Analisis Funcional y Medida

May 7, 2017 | Author: lquihuata | Category: N/A

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Apuntes de Análisis Funcional y Teoría de la Medida

Rafael Payá Albert Departamento de Análisis Matemático Universidad de Granada

Tema 1: Espacios de Medida

11-18 de marzo de 2010

1

Espacios de Medida

2

Espacios medibles

3

[0, ∞]

4

Medidas

5

Lebesgue

6

Primer Teorema

Espacios de Medida

Espacios medibles

[0, ∞]

Medidas

Lebesgue

Primer Teorema

Definici´ on de Espacio de Medida (Ω, A , µ) Ω es un conjunto no vac´ıo

A ⊆ P (Ω) es una σ-álgebra: (i) Ω ∈ A (ii) A ∈ A ⇒ Ω \ A ∈ A (iii) An ∈ A ∀ n ∈ N ⇒

∞ [

An ∈ A

n=1

µ : A → [0, ∞] es una medida (positiva): / =0 (a) µ(0) (b) µ es σ-aditiva: An ∈ A ∀ n ∈ N, An ∩ Am = 0/ (n 6= m) ⇒ µ

∞ [ n=1

! An

∞

=

∑ µ(An )

n=1

Espacios de Medida

Espacios medibles

[0, ∞]

Medidas

Lebesgue

Primer Teorema

Espacios medibles Espacio medible (Ω, A ) Ω es un conjunto no vac´ıo y A ⊆ P (Ω) es una σ-´ algebra: Ω∈A A ∈ A ⇒ Ω\A ∈ A An ∈ A ∀ n ∈ N ⇒

∞ [

An ∈ A

n=1

Los elementos de A son los conjuntos medibles.

Ejemplos extremos / Ω} y la σ-´ La σ-´ algebra trivial {0, algebra discreta P (Ω)

Ejemplo importante: σ-´ algebras de Borel Toda intersecci´ on de σ-´ algebras es una σ-´ algebra Para S ⊆ P (Ω), existe la σ-´ algebra engendrada por S Ω espacio topol´ ogico con topolog´ıa T : la σ-´ algebra de Borel de Ω es la engendrada por T . Sus elementos son los conjuntos de Borel en Ω.

Espacios de Medida

Espacios medibles

[0, ∞]

Conjuntos medibles σ-´ algebra A Ω∈A A ∈ A ⇒ Ω\A ∈ A An ∈ A ∀ n ∈ N ⇒

∞ [

An ∈ A

n=1

Operaciones con conjuntos medibles Toda σ-´ algebra A ⊆ P (Ω) verifica: 0/ ∈ A A1 , A2 , . . . , An ∈ A ⇒ An ∈ A ∀ n ∈ N ⇒ A1 , A2 , . . . , An ∈ A ⇒

n [

An ∈ A

n=1 n \

Ak ∈ A

k=1

A, B ∈ A ⇒ A \ B ∈ A

Ak ∈ A

k=1 ∞ \

Medidas

Lebesgue

Primer Teorema

Espacios de Medida

Espacios medibles

[0, ∞]

Medidas

Lebesgue

1. Orden en [0, ∞]

[0, ∞] [0, ∞] = {x ∈ R : x > 0} ∪ {∞} = [0, ∞[ ∪ {∞} Orden Orden usual en [0, ∞[ x6∞

∀ x ∈ [0, ∞].

Propiedades del orden Orden total Todo subconjunto no vac´ıo de [0, ∞] tiene supremo e ´ınfimo

Primer Teorema

Espacios de Medida

Espacios medibles

[0, ∞]

Medidas

Lebesgue

2. Topolog´ıa de [0, ∞] Topolog´ıa de [0, ∞] Topolog´ıa del orden: Abiertos = Uniones de intervalos abiertos. ]α, β[= {x ∈ [0, ∞] : α < x < β} (α, β ∈ [0, ∞]) ]α, ∞] = {x ∈ [0, ∞] : α < x} (α ∈ [0, ∞]) [0, β[= {x ∈ [0, ∞] : x < β} (β ∈ [0, ∞]) Subbase numerable: {[0, β[: β ∈ Q+ }

S

{]α, ∞] : α ∈ Q+ }

Propiedades topológicas Espacio métrico compacto homeomorfo a [0, 1] Compactaci´ on por un punto de [0, ∞[ Toda sucesi´ on mon´ otona converge en [0, ∞] l´ım sup xn = l´ım sup{xk : k > n} n→∞

n→∞

l´ım inf xn = l´ım ´ınf{xk : k > n} n→∞

n→∞

xn 6 yn ∀ n ∈ N ⇒ l´ım inf xn 6 l´ım inf yn , l´ım sup xn 6 l´ım sup yn n→∞

n→∞

n→∞

xn 6 yn ∀ n ∈ N, {xn } → x, {yn } → y ⇒ x 6 y

n→∞

Primer Teorema

Espacios de Medida

Espacios medibles

[0, ∞]

Medidas

Lebesgue

Primer Teorema

Suma en [0, ∞] Suma en [0, ∞] Suma usual en [0, ∞[ x + ∞ = ∞ + x = ∞ ∀ x ∈ [0, ∞]

Propiedades de la suma Asociativa, conmutativa, con elemento neutro 0 Cancelaci´ on s´ olo en ciertos casos: x + y = x + z, x < ∞ ⇒ y = z Compatible con el orden: x1 6 y1 , x2 6 y2 ⇒ x1 + x2 6 y1 + y2 Continua: {xn } → x, {yn } → y ⇒ {xn + yn } → x + y n

∞

Tiene sentido la suma de cualquier serie:

l´ım ∑ xk ∑ xn = n→∞

n=1 ∞

∞

k=1

∞

∑ (xn + yn ) = ∑ xn + ∑ yn

n=1

n=1

n=1

Incondicional: Para a : N × N → [0, ∞] y σ : N → N × N biyectiva, se tiene: ∞

∞

∞

∞

∞

∑ ∑ a(m, n) = ∑ ∑ a(m, n) = ∑ a

m=1 n=1

n=1 m=1

k=1

σ(k)

Espacios de Medida

Espacios medibles

[0, ∞]

Medidas

Lebesgue

Producto en [0, ∞]

Producto en [0, ∞] Producto usual en [0, ∞[ x ∞ = ∞ x = ∞ ∀ x ∈]0, ∞] 0 ∞=∞ 0= 0

Propiedades del producto Asociativo, conmutativo y distributivo respecto a la suma Compatible con el orden: x1 6 y1 , x2 6 y2 ⇒ x1 x2 6 y1 y2 Crecientemente continuo: {xn } % x, {yn } % y ⇒ {xn yn } → x y ∞

∞

∑ α xn = α ∑ xn

n=1

n=1

Primer Teorema

Espacios de Medida

Espacios medibles

[0, ∞]

Medidas

Lebesgue

Primer Teorema

Concepto de Medida

Medida µ : A → [0, ∞] verificando: / =0 µ(0) µ es σ-aditiva: An ∈ A ∀ n ∈ N, An ∩ Am = 0/ (n 6= m) ⇒ µ

∞ [ n=1

! An

∞

=

∑ µ(An )

n=1

Medidas de Borel Medida de Borel en un espacio topol´ ogico Ω = Medida definida en la σ-´ algebra de Borel de Ω

Espacios de Medida

Espacios medibles

[0, ∞]

Medidas

Lebesgue

Primer Teorema

Consecuencias Propiedades de las medidas Toda medida µ : A → [0, ∞] es: Finitamente aditiva:

n [

A1 , A2 , . . . , An ∈ A , Ak ∩ A j = 0/ (k 6= j) ⇒ µ

! Ak

n

=

k=1

k=1

Creciente: A, B ∈ A , A ⊆ B ⇒ µ(A) 6 µ(B) ! Subaditiva: An ∈ A ∀ n ∈ N ⇒ µ

∞ [

∞

6

An

An ∈ A , An ⊆ An+1 ∀ n ∈ N ⇒ µ

∞ [

∑ µ(An )

n=1

n=1

Crecientemente continua:

∑ µ(Ak )

! An

= l´ım µ(An )

n=1

n→∞

Decrecientemente continua donde es finita: An ∈ A , An ⊇ An+1 ∀ n ∈ N, µ(A1 ) < ∞ ⇒ µ

∞ \

! An

n=1

Sugestivamente: {An } % A ⇒ {µ(An )} % µ(A) Mientras que: {An } & A, µ(A1 ) < ∞ ⇒ {µ(An )} & µ(A)

= l´ım µ(An ) n→∞

Espacios de Medida

Espacios medibles

[0, ∞]

Medidas

Lebesgue

Primer Teorema

Primeros Ejemplos de medidas Medidas discretas Ω 6= 0/ arbitrario, m : Ω → [0, ∞] cualquier funci´ on y A = P (Ω). Se define: µ(A) =

∑ m(x) := sup { ∑ m(x) : J ⊆ A,

x∈A

J finito}

(A ∈ P (Ω))

x∈J

Medidas de Dirac Fijado x ∈ Ω, para A ∈ P (Ω) se define: ( 1 δx (A) = 0

si x ∈ A si x ∈ /A

Se obtiene con m(x) = 1 y m(ω) = 0 ∀ ω ∈ Ω \ {x}

Medida que cuenta (“counting measure”) Para todo A ∈ P (Ω) se define µ(A) como el n´ umero de elementos de A, entendiéndose que µ(A) = ∞ cuando A es un conjunto infinito. Se obtiene con m(x) = 1 ∀x ∈ Ω.

Espacios de Medida

Espacios medibles

[0, ∞]

Medidas

Lebesgue

Primer Teorema

Definici´ on de la Medida de Lebesgue en RN Intervalos acotados N

I=

N

∏ I (k)

m(I) =

k=1

∏

sup I (k) − ´ınf I (k)

k=1

Medida exterior de Lebesgue λ∗ : P (RN ) → [0, ∞] ( ∗

λ (E) = ´ınf

∞

∑ m(In ) :

n=1

E⊆

∞ [

) In

(E ⊆ RN )

n=1

Medida de Lebesgue Conjuntos medibles-Lebesgue: n o M = E ⊆ RN : λ∗ (A) = λ∗ (A ∩ E) + λ∗ (A \ E) ∀ A ∈ P (RN ) Medida de Lebesgue: λ = λ∗ |M λ : M → [0, ∞],

λ(E) = λ∗ (E) ∀E ∈ M

Espacios de Medida

Espacios medibles

[0, ∞]

Medidas

Lebesgue

Primer Teorema

Propiedades de la Medida de Lebesgue (1)

Primeras propiedades

M es una σ-álgebra y λ : M → [0, ∞] es una medida B $ M $ P (RN ) E ⊂ RN , λ∗ (E) = 0 ⇒ E ∈ M λ|B (medida de Borel-Lebesgue) es la u ńica medida de Borel en RN que extiende a m También λ es la u ńica medida definida en M que extiende a m

Espacios de Medida

Espacios medibles

[0, ∞]

Medidas

Lebesgue

Propiedades de la Medida de Lebesgue (2)

Medida de Lebesgue y Topolog´ıa n o λ∗ (E) = ´ınf λ(G) : E ⊆ G = G◦ ⊆ RN

(E ⊆ RN )

Equivalen: E ∈M ∀ ε > 0 ∃ G : E ⊂ G = G◦ ⊆ RN , λ∗ (G \ E) < ε ∀ ε > 0 ∃ F : F = F ⊂ E, λ∗ (E \ F) < ε E ⊆ B, conjunto de tipo Gδ con λ(B \ E) = 0 E ⊇ A, conjunto de tipo Fσ con λ(E \ A) = 0 E ∈M

⇒ λ(E) = ´ınf {λ(G) : G abierto, G ⊇ E} = sup {λ(K) : K compacto, K ⊆ E}

Primer Teorema

Espacios de Medida

Espacios medibles

[0, ∞]

Medidas

Lebesgue

Primer Teorema

Propiedades de la Medida de Lebesgue (3)

Medida de Lebesgue y Geometr´ıa La medida exterior de Lebesgue es invariante por traslaciones: λ∗ (E + x) = λ∗ (E) (E ⊆ RN , x ∈ RN ) La medida de Lebesgue es invariante por traslaciones: E ∈ M ⇔ E + x ∈ M , en cuyo caso, λ(E + x) = λ(E) Salvo un factor de proporcionalidad, la medida de Borel-Lebesgue es la u ńica medida de Borel en RN , finita en compactos e invariante por traslaciones. La hip´ otesis “finita en compactos” se puede sustituir por la existencia de un conjunto abierto no vac´ıo con medida finita La medida de Lebesgue en RN es invariante por isometr´ıas.

Espacios de Medida

Espacios medibles

[0, ∞]

Medidas

Lebesgue

Construcci´ on de Medidas

Extensión de Carathéodory-Hahn Visi´ on abstracta de la construcci´ on de la medida de Lebesgue Construcci´ on de medidas exteriores Teorema de Carathéodory Teorema de extensi´ on de Hahn Unicidad de la extensi´ on de Hahn Completaci´ on de una medida Teorema de Aproximaci´ on

Otros ejemplos importantes Medidas de Lebesgue-Stieltjes Medidas de Haar Medidas de Hausdorff

Primer Teorema

Tema 2: Integración

18 de marzo de 2010

1

Funciones medibles

2

Integral

Funciones medibles

Integral

Funci´ on medible entre espacios medibles (Ω, A ), (Y, B ) espacios medibles, f : Ω → Y f medible ⇐⇒

f −1 (B) ∈ A

∀B ∈ B

Primeras propiedades La composici´ on de funciones medibles es medible Si B es la σ-´ algebra engendrada por T : f medible ⇐⇒

f −1 (T ) ∈ A

∀T ∈ T

Funciones medibles

Integral

Funci´ on medible con valores en un espacio topol´ ogico (Ω, A ) espacio medible, (Y, T ) espacio topol´ ogico, f : Ω → Y f medible ⇐⇒

f −1 (T ) ∈ A ∀ T ∈ T

Primeras propiedades Las funciones continuas son (Borel) medibles Una funci´ on continua de una funci´ on medible es medible Si T tiene una subbase numerable S : f medible ⇐⇒

f −1 (S) ∈ A ∀ S ∈ S

Funciones medibles

Integral

Funciones medibles positivas (Ω, A ) espacio medible, f : Ω → [0, ∞]. Equivalen: (i) f es medible (ii) {x ∈ Ω : f (x) > α} ∈ A ∀ α ∈ R+ (iii) {x ∈ Ω : f (x) > α} ∈ A ∀ α ∈ R+ (iv) {x ∈ Ω : f (x) < β} ∈ A ∀ β ∈ R+ (v) {x ∈ Ω : f (x) 6 β} ∈ A ∀ β ∈ R+

Consecuencias { fn } medibles positivas. También son medibles: g1 (x) = sup{ fn (x) : n ∈ N}

(x ∈ Ω)

g2 (x) = ´ınf{ fn (x) : n ∈ N}

(x ∈ Ω)

g3 (x) = l´ım sup fn (x)

(x ∈ Ω)

g4 (x) = l´ım inf fn (x)

