Analisis de Transistorios de Segundo Orden

Nombre de unidad: Análisis de transitorios de segundo orden (RLC)

Asignatura: Análisis de circuitos eléctricos de CD Unidad: 4

Introducción

Todo cambio de estado significa un cambio en la cantidad de la energía del sistema, sea este mecánico, térmico o eléctrico. Como el suministro o la disipación de energía no puede realizarse con amplitud infinita este cambio requiere un tiempo determinado. Se pasa de un estado al otro en forma gradual, el tiempo de transición se denomina período transitorio. Una vez que el sistema se estabiliza en el nuevo estado se dice que se encuentra en su período estacionario, de régimen o forzado. En todos los casos esa "inercia" en responder es debida a la presencia de elementos capaces de almacenar energía: una masa, un resorte, etc. Nuestro estudio se referirá a los circuitos eléctricos, pero podremos observar la semejanza que existe con otros sistemas. Esta es la base de la computación analógica para el estudio de sistemas dinámicos.

Respuesta natural del circuito RLC en paralelo, sin excitación La respuesta natural (no forzada) del circuito RLC en paralelo que se muestra en la figura .se eligió este circuito para ilustrar las tres formas de las respuesta natural. Podría presentarse una discusión análoga del circuito RLC en serie, pero se omite dado que el propósito no es tener la solución de circuitos específicos si no ilustrar el método general. Se aplica la LCK en el nodo para obtener V R

t

+

I ∫ vdt+ i ( 0 ) +C dv L0 dt

=0

…. 9.5-1

Derivando la ecuación 9.51

C+

d2 v dt 2

+

1 dv i + v =0 R dt L …. 9.5-2

un circuito de segundo orden da lugar a una ecuación diferencial homogénea que contiene una derivada de segundo orden debido a la presencia de dos elementos independientes que almacenan energía. Usando los operadores, se obtiene la ecuación característica s2

1 1 s+ =0 ….9.5-3 RC LC

+

Las dos raíces de la ecuación característica son

Cuando

s1

y

s 1=

−1 +¿ 2 RC

s 2=

−1 +¿ 2 RC

s2

[(

1 2 ¿ 2 RC

-

1 1 /2 ¿ …. 9.5-4 LC

[(

1 2 ¿ 2 RC

-

1 1 /2 ¿ …. 9.5-5 LC

no son iguales, la solución de la ecuación diferencial de

segundo orden 9.5-2 para t ¿ 0

es

n=¿ A 1 e v¿

s1 t

+

A2 e

s 2t

….9.5-6

Las raíces de la ecuación característica pueden reescribirse como sigue:

Donde

α = 1/(2RC) y

s 1=−α+ √−α + w20

….9.5-7

s 2=−α + √−α +w20

….9.5-8

w 20

= 1/(LC).Normalmente,

w0

se llama frecuencia

resonante o frecuencia de resonancia. El concepto de frecuencia resonante de amplia .Las raíces de la ecuación característica están sujetas a tres condiciones posibles: α 2> w20

1. Dos raíces reales y diferentes cuando 2. Dos raíces reales iguales cuando

2

2

α =w 0

2 2 3. Dos raíces complejas cuando α > w0

.

.

.

Cuando las dos raíces son reales y distintas, se dice que el circuito esta sobreamortiguado cuando son reales e igual, se dice el circuito esta críticamente amortiguado, cuando las dos raíces son complejas conjugadas, se dice que el circuito esta subamortiguado. Se determinara la respuesta natural del circuito RLC sobreamortiguado de la figura 9.5-1 cuando las condiciones iníciales son v(0) e i(0) en el capacitor y el inductor, respectivamente. Nótese que, como ese circuito no tiene señal de entrada,

v n (0)

y v (0)

indican el mismo voltaje.la ecuación 9.5-6 en t=0 es V 0 ( 0 )= A1 A 2 Puesto que se desconocen tanto

