Análisis Dimensional Y Semejanza Hidráulica

ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA

HIDRÁULICA

ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA HIDRAULICA

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ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA

HIDRÁULICA

OBJETIVOS 

Aprender y saber aplicarlos las teoría

de análisis dimensional

Y de semejanza y leyes de y modelos 

Aprender como son las las campo

aplicaciones

que se utilizan estas teorías

en

de la ingeniería

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ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA

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INTRODUCCION La teoría matemática y los resultados experimentales han desarrollado soluciones prácticas de muchos problemas hidráulicos. En la actualidad numerosas estructuras hidráulicas se proyectan y construyen sólo después de haber efectuado un amplio estudio sobre modelos. La aplicación del análisis dimensional y de la semejanza hidráulica permite al ingeniero organizar y simplificar las experiencias Los parámetros dimensionales profundizan en forma significativa nuestro entendimiento sobre los fenómenos del flujo de fluidos en forma análoga al caso del gato hidráulico, donde la relación entre los diámetros del pistón. Un numero adimensional que es independiente del tamaño real del gato, determina la ventaja mecánica. Estos parámetros permiten que resultados experimentales limitados sean aplicados a situaciones que involucran dimensiones. e avance directo de nuestro entendimiento de un fenómeno debilitaría si las herramientas del análisis dimensional no estuvieran disponibles. Un modelo físico es una representación a escala de un escenario con un flujo hidráulico. En la modelización, tanto las condiciones de contorno (lecho, paredes de un canal, una estructura Hidráulica), como las condiciones de flujo aguas arriba y/o aguas abajo, así como el campo de Velocidades debe escalarse de un modo adecuado. Este tipo de modelos se emplea habitualmente en las etapas de diseño de una estructura Para optimizarla y para asegurarse que la operatividad de la misma se puede realizar de un modo seguro. Además, también sirven como apoyo en las labores de decisión para ayudar a los “no-ingenieros”, ya que ayudan a visualizar el funcionamiento de una infraestructura.

En otras ocasiones, la modelización física es la única vía disponible para analizar y estudiar el funcionamiento de ciertos fenómenos con patrones de flujo muy complejos. Habitualmente, en ingeniería hidráulica, los modelos son inferiores en tamaño a la estructura analizada, el prototipo. Sin embargo, existen aplicaciones como la modelización de un  proceso de sedimentación o floculación en las que los modelos pueden ser superiores al  prototipo. De cualquier modo, los modelos se caracterizan porque son ensayados en condiciones controladas de laboratorio.

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MARCO TEORICO ANÁLISIS DIMENSIONAL

El análisis dimensional es determinar la relación de dependencia existente entre una variable con una serie de parámetros que gobiernan una situación, en este caso de flujo, sin que sepamos la solución analítica del problema analizado. El análisis dimensional permite, entre otras utilidades, construir modelos de un  prototipo y analizarlo sometido a condiciones equivalentes a las de dicho prototipo. Podríamos analizar el efecto que tiene sobre la variable la variación de cada uno de los  parámetros que controlan el proceso, variando cada parámetro de forma individual y manteniendo el resto constante. Esto se conoce como análisis de sensibilidad. Con el análisis dimensional podremos identificar grupos de variables y, a través de la experimentación, determinar las relaciones existentes entre éstos. Además, con el análisis dimensional disponemos de una herramienta cualitativa para comprender los mecanismos que gobiernan un flujo. El análisis dimensión AL es la herramienta que permite simplificar el estudio de cualquier fenómeno en el que estén involucradas muchas magnitudes físicas en forma de variables independientes. Su resultado fundamental, el teorema de Buckingham (teorema Π) permite cambiar el conjunto original de parámetros de entrada

dimensionales de un problema físico por otro conjunto de parámetros de entrada adimensionales más reducido.

Análisis dimensional 

Para reducir un problema dimensional a otro adimensional con menos  parámetros, se siguen los siguientes pasos generales:



Contar el número de variables dimensionales n.



Contar el número de unidades básicas (longitud, tiempo, masa, temperatura, etc.)



Determinar el número de grupos adimensionales. El número de grupos o números adimensionales es n - m.

