ANÁLISIS DE RESERVORIOS CIRCULARES POR ELEMENTOS FINITOS

2.1

RESEÑA HISTÓRICA DEL MÉTODO PCA

El desarrollo del método PCA comienza en 1943, y la teoría usada en esos tiempos para el análisis estructural estaba basada en la Teoría de la Elasticidad. Fue desarrollada por Domel y Gogate, consultores de la Asociación de Cemento Portland de Worthington, Ohio. El siguiente método surgió por la iniciativa de la construcción masiva de reservorios en los EE.UU., en esos entonces el tiempo era un factor valioso, y no se contaba con

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

el tiempo suficiente para el desarrollo del análisis estructural de los mismos. Ya que la complejidad matemática, para dicho desarrollo era demasiado prolongado. Dicho de esta manera, los señores Domel y Gogate, haciendo uso de métodos numéricos, desarrollaron tablas para diferentes dimensiones de reservorios apoyados, así también para diferentes condiciones de carga y apoyo. 2.2

RESEÑA HISTÓRICA DEL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

Si bien esto fue inmediatamente precedido por el gran logro de la escuela francesa, tal como Navier y St. Venant, el periodo de 1850 a 1875 es un punto lógico para nuestro empiezo. Los conceptos de análisis de pórticos emergieron gracias al esfuerzo de Maxwell, Castigliano, Mohr y otros. (Gallagher, 1977: 3)

campo de la Ingeniería Estructural con el trabajo de Hrennikoff en 1941, y McHenry en 1943, quien uso elementos unidimensionales para la solución de una celosía. En una investigación publicada en 1943 no reconocida por varios años, Courant propuso la solución de esfuerzos por métodos variacionales. Luego el introdujo las funciones de forma para regiones triangulares, como un método para obtener soluciones numéricas aproximadas. En 1947, Levy desarrolló el método de las fuerzas o flexibilidad, y en 1953 su trabajo sugirió el método de los desplazamientos o rigideces, seria una alternativa para el análisis de aviones que son estructuras estáticamente redundantes. Sin embargo,

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

El desarrollo moderno del método de elementos finitos comienza en 1940, en el

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

estas ecuaciones no eran fácilmente resueltas a mano, y así el método comenzó a ser popular, con el advenimiento de las computadoras.(Logan, 2007: En 1954 Argyris y Kelsey desarrollaron el método de análisis matricial usando principios de energía. Este desarrollo ilustro el importante papel, que el principio de energía podría jugar en el método de elementos finitos. El primer tratamiento de elementos bidimensionales fue por Turner et al. En 1956. Ellos derivaron la matriz de rigidez para elementos armadura, elementos viga, y elementos triangulares y elementos rectangulares con procedimientos conocidos comúnmente como el método de rigidez directa. Mas adelante con el desarrollo de computadoras digitales en los 50s, el trabajo de

frase elemento finito fue introducido por Clough en 1960. La matriz de rigidez, de elementos placa sometidos a momentos fue desarrollado por Melosh en 1960. Esto fue seguido por el desarrollo de la matriz de rigidez para elementos membrana por Grafton y Strome en 1963. La extensión del método de elementos finitos a problemas tridimensionales con el desarrollo de una matriz de rigidez de tetraedros fue hecho por Martin en 1961, por Gallagher et al. en 1962, y por Melosh en 1963. Adicionalmente, elementos tridimensionales fueron estudiados por Argyris en 1964. El especial caso de solidos eje simétricos fue considerado por Clough and Rashid y Wilson en 1965.

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

Turner et al. pronto fueron aplicados pero expresadas en notación de matrices. La

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

La mayoría de trabajos en elementos finitos fueron considerados para pequeños desplazamientos, comportamiento elástico del material, y cargas estáticas. Sin embargo deflexiones largas y análisis térmico fueron considerados por Turner et al. en 1960 y materiales no lineales por Gallagher et al. en 1963. Zienkiewicz et al. extendió el método a problemas visco elásticos en 1968. (Logan, 2007: 3) En 1965 Archer considero el análisis dinámico en el desarrollo de la matriz masaconsistencia, cual es aplicable al análisis de sistemas como barras y vigas en análisis estructural. Desde los 50s al presente, enormes avances han sido hechos en la aplicación del método de elementos finitos para resolver complicados problemas ingenieriles.

2.3

INGENIERÍA ESTRUCTURAL 2.3.1

Definición

La ingeniería estructural es la ciencia y el arte de planear, diseñar y construir estructuras seguras y económicas que servirán a los fines a los que están dirigidas.

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

Ingenieros, matemáticos, y científicos continúan desarrollando nuevas aplicaciones.

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

2.3.2

Papel del análisis estructural en los proyectos de ingeniería

estructural El análisis estructural es la predicción del comportamiento de una estructura dada bajo cargas prescritas y otros efectos externos, o bajo ambas influencias, como movimientos de los apoyos y cambios en la temperatura. Por lo tanto, podemos decir que el análisis estructural es un proceso iterativo, que podemos plantear en un diagrama de flujos, como se muestra en la Fig. . Fase de planeación

Diseño estructural preliminar

Análisis estructural

¿Se satisfacen las necesidades de seguridad y utilidad?

N o

Diseño estructural revisado

Si Fase de construcción

Fig.

Fases de un proyecto tipico de ingenieria estructural Fuente: Analisis Estructural (Kassimali, A. 2001:6)

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

Estimación de las cargas

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

RESERVORIO 2.4.1

Definición

Es una estructura hidráulica con capacidad de contener líquidos que puede ser agua potable o agua tratada, o cualquier otro liquido; estas estructuras pueden estar apoyadas, elevadas o enterradas. 2.4.2

Reservorios apoyados

Los reservorios apoyados, que principalmente tienen forma rectangular y circular, son construidos directamente sobre la superficie del suelo. Por lo general, se utiliza este tipo de reservorios, cuando el terreno sobre el que se va a desplantar tiene la capacidad necesaria para soportar las cargas impuestas, sin sufrir deformaciones importantes. Resulta también conveniente, si fuese necesario, contar con una cierta altura para la descarga del líquido, a fin de disponer de una carga de presión hidrostática adecuada. Los reservorios apoyados tienen la ventaja de que su mantenimiento es mas sencillo de efectuar y mas fácil la instalación, operación y mantenimiento de las tuberías de entrada y salida.

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

2.4

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

Fig.

Reservorio Apoyado

Fuente: www.sedapal.com.pe 2.4.3

Reservorios elevados

Los reservorios elevados, pueden tomar la forma esférica, cilíndrica, y de paralelepípedo, son construidos sobre torres, columnas, pilotes, etc.

plana.

Fig.

Reservorio Elevado

Fuente: www.sedapal.com.pe 2.4.4

Reservorios enterrados y semienterrados

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

Generalmente se construyen en ciudades que cuentan con una topografía

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

Los reservorios enterrados se construyen totalmente bajo la superficie del terreno. Se emplean cuando el terreno de desplante es adecuado para el funcionamiento hidráulico de la red de distribución y cuando es necesario excavar hasta encontrar un estrato de soporte más resistente. Tienen la ventaja de conservar el agua a resguardo de las grades variaciones de temperatura; no alteran el paisaje y sus cubiertas pueden utilizarse para las mas diversas funciones. Sus inconvenientes son el tener que efectuar excavaciones costosas, la dificultad de observar y mantener las instalaciones de conexión del abastecimiento y la red de distribución, así como, la dificultad para descubrir

Por otro lado, en los reservorios semienterrados, una porción de la construcción se encuentra bajo el nivel del terreno y parte sobre éste. La construcción de este tipo de reservorio esta definida por razones de topografía o cuando el costo de la excavación es alto, ya sea porque esta no se justifica debido a su localización desventajosa o por razones de geotecnia. De no observarse ambos factores, traerían aparejados el costo elevado de la construcción, Por otra parte, permite un acceso a las instalaciones más fácilmente que el de los depósitos totalmente enterrados.

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

las posibles filtraciones y fugas del líquido.

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

MÉTODO PCA 2.5.1 Introducción Convencionalmente los reservorios circulares reforzados han sido usados extensivamente en municipalidades e industrias durante décadas, el diseño de estas estructuras requieren atención, no solamente por los requerimientos de esfuerzos, sino para requerimientos de servicio. Apropiadamente diseñada debe poder resistir las cargas aplicadas sin romperse que permita escape. La meta de proveer un tanque estructural que no pierda es llevar a cabo las cantidades adecuadas y distribución de refuerzo, el adecuado espaciamiento y detalles de juntas de construcción, y el uso de la calidad de concreto usando adecuadas prácticas de construcción. Un total repaso de los últimos reportes de ACI Committee 350 es esencial para entender el diseño de reservorios. 2.5.2 Condiciones de carga Un reservorio debe ser diseñado para resistir cargas que pueden ser expuestos durante muchos años de uso. Pero esto es igualmente importante considerando cargas durante la construcción. Un ejemplo de algunas condiciones de carga que deben ser considerados para una parcialmente enterrada. El reservorio debe ser diseñado para resistir a las fuerzas de presión hidrostática en el fondo de la losa cuando el reservorio está vacío. Además, esto es importante por el ingeniero estructural para determinar toda posible condición de carga en la estructura. De

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

2.5

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

acuerdo al ACI 350, el efecto total de la carga de suelo y presión de agua debe ser diseñado sin el beneficio de resistencia de las cargas que podrían minimizar el efecto de cada uno. (PCA. 1993: 1) 2.5.3 Análisis estructural El análisis estructural, para el cálculo de momentos flectores y tensión son calculados mediante coeficientes ya determinados, las mismas las encontramos en ábacos en el Apéndice de la publicación Circular Concrete Tanks Without Prestressing y en el anexo 1 del presente trabajo. Las que se encuentran de acuerdo a las condiciones de borde, las mismas las podemos dividir de la siguiente manera:

 Muro con base móvil y borde libre con carga triangular.  Muro con base móvil y borde libre y carga trapezoidal.  Muro con fuerza aplicada en el borde.  Muro con fuerza aplicada en la base.  Muro con momento aplicado en el borde.  Muro con momento aplicado en la base. El procedimiento para determinar los momentos flectores, fuerza cortante y tensión radial en todos los casos son similares, la diferencia está en los coeficientes, porque para cada condición de borde se tiene un ábaco diferente. El procedimiento de uso de las mismas la detallamos a continuación.

