Analisis Estructural

DEDUCCIÓN DE LAS ECUACIONES SLOPE- DEFLECTION

Imagine un portico en cual ah sido sometido a un sistema de cargas cualquiera: peso propio, carga viva, fuerza de sismo, viento, etc. Como resultado de la aplicación de este sistema de cargas la estructura sufre deformaciones (rotaciones y desplazamientos) en los nodos y su vez se generan fuerzas en cada uno de los elementos de la estructura.

Figura 7: Pórtico sometido a un sistema de cargas Tomando el elemento i-j del sistema pórtico después de deformado se tiene:

Para el análisis del elemento se hace uso de la ecuación básica usada en el análisis matricial de estructuras

Donde: FT: fuerzas finales en los extremos de la barra.

Fempotramiento: fuerzas generados en los extremos de la barra i-j debido a las cargas externas (P,W) actuantes sobre la barra. En este caso se restringen los desplazamientos de los nodos y se puede representar por medio del comportamiento de los extremos. Fdesplazamiento: fuerzas generadas en el elemento debidas a los desplazamiento de la barra.

Así, la ecuación básica en el análisis matricial aplicada al método del Slope-deflection queda convertida en.

• Como se mencionó al inicio del presente capitulo, el método del Slope-deflection desprecia las deformaciones debidas a las fuerzas axiales y cortantes en los elementos, teniendo solamente en cuenta las deformaciones por flexión (momentos) [MTOTALES] [Mempotramiento] [Mdesplazamiento]

= Momentos totales generados en los extremos de la barra. = Momentos generados en los extremos de la barra por cargas externas empotramientos (P, W) actuantes sobre la barra i —j cuando todos los desplazamientos son iguales a cero, es decir, la barra está empotrada. = Fuerzas generadas en elementos debidas a los desplazamientos (θi, θj, ∆relativo ).

A continuación se estudian los momentos de empotramiento y los momentos debidos a los desplazamientos.

Momentos de empotramiento

[Mempotramiento] : Como ya se mencionó anteriormente, los momentos de empotramiento son los que se generan en los nodos de la barra debido a las cargas (p,w) externas aplicadas sobre ella. • 𝑀ⅈ𝑓𝐹 = Momento generado en el nodo j de la barra ij debido a (P, W) • 𝑀𝑗ⅈ 𝐹 = Momento generado en el nodo j de la barra ijdebido a (P, W) Los momentos de empotramiento se calculan. Usando un método de análisis de estructuras como: Area momento, castigliano, carga unitaria, viga conjugada entre otros.

Momentos generados por desplazamientos Ahora se estudian los momentos debidos a desplazamientos M desplazamientos [Mdesplazamiento] Como se puede ver en la figura anterior, los momentos generados en los extremos de la barra se producen por 3 desplazamientos. a. Rotación del nodo i (θi) b. Rotación del nodo j (θj) c. Desplazamiento relativo entre nodos (∆relativo) A continuación se analiza cada desplazamiento por separado.

Momentos generados en los extremos de la barra i-j por una rotación en el nodo i(θi) Para encontrar la relación existente entre los momentos generados en los extremos de la barra y la rotación ocurrida en el nodo i(θ i) , considérese una barra i-j simplemente apoyada en su extremo i y empotrada en su extremo j, la cual ha sufrido una rotación en su extremo i como se muestra a continuación:

Rotación en el nodo i de la barra i-j Mij-θi= Momento generado en el nodo i debido a una rotación en el nodo j(θj). Mji-θi= Momento generado en el nodo j debido a una rotación en el nodo i(θi). A continuación se hace uso del teorema de la viga conjugada para calcular el valor de los momentos Mij—θ i y Mji—θi en función de la rotación (θ i)

Para no saturar el dibujo y evitar posibles confusiones, se usa la siguiente convención: Mij- θi=MA Mij- θi=MB

Diagrama de momentos de la viga cargada

Planteando la sumatoria en el nodo i, se tiene:

Ahora haciendo una sumatoria de fuerzas y usando la anterior relación

Momentos generados en los extremos de la barra i-j por una rotación en el nodo j(θj) Para encontrar la relación existente entre los momentos generados en los extremos de la barra y la rotación ocurrida en el nodo j (θj) se considera una barra i-j empotrada en su extremo i y simplemente apoyada en su extremo j, la cual ha sufrido una rotación en su extremo j como se muestra a continuación:

Rotación en el nodo j de la barra i-j

• Mij-θj= Momento generado en el nodo i debido a una rotación en el nodo j(θj). • Mji-θj= Momento generado en el nodo j debido a una rotación en el nodo j(θj). Realizando el mismo análisis que se hizo para el caso de la rotación en el nodo i, se obtiene: ECUACION 2.19

ECUACIÓN 2.20

Momentos generados en los extremos de la barra por un desplazamiento relativo (∆R) Para encontrar la relación existente entre los momentos generados en los extremos de la barra y el desplazamiento relativo (∆R) entre nodos se considera una barra i-j empotrada en sus dos extremos, la cual ha sufrido un descenso vertical en uno de sus apoyos como se muestra a continuación:

Nuevamente se hará uso del método de la viga conjugada para calcular el momento en función del desplazamiento relativo entre los extremos del elemento.Para no saturar el dibujo y evitar posibles confusiones se usa la siguiente convención:

Calculo de momentos debido al desplazamiento relativo entre nodos

Haciendo sumatorias de fuerzas en Y

Ahora, planteando una sumatoria de momentos con respecto al nudo j:

Importante: El signo del momento varía, dependiendo si el desplazamiento relativo hace girar la barra en sentido horario ó anti-horario. En el desarrollo de este capitulo se plantea la siguiente convención para determinar el signo del momento debido al ∆R.

Sumando los 3 efectos analizados se puede decir que: