Analisis Dimensional PDF

 

F Í S I C A

unidad

 1

Análisis Dimensional DIMENSIONES Es parte de la FÍSICA que estudia las re-

damentales. La DIMENSIÓN de una magnitud física se representa del siguiente

laciones entre las magnitudes fundamentales y derivadas, en el Sistema Internacional de Unidades, el cual considera siete magnitudes fundamentales. Las magnitudes fundamentales son: longitud, masa, tiempo, temperatura, intensidad de corriente eléctrica, intensidad luminosa y cantidad de sustancia. Las magnitudes derivadas son: área, volumen, densidad, velocidad, aceleración, fuerza, trabajo, potencia, energía, etc.

modo: Sea A la magnitud física. [A] : se lee, dimensión de la magnitud física A.

SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES

MAGNITUD FÍSICA Nombre

 

Dimens.

UNIDAD Nombre Símbolo

1 L o n g i tu d

L

metro

m

2 M as a

M

kilogramo

kg

3 Tiempo

T

s eg undo

s

k el v i n

K

4 Tem empe pera ratu tura ra   θ 5 In Inte tens nsid idad ad de corriente eléctrica

I

am per e

A

6 In Inte tens nsid idad ad L um i nos a

J

c ande l a

cd

7 Ca Cant ntid idad ad de S us t anc i a

N

m ol

mo l

FÓRMULAS DIMENSIONALES BÁSICAS 1. [Longitud] = L 2. [Masa] = M 3. [Tiempo] = T 4. [Tem [Tempe pera ratu tura ra]] = θ

5. [In tensid sidad ad d de emino lanosa corr csa] orrien eléc léctri trica] ca]=I =I 6. [Inten [I [Int nten ensi sida dad d lu lumi ]iente = Jte e 7. [Can [Cantitida dad dd de e ssus usta tanc ncia ia]] = N 8. [Número] = 1 9. [Área] = L2 10. [Volume [Volumen] n] = L3 11. [Densidad] [Densidad] = ML –3 12. [Velocidad] [Velocidad] = L LT T –1 13. [Aceleración] = LT –2  –2

14. [Fuerza] [Fuerza] = ML MLT T 15. [Trabaj [Trabajo] o] = ML2T –2 16. [Energía] [Energía] = ML2T –2 17. [Potencia] [Potencia] = ML2T –3 18. [Presión] [Presión] = ML –1T –2 19. [Período] [Período] = T 20. [Frecuenci [Frecuencia] a] = T –1 21. [Velocidad [Velocidad ang angular] ular] = T –1 22. [Ángulo] [Ángulo] = 1 3  –1

FÓRMULA DIMENSIONAL DIMENSIONAL Es aquella igualdad matemática que muestra la relación que existe entre una magnitud derivada y las magnitudes fun-

23. [Caudal] [Caudal] = L T 24. [Aceleraci [Aceleración ón angula angular] r] = T –2 25. [Carga [Carga eléct eléctrica] rica] = IT 26. [Iluminaci [Iluminación] ón] = JL –2

 

F Í S I C A

PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL En una fórmula física, todos los términos de la ecuación son dimensionalmente iguales.

 A –

B2 =

Ejemplo:

C D

C 

En la siguiente fórmula física, hallar la dimensión de K. x = A3Kf 

 

Donde: f : frecuencia Resolución:

Entonces: [A] = [B2] =   D Ejemplo:

En la siguiente fórmula física: h = a + bt + ct2 Donde: h : altura t : tiempo Hallar la dimensión de a, b y c. Resolución:

Principio de homogeneidad dimensional: 2

[h] =I [a] =II [b·t] =III[c·t ] De (I): De (II): De (III):

2. PROP PROPIE IEDA DAD D DE DE LOS LOS EXPO EXPONE NENT NTES ES Los exponentes son siempre números, por consiguiente la dimensión de los exponentes es igual a la unidad.

L = [a ] L = [b]T   ⇒ [b] = LT –1 L = [c]T2 ⇒ [c] = LT –2

La dimensión del exponente es igual a la unidad: [3Kf] = 1  [3][K][f] = 1   [K]·T –1 = 1 [K] = T 3. PR PROP OPIE IEDA DAD D DE ADIC ADICIÓ IÓN NYS SUS USTR TRAC ACCI CIÓN ÓN En las operaciones dimensionales no se cumplen las reglas de la adición y sustracción. L+L=L ... (1) M – M = M ... (2) Ejemplo:

 APLI  AP LICA CACI CION ONES: ES:CA CASO SOS S ESP ESPECI ECIAL ALES ES Hallar la dimensión de R en la siguiente 1 . PROP PROPIE IEDA DADE DES S DE LOS LOS ÁNGU ÁNGULO LOS S Los ángulos son números, en consecuencia la dimensión de los ángulos

es igual a la unidad.