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

 Muro con base empotrada y borde libre con carga triangular.

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

a) Calculo de la pared cilíndrica - Tensiones horizontales La tensión es obtenida mediante la siguiente fórmula, se entra a la tabla del PCA:

El valor de “C” se obtiene de la tabla A-

del anexo, mediante la siguiente

relación:

: Altura total de reservorio

: Espesor de muro : Coeficiente : Peso de la agua : Radio - Cálculo de refuerzo De acuerdo al diagrama de tensiones anulares, se calculara se calculara el refuerzo a cada tercio de la altura, según la relación siguiente:

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

: Diámetro de reservorio

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

Donde: : Área de acero : Tensión : Fatiga de trabajo Dado que todo el anillo trabaja a tracción, el concreto solo es recubrimiento del acero, por lo que se considera

.

- Cálculo de momentos verticales

- Verificación por Corte Según la tabla A-

del PCA, el corte máximo será en condición última con:

. Será:

√

b) Calculo de la losa de fondo

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

Con el valor del factor de selección, entramos a la tabla A- del PCA:

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

Asumiendo el espesor de la losa de fondo, conocida la altura de agua, el valor de P será: Peso propio del agua en kg/m2 Peso propio del concreto kg/m2 La losa fondo será analizada como una placa flexible y no como una placa rígida. Debido a que el espesor es pequeño en comparación en relación a su longitud; además la consideraremos apoyada en un medio cuya rigidez aumenta con el empotramiento. Dicha placa estará empotrada en los extremos. - Cálculo de momentos verticales

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

Según la tabla A-14 los momentos en la losa circular estará dada por:

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS 2.6.1 Introducción El desarrollo del Método de Elementos Finitos (MEF) como una herramienta de análisis, fue inicialmente iniciado con el advenimiento de las computadoras digitales. Para la solución numérica de un problema del continuo esto es básicamente necesario para establecer y resolver sistemas de ecuaciones. La aplicación del MEF y el uso de computadoras digitales es posible establecer y resolver ecuaciones para sistemas complejos en un tiempo eficiente. Esto es principalmente para estructuras o sistemas continuos que pueden ser analizados. El MEF fue inicialmente desarrollado en la física para el análisis de mecánica estructural; sin embargo, este método puede ser aplicado de muchos problemas. La generalización del MEF se efectúa con la formulación de los métodos variacionales. El caso original de desarrollo, es difícil dar una fecha exacta cuando el MEF fue inventado, pero las reglas del método pueden ser tratadas en tres grupos: Matemáticos, Físicos, e Ingenieros. Aunque las principales publicaciones son obtenidos por el independiente desarrollo por ingenieros. Importante contribución han sido las investigaciones de Turner et al. , Argyris y Kelsey. El nombre de Elemento Finito fue ganado en las investigaciones de Clough. Hoy, el concepto de MEF es muy extenso. La más importante formulación, cual es ampliamente usado para la solución de problemas prácticos, es el MEF

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

2.6

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

basado en desplazamientos. Prácticamente todos los programas de análisis han sido escritos usando esta formulación, por su simplicidad, generalización, y buenas propiedades numéricas. ¿Qué es el método de elementos finitos? El método de elementos finitos es un procedimiento para la solución numérica de las ecuaciones que gobiernan los problemas fundamentales en la naturaleza. (Oñate, Usualmente el comportamiento de la naturaleza puede ser descrito por ecuaciones expresadas en ecuaciones diferenciales o integrales. Generalmente, el MEF (Método de Elementos Finitos) es comprendido en matemáticas como

ecuaciones con integrales. ¿Qué es un elemento finito? Un elemento finito puede ser visualizado como una pequeña porción de un continuo (en nuestro caso de un sólido o estructura

La palabra “finito”

distinguido como una porción de los elementos “infinitesimal” del cálculo diferencial. La geometría del continuo es considerada por parte, de un conjunto, de una colección de no-coincidir dominios con simple geometría de elementos finitos. (Hartmann, 2006:1) Triángulos y cuadriláteros en dos dimensiones (2D) o tetraedros y hexaedros en tres dimensiones (3D son comúnmente escogidos para representar “elementos”

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

una técnica numérica para la resolución de ecuaciones diferenciales parciales o

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

Es usualmente conocido como “malla” de elementos finitos “discretos” de continuo. La variación de espacio de los problemas paramétricos es expresado dentro de cada elemento por promedio de un expresión polinomial. Desde la variación analítica de cada parámetro es más complejo y generalmente no conocido, el MEF solamente provee una aproximación a la solución exacta. (Oñate,

3

.4 Método numérico y analítico La diferencia entre método analítico y numérico es que el antiguo registro para las expresiones matemáticas universales representan lo general y exacta solución de un problema gobernado típicamente por ecuaciones matemáticas.

pocos particulares casos cual frecuentemente representan basta simplificación de la realidad. (Oñate, En el otro lado, métodos numéricos tal como los MEF principalmente proveen una solución, en la forma de una serie de números, a las ecuaciones matemáticas que gobiernan un problema. La estrategia siguiente, por más métodos numéricos, es la transformación de expresiones matemáticas en una serie de ecuaciones algebraicas que dependen de una serie finita de parámetros. Para problemas prácticos estas ecuaciones comprenden muchos miles de no conocidos y además el sistema final de ecuaciones algebraicas puede solamente ser resueltas con la ayuda de la computadora. (Oñate, 2009:2)

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

Desafortunadamente soluciones exactas son solamente posibles para unos

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

Esto explica porque cada uno piensa varios métodos numéricos, fueron conocidos desde el siglo XVIII, su desarrollo y popularidad ha ocurrido en tándem al progreso de las modernas computadoras en el siglo XX. El termino método numérico es sinónimo de método computacional. Principios generales del método de elementos finitos El método de los elementos finitos es un método general de análisis estructural, que idealizando la estructura como un conjunto de elementos interconectados en un número finito de nudos, reduce el análisis básicamente a la solución de un sistema de ecuaciones lineales. Las incógnitas consideradas al plantear este sistema de ecuaciones son las fuerzas que interactúan en los nudos o los

La última de las posibilidades citadas, en que los desplazamientos de los nudos son las incógnitas, corresponde al “Método de rigideces” y es sin duda la que presenta mayor simplicidad y facilidad de programación. Estudios comparativos entre este método y aquel que considera como incógnitas las interacciones en los nudos, conocido como “Método de flexibilidades”, realizados por Gallagher, Rattinger y Archer (Scaletti,

: A-3), demuestra que, para estructuras en que

es sobre todo importante conocer las solicitaciones, los métodos de rigidez dan mejor rigidez. En general, para una estructura sometida a cargas estáticas, el proceso a seguirse puede ser resumido en los pasos siguientes:

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

desplazamientos de los mismos. (Scaletti, 1967: A-

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

a. “Discretización” del medio continuo b. Estudio de cada elemento por separado y evaluación de su matriz de rigidez. c. “Ensamblaje” adecuado de las matrices de rigidez de los elementos para formar la matriz de rigidez de la estructura. d. Formación de las matrices de carga. e. Condensación de las matrices de rigidez y carga. f. Formulación de condiciones de borde y las consecuentes modificaciones de las matrices de rigidez y cargas aplicadas.

h. Determinación de reacciones y evaluación de esfuerzos internos en los elementos. .5.1 Discretización del medio continúo El medio continuo es separado, mediante líneas o superficies imaginarias, en un número de “Elementos finitos” interconectados entre sí La “Discretización” del medio continuo implica considerar, en lugar de los infinitos puntos de interconexión existentes entre los “elementos” en a estructura real, tan solo un numero finito de

“nudos” y, en consecuencia, la “concentración” del

comportamiento de la estructura y de las acciones sobre la misma en los puntos Fig.

. Las interacciones entre los elementos también se suponen

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

g. Solución del sistema de ecuaciones.

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

concentradas en fuerzas equivalentes actuantes en los nudos. Las interacciones entre los elementos también se suponen concentradas en fuerzas equivalentes actuantes en los nudos. Los nudos entonces vienen a ser puntos representativos de la estructura, y sus desplazamientos, o la interacción en los mismos, se toman como incógnitas. Por razones prácticas, el número de incógnitas o “grados de libertad” que se consideran para cada nudo rara vez corresponde al caso de una unión rígida y tridimensional, ya sea por la naturaleza del problema ciertos desplazamientos son de muy poca importancia, como por la necesidad de limitar el número total

Fig.

Discretización de una estructura

Fuente: Structural Analysis with Finite Element (Hartmann, F. 2006:1)

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

de incógnitas a la capacidad de memoria de la computadora que se dispone.

Fig.

Discretización de modelos estructural en elementos finitos

Fuente: Structural Analysis with the Finite Element Method. (Oñate, E. 2009:5)

.5.2 Ensamblaje de la matriz de rigidez de la estructura Considerables ventajas de programación se obtienen formando la matriz de rigidez de la estructura por sucesivos ensamblajes de las matrices de rigidez de los elementos finitos considerados como estructuras aisladas.

