Analisis Estatico y Dinamico de Estructuras-Edward L. Wilson

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métodos numéricos empleados en las últimas versiones de los programas SAP y ETABS. La mayoría de los elementos y métodos numéricos que se usan en estos programas son nuevos, y no se presentan en libros de texto actuales sobre el análisis estructural. Además, este libro resume las ecuaciones fundamentales de la mecánica.

Análisis Tridimensional Estático y Dinámico de Estructuras

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Se requieren conocimientos matemáticos mínimos para comprender plenamente el material presentado en este libro. Sin embargo, es imprescindible una comprensión del comportamiento amiento físico de estructuras. No se requieren conocimientos de programación de computadoras.

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Se presenta un nuevo elemento dde CÁSCARA cuadrilateral con grados de libe libertad de rotación normales, el cual es preciso para placas finas y gruesas, y cáscaras cáscaras. Por lo tanto, se pueden conectar los elementos de cáscara fácilmente a los elementos clásicos de PÓRTICO. Se puede utilizar el elemento SOLIDO tridimensional para modelar tanto líquidos como sólidos.

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El Profesor Wilson posee más de 45 años de experiencia profesional en la Ingeniería Civil, Mecánica y Aeroespacial. Fue Profesor de sidad de Ingeniería Estructural de la Universidad ante el período de California en Berkeley durante 1965 al 1991, y ha publicadoo más de 180 artículos y libros. Sus aportes a la investigación y al desarrollo le han cosechado numerosos premios, incluyendo su elección a la Academia Nacional de Ingeniería en el año 1985.

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Edward L. Wilson, D. Ing.

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e En el año 1961, el Profesor Wilson escribió el primer programa automatizado de computadora de análisis de elementos finitos, y fue quien originó el desarrollo de la serie de programas de AL , S SAP y ETABS. Estos computadora CAL, nocidos por su precisión y programas son conocidos velocidad, y su empleo de algoritmos numéricos muy eficientes y elementos finitos precisos. Durante los últimos diez años, Ed Wilson ha trabajado como Consultor Senior de la CSI en la programación y la documentación de dichos nuevos métodos de análisis estructural computacional. El principal objetivo de este libro es resumir el desarrollo teórico de los elementos finitos y los

Se presenta el análisis dinámico como una extensión lógica del análisis estático donde se agregan fuerzas de inercia y amortiguamiento para satisfacer el equilibrio en cada punto cronológico. El uso de Vectores Dependientes de Carga Ritz (LDR, por sus siglas en inglés) en un análisis dinámico produce resultados mucho más precisos que el empleo de los autovectores dinámicos exactos.

El uso de vectores LDR permite que se extienda el método clásico de superposición modal al análisis dinámico no-lineal, utilizando el método de Análisis Rápido No-Lineal (FNA, por sus siglas en inglés). Este nuevo método de análisis dinámico no-lineal permite que estructuras con un número limitado de elementos no-lineales sean analizadas casi en el mismo tiempo de computación que lo que se requiere para un análisis dinámico de la misma estructura. Este libro es de lectur a obligator ia para todo investigador y profesional que trabaja en el campo de la ingeniería estructural moderna.

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Análisis Estático y Dinámico de Estr uctur as Un Enfoque Físico Con Énfasis en Ingeniería Sísmica

Edwar d L. Wilson

Profesor Emérito de Ingeniería Estructural Universidad de California en Berkeley

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Traducción

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www.morrisoningenieros.com

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Revisión Técnica

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Ing. Carlos a r los A A. Prato, Ph.D. Profesor Titular Plenario del Departamento de Estructuras Universidad Nacional de Córdoba, Argentina

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n g. F eernando rn Gonzalo Vásquez, Ph.D. Ing. Profesor Asociado Universidad Nacional de Ingeniería, Perú

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r pIng. Alberto Guzmán De La Cruz, Ph.D.

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Coordinador del Area de Estructuras

C Universidad Politécnica de Puerto Rico, Puerto Rico Ing. Emilio Cruz Herasme, M.Sc. Profesor Asociado Universidad Nacional Pedro Henríquez Ureña, República Dominicana

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Derechos Reservados  por Computers and Structures, Inc. Ninguna parte de esta publicación puede ser reproducida o distribuida de ninguna forma o por ningún medio, sin un permiso escrito previo de Computers and Structures, Inc. Copias de esta publicación pueden ser obtenidas de: Computers and Structures, Inc. 1995 University Avenue Berkeley, California 94704 USA Teléfono: (510) 845-2177 Fax: (510) 845-4096

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 Derechos Reservados Computers and Structures, Inc., 1996-2008 El logo CSI es marca registrada de Computers and Structures, Inc. SAP90, SAP2000, SAFE, FLOOR y ETABS son marcas registradas de Computers and Structures, Inc. ISBN 0-000000-00-0

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EL ARTE DE UTILIZAR MATERIALES

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LA INGENIERÍA ESTRUCTURAL

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Que Tienen Propiedades Que Sólo lo Pueden Ser Estimadas

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PARA CONSTRUIR ESTRUCTURAS REALES

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Que Sólo Pueden Ser Analizadas Aproximadamente

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QUE SOPORTAN FUERZAS

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Que No son Conocidas con Precisión

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DE MANERA QUE NUESTRA RESPONSABILIDAD CON

Adoptado de un Autor Anónimo

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EL PÚBLIC PÚBLICO O SEA SATISFECHA.

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Prólogo de la Cuarta Edición Esta edición del libro contiene correcciones y adiciones a la edición de Julio del 2000. A juzgar por los comentarios de los lectores, el libro ha sido muy exitoso desde la publicación de la primera edición en 1998. De todas formas, todos los libros técnicos tienen existencia limitada y deben ser modificados y expandidos periódicamente. Ha sido agregado el Capítulo 23 acerca de la interacción fluido-estructura de los tipos de cargas durante terremotos. En este capitulo esta demostrado que el elemento SOLID tridimensional en SAP2000 puede ser utilizado para modelar fluidos interactuando con estructuras sólidas. El elemento incluye el efecto de compresibilidad exacta y masa de los fluidos. Un Pequeño modulo de cortante es utilizado para estabilizar la malla y para sísmica de los aproximar la viscosidad del fluido. Problemas, tales como la respuesta sísm sistemas de embalse de las presas, puedan ahora ser modelados de forma precisa con el programa SAP2000. Por tanto, la necesidad de utilizar programas para objetivos específicos para esta clase de problemas ha sido eliminado. Además, ya no es requerida la adición de aproximación de masa.

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Esta edición puede ser utilizada como un libro de referencia básica por el elemento tecnología y el método numérico utilizado en SAP2000, ETABS y SAFE. De todos practicas que no son cubiertas en modos estos programas contienen muchas opciones pra el libro. Algunos ejemplos de estas opciones son carga incremental por construcción, análisis de pushover, y degradación de la rigidez de los elementos. Muchos de estos temas están disponibles en la pagina web www.csiberkeley.com o www.edwilson.org.

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r: o Si usted tiene alguna pregunta teórica p relacionada con el material presentado en este libro me puede contactar a o través de correo electrónico en [email protected]. dcon el uso de los programas de computadoras por favor Para preguntas relacionadas a contacte a CSI. pr Edward L. Wilson om Agosto 2004 C

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Prólogo de la Tercera Edición Esta edición del libro contiene correcciones y adiciones a la edición de julio del 2000. La mayor parte del material nuevo ha sido agregado en respuesta a las preguntas y comentarios de los usuarios del SAP2000, ETABS, y SAFE. El Capítulo 22 ha sido escrito acerca del empleo directo de cargas sísmicas por desplazamiento absolutos que actúan en la base de la estructura. Varios tipos nuevos de errores numéricos han sido identificados para cargas de desplazamiento absoluto. Primero, la naturaleza fundamental de la carga por desplazamiento absoluto es significativamente diferente a la carga por aceleración Segundo, se en la base empleada tradicionalmente en la ingeniería sísmica. Segundo, requiere un intervalo de integración menor para definir los desplazamiento desplazamientos Tercero se sísmicos y para resolver las ecuaciones del equilibrio dinámico. Tercero, necesita de un número elevado de modos para que la carga de desplazamiento absoluta arroje la misma precisión que la producida cuando una aceleración en la base es utilizada como carga. Cuarto, la regla del 90 por ciento de la masa, no se aplica para la carga de desplazamiento absoluto.. Finalmente el amortiguamiento modal efectivo para cargas por desplazamiento es mayor que cuando se emplea la carga por aceleración.

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Para reducir los errores asociados a la carga por desplazamiento, se ha introducido tulo 13 un método de orden superior de integración basado en una en el capítulo variación cúbica de las cargas con respecto al lapso lapso. Adicionalmente, los factores por participación estático y dinámico han sido defi definidos para permitir al ingeniero estructural minimizar los errores asociados con cargas por desplazamiento. Adicionalmente el capítulo 19 de amortiguamiento viscoso ha sido ampliado para ilustrar el efecto físico del amortiguamiento modal en los resultados del análisis dinámico.

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Ell Apéndice H, acerca de la velocidad de las computadoras personales modernas ha sido actualizado actualizado. Hoy es posible comprar una computadora personal por aproximadamente $1,500.00 que es 25 veces más rápida que la CRAY de $10,000,000 producida en 1974.

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Otras adiciones y modificaciones han sido realizadas en esta impresión. Por favor envíe sus comentarios y preguntas a [email protected].

Edward L. Wilson Agosto 2000

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Comentarios Personales

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Mi profesor de física de primer año de la universidad advertía dogmáticamente a la clase “no usen una ecuación que no puedan demostrar”. El mismo instructor una vez declaró “Si una persona tiene cinco minutos para resolver un problema del cual dependiera su vida, el individuo debe de emplear tres minutos leyendo y entendiendo claramente el problema”. En los últimos cuarenta años esta simple observación práctica ha guiado mi trabajo y espero que la misma filosofía haya sido transmitida a mis estudiantes. Con respecto a la ingeniería estructural moderna uno puede reformular esas observaciones como “no utilicen un programa de análisis estructural a menos que usted entienda completamente la teoría y aproximaciones contenidas en el programa” y “no haga un modelo de computadora hasta que las cargas, propiedades de los materiales y condiciones de frontera no estén claramente definidos.”

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Por lo tanto, el propósito principal de este libro es presentar los antecedentes teóricos necesarios de manera que el usuario de programas de computadoras para el análisis estructural pueda entender las aproximaciones básicas implementadas dentro del programa, verifique y asuma su responsabilidad profesional de los resultados. Se asumee que el lector tiene conocimientos de estática, mecánica de só sólidos y análisis estructural elemental. El nivel de conocimientos esperado es igual al de un individuo con una licenciatura en Ingeniería Civil o Mecánica. Notación matricial y vectorial es son definidos en los apéndices y son usados profusamente. profu elementales Antecedentes en notación tensorial y variables complejas no son requeridos.

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desarrolladas usando un enfoque físico puesto que este Todas las ecuaciones son desarrolladas estudiantes y profesionales de la ingeniería, y no para mis libro está escrito para estudiantes colegas académicos. El análisis estructural tridimensional es relativamente simple debido a la alta velocidad de la computadora moderna. Por lo tanto, todas las presenta presen tadas das en forma tridi ecuaciones son presentadas tridimensional, y se incluyen automáticamente las propiedades de los materiales anisotrópicos. No se requiere requieren antecedentes de programación de computadoras para utilizar un programa de computadora inteligentemente. mente.. Sin embargo, algoritmos numéricos detallados han sido dados para mente que el lector entienda completamente los métodos computacionales que se resumen en este libro. Los apéndices contienen un sumario elemental de los métodos numéricos usados; sin embargo, no debería ser necesario emplear tiempo adicional leyendo artículos de investigación para entender la teoría presentada en este libro. El autor ha desarrollado y publicado muchas técnicas de computación para el análisis estático y dinámico de estructuras. Ha sido motivo de satisfacción personal el hecho de que muchos profesionales de la ingeniería hayan encontrado útiles estos métodos de computación. Por lo tanto, una razón por la cual compilar este libro teórico y de aplicación

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es consolidar en una publicación dicha investigación y desarrollo. Adicionalmente, el reciente desarrollado análisis no lineal rápido (FNA), y otros métodos numéricos son presentados en detalle por primera vez. Las leyes fundamentales de la física, que son la base del análisis estático y dinámico de estructuras, tienen más de 100 años de edad. Por lo tanto, cualquiera que crea que haya descubierto un principio nuevo de mecánica, es víctima de su propia ignorancia. Este libro contiene trucos computacionales que el autor ha considerado efectivos para el desarrollo de programas de análisis estructural.

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El análisis estático y dinámico ha sido automatizado a un alto grado por la existencia de computadoras personales económicas. Sin embargo,, el campo de la ingeniería estructural, perto de programas en mi opinión, nunca será automatizado. La idea de que un sistema experto de computadoras con inteligencia artificial reemplazará la creatividad humana es un insulto a todos los ingenieros estructurales.

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El material en este libro ha evolucionado a través de lo últimos 35 años con la ayuda profesionales. Sus contribuciones son de mis antiguos estudiantes y colegas profesionales. ah Iqbal Subarwardy, Robert Morris, Syed Hasanain, reconocidas. Ashraf Habibullah Dolly Gurola, Marilyn Wilkes y Randy Corson de Computers and Structures, Inc., merecen un reconocimiento especial. Adicionalmente, me gustaría agradecer al gran número de ingenieros estructurales que han usado la serie de programas TABS y SAP. Ellos han provisto la motivación para esta publicación.

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edici de Análisis Dinámico Tridimensional de El material presentado en la primera edición Estructuras está incluido y actualizado en este libro. Espero ansiosamente por comentarios y preguntas adicionales de los lectores en orden de expandir el material en futuras ediciones de este libro.

Edward L. Wilson Agosto 2004

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CONTENIDO Introducción

1.2

Materiales Anisotrópicos

1.3

les en Programas de Computadora Uso de las Propiedades de los Materiales

1.4

Materiales Ortotrópicos

1.5

Materiales Isotrópicos

1.6

Deformación en el Plano en Materiales Isotrópicos picos

1.7

Esfuerzo en el Plano en Materiales Isotrópicos

1.8

Propiedades Materiales Parecidos a Fluidos

1.9

Velocidades de Onda de Cortante y Compresión

1.10

Propiedades de Materiales Axisimétrico Axisimétricoss

1.11

Relaciones de Fuerza-Deformación Deformación

1.12

Resumen

1.13

Referencias

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1.1

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Equilibrio y Compatibilidad i b i l i d ad Introducción

2.2

Ecuaciones Fundamentales de Equilibrio

2.3

Resultantes de Esfuerzo - Fuerzas y Momentos Resultantes

2.4

Requisitos de Compatibilidad

2.5

Ecuaciones de Desplazamiento de Deformación

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2.1

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2.

Propiedades de los Materiales

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1.

2.6

Definición de Rotación

2.7

Ecuaciones en la Frontera entre Materiales

2.8

Ecuaciones de Acoplamiento en Sistemas de Elementos Finitos

2.9

Estructuras Estáticamente Determinadas

2.10

Matriz de Transformación de Desplazamientos

2.11

Matrices de Rigidez y Flexibilidad del Elemento

2.12

Solución de Sistemas Estáticamente Determinados

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3.

2.13

Solución General de Sistemas Estructurales

2.14

Resumen

2.15

Referencias

Energía y Trabajo 3.1 Introducción 3.2 Trabajo Virtual y Trabajo Real 3.3 Energía Potencial y Energía Cinética

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3.4 Energía de Deformación

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3.5 Trabajo Externo

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3.6 Principio de Energía Estacionaria

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3.7 Método de la Fuerza

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3.8 Ecuación de Movimiento de Lagrange

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3.9 Conservación del Momento 3.10 Resumen

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Elementos Unidimensionales es

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4.

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3.11 Refererencias

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4.1 Introducción

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álisis de un Elemento Axial 4.2 Análisis

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4.3 Elemento de Pórtico Bidimensional Bidimensional

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4.4 Elemento de Pórtico Tridimensional

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4.5 Liberación del Extremo del Elemento

Elementos en t o s IIsoparamétricos

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5.

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4.6 Resumen 4-13 5.1 Introducción 5-1 5.2 Ejemplo Sencillo Unidimensional 5.3 Fórmulas de Integración Unidimensionales 5.4 Restricción sobre las ubicaciones de los Nodos Intermedios 5.5 Funciones de Formas Bidimensionales 5.6 Integración Numérica en Dos Dimensiones 5.7 Funciones de Forma Tridimensionales

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5.8

Elementos Triangulares y Tetraédricos

5.9

Resumen

5.10 Referencias Introducción

6.2

Elementos con Cortante Fijo

6.3

Adición de Modos Incompatibles

6.4

Formación de la Matriz de Rigidez del Elemento

6.5

Elementos Bidimensionales Incompatibles

6.6

Ejemplo Usando Desplazamientos Incompatibles

6.7

Elementos Tridimensionales Incompatibles

6.8

Resumen

6.9

Referencias

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6.1

o

Condiciones de Bordes y Restricciones c i o n es Generales Introducción

7.2

Condiciones de Frontera de Desplazamiento Desplazamientos

7.3

Problemas Numéricos en el Análisis Estructural

7.4

Teoría General Asociada a las Restri Restricciones

7.5

Restricciones sobre el Diafragma del Piso

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7.1

Restricciones Rígidas

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7.

Elementos Incompatibles

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6.

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Uso de Restricciones en Análisis de Viga-Losa Viga

om

Uso de Restricciones en el Análisis de Muro de Cortante

C

Uso de Restricciones para Transiciones de Malla Multiplicadores Lagrange y Funciones de Penalidad Resumen

8.

Elementos de Flexión en Losa 8.1

Introducción

8.2

El Elemento Cuadrilateral

8.3

Ecuaciones Deformación-Desplazamiento

8.4

La Rigidez del Elemento Cuadrilateral

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Satisfaciendo la Prueba de Grupo

8.6

Condensación Estática

8.7

Elemento de Flexión en Placa Triangular

8.8

Otros Elementos de Flexión de Placa

8.9

Ejemplos Numéricos 8.9.1 Un Elemento Viga 8.9.2 Carga Puntual en Placa Cuadrada con Soporte Simple 8.9.3 Carga Uniforme en Placa Cuadrada con Soporte Simple 8.9.4 Evaluación de Elementos de Flexión en Placa Triangular 8.9.5 Uso de Elementos Placas para Modelar Torsión en Vigas Resumen Referencias

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Introducción

9.2

Suposiciones Básicas

9.3

Aproximación de Desplazamiento

9.4

Introducción de Rotación de Nodo

9.5

Ecuaciones de Deformación - Desplazamiento

9.6

Relación lación Esfuerzo - Deformación

9.7

Transformación Relativa a Rotaciones Absolutas

9.8

Elemento de Membrana Triangular

9.9

Ejemplo Numérico

9.10

Resumen

9.11

Referencias

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9.1

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10.

Elemento de Membrana con Rotaciones Normales o r m al e

Elementos en t o s d de Cáscara 10.1

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9.

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8.10 8.11

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8.5

Introducción

10.2

Un Simple Elemento de Cáscara Cuadrilateral

10.3

Modelos de Cáscaras Curvos con Elementos Planos

10.4

Elementos de Cáscara Triangulares

10.5

Elementos Sólidos para Análisis de Cáscaras

10.6

Análisis de Bóveda de Cañón Scordelis-Lo

10.7

Ejemplo de Cáscara Hemisférica

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11.

10.8

Resumen

10.9

Referencias

Rigidez Geométrica y Efectos P-Delta 11.1

Definición de Rigidez Geométrica

Análisis Aproximado de Pandeo Análisis P-Delta de Edificios Ecuaciones para Edificios Tridimensionales

Ar

Longitud Efectiva – Factores K

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Formulación General de la Rigidez Geométrica

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Resumen

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Análisis Dinámico Introducción

12.2

Equilibrio Dinámico

12.3

Método de Solución Paso a Paso

12.4

Método de Superposición Modal

12.5

Análisis Espectral

12.6

Solución en el Dominio de Frecuencia

12.7

Solución de Ecuaciones Lineales

12.8

Respuesta Armónica no Amortiguada

12.9

Vibración Libre no Amortiguada

12.11

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12.1

12.10

13.

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Referencias

12.

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Análisis P-Delta usando Programa de Computo sin Modificación

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Magnitud de Efectos P-Delta

Resumen Referencias

Análisis Dinámico Utilizando la Superposición de Modo 13.1

Ecuaciones a Resolver

13.2

Transformación a Ecuaciones Modales

13.3

Respuesta Debida a Condiciones Iniciales

13.4

Solución General Debido a Carga Arbitraria

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13.6

Factores de Masa Participante

13.7

Factores de Participación de Cargas Estáticas

13.8

Coeficientes de Participación de Carga Dinámica

13.9

Resumen

Cálculo de Vectores Ortogonales de Rigidez y Masa Introducción

14.2

Método de Búsqueda del Determinante

14.3

Chequeo de Secuencia Sturm

14.4

Iteración Inversa

14.5

Ortogonalización de Gram-Schmidt

14.6

Iteración en el Sub-espacio

14.7

Solución de Sistemas Singulares

14.8

Generación de Vectores ctores Ritz Dependientes de Carga

14.9

Explicación Física dell Algoritmo LDR

14.10

Comparación de Soluciones usando Vectores Eigen y Ritz

14.11

Corrección para Truncado de Modos Superiores

14.12

Respuesta Sísmica en la Dirección Vertical

14.13

Resumen

14.14

Referencias

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14.1

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Análisis Dinámico ám i c o con Carga Sísmica de Espectro de Respuesta 15.1

Introducción

15.2

Definición de un Espectro de Respuesta

15.3

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15.

Solución para Cargas Periódicas

C

14.

13.5

Cálculo de Respuesta Modal

15.4

Curvas Típicas del Espectro de Respuesta

15.5

Método CQC de Combinación Modal

15.6

Ejemplo Numérico de Combinación Modal

15.7

Espectros de Diseño

15.8

Efectos Ortogonales en el Análisis Espectral 15.8.1 Ecuaciones Básicas para el Cálculo de Fuerzas Espectrales 15.8.2

El Método General CQC3

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15.8.3 Ejemplos de Análisis de Espectros Tridimensionales 15.9

15.10

15.8.4 Recomendaciones sobre Efectos Ortogonales Limitaciones del Método de Espectro de Respuesta 15.9.1 Cálculos de las Deriva de Piso 15.9.2 Estimación de Esfuerzos Espectrales en Vigas 15.9.3 Revisión de Diseño para Vigas de Acero y Concreto 15.9.4 Cálculo de Fuerza Cortante en Pernos Resumen

ag te

Introducción

16.2

Análisis de Respuesta de Sitio

16.3

Cinemática o Interacción ción Suelo Estructura

16.4

Respuesta debido a Movimientos Múltiples de Apoyos

16.5

Análisis de Presa de Gravedad y Fundación

16.6

Aproximación ación de Fundación sin Masa

16.7

Condiciones Aproximadass de Radiación de Frontera

16.8

Estruct Uso de Resortes en la Base de una Estructura

16.9

Resumen

16.10

Referencias

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Al

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Va

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Ar

16.1

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Modelado en A Análisis n ál i s i s Sísmico Cumpliendo con Códigos de Edificaciones es 17.1

Introducción

17.2

Tridimensional Modelo Computarizado Tri

17.3 17.4

17.5

om

17.

Interacción Suelo Estructura

C

16.

a

15.11 Referencias

Formas y Frecuencias de los Modos Tridimensionales Análisis Dinámico Tridimensional 17.4.1 Cortante Dinámico de Cortante Base 17.4.2 Definición de Direcciones Principales 17.4.3 Efectos Direccionales y Ortogonales 17.4.4 Método Básico de Análisis Sísmico 17.4.5 Escalando Resultados 17.4.6 Desplazamientos Dinámicos y Fuerzas de Elementos 17.4.7 Efectos por Torsión Ejemplo Numérico

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17.7

Resumen

17.8

Referencias

Análisis No-Lineal Rápido Introducción

18.2

Estructuras que Tengan un Número Limitado de Elementos No-Lineales

18.3

Ecuaciones Fundamentales de Equilibrio

18.4

Cálculo de Fuerzas No-Lineales

18.5

Transformación a Coordenadas Modales

18.6

Solución de Ecuaciones Modales No-Lineales

18.7

Análisis Estático No-Lineal para Estructura de Pórtico

18.8

Análisis Dinámico No-Lineal para Estructura de Pórtico

18.9

Análisis Sísmico de Tanque Elevado de Agua

18.10

Resumen

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Va o

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Amortiguamiento Viscoso Lineal eal Introducción

19.2

Disipación de Energía en Estructuras Reales

19.3

Interpretación Física del del Amortiguamiento Viscoso

19.4

El Amortiguación Modal Viola Equilibrio Dinámico

19.5

Ejemplo Numérico

19.6

Amortiguamiento Proporcional de Rigidez y Masa

19.7

Cálculo de Matri Matriz Ortogonal de Amortiguamiento

19.8

Estructuras con Amortiguamiento NoNo-Clásico

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19.1

19.9

20.

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18.1

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19.

Resumen del Método de Análisis Dinámico

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18.

17.6

Disipación No-Lineal de Energía

19.10

Resumen

19.11

Referencias

Análisis Dinámico Utilizando la Integración Numérica 20.1

Introducción

20.2

Familia de Métodos Newmark

20.3

Estabilidad del Método Newmark

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El Factor de Wilson

20.6

Uso de Amortiguamiento Proporcional de Rigidez

20.7

Método Hilber, Hughes y Taylor

20.8

Selección de un Método de Integración Directa

20.9

Análisis No-Lineal

20.10

Resumen

20.11

Referencias

ag

a

20.5

Introducción

21.2

Elemento General Tridimensional de Dos Nudos

21.3

Elemento de Plasticidad General

21.4

Diferentes Propiedades Positivas y Negativas

21.5

Elemento Brecha Bilineal de Tensión-Fluencia

21.6

Elemento No-Lineal Brecha-Choque -Choque

21.7

miento Viscoso Viscos Elementos de Amortiguamiento

21.8

imensional Fricción-Brecha Fricción Elemento Tridimensional

21.9

Resumen

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Al

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21.1

Ar

te

Elementos No-Lineales

po

Análisis Sísmico U Utilizando Ut t i l i z an d Carga de Desplazamiento Introducción

22.2

Ecuaciones de Equilibrio para entrada de Desplazamiento

22.3

Pseudo-Estáticos Uso de Desplazamientos Pseudo

22.4

Solución de Ecuaciones de Equilibrio Dinámico

22.5

pr

ad

o

22.1

om

22.

El Método de la Aceleración Promedio

C

21.

20.4

Ejemplo Numérico 22.5.1 Estructura de Ejemplo 22.5.2 Carga Sísmica 22.5.3 Efecto del Lapso para Amortiguamiento Cero 22.5.4 Análisis Sísmico Para Amortiguamiento Finito 22.5.5 Efecto del Truncamiento de Modos

22.6

Uso de Vectores Dependendientes de Carga Ritz

22.7

Solución usando Integración Paso-a-Paso

22.8

Resumen

Comprado por: Alejandro Vasquez Arteaga [email protected]

INTERACCIÓN FLUIDO-ESTRUCTURA Introducción

23.2

Interacción Fluido-Estructura

23.3

Modelo De Elementos Finitos De La Interfaz Presa-Fundación

23.4

Cargas Debidas Al Empuje De Boyamiento Y Presión De Poro Del Agua

23.5

Cálculo De Las Presiones De Poro Del Agua Empleando El Sap 2000

23.6

Selección Del Valor De La Rigidez Del Elemento “Gap”

23.7

Ecuaciones Fundamentales De La Dinámica De Fluidos

23.8

Relación Entre Presión Y Velocidad

23.9

Equilibrio En La Interfaz De Dos Materiales

23.10

Condiciones De Frontera De Irradiación

23.11

Modos De Oleaje De La Superficie

23.12

Propagación Vertical De Las Ondas

23.13

El Documento Westergaard

23.14

Análisis Dinámico De Emblases Rectangulares

23.15

Fronteras Absorbedoras De Energía Del Embalse

23.16

Formulaciones Relativa Vs Absoluta

23.17

Efecto Del Escalón De La Compuerta En La Presión

23.18

Análisis Sísmico De Compuertas Radiales

23.19

Observaciones Finales

23.20

Referencias

ad

o

po

r:

Al

ej

an

dr

o

Va

sq

ue

z

Ar

te

ag

a

23.1

om

pr

23.

A.1

C

Apéndice A N Notación o t ac de Vector Introducción

A.2

Producto Vectorial

A.3

Vectores para Definir un Sistema Referencia Local

A.4

Subrutinas Fortran para Operaciones Vectoriales

Comprado por: Alejandro Vasquez Arteaga [email protected]

Apéndice B Notación de Matricial Introducción

B.2

Definición de notación Matricial

B.3

Transpuesta de una Matriz y Multiplicación Escalar

B.4

Definición de una Operación Numérica

B.5

Programación de Productos Matriciales

B.6

Orden de Multiplicación de Matriz

B.7

Resumen

te

ag

a

B.1

Ar

Apéndice C Solución o Inversión de Ecuaciones Lineales n eal es Introducción

C.2

Ejemplo Numérico

C.3

Algoritmo de Eliminación Gauss

C.4

Solución de un Sistema General de Ecuaciones Lineales

C.5

Alternativa de Pivotaje

C.6

Inversión de Matrices

C.7

Interpretación Física de Inversión de Matri Matricial

C.8

Eliminación Parcial Gauss, Condensación Estática y de SubSub-estructura

C.9

Almacenamiento de Ecuaciones en Banda o de Perfil

C.10

Factorización LDL

ad

o

po

r:

Al

ej

an

dr

o

Va

sq

ue

z

C.1

pr

C10.1 Triangularización o Factorización de la Matriz A

om

C10.2 Reducción por Adelantado de Matriz b C.11

C

C10.3 Cálculo de X por Substitución Regresiva Cancelación Diagonal y Precisión Numérica

C.12

Resumen

C.13

Referencias

Apéndice D El Problema de Autovalores D.1

Introducción

D.2

El Método Jacobi

Comprado por: Alejandro Vasquez Arteaga [email protected]

D.3

Cálculo de Esfuerzos Principales 3d

D.4

Solución del Problema General de Valores Característicos

D.5

Resumen

Apéndice E Transformación de Propiedades de Materiales E.1

Introducción

E.2

Resumen

ag

a

Apéndice F Un Elemento de Viga en Base a Desplazamiento con co Deformaciones a Cortante Introducción

F.2

Suposiciones Básicas

F.3

Área Efectiva de Cortante

ue

z

Ar

te

F.1

sq

Apéndice G Integración Numérica Introducción

G.2

Cuadratura Unidimensional imensional Gauss

G.3

Integración Numérica en en Dos Dimensiones

G.4

Una Regla Bidimensional imensional de Ocho Puntos

G.5

Una Regla de Orden Inferior de Ocho Puntos

G.6

Una Regla de Integración de Cinco Puntos

G.7

Reglas de Integración Tridimensional

G.8

Integración Selectiva

o

dr

an

ej

Al

r:

po

o

ad

Resumen

pr

G.9

Va

G.1

om

Apéndice H V Ve Velocidad el o c i d de Sistemas De Computadora Introducción

H.2

Definición de Una Operación Numérica

H.3

Velocidad de Diferentes Sistemas de Computadoras

H.4

Velocidad de Sistemas de Computadoras Personales

H.5

Sistemas Operativo de Enlace

H.6

Resumen

C

H.1

Comprado por: Alejandro Vasquez Arteaga [email protected]

Apéndice I

Método del Mínimo Cuadrado I.1

Ejemplo Simple

I-2

Formulación General

I-3

Cálculo de Esfuerzos Dentro de Elementos Finitos

Apéndice J Registros Consistentes de Aceleración y Desplazamiento Sísmicos Introducción

J.2

Registros de Aceleración del Terreno

J.3

Cálculo de Registros de Aceleración por Registro Registross de Desplazamiento

J.4

Creación de un Registro Consistente de Aceleración

J.5

Resumen

ue

z

Ar

te

ag

a

J.1

C

om

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

an

dr

o

Va

sq

Índice

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1. PROPIEDADES DE LOS MATERIALES

Ar

INTRODUCCIÓN

z

1.1

te

ag

a

La s P ropieda des de los Ma ter ia les Deben eben Ser Eva lua da s Media nte P r ueba s de La bor a tor io o de Ca mpo

Al

ej

an

dr

o

Va

sq

ue

Las ecuaciones fundamentales de la mecánica estructural pueden ser clasificadas esfuerzo en tres categorías [1]. En primer lugar, la relación esfuerzo-deformación contiene información sobre las propiedades de los materiales que debe deben ser evaluadas mediante experimentos tos de laboratorio o de campo. En segundo lugar, la estructura global, cada elemento, y cada partícula infinitesimal dentro de cada elemento deben estar en equilibrio de fuerza fuerzas en su posición deformada. En tercer lugar, se deben cumplir las condiciones de compatibilidad de desplazamientos.

C

om

pr

ad

o

po

r:

De cumplirse las tres ecuaciones en todo momento, se satisfacen de manera automática otras condi condiciones. Por ejemplo, en cualquier momento dado, el trabajo total de las cargas externas debe ser equivalente a la energía cinética y de deformación almacenada dentro del sistema estructural, más cualquier energía que haya sido disipada por el sistema. El trabajo virtual y los principios de variación son de un valor importante en la derivación matemática de ciertas ecuaciones; sin embargo, no constituyen ecuaciones fundamentales de la mecánica.

1.2

MATERIALES ANISOTRÓPICOS Las relaciones lineales esfuerzo-deformación contienen las constantes de las propiedades de materiales, que únicamente pueden ser evaluadas a través de experimentos de laboratorio o de campo. Las propiedades mecánicas para la mayoría de los materiales comunes, tales como el acero, son bien conocidas, y se

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definen en función de tres números: el módulo de elasticidad E, la relación de Poisson ν, y el coeficiente de dilatación térmica α. Además, el peso específico w y la densidad ρ se consideran propiedades fundamentales de los materiales.

te

ag

a

Antes del desarrollo del método del elemento finito, la mayoría de las soluciones analíticas en la mecánica de sólidos se limitaban a los materiales isotrópicos (propiedades iguales en todas direcciones) y homogéneos (las mismas propiedades en todos los puntos dentro del sólido). Desde la introducción del método de elemento finito, ya no existe esta limitación. Por lo tanto, es razonable comenzar con una definición de material anisotrópico, que puede ser muy diferente en cada elemento de una estructura.

po

r:

Al

ej

an

dr

o

Va

3

sq

ue

z

Ar

1 La definición de los esfuerzos positivos,, en referencia a un sistema 1-2-3 ortogonal, se presenta en la Figura 1.1.

τ23 τ13 τ32 τ31 σ

o

σ1

τ21 τ12

2

C

om

pr

ad

σ3

1

F igura 1.1 Convención de los Esfuerzos Positivos

Comprado por: Alejandro Vasquez Arteaga [email protected]

2

Por definición, todos los esfuerzos vienen dados en unidades de fuerza-porunidad de área. En notación matricial, los seis esfuerzos independientes pueden ser definidos mediante: f T = [σ 1 σ 2 σ 3 τ 21 τ 31 τ 23 ]

(1.1)

Del equilibrio, τ 12 = τ 21 , τ 31 = τ 13 y τ 32 = τ 23 . Las seis deformaciones correspondientes de ingeniería son:

d T = [ε 1 ε 2

ε 3 γ 21 γ 31 γ 23 ]

a

(1.2)

Ar

te

ag

La forma más general de la relación tridimensional dimensional esfuerzo-deformación esfuerzo-deformación esfuerzodeformación para materiales estructurales lineales sujetos tanto a los esfuerzos mecánicos como a matricial como [2]: cambios de temperatura puede expresarse de manera matricial

−

ν 42

E2

−

ν 52

−

ν 62

r:

o

ad

E2

E2

E3 1 E3

−

ν 43

−

ν 53

−

ν 63 E3

E5

−

ν 25

ν 34

−

ν 35

−

ν 45

−

E3

E3

z

ν 24

ue

−

E4

ν 15

sq

ν 23

E3

−

E4

E4 1 E4

−

ν 54

−

ν 64

E4

E4

−

E5

E4

E5 1 E5

ν 65 E5

−

ν 16 

E6   ν 26  − σ  α1  E6   1  α   ν 36  σ 2   2  −  α3   E6  σ 3 T + ∆    (1.3)  ν 46  τ 21  α 21   −  E 6  τ 31  α 31    ν 56    τ 23  α 23   −  E6   1  E 6 

om

pr

−

Al

E2

ν 14

Va

ν 32

−

o

−

ν 13

dr

E2 1 E2

−

an

ν 12

ej

−

po

 1  E  1  ν 21  ε 1  − E 1 ε   ν 2 31   −  ε 3   E1  = ν γ 21  − 41 γ 31   E1    ν 51 γ 23   − E1  ν − 61  E1

O en forma matricial simbólica:

C

= d Cf + ∆Ta

(1.4)

La matriz C se conoce como la matriz de correlación, y puede considerarse como la definición más fundamental de las propiedades de materiales porque todos los términos pueden ser evaluados directamente a través de sencillos experimentos de laboratorio. Cada columna de la matriz C representa las deformaciones causadas por la aplicación de un esfuerzo unitario. El incremento de temperatura ∆T viene dado en referencia a la temperatura a esfuerzo cero. La matriz a indica las deformaciones causadas por un incremento unitario de temperatura.

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Los principios básicos de energía requieren que la matriz C para materiales lineales sea simétrica. Por lo tanto,

ν ij Ej

=

ν ji

(1.5)

Ei

ue

z

USO DE LAS PROPIEDADES DE LOS M MATERIALES A T ER EN PROGRAMAS DE COMPUTADORA

an

dr

o

Va

sq

La mayoría yoría de los programas modernos de computadoras para el análisis de elementos finitos exigen que los esfuerzos sean expresados en términos de las deformaciones y cambios de temperatura. Por lo tanto, se requiere una ecuación de la siguiente forma dentro del programa: (1.6)

ej

= f Ed + f 0

Al

donde E = C-1. Por lo tanto, los esfuerzos térmicos de cero-deformación se

po

r:

definen como sigue:

(1.7)

ad

o

= f 0 - ∆T Ea

om

pr

l matriz C 6x6 para materiales anisotrópicos La inversión numérica de la complejos se realiza dentro del programa de computadora. Por lo tanto, no se r requiere calcular la matriz E en forma analítica según se indica en muchos libros clásicos sobre la mecánica de sólidos. Además, los esfuerzos térmicos iniciales se evalúan numéricamente dentro del programa. Por consiguiente, para la mayoría de los materiales anisotrópicos, los datos básicos digitados serán veintiuna constantes elásticas, más seis coeficientes de dilatación térmica.

C

1.3

Ar

te

ag

a

Sin embargo, debido a errores de medición o algún pequeño comportamiento no lineal del material, no se satisface esta condición de manera idéntica para la mayoría de los materiales. Por ende, esos valores experimentales normalmente son promediados de manera que los valores simétricos puedan ser aprovechados en el análisis.

Además de los esfuerzos térmicos, pueden existir esfuerzos iniciales para muchos tipos diferentes de sistemas estructurales. Dichos esfuerzos iniciales pueden ser el resultado de la fabricación o el historial de la construcción de la estructura. De

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conocerse dichos esfuerzos iniciales, éstos pueden ser agregados directamente a la Ecuación (1.7).

1.4

MATERIALES ORTOTRÓPICOS

0

0

0

1 G4

0

dr

1 G5

0

0

0

r:

ag

0

te

0

0

Al

0

0

Ar

0

ν 32

0

o

E2

E3 1 E3

c

 0   0  σ 1  α 1     α   σ2    2 0    σ 3 + ∆T α 3     τ  0 0   21  0  τ 31       0  τ 23   0   1  G6 

z

E3

0

ue

−

ν 23

0

an

−

ν 13

sq

E2 1 E2

−

Va

ν 12

ej

−

po

 1  E  1  ν 21  ε 1  − E 1 ε    2   − ν 31  ε 3   E1  = γ 21   0 γ 31      γ 23   0   0 

a

El tipo de material anisotrópico más común es aquel en el cual los esfuerzos cortantes, actuando en los tres planos de referencia, no provocan deformaciones normales. Para este caso especial, el material se define como ortotrópico, pudiéndose expresarse la Ecuación (1.3) como sigue:

(1.8)

C

om

pr

ad

o

Para el material ortotrópico, la matriz tiene nueve constantes de materiales independientes, y existen tres coeficientes de dilatación térmica independientes. Este tipo de propiedad material es muy común. Por ejemplo, las rocas, el concreto, la madera y muchos materiales reforzados con fibra exhiben un refo comportamiento ortotrópico. Sin embargo, se debe señalar que pruebas de laboratorio indican que la Ecuación (1.8) constituye solamente una aproximación consti al comportamiento real de los materiales.

1.5

MATERIALES ISOTRÓPICOS Un material isotrópico posee propiedades iguales en todas direcciones, siendo la aproximación de mayor uso para pronosticar el comportamiento de materiales elásticos lineales. Para materiales isotrópicos, la Ecuación (1.3) adopta la siguiente forma:

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−

E 1 E

E

ν

E 1 E

ν

E

0

0

0

0

0

0 0

0

0

1 G

0

0

0

1 G

0

0

0

0

 0  1  0  σ 1    1   σ 2    0  σ  1   3 T α + ∆      0  0  τ 21  0   τ 31       0 τ 23  0  1  G

(1.9)

Ar

−

−

ν

a

ν

ag

−

te

 1  E   ε 1  − ν ε   E  2  ν  ε 3  − E  = γ 21   0 γ 31      γ 23   0   0 

(1.10)

ej

an

E 2(1 + ν )

Al

G=

dr

o

Va

sq

ue

z

Parece que la matriz de correlación posee tres constantes de los materiales independientes. Se puede demostrar fácilmente que la aplica aplicación de un esfuerzo cortante puro debe producir deformaciones puras de tensión y de compresión sobre el elemento si éste ste se gira unos 45 grados. Usando esta restricción, se puede demostrar que:

om

DEFORMACIÓN EFORM EN EL PLANO EN MATERIALES IISOTRÓPICOS SOTRÓ

C

1.6

pr

ad

o

po

r:

Por lo tanto, para materiales isotrópicos, se tienen que definir solamente el módulo de Young E y la relación de Poisson ν. La mayoría de los programas de computadora usan la Ecuación (1.10) para calcular el módulo de cortante, en el caso de que no sea especificado.

En los casos donde ε1 , γ 13 , γ 23 , τ 13 , y τ 23 son cero, la estructura se encuentra en un estado de deformación en el plano. Para este caso se reduce la matriz a un arreglo de 3x3. Puede considerarse que las secciones transversales de muchas presas, túneles y sólidos con una dimensión casi infinita a lo largo del eje 3, se encuentran en un estado de deformación en el plano para carga constante en el plano 1-2. Para materiales isotrópicos y de deformación en el plano, la relación esfuerzo-deformación es:

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σ 1  σ  = E  2 τ 12 

 ν 1 − ν  ν 1 −ν  0  0 

 0  ε1  1   0   ε 2  − α ∆T E 1 1 − 2ν  0  γ 12  2 

(1.11)

donde

E (1 + ν )(1 − 2ν )

(1.12)

a

E=

Ar

te

ag

Para el caso de deformación en el plano,, el desplazamiento y la deformación en la dirección 3 son cero. Sin embargo, por la Ecuación (1.8) el esfuerzo normal en la dirección 3 es:

ue

z

= σ 3 ν (σ 1 + σ 2 ) − Eα ∆T

(1.13)

Al

ej

ESFUERZO EN EL P PLANO L A NO EN MATERIALES ISOTRÓPICOS

r:

Si σ33 , τ 1 , y τ 23 son cero, la estructura se encuentra een un estado de esfuerzo en

om

pr

ad

o

po

el plano. Para este caso la matriz esfuerzo esfuerzo-deformación se reduce a un arreglo 3x3. El comportamiento como membrana de losas y las estructuras de muro de cortante puede considerarse en un estado de deformación en el plano para carga constante en el plano 1-2. 1 Para materiales isotrópicos y de esfuerzo en el plano, la esfuerzo relación esfuerzo-deformación es:

C

1.7

an

dr

o

Va

sq

Es importante notar que a medida que la relación ν de Poisson se acerca a 0.5, algunos términos en la relación esfuerzo-deformación esfuerzo-deformación esfuerzo-de formación tienden al infinito. Estas propiedades reales existen para un material casi incomprensible con un módulo ortante relativamente bajo. de cortante

σ 1  σ  = E  2 τ 12 

  0  ε1  1 1 ν ν 1 0   ε 2  − α ∆T E 1  1 −ν  0 0 0  γ 12  2  

(1.14)

donde

E=

E (1 − ν 2 )

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(1.15)

PROPIEDADES DE MATERIALES PARECIDOS A FLUIDOS

a

Muchos materiales isotrópicos diferentes, que tienen un módulo de cortante muy bajo en comparación con su módulo de volumen, poseen un comportamiento parecido al de un fluido. Muchas veces se refiere a estos materiales como sólidos casi incompresibles. La terminología incompresible es engañosa, puesto que la compresibilidad, o el módulo volumétrico, de dichos materiales es normalmente inferior a la de otros sólidos. La relación presión-volumen de un sólido o de un fluido puede expresarse como sigue:

ag

σ =λε

(1.16)

Va

sq

ue

z

Ar

te

donde λ es el módulo de expansión volumétrica del material, materi que debe ser presión-volumen. presiónvolumen. El cambio de evaluado mediante pruebas de laboratorio de presión-volumen. volumen ε es equivalente a ε 1 + ε 2 + ε 3 , y la presión hidrostática σ indica esfuerzo constante en todas las direcciones. De la Ecuación (1.9) se puede expresar el módulo volumétrico en términos del módulo de Young y la relación de Poisson como sigue: (1.17)

an

dr

o

E 3 (1 - 2 ν )

ej

λ=

om

pr

ad

o

po

r:

Al

Para los fluidos, el módulo volumétrico es una constante independiente, la relación de Poisson es 0.5, y el módulo de Young y el módulo de cortante son m materiales isotrópicos, el módulo volumétrico y el módulo de cero. Para los materiales cortante se conocen como constantes elásticas de Lame, y deben ser considerados como propiedades fundamentales de los materiales tanto para sólidos como para fluidos. De la Ecuación (1.10), la relación de Poisson y el módulo de Young pueden ser calculados en base a lo siguiente:

C

1.8

ν=

3 −2 6+ 2

G

λ

G

y E = 2 (1 + ν )G

(1.18a y 1.18b)

λ

Si el módulo de cortante se vuelve pequeño en comparación con el módulo volumétrico, entonces ν ≈ 0.5 y E ≈ 3G . La Tabla 1.1 resume las propiedades materiales aproximadas de varios materiales comunes.

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Tabla 1.1 Propiedades Mecánicas Aproximadas de Materiales Típicos

Material

E Módulo de Young ksi

ν

Relación de Poisson

G Módulo de Cortante ksi

α

λ

w

Módulo Volumétrico ksi

Dilatación Térmica

Peso específico lb/in3

× 10 -6

Acero

29,000

0.30

11,154

16,730

6.5

0.283

Aluminio

10,000

0.33

3,750

7,300

13.0

0.100

Concreto

4,000

0.20

1,667

1,100

6.0

0.087

Mercurio

0

0.50

0

3,300

Agua

0

0.50

0

300

Agua*

0.9

0.4995

0.3

z e u

-a g a

te r 300 A

0.540

-

0.036

-

0.036

* Estas son propiedades aproximadas que pueden ser utilizadas para modelar el agua como un material sólido.

q s a

Es aparente que la principal diferencia entre líquidos y sólidos es que los líquidos comparación con el módulo poseen un módulo de cortante muy pequeño en comp on iincompresibles n . volumétrico, y que los líquidos noo sson

ro

1.9

V

d n VELOCIDADES DE O ONDA NDa j A DDE CORTANTE Y COMPRESIÓN e l de onda de compresión y de corte de material La medición de las velocidades materiales, A que utilizan experimentos o campo constituye otro método sencillo r: de laboratorio o que se utiliza frecuentemente para definir las propiedades de los materiales. La p velocidad de laoonda compresiva, V , y la velocidad de onda de corte, V vienen por: d dadas por: ra p λ+2G (1.19) Vm = ρ o C c

s

c

Vs =

G

ρ

(1.20)

donde ρ es la densidad del material. Por lo tanto, es posible calcular todas las demás propiedades elásticas de los materiales isotrópicos a partir de estas ecuaciones. Está claro que las ondas de corte no pueden propagarse en los fluidos porque el módulo de cortante es cero.

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1.10

PROPIEDADES MATERIALES AXISIMÉTRICAS

1

0

0

0

0

0

po

Al

E4

0

 0   0 σ r  α r     α   σz    z 0    σ  θ + ∆T α θ  (1.21)     α rz  0  τ rz     0  τ rθ   ν 56    − τ zθ   0   E6  1  E6 

ue

sq

0 0

Va

1

ej

an

E3 ν − 43 E3

r:

E2 ν − 32 E2 ν 42 − E2

o

1

ν 14 E4 ν 24 − E4 ν 34 − E4 −

0 0 1

E5 ν − 65 E5

pr

ad

−

om

RELACIONES R EL A C DE FUERZA-DEFORMACIÓN Las ecuaciones esfuerzo esfuerzo-deformación que se presentan en las secciones anteriores constituyen las leyes constitutivas fundamentales de los materiales lineales. Sin embargo, para elementos unidimensionales en la ingeniería estructural, muchas veces reformulamos dichas ecuaciones en términos de esfuerzos y deformaciones. Por ejemplo, para un elemento unidimensional axialmente cargado de longitud L y área A , la deformación axial total ∆ y el esfuerzo axial P son ∆ = Lε y P = Aσ. Ya que σ = Eε, la relación esfuerzodeformación es:

C

1.11

ν 13 E3 ν 23 − E3

ν 12 E2

dr

−

o

 1  E  1  ν 21  ε r  −  ε   E1  z  − ν 31  ε θ   E1  = ν  γ rz  − 41 γ rθ   E1    γ zθ   0   0 

z

Ar

te

ag

a

Muchas clases comunes de estructuras, tales como tuberías, recipientes a presión, tanques para almacenar líquidos, cohetes, y otras estructuras espaciales, están incluidas en la categoría de estructuras axisimétricas. Un gran núnero de estructuras axisimétricas poseen materiales anisotrópicos. Para el caso de los sólidos axisimétricos que quedan sujetos a cargas no-axisimétricas, la matriz de correlación, según se define en la Ecuación (1.3), puede expresarse en términos del sistema de referencia r , z y θ como la Ecuación (1.21). Se puede obtener la solución de este caso especial de un sólido tridimensional dimensional expresando los desplazamientos y cargas del punto nodal por una serie de funciones armónicas. Luego se expresa la solución como la suma de los resultados resultados de una serie de problemas axisimétricos bidimensionales [3].

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= P ka ∆

(1.22)

AE y se define como la rigidez axial del elemento. También, se L puede expresar la Ecuación (1.22) en la siguiente forma:

donde ka =

∆= fa P

(1.23)

L y se define como la flexibilidad axial del elemento. Es AE importante notar que los términos de rigidez y flexibilidad no son una función de la carga, sino que dependen solamente de las propiedades de los materiales y geométricas del elemento.

Ar

te

ag

a

donde f a =

ue

z

Para un elemento unidimensional de sección transversal constante, la fuerza f torsional T en términos de la rotación relativa ϕ entre los extremos del

sq

elemento viene dada por:

Va

T = kT ϕ

(1.24)

o

JG y J es el momento torsiona torsional to rsiona de inercia. Asimismo, el inverso de L la rigidez torsional es la flexibilidad torsional.

ej

an

dr

donde kT =

pr

ad

o

po

r:

Al

En el caso de flexión pura de una viga con un extremo fijo, la integración de la distribución del esfuerzo torsional sobre la sección transversal produce un momento M . La distribución del deformación lineal produce una rotación en el extremo de la viga de φ . Para esta viga de longitud finita, la relación momentorotación es:

om

M = k bφ

(1.25)

EI . Para una sección transversal típica de la L viga de longitud dx, la relación momento-curvatura en el punto x es:

C

donde la rigidez rigid de flexión kb = M ( x) = EI ψ ( x)

(1.26)

Estas relaciones fuerza-deformación se consideran fundamentales en los campos tradicionales del análisis y el diseño estructurales.

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1.12

RESUMEN

te

ag

a

Las propiedades de los materiales deben ser determinadas a través de experimentos. Exámenes cuidadosos de las propiedades de la mayoría de los materiales estructurales indican que no son isotrópicos ni homogéneos. Sin embargo, constituye una práctica común el uso de la aproximación isotrópica para la mayoría de los análisis. Sin embargo, en el futuro de la ingeniería estructural, el uso de los materiales anisotrópicos compuestos aumentará de manera significativa. La responsabilidad del ingeniero es evaluar los errores asociados con dichas aproximaciones llevando a cabo varios análisis utilizando diferentes propiedades de los materiales.

an

dr

REFERENCIAS

Al

ej

1. Popov, E. P. 1990. Engineering Mechanics of Solids Solids. Prentice-Hall, -13-279258-3. Inc. ISBN 0-13-279258-3.

po

r:

2. Boresi, A. P. 1985. Advanced Mechanics of Materials. Materials John Wiley & Sons. ISBN 0-471-88392-1.

om

pr

ad

o

3. Wilson, E. L. 1965. “Structur “Structural Analysis of Axisymmetric Solids.” AIAA Journal Journal. Vol. 3, pp.2269-2274.

C

1.13

o

Va

sq

ue

z

Ar

Se debe recordar que el resultado obtenido de un modelo ccomputarizado constituye un estimado del comportamiento de la estructura real. El comportamiento de la estructura está regido por las leyes fundamentales de la física, y no se le requiere cumplir con ningún código de construcción o con el manual de usuario de un programa de computadora.

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2. EQUILIBRIO Y COMPATIBILIDAD

Ar

te

INTRODUCCIÓN

po

r:

Al

ej

an

dr

o

Va

sq

ue

z

Las ecuaciones de equilibrio establecen que las cargas aplicadas externamente sean iguales a la suma de las fuerzas internas de los elementos en todas las uniones o nodos de un sistema estructural; dichas ecuaciones son las más estructurales. La solución exacta de un fundamentales en el análisis y diseño estructural ica de sólidos requiere que se satisfagan las ecuaciones problema de mecánica diferenciales de equilibrio para ra todos los elementos infinitesimales dentro de los sólidos. El equilibrio es una ley fundamental de la física, que no puede ser violada en un sistema estructural “ real.” . Por lo tanto es imprescindible que el modelo matemático que se vaya a utilizar para simular el comportamiento de una estructura real, también satisfaga dichas ecuaciones básicas de equilibrio.

om

pr

ad

o

Es importante notar que dentro de un elemento finito, que está basado en una formulación formal de desplazamiento, las ecuaciones diferenciales de esfuerzoequilibrio son siempre satisfechas. Sin embargo, las ecuaciones de fuerzaequilibrio entre elementos son satisfechas de manera idéntica en todos los puntos nodales (uniones). El usuario del programa de computadora que no comprenda las aproximaciones usadas para desarrollar un elemento finito puede obtener aproximacio resultados que constituyan un error significativo si la malla de los elementos no es lo suficientemente fina en áreas de concentración de esfuerzo [1].

C

2.1

ag

a

El Equilibr io es Esencia l – La Compa tibilida d es Opciona l

Se deben satisfacer los requisitos de compatibilidad. Sin embargo, si se tiene que escoger entre cumplir con el equilibrio o con la compatibilidad, se debe usar la solución basada en el equilibrio. Para estructuras reales no-lineales, siempre se satisface el equilibrio en la posición deformada. Muchas estructuras reales no satisfacen la compatibilidad causada por la retracción plástica, el

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desprendimiento de las uniones, la construcción por incrementos y la deformación direccional.

2.2

ECUACIONES FUNDAMENTALES DE EQUILIBRIO El equilibrio tridimensional de un elemento infinitesimal, que se presenta en la Figura 1.1, se expresa con las siguientes ecuaciones de equilibrio [2]:

ag

a

∂σ 1 ∂τ 12 ∂τ 13 + + + β1 = 0 ∂x1 ∂x 2 ∂x3

Ar

te

∂τ 21 ∂σ 2 ∂τ 23 + + + β 2 = 0 (2.1) ∂x 1 ∂x 2 ∂x 3

sq

ue

z

∂τ 31 ∂τ 32 ∂σ 3 + + + β3= 0 ∂x 1 ∂x 2 ∂x 3

po

RESULTANTES D DE EE ESFUERZO SF – FUERZAS Y MOMENTOS

om

pr

ad

o

En el análisis estructural es una práctica estándar expresar las ecuaciones de equilibrio en términos de las resultantes de esfuerzo en vvez de en términos de media esfuerzos. Las resultantes del esfuerzo de fuerza se calculan mediante la integración de esfuerzos normales o esfuerzos cortantes que actúan sobre una superficie. Las resultantes del esfuerzo de momento equivalen a la integración de los esfuerzos sobre una superficie multiplicadas por su distancia a un eje.

C

2.3

r:

Al

ej

an

dr

o

Va

La fuerza del cuerpo, β i se expresa por unidad de volumen en la dirección i, representando fuerzas de gravedad o gradientes gradientes de presión de poro. Ya que τ ij = τ ji , el elemento infinitesimal se encuentra automáticamente en equilibrio rotacional. Por supuesto, para que esta ecuación sea válida para desplazamientos vál de significativos, se debe satisfacer en la posición deformada, y todos los esfuerzos deben ser definidos como fuerzas fuerzas por unidad de área deformada.

Una carga concentrada, que sea resultante de esfuerzo, es por definición un esfuerzo infinito multiplicado por una área infinitesimal, siendo físicamente imposible en toda estructura real. También, un momento concentrado es una definición matemática; no posee un campo único de esfuerzo como interpretación física. Claramente el uso de fuerzas y momentos es fundamental en el análisis y el diseño de estructuras. Sin embargo, una clara comprensión de su uso en el

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análisis de un elemento finito es absolutamente necesaria para que se puedan evaluar físicamente los resultados del esfuerzo. Para un elemento o unión de tamaño finito, una subestructura, o un sistema estructural completo, se deben satisfacer las siguientes seis ecuaciones de equilibrio:

Σ Fx = 0

Σ Fy = 0 Σ My = 0

Σ Mz = 0

(2.2)

a

Σ Mx = 0

Σ Fz = 0

z

ue

REQUISITOS DE COMPATIBILIDAD

po

r:

Al

ej

an

dr

o

Va

sq

Para los sólidos continuos, hemos definido las deformaciones como desplazamientos ientos por unidad de longitud. Para calcular los desplazamientos absolutos en un punto determinado, debemos int integrar las deformaciones con respecto a una condición de borde fija. fijaa Dicha integración podrá ser conducida a fij travéss de muchas vías o trayectorias diferentes. Una solución es compatible si el desplazamiento en todos los puntos no es una función de la trayect trayectoria. Por lo tanto, una solución compatible con el desplazamiento implica la existencia de un campo único de desplazamiento definido.

om

pr

ad

o

En el análisis de un sistema estructural de elementos discretos, todos los elementos conectados a una unión o punto nodal deben tener el mismo desplazamiento absoluto. Si se conocen los desplazamientos nodales, todas las deformaciones del elemento pueden ser calculados en base a las ecuaciones básicas de la geometría. En un análisis de elemento finito basado en el desplazamie desplazamiento, se satisface la compatibilidad de desplazamiento nodal. Sin embargo, no es necesario que los desplazamientos a lo largo de los laterales de los elementos sean compatibles si el elemento pasa la “prueba de grupo”.

C

2.4

Ar

te

ag

Para estructuras bidimensionales, solamente tres de estas ecuaciones deben ser satisfechas.

Un elemento finito pasa la prueba de grupo “si un conjunto de elementos de forma arbitraria se sujeta a desplazamientos nodales asociados con deformaciones constantes, y el resultado de un análisis de elemento finito del grupo de elementos arroja una deformación constante.” En el caso de elementos de flexión de una losa, la aplicación de un patrón de desplazamiento de curvatura

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constante en los nodos debe producir una curvatura constante dentro de un grupo de elementos. Si un elemento no pasa la prueba de grupo, podría no converger a la solución exacta. También en el caso de una malla burda, los elementos que no pasan la prueba de grupo podrían producir resultados con errores de importancia.

2.5

ECUACIONES DE DESPLAZAMIENTO DE DEFORMACIÓN Si los campos de pequeños desplazamientos u1 , u2 y u3 son especificados,

(2.3a)

ε2 =

∂u 2 ∂x 2

(2.3b)

ε3 =

∂u 3 ∂x3

(2.3c)

z

∂u1 ∂x1

∂u1 ∂u 2 (2.3d) + ∂x 2 ∂x1

γ 13 =

∂u1 ∂u3 + ∂x3 ∂x ∂x1

γ 23 =

∂u2 ∂u3 (2.3f) + ∂∂xx3 ∂x2

po

r:

Al

γ 12 =

ej

an

dr

o

Va

sq

ue

ε1 =

Ar

te

ag

a

asumidos o calculados, las deformaciones consistentes pueden ser calculadas directamente en base a las siguientes ecuaciones bien conocidas de deformación deformacióndesplazamiento [2]:

C

om

pr

ad

o

(2.3e)

2.6

DEFINICIÓN DE ROTACIÓN Dentro de una estructura real, no existe una rotación única en un punto determinado. La rotación de una línea horizontal puede ser diferente a la rotación de una línea vertical. Sin embargo, en muchos libros teóricos sobre la mecánica continua, se usan las siguientes ecuaciones matemáticas para definir la rotación de los tres ejes:

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θ3 ≡

1  ∂u1 ∂u 2  −   (2.4a) 2  ∂x 2 ∂x1  1  ∂u 3 ∂u1  −  (2.4b) 2  ∂x 1 ∂x 3 

θ2 ≡ 

1  ∂u 2 ∂u 3  −   (2.4c) 2  ∂x3 ∂x 2 

a

θ1 ≡

Va

ECUACIONES EN LA FRONTERA ER A E ENTRE N MATERIALES

o

po

r:

Al

ej

an

dr

o

Claramente ente se puede comprender los requisitos fundamentales de equilibrio y compatibilidad lidad al examinar los esfuerzos y las deformaciones en la interfaz entre un interfaz típica para un medio dos materiales. En la Figura 2.1 se muestra una continuo bidimensional. Por Po definición, los desplazamientos en el desplazamiento son iguales. Esto es es, u s (s,n)= ū s (s,n) y u n (s,n)= ū n (s,n).

om

pr

ad

n, un(s,n)

C

2.7

sq

ue

z

Ar

te

ag

Es de interés notar que esta definición de la rotación es el promedio de la rotación de dos líneas normales. Es importante reconocer que estas definiciones no son las mismas que se emplean en la teoría de vigas cuando se incluyen deformaciones cortantes. Cuando las secciones de vigas están conectadas, la rotación absoluta de las secciones terminales deben ser iguales.

s, us(s,n)

E,G E,G

F igura 2.1Propiedades Materiales de la Interfaz El equilibrio normal en la interfaz requiere que los esfuerzos normales sean iguales. Así:

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σn =σn

(2.5a)

De igual manera, los esfuerzos cortantes en la interfaz son iguales. Esto es:

τ ns = τ ns

(2.5b)

Debido a que los desplazamientos u s y u s deben ser iguales y continuos en la superficie, se tiene:

a

ε s = ε s (2.5c)

te

ag

Ya que las propiedades de los materiales que relacionan el esfuerzo con la deformación no son iguales para los dos materiales, se puede concluir que:

z

Ar

σ s ≠ σ s (2.5d)

sq

(2.5f)

Va

γ ns ≠ γ ns

ue

ε n ≠ ε n (2.5e)

an

dr

o

Para una interfaz tridimensional del material de una superficie s-t, es aparente que las siguientes 12 ecuaciones de equilibrio y compatibilidad existen:

σn =σn

εn ≠ εn

σs ≠ σs

ε s = ε s (2.6b)

εt = εt

(2.6c)

τ ns = τ ns

γ ns ≠ γ ns

(2.6d)

γ nt ≠ γ nt

(2.6e)

γ st = γ st

(2.6f)

om

ad

pr

τ nt = τ nt

o

σt ≠ σt

po

r:

Al

ej

(2.6a)

C

τ st ≠ τ st

Estas 12 ecuaciones no pueden ser derivadas porque son leyes fundamentales de la física del equilibrio y la compatibilidad. Es importante notar que si un esfuerzo es continuo, la deformación correspondiente, deriva del desplazamiento, es discontinua. También, cuando un esfuerzo es discontinuo, la deformación correspondiente, deriva del desplazamiento, es continua. La continuidad de los desplazamientos entre elementos y en la interfaz de los materiales, se define como los campos de desplazamiento C 0 . Los elementos con

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continuidades derivadas de los desplazamientos son definidos por los elementos continuos C 1 . Es aparente que los elementos con compatibilidad de la interfaz C 1 no pueden ser usadas en el acoplamiento del materiales.

2.8

ECUACIONES DE ACOPLAMIENTO EN SISTEMAS DE ELEMENTO FINITO

ag

a

En el caso de un sistema de elemento finito donde se satisfacen las ecuaciones de equilibrio y compatibilidad solamente en los puntos nodales a lo largo de la interfaz, las ecuaciones fundamentales del equilibrio pueden expresarse como:

t

Ar

t

z

s

ue

s

sq

n

Va

n

te

0 (2.7a) ∑ F +∑ F = 0 (2.7b) ∑ F +∑ F = 0 (2.7c) ∑ F +∑ F =

ad

ESTRUCTURAS CTURA ESTÁTICAMENTE DETERMINADAS

om

pr

Las fuerzas internas de algunas estructuras pueden ser determinadas directamente ecuaciones de equilibrio solamente. Por ejemplo, la estructura en base a las ecua reti ret iculada culada o armadura que se presenta en la Figura 2.2 será analizada para ilustrar reticulada que el clásico “método de nodos” no es más que la solución de un conjunto de ecuaciones de equilibrio.

C

2.9

o

po

r:

Al

ej

an

dr

o

Cada nodo en la interfaz entre elementos posee un conjunto único de desplazamientos; por lo tanto, la compatibilidad en la interfaz se satisface en un número finito de puntos. A medida que se vaya refinando la malla del elemento finito, los esfuerzos y las deformaciones del elemento se aproximan a los requisitos de equilibrio y compatibilidad dados por las Ecuaciones (2.6a) a (2.6f). Por lo tanto, cada elemento en la estructura puede tener diferentes propiedades materiales.

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ag

6’

Ar

te

6’

a

8’

z

Figura 2.2 Estructura Reticulada Simple (Armadura Armadura Simple)

sq

ue

En la Figura 2.3 se presentan los desplazamientos nodales y cargas nodales externas positivas. Las fuerzas del elemento f i y las deformaciones di son

dr

R5, u5

r:

Al

ej

an

R6, u6

o

Va

positivas en tensión.

C

pr

om

R2, u2

ad

o

po

f ,d 2 2

R1, u1

f ,d 3 3

f ,d 1 1

R4, u4

f ,d 4 4

f ,d 5 5

f ,d 7 7 f ,d 6 6

R3, u3

R7 , u7

F igura 2.3 Convención de Signos para las F uerzas y Desplazamientos Nodales Igualando las dos cargas externas, Rj , en cada nodo a la suma de las fuerzas internas del elemento, f i , (ver Apéndice B para los detalles) produce las siete ecuaciones siguientes de equilibrio que se expresan como una ecuación matricial:

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(2.8)

a

0 0 0 0 0   f1   R1  − 1.0 − 0.6 R   0 0 0 0 0 0   f 2  − 0.8  2   R3   1.0 0 0 0 0 0  f3  − 0.6      0 0 0  f 4  − 1.0 − 0.8 − 1.0  R4  =  0  R5   0 0.6 0 0 0 0  f5  − 1.0      0.8 1.0 0 0 0 0  f6   R6   0 R   0 0 0 0 0 0 − 1.0  f 7   7 

te

ag

O de manera simbólica:

Ar

R = Af (2.9)

ad

o

MATRIZ D DE ET TRANSFORMACIÓN R DE DESPLAZAMIENTOS

om

pr

Después de calcular las fuerzas elementales, existen muchos métodos tradicionales diferentes para calcular los desplazamientos de los nodos. Para ilustrar nueva vez el uso de la notación matricial, las deformaciones del elemento di serán expresadas en términos de los desplazamientos de la unión u j . Veamos un elemento reticular típico como el indicado en la Figura 2.4.

C

2.10

po

r:

Al

ej

an

dr

o

Va

sq

ue

z

donde A es una matriz de transformación cargacarga carga-fuerza, -fuerza, fuerza, y es una función exclusiva de la geometría de la estructura. Para esta estructura estáticamente ecuaciones determinada , tenemos siete fuerzas elementales desconocidas y siete ecuaci nodales de equilibrio; por lo tanto, el conjunto de ecuaciones indicado arriba puede ser resuelto directamente para cualquier número de condi condiciones de cargas nodales.. Si la estructura tuviera un elemento diagonal adicional, habría ocho fuerzas elementales desconocidas, y no sería posible una solución directa, porque ica men t indeterminada . El objetivo principal de este la estructura sería estáticamente ejemplo es expresar el método tradicional bien conocido de análisis (“método de matricial. nodos”) en notación matricial

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y Lx

v3

v4

Posición Inicial L

ag

a

Ly

Posición Deformada

Ar

te

v2

x

ue

z

v1

sq

Figura 2.4 Elemento Reticular Típico Bid Bidimensional imensional

ej

an

dr

o

Va

La deformación axial del elemento puede ser expresada como la suma de las deformaciones axiales resultantes de los cuatro desplazamientos een los dos extremos del elemento. La deformación axial total expresada en forma matricial es:

L

ad

Al

Lx L

r:

Ly

po

−

o

 Lx d = −  L

 v1  L y  v 2     L  v3    v 4 

(2.10)

om

pr

La aplicación de la Ecuación (2.10) a todos los elementos de la armadura presentada en La Figura 2.3 produce la siguiente ecuación matricial:

C

0 1.0 0 0 0 0   u1   d1   − 1.0 d  − 0.6 − 0.8 0 0 0.6 0.8 0  u 2   2  d 3   0 0 0 0 1.0 0  u 3  − 1.0      0 0 0 0  u 4  − 1.0 0 d 4  =  0 d 5   0 0 0 0 0  u 5  − 0.6 − 0.8      0 0 0 0 0  u 6  − 1.0 d 6   0 d   0 0 0 0 0 0 − 1.0 u 7   7 

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(2.11)

O de manera simbólica: d = B u (2.12)

te

MATRICES DE RIGIDEZ Y FLEXIBILIDAD DEL DEL E ELEMENTO L

Ar

2.11

ag

a

La matriz de transformación deformación-desplazamiento del elemento, B, es una función de la geometría de la estructura. Sin embargo, es más importante el hecho de que la matriz B sea la transpuesta de la matriz A definida por la Ecuación de equilibrio de unión (2.8). Por lo tanto, dadas las deformaciones del elemento dentro de esta estructura reticulada estáticamente determinada, podemos resolver la Ecuación (2.11) para los desplazamientos del nodo.

Va

(2.13)

sq

ó, d = k −1 f

f =k d

ue

z

Las fuerzas dentro de los elementos pueden expresarse en términos de las matricia deformaciones en los elementos utilizando las siguientes ecuaciones matriciales:

an

dr

o

La matriz de rigidez k del elemento es una matriz diagonal para esta armadura, AE donde los términos diagonales son kii = i i y todos los demás términos son Li

r:

Al

ej

cero. La matriz de flexibilidad del elemento es la inversa de la matriz de rigidez, Li donde los términos diagonales son . Es importante notar que las matrices A i Ei

om

pr

SOLUCIÓN L UCIÓ DE SISTEMAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADOS Las tres ecuaciones fundamentales del análisis estructural para esta estructura reticular sencilla son el equilibrio, Ecuación (2.8); la compatibilidad, Ecuación (2.11), y fuerza-deformación, Ecuación (2.13). Para cada condición de carga R, se pueden resumir los pasos para la solución como sigue:

C

2.12

ad

o

po

de rigidez y flexibilidad del elemento son funciones de las propiedades mecánicas de los elementos, elementos únicamente.

1.

Calcular las fuerzas de los elementos en base a la Ecuación (2.8).

2.

Calcular las deformaciones de los elementos en base a la Ecuación (2.13).

3.

Resolver para los desplazamientos nodales utilizando la Ecuación (2.11).

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Todo método tradicional de análisis estructural emplea estas ecuaciones básicas. Sin embargo, antes de que se pudiera tener fácil acceso a las computadoras digitales económicas que pueden solucionar más de 100 ecuaciones en menos de un segundo, se elaboraron muchas técnicas especiales para minimizar el número de cálculos manuales. Por lo tanto, en este momento, es de poco valor resumir estos métodos en este libro sobre el análisis estático y dinámico de estructuras.

SOLUCIÓN GENERAL DE SISTEMAS ESTRUCTURALES

o

Va

sq

ue

z

Ar

te

ag

a

En el análisis estructural que emplea la computadora digital, se aplican las mismas ecuaciones que se utilizan en el análisis estructural clásico. El punto de partida siempre es el equilibrio de la unión. Esto es, R = A f . De la ecuación fuerza-deformación del elemento, f = k d , la ecuación del equilibrio nodal puede expresarse como R = A k d . De la ecuación de compatibilidad, d = B u , el equilibrio nodal puede expresarse en términos rminos de desplazamientos nodales como R = A k B u . Por lo tanto, se puede expresar el equilibrio general de nodos como sigue:

an

dr

R = K u (2.14)

ej

La matriz de rigidez global K se expresa mediante una de las siguientes

Al

ecuaciones matriciales:

po

r:

K =A k B ó K = A k AT

ó K = BT k B

(2.15)

ad

o

Es interesante notar que las ecuaciones de equilibrio o las ecuaciones de

om

pr

compatibilidad pueden ser empleadas para calcular la matriz de rigidez global K. El enfoque estándar es solucionar la Ecuación (2.14) para desplazamientos nodales,, y luego calcular las fuerzas del elemento en base a: nodales

C

2.13

f =k Bu

ó f = k AT u

(2.16)

Se debe notar que dentro de un programa de computadora, nunca se forman las matrices dispersas A, B, k y K, debido a la magnitud de sus requerimientos de almacenamiento. La matriz de rigidez global simétrica K se forma y se soluciona en forma condensada.

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RESUMEN Las fuerzas y los esfuerzos internos del elemento deben estar en equilibrio con las cargas y los desplazamientos aplicados. Toda estructura real satisface esta ley fundamental de la física. Por lo tanto, nuestros modelos computarizados deben satisfacer la misma ley.

te

ag

a

En la interfaz entre materiales, no todo esfuerzo ni todas las deformaciones son continuos. Los programas de computadora que promedian los esfuerzos de los nodos en la interfaz de los materiales producen gráficos de contorno de los in embargo, los resultados no convergen, y se esfuerzos que son continuos; sin pueden introducir errores de importancia mediante esta aproximación.

po

Los desplazamientos que existen en la mayoría de los sistemas estructurales lineales son pequeños en comparación con las dimensiones de la estructura. Por lo tanto, el trazado de la forma deformada debe ser exagerada en exceso para formular ecuaciones de geometría.

om

pr

ad

o

1

r:

Al

ej

an

dr

o

Va

sq

ue

z

Ar

Las condiciones de compatibilidad, que requieren que todos los elementos conectados a una unión rígida tengan el mismo desplazamiento, consti constituyen requisitos fundamentales de análisis estructural que pueden ser comprendidos de manera física. Satisfacer la compatibilidad del desplazamiento implica el empleo ciones sencillas de geometría. Sin embargo, las ecuaciones de de ecuaciones n muchas formas, y la mayoría de los estudiantes de compatibilidad tienen ingeniería y de los ingenieros que ejercen la profesión tienen dificultades para comprender el requisito de compatibilidad de desplazamiento. Algunas de las razones por las cuales tenemos dificultad en el refuerzo de las ecuaciones de compatibilidad son las siguientes:

2

C

2.14

3

Para aquellos sistemas estructurales que son estáticamente determinados, las fuerzas internas del elemento y los esfuerzos pueden ser calculados con precisión sin el uso de las ecuaciones de compatibilidad.

La mayoría de los métodos populares (aproximados) de análisis que existen no satisfacen las ecuaciones de compatibilidad de desplazamiento. Por ejemplo, para pórticos rectangulares, tanto el método de análisis de voladizo como el método de portal suponen que los puntos de inflexión existen en un sitio predeterminado dentro de las vigas o las columnas; por lo tanto no se satisfacen las ecuaciones de compatibilidad de desplazamiento.

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Muchos materiales, tales como los suelos y los líquidos, no satisfacen las ecuaciones de compatibilidad. También, esfuerzos inherentes de la construcción, el escurrimiento plástico y el deslizamiento en las uniones constituyen efectivas violaciones de la compatibilidad de desplazamiento. Por lo tanto, los métodos aproximados que satisfagan la estática pueden producir resultados más realistas para fines de diseño.

5

Además, normalmente no se les requiere a los estudiantes de ingeniería tomar un curso de geometría, mientras que todos los estudiantes sí toma toman un curso en estática. Por lo tanto, no ha habido ningún énfasis sobre la aplicación de ecuaciones de geometrías.

te

ag

a

4

Va

sq

ue

z

Ar

El relajamiento del requisito de compatibilidad de desplazamiento ha sido justificado para el cálculo manual para minimizar el tiempo de cálcu cálculo. También, si hay que escoger entre satisfacer las ecuaciones de estática o las ecuaciones de geometría, en lo general debemos satisfacer las ecuaciones de estática por las razones indicadas arriba.

o

REFERENCIAS

Cook, R. D., D. S. Malkus and M. E. Plesha. 1989. Concepts and Applications of Finite Element Analysis, Tercera Edición. John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-84788-7.

2.

Boresi, A. P. 1985. Advanced Mechanics of Materials. John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-88392-1.

om

pr

ad

1.

C

2.15

po

r:

Al

ej

an

dr

o

Sin embargo, debido a la existencia de potentes computadoras de bajo costo y eficientes y modernos programas de informática, no es necesario hacer aproximaciones de los requisitos de compatibilidad. Para muchas estructuras, dichas aproximaciones pueden producir errores de importancia en la distribución zas dentro de la estructura, además de desplazamientos incorrectos. de fuerzas

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3. ENERGÍA Y TRABAJO

z

Ar

INTRODUCCIÓN

po

r:

Al

ej

an

dr

o

Va

sq

ue

Muchos métodos de energía han sido presentados durante los últimos 150 años para el análisis de estructuras tanto determinadas como estáticamente fueran a formular todos los métodos en indeterminadas. Sin embargo, si se fueran notación matricial,, se podría demostrar demostrar que existen solamente dos métodos fundamentales. Generalmente se definen como los métodos de fuerza y de desplazamiento. Se pueden usar los principios de energía mínima o métodos del trabajo virtual para derivar las ecuaciones generales para el análisis estructural lineal. La energía se define como la capacidad de hacer trabajo. Ambos tienen -distancia. unidades de fuerza-distancia.

om

pr

ad

o

Sin embargo, para muchos tipos de elementos estructurales, puede haber muchas ventajas en el uso de los métodos tanto de fuerza como de desplazamiento para aproximar las propiedades de rigidez del elemento. Por ejemplo, el clásico elemento viga no-prismático utiliza un enfoque de fuerza para definir las fuerzas no en una sección transversal típica dentro de la viga; sin embargo, se usa una aproximación por desplazamiento, tal como las secciones planas permanecen planas, para definir la distribución de la deformación sobre la sección transversal.

C

3.1

te

ag

a

Todo Tr a ba jo Exter no Aplica do a un Sistema Estr uctur a l Rea l Se Alma cena o Se Disipa como Energía

En los últimos años se han utilizado formulaciones híbridas asumidas de esfuerzo para producir las propiedades de rigidez del elemento. Además, se han empleado distribuciones de esfuerzo asumidas, métodos de trabajo virtual, y el enfoque de error de los mínimos cuadrados para calcular esfuerzos precisos en elementos finitos basados en desplazamientos. Por lo tanto, no hay un único método que se pueda utilizar para solucionar todos los problemas en el análisis estructural. La

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única restricción sobre las técnicas de computación usadas es el hecho de que los resultados deben converger a los valores exactos a medida que los elementos se vuelvan más pequeños.

3.2

TRABAJO VIRTUAL Y TRABAJO REAL

z

Ar

te

ag

a

Los principios del trabajo virtual son muy sencillos, y constituyen declaraciones claras de la conservación de energía. Los principios se aplican a aquellas estructuras que se encuentran en equilibrio en una posición real desplazada u al ser sometidas a una carga R. Las deformaciones internas y fuerzas internas reales correspondientes son d y f, respectivamente. Todos los términos quedan ilustrados en las Figuras 3.1 y 3.2.

Va

sq

ue

f

R

f

ej

an

dr

o

R

f

Al

R

po

r:

u

Ru

B. Trabajo Virtual Interno

fd

o

A. Trabajo Virtual Externo

d

pr

ad

Figura 3.1 Método de las Fuerzas Virtuales

C

om

El principio de las fuerzas virtuales declara lo siguiente (en mis palabras): si un grupo de fuerzas externas infinitesimales, R , en un estado de equilibrio con un juego de fuerzas internas infinitesimales f que existen antes de la aplicación de las cargas y desplazamientos reales, el trabajo virtual externo es igual al trabajo virtual interno. O, en términos de la notación que se define arriba: RTu = f Td

(3.1)

Si se va a calcular el desplazamiento de solo una unión ui , existe solamente una carga virtual externa, Ri = 1 . Para este caso, la ecuación es la misma que el método de carga unitaria. Queda claro que para el análisis no-lineal, no se puede

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emplear el principio de las fuerzas virtuales porque la relación lineal entre R y f podría no sostenerse después de la aplicación de cargas y desplazamientos reales. f

R

f

Ar

te

ag

a

R

u

u

z

B. Trabajo Virtual Interno f d

d

sq

ue

A. Trabajo Virtual Externo R u

d

Va

Figura 3.2 Método de los Desplazamientos Virtuales

an

dr

o

El principio de desplazamiento virtual reza lo siguiente (en mis palabras): si un grupo de desplazamientos entos externos infinitesimales, u , consistente con un grupo de desplazamientos virtuales internos, d , y se aplican las condiciones de borde

Al

ej

después de la aplicación de las cargas y los desplazamientos reales, el trabajo virtual externo es igual al trabajo virtual interno. O, en términos de notación

po

r:

matricial:

o

u TR = d Tf

(3.2)

om

pr

ad

Es importante notar que el principio de desplazamiento virtual se aplica a la solución de sistemas no-lineales porque los desplazamientos virtuales se aplican no a fuerzas reales en la estructura deformada.

C

En el caso del análisis de elementos finitos de sólidos continuos, los principios principi del trabajo virtual se aplican a nivel de esfuerzos y deformaciones; por lo tanto, se requiere la integración sobre el volumen del elemento para calcular los términos del trabajo virtual.

Para el análisis lineal, es aparente que el trabajo externo real, o la energía, se expresa como sigue: 1 2

1 2

uTR = RTu WE =

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(3.3)

El trabajo interno real, o energía de deformación, se expresa como sigue: 1 2

1 2

WI = dTf = f Td

ENERGÍA POTENCIAL Y ENERGÍA CINÉTICA

te

ó Vg = Wh

(3.5)

Ar

Vg = mgh

ag

contra un campo constante gravitacional de distancia h . Esto es:

a

Una de las formas más fundamentales de la energía es la posición de una masa dentro de un campo gravitacional cerca de la superficie de la tierra. La energía potencial gravitacional V g se define como el peso constante w que se mueve

Va

1 2 mv 2

(3.6)

o

Vk =

sq

ue

z

Una masa que se mueve con una velocidad v posee energía cinética que se expresa con la siguiente ecuación:

Al

ej

an

dr

ilustran la importancia física tanto de la Uno de los ejemplos más comunes que ilustran energía potencial como de la cinética inética es el comportamiento de un péndulo, como co se indica en la Figura 3.3

pr

ad

o

po

r:

Si la masa del péndulo tiene una posición inicial de hmax , la energía cinética es cero y la energía potencial es hmax W . Cuando h es equivalente a cero, la energía potencial es cero; por lo tanto, por la conservación de en energía, la energía cinética es:

om

= Vk h= max W

W v2 2g

(3.7)

C

3.3

(3.4)

Por tanto, la máxima velocidad horizontal es: v max = 2 g hmax

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(3.8)

Barra Rígida Sin Masa

θ

v=0

Vg = 0

ag

Vg = W hmax

a

L

Vk = 0

te

Vk = W hmax

vmax = 2 g hmax

Ar

h

v

ue

z

W

Va

sq

Figura 3.3 Oscilación de Péndulo

an

dr

o

Es importante notar que la energía total en el sistema en oscilación siempre es constante; por lo tanto la siguiente ecuación de energía, en cualquier tiempo t, debe ser satisfecha: (3.9)

Al

ej

V g (t ) + Vk (t ) = W hmax = constante

o

po

r:

El comportamiento físico del péndulo en oscilación puede considerarse como una bomba de energía gía , donde existe un intercambio entre la energía potencial y la cinética.

ad

La fuerza tangencial que acelera la masa es W s e n θ . En base a la Segunda Ley

C

om

pr

de Newton, se puede escribir la siguiente ecuación diferencial de equilibrio no lineal: lineal:

g mLθ + W s e n θ = 0 ó, θ + s e n θ = 0 L

(3.10)

Para ángulos muy pequeños, s e n θ ≈ θ , la ecuación diferencial lineal aproximada es: θ + g θ= 0

L

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(3.11)

Por lo tanto, el período reducido de desplazamiento de la oscilación de un péndulo es: T 2π =

(3.12)

ENERGÍA DE DEFORMACIÓN

Ar

te

ag

a

La energía de deformación almacenada en un elemento “i” dentro de un sistema estructural general es el área debajo del diagrama integrado esfuerzo esfuerzoesfuerzo deformación sobre el volumen del elemento. Para los sistemas lineales, la matriz E(i ) esfuerzo-deformación,, incluyendo los esfuerzos térmicos iniciales f t (i ) ,

z

pueden expresarse en forma de matriz como sigue:

(3.13)

sq

ue

= f (i ) E(i ) d (i ) + f t (i )

Va

l deformaciones Las matrices de columna f ( i ) y d ( i ) son los esfuerzos y las

∫

+

∫d

(i ) T

f t (i ) dV

an

(i ) T 1 d (i ) E(i ) d dV 2

(3.14)

ej

WI(i ) =

dr

o

respectivamente. Por lo tanto, la energía de deformación dentro de un elemento deforma se expresa de la siguiente forma:

= N (i ) u x , u y

o

(i )

((i) i)

= N ( i ) u y y u z( i ) = N ( i ) u z

(3.15)

ad

ux

po

r:

Al

Dentro de cada elemento, se puede hacer una aprox aproximación en los desplazamientos. Así:

om

pr

deformaciónPor lo tanto, después de la aplicación de las ecuaciones deformaci desplazamiento, las deformaciones del elemento pueden ser expresadas en desplazamiento, términos de los desplazamientos nodales. Esto es:

C

3.4

L g

d (i ) = B (i ) u

ó d (i ) T = u T B (i ) T

(3.16)

La matriz de columna u contiene todos los desplazamientos nodales o de unión del sistema estructural completo. Además, podría contener los patrones de desplazamiento dentro del elemento. Cuando se expresa la ecuación (3.16) de esta forma, es aparente que la matriz B(i ) puede ser muy grande; sin embargo, solamente términos que no sean cero están asociados con los desplazamientos en los nodos conectados a los nodos adyacentes al elemento. Por lo tanto, la matriz

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B(i ) siempre se elabora y se usa en forma compacta dentro de un programa de computadora, y se forma un arreglo de perfección entera , L(i)a por cada elemento

que se usa para relacionar los desplazamientos nodales locales u (i ) a los desplazamientos nodales globales u . Después de la integración sobre el volumen del elemento, la energía de deformación, en términos de los desplazamientos nodales globales, puede expresarse de la siguiente manera: (3.17)

ag

a

1 T (i ) u k u + u T Ft(i ) 2

WI(i ) =

Ar

te

Por lo tanto, por definición la matriz de rigidez del elemento es:

∫

(3.18)

ue

z

k (i ) = B (i )T E(i ) B( i ) dV

sq

Y la matriz de la fuerza térmica del elemento es:

∫

(3.19)

o

Va

F(i ) = B(i )T f t (i ) dV

an

dr

deformación interna es la suma de las energías de El total de la energía de deformación es: deformación del elemento. Esto es:

ej

1 T u K u + u T Ft 2

Al

WI =

(3.20)

∑k i

()

(3.21)

pr

ad

K=

o

po

r:

La matriz de rigidez global K es la suma de las matrices k (i ) de rigidez del decir:: elemento. Es decir

C

om

La suma de las matrices de rigidez del elemento para formar la matriz de rigidez global se llama el método de rigidez directa . El vector de carga térmica global Ft es la suma de las matrices de carga térmica del elemento: Ft =

3.5

∑ Ft t

( )

(3.22)

TRABAJO EXTERNO El trabajo externo Wc realizado por un sistema de cargas nodales concentradas, Fc es:

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Wc =

1 T u Fc 2

(3.23)

Dentro de cada elemento “i”, el trabajo externo Wg(i ) realizado por las fuerzas de masa debido a las cargas gravitacionales es el siguiente: Wg(i ) =

1 (m(xi ) g x u (xi ) + ρ y g y u y + ρ z g z u z ) dV 2

∫

(3.24)

te

1 T u Fg 2

Ar

Wg =

ag

a

La aplicación de las suposiciones de desplazamiento dadas por la Ecuación (3.15), integración sobre el volumen del elemento, y la suma de todos los masa: elementos produce la siguiente ecuación para la energía por fuerzas de masa (3.25)

Va

T (j) 1 T u B(j) s t s dS 2

(3.26)

o

∫

dr

Ws( j ) =

sq

ue

z

El trabajo externo Wsj ejercido por los esfuerzos superficiales del elemento (tracciones) t (sj ) para una superficie típica “j” es de la siguiente forma:

po

1 T u Fs 2

(3.27)

o

Ws =

r:

Al

ej

an

ación de las suposiciones de desplazamiento dadas por la Ecuación La aplicación (3.15), 15), la integración sobre la superficie del elemento, y la suma de todos los elementos superficiales produce la siguiente ecuación para la energía debido a las tracciones superficiales:

om

pr

ad

Por lo tanto, el trabajo total externo realizado en cualquier sistema de elementos estructurales es:

C

WE =

3.6

[

1 T u F c +Fg + Fs 2

]

(3.28)

PRINCIPIO DE ENERGÍA ESTACIONARIA Es un hecho en cuanto a los sistemas lineales el que la energía de deformación interna debe ser igual al trabajo externo realizado en la estructura. Para un sistema de un solo grado de libertad, podemos usar este principio para resolver el desplazamiento. Sin embargo, para un sistema de múltiples grados de libertad, se

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requiere un enfoque diferente. Los trazados de la energía, indicados en la Figura 3.4, ilustran que se puede definir una nueva función de energía Ω .

Energía

WI = 1 uT Ku+ uTFt 2

un

z

Ar

te

ag

a

WE = 1 uT [Fc + Fg + Fs ] 2

ue

Ω = WI − 2WE

Va

sq

∂Ω = 0 en Ω MIN ∂ un

dr

o

Figure 3.4 Energía como Función de un Desplazamiento Típico

(3.29)

pr

ad

o

∂Ω =0 ∂u n

po

r:

Al

ej

an

Se ve que la solución en el punto de la energía potencial mínima es donde la energía interna equivale a la energía externa. Por lo tanto, la principal ventaja del uso de la función de energía potencial es el hecho de que la solución debe satisfacer la siguiente ecuación para todos los grados-de-libertad de grados desplazamiento un :

om

La función de energía expresada en forma de matriz es como sigue:

C

= Ω

1 T u Ku − u TR 2

(3.30)

La resultante del vector de carga R asociado a los cuatro tipos de carga es: = R Fc + Fg + Fs − Ft

(3.31)

La aplicación de la Ecuación (3.29) a todos los campos de desplazamientos produce lo siguiente:

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0 0  − [0]  [K u − R] = 0 −  1

(3.32)

a

0 − 0 − 1 − 0 − − − − − 0 − 1 − − − − − 0 − 0 −

ag

   1    0    = −  0    −  0    

te

 ∂Ω  ∂u  1  −  ∂Ω   ∂u 2  −  ∂Ω  ∂u n  −  ∂Ω   ∂u N

ue

z

Ar

Por lo tanto, la ecuación de equilibrio nodal para todo tipo de sistema estructural puede expresarse como la siguiente ecuación de matriz: (3.33)

sq

Ku=R

an

dr

o

Va

La única aproximación involucrada en el desarrollo de esta ecuación es la suposición de los patrones de desplazamiento dentro de cada elemento. Si se usa la misma aproximación de desplazamiento para calcular la energía cinética, la ma tr tr iz dde masa consistente. matriz de masa que resulta se llama matriz

MÉTODO ODO D DE FUERZA

C

3.7

om

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

Otro hecho importante referente a los elementos finitos basados en desplazamientoss compatibles es el hecho de que convergen desde abajo, a la solución exacta, a medida que se refine la malla. Por eso los desplazamientos y los esfuerzos tienden a ser inferiores a los valores exactos. Desde un punto de est puede producir resultados muy vista de la ingeniería estructural práctica, esto peligrosos. Para minimizar este problema, el ingeniero estructural debe revisar la utiliza estática y realizar estudios de parámetros utilizando diferentes mallas.

El método tradicional de cortes en una estructura estáticamente indeterminada, aplicando fuerzas redundantes, y solucionando fuerzas redundantes al fijar los desplazamientos relativos en los cortes a cero, ha sido el método más popular de análisis estructural, cuando se usan los cálculos manuales. El autor ha elaborado programas de análisis estructural basados en el método de análisis por fuerza y por desplazamiento. En la actualidad parece que no existe ningún motivo apremiante de usar el método de fuerza en un programa de computadora para

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solucionar grandes sistemas estructurales. De hecho, los programas basados en el enfoque por desplazamiento son sencillos de programar, y en general requieren menos tiempo de computadora para ejecutar. Otra ventaja importante del enfoque de desplazamiento es el hecho de que el método se puede ampliar fácilmente a la respuesta dinámica de estructuras.

te

ag

a

Sin embargo, para desarrollar la rigidez de elementos unidimensionales, se debe usar el método de fuerza porque las fuerzas internas pueden ser expresadas exactamente en términos de las fuerzas enn las dos puntas del elemento. Por lo tanto, el método de fuerza será presentado aquí para un sistema de elemento sencillo.

ue

z

Ar

Obviando los esfuerzos térmicos, se puede expresar la función de energía como sigue: 1 Ω = f T d dV − R T u 2

(3.34)

Va

sq

∫

dr

o

Las fuerzas internas pueden expresarse en términos de las fuerzas nodales utilizando la siguiente ecuación:

an

f = PR

(3.35)

Al

ej

Para materiales lineales es d = C Cff y la función de energía puede expresarse así:

po

r:

1 T Ω= R FR − R T u 2

(3.36)

ad

o

Donde la matriz de flexibilidad del elemento es:

∫

(3.37)

om

pr

F = PT C CP dV

C

Ahora podemos minimizar la función de energía complementaria exigiendo que: ∂Ω =0 ∂Rn

(3.38)

Ahora se pueden expresar los desplazamientos nodales en términos de fuerzas nodales por:

u = FR

(3.39)

Ahora se puede evaluar numéricamente la rigidez del elemento por medio de:

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K = F −1

(3.40)

Se puede usar la rigidez del elemento en el enfoque de rigidez directa donde las incógnitas son los desplazamientos nodales. También se puede derivar la flexibilidad del elemento aplicando el método de fuerza virtual.

ECUACIÓN DE MOVIMIENTO DE LAGRANGE

Ar

te

ag

a

En el caso del análisis dinámico de estructuras, la aplicación directa de la conocida ecuación de movimiento de Lagrange puede ser usada para desarrollar el equilibrio dinámico de un sistema estructural complejo [1]. La ecuación de minimización de Lagrange,, expresada en términos de la notación que se define arriba, se da como sigue:

ue

z

 ∂Vk ∂Ω −  ∂u + ∂u = 0 n n 

(3.41)

sq

∂  ∂Vk  ∂t  ∂u n

Va

La velocidad del punto nodal se define como u n . La forma más general de

]

u y

ej

∫ [

ρ 0 0 u x  u z 0 ρ 0 u y  dV 0 0 ρ  u z 

(3.42)

po

r:

Vk =

1 u x 2

Al

(i )

an

dr

o

energía cinética Vk(i ) almacenada dentro de un elemento tridimensional tri i de densidad de masa ρ es:

pr

ad

o

Las mismas funciones de forma que se emplean para calcular la energía de deformación dentro del elemento permiten que se expresen las velocidades dentro del elemento en términos de las velocidades del punto nodal. Así:

om

(i ) (i ) (i ) u x = N (i) u x , u y = N (i ) u y y u z(i ) = N (i ) u z

(3.43)

C

3.8

Por lo tanto, las ecuaciones de transformación de velocidad pueden expresarse de la siguiente manera: u x (i )   (i )  (i ) u y  = N u  u (i )   z 

(3.44)

Aplicando la integración exacta o numérica, ahora es posible expresar el total de la energía cinética dentro de una estructura como sigue:

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1 2

∑i

Vk = Vk(i ) = u T M u

(3.45)

La matriz de la masa total M es la suma de las matrices de masa elemental M (i ) . Las matrices de masa consistente del elemento se calculan en base a lo siguiente:

∫

M (i ) = N (i )T m N (i ) dV

(3.46)

Ar

te

ag

a

donde m es la matriz de densidad de masa diagonal 3 por 3 indicada en la Ecuación (3.42). La Ecuación (3.46) es muy general, y puede ser usada para ier elemento finito en base desarrollar la matriz de masa consistente para cualquier istente es usado porque la misma función de al desplazamiento. El término consistente forma es usada para desarrollar las matrices de rigidez y de masa.

sq

ue

z

La aplicación directa de la Ecuación (3.41) produce las ecuaciones de equilibrio dinámico:

Va

 + K u = Mu R

(3.47)

Al

ej

CONSERVACIÓN D DEL EL M MOMENTO O

om

pr

ad

o

po

r:

La conservación del momento muchas veces se presenta como un princ principio fundamental de la física. Sin embargo, puede ser derivado fácilmente de las ecuaciones básicas básicas del equilibrio. Considere los dos cuerpos rígidos mostrados en la Figura 3.5.

C

3.9

an

dr

o

desarrollarán desarroll arán ecuaciones más generales de equilibrio En otra parte de este libro se desarrollarán dinámico con amortiguamiento utilizando un enfoque de equilibrio físico.

