λI)−1 no es un operador acotado definido en todo H. Si T es además un operador simétrico, sus autovalores son reales (teorema 1.12.b). Esto da lugar al siguiente resultado. 2.1.- Proposici´ on. Sea T un operador autoadjunto. La condici´ on necesaria y suficiente para que λ sea autovalor de T es que R(T − λI) 6= H. Demostraci´ on. Si λ es autovalor, existe x 6= 0 tal que T x = λx. Entonces: hx, (T − λI)yi = h(T − λI)x, yi = 0, ∀y ∈ D(T ). Esto implica que x⊥R(T − λI) con lo que R(T − λI) 6= H. Rec´ıprocamente, si R(T − λI) 6= H, entonces ∃x 6= 0 tal que x⊥R(T − λI). Luego hx, (T − λI)yi = 0, ∀y ∈ D(T ) =⇒ hx, T yi = hx, λyi, ∀y ∈ D(T ) =⇒ x ∈ D(T ∗ ), T ∗ x = λx. Como T es autoadjunto y λ ∈ R, entonces T x = λx.

♦

2.2.- Corolario. Si T es autoadjunto, el autoespacio correspondiente a un autovalor λ es R(T − λI)⊥ . El siguiente resultado es también similar al correspondiente en el caso de operadores acotados. 2.3.- Teorema. Sea T : D(T ) ⊂ H → H un operador autoadjunto con dominio denso en H. Entonces λ ∈ ρ(T ) ⇐⇒ ∃c > 0 : k(T − λI)xk ≥ ckxk, ∀x ∈ D(T ). Los tres lemas siguientes serán u ´tiles en la determinación del espectro de los operadores simétricos. 2.4.- Lema. Sea T un operador simétrico cerrado y λ = a + ib un complejo, con b 6= 0. Si µ ∈ C es tal que |λ − µ| < |b|, entonces N (T ∗ − µI) ∩ N (T ∗ − λI)⊥ = {0}. 300

Demostraci´ on. Supongamos por el contrario que ∃f ∈ N (T ∗ − µI) ∩ N (T ∗ − λI)⊥ y kf k = 1. Como R(T − λI) es cerrado, N (T ∗ − λI)⊥ = R(T − λI), de modo que existe g ∈ H tal que (T − λI)g = f . As´ı pues, como f ∈ N (T ∗ − µI), 0 = h(T ∗ − µI)f, gi = hf, (T − µI)gi = hf, (T − λI)gi + (λ − µ)hf, gi = kf k2 + (λ − µ)hf, gi. Entonces 1 = kf k2 = |λ − µ| · |hf, gi| ≤ |λ − µ| · kgk =⇒ 1 ≤ |λ − µ| · |b|−1 , 1 = kf k = k(T − λI)gk ≥ |b| · kgk lo que contradice la hipótesis.

♦

2.5.- Lema. Sean M y N subespacios cerrados de un espacio de Hilbert H, tales que M ∩ N ⊥ = {0}. Entonces dim M ≤ dim N . Demostraci´ on. Llamamos P : H → H a la proyección ortogonal sobre N y T : M → N a la restricción de P a M , T f = P f , ∀f ∈ M . Es evidente que T es inyectiva. Por tanto, si L ⊂ M es un subespacio arbitrario con dim L = k, entonces dim T L = k ≤ dim N , lo que implica que dim M ≤ dim N . ♦ 2.6.- Lema. Si T es un operador simétrico cerrado, entonces dim N (T ∗ −λI) es constante para cualquier λ con Im λ > 0. Demostraci´ on. De los lemas anteriores, haciendo λ = a + ib, con b > 0, se deduce que dim N (T ∗ − µI) ≤ dim N (T ∗ − λI) si |λ − µ| < b. Tomando |λ − µ| < b/2, también |λ − µ| < Im µ, de modo que la desigualdad contraria también es cierta. Se prueba as´ı que la función λ 7→ dim N (T ∗ − λI) es localmente constante. Cubriendo el semiplano superior con bolas donde se cumpla lo anterior, se obtiene la tesis. ♦ 2.7.- Teorema. Si T es un operador simétrico cerrado, entonces una y s´ olo una de las siguientes posibilidades es cierta: i) σ(T ) = C. ii) σ(T ) = {λ ∈ C : Im λ ≥ 0}. iii) σ(T ) = {λ ∈ C : Im λ ≤ 0}. iv) σ(T ) ⊂ R. Demostraci´ on. Sea H± = {λ ∈ C : ± Im λ > 0}. Por la proposición 1.12, si λ ∈ H± , T − λI es inyectiva y tiene rango cerrado. Tenemos dos posibilidades: 301

- Si T − λI no es sobre, entonces λ ∈ σ(T ). - Si T − λI es sobre, por la proposición 1.10(d), λ ∈ ρ(T ). Como N (T ∗ − λI) = R(T − λI)⊥ , del lema anterior resultan las siguientes opciones (observando además que σ(T ) es cerrado, lo que se prueba como en el caso de operadores acotados): i) H+ ⊂ σ(T ), H− ⊂ σ(T ) =⇒ σ(T ) = C. ii) H+ ⊂ σ(T ), H− ∩ σ(T ) = ∅ =⇒ σ(T ) = H+ = {λ ∈ C : Im λ ≥ 0}. iii) H+ ∩σ(T ) = ∅, H− ⊂ σ(T ) =⇒ σ(T ) = H− = {λ ∈ C : Im λ ≤ 0}. iv) H+ ∩ σ(T ) = ∅, H− ∩ σ(T ) = ∅ =⇒ σ(T ) ⊂ R.

♦

2.8.- Proposici´ on. Si T es un operador simétrico cerrado, son equivalentes: i) T es autoadjunto. ii) σ(T ) ⊂ R. iii) N (T ∗ − iI) = N (T ∗ + iI) = {0}. Demostraci´ on. Por ser T simétrico, sus autovalores son reales. i) =⇒ ii): Sea T autoadjunto y tomemos λ ∈ C \ R. Teniendo en cuenta los apartados b) y c) del teorema 1.12, {0} = N (T − λI) = N (T ∗ − λI) = [R(T − λI)]⊥ =⇒ R(T − λI) = H y, por el teorema anterior (repitiendo el argumento para λ), se deduce que el espectro de T es real. ii) =⇒ iii): Como ±i ∈ ρ(T ), N (T ∗ ± iI) = [R(T ∓ iI)]⊥ = H ⊥ = {0}. iii) =⇒ i): Por hipótesis, R(T − iI) = R(T + iI) = H. Veamos que además T ± iI son inyectivas: Sea x ∈ D(T ) tal que (T ± iI)x = 0. Por ser T ∗ extensión de T , ∀z ∈ H resulta: hx, zi = hx, (T ∓iI)yi = h(T ∗ ±iI)x, yi = h(T ±iI)x, yi = h0, yi = 0 =⇒ x = 0. Esto quiere decir que existe (T ± iI)−1 ∈ L(H). Como [(T ± iI)−1 ]∗ = (T ∗ ∓ iI)−1 , también (T ∗ ∓ iI)−1 ∈ L(H). Sea h ∈ D(T ∗ ). Entonces existe f ∈ D(T ) tal que (T + iI)f = (T ∗ + iI)h. Pero (T + iI)f = (T ∗ + iI)f , de modo que f = h y T = T ∗ . ♦ 302

3. TEOREMA ESPECTRAL DE OPERADORES UNITARIOS.

A fin de lograr una representación espectral de operadores autoadjuntos, utilizaremos la transformada de Cayley y la representación espectral de operadores unitarios, que son acotados. En esta sección se deduce dicha representación espectral. Utilizaremos el enfoque clásico, inigualable en su alcance al enfoque actual v´ıa la teor´ıa de álgebras de Banach, transformada de Gelfand y teorema de Gelfand-Naimark, pero más próximo a quienes estén orientados a las aplicaciones. En primer lugar se prueba que el espectro de un operador unitario está en la circunferencia unidad. 3.1.- Teorema. Sea U : H → H un operador unitario en un espacio de Hilbert complejo H; entonces |λ| = 1, ∀λ ∈ σ(U ). Demostraci´ on. Basta observar que, si |λ| < 1,

k(U − λI)xk ≥ kU xk − |λ| · kxk = (1 − |λ|)kxk,

si |λ| > 1,

k(U − λI)xk ≥ |λ| · kxk − kU xk = (|λ| − 1)kxk,

y, en ambos casos, ∃(U − λI)−1 ∈ L(H).

♦

Hay varias formas de obtener el teorema espectral de operadores unitarios, desde la de Wintner (1929) y pasando por las de von Neumann (1930), Stone (1932), Wecken (1935), Friedrichs (1935) y Riesz-Nagy (1955). En el caso finito-dimensional sabemos que si H es un espacio de Hilbert con dim H = n y U es un operador unitario en H, entonces existe una base ortonormal {v1 , . . . , vn } de H formada por vectores propios de U , con U vj = λj vj , j = 1, . . . , n y |λj | = 1. Si llamamos Ej al subespacio propio asociado a λj , Ej = {v ∈ H : U v = λj v}, y Pj a la proyección ortogonal de H sobre Ej (j = 1, . . . , m con m ≤ n), el teorema espectral dice que i) H = E1 ⊕ · · · ⊕ Em ; ii) I = P1 + . . . Pm ; iii) U = λ1 P1 + · · · + λm Pm . Una posible generalizaci´ on en dimensióRn infinita puede producir la descomP posición U = ∞ λ P o bien U = T λdP , siendo T = {λ ∈ C : |λ| = 1} k k k=1 (pues los autovalores están en la circunferencia unidad). 303

Para que tenga sentido dicha integral necesitamos definir una correspondencia entre la σ-álgebra Ω de subconjuntos de Borel en T y el espacio L(H) de los operadores lineales y acotados en H que tenga las propiedades de una medida. De ah´ı que debamos introducir la siguiente definición. 3.2.- Definici´ on. Sean X un conjunto arbitrario, Ω una σ-álgebra de subconjuntos de X y H un espacio de Hilbert. Una medida espectral u ortogonal en (X, Ω, H) es una correspondencia E : Ω → L(H) con las propiedades i) E(∆) es una proyección ortogonal, ∀∆ ∈ Ω. ii) E(X) = I, E(∅) = 0. iii) Si {A Sn }n∈N ⊂ ΩPson disjuntos dos a dos y x ∈ H arbitrario, entonces E( An )x = E(An )x. n∈N

n∈N

iv) E(A ∩ B) = E(A)E(B), ∀A, B ∈ Ω. De la definición se deduce inmediatamente el siguiente resultado. 3.3.- Lema. Si E es una medida espectral en (X, Ω, H) y x, y ∈ H, entonces la funci´ on de conjuntos Ex,y : Ω → C definida por Ex,y (∆) = hE(∆)x, yi es una medida numerablemente aditiva en Ω con variaci´ on total kEx,y k ≤ kxk · kyk. El siguiente resultado da sentido al concepto de integral respecto a una medida espectral. 3.4.- Proposici´ on. Si E es una medida espectral en (X, Ω, H) y φ : X → C una funci´ on Ω-medible acotada, existe un u ńico operador A ∈ L(H) tal que para cualesquiera ε > 0 y {∆1 , . . . , ∆n } Ω-partici´ on de X con sup{|φ(x) − φ(x0 )| : x, x0 ∈ ∆k } < ε (1 ≤ k ≤ n), entonces

n

X

φ(xk )E(∆k ) < ε, ∀xk ∈ ∆k .

A − k=1

RDicho operador se llama integral de φ respecto a E y se R denota por A = X φdE. Del resultado anterior se deduce que hAx, yi = X φdEx,y . P Demostraci´ oP n. A cada función simple s = nk=1 αk χ∆k le asociamos el operador As = nk=1 αk E(∆k ). Como cada E(∆k ) es autoadjunto, entonces A∗s =

n X

αk E(∆k ) = A s .

k=1

304

Si t =

Pm

j=1 βj χ∆0j

As At =

X

es otra función simple, entonces αk βj E(∆k )E(∆0j ) =

k,j

X

αk βj E(∆k ∩ ∆0j ) = Ast .

k,j

De estas igualdades se deduce que A∗s As = A s As = A ss = A|s|2 . Si tomamos x, y ∈ H arbitrarios, obtenemos: hAs x, yi =

n X

αk hE(∆k )x, yi =

k=1

n X

Z sdEx,y ,

αk Ex,y (∆k ) =

k=1

X

de modo que 2

kAs xk =

hA∗s As x, xi

Z = hA|s|2 x, xi =

|s|2 dEx,x ≤ ksk2∞ kEx,x k ≤ ksk2∞ ·kxk2 ,

X

es decir kAs xk ≤ ksk∞ · kxk. Por otra parte, es claro que, si x ∈ R(E(∆i )), entonces As x = αi E(∆i )x = αi x; de esta igualdad y eligiendo i de manera que |αi | = ksk∞ , resulta que (∗)

kAs k = ksk∞ .

Sea ahora φ : X → C una función Ω-medible y acotada y (s(i) )i∈N una sucesión de funciones simples medibles que converge a φ. De la fórmula (∗) deducimos que la sucesión (As(i) )i∈N es de Cauchy en L(H); por tanto, converge a un operador A ∈ L(H). Dicho operador no depende de la elección de la sucesión (s(i) )i∈N . As´ı pues, dados ε > 0 y {∆1 , . . . , ∆n } con las condiciones indicadas en el enunciado, la tesis se sigue de la convergencia de la sucesión (As(i) )i∈N al operador A. ♦ Con esta notación, si consideramos la σ-álgebra Ω = {∆ ⊂ T : ∆ de Borel en T}, el teorema espectral se enuncia entonces de la siguiente forma: 3.5.- Teorema. Si U ∈ L(H) es unitario, ńica medida R nentonces existe una u n espectral E en (T, Ω, H) tal que U = T z dE(z), ∀n ∈ Z. Observaci´ on. Debido a que todo punto z ∈ T puede representarse como R 2π z = eit , con t ∈ [0, 2π), podemos escribir U n = 0 eint dE(t). Demostraci´ on. El proceso será el siguiente: 305

1) Buscaremos una familia de medidas {µx , x ∈ H} tal que Z hU n x, xi = z n dµx (z), ∀n ∈ Z. T

Fijado x ∈ H, consideramos la sucesión numérica {cn (x)}n∈Z , definida por cn (x) = hU n x, xi. De la definición es claro que c−n = cn . R Como la medida espectral debe verificar que U n = T z n dE(z), ∀n ∈ Z y, en R particular, hU n x, xi = T z n dhE(z)x, xi, ∀x ∈ H, la medida escalar R n positiva µx definida por µx (∆) = hE(∆)x, xi debe verificar cn (x) = T z dµx (z), ∀n ∈ Z. La existencia de tal medida corresponde al llamado problema trigonométrico de momentos; la respuesta a dicho problema la proporciona el teorema de representación de Herglotz: Dicha medida µ existe (y es u ńica) si y s´ olo si la sucesi´ on {cn }n∈Z es definida positiva, es decir N X

cj−k λj λk ≥ 0, ∀N ∈ N, ∀λ1 , . . . , λN ∈ C.

j,k=1

En este caso la sucesión {hU n x, xi}n∈Z es definida positiva, pues N X

cj−k (x)λj λk =

j,k=1

N X

hU j−k x, xiλj λk

j,k=1

=

N X

N

X

2

hλj U x, λk U xi = λj U j x ≥ 0. j

k

j=1

j,k=1

2) A continuación queremos encontrar una familia de medidas µx,y (∆) para R n n las que hU x, yi = T z dµx,y (z), ∀n ∈ Z. Para ello utilizamos la identidad de polarización hU n x, yi =