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

Asumiremos ahora, como punto de partida, que es posible calcular las matrices de rigidez de los elementos aislados, y analizaremos las condiciones que posibilitan y determinan los criterios a seguirse para este ensamblaje. Dos tipos de condiciones deben ser satisfechas, en toda la estructura, para lograr resultados adecuados:  Compatibilidad de desplazamientos.  Equilibrio de fuerzas. Nótese que para puntos situados en el interior de un elemento cualquiera estas condiciones deben ser necesariamente satisfechas al analizar el elemento en

elementos, el planteamiento de las condiciones de continuidad presenta serias dificultades, y estrictamente, se limita en la práctica solo a los nudos. Aunque también pueden plantearse condiciones de continuidad, de esfuerzos o de deformaciones, a lo largo de los bordes (siempre que se tenga continuidad en los nudos), no es esto dispensable para conseguir convergencia a la solución exacta. Evaluación de las matrices de rigidez y carga de los elementos En secciones anteriores se ha hecho referencia a la idealización de estructuras como un ensamble de elementos interconectados solo en nudos, y a la obtención de la matriz de rigidez de la estructura ensamblada en base a las características

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

forma aislada. Sin embargo, para puntos situados sobre los límites entre

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

de rigidez de los elementos aislados es en consecuencia un paso previo en la aplicación de los métodos matriciales. Aunque para el caso para el caso de estructuras de barras es posible determinar las matrices de rigidez de los elementos por métodos tan simples como la teoría de vigas, para elementos más complejos esto en general no es posible. Existen muchas alternativas a utilizar en la determinación de las matrices características de los elementos, pero todas ellas son equivalentes, el más usado son las funciones de forma. La función de forma para cada elemento se selecciona una aproximación de la función buscada. La función buscada puede dar la distribución del campo de

las funciones de forma son polinomios de primero, segundo o tercer orden. Para problemas de dos dimensiones, las funciones de forma son polinomios lineales, cuadráticos o de orden mayor. (Rubio et al., 2010:12) La función por aproximar

puede expresarse a través de las variables

nodales del elemento mediante una combinación lineal de las funciones de forma con las variables nodales como coeficientes. Si solo los valores de la función en los nodos, son tomados como variables, la aproximación para el elemento bidimensional con

nodos tiene la forma:

∑

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

desplazamientos en problemas de elasticidad. Para problemas unidimensionales

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

En donde

es el número de nodos en el elemento.

La misma que puede ser denotada en un formato de matrices de la forma: { }

{ } { }

Fig.

Algunos tipos comunes de elementos

Fuente: Método del Elemento Finito Fundamentos y Aplicaciones con ANSYS. (Rubio, C. et al. 2009:12)

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

Donde { } son las funciones de forma y { } son los grados de libertad.

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

.5.4 Transformación de matrices por cambio de sistema de referencia Con frecuencia es conveniente analizar cada elemento refiriéndolo a un sistema local de coordenadas, X’Y’Z’, no coincidente al sistema global, XYZ, asumiendo para la totalidad de la estructura. Como los desplazamientos de los nudos, las cargas externas, y las interacciones entre elementos están referidos al sistema de coordenadas globales, es necesario realizar ciertas transformaciones antes de proceder el ensamblaje. Condensación de las matrices de rigidez La matriz de rigidez de una estructura, obtenida por ensamblaje, se relaciona con todas

las

posibles

fuerzas

en

los

nudos

con

los

correspondientes

de estas fuerzas es aplicado y ciertos desplazamientos son de poca importancia. En tales casos puede ser conveniente obtener una modificación de la matriz de rigidez que solo relacione fuerzas y desplazamientos correspondientes a los grados de libertad de interés para el análisis. Ello puede hacerse con el proceso de condensación estática. Formulación de condiciones de borde Tal como se ha planteado el análisis, la estructura idealizada es hiperestática. La aplicación de un estado de cargas de cualquier tipo (excepto cuando las cargas externas se equilibren entre si) provocaría, antes que la deformación de los

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

desplazamientos. Sin embargo, en muchas aplicaciones solo un limitado número

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

elementos componentes, los desplazamientos de toda la estructura como un cuerpo rígido. Matemáticamente, la hipoestaticidad de la estructura se traduce en la singularidad de la matriz de rigidez de la misma; pudiéndose así obtener, para cada estado de cargas, infinitos posibles estados de desplazamiento. Con la aplicación de condiciones de borde se hace estable la estructura, es decir, se logra una solución única. Una de las grandes ventajas del MEF es la sencillez y generalidad con las que cualquier condición de borde puede ser considerada. Las condiciones de carga pueden ser impuestas como fuerzas (reacciones) o desplazamientos establecidos previamente a la solución. La especificación de

de carga. Si se establece algún desplazamiento, debe eliminarse la correspondiente fila de la matriz de rigidez y transferir al otro miembro, la correspondiente columna multiplicada por el desplazamiento pre-establecida. Matemáticamente, este proceso significa la eliminación de una de las incógnitas. Aunque esta eliminación es muy simple para el cómputo manual, no es práctico para su uso en una computadora digital, ya que obliga a ejecutar demasiados procesos de reorganización de las matrices.

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

fuerzas de borde puede ser incluida en forma automática al formar las matrices

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

Solución del sistema de ecuaciones La solución del sistema de ecuaciones, introducidas las modificaciones necesarias, proporciona los desplazamientos. Aunque en principio cualquier método de solución podría ser usada, la gran magnitud que por lo general tiene la matriz de rigidez de la estructura vuelve inoperante los métodos tradicionales. Determinación de las reacciones La formulación de condiciones de borde mediante establecimiento a priori de ciertos desplazamientos implica la existencia de reacciones, cuya magnitud en muchos casos debe determinarse. Tales reacciones pueden ser consideradas como fuerzas adicionales, que

libertad para lograr los desplazamientos pre-establecidos. Convergencia del MEF De lo planteado hasta el momento, puede concluirse que el MEF es un método aproximado, puesto que:  Los infinitos grados de libertad de la estructura real son restringidos por funciones asumidas para los desplazamientos y/o esfuerzos, expresándose en base a un número finito de grados de libertad.  La continuidad entre elementos es notoriamente afectada.

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

requieren ser aplicadas a los nudos en que se ha delimitado algún grado de

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

Sin embargo, es esperar que, si se consideran elementos adecuados, con este método se obtengan soluciones convergentes a los valores exactos a medida que se reducen las dimensiones de los elementos. Considerando que, en el límite, para elementos infinitésimos, los resultados deben ser exactos, dos condiciones necesarias y suficientes para que exista convergencia pueden plantearse: o Los grados de libertad considerados para los nudos y las funciones de forma asumidas en los elementos deben ser compatibles con las condiciones de equilibrio y adecuadas para describir el estado de deformación existente. o Las funciones de forma asumidas deben ser aptas para representar un estado de deformación constante en el elemento. En particular, desplazamientos de

No es indispensable, aunque si conveniente, que las funciones de forma asumidas establezcan continuidad, en todos los bordes entre elementos, de todas las componentes de desplazamiento; puesto que, existiendo continuidad en los nudos, en el límite, para elementos infinitésimos, cuya deformación tiende a

ser

constante,

la

continuidad

se

restablece

en

forma

automática.

Experimentalmente se ha comprobado que tales funciones son totalmente consistentes con el estado de deformación también convergen, aunque no se ha determinado en qué proporción las discontinuidades citadas podrían afectar el ritmo de convergencia. (Scaletti,

A-

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

cuerpo rígido deben poder representarse adecuadamente.

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

Modelo estructural y análisis MEF Clasificación del problema El primer paso en la solución de un problema es la identificación del problema en sí. Por lo tanto, antes de que nosotros podamos analizar una estructura nosotros debemos hacernos las siguientes preguntas: ¿Cuáles son los más relevantes fenómenos físicos que influyen en la estructura? ¿Es el problema de naturaleza estática o dinámica? ¿Son la cinemática o la propiedad del material lineal o no lineal? ¿Cuáles son las solicitaciones? ¿Cuál es el grado de exactitud? La respuesta a estas preguntas es esencial para seleccionar un modelo estructural y la adecuación de un método computacional.

Método computacional, tal como el MEF, son aplicados a modelos conceptuales de un problema conceptual, y no el problema actual es sí. Cada método experimental en laboratorio estructural, hace uso de reproducción a escala de un modelo conceptual escogido (también llamado modelo físico) a menos que la actual estructura es probada en escala real, cual raramente ocurre. Un modelo conceptual puede ser desarrollado una vez que la naturaleza física es claramente entendida. En la derivación de un modelo conceptual nosotros debemos proponer, para excluir detalles superfluos e incluir las características relevantes del problema antes considerado; entonces, ese modelo puede describir realmente con suficiente exactitud. (Oñate,

3

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

Modelo conceptual, estructural y computacional

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

Un modelo conceptual para el estudio de una estructura debe incluir todos los datos necesarios, para esta representación y análisis. Evidentemente personas diferentes tendrán diferentes percepciones de la realidad; consecuentemente, el modelo conceptual de la misma estructura puede tomar una variedad de formas. Después de seleccionar un modelo conceptual de una estructura, el siguiente paso para el estudio numérico es la definición de un modelo estructural (algunas veces modelos matemáticos). Un modelo estructural debe incluir tres fundamentales aspectos. La descripción geométrica de la estructura por querer decir de estos componentes geométricos (puntos, líneas, superficies, volúmenes) Fig.

, las expresiones matemáticas de

(las ecuaciones de equilibrio de fuerzas y las condiciones de frontera) usualmente escritas en ecuaciones diferenciales y/o integrales y la especificación de propiedades de los materiales y las cargas actuantes en la estructura. Evidentemente el modelo conceptual puede ser analizado usando diferentes modelos estructurales dependiendo en la exactitud y/o simplicidad en el análisis. Como un ejemplo, una viga puede ser modelada usando la teoría general de elasticidad 3D, la teoría de esfuerzos en 2D o una teoría simple de vigas. Cada modelo estructural provee una diferente serie de análisis de la estructura actual. Nosotros debemos tener en mente que una solución fundada en un incorrecto modelo conceptual o físico traerá una incorrecta solución. Lejos del valor físico correcto, si es obtenido con la exactitud del método numérico.

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

las leyes básicas de la física que gobiernan el comportamiento de una estructura

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

El siguiente paso, en la secuencia del análisis estructural es la definición del método numérico, tal como el MEF. La aplicación del MEF invariablemente requiere la implementación de un código computacional. El análisis de una estructura con el MEF implica la alimentación de un código con información cuantitativa en las propiedades mecánicas de los materiales, las condiciones de frontera y las cargas aplicadas tan bien como las características de la discretización. El resultado de este proceso es que nosotros llamamos un modelo

Fig.