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M1 , u1 M1 , u1

M2 , u2

y

ag

a

M1 u1 + M2 u2 = M1 u1 + M2 u2

α2

te

M2 , u2

x

Ar

Figura 3.5 Conservación del Momento Lineal

(3.48)

o

Va

u − u δt

dr

 ≈ M F Mu =

sq

ue

z

En base a la Segunda Ley de Newton, las fuerzas iguales y opuestas que actúan sobre los cuerpos rígidoss durante el impacto serían:

r:

Al

ej

an

Si la duración del contacto entre los dos cuerpos es δ t , la fuerza del contacto puede ser aproximada mediante un cambio de velocidad antes y después del dire impacto. Durante el contacto, se debe satisfacer el equilibrio tanto en la dirección x como en la dirección y. Por lo tanto:

po

Fx δ= t M 1 (u 1x − u 1x ) + M 2 (u 2x − u 2x= ) 0

(3.49)

ad

o

Fy δ= t M 1 (u 1y − u 1y ) + M 2 (u 2y − u 2y= ) 0

C

om

pr

El momento se define como la masa multiplicada por la velocidad de la masa; y poseee las propiedades de un vector. Por la Ecuación (3.49), el momento tiene la dirección de la velocidad, y sus componentes pueden ser más o menos en referencia al sistema xx-y. Esto es: M 1u 1x + M 2u 2x = M 1u 1x + M 2u 2x M 1u 1y + M 2u 2y = M 1u 1y + M 2u 2y

(3.50)

Además, el vector del momento resultante debe ser igual antes y después del impacto. Así: M 1u 1 + M 2u 2 = M 1u 1 + M 2u 2

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(3.51)

Se puede apreciar que las tres ecuaciones, dadas por las Ecuaciones (3.50) y (3.51) no poseen una solución única porque existen cuatro factores incógnitas. El siguiente principio de conservación de energía cinética debe ser tomado como condición adicional: M 1u 12 + M 2u 22 = M 1u 12 + M 2u 22

(3.52)

ag

a

Considere una colisión directa, sin disipación de energía, de una masa M 1 a una velocidad conocida u 1 , con una masa de M 2 en reposo. La conservación del inética exigen que: impulso (equilibrio) y la conservación de la energía cinética M 1u 12 M 1u 12 + M 2u 22 =

sq

M1 − M 2 2M 1 u1 u1 y u 2 = M1 + M 2 M1 + M 2

(3.54)

Va

u1 =

ue

z

Después del impacto, las nuevas velocidades son:

(3.53)

Ar

te

M 1u 1 M 1u 1 + M 2u 2 =

ej

an

dr

o

Si las dos masas son iguales, la velocidad de la primera se reduce a cero. Si la segunda masa, la primera rebotará hacia atrás y la primera masa es menor que la segunda masa grande avanzará zará con una velocidad reducida.

ad

RESUMEN MEN

om

pr

Se han presentado varios métodos de energía que pueden ser aprovechados para estático y dinámico de derivar las ecuaciones básicas que se usan para el análisis está estructuras. Las ecuaciones fundamentales del análisis estructural son el equilibrio, fuerza-deformación, y la compatibilidad. Si se usa la misma convención de signos para los desplazamientos y las fuerzas en los nodos y los elementos, las ecuaciones de compatibilidad y equilibrio quedan directamente relacionadas. Si las ecuaciones de equilibrio en el nodo se expresan en el mismo orden que las fuerzas nodales, las matrices resultantes de rigidez y flexibilidad siempre serán simétricas.

C

3.10

o

po

r:

Al

Estas ecuaciones sencillas pueden ser ampliadas para modelar el impacto entre diferentes partes de un sistema estructural. Dichas ecuaciones también pueden aplicarse arse al cierre de brechas o juntas entre diferentes estructuras elásticas.

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Al asumir funciones de forma de desplazamiento dentro de elementos estructurales, se pueden elaborar matrices consistentes de masa y rigidez. Sin embargo, en la mayoría de los casos la discretización de las masas físicas no produce errores de importancia.

te

ag

a

En el análisis dinámico, la integración independiente de tiempo de varios componentes de energía, incluyendo la disipación de la energía, puede ser usada para evaluar la precisión de la solución. Al comparar la energía de deformación almacenada en la estructura como resultado de una condición de una carga dada, izar la energía se puede modificar y mejorar un diseño estructural para minimizar absorbida por la estructura.

dr

o

REFERENCIAS

om

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

an

1. Clough, R., y J. Penzien. 1993. Dynamics of Structures, Segunda Edición. -07-011394-7. McGraw-Hill, Inc. ISBN 0-07-011394-7.

C

3.11

Va

sq

ue

z

Ar

Después de seleccionar el modelo estructural y asumir las las carga cargas, se puede iento de análisis estructural. Sin embargo, la selección automatizar el procedimiento del modelo estructural y la interpretación y verificación de los resultados constituyen la principal responsabilidad del ingeniero estructural profesional.

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4. ELEMENTOS UNIDIMENSIONALES

z

Ar

INTRODUCCIÓN

dr

o

Va

sq

ue

La mayoría de los ingenieros estructurales tienen la impresión de que los elementos finitos bidimensionales y tridimensionales dimensionales son muy sofisticados y precisos en comparación con el elemento de pórtico unidimensional. Después de más de cuarenta años de investigación en el desarrollo de programas prácticos de análisis estructural, yo soy de la opinión de que el elemento de pórtico no-

Al

ej

an

prismático, que se usa en en uunn punto arbitrario dentro de un espacio va men te es el elemento más complejo y útil en va tridimensional, definitivamente os los los ddemás tipos de elementos finitos. comparación con todos

om

pr

ad

o

po

r:

La teoría fundamental mental de elementos de pór pórtico existe desde hace más de un siglo. Sin embargo, es solamente durante los últimos cuarenta años que hemos tenido la capacidad de solucionar sistemas grandes de elementos de pórticos tridimensionales. de dimensionales. Además, ahora incluimos de manera rutinaria deformaciones deformac torsión y cortante en todos los elementos. Además, el tamaño finito de las conexiones ahora se toma en consideración en la mayoría de los análisis. Desde la introducción del análisis computarizado, el uso de secciones no no-prismáticas y la carga arbitraria de elementos en tres dimensiones ha hecho muy tedioso el trabajo de programar el elemento. Además, el post-procesamiento de las fuerzas del pórtico para satisfacer los múltiples códigos de construcción es complicado y no bien definido.

C

4.1

te

ag

a

Antes del a ño 1960 el Ca mpo del el Aná lisis Estr uctur a l Esta ba Limita do a los Elementos Unidimensiona Unid imensiona les

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ANÁLISIS DE UN ELEMENTO AXIAL Para ilustrar la aplicación de las ecuaciones básicas presentadas en el capítulo anterior, se desarrollará la matriz de rigidez elemental 2 x 2 para el elemento de armadura indicado en la Figura 4.1.

RI

RJ

ag

uI

z

Ar

te

uI

s 10

a

A = ( s ) 10 −

s

sq

ue

L=80

Va

Figura 4.1 Ejemplo de Barra Cónica

Al

s (u J − u I ) L

(4.1)

po

r:

u(s) u I + =

ej

an

dr

o

Los os desplazamientos axiales en la posición s pu pueden expresarse en términos de los desplazamientos axiales en los puntos I y J en los extremos del elemento. Esto es:

1

 1 (u J − u I )= − L  L

om

ε=

pr

ad

o

∂u La deformación axial es por definición ε s =. Por lo tanto, la relación ∂s desplazamiento será: será deformación-desplazamiento

C

4.2

1  u I    = Bu L  u J 

(4.2)

La relación esfuerzo-deformación es σ = Eε . De esta manera, la matriz de rigidez del elemento es:

∫

k ( i ) = B( i )T E( i ) B( i ) dV =

AE  1 − 1 L − 1 1 

(4.3)

Ya que la deformación es constante, la integración sobre el elemento produce el volumen A aL donde A a es el área promedio transversal del elemento. Si el área

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de la sección transversal es constante, la matriz de rigidez es exacta, y los métodos de fuerza y desplazamiento producen resultados idénticos. Sin embargo, si el área no es constante, se pueden introducir errores de importancia a través de la aplicación formal del método de desplazamiento. Para ilustrar los errores involucrados en la aplicación del método de desplazamiento, supongamos la existencia de las siguientes propiedades: L = 80 in

Aa = 6.0 in 2

E=1,000 ksi

uI = 0

RJ = 10 kips

ag

a

De esa manera, el desplazamiento en el punto J viene dado por: por:

(4.4)

Ar

te

L 0.1333 in. uJ = RJ = Aa E

sq

ue

z

De la ecuación (4.2), la correspondiente deformación constante es 0.0016666. Por lo tanto, el esfuerzo axial constante viene dado por:

Va

σ = Eε = 1.667 ksi

(4.5)

ej

an

dr

o

Sin embargo, si se emplea un enfoque de fuerza para la solución de este problema, se obtienen resultados significativos y más precisos. P Por estática simple,, la distribución axial del esfuerzo es: (4.6)

po

r:

Al

RJ 10 σ= =RJ = P R A(s) 100 − s

ad

o

Por el método de fuerza fuerza, el desplazamiento en el extremo del elemento se expresa así:

[

]

(4.7)

C

om

pr

80  1 10 u J = ∫ P C P dV R =  ∫ ds  R = 0.1607 in. E  0 100 − s  T

Se debe notar que el desplazamiento del extremo que se obtiene mediante el método de desplazamiento es aproximadamente un 17 por ciento menor que el desplazamiento exacto determinado por el método de fuerza. Sin embargo, es más importante la comparación de la distribución del esfuerzo axial que se resume en la Figura 4.2, utilizando los métodos de análisis tanto de fuerza como de desplazamiento.

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METODO DE LA FUERZA

METODO DEL DESPLAZAMIENTO

0

20

40

60

80

a

Esfuerzo

5 4 3 2 1 0

Ar

te

ag

Distancia "s"

z

Figura 4.2 Comparación de Esfuerzos para los Métodos de Fuerza y Desplazamiento

an

dr

o

Va

sq

ue

En el extremo de la barra ahusada, el método de desplazamiento produce solamente el 33 porciento del esfuerzo máximo de 5.0 ksi. Por supuesto, si se utiliza una malla fina, los resultadoss se aproximarán más. También, si se emplean elementos de orden más elevado, con puntos interiores, los resultados del método de desplazamiento pueden ser mejorados de manera significativa. Sin embargo, este ejemplo ilustra claramente el hecho de que el enfoque de fuerza debe ser

po

r:

ELEMENTO DE PÓRTICO RTICO BIDIMENSIONAL

om

pr

ad

o

Se desarrollará un elemento de pórtico no no-prismático con deformaciones axiales, de flexión y de cortante para ilustrar el poder del método de fuerza. El método de desplazamiento permite calcular directamente una matriz de rigidez de cualquier elemento en términos de todos los grados de libertad de desplazamiento asociados con los elementos, y el elemento incluye automáticamente los modos de desplazamiento d de la masa rígida del elemento. El método de fuerza solamente permite el desarrollo de la matriz de flexibilidad del elemento en términos de desplazamientos relativos a un sistema de soporte estable.

C

4.3

Al

ej

ompor ta de elementos unidimensionales. empleado para pronosticar el comportamiento

El elemento general de pórtico está compuesto de cualquier número de segmentos no-prismáticos de pórtico. Cada segmento puede tener propiedades independientes axiales, cortantes o de flexión. Por lo tanto, en los extremos del elemento, es posible tener segmentos rígidos de flexión, con o sin deformaciones

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axiales y cortantes. Entonces, es posible aproximar el comportamiento del área finita de conexión. La Figura 4.3 presenta un elemento típico de pórtico.

θ, M

Posición Deformada

s

∆, P

Si

Ar

te

ag

a

v, V

Segmento Semirígido

ue

Va

sq

L

z

S i +1

o

Figura 4.3 Elemento de Pórtico Arbitrario

r:

Al

ej

an

dr

Los desplazamientos relativos son el desplazamiento axial ∆ , el desplazamiento vertical v , y la rotación final θ . Las cargas correspondientes son la carga axial P , la carga vertical V, y el momento en el extremo M. En un corte transversal fuerza-deformación es como sigue: típico en el punto s, la relación fuerza

(4.8)

C

om

pr

ad

o

po

  1 0 0    ε (s)   E(s) A(s)   P(s)     1   d(s) = C(s) f (s) , ó  γ (s)  = 0 0   V (s)   G(s) As(s) ψ (s)       1   M (s) 0 0  E(s) I (s)  

Todas las propiedades transversales, incluyendo el área efectiva de cortante A s , pueden variar dentro de cada segmento del elemento del pórtico. Las fuerzas transversales dentro de un segmento típico en el punto s pueden expresarse directamente en base a la estática en términos de las fuerzas finales arbitrarias del extremo R. Así:

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Ó:

0 0  P   P(s)  1      1 0  V   V (s)  = 0  M (s) 0 L − s 1  M 

(4.9a)

f ( s ) = P( s ) R

4.9b)

F = P(s) C(s)P(s) ds =

I MAX Si + 1

∑i ∫ P(s)

T

ag

∫

T

C(s)P(s) ds

Si

Ar

0

(4.10)

te

L

a

La matriz de flexibilidad 3 x 3 según se define por el método de fuerza se calcula de acuerdo a lo siguiente:

∑i F

F

=

(4.11a)

Si + 1

∫ P(s) S

an

dr

o

(i)

T

C(s)P(s) ds

ej

Donde, (i )

Va

I MAX

Al

F=

sq

ue

z

Es interesante notar que, debido a la discontinuidad scontinuidad de las propiedades de los segmentos, cada segmento produce una matriz de flexibilidad 3 por 3 separada. Porr lo tanto, la Ecuación (4.10) puede expresarse en la siguiente forma:

(4.11b)

r:

i

om

pr

ad

o

po

La Ecuación (4.11) puede llamarse el método de flexibilidad directa , puesto que los términos de la flexibilidad del segmento se agregan directamente. Se debe señalar que, en el caso de que cualquier propiedad de rigidez del corte transversal sea infinita,, según lo definido en la Ecuación (4.9), la contribución a la flexibilidad flexibilida d en el extremo del elemento es cero.

C

Las matrices C y P contienen un número significativo de términos cero. Por lo tanto, la matriz de flexibilidad de elemento para un elemento recto contiene solamente cuatro términos independientes, según lo siguiente:  FP  F=  0  0

0

FVV FVM

0  FVM  , FMM 

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(4.12)

(

Se puede demostrar fácilmente que los términos individuales de flexibilidad se expresan mediante las siguientes ecuaciones sencillas: 1 ds E(s)A(s)

I MAX SI + 1

(L − s) ds E(s) I (s)

∑i ∫

FVM =

Si

I MAX SI + 1

∑i ∫ Si

(4.13c)

1 ds E(s) I (s)

(4.13d)

sq

FMM =

(4.13b)

a

Si

ag

∑i ∫

 (L − s) 2  1 +   ds  E(s) I (s) G(s)A s(s) 

te

FVV =

I MAX SI + 1

Ar

Si

(4.13a)

z

∑i ∫

ue

FP =

I MAX SI + 1

Al r:

(4.14a)

po

L EA

o

FP =

ej

an

dr

o

Va

Para segmentos de pórtico con variación constante o lineal de las propiedades de los elementos, s, dichas ecuaciones pueden ser evaluadas en forma cerrada. Para el caso de propiedades de segmento más complejas, la integración numérica pu puede ser necesaria. Para un elemento prismático sin brazos rígidos, dichas constantes conocida reduciéndose a las siguientes: de flexibilidad son bien conocidas,

L3 L + 3EI GA s

(4.14b)

FVM =

L2 2EI

(4.14c)

FMM =

L EI

(4.14d)

C

om

pr

ad

= FVV

Para cortes transversales rectangulares, el área de cortante es A s =

5 A. 6

Se puede considerar fácilmente la posibilidad de carga dentro del segmento calculando los desplazamientos relativos adicionales al extremo del elemento, utilizando métodos sencillos de trabajo virtual. Para este caso más general, el desplazamiento relativo total tendrá la siguiente forma:

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∆   FP    v =  0  θ   0

0

FVV FVM

0   P  ∆ L  FVM   V  +  v L  ó, FMM   M   θ L 

(4.15a)

Ó, simplemente:

= v FR + vL

(4.15b)

a

Los desplazamientos provocados por la carga del tramo se identifican con v L . La

te

ag

Ecuación (4.15) puede expresarse en términos de la rigidez del elemento como:

Ar

r = K v - K v L = K v - rL

(4.16)

ej

an

ELEMENTO DE PÓRTICO T TR TRIDIMENSIONAL RIDIME

ad

o

po

r:

Al

El desarrollo de la rigidez ez del elemento del pórtico tri tridimensional es una bi extensión sencilla de las ecuaciones presentadas para el elemento bidimensional. Las deformaciones por cortante y por flexión pueden ser incluidas en la dirección normal/perpendicular, utilizando las mismas ecuaciones. Además, es aparente que la flexibilidad torsional desacoplada viene dada por:

pr

I MAX SI + 1

∑i ∫

om

FT =

C

4.4

dr

o

Va

sq

ue

z

La rigidez del elemento es la inversa de laa flexibilidad del elemento, K = F -1 , y las fuerzas del extremo fijo causadas por la carga del tramo son rL = K v L . Dentro de un programa de computadora, estas ecuaciones son evaluadas numéricamente para cada elemento; por lo tanto, no es necesario desarrollar la rigidez del elemento en forma cerrada.

Si

1 ds G(s) J(s)

(4.17)

Puede ser difícil calcular el término de rigidez torsional, G(s) J(s) , para muchos cortes o secciones transversales. El empleo de una malla de elemento finito podría ser necesario para secciones complejas. La Figura 4.4 presenta un elemento de pórtico tridimensional arbitrario. Hay que notar que se presentan solamente las seis fuerzas en el extremo J . Los seis desplazamientos relativos en el nodo J poseen la misma convención de signo positivo que las fuerzas en el nodo J .

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z

T

M2 P

V2

J

1

2

V3 3 SISTEMA LOCAL

M3

I

z

Ar

te

ag

a

y

ue

x

Va

sq

Figura 4.4 Fuerzas del Elemento en el Sistema de Referencia Local

o

ad

r:

ej k33 0

k53 0

0 0 0

k44 0 0

0 0

k35 0

k55 0

0  ∆  k 26   v 2    0 v3    0  φ T  0 θ2    k 66   θ 3 

(4.18a)

om

pr

0 0

Al

0 k 2222 0 0 0 k 62

po

 P  k11 V   0  2   V3   0  =  T  0 M 2   0     M 3   0

an

dr

o

La matriz de rigidez 6 por 6 se forma ma en el sistema local de coordenadas 1-2-3, tal como omo se indica en la Figura 4.4. El orden de las fuerzas y las deformaciones expresión relativas son expresados por laa siguiente expresión:

C

Ó, simplemente: f J = k JdJ

(4.18b)

Los términos en negritas indican los aportes de flexión y cortante en el plano 1-2. Para un elemento curvo en tres dimensiones, la matriz k de 6 por 6 podría estar llena sin la existencia de ningún término nulo. Se debe notar que la matriz de rigidez 6 por 6 formada en el sistema local no posee los seis modos de masa rígida.

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Las fuerzas que actúan en el nodo I no son independientes, y pueden expresarse en términos de las fuerzas que actúan en el nodo J mediante la aplicación de las ecuaciones básicas de la estática. Por lo tanto: 0 0 0 0 P − 1 0   P  1   − 0 1 0 0 0  V    L   V2   2   1  V3  0 0 −1 0 0   V3   =   L    T   T  − 0 0 0 1 0 0   M 2   0 0 L 0 − 1 0 M 2       M 3  I  0 L 0 0 0 − 1  M 3  J

Ar

te

ag

a

(4.19a)

ue

z

Ó, simplemente:

(4.19b)

Va

sq

f I = b ITJ f J

Al r:

ad

o

Ó:

(4.20a)

po

 f I  b TI J   f  =   fJ  J  I 

ej

an

dr

o

Lass doce fuerzas en ambos extremos de la viga ahora pueden expresarse en términos de las seis fuerzas en el extremo J de la viga a través de las siguientes ecuaciones de submatriz:

(4.20b)

om

pr

f I J = bT f J

C

También, de la relación entre las ecuaciones de la estática y la compatibilidad, existe la siguiente ecuación de transformación de desplazamiento: dI = bdI J

(4.21)

Por lo tanto, la rigidez del elemento de pórtico 12 por 12, k I J , con respecto al sistema de referencia local 1-2-3, es la siguiente: k I J = b T k Jb

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(4.22)

Por lo tanto, las ecuaciones de fuerza-desplazamiento en el sistema local 1-2-3 puede expresarse como:

f I J = k I J uI J

(4.23)

sq

ue

z

Ar

te

ag

a

Para usar la formulación de rigidez directa, es necesario transformar la rigidez local del elemento en un sistema global de referencia x-y-z. La matriz global de rigidez 12 por 12 debe ser formada con respecto a las fuerzas nodales indicadas en la Figura 4.5. Las doce fuerzas nodales R y los doce desplazamientos nodales u tienen la misma convención de signo.

Va

R12

dr

o

z

r:

Al

ej

an

J

po

I

R7 R10 R5

o

R1

ad pr

R2

R11

y

R4

C

om

R8

R6 R3

R9

x Figura 4.5 Fuerzas de Elemento de Pórtico en un Sistema de Referencia Absoluta

Los desplazamientos y las fuerzas locales pueden expresarse usando la matriz de coseno direccional elemental que se presenta en el Apéndice A. Así:

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 u1  u x       u 2  = V u y  u 3   u z 

(4.24a)

Y  fx   f1     T  fy  = V  f2   f x   f 2 

ag

a

(4.24b)

Ar

te

Por lo tanto, las doce ecuaciones de transformación finales se presentan en la siguiente forma sencilla de submatriz 4 por 4:

(4.25a)

o

Va

sq

ue

z

V 0 0 0  0 V 0 0 u u IJ =  0 0 V 0    0 0 0 V

an

dr

Ó:

(4.25b)

po

r:

Al

ej

u IJ = Tu

ad

o

Las doce ecuaciones de equilibrio global en el sistema de referencia xx-y-z ahora se expresan así: (4.26)

om

pr

= R K u + RL

C

La matriz de rigidez del elemento de pórtico es: K = T T k I JT

(4.27)

Se puede demostrar que las seis fuerzas de extremo fijo rJ causadas por las cargas del elemento, que se definen en el sistema local 1-2-3, pueden ser transformadas a las doce cargas globales mediante la siguiente expresión: R L = T T b T rJ

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(4.28)

Se debe notar que dentro de los programas de computadora más eficientes, no se utiliza la multiplicación formal de matriz para formar las matrices. Los métodos de programación se usan para eliminar la mayor parte de la multiplicación por términos cero.

LIBERACIÓN DE EXTREMO DE LOS ELEMENTOS

a

Incluyendo la carga del elemento en la Ecuación (4.23), las doce ecuaciones de equilibrio en el sistema de referencia local IJ pueden expresarse como sigue: (4.29a)

te

ag

= f I J k I Ju I J + rI J

Ar

Ó:

ue

z

sin subíndice = f ku + r

(4.29b)

an

12

=1

ej

knj u j + rn ∑ j

(4.30)

Al

= fn

dr

o

Va

sq

Si uno de los extremos del elemento tiene una una articulación u otro tipo de liberación que haga que la fuerza correspondiente sea equivalente a cero, se requiere modificar la Ecuación (4.29). Una ecuación típica sería de la siguiente forma:

o

po

r:

Si sabemos que un valor específico de f n es cero debido a una liberación, se puede expresar el desplazamiento correspondiente un como sigue: −1 1 n−

pr

ad

un = ∑

knn

uj +

12

∑ j n

=

+1

knj knn

u j + rn

(4.31)

om

j =1

knj

Por lo tanto, mediante la sustitución de la ecuación (4.31) en las otras once ecuaciones de equilibrio, se puede eliminar el factor desconocido un y se pueden fijar en cero la correspondiente fila y la correspondiente columna. O sea:

C

4.5

= f I J k I Ju I J + rI J

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(4.32)

Los términos f n = rn = 0 y los nuevos términos de rigidez y carga con equivalentes a:

kij kij − kin = = ri ri − rn

knj

(4.33a)

knn

kni knn

(4.33b)

Va

sq

ue

z

Ar

te

ag

a

Este ste procedimiento puede ser aplicado de manera repetida a las ecuaciones de equilibrio del elemento para todas las liberaciones. Después de que se hayan nto a través de una encontrado los otros desplazamientos asociados con el elemento solución de las ecuaciones es del equilibrio global, los desplazamientos asociados con las liberaciones pueden ser calculados a través de la Ecuación (4.31) en orden inverso comparado con el orden en que fueran eliminados los desplazamientos. La aplicación repetida de estas sencillas ecuaciones numéricas ión estática está o eliminación parcial se define en el Apéndice C como la condensación

an

RESUMEN

om

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

Se debe usar el método de fuerza para desarrollar las matrices de rigidez para elementos unidimensionales esfuerzo interno de la dimensionales donde los resultados del esfue la sección puedan ser expresados satisfaciendo el equilibrio, en términos de las fuerzas que actúan sobre los terminales del elemento. En primer lugar, se desarrolla la matriz de flexibilidad, con respecto a un sistema de soporte estable, en el sistema de referencia local del elemento. En segundo lugar, dicha matriz de flexibilidad se invierte para formar la matriz de rigidez del elemento. Tercero, se lía la matriz de rigidez local para incluir los desplazamientos de masa rígida amplía y se modif modifica ica debido a las liberaciones de los extremos. Por último, se transforman las matrices de rigidez y carga en el sistema de referencia global.

C

4.6

dr

o

de Gauss.

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5. ELEMENTOS ISOPARAMÉTRICOS

Ar

te

ag

a

Br uce Irons, en el a ño 1968, Revolucionó el Método del Elemento F inito Introduciendo un Sistema de Referencia de Coordena da s Na tur a les

ue

z

INTRODUCCIÓN

Al

ej

an

dr

o

Va

sq

Antes del desarrollo del Método de los Elementos Elemento Finitos, los investigadores del campo de la ingeniería estructural y de la mecánica estructural encontraron soluciones de “forma cerrada” en términos de conocidas funciones matemáticas mecánica continua. Sin embargo, estructuras de muchos problemas en la mecá m ecánica nica continu no prácticas de geometría arbitraria, materiales no-homogéneos o estructuras fabricadass de varios materiales diferentes son difíciles de solucionar mediante este enfoque clásico.

om

pr

ad

o

po

r:

rofesor Ray Clough patentizó la terminología “Método del Elemento Finito” El profesor en un documento presentado en el año 1960 [1]. Dicho documento proponía usar el método como una alternativa del método de diferencia finita para la solución numérica de problemas de concentración de esfuerzo en la mecánica continua. El objetivo principal de un trabajo anterior en la empresa Boeing Airplane Company publicado en el año 1956 [2] era incluir la rigidez del revestimiento en el análisis de las estructuras del ala y no estaba dirigido a calcular con precisión los esfuerzos en estructuras continuas. El primer programa de computadora plenamente automatizado de elemento finito fue desarrollado durante el período del 1961-1962 [3].

C

5.1

En la opinión del autor, la introducción de la formulación del elemento isoparamétrico en el año 1968 por Bruce Irons [4] constituyó el aporte más significante para el campo del análisis de elementos finitos durante los últimos 40 años. Permitía el desarrollo y la programación de elementos muy precisos de

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orden superior con un mínimo de esfuerzo. La adición de modos de desplazamiento incompatible a elementos isoparamétricos en el año 1971 fue una ampliación importante pero menor a la formulación [5].

EJEMPLO SENCILLO UNIDIMENSIONAL

3

u2 R2

te

2

A2 = 2

50 -40

30

ue

z

1

u3 R3

sq

A1 = 10

x 10

Ar

A( x ) = 6 −

R1

x

0

Va

u1

ag

a

Para ilustrar los puntos fundamentales del enfoque isoparamétrico, el elemento unidimensional de tres nodos que se presenta en la Figura 5.1 está formulado en un sistema de referencia de coordinadas naturales.

an

dr

o

A. SISTEMA GLOBAL DE REFERENCIA ““x”

ej

s=-1.0

Al

--ss

+s

s=1.0

N1 = −s(1− s)/ 2

o

po

r:

1.0

s=0

om

pr

ad

N 2 = s(1+ s)/ 2 N 3 = 1− s 2

1.0

1.0

C

5.2

B. SISTEMA ISOPARAMÉTRICO DE REFERENCIA “s”

Figura 5.1 Un Ejemplo Sencillo de un Elemento Isoparamétrico Las funciones de forma N i se expresan en términos del sistema de referencia

isoparamétrica del elemento. La coordenada natural posee un rango de = s ±1.0 . Los sistemas de referencia globales e isoparamétricos están relacionados por la siguiente ecuación elemental:

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x(s) ≡ N 1 (s) x1 + N 2 (s) x 2 + N 3 (s) x 3 = N (s) x

(5.1)

La validez de esta ecuación puede ser verificada para los valores de = s −1 , s = 0 y s = 1 . No se requiere ninguna referencia matemática adicional para comprender la Ecuación (5.1). El desplazamiento global ahora puede expresarse en términos de las funciones de forma fundamentales isoparamétrica. O sea:

u(s) = N 1 (s) u1 + N 2 (s) u2 + N 3 (s) u3 = N (s) u

a

(5.2)

ue

z

Ar

te

ag

Se debe notar que la suma de las funciones de forma es equivalente a 1.0 para todos los valores de s; por lo tanto, es posible el desplazamiento plazamiento de masa rígida del elemento. Esto constituye un requisito fundamental de toda aproximación de desplazamiento para todo tipo de elemento finito.

Va

(5.3)

o

∂u(s) du(s) du(s) ds εx = = = ∂x dx ds dx

sq

La ecuación deformación-desplazamiento para este elemento unidimensional es:

po

r:

Al

du(s) = N(s),, s u ds

ej

an

dr

Se puede recordar desde las clases de cálculo de segundo año que esto constituye unaa forma de la regla de cadena. Para cualquier valor de s se pueden escribir las siguientes ecuaciones:

(5.4b)

ad

o

dx J (s) = N(s), N (s) s), s x = ds

(5.4a)

C

om

pr

Por lo tanto:

εx =

du(s) ds 1 = N (s),s u = B(s) u ds dx J(s)

(5.5)

De la Ecuación (5.1) la derivada con respecto a los sistemas de referencia globales e isoparamétricos de referencia están relacionados por lo siguiente:

dx = N (s),s x ds = J(s) ds

(5.6)

Ahora se puede expresar la rigidez del elemento 3 por 3 en términos del sistema natural:

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+1

∫

K = B(s) T E B(s) J(s) ds

(5.7)

−1

En general, la Ecuación (5.7) no puede ser evaluada en forma analítica. Sin embargo, puede ser evaluada de manera precisa mediante la integración numérica.

FORMULAS DE INTEGRACIÓN UNIDIMENSIONALES

Va

∫

i =1

(5.8)

dr

−1

n

f ( s ) ds = ∑ Wi f ( si )

o

I=

+1

sq

ue

z

Ar

te

ag

a

La mayoría de los ingenieros han utilizado la regla de Simpson o la regla trapezoidal para integrar una función evaluada a intervalos iguales. Sin embargo, estos métodos tradicionales no son tan precisos, para el mismo esf esfuerzo computacional, como el método numérico de Gauss de integración que se presenta en el Apéndice G. Las fórmulas de integración de Gauss son de la siguiente forma:

Al

ej

an

La Tabla 5.1 resume los coeficientes de Gauss y factores de peso para tres fórmulas diferentes:

0

3

om

2

−1

W1

s2

o

1

ad

s1

pr

n

po

r:

Tabla 5.1 Factores de Peso oyC Coeficientes o ef de Gauss para la Integración Numérica

C

5.3

3

− 0.6

W2

s3

W3

0.6

59

2 1

59

1

3

0

1

89

Se debe notar que la suma de los factores de peso siempre es igual a 2. Son posibles fórmulas de integración numérica de orden superior. Sin embargo, para la mayoría de los análisis de elementos finitos por desplazamiento, no se requiere

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integración de orden superior. De hecho, para muchos elementos, la integración de orden inferior produce resultados más precisos que la integración de orden superior. Para el análisis de la viga ahusada, que se presenta en la Figura 5.1, se usan las mismas propiedades materiales y las mismas condiciones de carga y borde que los del ejemplo que se presenta en la Sección 4.2. La Tabla 5.2 resume los resultados.

u3

te

σ1

σ2

σ3

(%error)

(%error)

(%error)

(%error)

0.1607

1.00

5.00

2.00

1.67 (+67 %)

1.67 (-66 %)

1.67 (-16.5 %)

EXACTO

Ar

Límites de Integración

z

TIPO DE ELEMENTO

ag

a

Tabla 5.2 Resumen de los Resultados del Análisis de Barra rra a Ahusada A

Exacto

0.1333 (-17.1 17.1 %)

Isoparamétrico de 3-nodos

2 puntos

0.1615 (+0.5 %)

0.58 (-42 %)

4.04 (-19 %)

2.31 (+15.5 %)

Isoparamétrico de 3-nodos

3 puntos

0.1609 (+0.12 %)

0.83 (-17 %)

4.67 (-6.7 %)

2.76 (+34 %)

an

dr

o

Va

sq

ue

Deformación Constante

Al

ej

En base a este ejemplo sencillo, se pueden sacar las conclusiones y los comentarios siguientes: Pequeños errores de desplazamiento no indican pequeños errores de esfuerzo. i

2.

La integración de orden superior produce una estructura más flexible que la que produce el uso de integración de orden superior.

3.

Si este elemento isoparamétrico es integrado de manera exacta, el desplazamiento del extremo sería menor que el desplazamiento exacto.

po

o

ad

pr

om

Los esfuerzos fueron calculados en el punto de integración y fueron extrapolados a los nodos. Cada programa de computadora utiliza un método diferente para evaluar los esfuerzos que existen dentro de un elemento. Estos métodos serán discutidos más adelante.

C

4.

r:

1.

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RESTRICCIONES SOBRE LAS UBICACIONES DE LOS NODOS INTERMEDIOS El ejemplo anterior ilustra el hecho de que la ubicación del nodo a mitad de los laterales o intermedio no tiene que estar obligatoriamente en el centro geométrico del elemento. Sin embargo, su ubicación no es completamente arbitraria. La Ecuación (5.4b) puede ser escrita de nuevo, con x= − 1

= J(s) (2 − sr )

L 2

y

a

, como

ag

2

L

te

L

2

, x2 =

2

(5.9)

Ar

x3 = r

L

an

dr

o

Va

sq

ue

z

donde r es la ubicación relativa del nodo 3, con respecto al centro del elemento. La Ecuación (5.5) indica que las deformaciones pueden ser infinit infinitas si J (s ) es transformación de las cero. También, si J (s ) es negativa,, implica que la transformaci deformaciones coordenadas entre x y s está muyy distorsionada. Para el caso de deforma infinitas en ubicaciones = s ±1 , se puede encontrar la singularidad cero en base a lo siguiente:

ej

2± r = 0

(5.10b)

o

po

1 2

ad

r ± =

r:

Al

Ó:

(5.10a)

om

pr

Por lo tanto, la ubicación del nodo intermedio debe estar dentro de la mitad central del elemento. En el caso de elementos bidimensionales y dimensionales, los nodos de los laterales deben estar ubicados dentro de la tridimensionales, en tr tr de cada borde o lateral. mitad central

C

5.4

En un extremo agrietado, donde las deformaciones físicas pueden ser muy grandes, se ha propuesto que los elementos adyacentes al agrietamiento tengan el nodo intermedio localizado en una cuarta parte de la longitud del lado del elemento. Entonces los esfuerzos en los puntos de integración serán realistas, y se puede estimar la energía de deformación del elemento, que podrá ser utilizada para predecir la propagación o la estabilidad del agrietamiento [5].

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FUNCIONES DE FORMAS BIDIMENSIONALES Se pueden elaborar funciones de formas bidimensionales para diferentes elementos con un número arbitrario de nodos. La formulación que se presenta aquí será para un elemento general cuadrilátero con cuatro hasta nueve nodos. Por lo tanto, una formulación abarcará todos los tipos de elementos presentados en la Figura 5.2. r

3

ag te

2

4

2

ue

z

4

a

3

Ar

s

6

an

7

dr

3

o

Va

sq

1

ej

4

r:

Al

8

3

6

7 4

r 2

9 8 1

5

o

po

1

5

2

s

5

1

ad

F igura 55.2. .2 . E Elementos le Isoparamétricos Bidimensionales de Cuatro a Nueve Nodos

om

pr

Las funciones de forma, en el sistema natural r -s, son un producto de las unidimensionales mostradas en la Figura 5.1. Los rangos tanto de r funciones uni como de s es +1. Toda función debe ser igual a 1.0 en el nodo, y debe ser igual a cero en todos los demás nodos asociados con el elemento. Las funciones de forma mostrada en la Tabla 5.3 son para el elemento básico de cuatro nodos. La tabla indica cómo se modifican las funciones si existen los nodos 5, 6, 7, 8 ó 9.

C

5.5

Si no existe ningún nodos del 5 al 9, las funciones asociadas con dicho nodo son cero, y no hay necesidad de calcularlo. Se debe notar que la suma de todas las funciones de forma siempre es igual a 1.0 para todos los puntos dentro del elemento. Tablas con el mismo formato pueden ser creadas para las derivadas de

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N , yN ,

i s . Las funciones de forma y sus derivadas son las funciones de forma i r evaluadas numéricamente en los puntos de integración.

Tabla 5.3 Funciones de Forma para un Elemento Bidimensional de Cuatro a Nueve Nodos NODOS OPCIONALES

ri

si

1

-1

N 1 (1 − r )(1 − s) / 4 -1 =

−

N5

2

1

-1

= N 2 (1 + r )(1 − s) / 4

−

N5

3

1

1

= N 3 (1 + r )(1 + s) / 4

4

-1

1

= N 4 (1 − r )(1 + s) / 4

5

0

-1

1− = N 5 (1 − r 2 )(1 − s) / 2

6

1

0

= − s2 ) / 2 N 6 (1 + r )(1 1−

7

0

1

N 7 (1 − r 2 )(1 + s) / 2 =

8

-1

9

0

6

7

−

N6 2

sq N6 2

−

N7

−

N7

dr

o

Va

−

2

2 2

−

N8 2

9

−

N9

−

N9

−

N9

−

N9

−

N9

−

N9

−

N9

−

N9

C

om

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

an

N8

ue

−

Ar

te

2 2

8

ag

5

z

N 1 (r , s)

a

FUNCIÓN DE FORMA

NODO i

0

= N 8 (1 − r )(1 − s2 ) / 2

4 4 4 4 2 2 2 2

N 9 (1 − r 2 )(1 − s2 ) 0 =

Las relaciones entre los sistemas naturales r-s y ortogonal local x-y son por definición las siguientes:

x(r , s ) = ∑ N i xi

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(5.11a)

y (r , s ) = ∑ N i yi

(5.11b)

También, se supone que los desplazamientos x e y tengan la siguiente forma:

u x (r , s) = ∑ N i u xi

(5.12a)

u y (r , s) = ∑ N i u yi

(5.12b)

ag

a

Para calcular las deformaciones es necesario tomar las derivadas de los desplazamientos con respecto a x e y. Por lo tanto, es necesario usar la regla clásica de la cadena, que se puede expresar como sigue: (5.13a)

ue

z

Ar

te

∂u ∂u ∂x ∂u ∂y = + ∂r ∂x ∂r ∂y ∂r

Va o dr

ej

an

(5.14)

Al

 ∂u   ∂u   ∂x   ∂r   ∂u  = J  ∂u       ∂s   ∂y 

(5.13b)

sq

∂u ∂u ∂x ∂u ∂y = + ∂s ∂x ∂s ∂y ∂s

o

po

r:

La matriz J se conoce en la matemática como la matriz jacobiana , y puede ser evaluada numéricamente en base a lo siguiente: ∂y   ∂r  =   ∂y   ∂s 

∑ N i , r xi ∑ N i , r yi  =  J ∑ N i , s xi ∑ N i , s yi   J

11 21

J12  J22 

(5.15)

C

om

pr

ad

 ∂x  J =  ∂r ∂x   ∂s

En los puntos de integración la matriz J pueden ser numéricamente invertidas. O: J−1 =

1  J22 J − J12

− J21  J11 

(5.16)

El término J es el determinante de la matriz jacobiana y es:

J = J11 J22 − J12 J21 =

∂x ∂y ∂x ∂y − ∂r ∂s ∂s ∂r

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(5.17)

La Figura 5.3 ilustra el significado físico de este término en cualquier punto r y s dentro del elemento. Cálculos sencillos de geometría ilustran que J relaciona el área en el sistema x-y al sistema de referencia natural. Así:

dA = dx dy = Jdr ds

(5.18)

an

dr

o

Va

sq

ue

z

Ar

te

ag

a

Por lo tanto, todas las ecuaciones básicas de elemento finito pueden ser transformadas en el sistema de referencia natural, y se pueden usar las fórmulas estándares de integración numérica para evaluar las integrales.

po

r:

INTEGRACIÓN NUMÉRICA ÉRICA EN DOS DIMENSIONES

1 1

pr

Wi Wj f (ri , sj ) J(ri , sj ) ∫ ∫ f (r , s) J(r , s) dr ds = ∑∑ i j

om

I=

ad

o

La integración numérica en dos dimensiones puede efectuarse utilizando las fórmulas unidimensionales unidimensionales resumidas en la Tabla 5.1. O: (5.19)

−1−1 −1

Se debe notar que la suma de los factores de peso, Wi Wj , es igual a cuatro, el área natural del elemento. La mayoría de los programas de computadora utilizan fórmulas de integración numérica 2 por 2 ó 3 por 3. El problema fundamental con este enfoque es el hecho de que para ciertos elementos, el 3 por 3 produce elementos demasiado rígidos, y la 2 por 2 produce matrices de rigidez que son inestables, o que se clasifiquen como deficientes utilizando la terminología de análisis matricial. El uso de una fórmula 2 por 2 para un elemento de nueve nodos produce tres modos de desplazamiento de cero energía, además de los tres

C

5.6

Al

ej

Figura 5.3 Área real en el Sistema de Referen Referencia Natural

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te

ag

a

modos de masa rígida de energía cero. La Figura 5.4 presenta uno de estos modos de energía cero .

Ar

Elemento de 9 Nodos Integración 2 por 2

ue

z

Modo de Energ Energía Cero

sq

Enerrgía Ene rgía Cero Tipo Reloj de Arena Figura 5.4 Modo de Desplazamiento de Energía

po

r:

Al

ej

an

dr

o

Va

nto finito, estos modos de energía cero podrían no Para ciertas mallas de elemento existir después de agregarse las matrices de rigidez del elemento y aplicarse condiciones de borde.. Sin embargo, en muchos casos se pueden obtener resultados imprecisos si se usa la integración re reducida para elementos sólidos. Debido a estos problemas potenciales potenciales, el autor recomienda el uso de métodos eros de integración numérica bidimensional que sean precisos y que verdaderos empre sean más eficientes numéricamente. Por lo tanto, se puede expresar la siempre Ecuación (5.18) como sigue:

o

1 1

∫ ∫ f (r , s) J(r , s) dr ds = ∑i Wi

f (ri , si ) J(ri , si )

(5.20)

pr

ad

I=

om

−1−1

C

Las formulas ocho y cinco y los puntos son mostrados en la Figura 5.5. En esa figura, para la integración de los och ocho puntos α y β y el peso correspondientes son dados como a continuación:

α= β=

1 wα 2 − 2 wα 3wβ

wα = Libre para elegir w= β 1 − wα

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(5.21a) (5.21b) (5.21c) (5.21d)

Para la integración de los cinco puntos α forma:

y el peso son dados de la siguiente

1 3wα w0 α 1− w= 4

(5.22a)

α=

(5.22b) (5.22c)

a

w0 = Libre para elegir

Va

sq

ue

z

Ar

te

ag

de Si Wα =9/49, la fórmula de ocho puntos da la misma precisión que la regla del producto de Gauss 3 por 3, con menos esfuerzo numérico. Por otro lado, si del producto de Gauss 2 Wα =1.0,, la fórmula de ocho puntos se reduce a la regla del por 2. Si se busca tener los beneficios de la integración reducida, sin la introducción de modos de cero energía, es posible permitir que Wα =0.99. Note cuatro.. que la suma de los factores de peso equivale a cuatro

an

α

α

om

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

α

dr

o

α β

C

Figura 5.5 Reglas de Integración de Ocho y Cinco Puntos

Laa fórmula de cinco puntos es muy efectiva para pa ciertos tipos de elementos. Posee la ventaja de que al punto central, que en mi opinión constituye la ubicación más importante dentro del elemento, se le puede asignar un factor grande de peso. Por ejemplo, si W0 se fija en 224/81, los otros cuatro puntos de integración son ubicados en α = ± 0.6 , con pesos de Wi = 5/9, que son los mismos puntos de esquina que la regla 3 por 3 de Gauss. Si se fija W0 en cero, la fórmula de cinco puntos se reduce a la regla 2 por 2 de Gauss.

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FUNCIONES DE FORMA TRIDIMENSIONALES Se puede ampliar fácilmente el enfoque bidimensional, que se emplea para desarrollar el elemento de 4 a 9 nodos, hasta tres dimensiones, y crear un elemento sólido de 8 a 27 nodos, tal como se presenta en la Figura 5.6. 8

t

1-8

Nodos de Esquina

9-21

Nodos de Borde

21-26

Nodos de Centro de Cara

22

z ue

24

10

21

11

2

s

9

an

dr

o

13

12

3

sq

r

14

27

Va

5

23

25

17

15

18

4

te

6

26

Ar

7

Centro del Elemento

16

ag

19

a

27

20

1

Al

ej

Figura 5.6 Elemento Sólido de Ocho a 27 Nodos

po

r:

Las funciones de forma tridimensionales son productos de las tres funciones dimensionales, dimen sionales, y pueden ser expresadas en la siguiente forma: básicas unidimensionales, (5.23)

ad

o

G(ri , si , t i ) = g(r , ri ) g(s, si ) g(t , t i )

om

pr

Los términos ri , s i y t i son las coordenadas naturales del nodo “ i”. Las funciones uni unidimensionales en la dirección r, s y t se definen como:

C

5.7

1 ±1 gi = g ( r , ri ) = (1 + ri r ) si ri = 2 gi = g (r , ri ) = (1 + r 2 ) si ri = 0

gi = 0

(5.24)

si el nodo no existe

Utilizando esta notación, es posible programar una subrutina de función de forma directamente sin ninguna manipulación algebraica adicional. El requisito fundamental de una función de forma es que posea un valor de 1.0 en el nodo, y que sea cero en todos los demás nodos. La función de la forma del nodo es la

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función de forma básica del nodo g i corregida para que sea cero en todos los nodos por una fracción de las funciones de forma básicas en los nodos adyacentes. Las funciones de forma N 1 y N 8 para los nodos de 8 esquinas son: = N i gi − gE / 2 − gF / 4 − g27 / 8

(5.25a)

Las funciones de forma N 09 y N 2 para los nodos de 12 bordes son: (5.25 (5.25b)

ag

a

N i gi − gF / 2 − g27 / 4 =

te

Las funciones de forma N 21 y N 26 para los 6 nodos de centro de cada cara son: (5.25c)

z

Ar

= N i gi − g27 / 2

ue

La función de forma para el nodo que se encuentra en el centro del elemento es: (5.25d)

Va

sq

N 27 = g27

El término g E es la suma de los valores g E en los tres bordes adyacentes. El

an

dr

o

término g F es la suma de los valores g Een el centro de las tres caras adyacentes.

om

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

La profesión de la ingeniería estructural no utiliza muy extensamente extensament el elemento sólido de 27 nodos. El motivo principal de su falta de valor práctico es que casi se puede obtener la misma precisión con el elemento sólido de 8 nodos, con la adición de modos de desplazamiento incompatible corregidos, según se presenta en el próximo capítulo. La integración numérica puede ser 3 por 3 por 3 ó 2 por 2 por 2, como se discutió previamente previamente. Se puede usar una fórmula de integración numérica de nueve puntos, de tercer orden orden, para el elemento sólido de ocho nodos con modos incompati incompatibles, expresándose de la siguiente manera: (5.26a)

w = 1 − w0 / 8 α

(5.26b)

C

W0 = Libre para elegir

α=

1 3wα

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(5.26c)

Los ocho puntos de integración están ubicados en r = ±α , s = ±α y t = ±α , y el punto central está ubicado en el centro del elemento. Si w0 = 0 la fórmula se reduce al 2 por 2 por 2. Si W0 = 16/ 3 , los otros ocho puntos de integración están ubicados en ocho nodos del elemento, α = ±1 y wα = 1 / 3.

5.8

ELEMENTOS TRIANGULARES Y TETRAÉDRICOS

ad

o

po

r:

Al

ej

an

dr

o

Va

sq

ue

z

Ar

te

ag

a

Para modelar estructuras, nunca se debe usar el elemento triangular plano de deformación constante ni el elemento tetraedro sólido de deformación constante. deforma re Son numéricamente ineficientes, en comparación con los requisitos de computación de elementos de órdenes superiores, y no producen desplazamientos ni esfuerzos precisos. Sin embargo, el elemento triangular plano de seis nodos y el elemento tetraedro sólido de diez nodos, que se presentan en la Figura 5.7, son precisos y numéricamente eficientes. El motivo de su éxito es el hecho de que sus funciones de forma son polinomios completos de segundo orden.

om

pr

B. TETRAEDRO DE 10 NODOS A. TRI TRIÁNGULO TRIÁ ÁNGULO NGULO DE 6 NODOS Figura 5.7 Elementos Triangular Plano de Seis Nodos y Tetraédrico Sólido de Diez Nodos

C

Se usan extensamente para programas de computadora con generación de una malla especial o refinamiento automático adaptativo de malla. Es mejor formularlos en sistemas de coordenadas de área y volumen. Para los detalles y la formulación básica de estos elementos, ver Cook [5].

5.9

RESUMEN El empleo de sistemas de referencia isoparamétricos o naturales permite el desarrollo de elementos curvos de orden superior. Se debe utilizar la integración

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te

ag

REFERENCIAS

Clough, R. W. 1960. “The Finite Element Method in Plane Stress Analysis,” Proc. ASCE Conf. On Electronic Computations. Pittsburg, PA. Septiembre.

2.

Turner, M. J., R. W. Clough, H. C. Martin y L. J. Topp. 1956. “Stiffness and Deflection Analysis of Complex Structures,” J. Aeronaut. Sc.. V.23, N. 6. pp. 805-823. Sept. 1.

3.

Wilson, E.L. 1963 “Finite Element Analysis of Two Two-Dimensional Structures,” D. Eng. Thesis. University of California at Berkeley.

4.

Irons, B. M. y O. C. Zienkiewicz. 1968. “The Isoparametric Fin Finite Element System – A New Concept in Finite Element Analysis,” Proc. Conf. Recent Advances in Stress Analysis. Royal Aeronautical Society. London.

5.

Wilson, E. L., R. L. Taylor, W. Doherty, y J. Ghaboussi. 1971. "Incompatible Displacement Models," Proceedings, ONR Symposium on Numerical and Computer Methods in Structural Mechanics. Septiembre. University of Illinois, Urbana. Sep

6.

Cook, R. D., D. S. Malkus y M. E. Plesha. 1989. Concepts and Applications of Finite Element Analysis. Tercera Edición. John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-84788-7.

om

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

an

dr

o

Va

sq

ue

z

Ar

1.

C

5.10

a

numérica para evaluar las matrices de elementos porque no son posibles soluciones de forma cerrada para formas no-rectangulares. Los elementos deben tener el número adecuado de modos de desplazamiento de masa rígida. Modos adicionales de energía cero pueden causar inestabilidades y oscilaciones en los desplazamientos y los esfuerzos. No se deben emplear elementos triangulares ni tetraédricos de deformación constante debido a su falta de capacidad de representar los gradientes del esfuerzo. Los elementos triangulares de seis nodos y tetraédricos de diez nodos producen resultados excelentes.

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6. ELEMENTOS INCOMPATIBLES

ue

z

INTRODUCCIÓN

om

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

an

dr

o

Va

sq

En los primeros años del desarrollo del Método de Elemento Finito, los investigadores de los campos de la Matemática, la Ingeniería Estructural y la Mecánica Estructural, consideraban que la compatibilidad de desplazamientos desplazamiento entre elementos finitos era absolutamente obligatoria. Por lo tanto, cuando este jo por primera vez desplazamientos incompatibles en elementos autor introdujo finitos isoparamétricos rectangulares, en una conferencia del año 1971 [1], el método fue recibido con gran escepticismo por otros investigadores. Los c resultados tanto para los desplazamientos como para los esfuerzos de elementos rectangulares se aproximaban mucho a los resultados del elemento isoparamétrico de nueve nodos. Los dos crímenes teóricos que se habían cometido eran la violación de la compatibilidad de desplazamientos, y el hecho n o sse verificara el método con ejemplos que utilizaran elementos node que que no rectangulares ecta n gu [2]. Como consecuencia de estos crímenes, Bruce Irons introdujo la restricción de la prueba de “patch” o grupo, y se eliminó el requisito de compatibilidad de desplazamiento [3].

C

6.1

Ar

te

ag

a

Cua ndo se Introdujeron Elementos Incompa tibles en eel a ño1971, ell P rofesor de Ma temá tica s Str a ng de MIT Si Ha cen un Bien” decla r ó “ En Ber keley, Dos Ma les Si

En el año 1976 Taylor presentó un método para corregir el modo de desplazamientos incompatibles. Taylor proponía el empleo de un jacobiano constante durante la integración de los modos incompatibles de manera que los elementos de incompatibilidad pasaran la prueba de grupo [4]. Sin embargo, los resultados arrojados por el elemento isoparamétrico no-rectangular no fueron muy impresionantes.

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En el año 1986, Simo y Rifai introdujeron el método de la barra B para corregir las deformaciones producidas por desplazamientos incompatibles, logrando resultados excelentes para elementos no-rectangulares [5]. Desde ese momento, el empleo de elementos incompatibles de orden inferior reducía la necesidad de integración reducida y el empleo de elementos isoparamétricos de muy alto orden. Muchos de estos elementos nuevos, basados en modos corregidos de desplazamiento incompatible, están resumidos en este libro.

ag

a

ELEMENTOS CON CORTANTE FIJO

y

F

Va

F

sq

ue

z

Ar

te

Para muchas aplicaciones el elemento isoparamétrico sencillo de cuatro nodos no produce resultados precisos. Para ilustrar esta deficiencia, considere el elemento rectangular que se presenta en la Figura 6.1, que está sujeto a una carga de flexión pura.

a

a

ej

F

o dr σx

σy

Desplazamientos Compatibles del Elemento Finito

om

pr

ad

o

po

r:

Al

F

b b

an

x

C

6.2

τ yx

ux ≈ xy

uy = 0

Figura 6.1 Errores de Equilibrio Básico en un Elemento Plano de Cuatro Nodos

Es evidente que el elemento rectangular compatible de cuatro puntos produce errores significativos tanto en los desplazamientos como en los esfuerzos cuando está sujeto a gradientes sencillos de esfuerzo. Cortante fijo es el término empleado para describir el desarrollo de esfuerzos cortante cuando el elemento

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queda sujeto a flexión pura. Además del problema de esfuerzo cortante, se desarrolla un error en el esfuerzo vertical debido al efecto de la relación de Poisson. Los desplazamientos exactos, que permiten que el elemento satisfaga el equilibrio interno, tienen la siguiente forma: 2

2

 y x y u y c2 (1 −   ) + c3 (1 −   ) u x = c1 xy =  a  b

(6.1)

z

ADICIÓN DE MODOS INCOMPATIBLES

dr

o

Va

sq

ue

La motivación de la adición de modos de desplazamiento incompatible, de magnitud α j , es cancelar los esfuerzos asociados con los términos de error definidos en la Ecuación (6.1). Esto es, es, en términos del sistema de referencia s, las nuevas funciones de forma de desplazamiento para el elemento natural r-s, isoparamétrico de cuatro nodos son como sigue:

an

4

ej

u x = ∑ N i u xi + α 1 (1 − r 2 ) + α 2 (1 − s2 )

Al

i =1 4

i =1

2

(6.2)

2

po

r:

u y = ∑ N i u xy + α 3 (1 − r ) + α 4 (1 − s )

pr

ad

o

Por lo tanto, la ecuación deformación-desplazamiento para un elemento deformación incompatible se podría expresar como sigue:

om

d = [BC

C

6.3

Ar

te

ag

a

Estos desplazamientos permiten que la deformación cortante sea cero en todos los puntos dentro del elemento. También, mbién, el eje neutral debe moverse verticalmente,, reduciendo así a cero los esfuerzos verticales.

u  BI ]   α 

(6.3)

[

Si permitimos que d T = ε x

ε y γ xy ] y f T = [σ x σ y τ xy ] , la energía de

deformación dentro del elemento incompatible viene dada por: W=

1 T 1 T 1 T f d dV = f B C u dV + f B I α dV 2 2 2

∫

∫

∫

(6.4)

Para pasar la prueba de grupo, la energía de deformación asociada con los modos incompatibles debe ser cero para un estado de esfuerzo constante del elemento.

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Por lo tanto, para un estado de esfuerzo constante, se debe satisfacer la siguiente ecuación: 1 T f B I α dV = 0 ó 2

∫

∫B

I

dV = 0

(6.5)

Esto se puede satisfacer si agregamos una matriz de corrección constante BI C a la matriz BI , para formar una nueva matriz de deformación-desplazamiento, = BI BI + BI C , de manera que se satisfaga la siguiente ecuación:

∫

+ BI C ) dV = 0 ó, BI dV + V BI C = 0

a

I

ag

∫ (B

(6.6)

V

∫B

dV

I

ue

1

(6.7)

sq

BI C= −

z

Ar

te

El volumen del elemento es V. Por lo tanto, la matrizz de corrección puede calcularse así:

po

r:

FORMACIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DEL ELEMENTO

pr

ad

o

En la minimización de la energía potencial, las fuerzas asociadas con los modos α de desplazamiento incompatible son cero. Por eso las ecuaciones de equilibrio del elemento se expresan así:

om

f c  k CCCC  0 = k    IC

C

6.4

Al

ej

an

dr

o

Va

Esto constituye un enfoque muy general, que se puede utilizar para agregar cualquier número de modos de desplazamiento incompatible, o patrones de deformación,, a todo tipo de elementos elementos isoparamétricos. isoparamétrico iso paramétrico Se debe emplear la misma fórmula de integración numérica para evaluar la Ecuación (6.7) ya que se emplea para calcular la matriz de rigidez del elemento.

k CI   u  k I I  α 

(6.8)

Las submatrices individuales dentro de la matriz de rigidez del elemento se expresan como sigue:

∫

k CC = BCT E B dV

∫

C

k CI = BCT E B dV I

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(6.9a) (6.9b)

∫

k I C = BIT E B dV

(6.9c)

C

∫

k I I = BIT E B dV

(6.9d)

I

Utilizando la condensación estática [6], se eliminan los modos de desplazamientos incompatibles antes del ensamblaje de las matrices de rigidez del elemento. Entonces: (6.10)

ag

Por tanto, la matriz de rigidez del elemento se expresa así:

a

fC = k C u

(6.11)

Ar

te

= k C k CC − k CI k I−I1 k I C

an

ELEMENTOS BIDIMENSIONALES DIMENSIONALES INCOMPATIBLES

o

po

r:

Al

ej

La adición de las funciones de forma incompatibles, (1 − s 2 ) y (1 − r 2 ) , a aproximaciones de desplazamiento u x y u y es muy efectiva para elementos rectangulares planos. lanoss.. Por lo tanto, para cuadriláteros de forma arbitraria, se ha lano determinado que la siguiente aproximación de desplazamiento es efectiva: 6

i =1

i =5

4

6

i =1

i =5

ad

4

om

pr

u x = ∑ N i u xi + ∑ N i α xi

C

6.5

dr

o

Va

sq

ue

z

Simbólicamente,, la Ecuación (6.11) es correcta; sin embargo, embargo, se debe señalar que la inversión de la matriz y la multiplicación matricial no se emplean en el algoritmo de condensación estática según se presenta en la Sección 4.5 para la modificación de la rigidez del elemento de pórtico debido a las liberacione liberaciones del momento en los extremos.

u y = ∑ N i u xy + ∑ N i α yi

(6.12)

Las funciones de forma incompatibles son:

N = 1− r 2 5 N = 1 − s2 6

(6.13)

Los cuatro modos incompatibles aumentan el tiempo de computación que se requiere para formar la matriz de rigidez del elemento; sin embargo, la mejoría en precisión justifica los cálculos adicionales.

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EJEMPLO USANDO DESPLAZAMIENTOS INCOMPATIBLES

sq

ue

z

Ar

te

ag

a

Para ilustrar la precisión de los elementos tanto compatibles como incompatibles en dos dimensiones, se analiza la viga en voladizo indicada en la Figura 6.2 asumiendo un momento y fuerzas concentradas que actúan en el extremo libre.

Va

F igura 6.2 Viga Modelada con M Malla a lla Distorsionada Di

ej

an

dr

o

Un estudio para determinar la influencia de las formas puede llevarse a cabo presenta un resumen de empleando diferentes factores de distorsión. distorsión. La Tabla 6.1 presen los resultados.

Al

Tabla 6.1 Resultados del Análisis l i s i s de d e la Viga en Voladizo

ad

pr

Número de Modos Incompatibles

om

Factor “a” De Distorsión la Malla

o

po

r:

MOMENTO APLICADO AL EXTREMO LIBRE

EXACTO EXACTO 0 0 1 2

C

6.6

0 4 4 4

Desplazamiento Normalizado del Extremo Libre

1.000 0.280 1.000 0.658 0.608

Esfuerzo Tensorial Máximo Normalizado en el Soporte

1.000 0.299 1.000 0.638 0.657

CORTANTE EN EL EXTREMO LIBRE

Desplazamiento Normalizado del Extremo Libre

1.000 0.280 0.932 0.706 0.688

Esfuerzo Tensorial Máximo Normalizado en el Soporte

1.000 0.149 0.750 0.600 0.614

Es evidente que el elemento clásico isoparamétrico compatible, rectangular de cuatro nodos, sin modos incompatibles, produce resultados muy pobres. El empleo de este elemento clásico puede producir errores significativos que presenten consecuencias prácticas serias desde el punto de vista de la ingeniería.

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Se nota que los esfuerzos podrían ser menores del 20 por ciento del valor correcto.

ag

a

La adición de cuatro funciones de forma parabólica produce los valores exactos de desplazamientos y esfuerzos para elementos rectangulares resultantes de la carga por momento constante. Sin embargo, debido a la carga de cortante en el extremo, el esfuerzo máximo tiene un error de un 25 por ciento. Además, a medida que se vaya distorsionando el elemento, se reduce la precisión de los desplazamientos y de los esfuerzos en un 30 a 40 por ciento.

Va

ELEMENTOS TRIDIMENSIONALES DIMENSIONALES INCOMPATIBLES

8

r:

Al

ej

an

dr

o

El elemento clásico de desplazamiento compatible hexaédrico de ocho nodos posee el mismo problema de esfuerzo cortante fijo que el elemento clásico de cuatro nodos plano. La adición de nueve funciones de forma incompatible se ha demostrado efectiva para elementos hexaédricos tridimensionales de ocho nodos. Así: 11

po

u x = ∑ N i u xi + ∑ N i axi 9

8

11

i =1

9

8

11

i =1

9

ad

o

i =1

om

pr

u y = ∑ N i u yi + ∑ N i ayi

C

6.7

sq

ue

z

Ar

te

También se debe notar que todos los elementos pasan la prueba de grupo y convergen a la solución exacta, a medida que se vaya refinando la malla. Parece que los elementos cuadrilaterales planos,, con ocho modos de desp desplazamiento incompatible, convergen más rápido que los elementos de orden inferior.

(6.14)

u z = ∑ N i u xi + ∑ N i ayi

Las tres funciones adicionales de forma incompatible son:

N 9 = 1− r 2 1 − s2 N= 10 1− t N= 11

2

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(6.15)

La fórmula de integración 2 por 2 por 2 anteriormente presentada para elementos isoparamétricos tridimensionales ha demostrado ser efectiva para el elemento hexaédrico de ocho nodos con nueve modos adicionales incompatibles.

6.8

RESUMEN

Ar

te

ag

a

Debido al grave problema asociado con el esfuerzo cortante fijo, los elementos clásicos hexaédricos compatibles de ocho nodos y cuadrilaterales de cuatro nodos no deben ser utilizados para simular el comportamiento de estructuras reales. Se ha demostrado que la adición de modos de desplazamientoss incompatibles, corregidos para que pasen la prueba de grupo, mejora de manera significativa el hexaédricos. comportamiento de los elementos isoparamétricos cuadrilaterales y hexaédr

ej

an

REFERENCIAS

Wilson, E. L., R. L. Taylor, W. P. Doherty y J. Ghaboussi. 1973. “Incompatible Displacement Models,” Proceedings, ONR Symposium on Numerical and Computer Method in Structural Mechanics. Mechanics Universityy of Illinois, Urbana. Septiembre. 1971. Publicado además en Numerical and Computational Mechanics (ed. S. T. Fenves). Academic Press.

2.

Strang, G. 1972. “Variational Crimes in the Finite Element El Method,” en The Mathematical Foundations of the Finite Element Method. Method pp.689-710 (ed. A. K. Aziz). Academic Press.

3.

Irons, B. M., y A. Razzaque. 1972. “Experience with the Patch Test,” en The Mathematical Foundations of the Finite Element Method. pp. 557-87 (ed. A. K. Aziz). Academic Press.

4.

Taylor, R. L., P. J. Beresford y E. L. Wilson. 1976. “A NonConforming Element for Stress Analysis,” Int. J. Num. Meth. Eng. pp. 1211-20.

om

pr

ad

o

po

r:

Al

1.

C

6.9

dr

o

Va

sq

ue

z

Los elementos hexaédricos de 27 nodos y cuadrilaterales de nueve nodos son precisos, y pueden ser mejorados agregando modos incompatibles corregidos. Por ejemplo, se pueden agregar modos cúbicos al elemento de nueve nodos plano, con el cual se pueden calcular los resultados exactos, para la carga cortante en el extremo, utilizando sólo un elemento para modelar una viga en voladizo [7].

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Simo, J. C., y M. S. Rafai. 1990. “A Class of Assumed Strain Method and Incompatible Modes,” J. Numerical Methods in Engineering. Vol. 29. pp. 1595-1638.

6.

Wilson, E. L. 1974. “The Static Condensation Algorithm,” Int. J. Num. Meth. Eng. Vol. 8. pp. 199-203.

7.

Wilson, E. L. y A. Ibrahimbegovic. 1990. “Use of Incompatible Displacement Modes for the Calculation of Element Stiffnesses and Stresses,” Finite Elements in Analysis and Design. Vol. 7. pp. 229 229241.

C

om

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

an

dr

o

Va

sq

ue

z

Ar

te

ag

a

5.

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7. CONDICIONES DE FRONTERA Y RESTRICCIONES GENERALES

z

INTRODUCCIÓN

an

dr

o

Va

sq

ue

Los principios fundamentales del análisis análisis y la mecánica estructurales aplicados al análisiss estático lineal han sido resumidos en los primeros pri capítulos de este libro. Sin embargo, falta presentar técnicas adicionales de computación y modelado que se emplean para solucionar problemas especiales.

om

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

Se ha establecido que el método de desplazamiento, desplazamiento donde los desplazamientos y las rotaciones de las uniones son los términos desconocidos, genera un sistema de ecuaciones de equilibrio de los nodos. nodos Se solucionan estructuras tanto estáticamente determinadas como estáticamente indeterminadas a través del método de desplazamiento. La matriz de rigidez global es la suma de las matrices de rigidez del elemento, y puede ser formada con respecto a todos los posibles grados de libertad de desplazamientos desplazamient del nodo. El número mínimo de soportes que se requieren para lograr un sistema estable es el número que evita el movimiento de la masa rígida de la estructura.

C

7.1

Ar

te

ag

a

La Especifica ción de Despla za mientos de Nodos Conocidos Reduce el Número de Ecua ciones a Soluciona r

Existen varias razones por las cuales no se utiliza el método de desplazamiento general para los cálculos no computarizados. Para la mayoría de los problemas, se requiere la solución de un número elevado de ecuaciones. Asimismo, para evitar problemas numéricos, se requiere de un número elevado de cifras significativas, si se incluyen deformaciones tanto axiales como de flexión en el análisis de estructuras de pórtico. Se nota que los dos métodos tradicionales de análisis de desplazamiento, el de

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distribución del momento y de curvatura-deflexión, implican sólo momentos y rotaciones. Cuando se aplican estos métodos tradicionales de desplazamiento a estructuras más generales de tipo pórtico, es necesario fijar en cero las deformaciones axiales, lo que, en términos modernos, constituye la aplicación de la restricción de un desplazamiento. de de de de

z

CONDICIONES DE FRONTERA DE DESPLAZAMIENTOS Z A M IE N

dr

o

Va

sq

ue

Una de las ventajas más importantes del método de frontera es la facilidad de especificar las condiciones de frontera de desplazamiento. Considere el siguiente grupo de N ecuaciones de equilibrio formadas incluyendo los desplazamientos asociados con los soportes:

ej

an

K u = R ó, en notación de subíndice

N

K ij u ∑ j =1

j

Ri i = 1,...N =

(7.1)

u ∑ K=

om

N

j

u ∑ K=

=j n +1

ij

Ri − K in= u n i 1,...n − 1

pr

ij

j =1

ad

n −1

o

po

r:

Al

Si se conoce y se especifica un desplazamiento particular un , se desconoce la correspondiente carga, o reacc reacción Rn . Por lo tanto las ecuaciones de equilibrio N-1 se expresan de la siguiente manera:

C

7.2

Ar

te

ag

a

Se ha demostrado que para el desarrollo de matrices de rigidez elementos finitos, es necesario introducir funciones de forma desplazamiento aproximado. Basándose en las mismas funciones forma, es posible elaborar restricciones entre diferentes mallas elementos finitos finas y burdas en dos y tres dimensiones.

j

ó, K u = R

(7.2)

Ri − K in u n = i n + 1,...N

Esta modificación sencilla de las matrices de rigidez y carga se aplica a cada desplazamiento especificado, descartándose la n-ésima fila y la nésima columna. Para un soporte fijo, donde el desplazamiento es cero, no se modifican los vectores de carga. Estas modificaciones, resultado de desplazamientos aplicados, pueden ser aplicadas a nivel del elemento, antes de la formación de la matriz de rigidez global. Después de haberse calculado todos los desplazamientos, la carga asociada con los

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desplazamientos especificados podrá ser computada en base a la ecuación de equilibrio descartada. Se puede utilizar este mismo enfoque básico en el caso de que se especifiquen los desplazamientos como función del tiempo.

te

PROBLEMAS NUMÉRICOS EN EL ANÁLISIS SE ESTRUCTURAL STR

Al

ej

an

dr

o

Va

sq

ue

z

Ar

Muchos ingenieros utilizan valores elevados para las propiedades de elementos cuando modelan partes rígidas de estructuras. Esto puede provocar errores grandes en los resultados de prob problemas de análisis estático y dinámico. En el caso del análisis nno-lineal, la práctica de usar cifras elevadas no realistas puede provocar una lenta convergencia y producir períodos largos de ejecución por computadora. Por lo tanto, el objetivo de esta sección es explicar las razones físicas de estos problemas ar algunas pautas para la selección de propiedades para elementos y presentar rígidos.

om

pr

ad

o

po

r:

No existen en estructuras reales elementos con rigide rigidez infinita ni soportes rígidos. Solamente podemos decir que un elemento, o un soporte, es rígido en relación a otras partes de la estructura. En muchos casos la rigidez relativa de lo que llamamos un elemento rígido es 10 a 1,000 veces la rigidez de los elementos flexibles adyacentes. El empleo de estos valores realistas normalmente no causará problemas numéricos en el análisis del modelo computarizado de una estructura. Sin embargo, si se uutiliza un valor relativo de 1020, puede que la solución no sea posible, por lo que se conoce como errores de truncamiento.

C

7.3

ag

a

Debe ser evidente que no es posible especificar tanto un como Rn en el mismo grado de libertad. Se puede diseñar una estructura de manera que una carga especificada produzca un desplazamiento específico; por lo tanto, esto constituye un problema de diseño estructural y no un problema de análisis estructural.

Para ilustrar dichos errores de truncamiento, considere el modelo sencillo de tres elementos que se presenta en la Figura 7.1

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k

k

K u1 , F1

u 2 , F2

Figura 7.1 Ejemplo para Ilustrar Problemas Numéricos

Las ecuaciones de equilibrio para esta estructura simple, escritas en forma matricial, son las siguientes: (7.3)

te

ag

a

K + k − K   u1   F1   − K K + k  u  =  F    2   2 

po

r:

Al

ej

an

dr

o

Va

sq

ue

z

Ar

La mayoría de los programas de análisis sis estructural están escritos en doble precisión, y los términos de rigidez tienen aproximadamente 15 cifras de 308 significativas, pudiendo ubicarse en el rango de 10--308 a 10+308. Por lo tanto, si el elemento de rigidez tiene una rigidez de K=1020 k, el término K+k está truncado para K y las ecuaciones de equilibrio son singulares y no pueden ser solucionadas. Si K=1012 k, se pierden aproximadamente 12 cifras de importancia, y la solución es correcta hasta aproximadame aproximadamente tres cifras significativas. Los solucionadores cionadores de ecuaciones que se usan en los programas de análisis estructural bien redactados redactado a veces pueden detectar este tipo de error y advertirle al usuario. Sin embargo, para sistemas grandes, este tipo de error puede ser acumulativo, y no siempre ees detectado por el programa grama gr ama de computadora.

C

om

pr

ad

o

Se puede evitar este problema utilizando valores realistas de rigidez, o mediante el uso de restricciones en lugar de elementos muy rígidos. Esta es una de las razones por las cuales muchas veces se emplea la restricción de diafragma de piso rígido en la solución de edificios de pisos múltiples, porque la rigidez en el plano del sistema de piso es muchas veces mayor por varios órdenes de magnitud que la rigidez de flexión de las columnas que conectan las losas rígidas del piso. En el análisis dinámico no-lineal, muchas veces se emplea la iteración para satisfacer el equilibrio al final de cada paso de tiempo. Si los elementos sufren un cambio grande de rigidez durante el paso de tiempo, la solución puede oscilar alrededor de la solución convergida para iteraciones alternas. Para evitar este problema de convergencia, es

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necesario seleccionar valores realistas de rigidez; o se pueden activar y desactivar restricciones de desplazamiento durante la solución incremental. TEORÍA GENERAL ASOCIADA A LAS RESTRICCIONES

ux2 , uy2, uθ 2

sq

ux1, uy1, uθ1

ue

z

Ar

te

ag

a

Los ingenieros estructurales han utilizado restricciones de desplazamiento en el análisis estructural durante más de un siglo. Por ejemplo, el pórtico de marco rígido bidimensional dimensional que se presenta en la Figura 77.2 posee seis grados de libertad (GDL) de desplazamiento. Por lo tanto existe la posibilidad de tener seis cargas nodales independientes.

Rx2, Ry2 , Rθ 2

Rx1, Rθ1, Rθ 2

dr

2

APLICACIÓN DE APLICACI

1

2

an

1

o

Va

Rx1, Ry1, Rθ1

ux1, uθ1, uθ 2

3 GDL

ad

o

po

r:

Al

ej

3 RESTRICCIONES

6 GDL

om

pr

F igura r a 77.2 .2 Empleo E de Restricciones de Desplazamiento en el Análisis de un Pórtico.

Cuando se usan los cálculos manua manuales y el método de curvatura-deflexión, es una práctica común descuidar las deformaciones axiales dentro de los tres elementos o miembros del pórtico de marco rígido. En notación matemática, estas tres ecuaciones de restricción pueden expresarse de la siguiente manera:

C

7.4

u y1 = 0 uy2 = 0 u x 2 = u x1

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(7.4)

Como producto de estas restricciones, hay que suponer la siguiente carga: Ry1 = 0

(7.5)

Ry 2 = 0 = Rx1 Rx1 + Rx 2

a

Se deben notar las similitudes entre las condiciones de compatibilidad de desplazamiento, Ecuación (7.4), y los requisitos de equilibrio de fuerza, Ecuación (7.5).

te

ag

Basándose en este ejemplo sencillo, se pueden emitir las siguientes observaciones en sentido general:

ej

an

dr

o

Va

sq

ue

z

Ar

1. La aplicación de una ecuación de restricción debe ser justificada por omportamiento estructural. En este caso, una comprensión física del comportamiento podemos decir que las deformaciones axiales son pequeñas en comparación con la deformación lateral u x1 . También, las deformaciones axiales en las columnas no causan fuerzas importantes de flexión dentro de los demás más elementos de la estructura. Además, no se pueden aplicar cargas verticales que puedan causar desplazamientos horizontales en la estructura real.

po

r:

Al

2. En sentido general, por cada aplicación de una ecuación de restricción, se elimina un gradoo de libertad global de desplazamiento del nodo.

C

om

pr

ad

o

3. La asociación de la fuerza con cada deformación axial, que haya sido pue fijada en cero, no puede ser calculada directamente. Ya que la deformación axial ha sido fijada en cero, un programa de computadora produ basado en un método de desplazamiento producirá una fuerza axial de cero. Esta aproximación podría tener consecuencias serias si el programa de computadora realiza “revisiones automáticas del código de diseño.” 4. Las ecuaciones de restricción deben ser aplicadas a nivel de la rigidez del elemento, antes de agregar matrices de rigidez del elemento a las ecuaciones de equilibrio global de los nodos.

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RESTRICCIONES SOBRE EL DIAFRAGMA DEL PISO

a

Muchos programas de computadora para el análisis estructural automatizado utilizan opciones de restricción amo-esclavo. Sin embargo, en muchos casos el manual del usuario no define con claridad las ecuaciones matemáticas de restricción que se utilizan dentro del programa. Para ilustrar las diferentes formas que puede tomar esta opción de restricción, consideremos el sistema de diafragma de piso que se presenta en la Figura 7.3.

ue

z

Ar

te

ag

Al diafragma, o el sistema físico de piso en la estructura real, se puede conectar cualquier número de columnas y vigas. En el terminal de cada embro, a nivel del diafragma, existen seis grados de libertad liber elemento o miembro, dimensional antes de la introducción de las para una estructura tridimensional restricciones. (i) z

uθ

o

dr

an

u ((iyi )

Al

u

(i ) x

(i ) θx

u

(m) θz

u

u (ym )

u θ( i x)

u x( m )

ad

o

po

m

x(i)

(i) u z(i ) u θ y

r:

y(i)

(i) y

uθ

ej

u z(i )

Va

sq

u θ( i z) ?

om

pr

A. Nodo Típico “I” en Sistema de Piso en Plano x x-y

B. Restricciones amo-esclavo

Figura 7.3 Aproximación de Diafragma Rígido

C

7.5

Mediciones de campo han verificado para un número elevado de estructuras de tipo edificio, que las deformaciones en el plano en sistemas de piso son pequeñas en comparación con los desplazamientos horizontales entre pisos. Asimismo, se ha convertido en práctica común asumir que el movimiento en el plano de todos los puntos en el diafragma de piso se mueven como una masa rígida. Por lo tanto, los desplazamientos en-el-plano del diafragma pueden expresarse en términos

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) de dos desplazamientos, u (xm) y u (m y , y una rotación alrededor del eje-z,

u (zmθ ) .

ag

a

En el caso de la carga estática, la ubicación del nodo maestro (m) puede ser en cualquier punto en el diafragma. Sin embargo, para el caso de cargas sísmicas dinámicas, el nodo maestro debe ser ubicado en el centro de masa de cada piso si se usa una matriz de masa diagonal. El programa SAP2000 calcula automáticamente la ubicación del nodo maestro en base al centro de masa de los nodos de restricción.

z

Ar

te

Como resultado de esta aproximación de diafragma rígido, se deben satisfacer las siguientes ecuaciones de compatibilidad para llos nodos conectadas al diafragma:

ue

= u(xi ) u(xm) − y ( i ) uθ( mz)

(7.6)

Va

sq

= u(yi ) u(ym) + x ( i ) uθ( mz)

o

La rotación uθ( iz) puede o no estar sujeta a la rotación dde la masa rígida del

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

an

dr

diafragma. Esta decisión debe estar basada en la manera en que físicamente están conectadas las vigas y columnas al sistema de piso. En el caso de una estructura de acero, el diseñador estructural podrá especificar que la losa del piso sea liberada cerca de la unión, lo que permitiría que el nodo rotara independientemente del diafragma. Por otro lado, en el caso de una estructura de concreto vaciado in situ, donde las vigas y las columnas forman parte intríns intrínseca del sistema de piso, se debe satisfacer la siguiente restricción adicional:

om

uθ( iz) = uθ( mz )

(7.7)

C

O en notación matricial, la transformación del desplazamiento es: u(xi )  1 0 − y ( i )  u(xm)   (i )   ( i )   ( m)  (i ) ( i ) ( m) u y  = 0 1 x  u y  ó, u = T u uθ( iz)  0 0 uθ( iz)  uθ( mz)      

(7.8)

Si se eliminan los desplazamientos mediante la aplicación de ecuaciones de restricción, las cargas asociadas con dichos desplazamientos también deben ser transformadas al nodo maestro. Por simple estática, las cargas

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aplicadas en la unión “i” pueden ser trasladadas al nodo maestro “m” mediante las siguientes ecuaciones de equilibrio: Rx( mi ) = Rx( i ) R(ymi ) = R(yi ) ( mi ) = θz

R

(i ) θz

(7.9) (i )

(i )

(i )

(i )

R − y Rx + x Ry

0  Rx( i )  T   0  R(yi )  ó, R ( mi ) = T ( i ) R ( i ) 1 Rθ( iz) 

(i )

(7.10)

te

x

ag

0 1

Ar

Rx( mi )   1  ( mi )   Ry  =  0 Rθ( miz )  − y ( i )   

a

O en forma matricial, la transformación de la carga es:

sq

ue

z

De nuevo, se nota que la matriz de transformación de la fuerza es la transpuesta de la matriz de transformación del desplazamiento. desplazam

∑i

∑

o

Va

La totalidad de la carga aplicada en el punto maestro será la suma de los aportes de todos los nodos esclavos. Esto es: es T

an

dr

R ( m) = R ( mi ) = T (i ) R (i )

(7.11)

C

om

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

Ahora vamos a considerar una columna vertical conectada entre la union i a nivel m y la unión j a nivel m+1, como se indica en la Figura 7.4. Se debe notar que la ubicación del nodo maestro puede ser diferente para cada nivel.

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y

uθ y

uz

uθ x

x( j)

GDL en i y j

uy ux

x

y (i ) i

(i)

a

m+1

uθ z

( j)

uθ z

j

ag

m

ue

z

Ar

te

GDL en m y m+1

sq

Figura 7.4 Columna Conectada entre Diafragmas Horizontales

C

0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

r:

Al

ej

0 − y (i ) 0 x (i ) 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

po

0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

o

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

ad

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

pr

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

om

 u (xi )   1  (i )   u y  0 u(i )  0  (zi )    uθx   0 u(i )  0  θ( iy)    uθz   0  (j)  =  u x   0 u (yj )  0  (j)   u z   0 u ( j )   0  θ( jx)   uθy  0 u ( j )  0  θz  

an

dr

o

Va

Por la Ecuación (7.6) es evidente que la matriz de transformación de desplazamiento para la columna viene dada por: 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

 u (xm)    0   u (ym)   0   u (zi )    0   uθ( ix)   0   uθ( iy)    0   uθ( iz)    0   uθ( mz)  (7.12)  − y ( j )  u (xm+1)    x ( j )  u (ym+1)   0   u (zi )    0   uθ( ix)   0   uθ( iy)    0   uθ( iz)   ( m+1)  uθz 

O en forma simbólica: d = Bu

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(7.13)

La matriz de transformación del desplazamiento es 12 por 14 si las rotaciones se retienen como desplazamientos independientes. La nueva matriz de rigidez 14 por 14, con respecto a los sistemas de referencia amo y esclavo a ambos niveles, se expresa así: (7.14)

K = BT k B

Ar

te

ag

a

donde k es la matriz inicial de rigidez global 12 por 12 para la columna. Note que la multiplicación de la matriz formal, sugerida por la Ecuación (7.14), no necesariamente tiene que ser hecha mediante un programa de computadora. Operaciones sencillas de matriz reducen el esfuerzo numérico de manera significativa.

Va

sq

ue

z

En el caso de una viga a un nivel de diafragma, la deformación axial será fijada en cero por las restricciones,, y la matriz de rigidez 8 por 8 que resulta será en referencia a seis rotaciones y dos desplazamientos verticales. Por lo tanto, la fuerza en el elemento de la viga será cero.

dr

o

RESTRICCIONES RÍGIDAS AS

po

r:

Al

ej

an

Existen varios tipos diferentes de coacciones que requieren que desplazamientos en un punto estén relacionados a desplazamientos en otro punto. La Figura 7.5 presenta la forma más general de una restricción rígida tridimensional. dimensional.

ad

o

uθ( jz)

pr om C

7.6

u z( j )

u (y j )

j

u x( j )

z

uθ(iz)

y

u x

(i ) z

i

uθ(i y) u

uθ( jy)

m

(i ) y

u x(i )

uθ(ix)

Figura 7.5 Restricciones de Masa Rígida

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uθ( jx)

Los puntos i, j y m son todos puntos en una masa que se puede considerar que se mueve con seis desplazamientos de masa rígida. Cualquier punto en el espacio puede considerarse como el nodo maestro para fines de carga estática; sin embargo, para el análisis dinámico, el nodo maestro debe ubicarse en el centro de la masa si se desea restringir nuestra formulación a una matriz de masa diagonal.

ag

a

Es evidente por las ecuaciones fundamentales de geometría que todos los puntos conectados a la masa rígida están relacionadoss a los desplazamientos del nodo maestro a través de las siguientes ecuaciones:

te

= u x(i ) u x(m) + ( z(i ) − z(m) ) uθ(my) − ( y (i ) − y (m) ) uθ(mz)

z

(7.15)

sq

uθ( ix) = uθ( mx)

ue

= u (zi ) u (zm) + ( y (i ) − y (m) ) uθ(mx) − ( x (i ) − x (m) ) uθ(my)

Ar

= u (yi ) u (ym) − ( z(i ) − z(m) ) uθ(mx) + ( x (i ) − x (m) ) uθ(mz)

Va

uθ( iy) = uθ( my)

dr

o

uθ( iz) = uθ( mz)

Al

ej

an

Las ecuaciones de restricción para el punto j son idénticas a la Ecuación de matriz (7.15) sustituyendo i por j.

po

r:

USO DE RESTRICCIONES CIIONES EN EL ANÁLISIS DE VIGA- LOSA C

om

pr

ad

o

Como ejemplo que ilustra el uso práctico de una restricción rígida tridimensional, viga se presenta el sistema de viga-losa indicada en la Figura 7.6.

C

7.7

i

j

Figura 7.6 Conexión de Viga a Losa a través de Restricciones

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dr

o

Va

USO DE RESTRICCIONES EN EL LA ANÁLISIS NÁ DE MUROS DE CORTANTE

om

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

an

Otra área donde el uso de restricciones ha sido útil es en el análisis de muros de cortante de concreto con aperturas. aperturas Considere el muro de cortante bidimensional que se indica en la Figura 7.7a. 7.

C

7.8

sq

ue

z

Ar

te

ag

a

Es realista emplear elementos de cáscara de cuatro nodos para modelar la losa, y elementos de viga de dos nodos para modelar la viga. Ambos elementos tienen seis GDL por nodo. Sin embargo, no existen nodos comunes en el espacio para conectar directamente los dos tipos de elementos. Por lo tanto, es lógico conectar el nodo i, en el punto medio de la superficie de la losa, con el punto j en el eje neutro de la viga con una restricción rígida. Si se ejecutan estas restricciones en los nodos de la cáscara a lo largo del eje de la viga, eso permitirá la interacción natural de los dos tipos de elementos. Además de reducir el número de incógnitas, evita el problema de seleccionar un ancho efectivo de la losa. También, permite la modelación realista de vigas no-prismáticas, prismáticas, donde el eje neutro no recorre una línea recta. Para mantener la compatibilida compatibilidad entre la viga y la losa, podría ser necesario aplicar la restricción de masa rígida a varias secciones a lo largo del eje de la viga.

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B. MODELO DE ELEMENTO FINITO

A. MURO DE CORTANTE CON CARGAS

a

COLUMNAS

ag

VIGAS

3 GDL POR ZONA RÍGIDA

Va

sq

ue

z

Ar

te

ZONAS RÍGIDAS

C. DEFINIR VIGAS Y COLUMNAS

o

D. MODELO VIGA VIGA-COLUMNA

dr

Figura 7.7 Modelo Viga-Columna de un Muro de Cortante

o

po

r:

Al

ej

an

Muchos ingenieros creen que la creación de una malla de elemento finito bidimensional, dimensional, tal como se indica en la Figura 7.7b, representa el mejor enfoque para evaluar los desplazamientos y los esfuerzos dentro de del muro de cortante. A juicio del autor de este libro, dicho enfoque no sería el mejor por las siguientes razones:

C

om

pr

ad

1. Tal como se indicó indicó arriba, el uso de elementos planos de cuatro nodos para el análisis de pórtico no crea un modelo preciso de flexión lineal. La aproximación del esfuerzo cortante constante dentro de cada elemento dificulta la captación de la distribución parabólica del cortante que existe en el elemento clásico de pórtico. 2. Si se usa una malla muy fina, la solución del elemento finito lineal producirá esfuerzos casi infinitos en las esquinas de las aperturas. Ya que la filosofía básica del diseño de concreto reforzado está basada en secciones agrietadas, no es posible utilizar los resultados del elemento finito directamente para el diseño.

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3. Usando el sentido común y una comprensión física del comportamiento de la estructura, es posible utilizar elementos de pórtico para crear un modelo muy sencillo que represente con precisión el comportamiento de la estructura, y que directamente produzca resultados que puedan ser aprovechados para diseñar los elementos de concreto.

ue

z

Ar

te

ag

a

La Figura 7.7c ilustra la manera en que se reduce el muro de corte a un modelo de elemento de pórtico interconectado con brazos rígidos. Primero las columnas son definidas identificando las regiones de la estructura que tengan dos lados verticales libres de esfuerzo. La longitud de cada viga y columna debe ser aumentada en un 20 por ciento aproximadamente del de peralte del elemento para permitir deformaciones eformaciones cerca de los extremos de los elementos. Se supone que lass demás áreas de la estructura son rígidas en el plano.

USO DE RESTRICCIONES ESTRIC PARA TRANSICIONES DE MALLA

om

pr

ad

o

Es un hecho que los elementos rectangulares son más precisos que los elementos cuadrilaterales arbitrarios. También, los prismas regulares de ocho nodos son más preciso precisos que los elementos hexaédricos de forma arbitraria. Por lo tanto, existe un motivo para emplean coacciones para conectar una malla fina con una malla burda.

C

7.9

po

r:

Al

ej

an

dr

o

Va

sq

En base a estas aproximaciones físicas, se elabora een modelo sencillo, que se presenta en la Figura 7.7d. Cada área rígida tendrá ttres GDL, dos traslaciones y dos rotaciones. Los extremos de los elementos del pórtico deben ser confinados para que se mueva muevan con estas áreas rígidas. Por lo tanto, este modelo tiene solamente 12 GDL. Se podrían necesitar nodos adicionales dentro de los elementos elementos de del pórtico para modelar de forma precisa cargas laterales. laterales.

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a ag te Ar z ue sq

dr

o

Va

Figura 7.8 Uso de Restricciones para Fusionar Diferentes Mallas de Elementos Finitos

Al

ej

an

Para ilustrar el uso de coacciones cciones para fusionar elementos de tamaños diferentes, vamos a considerar tridimensional que se nsiderar el elemento finito tri presenta en la Figura 7.8.

C

om

pr

ad

o

po

r:

El método más fácil para generar la malla que se presenta en la Figura 7.8 es emplear sistemas de numeración completamente diferentes para genera generar las áreas de mallas mallas fina finass y burdas del modelo de elemento finito. Las dos secciones luego pueden ser conectadas a través de coacciones de desplazamiento. Para satisfacer la compatibilidad, es necesario que la malla fina n a ssea ea coaccionada a la malla burda . Por lo tanto, las funciones de forma de la superficie del malla burda deben ser utilizadas para evaluar fina. En este caso, los 36 GDL los desplazamientos en los nodos de malla fin de los 12 nodos de la malla fina, del 21 al 32, están relacionados a los desplazamientos en los nodos 13 a 16 mediante 36 ecuaciones de la siguiente forma: = u c N 13u13 + N 14u14 + N 15u15 + N 16u16

(7.16)

La ecuación se aplica a los desplazamientos x, y y z en los 12 puntos. Las funciones de forma bilineal, Ni , son evaluadas en las coordenadas

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naturales de los 12 puntos. Por ejemplo, las coordenadas naturales para el nodo 25 son r = 0 y s= 1/3. Es evidente que estas transformaciones de desplazamiento pueden ser formadas automáticamente y aplicadas dentro de un programa de computadora. Se ha utilizado este enfoque en programas de computadora que utilizan un refinamiento de malla adaptativo.

ag

a

MULTIPLICADORES LAGRANGE Y FUNCIONES DE PENALIDAD

Va

sq

ue

z

Ar

te

En la mecánica de masas rígidas, el enfoque clásico para especificar las coacciones de desplazamiento azamiento implica el uso de mul multiplicadores de Lagrange. Un enfoque más reciente que se utiliza en la mecánica computarizada es el empleo de funciones de penalidad, dentro de la formulación de variación del problema, para hacer cumplir las condiciones de restricción.

an

dr

o

Se puede explicar el método de penalidad utilizando un sencillo enfoque físico donde la restricción sea enfatizada usando un elemento semirígido. Para ilustrar este enfoque se puede examinar la E Ecuación (7.17):

Al

ej

N13u13 + N14u14 + N15u15 + N16u16 − uc = 0 ≈ e ó, e = Bcu

(7.17)

om

pr

ad

o

po

r:

Se puede expresar una ecuación de esta forma para todos los grados de libertad en el nodo de coacción. La matriz de transformación de desplazamiento B c es una matriz 1 por 5 por cada restricción de desplazamiento. Para que se satisfaga la ecuación de restricción, el error e debe ser cero, o un número muy pequeño en comparación con los demás ddesplazamientos esplazamientos en la ecuación. Esto se logra asignando una rigidez elevada kc , o término de penalidad, al error en la ecuación de coacción. Por lo tanto, la fuerza asociada con la coacción es f c = kce y se puede expresar como sigue la matriz de rigidez del elemento de coacción 5 por 5:

C

7.10

k c = BTc kcB c

(7.18)

A medida que se aumente el valor de kc , se reduce el error y la energía de deformación dentro del elemento de coacción se acerca a cero. Por lo tanto, la energía asociada al elemento de coacción puede ser agregada

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directamente a la energía potencial del sistema antes de la aplicación del principio de mínima energía potencial. Es preciso señalar que el término de penalidad no debe ser excesivamente elevado, porque se podrían introducir problemas numéricos, tal como se indica en la Figura 7.1. Esto se puede evitar si el término de penalidad es de tres a cuatro órdenes de magnitud mayor que la rigidez de los elementos adyacentes.

te

J

λ jBju ∑ j

Ar

1 T u Ku − u TR + 2

=1

(7.19)

z

= Ω

ag

a

El enfoque del multiplicador de Lagrange agrega las ecuaciones de coacción a la energía potencial. Esto es:

ue

donde λ j se define como el multiplicador de Lagrange para la coacción j.

(7.20)

ej

an

B  u  R  = 0 λ   0 

Al

K BT 

dr

o

Va

sq

Después de minimizar la energía potencial con respecto a cada desplazamiento y cada multiplicador de Lagrange, se produce el siguiente grupo de ecuaciones:

RESUMEN UM U MEN

C

7.11

om

pr

ad

o

po

r:

El número de ecuaciones a resolver es aumentado por “J” ecuaciones adicionales. La Ecuación (7.20) tiene ecuaciones tanto de equilibrio como de geometría. También, la matriz simétr simétrica no es positiva-definitiva. Por lo tanto, se podría requerir de pivoteo durante el proceso de solución. Por ende,, el método de penalidad representa el enfoque de preferencia.

Tradicionalmente se utilizaban las restricciones para reducir el número de ecuaciones a solucionar. Sin embargo, en la actualidad la alta velocidad de la generación actual de computadoras personales de bajo costo permite la solución con doble precisión de varios miles de ecuaciones en unos pocos minutos. Por eso se deben usar restricciones para evitar problemas numéricos y para crear un modelo realista que prediga con precisión el comportamiento de la estructura real.

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Las ecuaciones de restricción son necesarias para conectar diferentes tipos de elementos. Además, pueden ser muy útiles en áreas de transiciones de malla y el refinamiento de mallas adaptadas.

C

om

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

an

dr

o

Va

sq

ue

z

Ar

te

ag

a

Es preciso ser cuidadoso para evitar los problemas numéricos cuando se utilizan funciones de penalidad para reflejar las restricciones. El empleo de multiplicadores de Lagrange evita problemas numéricos; sin embargo, se requiere de un esfuerzo numérico adicional para solucionar el conjunto mixto de ecuaciones.

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8. ELEMENTOS DE FLEXIÓN EN PLACAS La Flexión en Placas es una Simple Extensión de la Teoría de Vigas

a

8.1 INTRODUCCIÓN

po

r:

Al

ej

an

dr

o

Va

sq

ue

z

Ar

te

ag

Antes del año 1960, placas y losas eran modeladas usando una cuadricula de elementos de vigas para muchas estructuras de ingeniería civil. Existían solamente un número reducido de soluciones de “forma cerrada” para placass de geometría senc sencilla y materiales isotrópicos. Aún en la actualidad muchos diseños de losas se basan en modelos de que clásico de aproximación, en general, produce resultados cuadriculas. Este enfoque conservadores porque satisface la estática ica y viola la compatibilidad. Sin embargo, el momento interno y la distribución del cortante podrían ser incorrectos. El uso de una produc un diseño más consistente. La soluciónn de elemento finito en convergencia producirá diferencia fundamental entre una cuadricula de elementos de viga y una solución de ca es el hecho de que existe un momento de torsión en el elemento finito de flexión en placa modelo del elemento finito, mientras que el modelo de cuadriculas puede producir amente momentos torsionales unidimensionales, uni solamente y no convergerá a la solución teórica a medida que se vaya refinando la malla.

om

See asume que una línea normal a la superficie de referencia (eje neutro) de la placa placa (viga) permanezca recta en la posición cargada. Esta coacción del mi desplazamiento es la misma que declarar que las deformaciones en el plano constituyen una función lineal en la dirección gruesa. Esta suposición no requiere que la rotación de la línea normal sea igual a la rotación de la superficie de referencia; por lo tanto, existe la posibilidad de deformaciones de cortante transversal.

C

1.

pr

ad

o

Se usan las siguientes aproximaciones para reducir la teoría tridimensional de la tr elasticidad para gobernar el comportamiento de placas y vigas finas:

2.

