Analisis Derivativo de Funciones
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Morelia, Michoacán. México
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Cubierta de CIE-CONALEP Colaboración:
Coordinación de Innovación Educativa, CIE/QFB - UMSNH Sistema Nacional de Educación a Distancia, SINED
Coordinadora: Silvia Ochoa Hernández Eduardo Ochoa Hernández
Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del “Copyright”, bajo las sanciones establecidas por la ley, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución de ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo público.
©2011 CONALEPMICH/CIE. México Ediciones CONALEPMICH Álvaro Obregón 144, Morelia. http://www.conalepmich.edu.mx/
Registro: CALDER2011-A Impreso en_ Impreso en México –Printed in México
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Para los muchos estudiantes de CONALEP que sueñan mirando en la tecnología el espíritu de las matemáticas.
Hay formas y “formas” a la hora de promocionar y difundir los servicios y actividades de la biblioteca. Estamos ante una sociedad donde prima lo audiovisual (fotografías, vídeos..) sobre lo textual (trípticos, carteles…) y donde la biblioteca está muriendo por falta de educación.
v
Así como la belleza de una gran obra de arte causa impacto en nuestro cerebro, este también armoniza en forma particular al comprender y descubrir el placer de las profundidades matemáticas. Al conferirnos la sensibilidad para penetrar en los significados de los números. Calvin C. Clawson. Misterios matemáticos
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Prefacio
ix
Primera Parte Análisis de funciones 1.1. Análisis de funciones Introducción Conceptos Producto Cartesiano Relaciones y Funciones 1.2. Gráfica de una función 1.3. Clasificación de funciones 1.4. Álgebra de funciones 1.5. Análisis de ecuaciones 1.6. Modelación 1.7. Problemario 1.8. Autoevaluación 1.9. Conclusión 1.10. Soluciones del problemario 1.11. Soluciones de autoevaluación
1
Referencias
96
10 12 30 59 70 78 86 87 88 94
Segunda Parte Límites 2.1. Noción intuitiva de límite 2.2. Teorema de los límites 2.3. Límites determinados e indeterminados 2.4. Límites unilaterales 2.5. Continuidad de una función 2.6. Problemario 2.7. Autoevaluación 2.8. Conclusión 2.9. Soluciones del problemario 2.10. Soluciones de autoevaluación
1 15 16 33 39 47 52 53 54 61
Referencias
62
vii
Tercera parte La derivada 3.1. Determinación de razones de cambio 3.2. Cálculo de derivadas por fórmulas 3.3. Cálculo de máximos y mínimos 3.4. Aplicación de máximos y mínimos 3.5. Problemario 3.6. Autoevaluación 3.7. Conclusión 3.8. Solución de problemario 3.9. Solución de autoevaluación
1 10 43 53 58 62 64 65 68
Referencias
70
viii
Hoy nos encontramos ante una encrucijada entre las herramientas informáticas y un nuevo orden de redes sociales que presionan por soluciones; podemos llegar por primera vez al nuevo tiempo, uno más incierto y de carácter tecnológico de innovación constante. La educación es parte de nuestro mundo y a nuestra sociedad le corresponde juzgar si está a la altura de su tiempo. Este sencillo libro, expresa el intento de una institución y sus hombres por hacer de él un medio para hablar entre generaciones, para atar las ideas que amenazan con evaporarse, para romper las paredes del aula a muchos más ciudadanos y para democratizar la actividad de cátedra en páginas que representan la actitud del espíritu CONALEP. Con el apoyo del Sistema Nacional de Educación a Distancia (SINED) para generar los contenidos para formar profesores escritores, con la inventiva de la Coordinación de Innovación Educativa/QFB de la Universidad Michoacana y la clara meta del CONALEPMICH por ser una institución que produce su propia visión de las profundidades de su programa educativo medio superior. En una primera fase mayo –agosto de 2011, forman profesores del sistema CONALEP con el fin de producir una cultura de obras literarias que permitan apoyar las necesidades de conocimiento de estudiantes, formar profesores como escribas de su cátedra. Si estas páginas ayudan a convencer que la educación no es hacer más fácil algo, sino fundamentalmente producir un cambio reflexivo en el desafío cognitivo dentro del pensamiento científico técnico. Esto es prueba de que la comunidad docente, autoridades y sindicato son capaces de sumar para un futuro común. Eduardo Ochoa H,2011.
ix
No es desconocido para quienes laboramos en el sector educativo, los desafíos del mundo global y los retos que nos propone con el fin de elevar la calidad, asegurar la equidad y la pertinencia educativa de nuestros servicios, tendencias que en esta materia han sido adoptadas como eje rector de muchos programas educativos. Hoy nuestro colegio se mantiene a la vanguardia de la educación técnica del nivel medio superior a través de su modelo educativo reorientado y fortalece su operación en su modelo de calidad acreditada y certificada, soportada en la certificación de su proceso central, la “formación de profesionales técnicos bachilleres” bajo la norma ISO 9001 versión 2008. Es en este contexto, que a 3 años al frente de este colegio se ha logrado crear una sinergia en la que todos los involucrados, alumnos, padres de familia, directivos, maestros y administrativos, tenemos claro el rumbo de nuestra institución en la búsqueda permanente de ofrecer una alta calidad educativa. Es en este marco, que con mucho agrado y satisfacción, tengo el honor de presentar el fruto del trabajo y la capacitación docente, representado por este libro que hoy tienes en tus manos y que se complementa por otros 6 libros de texto que te permitirán contar con obras escritas por distinguidos docentes del Colegio y que están totalmente apegados a nuestros programas de estudio. Creemos que en el futuro cercano este trabajo se ampliará a otras asignaturas facilitando el aprendizaje, el desarrollo de las habilidades del pensamiento, la práctica docente en el aula y con ello mejorar la transición y en consecuencia reducir la reprobación del alumnado del Colegio. Estas obras, no obstante haber sido escritas por nuestros mejores docentes con el total respaldo del Comité Ejecutivo del SUTACONALEPMICH y de la Dirección General del CONALEPMICH, me permito compartirlas de manera humilde con toda la comunidad educativa del Colegio con la convicción de que integra los esfuerzos de todos quienes laboramos en el Conalep Michoacán, que con su esfuerzo cotidiano, trabajamos en favor de mejorar el proceso educativo que nos corresponde.
Lic. Antonio Ortiz Garcilazo Director General, 2011.
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Mtro. Leonel Godoy Rangel Gobernador Constitucional del Estado de Michoacán Mtra. Graciela Carmina Andrade García Peláez Secretaria de Educación Dr. Rogelio Sosa Pulido Subsecretario de Educación Media Superior y Superior Lic. Ana María Martínez Cabello Directora de Educación Media Superior Mtro. Wilfrido Perea Curiel Director General del Sistema Conalep Mtro. Víctor Manuel Lagunas Ramírez Titular de la Oficina de Servicios Federales en Apoyo a la Educación en Michoacán Lic. Antonio Ortiz Garcilazo Director General del Conalep Michoacán Ing. José Gilberto Dávalos Pantoja Secretario General del SUTACONALEPMICH Dr. Salvador Jara Guerrero Rector de la Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo M.C. Lourdes Galeana de la O Directora General del SINED Ing. Eduardo Ochoa Hernández Coordinador de Innovación Educativa (CIE/QFB)
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[Análisis derivativo de funciones]
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CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
1.1. Análisis de funciones Introducción A lo largo de esta unidad se hablará de uno de los conceptos pilares en el estudio de la matemática: la función, la cual surge de la necesidad de relacionar cantidades variables entre sí. Los orígenes del concepto de función se remontan a ciertos escritos de astrónomos babilonios. En la Edad Media el concepto de función se asocia con el de movimiento siendo Nicolás de Oresme (1323-1392) quien representa en unos ejes coordenados el cambio de velocidad respecto del tiempo. Posteriormente Galileo (1564-1642) estudió el movimiento de manera cuantitativa y expresa sus resultados mediante leyes entre magnitudes.1 Han sido diferentes los personajes matemáticos que gracias a sus investigaciones han ido desarrollando el concepto de función. Entre los cuales podemos mencionar a René Descartes (1596-1650), quien en 1637 utiliza la palabra función para señalar la potencia entera de una variable. Isaac Newton (1642-1727) utilizó el término fluyente para designar la relación entre variables. Leibniz (1646-1716) aplica el término función para señalar cantidades que dependen de una variable. Los términos constante, variable y parámetro fueron introducidos por él. Por otro lado, la notación actual que designa a una función como f(x), se debe a Leonhard Euler (1707-1783). Finalmente se puede mencionar al alemán Johann Dirichlet (1805-1859), a quien se le atribuye la definición moderna de función como una regla de correspondencia entre dos conjuntos.2 Las funciones pueden ser representadas mediante gráficas, así como llevar a cabo operaciones entre ellas y ser utilizadas para describir situaciones o fenómenos que se presentan a diario en nuestro entorno mediante la modelación matemática. Para dar inicio al estudio de las funciones comenzaremos con la descripción de varios términos introductorios y necesarios para conceptos que se verán más adelante.
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[Análisis derivativo de funciones]
Conceptos En la resolución de problemas matemáticos se emplean dos tipos de cantidades: constantes y variables.3 Una variable, es una cantidad que durante el análisis de un problema puede adquirir diferentes valores y generalmente se utilizan las últimas letras del abecedario (x, y, z), para ser representadas. Una constante, es una cantidad que mantiene un valor fijo durante el análisis de un problema. Podemos tener constantes numéricas o arbitrarias. Una constante numérica llamada también absoluta, mantiene el mismo valor para cualquier problema, por ejemplo:
√
Una constante arbitraria llamada también parámetro, adquiere ciertos valores numéricos y los conserva durante el análisis de un problema. Generalmente se utilizan las primeras letras del abecedario para representarlas (a,b,c,k). Una fórmula muy conocida es
, la cual se utiliza para obtener el área de un
círculo, dado el valor del radio. En esta fórmula podemos identificar que
y 2 son
constantes absolutas, mientras que r es una variable. De cursos anteriores se conoce
que la ecuación
representa a una línea
recta. Los parámetros o constantes arbitrarias son m y b, las cuales conservarán un valor durante un problema específico y la variable está representada por x.
Producto Cartesiano De la teoría de conjuntos rescatamos el concepto de producto cartesiano, el cual es una manera de vincular dos conjuntos, a través de parejas ordenadas. 4 Sea dos conjuntos A y B, el producto cartesiano se define como un nuevo conjunto conformado por parejas ordenadas (a,b), tales que a pertenece al conjunto A, y b pertenece al conjunto B. Lo anterior se puede representar como sigue:
2
CONALEP-2011 A
[Análisis derivativo de funciones]
B = {(a,b) / a A, b B}
Ejemplo 1. Sean los conjuntos M={i,j,k} y N={p,q}. Determinar su producto cartesiano.
El producto cartesiano será el nuevo conjunto M
N conformado de los
siguientes pares ordenados: M
N = {(i,p),(i,q),(j,p),(j,q),(k,p),(k,q)}
Ejemplo 2. Determinar el producto cartesiano de los conjuntos A={1,2} y B={3,4}.
A
B = {(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)}
Las parejas se pueden representar como puntos en el
plano
cartesiano,
elemento como
la
considerando
abscisa
y
el
el
segundo
primer como
la
ordenada.
Relaciones y funciones En el producto cartesiano al conjunto de todos los primeros elementos de las parejas ordenadas se le llama dominio y al conjunto de los segundos elementos se le llama contradominio o rango. Una relación es un subconjunto de un producto cartesiano que asocia a los elementos del dominio con los del contradominio.5 Una función es una relación en la que a todo elemento del dominio le corresponde solo un elemento del contradominio. Esto implica que en una función no habrá dos pares ordenados con la misma abscisa (primer elemento) y diferente ordenada (segundo elemento).
3
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[Análisis derivativo de funciones]
Ejemplo 3. Sean los conjuntos V={a,b,c} y N={2,4,6}, producto cartesiano, el dominio y contradominio
determinar
el
El producto cartesiano: V N={(a,2),(a,4),(a,6),(b,2),(b,4),(b,6),(c,2),(c,4),(c,6)} Dominio: V={a,b,c} Contradominio: N={2,4,6} Ejemplo 4. Dados los conjuntos S={1,5,6}, T={2,4,7} y la relación de que el
primer
elemento
es
mayor
que
el
segundo
elemento,
determinar el
conjunto solución que satisface dicha relación.
Primeramente obtenemos el producto cartesiano: S T={(1,2),(1,4),(1,7),(5,2),(5,4),(5,7),(6,2),(6,4),(6,7)} Los pares que satisfacen la condición S mayor que T son: R={(5,2),(5,4),(6,2),(6,4)} Esta relación se puede visualizar mediante un diagrama sagital (diagrama de flechas)
T
S 1
2
5
4
6
7
Podemos observar que algunos elementos del dominio S les corresponden uno o más elementos del contradominio T. En el conjunto solución aparecen pares ordenados con el mismo primer elemento 5 y 6. Ejemplo 5. Dados los conjuntos A={3,6,9}, B={6,12,18,24} y la relación de que el segundo elemento sea el doble del primer elemento, determinar el conjunto solución que satisface dicha relación.
Obtengamos el producto cartesiano: A B={(3,6),(3;12),(3,18),(3,24),(6,6),(6,12),(6,18),(6,24),
4
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(9,6),(9,12),(9,18),(9,24)} De las parejas obtenidas el conjunto solución es: R={(3,6),(6,12),(9,18)} Podemos observar mediante un diagrama sagital, que todos los elementos del
dominio
están
asociados con
un
solo
elemento
del
contradominio.
Además los primeros elementos 3, 6 y 9 son diferentes entre sí y no se repiten en otro par ordenado, por lo que se puede decir que esta relación es una función.
B
A 6
3
12
6
18
9
24
Ejemplo 6. Determinar si en el
siguiente diagrama se representa una
función o una relación.
A
B 5 10 15 20 25
El
diagrama
corresponde
15 30 45 60 75
a
una
función,
ya
que
a
cada
conjunto A le corresponde un único elemento del conjunto B.
5
elemento
del
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Ejemplo 7. Indicar si en el
siguiente diagrama se representa una función
o una relación:
C
D
0
5 3 1 -5 -3
1 2
El diagrama corresponde a una relación, debido a que al menos un elemento del dominio C está asociado con dos elementos del contradominio D. El elemento 0 se asocia con los elementos 5 y -5. Ejemplo 8. Determinar si
en
el
siguiente diagrama se
representa
una
función o una relación:
M
N
10 2 20 30
Es función porque cumple con la condición de que cada elemento de M está asociado con un único elemento de N.
6
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Ejemplo 9. Indica si en el siguiente diagrama se representa una función o una relación:
P
Q 15
5
45 75
Representa una relación debido a que un elemento de P está asociado con más de un elemento de Q.
Ejemplo 10. Determinar si en los siguientes conjuntos de pares ordenados se tiene una función o una relación. K={(0,0),(2,4),(5,25),(7,49)} L={(-2,10),(0,10),(3,10),(6,10)} M={(0,0),(1,1),(1,-1),(2,4),(2,-4)} N={(1,1),(2,2),(3,3),(3,4),(3,5)}
De acuerdo con las definiciones de relación y función, se determina que los conjuntos K y L son funciones, ya que el primer elemento de cada pareja ordenada no se repite. En el conjunto M el 1 y 2 aparecen dos veces como primer elemento, así como
en
el
conjunto
N
el
3
aparece
tres veces,
concluimos
que
los
conjuntos M y N no son funciones, solo relaciones. Es importante que observe que toda función es una relación, pero no toda relación es una función. Una característica de las funciones es que nos indica una dependencia existente entre cantidades relacionadas.
7
[Análisis derivativo de funciones]
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Una función es una regla de correspondencia en la que a cada elemento de un conjunto A (Dominio) se le asocia uno y solo un elemento de un conjunto B (Contradominio o Rango).
x Dominio
f(x) Contradominio
f
Notación matemática de una función Cuando se estable una función de un conjunto A en un conjunto B, a través de una regla de correspondencia
, se asocia a cada elemento x del conjunto A un único
elemento y del conjunto B. Esto se puede escribir con la siguiente notación6: ƒ:A→B Si el valor de y depende de x, decimos que y es una función de x. Entonces podemos usar la notación de función7
. (se lee f de x)
Es decir, donde: x es la variable independiente y es la variable dependiente f representa la regla de correspondencia Como se mencionó anteriormente, esta forma de denotar una función se debe al matemático Leonhard Euler.
Ejemplo 11. Imagina que trabajas para una compañía en la cual se te asigna
un
sueldo
de
$50.00
por
hora.
Determinar
la
regla
de
correspondencia y una notación funcional.
Podemos asociar para una determinada cantidad de horas trabajadas un pago específico.
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Dominio
Contradominio
Par ordenado
(no. de horas)
(pago correspondiente)
1
$50
(1,50)
2
$100
(2,100)
5
$250
(5,250)
10
$500
(10,500)
20
$1000
(20,1000)
variable
variable
independiente
dependiente
Ahora observa que para cada elemento del dominio, solo se puede asociar uno y solo un elemento del contradominio. Es decir, si trabajas 5 horas no
se
pueden asociar diferentes pagos $50, $250
o
$500. (Únicamente
$250). Notación funcional: ó Si
el pago será:
La cantidad a la cual le podemos asignar valores a voluntad, es decir, el número de horas trabajadas se le llama variable independiente. Las cantidades cuyos valores se determinan por el valor que toma la variable independiente, en
este caso
el
pago, se
les
llama
variable
dependiente.