Modelos estructurales de algunas estructuras

Fuente: Structural Analysis with the Finite Element Method. (Oñate, E.

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

computacional para el análisis de una estructura.

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

Análisis estructural por el MEF La geometría de una estructura es discretizada cuando esto es dividido en una malla de elementos finitos de una cierta exactitud. Claramente, la discretización introduce otra aproximación, con respecto

a la realidad nosotros tenemos

además dos errores originados de los resultados: el error modelo y el error discretización. El pasado puede ser reducido mejorando el modelo conceptual y estructural cual describe el actual comportamiento, previamente explicada. El error discretización, por otro lado, puede ser reducido usando finas mallas, o también aumentando la exactitud de los elementos finitos escogiendo un polinomio de mayor orden. (Oñate, E. 2009:8)

su habilidad para representar datos exactamente con número finito. El error numérico es usualmente pequeño, sin embargo esto puede ser largo en algunos problemas, tal como cuando algunas partes de la estructura tienen diferentes propiedades físicas. La suma de discretización y error numérico son el resultado de los modelos computacionales. Nota que si nosotros podemos reducir el error computacional a cero, nosotros no podríamos reproducir exactamente el comportamiento actual de una estructura, a menos que el modelo conceptual y estructural fueran perfectos.

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

Adicionalmente, el uso de computadoras introduce error numérico asociado con

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

Verificación y validación de los resultados del MEF Desarrolladores de códigos de elementos finitos, analistas quienes usan los códigos y directores quienes cuentan con los resultados de los análisis, encarar unas preguntas críticas: ¿Cómo debería confiar en modelos?. Validación y verificación del MEF son el método primario para construcciones y cuantificar esta veracidad. En resumen, validación es la valoración de la exactitud de la estructura y modelo computacional por comparación de los resultados numéricos con datos experimentales. Los experimentos son usualmente ejecutados en laboratorio usando modelos a escala de una estructura, y en especiales ocasiones una estructura a escala real. La correcta

experimentales son cruciales en la validación del proceso. (Oñate, Verificación, por otro lado, es el proceso de determinar que un modelo computacional es exactamente representado por un modelo estructural falso y su solución. La verificación del MEF es hecho por comparación de resultados numéricos con simples problemas con soluciones obtenidas analíticamente. Una cautelosa examinación de la verificación indica que hay dos fundamentales partes de verificación: Código de verificación, para establecer confianza que el modelo matemático y la solución algorítmica, están trabajando correctamente, y verificación de cálculo, establecer confianza que la solución discreta de los modelos matemáticos. (Oñate,

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

definición de la prueba experimental y la fiabilidad de los resultados

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

Entre las técnicas de verificación, el más popular es comparar la producción de código y la solución analítica. Como el número de tantas soluciones es muy limitado.

ESTRUCTURA REAL

MODELO CONCEPTUAL DE LA ESTRUCTURA

MODELO ESTRUCTURAL

CODIGO PARAMETROS FISICOS

PARAMETROS DE DISCRETIZACION MODELO COMPUTACIONAL

Fig.

Flujo de una estructura real a un modelo computacional

Fuente: Structural Analysis with the Finite Element Method. (Oñate, E.

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

METODO NUMERICO (MEF)

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

Los sistemas discretos en general Las limitaciones de la mente humana son tales que no pueden captar el comportamiento del complejo mundo que lo rodea en una sola operación global. Por ello, una forma natural de proceder de ingenieros, científicos, e incluso economistas, consiste en separar los sistemas en sus componentes individuales, o en “elementos”, cuyo comportamiento puede conocerse sin dificultad, y a continuación reconstruir el sistema original, para estudiarlo a partir de dichos componentes. En muchos casos se obtiene un modelo adecuado utilizando un número finito de componentes bien definidos. A tales problemas los denominamos discretos. En

haciendo uso de la ficción matemática del infinitésimo. Ello nos conduce a ecuaciones diferenciales o expresiones equivalentes con un número infinito de elementos implicados a tales sistemas llamados continuos. .7 Método variacional El método variacional o de energía, constituye en la mecánica estructural un poderoso método y es ampliamente usado en la formulación del método de elementos finitos. Rudimentariamente este método ha sido herramienta para el análisis en la Ingeniería Estructural por más de un siglo.

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

otros, la subdivisión prosigue indefinidamente y el problema solo puede definirse

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

2.6.7.1 Principio de trabajo virtual El principio de trabajo virtual titulada, método variacional (convencionalmente llamada principio de potencial estacionaria y energía complementaria). El principio de trabajo virtual es un factor muy importante en la formulación del método de elementos finitos. Existen dos formas comúnmente usadas para el principio: desplazamientos virtuales y fuerzas virtuales. 2.6.7.2 Principio de desplazamientos virtual En los desplazamientos virtuales para el principio de trabajo virtual, se asume el cuerpo en equilibrio sujeta a cargas aplicadas, sujeta a un desplazamiento virtual (desplazamiento imaginario).

por las cargas aplicadas (trabajo externo) y la energía de deformaciones (trabajo interno) durante el desplazamiento virtual es igual a cero. Así:

Trabajo virtual interno Las primarias formas de acción estructural con cuales nosotros estamos concernientes son: axial, torsión, y momento flector. Es útil en que el trabajo que sigue, hay que tenerlo disponible en una formula general para

, para cualquier problema de mecánica estructural donde el

estado de esfuerzo pueda ser bidimensional o tridimensional. Una designación

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

El principio de desplazamientos virtuales estipula que la suma del trabajo hecho

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

general al estado de esfuerzo en un punto de la estructura es en la forma de un vector

columna.

Para

{ }

un

estado

tridimensional

es

de

la

forma

. Similarmente, las deformaciones virtuales pueden ser

designadas por un vector fila que es

. Para una

estructura donde el volumen es simbolizado por

, el trabajo virtual interno

es:

∫ {

}{ }

∫ {

} { }

{ }

{

} { }

} {

}

Sabiendo que:

La expresión virtual será de la forma, {

}

{

Y además por la ecuación constitutiva propuesta por R. Hooke se tiene, { } Reemplazamos (

)y(

3) en (

{ } )

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

Ahora denotamos esta expresión en forma matricial,

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

∫

{

∫ {

} {

}{

}

}

{ }

{

} { }

Ordenamos adecuadamente esta última expresión, y tenemos,

{

} ∫ {

}

{

}

{ }

Trabajo virtual externo Para calcular el trabajo virtual externo

es simple en el caso de cargas

∑

Donde

se refiere al desplazamiento virtual del grado de libertad th y

es la

carga aplicada en ese grado de libertad. Las cargas distribuidas merecen atención. Las cargas distribuidas como cargas concentradas

combinada con el trabajo virtual de

.

∫

∑

Donde el límite de la integral es tomado para definir la porción del miembro en la cual la carga actúa. La misma podemos expresarla mediante matrices, que en forma general será,

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

concentradas y puede representarse simbólicamente como:

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

} { }

{

2.6.7.5 Desplazamiento virtual para la formulación de la matriz de rigidez La expresión del principio de desplazamiento virtual puede ahora se rescrito para un elemento individual, tratando esto como si esto fuera una estructura en aislamiento. El básico estado de este principio fue establecido en la sección

Básicamente, para determinar la matriz de rigidez para cualquier tipo de estado sea bidimensional o tridimensional en una estructura, aplicamos el principio de los desplazamientos virtuales, por lo tanto reemplazamos ( 14) y ( ) y obtenemos:

{

} { }

{

( {

} { }

{ }

} ∫ {

{

∫ {

}

} ∫ {

}

{

}

{

}

}

{

{ })

}

{ }

{ }

Esta ultima relación si la comparamos con la expresión del método de rigidez que es de la forma, { }

{ }

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

(

) en

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

Podemos deducir que:

∫ {

}

{

}

Que viene a ser la expresión más importante, para poder abordar un problema de Ingeniería Estructural, con el método de elementos finitos. La misma que podemos expresarla de otra manera,

∫

Pero nuestra prioridad para el presente estudio es tener esta relación en

∫

Láminas de revolución La simulación del comportamiento de estructuras formadas por láminas delgadas tridimensionales es un tema de gran interés para la comunidad de ingeniería. Desde los primeros años de desarrollo del método de los elementos finitos se ha realizado investigación a este respecto, debido en gran parte, al enorme número de aplicaciones prácticas de este tipo de estructuras, para las cuales existen diversas soluciones y aproximaciones.

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

coordenadas cilíndricas, por lo tanto tenemos,

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

El desarrollo de elementos para cascarones ha encontrado una gran variedad de problemas diferentes en el camino, en los que se puede mencionar la sensibilidad a la distorsión geométrica, problemas de bloqueo de los mecanismos de membrana y de corte, modos de cero y energía, y problemas de estabilidad, precisión y convergencia. Las diversas alternativas de solución que se pueden proponer y el hecho de que todas son 100% efectivas, hacen que a la fecha, la investigación sobre cascarones sea todavía un área activa. Los métodos de formulación para cascarones se divida en dos grandes grupos: los que modelan comportamiento a partir de las relaciones tridimensionales de mecánica, agregando restricciones a los campos de desplazamiento (Yang et. al, ); y los que modelan el comportamiento a partir de las ecuaciones de

El comportamiento de láminas se puede modelar de diversas maneras dependiendo de las suposiciones que se tomen, hay modelos que plantean el comportamiento empleado teoría de láminas en tres dimensiones, lo cual introduce un grado elevado de complejidad en la matemática necesaria para modelar la geometría; y hay modelos que emplean una simplificación en la representación geométrica; utilizando superficies faceteadas planas para aproximarla. Aunque esto introduce un error de discretización, con suficientes facetas se puede lograr una buena aproximación a la solución, con la ventaja de que los elementos se forman mediante una superposición de placas y membranas planas, de formulación más sencilla.