Además, se asume que el esfuerzo perpendicular en la dirección del espesor, que normalmente es muy pequeño en comparación con los esfuerzos de flexión, sea cero tanto para las vigas como para las placas. Esto se logra

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utilizando las propiedades materiales del esfuerzo plano en el plano según la definición del Capítulo 1. Note que esta aproximación permite que existan deformaciones de la relación de Poisson en la dirección del espesor. Si se asume que las deformaciones de cortante transversal sean cero, se introduce una coacción adicional de desplazamiento que declara que las líneas perpendiculares a la superficie de referencia permanecen perpendiculares a la superficie de referencia después de la carga. Esta aproximación se le atribuye a Kirchhoff y lleva su nombre.

a

3.

o

Va

sq

ue

z

Ar

te

ag

La teoría clásica de placa fina se basa en tres aproximaciones, y lleva al desarrollo de una ecuación de cuarto orden de diferencial parcial en términos del desplazamiento normal de la placa. Este enfoque es posible únicamente para placas de espesor constante. Muchos libros y escritos, utilizando matemáticas complicadas, han sido publicados basados en desarrolla este enfoque. Sin embargo, no se requieree la aproximación de Kirchhoff para desarrollar robustos y fáciles de programar. elementos finitos de flexión en placas que sean precisos, robustos pla En la actualidad es posible incluir deformaciones de cortante transversal para placas gruesas sin pérdida de precisión para placas finas.

C

om

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

an

dr

En este capítulo se presenta la teoría dee flexión en en placas placa pla ca como una extensión de la teoría de vigas (ver Apéndice F) y las ecuaciones de elasticidad tridimensional. Por lo tanto, no pla se requiere ningún conocimiento previo de la teoría de placas por parte del ingeniero para as aproximaciones que se usan. Se han propuesto varios cientos entender completamente las en placas placas durante los últimos 30 años. Sin embargo, se de elementos finitos de flexión en presentará rá aquí solamente un elemento. El elemento es un triángulo de tres nodos o un atro nodos, formulado con y sin deformac cuadrilátero de cuatro deformaciones de cortante transversal. desplazam La formulación queda limitada a pequeños desplazamientos y materiales elásticos. Se ilus presentan ejemplos numéricos para ilustrar la precisión del elemento. La teoría que se amp presenta aquí constituye una versión ampliada del elemento de flexión en placa que se presentó por primera vez en la referencia [1] utilizando una formulación de variación.

8.2 EL ELEMENTO CUADRILATERAL En primer lugar, se va a considerar la formulación del elemento cuadrilateral. El mismo enfoque se aplica al elemento triangular. La Figura 8.1 presenta un cuadrilátero de geometría arbitraria, en un plano local x-y. Note que el elemento parent de cuatro nodos, la Figura 8.1a, tiene 16 rotaciones en los cuatro puntos nodales y en el punto del medio en cada lado. Luego se giran las rotaciones del medio de los lados para que sean

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perpendiculares y tangenciales en cada lado. Luego se fijan en cero las rotaciones tangenciales, reduciéndose a 12 el número de grados de libertad, Figura 8.1b. Se coaccionan los lados del elemento para que se conviertan en una función cúbica en uz y se introducen cuatro desplazamientos en los nodos de las esquinas del elemento, Figura 8.1c. Por último, se eliminan las rotaciones del medio de los lados, mediante la condensación estática, Figura 8.1d, y se produce un elemento GDL 12. 3

(a)

6

te

(b)

Ar

8

a

4

7

ag

4

3

2

2

ue

z

5

1

r

4

(c)

ej

(d)

2

2

uz

Al

θy

3

an

4

o

3

dr

s

Va

sq

1

r:

θx

1

po

1

ad

o

Figura 8.1 Elemento de Flexión en Placa Cuadrilateral

C

om

pr

La suposición del desplazamiento básico es que la rotación de líneas normales para el referencia de la placa se define con las siguientes ecuaciones: plano de referencia 4

8

i =1

i =5

8

8

i =1

i =5

θ x (r , s) = ∑ N i (r , s)θ xi + ∑ N i (r , s) ∆θ xi θ y (r , s) = ∑ N i (r , s)θ yi + ∑ N i (r , s) ∆θ yi

Las funciones de forma de ocho nodos se expresan así:

N 1 (1 − r )(1 − s) / 4 =

N 2 (1 + r )(1 − s) / 4 =

N 3 (1 + r )(1 + s) / 4 =

N 4 (1 − r )(1 + s) / 4 =

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(8.1)

= N 5 (1 − r 2 )(1 − s) / 2 = N 6 (1 + r )(1 − s2 ) / 2

(8.2)

= N 7 (1 − r 2 )(1 + s) / 2 = N 8 (1 − r )(1 − s2 ) / 2

Note que las primeras cuatro funciones de forma son las funciones de forma bilineal natural para un cuadrilátero de cuatro nodos. Las cuatro funciones de forma para los nodos del punto de medio de los lados constituyen una adición a las funciones bilineales, y muchas veces se les llama funciones jerárquicas. La Figura 8.2 presenta un elemento lateral ij típico.

te

ue

sq

j = 2,3,4,1

Va

m

Ar z

i = 1,2,3,4

∆θ x ∆θ ij

m = 5,6,7,8

an

dr

α ij i

θj

o

L

ag

∆θ y

a

j

Al

ej

θi

po

r:

Figura 8.2 Elemento Lateral Típico

pr

ad

o

as rotaciones tangenciales se fijan en cero, existiendo solamente las rotaciones Las perpendiculares. Por lo tanto, las componentes x e y de la rotación normal se expresan de la siguiente manera:

om

∆θ x = sin α ij ∆θ ij

(8.3)

C

∆θ= − cosα ij ∆θ ij y

Por lo tanto, se puede expresar la Ecuación (8.1) como sigue: 4

8

i =1

i =5

8

8

i =1

i =5

θ x (r , s) = ∑ N i (r , s)θ xi + ∑ M xi (r , s) ∆θ i θ y (r , s) = ∑ N i (r , s)θ yi + ∑ M yi (r , s) ∆θ i

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(8.4)

El número de grados de libertad del desplazamiento ahora se ha reducido de 16 a 12, según lo indica la Figura 8.1b. Los desplazamientos tridimensionales, según los define la Figura 8.3 con respecto al plano de referencia x-y, son:

z, u z

y, u y

Ar

te

ag

a

h

θx

x, u x

Al

ej

an

dr

o

Va

sq

ue

z

θy

r:

mientos mient entos Positivos en un Elemento de Flexión en Placa Figura 8.3 Desplazamientos

po

ux (r , s) = z θ y (r , s)

(8.5)

ad

o

u y (r , s= ) − z θ x (r , s)

C

om

pr

Note que el desplazamiento normal del plano de referencia u z (r , s) no ha sido definido como función de espacio. Ahora, se asume que el desplazamiento normal a lo largo de es cada lado constituye una función cúbica. Por el Apéndice F, la deformación cortante transversal a lo largo del d lateral es como sigue:

1 1 2 γ ij = ( uzj - uzi ) - (θ i + θ j ) - ∆θ ij L 2 3

(8.6)

Por la Figura 8.2, las rotaciones perpendiculares en los nodos i y j se expresan en términos de las rotaciones x e y. O se puede expresar la Ecuación (8.6) como sigue: sin α ij cosα ij 1 2 (θ xi + θ xj ) + (θ yi + θ yj ) - ∆θ ij γ ij = ( uzj - uzi ) L 2 2 3

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(8.7)

Esta ecuación es válida para los cuatro lados del elemento. Ahora es posible expresar los cortantes nodales en términos de los cortantes laterales. La Figura 8.4 presenta un nodo típico.

j=2,3,4,1

j

γ ij

Ar

te

γ ki α ij

uz θ x

k=4,1,2,3

a

k

∆θ ij

x

sq

ue

γ xz γ yz

z

∆θ ki

i

i=1,2,3,4

θy

ag

α ki

y

Va

Figura 8.4 Cortantes Transversales de Punto Nodal

Al

ej

senα ij  γ xz    senα ki  γ yz  i

(8.8)

r:

 γ ij   cos α ij  = γ ki  cos α ki

an

dr

o

Los dos cortantes del punto medio de los ladoss están relacionadas a las cortantes en el nodo i por la siguiente transformación de esfuerzo deforma deformación:

po

o en forma inversa:

− cos α ki   γ ij   cos α ij  γ ki 

(8.9)

pr

ad

o

γ xz  1  senα ki    = det − senα ij γ yz  i

om

donde det = cos α ij senα ki − cos α ki senα ij

C

l cortantes transversales es usar las funciones bilineales El paso final para determinar los estándares de cuatro nodos para evaluar los cortantes en el punto de integración.

8.3 ECUACIONES DEFORMACIÓN-DESPLAZAMIENTO Utilizando las ecuaciones tridimensionales de deformación-desplazamiento, las deformaciones dentro de la placa pueden expresarse en términos de las rotaciones de los nodos. O:

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∂u x = z θ y (r , s), x ∂x ∂u y ε y = = − z θ x (r , s), y ∂y ∂u y ∂u γ xy = x + = z[θ y (r , s), y −θ x (r , s)] ∂y ∂x

εx =

(8.10)

0 θ  0  X  θY Bu = a( z ) b(r , s )u 0 b   ó d =  uZ  0   ∆θ  0 0 0 1

ue

z

Ar

te

0 0 0 1

(8.11)

sq

0 0 z 0

Va

0 z 0 0

o

 ε x  z ε    y  0 γ xy  = 0    γ xz  0 γ yz  0  

ag

a

Por lo tanto, en cada punto de integración los cinco componentes de la deformación puede expresarse en términos de los 16 desplazamientos, indicados en la Figura 8.2c, por una ecuación de la siguiente forma:

ej

an

dr

Por lo tanto, la matriz de transformación esfuerzo deformación-desplazamiento deforma representa un producto de dos matrices donde una es función de z solamente.

r:

Al

8.4 LA RIGIDEZ DEL ELEMENTO NTO CUADRILATERAL CU

o

po

En base a la Ecuación (8.11), se puede escribir la matriz de rigidez del elemento como sigue:

∫

∫

om

C

donde,

pr

ad

k = BT E EB dV = b T Db dA

D = ∫ aT E a dz

(8.12)

(8.13)

Después de la integración en la dirección z, la relación fuerza-deformación 5 por 5 para materiales ortotrópicos tiene la siguiente forma:

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 M xx   D 11 M    yy   D 21  M xy  =  D 31     Vxz  D 41  Vyz   D   51 

D 12 D 22 D 31 D 42 D 52

D 13 D 23 D 33 D 43 D 53

D 14 D 24 D 34 D 44 D 54

D 15  ψ xx  D 25  ψ yy  D 35  ψ xy    D 45   γ xz  D 55   γ yz 

(8.14)

a

Los momentos M y los cortantes V que resultan son fuerzas por unidad de longitud. Como en el caso de los elementos viga, las deformaciones asociadas con el momento son no-cero no -cero cero se la curvatura ψ . Para materiales isotrópicos de esfuerzo plano, los términos no-

te

ag

escriben así:

ue

z

Ar

Eh3 D 11 = D 22 = 2 12(1 − ν )

(8.15)

Va

sq

νEh3 D 12 = D 21 = 2 12(1 − ν )

an

dr

o

5Eh D 44 = D 55 = 12(1 + ν )

Al

ej

8.5 SATISFACIENDO LA PRUEBA DE G GRUPO RUPO

o

po

r:

Para que el elemento satisfaga la prueba de grupo o “patch,” es necesario producir curvaturas constantes si se aplican los desplazamientos nodales asociados con una curvatura constante. La Ecuación (8.11) puede expresarse de la siguiente forma:

C

om

pr

ad

ψ xx  ψ   yy   b ψ xy  =  11   b 21  γ xz   γ yz   

θ x  b12   θ y  b 22   w     ∆θ 

(8.16)

donde, para un elemento cuadrilateral, b 11 es una matriz 3 por 12 asociada con las 12 desplazamientos nodales ( θ x , θ y , w ) y b 12 es una matriz 3 por 4 asociada con las 4 rotaciones incompatibles del lado normal ( ∆θ ). Para que el elemento satisfaga la prueba de grupo del momento constante, es necesario hacer la siguiente modificación de b 12 :

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= b 12 b 12 −

1

A∫

b 12 dA

(8.17)

El capítulo sobre elementos incompatibles, Ecuación (6.4), presenta el desarrollo de esta ecuación (6.4).

8.6 CONDENSACIÓN ESTÁTICA

K 11 K 12  DB dA =   K 21 K 22 

ag

T

te

∫B

(8.18)

Ar

K =

a

La matriz de rigidez 16 por 16 del elemento para el elemento de flexión en placa con deformaciones de cortante se obtiene a través de la integración numérica. O:

z

ciones normales incompatibles. Las donde K 22 es la matriz 4 por 4 asociada con las rotaciones

Va

 u  F ∆θ  =  0    

(8.19)

o

K 11 K 12  K   21 K 22 

sq

ue

ecuaciones del equilibrio del elemento son de la siguiente forma:

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

an

dr

asociad con ∆θ deben ser cero, donde F son las 12 fuerzas nodales. Ya que las fuerzas asociadas se pueden eliminar estos grados-de-libertad -de-libertad -delibertad por deformación, a través de la condensación estática, antes de ensamblar la matriz de rigidez global. Por lo tanto, la matriz de rigidez incluyen deformaciones de del elemento 12 por 12 no se aumenta en tamaño si se incl cortante. Este elemento cuadrilátero (o triangular) de flexión en placa, incluyendo deformaciones de cortante, son definidos en este libro como el Elemento de Cortante E (Discrete Shear Element). Ele Discreto, o DSE

om

8.7 ELEMENTO TO D DE EF FLEXIÓN EN PLACA TRIANGULAR

C

cuadrila Las mismas aproximaciones que se usan para desarrollar el elemento cuadrilateral se aplican al elemento triangular de flexión en placa con tres nodos a mitad del lado. La matriz de rigidez que resulta es de 9 por 9. Aproximadamente el 90 por ciento del programa de computadora para el elemento cuadrilateral es igual al del elemento triangular. Las únicas funciones diferentes que se usan son las de forma, y se elimina la coacción asociada con el cuarto lado. En general, el triángulo es más rígido que el cuadrilátero.

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8.8 OTROS ELEMENTOS DE FLEXIÓN EN PLACA La ecuación fundamental para el cortante discreto a lo largo de los lados de un elemento se expresa a través de la Ecuación (8.6). O:

1 1 2 γ ij = ( uzj - uzi ) - (θ i + θ j ) - ∆θ L 2 3

(8.20)

sq

ue

z

Ar

te

ag

a

Si ∆θ se fija en cero en el punto medio de cada lado, todavía las deformaciones de cortante están incluidas en el elemento. Sin embargo, los momentos internos dentro del elemento se restringen a un valor constante para una placa fina. Esto es igual que el elemento PQ2 presentado en referencia [1], que está basado en una aproximación polinominal de segundo orden del desplazamiento normal. Los desplazamientos producidos por este elemento tienden a tener un error pequeño; sin embargo, los momentos internos para una malla gruesa tienden a tener un error de importancia. Por lo tanto, este autor no recomienda el uso de este elemento.

dr

3 3 ( w j - wi ) - (θ i + θ j ) 2L 4

(8.21)

an

∆θ =

o

Va

Si se fija el cortante en cero a lo largo de cada lado del elemento, se obtiene la siguiente ecuación:

om

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

Por eso es posible eliminar directamente las rotaciones relativas a la mitad del lado sin usar la condensación estática. Esta aproximación produce el Elemento Discreto rchhoff Element), donde deformaciones de cortante Kirchhoff, DKE (Discrete Kirchhoff transversal placas finas ansversal son fijadas en cero. Se debe notar que el DSE y el DKE para pla convergen en aproximadamente la misma proporción para desplazamientos y mome momentos. Para muchos problemas, el DSE y el DKE tienden a ser más flexibles que la soluci solución exacta.

C

8.9 EJEMPLOS NUMÉRICOS NUMÉ Se presentan varios ejemplos para demostrar las propiedades de precisión y convergencia de los elementos de flexión en placas cuadrilaterales y triangulares con y sin deformaciones de cortante transversal. Se usa una fórmula de integración numérica de cuatro puntos para el elemento cuadrilateral. Se usa una fórmula de integración de tres puntos para el elemento triangular.

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8.9.1

Un Elemento Viga

a

Para ilustrar el hecho de que el elemento placa se reduce al mismo comportamiento que la teoría clásica de vigas, la viga voladiza que se presenta en la Figura 8.5 está modelada como un elemento de 2 pulgadas de grueso. El elemento estrecho es de 6 pulgadas por 0.2 pulgadas en planta.

ag

E=10,000 ksi

Ar

te

G=3,846 ksi

Va

sq

ue

z

1.0 k

0.2”

Al

ej

an

dr

o

6.0”

2.0”

r:

Ele Figura 8.5 Viga en Voladizo Modelada utilizando un Elemento Placa

ad

o

po

Los desplazamientos de los extremos y los momentos de la base es resumen en la Tabla 8.1 según varias teorías.

om

pr

Tabla 8.1 Desplazamiento pll azam i e p y Momento para Viga Voladiza

C

TEORIA IA y E ELEMENTO LE

Teoría de Viga Teoría de Viga con Deformación de Cortante Elemento Placa DSE

Desplazamiento del

Momento

Extremo (pulgadas)

(kip-in.)

0.0000540

6.00

0.0000587

6.00

0.0000587

6.00

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Máximo

Elemento Placa DKE

0.0000540

6.00

Elemento Placa PK2 – Ref. [1]

0.0000452

3.00

Carga Puntual en Placa Cuadrada con Soporte Simple pl e

Ar

8.9.2

te

ag

a

Este ejemplo indica claramente que un elemento placa puede modelar una viga unidimensional sin pérdida de precisión. Vale la pena notar que muchos elementos placas con deformaciones de cortante, que actualmente se usan en programas de computadora, poseen la misma precisión que el elemento PQ2. Por eso el usuario debe verificar la teoría y la precisión de todos los elementos dentro de un programa de computadora revisando los resultados con ejemplos sencillos.

an

5.0

5.0

ej

y

dr

o

Va

sq

ue

z

Para comparar la precisión del DSE y del DKE a medida que los elementos se vuelvan muy finos, una malla 4 por 4 como la indicada en la Figura 8.6 modela un cuadrante de una placa cuadrada. Note que la rotación normal a lo largo del extremo con soporte simple está fijado en cero. Para el DSE se requiere la condición de “hard” boundary. El DKE rinde los mismos resultados para condiciones de bordes tanto duras como blandas en el extremo con soporte simple.

Al

E = 10 .92

ν = 0.3

r:

θx = 0

pr

ad

o

po

5.0

C

om

θy = 0

5.0

h = 1., 0.1, 0.01 , 0.001 , 0.0001 P = 1.0 at center u = 0 and θ = 0 at 4 sides z n x

Figura 8.6 Carga Puntual en Centro de una Placa Cuadrada de Soporte Simple La Tabla 8.2 resume el desplazamiento y el momento máximos en el centro de la placa. Para una placa fina sin desplazamientos de cortante, el desplazamiento es proporcional al 1/h3 . Por tanto, para comparar los resultados, el desplazamiento es normalizado por el factor h3. El momento máximo no es una función del espesor para una placa fina. Para este ejemplo, las deformaciones de cortante son significativas solamente para un espesor

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de 1.0. El desplazamiento exacto de placa fina para este problema es 1.160, que se acerca mucho al promedio de los resultados del DKE y del DSE. Por lo tanto, se puede concluir que el DSE converge a una solución aproximada de placa fina a medida que la placa se vuelva fina. Sin embargo, el DSE no converge para una malla gruesa al mismo valor aproximado que el DKE. Tabla 8.2 Convergencia de Elementos de Plato – Malla 4 por 4 – Carga Puntual Tiempos de Desplazamientos h

3

Momento Máximo á

ag

a

Espesor, h DSE

DKE

D DSE SE

1

1.195

1.383

0.3545

0.1

1.195

1.219

0.01

1.195

1.218

0.001

1.195

1.218

0.0001

1.195

z

Ar

te

DKE

0.4269

0.3545

0.4269

0.3545

0.4269

0.3545

0.4269

Va

sq

ue

0.3545

an

dr

o

0.4273

ej

1.218

o

po

r:

Al

Para demostrar que las dos aproximaciones convergen para una malla fina, se usa una malla de 16 por 16 para un cuadrante de la placa. Los resultados obtenidos se resumen en la Tabla 8.3.

om

pr

ad

Tabla 8.3 Convergencia g en c i a d de Elemento Placa – Malla 16 por 16 – Carga Puntual Tiempos de desplazamiento h

3

Momento Máximo

p es o r h Espesor DSE

DKE

DSE

1

1.163

1.393

0.5187

0.5704

0.01

1.163

1.164

0.5187

0.5295

0.0001

1.163

1.164

0.5187

0.5295

C

DKE

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Se nota que los desplazamientos de DKE y de DSE convergen aproximadamente el mismo valor para una carga puntual en el centro de la placa. Sin embargo, debido a la singularidad del esfuerzo, los momentos máximos no son iguales, lo cual es algo que se espera. 8.9.3

Carga Uniforme en Placa Cuadrada de Soporte Simple

ag

a

Para eliminar el problema asociado con la carga puntual, se sujeta la misma placa a una carga uniforme de 1.0 por unidad de área. La Tabla 8.4 incluye un resumen de los ntos y los momentos cuadrilaterales cuadrilaterale cuadrila terale de resultados. Para las placas finas, los desplazamientos DKE y de DSE concuerdan hasta tres cifras de significativas.

Ar

te

Tabla 8.4 Convergencia de Elementos de Placa Cuadrilateral – Malla 1 16 6 por p o r 16 – Carga

Tiempo de desplazamiento h

ue

z

Uniforme 3

Momento M o m en t o Máximo

0.01

9.807

9.815

0.0001

9.807

9.815

DKE D KE

DSE

1.142

1.144

1.142

1.144

1.142

1.144

Va

10.32

o

9.807

dr

1

an

DSE

Evaluación de Elementos m en t o s de Flexión en Placa Triangular

o

8.9.4

po

r:

Al

ej

DKE

sq

Espesor h

C

om

pr

ad

Se puede demostrar la precisión del elemento de flexión en placa triangular analizando la sujeta a una carga uniforme. La placa es modelada usando 512 misma placa cuadradaa sujeta elementos triangulares, lo que produce una malla 16 por 16, dividiéndose cada cuadrilátero en dos triángulos. La Tabla 8.5 recoge los resultados. Para placas finas, los mientos y momentos cuadrilaterales cuadril desplazamientos de DKS y DSE concuerdan hasta cuatro cifras significativas. El hecho de que tanto los momentos como los desplazamientos convergen al mismo valor para placas finas indica que los elementos triangulares pueden ser más precisos que los elementos cuadrilaterales tanto para placas finas como para los placas gruesas. Sin embargo, si se cambia la malla triangular dividiendo el cuadrilátero en el otro diagonal, los resultados no son tan impresionantes. Tabla 8.5 Convergencia de Elementos Placa Triangular – Carga Uniforme

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Tiempos de desplazamiento h

3

Momento Máximo

Espesor h DSE

DKE

DSE

1

9.807

10.308

1.145

1.145

0.01

9.807

9.807

1.145

1.145

0.0001

9.807

9.807

1.145

1.145

0.0001*

9.800

9.807

1.142

1.145

Ar

te

ag

a

DKE

z

* Cuadrilátero dividido en la otra diagonal

o

Uso del Elemento Placa para a Modelar Mo d el Torsión en Vigas

dr

8.9.5

Va

sq

ue

Sin embargo, se debe notar que, si se utiliza el elemento triangular en el análisis de la cáscara, el comportamiento de la membrana del el elemento emento triangular de la cáscara es muy pobre, y se obtendrán resultados imprecisos para muchos problemas.

po

r:

Al

ej

an

Para elementos de viga unidimensionales, se puede usar el elemento placa para modelar el comportamiento de cortante y de flexión. Sin embargo, no se deben usar los elementos placa para modelar el comportamiento torsional de vigas. Para ilustrar los errores introducidos por esta aproximación, se debe considerar la estructura de una viga voladiza indicada en la Figura 8.7 y sujeta a una unidad de torque en el extremo.

E=10,000,000

ad

o

FIXED END

om

pr

ν = 0.30 τ xz = 0

C

0.1

z y

τ xy = 0

x 6.0

γ yz = 0

T=1.0

0.2

Figura 8.7 Viga sujeta a Modelo de Torsión por Elementos Placa Los resultados de la rotación en el extremo de la viga son presentadas en la Tabla 8.6.

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Tabla 8.6 Rotación en Extremo de Modelo de Viga Utilizando Elementos de Plato DKE

DSE

ROTACIÓN Y 9x9

1x6

9x9

libre

0.0284

0.0233

0.2368

0.1249

fijo

0.0227

0.0218

0.0849

0.0756

a

1x6

Va

sq

ue

z

Ar

te

ag

La solución exacta,, basada en una teoría de elasticidad que incluye alabeo de la sección transversal rectangular, es de 0.034 radianes. Note que las condiciones de bordes de esfuerzo y deformación cortante que se presentan en la Figura 8.6 no pueden ser satisfechas con exactitud por los elementos de placa sin importar la finura de la malla. y debe ser libre o si se debe Tampoco es evidente si la condición de borde de rotación-y fijar en cero.

ad

o

po

r:

Al

ej

an

dr

o

Para este ejemplo, el elemento DKE da una rotación que es aproximadamente un 68 por ciento de la solución de elasticidad; sin embargo, a medida que se vaya refinando la malla, los resultados no mejoran de manera significativa. El elemento DSE es muy flexible para la malla gruesa. Los resultados de la malla fina son más rígidos. Ya que ninguno de los elementos es capaz de lograr convergencia con los resultados exactos, la torsión de la viga no debe ser usada como un problema de prueba para verificar la precisiónn de los elementos de flexión en placa. Los elementos triangulares producen casi los mismos resultados que los elementos cuadril cuadrilaterales.

om

pr

8.10 RESUMEN

C

El presente capítulo ha resumido un elemento relativamente nuevo y robusto de flexión elemento puede ser usado para pla en placa.. El elemento placas tanto finas como gruesas, con o sin deformaciones cortante. Ha sido ampliado para abarcar elementos triangulares y materiales ortotrópicos. La teoría de flexión en placa fue presentada como una extensión de la teoría de vigas y la teoría de elasticidad tridimensional. Los DKE y DSE son usados en la actualidad en programas de SAFE, FLOOR y SAP2000. En el próximo capítulo, se presentará un elemento de membrana con tres GDL por nodo, dos traslaciones y una rotación normal en el plano. En base al elemento de flexión que se presenta en este capítulo y el elemento de membrana que se presenta en el próximo

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capítulo, se presenta también en el próximo capítulo un elemento general de cáscara fina o gruesa.

8.11 REFERENCIAS

C

om

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

an

dr

o

Va

sq

ue

z

Ar

te

ag

a

1. Ibrahimbegovic, Adnan. 1993. “Quadrilateral Elements for Analysis of Thick and Thin Plates,” Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. Vol. 110 (1993). 195-209.

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9. ELEMENTO DE MEMBRANA CON ROTACIONES NORMALES

ue

z

INTRODUCCIÓN

ad

o

po

r:

Al

ej

an

dr

o

Va

sq

La naturaleza compleja de la mayoría de los edificios edif y otras estructuras de la ingeniería civil requiere que los elementos de pórtico, placas de flexión y de membrana existan dentro de un mismo modelo computarizado. El elemento de viga tridimensional tri normalmente tiene seis grados de libertad por nodo nodo:: tres desplazamientos desplazamient y tres rotaciones. El elemento de placa de flexión, que se presentó en el capítulo anterior, tiene dos rotaciones en el plano del elemento, y un desplazamiento normal al elemento en cada nodo. El elemento estándar de esfuerzo plano, que se usa para hacer modelos del comportamiento de membrana en elementos de cáscara,, tiene solamente dos desplazamientos en el plano en cada nodo, y normal al plano del elemento. no puede llevar momentos aplicados normales

om

pr

Un elemento de pórtico empotrado perpend perpendicular a un muro de cortante o losa es muy frecuente en modelos de edificios y muchos otros tipos de sistemas estructurales. Es posible usar una coacción para transferir el momento del elemento de pórtico a un acoplado de fuerza apli aplicado en el plano del elemento. Sin embargo, para cáscaras conectadas a vigas de borde y muchos otros tipos comunes de sistemas estructurales, existe la necesidad de un elemento de membrana que tenga una rotación perpendicular como GDL básico en cada nodo.

C

9.1

Ar

te

ag

a

Las Rotaciones Deben Ser Compatibles entre los Elementos de Viga, Membrana y Cáscara C

La búsqueda de un elemento de membrana con rotaciones normales constituía un trabajo fútil durante los primeros años del desarrollo de la tecnología de elementos finitos. Sin embargo, durante los últimos 15 años,

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se ha evolucionado a un elemento práctico cuadrilateral. En vez de referirse a numerosos estudios de investigación (que se resumen en la referencia [1]) que llevaron al desarrollo del elemento que se utiliza en la actualidad en el programa de análisis estructural general SAP2000, en este capítulo se desarrollaran las ecuaciones fundamentales. Además, se presentarán ejemplos numéricos para ilustrar la precisión del elemento. SUPOSICIONES BÁSICAS

z

Ar

te

ag

a

El desarrollo del elemento de membrana es muy similar al elemento de Laa Figura 9.1 flexión de placa que se presenta en el capítulo anterior. L presenta el elemento cuadrilateral.

4

7

Va

6

8

an

(a)

6 2

5

(b)

ej

1

Al

3

r:

r

3 4

o

po

4

pr

ad

ROTACIÓN ABSOLUTA

om

7

dr

o

2

s

1

3

8

5 1

sq

4

ue

3

(d)

ROTACIÓN RELATIVA

2 1

2

(c)

C

9.2

Figura a 9.1 Elemento de Membrana Cuadrilateral con Rotaciones Normales

El desarrollo del elemento puede dividirse en los cuatro pasos siguientes: 1. El punto de partida es el elemento cuadrilateral de nueve nodos, 16 GDL, que se presenta en la Figura 9.1.a. 2. El próximo paso es rotar los desplazamientos relativos del punto intermedio para que se encuentren en posición perpendicular y

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tangencial a cada lado, y fijar en cero el desplazamiento tangencial relativo, reduciendo el elemento al de 12 GDL que se indica en la Figura 9.1b. 3. El tercer paso es introducir coacciones de desplazamiento normal parabólico para eliminar los cuatro desplazamientos normales del punto medio de los lados, que se indica en la Figura 9.1c.

ue

z

APROXIMACIÓN DE DESPLAZAMIENTOS TOS

4

8

Va

sq

La suposición básica es que los desplazamientos x y y en el plano son definidos por las siguientes ecuaciones:

o

u x ( r, s ) = ∑ N i ( r, s ) u xi + ∑ N i ( r, s ) ∆u xi i =5

dr

i =1

an

4

8

i =5

(9.1b)

po

r:

Al

ej

u y ( r, s ) = ∑ N i ( r, s ) u yi + ∑ N i ( r, s ) ∆u yi i =1

(9.1a)

ad

o

Las ocho funciones de forma son expresadas de la siguiente manera:

om

pr

N 1 (1 − r )(1 − s) / 4 (9.2a) = N 3 (1 + r )(1 + s) / 4 (9.2c) =

= N 2 (1 + r )(1 − s) / 4

(9.2b)

N 4 (1 − r )(1 + s) / 4 =

(9.2d)

C

9.3

Ar

te

ag

a

4. El último paso es convertir las rotaciones normales relativas en valores absolutos, y modificar las funciones de forma para que pasen la prueba de grupo. Esto produce la rigidez del elemento 12 por 12 con respecto al 12 GDL que se presenta en la Figura 9.1d.

(9.2e))= (9.2e N 5 (1 − r 2 )(1 − s) / 2 = N 6 (1 + r )(1 − s2 ) / 2

(9.2f)

(9.2g)= N 8 (1 − r )(1 − s2 ) / 2 N 7 (1 − r 2 )(1 + s) / 2 =

(9.2h)

Las primeras cuatro funciones de forma son las funciones naturales de forma bilineal para un cuadrilátero de cuatro nodos; no son de cero en los nodos 5 al 8. Las últimas cuatro funciones de forma para los nodos del punto medio de los lados y para el nodo del centro constituyen una adición a las funciones bilineales, llamándose funciones jerárquicas.

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INTRODUCCIÓN DE ROTACIÓN DE NODO Un elemento típico lateral ij se presenta en la Figura 9.2.

j ∆u y

a

ag

te

j = 2,3,4,1

ue

z

m = 5,6,7,8

sq

i

α ij

i = 1,2,3,4

Va

∆θ i

∆uij

∆θ j ∆u x

Ar

Lij

( x j − xi ) 2 + ( y j − yi ) 2

dr

o

Lij =

an

Figura 9.2 Lado Típico de Elemento Cuadrilateral

po

8

(9.3)

(∆θ j − ∆θ i )

o

Lij

ad

∆uij =

r:

Al

ej

Si se supone que el desplazamiento normal relativo del lado es parabólico, es necesario satisfacer la siguiente ecuación:

om

pr

Debido a que el desplazamiento tangencial del punto intermedio es cero, los desplazamientos globales relativos del punto intermedio se expresan así:

C

9.4

cosα ij ∆u= cosα ij ∆u= x ij

Lij 8

∆u y = − sin α ij ∆uij = − sin α ij

(∆θ j − ∆θ i )

Lij 8

(∆θ j − ∆θ i )

(9.4a) (9.4b)

Se puede aplicar la Ecuación (9.4) a los cuatro lados y los desplazamientos globales, la Ecuación (9.1), puede expresarse así:

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4

8

i =1

i =5

4

8

i =1

i =5

ux (r , s) = ∑ N i (r , s) uxi + ∑ M xi (r , s) ∆θ i

(9.5a)

u y (r , s) = ∑ N i (r , s) u yi + ∑ M yi (r , s) ∆θ i

(9.5b)

Por lo tanto, el sistema se ha reducido a 12 GDL. 9.5

ECUACIONES DE DEFORMACIÓN-DESPLAZAMIENTO

Ar

∂u x ∂u y + ∂y ∂y ∂∂xx

(9.6c)

ue

and γ xy =

z

∂u y ∂u x , εy = ∂x ∂y

εx =

(9.6a)

te

ag

a

Las siguientes ecuaciones de deformación-desplazamiento miento ahora pueden ser construidas das en base a las siguientes ecuaciones fundamentales:

sq

(9.6b)

an

dr

o

Va

De manera alternativa, las ecuaciones de esfuerzo deforma deformacióndesplazamiento 3 por 12 redactados en forma de sub submatriz son las siguientes: (9.7)

po

r:

Al

ej

εx  u     ε y  = [B11 B12 ] ∆θ    γ xy   

om

pr

ad

o

Para que el elemento satisfaga la prueba de ““grupo” del esfuerzo constante, es necesario hacer la siguiente modificación de la matriz 3 por 4 B12 :

C

= B12 B12 −

1

A∫

B12 dA

(9.8)

El desarrollo de esta ecuación está presentado en el capítulo sobre elementos incompatibles, Ecuación (6.4).

9.6

RELACIÓN ESFUERZO-DEFORMACIÓN La relación esfuerzo-deformación para materiales ortotrópicos de esfuerzo plano, puede expresarse como sigue:

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σ x   D 11    σ y  = D 21 τ xy  D 31   

D 12 D 13   ε x    D 22 D 23   ε y  D 32 D 33  γ xy 

(9.9)

La única restricción sobre la matriz esfuerzo-deformación es el hecho de que debe ser simétrico y fijo positivo. TRANSFORMACIÓN RELATIVA A ROTACIONES ABSOLUTAS

T

DB dV

z

∫B

ue

K=

Ar

te

ag

a

La matriz de rigidez del elemento 12 por 12, para un elemento cuadrilateral con rotaciones normales se obtiene utilizando una integrac integración numérica de cuatro puntos. Así: (9.10)

om

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

an

dr

o

Va

sq

La matriz de rigidez para el elemento de membrana, según el cálculo de la Ecuación (9.9), tiene cuatro rotaciones relativas relativas desconoci desconocidas en los nodos. Un examen de las propiedades de la matriz de rigidez indica que tiene un modo de energía cero además de los tres modos de masa rígida. Este modo falso de deformación, relativo a la rotación de masa rígida del igura 9.3. elemento, se presenta en la Figura

C

9.7

Figura 9.3 Modo de Desplazamiento de Energía Cero El modo de desplazamiento de energía cero tiene rotaciones iguales en todos los nodos y cero desplazamientos en nodos intermedios. Para eliminar este modo, es necesario solamente agregar una matriz de rango uno a la matriz de rigidez del elemento que posee rigidez asociada con el

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modo. En base a la definición de elasticidad de rotación, se puede calcular la rotación absoluta en el centro del elemento, o un estimado de la rotación de masa-rígida del elemento por lo siguiente: θ0 =

1  ∂u x ∂u y  −   = b 0u 2  ∂y ∂x 

(9.11)

donde b 0 es una matriz 1 por 12. La diferencia entre la rotación absoluta y la rotación relativa promedio en el centro del elemento es:

a

4

ag

N i (0,0) ∆θ i = b u ∑ i 0

=1

(9.12)

te

d θ0 − =

∫

Va

K 0 = b 0T k0 b dV = k0 Vol b 0T b 0

sq

ue

z

Ar

Ahora puede asignarse una rigidez k0 (o término de penalidad) a esta deformación para crear la siguiente matriz de rigidez de clase uno, utilizando integración de un punto: 0

(9.13)

an

dr

o

Experiencia con la solución de un gran número de problemas indica que es efectivo el siguiente valor de rigidez de rotación: (9.14)

Al

ej

k0 = 0.025D 33

pr

ad

o

po

r:

donde D 33 es el módulo de cortante de materiales isotrópicos. Cuando esta matriz de clase uno se agrega a la matriz de rigidez 12 por 12, el modo de energía cero se elimina, y se convierte la rotación del nodo a una rotación absoluta.

om

EL EMEN DE MEMBRANA TRIANGULAR 9.8 ELEMENTO

C

Se aplican las mismas aproximaciones que se usan para desarrollar el elemento cuadrilateral al elemento triangular con tres nodos intermedios. La matriz de rigidez que resulta es de 9 por 9. Aproximadamente el 90 por ciento del programa de computadora para el elemento cuadrilateral es igual que el del elemento triangular. La única diferencia es que se usan funciones de forma, y se elimina la coacción asociada con el cuarto lado. Sin embargo, el triángulo es significativamente más rígido que el cuadrilátero. De hecho, la precisión del comportamiento de la membrana

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del triángulo con los grados de libertad de la prueba es casi igual que la del triángulo de deformación constante. EJEMPLO NUMÉRICO

Va

sq

ue

z

Ar

te

ag

a

La viga que se presenta en la Figura 9.4 es de un modelo con dos elementos de membrana con grados de libertad de prueba.

Figura 9.4 Modelo de Viga Con Elementos Element Distorsionados

an

dr

o

como La Tabla 9.1 resume los resultados tanto para los desplazamientos com para los esfuerzos.

Al

ej

Tabla 9.1 Resultados del Análisis isis d de e Viga Voladizo CARGA DE CORTANTE AL

EXTREMO

EXTREMO LIBRE

po

r:

MOMENTO MOMENT O APLICADO AL

ad

o

Factor de

Desplazamiento Des De spla pla

pr

Distorsión

om

de malla “a”

Normalizado del Extremo

C

9.9

Esfuerzo Máximo Normalizado en el Soporte

Desplazamiento Normalizado del Extremo

Esfuerzo Máximo Normalizado en el Soporte

Exact

1.000

1.000

1.000

1.000

0

1.000

1.000

0.958

0.750

1

0.502

0.675

0.510

0.601

2

0.280

0.627

0.303

0.557

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ag

a

Para el caso de elementos rectangulares, sujetos a momentos de extremo, se obtienen los resultados exactos, y no existe el esfuerzo cortante. Para carga de cortante al extremo, los desplazamientos tienen un error de solamente un 4 por ciento; sin embargo, los esfuerzos de flexión tienen un error de un 25 por ciento. Este comportamiento es casi idéntico al comportamiento de elementos planos con modos incompatibles. A medida que se vaya distorsionando el elemento, se van deteriorando los desplazamientos y los esfuerzos. Todos los resultados fueron obtenidos utilizando integración de cuatro puntos.

RESUMEN

an

9.10

dr

o

Va

sq

ue

z

Ar

te

El momento del extremo puede aplicarse como dos fuerzas horizontales iguales y opuestas en el extremo de la viga. O, la mitad del momento del extremo o puede ser aplicada directamente como dos momentos concentrados en los dos nodos del extremo. extremo. Los resultados de los dos métodos diferentess de carga son casi idénticos. Por lo tanto, los elementos de viga estándares pueden ser conectados directamente a los nodos de los elementos de membrana con GDL rotación normal.

REFERENCIAS REFER

C

9.11

om

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

El elemento de membrana de esfuerzo en el plano que se presenta en este capítulo puede ser usado para hacer modelos precisos de muchos sistemas complejos estructurales donde se interconectan los elementos de pórtico, membrana y placa pla ca El elemento cuadrilateral produce resultados placa. excelentes. Sin embargo, el rendimiento del elemento de membrana triangular es muy pobre.

1. Ibrahimbegovic, Adnan, R. Taylor, y E. Wilson. 1990. "A Robust Membrane Quadrilateral Element with Drilling Degrees of Freedom," Int. J. of Num. Meth.

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10. SHELL ELEMENTS

te

INTRODUCCIÓN

po

r:

Al

ej

an

dr

o

Va

sq

ue

z

Ar

El uso de la teoría clásica de cáscara fina para problemas de geometría diferencia dif erencia de orden superior arbitraria lleva al desarrollo de ecuaciones diferenciales aproximada que, en general, pueden ser solucionadas aproximadamente mediante el uso de la evaluación numérica de series infinitas. Por lo tanto, existe solamente un número limitado de soluciones para estructuras de ccáscara étricas sencillas. Estas soluciones cumplen una función con formas geométricas importante en la evaluación de la precisión numérica de programas de ra modernos de elemento computadora elementos finitos. Sin embargo, para el análisis estático y dinámico de estructuras de ccáscara de geometría arbitraria, que interactúan con vigas y soportes de extremo libre, el método de elemento finito brinda el único enfoque práctico de que se dispone en la actualidad.

om

pr

ad

o

La aplicación del método de elemento finito para el análisis de estructuras cara re requiere quiere que el usuario tenga conocimiento de las de cáscara aproximaciones involucradas en el desarrollo de los elementos. En los dos pla y capítulos anteriores, se presentó la teoría básica de elementos de placa membrana. En este libro, tanto los elementos de placa como los de membrana fueron derivados como un caso especial de la teoría de la elasticidad tridimensional, donde las aproximaciones están claramente definidas. Por lo tanto, el empleo de estos elementos para el análisis de estructuras de cáscara implica la introducción de muy pocas aproximaciones nuevas.

C

10.1

ag

a

Todo Elemento de Cá sca r a Representa una Aproxima ción y Un Ca so Especia l de Ela sticida d Tr idimensiona l

Antes de analizar una estructura utilizando un elemento de cáscara, siempre se debe considerar la aplicación directa de sólidos tridimensionales para crear un modelo de la estructura. Por ejemplo,

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sq

UN SIMPLE ELEMENTO DE CÁSCARA C CUADRILATERAL CU UA DR

an

dr

o

Va

placa que se Los elementos bidimensionales de membrana y flexión de pla presentaron n en los dos capítulos anteriores pueden ser combinados para formar un elemento de cáscara de cuatro nodos, tal como se presenta en la Figura10.1.

po

θy

uy

uy

θz

θz

uz

θx ux

pr

ad

o

uz

ux

r:

θx

Al

ej

θy

om

y

z

x

+

=

C

10.2

ue

z

Ar

te

ag

a

considere el caso de una presa de arco tridimensional. La presa de arco podría ser lo suficientemente fina para usar elementos de cáscara para crear un modelo de la sección del arco con seis grados de libertad por nodo; sin embargo, la creación de un modelo del cimiento requiere el uso de elementos sólidos. Se pueden introducir coacciones para conectar los dos tipos de elementos. Sin embargo, es más sencillo y preciso utilizar elementos sólidos, con modos incompatibles, para la presa y para el cimiento. Para ese caso, se necesita de sólo un elemento en la dirección del espesor; el tamaño del elemento que se emplea no debe ser mayor de dos veces el espesor. En vista de que actualmente se pueden resolver sistemas de más de mil elementos en pocos minutos en una computadora ppersonal, esto constituye un enfoque práctico para muchos problemas.

ELEMENTO DE PLACA DE FLEXIÓN + ELEMENTO DE MEMBRANA = ELEMENTO DE CÁSCARA y z

Z

x

Y

SISTEMA DE REFERENCIA LOCAL xyz

X SISTEMA DE REFERENCIA GLOBAL XYZ

F igura 10.1 F ormación de Elemento de Cáscara Plana

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Solamente es necesario formar las dos matrices de rigidez de elemento en el sistema local xyz. Luego se transforma la matriz local de rigidez del elemento 24 por 24, Figura 10.1, en el sistema global de referencia XYZ. Luego se agregan las cargas y la rigidez del elemento de cáscara, utilizando el método de rigidez directa para formar las ecuaciones de equilibrio global.

Va

sq

MODELOS DE CÁSCARAS CURVOS RVOS C CON ELEMENTOS PLANOS

po

r:

Al

ej

an

dr

o

Se pueden usar elementos de cáscaras cáscaras cuadrilaterales y planos para crear modelos de la mayoría de las estructuras de ccáscara si se pueden colocar los cuatro nodos en el punto medio del espesor de la cáscara. Sin embargo, para algunas cáscaras áscaras con doble curvatura, esto podría no ser posible. Veamos la estructura de cáscara que se presenta en la Figura 10.2.

ad

o

ELEMENTO DE CÁSCARA PLANO

pr

3

om

d

d

4

C

10.3

ue

z

Ar

te

ag

a

Debido a que los elementos de flexión de placa (DSE) y membrana, en algún plano, son casos especiales del elemento nto cáscara tridimensional, solamente se necesita el elemento de cáscara para ser programado. Este es el enfoque empleado en el programa SAP2000. 2000. Como Como en el caso de flexión de placa, a, el elemento cáscara tiene la opción de incluir las deformaciones transversales cortantes.

1 d d

2 SUPERFICIE MEDIA DE LA CÁSCARA

Estructura de Cáscara con Doble Curvatura

Elemento de Cáscara Plano Típico

F igura 10.2 Empleo de Elementos Planos para Crear Modelos de Cáscara Arbitrarios

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Los cuatro puntos de inserción 1, 2, 3 y 4 que definen el elemento están ubicados en el punto medio de la superficie de la cáscara, tal como se indica en la Figura 10.2. El sistema local de coordenadas xyz se define tomando el producto vectorial de los vectores diagonales. Es decir, Vz = V1− 3 V2− 4 . El vector de distancia d es normal al elemento plano, y está entre los puntos nodales del elemento plano y los puntos nodales de aporte en la mitad de la superficie de la cáscara y es calculada de la siguiente manera:

ag

a

z1 + z3 − z2 − z4 2

(10.1)

te

= d ±

r:

0 −d d 0 0 0 1 0 0 1 0 0

0 u x  0 u y    0  u z    0 θ x  0 θ y    1 θ z  s

C

om

pr

ad

o

po

u x  1 0 0 u  0 1 0  y  uz  0 0 1   = θ x  0 0 0 θ y  0 0 0    θ z  n 0 0 0

Al

ej

an

dr

o

Va

sq

ue

z

Ar

Para la mayoría de las cáscaras esta distancia paralela es cero, ubicándose los nodos del elemento finito en los nodos que están estánn en la mitad de la está superficie. Sin embargo, si la distancia d no es cero, la rigidez del elemento plano debe ser modificada antes de la transformación al sistema sis de referencia global XYZ. Es muy importante importante satisfacer el equilibrio de fuerzas en el punto en la mitad de la superficie de la estructura de ccáscara. Esto se logra a través de una transformación transformación transformac ión de la matriz de la rigidez del elemento plano a la mitad de la superficie, aplicando la siguiente ecuación de transformación de desplazamiento amiento en cada nodo:

(10.2)

Físicamente, esto significa que los nodos del elemento plano están conectados de manera rígida a los nodos a mitad de la superficie. Es evidente que a medida que los elementos se pongan más pequeños, la distancia d se acerca a cero, y los resultados del elemento plano van convergiendo a la solución de cáscara.

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10.4

ELEMENTOS DE CÁSCARA TRIANGULARES

te

ELEMENTOS SÓLIDOS PARA ANÁLISIS DE EC CÁSCARAS Á SC

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

an

dr

o

Va

sq

ue

z

Ar

Se puede utilizar el elemento sólido de ocho nodos con modos incompatibles para el análisis de cáscaras grues gruesas. as. La Figura 10.3 1 presenta la sección transversal del modelo de una estructura de cáscara con elementos sólidos de ocho nodos.

om

Figura 10.3 Sección Transversal de Modelo de Estructura de Cáscara Gruesa de Elementos Sólidos

C

10.5

ag

a

Se ha demostrado anteriormente que el elemento triangular de flexión de placa, con deformaciones cortantes, produce resultados excelentes. Sin embargo, el elemento de membrana triangular con rotaciones de perforación tiende a trancarse, y hay que tener mucho cuidado en su aplicación. Ya que se puede modelar cualquier geometría utilizando elementos cuadrilaterales, siempre se puede evitar el empleo del elemento triangular que se presenta en este libro.

Se debe notar que no existe la necesidad de crear una superficie de referencia cuando se usan elementos sólidos. Como en el caso de cualquier análisis de elemento finito, se debe usar más de una malla, y se debe examinar la estática para verificar el modelo, la teoría, y el programa de computadora.

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ANÁLISIS DE BÓVEDA DE CAÑÓN SCORDELIS-LO

te

ag

a

La bóveda de cañón Scordelis-Lo es el problema de prueba clásico para estructuras de cáscaras [1,2]. La Figura 10.4 presenta la estructura, con el modelo de un cuadrante con una malla de elemento de cáscaras 4 por 4. La estructura está sujeta a una carga de factor de gravedad en la dirección z negativa. El máximo desplazamiento vertical es de 0.3086 pies, y el momento del punto medio del tramo es de 2,090 libras pie.

Ar

ux = 0

ue

z

θy =θz = 0 uy = 0

sq

50 ‘

θz = θx = 0

Va

z

= 0.250’

Módulo elástico

= 4.32 x 10-6

Relación de Poisson

= 0.0

Peso específico

= 300 pcf

θy = 0

y

ej

40

O

Al

R=25 ’

an

uz = ux = 0

dr

o

Espesor

po

r:

uz

M xx MAX

= − 0 . 3086 ft. = 2090 ft. lb.

o

x

MAX

pr

ad

Figura 10.4 Ejemplo de Bóveda de Cañón Scordelis-Lo

om

Para ilustrar la convergencia y la precisión del elemento de cáscaras que se presenta en este capítulo, se presentarán dos mallas, con y sin deformaciones cortantes. La Tabla 10.1 resume los resultados.

C

10.6

Tabla 10.1 Resultado del Análisis de Cáscara de Bóveda de Cañón Teórico

4 x4 DKE

4 x4 DSE

8 x 8 DKE

8 x 8 DSE

Desplazamiento

0.3086

0.3173

0.3319

0.3044

0.3104

Momento

2090

2166

2252

2087

2113

Se nota que el DSE tiende a ser más flexible que la formulación DKE. Desde un punto de vista práctico, ambos elementos producen resultados

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excelentes. Parece que ambos convergen hasta al mismo resultado de una malla muy fina. Debido a la deformación local cortante en el extremo fijo curveado, se esperaría que el desplazamiento DSE convergiera hasta un valor ligeramente más alto y más correcto. EJEMPLO DE CÁSCARA HEMISFÉRICA

= 10.0

Espesor

= 0.4

z

Radio

ue

18o

sq

z

Ar

te

ag

a

La cáscara hemisférica que se presenta en la Figura 10.5 fue propuesta como problema de prueba estándar para elementos en base en la teoría Kirchoff de cáscaras finas [1].

Va

Módulo elástico

libre

dr

o

Razón de Poisson

= 0.30

simétrico

r:

Al

ej

an

simétrico

= 68,250,000

Cargas actuantes en un cuadrante

po o

ad

F=1.0

F=1.0

y

libre

om

pr

x

Figura 10.5 Ejemplo de Cáscara Hemisférica

C

10.7

En la Tabla 10.2 se resumen los resultados de los análisis utilizando el DKE y el DSE. Debido a que los resultados teóricos están basados en la aproximación Kichhoff, el elemento DKE produce un acuerdo excelente con la solución teórica. Los resultados del DSE son diferentes. Debido al hecho de que la solución teórica bajo una carga puntual no existe, los resultados que usan la aproximación DSE no necesariamente son incorrectos.

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Tabla 10.2 Resultados del Análisis de Cáscara Hemisférica Teórico

8 x 8 DKE

8 x 8 DSE

Desplazamiento

0.094

0.0939

0.0978

Momento

---------

1.884

2.363

ue

RESUMEN

sq

10.8

z

Ar

te

ag

a

Se debe enfatizar el hecho de que es físicamente imposible aplicar una carga puntual a una estructura real. Toda carga real actúa sobre un área finita, produciendo esfuerzos finitos. La carga puntual, que produce esfuerzo infinito, es una definición matemática solamente, y no puede existir en una estructura real.

po

r:

REFERENCIAS

pr

ad

o

1. MacNeal, R. H. and R. C. Harder. 1985. “A Proposed Standard Set to Test Element Accuracy, Finite Elements in Analysis and Design.” Vol. 1 (1985). pp. 3-20.

om

2. Scordelis, A. C. and K. S. Lo. 1964. “Computer Analysis of Cylinder Shells,” She lls,” Journal of American Concrete Institute. Vol. 61. May.

C

10.9

Al

ej

an

dr

o

Va

Se ha demostrado que el elemento de cáscara cara que se presenta en este libro es preciso para cáscaras tanto finass como gruesas. grues Parece que se puede usar la aproximación DSE para toda estructura de cáscara. Los resultados tanto de los desplazamientos como del momento parecen ser conservadores cuando se comparan con la ap aproximación DKE.

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11.

ag

a

RIGIDEZ GEOMÉTRICA Y EFECTOS P P-DELTA

Va

sq

DEFINICIÓN DE RIGIDEZ GEOMÉTRICA MÉTRIC

po

r:

Al

ej

an

dr

o

Todos sabemos que un cablee adquiere una mayor rigidez lateral cuando se sujeta a una gran fuerza de tensión. Si a una varilla larga se aplica una fuerza de compresión grande cercana a su carga crítica de pandeo, sabemos que la rigidez lateral de la varilla se reduciría de manera significativa, ignificativa, y que una pequeña carga lateral podría ocasionar que la varilla pandee. Este tipo de comportamiento general es causado por un cambio en la “rigidez geométrica” de la estructura. Es evidente que esta rigidez es una función de la carga sobre el elemento estructural, y que puede ser positiva o negativa.

om

pr

ad

o

Es muy sencillo derivar las ecuaciones fundamentales de rigidez geométrica para una varilla o para un cable. Considere el cable horizontal que se muestra en la Figura 11.1 de longitud L con una tensión te inicial T. Si al cable se le aplican desplazamientos laterales, Vi y V j en ambos extremos, tal como muestra en la figura, entonces, para que el elemento cable se encuentre en equilibrio en su posición deformada se deben desarrollar fuerzas adicionales, Fi y FJ en los extremos del elemento. Note que hemos supuesto que todas las fuerzas y todos los desplazamientos son positivos hacia arriba. También, hemos supuesto que los desplazamientos son pequeños y no cambian la tensión en el cable.

C

11.1

ue

z

Ar

te

Ta nto pa r a el Aná lisis Está tico como pa r a el D Diná mico, los Efectos P -Delta Delta , Debido a la Ca rga Muer ta , P ueden Toma r se en Cuenta sin Necesida d de Iter a ciones

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Fi F T

i

Posición Deformada Deformed Position




vi T

Fj F

j

T




i

j




vj




L

T

ag

a

Figura 11.1 Fuerzas que Actúan sobre un Elemento Cable

z

T (v i − v j ) L

ue

(11.1)

sq

= Fi

Ar

te

Tomando momentos alrededor del punto j en la posición ción deformada, se puede escribir la siguiente ecuación de equilibrio:

Va

Y en base al equilibrio vertical, la siguiente ecuación es evidente: (11.2)

dr

o

F= − Fi j

ó simbólicamente,

Fg = k g v

(11.3)

po

r:

Al

 Fi  T  1 − 1  v i  F  =     j  L  − 1 1  v j 

ej

an

Combinando las Ecuaciones 11.1 y 11.2, las fuerzas laterales pueden expresarse ientos laterales; en forma matricial se tiene: en términos de los desplazamientos

C

om

pr

ad

o

Note que la matriz de rigidez geométrica, k g , no es función de las propiedades mecánicas del cable, solamente es función de la longitud del elemento y la fuerza mismo.. Se emplea el término matriz de rigidez “geométrica” o de en el mismo “esfuerzo” con la finalidad que esta matriz tenga un nombre diferente al de la matriz de rigidez “mecánica”, la cual está basada en las propiedades físicas del estructura Sin embargo, esta elemento. La rigidez geométrica existe en toda estructura. matriz es importante solamente si es grande en comparación con la rigidez mecánica del sistema estructural. En el caso de un elemento viga con propiedades de flexión, en la que se considera que la deformada es una función cúbica expresada en función de las rotaciones de los extremos φ i y φ j , se desarrollan los momentos adicionales M i y M j . De la Referencia [1], la relación fuerza-desplazamiento se puede escribir a través de la siguiente ecuación:

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3L − 36 3L   v i   Fi   36 M   3L 4L2 − 3L − L2  φ   i= T   i   Fj  30L − 36 − 3L 36 − 3L v j      2 2   3L − L − 3L 4L  φ j   M j 

ó, FG = k G v

(11.4)

ag

ó, FE = k Ev

(11.5)

Ar

− 12 6L   v i    − 6L − 2L2  φ i   − 6L  v j  12   − 6L 4L2  φ j 

te

6L  Fi   12 M   6L 4L2  i  = EI   Fj  L3  − 12 − 6L    2 − 6L − 2L  M j 

a

La relación fuerza deformación, elástica, para una viga prismática, sin considerar las deformaciones por cortante es:

(11.6)

sq

FT =FE + FG = [ k E + k G ] v =k T v

ue

z

Por lo tanto, la fuerza resultante que actúa sobre el elemento viga será: ser

Al

ANÁLISIS APROXIMADO XIMA DO DE PANDEO

om

pr

ad

o

po

r:

En el caso que la fuerza axial de compresión sea grande, T = − P , la matriz de rigidez total de la viga viga puede llegar a ser singular. Para ilustrar esta inestabilidad, considere la viga mostrada en la Figura 11.2 de tal forma que los desplazamientos desplazam ientos en el punto j sean iguales a cero.

C

11.2

ej

an

dr

o

Va

za axial en el elemento permanece constante, solamente De este modo, si la fuerza es necesario formar la matriz de rigidez total, k T , para tomar en cuenta el efecto de ablandamiento o endurecimiento.

P

i

EI

j

L Figura 11.2 Viga en Voladizo Sujeta a Carga de Pandeo De la Ecuación (11.6), las ecuaciones de equilibrio, para la viga que se muestra en la Figura 11.2, se escriben como:

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 12 + 36λ 6L + 3Lλ 

6L + 3Lλ  v i  0 = 4L2 + 4L2λ  φ i  0

(11.7)

PL2 . Resolviendo este problema de “valores característicos” para 30EI la raíz más pequeña, se tiene:

Donde = λ −

λ= −0.0858 1

Pcr = 2.57

ó

EI L2

(11.8)

te

ag

a

La solución exacta de la carga de pandeo de Euler para la viga en voladizo se expresa como sigue: (11.9)

ue

z

Ar

π 2EI EI = 2.47 2 Pcr = 2 L 4L

Va

sq

Por lo tanto, la solución aproximada, Ecuación (11.8), que está basada en una función cúbica, se encuentra dentro del cinco por ciento de la solución exacta. Usando una aproximación lineal, dada por la Ecuación (11.3), se obtiene uuna

po

r:

ANÁLISIS P-DELTA D DE EE EDIFICIOS D

om

pr

ad

o

El uso de la matriz de rigidez geométrica constituye un enfoque general para incluir efectos secundarios ecundarios en el análisis estático y dinámico de todo tipo de sistemas estructurales. Sin embargo, en la Ingeniería Civil Estructural se le denomina comúnmente Análisis P P-Delta, el cual está basado en un enfoque más físico. Por ejemplo, en el análisis de un edificio, el movimiento lateral de una masa de piso hacia una posición deformada genera momentos de volteo de segundo orden. Este comportamiento de segundo orden se ha denominado efecto P-Delta porque los momentos adicionales de vuelco sobre el edificio son iguales a la suma de los pesos de cada nivel “P” multiplicados por los desplazamientos laterales “Delta”.

C

11.3

Al

razonable de la carga de pandeo.

an

dr

o

EI . Este valor todavía representa una aproximación L2

ej

carga de pandeo igual a 3.0

Se han propuesto muchas técnicas para evaluar este comportamiento de segundo orden. Rutenberg [2] resume las publicaciones sobre este tema, y presenta un método simplificado para incluir dichos efectos de segundo orden. Algunos

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métodos lo consideran como un problema de no-linealidad geométrica, y proponen técnicas de solución iterativa que podrían ser numéricamente ineficientes. También, dichos métodos iterativos no son adecuados para el análisis dinámico donde el efecto P-Delta origina el aumento de los períodos de vibración. Las ecuaciones presentadas en esta sección no son nuevas. Sin embargo, el enfoque sencillo que se emplea en su derivación debe aportar una visión física a la comprensión del comportamiento P-Delta en edificios [3].

ue

z

Ar

te

ag

a

El problema P-Delta puede considerarse lineal y la solución del problema puede obtenerse de manera directa y precisa, sin iteraciones, para estructuras del tipo de ificios donde el peso de la estructura es constante durante los movimientos edificios laterales, y se puede suponer que los desplazamientos estructurales del edificio sonn pequeños en comparación con las dimensiones de la estructura estructura. Además, el esfuerzo numérico adicional requerido es insignificante.

Al

ej

an

dr

o

Va

sq

El método no requiere iteraciones porque el total de la fuerza axial a nivel de piso es igual al peso del edificio encima de dicho nivel, y no cambia durante la aplicación de cargas laterales. Por lo tanto, la suma de la columna de términos de rigidez geométrica asociados con las cargas laterales es cero, y solamente las fuerzas axiales causadas por el peso de la estructura tienen que ser incluidas en la com evaluación de los términos de rigidez geométrica para el edificio completo.

C

om

pr

ad

o

po

r:

Delta se se implementa Los efectos P-Delta implementan en la formulación analítica básica. De esta manera, los efectos son incluidos consistentemente tanto en los análisis estáticos como dinámicos. Los desplazamientos estructurales, formas de modo y frecuencias obten obtenidos incluyen automáticamente el efecto del ablandamiento estructural. Las fuerzas de los elementos satisfacen tanto el equilibrio estático como el dinámico, y reflejan los momentos adicionales P P-Delta consistentes con los desplazamientos calculados.

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Nivel 1 2 ui

-

wi u i

i

wi

i

hi

i +1

wi ui / hi

i +1

w iu i / hi

ag

a

-

te

-

Ar

-

ue

z

-

o

(b) Momentos de vuelco ( b ) Additional overturning cargas momelaterales nts or lateadicionales ral loads

dr an

(a) Posición ( a ) Dispdeformada laced positiode n los pesos cada of stode ry w eightnivel s

Va

sq

N

Al

ej

F igura 11.3 Cargas de Volteo D Debido ebido a la Traslación de Pesos de Cada Nivel

C

om

pr

ad

o

po

r:

Se considera la estructura de “tipo voladizo” vertical, que se muestra en la Figura 11.3 (a) para ilustrar el problema básico. Bajo desplazamientos later laterales, consideremos los momentos adicionales de vvolteo relacionados a una masa, o peso de piso, en el nivel i. El efecto total de volteo será la suma de las contribuciones de todos los pesos de cada nivel. En la Figura 11.3(b) se indica los fuerza estáticamente equivalentes que producen los mismos sistemas de fuerza volteo En notación matricial se tiene: momentos de volteo.  fi  w i f  =  i +1  h i

 1.0  − 1.0 [u i ]  

(11.10)

Las fuerzas laterales mostradas en la Figura 11.3(b) pueden ser evaluadas para todos los pisos, y son adicionadas a las cargas externas que actúan sobre la estructura. La ecuación de equilibrio lateral de la estructura es: K = u F + Lu

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(11.11)

donde K es la matriz de rigidez lateral asociada a los desplazamientos laterales de piso u. El vector F representa las cargas laterales conocidas, y L es una matriz que contiene los factores w i /h i . La Ecuación (11.11) puede expresarse en la siguiente forma: K *u = F

(11.12)

donde = K* K −L

sq

ue

z

Ar

te

ag

a

La Ecuación (11.12) puede ser resuelta en forma directa para los desplazamientos laterales. Si se evalúan las fuerzas internas en el elemento en base a estos usada,, se encontrará que se ha desplazamientos, consistentemente con la teoría lineal usada obtenido el equilibrio con respecto a la posición deformada. Existe un problema con la embargo, se puede solución de la Ecuación (11.12); la matriz K * no es simétrica. Sin embargo hacer que sea simétrica sustituyendo las cargas laterales mostradas en la Figura estáticamennte estáticamen te equivalente. 11.3(b) por otro sistema de cargass estáticamente

 ui  u   i +1 

ej

an

 1.0 − 1.0 − 1.0 1.0   

(11.13)

Al

 fi  Wi f  =  i +1  h i

dr

o

Va

Por estática, la contribución total al vuelco asociada al desplazamiento relativo de piso “ u i - u i+1 ” puede expresarse como sigue:

o

po

r:

donde Wi es el peso total de carga muerta encima del piso i. De este modo, la matriz L es simétrica, y no se requiere de ningún procedimiento especial de solución de matrices nono-simétricas.

C

om

pr

ad

Es importante notar que la Ecuación (11.13) es la solución exacta de la “rigidez geométrica”,, Ecuación (11.3), para una columna, incluyendo solamente los geométrica” efectos de la fuerza axial. Por lo tanto, el desarrollo físico presentado es completamente equivalente al enfoque teórico que normalmente se emplea para formular la rigidez incremental en el análisis estructural no-lineal. El equilibrio total de un edificio puede formularse en términos del desplazamiento lateral del nivel de piso. Luego, se puede evaluar la contribución de cada columna de un nivel de piso específico a la rigidez geométrica total de la estructura. En cada nivel, los efectos de las cargas laterales externas F son incluidos en la evaluación de las fuerzas axiales en todas las columnas. Si se usa este procedimiento, la rigidez geométrica total a nivel del equilibrio lateral es idéntica a la Ecuación (11.13), debido a que las fuerzas axiales generadas por las

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acciones laterales F no producen un aumento significativo de las fuerzas axiales totales que existen en las columnas en cualquier nivel. Un análisis tan refinado debe ser de naturaleza iterativo; sin embargo, esto no produce resultados más precisos.

sq

ue

z

Ar

te

ag

a

Queda claro que no se han considerado los efectos de la rigidez viga-columna como se definen en la Ecuación (11.4). Los errores asociados con los efectos debido a la interpolación cúbica pueden ser estimados cuando se calculan las fuerzas en cada elemento. Sin embargo, el método presentado incluye el comportamiento general para grandes desplazamientos laterales de la estructura completa, la cual está asociada con la estabilidad global del edificio.

Y

Va y

X dqy

Al r:

dqx

Nivel i + 1 Level i + 1

ad

o

po

dqx

o uxi

ej

Center of Mass Level i

dr

Centro de Masa Nivel i

x

uyi

y

an

uri

dq

dw

ECUACIONES A CION PARA EDIFICIOS TRIDIMENSIONALES

C

11.4

om

pr

F igure r e 111.4 1.4 Distribución de la Masa en un Nivel de Piso Típico

La Ecuación (11.13) se puede aplicar directamente en ambas direcciones para edificios donde los centroides son iguales en todos los niveles de piso. Sin embargo, para un edificio genérico, las ecuaciones de acoplamiento para los niveles de piso son más complicadas. En la Figura 11.4 se muestra de manera esquemática un sistema general para un edificio tridimensional. Se supone que la rigidez de un edificio tridimensional ha sido obtenida considerando 3 grados de libertad por piso, ubicados en el centro de masa de

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cada nivel de piso, dos desplazamientos laterales, u xi , u yi , y una rotación, u ri . Además de las fuerzas de volteo dadas por la Ecuación (11.3), existen fuerzas secundarias debido a la distribución de la masa del piso sobre un espacio finito.

ue

MAGNITUD DE EFECTOS P-DELTA

Al

ej

an

dr

o

Va

sq

La comparación de los resultados de los análisis con considerando y sin considerar el efecto P-Delta P-Delta. Un edificio bien Delta ilustra la magnitud de los efectos P diseñado, normalmente tiene relaciones bien condicionadas dde rigidez/peso nivel por nivel. Para tales estructuras, los efectos P-Delta normalmente no son muy P significativos. Los cambios en desplazamientos y fuerzas en elementos son menores del 10%.

om

pr

ad

o

po

r:

Sin embargo, si el peso de la estructura es grande en proporción a la rigidez al de la estructura, la contribución de los efectos P-Delta tienen gran lateral amplificación, y bajo ciertas circunstancias, pueden cambiar los desplazamientos elemento en un 25 por ciento o más. Los efectos excesivos Py las fuerzas en elementos intro Delta eventualmente introducen singularidades a la solución, indicando inestabilidad física de la estructura. Dicho comportamiento indica claramente una estructura mal diseñada que requiere de rigidez adicional.

C

11.5

z

Ar

te

ag

a

El primer paso, antes de derivar la matriz de rigidez geométrica, de 6 por 6, para cada piso es calcular la ubicación del centro de la masa, y el momento de inercia rotacional para todos los niveles de piso. Para un piso típico i, luego es necesario calcular el peso total y el centroide de la estructura por encima de dicho nivel. ara mantener el equilibrio debido a los desplazamientos relativos entre el piso i Para y el piso i+1,, hay que considerar las fuerzas dadas por la Ecuación 11.13. 11.13 Dichas fuerzas y desplazamientos luego deben ser trasladadas al centro de masa tanto en el nivel i como en el nivel i+1.

co y sin los Un análisis de un edificio de acero de 41 pisos fue llevado a cabo con efectos P-Delta. La construcción básica era de pórtico arriostrado y muro de corte de acero soldado. El edificio fue construido en una región donde la carga lateral principal es el viento. Los resultados se resumen y se presentan en la Tabla 11.1.

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Tabla 11.1 Efectos P-Delta sobre un Edificio Típico Con P-Delta

Período del Primer Modo (segundos)

5.33

5.52

Período del Segundo Modo (segundos)

4.21

4.30

Período del Tercer Modo (segundos)

4.01

4.10

Período del Cuarto Modo (segundos)

1.71

1.75

Desplazamiento por Viento (pulgadas)

7.99

8.33

Ar

te

ag

a

Sin P-Delta

an

dr

o

ANÁLISIS P-DELTA USANDO PROGRAMA ROGRA DE CÓMPUTO SIN MODIFICACIÓN

om

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

Para el análisis de edificios, m muchos uchos ingenieros usan programas de análisis estructural todo propósito, que no pueden ser modificados fácilmente para incluir presentan las ecuaciones que se han presentando. La Ecuación 11.4 presenta la forma de las lateral-desplazamiento ecuaciones de fuerza laterallateral -desplazamiento desplazamiento para el piso i. Se nota que la forma geométrica, de 2 x 2, es la misma que la matriz de de esta matriz de rigidez geométrica rigidez para una columna prismática que tiene cero rotaciones en los extremo extremos inferior y superior. Por lo tanto, es posible agregar “columnas ficticias” entre los niveles de piso del edificio, y asignar propiedades adecuadas para lograr los mismos efectos que el uso de la rigidez geométrica [2]. Las ecuaciones fuerzadesplazamiento de la “columna ficticia” son:

C

11.6

Va

sq

ue

z

Ya que el edificio es relativamente rígido, loss efectos PP P-Delta -Delta Delta son mínimos. También, es evidente que los efectos P-Delta Delta son menos importantes para frecuencias más altas.

 fi  12EI  1 − 1  u i  f  = 3 − 1 1  u  hi   i +1    i +1 

(11.14)

Por lo tanto, si se selecciona el momento de inercia de la columna como: I − =

Wi h 2i 12E

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(11.15)

,la columna ficticia tendrá los mismos valores negativos de rigidez de la rigidez geométrica lineal.

11.7

LONGITUD EFECTIVA – FACTORES K

o

FORMULACIÓN GENERAL D DE ER RIGIDEZ IG GEOMÉTRICA

om

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

an

dr

Es relativamente sencillo desarrollar la matriz de rigidez geométrica para cualquier tipo de elemento finito basado en desplazamiento desplazamientos [Cook et al., 2001]. Sólo es preciso agregar a las ecuaciones lineales deforma deformación-desplazamiento, Ecuaciones (2.3a-f), los términos no-lineales lineales de orden superior. En un sistema de referencia local x-y-z, estas ecuaciones para deformacione deformaciones significativas son: ∂u x 1 T + u ,x u ,x εx = (11.16a) ∂x 2 ∂u y 1 T + u ,y u ,y εy = (11.16b) ∂y 2 ∂u 1 (11.16c) ε z = z + u ,Tz u ,z ∂z 2 ∂u y 1 T ∂u 1 (11.16d) γ xy = x + + u , x u , y + u ,Ty u , x ∂y 2 ∂x 2 ∂u ∂u 1 1 (11.16e) γ xz = x + z + u ,Tx u ,z + u ,Tz u ,x ∂z ∂x 2 2 ∂u y ∂u z 1 T 1 (11.16f) γ yz = + + u , y u , z + u ,Tz u , y ∂z ∂x 2 2

C

11.8

Va

sq

ue

z

Ar

te

ag

a

El procedimiento para la evaluación de los efectos P-Delta que se describe en el presente capítulo ha sido implementado y verificado en el programa ETABS. La aplicación del método de análisis presentado en este capítulo debería inducir a la Peliminación de los factores de longitud efectiva de columna (K), porque los efectos P Delta automáticamente estiman los momentos de diseño requeridos amplificados. Adicionalmente, los factores K son aproximados, complicados, y requi requieren de mucho tiempo para ser estimados. Los códigos actuales de diseño para el concreto [[ACI, 1995] y el acero [AISC, 1993] permiten la evaluación explícita de los efectos P P-Delta como una alternativa a los métodos más complicados y aproximados de cálculo de los factores de amplificación del momento para la mayoría de los diseños de columnas.

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Los términos no-lineales son el producto de las matrices que se definen como:

(11.17a)

u ,x

u x , y  u x , x  u x , z        = u y , x  , u , y = u y , y  , u , z = u y , z   u z, y   u z, x   u z, z       

(11.17c)

(11.17b)

a

La Ecuación (11.16) puede expresarse en términos de la siguiente suma de componentes lineales y no-lineales:

ag

= d dL + dN

(11.18)

Va

sq

ue

z

Ar

te

desplazamiento, escritas en términos de las Estas ecuaciones deformación-desplazamiento, cial, son idénticas a la deformaciones ingenieriles y usando notación matricial, las deformaciones clásicas Green-Lagrange. Esto se llama el enfo enfoque “Lagrange total” donde las deformaciones son estimadas con respecto al sistema original de referencia, y la rotación grande de cuerpo rígido es exacta.

an

dr

o

Utilizando las mismas funciones de interpolación que se usan para formar la emento, se pueden escribir llas derivadas de los matriz de rigidez del elemento, desplazamientos de la siguiente manera: (11.19)

Al

ej

g = Gu

∫[

o

po

r:

Si los esfuerzos iniciales son grandes, la energía potencial de la estructura debe ser modificada agregándole el siguiente término: u ,Ty

T

u ,z

om

pr

ad

1 Ω σ =u ,Tx 2

]

sxx  s yx szx 

sxy s yy

szy

sxz   u , x    1 T g S g dV (11.20) s yz   u , y  dV = 2    szz   u , z 

∫

C

Las matrices de esfuerzos esfuerzo iniciales, de 3 por 3, tiene la siguiente forma: σ ij  sij =  0 

0

σ ij 0

0  0 σ ij  0

(11.21)

donde los esfuerzos iniciales se definen como sigue:

sT0 = [σ xx σ yy σ zz σ xy σ xz σ yz ] 0

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(11.22)

Por lo tanto, la rigidez geométrica de cualquier elemento puede calcularse así:

∫

k g = G T SG dV

(11.23)

Para la mayoría de los elementos finitos, la rigidez geométrica se evalúa mediante la integración numérica.

RESUMEN

Va

sq

ue

z

Ar

te

ag

a

El programa SAP2000 tiene la opción de agregar una matriz matriz de rig rigidez geométrica tridimensional a cada elemento. Por lo tanto, se pueden hacer modelos de torres tensadas, puentes atirantados y puentes colgantes si la tensión en el cable no se modifica debido a la aplicación de la carga. Si las fuerzas axiales iniciales en los elementos son alteradas de manera significativa al adicionarle las cargas, se podría requerir de iteraciones iteraciones. Sin embargo, en el caso del análisis dinámico, la evaluación de los vectores característicos o LDR debe ser basada en un grupo de fuerzas axiales. xiales.

om

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

an

dr

o

La mayoría de los métodos tradicionales para incorporar los efectos P-Delta en el análisis de edificios están basados en técnicas iterativas. Dichas técnicas requieren mucho tiempo, y en lo general, se usan solamente para el análisis estáticos. Para ra estructuras de edificios, la masa que causa el efecto P-Delta es constante, y no depende de las cargas y los desplazamientos laterales. Esta información se usa para “linealizar” el efecto P-Delta en edificios, y para resolver “ “exac el problema de manera “exacta,” satisfaciendo el equilibrio en la posición deformada sin la necesidad de iteraciones. Se desarrolla un algoritmo que incorpora los efectos P-Delta en la formulación básica de la matriz de rigidez P corre estructural como una corrección de la rigidez geométrica. Este procedimiento puede emplearse para el análisis estático y dinámico, y explica el aumento de los períodos y los cambios en las formas de modo causados por los efectos P-Delta.

C

11.9

Un edificio bien diseñado no debe tener efectos P-Delta significativos. Los análisis con y sin los efectos de P-Delta indicarán la magnitud de los efectos PDelta de forma separada. Si dichos desplazamientos laterales difieren por más de un 5% para la misma carga lateral, el diseño básico podría ser demasiado flexible y se debe considerar el rediseño. Las recomendaciones para el diseño de estructuras sujetas a carga lateral de la Asociación de Ingenieros Estructurales de California (SEAOC Blue Book)

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mencionan que “distorsiones de entrepiso mayores a 0.02/R w indicarían efectos P-Delta importantes”. Queda claro que, si se incluyen los efectos P-Delta en todos los análisis, se puede descartar esta afirmación. Sin embargo, si las cargas que actúan sobre la estructura han sido reducidas mediante un factor de ductilidad R w , los efectos P-Delta deben ser amplificados por R w para que se refleje el comportamiento bajo carga última. Esto puede ser incluido de manera automática en un programa de cómputo, utilizando un factor de multiplicación para los términos de rigidez geométrica.

sq

REFERENCIAS

an

dr

o

Va

1. Cook, R. D., D. S. Malkus and M. E. Plesha. 1989. Concepts and Applications of Finite Element Analysis, Analysis, Tercera Edición. Edición John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-84788-7.

r:

Al

ej

2. Rutenberg, A. 1982. "Simplified P P-Delta Analysis for Asymmetric Structural Division. Vol. 108, No. 9. Structures," ASCE Journal of the Stru Septiembre.

pr

ad

o

po

3. Wilson, E. L. and A. Habibullah. 1987. "Static and Dynamic Analysis of Multi-Story P-Delta Effects," Earthquake Spectra. Vol. Story Buildings Including P 3, No.3. Earthquake Engineering Research Institute. Mayo.

om

American an Concrete Institute. 1995. Building Code Requirements for 4. Americ

318 Reinforced Concrete (ACI 318-95) and Commentary (ACI 318R-95). Farmington Hills, Michigan.

C

11.10

ue

z

Ar

te

ag

a

Es posible le calcular matrices de rigidez geométrica para todo tipo de elementos finitos. Las mismas funciones de interpolación que se usan para desarrollar matrices de rigidez elástica se emplean para calcular la matriz de rigidez geométrica.

5. American Institute of Steel Construction, Inc. 1993. Load and Resistance Factor Design Specification for Structural Steel Buildings. Chicago, Illinois. Diciembre.

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12. ANÁLISIS DINÁMICO

z

Ar

INTRODUCCIÓN

an

dr

o

Va

sq

ue

Toda estructura física real se comporta dinámicamente micamente cuando se le aplica cargas de Newton New , las fuerzas adicionales de o desplazamientos. Según la segunda leyy de inercia, son iguales es a la masa multiplicada por la aceleración. Si las cargas o los lentamente lenta mente,, las fuerzas de inercia pueden desplazamientos se aplican lentamente, despreciarse,, y se puede justificar un análisis est estático. Por lo tanto, el análisis dinámico es una simple extensión del análisis estático. estátic

om

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

Además, toda estructura real tiene potencialmente un número infinito de desplazamientos. Por lo tanto, la fase más crítica de un análisis estructural es finito de elementos sin masa, y crear un modelo de computadora con un número fini un número finito de desplazamientos nodales que simulen el comportamiento de del sistema estructural, que puede ser estimada de la estructura real. La masa de manera precisa, se concentra en los nodos. También, para estructuras elásticas lineales, las propiedades de rigidez de los elementos pueden ser aproximadas con un alto grado de confiabilidad mediante la ayuda de datos experimentales. Sin embargo, la carga dinámica, las propiedades de disipación de energía, y las condiciones de borde (fundaciones) para muchas estructuras son difíciles de estimar. Esto siempre es cierto para los casos de eventos sísmicos o cargas de viento.

C

12.1

te

ag

a

El Equilibr io de F uer za s es F unda menta l en el Aná lisis Diná mico de Estr uctur a s

Para reducir los errores que puedan ser causados por las aproximaciones resumidas en el párrafo anterior, es necesario realizar muchos análisis dinámicos, utilizando diferentes modelos computarizados, condiciones de carga y de borde. No es irrealista llevar a cabo 20 ó más análisis por computadora para diseñar una

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nueva estructura o para investigar opciones de reforzamiento para una estructura existente.

te

EQUILIBRIO DINÁMICO

sq

ue

z

Ar

El equilibrio de fuerzas de un sistema de varios grados de libertad con masa concentrada en función de tiempo puede expresarse a través de la siguiente relación:

Va

F(t) I + F(t)D + F(t)S = F(t)

(12.1)

o

donde los vectores de fuerza en el tiempo t son: F(t) I

an

dr

vector de las fuerzas de inercia actuantes sobre las masas

ej

nodales. F(t) D

r:

energía

Al

vector de fuerzas fuerzas de amortiguamiento viscoso, de disipación de vector de fuerzas internas de la estructura

F(t)

vector de cargas aplicadas externamente

ad

o

po

F(t)S

om

pr

La Ecuación (12.1) está basada en las leyes de la física, siendo válida tanto para no sistemas lineales como no-lineales si el equilibrio se formula con respecto a la geometría deformada de la estructura.

C

12.2

ag

a

Debido al elevado número de análisis por computadora que se requieren para un análisis dinámico típico, es muy importante que se usen métodos precisos y numéricamente eficientes en los programas de cómputo. Algunos de estos métodos han sido desarrollados por el autor, y son relativamente nuevos. Por lo tanto, uno de los objetivos de este libro es resumir estos algoritmos numéricos, sus ventajas y sus limitaciones.

Para muchos sistemas estructurales, la aproximación del comportamiento lineal de la estructura convierte la ecuación de equilibrio físico, Ecuación (12.1), al siguiente sistema de ecuaciones diferenciales, lineales, de segundo orden: (t) a + Cu (t) a + K u (t) a = F(t) Mu

(12.2)

donde M es la matriz de masa (concentrada o consistente), C es la matriz de amortiguamiento viscoso (que normalmente se incluye para aproximar la disipación de la energía en la estructura real) y K es la matriz de rigidez estática

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para el sistema de elementos estructurales. Los vectores, que dependen del tiempo, u a (t) , u a (t) y u  a (t) son los desplazamientos nodales absolutos, velocidades nodales absolutas y aceleraciones nodales absolutas, respectivamente.

sq

ue

z

Ar

te

ag

a

Muchos libros sobre dinámica estructural presentan diferentes métodos de la matemática aplicada para obtener la solución exacta de la Ecuación (12.2). Durante los últimos años, sin embargo, con la disponibilidad generalizada de o reducido (ver Apéndice H), la computadoras personales de alta velocidad y costo solución exacta de la Ecuación (12.2) puede obtenerse sin el uso de complicadas cnicas matemáticas. Por lo tanto, el ingeniero estructural moderno que tenga técnicas una comprensión física del equilibrio dinámico y la disipación de la energía puede realizar el análisis dinámico de sistemas estructurales complejos. Es deseable tener fuertes conocimientos matemáticos de la ingeniería; sin embargo, en mi opinión, ya eso no es obligatorio.

po

r:

Al

ej

an

dr

o

Va

erna F(t) es igual a cero. Los movimientos Para cargas sísmicas, la carga externa del terreno en sísmicos básicos son las tres componentes de desplazamientos de campo libre u(t) ig que se determinan en algún punto debajo del nivel de la cimentación tanto, se puede expresar la Ecuación (12.2) ación de la estructura. Por lo tanto en términos de los desplazamientos u (t) , las velocidades u (t) y las (t) relativos a las tres componentes de los desplazamientos del aceleraciones u terreno en campo libre.

ad

o

Por lo tanto, los desplazamientos, velocidades, y aceleraciones absolutos pueden ser eliminados de la Ecuación (12.2) usando las siguientes ecuaciones

C

om

pr

sencillas:

u a (t) = u(t) + I x u xg(t) + I y u yg(t) + I z u zg(t)

(12.3a)

u a (t) = u (t) + I x u xg(t) + I y u yg(t) + I z u zg(t)

(12.3b)

u  a(t) = u (t) + I x uxg(t) + I y uyg(t) + I z uzg(t)

(12.3c)

donde I i es un vector que contiene uno en los grados de libertad correspondientes a la dirección “i”, y cero en las otras posiciones. La sustitución de la Ecuación (12.3) en la Ecuación (12.2) permite que las ecuaciones nodales de equilibrio se expresen de la siguiente manera:

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Mu (t) + Cu (t) + Ku(t) = - M x uxg(t) - M y uyg(t) - M z uzg(t)

(12.4)

donde M i = M I i . La forma simplificada de la Ecuación (12.4) es posible porque las velocidades y los desplazamientos de cuerpo rígido asociados con los movimientos de la base no provocan el desarrollo de ninguna fuerza adicional de amortiguamiento ni estructural.

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Va

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Ar

te

ag

a

Es importante que los ingenieros consideren que los desplazamientos, que normalmente son impresos por un programa de cómputo, son desplazamientos relativos, y que la carga fundamental sobre la estructura son los desplazamientos ación y no las cargas aplicadas de manera externa en las nudos de la de la cimentación structura sujeta sujet a cargas estructura. Por ejemplo, el análisis estático de una estructura horizontales, denominado “pushover”, es una aproximación muy pobre del comportamiento dinámico de una estructura tridimensional bajo la acción de funciones complicadas, en tiempo, de movimientos de la base. También, para evaluar adecuadamente los sistemas de aislamiento de base, hay que calcular los desplazamientos.

pr

MÉTODO DE ES SOLUCIÓN OL U PASO A PASO

om

El método de solución más general para el análisis dinámico es el método incremental donde las ecuaciones de equilibrio se resuelven en los instantes de tiempo ∆t , 2∆t , 3∆t , etc. Existen muchos métodos de solución incremental. En general, implican la solución de un sistema de ecuaciones de equilibrio en cada incremento de tiempo. En el caso del análisis no-lineal, puede ser necesario estimar la matriz de rigidez del sistema estructural completo en cada instante de tiempo. También, se puede requerir de varias iteraciones para satisfacer el equilibrio en cada incremento de tiempo. Como resultado de los elevados requerimientos de computación, la solución de sistemas estructurales con apenas unos cientos de grados de libertad puede tomar mucho tiempo.

C

12.3

ad

o

po

r:

Al

ej

an

Existen diferentes métodos clásicos que se pueden usar para la solución de la Ecuación (12.4). Cada uno de estos métodos tiene ventajas y desventajas que ipo de estructura y carga. Con el fin de presentar una idea general dependen del tipo de los diferentes temas presentados en este libro, los diferentes procedimientos continuación numéricos se resumen a continuación.

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Además, para obtener soluciones estables, la mayoría de los métodos de solución incremental deben incluir el amortiguamiento artificial o numérico. Por este motivo, los ingenieros deben tener mucho cuidado en la interpretación de los resultados. Para algunas estructuras no-lineales que están sujetas a movimientos sísmicos, los métodos de solución incremental son necesarios.

MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN MODAL L

z

12.4

Ar

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ag

a

Para sistemas estructurales muy grandes, se ha encontrado que una combinación de los métodos de superposición modal e incremental es eficiente para sistemas lineales. Este método ha sido integrado con un número reducido de elementos no-lineales. en las nuevas versiones de SAP y ETABS, y será presentado en detalle en este libro.

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El enfoque más común y efectivo para el análisis sísmico de sistemas estructurales lineales es el método de superposición modal. Después de estimar un conjunto de vectores ortogonales, el método reduce el gran sistema de ecuaciones de equilibrio global a un número relativamente pequeño de ecuaciones diferenciales desacopladas de segundo orden. La solución numérica de estas ecuaciones implica una gran reducción de tiempo tiemp de cómputo.

ANÁLISIS A NÁL ESPECTRAL

C

12.5

om

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r:

Al

Se ha demostrado que los movimientos sísmicos excitan solamente las frecuencias bajas de la estructura. Típicamente Típicamente, las aceleraciones sísmicas se registran a incrementos de 200 puntos por segundo. Por lo tanto, el registro de aceleraciones no contiene información por encima de 50 ciclos por segundo. De esta manera, la no inclusión de las frecuencias más altas y las formas de modo del sistema asociadas normalmente no introduce errores.

El método básico de superposición modal, que queda limitado al análisis lineal elástico, estima la respuesta completa tiempo historia de los desplazamientos nodales y las fuerzas de los elementos debido a un movimiento de la base dado [1,2]. Existen dos principales desventajas en este procedimiento. En primer lugar, el método produce una gran cantidad de información que puede exigir un gran esfuerzo computacional para realizar todas las verificaciones posibles de diseño en función del tiempo. En segundo lugar, el análisis debe ser repetido para diferentes movimientos sísmicos para garantizar que se exciten todos los modos

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significativos, porque un espectro de respuesta para un sismo, en una dirección específica, no es una función uniforme.

Va

SOLUCIÓN EN EL DOMINIO DE FRECUENCIAS CUENC

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r:

Al

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o

El enfoque básico que se usa para la solución de las ecuaciones de equilibrio dinámico en el dominio de frecuenciass es representar las cargas externas F(t) en términos de la serie de Fourier o de las las integrales de Fourier. La solución se expresa en términos de números complejos que abarcan el rango de tiempo desde -∞ hasta ∞ . Por tanto, es muy efectivo para cargas periódicas tales como vibraciones mecánicas, acústicas, acústicas, olas marinas y viento [1]. Sin embargo, el uso del método de solución de dominio de frecuencia frecuencias para la solución de estructuras sujetas a movimientos sísmicos posee las siguiente siguientes desventajas:

om

pr

1. Las matemáticas para la mayoría de los ingenieros estructurales, incluyéndome, son muy difíciles de comprender. También, las soluciones son difíciles de verificar.

C

12.6

sq

ue

z

Ar

te

ag

a

Existen significativas ventajas de cómputo para el uso del método espectral en el análisis sísmico con el propósito de estimar los desplazamientos y fuerzas en los elementos de sistemas estructurales. El método implica el cálculo de solamente los valores máximos de los desplazamientos y las fuerzas en los elementos para cada modo, utilizando espectros de diseño suavizados que son, el promedio de varios movimientos sísmicos. En este libro, recomendaremos el método CQC para combinar estos valores máximos de respuesta modal con el fin obtener el valor máximo más probable de desplazamiento o de fuerza. Además, se mostrará que los métodos de combinación para movimientos sísmicos ortogonales SRSS y CQC3 permiten que un análisis dinámico pueda producir fuerzas de diseño para todos los elementos en la estructura.

2. Las cargas sísm sísmicas no son periódicas; por lo tanto, es necesario seleccionar un período de tiempo largo de tal forma que la solución para un sismo de duración finita sea completamente amortiguada antes de la aplicación del mismo sismo al inicio del próximo período de carga. 3. Para cargas de tipo sísmico, el método no es numéricamente eficiente. La transformación del resultado del dominio de frecuencias al dominio de tiempo, aún con el uso de métodos de Transformación Rápida de Fourier, requiere de un gran esfuerzo computacional.

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4. El método está limitado a la solución de sistemas estructurales lineales.

SOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES

ag

12.7

a

5. El método se ha utilizado, sin justificación teórica suficiente, para la solución aproximada no-lineal de problemas de respuesta de sitio y para problemas de interacción suelo/estructura. Típicamente, se emplea en una manera iterativa para crear ecuaciones lineales. Los términos de amortiguamiento lineal se cambian después de cada iteración para aproximar la disipación de energía en el suelo. Por tanto, no se satisface el equilibrio dinámico en el suelo.

ue

z

Ar

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La solución paso a paso de ecuaciones de equilibrio dinámico, la solución en el dominio de frecuencias,, y la evaluación de los vectore vectores vector ess característicos y vectores Ritz requieren la solución de ecuaciones lineales de la siguiente forma:

sq

AX = B

(12.5)

dr

o

Va

Donde A es una matriz simétrica “N por N” que contiene un gran número de términos cero. El desplazamiento X “N por M” y las matrices de carga B indican que se puede resolver más de una condición de carga a la vez.

C

om

pr

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o

po

r:

Al

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an

programas de computadora, incluyendo al El método que se usa en muchos pro SAP2000 [5] y ETABS [6], se basa en el método de perfil o de columna activa de almacenamiento compacto. Ya que la matriz es simétrica, solamente es necesario determinar y almacenar desde el primer término diferente de cero en cada columna hasta el término diagonal en dicha columna. Por tanto, la matriz cuadrada de perfil activo activo, “dispersa”, puede ser almacenada como un arreglo unidimensional asociada a un arreglo entero de N por 1 que indique la ubicación de cada término diagonal. Si la matriz de rigidez excede la capacidad de memoria de la computadora, que tiene mayor velocidad de acceso de datos, el algoritmo permite una forma de almacenamiento en bloque. Por tanto, la capacidad del método de solución estará dada por la capacidad del disco de la computadora, que tiene una menor velocidad de acceso de datos. En el Apéndice C de este libro presenta en detalle este método de solución.

12.8

RESPUESTA ARMÓNICA NO AMORTIGUADA El tipo más común y sencillo de carga dinámica corresponde a la aplicación de cargas armónicas permanentes de la siguiente forma:

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(12.6)

F(t) = f s e n (ω t)

La distribución de los patrones de carga estática en los nudos, f, que no son función del tiempo, y la frecuencia de la carga aplicada, ω , son especificados por el usuario. Por lo tanto, para el caso no amortiguado, las ecuaciones de equilibrio exactas para los nudos del sistema estructural son:

(12.7)

(t) + K u(t) = f sin (ω t) Mu

te

(t) = - v ω 2sin (ω t) u

(12.8)

Ar

u (t) = v sin (ω t) ,

ag

a

La solución permanente exacta de esta ecuación requiere que los desplazamientos splazamientos y las aceleraciones nodales sean expresadas por:

Kv = f

(12.9)

Va

o

sq

[K - ω 2 M ]v = f

ue

z

Por tanto, la amplitud de la respuesta armónica del nudo está dada por la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales:

om

VIBRACIÓN CIIÓN L C LIBRE I NO AMORTIGUADA La mayoría de las estructuras se encuentran en un estado cont continuo de movimiento dinámico debido a cargas aleatorias tales como el viento, equipos de vibración, o cargas debido a las personas. Estas pequeñas vibraciones ambientales normalmente son similares a las frecuencias naturales de la estructura, y son eliminadas por disipación de energía en la estructura real. Sin embargo, instrumentos especiales conectados a la estructura pueden medir el movimiento con relativa facilidad. Mediciones en campo de vibraciones ambientales se usan con mucha frecuencia para calibrar modelos computarizados de estructuras y de sus cimentaciones.

C

12.9

pr

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o

po

r:

Al

ej

an

dr

o

Es importante hacer notar que la solución normal para cargas estáticas no es más que una solución de esta ecuación para frecuencia cero. Es evidente que el esfuerzo computacional requerido para el cálculo de la respuesta permanente no amortiguada es similar al requerido uerido por un análisis estático. Note que no es necesario evaluar las formas de modo o frecuencias asociadas para la solución de este tipo de carga muy común. Los desplazamientos nodales y las fuerzas en elementos resultantes varían de acuerdo a s e n( ω t) . Sin embargo, otros tipos de carga que no varían con el tiempo, tales como la carga muerta, deben ser evaluados en un análisis computarizado diferente.

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Para una estructura que no está sujeta a cargas externas, la ecuación de equilibrio, para la vibración libre no amortiguada de una deformada típica v, es como sigue:

Mv + Kv = 0

(12.10)

ag

a

En cualquier instante, la deformada v puede ser una forma natural del sistema, o cualquier combinación de formas. Sin embargo, es evidente que la energía total de un sistema no amortiguado en vibración libre es constante con respecto al tiempo. La suma de la energía cinética y la energía de deformación en cada instante de tiempo constituye una constante que se define como la energía mecánica del sistema dinámico, calculándose así:

(12.11)

ue

z

Ar

te

1 T 1 v Mv + v T Kv 2 2

= EM

sq

12.10 RESUMEN

pr

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o

po

r:

Al

ej

an

dr

o

Va

El análisis dinámico de sistemas estr estructurales ucturales tridimensionales constituye una extensión directa del análisis estático. estático. Las matrices de rigidez elástica son las mismas para el análisis estático y el análisis di dinámico. Solamente se requiere concentrar la masa de la estructura en los lo nudos. La adición de fuerzas de inercia y fuerzas de disipación de energía satisfacen el equilibrio dinámico. La solución dinámica para cargas armónicas permanentes, sin amortiguamiento, implica el mismo esfuerzo numérico que la solución estática. Existen diferentes métodos matemáticos para la solución de las ecuaciones de equilibrio dinámico. Sin embargo, má máss adelante se mostrará que la mayoría de los sistemas tanto lineales como nono-lineales lineales pueden ser determinados con un método numérico.