1 [hU n (x + y), x + yi − hU n (x − y), x − yi] 4 i + [hU n (x + iy), x + iyi − hU n (x − iy), x − iyi] , 4

por lo que basta definir 1 1 i i µx,y (∆) = µx+y (∆) − µx−y (∆) + µx+iy (∆) − µx−iy (∆). 4 4 4 4 3) Fijado ∆ de Borel en T, la función β(∆) : H × H → C definida por 306

β(∆)(x, y) = µx,y (∆) es una forma sesquilineal: Z

z n dµαx1 +x2 ,y (z), Z Z n n n αhU x1 , yi + hU x2 , yi = α z dµx1 ,y (z) + z n dµx2 ,y (z) T Z T z n d[αµx1 ,y (z) + µx2 ,y (z)], = n

hU (αx1 + x2 ), yi =

T

T

de modo que Z

Z

f (z)d[αµx1 ,y (z) + µx2 ,y (z)],

f (z)dµαx1 +x2 ,y (z) = T

T

∀f exponencial trigonométrica. Por linealidad, también es cierta para polinomios trigonométricos y, por el teorema de aproximación de Weierstrass, también para toda función continua o continua a trozos. En particular, Z

Z χ∆ (z)dµαx1 +x2 ,y (z) =

T

χ∆ (z)d[αµx1 ,y (z) + µx2 ,y (z)], T

o bien µαx1 +x2 ,y (∆) = αµx1 ,y (∆) + µx2 ,y (∆). Análogamente, debido a la igualdad n

x, yi = z −n dµx,y (z) Z T hU n y, xi = z −n d µy,x (z), ∀n ∈ Z,

hx, U yi = hU =

Z

−n

T

y razonando como en el caso anterior, se deduce que µx,y (∆) = µy,x (∆). 4) Veremos a continuación que F : C(T) → L(H), definida por F (g) = g(U ), es una representación de C(T) (espacio de las funciones continuas en T con la norma del supremo), es decir es un homomorfismo de álgebras que cumple F (g ∗ ) = F (g)∗ , donde definimos g ∗ (x) = g(x). Definimos en primer lugar F : P P → L(H) por F (p) = p(U ), donde denotan 2 mos por P = {p : T → C : p(z) = N n=N1 an z } al espacio de los polinomios trigonométricos con la norma del supremo. Resultan de la definición las siguientes propiedades: i) F es lineal, F (α1 p1 + α2 p2 ) = α1 F (p1 ) + α2 F (p2 ). ii) F es multiplicativa, F (p1 p2 ) = F (p1 )F (p2 ). R iii) hp(U )x, yi = T p(z)dµx,y (z), ∀x, y ∈ H. 307

iv) p(U ) = p(U )∗ : Z

∗

Z

hx, p(U ) yi = hp(U )x, yi = p(z)dµx,y (z) = p(z)d µx,y (z) T T Z = p(z)dµy,x (z) = h p(U )y, xi = hx, p(U )yi. T

v) Si p(z) ≥ 0, ∀z, entonces p(U ) ≥ 0: Por el teorema de Fejér-Riesz, si p ∈ P es positivo, ∃q ∈ P : p = |q|2 . Entonces hp(U )x, xi = h( qq)(U )x, xi = h q(U )q(U )x, xi = hq(U )∗ q(U )x, xi = kq(U )xk2 ≥ 0. vi) kF k = 1: kp(U )xk2 = hp(U )x, p(U )xi = hp(U )∗ p(U )x, xi ≤ kpk2∞ · kxk2 ⇐⇒

h[kpk2∞ I − p(U )∗ p(U )]x, xi ≥ 0.

Como kpk2∞ I − p(U )∗ p(U ) = F (q) con q(z) = kpk2∞ − |p(z)|2 ≥ 0, la desigualdad anterior se deduce de v). En definitiva, kp(U )xk ≤ kpk∞ · kxk =⇒ kp(U )k ≤ kpk∞ =⇒ kF k ≤ 1. Por otra parte, tomando p(z) = 1, ∀z, entonces p(U ) = I de modo que kF k ≥ kp(U )k/kpk∞ = 1 =⇒ kF k = 1. Como F es acotada y L(H) es completo, F se extiende a P que es el espacio C(T) de las funciones continuas con la norma del supremo, donde se mantienen las propiedades anteriores; en particular, Z (∗) hF (g)x, yi = hg(U )x, yi = g(z)dµx,y (z), ∀g ∈ C(T). T

5) Debido a la equivalencia entre el dual de C(T) y el espacio de las medidas R de Borel finitas en T, dada por µ 7→ l ∈ C(T)0 , con l(f ) = T f dµ, ∀f ∈ C(T), podemos probar la acotación de µx,y como sigue: Z kµx,y k = sup f dµx,y : f ∈ C(T), kf k∞ ≤ 1 T

= sup{|hf (U )x, yi| : f ∈ C(T), kf k∞ ≤ 1} ≤ sup{kf (U )k · kxk · kyk : f ∈ C(T), kf k ≤ 1} ≤ kxk · kyk. 6) El siguiente paso es extender la representación F a la C ∗ -álgebra B(T) de las funciones medibles Borel y acotadas en T. 308

R Fijamos ahora g ∈ B(T) y definimos βg (x, y) = T g(z)dµx,y (z). Debido a que βg es un forma sesquilineal acotada con kβg k ≤ kgk∞ , por el teorema de representación de Riesz para formas sesquilineales (cap´ıtulo III, teorema 6.5), existe un u ńico operador Ag ∈ L(H) tal que βg (x, y) = hAg x, yi y kAg k ≤ kgk∞ . La nueva aplicación F : B(T) → L(H) definida por F (g) = Ag está bien definida, kF (g)k ≤ kgk∞ y Z (∗∗) hF (g)x, yi = g(z)dµx,y (z), ∀x, y ∈ H. T

Debemos probar a continuación que F es una representación de B(T) que extiende a la correspondiente representación de C(T). i) Es inmediato de (∗) y (∗∗) que se trata de una extensión. ii) Es también evidente que F es lineal y tiene norma 1. iii) F ( g) = F (g)∗ pues, ∀x, y ∈ H: ∗

hF (g) x, yi =

hA∗g x, yi

Z = hAg y, xi =

g(z)dµy,x (z) T

Z g(z)dµx,y (z) = hA g x, yi = hF ( g)x, yi.

= T

iv) F es multiplicativa; para ello veamos en primer lugar que F (f g) = F (f )F (g) con f ∈ C(T) y g ∈ B(T), pero debido a las equivalencias F (f g) = F (f )F (g) ⇐⇒ hF (f g)x, yi = hF (f )F (g)x, yi = hF (g)x, F (f )∗ yi Z Z ⇐⇒ (f g)(z)dµx,y (z) = g(z)dµx,F (f )∗ y (z), T

T

la igualdad anterior ser´ R R a cierta si y sólo si f dµx,y = dµx,F (f )∗ y , ∀f ∈ C(T), o bien T ϕf dµx,y = T ϕdµx,F (f )∗ y , ∀ϕ ∈ C(T), lo que equivale a la multiplicatividad de F en C(T) que ya fue probada. R R Queda as´ı probado que T f (z)(g(z)dµx,y (z)) = T f (z)dµx,g(U )∗ y (z), ∀f ∈ C(T), g ∈ B(T), de donde gdµx,y = dµx,g(U )∗ y . Sean ahora g, g1 ∈ B(T); entonces Z Z hF (gg1 )x, yi = (gg1 )(z)dµx,y (z) = g1 (z)dµx,g(U )∗ y (z) T

T

= hg1 (U )x, g(U )∗ yi = hg(U )g1 (U )x, yi = hF (g)F (g1 )x, yi. 7) Definimos ahora, para cada ∆ de Borel en T el operador E(∆) = F (χ∆ ) ∈ L(H). De la definición se deduce directamente que hE(∆)x, yi = µx,y (∆). Veamos que E es una medida espectral en T. 309

i) E(∆) es un proyector ortogonal: E(∆)2 = F (χ∆ ) · F (χ∆ ) = F (χ∆ · χ∆ ) = F (χ∆ ) = E(∆); E(∆)∗ = F (χ∆ )∗ = F ( χ∆ ) = F (χ∆ ) = E(∆). ii) E(T) = F (χT ) = F (1) = I, E(∅) = F (χ∅ ) = F (0) = 0. iii) Si ∆1 , ∆2 ∈ Ω, E(∆1 ∩∆2 ) = F (χ∆1 ∩∆2 ) = F (χ∆1 χ∆2 ) = F (χ∆1 )F (χ∆2 ) = E(∆1 )E(∆2 ). iv) Si {∆j }j∈N ⊂ Ω son disjuntos S dos a dos, es fácil probar la aditividad finita. Si llamamos Hn = k>n ∆k , para todo x ∈ H tenemos: m

[

2 X

∆j )x − E(∆j )x = E(Hm )x, E(Hm )x

E( j∈N

j=1

E(Hm )x, x = F (χHm )x, x Z X = χHm (z)dµx,x (z) = µx,x (∆j ), =

T

j>m

expresión que tiende a cero si m → ∞. R 8) Por u ´ltimo veamos que F (g) = T g(z)dE(z), ∀g ∈ C(T): Dado ε > 0, sea {∆1 , . . . , ∆n } una partición de T mediante elementos de Ω tal que sup{|g(x) − g(x0 )| : x, x0 ∈ ∆k } < ε, (1 ≤ k ≤ n). P Entonces, para cualquierPelección xk ∈ ∆k , kg − nk=1 g(xk )χ∆k k∞ < ε. Como kF k = 1, kF (g) − nk=1 g(xk )E(∆k )k < ε, lo que implica que F (g) = R g(z)dE(z), ∀g ∈ C(T). T R En particular, si g(z) = z n , entonces F (g) = U n , de donde U n = T z n dE(z), lo que completa la demostración. ♦ La medida espectral encontrada tiene la siguiente propiedad adicional. 3.6.- Proposici´ on. Si U ∈ L(H) es un operador unitario y A ∈ L(H) es un operador que conmuta con U , entonces A conmuta con E(∆), para todo ∆ de Borel en T. Adem´ as µx,A∗ y = µAx,y . Demostraci´ on. En primer lugar se comprueba que Ap(U ) = p(U )A, para cualquier polinomio trigonométrico p. A continuación, si aproximamos toda función continua f ∈ C(T) mediante polinomios trigonométricos (aplicando el teorema de Stone-Weierstrass), se prueba que Af (U ) = f (U )A. Por u ´ltimo, si ∆ ∈ Ω, consideremos la sucesión creciente {gn }n∈N de funciones 310

continuas tal que gn → χ∆ . Por el teorema de la convergencia monótona, ∀x, y ∈ H se tiene: hAE(∆)x, yi = hE(∆)x, A∗ yi = µx,A∗ y (∆) Z Z = χ∆ (z)dµx,A∗ y (z) = l´ım gn (z)dµx,A∗ y (z) = l´ımhgn (U )x, A∗ yi n

T

T

n

= l´ımhAgn (U )x, yi = l´ımhgn (U )Ax, yi = hE(∆)Ax, yi. n

n

Para la segunda parte, de AU = U A se deduce que: hE(∆)Ax, yi = hAE(∆)x, yi = hE(∆)x, A∗ yi =⇒ µx,A∗ y = µAx,y .

♦

4. TEOREMA ESPECTRAL DE OPERADORES AUTOADJUNTOS NO ACOTADOS.

Es natural preguntarse si existe una descomposición espectral de todo operador simétrico análoga a la que existe en el caso de operadores acotados. Trabajos importantes, especialmente de Carleman relativos a ecuaciones integrales singulares, mostraron la imposibilidad de obtener una completa analog´ıa. Fue E. Schmidt quien observó que es necesario restringirse a operadores autoadjuntos si se quiere obtener una descomposición análoga. El teorema espectral para operadores autoadjuntos fue probado de diferentes maneras por von Neumann, Stone, Riesz y otros y constituyó el punto de partida de la nueva teor´ıa de operadores lineales en espacios de Hilbert. En esta sección ilustramos una demostración de von Neumann que hace uso de la transformada de Cayley y, por tanto, se basa en la descomposición espectral de operadores unitarios (acotados). Otras demostraciones pueden verse en los distintos textos de Análisis Funcional (ver por ejemplo [BN], [RN], [Fu], [Ru]). Si uno considera los operadores, acotados o no, en espacios de Hilbert como generalizaciones de los n´ umeros complejos, se encuentra que muchos resultados sencillos en relación a los n´ umeros complejos tienen análogos no triviales en el contexto de operadores. Uno de ellos se refiere a la transformada de Möbius. Si en el espacio C definimos el conjunto T = {z ∈ C : |z| = 1}, la transformación de Möbius w = z−i on biyectiva de R en z+i es una aplicaci´ T \ {1} cuya inversa es z =

i(1+w) 1−w .

Una adaptación de esta transformación al caso de operadores permitirá aplicar operadores autoadjuntos no 311

acotados sobre operadores unitarios acotados y operadores simétricos sobre isométricos. Esto permitirá establecer una analog´ıa entre operadores lineales y n´ umeros complejos. Mediante esta analog´ıa los operadores autoadjuntos jugarán el papel de n´ umeros reales, los operadores positivos corresponderán a los reales no negativos y los operadores unitarios a los complejos de módulo 1. Esto viene sugerido por el hecho de que el espectro de un operador autoadjunto es real y el de un operador unitario está contenido en T. El paralelismo es más acusado si tenemos en cuenta que T es autoadjunto en un espacio complejo si y sólo si hT x, xi ∈ R, ∀x. El siguiente ejemplo muestra que lo anterior no es cierto si el espacio es real: En el espacio X = R2 definimos el operador T (x1 , x2 ) = (x1 + 2x2 , x2 ). Entonces hT x, xi = 2|x2 | ∈ R pero T ∗ (x1 , x2 ) = (x1 , 2x1 + x2 ). La relación entre operadores autoadjuntos y unitarios viene dada por el siguiente resultado. 4.1.- Proposici´ on. Sea T un operador autoadjunto en H. Entonces los operadores T ± iI tienen inversas acotadas definidas en todo H y el operador U = (T − iI)(T + iI)−1 es un operador unitario en H, llamado transformada de Cayley de T . Demostraci´ on. La primera parte se deduce de los teoremas 1.10 y 1.12 y de las igualdades N (T ± iI) = R(T ∓ iI)⊥ . Para ver que U es unitario, sea x ∈ H y llamamos y = (T + iI)−1 x. Entonces: kU xk2 = h(T − iI)y, (T − iI)yi = hT y, T yi − ihy, T yi + ihT y, yi + hy, yi = hT y, T yi − ihT y, yi + ihy, T yi + hy, yi = h(T + iI)y, (T + iI)yi = kxk2 .

♦

Rec´ıprocamente, conocida la transformada de Cayley de un operador autoadjunto, se puede extraer este como sigue. 4.2.- Proposici´ on. Si U es la transformada de Cayley de un operador autoadjunto T en H, entonces I − U es inyectiva y T = i(I + U )(I − U )−1 . Demostraci´ on. Si (I − U )x = 0 y llamamos y = (T + iI)−1 x, tenemos: x = U x =⇒ x = (T − iI)y =⇒ (T + iI)y = (T − iI)y =⇒ y = 0 =⇒ x = 0. La segunda parte se obtiene por cálculo directo.

