Análisis Estructural.docx

Líneas de Influencia en Estructuras Isostáticas Estructuras Isostáticas Las estructuras isostáticas son aquellas que sus reacciones pueden ser calculadas con las ecuaciones de la estática: ΣF=0 ΣM=0 Es decir; La sumatoria de las fuerzas en los planos (x, y, z) es igual a cero y la sumatoria de los momentos en los planos (x, y, z) es igual a cero. De una forma un poco más técnica podemos decir que una estructura isostática posee igual número de ecuaciones que de incógnitas, por lo cual, se puede resolver mediante un simple sistema de ecuaciones lineales o por los métodos básicos ya conocidos (Por ejemplo: Suma y resta, sustitución, regla de Crammer, etc.).

Líneas de Influencia

El concepto de línea de influencia, fue utilizada por primera vez por el profesor E. Winkler de Berlín, en 1876. Estas nos muestran gráficamente la forma en que el movimiento de una carga unitaria a lo largo de una estructura, influye en cierto efecto mecánico en la misma. Entre los efectos que pueden considerarse están las reacciones, fuerzas cortantes, momentos flexionantes, fuerzas axiales, deflexiones, etc. La línea de influencia puede definirse como una gráfica cuyas ordenadas representan la magnitud y el carácter o sentido de cierta función o efecto en una estructura, a medida que una carga unitaria móvil se desplaza a lo largo de la misma. Cada ordenada del diagrama define el valor de la función cuando la carga móvil se encuentra colocada en el sitio correspondiente a dicha ordenada. Lo anteriormente dicho se puede explicar mejor en el siguiente gráfico:

Aplicaciones de la Línea de Influencia Las líneas de influencia se utilizaran primordialmente para calcular ciertas fuerzas y determinar posiciones de cargas vivas que produzcan fuerzas críticas y máximas. Por lo tanto, la presencia de cargas móviles implica la necesidad de obtener: a) Las solicitaciones, deformaciones, etc., que produce una carga (o un estado de cargas) para distintos puntos de aplicación de la misma. b) El estado más desfavorable de aplicación de la carga, que trae aparejada las mayores solicitaciones o deformaciones, y con las cuales tiene que ser evaluada una sección dada. Estas dos necesidades deben ser tenidas en cuenta en todas las secciones de la viga, o por lo menos, en varias secciones características según las circunstancias. El trazado de diagramas o Líneas de Influencia nos permite una adecuada respuesta a las dos necesidades y su utilización es casi imprescindible

en el caso de estudios de puentes, puentes grúa, etc., donde las cargas móviles tienen una cierta importancia con respecto a peso propio o carga permanentes. Trazado de las Líneas de Influencia El procedimiento para dibujar los diagramas de la línea de influencia consiste simplemente en la graficación de los valores de la función en estudio, como ordenadas correspondientes diversas posiciones de la carga unitaria a lo largo del claro, y, finalmente, en unir por líneas los extremos de dichas coordenadas. Por lo tanto se debe seguir mentalmente a la carga en su movimiento a lo largo del claro, tratando de imaginar que sucede cuando se desplaza al efecto que se considera. El análisis por líneas de influencia puede aumentar inmejorablemente el conocimiento de lo que sucede a una estructura en diferentes condiciones de carga. Líneas de Influencia en Estructuras Isostáticas Las líneas de influencia en sistemas isostáticos se pueden analizar en tres campos de aplicación: Líneas de influencia para reacciones en vigas simples. Líneas de influencia para fuerzas cortantes en vigas simples. Líneas de influencia para momentos flexionantes en vigas simples. a) Líneas de influencia para reacciones en vigas simples: Las líneas de influencia que corresponden a las reacciones se muestran en la figura A. Inicialmente se toma en cuenta el cambio de la reacción en el extremo izquierdo, V1, a medida que la carga unitaria se desplaza de izquierda a derecha a lo largo de la viga. Cuando está directamente sobre el apoyo izquierdo es igual a 9/10, o bien 0.9 (por proporción entre distancias), cuando se encuentra 2m a la derecha V1 es igual a 8/10 ó 0.8, y así sucesivamente. Se muestra en la figura los valores de V1 para intervalos de 1m en la aplicación de la carga unitaria a lo largo de la viga. Por cada intervalo de 1m la ordenada varía en 0.1. En cada uno de las posiciones de la carga citada, la suma de las ordenadas en cualquier punto es 1 (Por la condición de equilibrio ciertamente tiene que ser así.

