Analisis Estructural en Mathcad

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN

FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

CURSO: CALCULO COMPUTARIZADO DE ESTRUCTURAS DOCENTE: ING. FIDEL COPA PINEDA ANALISIS TRIDIMENSIONAL DE UNA ESTRUCTURA APLICANDO LOS PROGRAMAS MATHCAD, SAP 2000 Y VISUAL BASIC ALUMNOS: ADRIEL RAMOS ZELA ARNALDO TEJADA ESPINOZA

Arequipa–Perú 2003

Por: Adriel Ramos Zela & Arnaldo Tejada Espinoza

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ON NTRODUCCIION IINTRODUC ANTECEDENTES: Se trata de presentar primero desde un punto de vista meramente algebraico a la matriz de rigidez para posteriormente analizar su sentido físico en la resolución de los sistemas de ecuaciones ligados al cálculo de las estructuras. No son pocas las veces que el mundo de las Matemáticas irrumpe en el de la Ingeniería, de hecho si investigáramos a través de la historia ocurriría algo parecido a lo que ocurre en la paradoja de la gallina y el huevo...¿quién vino primero?. Bueno el caso es que vamos a tratar de ver que las matrices, que provienen del mundo matemático (1) tienen mucho que ver con la Ingeniería y especialmente con las estructuras, que es uno de mis temas favoritos. Es de todos sabido que hoy en día cualquier programa informático de cálculo de estructuras que se precie (no voy a mencionar nombres puesto que de ninguno he recibido dinero, todavía...) posee tres módulos de trabajo más o menos diferenciados: preproceso, cálculo y postproceso. Como es fácil de adivinar el preproceso se centra en la entrada de los datos y el postproceso en la salida de los resultados. El módulo de cálculo, que es el que ahora nos interesa, se centra a su vez en la resolución de un sistema

de

ecuaciones.

Generalmente

este

sistema

sirve

para

calcular

los

desplazamientos de los puntos de la estructura, y a partir de estos los esfuerzos. Es en este punto donde entran aparecen las matrices asociadas a dicho sistema lineal, que como veremos reciben el nombre de matrices de rigidez. Estos programas abarcan principalmente todo el cálculo de estructuras de barras y de elementos finitos donde se opera con matrices que guardan características de los elementos: rigideces, masas, etc. Desde luego existen programas que no se basan en estas técnicas como por ejemplo los que trabajan con el método iterativo de Cross, aunque de estos conozco bien pocos y están un poco mal vistos y en desuso -aunque son igual de válidos respetando unas premisas de partida dadas (despreciar las deformaciones debidas a los axiles por ejemplo)-. Puesto que la resolución de las estructuras por computadoras supone un esfuerzo inmensamente menor y dado que los cálculos los realiza el ordenador y este 'no se equivoca' -Se pone entre comillas puesto que veremos que sí que se equivoca-, los métodos matriciales están popularizándose hasta tal punto que han relegado o absorbido al resto. Una vez demostrado que lo de las matrices y las estructuras va en serio nos preguntaremos qué papel juegan las matrices en todo esto. Pues bien, las matrices que a nosotros nos interesan expresan la relación entre las fuerzas y los desplazamientos, veamos esta famosa ecuación para aclararnos:

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P=k.d

[1]