(x ∈ Ω)

n→∞

n→∞

Por tanto: { fn (x)} → f (x) ∀ x ∈ Ω =⇒

f medible

Funciones medibles

Integral

Funci´ on simple positiva (Ω, A ) espacio medible Funci´ on simple positiva: s : Ω → [0, ∞[ medible con s(Ω) finito Descomposici´ on can´ onica: s(Ω) = {α1 , α2 , . . . , αn } con 0 6 α1 < α2 < . . . < αn < ∞ Ak := {x ∈ Ω : s(x) = αk } ∈ A (k = 1, 2, . . . , n) Ω=

n [

n

Ak , Ak ∩ A j = 0/ (k 6= j) , s =

∑ αk χA

k

k=1

k=1

Rec´ıprocamente: m

B1 , . . . , Bm ∈ A , β1 , . . . , βm ∈ [0, ∞[ ⇒ t =

∑ β j χB

j=1

j

simple positiva

Funciones medibles

Integral

Teorema de aproximaci´ on de Lebesgue Toda funci´ on medible positiva es el l´ımite puntual de una sucesi´ on creciente de funciones simples positivas f : Ω → [0, ∞] medible, n ∈ N Fn = {x ∈ Ω : f (x) > n}∈ A k k−1 Enk = x ∈ Ω : n 6 f (x) < n ∈ A (k = 1, 2, . . . , n 2n ) 2 2

n2n

sn =

∑ k=1

k−1 χEnk + nχFn 2n

sn (x) 6 sn+1 (x) ∀ x ∈ Ω {sn (x)} → f (x) ∀ x ∈ Ω sup f (Ω) < ∞ convergencia uniforme

Consecuencia f , g medibles, α ∈ [0, ∞], p ∈ R+ ⇒

f + g, α f , f g, f p medibles

Funciones medibles

Integral

Definici´ on de la Integral (Ω, A , µ) espacio de medida, E ∈ A Integral de de una funci´ on simple positiva n

s=

n

Z

s dµ =

∑ αk χAk

E

k=1

∑ αk µ(Ak ∩ E) k=1

s,t simples, s(x) 6 t(x) ∀ x ∈ E ⇒

Z E

Z

s dµ 6

Z

Z

s dµ = máx E

E

t dµ : t simple,t 6 s

Integral de una funci´ on medible positiva f : Ω → [0, ∞] medible Z

Z

f dµ = sup E

E

s dµ : s simple s 6 f

t dµ E

Funciones medibles

Integral

Propiedades de la integral (1)

Primeras propiedades f : Ω → [0, ∞] medible ⇒

Z

Z

f dµ = E

f : Ω → [0, ∞] medible, α ∈ [0, ∞] ⇒

(E ∈ A )

f χE dµ ZΩ

Z

α f dµ = α ZΩ

f , g : Ω → [0, ∞] medibles, f 6 g ⇒

f dµ Ω

Z

f dµ 6 Ω

g dµ Ω

Teorema de la convergencia mon´ otona Sea { fn } una sucesi´ on creciente de funciones medibles positivas en Ω y sea f (x) = l´ım fn (x) ∀ x ∈ Ω. Entonces: n→∞

Z

Z

f dµ = l´ım Ω

n→∞ Ω

fn dµ

Funciones medibles

Integral

Propiedades de la integral (2) Principales consecuencias del TCM { fn } sucesi´ on de funciones medibles positivas en Ω: ! Z Z ∞

∞

Ω

∑

fn

dµ =

fn dµ

∑

n=1 Ω

n=1

f : Ω → [0, ∞] medible. Integral indefinida: ϕ : A → [0, ∞], ϕ(E) =

Z

f dµ E

(E ∈ A )

ϕ es una medida y, para g : Ω → [0, ∞] medible: Z

Z

g dϕ = Ω

g f dµ Ω

Lema de Fatou: { fn } sucesi´ on de funciones medibles positivas en Ω: Z Ω

Z l´ım inf fn 6 l´ım inf fn dµ n→∞

n→∞

Ω

Funciones medibles

Integral

Propiedades de la integral (3) Valores extremos de la integral f : Ω → [0, ∞] medible: Z

f dµ = 0 ⇔ µ {x ∈ Ω : f (x) > 0} = 0

( f = 0 c.p.d.)

f dµ < ∞ ⇒ µ {x ∈ Ω : f (x) = ∞} = 0

( f < ∞ c.p.d.)

Ω

Z Ω

Desigualdades de Hölder y Minkowski 1 p

f , g : Ω → [0, ∞] medibles, 1 < p < ∞, Z

Z

f g dµ 6 Ω

Z Ω

( f + g) p dµ

+

f p dµ

1 p∗

1/p Z

Ω

1/p

= 1: 1/p∗ ∗ g p dµ

Ω

Z 6 Ω

f p dµ

1/p

Z + Ω

1/p g p dµ

Tema 3: Espacios L p

13 de abril de 2010

1

Funciones medibles

2

Espacios L p

3

Funciones integrables

Funciones medibles

Espacios L p

Funciones integrables

K = R o C, (Ω, A , µ) espacio de medida Espacio de las funciones medibles

L0 (µ) = { f ∈ KΩ : f medible} Dos observaciones

Una funci´ on continua de una funci´ on medible es medible f : Ω → R2 ,

L0 (µ, R) o L0 (µ, C)

f (x) = (u(x), v(x)) ∀ x ∈ Ω. Entonces: f medible ⇐⇒ u, v medibles

Funciones medibles

Espacios L p

Funciones integrables

Propiedades de las funciones medibles f : Ω → C es medible ⇐⇒ Re f , Im f medibles. f , g ∈ L0 (µ) =⇒ f ∈ L0 (µ),

f + g, f g ∈ L0 (µ) (´ algebra sobre K)

p ∈ R+

f ∈ L0 (µ, R) =⇒

=⇒ | f | p medible positiva f + , f − medibles positivas

f ∈ L0 (µ) =⇒ ∃ α ∈ L0 (µ) : |α(x)| = 1, f (x) = α(x) | f (x)| { fn } ⊆ L0 (µ), { fn (x)} → f (x) ∀ x ∈ Ω =⇒

(x ∈ Ω)

f ∈ L0 (µ)

Funciones medibles

Espacios L p

Funciones integrables

Espacios L p (Ω, A , µ) espacio de medida, p ∈ [0, ∞]: p=0

Funciones medibles:

L0 (µ) = { f ∈ KΩ : f medible} 0< p 0, 0 < p < 1 =⇒ (a + b) p 6 a p + b p

L p (µ) espacio vectorial sobre K Z

νp( f ) =

| f | p dµ

( f ∈ L p (µ))

Ω

ν p es una pseudonorma en L p (µ) L p (µ) = L p (µ)/N(µ),

d f ep =

Z

| f | p dµ

( f ∈ L p (µ))

Ω

d p ( f , g) = d f − ge p =

Z Ω

L p (µ) espacio métrico

| f − g| p dµ ( f , g ∈ L p (µ))

Funciones medibles

Espacios L p

Funciones integrables

Caso p = 0 µ(Ω) < ∞ Z

ν0 ( f ) = Ω

|f| dµ 1+|f|

( f ∈ L0 (µ))

ν0 es una pseudonorma en L0 (µ) L0 (µ) = L0 (µ)/N(µ)

d f e0 = ν0 ( f )

d0 ( f , g) = d f − ge0 L0 (µ) espacio métrico

( f ∈ L0 (µ))

( f , g ∈ L0 (µ))

Funciones medibles

Espacios L p

Funciones integrables

Primeras propiedades de los espacios L p (µ) (0 6 p 6 ∞) f ∈ L p (µ) =⇒ | f | ∈ L p (µ) f ∈ L0 (µ), | f | ∈ L p (µ) =⇒

f ∈ L p (µ)

Reducci´ on al caso real: L p (µ, C) = L p (µ, R) ⊕ i L p (µ, R) L p (µ, R) ret´ıculo vectorial: f 6 g ⇐⇒ µ {x ∈ Ω : f (x) > g(x)} = 0 f , g ∈ L p (µ) =⇒ f ∨g =

1 ( f + g + | f − g|), 2

( f 6 g c.p.d.)

f ∨ g, f ∧ g ∈ L p (µ) f ∧g =

1 ( f + g − | f − g|) 2

[ f ∨ g](x) = máx{ f (x), g(x)}, [ f ∧ g](x) = m´ın{ f (x), g(x)} f ∈ L p (µ, R) =⇒

c.p.d.

f + , f − ∈ L p (µ)

f + = f ∨ 0; f − = −( f ∧ 0); f = f + − f − ; | f | = f + + f −

Funciones medibles

Espacios L p

Funciones integrables

Convergencia en L p (µ) 0< p ε} = 0 ∀ ε > 0

n→∞

Implicaciones (µ finita) { fn } → f en L p (µ) =⇒ { fn } → f en L0 (µ) { fn } → f c.p.d.

=⇒ { fn } → f en L0 (µ)

{ fn } → f en L0 (µ)

=⇒ { fσ(n) } → f c.p.d.

Teorema de Riesz-Fisher L p (µ) es un espacio de Banach (1 6 p 6 ∞) L p (µ) es un espacio métrico completo (0 6 p < 1)

Funciones medibles

Espacios L p

Funciones integrables

Integral Para f ∈ L1 (µ): Z

Z

(Re f )+ dµ −

f dµ = Ω

Z

Ω

(Re f )− dµ + i

Z

Ω

Ω

Z

Z

f dµ = Ω

| f | dµ < ∞

Bastar´ıa con tener E

Propiedades I : L1 (µ) → K,

Z

I( f ) =

f dµ

( f ∈ L1 (µ))

Ω

Lineal Continuo:

Z Z |I( f )| = f dµ 6 | f | dµ = k f k1 Ω

Ω

Positivo: f ∈ L1 (µ, R), f > 0 =⇒

Z Ω

(E ∈ A )

f χE dµ

E

Z

(Im f )+ dµ − i

Z

f dµ > 0 Ω

(Im f )− dµ

Funciones medibles

Espacios L p

Funciones integrables

Teorema de la convergencia dominada Sea { fn } una sucesi´ on de funciones medibles de Ω en K que converge puntualmente a una funci´ on f . Supongamos que existe g ∈ L1 (µ) tal que: | fn (x)| 6 g(x) ∀ x ∈ Ω, ∀ n ∈ N Entonces, se verifica que: Z

| fn − f | dµ → 0

Ω

En particular, f ∈ L1 (µ) y Z Ω

Z fn dµ → f dµ Ω

Si hubiéramos supuesto que g ∈ L p (µ), con 0 < p < ∞, hubiéramos obtenido: Z | fn − f | p dµ → 0 Ω

y en particular f ∈ L p (µ).

Funciones medibles

Espacios L p

Funciones integrables

Corolario muy u ´til Funciones simples integrables: S(µ) := Lin {χE : E ∈ A , µ(E) < ∞} ⊆ L p (µ)

Para 0 6 p < ∞, S(µ) es denso en L p (µ) ¿p = ∞? Funciones simples: ˜ := Lin {χE : E ∈ A } S(µ) ˜ S(µ) es denso en L∞ (µ)

(0 6 p 6 ∞)

Tema 4: Teorema de Fubini

22 de abril de 2010

1

Producto de medidas Producto de espacios medibles Medida producto Caso de Rn

2

Teorema de Fubini Para funciones positivas Aplicaciones Para funciones integrables

Producto de medidas

Producto de σ-álgebras

σ-´ algebra producto (X, A ), (Y, B ) espacios medibles Rect´ angulos medibles: A × B = {A × B : A ∈ A , B ∈ B } σ-´ algebra producto: A ⊗ B = σ-´ algebra engendrada por A × B

Ejemplos Bn σ-álgebra de Borel de Rn : Bn ⊗ Bk = Bn+k Mn σ-álgebra de Lebesgue en Rn : Mn ⊗ Mk $ Mn+k X numerable =⇒ P (X) ⊗ P (Y ) = P (X ×Y ) P (X) ⊗ P (X) = P (X × X) =⇒ card X 6 card R

Teorema de Fubini

Producto de medidas

Teorema de Fubini

Propiedades de la σ-álgebra producto Secciones de conjuntos y de funciones X,Y, Z conjuntos, E ⊂ X ×Y , f : X ×Y → Z Secci´ on de E por un x ∈ X : Ex = {y ∈ Y : (x, y) ∈ E} Secci´ on de E por un y ∈ Y : E y = {x ∈ X : (x, y) ∈ E} Secci´ on de f por un x ∈ X:

fx : Y → Z , fx (y) = f (x, y) (y ∈ Y )

Secci´ on de f por un y ∈ Y :

f y : X → Z , f y (x) = f (x, y) (x ∈ X)

Propiedades de la σ-álgebra producto (X, A ), (Y, B ), (Z, C ) espacios medibles (X ×Y, A ⊗ B ) espacio medible producto E ⊂ X ×Y , f : X ×Y → Z E ∈ A ⊗ B =⇒ Ex ∈ B ∀ x ∈ X , E y ∈ A ∀ y ∈ Y Las secciones de conjuntos medibles son medibles f medible

=⇒

fx medible ∀ x ∈ X , f y medible ∀ y ∈ Y

Las funciones medibles son separadamente medibles

Producto de medidas

Teorema de Fubini

Producto de medidas

Existencia de medidas producto (X, A , µ) , (Y, B , ν) espacios de medida Existen medidas ϕ : A ⊗ B → [0, ∞] verificando que ϕ(A × B) = µ(A) ν(B)

∀A ∈ A , ∀B ∈ B

Medida σ-finita (X, A , µ) espacio de medida σ-finita cuando: X=

S∞

n=1 An

con

An ∈ A , µ(An ) < ∞ ∀ n ∈ N

Existencia y unicidad de la medida producto (X, A , µ) , (Y, B , ν) espacios de medida σ-finita Existe una u ńica medida µ ⊗ ν : A ⊗ B → [0, ∞] verificando que [µ ⊗ ν](A × B) = µ(A) ν(B)

∀A ∈ A , ∀B ∈ B

µ ⊗ ν medida producto, (X ×Y, A ⊗ B , µ ⊗ ν) espacio de medida producto

Producto de medidas

Teorema de Fubini

Completaci´ on de una medida Medida completa (Ω, A , µ) espacio de medida completo cuando: B ∈ A , µ(B) = 0 , N ⊂ B =⇒ N ∈ A Se dice también que la medida µ es completa

Completación de una medida (Ω, A , µ) espacio de medida (no completo). Definimos:

A = {A ∪ N : A ∈ A , N ⊂ B ∈ A , µ(B) = 0} µ(A ∪ N) = µ(A)

(A ∪ N ∈ A )

A es una σ-álgebra y A ⊂ A µ est´ a bien definida, es una medida y extiende a µ El espacio de medida (Ω, A , µ) es completo e ,e Si (Ω, A µ) es un espacio de medida completo, A ⊂ Ae , eµ A = µ =⇒ A ⊂ Ae , eµ A = µ (Ω, A , µ) es la completaci´ on de (Ω, A , µ), y µ la completaci´ on de la medida µ

Producto de medidas

Teorema de Fubini

Medidas de Lebesgue y de Borel-Lebesgue Relación entre ambas medidas

Mn σ-álgebra de los conjuntos medibles-Lebesgue en Rn λn : Mn → [0, ∞] medida de Lebesgue en Rn Bn σ-álgebra de Borel de Rn , Bn ⊂ Mn βn = λn B , medida de Borel-Lebesgue en Rn n

(Rn , Mn , λn )

es la completaci´ on del espacio de medida (Rn , Bn , βn ).