C

om

La energía es fundamental een el análisis dinámico. En cualquier instante de tiempo, el trabajo externo proporcionado al sistema debe ser equivalente a la suma de la energía cinética y la energía de deformación más la energía disipada en el sistema. Soy de la opinión, con respecto al diseño sismo-resistente, de que debemos intentar minimizar la energía mecánica de la estructura. Es evidente que una estructura rígida tendrá solamente energía cinética, no teniendo energía de deformación. Por otro lado, una estructura con aislamiento de base no tendrá energía cinética ni energía de deformación. Una estructura no puede fallar si no tiene energía de deformación.

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12.11 REFERENCIAS 1. Clough, R., and J. Penzien. 1993. Dynamics of Structures, Segunda Edición. McGraw-Hill, Inc. ISBN 0-07-011394-7. 2. Chopra, A. 1995. Dynamics of Structures. Prentice-Hall, Inc. Englewood Cliffs, New Jersey, 07632. ISBN 0-13-855214-2.

ag

a

3. Bathe, K. 1982. Finite Element Procedures in Engineering Analysis. Hall, Inc. Englewood Cliffs, New Jersey 07632. ISBN 00-13Prentice-Hall, 317305-4.

z

Ar

te

4. Wilson, E. L., and K. Bathe. 1973. "Stability and Accuracy Analysis of Direct Integration Methods," Earthquake Engineering and Structural Dynamics. Vol. 1. pp. 283-291.

Va

sq

ue

5. Computers and Structures, Inc. 2008. SAP2000 - Integrated Structural Analysis & Design Software. Berkeley, California.

C

om

pr

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o

po

r:

Al

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an

dr

o

6. Habibullah, A. 2008. ETABS - Three Dimensional Analysis of Building Systems, User's Manual. Computers and Structures Inc. Berkeley, California.

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13.

ag

a

ANÁLISIS DINÁMICO MEDIANTE SUPERPOSICIÓN MODAL

Va

sq

ECUACIONES A RESOLVER

an

dr

o

La Ecuación de equilibrio de fuerza dinámica (12.4) puede expresarse como un conjunto de ecuaciones diferenciales de segundo orden N d , de la siguiente forma: J

f j g(t) j ∑ j

(13.1)

=1

Al

ej

(t) + Cu (t) + K u(t) = F(t) = Mu

ad

o

po

r:

En general, todo tipo tipo de carga que depende del tiempo, incluyendo vientos, ondas, y sismos, puede pued enn representarse como la suma de “J” vectores f j , que no pueden son función del tiempo, y J funciones de tiempo g(t) j .

om

pr

El número de grados de libertad dinámicos es equivalente al número de masas concentradas en el sistema. Muchas publicaciones recomiendan la eliminación de los desplazamientos asociados a grados de libertad sin masa mediante la (13.1). El método de condensación estática antes de resolver la Ecuación (13.1 condensación estática reduce el número de ecuaciones de equilibrio dinámico que hay que resolver; sin embargo, puede elevar de manera significativa la densidad y el ancho de banda de la matriz de rigidez condensada. En estructuras de tipo edificio, donde cada diafragma tiene solamente tres masas concentradas, este enfoque es efectivo y se emplea automáticamente en programas de análisis de edificios.

C

13.1

ue

z

Ar

te

La s F or ma s de Modos que se Emplea n pa r a Desa copla r La s Ecua cioness de Equilibr io Diná mico No Tienen que Ser Exa cta mente la s F or ma s de Modo de Vibr a ción Libre

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Sin embargo, para la solución dinámica de sistemas estructurales arbitrarios, la eliminación del desplazamiento sin masa, en lo general, no es numéricamente eficiente. Por lo tanto, las versiones modernas del programa SAP no utilizan la condensación estática con el fin de mantener la dispersión de la matriz de rigidez.

TRANSFORMACIÓN A ECUACIONES MODALES

ag

a

El método matemático fundamental que se usa para la solución de la Ecuación (13.1) es la separación de variables. Este enfoque asume que la solución pueda ser expresada en la siguiente forma: (13.2a)

Ar

te

u (t) = ΦY(t)

sq

ue

z

Donde Φ es una matriz “Nd por N” que contiene N vectores espaciales que no son una función del tiempo, y donde Y(t) es un vector que contiene N funciones de tiempo.

Va

En base a la Ecuación (13.2a), se deduce lo siguiente:

dr

o

 (t) u (t) = Φ Y

an

 (t) u (t) = Φ Y

(13.2b) (13.2c)

r:

Al

ej

Antes de la solución, requerimos que las funciones funci de espacio satisfagan las siguientes condiciones dee ortogonalidad con respecto a la masa y rigidez:

o

ad

T 2 Φ KΦ = Ω

po

T Φ MΦ = I

(13.3a) (13.3b)

om

pr

donde I es una matriz identidad y Ω2 es una matriz diagonal donde los términos diagonales son ω n2 . El término ω n se expresa en radianes por segundo, y puede o no ser una frecuencia de vibración libre. Se debe notar que los principios fundamentales de la matemática no ponen restricci restricciones sobre esos vectores, además de las propiedades de ortogonalidad. En este libro, cada vector de función de espacio, φ n , siempre está normalizado, de manera que la Masa Generalizada sea igual a uno, o φ n T M φ n = 1.0 .

C

13.2

Después de sustituir las Ecuaciones (13.2) en la Ecuación (13.1) y de pre-multiplicar por Φ T , se produce la siguiente matriz de N ecuaciones:

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(t) + d Y  (t) + Ω2 Y(t ) = IY

J

p j g(t) j ∑ j

(13.4)

=1

donde p j = Φ T f j , definiéndose como los factores de participación modal para la función de carga j. El término pnj está asociado al n-ésimo modo. Note que existe un conjunto de “N” factores de participación modal por cada condición de carga f j .

te

ag

a

Para toda estructura real, la matriz d, de “N por N”, no es diagonal; sin embargo, para g clásico desacoplar las ecuaciones modales, es necesario suponer amortiguamiento para que no exista acoplamiento entre modos. Por lo tanto, los términos diagonales del amortiguamiento modal se definen como sigue:

Ar

dnn = 2ζ n ω n

(13.5)

sq

ue

z

donde ζ n se define como la relación entre el amortiguamiento del modo n con el amortiguamiento crítico del modo [1].

o

Va

Para sistemas estructurales lineales, una ecuación modal típica sin acoplamiento es de la siguiente forma: J

dr

pnj g(t) j ∑ j =1

(13.6)

ej

an

y(t)n + 2ζ n ω n y (t)n + ω n2 y(t) n =

po

r:

Al

tridimensional, esta ecuación se puede expresar como Para un movimiento sísmico trid sigue: (13.7)

o

y(t) n + 2ζ n ω n y (t) n + ω n2 y(t) n = pnx u (t) gx + pny u (t) gy + pnz u (t) gz

C

om

pr

ad

tri donde los factores de participación modal tri-direccionales, o en este caso los factores or es de de excitación sísmica , se definen por pnj = - φ nT M j donde j es igual a x, y ó z, y n es el número del modo. Note que en este libro, todas las formas de modo son normalizadas de manera que φ nT M φ n = 1 .

13.3

RESPUESTA DEBIDA A CONDICIONES INICIALES Antes de presentar la solución de la Ecuación (13.6) para varios tipos de carga, conviene definir las constantes y funciones adicionales que se resumen en la Tabla 13.1. Esto permitirá que muchas de las ecuaciones presentadas en otras partes de este libro se escriban en forma compacta. También, la notación reduce lo tedioso que resulta la derivación algebraica y verificación de las diferentes ecuaciones. Además,

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permite que las ecuaciones sean expresadas en una forma que puede ser programada y verificada fácilmente. Si se elimina el subtitulo “n”, para un modo típico, la Ecuación (13.6) puede escribirse como sigue:

  + ω 2 y(t) = 0 y(t) + 2ξωy(t)

(13.8)

te

ag

a

donde el desplazamiento modal inicial y 0 y la velocidad inicial y 0 se especifican como resultado ltado de cargas anteriores que actúan sobre la estructura. Se debe notar que las funciones S(t ) y C(t ) que se presentan en la Tabla 13.1 son soluciones de la Ecuación (13.8).

z

Ar

Tabla 13.1 Resumen de la Notación Utilizada en Ecuaciones de eR Respuesta es p u e Dinámica

= ωD ω 1− ξ 2

sq

ue

CONSTANTES

ξ =

o

Va

ω = ωξ

a1 ω D2 − ω 2 =

1− ξ 2

a2 = 2ω ω D

an

dr

a0 = 2ξ ω

ξ

Al

C(t ) = e−ξωt cos(ω D t )

po

r:

S(t ) = e−ξωt sin(ω D t )

ej

FUNCIONES

= C (t ) −ω C(t ) − ω D S(t )

ad

o

= S(t ) −ω S(t ) + ω D C(t )

pr

(t ) − a S(t ) − a C(t ) = S 1 2

C

om

= A1 (t ) C(t ) + ξ S(t )

(t ) − a C(t ) + a S(t ) = C 1 2

A 2 (t ) =

1

ωD

S(t )

La solución de la Ecuación (13.8) puede escribirse en la siguiente forma compacta: = y(t ) A 1 (t )y 0 + A 2 (t )y 0

(13.9)

Esta solución puede ser verificada fácilmente porque satisface la Ecuación (13.8) y las condiciones iniciales.

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SOLUCIÓN GENERAL BAJO CARGA ARBITRARIA

ue

z

Ar

te

ag

a

Existen muchos métodos diferentes disponibles para resolver las ecuaciones modales típicas. Sin embargo, se ha determinado que el uso de la solución exacta para una carga, aproximada por un polinomio en un pequeño incremento de tiempo, representa el método más económico y preciso para resolver esta ecuación numéricamente en los programas de cómputo. No tiene problemas en cuanto a la estabilidad, ni introduce amortiguamiento numérico. Ya que la mayoría de lass aceleraciones sísmicas en el terreno se definen como lineales dentro de intervalos de 0.005 segundos, el método es exacto para este tipo de carga para todas las frecuencias. También, si se emplean los desplazamientos como el dato de entrada, la función de carga que se deriva de las aceleraciones lineales son funciones cúbicas dentro de cada intervalo de tiempo, tal como se presenta en el Apéndice J.

(13.10)

dr

o

y(t) + 2ζ ω y (t) + ω 2 y(t) = R(t)

Va

sq

Para simplificar la notación, se suman todas las cargas para formar una ecuación modal típica que tiene la siguiente forma:

ad

o

po

r:

Al

ej

an

donde la carga modal R(t ) es una función polinomial en cada tramo tal como se gura 13.1. Note que se pueden calcular las derivadas superiores muestra en la Figura que requiere la función de carga cúbica, usando el método numérico que se resume en el Apéndice J. Por lo tanto, la ecuación diferencial a resolver, en el forma, tanto para las funciones de cargas intervalo i − 1 a i, tiene la siguiente forma lineales como cúbicas: (13.11)

om

pr

2 3  +t R  + t R  y(t) + 2ζ ω y (t) + ω 2 y(t) = Ri −1 + t R i −1 i −1 i −1 2 6

C

13.4

En base a la teoría básica de ecuaciones diferenciales lineales, la solución general de la Ecuación (13.11) es la suma de una solución homogénea y una solución particular y es de la siguiente forma: = y(t ) b1S(t ) + b2C(t ) + b3 + b4t + b5t 2 + b6t 3

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(13.12a)

2

3

t  t = + R in interval i - 1 to i R(t ) Ri −1 + t Ri −1 + R i −1 2 6 en el intervalo i-1 a loading i For linear within interval R = 0 i = 0 R

i Para carga lineal en el intervalo

i

( R − Ri −1 ) Ri −1 = i ∆t

i-1

sq

ue

z

Tiempo

te

Time

∆t

Ar

t ∆t

∆t i − R i −1 R  = R ∆t

ag

a

For cubic loading . within interval where Ri and Ri are specified Para carga cúbica en el intervalo . 6 2 i = 2 R donde ( Rii −yRiR R Ri +1 + 2 Ri ) +1 )i +se (especifican

Va

Figura 13.1 Función de Carga ga M Modal od

o

La velocidad y la aceleración asociadas a esta solución son las siguientes: (13.12b)

y(t ) b1 S(t ) + b2 C(t ) + 2b5 + 6b6 t =

(13.12c)

Al

ej

an

dr

= y (t ) b1S(t ) + b2C (t ) + b4 + 2b5t + 3b6t 2

r:

Estas ecuaciones se resumen en la siguiente ecuación matricial:

(13.13)

C

om

pr

ad

o

po

 b1  b  2 t 2 t 3    y i  S(t ) C(t ) 1.0 t  b  3    y i =  y i  = S (t ) C (t ) 0 1.0 2t 3t 2    = B(t )b b (t ) C (t ) 0  4   yi  S 0 2 . 0 6 t   b  5   b6 

Ahora es posible solucionar para las constantes bi . Las condiciones iniciales en

t = 0 son y (0) = y i −1 (13.12a y 13.12b)

y

y (0) = yi −1 . Por lo tanto, de las Ecuaciones

y i −1 ω D b1 − ϖ b2 + b4 = y i −1 b2 + b3 =

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(13.14a) (13.14b)

Sustituyendo las Ecuaciones (13.12a, 13.12b y 13.12c) en la Ecuación (13.11) y estableciendo que los coeficientes de cada término polinomial son iguales, se producen las siguientes cuatro ecuaciones: 1: = Ri −1 ω 2b3 + a0b4 + 2b5  t := R ω 2b4 + 2a0b5 + 6b6 i −1  t 2= : R 2ω 2b + 6a b

(13.15a)

 = 6ω 2b t 3 : R i −1 6

(13.15d)

i −1

(13.15c)

0 6

a

5

(13.15b)

0

o

0

dr

0

z

Ar

0   b1  0  b2    0  b3    6.0  b4  6a0  b5    6ω 2  b6 

ue

1.0 0 ω 2 a0 0 0 ω2 0 0 0

0 0 2.0 2a0 2ω 2

sq

0 1.0 1.0 0

Va

−ϖ

0

an

(13.16a)

 y i −1  ω D y   0  i −1   Ri −1   0   =  Ri −1   0    0 R i −1    R  i −1   0

te

ag

Estas seis ecuaciones, dadas por las Ecuaciones (13.14 y 13.15 13.15), pueden expresarse en la siguiente ecuación matricial:

ej

ó,

(13.16b)

r: po

Por lo tanto,

Al

R i −1 = C −1 b

(13.17)

ad

o

b = C R i −1

C

om

pr

La inversión de la matriz triangular superior C puede ser obtenida analíticamente; o puede ser invertida numéricamente en el programa de cómputo con relativa facilidad. Por lo tanto, la solución exacta en el instante de tiempo i de una ecuación modal debido a una carga cúbica en el intervalo de tiempo es la siguiente: yi = B(∆t )CR i −1 = A R i −1

(13.18)

La Ecuación (13.18) es una relación recursiva muy sencilla y poderosa. En la Tabla 13.2 se presenta el algoritmo completo para la carga lineal o cúbica. Note que la matriz A, de 3 por 6, se computa solamente una vez para cada modo. Por tanto, para cada incremento de tiempo, se requieren aproximadamente 20 multiplicaciones y 16 sumas. Las computadoras personales modernas y

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Ar

te

ag

a

económicas pueden completar una multiplicación y una adición en aproximadamente 10-6 segundos. Por eso, el tiempo de computadora que se requiere para solucionar 200 pasos por segundo para un sismo de 50 segundos de duración es de aproximadamente 0.01 segundos. O, se pueden resolver 100 ecuaciones modales en un segundo de tiempo de computadora. Por tanto, no se necesita considerar otros métodos numéricos, tales como el Método aproximado de la Transformada Rápida de Fourier, ni la evaluación numérica de la integral de Duhamel, para resolver estas ecuaciones. Debido a la rapidez de esta técnica polinomial exacta, también se puede utilizar para desarrollar espectros de respuesta sísmica precisos requiriendo un mínimo tiempo de cómputo.

Va

sq

ue

z

Tabla 13.2 Algoritmo Recursivo de Orden Superior para a la la S Solución olu de Ecuaciones Modales

t 2  t 3  Ri −1 + R i −1 2

an

dr

 + y(t ) + 2ξωy (t ) + ω 2 y(t ) = Ri −1 + t R i −1

o

I. ECUACIÓN A RESOLVER:

ej

II. CÁLCULOS INICIALES

= ωD ω 1− ξ 2

po

r:

Al

ξ =

a1 ω D2 − ω 2 =

o

a0 = 2ξ ω

ω = ωξ

ξ 1− ξ 2

a2 = 2ω ω D

C(∆t ) = e−ξω∆t cos(ω D ∆t )

ad

S(∆t ) = e−ξω∆t sin(ω D ∆t )

6

C (∆t= ) −ω C(∆t ) − ω D S(∆t )

(∆t= S ) − a1S(∆t ) − a2C(∆t )

(∆t )= − a C(∆t ) + a S(∆t ) C 1 2

C

om

pr

S(∆= t ) −ω S(∆t ) + ω D C(∆t ) S(∆t ) C(∆t ) 1.0 ∆t   B(∆t ) = S(∆t ) C(∆t ) 0 1.0   S 0  (∆t ) C(∆t ) 0

∆t 2 2∆t 2.0

∆t 3   3∆t 2  6∆t 

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ω D  0   0 C=  0  0   0

−ϖ

0 1.0 1.0 0

1.0 0 ω 2 a0 0 0 ω2 0 0 0 0 0 0

0 0 2.0 2a0 2ω 2 0

0  0   0   6.0  6a0   6ω 2 

−1

III. SOLUCIÓN RECURSIVA i= 1, 2, 3, etc.

c.

6 2   (Ri − Ri +1 ) + (R i +1 + 2 Ri ) 2 ∆t ∆t   R  = Ri − Ri −1 i −1 ∆t y i = A R i −1

d.

i=i+1 volver a 3a

Va

o

Al

ej

SOLUCIÓN PARA C CARGA A RG PERIÓDICA

om

pr

ad

o

po

r:

El algoritmo de solución de recurrencia que resume la Ecuación 13.16 es un método de computación muy efi eficiente para cargas dinámicas, transitorias, y arbitrarias, con condiciones iniciales. Es posible aplicar este método de solución sencilla para cargas periódicas arbitrarias tal como se indica en la Figura 13.2. Note que la duración total de la carga va des desde −∞ a +∞ , y la función de carga posee la misma amplitud y forma para cada período típico Tp . Las fuerzas ac acústicas, ústicas, eólicas y las olas marinas pueden producir este tipo de carga periódica. Ta También, las cargas vivas dinámicas sobre puentes pueden ser de forma periódica.

C

13.5

an

dr

b.

sq

ue

z

Ar

 = R i

a.

te

ag

a

= A B(∆t )C

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F(t) Mean Presión de Wind viento Pressure promedio

Tp

T

Tp

Tp

Tiempo Time

Tp

ag

a

Figura 13.2 Ejemplo de Carga Periódica

Va

sq

ue

z

Ar

te

Para una duración típica de carga Tp , se puede evaluar una solución numérica para cada modo aplicando la Ecuación n (13.11) sin condiciones iniciales. Esta solución es incorrecta porque no tiene las condiciones iniciales correctas. Por lo tanto, es necesario corregir esta solución y(t ) para que la solución exacta z(t ) tenga el mismo desplazamiento y la misma velocidad al comienzo y al final de cada período de carga. Para satisfacer la ecuación de equilibrio dinámico básico, la solución correctora x(t ) debe tener la siguiente forma: (13.19)

an

dr

o

= x(t ) x 0 A 1 (t ) + x 0 A 2 (t )

ej

donde las funciones se definen en la Tabla 13.1.

o

z(t ) y(t ) + x(t ) =

po

r:

Al

La solución exacta total para el desplazamiento y la velocidad para cada modo se puede expresar como: (13.20b)

pr

ad

z(t ) y (t ) + x (t ) =

(13.20a)

C

om

Para que la solución exacta sea periódica, se deben satisfacer las siguientes condiciones:

z(Tp ) = z(0)

(13.21a)

z(Tp ) = z(0)

(13.21b)

La evaluación numérica de la Ecuación (13.14) produce la siguiente ecuación matricial, que debe ser determinada para las condiciones iniciales desconocidas: 1 − A 1 (Tp ) − A 2 (Tp )   x 0  − y(Tp )  − A (T ) 1 − A (T )    = − y (T ) p  1 p 2 p  x0   

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(13.22)

Entonces, la solución periódica exacta para desplazamientos y velocidades modales puede ser calculada en base a las Ecuaciones (13.18a y 13.18b). Por lo tanto, no es necesario usar un enfoque de solución en el dominio de frecuencias para una carga periódica tal como se sugiere en la mayoría de los libros de texto sobre dinámica estructural.

FACTORES DE MASA PARTICIPANTE

sq

ue

z

Ar

te

ag

a

Varios códigos de construcción onstrucción requieren que por lo menos el 90 por ciento de la masa participante sea incluida en el cálculo de la respuesta para cada dirección principal. Este requisito está basado en una aceleración de base unitaria en una dirección particular, y el cálculo del cortante basal debido a dicha carga. La solución permanente para este caso implica la ausencia de amortiguamiento y fuerzas elásticas; por lo tanto, las ecuaciones de respuesta modal para una aceleración de base unitaria en la dirección x puede expresarse como sigue:

Va

yn = pnx

(13.23)

dr

o

ia en el nudo en la dirección x para ese modo por definición son: Las fuerzas de inercia (13.24)

ej

an

f xn = Mu(t) = M φ n y n = pnx M φ n

r:

Al

El cortante basal resistente en la dirección x para el modo n es la suma de todas las fuerzas nodales en la dirección x. O: 2

(13.25)

o

po

V nx = - pnx ITx Mφ n = pnx

pr

ad

nte basal total en la dirección x, incluyendo N modos, será: El cortante N

om

2 V x = ∑ p nx

(13.26)

n=1

C

13.6

Para una aceleración en la base unitaria en cualquier dirección, el cortante basal exacto debe ser igual a la suma de todos los componentes de masa en esa dirección. Por lo tanto, el factor de masa participante se define como la masa participante dividida entre el total de la masa en esa dirección. Esto es: N

X mass =

2 pnx ∑ n=1

∑ mx

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(13.27a)

N

Y mass =

2 pny ∑ n=1

(13.27b)

∑ my N

Z mass =

2 pnz ∑ n=1

(13.27c)

∑ mz

Ar

te

ag

a

Si se consideran todos los modos, todas estas relaciones laciones serán iguales a 1.0. Queda claro que la regla de una participación de un 90 por ciento está dirigida a estimar la precisión de una solución para el movimiento ovimiento de la base solamente. No se puede a r ga , ttales al como cargas emplear como un estimador de error para otros tipos de carga,

ue

z

estr tr uct puntuales o desplazamientos de base que actúan sobre laa estructura.

ej Al

(13.28)

po

ad

o

FACTORES DE EP PARTICIPACIÓN A RT DE CARGA ESTÁTICA

om

pr

Para cargas arbitrarias, es útil determinar si el número de vectores que se considera es adecuado para aproximar la respuesta verdadera del sistema estructural. Un método desplazamiento estáticos utilizando un grupo propuesto por el autor es evaluar los desplazamientos truncado de vectores para determinar la respuesta debido a patrones de carga estáticos. Según lo indicado por la Ecuación (13.1), las cargas pueden ser expresadas como sigue:

C

13.7

   

r:

 p1x  p1y 

θ 1 = tan −1 

an

dr

o

Va

sq

La mayoría de los programas de computadora determinan la contribución de ccada modo para estas relaciones. Además, una revisión de estos factores le da al ingeniero un indicio de la dirección del cortante basal asociado con cada modo. Por ejemplo, el ángulo con respecto al eje x del cortante basal asociado con el primer modo se expresa como sigue:

F(t) =

J

f ∑ j =1

j g(t) j

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(13.29)

Primero, se resuelve el problema estático para el desplazamiento exacto u j , asociado con el patrón de carga f j . Entonces, el trabajo externo total asociado con la condición de carga j es: 1 2

Ej = f jT u j

(13.30)

ωn

2

φ nT f j

ag

1

(13.31)

te

yn =

a

De la Ecuación (13.6), la respuesta modal, sin considerar las fuerzas de inercia y amortiguamiento, es como sigue:

N

sq

1

vj = y nφ n = φ Tf φ ∑ ∑ 2 n j n ω n =1 n =1 n

(13.32)

Va

N

ue

z

Ar

De la definición fundamental del método de superposición modal, un conjunto truncado de vectores define el desplazamiento aproximado v j como:

dr

o

El trabajo externo total asociado con la solución de la forma modal truncada es: 2

2

(13.33)

Al

ej

an

N  T N φn f j   pnj  1 T     = Ej = f j vj = ∑ ∑   2 n =1  ωn  n =1  ωn 

ad

o

po

r:

ffactor a ctor de participación de carga estática r j para la condición de Se puede definir el fa carga j como la relación de la suma del trabajo realizado por el grupo truncado de modos y el trabajo externo hecho por el patrón de carga. O:

C

om

pr

 pnj  Ej n=1  ω n = rj = Ej f jT u j L

∑

  

2

(13.34)

Si esta relación se acerca a 1.0, los errores introducidos por el truncamiento del vector serán muy pequeños. Sin embargo, si esta relación es menor que un 90 por ciento, se deben usar vectores adicionales en el análisis con el fin de capturar la respuesta debido a la carga estática. La experiencia de este autor indica que los vectores característicos exactos no son vectores base precisos para el análisis dinámico de estructuras sujetas a cargas puntuales. Mientras que vectores dependientes de cargas, cuya definición está

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presentada en el capítulo siguiente, siempre generan un factor de participación de carga estática de 1.0.

FACTORES DE PARTICIPACIÓN DE CARGA DINÁMICA

a

Además de los factores de masa participante y factores de participación de carga estática, es posible calcular el factor de participación de carga dinámica por cada patrón de carga. El programa SAP2000 produce estas tres relaciones de manera automática.

ue

z

Ar

te

ag

El factor de participación de carga dinámica está basado en la suposición física trón de carga. Considerando de que solamente las fuerzas de inercia resisten el patrón  j solamente los grados de libertad con masa asociada, la aceleración exacta u debida al patrón de carga f j es:

sq

 j = M −1f j u

(13.35)

Va

tante t = 1 es: La velocidad de los puntos de masa en el instante

dr

o

u j = t M −1f j = M −1f j

(13.36)

1 2

1 2

(13.37)

r:

Al

Ej = u T M u = f jT M −1f j

ej

an

Por lo tanto, el la energía cinética total asociada con el patrón de carga j es:

ad

o

po

Por la Ecuación 13.6, la aceleración y velocidad modales, sin tomar en cuenta los grados de libertad sin masa, se dan como sigue: T yn = φn f j and

om

pr

(13.38a)

y n = tφnT f j = φnT f j at t = 1

(13.38b)

C

13.8

De la definición fundamental del método de superposición modal, un grupo truncado de vectores define la velocidad aproximada v j como: N

∑ n

N

∑ n

v j = y nφ n = φ nT f j φ n = =1

=1

N

N

n =1

n =1

∑ pnj φ n =∑ φ n pnj

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(13.39)

La energía cinética total asociada con la solución de la forma modal truncada es:

Ej =

1 T 1 N v j M v j = pnj φ n T M 2 2 n =1

∑

N

∑ φ n pnj = n =1

1 N ( pnj ) 2 2 n =1

∑

(13.40)

Se puede definir el factor de participación de carga dinámica rj para la condición de carga j como la relación entre la suma de la energía cinética asociada con el grupo truncado de modos y la energía cinética total asociada con el patrón de carga. O:

Ej

2

a

N

( pnj ) ∑ n

(13.41)

Ar

te

ag

=1 = rj = Ej f jT M −1f j

Va

sq

ue

z

El factor de participación de carga dinámica incluye solamente aquellas cargas que estén asociadas con los grados de libertad con masa. Sin embargo, el factor de participación de carga estática incluye los efectos de las cargas que actúan sobre los grados de libertad sin masa.

po

RESUMEN

om

pr

ad

o

El método de superposición modal es un método muy poderoso que se utiliza para reducir el número de variables desconocidas en un análisis de respuesta dinámica. Todo tipo de carga puede ser aproximado de manera precisa mediante funciones lineales o cúbicas en un intervalo de tiempo pequeño. Existen soluciones exactas para estos tipos de carga, las cuales pueden ser calculadas en un tiempo de cómputo trivial para incrementos de tiempo iguales. Por lo tanto, no existe la necesidad de presentar otros métodos para la evaluación numérica de ecuaciones modales.

C

13.9

r:

Al

ej

an

dr

o

Una participación de carga dinámica de un 100 por ciento indica que se captura la respuesta de altaa frecuencia de la estructura. Además, para los casos de carga proporcional a la masa en las tres direcciones globales, los factores de participaciónn de carga dinámica son idénticos a los factores de participación de masa.

Para resolver la respuesta dinámica lineal de estructuras sujetas a cargas periódicas, solamente se necesita agregar una solución correctiva a la solución transitoria para un periodo de tiempo típico de carga. La solución correctiva obliga que las condiciones iniciales de un periodo de tiempo típico sean iguales a

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las condiciones finales al final del periodo de tiempo. Por lo tanto, se puede usar el mismo método de solución de dominio de tiempo para solucionar problemas de respuesta dinámica de viento o de ondas en la ingeniería estructural.

Ar

te

ag

a

Se pueden usar factores de masa participante para estimar el número de vectores que se requieren en un análisis sísmico elástico donde las aceleraciones de base se usan como la carga fundamental. El empleo de factores de participación de masa para estimar la precisión de un análisis sísmico no-lineal puede introducir lineales internas que vayan en errores de importancia. Fuerzas concentradas no-lineales direcciones iguales y opuestas no producen un cortante de base. Además, para el caso de desplazamientos de base especificados, los factores de masa participante no tienen un significado físico.

C

om

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

an

dr

o

Va

sq

ue

z

Los factores de participación dinámica y estática se definen y se pueden usar para estimar el número de vectores requeridos. Posteriormente se mostrará que el uso de los vectores Ritz, en vez de los vectores característicos exactos, producen ones de participación estática y dinámica de un 100 por ciento vectores con relaciones o que se aproximan al mismo.

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14.

Ar

te

ag

a

CÁLCULO DE VECTORES ORTOGONALES A LA RIGIDEZ Y MASA

Va

INTRODUCCIÓN

ad

o

po

r:

Al

ej

an

dr

o

El motivo principal de calcular formas de modo (o autovalores y autovectores) es el hecho de que son usados para desacoplar las ecuaciones de equilibrio dinámico para el análisis de superposición modal y/o para el análisis modal espectral. El principal objetivo de un análisis de respuesta dinámica de una estructura es cisa los desplazamientos y las fuer zas en los elementos estimar de maner a pprr eecisa en la estructura real. En general, no existe una relación directa entre la precisión nodal y de los autovalores y autovectores, y la precisión de los desplazamientos nodales las fuerzas en los elementos. eleme

om

pr

En los primeros días de la ingeniería sísmica, se usaba ampliamente el método Rayleigh-Ritz de análisis dinámico para calcular soluciones aproximadas. Con el Rayleigh desarrollo de las computadoras de alta velocidad, el uso de autovectores exactos comenzó a sustituir el empleo de los vectores Dependientes de Carga Ritz como s base del análisis sísmico. En este libro se va a demostrar que los vectores Ritz , LDR (Load-Dependent Ritz), pueden ser usados para el análisis dinámico de estructuras tanto lineales como no-lineales. El nuevo método modificado Ritz produce resultados más precisos, con menos trabajo de cómputo, que la utilización de autovectores exactos.

C

14.1

sq

ue

z

Los Vectores LDR Siempre son Más Precisos Que los Autovectores Exactos en un Análisis de Superposición Modal

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Existen varios métodos numéricos disponibles para la evaluación del problema de autovalores. Sin embargo, para sistemas estructurales grandes, solamente unos cuantos métodos se han demostrado como precisos y robustos.

MÉTODO DE BÚSQUEDA DEL DETERMINANTE La ecuación de equilibrio, que rige la vibración libre sin amortiguamiento de un modo típico, se expresa como sigue: (14.1a)

ag

a

[K - ωi 2 M ]v i = 0

Ar

te

Ó, simplemente:

(14.1b)

ue

z

Ki vi = 0

Va

sq

La Ecuación (14.1) puede resolverse directamente para las frecuencias naturales de la estructura, asumiendo valores para ω i y factorizando la siguiente ecuación: (14.2)

o

T K i = Li D i Li

ej

Det ( ωi ) = D11 D 22 - - - - D NN

an

dr

Del Apéndice C, el determinante de la matriz factorizada se define como sigue: (14.3)

om

pr

ad

o

po

r:

Al

factorización repetida, desarrollar una gráfica del de Ess posible, mediante la factorización determinante vs. λ , tal como se muestra en la Figura 14.1. Este método clásico de evaluar las frecuencias naturales de una estructura se llama método de búsqueda del determinante er min a n [1]. Se debe notar que para el caso de matrices de anchos de banda reducidos, el esfuerzo numérico para factorizar las matrices es muy pequeño. Para esta clase de problema, el método de búsqueda de del determinante, conjuntamente con la iteración inversa, representa un método efectivo para evaluar las frecuencias no amortiguadas y las formas de modo de sistemas estructurales pequeños. Sin embargo, debido al aumento de la velocidad de las computadoras, problemas pequeños pueden ser resueltos mediante cualquier método en cuestión de segundos. Por lo tanto, el método de búsqueda de determinante ya no se usa en los programas modernos de análisis dinámico.

C

14.2

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Det ( λ ) ATodos ll TermsLos In DTérminos Positive En D Positivos

Two N eg. DDiiii Dos Neg. λ1

λ2

λ3

S ix NeNeg. g. DiiDii Seis

λ 4 , λ5

λ6

λ

Five NNeg eg. DD Cinco Neg. ii ii

Ar

te

ag

a

hree D Ne Tres TNeg. ii g. Dii

One N Un Neg. Deiig. Dii

CHEQUEO DE SECUENCIA STURM TURM

Va

14.3

sq

ue

z

F igura 14.1 Determinante vs. F recuencia u en cia ppara Sistema Típico

C

om

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

an

dr

o

La Figura 14.1 4.1 ilustra una propiedad muy importante de la secuencia de los términos diagonales de la matriz factorizada. Se nota que para un valor especificado de ω i , se puede contar el número de términos negativos en la matriz diagonal, l, y siempre será igual al número de frecuencias por debajo de dicho valor. Por tanto, se puede usar para chequear un método de solución que falla al calcular todas las frecuencias menores a un valor especificado. También, otra aplicación importante de la Técnica de Secuencia Sturm es la evaluación del número de frecuencias dentro de un rango de frecuencias. Es necesario solamente factorizar la matriz en los puntos de frecuencia máximo y mínimo; la diferencia en el número de términos diagonales negativos es igual al número de frecuencias vibraciones en el rango. Esta técnica numérica es útil en el caso de problemas de vibraci de má máquinas.

14.4

ITERACIÓN INVERSA La Ecuación (14.1) puede expresarse en una forma de solución iterativa como: (i)

(i) K V n = λ n (i)-1 M V(in)-1 ó LDLT V(i) n =R

(14.4)

Los pasos de cómputo que se requieren para la solución de un valor y un autovector pueden resumirse como sigue:

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1. Factorizar la matriz de rigidez en forma triangular LD LT durante la fase de solución de carga estática. 2. Para la primera iteración, asumir que R (1) sea un vector de números (1)

escogidos al azar, y resolver para el vector inicial V n 3. Iterar con i = 1, 2 . . .

(i) a. Normalizar el vector de manera que VT(i) n M Vn = I

ag

a

T(i) (i) b. Estimar el autovalor λ(i) n = Vn R

te

c. Comprobar convergencia de λ(i) n ; si converge,, terminar

Ar

d. i = i + 1 y calcular R(i) = λ(in-1) MV (i-1)

sq

Repetir el Paso No. 3.

Va

f.

ue

z

(i) e. Resolver para el vector nuevo LD LT V(i) n =R

ej

ORTOGONALIZACIÓN DE G GRAM-SCHMIDT RA M

pr

ad

o

po

r:

Al

Se pueden calcular autovectores vectoreess adicionales utilizando el método de iteración vector inversa, si después de cada ciclo de iteración, el vector de iteración es ortogonal a todos los vectores anteriormente calculados. Para ilustrar el método, vamos a suponer que tengamos un vector aproximado V que debe ser ortogonal al vector anteriormente. O, se puede calcular el nuevo vector desde: Vn calculado anteriormente

om

V = V - α Vn

(14.5)

Multiplicando licando la Ecuación (14.3) por VTn M , obtenemos:

C

14.5

an

dr

o

Se puede demostrar fácilmente que este método converge al autovalor más pequeño.

VTn MV = VTn MV - α VTn M Vn = 0

(14.6)

Por lo tanto, se satisface el requisito de ortogonalidad si: α=

VTn MV = VTn MV VTn M Vn

(14.7)

Si se inserta el paso de ortogonalización después del Paso 3.e en el método de iteración inversa, se pueden calcular los autovalores y autovectores adicionales.

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ITERACIÓN EN EL BLOQUE SUB-ESPACIO

a

Podría ser que la iteración inversa con un vector no converja si los autovalores son idénticos y si los autovectores no son únicos. Este caso existe para muchas estructuras reales tridimensionales, tales como edificios con rigidez y masa iguales en las direcciones principales. Se puede evitar este problema iterando con un bloque de vectores ortogonales [2]. En la Tabla 14.1 se resume el algoritmo de iteración en el sub-espacio, siendo el mismo el método que se usa en las versiones modernas del programa SAP.

Va

sq

ue

z

Ar

te

ag

sub-espaci espaci debe ser La experiencia nos indica que el tamaño “b” del bloque del subsub-espacio nda de la matriz de rigidez, igual a la raíz cuadrada del promedio del ancho de banda pero no menor que seis. El algoritmo de iteración del sub-espacio es relativamente lento; sin embargo, es muy preciso y robusto. En general, después de agregar un vector a un bloque, se requieren de cinco a diez reducciones hacia hac adelante y sustituciones hacia atrás antes de que el vector de iteración converja al autovector exacto.

ej

an

I. CALCULOS INICIALES ES

dr

o

Tabla 14.1 Algor itmo de Sub-espacio p a cio par p a la Gener ación de Autovector es

Al

A. Triangularizar Triangularizar la Matriz de Rigidez.

V(0) .

po

r:

B. Usar números al azar para formar un bloque de “b” vectores

o

II. GENERAR RAR E EIGENVECTORES IG L MEDIANTE ITERATION i = 1,2...

ad

Resolver para bloque de vectores, X(i) en, K X(i) = M V(i-1) . A. Resolve

om

pr

B. Hacer que el bloque de vectores, X(i) , sea ortogonal a la rigidez y la

C

14.6

masa, V(i) . Ordenar los autovalores y los autovectores correspondientes en orden ascendente.

C. Usar el método de Gram-Schmidt para que el vector V(i) sea ortogonal a todos los vectores anteriormente calculados y normalizarlos de tal manera que VT(i) M V(i) = I . D. Hacer las siguientes operaciones y chequeos: 1. Si el primer vector del bloque no converge, continuar en el Paso A con i = i + 1 .

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2. Guardar Vector φn en el Disco. 3. Si n es igual a L , terminar la iteración. 4. Compactar el bloque de vectores. 5. Agregar vector de números al azar a la última columna del bloque. Volver al Paso D.1 con n = n + 1

a

SOLUCIÓN DE SISTEMAS SINGULARES

ag

14.7

Va

sq

ue

z

Ar

te

Para algunos tipos pos de estructuras, tales como vehículos aeroespaciales, no es posible usar la iteración inversa o de sub-espacio espacio directamente para resolver formas y frecuencias de modo. Esto es debe porque existe un mínimo de seis modos de cuerpo rígido con frecuencia cero, y la matriz de rigidez es singular y no puede triangularizarse. Para solucionar este problema, solamente es necesario hacer la siguiente tr aslación o cambio de variable del autovalor: (14.8)

dr

o

λ n = λn − ρ

ej Al

(14.9a)

r:

K V n(i) = λ n(i-1) M V(in-1)

an

Por lo tanto, el problema iterativo del autoval autovalor puede expresarse como sigue:

o

po

Ó, simplemente:

(14.9b)

pr

ad

(i) T (i) LDL V n = R

om

Entonces, la la matriz de rigidez trasladada no es singular y se define así:

C

= K K + ρM

(14.10)

Los autovectores no se modifican por la traslación arbitraria ρ . Los autovalores correctos se calculan en base a la Ecuación (14.8).

14.8

GENERACIÓN DE VECTORES DEPENDIENTES DE CARGA RITZ El esfuerzo numérico que se requiere para calcular la solución característica exacta puede ser enorme para un sistema estructural, si se requiere un número

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elevado de modos. Sin embargo, muchos ingenieros creen que se justifica este esfuerzo de computación si se obtienen resultados precisos. Uno de los objetivos de la presente sección es ilustrar de manera clara el hecho de que esta suposición no es válida para los análisis de la respuesta dinámica de todo sistema estructural. Es posible usar las formas de modo de vibración libre exactas, para reducir el tamaño de problemas tanto lineales como no-lineales. Sin embargo, este no es el mejor enfoque por las razones siguientes:

te

ag

a

1. Para sistemas estructurales grandes, la solución del problema de autovalores ón libre puede exi para las formas de modo y frecuencias de vibración exigir un esfuerzo importante de cómputo.

Va

sq

ue

z

Ar

vibración libre 2. En el cálculo de las formas de modo de vibración libre, no se toma en cuenta la distribución espacial de la carga. Por lo tanto, muchas de las formas de modo que se calculan son ortogonales a la carga, y no participan en la respuesta dinámica.

po

r:

Al

ej

an

dr

o

3. Si las cargas dinámicas se aplican en grados grados-de-libertad sin masa, el uso de todas las formas de modo exactas en un análisis de superposición modal no converge a la solución exacta. Ademá Además, los desplazamientos y los esfuerzos rca de la aplicación de las cargas pueden tener un error significativo. Por cerca eso, no hay necesidad de aplicar el “método de corrección estática” como sería el caso si se usaran autovectores exactos para dichos problemas.

pr

ad

o

4. Es posible calcular un grupo de vectores Ritz ortogonales de rigidez y masa con un esfuerzo m mínimo de computación, que converge a la solución exacta para cualquier distr distribución espacial de carga [2].

C

om

Se puede demostrar que un análisis dinámico basado en un grupo único de Vectores Dependiente Dependientes de Carga (vectores LDR) produce un resultado más preciso que el uso del mismo número de formas de modo ex exactas. La eficiencia de esta técnica ha sido ilustrada mediante la solución de muchos problemas de respuesta estructural y en problemas del tipo de propagación de ondas [4]. Se han publicado varios algoritmos para la generación de los Vectores Dependientes de Carga Ritz desde que el método fuera presentado por primera vez en el año 1982 [3]. Por lo tanto, es necesario presentar en la Tabla 14.2 la última versión del método para condiciones de carga múltiple.

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Tabla 14.2 Algoritmo para la Generación de Vectores Ritz Dependientes de Carga I. CÁLCULOS INICIALES A. Triangularizar la Matriz de Rigidez K = L T DL . B. Resolver para el bloque de “b” vectores de desplazamiento estático us debido a los patrones de carga espacial F ; ó, K u s = F .

ag

a

C. Hacer que el bloque de vectores u s , sea ortogonal respecto a la rigidez y masa, V 1 .

Ar

te

1,2,3,4....N ,2 II. GENERAR BLOQUES DE VECTORES PARA RITZ i = 1

z

A. Resolver para bloque de vectores, Xi , K Xi = M V i-1 .

ue

B. Hacer el bloque de vectores Xi , sea ortogonal respecto a la rigidez

sq

y masa, V 1 .

o

Va

Gram-Schmidt Schmidt (dos veces) de tal C. Usar el método Modificado de Gram Gram-Schmidt manera que V i sea ortogonal a todos los vectores anteriormente

an

dr

calculados, y normalizar los vectores para que V Ti M V i = I .

ej

III. HACER QUE LOS VECTORES TO T ORES S SEAN ORTOGONALES CON LA

Al

RIGIDEZ

po

r:

A. Resolver el problema de autovalores, de Nb por Nb, [K - Ω2 I ]Z = 0

o

donde K = V T K V .

EXPLICACIÓN LIICA C L FÍSICA DEL ALGORITMO LDR

C

14.9

om

pr

ad

B. Calcular los vectores Ritz ortogonales con la rigidez, Φ = VZ .

La base física del método es el reconocimiento de que la respuesta dinámica de una estructura será función de la distribución espacial de la carga. Las ecuaciones del equilibrio dinámico sin amortiguamiento para una estructura elástica pueden expresarse de la siguiente manera: (t) + K u(t) = R(t) Mu

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(14.11)

En el caso de sismo o viento, la carga dependiente de tiempo que actúa sobre la estructura, R(t) , Ecuación (13.1), se puede expresar como sigue: J

R (t ) = ∑ f j g (t ) j = F G (t )

(14.12)

j =1

Va

Mu Fsenω t (t ) + Ku(t ) =

sq

ue

z

Ar

te

ag

a

Note que los patrones de carga independientes F no son una función del tiempo. Para movimientos sísmicos constantes del terreno en la base de la estructura, son posibles tres patrones de carga independientes. Estos patrones de carga son una función de la distribución direccionall de la masa de la estructura. En el caso de cargas de viento, el promedio de la presión del viento representa uno de estos vectores. Las funciones de tiempo G(t ) siempre pueden ser expandidas empleando series de Fourier de funciones seno y coseno. Por lo tanto, sin considerar el amortiguamiento, una típica ecuación de equilibrio dinámico a resolver tendría la siguiente forma: (14.13)

ej

(14.14)

Al

K = u F + ϖ2 Mu

an

dr

o

Por lo tanto, la respuesta dinámica exacta de una frecuencia de carga típica ϖ es de la siguiente forma:

pr

ad

o

po

r:

Esta ecuación no puede ser resuelta directamente porque se desconoce la frecuencia de la carga. Sin embargo, se puede calcular una serie de vectores ortogonales respecto a la rigidez y masa que satisface esta ecuación utilizando un algoritmo de perturbación. El primer bloque de vectores se calcula eliminando la masa y solucionando para la respuesta estática de la estructura. O:

om

K u0 = F

(14.15)

C

Por la Ecuación (14.14) es evidente que la distribución del error en la solución, debido a que no se consideran las fuerzas de inercia, puede aproximarse de la siguiente manera: F1 ≈ M u 0

(14.16)

Por lo tanto, se puede calcular un bloque adicional de vectores de error de desplazamiento, o corrección, en base a lo siguiente: K u 1 = F1

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(14.17)

Al calcularse u 1 , no se consideran las fuerzas adicionales de inercia. Por lo tanto, al seguir este proceso, es evidente que existe la siguiente ecuación de recurrencia: (14.18)

K u i = M u i −1

Va

sq

ue

z

Ar

te

ag

a

Se puede generar un gran número de bloques de vectores usando la Ecuación (14.18). Sin embargo, para evitar problemas numéricos, los vectores deben ser ortogonales con la rigidez y masa después de cada paso. Además, se debe garantizar que todos los vectores sean linealmente independientes. En la Tabla 14.2 se resume el algoritmo numérico completo. Después de examinar á lisis dinámico di es cuidadosamente los vectores LDR, se puede concluir que el análisis una simple extensión del análisis estático porque el primer bloque de vectores constituye la respuesta estática de todos los patrones de carga que actúan sobre la lo grados-deestructura. Para el caso donde se aplican las cargas solamente en los libertad con masa, los vectores LDR siempre son una combinación lineal de los autovectores exactos.

o

po

r:

Al

ej

an

dr

o

Ess interesante notar que la ecuación recursiva, que se usa para generar los vectores LDR, es similar al algoritmo Lanczos para el cálculo de valores y val autovectores exactos, con la excepción de que los vectores iniciales son los desplazamientos estáticos causados por las distribuciones espaciales de carga. También se puede notar que no existe iteración en la generación de los Vectores Dependientes de Carga Ritz. Ritz.

pr

ad

14.10 COMPARACIÓN ÓN D DE E SOLUCIONES USANDO AUTOVECTORES Y VECTORES RES R RITZ IT

C

om

La viga doblemente empotrada que se presenta en la Figura 14.1a está sujeta a una carga puntual puntual en el centro de la viga. La carga varía en tiempo como una función uni unitaria constante. 100

10 @ 12 = 240 Modulde us Elasticidad of Elasticity= = 30,000,000 Módulo 30,000,000 Momentde of Inercia Inertia==100 100 Momento Masspor peUnidad r Unit Lde enLongitud gth = 0.1= 0.1 Masa Factor Dampde ingAmortiguamiento Ratio = 0.01 Crítico = 0.01

All unilas ts iunidades n PoundsenanLibras d InchyePulgadas s Todas

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F igura 14.1a Dimensiones, Rigidez y Masa para Estructura de Viga El factor de amortiguamiento para cada modo fue fijado en el uno por ciento, y el desplazamiento y el momento máximo ocurren a 0.046 segundos, tal como se presenta en la Tabla 14.3.

Ar

te

ag

a

Los resultados indican claramente las ventajas del uso de vectores dependientes de carga. Se nota que los modos 2, 4, 6 y 8 de vibración libre, no son excitados por la carga porque no son simétricos. Sin embargo, el algoritmo de cargadependiente genera solamente los modos simétricos. De hecho, el algoritmo fallará para este caso, si se solicitan más de cinco vectores.

sq

Desplazamiento

Momento

1

0.004572 (-2.41)

4178 ((-22.8)

0.004726 (+0.88)

5907 (+9.2)

2

0.004572 2.41) (-2.41)

4178 (-22.8)

0.004591 (-2.00)

5563 (+2.8)

3

0.004664 (-0.46) (-0.46)

4946 (-8.5)

0.004689 (+0.08)

5603 (+3.5)

0.004664 (-0.46)

4946 (-8.5)

0.004688 (+0.06)

5507 (+1.8)

5

0.004681 (-0.08)

5188 (-4.1)

0.004685 (0.00)

5411 (0.0)

7

0.004683 (-0.04)

5304 (-2.0)

9

0.004685 (0.00)

5411 (0.0)

ad

o

po

r:

Al

ej

an

dr

o

Momento

pr om

Vectores Ritz Carga Dependientes

Desplazamiento

4

C

Formas de Modos de Vibración Libre

Va

Número de Vectores

ue

z

Tabla 14.3 Resultados del Análisis Dinámico d de eu una n a Estructura de Viga

Nota: Los números entre paréntesis son porcentajes de error.

Ambos métodos producen buenos resultados para el máximo desplazamiento. Sin embargo, los resultados para el momento máximo indican que los vectores dependientes de carga producen resultados significativamente mejores y

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convergen desde arriba a la solución exacta. Queda claro que las formas de modo de vibración libre no necesariamente son los mejores vectores a usarse en el análisis de respuesta dinámica de superposición de modo. El cálculo de las formas de modo de vibración libre exactas no solamente requiere de más tiempo de cómputo, sino también requiere de más vectores, lo que aumenta el número de ecuaciones modales que deben ser integradas y almacenadas en la computadora.

14.11 CORRECCIÓN PARA TRUNCADO DE MODOS SUPERIORES

dr

o

Va

sq

ue

z

Ar

te

ag

a

En el análisis de muchos tipos de estructuras, la respuesta de modos su superiores periores puede ser significativa. En el uso de autovectoress exactos para la superposición modal o el análisis de espectro de respuesta, se han desarrollado métodos aproximados de análisis para mejorar los resultados. El objetivo de d dichos métodos aproximados es “tomar en cuenta cualquier masa faltante“ o “agregar una respuesta estática” asociada al “truncado de modos modo superiores.” Estos métodos se usan para reducir el número de autovectores autovector auto vector exactos a calcular, lo que reduce el tiempoo de computación y los requisitos de almacenamiento en computadora.

C

om

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

an

El uso de vectores LDR Ritz Dependientes de Carga, por otro lado, no requiere el uso de estos métodos de aproximación porque la “respuesta estática” está incluida en el grupo inicial de vectores. vectores. Esto se ilustra en un análisis tiempo historia de una estructura en voladizo sujeta a movimientos sísmicos tal como se presenta en la Figura 14.2. Este es un modelo de una superestructura de peso ligero construida sobre una cimentación masiva apoyada sobre pilotes rígidos modelados usando un resorte.

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a

Computer Model

ag

Modelo elo Matemático

Ar

te

F igura 14.2 Estructura en Voladizo sobre Cimentación n ta ción Rígida Masiva

dr

o

Va

sq

ue

z

Se pueden usar solamente ocho autovectores o vectores Ritz porque el modelo tiene solamente ocho masas. Los períodos calculados, calculados, utilizando el método Ritz o el método de autovalores (Eigen) exacto, se resumen en la Tabla 14.4. Es evidente que el octavo modo está asociado a la vibración de la masa de la cimentación, ación, y que el período es muy corto: 0.00517 segundos.

an

Tabla 14.4 Períodos y Factores t o r es d de e Participación de Masa PERIODO (Segundos)

PARTICIPACION DE MASA (Porcentaje)

1

1.27321

11.706

0.43128

01.660

3

0.24205

00.613

4

0.16018

00.310

5

0.11899

00.208

6

0.09506

00.100

7

0.07951

00.046

8

0.00517

85.375

po

r:

Al

ej

NUMERO DE MODO

C

om

pr

ad

o

2

La máxima fuerza en la cimentación usando diferentes número de autovectores y LDR se resume en la Tabla 14.5. Además, se presenta la participación de masa total asociada con cada análisis. El intervalo de tiempo de integración es el mismo que del movimiento sísmico de entrada; por lo tanto, no se introducen

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errores adicionales a los que resultan del truncado de modos. Se emplea el cinco por ciento de amortiguamiento crítico en todos los casos. Tabla 14.5. Fuerzas de Cimentación y Participación de Masa Total NUMERO DE VECTORES

FUERZA DE CIMENTACIÓN (Kips)

PARTICIPACIÓN DE MASA (Porcentaje Total)

RITZ

EIGEN

RITZ

8

1,635

1,635

100.0

100.0

7

260

1,636

14.6

5

259

1,671

14.5

3

258

1,756

14.0

2

257

3,188

13.4

83.3 16.2 14.5 13.9

sq

ue

z

Ar

te

ag

a

EIGEN

r:

Al

ej

an

dr

o

Va

La solución para ocho autovectores o LDR produce la solución exacta para la fuerza en la cimentación y el 100 por ciento de la masa participante. Para siete autovectores, la solución para la fuerza solamente en la cimentación constituye el 16 por ciento del valor exacto – un error significativo, mientras que la solución cimentación. Es interesante notar LDR es casi idéntica a la fuerza exacta en la cimentación que el método LDR sobreestima la fuerza a medida que se vaya reduciendo el número de vectores – un resultado ingenieril conservador.

C

om

pr

ad

o

po

También es evidente que los factores de participación de masa asociados a las soluciones LDR no representan un estimado preciso del error en la fuerza en la cimentación. En este caso, la participación de masa del 90 por ciento no constituye un requisito si se usan vectores LDR. Si se usan solamente cinco vectores LDR, el factor de participación de masa total es solamente un 16.2 por ciento; sin embargo la fuerza en la cimentación está sobre sobre-estimada en sólo un 2.2 por ciento.

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14.12 RESPUESTA SÍSMICA EN LA DIRECCIÓN VERTICAL Se requiere que para ciertos tipos de estructuras, que el ingeniero estructural calcule la respuesta dinámica vertical. Durante los últimos años muchos ingenieros me han informado que era necesario calcular varios cientos de formas de modo para una estructura grande, para obtener una participación de masa del 90 por ciento en dirección vertical. En todos los casos, se utilizaron en el análisis las frecuencias y formas de modo de vibración libre “exactas”.

z

Ar

te

ag

a

Para ilustrar este problema y proponer una solución, se realizó un análisis dinámico c vertical del pórtico bidimensional que se presenta en la Figura 14.3. La masa se concentra p en las 35 ubicaciones indicadas; por lo tanto, el sistema posee 70 posibles formas de modo.

sq

ue

En la Tabla 14.6 se resume los porcentajes de participación de masa usando la solución exacta de autovalor para frecuencias y formas de modo,

an

dr

o

Va

Se nota que los modos laterales y verticales son desacoplados para esta estructura muy ncilla. Solamente dos de los primeros diez modos están en dirección direcci vertical. Por lo sencilla. tanto, la participación de masa vertical total es solamente un 63.3 por ciento.

po

r:

Al

ej

En la Tabla 14.7 se resume los primeros 10 vectores Ritz Dependientes de Carga calculados y los porcentajes de participación de masa. Los dos vectores LDR iniciales fueron generados utilizando cargas estáticas proporcionales a las distribuciones de masa lateral y vertical.

C

om

pr

ad

o

Los diez vectores producidos por el método LDR satisfacen el requisito de código del 90 por ciento. Se necesitaría el cálculo de 34 vectores para el enfoque del autovalor exacto para obtener el mismo porcentaje de participación de masa. Esto constituye apenas un ejemplo adicional de porqué el método LDR es superior al uso de lo los autovectores exactos para carga sísmica.

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a ag te Ar z ue sq

dr

o

Va

Figura 14.3 Estructura Aporticada Sujeta a Movimiento Sísmico Vertical Ve

ej

an

Tabla 14.6 Factores de Porcentaje d de eP Participación ar t i de Masa para Autovalores Exactos

Al

PARTICIPACIÓN MASA PARTICIPAC LATERAL

r:

PERÍODO (Segundos) s)

po

MODO

PARTICIPACIÓN MASA VERTICAL

CADA MODO

TOTAL

CADA MODO

TOTAL

1.273

79.957

79.957

0

0

0.421

11.336

91.295

0

0

0.242

4.172

95.467

0

0

0.162

1.436

96.903

0

0

5

0.158

0.650

97.554

0

0

6

0.148

0

97.554

60.551

60.551

7

0.141

0.031

97.584

0

60.551

8

0.137

0.015

97.584

0

60.551

9

0.129

0.037

97.639

0

60.551

10

0.127

0

97.639

2.775

63.326

ad

o

1

C

4

om

3

pr

2

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Tabla 14.7 Factores de Porcentaje de Participación de Masa Utilizando Vectores LDR PERIODO (Segundos)

PARTICIPACIÓN MASA VERTICAL

CADA MODO

TOTAL

CADA MODO

TOTAL

0

0

0

0

0

0

0

0

1.273

79.957

79.957

2

0.421

11.336

91.295

3

0.242

4.176

95.471

4

0.158

2.388

97.859

5

0.149

0

97.859

60.567

60.567

6

0.123

0

97.859

4.971

65.538

7

0.104

2.102

99.961

0

65.538

8

0.103

0

99.961

13.243

78.781

9

0.064

0

99.961

9.696

88.477

10

0.041

0

99.961

8.463

96.940

ag te Ar

z

sq Va

o

dr an Al

ej

a

1

ue

MODO

PARTICIPACIÓN MASA LATERAL

ad

o

po

r:

El motivo de esta impresionante precisión del método LDR en compara comparación con el método del autovector autovector exacto es que se calculan solamente las formas de modo que son excitadas por la carga sísmica.

om

pr

14.13 RESUMEN SUMEN

C

Existen tres diferentes métodos matemáticos para la solución numérica del problema de autovalores. Todos tienen ventajas para ciertos tipos de problemas. El primero, el método de búsqueda de determinante, que está relacionado a la búsqueda de las raíces de un polinomio, es un método tradicional fundamental. No es eficiente para problemas estructurales grandes. Se puede emplear la propiedad de secuencia Sturm de los elementos diagonales de la matriz factorizada para determinar el número de frecuencias de vibración dentro de un rango especificado.

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El segundo, los métodos de iteración inversa y del sub-espacio, son parte de un gran número de métodos de potencia. El método de Stodola es un método de potencia. Sin embargo, no es práctico el uso de una matriz ancha para obtener modos superiores porque elimina la dispersión en las matrices. La ortogonalización de Gram-Schmidt representa el método más efectivo para forzar que los vectores de iteración converjan a modos superiores.

o

Va

sq

ue

z

Ar

te

ag

a

Tercero, los métodos de transformación son muy efectivos para el cálculo de todos los autovalores y autovectores de pequeñas matrices densas. Jacobi, Givens, Householder, Wilkinson y Rutihauser son todos métodos de transformación bien conocidos. El autor prefiere usar una versión moderna del método de Jacobi en los programas ETABS y SAP. No es el método más rápido; sin embargo, hemos encontrado que es preciso y robusto. Ya que se usa solamente para problemas iguales al tamaño del subsub -espacio, espacio, el tiempo de sub-espacio, ción para esta fase de la solución es muy reducido en comparación con computación el tiempo que se requiere para formar el problema de autovalores del subespacio. En el Apéndice D se presenta la derivación del método de Jacobi.

C

om

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

an

dr

Carga Ritz representa el enfoque más El uso de Vectores Dependientes de Carga eficiente para determinar valores precisos de desplazamientos nodales y fuerzas en elementos en estructuras que están sujetas a cargas dinámicas. Las frecuencias bajas que se obtienen de un análisis de vector vectores Ritz son siempre bastante frecuencias exactas de vibración libre. Si se pasan por alto similares a las frecuencias frecuencias y formas de modo, es porque la carga dinámica no las excita; por lo tanto, no tienen ningún valor práctico. Otra ventaja importante del uso de los es LDR es el hecho de que no es necesario preocuparse por errores vectores introducidos por el truncado de modo modos superiores de un grupo de autovectores exactos.

Toda forma r ma de modo LDR es una combinación lineal de autovectores exactos; por lo tanto, el método siempre converge a la solución exacta. También, el tiempo de computación que se requiere para calcular los vectores LDR es significativamente menor que el tiempo que se requiere para solucionar autovectores.

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14.14 REFERENCIAS Bathe, K. J., and E. L. Wilson. 1972. "Large Eigenvalue Problems in Dynamic Analysis," Proceedings, American Society of Civil Engineers, Journal of the Engineering Mechanics Division, EM6. Diciembre. pp. 1471-1485.

2.

Wilson, E. L., and T. Itoh. 1983. "An Eigensolution Strategy for Large Systems," in J. Computers and Structures. Vol. 16, No. 1-4. pp. 259-265.

3.

Wilson, E. L., M. Yuan and J. Dickens. 1982. “Dynamic Analysis by Direct Superposition of Ritz Vectors,” Earthquake Engineering and Structural Dynamics.. Vol. 10. pp. 813-823.

4.

Bayo, E. and E. L. Wilson. 1984. "Use of Ritz Vectors in Wave Propagation and Foundation Response," Earthquake Engineering and Structural Dynamics.. Vol. 12. pp. 499-505.

C

om

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

an

dr

o

Va

sq

ue

z

Ar

te

ag

a

1.

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15.

z

Ar

te

ag

a

EL ANÁLISIS DINÁMICO UTILIZANDO CARGAS SÍSMICAS DEL ESPECTRO DE RESPUESTA

Al

ej

INTRODUCCIÓN

om

pr

ad

o

po

r:

El método básico de superposición de modo, que está limitado al análisis elástico tico lineal, produce la respuesta completa (histórica) de desplazamientos de los nudos (uniones) y de las fuerzas en los elementos. En el pasado, ha habido dos grandes desventajas en el uso de este enfoque. En primer lugar, el método produce una gran cantidad de información que puede requerir una cantidad importante de esfuerzo de computación para realizar todos los chequeos de diseño posible como función de tiempo. En segundo lugar, el análisis debe ser repetido para varios movimientos sísmicos diferentes para garantizar que todas las frecuencias fueran excitadas, porque el espectro de respuesta para un sismo en una dirección específica no constituye una función uniforme.

C

15.1

an

dr

o

Va

sq

ue

P revio a la s Computa dor a s P er sona les de Costo Accesible, el Método de Espectro de d e Respuesta Constituía el Enfoque Está nda r pa r a el Aná lisis Sísmico Linea l

Existen ventajas de computación en el uso del método de espectro de respuesta del análisis sísmico para predecir los desplazamientos y las fuerzas de elemento en sistemas estructurales. El método implica el cálculo de solamente los valores máximos de los desplazamientos y fuerzas de elemento en cada

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modo utilizando espectros de diseño uniforme que sean el promedio de varios movimientos sísmicos. El objetivo de este capítulo es resumir las ecuaciones fundamentales que se usan en el método de espectro de respuesta, y señalar las muchas aproximaciones y limitaciones del método. Por ejemplo, no se puede usar el método de espectro de respuesta para aproximar la respuesta no-lineal de un sistema estructural tridimensional complejo.

dr

o

DEFINICIÓN DE UN ESPECTRO OD DE ER RESPUESTA E

Al

ej

an

Para el movimiento sísmico tridimensional, se expresa la Ecuación modal típica (13.6) de la siguiente manera: (15.1)

po

r:

y(t) n + 2 ζ n ωn y (t) n + ωn2 y(t) n = pnx u (t) gx + pny u (t) gy + pnz u (t) gz

ad

o

donde los tres F aactores ctor e de Participación de Modo son definidos por pni = - φnT M i donde i es igual a x, y ó z. Se deben solucionar dos problemas

om

pr

importantes para obtener la solución de espectro de respuesta aproximada para esta ecuación. En primer lugar, para cada dirección de movimiento del suelo, hay que estimar las fuerzas pico máximas y los desplazamientos máximos. En segundo lugar, después de solucionar la respuesta de las tres direcciones ortogonales, es necesario estimar la respuesta máxima en base a los tres componentes de movimiento sísmico que actúan al mismo tiempo. Esta sección aborda el problema de combinación modal de solamente un componente de movimiento. El (separado) problema de combinar los resultados del movimiento en tres direcciones ortogonales será abordado más tarde en este capítulo.

C

15.2

Va

sq

ue

z

Ar

te

ag

a

ras ha hecho que sea práctico El reciente aumento de la velocidad de computadoras realizar (correr) muchos análisis de la respuesta (históricos de) en el tiempo en un período corto. Además, ahora es posible efectuar chequeos de diseño como función de tiempo, lo que produce resultados superiores, porque cad cada elemento no está diseñado para valores pico máximos tal como requiere el método de espectro de respuesta.

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Para componentes (aportes) en una dirección solamente, la Ecuación (15.1) se escribe así: y(t)n + 2ζn ωn y (t)n + ωn2 y(t) n = pni u (t) g

(15.2)

Ar

te

ag

a

(t) g , un valor de amortiguación y Dado un movimiento específico de suelo u asumiendo pni= −1.0 , es posible solucionar la Ecuación (15.2) para varios valores de ω y graficar una curva de la respuesta máxima pico y(ω) MAX . Para nte (aporte) de aceleración, por definición, la curva es el espectro esta componente de respuesta de desplazamiento para el movimiento sísmico. Habrá una curva diferente para cada valor diferente de amortiguamiento.

sq

ue

z

pectr o dde pseudo-velocidad, y Una gráfica de ωy(ω) MAX se define como el espectro 2 spectr o de pseudo-aceleración . una gráfica de ω y(ω) MAX se define como el eespectro

po

r:

Al

ej

an

dr

o

Va

Las tres curvas - el espectro de respuesta de desplazamiento, el espectro de pseudo-velocidad, pseudo-aceleración – normalmente son velocidad, y el espectro de pseudo graficadas como una curva en papel especial de registro. (Sin embargo, los pseudo-valores valores tienen un significado físico mínimo, y no constituyen una parte imprescindible de un análisis de espectro de respuesta). Los valores (correctos) de laa velocidad y de la aceleración máximas deben ser calculados en base a la solución de la Ecuación (15.2).

C

om

pr

ad

o

pseudoSin embargo, existe una relación matemática entre el espectro de pseudo masa aceleración y el espectro de aceleración total. La aceleración total de la mas unitaria con un sistema de grado de libertad simple, regida por la Ecuación (15.2), se expresa así: (t ) T y(t ) + u (t ) g = u

(15.3)

La Ecuación (15.2) puede ser solucionada para y(t ) y ser sustituida en la Ecuación (15.3) para producir lo siguiente: (t )T −ω 2 y(t ) − 2ξωy (t ) u =

(15.4)

Por tanto, para el caso especial de amortiguamiento nulo, la aceleración total del sistema es igual a ω 2 y(t ) . Por esta razón, normalmente no se grafica la

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curva del espectro de respuesta de desplazamiento como un desplazamiento modal y(ω) MAX versus ω . Es costumbre presentar la curva en términos de S(ω ) versus un período T en segundos, donde:

S(ω) a = ω 2 y(ω) MAX

T=

y

2π ω

(15.5a y 15.5b)

La curva del espectro de pseudo-aceleración, S(ω)a , tiene las unidades de

dr

o

CÁLCULO DE RESPUESTA MODAL DA L

o

S((ω ωn ) ωn2

(15.6)

pr

ad

y(Tn ) MAX =

po

r:

Al

ej

an

Ahora se puede calcular el desplazamiento modal m máximo de un modelo estructural con un modo típico n con período Tn y un correspondiente valor de respuesta de espectro de S (ω n ) . La máxima respuesta modal asociada al período Tn se expresa así:

om

La máxima respuesta de desplazamiento modal del modelo estructural se s calcula en base a:

C

15.3

Va

sq

ue

z

Ar

te

ag

a

aceleración versus período que tiene alguna importancia física solamente para el caso cero amortiguamiento nulo (solamente). Es evidente te que todas las curvas del espectro de respuesta representan las propiedades del sismo en un sitio específico, y no son funciones de las propiedades del sistema estructural. Después de hacer un estimado de las propiedades del amortiguamiento viscoso lineall de la estructura, se selecciona una curva específica del espectro de respuesta.

u n = y(Tn ) MAX φ n

(15.7)

Las correspondientes fuerzas modales internas, f kn , se calculan en base al análisis estructural de matriz estándar, utilizando las mismas ecuaciones que se requieren para el análisis estático.

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CURVAS TÍPICAS DEL ESPECTRO DE RESPUESTA

te

ag

a

La Figura 15.1 presenta un segmento de diez segundos de los movimientos sísmicos de Loma Prieta registrados en un sitio uniforme en el Área de la Bahía de San Francisco. El registro ha sido corregido utilizando un algoritmo iterativo para cero desplazamiento, cero velocidad y cero aceleración al inicio y al final del registro de diez segundos. Para los movimientos sísmicos presentados en la Figura 15.1a, las curvas del espectro de respuesta para el desplazamiento y para la pseudo-aceleración aceleración se resumen en las Figuras 15.2a y 15.2b.

Va

sq

ue

z

Ar

Las curvas de velocidad han sido omitidas de manera intencional porque no forman parte imprescindible del método de espectro de respuesta. Además, se necesitaría mucho espacio para definir claramente los términos tales como pseudo-velocidad, velocidad pico de suelo, espectro de pseudopseudo -velocidad, velocidad, espectro de velocidad relativa, y espectro de velocidad absoluta.

dr

o

25

an

20 15

ej

10

Al

5

po

r:

0 -5

o

-10

om

pr

ad

-15

C

15.4

-20 -25

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

TIME - seconds

Figura 15.1a Típica Aceleración Sísmica de Suelo – Porcentaje de Gravedad

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2 0 -2 -4 -6

a

-8

2

3

4 5 6 TIME - seconds

7

8

9

te

1

10

Ar

0

ue

z

- 12

ag

- 10

Va

sq

Figura 15.1b Típicos Desplazamientos Sísmicos de Suelo – Pulgadas

o

20

dr

18

an

16

Al

ej

14

r:

12

po

10

1.0 Percent Damping Porciento de amortiguamiento 5.0 Percent Damping

o

8

ad

6

om

pr

4 2

C

0

0

1

2

3

4

5

PERIOD - Seconds

Figura 15.2a Espectro de Desplazamiento Relativo y(ω) MAX - Pulgadas

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100 90 80 Porciento de 1.0 Percent Damping amortiguamiento 5.0 Percent Damping

70 60 50 40

a

30

ag

20

2

3

Ar

1

z

0

4

5

ue

0

te

10

Va

sq

PERIOD - Seconds

an

dr

o

Pseudo-Aceleración, Pseudo-Aceleración,= Figure 15.2b Espectro de Pseudo-Aceleración, Sa ω2y(ω) MAX - Porcentaje de la Gravedad

C

om

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

La máxima aceleración de suelo para el sismo que define la Figura 15.1a es el 20.01 % de la gravedad a 2.92 segundos. Es importante notar que el espectro aceleración que se presenta en la Figura 15.2b tiene el mismo valor de pseudo-aceleración para unn sistema de período muy corto. Esto es así por el hecho físico de que una estructura muy rígida se mueve como una masa rígida, y los desplazamientos relativos dentro de la estructura son iguales a cero, se según lo indica la Figura 15.2a. También, el comportamiento dde una estructura rígida no es una función del valor del amortiguamiento viscoso. El máximo desplazamiento de suelo indicado en la Figura 15.1b es de -11.62 pulgadas a 1.97 segundos. Para sistemas de período largo, la masa de la estructura de un grado de libertad no se mueve de manera significativa, y posee un desplazamiento absoluto de aproximadamente cero. Por lo tanto, las curvas del espectro de desplazamiento relativo que se indican en la Figura 15.2a convergen a 11.62 pulgadas durante largos períodos, y para todos los valores del amortiguamiento. Este tipo de comportamiento físico real es fundamental para el diseño de estructuras de base aislada.

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ag

a

El espectro de desplazamiento relativo, Figura 15.2a, y el espectro de aceleración absoluta, Figura 15.2b, son físicamente significativos. Sin embargo, el máximo desplazamiento relativo es directamente proporcional a las fuerzas máximas desarrolladas en la estructura. Para ese sismo, el máximo desplazamiento relativo es de 18.9 pulgadas a un período de 1.6 segundos para el 1 % (porciento) de amortiguación y 16.0 pulgadas a un período de 4 segundos para una amortiguación del 5 % (porciento). Es importante notar la diferencia significativa entre el amortiguamiento del 1 y del 5 % (porciento) para este tipo de sitio blando típico.

ó

r:

Al

y (ω ) MAX = ug MAX / ω 2

ej

an

dr

o

Va

sq

ue

z

Ar

te

Figura 15.2b, el espectro de aceleración absoluta, indica valores máximos a un período de 0.64 segundos para ambos valores de amortiguamiento. También, la información que multiplicación por ω 2 tiende a eliminar completamente la inform contiene en el rango del período largo. Ya que la mayoría de las fallas estructurales durante sismos recientes han sido asociadas con sitios blandos, tal vez deberíamos considerar el uso del espectro de desplazamiento relativo amental de seleccionar un sismo de di como la forma fundamental diseño. La parte de la curva de alta frecuencia y corto período siempre debe ser definida por lo siguiente:  g MAX y(T ) MAX = u

T2 4π 2

(15.8)

om

pr

EL MÉTODO OD O DO C CQC Q DE COMBINACIÓN MODAL El método más conservador que se usa para estimar un valor pico de desplazamiento ó fuerza dentro de una estructura es usar la suma de los valores absolutos de respuesta modal. Este enfoque asume que los valores máximos modales para todos los modos ocurren en el mismo instante (punto en el tiempo).

C

15.5

ad

o

po

 g MAX es la aceleración aceleración pico del suelo. donde u

Otro enfoque muy común es el uso de la Raíz Cuadrada de la Suma de los Cuadrados, SRSS (por sus siglas en inglés), sobre los valores máximos modales para estimar los valores de los desplazamientos o de las fuerzas. El método SRSS asume que todos los valores máximos modales son

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estadísticamente independientes. Para estructuras tridimensionales donde un gran número de frecuencias son casi idénticas, no se justifica esta suposición.

z

Ar

te

ag

a

El método relativamente nuevo de combinación modal es la Combinación Cuadrática Completa, CQC, un método [1] que fue publicado por primera vez en el año 1981. Se basa en la teoría de vibraciones aleatorias, logrando gran aceptación entre la mayoría de los ingenieros, y ha sido integrado como opción en la mayoría de los programas modernos de computadora para el análisis sísmico. Debido a que muchos ingenieros y códigos de construcción no opósitos de este capítulo es requieren el uso del método CQC, uno de los propósitos explicar mediante ejemplo las ventajas del uso del método CQC, e ilustrar los potenciales problemas del uso del método SRSS de combinación modal.

m

ρ nm f m

o

n

(15.9)

an

n

dr

∑∑ f

F=

Va

sq

ue

El valor pico de una fuerza típica ahora puede ser estimado en base a los valoress máximos modales, utilizando el método CQC con la aplicación de la siguiente ecuación de suma doble:

o

po

r:

Al

ej

donde f n es la fuerza modal asociada con el modo n. La duplicación de suma se realiza sobre todos los modos. Se pueden aplicar ecuaciones similares a los desplazamientos de nodos, los desplazamientos relativos, y cortantes de base y momentos de vuelco.

C

om

pr

ad

Los coeficientes de modales transversales, ρ nm , para el método CQC con amortiguación constante, son como sigue:

ρ nm

8ζ 2 (1 + r )r 3 / 2 = (1 − r 2 ) 2 + 4ζ 2 r (1 + r ) 2

(15.10)

donde r = ω n / ω m y debe ser igual a o menor de 1.0. Es importante notar que el arreglo de coeficientes de modo transversal es simétrico, y que todos los términos son positivos.

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EJEMPLO NUMÉRICO DE COMBINACIÓN MODAL

r:

Al

ej

an

dr

o

Va

sq

ue

z

Ar

te

ag

a

Los problemas asociados con el uso de la suma absoluta y el SRSS de la combinación modal pueden ser ilustrados mediante su aplicación al edificio de cuatro pisos que se presenta en la Figura 15.3. El edificio es simétrico; sin embargo, el centro de masa de todos los pisos está ubicada a unas 25 pulgadas desde el centro geométrico del edificio.

po

Figura15.3 Un Ejemplo Ejemplo Sencillo de Edificio Trid Tridimensional

om

pr

ad

o

La Figura 15.4 resume la dirección del movimiento sísmico aplicado, una ta tabla de las frecuencias naturales, y la dirección principal de la forma de modo.

C

15.6

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a ag te Ar z ue

Va

sq

F igura 15.4 F recuencias y Direcciones Ap A Aproximadas pr oxim de las F ormas de Modo

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

an

dr

o

Se nota la cercanía de las frecuencias que es típico de la mayoría de llas estructuras de edificios tridimensionales que están diseñados para resistir sismos desde ambas direcciones por igual. Debido a la pequeña excentricidad de masa, lo cual es normal en estructuras reales, la forma del modo fundamental posee x, y, además de componentes de torsión. Por lo tanto, el modelo representa un sistema sistema muy común de edificio tridimensional. tri También, xiste una u n forma de modo en una dirección particular dada , tal Note que no existe como se implica en muchos códigos de construcción y en algunos textos sobre la dinámica elemental. elemen

C

om

El edificio estuvo sometido a una componente del sismo Taft del 1952. Se realizó un análisis en función del tiempo (histórico de tiempo preciso) utilizando los 12 modos y un análisis de espectro de respuesta. La Figura 15.5 presenta los cortantes basales máximos modal en los cuatro pórticos para los primeros cinco modos.

La Figura 15.6 resume los máximos cortantes de base en cada uno de los cuatro pórticos, utilizando métodos diferentes. Son exactos los cortantes basales en historia de tiempo, que se presentan en la Figura 15.6a. El método SRSS, de la Figura 15.6b, produce cortantes de base que subestiman los valores exactos en la dirección de las cargas en aproximadamente un 30 % (porciento), y sobre

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dr

o

Va

sq

ue

z

Ar

te

ag

a

estiman los cortantes de base normales a las cargas por un factor de 10. La suma de los valores absolutos, Figura 15.6c, sobre estima de manera exagerada todos los resultados. El método CQC , Figura 15.6d, produce valores muy realistas que se acercan a la solución exacta de historia de tiempo.

Al

ej

an

F ig 15.5 Cortante de Base en cada a da Pórtico P ór para los Primeros Cinco Modos

ad

o

po

r:

La Tabla 15.1 resume los coeficientes de correlación transversal modal para este edificio. Es importante notar la existencia de términos relativamente grandes fuera de la diagonal, que indican cuáles modos están acoplados.

2

3

4

5

ωn (rad/sec)

1.000

0.998

0.006

0.006

0.004

13.87

2

0.998

1.000

0.006

0.006

0.004

13.93

3

0.006

0.006

1.000

0.998

0.180

43.99

4

0.006

0.006

0.998

1.000

0.186

44.19

5

0.004

0.004

0.180

0.186

1.000

54.42

om

C

1

pr

1

Mode

00 Tabla 15.1 Coeficientes de Correlación Transversal Modal ζ = 5.

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a ag te Ar z ue sq Va o dr

ej

an

F ig 15.6 Comparación ción ddee Métodos de Combinación Modal

C

om

pr

ad

o

po

r:

Al

Si se notan las señales de los cortantes de base modales que se presentan en la Figura 15.3, es evidente cómo la aplicación del método CQC permite que la suma de las cortantes de base en la dirección del movimiento externo sea agregada directamente. Además, la suma de los cortantes de base, normales al movimiento externo, tienden a cancelarse. La capacidad del método CQC de reconocer el signo relativo de los términos en la respuesta modal representa la clave para la eliminación de errores en el método SRSS.

15.7

ESPECTROS DE DISEÑO Los espectros de diseño no son curvas irregulares tal como se indica en la Figura 15.2, porque están dirigidos a constituir el promedio de muchos sismos. En la actualidad, muchos códigos de construcción especifican espectros de diseño en la forma mostrada en la Figura 15.7.

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Al

ej

an

dr

o

Va

sq

ue

z

Ar

te

ag

a

El Código Uniforme de la Construcción define ecuaciones específicas para cada rango de la curva del espectro para cuatro tipos de suelo diferentes. Para estructuras grandes, en la actualidad es común desarrollar un espectro de diseño dependiente del sitio que incluya el efecto de las condiciones locales del suelo y la distancia a las fallas más cercanas.

ad

o

EFECTOS ORTOGONALES RTOGO EN EL ANÁLISIS ESPECTRAL

om

pr

Una estructura bien diseñada debe ser capaz de resistir igualmente movimientos sísmicos desde toda dirección posible. Una opción en los códigos de diseño existentes para edificios y puentes requiere que los elementos sean diseñados para “el 100 % (porciento) de las fuerzas sísmicas prescritos en una dirección, más el 30 % (porciento) de las fuerzas prescritas en la dirección perpendicular.” Otros códigos y otras organizaciones requieren el uso de un 40 % (porciento) en vez del 30 % (porciento). Sin embargo, no dan ninguna indicación de la manera de determinar las direcciones para estructuras complejas. Para estructuras rectangulares con direcciones principales claramente definidas, estas reglas de “porcentaje” producen aproximadamente los mismos resultados que el método SRSS.

C

15.8

po

r:

Figura 15.7 Espectro de Diseño Típico

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ag

a

Para estructuras complejas tridimensionales, tales como edificios norectangulares, puentes arqueados, presas arqueadas o sistemas de tubería, no es aparente la dirección del sismo que produce los esfuerzos máximos en un elemento particular o en un punto específico. Para datos de historia de tiempo, es posible realizar un gran número de análisis dinámicos en varios ángulos de aportes para revisar todos los puntos correspondientes a las direcciones sísmicas críticas. Un estudio tan elaborado concebiblemente produce una dirección crítica diferente para cada esfuerzo evaluado. Sin embargo, el costo de dicho estudio sería prohibitivo.

po

r:

Al

ej

an

dr

o

Va

sq

ue

z

Ar

te

Es razonable suponer que los movimientos que tienen lugar durante un sismo tengan una dirección principal [2]. O, durante un plazo finito de tiempo cuando ocurre la máxima aceleración del suelo, existe una dirección princ principal. Para la mayoría de las estructuras, dicha dirección se desconoce, y para la gráficos no puede ser estimada. Por tanto, el único mayoría de los sitios geográficos criterio racional de diseño sísmico es que la estructura debe resisitir un sísmo cualquier dirección posible. Además del de una magnitud dada desde cualquier movimiento en la dirección principal, existe una probabilidad de que los movimientos perpendiculares a dicha dirección ocurran simultáneamente. Además, debido a la complejidad de la propagación de una on onda tridimensional, es válido suponer que dichos movimientos normales son estadísticamente independientes.

C

om

pr

ad

o

En base a estas suposiciones, una declaración del criterio de diseño es que “una estructura debe resistir un movimiento sísmico fuerte de una magni magnitud S1 para todos los ángulos θ que sean posibles, y en el mismo punto en tiempo deben resistir movimientos sísmicos de una magnitud S2 a (en) 90º con resultante en un ángulo θ .” La Figura 15.1 presenta estos movimientos de manera esquemática.

15.8.1 Ecuaciones Básicas para el Cálculo de Fuerzas Espectrales El criterio de diseño declarado implica el hecho de que un elevado número de análisis diferentes debe ser realizado para determinar las fuerzas y los esfuerzos máximos de diseño. Se demostrará en esta sección que los valores máximos

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an

dr

o

Va

sq

ue

z

Ar

te

ag

a

para todos los elementos pueden ser evaluados de manera exacta en base a un ejercicio computarizado en el cual se apliquen dos movimientos dinámicos globales. Además, las fuerzas máximas de elemento calculadas no varían con respecto al sistema de selección.

Al

ej

F igura 15.8 Definición ición ddee Entrada del Espectro Sísmico

om

pr

ad

o

po

r:

La Figura 15.8 indica que las acciones básicas del espectro S1 y S2 se aplican a un ángulo arbitrario θ . En algún punto típico dentro de la estructura, estas acciones producen una fuerza, un esfuerzo o un desplazamiento F . Para simplificar el análisis, se asumirá que la entrada de espectro menor sea una fracción de la entrada del espectro mayor. O:

C

S2 = aS1

(15.11)

donde a es un número entre 0 y 1.0. Recientemente Menun y Der Kiureghian [3] presentaron el método CQC3 para la combinación de los efectos del espectro ortogonal. La ecuación fundamental CQC3 para el estimado de un valor pico es como sigue:

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= F [ F02 + a2 F902 − (1 − a2 )( F02 − F902 ) sin 2 θ

(15.12)

1 2 2 ]

2

+ 2(1 − a )F0− 90 sin θ cos θ+ Fz

donde,

F02 = ∑∑ f 0n ρ nm f 0m

(15.13)

F902 = ∑∑ f 90n ρ nm f 90m

(15.14)

m

te

n

a

m

ag

n

sq

FZ2 = ∑∑ f zn ρ nm f zm m

(15.16)

Va

n

(15.15)

z

m

ue

n

Ar

F0−90 = ∑∑ f 0n ρ nm f 90m

Al

ej

an

dr

o

donde f 0n y f 90n son los valores modales producidos pro por el 100% del espectro lateral aplicado en 0 y 90 grados respectivamente, y f zn es la respuesta modal del espectro vertical que puede ser diferente del espectro lateral.

ad

o

po

r:

Es importante notar que, para los espectros constantes (iguales) a = 1 , el valor F no es una función de θ y la selección del sistema de referencia de análisis es arbitraria. Esto es: es:

om

pr

2 FMAX = F02 + F902 + Fz

(15.17)

C

Esto indica que es posible realizar solamente un análisis con cualquier sistema de referencia, y la estructura que resulta tendrá todos los elementos que sean diseñados para resistir de manera igual los movimientos sísmicos procedentes de todas las direcciones posibles. Este método es aceptable según la mayoría de los códigos de construcción.

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15.8.2 El Método General CQC3

ag

a

Para a = 1 , el método CQC3 se reduce al método SRSS. Sin embargo, esto puede ser excesivamente conservador porque no se han registrado movimientos reales del suelo de valores iguales en todas las direcciones. Normalmente el valor de θ en la Ecuación (15.12) se desconoce; por lo tanto, es necesario calcular el ángulo crítico que produzca la máxima respuesta. La diferenciación de la Ecuación (15.12) y fijando los resultados a cero produce lo siguiente: (15.18)

Ar

te

2F 1 tan −1 [ 2 0− 902 ] θ cr = 2 F0 − F90

Va

sq

ue

z

Existen dos raíces para la Ecuación (15.17) que deben ser revisadas para que la siguiente ecuación sea máxima: = FMAX [ F02 + a2 F902 − (1 − a2 )( F02 − F902 ) sin 2 θ cr

(15.19)

an

dr

− 2(1 − a )F0− 90 sin θ cr cos θ cr + Fz

o

1 2 2 ]

2

po

r:

Al

ej

En la actualidad no existen recomendaciones con pautas específicas para el valor de a. La referencia [3] presentó un ejemplo con valores a entre 0.50 y 0.85.

ad

o

15.8.3 Ejemplos os d de eA Análisis de Espectros Tridimensionales

C

om

pr

La teoría anteriormente presentada indica claramente que la regla de combinación CQC3, donde a es equivalente a 1.0, es idéntica al método SRSS, y produce resultados para todos los sistemas estructurales que no sea una función del sistema de ref referencia que utilice el ingeniero. Se presentará un ejemplo para demostrar las ventajas del método. La Figura 15.9 ilustra una estructura muy sencilla de un solo piso que fue seleccionada para comparar los resultados de las reglas de porcentaje 100/30 y 100/40 con la regla SRSS.

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a ag te Ar z ue sq

Va

F igura 15.9 Estructura ttuu r a T Tridimensional r id

r:

Al

ej

an

dr

o

Note que las masas no están ubicadas en el centro geométrico de la estructura. grado-de-libertad de rotación ubicado Dicha estructura tiene dos traslaciones y un grado sa. Las columnas, que quedan sujetas a flexión alrededor de los en el centro de masa. ejes locales 2 y 3, están simplemente apoyadas en el extremo superior donde están conectadas a un diafragma rígido en el plano.

C

om

pr

ad

o

po

La Tabla 15.2 resume los períodos y las fuerzas cortantes en las la bases normalizadas asociadas con las formas de modo. Debido a que la estructura tiene un plano de simetría en 22.5 grados, el segundo modo no tiene torsión, y tiene un cortante de base normalizado en 22.5 grados con el eje x. Debido a esta simetría, es evidente que las columnas 1 y 3 (o las columnas 2 y 4) deben ser diseñadas para las mismas fuerzas.

Modo

Períodos (Segundos)

Fuerza X

Fuerza Y

Dirección del Cortante de Base (Grados)

1

1.047

0.383

-0.924

-67.5

2

0.777

-0.382

0.924

112.5

3

0.769

0.924

0.383

22.5

Tabla 15.2 Períodos y Cortante de Base Normalizada

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La Tabla 15.3 presenta la definición del espectro de respuesta del desplazamiento promedio que se usa en el análisis espectral. Período (Segundos)

Masa X

Masa Y

Valor de Espectro Usado para el Análisis

1

1.047

12.02

70.05

1.00

2

0.777

2.62

15.31

1.00

3

0.769

85.36

14.64

1.00

ag

a

Modo

te

Tabla 15.3 Masas Participantes y Espectro de Respuesta es e sta U Usado sa

Va

sq

ue

z

Ar

Los momentos alrededor de los ejes locales 2 y 3 en la base de cada una de las cuatro columnas para el espectro aplicado por separado en 0.0 y 90 grados sse presentan en las Tablas 15.4 y 15.5, donde se comparan a la regla 100/30.

Error(%)

0.742

1.750

1.901

1.973

3.8

2

1.113

2.463

2.703

2.797

3.5

3

0.940

1.652

1.901

1.934

1.8

4

1.131

2.455

2.703

2.794

3.4

o

1

ej

r:

po

ad

o

M100/30

2 2 M0 + M90

dr

M90

an

M0

MSRSS =

Al

Elemento

C

om

pr

Tabla 15.4 .4 M Momentos om Alrededor del Ejes 2– SRSS vs. Regla 100/30

Elemento

M0

M90

1

2.702

0.137

2

2.702

3 4

MSRSS =

M100/30

Error(%)

2.705

2.743

1.4

0.137

2.705

2.743

1.4

1.904

1.922

2.705

2.493

-7.8

1.904

1.922

2.705

2.493

-7.8

2 2 M0 + M90

Tabla 15.5 Momentos Alrededor del Ejes 3 – SRSS vs. Regla 100/30

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Para este ejemplo, las fuerzas máximas no varían de manera significativa entre los dos métodos. Sin embargo, sí ilustra el hecho de que el método de combinación 100/30 produce momentos que no son simétricos, mientras que el método de combinación SRSS produce momentos lógicos y simétricos. Por ejemplo, el elemento 4 sería sobre-diseñado en un 3.4 % alrededor del eje local 2, y sería sub-diseñado en un 7. % alrededor del eje local 3, si se utilizara la regla de combinación 100/30.

Ar

te

ag

a

Las Tablas 15.6 y 15.7 resumen los momentos de diseño SRSS y 100/40 alrededor de los ejes locales 2 y 3 en la base de cada una de las cuatro columnas.

ue

z

Tabla 15.6 Momentos alrededor del Ejes 2 – SRSS SR S RSS vvs. s Regla 100/40

sq

MSRSS =

Elemento

M0

M90

M100/40

Error(%)

1

0.742

1.750

1.901

2.047

7.7

2

1.113

2.463

2.703

2.908

7.6

3

0.940

1.652

1.901

2.028

1.2

4

1.131

2.455

2.703

2.907

7.5

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

an

dr

o

Va

2 2 M0 + M90

C

om

Tabla ab l a 1 15.7 5 7 Momentos Alrededor del Ejes 3 – SRS vs. Regla 100/40

Elemento

M0

M90

1

2.702

0.137

2

2.702

3 4

MSRSS =

M100/40

Error(%)

2.705

2.757

1.9

0.137

2.705

2.757

1.9

1.904

1.922

2.705

2.684

-0.8

1.904

1.922

2.705

2.684

-0.8

2 2 M0 + M90

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Los resultados que se presentan en las Tablas 15.6 y 15.7 también ilustran que el método de combinación 100/40 produce resultados que no son razonables. Debido a la simetría, los elementos 1 y 3, y los elementos 2 y 4 deben ser diseñados para los mismos momentos. Ni la regla 100/30 ni la regla 100/40 logra pasar esta prueba sencilla.

sq

ue

z

Ar

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ag

a

Si un ingeniero estructural desea ser conservador, los resultados de la regla de combinación direccional SRSS o el espectro de entrada pueden ser multiplicados por un factor adicional mayor de uno. No se debe intentar justificar el uso de la regla de porcentaje 100/40 porque es conservadora “en la dimensionales, el uso de la mayoría de los casos.” Para estructuras complejas tridimensionales, regla de porcentaje 100/40 o 100/30 produce diseños de elementos que no son igualmente resistentes a movimientos sísmicos procedentes de todas las direcciones posibles.

Va

o s Ortogonales Or t o 15.8.4 Recomendaciones Sobre Efectos

C

om

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

an

dr

o

Para el análisiss de espectros de respuesta tridimensionales, se ha demostrado mentos para el 100 % de las fuerzas sísmicas prescritas en que “el diseño de elementos una dirección más el 30 o el 40 % de las fuerzas prescritas aplicadas en dirección perpendicular” depende de la selección del sistema de ref referencia por parte del usuario. Estas “reglas de combinación porcentual” de uso común son empíricas, y pueden subestimar las fuerzas de diseño en ciertos elementos, y pueden producir un diseño de un elemento que sea relativamente débil en una dirección. Se ha demostrado que el método alternativo aprobado del código de construcción, donde una combinación SRSS de dos análisis de espectro del 100 % con respecto a cualquier eje ortogonal definido por el usuario, produce fuerzas de diseño que no sean una función del sistema de referencia. Por lo tanto, el diseño estructural que resulta posee igual resistencia a movimientos sísmicos procedentes de todas las direcciones. Se debe usar el método CQC3 si se puede justificar un valor a de menos de 1.0 Esto producirá resultados realistas que no son una función del sistema de referencia seleccionado por el usuario.

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LIMITACIONES DEL MÉTODO DE ESPECTRO DE RESPUESTA

Ar

te

ag

a

Es evidente que el uso del método de espectro de respuesta tiene limitaciones, algunas de las cuales pueden ser eliminadas si se desarrolla más. Sin embargo, nunca será preciso para el análisis no-lineal de estructuras de múltiples grados de libertad. El autor cree que en el futuro se llevarán a cabo más análisis de la respuesta dinámica en función de historia-tiempo, y que se evitarán las múltiples aproximaciones asociadas al uso del método de espectro de respuesta. Algunas de estas limitaciones adicionales serán abordadas en esta sección.

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15.9.1 Cálculos de la Deriva de Pisos

om

pr

ad

o

po

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Al

ej

an

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o

Va

sq

Todo desplazamiento producido por el método de espectro de respuesta son números positivos. Por tanto, una gráfica de una forma dinámica desplazada tiene poco significado porque cada desplazamiento constituye un estimado del valor máximo. Se usan desplazamientos entre entre-pisos para estimar los daños de estructurales y no pueden ser calculados directamente en base a elementos no-estructurales los probables valores pico de desplazamiento. Un método sencillo para obtener un probable valor pico de deformación cortante es colocar un elemento de panel muy fino, con un módulo de cortante unitario , en el área donde se debe calcular la deformación. El valor pico del esfuerzo cortante sería un buen estimado del índice de daño. El código actual sugiere un valor máximo de 05 de la relación de deriva , que es igual que la deformación cortante de 0.005 panel si se descuidan los desplazamientos verticales.

C

15.9

5 Estimación de Esfuerzos Espectrales en Vigas 15.9.2 La ecuación fundamental para el cálculo de los esfuerzos dentro de la sección transversal de una viga es la siguiente: = σ

P M yx M xy + + A Iy Ix

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(15.20)

Esta ecuación puede ser evaluada para un punto específico x , y en la sección transversal, y para el cálculo de las fuerzas axiales máximas de espectro y para los momentos máximos, que son todos valores positivos. Es evidente que el esfuerzo que resulta podría ser conservador porque es probable que no todas las fuerzas obtengan sus valores pico al mismo tiempo.

Va

sq

ue

z

Ar

te

ag

a

Para el análisis de espectro de respuesta, el enfoque correcto y preciso para la evaluación de la ecuación (15.20) es evaluar la ecuación para cada modo de vibración. Esto toma en consideración los signos relativos de fuerzas axiales y momentos en cada modo. Luego se puede calcular un valor precis preciso del esfuerzo máximo en base a los esfuerzos modales utilizando el método de tor con estructuras grandes doble suma CQC. La experiencia del autor tridimensionales dimensionales indica que los esfuerzos calculados en base a los esfuerzos el valor calculado utilizando valores pico modales pueden ser menos del 50 % del máximos de momentos y de fuerza axial.

o

Vii g as de V d e Acero y Concreto 15.9.3 Revisiones de Diseño para Vigas

C

om

pr

ad

o

po

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Al

ej

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Desafortunadamente, la mayoría de las ecuaciones para revisión de diseño de estructuras de acero están redactadas en térm términos de “relaciones de fuerza de diseño” que son una función nono -lineal lineal de la fuerza axial en el elemento; por lo no-lineal tanto, no se pueden calcular las relaciones en cada modo. El autor propone un nuevo método de aproximación para sustituir el enfoque vanguardista de calcular las relaciones de fuerza en base a los valores máximos pico de las fuerzas del elemento. Esto implica en primer lugar el cálculo de la fuerza máxima axial. Luego se evaluarían las relaciones de diseño modo por modo, asumiendo que el fact factor de reducción máxima de fuerza axial permanezca constante para todos los modos. Luego se estimaría la relación de diseño para el elemento utilizando un método de combinación modal de doble suma, como por ejemplo el método CQC3. Este enfoque mejora la precisión a la vez de que sigue siendo conservador. Para estructuras de concreto, se requiere desarrollo de trabajo adicional para desarrollar de un método completamente racional para el uso de fuerzas de espectro máximas en una ecuación de revisión de diseño debido al comportamiento no-lineal de los elementos de concreto. Un análisis en función

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de historia-tiempo podría ser el único enfoque que produzca fuerzas racionales de diseño. 15.9.4 Cálculo de Fuerza Cortante en Pernos

sq

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z

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a

Con respecto al problema interesante de calcular la fuerza máxima cortante en un perno, no es correcto estimar la fuerza máxima cortante en base a una suma de vector porque los cortantes x e y no obtienen sus valores pico al mismo tiempo. Un método correcto para estimar el cortante máximo en un perno es revisar el cortante máximo del perno en ángulos diferentes alrededor del eje del perno. Esto constituiría un enfoque tedioso utilizando cálculos manuales; sin embargo, si el enfoque se integra en un programa de computadora pos posiempo de computación para calcular la fuerza máxima del perno procesador, el tiempo sería trivial.

ej

an

dr

o

Va

El mismo problema existe si se deben calcular los esfuerzos principales en base a un análisis de espectro de respuesta. Hay que chequear en diferentes ángulos or máximo y mínimo del esfuerzo en cada punto de la para estimar el valor estructura.