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Hacer que cada número dependa de n - m variables fijas y que cada uno dependa además de una de las n - m variables restantes (se recomienda que las variables fijas sean una del fluido o medio, una geométrica y otra cinemática; ello para asegurar que los números adimensionales hallados tengan en cuenta todos los datos del problema).



Cada se pone como un producto de las variables que lo determinan elevadas cada una a una potencia desconocida. Para garantizar adimensionalidad deben hallarse todos los valores de los exponentes tal que se cancelen todas las dimensiones implicadas.



El número que contenga la variable que se desea determinar se pone como función de los demás números adimensionales.



En caso de trabajar con un modelo a escala, éste debe tener todos sus números adimensionales iguales a las del prototipo para asegurar similitud.

Aplicaciones del Análisis dimensional. •

Detección de errores de cálculo.

•

Resolución de problemas cuya solución directa conlleva dificultades

matemáticas insalvables. •

Creación y estudio de modelos reducidos.

•

Consideraciones sobre la influencia de posibles cambios en los modelos

HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL. En toda ecuación física, cada término deberá tener las mismas dimensiones: la ecuación debe ser dimensionalmente homogénea; además la división de todos los términos por uno cualquiera de ellos, haría la ecuación adimensional, y cada cociente sería un grupo adimensional. Las dimensiones de las magnitudes empleadas normalmente en Mecánica de Fluidos, incluyen sólo una o más de las siguientes 4 dimensiones: M (masa), L (longitud), T(tiempo) y θ (temperatura)

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TEOREMA “Π” DE BUCKINGHAM.

Es una herramienta que permite simplificar el estudio de cualquier fenómeno en el que estén involucradas muchas magnitudes físicas en forma de variables independientes. Su resultado fundamental, el teorema de Vaschy-Buckingham (más conocido  por teorema ) permite cambiar el conjunto original de parámetros de entrada dimensionales de un problema físico por otro conjunto de parámetros de entrada adimensionales más reducido. . De este modo, al obtener uno de estos conjuntos de tamaño mínimo se consigue: Analizar con mayor facilidad el sistema objeto de estudio Reducir drásticamente el número de ensayos que debe realizarse para averiguar el comportamiento o respuesta del sistema. El análisis dimensional es la base de los ensayos con  maquetas a escala reducida utilizados en muchas ramas de la ingeniería,

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Tales como la aeronáutica, la automoción o la ingeniería. A partir de dichos ensayos se obtiene información sobre lo que ocurre en el fenómeno a escala real cuando existe semejanza física entre el fenómeno real y el ensayo, gracias a que los resultados obtenidos en una maqueta a escala son válidos para el modelo a tamaño real si los números adimensionales que se toman como variables independientes para la experimentación tienen el mismo valor en la maqueta y en el modelo real. Así, para este tipo de cálculos, se utilizan

ecuaciones dimensionales ,

que son.

Expresiones algebraicas que tienen como variables a las unidades fundamentales y derivadas, las cuales se usan para demostrar fórmulas, equivalencias o para dar unidades a una respuesta. Finalmente, el análisis dimensional también es una herramienta útil para detectar errores en los cálculos científicos e ingenieriles. Con este fin se comprueba la congruencia de las unidades empleadas en los cálculos, prestando especial atención a las unidades de los resultados El método para determinar, los grupos adimensionales (Gi, i=1,...n-m); consiste en la selección de “m” de las “n” variables, con diferentes dimensiones, de manera que contengan entre todas las “m” dimensiones, y emplearlas como variables repetitivas, formando cada uno de los “n -m” grupos adimensionales a partir de la siguiente

expresión genérica:

i = 1,..., m- n

NÚMEROS DE REYNOLDS, EULER, MACH Y FROUDE. De todos los parámetros adimensionales, 4 de ellos son de gran importancia, siendo controlante alguno de ellos en función de las magnitudes que intervengan en el flujo.

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NÚMERO DE REYNOLDS (Re): Controla el transporte de cantidad de movimiento, es decir los efectos de la viscosidad; si el Re es pequeño, se tiene flujo con viscosidad dominante; en el movimiento de las  partículas, las altas interacciones por viscosidad las ordenan en la dirección del flujo, con lo que sus trayectorias no se cruzan, se tiene régimen laminar. Si el Re es elevado, en principio los efectos viscosos son despreciables frente a los de inercia, excepto en las zonas del flujo donde se tengan altos gradientes de velocidad; las partículas se mueven Desordenadamente, entrecruzándose continuamente las trayectorias, se tiene régimen turbulento.

