Análisis de losas de cimentación utilizando el modelo de Winkler y el modelo de Vlasov Modificado

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTÍN FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL

“ANÁLISIS DE LOSAS DE CIMENTACIÓN UTILIZANDO EL MODELO DE WINKLER Y EL MODELO DE VLASOV MODIFICADO” Tesis presentada por:

OSCAR GUILLERMO CRUZ LUPACA Para optar el título profesional de INGENIERO CIVIL

Director de tesis:

Ing. Calixtro Yanqui Murillo

Arequipa, Enero del 2012

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTÍN FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL

Título de la Tesis:

“ANÁLISIS DE LOSAS DE CIMENTACIÓN UTILIZANDO EL MODELO DE WINKLER Y EL MODELO DE VLASOV MODIFICADO” Nombre del Tesista:

OSCAR GUILLERMO CRUZ LUPACA Aprobado por:

……………………………………………………………………….......

Jurado de la Tesis: Nombre

Firma

Ing. Calixtro Yanqui Murillo

……………………………………………………

Ing. Fernando Enciso Miranda

…………………………………………………….

Ing. Nestor Tupa Fernández

…………………………………………………….

Arequipa 16 de enero del 2012

Dedicatoria

i

Dedicatoria A mis padres, que siempre estuvieron a mi lado dándome su cariño y comprensión. A mis hermanos, por los buenos consejos y su apoyo constante hacia mí.

Facultad de Ingeniería Civil - UNSA

Agradecimientos

ii

Agradecimientos Antes y durante el curso del presente trabajo, muchas personas han contribuido de varias formas y por ello les expreso mi gratitud. Expresar un sincero agradecimiento a mi director de Tesis M. S. Calixtro Yanqui Murillo, por el asesoramiento, la gran ayuda y colaboración brindada en el presente trabajo. Al ing. John Aragón Brousset, por su desinteresado apoyo y consejos brindados. También deseo expresar mi apreciación profunda a los profesores Ing. Vitaliano Pérez Pachari, Ing. Fidel Copa Pineda, Ing. Fernando Enciso Miranda y al Ing. Humberto Cabrera Roa, por la influencia que ellos han tenido en mi desarrollo profesional durante mis estudios en la Facultad de Ingeniería Civil. A todos mis profesores de la Facultad de Ingeniería Civil por su apoyo constante y desinteresado.

Facultad de Ingeniería Civil - UNSA

iii

Resumen

RESUMEN Todas las construcciones realizadas en el campo de la ingeniería civil utilizan algún tipo de cimentación, la cual tiene por función transmitir las cargas producidas en la superestructura hacia el suelo de asiento. Uno de los mayores problemas en el análisis de cimentaciones es el cálculo de la distribución de presiones que el suelo ejerce sobre la cimentación, lo cual presenta una dificultad considerable debido a la interacción estática entre el suelo y la estructura. Uno de los modelos más utilizados en la práctica es el modelo de Winkler, el cual presenta ciertos problemas, tal como la necesidad de la evaluación del módulo de reacción del subgrado, k , que no tiene un único valor para un suelo en particular o un sistema de cargas sobre la losa, otra desventaja del modelo de Winkler es que da un desplazamiento constante de la losa para una carga uniformemente distribuida, lo cual ocasiona momentos flectores y fuerzas cortantes nulas en la losa, generando un diseño deficiente, sin embargo, el modelo de Winkler ha sido utilizado para múltiples diseños por ingenieros prácticos debido a su simplicidad. Varios investigadores han tratado de mejorar el modelo de Winkler para considerar la energía de deformación cortante en el suelo. De todos los modelos, el modelo de Vlasov modificado, desarrollado bajo la teoría de la elasticidad, ha atraído la atención de muchos ingenieros, ya que se presenta como un modelo mixto debido a la semejanza que presenta con el modelo de Winkler. Por otro lado la idealización del suelo como un medio homogéneo, semi-infinito y linealmente elástico representa de forma aproximada el comportamiento de suelos cohesivos, aunque su implementación resulta ser muy complicada. En los primeros capítulos del presente trabajo se muestra un breve repaso de conceptos fundamentales de la mecánica de suelos y del método de elementos finitos utilizado en el análisis estructural, en el cuarto capítulo se presenta la implementación del MEF en el análisis de losas de cimentación a través del modelo de Winkler, mientras que en el quinto y sexto capítulo se hace un estudio del modelo de Vlasov y su implementación por el MEF; finalmente en el último capítulo se consideró el análisis de losas de cimentación a través de los modelo de Winkler y Vlasov modificado, implementándose una rutina en el programa Mathcad; cabe resaltar que la rutina implementada fue realizada con el único objetivo de servir de guía al lector para la utilización del MEF.

Facultad de Ingeniería Civil - UNSA

iv

Abstract

ABSTRACT There are many different sorts of foundation, which their main functions are to support various types of civil engineering structures and to transfer the loads of the structure to the soil. One of the hardest problem in foundation analysis is to determinate the distribution of soil pressure under the foundation because of soil-structure interaction. One of the methods that is applied is Wrinkle’s method which has some deficiencies, such as the necessity of consider the soil subgrade property k , that not have a single value because of the soil or load distribution; other disadvantage is that the displacement is constant when the load over the mat is constant producing null bending moments and shear forces in the mat , as a result, it is usual getting a deficient design, however, Wrinkle’s method has been applied for years because of its simplicity. Many researchers have tried to improve Wrinkle’s method taking consideration shear strain energy. Modified Vlasov´s foundation model, developed under theory of elasticity, has attracted many engineers because it is a mixed method similar to Wrinkle’s method. On the other side the idealization of a homogeneous soil, half-infinite and linearly elastic roughly represents the behavior of cohesive soil, although its implementation is very complicated. The firsts chapters of this book develop a summary of fundamental soil mechanic concepts and finite element method applied to structural analysis. The fourth chapter presents the implementation of FEM in the analysis of mat foundations through the Winkler model, , while in the fifth and sixth chapter is made a study of the Vlasov’s model and its implementation by the FEM, and finally the last chapter considered the analysis of mat foundations over the Winkler model and modified Vlasov, implementing a routine in Mathcad program, it should be noted that the routine ,that was implemented, was conducted with the sole purpose of guiding the reader to use FEM.

Facultad de Ingeniería Civil - UNSA

v

Contenido

CONTENIDO DEDICATORIA

i

AGRADECIMIENTOS

ii

RESUMEN

iii

ABSTRACT

iv

CONTENIDO

v CAPÍTULO 1

LOSAS DE CIMENTACIÓN 1.1. INTRODUCCIÓN

1

1.2. TIPOS DE LOSAS DE CIMENTACIÓN

2

1.3. CAPACIDAD DE CARGA EN LOSAS DE CIMENTACIÓN 1.3.1. Ecuación general para la capacidad de carga en suelos 1.3.2. Capacidad de carga admisible 1.3.3. Evaluación de la Capacidad de carga en losas de cimentación

4 4 5 6

1.4. ASENTAMIENTOS ADMISIBLES EN LOSAS DE CIMENTACIÓN

8

1.4.1. Cálculo de asentamientos elásticos basados en la teoría de la elasticidad 1.4.2. Asentamiento por consolidación 1.4.3. Asentamientos admisibles en losas de cimentación

9 13 14

1.5. METODOLOGÍAS PARA EL ANÁLISIS DE LA INTERACCIÓN ESTÁTICA SUELO-ESTRUCTURA

19

1.5.1. Planteamiento del problema de contacto 1.5.2. Principales modelos de suelos 1.5.3. Modelos matemáticos empleados en la solución del problema de contacto

20 21 28

1.6. MÓDULO DE BALASTO

30

1.6.1. Obtención del módulo de balasto

31

CAPÍTULO 2

EL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS UNIDIMENSIONAL Y BIDIMENSIONAL 2.1

INTRODUCCIÓN

34

2.2

ESFUERZOS Y EQUILIBRIO

37

2.2.1. Esfuerzos 2.2.2. Equilibrio

37 38

2.3

CONDICIONES DE FRONTERA

40

2.4

RELACIONES DEFORMACIÓN UNITARIA-DESPLAZAMIENTO

41

Facultad de Ingeniería Civil - UNSA

vi

Contenido

2.5

RELACIONES ESFUERZO-DEFORMACIÓN UNITARIA 2.5.1. 2.5.2. 2.5.3.

Teoría de Elasticidad en dos dimensiones Deformación plana Esfuerzo plano

42 43 43 44

2.6

ENERGÍA POTENCIAL Y EQUILIBRIO

45

2.7

FUNCIONES DE FORMA

46

2.7.1. 2.7.2. 2.7.3. 2.7.4. 2.8

2.9

2.10

2.11

Forma de los elementos Formulación isoparamétrica Convergencia a la solución Propiedades de las funciones de interpolación

49 50 52 53

INTEGRACIÓN NUMÉRICA: CUADRATURA DE GAUSS

53

2.8.1. Fórmula para dos puntos de evaluación 2.8.2. Generalización del método 2.8.3. Uso de la cuadratura de Gauss en dos y tres dimensiones

54 55 58

ELEMENTOS FINITOS UNIDIMENSIONALES

59

2.9.1. 2.9.2. 2.9.3. 2.9.4.

60 60 61 68

Construcción del método de elementos finitos Esquema de numeración Funciones de forma lineal Funciones de forma cuadrática

ELEMENTOS FINITOS BIDIMENSIONALES

72

2.10.1. Triangulo de deformación unitaria constante 2.10.2. Elemento finito bidimensional cuadrilátero de cuatro nodos

73 85

ANÁLISIS DE FLEXIÓN EN VIGAS POR EL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS

94

2.11.1. Planteamiento del método de elementos finitos en vigas 2.11.2. Matriz de rigidez del elemento 2.11.3. Términos de fuerza 2.11.4. Matriz de rigidez de vigas sobre soportes elásticos

96 99 100 101

CAPÍTULO 3

EL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS APLICADO A LOSAS 3.1. INTRODUCCIÓN

103

3.2. ANÁLISIS DE LOSAS DELGADAS CON PEQUEÑOS DESPLAZAMIENTOS (TEORÍA DE KIRCHHOFF)

104

3.2.1. 3.2.2. 3.2.3. 3.2.4.

Teoría clásica de flexión en placas Relaciones entre desplazamientos y deformación unitarias Estado de tensiones Fuerzas internas

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104 106 107 108

vii

Contenido

3.3. ELEMENTO FINITO RECTANGULAR DE 12 GDL PARA LOSAS

111

3.4. MATRIZ DE RIGIDEZ DEL ELEMENTO FINITO PARA LOSAS

118

3.4.1. 3.4.2. 3.4.3. 3.4.4.

Energía potencial de un elemento placa Vector de fuerzas nodales equivalentes Condiciones de contorno Análisis de conformidad del elemento

121 123 124 127

3.5. CÁLCULO DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES

129

3.6. CÁLCULO DE MOMENTOS FLECTORES Y FUERZAS CORTANTES

133

CAPÍTULO 4

ANÁLISIS DE LOSAS DE CIMENTACIÓN UTILIZANDO EL MODELO DE WINKLER 4.1. INTRODUCCIÓN

137

4.2. DESARROLLO DEL MODELO MATEMÁTICO BASADO EN LA TEORÍA DE WINKLER

138

4.3. MATRIZ DE RIGIDEZ DEL ELEMENTO FINITO CORRESPONDIENTE AL MODELO DE WINKLER

139

4.3.1. Aplicación del método de elementos finitos a una fundación de Winkler 4.3.2. Enfoque de la energía potencial

139 141

4.4. CÁLCULO DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES

144

4.5. CÁLCULO DE MOMENTOS FLECTORES Y FUERZAS CORTANTES EN LA LOSA DE CIMENTACIÓN

145

CAPÍTULO 5

APLICACIÓN DEL MÉTODO VARIACIONAL A LA TEORÍA DE FUNDACIONES ELÁSTICAS 5.1. INTRODUCCIÓN

148

5.2. DESCRIPCIÓN DE LOS MÉTODOS VARIACIONALES

149

5.2.1. Cálculo variacional 5.2.2. Métodos variacionales directos

149 149

5.3. FUNDAMENTOS DEL MÉTODO VARIACIONAL USADO EN LA REDUCCIÓN DE PROBLEMAS BIDIMENSIONALES A PROBLEMAS UNIDIMENSIONALES EN LA TEORÍA DE LA ELASTICIDAD

151

5.4. MODELOS DE CÁLCULO PARA LAS DEFORMACIONES BIDIMENSIONALES DE FUNDACIONES ELÁSTICAS

160

5.5. MODELO PLANO DE FUNDACIONES ELÁSTICAS CON DOS PARÁMETROS

167

5.5.1. Ecuación diferencial básica Facultad de Ingeniería Civil - UNSA

167

viii

Contenido

5.5.2. Selección de la función de distribución transversal de desplazamientos 5.5.3. Efecto de las cargas verticales concentradas 5.5.4. Efecto de las cargas verticales distribuidas 5.6. FUNDACIONES ELÁSTICAS DE DOS CAPAS

168 170 172 174

CAPÍTULO 6

ANÁLISIS DE LOSAS DE CIMENTACIÓN UTILIZANDO EL MODELO DE VLASOV 6.1. INTRODUCCIÓN

178

6.2. DESARROLLO DEL MÉTODO MATEMÁTICO BASADO EN LA TEORÍA DE VLASOV

180

6.2.1. Modelo tridimensional para el cálculo de deformaciones en una fundación elástica 6.2.2. Modelo tridimensional de dos parámetros para fundaciones elásticas 6.2.3. Ecuación diferencial para la flexión en losas sobre fundaciones elásticas con dos parámetros 6.2.4. Evaluación de la función de forma ( ) 6.2.5. Desplazamiento del suelo fuera del dominio de la losa 6.2.6. Determinación del parámetro 6.3. MATRIZ DE RIGIDEZ DEL ELEMENTO FINITO CORRESPONDIENTE AL MODELO DE VLASOV 6.3.1. 6.3.2. 6.3.3. 6.3.4. 6.3.5.

Energía de deformación del sistema Energía de deformación del elemento Calculo de la matriz de rigidez local del elemento rectangular Calculo de la rigidez en los bordes Calculo de la rigidez en las esquinas

180 186 188 190 191 192 194 194 196 196 202 205

6.4. CÁLCULO DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES

206

6.5. CALCULO DE MOMENTOS FLECTORES Y FUERZAS CORTANTES EN LA LOSA DE CIMENTACIÓN

207

CAPÍTULO 7

PROGRAMACIÓN, ANÁLISIS DE RESULTADOS Y COMPARACIÓN DE AMBOS MODELOS 7.1. DESCRIPCIÓN DE LA PROGRAMACIÓN EJECUTADA EN MATHCAD 7.1.1. Fase de entrada 7.1.2. Procesamiento de datos 7.1.3. Fase de salida 7.2. EJEMPLOS DE APLICACIÓN UTILIZANDO EL MODELO DE WINKLER 7.2.1. Ejemplo 1: losa de cimentación cargada uniformemente 7.2.2. Ejemplo 2: losa de cimentación sometida a una carga puntual 7.2.3. Ejemplo 3: losa de cimentación sometida a cargas puntuales y distribuidas

Facultad de Ingeniería Civil - UNSA

211 211 212 214 214 214 217 221

ix

Contenido

7.3. EJEMPLOS DE APLICACIÓN UTILIZANDO EL MODELO DE VLASOV MODIFICADO

224

7.3.1. Ejemplo 1: losa de cimentación cargada uniformemente 7.3.2. Ejemplo 2: losa de cimentación sometida a una carga puntual 7.3.3. Ejemplo 3: losa de cimentación sometida a cargas puntuales y distribuidas

224 227 230

7.4. COMPARACIÓN DE RESULTADOS OBTENIDOS POR AMBAS MODELOS

232

7.4.1. 7.4.2.

7.4.3.

Comparación de ambos modelos con la teoría de la Elasticidad Comparación de valores obtenidos con el MEF y los resultados obtenidos por Straughan a través del método de diferencias finitas para el modelo de Vlasov modificado Comparación de resultados obtenidos con el modelo de Vlasov modificado y con el modelo de Winkler

233

243 246

CONCLUSIONES

253

RECOMENDACIONES

255

BIBLIOGRAFÍA

256

ANEXO 1.A: Incremento del esfuerzo vertical en el suelo producido por las cargas de la cimentación

258

ANEXO 7.A: Análisis de losas de cimentación mediante el modelo de Winkler

263

ANEXO 7.B: Análisis de losas de cimentación mediante el modelo de Vlasov modificado

283

ANEXO 7.C: Resultados nodales de los ejercicios desarrollados

309

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CAPÍTULO

1 LOSAS DE CIMENTACIÓN 1.1

INTRODUCCIÓN

En general, una cimentación es un elemento que transmite las fuerzas generadas en la superestructura hacia el terreno de fundación. Un diseño adecuado garantiza la estabilidad de la estructura, razón por la cual demanda una considerable importancia en el planeamiento de obras civiles tales como edificaciones, obras hidráulicas, obras de transportes, entre otras; además de ser constructivamente el punto de partida de toda estructura. Las investigaciones sobre la capacidad de carga y estabilidad de cimentaciones en suelos que se han venido desarrollando hasta tiempos recientes, si bien es cierto no resuelven el problema de las cimentaciones por la serie de simplificaciones que adoptan, dan un rumbo al análisis de fundaciones, lo que hace pensar que el arte de cimentar tiende cada día más a lo científico. En la actualidad existen varias formas y técnicas para lograr una cimentación adecuada, utilizándose aquella que cumpla con los requerimientos de estabilidad y resistencia del suelo y que cuya construcción garantice también la economía del proyecto; siendo una de estas formas la cimentación mediante losa. Una losa de cimentación es aquel elemento estructural de fundación cuyas dimensiones en planta son mucho mayores a su espesor. En cuanto al análisis estructural se puede decir que es complicado debido a su interacción con el suelo y la superestructura.

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-2-

Cap.1 – Losas de cimentación

El planteamiento de una losa de cimentación tiene una serie de ventajas en lo referente a los asentamientos totales y diferenciales, así como también en minimizar las presiones transmitidas al suelo, pero conlleva a un fuerte consumo de recursos en comparación con otros tipos de cimentación. La idea que la losa de cimentación es la solución a casi todos los problemas es falsa ya que presenta algunos problemas estructurales y geotécnicos. Generalmente, se utilizan losas de cimentación cuando se tienen los siguientes casos: •

• • • 1.2

Cuando el área de cimentación es mayor que el 50% del área techada; esto se da en edificios altos con más de 10 pisos o en suelos con capacidad portante baja (< 1.5 kg/cm ). Cuando se requiere un sótano en un suelo con nivel freático alto. Cuando se requiere reducir los asentamientos diferenciales en terrenos heterogéneos o con oquedades en el suelo. También se utilizan en cimentaciones compensadas donde se excava sótanos con la finalidad de aumentar la capacidad de carga del terreno. TIPOS DE LOSAS DE CIMENTACIÓN

Se plantea generalmente una cimentación por losa cuando el área de cimentación es más del 50% del área techada de la edificación, es evidente la simplicidad de esta regla ya que no toma en cuenta los efectos de las presiones en el suelo ni las distancias entre columnas. Las losas de cimentación pueden ser macizas, aligeradas o disponer de elementos de refuerzo tales como pedestales para mejorar su resistencia al punzonamiento. También se puede emplear losas en cimentaciones compensadas, este tipo de cimentación se caracteriza por la existencia de sótanos en la edificación de manera que el peso de terreno excavado es cercano al peso de la edificación; la losa distribuye uniformemente las presiones en toda su superficie presentando asentamientos diferenciales pequeños en el suelo. Antes de dar una clasificación es preciso exponer los factores que determinan la correcta elección del tipo de cimentación para una determinada estructura; estos factores pueden agruparse en tres clases principales. • • •

Factores definidos por la superestructura; tales como los tipos de cargas que transmite, materiales de construcción, entre otros. Factores que dependen del suelo; tales como su resistencia, su compresibilidad, propiedades hidráulicas, etc. Factores económicos; los cuales buscan el balance entre la importancia de la superestructura y el costo de la cimentación.

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-3-

Cap.1 – Losas de cimentación

Figura 1.1 esquema de una losa de cimentación

En la actualidad se usa una tipología amplia de losas de cimentación, siendo las siguientes las más comunes. •

Losas de canto constante: son las más utilizadas por la facilidad en su construcción, la utilización mínima de encofrado y la facilidad en la colocación del refuerzo de acero. (figura 1.2a).

a)

b)

c)

d)

Figura 1.2 Tipos de losas de cimentación a) de canto constante b) con mayor espesor debajo de las columnas c) losas nervadas d) con muros de sótano como parte de la cimentación

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-4-

•

Cap.1 – Losas de cimentación

Losas con mayor espesor bajo las columnas: para mejorar su resistencia al punzonamiento. (figura 1.2b). Losas nervadas: las cuales contienen vigas que corren en dos direcciones en cuyas intersecciones se ubican las columnas. (figura 1.2c). Losas con muros de sótano como parte de la cimentación: donde los muros brindan una mayor rigidez a la losa. (figura 1.2d).

• • 1.3

CAPACIDAD DE CARGA EN LOSAS DE CIMENTACIÓN

Actualmente los modelos utilizados para obtener la capacidad portante del suelo son superposiciones de reglas empíricas dadas en la práctica que combinados con la teoría dan resultados aceptables, estos modelos, generalmente, han sido desarrollados para el caso de zapatas rígidas de extensión infinita, pero para fines prácticos son utilizados en otros tipos de cimentaciones, para cuyo caso incluyen algunos factores de corrección. 1.3.1. Ecuación general para la capacidad de carga en suelos Las formulaciones presentadas a continuación son una combinación de resultados obtenidos a través de la teoría de la plasticidad y expresiones empíricas basadas en datos experimentales.

Donde: ,

, ,

,

∶ ∶ ∶ ∶

=

+

[1.1]

Factores de forma Factores de profundidad Factores por inclinación de la carga Factores de capacidad de carga

=

=( Factores de forma

+

=2

45 +

[1.2]

+1

[1.4]

− 1)

[1.3]

=1+

=1+

Donde: ∶ ∶

= 1 − 0.4 Longitud de la cimentación ( > ) Ancho de la cimentación

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[1.5]

-5-

Cap.1 – Losas de cimentación

∶ Angulo de Fricción interna del suelo

Factores de profundidad Condición (a):

/ ≤1

= 1 + 0.4 =1+2

Condición (b):

=1

(1 −

)

[1.6]

(1 −

)

[1.7]

/ >1

= 1 + 0.4 = 1+2 =1

Factores de inclinación de la carga = Donde:

= 1−°

°

= 1−

[1.8]

∶ Inclinación de la carga sobre la cimentación con respecto a la vertical ∶ Profundidad de Desplante

1.3.2. Capacidad de carga admisible1

Las incertidumbres que presentan las ecuaciones anteriores debido a las simplificaciones y suposiciones tomadas en cuenta para su desarrollo, así como la inexactitud en la obtención de las propiedades del suelo conllevan a una cierta inseguridad en la utilización de estas ecuaciones, es por ello que se hace necesaria la utilización de un factor de seguridad para poder garantizar la resistencia del suelo ante las cargas solicitadas. El valor del factor de seguridad debe ser evaluado dependiendo de la importancia de la estructura, la uniformidad del suelo, las incertidumbres en la determinación de las propiedades del suelo, entre otras. Generalmente, el valor del factor de seguridad oscila entre 2 a 5 tomándose comúnmente el valor de 3. =

=

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[1.9]

-6-

Cap.1 – Losas de cimentación

Algunos ingenieros prefieren usar las terminologías de capacidad última neta y capacidad admisible neta, las cuales están definidas por las siguientes ecuaciones. ( )

(

Donde:

=

)

=

−

[1.10] [1.11]

∶ Capacidad de carga ultima ∶ Carga correspondiente al suelo situado sobre la cimentación = ∶ Factor de seguridad

1.3.3. Evaluación de la Capacidad de carga en losas de cimentación2 Para el análisis geotécnico de la capacidad portante en suelos se tiene que tomar en cuenta todas las cargas que actúan sobre el cimiento, como las cargas provenientes de las columnas, el peso propio del cimiento, el peso del material de relleno, entre otras; en cambio, para determinar los esfuerzos en la losa solo es necesario tomar en cuenta las fuerzas trasmitidas por las columnas hacia la cimentación, debido a que las cargas como el peso propio y el peso del relleno son contrarrestados por la reacción que ejerce el suelo sobre la cimentación. La carga máxima aplicable en la cimentación está determinada tanto por la capacidad portante admisible del suelo y los asentamientos permisibles que pueden ser tolerados en la cimentación sin afectar la estabilidad de la estructura. Tal como se vio, la capacidad portante última del suelo para una cimentación rectangular está dada por la ecuación (1.1) =

+

+

Para el caso de una cimentación sobre un terreno arcilloso con reduce a: =

+

= 0 la ecuación anterior se [1.12]

Donde el valor de es la cohesión del suelo obtenida en condición no drenada. El valor del coeficiente esta dado por la ecuación (1.13) que fue obtenido por Prandtl para el caso de suelos puramente cohesivos. = ( + 2)

Donde se ve que el valor de

esta dado por:

= ( + 2) = 5.14

[1.13] [1.14]

También, las expresiones para y fueron dadas en las ecuaciones (1.5) y (1.6); considerando un ángulo de fricción nulo estas quedan reducidas a:

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-7-

Cap.1 – Losas de cimentación

=1+

=1+

= 1 + 0.4

=1+

.

.

[1.15]

Sustituyendo las ecuaciones (1.14), (1.15) y (1.16) en la ecuación (1.12), se tiene: = 5.14

1+

.

1 + 0.4

+

[1.17]

También se vio que la carga admisible última neta está dada por: ( )

=

−

( )

=

−

[1.16]

Sustituyendo la ecuación (1.17) en esta última expresión se tiene; = 5.14

1+

.

1 + 0.4

[1.18]

Y por último, para obtener la carga neta admisible bastara dividir la carga neta ultima por un factor de seguridad apropiado, donde en el caso de arcillas generalmente se toma un valor promedio de 3, valor que fue tomado para la ecuación (1.19). =

(

)

(

)(

(

)

= 1.713

1+

) = 11.98

.

.

1 + 0.4

[1.19]

Para suelos granulares es conveniente calcular la carga neta admisible a través de los números de penetración estándar; cuya ecuación viene dada por:

Donde:

/

.

[1.20]

.

= Resistencia por penetración estándar corregida = Ancho de la cimentación (m) = 1 + 0.33 / ≤ 1.33 = Asentamiento (mm)

Como es lógico, el ancho B en las losas de cimentación es grande, por lo tanto, el valor de 3.28 + 1 puede aproximarse a 3.28 ; tomando en cuenta esta aproximación y sustituyendo el valor de en (1.20), la ecuación (1.20) queda dada por la siguiente expresión: (

)(

/

) = 11.98

(

)(

/

) ≤ 15.93

1 + 0.33

Es necesario resaltar que debido a la formulación dada para limitado, tal como se ve en la ecuación (1.22).

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.

.

el valor de

[1.21] (

)

quedará

[1.22]

-8-

Cap.1 – Losas de cimentación

Donde la carga neta aplicada a la losa de cimentación está dada por las cargas que transmiten las columnas entre el área de la losa (carga muerta de la estructura más carga viva esperada) y el peso de la cimentación, menos el peso del suelo extraído para cimentar. =

−

[1.23]

Figura 1.3 Carga neta ejercida por una losa de cimentación sobre el suelo (Fuente: Braja M. Das, 1984, Principios de ingeniería de cimentaciones, fig5.4, P 303)

1.4

ASENTAMIENTOS ADMISIBLES EN LOSAS DE CIMENTACIÓN3

Tal como se dijo anteriormente, las cargas admisibles para el diseño de una cimentación dependen no solo de la capacidad de carga del terreno, sino también de los asentamientos totales y diferenciales que puedan ocurrir en la cimentación, ya que si estos son excesivos ocasionaran esfuerzos en los elementos de la superestructura afectando significativamente la estabilidad y la resistencia de la misma; es por ello que el valor de deberá de ser menor o igual al valor de

y al valor de carga que cause asentamientos

admisibles. Los asentamientos en el suelo son la suma de los asentamientos inmediatos y los asentamientos ocasionados por el fenómeno de consolidación. Los asentamientos inmediatos se producen inmediatamente después de la construcción de la estructura, mientras que los asentamientos por consolidación se producen por la expulsión del agua intersticial en los suelos arcillosos saturados, este fenómeno no ocurre de inmediato sino que se produce a lo largo del tiempo. Para calcular los asentamientos en el suelo es necesario conocer primero el incremento de esfuerzos producidos por la cimentación en el suelo. En el anexo 1.A se muestra algunas expresiones para calcular el incremento de esfuerzo vertical producido por distintos tipos de carga.

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-9-

Cap.1 – Losas de cimentación

1.4.1. Cálculo de asentamientos elásticos basados en la teoría de la elasticidad Utilizando la teoría de la elasticidad el asentamiento inmediato es calculado con la siguiente expresión

Donde:

=∫

=

∫ ∆

−

∆

−

∆

[1.24]

= Asentamiento elástico = Módulo de elasticidad del suelo = Espesor del estrato de suelo = Relación de Poisson del suelo ∆ ,∆ ∆ = Incremento del esfuerzo debido a la carga neta aplicada a la cimentación en las direcciones x, y, z, respectivamente. Según Steinbrenner (1934) para el caso de = 0, perfectamente elástica, el asentamiento del suelo es: •

= ∞ y considerando una cimentación

Para la esquina de una cimentación flexible

•

=

(1 −

)

[1.25]

=

(1 −

)

[1.26]

Para el centro de una cimentación flexible

Donde:

=

ln

= / = Ancho de la cimentación = Longitud de la cimentación

+

ln

[1.27]

El asentamiento promedio del suelo ante la acción de una zapata rectangular está dada por: •

Promedio para cimentaciones flexibles =

(1 −

)

[1.28]

Como se puede ver, las expresiones anteriores corresponden al caso de cimentaciones flexibles; para cimentaciones rígidas se tiene la siguiente expresión. •

Cimentación rígida

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- 10 -

Cap.1 – Losas de cimentación

=

(1 −

)

[1.29]

Si el espesor de la capa de suelo no es infinita ( < ∞), ya que la capa de suelo se encuentra restringida por un estrato rígido como se muestra en la figura1.4, el asentamiento en la capa de espesor H está dada por: •

•

Esquina de la cimentación flexible =

(1 −

)

=

(1 −

)[(1 −

[1.30]

Centro de la cimentación flexible )

+ (1 −

−2

) ]

[1.31]

Figura 1.4Asentamientos elásticos para cimentaciones rígidas y flexibles (Fuente: Braja M. Das, 1984, Principios de ingeniería de cimentaciones, fig. 4.17, P 242)

Los valores para

se dan en las figuras 1.5 y 1.6

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Cap.1 – Losas de cimentación

Figura 1.5 Variación de

con H/B (según Steinbrenner, 1934)

Figura 1.6 Variación de

con H/B (según Steinbrenner, 1934)

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Cap.1 – Losas de cimentación

Asentamiento elástico de cimentaciones sobre arcillas saturadas (

= . )

Para evaluar el asentamiento promedio en arcillas saturadas, Janbu propuso la siguiente formulación:

Donde:

=

= Función de = Función de

Los valores de (1978).

[1.32]

⁄ ⁄

Figura 1.7 Valores de

⁄ se muestran en la figura1.7 y fueron dados por Christian y Carrier

para el cálculo del asentamiento elástico (según Christian y Carrier (1978)

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- 13 -

Cap.1 – Losas de cimentación

1.4.2. Asentamiento por consolidación El asentamiento por consolidación de una capa de arcilla de espesor determinado por la siguiente expresión:

Nótese que: ∆

=

=

∆

puede ser

[1.33]

= Deformación unitaria vertical

Figura 1.8 Cálculo del asentamiento unidimensional (Fuente: Braja M. Das, 1984, Principios de ingeniería de cimentaciones, fig. 1.22, P 45)

Donde: = Asentamiento ∆ = Cambio de la relación de vacíos causada por la aplicación de la carga = Relación de vacíos inicial

Para arcillas normalmente consolidadas la curva de log toma la forma que se muestra en la figua1.8, y la variación de la relación de vacíos causada por el incremento de la carga está dado por:

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Cap.1 – Losas de cimentación

∆ =

log

∆

=

log

∆

[1.34]

Sustituyendo la ecuación (1.34) en (1.33), se tiene: [1.35]

Para el caso de arcillas preconsolidadas se tienen los siguientes casos: •

Si

+∆ <

se tiene:

∆ =

log

∆

=

log

∆

[1.36]

Sustituyendo la ecuación anterior en la ecuación (1.33) se obtiene:

•

Si

<

<

∆ =∆

[1.37]

+ ∆ , entonces: +∆

=

log

+

log

∆

log

∆

[1.38]

Combinando las ecuaciones (1.33) y (1.38) obtenemos:

Donde: = ∆ = = = = = =

=

log

+

[1.39]

Presión efectiva promedio sobre el estrato de arcilla antes de cimentar Incremento de presión sobre el estrato de arcilla luego de cimentar Presión de preconsolidación Relación de vacíos inicial del estrato de arcilla Índice de compresión Índice de expansibilidad Espesor de la capa de arcilla

1.4.3. Asentamientos admisibles en losas de cimentación4 Una vez calculada la presión neta admisible en el suelo será necesario verificar que este valor no cause asentamientos totales o diferenciales mayores a los límites fijados; la determinación de estos valores fijados representa un problema, debido a que se debe tener en cuenta el tipo de suelo, la estructura y el tipo de movimiento de la estructura. Antes será necesario definir la terminología utilizada para describir el movimiento vertical del cimiento. Con referencia a la figura 1.9 se definen los siguientes términos dados por Burland y Wroth (1974).

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Cap.1 – Losas de cimentación

Figura 1.9 Esquema donde se muestran las definiciones utilizadas para describir el movimiento vertical de una cimentación (Fuente: José M. Rodríguez Ortiz, 1989, Curso aplicado de cimentaciones, fig2.30, P 69)

a) Asentamiento máximo: es el máximo desplazamiento vertical que sufre la cimentación de una edificación ( á ).

b) Asentamiento diferencial: es la diferencia entre los asentamientos de dos puntos dentro de una cimentación ( ); también es de importancia conocer el valor máximo de todos los asentamientos diferenciales ( á ), el cual viene dado por la diferencia entre el asentamiento máximo y mínimo. c) Distorsión angular (β): viene dada por la relación entre el asentamiento diferencial de dos puntos y la distancia que separa dichos puntos (L). d) Flecha relativa: es el valor máximo Δ de un punto con referencia a la línea recta que une los extremos de la cimentación con curvatura del mismo signo, dividido por la distancia entre dos puntos (Δ/ ). e) Deformación angular: es la suma de dos distorsiones angulares a ambos lados de un punto; si la deformación resulta positiva esta será cóncava hacia arriba si resulta un valor negativo esta será convexa. Los valores límites para asentamientos tanto totales como diferenciales, generalmente, lo dan los reglamentos de construcción de los países, pero en general no existe un criterio único para determinar estos valores; es por ello que a continuación se presentan algunos criterios muy utilizados. Las primeras recomendaciones sobre los asentamientos admisibles fueron dadas por Terzaghi y Peck en 1948, también por Skempton y Mc Donald en 1956 y la norma de URSS de 1962. Estas recomendaciones se reproducen en las siguientes tablas.

