Analisis Dimensional - Julio Palacios

ANÁLISIS DIMENSIONAL SEGUNDA C O RR E G ID A

Y

ED IC IÓ N AUM ENTADA

E S P A S A - C A L P E , S. A.

ANÁLISIS DIMENSIONAL SE G U N D A E D IC IÓ N CO R R E G ID A Y AU M ENTADA

E S P A S A - C A L P E , S. A. MADRI D 19 6 4

ES

PROPIEDAD

© Julio Palacios, Madrid, 1955 Printed in Spain N.° Rgtr.°: 392—56 Depósito legal: M. 6.546—1964

Talleres tipográficos de la Editorial Espasa-Calpe, S. A. Ríos Rosas, 26. Madrid

PRÓLOGO Este libro ha resultado desmesurado. Lo que hay en él de fundamen­ talmente nuevo cabría en un par de capítulos. Pero la novedad es tal, y se halla tan en pugna con las ideas de cuantos autores se ocupan en cuestiones relacionadas con Análisis dimensional y hasta con las doctri­ nas filosóficas aceptadas por la mayoría de los físicos contemporáneos, que he juzgado imprescindible justificar mis asertos hasta la saciedad, y demostrar que, en todos los capítulos de la Física, el nuevo método aventaja a los preconizados por los tratadistas. Tras ensayos y rectificaciones que han durado muchos años, creo haber construido una teoría clara y sencilla de las magnitudes físicas. Mi confianza se basa en el beneplácito de mi colega el profesor Ricardo San Juan, que ha examinado minuciosamente mi manuscrito y me ha sugerido acertadas modificaciones. Le expreso por ello mi cordial gratitud. Lisboa, febrero 1955.

INTRODUCCIÓN Se debe al barón Jean Batiste Fourier (1) el haber aplicado a las mag­ nitudes físicas el concepto geométrico de dimensión y, por ello, merece ser considerado como el precursor del Análisis dimensional. En su obra inmortal, Théorie analytique de la chaleur, establece el concepto de di­ mensión de modo tan claro y preciso que no podemos resistir la tenta­ ción de reproducirlo textualmente: «Es necesario hacer notar que cada magnitud, indeterminada o cons­ tante, tiene una dimensión que le es propia, y que los términos de una ecuación no podrían ser comparados si no tuviesen el mismo exponente I de dimensiones.» «En la teoría analítica del calor, toda ecuación representa una rela­ ción entre las magnitudes coexistentes longitud, x ; tiempo, t; tempera­ tura, v; capacidad calorífica por unidad de volumen, c; conductividad superficial, h, y conductividad térmica, K. Dicha relación no depende de la elección de la unidad de longitud que, por su propia naturaleza, es contingente.» Hace observar luego Fourier que las medidas de una misma cantidad están en razón inversa de las unidades que se empleen para medirla. Un cambio en la unidad de longitud no afecta ni a los tiempos ni a las temperaturas, pero sí influye sobre las medidas de h, c, y K. Basándose en la definición de estos coeficientes, deduce el cambio que experimentan cuando se altera la unidad de longitud y, generalizando el concepto geométrico, dice que «la dimensión de c con relación a la unidad de longitud vale — 3, la de K es — 1 y la de Ti es — 2». Llama a estos nú­ meros exponentes dimensionales con relación a la longitud, y hace aná­ logas consideraciones con respecto a las otras dos variables, tiempo y temperatura, obteniendo el siguiente cuadro:

L ongitud ___ T iem po.......... Temperatura

1

0 0

0

1 0

0

— X —2

— 3

0 —1 —1 0 1 —1 _ 1 — 1

Llama Fourier la atención sobre la circunstancia de que el argumento de toda función que figure en una ley física, por ejemplo, una exponencial o una función trigonométrica, ha de tener nulos todos sus exponentes dimensionales, pues sólo así sucederá que su valor numérico sea indepen­ diente de las unidades que se elijan para medir longitudes, tiempos y temperaturas. En esta afirmación radica, según veremos, todo el Análi­ sis dimensional. De la precedente exposición resulta claramente que, para Fourier, la dimensión, en singular, es un atributo peculiar de cada magnitud y que los exponentes dimensionales, lo que ahora se llaman dimensiones, son manifestaciones de dicho atributo. Las ideas de Fourier fueron aplicadas con gran éxito a fines del pasado siglo por Reynolds (2), Lodge (3), FitzGerald (4), Rücker (5), Jeans (6), y, muy especialmente, por lord Rayleigh (7). Las aplicaciones consin­ tieron, primero, en la comprobación de la homogeneidad de las ecuacio­ nes con el fin de descubrir errores de cálculo y, después, por iniciativa principalmente de lord Rayleigh, se aplicó el Anáfisis dimensional a la resolución de problemas cuyo tratamiento directo presenta dificultades matemáticas insuperables. Lord Rayleigh empleó por primera vez las magnitudes con exponentes dimensionales nulos en la Mecánica de fluidos y, por ello, merece ser considerado, después de Fourier, como el fundador del Análisis dimensional. Contribuyeron eficazmente a este desarrollo inicial los trabajos de Riabouchinsky en Rusia (8) y los de Planck (9) y Einstein (10) en Alemania. El año 1914 apareció en Norteamérica un trabajo de Buckingham (11) en el que se da una regla para averiguar el número de monomios de exponentes dimensionales nulos que pueden formarse con todas las mag­ nitudes que intervienen en el fenómeno que se estudia. Tales monomios se denominan números iz y, por eso, dio Bridgman a la citada regla el nombre de teorema de pi. En realidad, Fourier había ya previsto, según hemos visto, que toda ecuación física debía consistir en un monomio de dimensiones nulas igualado a una función cuyos argumentos tuviesen también dimensiones nulas, y el llamado teorema de pi era ya empleado tácitamente, pero con todo rigor, por los físicos ingleses antes mencionados, especialmente por Jeans. Además, según hizo notar Métral (12), el teorema en cuestión

había sido ya enunciado por Vaschy (13) el año 1892, aunque sin refe­ rirse expresamente a los monomios de dimensión nula. De todos modos, el trabajo de Buckingham tuvo la fortuna de atraer la atención de físicos, matemáticos e ingenieros del mundo entero, que lo han sometido a crítica minuciosa. Consta el teorema de pi de dos partes. En la primera se trata de demostrar que toda ecuación física completa, esto es, que subsista cuando se cambian arbitrariamente las unidades fundamentales, puede tomar la forma: F(nv tt2, . . . ) = 0 en la que las ~¿ son todos los monomios de dimensión nula, independien­ tes entre sí, que pueden formarse con las magnitudes que intervienen en el problema. La segunda parte afirma que el número de tales monomios es igual a la diferencia, i = n — q, entre el número total de magnitudes y el de las fundamentales. La primera parte del teorema es la que más ha llamado la atención de los matemáticos. Primero, Levi-Civita (14) hizo notar que las ecuaciones homogéneas que se estudian en los cursos de Análisis no son las que se manejan en Física, sino en Geometría, y utilizó en su tratado de Mecá­ nica funciones que son homogéneas, por separado, con relación a los diversos grupos de variables, las que representan longitudes, tiempos y masas. Este método podría ser generalizado introduciendo nuevos grupos de homogeneidad, pero es preferible utilizar la teoría de las funciones ho­ mogéneas generalizadas desarrollada por Ehrenfest-Affanassjewa (15). Esta teoría presenta grandes dificultades, y quizá sea ésta la razón de que los físicos no le hayan prestado la debida atención. Por fortuna, gracias al profesor Ricardo San Juan (16), poseemos una exposición clara y sencilla de las funciones homogéneas generalizadas, completada con algunos teoremas. La principal contribución de R. San Juan consiste en haber demostrado que los sistemas de dimensiones usados en cada capítulo de la Física forman grupos abelianos con base finita, análogos a los sistemas hipercomplejos, lo cual permite sistematizar las teorías físicas como hizo Klein con las geometrías en su famoso programa de Erlangen, y resultan así elegantemente clasificados los sistemas de uni­ dades y sus transformaciones, tanto cuando se conserva la base, según se hacía hasta ahora, como cuando se cambia ésta. Con su ya vieja historia, con su utilidad manifiesta, que se revela, no sólo en el campo de la Física teórica, sino en problemas técnicos, en los ensayos con modelos reducidos de aviones, buques, y construcciones

