Analisis Estructural
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Descripción: Reticulados Planos...
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CAPÍTULO IV RETICULADOS PLANOS
RETICULADOS PLANOS
ARMADURA La fuerza axial es importante para el análisis de este tipo de estructuras, mientras que la flexión (Momento y fuerza cortante) y la torsión son iguales a cero.
MATRIZ DE RIGIDEZ DE ELEMENTOS BI - ARTICULADOS:
BRIDAS:
[
]
IV - 2
ING. RONALD SANTANA TAPIA
MONTANTES:
[
]
ARRIOSTRES: 4 Y
3 j
L 2
i
1
X
√
IV - 3
RETICULADOS PLANOS
[
]
FUERZA AXIAL DE LOS ELEMENTOS EN FUNCION DE LOS DESPLAZAMIENTOS:
[
]
En donde:
IV - 4
ING. RONALD SANTANA TAPIA
DEMOSTRACION: “Matriz de rigidez en eje local”
Coeficientes de la Columna (1): Corresponden al 1º GDL
Por lo tanto, la 1º columna será:
{
}
IV - 5
RETICULADOS PLANOS
Coeficientes de la columna (2): Corresponden al 2º GDL
Por lo tanto la 2º columna será:
{
}
Coeficientes de la columna (3): Corresponden al 3º GDL
IV - 6
ING. RONALD SANTANA TAPIA
Por lo tanto, la 1º columna será:
{
}
Coeficientes de la columna (4): Corresponden al 4º GDL
Por lo tanto la 4º columna será:
{
}
Por el principio de superposición de causas y efectos:
IV - 7
RETICULADOS PLANOS
[
]
DEMOSTRACION: “Matriz de rigidez en eje global”
Tanto en extremo “i” como en e extremo “j” del elemento, los vectores a notar son las correspondientes a: -
Desplazamiento :
-
Fuerzas
:
En el eje local:
IV - 8
ING. RONALD SANTANA TAPIA
Reemplazando (1) y (2) en (3)
Multiplicando por
:
Sabemos a nivel global:
Por lo tanto:
Sabemos:
[
]
IV - 9
[
]
RETICULADOS PLANOS
[
]
[
]
Reemplazando en (4):
[
]
[
DEMOSTRACION DE:
IV - 10
]
ING. RONALD SANTANA TAPIA
[
]
En donde:
___________________________ (
)
(
)
También:
(3) en (2):
(4) en (1): [
]
[
IV - 11
]
RETICULADOS PLANOS
PROBLEMAS DE APLICACIÓN
PROBLEMA Nº 01 Resolver el sistema de armadura mostrado en la figura siguiente y calcular la fuerza axial de cada elemento Considerar para todos los Elementos:
SOLUCIÓN:
IV - 12
ING. RONALD SANTANA TAPIA
1º. Matriz de rigidez de cada elemento Elemento 1:
√
[
]
IV - 13
RETICULADOS PLANOS
[ Elemento 2:
]
(IDEM: elemento 1)
[
]
Elemento 3: 4 3 j
L
2 i
IV - 14
1
ING. RONALD SANTANA TAPIA
√
[ Elemento 4:
]
(IDEM: elemento 3)
[
]
IV - 15
RETICULADOS PLANOS
Elemento 5:
√
√ √ √ √ √
[
]
IV - 16
ING. RONALD SANTANA TAPIA
[
]
Elemento 6:
√ √ √ √
√
√
IV - 17
RETICULADOS PLANOS
[
]
2º. Matriz de rigidez de la estructura
[
]
3º. Vector de fuerzas externas de la estructura:
{
IV - 18
}
ING. RONALD SANTANA TAPIA
4º. Vector de desplazamiento de la estructura:
{
}
5º. Vector de fuerzas internas en los elementos:
Elemento 1:
[
] {
IV - 19
}
RETICULADOS PLANOS
{
}
)
(
SEGUNDA FORMA:
[
]
[
(
[
)] ]
IV - 20
ING. RONALD SANTANA TAPIA
Elemento 2:
[
]
{
{
}
}
SEGUNDA FORMA:
[
]
IV - 21
RETICULADOS PLANOS
[
]
[
]
Elemento 3:
[
{
] {
}
IV - 22
}
ING. RONALD SANTANA TAPIA
SEGUNDA FORMA:
[
]
[
]
v3 j
u2
h = 300 c m
vo= 0 i
u0
[ ]
Elemento 4:
[
] {
IV - 23
}
RETICULADOS PLANOS
{
}
SEGUNDA FORMA:
[
]
[
]
[
]
IV - 24
ING. RONALD SANTANA TAPIA
Elemento 5:
[
] {
}
1000 1000 D
1000 A
{