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Cap.1 – Losas de cimentación

CRITERIOS TRADICIONALES SOBRE ASIENTOS ADMISIBLES Tipo de cimentación Arena Arcilla Cimentación por zapatas Asiento máximo Asiento diferencial máximo Cimentación por losa Asiento máximo

25-40 mm 20-25 mm

65 mm(120)* 40-50 mm(50)

40-65 mm

65-100 mm(200)

* Los valores entre paréntesis corresponden a una recopilación realizada por Burland et. Al. (1977)

Tabla 1.1 criterios tradicionales sobre asentamientos admisibles (Fuente: José M. Rodríguez Ortiz, 1989, Curso aplicado de cimentaciones, cuadro 2.10, P 70)

ASIENTOS GENERALES ADMISIBLES SEGÚN NORMA MV-101 Asiento general, máximo admisible en terrenos:

Características del edificio Obras de carácter monumental Edificios con estructura de concreto armado de gran rigidez

Sin cohesión(mm)

Coherentes(mm)

12 35

25 50

50

75

>50

>75

Edificios con estructura de concreto armado de pequeña rigidez Estructuras metálicas hiperestáticas Edificios con muros de fabrica Estructuras metálicas isostáticas Estructuras de madera Estructuras provisionales

Tabla 1.2 asentamientos máximos admisibles según Norma MV-101(Fuente: José M. Rodríguez Ortiz, 1989, Curso aplicado de cimentaciones, cuadro 2.11, P 70)

ASIENTOS ADMISIBLES SEGÚN NORMA TGL-11464 (1972) Asiento máximo admisible en cm*

Tipo de estructura

Terreno granular o terreno cohesivo de consistencia media o dura

Terreno cohesivo de consistencia plástica

Reticulada de concreto armado o de acero, con arriostramiento

2.5

4

3

5

Muros de carga, sin armar

5 2

8 4

Muros de carga con zunchos al nivel de los forjados

3

5

Reticulada hiperestática, o de vigas continuas de concreto armada o de acero, sin arriostramiento Estructuras isostáticas de concreto armado o de acero sin arriostramiento

*En el caso de emparrillados o losas pueden aumentarse los valores en un 25%

Tabla 1.3 asentamientos máximos admisibles según Norma TLG-11464 (1972) (Fuente: José M. Rodríguez Ortiz, 1989, Curso aplicado de cimentaciones, cuadro 2.12, P 71)

Los criterios vistos anteriormente se basan en los asentamientos totales y asentamientos diferenciales. En 1956 Skempton y Mac Donald, como consecuencia de sus investigaciones realizadas, se dieron cuenta que más importante que estos asentamientos era la distorsión Facultad de Ingeniería Civil - UNSA

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Cap.1 – Losas de cimentación

angular ( ). Los criterios de seguridad en función de la distorsión angular son mostrados en la tabla 1.4. DISTINTOS CRITERIOS DE PELIGROSIDAD RESPECTO A LA DISTORSION ANGULAR Distorsión angular β=δS/L

Tipo de estructura

Sowers (1962)

Berran (1963)

Normas Polacas

Limite peligroso para estructuras isostáticas y muros de contención

1/100

Limite de seguridad para estructuras isostáticas y muros

1/100 - 1/200

Limite peligroso para estructuras reticuladas de acero o concreto y respecto al giro de estructuras rígidas elevadas Limite de seguridad para estructuras reticuladas y respecto al giro de estructuras rígidas

Meyerhof (1977)

1/300 1/400 - 1/250

1/150

1/600

1/200 - 1/300

1/250

1/300

1/300 - 1/500

1/500

Limite peligroso para tabiques de estructuras reticuladas Limite de seguridad para tabiques de estructuras reticuladas Limite peligroso para la flexión cóncava de muros de carga

1/1000

Limite de seguridad para la flexión cóncava de muros de carga

1/2000

Limite peligroso para la flexión convexa de muros de carga

1/2000 - 1/1000

1/1500

Limite de seguridad de muros de carga Estructuras de paneles prefabricados

1/2500 1/500 - 1/700

Tabla 1.4 Criterios de seguridad respecto a la distorsión angular (Fuente: José M. Rodríguez Ortiz, 1989, Curso aplicado de cimentaciones, cuadro 2.13, P 72)

El Reglamento Nacional de Edificaciones en la norma E-050 Suelos y cimentaciones5, señala que el asentamiento diferencial no debe de ocasionar una distorsión angular mayor que la indicada en la siguiente tabla.

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Cap.1 – Losas de cimentación

Distorsión angular(β=δ/l)

DESCRIPCIÓN

1/150

Limite en que se debe esperar daño estructural en edificios convencionales

1/250

limite en que la perdida de verticalidad de edificios altos y rígidos pueden ser visibles

1/300

Limite en que se debe esperar dificultades con puentes grúas

1/300

Limite en que se debe esperar las primeras grietas en paredes

1/500

Limite seguro para edificios en los que no se permiten grietas

1/500

Limites para cimentaciones rígidas circulares o para anillos de cimentación de estructuras rígidas, altas y esbeltas

1/650

Limite para edificios rígidos de concreto, cimentados sobre un solado con espesor aproximado de 1.20m

1/750

Limite donde se esperan dificultades en maquinaria sensible a asentamientos

Tabla 1.5 Criterios de seguridad respecto a la distorsión angular según la norma E-050, Suelos y cimentaciones

El comité 336 (1988) del American Concrete Institute6 propone un método para encontrar los asentamientos diferenciales en losas de cimentación en función de la rigidez de la estructura, la cual está dada por . =

Donde:

´

[1.40]

´ = Módulo de elasticidad del material usado en la estructura = Módulo de elasticidad del suelo = Ancho de la cimentación = Momento de inercia de la estructura por unidad de longitud en ángulo recto con B

El término ´ Donde: ´ ´

∑

=

´

=

=

´

se expresa en la siguiente ecuación. ´

= ´

+∑

´

+∑

[1.41]

Rigidez por flexión de la superestructura y cimentación por longitud unitaria en ángulo recto con B Rigidez por flexión de los miembros enmarcados en ángulo recto con B = Rigidez por flexión de los muros cortantes Espesor del muro cortante

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Cap.1 – Losas de cimentación

= ´ =

Altura del muro cortante Flexibilidad de la cimentación

La relación entre el asentamiento diferencial y el asentamiento total ( función del valor . •

Si

•

Si

•

Si

> 0.5, la losa se puede tratar como rígida y por lo tanto, = 0.5, el valor de = 0, entonces

≈ 0.1

=0

= 0.35 para losas cuadradas (B/L = 1) y

cimentaciones largas (B/L = 0) 1.5

/ ) viene dada en

= 0.50 para

METODOLOGÍAS PARA EL ANÁLISIS DE LA INTERACCIÓN ESTÁTICA SUELO-ESTRUCTURA7

Las vigas y losas de cimentación se emplean generalmente en estructuras que transmiten grandes cargas o bien se apoyan en suelos relativamente blandos; el análisis de estos elementos de cimentación presenta una dificultad en determinar las presiones de contacto que se generan en la interfaz del suelo y la cimentación; otro problema radica en la dificultad en encontrar la Rigidez de la superestructura que afecta la rigidez de la cimentación, este aporte de rigidez es de un complicado cálculo y las metodologías utilizadas no son del todo satisfactorias. La utilidad de resolver el problema de la interacción suelo estructura consiste en conocer la distribución de presiones que el suelo ejerce sobre la cimentación y los esfuerzos que estas presiones causan sobre el elemento de cimentación, esto también permitirá conocer los esfuerzos adicionales causados en la superestructura producto de los asentamientos en el suelo, lo cual conlleva a tener una idea más clara para un diseño optimo y racional. La solución de este problema tiene una gran importancia práctica, pues solo de esta manera es posible conocer con cierto grado de precisión la distribución de esfuerzos en la cimentación, así como los esfuerzos y deformaciones que la estructura provoca en el suelo; un cálculo de estos esfuerzos realizado por métodos más elaborados repercute en el proyecto con un cierto ahorro de recursos y materiales sin que esto disminuya la seguridad obtenida con métodos tradicionales, sino por el contrario, la seguridad se verá incrementada al reforzarse las zonas de altos esfuerzos.

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Cap.1 – Losas de cimentación

1.5.1. Planteamiento del problema de contacto El problema de contacto se da cuando en los contornos de dos cuerpos distintos existen zonas en las cuales se dan condiciones de interacción o contacto, las cuales son: -

Igualdad de desplazamientos en ambos cuerpos en la zona de contacto. La presión de contacto entre los cuerpos debe ser tal que las deformaciones producto de los esfuerzos en los cuerpos cumplan con la primera condición enunciada.

La solución del problema planteado consta de dos etapas; la primera consiste en conocer la presión de contacto entre los cuerpos y la segunda consiste en conocer los desplazamientos que se producen debido a la interacción de estos dos cuerpos. En el origen del tratamiento de este problema mixto se encuentran los trabajos de H. Hertz (1882 y 1884), de J. Boussinesq (1885), los de E. Winkler (1867) y H. Zimmerman (1888) a finales del siglo pasado, y en este siglo los de M. A. Saldowsky (1928), H. Borowicka (1936), Vlasov y Leont’ev (1960), entre otros. Planteamiento general El problema de la interacción estática es un problema tridimensional, pero en forma simplificada puede ser tratado como un problema bidimensional; para ello consideremos una región en el plano limitada por las siguientes condiciones: −∞ < 0≤

< +∞ ≤

La región se apoya sobre una base rígida e indeformable que se encuentra a una profundidad H de la superficie del estrato, tal como se muestra en la figura 1.10.

Figura 1.10 Planteamiento general del problema de interacción estática

La región en análisis está limitada en la parte superior por la línea ( = ) y en la parte inferior por la línea ( = 0) (figura 1.10); tal como se muestra existen regiones con limites a en donde se produce el contacto entre los cuerpos que se encuentran en la superficie y la Facultad de Ingeniería Civil - UNSA

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Cap.1 – Losas de cimentación

capa de asiento denominados como Ω que pertenecen a la línea K . La totalidad de las zonas donde se produce el contacto queda definida como: Ω=

Ω

También existen zonas pertenecientes a la línea K donde no se produce el contacto entre superficies, y por ello definimos la región Ω∗ como una parte de la línea K que no pertenece a la región de contacto Ω. Ω∗ =

− Ω

Es visto que de estas condiciones se pueden tener dos problemas: a)

b)

La línea definida por representa una superficie rugosa , por lo tanto, se generarán esfuerzos tangenciales en esta zona; en la región Ω perteneciente a la recta se dan ∗ desplazamientos normales, mientras que en la región Ω se dan las tensiones normales

Las condiciones en la recta son las mismas que el caso anterior, pero la superficie correspondiente a la recta no es rugosa, por consiguiente, no se producirán esfuerzos tangenciales.

El planteamiento de las condiciones anteriores depende de la naturaleza del suelo en análisis; para el problema tridimensional el planteamiento del problema se realiza en forma análoga. 1.5.2. Principales modelos de suelos Existe una gran dificultad para obtener un modelo de suelo que se acerque de forma satisfactoria al suelo real, debido a la complejidad de este, es por ello que los modelos de suelos simples han sido los más utilizados durante mucho tiempo. Los modelos estudiados para describir el problema de interacción estática entre el suelo y la estructura se dividen en cuatro grandes grupos: -

Modelos que se apoyan en el coeficiente de balasto. Modelos que se apoyan en la teoría de la elasticidad. Modelos Mixtos. Modelos basados en la mecánica del medio discontinuo.

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- 22 -

Cap.1 – Losas de cimentación

Sin limitación de tensión Coef. constante Con limitación de tensión Variación lineal Modelo de Winkler Modelos basados en el coeficiente de balasto

Variación funcional Modelo de Pasternak Variación aleatoria

Modelo de Boussinesq

Modelo de Klein

Modelo het. isótropo

Modelo de Sheviliakov

Modelos

Variación funcional

Modelos basados en la teoría de la elasticidad

Modelo Westergaard con introducción de Hipótesis complementarias Modelo de Kany

Modelo de Frolich Modelos que introducen variación en hipótesis Modelo de Salvadurai Modelos Hiperbólicos

Modelo de Repnikov Modelos Mixtos Modelos basados en la mecánica del medio discontinuo

Modelo de Cherkasov

Figura 1.11 Principales modelos de idealización del suelo

Modelos que se definen a partir del coeficiente de balasto Como inicio de estos modelos mencionamos al modelo de Winkler o método del coeficiente de balasto, llamado así porque se utilizó por primera vez para calcular las traviesas de una vía férrea. Las soluciones para el caso de vigas de extensión infinita aplicando este modelo fueron dadas por Zimmerman en 1888; estas soluciones fueron empleadas en el libro de Hetenyi “Beams on elastic foundations” en 1946.

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Cap.1 – Losas de cimentación

Otro aporte interesante a este modelo de suelo lo realizo N.N. Puzirieski en 1923, resolviendo el problema para una viga corta utilizando funciones iniciales. La ecuación básica del modelo de Winkler se basa en considerar que los desplazamientos verticales del suelo son proporcionales a la presión ejercida por el suelo =

Donde:

= Presión que ejerce el suelo sobre la cimentación = Módulo de balasto = Ancho de la viga en análisis = Desplazamiento vertical de la cimentación

Este modelo tiene una gran ventaja por su sencillez, pero se aleja considerablemente del comportamiento real del suelo, describiendo con una cierta precisión el comportamiento de algunos tipos de suelos. Teniendo en cuenta las limitaciones del modelo de Winkler, muchos autores han tratado de mejorar este modelo debido a su simplicidad, uno de estos intentos de mejora es aquel que considera la variación lineal del módulo de balasto en una viga. =

+

En tanto D. N. Sovolev (1963) propuso que el módulo de balasto varía dentro de una viga con la siguiente función:

Donde el valor de

=

+

( )

representa el valor medio del coeficiente de balasto y la expresión

( )

representa la variación del módulo de balasto en función de la variable x con respecto a su valor medio. La aplicación de este modelo fue realizada por A. A. Mustafaev (1978) para el análisis de cimentaciones de edificios prefabricados y cimentaciones sobre loess, obteniéndose resultados satisfactorios. También existen métodos que utilizando el modelo de Winkler no utilizan valores determinísticos sino valores aleatorios, tales como los presentados por V. V. Volotin y D. N. Sobolev en la publicación periódica “Mecánica de la Construcción y cálculo de Edificios” en el N° 1 de 1965; este modelo siguió siendo trabajado y acoplado a determinados problemas prácticos, obteniéndose resultados satisfactorios tales como los trabajos llevados a cabo en la Universidad de Northwestern de Illinois, resaltando los trabajos realizados por E. Alonso en 1974 y 1975 utilizando un modelo estocástico. También se propusieron modelos con limitaciones en las cargas transmitidas al suelo de asiento (Modelo Elastoplástico) realizados por S. N. Klepicov (1966).

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Cap.1 – Losas de cimentación

Otro esfuerzo por mejorar el modelo de Winkler es el modelo desarrollado por Pasternak (1954), que utiliza dos parámetros para lograr una mejor aproximación del problema. Este modelo se basa en dos hipótesis principales: -

Bajo la carga actuante se produce un desplazamiento vertical w proporcional a la intensidad de la carga. La variación de la deformada produce una tensión de corte que es también proporcional a esta.

Este modelo, conocido también como el modelo de la membrana, tiene un tratamiento completo para el caso de vigas, elementos con simetría axial y losas de cimentación, y puede ser fácilmente implementado por el método de elementos finitos y el método de diferencias finitas. Modelos que se definen a partir de considerar al suelo como un semi-espacio elásticolineal Las bases para el análisis del suelo como un medio isótropo y semi-infinito fueron planteadas por Boussinesq (1985), al encontrar mediante la teoría de potenciales una expresión general para calcular el asentamiento que produce una carga puntual al actuar sobre la superficie del semi-espacio. La expresión hallada por Boussinesq es: =

1−

Los modelos basados en la teoría del medio continuo han tenido un mayor desarrollo en comparación con los modelos que se apoyan en el coeficiente de balasto, tal es el caso de algunos autores como M. I. Gorbunov-Pasadov en su libro “cálculo de obras sobre bases elásticas”, publicado en 1973, que se apoya en los trabajos realizados por L. S. Guilman (1934) y H. Borowicha (1936). Modelos elásticos homogéneos e isotrópicos Un primer modelo que considera el medio homogéneo es aquel que idealiza al suelo con un comportamiento elástico lineal y apoyado sobre un estrato indeformable; el suelo puede estar constituido por capas (estratificado), y tal como se dijo líneas arriba, la superficie de contacto entre el estrato indeformable y el suelo en análisis puede ser rugosa o lisa. Un modelo que tiene una buena aproximación al comportamiento real de un gran número de suelos es el presentado por G. K. Klein (1956), que sugiere una variación en el módulo de elasticidad, que está dada en la siguiente expresión:

Donde:

=

= Módulo de deformación cuando z=0 Facultad de Ingeniería Civil - UNSA

+

- 25 -

Cap.1 – Losas de cimentación

= Coeficiente que marca la variación del valor de E con la profundidad = Índice de heterogeneidad

Utilizando esta formulación, Klein encontró la siguiente expresión para relacionar el desplazamiento vertical producido por una carga puntual P. =

(

)

+

Donde r es la distancia del punto de aplicación de la carga al punto donde se pretende encontrar el desplazamiento y los valores de y están dados en las siguientes expresiones.

=

=

(1 − 2

(3 + )

1 1+

)

−

Este modelo fue aplicado a la solución del problema de una placa cuadrada cargada uniformemente por Duraev (1976), obteniéndose resultados alentadores. Adicionalmente se tiene los modelos que basados en la teoría de la elasticidad sus ecuaciones tienen una forma similar a los modelos basados en el módulo de balasto, tal es el caso del modelo de Vlasov y Leont’ev el cual será visto con mayor amplitud en los capítulos 5 y 6 del presente documento. Modelos que introducen hipótesis complementarias al modelo de Boussinesq Dentro de este grupo de modelos se encuentra el modelo dado por Wieghardt (1922), el cual supone que la deformación es una función continua de K y de la diferencia absoluta de las coordenadas, tal como se muestra en la figura 1.12.

Figura 1.12 Sistema de coordenadas utilizada en el modelo de Wieghardt

= (| − |)

Por ejemplo, si la carga se encuentra distribuida en la longitud l de una viga, la deformada del terreno será:

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Cap.1 – Losas de cimentación

=

( ) (| − |)

Otro modelo que introduce una variación al modelo de Boussinesq es el modelo desarrollado por Kany (1959), este modelo supone que la deformada de una viga apoyada en el semiespacio tiene una deformación determinada, la forma de esta deformación queda determinada por numerosos ensayos realizados a escala real. Este método se basa en tres principales hipótesis. -

El suelo debe estar formando por capas horizontales y no debe mostrar ninguna variación de sus constantes elásticas en sentido horizontal.

-

Las deformaciones del terreno bajo cualquier sección de la viga deben aumentar proporcionalmente a la carga aplicada en la solera (Ley de Hooke). No se tiene en cuenta, por tanto, la relación entre el módulo de rigidez de la cimentación y la presión que actúa en cada punto.

-

La viga de cimentación debe ser de rigidez (EI) constante.

-

La solicitación de la viga es plana (sin torsión) suponiéndose un reparto uniforme transversalmente al plano de cálculo. Por esta razón el método es aplicable principalmente a vigas de cimentación (o placas que trabajen como tal); en el caso de placas se puede utilizar el método clásico de descomposición en vigas estableciendo después las condiciones de continuidad expresadas por la igualdad de asientos, se obtiene así bastante precisión sobre todo si la placa es bastante rígida, en opinión del autor del método.

Otro método, el cual supone que no existe expansión en el sentido horizontal es el modelo propuesto por Westergaard (1938). Por ejemplo, para el caso de una carga puntual actuando sobre el semi-espacio Westergaard da la siguiente expresión: =

2

Donde P es la carga, R es la distancia radial del punto de aplicación de la carga hasta el punto donde se desea calcular el desplazamiento y G es el módulo de cortante. El valor de queda determinado por la siguiente expresión: =

(1 − 2 ) 2(1 − )

Modelos que introducen una variación significativa sobre el elástico lineal Dentro de este grupo se encuentran fundamentalmente los modelos de O. K. Frolich (1934) y el propuesto por A. P. S. Salvadurai (1937), entre otros.

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Cap.1 – Losas de cimentación

El modelo propuesto por A. P. S. Salvadurai parte de las ecuaciones básicas del equilibrio del semi-espacio elástico homogéneo e introduce en éstas propiedades que dependen de la microestructura del material; fruto de los estudios sobre la microestructura y su influencia en las propiedades de deformación de los suelos reales, introduce en el modelo de Boussinesq dos parámetros nuevos. Modelos Mixtos Los modelos estudiados anteriormente describen de manera satisfactoria algunos tipos de suelo, pero su aplicación se restringe solo a algunos casos, es por ello que nace la necesidad de contar con otros modelos que describan el comportamiento de los suelos cuando los modelos anteriores muestren una aproximación no tan satisfactoria. También, es evidente que en algunos casos los modelos planteados a través de la teoría del medio continuo tienen una mejor aproximación que las obtenidas con el coeficiente de balasto y viceversa, es por ello que se plantean modelos mixtos que engloban las dos ramas de análisis. Uno de los autores que trabajó en el desarrollo de los modelos mixtos es L. N. Repnikov (1967), que propuso un modelo que engloba las dos metodologías y limita los resultados a los obtenidos con uno u otro modelo. La ecuación dada es: =

1−

( , )

( − ) +( − )

+

1

( , )

Donde y son coordenadas relativas de x e y, respectivamente. Como se puede notar el primer término del lado derecho representa el desplazamiento correspondiente a la formulación dada por Boussinesq y el segundo término es aquel correspondiente al modelo de Winkler. Este modelo representa de manera satisfactoria a algunos suelos que presentan una relación lineal entre el esfuerzo y la deformación. Una expresión más general es dada por Cherkasov (1958) que toma en cuenta el comportamiento no lineal de los suelos; este modelo surge como resultado de los estudios del autor sobre el comportamiento mecánico de los suelos, y cuya expresión que relaciona el desplazamiento vertical con la carga aplicada se muestra a continuación: ( , )=

1−

( , )

( − ) +( − )

+

1

( , )+

( , )

( , )

En la expresión anterior se aprecia que el primer sumando coincide con la formulación de Boussinesq, conservando el comportamiento lineal del suelo, el segundo sumando coincide con la expresión del modelo de Winkler y el tercer sumando toma en cuenta la no linealidad del suelo, considerando una cierta hiperbolicidad en el suelo.

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Cap.1 – Losas de cimentación

Modelos basados en la Mecánica del medio discontinuo La mecánica del medio discontinuo, desarrollada en estos últimos tiempos por C. Yanqui8, presenta una idealización del medio no continuo, cuya estructura presenta la característica de ser heterogénea, irregular y asimétrica, idealizándola como una sustancia discontinua con un ordenamiento perfecto que se ajusta a formas geométricas matemáticamente definidas. Este modelo propone una solución mediante la evaluación de potenciales, utilizando el principio del valor medio. Este modelo muestra una buena aproximación a los resultados experimentales obtenidos en arenas por Faber (1933); la forma parabólica de la curva obtenida por este modelo es también confrontada con los experimentos realizados por Leussink y Schweickert (1963) donde se observa claramente el cambio de concavidad de la distribución de presiones; cuando la zapata cuadrada (1x1m) se desplanta sobre la superficie, la curva es cóncava hacia arriba, pero cuando se desplanta a una profundidad de 0.7m, para niveles bajos de presión, la concavidad es hacia abajo; lo cual predice el modelo planteado. El modelo también fue comparado con los datos experimentales obtenidos por los Hermanos Reimbert y los experimentos realizados por Schultze, obteniéndose respuestas satisfactorias. La buena aproximación con los datos experimentales y la simplicidad de sus ecuaciones hacen de este modelo confiable y sugiere una mayor utilización por parte de los ingenieros en la práctica. 1.5.3. Modelos matemáticos empleados en la solución del problema de contacto Las ecuaciones que plantean los modelos de suelos utilizados, generalmente, son complejas y en muchos casos su respuesta analítica es imposible, es por ello que se plantean métodos de cálculo para encontrar la solución al problema de la interacción estática entre el suelo y la estructura; estos métodos matemáticos pueden ser agrupados en: -

Métodos analíticos Métodos numéricos Métodos que plantean un sistema de ecuaciones Métodos empíricos basados en la experiencia

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Cap.1 – Losas de cimentación

Transformadas integrales Analíticos Solución de ecuaciones diferenciales

Con condiciones de contorno

Métodos matemáticos de solución

Funciones iniciales

Integración numérica Ecuaciones integrales de contorno Numéricos

resolución de la ecuación diferencial

Método de las caracteristicas Diferencias finitas

elementos finitos Residuos ponderados Series de potencias Plan. sist. de ecuaciones Met. basados en la teoría del cálculo de estructuras empíricos

Figura 1.13 Métodos matemáticos para la solución del problema de interacción suelo-estructura

Métodos analíticos Dentro de los métodos analíticos se encuentran dos formas de solución, uno que corresponde a la utilización de la teoría de transformadas integrales (I. N. Snneddon, 1972), que resuelve el problema planteando una ecuación integral; la otra forma de solución es mediante la solución de la ecuación diferencial, esta forma de solución ha sido aplicada a la solución del modelo de Winkler y al modelo de Pasternak; dentro de esta forma de solución se encuentran las condiciones de contorno desarrolladas por Hetenyi, Timoshenko, entre otros. Métodos numéricos -

-

Integración numérica de la ecuación diferencial. Empleo del método de las características. Método de diferencias finitas; empleado de forma directa para la solución de la ecuación o ecuaciones diferenciales o indirectamente a través del método de las características como se hace en la teoría del estado limite, V. V. Sokolovski (1960). Los residuos ponderados; que operan directamente sobre la ecuación diferencial. Generalmente, este método se aplica a problemas que no plantean ecuaciones lineales; la

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Cap.1 – Losas de cimentación

aplicación y su base teórica se encuentran desarrolladas en el libro de B. A. Finlayson (1972). Estos residuos apoyados en el método de Galerkin constituyen uno de los procedimientos más comúnmente usados en el método de los elementos finitos. Otra rama para la solución numérica del problema es mediante la aplicación directa del método de los elementos finitos, que se ha extendido en estos últimos tiempos y cuya implementación en programas informáticos se realiza de manera sencilla. Métodos que plantean un sistema de ecuaciones Una forma de resolución mediante un sistema de ecuaciones es aquella que utiliza series de potencias que ha sido utilizada por H. Borowicka (1936) para encontrar la solución de una losa circular sobre el semi-espacio planteado por Boussinesq; posteriormente, Garbunov-Pasadov (1937, 1949) aplico este método matemático a la solución de varios problemas planteados sobre el semi-espacio de Boussinesq. Otra forma de solución es aquel que aplica los métodos de solución propios del cálculo de estructuras, tal como se muestran en los trabajos de J. Ohde (1942), B. M. Yemochkin (1947) y el método empleado por Kany (1959). Métodos empíricos basados en la experiencia Son aquellos que se encuentran con ayuda de resultados empíricos, los cuales son dados gracias a la experiencia de diversos autores; el ejemplo más resaltante es el de M. Kany (1959) que basa su solución en considerar que la deformada del terreno tiene una forma dada, determinada a partir de datos experimentales. 1.6

MÓDULO DE BALASTO

El módulo de balasto se define como la rigidez del suelo cuando el terreno es idealizado como un conjunto infinito de muelles biarticulados; su valor está dado por la relación entre la presión de contacto (p) y la deformada del suelo (w). Lo cual se ve en la ecuación (1.42). =

[1.42]

Figura 1.14 Idealización del suelo como un conjunto de resortes biarticulados

El nombre de balasto es debido a que este modelo de análisis fue utilizado por primera vez en el cálculo de traviesas de un ferrocarril, debido a que el balasto es la capa de grava que se coloca sobre la explanación para el asentado y colocado de las traviesas de las vías férreas.

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Cap.1 – Losas de cimentación

El módulo de balasto no es una característica única del suelo, sino que también depende de las características geométricas de la cimentación y de la rigidez de la superestructura, es por ello que se hace difícil extrapolar los resultados obtenidos en el ensayo de placa de carga. Teniendo en cuenta esta dificultad, muchos autores sugieren hacer modificaciones al valor del módulo de balasto obtenido, como ejemplo, podemos citar al ACI(1993) que sugiere variar el valor del módulo de balasto desde la mitad hasta 5 o incluso 10 veces del valor obtenido, tomándose como valor de diseño aquel que dé los resultados menos favorables. En la aplicación de los métodos de cálculo, otros autores sugieren variar el módulo de balasto a lo largo de la ubicación de los puntos analizados dentro de una cimentación, esto quiere decir, aumentar su valor en las zonas próximas a los bordes y esquinas debido a que se ha observado que el modelo de Winkler da en estas zonas valores de presión bajos en relación con otros modelos de cálculo más elaborados. 1.6.1. Obtención del módulo de balasto El módulo de balasto puede ser obtenido de las siguientes formas: -

A partir del ensayo de placa de carga. A partir de los parámetros característicos del suelo.

a)

A partir del ensayo de placa de carga

Este ensayo se realiza generalmente con placas cuadradas (30cmx30cm) y circulares (30, 60 ó 76.2cm de diámetro); en el estudio geotécnico el tamaño de la placa está dado por el subíndice que acompaña a la letra k ( , entre otros). El valor del módulo de balasto depende de las dimensiones de la placa, esto es debido a que a mayores dimensiones de la placa el bulbo de esfuerzos será más grande y tendrá un mayor alcance, afectando también a los estratos inferiores que aportan rigidez al suelo, y por lo tanto, modifican el valor del módulo de balasto obtenido.

El obtener un valor adecuado del módulo de balasto para losas de cimentación es más complicado, ya que el valor depende también de la rigidez de la superestructura y de la cimentación. Terzaghi propone un método para la obtención del módulo de balasto corregido tomando en cuenta las dimensiones de la cimentación.

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Cap.1 – Losas de cimentación

Valores de

propuestos por Terzaghi (

Suelo Arena seca o húmeda -

/

)

0.64 – 1.92 (1.3) 1.92 – 9.6 (4.0) 9.60 – 32 (16.0)

Suelta Media Compacta

Arena Sumergida -

(0.8) (2.5) (10.0)

Media Suelta Compacta

Arcilla -

= 1.2 = 2.4 > 4.0

/ / /

Tabla 1.6 Valores de

1.6 – 3.2 (2.5) 3.2 – 6.4 (5.0) >6.4 (10)

propuestos por Terzaghi

Valores de

propuestos por diversos autores

Suelo Arena fina de playa Arena floja, seca o húmeda Arena media, seca o húmeda Arena compacta, seca o húmeda Gravilla arenosa floja Gravilla arenosa compacta Grava arenosa floja Grava arenosa compacta Margas arcillosas Rocas blandas o algo alteradas Rocas sanas

(

/

1.0 – 1.5 1.0 – 3.0 3.0 – 9.0 9.0 - 20.0 4.0 – 8.0 9.0 – 25.0 7.0 – 12.0 12.0 – 30.0 20.0 – 40.0 30.0 – 500 800 – 30 000

)

Tabla 1.7 Valores de propuestos por diversos autores

Corrección del coeficiente de balastro para cimentaciones reales Para el caso de cimentaciones corridas y cuadradas de ancho o lado B Terzaghi propuso modificar el valor obtenido con el ensayo de placa. = =

. .

Para suelos cohesivos

[1.43]

Para suelos granulares

[1.44]

También propuso la siguiente relación para zapatas rectangulares:

Donde:

=

1+

= Ancho equivalente de la Zapata (m) = Lado mayor o longitud de la cimentación (m) = Coeficiente de balasto obtenido en el ensayo de placa de 30 x 30 cm. = Coeficiente de balasto de la zapata cuadrada o corrida de ancho b = Coeficiente de balasto de la zapata rectangular

[1.45]

El ancho equivalente de la cimentación (b) depende de la rigidez de la estructura y de la cimentación; un valor apropiado en el caso de losas de cimentación para b puede ser la luz media entre las columnas.

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- 33 -

b)

Cap.1 – Losas de cimentación

A partir de los parámetros característicos del suelo

Muchos autores proponen expresiones para el cálculo del módulo de balasto a partir de los parámetros propios del suelo, tales como el módulo de elasticidad del suelo y el módulo de Poisson del terreno. Entre las formulaciones más utilizadas podemos nombrar la de Vasic =

(

[1.46]

)

Y también la enunciada por Klepicov9 =

/

(

[1.47]

)

Donde A es el área de la base de la cimentación y (ω) es un coeficiente para la forma de la cimentación, que para zapatas o losas se puede obtener de la tabla 1.8 en función del largo (L) y del ancho (b) de la cimentación: L/b 1,0 1,5 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 0,88 0,87 0,86 0,83 0,80 0,77 0,74 0,73 0,71 0,69 0,67 ω Tabla 1.8 valores de

en función de L/b para la fórmula de Klepicov

Referencias 1

2

3

4

5 6

7

8 9

Braja M. Das, Principios de Ingeniería de Cimentaciones, Cuarta edición, California State University PWS publishing, pp.164-166 ,1999. Braja M. Das, Principios de Ingeniería de Cimentaciones, Cuarta edición, California State University PWS publishing, pp. 297-303, 1999. Braja M. Das, Principios de Ingeniería de Cimentaciones, Cuarta edición, California State University PWS publishing, pp. 240-292, 1999. José M. Rodríguez Ortiz, Curso aplicado de cimentaciones, Cuarta edición, servicios de publicaciones del Colegio de Arquitectos de Madrid, Madrid, pp.64-74 ,1989. Reglamento Nacional de Edificaciones, Grupo Editorial Megabyte, Lima, pp. 342-367, 2007. American Concrete Institute Committee 336 (1988), suggested Design Procedures for Combined Footings and Mats, Journal of the American Concrete Institute, vol. 63, N° 10, pp. 1041-1077. Jaime Santos Miñon, Cátedra de geotecnia, Revista de obras públicas, febrero marzo 1980, Madrid, PP 181191, 1980 Yanqui Murillo C., Mecánica del medio discontinuo, Universidad Nacional de San Agustín, Arequipa, 1993 Edward Tsudik, Ph. D., PE. Analysis of Beams and Frames on Elastic Foundation. Trafford Publishing

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CAPÍTULO

2 EL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS UNIDIMENSIONAL Y BIDIMENSIONAL 2.1.

INTRODUCCIÓN

En muchas aplicaciones de ingeniería o de física en general se presentan problemas que por su complicada geometría, distribución de cargas o propiedades del material es difícil o imposible obtener una respuesta analítica, por ello surge la necesidad de emplear métodos aproximados de cálculo. El método de elementos finitos es un método de cálculo aproximado que brinda respuestas en puntos discretos de un medio continuo, para ello se tiene que resolver un sistema de ecuaciones algebraicas, las cuales cumplen con ciertas restricciones (condiciones de borde y continuidad). La esencia del método de elementos finitos es la aproximación, esta se hace tanto a la geometría del problema como a la solución que se pretende encontrar (comportamiento físico de un cuerpo). Para describir una geometría aproximada se debe tener en cuenta que la ubicación de cada punto sea dada en forma única; el método de elementos finitos aproxima la geometría de un elemento (dominio) dividiéndola en sub dominios, conocidos como elementos finitos, unidos unos con otros mediante nodos; la ubicación de los puntos en cada subdominio viene descrita por funciones de interpolación.

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- 35 -

Cap. 2 – El método de elementos finitos unidimensional y bidimensional

Los elementos finitos son aproximaciones numéricas a la solución de un problema matemático, que a su vez es una representación aproximada del comportamiento físico de un fenómeno. El método de elementos finitos (MEF) tiene una amplia aplicación en problemas de ingeniería como son: el análisis estructural, transferencia de calor, flujo de fluidos, transporte de masa y potencial electromagnético; este método actualmente es muy utilizado por su relativa facilidad para ser implementado en programas de computo, esto gracias al avance tecnológico y al desarrollo de los sistemas CAD, lo cual sugiere la necesidad de conocer los aspectos básicos del desarrollo de este método, así como las ecuaciones que gobiernan un determinado problema para poder utilizar ciertos programas de cómputo que tienen como base el MEF y garantizar que los resultados obtenidos se aproximen a la realidad. En el campo del análisis estructural, el MEF da una respuesta aproximada al comportamiento físico de los diferentes elementos estructurales, los cuales están sometidos a cargas externas; para entender mejor la aplicación del método de elementos finitos en el análisis estructural se dará una pequeña descripción de los principales elementos estructurales. Elementos estructurales Son elementos básicos muy utilizados en la construcción de obras civiles, estos pueden ser: resortes, barras, vigas, marcos, placas y cascarones; en el caso de los elementos que no puedan ser considerados dentro de los anteriores su modelamiento y análisis se realiza como un cuerpo sólido; los cuerpos solidos pueden ser tridimensionales o pueden modelarse de manera bidimensional. Resortes: aportan rigidez en una sola dirección, estos resortes pueden ser translacionales o rotacionales. Barras: son elementos rectos con sección transversal pequeña en comparación con su longitud, son diseñados para soportar solamente cargas axiales de tracción y compresión. Vigas: soportan cargas perpendiculares al eje longitudinal del elemento; en una viga se origina una fuerza cortante y un momento flector. Marcos: son una combinación del elemento viga y del elemento barra; en cada elemento del marco se desarrolla una fuerza axial, una fuerza cortante y un momento flector, si se trata de un marco bidimensional; en el caso de un marco tridimensional se generará una fuerza axial, dos fuerzas cortantes, dos momentos flectores, y un momento torsor en cada elemento del marco. Placas: su espesor es mucho menor en comparación con sus otras dos dimensiones. Las placas forman un plano y sobre estas actúan las cargas normales a dicho plano; en el interior de las placas se generan dos momentos flectores, dos fuerzas cortantes que actúan fuera del plano y un momento torsor.

