Análisis Del Criterio de La Primera Derivada

 

 ANÁLISIS DEL CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA Se llama primera derivada al método o teorema teorema ulizado  ulizado frecuentemente en el cálculo matemáco para determinar los mínimos  mínimos y máximos relavos que pueden exisr en

Teorema valor máximo y mínimo  un punto críco de una función una función f  que  que es connua connua Sea c  un

 que conene a c . en un intervalo abierto I  que Si f es derivable en el intervalo, excepto posiblemente c, entonces f(c) puede clasicarse como sigue. 1.

 función mediante  mediante el uso de una función una la primera derivada o derivada principal, donde se observa el cambio de signo, en un intervalo abierto señalado que conene el punto críco c .

2. 3.

Si f’(x) cambia de posiva a negava en c, entonces f ene un máximo relavo en (c,f(c)). Si f’(x) cam cambia bia d de e ne nega gava va a posiva posiva e en n c, ent entonces onces f e ene ne un mínimo relavo en (c,f(c)). Si f’(x f’(x)) es p posi osiv va a en ambo amboss lad lados os d de e c o ne nega gav va a en a ambo mboss lados de c, entonces f(c) no es ni un mínimo ni un máximo relavo.

 

EJEMPLO 1

-Ulizando el criterio de la primera derivada, obtendremos los máximos y mínimos de la función y en que interv intervalos alos la función es creciente y decreciente.  f (x) = 3x² - 3x + 2 Primer paso: Calcular la Tercer paso: Reemplazar f(x) = 3(1/2) ² - 3(1/2) + 2 derivada de la función f’(x)= 6x – 3 = 0

Si es positvo es creciene

Si es negatvo es decreciene

-

f(x) = 0.75 – 1.5 + 2

x=0

(Segundo paso: igualarla a 0)

F(x) = 1.25

Reemplazar: [ x = 0 ] f’(x) = 6(0) - 3 = -3

6x = 3

Máximo y mínimo

[ x = 1 ] f’(x) = 6(1) - 3 = 3

X = ½ o 0.5

(0.5, 1.25)

•  f • F

+ 0.5 x = 1

= ] -  - ∞ , 0.5[  [   = ] 1.25 ,∞ ,∞ [

1.25

 

EJEMPLO 2

-Ulizando el criterio de la primera derivada, obtendremos obtendremos los máximos y mínimos de la función y en que intervalos la función es creciente y decreciente. decreciente.  f(x) = x³ - 9x 9x²² + 15x - 5 Primer paso: Calcular la derivada de la función f’(x)= 3x² - 18x + 15 (sacándole   x² - 6x + 5tercia):    x   x

-5 -1

(x - 5) (x – 1) = 0 

+  

x=0

1

x=2

+ 5

x = 6 

Reemplazar: [ x = 0 ] f’(x) = (0)² - 6(0) + 5= 5

•  f

= ] --  ∞ , 1[ ; ] 5 ,∞ [

• F

5 [  [   = ] 1 ,,5

[ x = 2 ] f’(x) = (2)² - 6(2) + 5= -3

(se iguala a cero)  X = 5 ; x = 1

Si es positvo es creciene

Si es negatvo es decreciene

Si es positvo es creciene

[ x = 6 ] f’(x) = (6)² - 6(6) + 5= 29

 

 ANÁLISIS DEL DEL C CRITERIO RITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA

El Crierio de la segunda derivada es un teorema o método de cálculo matemáco en el que se uliza la segunda derivada para efectuar una prueba correspondiente a los máximos y mínimos relavos de una función.

Se basa en el hecho de que si la  es convexa gráca de una función f  es en un intervalo abierto que conene a c , y f’(c) y f’(c) = 0 , f(c) debe  f(c) debe ser un mínimo relavo a f  a f . De manera similar, si la gráca de una función es cóncava en un intervalo abierto que conene c y f’(c) y f’(c) =de f  , f(c) ser un máximoa relavo de0  f  . debe

Extremos relativos:

 

EJEMPLO 1

   f(x) = 3x³ - 9x  f ’(x) = 9x² - 9

f ’’(x) = 18x

 puntos crícos:

F’’(1) = 18 

9x² - 9 = 0

X=1 es un mínimo concavidad hacia arriba

9(x² - 1) = 0  x² = 1 x = 1 ; x = -1

F’’(- 1) = - 18  X= - 1 es un máximo concavidad hacia abajo

Puno de inexión 18x = 0 X=0

 X = 1 es un mínimo concavidad concavida d hacia arriba  X= -1 es un máximo concavidad hacia abajo  X=0 es un punto punto de inexión

 

EJEMPLO 2

•   

f(x) = x³ + 3x² - 2 •  + (2)(3) - 0 = 3x² + 6x

 f’’(x) = (2)(3) • f’(x) = 0

3x (x + 2) X1 = 0   X = -2

Valores crícos

2

1

• X=0

X = -2

 

2

f’’(0)= 6(0) + 6 = 6 (+) F(0)= (0) +3(0) – 2 f’’(-2) = 6(-2) +6= -6 (-) f(-2) = (-2)³ + 3(-2)² - 2 f(-2) = -8 +12 -2

Mínimo relavo

f(0) = - 2 Máximo relavo

f(-2) = 2