}
1000
FUERZAS EN EL EJE LOCAL:
] {
[
IV - 25
}
RETICULADOS PLANOS
√
√
√
√ √
[
√
√
√
] {
}
o D o j X
o
{
}
I
A o
1414
i
SEGUNDA FORMA:
[
(
]
[
√ )
]
[
IV - 26
1414
ING. RONALD SANTANA TAPIA
Elemento 6:
[
{
]
}
FUERZAS EN EJE LOCAL:
IV - 27
{
}
RETICULADOS PLANOS
√
√
√
√ √ √
[
{
√ √
]
{
}
}
SEGUNDA FORMA:
[
]
v3 u2 i L = 300 √ 2 c m
vo = 0 u1 j
IV - 28
ING. RONALD SANTANA TAPIA
(
[
√ )
]
[ ]
PROBLEMA Nº 02 Resolver el sistema de reticulado plano mostrado en la siguiente figura: Considerar para los Elementos:
IV - 29
RETICULADOS PLANOS
SOLUCIÓN:
1º. Matriz de rigidez de cada elemento: Elemento: ̅̅̅̅
IV - 30
ING. RONALD SANTANA TAPIA
√
[
]
[ Elemento: ̅̅̅̅
]
(IDEM:
[
]
IV - 31
RETICULADOS PLANOS
Elemento: ̅̅̅̅
√
[
]
IV - 32
ING. RONALD SANTANA TAPIA
Elemento: ̅̅̅̅
(
[
]
Elemento: ̅̅̅̅
√
IV - 33
RETICULADOS PLANOS
[
]
Elemento: ̅̅̅̅
√
IV - 34
ING. RONALD SANTANA TAPIA
[
]
Elemento: ̅̅̅̅
√
[
]
IV - 35
RETICULADOS PLANOS
2º. Matriz de rigidez del sistema:
[
]
3º. Vector de fuerzas externas del sistema:
{
}
4º. Vector de desplazamiento del sistema:
Resolviendo:
IV - 36
ING. RONALD SANTANA TAPIA
[
]
5º. Vector de fuerzas internas en los elementos:
Elemento AC:
[
]
{
}
IV - 37
RETICULADOS PLANOS
{
}
FUERZAS EN EL EJE LOCAL:
[
]
[
{
}
]
IV - 38
{
}
ING. RONALD SANTANA TAPIA
{
}
[
SEGUNDA FORMA:
]
[ ]
Para calcular las fuerzas axiales de los demás elementos se procede de forma similar a lo anteriormente visto.
IV - 39
RETICULADOS PLANOS
PROBLEMA Nº 03 En la figura se muestra el modelo para el análisis de una estructura plana, compuesta por elementos biarticulados. Se le somete a una fuerza vertical (hacia abajo) de ton. En el nudo 3, se pide: a. El vector de desplazamientos del sistema b. La fuerza axial que se genera en cada elemento c. Las reacciones en los apoyos Considerar para todos los elementos:
SOLUCIÓN:
IV - 40
ING. RONALD SANTANA TAPIA
1º. Matriz de rigidez de los elementos:
Elemento 1:
[
]
(
)
√
[
]
IV - 41
RETICULADOS PLANOS
Elemento 2:
[
]
[
] (
)
√ Elemento 3:
[
]
IV - 42
ING. RONALD SANTANA TAPIA
(
)
√
[
]
2º. Matriz de rigidez del sistema:
[
]
3º. Vector de fuerzas externas del sistema:
{
}
IV - 43
RETICULADOS PLANOS
4º. Vector de desplazamiento del sistema:
{
}
5º. Fuerzas axiales en los elementos:
Elemento 1:
[
] {
{
IV - 44
}
}
ING. RONALD SANTANA TAPIA
EN EJE LOCAL:
[
[
]
]
{
{
}
}
[
SEGUNDA FORMA:
IV - 45
]
RETICULADOS PLANOS
En donde:
√
Elemento 2:
[
]{
}
IV - 46
{
}
ING. RONALD SANTANA TAPIA
EJE LOCAL:
[
]
{
IV - 47
}
RETICULADOS PLANOS
{
}
[
SEGUNDA FORMA:
IV - 48
]
ING. RONALD SANTANA TAPIA
Elemento 3:
[
]
{
{
}
}
EJE LOCAL:
[
]
IV - 49
RETICULADOS PLANOS
{
{
}
}
[
SEGUNDA FORMA:
IV - 50
]
ING. RONALD SANTANA TAPIA
6º. Reacciones en los apoyos
PROBLEMA Nº 04 En la figura se muestra el modelo para el análisis de una estructura plana, compuesta por elementos biarticulados. Se le somete a una fuerza vertical (hacia abajo) de 1 ton en el nudo 2, se pide: a. Haga un esquema de la deformada (no a escala) producto de esta acción. b. Determine la fuerza axial que se genera en cada elemento. c. Calcule el desplazamiento del rodillo.