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Cap. 2 – El método de elementos finitos unidimensional y bidimensional

Cascarones: tienen un espesor relativamente delgado, sus formas tridimensionales tratan de explotar al máximo su geometría para ofrecer una gran rigidez, respondiendo principalmente mediante esfuerzos de membrana; en los cascarones se generan una fuerza cortante en el plano de la lámina, dos fuerzas cortantes fuera del plano de la lámina, dos momentos flectores y un momento torsor. Solidos tridimensionales: se emplea para modelar cualquier tipo de estructura, pero se usa generalmente cuando no se puede modelar por un tipo de elemento estructural anteriormente visto, ya sea por su complejidad geométrica, por las condiciones de soporte, entre otras. Solidos tridimensionales modelados como bidimensionales: en ocasiones, los cuerpos solidos tridimensionales pueden ser modelados como cuerpos bidimensionales ya que presentan ciertas características. Estos modelos son: •

Modelo de deformación plana: empleado cuando una estructura presenta una sección transversal constante y una longitud considerable; en este modelo se supone que no ocurre deformaciones en el eje longitudinal y las cargas se aplican en el plano de corte; un ejemplo de este tipo son las secciones de túneles, tuberías, cimientos corridos, entre otros.

•

Modelo de esfuerzo plano: el esfuerzo normal al plano es nulo. Generalmente, se utiliza para analizar cuerpos planos.

•

Modelo de plano axisimétrico: es usado cuando el cuerpo tiene un eje axisimétrico y cuyos esfuerzos son analizados en un plano de corte que contiene al eje axisimétrico; algunos ejemplos de este modelo son los reservorios de agua, los tanques elevados cilíndricos, entre otros.

Figura 2.1 Cuerpo solido tridimensional

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2.2.

Cap. 2 – El método de elementos finitos unidimensional y bidimensional

ESFUERZOS Y EQUILIBRIO

Para plantear el problema general de elasticidad se considera el sólido mostrado en la figura 2.1; sobre este volumen actúa un vector de tracción externa que tiene un superíndice n que indica el vector unitario normal a la superficie en la cual actúa esta carga; también actúan las fuerza de cuerpo b, que tiene unidades de fuerza sobre unidad de volumen; todas estas cargas originan en el elemento un desplazamiento representado por u; estas fuerzas y desplazamientos originan en el cuerpo esfuerzos y deformaciones representados por , respectivamente. 2.2.1. Esfuerzos El cuerpo mostrado en la figura 2.1 se mantiene en equilibrio debido a que en él se generan fuerzas internas; si se realiza un corte, como se ve en la figura 2.2, se observa que para un diferencial de área (ΔS) con un vector dirección n existe una fuerza Δf; si la porción de área ΔS se hace muy pequeña se puede definir el vector como: =

→

[2.1]

Figura 2.2 Equilibrio entre los esfuerzos internos y externos

Se observa también, que el vector de reacción depende de la posición del punto dentro del cuerpo y del plano de corte; teniendo en cuento esto, se concluye que un punto tiene infinitas distribuciones de esfuerzos. Para obtener solo una distribución de esfuerzos por punto es muy conveniente analizar los esfuerzos en solo tres planos perpendiculares entre sí, tal como se observa en la figura 2.3.

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Cap. 2 – El método de elementos finitos unidimensional y bidimensional

Figura 2.3 Esfuerzos en un elemento cubico diferencial con referencia al sistema cartesiano xyz

Por lo tanto, la matriz de esfuerzos queda definida como: =

[2.2]

=

[2.3]

Pero para fines prácticos es mejor expresar los esfuerzos en forma vectorial mediante la regla de Voigt1.

2.2.2. Equilibrio Para plantear las ecuaciones de equilibrio es necesario analizar tanto los puntos internos del cuerpo como los puntos que conforman la frontera del cuerpo. Primeramente se analizará los puntos situados en la superficie del cuerpo, para ello se considera un área diferencial en la superficie del elemento cuya dirección está definida por el vector unitario n, sobre esta área diferencial actúa el vector de tracción externa ; esta fuerza generará esfuerzos internos definidos en las coordenadas x, y , z.

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- 39 -

Cap. 2 – El método de elementos finitos unidimensional y bidimensional

Figura 2.4 cuña tetraédrica ubicada en la superficie del elemento

Para que exista equilibrio en el elemento se tendrá que satisfacer la relación de Cauchy2: =

;

∀

=

; ∀

∈

[2.4]

La ecuación anterior puede escribirse en forma alternativa como:

Donde la matriz

∈

[2.5]

depende del vector normal, n.

La ecuación (2.4) en forma extendida es: + + +

+ + +

= = =

[2.6]

Para el caso de los puntos situados en el interior del elemento se considera un elemento hexaédrico sometido tanto a las fuerzas de cuerpo (b) y a los esfuerzos internos producto de las fuerzas de tracción. (Figura 2.5)

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Cap. 2 – El método de elementos finitos unidimensional y bidimensional

Figura 2.5 Variación de esfuerzos en un elemento hexaédrico diferencial sometido a fuerzas de cuerpo b

Por equilibrio de momentos se obtiene: = = =

[2.7]

Realizando la sumatoria de fuerzas en cada dirección e igualando a cero las ecuaciones correspondientes, se tiene: +

+

+

+

+

=0

+

+

=0

+

+

=0 →

+

=0

[2.8]

Donde la matriz L es una matriz de operadores diferenciales. 2.3.

CONDICIONES DE FRONTERA

Las condiciones de frontera son aquellas que actúan en los bordes del elemento, como pueden ser las cargas que actúan en la superficie del cuerpo o las restricciones en los desplazamientos o condiciones preestablecidas de acuerdo al problema tratado. Generalmente, las restricciones en los desplazamientos son dadas por las condiciones de apoyo; por lo tanto, se puede afirmar que el comportamiento de un cuerpo depende de las condiciones de frontera.

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- 41 -

2.4.

Cap. 2 – El método de elementos finitos unidimensional y bidimensional

RELACIONES DEFORMACIÓN UNITARIA-DESPLAZAMIENTO

La deformación es un concepto geométrico que mide el efecto del cambio de la configuración de un cuerpo. Si se considera el cuerpo mostrado en la figura 2.6 y se analiza el movimiento del punto P de una configuración inicial a una final P*, se observa que hay un desplazamiento asociado a este cambio de posición, este desplazamiento viene dado por el vector u. Para observar mejor el fenómeno de las deformaciones se analiza los vectores de posición de los puntos Q y P, los cuales cambian a otras posiciones en una configuración final Q* y P*; a este cambio de posición también está asociado un cambio de longitud del segmento línea. La deformación normal queda definida entonces como el cambio de longitud del segmento línea con respecto a su longitud original. Teniendo en cuenta esta definición se dan las siguientes ecuaciones para las deformaciones normales: =

=

=

[2.9]

Donde , , son componentes del vector de desplazamiento u.

Figura 2.6 Configuración de un cuerpo antes y después de la deformación

Para medir el cambio de forma, se observa que los vectores P y Q forman un ángulo recto entre sí, luego de ocurrir el cambio de configuración del cuerpo los vectores ya no forman un ángulo recto. La distorsión ocurrida en el ángulo de los vectores es definida en cada plano cartesiano como: =

=

=

+

+

+

[2.10]

Al igual que los esfuerzos, las deformaciones pueden agruparse en un formato matricial o en un formato vectorial, que es mayormente usado en ingeniería.

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- 42 -

2.5.

Cap. 2 – El método de elementos finitos unidimensional y bidimensional

=

[2.11]

=

[2.12]

RELACIONES ESFUERZO-DEFORMACIÓN UNITARIA

Los materiales linealmente elásticos relacionan los esfuerzos con las deformaciones unitarias mediante la ley de Hooke. Para el caso tridimensional de materiales isotrópicos se considera el cubo elemental mostrado en la figura 2.7.

Figura 2.7 Superficie deformada de un cubo elemental correspondiente al plano xy

Al considerar la figura 2.7 se obtienen las siguientes relaciones: =

=−

−

+

=−

−

=

−

−

+

=

=

[2.13]

Donde G es el módulo de corte del material, y está definido por: =

(

)

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[2.14]

- 43 -

Cap. 2 – El método de elementos finitos unidimensional y bidimensional

Para obtener los esfuerzos en términos de deformaciones se tiene que despejar los términos de esfuerzos; para ello se tiene en cuenta que: +

+

=

(

)

+

Sustituyendo la ecuación (2.15) y el término obtiene la relación buscada.

+

=

[2.15] +

en el conjunto de ecuaciones (2.13) se [2.16]

En forma extendida la ecuación anterior resulta:

=(

1− )(

)

0 0 0

1− 0 0 0

1− 0 0 0

2.5.1. Teoría de Elasticidad en dos dimensiones

0 0 0 0.5 − 0 0

0 0 0 0 0.5 − 0

0 0 0 0 0 0.5 −

[2.17]

En muchos casos es posible analizar un elemento estructural en forma bidimensional, ya que su geometría cumple con ciertas características; también podemos decir que el tiempo de desarrollo de un modelo bidimensional es menor que el tiempo empleado en un modelo tridimensional y la precisión que se consigue con modelos bidimensionales es buena. Tal como se mencionó, los modelos bidimensionales pueden ser de deformación plana, de esfuerzo plano y modelo axisimétrico. 2.5.2. Deformación plana Este tipo de modelo es utilizado cuando se tiene una dimensión mucho mayor a las otras dos, además, todas las secciones transversales al eje longitudinal tienen la misma geometría, las mismas cargas y las mismas condiciones de contorno. Este modelo considera que las deformaciones en la dirección longitudinal son nulas. =0

=0

La primera restricción implica que: =

=0

[2.18]

[2.19]

Mientras que las otras dos restricciones implican: =

=0

[2.20]

Aplicando estas restricciones al conjunto de ecuaciones (2.13) se obtiene la siguiente expresión:

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Cap. 2 – El método de elementos finitos unidimensional y bidimensional

=(

)(

)

1− 0

0 0 0.5 −

1− 0

Lo que se expresa en formato matricial como: =

[2.21]

[2.22]

En ciertos problemas pueden existir deformaciones iniciales y/o esfuerzos iniciales ; tomando en cuenta lo anterior se puede reescribir la ecuación (2.22) de una manera generalizada. = ( − )+ [2.23] También, de las ecuaciones (2.13) se deduce que el esfuerzo normal está dado por: =(

)(

)

+

=

,

[2.24]

Las relaciones de deformación-desplazamiento se obtienen combinando las ecuaciones (2.9) y (2.10) con las restricciones dadas en la ecuación (2.18). =

,

=

+

[2.25]

Las ecuaciones de equilibrio en el interior de un cuerpo para este modelo son: +

+

+

+

=0

=0

[2.26]

Las ecuaciones de equilibrio en la frontera de un cuerpo se desprenden del modelo tridimensional anteriormente analizado, y están dadas por: = =

2.5.3. Esfuerzo plano

+ +

[2.27]

En otros casos los problemas pueden ser representados como modelos laminares, debido a que una dimensión (espesor) es mucho menor que las otras dos; en este modelo los movimientos fuera del plano de la lámina son libres, lo cual origina que los esfuerzos en esta dirección se desvanezcan. Las restricciones del modelo de esfuerzo plano son expresadas como: = 0,

=

=−

+

=0

[2.28]

Aplicando las restricciones anteriores al conjunto de ecuaciones (2.13) se obtiene: =

=0

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[2.29]

- 45 -

Cap. 2 – El método de elementos finitos unidimensional y bidimensional

Teniendo en cuenta las expresiones anteriores y remplazándolas en la ecuación (2.17) se obtiene: =(

)

1

1 0 0

0 0

[2.30]

También se puede expresar la ecuación anterior en formato matricial como: =

[2.31]

Igual que en el caso del modelo de deformación plana, es posible tener esfuerzos y deformaciones iniciales.

2.6.

=

( −

)+

[2.32]

ENERGÍA POTENCIAL Y EQUILIBRIO

La energía potencial total ( ) se define como la suma de la energía de deformación unitaria (U) y el potencial de trabajo (WP). =

+

[2.33]

Para materiales linealmente elásticos la energía de deformación unitaria por unidad de volumen está dada por el área bajo la curva esfuerzo-deformación correspondiente a la parte lineal (figura 2.8). = ∫

[2.34]

Figura 2.8 Curva esfuerzo deformación unitaria

Mientras que el potencial de trabajo está dado por: = −∫

−∫

−∑

[2.35]

En la ecuación anterior, el primer término representa el trabajo realizado por las fuerzas de cuerpo, como es el peso propio, el segundo término representa el trabajo que realizan las fuerzas de tracción que actúan sobre la superficie del cuerpo y el tercer término representa el trabajo que realizan las cargas puntuales; como puede notarse todos los términos del lado

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- 46 -

Cap. 2 – El método de elementos finitos unidimensional y bidimensional

derecho de la ecuación anterior tienen signo negativo, esto se debe a que se trata de fuerzas externas. Al sustituir estas dos últimas expresiones en la ecuación (2.33), se obtiene una expresión para la energía potencial total en función de los desplazamientos y deformaciones. = ∫

−∫

−∑

−∫

[2.36]

Aquí se consideran sistemas conservativos, donde la energía potencial es independiente de la trayectoria, lo cual quiere decir que si el sistema se desplaza de una configuración dada a otra y luego regresa a su configuración inicial, entonces, la fuerza que actúa sobre dicho sistema realiza un trabajo nulo. El potencial total en un medio continuo se obtiene sumando el potencial de cada uno de los elementos que lo conforman. =∑

[2.37]

=0

[2.38]

El principio de la energía potencial estacionaria, establece que las condiciones de equilibrio de un cuerpo se producen cuando la energía potencial ( ) se hace estacionaria con respecto al campo de desplazamientos.

2.7.

FUNCIONES DE FORMA3

En los problemas de ingeniería se trata de encontrar valores de una determinada función, que puede tener un dominio unidimensional, bidimensional o tridimensional; si se tiene una función unidimensional ( ) y se pretende obtener una aproximación con la función ( ), esta función aproximada estará determinada en función de la variable y de coeficientes indeterminados. = ( ,

,

,…,

( )

+

)

[2.39]

En la ecuación anterior , , … , son coeficientes indeterminados y dependen de ciertos criterios para minimizar el error. Si la aproximación se realiza sobre todo el dominio del problema, la aproximación se denomina aproximación global, también, si los coeficientes indeterminados no están ligados a ningún punto en particular la aproximación recibe el nombre de no nodal. Generalmente, la función es producto de una combinación lineal de funciones simples ( ). ( )=

( )=[ ( )

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( )

( )

( )

[2.40]

( )] ⋮

[2.41]

+. . . +

- 47 -

Cap. 2 – El método de elementos finitos unidimensional y bidimensional

También, es común emplear combinaciones lineales en las cuales los parámetros son valores de las variables que se están aproximando , , … , (desplazamientos nodales), evaluados en ciertos puntos dentro del dominio; estos puntos de análisis son comúnmente denominados nodos. ( )= ( )=[

( )

( ) +. . . +

+

( )

( )

( )

[2.42]

( )] ⋮

[2.43]

Las funciones , ,…, son conocidas como funciones de forma y los valores , , … , son valores nodales de la función del problema físico. Las funciones de forma pueden determinarse a partir de las funciones base, que describen el comportamiento físico en análisis, haciendo que el valor de la función de interpolación sea igual al valor nodal en la posición de los nodos ̅ . ( ,

,

,…,

)=

0 1

≠ =

[2.44]

Es posible generar funciones de manera más directa, siempre y cuando estas funciones de forma al ser evaluadas en un nodo resulten tener el valor nodal de la función que se pretende describir; un tipo de estas funciones son los polinomios de Lagrange, ya que estas funciones son iguales a la unidad en el nodo correspondiente, mientras que en los demás nodos adquieren un valor nulo. ( ̅)=

[2.45]

Cabe resaltar que la ecuación (2.40) es una aproximación global no nodal mientras que la ecuación (2.42) es una aproximación global nodal; ambas funciones de aproximación son globales porque la variable x sigue siendo cualquier punto del dominio, una mejor explicación acerca de las funciones de aproximación se puede encontrar en la referencia [3]. Para el caso de problemas bidimensionales y tridimensionales, la variable x es sustituida por el } , por lo tanto, las ecuaciones (2.40) y (2.42) quedan reescritas de la vector = { siguiente manera: ( , , )=[ ( )

( )

( )

( )

( , , )=[

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( )] ⋮ ( )] ⋮

= ( ) =

( )

[2.46]

[2.47]

- 48 -

Cap. 2 – El método de elementos finitos unidimensional y bidimensional

En muchos casos, la geometría del problema hace que las funciones de aproximación global tengan un gran error en el análisis, por lo que es conveniente dividir el dominio del problema ( ) en subdominios ( ), haciendo posible proponer funciones simples a cada subdominio; estas funciones deben de cumplir condiciones de continuidad a través de los subdominios, este tipo de aproximación es conocida como aproximación local. =∪ ∩

[2.48] =∅

≠

[2.49]

Igualmente que en el caso de aproximación global, se puede encontrar una aproximación local no nodal (ecuación 2.50) y nodal (ecuación 2.51). ( )= ( ) ( )=

( )

∀

∀

⊂

[2.50]

⊂

[2.51]

Un caso de especial interés es la aproximación local nodal, que toma valores exclusivos de un elemento (subdominio); en este tipo de aproximación se basa el método de los elementos finitos.

Global o sobre todo el dominio Métodos de aproximación

Usa coeficientes indeterminados Usa valores nodales Usa coeficientes indeterminados

Local o por subdominios

Usa valores nodales en todo el dominio Usa valores nodales en el subdominio

Método de Elementos Finitos

Figura 2.9 Tipos de aproximación (fuente Sergio Gallegos Cázares, 2008, Análisis de sólidos y estructural mediante el método de elementos finitos, fig. 2.23, P. 74)

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- 49 -

Cap. 2 – El método de elementos finitos unidimensional y bidimensional

2.7.1. Forma de los elementos Tal como se mencionó antes, el método de elementos finitos busca aproximar la geometría del dominio de un problema y la función solución de dicho problema. Para representar la geometría las coordenadas del dominio se expresan en términos de las coordenadas nodales y de las funciones de interpolación. =

( )

=

( )

,

=

( )

,

=

( )

[2.52]

También, para describir la solución aproximada del problema que se plantea en el dominio, se utilizan valores nodales y funciones de forma. [2.53]

Las funciones de interpolación, tanto para describir la geometría, como las usadas para encontrar la solución aproximada no tienen que ser necesariamente las mismas, e incluso estas pueden tener una cantidad de nodos distinta; teniendo en cuenta esta idea surge una primera clasificación de los elementos finitos: E. Superparamétricos: Son aquellos que tienen un número de nodos mayor para describir la geometría del dominio que para encontrar la solución del problema. E. Isoparamétricos: Aquellos que utilizan igual número de nodos para describir la geometría del dominio como para encontrar la solución del problema planteado. E. Subparamétricos: el número de nodos utilizados para dar una respuesta al problema es mayor que el utilizado para describir la geometría del dominio. En el análisis por el método de elementos finitos, la formulación más empleada es la isoparamétrica, debido a que presenta una serie de ventajas, pero la clasificación quizá más importante es aquella que depende del tipo de continuidad que ofrecen las ecuaciones de interpolación a través de las fronteras de cada elemento; por ejemplo, una función de interpolación del Tipo es aquella que requiere continuidad de la función misma; del Tipo requiere continuidad de la función y de su primera derivada, donde el superíndice indica la continuidad de la función de interpolación. La continuidad de una función depende de la ecuación diferencial que gobierna el problema; también se puede ver que a mayor grado de continuidad será más complicado hallar las funciones de forma.

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- 50 -

Cap. 2 – El método de elementos finitos unidimensional y bidimensional

2.7.2. Formulación isoparamétrica La formulación isoparamétrica es aquella donde las funciones de interpolación son las mismas tanto para determinar la geometría del dominio como para la solución que se pretende encontrar. Las funciones de interpolación pueden tomarse sobre el sistema coordenado del dominio, pero esto resulta poco práctico cuando se tienen distorsiones en los elementos, quedando restringida su utilización a elementos cuadriláteros regulares; por otro lado, es posible utilizar un espacio natural, el cual es independiente de la forma de los elementos en el espacio cartesiano. El espacio natural es empleado para definir la geometría de los elementos de manera adimensional y con ejes normalizados que tienen valores de -1 a 1 (figura 2.10).

a) b) c) Figura 2.10 sistemas de coordenadas naturales a) unidimensional) bidimensional; c) tridimensional

Para pasar de coordenadas cartesianas a coordenadas naturales es necesario encontrar una relación entre éstas; para ello se muestra la figura 2.11.

Figura 2.11 mapeo de puntos del espacio natural y espacio cartesiano

De la figura anterior se observa que: =

=

( ,

( ,

)=

)=

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( ) ( )

[2.54] [2.55]

- 51 -

Cap. 2 – El método de elementos finitos unidimensional y bidimensional

También se observa que los puntos A y a se relacionan con los puntos B y b mediante las siguientes expresiones. =

=

+∆ a

[2.56]

+∆

[2.57]

Desarrollando este último término en series de Taylor4 alrededor del punto , se tiene: = ( )= (

+Δ )= ( )+

Igualando la ecuación (2.56) con (2.58) se obtiene: ∆

[{∆ } + 0(∆ )]

[{∆ } + 0(∆ )]

=

[2.58]

[2.59]

Cuando el punto B se aproxima al punto A se definen los siguientes diferenciales: = lim

= lim =

→

→

(Δ

)

[2.60]

(Δ )

[2.61]

=

[2.62]

Donde J es conocido como el Jacobiano de transformación de un sistema a otro. =

[2.63]

=

[2.64]

=

[2.65]

Las ecuaciones (2.63), (2.64) y (2.65) representan los Jacobianos de transformación para una, dos y tres dimensiones, respectivamente. El procedimiento anterior también es utilizado para expresar la función u en términos de las variables naturales. ≈

= ( )=

( ) = ( )

[2.66]

Donde la función ( ) define la solución aproximada del problema en función de las coordenadas naturales. En una dimensión se tiene:

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- 52 -

Cap. 2 – El método de elementos finitos unidimensional y bidimensional

=

[2.67]

Para el caso bidimensional: = =

+

+

[2.68]

Para el caso tridimensional: =

+

+

=

+

+

=

+

+

[2.69]

2.7.3. Convergencia a la solución3

Es fundamental que la aproximación por el método de elementos finitos converja hacia la solución exacta cuando la discretización se realice de una manera muy refinada, para ello las funciones de aproximación deben cumplir ciertas condiciones básicas: Continuidad: es la existencia de continuidad de la función y de sus derivadas respectivas, donde es el dominio, es la frontera y = ∪ ; si una función u y sus derivadas hasta el orden n son continuas en , entonces se dice que es una función continua de clase ( ). Como ejemplo se muestra una viga sometida a una carga puntual, la continuidad de la función w es de clase ( ), ya que la función es continúa en todo el dominio (x), su primera derivada (w´) y la segunda derivada (w´´) también lo son; mientras que la tercera derivada deja de ser continua. (Figura 2.12).

Figura 2.12 viga sometida a una carga puntual en el centro de luz

Suavidad: para que una función tenga suavidad tiene que cumplir las siguientes características:

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- 53 -

Cap. 2 – El método de elementos finitos unidimensional y bidimensional

-

El mapeo de coordenadas reales a coordenadas naturales debe ser de punto a punto; esto quiere decir que si se tienen dos puntos distintos en coordenadas reales, en coordenadas naturales también le corresponderán dos ubicaciones distintas.

-

El mapeo se realiza en todo el dominio; lo que quiere decir que a todo punto dentro del dominio en coordenadas reales le corresponde una ubicación en coordenadas naturales y viceversa.

-

Las funciones de forma deben de tener el grado de continuidad apropiado según la función que representen.

-

El jacobiano de transformación debe de ser positivo, esto garantiza que no existirán elementos muy distorsionados.

Completes: las funciones de interpolación deben proporcionar una base completa para describir la solución. 2.7.4. Propiedades de las funciones de interpolación -

-

-

No negatividad. 0≤

( )≤1

Interpolación nodal.

:

= 1, 2, … ,

( )=

Partición de la unidad. ∑

( )=1

Donde NP es el número de funciones de interpolación y y toma el valor de 1 cuando = y cero si ≠ . 2.8.

es la función delta de Kronecker

INTEGRACIÓN NUMÉRICA: CUADRATURA DE GAUSS5

Comúnmente, para el cálculo de las matrices de rigidez de los elementos finitos se presenta la necesidad de integrar determinadas funciones, en muchos casos estas integrales son complicadas e incluso imposibles de resolver de una manera analítica, por lo que surge la necesidad de recurrir a las soluciones numéricas de las integrales. La metodología más empleada es la cuadratura de Gauss, debido a que se puede obtener una buena aproximación de la integración tomando menos puntos de muestreo con relación a otros métodos de cálculo numérico. Para el mejor entendimiento de este método se considera la integral mostrada en la ecuación (2.70), debe notarse que el dominio de esta expresión va de -1 a 1 y que se considera solo una dimensión. =∫

( )

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[2.70]

- 54 -

Cap. 2 – El método de elementos finitos unidimensional y bidimensional

Figura 2.13 integral aproximada de una función, utilizando un punto de evaluación

Como primera aproximación la integral es evaluada en el punto medio del dominio de la función y multiplicada por el intervalo de integración. =∫

( )

≈ 2 (0)

[2.71]

=∫

( )

≈∑

[2.72]

Debe notarse que si la función y(x) es un polinomio de primer grado (lineal) la solución será exacta; la idea anterior puede ser generalizada como: ( )

El método de Gauss Brinda el valor de la integral evaluando puntos situados simétricamente con relación al punto medio del intervalo de evaluación y multiplicándolos por sus respectivos pesos ; estos puntos son localizados de manera que su ubicación de la mejor aproximación. 2.8.1. Fórmula para dos puntos de evaluación Si se considera la siguiente integral: =∫

≈

+

[2.73]

+

[2.74]

Se observa que existen cuatro términos desconocidos. Para generar una respuesta aproximada se considera que la función y(x) es un polinomio de tercer grado. =

+

+

Sustituyendo la ecuación anterior en la ecuación (2.73), se tiene: =∫ (

+

+

+

)

=2

+

Figura 2.14 Integral aproximada de una función considerando 2 puntos de evaluación

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[2.75]

- 55 -

Cap. 2 – El método de elementos finitos unidimensional y bidimensional

En la figura 2.14 se consideran puntos de evaluación simétricos, con ellos se determina que = = y = − = . Si se define una integral aproximada ( ), se obtiene: (− ) +

=

( )=2 (

El error de la integración está dado por:

+

)

= −

[2.76]

[2.77]

El error mínimo se obtendrá si se deriva la ecuación (2.77) con respecto a =0=2−2

. [2.78]

=0= −2

[2.79]

La solución del sistema de ecuaciones anterior se muestra a continuación: =1

=±

Los valores anteriores definen los puntos dentro del dominio de la función para obtener un resultado exacto si la función y(x) es un polinomio de tercer grado; como también se vio, para el caso de una función lineal se obtuvo un valor exacto de la integral cuando solo se tomó un punto de evaluación; si se prosigue con aumentar los puntos de evaluación se notará que se tiene la siguiente relación entre los puntos de evaluación y el grado de la función polinómica para obtener un resultado exacto. =2 −1

Donde:

[2.80]

= Grado del polinomio = Número de puntos de evaluación

La relación anterior indica que si la función a evaluar es un polinomio de m grado, entonces se tendrá un resultado exacto de su integral si se toman n puntos de evaluación. 2.8.2. Generalización del método Generalizando los conceptos vistos anteriormente, se puede considerar la función ( ): Ω → de la cual se quiere obtener su integral. Donde:

∫

( ) Ω

( ) = Es una función real Ω = Dominio del elemento (1, 2 ó 3 dimensiones) Facultad de Ingeniería Civil - UNSA

[2.81]

- 56 -

Cap. 2 – El método de elementos finitos unidimensional y bidimensional

También cabe recordar que en el método de elementos finitos, generalmente, las características geométricas de los elementos vienen dadas por funciones de variables naturales, por lo que la ecuación (2.81) es modificada a: ∫

( )

∫

( , , )

∫

( , )

=∫

( )

=∫ ∫

( ( , ), ( , ))

( ( , , ), ( , , ), ( , , ))

=∫ ∫ ∫

En las expresiones anteriores J es el determinante del jacobiano de la transformación de coordenadas cartesianas a coordenadas naturales, tanto para una, dos y tres dimensiones. La función ( , , ) también puede ser expresada por otra naturales; considerando esta función en una dimensión vemos que: ∫

( )

∫

( )

( , , ) en coordenadas [2.82]

Ahora, esta función ( ) puede también ser sustituida por otra función conocida, residuo. La integral ∫

( )

( )

=∫

+

( ), y un [2.83]

puede ser expresada como la sumatoria de valores ( ) multiplicados

por su respectivo peso , obteniéndose un resultado exacto si se considera una función adecuada. Tomando en cuenta esta última sustitución, la ecuación (2.82) toma la siguiente forma: ∫

( )

=∑

( )

+

[2.84]

Una buena solución para determinar la función ( ) es expresarla como polinomios de Lagrange, debido a que estos polinomios valen 1 en los puntos correspondientes y 0 en los demás puntos. ( )=∑

[2.85]

,

El residuo se puede formar por el siguiente producto polinómico: ( ) = ( )(

+

( )=( −

)( −

+

+

)

[2.86]

Donde la función ( ) representa un polinomio de grado n formado por la posición de los puntos de muestreo. )…( −

)

[2.87]

Tomando en cuenta todas estas sustituciones, la ecuación (2.83) puede ser escrita ahora de la siguiente forma:

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- 57 -

Cap. 2 – El método de elementos finitos unidimensional y bidimensional

∫

( )

=∑

∫

,

+∑

∫

( )

[2.88]

Comparando la expresión anterior con la ecuación (2.84), los factores de peso por cada punto evaluado son calculados con la siguiente ecuación: =∫

Donde: i=1, 2, 3,…, n

[2.89]

,

Aplicando estos factores de peso se integrará exactamente polinomios hasta un grado de n-1. La posición de los n puntos de muestreo se fija para que los residuos correspondientes a los siguientes n términos desaparezcan. Para ello: ∫

( )

Donde: i=1, 2, 3,…, n-1

=0

[2.90]

Al tomar estos puntos de evaluación se garantiza que la integración será exacta para funciones polinómicas de grado 2n-1. La tabla siguiente muestra los valores de los puntos de muestreo y sus correspondientes pesos asignados para determinar las integrales: N° de Puntos de evaluación (n)

Posición de puntos de evaluación ( )

Pesos correspondientes (

1

0.000 000 000 000 000

2.000 000 000 000 000

2

±0.577 350 269 189 626

1.000 000 000 000 000

3

±0.774 596 669 241 483

0.555 555 555 555 555

0.000 000 000 000 000

0.888 888 888 888 888

±0.861 136 311 594 053

0.347 854 845 137 454

±0.339 981 043 584 856

0.652 145 154 862 546

±0.906 179 845 938 664

0.236 926 885 056 189

±0.538 469 310 105 683

0.478 628 670 499 366

0.000 000 000 000 000

0.568 888 888 888 889

±0.932 469 514 203 152

0.171 324 492 379 170

±0.661 209 386 466 265

0.360 913 934 572 691

4 5

6

)

±0.238 619 186 083 197 0.467 913 934 572 691 Tabla 2.1 Posición de puntos de evaluación y sus respectivos pesos (fuente: Sergio Gallegos Cázares, 2008, Análisis de sólidos y estructural mediante el método de elementos finitos, tabla. 5.1, P. 185)

La cuadratura de Gauss en comparación con otras formas de integración numérica demuestra ser más óptima; como ejemplo mencionaremos las metodologías de integración más usadas como la regla del trapecio que toma dos puntos de evaluación = −1 = 1 con sus correspondientes pesos = = 1 y cuyo residuo está dado por: =−

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[2.91]

- 58 -

Cap. 2 – El método de elementos finitos unidimensional y bidimensional

El residuo desaparecerá si la función es lineal, mientras que para una función polinómica de segundo grado existirá un residuo que es determinado por la ecuación (2.91), es por ello que se dice que esta formulación tiene precisión de segundo orden. La regla de Simpson utiliza tres puntos de evaluación = −0, =1 = 1 con los siguientes pesos w = 1⁄3 , = 4⁄3 = 1/3, y el residuo correspondiente está dado por: =−

[2.92]

Lo anterior indica que la solución de la integral utilizando esta regla dará un resultado exacto para funciones polinómicas hasta de tercer grado, y para funciones polinómicas de cuarto grado se obtendra un residuo que puede ser determinado por la ecuación (2.92). Por lo tanto, la regla de Simpson tiene una precisión de cuarto orden. 2.8.3. Uso de la cuadratura de Gauss en dos y tres dimensiones Para el caso de dos dimensiones primeramente se integra con respecto a una variable y luego con respecto a la otra. =∫ ∫

∑

∑

( , ) ,

= ∫ [∑

=∑ ∑

( , )]

=

[2.93]

En la figura 2.15 se muestra la ubicación de los puntos de evaluación en el sistema de coordenadas naturales, cuyos valores son: = ±0.5773 … . y = ±0.5773 …

Figura 2.15 cuatro puntos de Gauss en una cuadratura de dos dimensiones

Por lo tanto, la ecuación (2.93) quedara en su forma extendida como: =

( ,

)+

( ,

)+

( ,

)+

Y para el caso de tres dimensiones se tiene la siguiente formulación: =∫ ∫ ∫

( , , )

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=∑ ∑ ∑

( ,

) [2.94] [2.95]

- 59 -

2.9.

Cap. 2 – El método de elementos finitos unidimensional y bidimensional

ELEMENTOS FINITOS UNIDIMENSIONALES

En el problema unidimensional, las ecuaciones para los desplazamientos, esfuerzos y deformaciones unitarias dependen solo de la variable x; por lo tanto, estas ecuaciones son escritas de la siguiente manera: = ( ),

=

( ),

= ( )

[2.96]

También, el diferencial de volumen en un elemento unidimensional puede ser dado en función de la variable en análisis. =

[2.97]

Donde A representa el área de la sección transversal a la dirección x, a su vez, las cargas aplicadas al elemento dependen solo de la variable x: = ( ),

= ( )

[2.98]

Donde b representa las fuerzas de cuerpo que tienen unidades de fuerza sobre unidad de volumen, un ejemplo de este tipo de fuerza es el peso propio del cuerpo; T viene dado por las fuerzas de tracción que actúan en la superficie del cuerpo; adicionalmente a estas cargas podemos tener fuerzas puntuales Pi que actúan en un lugar específico. Una representación del modelo unidimensional se ve en la figura 2.16.

Figura 2.16 Elemento unidimensional sometido a múltiples cargas

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- 60 -

Cap. 2 – El método de elementos finitos unidimensional y bidimensional

2.9.1. Construcción del método de elementos finitos Para el análisis de una estructura por el método de elementos finitos, primeramente, se tiene que modelar la geometría del elemento; una forma muy conveniente de modelar la barra mostrada en la figura 2.16 consiste en discretizarla en elementos de sección transversal constante, estas secciones toman los valor medios dentro de los elementos, tal como se muestra en la figura 2.17a; también, en la figura 2.17b se muestra la aproximación de la barra que se ha modelado con 6 elementos y 7 nodos. Las cargas tanto de cuerpo y de tracción se reparten entre los elementos correspondientes; esta distribución de cargas se verá más adelante.

a) b) Figura 2.17 a )Discretización de la estructura b)Numeración de nodos y elementos

2.9.2. Esquema de numeración La facilidad del MEF para su programación es lograda gracias a la conectividad de los elementos. Como se ve en la figura 2.17b, donde se dividió la estructura en 6 elementos, a cada elemento le corresponde 2 nodos, esto por ser un problema unidimensional donde solo existe un grado de libertad por nodo. En el MEF se distinguen también dos sistemas de coordenadas, el primero local (dentro de cada elemento finito) y otro global (en toda la estructura); para un elemento unidimensional de dos nodos (figura 2.17b) le corresponde un nodo inicial (1) y un nodo final (2), mientras que en un sistema global la numeración será distinta; por ejemplo, el elemento 2 tiene dos nodos en coordenadas locales (1 y 2 respectivamente) mientras que en coordenadas globales a estos nodos les corresponden las numeraciones 3 y 4 respectivamente.

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- 61 -

Cap. 2 – El método de elementos finitos unidimensional y bidimensional

2.9.3. Funciones de forma lineal Consideremos un elemento unidimensional típico de dos nodos con coordenadas .

Figura 2.18 Elemento unidimensional en coordenadas cartesianas

Tal como se mencionó anteriormente, es conveniente transformar los valores de coordenadas cartesianas (x) a coordenadas naturales (ξ), donde las coordenadas naturales varían de -1 a +1 (figura 2.19).