NUMERO DE EULER (Eu): controla los efectos de la presión termodinámica con respecto a la presión dinámica. Por la variedad de flujos, se tienen distintos parámetros derivados del número de Euler: En el flujo en turbo máquinas hidráulicas (fluido operante líquido) es importante  para evaluar los efectos de la cavitación, el denominado número de cavitación (en donde vapor es la presión de vapor del líquido a la temperatura de operación): ca  número de cavitación 

Número de cavitación En flujo externo, se evalúa la resultante de las fuerzas de superficie sobre un determinado objeto, con los coeficientes de sustentación y de arrastre, que derivan del número de Euler:

cd= cl =

   

coeficiente de arrastre (D = “Drag”) = coeficiente de sustentación (L = “Lift”)

NUMERO DE MACH (Ma): controla la relación entre las fuerzas de inercia por velocidad y las fuerzas elásticas por compresibilidad; además es la relación entre la velocidad del flujo y la velocidad de pequeñas perturbaciones en el seno del fluido que se denomina velocidad del sonido. Las perturbaciones provocan compresiones expansiones (variaciones de densidad) en el fluido, y la rapidez de transmitirlas, es decir la velocidad del sonido (con perturbaciones de poca intensidad), depende de la “facilidad” del fluido a experimentar variaciones de densidad: así en un fluido de alto

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módulo de compresibilidad, las perturbaciones se transmiten rápidamente con lo que la velocidad del sonido es alta. Pudiendo tener tres tipos de flujos: 

Ma1 régimen supersónico las perturbaciones se mueven más lentas que el flujo

NUMERO DE FROUDE (Fr): controla los efectos del campo central de fuerzas en donde pueda estar el fluido, y que normalmente es exclusivamente el campo gravitacional. Cuanto mayor ser el Fr menor será la importancia de la fuerza gravitacional respecto a la de inercia. En flujo confinado el orden de magnitud de las fuerzas de inercia es mayor que el de las fuerzas gravitacionales, con lo que se tiene Fr altos, y por lo tanto son poco importantes los efectos gravitacionales. En flujo con superficie libre , se tiene Fr bajos del orden de la unidad; y su valor determina el diverso comportamiento del flujo ante perturbaciones superficiales.

Pudiendo tener tres tipos de flujos: 

v < vp y Fr < 1: flujo subcrítico



v = vp y Fr = 1: flujo crítico



v > vp y Fr > 1: flujo supercrítico

TEORÍA DE MODELOS. Los ensayos experimentales del flujo en un determinado prototipo, a veces no es posible realizarlos en el propio prototipo, por su tamaño o por la dificultad de reproducir las condiciones reales de flujo, con lo que se realizan los ensayos con modelos a escala

MODELOS HIDRAULICOS Los modelos hidráulicos, en general pueden ser o bien modelos verdaderos o modelos distorsionados. Los modelos verdaderos tienen todas las características significativas del  prototipo reproducidas a escala (semejanza geométrica) y satisfacen todas las restricciones de diseño (semejanza cinemática y dinámica).

SEMEJANZA El Principio de Semejanza tiene que ver con las relaciones entre sistemas físicos de tamaños diferentes y es por consiguiente fundamental para la ampliación y disminución 9

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de escala en los procesos físicos y químicos . Para la aplicación del principio, se parte de considerar que los objetos materiales y los sistemas físicos en general, se caracterizan  por tres cualidades: tamaño, forma y composición , las cuales son variables independientes. El Principio de Semejanza establece que la configuración espacial y temporal de un sistema físico, se determina por relaciones de magnitud dentro del sistema . Prototipo, es el modelo están relacionados entre si por tres tipos de semejanza: geométrica, cinemática y dinámica.