IV - 51
RETICULADOS PLANOS
SOLUCIÓN:
1º. Matriz de rigidez de cada elemento: Elemento 1:
[
IV - 52
]
ING. RONALD SANTANA TAPIA
√
[
]
Elemento 2:
[
]
[
Elemento 3:
IV - 53
]
RETICULADOS PLANOS
[
]
√
[
]
IV - 54
ING. RONALD SANTANA TAPIA
2º. Matriz de rigidez de la estructura:
[
]
3º. Vector de fuerzas externas de la estructura:
{
}
4º. Vector de desplazamientos de le estructura:
{
}
IV - 55
RETICULADOS PLANOS
5º. Fuerza axial de los elementos:
[
]
Elemento 1:
[
IV - 56
]
ING. RONALD SANTANA TAPIA
Elemento 2:
[
]
Elemento 3:
[
IV - 57
]
RETICULADOS PLANOS
6º. Reacciones en los apoyos:
PROBLEMA Nº 05 La estructura plana mostrada en la figura está compuesta con 5 elementos biarticulados. Los elementos AD y BC no están unidos directamente, al igual que los elementos CF y DE. Suponga para todos los elementos La estructura se somete a una carga de 20 ton. Aplicada en el nudo “C” dirigida verticalmente hacia abajo. Note que la estructura y las acciones sobre ella son simétricas, por lo que no hay componentes horizontales de desplazamientos en C o en D. Por lo tanto, el análisis puede hacerse solo con 2 GDL, indicados. Determine: a. Los desplazamientos para ambos grados de libertad b. Las fuerzas axiales en los elementos CD y en 1 cualquiera de los otros elementos. D
B
F
4,20 m
A
C
E
20 ton. 5,60 m
5,60 m
IV - 58
ING. RONALD SANTANA TAPIA
SOLUCION:
1º. Matriz de rigidez de los elementos:
Elemento 1:
√
[
]
[
IV - 59
]
RETICULADOS PLANOS
Elemento 2:
√
[
]
[
Elemento 3:
√
IV - 60
]
ING. RONALD SANTANA TAPIA
[
]
[
]
[
]
[
]
Elemento 4:
√
Elemento 5:
IV - 61
RETICULADOS PLANOS
[
]
[
]
2º. Matriz de rigidez del sistema:
[
]
3º. Vector de fuerzas del sistema:
{
}
4º. Vector de desplazamiento del sistema:
{
}
IV - 62
ING. RONALD SANTANA TAPIA
5º. Fuerzas axiales en los elementos:
[
]
Elemento 1:
[
]
Elemento 2:
[
]
Elemento 3:
[
]
Elemento 4:
[
]
Elemento 5:
[
]
PROBLEMA Nº 06 En la figura se muestra el modelo para el análisis de una estructura plana compuesta por elementos biarticulados. El área de la sección transversal de los elementos (biarticulados) área de
, excepto para el elemento AC, que tiene un
. Las coordenadas de los nudos se indican en la tabla siguiente:
IV - 63
RETICULADOS PLANOS
Para todos los elementos:
Nudo
X(m)
Y(m)
A
0
6.8
B
0
0
C
4.8
2.0
D
4.8
0
E
9.6
0
La estructura esta sometida a fuerzas concentradas en los nudos. a. Determine la matriz de rigidez de cada uno de los elementos con referencia al eje global b. Obtenga la matriz de rigidez para la estructura, con lo grados de libertad indicados Resolviendo el sistema de ecuaciones
IV - 64
, se obtienen:
ING. RONALD SANTANA TAPIA
{
}
c. Haga un esquema de la deformada (no a escala) d. Determine la fuerza axial en cada elemento e. Determine las fuerzas aplicadas y las reacciones en los apoyos
SOLUCIÓN:
1º. Matriz de rigidez de los elementos: Elemento 1:
IV - 65
RETICULADOS PLANOS
√ (
)
√ √
√
[ [
]
]
Elemento 2:
(
)
√
IV - 66
ING. RONALD SANTANA TAPIA
[ [
]
]
Elemento 3:
√ (
)
[ [
]
]
IV - 67
RETICULADOS PLANOS
Elemento 4:
[
]
[
]
Elemento 5:
[
]
[
IV - 68
]
ING. RONALD SANTANA TAPIA
Elemento 6:
[
]
[
]
2º. Matriz de rigidez de la estructura:
[
]
DATO:
{
}
IV - 69
RETICULADOS PLANOS
3º. Fuerza axial en cada elemento:
[
]
Elemento 1:
√
[
]
IV - 70
ING. RONALD SANTANA TAPIA
Elemento 2:
[
]
Elemento 3:
[
]
IV - 71
RETICULADOS PLANOS
Elemento 4:
[ ]
Elemento 5:
[
IV - 72
]
ING. RONALD SANTANA TAPIA
Elemento 6:
[
4º. Fuerzas externas aplicadas y reacciones en los apoyos:
Equilibrio nudo “C”:
IV - 73
]
RETICULADOS PLANOS
∑
∑
PROBLEMA Nº 07 En la siguiente figura se muestra el modelo bidimensional considerado para el análisis de una estructura. Para efectos del análisis la antena puede sustituirse por una biela equivalente, con rigidez axial: cables:
. Para los tres
Suponga que los cables han sido tensados de modo que
permanecerán siempre rectos y traccionados. Determine las modificaciones en las fuerzas axiales de los cables al aplicar sobre el conjunto una fuerza de 1 ton. Como se indica.
IV - 74
ING. RONALD SANTANA TAPIA
SOLUCIÓN:
IV - 75
RETICULADOS PLANOS
1º. Matriz de cada elemento: Elemento 1:
√
[
]
[
]
[
[
]
]
IV - 76
ING. RONALD SANTANA TAPIA
Elemento 2:
√
[
]
[
]
[
]
IV - 77
RETICULADOS PLANOS
Elemento 3:
[
]
Elemento 4:
IV - 78
[
]
ING. RONALD SANTANA TAPIA
√
[
]
[
]
[
]
2º. Matriz de rigidez del sistema:
[
]
3º. Vector de fuerzas del sistema:
{
}
IV - 79
RETICULADOS PLANOS
4º. Vector de desplazamiento del sistema:
{
}
5º. Vector de fuerzas axiales de los elementos:
Elemento 1:
[
] {
{
}
}
√
Elemento 2:
[
] {
IV - 80
}
ING. RONALD SANTANA TAPIA
{
}
] {
}
√
Elemento 3:
[
Elemento 4:
[
] {
{
}
}
√
PROBLEMA Nº 08 La estructura mostrada en la figura 1, compuesta por elementos biarticulados, puede ser analizada considerando los grados de libertad indicados en la figura 2.