Figura 2.19 Elemento unidimensional en coordenadas naturales

Para el cambio de coordenadas se expresa la variable ξ en función de x. =

+ .

[2.99]

La ecuación lineal anterior toma los valores de +1, respectivamente.

cuando es evaluada en

= (−1) +

= (+1) +

= −1 [2.100]

Los valores de a y b se obtienen resolviendo el sistema anterior de ecuaciones lineales. =

=

Al sustituir los valores de a y b en la ecuación (2.99), se tiene. =

+

[2.101]

Reordenando la expresión anterior se obtiene: =

+

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[2.102]

=

- 62 -

Cap. 2 – El método de elementos finitos unidimensional y bidimensional

Donde se observa que en coordenadas naturales ξ toma el valor de -1 cuando en el sistema cartesiano le corresponde el valor de y toma el valor de +1 si = .

a) b) Figura 2.20 a) Función real de desplazamientos b) función aproximada linealmente de desplazamientos.

En la figura 2.20a se observa la función de desplazamiento real, la cual puede ser aproximada por una función lineal, tal como se muestra en la figura 2.20b. Con la ecuación (2.42) se puede hallar las funciones de forma que aproximen los desplazamientos dentro del elemento. ≈ ( )=

( )

+

a) Figura 2.21 a) F. de forma

Como se observa, la función nodo 2, en cambio la función 1.

( )

[2.103]

b) en función de ξ b) F. de forma

en función de ξ

toma un valor unitario en el nodo 1 y el valor de cero en el toma el valor de 1 en el nodo 2 y el valor de cero en el nodo

Considerando una ecuación lineal para describir los desplazamientos dentro de un elemento se tiene: =

+

[2.104]

Y analizando las funciones en los valores nodales (figura 2.20), se obtiene: = =

= −1 = +1

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- 63 -

Cap. 2 – El método de elementos finitos unidimensional y bidimensional

Utilizando los valores nodales anteriores se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales: = (−1) + = (+1) +

[2.105]

Resolviendo el sistema anterior se hallan los valores de a y b. =

=

Sustituyendo los valores de a y b en la ecuación (2.104), se tiene: =

+

[2.106]

Y reordenando la ecuación anterior se halla la función de aproximación buscada. =

+

[2.107]

Comparando la ecuación anterior con la ecuación (2.103), donde x es una función de la variable , se observa que las funciones toman los valores de: =

[2.108]

=

[2.109]

La ecuación (2.103) puede expresarse de forma matricial de la siguiente manera:

Donde:

=

[2.110]

=[ =[

]

]

Es posible notar que las funciones de interpolación para aproximar los desplazamientos son iguales a las funciones utilizadas para aproximar la geometría del elemento (formulación isoperimétrica). La deformación unitaria para el caso unidimensional viene dada por la siguiente expresión: =

[2.111]

Utilizando la regla de la cadena la expresión anterior es expresada en función de la coordenada natural . =

=

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[2.112]

- 64 -

Cap. 2 – El método de elementos finitos unidimensional y bidimensional

De la ecuación (2.101) se encuentra el valor de

También:

.

=

[2.113]

=

Cuya expresión desarrollada viene dada por: =

[2.114]

Sustituyendo las ecuaciones (2.113) y (2.114) en la ecuación (2.112) se obtiene: =

(−

=

[−1 1]

+

)

[2.115]

Y al expresar la ecuación anterior en forma matricial, se tiene:

=

[2.116]

Donde el valor B viene dado por: =

[−1 1]

[2.117]

Utilizando la ley de Hooke para el caso unidimensional se obtiene: =

[2.118]

=

[2.119]

Sustituyendo la ecuación (2.116) en la ecuación (2.118), se tiene:

El valor del esfuerzo obtenido con la ecuación anterior es constante dentro del elemento, esto se debe a que las funciones de interpolación son lineales, y al ser los desplazamientos proporcionales a las funciones de forma, éstos también variarán linealmente; por otra parte, la deformación es igual a la primera derivada del desplazamiento, por lo tanto, su valor dentro del elemento será constante, y por último, el esfuerzo es proporcional a la deformación y será también constante. Enfoque de la energía potencial La energía potencial total en una estructura dada por: =∑ ( ∫

−∑ ∫

−∑ ∫

Mientras que la energía potencial para un elemento está dada por:

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−∑

) [2.120]

- 65 -

Cap. 2 – El método de elementos finitos unidimensional y bidimensional

= ∫

−∫

−∫

−∑

[2.121]

El primer término del lado derecho representa la energía de deformación unitaria del elemento. = ∫

[2.122]

= ∫

[2.123]

Sustituyendo las ecuaciones (2.116) y (2.119) en la ecuación (2.122), se tiene:

Sacando fuera de la integral los términos constantes e independientes de x, se tiene: ∫[

=

]

Sustituyendo el valor de dx por ( ⁄2) =

[2.124] , se obtiene:

∫

[2.125]

Integrando la expresión anterior y sustituyendo el valor de B, se tiene: −1 [ −1 1] 1

=

[2.126]

Efectuando la multiplicación y ordenando, resulta: 1 −1 −1 1

= Donde la matriz

=

[2.127] [2.128]

es conocida como la matriz de rigidez del elemento y viene dada por:

=

Términos de fuerza

1 −1 −1 1

[2.129]

De la ecuación (2.121) se extrae el término de las fuerzas de cuerpo, dado por: ∫

=∫

(

+

∫

=∫

[

]

∫

=

)

[2.130]

La ecuación anterior también puede ser expresada como: [2.131]

El área de un elemento se considera constante al igual que la fuerza de cuerpo, por lo tanto, pueden ser sacados fuera de la integral al igual que los desplazamientos nodales.

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[

]

∫ ∫

[2.132]

- 66 -

Cap. 2 – El método de elementos finitos unidimensional y bidimensional

Sustituyendo la ecuación (2.113) en la ecuación anterior y notando que del elemento ( ), se tiene: =

∫

es la longitud

=

∫

=

∫

−

=

∫

Por lo tanto, el término que representa las fuerzas de cuerpo se reduce a: ∫

=

∫

=

] 1 1

[

[2.133]

Lo cual se puede reducir a la siguiente expresión:

Donde el vector

[2.134]

es el vector de fuerzas de cuerpo. =

1 1

[2.135]

Analizando de una manera simple el significado de este término, vemos que la fuerza total de cuerpo que actúa sobre el elemento es igual al volumen multiplicado por lo cual es igual a , el divisor de la ecuación (2.135) indica que esta fuerza será repartida de igual forma en cada nodo y será igual a la mitad. El siguiente paso es analizar las fuerzas de tracción. ∫

=∫

∫

= [

∫

=

∫

=

(

+

)

[2.136]

Al igual que en el caso anterior es sustituido por el producto de las funciones de interpolación con los desplazamientos nodales. ]

Y al sustituir el valor de dx se tiene: [

∫

[2.137]

∫ ]

∫ ∫

Realizando la integración y ordenando la ecuación anterior se obtiene.

∫

=

[

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] 1 1

[2.138] [2.139]

- 67 -

Donde

Cap. 2 – El método de elementos finitos unidimensional y bidimensional

tiene el siguiente valor: 1 1

=

[2.140]

El significado físico es similar al dado para las fuerzas de cuerpo. Ensamble de la matriz de rigidez global de la estructura La ecuación (2.120) puede escribirse de la siguiente forma. =

−

[2.141]

Donde el término K representa la matriz de rigidez global de la estructura, esta matriz es cuadrada y de orden igual al número de grados de libertad de la estructura.

a) b) Figura 2.17 (repetida) a)Discretización del elemento b)Numeración de nodos y elementos

Por ejemplo, en la figura 2.17 se tienen siete grados de libertad, por lo tanto, la matriz global será de 7x7; si para este caso se toma el elemento 4, el cual está determinado por los nodos 4 y 5, para el caso unidimensional cada nodo tendrá solo un grado de libertad, y en consecuencia, la numeración de los grados de libertad será la misma que la utilizada para los nodos. La matriz de rigidez local del elemento 4 es: =

−

−

La ubicación de los términos correspondientes al elemento 4 en la matriz de rigidez global se muestra a continuación.

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- 68 -

Cap. 2 – El método de elementos finitos unidimensional y bidimensional

0 0 0 = 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 + 0 − 0 0 0 0

0 0 0 0 0

/ /

− +

0 0 0 0 0

/ /

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

Si se realiza el procedimiento anterior con todos los elementos que integran la estructura y se suman las matrices globales K, se obtendrá la matriz de rigidez total de la estructura. Ensamble del vector de fuerzas Igualmente que en el caso anterior, el vector total de cargas será un vector con el número de nodos igual al número de grados de libertad globales de la estructura. Para el caso del elemento 4 se tiene el siguiente vector local de cargas. =

Y su ubicación dentro del vector de cargas globales será: = [0

0 0

Condiciones de frontera

0 0]

Las condiciones de frontera vienen dadas por las restricciones en los desplazamientos, que en muchos casos sugieren que sean iguales a cero o iguales a un valor determinado. 2.9.4. Funciones de forma cuadrática En muchas ocasiones se requiere una mayor precisión en la evaluación de los desplazamientos dentro del elemento finito, esto se logra utilizando funciones de forma cuadrática en lugar de las funciones de forma lineal vistas anteriormente.

a) b) Figura 2.22 a) Elemento en coordenadas cartesianas “x” b) Elemento representado en coordenadas naturales “ξ”

Como se ve en la figura 2.22, para el punto en coordenadas cartesianas le corresponde el valor de = −1, para el punto le corresponde el punto = 0 en coordenadas naturales y Facultad de Ingeniería Civil - UNSA

- 69 -

Cap. 2 – El método de elementos finitos unidimensional y bidimensional

para el punto le corresponde = +1 en coordenadas naturales. La función lineal que describe el valor de en función de x es: (

)

= 2(

[2.142]

)

La función aproximada que describe los desplazamientos está dada por la siguiente formula: = =

+

+

[2.143] [2.144]

Figura 2.23 Aproximación de la función de desplazamientos utilizando funciones de forma cuadrática

La función de desplazamientos puede ser aproximada por una función cuadrática, de la siguiente forma: =

+

+

Evaluando los valores de ecuaciones.

[2.145]

en los nodos 1, 2 y 3 se obtiene el siguiente sistema lineal de

= (−1) + (−1) + = (0) + (0) + = (+1) + (+1) +

Resolviendo el sistema de ecuaciones se tiene: =

=

−

=

Sustituyendo en la ecuación cuadrática los valores hallados se obtiene: =

−

+

+

[2.146]

Reduciendo la expresión anterior y reordenándola a la forma de la ecuación (2.143) se obtiene: =

(1 − )

+ (1 + )(1 − )

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+ (1 + )

[2.147]

- 70 -

Cap. 2 – El método de elementos finitos unidimensional y bidimensional

Y comparando la ecuación anterior con la ecuación (2.143), se observa que: =

(1 − )

[2.148]

= (1 + )(1 − )

Donde

,

= (1 + )

[2.149] [2.150]

son las funciones buscadas de forma cuadrática.

Figura 2.24 Funciones de forma cuadrática para elementos finitos unidimensionales

La deformación unitaria para el caso unidimensional fue dada en las ecuaciones (2.111) y (2.112) tanto en función de x y en función de , respectivamente. = =

Derivando la ecuación (2.142) en función de x, se tiene. =

[2.151]

Sustituyendo esta última ecuación en la ecuación (2.112), se obtiene: =

[2.152]

Derivando la ecuación (2.147) en función de , resulta: = =

−

−2

[2.153]

Expresando la ecuación anterior de manera reducida, se tiene: =

Donde el valor de B está dado por:

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[2.154]

- 71 -

Cap. 2 – El método de elementos finitos unidimensional y bidimensional

=

−

−2

[2.155]

Es de notarse que la deformación unitaria varía linealmente dentro del elemento, por lo tanto, los esfuerzos también variarán de forma lineal; esta variación lineal da una mejor aproximación con relación a la obtenida con funciones de forma lineal (esfuerzo constante dentro del elemento). Aplicando el principio de energía potencial y siguiendo un procedimiento similar al utilizado para encontrar la matriz de rigidez del elemento con funciones de forma lineal, se tiene la siguiente expresión: =

∫

=

7 −8 1 −8 16 −8 1 −8 7

=

∫

[2.156]

Al efectuar las operaciones correspondientes se obtiene: [2.157]

También, el término de las fuerzas de cuerpo está dado por: [2.158]

Por lo tanto, las fuerzas de cuerpo para este elemento están dadas por: 1/6 2/3 1/6

=

[2.159]

Las fuerzas de tracción que actúan sobre el elemento están dadas por la siguiente expresión: =

∫

[2.160]

Desarrollando las integrales se obtiene: =

1/6 2/3 1/6

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[2.161]

- 72 -

Cap. 2 – El método de elementos finitos unidimensional y bidimensional

2.10. ELEMENTOS FINITOS BIDIMENSIONALES Para el caso del problema de elasticidad bidimensional, las posiciones de los puntos dentro de un elemento están definidas por sus coordenadas (x,y), por lo tanto, los desplazamientos correspondientes están dados también en función de las coordenadas (x,y). = ( , ) = ( , )

( , ) ( , )

=

[2.162]

El vector de esfuerzos y el vector de deformaciones están dados por: =

[2.163]

=

[2.164]

Figura 2.25 Cargas y restricciones sobre un cuerpo de espesor t

Las fuerzas que actúan sobre el cuerpo bidimensional de espesor t son: =[ =[ =

] ]

Fuerzas de cuerpo Fuerzas de Tracción Fuerzas puntuales

Para el caso de esfuerzo plano el vector de deformaciones está dado por:

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- 73 -

Cap. 2 – El método de elementos finitos unidimensional y bidimensional

=

[2.165] +

La relación esfuerzo-deformación para el caso bidimensional, tal como se vio anteriormente, está dado por:

=

=(

)

1

1 0 0

0 0

2.10.1. Triangulo de deformación unitaria constante El triángulo de deformación constante utiliza funciones de forma del tipo lineal, de modo que los desplazamientos producidos por la aplicación de cargas resulten lineales, de esta forma la deformación y el esfuerzo resultarán constantes dentro del elemento. Para este análisis se considera el elemento triangular de tres nodos mostrado en la figura (2.26), donde cada nodo puede desplazarse tanto en dirección x como en la dirección y.

Figura 2.26 Elemento triangular con 6 grados de libertad en coordenadas xy

De la figura anterior se define el vector de desplazamientos nodales como: =[

]

[2.166]

Resulta más conveniente expresar las coordenadas x,y en coordenadas normalizadas , ; para ello se realiza la transformación de coordenadas, como se muestra en la figura 2.27.

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- 74 -

Cap. 2 – El método de elementos finitos unidimensional y bidimensional

Figura 2.27 Transformación de coordenadas cartesianas x,y a coordenadas naturales ,

Para transformar la ubicación de cada punto del elemento de coordenadas cartesianas a coordenadas naturales se utiliza funciones de interpolación lineal. = =

+ +

+ +

[2.167]

De acuerdo con la figura 2.27, se sustituyen los valores nodales correspondientes. ( , )=( , ( , )=( , ( , )=( ,

) ⇒ ) ⇒ ) ⇒

=1 ∧ =0 ∧ =0 ∧

=0 =1 =0

Sustituyendo estos valores en la ecuación (2.167) se tiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales: = = =

+ +

= = =

− −

=( =(

− −

Resolviendo el sistema de ecuaciones, se obtiene:

= = =

+ +

= = =

− −

Sustituyendo los valores encontrados en el sistema de ecuaciones (2.167), se tiene: ) +( ) +(

− −

) + ) +

[2.168]

Como se mencionó anteriormente, los puntos dentro de un elemento pueden expresarse en base a valores nodales y funciones de interpolación, tal como se muestra en las expresiones siguientes: = =

+ +

+ +

Reordenando las ecuaciones (3.168), se tiene: Facultad de Ingeniería Civil - UNSA

[2.169]

- 75 -

Cap. 2 – El método de elementos finitos unidimensional y bidimensional

=( ) =( )

+( ) +( )

+ (1 − − ) + (1 − − )

[2.170]

Comparando las ecuaciones anteriores con las ecuaciones (2.169) se obtiene las funciones de interpolación buscadas. = = =1− −

[2.171]

El siguiente paso es expresar los desplazamientos en función de las coordenadas x, y. ( , )= ´ ( , )= ´

+ ´ + ´

+ ´ + ´

[2.172]

Es posible expresar las ecuaciones anteriores en coordenadas naturales ( , ); si se realiza esta transformación, las ecuaciones mantendrán la misma forma lineal, esto debido a que los valores ´ son constantes. ( , )= ( , )=

+ +

+ +

[2.173]

Figura 2.28 Geometría del elemento en coordenadas naturales y valores correspondientes de desplazamientos

Observando la figura 2.28 y evaluando las ecuaciones anteriores en los nodos, se obtiene: =1 ∧ =0 ∧ =0 ∧

=0 ⇒ ( , )=( , =1 ⇒ ( , )=( , =0 ⇒ ( , )=( ,

) ∧ ( , )=( , ) ∧ ( , )=( , ) ∧ ( , )=( ,

) ) )

Sustituyendo estos valores en la ecuación (2.173) se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones: = = =

+ +

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= = =

+ +

- 76 -

Cap. 2 – El método de elementos finitos unidimensional y bidimensional

Resolviendo el sistema de ecuaciones anterior se obtiene los valores de los coeficientes = = =

− −

=( =(

− −

= = =

Sustituyendo los valores obtenidos de ) +( ) +(

.

− −

en la ecuación (2.173), se tiene: − −

) + ) +

[2.174]

Los desplazamientos , son expresados en función de los valores nodales del elemento y de las funciones de forma; como se muestra en las siguientes ecuaciones. = =

+ +

=( ) =( )

+( ) +( )

+ +

[2.175]

Ordenando la ecuación (2.174) y reescribiéndola de acuerdo a la forma de la ecuación (2.175), se tiene: + (1 − − ) + (1 − − )

[2.176]

Comparando la expresión anterior con la ecuación (2.175) se obtiene los valores de , , que resultan ser iguales a las funciones de interpolación que describen la geometría del elemento. En la figura 2.29 se puede apreciar las funciones de interpolación, donde se ve que la función toma el valor de 1 cuando es evaluada en el nodo 1 y cero en los demás nodos, la función toma el valor de 1 en el nodo 2 y cero en los demás nodos, y el valor de 1 en el nodo 3 y cero en los demás nodos. = = =1− −

Figura 2.29 Funciones de forma para elementos finitos bidimensionales lineales

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- 77 -

Cap. 2 – El método de elementos finitos unidimensional y bidimensional

Por lo tanto, los desplazamientos , son expresados con la siguiente ecuación: =

0

0

0

0

0

0

=

[2.177]

[2.178]

El vector de deformación unitaria para el caso bidimensional está dado por la ecuación (2.165).

=

+

Los términos de los desplazamientos son expresados en función de coordenadas cartesianas (x, y), y estas coordenadas a su vez son expresadas en términos de coordenadas naturales ( , ). = ( ( , ), ( , ) ) = ( ( , ), ( , ) )

[2.179]

Utilizando la regla de la cadena se expresa los términos de la ecuación (2.165) en función de las coordenadas ( , ). =

+

=

+

=

+

=

+

Las ecuaciones anteriores escritas de manera matricial resultan: = = Las ecuaciones anteriores son reescritas de la siguiente forma:

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[2.180]

- 78 -

Cap. 2 – El método de elementos finitos unidimensional y bidimensional

= =

[2.181]

Donde J representa la matriz jacobiana de transformación de coordenadas. =

[2.182]

Los valores de la matriz jacobiana son obtenidos derivando las ecuaciones (2.170) con respecto a y . =

[2.183]

Donde los subíndices indican diferencia; por ejemplo matriz jacobiana está dada por: =

=

−

. También, la inversa de la

[2.184]

( )

El determinante del jacobiano está dado por: ( )=

−

=2

[2.185]

( )) es el doble del área del elemento Se puede observar que el determinante de J ( triangular, el cual adquiere un valor positivo cuando los nodos 1, 2 y 3 son ordenados en sentido contrario a las manecillas del reloj. Despejando las ecuaciones (2.181), se tienen las siguientes ecuaciones: = =

[2.186]

Las ecuaciones anteriores en forma extendida están dadas por: =

=

( ) ( )

+

+

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- 79 -

Cap. 2 – El método de elementos finitos unidimensional y bidimensional

+

=

Derivando los términos =

=

+

( ) ( )

=

[ [

+

( )

+

+

de la ecuación (2.174) en función de

(

−

[

(

(

( )

−

)+

)+ −

(

(

)+

)]

−

)]

−

(

)+

−

Reordenando los términos anteriores y teniendo en cuenta que , etc., se tiene: =

( )

+

+

+ +

+

+ +

=

( )

0

0

0

0

(

+

Ordenando los términos de manera matricial se obtiene: 0

, se obtiene:

−

= +

0

)+

−

,

(

−

=

)]

−

[2.187]

[2.188]

Expresando esta última ecuación de manera abreviada se tiene: =

[2.189]

Donde el término B está dado por: =

( )

0

0

0

Matriz de rigidez del elemento

0

0

0

[2.190]

La energía total en un elemento está dada por la siguiente ecuación: Π = ∫

−∫

−∑

−∫

[2.191]

Tomando en cuenta que el espesor del elemento es constante e igual a dentro del elemento, y a su vez el término = ; la ecuación anterior queda de la siguiente manera: Π = ∫

−∫

−∫

−∑

[2.192]

Para obtener la matriz de rigidez del elemento se extrae el primer término del lado derecho de la ecuación anterior.

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- 80 -

Cap. 2 – El método de elementos finitos unidimensional y bidimensional

= ∫

[2.193]

= ∫

[2.194]

Sacando los términos constantes fuera de la integral se obtiene: =

E integrando la ecuación anterior:

∫

[2.195]

=

[2.196]

=

[2.197]

Donde el término representa el área del elemento y la cual está dada por:

es la matriz de rigidez del elemento,

=

[2.198]

Matriz de rigidez global de la estructura La matriz de rigidez de la estructura se puede obtener sumando la energía potencial de deformación de cada elemento. =∑

[2.199]

=

[2.200]

Lo cual en términos de desplazamientos globales se expresa como:

Términos de fuerza Primeramente se analizará el término de la ecuación (2.192) correspondiente a las fuerzas de cuerpo. ∫

Sustituyendo los valores

+

∫

[2.201]

por los valores dados en la ecuación (2.175), se tiene:

∫ (

=

∫

=

+

+

)

+(

Sacando los términos constantes fuera de la integral, se obtiene: ∫

∫

=

(

+

∫ (

∫

)+

)+

∫

+ ∫

+

Las integrales de las funciones de forma se muestran a continuación:

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)

+ (

∫

)+

[2.202]

- 81 -

Cap. 2 – El método de elementos finitos unidimensional y bidimensional

∫

=∫ ∫

( )

=2

∫ ∫

∫

=∫ ∫

( )

=2

∫ ∫

( )

=∫ ∫

∫

=2

∫ ∫

=

=

(1 − − )

=

Sustituyendo las integrales anteriores en la ecuación (2.202) y ordenando de manera matricial, se obtiene:

∫

=

∫

=

Donde el término

[

]

[2.203]

[2.204]

representa las fuerzas de cuerpo. =

[

]

[2.205]

Cabe resaltar que la notación anterior es para cada elemento; para representar el aporte de las fuerzas de cada elemento sobre la estructura, es necesario colocar dichas fuerzas en coordenadas globales. El siguiente paso es expresar las fuerzas de tracción que actúan sobre los bordes de los elementos. Para el caso de cargas distribuidas que actúan en la dirección de los ejes coordenados se observa la figura 2.30.

Figura 2.30 Cargas distribuidas sobre la longitud

de un elemento en las direcciones x, y

El término de la energía potencial, correspondiente a las fuerzas de tracción mostradas en la figura 2.30, está dado por:

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- 82 -

Cap. 2 – El método de elementos finitos unidimensional y bidimensional

=∫

∫

+

[2.206]

A su vez, las fuerzas de tracción y los desplazamientos pueden ser expresados en términos de los valores nodales. = =

+ +

= =

[2.207] + +

[2.208]

Sustituyendo las ecuaciones anteriores en la ecuación (2.206), se tiene: ∫ ∫

= =

+

(

∫ ∫

+ +

+

)(

+

+

)+(

+

+

)

+

+

+

[2.209]

Los términos , , , , son constantes y por lo tanto, son sacados fuera de la integral. Las expresiones a integrar se reducen a las siguientes ecuaciones: ∫

=

∫

=

∫ Donde:

=

(

=

−

) +(

−

)

Sustituyendo los valores obtenidos de las integrales anteriores en la ecuación (2.209) y ordenando de manera matricial, se tiene:

∫

=[

]

∫

=[

]

Donde el término

está dado por:

=

2 2

+ + +2 +2

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2 2

+ + +2 +2

[2.210]

[2.211]

[2.212]

- 83 -

Cap. 2 – El método de elementos finitos unidimensional y bidimensional

Para el caso de cargas perpendiculares al lado del elemento, como se muestra en la figura 2.31, debe descomponerse esta carga en sus componentes paralelas a x e y.

Figura 2.31 Cargas distribuidas perpendiculares a la longitud

De la figura anterior se observa que:

=

=− =−

=− =−

=

Los términos de cargas puntuales son fácilmente ubicados en el vector de cargas globales, esto se realiza colocando directamente su valor en su ubicación correspondiente en coordenadas globales teniendo en cuenta la dirección en la que actúan. =

+

[2.213]

Donde son los componentes cartesianos de la carga puntual P; son los desplazamientos nodales en coordenadas globales correspondientes a los grados de libertad 2 − 1 2 , respectivamente. La energía potencial total de la estructura, expresada en función de los desplazamientos nodales, está dada por: Π=

−

[2.214]

Donde F representa la suma de todas las fuerzas que actúan sobre el sistema en coordenadas globales (fuerzas de cuerpo, fuerzas de tracción y cargas puntuales). Derivando la ecuación (2.214) en función de =0= =

−

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se tiene: [2.215] [2.216]

- 84 -

Cap. 2 – El método de elementos finitos unidimensional y bidimensional

Construcción del modelo bidimensional con elementos finitos Consideremos el cuerpo mostrado en la figura 2.32, que está sometido a un conjunto de cargas (fuerzas de cuerpo, fuerzas de tracción y cargas puntuales) y restricciones (desplazamientos nulos); el objetivo en este tipo de problemas es calcular los esfuerzos y desplazamientos en distintos puntos del cuerpo. La solución analítica del problema resulta imposible en este caso debido a la complejidad de las cargas aplicadas y la difícil geometría del cuerpo plano, es por ello que se recurre a métodos aproximados de cálculo como el método de elementos finitos.

Figura 2.32 Cuerpo bidimensional sometido a un conjunto de cargas y restricciones

Para la utilización del elemento triangular de esfuerzo constante, la discretización se realiza dividiendo el cuerpo en triángulos de lados rectos, tal como se muestra en la figura 2.33; cada triangulo se compone de tres nodos, los cuales a su vez tienen dos grados de libertad (un grado de libertad en x y uno en y), por lo tanto, cada elemento constara de seis grados de libertad.

Figura 2.33 Discretización de un cuerpo bidimensional en triángulos y numeración de elementos y nodos

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- 85 -

Cap. 2 – El método de elementos finitos unidimensional y bidimensional

Los nodos y grados de libertad de cada elemento tienen una numeración local y una numeración global, por ejemplo, en la figura 2.34 se observa de manera aislada el elemento 2 con sus respectivos nodos con una numeración local y con una numeración global.

a) b) Figura 2.34 a) Elemento 2 con nodos expresados en coordenadas globales b) Elemento 2 expresado en coordenadas locales.

Para obtener un orden con fines de programación, se establece que en coordenadas globales los grados de libertad en la dirección x toman el valor de 2 − 1 y en la dirección y toman el valor de 2 , donde es el nodo en numeración global; por lo tanto, el vector de desplazamientos en coordenadas globales está dado por: …

=[

]

[2.217]

Donde N es el número total de grados de libertad. 2.10.2. Elemento finito bidimensional cuadrilátero de cuatro nodos Para el presente análisis se considera el elemento de cuatro nodos mostrado en la figura 2.35.

Figura 2.35 elemento cuadrilátero de 4 nodos en coordenadas x,y con desplazamientos en grados de libertad local

Los desplazamientos que ocurrirán en los puntos interiores del elemento están dados en función de sus coordenadas x,y, tal como se muestra a continuación. =

( , ) ( , )

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[2.218]

- 86 -

Cap. 2 – El método de elementos finitos unidimensional y bidimensional

La geometría del elemento puede ser aproximada por medio de valores nodales y funciones de forma mediante las siguientes ecuaciones. = =

+ +

+ +

+ +

[2.219]

Tal como se mencionó, es conveniente representar la geometría de un elemento en coordenadas naturales ( , ), como se muestra en la figura 2.36.

Figura 2.36 Elemento cuadrilátero de cuatro nodos expresado en coordenadas naturales ( , )

Para realizar la transformación de coordenadas se eligen las siguientes funciones polinómicas: = =

+ +

+ +

+ +

[2.220]

Para encontrar las constantes , , … , se consideran los valores nodales ( , ) en la ecuación (2.220) y se evalúan estas expresiones con los valores nodales en coordenadas naturales ( , ); donde i representa la numeración de los nodos en coordenadas locales (Figura 2.37).

Figura 2.37 Paso de coordenadas cartesianas (x , y) a coordenadas naturales ( , )

De la figura 2.37 se obtienen los siguientes valores: ( ( ( (

, , , ,

)=( )=( )=( )=(

, , , ,

) ) ) )

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⇒ ⇒ ⇒ ⇒

= −1 = +1 = +1 = −1

∧ ∧ ∧ ∧

= −1 = −1 = +1 = +1

- 87 -

Cap. 2 – El método de elementos finitos unidimensional y bidimensional

Sustituyendo estos valores en la ecuación (2.220) se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones: =− =+ =+ =− =− =+ =+ =−

− − + + − − + +

+ − + − + − + −

+ + + + + + + +

Resolviendo el sistema de ecuaciones lineales se obtienen los valores de las constantes =

=

=

=

=

=

=

Sustituyendo los valores de ecuaciones: =

,

,…,

=

en la ecuación (2.220) se obtienen las siguientes

+

=

+

+

+

+

Reordenando las ecuaciones anteriores, se tiene: = (1 − )(1 − )

= (1 − )(1 − )

.

+ (1 + )(1 − )

+ (1 + )(1 − )

+

+ (1 + )(1 + )

+ (1 + )(1 + )

[2.221]

+ (1 − )(1 + )

+ (1 − )(1 + )

Si se compara las ecuaciones anteriores con la ecuación (2.219) es evidente que los valores de , , están dados por: = (1 − )(1 − )

= (1 + )(1 − ) = (1 + )(1 + ) = (1 − )(1 + )

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[2.222]

- 88 -

Cap. 2 – El método de elementos finitos unidimensional y bidimensional

Las ecuaciones anteriores pueden ser escritas de una manera más compacta para los fines de programación. = (1 +

)(1 +

)

[2.223]

Los desplazamientos de un punto dentro del elemento se encuentran por medio de las funciones de interpolación y de los valores nodales, tal como se muestra en las siguientes ecuaciones: = =

+ +

+ +

+ +

[2.224]

Para encontrar las funciones de interpolación se consideran las mismas funciones utilizadas para describir la geometría del elemento en coordenadas naturales (formulación isoparamétrica). = =

+ +

+ +

+ +

[2.225]

Sustituyendo los valores correspondientes a los desplazamientos nodales, se obtiene: =

=

=

=

=

=

=

=

Sustituyendo los valores obtenidos de en la ecuación (2.225) y ordenando los términos de una manera conveniente, se tienen las siguientes expresiones: = (1 − )(1 − )

= (1 − )(1 − )

+ (1 + )(1 − ) + (1 + )(1 − )

+ (1 + )(1 + )

+ (1 + )(1 + )

+ (1 − )(1 + ) + (1 − )(1 + )

Y comparando estas últimas expresiones con la ecuación (2.224), se tiene: = (1 − )(1 − )

= (1 + )(1 − ) = (1 + )(1 + ) = (1 − )(1 + )

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[2.226]

- 89 -

Cap. 2 – El método de elementos finitos unidimensional y bidimensional

Figura 2.38 Funciones de forma para un elemento finito rectangular de 4 nodos

Se observa que las funciones de forma para el cálculo de los desplazamientos son las mismas que las utilizadas para describir la geometría del elemento. Expresando la ecuación (2.222) en forma matricial, se tiene:

=

0

0

0

=

0

0

0

0

0

[2.227]

[2.228]

La relación entre la deformación unitaria y el desplazamiento está dada por la ecuación (2.165), la cual se muestra a continuación.

=

=

+

Para expresar los términos del vector de deformación unitaria en función de las coordenadas naturales se utiliza la regla de la cadena, como se muestra a continuación. Facultad de Ingeniería Civil - UNSA

- 90 -

Cap. 2 – El método de elementos finitos unidimensional y bidimensional

=

+

=

+

=

+

=

+

Agrupando las ecuaciones anteriores de manera matricial se obtienen las siguientes dos relaciones matriciales: = =

[2.229]

Donde J representa el jacobiano de transformación y está dado por: =

[2.230]

Derivando las ecuaciones (2.226) en función de J=

, se obtiene:

x (−1 + η) + x (1 − η) + x (1 + η) + x (−1 − η) y (−1 + η) + y (1 − η) + y (1 + η) + y (−1 − η) x (−1 + ξ) + x (−1 − ξ) + x (1 + ξ) + x (1 − ξ) y (−1 + ξ) + y (−1 − ξ) + y (1 + ξ) + x (1 − ξ)

Para evitar una notación muy amplia como la ecuación anterior, ésta es reducida por la siguiente: =

[2.231]

El siguiente paso es despejar los términos = = Donde la inversa del jacobiano está dada por:

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[2.232]

- 91 -

Cap. 2 – El método de elementos finitos unidimensional y bidimensional

=

( )

−

−

La transformación de coordenadas jacobiano. ( )

=

,

a coordenadas

,

requiere la utilización del [2.233]

Matriz de rigidez del elemento Para hallar la matriz de rigidez del elemento se considera el término de la energía de deformación unitaria del elemento; dado por: = ∫

[2.234]

=

[2.235]

Se considerará para el presente análisis que el elemento tiene un espesor constante e igual a sustituyendo este término en la ecuación anterior, se tiene: ∫

,

De la ecuación (2.232) se obtienen los términos del vector de deformación unitaria en función de . =

=

+

( ) ( )

=

−

( )

− −

+

+

+

−

[2.236]

Ordenando las ecuaciones anteriores de manera matricial, se obtiene:

=

( )

0 −

− 0

−

0

0

−

=

[2.237]

[2.238]

En la ecuación (2.238) la matriz A y el vector C están dados por: =

( )

0 −

− 0

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−

0

0

−

[2.239]

- 92 -

Cap. 2 – El método de elementos finitos unidimensional y bidimensional

=

[2.240]

Los términos del vector C se obtienen derivando las ecuaciones (2.226) en función de Sustituyendo estos valores en las ecuaciones (2.224), se tiene: =

(−1 + ) +

=

(−1 + ) +

=

=

(1 − ) +

(1 + ) +

(−1 − )

(1 − ) +

(1 + ) +

(−1 − )

(−1 + ) +

(−1 − ) +

(−1 + ) +

(−1 − ) +

(1 + ) +

(1 − )

(1 + ) +

Ordenando las ecuaciones anteriores de manera matricial, resulta:

=

−1 + −1 + 0 0

0 0 −1 + −1 +

1− −1 − 0 0

0 0 1− −1 −

1+ 1+ 0 0

0 0 1+ 1+

(1 − )

−1 − 1− 0 0

0 0 −1 − 1−

=

[2.241]

[2.242]

De la ecuación anterior se observa que el valor de la matriz G está dado por: =

−1 + −1 + 0 0

0 0 −1 + −1 +

1− −1 − 0 0

0 0 1− −1 −

1+ 1+ 0 0

0 0 1+ 1+

−1 − 1− 0 0

Sustituyendo la ecuación (2.242) en la ecuación (2.238), se tiene:

0 0 −1 − 1−

[2.243]

=

[2.244]

=

[2.245]

=

[2.246]

Ahora se define la matriz B como:

Sustituyendo la ecuación (2.245) en la ecuación (2.244), resulta:

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.