Leyes de semejanza. Para poder extrapolar los resultados, previamente se han de cumplir:

a)El modelo ha de ser geométricamente igual que el prototipo. Por tanto, las longitudes L, superficies A y volúmenes V deben ser homólogos entre el  prototipo y el modelo, y han de verificar la siguiente relación:

b)El modelo ha de ser dinámicamente semejante al prototipo. Para que los fenómenos en el modelo y en el prototipo sean comparables no basta que los modelos de estructuras o máquinas hidráulicas sean geométricamente semejantes a los prototipos, sino que también los flujos, o sea las líneas de corriente, han de ser semejantes. Para ello es necesario que las velocidades, aceleraciones, y fuerzas sean semejantes. Cuando se cumple la semejanza geométrica y dinámica se dice que el modelo tiene semejanza cinemática con el prototipo. Por lo tanto para una semejanza completa, supuesta la intervención de todas las fuerzas señaladas anteriormente, se debería cumplir: Eup = Eum; Frp = Frm; Map = Mam; Rep

Para que un modelo sea semejante a un prototipo debe existir: 

Semejanza geométrica (dimensiones proporcionales) Semejanza mecánica:



Semejanza estática (deformaciones proporcionales)



Semejanza cinemática (tiempos proporcionales)



Semejanza dinámica (fuerzas proporcionales)



Prototipo aparatos a gran escala Modelo réplica semejante geométricamente de un prototipo completo

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Entonces es necesario destacar la normalización de las ecuaciones, que dice que se adimensionalizan todas las variables por un valor característico, de tal forma que los valores adimensionales (*) sean próximos a la unidad:

x*



y*



z*



x Lc y Lc z Lc

Prototipo, modelo y sus respectivos flujos considerados, están relacionados entre sí por tipos de semejanza:

SEMEJANZA GEOMÉTRICA. La semejanza geométrica se define mejor en términos de correspondencia y por tanto  por el factor de escala L, que relaciona las distintas dimensiones lineales de un sistema con las del otro y que se pueden Si se cumple que ambos están relacionados por la ecuación:

(NL ) 

Longitud caracterís tica del modelo Longitud caracterís ica del prototipo

( NL ) 2



Área caracterís tica del modelo Área caracterís tica del prototipo

Donde la relación o factor de escala lineal L es constante, se puede decir entonces que esos dos puntos y todos los otros pares de puntos cuyas coordenadas espaciales estén similarmente relacionadas en términos de L, son puntos correspondientes

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SEMEJANZA ESTÁTICA. Dos cuerpos geométricamente semejantes son semejantes estáticamente cuando ante tensiones constantes, sus deformaciones relativas son tales que permanecen geométricamente semejantes. La semejanza estática se relaciona con los cuerpos sólidos o estructuras sometidos a tensiones constantes. Todos los cuerpos sólidos se deforman bajo tensión y como resultado de ello, ciertas partes llegan a ser desplazadas de la posición que ocupaban cuando no estaban sometidas a tensión.

SEMEJANZA CINEMÁTICA. Los sistemas en movimiento geométricamente son cinemática mente semejantes, cuando partículas correspondientes trazan trayectorias semejantes geométricamente, en intervalos de tiempo correspondientes. La semejanza cinemática se relaciona con sólidos o sistemas fluidos en movimiento, lo que añade a las tres coordenadas espaciales, la dimensión adicional del tiempo. Los tiempos se miden partiendo de un cero arbitrario para cada sistema y se definen los tiempos correspondientes como los tiempos tales en los cuales t'/t = t constante, siendo t la relación de escala de tiempo. . SEMEJANZA DINÁMICA. La semejanza dinámica se relaciona con las fuerzas que aceleran o retardan masas en movimientos en sistemas dinámicos. Las fuerzas de una misma clase (gravitacional, centrífuga, etc.) que actúan sobre partículas correspondientes en tiempos correspondientes, se denominan fuerzas correspondientes. Los sistemas en movimiento geométricamente semejantes son dinámicamente semejantes cuando las relaciones entre todas las fuerzas correspondientes son iguales. En los sistemas fluidos las fuerzas principales que actúan son las de presión, inerciales, gravitacionales, viscosas e interraciales y por consiguiente, las relaciones entre las magnitudes de esas fuerzas en puntos correspondientes, expresadas como grupos adimensionales, constituyen los criterios de semejanza dinámica. . En los sistemas de flujo de fluidos, la semejanza dinámica es de importancia directa cuando se desean predecir caídas de presión o consumos de potencia. En el caso de la transferencia de calor y masa o en las reacciones químicas, su importancia es  principalmente indirecta, como una vía para establecer la semejanza cinemática.