1. Determine la matriz de rigidez de cada uno de los elementos (4 tipos) con referencia a grado de libertad orientados según ejes globales.
IV - 81
RETICULADOS PLANOS
2. Considerando los grados de libertad indicados, obtenga los siguientes coeficientes de rigidez de la estructura:
3. Resolviendo el sistema de ecuaciones: k . u=f, se obtienen los siguientes desplazamientos (en cm):
4. Haga un esquema de la deformada (no necesariamente a escala). 5. Determine las fuerzas en los extremos de los elementos, con referencia a ejes globales. Verifique el equilibrio. 6. Determine las fuerzas axiales en los elementos (ejes locales).
IV - 82
ING. RONALD SANTANA TAPIA
SOLUCIÓN:
;
;
1º. Matriz de rigidez de cada elemento: Elementos: AB, CD, EF
[
]
[
[
]
IV - 83
]
RETICULADOS PLANOS
Elemento: EC, CA, FD, BD
[
]
[
[
]
IV - 84
]
ING. RONALD SANTANA TAPIA
Elemento: AD y CF
√
[
]
[
]
IV - 85
RETICULADOS PLANOS
[
]
Elemento: BC y DE
√
IV - 86
ING. RONALD SANTANA TAPIA
[
]
[
]
[
]
IV - 87
RETICULADOS PLANOS
2º. Hallar:
;
;
;
;
;
;
3º. Deformada:
LEYENDA: - - - Estructura ___ Deformada
IV - 88
;
ING. RONALD SANTANA TAPIA
4º. Fuerzas en los extremos de los elementos:
Elemento AB:
[
]
{
IV - 89
}
{
}
RETICULADOS PLANOS
Elemento CD:
[
] {
{
IV - 90
}
}
ING. RONALD SANTANA TAPIA
Elemento EF:
[
] {
{
}
}
Elemento AC:
[
] {
IV - 91
}
RETICULADOS PLANOS
{
}
Elemento CE:
[
] {
IV - 92
}
ING. RONALD SANTANA TAPIA
{
}
Elemento BD:
[
] {
IV - 93
}
RETICULADOS PLANOS
{
}
Elemento DF
[
] {
IV - 94
}
ING. RONALD SANTANA TAPIA
{
}
Elemento AD
[
] {
IV - 95
}
RETICULADOS PLANOS
{
}
Elemento CF:
[
] {
IV - 96
}
ING. RONALD SANTANA TAPIA
{
}
Elemento BC:
[
] {
IV - 97
}
RETICULADOS PLANOS
{
}
Elemento DE:
[
{
] {
}
5º. Fuerzas axiales de los elementos:
IV - 98
}
ING. RONALD SANTANA TAPIA
Elementos: AD y CF
[
[
]
]
Elementos: BC y DE
[
]
[
]
Elementos AD:
[
] {
IV - 99
}
RETICULADOS PLANOS
{
}
Elementos CF:
[
{
]
}
IV - 100
{
}
ING. RONALD SANTANA TAPIA
Elementos BC:
[
{
]
{
}
]
{
}
}
Elementos DE:
[
IV - 101
RETICULADOS PLANOS
{
}
CUADRO RESUMEN DE FUERZAS AXIALES (-) COMPRESIÓN
ELEMENTO
(+) TRACCIÓN
ELEMENTO
AB
+2.2335
FD
-0.6095
CD
+1.0796
AD
+3.4582
EF
+0.81295
CF
+1.01586
AC
+3.5502
BC
-2.7917
CE
+1.2654
DE
-2.109
BD
-3.950
IV - 102
ING. RONALD SANTANA TAPIA
RETICULADO PLANO SOMETIDO A CAMBIOS DE TEMPERATURA Los incrementos de temperatura generan esfuerzos internos de compresión, mientras que los decrementos de temperatura originan esfuerzos internos de tracción
CÁLCULO DEL VECTOR DE FUERZAS INTERNAS POR BRIDA:
Incremento: Deformación térmica: Deformación mecánica:
Igualando:
IV - 103
RETICULADOS PLANOS
{
}
{
}
MONTANTE:
{
}
. ARRIOSTRE:
IV - 104
{
}
ING. RONALD SANTANA TAPIA
{
}
IV - 105
{
}
RETICULADOS PLANOS
PROBLEMA Nº 09 El reticulado plano de la figura se somete a un incremento de temperatura de Determine los desplazamientos (verticales) de los nudos C y D y las fuerzas axiales en cada barra. Para todos los elementos: Note que, siendo la estructura y las acciones simétricas, el análisis puede efectuarse con dos grados de libertad.