Evaluación de una función El
valor
que
toma
una
función
es
aquel
que
adquiere
la
variable
dependiente, digamos y, cuando se le da un valor específico a la variable independiente, digamos x6.
Ejemplo 12. Obtener el valor que adquiere la función x vale -5.
9
, cuando
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Para obtener f(-5), basta sustituir x=-5 en dicha función y llevar a cabo las operaciones indicadas. Por lo tanto, se tiene:
Ejemplo 13. Obtener el valor que adquiere la función
cuando x
vale 2 y cuando vale a.
Sustituimos
en
la
función
dada
y
realizamos
las
operaciones
correspondientes:
Por lo tanto, se tiene:
Ahora sustituyamos
en la función.
Se tiene que
1.2. Gráfica de Funciones Para visualizar una función otra manera es a través de su gráfica7. La gráfica de una función es el conjunto de las parejas ordenadas (x,y) en el plano cartesiano, de manera tal que no existan dos diferentes parejas ordenadas con la misma abscisa.
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Criterio de la recta vertical Para determinar si una gráfica representa a una función o a una relación, se traza una recta vertical, paralela al eje Y sobre la gráfica, si recta corta la gráfica en un solo punto se trata de una función, en caso contrario será una relación 6. Las siguientes gráficas muestran cómo al trazar la recta vertical paralela al eje Y, pueden cortar en uno o más puntos:
Observa que las dos primeras gráficas corresponden a funciones y la tercera a una relación, ya que corta en dos puntos.
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1.3. Clasificación de funciones Las funciones pueden ser clasificadas en dos grandes grupos, como funciones algebraicas y funciones trascendentes1.
Función Algebraica
Racional
Trascendente
Irracional
Trigonométricas Exponenciales
Entera (Polinomial)
Fraccionaria
Logarítmicas
Constante Lineal Cuadrática y otras Las funciones algebraicas son aquellas en las que se combinan operaciones finitas de suma, resta, multiplicación, división, potenciación o radicación, que afectan a la variable independiente. √
A su vez, una función algebraica puede ser racional entera o racional fraccionaria.
Función racional entera Estas funciones también se conocen como polinomiales, y se caracterizan por que se expresan a través de un polinomio de la forma 8:
P(x) an x n an1 xn1 ... a2 x 2 a1 x a0
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CONALEP-2011 Donde
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es un número positivo, y los números
an , an1 ,..., a1 , a0
se les denomina
coeficientes del polinomio y además son constantes. El grado del polinomio es Por ejemplo en la siguiente función:
P(x) 2x5 x3 7x2 10 Su grado es 5. Su gráfica es la que se muestra a continuación:
Dentro de las funciones polinomiales tenemos varios casos:
Función constante Cuando en el polinomio
P(x) an x n an1 xn1 ... a2 x2 a1 x a0 todos los coeficientes de x valen cero, tenemos la función constante6. También es posible expresar esta función como Df = R
(El dominio es el conjunto de todos los reales)
Rf = {k} (El rango o contradominio lo compone el valor k)
13
.
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[Análisis derivativo de funciones] y
8
6
4
k
2
x -8
-6
-4
-2
2
4
6
8
-2
-4
-6
-8
f(x)=k Ejemplo 14. Obtener la gráfica de la función
.
y
8 6 4 2 x
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
-2 -4 -6 -8
Función lineal Cuando en el polinomio
P( x) an x n an1 xn1 ... a2 x2 a1 x a0 todos los coeficientes de x valen cero, excepto para
tenemos la función
lineal 6: . En geometría analítica, esta función también puede escribirse como Donde m representa la pendiente (grado de inclinación) de la recta y b la ordenada en el origen. Para este tipo de funciones el dominio y rango está en todos los reales Df = R, o en forma de intervalo ( Rf = R, o en forma de intervalo (
14
.
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[Análisis derivativo de funciones]
Recordemos que la pendiente m, representa la razón de cambio de y respecto de x.
Ejemplo 15. Obtener la gráfica de la función
De la fórmula
se puede identificar que
y b=1.
Conociendo dos puntos se traza la gráfica de una función lineal, pues basta
unirlos
a
través de
una
recta
que
puede
extenderse en
ambos
sentidos.
La pendiente
, nos indica que por cada 3 unidades que nos desplacemos
en la dirección x, también nos desplazaremos 2 unidades en la dirección y. Conociendo b=1, tenemos un punto de la gráfica (0,1).
(3,3
y (0,
x
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A partir de (0,1) nos desplazamos, 3 unidades en x, 2 unidades en y llegando al punto (3,3). Dichos puntos se unen con una recta y se obtiene la gráfica correspondiente. Nota: si la pendiente es negativa un desplazamiento es positivo y el otro negativo.
Ejemplo 16. Obtener la gráfica de la función
Como la pendiente es negativa, se tiene que por cada 2 unidades que nos desplacemos
en
la
dirección
positiva
de
x,
habrá
1
unidad
de
desplazamiento en la dirección negativa de y. Esto nos permite obtener del punto (0,3) otro punto de coordenadas (2,2) y trazar una recta para obtener la gráfica correspondiente.
x (0,3
(2,
Función Identidad La función identidad es un caso particular de la función lineal que surge cuando m = 1 y b = 0. Por lo que resulta la función como
.6 También expresada
.
Como toda función polinomial, el dominio y rango lo conforman el conjunto de los números reales. La gráfica de la función identidad es una recta con una inclinación de 45º.
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Función Cuadrática Esta función es de la forma
y representa una parábola cóncava hacia
arriba o hacia abajo, dependiente del signo que tenga el coeficiente del término cuadrático6.
Las coordenadas (h,k) del vértice de una parábola, se pueden obtener utilizando las siguientes fórmulas, tomando como base la forma general
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Dominio: Df= R
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para las dos gráficas
Rango: Rf = [
)
Rf = [
cóncava hacia arriba cóncava hacia abajo
]
Ejemplo 17. Obtener la gráfica de la función
y determinar el
dominio y el rango.
Observamos los valores que tienen los coeficientes en la función dada y tenemos:
. Con estos valores calculamos las coordenadas
del vértice:
Así que las coordenadas V(h,k)=(2,-1). Por
otro
lado,
vemos
que
el
coeficiente
del
término
positivo a=1, por lo que la parábola abre hacia arriba. Dominio=
ó
Contradominio
[-1,
Tabulando algunos valores para x, se obtiene: x
-2
-1
0
1
2
y
15
8
3
0
-1
Cuya gráfica es la siguiente:
18
cuadrático
es
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Función Potencia Esta función tiene la forma
donde n es un entero positivo7.
El dominio son todos los reales: El rango es [ para
si n es par. El rango es
cuando n es impar
cuando n = 1,2,3,4,5,6
De acuerdo con las gráficas, se puede observar que cuando n es par, la función
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será muy parecida a la parábola
, es simétrica respecto al eje Y, y
cuando n es impar será semejante a la gráfica de
, es simétrica respecto del
origen.
Para
cuando el exponente es
y n es entero positivo
Cuando n es igual a 2 se tiene la función raíz cuadrada √ El dominio para esta función es [0,∞). Para valores pares: 4,6,8… sus gráficas son semejantes a la de la raíz cuadrada.
Cuando n es igual a 3 se tiene la función raíz cúbica
√
El dominio para esta función son los reales (-∞, ∞). Para valores impares: 5,7,9… sus gráficas son semejantes a la de la raíz cúbica.
Para Cuando
cuando se obtiene la función recíproca
El dominio son todos los reales excepto para 0.
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Su gráfica es una hipérbola teniendo como asíntotas los ejes de coordenadas.
Función racional fraccionaria También conocidas como funciones racionales, se caracterizan por expresarse como el cociente de dos polinomios6
f ( x)
P( x) Q( x)
donde P y Q son polinomios y Q(x) ≠ 0. El dominio para este tipo de funciones lo forman todos los valores de x, tales que Q(x) ≠ 0. La siguiente es un ejemplo de función algebraica racional:
x 2 2x 4 f ( x) x2 El valor de x que vuelve 0 al denominador, representa una asíntota vertical (recta a la cual tiende a tocar la gráfica, sin llegar a tocarla). Es decir, si
, despejando
. En esta gráfica se observa una asíntota vertical cuya ecuación es tiende a tocar dicha asíntota conforme x se acerca al valor 2.
21
. La gráfica
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En la siguiente función el valor de x que hace 0 al denominador, es cuando despejando,
g ( x)
x 1 x3
Esta gráfica tiene una asíntota cuya ecuación es x = -3. Cuando x se aproxima a -3 los valores de la función crecen hacia el infinito de manera positiva y negativamente. Finalmente, en la siguiente gráfica se observa una asíntota que coincide con el eje y.
y
3 x
Función Trascendente Las funciones trascendentes son aquellas que no son algebraicas. Las cuales incluyen a las trigonométricas directas e inversas, logarítmicas y exponenciales.
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Algunos ejemplos son: trigonométrica trigonométrica exponencial exponencial logarítmica trigonométrica inversa
Funciones Trigonométricas De trigonometría recordemos que las funciones trigonométricas surgen como resultado de la razón entre las magnitudes de los lados de un triángulo rectángulo: Hipotenusa Cateto opuesto
θ Cateto adyacente
Generalmente consideraremos la medida de los ángulos en radianes, a menos que se diga lo contrario, recuerde
Df = R Rf = [-1,1]
. Veamos las gráficas de algunas de ellas:
Df = R Rf = [-1,1]
23
Df=R-{ Rf=(-
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[Análisis derivativo de funciones]
Función Exponencial La función exponencial es de la forma
donde la
base k es una constante positiva y el exponente es una variable.7 El dominio es (-∞, ∞) y el rango es (0, ∞)
Gráfica de la función
Función Logarítmica La función logarítmica es de la forma
, donde la
base a es una constante positiva. Es la inversa de la función exponencial 7. El dominio es (0, ∞) y el rango es (-∞, ∞)
Gráfica de la función
Función explicita e implícita Cuando una función tiene a la variable dependiente despejada, se dice que la función esta expresada en forma explícita. En caso contrario, se dice que está en forma implícita6. Ejemplos de funciones explícitas:
√
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[Análisis derivativo de funciones]
Ejemplos de funciones implícitas:
Función creciente y decreciente Otra manera de clasificar las funciones es de acuerdo con su monotonía.9 Una función f(x) es creciente en un intervalo I, si para cualquier par de valores pertenecientes al intervalo I, tal que
Ejemplo 18. Sea la función:
se tiene
f ( x) x 2 en
.
el intervalo [0,4], tomemos los
puntos x=2 y x=3.
Por lo tanto la función es creciente del punto 2 al 3.
Una función f(x) es decreciente en un intervalo I, si para cualquier par de valores x1, x2, pertenecientes al intervalo I, tal que
se tiene
25
.
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Ejemplo 19. Sea la función: f ( x) x 2
en el intervalo [-4,0], tomemos los
puntos x=-3 y x=-2.
Se cumple que
. La función es decreciente
Ejemplo 20. La siguiente gráfica
muestra ambos comportamientos.
En el intervalo [-4,0]: es decreciente. En el intervalo [(0,4]: es creciente.
26
[Análisis derivativo de funciones]
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Función par Si en una función se sustituye la variable
por su simétrico
y se cumple
se dice que la función es par10,11. Ejemplo 21. Verificar si la función
es par o impar.
Se sustituye x por –x
Como se cumple que
, entonces es una función par.
Función impar Si en una función se sustituye la variable x por su simétrico –x y se cumple se dice que la función es impar6,7 Ejemplo 22. Verificar si la función
es par o impar.
Se sustituye x por –x
Como se cumple que
, entonces es una función impar.
Ejemplo 23. Verificar si la función
es par o impar.
Se sustituye x por –x
Podemos ver que como
la función no es par.
Por otro lado, para que la función sea impar se debe cumplir la condición de que
pero y
Dado que
la función no es impar.
Esta función no es impar, ni par. De lo anterior se concluye: La gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje Y.
27
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
La gráfica de una función impar es simétrica con respecto al origen. Hay funciones que no son pares ni impares.
Función continua y discontinua Finalmente diremos que otra forma de clasificar a las funciones es con base a la continuidad de la gráfica. Una función es continua cuando su gráfica no presenta un hueco o salto. Otra forma de describirla, es diciendo que una función es continua si se puede dibujar su gráfica sin tener que levantar el lápiz del papel.12 Una función es discontinua si no es continua.
c
c
c
28
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[Análisis derivativo de funciones]
Función del mayor entero Otra función es la definida como función del mayor entero 13,14, el símbolo que la representa es [[x]], el cual se define como el mayor entero menor o igual a x, esto es: [[x]] = n si n , donde n ЄZ Por ejemplo: [[1]] = 1,
[[1.2]] = 1, [[0.2]] = 0, [[-4.3]] = -5, [[-10]] = -10, [[19.8]] = 19,
y así sucesivamente, queda como reto para el lector hacer su gráfica.
Función valor absoluto Función valor absoluto8,9, es definida como |
|
Su dominio es el conjunto de todos los números reales y el rango de dicha función son los números reales no negativos. Sea la función
| |
Cuando
,
esto
indica
que
su
contradominio es siempre positivo. Dicha función es par, decreciente de (-
y creciente de [0, ).
Nota: hasta aquí solo se ha hablado de las principales funciones que se presentan durante el estudio del cálculo. Sin embargo, es importante señalar que existe una gran cantidad de funciones que será conveniente investigar, tales como la función escalonada que se utiliza en los estacionamientos cuando nos cobran por hora o fracción, la función definida por intervalos, la función signo, entre otras. Existen libros dedicados al tema de funciones, en los cuales se puede ampliar dicho tema. Se invita al lector a que haga la lectura correspondiente.1,15,16.
29
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
1.4. Álgebra de funciones Se puede combinar, una función f con otra función h a través de las operaciones aritméticas: suma, resta, multiplicación y división. Las cuales se pueden definir de la siguiente manera:17 Sean las funciones f y h, Suma: Resta: Multiplicación: División:
donde
( )
El dominio de estas nuevas funciones
es la intersección del dominio f
con el dominio h. A continuación veremos algunas operaciones con funciones.
Sumas de funciones EJEMPLO 24. Dadas las funciones: f (x) 8x 1
y la función:
g(x) 5x3 2
calcular: r( x) f ( x) g( x) .
Lo primero que podemos realizar es sustituir cada uno de los sumandos de la función propuesta de la siguiente manera:
r(x) f (x) g(x)
r(x) (8x 1) (5x3 2) . Lo segundo sería realizar la suma de los dos términos, esto se realiza primeramente
eliminando
los
paréntesis
que
agrupan
cada
una
de
las
funciones. Recuerde que para concretar este proceso se debe considerar el signo que antecede al paréntesis, es decir: si el sigo que está antes del primer paréntesis es positivo, se dice más por menos y el resultado de esta operación de signos lo colocamos antes del término considerado. Para nuestro caso, como en el primer grupo de términos no contiene signo, se asume que este es positivo, es decir:
r(x) f (x) g(x) f ( x) g( x) Ahora bien, el resultado de suprimir el primer paréntesis será entonces:
30
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
(8x 1) (8x 1) 8x 1 8x 1 Para el segundo término tendremos:
(5x3 2) (5x3 ) (2) 5x3 2 De manera que suprimiendo los paréntesis de ambas funciones (o de cada grupo de términos) tendremos:
r(x) (8x 1) (5x3 2) 8x 1 5x3 2 El siguiente paso en el desarrollo de la suma, será agrupar los términos semejantes, que para nuestro caso solo tenemos los números +1 y +2:
r(x) 8x 1 5x3 2 8x 5x3 1 2 8x 5x3 3 Finalmente, como una manera ordenada de presentar el resultado, podemos ordenar los términos, comenzando con los exponentes de mayor a menor, para finalmente colocar los términos numéricos. Recuerde que este acomodo debe respetar el signo de cada término como se observa en el acomodo del término -5x3.
r(x) 8x 5x3 3 5x3 8x 3 r(x) 8x 1 5x3 2 8x 5x3 1 2 8x 5x3 3 Siendo el resultado final:
r(x) 5x3 8x 3 EJEMPLO 25. Dadas las funciones: R(u) 5u (2u) 2 8u 3 u(3u) P(u) (3u) 12
u
(uu) 8
u
u5
1, desarrolla
y la función:
R(u) P(u) .