hidráulicas y, sobre todo, con la intervención de los físicos más eminen­ tes, sería de esperar que el Análisis dimensional estuviese ya asentado sobre bases sólidas, y que hubiese unanimidad acerca de la manera de emplearlo. Lejos de ser así, los físicos se hallan divididos en grupos cuyas opiniones discrepan en lo más esencial; en el concepto mismo de dimensión. Diríase que a los físicos les ha ocurrido lo que al herrero del cuento, a quien a fuerza de martillear se le olvidó el oficio. Quizá el olvido comen­ zó cuando Maxwell atribuyó a cada magnitud, Y, una fórmula dimen­ sional: [7] = [ J Í J “1 [ilf2f 2 .. . [Mmf m en la que M x, M 2, . ■ . son los símbolos de las magnitudes que forman la base, y oc1; . . . ocra son los exponentes dimensionales de Y. Cayó en el olvido la definición que Fourier había dado de tales exponentes y sur­ gieron las más variadas opiniones acerca de lo que significan los símbolos provistos de paréntesis rectos (*). Una opinión muy extendida, que se re­ monta a Clerk Maxwell, y de la que hemos participado muchos físicos de mi generación, es que dichos símbolos y, por tanto, las fórmulas dimensionales se refieren a las unidades, y así se escribe, por ejemplo: 1 cm2 — X Ig 1, erg = ------—5> 1 sa sin caer en la cuenta de que nos veríamos en un aprieto si un alumno inquisitivo nos preguntase cómo se hace para multiplicar un centímetro cuadrado por un gramo y dividir el producto por un segundo elevado al cuadrado. (*) Por rara excepción, en el viejo tratado de Física del profesor Chwolson de la Universidad de San Petersburgo (18), obra que gozó de gran prestigio a principios de siglo, y que no se cita y a en parte alguna, se encuentra una definición de las dimensiones que está de acuerdo con las ideas de Fourier. D ice así: «Si la unidad derivada A varía proporcionalmente a la potencia p de la u ni­ dad de longitud, a la potencia q de la unidad de m asa y a la potencia r de la unidad de tiem po, se dice que la unidad A tiene la dimensión p con relación a la, unidad de longitud, la dimensión q con relación a la unidad de masa y la dimensión r con relación a la unidad de tiempo.» Completando esta definición con el concepto de unidades coherentes, sin el cual no tiene sentido hablar de relaciones de proporcionalidad entre unidades, se llega exactam ente a la interpretación de las dimensiones que daremos en el capítulo V. Conviene hacer notar que, puesto que las fórmulas dimensionales son aplicables a las unidades de una pareja de sistem as coherentes cualesquiera, no es propio atribuir la dimensión a las unidades, sino a las m agnitudes.

Algunos autores, empezando por Tolman (17), atribuyen a los símbo­ los que figuran en la fórmulas dimensionales cierto sentido esotérico y afirman que la «verdadera esencia de las magnitudes, desde el punto de vista físico, está representada por su respectiva fórmula dimensional». Esta opinión es insostenible, porque, según hemos hecho ver en otro trabajo (19), conduciría a desatinos tales como el creer que el momento de un par de fuerzas es la misma cosa que un trabajo o que el calor, y que un ángulo y la esbeltez de una columna son magnitudes de igual índole. En modo alguno pueden tomarse las ecuaciones dimensionales como sustitutivos de las definiciones, pues con ello ignoraríamos la diferencia entre la energía interna, que es una función de estado, y el calor o el trabajo, que no lo son. Y otro tanto cabe decir de las funciones termodinámicas: energía libre, entalpia y entalpia libre que, a pesar de tener la misma fórmula dimensional, son cosas diferentes. Los autores modernos, salvo raras excepciones, o han olvidado el concepto clásico de dimensión, o prescinden deliberadamente del mismo, y como cada uno entiende por dimensión cosa diferente, surgen discu­ siones apasionadas, sin posibilidad de acuerdo entre los contrincantes. He aquí algunos botones de muestra. Según Planck, «tan falto de sentido es hablar de la dimensión real de una magnitud como del nombre real de un objeto». Reichenbach (20) dice: «Cada magnitud física se supone dotada de una dimensión que caracteriza su cualidad.» Tras este conato de defini­ ción y de decir que la velocidad y la aceleración y el campo eléctrico deben tener dimensiones diferentes, dice que hay arbitrariedad en la manera de «reducir la dimensión de una magnitud dada a las dimensiones elementales: longitud, masa y tiempo y que, por eso, se supone arbitra­ riamente que carecen de dimensión, no sólo ciertos factores numéricos, sino hasta funciones de estado (por ejemplo, la temperatura)». Según el profesor Diesselshorst (21), los símbolos de las fórmulas dimensionales «no son unidades especiales, sino tan sólo representantes (Repräsentanten) de cada tipo de magnitud... y estos representantes se denominan dimensión de la magnitud respectiva». No acertamos a adi­ vinar lo que ha de entenderse por representante, y eso que, en lugar de emplear el vocablo alemán, recurre Diesselshorst a un vocablo romance, quizá con la convicción de ser así mejor comprendido por sus compa­ triotas. Ciertamente, hablar de la esencia de las magnitudes y vincularla con las dimensiones es cosa que, por su carácter metafísico, había de ser repudiada por los físicos adscritos a la Filosofía operacional o Lógica