Ejemplo:

fórmula física: R = (k–t)(K2+a)(a2 –b) Donde: t : tiempo Resolución:

Principio de homogeneidad dimensional: [K] = [t] = T [K2] = [a] = T2 [a2] = [b] = T4

En la siguiente fórmula física, hallar la dimensión de x.  A = K Cos (2πxt) Donde: t : tiempo  Analizando la fórmula tenemos: Resolución:

La dimensión del ángulo es igual a la unidad: [2πxt] = 1  [2π][x][t] = 1  [x]·T = 1   [x] = T –1

[R] = [K    − t] [K 2 + a] [a2 − b]   

   

    

[R] = T · T2  · T4 [R] = T7 4. FÓRMU ÓRMULA LAS S EMP EMPÍRIC ÍRICA AS Son aquellas fórmulas físicas que se obtienen a partir de datos experimen-

 

F Í S I C A

tales conseguidos de la vida cotidiana o en el laboratorio de ciencias. Ejemplo:

[mx ][ V y ] [E] = [2]

La energía cinética E de un cuerpo depende de su masa "m" "m " y de la rapidez linea lineall V V..

[E] = Mx · (LT –1)y M1L2T –2 = MxLyT –y

mx ⋅ V y E= 2

 A bases iguales le corresponden corresponden exponentes iguales: Para M: x = 1 Hallar: x+y Para L: y = 2 Resolución:  Aplicando el principio de homogeneidad Luego: (x+y) = 3 dimensional.

PROBLEMAS 1. De las siguie siguiente ntess propos proposicio iciones nes,, indicar indicar verdad verdadero ero (V (V)) o falso (F): I. [Densidad] = L –3M II. II. [Pre [Presi sión ón]] = ML M3 L –1 T –3  –1 III.[Caud III. [Caudal] al] = L T a) VVF b) FVV c) VFF

d) VVV

e) VFV

2. De las siguiente siguientess proposi proposicione cioness indicar indicar verdad verdadero ero (V) o falso falso (F): I. La canti cantidad dad de calor calor y el tra trabajo bajo tienen tienen la misma misma fórmula dimensional. II. La velocidad velocidad de la luz luz y la la velocidad velocidad del sonido sonido tienen tienen diferente fórmula dimensional. III. La dimensión del número es igual a cero: cero: [número]=0 a) FVV b) VFV c) VVF d) VVV e) VFF 3. En las sigui siguient entes es ecuaci ecuacione ones, s, determ determina inarr la dimensi dimensión ón de:  A·B·C.  A· B·C. I. 750 metr etros + A = 1 km II. II. 2 kg kg – B = 500 500 gr gram amos os III.12 III. 12 horas horas + C = 2 días a) L b) LM c) LMT d) 1 e) L2T –2 4. En la sigui siguient ente e fórmula fórmula físic física, a, determ determinar inar la la dimensi dimensión ón K. K=

m ⋅ V

F⋅t m : masa ; V : velocidad ; F : fuerza ; t : tiempo a) L2 b) T3 c) LT –3 d) ML –3 e) M0

 

F Í S I C A

5. En la sigu siguien iente te fórmul fórmula a física, física, hallar hallar la dimen dimensió sión n de K. K = n·a·t2 + bn a : aceleración ; t : tiempo a) L0 b) L c) L2 d) L3 e) L4 6. En la sigu siguien iente te fórmul fórmula a física, física, hallar hallar la dimen dimensió sión n de K. x3 K=   ; h : distancia 2 (y − h)( y + 3x ) a) L

b) L2

c) T3

d) L3

e) L6

7. En la sigu siguien iente te fórmul fórmula a física, física, hallar hallar la dimen dimensió sión n de K.

a) L2

 V = K   − − A 2   ; V : velocidad b) LT –2 c) L2T –1 d) L2T –2 e) LT –1

8. En la siguiente siguiente fórmula fórmula física, física, determinar determinar la dimensi dimensión ón de de m. K 3 = bn + 5m·n2 Donde: k : longitud a) L2

b) L3

c) L4

d) T6

e) L –3

9. En la sigu siguient iente e ecuaci ecuación, ón, hall hallar ar la d dimen imensió sión n de K. 1   ; t : tiempo 2 c) T d) T –1 e) T –2