2 u 2
Como puede observarse, cada una de las funciones está expresada de forma tal, que es más cómodo primeramente desarrollarla a su mínima expresión, para después realizar la suma indicada. Por tanto, en la función desarrollada,
debemos
primeramente
desarrollar
el
(2u)2 y el producto de u(3u) , o sea: (2u)2 (22 u 2 ) (4u 2 ) 4u 2 y para el otro producto: u(3u) ()()(u)(3u) 3u 2
Desarrollando entonces en la función R(u) , tendríamos:
R(u) 5u (2u) 2 8u 3 u(3u) 5u 4u 2 8u 3 3u 2
31
cuadrado
R(u)
indicado
[Análisis derivativo de funciones]
CONALEP-2011
Acomodando los términos de acuerdo a su exponente y agrupando términos semejantes, tendríamos:
R(u) 8u3 4u 2 3u 2 5u 8u3 1u 2 5u Por otro lado, para desarrollar la función restante,
P(u)
tendríamos
primeramente que quitar el paréntesis del primer término:
(3u) 3u 3u Similarmente, para el segundo término, tenemos un desarrollo que implica la división de dos términos iguales (cuyo resultado es la unidad), es decir:
12
u 12(1) 12 u
Para el tercer término, el desarrollo posible es la multiplicación de la variable por sí misma dos veces, lo cual se entiende como el cuadrado de la misma, es decir:
(uu) (u 2 ) u 2 u 2 Finalmente, para el cuarto término podemos realizar la división de las variables, que al ser la misma base y exponente diferente, lo que se realiza es la resta de los exponentes (exponente del numerador menos exponente del denominador). Por otro lado, el desarrollo numérico es el producto del 8 y de
1 lo que nos daría: 2
u5 1 1 1 8 2 8 u 52 8 u 3 4u 3 2 2 u 2
Teniendo como versión final de desarrollo de la función
P(u) 3u 12
P(u) como
u5 1 u uu 8 2 3u 12 u 2 4u 3 4u 3 u 2 3u 12 u u 2
De esta manera, la suma de las funciones originales, ahora desarrolladas en sus mínimas expresiones sería:
P u 8u3 1u 2 5u, F (u) 4u 3 u 2 3u 12 Y la suma de ambas, podría expresarse como
P(u) F (u) (8u 3 1u 2 5u) (4u 3 1u 2 5u 12) 8u 3 1u 2 5u 4u 3 1u 2 3u 12 Acomodando los términos semejantes en orden descendente:
P(u) F (u) 8u 3 4u 3 1u 2 1u 2 5u 3u 12 La suma finalmente es:
32
[Análisis derivativo de funciones]
CONALEP-2011
P(u) F (u) 12u 3 2u 2 8u 12
EJEMPLO
26.
Realizar
la
suma
de
las
funciones:
3x 8 G( x) 62 x
y
P( y) 2 y 2 5 y 8 Esta suma no se puede realizar, puesto que cada una de las funciones definidas no son dependientes de la misma variable, es decir, la función
G( x) depende en su valor de los valores de x, como se define, pero la función P( y) está definida de acuerdo a los valores de y, por lo tanto, los
valores
de
cada
una
de
las
funciones
son
independientes porque
dependen cada una de diferente variable.
EJEMPLO
27.
¿Cuál
es
el
resultado
de
la
suma
de
3x 8 G( x) 62 con x
P(x) 2 y 2 5 y 8 ? Para este caso, como cada una de las funciones está definida para la misma variable, entonces es posible la suma, solo que para la variable
P(x) 2 y 2 5 y 8 , cada uno de los términos algebraicos no contiene a la variable a la que se hace referencia, por lo tanto, puede considerarse como un término independiente a cada uno de los términos que contienen la y. De esta manera, el desarrollo será:
3x 8 G( x) P( x) 62 2 y 2 5 y 8 x Pudiendo sintetizar el valor de la función G( x) :
3x 8 3x 8 3x 8 G( x) 62 62 6x 2 x x 1 Sustituyendo este nuevo valor de la función como
G( x) P( x)
3x 8 2 y2 5 y 8 2 6x
33
CONALEP-2011
EJEMPLO
28.
¿Cuál
[Análisis derivativo de funciones]
es
el
resultado
de
la
suma
de
3x 8 6 G( x) x2
estas
funciones
con
P( x) 2x 2 5x 8 ?
De
acuerdo al
desarrollo anterior, la
suma de
puede
realizarse como ya se ha explicado, es decir, agrupando las dos funciones con cada uno de sus términos semejantes. De esta manera, podemos afirmar que
3x 8 G( x) P( x) 62 2x 2 5x 8 x Desarrollando el resultado de la primera función:
3x 8 3x 8 3x 8 G( x) 62 62 6x 2 x x 1 Lo cual nos daría una suma de la siguiente manera:
G( x) P( x)
3x 8 2x 2 5x 8 2 6x
El desarrollo se facilita al separar la fracción:
2 3x 8 2 3x 8 2x 2 5x 8 1 4 2x 5x 8 2x 5x 8 6x 2 6x 2 6x 2 2x 3x 2 1 1 1
De manera que la suma de estas fracciones será:
1 4 2x 2 5x 8 3x 8 12x 4 30x3 48x 2 2 2x 3x 1 1 1 6x 2 Lo que finalmente ordenado nos queda:
12x 4 30x3 48x 2 3x 8 G( x) P( x) 6x 2 Pues el numerador no es un polinomio que pueda factorizarse.
EJEMPLO 29. Expresar el resultado en su mínima expresión de la siguiente suma: M (x) N (x) , dadas;
M ( x)
x
2
y
y
N ( x)
x y
2
y
La suma entonces, se desarrollará de la siguiente manera:
34
[Análisis derivativo de funciones]
CONALEP-2011
2 x 2 x y M ( x) N ( x) y y
Quitando los paréntesis y desarrollando la suma, tendremos:
2 2 x x y x 2 x y y y y 2
Desarrollando el binomio cuadrado que contiene al numerador, tendremos:
x 2 x y
2
y
2 2 2 x 2 (x 2 2xy y 2 ) x x 2xy y y y
Como puede observarse, en el numerador tenemos dos términos semejantes con signo contrario, lo cual los hace cero:
x 2 x 2 2xy y 2 2xy y 2 y y Finalmente para este caso, puede factorizarse en el numerador la y, lo cual nos llevará a poder dividirla con el mismo factor del denominador para poder suprimirla:
2xy y 2 y(2x y) y (2x y) (2x y) 1 y y y 1 1 Para obtener el resultado:
M (x) N (x) 2x y EJEMPLO 30. Comprobar que la suma de funciones es conmutativa (tomar cualquiera de las funciones anteriormente descritas).
Puede
tomarse
el
ejemplo
23,
considerando
la
suma
propuesta
3 r(x) f (x) g(x) , considerando f (x) 8x 1 y la función g(x) 5x 2 .
El desarrollo de la suma según se realizó es:
r(x) 5x3 8x 3 Por consiguiente, aplicando la conmutatividad de la suma, proponemos una nueva
suma
cambiando
el
orden
de
las
funciones,
y
le
llamamos
R(x) g(x) f (x) . Si el resultado de esta propuesta es igual que el de r( x) , entonces la conmutatividad es válida.
35
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Desarrollamos entonces la nueva suma
R( x) como se describió en el ejemplo
23, es decir, sustituyendo el valor de cada una de las funciones como sumandos de la propuesta:
R(x) g(x) f (x)
R(x) (5x3 2) (8x 1) Suprimiendo los paréntesis y desarrollando la suma, tendremos:
R(x) 5x3 2 8x 1 5x3 2 1 8x 5x3 8x 3 Entonces, como ambos resultados son iguales, podemos afirmar que
r( x) R( x), f ( x) g ( x) g ( x) f ( x) Lo que demuestra que la suma de funciones es conmutativa. EJEMPLO 31. Comprobar la validez de la ley asociativa de las funciones, definida como A+(B+C)=(A+B)+C, El valor de cada una de las funciones A, B y C es:
1 A a(x) x 2 5 , B b(x) (5x 3) y C c( x) x 3
2
Para desarrollar la parte izquierda de la igualdad, según indican los paréntesis, desarrollaremos primero la suma de B+C:
2 2 1 13 26 1 b( x) c( x) (5x 3) x 5x 3 x 2 x x 2 x 3 9 3 9 3
Después, el desarrollo del lado izquierdo de la igualdad se completa sumando
al
resultado
anterior
la
función
A
y
desarrollando
la
suma
(quitando los paréntesis y agrupando los términos semejantes) como se muestra:
A (B C) (x 2 5) x 2
13 26 13 26 13 19 x x2 5 x2 x 2x 2 x 3 9 3 9 3 9
Por otro lado, el cálculo de la parte derecha de la igualdad implica primero sumar A+B:
A B a(x) b(x) x 2 5 5x 3 x 2 5 5x 3 x 2 5x 2 El cálculo completo quedaría sumando la función C de la siguiente manera:
A B C x2 5x 2 x2
2 1 13 19 x 2x 2 x 3 9 3 9
36
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Como puede observarse, ambos resultados son iguales, lo que afirma que
A (B C) ( A B) C
EJEMPLO
32.
¿Cuál
será
el
resultado
de
sumar
v( ) sin( )
con
w( ) cos ? 2
Como puede observarse, la suma puede realizarse sencillamente conjuntado las funciones:
v( ) w( ) sin( ) cos 2
Lo cual, es el resultado de la suma pedida. Sin embargo, este resultado tiene un
valor peculiar, el
cual se
puede mostrar
asignando
valores
característicos al resultado de la suma. Esto puede realizarse con ayuda de una tabla. En la siguiente tabla, se muestran los valores característicos y los resultados para cada una de las funciones dadas, así como los valores de la suma de las mencionadas funciones. Se muestra además un bosquejo de las gráficas correspondientes, donde como puede verse, la suma es de cero para todos los valores de
;
o bien, de x de acuerdo al formato para el
software que ha realizado las gráficas.
v( ) sin( )
w( ) cos v( ) w( ) sin( ) cos 2 2
0
0
0
0
1
-1
0
0
0
0
3 2
-1
1
0
2
0
0
0
2
37
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
x
El resultado entonces más significativo y evidente será:
v( ) w( ) sin( ) cos 0 2 Este resultado justifica una identidad trigonométrica:
cos sen 2
EJEMPLO 33. ¿Cuál es el resultado de sumar las funciones:
h x 810 x con
i x 110 x ? La suma de estas funciones, es de acuerdo a lo anteriormente descrito, la suma de los valores de cada función:
h x i(x) 810 x 110x
Donde se puede observar, es factible hacer una factorización, y con ello la suma de los factores diferentes, es decir:
810 110 10 (8 1) 9 10 x
x
x
x
Teniendo entonces, el resultado:
h x i(x) 810 x 110 x 9 10 x
EJEMPLO 34. ¿Cuál es el resultado de sumar n(x) 0 con
El
resultado
es
obviamente
la
misma
f ( x) ,
pues
f ( x)
de
desarrollos que aquí se han mencionado, podemos decir que
5x 8 5x 8 f ( x) n( x) (0) 9 9
38
5x 8 ? 9
acuerdo
a
los
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
De hecho, a la función n( x) 0 , se le llama la función constante, pues su valor es el mismo sin depender de la variable independiente x. Para el caso particular de que esta función se defina con el valor constante de cero, actúa como el elemento neutro en la suma de funciones.
Resta de funciones EJEMPLO 35. Dadas las funciones f (x) 3x 1
y la función
g(x) 2 6x ;
calcular: r(x) f (x) g(x) .
Al igual que se hizo en la suma, lo primero que podemos realizar es sustituir cada una de las funciones por sus valores correspondientes:
r(x) f (x) g(x) r(x) (3x 1) (2 6x) . Después, se eliminan los paréntesis que agrupan cada una de los valores de las funciones. Para este caso, igual que la suma, se debe considerar el signo que antecede al paréntesis, es decir, si el sigo que está antes del primer paréntesis es positivo; lo cual no cambia el signo de los términos de la primer función:
f (x) (3x 1) 3x 1 Ahora, la manipulación del segundo término conlleva a considerar el signo negativo que antecede a la función, lo cual, al aplicar la ley de los signos, cambia cada uno de los signos de cada uno de los términos, como se muestra:
g(x) (2 6x) (2) (6x) 2 6x Así que finalmente, la resta se puede realizar en realidad como una suma, es decir; agrupando cada uno de los términos semejantes, solo que antes de hacer esto, es necesario considerar el resultado de las operaciones con los signos, en particular con la función a la que le antecede el signo negativo. Así, para este caso en particular tendremos:
f (x) g(x) (3x 1) (2 6x) 3x 1 2 6x f (x) g(x) 3x 1 2 6x 3x 3 r(x) 3x 3 Que es el resultado final.
39
CONALEP-2011 EJEMPLO
36.
Dadas
[Análisis derivativo de funciones]
las
mismas
funciones que
en
el
ejemplo anterior:
f (x) 3x 1 y la función: g(x) 2 6x ; calcular ahora s(x) g(x) f (x) Ahora,
desarrollaremos
la
resta
de
las
mismas
funciones,
solo
que
intercambiando el orden de cada uno de las funciones; lo cual puede expresarse:
s(x) g(x) f (x) (2 6x) (3x 1) Desarrollando
la
suma
de
acuerdo
al
mismo
procedimiento
descrito
en
ejemplos anteriores, suprimimos primeramente los paréntesis (en donde si se recuerda, quitar el paréntesis donde antecede el signo menos, cambia el signo de todos y cada uno de los términos de la función):
s(x) (2 6x) (3x 1) 2 6x 3x 1 . Agrupando entonces los términos semejantes, tendremos:
s(x) 2 6x 3x 1 3x 3 s(x) 3x 3 Lo cual será el resultado final, que muestra que si intercambiamos el orden de los elementos de la resta, el resultado no es el mismo:
r(x) 3x 3 s(x) 3x 3 Lo que nos lleva a afirmar que la resta de funciones no es conmutativa, es decir:
f (x) g(x) g(x) f (x) EJEMPLO 37. Si cada una de las siguientes funciones se definen como
F1 (x) 2x 3 8x 2 5x 1 y F2 (x) 10x 2 5x 6 , entonces ¿cuál será el resultado de
F1 F2 (x) ?
De manera similar a los ejemplos anteriores, realizar la resta de estas funciones
es
el
equivalente
de
conjuntar
cada
valor
quitando
los
paréntesis y agrupando los términos similares. Una diferencia para este caso es la notación, la cual puede entenderse:
F1 F2 (x) F1 (x) F2 (x) De esta manera, prosiguiendo con la mencionada metodología, escribimos:
F1 (x) F2 (x) 2x 3 8x 2 5x 1 10x2 5x 6
40
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Que a su vez, es:
2x
3
8x2 5x 1 10x 2 5x 6 2x3 8x2 5x 110x2 5x 6
Acomodando y agrupando los términos semejantes:
2x3 8x 2 10x 2 5x 5x 1 6 2x3 2x 2 10x 7 Teniendo como resultado final:
F1 F2 x 2x3 2x2 10x 7 Ejemplo
38.
¿Es
posible
realizar
la
resta
de
dos
funciones
que
son
dependientes de dos variables diferentes?
Para
responder
a
esta
pregunta,
podemos
definir
dos
funciones
cualesquiera, haciendo dependientes a cada una de ellas de variables diferente, por ejemplo:
s( x) 6x , t( y) 2 y Lo cual no puede realizarse porque, entre otras razones:
s(x) t( y) s t x y
EJEMPLO 39. De acuerdo a las funciones: v(x) 2x 5, w(x) 6x 1. Comprobar si la siguiente igualdad es verdadera
v(x) w(x) w(x) v(x) Primero, puede desarrollarse el lado izquierdo de la igualdad:
v(x) w(x) (2x 5) (6x 1) 2x 5 6x 1 v(x) w(x) 8x 6 Por
otro
lado,
el
lado
derecho
de
la
igualdad
nos
proporciona
resultado:
w(x) v(x) 6x 1 2x 5 6x 1 2x 5
w(x) v(x) 8x 6 8x 6
Lo cual nos proporciona una evidencia de que la igualdad es verdadera.
41
el
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
EJEMPLO 40. Realizar la diferencia entre las funciones:
u51 u F (u) 3u 12 uu 8 R(u) 5u (2u) 8u u(3u) & 2 u u 2 2
3
Este ejemplo, es retomado de uno de los ejercicios resueltos de las sumas de funciones, por lo que omitiremos los desarrollos para cada una de las funciones, puesto que son los mismos, es decir que por un lado:
R(u) 5u (2u) 2 8u 3 u(3u) 5u 4u 2 8u 3 3u 2 Y de manera semejante:
u5 1 u F (u) 3u 12 uu 8 2 3u 12 u 2 4u 3 4u 3 u 2 3u 12 u u 2 Por lo que ahora nos corresponde, la resta de las funciones, una vez que ya se han abreviado, serán con
P u 8u 3 1u 2 5u, F (u) 4u 3 u 2 3u 12 de
la siguiente manera:
P u F (u) 8u 3 1u 2 5u 4u 3 u 2 3u 12 Quitando los paréntesis y agrupando los términos semejantes:
P(u) F (u) 8u 3 1u 2 5u 4u 3 u 2 3u 12 8u 3 4u 3 1u 2 u 2 5u 3u 12 Teniendo como resultado final:
P(u) F (u) 4u 3 2u 12
EJEMPLO 41. Definiendo las funciones siguientes:
Q(t)
t 2 , R(t) 3t 2 y t2
S (t) t 2 , realizar la resta U (t) Q(t) R(t) S (t)
Para realizar esta resta, se procede primeramente a realizar la resta que se encuentra agrupada en el paréntesis cuadrado:
R(t) S (t) 3t 2 2 t 2 3t 2 2 t 2 3t 2 t Ahora bien, retomando la resta completa, podemos expresarla como
t 3t 2 U (t) Q(t) R(t) S (t) t t 2 Observe que se han sustituido los valores que equivalen a la función
42
Q t
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
y a la resta de
R(t ) S (t ) ;
solo que a esta última por ser la parte del
sustraendo, se le antepone en la resta completa el signo de menos, lo que nos lleva al realizarla, quitando los paréntesis, a aplicar la ley de los signos,
como
ya
hemos
descrito,
para
finalmente
agrupar
términos
semejantes, es decir: t t 2 U (t ) 3t t 3t 2 t t2 t 2
Que una vez desarrollado nos dará el resultado completo:
U (t)
t 3t 2 t t 2
t 1 t 2 3t 2 t 2 t t 2
t 3t 3 6t 2 t 2 2t t 2
t 3t 3 6t 2 t 2 2t t 2
EJEMPLO 42. Si retomamos los valores de las funciones definidas en el problema anterior (40), ¿será cierto que
Q(t) R(t) S (t) Q(t) R(t) S (t) ? Como
ya
hemos
realizado
la
parte
izquierda
de
la
igualdad, podemos
desarrollar la parte derecha de la misma, de manera que si llegamos al mismo resultado, la igualdad será válida. Realizando entonces primeramente la resta del paréntesis cuadrado:
t 2 3t 2 t 2
Q(t ) R(t )
Lo que desarrollado nos dará como resultado:
t t 3t 3 6t 2 t 4 2 2 Q(t) R(t) 3t 2 3t 2 t 2 t 2 t 2 Completando ahora la operación deseada tendremos:
3t 3 6t 2 t 4 Q(t) R(t) S (t) t 2 t 2 Quitando
los
paréntesis y
realizando
suma:
43
las
operaciones
finalmente como
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Q(t) R(t) S (t) Como los resultados
3t 3 5t 2 t 8 3t 3 6t 2 t 4 t 2 t2 t2
son diferentes, podemos responder que “no” a
la
pregunta realizada, o bien afirmar que
Q(t) R(t) S (t) Q(t) R(t) S (t) EJEMPLO 43. ¿Será cierto que F (x) F (x) 0 ?