♦

4.3.- Corolario. Sea U la transformada de Cayley de un operador autoadjunto T . Entonces 1 no es autovalor de U . Adem´ as 1 est´ a en la resolvente de U si y s´ olo si T es acotado. 312

El rec´ıproco del resultado anterior también es cierto: si 1 no es autovalor de un operador unitario U , entonces U es la transformada de Cayley de alg´ un operador autoadjunto. Los dos u ´ltimos teoremas, con los que concluimos el cap´ıtulo y el curso, permiten establecer una correspondencia biun´ıvoca entre las medidas espectrales en R y los operadores autoadjuntos. 4.4.- Teorema (espectral de operadores autoadjuntos.) Sea T : D(T ) → H un operador autoadjunto con dominio R denso en H. Entonces existe una medida espectral P en R tal que T = R λdP (λ). Demostraci´ on. Sea U = (T − iI)(T + iI)−1 la transformada de Cayley de T ; como ya se ha probado, U es unitario, I − U es inyectivo y T = i(I + U )(I − U )−1 con D(T ) = (I − U )(H). Por el teorema espectral de operadores unitarios, existe E medida espectral R en T tal que U = T zdE(z). Por ser I − U inyectivo, 1 no es valor propio de U . De aqu´ı se deduce que E({1}) = 0. En efecto, supongamos por el contrario que H0 = E({1})H 6= {0}. Entonces existe x 6= 0 tal que x = E({1})x de donde U x = U E({1})x. Como E({1}) es el operador asociado a la función caracter´ıstica χ{1} , tenemos: Z λ · χ{1} (λ)dE(λ)x = 1 · E({1})x = x,

U x = U E({1})x = T

lo cual contradice que I − U es inyectivo. 1+z Como la función ϕ : T \ {1} → R definida por ϕ(z) = i · 1−z es biyectiva, la −1 función P (∆) = E(ϕ (∆)), ∀∆ de Borel en R, es una medida espectral en R (como E({1}) = 0, E(T) = E(T \ {1}) = I).

Debido a la fórmula de la transformada de Cayley, procediendo formalmente, obtenemos: Z Z 1+z T = i(I + U )(I − U )−1 = i · dE(z) = ϕ(z)dE(z); 1−z T T si hacemos el cambio λ = ϕ(z), resulta Z

∞

T =

λdE(ϕ−1 (λ)) =

−∞

Z

∞

λdP (λ).

♦

−∞

R∞ Veamos el sentido de la expresión −∞ f (λ)dP (λ), con f : R → R función medible, no necesariamente acotada. 313

4.5.- Teorema. Sea P una medida espectral en R y f : R → R una funci´ on medible. Existe entonces un u ńico operador autoadjunto T con dominio Z f 2 (λ)dhP (λ)x, xi < ∞} D(T ) = {x ∈ H : R

tal que T =

R R

f (λ)dP (λ) y

kT xk2

=

R R

f 2 (λ)dhP (λ)x, xi, ∀x ∈ D(T ).

Demostraci´ on. Haremos la demostración en dos pasos. R∞ 1) Si f es acotada, −∞ f (λ)dP (λ) es un operador acotado simétrico: R∞ En efecto, la aplicación β(x, y) = −∞ f (λ)dhP (λ)x, yi es un funcional sesquilineal acotado pues Z ∞ d|hP (λ)x, yi| ≤ kf k∞ · kxk · kyk. |β(x, y)| ≤ kf k∞ −∞

Por tanto, existe un operador T ∈ L(H) tal que β(x, y) = hT x, yi, ∀x, y ∈ H. Además T es autoadjunto pues Z ∞ hx, T yi = hT y, xi = β(y, x) = f (λ)d hP (λ)y, xi −∞ Z ∞ = f (λ)dhP (λ)x, yi = β(x, y) = hT x, yi. −∞

Escribiremos en este caso T =

R∞

−∞ f (λ)dP (λ).

2) Si S f es medible, llamamos ∆n = f −1 [n, n + 1), ∀n ∈ Z; por definición, on es disjunta. ahora ϕn = χ∆ R = n∈Z ∆n y la uni´ n , Pn = P Si llamamosP L P (∆n ) y Hn = Pn H, entonces 1 = n∈Z ϕn , I = n∈Z Pn , H = n∈Z Hn (donde la suma es ortogonal por ser {Pn }n∈Z una familia ortogonal de proyecciones). Como ahora f (λ)ϕn (λ) son funciones acotadas para todo n, existen, seg´ un el apartado anterior, Tn0 operadores simétricos y acotados tales que Z ∞ 0 Tn = f (λ)ϕn (λ)dP (λ). −∞

Veamos ahora que Tn0 H ⊂ Hn , para lo cual basta probar que Pn Tn0 = Tn0 : R Como Tn0 = ∆n f (λ)dP (λ), podemos aproximarlo por sumas de Riemann P del tipo Tn0 ∼ kj=1 f (λj )P (Fj ), siendo {F1 , . . . , Fk } una partición de ∆n y λj ∈ Fj (j = 1, . . . , k). Entonces Pn Tn0

∼

k X j=1

f (λj )P (∆n )P (Fj ) =

k X

f (λj )P (∆n ∩ Fj ) =

j=1

314

k X j=1

f (λj )P (Fj ).

Como ambas sumas de Riemann coinciden, Tn0 = Pn Tn0 y, en consecuencia, R(Tn0 ) ⊂ Hn . Lo anterior permite definir los operadores Z ∞ Tn = f (λ)ϕn (λ)dP (λ)|Hn : Hn → Hn −∞

y probaremos a continuación que existe un u ńico operador autoadjunto T en H tal que T |Hn = Tn (teorema de Riesz-Lorch): P Definimos pues T x = n∈Z Tn Pn x cuyo dominio es D = {x ∈ H :

X

kTn Pn xk2 < ∞}

n∈Z

(ver teorema 4.7, cap´ıtulo III). As´ı x ∈ D si y sólo si converge cuando k → ∞.

P

n∈[−k,k] Tn Pn x

As´ı definido se cumplen las siguientes propiedades: i) D ⊃ Hn , ∀n ∈ Z. ii) T está bien definido pues, si x ∈ D, X X X Pn x = T (Pn x) = Tn Pn x. Tx = T n∈Z

n∈Z

n∈Z

iii) D es denso en H. En efecto, por i), Hn ⊂ D =⇒ h

[

Hn i ⊂ D =⇒ h

n∈Z

iv) D = {x ∈ H : kTn Pn xk

2

Hn i ⊂ D =⇒ H =

n∈Z

R∞

−∞ f

Z

2 (λ)dhP (λ)x, xi

f −∞

X

2

M

Hn ⊂ D.

n∈Z

< ∞} pues

∞

= =⇒

[

(λ)ϕ2n (λ)dhP (λ)x, xi

Z =

f 2 (λ)dhP (λ)x, xi

∆n 2

Z

∞

f 2 (λ)dhP (λ)x, xi.

kTn Pn xk = −∞

n∈Z

v) T es simétrico pues, ∀x, x0 ∈ H, X X hT x, x0 i = hTn Pn x, x0 i = hTn Pn x, Pn x0 i n∈Z

=

X

n∈Z

hPn x, Tn Pn x0 i =

n∈Z

X n∈Z

315

hx, Tn Pn x0 i = hx, T x0 i.

vi) T es autoadjunto, para lo cual basta probar que D(T ∗ ) ⊂ D(T ). Sea y ∈ D(T ∗ ); entonces existe y ∗ tal que hT x, yi = hx, y ∗ i, ∀x ∈ D. Veamos que Pn y ∗ = Tn Pn y: hTn Pn y, xi = hTn Pn y, Pn xi = hPn y, Tn Pn xi = hy, Tn Pn xi = hy, T Pn xi = hy ∗ , Pn xi = hPn y ∗ , xi, ∀x ∈ H. P P Entonces n∈Z kTn Pn yk2 = n∈Z kPn y ∗ k2 = ky ∗ k2 < ∞ =⇒ y ∈ D. vii) T es u ńico. Para ello, supongamos que existe un operador autoadjunto S tal que S|Hn = Tn , ∀n ∈ N. Veamos que S = T . Si x ∈ D(T ), debido a que X X kTn Pn xk2 < ∞, kSPn xk2 = n∈N

n∈N

P se deduce que n∈N SPn x converge. P Por otro lado, como las sumas parciales de n∈N Pn x (que están en D(S)) convergen a x y S es cerrado, x ∈ D(S) y además X X Sx = SPn x = Tn Pn x = T x. n∈N

n∈N

Esto implica que T ⊂ S. Rec´ıprocamente, por ser S autoadjunto, de la proposición 1.4 deducimos que S = S ∗ ⊂ T ∗ = T , de donde S = T . ♦ Observaciones. 1) La forma que adopta la descomposición espectral de un operador autoadjunto no acotado es similar a la correspondiente del caso acotado. Sin embargo aqu´ı los l´ımites de integración en la representación no son finitos debido a que el espectro de un operador autoadjunto no acotado, aun siendo real, no es acotado. 2) De la descomposición espectral de un operador autoadjunto T se puede obtener también una fórmula para la resolvente Rz = (T −zI)−1 (ver propiedades de la misma en los ejercicios al final del cap´ıtulo). Más precisamente, si P es la medida espectral de T , Z 1 Rz = dP (λ) λ − z R para cualquier valor de z donde tengan sentido dichas expresiones. Esta fórmula se puede generalizar a operadores simétricos arbitrarios y proporcionar as´ı diversas aplicaciones de la teor´ıa de operadores. 3) Algunas notas históricas con respecto al teorema espectral pueden consultarse en las obras de Steen [Ste], Dunford-Schwartz [DS] y Halmos [Ha1].

316

EJERCICIOS.

1. a) Probar que los operadores M f (x) = xf (x), Df (x) = f 0 (x) definidos en L2 (R) son operadores sim´ etricos no acotados y verifican la relaci´ on de conmutaci´ on DM − M D = I .

b) Probar que no existe ning´ un par de operadores acotados A, B que cumplan la relaci´ on AB − BA = I . Resp.: a) En diversos lugares se ha probado ya que dichos operadores son simétricos no acotados. Además DM f (x) = D(xf (x)) = xf 0 (x) + f (x) = (I + M D)f (x), es decir DM − M D = I (en esta fórmula se basa el principio de incertidumbre en Mecánica Cuántica). b) Supongamos que existen A, B ∈ L(H) tales que AB − BA = I. Entonces, multiplicando a izquierda y derecha por A, obtenemos: A2 B − ABA = A

y

ABA − BA2 = A.

Al sumar miembro a miembro, resulta que A2 B − BA2 = 2A. Repitiendo el proceso, se llega a la igualdad general An B − BAn = nAn−1 . Entonces nkAn−1 k ≤ kAn Bk + kBAn k ≤ kAn−1 k · kABk + kBAk · kAn−1 k. Si suponemos que A 6= 0, entonces kAn−1 k = 6 0, ∀n, y de lo anterior se deduce que n ≤ kABk + kBAk ≤ 2kAk · kBk, lo cual contradice el hecho de que A y B son operadores acotados. 2. Sean T1 , T2 , T3 tres operadores arbitrarios.

a) Probar que (T1 T2 )T3 = T1 (T2 T3 ). b) Probar que T1 ⊂ T2 =⇒ T3 T1 ⊂ T3 T2 y T1 T3 ⊂ T2 T3 . Resp.: a) Veamos en primer lugar que D((T1 T2 )T3 ) = D(T1 (T2 T3 )). 317

En efecto, x ∈ D((T1 T2 )T3 ) ⇐⇒ x ∈ D(T3 ), T3 x ∈ D(T1 T2 ) ⇐⇒ x ∈ D(T3 ), T3 x ∈ D(T2 ), T2 T3 x ∈ D(T1 ) ⇐⇒ x ∈ D(T2 T3 ), T2 T3 x ∈ D(T1 ) ⇐⇒ x ∈ D(T1 (T2 T3 )). Por otra parte, es evidente que, si x ∈ D((T1 T2 )T3 ), entonces (T1 T2 )T3 x = T1 (T2 T3 )x. b) Como, por hipótesis, T1 ⊂ T2 , entonces D(T1 ) ⊂ D(T2 ) y T1 x = T2 x, ∀x ∈ D(T1 ). Resulta as´ı: x ∈ D(T3 T1 ) =⇒ x ∈ D(T1 ), T1 x ∈ D(T3 ) =⇒ x ∈ D(T2 ), T2 x ∈ D(T3 ) =⇒ x ∈ D(T3 T2 ). Además, ∀x ∈ D(T3 T1 ): (T3 T1 )x = T3 (T1 x) = T3 (T2 x) = (T3 T2 )x, lo que prueba que T3 T1 ⊂ T3 T2 . Con el otro caso se procede de la misma forma. 3. Sea H = L2 (R) y llamamos D = {f ∈ L2 (R) : x · f (x) ∈ L2 (R)}. Probar que el operador T : H → H definido por T f (x) = xf (x) con dominio D es autoadjunto. [Este es el llamado operador posici´ on en Mec´ anica Cu´ antica.] Resp.: Veamos que D es denso en L2 (R). Para ello, basta observar que D contiene al conjunto de las funciones con soporte compacto y que este conjunto es denso en L2 (R). Veamos a continuación que T es simétrico: Z Z hT f, gi = xf (x) g(x)dx = f (x) · xg(x)dx = hf, T gi, ∀f, g ∈ D. R

R

Esto implica que T ⊂ T ∗ (ver proposición 1.6). Por u ´ltimo, comprobaremos que D(T ∗ ) ⊂ D(T ): Sea g ∈ D(T ∗ ) y llamemos g ∗ = T ∗ g. Por definición de adjunto, Z Z f (x) g ∗ (x)dx. ∀f ∈ D(T ), xf (x) g(x)dx = R

R

318

Si tomamos f (x) = χ[α,x0 ] , la igualdad anterior queda Z

x0

Z

x0

g ∗ (x)dx

x g(x)dx = α

α

y, derivando, x0 g(x0 ) = g ∗ (x0 ) para casi todo x0 . Esto implica que g ∈ D y T ∗ g(x) = xg(x). De lo anterior se deduce que T es autoadjunto. 4. Sea H = L2 (R) y D = {f ∈ L2 (R) : f es absolutamente continua en todo intervalo finito y f 0 ∈ L2 (R)}. Probar que el operador T : H → H definido en D por T f (x) = −if 0 (x) es autoadjunto. [Este es el operador momento en Mec´ anica Cu´ antica.] Resp.: Definimos para cada n la función continua   si x ∈ [α, x0 ] 1 fn (x) = 0 si x ≤ α − 1/n ó x ≥ x0 + 1/n   recta en el resto. Las combinaciones lineales de funciones de la forma de fn con diferentes valores de α, x0 y n son densas en L2 (R). Por tanto, D es denso en H. Para probar que T es simétrico, sea g ∈ D. Entonces, ∀f ∈ D, integrando por partes obtenemos: Z a

b

b −if (x) g(x)dx = −if (x) g(x) a + 0

Z

b

f (x)[ −ig 0 (x)]dx.

a

Como f (x) g(x) es integrable en R, se deduce que

l´ım

a→−∞,b→∞

b f (x) g(x) a =

0y Z hT f, gi =

Z

0

−if (x) g(x)dx =

f (x)[ −ig 0 (x)]dx = hf, T gi.