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Aplicación al cálculo de reacciones: Deseamos la L. de I. de RA que denominamos con nRA. Eliminamos el apoyo A, colocamos el esfuerzo correspondiente al vínculo suprimido, y damos un desplazamiento ∆A en el apoyo al mecanismo formado. Por aplicación del principio de los trabajos virtuales:

Donde vemos que RA es proporcional a la coordenada ni, o sea que ni, en una determinada escala puede representar el valor de RA para una carga unitaria aplicada en i, dónde se puede incorporar como factor de escala. b) Líneas de influencia para fuerzas cortantes en vigas simples: En la figura B se grafican las líneas de influencia para cortante en las secciones específicas de una viga simple. Se utiliza la convención de signos usual, la fuerza cortante v es (+) cuando la suma de las fuerzas transversales a la izquierda de una sección va hacia arriba, o bien, cuando la suma de fuerzas a la derecha de la sección, va hacia abajo. Si la carga unitaria se coloca sobre el apoyo izquierdo no causa cortante en ninguna de las dos porciones. Al mover la carga unitaria 1m a la derecha del

apoyo izquierdo, se obtiene una reacción izquierda de 0.9, y la suma de las fuerzas a la izquierda de la sección 1-1 vale 0.1 hacia abajo, o sea que la fuerza cortante es -0.1. Si el movimiento de la carga unitaria continúa a lo largo de la viga y hacia el apoyo derecho, se ocasionan cambios en los valores de cortante en la sección 1-1. Estos valores se han graficado para intervalos de 1m en la posición de la carga móvil. La línea de influencia para la fuerza cortante en la sección 2-2 se obtiene de la misma manera.

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Aplicación al cálculo de fuerzas cortantes

c) Líneas de influencia para momentos flexionantes en vigas simples: En la figura C se presentan las líneas de influencia para momentos flexionantes, en las mismas secciones de la viga de la figura B que sirvió

para ilustrar lo relativo a las fuerzas cortantes. Recuérdese que un momento flexionante positivo produce tensión en las fibras inferiores de la viga, y se presenta en una sección determinada cuando la suma de los momentos de todas las fuerzas a la izquierda, es en sentido del reloj, o bien, cuando la suma de los momentos de las fuerzas a la derecha, es en sentido contrario. Los momentos flexionantes en las secciones se toman a intervalos de 1m para la posición de la carga móvil. Con esto debe quedar bien claro cuál es la principal diferencia entre los diagramas de fuerza cortante y de momento flexionante, en comparación con los diagramas de influencia.

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Aplicación al Cálculo de Momentos Flexionantes

Deseamos la L. de I. del Mfh en la sección HH. Para ello eliminamos el vínculo que transmite el momento en dicha sección introduciendo una articulación. A la cadena cinemática formada, doy un desplazamiento virtual y aplico el principio de trabajos virtuales después de explicitar el Mfh en la sección (+ tracción abajo).

Con las mismas condiciones anteriores podemos decir que el diagrama cinemático es en una determinada escala la línea de influencia buscada. Líneas de Influencia en Celosías Isostáticas En este caso las líneas de influencia no son continuas, ya que las cargas sólo pueden estar situadas en los nudos. Como las diversas barras están desconectadas a flexión unas de otras, y su comportamiento es lineal, ocurre que la línea de influencia cuando la carga móvil está entre dos nudos es también lineal. Por tanto es suficiente con hallar la línea de influencia para la carga aplicada en los distintos nudos de su trayectoria, y unir los valores discretos obtenidos mediante líneas rectas. De esta forma se obtiene una línea quebrada que es la línea de influencia buscada. Ejemplo. En la celosía de la figura la carga unitaria se mueve en el cordón inferior.

Las líneas de influencia de las reacciones se calculan aplicando el equilibrio de todo el conjunto para determinar el esfuerzo en el tirante vertical BH se considera el equilibrio vertical del nudo H: el elemento BH está sometido a un

esfuerzo unidad cuando la fuerza está justo en H, y tiene un esfuerzo nulo cuando la fuerza está en otros nudos.

Para la diagonal AB, el equilibrio vertical del nudo A indica que NR NR

=- √2

AB

La línea de influencia del esfuerzo en AB es igual a la de la reacción en A pero cambiada de escala. Sin embargo, hay que notar que cuando la carga está en A el esfuerzo en AB es nulo, por lo que la línea de influencia en el tramo AH es distinta y llega a cero en el punto A.

Para el elemento AH, el equilibrio horizontal del nudo A indica que:

El esfuerzo en este elemento varía de la misma forma que la reacción en A. Pero, al igual que en el caso anterior, si la carga está justo en A el esfuerzo en AH es nulo, por lo que su línea de influencia cae hasta cero en el tramo AH.

Para la diagonal CK es ventajoso usar el método de las secciones, efectuando un corte como se indica en la figura siguiente.