Esta propiedad de la resta, se puede comprobar si proponemos una función cualquiera como
F (a) . Un buen ejemplo puede ser un polinomio de tercer
grado:
F (x) 3x3 2x 2 8x 3 De esta manera, si realizamos la resta de las funciones ahora propuestas, tendremos:
F (x) F (x) 3x3 2x2 8x 3 3x3 2x2 8x 3 Ahora bien, si desarrollamos la resta como tal, procedemos primeramente a quitar los paréntesis:
F (x) F (x) 3x3 2x 2 8x 3 3x3 2x 2 8x 3 Agrupando términos semejantes:
F (x) F (x) 3x3 3x3 2x 2 2x 2 8x 8x 3 3 0 Lo cual demuestra que es cierto que
F (x) F (x) 0 EJEMPLO 44. ¿Cuál es el resultado de la operación R(x) G(x) P( y) , dadas:
3x 8 2 G( x) 62 y P( y) 2 y 5 y 8? x Como puede observarse, cada una de diferentes variables, entonces no
es
definida, pues:
G(x) P( y) G P x G P y
Producto de funciones
44
las funciones está posible la
resta
definida como
para
operación
[Análisis derivativo de funciones]
CONALEP-2011
EJEMPLO 45. Dadas las funciones f (x) 2x 6
y la función g(x) 2x 8x 1; 2
calcular: R(x) f (x) g(x) .
Realizar el producto de dos funciones diferentes, conlleva al proceso de realizar el producto mismo de sus valores, es decir que para este caso propuesto tendremos el producto de los polinomios indicados:
R(x) f (x) g(x) 2x 6 2x 2 8x 1 Lo
cual
se
lleva
a
cabo
multiplicando
cada
uno
de
los
términos
algebraicos del primer factor por los del segundo, es decir:
R(x) 2x 6 2x 2 8x 1 2x 2x 2 8x 1 6 2x 2 8x 1 R(x) 4x3 16x2 2x 12x 2 48x 6 4x3 16x2 2x 12x2 48x 6 R(x) 4x3 16x 2 2x 12x 2 48x 6 4x3 4x 2 46x 6 Siendo este último el resultado final.
EJEMPLO 46. De acuerdo a las funciones: Desarrollar:
2 1 v( x) x 5 y w( x) x 1 3 6
v( x) w( x)
Igual que en el caso anterior, realizar este producto se concreta con el producto de los polinomios respectivos (binomios para nuestro caso), es decir:
v( x) w( x) 3 x 5 6 x 1 2
1
Por lo que el desarrollo se puede expresar como
2 1 2 1 x x x 1 5 x 5 1 3 6 3 6
v(x) w(x)
Quitando los paréntesis tendremos:
v(x) w(x)
2 2 2 5 2 2 5 x x x 5 x 2 x x 5 18 3 6 18 3 6
Es decir que, agrupando los términos comunes el resultado será:
v( x) w(x) 1 x2 3 x 5 9
2
45
[Análisis derivativo de funciones]
CONALEP-2011
EJEMPLO 47. Definiendo las funciones siguientes
Q(t)
t 2 , R(t) 3t 2 y t2
S (t) t 2 , realizar el producto U (t) Q(t) R(t) S (t)
Este
producto, se
realiza
primeramente
desarrollando el
producto
que
indican los paréntesis rectangulares, es decir:
R(t) S (t) 3t 2 2 t 2 3t 3 6t 2 2t 4 El resultado anterior se multiplica con el valor de la función
t 3 Q(t) R(t) S (t) 3t 6t 2 2t 4 t 2
Q(t) :
El desarrollo de este producto, será entonces:
3t 4 6t3 2t 2 4t t 3 2 Q(t) R(t) S (t) 3t 6t 2t 4 t 2 t 2 El
anterior
puede
tomarse
como
el
resultado,
sin
embargo
una
factorización del numerador puede mostrarnos un resultado más elegante:
3t 4 6t3 2t 2 4t Q(t) R(t ) S (t ) t2 EJEMPLO
48.
Definiendo
las
mismas
funciones
que
en
el
ejemplo
anterior(45), ¿será cierto que Q(t) R(t) S (t) Q(t) R(t) S (t) ?
Como ya se ha desarrollado la parte izquierda de la igualdad sugerida, procedemos a desarrollar la parte derecha. Igual que el desarrollo del ejemplo anterior, primeramente desarrollamos el producto indicado en el paréntesis:
Q(t) R(t)
t 2 3t 2 t 2
El desarrollo de este producto es:
t 2 3t 3 2t 3t 2 t 2 t 2
Q(t) R(t)
Ahora bien, retomando el producto completo, podemos expresarlo como
3t 3 2t t 2 t 2
Q(t) R(t) S (t)
46
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Que
una
vez
desarrollando
y
agrupando
sus
términos
semejantes,
nos
proporciona el resultado:
Q(t) R(t) S (t)
3t 4 6t3 2t 2 4t t2
Al igual que en el ejercicio anterior, se puede expresar su resultado de una manera simplificada como factores del numerador, quedando finalmente:
Q(t) R(t ) S (t)
3t 4 6t3 2t 2 4t t2
Como puede observarse, este resultado es el mismo que el del ejercicio anterior, lo cual nos lleva a afirmar que
Q(t) R(t) S (t) Q(t) R(t) S (t)
EJEMPLO
49.
¿Es
posible
realizar
el
producto
de
G( x)
3x 8 6
y
P( y) 2 y 2 5 y 8 Como puede observarse, cada una de
las funciones está
definida para
diferentes variables. Como el producto de funciones está definido como
G(x) P(x) G P x Entonces no es posible el producto como operación definida, pues:
G(x) P( y) G P x G P y
Cociente o división de funciones EJEMPLO
50.
Dadas
calcular: R( x)
las
f (x) 2x 6
funciones
y
g(x) 2x 2 8x 2 ;
f ( x) . g ( x)
Lo primero que debe realizarse, es la sustitución de los valores de las funciones en el cociente propiamente dicho. Esto se expresa:
R( x) Este
puede
ser
ya
el
2x 6 f ( x) g ( x) 2x 2 8x 2 resultado
de
la
división,
sin
embargo,
manipulación algebraica puede exhibir un resultado más sintetizado:
47
una
CONALEP-2011
R( x)
[Análisis derivativo de funciones]
2 x 3 f ( x) 2x 6 x3 2 2 g ( x) 2x 8x 2 2 1x 2 4x 1 1x 4x 1
De esta manera, tendremos como resultado final:
R( x) EJEMPLO
51.
De
x3 x 4x 1 2
acuerdo
Desarrollar:
v( x) w( x)
Sustituyendo
el
valor
a
de
las
cada
una
de
2x 3 8
y
funciones
en
v( x)
funciones
las
w( x)
el
7x 1 6 x
cociente,
podemos comenzar el desarrollo de la misma. De esta manera:
2x 3 v( x) 2x 3 7x 1 8 w( x) 8 6 x 7x 1 6 x Como puede observarse, realizar esta operación conlleva a la división a su vez de dos cocientes. Esta operación puede realizarse con el método de los
productos
cruzados,
o
bien,
una
vez
acomodados
en
un
divisor
principal, realizando la ley de la herradora. A continuación se muestra cada uno de los desarrollos dentro de la igualdad:
2x 3 6 x v( x) 2x 3 7 x 1 w( x) 8 6 x 8 7 x 1 v( x) w( x)
2x 3 8 2x 3 6 x 7x 1 8 7 x 1 6 x
De esta manera, desarrollando el producto de numerador y denominador independientemente del método escogido, tendremos:
v( x) 2x 3 6 x 12x 2x2 18 3x w(x) 56x 8 8 7 x 1 Agrupando términos semejantes nos daría como resultado final:
v( x) 2x 2 15x 18 w( x) 56x 8 No hay que perder de vista que en el desarrollo de las divisiones y multiplicaciones,
se
deben
considerar
48
los
signos
para
aplicar
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
precisamente la ley de los signos. Para el presente ejemplo, el resultado (que es un cociente) tiene un signo negativo, pues al haber dividido una función positiva con una negativa, la función resultante es negativa. Podemos además expresar el resultado sin el signo negativo, esto es: aplicando
el
signo
al
numerador
resultante, es decir:
2x 15x 18 v( x) w( x) 56x 8 2
2x 2 15x 18 56x 8
o
al
2x
denominador
de
la
función
15x 18 56x 8 2
2x 2 15x 18 2x 2 15x 18 2x 2 15x 18 v(x) w( x) 56x 8 56x 8 56x 8 En ambos casos anteriores, el resultado es el mismo.
EJEMPLO
52.
Definiendo las
funciones
siguientes:
, R(t )
Q(t ) t
t2 t
t2
realizar el cociente U (t )
El
cociente que
desarrolla
se
Q(t ) R(t )
pide,
sustituyendo
al
los
igual
valores
que de
en
los
casos
cada
una
de
anteriores
las
se
funciones y
realizando las operaciones indicadas. Para este caso, podemos escribir: t Q(t ) t 2 t t t2 U (t ) R(t ) t 2 t 2 t 2 t 2 2 t
EJEMPLO 53. ¿Es cierto que
Como
puede
observarse,
f x 1 ? Considere f x
desarrollar
esta
f x 5x 2 1
división
puede
llevarnos
al
resultado trivial de la unidad, por lo que para justificarlo, sustituimos el valor propuesto en la división para corroborarlo. Así escribimos: f x f x
5x 1 1 5x 1
EJEMPLO 54. ¿Es posible realizar el cociente de G(x) 5x 8 y P(x) 0 ? 2
Esta división no es aritméticamente posible, puesto que cualquier número o variable (incluyendo al cero), no puede ser dividido entre cero y
49
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
darnos un resultado posible. Aunque en teoría este resultado es infinito (o
un
número
muy
grande),
el
número
infinito
no
está
definido.
Simplemente: el infinito puede ser un uno con noventa y nueve ceros, o un uno
con
cien
ceros.¿Hay
alguna
diferencia
o
ambas
cantidades
son
iguales?
f x 0
?
Potencia de funciones EJEMPLO 55. Elevar a la potencia 3 la función:
f ( x) 3x 2
Elevar a una potencia equivale a multiplicar por ella misma el número de veces que la potencia lo indique. Para este caso, elevar al cubo esta función equivale a multiplicarla por si misma tres veces, es decir:
f (x)
3x 2
3
3
El desarrollo de este producto equivale a realizar el producto:
3x 2
3
3x 2 3x 2 3x 2
Para llevar un proceso similar al del producto (que ya hemos descrito), la potenciación puede realizarse primeramente con el producto de 2 de los factores y el resultado de nueva cuenta por el factor mismo; es decir:
3x 2
3
3x 2 9x 2 12x 4 3x 2 3x 2 3x 2
El desarrollo de estos dos nuevos factores será entonces:
9x
2
12x 4 3x 2 27x3 54x2 36x 8
Teniendo entonces como resultado:
f (x)
3
27x3 54x 2 36x 8
EJEMPLO 56. Realizar la operación:
p( x) w(x) , definiendo w( x) 2
x 1 2
De manera similar que en el ejemplo anterior, definimos la potencia como el producto de la misma función dos veces para esta ocasión. En otras palabras:
50
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
x 1 x 1 x 1 p( x) 2 2 2 2
Considerando que la función tiene signo negativo, el producto considera las leyes de los signos, lo cual nos dará de entrada un signo positivo (dado que menos por menos es más). Siendo la función una fracción, el producto
se
realiza
igual
que
lo
indica
el
producto
de
números
racionales: numerador por numerador y denominador por denominador. De esta forma tendremos:
x 1 x 1 x 1 x 1 p( x) 2 2 2 2 Teniendo como resultado final:
x 1 p( x) 2 2
2
x 2 2x 1 4
EJEMPLO 57. ¿Cuál será el resultado de la siguiente operación:
y 3t 2
?
2 3
Esta potenciación es en realidad una potencia de otra, para lo cual el proceso
para
un
desarrollo
menos
laborioso, consiste
primeramente
en
desarrollar la potencia de la potencia. Esto se hace recordando la regla
algebraica para tal fin, la cual nos dice: x a
b
x ab
De manera que para este caso, podemos aplicar esta regla para simplificar el desarrollo en una sola potencia, es decir:
y 3t 2
2 3
3t 2
23
y 3t 2
6
El desarrollo ahora de la potencia del binomio puede realizarse por pares para optimizar un poco los cálculos. Así entonces:
y 3t 2 3t 2 3t 2 3t 2 6
2
2
2
Cada cuadrado sería:
3t 2
2
9t 2 12t 4
51
[Análisis derivativo de funciones]
CONALEP-2011 De
manera
que
el
producto
de
los
dos
primeros
cuadrados
puede
reescribirse como
9t
2
12t 4 9t 2 12t 4 81t 4 216t 3 216t 2 96t 16
Y si tomamos los dos primeros factores ya desarrollados, solo restaría multiplicar este resultado por el último cuadrado, es decir:
y 9t 2 12t 481t 4 216t 3 216t 2 96t 16
Que finalmente nos dará como resultado
y 729t 6 2916t 5 4860t 4 4320t 3 2160t 2 576t 64 EJEMPLO 58. ¿Cuál será el resultado de la siguiente operación:
f x 5x 1 2
1 2 2
?
Siguiendo con la metodología descrita en el ejercicio anterior, elevar esta potencia de un binomio al cuadrado y esa a su vez a la potencia de un medio (1/2), puede desarrollarse como
f x 5x 1 2
1 2 2
5x 1 2
2
1 2
2 2
5x 1 5x 2 1 5x 2 1 2
1
Es decir, el resultado es la misma base
f x 5x 1
EJEMPLO
59.
¿Es
posible
2
1 2 2
5x 2 1
expresar
de
manera
distinta
G(x) sin x ? 2
Esta expresión es una conocida identidad, expresada como
sin x
2
sin 2 x 1 cos 2 x
Por lo que la expresión puede expresarse como
G(x) sin 2 x 1 cos2 x
52
la
función
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Inversión de funciones EJEMPLO 60.Invertir la función:
f ( x) 3x 2
Para invertir esta u otra función, es necesario primero igualarla a y, es decir:
f (x) y 3x 2 El siguiente paso es despejar la función para que esta quede en función de x, lo cual nos resultaría para nuestro caso:
y 3x 2
x
y2 3
Luego, debe de hacerse un cambio de variable, es decir: intercambiar las variables que para nuestro caso, son x y y. De esta forma tenemos que
x
y2 x2 x2 y f ( x) 3 3 3
Este concepto puede verificarse con los trazos gráficos:
Como puede observarse, estas dos funciones son una la imagen de la otra, o bien, trazando la función
y f (x) x , (la cual es una recta de 45o)
esta sirve como un espejo que refleja ambas funciones.