SOLUCIÓN:
IV - 106
ING. RONALD SANTANA TAPIA
1º. Matriz de rigidez de cada elemento: Elemento: BC y DE
√
[
]
IV - 107
RETICULADOS PLANOS
[
]
[
]
Elemento: AD y CF
IV - 108
ING. RONALD SANTANA TAPIA
√
[
[
]
]
IV - 109
RETICULADOS PLANOS
Elemento: CD
[
]
[
]
2º. Matriz de rigidez de la estructura:
[
]
3º. Vector de fuerzas por temperatura de cada elemento:
IV - 110
ING. RONALD SANTANA TAPIA
Elemento: BC y DE
[
]
{
}
Elemento: AD y CF
IV - 111
{
}
RETICULADOS PLANOS
{
{
}
}
Elemento: CD
{
IV - 112
}
ING. RONALD SANTANA TAPIA
{
}
4º. Vector de fuerzas por temperatura del sistema:
{
}
5º. Vector de fuerzas internas del sistema:
{
}
6º. Vector de desplazamientos del sistema:
[
] {
IV - 113
}
{
}
RETICULADOS PLANOS
{
}
7º. Vector de fuerzas internas de los elementos:
Elemento BC:
{
}
[
{
] {
}
√
Elemento DE:
IV - 114
}
ING. RONALD SANTANA TAPIA
{
}
[
{
]
{
}
] {
}
}
√
Elemento AD:
{
}
[
IV - 115
RETICULADOS PLANOS
{
}
√
Elemento CF:
{
}
{
[
] {
}
IV - 116
}
ING. RONALD SANTANA TAPIA
√
Elemento CD:
{
}
{
}
[
] {
}
PROBLEMA Nº 10 El sistema formado por barras biarticuladas se somete a un incremento de temperatura:
, se pide determinar bajo esta condición las fuerzas
axiales en los elementos:
IV - 117
RETICULADOS PLANOS
SOLUCIÓN:
1º. Matriz de rigidez de cada elemento: Elemento 1:
IV - 118
ING. RONALD SANTANA TAPIA
√
√ √
√
√
[ [
]
]
[
]
Elemento 2:
√
√ √
√
√
[ [
]
IV - 119
]
RETICULADOS PLANOS
[
]
Elemento 3:
[
]
[
]
2º. Matriz de rigidez del sistema:
[
]
3º. Vector de fuerzas externas en los nudos del sistema:
4º. Vector de fuerzas internas por “
Elemento 1:
IV - 120
en cada elemento:
ING. RONALD SANTANA TAPIA
√ √ √
{
}
√ {
}
Elemento: 2
√ √ √
{
}
IV - 121
√ {
}
RETICULADOS PLANOS
Elemento: 3
{
{
}
}
5º. Vector de fuerzas internas del sistema:
{
}
IV - 122
ING. RONALD SANTANA TAPIA
6º. Vector de fuerzas externas del sistema:
{
}
7º. Vector de desplazamiento del sistema:
[
] {
{
}
}
{
}
{
}
8º. Vector de fuerzas internas en los elementos:
Elemento 1:
{
}
[
IV - 123
]
{
}
RETICULADOS PLANOS
{
{
}
}
EN EJE LOCAL:
√
[
√
]
IV - 124
{
}
ING. RONALD SANTANA TAPIA
{
}
SEGUNDA FORMA:
[
]
[
√
√
]
Elemento 2:
{
}
[
{
]
}
IV - 125
{
}
RETICULADOS PLANOS
{
}
EN EJE LOCAL: √
] {
[
{
√
}
IV - 126
}
ING. RONALD SANTANA TAPIA
Elemento 3:
{
}
[
] {
{
}
}
PROBLEMA Nº 11 La estructura ABCD mostrada en la figura, esta formada por barras de sección circular, articuladas en sus extremos. La sección de todas las barras tiene un diámetro de ½ pulgada y el material tiene:
.
A que temperatura debería calentase BC (medio ambiente cambien de posición.
IV - 127
tal que D no
RETICULADOS PLANOS
SOLUCION:
1º. Cálculos previos
IV - 128
ING. RONALD SANTANA TAPIA
2º. Matriz de rigidez de cada elemento Elemento: AB y DC
√
√
√
[
]
IV - 129
RETICULADOS PLANOS
√
[
]
Elemento: BD y AC
√
√
√
IV - 130
ING. RONALD SANTANA TAPIA
√
[
]
Elemento BC:
[
]
[
]
IV - 131
RETICULADOS PLANOS
3º. Matriz de rigidez del sistema.
[
]
4º. Fuerzas externas en los nudos:
{
}
5º. Vector de fuerzas internas por incremento de Elemento BC:
{
}
{
IV - 132
}
ING. RONALD SANTANA TAPIA
6º. Vector fuerzas externas del sistema:
{
}
7º. Vector desplazamiento del sistema:
[
] {
}
{
La temperatura a calentarse es :
IV - 133
}
RETICULADOS PLANOS
RETICULADO CON DEFECTO DE FABRICACION ESFUERZOS DE MONTAJE
El cálculo de las tensiones de montaje se realiza basándose en las ecuaciones de la estática y en las condiciones de compatibilidad de los desplazamientos. En este caso, al plantear las condiciones de compatibilidad de los desplazamientos se tiene en cuenta la existencia de errores dados en las longitudes de los elementos del sistema. Puesto que las longitudes reales de los elementos, que resultan durante la fabricación (elaboración) de estos, se diferencian muy poco de las previstas en el proyecto, al calcular los alargamientos de los elementos por la ley de Hooke, se consideran las longitudes previstas en el proyecto y no las reales.
:
Cierto elemento se presenta con defecto de fabricación, al momento de montar se generan esfuerzos internos de comprensión o tracción, respectivamente.
VECTOR DE FUERZAS INTERNAS POR: BRIDA:
IV - 134
ING. RONALD SANTANA TAPIA
{
}
{
}
MONTANTE: Nj
4 3
j
j
L+
E, A
L
2 1
i i N
{
i
}
IV - 135
{
}
RETICULADOS PLANOS
ARRIOSTRE:
{
}
IV - 136
{
}
ING. RONALD SANTANA TAPIA
PROBLEMA Nº 12
El sistema formado por barras biarticuladas, tiene el elemento CD con defecto de fabricación en su longitud
, al montar (encajar) en el sistema, se pide
calcular las fuerzas axiales en los elementos.