A1

como

….9.5-9 A2

, se necesita una ecuación

mas en t=0.reescribiendo la ecuación 9.5-1 en t=0, tiene v (0) dv (0) +i ( 0 ) +C =0 R dt Dado que se conocen i(0) y v(0),se tiene

dv (0) −v ( 0) i(0) = − dt RC C ….9.5-10 Así que se conoce el valor inicial de la derivada de v en términos de las condiciones iníciales derivando la ecuación 9.5-6 y haciendo t=0,se obtiene. vn (0) dt

=

s 1 A 1+ s 2 A2 ….9.5-11

Igualando las ecuaciones 9.5-10 y 9.5-11,se obtiene una segunda ecuación en términos de las dos constantes, como sigue: −v (0) i(0) s 1 A 1+ s 2 A2 = RC − C ….9.5-12 Respuesta natural del circuito RLC en paralelo, críticamente amortiguado y sin excitación. De nuevo se considere el circuito RLC en paralelo y ahora se determina el caso especial en que la ecuación característica tiene dos raíces reales iguales, lo que 2

ocurre cuando

2=¿ w0 , siendo. ∝¿

α= Supóngase que

s1

=

s2

1 w2 2 RC y 0

=

1 LC

y procédase a determinar

v n (t ) .La respuesta

natural se expresa como la suma de dos exponenciales, en la siguiente forma: vn

Donde

=

A 1 eS t 1

+

A2 eS t

=

1

A 3 eS t 1

….9.6-1

3=¿ A 1+ A 2 .como las dos raíces son iguales, solo existe una constante A¿

indeterminada, pero sigue habiendo dos condiciones iníciales por satisfacer. Obviamente, la ecuación 9.6-1 no es la solucione que contenga dos constantes arbitrarias, por lo que intuitivamente se intenta la solución. x n=g (t )e

s1 t

Donde g(t) es un polinomio en t.se probara

g (t) = Sustituyendo

xn

2+¿ A 1 t A¿

s t = g ( t ) e en la ecuación diferencial original y aplicando las 1

A1 y A

condiciones iniciales, se obtendrá la solución para

2

.

Entonces, para dos raíces iguales simultaneas de la ecuación característica, se probara la solución vn

=

es t

A 1 t+ A2

(

1

)

….9.6-2

Considérese un circuito RLC en paraleló donde L = 1H, R=1Ω , C=1/4 F, v(0)=5v,t i(0) =-6 A.La ecuación característica de este circuito es s

O bien

2

1 s RC

+

1 =0 LC

s2

=

−2

2

s +4 s+ 4=0

Entonces, las dos raíces son

s1

=

.Usando la ecuación 9.6-2 para la

respuesta natural se obtiene vn

Dado que

=

e−2t ( A1 t+ A2 )

v n (0) =5, entonces, cuando t=0, 5=

Ahora,para obtener

A1 ,

….9.6-3

A2

se determina la derivada de

vn

,evaluándola cuando

t=0.esa derivada se determina diferenciando la ecuación 9.6-3 y se obtiene dv dt

=

−2 A1 te−2 t + A 1 e−2 t

-

2 A 2 e−2 t

….9.6-4

Al evaluar esta ecuación cuando t=0, el resultado es

dv (0) dt

=

A 1−2 A2

Figura 9.6-1 Respuesta critica amortiguada del circuito RLC en paralelo

Se puede aplicar de nuevo la ecuación 9.5-10 y entonces dv (0) dt

=-

v (0) RC

2=¿

Ósea

Por lo tanto,

A1 vn

-

i(0) C

−5 −6 − =4 1/4 1/ 4 1−¿ 2 A ¿ A¿

= 4 y la respuesta natural es e−2t (14 t + 5) v

=

En la figura 9.6-1 se ve la respuesta natural, críticamente amortiguada, de este circuitoRespuesta RLC. natural de un circuito RLC en paralelo subamortiguado y sin excitación

La ecuación característica del circuito RLC en paralelo tendrá dos raíces complejas conjugadas cuando

2

2

∝ < w0 . Esta ecuación se cumple cuando. 2 LC