La medida de Lebesgue es la completaci´ on de la medida de Borel-Lebesgue

La medida producto no suele ser completa (X, A , µ), (Y, B , ν) espacios de medida σ-finita. Suponemos: ∃ A ∈ A : A 6= 0/ , µ(A) = 0 ∃E ⊂ Y : E ∈ /B Entonces la medida producto µ ⊗ ν no es completa λn ⊗ λk no es completa

Producto de medidas

Teorema de Fubini

Medidas producto en Rn

Medidas producto en Rn La medida de Borel-Lebesgue se comporta bien para productos:

Bn ⊗ Bk = Bn+k

y

βn ⊗ βk = βn+k

Para la de Lebesgue se tiene:

Bn+k $ Mn ⊗ Mk $ Mn+k Adem´ as, λn+k extiende a λn ⊗ λk , que a su vez extiende a βn+k De hecho: (Rn+k , Mn+k , λn+k ) = (Rn × Rk , Mn ⊗ Mk , λn ⊗ λk )

Producto de medidas

Teorema de Fubini

Teorema de Fubini para funciones medibles positivas (X, A , µ), (Y, B , ν) espacios de medida σ-finita (X ×Y, A ⊗ B , µ ⊗ ν) espacio de medida producto

Teorema Para f : X ×Y → [0, ∞] medible, definimos: φ : X → [0, ∞] , φ(x) = ψ : Y → [0, ∞] , ψ(y) =

Z

Z

ZY

fx dν = f y dµ =

X

f (x, y) dν(y) ∀ x ∈ X

ZY

f (x, y) dµ(x) ∀ y ∈ Y

X

Entonces φ y ψ son medibles y se verifica que: Z

f d(µ ⊗ ν) =

X×Y

Z

Z

φ dµ = X

ψ dν Y

Con notaci´ on m´ as sugerente: Z X×Y

f d(µ ⊗ ν) =

Z Z

Z Z

f (x, y) dν(y) dµ(x) = X Y

f (x, y) dµ(x) dν(y) Y

X

Producto de medidas

Teorema de Fubini

Cálculo de la medida producto (X, A , µ), (Y, B , ν) espacios de medida σ-finita (X ×Y, A ⊗ B , µ ⊗ ν) espacio de medida producto

Cálculo de la medida producto Para E ∈ A ⊗ B , definimos: φ : X → [0, ∞] , φ(x) = ν(Ex ) ∀ x ∈ X ψ : Y → [0, ∞] , ψ(y) = µ(E y ) ∀ y ∈ Y Entonces φ, ψ son medibles y se tiene [µ ⊗ ν](E) =

Z

Z

φ dµ = X

ψ dν Y

Con notaci´ on m´ as sugerente: [µ ⊗ ν](E) =

Z X

Z

ν(Ex ) dµ(x) =

Y

µ(E y ) dν(y)

Producto de medidas

Teorema de Fubini

La integral como medida

La integral como medida (X, A , µ) espacio de medida σ-finita (R, B , β) medida de Borel-Lebesgue Para f : X → [0, ∞[ , definimos S( f ) = {(x,t) ∈ X × R : 0 < t < f (x)} Entonces, f es medible si, y s´ olo si, S( f ) ∈ A ⊗ B , en cuyo caso, Z X

f dµ = [µ ⊗ β] S( f )

Producto de medidas

Teorema de Fubini

Teorema de Hobson-Tonelli

(X, A , µ), (Y, B , ν) espacios de medida σ-finita (X ×Y, A ⊗ B , µ ⊗ ν) espacio de medida producto

Teorema de Hobson-Tonelli Para f : X ×Y → K medible, son equivalentes: (1) f ∈ L1 (µ ⊗ ν) Z Z

(2) ZX ZY

(3) Y

X

| f (x, y)| dν(y) dµ(x) < ∞ | f (x, y)| dµ(x) dν(y) < ∞

Producto de medidas

Teorema de Fubini

Teorema de Fubini para funciones integrables Sean (X, A , µ), (Y, B , ν) espacios de medida σ-finita y f ∈ L1 (µ ⊗ ν). Existen conjuntos A ∈ A y B ∈ B tales que: µ(X \ A) = 0 , fx ∈ L1 (ν) ∀ x ∈ A ν(Y \ B) = 0 , f y ∈ L1 (µ) ∀ y ∈ B Adem´ as, definiendo Z

φ(x) = ZY

ψ(y) =

Z

fx dν = f y dµ =

f (x, y) dν(y) ∀ x ∈ A , φ(x) = 0 ∀ x ∈ X \ A

ZY

X

f (x, y) dµ(x) ∀ y ∈ B , ψ(y) = 0 ∀ y ∈ Y \ B

X

se tiene que φ ∈ L1 (µ), ψ ∈ L1 (ν) y Z

f d(µ ⊗ ν) =

X×Y

Z

Z

φ dµ = X

ψ dν Y

Todo ello se resume de nuevo en la expresi´ on: Z X×Y

f d(µ ⊗ ν) =

Z Z

Z Z

f (x, y) dν(y) dµ(x) = X Y

f (x, y) dµ(x) dν(y) Y

X

Producto de medidas

Teorema de Fubini

Teorema de Fubini para la completaci´ on de la medida producto Sean (X, A , µ), (Y, B , ν) espacios de medida σ-finita y completa. Para f ∈ L1 µ ⊗ ν , se tiene: fx ∈ L1 (ν) para [µ]-casi todo x ∈ X f y ∈ L1 (µ) para [ν]-casi todo y ∈ Y Adem´ as, las funciones φ y ψ definidas c.p.d. mediante: Z

φ(x) = ZY

ψ(y) =

Z

fx dν = f y dµ =

X

f (x, y) dν(y) para [µ]-casi todo x ∈ X

ZY

f (x, y) dµ(x) para [ν]-casi todo y ∈ Y

X

verifican que φ ∈ L1 (µ), ψ ∈ L1 (ν) y Z

Z Z f d µ⊗ν = φ dµ = ψ dν

X×Y

X

Y

Podemos de nuevo escribir: Z Z Z Z Z f d µ⊗ν = f (x, y) dν(y) dµ(x) = f (x, y) dµ(x) dν(y) X×Y

X Y

Y

X

Tema 5: Teorema de Radon-Nikod`ym

27 de abril, 3 y 6 de mayo de 2010

1

TRN para medidas positivas

2

Medidas reales o complejas

3

TRN para medidas reales o complejas

TRN para medidas positivas

Medidas reales o complejas

TRN para medidas reales o complejas

Integral indefinida de una funci´ on medible positiva (Ω, A , λ) espacio de medida, f : Ω → [0, ∞] medible Integral indefinida de f : ϕ : A → [0, ∞] , ϕ(E) =

Z

f dλ E

(E ∈ A )

ϕ es una medida y, para g : Ω → [0, ∞] medible, Z

Z

g dϕ = Ω

g f dλ Ω

Escribimos: dϕ = f dλ Relaci´ on entre λ y µ: E ∈ A , λ(E) = 0 =⇒ ϕ(E) = 0 Decimos que ϕ es absolutamente continua con respecto a λ : ϕ λ

TRN para medidas positivas

Medidas reales o complejas

TRN para medidas reales o complejas

La pregunta natural (Ω, A , λ) espacio de medida, µ : A → [0, ∞] otra medida ¿Existe una funci´ on medible f : Ω → [0, ∞] tal que dµ = f dλ? Condici´ on obviamente necesaria: µ λ

¿Es suficiente?

En general NO: Ω = R , A conjuntos medibles Lebesgue, λ n´ umero de elementos, µ medida de Lebesgue

Teorema de Radon-Nikod` ym para medidas positivas Sea (Ω, A , λ) un espacio de medida σ-finita y µ : A → [0, ∞] una medida absolutamente continua con respecto a λ: E ∈ A , λ(E) = 0 =⇒ µ(E) = 0 Entonces existe una funci´ on medible f : Ω → [0, ∞] tal que dµ = f dλ: Z

µ(E) = E

f dλ ∀ E ∈ A

TRN para medidas positivas

Medidas reales o complejas

TRN para medidas reales o complejas

Integral indefinida de una funci´ on integrable (Ω, A , λ) espacio de medida, f ∈ L1 (λ). Integral indefinida de f : µ : A → K, µ(E) =

Z

f dλ E

(E ∈ A )

µ es σ-aditiva: An ∈ A ∀ n ∈ N , An ∩ Am = 0/ (n 6= m) =⇒ µ

∞ [

∞

An =

∑ µ(An )

n=1

n=1

µ es combinaci´ on lineal de medidas (positivas): Z

µ(E) = E

(Re f )+ dλ −

Z E

(Re f )− dλ + i

Z E

(Im f )+ dλ − i

Z E

(Im f )− dλ

TRN para medidas positivas

Medidas reales o complejas

TRN para medidas reales o complejas

Medidas reales o complejas (Ω, A ) espacio medible Medida real o compleja: aplicaci´ on µ : A → K que es σ-aditiva: An ∈ A ∀ n ∈ N , An ∩ Am = 0/ (n 6= m) =⇒ µ

∞ [ n=1

∞

An =

∑ µ(An )

n=1

∞

/ =0 Observaciones: µ(0)

y, m´ as importante,

∑ |µ(An )| < ∞

n=1

Notaci´ on: M(A ) medidas reales o complejas definidas en A , espacio vectorial. M + (A ) medidas positivas y finitas M + (A ) ⊆ M(A , R) ⊆ M(A , C) = M(A , R) ⊕ i M(A , R) M(A , R) espacio vectorial ordenado: µ1 6 µ2 ⇔ µ2 − µ1 ∈ M + (A ) ¿Es M(A , R) un ret´ıculo vectorial? ¿Podemos definir coherentemente el valor absoluto de una medida real o incluso el m´ odulo de una medida compleja?

TRN para medidas positivas

Medidas reales o complejas

TRN para medidas reales o complejas

Variaci´ on de una medida compleja µ ∈ M(A ) medida real o compleja. Para E ∈ A escribimos: ∞ [ An , An ∈ A ∀ n ∈ N , An ∩ Am = 0/ (n 6= m) Π(E) = {An } : E = n=1

Entonces: ∞

|µ|(E) = sup

∑ |µ(An )| : {An } ∈ Π(E)

(E ∈ A )

n=1

|µ| : A → [0, ∞] es la variaci´ on de la medida µ

Teorema (la propiedad clave de la variaci´ on) La variaci´ on de una medida real o compleja es una medida positiva y finita: µ ∈ M(A ) =⇒ |µ| ∈ M + (A )

TRN para medidas positivas

Medidas reales o complejas

TRN para medidas reales o complejas

Propiedades de ret´ıculo Si µ ∈ M(A ) y ν : A → [0, ∞] medida positiva, |µ(E)| 6 ν(E) ∀ E ∈ A =⇒ |µ|(E) 6 ν(E) ∀ E ∈ A Equivalentemente, caso K = C: Caso K = R:

|µ| = sup{Re (eiθ µ) : θ ∈ R}

|µ| = sup{µ, −µ}

M(A , R) es un ret´ıculo vectorial: 1 1 µ ∨ ν = (µ + ν + |µ − ν|) ; µ ∧ ν = (µ + ν − |µ − ν|) 2 2 Descomposici´ on de Jordan de una medida real: ( µ+ = 21 (|µ| + µ) = µ ∨ 0 µ ∈ M(A , R) =⇒ µ− = 21 (|µ| − µ) = −(µ ∧ 0) Propiedades: µ+ , µ− ∈ M + (A ) ,

µ = µ+ − µ− ,

|µ| = µ+ + µ−

µ = µ1 − µ2 con µ1 , µ2 ∈ M + (A ) =⇒ µ+ 6 µ1 , µ− 6 µ2

TRN para medidas positivas

Medidas reales o complejas

TRN para medidas reales o complejas

Norma de una medida (Ω, A ) espacio medible. Definiendo kµk = |µ|(Ω) ,

µ ∈ M(A )

se obtiene una norma en M(A ), “Variaci´ on total” Otra norma natural: kµk∞ = sup{|µ(E)| : E ∈ A }

µ ∈ M(A )

Ambas normas son equivalentes kµk∞ 6 kµk 6 4 kµk∞

λ ∈ M(A )

Y ambas son completas. M(A ) espacio de Banach con la norma de la variaci´ on total

TRN para medidas positivas

Medidas reales o complejas

TRN para medidas reales o complejas

Continuidad absoluta (Ω, A , λ) espacio de medida, µ ∈ M(A ) . µ λ cuando: E ∈ A , λ(E) = 0 =⇒ µ(E) = 0 Equivalentemente: ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : E ∈ A , λ(E) < δ =⇒ |µ(E)| < ε Observaci´ on:

µ λ ⇐⇒ |µ| λ

Teorema de Radon-Nikod` ym Sea (Ω, A , λ) un espacio de medida σ-finita y µ ∈ M(A ) una medida absolutamente continua con respecto a λ: E ∈ A , λ(E) = 0 =⇒ µ(E) = 0 Entonces existe una u ńica f ∈ L1 (λ) tal que µ es la integral indefinida de f , es decir, Z µ(E) =

f dλ E

∀E ∈ A

TRN para medidas positivas

Medidas reales o complejas

TRN para medidas reales o complejas

Unicidad (Ω, A , λ) espacio de medida σ-finita, f ∈ L1 (λ), R( f ) =

1 λ(E)

Z E

f dλ : E ∈ A , 0 < λ(E) < ∞

Entonces λ {x ∈ Ω : f (x) ∈ / R( f )} = 0

f (x) ∈ R( f ) p.c.t. x ∈ Ω

Descomposición polar (Ω, A ) espacio medible, µ ∈ M(A ). Existe h : Ω → K medible, tal que |h(x)| = 1 ∀ x ∈ Ω

Z

y

µ(E) = E

h d|µ| ∀ E ∈ A

h est´ a determinada |µ|-c.p.d. “Descomposici´ on polar” Integral asociada a una medida real o compleja: Z

Z

f dµ = E

f h d|µ| E

Simb´ olicamente: dµ = h d|µ|

f ∈ L1 (|µ|), E ∈ A

TRN para medidas positivas

Medidas reales o complejas

TRN para medidas reales o complejas

Descomposición de Hahn de una medida real (Ω, A ) espacio medible, µ ∈ M(A , R), descomposici´ on polar dµ = h d|µ| h(x) ∈ {−1, 1} ∀ x ∈ Ω,

(signo de una medida real). Definimos:

A+ = {x ∈ Ω : h(x) = 1} ;

A− = {x ∈ Ω : h(x) = −1}

El par (A+ , A− ) es una descomposici´ on de Hahn de la medida real µ / Ω = A+ ∪ A− , A+ ∩ A− = 0, ( E ∈A

E ⊆ A+ ⇒ µ(E) > 0 E ⊆ A− ⇒ µ(E) 6 0

µ(E) = |µ|(E ∩ A+ ) − |µ|(E ∩ A− ) |µ|(E) = µ(E ∩ A+ ) − µ(E ∩ A− )

(E ∈ A ) (E ∈ A )

µ+ (E) = µ(E ∩ A+ ) , µ− (E) = −µ(E ∩ A− )

(E ∈ A )

Unicidad: si (B+ , B− ) es otra descomposici´ on de Hahn, + + |µ| (A \ B ) ∪ (B+ \ A+ ) = |µ| (A− \ B− ) ∪ (B− \ A− ) = 0

TRN para medidas positivas

Medidas reales o complejas

TRN para medidas reales o complejas

Revisión de la integral indefinida (Ω, A , λ) espacio de medida, f ∈ L1 (λ), µ(E) = µ ∈ M(A ), |µ|(E) =

Z E

Z E

f dλ (E ∈ A )

µλ | f | dλ ∀ E ∈ A

kµk = |µ|(Ω) = k f k1 Descomposici´ on polar: tomando h : Ω → K medible, tal que |h(x)| = 1 y f (x) = h(x)| f (x)| para casi todo x ∈ Ω, se tiene dµ = h d|µ| Integral asociada a µ: Z

Z

g dµ = E

g f dλ E

g ∈ L1 (|µ|), E ∈ A

De hecho, L1 (|µ|) = {g ∈ L0 (µ) : g f ∈ L1 (λ)} Si f ∈ L1 (µ, R): ( R R Jordan: µ+ (E) = E f + dλ , µ− (E) = E f − dλ ∀ E ∈ A Hahn: A+ = {x ∈ Ω : f (x) > 0} , A− = {x ∈ Ω : f (x) < 0}

TRN para medidas positivas

Medidas reales o complejas

TRN para medidas reales o complejas

Ortogonalidad de medidas (Ω, A ) espacio medible, µ medida en A (positiva, real o compleja), A ∈ A : µ concentrada en A ⇐⇒ µ(E) = µ(E ∩ A) ∀ E ∈ A Equivalentemente: (