SOLUCIÓN:
IV - 137
RETICULADOS PLANOS
1º. Matriz de rigidez de cada elemento: Elemento 1:
√
√ √
√
√
[ [
]
[
IV - 138
]
]
ING. RONALD SANTANA TAPIA
Elemento 2:
√
√ √
√
√
[ [
]
]
[
Elemento 3:
IV - 139
]
RETICULADOS PLANOS
[
]
[
]
2º. Matriz de rigidez del sistema:
[
]
3º. Vector de fuerzas externas en los nudos del sistema:
4º. Vector de fuerzas internas debido a “ Elemento 1:
Elemento 2:
IV - 140
en cada elemento:
ING. RONALD SANTANA TAPIA
{
}
√ √ √ √ {
}
Elemento 3:
5º. Vector de fuerzas internas del sistema:
{
}
6º. Vector de fuerzas externas del sistema:
IV - 141
RETICULADOS PLANOS
{
}
7º. Vector de desplazamiento del sistema:
{
}
8º. Vector de fuerzas internas en los elementos:
Elemento 1:
{
}
[
] {
{
IV - 142
}
}
ING. RONALD SANTANA TAPIA
{
}
EN EJE LOCAL:
√
[
√
{
]
{
IV - 143
}
}
RETICULADOS PLANOS
[
SEGUNDA FORMA: [
]
√
]
√
Elemento 2:
{
}
[
] {
{
}
IV - 144
}
ING. RONALD SANTANA TAPIA
{
}
EN EJE LOCAL: √
] {
[
{
√
}
IV - 145
}
RETICULADOS PLANOS
[
SEGUNDA FORMA:
[
]
√ ]
√
Elemento 3:
{
}
[
] {
{
IV - 146
}
}
ING. RONALD SANTANA TAPIA
PROBLEMA Nº 13 Para la estructura reticulada mostrada en la figura, determinar la fuerza axial en la barra BD, para los siguientes casos: a. Cuando se aplica una fuerza vertical en B dirigida hacia debajo de 40 KN. b. Cuando se produce un descenso de temperatura de 40º C en la barra BD. c. Si la barra BD fuera 5 mm mas corta. d. Si se aplicara las tres acciones anteriores, simultáneamente.
IV - 147
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
SOLUCIÓN: Uniformizando las unidades a: N, m
1º. Matriz de rigidez de cada elemento: Elemento 1:
√
√
√
√
IV - 148
ING. RONALD SANTANA TAPIA
[
]
[
]
Elemento 2:
√
√
√
[
]
[
IV - 149
]
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Elemento 3:
[
]
[
]
[
]
[
]
Elemento 4:
IV - 150
ING. RONALD SANTANA TAPIA
Elemento 5:
[
]
[
]
2º. Matriz de rigidez del sistema:
[
]
3º. Vector de cargas en los nudos
a)
b) y c)
{
}
{
}
IV - 151
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
4º. Vector de fuerzas internas por :
a)
{
}
b) {
}
Elemento 5:
{ { {
} }
c)
{
}
Elemento 5:
{
IV - 152
}
}
ING. RONALD SANTANA TAPIA
{
}
5º. Vector de fuerzas externas del sistema:
a)
{
}
b)
{
}
c)
{
}
6º. Vector de desplazamientos del sistema:
a) [ ] {
}
{
}
{
b) [ ] {
}
{
}
}
{
IV - 153
}
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
c) [ ] {
}
{
}
{
}
7º. Vector de fuerza axial el barra BD:
a) Debido a la carga mecánica
[
] [
]
b) Debido al descenso de temperatura
IV - 154
ING. RONALD SANTANA TAPIA
[
c) Debido al defecto en su longitud
IV - 155
]
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
[
]
[
]
d) Incluyendo las tres acciones simultáneamente
Superponiendo:
PROBLEMA Nº 14 En la figura siguiente, se muestra una viga
empotrada en
un extremo, que se ha reforzado con un puntal biarticulado ( En el extremo C actúa una fuerza vertical de 5 ton. Como se indica. Determine la fuerza axial en el puntal y las reacciones en el empotramiento de la viga. Dibujar el diagrama de momentos flectores de la viga. Desprecie las deformaciones axiales y de corte en la viga. Note que puede ignorar el volado, considerando las correspondientes acciones (fuerza vertical y momento) en B. lo anterior implica considerar solo 2 GDL (asociado al desplazamiento vertical y al giro del nudo D).
IV - 156
ING. RONALD SANTANA TAPIA
SOLUCIÓN:
1º. Matriz de rigidez de los elementos:
Elemento 1: (VIGA)
IV - 157
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
[
]
[
]
Elemento 2: (PUNTAL)
[
]
√
√ √
√
IV - 158
ING. RONALD SANTANA TAPIA
[
]
2º. Matriz de rigidez de la estructura:
[
]
3º. Vector de fuerzas externas de la estructura:
{
}
4º. Vector de desplazamiento de la estructura:
{
}
5º. Vector de fuerzas internas en los elementos:
Elemento 1: (VIGA)
IV - 159
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
[
] {
{
}
}
Elemento 2: (PUNTAL)
[
]
6º. Dibuje el diagrama de momentos flectores de la viga
IV - 160
ING. RONALD SANTANA TAPIA
PROBLEMA Nº 15 La viga
de la figura esta empotrada en el extremo
derecho. A la izquierda está apoyada en dos resortes, uno lineal con y otros rotacional, con un tirante biarticulado
y reforzada con . La estructura será analizada con 2
GDL (asociados al desplazamiento vertical y al giro en A).
Determine a. La fuerza axial en el tirante b. Las reacciones en el empotramiento de la viga c. Dibujar el DMF y de la viga Desprecie la deformación axial y de corte de la viga
SOLUCIÓN:
IV - 161
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
1º. Matriz de rigidez de los elementos: Elemento 1: (Viga)
[
]
[
]
Elemento 2: (Tirante)
[
IV - 162
]
ING. RONALD SANTANA TAPIA
√
[
]
Elemento 3: (Resorte de rigidez traslacional)
[
[
Elemento 4: (Resorte de rigidez rotacional)
[
IV - 163
]
]
]
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
[
]
2º. Matriz de rigidez de la estructura:
[
]
3º. Vector de fuerzas externas de la estructura:
{
}
4º. Vector de desplazamiento de la estructura:
{
}
5º. Vector de fuerzas internas en los elementos:
Elemento 1: (Viga)
[
] {
IV - 164
}
ING. RONALD SANTANA TAPIA
{
}
{
}
Elemento 2: (Tirante)
[
IV - 165
]
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
[
]
Elemento 3: (Resorte traslacional)
[
]{
}
Elemento 4: (Resorte rotacional)
[
]{
}
6º. Verifique equilibrio nudo “A”
IV - 166
ING. RONALD SANTANA TAPIA
PROBLEMA Nº 16 El
montaje del sistema de barras de acero mostrado se hizo forzando los
extremos D y E para que formen una articulación, pues las longitudes de las barras no coincidían. a. Determine esta condición el esfuerzo en la barra CD b. Si después del montaje se calentara a 50 ºC el miembro CD (ambiente 20 ºC) cual sería el nuevo esfuerzo en dicho miembro. La sección de todos los miembros es rectangular de tiene:
IV - 167
y el material
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
SOLUCIÓN:
A. ANÁLISIS POR MONTAJE:
El error de fabricación
se puede considerarse en el elemento 3 ó en
el elemento 4.
1º. Matriz de rigidez de los elementos:
Elemento: 1
IV - 168
ING. RONALD SANTANA TAPIA
√ √ √
√
[
]
[
]
√
Elemento: 2
√
√
IV - 169
√
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
√
[
]
[
]
√
Elemento: 3
[
[
]
]
Elemento: 4
[ ]
[
]
2º. Matriz de rigidez del sistema:
[
]
IV - 170
ING. RONALD SANTANA TAPIA
3º. Vector de fuerzas internas por Considerando
en el elemento 3:
Elemento: 3
{
}
{
}
4º. Vector de fuerzas externas del sistema:
{
}
5º. Vector de desplazamientos del sistema:
[
] {
{
}
IV - 171
}
{
}
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
6º. Fuerza axial en el elemento “3”:
[
] [
]
[
B. ANÁLISIS POR INCREMENTO DE TEMPERATURA
IV - 172
]
ING. RONALD SANTANA TAPIA
1º. Vector de fuerzas internas por Elemento: 3
{
{
}
}
2º. Vector de fuerzas externas del sistema:
{
}
3º. Vector de desplazamiento del sistema:
[
] {
{
}
4º. Fuerza axial en elemento “3”: [
] [
}
]
IV - 173
{
}
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
[
ESFUERZO POR
]
:
Superponiendo:
IV - 174
ING. RONALD SANTANA TAPIA
PROBLEMAS PROPUESTOS 1. La estructura plana de la figura mostrada esta compuesta por elementos biarticulados, determine los desplazamientos verticales de los nudos B y C y las fuerzas axiales en cada elemento, que se generan después de aplicar una carga vertical (hacia abajo) de 12 ton. En el nudo C, para todos los elementos considerar
. Note que, siendo la
estructura y las acciones simétricas, el análisis puede realizarse con dos grados de libertad.
2. La estructura de la figura se somete a una carga vertical (hacia abajo) de 12 ton. En el nudo 3, determine los desplazamientos (verticales) de los nudos y las fuerzas axiales en cada barra. Las barras horizontales tiene un área de la sección transversal de tiene un área de
; el resto de los elementos
.
Considerar para todos los elementos: Note que, siendo la estructura y las acciones simétricas, el análisis puede efectuarse con dos grados de libertad.
IV - 175
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
3. La estructura plana de la figura, compuesta por elementos biarticulados, se somete a un incremento de temperatura de
. Determine los
desplazamientos verticales de los nudos B y C y las fuerzas axiales en cada elemento. Para todos los elementos: . Note que, siendo la estructura y las acciones simétricas, el análisis puede realizarse con dos grados de libertad.
4. En la figura se muestra el modelo bidimensional utilizado para el análisis de un reticulado. Los elementos pueden suponerse biarticulados. Note que AD y DB no están unidos directamente. Todos los elementos son del mismo material, con
Tienen la misma área de la sección transversal, igual a
.
a. Determine dos coeficientes no nulos (cualesquiera) de la matriz de rigidez de la estructura. Refiérase a los grados de libertad indicados en la figura. b. Como resultado de un incremento de temperatura uniforme, de , se producen los desplazamientos:
1
-0.8898
2
4.1460
3
0.8898
4
4.1460
IV - 176
ING. RONALD SANTANA TAPIA
Determine las fuerzas axiales en cada una de las barras conectadas al nudo D y verifique el equilibrio.