R

R

Esto implica que g ∈ D(T ∗ ) y T ∗ g(x) = −ig 0 (x), es decir T ⊂ T ∗ . Sólo falta comprobar, al igual que en el ejercicio anterior, que D(T ∗ ) ⊂ D. Sea para ello g ∈ D(T ∗ ) y llamemos g ∗ = T ∗ g. Como sabemos, Z Z 0 −if (x) g(x)dx = f (x) g ∗ (x)dx, ∀f ∈ D. R

R

319

Eligiendo las funciones fn anteriores, la igualdad anterior se escribe como: Z α Z x0 +1/n Z −i g(x)dx − n n −i g(x)dx = fn (x) g ∗ (x)dx. α−1/n

x0

R

Haciendo n → ∞, obtenemos: Z x0 g ∗ (x)dx para casi todos α y x0 . −i g(α) − g(x0 ) = α

Por la desigualdad de Schwarz, se deduce que g ∗ es integrable sobre cualquier intervalo finito. Entonces g(x0 ) es absolutamente continua en x0 sobre cualquier intervalo finito y, por tanto, −ig 0 (x0 ) = g ∗ (x0 ) para casi todo x0 . Esto implica que g ∈ D y T ∗ g(x) = −ig 0 (x). 5. Probar que el operador T1 f (x) = if 0 (x) es sim´ etrico en D(T1 ) = 2 {f ∈ L [0, 1] : f es absolutamente continua, f (0) = f (1) = 0, f 0 ∈ L2 [0, 1]} pero no es autoadjunto. Resp.: Veamos que T1∗ = T2 donde T2 f (x) = if 0 (x) tiene dominio D(T2 ) = {f ∈ L2 [0, 1] : f es absolutamente continua y f 0 ∈ L2 [0, 1]}. Debido a que D(T1 ) = L2 [0, 1], existe el adjunto T1∗ . Si g ∈ D(T1∗ ) y llamamos g ∗ = T1∗ g, entonces Z 1 Z 1 ∀f ∈ D(T1 ) : if 0 (x) g(x)dx = f (x) g ∗ (x)dx. 0

0

R1

Si integramos por partes, 0 f (x) g ∗ (x)dx = − R x G∗ (x) = 0 g ∗ (s)ds. R1 Como f (1) = 0 f 0 (x)dx = 0, entonces 1

Z

R1 0

f 0 (x) G∗ (x)dx, donde

f 0 (x)[ G∗ (x) + i g(x) + c]dx = 0, ∀f ∈ D(T1 ), ∀c.

0

Rx R1 Por otra parte, ∀h ∈ L2 [0, 1], la función H(x) = 0 h(s)ds−x 0 h(s)ds está en D(T1 ). Para esta función se tiene: Z 1n Z 1 o h(x) − h(s)ds G∗ (x) + i g(x) + c dx = 0. 0

0

Eligiendo c de modo que

R1 0

[G∗ (x)−ig(x)+c]dx = 0, resulta la igualdad

320

R1 ∗ (x) + i g(x) + c dx = 0. Al ser h arbitrario, G∗ (x) = G h(x) R0x ∗ ∗ 0 g (s)ds = ig(x) − c. Por tanto, g ∈ D(T2 ) y T2 g = g , lo que ∗ prueba que T1 ⊂ T2 . Es claro también, integrando por partes, que T2 ⊂ T1∗ , lo que completa la prueba. 6. Sea T : D(T ) ⊂ H → H un operador lineal con dominio denso en H . Probar la siguiente equivalencia:

i) T es clausurable ii) D(T ∗ ) = H . Resp.: La implicación i) =⇒ ii) corresponde a la proposición 1.8.b). El rec´ıproco se deduce del apartado 2 del corolario 1.9 (basta observar que T ⊂ T ∗∗ y que T ∗∗ es cerrado). 7. A la ecuaci´ on diferencial f 00 − f = g , siendo g ∈ L2 [0, 1] una funci´ on conocida, se le asocian los tres problemas de contorno siguientes:

a) f (0) = f (1) = 0. b) f 0 (0) = f 0 (1) = 0. c) f (0) = f (1) y f 0 (0) = f 0 (1). Mostrar que los tres problemas tienen soluci´ on u ńica f tal que f 0 es absolutamente continua y f 00 ∈ L2 [0, 1]. Resp.: En el espacio de Hilbert H = L2 [0, 1] definimos los operadores Tk f = if 0 (k = 1, 2, 3), con dominios D(T1 ) = {f ∈ H : f es absolutamente continua y f 0 ∈ H} D(T2 ) = {f ∈ D(T1 ) : f (0) = f (1)} ⊂ D(T1 ) D(T3 ) = {f ∈ D(T2 ) : f (0) = f (1) = 0} ⊂ D(T2 ). Entonces T3 ⊂ T2 ⊂ T1 y además T1∗ = T3 , T2∗ = T2 y T3∗ = T1 (como observábamos en el ejemplo de la página 322). 321

a) Sea f ∈ D(T3∗ T3 ); entonces (I + T3∗ T3 )f = f + T1 T3 f = f − f 00 . Como T3 es cerrado (pues T3 = T1∗ ), y D(T3 ) = H, entonces I +T3∗ T3 : D(T3∗ T3 ) → H es biyectivo (teorema 1.13). As´ı pues, ∀g ∈ H, existe un u ńico f ∈ D(T3∗ T3 ) tal que (I + T3∗ T3 )f = −g, es decir f 00 − f = g. Ahora bien, por ser f ∈ D(T3∗ T3 ), f ∈ D(T3 ) y T3 f ∈ D(T3∗ ), es decir f (0) = f (1) = 0, f 0 es absolutamente continua y f 00 ∈ H, lo que resuelve el problema a). b) Sea ahora f ∈ D(T1∗ T1 ); nuevamente, (I + T1∗ T1 )f = f + T3 T1 f = f − f 00 . El teorema 1.13 prueba también que el operador I + T1∗ T1 : D(T1∗ T1 ) → H es biyectivo. As´ı pues, ∀g ∈ H, existe un u ńico f ∈ D(T1∗ T1 ) tal que (I + T1∗ T1 )f = −g, es decir f 00 − f = g. Dicha solución verifica ahora que f ∈ D(T1 ) y T1 f ∈ D(T1∗ ), lo que corresponde a las condiciones f 0 (0) = f 0 (1) = 0, f 0 absolutamente continua y f 00 ∈ L2 [0, 1]. c) Consideramos en este caso f ∈ D(T2∗ T2 ). Repitiendo el proceso seguido en los dos casos anteriores se prueba la existencia de solución para este problema. 8. Dada g ∈ L2 (R), probar que la ecuaci´ on diferencial f 00 − f = g 2 tiene soluci´ on u ńica f ∈ L (R) tal que f 0 , f 00 ∈ L2 (R) y f, f 0 son absolutamente continuas.

Mediante c´ alculo directo, encontrar la f´ ormula Z Z 1 x t−x 1 ∞ x−t f (x) = − e g(t)dt − e g(t)dt 2 −∞ 2 x para determinar la soluci´ on de la ecuaci´ on. Resp.: Consideramos el operador T f = if 0 con dominio el conjunto de funciones absolutamente continuas en un intervalo cerrado de R y cuya derivada está en L2 (R). Como dicho dominio es denso en L2 (R) y T es autoadjunto, el teorema 1.13 prueba que I + T 2 : D(T 2 ) → L2 (R) es biyectivo. As´ı pues, dado g ∈ L2 (R), existe un u ńico f ∈ D(T 2 ) tal que (I + T 2 )f = 00 −g, es decir f − f = g. Como f ∈ D(T ) y f 0 ∈ D(T ), la solución f es absolutamente continua y f 0 ∈ L2 (R), as´ı como también f 0 es absolutamente continua y f 00 ∈ L2 (R). Para resolver expl´ıcitamente la ecuación f 00 − f = g, buscamos en primer lugar la solución general de la ecuación homogénea asociada 322

f 00 − f = 0, lo que da el conjunto y = C1 ex + C2 e−x , con C1 , C2 constantes arbitrarias. A continuación aplicamos el método de variación de constantes para resolver la ecuación no homogénea, es decir resolvemos el sistema C10 (x)ex + C20 (x)e−x = 0 C10 (x)ex − C20 (x)e−x = g(x) el cual tiene como solución C10 (x) = (1/2)g(x)e−x , C20 (x) = −(1/2)g(x)ex . La solución general de la ecuación queda pues de la forma indicada en el enunciado. 9. Sea E una medida espectral arbitraria (ver definici´ on 3.2). Pro2 bar que |Ex,y (∆)| ≤ Ex,x (∆)Ey,y (∆), ∀x, y ∈ H . Resp.: Teniendo en cuenta que E(∆) es una proyección ortogonal, por la desigualdad de Cauchy-Schwarz, obtenemos: |hE(∆)x, yi|2 = |hE(∆)x, E(∆)yi|2 ≤ kE(∆)xk2 · kE(∆)yk2 = hE(∆)x, E(∆)xi · hE(∆)y, E(∆)yi = hE(∆)x, xi · hE(∆)y, yi. 10. Sea T un operador sim´ etrico con dominio denso. Probar que el operador U : R(T + iI) → R(T − iI) definido por U = (T − iI)(T + iI)−1

(llamado tambi´ en transformada de Cayley de T ) es isom´ etrico. Resp.: Veamos en primer lugar que existe (T + iI)−1 y es acotado (como operador definido en R(T + iI)). Para ello basta observar la siguiente desigualdad, que es consecuencia de la proposición 1.12: k(T + iI)xk2 = kT xk2 + kxk2 ≥ kxk2 , ∀x ∈ D(T ). Para probar que U es isométrico, sean x, y ∈ D(U ). Entonces ∃f, g ∈ D(T ) tales que x = (T + iI)f , y = (T + iI)g. As´ı pues, hU x, U yi = h(T − iI)f, (T − iI)gi = hT f, T gi + hT f, −igi + h−if, T gi + h−if, −igi = hT f, T gi + ihf, T gi − ihT f, gi + hif, igi = hT f, T g + igi + hif, T g + igi = hT f + if, T g + igi = hx, yi. 323

11. En el espacio `2 se define el operador V por V (α1 , α2 , . . . ) = (0, α1 , α2 , . . . ). Probar que V es la transformada de Cayley de un operador sim´ etrico T con ´ındices de defecto 0 y 1, donde, por definici´ on, los ´ındices de defecto de un operador sim´ etrico T son ⊥ ⊥ las dimensiones de R(T + iI) y R(T − iI) . Hallar una expresi´ on de T . Resp.: (•) Veamos en primer lugar que V es isometr´ıa: X X |αn |2 = kαk22 . |αn |2 y kV αk22 = ∀α ∈ `2 : kαk22 = n∈N

n∈N

Sin embargo, V no es unitario pues el elemento α = (1/n)n∈N está en `2 pero no está en el rango de V . (•) Probaremos a continuación que I − V es inyectiva. En efecto, si α ∈ N (I − V ), entonces α = V α, es decir α1 = 0, αn+1 = αn , ∀n ∈ N, de donde α = 0. (•) De las condiciones anteriores se deduce la existencia de un operador simétrico T cuya transformada de Cayley es V , T = i(I +V )(I −V )−1 , y D(T ) = R(I − V ). (•) Calcularemos a continuación los ´ındices de defecto de T : Como D(V ) = `2 , R(T + iI) = `2 de donde dim R(T + iI)⊥ = 0. P 2 Por otra parte, como R(V ) = {(0, α1 , α2 , . . . ) : n∈N |αn | < ∞}, ⊥ entonces R(V ) está generado por el elemento (1, 0, 0, . . . ). Teniendo en cuenta que R(V ) = R(T − iI), es evidente que dim R(T − iI)⊥ = 1. (•) Para obtener una expresión expl´ıcita de T , observemos que (I − V )(α1 , α2 , . . . ) = (α1 , α2 − α1 , . . . ). Por tanto, −1

(I − V )

(α1 , α2 , . . . ) = (α1 , α1 + α2 , . . . ,

n X

αk , . . . )

k=1

(I + V )(α1 , α2 , . . . ) = (α1 , α1 + α2 , . . . , αn−1 + αn , . . . ) =⇒ T (α1 , α2 , . . . ) = i(I + V )(I − V )−1 (α1 , α2 , . . . ) n−1 X = i(α1 , α2 + 2α1 , . . . , αn + 2 αk , . . . ), k=1

con D(T ) = {(αn )n∈N : |α1 |2 +|α1 +α2 |2 +· · ·+|

324

Pn

2 k=1 αk | +. . .

< ∞}.

12. Sea T un operador autoadjunto con dominio denso en H y Rz = (T − zI)−1 el operador resolvente definido en el conjunto de valores {z ∈ C : ∃(T − zI)−1 , R(T − zI) = H}. Probar:

a) kRz xk ≤ (1/|β|)kxk si β = Im z 6= 0. b) Rz2 − Rz1 = (z2 − z1 )Rz2 Rz1 , ∀z1 , z2 ∈ ρ(T ). c) (Rz )∗ = R z . Resp.: a) A partir de la igualdad k(T − zI)xk2 = β 2 kxk2 + k(T − αI)xk2 , ∀x ∈ D(T ), z = α + iβ, si hacemos y = (T − zI)x, resulta kyk2 ≥ β 2 k(T − zI)−1 yk2 . b) Es evidente que R z2 − R z1

= Rz2 (T − z1 I)Rz1 − Rz2 (T − z2 I)Rz1 = Rz2 [(T − z1 I) − (T − z2 I)]Rz1 = (z2 − z1 )Rz2 Rz1 .

De esta relación se deduce la conmutatividad Rz1 Rz2 = Rz2 Rz1 , ∀z1 , z2 ∈ ρ(T ). c) Como D(Rz ) = H, existe (Rz )∗ . Además, ∀x ∈ D(Rz ), y ∈ D(R z ): hRz x, yi = hRz x, (T − zI)R z yi = h(T − zI)Rz x, R z yi = hx, R z yi =⇒ R z = (Rz )∗ .

TEMAS COMPLEMENTARIOS. 1. Operadores de multiplicación y derivación ([AG], [Kr]). 2. Semigrupos de operadores ([Ru]). 3. Operadores no acotados en Mecánica Cuántica ([Kr]). 4. Operadores cerrados y clausurables. Teorema de la aplicación abierta para operadores no acotados ([CC]).

325

´ APENDICE 1

´ A LOS ESPACIOS DE KREIN. INTRODUCCION

Una forma de generalizar el concepto de producto escalar viene motivada por el siguiente ejemplo. 1. Ejemplo. En el espacio K = `2 se define el producto [x, y] =

X

xm ym −

X

xm ym ,

m6∈A

m∈A

para cualesquiera x = (xn )n∈N , y = (yn )n∈N ∈ K, donde A es cualquier subconjunto (fijo) de N. (1) El producto [·, ·] es una forma sesquilineal herm´ıtica en K pero no necesariamente un producto escalar. P EnPefecto, de la desigualdad de Hölder se deduce que las series m∈A xm ym y m6∈A xm ym son absolutamente convergentes. Esto permite sumarlas término a término y multiplicarlas por constantes arbitrarias; es decir: [αx + βy, z] =

X

(αxm + βym ) zm −

X m∈A

(αxm + βym ) zm

m6∈A

m∈A

= α

X

xm zm + β

X

y m zm − α

X

xm zm − β

m6∈A

m∈A

X

y m zm

m6∈A

= α[x, z] + β[y, z]; X X X X [x, y] = xm ym − xm ym = xm ym − xm ym = [y, x]. m∈A

m6∈A

m∈A

327

m6∈A

Para ver que no es un producto escalar, observamos que X X [x, x] = |xm |2 − |xm |2 , m6∈A

m∈A

de modo que, si elegimos la P sucesión 2x = (xn )n∈N ∈ K, con xn = 0 para n ∈ A, entonces [x, x] = − m6∈A |xm | < 0. (2) El producto anterior es no-degenerado, es decir se verifica [x, y] = 0, ∀y ∈ K =⇒ x = 0.