positivista del círculo de Viena. La reacción fue iniciada por Bridgman (22), quien afirma que «las dimensiones no tienen en modo alguno carácter absoluto, sino que han de definirse, precisamente, a partir del proceso que se utilice para medir la magnitud respectiva» (*). Para ser consecuente con su doctrina, debiera dar Bridgman la receta para pasar del proceso de medida a la dimensión, pero se limita a utilizar las dimensiones obtenidas por los métodos clásicos y, gracias a esta inconsecuencia, el Análisis dimensional no pierde en sus manos toda su virtualidad. Pero hace cuestión de principio el negar que a cada magni­ tud corresponda una dimensión determinada, pues afirma que «no tiene sentido hablar de las dimensiones de una magnitud mientras no se haya establecido el sistema de unidades en que ha de medirse». De esta posi­ ción previa resulta que, al plantear los problemas de Análisis dimensional, esto es, al formar la lista de las magnitudes que intervienen en el fenó­ meno considerado, y escribir sus exponentes dimensionales, hace razona­ mientos tan casuísticos, sutiles y alambicados, que han de descorazonar a todo el que trate de iniciarse en estas cuestiones, y todo ello, según tendremos ocasión de ver, para obtener soluciones deficientes, puesto que no revelan toda la información que el Análisis dimensional es capaz de suministrar. La tendencia de Bridgman ha prevalecido entre los físicos contem­ poráneos. Fr. llusso (24), al resumir los trabajos más recientes, afirma que «los monomios de Yaschy no son invariantes más que para los cam­ bios de unidades que pertenezcan a la estructura en que nos coloquemos» y entiende por estructura cualquiera'de las múltiples maneras de atri­ buir dimensiones a las magnitudes. Con su loable propósito de expurgar el Análisis dimensional de ele­ mentos metafísicos, no han logrado los lógico-positivistas otro resultado que Ja ruina completa del mismo. En otro lugar nos hemos ocupado (*) Para los positivistas, la base del conocimiento físico son las medidas. Esto puede admitirse cuando se trata de descubrir leyes expresables en forma m atem ática, pero no de modo absoluto. Galileo pudo derribar toda la física aristotélica con sólo observar que todos los cuerpos caen en el aire casi con la m ism a velocidad, y descubrió la ley de la inercia haciendo notar que una bola, después de rodar cuesta abajo, es capaz de rodar cuesta arriba hasta alcanzar casi su altura inicial, de donde resulta que, si la cuesta arriba se reemplaza por un plano horizontal, y si no hubiere rozamientos, la bola rodaría sin cesar, pues nunca alcanzaría su nivel original. Como se ve. Galileo no tuvo que medir nada para echar las bases de la Mecánica. Guido Beck (23) v a m ás allá que los positivistas, pues para él, «fenómeno físico es toda medida experim ental que puede ser expresada en centímetros, gramos y segundos». Con esta definición, que en realidad es una afirmación gratuita, lo que Galileo observó desde la torre de Pisa no sería siquiera un fenó­ meno físico.

extensamente de dicha doctrina filosófica (25) en relación con la Física en general. Ahora nos limitaremos a demostrar que el Análisis dimensio­ nal, cuando se llevan a su extremo las consecuencias de la Lógica posi­ tivista, pierde toda su eficacia. Dicha Lógica, a fuerza de querer ser operacional, se ha hecho inoperante (*). Bumiston Brown (27) parte del hecho, señalado por Eddington (28), de que todas las medidas de precisión consisten en la observación de coincidencias, lo que le lleva a definir al físico como un hombre a quien basta un ojo que ni siquiera necesita percibir los colores. Hace notar Burniston Brown que en toda medida hay que observar simultánea­ mente dos coincidencias y, por tanto, tomar en consideración la velo­ cidad de propagación de la luz, de donde resulta que son necesarias y suficientes dos magnitudes fundamentales, que han de ser el espacio y el tiempo, precisamente, y refuerza su opinión con la siguiente cita de lord Kelvin: «Hay algo sumamente interesante en el hecho de que podamos establecer un sistema métrico basado en una unidad de longi­ tud y en una unidad de tiempo. No hay en ello nada nuevo, pues es ya conocido desde los tiempos de Newton, pero conserva todo su interés y actualidad.» No dice lord Kelvin en qué consiste ese «algo sumamente intere­ sante», por lo que hay que darle un sentido recóndito y, al tomarlo como fundamento para establecer el Análisis dimensional, se incurre en la misma falta que cuando se atribuye a la fórmula dimensional obtenida a la manera clásica la virtud de contener la verdadera esencia de las mag­ nitudes. Pero, lo peor del caso, es que, al mutilar la base reduciendo a dos el número de magnitudes fundamentales, aumenta el número de mono­ mios con exponentes dimensionales nulos, con lo que la información que proporciona el Análisis dimensional se hace menos precisa. (*) La mejor crítica de la doctrina positivista fue hecha por Planck en una conferencia, titulada R eligión und, N aturwissenschaft, que se encuentra repro­ ducida en su autobiografía (26). «Las opiniones de los positivistas no pueden ser com batidas desde un punto de vista puramente lógico. Y , sin embargo, un exam en detenido de las mismas revela que son inadecuadas y estériles, porque prescinden de una circunstancia que tiene importancia decisiva para el progreso científico. Por mucho que alardee el Positivism o de estar exento de prejuicios, tiene que partir de una premisa fundam ental si no quiere degenerar en un solipsismo ininteligible. Tal premisa consiste en que toda medida física puede ser reproducida de tal modo que el resultado es independiente de la personalidad del observador, del lugar y tiem ­ po en que se efectúa la medición, y de cualquier otra circunstancia. Todo esto revela, simplemente, que el factor decisivo para el resultado de la m edición está fuera del observador y que, en consecuen_r las m edidas plantean proble­ mas que implican conexiones causales en una realidad independiente del ob­ servador.»

En realidad, la reducción de la base hace que queden despojadas de sus dimensiones algunas de las constantes dimensionadas, por lo que el formar bases mutiladas no es ninguna novedad. Ya Heisenberg (29) utilizó en sus estudios de Mecánica ondulatoria un sistema en el que se hacían iguales a 1 la constante de Planck, h, y la velocidad de la luz en el vacío, con lo que sólo queda una magnitud en la base, la longitud. A nuestro modo de ver, si el Análisis dimensional ha de servir para algo, es preciso que exista un sistema unívoco, de modo que a cada magni­ tud corresponda una fórmula dimensional perfectamente determinada, pues sólo con esta condición podremos estar seguros de que será correcta la solución obtenida al aplicar el teorema de pi a un problema debida­ mente planteado. En trabajos anteriores (30) hemos tratado de establecer el sistema unívoco. Desde luego, es un propósito que no puede lograrse con el solo raciocinio y, puesto que la Lógica positivista ha fracasado en el empeño, procede recurrir a los métodos de la que Heisenberg (31) llama Física abstracta, esto es, la Física en que se cree en la posibilidad de formular leyes para los procesos naturales de manera precisa y simple, leyes que no derivan directamente de las medidas, sino que han sido establecidas por abstracción. Trataremos en este trabajo de desarrollar una teoría del Análisis dimensional basada en hechos elevados a la categoría de postulados, y que resultan ser en número de dos. El primero se refiere a la índole de las ecuaciones físicas; el segundo atañe al significado de las constantes universales, y permite clasificarlas en ineludibles y superfluas. Nuestros postulados bastan para crear un sistema dimensional uní­ voco, y su validez deberá comprobarse por vía experimental, esto es, en problemas de Análisis dimensional cuya solución completa sea cono­ cida. Al proceder así, nos libramos de las trabas impuestas por la Filoso­ fía operacional. Nuestra teoría está hecha para físicos que, aunque sean tuertos y daltonianos como el estilizado por Eddington, no renuncian al uso de todas sus facultades mentales y, entre ellas, a la de crear entes abstractos. Hablaremos, pues, de las magnitudes físicas, tales como la fuerza, la masa, la energía, etc., como de entes abstractos que intervienen en los diversos fenómenos con cuantías o cantidades que varían en cada caso particular, y que existen aunque nadie las mida. Vulneramos deliberadamente los preceptos de la Filosofía operacio­ nal, para la cual no existen sino las medidas, pero nos mantenemos den­ tro de la buena doctrina positivista, pues nos fundamos en hechos y sometemos nuestros resultados a la comprobación experimental. El hecho

en que nos basamos es la existencia de leyes físicas que se formulan me­ diante ecuaciones cuya estructura suele ser tal que permite atribuir una dimensión a cada magnitud. De aquí resulta que el Análisis dimensional está subordinado a las teorías físicas; no tiene existencia independiente de las mismas. Desde nuestro punto de vista, el Análisis dimensional carece del ca­ rácter misterioso que, cosa curiosa, le atribuyen los que más celo mani­ fiestan en evitar toda influencia metafísica. Nada menos que el eminente físico Bridgman, uno de los campeones de la Filosofía operacional, y considerado como la máxima autoridad en cuestiones de Análisis dimen­ sional, afirma en su reciente artículo de la Enciclopedia Británica (32) que dicho análisis sirve «para establecer ciertas limitaciones necesarias en la forma de cualquier relación posible entre las variables de un sistema físico» y esto, «aun cuando sea imposible dar una información precisa y detallada de las ecuaciones fundamentales a partir de las cuales habría de hallarse la solución». Dice, en fin, que «el fundamento del Análisis dimensional se halla en el requisito del sentido absoluto de las magni­ tudes relativas». Si las afirmaciones de Bridgman fuesen ciertas, el Análisis dimensio­ nal permitiría hacer previsiones «necesarias» sobre fenómenos cuyas leyes fundamentales nos son desconocidas. Estaría encima de la experiencia y de la teoría, y su estudio debería corresponder a la Metafísica. Nuestra opinión, aun cuando no tengamos prejuicios contra los métodos metafísicos, es justamente la contraria.

A N Á L IS IS DIMENSIONAL. — 2

PARTE PRIMERA

FUNDAMENTOS DEL ANÁLISIS DIMENSIONAL

RESUMEN DE LA TEORÍA DE LA HOMOGENEIDAD DE FUNCIONES Y DE ECUACIONES (*) 1.

Las funciones homogéneas generalizadas.

Se dice que una función real, y = y(x1, . . x n) de n variables reales es homogénea cuando, al multiplicar las variables por sendos factores reales, ¡*i» . . . , independientes o ligados, la función queda multipli­ cada por una función de éstos, independiente de las variables x 1. . . xn, que se llama factor de homogeneidad, o sea cuando: y { l l X l , ■ · · , InXn) =

< p ( £ i , · · · , 5 » ) y ( * ! . . . Xn)

[i.i]

para todos los sistemas de valores reales, . . . , \ n, independientes o ligados por ciertas relaciones que se llaman ecuaciones de condición. La función se llama incondicional o condicionalmente homogénea según que los factores ..., sean o no independientes. Es evidente que todo monomio, x f1, . . . , x“*, es función incondicio­ nalmente homogénea y que su factor de homogeneidad es ..., El recíproco es también cierto si la función se supone continua. Teorema 1.° Toda función continua incondicionalmente homogénea es un monomio. (*) Daremos en este capítulo lo estrictam ente necesario para nuestro pro­ pósito, tomándolo del libro de Ricardo San Juan (16), donde encontrará el lector el desarrollo completo de la teoría y las demostraciones que omitimos. Los lectores a quienes sólo interese el aspecto físico del Análisis dimensional, pueden prescindir de los teoremas. Les b&,oi,a con las definiciones de funcio­ nes y ecuaciones homogéneas.

La homogeneidad incondicional determina completamente la forma de toda función continua, salvo los exponentes que figuran en el monomio. No ocurre lo mismo cuando la homogeneidad es condicional, pero, si las ecuaciones de condición son monomios, se cumple el siguiente teorema. Teorema 2.° Si una función continua es condicionalmente homogénea y las ecuaciones de condición son expresiones monomias: íb + 1

m

i

que dejan m factores independientes, habrá de ser: _

E1

X m + 1

y ~ Xl

rn

,

^

'1

------ X m + ' -

X«u . . . X%>* m 1

Recíprocamente, cualquiera que sea la función Y, esta expresión define una función homogénea con las ecuaciones de homogeneidad precedentes. 2.

Ecuaciones homogéneas.

Se dice que una ecuación, H(x1, . . . , x n) = 0 , entre n variables reales, es homogénea cuando subsiste al multiplicar las variables por sendos factores, es decir, cuando: Hfe&i,

InPCn) = 0.

La ecuación se llama condicional o incondicionalmente homogénea según que los factores sean todos arbitrarios o estén ligados. Teorema 3.° Si una ecuación, x n = f(x1, . . . , X n - i ) , que define una variable como función continua de las restantes, es condicionalmente homo­ génea, y las ecuaciones de condición son monomios: l

= £«u ___ r+i

i

r

5n = 5i “i

r

(s = n — r)

habrá de ser: a.. Xn =

Z 1S

Xr+i V

^

h

r a ’ »«“u . . . x*n

Xn · · ·

a « l · {t = S ~ x^t . . . xrn)

1}-

Teorema 4.° Las funciones homogéneas generalizadas son las únicas aptas para definir magnitudes de manera que la igualdad y la suma de sus cantidades sea independiente del sistema de unidades. Este teorema ha sido enunciado y demostrado por R. San Juan (16), e impone el requisito que han de cumplir las definiciones cuantitativas para que sea aplicable el análisis dimensional.

LOS ENTES DE LA FÍSICA 1.

Observables.

Se opera en Física con entes que se caracterizan por algún efecto observable. La descripción de tal efecto constituye la definición cualitati­ va o epistémica del ente en cuestión, pues es anterior e independiente de toda ley física. Esta definición no debe omitirse a no ser que se trate de cosas tomadas del lenguaje corriente y cuyo sentido sea perfecta­ mente claro, como sucede con las distancias, las duraciones y las tempe­ raturas. Las definiciones epistémicas sirven para saber de qué se habla y para reconocer cada observable siempre que topemos con él. Por haber prescindido Maxwell de la definición epistémica de los vectores del campo electromagnético surgieron confusiones de las que no estamos todavía enteramente libres. 2.

Los entes comparables.

De dos observables (A) y (B) se dice que son comparables entre sí cuando existe una definición operacional y universal de la razón: (A) — = n, (B)

donde n es un número que indica que (.4) es n veces mayor que (B), esto es: {A) = n(B).

El adjetivo «operacional» significa que se han de describir los aparatos utilizados en la comparación, así como las operaciones a realizar. El re­ quisito de «universalidad» exige que la razón hallada sea independiente de la naturaleza de los cuerpos utilizados en la construcción de los aparatos. De los dolores puede decirse que unos son mayores que otros, pero no son comparables porque todavía no se ha inventado un aparato que permita averiguar cuántas veces un dolor es mayor que otro dolor. Lo mismo ocurre, por ahora, con la dureza, con los grados de miedo, de belleza, de bienestar, etc. La exigencia de que la razón entre observables sea definida operacionalmente está de acuerdo con los principios de la Lógica positivista. El requisito de universalidad es nuevo y extraño a dicha lógica (*). Una vez definida la razón entre observables queda definida la igual­ dad y la suma, pues de = * ·

(A )

15

-M?L = n9:

(A0)

(A3) (A0)

se deduce: (A ) = (A)

y

(A,) + (A2) = (A3)

si % = 1, si nx + n2 = n3.

(*) Al imponer la condición de que la razón entre las cantidades sea inde­ pendiente del instrumento particular utilizado, pierden toda importancia las definiciones meramente instrumentales. Desde nuestro realismo ingenuo, la ra­ zón entre dos cantidades existe antes e independientem ente de que se comparen. Por ello tiene sentido decir que la Giralda es cierto número de veces más alta que el metro, aunque nadie haya hecho la comparación, y, cuando ésta se realiza, habrá que contrastar previamente los instrumentos de medida, a fin de estar seguros de que no influyen sus particularidades de construcción. Ningún físico se dará por satisfecho con sus aparatos sin haberlos contrastado hasta conven­ cerse de que conducen a resultados que están de acuerdo con la definición uni­ versal de la razón entre las cantidades que trata de medir. Para los operacionalistas, entre los que merece citarse a Beppo Levi (33), las medidas físicas no son más que números obtenidos efectuando determinadas operaciones. Para ellos no es necesario establecer los criterios de igualdad y de suma. Es sumam ente curiosa, a este respecto, la discusión entablada en el Philosophical M agazine, entre Dingle (34) y Dalzell (35). E ste último es realista, y cree en la existencia objetiva de las m agnitudes y de las unidades. Dingle, que es furibundo operacionalista, replica despectivam ente que eso es im agi­ narse la cantidad física como un bodrio (stu ff) del que se puede tomar arbitra­ riamente una porción y llamarla unidad. La discusión adquiere caracteres humorísticos, y Dalzell propone que se llame Archibald a cierta unidad de carga eléctrica propuesta por Dingle, a lo que éste accede con tal de que se tom e en cuenta el siguiente consejo: «no es forzoso que para efectuar una medida física haya que ponerse cabeza abajo». En fin, Dalzell logra el golpe final con este argumento: U n pastor, para revisar su rebaño, cuenta las cabezas, mientras que su amigo el carnicero prefiere contar las patas. Sería inútil tratar de ponerle de acuerdo con el pastor, si además de carnicero, fuese discípulo del profesor Dingle.

Recíprocamente, la definición de la razón entre dos observables puede ser sustituida por la definición de la igualdad y de la suma si se cumple el postulado de divisibilidad. En efecto; sean (A) y (A0) dos entes tales que sus efectos característicos sean de igual índole, esto es, de igualdefinición epistémica. Las definiciones de la igualdad y de la suma nos permitirán elegir un nuevo ente (A'), de igual índolequelos dados, de tal modo que, al reproducirlo y sumarlo reiteradamente consigo mismo, las ecuaciones: (A) = (A1) + (A') + . . . = » X (A1) (A0) = (A') + {A') + . . . = n0 X {A') sean satisfechas con toda la precisión que se desee. Entonces de (A) = n(A')·,

(A0) = n0(A'),

¡se deduce: (A) (A 0)

n n0

donde n y n0 son números enteros. 3.

Magnitudes y cantidades.

De un conjunto de observables (4„) (A-¡) . . . , comparables entre sí dos a dos, diremos que son cantidades de una misma magnitud (*). La altura de un edificio, la distancia entre dos puntos y la amplitud de las oscilaciones de un oscilador lineal, son cantidades de la magnitud llamada longitud. El día y la duración de las oscilaciones de un péndulo son cantidades de tiempo. El peso de un cuerpo y el esfuerzo necesario para doblar una barra son cantidades de fuerza. Expuestas las cosas de este modo, las magnitudes son conceptos abstractos a los que se llega a partir de las cantidades. Esta ordenación corresponde al proceso natural en que se parte de lo concreto, que son las cantidades, para llegar a lo abstracto, que son las magnitudes. La distinción entre magnitudes y cantidades es necesaria cuando •se trata de precisar las ideas. Pero es corriente en Física tomar lo (*) En todos m agnitud sólo se ■que en español e pues cantidad se

los idiomas, con excepción del español y del inglés, el vocablo emplea con su significado astronómico. Es de notar, además, inglés, los términos magn'^vd y cantidad están trastrocados, traduce por m agnitude y magnitud por quantity.

general por lo particular y, por eso, suele hablarse de magnitudes y rara vez de cantidades, aun en los casos en que el vocablo oportuno es· este último. 4.

El criterio de igualdad.

El criterio de igualdad va involucrado en el concepto o definición epistémica de cada magnitud, pues es obvio admitir que una magnitud se manifiesta con igual cuantía en dos casos distintos cuando sus efectos son iguales. Se dirá, por ejemplo, que dos cuerpos tienen igual tempera­ tura cuando un termómetro cualquiera marca lo mismo al ser puesto en contacto, primero con uno y después con otro. Evidentemente, el criterio de igualdad es intrínseco, esto es, se esta­ blece sin necesidad de recurrir a la medida de otras magnitudes. Así, para decidir si dos vehículos marchan con igual velocidad, bastará, observar si se conserva constante su distancia, y no será preciso medir ni espacios ni tiempos, f