Analisis Dimensional y Semejanza Hidraulica
Short Description
fvvfvf...
Description
ANALISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA HIDRAULICA
Análisis dimensional
Es una herramienta que permite simplificar el estudio de cualquier fenómeno fenó meno en el que estén involucrada involucradass muchas muchas magn magnitudes itudes físicas físicas en forma de variables independientes. i ndependientes. el teorema π de Vaschy-Buckingham (más conocido por teorema π) permite cambiar el conjunto original de parámetros de entrada dimensionales de un problema físico por otro conjunto de parámetros de entrada adimensionales más reducido.
Cantidad
Símbolo
Dimensiones
Longitud
l
L
Tiempo Masa Fuerza Velocidad Aceleración Área Gasto Flujo Másico Presión Densidad Peso específico Viscosidad Viscosidad Cinemática
t
T
m
M
F
ML/
V
L/T
a
L/
A Q
/T
m
M/T
p
M/L
ρ
M/
M/
µ
M/LT
v
/
W
M /
Trabajo Tensión Superficial
M/
Teorema π de
Vaschy-Buckingham
Es aquel teorema que permite cambiar el conjunto original de parámetros de entrada dimensionales de un problema físico por otro conjunto de parámetros de entrada adimensionales más reducido.
= (, , , , … … . ) Donde n representa el número total de variables, entonces se establece que (n-m) grupos adimensionales de variables, llamados términos π, donde m es el número de dimensiones básicas incluidas en las variables, pueden relacionarse por:
= ( , , , , … … . −)
Requisito para una aplicación exitosa del análisis dimensional
Escribir la forma funcional de la variable dependiente que depende de las (n -1) variables independientes Identificar m variables repetitivas Formar los términos π al combinar las variables repetitivas con cada una de las variables restantes. Escribir la fórmula funcional de los (n-m) términos π adimensionales.
PARÁMETROS ADIMENSIONALES COMUNES Consideramos una relación general entre la caída de presión ∆p, una longitud característica l, una velocidad característica V, la densidad ρ, la viscosidad µ, la gravedad g, la tensión superficial , la velocidad del sonido c , y una frecuencia angular w , escrita como:
∆p = (, , , µ, , , , σ)
∆ ( , , , , ) =
Número de Euler, Eu=
∆
Número de Reynolds, Re =
Número de Froude, Fr =
√
Número de Mach , M = Número de Strouhal, St =
Número de Weber, We =
La importancia física de cada parámetro puede determinarse al observar que cada número adimensional puede escribirse como la relación entre dos fuerzas. Las fuerzas observadas son:
FP = fuerza de presión = ∆A ~ ∆
F = fuerza inercial = mV ~ v = ρ
F = fuerza viscosa = ΤA=µ ~ µ = µ
F = fuerza gravedad = mg ~ ρ
FB = fuerza de compresibilidad = BA ~ ρ
Fw = fuerza centrífuga= mr ~ ρ = ρ
F = fuerza de tensión superficial =
PARÁMETRO
Número de Euler
EXPRESIÓN
SITUACIONES DE FLUJO DONDE EL PARÁMETRO ES IMPORTANTE Flujos donde la caída de presión es importante
∆
ρ Número de Reynolds
Flujos donde influyen efectos viscosos, como por ejemplo fluidos internos.
µ Número de Froude
Flujos donde influyen efectos de gravedad: flujos con superficie l ibre principalmente.
√lg Número de Mach
c Número de Strouhal
La comprensibilidad es importante en estos flujos, comúnmente si V> 0.3 C
Flujo con una componente no permanente que se repite periódicamente.
Número de Weber
La tensión superficial influye en el flujo, un flujo con interfase puede ser un flujo como ese.
SEMEJANZA HIDRAULICA
Es el estudio de predecir las condiciones de un prototipo a partir de observaciones de un modelo. Cuando una solución analítica o numérica no es práctica, o cuando los cálculos están basados en un modelo simplificado de modo que se introduce incertidumbre, en general es aconsejable realizar una prueba en un modelo si las pruebas en un prototipo a escala natural no son prácticas, sea éste demasiado grande o demasiado pequeño. Si se decide estudiar un modelo, es necesario desarrollar los medios por medio de los cuales una cantidad medida en el modelo pueda ser utilizada para predecir la cantidad asociada en el prototipo
SEMEJANZA DINAMICA
Las que en la sección anterior se demostró que eran:
=
=
=
= ( , , ) Reconociendo que hay solo una dimensión básica, o sea la fuerza, el análisis dimensional permite escribir la ecuación anterior en función de relaciones de fuerza
= (, ) Por consiguiente concluiremos que si el número de Reynolds y el número de Froude son los mismos en el modelo y prototipo; el número de Euler debe ser también el mismo. Por lo tanto, la similitud dinámica entre el modelo y el prototipo queda garantizada igualando el número de Reynolds y el número de Froude del modelo con los del prototipo, respectivamente.