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

comportamiento estructural de láminas. (Zienkiewicz et al. 1994:147)

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

Se iniciara con la descripción de un elemento membrana que considera las rotaciones alrededor de un eje normal al plano del elemento en el cómputo del movimiento del material. Esto se hace para evitar un problema común en cascarones modelados con elementos planos. Dado que la teoría de placas toma en cuenta solo deflexión normal y las rotaciones fuera del plano, y la teoría de esfuerzo plano, la combinación carece de influencia para la rotación normal al plano, lo que refleja en falta de rigidez con respecto a ese giro cuando los elementos que llegan a ese nudo son todos coplanares. .1 Aplicaciones del MEF a láminas en revolución

tener en cuenta la simetría de eje se simplifica considerablemente el problema. En particular, veremos que si las cargas actuantes presentan la misma simetría de revolución que la lámina Los elementos se hacen “Unidimensionales” La primera tentación de solución a problemas de láminas de revolución mediante elementos finitos se debe a Grafton y Strome. En ella, los elementos son simples troncos de cono y se seguía un método directo de aproximación por medio de funciones de desplazamiento. (Popov et al.). Jones y Strome afinaron la obtención de las rigideces de los elementos; la extensión al caso de cargas asimétricas, que fue sugerida por Grafton y Strome fue elaborada por Percy et al., Klein y por otros investigadores. (Zienkiewicz et al. 1994:147)

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

Si bien es obvio que el método general es aplicable a este caso, veremos que al

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

En las láminas de revolución, al igual que en todas las láminas, se presenta fuerzas tanto de flexión como fuerzas en el plano “de membrana” Estas se definirán de forma única en función de las “deformaciones” generalizadas, que comprenden ahora alargamientos y curvaturas de la superficie media. Si se conoce el desplazamiento de cada punto de la superficie media, estas “deformaciones” y las resultantes de tensiones internas puede definirse a partir de las formulas proporcionadas por los textos clásicos de la teoría de láminas. (Zienkiewicz et al. 1994:148) Por ejemplo, en una lámina de revolución sometida a una carga de revolución, el desplazamiento de un punto de la superficie media está perfectamente definido por dos componentes

y

en las direcciones tangenciales y normal,

Fig.

Lamina de revolución, carga, desplazamiento y resultantes de tensión.

Fuente: El método de los elementos finitos. (Zienkiewicz, O. et al. 1994:148)

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

respectivamente.

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

.2 Aplicación del MEF a sólidos en revolución De esta manera, solamente con geometría y propiedades de material independientes de la coordenada circunferencial Ɵ son considerados Esta propiedad permite el inherente comportamiento 3D de un sólido, expresado con un simple modelo 2D. (Oñate, 2009:225) Si la carga es también eje simétrico, el vector desplazamiento tiene dos componentes en eje radial y eje dirección. El análisis de solido eje simétricos por el MEF no es difícil y sigue pasos similares para problemas elásticos en el plano. Para carga arbitraria no eje simétrico un análisis en 3D es necesario. Por otra parte, las cargas pueden ser expresadas en series de Fourier y el efecto de cada

Solidos eje simétrico representa un porcentaje sustancial de estructuras ingenieriles. Ejemplo los tanques de agua y aceite, tanque refrigerante, domos, estructuras de contención cilíndrica, chimeneas, vasos a presión, etc. También, algunos problemas de mecánica de suelos tal como el análisis de cimentaciones bajo cargas verticales. (Oñate, 2009:225)

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

término periódico puede ser evaluado por un análisis 2D.

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

Fig.

Solido eje simétrico

Fig.

Algunas estructuras eje simétrico

Fuente: Structural Analysis with the Finite Element Method. (Oñate, E. 2009:226)

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

Fuente: Structural Analysis with the Finite Element Method. (Oñate, E. 2009:226)

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

Procedimiento para la formulación básica del MEF a estructuras en revolución a) Discretización de la estructura Se puede decir que aquí empieza la idea de aplicar el MEF, para nuestro caso de estudio he utilizado elementos triangulares, por el buen comportamiento que tienen las mismas. Para nuestro caso de estudio se tiene 77 triángulos y 79 nudos, esto para la discretización del muro circular y la cúpula. Fig.

Fig.

12 Discretización de la cúpula y el muro circular

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

resultado de la discretización.

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

b) Campo de desplazamiento

En el reservorio discretizada mediante elementos triangulares, descrita en la Fig. , se escoge un elemento típico triangular 𝑢𝑗 𝑤𝑗 𝑗 𝑟𝑗 𝑧𝑗

𝑢𝑖 𝑤𝑖

𝑢𝑚 𝑤𝑚

𝑖 𝑟𝑖 𝑧𝑖

𝑚 𝑟𝑚 𝑧𝑚

axial,

visto

que

el desplazamiento

circunferencial es

cero.

El vector

desplazamiento es por lo tanto:

{ }

{

}

Los desplazamientos y fuerzas se pueden expresar tensorialmente. c) Función de aproximación de los desplazamientos Se escoge un conjunto de funciones que definan los desplazamientos dentro de cada elemento, en términos de los desplazamientos nodales, por ejemplo los desplazamientos

de cualquier punto interior del elemento triangular, puede 𝑢 𝑟𝑧 𝑎 𝑎 𝑟 𝑎 𝑧 ser expresada mediante los parámetros indeterminados . 𝑤 𝑟𝑧 𝑎4 𝑎5 𝑟 𝑎6 𝑧 (

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

Los movimientos de un punto están definidos por el desplazamiento radial y

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

Que se conoce como función de los desplazamientos. Matricialmente la ecuación (

) se puede escribir,

{ }

{

}

*

+ {

{ } Donde

4 5

6}

{ }

es denominada matriz de monomios, { } es el vector de parámetros

del elemento. ), se tiene:

{ } {

}

]{

[

{ }

4 5

6}

{ }

Esta ecuación nos permite deducir el vector de parámetros { }, en función de la matriz de coordenadas nodales { } Si

. { }

existe cuando los nodos son no colineales, se puede hallar

analíticamente o por procedimientos numéricos. Podemos expresar los desplazamientos de cualquier punto interior del elemento, en función de los

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

Al reemplazar las funciones de desplazamiento en (

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

desplazamientos de nudo { } por medio de las funciones de interpolación reemplazamos la expresión ( 24) en (

) se tiene,

{ } { } En la que

,

{ } { }

es la matriz de las funciones de interpolación o forma asociados a

cada uno de los nudos del elemento finito. d) Relación del estado de deformación en función de los desplazamientos de nudo La simetría axial, los desplazamientos

y

son independientes de la

y

son, elasticidad en 3D cumple. (Oñate, 2009:227)

;

;

Por otro lado, el punto localizado en una circunferencia de radio , se mueve a una circunferencia de radio que

está

definido

circunferencias.

con

. Esto origina una deformación circunferencial las

deformaciones

relativas

entre

estas

dos

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

coordenada circunferencial. Consecuentemente, las deformaciones tangenciales

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

Derivación de la deformación circunferencial (Oñate, 2009:227) Podemos relacionar el vector de deformación unitaria { } con el vector de desplazamientos, de la forma

Reemplazando (

) en (

{ }

), tenemos: { } { }

{ } { }

Así para nuestro caso particular tendremos:

{ }

{

}

{

}

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

{ }

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

La matriz

se obtiene aplicando el operador

a la matriz de función de

interpolación asociados a los nodos del elemento considerado.

{ } [

]

[

{

}

]

e) Relación esfuerzo

– deformación

La convención de signos se muestra en la figura 13.

Fig.

Esfuerzos actuando en un volumen diferencial de un sólido eje simétrico (Oñate, 2009:227)

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

Los esfuerzos conjugados a las deformaciones son:

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

La relación entre esfuerzo y deformación es deducida de la ecuación de la teoría de elasticidad 3D. La ecuación constitutiva es escrito como:

La matriz

para un material isotrópico está dada de la forma:

[

]

f) Calculo de la matriz de rigidez del elemento finito Para el cálculo de la matriz de rigidez del elemento típico, es necesario ) las expresiones ( 28) y (

). Con la que obtenemos la

matriz de rigidez para un elemento triangular, de la forma:

5

4 5

6

[

]

En la cual,

∬

∬

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

reemplazar en (

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

∬

5

6

∬

∬ ∬

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

4

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

ANÁLISIS DINÁMICO DE RESERVORIOS 2.7.1 Introducción El principal propósito del análisis dinámico es conocer los esfuerzos y deformaciones, pero toda estructura real tiene un infinito número de desplazamientos. Además, la fase más crítica de un análisis dinámico es crear un modelo con un número finito de masa, y un finito número de nudos, que simularan el comportamiento de la estructura. 2.7.2 Hipótesis Se considera al medio como homogéneo, continuo e isotrópico; así mismo, se supondrá que se trata de un fluido sin viscosidad, es decir que durante el movimiento, los esfuerzos generados entre las partículas son normales a su superficie de contacto, y por lo tanto se tiene que un punto dado del fluido la presión en cualquier dirección será la misma. Se considerara que las partículas se desplazan siguiendo un “movimiento continuo”, entendiéndose con ello, que la velocidad relativa entre dos partículas adyacentes es pequeña de tal manera que su distancia entre ellas permanece en el mismo orden de magnitud durante todo el movimiento. Se observo que en las presiones dinámicas, la viscosidad y la tensión superficial en el líquido, tienen un efecto mínimo en los resultados teóricos con respecto a los experimentales.