Cos (2πKt) = a) 0

b) 1

10. En la siguiente fórmula física, hallar la dimensión dimensión de K. K = A·W·Cos (wf+π)  A : distancia ; f : frecuencia a) LT –1 b) LT –2 c) L d) LT e) T0 11. En la siguiente fórmula física, determinar el valor de "x". "x". d = Sen 30°·g·tx d : distancia ; g : aceleración ; t : tiempo a) 1 b) 2 c) 3 d ) –2 e) –1 12. En la siguiente fórmula física, hallar la dimensión de A·B. A·B. x = A Log (2πB) ; x : longitud a) 1 b) L c) L2 d) LT e) M –3 13. Hallar la dimensión K, en la siguiente ecuación:

  a  ⋅ k   y = Log     V         a : aceleración ; V : velocidad a) T b) T2 c) T3

d) L –2

e) LT –2

 

F Í S I C A

14. En la siguiente fórmla física, hallar la dimensión de K. x = A·B2πfK  x : distancia ; f : frecuencia a) LT –1 b) LT –2 c) T d) L3 e) T –2 15. En la siguiente fórmula física, hallar la dimensión de A·B· A·B·C. C. x = A + 2Bt + 3Ct 2 x : distancia ; t : tiempo a) L3 b) T –3 c) L2T –3 d) L3T –3 e) L3T –2

TAREA 1. En la siguiente siguiente fórmula fórmula física, física, hallar hallar la dimensión dimensión de A·B. A·B. x = A·Sen (2πfB) x : distancia ; f : frecuencia a) L b) T c) L2T d) LT2 e) LT 2. En la sigu siguien iente te fórmul fórmula a física física,, hallar hallar el valor valor de "x". "x". x  V d= (Sen 30°)a

d : distancia ; a : aceleración ; V : velocidad a) 1 b) 2 c) –1 d) –2 e) 3 3. En la siguie siguiente nte fórmu fórmula la física física,, determin determinar ar la dimens dimensión ión de K. B = KP + 2,331 E E ; P : presión 2 a):Lenergía b) L3 d) T3 e) M2

c) T2

4. En la sigui siguient ente e fórmula fórmula físic física, a, determ determina inarr el valor valor de x. x.  V = (Log π)(Sen 37°) hx  V : volumen ; h : altura a) –2 b) –1 c) 1 d) 2 e) 3 5. En la sigui siguient ente e fórmul fórmula a física, física, hallar hallar la dimen dimensió sión n de A. m·A = D(Log π)(Sec 60°) m : 2masa ; D : densidad a) L b) L3 d) ML3 e) L –3

c) LT2

 

F Í S I C A

6. En la sigu siguien iente te fórmul fórmula a física, física, hallar hallar la dimen dimensió sión n de K.  A = B3Kt f: frecuencia ; B : número ; t : tiempo a) T –1 b) T c) T –2 d) T2 e) T0 7. En la sigu siguien iente te fórmu fórmula la física física,, hallar hallar la dime dimensi nsión ón de J. J. ( W2

− 4k ) J = ( x − 2y )( y 2 + 3W)   ; x : masa a) M0

b) M

c) M2

d) M3

e) M4

8. En la siguiente siguiente fórmula fórmula física, física, hallar hallar la la dimensión dimensión de W. W. W = (x–h)(x2+a)(a2+y) Donde: h : temperatura a) θ5 b) θ6 c) θ7 d) θ9 e) θ3 9. Determi Determinar nar la dime dimensi nsión ón de K en la sigui siguient ente e fórmula fórmula físifísica.

K·V = F·t  V : velocidad ; F : fuerza ; t : tiempo a) L b) M c) T d) L2 e) M3 10. En la siguiente fórmula física, hallar la dimensión K. E = Sen 30° · KVSec 60° E : trabajo ; V : velocidad a) L3 b) ML –2 c) M d) M2 e) LT –1

CLAVES

1. e 2. e 3. c 4. e 5. b 6. d 7. d 8. b 9. d 10. d 11. b 12. b 13. a 14. c 15. d 1. e 2. b 3. b 4. e 5. b 6. a 7. b 8. c 9. b 10. c