SEMEJANZA CINEMATICA
Para garantizar la semejanza geométrica se debe establecer una relación que la velocidad sea una constante entre todos los puntos correspondientes en los campos de flujo .
=
/ /
= .
Lo que demuestra que la relación de aceleración entre puntos correspondientes en el modelo y prototipo es una constante siempre que la relación de masa de elementos del fluido correspondiente también lo sea.
SEMEJANZA GEOMETRICA
Que la relación de longitud sea una constante entre todos los puntos correspondientes en los campos de flujo es la demanda de similitud geométrica la que hace que el modelo tenga la misma forma que el prototipo. Por consiguiente, para garantizar la similitud completa entre modelo y prototipo, se exige que: Se satisfaga la similitud geométrica. La relación de masa de elementos del fluido correspondientes sea una constante. Los parámetros comunes adimensionales apropiados sean iguales.
FLUJOS CONFINADOS
Un flujo confinado es un flujo que no tiene superficies libres (una superficie líquido-gas) o interfaces (dos líquidos diferentes que forman un interfaz). Está confinado para moverse en el interior de una región especificada; tales fluidos incluyen flujos externos alrededor de objetos, tales como aviones, edificios y submarinos, lo mismo que flujos internos por tuberías y conductos. La gravedad no afecta el patrón de circulación en flujos confinados; es decir; si la gravedad pudiera cambiar la magnitud, el patrón de flujo y las cantidades del flujo asociadas no cambiarán. El efecto dominante es el de la viscosidad en flujos incompresibles confinados . Esto conduce a la conclusión de que = () de modo que solo se considera el número de Reynolds como el parámetro sin dimensiones dominante en un flujo incompresible confinado. Si los efectos de compresibilidad son significativos, el número de Mach también es importante.
FLUJOS CON SUPERFICIE LIBRE
Un flujo con superficie libre es uno en el cual una parte del límite implica una condición límite de presión. Este influye flujos sobre vertederos y diques, flujos en canales. Esto introduce el número de Froude y debido a la influencia de las fuerzas de gravedad. Si se consideran Flujos que no exhiben movimientos periódicos, cuyos efectos de compresibilidad y tensión superficial son insignificantes, se puede ignorar la influencia de St, M, y We. Por lo tanto, sólo los efectos viscosos han de ser considerados. Existen muchos flujos con superficie libre en los cuales los efectos viscosos son significativos.
FLUJOS CON NUMEROS DE REYNOLDS ALTOS
En un flujo confinado en el cual en número de Reynolds es el parámetro sin dimensiones que garantiza la similitud dinámica, se observa que si se utiliza el mismo fluido en el modelo y prototipo, la velocidad en el estudio del modelo es V = Vp Ip /I; la velocidad en el modelo es la velocidad en el prototipo multiplicado por el factor de escala. Esto a menudo da por resultado velocidades que son prohibitivamente grandes en el estudio del modelo. Además, las presiones encontradas en el estudio del modelo son grandes, y el consumo de energía también es muy grande. Debido a estos problemas los números de Reynolds no pueden ser igualados en estudios que implican números de Reynolds grandes.
FLUJOS COMPRESIBLES
En la mayoría de las situaciones de flujo compresible el número de Reynolds es tan grande que no es un parámetro de importancia; los efectos de compresibilidad hacen que el número de Mach sea el parámetro sin dimensiones primordial de modelos. Así pues para un estudio de un modelo en particular se requiere
=
=
Si el estudio del modelo se realiza en un túnel de viento y el fluido en el prototipo es aire, se puede suponer que = si la temperatura es la misma en los dos flujos. En ese caso, la velocidad en el estudio del modelo es igual a la velocidad asociada con el prototipo. Naturalmente, si las velocidades del sonido son diferentes, la relación es diferente de la unidad, en conformidad.