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

2.7

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

El tener en cuenta la viscosidad, complica inútilmente las ecuaciones y consecuentemente su solución, por lo que su efecto mínimo en los resultados teóricos con respecto a los experimentales. El tener cuenta la viscosidad, complica inútilmente las ecuaciones y consecuentemente su solución, por lo que su efecto no se tomará en cuenta. Cuando el líquido se encuentra en reposo y se inducen efectos de alguna manera, se tendría que usar tres coordenadas como se indica en la figura. Sin embargo, se puede simplificar el problema si es que consideramos que el movimiento del líquido se desarrolla en forma paralela entre sí. Por comodidad la sección que se tome como representativa, se puede hacer de

determinar los movimientos en cualquier punto o partícula en un instante cualquiera. (Rivera, 2006: 99) Modos y frecuencias naturales de oscilación del agua El estudio de vibraciones del reservorio se considerará una membrana circular con masa uniforme, empotrado a lo largo de su circunferencia, ubicamos el centro de la membrana en el origen, nosotros denotamos el radio por . La vibración de la membrana esta gobernada por la ecuación de onda bidimensional, cual expresada en coordenadas polares, usamos la forma polar de la ecuación de Laplace:

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

espesor unitario y en ese caso bastará solo con dos coordenadas para

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

(

)

En el presente estudio se considera una estructura eje simétrica, que depende solamente de , y no del ángulo . Es razonable físicamente que en este caso, que la solución no dependa de . Consecuentemente

, y la ecuación

3 queda de la forma:

(

)

Que expresan las condiciones de la pared inmóvil y la presencia de oleaje por gravedad en la superficie libre. La ecuación 32 tiene una solución de la forma:

∑

Donde:

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

La misma que debe de cumplir con las condiciones:

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

∫

∫

Sistema mecánico equivalente Hasta el presente solo ha sido posible encontrar analíticamente el sistema mecánico equivalente de masas y resortes que representa el fenómeno hidrodinámico, cuando se supone al fluido como incompresible. Graham y Rodríguez hicieron los análisis para un tanque rectangular rígido, como se muestra en la figura.

estacionario de traslación armónica a lo largo del eje “X” únicamente; tratándose el problema como un caso de análisis bidimensional como se muestra en la figura.

Fig.

Modelo de sistema equivalente

Fuente: Rivera J. Diseño sísmico de reservorios elevados con estructura tubular de soporte pág. 17.

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

A continuación se presentan los resultados obtenidos para un movimiento

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

En esta configuración se tiene una masa fija Mo a una distancia Zo del eje “X”, y un número infinito de masa puntuales Mm ligadas a las paredes del tanque, por

Fig.

Modelo de sistema equivalente

Fuente: Rivera J. Diseño sísmico de reservorios elevados con estructura tubular de soporte pág. 18.

Sometiendo al recipiente a un movimiento de sus paredes de forma:

Se obtiene la solución al comportamiento del líquido, la misma que es asociada el de un sistema mecánico equivalente.

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

medio de resortes con una rigidez Km situados a una distancia Zm del eje “X”

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

En esta configuración se tiene una masa fija Mo a una distancia Zo del eje “X”, y un número infinito de masas puntuales Mn ligadas a las paredes del tanque, por medio de resortes con una rigidez Kn situados a una distancia Zn del eje “X” Estos parámetros las calculamos usando el código ACI 350.3-01, para reservorios circulares; tenemos: )

( ) (

(

)

)

(

(

)

) (

)

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

(

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

) (

(

)

)

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

(

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

INTERACCION SUELO-ESTRUCTURA 2.8.1 Introducción La estimación de movimientos de sismo en la base de una estructura es la más importante fase del diseño de una estructura. Porque de un largo número de asunciones requeridas, expertos en el campo frecuentemente están en desacuerdo. Ilustración de interacción suelo-estructura Un simple análisis es suficiente para ilustrar el más importante efecto de interacción suelo-estructura. Siguiendo la aproximación de Wolf (1985), considera el caso de un simple sistema de un grado de libertad. La estructura esta caracterizada por su masa

, rigidez , y coeficiente de amortiguamiento .

Si el material de soporte es rígido, la frecuencia natural de la resultante del sistema dependería solamente de la masa y rigidez de la estructura, que es,

√

Y el coeficiente de amortiguamiento será

Si el material de soporte es complicado, sin embargo; la cimentación puede desplazarse y rotar. La rigidez y amortiguamiento del complicado suelo, puede

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

2.8

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

ser representado por los resortes de traslación y rotación como se muestra en la Fig. La cimentación representa dos recursos de amortiguamiento: amortiguamiento causado

por

el

comportamiento

inelástico

del

suelo

de

soporte,

y

amortiguamiento de radiación que acurre como fuerza dinámica en la estructura causada por la deformación del suelo. La cantidad de material amortiguada dependerá del nivel de deformación inducido en el suelo; si las deformaciones son grandes, el amortiguamiento del material puede ser sustancial, pero si las deformaciones son pequeñas, el amortiguamiento del material puede ser obviado. Para cimentaciones típicas, el amortiguamiento de radiación es a

𝑐

𝑚 𝑘

𝑐ℎ 𝑘ℎ

Fig.

𝑘𝑟

𝑐𝑟

16 Modelo interacción suelo-estructura

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

menudo mayor que el amortiguamiento del material.

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

¿Que significa la interacción suelo-estructura? Nosotros habremos visto pronto que considerar el suelo como un medio elástico deformable, modifica las propiedades elásticas de la estructura. Por lo tanto, la respuesta del sistema también se modificará. 2.8.4. Modelo matemático de suelo-estructura Cuando se incluye el amortiguamiento en un sistema de varios grados de libertad, las ecuaciones dinámicas del movimiento quedan definidas: { ̈} ,

y

{ }

{

}

son las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez del

sistema respectivamente, {

} es el vector de fuerza de excitación y {

} es

el vector de desplazamientos relativos de los grados de libertad del sistema que definen la configuración deformada de la estructura. El vector {

} puede ser

expresado como la superposición del producto, entre el vector de forma modal { }, y la amplitud modal { {

}

}. { }

∑{ }

Al sustituir la ecuación

{ }

{ }

{

en la ecuación

por el vector modal “n” transpuesto, {

}

y pre multiplicando cada termino

} , se obtiene lo siguiente:

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

Donde

{ ̇}

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

∑{

}

∑{

}

{ } ̈

{ }

∑{

{

}

{ } ̇

} {

}

Expresando la respuesta total en forma matricial, se tiene: { ̈} El producto de donde

y

{ ̇} y el de

{ }

{

}

resultan ser matrices diagonales,

son matrices simétricas y positivas definitivas. Si el producto

es una matriz diagonal, entonces el sistema de N grados de libertad se convierte en N sistemas de un grado de libertad, y el sistema queda totalmente

una transformación que diagonalice las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez, en forma simultánea. Esta transformación se puede realizar si la matriz de amortiguamiento es proporcional a la matriz de masa o a la de rigidez, o que sea una combinación de ambas:

∑

Con la expresión anterior y teniendo en cuenta que

son coeficientes arbitrarios

diferentes de cero, es posible obtener un número específico de coeficientes asociados a los modos de vibración deseados, de tal forma que se cumpla con las condiciones de ortogonalidad, y que por lo tanto la solución del problema

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

desacoplado. Para que un sistema lineal amortiguado tenga modos debe existir

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

dinámico corresponda a un planteamiento de amortiguamiento clásico. Sin embargo, en aplicaciones prácticas es usual tomar únicamente los dos primeros términos de la serie definida en la ecuación 49 (b=0 y b=1), para lo cual se obtiene la matriz de amortiguamiento propuesta por Rayleigh:

Asumiendo que la matriz de amortiguamiento queda definida mediante la ec. 23, es

posible

afirmar

que

las

ecuaciones

dinámicas

quedan

totalmente

desacoplados. Al normalizar las ecuaciones del movimiento respecto a la masa de la estructura, se obtiene la matriz son iguales a

̅ . Los valores de

, en donde los términos de la diagonal y de ̅ son la fracción de amortiguamiento

crítico y la frecuencia circular de vibración del modo “j”, respectivamente Con , es posible obtener. ̅ ̅ Si la matriz de amortiguamiento no cumple la condición de proporcionalidad definida anteriormente, el producto

no será una matriz diagonal y el

sistema de ecuaciones no se podrá desacoplar; esto implica que los valores y vectores propios deben ser complejos. Este tipo de problemas es conocido como “amortiguamiento no clásico” Asumir un amortiguamiento clásico en sistemas que presenten dos o más partes con diferentes niveles de amortiguamiento no es apropiado, ya que se pueden generar errores significativos en su respuesta. Este es el caso de sistemas de

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

base en lo anterior y con la ecuación

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

interacción suelo-estructura, donde se hace presente el amortiguamiento no clásico, ya que los valores de amortiguamiento critico del suelo asociado a cada modo de vibración (valores entre 10 y 20%), podrían ser muy diferentes a los de la estructura que oscila entre el 1 y el 20%. Por simplicidad, en los casos en que el amortiguamiento no clásico se presenta, se supone que en el rango lineal, el sistema posee modos clásicos, de tal forma que se pueden obtener los modos de vibración suprimiendo temporalmente los amortiguadores del sistema suelo-estructura y el amortiguamiento interno de la estructura, introduciendo después el grado de amortiguamiento de cada modo y finalmente combinando sus respuestas. Esta simplificación no siempre resulta

Con base en lo anterior, resulta necesario demostrar porque un sistema sueloestructura no posee modos clásicos de vibración. Para esto se considera un oscilador simple apoyado en resortes y amortiguadores en sustitución del suelo, con el objeto de simular, de una forma relativamente sencilla, los efectos interacción suelo-estructura debidos a la flexibilidad del suelo.

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

ser apropiada.

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

Fig.

17 Modelo de interacción suelo-estructura

Fuente: Chowdhury I. Dynamic of Structure and Foundation Applications ,

es la masa efectiva de la estructura asociada con el modo

fundamental de vibración,

y

representa la rigidez y la constante de

amortiguamiento de la estructura, respectivamente,

y

es la masa y el

momento de inercia de la cimentación, respectivamente,

es la altura del centro

de gravedad de la primera forma modal,

, son las rigideces de

,

y

los resortes del suelo asociados a los movimientos de translación, cabeceo y acoplamiento, respectivamente. De igual forma se definen los valores de los amortiguadores

,

y

. La configuración deformada del sistema queda

definida por el desplazamiento de translación

, el ángulo de giro de la

cimentación por efectos de cabeceo , y la deformación de entrepiso . ̈ es la aceleración horizontal del terreno.