Al

15.10 RESUMEN

C

om

pr

ad

o

po

r:

En este capítulo se ha ilustrado que el método de espectro de respuesta para el análisis dinámico debe ser utilizado cuidadosamente. Se debe usar el método CQC para la combinación mo modal máxima para minimizar la introducción de errores evitables. El aumento del esfuerzo de computación, en comparación con el método SRSS, es pequeño en comparación con el tiempo total de computadora para un análisis sísmico. El método CQC posee una base teórica sana, y ha sido aceptado por la mayoría de los expertos en la ingeniería sísmica. No se puede justificar el uso de la suma absoluta o el método SRSS para la combinación modal. En otro orden, para que una estructura tenga igual resistencia a movimientos sísmicos procedentes de todas las direcciones, se debe usar el método CQC3 para combinar los efectos de los espectros sísmicos aplicados en tres dimensiones. Los métodos de la regla del porcentaje carecen de base teórica, y no son invariables en cuanto al sistema de referencia.

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Ar

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Sin embargo, los ingenieros deben comprender claramente que el método de espectro de respuesta constituye un método aproximado que se usa para estimar los valores pico máximos de desplazamientos y fuerzas, y que posee limitaciones significativas. Este se limita al análisis elástico lineal donde las propiedades del amortiguamiento solamente pueden ser estimados con un bajo grado de confianza. El uso de espectros no-lineales, una práctica común, tiene muy pocos antecedentes teóricos, y este enfoque no debe ser aplicado en el análisis de estructuras complejas tridimensionales. Para dichas estructuras, se lineal verdaderas, según lo debe usar la respuesta de historia de tiempo no-lineal indicado en el Capítulo 19.

ue

z

15.11 REFERENCIAS

dr

o

Va

sq

1. Wilson, E. L., A. Der Kiureghian and E. R. Bayo. 1981. "A Replacement for the SRSS Method in Seismic Analysis," Earthquake Dynamics. Vol. 9. pp. l87-l92. Engineering and Structural Dynamics.

Al

ej

an

en, J., and M. Watabe. 1975. "Characteristics of 33-D Earthquake 2. Penzien, Dynamics Ground Motions," Earthquake Engineering and Structural Dynamics. Vol. 3. pp. 365-373.

C

om

pr

ad

o

po

r:

3. Menun, C., and A. Der Kiureghian. 1998. “A Replacement for the 30 % Rule for Multicomponent Excitation,” Earthquake Spectra. Vol. 13, Number 1. February.

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16.

a

INTERACCIÓN SUELO - ESTRUCTURA

o

Va

INTRODUCCIÓN

om

pr

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o

po

r:

Al

ej

an

dr

La estimación de los movimientos sísmicos en el sitio de una estructura constituyee la fase más importante del diseño o modificación de una estructura. Debido al elevado número de suposiciones que se requie requieren, los expertos en la materia muchas veces discrepan, por más de un factor de dos, acerca de la magnitud de los movimientos esperados en el sitio sin la presencia de la estructura. Sin embargo, esta falta de precisión acerca de las acciones básicas no justifica la introducción de aproximaciones adicionales innecesarias en el análisis dinámico de la estructura y su interacción con el material debajo de la estructura. Por lo tanto, se supone que los mo movimientos de campo libre en el sitio de la estructura, en ausencia de la misma, pueden ser estimados y que son especificados en la forma de registros de aceleración sísmica en tres direcci direcciones. En la actualidad es una práctica común, en proyectos grandes de ingeniería, investigar varios grupos diferentes de movimiento sísmicos para considerar eventos de fallas tanto cercanas como lejanas.

C

16.1

sq

ue

z

Ar

te

ag

A una Dista ncia F inita de una Estr uctur a , los lutos Deben Aproxima r se a los l Despla za mientos Absolutos Despla za mientos de Ca mpo Libre

Si una estructura flexible de peso ligero está erigida sobre una fundación rocosa muy rígida, es válido suponer que el movimiento por energía absorbida en la base de la estructura sea la mismo que el movimiento sísmico de campo libre.” Esta suposición es válida para un elevado número de sistemas de construcción porque

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z

ANÁLISIS DE RESPUESTA DE SITIO

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o

po

r:

Al

ej

an

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o

Va

sq

El terremoto del año 1985 en Ciudad México y muchos otros terremotos recientes indican claramente la importancia de las propiedades locales de suelo sobre la respuesta sísmica de estructuras. Estos terremotos demostraron que los movimientos ientos de la roca podrían ser amplificados en la base de una estructura por un factor de más de cinco. Por lo tanto, existe un fuerte motivo desde el punto de vista de la ingeniería para un análisis de respuesta dinámica del sitio para el caso de muchas fundaciones, para determinar los movimientos sísmicos de campo libre. La determinación de un movimiento superficial de campo libre dependiente del sitio en la base de la estructura podría representar el paso más importante en el diseño sismo-resistente cualquier estructura. resistente de cu

om

pr

Para la mayoría de los sitios caracterizados por estratos horizontales, se puede considerar un modelo unidimensional de cortante puro para calcular los desplazamientos superficiales de campo libre dado el movimiento sísmico en la base dee un depósito de suelo. Existen muchos programas especializados de computadora para este propósito. SHAKE [1] es un programa bien conocido basado en el método de solución de dominio de frecuencia. SHAKE itera para estimar la rigidez lineal efectiva y las propiedades de amortiguamiento para aproximar el comportamiento no-lineal de un sitio. WAVES [2] es un nuevo programa no-lineal donde las ecuaciones no-lineales del movimiento se solucionan utilizando un método de integración directa paso-a-paso. Si se puede considerar lineal el material del suelo, el programa SAP2000, utilizando el elemento SOLID, puede calcular movimientos de campo libre unidimensionales,

C

16.2

Ar

te

ag

a

la mayoría de los tipos de estructuras de edificios están vacíos en un 90 por ciento, y no es inusual que el peso de la estructura sea igual al peso del suelo excavado antes de la construcción de la estructura. Sin embargo, si la estructura es muy masiva y rígida, como es el caso de una represa de concreto por gravedad, y la fundación es relativamente blanda, el movimiento en la base de la estructura podría ser significativamente diferente al movimiento superficial libre. Sin embargo, aún para este caso extremo, es evidente que los efectos de interacción más significativos tendrán lugar cerca de la estructura, y a cierta distancia finita de la base de la estructura, los desplazamientos convergerán de vuelta al movimiento sísmico libre.

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bidimensionales, o tridimensionales en la base de una estructura. Además, se puede realizar con precisión un análisis unidimensional no-lineal del sitio utilizando la opción FNA en el programa SAP 2000.

CINEMÁTICA O INTERACCIÓN ESTRUCTURA - SUELO

ag

a

El enfoque más común de interacción suelo-estructura (SSI) que se utiliza para sistemas tridimensionales de suelo-estructura estructura está basado en la formulación de “movimiento agregado” [3].

o

Va

sq

ue

z

Ar

te

Esta formulación es matemáticamente sencilla, teóricamente correcta, y fácil de automatizar y utilizar dentro de un programa general de análisis estructural lineal. Además, la formulación es válida para movimientos de campo libre provocados por ondas sísmicas generadas por cualquier fuente fuente. El método requiere que los movimientos de campo libre en la base de la estructura sean calculados antes del análisis interactivo suelo-estructura.

ej

an

dr

fundamental SSI, considere el Para desarrollar ecuaciones de equilibrio dinámico fundamenta dimensional suelosuelo -estructura estructura que se presenta en la Figura 16.1. sistema tridimensional suelo-estructura

ad

o

po

r:

Al

Estructura Anexa (s)

om

pr

Nodos Comunes (c)

C

16.3

Sistema Suelo-Fundación (f) U = v +u U = Desplazamientos Absolutos v = Desplazamientos Campo Libre u = Desplazamientos Adicionales u=0

Figura 16.1 Modelo Interacción Suelo-Estructura

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ag

(16.1)

Ar

te

  K M ss 0 0 U 0   U s  0 s ss K sf           0   U c  + K cf K cc K cf   U c  = 0  0 M cc    0 K  0    0 0 M ff  U f  fc K ff  U f     

a

Considere el caso donde el modelo SSI está dividido entre tres grupos de puntos nodales. Los nodos comunes en el interfaz de la estructura y la fundación están identificados con “c”; los demás nodos dentro de la estructura son nodos “s”; y los otros nodos dentro de la fundación son nodos “f”. En base al enfoque de rigidez directa en el análisis estructural, el equilibrio de la fuerza dinámica del sistema se da en términos de los desplazamientos absolutos, U, mediante la siguiente ecuación de sub-matriz:

(16.2)

o

Va

= M cc M (ccs) + M (ccf ) and = K cc K (ccs) +K (ccf )

sq

ue

z

donde la masa y la rigidez en los nodos de contacto son la suma de las contribuciones de la estructura (s) y la fundación (f), y se expresan así:

C

om

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

an

dr

En términos del movimiento absoluto, no existe ninguna fuerza exter externa que actúe sobre el sistema. Sin embargo, los desplazamientos en el borde de la fundación deben ser conocidos. Para evitar solucionar este problema SSI directamente, se calcula la respuesta dinámica de la fundación sin la estructura. En muchos casos ibr e puede obtenerse en base a un sencillo modelo esta solución de campo llibre tri unidimensional del sitio. La solución de campo tridimensional libre está designada por los desplazamientos absolutos v y aceleraciones absolutas v . Mediante un simple cambio de varia variables, ahora es posible expresar los  en términos de desplazamientos absolutos U y las aceleraciones U desplazamientos u relativos a los desplazamientos de campo libre v . O:

(16.3a)

 U s  u s   v s         Uc  ≡ uc  +  v c  U f  u f   v f       

   u  s   v s  U s         c  +  v c  y  U c  ≡ u     v  U f   f  f  u

Ahora se puede expresar la Ecuación (16.1) como sigue:

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(16.3b)

M ss  s  K ss K sc 0 u s  0 0 u        c  + K cs K cc K cf   u c  = 0 u  0 M cc  0  f   0 K fc K ff  u f  0 M ff  u 

(16.4)

a

M ss 0  v s  0 0   v s  K ss K sc        c  − K cs K cc K cf   v c  = R −  0 M cc 0  v  0  f   0 K fc K ff   v f  0 M ff   v 

Ar

te

ag

Si el desplazamiento de campo libre v c es constante sobre la base de la estructura, el término v s es el movimiento de la masa rígida de la estructura.

ue

z

Por lo tanto, la Ecuación (16.4) puede ser simplificada aún más por el hecho de que el movimiento de la masa rígida estática de la estructura es: (16.5)

o

Va

sq

K ss K sc   v s  0 ( s)   K =   cs K cc  v c  0

r:

Al

ej

0   v c  K (ccf )   +  M ff  v f   K cf

K cf   v c  0   = K ff  v f  0

(16.6)

po

M (ccf )   0

an

dr

También, el movimiento iento dinámico de campo libre de la fundación requiere que:

ad

o

Por lo tanto, el lado derecho de la Ecuación (16.4) puede escribirse así:

C

om

pr

0 M ss  R =  0 M (ccs)  0 0

0  v s    0 v c  0  0 

(16.7)

Por lo tanto, el lado derecho de la Ecuación (16.4) no contiene la masa de la fundación. Por lo tanto, las ecuaciones del equilibrio dinámico tridimensional del sistema completo suelo-estructura con amortiguamiento agregado son de la siguiente forma para un sistema combinado de masa:  + Cu + K u = - m x v Mu  x (t ) - m y v  y (t ) - m z v z(t )

(16.8)

donde M, C, y K son las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez,

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respectivamente, del modelo suelo-estructura. Los desplazamientos relativos agregados, u , existen para el sistema suelo-estructura, y deben ser fijados en cero en los lados y el fondo de la fundación. Los términos v x (t ), v y (t ) y v z (t ) son los componentes de campo libre de la aceleración en ausencia de la estructura. Las matrices de columna, m i , representan las masas direccionales para la estructura agregada solamente.

dr

o

Va

sq

ue

z

Ar

te

ag

a

La mayoría de los programas de computadora para el análisis estructural automáticamente aplican la carga sísmica a todos los grados de libertad de la masa dentro del modelo computarizado, y no pueden solucionar el problema SSI: Esta falta de capacidad ha motivado el desarrollo del modelo de la fundación sin masa. Esto permite que las fuerzas sísmicas correctas sean aplicadas a la estructura; sin embargo, se descuidan la fuerzas de inercia dentro del material de la fundación. Los resultados dee un análisis de una fundación sin masa convergen ño del modelo de la fundación. Sin embargo, las a medida que se aumente el tamaño soluciones de convergencia pueden tener errores evitables en las formas, frecuencias y respuesta modales del sistema.

RESPUESTA ST A A AL L MOVIMIENTO DE MÚLTIPLES APOYOS

om

16.4

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

an

Para activar la interacción suelosuelo -estructura estructura dentro de un programa de suelo-estructura computadora, sólo es necesario identificar la masa de la fundación para que la carga no sea aplicada a esa parte de la estructura. Luego el programa dispone de la información que se requiere para formar tanto la masa total y la masa de la estructura agregada. El programa SAP SAP2000 tiene esta opción y es capaz de solucionar el problema SSI correctamente.

C

El análisis SSI anterior supone que el movimiento de campo libre en la base de la estructura sea constante. Para estructuras grandes como puentes y presas arqueadas, el movimiento de campo libre no es constante en todos los puntos donde la estructura tenga contacto con la fundación. El enfoque que se usa normalmente para solucionar este problema es definir un desplazamiento cuasi-estático v c que se calcula en base a la siguiente ecuación: (16.9a)

K ss v s + K sc v c = 0 o simplente, v= −K −1 s ss K sc v c = Tsc v c (16.9b)

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La matriz de transformación Tsc permite que se calcule la correspondiente aceleración cuasi-estática de la estructura en base a: (16.9c)

v s = Tscv c

La Ecuación (16.4) puede escribirse de la siguiente manera:

(16.10)

te

ag

a

M ss 0 0   v s  K ss K sc 0  v s        = −  0 M cc R 0   v c  − K cs K cc K cf   v c   0 0 M ff  v f   0 K fc K ff  v f  

ue

z

Ar

puede escribir la Ecuación Después de sustituir las Ecuaciones (16.6) y (16.9), se puede (16.10) como sigue:

(16.11)

dr

o

Va

sq

0 M ssTsc 0  v s  0 0 0  v s       = − 0 M cc R 0  v c  − 0 K cc 0  v c  0 0 0 v f  0 0 0 v f 

an

La rigidez estructural reducida en la superficie de contact contacto K cc se da como

Al

ej

sigue:

po

r:

= K cc K cc + K csTsc

(16.12)

C

om

pr

ad

o

Por lo tanto, ese enfoque requiere de una opción especial del programa para calcular las matrices de masa y rigidez que se usarán en el lado derecho de las ecuaciones ecua ciones de equilibrio dinámico. Note que las cargas son una función tanto de los desplazamientos de campo libre como de las aceleracio aceleraciones en el contacto suelo-estructura. También, para obtener el total de los esfuerzos y los suelo desplazamientos dentro de la estructura, hay que agregarle la solución cuasiestática a la solución. En la actualidad no hay un programa general de computadora de análisis estructural que esté basado en este enfoque “numéricamente laborioso.” Un enfoque alternativo es formular la solución directamente en términos de los desplazamientos absolutos de la estructura. Esto implica la introducción del siguiente cambio de variables:

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 U s  u s   0         Uc  ≡ uc  +  v c  U f  u f   v f       

   u  s   0  U s         c  +  v c  y  U c  ≡ u     v  U f   f  f  u

(16.13)

ag te

(16.14)

z

Ar

M ss  s  K ss K sf 0 0 u 0 u s         c  + K cf K cc K cf   u c  = R 0 u  0 M cc  0  f   0 K fc K ff  u f  0 M ff  u     

a

La sustitución de este cambio de variables en la Ecuación (16.1) produce las siguientes ecuaciones de equilibrio dinámico en términos del desplazamiento absoluto, u s , de la estructura:

Va

sq

ue

Después de eliminar la respuesta de campo libre, la Ecuación (16.6) , se calcula la carga dinámica en base a la siguiente ecuación: 0  0  M ss 0     0 v c  −  0 M (ccs) 0  0   0 0

0  0  0 v c  0  0 

(16.15a)

ej

an

dr

o

K ss K sc R = − K cs K (ccs)  0 0

ad

o

po

r:

Al

Esta ecuación ación puede ser simplicada aún más conectando la estructura a la fundación con consideren parte de la estructura. n resortes rígidos sin masa que se cons Por lo tanto, la masa de la estructura en los nodos de contacto queda eliminada, y la Ecuación (16.15a) se reduce a:

(16.15b)

C

om

pr

 K sc   (s(s) ( ss))  R = − K cc [v c ]  0   

Es evidente que los términos de rigidez en la Ecuación (16.15b) representan la rigidez de los resortes de contacto solamente. Por lo tanto, para un componente típico de desplazamiento (n = x, y ó z), las fuerzas que actúan en el punto “i” en la estructura y el punto “j” en la fundación se dan mediante:

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 Ri   1.0 − 1.0  0  R = − kn  1.0  v n  − 1.0  j n

(16.16)

donde k n es la rigidez del resorte sin masa en la n-ésima dirección, y v n es el

sq

ue

z

Ar

te

ag

a

desplazamiento de campo libre. Por lo tanto, los puntos “i” y “j” pueden encontrarse en el mismo punto en el espacio, y las únicas cargas que actúan son una serie dependiente del tiempo de cargas puntuales concentradas que son fuerzas iguales y opuestas entre la estructura y la fundación. La rigidez del resorte seleccionada debe ser aproximadamente ente tres órdenes de magnitud mayores que la rigidez de la estructura en los nodos de conexión. La rigidez del resorte debe ser lo suficiente grande para que los períodos fundamentales del sistema no sean cambiados, y lo suficientemente pequeños para que nno provoquen problemas numéricos.

o

Va

Las ecuaciones de equilibrio dinámico, con amortiguamiento agregado, pueden escribirse como sigue: (16.17)

an

dr

 + Cu + K u = R Mu

ANÁLISIS A NÁ DE UNA PRESA DE GRAVEDAD Y FUNDACIÓN

C

16.5

om

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

Se debe notar que las cargas dinámicas concentradas generalmente requieren un número elevado de autovectores para captar la respuesta correcta del sistema. Sin embargo, si se usan vectores LDR en un análisis de superposición de modo, se reduce de manera significativa el número de vectores que se requiere. Utilizando este enfoque, el programa SAP2000 tiene la capacidad de solucionar problemas suelo-estructura de múltiples soportes. Al mismo tiempo, se puede de interacción suelo considerar el comportamiento selectivo nono-lineal de la estructura.

Para ilustrar el uso de la opción de la interacción suelo-estructura, se realizaron varios análisis de respuesta sísmica de la presa Pine Flat, utilizando diferentes modelos de fundación. Se asumió que las propiedades de la fundación fueran las mismas propiedades que las de la presa. Se fijó el amortiguamiento en el cinco por ciento. Se utilizaron diez vectores de Ritz generados por cargas sobre la presa. Sin embargo, las formas modales aproximadas que resultaron y que se utilizaron en el análisis de superposición de modo estándar incluían los efectos de

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Va

sq

ue

z

Ar

te

ag

a

la inercia de masa de la fundación. La carga dinámica horizontal representaba el segmento típico del sismo de Loma Prieta que se define en la Figura 15.1a. La Figura 16.2 presenta un modelo de elemento finito de la presa sobre una fundación rígida.

dr

o

Figura 16.2 Modelo de Elemento Finito de Presa Solamente

C

om

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

an

La Figura 16.3 presenta los dos modelos diferentes de fundación utilizados.

Figura 16.3 Modelos de Presa con Fundación Pequeña y Grande La Tabla 16.1 resume los resultados selectivos. Para fines de comparación, se asumirá que los resultados del vector de Ritz para la malla grande de fundación sean los valores de referencia.

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Tabla 16.1 Resultados Selectivos de Análisis de Fundación de Presa Masa Total (lb2 seg /pulg)

Períodos (segundos)

Desplazamie nto Max. (pulgadas)

Esfuerzos Max. & Min. (ksi)

Ninguna

1,870

0.335 0.158

0.65

-37 to +383

Pequeña

13,250

0.404 0.210

1.28

-490 to +289

Grande

77,360

0.455 0.371

1.31

-512 to +297

a

Fundación de Presa

Al

ej

APROXIMACIÓN DE F FUNDACIÓN UNDA SIN MASA

om

pr

ad

o

po

r:

La mayoría de los programas de propósito general para el análisis sísmico de estructuras no tienen la opción de identificar la masa de fundación como un tipo separado de masa sobre la cual no actúan las fuerzas sísmicas. Por lo tanto, una de las aproximaciones que ha sido usada comúnmente es descuidar la masa de la fundación completamente en el análisis. La Tabla 16.2 resume los re resultados de un análisis de los mismos sistemas presa presa-fundación utilizando una fundación sin masa. Tal como se esperaba, eestos resultados son similares. Para este caso los resultados son conservadores; sin embargo, no se puede estar seguro de esto para todos los casos.

C

16.6

an

dr

o

Va

sq

ue

z

Ar

te

ag

Las diferencias entre los resultados de los modelos de fundación grande y pequeño son muy pequeñas,, lo que indica que la solución del modelo de fundación grande podría estar casi en convergencia. Es cierto que los efectos del amortiguamiento miento por radiación en un modelo de fundación finita se obvian. Sin embargo, a medida que el modelo de fundación sea más grande, la disipación de energía producto del amortiguación modal normal dentro de la fundación masiva es significativamente más grandee que los efectos de amortiguamiento por radiación para cargas momentáneas de tipo sísmico.

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Tabla 16.2 Resultados Selectivos de Presa con Análisis de Fundación sin Masa Masa Total (lb2 seg /pulg)

Fundación de Presa

Períodos (segundos)

Desplazamie nto Max. (pulgadas)

Esfuerzo Max. & Min. (ksi)

1,870

0.335, 0.158

0.65

-37 to +383

Pequeña

1,870

0.400, 0.195

1.27

-480 to +289

Grande

1,870

0.415, 0.207

1.43

550 to +330 -550

Ar

CONDICIONES APROXIMADAS DE BORDE RADIANTE DIA NTE

dr

o

Va

sq

ue

z

Si el volumen de la fundación es grande y si existe amortiguamiento modal, se demostró en la sección anterior que una fundación finita con bordes fijos puede producir resultados de convergencia. Sin embargo, el uso de bordes que absorben energía puede reducir aún más el tamaño de la fundación que se requiere para producir una solución de convergencia.

po

r:

Al

ej

an

ara calcular las propiedades de esta condición de borde, considere una onda Para plana propagada en dirección x. Las fuerzas que causan la propagación de la onda se presentan actuando sobre un cubo unitario en la Figura 16.4.

o

σx+

om

pr

ad

σx

←ρ

∂ 2 ux ∂ t2

∂σ x ∂x

C

16.7

te

ag

a

Ninguna

Figura 16.4 Fuerzas que Actúan sobre un Cubo Unitario En base a la Figura 16.4 la ecuación unidimensional de equilibrio en dirección x es: ρ

∂ 2u ∂σ x − =0 ∂x ∂t 2

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(16.18)

Ya que

σ = λε = λ

x

x

∂u , la ecuación unidimensional de la ecuación ∂x

diferencial parcial se escribe en la siguiente forma clásica de propagación de onda: 2 ∂ 2u 2 ∂ ux V − =0 p ∂t 2 ∂x 2

(16.19)

te

λ ρ

(16.20)

Ar

Vp =

ag

a

donde Vp es la velocidad de propagación de onda del material, y se da como:

ue

z

donde ρ es la densidad de masa y λ es el módulo de volumen dado por: (16.21)

Va

sq

1− ν E λ= (1 + ν)(1 − 2ν)

ej

an

dr

o

La solución de la Ecuación (16.13) para la propagación de ondas armónicas en dirección x positiva es un desplazamiento de la siguiente fforma: ωx

Vp

Vp

ωx

) + cos(ωt −

)]

(16.22)

po

r:

Al

= u(t , x) U [sin(ωt −

C

om

pr

ad

o

Esta ecuación puede ser verificada fácilmente mediante substit substitución en la Ecuación (16.18). La frecuencia arbitraria del movimiento armónico es ω . La ∂u velocidad, , de una partícula en el punto x es: ∂t = u (t , x) Uω[ cos(ωt −

ωx

Vp

) −sin(ωt −

ωx

Vp

)]

(16.23)

La deformación en dirección x es: ∂u u ( x , t ) ε( x , t ) = = − ∂x Vp

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(16.24)

El esfuerzo correspondiente ahora se puede expresar en la siguiente forma simplificada: σ( x , t ) = λε( x , t ) = −Vp ρ u ( x , t )

(16.25)

El esfuerzo de compresión es idéntico a la fuerza en un amortiguador simple viscoso con un valor constante de amortiguamiento igual a Vp ρ por área de

te

ag

a

unidad del borde. Por lo tanto se puede crear una condición de borde, en un borde cortado, que permita que la onda pase sin reflexión y que permita que la energía de deformación se “irradie” en dirección opuesta a la fundación.

sq

s

ue

z

Ar

También, se puede demostrar fácilmente que la condición de borde de “radiación” de la onda cortante, paralela al borde libre, se se satisface si los valores de amortiguamiento son asignados como V ρ por unidad de área de borde. La

o

G

dr

ρ

Al

ej

donde G es el módulo de cortante.

(16.26)

an

Vs =

Va

velocidad de propagación de onda cortante se da así:

16.8

C

om

pr

ad

o

po

r:

ede usarse para solucionar estructuras en el dominio de El método FNA puede del ipos de condiciones de bordes. En ediciones posteriores de este tiempo con estos tipos libro, se demostrará la precisión de estas aproximaciones de condiciones de borde, utilizando ejemplos numéricos. También se usará con un borde fluido donde existen solamente ondas de compresión.

USO D DE ER RESORTES EN LA BASE DE UNA ESTRUCTURA Otro problema importante de modelos estructurales que hay que solucionar es el contacto de los elementos estructurales mayores dentro de una estructura con el material de la fundación. Por ejemplo, las deformaciones en la base de un muro de cortante mayor en una estructura de edificio afectará significativamente la distribución de fuerza y desplazamiento en los pisos superiores de un edificio para las cargas tanto estáticas como dinámicas. Se puede seleccionar una rigidez

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realista de resorte realizando estudios separados de elementos finitos, o mediante el empleo de ecuaciones clásicas de medio espacio que se presentan en la Tabla 16.3.

ag

a

A juicio del autor de este libro, el uso de movimientos sísmicos de campo libre propios dependientes del sitio, y la selección de resortes realistas sin masa en la base de la estructura constituyen las únicas suposiciones de modelo que se requieren para incluir las propiedades de sitio y fundación en el análisis sísmico de la mayoría de los sistemas estructurales.

Va

sq

ue

z

Ar

te

La Tabla 16.3 también contiene factores efectivos de masa y amortiguamiento que incluyen los efectos aproximados de amortiguamiento de radiación radiación. Estos valores pueden ser usados directamente en un modelo computacional sin ninguna dificultad. Sin embargo, se debe tener mucho cuidado al usar estas ecuaciones en la base de una estructura completa. Por ejemplo, no se deben aplicar las fuerzas sísmicas efectivas a la masa de la fundación.

dr

o

Tabla 16.3 Propiedades de Placa ac a C Circular i Rígida sobre la Superficie de

ej

an

Medio-Espacio

r: po

o

Vertical

Al

DIRECCION

pr

ad

Horizontal

4Gr 1- ν (1 - ν 2) 18.2Gr (2 - ν )2 K=

AMORTIGUA MIENTO

MASA

1.79 Kρ r 3

1.50ρ r 3

1.08 Kρ r 3

0.28ρ r 3

Rotación

2.7Gr 3

0.47 Kρ r 3

0.49ρ r 5

Torsión

5.3Gr 3

1.11 Kρ r 5

0.70ρ r 5

om C

RIGIDEZ

r = radio de la placa; G = módulo de cortante; ν = relación de Poisson; ρ = densidad de masa Fuente: Adaptado de Fundamentals of Earthquake Engineering,” de Newmark y Rosenblueth, Prentice-Hall, 1971.

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16.9

RESUMEN

Ar

te

ag

a

Se ha escrito un gran número de documentos de investigación y varios libros sobre el análisis de estructura-fundación-suelo y la respuesta de un sitio a cargas sísmicas. Sin embargo, la mayoría de estas publicaciones se han limitado al comportamiento lineal de sistemas de suelo-estructura. Es posible utilizar los métodos numéricos que se presentan en este libro para efectuar análisis sísmicos precisos de sistemas reales de suelo-estructura en el dominio del tiempo, incluyendo muchas propiedades no-lineales lineales realistas. También se puede demostrar que la solución que se obtiene tiene convergencia con la solución interactiva correcta de suelo-estructura.

an

dr

o

Va

sq

ue

z

Para estructuras mayores sobre suelo blando, se debe llevar a cabo análisis unidimensionales dimensionales de respuesta de sitio. Bajo elementos estructurales mayores, tales como la base de un muro de cortante, se deben usar resortes elásticos sin masa para estimar la rigidez de la fundación. Para estructuras masivas, tales fundación utilizando como presas de gravedad, se debe modelar una parte de la fun elementos tridimensionales dimensionales SOLID donde se incluyan los efectos SSI.

Al

ej

16.10 REFERENCIAS

ad

o

po

r:

1. Schnabel, P., J. Lysmer y H. Seed. 1970. "SHAKE - A Computer Program for the Earthquake Response for Horizontally Layered Sites," EERC Report No. 72-2. University of California, Berkeley. Febrero.

C

om

pr

2. Hart, J., y E. Wilson. “WAVES - An Efficient Microcomputer Program for Nonlinear Site Response Analysis," National Information Center for Earthquake Engineering. Davis Hall, University of California, Berkeley. Tel. # (415) 642-5113. 3. Clough, R., y J. Penzien. 1993. Dynamics of Structures, Segunda Edición. McGraw-Hill, Inc. ISBN 0-07-011394-7.

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17.

Ar

te

ag

a

MODELOS DE ANÁLISIS SÍSMICO PARA SATISFACER LOS CÓDIGOS DE CONSTRUCCIÓN

Va

INTRODUCCIÓN

po

r:

Al

ej

an

dr

o

En la actualidad se requiere un análisis dinámico tri tri-dimensional para muchos tipos diferentes de sistemas estructurales que se construyen en las Zonas Sísmicas 2, 3 y 4 [1]. Los requisitos de fuerza lateral sugieren varios métodos que se pueden usar para determinar la distribución de fuerzas sísmicas dentro de una sís estructura. Sin embargo, estas pautas no son únicas y requieren de interpretaciones adicionales.

om

pr

ad

o

La principal ventaja del uso de fuerzas obtenidas en un análisis dinámico como base de un diseño estructural es que la distribución vertical de fuerzas puede ser significativamente diferente de las fuerzas obtenidas en un análisis de una carga estática equivalente. Por consiguiente, el uso del análisis dinámico produce diseños estructurales que son más resistentes a sismos que las estructuras que se diseñan utiliz utilizando cargas estáticas.

C

17.1

sq

ue

z

Los Códigos Actua les de Constr ucción Utiliza n la Ter minología : Dirección P r incipa l Sin Definición Única

Durante muchos años la carga estática bidimensional era aceptable como base del diseño sísmico en muchas zonas geográficas, y para la mayoría de los tipos de sistemas estructurales. Debido al aumento de la disponibilidad de computadoras digitales modernas durante los últimos veinte años, la mayoría de los ingenieros han tenido experiencia con el análisis de cargas estáticas de estructuras tridimensionales. Sin embargo, pocos ingenieros y redactores del código actual de la construcción han tenido experiencia en el análisis de respuesta dinámica tri-

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dimensional. Por lo tanto, la interpretación del requisito de análisis dinámico del código actual representa un nuevo reto para la mayoría de los ingenieros estructurales.

Ar

te

ag

a

El código actual permite que los resultados obtenidos de un análisis dinámico sean normalizados de manera que el cortante dinámico máximo de la base sea igual al cortante de base que se obtiene de un análisis de carga estática bidimensional simple. La mayoría de los miembros de esta profesión se dan cuenta de que no existe ninguna base teórica de este enfoque. Sin embargo, para fines de seleccionar la magnitud de la carga dinámica que satisfaga los requisitos del código, se puede aceptar este enfoque, en una forma modificada, hasta que se adopte un método más racional.

r:

Al

ej

an

dr

o

Va

sq

ue

z

El cálculo de loss “cortantes de base para el diseño” es sencillo, y llas variables son definidos dentro del código. Sin embargo, es interesante notar que la magnitud básica de las cargas sísmicas no se ha cambiado de manera significativa en comparación con los códigos anteriores. El principal cambio es que se deben utilizar los “métodos dinámicos de análisis” en las “direcciones principales” de la estructura. El código vigente no indica cómo definir las direc direcciones principales de una estructura tridimensional de forma geométrica arbitraria. Ya que el ser diferente en cada dirección, este enfoque de cortante de base de diseño puede ser “espectros ajustados”” puede producir un acción sísmica diferente para cada ción en el caso de estructuras tanto regulares como irregulares. Por lo tanto, dirección

o

po

el enfoque de análisiss ddinámico in á m del código vigente puede producir un diseño ea relativamente r el a t “débil” en una dirección . El método de estructural que sea

om

pr

ad

análisis dinámico que se propone en este capítulo produce un diseño estructural pro que tiene resistencia igual en todas las direcciones.

C

máximo cortante de base de diseño, según su definición en el código Además, el máxim vigente, representa aproximadamente el 35 por ciento del peso de la estructura. Para muchas estructuras, representa menos del 10 por ciento. Se reconoce que este nivel de fuerza es bajo cuando se compara con fuerzas sísmicas medidas. Por lo tanto, el uso de este cortante basal por diseño requiere que un nivel sustancial de ductilidad sea integrado en el diseño de de la estructura. La definición de una estructura irregular, el ajuste por escala de los cortantes dinámicos de base a los cortantes estáticos de base para cada dirección, la aplicación de cargas torsionales accidentales, y el trato de los efectos de carga

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ortogonal representan áreas que no quedan claramente definidas en el código de construcción vigente. El objetivo de esta sección es presentar un método de análisis sísmico tridimensional que cumpla los Requisitos de Fuerza Lateral del código. El método está basado en las formas de espectro de respuesta definidas en el código, y en procedimientos de computación anteriormente publicados y aceptados.

MODELO COMPUTARIZADO TRIDIMENSIONAL

Va

sq

ue

z

Ar

te

ag

a

Se deben considerar los efectos de torsión reales y accidentales para toda estructura. Por lo tanto, se debe tratar a toda estructura como un sistema tridimensional. Las estructuras con planoss irregulares, retranqueos verticales o pisos blandos no causan ningún problema adicional si se ccrea un modelo computarizado tridimensional dimensional que sea realista. Dicho modelo debe ser elaborado en las primeras etapas del diseño porque se puede usar para las cargas verticales, y viento estático, además de cargas sísmicas dinámicas.

om

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

an

dr

o

lamente de elementos estructurales con rigidez y Se deben hacer modelos solamente ductilidad significativa. Pueden despreciadas componentes no-estructurales ueden ser des frágiles. Sin embargo, se pueden tomar en cue cuenta en todos los elementos los esfuerzos cortantes, las deformaciones axiales y las dimensiones de líneas fuerade-centro, centro, sin un aumento significativo de esfuerzo de computación a través de la mayoría de los programas programas informáticos modernos. Se ha demostrado que la para la aproximación rígida en el plano de los sistemas de piso es aceptable par mayoría de los edificios. Para fines del análisis dinámico elástico, normalmente olvid se usan secciones de concreto bruto, olvidándose de la rigidez del acero. Se debe chequ el diseño final. usar un modo de sección agrietada para chequear Se deben incluir los efectos P-Delta en todos los modelos estructurales. Se ha efe demostrado en el Capítulo 11 que se pueden considerar esos efectos de segundo orden, sin iteración, para cargas tanto estáticas como dinámicas. El efecto de incluir los desplazamientos P-Delta en un análisis dinámico produce un ligero aumento del período en todos los modos. Además de una mayor precisión, otra ventaja de incluir automáticamente los efectos P-Delta es el hecho de que el factor de ampliación del momento para todos los elementos puede ser tomado como unidad en toda revisión posterior de esfuerzo.

C

17.2

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Se puede estimar la masa de la estructura con un alto grado de precisión. La principal suposición que se requiere es el estimado de la cantidad de carga viva a incluir como masa agregada. Para ciertos tipos de estructuras, podría ser necesario llevar a cabo varios análisis utilizando diferentes valores de masa. La aproximación de masa combinada se ha demostrado precisa. En el caso de la aproximación de un diafragma rígido, se debe calcular el momento de inercia de la masa rotacional.

Ar

te

ag

a

La rigidez del área de la fundación de la mayoría de las estructuras puede ser modelada utilizando elementos estructurales sin masa. Es practicamente importante modelar la rigidez de los pilotes y la rigidez rotacional en la base de muros de cortante.

po

r:

FORMAS Y FRECUENCIAS ENCIA S DE MODO TRIDIMENSIONALES

om

pr

ad

o

El primer paso en el análisis dinámico de un modelo estructural es el cálculo de las formas de modo frecuencias naturales de vibración. modo tridimensionales tridimensionales y las frec Durante los últimos años se han desarrollado métodos de computación muy eficientes que han reducido enormemente los requisitos de computación relacionados al cálculo de las funciones de fo forma ortogonal, como se presento en el Capítulo 14. Se ha demostrado que los vectores dependientes de carga Ritz , que pueden ser generados con un esfuerzo numérico mínimo, producen resultados más precisos cuando se usan para un análisis dinámico sísmico que los resultados si se usaran formas de modo de vibración libre exacta..

C

17.3

Al

ej

an

dr

o

Va

sq

ue

z

El modelo computarizado de cargas estáticas debe ser ejecutado solamente antes de realizar un análisis dinámico. Se puede verificar el equilibrio y se pueden sencil patrones de carga verificar varias aproximaciones de modelo utilizando sencillos estática. Los resultados de un análisis dinámico en lo general son muy compl complejos, y las fuerzas que se obtienen de un análisis de espectro de respuesta siempre son positivas. Por lo tanto, el equilibrio dinámico es casi imposible de chequea chequear. Sin embargo, es relativamente sencillo chequear los balances de energía en el análisis tanto lineal como no-lineal.

Por eso se puede efectuar un análisis de espectro de respuesta dinámica con aproximadamente dos veces los requisitos de tiempo de computadora de un análisis de carga estática. Dado el hecho de que sistemas de más de 60,000 grados dinámicos de libertad pueden ser solucionados en pocas horas mediante el

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uso de computadoras personales, no existe un aumento significativo en cuanto al costo entre un análisis estático y un análisis dinámico. El costo principal son las “horas hombre” que se requieren para producir el modelo tri-dimensional computarizado que se usa en un análisis estático o dinámico.

ue

z

Ar

te

ag

a

Para ilustrar las propiedades dinámicas de la estructura tridimensional, se han calculado las formas y las frecuencias de modo para el edificio irregular de ocho pisos con 80 pies de altura que se presenta en la Figura 17.1. Este edificio es una estructura de concreto con varios cientos de grados de libertad. Sin embargo, los tres componentes de masa están combinados en cada uno de los ocho niveles de dimensionales son posibles. piso. Por eso solamente 24 formas de modo tridimensionales

sq

Roof

Va

8th

dr

o

7th

an

6th

ej

5th

om

pr

r: po

ad

Base

o

2nd

Al

4th 3rd

10' Typ.

F igura 17.1 Ejemplo de Edificio Irregular de Ocho Pisos

C

Cada forma de modo tridimensional de una estructura puede tener com componentes de desplazamiento en todas las direcciones. Para el caso especial de una estructura simétrica, las formas de modo están desacopladas y tendrán desplazamiento en una dirección solamente. Dado que cada modo puede ser considerado una deflexión debido a un grupo de cargas estáticas, se pueden calcular seis fuerzas de reacción de base por cada forma de modo. Para la estructura que se presenta en la Figura 17.1, la Tabla 17.1 resume las dos reacciones de base y tres momentos de vuelco asociados a cada forma de modo. Ya que se ha obviado la masa vertical, no existe reacción vertical. Las

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magnitudes de las fuerzas y de los momentos carecen de significado porque la amplitud de una forma de modo puede ser normalizada a cualquier valor. Sin embargo, los valores relativos de los diferentes componentes de los cortantes y los momentos asociados con cada modo son de un valor considerable. Los modos que tienen algún componente de torsión están resaltados en negr itas. Tabla 17.1 Fuerzas y Momentos de Base Tridimensionales MOMENTOS DE VUELCOS

DE BASE MODAL

MODALES

X-Dir.

Y-Dir.

Angulo

Eje X

(Grado)

.6315

.781

.624

38.64

-37.3 37.3

2

.6034

-.624

.781

-51.37

--46.3 46.3

Eje Y

Eje Z

46.6

-18.9

-37.0

38.3

.3501

.785

.620

38.30

--31.9 31

40.2

85.6

4

.1144

-.753

-.658

41.12

12.0

-13.7

7.2

5

.1135

.657

-.754

--48.89 48.89

13.6

11.9

-38.7

6

.0706

.989

.147

8 8.43 4

-33.5

51.9

2,438.3

7

.0394

-.191

.982

-79.01

-10.4

-2.0

29.4

8

.0394

-.983

9

.0242

.848

10

.0210

11

.0209

12

.0130

13

.0122

14 15

Va o

1.9

-10.4

26.9

32.01

-5.6

8.5

277.9

.739

.673

42.32

-5.3

5.8

-3.8

r:

dr

10.67

.530 .5 3

.672

-.740

-47.76

5.8

5.2

-39.0

--.579 .5 7

.815

-54.63

-.8

-8.8

-1,391.9

.683

.730

46.89

-4.4

4.1

-6.1

.0122

.730

-.683

-43.10

4.1

4.4

-40.2

.0087

-.132

-.991

82.40

5.2

-.7

-22.8

Al

po o

ad

pr

om

ej

--.185 .185

.0087

-.991

.135

-7.76

-.7

-5.2

30.8

17

.0074

-.724

-.690

43.64

4.0

-4.2

-252.4

18

.0063

-.745

-.667

41.86

3.1

-3.5

7.8

19

.0062

-.667

.745

-48.14

-3.5

-3.1

38.5

20

.0056

-.776

-.630

39.09

2.8

-3.4

54.1

21

.0055

-.630

.777

-50.96

-3.4

-2.8

38.6

22

.0052

.776

.631

39.15

-2.9

3.5

66.9

23

.0038

-.766

-.643

40.02

3.0

-3.6

-323.4

24

.0034

-.771

-.637

39.58

2.9

-3.5

-436.7

C

16

sq

3

an

ue

z

Ar

1

ag

(Secondos)

te

PERIODO

MODO

a

REACCIONES DE CORTANTE

Comprado por: Alejandro Vasquez Arteaga [email protected]

ue

z

Ar

te

ag

a

Un examen cuidadoso de las propiedades direccionales de las formas de modo tridimensionales en las primeras etapas de un diseño preliminar puede darle al ingeniero estructural información adicional que puede ser usada para mejorar el diseño sismo-resistente de la estructura. El código actual define una “estructura irregular” como una estructura que tenga cierta forma geométrica o en la cual existan discontinuidades de rigidez y masa. Una definición mucho más racional es la que declara como una “estructura regular” la que tenga un acoplado mínimo entre los desplazamientos laterales y las rotaciones torsionales para las formas modales asociadas con las frecuencias inferiores del sistema. Por eso, si se modifica el modelo y se “refina” mediante el estudio de formas modales tridimensionales durante la fase preliminar de diseño, podría ser posible convertir una estructura “geométricamente irregular” en una estructura “dinámicamente sismo--resistente sismo resistente regular” desde un punto de vista del diseño sismo-resistente.

om

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

an

dr

o

Va

sq

Para este edificio, es interesante notar que las formas modales, que tienden a tener direcciones que son 90 grados de separación, poseen casi el mismo valor p tri para su período. Esto es algo típico en formas modales tridimensionales de edificios tanto regulares como irregulares. Para estructuras simétricas regulares, que poseen rigidez igual en todas las direcciones, los periodos asociados con los desplazamientos laterales tienen como resultado pares de periodos idénticos. Sin embargo, las direcciones asociadas con el par de formas modales tridimensionales no son matemáticamente únicas. Para períodos idénticos, la com mayoría de los programas de computadora permiten que los errores de redondeo produzcan dos formas modales con direcciones que difieren por unos 90 grados. Por lo tanto, no se debe usar el método SRSS para combinar máximos modales análisis dinámico tridimensional. El método CQC elimina los problemas en el análisis asociados con períodos con poca separación.

C

Para un análisis del espectro de repuesta, el código actual declara que “por lo menos el 90 por ciento de la masa participante de la estructura debe ser incluido en el cálculo de la respuesta por cada dirección principal.” Por eso, el número de modos que deben ser evaluados deben cumplir este requisito. La mayoría de los programas de computadora calculan automáticamente la masa participante en todas los direcciones, utilizando las ecuaciones presentadas en el Capítulo 13. Se puede cumplir con este requisito fácilmente utilizando vectores LDR. Para la estructura presentada en la Figura 17.1, la Tabla 17.2 presenta la masa participante para cada modo y para cada dirección. Para este edificio, se

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requieren solamente ocho modos para cumplir la especificación del 90 por ciento en las direcciones x e y. Tabla 17.2 Masa Participante Tridimensional – (porcentaje) Y-Dir.

Z-Dir.

X-Sum

Y-Sum

Z-Sum

34.224

21.875

.000

34.224

21.875

.000

2

23.126

36.212

.000

57.350

58.087

.000

3

2.003

1.249

.000

59.354

59.336

.000

4

13.106

9.987

.000

72.460

69.323

.000

5

9.974

13.102

.000

82.434

82.425

.000

6

.002

.000

.000

82.436

82.425

.000

7

.293

17.770

.000

82.729

90.194

.000

8

7.726

.274

.000

90.455

90.469

.000

9

.039

.015

.000

90.494

90.484

.000

10

2.382

1.974

.000

92.876

92.458

.000

11

1.955

2.370

.000

94.831

94.828

.000

.000

94.831

94.829

.000

.000

95.945

96.100

.000

.000

97.220

97.217

.000

ag

Ar

z

ue

sq

Va

o

a

1

.000

.001

13

1.113

1.271

14

1.276

1.117

15

.028

1.556 .556

.000

97.248

98.773

.000

16

1.555

.029

.000

98.803

98.802

.000

17

.011

.010

.000

98.814

98.812

.000

18

.503

.403

.000

99.316

99.215

.000

.405

.505

.000

99.722

99.720

.000

.102

.067

.000

99.824

99.787

.000

.111

.169

.000

99.935

99.957

.000

22

.062

.041

.000

99.997

99.998

.000

23

.003

.002

.000

100.000

100.000

.000

24

.001

.000

.000

100.000

100.000

.000

an

ej

Al

r: po

o

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C

21

om

20

dr

12

19

17.4

X-Dir.

te

MODO

ANÁLISIS DINÁMICO TRIDIMENSIONAL Es posible efectuar un análisis dinámico de respuesta historia-tiempo utilizando los métodos de análisis de superposición de modo o paso-a-paso. Sin embargo, no se ha definido una historia de tiempo estándar, para fines de diseño. Por ende,

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la mayoría de los ingenieros emplean el método de análisis de espectro de respuesta como el enfoque básico. El primer paso en un análisis de espectro de respuesta es el cálculo de las formas y las frecuencias modales tridimensionales según lo indicado en la sección anterior. 17.4.1. Cortante Basal del Diseño Dinámico Para el análisis dinámico, el UBC del 1994 requiere que el “cortante basal del diseño,” V, sea evaluada según la siguiente fórmula: (17.1)

ag

a

V = [ Z I C / RW ] W

te

Donde

Ar

Z = El factor sísmico de la zona indicada en la Tabla 16-1 16-11 del UBC. 16-

ue

z

16 16-K -K K del UBC. I = Factor de importancia indicada en la Tabla 16-

sq

oeficiente numérico indicado en la Tabla 16 16-N o 16-P del UBC. R w = Coeficiente

Va

W = El peso sísmico total de la estructura

an

C = 1.25 S/ T 2/3

dr

o

C = Coeficiente numérico (2.75 valor máximo) determinado en base a:

Al

ej

Donde

(17-2)

po

r:

S = Coeficiente de sitio para características de ssuelo indicadas en la Tabla 1616 -JJ del UBC. 16-J

ad

o

T = Período fundamental de vibración (segundos).

C

om

pr

Para la mayoría de los casos se puede usar el período, T, determinado en base al tridimensional. Esto en esencia representa el Método B modelo computarizado tri del código. Ya que el modelo computarizado muchas veces descuida la rigidez nono estructural, el código requiere que se use el Método A bajo ciertas condiciones. El Método A define el período, T, como sigue: T = C t h 3/4

(17-3)

Donde h es la altura de la estructura en pies, y C t es definido por el código para varios tipos de sistemas estructurales.

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No se puede tomar el Período calculado por el Método B separado en más de un 30 % de lo computado utilizando el Método A en la Zona Sísmica 4, ni superando en más de un 40% la duración en las Zonas Sísmicas 1, 2 y 3. Para una estructura definida por el código como “regular,” el diseño de cortante de base puede ser reducida en un 10 por ciento adicional. Sin embargo, no debe ser menor del 80 por ciento del cortante calculado utilizando el Método A. Para el caso de una estructura “irregular,” no se permite esta reducción.

a

17.4.2. Definición de Direcciones Principales

r:

Al

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o

Va

sq

ue

z

Ar

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ag

Una de las debilidades del código actual es la falta de definici definic ión ón de las definición “direcciones principales horizontales” para una estructura general tridimensional. Si se permite que cada ingeniero seleccione un sistema arbitrario de referencia, el “cortante dinámico de base” no será único,, y cada sistema de referencia podría oducir un diseño diferente. Una solución de este problema que resultaría en un producir se es el uso de la dirección del cortante de base único diseño de cortante de base asociado con el modo fundamental de vibración como la definic definición de la or” de la estructura. La “dirección principal men “dirección principal mayor” menor” por definición será 90 grados desde el eje mayor. Este enfoque posee una base ido para estructuras regulares. Por lo tanto, esta definición racional porque es válido de las direcciones principales será utilizada para el método de análisis presentado en este capítulo.

po

17.4.3. Efectos Direccionales c c i o n al y Ortogonales

C

om

pr

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o

Las fuerzas sísmicas de diseño requeridas pueden venir desde cualquier dirección no horizontal, y para fines de diseño, se puede asumir que actúan de manera noconcurrente en dirección de cada eje principal de la estructura. Además, para fines del diseño del elemento, los efectos de la carga sísmica en dos direcciones raíz ortogonales pueden ser combinados sobre una base de raíz-cuadrada-de-la-sumade-cuadrados (SRSS). (También se permite diseñar elementos para un 100 por ciento de las fuerzas sísmicas en una dirección más el 30 por ciento de las fuerzas producidas por la carga en la otra dirección. No vamos a usar este enfoque en el procedimiento que aquí se sugiere por las razones que se presentaron en el Capítulo 15.)

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17.4.4. Método Básico de Análisis Sísmico

te

ag

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Para cumplir los requisitos actuales, es necesario realizar dos análisis de espectro separados en las principales direcciones mayor y menor (según lo definido en la sección anterior). Dentro de uno de estos análisis, se usa el método de Combinación Cuadrática Completa (CQC, Complete Quadratic Combination) para tomar en cuenta con precisión los efectos de la interacción modal en el estimado de los valores de respuesta máximos. Los espectros usados en ambos en ser obtenidos directamente de las Formas Normalizadas de análisis pueden Espectros de Respuesta indicadas por el Código Uniforme de la Construcción (UBC, Uniform Building Code).

Ar

17.4.5. Ajuste de Resultados

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r:

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Va

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Cada uno de estos análisis producirá una cortante de base een la principal dirección mayor. Se calcula un valor simple para el “cortante dinámico de base” utilizando el método SRSS. También, se puede calcular un “cortante dinámic dinámico de base” en la principal dirección menor. El próximo paso es escalonar las formas nteriormente utilizados por la relación de de espectros anteriormente del “diseño de cortante en la nimo de la “cortante dinámico de base.” Este enfoque es más base” al valor mínimo conservador que el propuesto por los requisitos actuales, porque se usa solamente el factor de escalonamiento que prod produzca la respuesta más grande. Sin embargo, este enfoque es mucho más racional porque arroja el mismo sismo de diseño en todas las direcciones.

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s p l azam Dinámicos y Fuerzas de Elementos 17.4.6. Desplazamientos

C

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La distribución de desplazamiento y fuerza se calculan utilizando el método básico SRSS para combinar los resultados del 100 por ciento de los espectros escalonado aplicados en cada dirección. Si se realizan dos análisis en cualquiera escalonados lo de dos direcciones ortogonales, donde se usa el método CQC para combinar los máximos modales para cada análisis, y se combinan los resultados utilizando el método SRSS, se obtendrán precisamente los mismos resultados de la orientación del sistema de referencia ortogonal. Por lo tanto, la dirección del cortante de base del primer modo define un sistema de referencia para el edificio. En el caso de que se den los espectros específicos del sitio, para los cuales no se requiere escalonamiento, se puede usar cualquier sistema de referencia ortogonal.

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En cualquiera de los casos, solamente se necesita una computadora para calcular todas las fuerzas de elemento a usar para el diseño. 17.4.7. Efectos de Torsión

sq

ue

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El posible movimiento torsional del suelo, la distribución impredecible de la masa de carga viva, y las variaciones de las propiedades estructurales representan tres motivos por los cuales las estructuras tanto regulares como irregulares deben ser diseñadas para cargas torsionales accidentales. También, para una estructura regular, la cargas laterales no excitan los modos torsionales. ales. Un método método que sugiere el Código es llevar a cabo varios análisis dinámicos diferentes con la masa en diferentes puntos. Este enfoque no es práctico porque las propiedades b dinámicas básicas de la estructura (y loss cortantes dinámicas de base) serían diferentes para ra cada análisis. Además, la selección de las fuerzas máximas de diseño del elemento representaría un problema pos-procesamiento monumental.

EJEMPLO PL O N NUMÉRICO

C

17.5

om

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Al

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Va

El Código actual permite el uso de cargas puras estáticas torsionales para pronosticar las fuerzas adicionales de diseño iseño provocadas por torsión accidental. l cargas Las ecuaciones del Código dan la distribución vertical básica de las estáticas laterales. El momento torsional estático en cualquier nivel se calcula po ciento de la máxima multiplicando la carga estática de ese nivel por un 5 por dimensión en dicho nivel. En este libro se recomienda que dichas cargas estáticas torsionales puras, aplicadas al centro de la masa en cada nivel, sean usadas como ca el enfoque básico para tomar en cuenta las cargas torsionales accidentales. Dicha carga torsional estática se trata como una condición separada de carga de manera que pueda ser debidamente combinada con las demás cargas estáticas y dinámicas.

Para ilustrar el método de escalonamiento del cortante de base que se recomienda aquí, se ha realizado un análisis sísmico estático para el edificio que se presenta en la Figura 17.1. El edificio de ocho pisos tiene alturas de pisos de 10 pies. La carga muerta sísmica es de 238.3 kips para los cuatro pisos superiores, y 363.9 kips para los cuatro pisos inferiores. Para I = 1, Z = 0.4, S = 1.0, y RW = 6.0, la evaluación de la Ecuación 17.1 produce las fuerzas de base de diseño que se ven en la Tabla 17.3.

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Tabla 17.3 Fuerzas Estáticas de Base de Diseño, Utilizando el Código de Construcción Uniforme (UBC) Periodo (Seg.)

Ángulo (Grado)

Cortante de Base

Momento de Vuelco

0.631

38.64

279.9

14,533

0.603

-51.36

281.2

14,979

ue

z

Ar

te

ag

a

La forma normalizada de espectros de respuesta correspondiente al suelo de tipo 1, que se define en el Código de Construcción Uniforme, se utiliza como la carga básica para el análisis dinámico tridimensional. Utilizando solamente ocho modos y el método SRSS de combinación de máximos modales, en la Tabla 17.4 1 se resumen las cortantes basal y los momentos os de volcadura para varias direcciones de carga.

sq

Tabla 17.4 Fuerzas Dinámicas de Base Utilizando t i l i zan d el Método SRSS

Va

CORTANTES DE BASE

Ángulo (Grado)

V2

M1

M2

55.9

2,982

3,073

58.0

90

59.8

55.9

2,983

3,185

38.64

70.1

5.4

66

4,135

-51.36

83.9

5.4

66

4,500

po

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ej

an

0

Al

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V1

MOMENTOS DE VUELCO

C

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El eje-1 está está en dirección de la carga sísmica, y el eje-2 es perpendicular a la dirección de la carga. Este ejemplo ilustra claramente la principal debilidad del mét odo SRSS de combinación modal. A menos que el aporte sea en dirección de método las formas de modo fundamentales, se desarrolla un gran cortante basal normal a la dirección del aporte, y se subestima significativamente el cortante dinámico de base en dirección al aporte, según se ilustra en el Capítulo 15. Tal como indica la Tabla 17.5, el método CQC de combinación modal elimina los problemas asociados al método SRSS. También, indica claramente que las direcciones de 38.64 y –51.36 grados representan una buena definición de las direcciones principales para el caso de esta estructura. Note que las direcciones de los cortantes de base de los primeros dos modos difieren en unos 90.00 grados.

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Tabla 17.5 Fuerzas Dinámicas de Base Utilizando el Método CQC CORTANTES DE BASE

Ángulo (Grado)

MOMENTOS DE VUELCO

V2

M1

M2

0

78.1

20.4

1,202

4,116

90

79.4

20.4

1,202

4,199

38.64

78.5

0.2

3.4

4,145

-51.36

84.2

0.2

3.4

4,503

ag

a

V1

Ar

te

La Tabla 17.6 resume las fuerzas dinámicas escalonadas de base que se usarán como base del diseño, utilizando dos métodos diferentes.

V (kips)

M (ft-kips)

14,533

281.2

14,979

14,732

299.2

16,004

Va

M (ft (ft-kips) kips) (ft-kips)

dr

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279.9

po

r:

Fuerzas Dinámicas de Diseño Escalonadas por Cortante de Base 279.9/78.5 = 3.57

279.9

-51.36 Grados

an

Fuerzas Estáticas de Código

o

V (kips)

sq

38.64 Grados

ue

z

Tabla 17.6 Fuerzas Normalizadas de Base en Direcciones c i o n es P Principales

C

om

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o

Para este caso, se debe usar el factor de escala de los espectros de aporte de un 3.57 para todas las direccione direcciones, basándolo en el hecho de que los cortantes dinámicoss de base ni los momentos dinámicos de volcadura deben ser menore menores que las fuerzas estáticas de código. Este enfoque es claramente más conservador que el enfoque recomendado por el Código de Construcción Uniforme actual. Es evidente que el uso de diferentes factores de escala para un diseño espectral en las dos direcciones diferentes, tal como lo permite el código, produce un diseño que posee una dirección débil en relación a la otra dirección principal.

17.6

RESUMEN DE MÉTODO DE ANÁLISIS DINÁMICO En esta sección se resume un método de análisis dinámico que produce desplazamientos únicos de diseño y fuerzas de elemento únicas que cumplen con

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el Código de Construcción Uniforme, UBC, vigente. Se puede usar para estructuras tanto regulares como irregulares. Los principales pasos que componen el enfoque son como sigue: 1. Se debe elaborar un modelo computarizado tridimensional donde se modelen todos los elementos estructurales significativos. Se debe usar este modelo en las primeras fases del diseño porque se puede usar para cargas tanto estáticas como dinámicas.

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z

Ar

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a

dimensionales durante 2. Se deben evaluar repetidamente las formas modales tridimensionales el diseño de la estructura. Se pueden usar las propiedades direccionales y rar el diseño. Una estructura bien torsionales de las formas de modo para mejorar diseñada debe tener una cantidad mínima de torsión en las formas de modo asociadas con las frecuencias inferiores de la estructura.

Va

sq

3. Se usa la dirección de la reacción de la base de la forma de modo asociada con la frecuencia fundamental del sistema para definir las direcciones principales de la estructura tridimensional.

ej

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o

4. Se usa el “cortante basal de diseño” en el período más largo que se obtiene del modelo computarizado, exceptuando el caso cuando queda limitado a 1.3 o 1.4 veces el período calculado del Método A.

pr

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o

po

r:

Al

la “cortantes dinámicas de base” en 5. Utilizando el método CQC, se calculan las cada dirección principal sujeto a un 100 por ciento de las Formas Normalizadas de Espectro. Se debe usar el valor mínimo del cortante de base en las direcciones principales, para producir un “espectro escalonado de diseño.” diseño.”

C

om

di 6. Se calculan los desplazamientos dinámicos y las fuerzas de los elementos, utilizando el valor SRSS del 100 por ciento del espectro del diseño escalado aplicado de manera no no-concurrente en dos direcciones ortogonales cualesquiera, según lo presentado en el Capítulo 15.

7. Se produce una condición de carga estática pura por torsión utilizando la distribución de carga vertical lateral según lo definido en el código. 8. Se calculan las fuerzas de diseño de los elementos utilizando la siguiente regla de combinación de cargas: F DISEÑO = F CARGA

MUERTA

± [ F DINAMICA + | F TORSION | ] + F OTRA

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Las fuerzas dinámicas siempre son positivas, y las fuerzas accidentales por torsión siempre deben aumentar el valor de la fuerza. En el caso de que se vayan a considerar cargas dinámicas verticales, se puede aplicar un factor de carga muerta.

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RESUMEN

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o

Va

sq

Después de estar asociado con el análisis is dinámico tridimensional y el diseño de un gran número de estructuras durante los últimos 40 años, el autor quisiera aprovechar esta oportunidad para ofrecer algunos comentarios constructivos acerca de los requisitos de carga lateral que contiene el código actual.

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po

r:

Al

ej

an

dinámico basal” como un indicio En primer lugar, el uso del “ cortante dinámic significativo de la respuestaa de una estructura podría no ser conservador . Un examen de las cortantes modales de base y de los momentos de volcadura en las Tablas 17.1 y 17.2 indica claramente que llos cortantes de base asociadas con los períodos más cortos producen momentos de vol volcadura relativamente pequeños. Por lo tanto, un análisis dinámico, que contiene una respuesta de modo más alta, siempre producirá un cortante dinámico de base más grande en relación al momento dinámico de volcadura. Ya que el código permite que todos los resultados escalado por la relación del cortante dinámico de base con la ultados sean escala cortante estática de base de diseño, los momentos dinámicos de volcadura pueden ser significativamente menores que los resultados de un análisis estático sencillo de código. Sería mucho más lógico un factor de escala basado en la relación del “momento de volcadura del diseño estático” con el “momento de volcadura dinámico”. Se puede calcular el momento estático de volcadura utilizando la distribución vertical estática del cortante de base de diseño, que se sugiere actualmente en el código.

C

17.7

z

Ar

te

ag

a

Se pueden justificar muchos otros métodos de análisis que cumplan con el código actual. El enfoque que se presenta en el presente capítulo puede ser aprovechado directamente con los programas de computadora ETABS y SAP2000 con sus módulos de pos-procesamiento para acero y concreto. Ya que estos programas tienen capacidades muy grandes y operan en computadoras personales, es posible que el ingeniero estructural investigue un elevado número de diseños diferentes de manera ágil con un gasto mínimo de fuerza laboral y tiempo de computadora.

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En segundo lugar, para las estructuras irregulares, se debe descontinuar el uso

de la terminología “ período (o forma de modo) en la dirección bajo consideración” . Las propiedades de rigidez y masa de la estructura definen las direcciones de todas las formas de modo tridimensionales. No se debe usar el término “dirección principal” a menos que sea definido de manera clara y única. En tercer lugar, se debe re-examinar el uso de los resultados escalado para un análisis dinámico. Se debe promover el uso de espectros dependientes del sitio.

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a

Por último, no es necesario distinguir entre estructuras regulares y estructuras irregulares cuando se realiza un análisis dinámico tridimensional. dimensional. Si se crea un modelo computarizado tridimensional dimensional que sea correcto, las irregularidades centricidades de rigidez y masa harán verticales y horizontales y las conocidas excentricidades que los componentes de desplazamiento y rotación de las formas de modo sean acoplados. Un análisis dinámicoo tridimensional basado en estas formas de modo acopladas producirá una respuesta mucho más compleja con fuerzas más grandes, que la respuesta de una estructura regular. Es posible predecir la distribución de una fuerza dinámica en una estructura muy irregular con el mismo grado de precisión y confiabilidad que la evaluación de la distribución de fuerza en una estructura muy regular. Por consiguiente, si el diseño de una estructura irregular se basa en una distribución realista de fuerza dinámica, no existe una razón lógica para esperar que sea menos resistente al sismo que una estructura regular que fuera diseñada utilizando la misma carga dinámica. Muchas estructuras irregulares tienen un historial documentado de rendimiento su diseños muchas veces se basaban en análisis pobre durante sismos porque sus estáticos aproximados bi bidimensionales.

C

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Una ventaja importante del método de modelación que se presenta en este capítulo es que un grupo de fuerzas dinámicas de diseño, incluyendo los efectos de torsión por accidente, se produce con un solo ejercicio computarizado. Más importante aún, el diseño estructural resultante posee igual resistencia a los movimientos sísmicos procedentes de todas las direcciones posibles.

17.8

REFERENCIAS 1.

Structural Engineers Association of California. 1996. Recommended Lateral Force Requirements and Commentary, 1996 Sexta Edición. Comité de Sismología. Tel. 916-427-3647.

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18. ANÁLISIS NO-LINEAL RÁPIDO

Ar

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El Aná lisis Diná mico de una Estr uctur a con on un Número Reducido de Elementos No-Linea les es ca c a si ta n Rá pido como un Aná lisis Linea l

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INTRODUCCIÓN

dr

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Va

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La respuesta de estructuras reales al quedarse sujetas a un gran excitación comportamie comport amie dinámica muchas veces implica comportamiento no-lineal significativo. En lo general, el comportamiento nono -lineal lineal incluye los efectos de grandes no-lineal desplazamientos y/o propiedades de materiales no no-lineales.

o

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Al

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El uso de la rigidez geométrica y el análisis P P-Delta, tal como se resume en el Capítulo 11, incluye los efectos de grandes de desplazamientos de primer orden. Si las fuerzas axiales en los elementos permanecen relativamente constantes durante la aplicación de desplazamientos dinámicos laterales, muchas estructuras ppueden ser solucionadas directamente sin iteración.

om

pr

ad

El problema más complicado asociado con grandes desplazamientos, que provocan grandes deformaciones en todos los elementos de la estructura, requiere tiempo de computadora una tremenda cantidad de esfuerzo de computación y tiem para lograr una solución. Afortunadamente llas grandes deformaciones ocurren raras veces en estructuras típicas de ingeniería civil construidas de materiales de acero y concreto. Por lo tanto, los métodos de solución que se asocian al problema de una gran deformación no serán abordados en detalle en el presente capítulo. Sin embargo, se pueden tratar ciertos tipos de deformaciones grandes, tales como los de aisladores de base con goma (rubber base isolators), y elementos de brecha (gap elements), como un elemento no-lineal combinado utilizando el método de Análisis No-Lineal Rápido, FNA (Fast Non Linear Analysis), que se presenta en este capítulo.

C

18.1

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El tipo más común de comportamiento no-lineal ocurre cuando la relación de material esfuerzo-deformación, o fuerza-deformación, es no-lineal. Esto así por la filosofía moderna de diseño que indica que “una estructura bien diseñada debe tener un número limitado de elementos que requieren ductilidad, y que el mecanismo de falla sea claramente definido.” Dicho enfoque minimiza el costo de reparación después de un sismo de cierta magnitud.

ag

a

ESTRUCTURAS CON UN NÚMERO LIMITADO DE ELEMENTOS NO-LINEALES

Al

ej

an

dr

o

Va

sq

ue

z

Ar

te

Un número elevado de estructuras muy prácticas tienen un número limitado de puntos o elementos donde toma lugar el comportamiento nono-lineal no -lineal lineal cuando están sujetos a cargas estáticas o dinámicas. El pandeo de diagonales por carga, levantamiento de la fundación, contacto entre diferentes partes de las estructuras, y deformación de unos pocos elementos constituyen constituyen ejemplos de estructuras con comportamiento local no-lineal. lineal. Para cargas dinámicas, se está convirtiendo en una práctica común agregar amortiguamiento concentrado, aislamiento de base, y otros elementos para la disipación de energía. La Figura 18.1 ilust ilustra problemas no típicos no-lineales. En muchos caos, estos elementos no-lineales se pueden identificar fácilmente. Para otras estructuras, se requiere de un análisis elástico inicial para identificar las áreas nono -lineales. lineales. no-lineales.

om

pr

ad

o

po

r:

En este capítulo se aplica el método FNA al análisis tanto estático como no dinámico de sistemas estructurales lineales o no-lineales. Se asume que existe un número limitado de elementos no-lineales predefinidos. Se usan Vectores no Dependientes de Carga Ritz ortogonales de rigidez y masa del sistema estructural sist elástico para reducir el tamaño del sistema no-lineal a solucionar. Se calculan las no fuerzas en los elementos no-lineales mediante iteración al final de cada paso de tiempo o paso de carga. Se solucionan las ecuaciones modales desacopladas precisamente para cada incremento de tiempo.

C

18.2

Se presentan varios ejemplos que ilustran la eficiencia y la precisión del método. La velocidad de computación del nuevo método FNA se compara con el método tradicional de “fuerza bruta” del análisis no-lineal donde las ecuaciones de equilibrio completo se forman y se solucionan en cada incremento de carga. Para muchos problemas, el nuevo método es más rápido en términos de varias magnitudes.

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Nonlinear (Hysteretic) Elements

Friction Device

Damping Element

en e ntt Gap Element

Va

sq

ue

z

Tension Only Element

Ar

te

ag

a

Nonlinear Element

ad

o

po

r:

Al

ej

an

dr

o

Typical Bridge Deck De D ecckk Joint JJo oiin n

18.3

Gap Elements between Adjacent Frames

F igura 18.1 Ejemplos de Elementos No-lineales

C

om

pr

Friction Fr F riiccttiio on n Pendulum Type Base Isolators

ECUACIONES E C FUNDAMENTALES DE EQUILIBRIO

El método FNA representa un enfoque sencillo donde se satisfacen las ecuaciones fundamentales de la mecánica (equilibrio, fuerza-deformación, y compatibilidad). El equilibrio exacto de fuerza del modelo computarizado de una estructura en el tiempo t se expresa mediante la siguiente ecuación de matriz: (t) + Cu (t) + K u(t) + R(t) NL = R(t) Mu

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(18.1)

donde M, C y K son las matrices de la masa, el amortiguamiento proporcional y la rigidez respectivamente. El tamaño de estas tres matrices cuadradas es igual al número total de desplazamientos desconocidos de punto nodal Nd . La matriz de rigidez elástica K descuida la rigidez de los elementos no-lineales. Los vectores (t), u (t), u (t) y R(t) son la aceleración, velocidad, dependientes de tiempo u desplazamiento y carga aplicada externa del punto nodal, respectivamente. Y R(t) NL es el vector de fuerza nodal global de la suma de las fuerzas en los elementos no-lineales, computándose por iteración en cada punto en el tiempo.

ue

z

Ar

te

ag

a

lineales, se pueden Si el modelo computarizado es inestable sin los elementos no-lineales, no agregar “elementos elásticos efectivos” (en el lugar de los elementos no-lineales) gregan a ambos lados de rigidez arbitraria. Si estas fuerzas efectivas, K e u(t ) se agregan de la Ecuación (1), se pueden escribir las ecuaciones exactas de equilibrio como sigue: (18.2)

Va

sq

(t) + Cu (t) + ( K + K e )u (t) = Mu R(t) −R(t) NL + K e u (t)

(18.3)

Al

ej

(t) + Cu (t) + K u (t) = R(t) Mu

an

dr

o

donde K e es la rigidez efectiva de valor arbitrario. Por lo tanto, las ecuaciones exactas del equilibrio no-lineal se podría librio dinámico para el modelo computarizado no escribir como sigue:

CÁLCULO CU C UL O D DE FUERZAS NO-LINEALES

C

18.4

om

pr

ad

o

po

r:

La matriz de rigidez elástica K es conocida y es igual a K + K e . La carga externa efectiva R(t ) es igual a R(t ) − R(t) NL + K eu (t) y debe ser evaluada mediante iteración. Si se puede lograr un buen estimado de la rigidez elástica efectiva, se puede acelerar la relación de convergencia, porque el término de la carga desconocida − R(t) NL + K eu (t) será pequeño.

En cualquier momento las L deformaciones no-lineales d(t ) dentro de los elementos no-lineales se calculan en base a la siguiente ecuación de transformación de desplazamiento: d(t ) = bu (t)

(18.4)

También, la relación de cambio con respecto al tiempo en las deformaciones nolineales, d (t ) , se expresan así:

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d (t ) = b u (t)

(18.5)

Note que para los desplazamientos pequeños, la matriz de transformación de desplazamiento b no es una función de tiempo, y que es exacta. La matriz de transformación de desplazamiento b para un elemento de la armadura se da con la Ecuación (2.11).

sq

TRANSFORMACIÓN A COORDENADAS A DA S MODALES

y

an

ΦT K Φ = Ω

2

(18.6a) y (18.6b)

ej

Φ T M Φ = ΙI

dr

o

Va

El primer paso en la solución de la Ecuación (18.3) es calcular un grupo de N vectoress ortogonales Ritz Dependientes de Carga Φ , los cuales satisfagan las siguientes ecuaciones:

po

r:

Al

donde I es una matriz unitaria y Ω2 es una matriz diagonal donde los términos como ω2n . diagonales se definen como

ad

o

La respuesta del sistema ahora puede expresarse en términos de dichos vector vectores al introducir las siguientes transformaciones de matriz:

pr

u (t) = ΦY(t)

 (t) u (t) = ΦY

 (t) (t) = ΦY u

(18.7)

om

La sustitución de estas ecuaciones en la Ecuación (18.1) y la multi multiplicación de ambos lados de la ecuación por Φ T producen un grupo de N ecuaciones desacopladas expresadas por la siguiente ecuación de matriz:

C

18.5

ue

z

Ar

te

ag

a

Si se conocen las deformaciones de historia de tiempo y las velocidades en todos los elementos no-lineales, las fuerzas no-lineales f (t ) en los elementos nolineales pueden ser calculadas de manera exacta en cualquier momento en base a las propiedades materiales no-lineales no-lineal. lineales de cada elemento nono -lineal. lineal. Es evidente ue esto se puede lograr solamente mediante iteración en cada punto en el que tiempo.

 ( t ) + ΛY  (t ) + Ω 2 Y(t ) =F(t ) IY

(18.8)

donde las fuerzas modales lineales y no-lineales se dan así: F(t) = Φ T R(t) = Φ T R(t ) − Φ T R(t) NL + Φ T K e u (t)

(18.9)

La suposición de que se pueda diagonalizar la matriz de amortiguamiento es consistente con el método de superposición de modo normal clásico donde los

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valores del amortiguamiento son asignados, en términos del por ciento del amortiguamiento crítico, al nivel modal. Los términos diagonales de la matriz Λ son 2ξn ωn donde ξn es la relación de amortiguamiento para el modo n. Se debe notar que las fuerzas asociadas con amortiguadores concentrados en cualquier punto dentro de la estructura pueden ser incluidas como parte del vector de fuerza no-lineal.

Ar

te

ag

a

También, si el número de vectores LDR usados es igual al número total de grados de libertad Nd,, la Ecuación 18.8 es exacta en el tiempo t. Por lo tanto, si se usan pasos de tiempo muy reducidos, y si se usa iteración con cada paso de vectoress LDR reduce vectore tiempo, el método converge a la solución exacta . El uso de vectores significativamente el número de modos que se requieren.

ue

z

no pueden Ya que u (t) = ΦY(t) , las deformaciones en los elementos no-lineales expresarse directamente en términos de la coordenada modal como: (18.10)

Va

sq

d (t) = BY(t)

dr

o

donde la matriz de transformación deformación de elemento – coordenada modal se define como: (18.11)

ej

an

B = bΦ

po

r:

Al

Es muy importante notar que la matriz B (L x N) no es una función de tiempo, y es de tamaño relativamente pequeño; pequeño; también, debe ser calculada solamente una vez antes de la integración de las ecuaciones modales.

C

om

pr

ad

o

En cualquier momento, momento, dadas las deformaciones y la historia del comportamiento no-lineales, nolineales, las fuerzas en los elementos no en los elementos no-lineales, no-lineales f(t) pueden no-lineales básicas y la historia de la ser evaluadas en base a las propiedades no deformación del elemento. Basándose en el principio básico del trabajo virtual, no-lineales en base a: luego se calculan las fuerzas modales no F(t) NL = BT f (t)

(18.12)

Las fuerzas elásticas efectivas también pueden escribirse como sigue: F(t) e = Φ T K e u (t) = Φ T b T k e b u(t ) = BT k ed(t )

(18.13)

donde k e es la matriz de rigidez lineal efectiva en el sistema local de referencia de elemento no-lineal.

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SOLUCIÓN DE ECUACIONES MODALES NO-LINEALES El cálculo de los Vectores Dependientes de Carga, sin los elementos no-lineales, constituye el primer paso antes de solucionar las ecuaciones modales. También, la matriz B de transformación de forma modal-deformación debe calcularse solamente una vez antes del inicio de la fase de solución paso-a-paso. Una ecuación modal típica tiene la siguiente forma: y(t) n + 2ξn ωn y (t) n + ωn2 y(t) n = f (t) n

(18.14)

om

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

an

dr

o

Va

sq

ue

z

Ar

te

ag

a

lineales es una función de donde f(t) n es la carga modal, y para los elementos no-lineales todas las demás respuestas modales enn el mismo punto en el tiempo. Por lo tanto, las ecuaciones modales deben ser integradas de manera simultánea, y es necesaria la iteración para obtener la solución de todas las ecuaciones modales en ecua el tiempo t. La solución exacta de las ecuaciones modales para una variación lineal o cúbica de carga dentro de un paso de tiempo está resumida por la Ecuación (13.13), expresándose en términos de funciones exponenciales, de raíz cuadrada, de seno y coseno. Sin embargo, dichas funciones intensivas de precomputación, que se presentan en la Tabla 13.2, son pre-calculadas para todos los constantes const antes ppara la integración dentro de cada paso de modos y usadas como constantes tiempo. Además, el uso del método exacto de integración por pieza permite el uso de pasos de tiempo mayores. La Tabla 18.1 resume el algoritmo completo de lineal, escrito en forma iterativa. solución no-lineal,

C

18.6

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Tabla 18.1 Resumen de Algoritmo de solución No-Lineal

ag

a

I CÁLCULO INICIAL – ANTES DE LA SOLUCIÓN PASO A PASO 1. Calcular los N vectores Ritz Dependientes de Carga Φ para la estructura sin los elementos no-lineales. Dichos vectores tienen de N d desplazamiento DOF . 2. Calcular la matriz B L por N. Donde L es el número total de DOF dentro de todos los elementos no-lineales. 3. Calcular las constantes de integración A 1 − − − para la integración exacta por pieza de las ecuaciones modales para cada modo. II SOLUCIÓN NO-LINEAL en los tiempos ∆t, 2∆t, 3∆t - - - - - - - 1. Usar serie Taylor para estimar solución en tiempo t .

Va

o

dr

an

N

Calcular la norma de error:

ad

o

6.

po

r:

 (t )i , Y  (t )i Y(t )i , Y

ej

4. 5.

Basándose en las historias de deformación y velocidad en los elementos lineales f (t )i . no-lineales, calcular L fuerzas no-lineales Calcular nuevo vector de fuerza modal F(t )i = F(t) - BT [ f (t )i − k ed(t )] Usar método exacto por pieza para solucionar ecuaciones para la próxima iteración.

Al

3.

sq

ue

z

Ar

te

∆t  Y(t ) = Y(t - ∆t ) + ∆t Y (t - ∆t ) + Y (t - ∆t ) 2  (t ) = Y  (t - ∆t) + ∆t Y  (t - ∆t ) Y lineales L y velocidades. 2. Para la iteración i, calcular deformaciones no-lineales  (t )i d(t )i = BY(t )i y d (t )i = BY

Err =

N

∑| f (t )in| - ∑| f (t )in-1| n=1

N

| ∑ n=1

n=1

f (t )in|

C

om

pr

7. Chequear la Convergencia – donde se especifica la tolerancia Tol , En caso de Err > Tol pasar a paso 2 con i = i + 1 En caso de Err < Tol pasar a paso 1 con t = t + ∆t

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ANÁLISIS NO-LINEAL ESTÁTICO DE ESTRUCTURA DE PÓRTICO

20 ft

Va

sq

20 ft

ue

z

Ar

te

ag

a

La estructura que se presenta en la Figura 18.2 se emplea para ilustrar el uso del algoritmo FNA para la solución de una estructura sometida a cargas tanto estáticas como dinámicas. Se supone que las columnas exteriores de la estructura de pórtico de siete pisos no pueda tomar tensión axial ni momento en a nivel de la fundación, y que la columna puede levantarse. La rigidez axial de la fundación es de 1,000 kips por pulgada en las columnas exteriores, y 2,000 kips por pulgada en la columna central. La carga muerta es de 80 kips por piso, aplicándose como cargas verticales concentradas de 20kips en las columnas exteriores y 40 kips en la columna central. La carga lateral estática está especificada como el 50 po por ciento de la carga muerta.

dr

o

PROPIEDADES ELEMENTOS

an

7 a 13 ft = 91 ft

VIGAS

I=80,000 IN

COLUMNA CENTRAL I=100,000 IN A=300 IN 2 4

Al

ej

OTRAS COLUMNAS

4 I= 50,000 IN A=200 IN 2

MÓDULO ELÁSTICO

E=4,000 KSI

RIGIDEZ FUNDACIÓN

k=1000 K/IN

PESO POR NIVEL

w= 80 Kips

ad

o

po

r:

A=300 IN 2

4

pr om C

18.7

k

2k

k

F igura 18.2 Propiedades de Estructura de Pórtico

Para fines de calcular la respuesta dinámica, se calcula la masa de la estructura directamente en base a la carga muerta. El período fundamental de la estructura con las columnas exteriores que no se permiten levantar es de 0.708 segundos. El periodo fundamental de la estructura que permite el levantamiento es de 1.691 segundos.

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o

po

r:

Al

ej

an

dr

o

Va

sq

ue

z

Ar

te

ag

a

Los patrones de la carga estática que se usan para generar la serie de vectores LRD se presentan en la Figura 18.3. El primer patrón de carga representa la carga sísmica lateral proporcional a la masa. El segundo patrón representa la carga muerta vertical. Los últimos dos patrones de carga representan las posibles fuerzas de contacto que existen en la fundación de las columnas exteriores. Es muy importante que se apliquen patrones de carga iguales y opuestos en cada punto donde existe un elemento no-lineal. Estos vectores permiten la evaluación precisa de las fuerzas de los elementos en los puntos de contacto. Para este ejemplo, los vectoress no serán activados en la solución cuando hay levantamiento en la base de las columnas, porque la fuerza axial debe ser cero. También, el número total de vectoress Ritz que se usen debe ser un múltiplo múltiplo del número de comppleta para todas las com patrones de carga estática de manera que la solución sea completa s, se debe garantizar que todos los vectores sean cargas posibles. Además, linealmente independientes.

pr

ad

F igura 18.3 Cuatro u a tr tr o V Vectores de Carga Estática Considerados en el Análisis

C

om

Para este ejemplo, la carga muerta se aplica en el tiempo cero, logrando ssu máximo valor a un segundo, tal como se indica en la Figura 18.4. El incremento de tiempo que se usa es de 0.10 segundos. Las relaciones de amortiguamiento modal son fijadas en 0.999 para todos los modos; por lo tanto, la solución dinámica converge a la solución estática en menos de un segundo. La carga lateral se aplica a dos segundos, alcanzando un valor máximo a tres segundos. A cuatro segundos después de 40 incrementos de carga, se logra una posición de equilibrio estático. Se debe notar que la solución de convergencia es la solución estática exacta para este problema, porque todas las combinaciones posibles de los vectores estáticos

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han sido incluidos en el análisis. La magnitud de la masa, el amortiguamiento y la magnitud del paso de tiempo que se usa no afectarán el valor de la solución estática de convergencia.

2 .0

3 3...0 0

Va

1.0

sq

ag

ue

z

Ar

te

Carga lateral

a

Carga muerta

Carga

4 .0

5 .0

Tiempo - segundos

dr

o

F igure 18.4 Aplicación ión ddee Cargas C Estáticas vs. Tiempo

C

om

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

an

Es interesante notar que es imposible que una estructura real falle bajo cargas estáticas solamente, porque en el punto de colapso, deben estar presentes fuerzas de inercia. Por lo tanto, la aplicación de incrementos de carga estática con respecto al tiempo constituye un enfoque físicamente realista. La Figura 18.5 presenta la respuesta de la carga estática aproximada.

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600 400

LEFT RIGHT

200 0 -200 -400

-600

0

1

2

3

4

5

a

TIME - Seconds

ANÁLISIS NO-LINEAL DINÁMICO DE ESTRUCTURA CT C TURA DE PÓRTICO

Ar

18.8

te

ag

Figura 18.5 Fuerzas Axiales de Columna producto de Cargas “Estáticas”

an

dr

o

Va

sq

ue

z

La misma estructura de pórtico que se define en la Figura 18.2 está sujeta a movimientos de suelo del Sismo de Loma Prieta registrados en el lado oriental de la Bahía de San Francisco a una aceleración máxima del 20.1 por ciento de gravedad y un desplazamiento máximo imo de suelo de 5.81 pulgadas. El registro de aceleración que se usó fue corregido a cero aceleración, cero velocidad y cero desplazamiento miento al final del registro, tal como se presenta en la Figura 18.6.

ej

25

Al

20

po

r:

15

o

10

pr

om

0

ad

5

-5

C

-10 -15

-20 -25

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

TIME - seconds

Figura. 18.6 Segmento del Sismo de Loma Prieta–Porcentaje de Gravedad

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La carga muerta fue aplicada como función de curva de desnivel, en el intervalo de tiempo de 0 a 1 segundos. La carga sísmica lateral se aplica comenzando en 2 segundos. Se usaron en el análisis dieciséis vectores Ritz y un valor de amortiguamiento modal del 5 por ciento. La Figura 18.7 presenta las fuerzas axiales de columna como función de tiempo. 600 400

ag

a

LEFT RIGHT

Ar

te

200

ue

z

0

sq

-200

o dr

2

4

3

an

1

0

ej

-600

Va

-400

6

5

7

8

9

10

TIME - seconds

Al

Figura 18.7 Fuerzas Axiales de Columna por Carga Sísmica

ad

o

po

r:

Es bastante interesante comparar el comportamiento del edificio al cual no se le permita levantarse, con el comportamiento del mismo edificio al que se lle permita. La Tabla 18.2 resume los resultados al respecto respecto.

om

pr

Tabla 18.2. 2. R Resumen es u m de Resultados de Problema de Levantamiento del Edificio ee ell Sísmo Sís de Loma Prieta ξ = 0.05 durante Fuerza Axial Máx. (kips)

Cortante Máx. Base (kips)

Momento Máx. Base (k-in)

Energía Máx. de Deformación (k-in)

Tiempo de Computación (segundos)

Sin

3.88

542

247

212,000

447

14.6

Con

3.90

505

199

153,000

428

15

+0.5 %

-6.8%

-19.4%

-27.8%

-4.2%

+3%

C

Desplazamiento Máx. (pulgadas)

Levantamiento

Porcentaje de Diferencia

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Ar

te

ag

a

El desplazamiento lateral en el extremo superior de la estructura no se ha cambiado de manera significativa al permitir que las columnas exteriores se levanten. Sin embargo, al permitir que la columna se levante, se reduce el cortante basal de manera significativa, el momento de vuelco y la energía de deformación almacenada en la estructura. Es evidente en el caso de esta estructura que el levantamiento constituye un sistema “natural” de aislamiento de la base. Dicha reducción de fuerzas en una estructura por el levantamiento también ha sido observada en pruebas de mesa vibratoria. Sin embargo, no se ha usado de manera amplia para estructuras reales debido a la falta de precedente y la incapacidad del ingeniero de diseño de computar fácilmente el comportamiento dinámico de una estructura en levantamiento.

dr

o

Va

sq

ue

z

lineal, existe un aumento muy pequeño de tiempo Para este pequeño ejemplo no-lineal, de computación en comparación con n un análisis dinámico lineal. Sin embargo, para un sistema estructural con un elevado número de elementos no no-lineales, se podría necesitar un número grande de vectore vector ess Ritz, y el tiempo adicional para vectores lineal puede ser significativo. integrar la ecuación modal no-lineal

po

r:

Al

ej

an

La Tabla 18.3 presenta un resumen de los resultados cuando se somete la misma estructura a dos veces las aceleraciones de ssuelo del sismo de Loma Prieta. Se nota que todos los parámetros de respuesta significativos se reducen de manera significativa.

ad

o

Tabla 18.3 Resumen de Resultados es u l t ad o para Problema de Levantamiento de Edificio el S Sismo i s m o de Loma Prieta - ξ = 0.05 en el caso del Doble del Fuerza Máx. Columna (kips)

Cortante Máx. Base (kips)

Momento Máx. Base (k-in)

Energía Máx. de Deformación (k-in)

Levantamiento Máx. (pulgadas)

7.76

924

494

424,000

1,547

-

Con

5.88

620

255

197,000

489

1.16

Porciento de Diferencia

-24%

-33%

-40%

-53%

-68%

-

om

pr

Desplazamiento Máx. (pulgadas)

Sin

C

Levantamiento

El levantamiento máximo en la base de las columnas exteriores es de más de una pulgada; por lo tanto, estos podrían ser sitios ideales para la colocación de

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dispositivos adicionales para la disipación de energía tales como amortiguadores viscosos (viscous dampers).

18.9

ANÁLISIS SÍSMICO DE TANQUE ELEVADO DE AGUA

ag

a

Se llevó a cabo un análisis no-lineal de respuesta sísmica de un tanque elevado de agua, utilizando un programa de computadora comercial bien conocido donde la matriz de rigidez para una estructura completa fue re-calculada por cada paso de tiempo, y el equilibrio se obtuvo usando la iteración. El sistema y el análisis estructurales tuvieron las siguientes propiedades:

sq

ue

z

Ar

te

92 nodos con 236 desplazamientos desconocidos 103 elementos elásticos de pórtico 56 elementos diagonales no-lineales – tensión solamente 600 pasos de tiempo en 0.02 segundos

3 días 3 horas

an

dr

Intel 486 -1 Cray XMP-1

o

Va

Los tiempos de solución en dos computadoras diferentes se presentan a continuación: 4,320 minutos 180 minutos

ad

o

po

r:

Al

ej

La misma estructura fue solucionada utilizando el método FNA presentado en este capítulo, en una Intel 486 en menos de 3 minutos. Por lo tanto, un ingeniero estructural tiene la capacidad de investigar un gran número de estrategias de equipamiento retroactivo en muy breves horas.

pr

MEN 18.10 RESUMEN

C

om

Es una práctica común en el diseño de ingeniería limitar el comportamiento no nolineal a un núm número reducido de lugares predefinidos dentro de una estructura. En este capítulo se ha presentado un método informático eficiente para realizar el análisis estático y dinámico de estos tipos de sistemas estructurales. El método FNA, utilizando vectores LDR, representa un enfoque completamente diferente a la dinámica estructural. Se tratan las fuerzas no-lineales como cargas externas, y se genera un grupo de vectores LDR para captar con precisión los efectos de dichas fuerzas. Mediante la iteración dentro de cada paso de tiempo, se satisfacen de manera idéntica el equilibrio, la compatibilidad y todas las ecuaciones fuerzadeformación del elemento dentro de cada elemento no-lineal. Se soluciona el

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grupo reducido de ecuaciones modales de manera exacta para una variación lineal de fuerzas durante un pequeño paso de tiempo. No se introducen errores por amortiguamiento numérico e integración a través del uso de pasos de tiempo grandes.

ue

z

Ar

te

ag

a

El modelo computarizado debe ser estructuralmente estable sin elementos nolineales. Se puede lograr que toda estructura sea estable si se coloca un elemento que tenga una rigidez efectiva en línea paralela con el elemento no-lineal y se agrega su rigidez al modelo básico computarizado. Las fuerzas en dicho elemento de rigidez efectiva son trasladas al lado derecho de las ecuaciones de equilibrio y son eliminadas durante la fase de solución iterativa no-lineal. Estos elementos de rigidez artificiales o efectivos eliminan la introducción de largos períodos al modelo básico, y mejoran la precisión y la relación de convergencia para muchas estructuras no-lineales.

po

r:

Al

ej

an

dr

o

Va

sq

Se ha demostrado que las estructuras que quedan sometidas a cargas estáticas también pueden ser solucionadas utilizando el método FNA. Solamente es necesario aplicar las cargas lentamente hasta llegar a un valor constante y agregar iguamiento modal. Por lo tanto, la solución final de valores grandes de amortiguamiento convergencia quedará en equilibrio estático, y no contendrá fuerzas de inercia. Se debe notar que es necesario usar Vector Vectores Dependientes de Carga asociadas a lineales de libertad, y no los autovectores exactos, si se quiere grados no-lineales solucionar problemas estáticos utilizando este enfoque.

C

om

pr

ad

o

Se ha agregado al programa comercial ETABS el método FNA para el análisis de al programa de uso general para el análisis estructural sistemas de edificios y al SAP2000. Ell program programa ETABS posee elementos especiales de aislamiento de base que son de uso común por parte de profesionales de la ingeniería estructural. Estos programas de computadora calculan y grafican el total de la energía absorbida, la energía de deformación, la energía cinética, y la disipación de la energía a través del amortiguamiento modal y elementos no-lineales como función de tiempo. Además, se calcula un error por energía que permite que el usuario evalúe la magnitud adecuada del paso de tiempo. Por tanto, la opción de cálculo de energía permite comparar diferentes diseños estructurales. En muchos casos un buen diseño para una carga dinámica específica es la que tenga una cantidad mínima de energía de deformación dentro del sistema estructural.

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Igual que el caso del análisis de superposición de modo lineal normal, es responsabilidad del usuario chequear, utilizando análisis múltiples, el hecho de que se hayan usado pasos de tiempo lo suficientemente pequeños y el número adecuado de modos. Este enfoque garantiza que el método tenga convergencia a la solución exacta.

C

om

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

an

dr

o

Va

sq

ue

z

Ar

te

ag

a

Utilizando los métodos numéricos que se presentan en este capítulo, el tiempo de computación que se requiere para un análisis dinámico no-lineal de una no estructura grande, con un número reducido de elementos no-lineales, puede representar solamente un pequeño porcentaje más que el tiempo de computación que se requiere para un análisis dinámico lineal de la misma estructura. Esto lineales grandes con relativa rapid permite solucionar problemas no-lineales rapidez.

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19.

ag

a

AMORTIGUAMIENTO VISCOSO LINEAL

Va

INTRODUCCIÓN

po

r:

Al

ej

an

dr

o

En la ingeniería estructural, el amortiguamiento viscoso dependiente de velocidad es muy difícil de visualizar para la mayoría de los sistemas estructurales reales. Solamente un número reducido de estructuras poseen un número finito de elementos de amortiguamiento donde se pueden medir las propiedades dinámicas viscosas reales. En la mayoría de los casos se usan relaciones de amortiguamiento modal en el modelo computarizado para aproximar la disipación desconocida de lineal dentro de la estructura. energía no-lineal

om

pr

ad

o

Otra forma de amortiguamiento, el llamado amortiguamiento Rayleigh, se usa con frecuencia uencia en el modelo matemático para la simulación de la respuesta dinámica de una estructura; el amortiguamiento Rayleigh es proporcional a la rigidez y la masa de la estructura. Se emplean el amortiguamiento tanto modal como el Rayleigh para evitar la necesidad de formular una matriz de amortiguamiento basada en las ne propiedades físicas de la estructura real.

C

19.1

sq

ue

z

Ar

te

El Amor tigua miento Viscoso Linea l ess una u na P ropieda d del Modelo Computa r iza do y no es una P ropieda d de una Estr uctur a Rea l

En años recientes la adición a la estructura de dispositivos para la disipación de energía le ha obligado al ingeniero estructural a abordar la disipación de energía de una manera más exacta. Sin embargo, el objetivo del presente capítulo es abordar las limitaciones de los amortiguamientos modal y Rayleigh.