µ(Ω \ A) = 0 |µ|(Ω \ A) = 0

si µ > 0 si µ ∈ M(A )

µ1 y µ2 son ortogonales (o mutuamente singulares) cuando est´ an concentradas en conjuntos disjuntos: µ1 ⊥µ2 ⇔ ∃ A1 , A2 ∈ A : A1 ∩ A2 = 0/ , µk concentrada en Ak , k = 1, 2

Descomposición de Lebesgue Sea (Ω, A , λ) un espacio de medida σ-finita y µ ∈ M(A ). Entonces µ admite una u ńica descomposici´ on de la forma µ = µa + µs donde µa λ y µs ⊥λ

TRN para medidas positivas

Medidas reales o complejas

TRN para medidas reales o complejas

Resumen Sea (Ω, A ) un espacio medible, M(A ) el espacio vectorial de las medidas reales o complejas en A y M + (A ) = {µ ∈ M(A ) : µ(E) > 0 ∀ E ∈ A } (1) La variaci´ on de una medida real o compleja es una medida positiva y finita: µ ∈ M(A ) =⇒ |µ| ∈ M + (A ) (2) M(A ) es un espacio de Banach con la norma de la variaci´ on total: kµk = |µ|(Ω) (µ ∈ M(A ). La convergencia es la uniforme en A (3) M(A , R) , con el orden natural, es también un ret´ıculo vectorial Fijada ahora una medida σ-finita λ : A → [0, ∞] consideramos dos subespacios de M(A ): Ma (λ) = {µ ∈ M(A ) : µ λ} y Ms (λ) = {µ ∈ M(A ) : µ⊥λ} (4) Se verifica que M(A ) = Ma (λ) ⊕ Ms (λ), suma topol´ ogico-directa, ya que kµ + νk = kµk + kνk para cualesquiera µ ∈ Ma (λ) y ν ∈ Ms (λ) (5) Para f ∈ L1 (λ) sea T ( f ) su integral indefinida: Z

[T ( f )](E) =

f dλ E

(E ∈ A )

Entonces T es una biyecci´ on lineal isométrica de L1 (λ) sobre Ma (λ). En el caso K = R, T es también un isomorfismo de ret´ıculos

Tema 6: Teorema de Representación de Riesz

10 y 13 de mayo de 2010

1

Funcionales lineales positivos

2

Regularidad de medidas de Borel

3

Funcionales lineales continuos

Funcionales lineales positivos

Regularidad de medidas de Borel

Funcionales lineales continuos

Funciones continuas de soporte compacto L espacio topol´ ogico de Hausdorff, localmente compacto C00 (L) : funciones de L en K, continuas, de soporte compacto sop f = {t ∈ L : f (t) 6= 0} Medidas de Borel localmente finitas

B : σ-álgebra de Borel de L Las funciones continuas de L en K son medibles µ : B → [0, ∞] medida de Borel finita en compactos: K ⊆ L , K compacto =⇒ µ(K) < ∞ Equivalentemente, µ es localmente finita C00 (L) ⊂ L1 (µ) Funcionales lineales positivos Z

Φµ ( f ) = Φµ : C00 (L) → K

f dµ L

( f ∈ C00 (L))

funcional lineal positivo:

f ∈ C00 (L) , f > 0 =⇒ Φµ ( f ) > 0 ¡El rec´ıproco también es cierto!: Todo funcional lineal positivo es una integral

Funcionales lineales positivos

Regularidad de medidas de Borel

Funcionales lineales continuos

Teorema de representación de Riesz para funcionales lineales positivos

Teorema Sea L un espacio topol´ ogico de Hausdorff localmente compacto y Φ : C00 (L) → K un funcional lineal positivo: f ∈ C00 (L) , f (t) > 0 ∀t ∈ L =⇒ Φ( f ) > 0 Entonces existe una u ńica medida de Borel µ : B → [0, ∞] verificando: (1) µ(E) = ´ınf {µ(U) : U abierto, E ⊆ U ⊆ L}

(E ∈ B )

(2) µ(U) = sup {µ(K) : K compacto, K ⊆ U} (U ⊆ L, U abierto) (3) µ es localmente finita Z

(4) Φ( f ) =

f dµ L

f ∈ C00 (L)

Funcionales lineales positivos

Regularidad de medidas de Borel

Funcionales lineales continuos

Medidas de Borel regulares X Hausdorff, B σ-´ algebra de Borel, µ : B → [0, ∞] medida de Borel, E ∈ B , E regular exterior para µ:

µ(E) = ´ınf{µ(U) : U abierto, E ⊆ U ⊆ L}

E regular interior para µ:

µ(E) = sup{µ(K) : K compacto, K ⊆ E}

µ regular exterior: todo E ∈ B es regular exterior para µ µ regular interior: todo E ∈ B es regular interior para µ regular = regular exterior e interior Medida de Radon: medida de Borel positiva, localmente finita, regular exterior y tal que todo conjunto abierto es regular interior para ella

Algunas observaciones Si µ es una medida de Radon, todo conjunto de Borel E ∈ B que verifique µ(E) < ∞ es regular interior para µ. Por tanto, toda medida de Radon finita es regular Si X es σ-compacto, toda medida de Borel positiva en X , regular exterior y localmente finita es regular Si X es localmente compacto y todo abierto de X es uni´ on numerable de compactos, entonces toda medida de Borel positiva y localmente finita en X es regular

Funcionales lineales positivos

Regularidad de medidas de Borel

Funcionales lineales continuos

Distintas versiones del Teorema de Riesz

TRR, caso general Sea L un espacio topol´ ogico de Hausdorff, localmente compacto, y sea Φ ńica medida de un funcional lineal positivo en C00 (L). Entonces existe una u Radon µ en L que verifica Z

f dµ = Φ( f ) K

( f ∈ C00 (L))

TRR, caso σ-compacto Sea L un espacio topol´ ogico de Hausdorff, localmente compacto y σ-compacto, y sea Φ un funcional lineal positivo en C00 (L). Entonces existe una u ńica medida de Borel µ en L, regular exterior y localmente finita, que verifica Z f dµ = Φ( f ) K

De hecho, µ es regular

( f ∈ C00 (L))

Funcionales lineales positivos

Regularidad de medidas de Borel

Funcionales lineales continuos

TRR, caso compacto Sea K un espacio topol´ ogico compacto de Hausdorff y sea Φ un funcional lineal positivo en C(K). Entonces existe una u ńica medida de Borel µ en K, regular exterior y finita, que verifica Z

f dµ = Φ( f ) K

( f ∈ C00 (L))

De hecho µ es regular

Teorema de representaci´ on de Riesz, caso localmente σ-compacto Sea L un espacio topol´ ogico de Hausdorff, localmente compacto y tal que todo subconjunto abierto de L puede obtenerse como uni´ on numerable de compactos, y sea Φ un funcional lineal positivo en C00 (L). Entonces existe una u ńica medida de Borel localmente finita µ en L que verifica Z

f dµ = Φ( f ) K

De hecho µ es regular

( f ∈ C00 (L))

Funcionales lineales positivos

Regularidad de medidas de Borel

Funcionales lineales continuos

Consecuencias de la regularidad

Teorema de Lusin Sea µ una medida de Radon en un espacio topol´ ogico de Hausdorff localmente compacto L y sea f : L → K una funci´ on medible verificando: µ {t ∈ L : f (t) 6= 0} < ∞ Entonces, para cada ε > 0 puede encontrarse g ∈ C00 (L) verificando: µ {t ∈ L : f (x) 6= g(x)} < ε y kgk∞ 6 sup {| f (t)| : t ∈ L}

Corolario importante Si µ es una medida de Radon en un espacio topol´ ogico de Hausdorff localmente compacto L, entonces C00 (L) es denso en L p (µ) para 0 < p < ∞

Funcionales lineales positivos

Regularidad de medidas de Borel

Funcionales lineales continuos

Motivaci´ on L espacio topol´ ogico de Hausdorff, localmente compacto, C00 (L) espacio normado con k f k∞ = máx {| f (t)| : t ∈ L}

f ∈ C00 (L)

λ ∈ M(B ) medida de Borel real o compleja λ ser´ a regular cuando lo sea su variaci´ on: ( K compacto , U abierto E ∈ B , ε > 0 =⇒ ∃ K,U : K ⊆ E ⊆ U ⊆ L y |µ|(U \ K) < ε Medidas de Borel reales o complejas regulares: M(L) = {λ ∈ M(B ) : λ regular} Subespacio cerrado de M(B ), luego espacio de Banach con la norma kλk = |λ|(L) λ ∈ M(L) λ ∈ M(L) ⇒ C00 (L) ⊆ L1 (|λ|) y podemos definir Φλ : C00 (L) → K por Z

Φλ ( f ) =

f dλ L

f ∈ C00 (L)

Φλ es lineal, puede no ser positivo, pero es continuo: Φλ ∈ C00 (L)∗

Funcionales lineales positivos

Regularidad de medidas de Borel

Funcionales lineales continuos

Operadores lineales continuos Continuidad de operadores lineales entre espacios normados X,Y espacios normados, BX = {x ∈ X : kxk 6 1}, T : X → Y lineal. Equivalen: (1) T es continuo (2) ∃ M > 0 : kT xk 6 M kxk, ∀ x ∈ X (3) T est´ a acotado en BX Norma de operadores X,Y espacios normados, L(X,Y ) espacio vectorial de los operadores lineales continuos de X en Y . kT k = m´ın{M > 0 : kT xk 6 Mkxk, ∀ x ∈ X} = sup{

kT xk : x 6= 0} kxk

= sup{kTuk : kuk = 1} = sup{kT xk : x ∈ BX } Norma de operadores. L(X,Y ) espacio normado, espacio de operadores Convergencia en L(X,Y ) = Convergencia uniforme en BX Y completo =⇒ L(X,Y ) completo

Funcionales lineales positivos

Regularidad de medidas de Borel

Funcionales lineales continuos

Dual de un espacio normado

Continuidad de funcionales lineales en espacios normados X espacio normado, BX = {x ∈ X : kxk 6 1}, f : X → K lineal. Equivalen: (1) f es continuo (2) ∃ M > 0 : | f (x)| 6 M kxk, ∀ x ∈ X (3) f est´ a acotado en BX (4) ker f es cerrado en X Norma dual X espacio normado, X ∗ funcionales lineales continuos en X, espacio de Banach. k f k = m´ın{M > 0 : | f (x)| 6 Mkxk, ∀ x ∈ X} = sup{| f (x)| : x ∈ BX } Norma dual. X ∗ espacio dual de X Para espacios X concretos, es u ´til tener descripciones concretas de X ∗

Funcionales lineales positivos

Regularidad de medidas de Borel

Funcionales lineales continuos

Teorema de representaci´ on de Riesz Sea L un espacio topol´ ogico de Hausdorff, localmente compacto. Entonces, C00 (L)∗ ≡ M(L) M´ as concretamente, un isomorfismo isométrico Ψ de M(L) sobre C00 (L)∗ viene dado por: Z

[Ψ(λ)]( f ) =

f dλ L

f ∈ C00 (L), λ ∈ M(L)

Caso compacto C(K)∗ ≡ M(K)

Funcionales lineales positivos

Regularidad de medidas de Borel

Ejemplo Fijada g ∈ L1 [0, 1], para f ∈ C[0, 1] se define Z 1

ϕ( f ) =

f (t) g(t) dt 0

Es claro que ϕ ∈ C[0, 1]∗ . De hecho tenemos kϕk =

Z 1 0

|g(t)| dt = kgk1

Obsérvese que estamos viendo L1 [0, 1] ⊆ M[0, 1] ≡ C[0, 1]∗

Funcionales lineales continuos

Tema 7: Espacios Vectoriales Topológicos

17 y 20 de mayo de 2010

1

EVT: Ideas b´ asicas Preliminares algebraicos Concepto de EVT Construcci´ on de EVT

2

Nociones uniformes Continuidad uniforme Complitud Precompacidad

3

Acotaci´ on Conjuntos acotados Operadores lineales acotados

4

Construcciones con EVT Topolog´ıas iniciales Cocientes Homomorfismos Sumas topol´ ogico-directas

EVT: Ideas b´ asicas

Nociones uniformes

Acotaci´ on

Construcciones con EVT

Preliminares algebraicos Notaci´ on X espacio vectorial (sobre K = R o C) Λ ⊂ K, α ∈ K, A, B ⊂ X, x ∈ X, Λ A = {λ a : λ ∈ Λ, a ∈ A},

Λ x = {λ x : λ ∈ Λ},

A + B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B},

α A = {α a : a ∈ A}

x + B = {x + b : b ∈ B}

Por ejemplo, A subespacio de X A convexo

⇐⇒ K A + A ⊂ A

⇐⇒ (1 − ρ) A + ρ A ⊂ A ∀ ρ ∈ [0, 1]

Conjuntos absorbentes y equilibrados A ⊂ X es absorbente cuando

X = R+ A

B ⊂ X es equilibrado cuando D B = B, donde D = {λ ∈ K : |λ| 6 1} Para A ⊂ X, D A es la envolvente equilibrada de A

EVT: Ideas b´ asicas

Nociones uniformes

Acotaci´ on

Construcciones con EVT

Concepto de Espacio Vectorial Topológico Definici´ on Topolog´ıa Vectorial: Topolog´ıa en un espacio vectorial X que hace continuas La suma:

X × X → X, (x, y) 7→ x + y

El producto por escalares:

(x, y ∈ X)

K × X → X, (λ, x) 7→ λ x

(λ ∈ K, x ∈ X)

La topolog´ıa trivial es vectorial, la discreta no (salvo X = {0}) EVT = espacio vectorial dotado de una topolog´ıa vectorial

Propiedad inmediata: homogeneidad X EVT, λ0 ∈ K con λ0 6= 0 y x0 ∈ X. La aplicaci´ on x 7→ λ0 x + x0 homeomorfismo de X. Las traslaciones, giros y homotecias son homeomorfismos

es un

B base de entornos de cero en X ⇓ {x + B : B ∈ B } base de entornos de cada x ∈ X La topolog´ıa de X queda determinada por B ¿C´ omo son las bases de entornos de cero para una topolog´ıa vectorial?