Pues sí, si consideramos que P es el vector de cargas y d el vector de los desplazamientos producidos en esos puntos (se trata de evitar hablar de de nudos/nodos para no liarnos más de la cuenta), nos daremos cuenta de que la matriz k denominada matriz de rigidez se encarga de almacenar ordenados unos coeficientes tales que al premultiplicar por los desplazamientos en un punto (d) se obtienen las fuerzas en dicho punto (F). Tanto los desplazamientos como las fuerzas son aquí vectores de orden igual al número de grados de libertad de los nudos. Así por ejemplo en estructuras planas del tipo pórticos son tres los grados de libertad por nudo (dx,dy,Øz) desplazamientos en los dos ejes y giro en el eje Z- para los desplazamientos-, y por tanto también tres las componentes del vector para las fuerzas -(Fx,Fy,Mz) fuerzas en los dos ejes y momentos según el eje Z-. Esa simple ecuación es la que trae de cabeza a todos los programas de cálculo y su resolución es la que nos ha traído a todos alguna vez a la desesperación frente a la pantalla de nuestro modesto PC puesto que en cuanto la estructura es contundente, el tiempo de resolución se hace interminable. ¿Qué es la rigidez de un elemento?, pues bien, veámonos a nuestras primas las barras que son muy fáciles de entender y nos despejan el paso para posteriores elementos más extraños. Entendemos por rigidez la resistencia que opone un elemento frente a una deformación dada. Una estructura muy rígida es aquella que presenta mayor oposición a la deformación y eso le suele costar caro. En una estructura, por ejemplo la de un edificio, un pilar suele ser menos rígido que una pantalla frente a movimientos horizontales como los producidos por el viento o por el sismo, dado que un pilar suele poseer menor sección que una pantalla, y eso le sale caro a la pantalla puesto que absorbe la mayor parte de los esfuerzos horizontales mientras que el pilar ni se entera. En definitiva los elementos trabajan en conjunto y el más rígido se lleva más parte de las fuerzas que el menos rígido. La matriz de rigidez de la estructura almacena todas las rigideces de los elementos de dicha estructura y reparte desplazamientos y a la inversa fuerzas según el valor de dichas rigideces. A mayor movimiento te toca menos esfuerzo y de eso se encarga nuestra matriz. ¿No es divertido?, las estructuras son muy solidarias... más puedes, pues más te llevas...(2) Aquí podéis ver como es la matriz de rigidez de una barra en un pórtico plano, como se observa sus componentes están formados por términos correspondientes características mecánicas de la barra: su área (A) -rigidez frente a deformaciones en el sentido del eje de la barra, producidas por tracciones y compresiones-, inercia (I) -rigidez frente a deformaciones de flexión-, longitud (L), y como no módulo de Elasticidad (E):

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Matriz de Rigidez de una barra en un pórtico plano.

(1) Las matrices nacieron con el objeto de simplificar la notación a la hora de resolver sistemas de ecuaciones lineales. Posiblemente el primero en utilizar la notación actual fue el inglés Arthur Cayley (1821-1895), quien al estudiar las transformaciones lineales, utilizó notaciones abreviadas entre corchetes como las de hoy en día. (2) Es muy usual al diseñar las primeras estructuras que tras hacer un predimensionado y a partir de los esfuerzos obtenidos se le dé mayor sección a los elementos que están trabajando con mayores esfuerzos, lo cual no siempre conduce a mejorar su estado, dicho elemento seguramente se llevará ahora más parte de la carga. Será mejor buscar un equilibrio de las rigideces.

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D SCRIPCION D EL PPROGRAMA ROGRAMA -- EENTORNO NTORNO DEESCRIPCION DEL M ATHCAD MATHCAD Este programa ha sido desarrollado bajo la filosofía de los programas tradicionales de cálculo de estructuras, en los cuales el proceso de ejecución consiste en la lectura de ficheros que contiene las "datos" que describen la estructura a analizar, La estructura se representa como:

DATOS

FICHEROS

.txt

MATHCAD

RESULTADOS

FICHEROS SALIDA .txt

Fig. 1. Estructura del programa. De este modo, el programa consta de dos partes claramente diferenciadas. La primera está dedicada a preprocesar los datos de descripción de la estructura y sus solicitaciones que suministra el usuario,. La segunda parte del programa lee los ficheros, y realiza el cálculo de la estructura, propiamente dicho, generando el fichero de salida de resultados (fichero.txt). En primera parte del programa se requiere como entrada un fichero de datos con la descripción de la geometría, del material y las solicitaciones (carga) que, de este modo, definen por completo la estructura que se va a calcular. Dicho fichero de datos tiene como extensión .txt. La geometría queda definida proporcionando las coordenadas de todos los nudos de la estructura, incluyendo los correspondientes a los apoyos, así como las conexiones de las barras sobre el conjunto de nudos, y las secciones de las mismas. Tanto las barras como los nudos se identifican por un número entero positivo, elegido por el usuario. El material queda definido por su módulo elástico, módulo de corte y su coeficiente de poisson, y puede ser diferente para diferentes grupos de barras. Las solicitaciones se definen mediante la indicación de las cargas que actúan sobre la estructura. Dichas cargas pueden estar aplicadas directamente sobre los nudos, ó bien sobre las barraspara el caso de cargas en los miembros solo aceptara cargas de gravedad, tales como el peso propio de la estructura. Y solo se acepta una carga por miembro. En el caso de que no exista ningún error en al definición de la estructura, el programa crea un ficheros de salida con la extensión .txt.