Ejemplo 61. Encontrar la función inversa de
w( x)
x 1 2
Similarmente al ejemplo anterior, la inversión de esta función se logra primeramente igualando la función a la variable y:
53
[Análisis derivativo de funciones]
CONALEP-2011
w( x) y
x 1 2
Después, despejamos la variable x:
y
x 1 , x 2 y 1 2
Por último, cambiamos las variables:
y 2x 1 Que nos exhibe finalmente la función inversa. Podemos visualizarlo con las gráficas de ambas ecuaciones:
EJEMPLO 62. Definida la función: de la operación: z f
La función
1
y f ( x) x3 1 , ¿Cuál será el resultado
(x) ?
f (x) x3 1 se invierte siguiendo las descripciones anteriores,
primeramente igualando la función con la variable y:
y x3 1 Ahora, despejando la variable x, tendremos:
x
3
y 1
Finalmente, intercambiando variables:
y 3 x 1
54
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Que sería la función inversa, pudiendo entonces escribir:
f 1 (x) 3 x 1 ,
z
3
x 1
La gráfica de esta función puede bien mostrar esta inversión:
Ejemplo 63. ¿Cuál es la función inversa de la función:
Siguiendo
con
ejercicios
la
metodología
anteriores,
el
descrita
primer
paso
en
todos
es
igualar
g x
y
cada la
2 ? x 3 uno
función
de
los
a
una
variable distinta:
g x h
2 x3
Después, se despeja la función dependiente:
x
3h 2 h
Y finalmente, se intercambian las variables:
h
3x 2 x
Ahora bien, para la función original y para la función invertida, debemos de considerar que existen restricciones: la función no estará definida en ciertos valores de x. Por ejemplo, la función original no está definida si
x 3 , puesto que este valor hará que el denominador tenga como valor
el cero y como se recordará, la división entre cero es una operación aritmética no definida. Por otro lado, la función h, tiene como numerador directamente a la variable independiente, es decir, cuando la variable x vale
cero,
la
función
no
está
definida.
Podemos
observar
condiciones en un bosquejo de la gráfica de ambas funciones:
55
estas
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Ejemplo 64. ¿Es posible invertir la función G( x) sin(x) ?
La función sin(x), en el momento de ser igualada a la función y nos proporciona la función seno, es decir:
y sin( x) Ahora bien, despejando la variable “x” de esta función, tendremos que
x sin 1 ( y) Intercambiando las variables, tendremos:
y sin 1 ( x) La cual por definición es una función que solo está definida en los valores de
r
hasta
r ; por lo tanto esta función tiene un rango
diferente a su función original, lo que por definición convierte a la función original sin(x) en una función que no es invertible. La siguiente figura muestra la inversión de los valores descritos
56
[Análisis derivativo de funciones]
CONALEP-2011
Composición de funciones La composición de funciones es otra operación entre funciones que se base en aplicar una función en otra en un orden determinado, dicho resultado es también una función18,19. Dadas dos funciones
y
, se llama función compuesta
a la función definida de la
siguiente forma: Se lee:
o también
g
El dominio de
f
es el conjunto de toda
del dominio de
, tal que
está en el
dominio de . La función composición tiene las siguientes propiedades: (asociativa) (no es conmutativa)
Ejemplo
65.
Dadas
las
funciones
y
,
determinar
.
( (
)
) (
) (
)
Ejemplo 66. Dadas las funciones
y
.
(
) 14
57
, determinar:
CONALEP-2011
(
(
[Análisis derivativo de funciones]
)
)
Ejemplo 67. Determinar √
para
las siguientes funciones
.
√ (√ )
Ejemplo 68. Determinar
√
para las siguientes funciones:
.
Ejemplo 69. Determinar
para las siguientes funciones:
.
(
)
(
)
Ejemplo 70. Determinar
(
)
(
)
(
)
(
)
para las siguientes funciones:
√ .
(
√ )
(
√ ) √
58
√
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Ejemplo 71. Determinar
, dada
Ejemplo 72. Determinar
, dada
.
.
1.5. Discusión de ecuaciones Discutir una ecuación algebraica representada por una expresión en dos variables de forma f ( x, y) =0, significa analizar algunos pasos que nos permitan conocer aspectos importantes de la ecuación y con esto poder trazar su gráfica con alguna precisión de una manera relativamente sencilla. Los pasos por analizar los pondremos en forma de listado como sigue20: 1. Extensión. 2. Intersecciones: con el eje X y con el eje Y. 3. Simetrías: con el eje X, con el eje Y, con el origen de coordenadas. 4. Asíntotas: horizontales y verticales. 5. Tabulación. 6. Gráfica. Expliquemos cada paso: 1. Extensión: La extensión de una curva f ( x, y) =0, trata la determinación de los intervalos de variación para los cuales los valores de x y y son valores reales, esto nos ayuda para la localización de la curva en el plano coordenado y además, poder saber si se trata de una curva cerrada o de extensión indefinida. Los intervalos de variación se determinan despejando y en términos de x, y luego despejando x en términos de y, determinando así el dominio y el rango de la ecuación f ( x, y) =0. 2. Intersecciones: Con el eje X y con el eje Y. Recordando que todo punto que se localice sobre el eje X tiene coordenadas ( x ,0) donde x , y todo punto sobre el eje Y tiene coordenadas ( y ,0) donde y , recordar que esto nos permite obtener las intersecciones de la gráfica de la ecuación con los ejes coordenados, procediendo como sigue: a) Con el eje X: en la ecuación dada, sustitúyase 0 (cero) en la variable y, y resuélvase para x. b) Con el eje Y: en la ecuación dada, sustitúyase 0 en la variable x y resuélvase para y
59
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Es conveniente aclarar que algunas ecuaciones pueden tener uno, varios, o ningún punto de intersección con los ejes. 3. Simetría: Con el eje X, con el eje Y, con el origen de coordenadas. Una curva es simétrica respecto a una línea recta, si cada punto de la curva tiene su simétrico con respecto a la recta. Con el eje X: si en la ecuación dada (la original) se sustituye la y por la –y, y esta no cambia respecto a la original, entonces la curva dada es simétrica respecto al eje X, si cambia, entonces no hay simetría con el eje X (ya que los puntos de coordenadas son simétricos respecto al eje X. ( x, y) y ( x, y) con x , y Con el eje Y: si en la ecuación dada (la original) se sustituye la x por la -x y esta no cambia respecto a la original, entonces la curva dada es simétrica respecto al eje Y, si cambia, entonces no hay simetría con el eje Y (ya que los puntos de coordenadas son simétricos respecto al eje Y. ( x, y) y (x, y) con x , y Con el origen de coordenadas: si en la ecuación dada (la original) se sustituye la x por la -x y la y por la –y, y esta no cambia respecto a la original, entonces la curva dada es simétrica respecto al origen de coordenadas, si cambia, entonces no hay simetría respecto al origen (ya que los puntos de coordenadas ( x, y) y (x, y) con x ,
y
son simétricos con respecto al origen de coordenadas).
Cuando hay simetría respecto a los dos ejes, también habrá simetría respecto al origen y hay que investigarlo. 4. Asíntotas: horizontales, verticales.
Si la distancia
d entre un punto P que se mueve a lo largo de una
curva respecto a una línea recta, se hace cada vez más pequeña sin que llegue a tocar la recta, dicha recta es asíntota de la curva.
60
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Trataremos algunas reglas para determinar asíntotas cuando se tiene ecuaciones algebraicas de la forma
;
donde f ( x) y g ( x) son polinomios en x
√
distintos de cero, tienen asíntotas horizontales y verticales21. 1a Regla: Si los polinomios y son de igual grado, al efectuar la división, el cociente k es la asíntota horizontal , e igualando a cero el polinomio del denominador asíntotas verticales:
y resolviendo para x, se obtendrán las
f x r x k g x g x
a 2 Regla: Si el polinomio del numerador f ( x) es de menor grado que el del
polinomio del denominador
g ( x) , la asíntota horizontal es el eje x cuya ecuación es y 0 , e igualando a cero el polinomio del denominador g( x) 0 y resolviendo para x , se obtendrán las asíntotas verticales. 3a Regla: Si el polinomio del numerador f ( x) es de grado mayor que el del polinomio del denominador
g ( x) , entonces no existe asíntota horizontal o
serán de otra forma. En lo que respecta a las asíntotas verticales si las hay, su tratamiento es similar a las reglas anteriores. 5. Tabulación: Para la tabulación de datos se realizaran de acuerdo con los valores del dominio y rango. 6. Gráfica: Con toda la información obtenida en los 5 puntos anteriores, se procede a graficar la ecuación original.
EJEMPLO 73. Discutir; 1. Extensión. Despejando
y en términos de x se tiene:
3x 6 y . 2 Despejando x
x
en términos de y se tiene:
2y 6 . 3
Los valores permisibles
son:
Dominio , . Rango
, .
2. Intersección. Con el eje Y: Si x 0 ;
y
3(0) 6 6 3 ; en y 3; P1 0, 3 . 2 2
61
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Con el eje X: Si y 0 ; x 2(0) 6 6 2 ; en 3 3
; P2
2, 0
3. Simetrías. – se
Con el eje X: Sustituyendo en la ecuación original la tiene:
y
3x 6 2
y
3x 6 2
Cambió respecto a la ecuación original,
simetría con el eje X. – ;
Con el eje Y:
y
3x 6 Cambió 2
no hay
y
3( x) 6 2
respecto
a
simetría con el eje Y. Con el origen de coordenadas:
la
ecuación – ,
original,
no
–
3x 6 . 2 3x 6 y Cambió, no hay simetría con el origen. 2
y
4. Asíntotas: Horizontales: No hay asíntota. Verticales: No hay asíntota 5. Tabulación. De acuerdo con el dominio, se dan los siguientes valores para x:
x y
-5 1.8
-2 3
-1 5
6. Gráfica.
62
1 -3
2 -1
hay
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
EJEMPLO 74. Discutir; 1. Extensión. Despejando y en términos de x se tiene:
x x 1
y
y(x 2 1) x ;
2
x 2 1 0
Igualando a cero el denominador: Factorizando: x 1 x 1 0
x 1 x 1 0 ; x 1 0 ; 1,1 , 1 1,1 1,
Igualando a cero cada factor: Dominio
x 1
2. Intersección. Con el eje Y: Si Con el eje X: Si y 0 ;
0
x 0;
y
0
0
2
1
; P1 0, 0
x ; x 0 ; P1 0, 0 x 1 2
3. Simetrías. Con el eje X. Sustituyendo en la ecuación original la tiene:
y
x cambió x 1 2
respecto
a
la
simetría con el eje X. Con el eje Y:
y
x Cambió x 2 1
y
– ;
respecto
a
simetría con el eje Y. Con el origen de coordenadas:
y y
ecuación
–
se
original,
luego
no
hay
original,
luego
no
hay
x
x
la
2
1
ecuación – ,
–
x ; x 2 1
x No cambió, sí hay simetría con el origen. x 1 2
Asíntotas. Horizontales: Por la segunda Regla, la asíntota horizontal es el eje X.
63
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
y 0, es la ecuación de la asíntota horizontal. Verticales: Igualando a cero el denominador
x 2 1 0 ; factorizando:
x 1 x 1 0 ;
x 1 0 ; x 1 x 1 0 ; x 1 Las ecuaciones x 1 y x 1 son las asíntotas verticales. 4. Tabulación. De acuerdo con el dominio, se dan los siguientes valores para x:
x
-3 -0.38
y
-1.1 -5.24
-0.9 4.74
0 0
0.9 -4.74
1.5 1.2
3 0.38
5. Gráfica.
EJEMPLO 75. Discutir;
1. Extensión.
Despejando y en términos de x se tiene: y 25 x 2 . Es necesario para que y tenga un valor dentro de los reales, que x 25 5 x 5 . Valores que se encuentren fuera, entre -5 y 5 propiciarían soluciones complejas, por lo tanto el dominio de la ecuación es: 2
Dominio
5, 5
Despejando x
y se tiene: x
en términos de
para que x tenga un valor dentro de
los reales, que
5 y 5 . Análogo a lo anterior el rango de la ecuación es: Rango 5, 5
Intersección. Con el eje Y: Si
x 0 ; y 25 (0)2 ; en y 5 ;
64
25 y 2 . Es necesario y 2 25
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Con el eje X: Si y 0 ;
x 25 (0)2 ; en
,
P3 5, 0 P4 5, 0 2. Simetrías. Con el eje X:
Sustituyendo en la ecuación original la
– se
tiene: y 25 x . 2
y 25 x 2 ;al resolver la ecuación tendremos dos soluciones del mismo valor pero con signos contrarios por lo que al multiplicarlos por el signo menos, los resultados serán los mismos, por lo que si hay simetría con el eje X Con el eje Y:
– ; x
25 y 2 .
x 25 y 2 Análogo a lo anterior, también hay simetría con el eje Y. Con el origen de coordenadas:
y 25 (x)2 y 25 (x)2
– ,
–
sí hay simetría con el origen.
3. Asíntotas. Horizontales: No hay asíntotas. Verticales: No hay asíntotas. 4. Tabulación. De acuerdo con el dominio, se dan los siguientes valores para x: x -5 -2 0 2 5 y 0 4.58 5 4.58 0
5. Gráfica.
65
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
EJEMPLO 76. Discutir:
x 2 12x 4 y 12 0
1. Extensión. Despejando y en términos de x se tiene: y
( x 2 12x 12) . 4
Dominio (, ). Despejando x en términos de y se tiene: completando el cuadrado de la
x 2 12x 4 y 12 ; x 2 12x 36 4 y 12 36 ;
ecuación:
x 6 4 y 24 ; x 24 4 y 6 . 2
Podemos observar que los términos de la raíz resultan negativos cuando y 6 , por lo que el rango de la ecuación es:
.
Rango , 6
2. Intersección. Con el eje Y: eje X: Si y 0 ;
( x 2 12x 12) ; en y=-3; P3 0, 3 . Con el Si x 0 ; y 4
x 24 4 y 6 ; en x 1.1 ; x 10.89
P1 (1.1, 0)
P2 10.89, 0
3. Simetrías. –
se
( x 2 12x 12) ; Cambió respecto a la ecuación original, 4
no
Con el eje X: (
tiene:
y
Sustituyendo en la ecuación original la )
hay simetría con el eje X. Con el eje Y:
– ; x
24 4 y 6
x 24 4 y 6 ; cambió respecto a la ecuación original, simetría con el eje Y. Con el origen de coordenadas:
– ,
–
( x 2 12( x) 12) 4 2 ( x 12x 12) cambió, no hay simetría con el origen. y 4
y
66
no hay
[Análisis derivativo de funciones]
CONALEP-2011
4. Asíntotas. Horizontales: No hay asíntotas. Verticales: No hay asíntotas. 5. Tabulación. De acuerdo con el dominio, se dan los siguientes valores para “ x ”:
x y
-4 -19
0 -3
1.1 0
5.5 5.93
10.89 0
13 -6.25
16 -19
6. Gráfica.
EJEMPLO 77.Discutir; 1. Extensión. Despejando y en términos de
x se tiene:
y
x4 . x
Igualando a cero el denominador: x 0. Los valores permisibles para son todos los reales excepto cero. Dominio
0 , 0 0, .
2. Intersección. Con el eje Y: Si
x 0; y
04 ; 0
No hay. Con el
eje X: Si
y0
;
3. Simetrías. Con el eje X: Sustituyendo en la ecuación original se tiene
y
x4 cambió, no hay x
simetría con el eje X.
67
CONALEP-2011 Con el eje
y
[Análisis derivativo de funciones] y
Y: sustituimos y por –y;
x 4 x
x4 cambió respecto a la ecuación original, no hay simetría x
con el eje Y. Con el origen de coordenadas:
y
– ,
–
x4 cambió, no hay simetría con el origen. x
4. Asíntotas. Horizontales: Por la primera regla, haciendo la división:
y
x4 4 1 x x
y 1 es la ecuación de la asíntota horizontal. Verticales: Igualando a cero el denominador de la asíntota vertical (es el eje Y).
x 0 ; es la ecuación
5. Tabulación. De acuerdo con el dominio, se dan los siguientes valores para x:
x y
-5 1.8
-2 3
-1 5
6. Gráfica.
EJEMPLO 78.Discutir:
68
1 -3
2 -1
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
1. Extensión.
28 27 ; obsérvese que x los términos de la raíz se hacen infinitos cuando x 0 ; por lo que Dominio 0 (, 0) 0, . Despejando y en términos de x se tiene:
Despejando x
en términos de y se tiene:
y
3
28 . y 27
x
3
Nótese que la expresión se vuelve infinita cuando el denominador de la ecuación sea cero y para que esto suceda, el valor de y debe ser -3, por lo que el rango nos queda: rango , 3 3, . 2. Intersección. Con el eje Y: Si
x 0; y
3
28 27 ; en 0
; no hay intersección
con el eje Y. Con el eje X: Si y 0 ;
x
28 ; (0)3 27
en x=1.03;
P1 1.03, 0 .
3. Simetrías. Con el eje X: Sustituyendo en la ecuación original
y – se tiene:
La
y 3
3
28 27 x
28 27 ; Cambió respecto a la ecuación original, x
no hay
simetría con el eje X. por
Con el eje
x
Y:
28 ; y 27 3
x x;
x
Cambió respecto a la ecuación original,
simetría con el eje Y. Con el origen de coordenadas:
3
28 27 x
y 3
28 27 x
y
28 y 27 3
– ,
–
cambió, no hay simetría con el origen.
4. Asíntotas.
69
no hay
CONALEP-2011 Horizontales:
y 3 27
[Análisis derivativo de funciones] Por
la
primera
Regla,
partiendo
de
la
ecuación:
3 28 y 3 , y 27 ; x
es la ecuación de la asíntota horizontal. Verticales: Igualando a cero el denominador de la asíntota vertical (es el eje Y)
x 0 ; es la ecuación
5. Tabulación. De acuerdo con el dominio, se dan los siguientes valores para x: x -2 -1 -0.5 0.5 1.037 2 4
y
-3.44
-3.8
-4.36
3.07
0
-2.35
-2.71
6. Gráfica.
1.6. Modelación de funciones. Ejemplo 79. Un terreno rectangular tiene un perímetro de 80 m. Se desea expresar el área en función de uno del lado más largo (base).
Un buen comienzo para el planteamiento de este problema, es realizar un dibujo que represente lo más posible al problema planteado, con todas las representaciones de sus variables. De esta manera, podemos expresar en un bosquejo un dibujo como el siguiente:
70
CONALEP-2011
De acuerdo
a
la
[Análisis derivativo de funciones]
figura,
podemos
expresar
el
área
del
rectángulo
en
función de la base o de la altura, es decir:
A(b, h) b h Por otro lado, un cálculo que puede ser también útil es la función del perímetro, que se escribiría:
P(b, h) b b h h 2b 2h Como
conocemos
el
valor
del
perímetro,
podemos
sustituirlo
en
la
expresión anterior de manera que
P(b, h) 80m 2b 2h Que podemos expresar como
80m 2b 2h Esta es ya una ecuación, pues sus valores están en función de un valor en particular, de hecho, puede expresarse de manera más sintetizada como
40m b h Podemos despejar de esta ecuación, la variable altura (h), para de esta manera tener la ecuación en función de la base (b), es decir:
h 40m b Sustituyendo esta variable en la función del área tendremos:
A(b, h) b h b 40m b Lo cual nos deja una expresión en función de una sola variable:
A(b) b 40m b 40m b b 2 Y que es la función pedida. EJEMPLO 80. ¿Cómo se puede expresar el área de un triángulo equilátero como función de la longitud x de uno de sus lados?
71
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Al igual que en el problema anterior, un buen comienzo puede ser una representación del problema. Así, un dibujo del triángulo ayudaría:
Como
puede
observarse,
la
figura
muestra
la
representación
de
un
triángulo equilátero, esto es, con cada uno de sus lados iguales. La altura de esta parte de la mitad del lado considerado como base (por ser un triángulo rectángulo), de ahí que la base se divide en dos partes iguales a partir de la altura, que es una recta perpendicular a la base. Comenzando
con
el
análisis
de
la
figura,
tenemos
que
el
área
del
rectángulo será:
A b, h
bh 2
Como sabemos, la base puede sustituirse por el valor de la base, es decir:
A x, h
x h 2
Por lo que puede observarse, debemos encontrar una expresión que vincule la variable h con la variable x. Una manera de expresar lo anterior es considerando uno de los triángulos rectángulo en los qu e se ha dividido el triángulo rectángulo:
72
CONALEP-2011 En
el
triángulo
[Análisis derivativo de funciones]
mencionado,
podemos
expresar
que
por
teorema
de
Pitágoras: 2
2 x x 2 h 2
Despejando la variable h: 2 x h x 2 2
Que es una fórmula que contiene solamente a la variable x. Por tanto, podemos sustituir esta fórmula en la función que expresa el área del triángulo: 2 x x 2 x 2 A x 2
Que es la fórmula pedida. Ejemplo 81. Una pista de atletismo tiene 400m de longitud, y su figura está compuesta por dos lados paralelos y dos semicírculos. Encuentra una función que exprese el área encerrada en la pista en función del radio de los semicírculos.
La
figura
que
representa
el
problema
propuesto
puede
ser
como
la
siguiente:
Si observamos, el
área contenida por
el perímetro de
la pista puede
dividirse en tres partes: dos semicírculos y un rectángulo. La siguiente figura
muestra
estas
áreas,
el
área
llamada
A1
como
el
área
del
rectángulo y el área A2 y A3 como las áreas de los semicírculos, que por cierto, son iguales.
73
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
El área del rectángulo puede calcularse como
A1 b h a 2r
El área de cada uno de los semicírculos será:
r 2 r 2 A2 A3 2 2 Y el área total de la figura será:
r 2 r 2 A1 A2 A3 a 2r 2 2
Por otro lado, considerando el perímetro total de la figura, tendremos que será la suma del perímetro de cada una de las dos semicircunferencias ( r ) y las bases del rectángulo(a):
P r r a a 2( r a) Como conocemos el valor numérico del perímetro que es de 400m, podemos sustituirlo en esta ecuación:
P 400 2( r a) Despejamos la variable a, el área de cada uno de los semicírculos en función del radio será:
a 200 r Por lo tanto, considerar esta fórmula para el cálculo de la variable a o lado de la figura puede ser sustituida en la fórmula del área total:
r 2 r 2 r 2 r 2 200 r 2 r A1 A2 A3 a 2 r 2 2 2 2 El
área
total
estará
semicircunferencias,
por
entonces lo
que
en
función
agrupando
del
términos
radio y
de
reduciendo
las la
expresión tendremos:
At(r) r r 400
Que sería la función pedida.
Ejemplo 82. Se desea fabricar una caja sin tapa con una lámina de cartón cuadrada cuyos lados midan 12cm. Encontrar una expresión del volumen que contendrá
la
caja
en
función
de
cuatro
realizarán en cada una de las esquinas.
74
recortes
cuadrados
que
se
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Un dibujo que represente el planteamiento del texto anterior puede ser similar al siguiente:
Como puede observarse, la hoja de cartón tiene los recortes descritos, por lo que una función que nos indique la base de la caja se expresaría como
b(x) 12cm 2x 12cm 2x
Puesto que el cuadro que haría las veces de base tiene como lado el valor de 12cm 2x , como se muestra en la siguiente figura :
Como puede observarse, el valor de la altura de la caja será entonces de x, por lo que el
volumen total de la caja puede expresarse como el
producto de la base por la altura, es decir:
b(x) h(x) 12cm 2x 12cm 2x x Desarrollando el producto y agrupando términos semejantes, tendríamos:
V (x) 4x x 6cm Que es la función pedida.
75
2
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Ejemplo 83. Un pueblo se encuentra a 3km de distancia de un río. En una sesión de simulacro, se pretendió que
un bosque se
incendiaba a
una
distancia de 2km del mismo río. La distancia sobre el río que separa al pueblo del bosque es de 6km (véase la figura). Los bomberos matemáticos quieren representar una función que represente la distancia sobre el río para en un momento dado, calcular el trayecto más corto para ir del pueblo al río y después al bosque22.
Una suposición que puede ubicar una mejor solución para el problema, es suponer
un
distancia
punto del
sobre
recorrido.
el
río,
Esto
el
cual
puede
será
la
bosquejarse,
posición puede
ser
de
menor
como
la
siguiente:
Como puede observarse, el punto x representa la distancia entre los dos pueblos en donde puede ser mínima función de la distancia total. Por otro lado, la distancia que han de recorrer los bomberos desde el pueblo al río y luego al bosque (o incluso en orden inverso) se calcula con la suma de los trayectos que han de recorrer; esto es de acuerdo al dibujo: el segmento A más el segmento B.
D(x) A(x) B( x) El segmento A puede ser expresado como Y el segmento B:
B(x) 2Km 6Km x 2
76
A(x) 3Km x 2
2
2
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Por lo que la suma de ambas funciones sería:
D(x) A(x) B(x) 3Km x 2Km 6Km x
2
2
2
2
Que una vez desarrollando y agrupando términos semejantes, obtendríamos:
D(x) 2x2 12x Km 49 Km2 .
77
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
1.7. Problemario 1. Determinar las variables independientes y las dependientes, así como las constantes que intervienen en cada una de las situaciones que se indican a continuación: 1.1. El área de un triángulo se determina utilizando la fórmula 1.2. El área de un círculo es a través de la fórmula 1.3. A cierto trabajador se le paga por el número de horas trabajadas. El costo por hora para dicho trabajador es de $80.00, por lo que su pago se determina mediante la ecuación
, siendo n el número total de horas trabajadas.
1.4. La energía cinética de un cuerpo es la energía que dicho cuerpo tiene debido a su movimiento, la cual depende su masa y de su velocidad de acuerdo son la siguiente fórmula: 1.5. En geometría analítica se demuestra que la ecuación que determina una parábola está definida como 1.6.
La ecuación que define la posición en un instante de tiempo t, de un cuerpo que
se mueve con una velocidad inicial
y con una aceleración constante a es:
1.7. Cuando un cuerpo se ve afectado por un cambio de temperatura
, se pueden
presentar dilataciones o contracciones, de manera que la deformación lineal puede calcular con la fórmula
se
, donde L representa la longitud inicial del
cuerpo y es el coeficiente de dilatación lineal que caracteriza al material del cuerpo. 1.8. La Ley de Ohm nos permite determinar la corriente a través de un conductor mediante la fórmula
, en la que V representa el voltaje aplicado y R la resistencia
eléctrica. 1.9. Para describir el crecimiento de bacterias en un cultivo, se tiene
, donde
A se conoce como factor de crecimiento y k tasa de crecimiento y ambos son positivos. 1.10. La cantidad de agua contenida en un tinaco cilíndrico V, se puede
calcular
conociendo el diámetro D y el nivel de agua medido desde la base h mediante:
2. Obtener el producto cartesiano de los siguientes conjuntos: 2.1. 2.2.
y
{ {
{ y
{
78
[Análisis derivativo de funciones]
CONALEP-2011 2.3.
{
2.4.
{
2.5.
{
y
{ y
{ y
{
3. Determinar si los siguientes conjuntos corresponden a funciones o relaciones: 3.1.
{
3.2.
{
3.3.
{
3.4.
{
3.5.
{(
) (
) (
) (
)
4. Determinar si las siguientes gráficas corresponden a funciones o relaciones:
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
79
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
4.7.
4.8.
4.9.
4.10.
5. Evaluar las siguientes funciones: 5.1.
para
5.2.
para
5.3.
para
5.4. 5.5.
⁄ ⁄
para para
√
5.6.
para
5.7.
( ⁄ ) para
5.8.
⁄ ( ⁄ )
para
5.9.
para ⁄ para ( ⁄ )
5.10.
( ⁄ )
6. Identificar si las funciones siguientes son de tipo algebraica o trascendente: 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5.
√
80
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
6.6. 6.7. 6.8. 6.9. 6.10. 7. Determinar si las funciones siguientes son pares, impares o ninguna de las dos: 7.1. 7.2. 7.3. 7.4. 7.5. 7.6. 7.7. 7.8. 7.9. 7.10. 8. Dadas las siguientes funciones, realizar las sumas propuestas: 1
2 r( x) x 2 2 ,
s( x)
2x 2 2x , x
t( x)
v( x) sin x , w( x) e x 8.1. r( x) s( x)
8.2. r(x) t(x)
8.3.
s(x) t(x) u(x)
8.4. s(x) r(x) 8.5. w(x) r(x) 8.6. v(x) s( x) 8.7.
u(x) s(x) r(x)
8.8.
u(x) s(x) r(x)
8.9. v(x) t(x) 8.10.
v(x) w(x) s(x) t(x)
81
( x 1)( x 1) , x
u( x)
2x 2 2x 2x 2
,
[Análisis derivativo de funciones]
CONALEP-2011
9. Dadas las siguientes funciones, realizar las restas o diferencias propuestas:
A(x) 2x 2 8x 5 ,
B(x) 5x3 2x 0 ,
C( x)
( x 1)( x 1) , x
D(x) sin ( x) ,
1
E(x) sin 1 ( x) , & F ( x)
2
9.1. A(x) F (x) 9.2. F (x) A(x) 9.3. B(x) A(x) 9.4. C(x) A(x) 9.5. D(x) A(x) 9.6. A(x) B(3) 9.7. E(x) D(x) 9.8. A(x) F (x)
9.9. A(x) B(x) C(x)
9.10. A(x) B( x) C( x)
10. Dadas las siguientes funciones, realizar las multiplicaciones propuestas:
A(x) 2x 2 8x 5 ,
B(x) 5x3 2x 0 ,
E(x) sin 1 ( x) , F ( x)
x 2
10.1. A(x) B(x) 10.2. B(x) A(x) 10.3. C(x) A(x) 10.4. D(x) E(x) 10.5. F (x) B(x)
1 x B( x) 3
10.6. A
10.7. A(x) D(x)
10.8. A(x) F (x)
10.9. A(x) B(x) C(x)
82
C( x)
( x 1)( x 1) , x
D(x) sin ( x) ,
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
10.10. A(x) B(x) C(x)
11. Dadas las siguientes funciones, realizar las divisiones propuestas:
A(x) x 2 x , B(x) x 2 2x 1 , C( x)
F ( x)
x 8
11.1.
A( x) B( x)
11.2.
B( x) A( x)
11.3.
A( x) C ( x)
11.4.
C ( x) B( x)
11.5.
A( x) E( x)
11.6.
F ( x) D( x)
11.7.
A( x) D( x)
11.8.
F ( x) A( x)
11.9.
A( x) F ( x)
11.10.
( x 1)( x 1) 1 , D(x) sin ( x) , E(x) ux vx , x
C ( x) A(1)
12. Dadas las siguientes funciones, realizar las potencias propuestas:
A(x) x 2 x , B(x) x 2 2x 1 , C(x) sin 1( x) , D( x) 2
3
1
12.1. A( x) 12.2. B( x) 12.3. C( x)
83
x 8
[Análisis derivativo de funciones]
CONALEP-2011
12.4. D( x) 1 12.5. D( x) 2
12.6. A( x) 0
12.7.
C( x)
2
2
12.8. D( x) 4 12.9. A( x) 12.10.
4
8
16 2
A( x) 4
0
13. Encontrar la función inversa de cada una de las funciones propuestas: 13.1. f (x) 3x 2x, 2
13.3. f ( x)
1 , 2x
f 1 ( x)
13.4.
f (x) 5x 25,
13.6. f (x) e , x
f 1 (x)
13.2. f (x) 2x 3,
13.5. f (x) ln(x),
f 1 (x)
3x , 1
f 1 (x)
f 1 (x)
13.9. f (x) tan(x), 13.10. f ( x)
f 1 (x)
f 1 (x)
13.7. f (x) 3x 2, 13.8. f (x) x,
f 1 (x)
f 1 (x)
f 1 ( x)
14.
Dadas las siguientes funciones, determinar
14.1. 14.2. 14.3.
√
14.4. 14.5.
84
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
14.6. 14.7. 14.8.
√
15. Calcular lo siguiente 15.1. √ 15.2. 16. Discusión y análisis de ecuaciones: 16.1. 16.2. 16.3. 16.4.
85
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
1.8. Autoevaluación 1. Con los siguientes pares ordenados, determina el dominio y el contradominio. Indicar si se trata de una relación o función. Graficar los pares en un sistema de coordenadas. a) b) 2. Encuentra el dominio de la siguiente función: 3. Dada la función
, determinar el valor de la función para
. 4. Dada la función
, indicar si es algebraica o trascendente, si tiene simetría
respectos a los ejes o el origen, si es continua o discontinua y elaborar la gráfica de dicha función en el intervalo [-2,2]. 5. Dadas las funciones a)
, determinar:
√
b)
c)
d)
e)
f)
6. Se tiene una lata de refresco cuya capacidad volumétrica es de 350cm 3. Expresar el área total S de la superficie de la lata en función de su radio r y determinar el dominio.
r h
Área superficial S
86
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
1.9. Conclusión Uno de los pilares de las matemáticas es la función. Lo estudiado en esta unidad facilita el estudio del cálculo. Otro de los pilares en el estudio de las matemáticas es la determinación de límites de una función que veremos en la siguiente unidad. La gráfica de una función es una imagen visual que nos permite ver el comportamiento de dicha función. Hoy día podemos contar con calculadoras y una gran cantidad de programas informáticos para la graficación de una función. ¿Conoces alguno de estos programas?
87
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
1.10. Soluciones del problemario 1.1. A es la función dependiente, b y h son las variables independientes, 2 es la constante numérica. 1.2. A es la variable dependiente, r es la variable independiente, π y 2 son constantes numéricas. 1.3. S es la variable que depende de n, la cual es la variable independiente, 80 es la constante numérica. 1.4. Ec es la variable dependiente, v es la variable independiente, m es una constante arbitraria (parámetro), ½ y 2 son constantes numéricas. 1.5. y es la variable dependiente, x es la variable independiente, mientras que a, b y c son parámetros. 1.6. S es la variable dependiente, t es la variable independiente,
y a son
parámetros, ½ y 2 son constantes numéricas. 1.7
es la variable dependiente, y L son parámetros, T es la variable
independiente. 1.8. I variable dependiente, V y R variables independientes. 1.9. f es la variable dependiente, A y k son parámetros, e es una constante numérica, t es la variable independiente. 1.10. V es la variable dependiente, D y H variables independientes, las constantes numéricas son 4, 2 y π. 2.1.
{
2.1.
{
2.3.
{
2.4.
{
2.5.
{(
) (
) (
) (
) (
) (
)
3.1. A es una función (ya que no se repite el primer elemento con segundos elementos diferentes). 3.2. B es una función 3.3. C es una relación, (ya que los elementos 1 y 4 se vuelven a repetir) 3.4. D es una función 3.5. E es una relación (el primer elemento es el mismo en todas las parejas ordenadas) 4.1. Función
88
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
4.2. Función 4.3. Función 4.4. Relación 4.5. Relación 4.6. Función 4.7. Relación 4.8. Relación 4.9. Función 4.10. Función 5.1.
( ⁄ )
5.2.
⁄
( ⁄ )
⁄
5.3. 5.4. 5.5. 5.6
√ ⁄
( ⁄ )
5.7.