EVT: Ideas b´ asicas

Nociones uniformes

Acotaci´ on

Construcciones con EVT

Construcci´ on de topolog´ıas vectoriales Entornos de cero X EVT, U = { entornos de cero en X} U ∈ U ⇒ X = R+ U. Todo entorno de cero es absorbente U ∈ U ⇒ ∃V ∈ U : DV = V ⊂ U. Todo entorno de cero contiene un entorno de cero equilibrado U ∈ U ⇒ ∃V ∈ U : V +V ⊂ U

Definición constructiva de EVT X espacio vectorial, B familia de subconjuntos de X verificando: (a) ∀U,V ∈ B ∃W ∈ B : W ⊂ U ∩V (b) U ∈ B =⇒ U absorbente (c) U ∈ B =⇒ U equilibrado (d) ∀U ∈ B ∃V ∈ B : V +V ⊂ U Entonces existe una (´ unica) topolog´ıa vectorial en X para la cual B es base de entornos de cero

EVT: Ideas b´ asicas

Nociones uniformes

Acotaci´ on

Construcciones con EVT

Uso de la definición constructiva Pseudonormas X espacio vectorial, ν : X → R pseudonorma cuando: (1) ν(x + y) 6 ν(x) + ν(y) ∀ x, y ∈ X (2) λ ∈ D =⇒ ν(λ x) 6 ν(x) ∀ x ∈ X x (3) l´ım ν = 0 ∀ x ∈ X. n→∞ n Una seminorma verifica (1) y ν(λ x) = |λ| ν(x) ∀ λ ∈ K, ∀ x ∈ X, luego toda seminorma es una pseudonorma

Topolog´ıa asociada a una pseudonorma X espacio vectorial, ν pseudonorma en X, Uε = {x ∈ X : ν(x) 6 ε} La familia {Uε : ε > 0} es base de entornos de cero para una (´ unica) topolog´ıa vectorial en X, la topolog´ıa asociada a la pseudonorma ν, con la que X es un EVT pseudonormable (seminormable cuando ν es una seminorma) Definiendo δ(x, y) = ν(x − y) para x, y ∈ X, se obtiene una semidistancia que genera la misma topolog´ıa. Seminormable

=⇒

Pseudonormable

=⇒

Semimetrizable

EVT: Ideas b´ asicas

Nociones uniformes

Acotaci´ on

Construcciones con EVT

Uso de los entornos de cero X EVT, B base de entornos de cero, Cierre de un conjunto A ⊂ X: A=

\

A +U

U∈B

{U : U ∈ B } base de entornos de cero cerrados X es un espacio topol´ ogico regular Los axiomas de separaci´ on T0 , T1 , T2 y T3 son equivalentes para X. EVT separado X separado ⇐⇒ {0} cerrado Un espacio pseudonormable es separado cuando su pseudonorma ν es total: x ∈ X, ν(x) = 0 =⇒ x = 0 seminorma total = norma

EVT: Ideas b´ asicas

Nociones uniformes

Acotaci´ on

Construcciones con EVT

Continuidad uniforme X,Y EVT, A ⊂ X, f : A → Y f es uniformemente continua (en A) cuando para cada V entorno de 0 en Y existe un U, entorno de 0 en X, tal que: a, b ∈ A, a − b ∈ U

⇒

f (a) − f (b) ∈ V

Coherente en caso de que X e Y sean pseudonormables

Continuidad de operadores lineales X,Y EVT, T : X → Y operador lineal. Equivalen: (i) T es uniformemente continuo en X (ii) T es continuo en X (iii) T es continuo en 0 L(X,Y ) operadores lineales continuos

EVT: Ideas b´ asicas

Nociones uniformes

Acotaci´ on

Construcciones con EVT

Redes Conjunto dirigido: Λ 6= 0/ con relaci´ on binaria 6, reflexiva y transitiva (preorden) verificando: ∀λ1 , λ2 ∈ Λ ∃λ ∈ Λ : λ1 6 λ, λ2 6 λ Ejemplos: cualquier conjunto con una relaci´ on de orden total, N, R. Los entornos de un punto en un espacio topol´ ogico ordenados por “contenci´ on” Red en un conjunto X: Aplicaci´ on ϕ : Λ → X, con Λ dirigido. Notaci´ on: xλ = ϕ(λ), ϕ ≡ {xλ }. Ejemplo: sucesi´ on Red convergente: X espacio topol´ ogico, {xλ } red en X, x ∈ X: {xλ } → x ⇐⇒ ∀U ∈ U (x) ∃ λ0 ∈ Λ : {xλ : λ0 6 λ} ⊂ U Las redes convergentes caracterizan la topolog´ıa: x ∈ A ⇐⇒ ∃ {aλ } : aλ ∈ A ∀ λ ∈ Λ, {aλ } → x Ejemplo: En todo EVT, el cierre de un subespacio es un subespacio

EVT: Ideas b´ asicas

Nociones uniformes

Acotaci´ on

Construcciones con EVT

Complitud Red de Cauchy En un espacio métrico: ∀ ε > 0 ∃ λ0 : λ1 , λ2 > λ0 ⇒ d xλ1 , xλ2 < ε En un EVT: ∀U ∈ U (0) ∃ λ0 : λ1 , λ2 > λ0 ⇒ xλ1 − xλ2 ∈ U Conjuntos completos X EVT, E ⊂ X. E completo cuando toda red de Cauchy en E converge a un punto de E.

Uso de la complitud E completo, F = F ∩ E ⇒ F completo X separado, X ⊃ E completo

⇒ E =E

Todo EVT se puede completar Extensi´ on de funciones: X,Y EVT, Y separado y completo, M ⊂ X subespacio denso, T ∈ L(M,Y ). Existe u ńica extensi´ on Te ∈ L(X,Y ). Por tanto L(M,Y ) ≡ L(X,Y )

EVT: Ideas b´ asicas

Nociones uniformes

Acotaci´ on

Construcciones con EVT

Precompacidad Conjuntos precompactos En un espacio métrico: S A precompacto ⇐⇒ ∀ ε > 0, A ⊂ nk=1 B(xk , ε) En un EVT: A precompacto ⇐⇒ ∀U ∈ U (0), ∃ F finito : A ⊂ F +U

Propiedades de los conjuntos precompactos Uniones finitas, combinaciones lineales, envolventes equilibradas A precompacto =⇒ A precompacto A precompacto, f uniformemente continua =⇒

f (A) precompacto

Caracterización de la compacidad X EVT, A ⊂ X, A compacto ⇐⇒ A precompacto y completo Por tanto, si X es completo, A precompacto

⇐⇒ A relativamente compacto

EVT: Ideas b´ asicas

Nociones uniformes

Acotaci´ on

Construcciones con EVT

Conjuntos acotados

Definici´ on de conjunto acotado X EVT, A ⊂ X, ⇐⇒ ∀U entorno de cero en X, ∃ ρ ∈ R+ : A ⊂ ρU

A acotado

Si X tiene la topolog´ıa asociada a una pseudonorma ν: A acotado

=⇒ sup{ν(a) : a ∈ A} < ∞

El rec´ıproco no es cierto en general, pero s´ı para seminormas

Propiedades de los conjuntos acotados Precompacto

=⇒ Acotado h na o i n →0 A acotado ⇐⇒ {an : n ∈ N} ⊂ A ⇒ n Uniones finitas, combinaciones lineales, envolventes equilibradas A acotado

=⇒ A acotado

EVT: Ideas b´ asicas

Nociones uniformes

Acotaci´ on

Construcciones con EVT

Acotación de operadores lineales X,Y EVT, T : X → Y lineal. Consideramos varias afirmaciones: (a) T acotado en un entorno de cero: ∃U entorno de cero en X : T (U) acotado en Y (b) T continuo (c) T secuencialmente continuo (d) T acotado: A ⊂ X, A acotado =⇒ T (A) acotado en Y

Siempre: (a) ⇒ (b) ⇒ (c) ⇒ (d) En general, ninguna reversible Si X tiene un entorno de cero acotado, todas son equivalentes Si Y tiene un entorno de cero acotado, (b) ⇒ (a) Si X es semimetrizable, (d) ⇒ (b)

EVT: Ideas b´ asicas

Nociones uniformes

Acotaci´ on

Construcciones con EVT

Topolog´ıas iniciales Topolog´ıa inicial / X 6= 0,

{(Xi , Ti ) : i ∈ I} espacios topol´ ogicos,

fi : X → Xi

(i ∈ I).

Topolog´ıa inicial para { fi : i ∈ I}: M´ınima que las hace a todas continuas

Hechos generales Base de la topolog´ ıa inicial: ( \

fi−1 (Gi )

)

: J ⊂ I, J finito, Gi ∈ Ti ∀ i ∈ J

i∈J

Convergencia en la topolog´ıa inicial: {xλ } → x ⇐⇒ { fi (xλ )} → fi (x) ∀ i ∈ I Criterio de continuidad: Y espacio topol´ ogico, f : Y → X, f continua

⇐⇒

fi ◦ f continua

∀i ∈ I

Ejemplos: inducida, producto, supremo Teorema de Tichonoff: Un producto arbitrario de espacios topol´ ogicos compactos es compacto

EVT: Ideas b´ asicas

Nociones uniformes

Acotaci´ on

Construcciones con EVT

EVT con topolog´ıa inicial Topolog´ıa inicial para aplicaciones lineales X espacio vectorial, {Xi : i ∈ I} familia de EVT y para cada i ∈ I, fi : X → Xi lineal. Entonces X con la topolog´ıa inicial es un EVT. Base de entornos ( de cero en X:

B=

\

fi−1 (Ui )

)

: J ⊂ I, J finito, Ui ∈ Bi ∀ i ∈ J

i∈J

Ejemplos: Subespacios, Producto de EVT, Supremo Separaci´ on: Si Xi es separado para todo \ i ∈ I, X separado ⇐⇒ ker fi = {0} i∈I

Acotaci´ on y Precompacidad: A ⊂ X, ( ( acotado acotado A ⇐⇒ fi (A) precompacto precompacto Complitud:

∏ Xi i∈I

completo ⇐⇒ Xi completo ∀ i ∈ I

∀i ∈ I

EVT: Ideas b´ asicas

Nociones uniformes

Acotaci´ on

Construcciones con EVT

Cociente de EVT Topolog´ıa cociente X EVT, M subespacio vectorial de X, π : X → X/M aplicaci´ on cociente Definici´ on de la topolog´ıa cociente: G ⊂ X/M, G abierto

⇐⇒ π−1 (G) abierto en X

Hechos básicos π es continua y abierta X/M es un EVT X/M separado

⇐⇒ M = M

Y espacio topol´ ogico, f : X/M → Y , f continua

⇐⇒

f ◦ π continua

Si X tiene la topolog´ıa asociada a una pseudonorma ν, definiendo: e ν(x + M) = ´ınf{ν(x + m) : m ∈ M}, e ν es una pseudonorma en X/M que genera la topolog´ıa cociente. Si ν es una seminorma, igual le ocurre a e ν

EVT: Ideas b´ asicas

Nociones uniformes

Acotaci´ on

Construcciones con EVT

Homomorfismos de EVT Isomorfismo (de EVT) X e Y EVT. Isomorfismo de X sobre Y : Operador lineal biyectivo T : X → Y tal que T y T −1 son continuos

Factorización canónica de un operador lineal X

T Y

6 I

π

? X/ker T

Te -

T (X)

Homomorfismo (de EVT) X e Y EVT. Homomorfismo de X en Y : Operador lineal continuo T : X → Y tal que T : X → T (X) es una aplicaci´ on abierta Inyectivo ⇒ Monomorfismo; Sobreyectivo ⇒ Epimorfismo Todo homomorfismo (T ) es composici´ on de un epimorfismo (π), un isomorfismo (Te) y un monomorfismo (I)

EVT: Ideas b´ asicas

Nociones uniformes

Acotaci´ on

Construcciones con EVT

Suma topol´ ogico-directa

Suma directa algebraica de dos subespacios X espacio vectorial, Y subespacio de X. Complemento algebraico de Y en X: subespacio Z de X tal que X = Y + Z, Y ∩ Z = {0}, es decir X = Y ⊕ Z, suma directa Φ : Y × Z → X, Φ(y, z) = y + z biyecci´ on lineal Φ−1 (x) = (Px, x − Px). P : X → X proyecci´ on lineal: P2 = P, P(X) = Y, ker P = Z Ψ : Z → X/Y , Ψ(z) = z +Y

biyecci´ on lineal

Suma topol´ ogico-directa X EVT, X = Y ⊕ Z, Φ y Ψ siempre son continuas. Son equivalentes: (1) Φ−1 es continua (Φ es un isomorfismo) (2) P es continua (3) Ψ−1 es continua (Ψ es un isomorfismo) Suma topol´ ogico-directa

EVT: Ideas b´ asicas

Nociones uniformes

Acotaci´ on

Construcciones con EVT

Subespacios complementados

Ejemplos sencillos X EVT separado, X = Y ⊕ Z, suma topol´ ogico directa

=⇒ Y, Z cerrados

X EVT, X = {0} ⊕ Z suma topol´ ogico-directa Z EVT separado, isomorfo a X/{0} subespacio complementado X EVT, Y subespacio de X Y complementado: ∃ Z : X = Y ⊕ Z suma topol´ ogico-directa Equivalentemente: ∃ P : X → X proyecci´ on lineal continua, P(X) = Y Z = ker P complemento topol´ ogico de Y en X, isomorfo a X/Y X EVT separado, Y subespacio complementado de X

=⇒ Y cerrado

Tema 8: Tipos de EVT

27 y 31 de mayo, 7 de junio de 2010

1

EVT de dimensi´ on finita Teorema de Tychonoff Teorema de Riesz Ejemplos

2

EVT normables Funcional de Minkowski Criterio de normabilidad

3

Espacios localmente acotados

4

Espacios localmente convexos

5

EVT metrizables Metrizabilidad F-espacios Espacios de Fréchet

EVT de dimensi´ on finita

EVT normables

Espacios localmente acotados

Espacios localmente convexos

EVT metrizables

¿Cuántos hay?

Teorema de Tychonoff (1935) Toda biyecci´ on lineal entre dos espacios vectoriales topol´ ogicos separados de dimensi´ on finita es un isomorfismo

Consecuencias (Hausdorff, 1932) En un espacio vectorial de dimensi´ on finita, todas las normas son equivalentes Todo subespacio finito-dimensional de un EVT separado es cerrado Todo operador lineal de un EVT separado de dimensi´ on finita en cualquier otro EVT es continuo Un operador lineal con valores en un EVT separado de dimensi´ on finita es (a) Continuo ⇐⇒ su n´ ucleo es cerrado (b) Abierto ⇐⇒ es sobreyectivo En un EVT separado, todo subespacio cerrado de codimensi´ on finita est´ a complementado

EVT de dimensi´ on finita

EVT normables

Espacios localmente acotados

Espacios localmente convexos

¿C´ omo son?

Teorema clásico de Riesz (1918) Para un espacio normado X, las siguientes afirmaciones son equivalentes: (a) Todo subconjunto cerrado y acotado de X es compacto (b) X es localmente compacto (c) La bola cerrada unidad de X es compacta (d) X tiene dimensi´ on finita

Teorema de Riesz generalizado Para un EVT separado X, las siguientes afirmaciones son equivalentes: (1) X es localmente compacto (2) Existe en X un entorno de cero precompacto (3) X tiene dimensi´ on finita

EVT metrizables

EVT de dimensi´ on finita

EVT normables

Espacios localmente acotados

Espacios localmente convexos

EVT metrizables

Espacios Lp de dimensión finita Los espacios lpN Espacio de medida: Ω = {1, 2, . . . , N }, A = P(Ω), µ = n´ umero de elementos

Z x dµ = Ω

N X

x(k)

Lp (µ) = Lp (µ) = KN (0 6 p 6 ∞)

k=1

Como EVT son todos isomorfos: KN con la topolog´ıa producto lpN = (KN , k · kp ) kxkp =

N X

(1 6 p 6 ∞)

!1/p |x(k)|p

(x ∈ KN , 1 6 p < ∞)

k=1

kxk∞ = m´ ax {|x(k)| : 1 6 k 6 N }

(x ∈ KN )

Desigualdad de H¨ older: N X k=1

|x(k)| |y(k)| 6

N X k=1

!1/p |x(k)|

p

N X k=1

|y(k)|

p∗

!1/p∗

EVT de dimensi´ on finita

EVT normables

Espacios localmente acotados

Espacios localmente convexos

Funcional de Minkowski Definici´ on X espacio vectorial, E ⊆ X, E absorbente. Funcional de Minkowski de E: νE : X → [0, ∞[

νE (x) = ´ınf {ρ > 0 : x ∈ ρE}

(x ∈ X)

Propiedades E ⊆ {x ∈ X : νE (x) 6 1} Positivamente homogéneo: νE (rx) = r νE (x) E equilibrado o convexo E equilibrado E convexo

(x ∈ X, r > 0)

=⇒ {x ∈ X : νE (x) < 1} ⊆ E

=⇒ νE (λ x) = |λ| νE (x)

(x ∈ X, λ ∈ K)

=⇒ νE (x + y) 6 νE (x) + νE (y)

(x, y ∈ X)

E absolutamente convexo νE seminorma =⇒ {x ∈ X : νE (x) < 1} ⊆ E ⊆ {x ∈ X : νE (x) 6 1}