Si la carga está entre A y J, se aísla la parte derecha. Si la carga está entre K y G se aísla la parte izquierda. Si la carga está en el tramo JK. La línea de influencia es lineal entre los dos valores obtenidos en J y K. La figura siguiente muestra el resultado.

Para el montante CJ se aplica el método de las secciones con un corte como el indicado en la figura siguiente, y se aísla el trozo de estructura que interese en cada caso.

  Si la carga está entre A y J, se aísla la parte derecha. Si la carga está entre K y G se aísla la parte izquierda. Si la carga está en el tramo JK, la línea de influencia es lineal entre los dos valores obtenidos en J y K.

Para el cordón inferior JK se aplica el método de las secciones con el mismo corte anterior, y se toma momentos respecto al punto C, a fin de que aparezca sólo el esfuerzo en JK. Si la carga está entre A y J, se aísla la parte derecha Si la carga está entre K y G se aísla la parte izquierda

Si la carga está en el tramo JK, la línea de influencia es lineal entre los dos valores obtenidos en J y K.

Teorema de Reciprocidad Para Vigas Estáticas El Teorema de Reciprocidad, que es sumamente útil desde el punto de vista conceptual y práctico, surge como consecuencia del principio de Trabajos Virtuales (T.V.) aplicado a sólidos linealmente elásticos. A continuación se demuestra este teorema para el caso de una viga simple. Supóngase un estado de cargas I, asociado a las cargas para el cual se determina el estado de solicitaciones internas y reacciones, y otro estado II asociado a otras cargas

Aplicando la ecuación de T.V. para el estado I y tomando como desplazamiento virtual el desplazamiento elástico provocado por las fuerzas del estado II se obtiene:

Trabajo Fuerzas Externas

Trabajo Fuerzas Internas

Nótese que los desplazamientos son causados por las cargas pero se refieren al punto de aplicación de las cargas. Recíprocamente, se puede plantear:

Suponiendo proporcionalidad entre tensión y deformación:

Reemplazando estas expresiones en (2) y (3) y restando miembro a miembro se obtiene:

El Teorema de Reciprocidad se sintetiza en la expresión (4) que expresa que el trabajo de las fuerzas del estado I a través de los desplazamientos de sus puntos de aplicación en el estado II es igual al trabajo de las fuerzas del estado II a través de los desplazamientos en el estado I. Es importante destacar que el teorema de reciprocidad es solo válido para sistemas lineales, mientras que el principio de T.V. es aplicable a cualquier sistema de fuerzas en equilibrio. Entre las aplicaciones del teorema de reciprocidad para sistemas linealmente elásticos se destacan dos: a) Probar la simetría de la matriz de Flexibilidad en el método de las Fuerzas, y de la matriz de Rigidez en el método de los Desplazamientos. b) Trazado de líneas de influencia de reacciones y solicitaciones en sistemas hiperestáticos y de deformaciones en sistemas isostáticos e hiperestáticos. A manera de ejemplo, el valor numérico del giro (en unidades consistentes) en el extremo de una viga simple causado por una carga unitaria (1 Kg.) actuando en el centro de la misma es por reciprocidad igual al desplazamiento transversal del centro de la viga causada por un momento unitario (1 Kg£-m) actuando en el extremo.

Líneas de Influencia Como Aplicación del Teorema de Reciprocidad El teorema de reciprocidad se aplica para: a) Probar que la elástica causada por una fuerza unitaria es la línea de influencia en una cierta escala. b) Determinar la escala y el signo. Línea de Influencia del Desplazamiento de un Punto en una Viga En la viga de la figura interesa determinar la influencia i (x) del descenso del punto central C. Se considera como estado I al correspondiente a la carga P colocada en x. El estado II corresponde a una carga unitaria en el punto para el cual interesa determinar la línea de influencia del desplazamiento. Supóngase conocida a través de cualquier procedimiento de cálculo la elástica correspondiente al estado II: Por el teorema de reciprocidad:

Por definición de coeficiente de influencia:

Sustituyendo se tiene:

Otros tipos de Cargas Móviles El concepto de línea de influencia ha sido presentado como la variación de una magnitud cualquiera de la estructura cuando una carga unitaria móvil se mueve sobre ella. En la realidad son muy pocos los casos en los que la carga móvil es una única y de módulo unidad: lo habitual es que se trate de conjuntos de cargas móviles situadas a distancias fijas unas de otras y con módulos diferentes (por ejemplo las cargas debidas a un vehículo). También puede ocurrir que sobre una viga muy larga actúen varias cargas puntuales situadas muy próximas unas a otras, que se pueden representar como una carga distribuida (por ejemplo las cargas debidas a un tren sobre un puente muy largo). Se hace por lo tanto necesario aplicar el concepto de línea de influencia a estas otras situaciones. Al haberse supuesto comportamiento lineal, se cumple que la línea de influencia debida a un sistema de cargas cualquiera es igual a la suma de las líneas de influencia de cada una de las cargas. A su vez cada una de éstas es igual a la línea de influencia debida a la carga unidad, multiplicada por el valor real de la carga. Esta consideración general se puede expresar de forma analítica distinta según sea el tipo de carga. a) Trenes de cargas puntuales Sea un conjunto de N cargas puntuales p1 situadas a unas distancias d a la primera de ellas (con d1=0) y sea LI(z) la línea de influencia de un esfuerzo cualquiera E, calculada para una carga unitaria, y que se denomina línea de influencia básica. Para situar el tren de cargas en la viga se emplea la coordenada de posición de la primera carga z, por lo que las restantes cargas están situadas en unas posiciones Z=Z-D I=N-1. El valor del esfuerzo E en una posición cualquiera del tren de carga es:

Esta expresión indica que el valor del esfuerzo E debido al tren de cargas se calcula sencillamente sumando el valor que tiene la línea de influencia básica en la posición de cada carga, multiplicado por el valor de la carga correspondiente, con su signo.

La expresión analítica de la línea de influencia correspondiente al tren de cargas se obtiene sumando, para cada carga, la línea de influencia básica, trasladada en la separación de dicha carga respecto de la primera (z-d ) y multiplicada por el valor de la carga P . En realidad la principal aplicación práctica de las líneas de influencia es la determinación de los valores máximos de los esfuerzos, por lo que raras veces se recurre a obtener la expresión analítica completa de la línea de influencia del tren de cargas. Para la determinación de los valores máximos de los esfuerzos se parte de la línea de influencia básica para una carga unidad y se determinan, por inspección, las posiciones críticas que puede adoptar el tren de cargas alrededor de cada punto máximo de dicha línea de influencia básica, teniendo en cuenta el módulo y la dirección de las cargas. b) Cargas Distribuidas El caso de una carga distribuida móvil es similar al de un tren de cargas puntuales, pero considerando que las cargas están infinitamente próximas. Sea una carga distribuida móvil de módulo q(x), actuando sobre una zona de la viga de longitud d. La posición de esta carga en la viga se define mediante la coordenada z de su extremo izquierdo. El valor del esfuerzo E, en una posición cualquiera z de la carga móvil es:

Es decir que el valor del esfuerzo E, para una posición determinada de la carga móvil, es igual al área situada bajo la curva que se obtiene al multiplicar la línea de influencia básica por la carga distribuida. Al igual que para el caso de fuerzas puntuales, lo habitual es

utilizar este resultado para el cálculo de los valores máximos de los esfuerzos, determinando por inspección la situación pésima de la carga móvil. Líneas de Influencia Cualitativas o Principio de Muller Breslau Las líneas de influencia cualitativas se basan en una regla o principio introducido por el investigador Heinrich Muller Breslau, tal regla expresa: “La configuración deformada de una estructura representa, en cierta forma, la línea de influencia para una función estructural, como reacción, fuerza cortante o momento flexionante, si la función en estudio se le permite guardar sobre una pequeña distancia”. En otras palabras la estructura esquematiza su propia línea de influencia cuando se le aplica imaginariamente un desplazamiento apropiado.

El principio de Müller-Breslau es útil para el esquematizado de líneas de influencia en estructuras estáticamente determinadas; pero su mayor utilidad se presenta cuando se trabaja con estructuras estáticamente indeterminadas. A pesar de que los diagramas se trazan de la manera ya descrita, hay que advertir que dichas representaciones constan de líneas curvas y no de líneas rectas, como sucede en el caso de las estructuras isostáticas. Líneas de influencia de deformaciones La línea de influencia de una deformación en una estructura elástica lineal es aquella función que proporciona la variación de dicha deformación, cuando una carga unitaria móvil recorre una determinada trayectoria a lo largo de la estructura. El cálculo de la línea de influencia de una deformación es inmediato empleando el teorema de reciprocidad de Maxwell. Sea la estructura cargada con la fuerza móvil en el punto I de la trayectoria, y supongamos que se desea calcular la línea de influencia de la deformación en el punto y la dirección En virtud del teorema de reciprocidad de Maxwell se cumple que:

Se deduce por lo tanto que la línea de influencia de una deformación es igual a la deformada de la trayectoria de la carga móvil, cuando la estructura se carga únicamente con una carga unidad, en la dirección de la deformación cuya línea de influencia se busca, como se muestra en la figura 10.17.