- 93 -

Cap. 2 – El método de elementos finitos unidimensional y bidimensional

Para el cálculo de los esfuerzos dentro de un elemento, se sustituye la ecuación (2.246) en la ecuación = . =

[2.247]

Donde la matriz D está dada por: =(

)

1

1 0 0

0 0

Sustituyendo los valores obtenidos anteriormente, en la ecuación (2.235), se obtiene la siguiente expresión. =

∫

( )

∫

[2.248]

De la ecuación anterior se encuentra la matriz de rigidez del elemento, la cual está dada por: =

∫

( )

∫

Vector de fuerzas del elemento

[2.249]

Fuerzas de cuerpo Dentro de la ecuación de la energía potencial de un elemento, el término de las fuerzas de cuerpo está dado por: ∫

[2.250]

La ecuación anterior está dada como una función continua; para fines de cálculo aproximado, este término es reemplazado por fuerzas y desplazamientos evaluados en los nodos; como se muestra a continuación. =∑

∫

[2.251]

] y son constantes Las fuerzas de cuerpo por unidad de volumen están dadas por = [ dentro de un elemento; también, el valor de está dado por la siguiente expresión: =

∫

∫

( )

[2.252]

Igual que en el caso de la matriz de rigidez del elemento, el término de fuerzas de cuerpo debe ser evaluado numéricamente. Fuerzas de tracción Para el análisis de las fuerzas de tracción que actúan sobre el borde de un elemento (figura 2.39), se considera un borde constante e igual a ; también, se observa en la figura 2.39 que =0 = 0. Facultad de Ingeniería Civil - UNSA

- 94 -

Cap. 2 – El método de elementos finitos unidimensional y bidimensional

Figura 2.39 Cargas aplicadas sobre el borde 1-2 de un elemento

Si las cargas sobre el borde son constantes, el vector de fuerzas de tracción queda dado por: =

[

0 0 0

0]

[2.253]

Las cargas puntuales son colocadas en el vector de fuerzas globales, tal como para el caso del elemento finito triangular de tres nodos. El ensamblaje de la matriz de rigidez total se obtiene con los procedimientos antes señalados. 2.11. ANÁLISIS DE FLEXIÓN EN VIGAS POR EL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS Las vigas son estructuras sometidas a cargas perpendiculares a su eje, dichas cargas producen momentos flectores y fuerzas cortantes; otros efectos como momentos torsores y fuerzas axiales no tienen una notoria influencia.

Figura 2.40 Viga sometida a cargas y análisis de un elemento diferencial de viga

Para el análisis de vigas por el método de elementos finitos, primeramente se desarrollarán las formulas correspondientes al problema de flexión en vigas, para ello se considera la viga mostrada en la figura 2.40, aquí se muestra una viga sometida a una carga distribuida por unidad de longitud q(x), a cargas puntuales Q y a momentos flectores M. Si se toma un elemento diferencial, dx, en la viga y sobre este elemento se formulan las ecuaciones de equilibrio, se obtiene: ∑

= 0,

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+ ( )

−

−

=0

- 95 -

Cap. 2 – El método de elementos finitos unidimensional y bidimensional

∑

= ( ) = 0,

=−

[2.254] −

+

+ ( )

+

+

=0

[2.255]

Sustituyendo la ecuación (2.255) en la ecuación (2.254), se tiene: =− ( )

[2.256]

De acuerdo con las hipótesis de Bernoulli, las cuales indican que las secciones transversales al eje longitudinal permanecen planas luego de la flexión y que los desplazamientos son pequeños en comparación con la altura de la sección transversal de la viga; se puede considerar la figura siguiente:

Figura 2.41 Elemento diferencial de viga antes y después de la flexión

De la figura anterior se obtiene la siguiente relación: =−

[2.257]

=

[2.258]

La ecuación que relaciona los desplazamientos en la dirección x con su respectiva deformación es:

Al sustituir la ecuación (2.257) en la ecuación anterior se obtiene la expresión que relaciona el desplazamiento vertical con la deformación en x.

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- 96 -

Cap. 2 – El método de elementos finitos unidimensional y bidimensional

=−

[2.259]

=

[2.260]

=−

[2.261]

=∫

[2.262]

= ∫−

[2.263]

=−

[2.264]

Si la viga está constituida por un material linealmente elástico, el esfuerzo y la deformación se relacionan por:

Si se sustituye la ecuación (2.259) en la ecuación anterior se obtendrá la ecuación que relaciona los esfuerzos en la viga con la deflexión de la misma.

Los esfuerzos generan en la viga momentos flectores, los cuales están dados por:

Sustituyendo la ecuación (2.261) en la ecuación anterior y considerando un ancho constante e igual a b se tiene:

Sacando los términos que no dependen de la variable z y recordando que el momento de inercia de la sección transversal de la viga está dado por: = ∫ ; la ecuación (2.263) se reduce a:

Y por último, sustituyendo la ecuación (2.264) en la ecuación (2.256) se tiene: = ( )

[2.265]

2.11.1. Planteamiento del método de elementos finitos en vigas Para el análisis de vigas, se consideran a éstas como longitudinalmente indeformables, esta hipótesis lleva a considerar solo cuatros grados de libertad en cada elemento finito (figura 2.42), por lo tanto, se considerará el siguiente vector de desplazamientos por elemento. =[

] =[

]

[2.266]

Figura 2.42 Grados de libertad correspondientes a un elemento de viga

Los giros están dados por la primera derivada de los desplazamientos en función de x.

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- 97 -

Cap. 2 – El método de elementos finitos unidimensional y bidimensional

=

[2.267]

La ecuación anterior obliga a buscar una función de aproximación continua en sí misma y en su primera derivada; además, como se tiene cuatro grados de libertad en un elemento, será conveniente tomar una función polinómica de tercer grado y de cuatro términos. =

+

+

+

[2.268]

Para hallar las funciones de forma de una manera sencilla es conveniente emplear una variable natural , la cual varía de -1 a +1. La relación entre la variable x y está dada por: =

+

Y su función inversa es: =

[2.269]

−

[2.270]

La ecuación (2.268) en función de la variable tendrá la misma forma que esta ecuación en función de x, esto debido a que la función de trasformación de coordenadas es lineal, por lo tanto: =

+

=

=

+

+

[2.271]

Y derivando la ecuación anterior en función de , se obtiene la siguiente función: = (

+2

+3

)

[2.272]

Figura 2.43 Trasformación de coordenadas cartesianas “x” a coordenadas naturales “ ” con los valores nodales correspondientes

En la ecuación anterior, l se refiere a la longitud del elemento. Si se sustituyen los valores nodales mostrados en la figura 2.43 en las ecuaciones (2.271) y (2.272) se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales. =

= ( =

= (

−

+

+

−2

+

+2

−

+3 +

+3

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) )

- 98 -

Cap. 2 – El método de elementos finitos unidimensional y bidimensional

Al resolver el sistema de ecuaciones anterior, se obtienen los valores de las constantes cuales se escriben a continuación: =

2

=

−

= =

−3

+

+

+2

−

+

+3

−

−

−

+

Sustituyendo los valores de las constantes, expresión, se tiene: =

Donde:

=

(2 − 3 +

(−1 − + +

= (2 − 3 + = (1 − −

= (2 + 3 −

= (−1 − +

)+

+

+ )

+ )

+

, las

, en la ecuación (2.271) y reordenando esta

(1 − −

)

+

)+

(2 + 3 −

)+

[2.273]

+

[2.274]

)

[2.275]

)

El jacobiano de transformación se obtiene de la ecuación (2.269), y viene dado por: =

=

=−

(

[2.276]

La deformación en términos de valores nodales se obtiene sustituyendo la ecuación (2.273) en la ecuación (2.259). )

=− Donde:

=

[2.277]

=−

[2.278]

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- 99 -

Cap. 2 – El método de elementos finitos unidimensional y bidimensional

Las derivadas de las funciones de forma, en función de la variable natural , se obtienen por medio de la regla de la cadena. =

=

=

[2.279] =

Por lo tanto, la matriz B en función de la coordenada

[2.280] queda dada de la siguiente manera:

=− =− =−

[2.281]

=

[2.282]

De la última ecuación se deduce que:

2.11.2. Matriz de rigidez del elemento La matriz de rigidez de un elemento viga está dada por la siguiente expresión: =∫

[2.283]

Si se considera una viga de ancho b y un módulo de elasticidad E, la ecuación anterior queda de la siguiente manera: = ∫∫ = ∫∫

[2.284]

=

[2.285]

En la ecuación (2.284), la integral ∫ representa el momento de inercia de la sección transversal, dado por I, sustituyendo este término en la ecuación anterior, se obtiene: ∫

Resulta conveniente realizar un cambio de variable en la ecuación (2.285), para lo cual se recuerda que: =

Por lo tanto, la ecuación (2.285) queda dada de la siguiente manera: =

∫

Efectuando el producto de la integral anterior e integrando los términos, se tiene:

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[2.286]

- 100 -

Cap. 2 – El método de elementos finitos unidimensional y bidimensional

=

∫

=

12/ 6/ −12/ 6/

2.11.3. Términos de fuerza

6/ 4/ −6/ 2/

−12/ −6/ 12/ −6/

6/ 2/ −6/ 4/

[2.287]

Para el presente análisis solo se considerarán las cargas uniformemente distribuidas por unidad de longitud perpendiculares al eje del elemento: ( )=∫

[2.288]

Haciendo un cambio de variable de x a , la ecuación anterior resulta:

( )=

=

∫

−

/2 /12 /2 /12

[2.289]

La expresión anterior corresponde al caso de una carga uniformemente distribuida, donde la carga ( ) es positiva si actúa en sentido del desplazamiento. El vector obtenido en la ecuación (2.289) coincide con las fuerzas de empotramiento perfecto en una viga, lo cual es obvio. Los momentos flectores y las fuerzas cortantes se obtienen a partir de las siguientes relaciones: =

=

Sustituyendo la ecuación (2.273) en las relaciones anteriores y recordando que tiene: =

=

[6

(2

+ (3 − 1)

+

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−2

+

−6 )

+ (3 + 1)

]

= , se

[2.290] [2.291]

- 101 -

Cap. 2 – El método de elementos finitos unidimensional y bidimensional

2.11.4. Matriz de rigidez de vigas sobre soportes elásticos6 Las vigas sobre soportes elásticos resultan de gran utilidad en las cimentaciones de Winkler; para este análisis se considera la rigidez por unidad de longitud que aporta el estrato debajo de la viga, el término que se agrega a la energía potencial es aquel que se obtiene por la deformación del suelo (idealizado como un conjunto infinito de resortes biarticulados).

Figura 2.44 Viga apoyada sobre un medio elástico (cimentación de Winkler)

∫

[2.292]

Sustituyendo el término de la deformación w por el producto de las funciones de forma y valores nodales se tiene: (

∫ ∫

)

∫

[2.293]

∫

[2.294]

En la ecuación anterior se observa que la matriz de rigidez proveniente del suelo viene dada por: =

Donde N es la matriz de funciones de forma; sustituyendo las ecuaciones (2.273) en la ecuación anterior e integrando se obtiene: =

156 22 54 −13

22 4 13 −3

54 13 156 −22

−13 −3 −22 4

[2.295]

Este término, correspondiente al aporte de rigidez del suelo, debe de sumarse a la matriz de rigidez de la viga.

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- 102 -

Cap. 2 – El método de elementos finitos unidimensional y bidimensional

Referencias 1

2 3

4

5

6

Belytschko T., Liu W. K. y Moran B., Nonlinear finite elements for continua and structures, John Wiley & Sons, 2000. Shames y Cozzarelli, Elastic and inelastic stress Analysis, Prentice-Hall, 1992. Gallegos Cázares Sergio, Análisis de sólidos y estructural mediante el método de elementos finitos, Editorial LIMUSA S. A., Monterrey, pp. 51-132, 2000. John H. Mathews y Kurtis D. Fink, Métodos numéricos con MATHLAB, Prentice Hall, Madrid, pp. 203-263, 2000. John H. Mathews y Kurtis D. Fink, Métodos numéricos con MATHLAB, Prentice Hall, Madrid, pp. 423-432, 2000. Tirupathi R. Chandrupatla, Ashok D. Belegundu, Introducción al Estudio del Elemento Finito en Ingeniería, Segunda edición, PRENTICE HALL, México, pp. 249-251, 1999.

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CAPÍTULO

3 EL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS APLICADO A LOSAS 3.1.

INTRODUCCIÓN

Hoy en día, tanto el análisis y el diseño de edificaciones requiere un menor tiempo pero una mayor seguridad, es por ello que se hace necesario sistematizar los métodos de cálculo estructural para conseguir mayor precisión en los resultados y un menor tiempo de análisis. Hasta antes de 1960 las losas eran analizadas como un emparrillado de vigas por un gran número de ingenieros estructuralistas, debido a que solo se tenía soluciones “exactas” para algunos casos simples de losas bidireccionales, lo cual generaba resultados muy conservadores; el principal problema que presenta el idealizar la losa como un conjunto de vigas es la distribución inadecuada de momentos y fuerzas cortantes en la losa, otra desventaja encontrada es que no indica nada acerca de los momentos torsores. Actualmente, con el avance de los programas informáticos y el desarrollo de los métodos numéricos de análisis estructural es posible realizar cálculos más acelerados y con una mayor confiabilidad en los resultados; uno de estos métodos que ha logrado una gran aceptación por parte de ingenieros prácticos es el método de elementos finitos, el cual es aplicable a un gran número de problemas no solo estructurales sino también en otras ramas de la física. Para el análisis de losas planas, actualmente se presentan dos teorías muy difundidas, la primera es la teoría clásica de Kirchhoff, aplicada para el caso de losas delgadas con pequeños

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- 104 -

Cap3 – El método de elementos finitos aplicado a losas

desplazamientos; la otra teoría, con una mayor aplicación en la actualidad, es la correspondiente a Reissner-Mindlin[1][2] que es aplicada tanto a losas delgadas y gruesas debido a su relativa facilidad para ser implementada por el método de elementos finitos en comparación con el modelo de Kirchhoff, debido a que solo requiere una función de interpolación con continuidad mientra que para la teoria de Kirchhoff se requiere una función de interpolación con continuidad . La utilización del modelo de Reissner-Mindlin requiere un profundo conocimiento de la teoría y debe emplearse con mucho cuidado, mientras que la teoría de Kirchhoff, aunque resulta ser más complicada su implementación por el MEF, tiende a ser más segura. En el presente capitulo primero serán descritos algunos conceptos elementales de flexión en losas delgadas correspondientes a la teoría de Kirchhoff, para luego definir la matriz de rigidez del elemento placa considerando un cuadrilátero de 4 nodos y 12 grados de libertad; tanto los momentos flectores y fuerzas cortantes se hallan mediante el cálculo de los desplazamientos verticales, que son calculados mediante el ensamblaje de la matriz de rigidez global de la estructura. 3.2.

ANÁLISIS DE LOSAS DELGADAS CON PEQUEÑOS DESPLAZAMIENTOS (TEORÍA DE KIRCHHOFF)3

3.2.1. Teoría clásica de flexión en placas Se puede considerar como una placa delgada con pequeños desplazamientos cuando la relación entre el espesor y el lado más corto es menor a 1/20, y cuando el desplazamiento máximo en la dirección normal al plano medio de la placa no supera 1/5 del espesor de la misma. Muchos tipos de placas utilizadas en la construcción de obras civiles caen dentro de estos parámetros, como ejemplos tenemos las losas de entrepisos armadas en dos direcciones, techos de reservorios de agua, tableros de puentes, etc. Para el análisis del elemento placa delgada, generalmente, se utilizan las suposiciones dadas por Kirchhoff, que son enunciadas a continuación: a)

La deformación en el plano medio de la placa se considera nula.

b)

Las secciones planas inicialmente normales a la superficie media permanecen planas y normales a la superficie media luego de la flexión, lo cual sugiere que las deformaciones cortantes en la dirección vertical son despreciables.

c)

=

=0

Los esfuerzos normales al plano de la placa son pequeños en comparación con los otros esfuerzos, por lo tanto, pueden ser despreciados. =0

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- 105 -

d)

Cap3 – El método de elementos finitos aplicado a losas

La deflexión del plano medio es pequeña en comparación con el espesor de la placa, lo cual implica que la pendiente de la deflexión es muy pequeña y la raíz cuadrada de la pendiente es despreciable en comparación con la unidad (Ecuación de curvatura).

Esta teoría ha mostrado tener resultados satisfactorios en placas con un espesor hasta a 1/10 del lado menor de la misma, pero si el espesor excede este valor, las suposiciones a y b no se aproximan a la realidad y, en consecuencia, su estudio estará fuera del presente análisis.

Figura 3.1 Placa de espesor constante “t” ubicada en el plano xy sometida a cargas perpendiculares a su plano

Para el presente análisis se considera la placa de espesor constante igual a , mostrada en la figura 3.1, paralela al plano xy; el plano z=0 coincide con el plano medio de la placa, por lo tanto, la superficie superior e inferior de la placa se ubican en el plano − ⁄2 y ⁄2 , respectivamente; sobre la placa actúa una carga uniformemente distribuida e igual a p que actúa de forma perpendicular a la losa.

Figura 3.2 Segmento diferencial de una placa de espesor t antes y después de la flexión (plano x,z), gráfico basado en la teoría de Kirchhoff

La deflexión del punto A visto en el plano xz se muestra en la figura 3.2, y por analogía en el plano yz se tendrá una configuración similar. De esta figura se observa que:

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- 106 -

Cap3 – El método de elementos finitos aplicado a losas

=−

=−

[3.1]

3.2.2. Relaciones entre desplazamientos y deformaciones unitarias Las relaciones entre las deformaciones unitarias y los desplazamientos para un caso general se muestran a continuación: =

=

=

=

=

=

+

+

+

[3.2]

De las hipótesis enunciadas por Kirchhoff ( reducidas a: =

=

=

=−

=

= +

= 0), las relaciones anteriores son [3.3]

Sustituyendo la ecuación (3.1) en la ecuación (3.3) se tiene:

=

=−

=

+

= −2

[3.4]

El conjunto de ecuaciones anteriores también puede ser expresado en formato matricial.

=

− −

−2

=

Donde b está definido como el vector de curvatura y su uso es muy habitual en la teoría de placas. Este vector de curvatura no depende de la variable z, sino solo de la posición de la superficie media de la placa.

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- 107 -

Cap3 – El método de elementos finitos aplicado a losas

3.2.3. Estado de tensiones Como se vio en el capítulo 2 del presente documento, las relaciones entre los esfuerzos y las deformaciones se determinan mediante la ley de Hooke generalizada. =

=−

−

−

+

=−

−

=

=0

=

=

−

+

=0

[3.5]

Donde E es el módulo de elasticidad del material y es el módulo de Poisson. El valor de G representa el módulo cortante y guarda la siguiente relación con el módulo de elasticidad. =

(

[3.6]

)

En las ecuaciones (3.5) el primer subíndice indica la dirección de la normal al plano sobre el cual actúa los esfuerzos y el segundo subíndice indica la dirección del esfuerzo. Utilizando las hipótesis a y b de Kirchhoff, las ecuaciones (3.5) quedan reducidas a: =

−

=

−

=

[3.7]

Despejando los esfuerzos en la ecuación anterior y sustituyendo el valor de G, se tiene: =

+

=

+

=

[3.8]

Agrupando las ecuaciones anteriores de forma matricial se obtiene: =(

)

1

1 0 0

0 0

[3.9]

Sustituyendo la ecuación (3.4) en la ecuación (3.8) se obtiene la relación entre los esfuerzos y los desplazamientos verticales w.

Facultad de Ingeniería Civil - UNSA

- 108 -

Cap3 – El método de elementos finitos aplicado a losas

=

+

=

+

(1 − )

=

[3.10]

3.2.4. Fuerzas internas

Los esfuerzos analizados en las ecuaciones anteriores varían linealmente dentro del espesor t de la placa, estos esfuerzos producen en el interior de la placa momentos flectores , un momento torsor y fuerzas cortantes fuera del plano de la placa . El momento flector en x ( figura 3.3.

) es producido por los esfuerzos

, tal como se muestra en la

Figura 3.3Esfuerzos de flexión en una placa en la dirección x

De la figura anterior se observa que el momento dado por: = ∫

Sustituyendo el valor de

/ /

, dado en la ecuación (3.10), en la ecuación anterior, se tiene:

=

∫

/ /

+

Integrando la expresión anterior se obtiene el valor de

Para el cálculo de

= =

(momento por unidad de ancho) está

en función del desplazamiento w.

(

)

+

[3.11]

(

)

+

[3.12]

se sigue un procedimiento análogo al anterior, obteniéndose:

Facultad de Ingeniería Civil - UNSA

- 109 -

Cap3 – El método de elementos finitos aplicado a losas

Figura 3.4 Esfuerzos cortantes

que generan el momento

De la figura 3.4 se deduce el valor de = ∫

Sustituyendo el valor de

=

en una placa de espesor t

, el cual está dado por:

/ /

en la ecuación anterior, se tiene: (1 − ) ∫

/ /

Integrando la expresión anterior se obtiene: =

(

)

(1 − )

=

(

)

(1 − )

De manera similar se obtiene el valor de

[3.13] , el cual viene dado por: [3.14]

Los momentos y fuerza cortantes verticales generados por las cargas varían de un punto a otro dentro de la placa, estas variaciones establecen relaciones, las cuales se conocen como ecuaciones de equilibrio. Si se considera una porción infinitesimal de una placa, sobre la cual actúa una carga uniformemente distribuida igual a p, esta carga generará en la placa fuerzas internas, las cuales se muestran en la figura 3.5.

Figura 3.5 Elemento diferencial de una placa sobre la cual actúa una carga repartida p, generando fuerzas internas

Facultad de Ingeniería Civil - UNSA

- 110 -

Cap3 – El método de elementos finitos aplicado a losas

Considerando primero el equilibrio de fuerzas verticales, se tiene: +

+

−

+

+

=0

+

−

+

=0

[3.15]

El siguiente paso es efectuar el equilibrio de momentos alrededor del eje x, para lo cual se desprecian los efectos de segundo orden. +

−

+

+

−

=0

−

=0

+

−

−

=0

[3.16]

Al efectuar el equilibrio de momentos alrededor del eje y se obtiene: +

[3.17]

El momento es igual a debido a que el esfuerzo = ; teniendo en cuenta esta observación y sustituyendo las ecuaciones (3.16) y (3.17) en la ecuación (3.15), se tiene. +2

+

=−

[3.18]

Para obtener una ecuación diferencial en términos del desplazamiento vertical w se tiene que sustituir las ecuaciones (3.11-3.14) en la ecuación (3.18).

(

+2

)

(

)

+

=−

Efectuando las operaciones correspondientes se llega a la expresión final: +2

+

=

[3.19]

Donde D está dada por la siguiente ecuación: =

(

[3.20]

)

Los valores de las fuerzas cortantes verticales por unidad de longitud se obtienen a partir de las ecuaciones (3.16) y (3.17) al sustituir los valores de , por las ecuaciones (3.11), (3.12) y (3.13), respectivamente. =−

(

)

Facultad de Ingeniería Civil - UNSA

+

(

)

- 111 -

Cap3 – El método de elementos finitos aplicado a losas

=−

(

)

+

[3.21]

=−

(

)

+

[3.22]

Utilizando el mismo procedimiento se calcula la fuerza cortante vertical por unidad de longitud en y.

3.3.

ELEMENTO FINITO RECTANGULAR DE 12 GDL PARA LOSAS

Para el análisis de placas por el MEF, generalmente se utilizan los elementos finitos triangulares y rectangulares debido a la facilidad con la que se puede aproximar cualquier tipo de geometría y por la facilidad del cálculo de las matrices de rigidez de los elementos. La utilización de elementos triangulares resulta muy útil para describir geometrías complicadas debido a la simplicidad geométrica de los mismos; muchos elementos triangulares tanto conformes como no conformes han sido desarrollados, pero solo muy pocos han dado resultados satisfactorios; por otro lado, los elementos finitos rectangulares muestran una mejor aproximación y una menor dificultad en su implementación, es por ello que son muy utilizados en el análisis de losas. Una forma intuitiva de encontrar un elemento que satisfaga la continuidad es tomando el desplazamiento vertical, w, y sus derivadas cartesianas (giros) como grados de libertad en cada nodo, así se tendrá 3 GDL por nodo. Dentro de los elementos finitos rectangulares, aquel que ha sido muy utilizado es el propuesto por Melosh, Zienkiewicz y Cheung (elemento MZC), mostrado en la figura 3.6, donde cada nodo tiene tres grados de libertad; un desplazamiento en la dirección z, una rotación alrededor del eje x y una rotación alrededor del eje y.

Figura 3.6 Elemento rectangular de 4 nodos y 12 grados de libertad (Fuente: Juan Tomás Celigueta Lizarza, Método de elementos finitos para análisis estructural, Tercera Edición, figura 7.14 pp. 138)

Las relaciones entre las rotaciones y el desplazamiento están dadas por las siguientes ecuaciones: =

=−

Facultad de Ingeniería Civil - UNSA

[3.23]

- 112 -

Cap3 – El método de elementos finitos aplicado a losas

El signo negativo en

es debido a que un desplazamiento negativo producirá una rotación

positiva alrededor de y. El vector de desplazamientos de un nodo es mostrado a continuación: =

=

[3.24]

Donde i=1,…, 4 representa el número de nodo dentro de un elemento. El vector de desplazamientos de un elemento rectangular en coordenadas locales está dado por: =[

]

O en una notación alternativa:

[3.25]

=[

]

El siguiente paso consiste en brindar una función de aproximación para hallar el desplazamiento en función de las coordenadas x,y; para lo cual se elige la siguiente función polinómica de 12 términos. = ´ + ´ + ´ ´

+

´

+ ´

+ ´

+ ´

+ ´

+ ´

+ ´

+ ´

+ [3.26]

De las relaciones entre el desplazamiento y los ángulos de rotación vistas en la ecuación (3.23), se deduce que: = =−

= ´ + ´

+2 ´

=− ´ −2 ´

+

− ´

´

+2 ´

−3 ´

+3 ´

−2 ´

− ´

+ ´

+3 ´

−3 ´

[3.27] − ´

[3.28]

La ecuación (3.26) es una función incompleta de cuarto grado dentro del triángulo de pascal, pero es un polinomio completo de tercer grado con dos términos adiciones , , la elección de estos dos términos garantiza la continuidad del desplazamiento w a lo largo de los bordes de los elementos. Para mayor facilidad se definen a continuación las variables naturales = Donde:

=

= Coordenada central del lado de un elemento finito en dirección x Facultad de Ingeniería Civil - UNSA

. [3.29] [3.30]

- 113 -

Cap3 – El método de elementos finitos aplicado a losas

= Coordenada central del lado de un elemento finito en dirección y = Son definidas en la figura 3.7.

Para obtener expresiones simplificadas de las funciones de forma es conveniente expresar los valores en coordenadas naturales , , tal como se muestra en la figura 3.7.

Figura 3.7 Sistema de coordenadas naturales ξ , η en un elemento finito rectangular

La ecuación (3.26) puede expresarse en términos de las coordenadas naturales , =

+ +

+

+

+

+

+

+

+

+

+ [3.31]

La ecuación anterior tiene la misma forma que la ecuación (3.26), debido a la linealidad de las ecuaciones (3.39) y (3.30); también, las derivadas parciales de la función anterior en términos de se muestran a continuación. = =

+

+2

+2

+

+

+2

+3

+2

+3 +

+

+3

+3

De las ecuaciones (3.29) y (3.30) se obtienen las derivadas de respectivamente. =

y

=

+

Por medio de la regla de la cadena se obtienen las expresiones

[3.32] [3.33] en función de

[3.34] en función de las

coordenadas naturales , . = =

Sustituyendo las ecuaciones (3.32), (3.33) y (3.34) en la ecuación (3.35), se tiene:

Facultad de Ingeniería Civil - UNSA

,

[3.35]

- 114 -

−

Cap3 – El método de elementos finitos aplicado a losas

= (

+

+2

=− (

+2

+

+

+2

+3

+3

+2

+

+

+3

+3

+

)

[3.36] ) [3.37]

Tomando los valores nodales (en coordenadas naturales) del elemento mostrado en la figura 3.7, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales. =

= (

−

= (− =

= (

+

= (− =

= (

+

= (− =

= (

− + +

−

= (−

−

+

−2

+2 −

+

+

−2

−2 +

+

+2

−2

−

+

+

−

+

+2

+2

−

+

+

+

−

+

−2

−

+2

−

−2

−

+

−2

+3

+

+

+2

−3

+3

+

−2

−3

−

+3

+

−3

+

−

+2

−3

−

+

+

−

+3

+2

− +

−

−

−

+3

+

+

+3

+

+

+

−3 −

−

−3

−

−3

+

−

+3

+

+

+3

−

+

−3

−

El sistema de ecuaciones en forma matricial se muestra a continuación. 1 0 0 1 0 = 0 1 0 0 1 0 0

=

+

+

−

−

+

+

)

)

)

)

)

)

)

−

)

1 −1 −1 −1 −1 1 −1 −1 1 1 1 1 3 −1 −3 0 0 −1 −2 0 1 2 0 −3 −2 −1 0 3 −1 0 2 1 1 1 −1 1 −1 −1 −1 1 −1 1 −1 1 1 1 0 0 1 −2 0 1 −2 3 3 −1 0 −2 1 0 −3 2 −1 0 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 2 0 1 2 3 1 3 −1 0 −2 −1 0 −3 −2 −1 0 −3 −1 −1 1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 −1 0 0 1 1 −2 3 −1 −3 1 2 0 −1 0 2 −1 0 −3 2 −1 0 −3 −1

=

Resolviendo este sistema de ecuaciones, se tiene:

Facultad de Ingeniería Civil - UNSA

−

[3.38] [3.39]

- 115 -

=

Cap3 – El método de elementos finitos aplicado a losas

=

2 −3 −3 0 4 0 1 0 0 1 −1 −1

1 −1 −1 0 1 −1 0 0 1 1 0 −1

−1 2 −1 −1 2 1 3 1 3 1 1 −3 −1 −1 3 1 0 0 −1 0 −1 −4 −1 −1 4 0 0 −1 0 0 −1 −1 0 −1 −1 −1 0 0 1 0 0 0 −1 0 0 0 1 0 −1 1 1 0 1 −1 1 0 1 0 −1 1

−1 −1 −1 0 −1 1 0 0 1 1 0 1

1 1 1 −1 1 0 −1 −1 0 0 −1 0

2 −1 −1 −3 1 1 −3 1 −1 1 0 0 1 −4 1 0 0 1 1 0 −1 0 0 1 0 −1 0 0 −1 1 0 −1 1 1 −1 0

Sustituyendo los valores , obtenidos en el paso anterior, en la ecuación (3.31) y ordenando los términos de manera conveniente se obtienen las funciones de forma buscadas. =∑

[3.40]

Donde n es el número de grados de libertad del elemento finito rectangular, y las funciones de forma son desarrolladas a continuación. = (2 − 3 − 3 + 4 = =

(1 − − +

(−1 + + +

−

−

= (2 + 3 − 3 − 4 = = =

(−1 + − −

−

(−1 − − −

+

= (2 − 3 − 3 − 4 = =

(−1 + + +

(−1 + − +

−

+

−

−

−

+

+

+

−

−

−

+

+

)

+

)

+

−

+

= (1 − )(1 − )(2 − − −

−

)

)

)

−

−

) )

+

−

+

)

+

+

−

−

+

+

− +

−

+

−

−

+

+ +

−

(−1 + − −

(1 + + −

+

−

= (2 + 3 + 3 + 4 =

+

+

−

−

)

)

)

)

Las funciones de forma obtenidas en el paso anterior pueden ser reescritas de la siguiente manera:

=

(1 − )(1 + )(1 − )

Facultad de Ingeniería Civil - UNSA

)

- 116 -

Cap3 – El método de elementos finitos aplicado a losas

=−

(1 + )(1 − )(1 − )

= (1 + )(1 − )(2 + − − (1 + )(1 + )(1 − )

=

(1 − )(1 − )(1 + )

=

= (1 + )(1 + )(2 + + − =−

=

(1 + )(1 − )(1 + )

(1 − )(1 + )(1 + )

= (1 − )(1 + )(2 − + − =− =−

(1 − )(1 − )(1 + )

−

)

−

)

−

)

(1 + )(1 + )(1 − )

[3.41]

O de una manera más compacta: = (1 + =

=−

)(1 +

(1 +

(1 −

)(2 +

)(1 −

)(1 +

+

)(1 + )

−

−

)

)(1 + )

Donde n representa el número de nodo (n=1,2…,4)

Las funciones de forma en coordenadas naturales son mostradas a continuación:

Facultad de Ingeniería Civil - UNSA

[3.42]

- 117 -

Cap3 – El método de elementos finitos aplicado a losas

.

Facultad de Ingeniería Civil - UNSA

- 118 -

Cap3 – El método de elementos finitos aplicado a losas

Figura 3.8 Funciones de forma para un elemento rectangular de 12 GDL

3.4.

MATRIZ DE RIGIDEZ DEL ELEMENTO FINITO PARA LOSAS

El desplazamiento vertical de un punto dentro de un elemento finito en función de los valores nodales y las funciones de forma se da a través se la siguiente ecuación:

Donde:

=

[3.43]

=[

]

=[

]

El vector de deformación unitaria en función del desplazamiento vertical, w, está dado por la ecuación (3.4), el cual es expresado a continuación.

=

=

−

−

−2

Facultad de Ingeniería Civil - UNSA

=

[3.44]

- 119 -

Cap3 – El método de elementos finitos aplicado a losas

Sustituyendo la ecuación (3.43) en la ecuación anterior se obtiene:

=

−

−

=

=

−2

[3.45]

La ecuación (3.45) puede ser expresada de manera más compacta como:

Donde:

=

= (

=

=

) =

[3.46]

=−

y

=

Los términos de la matriz

son desarrollados a continuación:

=

=

=

=

= = = = = = =

=0 =

=0 = =

=0 =

(6 − 6

)

(2 − 6 − 2 + 6 (−6 + 6

)

)

(−2 − 6 + 2 + 6

)

(−2 − 6 − 2 − 6

)

(−6 − 6

Facultad de Ingeniería Civil - UNSA

)

- 120 -

Cap3 – El método de elementos finitos aplicado a losas

=

=

=

=

=0 =

=

=0

= = = = = =

=

=

=

= = =

=0 = =

=0

)

(2 − 6 + 2 − 6

)

(−2 + 2 + 6 − 6

)

=

= =

(6 + 6

(6 − 6

)

(6 + 6

)

(−2 − 2 + 6 + 6 (−6 − 6

)

(2 + 2 + 6 + 6

=

=

=0

(−6 + 6

)

)

(2 − 2 + 6 − 6 (4 − 3

=

=

=

(−1 − 2 + 3 )

=

(−1 − 2 + 3

= = =

= = =

Facultad de Ingeniería Civil - UNSA

−3

(1 + 2 − 3 (−4 + 3

)

+3

)

)

= =

)

)

(−1 + 2 + 3 )

)

- 121 -

Cap3 – El método de elementos finitos aplicado a losas

=

=

=

=

=

(4 − 3

(−1 + 2 + 3

=

=

=

=

=

=

)

−3

=

(1 − 2 − 3 ) (−4 + 3

(1 − 2 − 3

)

)

+3 )

(1 + 2 − 3 )

3.4.1. Energía potencial de un elemento placa La energía potencial total en un elemento está dada por: −∑

= ∫

−∫

= ∫

= ∫

[3.47]

El primer término del lado derecho representa la energía de deformación unitaria, y de este término se obtiene la matriz de rigidez del elemento.