EVT metrizables

EVT de dimensi´ on finita

EVT normables

Espacios localmente acotados

Espacios localmente convexos

EVT metrizables

Envolvente convexa X espacio vectorial, E ⊆ X. Envolvente convexa de E: intersecci´ on de todos los subconjuntos convexos de X que contienen a E, m´ınimo subconjunto convexo de X que contiene a E. Descripci´ on:

( co E =

n X

ρk xk : n ∈ N, x1 , . . . , xn ∈ E, ρ1 , . . . , ρn > 0,

k=1

n X

) ρk = 1

k=1

Envolvente absolutamente convexa: |co| E = co (D E) = co (T E) m´ınimo subconjunto convexo y equilibrado de X que contiene a E. Descripci´ on:

( |co| E =

n X

λk xk : n ∈ N, x1 , . . . , xn ∈ E, λ1 , . . . , λn ∈ K,

k=1

n X

) |λk | 6 1

k=1

Criterio de normabilidad (Kolmogorov, 1934) Un EVT es seminormable si, y s´ olo si, contiene un entorno de cero convexo y acotado. Por tanto, un EVT es normable si, y s´ olo si, es separado y contiene un entorno de cero convexo y acotado

EVT de dimensi´ on finita

EVT normables

Espacios localmente acotados

Espacios localmente convexos

EVT metrizables

EVT localmente acotados Definici´ on Un EVT es localmente acotado cuando admite un entorno de cero acotado Casinorma X espacio vectorial, ν : X → R casinorma cuando: (1) ν(λ x) = |λ| ν(x)

(λ ∈ K, x ∈ X)

(2) ∃ M > 0 : ν(x + y) 6 M ν(x) + ν(y)

∀x, y ∈ X

Topolog´ıa asociada a una casinorma ν: Tomando Uε = {x ∈ X : ν(x) 6 ε}, la familia {Uε : ε > 0} es base de entornos de cero para una u ńica topolog´ıa vectorial en X

Propiedades Localmente acotado

=

Casinormable

Estabilidad por subespacios y cocientes {Xi : i ∈ I} familia de EVT no triviales,

Y i∈I

Xi localmente acotado

⇐⇒

Xi localmente acotado ∀ i ∈ I I finito

EVT de dimensi´ on finita

EVT normables

Espacios localmente acotados

Espacios localmente convexos

EVT metrizables

Espacios localmente convexos Topolog´ıa localmente convexa: topolog´ıa vectorial que admite una base de entornos de cero convexos Espacio localmente convexo (ELC): espacio vectorial dotado de una topolog´ıa localmente convexa

Hechos básicos Todo ELC tiene una base de entornos de cero formada por conjuntos absolutamente convexos y abiertos (resp. cerrados) Estabilidad por topolog´ıas iniciales (subespacios, productos y supremos) y por cocientes Topolog´ıa asociada a una familia de pseudonormas: X espacio vectorial, Φ familia de pseudonormas en X. Cada ν ∈ Φ genera una topolog´ıa vectorial Tν . Topolog´ıa (vectorial) asociada a Φ: TΦ = sup{Tν : ν ∈ Φ} Si Φ es una familia de seminormas, TΦ es localmente convexa Rec´ıprocamente: la topolog´ıa de cualquier ELC es la asociada a una familia de seminormas. Todo ELC separado es isomorfo a un subespacio de un producto de espacios normados

EVT de dimensi´ on finita

EVT normables

Espacios localmente acotados

Espacios localmente convexos

EVT metrizables

Metrizabilidad

Criterio de metrizabilidad de Birkhoff-Kakutani (1936) Si X es un EVT, equivalen: (a) X es pseudonormable (b) X es semimetrizable (c) X tiene una base numerable de entornos de cero Un EVT es metrizable si, y s´ olo si, es separado y tiene una base numerable de entornos de cero

Consecuencias Todo EVT localmente acotado es pseudonormable Toda topolog´ıa vectorial es la asociada a una familia de pseudonormas Todo EVT separado es isomorfo a un subespacio de un producto de EVT metrizables Todo EVT es completamente regular

EVT de dimensi´ on finita

EVT normables

Espacios localmente acotados

Espacios localmente convexos

EVT metrizables

EVT metrizables Estabilidad por subespacios y cocientes {Xi : i ∈ I} familia de EVT no triviales:

Y

Xi semimetrizable ⇐⇒

i∈I

ν(x) =

∞ X 1 n=1

Xi semimetrizable ∀ i ∈ I I numerable νn x(n)

2n 1 + νn x(n)

F-espacios F-espacio = EVT completo metrizable Si X tiene la topolog´ıa asociada a una pseudonorma ν, X es un F-espacio cuando xn ∈ X ∀ n ∈ N,

∞ X n=1

ν(xn ) < ∞ =⇒

X

xn converge

n>1

(Toda serie absolutamente convergente es convergente)

EVT de dimensi´ on finita

EVT normables

Espacios localmente acotados

Espacios localmente convexos

EVT metrizables

Estabilidad y completaci´ on X EVT metrizable, M ⊆ X subespacio, M = M : X F − espacio ⇐⇒ M y X/M F − espacios Todo producto numerable de F-espacios es un F-espacio Todo EVT metrizable es isomorfo a un subespacio denso de un (´ unico) F-espacio Todo EVT separado es isomorfo a un subespacio denso de un (´ unico) EVT separado y completo

EVT de dimensi´ on finita

EVT normables

Espacios localmente acotados

Espacios localmente convexos

EVT metrizables

Espacios de Fréchet Espacio de Fréchet = F-espacio localmente convexo = ELC completo metrizable

Hechos básicos Un ELC es semimetrizable cuando su topolog´ıa es la asociada a una familia numerable {νn : n ∈ N} de seminormas ν(x) =

∞ X 1 n=1

νn x(n)

2n 1 + νn x(n)

La clase de los espacios de Fréchet es estable por subespacios cerrados, cocientes separados y productos numerables

Tema 9: Ejemplos de EVT

7 y 10 de junio de 2010

1

Espacios de sucesiones

2

Familias sumables

3

Espacios de familias sumables

4

Espacios de Hilbert

Espacios de sucesiones

Familias sumables

Espacios de familias sumables

Espacios de Hilbert

Espacios lp Espacio de medida: Ω = N, A = P(N), µ = n´ umero de elementos

Z x : N → [0, ∞]

x dµ = N

Lp (µ) = Lp (µ) = x ∈ KN :

∞ X

∞ X

x(n)

n=1

|x(n)|p < ∞

= lp

(0 < p < ∞)

n=1

Z x ∈ l1 =⇒

x dµ = N

∞ X

x(n)

n=1

L∞ (µ) = L∞ (µ) = x ∈ KN : sup{|x(n)| : n ∈ N} < ∞ L0 (µ) = L0 (µ) = KN = ω

= l∞

Espacios de sucesiones

Familias sumables

Espacios de familias sumables

Espacios de Hilbert

El espacio l∞ l∞ =

x ∈ KN : sup{|x(n)| : n ∈ N} < ∞

Espacio de Banach con la norma kxk∞ = sup {|x(n)| : n ∈ N} Convergencia uniforme en N: kxn − xk∞ → 0 ⇐⇒

(x ∈ l∞ )

xn ∈ l∞ ∀ n ∈ N, x ∈ l∞

l´ım xn (k) = x(k) uniformemente en k ∈ N

n→∞

Subespacio denso: l∞ = Lin {χE : E ⊆ N} l∞ no es separable:

E, F ⊆ N, E 6= F

⇒ kχE − χF k∞ = 1

Espacios de sucesiones

Familias sumables

Espacios de familias sumables

Espacios de Hilbert

Subespacios destacados de l∞ Vectores unidad:

{en : n ∈ N} ⊆ KN , en (n) = 1 , en (k) = 0 ∀ k 6= n

c00 = Lin {en : n ∈ N} =

N X

λk ek : N ∈ N, λ1 , . . . , λN ∈ K

k=1

c0 = c =

x ∈ KN :

n

x ∈ KN : ∃ l´ım x(n) n→∞

o

l´ım x(n) = 0

n→∞

= c0 ⊕ K u

u(n) = 1 ∀ n ∈ N

Observaciones c0 y c son espacios de Banach (subespacios cerrados de l∞ ) c00 es denso en c0 : x ∈ c0 ⇒ x =

∞ X

x(n) en

n=1

Serie incondicionalmente convergente en c0 . Los vectores unidad forman una base de Schauder, de hecho una base incondicional, de c0

Espacios de sucesiones

Familias sumables

Espacios de familias sumables

Espacios de Hilbert

Espacios lp con 0 < p < ∞

lp = x ∈ KN :

∞ X

|x(n)|p < ∞

(0 < p < ∞)

n=1

Para 1 6 p < ∞, lp es un espacio de Banach con la norma: kxkp =

∞ X

!1/p |x(n)|

p

(x ∈ lp )

n=1

Para 0 < p < 1, lp tiene la topolog´ıa asociada a: La pseudonorma: dxep =

∞ X

|x(n)|p

que le convierte en un F-espacio

n=1

O mejor, la casinorma: kxkp =

∞ X

!1/p |x(n)|

p

que le convierte en

n=1

un espacio casi-Banach 1

kx + ykp 6 2 p −1 kxkp + kykp

Para 0 < p < 1, lp no es localmente convexo

(x, y ∈ lp , 0 < p < 1)

Espacios de sucesiones

Familias sumables

Espacios de familias sumables

Espacios de Hilbert

Espacios lp con 0 < p < ∞ c00 es un subespacio denso en lp : x ∈ lp ⇒ x =

∞ X

x(n) en

n=1

serie (incondicionalmente) convergente en lp . Los vectores unidad forman una base (incondicional) de lp Dependencia de p: 0 < p < q 6 ∞ , x ∈ lp ⇒ x ∈ lq , kxkq 6 kxkp La inclusi´ on lp ⊆ lq es estricta y el operador Id : lp → lq es lineal continuo e inyectivo, pero no es un monomorfismo

Espacios de sucesiones

Familias sumables

Espacios de familias sumables

Caso p = 0 ω = KN , la topolog´ıa producto es la asociada a la pseudonorma dxe0 =

∞ X 1 n=1

|x(n)| 2n 1 + |x(n)|

(x ∈ Ω)

La convergencia en ω es la puntual: dxn − xe0 → 0 ⇔

l´ım xn (k) = x(k) ∀ k ∈ N

n→∞

ω es un espacio de Fréchet no normable c00 es denso en ω y ω es separable Para 0 < p < q < ∞, como espacios vectoriales: c00 ⊂ lp ⊂ lq ⊂ c0 ⊂ c ⊂ l∞ ⊂ ω

Espacios de Hilbert

Espacios de sucesiones

Familias sumables

Espacios de familias sumables

Espacios de Hilbert

Familias sumables en EVT Λ 6= ∅, F(Λ) = {J ⊆ Λ : J finito } conjunto dirigido (por inclusi´ on) X EVT separado, {xλ : λ ∈ Λ} ⊆ X Red de sumas finitas: SJ =

X

xλ

(J ∈ F (Λ))

λ∈J

{xλ : λ ∈ Λ} sumable ⇐⇒ {SJ } convergente

X

xλ = x ⇐⇒ {SJ } → x

λ∈Λ

∀ U ∈ U (0) ∃ J0 ∈ F (Λ) : J ∈ F (Λ), J ⊇ J0 ⇒

X

xλ − x ∈ U

λ∈J

Condici´ on de Cauchy: ∀ U ∈ U (0) ∃ J0 ∈ F (Λ) : K ∈ F (Λ), K ∩ J0 = ∅ ⇒

X λ∈K

xλ ∈ U

Espacios de sucesiones

Familias sumables

Espacios de familias sumables

Espacios de Hilbert

Hechos básicos Inmediatos: Sumas finitas, unicidad, sumandos nulos, complitud Linealidad:

X

(α aλ + βbλ ) = α

λ∈Λ

X

aλ + β

λ∈Λ

X

bλ

λ∈Λ

Incondicionalidad: σ : I → Λ biyectiva,

X λ∈Λ

xλ = x ⇐⇒

X

xσ(i) = x

i∈I

Operadores: X, Y EVT separados, T ∈ L(X, Y ), x=

X λ∈Λ

xλ en X =⇒ T (x) =

X

T (xλ ) en Y

λ∈Λ

Consecuencias de la condici´ on de Cauchy: (1) Subfamilias: Λ0 ⊆ Λ ⇒ {xλ : λ ∈ Λ0 } Cauchy (2) U ∈ U (0) =⇒ {λ ∈ Λ : xλ ∈ / U } finito (3) Si X es metrizable: {λ ∈ Λ : xλ 6= 0} es numerable

Espacios de sucesiones

Familias sumables

Espacios de familias sumables

Espacios de Hilbert

Relaci´ on con las series X EVT separado, Λ numerable. Para {xλ : λ ∈ Λ} ⊆ X equivalen: (a) {xλ : λ ∈ Λ} sumable X xσ(n) converge. (b) σ : N → Λ biyectiva ⇒ n>1

Si se cumplen (a) y (b):

X λ∈Λ

xλ =

∞ X

xσ(n)

n=1

X EVT metrizable. Para {xλ : λ ∈ Λ} ⊆ X equivalen: (a) {xλ : λ ∈ Λ} sumable (b) Λ1 = {λ ∈ Λ : xλ 6= 0} es numerable X y para cualquier biyecci´ on σ : N → Λ1 la serie xσ(n) converge n>1

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Espacios de familias sumables

Espacios de Hilbert

Sumabilidad absoluta Familias de n´ umeros positivos: X X ρλ = sup ρλ : J ∈ F (Λ) {ρλ : λ ∈ Λ} ⊆ [0, ∞[ λ∈Λ

λ∈J

{ρλ : λ ∈ Λ} sumable ⇐⇒

X

ρλ < ∞

λ∈Λ

X EVT metrizable, con pseudonorma ν: {xλ : λ ∈ Λ} absolutamente sumable ⇐⇒

X

ν(xλ ) < ∞

λ∈Λ

Sumabilidad y sumabilidad absoluta X F-espacio

⇐⇒

toda familia absolutamente sumable es sumable

En dimensi´ on finita toda familia sumable es absolutamente sumable Teorema de Dvoretsky-Rogers (1950): En todo espacio de Banach de dimensi´ on infinita existe una serie incondicionalmente convergente que no es absolutamente convergente, equivalentemente una familia sumable que no es absolutamente sumable

Espacios de sucesiones

Familias sumables

Espacios de familias sumables

Espacios de Hilbert

Espacios lpΛ Espacio de medida: Ω = Λ 6= ∅ , A = P(Λ), µ = n´ umero de elementos

Z x : Λ → [0, ∞]

x dµ = Λ

Lp (µ) = Lp (µ) = x ∈ KΛ :

X

X

x(λ)

λ∈Λ

|x(λ)|p < ∞

= lpΛ

(0 < p < ∞)

λ∈Λ

Z x ∈ l1 =⇒

x dµ = Λ

X

x(λ)

λ∈Λ

L∞ (µ) = L∞ (µ) = x ∈ KΛ : sup{|x(λ)| : λ ∈ Λ} < ∞

L0 (µ) = L0 (µ) = KΛ

Λ = l∞

Espacios de sucesiones

Familias sumables

Espacios de familias sumables

Espacios de Hilbert

Λ El espacio l∞ Λ l∞ =

x ∈ KΛ : sup{|x(λ)| : λ ∈ Λ} < ∞

Espacio de Banach con la norma kxk∞ = sup {|x(λ)| : λ ∈ Λ} Convergencia uniforme en Λ: kxn − xk∞ → 0 ⇐⇒

Λ (x ∈ l∞ )

Λ Λ xn ∈ l∞ ∀ n ∈ N, x ∈ l∞

l´ım xn (λ) = x(λ) uniformemente en λ ∈ Λ

n→∞

Subespacio denso: Λ l∞ = Lin {χE : E ⊆ Λ}

Λ infinito

=⇒

Λ l∞

no es separable:

Λ l ∞ ⊆ l∞

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Espacios de Hilbert

Λ Subespacios destacados de l∞

Vectores unidad: {eλ : λ ∈ Λ} ⊆ KΛ , eλ (λ) = 1 , eλ (δ) = 0 ∀ δ ∈ Λ \ {λ} Familias de soporte finito: c00 (Λ) = Lin {eλ : λ ∈ Λ} Familias convergentes a cero: x ∈ c0 (Λ) ⇐⇒ ∀ ε > 0, {λ ∈ Λ : |x(λ)| > ε} ∈ F(Λ) Familias convergentes: c(Λ) = c0 (Λ) ⊕ K u

u(λ) = 1 ∀ λ ∈ Λ

Observaciones Λ c0 (Λ) y c(Λ) son espacios de Banach (subespacios cerrados de l∞ )

c00 (Λ) es denso en c0 (Λ):

x ∈ c0 (Λ) ⇒ x =

X λ∈Λ

Los vectores unidad forman una base, de c0 (Λ)

x(λ) eλ

Espacios de sucesiones

Familias sumables

Espacios de familias sumables

Espacios lpΛ con 0 < p < ∞ X Λ Λ lp = x ∈ K

:

|x(λ)|p < ∞

Espacios de Hilbert

(0 < p < ∞)

λ∈Λ

Para 1 6 p < ∞, lpΛ es un espacio de Banach con la norma:

!1/p kxkp =

X

|x(λ)|

p

(x ∈ lpΛ )

λ∈Λ

Para 0 < p < 1, lpΛ tiene la topolog´ıa asociada a: La pseudonorma: dxep =

X

|x(λ)|p

que le convierte en un F-espacio

λ∈Λ

!1/p O la casinorma: kxkp =

X

|x(λ)|

p

que le convierte en un

λ∈Λ

espacio casi-Banach Si Λ es infinito y 0 < p < 1,

lpΛ

no es localmente convexo

Espacios de sucesiones

Familias sumables

Espacios de familias sumables

Espacios de Hilbert

Espacios lpΛ con 0 < p < ∞ c00 (Λ) es un subespacio denso en lpΛ : x ∈ lpΛ ⇒ x =

X

x(λ) eλ

λ∈Λ

Los vectores unidad forman una base de lpΛ Dependencia de p: 0 < p < q 6 ∞ , x ∈ lpΛ ⇒ x ∈ lqΛ , kxkq 6 kxkp Si Λ es infinito, la inclusi´ on lpΛ ⊆ lqΛ es estricta y el operador Λ Λ Id : lp → lq es lineal continuo e inyectivo, pero no es un monomorfismo

Espacios de sucesiones

Familias sumables

Espacios de familias sumables

Espacios de Hilbert

Caso p = 0 En KΛ es natural considerar la topolog´ıa producto, que le convierte en un ELC separado y completo. Si Λ no es numerable, KΛ no es metrizable Convergencia puntual: {xi } red en KΛ , x ∈ KΛ {xi } → x ⇐⇒ {xi (λ)} → x(λ) ∀ λ ∈ Λ c00 (Λ) es denso en KΛ : x ∈ KΛ =⇒ x =

X

x(λ) eλ

λ∈Λ

KΛ tiene la propiedad de Heine-Borel: todo subconjunto cerrado y acotado de KΛ es compacto Para 0 < p < q < ∞, como espacios vectoriales: Λ ⊆ KΛ c00 (Λ) ⊆ lpΛ ⊆ lqΛ ⊆ c0 (Λ) ⊆ c(Λ) ⊆ l∞

Espacios de sucesiones

Familias sumables

Espacios de familias sumables

Espacios de Hilbert

Espacio pre-hilbertiano Espacio pre-hilbertiano = espacio vectorial X con un producto escalar: aplicaci´ on de X × X en K, (x, y) 7→ (x|y), verificando: (1) Lineal en la primera variable: (αx + y|z) = α(x|z) + (y|z) (2) Conjugado-lineal en la segunda: (x|αy + z) = α(x|y) + (x|z) ((1) + (2) = forma sexquilineal; si K = R bilineal) (3) Herm´ıtica: (y|x) = (x|y) (simétrica si K = R) (x 7→ (x|x), de X en R forma cuadr´ atica) (4) Definida positiva: (x|x) > 0 (x 6= 0)

Norma de un espacio pre-hilbertiano kxk = (x|x)1/2

(x ∈ X)

Desigualdad de Cauchy-Schwartz: |(x|y)| 6 kxk kyk Espacio de Hilbert cuando la norma es completa Polarizaci´ on:

Re (x|y) =

1 4

kx + yk2 − kx − yk2 ;

Im (x|y) = Re (x|iy)

Espacios de sucesiones

Familias sumables

Espacios de familias sumables

Espacios de Hilbert

Teorema de Jordan-von Neumann Un espacio normado (X, k · k) es un espacio pre-hilbertiano si, y s´ olo si, verifica la identidad del paralelogramo: kx + yk2 + kx − yk2 = 2 kxk2 + 2 kyk2

∀ x, y ∈ X

Ejemplos (Ω, A, µ) espacio de medida no trivial: ∃ A, B ∈ A : A ∩ B = ∅ , 0 < µ(A) < ∞ , 0 < µ(B) < ∞ Entonces: Lp (µ) Espacio de Hilbert ⇐⇒

p=2

Producto escalar en L2 (µ) :

Z (f |g) =

f g dµ Ω

f, g ∈ L2 (µ) ;

(x|y) =

X λ∈Λ

x(λ) y(λ)

x, y ∈ l2Λ

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Espacios de Hilbert

Teorema de la Proyecci´ on Ortogonal Aproximaci´ on o ´ptima. Hilbert H ⊇ C convexo y cerrado: x ∈ H =⇒ ∃ ! PC (x) ∈ C : kx − PC (x)k = m´ın {kx − yk : y ∈ C} PC (x) se caracteriza por:

Re (x − PC (x)|y − PC (x)) 6 0 ∀ y ∈ C

Si M es un subespacio cerrado:

(x − PM (x)|m) = 0 ∀ m ∈ M ,

x − PM (x) ∈ M ⊥ := {z ∈ H : (z|m) = 0 ∀ m ∈ M } H = M ⊕ M ⊥ suma topol´ ogico-directa: kxk2 = kPM (x)k2 + kx − PM (x)k2

(x ∈ X)

Todo subespacio cerrado de un espacio de Hilbert est´ a complementado

Teorema de Lindenstrauss-Tzafriri (1971) Un espacio de Banach X es isomorfo a un espacio de Hilbert si, y s´ olo si, todo subespacio cerrado de X est´ a complementado en X.

Espacios de sucesiones

Familias sumables

Espacios de familias sumables

Sistemas y bases ortonormales X espacio pre-hilbertiano, E = {eλ : λ ∈ Λ} ⊂ X sistema ortonormal: (eλ |eδ ) = 0

(λ 6= δ) ;

keλ k = 1 ∀ λ ∈ Λ

Base ortonormal cuando, adem´ as, X = Lin (E)

Propiedades de los sistemas ortonormales H Hilbert, E = {eλ : λ ∈ Λ} ⊂ H ortonormal, M = Lin (E), x ∈ H. Desigualdad de Bessel:

X

|(x|eλ )|2 6 kxk2

λ∈Λ

Proyecci´ on ortogonal sobre M :

PM (x) =

X λ∈Λ

kxk2 =

X λ∈Λ

|(x|eλ )|2 + kx − PM (x)k2

(x|eλ ) eλ

Espacios de Hilbert

Espacios de sucesiones

Familias sumables

Espacios de familias sumables

Espacios de Hilbert

Bases ortonormales H espacio de Hilbert, {eλ : λ ∈ Λ} base ortonormal: Igualdad de Bessel:

kxk2 =

X

|(x|eλ )|2

(x ∈ H)

λ∈Λ

Igualdad de Parseval:

(x|y) =

X

(x|eλ ) (eλ |y)

(x, y ∈ H)

λ∈Λ

Desarrollo de Fourier:

x=

X

(x|eλ ) eλ

(x ∈ H)

λ∈Λ

En resumen: H ≡ l2Λ

Clasificaci´ on de los espacios de Hilbert Todo espacio de Hilbert admite una base ortonormal Todas las bases ortonormales de un espacio de Hilbert tienen el mismo cardinal: dimensi´ on hilbertiana. Dos espacios de Hilbert son isométricamente isomorfos si, y s´ olo si, tienen la misma dimensi´ on hilbertiana Salvo isomorfismos isométricos, los u ńicos espacios de Hilbert separables son l2N con N ∈ N y l2

Tema 10: Teorema de Hahn-Banach

14 y 17 de junio de 2010

1

Versi´ on anal´ıtica Enunciado del teorema Dual topol´ ogico Teoremas de extensi´ on Duales de subespacios y cocientes L´ımites de Banach

2

Versi´ on geométrica Separaci´ on de convexos Teoremas Generales de Separaci´ on Hiperplanos de soporte Separaci´ on fuerte La integral de Pettis

Versi´ on anal´ıtica

Versi´ on geom´ etrica

Enunciado del Teorema

Teorema de Hahn-Banach, versi´ on anal´ıtica X espacio vectorial, ν : X → R funcional sublineal: ν(x + y) 6 ν(x) + ν(y) ν(r x) = r ν(x)

(x, y ∈ X)

(x ∈ X, r > 0)

M subespacio vectorial de X, g : M → K lineal, verificando: Re g(m) 6 ν(m) ∀ m ∈ M Entonces existe f : X → K lineal que extiende a g: f (m) = g(m) ∀ m ∈ M y verifica: Re f (x) 6 ν(x) ∀ x ∈ X Si ν es una seminorma, se tiene de hecho |f (x)| 6 ν(x) ∀ x ∈ X

Versi´ on anal´ıtica

Versi´ on geom´ etrica

Dual topológico de un EVT Definici´ on X EVT. Dual topol´ ogico de X: X ∗ = {f : X → K : f lineal y continuo } ¿X ∗ 6= {0}? ∗

¿X separa los puntos de X?: ¿ x ∈ X \ {0} =⇒ ∃ f ∈ X ∗ : f (x) 6= 0 ?

Construcci´ on de funcionales lineales X espacio vectorial, X ⊃ U absorbente y convexo, x0 ∈ X \ U Existe f : X → K lineal, tal que: Re f (x) 6 1 ∀ x ∈ U , Re f (x0 ) > 1

Abundancia de funcionales lineales continuos X EVT X ∗ 6= {0} si, y s´ olo si, X contiene un entorno de cero convexo U 6= X X ∗ separa puntos si, y s´ olo si, la intersecci´ on de los entornos de cero convexos en X es {0} X ELC separado

=⇒

X ∗ separa puntos

Versi´ on anal´ıtica

Versi´ on geom´ etrica

Extensión de funcionales lineales continuos

Teorema de extensi´ on en ELC X ELC, M subespacio vectorial de X, g ∈ M ∗ : ∃ f ∈ X ∗ : f (m) = g(m) ∀ m ∈ M

Extensi´ on equin´ ormica en espacios normados X espacio normado, M subespacio vectorial de X, g ∈ M ∗ : ∃ f ∈ X ∗ : f (m) = g(m) ∀ m ∈ M

y

kf k = kgk

Una consecuencia interesante En un ELC separado, todo subespacio de dimensi´ on finita est´ a complementado

Versi´ on anal´ıtica

Versi´ on geom´ etrica

Duales de subespacios y cocientes Dual de un subespacio X ELC, M subespacio de X, M ◦ = f ∈ X ∗ : f (M ) = {0}

Como espacios vectoriales:

M ∗ ≡ X ∗ /M ◦

Si X es un espacio normado la identificaci´ on anterior es isométrica

Dual de un cociente X EVT, M subespacio vectorial de X. Como espacios vectoriales: (X/M )∗ ≡ M ◦ Si X es un espacio normado la identificaci´ on anterior es isométrica

Caracterizaci´ on dual del cierre de un subespacio X ELC, M subespacio de X M = {x ∈ X : f (x) = 0 ∀ f ∈ M ◦ } =

\ f ∈M ◦

En particular:

M = X ⇐⇒ M ◦ = {0}

ker f

Versi´ on anal´ıtica

Versi´ on geom´ etrica

L´ımites generalizados K = R, l∞ espacio de Banach: kxk∞ = sup {|x(n)| : n ∈ N} (x ∈ l∞ ) c subespacio de l∞ . Funcional:

g(y) = l´ım y(n) (y ∈ c) n→∞

∗ g ∈ c∗ , kgk = 1. Por tanto: ∃ h ∈ l∞ : khk = 1 , h(y) = l´ım y(n) ∀ y ∈ c n→∞

Se dice que h es un l´ımite generalizado

L´ımites de Banach Existe un funcional f : l∞ → R verificando: (1) f es lineal (2) ´ınf {x(n) : n ∈ N} 6 f (x) 6 sup {x(n) : n ∈ N} ∀ x ∈ l∞ (3) f x(k) = f (x) ∀ x ∈ l∞ , ∀ k ∈ N, donde

x(k) (n) = x(n + k)

(n ∈ N)

∗ Como consecuencia se tiene que f ∈ l∞ , kf k = 1 y

l´ım inf x(n) 6 f (x) 6 l´ım sup x(n) ∀ x ∈ l∞ n→∞

n→∞

En particular f (y) = l´ım y(n) ∀ y ∈ c. Se dice que f es un l´ımite de Banach n→∞

Versi´ on anal´ıtica

Versi´ on geom´ etrica

Medias invariantes Λ (Λ, +) semigrupo abeliano. Existe un funcional f : l∞ → R verificando:

(1) f es lineal Λ (2) ´ınf {x(λ) : λ ∈ Λ} 6 f (x) 6 sup {x(λ) : λ ∈ Λ} ∀ x ∈ l∞ Λ (3) f x(γ) = f (x) ∀ x ∈ l∞ , ∀ γ ∈ Λ donde

x(γ) (λ) = x(λ + γ) En particular se tiene que f

Λ ∗ ∈ (l∞ )

(λ ∈ Λ)

con kf k = 1

Medidas finitamente aditivas Existe una funci´ on

µ : P(R) → [0, 1]

que verifica las siguientes condiciones:

(a) Es finitamente aditiva: A, B ⊂ R , A ∩ B = ∅ =⇒ µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B) (b) Es invariante por traslaciones: A ⊂ R , x ∈ R =⇒ µ(A + x) = µ(A)

Versi´ on anal´ıtica

Versi´ on geom´ etrica

Separación de conjuntos convexos Planteamiento del problema X espacio vectorial, A y B subconjuntos convexos, no vac´ıos, disjuntos ¿Existen f : X → K lineal, con f 6= 0, y γ ∈ R tales que Re f (a) 6 γ 6 Re f (b) ∀ a ∈ A , ∀ b ∈ B? Equivalentemente:

sup Re f (A) 6 ´ınf Re f (B)

o bien: Re f (a) 6 Re f (b) ∀ a ∈ A , ∀ b ∈ B En caso afirmativo f separa A y B. El hiperplano af´ın (real) de ecuaci´ on Re f (x) = γ también separa A y B

Contraejemplo En general la respuesta es negativa, no siempre podemos separar: X = c00 , {en : n ∈ N} vectores unidad, B = {0}, A=

nP N

k=1 αk ek

: N ∈ N, α1 , . . . , αN ∈ R, αN > 0

o

A y B son subconjuntos convexos, no vac´ıos, disjuntos de c00 pero f : c00 → R lineal, f 6= 0 =⇒ f (A) = R

Versi´ on anal´ıtica

Versi´ on geom´ etrica

Teoremas de Separación Separaci´ on en espacios vectoriales X espacio vectorial, A y B subconjuntos convexos, no vac´ıos, disjuntos. Supongamos que existe a0 ∈ A tal que A − a0 es absorbente. Entonces podemos separar A y B: existen f : X → K lineal, f 6= 0, y γ ∈ R tales que Re f (a) 6 γ 6 Re f (b) ∀ a ∈ A, ∀ b ∈ B

Separaci´ on en EVT X EVT, A y B subconjuntos convexos. Supongamos que int A 6= ∅, que B 6= ∅ y que (int A) ∩ B = ∅. Entonces existen f ∈ X ∗ y γ ∈ R tales que Re f (a) 6 γ 6 Re f (b) ∀ a ∈ A, ∀ b ∈ B De hecho, se tiene Re f (x) < γ ∀ x ∈ int A

Versi´ on anal´ıtica

Versi´ on geom´ etrica

Primeras consecuencias Funcionales de soporte X EVT, A subconjunto convexo, int A 6= ∅, x0 ∈ ∂ A. Existe f ∈ X ∗ , f 6= 0, tal que: Re f (x0 ) = m´ ax {Re f (a) : a ∈ A}

Versi´ on geométrica del THB X EVT, A subconjunto no vac´ıo, abierto y convexo, M variedad af´ın tal que A ∩ M = ∅. Existe un hiperplano cerrado H ⊂ X tal que M ⊂ H y A ∩ H = ∅

Separaci´ on en dimensi´ on finita A y B subconjuntos convexos, no vac´ıos, disjuntos de KN . Existen f : KN → K lineal, f 6= 0 , y γ ∈ R tales que: Re f (a) 6 γ 6 Re f (b) ∀ a ∈ A , ∀ b ∈ B Equivalentemente, existen u ∈ KN \ {0} y γ ∈ R tales que

Re a u 6 γ 6 Re b u

∀a ∈ A, ∀b ∈ B

Versi´ on anal´ıtica

Versi´ on geom´ etrica

Separación fuerte Separaci´ on fuerte en ELC X ELC, A, B subconjuntos convexos, no vac´ıos disjuntos. Supongamos que A es cerrado y B es compacto. Existen f ∈ X ∗ y α, β ∈ R tales que: Re f (a) 6 α < β 6 Re f (b)

∀a ∈ A, ∀b ∈ B

Separaci´ on fuerte en espacios normados X espacio normado, A, B subconjuntos no vac´ıos, convexos. Supongamos que A y B est´ an a distancia positiva: d(A, B) = ρ > 0. Entonces, existen f ∈ X ∗ , con kf k = 1, y γ ∈ R tales que: Re f (a) 6 γ < γ + ρ 6 Re f (b)

∀a ∈ A, ∀b ∈ B

Versi´ on anal´ıtica

Versi´ on geom´ etrica

Integral de Pettis

Integraci´ on débil (Ω, A, µ) espacio de medida, X ELC separado, ϕ : Ω → X. ϕ débilmente medible ϕ débilmente integrable

⇐⇒ f ◦ ϕ medible

∀ f ∈ X∗

⇐⇒ f ◦ ϕ ∈ L1 (µ) ∀ f ∈ X ∗

ϕ es integrable en el sentido de Pettis cuando es débilmente integrable y existe x ∈ X tal que

Z f (x) =

(f ◦ ϕ) dµ ∀ f ∈ X ∗

Ω

El vector x es u ńico, se le llama integral de Pettis de ϕ con respecto a µ :

Z x=

ϕ dµ Ω

Versi´ on anal´ıtica

Versi´ on geom´ etrica

Integral de Pettis

Existencia de la integral X ELC separado y completo K espacio topol´ ogico compacto de Hausdorff µ medida de Borel positiva y finita en K Toda funci´ on continua de K en X es integrable en el sentido de Pettis. Suponiendo, sin perder generalidad, µ(K) = 1 , para toda funci´ on continua ϕ : K → X se tiene: Z ϕ dµ ∈ co ϕ(K) K

Tema 11: Teoremas de la Aplicación Abierta y Gráfica Cerrada

21 y 24 de junio de 2010

1

Lema de Categor´ıa de Baire Nociones de categor´ıa Lema de Baire y primeras aplicaciones

2

Teorema de la Aplicaci´ on Abierta Esquema de la demostraci´ on Versiones del Teorema Aplicaci´ on a series de Fourier Aplicaci´ on a ecuaciones diferenciales

3

Teorema de la Gr´ afica Cerrada Enunciado del Teorema Ejemplos de aplicaci´ on

Lema de Categor´ıa de Baire

Teorema de la Aplicaci´ on Abierta

Teorema de la Gr´ afica Cerrada

Categor´ıa y espacios de Baire Conjuntos de primera y segunda categor´ıa E espacio topol´ ogico, A ⊂ E A es de primera categor´ıa en E cuando: A⊂

∞ [

Fn donde Fn = Fn ⊂ E , int Fn = ∅ , ∀ n ∈ N

n=1

En otro caso, A es de segunda categor´ıa en E

Espacios de Baire Para un espacio topol´ ogico E , son equivalentes: (1) A ⊂ E , int A 6= ∅ =⇒ A de 2a categor´ıa en E (2) A de 1a categor´ıa en E =⇒ int A = ∅ (3) Fn = Fn ⊂ E ∀ n ∈ N, int

S∞

n=1 Fn

(4) Gn = int Gn , Gn = E ∀ n ∈ N =⇒

6= ∅ =⇒ ∃ m ∈ N : int Fm 6= ∅

T∞

n=1 Gn

=E

Se dice que E es un espacio de Baire cuando las verifica. En particular, un espacio de Baire es de segunda categor´ıa en s´ı mismo

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Lema de Baire y primeras aplicaciones Lema de categor´ıa de Baire Todo espacio métrico completo es un espacio de Baire Todo espacio topol´ ogico localmente compacto es un espacio de Baire

Ejemplos La categor´ıa es relativa: R es de 2a categor´ıa en R, de 1a en C A ⊂ E1 ⊂ E2 , A de 1a en E1 ⇒ A de 1a en E2 Una uni´ on numerable de conjuntos de 1a categor´ıa es de 1a categor´ıa Q es de 1a categor´ıa en s´ı mismo, luego no es metrizable-completo R \ Q es de 2a categor´ıa en R (luego R \ Q no es numerable)

Aplicaciones “Abundan” las funciones continuas no derivables as´ı como las de clase C ∞ no anal´ıticas La dimensi´ on de un F-espacio (en particular, de un espacio de Banach) es finita o no numerable

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Esquema de la demostración

Aplicaciones casi-abiertas X, Y EVT, T : X → Y lineal: T es abierta cuando: U entorno de cero en X ⇒ T (U ) entorno de cero en Y Se dice que T es casi-abierta cuando: U entorno de cero en X =⇒ T (U ) entorno de cero en Y

Primer paso (categor´ıa) X, Y EVT, T : X → Y lineal T (X) de 2a categor´ıa en Y

=⇒ T casi-abierta

Segundo paso (aproximaciones sucesivas) X F-espacio, Y EVT metrizable, T ∈ L(X, Y ) T casi-abierta

=⇒ T abierta, T (X) = Y , Y F-espacio

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Versiones del Teorema Resultado de los dos pasos anteriores X F-espacio, Y EVT metrizable, T ∈ L(X, Y ) T (X) de 2a categor´ıa en Y

=⇒ T abierta, T (X) = Y , Y F-espacio

Teorema de la Aplicaci´ on Abierta, Banach-Schauder X, Y F-espacios, T ∈ L(X, Y ) T (X) = Y

=⇒ T abierta

Teorema de los Isomorfismos de Banach X, Y F-espacios, T ∈ L(X, Y ) T biyectiva

=⇒ T −1 continua

Teorema del Homomorfismo de Banach X, Y F-espacios, T ∈ L(X, Y ) T (X) = T (X) =⇒ T homomorfismo

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Aplicación a series de Fourier Series trigonométricas y series de Fourier Serie trigonométrica:

X

a(n) eint

a:Z→C

donde

n∈Z

f ∈ L1 = L1 [−π, π] 1 Coeficientes de Fourier: fb(n) =

2π

Serie de Fourier:

Z

π

f (s)e−ins ds

(n ∈ Z)

−π

X

fb(n) eint

n∈Z

Problema ¿Qué series trigonométricas son series de Fourier? Para a : Z → C ¿ ∃ f ∈ L1 : fb = a ? Lema de Riemann-Lebesgue: Teorema de unicidad:

l´ım fb(n) = 0

n→±∞

fb ∈ c0 (Z)

f, g ∈ L1 , fb = b g =⇒ f = g (c.p.d.)

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Aplicación a series de Fourier

Consecuencia del Teorema de los isomorfismos de Banach T : L1 → c0 (Z) , T (f ) = fb T es lineal, continuo e inyectivo L1 y c0 (Z) no son isomorfos Luego T no es sobreyectivo Luego T (L1 ) es de 1a categor´ıa en c0 (Z) Entre las series trigonométricas con coeficientes tendiendo a cero las series de Fourier son “at´ıpicas”. El lema de Riemann-Lebesgue est´ a muy lejos de caracterizar las series de Fourier.

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Aplicación a ecuaciones diferenciales Planteamiento de un problema de contorno Coeficientes de la ecuaci´ on diferencial: y0 , y1 , y2 : [a, b] → R continuas Datos del problema: f : [a, b] → R continua, α, β ∈ R (ED): y0 x ¨ + y1 x˙ + y2 x = f

(CC):

x(a) = α , x(b) = β

2

Soluci´ on (cl´ asica): funci´ on x ∈ C [a, b] verificando (ED) y (CC) Problema bien planteado: Para cualesquiera datos, tiene soluci´ on u ńica

Tratamiento funcional X = C 2 [a, b] espacio de Banach: 2

kxk = kxk∞ + kxk ˙ ∞ + k¨ xk∞

Y = C[a, b] × R espacio de Banach: Operador de X en Y :

k(f, α, β)k = kf k∞ + |α| + |β|

T (x) = y0 x ¨ + y1 x˙ + y2 x , x(a) , x(b)

T es lineal y continuo Problema bien planteado

⇐⇒ T biyectivo

Teorema de los isomorfismos de Banach: si el problema est´ a bien planteado, la soluci´ on depende de manera continua de los datos

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Teorema de la Gráfica Cerrada

Relaci´ on entre continuidad y gráfica cerrada X, Y espacios topol´ ogicos de Hausdorff, f : X → Y , Gr f =

x, f (x) : x ∈ X

f continua

⊂ X ×Y

=⇒ Gr f cerrada

El rec´ıproco est´ a lejos de ser cierto X, Y espacios métricos: f es continua cuando: {xn } → x =⇒ {f (xn )} → f (x) Gr f es cerrada cuando: {xn } → x , {f (xn )} → y =⇒ f (x) = y

Teorema de la Gráfica Cerrada X, Y F-espacios, T : X → Y lineal, Gr T cerrada

=⇒ T continuo

Por tanto, para asegurar que T es continuo basta probar: {xn } → 0 , {T xn } → y =⇒ y = 0

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Teorema de la Gr´ afica Cerrada

Ejemplos de aplicación Aplicaci´ on del Teorema de la gráfica cerrada X, Y F-espacios, T : X → Y lineal E espacio topol´ ogico de Hausdorff, J : Y → E inyectiva y continua J ◦ T continua

=⇒ T continuo

Caso particular X, Y F-espacios, T : X → Y lineal Φ ⊂ Y ∗ subconjunto que separe puntos: y ∈ Y , f (y) = 0 ∀ f ∈ Φ =⇒ y = 0 f ◦ T continuo ∀ f ∈ Φ =⇒ T continuo

Ejemplos Y = lp (0 < p 6 ∞) , Φ = {fn : n ∈ N} , fn (y) = y(n) ∀ y ∈ Y , ∀ n ∈ N Y = Lp [0, 1] (0 < p 6 ∞) , E = L0 [0, 1] , Jy = y ∀ y ∈ Y Y = C[0, 1] , E = K[0,1] , Jy = y ∀ y ∈ Y

Tema 12: Teorema de Banach-Steinhaus

24 de junio de 2010

1

Teorema de Banach-Steinhaus

2

Aplicaciones En Analisis Funcional A las series de Fourier

Teorema de Banach-Steinhaus

Aplicaciones

Principio de Acotación Uniforme Tipos de acotaci´ on / E ⊂ RX familia de funciones de X en R X 6= 0, E acotada en x0 ∈ X : sup {| f (x0 )| : f ∈ E} < ∞ E puntualmente acotada: sup {| f (x)| : f ∈ E} < ∞ ∀ x ∈ X E uniformemente acotada en B ⊂ X : sup {| f (x)| : f ∈ E , x ∈ B} < ∞

Principio de acotación uniforme X espacio topol´ ogico de 2a categor´ıa en s´ı mismo

F familia de funciones continuas de X en R F puntualmente acotada ⇓

F uniformemente acotada en un abierto no vac´ıo B ⊂ X Basta considerar: Fn = {x ∈ X : | f (x)| 6 n ∀ f ∈ E}

(n ∈ N)

Lema de Baire: =⇒ Como X se puede tomar cualquier subconjunto abierto de un espacio métrico completo

Teorema de Banach-Steinhaus

Aplicaciones

Teorema de Banach-Steinhaus Acotaci´ on para familias de operadores X,Y espacios normados, E ⊂ L(X,Y ) familia de operadores lineales continuos E acotada en x0 ∈ X : sup {kT x0 k : T ∈ E} < ∞ E puntualmente acotada: sup {kT xk : T ∈ E} < ∞ ∀ x ∈ X E uniformemente acotada en B ⊂ X : sup {| f (x)| : f ∈ E , x ∈ B} < ∞ E uniformemente acotada en la bola unidad: sup {kT k : T ∈ E} < ∞

Teorema de Banach-Steinhaus X espacio de Banach, Y espacio normado, E ⊂ L(X,Y ) A = x ∈ X : sup {kT xk : T ∈ E} < ∞ . Son equivalentes: (a) A es de 2a categor´ıa en X (b) A = X , es decir, E est´ a puntualmente acotada: sup {kT xk : T ∈ E} < ∞ ∀ x ∈ X (c) E est´ a acotada en norma: sup {kT k : T ∈ E} < ∞

Teorema de Banach-Steinhaus

Aplicaciones

Primeras aplicaciones

Teorema de cierre de Steinhaus X espacio de Banach, Y espacio normado, {Tn : n ∈ N} ⊂ L(X,Y ) sucesi´ on de operadores lineales continuos. Supongamos que {Tn } converge puntualmente en X : {Tn x} → T x ∀ x ∈ X Entonces T ∈ L(X,Y )

Caracterización dual de la acotaci´ on X espacio normado, E ⊂ X E acotado

⇐⇒

f (E) acotado

∀ f ∈ X∗

Expl´ıcitamente: sup {kxk : x ∈ E} < ∞ ⇐⇒ sup {| f (x)| : x ∈ E} < ∞ ∀ f ∈ X ∗

Teorema de Banach-Steinhaus

Aplicaciones

Espacios de Banach para el estudio de Series de Fourier

Funciones en la circunferencia y funciones peri´ odicas T = {z ∈ C : |z| = 1} = {eit : t ∈ R} Funci´ on definida en la circunferencia g : T → C f (t) = g(eit )

g(z) = f (Arg z)

Funci´ on 2π-peri´ odica f R → C Medida de Lebesgue normalizada en la circunferencia φ :] − π, π] → T E ⊂ T medible

φ(t) = eit ∀t ∈] − π, π]

biyectiva

⇐⇒ φ−1 (E) medible-Lebesgue en R 1 m(E) : = λ φ−1 (E) 2π

L p (T) = L p (m)

(1 6 p 6 ∞)

Teorema de Banach-Steinhaus

Aplicaciones

Espacios L p (T) L p (T) (1 6 p < ∞)

“Funciones” medibles g : T → C tales que kgk p :

1/p |g(z)| p dm(z)

Analisis Funcional y Medida

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