(3) El producto anterior, restringido a los espacios K + = {x ∈ K : sop(x) ⊂ A} y K − = {x ∈ K : sop(x) ⊂ N \ A} s´ı da lugar a espacios de Hilbert. Más concretamente: i) K = K + ⊕ K − . ( xm = 0

si m ∈ A, En efecto, si x ∈ K es arbitrario, llamamos ym y si m 6∈ A, ( 0 si m ∈ A, zm = con lo que y = (ym )m ∈ K + , z = (zm )m ∈ K − xm si m 6∈ A, y además x = y + z. Además la descomposición es u ńica pues, si x ∈ K + ∩ K − , entonces c sop(x) ⊂ A ∩ A = ∅, es decir x = 0. ii) [x+ , x− ] = 0, ∀x+ ∈ K + , x− ∈ K − . En efecto, si x+ ∈ K + , x− ∈ K − , entonces X X − − [x+ , x− ] = x+ x+ m xm − m xm = 0 m6∈A

m∈A

+ c pues x− m = 0, ∀m ∈ A y xm = 0, ∀m ∈ A .

iii) (K + , [·, ·]) y (K − , −[·, ·]) son espacios de Hilbert. P Es evidente que ∀x ∈ K + , [x, x] = m∈A |xm |2 ≥ 0 y si [x, x] = 0, entonces xm = 0, ∀m ∈ A. Como además sop(x) ⊂ A, entonces xm = 0, ∀m ∈ Ac , es decir x = 0. Lo anterior prueba que (K + , [·, ·]) es pre-Hilbert. Análogamente se prueba que (K − , −[·, ·]) es también pre-Hilbert. Como los productos de K + y K − son los inducidos por el producto usual de `2 , para ver que K + y K − son completos, basta comprobar que son cerrados en `2 . Veamos el caso de K + (que es análogo al caso de K − ): 328

Si x ∈ K + , existe una sucesión (x(n) )n∈N ⊂ K + tal que x(n) → x, P (n) es decir kx(n) − xk2 → 0. Esto implica que |xm − xm |2 → 0, de m∈N (n)

(n)

donde |xm − xm | → 0, ∀m ∈ N. Como xm = 0 si m 6∈ A, también xm = 0, ∀m 6∈ A, es decir sop(x) ⊂ A, de modo que x ∈ K + . El ejemplo anterior da sentido a la siguiente definición. 2. Definici´ on. Un espacio vectorial K en el que se define una forma sesquilineal herm´ıtica [·, ·] es un espacio de Krein si existen dos subespacios K + y K − con las propiedades i), ii) y iii). 3. Observaciones. a) Todo espacio de Hilbert puede considerarse como un espacio de Krein, con la descomposición trivial H = H ⊕ 0. b) El apartado ii) de la definición permite decir que K + y K − son ortogonales de modo que la descomposición i) es una suma directa ortogonal, llamada descomposición fundamental de K. 4. Proposici´ on. Si P + : K → K + y P − : K → K − son las proyecciones ortogonales asociadas a la descomposici´ on K = K + ⊕ K − , entonces el + − operador J = P − P , llamada simetr´ıa fundamental, verifica que [Jx, y] = [x, Jy], ∀x, y ∈ K; adem´ as J es invertible y J −1 = J. Demostraci´ on. Sean x = x+ + x− ∈ K, y = y + + y − ∈ K arbitrarios. Entonces [Jx, y] = [x+ −x− , y + +y − ] = [x+ , y + ]−[x− , y − ] = [x+ +x− , y + −y − ] = [x, Jy]. Por otra parte, si Jx = 0, entonces x+ − x− = 0 y, por la unicidad de la descomposición K = K + ⊕ K − , se deduce que x+ = x− = 0, de modo que J es invertible. Por u ´ltimo, como J(x+ − x− ) = x+ + x− , deducimos que J −1 = J. ♦ 5. Proposici´ on. Si definimos hx, yiJ = [Jx, y], x, y ∈ K, entonces (K, h·, ·iJ ) es un espacio de Hilbert en el cual J es un operador autoadjunto e involutivo. Rec´ıprocamente, si (H, h·, ·i) es un espacio de Hilbert y G ∈ L(H) un operador autoadjunto tal que G2 = I, entonces (H, [·, ·]) es un espacio de Krein con el producto [x, y] = hGx, yi, ∀x, y ∈ H. Demostraci´ on. a) Es evidente que el producto h·, ·iJ es lineal en la primera componente. Además, de la proposición anterior, resulta: hy, xiJ = [Jy, x] = [x, Jy] = [Jx, y] = hx, yiJ . 329

Por ser (K + , [·, ·]) y (K − , −[·, ·]) pre-Hilbert, deducimos que hx, xiJ = [Jx, x] = [x+ − x− , x+ + x− ] = [x+ , x+ ] − [x− , x− ] ≥ 0, y, si hx, xiJ = 0, entonces [x+ , x+ ] = 0, [x− , x− ] = 0 de donde x+ = 0, x− = 0, es decir x = 0. Veamos que K es completo con dicho producto: Sea (xn )n∈N ⊂ K de Cauchy, es decir kxn − xm kJ → 0. Esto implica que [J(xn − xm ), xn − xm ] → 0, de donde + − − + + − − [x+ n − xm − xn + xm , xn − xm + xn − xm ] → 0 + + + − − − − =⇒ [x+ n − xm , xn − xm ] − [xn − xm , xn − xm ] → 0, + − lo que implica que (x+ n )n∈N es de Cauchy en K y (xn )n∈N es de Cauchy en + − − K − . As´ı pues, existen x+ ∈ K + , x− ∈ K − tales que x+ n → x y xn → x . + − Si llamamos x = x + x , entonces + + + − − − − hxn −x, xn −xiJ = [J(xn −x), xn −x] = [x+ n −x , xn −x ]−[xn −x , xn −x ] → 0

lo que implica que xn → x. Como J es simétrico respecto a [·, ·], entonces hJx, yiJ = [J 2 x, y] = [Jx, Jy] = hx, JyiJ . Además, de J = J −1 resulta que JJ = JJ −1 =⇒ J 2 = I, es decir J es involutivo. Para probar el rec´ıproco, veamos los siguientes apartados: •) [·, ·] es una forma sesquilineal herm´ıtica. [αx + βy, z] = hG(αx + βy), zi = hαGx + βGy, zi = αhGx, zi + βhGy, zi = α[x, z] + β[y, z]; [y, x] =

hGy, xi = hx, Gyi = hGx, yi = [x, y].

•) ∃K + , K − tales que K = K + ⊕ K − . Definimos para ello K + = N (I − G), K − = N (I + G) y escribimos la descomposición h = 12 (h + Gh) + 12 (h − Gh), ∀h ∈ H. Veamos que: 1 1 h+ = (h + Gh) ∈ K + : (I − G)h+ = (h + Gh − Gh − G2 h) = 0; 2 2 1 1 h− = (h − Gh) ∈ K − : (I + G)h− = (h − Gh + Gh − G2 h) = 0; 2 2 K + ∩ K − = {0} : h ∈ K + ∩ K − =⇒ (I − G)h = (I + G)h = 0 =⇒ h = Gh = −Gh =⇒ h = 0. 330

•) [x+ , x− ] = 0, ∀x+ ∈ K + , x− ∈ K − . (∗)

x+ ∈ K + =⇒ (I − G)x+ = 0 =⇒ x+ = Gx+ ,

(∗∗)

x− ∈ K − =⇒ (I + G)x− = 0 =⇒ x− = −Gx− .

Por tanto, [x+ , x− ] = hGx+ , x− i = hx+ , Gx− i = hx+ , −x− i = hGx+ , −x− i = −[x+ , x− ] =⇒ [x+ , x− ] = 0. •) (K + , [·, ·]) y (K − , −[·, ·]) son espacios de Hilbert. Para ello, sólo falta comprobar que [x+ , x+ ] ≥ 0 y [x+ , x+ ] = 0 =⇒ x+ = 0, [x− , x− ] ≥ 0 y [x− , x− ] = 0 =⇒ x− = 0 (al ser K + y K − subespacios cerrados de H, que es de Hilbert, ya son completos). Aplicando las igualdades (∗) y (∗∗), obtenemos en efecto: [x+ , x− ] = hGx+ , x− i = hx+ , x+ i ≥ 0, [x+ , x+ ] = 0 =⇒ hx+ , x+ i = 0 =⇒ x+ = 0; [x− , x− ] = hGx− , x− i = −hx− , x− i ≤ 0, [x− , x− ] = 0 =⇒ hx− , x− i = 0 =⇒ x− = 0. Como en K + coinciden los productos [·, ·] y h·, ·i y (K + , h·, ·i) es subespacio cerrado de H, K + es de Hilbert (análogamente se argumenta con K − ). ♦

6. Teorema. Sea (H, h·, ·i) un espacio de Hilbert en el que se define una forma sesquilineal herm´ıtica [·, ·] : H × H → C tal que α > 0 : |[x, y]| ≤ αhx, xi1/2 hy, yi1/2 , ∀x, y ∈ H. Entonces existe un operador autoadjunto G ∈ L(H) tal que [x, y] = hGx, yi, ∀x, y ∈ H y kGk ≤ α. Dicho operador G se llama operador de Gram de h·, ·i con respecto a [·, ·] y lo dicho anteriormente sugiere que (K, h·, ·i) es de Krein si y sólo si G es invertible. Demostraci´ on. Se define el operador G : H × H por hGx, yi = [x, y], ∀x, y ∈ H. Se cumple as´ı: 331

•) G es lineal: hG(ax1 + bx2 ), yi

=

[ax1 + bx2 , y] = a[x1 , y] + b[x2 , y]

=

ahGx1 , yi + bhGx2 , yi = haGx1 + bGx2 , yi, ∀y ∈ H

=⇒ G(ax1 + bx2 ) = aGx1 + bGx2 . •) G es acotado: |hGx, Gxi|

=

|[x, Gx]| ≤ αhx, xi1/2 · hGx, Gxi1/2

=⇒ kGxk2 ≤ αkxk · kGxk =⇒ kGxk ≤ αkxk =⇒ kGk ≤ α. •) G es autoadjunto: hGx, yi = [x, y] = [y, x] = hGy, xi = hx, Gyi.

♦

7. Teorema. Sean K = K1+ ⊕ K1− , K = K2+ ⊕ K2− dos descomposiciones fundamentales del espacio de Krein (K, [·, ·]) con simetr´ıas fundamentales J1 y J2 , respectivamente. Entonces: i) dim K1+ = dim K2+ , dim K1− = dim K2− . ii) Las normas k · kJ1 y k · kJ2 asociadas a los productos internos h·, ·iJ1 y h·, ·iJ2 , respectivamente, son equivalentes. 8. Definici´ on. Un subespacio L de un espacio de Krein (K, [·, ·]) es ortocomplementado si L admite un subespacio complementario ortogonal, es decir si K = L ⊕ L⊥ , donde L⊥ = {y ∈ K : [x, y] = 0, ∀x ∈ L}. 9. Observaci´ on. Es conocido el hecho que en espacios de Hilbert todo subespacio cerrado es ortocomplementado. En espacios de Krein esta propiedad no siempre es cierta, como muestran los siguientes ejemplos. P j 10. Ejemplos. a) Sea K = `2 y [x, y] = ∞ j=1 (−1) xj yj , donde x = (xj )j∈N , y = (yj )j∈N son elementos arbitrarios de K. Como vimos en el ejemplo 1, (K, [·, ·]) es un espacio P de KreinPpues basta tomar A = {2n : n ∈ N}, de modo que [x, y] = j∈A xj yj − j6∈A xj yj . Si definimos L = x ∈ K : x2j =

2j x2j−1 , ∀j ∈ N , 2j − 1

se puede probar lo siguiente: •) L es cerrado pues, si x ∈ L, existe (x(n) )n∈N ⊂ L tal que x(n) → x. (n)

Es evidente (análogamente al ejemplo 1) que xj (n) x2j

=

2j 2j−1

(n) x2j−1 ,

tomando l´ımites, x2j = 332

2j 2j−1

→ xj , ∀j ∈ N. Como

x2j−1 , es decir x ∈ L.

•) L es definido positivo pues, si x ∈ L, X X X [x, x] = (−1)j |xj |2 = |x2j |2 − |x2j−1 |2 j∈N

j∈N

j∈N

X 4j − 1 X 2j = − 1 |x2j−1 |2 = |x2j−1 |2 ≥ 0 2j − 1 (2j − 1)2 j∈N

j∈N

y [x, x] = 0 =⇒ x2j−1 = 0, ∀j =⇒ x2j = 0, ∀j. •) L⊥ = {y ∈ K : y2j = 2j−1 2ji y2j−1 , ∀j} pues, si [x, y] = 0, ∀x ∈ L, en h 2j 2j particular e2j−1 + 2j−1 e2j , y = 0 =⇒ −y2j−1 + 2j−1 y2j = 0 =⇒ y2j = 2j−1 2j y2j−1 ,

∀j.

Rec´ıprocamente, si y2j = [x, y] =

X

=

X

j∈N

j∈N

2j−1 2j y2j−1 ,

x2j y2j −

X

∀j =⇒ [x, y] = 0, ∀x ∈ L pues

x2j−1 y2j−1

j∈N

X 2j − 1 2j x2j−1 · y2j−1 − x2j−1 · y2j−1 = 0. 2j − 1 2j j∈N

•) Veamos por u ´ltimo que L no es ortocomplementado, es decir L⊕L⊥ 6= K. Para ello consideramos x ∈ K de la forma x2j−1 = 0, x2j = 1/(2j) y supongamos que existen y ∈ L, z ∈ L⊥ tales que x = y + z. Entonces x2j−1 = y2j−1 + z2j−1 = 0 =⇒ y2j−1 = −z2j−1 1 1 2j 2j − 1 x2j = y2j + z2j = =⇒ = y2j−1 + z2j−1 2j 2j 2j − 1 2j h 2j 1 2j −1 i 4j 2 −(2j −1)2 =⇒ = − y2j−1 = y2j−1 2j 2j −1 2j 2j(2j − 1) 2j − 1 =⇒ y2j−1 = , ∀j. 4j − 1 Sin embargo, la sucesión y = (y2j−1 )j∈N no está en `2 porque ∞.

P

j∈N

2j−1 4j−1

2

=

b) Sea K un espacio de Krein y x, y ∈ K tales que [x, x] > 0, [y, y] < 0. Consideramos el subespacio L = {λx + µy : λ, µ ∈ C}. Se prueba entonces: - L es cerrado. - Si L fuera ortocomplementado, ser´ıa no degenerado. - L es degenerado (sugerencia: considerar las ra´ıces de la ecuación [λx + y, λx + y] con λ ∈ R). 333

Observaci´ on. Dos referencias básicas correspondientes a este tema son [An] y [Bog].

334

´ APENDICE 2

´ EL TEOREMA ESPECTRAL. OR´ IGENES Y EVOLUCION.

La evolución de la teor´ıa espectral es uno de los cap´ıtulos más informativos en la historia de las matemáticas modernas. El hecho central del teorema espectral es que ciertos operadores lineales en dimensión infinita pueden representarse en forma diagonal. Aunque el teorema tenga profundas ra´ıces en el pasado, la teor´ıa matemática es un fenómeno estrictamente del siglo XX. Todo estudiante de matemáticas estudia alg´ un tipo de teorema espectral extra´ıdo de su contexto histórico pero inserto en su propio contexto del curso. Este esquema, aunque eficiente pedagógicamente, a menudo oscurece el hecho de que el teorema espectral es una especie en evolución, que pretende proporcionar teor´ıas matemáticas adecuadas para varios fenómenos f´ısicos. Las ra´ıces históricas del tema deben buscarse en tres áreas originalmente alejadas, como son la Geometr´ıa Anal´ıtica (teorema de los ejes principales), el Análisis (ecuaciones integrales) y el Algebra (sistemas infinitos de ecuaciones lineales), los cuales pasamos a esbozar.

1. TEOREMA DE LOS EJES PRINCIPALES.

Es el u ńico teorema que puede considerarse precursor directo del teorema espectral moderno. No debe sorprender que en su forma más simple esté contenido en los escritos de los fundadores de la Geometr´ıa Anal´ıtica, P. de Fermat y R. Descartes. 335

Destacaremos dos versiones del teorema de los ejes principales. - En el lenguaje de formas cuadr´ aticas: 1637 ... Descartes ... Una forma cuadr´ atica ax2 + 2bxy + cy 2 puede transformarse mediante una rotaci´ on en la forma normal αx2 + βy 2 donde los ejes principales de la forma normal coinciden con los ejes de coordenadas. P 1759 ... Lagrange ... Toda forma cuadr´ atica simétrica ni,j=1 aij xi xj en Rn puede escribirse mediante una transformaci´ on ortogonal en la forma Pn 2 normal i=1 λi xi . - Veamos cómo surge un enunciado de este teorema en el lenguaje de matrices: Dada una aplicación lineal T : Rn → Rn , su comportamiento viene determinado por los valores {T e1 , . . . , T en }, siendo {e1 ,P . . . , en } una base de Rn , y la matriz A = (aij )i,j=1,...,n definida por T ei = nj=1 aji ej representa la aplicación T . Como esa matriz es diferente con respecto a otra base, surge la cuestión fundamental: Dado T , determinar las bases para las que la matriz asociada es sencilla. Esto permitir´ıa reconocer algunas propiedades intr´ınsecas de la aplicación sólo a partir de la representación matricial. El siguiente resultado proporciona una condición necesaria y suficiente para que T admita una representación en matriz diagonal. Teorema. Dada T : Rn → Rn , si T tiene una representaci´ on en matriz diagonal, existe un conjunto linealmente independiente {u1 , . . . , un } y un conjunto de escalares {λ1 , . . . , λn } tales que T uk = λk uk (k = 1, . . . , n). Rec´ıprocamente, si existe un conjunto {u1 , . . . , un } linealmente independiente en Rn y un conjunto {λ1 , . . . , λn } de escalares tales que T uk = λk uk (k = 1, . . . , n), entonces la matriz A = diag{λ1 , . . . , λn } representa la aplicaci´ on T respecto a la base {u1 , . . . , un }. Esto nos lleva a definir las nociones de autovalor y autovectores asociados, y el problema anterior será consecuencia de: Dado T , encontrar todos sus autovalores y autovectores asociados. En algunos casos el problema de los autovalores da la respuesta completa o por lo menos es la clave para resolver el problema de la estructura de T . Una solución sencilla a dicho problema es la siguiente: 336

1852 ... Sylvester ... Si A es una matriz asociada a T , λ es autovalor de T si y s´ olo si (A − λI)x = 0 tiene soluci´ on no trivial. Seg´ un la teor´ıa de matrices, esto equivale a det(A − λI) = 0. En este punto es lógico suponer el espacio complejo, para poder aceptar autovectores asociados a autovalores complejos (a no ser que T sea simétrico) y poder extenderlo a espacios de cualquier dimensión. A simple vista esto puede afectar la geometr´ıa de nuestro espacio, pero en realidad no será as´ı. En el caso particular de las aplicaciones simétricas, el problema de los autovalores tiene la siguiente solución: Teorema. Sea T : Cn → Cn una aplicaci´ on lineal simétrica. Entonces: i) Todos los autovalores de T son reales. ii) Autovectores correspondientes a autovalores distintos son ortogonales. iii) Existe una base de Cn formada por autovectores ortogonales dos a dos. Esto proporciona el teorema de los ejes principales en el lenguaje de matrices. 1858 ... Cayley ... Si A es una matriz simétrica real, existe una matriz ortogonal P tal que D = P −1 AP tiene forma diagonal; los elementos de D son los autovalores de A. 1904 ... Hilbert ... Sean λ1 ≤ · · · ≤ λn los autovalores de una matriz simétrica K, y {Φ1 , . . . , Φn } un sistema ortonormal de vectores propios asociados. La acci´ on de K con respecto a dicha base se representa por la matriz diagonal L = diag(λ1 , . . . , λn ). La matriz T cuyas filas son los vectores Φ1 , . . . , Φn es una transformaci´ on ortogonal que aplica la base {Φ1 , . . . , Φn } en la base can´ o nica, L = T −1 KT . La matriz L Pn on sobre puede escribirse como L = i=1 λi Pi , donde Pi es la proyecci´ el subespacio generado por Φi . Veamos cómo puede exponerse en forma geométrica el análisis sobre la estructura de la aplicación T . Suponemos que T es una aplicación lineal simétrica en Cn , dotado de una estructura lineal. Definimos el concepto de autoespacio como el subespacio generado por el conjunto de autovectores asociados a un mismo autovalor. Debido a que dos autoespacios distintos son ortogonales, cabe definir la noción de complemento ortogonal de un conjunto M como el conjunto M ⊥ de vectores ortogonales a todos los elementos de M . Las siguientes propiedades expresan caracter´ısticas u ´tiles de las transformaciones simétricas: 337

Si Mλ es el autoespacio asociado al autovalor λ, entonces Mλ⊥ es invariante bajo T . Esto sugiere que la estructura de T viene determinada por su comportamiento sobre Mλ y Mλ⊥ . Siempre existe alg´ un autovalor λ (por ser el espacio complejo). Si dim Mλ = r y dim Mλ⊥ = s, entonces s < n (de hecho r + s = n). Todo elemento x ∈ Cn puede descomponerse como x = y +z, con y ∈ Mλ , z ∈ Mλ⊥ (y la descomposición es u ńica). Debido a la descomposición anterior, T x = T y + T z, de la que sabemos T y = λy; basta calcular T z, el cual sabemos que está en Mλ⊥ . Hemos reducido pues el problema a un espacio s-dimensional, con s < n. - Si s = 0 termina aqu´ı. - Si s > 0, buscamos un autovalor µ de la restricción T |M ⊥ y continuamos λ como antes. Como la dimensión del espacio es finita, el proceso termina en un n´ umero finito de pasos. Recapitulando lo anterior, llegamos al teorema espectral en dimensión finita, que enunciamos as´ı: Teorema. Sea T : Cn → Cn una aplicaci´ on lineal simétrica. Existe entonces un n´ umero finito de n´ umeros reales distintos λ1 , . . . , λk y de subespacios cerrados M1 , . . . , Mk no triviales tales que: i) T |Mi = λi I, i = 1, . . . , k (Mi es el autoespacio asociado a λi ). ii) Mi ⊥Mj , ∀i 6= j. iii) ∀x ∈ Cn , ∃xi ∈ Mi : x = x1 + · · · + xk (descomposici´ on u ńica). El teorema puede interpretarse diciendo que todo operador simétrico es suma de operadores elementales T = T1 + · · · + Tk , con Ti = λi I. El rec´ıproco establece que todo operador de la forma anterior es simétrico. Observaciones. 1) Es claro que Mi no están generados por los ejes principales ei = (δ1i , . . . , δni ). Sin embargo siempre es posible elegir una base ortogonal de modo que cada Mi esté generado por alg´ un subconjunto de dicha base. 2) A pesar de la gran importancia del teorema espectral anterior en multitud de aplicaciones, el verdadero desarrollo de las ideas arriba esbozadas no se consigue hasta que se consideran espacios de dimensión infinita. La axiomatización y discusión de estos espacios es la que permite un tratamiento 338

unificado de elementos de análisis, geometr´ıa y matemática aplicada: espacios de funciones, ecuaciones diferenciales e integrales, teor´ıa de operadores, series de Fourier abstractas, geometr´ıa de subespacios, topolog´ıa débil, fuerte y uniforme, teor´ıa de espectros, mecánica cuántica y muchos otros.

´ A ESPACIOS INFINITO-DIMENSIONALES. 2.- EVOLUCION

Dos son las l´ıneas fundamentales de evolución de la teor´ıa al caso de espacios de dimensión infinita: los sistemas infinitos de ecuaciones lineales y las ecuaciones integrales. A. Sistemas infinitos de ecuaciones lineales. Los sistemas finitos de ecuaciones lineales se resolv´ıan a menudo por el método de eliminación de variables. En los siglos XVIII y XIX se resolv´ıan sistemas infinitos de ecuaciones para obtener soluciones formales de ecuaciones diferenciales, por el método de coeficientes indeterminados. Los avances más significativos en esta l´ınea fueron los siguientes: 1822 ... Fourier ... quiso probar que toda función puede expresarse como combinación lineal infinita de términos trigonométricos. Esto le llevaba a resolver un sistema infinito de ecuaciones lineales, por un proceso de l´ımite. 1870 ... Kötteritzsch ... intentó extender la regla de Cramer a sistemas infinitos. 1877 ... Hill ... aplicó al caso infinito la teor´ıa de determinantes. 1885 ... Appell ... aplicó el método de Fourier para determinar los coeficientes del desarrollo en serie de potencias de funciones el´ıpticas. 1885 ... Poincaré ... proporcionó una definición rigurosa de un determinante infinito. 1891 ... Von Koch ... desarrolló la teor´ıa de los determinantes infinitos. Los avances en esta dirección pod´ıan haber llevado a alg´ un teorema espectral elemental si alguien hubiera generalizado la forma de diagonalización del teorema de los ejes principales. Esto se hizo al aplicar la teor´ıa de los determinantes infinitos a las ecuaciones integrales.

339

B. Ecuaciones integrales. Las ecuaciones integrales motivaron el interés de los matemáticos por los espacios de dimensión infinita, espacios de Hilbert y, posteriormente, espacios de Banach. Es curioso que la atención prestada a las ecuaciones integrales fuera posterior a la relacionada con las ecuaciones diferenciales, a pesar de que la teor´ıa de estas es considerablemente más complicada que la de las primeras. Se remonta a Abel en 1823 el primer estudio sobre las ecuaciones integrales, pero la teor´ıa tomó relevancia en 1900 cuando Fredholm aplicó a ellas la teor´ıa de matrices y determinantes infinitos. Imitando la técnica de von Koch en el desarrollo de determinantes infinitos, Fredholm desarrolló su famoso teorema de alternativa con respecto a las soluciones Φ de la ecuación integral Z 1 (1) Φ(x) + K(x, y)Φ(y)dy = Ψ(x), 0 ≤ x ≤ 1, 0

considerándola como la situación l´ımite del correspondiente sistema lineal (2)

Φ(xi ) +

n X

K(xi , xj )Φ(xj ) = Ψ(xi ), 1 ≤ i ≤ n.

j=1

Fredholm definió un determinante DK para (1) como el análogo continuo del correspondiente al sistema (2) y probó que (1) tiene una u ńica solución que puede expresarse como cociente de dos determinantes cuando DK 6= 0; alternativamente, cuando DK = 0, la ecuación homogénea traspuesta Z 1 Φ(x) + K(y, x)Φ(y)dy = 0 0

tiene soluciones no triviales y (1) tiene solución si y sólo si Ψ es ortogonal a dichas soluciones. Posteriormente a Fredholm, Hilbert (1904) trabajó con la ecuación integral Z 1 (3) Φ(x) − λ K(x, y)Φ(y)dy = Ψ(x), 0 ≤ x ≤ 1, 0

y su análoga ecuación matricial finita o infinita (4)

Φ(xi ) − λ

n X

K(xi , xj )Φ(xj ) = Ψ(xi ).

j=1

Para construir la maquinaria de resolución de estas ecuaciones, Hilbert definió el espectro de la forma cuadrática K, distinguiendo el espectro puntual 340

del espectro continuo, definió el concepto de continuidad completa para distinguir las formas con espectro puntual puro y las que tienen espectro más complicado. Incluso formuló y probó el teorema espectral, no sólo para formas completamente continuas, sino para formas acotadas.

3.- TEOR´ IA ESPECTRAL DE HILBERT-SCHMIDT.

A pesar de la asombrosa cantidad de análisis moderno contenido en los trabajos de Hilbert sobre ecuaciones integrales, su método básico era el de Bernoulli y Fredholm, de reducción al caso finito y un laborioso paso al l´ımite. Fue su alumno E. Schmidt quien introdujo el lenguaje de la geometr´ıa eucl´ıdea y en 1907 presentó una teor´ıa de los espacios `2 incluyendo las nociones de norma, linealidad, subespacios y proyecciones ortogonales. Observemos que una generalizaciónpnatural del concepto de longitud para sucesiones numéricas, P 2 como kxk = |x1 |2 + |x2 |2 + . . ., conduce a la restricción ∞ n=1 |xi | < ∞, necesaria en la consideración de espacios infinito-dimensionales. Sin embargo, un desarrollo abstracto, como el introducido por von Neumann (del que hablaremos posteriormente) no tendrá que estar sujeto a elección de coordenadas ni a la adopción de una base espec´ıfica respecto a la cual la estructura de los operadores simétricos venga determinada. Los pasos más importantes en la extensión del teorema espectral son los siguientes: 1 - Generalización del concepto de autovalor al caso de una forma cuadrática simétrica infinita K. Se define para eso el espectro de K, σ(K) = {λ ∈ C : K − λI no tiene inversa acotada}, el cual puede descomponerse en: Espectro puntual, σp (K) = {λ ∈ σ(K) : Kφ = λφ tiene solución no trivial}. Espectro continuo, σc (K) = σ(K) \ σp (K). (Recordemos que, para las transformaciones simétricas, el espectro residual es vac´ıo.) Al igual que en dimensión finita, todo punto espectral es real. 2 - Estudio de las relaciones entre una transformación y su espectro. Destacamos: “El espectro est´ a acotado cuando K est´ a acotado. Adem´ as σ(K) ⊂ B(0, kKk).”De hecho, 341

“Si K es simétrico, kKk = sup{|λ| : λ ∈ σ(K)}.”(Teorema del radio espectral.) Incluso, ∃λ ∈ σ(K) : |λ| = kKk. 3 - Relación entre la continuidad y la acotación. “Los operadores lineales acotados en `2 son precisamente los operadores lineales continuos (preservan la convergencia fuerte).” As´ı, Hilbert extendió el teorema de los ejes principales a operadores lineales simétricos acotados. Teorema. Cada λ ∈ σp (K) tiene asociado un autovector φλ tal que el conjunto {φλ : λ ∈ σp (K)} es ortonormal. Si Pλ denota on sobre P la proyecci´ el subespacio generado por φλ , el operador L = λP es diagoλ λ∈σp (K) nal. Observemos que L refleja exactamente la acción de K sobre el subespacio generado por φλ pero, al ser estrictamente menor que `2 , no se puede asegurar que L y K representen la misma transformación. Para expresar la contribución del espectro continuo, Hilbert adoptó la noción de integral de Stieltjes, definida por este en 1894 en su estudio sobre fracciones continuas: Rb Si f es continua y g creciente, Pn denotamos por a f (x)dg(x) a l´ımn i=1 f (ξi )[g(xi ) − g(xi−1 )]. P P λi (Eλi − Eλi−1 ), donde Eλi = Escribiendo pues la suma λi Pλi como Pi , Hilbert construy´ o para el espectro continuo σc (K) la integral de P j=1 λjR Stieltjes σc (K) λdEλ , quedando el teorema espectral enunciado de la siguiente forma: Teorema. Todo operador lineal simétrico acotado K en `2 puede representarse, a partir de una transformaci´ on ortogonal, en forma diagonal como Z X λPλ + λdEλ . λ∈σp (K)

λ∈σc (K)

Hilbert completó su teor´ıa espectral identificando una gran clase de operadores con espectro continuo vac´ıo, los que llamó operadores completamente continuos. Schmidt los caracterizó con la propiedad de que aplican sucesiones débilmente convergentes en sucesiones fuertemente convergentes. Estos operadores son los análogos infinito-dimensionales más próximos a los operadores lineales en dimensión finita en cuanto pueden aproximarse por operadores de rango finito y su espectro está formado sólo por autovalores donde el cero es el u ńico posible punto deRacumulación. En el estudio de las b ecuaciones integrales, el operador Kf = a k(·, y)f (y)dy es completamente continuo. 342

El primer problema que se plantea en esta situación es el de encontrar todos los autovalores de un operador completamente continuo y simétrico. No es posible aqu´ı una analog´ıa completa con el caso finito-dimensional, pues no existe una teor´ıa de determinantes que dé lugar a la ecuación caracter´ıstica. Un método alternativo consiste en probar la existencia de un autovalor extremo para el cual |λ| = kKk. A partir de aqu´ı es también sencillo ver que todos los autovalores son reales, que autovectores asociados a autovalores distintos son ortogonales y que K deja invariante al complemento ortogonal del autoespacio correspondiente a cualquier autovalor. Tenemos además, debido a que la identidad es completamente continua u ńicamente en espacios finito-dimensionales, que el autoespacio correspondiente a cualquier autovalor no nulo tiene dimensión finita. En el caso de que λ = 0 sea autovalor, se presenta un problema adicional que se maneja como sigue: Llamamos M0 al autoespacio asociado al autovalor λ = 0. Como K deja invariante a M0⊥ , distinguimos dos casos: - Si dim M0⊥ es finita, aplicamos el teorema espectral en Cn . - Si dim M0⊥ es infinita, M0⊥ es a su vez un espacio de Hilbert sobre el cual K no tiene a λ = 0 como autovalor. Esto permite suponer en adelante que λ = 0 no es autovalor de K y, por tanto, M0⊥ = H. Para cualquier constante real α > 0, se puede probar que sólo hay un n´ umero finito de autovalores de módulo mayor que α. As´ı pues, los autovalores pueden disponerse en forma de sucesión λ1 , λ2 , . . . tal que |λ1 | ≥ |λ2 | ≥ . . . . En el caso de que esta sucesión sea infinita, deducimos que l´ım λn = 0. Con estos datos, el teorema espectral puede enunciarse detalladamente como sigue: Teorema (espectral para operadores completamente continuos). Sea K un operador completamente continuo en un espacio de Hilbert con N (K) = {0}. Existe entonces una sucesi´ on finita o infinita de n´ umeros reales distintos λ1 , λ2 , . . . y una sucesi´ on de subespacios asociados M1 , M2 , . . . cada uno de ellos de dimensi´ on no nula, tales que: i) K|Mi = λi I, ∀i. ii) Mi ⊥Mj , ∀i 6= j. iii) H = M1 ⊕ M2 ⊕ . . . (clausura del espacio generado por iv) dim Mi < ∞, ∀i. 343

S

i∈N Mi ).