( ⁄ )
⁄
(
⁄ )
⁄
5.8.
5.9. 5.10. ( ⁄ )
⁄
( ⁄ )
(
)
6.1. Trascendente 6.2. Trascendente 6.3. Trascendente 6.4. Algebraica 6.5. Algebraica 6.6. Algebraica 6.7. Trascendente 6.8. Trascendente 6.9. Algebraica 6.10. Trascendente 7.1. Par 7.2. Impar
89
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
7.3. No es par ni impar 7.4. No es par ni impar 7.5. No es par ni impar 7.6. No es par ni impar 7.7. Par 7.8. Impar 7.9. Impar 7.10. No es par ni impar 14.1. 14.2. 14.3.
√
√
14.4. 14.5. 14.6. 14.7. 14.8 .
√
√
15.1. √ √ 15.2. 16.1. a) Dominio =
2 , 2 2, . P1 3, 0 .
b) Intersecciones: Eje X,
P2 0, 3 .
Eje Y, c) Simetrías:
d) Asíntotas:
Eje X,
no hay. Eje Y, no hay. Origen, no hay. Horizontales, y 2 . Verticales,
e) Tabulación: x -4 y 2.33
0 3
x 2. 1.5 6
f) Gráfica:
90
2.5 -2
5 1.33
CONALEP-2011
16.2.
[Análisis derivativo de funciones]
, . = , .
a) Dominio = b) Rango
c) Intersecciones: Eje X,
d) Simetrías:
e) Asíntotas: f) Tabulación: x -1.5 y 9.5
5 P1 , 0 . 3 Eje Y, P2 0, 5
Eje X, no hay. Eje Y, no hay. Origen, no hay. Horizontales, no tiene. Verticales, no tiene. 0.5 3.5
0 5
g) Gráfica:
16.3. a) Dominio =
1 , 1 1, .
91
1 2
1.66 0
3 -4
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
0.25 , 0.25 0.25, .
b) Rango =
c) Intersecciones: Eje X, P1 0, 0 Eje Y, P2 0, 0 d) Simetrías:
Eje X, no hay. Eje Y, no hay. Origen, no hay. Horizontales, y 0.25 .
e) Asíntotas:
Verticales, f) Tabulación: x -3 y 0.37
-2 -0.5
x 1 .
-1.5 -0.75
-0.5 0.25
0 0
2 -0.16
1.5
2
2.5
g) Gráfica:
16.4. a) Dominio = b) Rango =
0, .
, .
c) Intersecciones: Eje X, P1 0, 0 . Eje Y, P2 0, 0 . d) Simetrías:
e) Asíntotas: f) Tabulación: x 0
Eje X, sí hay. Eje Y, no hay. Origen, no hay. Horizontales, no tiene. Verticales, no tiene. 0.5
1
92
CONALEP-2011 y
[Análisis derivativo de funciones] 2
0
2.82
3.46
4
4.47
g) Gráfica:
16.5. a) Dominio = b) Rango =
, .
0, .
c) Intersecciones: Eje X,
x 0. Eje Y, y 0.
d) Simetrías:
e) Asíntotas: f) Tabulación: x -3 y 0.56
Eje X, no hay. Eje Y, si hay. Origen, no hay. Horizontales, no tiene. Verticales, no tiene. -2 0.25
-1 0.06
g) Gráfica:
93
0 0
1 0.06
2 0.25
3 0.56
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[Análisis derivativo de funciones]
1.11. Soluciones de la Autoevaluación 1a)
{ { Se trata de una función, ya que los primeros elementos no se repiten en otro
par ordenado.
1b)
{ { Se trata de una relación, ya que los primeros elementos se repiten en otro par
ordenado.
2.El dominio son todos los reales excepto
(generan división por cero), expresado en
intervalos: 3.
4.La función
, es de tipo algebraica, continua y no tiene simetría ni con los
ejes ni con el origen (no es par ni impar), su gráfica es como la que se muestra:
94
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[Análisis derivativo de funciones]
5. a)
√
b)
√
c)
√
d)
√
e)
(
)
f)
(
)
√ (√ )
√
√
6. Superficie total Como el volumen es 350cm3 tenemos Así que
(
)
con
95
por lo que
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Referencias 1
Gozález G. Carlos, ET.AL. (2008). Matemáticas: Bachillerato 1. Madrid, España. Editex, S.A.
2
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Granville William. (1997). Cálculo Diferencial e Integral. México. Limusa.
4
Dugopolski Mark. (2005). Álgebra Intermedia. México. McGraw- Hill
5
Arana Hernández Alma Nora. (2008). Esenciales de Cálculo. México. Santillana
6
De Oteyza Elena. (2006). Conocimientos Fundamentales de Matemáticas Cálculo diferencial e integral. México. Pearson 7
Aguilar Marquez Arturo, et.al. (2010). Cálculo diferencial e integral. México. Pearson.
8
Stewart James. Cálculo: Conceptos y Contextos.(2010). México. Cengage Learning
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Mendez Hinojosa Arturo. (2007). Matemáticas 4. México. Santillana
10
Haar R. Bart M. Front- end vision and multi- scale image analysis. (2003). KluwerAcademic Publisher. 11
Fuenlabrada Samuel. Cálculo Diferencial. (2008). McGraw Hill Interamericana
12
SydsaeterKnut, Matemáticas para el análisis económico. (1996). Madrid España. Prentice Hall 13
Leithold Louis.(1982)El cálculocon geometría analítica. México. Harla
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Ibáñez Carrasco Patricia, (2006). Matemáticas IV: Precálculo. México. Thomson
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González García Carlos, (2008). Matemáticas aplicadas a Ciencias Sociales. Madrid España. Editex 17
G. Zill Dennis. (1987). Cálculo con geometría analítica. México. Grupo Editorial Iberoamérica. 18
Fuenlabrada Samuel.(1995) Matemáticas IV Cálculo Diferencial .México: McGraw- Hill
96
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
19
González G: Carlos, et al.(2008). Matemáticas, 1 Bachillerato. México. Editex Padilla Pineda Julio Eduardo, ET.AL. (2007). Gimnasia con Geometría Analítica. México. UNAM. http://www.prepa5.unam.mx/profesor/publicacionMate/09V.pdf 20
21
Feria Gollaz, Víctor. (2004). Cuaderno de trabajo de matemáticas V. México. UNAM. http://books.google.com.mx/books?id=NHuHt766JZ8C&pg=PA55&dq=discusi%C3%B3n+de+ecuac iones+algebraicas&hl=es&ei=M4IYTsmsE6vhsQKEx7jCBw&sa=X&oi=book_result&ct=resu lt&resnum=1&ved=0CC0Q6AEwAA#v=onepage&q=discusi%C3%B3n%20de%20ecuaciones%20a lgebraicas&f=false 22
Hitt Espinosa, Fernando. (2002). Funciones en contexto. 1a ed. México: Pearson Educación.
97
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
i
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
2.1. Noción intuitiva de límite Un poco de historia. El cálculo como una de las aplicaciones de las matemáticas tiene sus orígenes en los desarrollos de las matemáticas en la antigua Grecia, particularmente basados en las propuestas de Euclides ( 325 a.C.- 265 a.C.), quien realizó una serie de postulados relacionados directamente con la geometría desarrollada en el plano (conocida también como Geometría Euclidiana)1. Los desarrollos que en aquellos tiempos se proponían, tenían siempre relación con las figuras geométricas. Un problema en particular era calcular el área del círculo solo con regla y compás. Aunque los intentos por realizar esta tarea no tuvieron resultados tan concretos como otros, los planteamientos tenían relaciones directas con operaciones con sumas o series de números 2. Algunos de los desarrollos numéricos que se realizaron, tienen relación directa con el concepto de límite, concepto acuñado de manera formal hasta principio del siglo XIX, es decir, a principios de 1800 por los matemático Fourier, Bolzano y Euler. Los trabajos realizados por estos matemáticos pudieron no solo darle un sentido distinto al concepto de función, sino que estos nuevos conceptos pudieron dar un sustento a los trabajos realizados por Isaac Newton y Gottfried Leibniz3. Como ya se ha mencionado, Newton y Leibniz digamos que fueron quienes descubrieron el cálculo como una operación que, aplicada a una función, puede proveernos información importante respecto a su comportamiento general o en puntos específicos. Por cierto, este descubrimiento tiene una interesante historia que podríamos relacionar con lo que ahora se conoce como derechos de autor, pero aun que estos trabajos contribuyeron a explicar y definir el concepto de derivada e integral de una función, no fue sino hasta el mencionado trabajo acerca de límites cuando se pudo aceptar al cálculo como una operación formal y definida en las matemáticas.
El concepto de límite Una definición práctica del concepto de límite puede ser exhibida a partir de una serie de números, esto es: el límite de una sucesión4. Por ejemplo, si sucesión de fracciones:
1,
1 1 1 1 1 1 1 1 , , , ,… , …, , ... , …., 2 3 4 5 10 100 1000 n
1
observamos la
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Podemos observar que cada uno de los resultados de las fracciones propuestas se va pareciendo más y más a una cantidad determinada:
1 , .5 , .3 , .25 , .2 , … .1 , …, .01 , ... .001 , …., ¿ 0 ? Preguntamos entonces: ¿cuál es esa cantidad? La respuesta es que en realidad esa cantidad no es muy directa, es decir, ese resultado no es una cantidad exacta por muy pequeña que sea, por lo que podemos expresarla tan pequeña como sea posible conforme a qué tan grande podamos expresar n. En otras palabras, el resultado de dividir uno entre n, cuando n tiende a infinito será cero; es decir:
1 0 cuando n n
Es necesario aclarar que solo podemos colocar el signo de igual, cuando la n tiene como tendencia una cantidad que es tan cercana como sea posible a la expresada (infinito, para nuestro caso). Por otro lado, si realizamos la misma operación tratando de expresar una fracción cuyo denominador tienda a cero (recuerde que la operación de cualquier número entre cero no está definida), ¿cómo podemos expresar el resultado?. Analizando esta situación de manera similar a la anterior, podemos comenzar expresando una sucesión de cocientes, cuyo denominador se vaya haciendo en cada ocasión más pequeño:
1,
1 1 1 1 1 1 1 1 , , …, , …, , …, , …, , ... , …., .9 .8 .5 .1 .01 .001 .0001 n
Lo cual nos proporcionará los resultados:
1 , 1.1 , 1.25 , …, 2 , …, 10 , …, 100 , …, 1000 , ... 10000 , …., ¿ ? De acuerdo a estos resultados y al proceso de análisis descrito en el ejemplo anterior, podemos afirmar que dada la sucesión de fracciones, donde el denominador de estas se hace cada vez más pequeño, el resultado de la fracción uno entre n cuando n tiende a cero será infinito. En otras palabras:
2
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
1 cuando n 0 n Aunque una definición más formal puede situarnos en toda la magnitud del concepto de límite, una definición que puede perfectamente situarnos en un conocimiento elemental y práctico del concepto de límite
5
nos dice que afirmar que f tiende a l en a,
equivale e expresarlo en la ecuación:
lim f ( x) 1 xa
Como podrá observarse, en esta definición se retoma el concepto de función y esto es debido a que, para nuestro caso la variable n puede tomar cualquier valor, lo que nos proporciona una evaluación de la función. De hecho, prácticamente la tendencia de la variable es equivalente a tomar su valor, solo que no se debe olvidar que es un valor tan cercano como sea posible a la tendencia, no es igual a ese valor. Por lo que, considerando los ejemplos anteriores, podemos reescribir que la función
1 tiende a n
cero en infinito de acuerdo a la notación de límite. Esto es:
1 1 0 cuando n será equivalente a escribir: lim 0 n n n
De la misma manera, podemos afirmar que
1 1 cuando n 0 será equivalente a: lim n0 n n
Por otro lado, podemos evaluar la función con cualquier otro valor definiéndolo como su límite. De esta manera, cuando de se evalúa la función anterior en diez, podemos decir:
1 1 0.1 lim n10 n 10 Resumiendo: la idea central es evaluar la función en un valor lo más cercano posible al propuesto, poniendo atención en comportamientos especiales como los que nos dan como resultado cero o infinito.
3
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Ejemplo 1. ¿Cuál será el resultado de aplicar el límite a la función
2n 1 cuando n tiende a 3? n
Lo
primero
que
debemos
hacer
es
realizar
la
sustitución
del
valor
propuesto, es decir, aplicar el límite, lo cual, se puede expresar como
2n 1 2 3 1 5 lim 3 n3 3 n El resultado será entonces cinco tercios.
Ejemplo 2. Expresar la siguiente sucesión como un límite y determinar su valor cuando n tiende a infinito.
1,
3 5 7 9 2n 1 … , , , 2 3 4 5 n
Podemos definir primeramente la
función que expresa cada
una de
las
fracciones de manera general, la cual se muestra como
f n
2n 1 n
Después, aplicamos el límite de la función:
lim f (n) n
2 1
Como puede observarse, aplicar la operación no tiene un sentido numérico, puesto que multiplicar por dos el infinito nos daría un ¿doble infinito?. Debemos entonces analizar el resultado de la serie que se generaliza en la función. De esta manera tendremos como resultados, cuando vamos dando valores crecientes a n, en este caso n=1,2,3,4,5,…:
4
CONALEP-2011
1, Para un
[Análisis derivativo de funciones]
3 5 7 9 1.5 , 1.66 , 1.75 , 1.8 … 2 3 4 5
número n muy grande en la serie, digamos 100, tendremos como
resultado:
f 100 De manera análoga
2 100 1 199 1.99 100 100
f 1000 1.999, por lo que de acuerdo al análisis de la
función podemos afirmar:
lim f (n) 2 n
No podemos afirmar que existan límites especiales, pues en realidad todos y cada uno de estos tienen la particularidad de asumir un valor una vez aplicado el valor correspondiente. Sin embargo, veamos qué sucede cuando aplicamos el límite a la siguiente función:
x3 1 f x x 1 Parece que esta función no tendrá problemas al aplicar por ejemplo el valor de cero:
lim f ( x) x0
03 1 1 0 1
De hecho, podríamos observar la gráfica de esta función, la cual parece que muestra una curva que es conti nua en cualquier punto:
5
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Sin embargo, ¿Qué sucede si aplicamos a la variable el valor de 1?
lim x1
x3 1 x 1
La idea que primeramente se puede aplicar considerando los procesos anteriores, es sustituir el valor propuesto al cual tiende el límite, es decir:
13 1 0 ¿? x1 1 1 0
lim
La aplicación entonces del límite parece que no existe. Sin embargo, parece que si realizamos una manipulación algebraica tendremos que
x 1 3
im l x 1
lim x 1
x 1 x2 x 1
lim x 2
x 1
x 1 x 1
x
1
Lo que, como puede apreciarse; tiene un valor determinado:
lim x 2 x 1 3 x1
Es decir; el límite de f(x) cuando x tiende a uno, es tres6:
6
[Análisis derivativo de funciones]
CONALEP-2011
Pero aquí puede hacerse un análisis más exhaustivo; si se realiza una tabla con las evaluaciones numéricas de un valor tan cercano al valor propuesto 1, tendremos valores de la función prácticamente iguales a 3. Sin olvidar el concepto de límite, aún sin realizar las manipulaciones algebraicas descritas, podemos afirmar dos cosas: 1. Al acercarnos tanto como sea posible al valor de uno por un lado, la tendencia del resultado es 3. Si es de izquierda a derecha, se dice que el límite de f(x) tiende a tres cuando x tiende a uno por la izquierda. 2. Por otro lado, si los valores de la función son tan cercanos al tres y podemos acercarnos al valor 1 de derecha a izquierda, se dice que el límite tiende a tres cuando x tiende a uno por la derecha. Si nos acercamos al valor de 3 tanto como sea posible por un lado y otro, la tendencia del resultado es 3, aunque no exista el límite en el valor exacto al que tiende el límite (es decir: aunque la función no exista en el punto propuesto). La siguiente tabla ilustra lo anteriormente explicado:
f ( x)
1.11
2.71
2.9701
2.997
3
3.003
3.0301
3.31
3.64
x
.1
.9
.99
.999
1
1.001
1.01
1.1
1.2
Tendencia por derecha
Tendencia por izquierda
Para este caso en particular, el valor del límite por la izquierda es el mismo que por la derecha: tres. La representación de este límite se representa con un superíndice en el valor de la tendencia, lo cual no representa que tenga un signo, sino que el símbolo menos para este caso, representa que el límite tiende por la izquierda, y el símbolo de más, representará la tendencia por la derecha. Como operación entonces será:
x3 1 3 x1 x 1
Límite por la izquierda: lim
x3 1 3 x1 x 1
Límite por la derecha: lim
7
CONALEP-2011 Ejemplo
3.
¿Cuál
[Análisis derivativo de funciones]
será
el
resultado
de
aplicar
el
siguiente límite:
1 lim ? x0 x
El límite descrito de acuerdo a la simbología descrita, es un límite al cual se la acercará por la derecha. Como ya hemos abordado este mismo límite mediante el concepto de series numéricas (con la variable n en lugar de x y con un resultado de cero), analizaremos ahora el resultado con una tabla de valores con tendencia por la derecha, esto es:
x
0
…
.0001
.0001
.01
.1
1
10
100
…
10000
1000
100
10
1
.1
.01
1 x
Podemos corroborar entonces, que el valor coincide con el que analizamos algunos párrafos anteriores.
