Análisis estadístico de la distribución normal y sus propiedades

Estadística

LA DISTRIBUCIÓN NORMAL Teorema del límite central Error estañar de la media (eem) Nivel de confianza

La distribución normal DISTRIBCIÓN NORMAL La distribución de probabilidad continua más importante en todo el campo de la estadística es la distribución normal. Su gráfica, denominada curva normal, es la curva con forma de campana de la fi gura 1, la cual describe de manera aproximada muchos fenómenos que ocurren en la naturaleza, la industria y la investigación Distribución Normal • Variable cuantitativa continua • As ( coeficiente de simetría)= 0 • Media = Moda = Mediana

LA DISTRIBUCIÓN NORMAL

La distribución normal fue reconocida por primera vez por el francés Abraham de Moivre (1667-1754).

Posteriormente, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) realizó estudios más a fondo donde formula la ecuación de la curva conocida comúnmente, como la “Campana de Gauss".

DISTRIBUCIÓN NORMAL La función de distribution de densidad F(x) La ecuación matemática para la distribución de probabilidad de la variable normal depende de los dos parámetros μ y σ,su media y su desviación estándar, respectivamente. Por ello, denotamos los valores de la densidad de X por n(x; μ, σ).

DISTRIBUCIÓN NORMAL

Una vez que se especifican μ y σ, la curva normal queda determinada por completo

DISTRIBUCIÓN NORMAL

Cambio de la distribución variando la media, pero con desviaciones estándares iguales

DISTRIBUCIÓN NORMAL

Una vez que se especifican μ y σ, la curva normal queda determinada por completo

Cambio de la distribución variando la desviación estándar , pero con medias iguales

DISTRIBUCIÓN NORMAL

Una vez que se especifican μ y σ, la curva normal queda determinada por completo

Cambio de la distribución variando la media y la desviación estándar

DISTRIBUCIÓN NORMAL Propiedades de la distribución normal La distribución de probabilidad conocida como distribución normal es, por la cantidad de fenómenos que explica, la más importante de las distribuciones estadísticas.

La distribución de probabilidad normal y la curva normal que la representa, tienen las siguientes características: • • • • • •

•

La curva normal tiene forma de campana y un solo pico en el centro de la distribución. De esta manera, la media aritmética, la mediana y la moda de la distribución son iguales y se localizan en el pico. Así, la mitad del área bajo la curva se encuentra a la derecha de este punto central y la otra mitad está a la izquierda de dicho punto. La distribución de probabilidad normal es simétrica alrededor de su media. La curva normal desciende suavemente en ambas direcciones a partir del valor central. Es asintótica, lo que quiere decir que la curva se acerca cada vez más al eje X pero jamás llega a tocarlo. Es decir, las “colas” de la curva se extienden de manera indefinida en ambas direcciones. El valor bajo la curva es igual a 1 o 100%

DISTRIBUCIÓN NORMAL Propiedades de la distribución normal 1. La moda, que es el punto sobre el eje horizontal donde la curva tiene su punto máximo, ocurre en x = μ. 2. La curva es simétrica alrededor de un eje vertical a través de la media μ. 3. La curva tiene sus puntos de inflexión en x = μ ± σ, es cóncava hacia abajo si μ – σ < X < μ + σ, y es cóncava hacia arriba en otro caso. 4. La curva normal se aproxima al eje horizontal de manera asintótica, conforme nos alejamos de la media en cualquier dirección. 5. El área total bajo la curva y sobre el eje horizontal es igual a uno. 6. El área bajo la curva

u ± 1σ = 68,3% u ± 2σ = 95,50 % u ± 3σ = 99,7%

-3δ

-2δ

-δ

δ

2δ

3δ

DISTRIBUCIÓN NORMAL Propiedades de la distribución normal La distribución normal estándar: • •

•

• •

No existe una sola distribución de probabilidad normal, sino una “familia” de ellas. Cada una de las distribuciones puede tener una media (μ) o una desviación estándar distinta (σ). Por tanto, el número de distribuciones normales es ilimitado y sería imposible proporcionar una tabla de probabilidades para cada combinación de μ yσ. Para resolver este problema, se utiliza un solo “miembro” de la familia de distribuciones normales, aquella cuya media es 0 y desviación estándar 1 que es la que se conoce como distribución estándar normal, Todas las distribuciones normales pueden convertirse a la estándar, restando la media de cada observación y dividiendo por la desviación estándar. Primero, convertiremos la distribución real en una distribución normal estándar utilizando un valor llamado Z, o estadístico Z que será la distancia entre un valor seleccionado, designado X, y la media μ, dividida por la desviación estándar σ.

DISTRIBUCIÓN NORMAL Propiedades de la distribución normal La distribución normal estándar: •

. Formalmente, si X ∼ N(μ,σ) , entonces la variable aleatoria.

Z=

X −



•

Z se distribuye según una normal de media 0 y desviación estándar 1, i.e.: Z ∼ N(0,1) , que es la distribución llamada normal estándar o tipificada.

•

De esta manera, un valor Z mide la distancia entre un valor especificado de X y la media aritmética, en las unidades de la desviación estándar.

•

Al determinar el valor Z utilizando la expresión anterior, es posible encontrar el área de probabilidad bajo cualquier curva normal haciendo referencia a la distribución normal estándar en las tablas correspondientes.

La distribución normal estándar •

Z se la denomina variable tipificada de X, y a la curva de su función de densidad se le conoce como la curva normal estándar.

•

Es una distribución normal con promedio 0 y una desviación estándar de 1.

•

Todas las variables normalmente distribuidas se pueden transformar a la distribución normal estándar utilizando la fórmula para calcular el valor Z correspondiente.

Curva normal estándar

Curva normal

Z=

Xi − 

 u =Z=0 σ =Z= 1

La distribución normal estándar • •

Si nosotros normalizamos la curva esta dependerá de los valores X y la Media. Z será :

•

Z representa el número de veces que está contenida la desviación estándar entre la media y el punto X .

•

Z es la distancia entre X y la media expresada en desviación estándar

Z= •

X −



Si tenemos el valor de Z podemos saber cual es la probablidad de que un determinado valor este dentro de la curva

La función F(z) Área bajo la curva normal estándar • •

•

El área bajo la curva normal estándar es útil para asignar probabilidades de ocurrencia de la variable X. Debemos tomar en cuenta que el área total bajo la curva es igual a 1. Y que, por ser una gráfica simétrica, cada mitad tiene un área de 0.5.

En la siguiente gráfica vemos la representación gráfica de la función de Z.

Z=

Xi

X −

Curva normal estándar

 α

z=0

-∞

zi

Área bajo la curva normal estándar Pasos para determinar el área bajo la curva normal estándar •

Paso 1 - Interpretar gráficamente el área de interés.

•

Paso 2 - Determinar el valor Z

•

Paso 3 - Buscar en la tabla de probabilidades.

•

Paso 4 - Hacer la suma o resta de áreas para encontrar la probabilidad deseada

USO DE LA TABLA NORMAL La tabla normalizada de Z (0,1) nos da el área bajo la curva en proporción, para diferentes valores de Z La tabla va desde En el eje vertical se encuentra los valores de Z desde Z = -3,4 hasta Z = 3,4 con un decimal; en el eje horizontal se encuentra tabulado el segundo decimal de Z ( desde 0,00 hasta 0,09 Los valores que se encuentran en el interior de la tabla corresponden al área bajo la curva normal

Segundo decimal de Z Desde 0,00 a 0,09

Valores Z desde -3,4 a 3,4

VALORES DE PROBABILIDADES Área bajo la curva, los valores están dados en proporción

Tabla P(Z