Análisis Estructural Por Elementos Finitos - Jorge Eduardo Hurtado Gómez (1ra Edición)

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JORGE EDUARDO HURTADO GÓMEZ

I N T R O D U C C I Ó N AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL POR ELEMENTOS FINITOS www.elsolucionario.org

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MANIZALES

I.S.B.N 958-9322-76-X © 2002 UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE M A N E A L E S AUTOR: J O R G E EDUARDO HURTADO G . Ingeniero Cívi! M s . S c . Ingenieria S í s m i c a y Dinámica Estructural Ph.D. Ing. Caminos, canales y puertos Profesor Asociado Facultad de Ingeniería y Arquitectura Universidad Nacional de Colombia Sede Man ízales REVISADO: CARLOS A L B E R T O BERMÚDEZ M . Ingeniero Civil Esp. en Estructuras Instructor Asociado Universidad Nacional de Colombia Sede Man ízales IMPRESO: Centro de Publicaciones Universidad Nacional de Colombia Sede Manizales Agosto de 2 0 0 2 Primera Edición

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Indice General

1

Presentación

i

Revisión de conceptos básicos

1

1.1 1.2 1.3

1.4

2

1 4 7 8 8 10 12 15 25 27

Tensión axial simple 2.1 2.2

2.3 2.4

3

Introducción Ecuaciones cinemáticas de sistemas discretos Métodos variacionales 1.3.1 Notación variacional 1.3.2 Principio de la energía potencial mínima 1.3.3 Principio del trabajo virtual Método directo de rigidez 1.4.1 Ensamblaje automático de la matriz de rigidez 1.4.2 Transformación de coordenadas 1.4.3 Aplicación de condiciones de contorno

29

Introducción Formulaciones exactas y aproximadas 2.2.1 Formulaciones fuerte y débil 2.2.2 Métodos de residuos ponderados Formulación del elemento Formalización y condiciones del método 2.4.1 Generalización del método 2.4.2 Condiciones del método

v

finito

29 • • • 29 29 31 • • 33 42 43 45

Nociones de teoría de la elasticidad

47

3.1 3.2

47 47 47 51 51 53 57 57

3.3 3.4 3.5

Introducción Tensiones 3.2.1 Fuerzas másicas y superficiales 3.2.2 Ecuaciones de equilibrio Deformaciones Relaciones elásticas Consideraciones energéticas 3.5.1 Energía de deformación iii

3.5.2

Principio del trabajo virtual

58

4

Tensión y deformación planas 4.1 Definiciones 4.2 Elemento triangular de deformación constante 4.3 Elemento rectangular de cuatro nodos para tensión y deformación planas . . . . 4.4 Elemento triangular de deformación lineal

61 61 66 87 94

5

E s t r u c t u r a s espaciales 5.1 Introducción 5.2 Elemento infinitesimal axi-simétrico 5.3 Elemento finito axi-simétrico triangular de tres nodos 5.4 Análisis espacial con elementos tetraédricos

99 99 100 106 112

6

Formulación isoparamétrica e integración numérica 6.1 Introducción 6.2 Elementos unidimensionales en tensión axial 6.3 Elemento cuadrilátero isoparamétrico de cuatro nodos 6.4 Integración numérica por cuadraturas

121 121 121 124 128

7

P l a c a s delgadas 7.1 Introducción 7.2 Teoría de Kirchhoff 7.2.1 Hipótesis básicas 7.2.2 Tensiones y deformaciones 7.2.3 Ecuaciones de equilibrio 7.2.4 Ecuaciones cinemáticas 7.3 Elemento triangular de placa

8

T r a t a m i e n t o de problemas dinámicos 8.1 Introducción 8.2 Estructuras en tensión axial simple 8.3 Ecuaciones de elastodinámica 8.4 Matriz de masa consistente

147 147 147 154 156

Bibliografía

159

135 . 135 135 135 136 138 141 142

IV

índice de Figuras 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 1.13 1.14 1.15 1.16 1.17 2.1

Viga en voladizo Modelo de elementos finitos de una viga en voladizo Pórtico modelado como viga de cortante Pórtico de cortante deformado por una fuerza en el segundo piso Rigideces elementales de una barra Modelo discreto del pórtico de cortante Desplazamientos virtuales, (a): compatibles con las condiciones de apoyo. (b): Incompatibles Desplazamientos virtuales aplicados a un modelo de resortes Barra sometida a tensión axial Construcción de la matriz de rigidez Construcción de la matriz de rigidez de un pórtico Grados de libertad de un resorte simple Numeraciones local y global de los grados de libertad de un modelo de resortes. Cadena de elementos unidimensionales, (a): Modelo estructural. (b): Elemento finito, (c): Fuerzas en el nodo i Construcción de la matriz de rigidez de un pórtico Estructura articulada Coordenadas locales y globales

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1 3 4 4 6 7 9 11 12 13 14 16 18 20 24 25 26

2.5 2.6 2.7

Barra sometida a tensión axial, (a): Modelo estructural. (b): Equilibrio de un segmento infinitesimal Elemento finito en tensión axial Tensión axial, (a): Elemento finito con las fuerzas nodales equivalentes. (6): Funciones de forma o interpolación Ejemplo 2.1 - (a): Modelo estructural, (b): Discretización con cinco elementos finitos Ejemplo 2.1 - Solución con cuatro elementos y solución exacta Ejemplo 2.1 - Error en la solución con diverso número de elementos Elemento finito unidimensional de tres nodos

40 41 42 46

3.1 3.2 3.3

Fuerzas másicas y superficiales Tensiones en un cubo infinitesimal Equilibrio de tensiones tangenciales

48 49 49

2.2 2.3 2.4

v

30 34 35

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3.4 3.5 3.6 3.7 3.8

Equilibrio estático Deformaciones en un rectángulo infintesimal Deformaciones tangenciales Energía de deformación Desplazamientos virtuales

50 52 54 57 58

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 4.12 4.13 4.14 4.15 4.16 4.17 4.18 4.19 4.20 4.21 4.22 4.23

Estado de tensión plana Estado de deformación plana Tensiones principales y círculo de Mohr Elemento triangular de tres nodos Funciones de forma del elemento triangular de tres nodos Fuerzas en el elemento triangular Ejemplo 4.1 - Descripción geométrica Ejemplo 4.2. (a),(b): Geometría, (c): Modelo de elementos finitos Ejemplo 4.2 - Estado final (Desplazamientos magnificados 5,000 veces) Ejemplo 4.2 - Tensiones principales Ejemplo 4.3 - Descripción geométrica Ejemplo 4.3 - Desplazamientos de la viga pared Ejemplo 4.3 - Tensiones a x Ejemplo 4.3 - Tensiones o y Ejemplo 4.3 - Tensiones cortantes r x y Ejemplo 4.3 - Tensiones a 1 Ejemplo 4.3 - Tensiones