ANÁLISIS DINÁMICO DE UNA ESTRUCTURA UTILIZANDO STAAD

ANÁLISIS DINÁMICO DE UNA ESTRUCTURA UTILIZANDO STAAD Autor: Dr. Joaquín E. Torre M., Honduras, Septiembre 2011 INTRODUCCIÓN: Staad.Pro es un programa de ordenador con la capacidad de ejecutar un análisis de super posición modal espectral para lo que es necesario especificar o definir el espectro que se desea utilizar, sin embargo, los resultados que se obtienen de este análisis, el programa los presenta en valores absolutos para todos los esfuerzos de cada uno de los miembros que componen la estructura de manera que es incorrecto hacer combinaciones de carga en forma directa utilizando estos resultados. En el procedimiento descrito en este documento, se presenta la metodología necesaria para hacer uso correcto de la facilidad que ofrece el programa en un ejemplo seleccionado. Además de hacer las comparaciones entre los resultados por el análisis dinámico utilizando la facilidad de STAAD.Pro y el procedimiento descrito en este documento, se comparan también los mismos resultados con los obtenidos por un análisis dinámico por super posición modal espectral de otro programa desarrollado por el autor. DESCRIPCIÓN DEL CASO DE ESTUDIO: En la figura 1 se muestra la estructura seleccionada en la que se puede observar que la misma, no es simétrica. Consta de dos intercolumnios en cada dirección de 6.00m y 8.00m en el sentido Z y 7.50m y 9.00m en el sentido X con vigas de 0.60x0.40m de sección en cada uno de los ejes y columnas de 0.60x0.60m en la intersección de cada eje. Cuenta con tres niveles con alturas de 4.00m, 3.50m y 3.50m y las losas de entrepiso se han modelado por elementos finitos. El origen del sistema coordenado de la estructura es el eje de la columna de la esquina superior izquierda si se ve la estructura en planta y su centro de masas respecto de este origen es (x,z)=8.18,6.90 para cada nivel tomando en cuenta que además de su peso propio, las losas de entrepiso reciben una carga 2 permanente uniformemente distribuida en toda su área de 400Kg/m . Los vínculos a tierra se han modelado como empotramientos perfectos y los elementos tipo placa con los que se representa las losas de entrepiso se han indicado de 0.20m de espesor. Para el análisis dinámico, que se ha realizado únicamente en la dirección X, se le ha especificado al programa la definición del espectro indicado en el Código Hondureño de la Construcción (CHOC-2008) en el apartado 1.3.6.5.7 con una aceleración pico del suelo de 0.25g, considerando la estructura apoyada sobre roca (S=1.00), con categoría y factor de importancia I=1.00 y con un coeficiente estructural RW=8. Una vez obtenidos los resultados del análisis dinámico de la estructura, se procede a encontrar la suma de las cortantes en cada columna en el nudo correspondiente al nivel del diafragma en consideración para por suma algebraica encontrar la fuerza sísmica asignada a la estructura en ese nivel. Esas fuerzas, se colocan en el mismo modelo, en un nudo creado al efecto con las coordenadas del centro de masas del nivel del diafragma correspondiente. En este caso, es el mismo para todos los niveles en virtud de que cada nivel es exactamente igual en masas y colocación de las mismas y son los valores antes indicados. Es importante que los nudos creados para representar el

centro de masas se conviertan en nudos maestros y el resto de los nudos del nivel del diafragma correspondientes sean esclavizados a este para simular un diafragma rígido en el plano X-Z.

Figura 1: Modelo de la estructura en análisis

Figura 2: Modelo sombreado de la estructura en análisis

Corriendo de nuevo el modelo con estas fuerzas, obtenemos los mismos resultados en carga axial, cortantes y momentos pero con el signo correcto y consecuentemente, aptos para combinarse con otras condiciones primarias de carga.

Para efectos comparativos, también se le ha practicado a la misma estructura objeto de análisis en este documento, un análisis modal espectral utilizando un programa tipo macro escrito en Visual Basic con interfase en Excel en el que su algoritmo fue escrito realizar un análisis de superposición modal con un grado de libertad por piso, pero tomando la rigidez de cada piso de un análisis estático realizado en STAAD.Pro para obtener los desplazamientos conocidas las fuerzas que con valores arbitrarios se han aplicado a los centros de masa. Así mimo, se ha realizado el análisis sísmico pseudo estático como lo prescribe el CHOC-2008 en su artículo 1.3.5.2, con la intención de hacer las comparaciones respectivas. RESULTADOS OBTENIDOS: La figura 3 muestra el diagrama de momentos de un eje de acuerdo con el análisis dinámico realizado, donde se puede observar que todos los valores están en positivo. Igual resultado se observa para las cortantes y las cargas axiales.

Figura 3: Diagrama de momentos de un eje por análisis dinámico Los períodos de vibración de la estructura son: MODO 1 2 3 4 5 6

FRECUENCIA (ciclos/sec) 1.640 1.712 2.219 5.500 5.655 5.730

PERÍODO (sec) 0.60962 0.58426 0.45072 0.18181 0.17683 0.17451

Y se muestra en rojo el correspondiente al período fundamental de la estructura del cual se muestra su silueta para la estructura completa en la figura 4 donde se puede apreciar la torsión como consecuencia de la excentricidad resultante de no ser una estructura perfectamente simétrica.

Figura 4: Vista en alzado y planta del primer modo de vibración La participación de masas y la cortante total en la base es: MODO 1 2 3 4 5 6

X 86.56 0.06 0.25 7.51 2.47 0.11

Y Z 0.00 0.04 0.00 87.23 0.00 0.23 2.10 0.06 4.14 1.63 0.40 8.01

SUMM-X 86.558 86.614 86.865 94.380 96.853 96.966

SUMM-Y 0.001 0.003 0.003 2.106 6.249 6.651

SUMM-Z 0.045 87.271 87.500 87.557 89.190 97.196

X 37,189.40 2 5.07 146.35 5,413.25 1,781.07 81.78 ---------37,916.19 Kg

TOTAL CQC

V=

Y la suma de las fuerzas sísmicas en cada diafragma que se encontró de este análisis es la siguiente: Nivel (m) 11.00 7.50 4.00

Fx (Kg) 18,783.90 12,097.20 7,035.09

Fz (Kg) 1,352.12 613.42 500.06

Para un cortante total en la base de 37,916.19Kg (0.0444W) en la dirección X y 2,465.60Kg en la dirección Z. Si la estructura fuera perfectamente simétrica, los valores en Z serían cero. El peso total de la estructura es W=854,117.07Kg Estas fuerzas se aplican a los centros de masa en el nivel correspondiente para un análisis estático de los que se obtienen los siguientes resultados: Desplazamientos en el sentido X por piso: Nivel 11.00 7.50 4.00

Análisis dinámico (mm) 5.934 4.380 2.089

Análisis estático (mm) 6.063 4.440 2.104

Diferencia absoluta (mm) 0.129 0.060 0.015

Diferencia relativa (%) 2.17 1.37 0.71

Las diferencias observadas corresponden a errores por la aproximación en el cálculo del los centros de masa en cada nivel, sin embargo, son diferencias aceptables.

Momentos en el mismo eje de la figura 3:

Figura 5: Diagrama de momentos del mismo eje mostrado en la figura 3 Seleccionando una columna al azar para hacer la comparación numérica, obtenemos los siguientes resultados: Tipo de análisis Dinámico Estático Diferencia Dif (%)

Carga axial (Kg) +5,058.85 -5,427.52 368.67 7.28

Vx (Kg) +3.648.408 +3,820.009 171.601 4.70

Vz (Kg) +366.500 -386.455 19.955 5.44

Torsión (Kg-m) +88.257 -24.371 63.886 72.39

Momentos My (Kg-m) +970.130 +1,018.232 48.102 4.96

Momentos Mz(Kg-m) +10,685.949 +11,110.265 424.316 3.97

Las diferencias se muestran en valores absolutos y la diferencia porcentual es con respecto a los valores del análisis dinámico. Nótese el cambio de signo en la carga axial y la torsión de la columna así como la diferencia en la torsión como consecuencia de la correcta aplicación de la carga sísmica. Similares diferencias relativas se obtienen con las demás columnas y vigas. Las diferencias en los valores de las cortantes y los momentos flectores en cada eje de la columna seleccionada son del orden del 5% los cuales son aceptables en términos de la magnitud, sin embargo, los resultados del análisis equivalente presentan los valores correctos en cuanto a la dirección del esfuerzo. Los valores mostrados en la tabla anterior corresponden a los valores en el nudo de inicio de la columna seleccionada y en el nudo del extremo final, los signos de cortantes y momentos son completamente diferentes como se aprecia entre los diagramas de momentos de las figuras 3 y 5. En un programa desarrollado por el autor utilizando Excel como interfase y en Visual Basic un algoritmo que permita la generación del sistema de equilibrio dinámico para poder encontrar los valores propios y realizar la superposición modal, para el mismo espectro y la misma aceleración pico del suelo, encontramos los siguientes resultados: Períodos de vibración: T₁ = 0.6142 seg T₂ = 0.2078 seg T₃ = 0.1378 seg Los cuales comparan muy bien con los obtenidos por STAAD.Pro. El programa en Excel solo toma en cuenta un grado de libertad por piso, pero la rigidez de cada piso la

calcula de los desplazamientos como producto de la aplicación de fuerzas con valor arbitrario que se han colocado en el centro de masas para ese efecto. Como la solución solo toma un grado de libertad por piso (desplazamiento en el sentido X) no hay un grado de libertad por torsión de manera que los efectos de la misma no son apreciables ni inciden en este análisis y su objetivo es comparar las fuerzas símicas a aplicar sobre el modelo. Tipo de análisis STAAD.Pro Programa del autor

Fuerza sísmica (Kg) por piso +4.00 +7.50 +11.00 7,035.09 12,097.20 18,783.90 9,824.69 14,191.51 17,593.28

Desplazamientos (mm) +4.00 +7.50 +11.00 5.934 4.380 2.089 5.674 4.811 3.196

El cuadro comparativo anterior muestra algunas diferencias que son producto de la aproximación realizada por el programa en EXCEL, no obstante, estas diferencias no son significativas, por lo que podemos aceptar los resultados obtenidos por STAAD.Pro como correctos ya que además de haber resuelto el caso con todos los grados de libertad necesarios y representativos, los valores absolutos entran en el rango de aceptación al compararse bien. Si al mismo modelo le aplicamos el análisis pseudo estático de acuerdo con UBC-94 que es el mismo indicado en el CHOC-2008 y para la misma aceleración pico del suelo (0.25g), se obtiene que el período fundamental encontrado por el criterio de Rayleigh es T=0.606s que compara muy bien con el valor de T=0.60962s que se muestra en la tabla con los resultados del análisis modal, y la cortante en la base es Vx=46,611.12Kg = 0.0546W equivalentes a 1.23 veces la misma cortante por el análisis dinámico. DISCUSIÓN: El análisis modal espectral realizado por STAAD.Pro no debe de ser usado en forma directa ni mucho menos combinarse con otras condiciones de carga debido a que los valores mostrados del primero están en valor absoluto y su combinación será incorrecta, sin embargo, los resultados de un análisis equivalente si es posible combinarlos. El análisis modal espectral que realiza el programa, no tiene la herramienta para poder aplicar el 5% de excentricidad accidental que exige el CHOC-2008, de manera que cuando se crean los nudos correspondientes al centro de masas estos deberán tener en sus coordenadas, la excentricidad de 5% en cada dirección y en cada sentido para cumplir con este requisito, cosa que no se tomó en cuenta en el ejemplo de este documento para permitir la comparación. La distribución de fuerzas sísmicas en la estructura es completamente diferente entre el análisis modal y el análisis pseudo estático, como se aprecia en la gráfica 1 a continuación, y esa es la razón por la que la norma técnica exige este análisis como investigación de la respuesta de la estructura para edificios de alturas superiores a 75m o las que presentan irregularidad geométrica como se define en el CHOC-2008 en el artículo 1.3.4.8.3 Nótese en la gráfica 1 que la distribución por el método pseudo estático es lineal y en el método dinámico la distribución no es lineal lo que era de esperar ya que esta última es el producto de la superposición de los modos de vibración los cuales se han combinado con el criterio de la combinación cuadrática completa (CQC). También es importante notar, que las mayores diferencias entre la distribución de las fuerzas, se aprecian en los niveles altos. El caso antes estudiado, que se ha seleccionado sencillo y pequeño para mejor claridad en el análisis de los resultados, parece presentar diferencias aceptables entre los métodos, pero en la medida en que la estructura presenta mayores alturas, la diferencia se vuelve importante.

12.00 N 10.00 8.00 i v 6.00 e 4.00 2.00 l 0.00

Dinámico Estático

0.00

5,000.00

10,000.00 15,000.00 20,000.00 25,000.00 Fuerza en diafragmas (Kg) Gráfico 1: Distribución comparativa de fuerzas por sismo en los diafragmas CONCLUSIONES: 1. Queda evidencia que la combinación de los resultados obtenidos por el análisis modal espectral que realiza el programa STAAD.Pro con otras condiciones primarias de carga no es correcto, pues corresponde a una superposición de fuerzas o esfuerzos en los que los signos obtenidos del primero no necesariamente son correctos o no son consistentes a la dirección del estímulo aplicado. Se vuelve crítico especialmente en el análisis de las columnas, pues aquellas que deben de estar en tracción se combinan erróneamente en compresión con el momento resultante que también puede estar en signo incorrecto con los correspondientes de otras condiciones primarias de carga lo que puede llevar a sobre diseño en algunos casos y a un sub dimensionamiento en otros. 2. Utilizando el procedimiento descrito en este documento, es posible hacer uso del análisis dinámico aunque eso consista en algún trabajo adicional, sin embargo, el mismo es necesario para poder tener una completa y correcta visión de la respuesta de la estructura en el análisis realizado y además asegurar fácilmente, la correcta combinación o superposición con otros escenarios de carga. 3. Es necesario observar el artículo 1.3.5.5 del CHOC-2008 asignando en las coordenadas del nudo que representa el centro de masas, la excentricidad accidental correspondiente al 5% de la dimensión del edificio en la dirección perpendicular a la del análisis en cada dirección y en cada sentido. 4. Es importante tener claro las limitaciones del programa seleccionado para realizar los análisis así como la metodología para cubrir o superar estas limitaciones, especialmente cuando las normas técnicas exigen este tipo de análisis cuando la estructura presenta ciertas condiciones o características. BIBLIOGRAFÍA: 1. Comité Técnico (2008) Código Hondureño de la Construcción, Normas Técnicas Colegio de Ingenieros Civiles de Honduras, Tegucigalpa, Honduras 2. Chopra, A. (2007) Dynamics of Structures 3ª ed. Pearson-Prentice Hall, New Jersey, U.S.A. 3. International Conference of Building Officials (1994) Uniform Building Code Whittier, California, U.S.A. 4. Research Engineers, Intl. (2007) Technical Reference, STAAD.Pro Bentley Solutions Center, California, U.S.A. 5. Torre J. (2010) Programa para análisis dinámico con un GDL por piso Tegucigalpa, Honduras 6. Torre J. (2010) Curso de Dinámica estructural Programa de Maestría en Ingeniería estructural, UNITEC, Tegucigalpa, Honduras.