5. En la figura siguiente se muestra una viga de concreto armado , doblemente empotrada, que se ha reforzado con un tirante vertical de acero Determine la fuerza axial en el tirante cuando se aplica en B una fuerza vertical de 20 ton. Como se indica. Dibuje el correspondiente diagrama de momentos flectores en la viga. Las deformaciones de corte y axiales en la viga pueden despreciarse
6. Determine la fuerza axial en los tirantes y los momentos flectores en la viga de la figura mostrada: Para los tirantes
:
Para la viga
:
IV - 177
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
En C actúa una fuerza vertical (hacia abajo) de 10 ton. Considere que las deformaciones axiales y de corte en la viga son despreciables. Siendo la estructura simétrica, puede se analizada con un solo grado de libertad.
7. Analice la estructura mostrada en la figura. Sobre el elemento horizontal (ABC) actúa una fuerza vertical uniformemente distribuida, hacia abajo, de 1.5 ton/m. El elemento horizontal es de madera, de 9 cm de ancho y 29 cm de peralte, con
. Note que las deformaciones
de corte podrían ser significativas. El elemento vertical es también de madera, con las mismas propiedades, de 9 cm x 9 cm de sección transversal. Las uniones en los extremos de este elemento pueden considerarse como articulaciones. Los elementos diagonales son varillas de acero de sección circular, constante de 5/8” de diámetro, con . Siendo la rigidez flexional de estas varillas muy pequeñas, pueden considerarse como elementos biarticulados. Si fuera necesario, complete sus datos haciendo cualquier otra hipótesis razonable. Determine el desplazamiento vertical del punto B, el máximo momento flector en el elemento horizontal y la fuerza axial en las diagonales. Dibuje el diagrama de momentos en el elemento horizontal.
IV - 178
ING. RONALD SANTANA TAPIA
8. Considere la estructura mostrada en la figura. Sobre el elemento horizontal (ABCD) Actúa una fuerza vertical uniformemente distribuida, hacia abajo, de 3 ton/m. El elemento horizontal es de acero, ; las deformaciones axiales y de corte en este elemento pueden despreciarse. Los elementos verticales pueden considerarse articulados en ambos extremos, para estos elementos Los otros elementos son varillas de acero de sección constante, con siendo la rigidez flexional de estas varillas muy pequeña, pueden considerarse también elementos bi articulados. Del análisis se han obtenido:
9. Al analizar la estructura mostrada en la figura se ha supuesto que lo elementos
inclinados,
BD
y
DC,
son
biarticulados,
con
Además se han despreciado los efectos de las deformaciones axiales y de corte en la viga ABC. Para la viga: Suponiendo
y w
obtenido: a. Desplazamiento vertical en B: -0.62968 mm b. Desplazamiento vertical en C: -0.21896 mm
IV - 179
se han
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
c. Giro en B:
(el signo menos indica que el giro es de
sentido horario) d. Giro en C: Determine: -
Las fuerzas axiales en los elementos BD y DC
-
Los momentos flectores en la viga ABC (indique los valores A, B, C y al centro cada tramo) Este problema puede ser resuelto en múltiples formas. Note que el giro en C no es nulo. Más bien, el correspondiente momento es cero.
10. En la figura se muestra la estructura de un puente, sometida a la acción de una carga uniformemente distribuida de 4 ton/m. Para las vigas: Los elementos inclinados son biarticulado. Al analizar esta estructura (ignorado deformaciones de corte se obtienen)
Se refieren a los componentes de desplazamiento horizontal y vertical, respectivamente. Los giros son positivos cuando antihorarios. Dibuje (no a escala) los diagramas de momentos flectores y de fuerzas cortantes.
IV - 180
ING. RONALD SANTANA TAPIA
11. En la estructura mostrada de la figura, las deformaciones de corte y las deformaciones axiales en la viga pueden despreciarse. Considerando y una carga vertical uniformemente distribuida a todo lo largo de la viga . Se han obtenido:
a.
Determine las fuerzas axiales en los tirantes y en torre central
b.
Dibuje el diagrama de momentos flectores en la viga (no a escala)
IV - 181
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
12. Considere la estructura mostrada en la figura, con las siguientes propiedades:
Elementos AB y BC
Elementos AC (tirante):
Las deformaciones de corte pueden despreciarse. Para un cierto sistema de fuerzas concentradas en los nudos, resolviendo el sistema de ecuaciones
, se obtienen:
Nudo
A
B
C
0.
0.08313
0.16626
0.
-0.17620
0.
?
0.
Determine las fuerzas en los extremos de cada elemento, en ejes locales. Dibuje el diagrama de momentos flectores. ¿Son importantes las deformaciones axiales?
B
3m A
C
4m
4m
IV - 182
ING. RONALD SANTANA TAPIA
13. La figura muestra el esquema de un puente. Los apoyos de la viga central tienen muy poca rigidez a desplazamientos horizontales. En este caso es posible analizar una parte de la estructura. Como se muestra en el esquema. Se pide determinar el diagrama el diagrama de momentos en la viga y las fuerzas axiales en los apoyos inclinados.
D
E
NOTA: Se puede condensar el 4 GDL
IV - 183
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