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El programa lee el fichero de ingreso, y proporciona un fichero con los datos de definición de la estructura, y los resultados en desplazamientos y esfuerzos para cada una de las hipótesis de carga introducida.

1. DEFINICION DE LA GEOMETRIA DE LA ESTRUCTURA La definición de la geometría de la estructura se realiza mediante la introducción de un conjunto de datos que definen: - La posición de los nudos de la estructura. - La definición de los apoyos (restricciones) - Las características de las barras. - La definición de las secciones transversales - La definición de las vigas y columnas (ángulo para transformación) - La definición de los modos de empotramiento de las vigas - Características de las conexiones de las vigas 1.1. Posición de los nudos de la estructura Las etiquetas para la definición de los nudos de la estructura, y su sintaxis, son las siguientes: x y z RX RY RZ RXX RYY RZZ // 0=FREE, 1=RESTRAINED 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 10, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 10, 0, -10, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 10, -10, -10, 1, 1, 1, 1, 1,.... Siendo: Coordenada_X Y..Z : Un número real, cuyo valor es la coordenada X. Y .Z del nudo, en el sistema global de coordenadas. La unidad de la misma es la longitud [L]. RX RY RZ RXX RYY RZZ.-Restricciones de los nudos 1.2. Definición de apoyos . Los apoyos de la estructura podrán definirse en coordenadas locales y globales, también podrán ser rigidos y estar sometidos a un determinado desplazamiento. Para ello se dispone de las etiquetas siguientes , esta definido el el fichero de Nudos: 1.3. Características de las barras.

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Las etiquetas para la definición de las barras de la estructura, y su sintaxis, son las siguientes: j k sección sis 1, 2, 1, 0 , 2, 3, 1, 0 , 4, 3, 1, 90 , Siendo : Nudo_inicial (j): Número entero que indica el nudo inicial de la BARRA. Nudo_final(k): Número entero que indica el nudo final de la BARRA. Sección : Un Numero que define el nombre de la geometría y material de la barra. Sis : El ángulo que forma con Y o Z para tomar el tipo de transformacion. Modo_inic_barra: Un número entero positivo que apunta a una tabla, en la cual se

1.4. Definición de las secciones . La definición de las secciones de las barras se realizará mediante comando SECCION, que irá delante de CON.BA con el siguiente formato: Ix IY Iz AX ARY ARZ E G 0.25 1 1 0.25 0.25 0.25 1 1 SECCION El Número_de_la seccion_que_se_van_a_definir es el numero de fila donde se ubica Siendo: Inercia_X Inercia_Y Inercia_Z Inercia_ Area_X Area_Y Area_ Z : los valores estáticos correspondientes de la sección. En el caso de que el valor de AreaY o el AreaZ sean cero, se despreciará la influencia de la deformación por cortante en la viga. E , G los valores correspondientes al material de la. 1.5. Definición de las Vigas y Columnas. La etiqueta para la definición de las vigas que forman la estructura, se define el el fichero de miembros con el angulo sis para elementos horizontales este sera 0, para verticales 90. 2. DEFINICION DE LAS SOLICITACIONES ESTATICAS.