FLUJOS PERIODICOS
En muchas situaciones de flujo existen regiones de los flujos en las que ocurren movimientos periódicos. Tales flujos incluyen el movimiento periódico de fluido que se da cuando un fluido fluye más allá de un objeto cilíndrico tal como un puente, una torre de TV, un cable, un rascacielos; flujo más allá de una máquina de viento; y el flujo a través de una turbomáquina. En flujos como esos es necesario igualar los números de Strouhal, los cuales se escriben como
Para que el movimiento periódico sea apropiadamente modelado
=
EJERCICIOS
1) Se utiliza un modelo de un automóvil a una escala de 1:10 para medir la resistencia al avance en un diseño propuesto. Debe simular una velocidad del prototipo de 90 Km/h. ¿Qué velocidad se deberá utilizar en un túnel de viento si se igualan los números de Reynolds? En esta condición, ¿cuál es la relación de las fuerzas de resistencia al avance.?
Solución Existe el mismo fluido en el modelo y prototipo, por lo tanto si se igualan los números de Reynolds se obtiene T
∴ V = Vp
=
= 90x10 = 900Km/h
2) La elevación de la presión desde una corriente libre hasta la nariz de una sección de fuselaje de un avión se mide en un túnel de viento a 20°C y resulta ser de 35KPa con una velocidad del aire en el túnel de viento de 900Km/h. si la prueba es simular el vuelo a una altura de 12 Km .¿ cuál es l a velocidad del prototipo y la elevación de la presión con nariz anticipada?
Solución Para hallar la velocidad del prototipo correspondiente a una velocidad del aire en el túnel de viento de 900Km/h, se igualan los números de Mach
=
Por lo tanto
= ( ) = 900( ) = 774 /ℎ
La presión en la nariz del fuselaje del prototipo se calcula con el número de Euler como sigue:
Δ = Δ
= 34x0.2546x = 6.4
=
.
=
3)Se tiene que probar un diseño propuesto de una bomba grande que ha de suministrar de agua con un propulsor de 40 cm de diámetro y una elevación de presión de 400 kPa. Se tiene que utilizar un modelo con propulsor de 8 cm de diámetro. ¿Qué velocidad de flujo se deberá utilizar y que elevación de presión es de esperarse? El fluido modelo es agua a la misma temperatura que el agua en el prototipo.
Solución Para que exista similitud en este problema de flujo incompresible confinado, el número de Reynolds debe ser igual, es decir.
=
Teniendo en cuenta que = si las temperaturas son iguales, se ve que
= . = 5
La relación de las velocidades de fl ujo se encuentra reconociendo que = :
=5
Entonces, encontramos que
=
=
=
.
=
=
=
. =
0.3 Τ
La elevación de presión sin dimensiones se encuentra utilizando el número de Euler: ∆
=
∆
Por lo tanto la elevación de presión para el modelo es
∆ = ∆ = 40015 = 10 000
Observamos que en este ejemplo la velocidad en el modelo es igual a la velocidad en el prototipo multiplicada por la relación de longitud, y la elevación de presión en el modelo es igual a la elevación de presión en el prototipo multiplicada por la relación de longitud al cuadrado. Si la relación de longitud fuera muy grande, es obvio que mantener la equivalencia del número de Reynolds seria bastante difícil.
4) Se utiliza un modelo a escala 1:20 de una embarcación para probar la influencia de un diseño propuesto en el retardo provocado por las olas. Se mide un retardo provocado por las olas de 6.2 lb en el modelo a una velocidad de 8.0 ft/seg. ¿A qué velocidad corresponde ésta en el prototipo? Y ¿Qué retardo provocado por las olas se pronostica para el prototipo? Ignore los efectos viscosos y considere el mismo fluido para el modelo y prototipo.
Solución
El número de Froude debe ser igualado tanto para el modelo como para el prototipo. Así pues
=
Esto da, teniendo en cuenta que g no varia significativamente en la superficie de la tierra,
=
=
Τ
= 8.0 20 = 35.8 Τ
Para encontrar el retardo provocado por las olas en el prototipo, se i guala la relación de retardo con la relación de fuerza de inercia:
=
Esto nos permite calcular el retardo provocado por las olas en el prototipo, utilizando = ,como,
= = 6.2
. 20
= 49 700
View more...
Comments