1 lim x
x0
¿Cuál
será
entonces
la
diferencia
entre
la
aplicación
de
límites
laterales y el límite directo? Probablemente el siguiente ejemplo pueda resolver esta pregunta.
Ejemplo 4. ¿Será lo mismo aplicar el resultado del límite
1 lim que x0 x
1 lim ? x0 x
De entrada, el resultado de la aplicación del límite por la derecha, ya se
ha
desarrollado
en
el
ejemplo
infinito:
8
anterior,
dándonos
como
resultado
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones] 1 lim x0 x
Veamos ahora la tendencia de la aplicación del límite por la izquierda mediante la tabla correspondiente:
x
-10
-1
-.1
-.01
-.001
-.0001
…
0
1 x
-.1
-1
-10
-100
-1000
-10000
…
Entonces, como puede apreciarse, al tomar valores negativos desde los más grandes negativos (teóricamente, desde menos infinito), el valor de la función
va
tomando
valores
muy
grandes,
lo
que
podemos
expresar
función de límites como
1 lim x0 x
Y que además podemos analizar graficando la función
:
Por tanto, podemos afirmar que los límites no son iguales, pues:
9
en
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
1 1 lim , lim x0 x x0 x
f (x) 9 x 2 cuando x tiende a 3 por la
Ejemplo 5. Encontrar el límite izquierda.
Lo primero que realizaremos es la sustitución del límite de acuerdo a la notación descrita:
lim f ( x)
x3
Lo cual nos lleva a establecer las operaciones aritméticas necesarias:
lim
x3
9 x 2
99 0
Esta sustitución no parece tener problema alguno, pues si se observa la tendencia de
x
con
el
valor
propuesto
como
tres,
entonces
podríamos
suponer igualmente un valor tan cercano al tres que se acerque por la izquierda (2.9, 2.99, etc.), dándonos un resultado tan cercano como fuese posible al cero en la operación completa; incluso en el valor del tres nos daría como resultado el cero. En pocas palabras:
lim
x3
9 x 0 2
Ejemplo 6. Aplicar el mismo límite propuesto en la función anterior, en el valor de tres por la derecha.
Escribiendo el límite para ubicar la operación que se aplicará a la función:
lim
x3
9 x 2
10
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Aplicando el límite propuesto, tendremos:
lim
x3
9 x 2 9 9 0
Es decir; tendríamos una situación prácticamente igual a la situación anterior, el valor de la aplicación del límite es cero. Sin embargo, si nos acercamos al valor de tres tanto como sea posible por la derecha, podemos llenar los valores resultantes en una tabla:
x
3
9 x2
3.0001
0 0
3.001
.0006 ?
3.01
.006 ?
… …
.06 ?
3.2
.06 ?
Como puede observarse, acercarse tanto como sea posible al límite por la derecha equivale a tener una raíz negativa, lo cual no es posible. Por tanto, el límite de esta función cuando la variable tiende a tres por la derecha no existe, es decir:
lim
x3
9 x No existe. 2
Ejemplo 7. Calcular el límite de la función
g (n)
1 3 2
1 n
, cuando n tiende
a cero, por la izquierda. Comenzaremos por aplicar el límite por la izquierda. Esto se expresa como
lim g (n) lim 1 n0 n0 3 2n
1
Si aplicamos directamente el valor sugerido, podemos expresar el límite como
lim 1 n0 3 2n
1 1 3 2 0
1
11
Como
ya
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
sabemos,
aplicar
al
el
límite
del
exponente
de
número
dos,
podemos expresar que
lim
n0
1 n
Por lo tanto, el número dos elevado al exponente ya calculado, podemos calcularlo como un dos elevado a la menos infinito, es decir, como el inverso
del
dos
elevado
al
infinito.
Como
ya
hemos
calculado,
la
constante entre el infinito para el caso de los límites tiende a cero, por
lo
tanto,
el
resultado
de
esta
operación
será
cero.
En
otras
palabras:
2
De
esta
manera,
1 1 0 2
aplicando el
cálculo
de
cada
potencia
anteriormente
descrita podemos escribir:
lim 1 n0 3 2n
1
1 1
3 2 0
1 1 3 0 3 2
Por tanto, el resultado final de aplicar el límite a la función pedida cuando la variable n tiende a cero por la izquierda será:
1 lim 1 n0 n 3 2
1 3
Ejemplo 8. Calcular el límite de la función
g (n)
1 3 2
1 n
, cuando n tiende
a cero, por la derecha.
Al igual que en el ejemplo anterior, aplicar el límite en este caso se puede representar como
12
[Análisis derivativo de funciones]
CONALEP-2011
1
lim 1 n0 3 2n
Por lo que sustituyendo el valor sugerido tendremos:
1 1 3 2 0
lim 1 n0 3 2n
1
De igual manera que en el ejemplo anterior, el límite de la potencia (que es donde se observa la aplicación de este) será: 1
1
lim 2 n 2 0 2
n0
Por lo tanto, sustituyendo el valor encontrado del límite de la potencia antes descrita, tendremos:
1 1 1 1 lim 1 1 1 n0 3 2 3 n 0 3 2 3 2 Por lo tanto, el resultado de aplicar el límite cuando la variable
a la función propuesta
n tiende a cero por la derecha será cero, es decir:
1 lim 1 n0 3 2n
0
Ejemplo 9. Aplicar el límite a la función tangente cuando su argumento tiende a 90 grados.
Primeramente, expresar en términos algebraicos la función descrita en el texto anterior sería:
f (x) tan(x) Por lo que, aplicar el límite pedido sería:
13
[Análisis derivativo de funciones]
CONALEP-2011
lim f (x) lim tan(x)
x90
x90
Entonces, aplicar el límite se expresaría como
lim tan( x) tan 90
x90
Este valor en particular es un valor para el cual no está definida la función tangente, por lo tanto, el límite de la función tangente cuando su argumento tiende a noventa grados (
radianes) no existe: 2
lim tan(x) no existe
x90
Ejemplo 10. Aplicar el límite a la función tangente cuando su argumento tiende a 90 grados por la izquierda.
De
manera
análoga
al
ejemplo
anterior,
la
expresión
algebraica
que
representa al texto del problema será:
lim tan( x)
x90
Que
para
fines prácticos expresaremos el
equivalente en
radianes del
argumento de noventa grados, puesto que esta notación puede excluir las unidades (y que no se confunde con la tendencia hacia la izquierda del límite), o sea:
lim tan( x)
x 2
Pero, aplicar el límite por la izquierda es acercarse tanto como sea posible
al
valor
sugerido,
lo
cual
mostrado
en
una
tabla
ilustrarnos mejor la tendencia del valor:
x
88
89
89.9
89.99
tan( x)
28.63
57.29
572.957
5729.58
14
…
90
puede
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Por tanto, como puede deducirse, el límite de la función tangente cuando su argumento tiende a noventa grados (o pi entre dos radianes) por la izquierda es infinito, o sea:
lim tan( x)
x 2
De manera similar, el límite por la derecha será:
lim tan( x)
x 2
Se deja la comprobación al lector.
2.2. Teoremas de los límites
Como se vio en el apartado anterior, el cálculo de un límite se llevó a cabo a través del análisis de gráficas y de tablas numéricas, en las que se observa cómo una función se aproxima a un valor, cuando la variable independiente se acerca cada vez más y más hacia un valor determinado. Esta manera de calcular límites es intuitiva. Sin embargo, existen propiedades que nos permitirán calcular límites de funciones de otra manera, dichas propiedades se conocen como leyes o teoremas de límites 7. Supóngase que c es una constante, n un entero positivo y que los límites siguientes existen: ( )
,
( )
TEOREMAS 1. 2. 3. 4. 5.
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
15
CONALEP-2011 6.
( )
7.
( ) ( )
8.
( )
( )
( )
[Análisis derivativo de funciones] ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
Estas leyes pueden expresarse como sigue: 1. El límite de una constante es igual a dicha constante. 2. El límite de una variable x cuando tiende al valor a es a. 3. El límite de la potencia de una función es igual a la potencia del límite. 4. El límite del producto de una constante por una función es igual al producto de la constante por el límite de la función. 5. El límite de una suma de funciones es igual a la suma de sus límites. 6. El límite de una diferencia de funciones es igual a la diferencia de sus límites. 7. El límite de un producto de funciones es igual al producto de sus límites. 8. El límite de un cociente de funciones es igual al cociente de sus límites. (Siempre que el límite del denominador no sea 0).
Veamos algunos ejemplos, del cálculo de límites mediante estos teoremas.
2.3. Límites determinados e indeterminados Ejemplo 11. Calcular
De acuerdo con el teorema 1, se tiene:
Ejemplo 12. Calcular
Ejemplo 13. Calcular
Ejemplo 14. Calcular
16
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
De acuerdo con el teorema 2, se tiene
Ejemplo 15. Calcular
Ejemplo 16. Calcular
Ejemplo 17. Calcular a) De acuerdo con el teorema 3, se tiene: ( ) Ejemplo 18. Calcular ( ) Ejemplo 19. Calcular ( ) Ejemplo 20. Calcular a) De acuerdo con los teoremas 4,3 y 2, se tiene: ( ) Ejemplo 21. Calcular ( ) Ejemplo 22. Calcular ( Ejemplo 23. Determinar
(
) )
Primeramente aplicamos los teoremas 5 y 6, y posteriormente los teoremas 1 a 4. (
)
( (
17
)
(
) )
(
)
[Análisis derivativo de funciones]
CONALEP-2011 (
)
( )
Por lo que el valor del límite es: (
)
(
Ejemplo 24. Determinar
)(
)
Se puede desarrollar el producto o aplicar directamente el teorema 7. (
)(
)
(
)
(
)
( )(
)
Si desarrollamos el producto, tenemos: (
)(
)
Por lo que ahora el límite será: (
)(
)
(
)
Ejemplo 25. Calcular
Aplicando primeramente el teorema 8, se tiene ( )
( ) ( ) Con
base
en
los
tres
ejemplos
anteriores,
basto
con
realizar
una
sustitución directa para obtener el límite. Se puede hablar de otra propiedad que dice así8: Sea f
una función
polinomial o racional, y si a está en el dominio de
f, entonces se tiene ( ) En otras función.
palabras
el
límite
se
( )
obtiene
18
evaluando
el
valor
a
en
la
CONALEP-2011 Ejemplo 26. Determinar (
[Análisis derivativo de funciones] (
) )
( )
( )
Ejemplo 27. Calcular el límite de
( )
cuando
.
( ) ( )
(no existe el límite)
Recodemos que la división entre 0, no está definida en el conjunto de los números reales.
Formas indeterminadas
Puede darse el caso de que al llevar a cabo la sustitución en una función racional no obtengamos un resultado satisfactorio. Cuando el resultado es de la forma
se dice que es una forma indeterminada, por lo
que no podemos afirmar si existe o no un límite. Será necesario buscar un artificio algebraico y tratar de romper la indeterminación9.
Ejemplo 28.
( )
Calcular el límite de
cuando
Si aplicamos la sustitución directa se obtiene:
Cuyo resultado es una forma indeterminada. Una manera de eliminar la indeterminación es mediante la factorización del numerador. (
)( (
) )
Por lo que el límite puedes escribirse como
19
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones] (
)
En este caso la indeterminación es evitable si asignamos a la función el valor 8. ( )
Ejemplo 29. Sea la función cuando
( )
calcular el límite de dicha función
Al realizar una sustitución directa
Se tiene una forma indeterminada. Si se factoriza el numerador, se tiene: (
)
Por lo tanto:
Ejemplo 30. Sea la función
√
( )
, calcular el límite de dicha función
cuando √ se tiene una forma indeterminada Vamos a racionalizar el numerador. binomio conjugado del numerador.
√
(√ (√
Para
ello
multiplicaremos
) )
(
)(√
Así que,
20
)
(√
)
por
el
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones] √ (√
)
Límites particulares
Se pueden presentar ciertos resultados al calcular el límite de una función, para los cuales será conveniente hacer una breve reflexión al respecto10. x
tiende a
0
Escrito en forma breve
(no existe el límite) x
tiende a
Escrito en forma breve
(no existe el límite) (no existe el límite) (no existe el límite) Nota: Infinito no es un número, solo un símbolo que indica una cantidad o muy grande (+ ) o muy pequeña (- ).
Límites infinitos y límites al infinito Un límite infinito es aquel en el cual la función
f(x) adquiere valores que crecen o
decrecen sin medida cuando la variable independiente tiende a un valor a, tanto por la izquierda como por la derecha8. ( )
(El límite crece)
( )
(El límite decrece)
Gráficamente podemos observar el comportamiento de una función f infinito cuando x tiende a un valor a. La recta la gráfica de dicha función.
21
que tiende al
representa una asíntota vertical de
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
x=a f(x) f(x)
x=a Ejemplo 31. Sea la función
( )
determinar el límite de la función
cuando
Vemos que la función crece cuando x tiende a cero por la derecha
x
0.000001
0.00001
0.001
0.01
0.1
f(x)
1000000
100000
1000
100
10
y decrece cuando tiende a cero por la izquierda x
-0.1
-0.01
-0.001
-0.00001
-0.000001
f(x)
-10
-100
-1000
-100000
-1000000
Por lo que podemos escribir:
La ecuación
representa la asíntota vertical, la cual coincide con el
eje Y. como se ve en la siguiente gráfica:
22
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones] y 6
5
4
3
2
1
x -6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
Concluimos que el límite:
no existe.
Un límite al infinito, es aquel en el cual una función se aproxima a un valor A, cuando la variable independiente tiende al infinito positiva o negativamente. 11 ( ) Se lee: el límite de una función f(x), cuando x tiende al infinito es A La recta
representa una asíntota horizontal de la gráfica de dicha función.
De la gráfica anterior (
( )
) se puede observar que cuando
la función f(x)
tiende al valor 0, lo cual se puede escribir como ( ) Y cuando la variable x tiende hacia menos infinito
la función f(x) también
tiende al valor de 0. Es decir: ( ) El eje horizontal, eje X, representa una asíntota horizontal. ( ) ( ) En resumen, si o si se dice que de la asíntota horizontal. Cuando
es la ecuación
, una manera de calcular el límite de una función es dividiendo cada
término entre la base de mayor exponente12 y aplicar particulares).
23
(ver límites
[Análisis derivativo de funciones]
CONALEP-2011
Ejemplo 32. Determinar el límite de la función Cuando
( )
.
Si aplicamos sustitución directa obtenemos una forma indeterminada
Dividamos entre
para evitar la indeterminación (
)
(
)
Por lo tanto:
La gráfica de esta función presenta una asíntota horizontal cuya ecuación es y
2.5
2
1.5
1
0.5
x -3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-3
-3.5
-4
Ejemplo 33. Determinar
Vemos
que
la
base
de
mayor
exponente
es
(
)
(
)
(
)
(
)
término:
24
así
que
dividimos
cada
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Por lo tanto:
Esta gráfica presenta dos asíntotas: una vertical y otra horizontal. La asíntota vertical se obtiene haciendo 0 al denominador que
y
√
por lo
así que
La asíntota horizontal se obtiene del valor del límite
Límites para funciones trascendentes Para el cálculo de límites de funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas también podemos utilizar la sustitución directa, en base a las siguientes propiedades9: Sea a un número real, el cual está en el dominio de la función señalada, entonces:
(
)
Nota: la unidad de medida de los ángulos es el radián. Recordemos que
25
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Límites de funciones trigonométricas
Veamos algunos ejemplos para calcular límites de funciones trascendentes.
Ejemplo 34. Determinar
Se lleva a cabo una sustitución directa del valor de x en la función: ( ) El valor al cual tiende el límite es 0. Ejemplo 35. Determinar el límite de la función
( )
cuando
.
Nuevamente aplicamos sustitución directa ( )
(
)
El valor del límite es -2 veces pi radianes. Ejemplo 36. Calcular ( )
( )
Límites trigonométricos indeterminados
Cuando se presentan indeterminaciones al calcular límites trigonométricos, podemos aplicar alguna identidad trigonométrica o utilizar los siguientes límites particulares:
Que también puedes ser:
26
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Ejemplo 37. Calcular
(
)
Sustituyendo el valor de x
(
)
√
(
√
)
Podemos emplear la identidad
(
)
(
)
(
(
)
(
)
)
Ahora el límite será
(
)
(
Ejemplo 38. Determinar el valor de
)
( )
√ √
( )
√
cuando
Sustituyendo el valor de x
Dado que tenemos una forma indeterminada, hagamos lo siguiente:
Y empleando el límite
Tenemos que
Ejemplo 39. Determinar Tenemos una indeterminación
27
CONALEP-2011
[Análisis derivativo de funciones]
Multipliquemos por 2 tanto en el numerador como denominador ( ) Por lo tanto:
Ejemplo 40. Determinar Tenemos una indeterminación
Multipliquemos por 3 tanto en el numerador como denominador (
)
Empleando el límite
Tenemos ( ) Por lo tanto:
Límites de funciones exponenciales
Para ver algunos ejemplos relacionados con funciones exponenciales y logarítmicas, recordemos las gráficas correspondientes. Tenemos que
28
[Análisis derivativo de funciones]
CONALEP-2011
14
14
y
12
12
a >0
y
8
0
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