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Para la definición de las solicitaciones se dispone de varias etiquetas, dependiendo del tipo de carga, así como si la definición de ésta se realiza sobre la barra o sobre la viga. De este modo, pueden existir Cargas en nudos. Para la descripción de las cargas que actúan directamente sobre los nudos de la estructura se dispone de las siguientes etiquetas: N FX FY FZ FXX FYY F ZZ 1000000 2000000 Las cuales permiten solicitar uno o varios nudos de la estructura en cada una de las direcciones globales especificada (Fx,Fy,Fz,Mx,My,Mz) con una fuerza de magnitud Valor. Siendo: Nudo: Un número entero positivo correspondiente a la etiqueta del nº de nudo en que actúa la solicitación. Valor: Un número real que indica la magnitud de la solicitación que actúa sobre el nudo en la dirección global especificada. La unidad para la misma es Fuerza [F]. Cargas en barras Para la descripción de las cargas que actúan sobre las barras de la estructura se dispone de las siguientes etiquetas: M tipo carga a 1 1, 4.8, 0, Las cuales permiten solicitar una o varias barras de la estructura según la direccion vertical (cargas de gravedad +hacia abajo) con fuerza distribuidas Valor . Siendo: Barra(M): Un número entero positivo,, correspondiente a la etiqueta del número de barra en que actúa la solicitación. Valo(carga): Un número real que indica la magnitud de la solicitación que actúa sobre la barra en la dirección especificada. La unidad para la misma es Fuerza [F]. Tipo, a,: son números que definirían tipo de carga y distancia de la cargas al nudo j , para esta primera aplicación se considera 1 para carga distribuida en toda la longitud, y tipo 2 una carga puntual a un a distancia a,. La unidad para la misma es Fuerza por unidad de longitud de la barra o solamente fuerza según sea el caso.

3. CALCULO MATRICIAL

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CALCULO MATRICIAL DE LOS SISTEMAS DE BARRAS La utilidad de las matrices en el análisis lineal de estructuras (permanencia de proporcionalidad entre cargas y deformaciones- se debe a que permiten expresar matemáticamente de manera sencilla la teoría de estructuras mediante una secuencia de operaciones para las que es totalmente idóneo un ordenador. El desarrollo matemático que gobierna el comportamiento de las estructuras resulta sencillo y breve, ya que si las cargas se aplican en los nudos la estructura únicamente se desplaza a fin de mantener las condiciones de equilibrio en todas sus partes. Al final se llega, siempre, a un sistema lineal de ecuaciones que relaciona las cargas aplicadas en nudos o en barras con los recorridos de éstos, y que en forma matricial se expresa: [F] -> Matriz columna representativa de las cargas aplicadas en nudos y barras [KS] -> Matriz cuadrada denominada de rigidez y cuyo ensamblaje constituye la parte fundamental del problema. [D] -> Matriz columna de desplazamientos incógnitas de los diferentes nudos de la estructura. SISTEMA DE REFERENCIA LOCAL Y GLOBAL

Fig. 2. Estructura del programa. Los ejes locales se seleccionan y orientan como vemos en la figura 2, no ofrecen más limitación que el eje local "y" ha de ser perpendicular al eje local "x" y al eje general "z". Los cosenos directores en el extremo i del eje local "x" en el sistema general de referencia son:

 X( ki) − X( ji)  Cx := i L

i

 Y( ki) − Y( ji)  Cy := i L

i

 Z( ki) − Z( ji)  Cz := i L

i

La matriz de rotación de una barra del sistema de ejes general al local (global a principal) en el nudo i de la barra i será:

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0 0 0 0 0 0 0 0   L11i L12i L13i 0  0 0 0 0 0 0  L21i L22i L23i 0 0 0    0 0 0 0 0 0 0 0   L31i L32i L33i 0   0 0 0 0 0 L11 L12 L13 0 0 0   0 i i i  0  0 0 0 0 0 L21 L22 L23 0 0 0 i i i    0 0 0 0 0 0 L31 L32 L33 0 0 0  i i i  R :=  i  0 0 0 0 0 0 L11 L12 L13 0 0 0  i i i   0 0 0 0 0 L21 L22 L23 0 0 0   0 i i i   0 0 0 0 0 L31 L32 L33 0 0 0   0 i i i   0 0 0 L11 L12 L13 0 0 0 0 0 i i i  0  0 0 0 0 L21 L22 L23  0 0 0 0 0 i i i   0 0 0 0 L31 L32 L33 0 0 0 0 0 i i i 