Los n´ umeros λi y los subespacios Mi est´ an un´ıvocamente determinados por K. Un método constructivo de demostración se basa en definir la sucesión {λn } recursivamente como sigue: |λ1 | = sup{|hT x, xi| : kxk = 1} y T u1 = λ1 u1 ; |λn | = sup{|hT x, xi| : kxk = 1, hx, um i = 0, m = 1, . . . , n − 1} y T un = λn un (n > 1). Se prueba L entonces que la familia Mn = N (T − λn I) (n ≥ 1) es ortogonal y H = n Mn . La sucesión {λn } es el conjunto de autovalores de K y la familia {Mn }, la de los autoespacios asociados a dichos autovalores. Con este enunciado se incluye el m´ınimo necesario de resultados que podr´ıan esperarse a partir del teorema espectral en Cn . Además es el teorema que se aplica a las ecuaciones integrales clásicas. El rec´ıproco del teorema espectral es sencillo pues se trata de construir un operador simétrico y completamente continuo a partir de las sucesiones {λn } y {Mn } de modo que estas den la solución al problema de autovalores y autovectores. Un nexo mayor entre las teor´ıas de ecuaciones integrales y de matrices fue establecido por Hilbert a través de los sistemas ortonormales completos. As´ı la ecuación matricial (4) puede deducirse de la ecuación integral (3) sustituyendo cada función continua Φ, Ψ por su desarrollo de Fourier con respecto a un sistema ortonormal completo. Esto permitió a Hilbert deducir el teorema de alternativa de Fredholm para la ecuación integral (1) directamente del teorema correspondiente para el sistema lineal infinito (2).

4. INTEGRAL DE LEBESGUE.

La teor´ıa de operadores lineales en dimensión infinita no se hizo clara hasta que se estudiaron nuevos espacios abstractos, propiciados por la integral de Lebesgue. El siguiente ejemplo que se estudió fue el de las funciones continuas: Si consideramos R 1 el espacio de las funciones x : [0, 1] → C continuas, la operación hx, yi = 0 x(t) y(t)dt es un producto interior, pero el espacio, que tiene obviamente dimensión infinita, no es completo. El proceso de compleción requiere el desarrollo de la teor´ıa de integración debida a H. Lebesgue, en la 344

misma época en que Hilbert creaba la teor´ıa espectral para el espacio `2 . Se construye as´ı el espacio L2 de las funciones cuyo cuadrado es integrable seg´ un Lebesgue, considerando idénticas dos funciones si difieren en un conjunto de medida nula. La demostración de la completitud de L2 fue dada simultánea e independientemente por Riesz y Fischer en 1907. Esta prueba ilustra además 2 2 el isomorfismo entre los espacios coeficientes de Fourier de P∞` y L 2puesR los 1 2 x(n)| = 0 |x(t)|2 dt. una función x ∈ L verifican n=1 |b En 1910, Riesz, además de introducir los espacios Lp , obtuvo una teor´ıa espectral para L2 análoga a la desarrollada por Hilbert y Schmidt para `2 . Previamente, en 1909, el propio Riesz probó su famoso teorema de representación en el que resolv´ıa un problema estudiado en 1903 por J. Hadamard. Riesz probó que todo funcional lineal continuo en C[a, b] es una integral Rb de Stieltjes a f dg con respecto a alguna función g de variación acotada. A continuación, Lebesgue probó que toda integral de Stieltjes puede interpretarse Rcomo una integral R b de Lebesgue interpretando adecuadamente la b fórmula a f (x)dg(x) = a f (x)g 0 (x)dx. Esto condujo a J. Radon a desarrollar en 1913 la integración con respecto a una medida (función de conjuntos numerablemente aditiva) abarcando las integrales de Lebesgue y Stieltjes y dando pie a los fundamentos de todas las teor´ıas modernas de la integral abstracta. Lo anterior indica que la evolución de la integral moderna estuvo conectada a la creación de la teor´ıa espectral por Hilbert. Aunque no hay dependencia lógica entre ellas, es clara su dependencia histórica: Hilbert usó la integral de Stieltjes para obtener el teorema espectral en `2 , mientras que Riesz usó la integral de Lebesgue para desarrollar la misma en L2 .

´ 5. MECANICA CUANTICA.

En 1925-26, W. Heisenberg y E. Schrödinger crearon la teor´ıa de la mecánica cuántica en Göttingen. En la teor´ıa de Heisenberg el hecho de que ciertas observaciones atómicas no pueden hacerse simultáneamente fue interpretado matemáticamente como la no conmutatividad de las operaciones que las representan. Como el álgebra de matrices es no conmutativa, Heisenberg junto con M. Born y P. Jordan representaron cada cantidad f´ısica por una matriz apropiada. El conjunto de valores posibles de dicha cantidad f´ısica era el espectro de la transformación. En contraste, Schrödinger inició una teor´ıa menos ortodoxa basada en su ecuación de ondas. Tras la sorpresa inicial de que la mecánica de ondas de Schrödinger y la mecánica de matrices de Heisenberg -dos teor´ıas con hipótesis esencialmente diferentes- deb´ıan producir 345

los mismos resultados, Schrödinger unificó los dos enfoques probando que los autovalores del operador diferencial en la ecuación de ondas determinan la correspondiente matriz de Heisenberg, resultados también obtenidos simultáneamente por P. Dirac. Se comprobó que la energ´ıa de un átomo puede ser expresada por una forma cuadrática, cuyo espectro corresponde al observable mediante un espectroscopio. Todo esto impulsó nuevamente el interés en la teor´ıa espectral. El propio Hilbert se asombró de que los espectros de sus formas cuadráticas se pudieran interpretar como espectros atómicos. Como él mismo dijo: Yo desarrollé mi teor´ıa de infinitas variables sin presentir que más tarde encontrara aplicaciones al espectro de la f´ısica. Rápidamente se aclaró sin embargo que la teor´ıa espectral de Hilbert era la base matemática apropiada para la nueva mecánica. Matrices finitas e infinitas se interpretaron como operadores en un espacio de Hilbert (todav´ıa limitado a `2 ó L2 ) y cantidades f´ısicas se representaban por tales operadores. La maquinaria matemática de la mecánica cuántica pasó a ser la del análisis espectral y la renovada actividad precipitó la publicación por A. Wintner (1929) del primer libro dedicado a la teor´ıa espectral. El teorema original de Hilbert aplicado a formas cuadráticas reales acotadas y simétricas fue rápidamente extendido (por Schmidt y otros) a matrices complejas acotadas y herm´ıticas, cuyos autovalores son también reales. Tanto las formas simétricas como las herm´ıticas pueden caracterizarse por la relación hAx, yi = hx, Ayi, ∀x, y. Los operadores herm´ıticos tienen también espectro real y juegan el papel de los n´ umeros reales en el álgebra de operadores. Casi milagrosamente, fueron los operadores herm´ıticos los que representaban cantidades f´ısicas en la nueva mecánica. Una razón es que las cantidades f´ısicas se miden por n´ umeros reales, aunque más convincente es la justificación de que los operadores herm´ıticos de la f´ısica matemática proporcionan leyes fundamentales de la f´ısica: si A es herm´ıtico, la ecuación de ondas Φ00 = AΦ implica la conservación de la energ´ıa y las soluciones de la ecuación de Schrödinger Φ0 = iAΦ tienen norma constante, que es una hipótesis fundamental en Mecánica Cuántica. Aunque todo observable era representado por un operador herm´ıtico, no necesariamente todo operador herm´ıtico representaba un observable. Dirac a˜ nadió en 1930 la hipótesis crucial de que un operador herm´ıtico representa un observable si y sólo si sus autovectores forman un sistema ortogonal completo. Esto aseguraba que cualquier vector (que representa un estado) pod´ıa expresarse como combinación lineal (posiblemente infinita) de autovectores de un observable dado. La identificación de operadores con esta propiedad es parte de la teor´ıa espectral de Hilbert-Schmidt, la cual sólo proporcio346

na una respuesta parcial: los operadores herm´ıticos que son completamente continuos tienen un conjunto completo de autovalores. El teorema no da respuesta al esquema de Dirac pues los operadores en Mecánica Cuántica normalmente no son completamente continuos. La mayor´ıa de los operadores importantes en f´ısica involucran la diferenciación. El teorema de integración por partes prueba que el operador diferencial es esencialmente simétrico. Pero la derivada de una función prácticamente no tiene relación con la magnitud de la función, por tanto la diferencial no es continua ni acotada, ni siquiera está definida en todo punto. De hecho, como probaron Hellinger y Toeplitz en 1910, si un operador simétrico o herm´ıtico estuviera definido en todo punto, deb´ıa estar acotado. Este sorprendente hecho afirma que un candidato al teorema espectral que no sea acotado, no puede estar definido en todo punto. P. Dirac intentó soslayar el comportamiento excepcional del operador diferencial introduciendo su función δ para definir derivadas donde no existen y as´ı ampliar el conjunto de funciones en donde se pueda aplicar dicho operador. Aunque este enfoque pudo explicar con éxito la nueva mecánica cuántica, en aquella época representó más bien una alternativa al teorema espectral que una extensión del mismo y realmente no ayudó a extender la teor´ıa de Hilbert a operadores no acotados.

6. TEOR´ IA ESPECTRAL DE VON NEUMANN Y STONE.

Desde Hilbert, el u ńico estudio importante sobre los operadores no acotados fue el publicado por T. Carleman en 1923, donde se probó que muchos de los resultados de Fredholm y Hilbert son ciertos bajo un tipo más débil de hipótesis de acotación. Desde el punto de vista de la teor´ıa espectral, la mayor contribución se debió a J. von Neumann, quien introdujo en 1927 el concepto abstracto de operador lineal en un espacio de Hilbert, expresó la teor´ıa de operadores de la Mecánica Cuántica en términos de operadores en un espacio de Hilbert y reconoció expl´ıcitamente la necesidad de extender la teor´ıa espectral de operadores herm´ıticos al caso no acotado, extensión que obtuvo en 1929. 1) El primer paso en la teor´ıa de von Neumann fue definir axiomáticamente el espacio de Hilbert abstracto como un espacio en el que se define un producto interior, que es completo y separable. Entonces definió un operador lineal T sobre un espacio de Hilbert abstracto H, cuyo dominio DT se supone generalmente denso en H. De este modo, los operadores lineales comprenden a las matrices y las formas cuadráticas de la teor´ıa de Hilbert 347

y las transformaciones de la mecánica cuántica. Un operador lineal es continuo si y sólo si es acotado, y un operador lineal acotado con dominio denso puede extenderse un´ıvocamente a un operador lineal acotado definido en todo H. Todo operador lineal T con dominio denso tiene un u ńico adjunto T ∗ definido por la relación hT x, yi = hx, T ∗ yi, ∀x ∈ DT , y cuyo dominio es el conjunto de y ∈ H para los que se cumple la relación anterior. Un operador T es autoadjunto si T = T ∗ y simétrico si T ∗ es extensión de T (los operadores autoadjuntos eran llamados hipermaximales por von Neumann). 2) En los operadores lineales acotados (definidos en todo H o que pueden extenderse para que lo estén) coinciden los conceptos de operador simétrico y autoadjunto. El teorema de Hellinger-Toeplitz puede extenderse a los operadores de von Neumann con lo que se prueba que todo operador simétrico definido en todo H debe estar acotado (resultado muy relacionado con el teorema del gráfico cerrado de S. Banach publicado en 1932). Hay as´ı tres tipos de operadores simétricos en la teor´ıa de von Neumann: - Acotados, autoadjuntos y definidos en todo el espacio. - No acotados, autoadjuntos y densamente definidos. - No acotados, no autoadjuntos y densamente definidos. La teor´ıa original de Hilbert se aplicaba a los primeros y el teorema espectral de von Neumann inclu´ıa también a los segundos. Esta teor´ıa fue desarrollada por Riesz en 1930 y más extensivamente por M. Stone en 1932. Los esfuerzos combinados de von Neumann y Stone en el per´ıodo 1927-1932 proporcionaron la mayor colección de nuevos métodos para la teor´ıa espectral desde el trabajo de Hilbert durante el per´ıodo 1901-1906. 3) Del teorema espectral de Hilbert para un operador lineal simétrico acotado, Z X T = λPλ + λdEλ , λ∈σc (T )

λ∈σp (T )

al escribir la primera suma como integral de Stieltjes R y combinarla con la segunda integral, se obtiene la forma compacta T = λ∈σ(T ) λdEλ sobre todo el espectro. Los operadores Eλ son proyecciones con las siguientes propiedades: i) Si λ < µ, el rango de Eλ está contenido en el rango de Eµ . ii) Eλ+ε → Eλ cuando ε → 0+ . iii) Eλ → 0 si λ → −∞. 348

iv) Eλ → I si λ → +∞. Stone llamó a dicha familia resolución de la identidad. En forma intuitiva, se requiere que la función λ 7→ Eλ sea creciente, continua por la derecha, con 0 e I como valores l´ımites a la izquierda y derecha. La extensión de von Neumann-Stone del teorema espectral al caso no acotado se enuncia del siguiente modo: Teorema. A todo operador autoadjunto T definido en un espacio de Hilbert H ńica resoluci´ on de la identidad {Eλ } tal que T = R le corresponde una u λdE . (El espectro ahora no tiene porqué ser acotado.) λ σ(T ) Hagamos un esbozo de la demostración en el caso acotado: El primer paso consiste en encontrar una familia {Mλ }λ∈R de subespacios de H con las siguientes propiedades: i) λ < −kT k =⇒ Mλ = {0}, λ > kT k =⇒ Mλ = H. ii) λ ≤ µ =⇒ Mλ ⊂ Mµ . iii) x ∈ Mλ =⇒ T x ∈ Mλ . Si llamamos Eλ a la proyección sobre Mλ , la familia {Eλ }λ∈R es una resolución de la identidad. El siguiente paso es considerar cualquier partición de (−kT k, kT k) o, más generalmente, una sucesión λ0 ≤ λ1 ≤ · · · ≤ λn tales que λ0 < −kT k, λn > kT k. Denotamos por ∆i a la diferencia λi − λi−1 y E∆i a Eλi − Eλi−1 . Se prueba entonces: i) ∀x, y ∈ H, hE∆i x, E∆j yi = 0 si i 6= j. P P la descomposición x = ni=1 xi , ii) Como I = ni=1 E∆i , todo x ∈ H tiene P con xi = E∆i x. Entonces kxk2 = ni=1 kxi k2 . Además: iii) Si λ0i es cualquier n´ umero entre λi−1 y λi , entonces kT xi − λ0i xi k ≤ ∆i kxi k. A continuación se prueba que T puede aproximarse en norma por sumas del n P tipo λ0i E∆i , es decir que para cualquier ε > 0, se tiene i=1

kT −

n X

λ0i E∆i k < ε, si λ0i ∈ (λi−1 , λi ), máx(λi − λi−1 ) ≤ ε,

i=1

desigualdad que, al interpretarse R βcomo aproximación mediante sumas de Riemann, da lugar a la integral α λdEλ , con α < −kT k, β > kT k. 349