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DISIPACIÓN DE ENERGÍA EN ESTRUCTURAS REALES

te

ag

a

Es posible estimar una relación “efectiva o aproximada” del amortiguamiento viscoso directamente a partir de pruebas de laboratorio o de campo de estructuras. Un método es predecir un desplazamiento estático anexándole un cable a la estructura y luego de repente eliminando la carga al cortar el cable. Si la estructura puede ser aproximada por un solo grado de libertad, la respuesta de desplazamiento tendrá la forma indicada en la Figura 19.1. Para sistemas estructurales de múltiples grados de libertad, la respuesta contendrá otros modos do de análisis que se requiere para predecir las relaciones de adicionales y el método amortiguamiento será más complejo.

an

(19.1)

ej

u(t ) = u(0)e− ξωt cos( ωD t )

dr

o

Va

sq

ue

z

Ar

Se debe notar que la descomposición de la respuesta de desplazamiento típico indica solamente que toma lugar la disipación de energía. La causa de la ión de energía puede deberse a muchos efectos diferentes tales como el disipación amortiguamiento del material, la fricción entre uniones, y el amortiguamiento por radiación en los soportes. Sin embargo, si se asume que toda disipación de energía es la respuesta del amortiguamiento viscoso lineal, la respuesta de vibración libre se expresa con la siguiente ecuación:

om

pr

ad

o

po

r:

Al

donde: ωD = ω 1 − ξ 2

C

19.2

Tiempo

Figura 19.1 Prueba de Vibración Libre de Estructuras Reales, Respuesta vs. Tiempo

Se puede evaluar la Ecuación (19.1) en dos puntos máximos cualesquiera separados de “ciclos m”, produciéndose las dos ecuaciones siguientes:

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u(2πn) = un = u(0)e− ξω2πn / ωD

(19.2)

u(2π(n + m)) = un+ m = u(0)e− ξω2π( n+m) / ωD

(19.3)

La relación de estas dos ecuaciones es: 2π mξ

− 2 un+ m = e 1−ξ = rm un

(19.4)

ag

a

Tomando el logaritmo natural de esta relación de descomposición, rm , y reformulándolo, se obtiene la siguiente ecuación:

(19.5a)

z

Ar

te

− ln( r ) ξ = m 1− ξ2 2πm

ue

Esta ecuación se puede escribir en forma iterativa como: (19.5b)

Va

sq

ξ ( i ) = ξ 0 1 − ξ (2i −1)

an

dr

o

Si la relación de descomposición es equivalente a 0.730 entre dos máximos adyacentes, tres iteraciones producen la siguiente relación de amortiguamiento a tres cifras significativas:

Al

ej

ξ≈ 0.0501 ≈ 0.0500 = 0.0500

pr

ad

o

po

r:

El valor de amortiguamiento que se obtiene con este enfoque muchas veces se amortiguamie llama amortiguamiento efectivo. El amortiguamiento modal lineal también se llama amortiguamiento clásico. Sin embargo, hay que recordar que es un valor aproximado basado en m muchas suposiciones.

C

om

Otro tipo de disipación de energía que existe en estructuras reales es el amortiguamiento por radiación en los soportes de la estructura. La vibración de la estructura deforma el material de la fundación cerca de los soportes, haciendo que ondas de esfuerzo irradien hacia la fundación infinita. Esto puede ser significativo si el material de la fundación es blando en relación a la rigidez de la estructura. La presencia de un resorte, un amortiguador y masa en cada soporte muchas veces aproxima este tipo de amortiguamiento.

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INTERPRETACIÓN FÍSICA DE AMORTIGUAMIENTO VISCOSO La energía de deformación almacenada dentro de una estructura es proporcional al desplazamiento al cuadrado. Por lo tanto, la cantidad de energía que se disipa durante cada ciclo de vibración libre puede ser calculada para varias relaciones de amortiguamiento, tal como lo resume la Tabla 19.1. Además, la Tabla 19.1 indica el número de ciclos que se requieren para reducir la respuesta inicial por un factor de 10.

100 ( 1 − r 2 )

1− ξ 2

0.939

11.8

5

0.730

46.7

10

0.532

20

0.278

30

0.139

o

Va

1

te

Ar

7.3

71.7

3.6

92.3

1.8

98.1

1.2

dr an

36.6

Al

ej

z

r =e

2πξ

Número de Ciclos para amortiguar la respuesta p por un Factor de 10 n = ln( 0.10) / ln( r )

ue

−

sq

Porcentaje de Relación de Amortiguamiento

Porcentaje Pérdida de Energía Por Ciclo

Razón de Descomposición

ag

a

Tabla 19.1 Pérdida de Energía Por Ciclo para Diferentes Relaciones es d de Amortiguamiento

om

pr

ad

o

po

r:

Una relación de amortiguamiento de un 5 por ciento indica que el 46.7 por ciento de la energía de deformación se disipa durante cada ciclo. Si el período asociado con el modo es de 0.05 segundos, la energía se reduce por un factor de 10 en 0.365 segundos. Por lo tanto, una relación de amortiguamiento modal de 5 por resulta ciento produce un efecto significativo sobre los resultados de un análisis de respuesta dinámica.

C

19.3

Pruebas de campo de estructuras reales sometidas a desplazamientos pequeños indican que las relaciones típicas de amortiguamiento son menores de un 2 por ciento. También, para la mayoría de las estructuras, el amortiguamiento no es lineal ni proporcional a la velocidad. Por consiguiente, los valores del amortiguamiento modal mayores de un 5 por ciento son difíciles de justificar. Sin embargo, es una práctica común de los ingenieros estructurales utilizar valores que superan el 10 por ciento.

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EL AMORTIGUAMIENTO MODAL VIOLA EL EQUILIBRIO DINÁMICO Para sistemas con múltiples grados de libertad, el uso de amortiguamiento modal viola el equilibrio dinámico y las leyes fundamentales de la física. Por ejemplo, es posible calcular las reacciones como una función de tiempo en la base de una estructura, utilizando los dos métodos siguientes:

Ar

te

ag

a

Primero, las fuerzas de inercia en cada punto de masa pueden ser calculadas en una dirección específica multiplicando la aceleración absoluta en esa dirección por la masa en dicho punto. En el caso de cargas sísmicas, la suma de todas estas fuerzas debe ser equivalente a la suma de las fuerzas de la reacción de la base en estructura. esa dirección porque ninguna otra fuerza actúa sobre la estruct

Va

sq

ue

z

Segundo, las fuerzas de elemento en los extremos de todos los elementos conectados a los puntos de reacción pueden ser calculadas como función del tiempo. La suma de las componentes de las fuerzas de elemento en la dirección de la carga es la fuerza de reacción de la base experimentada por la estructura.

ad

o

po

r:

Al

ej

an

dr

o

En el caso de cero amortiguamiento modal, dichas fuerzas de reacción, como función de tiempo, son idénticas. Sin embargo, para el amortiguamiento modal no nulo,, dichas fuerzas de reacción son significativamente diferentes. Dichas diferencias indican que el amortiguamiento modal lineal introduce cargas externas que actúan sobre la estructura por encima de la base, y que son físicamente imposibles. Esto claramente representa un área donde la suposición moderna”” de amortiguami moderna estándar “moderna” amortiguamiento modal debe ser re-examinada y se debe elaborar un enfoque alternativo.

om

pr

Existe la disipación de energía en estructuras reales. Sin embargo, debe ser en la forma de fuerzas iguales y opuestas entre puntos dentro de la estructura. Por lo tanto, es físicamente posible tener un amortiguador viscoso, o cualquier otro tipo tanto, pu de dispositivo para disipar energía, que esté conectado entre dos puntos dentro de la estructura, y es posible que no provocará un error en las fuerzas de reacción. Debe haber un cortante de base cero para todas las fuerzas internas de disipación de energía.

C

19.4

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EJEMPLO NUMÉRICO Para ilustrar los errores implicados en el uso del amortiguamiento modal, se sometió un edificio sencillo de siete pisos a un movimiento sísmico típico. La Tabla 19.2 indica los valores del cortante de basal calculada a partir de las fuerzas inerciales externas, que satisfacen el equilibrio dinámico, y el cortante de base calculado en base a la suma exacta de los cortantes en la base de las tres columnas.

sq

ue

z

Ar

te

ag

a

Es interesante notar que los valores máximos del cortante basal calculado utilizando dos métodos diferentes son significativamente tivamente diferentes para la misma corrida del computador. La única explicación lógica es que las fuerzas de amortiguamiento externo existan n solamente en el modelo matemático de la estructura. Ya que esto es físicamente imposible, el uso del amortiguamiento modal estándar puede producir un pequeño error en el análisis.

Va

Tabla 19.2 Comparación de Cortante de Basal al para p ar a Edificio E de Siete Pisos

0

370.7 @ 5.355 Seg.

2

314.7 @ 4.690 Seg

5

Suma de Cortantes de Columna (kips)

o

Cortante Basal de Equilibrio Dinámico (kips)

an

dr

Porcentaje de Amortiguami ento

Porcentaje de Error 0.0

318.6 @ 4.695 Seg

+1.2

253.7 @ 4.675 Seg

259.6 @ 4.690 Seg

+2.3

10

214.9 @ 3.745 Seg

195.4 @ 4.035 Seg

-9.1

20

182.3 @ 3.055 Seg

148.7 @ 3.365 Seg

-18.4

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

370.7 @ 5.355 Seg.

om

Es interesante notar que el uso del amortiguamiento de ssolamente el 5 por ciento reduce el cortante cortante Basal desde 371 kips a 254 kips para este ejemplo. Ya que se ha determinado que la medición del amortiguamiento en la mayoría de las estructuras reales es menos de un 2 por ciento, la selección del 5 por ciento reduce los resultados de manera significativa.

C

19.5

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19.6

AMORTIGUAMIENTO PROPORCIONAL A LA RIGIDEZ Y MASA Un tipo muy común de amortiguamiento que se utiliza en el análisis incremental no-lineal de estructuras es suponer que la matriz de amortiguamiento es proporcional a las matrices de masa y rigidez. Esto es: (19.6)

= C ηM + δK

ag

a

Este tipo de amortiguamiento normalmente se llama amortiguamiento Rayleigh. En el análisis de superposición modal, la matriz de amortiguamiento debe tener las siguientes propiedades para que las ecuaciones modales sean desacopladas: = 0 φ Tn Cφ m

te

2ω n ζ n = φ Tn Cφ n = ηφ Tn M φ n + δφ Tn K φ n

(19.7b)

z

Ar

n≠m

(19.7a)

2ωn ζ n =η+ δωn2

o

Ó simplemente

ω 1 ζ n = η+ n δ 2ωn 2

(19.8b)

dr

(19.8a)

Va

sq

ue

Debido a las propiedades de ortogonalidad de las matrices de masa y rigidez, esta ecuación puede volver a escribirse como sigue:

 2ξ  ωi  η δ = ωi + ω j    Para ξ i =ξ j =ξ  ω j  δ  η = ω ω δ i j  

    

(19.9)

om

pr

ad

o

po

 1  ξ i  1  ωi ξ  =  1  j  2  ω j

r:

Al

ej

an

Es evidente que el amortiguamiento modal puede ser especificado de manera frecuencias, i y j, para solucionar para y δ en la exacta en solamente dos frecuencias siguiente ecuación:

C

típ Para el caso típico, se fija el amortiguamiento para que sea igual a las dos frecuencias; por tanto ξ i =ξ j =ξ y los factores de proporcionalidad se calculan en base a:

(19.10a)

δ =

2ξ ωi + ω j

y η = ω iω j δ

(19.10b)

La suposición del amortiguamiento proporcional de masa implica la existencia de amortiguadores externos de apoyo que son físicamente imposibles para una estructura con apoyos de base. El uso del amortiguamiento proporcional de

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ag

Ar

te

CÁLCULO DE MATRICES DE AMORTIGUAMIENTO ORTOGONAL

ue

z

En el Capítulo 13 se asumía que la matriz clásica de amortiguamiento satisfacía la siguiente relación de ortogonalidad: (19.11)

Va

sq

= 0 para n ≠ m Φ T C Φ = d donde d nn = 2ξ n ω n y d nm

an

(19.12)

ej

T T Φ MΦ Φ = ΦM y =

dr

o

Además, las formas de modo son normalizadas de manera que Φ T M Φ = I . Se puede definir la siguiente matriz:

N

o

∑C

ad

C = Φ d ΦT =

po

r:

Al

multiplicada por Φ y pos-multiplicada por Por ende,, si la Ecuación 19.11 es pre pre-multiplicada T Φ , se obtiene la siguiente matriz de amortiguamiento: n

(19.13)

pr

n =1

om

Por lo tanto, se puede calcular una matriz clásica de amortiguamiento por cada modo que tenga una cantidad especificada de amortiguamiento en ese modo, y cero amortiguamiento en todos los demás modos:

C

19.7

a

rigidez tiene el efecto de aumentar el amortiguamiento en los modos superiores de la estructura para lo cual no existe ninguna justificación física. Esta forma de amortiguamiento puede producir errores importantes en problemas de tipo impacto y absorción de energía por desplazamiento sísmico en la base de la estructura. Por tanto, el uso del amortiguamiento de tipo Rayleigh es difícil de justificar para la mayoría de las estructuras. Sin embargo, se sigue usándolo en muchos programas de computadora para obtener resultados numéricos utilizando pasos grandes de integración de tiempo.

C n = 2ξ n ω n M φ n φ Tn M

(19.14)

Se debe notar que esta matriz de amortiguamiento modal es una definición matemática, y que es físicamente imposible que existan dichas propiedades de amortiguamiento en una estructura de múltiples grados de libertad. La matriz de amortiguamiento total para todos los modos puede escribirse así:

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C=

N

N

C n = ∑ 2ξ n ω n M φ n φ Tn M ∑ n

(19.15)

n =1

=1

Es evidente que dadas las formas de modo, se puede construir una matriz completa de amortiguamiento a partir de esta ecuación matemática. Sin embargo, la matriz resultante de amortiguamiento puede exigir que amortiguadores externos y elementos de amortiguamiento negativo sean conectados entre nodos del modelo computarizado.

z

ESTRUCTURAS CON AMORTIGUAMIENTO IENTO NO-CLÁSICO

ue

19.8

Ar

te

ag

a

El único objetivo de formar dicha matriz de amortiguamiento es comparar los paso con una solución de resultados de una solución de integración paso-a-paso superposición de modo. En la referencia [1] se presenta un ejemplo numérico.

19.9

C

om

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

an

dr

o

Va

sq

Es posible hacer modelos de sistemas estructurales con amortiguamiento viscoso lineal en puntos arbitrarioss dentro de un sistema estructural. La solución exacta implica el cálculo de los autovalores y autovectores complejos y una gran cantidad ad de esfuerzo de computación. Debido a que la naturaleza básica de la disipación de energía no se define con claridad en estructuras reales, y ya que el amortiguamiento viscoso se usa muchas veces para aproximar el comportamiento eal, no se justifica este aumento de esfuerzo de computación en vista de no-lineal, que no estamos resolviendo el problema real. Un método más eficiente de solucionar este problema es trasladar la fuerza amortiguadora hacia el lado derecho de la ecuación de equilibrio dinámico, y resolver el problema como no-lineal problema nono -lineal lineal utilizando el método FNA. También, el amortiguamiento viscoso fácilmente se puede considerar a través de este nuevo método computarizado.

DISIPACIÓN DI DE ENERGÍA NO-LINEAL La mayor parte de la disipación de la energía física en estructuras reales se realiza en fase con los desplazamientos, y representa una función no-lineal de la magnitud de los desplazamientos. Sin embargo, es una práctica común aproximar el comportamiento no lineal con un “amortiguamiento lineal equivalente” y abstenerse de realizar un análisis no-lineal. El motivo principal de esta aproximación es que todo programa lineal para la superposición modal o para el

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análisis de espectro de respuesta puede considerar el amortiguamiento viscoso lineal de manera matemática exacta. Ya no se necesita esta aproximación si el ingeniero estructural puede identificar dónde y cómo se disipa la energía dentro del sistema estructural. El método FNA dispone una alternativa del empleo de amortiguamiento viscoso lineal equivalente.

ej

an

dr

o

Va

sq

ue

z

Ar

te

ag

a

Los aisladores de base (base isolators) representan uno de los tipos más comunes de elementos no-lineales predefinidos que se usan en diseños sismo-resistentes. Los amortiguadores mecánicos (mechanical dampers),, los dispositiv dispositivos de fricción (friction devices), y las rótulas plásticas (plastic hinges) representan otros tipos de elementos no-lineales comunes. Además, se requieren elementos de ajuste para modelar el contacto entre los componentes estructurales y el levantamiento de estructuras. Es útil un tipo especial de elemento de junta con la capacidad de aplastarse y disipar la energía, para poder modelar materiales tipo concreto y suelo. Los cables que solamente pueden tomar la tensión y que disipan la energía al ceder son necesarios para captar el comportamiento de muchas estructuras de puentes. Sin embargo, cuando se lleva a cabo un análisis no no-lineal no-lineales, no se puede donde se disipa la energía dentro de los dispositivos no justificar agregar un 5 por ciento adicional de amortiguamiento modal lineal.

Al

19.10 RESUMEN

C

om

pr

ad

o

po

r:

Se ha empleado el amortiguamiento modal lineal como un porcentaje del amortiguamiento crítico para aproximar el comportamiento no-lineal de las estructuras. La disipación de la energía en estructuras reales es mucho más compleja y tiende a ser proporcional a los desplazamientos, en vez de d proporcional a la velocidad. El uso del “amortiguamiento viscoso equivalente” aproximado tiene poca justificación teórica o experimental, y produce un modelo matemático que viola el equilibrio dinámico. Se pueden crear matemáticamente matrices de amortiguamiento que tengan amortiguamiento diferente en cada modo. Además, se utilizar usar las matrices de amortiguamiento proporcional de rigidez y masa. Para justificar estas suposiciones matemáticas convenientes, se debe hacer trabajo experimental de campo. Actualmente es posible simular con precisión, utilizando el método FNA, el comportamiento de estructuras que tengan instalado un número finito de

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dispositivos discretos para la disipación de energía. Las propiedades de los dispositivos que hayan sido determinadas de manera experimental pueden ser integradas directamente al modelo computarizado.

19.11 REFERENCIAS

C

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r:

Al

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an

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Va

sq

ue

z

Ar

te

ag

a

1. Wilson, E., y J. Penzien. 1972. “ Evaluation of Orthogonal Matrices,” International Journal for Numerical Methods in Engineering. Vol. 4. pp. 5-10.

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20.

ag

a

ANÁLISIS DINÁMICO UTILIZANDO LA INTEGRACIÓN NUMÉRICA

sq

ue

INTRODUCCIÓN

po

r:

Al

ej

an

dr

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Va

El enfoque más generalizado para la solución de la respuesta dinámica de sistemas estructurales es la integración numérica directa de las ecua ecuaciones de equilibrio dinámico. Esto implica el intento de satisfacer el equilibrio dinámico defin la solución en tiempo cero. La en puntos discretos de tiempo después de definir mayoría de los métodos utilizan intervalos iguales de tiempo en ∆t ,2∆t ,3∆t........N∆t . Se han presentado anteriormente muchas técnicas numéricas diferentes; ssin in embargo, todos los enfoques pueden ser clasificados fundamentalmente como métodos de integración explícitos o implícitos.

om

pr

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o

Los métodos explícito explícitos no implican la solución de un grupo de ecuaciones lineales en cada paso. Básicamente estos métodos utilizan la ecuación diferencial en el tiempo “t” para predecir una solución en el tiempo “ t + ∆t ”. Para la mayoría de las estructuras re reales, que contienen elementos rígidos, se requiere un par obtener una solución estable. Por lo tanto, paso de tiempo muy pequeño para todo método explícito es condicionalmente estable con respecto a la magnitud del paso de tiempo.

C

20.1

z

Ar

te

Normalmente es Muy Lenta la Integración Numérica Directa para Cargas Sísmicas

Los métodos implícitos intentan satisfacer la ecuación diferencial en el tiempo “t” después de encontrar la solución en el tiempo “ t − ∆t ”. Estos métodos requieren la solución de un grupo de ecuaciones lineales en cada paso de tiempo; sin embargo, se pueden usar pasos de tiempo más grandes. Los métodos implícitos pueden ser condicional o incondicionalmente estables.

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Va

sq

FAMILIA DE MÉTODOS NEWMARK A RK

o

po

r:

Al

ej

an

dr

o

En el año 1959 Newmark [1] presentó una serie de métodos de integración de paso único para solucionar problemas dinámicos estructurales para cargas tanto Durante los últimos 40 años el método de Newmark sísmicas como de impulso.. Durante ha sido aplicado al análisis dinámico de muchas estructu estructuras de la ingeniería práctica. Además, ha sido modificado y mejorado por muchos otros investigadores. Para ilustrar la aplicación de esta familia de méto métodos de integración numérica, considere la solución de las ecuaciones lineales de equilibrio dinámico que se escriben en la siguiente forma: (20.1)

pr

ad

 t + Cu t + K u t = Ft Mu

om

El empleo directo de la serie de Taylor ofrece un enfoque riguroso para obtener las dos ecuaciones adicionales siguientes:

C

20.2

ue

z

Ar

te

ag

a

Un elevado número de métodos precisos, de pasos múltiples y de orden superior ha sido desarrollado para la solución numérica de ecuaciones diferenciales. Estos métodos de múltiples pasos asumen que la solución es una función uniforme donde las derivadas superiores son continuas. La solución exacta de muchas estructuras no-lineales requiere que las aceleraciones, la segunda derivada de los desplazamientos, no sean funciones uniformes. Esta discontinuidad de la aceleración está causada por la histéresis no-lineal de la mayoría de los materiales estructurales, por el contacto entre las partes de la estructura, y por el pandeo de los elementos. Por lo tanto, en este capítulo solamente serán presentados métodos de paso único. En base de una considerable experiencia, el autor ha llegado a la conclusión de que se deben emplear solamente métodos análi sísmico estables e incondicionales, implícitos y de paso sencillo, para el análisis paso-a-paso de estructuras reales.

u t = u t-∆t + ∆tu t-∆t +

∆t 2 ∆t 3  t-∆t + ut-∆t + ...... u 2 6

(20.2a)

 t -∆t + u t = u t -∆t + ∆tu

∆t 2 ut -∆t +...... 2

(20.2b)

Newmark truncó estas ecuaciones y las expresó de la siguiente forma:

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u t = u t-∆t + ∆tu t-∆t +

∆t 2  t-∆t +β∆t 3u u 2

(20.2c)

 t-∆t + γ ∆t 2u u t = u t-∆t + ∆tu

(20.2d)

Si se asume que la aceleración es lineal dentro del paso de tiempo, se puede escribir la siguiente ecuación:  t − u  t −∆t ) (u ∆t

(20.3)

a

u =

sq

(20.4a) (20.4b)

Va

 t-∆t + γ ∆tu  t u t = u t-∆t + (1 − γ )∆tu

ue

z

1  t-∆t +β∆t 2 u  t u t = u t-∆t + ∆tu t-∆t + ( − β)∆t 2 u 2

Ar

te

ag

La sustitución de la Ecuación (20.3) en las Ecuaciones (20.2c y 20.2d) produce las ecuaciones de Newmark en forma estándar:

ej

an

dr

o

Newmark solucionó las Ecuaciones (20.4a, 20.4b, y 20.1) mediante la iteración para cada paso de tiempo para cada GDL de desplazamiento del sistema t se obtuvo de la Ecuación (20.1) dividiendo la ecuación estructural. El término u ntre la masa asociada con el GDL. GDL entre

pr

ad

o

po

r:

Al

En el año 1962 Wilson [2] formuló el método de Newmark en notación de matriz, agregó amortiguamiento proporcional de rigidez y masa, y eliminó la necesidad de la iteración, introduciendo la solución ddirecta de ecuaciones en cada paso de tiempo. Esto requiere que las Ecuaciones (20.4a y 20.4b) sean escritas de nuevo en la siguiente forma: (20.5a)

 t − ∆t = u t b4 (u t − u t − ∆t ) + b5u t − ∆t + b6 u

(20.5b)

C

om

 t b1 (u t − u t − ∆t ) + b2u t − ∆t + b3 u  t − ∆t = u

donde las constantes b1 a b6 se definen en la Tabla 20.1. La sustitución de las Ecuaciones (20.5a y 20.5b) en la Ecuación (20.1) permite que el equilibrio dinámico del sistema en el tiempo “t” sea escrito en términos de los desplazamientos nodales desconocidos u t . Esto es:  t − ∆t ) (b1M + b4C + K )u t = Ft + M (b1u t − ∆t − b2u t − ∆t − b3 u  t − ∆t ) + C(b4 u t − ∆t − b5u t − ∆t − b6 u

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(20.6)

La Tabla 20.1 resume el algoritmo de integración directa de Newmark. Note que las constantes bi deben ser calculadas solamente una vez. También, para sistemas lineales, la matriz K de rigidez dinámica efectiva se forma y se triangulariza solamente una vez. Tabla 20.1 Resumen del Método Newmark de Integración Directa

B. Especificar los parámetros de integración

β

Ar

1 β∆t

b= β− 3

z

b2 =

ue

1 β∆t 2

1 2

b4= γ ∆tb1

sq

b1 =

γ

te

C. Calcular las constantes de integración

y

a

CÁLCULO INICIAL A. Formar matriz de rigidez estática K , matriz de masa M y matriz de amortiguamiento C

ag

I.

Va

b5 1 + γ ∆t b2= = b6 ∆t(1 + γ b3 − γ )

an

dr

o

D. Formar matriz de rigidez efectiva = K K + b1M + b4C E. Triangularizar matriz de rigidez efectiva T

K = L DL  0 u 0 ,u 0 ,u

ej

F. Especificar condiciones iniciales

Al

SO DE DE T TIEMPO II. POR CADA PASO = t ∆t,2∆t,3∆t - - - - - -

r:

A. Calculatar vector carga efectiva

po

 t − ∆t ) + C(b4 u t − ∆t − b5u t − ∆t − b6 u  t − ∆t ) Ft = Ft + M (b1u t − ∆t − b2u t − ∆t − b3 u

pr

ad

o

B. Solucionar para vector desplazamiento nodal en tiempo t LD DL LT u t = Ft sustitución hacia adelante y hacia atrás solamente

C

om

C. Calcular velocidades y aceleraciones nodales en tiempo t

 t − ∆t = u t b4 (u t − u t − ∆t ) + b5u t − ∆t + b6 u  t b1 (u t − u t − ∆t ) + b2u t − ∆t + b3 u  t − ∆t = u D. Pasar a Paso II.A con t = t + ∆t

20.3

ESTABILIDAD DEL MÉTODO DE NEWMARK Para amortiguamiento nulo, el método de Newmark es condicionalmente estable si:

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1 2

γ ≥ ,β ≤

1 y ∆t ≤ 2

1 ω MAX

(20.7)

γ -β 2

donde ω MAX representa la frecuencia máxima en el sistema estructural [1]. El método de Newmark es incondicionalmente estable si: 2β≥ γ≥

1 2

(20.8)

Ar

te

ag

a

Sin embargo, si γ es mayor de ½, se introducen errores. Dichos errores están asociados con el “amortiguamiento numérico” y con eell “alargamiento “alargamiento del período.”

(20.9)

o

Va

1 2π γ 2 - β

dr

∆t ≤ TMIN

sq

ue

z

Para sistemas estructurales grandes con múltiples grados de libertad, el límite del paso de tiempo presentado por la Ecuación (20.7) puede escribirse en una forma más útil como la siguiente:

ad

o

MÉTODO OD DE EL LA A ACELERACIÓN PROMEDIO

om

pr

El método de la aceleración promedio es idéntico a la regla trapezoidal que se ha usado para evaluar numéricamente las ecuaciones diferenciales de segundo orden du rante aproximadamente 100 años. Se puede derivar fácilmente de la siguiente durante ampliación am pliación de la serie truncada de Taylor:

C

20.4

po

r:

Al

ej

an

Los modelos computarizados de estructuras reales grandes normalmente contienen muchos períodos que son más pequeños que el paso de tiempo por integración; por lo tanto, es imprescindible seleccionar un método de integración numérica que sea incondicional para todos los pasos de tiempo.

u τ = u t-∆t + τu t-∆t + ≈ u t-∆t + τu t-∆t

τ2 τ3  t-∆t + ut-∆t + ...... u 2 6

 + u  t τ2 u ) + ( t-∆t 2 2

(20.10)

donde τ es un punto variable dentro del paso de tiempo. Se puede obtener la velocidad consistente mediante diferenciación de la Ecuación (20.10). Así:

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u τ =u t -∆t + τ (

 t -∆t + u  t u ) 2

(20.11)

Si τ= ∆t : u t =u t-∆t + ∆tu t-∆t +

(20.12a)

∆t ∆t  t-∆t + u  t u 2 2

(20.12b)

a

u t =u t-∆t +

∆t 2 ∆t 2  t-∆t +  t u u 4 4

Ar

te

ag

Estas ecuaciones son idénticas a las Ecuaciones de Newmark (20.4a y 20.4b) con γ= 1/ 2 y β = 1/ 4 .

Va

sq

ue

z

Se puede demostrar fácilmente ácilmente que el método de la aceleración promedio  + K u = conserva energía para el problema de vibración libre, M u 0 , para todos los pasos de tiempo posibles [4]. Por lo tanto, la suma de la energía de deformación y la energía cinética es constante. constante. Entonces:

ej

an

FACTOR θ DE WILSON ON

om

pr

ad

o

po

r:

Al

En el año 1973, el método general de Newmark se hizo incondicionalmente estable mediante la introducción de un factor θ [3]. La introducción del factor θ está motivada por la observación de que una solución inestable tiende a oscilarse en cuanto a la solución correcta. Por lo tanto, si se evalúa la solución numérica dentro del incremento de tiempo, se minimizan las oscilacion oscilaciones redundantes. Esto se logra mediante una sencilla modificación del método de Newmark utilizando un paso de tiempo definido por:

C

20.5

(20.13)

dr

o

2E = u Tt M u t + u Tt K u t = u Tt-∆t M u t-∆t + u Tt-∆t K u t-∆t

∆t ′ = θ ∆t

(20.14a)

y una carga definida por: R t′ = R t-∆t + θ (R t − R t-∆t )

(20.14b)

donde θ ≥ 1.0 . Después de evaluar el vector u t′ de aceleración utilizando el método de Newmark en el paso de tiempo de integración θ ∆t , se calculan los valores de las aceleraciones, velocidades y desplazamientos nodales de las siguientes ecuaciones fundamentales:

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1  t = u  t-∆t + (u  t′ −u  t-∆t ) u θ

(20.15a)

 t-∆t + γ ∆tu  t u t = u t-∆t + (1 − γ )∆tu

(20.15b)

u t = u t-∆t + ∆tu t-∆t +

∆t 2 (1 − 2β)  t-∆t +β∆t 2 u  t u 2

(20.15c)

dr

o

USO DEL AMORTIGUAMIENTO ENTO P PROPORCIONAL DE RIGIDEZ

om

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

an

Debido a la estabilidad incondicional del método de promedio de aceleración, el mismo representa el método más robusto a usar para el análisis dinámico paso paso-apaso de sistemas estructurales grandes y complejos donde está presente un portante de frecuencias altas (y períodos cortos). El único número importante inconveniente con el método es que los períodos cortos, que son más pequeños que el paso de tiempo, oscilan de manera in indefinida después de excitarse. Se puede reducir la oscilación de modo superior mediante la adición de amortiguam iento proporcional de rigidez. El amortiguamiento adicional que se le amortiguamiento agrega al sistema tiene la siguiente forma:

C

20.6

Va

sq

ue

z

Ar

te

ag

a

El uso del factor θ tiende a amortiguar numéricamente los altos modos del gual a 1.0, el método de Newmark no queda modificado. Sin sistema. Si θ es igual embargo para los problemas donde es importante la respuesta de modo más alto, los errores que se introducen pueden ser grandes. Además, las ecuaciones de equilibrio dinámico no se satisfacen exactamente ente en el tiempo t. Por lo tanto, el autor ya no recomienda el uso del factor θ . Al momento de la introducción del método, solucionaba todos los problemas asociados con la estabilidad de la familia de métodos de Newmark. Sin embargo, durante los últimos veinte años se han desarrollado métodos numéricos nuevos y más precisos.

C D= δ K

(20.16)

donde la relación de amortiguamiento modal, expresada por la Ecuación (13.5), se define así: ξn =

π 1 δ ωn = δ 2 Tn

(20.17)

Se nota que el amortiguamiento es grande para los períodos cortos, y es pequeño para los períodos largos o para las frecuencias bajas. Es evidente que, cuando los

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períodos son mayores que el paso de tiempo, no pueden ser integrados precisamente por ningún método de integración directa. Por lo tanto, es lógico amortiguar esos períodos cortos para evitar que oscilen durante el procedimiento de solución. Para el caso de un paso de tiempo que sea igual al período, se puede volver a escribir la Ecuación (20.17) como sigue:

δ = ξn

∆T

π

(20.18)

MÉTODO α DE HILBER, HUGHES GHES Y TAYLOR

Va

20.7

sq

ue

z

Ar

te

ag

a

Por tanto, si el paso de tiempo dee integración es de 0.02 segundos, y si deseamos asignarles un mínimo de 1.0 a todos los períodos que sean más cortos que el paso de tiempo, se debe usar un valor de δ = 0.0064 . Ahora se puede predecir la relación de amortiguamiento en todos los modos para este ejemplo en base a la Ecuación (20.17). Por ende,, la relación de amortiguamiento para un período de 1.0 segundos es de 0.02, y para un período de 0.10 segundos, es de 0.2.

an

dr

o

El método α [4] usa el método de Newmark para solucionar las siguientes ecuaciones modificadas de movimiento: (20.19)

r:

Al

ej

 t + (1 + α) Cu t + (1 + α) K u t = (1 + α)Ft Mu − α Ft + α Cu t − ∆t + α K u t − ∆t

C

om

pr

ad

o

po

Cuando α es equivalente a cero, el método reduce al método de aceleración constante. te. Esto produce disipación de energía numérica en los modos superiores; sin embargo, no se puede predecir como coeficiente de amortiguamiento tal como en el uso del amortiguamiento proporcional de rigidez. Tampoco soluciona la ecuación de equilibr equilibrio fundamental en el tiempo t. Sin embargo, en la actualidad está siendo usado en muchos programas de computadora. El rendimiento del método parece muy similar al uso del amortiguamiento proporcional de rigidez.

20.8

SELECCIÓN DE UN MÉTODO DE INTEGRACIÓN DIRECTA Es evidente que es posible tener un gran número de métodos diferentes de integración numérica directa si se especifican diferentes parámetros de integración. La Tabla 20.2 resume algunos de los métodos de mayor uso.

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Tabla 20.2 Resumen de los Métodos de Newmark Modificados por el Factor

∆t TMIN

1/2

0

0

0.3183

Aceleración Lineal

1/2

1/6

0

0.5513

Aceleración Promedio

1/2

1/4

0

∞

Promedio Modificado de Aceleración

1/2

1/4

∆T π

PRECISIÓN

∆t pequeño Inestable para ∆t grande

Excelente para

∆t pequeño Inestable para ∆t grande

Muy bueno para

a

Diferencia Central

Bueno para ∆t pequeño Ninguna disipación de energía

Ar

ue

z

δ

ag

β

te

γ

MÉTODO

δ

Bueno para ∆t pequeño Disipación de energía para ∆t grande

dr

o

Va

sq

∞

po

r:

Al

ej

an

Para sistemas de un grado de libertad, libertad, el método de diferencia central es el más preciso, mientras que el método de aceleración lineal es más preciso que el método de aceleración promedio. Sin embargo, si se integran solamente sistemas de un grado de libertad, exacto que se presentó libertad, se debe usar el método ex anteriormente puesto no existe la necesidad de usar un método aproximado.

C

om

pr

ad

o

El método modificado de aceleración promedio, agregando un mínimo de amortiguamiento proporcional de rigidez, se representa como un procedimiento general que se puede usar para el análisis dinámico de todo sistema estructural. El uso de = δ ∆T/π amortiguará períodos más cortos que el paso de tiempo, e introduce un error mínimo en la respuesta de período largo.

20.9

ANÁLISIS NO-LINEAL El método básico de Newmark de aceleración constante puede ser ampliado para entender el análisis dinámico no-lineal. Esto requiere que la iteración se haga en cada paso de tiempo para satisfacer el equilibrio. También se debe formar y triangularizar la matriz de rigidez incremental antes de cada iteración o en puntos selectivos en el tiempo. Se han desarrollado muchos trucos numéricos diferentes,

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incluyendo métodos elemento por elemento, para minimizar los requerimientos de computación. También, se puede evitar la triangularización de la matriz de rigidez incremental efectiva introduciendo métodos de solución iterativa.

20.10 RESUMEN

Ar

te

ag

a

Para el análisis sísmico de estructuras lineales, se debe notar que la integración directa de las ecuaciones de equilibrio dinámico normalmente no es numéricamente uméricamente eficiente en comparación con el método de superposición de modo utilizando vectores LDR. Si no se pueden almacenar las matrices triangularizadas de rigidez y masa y otros vectores en memoria de alta velocidad, el tiempo de ejecución puede ser largo.

po

r:

Al

ej

an

dr

o

Va

sq

ue

z

Después de haber utilizado métodos de integración directa durante aproximadamente cuarenta años, el autor ya no puede recomendar el método Wilson de integración directa de las ecuaciones de equilibrio dinámico. El método Newmark de aceleración constante, constante, agregando muy pequeñas cantidades de amortiguamiento proporcional de rigidez, se recomienda para sistemas estructurales no-lineales lineales de análisis dinámico. Para todos los métodos de integración directa, se debe tener mucho cuidado para garantizar que eel amortiguamiento proporcional de rigidez no elimine respuestas iimportantes de alta frecuencia. No se puede justificar el amortiguamiento proporcional de masa porque hace que se apliquen fuerzas externas a la estructura que reducen el cortante de base para la carga sísmica.

C

om

pr

ad

o

no En el área del análisis dinámico no-lineal, no se puede probar que siempre tenga convergencia un u método específico cualquiera. Siempre se debe verificar el error energí para toda solución obtenida. En ediciones en la conservación de la energía futuras de este libro se espera presentar ejemplos numéricos de manera que se pueda recomendar el método apropiado para diferentes clases de problemas en el análisis estructural.

20.11 REFERENCIAS 1.

Newmark, N. M. 1959. “A Method of Computation for Structural Dynamics,” ASCE Journal of the Engineering Mechanics Division. Vol. 85 No. EM3.

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Wilson, E. L. 1962. “Dynamic Response by Step-By-Step Matrix Analysis,” Proceedings, Symposium On The Use of Computers in Civil Engineering. Labortorio Nacional de Engenharia Civil. Lisbon, Portugal. Octubre 1-5.

3.

Wilson, E. L., I. Farhoomand y K. J. Bathe. 1973. “Nonlinear Dynamic Analysis of Complex Structures,” Earthquake Engineering and Structural Dynamics. 1, 241-252.

4.

Hughes, Thomas. 1987. The Finite Element Method - Linear Static and Dynamic Finite Element Analysis. Prentice Hall, Inc.

C

om

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

an

dr

o

Va

sq

ue

z

Ar

te

ag

a

2.

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21. ELEMENTOS NO-LINEALES

sq

INTRODUCCIÓN

ad

o

po

r:

Al

ej

an

dr

o

Va

Se pueden usar muchos tipos diferentes de ele elementos prácticos no-lineales No-lineal Rápido. El conjuntamente con la aplicación del método de Análisis No método FNA es muy efectivo para el diseño, rehabilitación y reforzamiento de estructuras para resistir movimientos sísmicos, porque está diseñado a ser computacionalmente eficiente para aquellas estructuras que tengan un número limitado de elementos prepre pre-definidos -definidos definidos no no-lineales, o que disipan la energía. Esto es consistente con la filosofía moderna de la ingeniería sísmica en el sentido de que los elementos que disipan la energía deben ser capaces de ser inspeccionados y sustituidos después de un sismo mayor.

om

pr

Los aisladores de base representan uno de los tipos más comunes de elementos pre predefinidos definidos no no-lineales que se usan en el diseño sismo-resistente. Además, los aisladores, los amortiguadores mecánicos, los dispositivos de fricción, y las rótulas plásticas representan otros tipos de elementos comunes no no-lineales. También, se requieren de elementos de junta o de contacto para modelar el contacto entre componentes estructurales y el levantamiento de estructuras. Es útil un tipo especial de elemento de junta que tiene la capacidad de reducir y disipar la energía, para poder modelar materiales como el concreto y los suelos. Para modelar el comportamiento de muchas estructuras de tipo puente son necesarios los cables que soportan tensión solamente y que además puedan disipar la energía al ceder en forma plástica. En el presente capítulo será

C

21.1

ue

z

Ar

te

ag

a

La s Estr uctur a s Sismo-Resistentes Resistentes Deben Tener un Número Limita do de Elementos No-linea linea les que P ueda n ser F á cilmente Inspecciona dos y Sustituidos Después de un Sismo Ma yor

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presentado el comportamiento de varios de estos elementos, y se resumirán los algoritmos de solución detallada.

ELEMENTO GENERAL TRIDIMENSIONAL DE DOS NODOS

z

Ar

te

ag

a

El tipo de elemento no-lineal que se presenta en el presente capítulo es similar al elemento tridimensional de viga. Sin embargo, puede degenerarse en un elemento de longitud cero donde ambos extremos están ubicados en el mismo punto en el espacio. Por lo tanto, es posible modelar superficies de fricción deslizantes, problemas de contacto, y rótulas ótulas plásticas concentradas. Igual que el elemento de viga, el usuario debe definir inir un sistema local de referencia 1-2-3 1-2- para definir las 1-2propiedades locales del elemento no-lineal y para ra interpretar los resultados. La Figura 21.1 presenta un elemento típico,, conectado entre dos puntos I y J.

dr

o

Va

sq

ue

z

d3 ,f3 J

an ej Al r: po

d2 ,f2

d4 ,f4

d1 ,f1

d6 ,f6

L

y

om

pr

ad

o

I

d5 ,f5

x

Figura 21.1 Desplazamientos Relativo – Elemento Tridimensional No-lineal

C

21.2

Es importante notar que son posibles tres desplazamientos y tres rotaciones en ambos puntos I y J, y que pueden ser expresados en el sistema global de X-Y-Z o el local de 1-2-3. Las matrices de transformación de fuerza y desplazamiento para este elemento no-lineal son iguales que las del elemento de viga que se presenta en el Capítulo 4. Para la mayoría de los tipos de elementos algunos de estos desplazamientos no existen, o son equivalentes en I y J. Ya que cada elemento tridimensional tiene seis desplazamientos de masa rígida, el equilibrio

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del elemento puede expresarse en términos de los seis desplazamientos relativos que se presentan en la Figura 21.1. También, L puede ser equivalente a cero. Por ejemplo, si una rótula plástica concentrada con una rotación relativa del eje-2 local se coloca entre los puntos I y J, existe solamente una rotación relativa d5 . Los otros cinco desplazamientos relativos deben ser fijados en cero. Esto se logra fijando como iguales los desplazamientos absolutos en las uniones I y J.

ELEMENTO DE PLASTICIDAD GENERAL

Ar

te

ag

a

Se puede utilizar el elemento de plasticidad general para modelar muchos tipos diferentes de propiedades no-lineales de materiales. La Figura 21.2 presenta las propiedades ropiedades fundamentales y el comportamiento del elemento.

dy

ue

z

f

k ee

dr

o

Va

sq

ky

r:

Al

ej

an

ke

d

po

Figura 21.2 Comportamiento Fundamental del Elemento de Plasticidad

ad

o

ke = rigidez lineal inicial ky = rigidez de fluencia

om

pr

donde

dy = deformación de fluencia

La relación fuerza fuerza-deformación se calcula en base a lo siguiente:

C

21.3

f = ky d + ( ke - ky ) e

(21.1)

Donde d es la deformación total, y es un término de deformación elástica con un rango de ± dy . Se calcula en cada paso de tiempo mediante la integración numérica de una de las siguientes ecuaciones diferenciales: n

e Si de ≥ 0 e = (1 - | | )d dy

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(21.2)

Si de< 0 e = d

(21.3)

Se pueden hacer las siguientes aproximaciones de diferencia finita para cada paso de tiempo:

d = dt dt - ∆t ∆t e =

y

(21.4a)

et - et -∆t ∆t

(21.4b)

Ar

te

ag

a

Se puede resumir en la Tabla 21.1 el algoritmo de solución numérica (seis declaraciones de programa computarizado) al final de cada incremento de tiempo ∆ t , en el tiempo t para la iteración i.

ue

z

Tabla 21.1 Algoritmo Iterativo para Elemento d de e Plasticidad Pl as

- d t -∆t

∆t en tiempo t para iteración i ∆

Va

= d

(i) t

sq

1. Cambio de deformación para paso de tiempo

si

ve

> 0

(i) t

r:

et − ∆t n | )v + (1 - | dy

si

> dy e(i) t

= dy e(i) t

si

< -dy e(i) t

= -dy e(i) t

o

po

= et -∆t

ej

e

Al

(i-1) t

= et -∆t + v e(i) t

dr

v e(i-1) ≤ 0 t

an

si

o

2. Calcular deformación elástica para iteración i

ad

3. Calcular la fuerza iterativa:

om

pr

(i) f (i) = k y d (i) t + ( k e - k y )et t

C

Note que el término aproximado

et -∆t se usa desde el final del último incremento dy

de tiempo en vez del término iterativo

e(i) t . Esta aproximación elimina todos los dy

problemas asociados con la convergencia para valores grandes de n. Sin embargo, la aproximación posee efectos insignificantes sobre los resultados numéricos para todos los valores de n. Para todos los fines prácticos, un valor de n igual a 20 produce un comportamiento bilineal real.

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DIFERENTES PROPIEDADES POSITIVAS Y NEGATIVAS Se puede generalizar el elemento de plasticidad anteriormente presentado para que tenga propiedades de deformación positivas, dP , y negativas, dn . Esto permite que el mismo elemento modele muchos tipos diferentes de dispositivos para la disipación de energía, tales como el elemento de fricción doble diagonal Pall. Tabla 21.2 Algoritmo Iterativo para Elemento Bilineal No-Simétrico

- d t -∆t

∆t en tiempo t para iteración i

a

v = d

(i) t

ag

1. Cambio de deformación para paso de tiempo

v e(i-1) ≤ 0 t

si

v e(i-1) > 0 y et − ∆t > 0 t

si

v e(i-1) > 0 y et − ∆t < 0 t

= et -∆t + v e(i) t n et − ∆t (i) | )v et = et - ∆t ∆t + (1 - | dp

Va

sq

ue

z

Ar

si

te

2. Calcular deformación elástica para iteración i

(i) t

o

e

(i) et > d p si e(i) t d y entonces e(i) t

3. Calcular la Fuerza Iterativa:

f t (i ) d c entonces d c = y

ag te

= -dy e(i) t

Ar

(i ) (i) et = d t + d o − d c si e(i) < - d y entonces t

a

2. Calcular la Deformación Elástica:

3. Calcular la Fuerza Iterativa:

ue sq

f t (i ) =0

f t (i ) >0 entonces

Va

si

z

(i) (i) f t = k y (d (i) t + d 0 ) + ( k e - k y ) et

om

ELEMENTOS L EMEN DE AMORTIGUAMIENTO VISCOSO Lass fuerzas lineales de disipación de energía y dependientes de velocidad existen La en solamente unos pocos materiales especiales sometidos a pequeños desplazamientos. En términos del amortiguamiento modal equivalente, los experimentos indican que constituyen una pequeña fracción del uno por ciento. Los amortiguadores mecánicos manufacturados no pueden fabricarse con propiedades viscosas lineales porque todo fluido tiene una capacidad de compresión finita, y porque el comportamiento no-lineal está presente en todos los dispositivos reales. En el pasado ha sido una práctica común aproximar el comportamiento de estos elementos viscosos no-lineales a través de una simple

C

21.7

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

an

dr

o

La convergencia numérica del elemento de gap-crush puede ser muy lenta si se emplea un término grande de rigidez elástica ke . El usuario debe ser cuidadoso real en la selección de un número físicamente realista. Para minimizar los problemas numéricos, la rigidez ke no debe ser más de 100 veces la rigidez de los elementos adyacentes a la junta junta. El problema de contacto dinámico entre los componentes estructurales reales muchas veces no posee una solución única. Por lo tanto, es responsabilidad del ingeniero de diseño seleccionar los materiales en los puntos de contacto y superficies que tengan propie propiedades materiales realistas que se puedan predecir con precisión.

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fuerza viscosa lineal. Más recientemente los vendedores de estos dispositivos, alegan que las fuerzas de amortiguamiento son proporcionales a una potencia de la velocidad. El examen a través de experimentos de un dispositivo mecánico indica un comportamiento mucho más complejo que no puede ser representado por un simple modelo de un único elemento.

z

Ar

te

ag

a

El método FNA no requiere que dichos dispositivos de amortiguamiento sean linealizados ni simplificados para obtener una solución numérica. Si se comprende el comportamiento físico, es posible desarrollar un algoritmo de recisión el comportamiento de casi cualquier solución iterativa que simule con precisión tipo de dispositivo de amortiguamiento. Para ilustrar el procedimiento, vamos a considerar el dispositivo que se presenta en la Figura 21.4.

sq

ue

(i ) f p( i ) = k p d t(i)

o

Va

f ( i ) = f p( i ) + f s( i )

ks

kp

c

ej

an

dr

I

J

N

r:

Al

f s((iii))= k s (d t( i ) − e ( i ) )= sign (e ( i ) ) e ( i ) c

o

po

Figura 21.4 Elemento de Amortiguamiento General Conectado entre los Puntos I y J

ad

Es evidente que la deformación total, et( i ) , a través del amortiguador debe ser

C

om

pr

elemento en calculada de manera precisa para evaluar el equilibrio dentro del el cada paso de tiempo. La ecuación de diferencia finita que se usa para estimar la deformación de amortiguador en el tiempo t es: = et( i ) et − ∆t +

t

e = dτ ∫ t t −∆

(i ) τ

et − ∆t +

∆t  t − ∆t + e  t( i ) ) (e 2

La Tabla 21.5 presenta un resumen del algoritmo numérico.

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(21.5)

Tabla 21.5 Algoritmo Iterativo para Elemento Viscoso No-lineal 1. Estimar la fuerza de amortiguador desde la última iteración:

= f s(i ) k s (d t(i ) − et( i −1) )

2. Estimar la velocidad de amortiguador: 1

f s(i ) N ) sign( f s(i ) ) e = ( c (i) t

3. Estimar la deformación de amortiguador:

te

ag

a

∆t (et − ∆t ) + et(i ) ) 2

Ar

(i) = et et − ∆t +

4. Calcular el total de fuerza iterativa:

o

ELEMENTO TRIDIMENSIONAL A L DE DE JJUNTA DE FRICCIÓN

om

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

an

dr

Muchas estructuras tienen superficies de contacto entre componentes de las mismas o entre la estructura y la fundación, que pueden soportar solamente la compresión. Durante el tiempo que las superficies están en contacto, esto es desarrollan entre las posible porque las fuerzas de fricción tangenciales se desa superficies. Las fuerzas máximas superficiales tangenciales, que se pueden normal desarrollar en un momento dado, son una función de la fuerza compresiva no momento. Si las superficies no están en contacto, las fuerzas que existe en el momen normales y de fricción de la superficie deben ser nulas (cero). Por lo tanto, los desplazamientos por deslizamiento de la superficie tendrán lugar durante el perí pe ríodo odo de tiempo cuando la fuerza de fri período fricción permitida sea excedida o cuando las superficies no estén en contacto.

C

21.8

Va

sq

ue

z

(i ) (i) f (i) = k p d (i) t + k s ( d t − et ) t

Para desarrollar el algoritmo numérico para predecir el comportamiento dinámico entre las superficies, considere el elemento de superficie de contacto indicado en la Figura 21.5. Los dos nodos superficiales están localizados en el mismo punto en el espacio y están conectados mediante el elemento de junta de fricción que posee una rigidez de contacto k, en las tres direcciones. Las tres direcciones son definidas por un sistema de referencia local n, s, y s+90o . Las deformaciones del

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Ar

te

ag

a

elemento d n , d s , y d s+90 son relativas a los desplazamientos absolutos de las dos superficies.

ue

z

Figura 21.5 Elemento Tridimensional imensional No-Lineal No--Lineal NoLineal de Junta de Fricción

Va

sq

Durante el tiempo del contacto, las relaciones relaciones fuerza-deformación fuerza para el elemento de junta de fricción son:

f n = kdn

(21.6a)

f= µ fn a

(21.6b)

dr

o

Fuerza Normal:

an

Fuerza Máxima de Deslizamiento

r:

Al

ej

Admisible:

ad

o

po

Fuerzas Tangenciales de Superficie:

= f s k (d s − y s ) , ó

(21.6c)

f s = sign( f s ) f a

om

pr

El coeficiente de fricción de deslizamiento está designado por µ . La deformación por deslizamiento superficial en dirección s es y s .

C

La Tabla 21.6 resume el algoritmo numérico iterativo para un paso de tiempo típico. Para minimizar los problemas numéricos, la rigidez k no debe ser mayor de 100 veces la rigidez de los elementos adyacentes a la brecha.

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Tabla 21.6 Algoritmo Iterativo para Elemento de Junta de Fricción 1. Si i=1, actualizar las deformaciones por desprendimiento a partir de pasos 0

de tiempo de convergencia anterior s y s+90

= y s (t ) y s (t − ∆t ) d n(i ) > 0

f n(i ) = 0

if

d n(i ) ≤ 0

f n(i ) = kd n(i )

ag

if

a

2. Evaluar las fuerzas normales y permitidas

Ar

te

f a(i ) = µ f n(i ) 0

3. Calcular las fuerzas superficiales en s y s+90

d n(i ) > 0 f s(i ) = 0

si

d n(i ) ≤= 0 f s( i ) k (d s(i ) − y s )

ue sq

f s(i ) = sign( f s(i ) ) f a(i )

Va

f s(i ) > f a(i )

o

si

z

si

0

y s((ii ) d s(i ) − f s(i ) / k =

ej

f s(i ) = f a(i )

an

y s(i ) = d s(ii))

o

RESUMEN N

om

pr

ad

El uso del “aproximado amortiguamiento viscoso lineal equivalente” posee poca justificación justificaci ón teórica o experimental, y produce un modelo matemático que viola el equilibrio dinámico. Actualmente es posible simular con precisión el comportamiento de estructuras que tengan un número finito de dispositivos de juntas discretas, de tensión tensión, y de disipación de energía. Las propiedades determinadas experimentalmente de los dispositivos pueden ser integradas directamente al modelo computarizado.

C

21.9

po

r:

si

d n(i ) > 0

Al

si

dr

4. Calcular las deformaciones por desprendimiento en s y s+90

Comprado por: Alejandro Vasquez Arteaga [email protected]

22.

ag

a

ANÁLISIS SÍSMICO REEMPLAZANDO CARGAS POR DESPLAZAMIENTOS

Va

sq

INTRODUCCIÓN

ad

o

po

r:

Al

ej

an

dr

o

La mayoría de los análisis estructurales sísmicos se basan en la form formulación de desplazamientos relativos donde las aceleraciones de base se usan como carga básica. Por lo tanto, ha sido limitada la experiencia con el uso directo de cargas absolutas sísmicas por desplazamiento que actúan sobre la base de la estructura. dentifican varios tipos nuevos de errores numéricos asociados con el uso de Se identifican cargas absolutas sísmicas por desplazamiento. Dichos errores son inherentes a todos los métodos de análisis dinámico y están asociados directamente con la aplicación de cargas por desplazamientos.

om

pr

Es posible para la mayoría de los análisis sísmicos de estructuras usar las aceleraciones de suelo como el dato de entrada o la acción básica, y los desplazamientos estructurales producidos son relativos a los desplazamie desplazamientos absolutos de del suelo. En el caso de acciones en múltiples soportes, es necesario formular el problema en términos de los movimientos absolutos del suelo en los diferentes soportes. Sin embargo, la profesión de la ingeniería sísmica no ha fijado pautas con el fin de minimizar los errores asociados con ese tipo de análisis. En este capítulo se demostrará que se pueden introducir fácilmente varios tipos nuevos de errores numéricos si se usan los desplazamientos absolutos como la carga básica.

C

22.1

ue

z

Ar

te

El Empleo Directo de Despla za miento Sísmico del Suelo en un Aná lisis Diná mico P osee Er rores Numér icos Inherentes

Comprado por: Alejandro Vasquez Arteaga [email protected]

sq

ue

z

SUELO ROCAorBLANDA SOFTOROCK SOIL

Ar

te

ag

a

La Figura 22.1 presenta una estructura típica de puente de tramo largo. Pueden existir diferentes movimientos en los pilares debido a las condiciones locales del sitio, o a la demora de tiempo en la propagación horizontal de los movimientos sísmicos en la roca. Por lo tanto, podrían ser necesarios varios cientos de registros diferentes de desplazamiento para definir la carga básica sobre la estructura.

HARD ROCK ROCA FIRME

Va

Figura 22.1 Estructura de Puente Largo con Desplazamientos eesspla za zami en Soportes Múltiples.

ej

an

dr

o

El ingeniero/analista debe estar consciente de que la carga por desplazamiento es significativamente diferente a la carga por aceleración con respecto a los siguientes errores posibles:

om

pr

ad

o

po

r:

Al

1. Las aceleraciones son funciones lineales dentro de un incremento de tiempo, y normalmente se usa una solución exacta para resolver las ecuaciones de equilibrio. Por otro lado, los desplazamientos derivados de una función de aceleración lineal son una función cúbica dentro de cada incremento; por lo tanto, se requiere de un incremento inferior de tiempo, o un método de solución ón de orden superior para ser utilizado.

C

2. La distribución espacial de las cargas en la formulación del desplazamiento relativo es directamente proporcional a la masa; y se puede usar la regla del 90 por ciento de la participación de masa modal para garantizar que los resultados sean precisos. Sin embargo, en el caso de desplazamientos en la base, no se pueden usar los factores de participación de masa modal para estimar los posibles errores. Para las cargas por desplazamiento absoluto, se aplican las fuerzas concentradas en las uniones cerca de la base fija de la estructura; por ende, se excita un gran número de modos de alta frecuencia.

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Por este motivo, se deben considerar otras maneras de estimación del error y se podría requerir un número muy elevado de modos. Si se usa el mismo amortiguamiento para el análisis de aceleración y desplazamiento, se obtienen resultados diferentes. Esto resulta así porque para el mismo coeficiente de amortiguamiento, el amortiguamiento efectivo asociado con la respuesta de frecuencia superior es más grande cuando se especifica el desplazamiento (ver la Tabla 19.1). También, si se utiliza el amortiguamiento proporcional de masa, se introduce amortiguamiento adicional debido al movimiento de la estructura del cuerpo rígido.

te

ag

a

3.

an

dr

o

ECUACIONES DE EQUILIBRIO RIO PARA PA CARGA DE DESPLAZAMIENTO

o

 s   C ss 0 u +    b  C bs M bb  u

C sb   u s   K ss + C bb  u b  K bs

K sb   u s   0  = K bb  u b  R b 

(22.1)

pr

ad

M ss  0 

po

r:

Al

ej

Para ara un sistema de masa concentrada, las ecuaciones del equilibrio dinámico en términos de los desplazamientos desconocidos por nudo u s dentro de la superestructura, y los desplazamientos absolutos especificados u b en las uniones de la base pueden expresarse como sigue:

om

Las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez asociadas con estos desplazamientos son especificadas por po M ij , C ij , y K ij . Note que las fuerzas R b

C

22.2

Va

sq

ue

z

Ar

inuación se derivan las ecuaciones de equilibrio dinámico para el tipo de A continuación carga por desplazamiento sísmico absoluto. Los diferentes tipos de errores que normalmente se introducen son ilustrados a través del análisis de una estructura sencilla de muro de cortante.

asociadas con los desplazamientos especificados son desconocidas y pueden ser calculadas después de que u s haya sido evaluada.

Por lo tanto, por la Ecuación (22.1), se pueden escribir las ecuaciones de equilibrio para la superestructura solamente, con desplazamientos absolutos especificados en las uniones de la base como sigue:  s + Cssu s + K ssu s = −K sb u b − Csb u b M ssu

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(22.2)

Las

cargas

por

amortiguamiento

C sb u b

pueden

ser

evaluadas

numéricamente si se especifica la matriz de amortiguamiento. Sin embargo, normalmente no se define la matriz de amortiguamiento. Por tanto, normalmente se desprecian estas fuerzas de amortiguamiento, y se escriben las ecuaciones de equilibrio absoluto de la siguiente manera:  s + C ssu s + K ss u s = −K sb u b = M ss u

J

f j u j (t ) ∑ j =1

(22.3)

ag

a

Cada registro de desplazamiento independiente u j (t ) está asociado a la función

te

de espacio f j , que es un valor negativo de la j-ésima columna en la matriz m de

ue

z

uno con un grado de libertad de desplazamiento específico.

Ar

rigidez K sb . El número total de registros de desplazamiento es J, asociado cada

Va

sq

Para el caso especial de una estructura de base rígida, se somete a un grupo de nudos en la base a los tres componentes siguientes de desplazamientos, velocidades y aceleraciones.

an

ej

(22.4c)

Al

(22.4b)

po

r:

La relación exacta entre desplazamientos, velocidades y aceleraciones se presenta en el Apéndice J.

ad

o

Ahora es posible el siguiente cambio de variables:

pr

 s u  r + I xyz u  b , u s u r + I xyz u b , y= = u s u r + I xxyz u yz u b =

(22.5)

om

La matriz I xxyz yz = [ I x I y I z ] y tiene tres columnas. La primera columna tiene valores unitarios asociados con los desplazamientos x, la segunda columna tiene valores unitarios asociados con los desplazamientos y, y la tercera columna tiene valores unitarios asociados con los desplazamientos z. Por tanto, los nuevos desplazamientos u r son relativos a los desplazamientos especificados absolutos de la base. Ahora se puede volver a escribir la Ecuación (22.2) en términos de los desplazamientos relativos y los desplazamientos especificados de la base:

C

(22.4a)

dr

o

x (t )  u x ( t ) u x (t ) u         b = u u b = u y (t ) , u b = u y (t ) , y u  y (t ) u z (t ) u z (t ) u z (t )

 r + C ss u r + K ss u r = M ss u  b − [ C ss I xyz + C sb ]u b − [ K ss I xyz + K sb ]u b − M ss I xyz u

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(22.6)

Las fuerzas [ K ss I xyz + K sb ]u b asociadas con el desplazamiento de cuerpo rígido de la estructura son cero. Ya que la matriz del amortiguamiento físico es casi imposible de definir, las fuerzas de amortiguamiento del lado derecho de la ecuación son normalmente despreciadas. Por lo tanto, las ecuaciones tridimensionales de equilibrio dinámico en términos de desplazamientos relativos, normalmente se escriben en la siguiente forma aproximada:  r + C ssu r + K ss u r = −M ss I xyz u  b M ss u

(22.7)

ag

a

x (t ) − M ss I y u  y (t ) − M ss  = −M ss I x u ss I z u z (t )

Ar

te

Note que la distribución espacial dee la carga en las formulaciones relativas es proporcional a las masas direccionales.

ad

o

po

r:

Al

ej

an

dr

o

Va

sq

ue

z

Se debe notar que en la formulación del desplazamiento absoluto, la matriz de adyacentes a rigidez K sb tiene solamente los términos asociados con las uniones adyace los nodos de la base donde se aplican los desplazamientos. Por lo tanto, sobre la estructura son cargas puntuales que solamente las cargas f j que actúan sobre actúan sobre un número limitado de uniones. Este tipo de distribución espacial espac de las cargas puntuales excita los modos de alta frecuencia del sistema a medida que los desplazamientos sean propagados ende, el propagados dentro de la estructura. Por ende comportamiento físico del modelo del análisis es muy diferente si se aplican desplazamientos en lugar de usar como carga la masa m multiplicada por la aceleración. Por lo tanto, el usuario del programa de computadora debe comprender el hecho de que ambos enfoques son aproximados para el amortiguamiento no-nulo.

C

om

pr

Si se especifica la matriz de amortiguamiento completa y si se incluyen los amortigu términos del amortiguamiento en los lados derecho de las Ecuaciones (22.2 y 22.6), una solución exacta de ambas formulaciones absoluta y relativa producirá soluciones idénticas.

22.3

USO DE DESPLAZAMIENTOS PSEUDO-ESTÁTICOS Una formulación alternativa, limitada a los problemas lineales, es posible para cargas por desplazamientos impuestos en soportes múltiples que implica el uso de desplazamientos pseudo-estáticos que se definen como: −1 u= −K ss K sbu b = Tu b p

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(22.8)

Ahora se introduce el siguiente cambio de variable: (22.9a)

u s =u + u p =u + Tu b ,

(22.9b)

= u s u + Tu b y = u  s u  + Tu  b

(22.9c)

La sustitución de las Ecuaciones (9) en la Ecuación (2) produce el siguiente juego de ecuaciones de equilibrio:

ag

a

 b  + C ss u + K ss u = −K sb u b − C sb u b − M ssTu M ss u

(22.10)

te

− C ssTu b − K ssT Tu ub

ue

z

Ar

Por lo tanto se puede escribir la Ecuación (22.10) en la siguiente forma simplificada:

sq

 + C ss u + K ss u = −M ssTu  b − [ C sb + C ssT ]u b M ss u

(22.11)

po

r:

Al

ej

an

dr

o

Va

La Ecuación (22.11) es exacta si se incluyen los términos del amortiguamiento en el lado derecho de la ecuación. Sin embargo, estos términos de amortiguamiento normalmente no se definen y son despreciados. Por tanto, se obtienen resultados diferentes a partir de esta formulación en comparación con la formulación de desplazamientos absolutos. No se pueden extender los desplazamientos pseudopseudo lineales;; por lo tanto, no se puede considerar un método lineales estáticos a problemas no-lineales; general que puede ser usado para todos los sistemas estructurales..

ad

o

SOLUCIÓN DE EE ECUACIONES CUA DE EQUILIBRIO DINÁMICO

om

pr

La formulación de desplazamiento absoluto, la Ecuación (22.3), y la formulación relativa, Ecuación (22.7) pueden escribirse en la siguiente forma genérica:

C

22.4

(t ) + Cu (t ) + K u(t ) = Mu

J

f j g j (t ) ∑ j

(22.12)

=1

Se pueden usar muchos métodos diferentes para solucionar las ecuaciones de equilibrio dinámico formuladas en términos de desplazamientos absolutos o relativos. Se puede usar la integración directa numérica incremental para solucionar estas ecuaciones. Sin embargo, debido a problemas de estabilidad, muchas veces se introducen amortiguamientos grandes en los modos superiores, y solamente se obtiene una solución aproximada que es una función de la

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magnitud del paso de tiempo usado. La solución del dominio de frecuencia que usa el método FFT, Fast-Fourier-Transform (Transformada Rápida de Fourier), también produce una solución aproximada. Por lo tanto, los errores identificados en este documento existen para todos los métodos del análisis de respuesta dinámica. Para producir una solución exacta se puede usar exclusivamente el método de superposición modal para cargas tanto de aceleración lineal como de desplazamientos cúbicos. Este enfoque se presenta en el Capítulo 13.

ag

a

EJEMPLO NUMÉRICO

te

22.5.1 Ejemplo de Estructura

Carga Primer Piso

Momento Primer Piso

om

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

an

dr

o

Propiedades: Espesor= 24 in Ancho= 240 in I= 27,648,000 in4 E= 4,000 ksi W= 20 kips/piso ps/piso Mx= 20/g = 0.05176 kipkip -seg seg2/in kip-seg 2 Myy= 517.6 kip-seg kip -in Masa total= 400/g Altura típica de piso H=15 ft = 180 in

Va

sq

ue

z

Ar

Los problemas asociados con el uso del desplazamiento absoluto como acciones básicas de unn problema de análisis dinámico pueden pueden ser ilustrados a través del ejemplo numérico que se presenta en la Figura 22.2.

C

22.5

A.

20 pisos muro de cortante Con piso de masa

B. Cargas basadas en aceleración Formulación Relativa

C. Cargas de desplazamiento Formulación absoluta

Figura 22.2 Comparación de Análisis Sísmico de Desplazamiento Relativo y Absoluto

Obviando las deformaciones axiales y de cortante, el modelo de la estructura tiene cuarenta grados de libertad por desplazamiento, una traslación y una rotación en cada nodo. Se han incluido las masas rotacionales en los nodos; por lo tanto, existen cuarenta modos de vibración. Note que las cargas asociadas con la especificación de los desplazamientos absolutos de la base son fuerzas

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concentradas en los nudos adyacentes a la base de la estructura. Los períodos exactos de vibración para estas estructuras simples en voladizo se resumen en la Tabla 22.1 además de los factores de participación de la masa, y carga estática y dinámica. El Capítulo 13 presenta los valores del factor de participación de masa, los factores de participación-estática, y los factores participación-dinámica.

Período (Segundos)

Suma Acumulativa de Factores de Participación de Masa X-Dirección (Porcentaje)

1

1.242178

62.645

0.007

2

0.199956

81.823

z

0.000

0.093

0.000

3

0.072474

88.312

0.315

0.000

4

0.037783

91.565

0.725

0.002

5

0.023480

93.484

1.350

0.007

6

0.016227

94.730

2.200

0.023

7

0.012045

95.592

an

3.267

0.060

8

0.009414

96.215

4.529

0.130

9

0.007652

96.679

5.952

0.251

10

0.006414

97.032

7.492

0.437

11

0.005513

97.304

9.099

0.699

12

0.004838

97.515

10.718

1.042

13

ad

Tabla 22.1 Períodos y Factores de Participación de los Autovectores Exactos

0.004324

97.678

12.290

1.459

0.003925

97.804

13.753

1.930

0.003615

97.898

15.046

2.421

0.003374

97.966

16.114

2.886

17

0.003189

98.011

16.913

3.276

18

0.003052

98.038

17.429

3.551

19

0.002958

98.050

17.683

3.695

20

0.002902

98.053

17.752

3.736

21

0.002066

99.988

99.181

98.387

16

o

pr om

15

C

14

a

ag

te

Dinámica

sq

ue

Ar

Estática

Va o

dr

ej Al r:

po

Número de Modo

Suma Acumulativa de Factores de Participación de Carga por Desplazamiento de la Base (Porcentaje) centaje)

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30

0.001538

99.999

99.922

99.832

40

0.001493

100.000

100.000

100.000

Ar

te

ag

a

Es importante notar que se requieren solamente cuatro modos para captar más del 90 por ciento de la masa en la dirección x. Sin embargo, para cargas por desplazamiento, se requieren 21 autovectores para captar la respuesta estática de la estructura y la energía cinética bajo el movimiento de masa rígida. Note que el aproxima período del modo número 21 es de 0.002066 segundos, o aproximadamente 50 ciclos por segundo. Sin embargo, esta respuesta de alta frecuencia es imprescindible para que el desplazamiento absoluto de base sea propagado de manera precisa a la estructura.

ue

z

22.5.2 Carga Sísmica

an

dr

o

Va

sq

La Figura 22.3 presenta las as acciones en la base de aceleración, velocidad y desplazamiento asociadass con un sismo idealizado de campo cercano. Los movimientos han sido ido seleccionados por simples y realistas de manera que se pueda solucionar este problema fácilmente utilizando diferentes programas de análisis dinámico. 0.50 g 0.50 g

r:

Al

ej

u((tt ) g

Time

C

om

pr

ad

o

po

ACCELERATION ACELERACIÓN

1.00 g

6 @ 0.1 Sec.

u (t ) g VELOCIDAD VELOCITY

19.32 in./sec

u (t ) g 3.22 inches DESPLAZAMIENTO DISPLACEMENT

Figura 22.3 Movimientos Sísimicos Idealizados del Campo Cercano.

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22.5.3 Efecto del Tamaño del Paso de Tiempo para Cero Amortiguamiento

ag

a

Para ilustrar las diferencias significativas entre la carga por aceleración y la carga por desplazamiento, se va a solucionar este problema utilizando un total de los cuarenta autovectores, amortiguamiento nulo, y tres pasos de tiempo de integración diferentes. La Tabla 22.2 resume el desplazamiento absoluto del extremo superior, las cortantes basales, y los momentos del segundo nivel. Además, se resume la máxima energía aportada y la máxima energía cinética en el modelo.

Ar

te

Tabla 22.2 Comparación de Cargas por Aceleración y C Cargas ar por Desplazamiento (40 Autovalores – Relación de Amortiguamiento am i en t o 0.0) Cargas por Desplazamiento L Lineal

∆t = 0.005

∆t = 0.001

5.306 @ 0.610

5.306 @0.610

5.306 @0.610

V2

-94.35 @0.310

-94.35 @0.310

-94.58 94.58 @0.308

M2

-149,500 @0.610

149,500 -149,500 @0.610

ENERGÍA (Cedida al Modelo)

339.9 @0.410

K-ENERGÍA (Dentro del Modelo)

339.9 @0.410

ue

∆t = 0.01

po

z

Cargas por Aceleración Lineal

∆t = 0.01

∆t = 0.001

5.306 @0.610

5.307 @0.610

5.307 @0.610

-90.83 @0.660

-74.74 @0.310

94.91 @0.308

-149,500 -149,500 @0.610

-152,000 @0.610

-148,100 @0.605

-149,500 @0.610

339.9 @0.405

340.0 @0.401

1,212,000 @0.310

1,183,000 @0.305

1,180,000 @0.301

339.9 @0.405

339.9 @0.402

166.2 @0.410

164.1 @0.405

163.9 @0.402

om

pr

ad

o

o

dr

an

r:

(K - In.)

ej

(Kips)

Al

u 20 (Pulgadas)

Va

sq

∆t = 0.005

C

Para una carga por aceleración lineal, todos los resultados son exactos sin importar la magnitud del paso de tiempo, porque el algoritmo de integración está basado en la solución exacta para una función lineal. La diferencia menor en resultados es porque algunos valores máximos ocurren dentro de los resultados del paso de tiempo mayor. Sin embargo, el uso del mismo algoritmo de integración lineal para las cargas por desplazamiento produce errores ya que los desplazamientos son una función cúbica dentro de cada incremento de tiempo (Apéndice J). Por lo tanto, mientras más grande sea el paso de tiempo, más grande será el error.

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ag

a

Para cargas por desplazamiento lineal, el desplazamiento máximo en el extremo superior de la estructura y el momento t en el segundo nivel parecen insensibles respecto a la magnitud del paso de tiempo. Sin embargo, las fuerzas cerca del extremo superior de la estructura y el cortante del segundo nivel pueden tener errores significativos debido a la magnitud de los pasos de tiempo de integración. Para un paso de tiempo de 0.01 segundos, el máximo cortante de –90.83 kips y ocurre a los 0.660 segundos, mientras que el valor exacto para el mismo paso de tiempo es de –94.35 kips y ocurre a los 0.310 segundos. La Figura 22.4 presenta tiempo de ambas fuerzas por cortante. una gráfica de historia–tiempo

Ar

te

140

Linear Acceleration Loads, or Cubic Displacement - Zero Damping - 40 Modes - Cargas de aceleración lineal, ó cargas de desplazamiento cúbico –Loads Cero amortiguamiento – 40 modos.

100

- Cargas de desplazamiento lineal –-Cero amortiguamiento 40 modos. Linear Displacement Loads Zero Damping -–40 Modes

ue

z

120

Va

sq

80

dr

o

40

an

20

Al

ej

0

r:

-20

po

-40

ad pr

-80

o

-60

om

-100 0.00

C

SHEAR - Kips

60

0.20

0.40

0.60

0.80 1.00 1.20 TIME - Seconds

1.40

1.60

1.80

2.00

Figura 22.4 Cortante de Segundo Nivel vs. Tiempo Con ∆t = 0.01 - Segundos y Amortiguamiento Nulo Los errores generados por el empleo de pasos de tiempo grandes no son significativos en este ejemplo porque la carga constituye una función sencilla que no contiene frecuencias altas. Sin embargo, el autor ha tenido experiencia con otras estructuras, utilizando cargas reales de desplazamiento por sismo, donde los errores son de más de un 100 por ciento utilizando un paso de tiempo de 0.01

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segundos. Los errores asociados con el uso de pasos de tiempo grandes en un análisis de superposición de modos pueden ser eliminados para estructuras elásticas lineales utilizando el nuevo algoritmo de integración exacto que se presenta en el Capítulo 13.

Va

sq

ue

z

Ar

te

ag

a

Un examen de la energía absorbida y la energía cinética indica claramente que existen diferencias matemáticas mayores entre las cargas por aceleración (formulación de desplazamiento relativo) y las cargas por desplazamiento (formulación de desplazamiento absoluto). En la formulación de desplazamiento relativo, se le proporciona al modelo matemático una cantidad relativamente in, mientras que las cargas puntuales asociadas pequeña de energía, unas 340 k–in, con la formulación absoluta aplicadas cerca de la base de la estructura le in de energía. También, la máxima imparten al modelo más de 1,000,000 k-in energía cinética (proporcional a la suma de masa multiplicada por la velocidad al in para la formulación relativa, en cuadrado) en el modelo es de 340 k-in in para la formulación absoluta. comparación con 164 kip-in

om

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

an

dr

o

Los resultados indican claramente que se introducen errores si se usan pasos de tiempo grandes con la aproximación del desplazamiento lineal dentro de cada paso de tiempo. La distribución de la carga espacial es significativamente diferente entre las formulaciones iones relativa y de desplazamiento absoluto. absoluto Para cargas por aceleración lineal, se pueden usar pasos de tiempo grandes. Sin embargo, se requieren de pasos de tiempo muy pequeños, de 0.001 segundos, para cargas por desplazamiento absoluto, para pa lograr resultados precisos. Sin embargo, si se usa la superposición modal, la nueva aproximación de carga por desplazamiento cúbico produce resultados que son idénticos a los que se obtienen utilizando cargas por aceleración lineal para amortiguamiento nulo.

C

22.5.4 Análisis An ál i s Sísmico con Amortiguamiento Finito Es muy importante comprender que los resultados producidos por un modelo computarizado pueden ser significativamente diferentes del comportamiento de una estructura física real. El comportamiento de una estructura real satisfará las leyes básicas de la física, mientras que el modelo computarizado satisfará las leyes de la matemática después de que se hayan hecho ciertas suposiciones. La introducción del amortiguamiento clásico viscoso lineal ilustra este problema. La Tabla 22.3 resume los resultados selectivos de un análisis de la estructura que se presenta en la Figura 22.2 tanto para amortiguamiento nulo como del cinco por

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ciento para todas las frecuencias. El incremento de tiempo que se utiliza para este estudio es de 0.005 segundos; por lo tanto, se producen resultados exactos (dentro de tres cifras significativas) para cargas por aceleración lineal y cargas por desplazamiento cúbico.

Ar

te

ag

a

Los resultados indican claramente que el amortiguamiento de 5 por ciento produce resultados diferentes para la carga por aceleración y la carga por desplazamiento. Los desplazamientos máximos y los momentos máximos cerca de la base se aproximan bastante. Sin embargo, el cortante en el segundo nivel y icativamente diferentes. Los cortantes el momento en el décimo nivel son significativamente en el segundo nivel vs. el tiempo de carga por desplazamiento están graficados en la Figura 22.5 para amortiguamiento de un 5 por ciento.

Cargas por Desplazamiento Cúbico

ξ = 0.00

ξ = 0.05

4.939 @ 0.580 4.217 @ 1.205 -4.217

5.307 @ 0.610 -5.304 @ 1.230

4.913 @ 0.600 -4.198 @ 1.230

V2

88.31 @ 0.130 -94.35 @ 0.310

84.30 @ 0.130 -95.78 @ 0.310 -95.78

88.28 @ 0.135 -94.53 @ 0.310

135.1 @ 0.150 -117.1 @ 0.340

M2

148,900 @1.230 -149,500 149,500 @ 0.605

116,100 @1.200 -136,300 @ 0.610

148,900 @1.230 -149,500 @ 0.605

115,300 @1.230 -136,700 @ 0.605

M 10

81,720 @ 0.290 63,470 @ 0.495 -63,470

77,530 @ 0.300 -64,790 @ 0.485

81,720 @ 0.290 -63,470 @ 0.495

80,480 @ 0.320 -59,840 @ 0.495

po

r:

an

Al

(Kips)

ej

(Inch)

o

5.306 @ 0.610 -5.305 @ 1.230

dr

u 20

ξ = 0.05

Va

ξ = 0.00

sq

Cargas por Aceleración LIneal

ue

z

Tabla 22.3. Comparación de Cargas por Aceleración ón y C Cargas a por Desplazamiento al o r es , P Paso de Tiempo de 0.005 para Diferentes Amortiguamientos (40 Autovalores, segundos)

ad

o

(K-in.)

C

om

pr

(K-in.)

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- Cargas de aceleración lineal – 5 % amortiguamiento – 40 modos

sq

ue

z

Ar

te

ag

a

- Cargas de desplazamiento Cúbico –5 % amortiguamiento – 40 modos.

Va

Figura 22.5 Cortante en el Segundo Nivel Vs. Tiempo Debido a Cargas por Desplazamiento Cúbico. (40 Autovalores) – ∆t ∆t = 0.005 Segundos)

po

r:

Al

ej

an

dr

o

Los resultados que se presentan en la Figura 22.5 son físicamente imposibles para una estructura real porque la adición de un amortiguamiento de 5 por ciento a una estructura sin amortiguamiento no debe aumentar el cortante máximo desde 88.28 8.28 kips hasta 135.10 kips. El motivo de esta violación de las leyes fundamentales de la física es la suposición inválida de una matriz ortogonal de amortiguamiento que se requiere para producir el amortiguamiento clásico.

C

om

pr

ad

o

El amortiguamiento clásico siempre tiene un una componente de amortiguamiento proporcional a la masa, tal como se ilustra físicamente en la Figura 22.6, lo que hace que las fuerzas externas dependientes de la velocidad actúen sobre la estructura. Para la formulación de desplazamiento relativo, las fuerzas son proporcionales a las velocidades relativas mientras que para el caso de la aplicación de un desplazamiento de base, la fuerza externa es proporcional a la velocidad absoluta. Por lo tanto, para una estructura rígida, se pueden desarrollar fuerzas grandes de amortiguamiento externo debido a desplazamientos de masa rígida en la base de la estructura. Esta es la razón por la cual las fuerzas de cortante aumentan a medida que se aumente el amortiguamiento, tal como se indica en la Figura 22.6. Para el caso de una estructura muy flexible (o de base aislada), la formulación de desplazamiento relativo producirá grandes errores en las fuerzas de cortante porque las fuerzas externas en un nivel serán llevadas

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directas por el amortiguador en ese nivel. formulaciones es físicamente correcta.

Por lo tanto, ninguna de las

us

ur m ux

C ss I x u x = 0

ux

FORMULACIÓN DE DESPLAZAMIENTO AB ABSOLUTO

o

FORMULACIÓN DE DESPLAZAMIENTO RELATIVO

Va

sq

us = ux + ur

ue

z

Ar

te

ag

a

C ss I x u x ≠ 0

ej

an

dr

Figura 22.6 Ejemplo para Ilustrar r a r el el Componente C Proporcional de Masa en el Amortiguamiento Clásico.

om

pr

ad

o

po

r:

Al

Estas suposiciones inconsistentes de amortiguamient amortiguamiento son inherentes a todos los no que usan el amortiguamiento métodos de análisis dinámico lineal y no-lineal clásico o el amortiguamiento proporcional de masa. Para la mayoría de las aplicaciones, este error inducido por el amortiguamiento puede ser pequeño; ssin embargo, el ingeniero/analista tiene la responsabilidad de evaluar la magnitud de estos errores utilizando modelos lineales simples y para cada carga sísmica y cada estructura diferentes.

C

2 2.5 5 El Efecto de Truncamiento de Modo 22.5.5

La diferencia más importante entre el uso de formulaciones de desplazamiento relativo y absoluto es que las frecuencias superiores son excitadas por las cargas por desplazamiento de la base. La solución de la misma estructura utilizando un número diferente de modos puede identificar este error. Si se usa el amortiguamiento cero, se pueden evaluar las ecuaciones de movimientos con exactitud para las formulaciones de desplazamiento tanto relativos como

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absolutos, y los errores asociados solamente con el truncado de modo pueden ser aislados.

La tabla 22.4 resume los desplazamientos y fuerzas de elementos selectivos para ambas formulaciones. Tabla 22.4 Resultados de truncado de Modo –Integración Exacta para Pasos de 0.005 Segundos Cero –Amortiguamiento. Número de Modos

Cargas por Desplazamiento Cúbico

V2

M2

M 10

u20

V2

4

5.306

83.10

-149,400

81,320

5.307

10

5.306

-94.58

-149,500

81,760

5.307

21

5.306

-94.73

-149,500

81,720

5.307

30

5.306

-94.42

149,500

81,720

35

5.306

94,35

149,500

81,720

40

5.306

-94.35

-149,500

81,720

-51,580 51,580

--1,441,000 1,441,000

346,800

--33,510 33,510

-286,100

642,100

--55,180 55,180

-4,576,000

78,840

5.307

-11,060

-967,200

182,400

5.307

-71,320

-149,500

106,100

5.307

-94.53

-149,500

81,720

sq

ue

Ar

te

M 10

Va

o

dr

an

M2

z

u20

ag

a

Cargas por Aceleración Lineal

C

om

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

Los resultados que se presentan en la Tabla 22.4 indican claramente que se requieren n solamente unos cuantos modos para obtener una solución convergente ón de desplazamiento relativo. Sin embargo, los resultados utilizando la formulación utilizando la formulación de desplazamiento absoluto son casi increíbles. La razón de esto es que se requiere que el modelo de computación y la estructura real propaguen las altas altas frecuencias excitadas por la carga por desplazamiento de estructura El desplazamiento en el extremo superior de la la base hacia la estructura. estructura, que está dominado por el primer modo, es insensible ante los efectos de propagación de ondas de frecuencia alta. Sin embargo, las fuerzas de cortante y momento dentro de la estructura tendrán errores significativos si no están presentes en el análisis todas las frecuencias. La Tabla 22.5 resume los desplazamientos selectivos y las fuerzas selectivas de elemento para ambas formulaciones para un amortiguamiento de un 5 por ciento. Tabla 22.5 Errores de Truncado de Modo – Integración Exacta para Pasos de Tiempo de 0.005 Segundos – 5% de Amortiguamiento

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Número de Modos

Cargas por Aceleración Lineal

Cargas por Desplazamiento Cúbico

V2

M2

M 10

u20

V2

M2

M 10

4

4.934

-82.51

-136,300

77,110

4.913

-5,153

1,439,000

374,600

10

4.939

-96.01

-136,300

-64,810

4.913

-33,500

-290,000

640,900

21

4.939

-96.16

-136,300

-64,790

4.913

-55,170

-4,573,000

77,650

30

“

“

“

“

4.913

-11,050

--966,000 966,000

180,800

35

“

“

“

“

4.913

-342.7 342.7

40

“

“

“

“

4.913

-135.1 135.1 135. 1

a

u20

104,500

-136,800

80,480

Ar

te

ag

--136,800 136,800

C

om

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

an

dr

o

Va

sq

ue

z

Los resultados que se presentan en la Tabla 22.5 indican que el agregar el amortiguamiento modal no cambia de manera significativa el comportamiento fundamental del modelo computarizado. Es evidente que se debe incluir un número elevado de altas frecuencias en el análisis si el modelo computarizado debe predecir con precisión las fuerzas en la estructura real. Sin embargo, es bastante interesante el hecho de que el truncado de modo para este problema produce fuerzas erróneamente grandes que son difíciles de interpretar. Para explicar estos errores, es necesario examinar las formas de m modo individuales. Por ejemplo, el modo número 21 es un desplazamiento lateral en el segundo nivel enc solamente, mientras todo otro desplazamiento de modo se encuentra cerca de cero. Este es un modo muy importante porque una fuerza concentrada asociada b con la carga por desplazamiento de base se aplica al segundo nivel. Por lo tanto, la adición de ese modo al análisis aumenta el momento de flexión en el segundo el a 4,573,000, y reduce el momento en el 10mo nivel a 77,650. Entonces, nivel resultan necesarios modos adicionales para obtener valores correctos de las fuerzas internas en el segundo nivel.

22.6

USO DE VECTORES DEPENDIENTES DE CARGA RITZ En la Tabla 22.6 se resumen los resultados de un análisis utilizando diferentes números de vectores Ritz Dependientes de Carga. Además, se presentan los factores de participación dinámica, estática, y de masa.

Tabla 22.6 Resultados Utilizando Vectores LDR - ∆t = 0.005 Carga por Desplazamiento Cúbico – Amortiguamiento = 5%

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Número de Vectores

u20

V2

M2

M 10

Participación de Carga Dinámica, Estática y de Masa

4 7 10 21 30

4.913 4.913 4.913 4.913 4.913

111.4 132.6 134.5 135.1 135.1

-136,100 -136,700 -136,800 -136,800 -136,800

80,200 80,480 80,490 80.480 80,480

100. 100. 29.5 100. 100. 75.9 100. 100. 98.0 100. 100. 100. 100. 100. 100.

ue

z

Ar

te

ag

a

El uso de vectores LDR virtualmente elimina todo problema ma asociado con el uso de los autovectores ectores exactos. La razón por esta mayor precisión es que cada grupo de vectores LDR contiene la respuesta estática del sistema. Para ilustrar esto, la Tabla 22.7 resume las propiedades fundamentales de un grupo de siete vectores LDR.

sq

Tabla 22.7 Períodos y Factores de Participación para Vectores c t o r es L LDR Suma Acumulativa de Factores de Participación de Carga Carga por Desplazamiento de Base (Porcentaje) Estática Dinámica

Suma Acumulativa de Factores de Participación de Masa X-Dirección (Porcentaje))

1

1.242178

62.645

0.007

0.000

2

0.199956

81.823

0.093

0.000

3

0.072474

88.312

0.315

0.000

4

0.037780

91.568

0.725

0.002

5

0.023067

93.779

1.471

0.009

6

0.012211

96.701

5.001

0.126

7

0.002494

100.000

100.00

75.882

o

dr

an

ej

Al

r: po o

ad

pr

C

om

Va

Número de Vector

Período Aproximado (Segundos

Los primeros seis vectores LDR son casi idénticos a los autovectores exactos que se resumen en la Tabla 22.1. Sin embargo, el séptimo vector, que constituye una combinación lineal del resto de los autovectores, contiene una respuesta de alta frecuencia del sistema. El período asociado con este vector es de más de 400 ciclos por segundo; sin embargo, es el vector más importante en el análisis de una estructura sometida a carga por desplazamiento de base.

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22.7

SOLUCIÓN UTILIZANDO INTEGRACIÓN PASO A PASO

z

Ar

te

ag

a

Se soluciona el mismo problema utilizando la integración directa por la regla trapezoidal, que no tiene amortiguamiento numérico y en teoría conserva energía. Sin embargo, para solucionar la estructura con amortiguamiento cero, se necesitaría un paso de tiempo muy pequeño. Es casi imposible especificar el amortiguamiento modal constante utilizando métodos de integración directa. Un método estándar para agregar la disipación de energía a un método de integración gar amortiguamiento de Rayleigh, donde se pueden especificar directa es agregar solamente relaciones de amortiguamiento en dos frecuencias. Para este ejemplo se puede especificar un amortiguamiento de un 5 por ciento para la frecuencia más baja, a unos 30 ciclos por segundo. La Tabla 22.8 resume los resultados selectivos para la carga por aceleración y la carga por desplazamiento.

sq

ue

Tabla 22.8 Comparación de Resultados Usando Amortiguamiento mortigua Modal Constante y la Regla Trapezoidal y el Amortiguamiento Rayleigh y l ei g h ((∆t= ∆ 0.005 Segundos)

Solución Exacta Utilizando Amortiguamiento Constante, Modal

dr

an

ej

po

86.61 @ 0.125 -95.953 95.953 @ 0.305

M2

115,600 @ 1.185 -136,400 @ 0.605 -136,400

ad

o

V2

C

(k–in.)

om

pr

(Kips)

M 10

Al

4.924 @ 0.580 -4.217 4.217 @ 1.200

ξ= 0.05

(K-in.)

78,700 @ 0.285 -64,500 @ 0.485

Carga por Desplazamiento

Regla Trapezoidal Utilizando Amortiguamiento Rayleigh

Solución Exacta Utilizando Amortiguamiento Constante, Modal

ξ= 0.05

4.939 @ 0.580 -4.217 4.217 @ 1.205

4.912 @ 0.600 -4.182 @ 1.220

4.913 @ 0.600 -4.198 @ 1.230

84.30 @ 0.130 -95.78 @ 0.310

89.3 @ 0.130 -93.9 @ 0.305

135.1 @ 0.150 -117.1 @ 0.340

116,100 @1.200 -136,300 @ 0.610

107.300 @ 1.225 -126,300 @ 0.610

115,300 @1.230 -136,700 @ 0.605

77,530 @ 0.300 -64,790 @ 0.485

81.,30 @ 0.280 61,210@ 0.480

80,480 @ 0.320 -59,840 @ 0.495

r:

u 20

o

Regla Trapezoidal Utilizando Amortiguamiento Rayleigh

(Inch)

Va

Carga por Aceleración

Es evidente que el uso del amortiguamiento Rayleigh para cargas por aceleración produce una aproximación muy buena de la solución exacta utilizando el amortiguamiento modal constante. Sin embargo, para cargas por desplazamiento, el uso de amortiguamiento Rayleigh, donde las frecuencias altas son altamente amortiguadas y algunas frecuencias inferiores son sub-amortiguadas, produce errores mayores. La Figura 22.7 presenta una gráfica de los cortantes en el

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segundo nivel utilizando los diferentes métodos. No está claro si los errores están causados por la aproximación del amortiguamiento Rayleigh o si es por el uso de un paso de tiempo grande. Es evidente que los errores asociados con el amortiguamiento no realista de las altas frecuencias excitadas por la carga por desplazamiento están presentes en todos los métodos de integración paso-a-paso. Esto es una propiedad del modelo matemático, y no está asociada con el método de solución de las ecuaciones de 140

a

120

Step By Step Solution - Rayleigh Damping

Ar

80

z

60

ue

40

sq

20

Va

0 -20

dr

o

-40

an

-60

ej

-80

Al

-100

-140 0.0

po

r:

-120

o

0.5

1.5

2.0

ad

equilibrio.

1.0

TIME - Seconds

om

pr

Figura 22.7 Comparación de Solución Paso a Paso Utilizando la Regla Trapezoidal Trapezo idal y el Amortiguamien Amortiguamiento Rayleigh en Solución Exacta (paso de tiempo de 0.005 segundos y Amortiguamiento del 5%)

C

SHEAR - Kips

te

ag

Exact Cubic Displacement Solution - 5 % Modal Damping

100

El amortiguamiento efectivo en las altas frecuencias, utilizando la carga por desplazamiento y el amortiguamiento Rayleigh, puede ser tan grande que el uso de pasos de tiempo grandes de integración numérica produce casi los mismos resultados que el uso de pasos de tiempo pequeños. Sin embargo, la precisión de los resultados no se puede justificar mediante el uso de este argumento, porque la forma del amortiguamiento Rayleigh que se usa en el modelo computarizado es físicamente imposible dentro de una estructura real. Además, el uso de un

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método de integración numérica que produce disipación numérica de energía en los modos altos puede producir resultados irreales cuando se comparan con una solución exacta que utiliza cargas por desplazamiento. RESUMEN Se han identificado varias fuentes nuevas de errores numéricos asociados con la aplicación directa de cargas por desplazamiento sísmico. Se resumen estos problemas como sigue:

sq

ue

z

Ar

te

ag

a

1. La carga por desplazamiento es fundamentalmente diferente a la carga por aceleración porque se excita un mayor número de modos. Por tanto, se requiere un paso de tiempo muy reducido para definir el registro de desplazamiento y para integrar las ecuaciones ones de equilibrio dinámico. Un paso de tiempo grande, tal como el de 0.01 segundo, puede causar errores impredecibles significativos.

an

dr

o

Va

2. El amortiguamiento efectivo asociado con cargas por desplazamiento es mayor que el amortiguamiento por carga por aceleración. El uso de amortiguamiento proporcional de masa, inherente en el amortiguamiento clásico modal y de Rayleigh, no puede ser justificado físicamente.

r:

Al

ej

3. Pequeños errores de desplazamientos máximos no garantizan pequeños errores en las fuerzas que actúan sob sobre los elementos.

pr

ad

o

po

4. La regla de participación de 90 por ciento de masa, que se utiliza para estimar los errores de carga por aceleración, no se aplica a la carga por desplazamiento. desplazamie nto. Se requiere de un número mayor de modos para predecir con fuerzas de elementos para la carga por desplazamiento absoluto. precisión las fuer

om

5. Para la carga por desplazamiento, el truncado de modo en el método de superposición modal puede causar errores de magnitud en las fuerzas internas de elementos.

C

22.8

Se pueden usar los siguientes métodos numéricos para minimizar esos errores: 1. Un nuevo algoritmo de integración basado en desplazamientos cúbicos dentro de cada paso de tiempo permite el uso de pasos de tiempo más grandes. 2. Para obtener resultados precisos, los factores de participación de carga estática deben acercarse al 100 por ciento.

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3. El uso de vectores LDR reducen de manera significativa el número de vectores que se requiere para producir resultados precisos para la carga por desplazamiento.

te

ag

a

4. El ejemplo del problema indica que los errores pueden ser significativos si se aplica la carga por desplazamiento en la base a las mismas reglas que se usan para la carga por aceleración. Sin embargo, se deben realizar estudios adicionales en diferentes tipos de estructuras, tales como pilas de puentes. También, se requiere más investigación para eliminar, o para justificar, las diferencias en resultados producidos por formulaciones de desplazamiento relativo y absoluto para amortiguamiento modal no-nulo.

C

om

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

an

dr

o

Va

sq

ue

z

Ar

Por último, el uso más actualizado del amortiguamiento amiento modal clásico y del amortiguamiento Rayleigh consideran amortiguamiento proporcional a la masa que es físicamente imposible. Por lo tanto, se requiere desarrollar un nuevo modelo matemático de disipación de energía si se van a usar programas os de computadora para simular con precisión el comportamiento modernos dinámico fiel de estructuras reales sometidas a cargas por desplazamiento.

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23. INTERACCIÓN FLUIDO-ESTRUCTURA

Va

INTRODUCCIÓN

om

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

an

dr

o

Los análisis estático y dinámico por elementos finitos de sistemas sistemas, tales como resas, que contienen elementos sólidos y fluidos a la vez, pueden puede ser muy presas, complejos.. La creación de un modelo de elementos finitos de un sistema sólido-fluido que simule con precisión el comportamiento del si sistema físico real, requiere del empleo de muchas aproximaciones por parte del ingeniero/analista. Por lo tanto, el propósito de este capítulo es presentar un enfoque lógico para la selección del modelo de elementos finitos, y sugerir estudios de los paráme parámetros para minimizar los errores generados por las diversas aproximaciones. La Figura 23.1 muestra un típico sistema estructural fluido fluido-sólido-fundación, así como las diferentes aproximaciones que son precisas a fin de crear un modelo de elementos finitos realista tanto para cargas estáticas como para las dinámicas.

C

23.1

sq

ue

z

Ar

te

ag

a

Un Líquido Confina do puede ser consider a do como un Ca so Especia l de un Sólido. Esto, puesto que un F luido posee un Módulo de Cor ta nte Ba jo en Compa r a ción a su Compresibilida d.

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¿Olas Superficiales?

¿Frontera Aguas Arriba Quieta or Fija?

Compuerta ¿Amortiguamiento?

Embalse

¿Absorción de Energía?

¿Construcción Incremental?

Presa

¿Presión de Poro de Agua y Empuje de Boyamiento?

Fundación

¿Ubicación de Fronteras?

te

ag

a

¿Condiciones Emisión de Frontera

Ar

¿Desplazamientos Sísmicos?