Siendo: L…. Valores que erelacinan los cosenos directores, (ver aplicación) Esta será la matriz de cambio de base para la barra, teniendo en cuenta el ángulo ψ de la barra para definir el tipo de transformación , la matriz de cambio de base pasa las coordenadas de un sistema de referencia Global al Local. La transpuesta de esta matriz pasará del Sistema Local al Global. 4. MATRIZ DE RIGIDEZ DE LOS SISTEMAS DE BARRAS Ensamblaje de la Matriz Las submatrices Kii (las denominadas anteriormente MatRig), de la diagonal principal representan la rigidez del nudo i. Por otro lado Kij representan la rigidez del elemento ij en el extremo i para los desplazamientos unitarios introducidos en el extremo j, mientras que Kji representa lo inverso. Es decir, se aplican desplazamientos unitarios en el nudo i y se miden los esfuerzos producidos en el nudo j. Por tanto Kii solo dependerá de las características de la barra ij, mientras que Kii representa las fuerzas necesarias para introducir desplazamientos unitarios en el nudo i y depende de todos aquellos elementos que llegan a dicho nudo. Para construir la matriz de rigidez global, necesitamos que las matrices de rigidez de cada barra estén en el Sistema de referencia Global, (utilizamos la matriz de rotación de cada barra para cambiarlas de un sistema a otro de coordenadas), una vez llevadas a este sistema de referencia, procederemos a ensamblarlas para construir la matriz de rigidez global de la estructura, esta aplicación ordena la matriz de rigidez global con respecto al vector de grados de libertad , es decir las primeras filas y columnas corresponderán a los grados de libertad no restringidos. Esta implementación realizada permite subdividir la matriz en 4 submatrices ,Kuu que es la matriz cuadras superior izquierda de un orden igual al numero de grados de libertad libres , así logramos reducir el sistema para calculo de desplazamientos,.

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En otro tipo de aplicaciones (Visual Basic., etc) características de la misma:

Es conveniente resaltar las

•

Es una matriz simétrica, luego almacenaremos sólo la triangular superior.

•

Por otro lado, la mayor parte de sus elementos son 0, es una matriz en banda, sólo los elementos que "caen" dentro de la banda son no nulos, y será los que almacenemos, en este caso almacenaremos solo la semibanda.

Tenemos que la matriz de rigidez que nos interesa es : Kuu podremos hallas la matriz de desplazamientos, que el objetivo, de alli hallaremos los vectores de fuerzas en los extremos. 5. APOYOS FIJOS SEGÚN EJES GENERALES (Globales) En los apoyos en los que se coartan totalmente todos o algún desplazamiento (en el caso que nos ocupa, cualquiera de los seis posibles movimientos), es necesario modificar la matriz de rigidez real, definida anteriormente, con el fin de que al resolver la ecuación se anulen los movimientos impendidos 6. ANÁLISIS ESTÁTICO ANALISIS DE LAS SOLICITACIONES SOBRE LA ESTRUCTURA (CARGAS) - Cargas en nudos - Cargas aplicadas sobre las barras Para empezar a realizar este tipo de análisis, tendremos en cuenta las cargas aplicadas sobre la estructura, que pueden aplicarse tanto en nudos, como distribuidas en las propias barras (se contemplara en un futuro varios tipos de cargas, cada una con sus coeficientes de empotramiento, el peso de la estructura se trata también como una carga uniforme en barras). Cargas en nudos ANALIZAR LAS CARGAS APLICADAS DIRECTAMENTE EN NUDOS Las cargas que se aplican en los nudos se "colocan" directamente sobre el vector de cargas F, al que luego se irán acumulando las fuerzas de empotramientos extraidas de las cargas en barras. FUERZAS DE EMPOTRAMIENTOS Y FUERZAS EQUIVALENTES EN LOS NUDOS. Los momentos de empotramiento se calculan analizando el vector de cargas en barras para la hipótesis actual, dependiendo del tipo de carga se aplican unos coeficientes u otros, los esfuerzos así calculados los transformamos a globales y los guardamos en el vector de esfuerzos de cada barra acumulándolos a los procedentes de las cargas de nudos, así tendremos el vector de cargas F, y procederemos a resolver el sistema. Cargas aplicadas sobre las barras Dado que la matriz de rigidez se forma considerando todas las piezas perfectamente empotradas en los nudos, las cargas puntuales o repartidas aplicadas entre los nudos jk

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de una barra se sustituyen por las fuerzas de empotramiento o equivalentes, que son las reacciones de empotramiento cambiadas de signo. Las fuerzas de empotramiento se determinan referidas a las coordenadas locales; habrá por tanto que transformarlas al sistema general de coordenadas y superponerlas con las fuerzas existentes en nudos. Para cada tipo de carga se calculan los coeficientes de empotramiento, que varían con el tipo de carga y punto de aplicación de la misma. Si el vector fuerza generalizado F (Fx Fy Fz Mx My Mz), que representa la carga aplicada al elemento en el sistema general de coordenadas, se premultiplica por la matriz de rotación Ri, se transforma al sistema de coordenadas local. Calculadas las fuerzas equivalentes en todos los nudos (y pasadas a coordenadas globales) se añaden a las que se aplican directamente sobre ellos con el fin de formar el vector de carga F.

La solución de la ecuación fundamental F = Ks*D, determina los desplazamientos en nudos libres a partir de los cuales se calculan los esfuerzos en los extremos de cada elemento.

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plicación eA jemplo d E Aplicación de Ejemplo

Datos: BLOQUE DE DATOS DE NUDOS xcoor 0 5 5 0 0 5 5 0

ycoor 3 3 3 3 0 0 0 0

zcoor 5 5 0 0 5 5 0 0

TIPOS DE SECCIONES SECCION 1: ELEMENTOS HORIZONTALES 0.30*0.60 SECCION 2: ELEMENTOS VERTICALES 0.5*0.5 TIPOS DE MATERIALES CONCRETO: E G

2173706.5 Tn/m2 905711 Tn/m2

BLOQUE DE DATOS DE CONECTIVIDAD DE MIEMBROS i 1 2 3 4 5 6

j 1 2 3 4 1 1

k 5 6 7 8 4 2

Tipo Seccion 2 2 2 2 1 1

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7 8

2 3

3 4

1 1

BLOQUE DE DATOS DE CARGAS Elemento 5 7 6 8

Tipo 1 1 1 1

Valor 1.56 1.56 0.43 0.43

Tipo 1: Distribuida en toda la longitud Valor: Tn/m

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athcad esarrollo D Mathcad o:: M Desarrol 1. - LECTURA DE DATOS DE LOS FICHEROS DE DATOS

2. - PROPIEDADES DE LA ESTRUCTURA Propiedades de los Nudos

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Propiedades de los Miembros

Propiedades de Seccion

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3. - MATRIZ DE RIGIDEZ LOCAL POR MIEMBRO Para corte en 3D n =1

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3. - MATRIZ DE TRANSFORMACION DE COORDENADAS LOCALES A GLOBALES

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4. - MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL POR MIEMBRO

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5. - MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA Grados de Libertad

Grados de libertad Restringidos

Grados de libertad No Restringidos

Vector de grados de Libertad Restringidos

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VR = Grados de libertad restringidos Vector de Grados de Libertad no Restringidos

Orden del vector de grados de libertad

Orden del vector de grados de libertad por miembro

Matriz de Rigidez de la Estructura:

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6.- FUERZAS DE EMPOTRAMIENTO

Cargas en los Miembros

Cargas en los Nudos

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Vector de Fuerzas Fuerzas en los Nudos:

Fuerzas en los Miembros en Coordenadas Locales

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Fuerzas en los Miembros en Coordenadas Globales

7.- DESPLAZAMIENTOS

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8.- REACCIONES

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9.- DESPLAMIENTOS POR ELEMENTO Desplazamientos Globales:

Desplazamientos Locales:

10.- FUERZAS LOCALES EN LOS ELEMENTOS

Fuerzas locales de empotramiento:

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11.- FUERZAS INTERNAS DE CADA ELEMENTO

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12.- RESULTADOS FINALES POR ELEMENTO

MIEMBRO Nº FUERZAS EN LOS EXTREMOS

ESPLAZAMIENTO EN LOS EXTREMOS GLOBALES

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13.- CREANDO FICHEROS DE SALIDA MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL DE LA ESTRUCTURA MATRIZ DE RIGIDEZ LOCAL DE LOS MIENBROS MATRIZ DE RIGIDEZ DESPLAZAMIENTOS MATRIZ DE FUERZAS DE EXTREMO DE LOS MIEMBROS

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