Analisis de Linealizacion de Funciones y Funciones Con Soluciones Aditivas

ANALISIS DE LINEALIZACION DE FUNCIONES Y FUNCIONES CON SOLUCIONES ADITIVAS Juan Diego González Gutiérrez

Un tanque como el de la figura 1 posee las siguientes características:   

Área (A)=0.07 metros cuadrados Flujo de entrada (Fin)= 1.5*10^-3 metros cúbicos/segundo Altura en estado estable (hee)=2.5 m



Flujo de salida dependiente de la altura del tanque= metros^2.5/segundo

√

donde B=0.002121

Flujo de entrada

Altura de equilibrio

Flujo de salida Figura 1: esquema general del proceso.

Para este tanque se analiza el efecto de una perturbación del 5% en el flujo de entrada. La ecuación diferencial que describe el cambio de la altura en función de los flujos está dada por: √ Para este tanque también se quiere revisar el efecto de una linealizacion en la función que describe la variación de la altura con el tiempo para la misma perturbación. La función linealizada tendrá la forma: √

√

√

La solución de ambas ecuaciones diferenciales se realizó con el software MATLAB para el cual se obtuvo la siguiente gráfica:

Grafico 1: comparación de la solución de la ecuación diferencial de cambio de altura del tanque en sus formas completa y linealizada.

Podemos observar en las gráficas un comportamiento decreciente en ambos casos, este tipo de comportamiento es de esperarse ya que al inicio, luego de la perturbación, el flujo de salida es mayor al flujo de entrada por lo que el tanque tiende a vaciarse hasta alcanzar la nueva altura de equilibrio. Analizando ambos métodos, el de la linealizacion y la solución de la ecuación diferencial inicial, vemos que al inicio de la perturbación la aproximación del método de linealizacion es bastante buena y se asemeja a la solución de la ecuación diferencial original, pero vemos que a medida que se aleja del punto de equilibrio esta solución aproximada se desvía bastante de la solución real , llegando incluso a valores negativos de altura en el tanque ( sin sentido). Para este caso podemos concluir que el uso de la ecuación linealizada es válido para soluciones alrededor del punto de estado estable, y no sería recomendado para buscar el nuevo punto de equilibrio del sistema ya que este se encuentra bastante lejos del punto original de equilibrio, lo que causa que la solución obtenida sea bastante alejada de la realidad.

En nuestro segundo caso estudiamos el sistema de la figura 2:

Flujo de entrada

Temperatura de entrada

Flujo de salida

Temperatura de fluido de Servicio entrada

Temperatura de salida temperatura del fluido de servicio salida

Figura 2: diagrama del proceso de calentamiento en un tanque usando intercambiador. Para el sistema se dispone de los siguientes datos:       

Temperatura de entrada (Tin)= 150 grados centígrados Temperatura de entrada de fluido de servicio (tc)= 25 grados centigrados Flujo de entrada y salida (F)= 0.085 metros cúbicos por segundo Densidad ( )= 1000 Capacidad calorífica (cp)= 1 Coeficiente de transferencia global por área (UA)= 100000 Temperatura de salida (Tout)= 82,93 grados centígrados

El balance de energía para el sistema se expresa de la siguiente forma:

Lo que se busca es analizar la aditividad de las soluciones para los siguientes cambios: 1. Disminución en la temperatura de entrada de 150 a 140 grados centígrados con los demás parámetros constantes. 2. Aumento de la temperatura de entrada de 25 a 30 grados centígrados con los demás parámetros constantes

3. Cambio en la temperatura del fluido de servicio de 20 a 30 grados centígrados y del fluido de 150 a 140 grados centígrados. Mediante el uso del software MATLAB se obtuvieron las siguientes graficas de las soluciones para la ecuación diferencial resultante para cada uno de los casos: Caso 1:

Caso 2:

Caso 3:

Como notamos en las figuras las soluciones son aditivas, ya que se puede expresar el valor final de la variable de salida como la suma de la contribución independiente de las variables de entrada. En los casos 1 y 2 vemos la forma de la solución para un cambio único en el sistema, posteriormente al realizar el cambio simultáneo de las variables de los casos 1 y 2 se aprecia la contribución aditiva de los cambios individuales de las dos soluciones anteriores. Cabe notar que los rotulos de fluido y fluido de servicio hace referencia en los cambios en estas variables , puesto que lo que se mide es la respuesta de la variable de salida del fluido principal.