Va

sq

ue

z

Figura 23.1. Hipótesis requeridas para la Creación ción de de uun Modelo de Elementos Finitos Para Sistemas Fluidos-Sólidos luido dos-S

C

om

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

an

dr

o

Este ejemplo implica, en muchos casos, el empleo em de fundaciones estratificadas y ortotrópicas. La presa es construida por etapas, usualmente durante un per período de varios meses, siendo las propiedades de los materiales, temperatura y la fluencia funciones del tiempo. Por lo tanto, la determinación de la distribución del esfuerzo por carga muerta a través de la presa, puede ser relativamente complicada. Para presas de gravedad los esfuerzos por carga muerta obtenidos de un análisis incremental podrían no ser significativamente diferentes de los dos obtenidos de un análisis considerando la aplicación instantánea de las resultados cargas muertas a la presa entera. Sin embargo, en el caso de presas de arco la aplicación instantánea de la carga muerta en la totalidad de la presa puede causar esfuerzos verticales erróneos cerca de los estribos en la parte superior de la presa. El SAP2000 posee una opción para construcciones por etapa o incremental, la cual puede ser activada por el usuario a fin de modelar precisamente la secuencia de construcción. Además, el SAP2000 tiene la habilidad de modelar la mayoría de las condiciones mostradas en la Figura 23.1. Asimismo, los elementos de pórtico, elementos sólidos y elementos fluidos pueden ser empleados en el mismo modelo; por tanto, es posible capturar la compleja interacción entre la fundación, la presa, el embalse y las estructuras anexas, tales como compuertas, puentes y torres de alimentación.

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INTERACCIÓN FLUIDO-ESTRUCTURA

o

po

r:

Al

ej

an

dr

o

Va

sq

ue

z

Ar

te

ag

a

Ha sido una práctica común el suponer que los líquidos son incompresibles para muchos problemas de interacción fluido-estructura. Como resultado de la hipótesis de fluido incompresible y estructura rígida, numerosos problemas dinámicos de interacción fluido-estructura se han resuelto de manera aproximada reemplazando el fluido por una masa adicional. Además, la hipótesis de incompresibilidad permitía la solución de forma cerrada de muchos problemas, de geometría simple, mediante el empleo de métodos matemáticos clásicos. Por sign otra parte, la suposición de incompresibilidad puede causar errores significativos en el caso de cargas con una alta frecuencia, a la vez que ya no es necesario debido al desarrollo de elementos finitos fluidos alternos que pueden ser empleados para modelar de forma precisa formas geométricas complejas. En el capítulo 6, un elemento tridimensional sólido de 8 nodos, con modos de desplazamientos incompatibles, permite el modelamiento preciso de sistema de fluidos confinados, mediante el uso de la compresibilidad exacta del agua y con un módulo de cortante muy bajo. La Tabla 23.1 resume las propiedades del agua y de otros dos materiales con un bajo módulo de cortante. En un análisis de elementos finitos basado en los desplazamientos no es posible emplear un utili módulo de cortante cero. Sin embargo, un valor muy pequeño puede ser utilizado sin la introducción de errores significativos.

ad

Tabla 23.1. 3..1. Propiedades 3 Pr o p Mecánicas Aproximadas del Agua

G/λ

ν

λ

w

Coeficiente de Poisson

G Módulo de Cortante ksi

Módulo Volumétrico ksi

Peso Específico 3 lb/ft

0.000 0.0001 0.0010 0.0100

0 0.090 0.900 9.000

0.50000 0.49995 0.49950 0.49500

0.00 0.03 0.30 3.00

300 300 300 300

62.4 62.4 62.4 62.4

om

pr

Relación

E Módulo de Young ksi

C

23.2

Con el fin de ilustrar la capacidad del elemento sólido de modelar el comportamiento de un fluido, considere el sistema de embalse, sujeto solamente a carga muerta estática, como se muestra en la Figura 23.2.

Comprado por: Alejandro Vasquez Arteaga [email protected]

Modelo de Elementos Finitos de Fluido Frontera Rígida y Sin Cortante de Fluido

a

100 ft

Ar

te

ag

Z X 100 ft

Va

sq

ue

z

100 ft

o

Figura 23.2. Análisis de Carga r ga Hidrostática H idr dr del Modelo de Embalse

om

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

an

dr

Obsérvese que se ha colocado un elemento muy fino en la base del embalse con el fin de que las presiones hidrostáticas puedan ser calculadas de manera precisa. Para este simple ejemplo la presión hidrostática exacta cerca de la base de la presa es 43.33 psi y la fuerza hidrostática horizontal total actuando en la frontera vertical derecha es 312 kips por pie de ancho. La fuerza de reacción horizontal total y el esfuerzo aproximado obtenidos del modelo de elementos finitos, empleando tres propiedades de los materiales diferentes, se resumen en la Tabla 23.2.

C

Tabla T ab l a 23.2. 2 Análisis de Carga Hidrostática empleando Elementos Finitos

λ

G Módulo de Cortante ksi

Módulo Volumétrico ksi

Fuerza Actuando en la Frontera Derecha kips

σ xx

σ yy

σ zz

0.0 (exact)

300

312.0

43.33

43.33

43.33

0.00

0.03

300

310.2

43.47

43.68

43.48

0.0002

0.3

300

309.6

43.41

43.40

43.48

.002

3.0

300

307.3

42.82

42.72

43.49

.025

Esfuerzos en el Fluido en la Base de la Presa - psi

τ xz

Los esfuerzos aproximados obtenidos empleando elementos de fluido con un modulo de cortante pequeño son muy cercanos a la presión hidrostática exacta. Comprado por: Alejandro Vasquez Arteaga [email protected]

La fuerza horizontal total actuando sobre la frontera derecha es más sensible al empleo de un módulo de cortante finito pequeño. Sin embargo, el error es menos del uno por ciento si el modulo de cortante se toma menor o igual al 0.1 por ciento del módulo de compresibilidad. De esta manera, este es el valor del módulo de cortante recomendado para análisis de interacción embalse/presa.

dr

o

Va

MODELO DE ELEMENTOS FINITOS INITOS DE LA INTERFAZ PRESAFUNDACIÓN

om

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

an

En la intersección de la cara aguas arriba (o aguas abajo) de la presa con la fundación, se presenta una concentración de esfuerzos. Una solución con una malla fina, para cualquier caso de carga, probablemente arrojaría grandes valores del esfuerzo. Un ulterior refinamiento de la malla generaría esfuerzos aún mayores. Sin embargo, debido al comportamiento inelást inelástico del material de la fundación y del concreto, estos altos esfuerzos no pueden existir en la estructura real. Por ende, es necesario seleccionar un modelo de elementos finitos que anticipe el comportamiento general de la estructura sin presentar una alta concentración de esfuerzos esfuerzos, la cual no puede existir en una estructura real.

C

23.3

sq

ue

z

Ar

te

ag

a

En el caso del análisis dinámico de un sistema con elementos finitos de fluido, el añadir la masa del fluido al total no genera ninguna aproximación adicional. Debido a que la viscosidad del fluido es por lo general obviada en el análisis dinámico, el empleo de un módulo de cortante bajo pudiera producir resultados más realistas. Previo a la carga dinámica, la carga hidrostática deberá ser aplicada titud y las condiciones de frontera del modelo con el fin de verificar la exactitud fluido-estructura de elementos finitos.

Una de las dificultades al crear un modelo de elementos finitos realista estriba en el hecho de que no entendemos plenamente la mecánica del comportamiento real del sistema presa-fundación-embalse, cuando éste es sometido a desplazamientos sísmicos. Por ejemplo, si la tracción causa separación, ¿puede aún ser el cortante transferido? Además, ¿varía el empuje de boyamiento durante la aplicación de la carga? A causa de estos y otros factores desconocidos, debemos emplear el sentido práctico y utilizar diferentes modelos de elementos finitos con aproximaciones diferentes.

El autor posee más de 40 años de experiencia en los análisis dinámico y estático por elementos finitos de presas y otros tipos de estructuras. Basado en su

Comprado por: Alejandro Vasquez Arteaga [email protected]

experiencia, la Figura 23.3 muestra un modelo típico de elementos finitos in la interfaz entre la presa y la fundación.

UPSTREAM FACE DAM CARA AGUAS ARRIBA DE LA OF PRESA

NODES THE DOS TWO NODOS EN ELAT MISMO SAME LOCATION PUNTO

Va

sq

ue

z

Ar

te

ag

a

FOUNDATION FUNDACIÓN

o

Figura 23.3. Modelo de Elementos tos Finitos F init de la Interfaz Presa-Cimentación

po

r:

Al

ej

an

dr

Un método simple para crear un modelo de elementos finitos consiste en emplear elementos sólidos ólidos de 8 nodos para ambos, la presa y la cimentación. A fin de obtener la mayor precisión es preferible usar mallas cuadriculares regulares siempre que sea posible.

C

om

pr

ad

o

Obsérvesee que siempre es necesario empelar dos nodos en todas las interfaces entre dos materiales de propiedades diferentes. Esto debido a que los esfuerzos paralelos a la interfaz entre diferentes materiales no son iguales. Por lo tanto, dos nodos en la interfaz son requeridos para que el SAP2000 pueda graficar contornos precisos del esfuerzo. Los nodos deben estar ubicados en el mismo punto en el espacio. Sin embargo, después de que las dos mallas de la presa y la fundación son creadas los dos nodos en la interfaz están obligados a tener igualdad en los desplazamientos.

Otra ventaja de colocar dos nodos en la interfaz es que puede ser necesario colocar un elemento “gap” en dichos puntos con el fin de permitir separación en un subsecuente análisis dinámico no lineal. Empero, se recomienda de manera pertinaz que se lleve a cabo un análisis lineal de carga estática previo a cualquier análisis no lineal. Esto permitirá al ingeniero probar la validez del modelo de elementos finitos antes de realizar un análisis dinámico lineal o no lineal. El modelo de elementos finitos presentado en la Figura 23.3 muestra una fina capa de elementos sólidos (de 10 cm de grosor, aproximadamente) en la base de la presa ya que es aquí donde existirá el mayor esfuerzo. Asimismo, con el fin de Comprado por: Alejandro Vasquez Arteaga [email protected]

permitir desplazamientos del cimiento coherentes se recomienda colocar una capa vertical de elementos más pequeños se coloque en la base como se muestra. Por lo general, las solicitaciones hidrostáticas son aplicadas a la parte superior del cimiento y en la cara aguas arriba de la presa. Cuando se aplica este tipo de carga, grandes esfuerzos horizontales se presentan en la fundación y esfuerzos verticales en la cara aguas arriba de la presa. En otras palabras, la superficie hidrostática tiende a desprender la presa del cimiento.

o

Va

CARGAS DEBIDAS AL EMPUJE ED DE E BOYAMIENTO BO Y PRESIÓN DE PORO DEL AGUA

om

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

an

dr

En el análisis de presas de gravedad es posible aproximar el empuje de boyamiento por una simple presión actuando en la base de la presa. Sijn bargo, si la presa y el cimiento son modelados por elementos finitos, una embargo, simple aproximación no puede ser empleada. El enfoque teóricamente correcto consiste en evaluar primeramente la presión de poro en todos los puntos de la presa y de la fundación, como se muestra en la Figura 23.4a. El programa SAP2000 tiene la opción para ejecutar dichos cálculos.

C

23.4

sq

ue

z

Ar

te

ag

a

En la sección siguiente, se sugiere un enfoque más ás realista para la aplicación de la carga hidrostática que deberá reducir estos esfuerzos irreales y producir una solución más precisa. El enfoque correcto es utilizar la presión de poro del agua, enfoque físicamente realista.

Presa Porosa 40 50 60 70

10 20

80

Fundación Porosa

30 60

50

40

Figura 23.4a. Presión Hidrostática en la Presa, Embalse y Fundación

Comprado por: Alejandro Vasquez Arteaga [email protected]

Las cargas asociadas con la presión de poro del agua p ( x, y, z ) solamente existen si hay gradientes de presión

dp dp dp . Por lo tanto, en tres , ó dx dy dz

dimensiones las fuerzas diferenciales son transferidas del agua al material sólido, y vienen dadas por:

dp dV dx dp df= − dV y dy dp df= − dV z dz

(23.1)

ue

z

Ar

te

ag

a

− df= x

sq

Aquí, df i es la fuerza interna en la dirección ""i" "i" actuando sobre el volumen

Va

dV . Las cargas debidas a la presión de poro del agua pueden ser tratadas como

po

r:

Al

ej

an

dr

o

estánd de elementos finitos, y son fuerzas internas dentro de la formulación estándar convertidas de manera consistente en cargas puntuales como se muestra en el Capítulo 7.. La dirección aproximada de estas fuerzas dentro de la presa se muestran en la Figura 23.4b. El programa SAP2000 es capaz de calcular las cargas de poro del agua automáticamente y estas fuerzas pueden ser calculadas para análisis estático como dinámico.

C

om

pr

ad

o

Con el fin de ilustrar que la resistencia de materiales clásica arroja la misma carga que la producida por el método de elementos finitos formal, considere el modelo dado en la Figura 23.4b. Para este caso, la presa tiene porosidad nula y el material de la cimentación es muy poroso. Si estas cargas de poro del agua son ele aplicadas al modelo de elementos finitos de la presa la primera capa de elementos en la base recibirá las cargas hidrostática y de empuje de boyamiento debido al gran gradiente de presiones en el seno de estos elementos.

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0 10 psi 20 psi 30 psi 40 psi

Zero Porosity Presa No Porosa

50 psi 0

60 psi

10 psi

70 psi

50 psi

30 psi 40 psi

Ar

60 psi

te

80 psi Porous Foundation Fundación Porosa

ag

a

20 psi

ue

z

Figura 23.4b. Ejemplo del Empuje de Boyamiento ien to A Ap Aplicado p a una Presa Impermeablee

MODELO DE PRESA

DAM MODEL

RESERVOIR EMBALSE

C

om

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

an

dr

o

Va

sq

Si la fundación es también impermeable, teóricamente no habrá empuje. Sin embargo, la experiencia indica que se presenta filtración en la base a lo largo de la interfaz presa-fundación lo cual generará empuje de boyamiento sobre la presa y empujes hacia abajo sobre la fundación. El enfoque correcto a la solución de este problema consiste en emplear elementos no lineales “gap” como se muestra en la Figura 23.5.

Elementos E le No-Lineales “ Gap” Nonlinear Gap Elements

Hydrostatic Fuerzas Hidrostáticas Forces

MODELO DE FUNDACIÓN FOUNDATION MODEL

Figure 23.5. Modelo de Empuje para el Sistema Presa-Fundación Los elementos no lineales tipo “gap” no soportan fuerzas de tracción. Bajo carga muerta los elementos se hallarán en compresión. Sin embargo, luego de la aplicación de las cargas hidrostáticas, algunos de estos elementos no lineales podrían tener fuerza cero (el SAP2000 automáticamente iterará en cada paso para

Comprado por: Alejandro Vasquez Arteaga [email protected]

determinar la fuerza correcta en los elementos). La capacidad a cortante del elemento puede ser muy alta o ser especificada como una función de la fuerza normal. La teoría y método de análisis presentada en esta sección está basada en los principios fundamentales de la física y pueden ser aplicados a ambos análisis de presas, estático y dinámico.

ag

a

CÁLCULO DE LAS PRESIONES DE PORO DEL A AGUA GU A EMPLEANDO EL SAP 2000

te

23.5

o

Va

sq

ue

z

Ar

Para el caso de transferencia de calor en equilibrio o flujo a trav través de un medio poroso, es posible sible utilizar el elemento SOLID sin modificar, para resolver la función de potencial y flujos en el sistema. Debido a que el elemento es de un material ortotrópico es posible modificar sus propiedades y, empleando la analogía resumida en la Tabla 23.3, resolver resolver este tipo de problemas:

Al

ej

an

dr

Tabla 23.3. Analogía Estructural para a la la S Solución ol de Problemas de Potencial en el SAP2000

ANALOGÍA DEL ANÁLISIS ESTRUCTURAL

u = u = 0 y u = P , donde P es la función de potencial. x y z

ad

o

Hacemos

po

r:

I

Los gradientes potenciales son:

C

om

pr

P, x = u

P, y = u P, z = u

z, x

Análogo al esfuerzo de cortante en el plano x-z.

z, y

Análogo al esfuerzo de cortante en el plano y-z.

z, z

Análogo al esfuerzo de cortante en la dirección z.

La ecuaciones de flujo potencial en función de propiedades del flujo son

Q = k P, x x x

II

Q = k P, y y Q = k P, z y y z z

ENTRADA DE DATOS PROGRAMA DE COMPUTADORA Por lo tanto, las siguientes propiedades de los materiales deben ser empleadas parta resolver problemas tridimensionales de flujo en equilibrio:

G

xz

=k

x

G

yz

=k

E =k y y z z

Todas las demás propiedades de los materiales son nulas. El potencial en el nodo se especifica como el desplazamiento Comprado por: Alejandro Vasquez Arteaga [email protected]

u . Un flujo z

concentrado en un nodo hacia el sistema se considera como una fuerza nodal positive en la dirección z. Puntos en la frontera, que tienen flujos externos nulos, poseen un solo desplazamiento

SALIDA DE DATOS PROGRAMA DE COMPUTADORA

u

Iguala el flujo en la dirección x dentro del elemento.

yz

Iguala el flujo en la dirección y dentro del elemento.

z

Iguala el flujo en la dirección z dentro del elemento. elemento

σ

a

xz

ag

τ

Iguala el potencial en los nodos.

te

τ

z

Ar

III

u desconocido. z

an

dr

o

SELECCIÓN DEL VALOR D DE E LA L A RIGIDEZ DEL ELEMENTO “ GAP”

om

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

El propósito de los elementos no lineales “gap” es el de forgar for a transferir fuerzas de compresión entre las superficies del modelo computacional solamente y no permitir el desarrollo de fuerzas de tracción cuando las superficies no estén en contacto. Esto puede lograrse conectando nodos een dos superficies, localizados en el mismo punto en el espacio, con un elemento “gap” perpendicular a la grande superficie. La rigidez axial del elemento deberá ser lo suficientemente gr como para transferir las fuerzas de compresión con un mínimo de deformación en el mismo, en comparación con la rigidez de los nodos de la superficie. Sin embargo, si la rigidez del elemento “gap” es demasiado grande, se pueden presentar problemas numé numéricos en la fase de solución.

C

23.6

Va

sq

ue

z

Las reacciones en z son flujos nodales en puntos con potencial especificado.

Las computadoras personales modernas realizan los cálculos empelando 15 cifras significativas. Si un elemento “gap” es 1000 veces más rígido que un nodo adjunto entonces aproximadamente 12 cifras significativas son retenidas para obtener una solución precisa. Por lo tanto, es necesario estimar la rigidez normal en los nodos de la interfaz. La rigidez aproximada de los nodos de la superficie pueden ser calculada de la siguiente ecuación:

k=

As E tn

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(23.2)

Aquí As es el area aproximada asociada al elemento “gap”, E es el modulo de elasticidad de la presa y t n es la dimensión del elemento finito normal a la superficie. Así, la rigidez del elemento “gap” viene dada por

k g = 1000

As E tn

(23.3)

ue

z

Ar

ECUACIONES FUNDAMENTALES DE LA AD DINÁMICA IN Á DE FLUIDOS

an

dr

o

Va

sq

A partir de Segunda Ley de Newton las ecuaciones del equilibrio din dinámico, en términos del desplazamiento u y la presión del fluido p, para un elemento infinitesimal de fluido son

Al

ρ

es la densidad. densidad El cambio de volumen

(23.4)

ε

del elemento de fluido

r:

Donde

ej

p, x = ρ ux , p, y = ρ uy and p, z = ρ uz

o

po

infinitesimal en término de los desplazamientos está dado por la siguiente ecuación esfuerzoesfuerzo -desplazamiento desplazamiento esfuerzo-desplazamiento:

ad

=ε +ε +ε = u x

y

z

x, x

+ u y, y + u z,z

(23.5)

om

pr

ε

definición la relación presión-volumen para un fluido es Por definición,

C

23.7

te

ag

a

El aumentar o disminuir este valor por un factor de 10 no deberá afectar los resultados de manera significativa.

p = λε

(23.6)

Donde λ es el módulo volumétrico. Al sustituir la presión en las ecuaciones (23.4 y 23.6) obtenemos las siguientes ecuaciones parciales:

ρ ux − λ (u x , xx + u y , yx + u z , zx ) = 0 ρ uy − λ (u x , xy + u y , yy + u z , zy ) = 0

(23.7)

ρ uz − λ (u z , xz + u y , yz + u z , zz ) = 0 Considere el caso unidimensional ρ ux − λu x , xx = 0 . Para la propagación de ondas en estado de equilibrio debido a presión armónica, la solución para el caso unidimensional es Comprado por: Alejandro Vasquez Arteaga [email protected]

u x ( x, t ) = u o Sin(ω t −

ω V

x) t = −∞ to + ∞

ux ( x, t= ) −u oω 2 Sin(ω t − u x , xx ( x, t= ) −u o

V

2

V

x)

Sin(ω t −

ω V

(23.8)

x)

a

p = u x , xx ( x, t ) λ

ω

2

ω

ag

ón diferencial arroja la constante Sustitución de la solución en la ecuación

te

ropaga la onda de presión dentro V = λ / ρ y que es la velocidad a la cual se propaga

ue

z

Ar

del fluido. Por lo tanto, la velocidad de propagación de onda es V=4.719 ft/s para el agua. Además, la longitud de onda viene dada dada por L = V / f , donde f es el

o

Va

sq

número de ciclos por segundoo de la carga de presión. Para varias frecuencias distintas, los valores máximos de desplazamientos y presiones están resumidos en la Tabla 23.4 para una aceleración unitaria.

Frecuencia de la Carga

Ciclos/Sec

Rad./Sec.

pulgadas

12.57

28,260

2.4455

163.2

31.42

11,304

0.3914

62.3

10

62.83

5,652

0.0938

32.6

20

125.7

2,826

0.0245

16.3

30

188.5

1,884

0.0108

10.9

Al

ej

Frecuencia de la Carga

ω = 2πf

C

om

po o

ad

5

r:

f

2

Longitud de Onda

L =V / f

Desplazamiento Máximo

u0 = 1.0

pr

an

dr

Tabla 23.4. Propagación de Onda nda U Unidimensional ni en el Agua

u 0 = 386.4 / ω 2 pulgadas

Presión Máxima

p=

λ ug ωV

psi

Obsérvese que tanto las presiones como los desplazamientos máximos se reducen a medida que la frecuencia aumenta para un fluido compresible.

23.8

RELACIÓN ENTRE PRESIÓN Y VELOCIDAD Una de las ecuaciones fundamentales de la dinámica de los fluidos es la relación entre la presión y la velocidad del fluido en cualquier punto en el espacio. Con el fin de ilustrar esta relación considere el elemento de fluido mostrado en la Figura 23.6. Durante un pequeño incremento de tiempo ∆t la onda unidimensional viajará una distancia V ∆t y la deformación correspondiente del elemento será u ∆t . Por lo tanto, la presión puede ser expresada en términos de la velocidad.

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Onda de Propagación Unidimensional

u

u + u ∆t

∆x = V ∆t

u ∆t u ε =−  =−  ∆x V λ u V

Ar

te

p=−

ag

p = λε

Presión

a

Cambio de Volumen

sq

ue

z

Figura 23.6. Relación Unidimensional Entree llaa P Presión res y la Velocidad

Va

Para el caso tridimensional tenemos

( x, y, z ) −Vρ (u x + u y + u z ) p=

dr

o

(23.9)

o

po

EQUILIBRIO OE EN NL LA INTERFAZ DE DOS MATERIALES

om

pr

ad

La Figura (23.7) resume las propiedades fundam fundamentales que están asociadas con la interfaz entre dos materiales diferentes. El módulo volumétrico y la densidad del material son λ y ρ , respectivamente.

C

23.9

r:

Al

ej

an

Nótese que la dirección de la onda de propagaci propagación en un fluido está definida por un vector velocidad con componentes u x , u y y u z .

Material 1

λ 1 , ρ1

V1 = λ 1 / ρ 1 u b ( x, t )

Material 2

λ 2 , ρ2

V2 = λ 2 / ρ 2

u c ( x, t )

u a ( x, t ) F igura 23.7. Propagación de la Onda en la Interfaz de los Materiales

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Compatibilidad en la velocidad de las partículas en ambos lados de la interfaz requiere que

dua dub duc + = dt dt dt

(23.10)

Reescribiendo la Ecuación (23.9) encontramos que las tres velocidades pueden ser expresadas en términos de las presiones. Es decir,

du c V = − 2 pc dt λ2

(23.11)

te

ag

a

du b V1 = pb and dt λ1

sq

(23.12)

Va

pb = α p a and = p c (1 + α ) p a

ue

z

Equilibrio de la presión en la interfaz implica que

Ar

du a V = − 1 pa , dt λ1

an

dr

o

Aquí α se refiere a la fracción de la presión de la onda incidente que se refleja de vuelta de la interfaz.

λ1

V2

Al

= (1 + α )

r:

V1

po

(1 − α )

ej

La Ecuación (10) se puede reescribir como (23.13)

λ2

C

om

pr

ad

o

Así, α se puede expresar en término de las propiedades de los dos materiales como

α=

R −1 R +1

donde la relacion del material es R =

λ2 ρ 2 λ1 ρ1

(23.14)

Por lo tanto, el valor de α varía entre 1 y -1. Si α = 1 , la frontera es rígida y no absorbe energía y la onda es reflejada 100 por ciento de vuelta al embalse. Si los materiales son iguales, α = 0 y la energía es disipada por complete y no hay reflección. Si α= −1 , la frontera es muy suave en comparación con el módulo volumétrico del agua y no absorbe energía, por lo que la onda es reflejada 100 por ciento al embalse con la fase invertida. Si el valor de α es desconocido, entonces las propiedades del material 2 pueden venir dadas en función de las propiedades del material 1 y el valor conocido de α . Es decir,

Comprado por: Alejandro Vasquez Arteaga [email protected]

λ2 ρ 2 =

1+α λ1 ρ1 1−α

(23.15)

23.10 CONDICIONES DE FRONTERA DE IRRADIACIÓN De la Figura 23.6, la presión, como una función del tiempo y el espacio, puede ser escrita para la propagación de onda unidimensional como (23.16)

ag

a

p ( x, t ) = λε = −Vρ u x ( x, t )

Ar

te

Por lo tanto, la presión estáá relacionada a la velocidad absoluta por una constante de amortiguamiento viscoso igual a Vρ por unidad de área. De esta manera,

an

dr

o

Va

sq

ue

z

tambores viscosos lineales pueden ser colocados en los nodos aguas arriba del embalse que permitirían a la onda pasar y a la energía de deformación en el agua ser “irradiada” lejos de la presa. Sin embargo, cerca de la superficie del embalse esto es solamente aproximado puesto que puede existir velocidad vertical que puede alterar la presión horizontal.

Al

ej

23.11 MODOS DE OLEAJE ED DE EL LA SUPERFICIE

C

om

pr

ad

o

po

r:

En la superficie de un fluido, movimientos vertical verticales relativamente grandes son posibles como muestra la Figura 8. El movimiento de oleaje puro no implica cambio en el volumen en el fluido. El comportamiento físico de estos modos implica el incremento y disminución de la energía potencial del fluido en la perficie. Además, la energía cinética debido a tantota velocidad horizontal superficie. como la vertical del fluido existe.

z

dΩ = u z dA ρ g

uz ρ g 2 = u z dA 2 2

h w

x

Figura 23.8. Comportamiento del Oleaje de la Superficie

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El primer modo de frecuencia exacto para un tanque rectangular viene dada por [23.1]

ω2 =

πg w

tanh(π h / w)

(23.17)

Para w = h primera frecuencia de oleaje es ω 2 = 3.13

g . h

Va

sq

ue

z

Ar

te

ag

a

sión hidrostática asociados con el modo de En general, los cambios en la presión oleaje son muy pequeños y por lo general son obviados en los problemas de estructura resueltos mediante el método de elementos finitos. interacción fluido-estructura Dentro de los modelos de elementos finitos, empero, el oleaje puede ser incluido fácilmente mediante la incorporación de elementos de resorte verticales a los nodos sobre la superficie del fluido. De la ecuación de energía potencial strada en la Figura 23.8, el valor de la rigidez del resorte nodal deberá ser ρ g mostrada

po

r:

Al

ej

an

dr

o

veces el área de superficie tributaria. El empleo de estos resortes superficiales superficia tenderá a reducir el número de modos de período largo dentro del modelo de elementos finitos. A fin de que estos resortes superficiales no tengan que ser activados durante la aplicación de la gravedad, se puede aplicar un incremento en la temperatura para producir un desplazamiento vertical cero en la superficie.

ad

o

23.12 PROPAGACIÓN A CIÓN VERTICAL V DE LAS ONDAS

C

om

pr

Debido a la existencia de la superficie libre del embalse, el agua puede moverse verticalmente gracias a los desplazamientos horizontales de la frontera. Estas ondas verticales se acoplan con los desplazamientos horizontales, ya que la presión hidrostática es la misma en todas direcciones. Si no hay movimiento horizontal, ondas verticales resonantes pueden incluso existir con un desplazamiento dado por la siguiente ecuación:

u z ( z , t ) = U n Sin (

2n − 1 π z ) Sin(ωn t ) para n = 1, 2,3 .. 2h

(23.18)

Nótese que la función de forma vertical satisface las condiciones de frontera de cero desplazamiento en el fondo y de cero presión en la superficie del embalse. Al sustituir la Ecuación 18n en la ecuación de onda vertical, ρ uz = λ u z , zz , se generan las siguientes frecuencias de vibración verticales:

ωn =

2n − 1 π zV 2h

O,

fn =

2n − 1 V 4 h

Comprado por: Alejandro Vasquez Arteaga [email protected]

(23.19)

Ar

te

ag

a

Por lo tanto, para una profundidad del embalse de 100 pies la primera frecuencia es de 11.8 cps y la segunda frecuencia es 34.4 cps. Para una profundidad de embalse de 200 pies, las primeras dos frecuencias son 5.9 y 17.2 cps. Asimismo, estas ondas verticales no tienen amortiguamiento irradiado (si el fondo del embalse es rígido) como es el caso de ondas horizontales propagándose desde la cara aguas arriba de la presa. La excitación de estos modos verticales por movimientos sísmicos horizontales es muy significativa para muchos sistemas de presa-embalse. Sin embargo, limo en el fondo del embalse puede causar rgía y reducir las presiones producidas por estos modos de absorción de energía vibración verticales.

ue

z

23.13 EL DOCUMENTO WESTERGAARD

an

dr

o

Va

sq

Aproximadamente setenta años atrás Westergaard publicó el clásico estudio “Water Pressure on Dams during Earthquakes” [23.2]. Este estudio explicaba de forma clara el comportamiento físico del problema de interacción presa presa-embalse. El objetivo de su labor era evaluar la presión sobre la Presa Hoover debido a desplazamientos sísmicos en su base.

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

La labor de Westergaard estaba basada en la solución de un sistema simple bidimensional de embalse/presa, mostrado en la Figura 23.9, sujeto a un movimiento sísmico horizontal u x (t ) = u x 0 Sin(ω t ) en la base de la presa.

ug sin( ω t ) ω2

C

om

u x (t , z ) dam= −

h

u x (t , z ) water ≈ 0 at x = ∞

b(z) z x

u x (t ) foundation= −

x

u z (t ) = 0

ug sin( ω t= ) at x 0 to ∞ ω2

Figura 23.9. Presa Rígida y Modelo de Embalse Dado que se asumió movimiento armónico simple, el desplazamiento está relacionado con la aceleración mediante la ecuación siguiente: Comprado por: Alejandro Vasquez Arteaga [email protected]

ux (t= ) −ω 2u x0 Sin(ω t )

u Or, u x0= − x0 ω2

(23.20)

ue

z

Ar

te

ag

a

Westergaard resolvió las ecuaciones de ondas compresibles bidimensionales (Ecuación 7) por separación de variables. Para un embalse rectangular la solución es una infinita serie de funciones del tiempo y el espacio. Luego concluyó (basado en un período de 1.35 segundos durante el gran terremoto de Japón de ís puede ser 1923) que el período de los movimientos (desplazamientos) sísmicos asumido como más de un segundo. Por lo tanto, asumió un período del sismo de 1.333 segundos, la compresibilidad exacta del agua y aproximó la presión hidrostática con una distribución parabólica. Basado en estas hipótesis, Westergaard presentó una ecuaciónn aproximada conservadora para la distribución de la presión sobre una presa rígida:

es la densidad del agua, o ρ = w / g . El término b(z ) puede ser

dr

Donde ρ

(23.21)

o

Va

sq

7 p ( z ) = h(h − z ) ρ ug =b( z ) ρ ug 8

Al

ej

an

o físicamente como la cantidad de agua equivalente que produciría interpretado para una aceleración horizontal ug de una presa rígida. El término masa

po

r:

adicional nunca fue empleado o definido por Westergaard.

C

om

pr

ad

o

Theodor von Karman, en un una discusión complementaria del documento, empleó el término masa aparente. Basado en un modelo de agua incompresible y una distribución elíptica de la presión propuso la siguiente ecuación para la presión sobre la interfaz vertical em embalse-presa como

p( z ) = 0.707 h(h − z ) ρ ug = b( z ) ρ ug

(23.22)

Se puede notar que la diferencia entre ambas ecuaciones supuestas no es significativamente grande. Por lo tanto, la suposición de 1.333 segundos como período del sismo por parte de Westergaard produce casi los mismos resultados que la solución dada por von Karman. Desafortunadamente, el término ha sido acuñado masa adicional por otros y ha sido mal empleada en muchas aplicaciones con estructuras flexibles empleando la formulación de desplazamiento relativo para carga sísmica. Todo la labor de Westergaard estaba basada en la aplicación del desplazamiento absoluto del sismo en la base de la presa. Para superficies aguas arriba de la presa no verticales, algunos ingenieros esta presión no vertical, generada por los movimientos sísmicos horizontales, como una masa adicional en la dirección Comprado por: Alejandro Vasquez Arteaga [email protected]

vertical. El empleo de esta masa vertical en el análisis debido a la carga sísmica vertical no tiene asidero teórico alguno.

ag

a

De acuerdo con Westergaard, debido a las altas presiones en la base del embalse, el agua tiende a escapar a la superficie del mismo. Además, encontramos en muchos embalses que las frecuencias verticales naturales están cerca de las frecuencias horizontales de la presa y que las frecuencias contenidas en las historias de aceleración sísmicas.

te

23.14 ANÁLISIS DINÁMICO DE EMBLASES RECTANGULARES A NGUL

ej

an

dr

o

Va

sq

ue

z

Ar

Un embalse de 100 pies de profundidad y longitud infinita es aproximado mediante una malla de elementos finitos de 100 por 300 pies, como se muestra en la Figura 23.10. La malla deformada para un desplazamiento armó armónico de estad reequilibrio de 2cps y asociado a una aceleración de un g es aplicado a la frontera derecha. Los elementos fluidos tienen un módulo volumétrico de 300,000 psi y un módulo de cortante de 30 psi. La frontera aguas arriba del embalse está fijo orizontalmente o es modelado mediante tambores transmisores de presión con horizontalmente una constante de viscosidad de c = ρV = 5.296 # sec/ in 3 por unidad de área de

C

om

pr

ad

o

po

r:

Al

frontera. La solución de “frontera irradiada” fue generada por un análisis no nolineal transiente empleando empleando el método de Análisis No-lineal No Rápido presentado en el Capítulo 18.

Figura 23.10. Malla Deformada Para Carga de Frontera de 2 cps 1g Tenga en cuenta que, para 2cps de baja frecuencia de carga, el desplazamiento vertical en la parte superior del depósito es 4,89 pulgadas, significativamente mayor que el aplicado desplazamiento 2,25 en horizontal de la misma cuestión. Esto se debe al hecho de que el agua cerca del borde derecho tiene tiempo para escapar a la superficie.

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z

Ar

te

ag

a

Asumiendo un amortiguamiento modal del 5 por ciento y condiciones de frontera irradiada, las presiones hidrostáticas asociadas con la carga de 2 cps se muestran en la Figura 23.11.

sq

ue

Figura 23.11. Distribución de Presión Por 10 para ar a uuna na Carga C en Frontera de 2 cps 1g

Al

ej

an

dr

o

Va

La presión máxima de elementos finitos de 36.3 psi es comparable con la solución 37-9 ón por masa adicional de 3737 -99 psi de la Ec. (23.21). Debido a que el modelo de elementos finitos incluye masa concentrada en la superficie, la condición de presión nula no se satisface de igual igu manera. Una malla más refinada cerca de la superficie reduciría este error.

C

om

pr

ad

o

po

r:

La distribución de presión asociada con la carga de 30 cps 1g a la derecha de la 23. frontera se muestra en la Figura 23.12, e ilustra la propagación de onda asociada con la carga de frecuencia de 30 cps. Un cuarto de la longitud de onda es aparentemente 120 pies. El cuarto de la longitud de onda unidimensional asociada a 30 cps, en agua, 33.25 pies. La diferencia se debe a la superficie libre del embalse que permite el movimiento vertical del agua. Por otra parte, la ve longitud de onda asociada con la solución incompresible es infinita.

Figura 23.12. Distribución de Presión Por 10 para Carga en Frontera de 30 cps 1g

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ag

a

La Tabla 23.4 sintetiza la máxima presión obtenida empleando diferentes condiciones de frontera en la cara aguas arriba del embalse y diferentes valores del amortiguamiento modal. Debido a que la carga consiste en movimiento armónico simple muchas frecuencias diferentes del embalse tienden a ser excitadas por todas las cargas. La primera frecuencia vertical es 11.9 cps y la segundad frecuencia vertical es 34.4 cps. Estas frecuencias resonantes parcialmente amortiguadas no se excitaran al mismo grado por una carga sísmica típica, la cual contiene un gran número de diferentes frecuencias.

Ar

te

Tabla 23.4. Presión Hidrostática vs Frecuencia de Carga en Embalse Emb mba l de 300 ft por 100 ft

Porcentaje de

de Carga Amortiguamiento

Solución

Onda

Finitos del Fluido

Compresible de

Unidimensional

psi

Confinada

an

Radiation

Sin

Sin

Upstream

Upstream

Amortiguamiento

Amortiguamiento

Boundary

Boundary

psi

psi

56.6

29.6

35.9

163.2

28.6

28.3

35.9

163.2

40.4

36.3

35.9

163.2

5.0

34.8

33.5

39.1

65.2

5.0

60.7

53.4

66.9

32.6

20

5.0

56.6

58.3

na

16.3

30

5.0

14.9

11.5

na

10.9

2

1.0

2

5.0

C

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5 10

r:

0.1

po

2

Al

ej

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o

Westergaard

Fixed

o

Modal

CPS

Propagación de

Modelo de Elementos Elementos

Va

Frecuencia

sq

Máximas Presiones

ue

z

Presión por Masa Adicional Igual a 37.9 psi si P Para ar a T Todas Frecuencias

Debido a una singularidad en la solución de Westergaard los resultados no son válidos para frecuencias de carga mayores de 10 cps. Empero, de este simple estudio es aparente que para frecuencias de carga bajas, menos de 5 cps, la solución de masa adicional es aceptable. Sin embargo, para altas frecuencias, más de 5 cps, la solución incompresible no es admisible. Para 30 cps, la presión del elemento finito de 11.5 psi, se muestra en la Figura 23.12. En el fondo del embalse la solución por elementos finitos se aproxima a la solución exacta de 10.9 psi obtenida por propagación de la onda para el caso unidimensional confinado. Normalmente, no se esperaría que un incremento en el amortiguamiento para la misma carga causaría un aumento en la presión. Sin embargo, esto es posible tal y como se ilustró en el Capítulo 22.

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23.15 FRONTERAS ABSORBEDORAS DE ENERGÍA DEL EMBALSE Además de la habilidad del elemento finito de fluido de captar realísticamente el comportamiento dinámico de embalses rectangulares, también puede modelar embalses de geometría arbitraria así como modelar capas de limo en el fondo del embalse. La Tabla 23.6 resume los coeficientes de reflección medidos para sedimentos y rocas en el fondo de siete presas de concreto [23.4].

ag

a

Tabla 23.6. Coeficientes de Reflección Medidos para rra aV Varias ar i a Presas

α

Material del Fondo

Folsom

Sedimentos Con Gas as Atrapado, Tal Como El De Materia Orgánica Descompuesta

Pine Flat

Sedimentos Con Gas as Atrapado, Tal Como El De Materia Orgánica Descompuesta

-0.45

Hoover

Sedimentos Con on Gas Gas Atrapado, Tal Como El De Materia Orgánica Desco Descompuesta

-0.05

Glen Canyon

Sedimento Sediment Sedimentos os s

Monticello

Sedimentos Sediment os

Glen Canyon

Roca – Arenisca Jurásica Navajo

0.49

Roca – Roca Metamórfica Precámbrica

0.53

Roca – Biotita, Esquisto Mica Esquisto, Cuarzita Micácea Y Cuarcita

0.55

Arenisca Mezclada Con Pizarra Arenosa Y Conglomerado de Guijarros

0.66

Paredes del Cañón de Roca

0.77

-0.55

o

pr

ad

Monticello

dr

0.15 0.44

C

om

ej

an

po

Morrow Point

Hoover

Al

r:

Crystal

o

Va

sq

ue

z

Ar

te

Nombre Presa

Es aparente que el coeficiente de reflecci reflección es una función del espesor y las propiedades del sedimento en el fondo así como del estrato rocoso subyacente en un punto específico dentro del embalse.

El coeficiente de reflección α es la relación entre las amplitudes de las ondas “reflejada” a la “incidente”. El valor de α varía entre 1 y -1. Si α = 1 , la frontera es rígida y no absorbe energía y la onda es reflejada en un 100 por ciento al embalse. Si α = 0 , la energía es completamente disipada y no hay reflección. Si α= −1 , la frontera es muy suave, comparada con el modulo volumétrico del agua, y no absorbe energía y la onda es reflejada 100 por ciento al embalse pero con la fase invertida. La Figura 23.13 ilustra dos posibles modelos de elementos finitos para simular el comportamiento dinámico de la interfaz entre el embalse y la frontera. Comprado por: Alejandro Vasquez Arteaga [email protected]

Water Surface Superficie del Agua

Fluid Elements Elementos de Fluido

sq

1+ α λw ρ w 1−α

Va

λs ρ s =

an

dr

o

Fixed or Radiation Condiciones de Frontera Boundary Conditions Fijas o Irradiadas

a.a.α Specified Especificado α

te Ar z

ue

Interfaz del Modelo con un mínimo de tres elementos de espesor Model Interface with a minimum of arbitrario con las three elements of arbitrarysiguientes propiedades: thickness with following properties:

ag

a

ρ w λw

Propiedades y Espesor Real Silt Thickness Reales del Limo and Properties Propiedades Reales Real Rock Properties de la Roca

Fixed or Radiation Condiciones de Frontera Boundary Conditions Fijas o Irradiadas

r:

Al

ej

b.. E b Emplee m Propiedades de Roca y Limo b.p lUselas Specified Real Reales Properties of Rock andEspecificadas Silt

po

Figura gu ra 23.13. gu 23 Dos Posibles Modelos de Embalse-Frontera

C

om

pr

ad

o

Muchos programas especiales de computadora para el análisis de presas permiten la especificación de coeficientes de reflección en la interfaz entre la roca subyacente y el embalse. Sin embargo, para la mayoría de las estructuras de presas es preciso incluir la deformación de la roca de base en el modelo básico de elementos finitos de la presa. Por lo tanto, el enfoque preferible es el de modelar de forma precisa al sedimento con elementos finitos. Este método permite la transferencia de energía a la roca subyacente de acuerdo a las leyes básicas de la mecánica. En la Figura 23.13a se muestra en un modelo en el cual las propiedades del limo y de la fundación son calculadas a partir de un valor de α dado. Las propiedades del estrato de limo deben ser calculadas a partir de la Ecuación 23.15. Nótese que los valores del módulo de compresibilidad y de la densidad no son únicos. Una suposición realista es la de seleccionar una densidad igual o mayor que la densidad del agua. Un modelo de elementos finitos más general para la base y los muros del embalse se muestra en la Figura 23.13b. Si una cantidad significativa de la base rocosa es Comprado por: Alejandro Vasquez Arteaga [email protected]

modelada, empleando elementos grandes, puede que no sea necesario emplear las propiedades de irradiación de la frontera como se indicó en el Capítulo 16.

23.16 FORMULACIONES RELATIVA VS ABSOLUTA

sq

ue

z

Ar

te

ag

a

Una vista bidimensional de un sistema típico presa-fundación-embalsecompuerta sujeta a un desplazamiento sísmico absoluto, se muestra en la Figura presa necesita ser tomada en cuenta 13.1. Sin embargo, la interacción fundación-presa para formular el análisis en término del desplazamiento relativo a los desplazamientos libres que se generarían sin la existencia de la presa y del embalse. La Figura 23.6 muestra el tipo de carga que se requiere si se hace uso de la formulación de desplazamiento relativo.

Compuerta Gate

o

Va

Sísmicos Aplicados u xg (t ) Desplazamientos Applied Ground Displacements

Al

uzg (t ) mw

ej

an

dr

Embalse al s e Reservoir

po

r:

uxg (t ) mw

Dam Presa uzg (t ) md uxg (t ) md

ad

o

Fundación Foundation

C

om

pr

Cero FuerzasApplied Aplicadas Aplicada Fundación No Forces to aFoundation Condiciones de Frontera Fijas o Conditions Irradiadas Fixed or Radiation Boundary

Figura 23.14. Formulación de Desplazamiento Relativo del Sistema Presa-Embalse.

Es fácilmente demostrable que, para el caso de desplazamiento relativo, la carga en el embalse, presa y compuerta viene dada por masa por aceleración del suelo. A fin de simular las condiciones de frontera del embalse aguas arriba es necesario aplicar los desplazamientos horizontales negativos del suelo a la cara aguas arriba del embalse así como la carga inercial de los elementos de agua. SI Comprado por: Alejandro Vasquez Arteaga [email protected]

la fundación del sistema es incluida, no se aplica la carga inercial sobre los elementos del cimiento. Sin embargo, la masa de la fundación debe incluirse en la evaluación de las funciones de forma a ser empleadas en el análisis dinámico de superposición de modos del sistema completo.

23.17 EFECTO DEL ESCALÓN DE LA COMPUERTA EN LA PRESIÓN

Singularidad: Singularity:

uz = 0 ux = ?

30’

Al

ej

an

dr

o

Va

sq

ue

z

Ar

te

ag

a

Las compuertas radiales por lo general se colocan con un escalón en la cara aguas arriba de la presa como se muestra en la Figura 23.15. Una pregunta que requiere respuesta es: ¿aumenta o disminuye la presión sobre la compuerta por el escalón?. Igualmente, ¿cómo se puede crear un modelo de elementos finitos del embalse a fin de evitar las condiciones particulares del desplazamiento en la intersección de la cara aguas arriba de la presa y el corredor, aproximadamente horizontal?

C

om

pr

ad

o

po

r:

100’

300’

10’

Figura 23.15. Embalse Con Un Escalón En La Compuerta Radial

La segunda pregunta debe ser abordada de primero a fin de evaluar los efectos del escalón en la distribución de la presión. Debido a los desplazamientos aplicados en la frontera derecha, debe existir un gran desplazamiento vertical en esta intersección; sin embargo, debido a la existencia de la superficie horizontal, el desplazamiento vertical del agua debe ser nulo. Además, el desplazamiento horizontal del agua debe ser igual al desplazamiento aplicado; empero, el movimiento horizontal del agua en el tope del corredor debe permitirse si las presiones correctas se han de desarrollar en la base de la compuerta. Se puede aproximar este comportamiento reduciendo la rigidez de los elementos fluidos cerca de este punto. Un enfoque preferible es el de crear nodos adicionales en el punto de la singularidad y permitir la discontinuidad en los desplazamientos. Un

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malla de elementos finitos, que satisfacen estos requerimientos, se muestra en la Figura 23.16.

ag

a

u x ((izq. left) ) = u x ((derecha right ))

te

u z ((superior upper )= )=

Ar

u z ((inferior lower)=)

u x ((agua water) ) = u x ((presa dam )) DAM PRESA

an

dr

o

Va

sq

ue

z

u z ((agua water) ) = u z ((presa dam ))

Al

ej

Figura 23.16. Malla Sugerida gerida en en la Intersección de las Superficies Aguas Arriba y del Corredor

C

om

pr

ad

o

po

r:

La inserción de interfaces horizontal y vertical, sin cortantes, entre la presa y el embalse y entre diferentes áreas del embalse permite que se satisfagan todas las el condiciones de frontera. Obsérvese que no es necesario añadir elementos adicionales. Sin embargo, los desplazamientos verticales no serán iguales en ambos lados de la interfaz vertical y el desplazamiento horizontal no será el mismo en el tope y en el fondo de la interfaz horizontal. Cerca de la superficie varios de los nodos del fluido vertical estarían restringidos a tener los mismos desplazamientos a fin de que los desplazamientos en la superficie sean continuos.

La malla de elementos fintios empleada para estudiar el problema del escalón se muestra en la Figura 23.17. Las máximas presiones generadas por una carga sobre la frontera de 2cps 1g, con amortiguamiento nulo y sin amortiguamiento por irradiación cero se resumen en la Tabla 23.6 para los casos de con escalón y sin escalón.

Tabla 23.6. Resumen de las Presiones Con y Sin el Escalón en la Compuerta Con Escalón

Sin Escalón

Presión en la Base de la Compuerta

16.5 psi

20.6 psi

Presión en la Base de la Presa

31.9 psi

33.6 psi

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sq

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te

ag

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De este simple ejemplo es aparente que el escalón de la compuerta en la cara aguas arriba de la cara de la presa reduce las presiones actuando sobre la compuerta y en la base de la presa. Debido a que el escalón aumenta la superficie del embalse, el agua por debajo de la base de la compuerta puede escapar a la superficie más fácilmente; por lo tanto, todas las presiones se reducen.

Al

ej

an

dr

Figura 23.17. Malla de Elementos os F Finitos inito para Embalse con Escalón en Compuerta

po

r:

23.18 ANÁLISIS SÍSMICO SM S MICO DE COMPUERTAS RADIALES

C

om

pr

ad

o

Un número significativo de análisis ssísmicos de compuertas radiales ha sido llevado a cabo cabo por medio de un análisis dinámico de dos fases. Primeramente, la presa, sin la compuerta, es analizada para las aceleraciones especificadas. En la mayoría de los casos, el enfoque de masa adicional es empleado para aproximar el comportamiento dinámico de la presa y embalse. La aceleración obtenida de este análisis, en el espacio de la compuerta, es entonces aplicada a un modelo de elementos finitos de la compuerta, solamente. El embalse asociado a la compuerta es aproximada mediante una masa adicional basada en la profundidad total del embalse. El modelo de la compuerta, con la masa adicional del embalse, es entonces sujeto al acelerograma (o el espectro de respuesta correspondiente) calculado del análisis del modelo de la presa.

En muchos casos ambos análisis dinámicos son llevados a cabo empleando programas de computadora diferentes. Esto se debe a que muchos programas especiales para el análisis de presas no poseen elementos de pórtico ni cáscaras tridimensionales, necesarios para modelar de manera precisa las compuertas de acero. Además, este análisis dinámico de dos fases está basado en suponer fluido incompresible y estructura rígida. Comprado por: Alejandro Vasquez Arteaga [email protected]

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sq

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Durante los últimos tres años el autor ha realizado varios análisis sísmicos de diversos sistemas presa-embalse-compuerta empleando un modelo donde el embalse ha sido modelado por elementos fluidos compresibles y la compuerta modelada de manera precisa por elementos de pórtico y cáscaras [3]. Además del aumento de la precisión de este enfoque existe una reducción de las horas/hombre en la preparación de un solo modelo. Además, no hay necesidad de calcular masas adicionales y tampoco es necesario transferir los resultados de un análisis dinámico como en el caso de la data de entrada para un modelo de compuerta separado. Por lo tanto, el análisis dinámico tridimensional es más ado generalmente de dos fases. El tiempo de computadora simple que el empleado requerido para el análisis dinámico del modelo detallado es aproximadamente una hora empleando una computadora personal de bajo costo. Sin embargo, la preparación y verificación de un extenso modelo de elementos finitos todavía requiere de un significativo monto de tiempo del ingeniero. Por lo tanto, hay sísmi interés en emplear un modelo más simplificado para evaluar la seguridad sísmica de compuertas radiales. La siguiente es una lista de suposiciones que podrían ayudar a reducir el monto de horas/hombre requeridas para preparar el modelo de elementos finitos:

C

om

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Al

mos que un modelo de elementos de cáscara de malla fina de la 1. Encontramos erta y vigas de soporte es necesario a fin de capturar la compleja compuerta interacción en la cara de la compuerta con la estructura de pórtico de refuerzo. Este nivel de detalle es necesario a fin de igualar las frecuencias de la compuerta seca y producir esfuerzos realistas en la estructura de la compuerta. Los brazos y elementos diagonales de la compuerta pueden ser modelados mediante elementos de pórticos que obvian esfuerzos de flexión es elementos unidimensionales. secundarios en estos

2. Encontramos que tanto la frecuencia seca como la húmeda de una compuerta típica son altas y no afectan significativamente las cargas dinámicas totales en la compuerta y corredor. Para la compuerta estudiada en la referencia [3], se encontró que si el módulo elástico del acero se doblaba, la máxima reacción sísmica en el soporte aumentaba en menos de un 10 por ciento. Por lo tanto, sería posible emplear una malla de elementos finitos burda para modelar la cara de la compuerta, junto con un modelo tridimensional del embalse y presa, a fin de obtener la máxima presión dinámica actuando sobre la compuerta. 3. Una segunda opción para simplificar el modelado está basada en el hecho de que se encontró que la distribución de la presión dinámica era Comprado por: Alejandro Vasquez Arteaga [email protected]

aproximadamente la misma en el centro y en los extremos de la compuerta, revelando que una malla burda, a lo largo del eje de la compuerta, puede ser empleada para modelar el embalse aguas arriba de la compuerta. Parece ser que resultados excelentes se pueden obtener si menos capas de elementos del embalse so utilizadas a lo largo del eje horizontal de la compuerta.

z

Ar

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a

4. Ecuaciones restrictivas formales pueden ser empleadas para conectar la malla refinada de la compuerta con la malla burda del embalse. Sin embargo, la compuerta de acero es muy rígida comparada ada con la rigidez del agua, por lo que la malla refinada de los elementos de acero serán automáticamente compatibles con la malla burda de los elementos del agua y las ecuaciones restrictivas formales no son requeridas.

pr

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Al

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5. Emplear una malla burda para el embalse y una malla refinada para la análisis parece ser más preciso y compuerta en el modelo para el mismo análisis requiere menos tiempo que el análisis aproximado en dos fases sugerido en el párrafo anterior. Físicamente, esta aproximación es similar a la de concen concentrar la masa del agua en los nodos de la malla burda entre el embalse y la compuerta. Por lo tanto, estos nodos deberán estar colocados en la cara de la compuerta donde los elementos de pórtico sse encuentran. Esta suposición obvia los esfuerzos de flexión en la placa frontal entre dichos elementos. Sin embargo, uno puede calcular de manera aproximada estos esfuerzos de flexión adicionales a partir de simples ecuaciones de vigas. O, se pueden ignorar dichos esfuerzos de flexión debido a que fallas locales en la placa no implican la falla de la compuerta.

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6. Para una presa de gravedad recta el mismo número de capas empleadas para modelar el embalse deberá ser empleado para modelar la presa y el cimiento. Este modelo plano, junto con el modelo tridimensional de cáscaras y elementos de pórtico y de malla refinada de la compuerta, deberá arrojar resultados aceptables. Es importante que la profundidad máxima del embalse por debajo de la compuerta es empleado para el modelo plano. Un modelo tridimensional de la presa y el embalse, incluyendo la forma en V del cañón, producirá bajas presiones sobre la compuerta. Por lo tanto, esta “tajada plana” deberá ser conservadora. Movimientos sísmicos verticales aplicados al modelo producirá presiones hidrostáticas conservadoras, debido a que el agua está restringida de movimiento lateral en esta formulación.

7. Para una presa curva o de arco, un modelo tridimensional de malla burda deberá crearse a fin de capturar de manera precisa la compleja interacción dinámica entre el embalse, la presa y la fundación. El modelo de malla burda Comprado por: Alejandro Vasquez Arteaga [email protected]

puede ser acoplado al modelo de malla refinada de la compuerta. El sistema completo puede ser sujeto a las tres componentes de los desplazamientos sísmicos y el análisis resultante deberá ser real debido a que un mínimo de suposiciones han sido utilizadas.

ej

an

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sq

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Ar

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8. Luego de un estudio cuidadoso del comportamiento dinámico del agua por encima del corredor, entre la cara aguas arriba de la compuerta y la cara aguas arriba de la presa, parece ser que este volumen de agua puede ser eliminado del embalse. Esto se puede lograr desplazando el modelo de malla refinada de la compuerta y corredor aguas arriba de manera tal que la base de la cara de la compuerta se encuentre en la misma ubicación que la cara aguas arriba de la presa. Esta suposición simplificará el modelo y permitirá al agua moverse libremente en la dirección vertical durante la carga dinámica y transferir las fluctuaciones en la presión del embalse directamente a la estructura de la compuerta. Estudios paramétri paramétricos han indicado que esta aproximación produce resultados ligeramente conservadores. Elementos de eslabón rígidos, perpendiculares a la cara aguas arriba de la presa y compuerta radial, deberán ser empleados para conectar el embalse y la estructura.

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r:

Al

rontera horizontal, con dos nodos en el mismo lugar, debe ser ubicada 9. Una frontera contact entre la compuerta y el corredor de desahogo, y en el punto de contacto extenderse hasta la frontera aguas arriba del embalse. Estos nodos deben tener desplazamientos verticales iguales y desplazamientos horizontales independientes. Esto permitirá al fondeo de la compuerta moverse relativamente con respecto al tope del corredor de desahogo. El mismo tipo relativamente de frontera debe existir entre la fundación y el embalse.

23.19 OBSERVACIONES FINALES La suposición clásica de incompresibilidad fue introducida inicialmente para simplificar las matemáticas a fin de obtener soluciones matemáticas cerradas de problemas de dinámica de los fluidos de geometría simple. Por lo demás, la aproximación de masa adicional es válida únicamente para frecuencias menores a 5 cps. Sin embargo, estas aproximaciones no son necesarias en el presente debido al desarrollo de elementos de luido tridimensionales, computadoras potentes económicas y otros métodos numéricos eficientes de análisis dinámico. Además, sistemas presa/embalse/compuerta/cimiento de geometría arbitraria pueden ser incluidos todos en el mismo modelo.

Comprado por: Alejandro Vasquez Arteaga [email protected]

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ag

a

Fuerzas viscosas en el seno del fluido y fuerzas de fricción entre la presacimiento-compuerta y el embalse han sido obviadas. Por lo tanto, la suposición de amortiguamiento de un cinco por ciento parece ser una aproximación razonable hasta que se lleven a cabo nuevas investigaciones. Podría ser útil realizar el análisis dinámico bidimensional del fluido del embalse solo, donde la viscosidad real del agua está incluida con el fin de verificar que se pueda emplear amortiguamiento modal equivalente para aproximar la disipación de la energía viscosa. Investigaciones experimentales y estudios paramétricos adicionales para modelos de elementos finitos de una y dos dimensiones deberán llevarse a cabo a fin de evaluar la sensibilidad de todas las suposiciones sobre amortiguamiento.

sq

ue

z

Ar

La malla deberá ser burda en la base y cerca de la frontera vertical aguas arriba del embalse. La malla más refinada, en ambas direcciones, vertical y horizontal, deberán estar cerca de la cara aguas arriba de la presa o de la compuerta.

Al

ej

an

dr

o

Va

El modelo de elementos finitos y las condiciones de frontera deber deberán ser verificadoss mediante la aplicación de una carga vertical muerta sobre el embalse. La carga hidrostática horizontal total aplicada sobre la cara de la presa y la compuerta puede ser calculada por las ecuaciones de equilibrio estático y deberán tener poca diferencia respecto de la solución por elementos finitos. Además, los esfuerzos (presión) dentro de los elementos del fluido σ x , σ y y σ z deberán ser

ad

o

po

r:

aproximadamente iguales. Finalmente, la presión hidrostática en la base del embalse, obtenida del modelo de elementos finitos, deberá estar bien próxima al peso por unidad de área del fluido sobre el nodo.

C

om

pr

Luego de que el modelo estático haya sido verificado mediante el trazado de los esfuerzos y las deformadas, los autovalores naturales, incluyendo tanto los modos estáticos deberán ser calculados y dibujados. Tanto los estáticos como los dinámicos, dinám factores de participación de la masa como la carga estática total deberá ser examinada. Un cien por ciento de la participación estática es necesaria y más de un noventa por ciento de la participación de la masa en todas las direcciones de la carga sísmica es requerida para asegurar la solución convergente. El tamaño de la malla del embalse aguas arriba deberá ser aproximadamente cuatro veces la máxima profundidad del embalse. Si las deformaciones en el cimiento son significativas, la malla de la fundación deberá extenderse aguas abajo y por debajo de la presa una distancia igual a dos veces el ancho de la base de la presa, aguas arriba o aguas abajo. Cargas inerciales no deben ser aplicadas a los elementos de la fundación; sin embargo, la masa de la fundación deberá ser incluida en los modos de vibración.

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23.20 REFERENCIAS 1. Cook, R., D. Malkus and M. Plesha, “Concepts and Applications of Finite Element Analysis”, Third Edition, John Wiley and Sons, Inc., 1989. 2. Westergaard, H. M. “Water Pressure on Dams During Earthquakes”, Transactions, ASCE, Vol. 9833, Proceedings November 1931.

Ar

te

ag

a

3. Aslam M., Wilson E.L., Button M. and Ahlgren E., "Earthquake Analysis of Radial Gates/Dam Including Fluid-Structure Structure Interaction," Proceedings, Third Japan Workshop on Advanced Research on Earthquake Engineering for U.S.-Japan Dams, San Diego, CA. June 2002.

C

om

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

an

dr

o

Va

sq

ue

z

4. Engineering Guidelines for the Evaluation of Hydropower Projects, Federal Energy Regulatory Commission.

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APÉNDICE A NOTACIÓN VECTORIAL

te Ar

INTRODUCCIÓN

z

ad

o

po

r:

Al

ej

an

dr

o

Va

sq

ue

z

Para definir propiedades de elementos, condiciones de borde, borde y otras informaciones requeridas para especificar los datos de entrada para estructuras estructuras tridimensionales, el usuario de un programa de computadora debe poseer conocimientos funcionales de la notación de vectores. Ya que las fuerzas y los momentos son vectores en espacio tridimensional, el presente apéndice revisa, desde un punto de vista vis físico, la notación vectorial y las operaciones de vectores que se requieren para utilizar de manera inteligente un programa de análisis estructural. Toda fuerza que actúe sobre un espacio tridimensional posee una magnitud y una dirección o línea de acción, tal como se indica en la Figura A.1.

Fz

pr om C

A.1

ag

a

La Nota ción Vector ia l está Ba sa da en La s Leyes F ísica s de la Está tica

Fx

F Fy y

x

F igura A.1 Vector de F uerza Típico El punto de aplicación de la fuerza sobre la estructura está en esta línea de acción. También, se puede expresar una fuerza en términos de sus componentes en los ejes globales x, y y z. En notación vectorial, la fuerza se escribe en términos de sus componentes como:

F = Fx xˆ + Fy yˆ + Fy zˆ

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(A.1)

donde xˆ , yˆ y zˆ son por definición los vectores unitarios a lo largo de los ejes x, y y z, respectivamente. Se debe notar que una ecuación vectorial siempre tiene tres

componentes.

Es evidente que el valor absoluto de la magnitud del vector de fuerza viene dado por: 2 2 2 Fx + Fy + Fz

| F| =

(A.2)

Ahora podemos definir las siguientes relaciones adimensionales:

Fx , | F|

V yf =

Fy , y | F|

(A.3a) (A.3b)

z

Ar

te

ag

a

V xf =

(A.3c)

sq

ue

Fz V zf = | F|

dr

o

Va

En notación de vector, estas relaciones se llaman los cosenos direccionales del vector. Por lo tanto, el vector unitario en la dirección del vector es: (A.4)

ej

an

= fˆ V xf xˆ + Vyf yˆ + Vzf zˆ

ad

o

PRODUCTO VECTORIAL CT C TORIA

om

pr

El producto vectorial o producto cruz de vectores puede definirse utilizando notación matemática abstracta y tradicional. O se pueden aplicar las leyes físicas de la estática para desarrollar y explicar el empleo de la operación del producto vectorial, para definir la geometría de sistemas estructurales tridimensionales. La definición de un vector de momento positivo se define por la regla de la mano derecha, que se ilustra en la Figura A.2.

C

A.2

(A.5)

po

r:

1 = V xf xˆ + Vyf yˆ + Vzf zˆ

Al

De esta manera, los cosenoss directores no son independientes porque:

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a

F igura A.2 Definición de Momento Positivo (rotación) utilizando la Regla de la Mano Derecha

Ar

te

ag

La Figura A.3 presenta dos vectores, un vector de distancia d y un vector de fuerza F . El Punto 2 está en la línea de acción del vector de fuerza F . Fz

ue

F

an

Fx

Al

ej

1

po

r:

x

dy

o

2

Fy

dz

dr

d

Va

sq

M

3

z

z

y

dx

M=dxF

ad

o

F iigura gu r a A A.3 Producto Cruz de Dos Vectores

C

om

pr

Para calcular el momento con respecto al punto 1, se pueden utilizar las tres componentes de los vectores de fuerza y llas tres componentes del vector de distancia, para calcular las tres componentes del momento que resulte. Esto es: (A.6a)

= M x d y Fz − d z Fy ,

= M y d z Fx − d x Fz

y

= M z d x Fy − d y Fx

(A.6b) (A.6c)

El momento que resulta en el punto 1 se escribe en notación vectorial como sigue: = M M x xˆ + M y yˆ + M z zˆ

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(A.7)

Por tanto, este procedimiento físico definido como el producto cruz de vectores o producto vectorial, se define como:

M =dx F

(A.8)

Ya que todos estos cálculos se realizan dentro de programas de computadora, no es necesario memorizar esta ecuación de producto cruz. El hecho físico importante que hay que recordar que el vector rotacional resultante es normal al plano definido por los puntos 1, 2 y 3.

ag

a

VECTORES PARA DEFINIR UN SISTEMA DE REFERENCIA L LOCAL OC A

Ar

te

3 puede definirse por la especificación de tres puntos en Un sistema de referencia local 1-2-3 el espacio, tal como lo indica la Figura A.4.

K

ue

z

4ˆ

2ˆ

Va

sq

zˆ

J

3ˆ

yˆ

po

r:

xˆ

Al

ej

an

dr

o

I

1ˆ

pr

ad

o

F igura A.4 Definición ición ddee un Sistema de Referencia Local por los Puntos I, J y K Los vectores unitarios 1ˆ y 4ˆ pueden definirse en base a los vectores I hasta J e I hasta K respectivamente. Ahora, si formamos los vectores del producto cruzado 1ˆ con 4ˆ ,

om

podemos definir un vector 2ˆ normal al plano I-J-K. Ahora el vector unitario 2ˆ está definido por el producto cruzado de los vectores 3ˆ con 1ˆ . El sistema de referencia local resultante de mano derecha 1-2-3 está relacionado al sistema global xyz por las siguientes 1 ecuaciones de matriz de cosenos direccionales:

C

A.3

1ˆ V1x ˆ   2 = V2x 3ˆ V    3x

V1y V1z   xˆ   V2y V2z   yˆ  V3y V3z   zˆ 

(A.9)

La matriz V 3 por 3 ahora puede ser usada para transformar desplazamientos, rotaciones, fuerzas y momentos de un sistema de referencia a otro sistema de referencia. Por ejemplo, las ecuaciones de transformación de desplazamiento son:

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 u1  u x       u 2  = V u y  u3   uz 

(A.10a)

u x   u1     T u y  = V u 2  ux  u2 

y

(A.10b)

Esto permite que las matrices de carga y rigidez del elemento se formen en un sistema local de referencia del elemento, y luego se transformen en un sistema de referencia global para formar ecuaciones de equilibrio global. SUBRUTINAS FORTRAN PARA OPERACIONES DE VECTOR

ue

z

Ar

te

ag

a

Dentro de un programa de análisis estructural, se requieren solamente dos operaciones de vector. Para definir un vector, se deben dar las coordenadas del punto de partida “I” y el rutina FORTRAN que se presenta en la Tabla A.1 indica cómo los punto final “J”. La subrutina tres cosenos direccionaless se calculan, y cómo se calcula la longitud del vector. Los resultados son almacenados en el arreglo “V”.

Va

sq

Tabla A.1 Subrutina de FORTRAN para Definir e ell V Vector ec t o

om

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

an

dr

o

SUBROUTINE VECTOR (V,XI,YI,ZI,XJ,YJ,ZJ) IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-Z) DIMENSION V(4) C---- GIVEN TWO POINTS DEFINE VECTOR IN I-J I- DIRECTION IX = XJ - XI ! X PROJECTION Y = YJ - YI ! Y PROJECTION Z = ZJ - ZI ! Z PROJECTION V(4) = DSQRT( X*X + Y*Y + Z*Z ) ! VECTOR LENGTH C---- ERROR CHECK ------------------------------------IF (V(4).LE.0.0D0) THEN WRITE (*,*) '*ERROR* ZERO LENGTH MEMBER OR VECTOR' PAUSE 'CORRECT ERROR AND RERUN PROGRAM' STOP ' ' ENDIF C---- COMPUTER DIRECTION COSINES ---------------------V(3) = Z/V(4) V(2) = Y/V(4) V(1) = X/V(4) C RETURN

C

A.4

END

La subrutina que se presenta en la Tabla A.2 produce el vector “C” del producto vectorial, dados los vectores “A” y “B”.

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ag te

C

om

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

an

dr

o

Va

sq

ue

z

Ar

SUBROUTINE CROSS(A,B,C) IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-Z) DIMENSION A(4),B(4),C(4) C---- CROSS PRODUCT OF VECTORS "A" x "B" = VECTOR "C"X = A(2)*B(3) - A(3)*B(2) ! X COMPONENT Y = A(3)*B(1) - A(1)*B(3) ! Y COMPONENT Z = A(1)*B(2) - A(2)*B(1) ! Z COMPONENT C(4) = DSQRT( X*X + Y*Y + Z*Z) ! VECTOR LENGTH C---- CHECK FOR ERROR -------------------------------IF(C(4).LE.0.0D0) THEN WRITE (*,*) '*ERROR* VECTORS ARE IN SAME DIRECTION' PAUSE 'CORRECT ERROR AND RERUN PROGRAM' STOP ' ' ENDIF C---- COMPUTE DIRECTION COSINES ---------------------C(3) = Z/C(4) C(2) = Y/C(4) C(1) = X/C(4) C RETURN END

a

Tabla A.2 Subrutina FORTRAN para Obtener el Producto en Cruz de Vectores

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APÉNDICE B NOTACIÓN MATRICIAL

ue

z

INTRODUCCIÓN

Al

ej

an

dr

o

Va

sq

El empleo de la notación matricial no es necesario para solucionar problemas en el análisis estático y dinámico de sistemas estructurales estructurales complejos. Sin embargo, permite que el ingeniero escriba la ecuación fundamental de la mecánica en una forma compacta. Además, esto produce ecuaciones en un formato que puede ser programado fácilmente en la computadora. computadora También, permite que las propiedades de la estructura estén separadas de la carga. Por tanto, el análisis dinámico de simple extensión del análisis estático. estructuras constituye una simple

om

pr

ad

o

po

r:

Para comprender y usar la notación matricial, no es necesario recordar leyes y remas matemáticos. matemáticos. Cada término en una matriz tiene un significado físico, tal teoremas como fuerza por unidad de desplazamiento. Muchos libros de texto sobre el análisis estructural presentan las técnicas tradicionales del análisis estructural sin el uso de notación matricial; luego, cerca del final del libro, se presentan MÉTODOS MATRICIALES como un método diferente de análisis estructural. Las ecuaciones fundamentales del equilibrio, la compatibilidad y las propiedades materiales, cuando se escriben utilizando la notación de matriz, no son diferentes a las que se usan en el análisis estructural tradicional. Por lo tanto, en mi opinión, nunca se deben utilizar los términos métodos matriciales del análisis estructural.

C

B.1

Ar

te

ag

a

La Definición de Nota ción Ma tr icia l es la Definición de la Multiplica ción Ma tr icia l

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DEFINICIÓN DE NOTACIÓN MATRICIAL

ag

a

Para ilustrar claramente la aplicación de notación matricial, consideremos el equilibrio de nodos de la estructura simple de armadura que se presenta en la Figura B.1.

sq

6’

Va

6’

ue

z

Ar

te

8’

dr

o

Figura B.1 Estructura Simple imple ddee Armadura

Al

ej

an

Las cargas positivas de nodos externos y los desplazamientos nodales, que se presentan en la Figura B.2, están en dirección de los ejes de referencia x y y. Las fuerzas axiales f i y las deformaciones d i son positivas si se produce tensión en

po

r:

el elemento.

ad

o

R6 , u 6

R5 , u5

om

pr

f f

C

B.2

R2 , u 2 R1, u1

2

, d

2

, d

4

f f

3

, d

f , d 1 1

R4 , u 4

5

4

, d

5

3

f f

6

R3 , u3

, d

7

, d

7

6

R7 , u 7

Figura B.2 Definición de Fuerzas Positivas y Desplazamientos Nodales

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Para la estructura de armadura que se presenta en la Figura B.1, las ecuaciones de equilibrio nodal, para la convención de signos que se indica, son: = R1 − f1 − 0.6 f 2

(B.1a)

R= −0.8 f 2 2

(B.1b)

= R3 f1 − 0.6 f 5 − f 6

(B.1c)

= R4 − f 3 − 0.8 f 5

(B.1d)

ag

a

= R5 0.6 f 2 − f 4

te

= R6 0.8 f 2 + f 3

(B1.f) (B.1g)

z

Ar

R= − f7 7

(B.1e)

Va

sq

ue

Podemos escribir estas siete ecuaciones de equilibrio en forma matricial donde cuación de equilibrio de nodo. La ecuación matricial resultante cada fila es una ecuación es:

(B.2)

ad

o

po

r:

Al

ej

an

dr

o

0 0 0 0 0   f1   R1  − 1.0 − 0.6 R   0 − 0.8 0 0 − 0.6 1.0 0  f2   2     R3   1.0 0 0 0 0 0 0  f3       − 1.0 0 − 0.8 0 0 0  f4  R4  =  0  R5   0 0.6 0 1.0 0 0 0  f5       0.8 1.0 0 0 0 0   f6   R6   0 R   0 0 0 0 0 0 − 1.0  f 7   7 

om

pr

O de manera simbólica:

C

R = Af

(B.3)

Ahora bien, si existen dos condiciones de carga, las 14 ecuaciones de equilibrio ecuaci pueden escribirse como una ecuación matricial en la siguiente forma:

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R12  − 1.0 − 0.6 0 0 0 0 0   f11   R22  0 0 − 0.6 1.0 0   f 21 − 0.8  0 R32   1.0 0 0 0 0 0 0   f 31    R42  =  0 0 0   f 41 − 1.0 0 − 0.8 0 R52   0 0.6 0 1.0 0 0 0   f 51    R62   0 0.8 1.0 0 0 0 0   f 61 R72   0 0 0 0 0 0 − 1.0  f 71

f12  f 22  f 32   f 42  f 52   f 62  f 72 

(B.4)

a

 R11 R  21  R31   R41  R51   R61 R  71

Rkl

z

ik

ue

∑A

k =1, 7

(B.5)

sq

f il =

Ar

te

ag

Es evidente que se pueden extraer las 14 ecuaciones de equilibrio de de una misma ecuación matricial. También es evidente que la definición de notación matricial puede escribirse como:

an

dr

o

Va

La Ecuación (B.5) es también la definición dee la multiplicación de matrices. Fíjese que hemos definido que cada carga es factorizada hacia la derecha, y se guarda como columna en la matriz de carga. Por lo tanto, no hay necesidad de declarar la teoría de análisis matricial en el sentido de que: (B.6)

Al

ej

Af ≠ fA

ad

TRANSPOSICIÓN ND DE EM MATRICES Y MULTIPLICACIÓN ESCALAR

om

pr

Refiriéndose a la Figura B.1, la energía, o el trabajo, proporcionada a la estructura viene dada por:

C

B.3

o

po

r:

matri El intercambio del orden de la multiplicación de matrices indica que no se comprende la definición básica de notación matricial. matricial

W =

1 Ri ui 2 i = 1, 7

∑

Hemos definido:

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(B.7)

 u1  u   2 u 3    y u = u 4  u 5    u 6  u   7

(B.8a y B.8b)

ag

a

 R1  R   2  R3    R =  R4   R5     R6  R   7

u T = [u1 u2

u3 u4 u5 u6 u7 ]

z

ue

R2 R3 R4 R5 R6 R7 ]

sq

R T = [R1

Ar

te

La definición de la transposición de una matriz es “se guardan las columnas de la matriz original como filas en la matriz transpuesta.” Por lo tanto: (B.9a) (B.9b)

an

dr

1 T 1 R u ó W = uTR 2 2

(B.10)

Al

ej

W =

o

Va

Ahora es posible expresar el trabajo abajo externo, Ecuación (B.7), en la forma de la siguiente ecuación matricial:

po

r:

También, la energía interna de deformación Ω , almacenada en los elementos de la armadura, se define así: (B.11)

pr

ad

o

1 T 1 f d ó Ω = dTf Ω= 2 2

C

om

Por tanto, el objetivo de la notación de transposición es usar una matriz que haya sido definida en cuanto a las columnas, como una matriz que haya sido definida en cuanto a las filas. El uso principal de la notación, en el análisis estructural, es definir el trabajo y la energía. Fíjese que el escalar ½ ha sido factorizado fuera de las ecuaciones y es aplicado a cada término en la matriz transpuesta. En base al ejemplo arriba indicado, es evidente que si:

A = BC entonces A T = C T B T

(B.12)

Es importante señalar que dentro de un programa de computadora, no es necesario crear una nueva matriz transformada dentro de la memoria de la

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computadora. Se pueden usar los datos procedentes de la matriz original, intercambiando los subíndices.

B.4

DEFINICIÓN DE UNA OPERACIÓN NUMÉRICA

te

ag

a

Una de las principales ventajas del uso de una computadora digital es que se puede predecir el tiempo que se requiere para realizar varias operaciones numéricas. Se precisa de tiempo en la computadora para mover y almacenar números, y para hacer aritmética de punto flotante como laa adición y la multiplicación. Dentro de un programa de análisis estructural, una declaración aritmética típica tiene la siguiente forma:

Ar

A=B+CxD

(B.13)

ad

PROGRAMACIÓN ND DE EL LA MULTIPLICACIÓN MATRICIAL

om

pr

La programación de operacio operaciones matriciales es muy sencilla. Por ejemplo, las declaraciones de FORTRAN-90 FORTRAN que se requieren para multiplicar la matriz Npor-M-A por la matriz M M-por-L-B para formar la matriz N-por L-C se dan así:

C

B.5

o

po

r:

Al

ej

an

dr

o

Va

sq

ue

z

La ejecución de esta declaración implica retirar tres cifras de la memoria, una plicación, una adición, y luego devolver los resultados mediante multiplicación, procesamiento de alta velocidad. En vez de obtener el tiempo que se requiere para cada fase de la ejecución de la declaración, se ha encontrado que es conveniente y acertado simplemente definir la evaluación de esta declaración como una operación numérica . En general, el número de operaciones por segundo que puede ejecutar una computadora es directamente proporcional a la velocidad del reloj de la computadora. Por ejemplo, para una Pentium de 150 MHz, utilizando do FORTRAN de Microsoft Power, es posible ejecutar aproximadamente 6,000,000 0 oper op er aaciones c numér icas por segundo.

C = 0.0 DO I=1,N DO J=1,L DO K=1,M C(I,J) = C(I,J) + A(I,K)*B(K,L) ENDDO ! end K do loop ENDDO ! end J do loop ENDDO ! end I do loop

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Note que el número de veces que se ejecuta la declaración aritmética básica es el producto de los límites de DO LOOPS. Por lo tanto, el número de operaciones numéricas que se requieren para multiplicar dos matrices es: Nop = NML , ó, si M = L= N , entonces Nop = N 3

(B.14)

Más tarde se demostrará que éste es un número elevado de operaciones numéricas en comparación con la solución de un grupo de N ecuaciones lineales.

a

ORDEN DE LA MULTIPLICACIÓN DE MATRICES S

ag

B.6

(B.15)

sq

ue

u = A T C A R = [[ A T C] A ] R = A T [ C [ A R]]

z

Ar

te

Considere el caso de una estructura estáticamente determinada donde los desplazamientos nodales pueden ser calculados utilizando la siguiente ecuación matricial:

ad

o

RESUMEN N

om

pr

La notación matricial matricial, tal como se emplea en el análisis estructural, es muy lógica y simple. necesidad de recordarse de teorías matemáticas abstractas para imple.. No hay necesi imple usar la notación notación. Las propiedades matemáticas de las matrices son de interés e mucho más importante comprender el significado académico; sin embargo, es físico de cada término dentro de cada ecuación matricial que se usa en el análisis estructural.

C

B.7

po

r:

Al

ej

an

dr

o

Va

Si A y B son matrices N por N,, y R es una matriz N por 1, el orden en el cual se n de matriz es muy importante. Si se realiza la evaluación realiza la multiplicación de izquierda hacia la derecha, el número total de operaciones numéricas es 2N 3 + N 2 . Por otro lado, si se evalúa la ecuación de matriz de derecha hacia la izquierda, el número total de operaciones numéricas es de 3 N 2 . Esto es muy importante para matrices grandes tales como las que se presentan en la respuesta dinámica ca de sistemas estructurales.

No hay necesidad de obtener la transpuesta de una matriz dentro de un programa de computadora. Ya que no se crea ninguna información nueva, solamente es necesario intercambiar los subíndices para acceder a la información en forma transpuesta. Existe un número elevado de técnicas de computación que explotan

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la simetría, la dispersión y la memoria compacta, eliminando el almacenamiento directo de grandes matrices rectangulares.

C

om

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

an

dr

o

Va

sq

ue

z

Ar

te

ag

a

Se pueden evaluar diferentes métodos del análisis estructural comparando el número de operaciones numéricas. Sin embargo, muy pocos documentos de investigación moderna sobre el análisis estructural usan este enfoque. Existe una tendencia de parte de muchos investigadores de hacer alegaciones absurdas de eficiencia numérica sin tener una evaluación científica precisa del esfuerzo de computadora que requiere el nuevo método que proponen.

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APÉNDICE C SOLUCIÓN O INVERSIÓN DE ECUACIONES LINEALES

Va

INTRODUCCIÓN

om

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

an

dr

o

La solución de un grupo grande de ecuaciones a través del cálculo manual es un proceso engorroso y consume tiempo. Por lo tanto, antes del 1960 la mayoría de las técnicas para el análisis estructural se basaban en los trucos de aproximaciones y computación. Muchos de estos métodos, como la distribución del momento, permitían que el ingeniero lograra una comprensión física del comportamiento de las estructuras, y atenuaban en muchos casos los errores humanos de computación. Era muy común para un experimentado de la ingeniería estructural, computadora humana, predecir la respuesta con una aproximación de hasta dos cifras significativas, antes de realizar cálculo alguno. Sin embargo, en la actualidad con la ayuda de una computadora personal de bajo costo y métodos eficientes de computación, el ingeniero estructural puede resolver más de 1,000 ecuaciones en cuestión de segundos. El método fundamental empleado en la actualidad para solucionar directamente grupos de ecuaciones de equilibrio es la eliminación gaussiana, que se utilizó por primera vez en el año 1826. Gauss también trabajaba con enfoques de aproximados que dieron como resultado en el año 1860, el método iterativo Gauss-Siedel. La mayoría de los métodos presentados durante los últimos 150 años, tales como el método Cholesky (1916), y el método Grout (1938), son numéricamente equivalentes al método de eliminación gaussiana; sin embargo, eran más fáciles de usar para los cálculos manuales. También se puede usar una forma modificada del método de eliminación de Gauss para la inversión de matriz.

C

C.1

sq

ue

z

Ar

te

ag

a

El Tiempo de Computa dor a Requer equer ido pa r a Resolver Un gr upo Simétr ico de “ N” Ecua ciones Linea les el Tiempo de Computa dor a Es Aproxima da mente un 1/6 del Requer ido pa r a Multiplica r Dos Ma tr ices “ N P or N”

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La regla de Cramer y la teoría de determinantes, que son presentados por muchos matemáticos como fundamentales para el análisis matricial, son teoremas abstractos, y no son necesarios para comprender la notación matricial. Se demuestra fácilmente que el uso de la regla de Cramer para solucionar ecuaciones es numéricamente muy ineficiente (aproximadamente N! operaciones numéricas), y nunca debe emplearse para solucionar problemas prácticos en campo alguno de la ingeniería.

ue

z

EJEMPLO NUMÉRICO

Va

sq

Para ilustrar las operaciones numéricas detalladas que se requieren para soluci solucionar un conjunto de ecuaciones lineales a través del método de eliminación gaussiana, se puede considerar la solución de las tres ecuaciones siguientes:

dr an

ej

4.0 x1 + 7.0 x 2 + 4.0 x 3 = −1.0

o

5.0 x1 + 4.0 x 2 + 3.0 x 3 = 2.0

Al

3.0 x1 + 4.0 x 2 + 4.0 x 3 = 3.0

(C.1) (C.2) (C.3)

po

r:

cionar la Ecuación (C.1) para x 1 : Primero, solucionar (C.4)

o

x1 0.40 − 0.80 x 2 − 0.60 x 3 =

pr

ad

Segundo, sustituir la Ecuación (C.4) en las Ecuaciones (C.2) y (C.3) para eliminar x1 ,

om

obteniéndose las dos ecuaciones siguientes: 3.80 x 2 + 1.60 x 3 = −2.60

(C.5)

1.60 x 2 + 2.20 x 3 = 1.80

(C.6)

C

C.2

Ar

te

ag

a

El “pasatiempo” del autor ha sido elaborar programas de computadora numéricamente eficientes para la solución de ecuaciones. Esta “afición” ha producido la publicación de mayo parte de este varios estudios sobre el tema [1,2,3,4]. Este apéndice resume la mayor desarrollo; por eso no es necesario leer las referencias para comprender plenamente los algoritmos numéricos que se presentan en esta sección.

Tercero, solucionar la Ecuación (C.5) para x 2 :

x 2 −0.68421− 0.42105x 3 =

(C.7)

Cuarto, sustituir la Ecuación (C.7) en la Ecuación (C.6) para eliminar x 2 , obteniéndose la siguiente ecuación:

x3 = 1.8865

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(C.8a)

Sustituir hacia atrás la Ecuación (C.8a) en las Ecuaciones (C.7) para obtener: x= −1.4829 2

(C.8b)

Sustituir hacia atrás las Ecuaciones (C.8a) y (C.8b) en (C.4) para obtener: x 1 = 0.44828

(C.8c)

a

Por eso, la notación de matriz no es necesaria para solucionar un grupo de ecuaciones lineales. Sin embargo, se puede resumir el algoritmo de eliminación de Gauss en una notación general de subíndice que puede ser programada para la computadora para un número arbitrario de ecuaciones.

z

(C.9)

sq

ue

 0.40000  − 0.68421 T  =L y  1.8865 

Va

1.00 0.80 0.60000  x1   0 1.00 0.42105   2    x=  0   0 1.00000  x 3 

Ar

te

ag

Es importante señalar que la sustitución hacia atrás de las Ecuaciones (C.4), (C.7) y (C.8) puede escribirse en forma de la siguiente ecuación matricial:

ej

EL ALGORITMO DE ELIMINACIÓN NA CIÓN DE GAUSS

ad

o

po

r:

Al

Para desarrollar un programa de computadora para la solución de ecuaciones, únicamente es necesario definir primeramente el procedimiento numérico, o algoritmo, mediante un número finito de pasos claramente definidos. Para la eliminación gaussiana, el conjunto inicial de N ecuaciones puede escribirse como sigue: N

om

=1

pr

anj x j = bn ∑ j

n = 1......N

(C.10)

Comenzando con la primera ecuación, n = 1 , podemos solucionar para x n dividiendo todos los términos en la ecuación n-ésima entre ann . O:

C

C.3

an

dr

o

Más tarde se demostrará que la Ecuación (C.9) es idéntica a la ecuación que se utiliza en el método de solución con factorización matricial matricial..

= xn

N a N bn nj − ∑ = x j bn − ∑ anj x j ann =j n+1 ann =j n+1

(C.11)

La sustitución de la Ecuación (C.11) en una ecuación típica remanente i produce: N

) x j bi − a nj bn, ó ∑ (aij − ain a nj=

=j n +1

N

∑a

=j n +1

ij

xj = bi i = n + 1...Neq (C.12)

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Este simple algoritmo de eliminación de Gauss se resume en una subrutina de FORTRAN que se presenta en la Tabla C.1. Note que dentro de una subrutina computarizada, los términos modificados de aij y bi pueden ser guardados en los mismos lugares que los términos originales aij y b i . Por eso, después de haber aplicado las Ecuaciones (C.11) y (C.12) un número N de veces, se evalúa la incógnita x N y se guarda en el mismo lugar que

bN . Todos los demás factores desconocidos son evaluados utilizando la Ecuación (C.11) de

ag

a

sustitución hacia atrás. La subrutina FORTRAN permite un número arbitrario de vectores de carga. Por eso, para sistemas grandes, vectores de carga adicionales no aumentan el número de operaciones numéricas de manera significativa.

ue

z

1 3 N +NL 3

sq

Nop =

Ar

te

Un examen de la subrutina indica claramente que el número aproximado de operaciones numéricas para L condiciones de carga viene dado por:

o

Va

v er E Ecuaciones cu Mediante la Tabla C.1 Subrutina FORTRAN para Resolver Eliminación de Gauss

ej

Al

C

100 C----

om

C----

pr

ad

o

C----

r:

C----

po

C----

an

dr

SUBROUTINE GAUSSEL(A,B,NEQ,LL) H,OH,O -Z) Z) IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-Z) POSITIVE DEFINITE EQUATION SOLVER --DIMENSION A(NEQ,NEQ),B(NEQ,LL) FORWARD REDUCTION -----------------DO 500 N=1,NEQ POSITIVE CHECK FOR POSITIVE-DEFINITE MATRIX – IF (A(N,N).LE.0.0D0) THEN WRITE (*,*) ‘MATRIX NOT POSSITIVE DEFINITE’ STOP ENDIF DIVIDE B(N,L) BY A(N,N) ------------------------DO 100 L=1,LL B(N,L) = B(N,L)/A(N,N) DIVIDE A(N,J) BY A(N,N) ------------------------IF (N.EQ.NEQ) GO TO 500 ! CHECK FOR LAST EQUATION DO 200 J=N+1,NEQ A(N,J) = A(N,J)/A(N,N) MODIFY REMAINING EQUATIONS ---------------------DO 500 I=N+1,NEQ DO 300 J=N+1,NEQ A(I,J) = A(I,J) - A(I,N)*A(N,J) DO 400 L=1,LL B(I,N) = B(I,L) - A(I,N)*B(N,L)

200 C---300 C

400

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(C.13)

500 CONTINUE ! ELIMINATE NEXT UNKNOWN C---- BACK-SUBSTITUTIONS -----------------------------600 N = N – 1 IF (N.EQ.0) RETURN DO 700 L=1,LL DO 700 J=N+1,NEQ 700 B(N,L) = B(N,L) – A(N,J)*B(N,L) GO TO 600 END

Va

sq

ue

z

Ar

te

ag

a

Note que las declaraciones del programa FORTRAN se parecen mucho a las ecuaciones presentadas por el algoritmo de eliminación Gauss. Tal como se puede apreciar, la principal restricción de esta subrutina rutina es que no puede solucionar sistemas que tengan términos cero en la diagonal de la matriz. Sin embargo, se puede demostrar que las matrices de flexibilidad y rigidez no-singulares singulares no tendrán términos cero en la diagonal si el desplazamiento un y la fuerza asociada Rn tienen la misma convención de signo. Por tanto, laa subrutina tal como se presenta puede ser utilizada para solucionar muchos sistemas estructurales pequeños.

dr

o

SOLUCIÓN DE UN GRUPO GENERAL ER A L D DE ECUACIONES LINEALES

ad

o

po

r:

Al

ej

an

Es muy fácil modificar la subrutina que se presenta en la Tabla C.1 para resolver cualquier grupo no-singular singular de ecuaciones lineales que tengan términos cero en la diagonal de la matriz A durante el proceso de eliminación. El mismo algoritmo de eliminación de Gauss se usa para solucionar el juego general de ecuaciones con una modificación insignificante. rutina FORTRAN para este algoritmo general de eliminación gaussiana se presenta La subrutina en la Tabla C.2.

om

pr

Antes de eliminar el próximo factor desconocido, es necesario solamente buscar el término más grande que existe en las demás ecuaciones. Luego se mueve el término grande a la posición ann mediante el intercambio del orden de las ecuaciones (intercambio de filas) y el

C

C.4

columnas). Se debe intercambio del orden de los términos desconocidos (intercambio de columnas) registrar el intercambio de columna para recuperar los términos desconocidos en su orden original. Sí después de haber eliminado las ecuaciones r y después que todos los demás términos en la matriz A sean cero (o casi cero en comparación con sus valores iniciales), la matriz es singular y no se pueden resolver las ecuaciones. Para este caso, se dice que la matriz tiene un rango de r. Si el grupo de ecuaciones representa la fuerza-equilibrio, eso significa sencillamente que la matriz de rigidez tiene modos inestables N – r y cero modos de energía. Este es una excelente ilustración física de una matriz de rango deficiente.

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ALTERNATIVA DE PIVOTEO Se puede usar un método alternativo de pivoteo para solucionar un grupo definido nopositivo de ecuaciones. Cualquier grupo de ecuaciones puede ser convertido en simétrico y positivo definido mediante la multiplicación de ambos lados de la ecuación por la transposición de la matriz no-simétrica. O, se puede escribir la Ecuación (C.10) como: Ax = B

(C.14)

om

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

an

dr

o

Va

sq

ue

z

Ar

te

ag

a

Aquí A = A T A es simétrico; y la carga efectiva es B = A T B . Se recupera el esfuerzo numérico adicional implicado en la multiplicación de laa matriz a través de la reducción del esfuerzo numérico que se requiere para solucionar un grupo simétrico de ec ecuaciones. Además, se elimina el intercambio de filas y columnas, o pivoteo.

C

C.5

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C

om

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

an

dr

o

Va

sq

ue

z

Ar

te

ag

a

Tabla C.2 Subrutina FORTRAN para la Solución de un Conjunto General de Ecuaciones SUBROUTINE SOLVE(A,B,IEQ,NEQ,NLV) D = B(N,L) C---- SOLUTION OF GENERAL SET OF LINEAR B(N,L) = B(II,L) EQUATIONS 500 B(II,L)= D C WHERE ENDIF C A = NEQ x NEQ NON-SYMMETRIX, NONC---- (6)INTERCHANGE LOADS ---POSITIVE -------C DEFINITE MATRIX DO 500 L=1,NLV C B = NEQ x NLV LOAD MATRIX TO BE D = B(N,L) REPLACED BY B(N,L) = B(II,L) C SOLUTION 500 B(II,L)= D C IEQ = TEMPORARY STORAGE ARRAY OF ENDIF NEQ C---- (7) DIVIDE LOADS BY C INTERGERS DIAGONAL TERM 550 DO 600 L=1,NLV C--------------------------------------600 B(N,L) =B(N,L)/A(N,N) ---------REAL*8 C---- (8) DIVIDE ROW BY DIAGONAL TERM A(NEQ,NEQ),B(NEQ,NLV),D,BIG INTEGER*4 IF (N.NE.NEQ) THEN IEQ(NEQ),NEQ,NLV,II,JJ,I,J,L,N DO 700 J=N+1,NEQ 700 A(N,J) = A(N,J)/A(N,N) C---- SET INITIAL UNKNOWN NUMBERS -----C---C ---- (9) SUBSTITUTE IN ---------REMAINING Eq. DO 100 N=1,NEQ Eq.-100 IEQ(N) = N DO 900 I=N+1,NEQ C---- ELIMINATE UNKNOWNS N=1,2....NEQ DO 800 J=N+1,NEQ ---------800 A(I,J) = A(I,J) DO 1000 N=1,NEQ A(I,N)*A(N,J) C---- (1) LOCATE LARGEST TERM REMAINING DO 900 L=1,NLV ---------900 B(I,L) = B(I,L) IF (N.NE.NEQ) THEN A(I,N)*B(N,L) BIG = ABS(A(N,N)) ENDIFC II = N 1000 CONTINUE JJ = N C---- BACK-SUBSTITUTION ------DO 200 I=N,NEQ -------DO 200 J=N,NEQ IF (NEQ.EQ.1) GO TO 1700 IF (ABS(A(I,J)).GT.BIG) THEN DO 1300 N=NEQ-1,1,-1 BIG = ABS(A(I,J)) DO 1200 L=1,NLV II = I IF (N.NE.NEQ) THEN JJ = J DO 1100 J=N+1,NEQ ENDIF 1100 B(N,L) = B(N,L) 200 CONTINUE A(N,J)*B(J,L) C---- (2) CHECK FOR SINGULAR MATRIX ---ENDIF ---------1200 CONTINUE IF (BIG.EQ.0.0) THEN 1300 CONTINUE WRITE (*,*) ' MATRIX IS SINGULAR ' C---- RETURN UNKNOWNS IN PAUSE 'CORRECT DATA AND RERUN' ORIGINAL ORDER STOP DO 1600 N=1,NEQ ENDIF DO 1500 I=N,NEQ C---- (3) INTERCHANGE COLUMNS ---------II = IEQ(I)

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1400 UNKNOWN

IF(II.EQ.N) THEN DO 1400 L=1,NLV D = B(N,L) B(N,L) = B(I,L) B(I,L)= D IEQ(I) = IEQ(N) GO TO 1600 !CHECK NEXT

ue

z

Ar

te

ag

a

ENDIF 1500 CONTINUE 1600 CONTINUE C---- RETURN TO CALLING PROGRAM ------1700 RETURN END

sq

---------DO 300 I=1,NEQ D = A(I,JJ) A(I,JJ) = A(I,N) 300 A(I,N) = D C---- (4) KEEP TRACK OF EQUATION NUMBERS --------J = IEQ(N) IEQ(N) = IEQ(JJ) IEQ(JJ)= J C---- (5) INTERCHANGE ROW "N" AND ROW "II" ------DO 400 J=N,NEQ D = A(N,J) A(N,J) = A(II,J) 400 A(II,J)= D C---- (6)INTERCHANGE LOADS ---------------------DO 500 L=1,NLV

ej Al

INVERSIÓN DE MATRIZ

po

r:

Se puede obtener el inverso de una matriz fijando la matriz B a una matriz identidad, I, y ecuaci para la matriz N por N x (la inversa de A): luego solucionando la siguiente ecuación

A x = B ó A A -1 = I

ad

o

(C.15)

om

pr

enfoqu es que requiere un mayor número de operaciones El principal problema de este enfoque numéricas y almacenamiento en computadora que la aplicación directa del algoritmo modificado de Gauss. Es necesario solamente escribir un algoritmo para intercambiar xn por bn y luego aplicarlo con n = 1.....N . Una ecuación típica es:

C

C.6

an

dr

o

Va

Los matemáticos no recomiendan este enfoque porque aumenta el “número de condición” y el error teórico. Sin embargo, para sistemas pequeños y bien condicionados, según la experiencia del autor de este libro, este enfoque funciona muy bien. También se ha rá la suma del cuadrado de los términos de error. demostrado que este enfoque minimizará

Neq

aij x j = bi i= 1......N ∑ j

(C.16)

=1

Al dividir la ecuación n-ésima entre ann , se puede escribir como sigue: −

n −1

N

b

anj x j + n − ∑ anj x j = x n ∑ ann j n j =1

=

+1

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(C.17)

Ahora, se puede eliminar x n de todas las ecuaciones antes y después de la ecuación n.

Luego se mueve al lado derecho de la ecuación, y se mueve bn al lado izquierda de la ecuación. O: n −1

∑ (a j =1

ij

− ain a nj ) x j −

a jn a nn

bn +

N

∑ (a

=j n +1

ij

− ain a nj ) x j = bi

(C.18)

= para i 1..n, n + 1..N

a

Por tanto, se puede escribir el nuevo grupo de Ecuaciones, después de n transformaciones, en forma de matriz como: (C.19)

te

ag

A (n) x (n) = b (n)

z ue

) ) A (N) = A −1 , x ( N= −b y b ( N= −x

Ar

Después de las N transformaciones:

(C.20)

dr

o

− a12   b1  a11  b2 

(C.21)

an

 x1   a22 1 x  =   2  a11a22 − a12 a21 − a21

Va

sq

Utilizando un algoritmo modificado de inversión de Gauss, se puede demostrar fácilmente que una solución de forma cerrada para un sistema de 2 por 2 es:

po

r:

Al

ej

rutina FORTRAN que resume el algoritmo de inversión de La Tabla C.3 presenta una subrutina matriz. Note que el inverso puede ser guardado en las mismas posiciones que la matriz original, sin que se requiera guardar más espacio en la computadora.

pr

ad

o

Tabla C.3 Sub-Rutina a para p ar a IInvertir n una Matriz Mediante la Eliminación Modificada de Gauss

C---C---100 C----

C

om

SUBROUTINE INVERT(A,NMAX) IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-Z) (A DIMENSION A(NMAX,NMAX) A(NMAX,NM MATRIX INVERSION BY MODIFIED GAUSS ELIMINATION DO 200 N=1,NMAX D = A(N,N) ! SAVE DIAGONAL TERM DIVIDE ROW BY DIAGONAL TERM -----------------DO 100 J=1,NMAX A(N,J) = -A(N,J)/D MODIFY OTHER EQUATIONS ----------------------DO 150 I=1,NMAX IF(N.EQ.I) GO TO 150 DO 140 J=1,NMAX IF(N.EQ.J) GO TO 140 A(I,J) = A(I,J) + A(I,N)*A(N,J)

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140 CONTINUE C---- MODIFY COLUMN -------------------------------150 A(I,N) = A(I,N)/D C---- INVERT DIAGONAL TERM ------------------------A(N,N) = 1.0/D 200 CONTINUE ! REDUCE NEXT EQUATION RETURN ! INVERSION COMPLETE END

ag

a

Se debe enfatizar que casi nunca se requiere la inversión de matriz en el análisis estructural. La única excepción es la inversión de la matriz 6 por 6 de esfuerzo-deformación. Muchos libros de texto implican que, si existe un elevado número de vectoress de carga, se justifica el esfuerzo numérico adicional asociado con la inversión de matriz – lo cual no es verdad.

sq

ue

z

Ar

te

Un examen de la subrutina de inversión de matriz indica que el número aproximado de operaciones numéricas, tal como se definió previamente,, para invertir una matriz N por N es aproximadamente N 3 . Si hay L vectoress de carga, el número total de operaciones numéricas para invertir la matriz y multiplicar por la matriz de carga será:

Va

= n.o. N 3 + N 2 L

(C.22)

ej

1 3 N + N 2L 3

(C.23)

Al

n.o. =

an

dr

o

Si el grupo de ecuaciones es solucionado directamente por eliminación de Gauss, el número total de operaciones numéricas es:

INTERPRETACIÓN PR P RETA FÍSICA DE LA INVERSIÓN MATRICIAL

C

C.7

om

pr

ad

o

po

r:

Por eso, la inversión de matriz matriz siempre es ineficiente en comparación con la solución directa de ecuaciones para la eliminación de Gauss. Además, si se invierte una matriz dispersa,, o de banda, se puede producir una matriz llena que necesitaría un aumento significativo de almacenamiento en computadora y tiempo de ejecución.

Para ilustrar la interpretación física del algoritmo de inversión de matriz, con considere la relación fuerza-deformación para la viga simple que se presenta en la Figura C.1.

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(C.24)

ue

z

Ar

te

2 EI  L  φ i  =  M i  4 EI  φ j   M j    L 

sq

 4 EI  L  2 EI   L

ag

Las ecuaciones de fuerza-deformación deformación escrita en forma de matriz son:

a

Figura C.1 Comportamiento Fuerza-Deformación Deformación de una Viga Simplemente Simplemente Apoyada

1 2  M i  =  φ i  3EI   φ j   M j   L 

(C.25)

o

po

r:

−

ad

 L  4 EI  1   2

Al

ej

an

dr

o

Va

Note que la primera columna de la matriz de rigidez representa los momentos desarrollados en los extremos como resultado de una rotación uni unitaria en i. La segunda columna de la matriz de rigidez representa los momentos desarrollados en los extremos como resultado de una rotación unitaria en j. Aplicando ndo el algoritmo de inversión para n= 1 , se obtiene la siguiente ecuación:

C

om

pr

Cada término en la matriz modificada tiene un significado físico. La primera columna, con φj = 0 , un momento unitario aplicado en i produce una rotación de L / 4 EI en i y un momento de 1/2 en j. La segunda columna, con M j = 0 , una rotación unitaria aplicada en j produce una rotación de –1/2 en i y un momento de 3EI / L en j. Después de la aplicación del algoritmo de inversión para n=2, se obtiene la siguiente ecuación de flexibilidad:

L 12 EI

 4 − 2  M i  φ i  − 2 4   M  = φ    j   j 

(C.26)

Por eso, el procedimiento matemático abstracto de inversiones de matriz tiene una interpretación inherentemente física. Cada término en la matriz, después de un intercambio

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de x n y bn , representa un desplazamiento o una fuerza por unidad de desplazamiento o fuerzas. También indica, utilizando el método de desplazamiento de análisis estructural para la solución de ecuaciones de equilibrio de uniones, que el término diagonal tiene las unidades de rigidez, y no puede ser negativo ni cero para un sistema estructural estable; por lo tanto, no hay necesidad de pivotar durante el algoritmo de solución.

ELIMINACIÓN PARCIAL DE GAUSS, CONDENSACIÓN ESTÁTICA Y ANÁLISIS DE SUBESTRUCTURA

Al

ej

an

dr

o

Va

sq

ue

z

Ar

te

ag

a

En el método de desplazamiento del análisis estructural, la matriz de rigidez multiplicada por los desplazamientos de unión son iguales a las cargas externas de unión. La aplicación del algoritmo de eliminación de Gauss a la solución de estas ecuaciones de equilibrio tiene matriz una interpretación física muy importante. Los términos iniciales en la diagonal de la matr de rigidez están en las unidades de fuerza por unidad de deformación con todos los demás grados de libertad en la estructura fija. La eliminación de un desplazamiento desconocido es equivalente a liberar el desplazamiento, y las cargas son llevadas a lo los demás grados de libertad en la estructura. Los términos de rigidez en los grados de libertad adyacentes son modificados para que reflejen que se permita el movimiento en los grados de liber libertad que ecu hayan sido eliminados. Por eso, las soluciones de las ecuaciones de equilibrio aplicando el algoritmo de eliminación de Gauss a todos los grados de libertad pueden ser interpretadas, por un ingeniero estructural con más de cincuenta años de edad, como un ciclo gigantesco de distribución de momento donde no se requiere de iteración.

om

pr

ad

o

po

r:

Sin embargo, lo más significativo es que, si se paraliza el algoritmo en cualquier punto, las demás ecuaciones representan la matriz de rigidez con respecto a los grados de libertad que no hayan sido eliminados. Se puede extraer esta rigidez de subestructura y usarla como un elemento en otro modelo estructural. También, las cargas asociadas con los super-elemento desplazamientos eliminados se llevan a los nodos de la subestructura, y deben ser aplicados desplazamientos e al nuevo modelo estructural. Después de encontrar los desplazamientos asociados con las uniones de la subestructura, se pueden calcular los desplazamientos eliminados mediante la sustitución hacia atrás.

C

C.8

Este algoritmo parcial de eliminación de Gauss también se llama el método de condensación estática. La Tabla C.4 resume el algoritmo y una subrutina FORTRAN. Note que la matriz de rigidez todavía se guarda en forma cuadrada; sin embargo, el número de operaciones numéricas se reduce mediante el reconocimiento de la simetría de la matriz de rigidez, y se omiten algunas de las operaciones de términos cero.

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C

om

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

an

dr

o

Va

sq

ue

z

Ar

te

ag

SUBROUTINE SUBSOL(K,R,NEQ,LEQ,LL,MOP) REAL*8 K(NEQ,NEQ),R(NEQ,LL),T,ZERO C---- SUBSTRUCTURE EQUATION SOLVER - WHERE ------------------C K = STIFFNESS MATRIX TO BE REDUCED C R = LOAD VECTORS - REPLACED BY DISPLACEMENTS C NEQ = TOTAL NUMBER OF EQUATIONS C LEQ = NUMBER OF MASSLESS D.O.F. TO BE ELIMINATED C LL = NUMBER OF LOAD VECTORS C MOP = 0 TRIANGULARIZATION AND COMPLETE SOLUTION C MOP = 1 TRIANGULARIZATION ONLY C MOP = 2 LOAD REDUCTION ONLY C MOP = 3 DISPLACEMENT RECOVERY ONLY DATA ZERO /0.0D0/ C------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------IF(MOP.EQ.3) GO TO 800 ! DISPLACEMENT RECOVERY ONLY IF(MOP.EQ.2) GO TO 500 ! LOAD REDUCTION ONLY C---- TRIANGULARIZATION -------------------------------------DO 400 N=1,LEQ IF(K(N,N).LE.ZERO) STOP ' STRUCTURE UNSTABLE ' IF (N.EQ.NEQ) GO TO 400 ! CHECK FOR LAST EQUATION DO 300 J=N+1,NEQ IF(K(N,J).NE.ZERO) THEN ! OPERATE ONLY ON NONZERO TERMS T = K(N,J)/K(N,N) DO 200 I=J,NEQ ! MODIFY OTHER EQUATIONS 200 K(J,I) = K(J,I) - K(N,I)*T K(N,J) = T ENDIF 300 CONTINUE ! END OF J LOOP 400 CONTINUE ! END OF N LOOP IF(MOP.EQ.1) RETURN ! TRIAGULARIZE ONLY C---- FORWARD REDUCTION OF LOAD VECTORS ---------------------500 DO 700 N=1,LEQ DO 650 L=1,LL ! REDUCE ALL LOAD VECTORS IF (N.EQ.NEQ) GO TO 650 DO 600 J=N+1,NEQ 600 R(J,L) = R(J,L) - K(N,J)*R(N,L) 650 R(N,L) = R(N,L)/K(N,N) 700 CONTINUE ! END OF N LOOP IF(MOP.EQ.2) RETURN ! RETURN TO CALLING PROGRAM C---- RECOVERY OF DISPLACEMENTS -----------------------------800 DO 1000 NN=1,LEQ,1 N = LEQ - NN + 1 IF (N.EQ.NEQ) GO TO 1000 ! LAST EQUATION HAS BEEN SOLVED DO 900 L=1,LL ! RECOVER ALL LOAD CONDITIONS DO 900 J=N+1,NEQ 900 R(N,L) = R(N,L) - K(N,J)*R(J,L) 1000 CONTINUE ! END OF N LOOP RETURN ! RETURN TO CALLING PROGRAM C------------------------------------------------------------END

a

Tabla C.4 Algoritmo Parcial y Subrutina de Eliminación de Gauss.

Se puede usar esta subrutina para solucionar un grupo completo de ecuaciones. Para este caso, es evidente que el número de operaciones numéricas que se requieren para la solución de un grupo completo de ecuaciones es:

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n.o. =

(C.27)

ECUACIONES ALMACENADAS EN FORMA DE BANDA O PERFIL

3 6 9 12 - - --

1 2 4

z

LD= 1

ue

b

3 5 7

6 8 10 9 11 12

0

Va

sq

0

Ar

te

ag

a

Un examen cuidadoso del algoritmo de eliminación de Gauss según se aplica a la matriz de rigidez global indica que se generan nuevos términos en la matriz de rigidez solamente por debajo del primer término no-cero en cada columna. También, solamente aquellos términos que caen por encima de la diagonal deben ser guardados durante el procedimiento de solución. Por lo tanto, se puede guardar la matriz de rigidez simétrica en forma de banda o perfil, según se indica en la Figura C.2.

an

dr

o

N

0

SIMÉTRICA

po

r:

Al

ej

SIMÉTRICA

B. Almacenamiento de Tipo Perfil

o

A. Almacenamiento de Banda Rectangular

pr

ad

Figura C.2 Métodos para Almacenar Matrices de Rigidez Simétricas

om

La forma de banda para guardar la matriz de rigidez se usaba en los primeros años del desarrollo de programas de análisis estructural. Por ejemplo, el SAP-IV utilizaba un enfoque de bandas y bloques. Sin embargo, el método de almacenamiento de banda inicialmente exigía que el usuario enumerara los nodos en un orden que minimizara el ancho de banda. Posteriormente, se desarrollaron algoritmos que minimizaban el ancho de banda; sin embargo, todavía existía un gran número de términos cero dentro de la banda para la mayoría de los sistemas estructurales.

C

C.9

1 3 N + N 2L 6

El método de perfil para guardar reduce los requisitos de espacio para almacenamiento en la computadora, y reduce la operación en términos cero. Para este método, se guarda la matriz de rigidez en forma unidimensional, desde el primer término no-cero en una columna hasta el término de la diagonal, tal como se indica en la Figura C.2.B. Además, un despliegue de

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enteros unidimensionales, L.D., indica la ubicación del término diagonal para cada columna. Se usa el método de almacenamiento de perfil en la mayoría de los programas modernos de análisis estructural. Se han desarrollado muchos algoritmos diferentes para reducir el número de operaciones numéricas y requisitos de espacio para almacenamiento computarizado para matrices de rigidez. Dentro de los programas SAP90 y SAP2000, se prueban tres algoritmos diferentes, empleándose el que requiere el menor espacio de almacenamiento en computadora.

(C.28)

te

ag

1 1 N b2 − b2 + N b L 2 3

Ar

= Nop

a

Por las ecuaciones fundamentales de eliminación de Gauss, es evidente que el método de almacenamiento de banda requiere el siguiente número de operaciones numéricas:

sq

ue

z

Note que para un semiancho de banda b pequeño,, el número de operaciones numéric numéricas que se requieren para resolver un grupo de ecuaciones puede ser muy pequeño, en comparación ulo de fuerzas en elementos y esfuerzos. con la formación de matrices del elemento y el cálculo

N

1

dr

hn + 2hn L ∑ n 2 2

an

= Nop

o

Va

En el caso del almacenamiento de perfil, el número de operaciones numéricas para solucionar el conjunto de ecuaciones puede ser estimado usando: (C.29)

ej

=1

Al

La altura de columna se indica= por hn LD(n) − LD(n − 1) . Note que ambas Ecuaciones

po

r:

(C.28) y (C.29) se reducen a la Ecuación (C. (C.27) para una matriz de rigidez completa.

ad

o

C.10 FACTORIZACIÓN ÓN Ó NL LDL DL

C

om

pr

En libros sobre el análisis numérico, el enfoque más común que se proponía para solucionar un grupo de ecuaciones simétricas es el método de factorización o descomposición LDLT . Este enfoque implica el número idéntico de operaciones numéricas almacenamiento en computadora y precisión como el método de eliminación de Gauss; sin embargo, le falta la analogía física que existe con el método parcial de eliminación gaussiana. Por otro lado, el enfoque de factorización tiene ventajas en el sentido de que se separan las operaciones sobre las matrices de carga y rigidez. También, se pueden obtener estimados de errores a través del método, y puede ser aplicado directamente a la solución de análisis de eigenvectores o de vectores Ritz. En todo caso, podemos aprovechar las ventajas de ambos enfoques sin ser obligados a hacer uso del uno o el otro. El conjunto de ecuaciones lineales a solucionar se escribe en la siguiente forma matricial:

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Ax = b ó, LDLT x = b ó, LDy = b donde, LT x = y

(C.30)

donde A es una matriz simétrica N por N que contiene un gran número de términos cero. Las matrices N por M con x desplazamiento y de carga b indican que se puede solucionar más de una condición de carga a la vez. La solución de ecuaciones esta dividida entre los tres pasos siguientes: C10.1 Triangularización o Factorización de la Matriz A

te

ag

a

El primer paso en la solución del grupo de ecuaciones lineales es factorizar la matriz A en el producto de una matriz triangular inferior L, donde todos los términos diagonales son es, en el caso de una iguales a 1.0, multiplicado por una matriz triangular superior U. Eso es, matriz simétrica:

Ar

A= LU = L DLT

(C.31)

N

i

k=1

k=1

ue

z

De la definición básica de multiplicación de matriz, se puede escribir la siguiente siguien ecuación: (C.32)

Va

sq

Aij = ∑LikU kj = ∑LikU kj

ej

an

dr

o

De la Ecuación (C.32), un cuidadoso examen de los límites de la suma indica que se pueden calcular las n-ésimas columnas de la matriz U y las n-ésimas filas de la matriz L, en el orden indicado en la Figura C.3, en base a las siguientes ecuaciones:

r:

(C.34)

ad

o

U nj D jj

pr

Lnj =

(C.33)

po

k=1

Al

i -1

U in = Ain - ∑LikU kn

om

De la Ecuación (C.34) el término diagonal es: n −1

C

D nn = U nn = Ann - Ann donde Ann = ∑ Lnk U kn k =1

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(C.35)

N ésima Columna n th COLUMN 1 3

5

2n-1

7

2 4 6

A = LU →

A = LU

2n n th ROW

z

Ar

te

ag

a

N ésima Fila

sq

ue

Figura C.3 Orden de Cálculo de Filas y Columnas en una Matriz Factorizada

Al

ej

an

dr

o

Va

Si se evalúan estas ecuaciones en el orden apropiado, es posible almacenar la matriz L T en las mismas posiciones que la matriz A original. Ya que los Lnn siempre son iguales a uno, guardados en la diagonal de la matriz original. Por los términos diagonales Dnn pueden ser guardado lo tanto, es posible factorizar la matriz sin requisitos de almacenamiento adicionales. Note que el límite inferior de la suma “k” puede ser cambiado al lugar del primer término no nocero en la columna o fila.

po

r:

C10.2 Eliminación Hacia Adelante an t e d de e la Matriz b

pr

(C.36)

om

LD y = b

ad

o

solució de ecuaciones lineales es realizar una eliminación hacia solució El próximo paso en la solución delante del vector de carga solucionando el siguiente juego de ecuaciones donde y = L T x :

C

La solución viene dada por: n-1

ynm = bnm - ∑Lnk ykm n = 1 . . . . N Dnn k=1

(C.37)

C10.3 Cálculo de x por Sustitución Hacia Atrás Es evidente que los términos desconocidos x ahora pueden ser calculados en base a: n -1

xnm = ynm - ∑Lkn ykm

n = N . . . .1

k=1

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(C.38)

La eliminación hacia adelante y la sustitución hacia atrás se llevan a cabo para todos los vectores de carga desde m=1 hasta el número total de vectores de carga. El hecho de que la fase de factorización está completamente separada de la fase de solución permite que se use la matriz factorizada para la fase tanto estática como dinámica de la solución. En la referencia [3] se presentan las subrutinas FORTRAN, utilizando el almacenamiento de perfil.

ag

a

El determinante de LDLT es el producto del determinante de cada matriz. Por lo tanto, el producto de los términos diagonales de la matriz D es el determinante de la matriz. El determinante de una matriz es de poco valor físico. Sin embargo, las propiedades matemáticas de la secuencia de términos diagonales D nn son muy significativas.

ue

1.00 0.80 0.600    0 1.00 0.421  0 0 1.000

(C.39)

Va

sq

0  1.0 0.0 0.0 5.0 0    0  L DL = 0.8 1.0 0.0  0 3.8 0.6 .421 1.0  0 0 1.527 T

z

Ar

te

es presentadas por las Ecuaciones (C.1), (C.2), y (C.3) pueden ser Las tres ecuaciones factorizadas como:

r:

Al

ej

 0.44828  y= x − 1.4829  1.8865 

(C.40a y C.40b)

po

 0.40000  y − 0.68421 =  1.8865 

an

dr

o

Note que la matriz L es idéntica a la matriz de sustitución hacia atrás de eliminación de Gauss que se presenta en la Ecuación (C.9). También,

om

pr

ad

o

Por tanto, hay muy poca diferencia entre el enfoque de factorización y el método de eliminación de Gauss.

C

C.11 CANCELACIÓN EL A CIÓ DIAGONAL Y PRECISIÓN NUMÉRICA La precisión numérica de la solución de un grupo de ecuaciones lineales puede ser estimada mediante el examen de la expresión para los términos diagonales, Ecuación (C.35). Esto es, en forma simplificada:

D nn = A nn - A nn

(C.41)

Donde A nn es el término original sin modificación en la matriz, y A nn es la modificación del término para producir el nuevo término diagonal D nn . Sabemos que si D nn es cero, o casi cero, la matriz es singular y se debe terminar el algoritmo de solución. Dentro de los -300 a 10300, sistemas modernos de computadoras, los números tienen un rango de 10

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aproximadamente. Por lo tanto, es casi imposible detectar un número cero exacto debido a los errores de redondeo. Sin embargo, lo que es verdaderamente importante es el tamaño del término diagonal original en comparación con el término diagonal reducido. Por lo tanto, se puede estimar el número de cifras decimales significativas que se pierden en base a la siguiente expresión:

f .l. = log 10 ( A nn ) − log 10 ( A )

(C.42)

ue

z

Ar

te

ag

a

Ya que todo cálculo normal de ingeniería se completa dentro de la computadora utilizando aproximadamente unas 15 cifras significativas, una pérdida de más de 12 cifras indica que puede haber errores significativos; por tanto, el ingeniero geniero estructural queda advertido, y el modelo computarizado de la estructura debe ser examinado. Este problema existe si al modelo le faltan las condiciones adecuadas de bordes,, si existe un mecanismo de colapso, o si se usan elementos con rigidez relativa grande.

sq

C.12 RESUMEN

Al

ej

an

dr

o

Va

El enfoque más generalizado para la solución, la inversión y la condensación de ecuaciones de equilibrio es la eliminación Gauss. Al programar este método para usarlo en programas de análisis estructural, se requieren de almacenamiento disperso y la minimización de perfil [4] para minimizar el esfuerzo numérico. rico.. Se debe revisar la cancelación de la diagonal para rico detectar problemas numéricos.

ad

o

po

r:

Para la solución de ecuaciones de equilibrio estructural, no se debe usar el pivoteo. Antes iminar un grado de libertad, el término diagonal siempre representa la rigidez asociada de eliminar con el grado de libertad. Por tanto, un término diagonal cero o casi cero indica que el modelo computarizado de la estructura es inestable.

C

om

pr

En vista de la velocidad de un sistema de computadora, el número de operaciones por segundo, es posible predecir con precisión el tiempo de computadora que se requiere para co solucionar un conjunto de ecuaciones. Por otra parte el tiempo de computadora que requiere un solucionador iterativo, que puede ser más rápido para ciertos sistemas grandes, no puede ite ser pronosticado con precisión. Además, se puede usar directamente la matriz de rigidez triangularizada para generar modos de vibración, que se requieren para un análisis dinámico.

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C.13 REFERENCIAS Wilson, E. 1974. "The Static Condensation Algorithm," International Journal for Numerical Methods in Engineering. Vol. 8. Enero. pp. 198-203.

2.

Wilson, E.L., K. J. Bathe y W. P. Doherty. 1974. "Direct Solution of Large Systems of Linear Equations,” Computers and Structures. Vol. 4. Enero. pp. 363-372.

3.

Wilson E.L., y H. H. Dovey. 1979. "Solution or Reduction of Equilibrium Equations for Large Complex Structural Systems," Advances in Engineering Software. Vol. 1, No. 1. pp. 19-25.

4.

Hoit M. y E. L. Wilson. 1983. "An Equation Numbering Algorithm Based on a 1 Minimum Front Criterion," J. Computers and Structures. Vol. 16, No. 1-4. pp. 225-239.

C

om

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

an

dr

o

Va

sq

ue

z

Ar

te

ag

a

1

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APÉNDICE D EL PROBLEMA DE AUTOVALORES (EIGENVALORES)

Ar

te ag a

Los Autovalores y Autov Autovectores ectores son Propiedades de las Ecuaciones que Modelan el Comportamiento de una Estructura Real

ue

z

INTRODUCCIÓN

Va

sq

El clásico problema matemático del autovalor o valor característico se define como la solución de la siguiente ecuación:

(D.1)

an

dr

o

Av n = λnv n n = 1......N

y v Tn v m 0 =

po

v Tn v n = 1

r:

Al

ej

La matriz A N por N es real y simétrica; sin embargo, podría ser singular y tener autovalores λ n nulos.. Un autovector o vector característico v n típico tiene las siguientes propiedades de ortogonalidad:

si n ≠ m, por lo tanto

v Av n = λ n y = v Av m 0 si n ≠ m T n

(D.2)

pr

ad o

T n

om

Si se consideran todos los vectores característicos V, el problema puede escribirse así:

= AV ΩVΩ ó V T = AV ΩΩ

C

D.1

(D.3)

Existen muchos métodos numéricos diferentes para resolver la Ecuación (D.3) para los autovectores V y la matriz diagonal de autovalores Ω . En general, en el análisis estructural, es necesario solamente resolver para los autovalores exactos de matrices pequeñas. Por eso, se seleccionarán los más confiables y robustos porque el tiempo de computación siempre será relativamente pequeño. Para determinar los modos de vibración y frecuencias dinámico de sistemas estructurales grandes, los vectores de iteración de sub-espacio, o los vectores Ritz Dependientes de Carga, LDR (Load Dependent Ritz), representan los enfoques más eficientes.

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D.2

EL METODO DE JACOBI Uno de los enfoques más viejos y más generalizados para la solución del problema clásico del autovalor es el método de Jacobi, que fue presentado por primera vez en el año 1846. Es un algoritmo sencillo iterativo donde los autovectores son calculados en base a la siguiente serie de multiplicaciones de matriz: V = T ( 0) T ( 1) .....T ( k) .........T (n−1) T ( n)

(D.4)

Ar z

(D.5)

ue

− − − −  − −  − − − −  − − − −  − −

sq

− − − − − − − − Tij − − − − − − − − Tjj − − − − − −

Va

− − − − − Tii − − − − − Tji − − − −

o

T ( k)

− −  −  − = −  − −  −

te ag a

( k) La matriz T ( 0) inicial de transformación se fija a una matriz identidad. La matriz T de transformación ortogonal iterativa, con cuatro términos no-cero en las filas y columnas i y j, tiene la siguiente forma ortogonal:

ej

an

dr

Los cuatro términos no-cero cero son funciones de un ángulo θ de rotación desconocido, y se definen así:

−Tij = senθ Tii = T jj = cosθ y T ji =

r:

Al

(D.6)

ad o

po

Por tanto, T ( k)T T ( k) = I , que es independiente del ángulo θ . La iteración típica implica la siguiente operación de matriz: A ( k) = T ( k)T A ( k−1) T ( k)

pr

(D.7)

C

om

Se selecciona el ángulo para forzar que los términos i,j y j,i en la matriz A ( k) sean cero. Esto se satisface si el ángulo se cal calcula mediante: 2A ij( k−1) tan 2θ =( k−1) A ii − A (jjk−1)

(D.8)

El clásico algoritmo para determinar los autovalores de Jacobi se resume dentro de la subrutina de computadora que se presenta en la Tabla D.1. Tabla D.1 Subrutina para Resolver el Problema de Valor Característico Simétrico

C C C

SUBROUTINE JACOBI(A,V,NEQ,TL) IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-Z) DIMENSION A(NEQ,NEQ),V(NEQ,NEQ) EIGENVALUE SOLUTION BY JACOBI METHOD WRITTEN BY ED WILSON DEC. 25, 1990 A – MATRIX (ANY RANK) TO BE SOLVED ---

C---- CALCULATE ROTATION ANGLE ---------AA=ATAN2(2.0*A(I,J),A(I,I)-(J,J))/2.0 SI = DSIN(AA) CO = DCOS(AA) C---- MODIFY "I" AND "J" COLUMNS -------DO 500 K=1,NEQ

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500 C----

C----

Va

sq

ue

z

Ar

te ag a

600 C---700 C----

TT = A(K,I) A(K,I) = CO*TT + SI*A(K,J) A(K,J) = -SI*TT + CO*A(K,J) TT = V(K,I) V(K,I) = CO*TT + SI*V(K,J) V(K,J) = -SI*TT + CO*V(K,J) MODIFY DIAGONAL TERMS ------------A(I,I) = CO*A(I,I) + SI*A(J,I) A(J,J) =-SI*A(I,J) + CO*A(J,J) A(I,J) = ZERO MAKE "A" MATRIX SYMMETRICAL ------DO 600 K=1,NEQ A(I,K) = A(K,I) A(J,K) = A(K,J) CONTINUE A(I,J) MADE ZERO BY ROTATION -----CONTINUE CHECK FOR CONVERGENCE ------------IF(DABS(SSUM)/SUM .GT.TOL)GO TO 400 RETURN END

dr

o

C EIGENVALUES ON DIAGONAL C V - MATRIX OF EIGENVECTORS PRODUCED C TL- NUMBER OF SIGNIFICANT FIGURES C---- INITIALIZATION ----------------------ZERO = 0.0D0 SUM = ZERO TOL = DABS(TL) C---- SET INITIAL EIGENVECTORS ------------DO 200 I=1,NEQ DO 190 J=1,NEQ IF (TL.GT.ZERO) V(I,J) = ZERO 190 SUM = SUM + DABS(A(I,J)) IF (TL.GT.ZERO) V(I,I) = 1.0 200 CONTINUE C---- CHECK FOR TRIVIAL PROBLEM ----------IF (NEQ.EQ.1) RETURN IF (SUM.LE.ZERO) RETURN SUM = SUM/DFLOAT(NEQ*NEQ) C------------------------------------------C---- REDUCE MATRIX TO DIAGONAL -----------C------------------------------------------400 SSUM = ZERO AMAX = ZERO DO 700 J=2,NEQ IH = J – 1 DO 700 I=1,IH C---- CHECK IF A(I,J) IS TO BE REDUCED ----AA = DABS(A(I,J)) IF (AA.GT.AMAX) AMAX = AA SSUM = SSUM + AA IF (AA.LT.0.1*AMAX) GO TO 700

ad o

po

r:

Al

ej

an

Se puede notar que la subrutina rutina para la solución del problema del autovalor simétrico a través del método de Jacobi clásico no contiene ninguna división por un número.. También, se puede comprobar que después de cada ciclo de iteración, siempre se reduce la suma absoluta de los términos fuera de la diagonal. Por eso, el método siempre tendrá convergencia y producirá una solución precisa para los valores característicos positivos, negativos o cero.

C

om

pr

El algoritmo Jacobi puede ser aplicado directamente a todos los términos fuera de la secuencia, hasta que se reduzcan todos los términos a un número diagonal, en secuencia, pequeño en comparación con el valor absoluto de todos los términos en la matriz. Sin embargo, la subrutina presentada usa un enfoque de “umbral” donde omite los términos fuera de la diagonal relativamente pequeños y opera solamente en los términos grandes fuera de la diagonal. Para reducir a cero un término fuera de la diagonal, se requieren aproximadamente 8N operaciones numéricas. Claramente no se puede predecir con precisión el número total de operaciones numéricas porque constituye un método iterativo; sin embargo, la experiencia indica que el número total de operaciones numéricas para lograr la convergencia es del orden de 10N3. Suponiendo que una computadora personal moderna (1998) puede realizar más de 6,000,000 operaciones por segundo, se requiere de aproximadamente un segundo de tiempo de computadora para

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calcular los valores característicos y los vectores característicos de una matriz completa 100 por 100.

CÁLCULO DE LOS ESFUERZOS PRINCIPALES 3D

te ag a

El cálculo de los esfuerzos principales de un sólido tridimensional puede ser evaluado numéricamente en base a los esfuerzos en el sistema xyz solucionando una ecuación cúbica. Sin embargo, la definición de las direcciones de los esfuerzos principales no constituye un procedimiento sencillo. Un enfoque alternativo de este problema es escribir la ecuación básica de transformación de esfuerzo en términos de las direcciones desconocidas de los esfuerzos principales en el sistema de referencia 1-2-3. Así:

(D.9)

sq

ue

z

Ar

σ 1 0 0  V x1 V y1 V z1  σ x τ xy τ xz V x1 V x2 V x3           0 σ 2 0  = V x2 V y2 V z2 τ yx σ y τ yz V y1 V y2 V y3         0 0 σ 3 V x3 V y3 V z3  τ zx τ zy σ z  V z1 V z2 V z3    

Va

O en forma simbólica:

(D.10)

dr

o

ΩΩ = V T S V

po

= SV V Ω

r:

Al

ej

an

cosenos direccionales. direccionales Ya que V V T es una matriz donde V es la matriz estándar de cosenos unitaria,, la Ecuación (D.3) puede escribirse como el siguiente problema de autovalor: (D.11)

om

pr

ad o

Aquí Ω es una matriz diagonal desconocida de los esfuerzos principales (autovalores)) y V es la matriz de estándar de cosenos direccionales desconocida autovectores)) que definen de manera autovectores m (autovectores) única las direcciones de los esfuerzos principales. Para ilustrar la aplicación práctica del método de Jacobi clásico, considere el siguiente estado de esfuerzo:

C

D.3

 σ x τ xy τ xz    120 − 55 − 75 S = τ yx σ y τ yz = − 55 − 55 33       − 75 33 − 85  τ zx τ zy σ z 

(D.12)

Los autovalores, los esfuerzos principales, y los autovectores (cosenos direccionales) son:

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σ 1   162.54  σ  =  −8 60.4  y  2   σ 3  − 114.14

 .224 .352 .909    V = − .308 .910 − .277    .925 .217 − .312

(D.13)

La solución de un problema de valor característico 3 por 3 puede considerarse como un problema numérico trivial. Se pueden solucionar varios cientos de estos problemas mediante del método clásico de Jacobi en un segundo de tiempo de computadora. Note que es posible que existan autovalores negativos.

SOLUCIÓN DEL PROBLEMA GENERAL DE VALOR CARACTERÍSTICO

te ag a

D.4

El problema general de autovalor se escribe como:

Ar

= AV ΩB V Ω

(D.14)

Va

sq

ue

z

donde A y B son matrices simétricas. El primer paso es calcular los autovectores V B de la matriz B.. Ahora podemos dejar que los vectores característicos V sean una combinación lineal de los autovectores de la matriz B. Esto es: (D.15)

dr

o

V = ΩV B V

Al

ej

an

La sustitución de la Ecuación (D.15) en la Ecuación (D.14) y la multiplicación de ambos lados por V BT produce: V BT AV B V = ΩV BT B V B V Ω

po

r:

(D.16)

pr

ad o

Si todos los valores característicos de la matriz B son diferentes de cero, se pueden normalizar éstos de manera que V BT B V B = I . Por lo tanto, la ecuación (D.16) puede ser escrita en la siguiente forma clásica:

A = V VΩ

om

(D.17)

C

donde A = V BT AV B . De esta manera, el problema general del autovalor puede solucionarse aplicando el algoritmo de Jacobi a ambas matrices. Si la matriz B es diagonal, la matriz de los vectores característicos VB será diagonal, con los términos diagonales iguales a 1/

Bnn . Este es el caso de una matriz de masas

concentradas. También, la masa debe ser asociada con todos los grados de libertad, y se deben calcular todos los autovectores y autovalores.

D.5

RESUMEN En esta sección se ha presentado en detalle solamente el método de Jacobi. Se limita a pequeñas matrices completas para las cuales se requieren todos los autovalores.

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C

om

pr

ad o

po

r:

Al

ej

an

dr

o

Va

sq

ue

z

Ar

te ag a

Para este problema, el método es muy robusto y sencillo de programar. Para el análisis dinámico modal de sistemas estructurales grandes, o para el análisis de estabilidad de sistemas estructurales, se recomiendan otros métodos numéricamente más eficientes.

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APÉNDICE E

ag

a

TRANSFORMACIÓN DE LAS PROPIEDADES DE LOS MATERIALES

sq

ue

INTRODUCCIÓN

1

−

ν 23

E3

r:

o

ad

pr

om

E3

Al

E2

ν 13

−

ν 32

1

E2

−

ν 42

E3

−

ν 52

−

E2

E2 ν 62 E2

−

ν 43

−

ν 53

−

−

− −

E3

E4

ν 24

E4 ν 34 E4 1

E3

E3 ν 63

ν 14

dr

E2

−

an

ν 12

ej

−

po

 1   E1  ν 21 − E ε  1  1  ε   ν 31  ε 2  − E  3 = 1  γ 21   ν 41  γ 31  − E γ   1  23   ν 51 − E  1  − ν 61  E  1

o

Va

Las propiedades materiales ortótropas as se definen en un sistema de coord coordenadas local 1-2-3, por la siguiente expresión:

C

E.1

z

Ar

te

Muchos de los Nuevos Materiales Usados en la Ingeniería Estructural Poseen Propiedades Materiales Ortótropas Ortótrop

E4 − −

−

ν 15

−

ν 25

−

ν 35

−

5 ν 45

E5

E5

E

E5

ν 54

1

E4 ν 64

E5

E4

−

ν 65

E5

−

ν 16 

  ν 26  −  E6  α1    σ1  ν 36    α  σ2 −    α2   E6 σ   3  + ∆T  3  (E.1) ν 46   τ 21   α 21  −  α 31    τ 31  E6 α   τ   23  ν 56   23  − E6   1  E6  E6

O en notación matricial: = d Cf + ∆Ta

(E.2)

Sin embargo, es necesario escribir ecuaciones de equilibrio y otras ecuaciones en un sistema común de coordenadas “globales” xyz. Por lo tanto, esto es necesario para que la Ecuación (E.2) sea convertida, o rotada, al sistema xyz.

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La ecuación clásica para la transformación de esfuerzo tridimensional puede escribirse como la siguiente ecuación de matriz, considerando el equilibrio de un elemento tridimensional:  σ1 τ12 τ13 V x1 V y1 V z1  σx τxy τxz  V x1 V x2 V x3          = V x2 V y2 V z2 τyx σ y τyz V y1 V y2 V y3 τ21 σ2 τ23        τ31 τ32 σ3 V x3 V y3 V z3  τzx τzy σz V z1 V z2 V z3

(E.3)

te

ag

a

donde V xi ,V yi , y V zi son los cosenos direccionales del eje “i” con re respecto al sistema global xyz. La Ecuación (E.3) puede ser ampliada hasta nueve ecuaciones

Ar

escalares. Sin embargo, debido al equilibrio, existen solamente seis esfuerzos

ue

z

independientes en cada sistema. Por eso, los 6 esfuerzos en el sistema local

sq

pueden escribirse de la siguiente forma en términos de 6 esfuerzos globales:

Va

σ = a σg

(E.4)

dr

o

nsformación de esfuerzo 6 por 6 que debe ser donde “a” es una matriz de transformación

an

formada numéricamente para cada elemento diferente dentro de un sistema

ej

estructural. Un enfoque sería formar expresiones analíticas, en términos de los

Al

productos de los cosenos direccionales, para cada uno de los 36 términos en la p

po

r:

matriz. Como alternativa de este enfoque algebraico tradicional, se puede evaluar

o

numéricamente, dentro del programa de computadora, la matriz 6 por 6,

ad

directamente desde la matriz 3 por 3 de coseno direccional. Este enfoque sencillo

pr

queda de FORTRAN que se presenta en la Tabla eda mejor ilustrado por la subrutina sub

om

E.1. Se nota que se usa un arreglo entero “IJ” 3 por 3 para correlacionar el

C

esfuerzo 3 por 3 a una matriz de columna 6 por 1.

Tabla E.1 Formación de la Matriz “ a” SUBROUTINE CALA(A,V) DIMENSION A(6,6),V(4,3),IJ(3,3) DATA IJ/1,4,5, 4,2,6, 5,6,3/ C---- ZERO 6 by 6 STRESS TRANSFORMATION MATRIX ---DO 100 I=1,6 DO 100 J=1,6

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te

ag

a

100 A(I,J) = 0.0 C---- FORM “A” ARRAY -----------------------------DO 400 II=1,3 DO 400 JJ=II,3 I = IJ(II,JJ) DO 300 K=1,3 DO 300 L=1,3 J = IJ(K,L) 300 A(I,J) = A(I,J) + V(K,II)*V(L,JJ) 400 CONTINUE C---- MATRIX FORMED ------------------------------RETURN END

z

Ar

También, se pueden escribir las ecuaciones clásicas de transformación de deformación como sigue:

ue

εg = a T ε

(E.5)

Va

sq

Ahora se puede escribir la Ecuación ón (E.1) en el sistema global xyz como: (E.6)

o

εg = Cg ε + εog

an

dr

donde:

Al

(E.7) (E.8)

r:

εog = ∆T a T α

ej

Cg = a T C a

RESUMEN R ESU

C

E.2

om

pr

ad

o

po

Ya que cada elemento de un sistema estructural complejo puede ttener propiedades materiales ortótropa ortótropas diferentes, la multiplicación de matrices que se requiere para calcular las Ecuaciones (E.7) y (E.8) se evalúa numéricamente dentro del del programa de computadora antes de la inversión de Cg .

Muchas propiedade propiedades materiales son ortótropas. En el pasado el ingeniero estructural muchas veces ha descuidado el uso de estas propiedades, debido al aumento de los requisitos para los cálculos manuales. Sin embargo, las propiedades materiales pueden ser integradas fácilmente en programas modernos de computadora sin un aumento significativo de tiempo de computación. Las ecuaciones necesarias para transformar estas propiedades locales dentro de cada elemento a un sistema común de referencia global han sido presentadas en el presente apéndice.

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APÉNDICE F

Ar

te

ag

a

UN ELEMENTO DE VIGA BASADO EN DESPLAZAMIENTO CON DEFORMACIONES EFORMACIONES DE CORTANTE

INTRODUCCIÓN

Va

F.1

sq

ue

z

Nunca emplee una Función Cúbica de Aproximación Para una Viga No No-Prismática

ad

o

po

r:

Al

ej

an

dr

o

En este apéndice se presenta un desarrollo único de un elemento de viga basado deformaciones de cortante transversales. El objetivo de en desplazamientos con deformaciones esta formulación es desarrollar ecuaciones de coacción que puedan ser utilizadas en el desarrollo de un elemento de flexión de pla placa con deformaciones de cortante. Las ecuaciones que se desarrollen, basadas en un desplazamiento cúbico, se aplican a una viga con sección transversal constante, sometida a carga en el extremo solamente. Para este problema problema, tanto los métodos de fuerzas como los de desplazamiento producen resultados idénticos.

C

om

pr

Para incluir la deformación de cortante en elementos de flexión de pla placa, es necesario condicionar las deformaciones por cortante para que sean constantes a lo largo de cada borde del elemento. Un enfoque sencillo para explicar esta suposición fundamental es considerar un borde típico de elemento de pla placa como una viga profunda, tal como se indica en la Figura F.1. F.2

SUPOSICIONES BÁSICAS

En referencia a la Figura F.1, se hacen las siguientes suposiciones en cuanto a los campos de desplazamiento:

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θ

z, w

j

POSICIÓN DEFORMADA

θ

i

w

j

a

POSICIÓN INICIAL

w i

ag

L

te

-s

x, u

+s

ue

z

Ar

0 -1 +1 Figura F.1 Elemento Típico de Viga con Deformaciones de Cortante

o

Va

sq

Primero, el desplazamiento horizontal causado por la flexión puede expresarse en términos de la rotación promedio, θ , de la sección de la viga usando la siguiente ecuación: (F.1)

an

dr

u = - zθ

ej

donde z es la distancia desde el eje neutro neutro.

po

r:

Al

Segundo, la suposición consistente para desplazamiento normal cúbico es que la rotación promedio de la sección se expresa de la siguiente manera:

ad

o

θ = N 1θ i + N 2θ j + N 3 ∆θ

(F.2)

pr

La ecuaci ecuación cúbica para el desplazamiento vertical w se expresa así:

C

om

= w N 1wi + N 2 w j + N 3 β 1 + N 4 β 2

(F.3a)

donde: N1=

1- s 1+ s , N2= , N 3 = 1 - s2 y N 4 = s(1 - s2) 2 2

(F.3b)

Note que el término (1 − s2 )∆θ es la rotación relativa con respecto a una función lineal; por lo tanto, esto es una rotación jerárquica con respecto al desplazamiento en el centro del elemento. Se nota la forma

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simple de las ecuaciones cuando se usa el sistema de coordenadas natural. Es evidente que la variable global x está relacionada a la coordenada L natural s por la ecuación x = s. Por lo tanto: 2

L

∂x =

2

∂s

(F.4)

∂w -θ ∂x ∂x

te

γ xz =

por lo tanto,

(F.5)

Ar

∂w ∂u + ; ∂x ∂z

z

γ xz =

ag

a

Tercero, la definición de elasticidad de la deformación por cortante “efectivo” es:

ue

∂w 2 ∂w , la evaluación de la deformación por cortante, = ∂x L ∂s

sq

Puesto que

dr

o

Va

la Ecuación (F.5), produce una expresión en función de constantes, una ecuación lineal en términos de s, y una ecuación parabólica en términos de s2. Esto es:

ej

an

1 4 2 γ xz = ( w j - wi ) - s β 1 - (1 - 3 s2) β 2 L L L 1- s 1+ s θi θ j - (1 - s2)α 2 2

po

r:

Al

(F.6)

ad

o

Si las expresiones lineales y parabólicas se igualan a cero, se determinan las coacción: siguientes ecuaciones de coa (F.7a)

L β 2 = ∆θ 6

(F.7b)

C

om

pr

L β 1 = (θ i - θ j ) 8

Los desplazamientos normales, Ecuación (F.2), ahora puede escribirse como: L L w = N 1 wi + N 2 w j + N 3 (θ i - θ j ) + N 4 α 8 6

(F.8)

También, la deformación efectiva por cortante a lo largo de la viga es constante y está dada por:

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1 1 2 γ xz = ( w j - wi ) - (θ i + θ j ) - ∆θ L 2 3

(F.9)

Ahora, las deformaciones por flexión normal para un elemento de viga pueden ser calculadas directamente de la Ecuación (2.1) en base a la siguiente ecuación: εx =

2 z ∂θ z ∂u == [θ i - θ j + 4 s∆θ ] ∂x L ∂s L

(F.10)

te

ag

a

Además, la deformación por flexión ε x puede expresarse en función del término n el momento de la sección M. ψ de curvatura de viga, que está asociado con Tenemos entonces:

Ar

ε x = zψ

(F.11)

sq

ue

z

La relación deformación-desplazamiento desplazamiento para el elemento de flexión, incluyendo las deformaciones por cortante, pueden expresarse mediante la siguiente matriz:

(F.12)

Al

ej

an

dr

o

Va

θi  θ  −1 0 0 4 s  j  ψ  1 1 γ  = − L / 2 − L / 2 − 1 1 − 2L / 3  wi  ó, d = B u  xz  L  w   j ∆θ 

r:

La relación fuerza-deformación deformación para un elemento de flexión se expresa así: 2  M   z E dA V  =  0   

o

∫

(F.13)

pr

ad

 ψ     ó, σf = C d Δ α G dA  γ xz   0

po

∫

C

om

donde E es el módulo de Young, αG es el módulo efectivo de cortante, y V es el cortante total que actúa sobre la sección. La aplicación licación de la teoría de energía potencial mínima produce una matriz de rigidez de un elemento de 5 por 5 con la siguiente forma: K=

L

B 2∫

T

CB ds

(F.14)

Se usa la condensación estática para eliminar ∆θ para producir la matriz de rigidez de elemento 4 por 4.

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F.3

ÁREA EFECTIVA DE CORTANTE

Para una viga rectangular homogénea de ancho “b” y altura “d”, la distribución del cortante a través de la sección transversal, obtenida de la resistencia de materiales, se expresa así: 2

2z = τ [1 −   ] τ 0  d

(F.15)

Ar

V

(F.16)

ue

bd

z

3

τ0 =

te

ag

a

donde τ 0 es el esfuerzo máximo de cortante en el eje neutro de la viga. La integración del esfuerzo por cortante sobre la sección transversal produce la siguiente ecuación de equilibrio:

2

Va

 2z  [1 −   ] τ 0 G  d 1

(F.17)

o

= γ

sq

La deformación por cortante se expresa de la siguiente forma: forma

1 γ τ dA = 2

3

Al

ej

∫

5bdG

V2

(F.18)

r:

EI =

an

dr

La energía interna de deformación por unidad de longitud de la viga es:

1 2

po

El trabajo externo por unidad de longitud de viga es: (F.19)

pr

ad

o

EE = V γ xz

C

om

Igualando la energía externa a la interna, obtenemos lo siguiente: 5 6

V = G bdγ xz

(F.20)

Por lo tanto, el factor de reducción de área para una viga rectangular es: α=

5 6

(F.21)

Para vigas y placas no homogéneas, se puede usar el mismo método general para calcular el factor del área de cortante.

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APÉNDICE G INTEGRACIÓN NUMÉRICA

Ar

INTRODUCCIÓN

r:

Al

ej

an

dr

o

Va

sq

ue

z

La educación tradicional en matemáticas implica que se debe emplear la integración exacta cada vez que sea posible. De hecho, se recomienda usar la integración numérica aproximada solamente en aquellos casos donde no es posible la integración exacta. Sin embargo, en el desarrollo de las matrices de rigidez de elementos finitos, que están basadas en funcio funciones aproximadoss que no satisfacen el equilibrio, se ha de desplazamientos aproximado determinado que los métodos de integración numérica aproximada pueden producir resultados más precisos, y logran convergencia más rápid rápidamente, que la integración exacta.

om

pr

ad

o

po

En el presente apéndice sse desarrollarán y se resumirán fórmulas de ación numérica uni-, biintegración bi-, y tridimensionales. Muchas veces se llaman a estas fórmulas las r eglas numér icas de cuadr atur a. El término integración eg r a ció r educida implica que se usa una fórmula de integración de ordenn inferior, y que se prescinden de ciertas funciones de manera orde intencional. Para que las reglas de integración sean generales, las funciones a ser integradas deben estar dentro del rango de –1.0 a +1.0. Se puede introducir un simple cambio de variable para transformar cualquier integral a este sistema de referencia natural. Por ejemplo, considere la siguiente integral unidimensional:

C

G.1

te

ag

a

La Integración Exacta de Soluciones Aproximadas Puede No Producir los Resultados Más Realistas

x2

I = ∫ f ( x) dx x1

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(G.1)

La introducción del cambio de variable = x

1 1 (1 − r ) x1 + (1 + r ) x 2 permite que 2 2

se exprese la integral como: −1

I = J∫ f (r ) dr = J I r

(G.2)

−1

Es evidente que:

dx = ( x 2 − x1 ) dr = J dr

a

(G.3)

dr

o

CUADRATURA DE GAUSS SU UNIDIMENSIONAL NID

Al

ej

an

La integración de una función unidimensional unidimensional requiere que el integral sea escrito en la siguiente forma: −1

N

−1

po

r:

Ir = wi f (ri ) w1 f (r1 ) + w2 f (r2 ) + ....wN f (rN ) ∑= ∫ f (r ) dr =

(G.4)

i =1

pr

ad

o

Se evalúa el integral en los puntos Gauss ri y los factores de peso de Gauss correspondientes son wi . Para conservar la simetría, se ubican los puntos de Gauss en

om

desd el centro con pesos iguales. el centro o en pares a puntos iguales desde Consideremos el caso donde la función que se debe integrar es e un polinomio de la 2 3 n forma= f (r ) a0 + a1r + a2r + a3r + ...an r . O en un punto típico de integración

C

G.2

Va

sq

ue

z

Ar

te

ag

El término matemático J se define como el Jacobiano de la transformación. transformación dimensionales, el Jacobiano es más complicado y es Para integrales bi- y tridimensionales, proporcional al área y al volumen del elemento, respectivamente. Normalmente la aproximación del desplazamiento se escribe directamente en el sistema dde t. Por eso, no se requiere ningún n referencia isoparamétrico tridimensional r, s y t. cambio de variable para integrar la función. función.

numérica:

f (ri ) a0 + a1ri + a2ri2 + a3ri3 + ...an rin =

(G.5)

Es evidente que los integrales de las potencias impares del polinomio son cero. La integración exacta de las potencias pares del polinomio produce la siguiente ecuación:

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−1

1

2an 2 2 Ir = 2a0 + a2 + a4 + .... ∑n ∫ anr n dr = ∑n = ∫−1 f (r ) dr = n + 1 3 5 −1

(G.6)

Una regla de uno a tres puntos se escribe como sigue:

I r w α f (−α) + w 0 f (0) + w α f (α) =

(G.7)

Así, según las Ecuaciones (G.5) y (G.7), una regla de integración de un punto en r = 0 sería: (G.8)

ag

a

Ir = w0 a 0 = 2a 0 ó, w0 = 2

Ar

te

Igualmente, una regla de integración de dos puntos en = r ± α arroja: 2 3

ue

z

I r = wα ( a0 + a1α + a2α 2 ) + wα ( a0 − a1α + a2α 2 ) = 2a0 + a2

(G.9)

Va 1 3

o

2 a 2, ó 3

α =

an

2 wα a 2α 2 =

ó wα = 1

dr

2 wα a 0 = ,2a 0

sq

Igualando los coeficientes de a0 y a2 se obtienen las siguientes ecuaciones: (G.10)

Al

ej

Una reglaa de integración de tres puntos requiere lo siguiente:

r:

= I r wα ( a0 + a1α + a2α 2 + a3α 3 + a4α 4 ) + w0 a0

(G.11)

ad

o

po

2 2 + wα ( a0 − a1α + a2α 2 − a3α 3 + a4α 4= ) 2a0 + a2 + a4 3 5

C

om

pr

Igualando los coeficientes de a0 y a2 , se obtienen las siguientes ecuaciones: 2 wα a0 + w0 a0 = 2a0 ó, 2 wα + w0 = 2 2 wα a2α 2 =

2 a2 3

ó, α 2 =

1 3wα

2 wα a4α 4 =

2 a4 5

ó, α 4 =

1 5wα

(G.12)

La solución de estas tres ecuaciones precisa que:

5 8 3 wα = , w0 = y α= 9 9 5

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(G.13)

te

INTEGRACIÓN NUMÉRICA EN DOS DIMENSIONES NSIONE

Ar

G.3

ag

a

Note que la suma de las funciones de peso para todas las reglas de integración unidimensional es igual a 2.0, o la longitud del intervalo de integración desde –1 hasta +1. Queda claro que se pueden desarrollar reglas de integración de orden superior utilizando el mismo enfoque con más puntos de integración. Es evidente que el método Gauss con N puntos integra con exactitud polinomios de orden 2N-1 o menores2. Sin embargo, las funciones de elemento finito no son polinomios en el sistema de referencia global si el elemento no es un rectángulo. Por tanto, para elementos isoparamétricos arbitrarios, todas las funciones son evaluadas de manera aproximada.

=i 1=j 1

(G.14)

o

−1−1

N

sq

∫∫

N

f (r , s) dr ds = ∑∑ wi w j f (ri sj )

Va

I rs =

1 1

ue

z

El enfoque de Gauss unidimensional dimensional puede ser ampliad ampliado a la evaluación de dimensionales de la siguiente forma: integrales bidimensionales

ad

o

UNA REGLA GL A B BIDIMENSIONAL DE OCHO PUNTOS

om

pr

Es posible desarrollar reglas dde integración para elementos bidimensionales que produzcan la misma precisión que las reglas de Gauss unidimensionales que usan bidimensional tiene la siguiente forma: menos puntos. Un polinomio general bi

C

G.4

po

r:

Al

ej

an

dr

Usando las reglas de Gauss unidimensionales en ambas direcciones r y s, se puede evaluar la Ecuación (G.14) directamente. La integración dos por dos requiere de cuatro puntos, y la integración tres por tres requiere de nueve puntos. Para dos dimensiones, la suma de los factores de peso wi w j será de 4.0, o el área del elemento en el sistema de referencia natural.

f (r , s) = ∑ anm r n sm

(G.15)

n ,m

Un término típico en la Ecuación (G.15) podría ser integrado de manera exacta. Así: 1 1

∫ ∫ anm r

−1 −1

n m

s dr ds =

4 anm si n y m son ambos pares. (n + 1)(m + 1)

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(G.16)

Se podría escribir una regla de integración bidimensional de N puntos como: N

I = ∑ w i f (ri , si ) = a00 ∑ w i + a10 ∑ w i ri + a01 ∑ w i si i =1

i

+ a11

i

(G.17)

i

∑ wi si ri + a20 ∑ wi ri + .........anm ∑ wi rin sim 2

i

i

i

Los ocho puntos de integración, que se presentan en la Figura G.1, producen una regla bidimensional que se puede resumir así: (G.18)

ag

a

= I wα f (±α ,±α) + wβ [ f (±β,0) + f (0,±β)]

Ar

te

Haciendo iguales todos los términos no-cero en el polinomio integrado del quinto orden produce las cuatro ecuaciones siguientes en términos de cuatro incógnitas:

ue

z

a00 : 4wα + 4wβ = 4

(G.19)

Va

a22 : 4 wα α 4 = 4 / 9

sq

a02 a20 : 4 wα α 2 + 2 wβ β 2 = 4/3

Al

ej

an

dr

o

a40 a04 : 4 wα α 4 + 2 wβ β 4 = 4/5

r:

β

49

Wα = 1 . 0

α

α =

ad

o

po

W β = 40 = ?

α

C

om

pr

β =

Wβ

3

1.0

Wα

2 - 2 Wα 3W β

Figura G.1 Regla de Integración Bidimensional de Ocho Puntos

La solución de estas ecuaciones produce las siguientes ubicaciones de los ocho puntos y sus factores de peso:

α=

7 9

β=

7 15

wα =

9 49

wβ =

40 49

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(G.20)

Es evidente que la regla bidimensional de ocho puntos tiene la misma precisión que la regla Gauss 3 por 3. Hay que notar que la suma de los ocho factores de peso es de 4.0, el área del elemento.

G.5

UNA REGLA DE ORDEN INFERIOR DE OCHO PUNTOS

ag

2 − 2 wα β= 3wα

te

1 α= 3 wα

(G.21)

Ar

1.0 − wβ wβ =? wα =

a

Se puede producir una regla de integración de orden inferior, o reducido, al dejar de satisfacer la ecuación asociada con a 40 en la Ecuación G.19. Esto permite que se especifique el factor de peso wβ de manera arbitraria. Entonces:

Va

UNA REGLA DE INTEGRACIÓN ÓN D DE E CINCO PUNTOS

om

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

an

dr

o

Utilizando el mismo enfoque, se puede producir una regla de integración de cinco puntos, como se indica en la Figura G.2.

α

W0 = ? α

Wα = 1.0−W0 / 4 α = 1.0 3 Wα

C

G.6

sq

ue

z

Por tanto, si wβ = 0 , la regla se reduce a la regla de Gauss 2 por 2. Si se fija wβ en 40/49, la precisión es igual que la regla de Gauss 3 por p 3.

Figura G.2 Regla de Integración de Cinco Puntos Se puede escribir la regla bidimensional de cinco puntos como sigue: = I wα f (±α ,±α) + w0 f (0,0)

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(G.22)

Haciendo iguales todos los términos no nulos en el polinomio integrado del tercer orden se obtienen las dos ecuaciones siguientes en función de tres incógnitas: a00 : 4 wα + 4 wβ = 4

(G.23)

a20 a02 : 4 wα α 2 = 4 / 3

ag

a

Esto tiene igual o más precisión que la regla de Gauss 2 por 2 para cualquier valor del factor de peso del nodo del centro. La regla de integración numérica bidimensional de cinco puntos se resume así:

y α=

1 3wα

(G.24)

Ar

te

w0 = Libre para elegir = wα (4 − w0 ) / 4

sq

ue

z

Esta ecuación se usa muchas veces para agregarle estabilidad a un elemento que tenga deficiencia de rango cuando se usa la integración 2 por 2. Por ejemplo, se ha usado la siguiente regla por este motivo:

y α = 0.5776391

Va

w0 = .004 wα = 0.999

(G.25)

ej

an

dr

o

ón de cinco pun Ya que la regla de integración puntos tiene una precisión de tercer orden como mínimo para cualquier valor del factor de peso del centro, es posible la siguiente regla:

y α = 10.0

(G.26)

r:

Al

w0 = 8 / 3 wα = 1 / 3

R REGLAS EG DE INTEGRACIÓN TRIDIMENSIONALES

C

G.7

om

pr

ad

o

po

Por lo tanto, los puntos de integración se encuentran en el nodo del centro y en los cuatro puntos nodales del elemento bidimensional. Por eso, para esta regla no es necesario proyectar esfuerzos del punto de integración para estimar los esfuerzos del punto nodal.

Las reglas de Gauss unidimensionales pueden ser ampliadas directamente a la integración numérica dentro de los elementos tridimensionales en el sistema de referencia r, s y t. Sin embargo, la regla 3 por 3 por 3 requiere 27 puntos de integración y la regla 2 por 2 por 2 requiere 8 puntos. Además, no se pueden derivar los beneficios de la integración reducía de la aplicación directa de las reglas de Gauss. De manera similar al caso de los elementos bidimensionales, se pueden producir elementos más precisos y útiles utilizando menos puntos.

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Primero, considere una regla de integración numérica tridimensionalde 14 puntos, que se escribe en la siguiente forma: = I wα f (±α ,±α ,±α) + wβ [ f (±β,0,0) + f (0,±β,0) + f (0,0,±β)]

(G.27)

Un polinomio tridimensional general tiene la siguiente forma:

f (r , s, t ) =

anml r n smt l ∑ nml

(G.28)

, ,

n m l

s t dr ds dt =

(G.29)

z

−1−1−1

8 anml (n + 1)(m + 1)(l + 1)

te

∫ ∫ ∫ anml r

Ar

1 1 1

ag

a

Un término típico en laa Ecuación (G.27) puede ser integrado de manera exacta. Esto es:

dr

o

Va

sq

ue

Si n, m y l son todos números pares, Ecuación (G.29) es no-cero; sin embargo, no para todos los demás casos, el integral es cero. Igual que el caso de dos dimensiones, nes, haciendo iguales todos los términos no-cero no del quinto orden produce el siguiente grupo de cuatro ecuaciones en función de cuatro incógnitas:

an

a000 : 8wα + 6wβ = 8

ej

a200 a020 a002 : 8wα α 2 + 2wβ β 2= 8/ 3

(G.30)

r:

Al

a220 a022 a202 : 8wα α 4 = 8/ 9

po

a400 a040 a004 : 8wα α 4 + 2wββ 4= 8/ 5

C

om

pr

ad

o

La solución exacta de estas ecuaciones produce las siguientes ubicaciones y factores ctores de peso numéricos: 19 α= 33

19 β= 30

wα =

121 361

wβ =

320 361

(G.31)

Note que la suma de los factores de peso es igual a 8.0, el volumen del elemento. Se puede derivar una regla de integración numérica de nueve puntos, con un punto en el centro, que tendría la siguiente forma: = I wα f (±α ,±α ,±α) + w0 f (0,0,0)

(G.32)

La regla de nueve puntos requiere que se satisfagan las siguientes ecuaciones:

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a000 : 8wα + w0 = 8

(G.33)

a200 a020 a002 : 8wα α 2 = 8 / 3

Esta es una regla de tercer orden, donde el factor de peso del punto del centro es arbitrario, y que puede resumirse como sigue:

w0 = ?

1 α= 3wα

= wα 1.0 − w0 / 8

(G.34)

Ar

te

ag

a

Un valor reducido de la función de peso del punto de centro puede ser seleccionado cuando la regla de integración 2 por 2 por 2 estándar produce una matriz de rigidez deficiente de rango.

wα = 1/ 3

ue

α= 1.0

(G.35)

sq

w0 = 16/ 3

z

dimensional de nueve puntos: Además, es posible la siguiente regla tridimensional

o

Va

Para esta regla de precisión de tercer orden, los ocho puntos de integración están ubicados en los ocho nodos del elemento.

Al

ej

an

dr

integración tridimensional de seis puntos que Se puede desarrollar una regla de integració tenga los seis puntos de integración en el centro de cada cara del elemento hexaédrico. La forma de esta regla es la siguiente: (G.36)

r:

I= wα [ f (±β,0,0) + f (0,±β,0) + f (0,0,±β)]

om

pr

ad

o

po

Haciendo iguales todos los términos no no-cero hasta el tercer orden produce las dos ecuaciones siguientes:

a000 : 6wβ = 8

a200 a020 a002 : 2wββ 2 = 8/ 3

(G.37)

C

Por lo tanto, la ubicación de los puntos de integración y los factores de peso para la regla de seis puntos es: β = 1.0 wβ = 4/ 3

(G.38)

El autor no ha tenido ninguna experiencia con esta regla. Sin embargo, parece tener algunos problemas en el posterior cálculo de los esfuerzos de puntos nodales.

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G.8

INTEGRACIÓN SELECTIVA

ag

a

Uno de las primeras aplicaciones de la integración selectiva fue solucionar el problema del esfuerzo cortante en el elemento plano de cuatro nodos. Para eliminar el esfuerzo cortante, se usó una regla de integración de un punto para integrar la energía de cortante solamente. Se usó una regla de integración 2 por 2 para el esfuerzo normal. Este enfoque de integración seleccionada produjo resultados significativamente mejores. Sin embargo, desde la introducción de elementos incompatibles corregidos, ya no se usa la integración selectiva para solucionar este problema.

ej

an

RESUMEN

po

r:

Al

En el presente apéndice se presentan los puntos fundamentales de la integración n una, dos y tres dimensiones. Al usar los principios presentados en numérica en este apéndice, se podrán derivar fácilmente muchas reglas diferentes.

om

pr

ad

o

La selección de un método específico de integración requiere la experimentación y una comprensi comprensión física de la aproximación empleada en la formulación del modelo del elemento finito. El empleo de la integración reducida (orden inferior) y la integración selectiva ha demostrado ser efectivo para muchos problemas. Por automá eso no se debe seleccionar automáticamente la regla más precisa. La Tabla G1 presenta un resumen de las reglas derivadas en este apéndice.

C

G.9

dr

o

Va

sq

ue

z

Ar

te

Para muchos problemas de campos acoplados, que comprenden tanto desconocidos, se podría desplazamientos como presiones como términos desconocidos, necesitar el uso de reglas de integración de órdenes diferente diferentes sobre el campo de la presión y el desplazamiento para obtener resultados precisos. Además, para idos, una integración de orden diferente de la función de cambio de elementos fluidos, volumen ha arrojado resultados más precisos que el uso del mismo orden de integración para todas lass variables.

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Tabla G.1 Resumen de Reglas de Integración Numérica Número de Puntos

Ubicación de los Puntos

±

5

I =

∫∫

−1−1

±

8 Tridimensional

-

2

-

-

1.0

-

-

-

0

5 9

-

8 9

-

0

wα = 1 − w0 / 4

-

1 3 3 5 1

7 9 1

0

7 15

±

-

-

0

wα = 1 − w0 / 8

-

121 361

14

±

19 33

±

19 30

om

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

−1 −1 −1

an

∫ ∫ ∫ f (r , s, t ) dr dsdt

dr

o

3w α

-

1 3 9 49

C

I=

±

9

1 1 1

-

±1

5

f (r , s) dr ds

0

3w α

Bidimensional 1 1

-

a

±

-

ag

3

−1

w0

te

∫ f (r ) dr

±

wβ

Ar

I=

2

wα

z

1

0

sq

Gauss Unidimensional

β

ue

1

Factores de Peso

α

Va

REGLA

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-

40 49 -

320 361

w0 =? 8 3 -

w0 =? -

APÉNDICE H

ag

a

VELOCIDAD DE SISTEMAS COMPUTARIZADOS

sq

INTRODUCCIÓN

Va

H.1

ue

z

Ar

te

La Velocidad Actual de una Computadora Personal de $2,000 es Mayor que la de la Computadora Cray de $10,000,000 del año 1975

C

om

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

an

dr

o

ecuaciones, El cálculo de matrices de rigidez del del elemento, la solución de ecua y la evaluación de formas y frecuencias modales son actividades intensas, computacionalmente onalmente hablando. Además, es necesario utilizar aritmética de punto flotante y doble precisión para evitar errores numéricos. Por lo tanto, todos los números deben ocupar 64 bits de espacio en la computadora. El autor de este libro comenzó a desarrollar programas de análisis y diseño estructurales en una computadora IBM-701 en el año 1957, y desde esa época ha estado expuesto a un gran número de sistemas de computadora computadora diferentes. En este apéndice se resume el rendimiento aproximado de punto flotante y doble precisión de algunos de estos sistemas. En vista de que se usaron compiladores FORTRAN y sistemas operativos diferentes, las velocidades que se presentan pueden caracterizarse precisas solamente hasta en un 50%.

H.2

DEFINICIÓN DE UNA OPERACIÓN NUMÉRICA Para fines de comparar velocidades de punto flotante, se define la evaluación de la siguiente ecuación como una misma operación: A = B + C*D

Definición de una operación numérica

Usando la aritmética de doble precisión, la definición implica la suma de una

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multiplicación, una adición, la extracción de tres números de almacenaje de alta velocidad; y la transferencia de los resultados a la memoria. En la mayoría de los casos, este tipo de operación está dentro del DO LOOP interior para la solución de ecuaciones lineales y la evaluación de formas y frecuencias modales.

VELOCIDAD DE DIFERENTES SISTEMAS DE COMPUTADORA

a

La Tabla H.1 indica la velocidad de diferentes computadoras que ha usado el autor.

te

ag

Tabla H.1 Velocidades de Punto Flotante de Computadoras d o r as Computadora o CPU

Operaciones iones ion es porr Segund Segundo Se gundo o

1963

CDC-6400

1967

CDC-6600

1974

CRAY-1

1980

VAX-780

1981

Velocidad Relativa

50,000

1

100,000

2

3,000,000

60

60,000

1.2

IBM-3090 3090

20,000,000

400

1981

CRAYCRAY CRAY-XMP -XMP XMP

40,000,000

800

1990

DECDEC DEC-5000 -5000 5000

3,500,000

70

1994

Pentium-90 Pentium

3,500,000

70

Pentium-133 Pentium

5,200,000

104

1995

Mejoramiento DEC-5000

14,000,000

280

1998

Pentium II - 333

37,500,000

750

1999

Pentium III - 450

69,000,000

1,380

om

pr

ad

o

1995

po

r:

Al

ej

an

dr

o

Va

sq

ue

z

Ar

Año

Si se considera el costo inicial y el mantenimiento de los diferentes sistemas, es evidente que el costo general de los cálculos de ingeniería se ha reducido de manera significativa durante los últimos años. El sistema de computadora más económico en la actualidad es el tipo de sistema de computadora personal INTEL Pentium III. Hoy en día, se puede comprar un sistema muy poderoso y que es 25 veces más rápido que la primera computadora CRAY, la computadora más rápida que se fabricaba en el 1974, por aproximadamente unos $1,500.

C

H.3

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H.4

VELOCIDAD DE SISTEMAS DE COMPUTADORA PERSONAL Muchos ingenieros no se dan cuenta de la potencia computacional de la computadora personal económica de hoy. La Tabla H.2 indica el aumento de la velocidad de la computadora personal que ha ocurrido durante los últimos 18 años. Tabla .2 Velocidades de Punto Flotante de Computadoras Personales

1980

8080

4

1984

8087

10

1988

80387

20

1991

80486

33

1994

80486

1995

Pentium

1996

Pentium

1997 1998

Pentium II

1999

Pentium III

Operaciones Por Segundo

Velocidad Relativa

a

Velocidad MHz

ag

INTEL CPU

1

$6,000

13,000

65

$2,500

93,000

465

$8,000

605,000

3,025

$10,000

66

1,210,000

6,050

$5,000

90

4,000,000

26,000

$5,000

233

10,300,000

52,000

$4,000

Pentium II

233

11,500,000

58,000

$3,000

333

37,500,000

198,000

$2,500

450

69,000,000

345,000

$1,500

z ue sq

Va

dr an

ej

r:

po

Ar

200

o

COSTO

Al

te

AÑO

SISTEMAS S IS OPERATIVOS “ PAGING”

C

H.5

om

pr

ad

o

Se nota que la velocidad de punto flotante del Pentium III es significativamente diferente erente del chip del Pentium II. El aumento en velocidad de reloj, desde 333 hasta 450 MHz, no justifica el aumento de la velocidad.

Las velocidades de computadora indicadas arriba asumen que todos los números están en memoria de alta velocidad. Para el análisis de sistemas estructurales grandes, no es posible almacenar toda la información con almacenamiento de alta velocidad. Si es necesario obtener datos de la memoria del disco a baja velocidad, se puede reducir significativamente la velocidad efectiva de una computadora. Dentro de los programas SAP y ETABS, la transferencia de datos hacia y desde la memoria del disco se

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realiza en bloques grandes para minimizar el tiempo de acceso al disco. Esa filosofía de programación se usaba antes de la introducción de la opción de “paging” que se usa en los sistemas modernos operativos de Windows.

z

Ar

te

ag

a

En un sistema operativo de “paging”, si los datos solicitados no están almacenados en la memoria de alta velocidad, la computadora lee los datos automáticamente del disco en bloques relativamente pequeños de información. Por lo tanto, el programador moderno no debe preocupar preocuparse con el manejo de los datos. Sin aplicación in embargo, existe un peligro eenn la aplicació de este enfoque. El ejemplo clásico que ilustra el problema del “paging” es el acto de sumar dos matrices grandes. La declaración declaración en FORTRAN puede tener una de las formas siguientes: DO 100 I=1,NROW

DO 100 I=1,NROW

DO 100 J=1,NCOL

Va

sq

ue

DO 100 J=1,NCOL

o

100 A(I,J)=B(I,J)+C(I,J) 100 A(I,J)=B(I,J)+C(I,J)

RESUMEN R ESUM

C

H.6

om

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

an

dr

Ya que todos los arreglos están guardados en filas, los datos serán buscados y enviados desde y hacia el almacén del disco en el mismo orden según los requieran las declaraciones del programa del lado izquierdo. Sin embargo, si se usan las declaraciones del programa del lado derecho, se podría requerir que la computadora lea y escriba escriba bloques de datos al disco dis para cada término en la matriz. De esta manera, el tiempo de computadora que se requiere para esta simple operación puede ser muy grande si se emplea el “paging” de manera automática.

La velocidad de la computadora personal seguirá aumentando, y su precio seguirá bajando. Según la opinión de muchos expertos en la materia, la única manera de lograr aumentos significativos de velocidad será mediante la adición de multi-procesadores a los sistemas de computadora personal. El sistema operativo NT soporta el uso de multi-procesadores. Sin embargo, el sistema operativo libre de LINUX ha demostrado ser más rápido para muchas funciones.

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APÉNDICE I MÉTODO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS

ue

z

EJEMPLO SENCILLO

o

Va

sq

En la mecánica experimental, es muy común obtener una gran cantidad de datos que no pueden ser definidos con exactitud por una ssimple función analítica. Por ejemplo, considere los cuatro (N) puntos de datos siguientes:

an

dr

rro o Puntos Pu n t de Datos Tabla I.1 Cuatro

y

0.00

1.0

0.75

0.6

1.50

0.3

2.00

0.0

om

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

x

C

I.1

Ar

te

ag

a

Se Puede Emplear el Método de los Mínimos Cuadrados Para Solucionar Aproximadamente Aproximada un Conjunto de N Ecuaciones con M Incógnitas

Ahora vamos a aproximar los datos con la siguiente función lineal con dos constantes desconocidas (M): c1 + c2 x = y( x)

(I.1)

Si se evalúa esta ecuación en los cuatro puntos de datos, se obtienen las siguientes ecuaciones de observación:

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c1 = 1.0 c1 + 0.75 c2 = 0.6 c1 + 1.50 c2 = 0.3 c1 + 2.00 c2 = 0.0

(I.2)

ag

(I.3)

te

0.00 1.0  0.75  c1  0.6  =   O, simbólicamente como Ac = b 1.50 c2  0.3    2.00 0.0

Ar

1.0 1.0  1.0  1.0

a

Estas cuatro ecuaciones se pueden expresar , como la ecuación matricial siguiente:

45.2   c1  1.9  = 6 8  c 2  0.9 1.

o

40 0. 5. 4 2

(I.4)

an

ó

dr

A T Ac = A T b,

Va

sq

ue

z

No se puede solucionar la Ecuación U.3 de manera exacta porque las cuatro ecuaciones tienen dos incógnitas. Sin embargo, ambos lados de la ecuación pueden ser multiplicados por A T , produciendo las dos ecuaciones siguientes en función de dos incógnitas incógnitas:

r:

po

 c1   0.992  c  = − 0.487  2  

Al

ej

La solución de este conjunto simétrico de ecuaciones es como sigue: (I.5)

om

pr

ad

o

Es evidente que el error, que es la diferencia entre los valores en los punto puntos de datos y los valores producidos por po la ecuación aproximada, puede ser calculado en base a lo siguiente:

C

 - .008  + .035  e =A Ac − b =   - .030     - .018 

I.2

(I.6)

FORMULACIÓN GENERAL En esta sección se va a demostrar que el enfoque , que se presentó ad hoc en la sección anterior, arroja resultados para los cuales la suma del

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cuadrado de los errores en los puntos de datos constituye un mínimo. El vector de error puede expresarse de la siguiente forma: = e Ac − b ó, e T = c T A T - b T

(I.7)

Ahora es posible calcular la suma del cuadrado de los errores, un valor escalar S, en base a la siguiente ecuación de matriz: S= eT e = cT A T A c − b T Ac − cT A T b + b T b= cT H c − 2cT B T + b T b (I.8)

ag

a

De la teoría básica matemática, el valor mínimo S debe satisfacer las siguientes ecuaciones M:

te

∂S = 0 donde m= 1 − − − − M ∂c m

z

Ar

(I.9)

sq

ue

La aplicación de la Ecuación (I.9) en la Ecuación (I.8) produce la siguiente ecuación matricial típica donde cada término es un eescalar: scalar:

(I.10)

po

r:

Al

ej

an

dr

o

Va

 0  0   −  ∂S = [0 0 − 1 − 0] H Hc + cT H T   + ∂cm  1 −     0 2[0 0 − 1 − 0] B= 2[0 0 − 1 − 0] [ Hc −= B] 0

C

om

pr

ad

o

Por lo tanto, se pueden escribir todas las M ecuaciones como la siguiente ecuación matricial:  ∂SΩ   ∂c   1  1  ∂SΩ   0  ∂c2    −  −  ∂SΩ  =  0     ∂cm  −  −  0  ∂SΩ    ∂cM 

0 − 0 − 1 − 0 − − − − − 0 − 1 − − − − − 0 − 0 −

0 0  − [2Hc − 2B]= 2I [Hc − B]= 0 −  1

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[0]

(I.11)

De esta manera, se puede determinar el vector de constantes c en base a la solución de la siguiente ecuación matricial: (I.12)

Hc = B

Ar

te

CÁLCULO DE ESFUERZOS DENTRO DE LOS S E ELEMENTOS L EM FINITOS

# elementos

i =1

i =1

∑ k iu =

∑f

i

dr

# elementos

(I.13)

an

R=

o

Va

sq

ue

z

La ecuación de equilibrio básico de un sistema de elemento finito, según la produce roduce la aplicación del principio de mínima energía potencial, puede expresarse como la suma de los aportes de los elementos de la siguiente forma:

om

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

donde k i es una rigidez típica de elemento, u es el desplazamiento nodal del elemento, y f i son las fuerzas nodales del elemen elemento, o esfuerzos resultantes. Las cargas nodales externas R son las cargas puntuales especificadas, s, las fuerzas de masa que son integradas sobre el volumen del elemento, nto, las cargas nodales consistentes asociadas con las tracciones superficiales perficiales y cargas termales. Dichas cargas nodales externas están en equilibrio exacto con la sumatoria de fuerzas que actúan sobre los elementos.

C

I.3

ag

a

Ya que la matriz simétrica positiva-definida H = A T A y B = A T b , la multiplicación de las ecuaciones de observación por A T produce el mismo conjunto de ecuaciones. Por lo tanto, no es necesario efectuar el procedimiento formal de minimización cada vez que se aplica el método de los mínimos cuadrados.

El desarrollo original del método de del elemento finito fue presentado como una ampliación del análisis estructural donde el equilibrio del punto nodal era el punto de partida fundamental. Por lo tanto, la precisión de las fuerzas nodales del elemento era aparente. Desafortunadamente, el empleo de métodos abstractos de variación en la mecánica moderna de computación tiende a opacar esta propiedad muy importante del equilibrio. Por eso, utilizando el trabajo virtual y el método de los mínimos

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cuadrados, se pueden calcular los esfuerzos elementales directamente de las fuerzas nodales. Los esfuerzos consistentes dentro de un elemento finito, desarrollado en base al uso de funciones de desplazamiento, normalmente no satisfacen las ecuaciones fundamentales de equilibrio. Por la Ecuación (2.1), las ecuaciones de equilibrio tridimensionales, escritas en un sistema de referencia global x, y y z, son:

te

ag

a

∂σx ∂τxy ∂τ xz + + =0 ∂x ∂y ∂z ∂τyx ∂σy ∂τ yz + + =0 ∂x ∂y ∂z

ue

z

Ar

∂τzx ∂τzy ∂σ z + + =0 ∂x ∂y ∂z

(I.14)

ej

an

dr

o

Va

sq

Estas ecuaciones, que constituyen leyes fundamentales de la física, siempre se satisfacen exactamente dentro de una estructura real real; por lo tanto, es muy importante que la distribución del esfuerzo calculada dentro de los elementos de un sistema de elementos finitoss satisfaga dichas ecuaciones. Para lograr este objetivo para sólidos tridimensionales, la distribución asumida de esfuerzo esfuerz satisface estas ecuaciones, tomando la siguiente forma:

po

r:

Al

c1 − (c12 + c17 )x + c3 y + c3 z σ= x c4 + c5 x − (c11 + c21 )y + c3 y + c6 z σ= y

ad

o

σ x= c7 + c8 x + c9 y − (c15 + c20 )z τ xy= c10 + c11 x + c12 y + c13 z

ó, s = Pc

(I.15)

C

om

pr

τ xz= c14 + c15 x + c16 y + c17 z τ yz= c18 + c19 x + c20 y + c21z

donde P es un arreglo de 6 por 21 que representa una función del sistema de referencia global x, y y z. Se pueden expresar las fuerzas nodales de elemento en términos de la distribución del esfuerzo asumido mediante la aplicación directa del principio del trabajo virtual donde los desplazamientos virtuales d tienen la misma forma que la aproximación de desplazamiento básico. O, según la Ecuación (6.3), los desplazamientos virtuales, incluyendo los modos incompatibles, son:

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d = [BC

u BI ]   α 

(I.16)

Si los desplazamientos virtuales e incompatibles se fijan en uno, se puede emplear la siguiente ecuación para calcular las fuerzas nodales para un elemento sólido de ocho nodos:  f i  f =   = d T s dV =   0  Vol Vol

∫

(I.17)

a

∫

 BCT   T P dV  c = Qc BI  

Ar

te

ag

La matriz Q de 33 por 21 se calcula usando la integración numérica estándar. Las fuerzas asociadas con los nueve modos incompatibles son cero.

Hc = B

sq

Q T Qc = Q T f ó

ue

z

El sistema de ecuaciones se soluciona aproximadamente mediante el método de mínimo cuadrado, que implica la solución de (I.18)

C

om

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

an

dr

o

Va

Después de evaluar c para cada condición de carga, se pue pueden evaluar los seis componentes de esfuerzoo en cualquier punto ((x (x,y,z) x,y ,y,,zz)) dentro del elemento con la Ecuación (I.15).

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APÉNDICE J

Ar

te

ag

a

REGISTROS CONSISTENTES DE ACELERACIÓN Y DESPLAZAMIENTO SÍSMICOS

dr

o

INTRODUCCIÓN

om

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

an

En la actualidad la mayoría de los movimientos ssísmicos son aproximadamente registrados por acelerómetros a intervalos de tiempo iguales. Después de corregir el registro de aceleración, como resultado de las propiedades dinámicas del instrumento, el registro todavía podría contener errores de registro. Asumiendo una aceleración lineal dentro de cada intervalo de tiempo, una integración directa de las aceleraciones generalmente produce un registro de velocidad con velocidad nono -cero cero al final del registro que debería ser cero. Y una integración no-cero exacta del rregistro egistro de velocidad no produce un desplazamien desplazamiento cero al final del registro. Un método que se utiliza actualmente para producir matemáticamente un desplazamiento cero al final del registro consiste en la introducción de una velocidad inicial reducida, de manera que el desplazamiento al final del registro sea cero. Sin embargo, esta condición inicial no se toma en cuenta en el análisis dinámico del modelo computarizado de la estructura. Además, dichos registros de desplazamiento no pueden ser usados directamente en el análisis de la respuesta sísmica de soportes múltiples.

C

J.1

Va

sq

ue

z

La s Acel er a ciones es Sís mi ca s P u eden Ser Medida s . Sin Emba r go , laa s Estr u ctur a s está n Somet ida s a Desp la za mientos Sís mi cos .

El objetivo de este apéndice es resumir las ecuaciones fundamentales asociadas con los registros de historia de tiempo. Se demostrará que la recuperación de aceleraciones a partir de los desplazamientos representa una operación numérica

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inestable. Se presenta un nuevo método numérico para la modificación de un registro de aceleración, o parte de un registro de aceleración, de manera que satisfaga las leyes fundamentales de la física donde los registros de desplazamiento, velocidad y aceleración sean consistentes.

REGISTROS DE ACELERACIÓN DEL SUELO

Ar

te

ag

a

Normalmente se utilizan unos 200 puntos por segundo para definir un registro de aceleración. Se asume que la función de aceleración es lineal dent dentro de cada incremento de tiempo, tal como se indica en la Figura J.1.

ue

z

u

sq

ui

ej

an

dr

o

Va

ui −1

TIEMPO

po

r:

Al

t ∆t

ad

o

Figura J.1 Registro Típico de Aceleración Sísmica

om

pr

Luego se pueden calcular las velocidades y los desplazamientos del suelo a partir de la integración de las aceleraciones y las velocidades dentro de cada intervalo de tiempo. Esto es:

C

J.2

1 i − u i −1 ) (u ∆t (t ) u i −1 + t u = u u =

i −1 + = u (t ) u i −1 + t u = u(t ) ui −1 + t u i −1 +

(J.1a)

t2 2

t

2

2

(J.1b) u i −1 + u

(J.1c)

t

3

6

u

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(J.1d)

La evaluación de estas ecuaciones en = t ∆t arroja el siguiente grupo de ecuaciones recursivas:

}

i=1,2,3,…

(J.2)

a

donde

ag

∆t 2 u 2 ∆t 2 ∆t 3 ui ui −1 + ∆t ui −1 + ui −1 + = u 2 6 ui ui −1 + ∆t ui −1 + =

te

1 (ui − ui −1 ) ∆t ui ui −1 + ∆t u = u =

Va

sq

ue

z

Ar

La integración de los registros de aceleración del suelo debe producir velocidad cero al final del registro. Además, exceptuando los registros sísmicos cerca de la falla, se deben obtener desplazamientos nulos al final del registro registro. Normalmente se corrigen las aceleraciones sísmicas reales para que se satisfagan dichos requisitos.

om

pr

CÁLCULO L CUL O DEL REGISTRO DE ACELERACIÓN DEL REGISTRO DE D ED DESPLAZAMIENTO ES Volviendo a escribir la Ecuación (J.2), debe ser posible, desde el registro de desplazamiento, calcular los registros de velocidad y aceleración en base a las siguientes ecuaciones:

C

J.3

ad

o

po

r:

Al

ej

an

dr

o

Note que los desplazamientos dentro de cada incremento entos son funciones cúbicas dentr de tiempo. Por lo tanto, si se utilizan desplazamientos como la carga sísmica especificada, se deben emplear intervalos de tiempo menores o un método de soluciónn de orden superior, basado en desplazamientos cúbicos, para el análisis estructural dinámico. Por otro lado, si se emplean aceleraciones como la carga básica, se puede utilizar utilizar un método de solución de orden inferior, basado en funciones lineales, para solucionar el problema de respuesta dinámica.

∆t 2 6  i −1 ] − − ∆ − u u t u u [ i i −1 i −1 2 ∆t 3 ∆t 2 i −1 + u = u i u i −1 + ∆t u 2 i u i −1 + ∆t u = u u =

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(J.3)

En base a la aceleración lineal dentro de cada intervalo de tiempo, las Ecuaciones (J.2) y (J.3) son teóricamente exactas, dadas las mismas condiciones iniciales. Sin embargo, el redondeo computarizado introduce errores en las velocidades y las aceleraciones, y la Ecuación (J.3) de recurrencia es inestable y no debe ser empleada para recuperar el registro de aceleración digitado. Dicha inestabilidad puede ilustrarse volviendo a escribir las ecuaciones en la siguiente forma: ∆t 3 i −1 + (ui − ui −1 ) u ∆t 2 6 6 = i −1 + 2 (ui − ui −1 ) u − u i −1 − 2 u i ∆t ∆t

(J.4)

te

ag

a

u i −2 u i −1 − =

sq

(J.5)

Va

∆t   2  u  u  2    i −1 

o

 2 u  = − 6 u   i   ∆t

ue

z

Ar

Si los desplazamientos son constantes, la ecuación de recurrencia escrita en forma de matriz sería:

 2  −ε  u= 1 , 6/ ∆t 

 7  u 2= ε   24/ ∆t 

(J.6)

po

r:

Al

u  ε  u0 =   =   ,  u 0 0

ej

an

dr

O si se introducee un pequeño error de redondeo, ε , como condición inicial, se producen los siguientes resultados:

C

om

pr

ad

o

Es evidente nte por la Ecuación (J.6) que la introducción de un pequeño error de redondeo en la velocidad o la aceleración en cualquier intervalo tendrá un signo opuesto y será amplificado en los lo intervalos de tiempo posteriores. Por eso es a necesario usar un enfoque alternativo para calcular las velocidades y las aceleraciones aceleracion directamente del registro de desplazamiento. Es posible usar las funciones de segmentos cúbicos (splines) para ajustar los datos de desplazamiento y recuperar los datos de velocidad y aceleración. La aplicación de la serie de Taylor en el punto i produce las siguientes ecuaciones para el desplazamiento y la velocidad:

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= u(t ) ui + t u i + i + = u (t ) u i + t u

t2 2

t2 2

i + u

t3 6

u

(J.7)

u

La eliminación de u de estas ecuaciones produce una ecuación para la aceleración en el tiempo t i . Así: 6

t

2

2 (ui − u(t )) + (u (t ) + 2u i )

(J.8)

t

a

i = u

ag

La evaluación de la Ecuación (22.10) en t ± ∆t (en i + 1 e i-1) produce las =

Ar

z

6 2 6 2 (ui − ui +1 ) + (u i +1 + 2u i ) = (ui − ui −1 ) − (u i −1 + 2u i ) (J.9) 2 2 ∆t ∆t ∆t ∆t

ue

i = u

te

siguientes ecuaciones:

Va

sq

Requiriendo que u sea continua, se debe satisfacer la siguiente ecuación en cada punto:

dr

o

3 ( u i + 1 − u i −1 ) ∆t

(J.10)

an

u i −1 + 4u i + u i +1 =

C

om

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

Así, hay una velocidad desconocida por punto. Este grupo tri-diagonal bien condicionado de ecuaciones puede ser ssolucionado de manera directa o por iteración. Estas as ecuaciones son idénticas a las ecuaciones del equilibrio del momento para una viga continua sometida a desplazamientos normales. Después de calcular las velocidades ((pendientes), se calculan las aceleraciones (curvaturas) y derivad derivadas (cortantes) en base a lo siguiente: 6 2 (ui − ui +1 ) + (u i + 2u i ) 2 ∆t ∆t i − u i −1 u u = ∆t i = u

(J.11)

Este enfoque de “función de segmentos cúbicos o regla flexible” elimina los problemas de inestabilidad numérica asociada con la aplicación directa de las Ecuaciones (J.4). Sin embargo, es difícil justificar físicamente cómo los desplazamientos en un tiempo futuro i + 1 puedan afectar las velocidades y las aceleraciones en el punto tiempo i.

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CREANDO UN REGISTRO DE ACELERACIÓN CONSISTENTE

z

Ar

te

ag

a

La compresión, el cortante, y las ondas superficiales sísmicas se propagan desde una ruptura de una falla a diferentes velocidades donde llegan primero las ondas compresivas de poca amplitud. Por ejemplo, los registros de aceleración registrados cerca del Puente de la Bahía de Oakland-San Francisco durante el sismo de Loma Prieta en el año 1989 indican una alta frecuencia, movimientos de aceleración pequeña durante los primeros diez segundos. La fase de aceleraciones máximas del registro está entre 10 y 15 segundos solamente. Sin o cubre aproximadamente un laps embargo, el registro oficial publicado lapso de tiempo de 40 segundos. Un registro tan largo no es apto para un análisis de lineal de un modelo estructural debido al gran respuesta historia-tiempo, no-lineal espacio en computadora y el tiempo de ejecución que se requieren.

po

r:

Al

ej

an

dr

o

Va

sq

ue

Es posible seleccionar la “parte de aceleraciones máximas del registro” y emplearla como la información de entrada básica para el modelo computarizado. Para satisfacer las leyes básicas de la física, el registro truncado de aceleración debe producir velocidad cero y desplazamiento cero al inicio y al final del sismo. rrre reccción ción al registro truncado de aceleración que se Esto se logra aplicando una corrección basa en el hecho de que cualquier registro de aceleración sísmica es una suma de aceleraciones positivas, s, tal como como se indica en la Figura J.2.

pr

ad

o

ui

om

Área = Ai = ui ∆t

C

J.4

i −1

i +1 ∆t

TIEMPO

∆t t I − ti

ti tI

Figura J.2 Pulso Típico de Aceleración Sísmica

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En base a la teoría de segmentos cúbicos, el desplazamiento exacto al final del registro se da a través de la siguiente ecuación: I

= i ∆t (t I − t i ) u ∑ i

= uI

∆U

(J.12)

=1

o

=1

L−i i ∆t = α pU pos + α nU neg = − ∆U (t I − t i ) u L

(J.13)

dr

L

α ∑ i

Va

sq

ue

z

Ar

te

ag

a

Ahora se puede calcular una corrección del registro de aceleración de manera que el desplazamiento al final del registro, Ecuación (J.12), sea idénticamente igual a cero. En vez de aplicar una velocidad inicial, se puede modificar el primer segundo o dos del registro de aceleración para obtener un desplazamien desplazamiento cero al final del registro. Supongamos que se vaya a aplicar toda la corrección a los primeros valores “L”” del registro de aceleración. Para evitar una ddiscontinuidad en el registro de aceleración, a la corrección le será asignado un peso mediante una función lineal, desde α en el tiempo cero hasta cero en el tiempo t L. Por eso, el desplazamiento que resulte de la función de corrección al final del registro tendrá la siguiente forma:

po

r:

Al

ej

an

Para la Ecuación (J.13) los términos positivos y negativos son calculados separadamente. Si se asume que la corrección es igual para los términos positivo p lo y negativo, las amplitudes de las constantes de corrección vienen dadas por siguiente:

2 U pos ∆U

− y α= n

2 U neg ∆U

(J.14a y J.14b)

pr

ad

o

α= − p

C

om

Por eso, se puede agregar la función de corrección a los primeros valores “L” del registro de aceleración para obtener un desplazamien desplazamiento cero al final del registro. La Tabla J.1 resume este simple algoritmo de corrección. Si el período de corrección es menos de un segundo, este algoritmo muy simple, que se presenta en la Tabla J.1, produce desplazamientos y velocidades máximos y mínimos casi idénticos a los del método matemático de seleccionar una velocidad inicial. Sin embargo, este método simple de un solo paso produce registros físicamente consistentes de desplazamiento, velocidad y aceleración. Este método no filtra frecuencias importantes desde el registro, y se mantiene la máxima aceleración pico.

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Se puede fijar en cero la velocidad al final del registro si se aplica una corrección similar a los últimos segundos del registro de aceleración. Se requeriría iteración para satisfacer tanto el desplazamiento cero y la velocidad cero al final del registro. Tabla J.1 Algoritmo para Fijar en Cero el Desplazamiento al Final de los Registros

∑ (t i =1

I

− t i ) ui ∆t

z

I

L−i (t I − t i ) ui ∆= t U pos + U neg L i =0 ∆U ∆U − − α= y α= p n 2U pos 2U neg L

dr

o

Va

sq

∑

ue

∆U =

Ar

te

2. COMPUTAR FUNCIÓN DE CORRECCIÓN

ag

a

1. DADO UN REGISTRO DE ACELERACIÓN SIN CORRECCIÓN 0, u1 , u2 , u3 , u4 ,...................................uI −1 ,0 y L

i = 1,2....L

om

RESUMEN R ESUM Se pueden definir los registros de aceleración con precisión utilizando 200 puntos por segundo, y asumiendo que la aceleración es una función lineal dentro de cada intervalo de tiempo. Sin embargo, los desplazamientos que resultan son funciones cúbicas dentro de cada intervalo de tiempo, y los intervalos de tiempo más pequeños deben ser registros de desplazamiento definidos por el usuario. El cálculo directo de un registro de aceleración en base a un registro de desplazamiento representa un problema numéricamente inestable, y se deben utilizar procedimientos numéricos especiales para solucionar este problema.

C

J.5

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

an

3. CORREGIR REGISTRO DE ACELERACIÓN L−i si ui > 0 entonces = ) ui ui (1 + α p L L−i si ui < 0 entonces = ) ui ui (1 + α n L

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C

om

pr

ad

o

po

r:

Al

ej

an

dr

o

Va

sq

ue

z

Ar

te

ag

a

El método matemático de emplear una velocidad inicial para forzar que el desplazamiento al final del registro sea cero produce un registro de desplazamiento inconsistente que no se debe utilizar directamente en el análisis dinámico. Se ha propuesto un simple algoritmo para la corrección del registro de aceleración, que produce registros físicamente aceptables de desplazamiento, velocidad y aceleración.

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