= ∫ (

)

= ∫

[3.48]

Sustituyendo el valor de B por = ∫ =

en la ecuación anterior, se tiene:

∫

[3.49]

De la ecuación anterior se deduce la matriz de rigidez del elemento, la cual viene dada por la siguiente expresión: =∫

=∫

∫ ∫

/ /

[3.50]

Como se observa, la integral anterior está dada en términos de x e y mientras que la matriz esta dada en términos de , por este motivo se requiere hacer un cambio de variables en los términos diferenciales, para ello se observa que = = . =

∫

∫

Integrando respecto a z se tiene:

∫

Facultad de Ingeniería Civil - UNSA

/ /

- 122 -

Cap3 – El método de elementos finitos aplicado a losas

=

∫

∫

[3.51]

la matriz de rigidez del elemento puede obtenerse a partir de la ecuación (3.51) mediante métodos de integración numérica, tal como el método de Gauss, o efectuando el producto matricial y obtener una expresión final, lo cual resulta ser un tanto laborioso. El desarrollo del producto matricial resulta ser extenso, es por ello que solo se muestra el resultado final. =

Donde: 6

0 0

6

6 8

(

)

−6 0 8

=

0 0 0

=

1

=

0

− −2 0

(

+

−6 0 6 6

0 0 0 0 0

3 3 0 6

3 4 0 6 8

−1 − 0 1

Facultad de Ingeniería Civil - UNSA

+ −6 0 4 6 0 8

− 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0

2 0

)

+ −3 0 3 3 0 3 6

0 0 0 0 0 0 0 0

−3 −3 0 −6 −6 0 6

3 2 0 6 4 0 −6 8

1 0 0 −1 0 − 1

[3.52]

−3 0 2 3 0 4 6 0 8

0 0 0 0 0 0 − 0

3 0 −3 −3 0 −3 −6 0 −6 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 − 0 0

−2 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

−6 −6 0 −3 −3 0 3 −3 0 6 −1 0 1 0 0 −1 0 1

6 4 0 3 2 0 −3 4 0 −6 8

−3 0 4 3 0 2 6 0 4 −6 0 8

0 0 0 0 0 0

0 0 − 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 − 2 0

- 123 -

Cap3 – El método de elementos finitos aplicado a losas

21

=

(

3 8

−3 0 8

)

−21 −3 3 21

−3 −8 0 3 8

−3 0 −2 3 0 8

21 3 −3 −21 −3 −3 21

−3 2 0 3 −2 0 −3 8

3 0 2 −3 0 −8 3 0 8

3 −2 0 −3 2 0 3 −8 0 −3 8

−21 −3 3 21 3 3 −21 3 −3 21

3.4.2. Vector de fuerzas nodales equivalentes

3 0 −8 −3 0 2 3 0 −2 −3 0 8

El vector de fuerzas equivalentes en los nodos de un elemento, causadas por la aplicación de una carga uniformemente distribuida, p, está dado por: =∫

[3.53]

La ecuación anterior expresada en términos de =

esta dada por:

∫

[3.54]

El desarrollo de la expresión anterior es mostrado a continuación:

=

∫

=

∫

=

8

∫

8

∫

(1 − )(1 − )(2 − − − ( − 1)( − 1)(1 − ( − 1)( − 1)(1 − (1 + )(1 − )(2 + − − ( − 1)( + 1)(1 − ( − 1)( − 1)(1 + (1 + )(1 + )(2 + + − ( − 1)( + 1)(1 + ( − 1)( + 1)(1 + (1 − )(1 + )(2 − + − ( − 1)( − 1)(1 + ( − 1)( + 1)(1 − 8

8

) )

) ) ) ) ) )

−

)

−

)

−

)

−

)

[3.55]

Para calcular el vector global de cargas aplicadas a la losa se tendrá que sumar los valores correspondientes a cada grado de libertad. Para el caso de fuerzas y momentos puntuales, la ubicación dentro de la matriz de cargas globales se realiza de manera similar al análisis matricial en estructuras reticulares.

Facultad de Ingeniería Civil - UNSA

- 124 -

Cap3 – El método de elementos finitos aplicado a losas

3.4.3. Condiciones de contorno Para el estudio de las condiciones de contorno asociadas a una placa rectangular, se considera un elemento rectangular de dimensiones x sometido a una carga uniformemente distribuida, p; aplicando el principio de trabajo virtual se obtienen las ecuaciones de equilibrio asociadas a las condiciones de contorno. =∫

=

=∫

[3.56]

Figura 3.9 Fuerzas cortantes y momentos flectores en el interior de una placa sometida a una carga distribuida, p.

Sustituyendo el valor de las deformaciones unitarias en función de las curvaturas (b) se obtiene: ∫

=∫

∫

=∫

Al realizar la integración en función de z del término del lado derecho de la ecuación anterior se obtienen los momentos en la placa.

Sustituyendo los términos del lado derecho y reordenado la ecuación anterior, se obtiene: +2

∫

+

+

∫

+

+

+∫

=0

+∫

Al integrar por partes la expresión de la izquierda, se halla: ∫ ∫ ∫

+2

+

+ =0

+

−∫

Facultad de Ingeniería Civil - UNSA

+∫ +

+∫

+∫

=0

+

−

- 125 -

Cap3 – El método de elementos finitos aplicado a losas

Las integrales 4° y 5° contienen los términos fuerzas cortantes anterior, se tiene. ∫

+2

∫ [

]

∫

+2

+

y

+

, que representan las

, respectivamente. Sustituyendo dichas cantidades en la ecuación

−∫

+

+

+∫

+∫

+∫

+∫

=0

−

Las dos últimas integrales también pueden ser integradas por partes, con lo que se obtiene:

∫ [ ∫

]

−∫

+

+

+

+∫

−∫

+

=0

+∫

−

−

Agrupando términos la ecuación anterior queda reducida a: ∫ ∫

+2

+

+ =0

+

−∫

+

+∫

+

+∫

−

+

Intercambiando la derivada y la variación en la 2° y 3° integral, se obtiene: ∫ ∫

+2

+ +

+

−∫

+∫

+

=0

−∫

+

+

+

[3.57]

Cualquier variación arbitraria de la deflexión debera satisfacer la ecuación (3.57) y, por lo tanto, serán nulos los factores que estén asociados a o a su derivada. La anulación del primer término de la ecuación (3.57) proporciona la ecuación de equilibrio en el interior de la placa, la cual fue deducida anteriormente (ecuación 3.18) a través de otra metodología. +2

+

+

=0

La anulación de los demás términos proporcionará las condiciones de borde de la placa, las cuales dependiendo de las condiciones del problema pueden ser de distintos tipos. Facultad de Ingeniería Civil - UNSA

- 126 -

I. a) b) c) d) II. a) b) c) d)

Cap3 – El método de elementos finitos aplicado a losas

En los lados paralelos al eje Y ( = 0 ∧ =0

+

=0 → =0

=0 →

= =

En los lados paralelos al eje X ( = 0 ∧ =0

+

=0 → =0

=0 →

= )

= )

= =

Generalmente en la práctica, las condiciones de apoyo de una placa vienen dadas por la combinación de dos condiciones de contorno; por ejemplo, para una losa empotrada las condiciones (b) y (d) son asociadas a este tipo de apoyo, las condiciones (a) y (d) implican un apoyo simple y la combinación de las condiciones (a) y (c) estarán asociadas a un borde libre. La condición de tipo (c) corresponde a un estado libre de tensiones cortantes en el borde. Una explicación intuitiva fue presentada por Thomson y Tait. Si se analiza un lado de la placa paralelo al eje X, y sobre este lado de la placa actúa el momento torsor , podemos considerar un elemento diferencial dx, sobre este segmento el momento total tendrá el valor de , este momento puede ser reemplazado estáticamente por un par de fuerzas de igual magnitud pero de dirección contraria separadas una distancia dx (figura 3.10)

Figura 3.10 Par de fuerzas estáticamente equivalentes al momento torsor para el análisis de esfuerzos generados en el borde paralelo al eje x de una placa

Si se considera otro elemento diferencial contiguo al anterior, el valor resultante del momento torsor en este segmento es + / ; este momento puede ser remplazado estáticamente por un par de fuerzas iguales y de valor

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+

/

separadas una de

- 127 -

Cap3 – El método de elementos finitos aplicado a losas

la otra por una distancia dx, en la frontera entre ambos elementos diferenciales la fuerza neta resultante es paralela a la dirección z y de valor + / − .

Figura 3.11 Fuerza resultante vertical producida en el borde de la placa

Con el artificio anterior se ha sustituido el momento torsor por una fuerza transversal distribuida de valor / sobre el lado en análisis (figura 3.11). La fuerza lateral total se denomina fuerza cortante efectiva ( ) y es la suma de la fuerza equivalente al torso más el esfuerzo cortante , esta fuerza efectiva será nula si el lado es libre, es decir: ≡

+

=0

3.4.4. Análisis de conformidad del elemento La función de aproximación correspondiente al elemento MZC (ecuación 3.26) garantiza la continuidad del desplazamiento en sus bordes, pero no garantiza la continuidad entre elementos de las primeras derivadas parciales (

,

); para mostrar en forma clara lo

anteriormente dicho se considera el elemento mostrado en la figura 3.12.

Figura 3.12 Elemento rectangular en coordenadas x,y utilizado para el análisis de continuidad

Si se analiza el borde queda reducida a: =

= , la ecuación de desplazamiento en el borde 2-3 (ecuación 3.26) ( , )=

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+

+

+

- 128 -

Cap3 – El método de elementos finitos aplicado a losas

Como se observa en la ecuación anterior existen cuatro coeficientes que pueden ser determinados mediante los cuatro valores nodales conocidos

,

,

,

. Al estar

definidos totalmente los desplazamientos w en los bordes, el elemento satisfará la condición de continuidad inter-elemental de los desplazamientos. Por otro lado, si se analiza la continuidad de la derivada de w en función de x correspondiente al lado 2-3, cuando = , la ecuación (3.26) queda reducida en este borde a: = ´´ + ´´

+ ´´

+ ´´

Esta ecuación presenta cuatro coeficientes pero solo dos valores nodales conocidos (

), por lo tanto, se concluye que la continuidad de la primera derivada

entre

elementos contiguos no está asegurada; de manera similar se concluye que tampoco está asegurada la continuidad entre elementos de la derivada Para el caso de las derivadas cruzadas

.

también se presenta el problema de discontinuidad,

para observar ello se deriva la ecuación (3.26) en función de x y luego en función de y. = ´´ + 2 ´´

+ 3 ´´

Como se observa, en esta ecuación existen tres coeficiente y tan solo dos valores nodales conocidos

, por ello tampoco se asegura la continuidad entre elementos de la

derivada cruzada en el borde 2-3 y en general en todos los bordes. Lo anterior puede verse de una manera más clara del modo siguiente; si se consideran dos elementos contiguos que tienen como lado en común el borde 6-3, como se muestra en la figura 3.13.

Figura 3.13 Representación de

en elementos contiguos con lado en común 6-3

Si se considera que todos los desplazamientos y giros en el elemento A son nulos mientras que en el elemento B el giro en x (

), correspondiente al nodo 5, tiene un valor unitario, los

demás valores nodales son iguales a cero; el valor del giro en x correspondiente al lado 6-3 del

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- 129 -

Cap3 – El método de elementos finitos aplicado a losas

elemento A tiene un valor nulo (

= 0) debido a que la función w toma un valor

constante e igual a cero en todo el elemento incluyendo el borde 6-3; ahora se considera el lado 6-3 correspondiente al elemento B, en este elemento la función de desplazamiento en el borde 6-3 toma el valor de ( (

− 1)( − 1)/16.

− 1)( − 1)(1 + )/8 y el giro

toma el valor de

Para que exista continuidad inter-elemental de las primeras derivadas los valores obtenidos para el mismo lado correspondiente a los elementos adyacentes deben ser iguales, pero tal como se observa esto no sucede, por lo tanto, se concluye que no está asegurada la continuidad de las primeras derivadas ni de las derivadas cruzadas entre elementos; sin embargo, el elemento converge a la solución cuando se refina el tamaño de la malla, brindando resultados satisfactorios. El elemento MZC satisface la prueba de la parcela, lo cual asegura la convergencia al aumentar la discretización de la malla. Una gran desventaja de este elemento es que deja de satisfacer la prueba de la parcela cuando se utilizan formas de cuadriláteros arbitrarios. Para satisfacer la no conformidad del elemento muchos autores sugieren la introducción del término a cada nodo, por ejemplo, Bogner, Fox y Schmidt desarrollaron un elemento de 16 términos como producto de polinomios cúbicos completos (elemento BFS), este elemento si es continuo en las primeras derivadas pero presenta el mismo problema que el elemento MZC, ya que no converge a la solución cuando se toman cuadriláteros de formas arbitrarias. 3.5.

CÁLCULO DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES

Una vez calculados los desplazamientos globales de los nodos, el siguiente paso es encontrar las deformaciones en cada elemento, para lo cual se expresan los desplazamientos globales en coordenadas locales para cada elemento. La relación entre las deformaciones y el desplazamiento vertical está dada por la ecuación (3.4), siendo la deformación unitaria en x la siguiente: =−

Sustituyendo la función w por el producto de funciones de forma y valores nodales conocidos, se tiene. =−

Lo cual es desarrollado en forma extendida en la siguiente ecuación:

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[3.58]

- 130 -

Cap3 – El método de elementos finitos aplicado a losas

(6 − 6 ) 0

=−

(2 − 6 − 2 (−6 + 6 0 (−2 − 6 + 2 (−6 − 6 0 (−2 − 6 − 2 (6 + 6 0 (2 − 6 + 2

+6 )

)

+6 )

)

−6 )

)

−6 )

Para el cálculo de la deformación en y se sigue un procedimiento similar al caso anterior, con lo cual se obtiene: =−

=−

[3.59] (6 − 6 )

(−2 + 2 + 6 − 6 ) 0 =−

(6 + 6 ) (−2 − 2 + 6 + 6 )

0

(−6 − 6 ) (2 + 2 + 6 + 6 )

0

(−6 + 6 ) (2 − 2 + 6 − 6 )

0

La expresión para hallar las deformaciones cortantes, nodales se muestra a continuación. = −2

= −2

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, en función de los desplazamientos

[3.60]

- 131 -

Cap3 – El método de elementos finitos aplicado a losas

4−3

2

−3

2

(1 + 2 − 3 2 ) −1 − 2 + 3

−4 + 3

2

+3

2

2

(−1 − 2 + 3 2 ) −1 + 2 + 3

= −2

4−3

2

−3

2

2

(−1 + 2 + 3 2 ) 1−2 −3

2

1+2 −3

2

−4 + 3

2

+3

2

(1 − 2 − 3 2 )

Como se puede observar, las deformaciones varían dentro del elemento en función de las coordenadas naturales para cualquier plano paralelo al plano medio, pero también varían de manera lineal en función de z dentro del espesor de la placa; de ello se concluye que las deformaciones máximas se encuentran en los bordes superior e inferior de la placa, ⁄2 − /2, respectivamente. =

á

=

á á

=

[3.61]

Los esfuerzos dentro del elemento son calculados en función de las deformaciones, a partir de las ecuaciones (3.8). =

+

=

+

=

[3.62]

Igualmente que en el caso de las deformaciones, los valores máximos y mínimos de se encuentran en los bordes inferior y superior de la placa. á á

=−

=−

í í

=

=

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(

)

(

)

+

+

,

,

- 132 -

Cap3 – El método de elementos finitos aplicado a losas

á

=−

+

+

=0

+

=0

í

=

(

[3.63]

)

La determinación de los componentes de esfuerzos , no es posible realizarla a través del uso de la ley de Hooke, puesto que de acuerdo a la ecuación (3.8) estos no están relacionados con los desplazamiento; sin embargo, es posible utilizar La ecuación diferencial de equilibrio para un elemento tipo placa bajo un estado general de esfuerzos, la cual se muestra a continuación.

+

+

+

=0

[3.64]

Para el cálculo de los esfuerzos cortantes expresiones de la ecuación (3.64). =∫

=∫

/

+

/

=−

+

=−

se tendrá que integrar las primeras dos

(

)

(

)

−

+

−

[3.65] +

[3.66]

De las ecuaciones anteriores se observa que los esfuerzos varían de manera parabólica dentro del espesor de la placa; para el análisis de estos esfuerzos por el método de elementos finitos es necesario expresar las ecuaciones (3.65) y (3.66) en términos de valores nodales y funciones de forma. =−

=−

(

)

(

)

−

+

−

[3.67] +

[3.68]

El componente de esfuerzo es fácilmente determinado al reemplazar las ecuaciones (3.65) y (3.66) en la tercera expresión de la ecuación (3.64) =−

(

)

−

+

+2

+

[3.69]

La distribución de los esfuerzos normales, , dentro del espesor de la placa es descrita por una función cubica dependiente de z; si también se consideran espesores pequeños de placa, se puede decir que los esfuerzos son muy pequeños en comparación con los esfuerzos en el plano xy, tal como se menciona en las hipótesis planteadas por Kirchhoff.

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- 133 -

3.6.

Cap3 – El método de elementos finitos aplicado a losas

CÁLCULO DE MOMENTOS FLECTORES Y FUERZAS CORTANTES

Los momentos generados en la placa son calculados a través de las ecuaciones (3.11), (3.12) y (3.13), los cuales también pueden ser escritos en función de los esfuerzos. Para el caso de los momentos flectores , se tiene: = =

(

+

)

=

(

)

+

[3.70]

Sustituyendo la primera expresión de la ecuación (3.62) en la ecuación (3.70), se tiene =

(

)

+

[3.71]

(6 − 6 )

(6 − 6 )

0

(−2 + 2 + 6 − 6 ) 0

(2 − 6 − 2 + 6 ) =

(−6 + 6 )

(

0

(−2 − 6 + 2 + 6 ) (−6 − 6 )

)

0

(−2 − 6 − 2 − 6 )

(6 + 6 ) (−2 − 2 + 6 + 6 )

0

+

(−6 − 6 ) (2 + 2 + 6 + 6 )

0

(6 + 6 )

(−6 + 6 ) (2 − 2 + 6 − 6 )

0 (2 − 6 + 2 − 6 )

Para el caso de los momentos = =

(

0

se tiene:

)

+

=

(

)

+

[3.72]

La ecuación anterior en función de los desplazamientos nodales y de las funciones de forma es: =

(

)

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+

[3.73]

- 134 -

Cap3 – El método de elementos finitos aplicado a losas

(6 − 6 )

(6 − 6 ) (−2 + 2 + 6 − 6 )

0 (2 − 6 − 2 + 6 )

0

=

(

(6 + 6 ) (−2 − 2 + 6 + 6 )

0 0

(−6 + 6 ) (2 − 2 + 6 − 6 )

0

E igualmente, para el caso de los momentos los esfuerzos , resulta. = =

(

)

(1 − )

0 (−2 − 6 + 2 + 6 )

+

(−6 − 6 ) (2 + 2 + 6 + 6 )

)

(−6 + 6 ) (−6 − 6 )

0

(−2 − 6 − 2 − 6 ) (6 + 6 )

0 (2 − 6 + 2 − 6 )

la ecuación (3.13) expresada en función de

=

(

)

[3.74]

Y expresando la función anterior en términos de las funciones de forma y valores nodales se tiene: =

(

)

(

)

[3.75] 4−3

2

−3

2

(1 + 2 − 3 2 ) −1 − 2 + 3

−4 + 3

=

(

)

(

)

2

+3

2

2

(−1 − 2 + 3 2 ) −1 + 2 + 3

4−3

2

−3

2

2

(−1 + 2 + 3 2 ) 1−2 −3

2

1+2 −3

2

−4 + 3

2

+3

2

(1 − 2 − 3 2 )

Las fuerzas cortantes tanto en x e y se obtienen a partir de las ecuaciones (3.21) y (3.22). La ecuación para las fuerzas cortantes en términos de las funciones de forma y de los valores nodales se muestra a continuación.

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- 135 -

Cap3 – El método de elementos finitos aplicado a losas

=−

(

)

+

=−

(

)

+

[3.76]

(6 − 6 ) −6 0 (2 − 6 ) (−6 + 6 ) 0 (−6 + 6 ) 6 0 (−2 + 6 ) (−6 + 6 ) 0 =− ( + ) −6 (−6 − 6 ) (2 + 6 ) 0 (−6 − 6 ) 0 6 (6 + 6 ) (−2 − 6 ) 0 0 (−6 − 6 ) A través de la ecuación anterior también se puede obtener una expresión para los esfuerzos cortantes , para ello se sustituye la ecuación (3.76) en la ecuación (3.67). =

1−

[3.77]

Derivando la ecuación anterior en función de z se encuentra que el máximo valor del esfuerzo cortante se da cuando z=0 ,y su valor está dado por: á

=

[3.78]

Y para el caso de las fuerzas cortantes =−

(

)

+

se tiene: =−

(

)

+

[3.79]

−6 (6 − 6 ) 0 (6 − 6 ) (−2 +6 ) 0 6 (6 + 6 ) 0 (6 + 6 ) (2 + 6 ) 0 =− ( + ) −6 (−6 − 6 ) 0 (6 + 6 ) (−2 −6 ) 0 (−6 + 6 ) 6 0 (6 − 6 ) (2 − 6 ) 0 Como en el caso anterior, el esfuerzo cortante es expresado en función de la fuerza cortante . El esfuerzo cortante máximo para este caso se muestra a continuación.

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- 136 -

Cap3 – El método de elementos finitos aplicado a losas

= á

=

1−

[3.80] [3.81]

Referencias 1

2

3

C. M. Wang, J. N. Reddy and K. H. Lee, shear Deformable Beams and Plates Relationships with Classical Solutions, First edition, Elsevier Science Ltd, Oxford, 2000. Gallegos Cázares Sergio, Análisis de sólidos y estructural mediante el método de elementos finitos, Editorial LIMUSA S. A., Monterrey, pp. 329-365, 2000. Ugural A. C., Stresses in plates and Shells, Mc Graw Hill, New Jersey, pp. 1 -26 , 1981.

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CAPÍTULO

4 ANÁLISIS DE LOSAS DE CIMENTACIÓN UTILIZANDO EL MODELO DE WINKLER 4.1.

INTRODUCCIÓN

El modelo de Winkler presenta una idealización muy simple para calcular las reacciones del suelo como consecuencia de las cargas aplicadas a la cimentación. El modelo de Winkler idealiza al suelo como un conjunto de resortes linealmente elásticos, independientes y paralelos, parecida a una base liquida; la principal característica de este modelo es la relación lineal entre los desplazamientos y las presiones de contacto. =

[4.1]

En la ecuación anterior el factor de proporcionalidad, , recibe el nombre de modulo de reacción del subgrado o modulo de balasto, el cual no es solo propiedad del suelo sino también del tamaño, forma de la cimentación y de la distribución de cargas. La representación hecha por el modelo de Winkler no tiene en cuenta los esfuerzos cortantes generados en el suelo, es por ello que las cargas que afectan a un punto no se expanden a otros adyacentes, este es el principal inconveniente de este modelo de suelo lo cual conlleva a imprecisiones, y en consecuencia, a un error significativo en el cálculo de presiones en el

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- 138 -

Cap. 4 – Análisis de losas de cimentación utilizando el modelo de Winkler

suelo; otra desventaja del modelo de Winkler es que da un desplazamiento constante de la losa de cimentación para una carga uniformemente distribuida, ocasionando momentos flectores y fuerzas cortantes nulas en la losa, con lo cual se realizara un diseño deficiente; sin embargo, el modelo de Winkler ha sido utilizado para los diseños más comunes por ingenieros prácticos debido a su simplicidad. Existen problemas para los cuales los conceptos de Winkler proporcionan una excelente descripción del comportamiento de la cimentación; algunos ejemplos son los cascarones cilíndricos1, las vigas de cimentación2 que soportan paredes o placas, entre otros. Es sabido también que las propiedades de los suelos varían en diferentes regiones en contacto con la cimentación, por este motivo resulta más conveniente el análisis de cimentaciones utilizando este modelo variando las propiedades del suelo en diferentes zonas de la cimentación, conduciendo a una respuesta más satisfactoria. Numerosos intentos han sido desarrollados en los últimos años para mejorar el modelo de Winkler, implementando varias hipótesis de interacción entre los resortes. Algunas idealizaciones desarrolladas a partir del modelo de Winkler han tenido una gran aceptación por parte de los ingenieros de cimentaciones; tal es el caso del modelo propuesto por Filonenko-Borodich (1940), que introduce una membrana en la superficie de la cimentación uniendo los resortes; Pasternak (1954), cuyo modelo asume una interacción cortante entre los resortes, Hetényi (1946), Vlasov y Leont’ev (1960) entre otros. Cabe resaltar que los cambios realizados al modelo de Winkler implican un aumento en la dificultad de los cálculos. 4.2.

DESARROLLO DEL MODELO MATEMÁTICO BASADO EN LA TEORÍA DE WINKLER

Para el presente análisis se considera la placa mostrada en la figura 4.1, sobre la cual actúa una carga distribuida perpendicular al plano de la losa, que depende solo de las coordenadas x e y; esta placa se encuentra apoyada sobre un estrato de suelo idealizado como un conjunto de resortes biarticulados que tienen una constante por unidad cuadrada igual a (módulo de balasto).

Figura 4.1 Losa de cimentación apoyada sobre un suelo idealizado bajo las hipótesis de Winkler

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- 139 -

Cap. 4 – Análisis de losas de cimentación utilizando el modelo de Winkler

La losa está sometida a la carga distribuida ( , ), cargas externas provenientes de la superestructura, y ( , ), presión de contacto ejercida por el suelo. De acuerdo a la ecuación (3.19) (flexión de placas delgada), se obtiene: +2

Donde: =

(

+

= ( , )− ( )

[4.2]

)

= Espesor de la losa de cimentación = Módulo de elasticidad del material de la losa de cimentación = Módulo de Poisson del material de la losa de cimentación

Sustituyendo la ecuación (4.1) en la ecuación (4.2) se obtiene la ecuación diferencial correspondiente al modelo de Winkler. +2

+

+

= ( , )

[4.3]

La ecuación (4.3) presenta una gran dificultad matemática y por ello solo ha sido resuelta para algunos casos específicos3; estas soluciones obtenidas no son suficientes para la mayoría de casos vistos en la práctica, y por ello en los últimos tiempos se ha optado por la utilización de métodos numéricos, como el método de diferencias finitas y el método de elementos finitos, que permiten resolver la ecuación (4.3) para la mayoría de problemas prácticos. 4.3.

MATRIZ DE RIGIDEZ DEL ELEMENTO FINITO CORRESPONDIENTE AL MODELO DE WINKLER

4.3.1. Aplicación del método de elementos finitos a una fundación de Winkler El método de elementos finitos se basa en la división de un cuerpo en pequeños elementos que se interconectan a través de nodos, cada elemento representará entonces un subdominio que contiene valores nodales de desplazamientos (desplazamientos y/o giros en los grados de libertad); las incógnitas del problema planteado a través del MEF serán estos desplazamientos y/o giros ocurridos en los GDL. Una idealización aproximada para el análisis de losas de cimentación utilizando el modelo de Winkler es mostrada en la figura 4.2, donde se ha elegido elementos rectangulares de 4 nodos.

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- 140 -

Cap. 4 – Análisis de losas de cimentación utilizando el modelo de Winkler

Figura 4.2 Idealización de una losa de cimentación utilizando la hipótesis de Winkler para ser analizada a través del MEF

Para el presente análisis se considera el elemento finito rectangular de cuatro nodos con tres GDL por nodo (elementos MZC), dicho elemento se encuentra apoyado sobre cuatro resortes con constante elástica igual a (figura 4.3)

Figura 4.3 Elemento finito rectangular de 12 GDL para el análisis de losas de cimentación idealizando el suelo como un conjunto de resortes biarticulados

Los desplazamientos dentro de un elemento finito pueden ser aproximados a través del producto de las funciones de forma y los desplazamientos nodales.

Donde:

= =[

=[

[4.4]

]

]

Asimismo, las funciones de forma fueron descritas en el capítulo 3 del presente documento.

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- 141 -

Cap. 4 – Análisis de losas de cimentación utilizando el modelo de Winkler

4.3.2. Enfoque de la energía potencial Para el elemento mostrado en la figura 4.3, la energía total existente está dada por: = ∫

+ ∫

= ∫

+ ∫

−∑

−∫

[4.5]

Los dos primeros términos del lado derecho representan la energía de deformación unitaria de la losa de cimentación y la energía de deformación unitaria del suelo, respectivamente; por lo tanto, la energía de deformación unitaria del sistema está dada por: [4.6]

Expresando los términos anteriores a través de las funciones de forma y los desplazamientos nodales, se obtiene. = ∫ (

)

= ∫

(

+ ∫

+ ∫

)

[4.7]

En la ecuación anterior el término B está dado por:

Donde:

=

[4.8]

=−

Al sustituir la ecuación (4.8) en la ecuación (4.7), se obtiene: =

+

∫

=

∫

+∫

∫

[4.9]

Donde el término dentro del paréntesis representa la matriz de rigidez del elemento finito para el caso de losas de cimentación utilizando el modelo de Winkler. =∫ =

+∫

+

[4.10]

El primer sumando de la ecuación anterior fue visto en el capítulo 3 del presente documento, reproduciéndose a continuación: =

(

)

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+

+

+

[4.11]

- 142 -

Cap. 4 – Análisis de losas de cimentación utilizando el modelo de Winkler

Donde: 6

0 0

6

6 8

−6 0 8

=

0 0 0

=

1

− −2 0

0

=

21

=

(

)

3 8

−3 0 8

−6 0 6 6

0 0 0 0 0

3 3 0 6

3 4 0 6 8

−1 − 0 1

−6 0 4 6 0 8

−3 0 3 3 0 3 6

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

−3 −3 0 −6 −6 0 6

3 2 0 6 4 0 −6 8

− 0 0

0 0 0

2 0

0

−21 −3 3 21

−3 −8 0 3 8

1 0 0 −1 0 − 1

−3 0 −2 3 0 8

−3 0 2 3 0 4 6 0 8

0 0 0 0 0 0 − 0

3 0 −3 −3 0 −3 −6 0 −6 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0

−6 −6 0 −3 −3 0 3 −3 0 6

0 0 0 − 0 0

−2 0

21 3 −3 −21 −3 −3 21

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

−3 2 0 3 −2 0 −3 8

−1 0 1 0 0 −1 0 1

6 4 0 3 2 0 −3 4 0 −6 8

−3 0 4 3 0 2 6 0 4 −6 0 8

0 0 0 0 0 0

0 0 − 0

3 0 2 −3 0 −8 3 0 8

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 − 2 0

−21 −3 3 21 3 3 −21 3 −3 21

3 −2 0 −3 2 0 3 −8 0 −3 8

3 0 −8 −3 0 2 3 0 −2 −3 0 8

Las variables presentes en las ecuaciones anteriores fueron definidas en el capítulo anterior.

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- 143 -

Cap. 4 – Análisis de losas de cimentación utilizando el modelo de Winkler

El segundo sumando de la ecuación (4.10) representa el aporte de rigidez del suelo. En coordenadas naturales la matriz de rigidez del suelo es reescrita de la siguiente manera: =

∫

∫

[4.12]

Sustituyendo las funciones de forma en la ecuación anterior se obtiene:

=

∫

∫

(1 − )(1 − )(2 − − − ( − 1)( − 1)(1 − ( − 1)( − 1)(1 − (1 + )(1 − )(2 + − − ( − 1)( + 1)(1 − ( − 1)( − 1)(1 + (1 + )(1 + )(2 + + − ( − 1)( + 1)(1 + ( − 1)( + 1)(1 + (1 − )(1 + )(2 − + − ( − 1)( − 1)(1 + ( − 1)( + 1)(1 −

) )

) ) ) ) ) )

− − − −

) (1 − )(1 − )(2 − − − ( − 1)( − 1)(1 − ( − 1)( − 1)(1 − ) (1 + )(1 − )(2 + − − ( − 1)( + 1)(1 − ( − 1)( − 1)(1 + ) (1 + )(1 + )(2 + + − ( − 1)( + 1)(1 + ( − 1)( + 1)(1 + ) (1 − )(1 + )(2 − + − ( − 1)( − 1)(1 + ( − 1)( + 1)(1 −

) )

) ) ) ) ) )

−

)

−

)

−

)

−

)

[4.13]

Realizando las integrales anteriores se obtiene la matriz de rigidez del suelo, que deberá ser sumada a la matriz de rigidez de la placa para obtener la rigidez total de un elemento.

=

1727 3150 461 3150 461 − 3150 613 3150 199 3150 137 1575 197 3150 58 − 1575 58 1575 613 3150 137 − 1575 199 − 3150

461 3150 16 315 1 − 25 199 3150 8 315 2 75 58 1575 2 − 105 4 225 137 1575 4 − 105 2 − 75

461 3150 1 − 25 16 315 137 − 1575 2 − 75 4 − 105 58 − 1575 4 225 2 − 105 199 − 3150 2 75 8 315 −

613 3150 199 3150 137 − 1575 1727 3150 461 3150 461 3150 613 3150 137 − 1575 199 3150 197 3150 58 − 1575 58 − 1575

199 3150 8 315 2 − 75 461 3150 16 315 1 25 137 1575 4 − 105 2 75 58 1575 2 − 105 4 − 225

137 1575 2 75 4 − 105 461 3150 1 25 16 315 199 3150 2 − 75 8 315 58 1575 4 − 225 2 − 105

197 3150 58 1575 58 − 1575 613 3150 137 1575 199 3150 1727 3150 461 − 3150 461 3150 613 3150 199 − 3150 137 − 1575

58 1575 2 − 105 4 225 137 − 1575 4 − 105 2 − 75 461 − 3150 16 315 1 − 25 199 − 3150 8 315 2 75 −

58 1575 4 225 2 − 105 199 3150 2 75 8 315 461 3150 1 − 25 16 315 137 1575 2 − 75 4 − 105

613 3150 137 1575 199 − 3150 197 3150 58 1575 58 1575 613 3150 199 − 3150 137 1575 1727 3150 461 − 3150 461 − 3150

137 1575 4 − 105 2 75 58 − 1575 2 − 105 4 − 225 199 − 3150 8 315 2 − 75 461 − 3150 16 315 1 25 −

199 3150 2 − 75 8 315 58 − 1575 4 − 225 2 − 105 137 − 1575 2 75 4 − 105 461 − 3150 1 25 16 315 −

[4.14]

Los términos de fuerza son los mismos que los descritos en el capítulo 3 para el caso de losas. El procedimiento de ensamblaje de la matriz global de rigidez es el mismo que el utilizado en los elementos estructurales anteriormente tratados.

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- 144 -

4.4.

Cap. 4 – Análisis de losas de cimentación utilizando el modelo de Winkler

CÁLCULO DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES

Las deformaciones producidas en la losa de cimentación para cada elemento son calculadas a partir de las siguientes ecuaciones: (6 − 6 ) 0

=−

(2 − 6 − 2 (−6 + 6 0 (−2 − 6 + 2 (−6 − 6 0 (−2 − 6 − 2 (6 + 6 0 (2 − 6 + 2

+6 )

)

+6 )

)

[4.15]

−6 )

)

−6 )

(6 − 6 ) (−2 + 2 + 6 − 6 )

0

=−

(6 + 6 ) (−2 − 2 + 6 + 6 )

0

(−6 − 6 ) (2 + 2 + 6 + 6 )

[4.16]

0

(−6 + 6 ) (2 − 2 + 6 − 6 ) 4−3

0

2

−3

2

(1 + 2 − 3 2 ) −1 − 2 + 3

−4 + 3

= −2

2

+3

2

2

(−1 − 2 + 3 2 ) −1 + 2 + 3

4−3

2

−3

2

2

(−1 + 2 + 3 2 ) 1−2 −3

2

1+2 −3

2

−4 + 3

2

+3

2

(1 − 2 − 3 2 )

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[4.17]

- 145 -

Cap. 4 – Análisis de losas de cimentación utilizando el modelo de Winkler

Donde cada subíndice 1, 2, …, 12 representa el número de grado de libertad correspondiente al elemento en coordenadas locales. El desarrollo de las ecuaciones (4.15), (4.16) (4.17) fue expuesto en el capítulo anterior. Los esfuerzos dentro de cada elemento son calculados en función de las deformaciones a través de la ecuación (3.8). =

+

=

+

=

[4.18]

Las presiones ejercidas en el suelo son obtenidas a través de la ecuación (4.1) multiplicando los desplazamientos verticales en cada punto con el módulo de balasto; cabe resaltar que esta metodología no dice nada acerca de los esfuerzos producidos en el estrato de suelo, pero pueden calcularse a través de otras metodologías. 4.5.

CÁLCULO DE MOMENTOS FLECTORES Y FUERZAS CORTANTES EN LA LOSA DE CIMENTACIÓN

Los momentos producidos en la losa de cimentación son calculados a través de las ecuaciones siguientes: =

(

)

+

[4.19]

(6 − 6 )

(6 − 6 ) (−2 + 2 + 6 − 6 )

0

(2 − 6 − 2 + 6 ) =

(−6 + 6 )

(

0

(−2 − 6 + 2 + 6 ) (−6 − 6 )

)

0 (−2 − 6 − 2 − 6 ) (6 + 6 )

=

0

(

(2 − 6 + 2 − 6 ) )

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+

0

+

(6 + 6 ) (−2 − 2 + 6 + 6 )

0

(−6 − 6 ) (2 + 2 + 6 + 6 )

0

(−6 + 6 ) (2 − 2 + 6 − 6 )

0

[4.20]

- 146 -

Cap. 4 – Análisis de losas de cimentación utilizando el modelo de Winkler

(6 − 6 )

(6 − 6 ) (−2 + 2 + 6 − 6 )

0 (2 − 6 − 2 + 6 )

0

=

(

(6 + 6 ) (−2 − 2 + 6 + 6 )

0 0

=

0 (−2 − 6 + 2 + 6 )

+

(−6 − 6 ) (2 + 2 + 6 + 6 )

)

(−6 + 6 ) (−6 − 6 )

0

(−2 − 6 − 2 − 6 ) (6 + 6 )

(−6 + 6 ) (2 − 2 + 6 − 6 ) (

)

(

)

0 (2 − 6 + 2 − 6 )

0

4−3

2

−3

[4.21]

2

(1 + 2 − 3 2 ) −1 − 2 + 3

−4 + 3

=

(

)

(

)

2

+3

2

2

(−1 − 2 + 3 2 ) −1 + 2 + 3

4−3

2

−3

2

2

(−1 + 2 + 3 2 ) 1−2 −3

2

1+2 −3

2

−4 + 3

2

+3

2

(1 − 2 − 3 2 )

Mientras que las fuerzas cortantes en la losa son obtenidas con las siguientes ecuaciones. =−

(

)

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+

=−

(

)

+

[4.22]

- 147 -

Cap. 4 – Análisis de losas de cimentación utilizando el modelo de Winkler

=−

(

)

=−

(

)

=−

(

)

(6 − 6 ) 0 (−6 + 6 ) (−6 + 6 ) 0 (−6 + 6 ) (−6 − 6 ) 0 (−6 − 6 ) (6 + 6 ) 0 (−6 − 6 )

+

+

=−

(6 − 6 ) (6 − 6 ) 0 (6 + 6 ) (6 + 6 ) 0 (−6 − 6 ) (6 + 6 ) 0 (−6 + 6 ) (6 − 6 ) 0

(

+

)

−6 (2 − 6 ) 0 6 (−2 + 6 ) 0 −6 (2 + 6 ) 0 6 (−2 − 6 ) 0 +

[4.23]

−6 0 (−2 + 6 ) 6 0 (2 + 6 ) −6 0 (−2 − 6 ) 6 0 (2 − 6 )

Referencias 1

2

3

Edmund S. Melerski, Design Analysis of Beams, Circular Plates and Cylindrical Tanks on Elastic Foundations, Second edition, Taylor & Francis Group, London, 2000. M. Hetényi, Beams on Elastic Foundations, University of Michigan, 1946. S. Timoshenko, S Woinowsky-Krieger, Theory of Plates and Shells, Second edition, McGraw Hill, New York, pp. 259 – 281, 1959.

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CAPÍTULO

5 APLICACIÓN DEL MÉTODO VARIACIONAL A LA TEORÍA DE FUNDACIONES ELÁSTICAS 5.1.

INTRODUCCIÓN

Matemáticamente se habla de un problema extremo cuando se desea calcular el mayor o el menor valor posible de una cierta cantidad; por ejemplo, se podría querer encontrar el mayor pico de una montaña o el punto más bajo de un valle o la ruta más corta entre dos puntos o el mayor volumen para la sección transversal de una pieza de metal o la menor perdida en un problema de iluminación o calor, entre otros; para la solución de tales problemas una rama especial de la matemática, llamada el “calculo variacional”, ha sido desarrollada. En muchas de las ecuaciones planteadas en el cálculo variacional, a través de sus principios, la integración en forma exacta solo es posible en muy restringidos casos y por ello se hace necesaria la implementación de métodos matemáticos aproximados (métodos variacionales). Para el caso de los problemas de mecánica1, el cálculo variacional es utilizado para dar solución a problemas complejos a través de sus principios2, tales como: el principio de energía potencial, el principio de trabajo virtual, el principio de Hamilton, el principio de D’Alembert entre otros.

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- 149 -

Cap5 – Aplicación del método variacional a la teoría de fundaciones elásticas

En el presente capitulo se planteará el problema de fundaciones elásticas, luego se aplicará el principio de trabajos virtuales para obtener las ecuaciones correspondientes a este problema; para la resolución de las ecuaciones será necesario utilizar el método variacional general, obteniéndose una expresión simple que será aplicada para encontrar los desplazamientos verticales en una fundación elástica, y con ello hallar los esfuerzos producidos en el suelo por la acción de diferentes tipos de cargas. 5.2.

DESCRIPCIÓN DE LOS MÉTODOS VARIACIONALES

Antes de describir los métodos variacionales, utilizados para resolver los problemas planteados por el cálculo variacional, será necesario dar algunos conceptos relacionados a este tipo de cálculo. 5.2.1. Cálculo variacional3 El problema matemático de calcular los valores máximos o mínimos de una magnitud variable (funcional) ,cuyos valores se determinan mediante la elección de una o varias funciones, es dado como una rama especial del cálculo, llamado “Calculo variacional”; está teoría matemática muestra que el resultado final puede ser establecido sin tomar en cuenta la cantidad infinita de posibles rutas. Se puede restringir un experimento matemático a rutas cercanas a la ruta exacta. Una ruta tentativa, la cual difiere de la ruta exacta en un grado infinitesimal, es llamada variación de la ruta exacta y el cálculo variacional investiga el cambio en el valor de una funcional causada por tal variación infinitesimal de la ruta. 5.2.2. Métodos variacionales directos La integración de las ecuaciones diferenciales obtenidas utilizando el enfoque variacional han sido resueltas en forma finita solo para un pequeño número de casos, es por ello que surge la necesidad de obtener métodos de solución para estos problemas. La idea fundamental de los llamados métodos variacionales directos consiste en que el problema variacional se considera como límite para un cierto problema sobre el extremo de una función de un número finito de variables. Este último problema se resuelve por los métodos comunes y luego se obtiene, mediante el paso al límite, la solución del problema variacional correspondiente. La funcional [ ( )] se puede considerar como una función de infinitos números de variables, esta afirmación se hace completamente evidente si se supone que las funciones admisibles pueden ser desarrolladas en series de potencias: ( )=

+

+

( )=

+∑

(

O en series de Fourier:

+ cos

O en general, en alguna serie del tipo: Facultad de Ingeniería Civil - UNSA

+ +

+ sen

)

- 150 -

Cap5 – Aplicación del método variacional a la teoría de fundaciones elásticas

( )=∑

( )

Donde ( ) son funciones asumidas y, por lo tanto, conocidas. La función y(x) se puede representar en forma de la serie ( ) = ∑ ( ). Notamos que para definir completamente y(x) es suficiente dar los valores de todos los coeficientes , y en consecuencia, el valor de la funcional [ ( )] se determina en este caso fijando la sucesión infinita de números , , , … , , …, es decir, la funcional es una función de un conjunto infinito de variables: [ ( )] = (

,

,

,…,

,…)

En consecuencia, la diferencia entre los problemas variacionales y los problemas sobre el extremo de una función de un número finito de variables consiste en que en el caso variacional se tiene que investigar el extremo de una función de un conjunto infinito de variables; por esta razón, la idea fundamental de los métodos directos consiste en que el problema variacional se considera como límite para un problema sobre el extremo de una función de un número finito de variables. L. Euler, en el primer periodo de sus investigaciones en el campo del análisis variacional, aplicaba un método llamado ahora método de diferencias finitas; este método en lo sucesivo no se aplicaba en lo absoluto durante mucho tiempo, y solo en los últimos cuatro decenios renació con éxito en los trabajos de los matemáticos soviéticos. En la actualidad, otro método directo conocido como el método de Ritz4 tiene una gran aplicación en la resolución de distintos problemas variacionales. Un tercer método directo propuesto por L. V. Kantorovich, el cual es aplicable a las funciones que dependen de funciones de varias variables independientes, encuentra cada vez mayor aplicación en los mismos campos en los cuales se aplica el método de Ritz. A parte de los métodos antes descritos en la actualidad se han desarrollado otros métodos directos.

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- 151 -

5.3.

Cap5 – Aplicación del método variacional a la teoría de fundaciones elásticas

FUNDAMENTOS DEL MÉTODO VARIACIONAL USADO EN LA REDUCCIÓN DE PROBLEMAS BIDIMENSIONALES A PROBLEMAS UNIDIMENSIONALES EN LA TEORÍA DE LA ELASTICIDAD5

El método variacional general permite simplificar los problemas complejos planteados en la teoría de la elasticidad; para tener una idea clara de este método se considera el problema bidimensional de una placa plana de espesor constante igual a sobre la cual actúan cargas paralelas a su plano, debido a que el espesor es pequeño en comparación con las demás dimensiones se puede considerar un estado de esfuerzo plano ( = = = 0), por lo tanto, solo se considerarán los esfuerzos generados en el plano de la placa , , (Figura 5.1).

Figura 5.1 Placa bidimensional de espesor δ sometida a cargas externas (fuente: V. Z. Vlasov and N. N. Leont’ev, Beams, plates and shells on elastic foundations, Israel Program for Scientific Translations,1966, figure 1.a, pp. 1)

Los desplazamientos dentro de la placa son solo funciones de las variables x e y ( ( , ) ( , )) al igual que los esfuerzos ( , ) y las deformaciones ( , ). Para el presente problema se adoptan como incógnitas las funciones de desplazamientos ( , ) ( , ), las cuales son determinadas de acuerdo a las condiciones de equilibrio y compatibilidad del problema, para ello se considera que las deformaciones en el plano de la placa se relacionan con los desplazamientos mediante las siguientes ecuaciones: =

=

=

+

[5.1]

Considerándose como desplazamiento positivo cuando su orientación es la misma que la dirección positiva del eje correspondiente. Mediante la ley de Hooke se obtienen las relaciones entre los esfuerzos y deformaciones correspondientes al problema de esfuerzo plano: =

+

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- 152 -

Cap5 – Aplicación del método variacional a la teoría de fundaciones elásticas

=

=

=

+

(

[5.2]

)

Donde E es módulo de elasticidad y es el módulo de Poisson del material de la placa. Al sustituir la ecuación (5.1) en la ecuación (5.2) se obtienen las relaciones entre los esfuerzos y los desplazamientos. =

=

=

+ =

+

(

)

+

[5.3]

Para obtener una solución aproximada y simple, las funciones de desplazamientos, ( , ) ( , ), son expresadas mediante series finitas. ( , )=∑

( , )=∑

( ) ( ) ( )

( )

( = 1, 2, 3, …

( = 1, 2, 3, …

)

)

[5.4]

( ) y ( ) son asumidas, y en consecuencia, conocidas; Donde las funciones generalmente, estas funciones son adimensionales, mientras que las funciones ( ) y ( ) tendrán unidades de longitud y serán las incógnitas del problema; las funciones ( ) y ( ) son comúnmente conocidas como desplazamientos generalizados, esto debido a que determinan de manera generalizada los desplazamientos en una sección dada, Por ejemplo, en ( ) define en una forma generalizada los una sección x=constate la función desplazamientos longitudinales de la sección transversal en análisis en función de x, y la distribución transversal de este desplazamiento está dada por la función ( ); igualmente, para los desplazamientos transversales cada una de las n funciones ( ) determinan la ( , ) para la totalidad de la sección magnitud de los desplazamientos transversales x=constante. Las distribuciones de los desplazamientos longitudinales y transversales sobre la sección x=constante son dadas por las funciones ( ) y ( ), respectivamente, las cuales son llamadas funciones de distribución transversal de desplazamientos. Las funciones ( ) y ( ) aproximan el estado de deformación de la placa en la dirección transversal, y pueden ser elegidas de diferentes formas; para aclarar mejor este punto se considera la flexión en una viga sometida solo a cargas perpendiculares al eje longitudinal (figura 5.2).

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- 153 -

Cap5 – Aplicación del método variacional a la teoría de fundaciones elásticas

Figura 5.2 Porción de viga sometida a cargas perpendiculares al eje longitudinal x

Asumiendo que las secciones permanecen planas durante la flexión y que no existen deformaciones en la dirección y, tal como se ve en la figura 5.3 (Hipótesis de Bernoulli), los desplazamientos desconocidos ( , ) y ( , ) pueden ser representados como: ( , )=

Donde:

( , )=

( )

( )

( )=

( )=

( )=

( )

( )1

[5.5] ( )=1

En la ecuación anterior la coordenada y es medida desde el eje central de la sección; las funciones restantes ( ), ( ) (i = 2 … m y k = 2 … n) son consideradas nulas.

De acuerdo a la ecuación (5.5) el desplazamiento generalizado ( ) representa el ángulo de inclinación de la sección y el desplazamiento generalizado ( ) representa la deflexión del plano medio de la placa (figura 5.3).

Figura 5.3 Desplazamientos generalizados en una porción de viga y su relación con los desplazamientos u(x,y) y v(x,y).

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- 154 -

Cap5 – Aplicación del método variacional a la teoría de fundaciones elásticas

Para corregir la hipótesis de considerar una deformación vertical nula es posible introducir un segundo término a la ecuación (5.5), el cual es conocido de la teoría de la deformación de materiales para la flexión de una viga sometida a una carga anti simétrica con respecto al eje x. (figura 5.4).

Figura 5.4 Viga sometida a cargas anti-simétricas

( , )=

( , )=

( )

+

( )1+

( )

( )

[5.6]

Para este caso, las funciones de distribución transversal de desplazamientos son dadas de la siguiente manera: ( )=

( )=1

( )y

( )

( )=

( )=

Los primeros términos del lado derecho de la ecuación (5.6) representan los desplazamientos cuando se asume que las secciones permanecen planas; los segundos términos son introducidos para corregir las imprecisiones debido a esta hipótesis, considerando las deformaciones transversales no nulas.

Figura 5.5 Funciones de distribución transversal de desplazamientos para el caso de una viga con cargas antisimétricas

Un procedimiento diferente puede ser adoptado para encontrar una mayor precisión en la solución del problema de una viga, para ello se considera que la viga es dividida en franjas horizontales, cada una de las cuales permanece plana. Como ejemplo, en la figura 5.6 se presenta una placa con el borde superior libre y el borde inferior restringido horizontal y

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- 155 -

Cap5 – Aplicación del método variacional a la teoría de fundaciones elásticas

verticalmente; esta placa es dividida en tres partes a lo largo de su altura, se asume también que las secciones de cada franja permanecen planas luego de la flexión y que las deformaciones transversales

=

son constantes (sobre cada sección del estrato). Para este

ejemplo la ecuación (5.4) es reescrita de la siguiente manera: ( , )=

( , )=

( )

( )

( )+

( )+

( )

( )

( )+

( )+

( )

( )

( )

( )

[5.7]

Figura 5.6 Placa dividida en franjas horizontales, apoyada y fijada a un estrato indeformable con sus correspondientes funciones de distribución transversal (fuente: V. Z. Vlasov and N. N. Leont’ev, Beams, plates and shells on elastic foundations, Israel Program for Scientific Translations, 1966, figure 3, pp. 4)

Las funciones ( ), ( ), ( ) , ( ), ( ) y ( ) son representadas en la figura 5.6. Es visto que el desplazamiento generalizado ( ) determina el desplazamiento horizontal sobre la superficie de la placa y el desplazamiento generalizado ( ) es igual a la deflexión del borde superior de la placa; los restantes desplazamientos generalizados determinan los desplazamientos en puntos interiores de la placa a lo largo de las líneas = e = ; otra observación a tomar en cuenta, es que las funciones de distribución transversal satisfacen las ecuaciones de continuidad y las condiciones de borde para = 0 e = . También como es lógico se obtendrá una solución exacta del problema bidimensional cuando → ∞ y → ∞. Como se puede ver en el ejemplo anterior, cada estrato considerado podría tener diferentes parámetros de deformación ( y ), diferentes espesores ( ) y distintas funciones de distribución transversal.

La representación de los desplazamientos desconocidos por medio de series finitas es equivalente a reducir el problema de una placa a un sistema que tiene un número finito de grados de libertad en la dirección transversal y un número infinito de grados de libertad en la dirección longitudinal; tales sistemas pueden ser llamados discretos-continuos, en contraste con los modelos bidimensionales convencionales de placas delgadas, cuyo comportamiento es descrito por ecuaciones diferenciales parciales donde las placas son consideradas como cuerpos deformables bidimensionales que poseen un número infinito de grados de libertad en las dos direcciones (x e y). Una gran ventaja de este modelo es que al asumir las funciones de Facultad de Ingeniería Civil - UNSA

- 156 -

Cap5 – Aplicación del método variacional a la teoría de fundaciones elásticas

distribución transversal ( ( ), ( )) el problema bidimensional de la teoría de la elasticidad ha sido reducido a un problema unidimensional, dependiente solo de la variable longitudinal x, puesto que los sufijos determinan m funciones ( ) y n funciones ( ) de la variable longitudinal x para describir los desplazamientos longitudinales y transversales en ( , ), respectivamente. toda la placa, ( , )

( ) y ( ) son El problema puede ser considerado resuelto cuando Las funciones calculadas, dichas funciones pueden ser obtenidas de las condiciones de equilibrio para una franja elemental de longitud dx=1 delimitada por la sección x=constante y x+dx=constante (figura 5.7); de acuerdo con el principio de desplazamiento virtual de Lagrange, las condiciones de equilibrio son obtenidas al igualar a cero el trabajo total de todas las fuerzas internas y externas que actúan sobre los desplazamientos virtuales de esta franja.

Figura 5.7 Elemento de longitud dx=1 extraído del cuerpo mostrado en la figura 5.1 y sometido a esfuerzos internos y externos. (fuente: V. Z. Vlasov and N. N. Leont’ev, Beams, plates and shells on elastic foundations, Israel Program for Scientific Translations,1966, figure 1.b, pp. 1)

Tomando en cuenta la ecuación (5.4), los desplazamientos longitudinales virtuales de la franja elemental son: = ( ) para = 1, donde j puede tener m valores diferentes; a su vez, los desplazamientos transversales virtuales de la franja son dados en la función ̅ = ( ) para = 1, donde el subíndice h representa alguno de los n desplazamientos virtuales. En consecuencia la franja vertical considerada posee (m+n) grados de libertad en el plano de la placa, m correspondientes a los desplazamientos longitudinales (paralelos al eje x), y n desplazamientos transversales (paralelos al eje y). Según el principio de trabajo virtual6, el trabajo realizado por las fuerzas externas y fuerzas internas debe ser nulo sobre cada uno de los m+n desplazamientos virtuales dentro de la franja en análisis, donde las fuerzas internas vienen dadas por los esfuerzos normales( , + ), los esfuerzos cortantes (

,

+

), ambos producto de la interacción de la

franja en análisis con el resto de la placa y las cargas externas aplicadas sobre el elemento en dirección longitudinal y vertical ( , ) y ( , ), respectivamente; las fuerzas internas son un producto de los esfuerzos generados en el interior del segmento en análisis, y son los esfuerzos Facultad de Ingeniería Civil - UNSA

- 157 -

Cap5 – Aplicación del método variacional a la teoría de fundaciones elásticas

normales y los esfuerzos cortantes en cada dirección se obtiene: +

∫

−∫

+

∫

. Realizando la sumatoria de los trabajos realizados +∫ ( , )

−∫

−∫

+∫ ( , )

−∫

En las expresiones anteriores las derivadas

=0

=0

solo afectan a las funciones de distribución

( ) y ( ); por otro lado, las funciones de transversal de desplazamientos, desplazamientos generalizados, ( ) y ( ), toman un valor unitario, como se dijo líneas atrás, por lo tanto, dichas derivadas adquieren el valor de

´ ( )=

y ´ ( )=

,

respectivamente; tomando en cuenta estas aclaraciones las expresiones anteriores se reducen a: −∫

∫

( = 1, 2, 3 …

−∫

∫ Donde externas

=

)

( = 1, 2, 3 … )

´

+∫ ( , )

´

+∫ ( , )

=0 =0

[5.8]

[5.9]

. En la ecuación (5.8) el primer término representa el trabajo de las fuerzas y el segundo término indica el trabajo de las fuerzas cortantes internas

; mientras que en la ecuación (5.9) el primer término representa el trabajo de las fuerzas externas

y el segundo término indica el trabajo de las fuerzas normales internas

;

los últimos términos en las ecuaciones (5.8) y (5.9) corresponden al trabajo virtual realizado por las cargas exteriores aplicadas sobre la placa. Sustituyendo las ecuaciones (5.1) y (5.4) en la ecuación (5.3) se obtiene: =

=

=

(∑

(∑ =

´ (

)

+ ∑

´ + ∑

(∑

´

´ +∑

´ )

)

´

)

[5.10]

Sustituyendo el conjunto de ecuaciones (5.10) en las ecuaciones (5.8) y (5.9) se obtiene un ( ), este sistema se sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias en función de ( ) compone de m ecuaciones correspondientes a los m grados de libertad de la franja en dirección longitudinal y n ecuaciones correspondientes a los grados de libertad transversales.

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- 158 -

∑

Cap5 – Aplicación del método variacional a la teoría de fundaciones elásticas

´´ −

= 1, 2, 3, … ,

−∑

∑

−

+∑ ´ +

= 1, 2, 3, … ,

− ∑

´ +

´´ − ∑

=0 +

[5.11]

=0

[5.12]

Donde las funciones ( ), ( ) (i, j = 1, 2, 3, …, m) y ( ), ( ) (k, h = 1, 2, 3, …, n) han sido elegidas, y sus derivadas, por lo tanto, son conocidas. Los coeficientes de las ecuaciones (5.11) y (5.12) son obtenidos de las siguientes relaciones: = =∫ = =∫ ´ =∫ ´ =∫ ´

= = =∫ =∫

´

De las ecuaciones (5.11) y (5.12) también se observa que: =∫ ( , )

=∫ ( , )

=∫ =∫ ´ ´ ´

´

[5.13]

[5.14]

Donde las cargas ( , ) y ( , ) son consideradas positivas cuando actúan en la dirección positiva de los ejes coordenados correspondientes. En las ecuaciones (5.14) notamos que solo se han incluido las cargas distribuidas sobre ambas dimensiones de la placa, pero también pueden actuar cargas distribuidas en los bordes longitudinales de la placa, y por lo tanto, para un caso general estas deben ser incluidas. Si las fuerzas cortantes y normales ( , 0) y ( , 0) por unidad de longitud actúan en el borde superior de la placa, además de las cargas ( , ) y ( , ), la ecuación (5.14) se reescribe de la siguiente manera. = ( )

= ( )

Condiciones de borde

(0) + ∫ ( , )

(0) + ∫ ( , )

( )

( )

[5.15]

Las ecuaciones (5.11) y (5.12) representan en conjunto un sistema de ecuaciones de segundo orden, cuya solución contendrá un total de 2(m+n) constantes de integración, estas constantes tendrán que ser determinadas a través de las condiciones de contorno del problema en análisis, por lo tanto, el número de las constantes de integración deberá de ser iguales a las condiciones geométricas independientes analizadas en ciertas secciones donde los valores tales como desplazamientos o esfuerzos sean conocidos inicialmente para determinar completamente las funciones .

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- 159 -

Cap5 – Aplicación del método variacional a la teoría de fundaciones elásticas

En una sección transversal x=constante existirán m desplazamientos longitudinales y n desplazamientos transversales, obteniéndose un total de m+n desplazamientos correspondientes a los grados de libertad considerados en la sección. Si se analiza, por ejemplo, los desplazamientos en la sección inicial y final. (x=l y x=0) se obtendrán 2(m+n) condiciones conocidas, las cuales son iguales al número de constantes de integración en las ecuaciones (5.11) y (5.12). En forma general, las constantes de integración son determinadas a través de los desplazamientos o esfuerzos que son conocidos en ciertas secciones de la placa o estrato en análisis. Cuando las funciones ( ) y ( ) han sido seleccionadas, los esfuerzos y en la sección x=constante pueden ser expresados a través de m+n magnitudes independientes generalizadas. El trabajo realizado por las fuerzas normales y fuerzas cortantes, y , sobre alguno de los m+n desplazamientos virtuales de los grados de libertad considerados es: ( )=∫

( = 1, 2, 3, … ,

( )=∫

( = 1, 2, 3, … ,

)

)

[5.16]

Donde = . Las integrales expresadas en la ecuación (5.16) son evaluadas en la totalidad de la sección transversal, y representan las fuerzas generalizadas longitudinales y transversales (cortantes) que actúan sobre la sección x=constante de la placa. La ecuación (5.16) puede ser expresada en términos de las funciones generalizadas ( ) y ( ) al sustituir la ecuación (5.10) en (5.16). ( )=∫

( )=∫

(∑

(

)

(∑

´

+ ∑

´ +∑

´

´ )

)

[5.17]

Y sustituyendo el conjunto de ecuaciones (5.13) en la ecuación (5.17), se obtiene: ( )=

∑

( , = 1, 2, 3, … , ( )=

( ,

(

)

(∑

)

= 1, 2, 3, … , )

´ + ∑ + ∑

´ )

[5.18]

Para imponer las 2(m+n) condiciones de borde será necesario utilizar la ecuación (5.18) sobre las secciones x=0 y x=l. Si también, se considera que en el extremo de la placa existen fuerzas distribuidas que solo varían en la dirección vertical (eje y), mientras que en la dirección longitudinal permanecen constantes, tal como se muestra en la figura (5.8).

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- 160 -

Cap5 – Aplicación del método variacional a la teoría de fundaciones elásticas

Figura 5.8 Equilibrio de fuerzas en una franja elemental situada en la coordenada = (fuente: V. Z. Vlasov and N. N. Leont’ev, Beams, plates and shells on elastic foundations, Israel Program for Scientific Translations, 1966, figure 4, pp. 8)

Al tomar una franja elemental igual a dx, se nota que sobre ésta actúan fuerzas internas longitudinales y transversales, y , y cargas externas distribuidas. A través del principio de trabajo virtual se obtienen las siguientes condiciones de equilibrio. ∫( ∫

−

−

)

=0

=0

( = 1, 2, 3, … ,

)

( = 1, 2, 3, … , )

[5.19]

Al sustituir la ecuación (5.16) en la ecuación (5.19) se obtiene: ( )=∫

( )=∫

[5.20]

Por lo tanto, se ha obtenido la relación entre las fuerzas generalizadas, dadas en la ecuación (5.18), y las cargas externas aplicadas en la sección = . 5.4.

MODELOS DE CÁLCULO PARA LAS DEFORMACIONES BIDIMENSIONALES DE FUNDACIONES ELÁSTICAS

El problema de un estrato de fundación bidimensional puede ser tratado como un problema de deformación plana; este problema es muy común en la ingeniería de cimentaciones, tal es el caso de los cimientos corridos, carreteras, entre otros. Para tratar este problema se considera un estrato elástico de altura H, sobre el cual actúan cargas perpendiculares al eje x que dependen solo de esta coordenada (figura 5.9).

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- 161 -

Cap5 – Aplicación del método variacional a la teoría de fundaciones elásticas

Figura 5.9 Estrato de suelo sometido a cargas distribuidas actuantes en la superficie

Al tratarse de un problema de deformación plana, tanto los esfuerzos ( , , ), las deformaciones ( , , ) y los desplazamientos ( , ) son funciones solo de las variables x e y; en este problema las deformaciones , , toman un valor nulo y las relaciones entre los esfuerzos y las deformaciones dadas por la ley de Hooke quedan reducidas a: =(

)(

)

=(

)(

)

)(

)

=(

(1 − −

)

+

+ (1 −

)

[5.20]

Para obtener expresiones similar a las propuestas en la ecuación (5.2) se definen las siguientes características: =

=

[5.21]

Sustituyendo las ecuaciones (5.21) en el conjunto de ecuaciones (5.20) se obtienen relaciones similares a las dadas en (5.2). =

=

=

+ =

+

(

[5.22]

)

También, los desplazamientos longitudinales y transversales son aproximados por las funciones ( , ) = ( ) ( ) y ( , ) = ( ) ( ), respectivamente; si se reemplazan estas ecuaciones en las relaciones

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=

,

=

y

=

+

, se obtiene:

- 162 -

Cap5 – Aplicación del método variacional a la teoría de fundaciones elásticas

= ´( ) ( ) =

=

( ) ´ ( )

( ) ´ ( )+ ´ ( )

( )

[5.23]

Sustituyendo estas últimas expresiones en la ecuación (5.22) se obtienen las ecuaciones de desplazamientos en términos de las funciones generalizadas ( , ) y de las funciones de distribución transversal de desplazamientos ( , ). =

=

=

(∑

(∑

=

´

(

)

+

´ +

(∑

∑

∑

´

´ )

´ +∑

)

´

)

[5.24]

Sustituyendo el conjunto de ecuaciones (5.24) en las ecuaciones (5.8) y (5.9) (principio de trabajo virtual), se obtiene: ∑

∑

´´ −

= 1, 2, 3, … ,

−∑

−

+∑ ´ +

= 1, 2, 3, … ,

− ∑

´ + ´´ − ∑

=0 +

[5.25] =0

[5.26]

Donde los coeficientes , , , , , , son obtenidos a través de las ecuaciones (5.13) y los términos son dados por la ecuación (5.15) y representan el trabajo realizado por las cargas distribuidas ( , ) y ( , ) sobre los desplazamientos , en las direcciones correspondientes. En la mayoría de cimentaciones, las fuerzas ( , ) ( , ) son dadas generalmente por el peso propio del estrato de suelo y puede ser despreciadas por ser pequeñas en comparación con las demás cargas actuantes; tomando en cuenta esta última simplificación, los valores de quedan reducidos a: = ( )

= ( )

(0)

(0)

[5.27]

Donde ( ) y ( ) son las cargas aplicadas en la superficie del estrato de suelo ( = 0) en la dirección x e y, respectivamente. En las ecuaciones (5.25) y (5.26) notamos que las únicas funciones no conocidas son y las cuales pueden ser obtenidas resolviendo estas ecuaciones. Una vez encontradas las funciones , los desplazamientos quedan determinados a partir de la ecuación (5.4), y por lo tanto, quedará resuelto el problema.

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- 163 -

Cap5 – Aplicación del método variacional a la teoría de fundaciones elásticas

Es de notar que las ecuaciones (5.25) y (5.26) definen las deformaciones del modelo plano para cimentaciones sobre medios elásticos, pero esta solución no deja de ser aproximada debido al número limitado de términos usados en la ecuación (5.4), se concluye por ello, que esta solución se aproxima a la solución exacta brindada por la teoría de la elasticidad cuando se emplea un mayor número de términos en la ecuación (5.4), pero el incrementar más términos dentro de esta ecuación no es una solución muy práctica, debido a que también se incrementa el orden de las ecuaciones diferenciales. Una forma más práctica de incrementar la precisión es seleccionando de manera más rigurosa las funciones y , para lo cual es preciso basarse en datos experimentales o en hipótesis más rigurosas de análisis, obteniéndose así una aproximación adecuada con un mínimo numero de términos en las ecuaciones (5.25) y (5.26). Una gran ventaja que presenta este método es la forma generalizada con la cual trata el problema de fundaciones elásticas, ya que diferentes modelos se obtienen a partir de éste al elegir diversas funciones y . Una forma muy simple de analizar una cimentación mediante el modelo de Vlasov es suponiendo que los desplazamientos horizontales son nulos. ( , )=0

( , )=∑

( )

( )

[5.28]

Utilizando esta suposición, la ecuación (5.25) adquiere un valor nulo y solo se considerará la ecuación (5.26), la cual queda reducida a:

Los coeficientes

∑

y

=∫

=∫ ´

´´ − ∑

están dados por:

´

+

=0

[5.29]

[5.30]

En este modelo el suelo aledaño a la región cargada también ofrece resistencia a la carga P, en consecuencia, sufrirá deformación vertical (figura 5.10); en forma esquemática este modelo es representado por un conjunto infinito de resortes que interactúan entre ellos como resultado de las fuerzas de fricción.

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- 164 -

Cap5 – Aplicación del método variacional a la teoría de fundaciones elásticas

Figura 5.10 Distribución de los desplazamientos verticales en un suelo sometido a una carga puntual (fuente: V. Z. Vlasov and N. N. Leont’ev, Beams, plates and shells on elastic foundations, Israel Program for Scientific Translations, 1966, figure 6.a, pp. 11)

De la ecuación (5.26) se pueden obtener expresiones simples asumiendo algunas hipótesis adicionales; como ejemplo, se puede asumir que el suelo es un estrato delgado isótropo y linealmente elástico que está asentado en una base indeformable; para este caso la función de desplazamiento vertical puede asumirse como: ( , )=

( )

( )

[5.31]

Donde se asume una variación lineal para la función ( )=

( )

[5.32]

La función representa la distribución de los asentamientos en la superficie del suelo. Sustituyendo las ecuaciones (5.32) y (5.31) en la ecuación (5.29) se tiene: ´´ −

+

=0

[5.33]

El modelo descrito es conocido como modelo de dos parámetros o simplemente como modelo de capa simple, cuyos coeficientes están determinados por: =∫

=∫

´

=

=

[5.34]

Las cargas en una cimentación son aplicadas en la superficie del estrato y están dadas solo en función de la variable x, por lo que la ecuación (5.27) queda reducida a: = ( )

[5.35]

Los esfuerzos producidos en el suelo se obtienen sustituyendo las ecuaciones (5.31) y (5.32) en la ecuación (5.24).

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- 165 -

Cap5 – Aplicación del método variacional a la teoría de fundaciones elásticas

=

=

=

´ = −(

=

(

´ = −( )

´

) )

=

(

( )

( ) )

´ ( )

[5.36]

Figura 5.11 Función lineal de distribución transversal de desplazamientos verticales (fuente: V. Z. Vlasov and N. N. Leont’ev, Beams, plates and shells on elastic foundations, Israel Program for Scientific Translations, 1966, figure 7, pp. 11)

Tanto los esfuerzos y permanecen constantes en toda la altura H del estrato de suelo, mientras que los esfuerzos cortantes ( ) varían linealmente (figura 5.11). Si el estrato de suelo tiene en espesor considerable será necesario aproximar más la expresión correspondiente a los desplazamientos verticales, debido a que los esfuerzos verticales no permanecerán constantes a lo largo de la altura H del suelo (figura 5.12). Una expresión más aproximada para este caso es mostrada a continuación. =

(

( )

)

[5.37]

La función anterior fue asumida por Vlasov y Leont’ev, basándose en datos experimentales y estudios anteriores.

Figura 5.12 Función hiperbólica de distribución transversal de desplazamientos verticales y su influencia en los esfuerzos (fuente: V. Z. Vlasov and N. N. Leont’ev, Beams, plates and shells on elastic foundations, Israel Program for Scientific Translations, 1966, figure 8, pp. 12)

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- 166 -

Cap5 – Aplicación del método variacional a la teoría de fundaciones elásticas

En la ecuación (5.37), la constante verticales con la altura.

es la razón de decrecimiento de los desplazamientos

La solución del problema de fundaciones elásticas mediante el modelo de Vlasov, para un estrato de suelo, es determinado mediante la ecuación (5.33), donde los coeficientes están dados por: =∫

=∫

´

[5.38]

Como otro ejemplo también se puede considerar un estrato delgado de suelo donde los desplazamientos horizontales no pueden ser despreciados, este estrato permanece apoyado y fijo sobre un estrato indeformable, para tal caso, las funciones aproximadas de desplazamientos pueden ser expresadas de la siguiente forma: ( , )=

( , )=

Donde las funciones

( )=

y

[5.39] consideran una variación lineal a través de la altura H.

( )=

[5.40]

Sustituyendo las ecuaciones (5.39) y (5.40) en las ecuaciones (5.25) y (5.26), se tiene:

−

´´ −

−

+

´ +

−

´´ −

´ +

+

=0

=0

[5.41]

Los coeficientes se obtienen al sustituir el conjunto de ecuaciones (5.40) en las ecuaciones dadas en (5.13). Si el suelo está formado de varios estratos con propiedades diferentes, las funciones y pueden ser seleccionadas como se muestra en la figura 5.6, lo cual es conocido como modelo multicapa; también se puede asumir que el módulo de elasticidad varía sobre la altura del estrato. Con los ejemplos tratados queda reafirmada la gran ventaja del modelo generalizado de Vlasov, debido a los numerosos modelos de análisis que son obtenidos a través de las ecuaciones (5.25) y (5.26) para los problemas de cimentaciones bidimensionales (deformación plana). Para el diseño de estructuras de cimentación es muy importante la adecuada elección de las funciones y , ya que para dicha elección se tendrá que analizar las peculiaridades del problema considerado. Facultad de Ingeniería Civil - UNSA

- 167 -

5.5.

Cap5 – Aplicación del método variacional a la teoría de fundaciones elásticas

MODELO PLANO DE FUNDACIONES ELÁSTICAS CON DOS PARÁMETROS

5.5.1. Ecuación diferencial básica La hipótesis de considerar nulos los desplazamientos horizontales resulta satisfactoria para encontrar una solución simplificada al problema de una cimentación apoyada sobre un estrato elástico; también, para simplificar los cálculos es conveniente adoptar una única función de distribución transversal de desplazamientos, , la cual será elegida teniendo en cuenta las características del problema. Al considerar el suelo como un medio semi-infinito, isotrópico y linealmente elástico el problema bidimensional de un estrato de fundación resulta similar al problema de deformación plana estudiado por la teoría de elasticidad; este problema fue descrito en el apartado anterior, donde se obtuvo la siguiente ecuación: ´´ −

Los coeficientes

+

=0

[5.42]

son obtenidos mediante las siguientes relaciones:

=∫

=∫

´

( )

( )

[5.43]

Donde = .En la ecuación (5.42) el término cargas distribuidas ( ) en la superficie del estrato. ( )= ( )

( )

Al multiplicar la ecuación (5.42) por (

Donde:

2

)

´´ −

´´ −

+

=

representa el trabajo realizado por las [5.44]

se obtiene la siguiente expresión:

=0 y

+

=0

=

(

[5.45]

)

[5.46]

La diferencia entre la formulación dada en la ecuación (5.46) y la expresión obtenida bajo la hipótesis de Winkler, es que la ecuación (5.46) toma en cuenta un segundo término que contiene la segunda derivada de la función de los desplazamientos verticales generalizados multiplicada por el coeficiente 2t, que depende de los esfuerzos cortantes generados en el suelo. En conclusión, se puede decir que la ecuación (5.46) considerara los esfuerzos cortantes

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- 168 -

Cap5 – Aplicación del método variacional a la teoría de fundaciones elásticas

internos producidos en el estrato suelo, lo cual conlleva a la expansión de la carga aplicada en un determinado punto hacia puntos cercanos, tal como se muestra en la figura 5.10. Las propiedades de una fundación elástica, según este modelo, dependen de las dos características descritas en la ecuación (5.46). La propiedad tiene el mismo significado que el dado por la hipótesis de Winkler, mientras que el factor se relaciona con las fuerzas cortantes generadas en el estrato de suelo. Para la solución de la ecuación (5.46) se requiere establecer las condiciones de borde correspondientes al problema tratado, que generalmente, son dadas como fuerzas generalizadas, desplazamientos generalizados o ambos. Tomando en cuenta que ( , ) = 0 , ( , ) = ( ) ( ) y sustituyendo la ecuación (5.24) en la ecuación (5.16) se obtiene. =∫

=0

=∫

=

(

)

´ ∫

=2

´

[5.47]

5.5.2. Selección de la función de distribución transversal de desplazamientos Como se vio en la sección anterior, los parámetros dependen de la función de distribución transversal de desplazamientos, , la cual es seleccionada de acuerdo a la naturaleza del problema. Para un estrato de pequeña altura se puede considerar que dicha función varía de manera lineal a través de la altura H del estrato. ( )=

[5.48]

En la ecuación anterior se considera que el estrato permanece fijo en la base, impidiéndose el desplazamiento vertical y horizontal. Sustituyendo la ecuación (5.48) en la ecuación (5.43) se obtienen los coeficientes . =∫

=∫

=

´

=

[5.49]

Sustituyendo la ecuación (5.49) en la ecuación (5.46), se obtiene: =

=

(

(

)

)

[5.50]

También es posible establecer una relación para las deformaciones verticales a partir de las ecuaciones (5.23) y (5.48). =− ( ) Facultad de Ingeniería Civil - UNSA

[5.51]

- 169 -

Cap5 – Aplicación del método variacional a la teoría de fundaciones elásticas

Los esfuerzos verticales son obtenidos a través de las ecuaciones (5.22) y (5.51). =−

(

( )

)

[5.52]

Tal como se muestra en la ecuación (5.52), los esfuerzos verticales se mantienen constantes a través de la altura H del estrato, al igual que las deformaciones. A partir de las ecuaciones (5.47) se obtiene la siguiente expresión para la fuerza cortante generalizada. =

(

´ ( )=2

)

´ ( )

[5.53]

Para el caso de un estrato de suelo con una altura considerable, la función dada en la ecuación (5.48) no resulta satisfactoria, debido a que los esfuerzos verticales presentan una variación a lo largo de la altura H del estrato de suelo y no son constantes tal como lo describe esta ecuación; para tal caso, una función más aproximada es dada a continuación. (

( )=

( )

)

[5.54]

En la ecuación anterior el término representa la razón de decrecimiento de los desplazamientos a través de la altura H , y por lo tanto, depende de las propiedades del suelo. Para el caso de un estrato con una altura H muy grande es posible tratar al suelo como un medio semi-infinito ( → ∞). La distribución de esfuerzos verticales obtenidos al seleccionar la ecuación (5.54) como función de distribución transversal de desplazamientos, resulta: = −(

)

( )

Los parámetros característicos del suelo, =

Donde:

=

(

(

)

(

)

[5.55]

y , vienen dados por las siguientes ecuaciones. [5.56]

)

=

=

[5.57]

Y por último, para el caso de la fuerza cortante generalizada se obtiene: =∫

=2

´ ( )

[5.58]

Utilizando la ecuación (5.54), los esfuerzos verticales muestran una variación hiperbólica a lo largo de la altura H del estrato de suelo, teniendo una mejor aproximación que la obtenida con

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- 170 -

Cap5 – Aplicación del método variacional a la teoría de fundaciones elásticas

la ecuación (5.48), debido a que con esta función los esfuerzos verticales permanecen constantes. Otras funciones también pueden ser utilizadas para aproximar un resultado similar al obtenido con la ecuación (5.54), como ejemplo se muestra la siguiente función: ( )=

[5.59]

En conclusión, un gran número de funciones de distribución transversal de desplazamientos pueden ser elegidas para describir la variación de los desplazamientos a lo largo de la altura H; estas funciones afectarán también la distribución de esfuerzos normales y cortantes. La elección de las funciones y depende de las características del problema, y estas funciones son elegidas a través de datos experimentales o a través de métodos basados en la teoría de la elasticidad. 5.5.3. Efecto de las cargas verticales concentradas La función que describe los desplazamientos verticales en un estrato de suelo isotrópico y linealmente elástico sometido a una carga puntual (figura 5.13) es obtenida a partir de la ecuación (5.45), que para este caso toma la siguiente forma: 2

´´ −

=0

[5.60]

Figura 5.13 Carga puntual sobre una fundación elástica (fuente: V. Z. Vlasov and N. N. Leont’ev, Beams, plates and shells on elastic foundations, Israel Program for Scientific Translations, 1966, figure 11, pp. 18)

La solución de la ecuación anterior está dada por:

Donde

( )=

+

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[5.61]

- 171 -

Cap5 – Aplicación del método variacional a la teoría de fundaciones elásticas

=

Y los valores de

y

son tomados de las ecuaciones (5.46) y (5.43).

El cálculo de las contantes de integración se realiza tomando en cuenta las condiciones de borde conocidas; para hallar el valor de se puede tomar en cuenta el desplazamiento vertical cuando → ∞, el cual resulta ser nulo ( ( ) → 0), con lo que se obtiene: =0 El cálculo de se realiza a través de la ecuación (5.47), tomando en cuenta el trabajo realizado por la fuerza cortante generalizada sobre el desplazamiento virtual ̅ ( , ) = 1 (0) en la sección x=0, donde se tomó como desplazamiento generalizado un valor unitario ( (0) = 1). La simetría del problema permite determinar que el valor de la fuerza cortante en x=0 es −P⁄2, por lo tanto, el trabajo realizado por esta fuerza resulta: (0) = −

(0)

[5.62]

Donde el valor de (0) es el valor de ( ) en la superficie del estrato considerado. Derivando la ecuación (5.61) y evaluando su valor cuando x=0, se tiene: ´ ( )=− ´ (0) = −

[5.63]

Igualando las ecuaciones (5.47) y (5.62), se obtiene: (0) = 2

−

´ (0)

[5.64]

Al sustituir la ecuación (5.63) en la ecuación anterior, se obtiene el valor de C , el cual esta dado por: =

( )

Sustituyendo el valor de las constantes y en la ecuación (5.61), se obtiene la ecuación de desplazamientos verticales para el estrato de suelo considerado en la figura 5.13. ( )

( , )=

( )

[5.65]

Para definir totalmente la ecuación anterior es necesario seleccionar la función ( ), que será seleccionada según las características del suelo a analizar; por ejemplo, utilizando la función lineal ( ) = ( − )/ , la ecuación (5.65) resulta: Donde:

( , )= =

(

=

[5.66]

)

(

(

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)

)

[5.67]

- 172 -

Cap5 – Aplicación del método variacional a la teoría de fundaciones elásticas

Para un medio semi-infinito, isotrópico y linealmente elástico resulta más conveniente tomar la función dada en la ecuación (5.54); quedando la ecuación (5.65) transformada a : ( , )=

Donde:

=

=

(

=

(

) (

(

)

)

[5.68]

)

=

[5.69]

5.5.4. Efecto de las cargas verticales distribuidas Los desplazamientos producidos en la superficie del suelo pueden ser determinados de manera sencilla a partir de la ecuación (5.65)

Figura 5.14 Carga distribuida sobre una fundación elástica (fuente: V. Z. Vlasov and N. N. Leont’ev, Beams, plates and shells on elastic foundations, Israel Program for Scientific Translations, 1966, figure 15.a, pp. 21)

El dominio de la ecuación, que describe los desplazamientos producidos por la carga ( ), es dividido en tres zonas. Para cada zona las funciones de desplazamientos en la superficie del suelo están dadas por: Para

Para

Para

≤ > <

≤

( )= ( )=

∫ ∫

(

( ) ( )

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(

)

)

+∫

( )

(

)

[5.70]

[5.71]

- 173 -

Cap5 – Aplicación del método variacional a la teoría de fundaciones elásticas

( )=

Donde:

(

( )

∫

)

[5.72]

( )

=

[5.73]

Para el caso particular de una carga uniformemente distribuida, q, las ecuaciones (5.70), (5.71) y (5.72) son reducidas a: Para

Para

Para

≤

≤

> <

( )=

(

2−

( )=

∫

( )=

∫

)

( (

(

−

)

)

[5.75]

)

[5.76]

Si se asume como función transversal de desplazamientos la función lineal constante de integración =

(

[5.74]

adquiere el siguiente valor. )

= [5.77]

Sustituyendo la ecuación (5.77) en la ecuación (5.70), se obtiene: Para

Donde:

≤

≤

( ) =

2− (

( )=

)

(

( )

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)

−

(

)

[5.78]

, la

- 174 -

Cap5 – Aplicación del método variacional a la teoría de fundaciones elásticas

5.6.

FUNDACIONES ELÁSTICAS DE DOS CAPAS

Consideremos un terreno de fundación compuesto por dos estratos que poseen distintos módulos de elasticidad y diferentes módulos de Poisson, estos estratos se encuentran apoyados y fijos sobre un medio indeformable. (Figura 5.15).

Figura 5.15 Fundación elástica de dos estratos

Para el caso de deformación plana se pueden aproximar los desplazamientos como: ( , )=0

( , )=

( )

( )+

( )

( )

[5.79]

Donde las funciones de distribución transversal de desplazamientos, y , son elegidas teniendo en cuenta las particularidades del suelo de fundación; por ejemplo, para una capa superior delgada y una inferior gruesa (figura 5.16) se puede asumir las siguientes funciones: 0≤ ≤

≤ ≤

=

∧

=

=0

∧

=

[5.80]

(

)

[5.81]

Para este caso, la función generalizada ( ) representa el desplazamiento vertical de la superficie del suelo, la función generalizada ( ) define el desplazamiento vertical de la frontera entre estratos y el factor determina la razón de decrecimiento de los desplazamientos a través de la altura H.

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- 175 -

Cap5 – Aplicación del método variacional a la teoría de fundaciones elásticas

Figura 5.16 Deformaciones verticales de una fundación elástica de dos capa ≪ (fuente: V. Z. Vlasov and N. N. Leont’ev, Beams, plates and shells on elastic foundations, Israel Program for Scientific Translations, 1966, figure 20, pp. 26)

Sustituyendo las ecuaciones (5.79), (5.80) y (5.81) en la ecuación (5.26) se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

(

Donde:

(

)

´

´´ +

´´ +

=0

(

´´ ) − ( )

=

=∫

=

=∫

También, los valores de = Donde:

(

=∫ =∫ ´

+

+

)

´

)+

,

,

=

y

´´ −

=∫

=

=

=0

=∫ ´

=∫

=∫

están dados por:

´

´

−

[5.82]

=

=−

=

=

= =

= Módulo de elasticidad del estrato superior, correspondiente a h = Módulo de Poisson del estrato superior, correspondiente a h = Módulo de elasticidad del estrato inferior, correspondiente a h = Módulo de Poisson del estrato inferior, correspondiente a h Facultad de Ingeniería Civil - UNSA

+

[5.83]

[5.84] [5.85]

- 176 -

Cap5 – Aplicación del método variacional a la teoría de fundaciones elásticas

Igual que en el caso de una fundación elástica de una capa, se definen los siguientes parámetros: =

=

Donde:

(

)

(

)

=

=

(

)

(

)

[5.86]

=

=

La ecuaciones de (5.82) pueden ser reescritas de una manera más compacta, como: 2

´´ −

+

´´ +

+ 2(

´´ + +

+

) ´´ − (

=0 +

)

=0

[5.87]

Los coeficientes y determinan los esfuerzos de compresión de la capa superior e inferior, respectivamente, mientras que los coeficientes y consideran los esfuerzos de corte del suelo. Para reducir el sistema de ecuaciones (5.87) a una sola ecuación diferencial se introduce la función F(x); los desplazamientos generalizados y son expresados en términos de F(x) y sus derivadas, de tal forma que cuando estas expresiones son introducidas en la segunda ecuación de (5.87), esta llega a anularse. La expresión que satisface esta condición es: ( )=( ( )=

+

) ( ) − 2(

( )+

´´( )

+

) ´´( )

[5.88]

Sustituyendo estas expresiones en la primera ecuación (5.87) se obtiene: (3

+4 )

− 2(3

+

+

) ´´ +

= ( )

[5.89]

La ecuación diferencial anterior define los esfuerzos y deformaciones en una fundación de doble capa. Para resolver un problema específico es necesario agregar a la ecuación (5.89) las condiciones de borde correspondientes, que son dadas como desplazamientos generalizados o esfuerzos generalizados. =∫ Donde

=

=∫

[5.90]

Sustituyendo las ecuaciones (5.79), (5.80) y (5.81) en la ecuación (5.3) se obtienen los esfuerzos en función de los desplazamientos generalizados. Facultad de Ingeniería Civil - UNSA

- 177 -

Cap5 – Aplicación del método variacional a la teoría de fundaciones elásticas

0≤ ≤

≤ ≤

=

(

)

=

(

)

´

+ ´ (

´

)

[5.91]

Sustituyendo la ecuación anterior en la ecuación (5.90) e integrando sobre toda la altura H del estrato, se tiene: =

=

(2 ´ + ´ ) ´ + 2(

+

) ´

[5.92]

Expresando las ecuaciones anteriores en términos de la función F(x), se obtiene. =

= (3

−(3

+

+4 )

+2

+ (3

) ´

+2

) ´

[5.93]

El modelo de dos estratos también es llamado modelo de cuatro características. Este modelo genera una mejor aproximación que el modelo de una sola capa (modelo de dos parámetros).

Referencias 1 2 3 4 5

6

Cornelius Lanczos, The variational principles of mechanics, Editorial Board, Toronto, 1952, V. Slivker, Mechanics of Structural Elements, Springer, Berlin, 2007. L. Elsgoltz, Ecuaciones diferenciales y cálculo variacional, Editorial MIR, Moscú, pp. 285-419, 1969 V. Slivker, Mechanics of Structural Elements, Springer, Berlin, pp. 496- 538, 2007. V.Z. Vlasov and N.N. Leont’ev, Beams, Plates and Shell on Elastic Foundations, Translate from russian, Israel Program for Scientific Translations, Jerusalem, pp. 1-46, 1966, Cornelius Lanczos, The variational principles of mechanics, Editorial Board, Toronto, pp. 74-87, 1952,

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CAPÍTULO

6 ANÁLISIS DE LOSAS DE CIMENTACIÓN UTILIZANDO EL MODELO DE VLASOV 6.1.

INTRODUCCIÓN

Comúnmente, para el análisis de losas sobre apoyos elásticos se asume que los desplazamientos son proporcionales a la presión de contacto entre el suelo y el cimiento (Modelo de Winkler); este modelo ha sido muy utilizado para el análisis y diseño de cimentaciones debido a su gran simplicidad, aunque presenta muchas desventajas con relación a los métodos planteados bajo la teoría de la elasticidad. Para la utilización de método de Winkler se requiere la evaluación del módulo de reacción del subgrado, , el cual no tiene un valor único para un tipo de suelo o un tipo de cimentación específica; otra deficiencia que presenta el modelo de Winkler es que cuando se aplica una carga uniformemente distribuida sobre la cimentación, los desplazamientos verticales tanto del suelo y de la cimentación resultan constantes (movimiento de solido rígido); por lo tanto, no se generarán en la cimentación ni fuerzas de corte ni momentos flectores, conllevando a un diseño deficiente. Debido a la simplicidad y practicidad matemática que presenta el modelo de Winkler, muchos investigadores han tratado de mejorarlo; tal es el caso de Biot (1937), Sovolev (1963)

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- 179 -

Cap. 6 – Análisis de losas de cimentación utilizando el modelo de Vlasov

filonenko –Borodich (1940), Pasternak (1954), Vlasov y Leont’ev (1966), entre otros, donde algunos de estos autores desarrollaron modelos basados en la teoría de la elasticidad o en datos experimentales, obteniendo resultados satisfactorios solo para algunos tipos de suelos. Uno de los modelos que ha llamado la atención de muchos ingenieros es el modelo desarrollado por Vlasov y Leont’ev que plantea una solución generalizada basada en el método variacional; este modelo toma en cuenta la energía de deformación generada en el suelo situado debajo de la cimentación y la energía del suelo que circunda a la misma, la cual no es tomada en cuenta por el modelo planteado por Winkler. Una ventaja que presenta el modelo de Vlasov, es que puede ser analizado de manera bidimensional, presentando una ventaja sobre otros métodos que requieren un análisis tridimensional, que en muchas ocasiones llega a ser muy laborioso; otra ventaja es que se puede considerar una variación lineal del módulo de elasticidad del suelo, ( ). Vlasov y Leont’ev (1966) desarrollaron este modelo de dos parámetros donde la relación del desplazamiento vertical w y la carga q queda definida como: = ∇

+2 ∇

+

Donde es un parámetro de corte del suelo y D es el término que representa la rigidez a flexión de la losa. Para el cálculo de los parámetros y , Vlasov y Leont’ev introdujeron el término que describe el decrecimiento de los desplazamientos en función de la altura H del estrato. Otra ventaja de este modelo es la determinación de los parámetros y , que solo están en función de las propiedades del material, como son el módulo de elasticidad, el módulo de Poisson ( ) y el parámetro ; aunque los autores del modelo no plantearon ninguna expresión para determinar el parámetro , en estos últimos años muchos investigadores han desarrollado expresiones para determinarlo. Yang (1972) utilizo el modelo de Vlasov de dos parámetros para el análisis de losas sobre medios elásticos, combinando los métodos de diferencias finitas y de elementos finitos para resolver las condiciones de contorno en una losa, pero igual que en el caso anterior no dio ninguna expresión para el cálculo de y utilizó las recomendaciones dadas por Vlasov y Leont’ev. Vallabhan y Das (1987) desarrollaron una técnica iterativa para la evaluación del parámetro aplicada al caso de vigas sobre medios elásticos; ellos encontraron que el valor de depende no solo de las propiedades del suelo, sino también de la razón entre la profundidad del estrato y la longitud de la viga; este modelo que tiene en cuenta la interacción entre el desplazamiento vertical y el valor de es conocido como modelo modificado de Vlasov, el cual será desarrollado en el presente capitulo.

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- 180 -

6.2.

Cap. 6 – Análisis de losas de cimentación utilizando el modelo de Vlasov

DESARROLLO DEL MODELO MATEMÁTICO BASADO EN LA TEORÍA DE VLASOV

6.2.1. Modelo tridimensional para el cálculo de deformaciones en una fundación elástica1 Consideremos el estrato tridimensional de suelo de altura H sometido a cargas ( , , ) mostrado en la figura 6.1; producto de las distribuidas ( , , ), ( , , ) cargas se genera en el suelo esfuerzos y deformaciones, los cuales pueden ser calculados a ( , , ), estos desplazamientos a su través de los desplazamientos ( , , ), ̅ ( , , ) vez pueden ser aproximados a través de series finitas. ( , , )=∑

̅( , , ) = ∑

( , , )=∑

( , ) ( ) ( , )

( , )

( )

( )

= 1, 2, 3, … ,

= 1, 2, 3, … ,

= 1, 2, 3, … ,

[6.1]

En las ecuaciones anteriores, las funciones ( ), ( ) ( ) representan la variación vertical (a través de la coordenada z) de los desplazamientos horizontales y verticales, estas funciones son asumidas, y en consecuencia conocidas. Las funciones ( , ), ( , ) ( , ) son conocidas como desplazamientos generalizados y tienen ( ), ( ) unidades de longitud, por consiguiente, las funciones ( ) son adimensionales y representan la variación de los desplazamientos generalizados a través de la altura H del estrato.

Figura 6.1 Estrato de suelo tridimensional apoyado en un medio indeformable sometido a cargas distribuidas

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- 181 -

Cap. 6 – Análisis de losas de cimentación utilizando el modelo de Vlasov

Para el caso tridimensional, las deformaciones se relacionan con los desplazamientos a través de las siguientes ecuaciones. =

=

=

+

=

=

+

=

+

[6.2]

También, a través de la ley de Hooke para materiales linealmente elásticos se obtienen las relaciones entre los esfuerzos y las deformaciones. =

+

=

+

=

Donde:

+

(

+ +

+

=

)

=

=

=

(

)

(

)

(

)

[6.3]

=

[6.4]

En la ecuación (6.4), y representan el módulo de elasticidad y el módulo de Poisson del estrato de suelo, respectivamente. Sustituyendo las ecuaciones (6.2) en el conjunto de ecuaciones (6.3) se obtienen las relaciones entre los esfuerzos y los desplazamientos. =

+

+

=

+

+

=

+

+

=

=

=

(

)

(

)

(

)

+

+

+

[6.5]

( , , ) pueden ser expresados en términos de Los desplazamientos ( , , ), ̅ ( , , ) las funciones de distribución transversal de desplazamientos ( ( ), ( ) ( )) y de los ( , )) a través de las ecuaciones (6.5) desplazamientos generalizados ( ( , ), ( , ) y (6.1)

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- 182 -

Cap. 6 – Análisis de losas de cimentación utilizando el modelo de Vlasov

=

∑

+

=

∑

´ +

∑

= =

=

=

(

)

(

)

(

)

+

∑

∑

∑

∑

+∑

∑

∑

+∑

+∑

+∑

´

´

´ +∑

´ +∑

[6.6]

[6.7]

Una manera para determinar los desplazamientos generalizados ( , ) es a través del 2 principio de desplazamientos virtuales de Lagrange , donde las ecuaciones de equilibrio son obtenidas teniendo en cuenta que el trabajo total de las fuerzas internas y externas sobre los desplazamientos virtuales, es nulo.

Figura 6.2 Esfuerzos internos y externos en una columna de altura H y lados dx=1 y dy=1

Para este análisis se considera una columna de altura H y de lados iguales, dx=1 y dy=1, como se muestra en la figura 6.2, en este grafico se considera como trabajo positivo al realizado por fuerzas externas con dirección positiva y como trabajo negativo al producido por fuerzas internas con dirección positiva a los ejes coordenados. Las condiciones de equilibrio generalizadas para esta columna elemental son expresadas como:

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- 183 -

Cap. 6 – Análisis de losas de cimentación utilizando el modelo de Vlasov

∫

+

∫

+

∫

+

∫ ∫ ∫

−∫

+∫

( , , )

+∫

( , , ) ̅

̅

−∫

−∫

+

−∫

−

+∫

+

−∫

−

=0

̅

−∫

+∫

=0

+∫

+∫

+

( , , )

−

=0

Las expresiones anteriores pueden ser reducidas y reescritas para obtener el equilibrio en cada grado de libertad de la columna elemental mostrada en la figura 6.2, la cual posee en total (m+l+n) grados de libertad, obteniéndose expresiones para los desplazamientos ( , , ), ( , , ). ̅( , , ) ∫ ∫ ∫

+∫

−∫

+∫

( , , )

=0

+∫

−∫

+∫

( , , ) ̅

=0

= 1, 2, 3, … , ̅

= 1, 2, 3, … ,

+∫

−∫

= 1, 2, 3, … ,

+∫

( , , )

=0

Sustituyendo la ecuación (6.1) en la expresión anterior y realizando las derivadas correspondientes, se obtiene: ∫ ∫ ∫

+∫

−∫

+∫

−∫

= 1, 2, 3, … ,

= 1, 2, 3, … ,

+∫

−∫

= 1, 2, 3, … ,

´

+∫

=0

[6.8]

´

+∫

=0

[6.9]

´

+∫

=0

[6.10]

En la deducción de las ecuaciones anteriores se utilizaron los siguientes desplazamientos virtuales: ( , , )=1 ̅ ( , , )=1

( ) ( )

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- 184 -

Cap. 6 – Análisis de losas de cimentación utilizando el modelo de Vlasov

( , , )=1

( )

Donde se deduce que los desplazamientos generalizados tienen valores unitarios en cada dirección. ( , )=1

( , )=1

( , )=1

Las ecuaciones (6.8) (6.9) y (6.10) muestran que el trabajo total realizado por las fuerzas externas e internas sobre los desplazamientos virtuales correspondientes es nulo. Sustituyendo las ecuaciones (6.6) y (6.7) en las ecuaciones (6.8), (6.9) y (6.10) se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales, donde los desplazamientos generalizados son las funciones incógnitas. ∑

+

+

= 1, 2, 3, … ,

∑

+

= 1, 2, 3, … ,

−∑

−∑

∑

−

=0 +

∑

=0

= 1, 2, 3, … ,

−

+

∑

+∑

− [6.12]

−∑

+

+∑

[6.11]

−

−

∑

+

=0

−

∑

+

+ [6.13]

En las ecuaciones (6.11), (6.12) y (6.13) los coeficientes vienen dados por: =

=

=∫

=∫ ´

=∫ ´ =∫

=

=

=∫

´

=∫ ´ ´

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´

=∫

=

=∫ ´

=∫

´

=∫ ´

´

=∫

=∫ ´

=

=∫

=∫ ´

=∫

=∫

´

´

[6.14]

- 185 -

Cap. 6 – Análisis de losas de cimentación utilizando el modelo de Vlasov

Los coeficientes presentados en la ecuación (6.14) son determinados cuando las funciones de distribución transversal de desplazamientos son asumidas. Los términos libres en las ecuaciones (6.11), (6.12) y (6.13) representan el trabajo realizado por las cargas distribuidas ( , ) sobre los desplazamientos virtuales correspondientes, y están dados por: =∫

( , , )

( )

=∫

( , , )

( )

=∫

( , , )

( )

+

( , )

(0)

=∫

( , , )

( )

+

( , )

(0)

=∫

( , , )

( )

[6.15]

Las ecuaciones anteriores toman en cuenta el trabajo realizado por las fuerzas distribuidas sobre todo el volumen del estrato de suelo (fuerzas de cuerpo), pero no toman en cuenta el trabajo realizado por las fuerzas superficiales. En forma general la ecuación (6.15) puede ser reescrita de la siguiente forma para tomar en cuenta el efecto de las cargas superficiales.

=∫

( , , )

( )

+

( , )

(0)

[6.16]

Para el análisis de cimentaciones, generalmente, solo se toma en cuenta los incrementos de esfuerzos generados por las cargas superficiales, por lo que la ecuación (6.16) queda reducida a: =

( , )

(0)

=

( , )

(0)

=

( , )

(0)

[6.17]

Las ecuaciones (6.11), (6.12) y (6.13) son ecuaciones generalizadas, de las cuales se pueden obtener varias soluciones asignando distintos valores a las funciones de distribución transversal de desplazamientos ( ), ( ) ( ); otro aspecto importante es debido a la buena aproximación a las soluciones planteadas por la teoría de la elasticidad que se puede lograr al incrementar el número de términos en la ecuación (6.1) o eligiendo apropiadamente las funciones ( ), ( ) ( ).

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- 186 -

Cap. 6 – Análisis de losas de cimentación utilizando el modelo de Vlasov

6.2.2. Modelo tridimensional de dos parámetros para fundaciones elásticas Para el presente análisis consideremos el estrato de suelo mostrado en la figura 6.3, sobre el cual actúa una carga distribuida ( , ) en su superficie, generando en el suelo deslazamientos, deformaciones y esfuerzos. Generalmente, en cimentaciones sobre fundaciones elásticas los desplazamientos horizontales ( ̅ ) producidos en el suelo son pequeños en comparación con los desplazamientos verticales ( ), por lo tanto, pueden ser despreciados. ( , , )=0

̅( , , ) = 0

[6.18]

Los desplazamientos verticales pueden ser expresados por el producto de la función de desplazamientos generalizados ( ( , ) ) y una función de distribución transversal de desplazamientos ( ( )). ( , , )=

( , ) ( )

[6.19]

Figura 6.3 Estrato de suelo de altura H sometida a una carga distribuida p(x,y)

Sustituyendo las ecuaciones (6.18) y (6.19) en las ecuaciones (6.11), (6.12) y (6.13), el sistema de ecuaciones queda reducido a: ( , )

Donde los coeficientes =∫

+

( , )

−

vienen dados por:

( )

( , )+ =∫

=0 ´ ( )

[6.20]

[6.21]

En la ecuación (6.20), el término libre representa el trabajo realizado por la carga externa ( , ) sobre el desplazamiento virtual ( , , ) = 1 ( ). = ( , ) (0)

Donde el valor de (0) es el valor de ( ) en la superficie del estrato de suelo.

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[6.22]

- 187 -

Cap. 6 – Análisis de losas de cimentación utilizando el modelo de Vlasov

Para obtener una expresión más compacta y similar a la solución dada por Pasternak, se definen los siguientes valores: =

(

=

)

(

)

[6.23]

Sustituyendo la ecuación (6.23) en la ecuación (6.20) se obtiene una expresión final para calcular los desplazamientos en una fundación elástica considerando dos parámetros. ( , )

2

( , )

+

−

( , )+

=0

[6.24]

Como se puede observar, el parámetro comprende la deformación por compresión de una fundación elástica, teniendo un significado parecido al módulo de balasto; mientras que el parámetro representa la deformación por cortante en una fundación elástica. Para resolver la ecuación (6.24) primero se tiene que elegir una función ( ) apropiada, la cual es obtenida a través de datos experimentales o aproximaciones basadas en la teoría de la elasticidad. Una función adecuada para un suelo homogéneo isotrópico y linealmente elástico es mostrada a continuación. (

( )=

( )

)

[6.25]

Sustituyendo la ecuación (6.25) en las ecuaciones (6.21) y (6.23) Los parámetros quedan definidos como: =

Donde:

=

( (

) )

=

=

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[6.26]

[6.27]

- 188 -

Cap. 6 – Análisis de losas de cimentación utilizando el modelo de Vlasov

6.2.3. Ecuación diferencial para la flexión en losas sobre fundaciones elásticas con dos parámetros Consideremos una placa apoyada sobre una fundación elástica de altura H con propiedades de deformación , módulo de elasticidad y módulo de Poisson del suelo, respectivamente; sobre la placa actúa una carga externa igual a ( , ) (figura 6.4). Para el presente análisis se considera que las secciones transversales de la placa permanecen planas durante la flexión (hipótesis de Kirchhoff), y la fricción entre la placa y el suelo es nula.

Figura 6.4 Losa de cimentación sometida a una carga distribuida q(x,y) y apoyada sobre un estrato de suelo de altura H

La ecuación diferencial para la flexión de una placa sometida a cargas fue analizada en el capítulo 3 del presente documento (ecuación 3.19). El contacto entre la placa y el suelo origina una presión de contacto ( ( , )) sobre la superficie inferior de la placa (figura 6.5), por lo tanto, para este caso la ecuación (3.19) es reescrita como: ( , )

Donde

+2

( , )

+

( , )

= ( , )− ( , )

( , ) es la deflexión de la losa y el término D está dado por: =

(

)

E = Modulo de elasticidad de la placa = Módulo de Poisson de la placa

[6.28]

[6.29]

La ecuación (6.28) contiene dos funciones desconocidas, ( , ) y ( , ), y por ello es necesario establecer una relación entre la carga de contacto, ( , ), y los desplazamientos producidos en la losa; esta relación es obtenida teniendo en cuenta que las deflexiones de la losa, en cada punto, son iguales a los desplazamientos verticales producidos en la superficie de la fundación elástica.

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- 189 -

Cap. 6 – Análisis de losas de cimentación utilizando el modelo de Vlasov

Figura 6.5 Deflexiones producidas en una losa de cimentación sometida a cargas externas (q) y cargas de contacto (p). Nótese la igualdad con los desplazamientos verticales de la superficie del suelo

La ecuación de equilibrio para el modelo de suelo con un estrato está dada en la ecuación (6.30) (de acuerdo a la ecuación 6.24), a su vez, los parámetros y están dados en las ecuaciones (6.23) y (6.21). −2

Donde:

( , )

( , )

+

+

( , )=

[6.30]

= ( , ) (0)

Resulta conveniente seleccionar la función ( ) de tal forma que (0) = 1; tomando en cuenta este artificio, el desplazamiento generalizado ( , ) representa entonces el desplazamiento de la superficie de la fundación elástica, y la ecuación (6.30) se reduce a: −2

( , )

( , )

+

+

( , )= ( , )

[6.31]

Donde la deflexión de la losa es igual al desplazamiento vertical de la superficie de la fundación elástica. Sustituyendo la ecuación (6.31) en la ecuación (6.28), se obtiene: ( , )

+2

( , )

+

+2

( , )

+

−2

−2

( , )

+

+

( , )

+

+

=

( , )= ( , )

[6.32]

La ecuación (6.32) se diferencia de la ecuación correspondiente al modelo de Winkler debido a que contiene un término adicional que toma en cuenta la influencia de las fuerzas cortantes en el suelo de fundación.

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- 190 -

Cap. 6 – Análisis de losas de cimentación utilizando el modelo de Vlasov

6.2.4. Evaluación de la función de forma

( )3

La función de forma seleccionada, ( ), deberá satisfacer las condiciones particulares del problema tratado; la elección de esta función se basa generalmente en datos experimentales o en métodos rigurosos de análisis. Para el presente caso consideramos al suelo como un medio isotrópico, homogéneo y linealmente elástico apoyado y fijado sobre un estrato indeformable (figura 6.4); como primera condición se obtiene que ( ) = 0 debido a que el estrato de apoyo es indeformable; también, como se vio anteriormente, es conveniente que el valor del desplazamiento generalizado sea el mismo que el desplazamiento de la superficie del suelo ( ( , , 0) = ( , )), con lo cual se concluye que (0) = 1; para estas condiciones Vlasov y Leont’ev sugirieron la siguiente ecuación: (

( )=

)

( )

[6.33]

En la formula anterior, el parámetro representa la variación transversal de los desplazamientos verticales. En el modelo propuesto por Vlasov y Leont’ev (1960) no se dio una expresión para determinar el parámetro . En 1987 Vallabhan y Das introdujeron una expresión para hallar el valor de γ correspondiente al caso de vigas sobre apoyos elásticos; para el caso de losas se introdujo una ecuación más general, la cual fue utilizada por Straughan (1990) para la solución del problema de losas sobre apoyos elásticos mediante la técnica de diferencias finitas; la ecuación utilizada por Straughan es mostrada a continuación. =

(

(

)∫

)∫

∫

∫

(∇ )

[6.34]

La importancia del valor de radica en su influencia sobre la función de forma ( ), ya que esta función solo depende del valor de y de la altura del estrato de suelo (H), el cual es conocido por las condiciones del problema. A su vez, los parámetros solo dependen de la función de forma ( ) y de las propiedades de deformación del suelo, las cuales también son conocidas; por lo tanto, se concluye que para poder encontrar los desplazamientos en el suelo, primero se tendrá que encontrar un valor apropiado para .

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- 191 -

Cap. 6 – Análisis de losas de cimentación utilizando el modelo de Vlasov

6.2.5. Desplazamiento del suelo fuera del dominio de la losa Los desplazamientos de la superficie del suelo circundante a la losa de cimentación se obtienen a través de la ecuación (6.30); para este caso la fuerza actuante sobre el suelo es nula, y en consecuencia el término adquiere también un valor nulo. −2

( , )

( , )

+

( , )=0

+

[6.35]

Vlasov y Leont’ev (1966) asumieron una solución aproximada para la función de desplazamientos verticales de los puntos localizados en la superficie del suelo fuera del dominio de la placa.

Figura 6.6 Losa de lados 2p x2l apoyada sobre una fundación elástica

Para una placa de lados 2p x 2l apoyada sobre una fundación elástica (figura 6.6), las funciones asumidas son: Para la zona correspondiente a:

<

( , )=

(

)

( , )=

(

)

( , )=

(

)

Para la zona correspondiente a: − < Para la esquina correspondiente a: