Análisis dinámico de sistemas estructurales mediante la concentración de masa

Masa distribuida y masa concentrada Masa distribuida Los sistemas donde tanto la masa como la rigidez se consideran como propiedades asignables a un infinito número de grados de libertad se denominan sistemas con propiedades distribuidas. Las aplicaciones de esta metodología están limitadas por la posibilidad de trabajar el problema dinámico por medio de funciones trascendentales y su utilidad en casos prácticos de ingeniería civil es limitada. No obstante, existe una alternativa para definir un procedimiento que permita disponer de las propiedades de masa distribuida, pero concentrar los efectos en los extremos de los elementos, como se hizo con las propiedades de rigidez en el análisis matricial, La matriz de masa del elemento, denominada matriz consistente de masa se ensambla y opera de una manera totalmente análoga a la de la matriz de rigidez del elemento. Supongamos que tenemos un elemento de pórtico plano el cual es sometido a unas aceleraciones en sus extremos representadas en el vector { u¨ } . Estas aceleraciones inducen dentro del elemento aceleraciones transversales, y¨ (x ) y longitudinales, x¨ ( x), en todos sus puntos intermedios entre los extremos. En cualquier diferencial de longitud del elemento, dx , con su correspondiente masa diferencial, dm , se presentan unas fuerzas inerciales diferenciales que según la 2 ley de Newton son iguales para aceleraciones transversales a:

d f y = y¨ ( x ) dm y para aceleraciones longitudinales a:

d f x = x¨ (x) dm Estas aceleraciones corresponden a la segunda derivada contra el tiempo de las deformaciones de la elástica del elemento y son totalmente proporcionales a estas deformaciones. Si determinamos el efecto que tienen todas estas fuerzas inerciales diferenciales en los apoyos del elemento, podríamos plantear la siguiente ecuación matricial de equilibrio dinámico:

f ax maxax f ay mayax f az m − azax f bx mbxax f by mbyax f bz mbzax

{ }[

maxay mayay mazay mbxay mbyay mbzay

maxaz mayaz mazaz mbxaz mbyaz mbzaz

maxbx maybx mazbx mbxbx mbybx mbzbx

maxby mayby mazby mbxby mbyby mbzby

maxbz maybz mazaz mbxbz mbybz mbzaz

El procedimiento para encontrar los términos de la matriz de la ecuación es el siguiente: se fijan todos los grados de libertad de los extremos del elemento, excepto uno de ellos, y a este grado de libertad se le impone una aceleración unitaria. La forma de la elástica del

u¨ ax 0 u¨ ay 0 u¨ az =0 0 u¨ bx 0 u¨ by 0 u¨ bz

]{ } { }

elemento es consistente con las deformaciones cuando están restringidos les grados de libertad de los extremos, excepto uno de ellos que es precisamente el que se libera. Las aceleraciones internas del elemento son proporcionales a esta forma de la elástica. Por lo tanto, en cada diferencial de masa las fuerzas inerciales diferenciales que se generan son las dadas por las ecuaciones