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SEMEJANZA DE FROUDE Cuando el flujo presenta una superficie libre la fuerza Predominante es la de gravedad:, Frp = Frm  b: SEMEJANZA DE REYNOLDS ) Cuando el cuerpo está sumergido en un flujo subsónico la fuerza predominante es la de viscosidad Rep = Rem c) semejanza de mach, Cuando el cuerpo está sumergido en un flujo supersónico la fuerza predominante es la compresibilidad: Map = Mam d) semejanza de Weber , En láminas de líquido muy delgadas prima la tensión superficial, Wep = Wem

APLICACIONES Y RELACIONES LA RELACION ENTRE LAS FUERZAS DE INERCIA La relación entre las fuerzas de inercia se desarrolla en la siguiente forma: Esta ecuación expresa la ley general de la semejanza dinámica entre modelo y prototipo y se le conoce con el nombre de ecuación newtoniana. . RELACION DE LAS FUERZAS DE INERCIA A LAS DE PRESION  (Número de Euler). Controla los efectos de la presión termodinámica con respecto a la presión dinámica. Por la variedad de flujos, se tienen distintos parámetros derivados del número de Euler: En el flujo en turbo maquinas hidráulicas (fluido operante líquido) es importante para evaluar los efectos de la cavitación, el denominado número de cavitación (en donde vapor es la presión de vapor del líquido a la temperatura de operación): En flujo externo, se evalúa la resultante de las fuerzas de superficie sobre un determinado objeto, con los coeficientes de sustentación y de arrastre, que derivan del número de Euler:  Eu 

v 2*

 p

  

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RELACION DE LAS FUERZAS DE INERCIA A LAS VISCOSAS (Número de Reynolds) controla el transporte de cantidad de movimiento, es decir los efectos de la viscosidad; si el Re es pequeño, se tiene flujo con viscosidad dominante; en el movimiento de las  partículas, las altas interacciones por viscosidad las ordenan en la dirección del flujo, con lo que sus trayectorias no se cruzan, se tiene régimen laminar. Si el Re es elevado, en principio los efectos viscosos son despreciables frente a los de inercia, excepto en las zonas del flujo donde se tengan altos gradientes de velocidad; las partículas se mueven desordenadamente, entrecruzándose continuamente las trayectorias, se tiene régimen turbulento. Re 

  * l * v  



l *   

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RELACIÓN ENTRE LAS FUERZAS DE INERCIA POR VELOCIDAD Y LAS FUERZAS ELÁSTICAS POR COMPRESIBILIDAD  (Numero de Mach (Ma) controla la relación entre las fuerzas de inercia por velocidad y las fuerzas elásticas por compresibilidad; además es la relación entre la velocidad del flujo y la velocidad de  pequeñas perturbaciones en el seno del fluido, que se denomina velocidad del sonido. Las perturbaciones provocan compresiones-expansiones (variaciones de densidad) en el fluido, y la rapidez de transmitirlas, es decir la velocidad del sonido (con perturbaciones de poca intensidad), depende de la “facilidad” del fluido a experimentar variaciones de

densidad: así en un fluido de alto módulo de compresibilidad, las perturbaciones se transmiten rápidamente con lo que la velocidad del sonido es alta3. Pudiendo tener tres tipos de flujos: Ma1 régimen supersónico las perturbaciones se mueven más lentas que el flujo  Ma  

v     

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RELACION DE LAS FUERZA DE INERCIA A LAS GRAVITATORIAS  Número de Froude (Fr): Controla los efectos del campo central de fuerzas en donde pueda estar el fluido, y que normalmente es exclusivamente el campo gravitacional. Cuanto mayor ser el Fr menor será la importancia de la fuerza gravitacional respecto a la de inercia. En flujo confinado (limitado por una superficie rígida), el orden de magnitud de las fuerzas de inercia es mayor que el de las fuerzas gravitacionales, con lo que se tiene Fr altos, y por lo tanto son poco importantes los efectos gravitacionales. En flujo con superficie libre, se tiene Fr bajos del orden de la unidad; y su valor determina el diverso comportamiento del flujo ante perturbaciones superficiales. El número de Froude es la relación entre la velocidad del flujo y la velocidad de las  perturbaciones en la superficie libre. Pudiendo tener tres tipos de flujos: - v < vp y Fr < 1: flujo subcrítico  Fr  

v l * g 

. RELACION DE LAS FUERZAS DE INERCIA A LAS ELÁSTICAS. (Número de Cauchy)..

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El Número de Cauchy es un número adimensional en la dinámica de fluidos utilizado en el estudio de flujos compresibles. Se llama así en honor del matemático francés Augustin Louis Cauchy. La compresión es importante, debido a que las fuerzas elásticas deben ser consideradas junto con las fuerzas inerciales de similitud dinámica. Así, el número de Cauchy se define como la relación entre la inercia y la fuerza de compresión (fuerza elástica) en un flujo. Está definida por:Se obtiene a partir de A la raíz cuadrada de esta relación,, se llama NÚMERO DE MACH.

RELACION DE LAS FUERZAS DE INERCIA A LAS DE LA TENSION SUPERFICIAL. En general, el ingeniero estudia únicamente los efectos de la fuerza predominante. En la mayoría de los problemas de flujos fluidos son fuerzas predominantes de la gravedad, viscosidad y elasticidad, pero no necesariamente de forma simultánea. En este libr o trataran únicamente los casos en que una sola fuerza predominante influye sobre la configuración dl flujo, mientras que el resto de las fuerzas que simultáneamente influyen en las condiciones del flujo, el problema se complica en exceso, quedando fuera del propósito del texto. - v > vp y Fr > 1: flujo supercrítico 17

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. RELACION DE TIEMPOS Tiempo, periodo durante el que tiene lugar una acción o acontecimiento, o dimensión que representa una sucesión de dichas acciones o acontecimientos. El tiempo es una de las magnitudes fundamentales del mundo físico, igual que la longitud y la masa. se emplean tres métodos astronómicos para expresar el tiempo. Las relaciones de tiempos establecidas para configuraciones del flujo gobernadas esencialmente por la viscosidad, o por la gravedad, o por la tensión superficial o bien  por la elasticidad.

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.

Problema 5.60 (Solucionario de White) Un prototipo de bomba de agua tiene un impulsor cuyo diámetro es de 2 ft y es diseñada la bomba para un caudal de

12  ft 3 / s

y una velocidad angular de 750

rad/min. Una bomba modelo cuyo impulsor tiene un diámetro de 1ft es probada a una temperatura de aire de 20 0C y una velocidad angular de 1800 rad/min; y los efectos del número de Reynolds se lo puede considerar despreciable. Para condiciones similares, ¿cuál debe ser el flujo de volumen de el modelo en

  ft 3 / s

? Si el modelo de la

 bomba requiere 0.082 hp para su funcionamiento; ¿qué potencia se requiere para el  prototipo? Datos: T= 20 0C

Para reducir un problema dimensional a otro adimensional con menos parámetros, se siguen los siguientes pasos generales: 1.- Contar el número de variables dimensionales

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V 1   P    ML2T    3  POTENCIA

     ML 

3

 DENSIDAD

 D   L   DIAMETRO

   T  V  2



1



   VELOCIDAD

Q    L3T   

1

.



ANGULAR

Caudal 

V 3      ML1T  1  Vis.Dinámica

2.-Contar el número de unidades básicas . Variables independientes; Masa (M); Longitud (L); Tiempo (T). M 3 3.- Determinar el número de grupos adimensionales. Número de Para nuestro caso hay tres grupos adimensionales

= n  –  m

= n  –  m=6-3=3

3 grupos adimensionales 4.-Hacer que cada número

dependa de n - m variables fijas y que cada uno dependa

además de una de las m variables restantes (se recomienda que las variables fijas sean una del fluido, una geométrica y otra cinemática)      ML 3 