El rec´ıproco es consecuencia directa del hecho de que toda suma del tipo n P λ0i E∆i es simétrica y el l´ımite (en norma) de operadores simétricos es i=1

simétrico. Veremos por u ´ltimo cómo se construyen los subespacios Mλ en el caso de que el operador sea completamente continuo: Dado λ ∈ R arbitrario, si Mi representa el autoespacio correspondiente al autovalor λi , definimos Mλ como el menor subespacio cerrado que incluye a todos los Mi , con λi < λ. La sucesión Mλ es constante hasta que λ pase por un autovalor, en cuyo caso se le a˜ nade el subespacio finito-dimensional de los autovectores asociados a dicho autovalor. A pesar de la fuerza del teorema, no cubre a muchos operadores diferenciales pues raramente son autoadjuntos. Por ejemplo, para que T = d/dt sea simétrico con DT = L2 [0, 1], debemos hacer DT = {f continuamente diferenciable tal que f (0) = f (1) = 0}, pero este dominio es demasiado peque˜ no para que T sea autoadjunto, y al agrandar el dominio se corre el riesgo de perder simetr´ıa. Esto mismo le sucede al tercer tipo de operadores citado antes. Para aplicar su teorema espectral a operadores simétricos, von Neumann tuvo que saber qué tipos de operadores simétricos admiten extensiones autoadjuntas (es fácil deducir que, si T es simétrico y S es extensión simétrica de T , entonces T ⊂ S ⊂ S ∗ ⊂ T ∗ , es decir, toda extensión simétrica de T es restricción de T ∗ ). En 1929, él y Wintner identificaron una gran clase de tales operadores, los operadores semiacotados, para los que existe una constante M > 0 tal que hT x, xi ≤ M kxk, ∀x ∈ DT

ó

− M kxk ≤ hT x, xi, ∀x ∈ DT .

Stone (1932) y Friedrichs (1934) probaron que todo operador simétrico semiacotado puede extenderse a un operador autoadjunto semiacotado con la misma cota. Mientras que la teor´ıa espectral de Hilbert y de von Neumann-Stone está enfocada a operadores con espectro real, también el teorema espectral se aplica a operadores con espectro más general. El caso más simple corresponde a los operadores isométricos, que dejan invariante el producto interior; su espectro está contenido en el c´ırculo unidad. Un operador isométrico sobre se dice unitario y está caracterizado por el hecho de que su adjunto es su inverso. Los operadores unitarios fueron introducidos por L. Autonne en 1902 y estudiados por I. Schur en 1909. En 1929, von Neumann utilizó la transformada de Cayley C : T 7→ (T − iI)(T + iI)−1 para aplicar operadores simétricos en operadores isométricos y probó que T es autoadjunto si y sólo si C(T ) es 350

unitario. As´ı el teorema espectral de operadores unitarios se sigue del correspondiente para operadores autoadjuntos usando una integral espectral sobre el c´ırculo unidad en vez de sobre la recta real. Como todo operador lineal acotado T puede descomponerse en forma T = A + iB con A y B acotados y autoadjuntos, en concreto A = (1/2)(T + T ∗ ), B = (1/2i)(T − T ∗ ), pareciera que el teorema espectral puede extenderse a todos los operadores lineales acotados usando esta descomposición. Sin embargo, hace falta que A y B conmuten (lo que equivale a que T T ∗ = T ∗ T ), de modo que la extensión deseada sólo funciona para los operadores que conmutan con su adjunto, a los que Toeplitz llamó normales en 1918. Toeplitz extendió el teorema espectral de Hilbert a formas cuadráticas normales completamente continuas probando que eran unitariamente equivalentes a una forma diagonal. En general, la resolución espectral Z λdEλ T = σ(T )

se extiende a operadores normales acotados, donde σ(T ) es un conjunto compacto en C contenido en el disco cerrado B(0, kT k). Tanto las definiciones como la teor´ıa espectral de operadores normales no acotados fueron extendidas por von Neumann (1930) y Stone (1932). Después del largo camino recorrido por el teorema de los ejes principales, estamos más cerca del Análisis que de la Geometr´ıa. El contenido geométrico del teorema espectral en dimensión finita es que el espacio se puede escribir como suma directa de subespacios donde la transformación act´ ua como una simple multiplicación. Pero este enunciado falla en dimensión infinita en cuanto hace aparición el espectro continuo. En 1938 von Neumann resucitó el teorema espectral geométrico definiendo una integral directa de espacios de Hilbert (en completa analog´ıa con la suma directa). Probó entonces que la acción de un operador autoadjunto en un espacio de Hilbert pod´ıa representarse como el efecto acumulado de multiplicaciones sobre ciertos subespacios cuya integral directa era unitariamente equivalente al espacio original.

7. TEOREMA DE GELFAND-NAIMARK.

Si H es un espacio de Hilbert, el conjunto L(H) = {T : H → H : T lineal y acotado} forma un anillo normado; tales anillos, y las distintas topolog´ıas sobre ellos definidas, fueron ampliamente estudiados por von Neumann y F. Murray, en el per´ıodo 1936-40. Los trabajos de 1941 y 1943 de I. Gelfand, M. Naimark y G. Shilov constituyeron una teor´ıa de anillos normados que 351

inclu´ıa los anillos de operadores de von Neumann y Murray y que proporcionó un contexto general para el estudio de las transformadas de Fourier y el análisis armónico. El nombre de álgebra de Banach se da actualmente a toda álgebra normada completa (sobre C) que verifique la desigualdad kxyk ≤ kxk · kyk (es decir, el producto es continuo), y donde se supone la existencia de un elemento identidad e, tal que xe = ex = x y kek = 1. Ejemplos de álgebras de Banach son el espacio L(H) y el espacio de las funciones continuas con valores complejos sobre un espacio topológico compacto X con la norma del supremo. La relación entre estos dos ejemplos es la parte de la teor´ıa de álgebras de Banach que se dedica a la teor´ıa espectral. La teor´ıa de Gelfand sobre álgebras de Banach conmutativas depende de tres conceptos fundamentales: homomorfismos complejos, ideales maximales y espectros. Un homomorfismo complejo es un funcional lineal multiplicativo no nulo. En completa analog´ıa con la teor´ıa espectral en espacios de Hilbert, Gelfand define el espectro σ(x) de un elemento x ∈ B como el conjunto {λ ∈ C : x − λe no tiene inverso}. De estas definiciones se deducen las siguientes propiedades: Proposici´ on. Sea B un ´ algebra de Banach conmutativa y MB el conjunto de homomorfismos complejos de B. a) f ∈ MB =⇒ N (f ) es ideal maximal. b) K ⊂ B ideal maximal =⇒ ∃f ∈ MB : K = N (f ) y dim B/K = 1. c) x ∈ B es inversible ⇐⇒ f (x) 6= 0, ∀f ∈ MB . d) x ∈ B es inversible ⇐⇒ x 6∈ I, ∀I ideal propio de B. e) σ(x) es compacto, no vac´ıo y σ(x) ⊂ B(0, kxk). f ) σ(x) = {h(x) : h ∈ MB }. Por esta razón, el espacio MB a menudo se llama espectro de B. El conjunto MB de homomorfismos complejos de un álgebra conmutativa B (o equivalentemente de ideales maximales) es la topolog´ıa más débil con respecto a la cual las funciones x b : MB → C definidas por x b(h) = h(x) son continuas, ∀x ∈ B. Es evidente pues que {b x : x ∈ MB } ⊂ C(MB ). Entonces el espacio topológico MB es compacto y Hausdorff y cada elemento x ∈ B se representa en C(MB ) por su transformada de Gelfand x b. Se prueba además que el rango de x b es σ(x), por lo que kb xk∞ ≤ kxk. Además kb xk∞ = kxk (es decir, la transformada de Gelfand es una isometr´ıa) si y sólo si kxk2 = kx2 k, ∀x ∈ B. En 1943, Gelfand y Naimark probaron que el álgebra de Banach conmutativa C(MB ) se caracteriza por la presencia de una involución, ∗ : f 7→ f (la 352

conjugación compleja). En general, una involución en un álgebra B es una aplicación ∗ : B → B que verifica: i) (x + y)∗ = x∗ + y ∗ . ii) (λx)∗ = λx∗ . iii) (xy)∗ = y ∗ x∗ . iv) x∗∗ = x. Probaron incluso que toda álgebra de Banach conmutativa con una involución que satisfaga kxx∗ k = kxk2 , ∀x, (llamada C ∗ -álgebra) es isomorfa isométricamente al álgebra C(MB ) de alg´ un álgebra de Banach B. En par∗ ticular, si B(T ) es la C -álgebra conmutativa generada por un operador normal acotado T , es isomorfa al álgebra C(σ(T )). Teorema. Sea A una C ∗ -´ algebra conmutativa con espacio de ideales maximales MA . Entonces la transformada de Gelfand es una isometr´ıa de A sobre C(MA ), con la propiedad adicional de que (x∗ )b = x b (es decir, la transformada de Gelfand traslada la involución dada sobre A a la involución natural sobre C(MA )). En particular, si B(T ) es la C ∗ -álgebra conmutativa generada por un operador normal acotado T , es isomorfa al álgebra C(σ(T )). Con respecto a la teor´ıa espectral, el teorema de Gelfand-Naimark es clave, pues permite deducir el teorema espectral de un operador normal acotado T , traduciendo el teorema de aproximación uniforme de una P función f ∈ C(σ(T )) por funciones escalonadas medibles de la forma f (λi )χ∆i (∆i conjunto medible). La traducción de este teorema al álgebra B(T R ) (en el caso particular de f (λ) = λ) es la resolución espectral T = λdEλ . La teor´ıa de Gelfand sobre álgebras de Banach revela por tanto que el teorema espectral en alg´ un sentido es equivalente al hecho más rudimentario en teor´ıa de funciones. Incluso la teor´ıa de RGelfand lleva a un teorema espectral más fuerte, pues se tiene que f (T ) = f (λ)dEλ , para toda función continua f . Este fórmula fue originalmente introducida por von Neumann y Stone como la base de su cálculo funcional. Para finalizar, daremos alg´ un detalle de la prueba del teorema espectral, utilizando estas ideas. Si A es un álgebra con una involución, decimos que un subconjunto S ⊂ A es normal cuando xy = yx, ∀x, y ∈ S y x∗ ∈ S, ∀x ∈ S. Asociado al concepto de resolución de la identidad, definimos una medida espectral sobre la σ-álgebra B(MA ) de los conjuntos de Borel de MA , a una aplicación E : B(MA ) → L(H) con las propiedades 353

i) E(∅) = 0, E(MA ) = I. ii) E(∆) es un proyector ortogonal. iii) E(∆1 ∩ ∆2 ) = E(∆1 )E(∆2 ). iv) ∆1 ∩ ∆2 = ∅ =⇒ E(∆1 ∪ ∆2 ) = E(∆1 ) + E(∆2 ). v) ∀x, y ∈ H, Ex,y (∆) = hE(∆)x, yi es una medida de Borel regular sobre B(MA ). Teorema. Sea A una sub´ algebra normal cerrada de L(H) que contiene la identidad y MA el espacio de ideales maximales de A. Entonces existe una u ńica medida espectral E sobre los conjuntos de Borel de MA tal que Z T = TbdE, ∀T ∈ A, MA

(Tb es la transformada de Gelfand de T ) donde la integral se interpreta como R hT x, yi = MA TbdEx,y . Demostraci´ on. Es claro que A es una C ∗ -álgebra conmutativa. Por el teorema de Gelfand-Naimark, la aplicación T 7→ Tb es un isomorfismo isométrico de A sobre C(MA ). - Unicidad de E: Fijados x, y ∈ H, la aplicación Tb 7→ hT x, yi es un funcional lineal y acotado definido en todo C(MA ), el cual determina un´ıvocamente la medida Ex,y por la fórmula Z hT x, yi = TbdEx,y (teorema de representación de Riesz). MA

Por definición, hE(∆)x, yi = Ex,y (∆), lo que determina un´ıvocamente la proyección E(∆), para cada ∆. - Existencia de E: Fijados x, y ∈ H, la aplicación βx,y : C(MA ) → C definida por βx,y (Tb) = hT x, yi es un funcional lineal acotado (por el teorema de GelfandNaimark), tal que kβx,y k ≤ kxk · kyk, pues kTbk∞ = kT k. Por el teorema de representación de Riesz, existe una medida compleja de Borel regular µx,y soR bre MA tal que hT x, yi = MA Tbdµx,y . Dicha medida verifica además: (1) µαx1 +βx2 ,y = αµx1 ,y + βµx2 ,y . (2) µx,y = µy,x , pues cuando Tb es real, T es autoadjunto. (3) kµx,y k = kβx,y k. Fijada ahora f de Borel y Racotada en MA , la aplicación βf : H × H → C definida por βf (x, y) = M f dµx,y es una forma sesquilineal acotada. A 354

Entonces (teorema de representación de formas sesquilineales), Z ∃Φ(f ) ∈ L(H) : hΦ(f )x, yi = f dµx,y , ∀x, y ∈ H. MA

Este operador verifica: (4) Φ(Tb) = T (Φ extiende a la inversa de la transformada de Gelfand). (5) Φ(f ) es autoadjunto si f es real. (6) Φ(f g) = Φ(f )Φ(g), ∀f, g de Borel acotadas. Si para cada ∆ de Borel en MA definimos E(∆) = Φ(1∆ ), se demuestra también que: (7) E(∆1 ∩ ∆2 ) = E(∆1 )E(∆2 ); en particular, por (6), E(∆) es una proyección. (8) E(∆) es autoadjunto, por (5). (9) E(∅) = 0, E(MA ) = I, por (4). P S (10) E( ni=1 ∆i ) = ni=1 E(∆i ), si ∆i ∩ ∆j = ∅, i 6= j. (11) hE(∆)x, yi = µx,y (∆). En definitiva, E es la medida espectral buscada. Particularizando lo anterior a un solo operador, resulta: Teorema. Sea T ∈ L(H) un operador normal. Existe entonces una u ńica medida espectral E definida sobre los conjuntos de Borel de σ(T ) tal que Z T =

λdE(λ) σ(T )

(descomposici´ on espectral de T ). Demostraci´ on. Sea A la m´ınima subálgebra cerrada de L(H) que contiene a I, T y T ∗ . As´ı puede aplicarse el teorema anterior; sabemos también que σ(T ) puede identificarse con el espacio de ideales maximales de A. Observaci´ on. Para consultar más detalles sobre este tema o completar alguna información, pueden verse las referencias [GG], [Lor], [Ru], [Ste].

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Analisis Funcional

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