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

En la Fig.

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

Asumir un amortiguamiento clásico en sistemas que presenten dos o mas partes con diferentes niveles de amortiguamiento, no es apropiado, ya que se pueden generar errores significativos en su respuesta. 2.8.5. Determinación de parámetros para el estudio de interacción sueloestructura Existen muchas ecuaciones planteadas alrededor del mundo para el cálculo de los parámetros básicos para el estudio de interacción suelo-estructura como son: Velocidad de onda de corte. Modulo de corte del suelo.

: Rigidez de desplazamiento del suelo. Rigidez de rotación del suelo. : Coeficiente de amortiguamiento de desplazamiento del suelo. : Coeficiente de amortiguamiento de rotación del suelo. Las cuales las podemos determinar mediante ensayos clásicos de Mecánica de Suelos, como son: la granulometría, límites de consistencia, peso específico, humedad, y ensayo de corte directo.

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

Modulo de Poisson del suelo.

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

En Chowdhury y Dasgupta, podemos encontrar mayor detalle al respecto, sin embargo se tomo las relaciones usuales, que serán necesarios para el presente estudio. La velocidad de onda de corte, debe de cumplir con la siguiente relación:

El modulo de corte del suelo, lo podemos determinar por la siguiente expresión:

La rigidez de desplazamiento del suelo y de rotación están dadas por las

Donde: Radio de la cimentación. La fracción de amortiguamiento del suelo esta dada por la siguiente expresión: 45

*

(

)

+

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

expresiones:

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

Donde: Índice de plasticidad. . Valores y vectores característicos de sistemas con amortiguamiento no clásico Para obtener los valores y vectores característicos de sistemas dinámicos con amortiguamiento no clásico, se utiliza un procedimiento planteado por Rayleigh (1945). Cuando se incluye el amortiguamiento en un sistema de varios grados de libertad, las ecuaciones del movimiento quedan definidas en forma matricial como lo indica la ecuación 2.45. Donde la solución a la ecuación homogénea con coeficientes constantes esta

{ }

{ }

Donde { } es un vector de constantes complejas, { } es la frecuencia circular compleja. Al emplearse la ecuación

en la solución de la ecuación

homogénea, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones algebraicas: [

]{ }

{ }

Estas ecuaciones son homogéneas, donde los valores de

constituye la

solución de valores característicos complejos del sistema. Para la obtención de la solución no trivial, se requiere que:

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

dada por el vector { }.

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

|

|

Al evaluar la ecuación 2.54, se debe de encontrar un polinomio característico del orden 2N y sus raíces corresponden a las frecuencias modales del sistema. De esta forma es posible encontrar los valores y vectores característicos del sistema dinámico a estudiar. Sin embargo este método solo es útil cuando se tiene un sistema dinámico con pocos grados de libertad. Otra forma de obtener los valores y vectores característicos consiste en aplicar otra metodología mas sencilla, la cual fue definida inicialmente por Frazer et al., (1946) y adaptada por Foss (1957), y consiste en realizar varias operaciones algebraicas de la ecuación dinámica del movimiento (ecuación 2.45) para , de orden 2N, donde N es el numero de grados de

libertad:

*

Donde

[

] [

es la matriz de identidad y

vez definida la matriz

]

es una matriz de ceros, de orden N. Una

es posible obtener, mediante algún método

convencional de cálculo, el vector { igual al reciproco del vector {

} con 2N valores característicos el cual es

} de los valores característicos del sistema (Foss,

1957), y tendrá la siguiente forma (Argirys,

{

}

+

{

}

{

̅

̅ }

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

encontrar un matriz

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

Donde

√

, ̅, ̅

y

, son la frecuencia circular, la frecuencia circular

amortiguada y la fracción de amortiguamiento crítico de cada modo

,

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

respectivamente.

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

2.9

DISEÑO ESTRUCTURAL EN CONCRETO ARMADO Propósito del diseño estructural El propósito del diseño es el de lograr una probabilidad aceptable de que la estructura que se vaya a construir no sufra deterioro alguno, de tal suerte que éstos desmeriten el uso para el cual

fue destinada o que inclusive

pudiesen provocar el colapso de la misma. Habrá que diseñar los depósitos de tal suerte que se evite la presencia de fugas. Por consiguiente, se emplearán procedimientos de diseño que eliminen las grietas u otras fuentes potenciales de aquellas Si bien, para estos propósitos es

importante una práctica constructiva correcta y

adecuada y habrán de

El espesor mínimo de las paredes de los depósitos De

conformidad con el informe 350

de ACI (American Concrete Institute)

Environmental Engineering Concrete Structures, los

muros de

concreto

reforzado con una altura del liquido igual o mayor a 3.00 m, tendrán un espesor mínimo de 30 cm. En términos generales, el espesor mínimo de cualquier elemento estructural de los depósitos deberá ser de 15 cm. Se requerirá un mínimo de 20 cm donde el recubrimiento del concreto para protección del acero de refuerzo sea de 5 cm o más. agua y

la

Sin embargo, cuando se usen dispositivos para la retención de posición

del

acero

de

refuerzo

que

puedan

afectar

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

emplearse materiales con la calidad especificada.

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

adversamente

a

la

colocación apropiada del concreto, se considerará un

espesor mayor. El refuerzo mínimo De conformidad con el ACI 318-95, el refuerzo mínimo en cualquier sección sujeta a flexión será igual a: √

Donde: : Ancho : Peralte efectivo : Resistencia a compresión del concreto : Resistencia a la fluencia del acero Refuerzo para contracción y temperatura Enseguida se transcriben los requisitos del subcapítulo 7.12, de ACI 31895, aplicables a los reservorios:

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

Pero no menor a:

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

Para

los

esfuerzos

de

contracción y

temperatura,

es

necesario

proporcionar refuerzo normal al refuerzo para flexión en las losas estructurales, donde el refuerzo a flexión se extienda en una sola dirección (ACI 3 18-95, unidad 7.12.1). El área mínima de refuerzo para temperatura y fraguado se proporcionará de conformidad con las siguientes relaciones de área de refuerzo al área bruta del concreto, pero no menor a 0.0014. a) Las losas donde se utilice acero de refuerzo de grados 40 o 50: 0.002. b) Las losas donde se utilice acero de refuerzo de grado 60: 0.0018. Separación máxima del refuerzo para contracción y temperatura

para contracción y temperatura no será mayor a 5 veces el espesor de la losa ni 45 cm. La cantidad de refuerzo por

contracción y temperatura que

suministrar, está en función de la distancia entre las

cuales

disipan la

contracción y

los

es necesario

las juntas de movimiento,

esfuerzos causados

por

la

temperatura en la dirección del refuerzo. Además, la cantidad de refuerzo por contracción y temperatura está en función de la mezcla especifica de concreto, la cantidad de agregado, el espesor del muro, su refuerzo y las condiciones ambientales de la obra.

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

Según ACI 318-95, subunidad 7.12.2.2, la separación máxima del refuerzo

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

Las secciones de concreto de 60 cm o de mayor espesor, contendrán el mínimo de refuerzo por contracción y temperatura en cada cara, con base en un espesor de 30 cm. Estructuración de los reservorios circulares a) Antecedentes Los reservorios para almacenar agua se diseñan y construyen para llevar a cabo

procesos similares tales

como

almacenamiento,

sedimentación,

filtración, etc. por lo que desde el punto de vista hidráulico son parecidos y como consecuencia, las condiciones de carga y el diseño estructural son similares.

En el presente acápite se proporcionan los lineamientos básicos para

la

estructuración usual de los reservorios para el almacenamiento de agua. Es

de primordial importancia que

los reservorios para el almacenamiento

de agua se mantengan impermeables a la filtración del agua. Se evitará asimismo, la contaminación del agua potable por el contacto con

el agua

freática. Los reservorios se componen de diversos elementos, como son: Los muros que soportan las acciones consistentes de los empujes de agua y de tierra; así como las fuerzas provocadas por el sismo y el viento.

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

b) Lineamientos básicos de estructuración

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

Las cimentaciones que pueden consistir de zapatas corridas bajo los muros o una

losa

que

ejerza una

función estructural y que

al mismo tiempo,

constituya el piso o fondo de los reservorios. Los pisos

o fondos

de los reservorios, los cuales

pueden ser una losa

estructural o una membrana impermeable de concreto sin función estructural. Las cubiertas o cúpulas de los reservorios. Elementos accesorios tales como: escaleras, tuberías, válvulas, etc. c) Reservorios de concreto armado Gran parte de los reservorios para el almacenamiento del agua se construyen

en el mundo para este tipo de estructuras es el concreto armado. Muchas son las

ventajas que

tienen los

reservorios de

concreto armado sobre otros

materiales. Entre ellas se cuentan: La impermeabilidad que por sí misma contiene el concreto, bien dosificado y compactado; requiere un mantenimiento mínimo, posee una gran resistencia al ataque de los agentes químicos y al intemperismo y otras ventajas. Sin embargo, la impermeabilidad de los reservorios se ve afectada por la

secuencia de

juntas.

la construcción, así como la ubicación y el detallado de las

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

de concreto armado. De hecho el material de construcción que más se utiliza

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

Al perder humedad debido al proceso de fraguado, la masa de concreto tiende a contraerse, lo que da lugar a esfuerzos de tensión en dicha masa. Como el concreto no es apto

para soportar altos esfuerzos de

presentarán agrietamientos, a menos que

se tomen las

tensión, se precauciones

necesarias para evitar que estos ocurran. Entre estas precauciones se deberá observar la separación, colocación y tipo de las juntas. Estas se diseñarán para tomar en cuenta el fenómeno de la contracción, así como los cambios de temperatura y evitar así, el agrietamiento que es consecuencia de estos fenómenos.

utilizar

concretos

reducir los efectos de la contracción consiste en

que cumplan con

las

siguientes cualidades: adecuada

dosificación, baja relación agua/cemento, buena colocación, enérgico vibrado, curado

eficiente y prolongado. Finalmente, la adecuada localización y

construcción de las juntas. El concreto terminado tiene la gran ventaja de que se le puede dar la forma deseada, tan solo con preparar los moldes para tal objeto. Otra ventaja del concreto es la de poder establecer a voluntad la resistencia de proyecto (dentro de ciertos limites máximos), lo cual se logra mediante la dosificación apropiada de aditivos.

los

ingredientes arena, grava, cemento, agua

y

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

El mejor camino para

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

d) Comportamiento estructural Los

elementos de los reservorios de concreto armado tienen la ventaja de

poseer capacidad a la compresión, tensión, flexión y cortante y por

otra

parte, debido a su rigidez, pueden absorber las deformaciones diferenciales. Efecto de cargas permanentes, variables y accidentales En el diseño de las estructuras para los reservorios de agua potable o tratada, se tomarán en cuenta los efectos de las cargas muertas, las cargas vivas y las

provocadas por

el

sismo y

el

viento, cuando estos últimos sean

significativos. Sin embargo no será necesario diseñar para la envolvente de los efectos simultáneos de sismo y viento, sino únicamente para la condición

.1 Acciones permanentes Las acciones permanentes que deberán tomarse en cuenta para el diseño de reservorios, son las siguientes: a) Cargas muertas Se considerará e peso de los elementos estructurales e instalaciones hidráulicas que constituyen el reservorios. La E-

del reglamento nacional de construcción suministrar valores de los

pesos volumétricos de los materiales empleados, para calcular el peso propio de los elementos que son parte del reservorio.

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

más desfavorable entre ambas acciones.

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

Las cargas permanentes incluirán los pesos de las tuberías y válvulas de gran diámetro, tomando en cuenta el tamaño, número y el espaciamiento de los tubos, incluyendo las

cargas reales y

tomando en consideración las

ampliaciones planeadas. . Acciones variables a) Presión interior del agua La altura

del nivel

de agua

que

se considerará en el diseño

será

hasta el nivel de vertido de excedencias. Para valuar las deformaciones en la estructura y en la cimentación, se supondrá el depósito está lleno

al 70%

de su capacidad, cuando se trate

depósitos de reservorios de regulación y

100%

en los depósitos para

de el

proceso de potabilización y tratamiento. b) Presión exterior del agua En los depósitos enterrados se tomará en cuenta el efecto de la subpresión sobre la losa de fondo así como el empuje lateral del relleno y del agua freática sobre los muros. Cuando un depósito se construya en un terreno donde el nivel del agua freática

se

encuentre temporal o permanentemente arriba del

depósito, habrá que

tomar las medidas necesarias para

fondo

evitar

que

del la

estructura flote cuando ésta no contenga liquido en su interior. El nivel del

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

que

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

agua freática se puede elevar artificialmente en el sitio de la estructura a causa

de filtraciones en los depósitos cercanos o por roturas de tuberías.

También en este caso, habrá que prever las medidas necesarias para resistir la subpresión ejercida por el agua freática exterior, tales como la de proveer drenes laterales que sirvan para abatir los niveles freáticos. c) Presión del suelo Los estudios de geotecnia establecerán los coeficientes para los empujes de suelos en el sitio donde se vayan a construir los depósitos. En el caso de los depósitos enterrados o semienterrados, para el diseño de los muros

exteriores se tomarán en cuenta los empujes activos del suelo y

en la proximidad del depósito. En

el diseño de las vigas y trabes se utilizarán los pesos reales de los

equipos, incluyendo los efectos de las cargas móviles. d) Carga viva en la cubierta Las losas que soporten equipos, se diseñarán para una carga viva mínima de 465 kg/rn2. Se podrán diseñar para una carga menor, si se dispone de un valor preciso del peso de dichos equipos. En los reservorios sobre el nivel del terreno, la carga viva en la cúpula se tomará igual o mayor a 120 kg/m2 de proyección horizontal.

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

las posibles sobrecargas en éstos, debidas por ejemplo, a vehículos pesados

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

d) Carga viva en escaleras y plataformas En escaleras y plataformas se considerará una carga concentrada móvil de 500 kg. Los barandales se diseñarán para una carga concentrada de 100 kg actuando en cualquier punto de los pasamanos y en cualquier dirección. e) Otras acciones variables Otros

valores de

podrán

tomarse

las

cargas vivas

para

los cambios de

temperatura

cuando las variaciones durante las estaciones sean

considerables. .3 Acciones accidentales

En el diseño de los depósitos, tendrá especial importancia el efecto del viento sobre el área expuesta de la estructura, cuando el depósito se encuentre vacío y por lo tanto exista la posibilidad de volcamiento o de deslizamiento. b) Sismo Se ha comprobado que durante los sismos, los reservorios que contienen algún fluido pueden fallar y derramar el líquido contenido. La E- 3

suministra información en cuanto

a los coeficientes sísmicos y

los espectros de diseño aplicables, de conformidad con la sismicidad local y las características del suelo donde se construyan los reservorios.

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

a) Viento

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

Para su

análisis

sísmico, los

reservorios de

agua potable se

deberán

considerar como estructuras esenciales, es decir, pertenecientes a la categoría “A” Al proyectar los reservorios para resistir las acciones sísmicas, se deberá tomar en cuenta la masa hidrodinámica del líquido contenido. Cuando se considere el efecto dcl sismo simultáneamente con el peso del agua, se supondrá que el depósito está lleno al 100% de su capacidad. En los tanques de regulación se considerará el 80% de su capacidad. La presión hidrodinámica deberá incluir las presiones impulsivas, así como las convectivas.

libre, el cual evite que el oleaje provocado por el sismo sobrecargue la losa de cubierta, mediante el golpeteo del agua al chapotear sobre la cara inferior de dicha cúpula. Además, el diseño sísmico de los reservorios deberá incluir los efectos sísmicos de las presiones del suelo

exterior al reservorio y las

cargas muertas de la estructura. Métodos de diseño Para el diseño de miembros de concreto armado existen dos métodos aceptados en

la práctica. Ambos son

aplicables para

el diseño de los

reservorios. El primero de ellos, que se basa en el criterio de resistencia última, utiliza cargas factoradas, las resistencias especificadas del acero

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

En los reservorios cerrados se efectuará el diseño tomando en cuenta un borde

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

y del concreto

y

, y factores de reducción de la resistencia . El segundo

es el método alternativo de diseño,

el cual

emplea cargas de servicio y

esfuerzos de trabajo. El diseñador puede optar por cualquiera de los dos métodos para el proyecto de los depósitos que se cubren en este tratado. Ambos requieren limitaciones especiales para su

empleo en

el

diseño de los reservorios para el

almacenamiento de agua potable, con objeto de que éstos sean resistentes a la filtración del agua y de asegurarles una prolongada vida útil. 2.9.9 Diseño por resistencia última El diseño se lleva a cabo de conformidad con ci criterio de Resistencia

2.9.9.1 Requisitos de resistencia Las estructuras y los elementos estructurales deberán diseñarse para obtener en todas sus secciones resistencia de diseño resistencias requeridas En

toda

sección

de

2.9.9.2 Cargas factoradas

, por lo menos iguales a las

, calculadas para las cargas y fuerzas amplificadas. los

elementos

estructurales

deberá

cumplirse:

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

que se establece en la norma técnica de edificación E-060 concreto armado.

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

La resistencia requerida para cargas muertas (

) y cargas vivas (

) será

como mínimo:

Si en el diseño se tuvieran que consideran cargas de sismo (

), la resistencia

requerida será como mínimo:

Factores de reducción de resistencia

Flexión sin carga axial: 0.90. Cortante y torsión: 0.85. Aplastamiento en el concreto: 0.70. Requisitos de servicio 2.9.10.1 Deflexiones a) Los elementos de concreto armado que estén sujetos a flexión, se diseñarán con una rigidez tal que afecten

adversamente

se limiten las deflexiones o deformaciones que la

resistencia

estructura de la cual forman parte.

o

las condiciones de servicio de la

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

Se usaran las indicas en la parte 9.3.2. de la norma técnica de edificación E-

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

b) Cuando el depósito esté cubierto o cuando existan circunstancias especiales que requieran limitar las deflexiones, será aceptable una relación

, donde

“ ” es e claro del elemento estructural c)

Al

grado suelo

revisar la

deflexión de

un

muro, es

importante considerar el

de empotramiento de la base. Cuando un muro esté cimentado en un que

permita la rotación, deberá calcularse la

deflexión del

muro

tomando en cuenta el efecto de dicha rotación además de la deflexión normal debida a la carga lateral. 2.9.10.2 Agrietamiento El control del agrietamiento en las estructuras de los

reservorios de agua

se establecen limites estrictos para el agrietamiento y el ancho permisible de las grietas. La

filtración de adentro hacia

afuera

y viceversa del agua

clara

o

contaminada, debe evitarse a toda costa para proteger la salud del público. Se habrá satisfecho el estado limite de agrietamiento, si el ancho superficial de las grietas no resulta mayor al valor especificado, de conformidad con el grado

de exposición a que estará sujeta la estructura y que el proyectista

habrá previamente establecido para cada elemento. Los anchos de las grietas se limitarán de tres maneras diferentes:

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

potable, es un requisito primordial para evitar la filtración del agua, por lo que

TESIS: “Análisis y Diseño de Reservorios Circulares de C°A° Mediante los Métodos de Elementos Finitos y PCA en la Ciudad de Puno, 2012.”

a) Distribuyendo el refuerzo de tal manera que se formen un cierto número de grietas muy finas, en vez de pocas grietas de un grosor que pueda resultar excesivo. Esto se logra distribuyendo varillas de diámetros pequeños en el refuerzo principal, en vez de un área igual de diámetros mayores. b) Limitando la separación de las varillas de refuerzo en las zonas de momentos máximos. Detalles del refuerzo Se utilizara lo indicado en la norma técnica de edificación E-060 concreto

Capítulo II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

armado, capitulo 7, detalles del refuerzo.