 DENSID   AD



 DEL ..FLUIDO

 D    L   DIAMETRO   .  GEOMETRICO    T  1  VELOCIDAD   .   ANGULAR 

V   1

V   3

3    P    ML2T   POTENCIA 3  Q    L T     1  Caudal  



V  2

 CINEMATICO





    ML

5.-Cada

1

T   1



Vis.Dinámica

se pone como un producto de las variables que lo determinan elevadas cada

una a una potencia desconocido Grupo 1 G1

 1   PD

a

  b c



( ML2T 3 )( L) a ( ML3 )b (T 1 ) c

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 M   0 L0T  0



 M  1 b L2  a 3bT  3 c



3b

1 b

0



0



0

 3c

2

a



HIDRÁULICA

a

 5

b

 1

c

 3

G1  1   PD 5  1 3

Grupo 2  g 

h

i

 g 

h

G2   2  QD      ( L3T  1 )( L) ( ML 3 ) (T  1 ) 

 M 0 L0T 0   M h L3  g 

 3h





i

1i

T 

0h

h0

0  3  g   3h

 g   3

0  1  i

i  1 G 2

 2 

QD 3 1

Grupo 3 G3

 3 

d 

e

  f  

  D    



1

1

d 

3

e

1

  f  

( ML T  )( L) ( ML ) (T  )

 M  0 L0T  0   M  1 e L1 d  3eT  1 f   0

 1 e

0

 1  d   3e

d   2

0

 1    f  

e  1

G3   3    D 2  1 1

 f   1

6.- El número

que contenga la variable que se desea determinar se pone como

función de los demás números adimensionales. En nuestro caso ponemos la Potencia ya dicha variable está en función 2

1 

  f   ( 2 ,  3 )

 P  5  D  3



Q  D 2    f   ( , )  D 3   

3 

 D    



2 D V 

 

 3  Re

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HIDRÁULICA

 P  5

3

 D  

   f  (

Q

) D   3

COMO NO SE COSIDERA REYNOL

ANALISI DEL VOLUMEN DEL MODELO Y LA POTENCIA DELPROTOTIPO Para el cálculo del caudal del modelo como la potencia del prototipo se aplicó el “Teorema de modelos de semejanza” como “La normalización de ecuaciones de conservación”; como se indica a continuación:

CAUDAL DE MODELO Qcar . modelo 3  Dmod elo mod elo

Qcaract .de m odelo 1 Qcaract .deprototipo



Qcar . prototipo 3  Dmod elo  prototipo

Qcar . modelo  Qcar . prototipo

Qcaract .de m odelo  Qcaract .deprototip o ; G2 

Q  D 3 

3

1

Qcar . m od elo



12 2

3

*

3  Dmod elo 3  Dmod elo

1800 750



*

 mod elo   prototipo

3.6

  f t 3  s

Para la potencia de la bomba del prototipo

 P car . m odelo  P caract .de mod elo  P caract .deprototip o

 D

 P   D  3

3 m od.

 m od. 

1

 P caract .de mod elo   P caract .deprototip o ; G1 

5 m od.

 P car . prototipo



 P car . prototipo 5 3  D prototipo .  prototipo .  prototipo .

5 3  D prototipo   prototipo .   prototipo . .   P car . m odelo * * * 5  Dm od.  m od.  m3 od. 5

5

 P car . prototipo  0.082*

2

1.94

3

750

 157.3678hp *   * 3 1 0.00234 1800 5

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ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA

HIDRÁULICA

CONCLUSIONES 

Se pueden obtener parámetros adimensionalesa partir de una ecuación teórica que relacione las variables que intervienen en un fenómeno físico dado.



La homogeneidad dimensional se podrá emplear para plantear las ecuaciones experimentales a resolver mediante el análisis dimensional.



Se conoció sobre en teorema e Buckingham (teo rema Π) con el cual se determina

que

unidades básicas son longitud(L), tiempo(T), masa(M) y

que las variables fijas en este ejercicio son

fluido(densidad), geométrica

(diámetro), cinemática(velocidad angular). 

Se concluye que no siempre se puede lo que se está analizando construir (  prototipo) por su tamaño o por sus condiciones por lo cual se utiliza un modelo a escala (geométricamente semejantes) y que sus parámetros de análisis pueden servir para el prototipo esto se lo realiza mediante el teoría de modelos (semejanza).

RECOMENDACIONES 

Establecer correctamente los parámetros que interviene en el fenómeno.



Reconocer las variables fijas correctamente.



Tener presente siempre las magnitudes independientes: masa, tiempo, longitud, temperatura.

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ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA

HIDRÁULICA

BIBLIOGRAFIA

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ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA

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HIDRÁULICA

ANEXOS

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